СОДЕРЖАНИЕ

А. В. Ланков—К истории вопроса о реформе преподавания математики. .1

П. А. Ларичев — К изменениям в программе по математике..... . . . . 4

МЕТОДИКА

Г. М. Карпенко — Изучение функций в V и VI классах на основе понятий множества и соответствия........... ............ 9

A. Д. Семушин — Решение задач на построение методом подобия...... 18

ИЗ ОПЫТА

B. М. Розентуллер — Из опыта преподавания математики в школах рабочей молодежи................................. 30

М. В. Носов — О рационализации педагогического процесса в школах рабочей молодежи............................ 33

ХРОНИКА

И. Я. Танатар — XII математическая олимпиада учащихся средних школ г. Москвы................................ 33

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Я. С. Дубнов — о двух новых учебниках геометрии для педвузов ...... 43

ЗАДАЧИ

Решения задач, помешенных в № 3 за 1949 г.................. 50

Задачи.................................... 59

В помощь читателю (Тематический указатель статей, помещенных в журнале „Математика в школе" за 1946—1949 гг.)................. 60

Сводка решений задач.......,.................... 64

Л<ь А—09070

Заказ № 720 Тираж 21 203 экз.

Технический редактор В. С. Якунина

Редакционная коллегия

Редактор А. Н. Барсуков Зам. редактора С. И. Новоселов Члены редакционной коллегии Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий, А. П. Садиков, Н. Ф. Четверухин

Корректор А. С. Киняпина

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз Министерства просвещения РСФСР

шо в производство 1/IX 1949 г. Подписано к печати 20/Х 1949 г. Печ. л. 4. Учетно-изд. л. 7,52 Теч. зн. в 1 п. л. 80 000. Цена 4 р. 50 к. Формат 8 + ХЮ8/1Г. *

13-я типография Главполиграфизяата при Совете Министров СССР. Москва, Гарднеровский пер., 1а.

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 6

НОЯБРЬ—ДЕКАБРЬ 1949

К ИСТОРИИ ВОПРОСА О РЕФОРМЕ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Ф. Клейн и В. Шереметевский

Проф. А. В. ЛАНКОВ (Молотов)

Имя Ф. Клейна достаточно известно в русской математической и методической литературе. Многие сочинения Клейна переведены на русский язык*. Мы не склонны преуменьшать математические и методические заслуги Ф. Клейна. Наша задача — показать, во-первых, что высказывания Клейна в отношении русской математической науки далеко не объективны, и, во-вторых, установить, что в связи с именем Клейна, считающегося признанным руководителем международного движения за реформу преподавания математики, нередко затушевывается роль России, место России в этом движении.

Остановимся на первом вопросе.

Уже М. Я. Выгодский** отмечает, что «среди трехсот имен математиков XIX в. ни разу не упоминается имя такого крупного математика, как Чебышев». Это, конечно, не случайно. И «вопросам развития теории вероятностей Клейн почти не уделяет никакого внимания» совсем не потому, что эти вопросы далеки от его личных интересов. Суть в том, что плодотворное развитие теории вероятностей связано с русской наукой, а ее Клейн почти не признает. На протяжении 429 страниц первого тома «Очерков» Клейн делает ссылки лишь на четырех русских ученых: он удостоил своим вниманием Ковалевскую, Лобачевского, Струве (астрономия) и Федорова (кристаллография), но что представляют собой эти ссылки? О С. В. Ковалевской Клейн высказывается весьма двусмысленно: «Первое, что бросается в глаза, это то, что ее работы находятся в столь тесной связи с работами Вейерштрасса и в такой мере написаны в стиле Вейерштрасса, что не видно, в какой мере эти работы заключают ее собственные мысли»***. Далее он указывает, что в ее работе о кристаллах с двойным лучепреломлением допущена принципиальная ошибка. «Равным образом, — говорит он, — не все довольны и ее работой о вращении волчка». Комментарии излишни, вряд ли в таких высказываниях нуждается русская математическая наука.

Теперь посмотрим, как освещает Клейн роль Лобачевского в развитии геометрии. «Этот период неэвклидовой геометрии, — говорит он, — отмечен тремя крупными именами — именами Гаусса, Н. И. Лобачевского и Больяи. Гаусс (1777—1885), имя которого мы ставим во главе» (курсив наш), оказывается, «уже начиная с 1817 г. составил себе ясное представление о гиперболической геометрии». Больяи (сын) «с пламенным рвением занялся

* 1. Элементарная математики с точки зрения высшей, тт. I и II, 1933 г.

2. Неэвклидова геометрия, 1936 г.

3. Лекции о развитии математики в XIX столетии, 1937 г.

4. Высшая геометрия, 1939 г.

** Выгодский М. Я., Феликс Клейн и его историческая работа «Введение» к русскому переводу «Лекций о развитии математики в XIX столетии».

*** «Очерки», стр. 337.

ею, и уже к 1823 г. ему удалось построить гиперболическую геометрию». Н. И. Лобачевский «был профессором Казанского университета и публиковал свои работы о теории параллельных, начиная с 1829 г.»*.

Итак, Гаусс «составил ясное представление» в 1817 г., Больяи «построил гиперболическую геометрию» в 1823 г., а Лобачевский выступил с этим вопросом лишь в 1829 г. История вопроса явно представлена в «кривом зеркале». О том, что Гаусс интересовался идеями гиперболической геометрии в период 1817—1820 гг., известно только из его переписки, никаких работ по неэвклидовой геометрии Гаусс не оставил. Исследования Больяи (сына) были опубликованы лишь в 1832 г. в кратком приложении к книге его отца. Работы Н. И. Лобачевского были первыми сочинениями по неэвклидовой геометрии в мировой литературе. Клейн не желает признать этот очевидный факт и извращает истину.

Остановимся на роли Клейна в развитии международного движения за реформу преподавания математики.

«Методика преподавания математики,—читаем мы в одном авторитетном советском издании,— может считаться детально разработанной лишь в пределах начальной школы... Алгебра с точки зрения методики изложения на протяжении всего XIX в. оставалась в основном почти неизменной... В девятисотые годы под влиянием идей известного математика Клейна (курсив наш) и в России начало развиваться движение за реформу преподавания алгебры в средней школе... За реформу преподавания геометрии выступил Клейн»**. Эта точка зрения является, как будто, общепризнанной в русской литературе.

Мы уже не говорим, что в подобного рода высказываниях принижается роль русской методической науки, забываются такие имена, как Н. И. Лобачевский, А. Н. Страннолюбский, А. Н. Острогорский, В. А. Латышев и др. Освещение роли Ф. Клейна в методике математики здесь также является преувеличенным. Основным тезисом движения за реформу преподавания математики является требование, чтобы математика преподавалась не как «замкнутая в себе логическая дисциплина, а как составная часть общей системы человеческих знаний». В этом смысле в элементарной математике особенно велика роль идеи функциональной зависимости. Математика в средней школе XIX в. игнорировала понятие функции, в результате получился тяжелый разрыв между школьной математикой и научной, с одной стороны, и между школьной математикой и жизнью, с другой стороны.

Инициатором включения идеи функциональной зависимости в школьную математику обычно считают Ф. Клейна.

Посмотрим, как обстояло дело в действительности. На рубеже XX в. Ф. Клейн на Западе был ярким и энергичным представителем реформы. Он выступал по этому вопросу на съездах и учительских курсах, печатал свои статьи, вел полемику.

Его ближайшим сотрудником являлся Е. Рике. На конференции естествоиспытателей и врачей в Берлине в 1900 г. Ф. Клейн выступил очень осторожно с указанием, что среди представителей математических наук очень распространен взгляд на необходимость реформы преподавания математики. В этом же году свои мысли по этому вопросу он изложил в большой работе, представляющей запись лекций на летних учительских курсах***.

В 1903 г. Ф. Клейн выступил с заявлением по этому же вопросу на конференции в Касселе, причем в очень кратком виде изложил свою программу. Конференция склонна была принять его «тезисы», но сам автор их высказался против принятия постановления по этому вопросу. И, наконец, на съезде в Бреславле в 1904 г. Ф. Клейн выступил с докладом «О преподавании математики и физики». Таковы официальные «вехи» движения за реформу преподавания математики на Западе, увенчавшиеся опубликованием в 1905 г, документа, известного под именем меранских программ****.

Последим за ходом вопроса о реформе в России.

В 1893 г. с рефератом на тему о реформе преподавания математики в Петербурге выступил Сердобинский*****.

В 1895 г. вопрос приобретает уже общественный интерес, ему уделяет внимание журнал «Русская мысль» (1895 г. № 5) — издание, рассчитанное на широкий круг читателей. Автором статьи был известный петербургский педагог В. П. Шереметевский. Выступление В. П. Шереметевского было не случайным и не звучало как мнение прогрессивного педагога-одиночки. Как видно из при-

* Неэвклидова геометрия, стр. 300—301.

** «Большая Советская Энциклопедия», т. 38, 1938 г., стр. 403, слово «матиматика в школе».

*** F. Klеin und Е. Rieckе, Ueber angewandte Mathematik und Physik in ihrer Bedeutung fur den Unterricht an den hoheren Schulen, Leipzig, 1900.

**** Приняты были на съезде в Меране в 1905 г.

***** Знакомство с понятием функции, «Педагогич. сборник», 1893 г.

мечаний 27 и 29 к статье, вопрос о реформе возник еще в 1892 г. в Московском обществе распространения технических знаний, где произошли оживленные прения в связи с предложением «произвести в курсе математики нашей средней школы целый ряд сокращений с целью очистить его от веками накопившегося мертвого груза». Обсуждение закончилось принятием постановления «о дополнении среднеучебного курса» элементами высшей математики, «причем сообщен был и набросок программ».

Наконец, в 1898 г. В. П. Шереметевский выпускает большую работу, в которой конкретизирует вопросы реформы*. Из примечаний на странице 2 работы можно видеть, что выступление в «Русской мысли» принадлежит тому же автору.

Таким образом, на русской почве вопрос о реформе преподавания математики возник на 12—13 лет раньше, чем на Западе.

Сравним выступления В. Шереметевского (1895 г.) и Ф. Клейна (1904 г.).

В. П. Шереметевский**.

«В то время, как спешат занести в учебники физики последние изобретения, иногда не оправдывающие возбужденных ими ожиданий, в географии следят за подробностями новейших открытий — по геометрии довольствуются сведениями из обихода Александрийской школы III в. до н. э., не идут дальше алгебры индусских браминов VII и тригонометрии — ученых Самарканда XV в.

Молодые люди конца XIX в., готовящиеся принять официальное удостоверение в умственной зрелости, искусственно задерживаются на средневековом уровне математической мысли...

Какое бы мировоззрение не лежало в основе наших отношений к природе, сущность процесса мировой жизни выразится основным понятием — изменения (курсив наш)...

Если вся математика есть, в сущности, учение о функциях, то ясно, что и элементарный курс должен группироваться вокруг основного понятия о функциональной зависимости»...

Ф. Клейн***.

«Вряд ли есть предмет, в преподавании которого царила бы такая рутина, как в преподавании математики****. Курс элементарной математики вылился в определенные рамки и точно замер в раз навсегда установившихся пределах... Новые учебники алгебры представляют отпечаток алгебры Эйлера, как новые учебники геометрии, — отпечаток геометрии Лежандра. Можно подумать, что математика — мертвая наука, что в ней ничего не меняется...

Какое же понятие в современной математике доминирует. Это есть понятие о функции. Изучение функции составляет предмет, можно сказать, всей высшей математики; установление функциональной зависимости между различными факторами составляет задачу прикладной математики... Развить в юноше способность к функциональному мышлению составляет первую задачу реформы».

Таким образом, Шереметевский и Клейн развивают одни и те же мысли (Шереметевский на 9 лет раньше).

«Так как понятие о функции, — говорит В. П. Шереметевский, — несмотря на его первенствующее значение, до сих пор не получило общепризнанного права гражданства в области элементарной математики, то приходится прежде всего позаботиться о выяснении его на каких-нибудь примерах» (стр. 9).

Автор определяет математику, как учение о функции (стр. 11), приводит многочисленные элементарные примеры выяснения явлений природы при помощи учения о функциях.

Выделение «высшей» математики он считает случайным, обусловленным лишь преходящими традициями. «Лишь отрывочность, исключительная отсталость среднеучебного курса математики породили эту своеобразную терминологию; мы не встречаем ее в других предметах... Ни в одном предмете средней школы учащийся не остается в такой мере отчужденным от существенного содержания, главного нерва науки, как в математике»*****.

Конечно, и Шереметевский в России, и Клейн в Германии, и проводник французской реформы 1902 г. радикал Эррио были выразителями идей развивающегося капитализма. Классическая система образования с преимущественным преобладанием древних языков, с формализированной до крайних пределов математикой в эпоху господства капитала представлялась явным анахронизмом. Но стоящие у власти феодально-помещичьи круги, представители родовой аристокартии, не замечали

* Шереметевский В. П., Очерк основных понятий, приемов и метода математики, как основы изучения природы, «Сборник статей в помощь самообразованию по математике, физике, химии и астрономии», вып. I, 1898 г.

** Цитируем по статье в «Русской мысли».

*** Цитируем по ст. Б. Ф. Кагана «Реформа преподавания математики в средних учебных заведениях Франции и Германии». Введение к русскому переводу книги Э. Бореля «Элементарная математика», т. 1, 1911 г., стр. XIV— XV.

**** Начиная с этого места автор приводит не текстуально высказывания Ф. Клейна, а изложение его идей, данное в статье В. Ф. Кагана. Редакция.

***** «Очерк основных понятий», стр. 3.

этого пережитка, не видели перспектив передовой науки, передовой системы образования. Веяние реформы, движение за нее воспринимались ими, как потрясение основ существующего строя.

Вредное заблуждение считать, что движение за реформу преподавания математики развивалось лишь на Западе, что Россия воспринимала идеи этого движения, не участвуя в их разработке. Петербургская комиссия преподавателей математики при Музее военно-учебных заведений, Московское общество распространения технических знаний, журналы в России поднимают и разрабатывают этот вопрос значительно раньше, чем в Германии. И, как показывают приведенные выше высказывания, Ф. Клейн на съезде в Бреславле почти в буквальных выражениях воспроизводит мысли, которые были опубликованы В. Шереметевским на девять лет раньше.

К ИЗМЕНЕНИЯМ В ПРОГРАММЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ V—X КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ изд. 1949 г.

П. А. ЛАРИЧЕВ

(консультант-методист Управления школ Министерства просвещения РСФСР)

Пересмотр программы был направлен в основном на уточнение и раскрытие содержания отдельных разделов математики и разгрузку программы от вопросов второстепенного значения.

Существенные указания внесены в объяснительную записку к программе. Особое внимание обращается на то значение, которое должно иметь преподавание математики в осуществлении «общих задач коммунистического воспитания: формирование марксистско-ленинского мировоззрения, воспитание советского патриотизма и советской национальной гордости, выработка воли и характера» (стр. 3).

Осуществление поставленных программой задач коммунистического воспитания требует прежде всего поднятия идейно-теоретического уровня преподавания математики.

Объяснительная записка даёт ряд конкретных указаний, как излагать в школе на уровне современных научных требований такие вопросы, как, например, развитие идеи функциональной зависимости (стр. 9), развитие понятия числа (стр. 9, 10, 11), понятие о пределе, и т. д.

Большое внимание уделяется в объяснительной записке вопросу о связи теории с практикой. В отличие от прежней программы, объяснительная записка даёт перечень практических работ, обязательных для выполнения в каждом классе (стр. 4).

Уточнено требование объяснительной записки о сообщении учащимся исторических сведений на уроках математики, об ознакомлении учащихся с значением и ролью математиков нашей родины (стр. 5).

В тех же целях рекомендуется всячески бороться с формализмом в преподавании математики, развивать логическое мышление учащихся, пространственное воображение, сообразительность, настойчивость в преодолении трудностей, вырабатывать навыки рационального выполнения работы, навыки самостоятельной работы и т. д.

Объяснительная записка подчёркивает важность и обязательность соблюдения методики домашних заданий, как-то: необходимость разъяснять учащимся, как надо работать дома, в какой последовательности выполнять домашние задания; устанавливается примерный объем домашнего задания, выставляется требование о систематической проверке домашних заданий учителем (стр. 5—6).

В программе указывается примерное количество учебных часов и количество времени для выполнения домашних заданий по каждой теме.

Переходим теперь к обзору изменений программы по классам и отдельным предметам.

V класс.

Арифметика

Арифметика проходится в V и VI классах, причём в V классе выделяется 7 недельных часов и в VI классе 2 часа в неделю круглый год. Это позволяет основательно и углубленно пройти теоретический материал, вооружить учащихся соответствующими вычислительными навыками и уменьем решать задачи. Особенно важно обратить внимание, что в новой про-

грамме прибавлено на изучение арифметики в VI классе 34 часа для систематизации и повторения всего курса. Объем и распределение материала по классам оставлены без изменения. Увеличение учебного времени на прохождение арифметики вызвано все еще недостаточно прочными и сознательными знаниями и навыками учащихся. Так, например, итоги экзаменов показывают, что не всегда выполняется требование об углубленном изучении теории арифметики: учащиеся, зная правило, не могут дать связное и мотивированное объяснение изученной теории, не твердо владеют терминологией, и т. д. В области вычислительной практики слабым местом являются процентные расчеты, комбинированные действия над обыкновенными и десятичными дробями. Недостаточны уменья решать сложные арифметические задачи, особенно так называемые «типовые задачи», недопустимо слабы навыки устного счета, почти отсутствуют практические навыки в вычислениях на счетах, в измерениях на местности, в нахождении площади, поверхности и объема. Геометрический материал, включенный в программу по арифметике, как правило, проходится бегло и формально.

Несколько слов о решении типовых задач. В объяснительной записке указаны следующие типы задач: 1) нахождение двух чисел по их сумме и разности; 2) по их отношению и сумме или разности; 3) задачи на пропорциональное деление; 4) задачи, решаемые исключением одного из неизвестных способом его замены.

Таким образом, программа по арифметике, не исключая совершенно решение типовых задач, отводит им довольно скромное место, учитывая, что в дальнейшем типовые задачи более сложных видов учащиеся будут решать методом составления уравнений. Однако решению сложных арифметических задач, содержащих несколько действий и охватывающих различные разделы курса арифметики, программа обязывает уделять достаточное время в течение всего срока изучения арифметики. Особенно рекомендуется решать задачи, в которых находят отражение вопросы обороны страны, сельского хозяйства, социалистического строительства и т. д.

Достаточное внимание должно быть обращено и на уменье учащихся строить и читать диаграммы (столбчатые и секторные), вычерчивать простейшие планы (VI кл.).

VI класс. Алгебра

По новой программе изменено распределение недельных часов между отдельными математическими предметами: на арифметику дается 2 часа в неделю (всего 66 часов), на алгебру 3 часа в неделю (всего 99 часов вместо 102 часов), на геометрию 2 часа (всего 66 часов вместо 70 часов по программе 1948 г.).

Программа VI класса по алгебре не изменена. Основным содержанием курса алгебры VI класса являются тождественные преобразования. Научить выполнять основные тождественные преобразования алгебраических выражений—весьма ответственная задача, стоящая перед учителем.

Рекомендуется, начиная с первой темы „Буквенные обозначения", решать уравнения и задачи на составление уравнений с целью показать конкретное применение выполняемых учащимися тождественных преобразований. Как и в программе 1948 г., решение уравнений должно выполняться на основании зависимости между компонентами действий. В VI классе программа предусматривает дальнейшее расширение понятия числа. Облегчить усвоение относительных чисел необходимо не только жизненными примерами (температура выше и ниже нуля, прибыль и убыток и т. п.), но и графическими представлениями чисел в виде точек на числовой оси. Громадное значение (общеобразовательное и практическое) придает программа ознакомлению учащихся с идеей функциональной зависимости. «В VI классе для этого следует практиковать составление табличной записи результатов определения значений буквенных выражений, а также и вычерчивание простейших графиков, как-то: графиков температуры, равномерного движения, перевода одних мер в другие и т. п.».

Геометрия

Программный материал по геометрии в VI классе оставлен прежний. Объяснительная записка обращает внимание преподавателей на необходимость при прохождении геометрии учитывать возрастные особенности учащихся шестых классов, где методы преподавания геометрии должны в большей степени опираться на интуицию учащихся, где следует широко применять наглядность, возможно чаще обращаться к моделированию фигур (стр. 11 — 12). Необходимо также показывать практические приложения геометрии, повышая этим интерес учащихся к предмету и их уверенность в его ценности. Сюда относятся всякого рода измерения, в частности измерения на местности: провешивание и измерение отрезков, построение и измерение углов, определение расстояний и высот с помощью равенства треугольников, глазомерное определение расстояний с последующей проверкой непосредственным измерением.

VII класс. Алгебра

(4 часа в первом полугодии и 3 часа во втором)

В программу по алгебре внесены лишь незначительные изменения, частично редакционного характера, частично направленные на уточнение программного материала. Так, например, тема «Пропорции» имеет теперь заглавие «Пропорции и пропорциональная зависимость», в теме «Уравнения 1-й степени» вопросы о неравенствах выделены в особый раздел и проходятся после уравнений в таком плане: «Понятие о неравенстве. Свойства неравенства. Решение неравенств 1-й степени с одним неизвестным». Здесь дополнительным вопросом является вопрос о решении неравенств.

Если систематическое прохождение материала о неравенствах отнесено по программе на курс X класса, то сообщение учащимся основных понятий о неравенствах в VII классе совершенно необходимо для дальнейшего прохождения курса математики. Какие же сведения о неравенствах должны усвоить учащиеся в VII классе? В основном программа предусматривает прохождение следующего материала. Определение неравенства, знаки «больше» и «меньше»; свойства неравенств: если к обеим частям неравенства прибавить поровну, то смысл неравенства не нарушится; далее рассматриваются вопросы об умножении и делении обеих частей на положительное и отрицательное число. Изучение свойств неравенства прилагается для решения простейших упражнений на неравенства 1-й степени с одним неизвестным.

В VII классе программа предусматривает развертывание дальнейшей работы по изучению функциональной зависимости: вводится построение графиков прямой пропорциональности, линейной функции, графическое истолкование решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными.

Центральным вопросом курса алгебры VII класса является вопрос об уравнениях и решении задач способом составления уравнений.

Из вопросов, связанных с изучением уравнений, в VII классе наиболее трудными для усвоения учащимися являются вопросы о равносильности уравнений.

Объяснительная записка (стр. 9) дает в настоящем году указание, что «в VII классе равносильность рассматривается при решении уравнений с числовыми коэфициентами». Это указание надо понимать в том смысле, что в VII классе не требуется излагать доказательства теорем о равносильности уравнений в общем виде, а достаточно на числовых примерах показать учащимся справедливость основных свойств уравнений. Вместе с тем программа предусматривает, что учащиеся должны знать, как следует поступать в том случае, когда обе части уравнения умножаются на выражение, содержащее неизвестное (например, при решении уравнений, имеющих члены, содержащие в знаменателе дроби неизвестное), здесь проверка найденных корней совершенно обязательна, как органическая часть решения уравнения (стр. 9).

Геометрия в VII классе

(2 часа в первом полугодии и 3 часа во втором).

Программа по геометрии в VII классе оставлена без изменения. Можно те замечания, которые сделаны для курса VI класса, отнести и к работе в VII классе: основой работы по геометрии следует считать осторожный переход от конкретного восприятия геометрических образов на чертежах и моделях к абстрактному обобщению и логическому доказательству. Большое внимание должно быть уделено решению задач на вычисление, построение и доказательство, практическим работам по измерению всех видов (модели, сооружения, измерения на местности). Преподавателю надо твердо помнить, что игнорирование практических работ, недостаточное внимание к решению задач неизбежно приводят к формальному, полумеханическому прохождению курса, лишенному ценнейших общеобразовательных и воспитательных сторон. В условиях, когда семилетнее обучение является обязательным в нашей стране, сообщение практических знаний по геометрии приобретает огромное значение. Следует на местах организовать помощь тем учителям, которые затрудняются в проведении измерительных работ, в изготовлении самодельных приборов и моделей.

VIII класс.

Программа VIII класса оставлена без изменения, если не считать некоторых поправок, как-то: в теме «Квадратные уравнения» исключена формула корней квадратного уравнения с четным средним коэфициентом, исключено решение систем уравнений, содержащих одно уравнение 2-й степени и одно первой в общем виде.

Весьма существенным указанием следует считать замечание, помещенное в объяснительной записке относительно мнимых корней квадратного уравнения: «Ввиду того, что введение

мнимых чисел в VIII классе не может быть выполнено, следует отказаться от рассмотрения мнимых корней квадратного уравнения и, в случае отрицательного дискриминанта трехчлена, говорить, что уравнение не имеет корней» (стр. 10).

Это указание преподавателям необходимо неуклонно проводить в жизнь, так как в противном случае учащиеся привыкают к употреблению символов, смысл которых им не понятен.

Серьезное внимание уделяет программа и объяснительная записка вопросам дальнейшего изучения функций и их графиков в VIII классе. Здесь уже в явном виде учащиеся знакомятся с функциональной терминологией, расширяется запас изучаемых функций введением функций 2-й степени одного аргумента, рекомендуется добиваться построения графиков функций с достаточной степенью точности по точкам на клетчатой бумаге.

По геометрии в программе VIII класса нет никаких изменений. В объяснительной записке сделано указание, что «раздел об измерении отрезков можно проходить в соответствии с изложением этого материала в учебнике Н. А. Глаголева «Элементарная геометрия».

Из практических работ по геометрии следует произвести мензульную съемку и определение недоступных расстояний и высот, использовав подобие фигур и первоначальные сведения по тригонометрии.

IX класс.

В программе IX класса сделаны некоторые перестановки в порядке прохождения материала; например, все вопросы теории пределов перенесены из курса геометрии в курс алгебры, где они и проходятся в связи с последовательностями чисел. Объяснительная записка дает детальные указания, в какой последовательности и в каком объеме проходить в IX классе вопросы о пределах.

«Не следует особенно углублять и расширять материал, но необходимо, чтобы введенные понятия были правильно усвоены учащимися, рассматриваемые свойства пределов хорошо поняты ими (что достигается рассмотрением соответствующих примеров) и чтобы в дальнейшем при всех выводах, требующих применения теории пределов, учащиеся твердо опирались на изученные ими теоремы. Теоремы о пределах можно, в случае недостатка времени, только сформулировать и принять без доказательства» (стр. 10).

В новой программе по алгебре несколько изменено изложение первой темы. Прежнее название темы «Прогрессии» заменено более общим—«Последовательности чисел», в связи с чем дополнительно внесены вопросы: «Понятие о числовой последовательности; примеры числовых последовательностей; общий член числовой последовательности».

В целях сокращения объема программы исключена тема «Сложные проценты».

Итоги проверки знаний учащихся на экзаменах в школе и вузах показали, что тема «Логарифмы» недостаточно углубленно усваивается учащимися. Нередки случаи, когда учащиеся слабо знают свойства логарифмической функции, затрудняются в ответах на вопросы, проверяющие сознательность и глубину усвоения темы.

Объяснительная записка рекомендует поэтому добиваться лучшего знания теории логарифмов и улучшения практики их применения к различного рода вычислениям, в частности небходимо обратить внимание на более твердое усвоение определения логарифма, на тождество N = al0^V и на выработку правильных представлений о ходе логарифмической кривой (стр. 11). Заслуживает внимания напоминание программы о желательности выполнения вычислений с помощью логарифмической счетной линейки, если не в порядке обязательной классной работы, то хотя бы в порядке кружковых занятий.

По геометрии программа IX класса оставлена без изменения, за исключением уже рассмотренного перенесения вопросов по теории пределов в курс алгебры. Объяснительная записка дает указание о том, что перед началом курса стереометрии рекомендуется дать понятие об опытном происхождении аксиом. Общее и математическое развитие учащихся IX класса позволяет дать им понятие об аксиоматическом построении курса геометрии, что и уместно сделать при переходе от изучения планиметрии к изучению стереометрии.

Для развития логического мышления и пространственного воображения учащихся большое значение имеет решение задач на построение в пространстве. Объяснительная записка указывает, что «основные задачи на построение, рассматриваемые во II части учебника А. П. Киселева, надо рассматривать как теоремы на доказательство возможности и единственности построения соответствующих геометрических образов. Это не должно, однако, освобождать учителя от необходимости решать задачи на построение в пространстве в течение всего курса» (стр. 13).

Программа по тригонометрии оставлена без изменения. В объяснительной записке указывается, что «в IX классе внимание должно быть

сосредоточено на изучении четырех функций: синус, косинус, тангенс и котангенс. Что касается секанса и косеканса, то достаточно познакомить учащихся с определяющими эти функции формулами» (стр. 13).

Опасность формализма при изучении тригонометрии заключается в том, что усвоение предмета опирается главным образом на работу памяти. Объяснительная записка рекомендует поэтому добиваться отчетливых геометрических представлений, связанных с тригонометрическим кругом, а также с широким использованием графиков при изучении тригонометрических функций.

X класс.

В программе для X класса внесены следующие изменения:

1) Уточнено содержание вопроса об основных свойствах неравенств (стр. 11).

2) Название «Теорема Безу» заменено новым «Уравнения высших степеней», как более отвечающим содержанию темы.

В связи с этим в данную тему дополнительно включен вопрос о нахождении целых корней уравнений с целыми коэфициентами.

3) В программе по геометрии термин «Круглые тела» заменен темой «Тела вращения».

4) В объяснительной записке к программе по геометрии дано указание (стр. 13), что «при изучении вопроса об объеме пирамиды учитель может выбрать один из двух способов изложения темы, данных в учебниках по геометрии А. П. Киселева или Н. А. Глаголева».

5) В объяснительной записке по тригонометрии (стр. 14) рекомендуется ознакомить учащихся с графиками обратных тригонометрических функций.

Объяснительная записка обращает внимание преподавателей математики на повторение и систематизацию курса математики в X классе. В связи с этим большое место в работе X класса должны иметь обзорные беседы-лекции, систематизирующие и обобщающие отдельные разделы курса, устанавливающие методы математики в разрешении тех или иных вопросов, выявляющие культурно-историческую ценность математики, ее роль в системе наук, ее применения в технике и практике социалистического строительства. В X классе учащиеся должны отчетливо знать значение и роль математиков нашей родины в развитии математической науки, ведущую роль советской математической школы.

Итоги экзаменов на аттестат зрелости, заключения приемных экзаменационных комиссий высших учебных заведений свидетельствуют о неуклонном поднятии уровня математической культуры учащихся наших школ. Выдвигаются многочисленные кадры учителей, дающих высокое качество учебно-воспитательной работы по математике. Продвижение опыта лучших учителей в массовую школу и дальнейшая творческая работа по усовершенствованию методов обучения математике и поднятию идейно-политического уровня преподавания—неотложная задача, стоящая перед коллективом работников народного образования.

МЕТОДИКА

ИЗУЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ В V и VI КЛАССАХ НА ОСНОВЕ ПОНЯТИЙ МНОЖЕСТВА И СООТВЕТСТВИЯ

Г. М. КАРПЕНКО (Москва)

Стремительный прогресс в развитии социалистического хозяйства нашей страны накладывает свой отпечаток на темпы развития науки и культуры и заставляет нас заниматься вопросами перестройки методов вооружения людей знаниями.

Этому вопросу в последние годы уделяется особое внимание. В частности, разрабатываются и предлагаются вниманию учителей средней школы различные методы изучения функций. Но выпускники средней школы еще не владеют достаточными знаниями и навыками исследования элементарных функций. Министр высшего образования СССР С. В. Кафтанов в статье «За дальнейший подъем работы средней школы» пишет: «При сдаче экзаменов по математике обнаружилось, что некоторые питомцы средней школы не имеют четкого представления о функции и функциональной зависимости. Не мало выпускников затрудняется построить даже график линейной функции, не говоря о простейшем определении функции и умении найти пример функциональной зависимости»*.

Развитие математической мысли последних десятилетий показывает, что теория множеств проникает почти во все области математических наук и успешно оказывает своё влияние на их дальнейшее развитие. Средняя школа, дающая абитуриентов высшим учебным заведениям, не может остаться в стороне от свойственного современной науке пути изучения теории функций. Необходимо перебросить прочный мост от изучения математики в средней школе к ее изучению в высшей школе. Изучение же функций в средней школе на основе понятий множества и соответствия возможно, так как эти понятия доступны учащимся.

Понятие множества в младших классах средней школы

Будучи первичным, понятие множества не поддается определению. Ознакомление учащихся с этим понятием должно протекать на конкретных примерах, вытекающих из практической деятельности человека.

Систематическое внедрение в сознание учащихся понятия множества может начинаться с V класса средней школы. Культивирование этого понятия на многочисленных примерах будет развивать у учащихся математическое и логическое мышление, способность мыслить отвлеченно.

Пусть под словом «множество» учащиеся сначала понимают столько, сколько они не могут сосчитать. Например, множество звезд на небе, множество людей на демонстрации и т. д. Дальнейшее развитие этого понятия естественно приведёт к тому, что под множеством учащиеся будут понимать не только «много» в смысле невозможности практически подсчитать число объектов, но и «мало» в смысле возможности практического подсчёта количества элементов множества (и даже ничего — пустое множество). Примерами множеств могут служить множество учащихся в школе или в классе, множество книг в библиотеке, множество людей в театре, множество автобусов в городе и т. п.

Наряду с понятием множества надо также культивировать понятие элемента множества. Элементы множества в сознании учащихся должны представляться как предметы, составляющие множество.

После того, как учащиеся на жизненных примерах освоятся с понятием множества и элемента множества, нужно вводить понятие подмножества как части множества. Например, из множества всех учащихся класса можно выде-

* Из газеты «Комсомольская правда», № 63(7312) от 17 марта 1949 г.

лить отсутствующих, отличников и т. д., как подмножества этого множества.

Понятие о взаимно однозначном соответствии

Одним из важнейших математических понятий является понятие соответствия. Еще в V классе учитель наталкивается на затруднения при решении таких задач, в которых нельзя обойтись без этого понятия. При изучении функций понятие соответствия является основным, однако этот вопрос в методической литературе не освещен.

Изучение понятия соответствия может протекать на примерах, взятых из жизни и практической деятельности человека. Лучше всего начинать из примеров, близких учащимся, разъясняющих лишь случай взаимно однозначного соответствия, т. е. такого соответствия между двумя множествами, когда каждому элементу одного множества соответствует один, и только один, элемент другого множества и, наоборот, каждому элементу второго множества соответствует один, и только один, элемент первого множества.

Укажем на взаимно однозначное соответствие между учащимися класса и номерками гардероба для хранения верхнего платья. Если каждый учащийся имеет свой номер в гардеробе, то мы можем записать:

Иванову соответствует № 1 Петрову „ №2

Сидорову „ № 3 и т. д.

Условимся взаимно однозначное соответствие

обозначать при помощи символа <---Тогда

наша запись примет следующий вид:

Иванову <---► № 1

Петрову <---* № 2

Сидорову <---► № 3 и т. д.

Надо ограничиться случаем, когда фамилия учащихся и номерки гардероба не повторяются. Это даёт возможность по каждой данной фамилии установить соответствующий номер гардероба и, наоборот, по каждому данному номеру гардероба установить фамилию ученика.

Понятие взаимно однозначного соответствия следует вводить, начиная с V класса. После того, как учащиеся будут иметь представление о натуральном ряде чисел и о множестве четных чисел, можно установить соответствие между числами этих множеств, что удобно представить в виде следующей схемы:

1 2 3 4 5 6 7 ......

2 4 6 8 10 12 14 ......

Оба ряда содержат бесконечное множество чисел, и каждому значению одного из них соответствует только одно число из другого ряда.

В V классе при изучении зависимости между компонентами первых четырех арифметических действий, а также при изучении изменения величины дроби с изменением ее членов представляется возможность на примерах иллюстрировать понятие соответствия. При этом желательно рассмотреть функции вида:

у = а-\-х, у — х ~ а, у = а — х, у — х:а, у=а:х.

В качестве примера рассмотрим функцию: у = a-j-x.

Пусть а = 5. Тогда у = Ъ-\-х.

Давая слагаемому х множество некоторых численных значений, получим множество соответствующих численных значений суммы у.

Пусть слагаемому х приписываются значения, образующие следующее множество чисел:

х = 1, 2, 3, 4, 5, ...

Тогда означенная сумма образует следующее множество чисел:

у = 6, 7, 8, 9, 10, ... Это можно представить в виде таблички:

1

2

3

4

5

...

6

7

8

9

10

...

Это же самое можно записать, пользуясь знаком соответствия:

1 <---> 6

2 <---> 7

3 <---* 8

4 <---* 9

5 <---* 10

Рассмотрение с учащимися достаточного количества подобных примеров приведет к тому,

что они осмыслят понятие соответствия, что в первую очередь ликвидирует те затруднения, которые стоят перед учителем математики при изучении задач, в решении которых нельзя обойтись без этого понятия.

Необходимо подчеркнуть, что хотя и рекомендуется в V классе рассматривать функции, но вводить термин «функция» нецелесообразно. Введение этого термина возможно после того, как учащиеся освоятся с понятием множества и соответствия, а также с буквенной символикой. В V же классе можно только начинать освоение учащимися как понятий множества и соответствия, так и буквенной символики.

В V классе можно познакомить учащихся с положительной частью числовой оси, установив сначала соответствие между элементами натурального ряда чисел и точками на прямой, а при прохождении дробей — между дробями и точками на прямой.

Проведем полупрямую АВ, приложим к ней линейку с делениями так, чтобы нулевое значение на линейке совпало с начальной точкой А, и будем на прямой АВ откладывать точки, находящиеся против чисел на линейке. Полученные точки прямой, обозначенные теми же числами, что и на линейке, отстоят от начальной точки А на столько сантиметров, какое число соответствует рассматриваемой точке (черт. 1).

Черт. 1

Мы можем нашу прямую продолжить вправо как угодно далеко и представить себе, что на ней отложены точки, соответствующие числам натурального ряда. Но натуральный ряд есть бесконечное множество чисел, следовательно, и на нашей прямой можно построить как угодно много точек, так что каждому числу натурального ряда будет соответствовать одна точка на прямой.

Итак, нами установлено соответствие между числами натурального ряда и множеством некоторых точек прямой АВ.

Это последнее множество есть часть (подмножество) множества всех точек прямой линии.

При изучении обыкновенных дробей желательно установить соответствие между правильными дробями и точками на прямой. Так как правильная дробь не может быть меньше нуля, то и точки, соответствующие правильным дробям, должны быть расположены на числовой прямой между начальной точкой и точкой, соответствующей единице. Так, например, дробям вида -i- при 2, 3,... будет соответствовать множество точек, находящихся на расстоянии -i— (лг = 1 2, 3) от начала отсчета (черт. 2).

Черт. 2

Взаимно однозначное соответствие прямой пропорциональности

Рассмотрим задачу: Поезд проходит за 1 час 60 км. Сколько километров он пройдет за 2 часа? за 4 часа? и т. д.

В задаче предположено, что поезд движется с постоянной скоростью, т. е. за каждый час времени проходит один и тот же путь, а именно v = 60 км.

Решение задачи представим в виде таблички, применяя следующие рассуждения:

Если за 1 час поезд проходит 60 км, то за

2 часа он пройдет путь в два раза больший, т. е.

5 = 60X2 = 120 км.

За 3 часа поезд пройдет путь в три раза больший, т. е.

s = 60X3 = 180 км.

За t часов поезд пройдет путь, в t раз больший, т. е.

s = 60X'. (1)

t

1

2

3

4

5

6

7

8

...

s

60

120

180

240

300

360

420

480

Мы можем сказать, что между множествами, значений времени t и пути 5 установлено соответствие, причем так, что каждому значению времени t соответствует одно и только одно значение пути s. Указанное соответствие выражается формулой (1).

Представим это соответствие, пользуясь следующей схемой:

1 2 3 4 5 6 / 8...

60 120 180 240 300 360 420 480 ...

Это же соответствие можно наглядно представить следующим образом. Проведем две параллельные прямые t и s. пользуясь удобным

для нас масштабом, отложим на них соответственно значения t и s, как это указано на чертеже 3.

Черт. 3

Далее, точку 1 на прямой t соединим стрелкой с соответствующей ей точкой 60 на прямой ty точку 2 на прямой t соединим стрелкой с соответствующей ей точкой 120 на прямой s и т. д.

Давая времени t как угодно много значений, мы получим как угодно много соответствующих значений пути s, т. е. решим как угодно много задач одного и того же типа.

Итак, каждой из отложенных на прямой t точек соответствует указанная стрелкой одна, и только одна, точка на прямой 5.

Из таблички видно, что каждому значению пути 5 соответствует одно, и только одно, значение времени t. Изобразим это соответствие схематически:

t 1 2 3 4 5 6 ...

^ 60 120 180 240 300 360 ...

Пользуясь двумя параллельными числовыми прямыми, представим это соответствие, как указано на чертеже 4*.

Черт. 4

Заметим, что стрелки на нашем чертеже имеют направление от множества значений пути s к множеству значений времени t.

Это соответствие выражается следующей формулой:

(2)

Соединив две наших схемы, получим чертеж 5.

Черт. 5

Этот чертеж наглядно выражает взаимно однозначное соответствие между множествами значений времени t и пути s.

Вернемся к нашей табличке.

Возьмем любую пару значений из множества /, например 3 и 6, и составим их отношение:

_3_ J_ 6 2

Далее, возьмем отношение двух соответствующих им значений из множества 5. Так как числу 3 соответствует 180, а числу 6 соответствует 360, то искомое отношение будет:

180__1_

360 - 2 "

Мы видим, что эти отношения равны. Это не случайно. Если мы составим отношение любых двух значений времени t, то получим число, равное отношению соответствующих значений пути s} что легко проверить, обратившись к табличке.

Из наших рассуждений вытекает, что, даже не зная значений пути s, можно найти их отношение по значениям времени t\ так, например, при t= 12 и t = 4 отношение соответствующих значений пути 5 будет равно 3.

Итак, для любых двух значений времени t всегда можно найти два соответствующих значения пути 5 и, кроме того, можно установить, что отношение двух значений времени t равно отношению двух соответствующих значений пути s.

Определение. Если между двумя числовыми множествами установлено взаимно однозначное соответствие, такое, что отношение двух любых чисел одного множества равно отношению соответствующих чисел другого, то это соответствие называется прямо пропорциональным.

Если при наличии прямо пропорционального соответствия между множествами произвольнее число одного из них увеличить (или уменьшить)

* На чертеже стрелки должны быть лишь вверху.

в несколько раз, то и соответствующее значение из другого множества увеличится (или уменьшится) во столько же раз. Так, например, при увеличении времени t в несколько раз и соответствующий путь 5 увеличится во столько же раз.

В практической деятельности человека часто приходится пользоваться свойствами прямой пропорциональности. Прямая пропорциональность существует между количеством товара и его стоимостью, между множеством рабочих (одинаковой квалификации) и получаемой ими заработной платой, между временем и количеством выполненной работы, между центральными углами и соответствующими им дугами и т. д.

Взаимно однозначное соответствие обратной пропорциональности

Рассмотрим задачу. С какой скоростью должно двигаться тело*, чтобы пройти расстояние в 360 км за 1 час? за 2 часа? за 3 часа? и т. д.

Решение задачи представим в виде таблички, пользуясь следующими рассуждениями:

если тело проходит расстояние в 360 км за 1 час, то его скорость v = 360 км/ч.;

Черт. 6

если тело проходит это же расстояние за 2 часа, то его скорость будет в два раза меньше, т. е.

360 -ОЛ v = -у = 180 км/ч.;

если тело проходит это же расстояние за 3 часа, то его скорость будет в три раза меньше, т. е. v = 120 км/ч.;

если тело проходит это же расстояние за t часов, то его скорость будет в t раз меньше, т. е.

(3)

1

2

3

4

5

е...

360

180

120

90

72

60 ...

Мы установили соответствие между множеством значений времени t и множеством значений скорости v. Это соответствие выражается формулой (3) и может быть представлено наглядно следующей схемой:

t 1 2 3 4 5 6 ...

v 360 180 120 90 72 60

Проведем на некотором расстоянии друг от друга две параллельные прямые t и v и, пользуясь подходящим масштабом, отложим на первой значения t, а на второй значения v, взятые из таблички.

Полученный чертеж (6) наглядно показывает переход числовых значений множества t в соответствующие числовые значения множества v. Кроме того, из чертежа видно, что чем больше значения времени, тем меньше соответствующие им значения скорости v.

Из таблички видно, что каждому значению скорости v соответствует одно, и только одно, значение времени t. Представим это соответствие схематически.

t 1 2 3 4 5 6 . . .

v 360 180 120 90 72 60 ...

Далее, пользуясь двумя параллельными прямыми, представим это соответствие, соединяя стрелками точки прямой v с соответствующими точками прямой t. Стрелки имеют направ-

* Под телом можно подразумевать самолет, поезд, автомобиль и т. д.

ление от множества значений скорости v к множеству значений времени t (черт. 7;.

Чертеж 7 показывает переход числовых значений множества v в соответствующие числовые значения множества t. Кроме того, из чертежа видно, что чем больше значения скорости v, тем меньше соответствующие значения времени i.

Черт. 7

Из формулы (3) можно выразить время t через скорость v:

(4)

Формула (4) выражает соответствие между числами множества v и числами множества t.

Черт. 8

Соединим обе схемы и получим чертеж (8).

На чертеже (8) представлено взаимно однозначное соответствие между множествами значений времени t и скорости v. Пользуясь табличкой, имеем:

значению времени £ = 3час. соответствует значение скорости v = 120 км; значению времени t = 6 час. соответствует значение скорости V = 60 км.

Возьмем отношения 3 к 6 и 120 к 60 и получим:

6 "~ 2 9 60

Одно из полученных отношений обратно другому. Если из любых двух значений времени t составим отношение, то получим число, обратное отношению соответствующих двух значений скорости vy что легко проверить, пользуясь табличкой.

Итак, отношение двух значений времени t обратно отношению двух соответствующих значений скорости г>.

Определение. Если между двумя числовыми множествами установлено взаимно однозначное соответствие, такое, что отношение двух любых чисел из одного множества обратно отношению соответствующих значений другого, то такое соответствие называется обратно пропорциональным.

Определение функции

В VI классе средней школы после изучения взаимно однозначного соответствия прямой и обратной пропорциональности можно дать учащимся определение функции, положив в основу определения понятия множества и соответствия.

Возьмем ранее полученную формулу:

5 = 60^,

которая выражает соответствие между множествами t и s, и дадим времени t множество значений:

/ = 0, 1, 2, 3,...

Тогда путь ^ примет множество соответствующих значений:

s = 0, 60, 120, 180, 240,...

В нашем примере мы имели множество числовых значений t = 0, 1, 2, 3, 4,... и с помощью формулы:

<? = 60£

получим другое числовое множество: 5 = 0, 60, 120, 180, 240,...,

причем такое, что каждому числу первого множества соответствует некоторое определенное число другого множества.

Если каждому значению из заданного множества (в данном случае t) поставлено в соответствие некоторое определенное значение из другого множества (в данном случае s), то говорят, что задана функция.

Заданное множество значений называется множеством значений аргумента или областью определения функции. Полученное же множество значений называется множеством значений функции.

Итак, функция определяется заданием множества значений аргумента и законом соответствия.

Рассмотрим формулу соответствия:

х + 4 = у, (5)

где х — есть слагаемое, а у — сумма. Пусть для х дано следующее множество значений:

х = 09 1, 2, 3, 4. 5,...

Тогда для суммы у получим следующее множество значений:

у = 4, 5, 6, 7, 8,...

Представим схематически установленное нами соответствие между значениями множества х и значениями множества у:

л: 0 1 2 3 4 ...

3/4 5 6 7 8 ...

Так как каждому числу заданного множества х при помощи формулы (5) поставлено в соответствие некоторое определенное значение другого множества у, то мы можем сказать, что задана функция:

у = х + 4.

Рассмотрим еще пример: 5-х = у.

Давая множителю х некоторые значения, получим соответствующие значения произведения у.

Пусть для х дано следующее множество значений:

*—0, 1, 2, 3, 4,...

Тогда для у получим множество соответствующих значений:

у = 0, 5, 10, 15, 20,...

В этом примере мы также, пользуясь формулой соответствия:

у — 5-х

и заданным множеством значений аргумента х, определили множество соответствующих значений функции у.

В наших примерах функция была выражена при помощи формулы. Теперь представим функцию в ином виде. Для этого составим табличку значений аргумента и функции последнего примера.

X

0

1

2

3

4

...

У

О

5

10

15

20

...

Здесь также представлена функция, но уже не формулой, а в виде таблички, путем непосредственного указания соответственных значений.

Функцию можно представить еще графически. Для этого возьмем две взаимно перпендикулярные числовые прямые Ох и Оу (черт. 9).

Черт. 9

На горизонтальной прямой отложим значения аргумента х, а на вертикальной прямой — значения функции Vi для чего предварительно надо выбрать удобные масштабы как для горизонтальной, так и для вертикальной прямой. Из полученных точек восставим перпендикуляры к осям до их пересечения. Рассмотрим точки пересечения перпендикуляров, восставленных к осям из соответствующих точек. При правильном построении точек они будут лежать на одной прямой. Эта линия дает графическое изображение данной функции.

Числовая ось

Проведем прямую АВ (черт. 10), возьмем на ней произвольную точку О и назовем ее начальной точкой. За единицу длины примем некоторый отрезок (равный например 1 см)

Черт. 10

и вправо от начальной точки отложим точки, соответствующие множеству чисел: + 1, "Ь^э -f-З,... а влево от начальной точки отложим точки, соответствующие множеству чисел: — 1, —2, —3,... Этим самым мы установили соответствие между множеством чисел -f2, -}-3,... и множеством некоторых точек прямой, расположенных вправо от начальной точки, и множеством чисел —1, —2, —3,... и некоторым множеством точек прямой, расположенных влево от начальной точки.

Дробные числа, как и целые, могут быть и положительными и отрицательными. Их также нужно изображать точками числовой прямой, расположенными правее или левее от начальной точки.

Прямая, служащая для изображения чисел, называется числовой прямой или числовой осью. Если точка М изображает некоторое число ky то это число, как известно, называется абсциссой данной точки М.

Установив соответствие между множеством рациональных чисел и некоторым множеством точек прямой, мы можем сказать, что каждому рациональному числу соответствует только одна точка прямой, разным числам соответствуют разные точки, причем большему числу соответствует точка, лежащая правее.

Численные значения алгебраических выражений

В VI классе при изучении буквенных выражений рассматривается вопрос о численных значениях буквенных выражений.

Этот материал также может служить цели раскрытия идеи функции.

Изучение этого раздела, с точки зрения понятия функции, даст возможность учащимся понять «язык алгебраических выражений», а это удалит учащихся от формального усвоения материала и приблизит их к его усвоению по существу.

Рассмотрим задачу. Первый рабочий вырабатывает в смену х деталей, второй вырабатывает в 3 раза больше, а третий—в 4 раза больше. Сколько деталей вырабатывают в одну смену все 3 рабочих?

Составим выражение:

х -f - Ъх -J- 4х = 8х

Его численное значение остается неопределенным до тех пор, пока мы не дадим какие-либо численные значения входящей в него букве х.

Давая величине х различные значения, будем получать различные значения для выражения 8л;.

Пусть дано, например, множество следующих значений х:

х = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...

Рассмотрим множество соответствующих значений рассматриваемого выражения:

8х = 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48,...

Мы видим, что значение алгебраического выражения изменяется с изменением значения входящей в него буквы х. Составим таблицу значений х и 8х.

X

0

1

2

3

4

5

6

...

0

8

16

24

32

40

48

...

Из таблички видно, что между элементами заданного множества значений х и элементами полученного множества значений 8х установлено соответствие, следовательно, х есть аргумент, а 8л: есть функция; заданное множество значений х есть множество значений аргумента, а множество значений 8х есть множество значений функции. Итак, алгебраическое выражение 8л: есть функция входящей в него буквы х.

Рассмотрим такую задачу: Бригада рабочих состоит из 2 человек; в другой бригаде на 7 человек меньше, а в третьей на 2 человека больше. Сколько всего рабочих в трех бригадах?

Составим выражение:

а-\-(а-7) 4-(а + 2) = « + а-7 +

+ а + 2 = За — 5

Дадим а следующее множество значений:

а з=6, 14, 17, 18, 24,

тогда получим следующее множество значений данного выражения:

За — 5= 13, 37, 46, 49, 67.

Здесь мы также имеем дело с численными значениями алгебраического выражения За — 5, которое является функцией аргумента а.

Рассмотрим еще такую задачу: Ширина участка земли равна 120 м, а длина его равна х. Какова площадь участка?

Формула площади участка будет:

5 = 120-х.

Пусть значения аргумента х образуют следующее числовое множество:

х = 0; 14; 17,5, 54,8; 120; 1452; 3854 м

Значения функции 120 х образуют следующее множество чисел:

120л: = 0; 1 680; 2100; 6 576; 14 400;

17424; 46248 кв-М.

Необходимо перед учащимися поставить следующий вопрос: при каком значении аргумента х функция 120 х будет равна 6 000 кв. м? Иначе говоря, при каком значении аргумента х будет иметь место следующее равенство:

120* = 6 000.

Учащиеся VI класса узнают в этой записи уравнение и, решив его, найдут значение х:

х = 500.

Наконец, рассмотрим следующую задачу: Вычислить полную поверхность куба, ребро которого равно а.

Воспользуемся формулой соответствия для вычисления поверхности куба:

5 = 6а2

Пусть аргументу а приписываются, например, следующие числовые значения:

а - 0, 1, 2, 3, 4,...

Тогда получим следующее множество соответствующих значений функции:

5 = 0, 6, 24, 54, 96,...

Легко установить, что соответствие между ребром куба и поверхностью куба не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью, на это необходимо обратить внимание учащихся.

Рассмотрение подобного рода задач расширит горизонт знаний учащихся VI класса и приведет к осмысливанию ими более широкого круга функций.

Учащиеся должны приобрести практику в упражнениях на вычисление численных значений алгебраических выражений на более трудных примерах, причем желательно в полной мере использовать этот материал как для развития понятия функции, так и для решений простейших уравнений.

Примеры из задачника Н. А. Шапошникова и Н. К. Вальцова, ч. 1 (издание 19 >8 г., гл. 1, § 2, 8, 9), могут служить материалом для упражнений с функциональной точки зрения. Для этого надо одной из входящих в алгебраическое выражение букв давать некоторое числовое множество значений, при данных значениях остальных букв. В качестве примера рассмотрим задачу № 251: Из двух пунктов выходят одновременно друг другу навстречу два поезда со скоростью а и b километров в час и встречаются через t часов. Каково расстояние между пунктами?

Составим формулу соответствия:

s = at+bt = t(a + b)

s = t-(a + b) (6)

Пусть

t = 0, 1, 2, 3, 4,...

множество значений времени t.

Тогда, пользуясь формулой соответствия (1), получим множество соответствующих значений пути:

s = 0; a+b; 2-(a-f b)\ 3-(a + ft); 4.(a-f&);... Составим табличку значений величин ins

<<•

i

1

2

3

4

5

...

5

I

0 a+b

2(a + b)

3(я + &)

4(a + b)

5(я + *)

...

Соответствие между значениями заданного множества t и значениями найденного множества s указывает на наличие функции 5, аргументом которой является время t.

Приведенную задачу можно упростить, приняв скорость поездов одинаковой. Дальнейшее упрощение можно сделать, взяв конкретную скорость поездов, например:

а = b = 50 км.

Тогда при t = Q, 1, 2, 3,...

будем иметь: s = 0, 50, 100, 150, 200,...

Вкладывая в буквенные выражения их функциональное содержание, учитель дает возможность учащимся видеть в них числовой смысл. И на основе взаимосвязи между элементами буквенного выражения должна совершенствоваться техника алгебраических преобразований.

В разделе программы VI класса «Графики температуры, перевода одних мер в другие и т. п.» можно дать учащимся понятие о прямоугольной системе координат. С методической стороны этот вопрос не вызывает затруднений. Затруднением является недостаточное количество времени, отведенного в программе на тему «Относительные числа». Помимо изучения системы координат, в этой теме много времени занимают понятие о числовой оси и вычисление расстояния между двумя точками на прямой, численные значения буквенных выражений и решение простейших уравнений. Только недостаток времени может заставить начать изучение системы координат не в VI, а в VII классе при прохождении темы «Пропорции».

Заключение

Настоящая статья написана в порядке обсуждения. Опыта изучения функций в средней школе на основе понятий множества и соответствия еще нет. Поэтому неизбежно должны быть методические улучшения по мере применения в школе предлагаемого материала. Автор просит присылать (на имя автора статьи) в редакцию журнала «Математика в школе» замечания и методические разработки по затронутым вопросам.

Учитель может пользоваться материалом статьи частично, в зависимости от наличия времени и других возможных причин, препятствующих полностью осуществить изложение материала о функциях, как рекомендует статья.

Так, например, при изучении взаимно однозначного соответствия прямой и обратной пропорциональности можно опустить изложение о наглядном представлении соответствия при помощи чертежей с параллельными прямыми и стрелками между ними.

Необходимо также считать, что вопрос об изложении определения функции в VI, а не в каком-либо другом классе еще нельзя считать окончательно решенным. Желательно и по этому вопросу слышать мнение учителей-практиков.

Для изучения вопроса о пропедевтическом ознакомлении учащихся с идеей функции на основе понятий множества и соответствия можно рекомендовать следующую литературу:

1. Журнал «Математика в школе», 1947, № 4, статья проф. А. И. Маркушевича «Понятие функции».

2. Журнал «Математика в школе», 1946, № 5—6. статья С. И. Новоселова «Учение о функциях в средней школе».

3. Журнал «Математика в школе», 1947, № 3, статья А. Н. Барсукова «Первые уроки алгебры».

4. М. К. Гребенча и С. И. Новоселов «Курс математического анализа», том I, Учпедгиз 1948.

5. П. С. Моденов и Г. Л. Невяжский, «Курс высшей математики», изд. Гостехиздат, 1948.

6. А. Н. Барсуков, «Уравнения первой степени в средней школе», Учпедгиз, 1944.

7. А. Н. Барсуков, Сборник задач по алгебре для педагогических училищ, Учпедгиз, 1948.

8. А. И. Маркушевич, Действительные числа и основные принципы теории пределов, изд. Академии педагогических наук РСФСР, 1948.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ МЕТОДОМ ПОДОБИЯ

А. Д. СЕМУШИН (Москва)

I.

Условия геометрических задач на построение, решаемых методом подобия, в большинстве случаев удается разделить на две части: на условия, определяющие форму искомой фигуры, и условия, определяющие ее линейные размеры. Чтобы полнее раскрыть мысль, что существуют условия, определяющие только форму фигуры, полезно решить с учащимися несколько задач на построение треугольников по условиям, заключенным в теоремах о равенстве и подобии треугольников.

Построив треугольник по двум сторонам и углу, заключенному между ними, учащийся убеждается, что хотя треугольники, определяемые этими условиями, могут занимать различное положение, но все они равны между собой.

С другим положением вещей учащийся встретится, если будет строить треугольники по отношению двух сторон и углу, заключенному между ними. Один из треугольников, удовлетворяющих заданному условию, можно построить следующим образом. Если задано отношение сторон Ь:с = т:п, то, приняв произвольный отрезок 5 за общую меру, построим отрезки, содержащие общую меру тип раз, которые соответственно можно принять за стороны b и с. Задача свелась к построению треугольника по двум сторонам и углу, заключенному между ними (черт. 1). Но так как отношение сторон не зависит от выбора общей меры, то указанным способом можно строить бесконечное множество различных треугольников, удовлетворяющих условию. Построенные треугольники будут разных размеров, но все они подобны. В этом смысле и говорят, что треугольники имеют одинаковую форму.

С аналогичной картиной учащийся встретится при построении треугольников по стороне и двум углам, прилежащим к ней, или только

по двум углам; по трем сторонам или только по отношению трех сторон.

Для многоугольников в ряде случаев можно указать достаточные условия, при выполнении которых многоугольники подобны. При построении параллелограма по отношению сторон a:b = т: п и одному из углов, прямоугольника—по отношению сторон а :b = т:п, ромба—по одному из его углов учащиеся сами убедятся, что поставленные требования достаточны для подобия данных фигур. Эти условия будут в задачах на построение определять форму указанных многоугольников.

Черт. 1

Приведенные задачи должны наглядно показать, что есть условия, которые определяют лишь форму фигуры и не определяют ее линейных размеров. Одновременно учащиеся должны научиться строить по отношениям линейных элементов и углам хотя бы одну фигуру из всего множества подобных фигур, определяемых заданными условиями. Только после этого, как показал опыт, следует переходить к решению собственно задач на построение методом подобия.

II.

Построение вспомогательных фигур по условиям основных признаков подобия

Решение задач на построение методом подобия состоит из двух частей: построение вспомогательной фигуры, подобной искомой, и построение искомой фигуры по одной из вспомогательных, поэтому было бы методически правильнее в первых задачах задавать такие условия обеих частей, которые наиболее просто определяют как форму искомой фигуры, так и ее линейные размеры. Усложнение условий задач в дальнейшем можно вести по двум направлениям: либо оставлять без изменения условия, определяющие форму искомой фигуры, и разобрать ряд приемов, позволяющих по различным условиям задач определять ее линейные размеры, либо оставлять без изменения условия, определяющие линейные размеры искомой фигуры, и менять лишь условия, определяющие форму фигуры. Усложнение условий обеих частей одновременно, как это делается в задачнике Рыбкина, вызывает у учащихся затруднения, которые можно и должно избегать. Предпочтительнее идти сначала по линии усложнения условий, определяющих размеры искомой фигуры, и только после того, как учащиеся освоятся с подобием вообще, показать, что существует ряд других условий, определяющих форму искомой фигуры.

А. Задачи с непосредственно заданными основными линейными элементами

Линейные размеры искомой фигуры, после того как определена ее форма, проще всего определяются, когда непосредственно задан один из основных ее линейных элементов. При этом под основными линейными элементами треугольника будем понимать его стороны, высоты, медианы, биссектрисы, радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружностей.

В этом наиболее простом случае искомая фигура получается подобным преобразованием одной из вспомогательных фигур до размеров, определяемых заданным линейным элементом. Рассмотрим, как проводятся в этом случае построения.

Задача 1. Построить треугольник, если дано: а:Ь:с = т:п:р и Ьа.

Пусть &АВ1С1— один из треугольников, подобных искомому, ADl — b'a — биссектриса угла А (черт. 2). Подобное преобразование ^АР1С1 в искомый по биссектрисе проводится следующим образом. Принимаем вершину А за центр подобия и откладываем на биссектрисе или на ее продолжении биссектрису искомого треугольника нО = Ьа; через точку D проводим прямую ВС \\ г1С1 до пересечения со сторонами Ьх и сг или с их продолжением. Треугольник ABC—искомый.

Черт. 2

При выполнении подобных преобразований перед учащимися сразу же надо поставить

вопрос о наиболее рациональном выборе центра подобия. Для подобного преобразования треугольника по сторонам, биссектрисам, медианам или высотам за центр подобия удобно принимать одну из вершин треугольника. При выполнении подобных преобразований по радиусам вписанной, описанной и вневписанной окружностей центром подобия могут служить центры окружностей. Чертежи 3 и 4 наглядно показывают, как выполняются подобные преобразования треугольников по радиусу R описанной и радиусу р внерписанной окружностей, а на чертеже 5 — ромба по радиусу г вписанной окружности.

Черт. 3 Черт. 4 Черт. 5

К задачам этого раздела относятся следующие:

1. Построить треугольник, если дано: углы А и В и один из основных линейных элементов.

2. Построить треугольник, если дано: а:Ь = = т:п, угол С и один из линейных элементов.

3. Построить треугольник, если дано: а:Ь:с = — т\п\р и один из линейных элементов.

4. Построить параллелограм, если дано: а:Ь = т:п, угол А и один из линейных элементов.

К этим наиболее простым задачам (как будет видно далее) сводится любая задача на построение, решаемая методом подобия, после того как определилась фигура, подобная искомой. И поэтому на первом этапе решения задач на построение необходимо добиться,

чтобы учащиеся ясно представляли и без труда выполняли подобные преобразования вспомогательной фигуры в искомую по любому из основных линейных элементов искомой фигуры.

В. Задачи с косвенно заданными линейными элементами

Круг задач становится разнообразнее, если условия, определяющие форму искомой фигуры, оставим без изменения, а условия, определяющие линейные размеры искомой фигуры, будем задавать косвенно.

Решение этих задач всегда можно свести к построению искомой фигуры подобным преобразованием вспомогательной фигуры по одному из основных линейных элементов искомой фигуры, определяемых в ходе решения задачи. Рассмотрим следующие группы задач данного типа.

Первая группа. Задачи, в которых условия, определяющие линейные размеры, заданы суммой любого числа линейных элементов или Разностью двух линейных элементов искомой фигуры.

Условия задачи в этом случае позволяют непосредственно определить один из линейных элементов искомой фигуры, заданных в сумме или разности. Рассмотрим на примерах, как выполняются в этом случае построения.

Задача 2. Построить треугольник, если дано: а:Ь = т:п, Си сумма отрезков ha + ma + bA = t.

Черт. 6

Пусть Д АВ1С1 (черт. 6) — один из треугольников, подобных искомому. Построив во вспомогательном треугольнике

А'. Ъ\ и т',

найдем их сумму:

В подобных треугольниках:

а по свойству ряда равных отношений имеем:

Из последней пропорции видно, что любой из линейных элементов, заданных в сумме t, является четвертым пропорциональным к отрезкам t, V и соответственно одному из отрезков fiai b'A, та. На черт. 7 определяется медиана та> по которой и проведено подобное преобразование Д АВ1С1 в искомый треугольник ABC (черт. 6),

Черт. 7

Аналогично определяется один из основных линейных элементов, если он задан в сумме любого числа прочих линейных элементов. Чтобы облегчить учащимся понимание этих задач следует в ходе текущих упражнений доказывать, что в подобных треугольниках сходственные медианы, биссектрисы, радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружностей пропорциональны сходственным сторонам, не ограничиваясь теоремой учебника о пропорциональности сходственных высот.

Задача 3. Построить треугольник, если даны А, В и отрезок т'а— ha = t.

Как и в предыдущей задаче, из вспомогательного треугольника АВ}С} (черт. 8) находим то и h'a. Из подобия вспомогательного Д АВ1С1 и искомого £\АВС имеем:

Черт. 8

На чертеже 9 показано определение ha, по которой подобным преобразованием вспомогательного треугольника получен искомый треугольник АЬ С (черт. 8).

Черт. 9

К этому же типу задач относятся задачи на построение квадрата, ромба, прямоугольника, параллелограма по сумме и разности диагоналей и сторон, если определена форма искомой фигуры. Многообразие различных комбинаций сумм и разностей линейных элементов как для треугольника, так и для многоугольников дают преподавателю неограниченные возможности для составления интересных задач.

Вторая группа. Задачи, в которых одна из фигур определенной формы вписывается в другую фигуру определенного размера. Разберем решение этого типа задач на примере.

Задача 4. В данный треугольник вписать параллелограм с острым углом а и отношением сторон а:Ь = т:п так, чтобы две его вершины находились на основании, а две другие вершины — на боковых сторонах.

По условию задачи можно построить бесконечно много параллелограмов, подобных искомому. Из всех этих параллелограмов требуется определить тот, который вписан в данный треугольник abc (черт. 10). Для этого опишем около параллелограма E1f71Q1Hli подобного искомому, треугольник АВ1СХ, подобный данному. Принимая далее за центр подобия любую из вершин треугольника, например вершину Л, преобразуем получившиеся треугольник и параллелограм до требуемых размеров. При этом коэфициент подобия и размер искомого парал-

Черт. 10

лелограма efqh определяются размерами вспомогательного и данного треугольников.

Задача с параллелограмом охватывает большую группу задач на вписание. Так, полагая т — п и а - 90°, или тфп и а = 90°, или т = п и а =^=90°, получим соответственно решение задач на вписание в треугольник квадрата, прямоугольника, ромба.

Далее, если вместо параллелограма и пр. брать их части, то получим способ решения задач на вписание в данный треугольник треугольника определенной формы. Последняя задача имеет бесконечное число решений и становится определенной, если будет задано направление одного из элементов вписываемого треугольника.

Наконец, этим методом решаются задачи на вписание всех перечисленных фигур в круговой сектор или сегмент. На черт. 11 показаны построения при решении задач последнего типа.

Черт. 11

Третья группа. Задача, в которых линейные размеры искомой фигуры задаются произведением двух линейных элементов.

При прежних условиях, определяющих подобную фигуру, задача часто сводится к определению линейных элементов искомой фигуры по произведению двух ее линейных элементов. Пусть, например, дано произведение основания треугольника на высоту: aha — k2.

Условия задачи и в этом случае дают возможность определить непосредственно любой из элементов: а или ha.

По линейным элементам а' = ВЛС и ha — = вспомогательного треугольника A}BVC,

форма которого определена (черт. 12), строим отрезок kf = CKx (черт. 12-а), как средний пропорциональный к отрезкам а' = СВг и K = chv

Имеем:

гх ^ a k 1га к

Из пропорций: —,- »-р- и —определяем а = С5, как отрезок, четвертый пропорциональный к трем известным: k = СК, k' = CKl9 а, = СВ1 (черт. 12-а), или Ла по известным отрезкам k, k\ h'a. На чертеже 12 показано подобное преобразование треугольника АхВлС в искомый треугольник ABC по стороне а=СВ.

Черт. 12

Черт. 12-а

Наиболее важными задачами этого типа являются задачи на построение треугольника определенной формы по заданной величине его площади, или треугольника, равновеликого данному квадрату.

Четвертая группа. Задачи, в которых линейные размеры искомых фигур задаются разностью квадратов двух или суммой квадратов любого числа линейных элементов.

Пусть, кроме условий, определяющих форму искомого многоугольника, нам задан еще отрезок k, определяемый, например, соотношениями:

k*=a2 — b2

k*=:a2 + b* + c*-\-fi*

Как и в предыдущей задаче, из соотношений:

k\ = a\-b\

или

k\ = a* + b\ + c\+h\

по сходственным элементам аи Ьъ cv hx одной из вспомогательных фигур можно построить отрезок klf сходственный заданному отрезку k.

Отрезки k и kx будут пропорциональны сходственным сторонам, так как в подобных многоугольниках имеют место следующие соотношения:

Последние равенства дают возможность построить один из линейных элементов искомой фигуры и провести подобное преобразование вспомогательной фигуры в искомую по одному из ее линейных элементов, определившихся в ходе задачи, или прямо по коэфициенту подобия ~- == kQ.

Из задач конкретного содержания этого типа представляет интерес построение многоугольника определенного вида по сумме площадей квадратов, построенных на его сторонах.

III.

Построение подобных фигур не по основным признакам подобия

Решение задач на построение методом подобия не ограничивается построением фигур, подобных искомой, по условиям, вытекающим из основных признаков подобия. Существует ряд других условий, по которым можно построить фигуру, подобную искомой. Разберем некоторые из этих условий.

Для определения условий подобия треугольников возьмем те (и только те) линейные элементы и углы и те соотношения между ними, которые определяют треугольник, и притом только один.

При поставленных ограничениях для подобия треугольников достаточно пропорциональности трех соответственных линейных элементов, или пропорциональности двух соответственных линейных элементов и равенства углов между двумя любыми соответственными линейными элементами, или равенства двух углов между соответственными линейными элементами. В самом деле, для каждого возможного в треугольнике соотношения т:п:р между заданными элементами /, t, f:

lit :/= т\п\р или /: t = — т\п — отрезки ms, ns и ps

или отрезки ms, ns и угол (где 5 — общая мера заданных линейных элементов) определяют треугольник, и притом только один. Все треугольники с линейными элементами, пропорциональными заданным, будут подобны, так как они могут быть получены подобным преобразованием первого.

Допустим, например, что существует &АгВгС19 определяемый элементами 1Ъ tu fv пропорциональными линейным элементам /, t, f треугольника ARC, и он не может быть получен подобным преобразованием Д ЛВС. Преобразуем тогда ДЛ5С с коэфициентом подобия:

и получим Д Л2В2С2, у которого

Сравнивая две последние пропорции, видим, что существует второй треугольник Л2в.,С2 с линейными элементами (определяющими его), равными соответственным элементам Д \лВгСг, и не равный ему. Последнее противоречит поставленным ограничениям, что заданные элементы определяют олин, и только один, треугольник.

В задачах на построение отношения линейных элементов, удовлетворяющих поставленным ограничениям, и углы будут определять форму иском й фигуры. Рассмотрим несколько типичных задач.

Задача 5. Построить треугольник, если дано та:тс:Ь*=т\п\р и Ь.

Черт. 13

Из построения (черт. 13) видно, что линейные элементы та, тс и Ы, соответственно равные msy ns и ps, определяют один треугольник AB-fi^. По доказанному, все остальные треугольники с линейными элементами, пропорциональными т'а, т'с и Ь1, будут подобны ДЛ/?^. Треугольник ABC, полученный подобным преобразованием /\А1В1С1 по стороне Ь9

— искомый треугольник. Задача имеет единственное решение, если

Черт. 14

Задача 6. Построить треугольник, если дано с:г = т:п, А и Ьа.

Радиус вписанной окружности r1=nsi сторона cx=ms и угол А определяют треугольник АРгСЛ (черт. 14). Искомый треугольник ABC получается подобным преобразованием вспомогательного треугольника АВ1С1 по биссектрисе ba=AD. Задача имеет единственное решение при £>rctg-^-.

Задача 7. Построить треугольник, если дано: a:b:hb= т:п:р и Ь.

Линейные элементы: ar — ms, b' = ns, h'b = = ps определяют, вообще говоря, два вспомогательных треугольника: остроугольный /\АВгСх и тупоугольный /\АВ2Сг (черт. 15). Подобным преобразованием обоих треугольников из центра подобия А по стороне b получим два треугольника: Д ABC и /\АВ0СУ удовлетворяющих заданным условиям. Задача имеет два решения при т^>р, одно решение при т—р> не имеет решений при т<^р-

Черт. 15

Большую группу задач составляют задачи, в которых фигура, подобная искомой, определяется только углами между линейными элементами треугольника.

Задача 8. Построить треугольник, если дано $ = ^{ЬаЬе), а = ^(ЛА) « Ь.

Черт. 16

Пусть а и Р будут острые углы (черт. 16), тогда:

Решив полученную систему линейных уравнений относительно А и С, получим:

С= 180° —2а; А = 2(3-j-2а — 180°.

По полученным формулам легко построить углы Л и С, а по углам и треугольник, подобный искомому. Полученный вывод показывает на возможность построения треугольника, подобного искомому, по двум независимым углам между линейными элементами (указанными в задаче). Однако предпочтительнее по заданным углам строить сразу искомый треугольник, не производя предварительного построения углов в отдельности. На чертеже 16 стрелками показан ход построения в этом случае; перпендикуляр A4N играет вспомогательную роль и служит для построения углов а и Задача имеет одно решение: /\АВС, полученный подобным преобразованием вспомогательного треугольника АВ^Сг по стороне Ь.

Углы между медианой и другими линейными элементами не являются линейными функциями углов треугольника. Так, угол между медианой ть и стороной b (черт. 17) выражается формулой:

(1)

Пусть в этом частном случае задан еще угол В. Решение тригонометрического уравнения (1) в общем виде даст выражение углов треугольника через синус и косинус заданных углов. Хотя заданные условия и определяют треугольник, подобный искомому, но построение его с помощью циркуля и линейки в общем случае произвести нельзя. Вывод носит общий характер для всех задач, в которых заданы углы между медианой и любым из линейных элементов. Исключением будут случаи, когда для построения удастся воспользоваться свойством медианы треугольника.

Черт. 17

Задача 9. Построить треугольник, если дано: /_(тьс)у £ (jnba) и Ь.

Заданные условия определяют направление сторон а, с и медианы ть. Согласно определению медианы, она делит противоположную сторону пополам; проведем отрезок АСг — Ьг так, чтобы при пересечении с медианой треугольника АВ1С1 он делился пополам в точке D. Отрезок АС\ будет диагональю параллелограма, построенного для произвольной точки луча BXD на сторонах угла АВ^ (черт. 18). Задача имеет одно решение, если / mhc -f--f /_ m^a<180°.

Черт. 18

Условия, определяющие в задачах на построение методом подобия форму многоугольника, могут задаваться, как и для треугольника, отношениями линейных элементов многоугольника и углами.

Не всякие произвольно заданные отношения линейных элементов, или отношения и углы, или только углы легко дают возможность построить фигуру, подобную искомой. Ниже приводится список условий, по которым сравнительно просто можно построить фигуру, подобную искомой, как для треугольников, так и для многоугольников:

а) для треугольников:

Ь) для трапеции:

с) для параллелограма:

Звездочками отмечены те случаи, когда заданные элементы определяют один многоугольник.

Каждое из приведенных условий может быть принято за признак подобия. Учащиеся с интересом узнают о существовании новых признаков подобия. Но сейчас же уместно поставить вопрос о целесообразности загромождать память запоминанием каких-либо иных признаков подобия, кроме трех основных.

Приведенные в этом списке условия определяют в задачах на построение фигуру, подобную искомой. Прибавляя к любому из этих условий сначала линейные элементы искомых фигур, заданные непосредственно (как это сделано в задачах 5, 6, 7, 8 и 9), мы на простых задачах покажем учащимся новые условия подобия фигур. Прибавляя далее к этим условиям условия, косвенно определяющие линейные размеры искомых фигур, мы получим большой выбор как простых, так и сложных задач на построение, решаемых методом подобия.

Невозможно перечислить все условия, определяющие подобие фигур. Поэтому при решении задач на построение методом подобия надо приучать учащихся различать условия, определяющие форму искомой фигуры, и условия, определяющие линейные размеры. Следует обратить внимание учащихся, что отношения линейных элементов и углы определяют форму искомой фигуры, а линейные элементы, заданные в длинах или отрезками, определяют ее размер. Разумеется, что форму треугольника определяют только три его линейных элемента. Пусть, например, даны три высоты треугольника; так как aha = bhb = chc, то проведя из точки М (черт. 19) три секущих МЛ, MB, МС, соответственно равных высотам hQ, hb и hc, имеем: MAvha =- MHx-hb = МС -hc. Отрезки MA, AW, МС будут соответственно сторонами лп ftp сг одного из треугольников, подобных искомому. И.комьй треугольник получается из вспомогательного подобным преобразованием по одной из высот.

Черт. 19

Применение метода подобия не ограничивается типами задач, перечисленными выше. Метод подобия часто входит как составная часть в решение целого ряда задач, требующих совместного применения нескольких методов. Такие задачи наиболее богаты материалом, развивающим сообразительность и геометрическое мышление учащегося, в то время как первые две группы задач вводят учащегося в метод подобия. Подобные преобразования при решении этих задач играют вспомогательную роль, проводятся уже разобранными методами и ничего принципиально нового не прибавляют.

Учитель должен использовать задачи этого типа для повторения с учащимися ранее пройденных методов решения задач на построение, указать учащимся на возможные случаи совместного применения нескольких методов при решении одной задачи.

Так, при решении задачи: «вписать в угол окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через данную точку внутри угла»,— следует указать учащимся на применение при решении этой задачи метода геометрических мест. Взаимосвязь различных методов становится более глубокой и неразрывной при решении более сложных задач, выбор которых не ограничен в имеющихся задачниках.

IV.

Выбор центра подобия

Выбор центра подобия является ответственным шагом при решении задач на построение методом подобия. Для сколько-нибудь полного овладения методом полезно разобрать с учащимися существо этого вопроса.

После построения вспомогательной фигуры определится отрезок, сходственный заданному отрезку, определяющему размер искомой фигуры. Но раз известны два сходственных отрезка, значит, известен коэфициент подобия для искомой и вспомогательных фигур и подобным преобразованием всегда можно получить искомую фигуру из вспомогательной, независимо от того, где выбран центр подобия.

Если коэфициент подобия задан числом, то подобное преобразование вспомогательной фигуры в искомую с произвольным центром подобия проводится обычным способом.

Если коэфициент подобия задан сходственными отрезками, например отрезками / в искомой фигуре и HXFX во вспомогательной (черт. 20), то и в этом случае подобное преобразование относительно просто проводится с произвольным центром подобия. Пусть О — центр подобия. Строим отрезок ОВ как четвертый пропорциональный к трем известным /, Нгт\ и ОВ. Искомая фигура после этого определяется.

Задача 10. Построить треугольник, если известны углы А и С и отрезок I, отсекаемый медианой ть и высотой Ьь на стороне

Черт. 20

Пусть /\Л1ВХС1 (черт. 20) будет один из треугольников, подобных искомому, а отрезок = 1Х — отрезок, отсекаемый медианой и высотой на стороне bv Проведем подобное преобразование Д А1В1С1 в искомый с центром подобия в точке О. Для этого дополнительным построением (черт. 21) определяем отрезок OB=F2M как четвертый пропорциональный к отрезкам l = H2h\\ 1^ = H2F3 и ОВг = Р3Мг. Точка В служит вершиной искомого треугольника, после чего определяется и весь искомый треугольник ABC.

Черт. 21

Общий способ подобного преобразования с произвольным центром подобия указывает лишь на разрешимость задачи, но его не всегда выгодно применять, и при выборе центра подобия следует руководствоваться следующими соображениями.

Если основной линейный элемент искомой фигуры задан непосредственно или легко определяется из условия задачи, то центр подобия удобно брать так, чтобы заданный линейный элемент искомой фигуры и сходственный элемент вспомогательной фигуры имели общую концевую точку при одном из возможных перспективных расположений искомой и вспомогательной фигур.

Одинаково удобно, например, принять за центр подобия при подобном преобразовании Д АВ1С1 (черт. 2) из задачи 1 как точку Л, так и точку D. Последнее преобразование показано на черт. 22. Подобные преобразования Д А1В1С1 (черт. 3) по радиусу описанной окружности одинаково удобно проводятся как из общего центра обеих окружностей, так и из любой вершины Д А1В1С1. Подобные преобразования в обоих случаях показаны на черт. 3 и черт. 23.

Черт. 22

Черт. 23

Любую из разобранных задач можно свести к подобному преобразованию вспомогательной фигуры в искомую по одной из сторон искомой фигуры, так как сходственные элементы подобных фигур пропорциональны сходственным сторонам.

Черт. 24

На черт. 24 показано подобное преобразование треугольника АВ1С1 в искомый из задачи 10 по стороне c = mf2, определяемой

вспомогательным построением на черт. 25 по отрезкам /=//2^2, l\b=iFl2Fl и стороне сг = = F,MV

Черт. 25

Следует, однако, иметь в виду, что не всегда выгодно определять стороны искомого треугольника дополнительным построением, так как условия задач часто позволяют провести последнее построение на одном и том же чертеже одновременно с подобным преобразованием.

На чертеже 26 показано решение задачи 10 без дополнительного построения. В данном случае удобно воспользоваться готовым углом ВИгС. Отложив от /У, отрезок H}F = /, определяем сначала высоту ВН1 — hb. Искомый треугольник получаем подобным преобразованием i\ AxBiCl по высоте hb из центра подобия Hv

Черт. 26

Из сказанного ясно, что относительная простота решения задачи зависит и от того, насколько удачно выбран центр подобия для преобразования вспомогательной фигуры в искомую. Знание общих методов должно вселить в учащихся уверенность в разрешимости задачи, и при решении задач следует лишь приучать учащихся находить наиболее простые и оригинальные решения.

Возвращаясь к задаче 10, видим, что наиболее простым решением ее в смысле построений будет следующее. На А1С1 (черт. 27) в сторону Л, откладываем отрезок H2F1=l, проводим Н2Н || BFX до пересечения с про-

должением ВН1 и, наконец, через точку Н проводим АС || А1С1 до пересечения с продолжением сторон АХВ иС^. Треугольник ABC — искомый, так как отрезок HF между медианой и высотой равен заданному и треугольник имеет заданную форму.

Черт. 27

V.

Работа с классом

За четыре-пять часов, которые обычно отводятся преподавателем на решение задач на построение методом подобия, невозможно разобрать всех задач и приемов решения, приведенных в данной статье. Делом преподавателя является распределение прохождения всего материала на длительное время, по мере прохождения соответствующих разделов программы.

Ниже приводится примерный план преподавания решения задач на построение методом подобия, с минимальным охватом разобранного материала.

1-е занятие. Ознакомление с условиями, определяющими форму и размеры фигур.

Упражнения. Задачи I раздела статьи.

2-е занятие. Содержание задач на построение, решаемых методом подобия.

Упражнения. Задачи П-А раздела статьи.

3-е занятие. Решение задач, в которых размеры искомых фигур определяются линейными элементами, заданными непосредственно.

Упражнения. Задачи П-А раздела статьи.

4-е занятие. Решение задач с косвенно заданными условиями, определяющими размеры искомых фигур.

Упражнения. Задачи №№ 2, 3, 4, 10 из текста статьи с различными комбинациями сумм и разностей пропорциональных отрезков в треугольнике и многоугольнике; Рыбкин, задача № 20 из § 9.

5-е занятие. Ознакомление с новыми признаками подобия и новыми условиями, определяющими фигуру, подобную искомой.

Упражнения. Задачи №№ 3, 4, 9—11, 1,6, 17, 19, 21, 23, 24, 29, 5, 27, 28, 41-43, 46 из списка условий подобия в сочетании с различными условиями, определяющими размеры искомой фигуры.

Из пяти занятий, рассчитанных приведенным планом, только занятия 2, 3 и 4 полностью отводятся изучению метода и приемов решения задач. Для занятий 1 и 5 достаточно отвести 15—20 минут текущих уроков. При этом первые три занятия проводятся последовательно одно за другим, а занятия 3, 4 и 5 проводятся с перерывами в три-пять уроков. Перерывы нужно для того, чтобы учащиеся за этот период успели в домашних условиях перерешать достаточное число задач.

Дальнейшее совершенствование и овладение методом следует вести на конкретных задачах, решаемых учениками дома, с последующей проверкой и разбором их в классе, параллельно с прохождением нового материала.

Для повседневного контроля за работой учащихся и выяснения понимания учащимися изучаемого материала можно с пользой для дела проводить 15-минутные контрольные работы. Удобно также включать задачи на построение в текущие контрольные работы.

Полезным видом домашних заданий при прохождении этой темы является решение задач на построение, выполняемых на Форматках тушью, с последующей проверкой и оценкой выполненных учащимися работ. Решение задач, выполняемых на форматках, требует от учащихся точного и последовательного выполнения всех построений, раскрывает понимание ими задач, повышает культуру решения задач на построение. По данной теме полезно выполнить две форматки: 1) построение треугольников, в которых форма определяется условиями основных признаков подобия, а размеры — линейными элементами заданными непосредственно; 2) решение сложной задачи с дополнительными построениями, определяющими один из основных линейных элементов по косвенно заданным условиям. Эффектной задачей для второй форматки является задача № 36 или № 37 (из списка задач).

Для более полного и ясного понимания задач на построение методом подобия необходимо привлекать самих учащихся к составлению задач, пусть даже не новых вообще, но новых для учащихся. Так, например, надо рекомендовать составление задач, в которых форма искомой фигуры определяется или только двумя различными углами, или только отношением двух линейных элементов и углом, или только отношением трех линейных элементов. Опыт показал, что учащиеся с интересом относятся к этому виду самостоятельных работ. Задачи №№ 8, 27, 37 из приложенного списка задач были предложены учащимися.

Наконец, следует отметить, что изучение метода подобия не должно ограничиваться программным материалом, изучаемым в VIII классе. В IX и X классах следует вновь возвращаться к методу подобия. В IX классе, например, не лишне дать задание по вычерчиванию форматок на построение правильных многоугольников по заданной стороне. Удобно применять метод подобия в IX классе при решении задач, в ходе которых приходится вписывать многогранник в многогранник, многогранник в конус, в шар. Каждый из этих случаев можно использовать для углубления знаний учащихся в овладении методом подобия.

БИБЛИОГРАФИЯ

1) Александров И. И., Геометрические задачи на построение и методы их решения, М. 1934.

2) Адлер А., Теория геометрических построений, М. 1 940.

3) Четверухин Н. Ф., Методы геометрических построений, М 1938.

4) Перепелкин Д. И., Геометрические построения в средней школе, М. 1947.

5) Глаголев Н. А., Элементарная геометрия, ч. 1, М. 1944.

6) Адамар Ж., Элементарная геометрия, ч. 1, М. 1936.

7) Ушаков Н., Решение геометрических задач на построение методом подобия, «Математика в школе», 1940, № 2.

ИЗ ОПЫТА

ИЗ ОПЫТА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛАХ РАБОЧЕЙ МОЛОДЕЖИ

В. М. РОЗЕНТУЛЛЕР (Ленинград)

Не вдаваясь детально в анализ всего учебного плана школ рабочей молодежи, заметим, что число часов по математике в школе рабочей молодежи составляет всего 50—70% числа часов в соответствующих классах школ всеобуча, а в целом по всем классам —61%. (Правда, здесь учитывается практический жизненный опыт нашей учащейся молодежи.)

Исходя из этого, работа учителя математики в школах рабочей молодежи должна иметь свои особенности. Механическое перенесение приемов обучения, применяющихся в массовых школах, вредно. Учащиеся школ рабочей молодежи, совмещающие учение с работой на производстве и в учреждениях, располагают значительно меньшим временем для выполнения домашних заданий, чем учащиеся школ всеобуча.

Анализируя причины невыполнения домашних заданий учащимися VIII класса по математике, мы пришли к выводу, что в большинстве случаев они сводятся к одной причине: «некогда было».

Если рассматривать невыполнение домашних заданий как факт учебной недисциплинированности и ставить за это неудовлетворительные отметки, то по отношению к части учащихся это будет несправедливо.

Дело в том, что некоторые руководители хозяйственных организаций, вопреки указаниям правительства о льготах, предоставляемых учащимся школ рабочей молодежи, нарушают их, задерживая учащихся на сверхурочной работе, и т. д. Кроме того, в школах рабочей молодежи районных центров обучается молодежь, проживающая на расстоянии от 2 до 15 километров от школы.

Однако при всех этих трудностях никто не снимает с учителей ответственности за выполнение учебной программы, за глубину и прочность знаний учащихся. Это значит, что мы должны выставлять учащимся четвертные оценки, мы должны знать, как усвоил каждый учащийся ту или другую тему, чтобы правильно использовать консультационные часы.

Все это требует от учителей школ рабочей молодежи по-иному строить преподавание.

Особое внимание приходится уделять развитию у учащихся навыков самостоятельной работы с учебником и с учебной литературой. Для этого учителю математики следует так направлять внимание учащихся чтобы при самостоятельной работе последние улавливали основное в данной теме.

Ниже будет идти речь о введении в систему обучения (обязательных?) самостоятельных контрольных работ по математике в школах рабочей молодежи.

За 3—4 урока до окончания определенной темы (раздела) алгебры, геометрии, тригонометрии и арифметики учитель составляет самостоятельные контрольные работы (на каждого учащегося в отдельности), состоящие из теоретических и практических вопросов по данному разделу или теме и из одного-двух вопросов из предыдущих разделов (с целью повторения).

К намеченному сроку (обычно на выполнение работы я давал 2—3 недели) учащийся должен подготовить свою контольную работу в виде полного письменного доклада, имея возможность во время своей подготовки получать консультации учителя. Он должен письменно изложить материал в такой форме, в какой он изложил бы его при устном ответе. При сдаче учеником самостоятельной контрольной работы он должен, по указанию учителя, вкратце объяснить некоторые основные моменты работы.

Самостоятельная контрольная работа оценивается в классном журнале и учитывается при оценке знаний учащихся за четверть.

Для составления самостоятельных контрольных работ можно использовать материал из заданий по математике для заочных школ, из старых сборников задач и пр., во всяком случае — не из стабильного учебника и задачника (возможно, это опасение даже излишнее).

Весь курс данного предмета в каждом классе разбивается на определенные разделы (темы) в соответствии с указаниями Управления школ рабочей и сельской молодежи Министерства просвещения РСФСР. Например, курс алгебры в VIII классе разбивается на 4 раздела:

1) Степени и корни.

2) Квадратные уравнения и уравнения высших степеней, приводимые к квадратным.

3) Система уравнений 2-ой степени с двумя неизвестными.

4) Функции и графики.

Рассмотрим одну контрольную работу (самостоятельную) по алгебре в VIII классе (II раздел) и выполнение ее учащимися:

Лист № 8 1. Решить уравнение:

2. Определить знаки корней уравнения:

л:2— 10.х:+ 16 = О

3. Сократить дробь:

4. Составить уравнение по корням:

5. Какие корни имеет уравнение, когда дискриминант равен нулю (составить такое уравнение).

6. Решить задачу:

Два продавца, имея вместе 100 яблок, получили при продаже одинаковые суммы. Если бы первый продал столько, сколько второй, то получили бы 1 р. 80 коп., а если бы второй продал столько, сколько первый, то получил бы 80 коп. Сколько яблок было у каждого?

7. Решить уравнение:

8. Решить уравнение:

\/х + 2 + 2 — х = — 2

9. Напишите формулу решения неприведенного квадратного уравнения и дайте словесную формулировку.

10. Задачи на повторение:

а) б)

Некоторые листы (работы) включают такие вопросы, как вывод формулы корней уравнения: x2-{-pX-\-q, ах2 -\-bx-\-c = 0;

выразить сумму квадратов, кубов корней квадратного уравнения:

x* + px + q = 0,

через коэфициенты р и q; не решая данного квадратного уравнения, составить новое, корни которого были бы вдвое, втрое больше (меньше) корней данного, и т. д.

Вышеуказанная работа выполнена учеником VIII класса слесарем ПЧ 10 Ленинградской ж. д. Смолкиным Михаилом следующим образом.

1. Приводим уравнение к общему знаменателю и его отбрасываем*

6x + 20 + jc3— 14л: = —х 4- И

Переносим в левую часть, делаем приведение подобных членов; получим:

xi — 7х 4-6 = 0

Мы получили полное приведенное квадратное уравнение.

Решая это уравнение, получим:

откуда

Проверка:

должно

должно

должно

должно

Следовательно, уравнение правильно решено.

2. Произведение корней ( -|- 16) положительно, следовательно, корни уравнения должны иметь одинаковые знаки, но так как коэфициент при х первой степени отрицателен, то сумма корней (Х\ т* х2) должна быть положительна. А сумма чисел при одинаковости знаков будет тогда положительна, когда эти числа имеют положительные знаки. Следовательно, оба корня данного уравнения положительны.

(Затем следует проверка, где находит: хг = 8; *2 = 2.)

3. Для сокращения алгебраической дроби надо числитель и знаменатель дроби разложить на множители. В нашем примере элементы дроби являются квадратными трехчленами. Применим формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, надо найти корни данного трехчлена, т. е. приравнять его нулю и решить квадратное уравнение.

* Нет оговорки: хф 14. — Ред.

Для числителя получим разложение вида: х* + рх + д = (х — хг) • лг2).

для знаменателя:

ах2+Ьх + с = а(х — хх) (х — х2)

Решение:

Следовательно

4. Обозначение неизвестных:

Обозначим количество яблок у первого продавца через х, но так как вместе у них было Юн яблок, то, следовательно у второго продавца было 10) — — х яблок. Цена одного яблока в копейках у первого продавца составит ;-— коп., а цена одного яблока в копейках у второго продавца составит соответственно коп. При продаже яблок первый получит:

(1)

а второй получит:

(2)

Составление уравнения:

В условии задачи сказано, что оба продавца при продаже яблок получат одинаковые суммы следовательно выражение (1) должно равняться (2)

(Затем следует решение уравнения, откуда находит: хг = 4», х2=—200.)

Затем следует: ;t2 = —200 как отрицательное число не подходит к нашей задаче. Следовательно у первого продавца было 40 яблок, а у второго продавца было 100 — 40 = 60 яблок.

Проверка:

Определяю цены яблок у каждого продавца.

У первого продавца цена составляет ^ = 3 коп.

У второго продавца цена составляет = 2 коп.

Следовательно, первый получит 3 коп. • 40 = = 120 коп., а второй получит 2 коп.«60= 120 коп. что соответствует условию задачи, в котором сказано, что при продаже они выручают одинаковую сумму*.

Таким образом выполняется вся работа с полным объяснением и с обязательной проверкой.

Вообще, трудно было добиться, чтобы все учащиеся своевременно сдавали учителю работу, а некоторые учащиеся сдавали иногда работу, выполненную в пределах 50 — 80% всех упражнений. Учителю тогда легче видеть, что именно не усвоено учащимися.

Преимущества введения самостоятельных контрольных работ:

а) Учащийся имеет возможность самостоятельно и систематически готовить (при помощи учителя на консультациях) учебный материал по той или иной теме.

б) Учащийся «защищается», в случае невыполнения домашних заданий по явно неуважительным причинам, выполнением работы по» дачному разделу.

в) Учитель конкретно оценивает усвоение учеником отдельных разделов программы, имеет возможность глубже анализировать знания учащихся, имеет возможность осуществлять индивидуальный подход к ученику на консультациях.

г) Оценки учителя более объективны и по отношению к нашей учащейся молодежи справедливы.

д) Самостоятельные контрольные работы имеют большое значение для развития письменной и устной речи учащихся, развития их логического мышления. Такие работы, несомненно, повысят грамотность, обогатят лексикон, разовьют навыки письменной речи учащихся и навыки самостоятельной работы.

Трудности и недостатки

Здесь надо предвидеть два рода трудностей: трудности для учащихся и трудности для учителей.

Если такие самостоятельные контрольные работы будут введены по всем предметам, то, естественно, учащимся вначале будет очень трудно справиться со всеми работами. Здесь потребуется тщательное планирование и разумное распределение работ по предметам и четвертям.

Учителю приходится очень много работать для составления этих заданий. Так, например, если в VIII классе имеется 20 учащихся, то только по 01ной алгебре (4 основных раздела) приходится составить 80 работ, состоящих из 600—800 различных вопросов, упражнений и задач.

Опыт работы в VIII классе Ленинградской Красносельской средней школы рабочей молодежи в 1947/48 учебном году доказывает, что введение самостоятельных контрольных работ

* От редакции. Текст работы приведен редакцией без изменения. Учитель должен обращать особое внимание учащихся на культуру речи, объяснения должны быть краткими, следует избегать бесполезного многословия.

намного улучшает усвоение учащимися программного материала по математике.

В заключение приводим в качестве образца два листа самостоятельных контрольных работ по алгебре и геометрии для VI класса.

VI класс

Листок № 3

1. Произвести сложение:

(3*з _ 2ху) - (З^з _ хг — 4ху + уЗ) + (3xz — z*)

2. В многочлене:

аз _ 2аЧ + № — с2 — d* — 8ab + х*

заключить в скобки второй и третий члены со знаком плюс впереди и последние три члена со знаком минус впереди.

3. Умножить:

(а^ + а*Ь + + а№ + (а — Ь)

4. Разделить:

(4аюс4 2аЧЧ* — 1,ЬахЩ: ^ — 1-у а*с^

5. Перемножить:

(\2aWc-3abc)2

6. Вычислить:

7. Напишите правило умножения многочлена на многочлен (пример).

8. Определение коэфициента, показателя степени и основания (с примерами).

VI класс

Листок № 8

1. Построить угол 112°.

2. Найти каждый из смежных углов, если один из них на 24° больше другого.

3. Может ли быть треугольник со сторонами 12 My Зи м и 17 л» (почему?)

4 В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 5 сл , а другая 15 см. Найти третью сторону.

5. III признак равенства прямоугольных треугольников.

6. Определение медианы, высоты, биссектрисы в треугольнике (с чертежами).

7. Определение линии, луча и отрезка.

О РАЦИОНАЛИЗАЦИИ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА В ШКОЛАХ РАБОЧЕЙ МОЛОДЕЖИ

М. В. НОСОВ (Свердловск)

Перед каждым преподавателем школ рабочей молодежи стоит задача — выполнить учебные программы, располагая ограниченным бюджетом времени. Решение этой задачи возможно лишь при организации педагогического процесса таким образом, чтобы путем его рационализации добиться наибольших успехов при минимальной затрате времени. Опыт долголетней работы в школах рабочей молодежи позволяет утверждать, что это вполне возможно при соблюдении следующих мероприятий.

I. Рационализация техники вычислений на протяжении всего учебного года

В своей практике первые часы занятий я начинаю из года в год с изложения приемов устного счета, сокращенных и упрощенных вычислений и в течение всего учебного года настоятельно требую от учащихся выполнения их в процессе практических упражнений по всем разделам математики На первый взгляд может показаться, что в этом случае экономия времени будет несущественной. Однако это не так. Я подсчитал, что, сохраняя в течение каждого урока, в среднем, 3 минуты, можно при 200 часах математики в год сэкономить 10 часов времени. Это в условиях работы школы рабочей молодежи равно числу часов, отводимых на такие темы, как „Бином Ньютона" или „Комбинаторика" (теория соединений).

II. Применение особых карточек с вопросами по всем темам программы

Их назначение состоит в том, чтобы наиболее эффективно и с наименьшей затратой времени решить следующие задачи:

1) В начале учебного года установить пробелы в знаниях и навыках учащихся. Я считаю, что обычные контрольные работы (в двух вариантах), предлагаемые учащимся, не достигают цели; они охватывают в абсолютном большинстве случаев небольшой круг вопросов, допускают возможность списывания и дают по большей части неудовлетворительные результаты, что вполне понятно, так как в школы рабочей молодежи приходят люди с большим перерывом в учебе. Предлагая карточки каждому учащемуся с 8—10 узловыми вопросами, обычно краткими, но в то же время требующими понимания предмета, я в течение одного часа мо-

гу установить не только то, что учащийся не знает, но и то, что он помнит из пройденного ранее. В этом случае оценка знаний и навыков учащегося будет более объективной, так как возможность списывания исключается, и самая техника проведения проверки знаний отнимает значительно меньше времени.

Далее, употребление карточек позволяет мне систематически проводить повторение пройденного, увязывать текущий материал с пройденным ранее, при затрате 5—8 минут на каждом уроке. При раздаче карточек двум-трем учащимся я обыкновенно читаю содержание вопросов, которые обдумываются всем классом, а ответы на вопросы дают не только те из учащихся, которым предложены карточки, но и те, которые карточек не имеют. Если в числе вопросов находятся такие, которые требуют записи, то карточка предлагается при вызове к доске с той целью, чтобы одновременно с решением примера у доски каждый готовился к ответу, ведя запись в рабочей тетради. Если у всех трех учащихся в карточках содержатся вопросы, требующие записи на доске, то вызываются к доске все трое учащихся. В некоторых случаях я имею возможность предложить и большее количество карточек, если часть из них (например, две) содержит вопросы, требующие определений и формулировок (устных ответов), а остальная часть (три) требует от учащихся математических выкладок у доски.

При опросе учащихся по текущей теме я не отказываюсь от обычного метода опроса, который практикуется преподавателями математики. Это — вызов к доске одного-двух учащихся, которые, скажем, должны доказать ту или другую теорему геометрии, и в то время, когда они готовятся к ответу, проводится устный опрос остальных учащихся. Это, несомненно, дает экономию времени, но и в данном случае можно пойти несколько дальше: при ответе учащегося у доски предложить ему дать не полное объяснение доказательства, а наметить его основные, узловые этапы.

В своей педагогической практике я убедился в том, что связное изложение по чертежу можно сделать и при формальном усвоении теоремы, а наметить узловые моменты доказательства сумеет тот из учащихся, который осмыслил его ход и отчетливо представляет себе его план. Подобный метод опроса не следует, конечно, вводить в систему, но время от времени следует им пользоваться. Помимо педагогического эффекта, он сокращает и уплотняет время опроса.

Целый ряд теорем позволяет сделать это; например, теорема о двух или трех перпендикулярах, о равновеликости пирамид и т. п. Не плохо поступить и так, чтобы один из учащихся наметил план доказательства теоремы и выделил узловые вопросы, а другой дал связное изложение того же доказательства более подробно или при ином расположении элементов геометрической фигуры.

В большинстве случаев я не ограничиваюсь проверкой решенных примеров по ответам, полученным учащимися при выполнении домашних заданий, а предлагаю вопросы по существу. Например: какими теоремами вы пользовались при анализе задачи или ее решении? Какие дополнительные построения делали? По каким соображениям остановились при окончании решения на той или другой форме алгебраического выражения? Почему этот корень отброшен? Иногда спрашиваю и о результатах промежуточных преобразований, о допустимых значениях переменного и т. п.

Привожу примерное содержание нескольких карточек. № 1. а) Можно ли утверждать, что при всех действительных значениях х имеет место тождество:

\gx2E=2\gx? № 2. а) При каких значениях х

1г,2>о?<о?>1?<1? = 1?

№ 3. а) В какой арифметической прогрессии аг:а2 = а2 :д4?

В этих карточках первые две требуют устного ответа, последняя — ответа у доски.

При помощи карточек я могу быстро перейти от фронтальной работы к индивидуальной в процессе обычных практических упражнений по той или иной теме учебной программы, организовать помощь отстающим учащимся, усилить наблюдение и контроль и, наконец, вести систематический учет знаний и навыков учащихся; это в значительной мере способствует накоплению отметок в классном журнале, что в условиях работы в школах рабочей молодежи сопряжено с большими трудностями.

Карточки оказали мне большую помощь при организации длительных и 10-минутных контрольных работ по текущим темам и подведении итогов при повторении всего курса в целом.

Конечно, не следует думать, что я избегал упражнений стабильных задачников. Упражнения по карточкам предлагались учащимся в качестве дополнительных и содержали в большей части те вопросы, которые или совсем отсутствовали в стабильных учебниках, или освещались в них недостаточно (например, учение о функциях).

Конечно, для составления карточек преподаватель должен много поработать, и даже боль-

ше: вовлечь в эту работу учащихся, главным образом старших классов, в порядке самостоятельной работы их по обобщению и углублению пройденного на уроках. Я занимался этой работой обычно в летнее время перед началом учебного года, а учащиеся оказывали мне помощь в свободные от занятий часы.

III. Выделение из программы основных вопросов

Построение процесса преподавания на достаточно высокой идейной основе может быть осуществлено только в том случае, если для преподавателя ясны перспективы и конечная цель математических преобразований, которые должны быть прежде всего целенаправленными.

Мы очень часто заставляем учащегося выполнять много математических преобразований, даем целый ряд геометрических определений, совершенно не считаясь с тем, какова научная трактовка того или иного вопроса и его ценность с научной точки зрения.

Так, например, в алгебре учащийся решает чрезвычайно много разнообразных примеров на тождественные преобразования, а ясна ли преподавателю и учащемуся конечная цель этих преобразований? Учащийся добросовестно выполняет все эти преобразования, недоумевая, для чего это нужно и на чем должно быть сосредоточено все его внимание в процессе упражнений. Тождественные преобразования превращаются в самоцель; учащийся в большинстве случаев правильно сложит две дроби а_b и а_^ь , но в то же время не сумеет ответить на вопрос, всегда ли имеет место тождественность левой и правой частей; он решит геометрическую задачу на вычисление из стереометрии, но часто не сумеет построить грамотный чертеж и выполнить анализ, так как мы тратим неизмеримо много времени на вычисления, но не уделяем должного внимания геометрической стороне задачи — анализу и исследованию.

В своей работе за последние годы я сплошь и рядом, в процессе упражнений в классе, ограничиваюсь только анализом задачи, оставляя работу вычислительного характера для домашних заданий. Это дает мне возможность в течение урока сделать в классе анализ не одной или двух задач (я имею в виду X класс), а трех или четырех. Ведь не без оснований Министерство просвещения в «Методических указаниях к прохождению программ по математике» рекомендует совершенно выпустить свыше 150 примеров на тождественные преобразования целых и дробных алгебраических выражений. Лично могу с удовлетворением отметить, что, избегая их в своей работе еще три года тому назад, я шел по верному пути. Отсюда, конечно, вовсе не следует, что навыки в технике преобразований отступают на второй план: думать так — это значит недооценить постановление правительства и партии о твердых знаниях и навыках учащихся.

IV. Доведение до сознания учащегося со всей полнотой и ясностью, что ему необходимо твердо знать, каких ошибок он должен избегать в процессе изучения вопроса (чтобы раз навсегда покончить с бесконечными напоминаниями об этом на уроках).

При решении, скажем, геометрической задачи с применением тригонометрии я даю учащимся инструктивные указания о том, какие требования предъявляются к ним при решении задач этого типа и какие основные теоремы стереометрии следует знать для построения и анализа чертежа. Эти указания учащиеся часто оформляли в виде стенных таблиц, которые вывешивались в классе. Это были своего рода инструкции, которыми учащиеся руководились в своей практической работе и понимали, что без знания их невозможно обойтись при решении самых элементарных задач. Довольно часто в процессе прохождения текущего материала, я прибегал к анкетному опросу учащихся и с помощью старосты класса, комсомольского и партийного актива мог выяснить те затруднения, которые мешали отдельным учащимся идти в ногу со всем классом. Ликвидация всех этих трудностей (связанных по большей части с пробелами в знаниях за прошлые годы) происходила путем индивидуальных домашних работ.

Учащиеся отзываются об этой форме работы положительно.

Все эти мероприятия позволили мне с наименьшей затратой времени добиться хорошей успеваемости учащихся. Склонен думать, что многие из них могут быть осуществлены преподавателями других дисциплин и проверены ими в практике работы. Во всяком случае, рациональное использование времени является одним из актуальных вопросов в условиях работы в школах рабочей молодежи, и этот вопрос должен интересовать весь педагогический коллектив в целом.

ХРОНИКА

XII МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА УЧАЩИХСЯ СРЕДНИХ ШКОЛ гор. МОСКВЫ

И. Я. ТАНАТАР (Москва)

(Продолжение)

Во втором туре XII Московской математической олимпиады участникам были предложены следующие задачи:

Группа VII—VIII классов

1. 12 полей расположены по кругу: на четырех соседних полях стоят четыре разноцветных фишки: красная, желтая, зеленая и синяя.

Одним ходом можно передвинуть любую фишку с поля, на котором она стоит, через четыре поля на пятое (если оно свободно) в любом из двух возможных направлений. После нескольких ходов фишки стали опять на те же четыре поля. Как они могут при этом переставиться?

2. Даны два треугольника: /\АВС и /\DEF и точка О. Берется любая точка X в £±АВС и любая точка У в /\DEF; треугольник OXY достраивается до параллелограма OXZY.

а) Докажите, что все полученные таким образом точки образуют многоугольник.

б) Сколько сторон он может иметь?

в) Докажите, что его периметр равен сумме периметров исходных треугольников.

3. Имеется 13 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на 2 чашки весов, по 6 гирь на каждой, что наступит равновесие. Докажите, что все гири имеют один и тот же вес.

4. В произвольном шестиугольнике соединены через одну середины сторон. Докажите, что точки пересечения медиан двух образовавшихся треугольников совпадают.

5. Если имеется 100 любых чисел, то среди них всегда можно взять несколько (или может быть одно) так, что в сумме они дадут число, делящееся на 100. Доказать.

6. Дана окружность и точка вне ее; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берем со знаком «плюс», а участки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком «минус». Докажите, что для любого такого пути алгебраическая сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю.

Группа IX—X классов

1. Та же, что и в группе VII—VIII классов.

2. Сложить из одинаковых кирпичиков (черт. 1) выпуклый многогранник.

Черт. 1

3. Та же, что и в группе VII—VIII классов.

4. В данный треугольник поместить центрально-симметричный многоугольник наибольшей площади.

5. Докажите, что числа вида 2п при различных целых положительных п могут начинаться на любую наперед заданную комбинацию цифр.

6. Докажите, что к квадрату нельзя приложить более 8 не налегающих друг на друга квадратов такого же размера.

В нижеследующей таблице содержатся сведения о числе участников, решавших и верно решивших задачи 2-го тура.

Группа VII—VIII кл.

Группа IX—X кл.

№№ задач

1

2

3

4

6

1

2

3

4

5

6

Приблизительное число решавших ....

50

10

33

15

25

40

120

35

40

20

6

100

Число решивших . . .

2)

3

15

15

17

0

40

20

25

6

1

10

Рассмотрим решения задач 2-го тура для группы VII—VIII классов*.

Черт. 2

Задача 1. На черт. 2 изображены 12 полей, расположенных по кругу. Занумеруем эти поля, как указало на чертеже, и допустим, что красная, желтая, зеленая и синяя фишки, обозначаемые в дальнейшем буквами К, Ж, 3 и С, занимают i-ое, 2-ое, 3-ье и 4-ое поля.

Хордами на чертеже 2 обозначены ходы, которые можно производить фишками с каждого поля.

Мы можем изобразить наши 12 полей, расположенными по кругу, но в другом порядке, чем на чертеже 2. Именно: расположим поля в том порядке, в каком они следуют друг за другом в соответствии с правилами ходов. С первого поля, двигаясь по часовой стрелке, первым ходом можно попасть на b-ое поле, поэтому ближайшим справа к первому полю окажется поле № б (см. черт. 3), следующее за ним будет поле № 11 и т. д.

На чертеже 3 ходы с любого из полей представляют собой передвижение с данного поля на следующее вправо или влево.

Начальное положение фишек на чертеже 3 обозначено, как и ранее, буквами К, С, Ж и 3.

Теперь очевидно, что единственно возможным передвижением фишек, при котором они могли бы меняться местами, оказывается движение их в одном направлении по кругу, друг за другом, иначе неизбежно возникли бы столкновения.

Черт. 3

Передвигая фишки по кругу по часовой стрелке, мы получим (вместе с начальным положением фишек) следующие 4 расположения:

3) К С Ж 3

2) з к еж

3) Ж 3 КС

4) С Ж 3 К

При дальнейшем движении расположения фишек будут повторяться.

Нетрудно видеть, что, передвигая фишки по кругу против часовой стрелки, мы слова получим те же 4 расположения, но в обратном порядке, именно:

1) К Ж 3 С

2) С 3 К Ж

3) Ж К С 3

4) 3 С Ж К

Так как на чертеже 3 поля, на которых стоят фишки, расположены в порядке: 1, 4, 2 и Л, то искомые в задаче расположения фишек мы получим, переставив их в порядке: 1, 2, 3 и 4, т. е.

1) К Ж 3 С

2) 3 С Ж К

3) Ж К С 3

4) С 3 К Ж

Задача 2. Пусть на чертеже 4 изображены данные треугольники ABC, DEF и точка О.

* Приводимые в настоящей статье решения задач, разумеется, не являются единственными.

В треугольнике DEF в качестве точки Y выберем вершину D и рассмотрим множество точек Z, получаемых указанным в задаче построением для всех точек ЛГ, заполняющих треугольник ABC. Для этого сначала построим точки А\% #i и Сл (точки Z), соответствующие вершинам Л, В и С (точки X) треугольника ABC (черт. 4).

Черт. 4

Каждая из точек Z получается перенесением на вектор OD соответствующей точки X, поэтому все множество точек Z, соответствующих множеству точек X треугольника ABC, заполнит треугольник A\B\Ci% образуемый сдвигом треугольника ABC на вектор OD.

Фиксируя в качестве точек Y вершины Е и F треугольника DEF, таким же построением получим соответственно треугольники А2В2С2 и Л3В3С3, образуемые сдвигами треугольника АБС на векторы ОЕ и OF (см. черт. 5).

Если точка Y скользит по сторонам треугольника DEF от вершины D по часовой стрелке, то треугольник АлВлСх параллельно переносится в положение Аф2Сь затем в положение А3ВпС3 и снова в положение АфлСх. Теперь зафиксируем в качестве точки X вершину А треугольника ABC и рассмотрим множество точек Z, соответствующих множеству точек У, заполняющих треугольник DEF. Множество таких точек Z заполняет треугольник АХА2А9 (черт. 5). Точно так же для вершин В и С треугольника АБС получим треугольники БгБ2Бг и С\С**. При движении точки X по сторонам треугольника ABC по часовой стрелке, треугольник АгА2Аг станет перемещаться последовательно в положения BiB2BB, СХС2С3 и снова А1А2А9, Таким образом, рассматриваемое в задаче множество точек Z заполняет многоугольник АхВ\В2С2СгАг. Из построения ясно, что периметр многоугольника равен сумме периметров исходных треугольников, что же касается числа сторон такого многоугольника, то оно зависит от взаимного расположения сторон исходных треугольников ABC и DEF. Если в исходных треугольниках нет параллельных сторон (как на черт. 5). то множество точек Z образует шестиугольник. Если в исходных треугольниках есть только одна пара параллельных сторон, то ясно, что Z-многоугольник окажется пятиугольником. При наличии двух пар параллельных сторон в исходных треугольниках получим четырехугольник, и, наконец, если все стороны одного из исходных треугольников параллельны сторонам другого исходного треугольника, то Z-многоугольник окажется треугольником.

Черт. 5

Задача 3. Для краткости речи — гири, веса которых выражаются четными и нечетными числами, будем называть четными и нечетными гирями.

Из условия задачи вытекает, что либо все гири четные, либо все нечетные.

В самом деле: допустим, что 12 гирь расположены по 6 на двух чашках весов, а отложенная 13-ая гиря весит а г. Пусть среди лежащих на весах гирь имеется гиря весом в Ь г. Предположим, что числа а и Ь разной четности. Если гирю а г заменить гирей b г и снова разложить по б на каждую чашку весов, то вес гирь на каждой чашке весов изменится на ~2~\а — Ь / г.

Так как веса всех гирь выражаются целыми числами, то и вес гирь, лежащих на каждой чашке весов, также должен быть целым числом, что невозможно, если а и b — числа разной четности, потому что полуразность четного и нечетного чисел не может быть целым числом.

Если веса всех гирь одинаковые, то выполнимость условия задачи очевидна. Предположим, что не все гири одинаковые; тогда, вычтя из весов всех гирь вес наименьшей гири, мы снова придем к удовлетворяющей условиям задачи системе, причем в ней должны оказаться одна или несколько ничего не весящих гирь-«пустышек»; все остальные гири, разумеется, окажутся четными. Разделив пополам каждую гирю (в том числе и «пустышки», остающиеся после деления с юна «пустышками»), мы опять придам к системе гирь, удовлетворяющей условиям задачи.

Черт. 6

Однако при последовательном делении пополам, мы неизбежно придем к нечетным числам. Система

гирь, в которой имеются «пустышки» и нечетные гири, условиям задачи не может удовлетворять.

Получилось противоречие, следовательно, не может быть двух различных гирь.

Рассуждения применимы к системе с любым нечетным числом гирь.

Задача 4. Как будет ниже указано, задача неверно сформулировала. Докажем теорему для выпуклого шестиугольника. На чертеже 6 точки М, R, Nt S, Я, Q — середины сторон выпуклого шестиугольника ABCDEF. Соединив через одну середины сторон, получим два треугольника: MNP и QRS. Построим медиану ST стороны RQ треугольника QRS и медиану MV стороны NP треугольника MNP. Проведем диагональ CF заданного шестиугольника и рассмотрим четырехугольник A8CF. В нем точки Af, R и Q являются серединами сторон, поэтому вместе с точкой К — серединой стороны Ct — они служат вершинами параллелограма (мы пользуемся здесь известной теоремой: середины сторон всякого четырехугольника являются вершинами параллелограма); МК и RQ — диагонали этого параллелограма, и поэтому точка Т их пересечения есть середина отрезков МК и RQ. Таким же способом, рассматривая четырехугольник FCDE, устанавливаем, что точка V является серединой отрезка KS. Стало быть, ST и MV в треугольнике MSK служат медианами и в точке О своего пересечения делятся в отношении 1 :2. Но в этой же точке должны пересекаться медианы треугольников лМР и QRS, ч. т. д.

Черт. 7

Для произвольного шестиугольника середины сторон могут оказаться на одной прямой (см. черт. 7), и в этом случае теряется смысл говорить о точке пересечения медиан треугольника A.NP. Если исключить этот случай, то теорема верпа для невыпуклых шестиугольников.

Задача 5. Обозначим заданные числа через аь а2.....flioo и рассмотрим суммы:

=

$з = а\ + а2 + аг

Sioo = а1 + а2, + • • • + fl100

Если ни одна из этик сумм не делится на 100» то найдутся, по крайней мере, две таких суммы Sm и Sw которые при делении на 100 дают один и тот же остаток. Действительно, не делящиеся на 100 числа могут давать только 99 различных остатков, у нас таких чисел 100,

Если Sm и Sn дают один и тот же остаток при делении на №0, то разность Sn — Sm (пусть 100>/г>/я) должна делиться на 100 без остатка, но эта разность есть сумма (п — тп) чисел, ч. т. д.

Задача № 6. Рассмотрим сначала некоторый путь из точки А в точку В по касательной AM к окружности О (черт. 8). Длина этого пути равна разности длин касательных, проведенных из точек А и В к окружности. Тот же результат мы получили бы, рассматривая путь из точки В в точку А* Методом математической индукции докажем, что длина пути из любой точки А в любую точку В, совершаемого по отрезкам касательных, равна разности длин касательных, проведенных из точек А и В. Докажем, что если утверждение справедливо для некоторого пути, состоящего из п отрезков касательных (черт. 9), то оно верно и для пути, состоящего из (п +-1) отрезков. Пусть (черт. 10) путь, состоящий из п отрезков касательных, изображается ломаной ABC...F. По условию задачи (п + 1)-й отрезок пути совершается по касательной FN либо по направлению к центру окружности, например FK% либо в противоположном направлении, например FK\.

Черт. 8 Черт. 9

Если длина пути A...F равна AM — FM, то, присоединив к этому пути отрезки FK или FKb получим соответственно, что длины путей из точки А в точки К и К\ равны AM — КМ или AM — K\N. Следовательно, наше предложение доказано; но из него немедленно вытекает утверждение задачи; действительно, если путь оказывается замкнутым, то разность длин касательных, проведенных из совпадающих начальной и конечной точек пути, равна нулю.

Группа IX — X классов

Задача 2. Предложенный участникам олимпиады чертеж (черт, ) недостаточен для представления о «кирпичиках», из которых надо сложить выпуклый многогранник, поэтому на олимпиаде чертеж сопровождался устными пояснениями.

Опишем подробно наш «кирпич». Одна из граней «кирпича» является квадратом А^СО (черт, а ),

который представим себе расположенным горизонтально. Вторая грань BCEF—также квадрат, расположенный в вертикальной плоскости. Третья грань ADL — равнобедренный прямоугольный треугольник, плоскость которого параллельна плоскости квадрата BCEF. Четвертая грань — также равнобедренный треугольник EFK в плоскости, параллельной ABCD.

Черт. 10

Если провести плоскости через пары ребер DC и LD% ВА и АЦ KF и FC, ЕК и BE, то они пересекутся попарно по прямым [и и КМ и образуют еще 4 грани нашего «кирпича», представляющие собой 4 равных трапеции ABLMt CDLM, ВЕКМ и Я MFC.

Черт. 11

Рассмотрим тело, состоящее из четырех равных кубов, расположенных, как указано на чертеже 11, т. е. на первый куб поставлен второй (EF), и к двум смежным граням первого куба приставлены слева и справа третий и четвертый кубы (АВ и CD). Первый куб на чертеже не виден.

Проведем диагональные плоскости, проходящие через диагонали кубов А8, СО и EF. Эти плоскости пересекаются в одной точке (центре первого куба) и отсекают от нашего тела 3 усеченных призмы. Остающееся тело представляет собой некоторый многогранник, состоящий из трех «кирпичей». Допустим, что внутри этого многогранника через диагонали АХВХ, hxFv и Cxf>x наших прежних кубов проведены диагональные плоскости. Тогда можно представить себе квадраты ANNxAXl NNXEEX и равнобедренные прямоугольные треугольники А \К и ЕЕХМ как грани нашего кирпича. Из остальных четырех граней — две являются гранями многогранника, а две последних соприкасаются с гранями двух других «кирпичей»—FMExNCiCL и CDCXNXAXKB.

Построим тело, состоящее из четырех кубов и симметричное изображенному на чертеже 11 (черт. 12). Очевидно, можно, «сложив» эти два тела, получить куб. Но если выполнять для тела, изображенного на черт. 2, те же построения, что и ранее, то после «сложения» мы получим выпуклый многогранник, состоящий из Н «кирпичей».

Черт. 12

Задача 4. В задаче имеется в виду построение такого многоугольника, ни одна точка которого не лежит вне данного треугольника, но может находиться как на сторонах, так и внутри треугольника.

Допустим, что центр симметрии многоугольника задан. Тогда (черт. 13) многоугольник максимальной площади получится, если построить треугольник АХВХСХ% образующий вместе с данным треугольником ABC центрально симметричный многоугольник, и рассмотреть их общую часть, т. е. в нашем случае шестиугольник DEFKLM. (В зависимости от положения центра симметрии можно получить и параллелограм, как на черт. 14. Однако можно заранее исключить эти случаи, так как площади параллелограмов меньше площади шестиугольников. Заметим, что этот шестиугольник получается путем отсечения от данного треугольника трех подобных ему треугольников A-'JM, EBF и KLL, сумма оснований которых равна AM + EF-r L * =5 мС. Обозначив эти основания через лг, у и г, приходим к следующей задаче: найти соотношение между х, у и z, при котором ■** + У2 + zZ имеет наименьшее значение, если jc-f-

Черт. 13

-f-jj-f z=r const. Решение последней задачи общеизвестно, именно должно быть: x = y = z. Таким образом центр симметрии многоугольника должен находиться в точке пересечения медиан данного треугольника (черт. 15), потому что именно в этом случае получим: AM = ML= LC (так же как и AD = DE = ЕВ и BF=FK = KC).

Черт. 14

Черт. 15

Задача 5. Заданную комбинацию цифр можно рассматривать как некоторое число а. Тогда задачу можно сформулировать следующим образом: доказать, что при любом значении некоторого натурального числа а существуют такие два натуральных числа пик, что выполняются неравенства:

а.1С*<2л<(я + 1).Ю*.

Рассмотрим на числовой оси положение точек А, В и С, изображающих десятичные логарифмы чисел д-10* 2п и (я+1)-Ю* (черт. 16). Длина отрезка АС меньше единицы, так как

Черт. 16

Представим себе, что числовая ось намотана на круг с диаметром — (черт. 17). При всевозможных значениях k точки А и С, после намотки числовой оси на круг, будут находиться на одних и тех же местах (так как их положения на числовой оси отличаются при различных значениях k на целое число единиц). Рассмотрим положение точек В при пробегании числом п натурального ряда.

Черт. 17

На чертеже 18 изображено положение точек В при п=\, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Так как lg 2 —число иррациональное, то никакие две точки В не могут совпасть.

Черт. 18

Две какие-нибудь точки В — n2\g2 и /г, lg2— являются концами интервала (я2 — п{) lg?. Точки п(п2 — A*i)lg образуют друг с другом равные интервалы. Напр., точки 28 lg 2 и 18 lg 2 служат на нашем круге концами некоторого интервала. Точки 0, lolg2, 20 lg 2 и т. д. образуют множество равноотстоящих точек, причем две соседних точки этого множества служат концами интервала, равного интервалу между точками 28 lg 2 и 18 lg 2^

Как бы мал ни был какой-нибудь заранее заданный интервал, найдутся такие два натуральных числа щ и п2, для которых точки n3lg2 и п lg2 окажутся внутри заданного интервала (в противном случае на круге не могло бы поместиться бесконечное множество точек В). Но, как мы только что показали, на круге можно найти множество точек Ь, следующих от начала отсчетов друг за другом через определенный интервал, и поэтому,

если заранее заданный интервал меньше lg (а + а) ' то среди множества точек п (л2 — пх) lg 2 найдется точка, лежащая внутри интервала АС, что доказывает наше предложение.

Задача 6. В этой задаче под «приложенными» квадратами имеются в виду такие, не налегающие друг на друга квадраты, стороны которых имеют хотя бы одну общую точку.

Черт. 19

На чертеже 19 изображена очевидная конфигурация восьми не налегающих друг на друга квадратов, приложенных к квадрату ABCD такого же размера. Чтобы показать, что это — наиболее плотное расположение приложенных квадратов, рассмотрим квадрат AXBXCXDX (черт. 20), имеющий общий центр с данным квадратом, расположенный гомотетично с ним и со стороной, вдвое большей стороны данного квадрата. Для определенности положим, что сторона данного квадрата равна 2.

Черт. 20

Докажем, что длина отрезков PQ, которые высекаются на прикладываемых квадратах сторонами построенного квадрата AxBxCxDb больше двух. В самом деле, пусть сторона прикладываемого квадрата tF образует угол а со стороной АВ данного квадрата; тогда PQ = РМ + MQ = tg; а + ctg а > 2. Так же ясно, что и в положении EXFXKXLX на приложенном квадрате высекается ломаная F|Ct > > 1 CX + NCX = 2.

Так как периметр квадрата AXRXCXDX равен 16, то, очевидно, больше восьми квадратов к данному квадрату приложить нельзя.

Результаты олимпиады свидетельствуют о растущей математической культуре наших учащихся, о незаурядных способностях, таящихся в массе школьников, проявляющих интерес к математике.

Можно с удовлетворением отметить, что некоторые из задач олимпиады очень содержательны, но, в целом, тематика задач вызывает возражения.

Укажем сначала на задачи № 2 первого тура в обеих группах. Логически полноценные решения этих задач существенно опираются на теорему о существовании верхней грани ограниченного множества. Разумеется, решения участников олимпиады опирались на интуицию.

Создающиеся таким образом у учащихся представления о «правильности» решения задач вряд ли способствуют развитию математической культуры.

Это тем более досадно, что в задачах XII олимпиады логический элемент гипертрофирован, в то же время математический багаж школьника используется лишь в незначительной степени. Такова, например, задача № 1 второго тура, напоминающая нам головоломку из отдела «В часы досуга».

Существует распространенная среди детей полезная игра, заключающаяся в составлении из нескольких многоугольников заданной фигуры. По существу, задача № 2 второго тура (группа IX— X классов)—такая же игра, усложненная выходом в пространство и отсутствием моделей.

Задача № 5 второго тура (группа IX — X классов) слишком далеко выводит за круг идей школьника, и вряд ли можно было рассчитывать на логически безупречные решения этой задачи.

Формулировки некоторых задач неудачны (задача № 4 первого тура группы IX — X классов, задача № 2 второго тура группы VII — VIII классов, задачи 4 и 6 второго тура в группе IX — X классов, а задача 4 2-го тура (группы VII — VIII классов) незерно сформулирована. Сравнивая задачи 1-го и 2-го туров в группе VII — VIII классов, мы не во всех задачах встречаем ожидаемое возрастание трудности, что, впрочем, может быть объяснено тем, что 1-й тур утратил характер отборочного соревнования, как мы указывали в первой части статьи.

Мы думаем, что было бы полезно более широкое привлечение учителей средних школ к организации олимпиады, что стимулировало бы дальнейший рост математической культуры в среде учителей и учащихся.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О ДВУХ НОВЫХ УЧЕБНИКАХ ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ ПЕДВУЗОВ*

Я. С. ДУБНОВ (Москва)

Около полувека тому назад достиг известного завершения тот глубокий переворот во взглядах на природу геометрии, который был вызвал открытием неэвклидовой геометрии Лобачевского. Появилась возможность вложить точное содержание в тысячелетний вопрос: зависит или нет постулат о параллельности от остальных аксиом геометрии? Хотя Лобачевским был по существу подготовлен исчерпывающий ответ на этот вопрос, однако он мог быть оспариваем, пока нехватало пол юго списка этих «остальных аксиом». К концу XX века были построены полные системы аксиом, из которых наибольшее распространение впоследствии получила аксиоматика Д. Гильберта (одновременно у нас в России другая аксиоматика, достаточная для обоснования эвлидовой геометрии, была создана В. Ф. Каганом). Вместе с тем аксиома о параллельности закончила свою историческую миссию, так как теперь вопросы о независимости, непротиворечивости, полноте ставились по отношению ко всей системе аксиом. В свете этой научной революции, историческая эвклидова аксиоматика предстала в виде грубого приближения к той, которая действительно требовалась для обоснования геометрии. Однако еще более глубокий переворот заключался в идее, (совершенно чуждой Эвклиду) «определения через аксиомы»: первичные геометрические понятия (точка, прямая, между и т. п.) определяются не по старой аристотелевской схеме («через ближайший род и видовое отличие»), а именно с помощью тех аксиом, которыми эти понятия (явно не определяемые) связаны.

Как отразились эти новые идеи на школьном преподавании геометрии, в основе которого сначала лежала эвклидова система, а позднее ее лежандров вариант? Подавляющее большинство педагогов сходилось на том, что высокоабстрактная гильбертова система, с ее стремлением к минимальному числу аксиом, не может быть предметом преподавания в средней школе, даже на старшей ступени. Однако некоторые думали, что если отказаться от требования минимальности, т. е. принять без доказательства (и, значит, объявить аксиомами) ряд утверждений, которые хотя и доказуемы, но требуют больших усилий, то все остальное изложение школьного курса геометрии можно сделать безукоризненным в том смысле, чтобы каждая теорема выводилась строго дедуктивным образом из принятых аксиом и ранее доказанных теорем. Попытки создать на этой основе школьные учебники делались в Италии 40 — 50 лет тому назад (Веронезе, Санниа, Энриквес и др.). Хотя авторами были нередко крупные ученые и выдающиеся педагоги, однако следует считать это направление не оправдавшим себя. Современные учебники избавились от некоторых архаизмов, вроде бе содержательных определений точки или прямой, расплывчатых аксиом, таких, как «целое больше части», однако школьная геометрия очень далека от аксиоматического построения, основанного на полном перечне неопределяемых терминов и недоказываемых суждений. Преподавание этой дисциплины попрежнему остается «химической смесью логики и интуиции» (М. Симон). Однако будущий преподаватель математики должен произвести анализ этой смеси для того, чтобы в своей дальнейшей деятельности сознательно воспринимать неизбежное расхождение между школьной геометрией и научной. В нашей системе педагогического образования этой цели служат два курса: Г» неэвклидова геометрия и выросшая на ее почве современная аксиоматика излагаются в курсе «Основания геометрии»; 2) преподаваемый в пединститутах повышенный курс «Элементарная геометрия» должен дать изложение этого предмета в большем объеме и на более высоком теоретическом уровне, чем это делается в школе.

Нужды второго из двух названных курсов обслуживались у нас до сих пор только переводной литератур й, точнее, двумя книгами, которые, даже вместе взятые, не решали поставленной задачи. Двухтомная «Элементарная геометрия» Ж.Адамара имеет характер энциклопедии и, пожалуй, чрезмерно насыщена (в особенности второй том) сведениями, имеющими только косвенное отношение к школьному предмету. В то же время теоретический уровень ее немногим отличается от того, который свойственен доброкачественным школьным учебникам; все более топкие и принципиальные вопросы выделены в виде дополнительных статей, помещенных в конце книги и не сливающихся органически с основным ее текстом. Студент, который затратит время и силы на изучение этой книги, получит в руки авторитетный справочник и обшир-

* Д. И. Перепелкин, Курс элементарной геометрии, часть I. Геометрия на плоскости, ОГИЗ, 1948, стр. 343.

А. Н. Перепелкина и С. И. Новоселов, Геометрия и тригонометрия (для учительских институтов), Учпедгиз, 1947, стр. 368.

ный сборник задач, но мало подвинется в понимании геометрии как дедуктивной науки. Другая переводная книга — «Элементарная геометрия» В. Швана, не ставящая себе задачей систематическое изложение предмета, наоборот, уделяет главное внимание вопросам обоснования, но с узкой теоретикогрупповой точки зрения, которая при всей ее научной значимости не может быть положена в основу школьного преподавания.

Таким образом, Д. И. Перепелкиным предпринят первый опыт создания учебника, который полностью отвечал бы задачам курса элементарной геометрии в пединститутах. Хочется сразу сказать, что этот опыт представляется мне выполненным с выдающимся успехом. Более высокий, чем в школьных учебниках, уровень изложения выражается здесь прежде всего в том, что приводится точный перечень первичных понятий (стр.9—10) и аксиом (стр. 12, 14. 16,36-37, 42. 61, 64,80, 154, (60). Правда, в настоящее время гильбертов список можно найти даже в приложении к школьному учебнику геометрии А. Киселева, но гам этот список только «демонстрируется», здесь же он работает, и читатель действительно может уяснить себе, как осуществляется аксиоматическое построение геометрии. Аксиоматика, избранная автором, близка к гильбертовой, но отличается от нее тем, что является «заведомо избыточной» (Предисловие, стр. 7), как, впрочем, и у некоторых авторов упомянутых выше итальянских учебников. Например, от аксиом 5 и 6 (стр. 61 и 64 текст аксиомы 5 «Если один конец отрезка лежит внутри окружности, а другой вне окружности, то отрезок имеет с окружностью общую точку) можно было бы избавиться, но это значительно усложнило бы изложение и заставило бы сдвинуть аксиомы непрерывности (Архимеда и Кантора, стр. 154 и 160) с их естественного места - в теории изменения отрезков. Уже из этих беглых замечаний читатель мог заметить, что аксиомы в этой книге вводятся не сразу, а по мере того, как они начинают играть решающую роль; такая система дает более отчетливую картину зависимости отдельных глав геометрии от той или другой группы аксиом.

Однако экономия, достигаемая с помощью лишних аксиом, еще недостаточна для того, чтобы сделать изложение одновременно строгим и не слишком тягостным. Другим источником упрощения служит сознательный и явно оговариваемый отказ от некоторых особо сложных доказательств или проведение их с меньшей общностью, чем это было бы возможно. «Доказательство этой теоремы, основанное на введенных нами аксиомах, довольно громоздко и носит весьма формальный характер. Поэтому мы его опускаем» (стр. 31, мелкий шрифт. «...Можно совершенно строго доказать следующую теорему» (стр. 34, внизу) — дальше теорема формулируется, но не доказывается. «Несмотря на то, что эти теоремы справедливы для всех простых многоугольников, мы будем формулировать и доказывать их только для выпуклых многоугольников, так как в случае невыпуклых многоугольников доказательства представляют большие трудности» (стр. 188, перед теоремой 118). Отсюда видно, что автором руководили вполне законные педагогические мотивы (например, «весьма формальный характер»), когда он опускал отдельные доказательства. В результате удачного отбора этих купюр изложение не угнетает читателя чрезмерным педантизмом, но воспитывает в нем здоровую требовательность к дедуктивному построению. Именно воспитывает,

потому что студент не сразу привыкает к необходимости доказывать такие теоремы, как 3 — 5 на стр. 16 — 21 (об областях, определяемых на плоскости двумя пересекающимися прямыми, углом, треугольником), и к стилю этих доказательств. На этом же примере можно видеть, что хотя книга не предполагает у читателя никакой предварительной математической подготовки, кроме школьной, однако она предъявляет к его математическому развитию такие требования, которым вряд ли удовлетворяет и студент первого курса. Еще менее можно думать о том, чтобы в этом духе строить школьный курс геометрии (вспомним снова об итальянском направлении), — и этот отрицательный вывод очень поучителен, в особенности для молодого преподавателя. Ни в коем случае это не следует понимать так, что книга не содержит положительных указаний, полезных для практики преподавания. Наоборот, можно утверждать, что и молодой и старый преподаватель найдут в этой книге немало такого, что уже сейчас может быть использовано в преподавании геометрии. Сюда прежде всего относятся определения, хорошо продуманные и доброкачественные в научном отношении, чего нельзя сказать без оговорок о ряде определений в наших школьных учебниках. Для примера сопоставим две формулировки, относящиеся к родственным понятиям—«сферическая поверхность» и «окружность». По А. Киселеву («Геометрия», часть 2, издание 3-е, 1940 г., стр. 69), сферическая поверхность есть «геометрическое место точек, одинаково удаленных от одной и той же точки»; у Д. И. Перепелкина (стр. 86) окружность есть «геометрическое место точек, расстояния которых от данной точки О равны одному и тому же отрезку» (еще лучше бы сказать: «данноми отрезку»). Конечно, вторая формулировка правильна, а первая — нет: ведь в понятие геометрического места всегда входит некоторое свойство, которым может обладать (или не обладать) отдельно взятая точка. Между тем об одной точке бессмысленно говорить, что она «одинаково отстоит от данной точки» (только две или большее число точек могут «одинаково отстоять»)*. Другой пример: мы говорим о параллельных лучах, что они могут быть одинаково или противоположно направлены («углы с параллельными и одинаково направленными сторонами...»), обычно не вкладывая сюда никакого содержания, кроме зрительного. В результате этого, доказательство, например, теоремы о равенстве углов с параллельными и одинаково направленными сторонами — фиктивно: по крайней мере, логические его элементы ничтожны по сравнению с интуитивными. Между тем школьнику вполне доступно точное определение: два параллельных** луча АВ и А*В' называются одинаково (противоположно) направленными, если они лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой АА\ соединяющей начала этих лучей. Это, по существу, и сделано у Д. И. Перепелкина на стр. 79, причем тут же даны настоящие определения углов «соответственных», «накрест лежащих» и т. д., вместо распространенного у нас «тыканья пальцем» (вроде «2. 1 и 1_Ъ называются соответственными» — как будто

* С этой точки зрения неправильным является выражение, которое можно встретить в современной книге (Н. М. Бескин, Методика геометрии, 1947, стр. 61): «геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой...».

** Параллельных в узком смысле слова, т. е. не лежащих на одной прямой.

из такого определения можно сделать какие-нибудь выводы!).

Ограничимся этими примерами. Внимательный читатель книги найдет в ней много других: начиная с самых элементарных понятий (треугольник, многоугольник, простой многоугольник и т. д.) и кончая более специальными (симметрия, стр. 128; подобие фигур, стр. 237; радикальная ось, стр. 287 — 288), можно встретить определения, которые большей частью отличаются от обычных лишь деталями, однако всегда направленными в сторону улучшения.

Хотелось бы перенести в школьную практику и более компактные части курса, столь явно возвышающегося над уровнем наших учебников, но сделать это возможно только в отдельных случаях: книга предназначена для другой цели, и текст ее представляет связное целое. Тем не менее инициативный преподаватель без труда (и с пользой для дела) заменит, например, обычное изложение теорем о равных отрезках на сторонах угла и о средней линии трапеции другим, которое дано в § 28 («Параллельная проекция», стр. 99—1о2; на стр. 101, строка 20 сверху — опечатка: вместо «многоугольника» надо «четырехугольника»). Более радикальным и вполне осуществимым нововведением было бы — последовать за Д. И. Перепелкиным в его отказе от понятия о пределе в теории длины окружности и площади круга (§§51 — 52 и 61). Многими не раз воспринималось как ненормальное такое положение, при котором это важнейшее для математики понятие появляется впервые в геометрии, а не в алгебре. Однако до сих пор широко распространено мнение о неизбежности обращения к «пределу», как только дело доходит до длины окружности и площади круга.

Но, конечно, главная задача книги — расширить научный кругозор читателя и обогатить его сведениями из области, вплотную охватывающей школьный курс. В первом из этих двух направлений важнейший шаг заключается в аксиоматическом построении курса, мало отличающемся от современного научного. Другой руководящей идее— преобразованиям — уделены многие страница: гл. IV (движения и симметрия), большая часть главы VIII (гомотетия и подобие), вторая половина главы X (инверсия, расширение). Наконец, теория измерения длин и площадей изложена здесь на высоком научном уровне и, как уже отмечалось, может быть частично перенесена в школьную практику. Еще одно замечание необходимо для понимания структуры этой книги в ее идейно-теоретической части. Автор, несомненно, старался избежать параллелизма (о чем вскользь сказано в предисловии) с другим учебным предметом, преподаваемым в педвузе, — «Основаниями геометрии». Только этим можно объяснить, что на протяжении всей книги ни разу не упоминается имя Лобачевского.

Разделяя с автором мысль о нежелательности упомянутого параллелизма, я тем не менее думаю, что эта позиция осуществлена в книге с излишним педантизмом. Ведь о Лобачевском знают теперь школьники, а в ближайшие годы будут знать еще больше. Между тем во многих случаях понимание фактов эвклидовой геометрии выиграло бы от сопоставления с родственными фактами гиперболической (иногда и сферической), пусть даже известными по наслышке или сообщаемыми без доказательства.

Уже в рассмотренных до сих пор частях книги появляются, наряду с идейным содержанием, теоремы (например, теорема Птоломея в связи с инверсией, стр. 319). формулы и задачи, выходящие за рамки школьного курса, но принадлежащие безусловно к области элементарной геометрии. Преподавателю не придется излагать в классе теорем Стюарта, Менелая, Чевы и др., но с их помощью он объединит в своем сознании и, значит, глубже поймет такие традиционные задачи, как вычисление медиан и биссектрис треугольника по трем его сторонам, или группу предложений, относящихся к «замечательным» точкам треугольника. Автор проявил чувство меры, когда из необъятных запасов «околошкольной геометрии»* извлек немногое и притом наиболее ценное для преподавателя (впрочем, затрудняюсь отнести сюда § 74 — теорему Эйлера о вписанной и описанной окружности и обратную ей).

Именно потому, что я желаю этой книге успеха и переизданий, охотно выскажу свои претензии к ней и пожелания.

1. Жаль, что теорема 2 (стр. 13) не сопровождается доказательством. Оно представляется мне не тривиальным, и нельзя быть уверенным, что всякий читатель получит его самостоятельно. Одновременно выяснилась бы желательность такого уточнения аксиом 1д, Ь, с (стр. 13), которое исключило бы геометрию с одной точкой и ни одной прямой (в такой геометрии теорема 2 не верна; уточнение могло бы заключаться, например, в том, чтобы в формулировке аксиомы 1с добавить после «существуют» слово «три»).

2. Ссылки на школьные учебники геометрии не вызывают возражений только в тех случах, когда в изложении учебника не требуется ничего изменить или к нему добавить. Этого нельзя сказать, например, про обратную теорему об описанном четырехугольнике; если, отсылая к школьному курсу (стр. 95, внизу), автор имеет в виду старые издания учебника А. Киселева (в новых изданиях этой теоремы нет) или «Элементарную геометрию» Н. А. Глаголева, то он, видимо, не замечает, что в обоих случаях доказательство несостоятельно (см. ниже стр. 47).

3. Может быть, следовало бы, наряду с гомотетией (которую можно назвать «центральным растяжением-сжатием»), рассмотреть также «осевое растяжение-сжатие», как простейшее аффинное неэквиформное (т. е. не сохраняющее формы фигуры) преобразование, и показать, что гомотетия является произведением двух таких преобразований.

4. Понятие площади определено только для многоугольника, круга и намечено для кругового сектора. Читатель не узнает из этой книги, что он должен понимать под площадью фигуры, ограниченной хотя бы прямолинейными отрезками и круговыми дугами (такие фигуры встречаются в школьных задачниках), не говоря о площади эллипса. Между тем дать для широкого класса фигур определе гае площади в духе всего изложения, казалось бы, нетрудно (например, по Лебегу, «Об измерении величин», 1938).

5. Теорема 1ь4 (стр. 276), которая вместе с обратной ей (стр. 277) призвана охарактеризовать

* Широко распространен предрассудок, будто элементарная геометрия — исчерпанная область. На самом деле над ее обогащением работали и работают многие тысячи математиков, главным образом учителей средней школы. Далеко не полный обзор (на немецком языке) М. Симона «О развитии элементарной геометрии в XIX веке» содержит свыше двух тысяч имен.

круг конструктивных задач, разрешимых циркулем и линейкой, сформулирована* так, что не видно, как применять ее ко многим часто встречающимся задачам. Например, что считать «данными отрезками» в задачах, где даны углы, или в такой: построить правильный треугольник, вершины которого лежали бы на трех данных параллельных прямых?

Как видим, ни одно из этих замечаний не входит в противоречие с тем, что говорилось выше о достоинствах книги. Язык ее я считаю безукоризненным как в литературном, так и в математическом отношении. Наша высшая педагогическая школа получила превосходный учебник по элементарной геометрии, который косвенным образом должен оказать положительное влияние и на преподавание этого предмета в средней школе.

Диаметрально противоположную оценку я вынужден дать второй из рецензируемых книг в ее геометрической части (автор — А. Н. Перепелкина). Конструкция этой части (25о страниц из общего числа 364) определяется ее назначением — дать систематический курс геометрии, умеренно расширенный по сравнению со школьным и завершаемый сведениями о современном научном построении этой дисциплины. Расширение осуществлено несколько односторонним образом, с явно выраженной симпатией к окружностям: окружность Эйлера, §36, стр. 77—78; метод изопериметров для вычисления те, § 61, стр. 132—134; геометрия окружностей (степень точки, пучки и связки, инверсия, задача Аполлония, гл. X, стр. 136—155). Разве менее полезны были бы и разве не ближе к школьному курсу теоремы Чевы и Менелая или вопросы размерности геометрических формул (однородность)? Современному обоснованию геометрии посвящен отдел третий (стр. 2 6—252), который по замыслу автора должен охватывать: 1) краткий исторический очерк от Эвклида до Лобачевского, 2) элементы неэвклидовой геометрии, 3) гильбертову аксиоматику.

Таким образом, если не говорить о деталях, то план книги можно было бы не оспаривать. Но до чего он выполнен неумело, некомпетентно, иногда попросту неряшливо! Понимая ответственность за это резкое суждение, я постараюсь обосновать его с помощью иллюстраций достаточно полных, хотя и не исчерпывающих (этого не позволяют размеры рецензии).

Начнем с первых страниц — Введения (стр. 3—6), где уже вторая строка вызывает неясность: «фигурой называется совокупность точек, прямых и плоскостей». Можно спросить: является ли в силу этого определения фигурой круг или треугольник, о котором сказано на стр. 10, что это «фигура, образованная тремя отрезками, попарно соединяющими три точки, не лежащие на одной прямой» (ведь отрезки нельзя отождествить с прямыми, о которых говорится в определении). Возможно, что автор ответит: и круг, и треугольник подходят под определение фигуры потому, что их можно рассматривать как «совокупности точек». Но тогда за ем же было включать в формулировку «прямые и плоскости»? — ведь их тоже можно трактовать как совокупности точек. Специалисту нетрудно догадаться, откуда идет этот «звон»: несколько ниже о понятиях «совокупность», «точка», «прямая» и «плоскость» говорится как о «неопределимых» (то же в начале § 88). И с этим нельзя согласиться: не существует понятий, принципиально неопределимых, но верно то, что в каждой аксиоматике участвуют неопределяемые понятия (точнее, определяемые косвенно данной системой аксиом; см. начало этой статьи). В гильбертовой системе такими действительно являются «точка», «прямая» и «плоскость», причем последние две не рассматриваются как точечные совокупности. Но ведь здесь, на стр. 3 учебника, никакой гильбертовой системы нет и не может быть; почему же автору было не сказать: «фигурой называется совокупность точек» — и поставить точку? Дальнейшие строки стр. 3 имеют целью разъяснить опытное происхождение геометрических понятий. Так, образованию понятия о прямой предшествуют наблюдения над «прямо проложенным рельсом» (значит, наблюдатель уже знает, что такое «прямо»?), над «корешком книги» (хочется спросить толстой?). Но больше всего шокирует здесь легкое обращение со словами «абстракция», «абстрагировать» и т. д., без заботы об их смысле и просто о грамматике. «Отдельные камни в груде камней,... след пера...— все это создает представление о предмете, абстракцией которого (подчеркнуто здесь и далее мной. - Я. Д.) является математическая точка». Что же этот таинственный «предмет», промежуточный между наблюдаемыми вещами и геометрической точкой, уже есть «абстракция» или еще нет? Далее, «крышка стола .. .лист бумаги и т. д. абстрагируются нами как плоскость» — странное употребление глагола. Воспроизведя определение точки по Эвклиду, автор добавляет, что оно «является таким же описанием абстрагируемых нами из опыта свойств точки, как приведенные нами ранее», — теперь уже «абстрагируются свойства», которых, между прочим, читатель тщетно будет искать «ранее» (да и трудно догадаться, о каких свойствах точки, взятой сама по себе, могла бы идти речь). Для характеристики стиля приведу еще несколько выражений: «...к понятию плоскости приходим, рассматривая границы двух прилегающих друг к другу соответственных (?) пространственных тел ...» (стр. 3), — может быть, «границу, разделяющую два тела»? И потом — какие бывают «непространственные» тела? «К понятию прямой мы приходим также, рассматривая границу (или линию пересечения) между двумя плоскостями...» (стр. 3),— разве можно назвать линию пересечения двух плоскостей границей между ними? «Элементарная геометрия допускает возможным ...» (стр. 4). Новым источником недоумений служат аксиомы на стр. 5; приведу их дословно:

«Аксиома 5. Всякую фигуру можно перемещать в пространстве, не меняя ее формы и размеров».

«Аксиома 6. Равными фигурами называются такие, которые при наложении совмещаются».

Первая из этих «аксиом» просто бесплодна из-за присутствия в ее формулировке сложных понятий «форма» и «размеры фигуры», которые нигде в дальнейших доказательствах участвовать не будут. Но уже совсем странное впечатление производит аксиома б. Сначала хочется предположить, что это промах типографии, которая поставила заголовок «аксиома» вместо «определение», но нет: на стр. 7 и 11 находим ссылки именно на «аксиому 6». Впрочем, и как определение равенства фигур эта формулировка слаба: ведь не при всяком наложении равные фигуры

* Одна деталь формулировки для меня не ясна: что прибавляет символ ani к уже выведенному атк?

совмещаются, а только при надлежащем наложении могут быть совмещены. Этот дефект повторяется позже в каждом частном случае, где определяется равенство-конгруэтность. Например, на стр. 189 дается определение: «равными трехгранными углами называются такие, которые при совмещении совпадают».

Мы обозрели первые три страницы учебника. Читатель понимает, что при сохранении тех же темпов рецензия разрослась бы в трактат, а этого книга не заслуживает. Поэтому в дальнейшем ограничусь небольшой долей тех возражений, которые я мог бы сделать, и воздержусь от комментариев там, где достаточно красноречивы цитаты.

1. Ошибочные или неполноценные доказательства и определения; путаное изложение. Стр. 15. В доказательстве «третьего признака равенства треугольников» рассмотрен только один из трех возможных случаев, существование еще двух автор замалчивает.

Стр. 2Ъ. «Неверность обратной теоремы будет всегда в тех случаях, когда заключение прямой теоремы дает понятия, принадлежащие к более широкому классу, чем понятия, входящие в условия. Поэтому, внеся определенные ограничения для понятий, входящих в заключение прямой теоремы, можно построить верную обратную теорему». Оставляя в стороне косноязычие этого отрывка, не могу уразуметь, как это верность теоремы может зависеть от «понятий, входящих в условие или заключение», а не от тех суждений, которые высказаны в обеих частях теоремы по поводу этих понятий.

Стр. 36. Автор считает, что сочетание трех слов «геометрическое место точек» (без добавления «обладающих данным свойством») имеет самостоятельный смысл и формулирует: Определение. Геометрическим местом точек называется совокупность всех точек, обладающих определенным свойством, и только этих точек». Под это определение подходит любая фигура, так как точки ее обладают «определенным свойством»: они принадлежат этой фигуре.

Стр. 59. «Определение. Четырехугольник, две противоположные стороны которого параллельны, называется трапецией». Можно думать, что автор принадлежит к тем педагогам, которые желают включить параллелограм в класс трапеций. Но тремя строками ниже читаем: «Непараллельные стороны называются...».

Стр. 75—78. В теореме: «Если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в четырехугольник можно вписать окружность» — нет оговорки о выпуклости четырехугольника, без чего теорема просто неверна (если остаться при обычном определении вписанной окружности). Но даже при условии выпуклости, которое молчаливо принимается автором в доказательстве (стр. 77), последнее несостоятельно: не обосновано утверждение, что (в обозначениях черт. касательная из точки D, отличная от DA, пересечет луч ВС. Справедливость требует отметить, что в этом серьезном упущении азтор не одинок.

Стр. 79 80. Даны два определяющих признака несоизмеримых отрезков: 1) алгорифм Эвклида бесконечен, 2) не существует общей меры - без попытки доказать эквивалентность этих определений. Пока это не сделано, нельзя признать теорему на стр. 80 («диагональ и сторона квадрата несоизмеримы») доказанной. Здесь автор делает шаг назад даже по сравнению с учебником А. Киселева.

Стр. 118. «Следствие 1. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Справедливость следует из того, что всякий параллелограм диагональю разбивается на два равных треугольника». Конечно, не из этого, а из того, что каждый треугольник может быть дополнен равным треугольником до параллелограма.

Стр. 125. Приведя критерий Гаусса о возможности построения правильного многоугольника циркулем и линейкой (а не «с циркулем и линейкой», как написано здесь и на стр. 174), автор обосновывает невозможность построения правильного девятиугольника тем, что «хотя 9 = 23-+-Ь (какое это имеет отношение к критерию?), но «9— число составное». Этого мало: надо бы сослаться на то, что 9 имеет повторяющиеся простые делители, отличные от 2.

Стр. 114 — 115. «Вопрос о площадях прямолинейных фигур играет существенную роль в аксиоматическом построении геометрии». На самом деле — никакой роли, как видно, например, из аксиоматики Гильберта. Автор, повидимому. хотел сказать, что само понятие площади может быть аксиоматизировано. Действительно, вслед за приведенной цитатой появляются «постулаты», из которых даже не видно, что площадь мыслится как число (положительное). При этом постулат 2 (стр. 115) сформулирован так: «Два равных многоугольника имеют одинаковую площадь, независимо от их положения на плоскости». Можно понять фразу: «Два равных многоугольника имеют одинаковую площадь» или же «Площадь многоугольника не зависит от его положения на плоскости», — но то, что процитировано, звучит довольно несуразно.

Стр. 136 - 137. С исключительной сбивчивостью и невниманием к читателю введено понятие «степень точки относительно окружности». Хотя до сих пор длинам отрезков не приписывалось знаков, неожиданно говорится (стр. 136) об «абсолютной величине произведения отрезков хорды». «Эта постоянная величина (очевидно, положительная как для внутренней, так и для внешней точки.— Я. Д.) называется степенью точки относительно окружности. Ее можно обозначать например так: р£, где р — степень, А — точка, О — центр данной окружности» (стр. 136; что же все-таки принимается за символ степени: р£ или pi). Через несколько строк «доказывается», что степень внешней точки положительна («Следовательно (?), степень... положительна», стр. 137), и неожиданно обнаруживается, что разность d2 — R2 «мы называли степенью внешней точки», а теперь будем называть степенью внутренней точки. В результате оказывается, что степень внутренней точки отрицательна, «что подтверждается еще тем, что отрезки... противоположно направлены...». Все это стройное здание увенчивается к концу стр. 137 (теперь поздно!) «определением» степени, из которого опять ничего нельзя узнать о ее знаке.

Стр. 150. «Теорема. Прямые, соединяющие две пары инверсных точек, антипараллельны относительно угла, образованного их радиусами». Как это «пары точек» соединяются прямыми? Как понимать «их радиусами»?

Стр. 157. Доказательство теоремы § 69 заканчивается словами «... четыре точки... лежали бы в одной плоскости, что противоречит аксиоме 8». Это неверно: аксиома 8 не исключает существования четырех точек, лежащих в одной плоскости.

Стр. 160. Очень хорошо, что в теореме о двух перпендикулярах автор желает освободиться от

требования, чтобы две прямые, лежащие на плоскости, проходили через определенную точку, но тогда первую теорему § 70 надо было формулировать так: «прямая, перпендикулярная к двум не параллельным между сабой прямым плоскости, перпендикулярна ко всякой прямой этой плоскости». При отсутствии подчеркнутых мною слов, теорема не верна.

Стр. 162 163. Согласно «определению 2», «наклонная» есть прямая. Но тогда как понять теорему на той же странице, где сказано, что «перпендикуляр короче наклонной»? Не вносит ясности и «доказательство», сопровождаемое неудачным чертежом 295: на деле никакого доказательства не приведено.

Стр. 165. «Теорема. Прямая, параллельная какой-либо прямой на плоскости, параллельна этой плоскости». Теорема не верна, если в конце не добавить «или лежит в ней».

Стр. 182. «Определение. Плоскость, расстояние которой от центра равно радиусу шара, называется касательной плоскостью, т. е. (?) касательная плоскость перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания» (смысл последних двух слов выясняется только в следующей затем теореме).

Стр. 194—195. Определение многогранника (начало § 76) таково, что под него подходят и некоторые фигуры с бесконечным множеством вершин, ребер и граней. «Плоскости, проходящие через ребра многогранника, но не принадлежащие к его граням, называются диагональными плоскостями» (неужели любая, отличная от грани плоскость, проведенная через любое ребро?).

Стр. 207—208. При выводе формулы для объема пирамиды возможность построения таких входящих и выходящих призм, какие изображены на черт. 386, ничем не мотивирована, вследствие чего доказательство хуже обычных.

Стр. 209. В определении усеченной пирамиды плохо то, что к произвольному сначала многограннику применяются термины «основания», «боковые грани» (тот же дефект раньше, на стр. 2(0, при определении призмы). Кроме того, под это определение подходит и многогранник, состоящий из двух усеченных пирамид, лежащих по разные стороны от общего основания.

Стр. 238. «Лемма. Если в четырехугольнике АВСО равны углы А и В, то...». Доказательство начинается словами: «Рассмотрим сначала случай, когда z. 4 = </В...».

Стр. 240. В теореме 8 утверждается, что в геометрии Лобачевского «сумма углов треугольника есть функция его площади», но доказательство отсутствует, и это скрыто от читателя.

Несколько раньше то же сделано по отношению к углу параллельности те (/?), как функции расстояния, хотя здесь провести доказательство не стоило бы труда.

2. Неряшливость языка математического и литературного.

Стр. 11. «...прямая а разбивает точки плоскости на точки А и В, лежащие по одну сторону от нее, и на точки С и D, лежащие по разные ее стороны».

Стр. 53. «Следствие. Диагональ параллелограма образует с двумя парами прилежащих к ней сторон два равных треугольника». А какие это стороны параллелограмма не «прилежат» к его диагонали?

Стр. 85. «Теорема. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника делят противоположную сторону в отношении двух других сторон».

Стр. 115. «Площадь есть некоторое число, которое принадлежит каждому многоугольнику указанного типа. Посмотрим, какие числа, выражающие их (?) площадь, связаны с отдельными видами многоугольников».

Стр. 122. «Определение. Правильным многоугольником называется такой многоугольник, все стороны и углы которого равны».

Стр. 126. «...многоугольник распадается на k простых многоугольников с числом сторон».

То же на стр. 197 внизу: «...причем (т -f-1) число таких частей дает...».

В заголовке § 58: «Выражение сторон правильного удвоенного (?) вписанного и... описанного многоугольников...».

Стр. 164. «... перпендикулярность прямой а к плоскости р устанавливается перпендикулярностью прямой а к двум прямым...».

Стр. 190. «. . .последовательность граней..., если смотреть на нее (?) с вершины трехгранного угла, ориентирована против часовой стрелки».

В заключение добавим, что нередки неряшливые и сбивающие с толку чертежи, например: 17, .;41в, 278, 279, 295, 407.

«Геометрия» А. Н. Перепелкиной не только не воспитывает будущего учителя, она его деморализует. Чем скорее этот учебник будет изъят из употребления, тем лучше.

Остается сказать о последней трети книги — «Тригонометрии» С. И. Новоселова. Не будучи наиболее удачной среди публикаций этого автора, она все же стоит в одном ряду с хорошими современными учебниками, — ближе всего по направлению к «Тригонометрии» А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника. Здесь, как и там, тригонометрические функции определяются с помощью проекций, благодаря чему формулы гониометрии устанавливаются сразу для углов любой величины. Общим является также внимание к понятию функции, к исследованию хода изменения и к графикам прямых и обратных тригонометрических функций, причем вразумительным образом проводится различение между функциями угла и функциями числового аргумента. Некоторое отличие в содержании и стиле изложения объясняется, кроме авторских индивидуальностей, тем, что С. И. Новоселов обращается к более взрослой аудитории и в связи с этим не боится новых терминов: векторы, координаты (декартовы и полярные), монотонность и т. п. Другая особенность заключается в том, что книга для учительских институтов не должна обязательно воспроизводить все пункты школьной программы. Автор с основанием отказался от изложения традиционной теории и техники логарифмо-тригонометрического решения треугольников. Взамен этого глава V (стр. 348— 360) содержит «общие принципы решения треугольников» в трактовке, для наших учебников необычной. В основу положено рассмотрение функций от сторон и углов треугольника, которые относительно сторон являются однородными первого или нулевого измерения (не очень удачным представляется мне термин «угловой элемент» вместо «функция нулевого измерения»; ведь с отношением двух отрезков не обязательно ассоциируется в нашем сознании какой-либо угол или углы). Жаль только, что читатель останется в не-

ведении относительно того, что эта теория была создана у нас в конце прошлого века педагогом К. Тороповым и ученым С. О. Шатуновским.

Книга содержит и другие, но уже эпизодические экскурсы за пределы школьной тригонометрии: метод вывода формул для синуса и косинуса суммы любого числа слагаемых (стр. 302); формулы умножения угла на любой натуральный множитель (стр. 303); рациональные выражения для всех тригонометрических функций через тангенс половины угла (стр. 304—305), получающие применение на стр. 337; полиномы Чебышева (стр. 323).

Как уже отмечалось, «Тригонометрия» должна быть отнесена к числу хороших учебников, однако она вызывает несколько возражений различного удельного веса. Наиболее серьезное из них относится к первым страницам. Одновременно с «вектором» (стр. 253) появляются его «длина» и его «величина»; последняя может отличаться от первой знаком и, строго говоря, сопоставляется не вектору, а «вектору плюс ось», на которой он лежит, — обстоятельство, никак не отраженное в той формулировке, которая напечатана курсивом внизу стр. 253. Нечеткость усугубляется тем, что для обозначения как длины, так и величины (которые ведь могут не совпадать) вектора АВ применяется один и тот же символ АВ. В особенности трудно примириться с тем, что предложение (часто называемое «теоремой Шаля») относительно суммы векторов, расположенных на оси («величина вектора-суммы равна сумме величин векторов-слагаемых»), высказано на стр. 254 «скороговоркой», не выделено даже курсивом, не доказано и записано невыразительной формулой:

А\Ап+\ = ai + а2 + • • • + ап-

Между тем это — фундамент теории проекций, и доказательство (сначала для п = 2, потом от п к п + 1) не так уж трудно. Еще большей неполнотой страдает аналогичное рассмотрение направленных углов (j 3): здесь определено только сложение таких углов (курсив при переходе со стр. $57 на 258), и непонятно, относится ли формула стр. 258 к сложению углов или же их величин (в последнем случае, который именно и нужен для дальнейшего, она требует доказательства). Таким образом, упоминавшийся ранее выигрыш от пользования теорией проекций оказывается здесь частично иллюзорным, так как достигается ценой пропуска важных логических звеньев. Другим обстоятельством, вносящим неясность в эту теорию, является соглашение, формулированное на стр. 255 (сверху): «В дальнейшем для краткости будем как величину отрезка A\B\t так и сам этот отрезок называть общим термином «проекция». Этим открывается широкое поле для словесных злоупотреблений, вроде подмены содержательной теоремы о проекции — числе суммы векторов тривиальным предложением о проекции — векторе той же суммы. А как должен, например, понимать читатель встречающееся на стр. 282 [после (3)] выражение «величина проекции СШ»? «Проекция ОВ» может означать только величину вектора, полученного как проекция; что же значит— «величина величины»?

Из более мелких промахов отметим неправильное выражение на стр. 255 начало доказательства леммы): «...предел длины вписанной ломаной линии при достаточно малых длинах ее сторон». Допустим, все стороны будут меньше 0,0001, чему же тогда будет равен предел?

Почему такие тождества (по автору, «абсолютные»), как

(cos ср + sin ср)з = cos3 <р + 2 cos ср sin ср + sin2 ?

(стр. 270) не относятся к числу «тригонометрических тождеств» (стр. 271)? Это, конечно, дело соглашения о терминологии, но, заключив определенное, автор на следующей стр. 272 нарушает его, когда говорит о равенстве (9), что оно «есть тригонометрическое тождество, справедливое при всех значениях ср, но в действительности (?) (9) есть абсолютное тождество» (и, значит, не есть тригонометрическое тождество).

На стр. 346 (сверху) речь идет о том, чтобы функцию f (х), не определенную для значения х — а, дополнительно определить и именно так: полагаем:

/(*) = /.

где

/= lim f(x).

По этому поводу сказано: «Это определение основывается на понятии предела и для последовательного своего проведения нуждается в ряде предложений, относящихся к математическому анализу». Мне кажется педагогически неправильным затушевывать ту мысль, что «дополнительное определение» в подобных случаях не нуждается ни в каком обосновании. Конечно, если хотим объяснить мотивы, руководившие нами при выборе числа /, то будем нуждаться в определении предела функции, но никак не «в ряде предложений и т. д.».

Даже при наличии этих пробелов (а тем более в случае их устранения) «Тригонометрия» является положительным вкладом в нашу учебную литературу, разумеется, в изоляции от «Геометрии», которая исправлена быть не может.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 3 за 1949 год

№ 41

Треугольник ABC будет остроугольным, прямоугольным или тупоугольным в зависимости от того, будет ли выражение:

дЗ _|_ Ь2 + С2 _ 8#2 (1)

соответственно положительно, нуль или отрицательно. Доказать,

Решение 1. Во всех присланных решениях выражение (1) тем или иным способом приводилось к виду:

8R2 cos A cos В cos С (2)

Приведем наиболее короткое преобразование, данное тов. С. Лебензоном. Воспользуемся формулой для квадрата стороны:

c* = a* + b2 — 2abcosC и заменим в (1) аш-{-Ь2:

Пусть А > В, А > С. Тогда углы В и С — непременно острые, и cosB>0 и cosC>0. Таким образом, знак выражения (2), а следовательно, и (1) будет зависеть только от знака cos А. Итак:

1) Если выражение (1) отрицательно, то cos А <0 и А>90°. Треугольник — тупоугольный.

2) Если (1) равно нулю, то cos А = О, А = S0°. Треугольник — прямоугольный.

3) Если (I) положительно, то cos<A>0, А>90°. Треугольник — остроугольный.

Решение 2. Приведем вкратце решение, в котором не применяются тригонометрические функции. Воспользуемся формулами:

(см. Киселев, Геометрия, ч. 1, § 256). Умножив (1) на 16S2, будем иметь:

(3)

Последнее выражение несложными преобразованиями (из экономии места их не приводим) легко приводится к виду:

(дЗ + Ь2 _ С2) (дЗ _ b1 + С2) ( _ дз + & + ГЗ). (4)

Положим: & и а>с. Тогда, очевидно, первые два множителя в (4) будут положительны, и знак всего произведения, а следовательно, и выражения (1) совпадает со знаком множителя: — а2 + Ь2-f-с2. Но по известному признаку,

если — а3 + &2 + с2 > О, т0 треугольник — остроугольный

» — a2 -f- b2 4- с2 = 0, > > прямоугольный

»—а3 + б2 + с2 < О, > » тупоугольный.

Это доказательство интересно тем, что показывает полную эквивалентность обычного школьного признака и приведенного в данной задаче.

Примечание. Для затрудняющихся в преобразовании выражения (3) приводим начальные стадии.

Выделим множитель a2 -f~ Ь2 — с2:

Далее представим а2 + Ь2 4- с2=(а2—Ь2 4 с2) + 2Ь2 и выделим множитель а2 — Ь2 4- с3 и т. д.

№ 42

Решить систему уравнений:

(1)

Применить к частному случаю: т= I, л = 2.

Решение. Извлекая из обеих частей каждого уравнения корень m-ой степени и умножив на тп

угх+ у 4- z (x-\-y-\-z ф 0), получим систему:

(2)

Сложив эти уравнения, найдем:

(3)

Отсюда:

или:

(4)

Подстановка из (4) во (2) дает:

(5)

Отсюда легко находим:

Решение значительно упрощается для случая т=), п = 2. Тогда заданная система примет вид:

(7)

а выражение (3):

(8)

Отсюда непосредственно находим:

После подстановки в (7) легко найдем:

или, короче:

= Р{р — а); y = p(p-b); z=p (р — с).

Конечно, тот же результат можно получить и непосредственной подстановкой т = 1 и л = 2 в (4) и (о).

Многие прислали решение только частного случая (т = 1, п = 2). Задача же требовала предварительного решения в общем виде.

№ 43

Упростить:

Решение. Предполагаем: х2+«3 ф О и х ± 1-^0* так как в противном случае заданное выражение теряет смысл. Сложим первое слагаемое с третьим:

Прибавляем второе слагаемое:

Можно было сразу сложить все три слагаемые, но преобразования будут немного сложнее.

Задача, конечно, совершенно элементарна и требовала только оговорки относительно знаменателей, что, кстати сказать, во многих решениях не было сделано.

№ 44

Вершина квадрата ABCD соединена прямой с некоторой точкой М на CD, причем AM = d. Биссектриса AN угла ВАМ пересекает сторону ВС в точке N.

Определить величину суммы DM + BN.

Решение 1. Обозначив Z.BAN'am z. NAM = а, будем иметь (черт. 1):

Черт. 1

из тр-ка ADM:

DM = d sin (90э — 2а) = d cos 2а; (1)

из тр-ка ABN:

BN=ABtga = ADtga = d cos (90° — 2а) tg а =

= d sin 2а tg а = 2d sin* а. (2)

Сложив (1) и (2) получим:

Черт. 2

Решение 2. Проведем АЕ ±_ AN до пересечения с продолжением стороны CD (черт. 2). Тогда:

Z.DAE—</BAN = a (как углы с взаимно-перпендикулярными сторонами). Отсюда следует, что

&ADE = AABN

(по катету AD = AB и острому углу) и, значит,

DE=BN; ME — DM -f- BN.

Но в тр-ке AME:

Z. MAE = z. NAE — Z.NAM = 90° -a,

ZAEM = ZBNA = 90° — a= л MAE.

Отсюда следует, что

ME = AM=d.

Можно было, как многие и делали, вместо проведения перпендикуляра АЕ, просто продолжить CD на расстояние DE = BN. В остальном доказательство остается тем же.

Были даны и несколько более сложные решения.

№ 45

Ученику дали перемножить два трехзначных числа и полученное произведение разделить на пятизначное число. Ученик не заметил знака умножения и принял оба рядом стоящие числа за одно шестизначное. Поэтому полученное частное оказалось в три раза больше истинного. Определить все три числа.

Решение. Обозначим первое из заданных чисел через х, второе через у и пятизначный делитель через z. Произведение ху ученик принял за одно число, равное, следовательно, 100Эл:~|-з>. Тогда по условию:

(I)

Отсюда:

(2)

или:

(3)

Отсюда заключаем: v

1) что — число целое; обозначим его через л;

2) что п — однозначное число (так как х и у — трехзначные числа);

3) что 10 0 + п должно делиться на 3.

Отсюда следует, что п может быть равно только 2, 5 или 8. Но при л = 5 будем иметь у = Ьх> и по подстановке в (2) получим х = 67, что противоречит условию (х — число трехзначное).

Точно так же при п = 8 получим х~42. При п = 2 будем иметь: х =167 и у = 331. Далее, так как

ху = 167.334 = 55 778 = 2.27 889,

то пятизначным делителем, очевидно, является число 27 889.

В большинстве решений в качестве возможного пятизначного делителя указывалось само делимое 5) 778. Формально это, конечно, правильно, но трудно предположить, что ученику в качестве упражнения на деление даны были два равных числа, дающие в частном единицу.

Тов. Шебаршин еще больше обобщает задачу: так как делимое 167 J34 в 3 раза больше делимого 55 778, то очевидно, что первое частное будет в три раза больше второго при любом делителе.

Ограничиваясь, согласно условию задачи, пятизначными числами, мы можем взять в качестве делителя любое число от 10 000 до 99 999, то-есть, будем иметь ЬОООО ответов. (Правда, частные будут дробными, но ведь в задаче и не указано, что они должны быть целыми.) Все это тоже правильно, но думается, что характер всей задачи заставляет предположить, что речь идет о делении нацело.

№ 46

Если имеют место соотношения:

а= Ь cos y + ccos jJ (1)

Ь :=. с cos a -|- a cos 7 (2)

с== a cos р + Ь cos a, (3)

где я, Ь и с — положительны и каждый из положительных углов а, р, ^ меньше 180°, то существует треугольник со сторонами а% Ь> с и с углами a, р, f. Доказать.

Решение 1. Умножив данные равенства соответственно на а, на — Ь, на — си сложив, получим:

а2 — Ь2 — с* = — 2bc cos a

или:

аз — р + с» — 2bc cos a. (4)

Аналогично получим:

^=raHc2~ 2ас cos f; (5)

c* = a'* + b'* — 2ab 0.0*4. (6)

Из (4), (5) и (6) следует:

(7)

Неравенства (7) показывают, что треугольник ABC со сторонами а, Ь, с может быть построен. Определим его углы.

Будем иметь:

(8)

Сравнивая (8) с (4), (5) и (6), получаем, что А — а, В = % C = i.

Решение 2 (С. Лебензона). Получив соотношение (4), построим треугольник ABC, у которого АС=Ь, АВ — с и А = а (по данным условия такой треугольник построить можно, так как 6>0, с>о, А < 180°).

Докажем теперь, что в этом треугольнике:

ВС = а, В = $, С = т-

Из треугольника ABC имеем:

ВСэ = Ь1 + с3 — 26с cos а.

Сравнивая с (4), заключаем, что ВС = а. Из того же треугольника имеем:

с = а cos В -f- Ь cos а.

Сравнивая с (3), заключаем, что В = \.

Аналогично докажем, что С = т-

Некоторыми задача не была понята должным образом. Они брали произвольный треугольник и доказывали, что в нем имеют место соотношения

1—3. Конечно, это решение является решением не данной задачи, а обратной ей.

№ 47

Если

ару

где ~2~9 ^ » 2 ~~ остРые углы, являются корнями уравнения:

x3+px* + x + q = 0, (1)

то

ig « + tg? + tg7 = tgatgptgf- (2)

Доказать.

Решение. Так как соотношение (2), как известно, справедливо при a -f- f + f = 180°, то для

a

решения задачи достаточно показать, что -j- +

В 7

+ -л- + -j-8=8 90°. Из уравнения (1) по теореме Виета имеем:

(3)

Отсюда:

(4)

Из (4) заключаем:

или:

a 3 7

Но так как -тр 2 » "2---углы острые, то их сумма меньше 270° и, значит,/1 = 0. Следовательно:

а тогда имеет место соотношение (2).

№ 48

Найти все действительные корни уравнения:

(1)

Решение. Приведем наиболее короткое решение, данное тт. Айзенштатом и Шебаршиным.

Разделив обе части уравнения на 2х, будем иметь:

(2)

Но, как известно:

и уравнение (2) примет вид:

(sin 15°)*+(cos 15°)*= 1. (3)

Отсюда сразу получаем один корень: х=2. Покажем, что других действительных корней быть не может.

1) Положим, что*>2. Пусть х=2 + а. Тогда:

(sin 15°)*= (sin 15°)2+az=:sin2150.(sin 15°)a<sin315° (4) (так как (sin 15°)a < 1). Аналогично получим:

(cos 15°)* < cos* 15°. (5)

Из (4) и (5) имеем:

(sin 16°)* + (cos 15°)v < sin315° + cos315°,

т. е. меньше 1.

2) Положим ;c<2. Пусть х — 2 — р. Тогда:

sin315° = (sin 15Y+P= (sin 15°)* (sin 15°)p<

< (sin 15°)\ (6)

Аналогично:

cos215°<(cos 15°)*.

Из (6) и (7) заключаем, что (sin (cos 15°)* >1.

Во многих решениях давался корень х = 2, но не доказывалось, что он является единственным (действительным) корнем.

№ 49

Доказать, что арифметический корень натуральной степени из положительной конечной десятичной дроби не может быть равен бесконечной периодической десятичной дроби.

Решение. Допустим, что п

Y~A7B = a, Ь (с) (1)

(полагаем, что смысл обозначений А, В, а, Ь, с достаточно ясен). Тогда:

А, В= [а, Ь, (с)]п (2)

Обратим обе дроби во (2) в обыкновенные. В левой части получим после возможных сокращений несократимую дробь, знаменатель которой содержит только множители 2 и 5. В правой части при обращении дроби а, Ь (с) в обыкновенную получим по сокращении дробь, знаменатель которой непременно содержит множители, отличные от 2 и 5 (в противном случае эта дробь обращалась бы в конечную десятичную). Но тогда и л-ая степень этой дроби будет содержать в знаменателе множители, отличные от 2 и 5. Эго и доказывает невозможность равенства (2), а следовательно и (I).

Предложивший эту задачу тов. Барановский сопроводил ее следующим примечанием: «Опыт подтверждает поголовное незнание учащимися (а часто и преподавателями) этого почти тривиального положения».

Проверив на опыте справедливость этого замечания, редакция и поместила данную задачу.

Примечание. Понятно, что исключается из рассмотрения случай «не собственной» периодической десятичной дроби, когда периодом является число 9.

№ 50

Сколько и каких цифр понадобится для того, чтобы написать в десятичной системе все числа от 1 до 10п включительно.

Решение 1. Запишем все числа от 0 до 10я—1 в виде л-значных чисел, добавляя впереди нужное количество нулей. Получим таблицу:

ООО . .

. 00

ООО . .

. 01

ООО . .

. 02

ООО .'

! *09

ООО . .

. 10

ООО . .

. 11

999 ! !

! *99

(1)

Общее число цифр в этой таблице, содержащей 10я строк по п цифр в каждой, будет равно п 10я.

Каждая из цифр 0, 1, 2 . . .9 встречается в этой таблице одинаковое число раз.

В самом деле, допустим, что какая-либо цифра, например 5, встречается в таблице т раз, а цифра, хотя бы 7, встречается п раз, причем т>л. Выпишем из таблицы все числа, содержащие 5, и заменим в них 5 на 7 и 7 на 5. Получим группу чисел (притом меньших 10я), в которой цифра 7 встречается уже т раз. Но так как 7 во всей таблице встречается только п < т раз, то, значит, каких-то из этих чисел нет в нашей таблице. А этого не может быть, так как таблица содержит по порядку все числа от 0 до 10я —1. То же рассуждение можно применить к любой паре цифр. Итак, каждая цифра содержится в таблице п• 10я*10»/110я""- раз. Если теперь впервой строке приписать слева 1, то мы исключим из таблицы число нуль и введем число 10я, чем приведем таблицу в соответствие с условием задачи (числа от 1 до 10я). Таким образом, цифра 1 встретится 10я""*1 + 1 раз. Остается подсчитать число нулей. Это можно сделать различными способами.

1) Можно из общего числа нулей, находящихся в таблице (т. е. из л-Ю*1""1) исключить все нули, находящиеся перед значащими цифрами. Подсчитаем их число (первую строку исключаем, так как в ней мы приписали впереди 1). Во 2-ом столбце справа лишних нулей 9 = 10—1

(в первых 9 строках). В 3-ем столбце справа лишних нулей 99 = 103—1

(в первых 99 строках). В 4-ом столбце справа лишних нулей 999 = 103—1.

В я-ом столбце справа лишних нулей 10я"1 — 1. Сложив полученные числа, найдём:

10я-1 + 10я-2 + ... +10 - (я — 1) = 10я-1 +

\Г\П _ 1

+ ЮЯ-3+ . .. + Ю+ 1 - П = -g- - П.

Вычтя это число из л-10я*-1, получим окончательно:

10"_1

„(ю-41)- J2VL-

2. Можно непосредственно подсчитать число нулей во всех числах от 1 до 10я.

а) На месте единиц нуль встретится столько раз, сколько в числе 10я содержится десятков, т. е. •10я"1 раз (так как нулем будет оканчиваться каждое десятое число).

б) На месте десятков будет столько десятков нулей, сколько сотен содержится в 10я (так как. в каждой сотне первые десять чисел содержат нули), т. е. их будет (10я:10*)-10 = 10я-*1. Но следует учесть, что в первой сотне этих нулей не будет. Следовательно, во втором справа столбце их будет 10я""1 —10.

в) Точно так же найдем, что на месте сотен (на 3-ем месте) нулей будет 10я"1 - 103, и т. д., наконец, на п — 1 месте (наибольшее число членов в числах) их будет 10я"1 — 10я"-2. Сложив все эти числа и прибавив п — 1 нулей числа 10я (один из его нулей нами уже взят в а), получим:

Получили тот же результат, что и в 1.

3. Наконец, можно подсчитать число всех цифр в числах от 1 до 10я и вычесть из результата число всех значащих цифр, т. е. 9 я«10я"""1 +1. Подсчет предоставляем произвести читателям.

Решение 2. Несколько иной способ подсчета дал тов. Барановский (предложивший задачу). Подсчитывается число двоек, содержащихся во всех написанных числах от 1 до 10я. Очевидно, что на месте единиц 2 встретится столько раз, сколько к ней можно слева приписать чисел от 0 до 10я"*1 — 1 включительно (само число 2, затем 12, 22, 32 и т. д. до 999...92). Всего на месте единиц будет 10я""1 двоек. Точно так же на месте десятков двойка встретится столько раз, сколько можно составить чисел от 1 до 10я-""1 ~" 1 (которые получатся, если из чисел от 1 до 10я выкинуть вторую цифру справа), да еще прибавить одну двойку числа 20. Получим опять 10я""1 двоек. Продолжая так и далее, мы получим п раз по 10я""1, т. е. всего п 10я""1 двоек, как и в первом случае.

Аналогичные рассуждения можно провести по отношению к каждой из значащих цифр. Для 1 и 0 можно повторить те же рассуждения, что и в решении 1.

В некоторых решениях вычислялось только число всех цифр, что не давало ответа на вопрос задачи.

№ 51

Построить правильный треугольник по трем отрезкам — расстояниям от точки, взятой внутри треугольника, до его сторон.

Решение 1. Легко показать (черт. 3), что

^DME = z.EMF= Z.FMD = 120°

(например, Z. DME =360° — 90° - 60° — 90° = 120°).

Но отсюда сразу вытекает построение.

Берем произвольный отрезок и по обе стороны от него строим углы по 120°. Откладываем на полученных трех лучах отрезки, равные данным, и через полученные точки проводим перпендикуляры.

Их пересечения образуют искомый треугольник.

Решение 2. Как известно, сумма расстояний любой точки, взятой внутри правильного треугольника, до его сторон равна высоте треугольника. Таким образом, в данной задаче нам известна высота искомого треугольника, равная MD + + ME + ME.

Получаем элементарную задачу: построить правильный треугольник по его высоте.

Черт. 3

Примечание. Указанное свойство правильного треугольника легко доказывается различными способами, например:

Отсюда:

Во всех решениях были даны или одно из приведенных здесь, или оба.

Против всякого ожидания, эта достаточно общеизвестная и простая задача получила значительное количество (более 20) невероятно длинных и сложных решений с необычайно громоздкими построениями.

№ 52

Расстояние любой точки окружности, описанной около правильного треугольника, до одной из его вершин равно сумме расстояний этой точки до двух других вершин. Доказать.

Решение 1. От точки С на СМ (черт. 4), отложим CD = AM> Остается доказать, что МО = MB. Действительно,

Черт. 4

(так как AM==CD, АВ=СВ и Z.MAB = SMCB, как вписанные, опирающиеся на дугу MB). Отсюда непосредственно следует, что MD = MB.

Решение 2. Пусть z. MCA = а, Тогда </МСВ = 60° — а и ^ MAC = 60°+ z.MAB = = 60° + (60° — а) = 120° — а (так как z_MAB = = z. МСВ).

Отсюда будем иметь:

но

Решение 3. Проще всего, конечно, применить теорему Птоломея. Имеем:

но так как ВС = АС= АВ, то по сокращении получим:

МА + МВ = МС.

По поводу высказываний об общеизвестности задачи можно сказать то же, что и по поводу задачи 49. Что же касается выраженного некоторыми читателями недоумения, почему автором задачи указан тов. Боков, то дело в том, что тов. Боковым эта задача была дана в другой, несколько завуалированной формулировке. Редакция заменила ее обычной формулировкой, оставив, решение тов. Бокова (решение 1-ое).

№ 53

Решить уравнение:

(1)

Решение. Если х=+а, то подстановкой в (1) убеждаемся, что в этом случае а = х = 0. Положим теперь хф + а. Тогда, разделив (1)

на ^ х2 — а2 , получим уравнение известного вида:

(2)

Положив:

а значит:

и решив полученное уравнение, найдем:

Итак, имеем:

(3)

Образовав производную пропорцию, легко находим:

(4)

№ 54

Решить систему уравнений:

(1) (2)

Решение 1. Очевидно, что хуф0, так как в этом случае уравнение теряет смысл. Разделим обе части уравнения (2) на 'у/ху. Получим:

или, что то же:

(3)

Положив:

(4)

найдем:

Подстановка в (4) дает:

(5)

Отсюда:

я так как у + х = 2а, то

Далее, из (5):

Отсюда:

В силу симметрии у6Л = х12 и хЗА=у]2 также являются решениями.

Возведя (2) в куб и выразив из него ху, получим решения:

являющиеся корнями уравнения:

Никто не дал полного решения этой системы уравнений.

№ 55

Доказать, что 19! делится на 820125. Решение. Число 820 125 = 33• У.

19

Но 19! содержит £ ^ — 6 множителей, крат-19

ных 3, и из них Е -д- = 2 множителя, кратных 9, т. е. содержит множителем З8.

Черт. 5

Но

XD = ME = MY sin Z. MYE = bx sin В (2)

(так как z. В и Z MYE — углы со взаимно перпендикулярными сторонами).

DB = ax cos В. (3)

Из (1), (2) и (3) имеем:

а1 cos В + bx sin В + сх = с. (4)

Умножив это равенство на с и приняв во внимание, что с cos В—а и с sin В ~ Ь, получим:

аах + bbx + ссх = с2. (5)

Решение 2. То же решение, но в более изящной и простой форме (так как не требует никаких дополнительных построений) дано С. Лебензоном.

Проектируем ломаную MYB на АВ; получим: АХ cos 0° + ХМ cos 90° + М Y cos А + + YB cos В = АВ

или:

ci + b\ cos А + ах cos В = с,

т. е. получили равенство (4), которое по умножении на с даст (5).

С другой стороны, 19! содержит £-^-=3 множителя, кратных 5, т. е. содержит множитель б8.

Значит, 19! делится на 36-5 = 820 125.

Так как 19 не делится ни на 3, ни на 5, то, очевидно, уже 18! делится на 8-0125.

Нельзя признать удачными такие решения этой простейшей задачи, в которых выписывалось произведение всех чисел от 1 до 19 и из него выбирались множители 3 и 5, или бралась дробь 1-2...19 и производились последовательные ее сокращения.

№ 56

Из точки М, взятой внутри прямоугольного треугольника ЛВС, проведены перпендикуляры MX, MY, MZ соответственно на гипотенузу АВ и катеты ВС и АС. Доказать, что

ааг + bbi + ссх — с3,

где

a1 = BY, bx=.CZ, Cl = AX.

Решение 1. Проведем YD ± АВ и ME ± YD (черт. 5). Тогда:

XD + DB = АВ — АХ= с — с,. (1)

Следует отметить, что задача получила довольно много разнообразных решений, но все они сложнее и гораздо длиннее приведенных.

№ 57

Из точки М, взятой внутри остроугольного треугольника ABC, проведены перпендикуляры MX, MZ, MY соответственно на стороны а, Ь, с. Доказать, что

аах + ЬЬХ + ссх — ah cos С = с2,

где

ах = ВХ, bx=CY, ct = AZ.

Решение. Приводим наиболее простое и короткое решение, данное тт. Владимировым и Шебаршиным. Имеем (черт. 6):

Черт. 6

(1) (2) (3) (4)

Сложив (1), (2), (3) и вычтя (4), получим:

После приведения и сокращения на 2, найдем:

Другие способы (в частности, примененный и здесь тов. Лебензоном метод проекций) дали более сложные решения.

Совершенно очевидно, что предыдущая задача является частным случаем данной при c = 9j°. Поэтому и помещена она раньше, чтобы ей было дано самостоятельное решение. И как видим, простейшее решение задачи 56 не является таковым для задачи 57.

№ 58

На окружности радиуса R, описанной около треугольника ЛВС, внутри угла С взята тонка М и соединена с вершинами треугольника. Найти величину выражения:

Решение. Имеем (черт. 7):

(2)

(так как / АМС = В, как опирающийся на дугу АС)

(3) (4)

(5)

Сделав подстановку из (2), (3), (4) и (5) в (1), получим по умножении на 2:

(6)

Черт. 7

Наконец, разделив (6) на sin A sin В sin С, найдем окончательно:

Черт. 8

№ 59

Вычислить радиус окружности, описанной около четырехугольника, если известны радиусы Ra, Rb, Rc и Rd окружностей, описанных около треугольников АОВ, БОС, COD и DO А, где О —точка пересечения диагоналей.

Решение. Выразим через стороны площадь четырехугольника ABCD (черт. 8):

(1)

Но

Произведя замену в (1), получим:

с другой стороны:

(3)

где <р — любой из углов между диагоналями. Из (2) и (3) получим:

Отсюда:

(4)

Но, как известно:

(5)

с другой стороны, из треугольников ЛОВ, ВОС, COD и DO А имеем:

a = 2Ras\r\^\ b = 2Rbs\ny; c = 2Rcsiny (б)

d = 2Rd sin (p.

Сделав подстановку из (5) в (4), получим:

(7)

Наконец, заменив в (7) а, Ь, с и d их выражениями из (6), окончательно найдем:

Таково с некоторыми вариациями большинство присланных решений.

Решение 2. Из других вариантов решений приведем решение тов. А. Владимирова, которое, несмотря на внешнюю искусственность, представляется нам наиболее коротким и изящным. Имеем:

(1)

Тогда:

(2)

С другой стороны, по теореме Птоломея:

Тогда:

или, принимая во внимание равенства (6):

(3)

Перемножив (2) и (3), получим: S1 = 4 R3 (Ra rc + Rb Rd) sin* cp sin A sin B. (4)

Далее:

(5)

(6)

Перемножив (5) и (6), получим:

(7)

Приравняв правые части равенств (4) и (7), получим:

откуда легко получаем для R уже найденное выше выражение.

№ 60

В треугольнике известна только его площадь S. Найти величину выражения:

Решение. Из формул:

находим:

Тогда имеем:

ЗАДАЧИ

(Срок присылки решений 1/II 1950 г.)

101. Решить уравнение:

9*4 + 3*3 + 6*з f 2* + 4 = 0

К. Агринский (Москва).

102. Упростить:

К. Агринский.

103. Решить уравнение:

10*4 _|_ з*з + 5*з 4. Ъх + 8 = 0

Б. Алеев (Наченалы, Мордовск. АССР).

104. Решить систему уравнений: 5*3 + 12^ = 5 Зу* + 5* = 3

Б. Алеев.

105. Найти число abcb, если ас, ba, cb кратны 7 и а + 2Ь + с=<23

Б. Алеев.

108. Исключить а, р и 7 из уравнений: sin (р — a) sin (у — а) = а cos а sin (7 — р) sin (а — Р) = b cos р sin (а — 7) sin (р — 7) = с cos 7 (т. е. найти зависимость между a, b и с).

Я. Айзенштат (Киев). 107. При каком значении * дробь:

имеет наибольшее значение (я>0, 6>0)?

Я. Айзенштат.

108. Выразить в общем виде (в зависимости от двух параметров) целочисленные стороны треугольника, имеющего угол в 120°.

Я. Айзенштат.

109. Число lab \с делится на 924. Определить это число.

И. Глузман (Винница).

110. Общий наибольший делитель двух чисел изображается в пятиричной и восьмиричной системах соответственно: аа и bb, а их общее наименьшее кратное:

bbbcae$ и ekbkb8. Найти эти числа, если они относятся, как саъ : асъ

И. Глузман.

111. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и продолжена до пересечения в точке К

с описанной окружностью. Определить разность:

где О — центр вписанной окружности.

С. Лебензон (Малаховка, Моск. обл.).

112. В треугольнике ABC имеет место соотношение:

где ЬА — биссектриса угла А. Определить этот угол.

С. Лебензон.

113. Три окружности с центрами О], 03, 03 пересекаются в одной точке О. Точки Аь В, С — пересечения, соответственно, окружностей 0\ и 02> 02 и 03, 03 и Ог. Из произвольной точки М окружности 0J проведены секущие MAP и MCQ (Р и Q — точки, соответственно, на 02 и 08). Доказать, что точки Р, В и Q лежат на одной прямой.

С. Лебензон.

114. Вычислить без помощи таблиц:

tgl0°, tg30°, tg50°, tg70°.

Л. Лоповок (Проскуров).

115. На поверхности куба найти все точки, равноудаленные от концов одной из его диагоналей.

Л. Лоповок.

116. Два двузначных числа отличаются только цифрой десятков. Найти эти числа, если при делении каждого из них на простое число р ф 11 остаток и частное одного равны соответственно частному и остатку другого.

Л. Лоповок.

117. Из четырех подобных (неравных) прямоугольных треугольников составить прямоугольную трапецию.

Г. Пушкаревский (Степановка, Башк. АССР).

118. Отношение весов двух монет равно 1, (3). Сколько надо взять тех и других монет, чтобы получить число копеек, равное произведению их стоимостей, причем число всех монет кратно трем.

Г. Пушкаревский.

119. Вычислить величину выражения:

где п — произвольное натуральное число.

Н. Титов (Казань).

120. Из всех девяти значащих цифр составить три трехзначных числа, относящихся друг к другу, как 1 : 2 :3.

Н. Титов.

В ПОМОЩЬ ЧИТАТЕЛЮ

(Тематический указатель статей, помещенных в журнале «Математика в школе» за 1946—1949 гг.)

Передовые

Барсуков А. Н., Историческая веха в развитии биологической науки, 1948, № 1, стр. 3—6.

Великий славный путь, 1947, № 5, стр. 1—3.

По ленинскому пути (к 25-летию со дня смерти В. И. Ленина), 1949, № 1, стр. 1—2.

Ланков А. В., К истории вопроса о реформе преподавания математики, 1949, № 6, стр. 1—4.

Ларичев П. А., Изменения в программах по математике, 1949, № 6, стр. 4—8.

Маркушевич А. И., О математической литературе для учителя средней школы, 1947, № 1, стр. 1—10.

Молодший В. Н., К вопросу об учебнике по истории математики, 1949, № 4, стр. 9 — 12.

Никитин Н. Н., Преподавание математики в советской школе в 1917—1947 гг., 1947, № 5, стр. 4—22.

Шароватов Н. Н., О роли ленинской теории познания в изучении математики, 1949, № 4, стр. 1- 8.

Из истории математики

Вайншток И. В., Тригонометрия у древних греков, 1946, № 1, стр. 26 32.

Голубев И., Новые данные о Л. Ф. Магницком, 1948, № 6, стр. 26-27.

Депман И. Я., Задачи на деление площадей, 1946, № 2, стр. 10—14.

Нагаева В. М., О педагогическом наследии Н. И. Лобачевского, 1948, № 6, стр. 22-26.

Прудников В. Е., Педагогическое наследие П. Л. Чебышева, 1948, № 6, стр. 28-33.

Молодший В. Н., Пафнутий Львович Чебышев, 1946, № 3, стр. 13-16.

Юшкевич А. П., Математика и ее преподавание в России XVII — XIX вв. Математические знания в допетровской Руси. Первые памятники русской математики, 1947, № 1, стр. 16-39.

Юшкевич А. П., Математика и ее преподавание в России XVII—XIX вв. Математика и военно-техническое образование при Петре I, 1947, № 2, стр. 11 - 21.

Юшкевич А. П., Математика и ее преподавание в России XVII—XIX вв. Эволюция преподавания математики в XVIII в., 1947, № 3, стр. 1 — 13.

Юшкевич А. П., Математика и ее преподавание в России XVII-XIX вв. Учебная литература 1730 1800 гг., 1947, № 4, стр. 17—30.

Юшкевич А. П., Математика и ее преподавание в России XVII—XIX вв. Математические исследования в России в XVIII веке, 1947, № 5, стр. 23-33.

Юшкевич А. П., Математика и ее преподавание в России XVII —XIX вв. Русская математика на рубеже XVIII —XIX столетий. Жизнь и деятельность С. Е. Гурьева, 1947, № 6, стр. 26—37.

Юшкевич А. П., Математика и ее преподавание в России XVII — XIX вв. Реформа математического образования в первой половине XIX в., 1948, № 1, стр. 14—23.

Юшкевич А. П., Математика и ее преподавание в России XVII —XIX вв. Николай Иванович Лобачевский, 1948, № 2, стр. 2—14.

Юшкевич А. П., Математика и ее преподавание в России XVII—XIX вв. Новые математические исследования в Академии наук (М. В. Остроградский и В. Я. Буняковский), 1948, № 3, стр. 1-10.

Юшкевич А. П., Математика и ее преподавание в России XVII —XIX вв. Академик П. Л. Чебышев и создание Петербургской математической школы, 1948, № 5, стр. 10—19.

Юшкевич А. П., Математика и ее преподавание в России XVII—XIX вв. Петербургская математическая школа. 1. А. Н. Коркин, Е. И. Золотарев, Г. Ф. Вороной. 2. А. А. Марков 3. В. Г. Имшенецкий и Н. Я. Сонин. 4. С. В. Ковалевская. 5. А. М. Ляпунов. 6. А. Н. Крылов, 1949, N° 1, стр. 7-18.

Юшкевич А. П., Математика и ее преподавание в России XVII—XIX вв. Русская математика в конце XIX и начале XX века, 1949, № 3, стр. 1— 14.

Научно-популярный отдел

Александров П. С, Научное содержание школьного курса алгебры, 1946, № 4, стр. 1 — 12; 1946, № 5, стр. 1—21.

Александров А. Д., Что такое топология, 1946, № 1, стр. 7 — 19.

Безикович Я. С, Метод полной математической индукции, 1946, № 1, стр. 20—25.

Гибш И. А., Источники приобретения и потери корней при решении уравнений, 1947, № 6, стр. 18-25.

Гайдук Ю. М., Алгебра логики и ее метаморфозы, 1949, № 4, стр. 13-20.

Дахия С. А., Несколько слов об историческом развитии понятия геометрической точки, 1949, № о, стр. 9—10.

Делоне Б. Н., Неэвклидова геометрия Лобачевского, 1947, № 6, стр. 1—1 .

Депутатов В. Н., О формальной недостаточности правила Лопиталя, 1948, № 5, стр. 2—9.

Кочеткова Е. С., Обоснование геометрических построений в пространстве, 1949, № 2, стр. 1—11.

Лузин Н. Н., К статье проф. Василия Никитича Депутатова «О формальной недостаточности правила Лопиталя», 1948, № 5, стр. 1.

Маркушевич А. И., Символ бесконечности и его употребление в математике, 1948, № 1, стр. 1- 11.

Маркушевич А. И„ Понятие функции, 1947, № стр, 1 — 16.

Минковский В. Л., Очерк логических основ методов математического доказательства, 1949, № 5, стр. 1—9.

Моденов П. С, Геометрические преобразования, 1948, № 6, стр. 4—21.

Молодший В. Н„ Понятие комплексного числа в его развитии, 1917, № 1, стр. 11—26.

Немыцкий В. В., Понятие множества в современной математике, 1947, № 2, стр. 1—10.

Севбо В., Историческое развитие и современная научная трактовка понятия функциональной зависимости, 1946, № 4, стр. 13—17.

Сушкевич А. К., Обозначения чисел у разных народов, 1948, № 4, стр. 1 —15.

Чакалов Л., Несоизмеримые углы в треугольниках, 1948, № 1, стр. 12—13.

Четверухин Н. Ф., Позиционные задачи в курсе стереометрии, 1946, № 3, стр. 1— 12.

Четверухин Н. Ф., Стереометрические задачи на проекционном чертеже, 1946, № 2, стр. 1—9.

Методика

Вопросы общей методики математики

Брадис В. М., Математические задачи в школе, 1946, № 1, стр. 33-39.

Брадис В. М., Формализм в школьном курсе математики и борьба с ним, 1946, № 3, стр. 17—23.

Гибш И. А., О формализме в преподавании математики, 1946, № 3, стр. 2;— 33.

Гинцбург О., О требованиях к письменным работам, 1949, № 3, стр. 21-22.

Гурвиц Ю. О. и Филичев С. В., Требования к письменным работам по математике, 1947, № 1, стр. 40—5З.

Дынкин Е. В. и Яглом И. М., Девятая математическая олимпиада учащихся московских школ, 1947, № 3, стр. 54 - 60.

Карпенко Г. М., Изучение функций в V и VI классах на основе понятий множества и соответствия, 1949, № 6, стр. 9—18.

Матышук В. К., Определения в преподавании математики, 1947, № 3, стр. 14—25.

Минковский В. Л., Математические софизмы и их педагогическая роль, 1946 № 5—6, стр. 49 -56.

Мордухай-Болтовской Д. Д., История и методика метематического символа, 1948, № 1, стр. 21 — 27.

Новоселов С. И., Учение о функциях в средней школе, 1946, № 5—6, стр. 22 38.

Письмо в редакцию от группы учителей гор. Чкалова, 1949, № 5, стр. 30.

Покровская М. Н., заслуж. учитель школ РСФСР, Элементы воспитания в процессе обучения математике, 1947, № 5, стр. 34—38.

Рыбаков П. М., Наглядные пособия по математике и работа с ними, 1946, № 3, стр. 33—40; 1946, № 4, стр. 33—44.

Смирнов И. И., О проверке задач в экзаменационных работах X класса, 1949, № 5, стр. 17—20.

Филоматитская Е. Н., Устные упражнения по математике как метод работы, 1946, № 4, стр. 27-33.

Чуканцов С. М., О воспитании у учащихся чувства советского патриотизма и советской национальной гордости в связи с изучением математики в средней школе, 1948, № 6, стр. 34—49.

Шор Я. А., О некоторых способах борьбы с формализмом, 1948, № 1, стр. 33—-16.

Методика арифметики

Арнольд И. В., О задачах по арифметике, 1946, № 2, стр. 30-38.

Бронштейн С. С, О некоторых методах решения задач по арифметике, 1947, № 6, стр. 38—51.

Гребенча М. К., К вопросу о понятии отношения в курсе арифметики, 1949, № 2, стр. 36—39.

Голайдо И. Н., О методах решения задач, 1949, № 3. стр. 23-25.

Гурвиц Ю. О. и Филичев С. В., Арифметические записи в средней школе, 1947, № 3, стр. 40—48.

Добротин А. Н., К методике преподавания умножения и деления дробей, 1949, № 1, стр. 27—31.

Круповецкий Л. Г., Задачи по арифметике на темы пятилетнего плана развития сельского хозяйства, 1948, № 3, стр. 17—21.

Кашин Н. И., Об умножении и делении на дробь 1949, № 2, стр. 40—42.

Машков Е., К вопросу о постановке наименований при решении арифметических задач, 1949, № 3, стр. 18-20.

Новоселов С, И., О тематике арифметических задач, 1946, № 2, стр. 47—48.

Песков Т. А., К вопросу о содержании арифметических задач, 1949, № 3, стр. 15 —18.

Пономарев С. А. и Стратилатов П. В., Геометрические сведения в курсе арифметики в средней школе, 1949, № 4, стр. 29—35.

Севастьянов П. Я., Умножение обыкновенных дробей, 1949, № 1, стр. 22—27.

Соминский И. С, Решение арифметических задач способом ложного положения, 1948, № 5, стр. 35-08.

Филичев С. В., Приближенные вычисления в курсе арифметики V класса средней школы, 1947, № 2, стр. 22 24.

Филичев С. В., Об изменении программы по арифметике в V классе семилетней и средней школы, 1946, № 5-6, стр. 56—60.

Методика геометрии и тригонометрии

Арсеньев Н. А., Задачи на доказательство в неполной средней школе, 1948, № 5, стр. 29—35.

Байбурт Н. А., Контрольные вычисления при решении задач, 1949, № о, стр. 20—23.

Бачелис Р. Д., Доказательство теоремы о равновеликости пирамид, 1948, № 6, стр. 50.

Бескин Н. М., В каком классе начинать систематический курс геометрии, 1948, № 1, стр. 28—32.

Владимирский Г. А., О методах использования чертежа в преподавании геометрии, 1946, № 4, стр. 18—26.

Волхонский А. И., О проверке стереометрических задач на вычисление при помощи геометрических построений, 1949, № 5, стр. 24—26.

Зетель С. И., Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений, решаемые элементарно, 1946, № 2, стр. 39-46.

Матышук В. К., Методика преподавания обратных тригонометрических функций в средней школе, 1946, стр. № 5—6, 38—48.

Перепелкина А. Н., Кинофикация курса геометрии в средней школе, 1948, N° 5, стр. 20—29.

Поляковский З. Н., Методика решения задач на многогранники, 1949, № 5, стр. 11 — 16.

Семушин А. Д., Решение задач на построение методом подобия, 1949, № 6, стр. 18—29.

Соминский И. С, О работе учащихся VI класса в связи с изучением первых теорем геометрии, 1947, № 4, стр. 31—40.

Феофилатьев В. А., К вопросу о плотной укладке дров, 1949, № 5, стр. 26-29.

Черкасов А. Н., Материал для задач по геометрии из теории горения бездымных порохов, 1948, № 3, стр. 21—24.

Методика алгебры

Барсуков А. Н., Первые уроки алгебры, 1947, № 3, стр. 26—39.

Бондарев А. Л., Несобственные корни уравнений, 1949, № 1, стр. 19-22.

Зетель С. И., О применении свойств корней квадратного уравнения к решению задач на максимум и минимум, 1949, № 1, стр. 32.

Кашин Н. И., О неудачных задачах на составление уравнений, 1948, № 1, стр. 46—49.

Маергойз Д. М., Об одном важном алгебраическом навыке, 1948, № 3, стр. 11 — 16.

Матышук В. К., Учение об иррациональном числе в средней школе, 1947, № 5, стр. 39—51.

Минковский В. Л., Об одном приеме борьбы с ошибками учащихся по алгебре, 1948, № 4, стр. 30-32.

Нагибин Ф. Ф., Метод математической индукции в курсе средней школы, 1949, №4, стр. 21—29.

Невяжский Г. Л. и Новоселов С. И., Об исследовании уравнений, 1946, № 2, стр. 15—-30.

Новоселов С. И., К вопросу о тождественных преобразованиях, 1947, № 2, стр. 25—27.

Новоселов С. И., Понятие предела в курсе IX класса, 1948, № 4, стр. 16—25.

Принцев Н. А., Решение неравенств и графики функций, 1947, № 3, стр. 49—54.

Шепелев В. М., проф., О преподавании пределов в средней школе, 1948, № 4, стр. 26—29.

Методика черчения

Андреев С. Н., Черчение в VI классе, 1947, № 2, стр. 28—35.

Меделяновский Н. А., О преподавании стандартного шрифта в средней школе, 1947, № 2, стр. 36—43.

Итоги приемных испытаний в вузы и техникумы

От редакции, Об итогах приемных испытаний в вузы и техникумы, 1949, № 2, стр. 12 — 14.

Бочкин И. Г., О недостатках в подготовке учащихся, оканчивающих семилетнюю школу, 1949, № 2, стр. 30—33.

Кочев В. А., О приемных испытаниях в Уральский политехнический институт имени С. М. Кирова, 1949, № 2, стр. 22-25.

Ларичев П. А., консультант Управления школ Министерства просвещения РСФСР, О критериях оценки письменных работ учащихся средних школ по математике, 1948, № 2, стр. 37—42.

Мамаенко Е. Ф., О приемных экзаменах по математике в специальное среднее учебное заведение, 1948, № 2, стр. 34—35.

Моденов П. С, О приемных испытаниях по математике на механико-математическом и физическом факультетах Московского государственного университета, 1947, № 1, стр. 54—65.

Моденов П. С, О приемных испытаниях на физический факультет Московского университета в 1948/49 учебном году, 1949, № 2, стр. 14—19.

Моденов П. С, О приемных испытаниях по математике на механико-математическом и физическом факультетах Московского государственного университета в 1947 г., 1948, № 2, стр. 15—20.

Молодший В. Н., О приемных испытаниях в Московский городской педагогический институт, 1949, № 2, стр. 20—21.

Николайчук И. И., О приемных экзаменах в Сорокский техникум механизации и электрификации сельского хозяйства, 1949, № 2, стр. 34—35.

Пузанова Е. И., О приемных испытаниях по математике в некоторые московские втузы, 1948, № 2, стр. 21-26.

Рабинович И. М., О данных одного экзамена, 1948, № 2, стр. 36-37.

Фишер Д. А., О приемных испытаниях в Московский строительный институт, 1949, № 2, стр. 25—27.

Цесюлевич А. С, Наши пожелания, 1948, № 2, стр. 27—33.

Шор Я. А., Об уровне знаний по арифметике оканчивающих семилетнюю школу, 1949, № 2, стр. 27—29.

Из опыта

Агринский К. Е., Решение косоугольных треугольников, 1948, № 4, стр. 42—43.

Гольденблат И. И., заслуж. учитель школ УССР, Борьба с формализмом на уроках математики, 1949, № 1, стр. 33-38.

Гольденблат И., Опыт решения геометрических задач на построение, 1946, №2, стр. 47—48.

Голубев В. А., Устный счет в средней школе, 1946, № 3, стр. 41—45.

Загоскина Е. Д., Первые уроки геометрии в VI классе, 1947, № 4, стр. 41—49.

Зарецкий М., Кружок математической смекалки, 1946, № 2, стр. 48—53.

Зерченинов Н. Т., Решение задач на пропорциональные величины, 1948, № 3, стр. 25—28.

Кашин Н. И., О решении неравенств второй степени и исследовании квадратного трехчлена, 1946, № 3, стр. 45-47.

Кекчеева М. X., Из опыта решения стереометрических задач на проекционном чертеже, 1948, № 5, стр. 39 42.

Кипнис С. М., Из опыта преподавания математики в X классе, 1948, № 4, стр. 43—44.

Кременштейн Л. И., Об одном графическом построении 71, 1948, № 5, стр. 46—47.

Круповецкий Л. Г., Закон о пятилетнем плане на уроках арифметики, 1946, № 5, стр. 61—66.

Круповецкий Л. Г., К вопросу о вычислении промиллей, 1946, № 4, стр. 45—47.

Машков М. М., Развивать геометрическое воображение учащихся, 1949, № 2, стр. 43.

Мирзоев А. М., По поводу статьи А. С. Цесюлевича «Наши пожелания», 1949, №2, стр.26—27.

Нечай А. М., Графическая запись условия при решении арифметических задач, 1949, № 3, стр. 28—29.

Носов М. В., О тождественных преобразованиях, 1948, № 5, стр. 42—46.

Носов, М. В., О рационализации педагогического процесса в школах рабочей молодежи, 1949, № 6, стр. 33—35.

Принцев Н. А., Задачи с геометрическим содержанием в курсе V класса, 1949, № 5, стр. 32—38.

Рабинович И. М., О некоторых факторах, ведущих к формализму, 1949, № 5, стр. 38.

Розентуллер В. М., Из опыта преподавания математики в школах рабочей молодежи, 1949, №6, стр. 30—33.

Рыбаков П. М., О развитии пространственного воображения, 1948, № 3, стр. 28—32.

Стальков Г. А., Организация и методика повторения, 1946, № 1, стр. 40—52.

Столяр А. А., Применение понятия предела в школьном курсе геометрии, 1949, № 4, стр. 36—39.

Стратилатов П. В., Разложение на множители в VI классе, 1949, № 2, стр. 44.

Федоров В. С, Изучение основных задач на построение в VI классе, 1948, № 3, стр. 32—34.

Ч уканцев С. М., Мой опыт борьбы с формализмом в преподавании математики, 1947, № 2, стр. 44—51.

Чуканцев С. М., Больше внимания технике арифметических вычислений, 1948, №4, стр. 33—41.

Яворский И. М., К доказательству теорем о двух и о трех перпендикулярах, 1949, №5, стр. 37.

Из писем и заметок читателей, 1947, № 4, стр. 49-52.

Из писем и заметок читателей, 1948, № 3, стр. 34—38.

Из писем и заметок читателей, 1949, № 3, стр. 29-36.

Русские педагоги-математики

Александров А. И., Иван Иванович Александров, 1949, № 5, стр. 39—41.

Малинина В. П., Александр Федорович Малинин, 1949, № 1, стр. 44—45.

Маргулис А. Я.. Андрей Петрович Киселев, 1948, № 4, стр. 45—46.

Попко А. Е., Николай Николаевич Маракуев (1877—1911), 1949, № 3, стр. 37—38.

Критика и библиография

Бескин Н. М., О книге Н. Ф. Четверухина «Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии», 1947, № 3, стр. 61 — 63.

Депман И. Я., Обзор методических статей в «Ученых записках» педагогических институтов за последние годы, 1947, № 3, стр. 66—68.

Гайдук Ю. М., В каком классе начинать систематический курс геометрии, 1948, № 6, стр. 51.

Гайдук Ю. М., О книге Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика» (перевод с английского, под редакцией проф. В. Л. Гончарова, Государственное издательство технико-теоретической литературы, М. — Л. 1947), 1949, № 2, стр. 51 52.

Гайдук Ю. М., О книге И. М. Гуля «Геометрия Лобачевского» (издательство Академии педагогических наук РСФСР, М. — Л. 1947), 1949, № 4, стр. 47- 48.

Гайдук Ю. М., Какими не должны быть методические пособия для заочников, 1949, № 5, стр. 49—51.

Гончаров Д. С, К вопросу о новом учебнике геометрии, 1946, № 3, стр. 49—52.

П. А. Горбатый и Т. Я. Нестеренко, Когда начинать изучение систематического курса геометрии в средней школе, 1949, № 1, стр. 46—50,

Гуревич В. Б., О книге С. И. Новоселова «Обратные тригонометрические функции» (пособие для учителей, издание второе, переработанное), 1948, № 3, стр. 43-46.

Дубнов Я. С, О книге Г. Л. Невяжского «Неравенства» (пособие для учителей, Учпедгиз, 1947), 1949, № 3, стр. 44-45.

Дубнов Я. С, О двух новых учебниках геометрии для педвузов, 1949, № 6, стр. 43 -49.

Кисловская О. И., О требованиях, предъявляемых к письменным работам по математике, 1948, № 1, стр. 51—52.

Кисловская О. И., О формализме в школьном учебнике тригонометрии, 1948, № 3, стр. 46—48.

Кордемский Б. А., О книге Н. М. Бескина «Методика геометрии» (учебник для педагогических институтов, Учпедгиз, 1947), 1948, № 3, стр. 39—42.

Кордемский Б. А., О сборнике задач по алгебре, 1949, № 4, стр. 44 — 47.

Кудрявцев П. С, По поводу книги Б. В. Гнеденко «Очерки по истории математики в России», 1948, № 1, стр. 53-54.

Моденов П. С, О статье А. И. Фетисова «Учение о тригонометрических функциях в средней школе» (Известия АПН РСФСР, 1946, № 6), 1948, стр. 48-51.

Моденов П. С, Алгебра и ее преподавание в школе (по поводу книги С. С. Бронштейна), 1948, № 2, стр. 45-52.

Невский В. А., Новая литература по математике (I и II полугодие 1946 г.), 1947, № 2, стр. 56—59.

Невский В. А., Новая литература по математике (I полугодие 1947 г.), 1948, № 3, стр. 49—51.

Невский В. А., Новая литература по математике (II полугодие 1947 г.), 1948, № 4, стр. 47—51.

Невский В. А., Новая литература по математике (I полугодие 1948 г.), 1949, № 3, стр. 48—50.

Невский В. А., Новая литература по математике (II полугодие 1948 г.), 1949, № 4, стр. 49—51.

Новоселов С. И., Обзор новых книг. Н. А. Глаголев «Элементарная геометрия», ч. I и ч. II, 1946, № 1, стр. 53—55.

Новоселов С. И., Обзор новых книг. С П. Виноградов «Краткий курс высшей математики»; А. И. Маркушевич «Элементы теорем аналитических функций»; Л. Я. Окунев «Основы современной алгебры», 1946, № 2, стр. 54—55.

Новоселов С. И., Обзор новых книг. Н. В. Ефимов «Высшая геометрия»; Н. П. Тарасов «Курс высшей математики» (для техникумов); В. В. Немыцкий и др. «Курс математического анализа», 1946, № 3, стр. 52-54.

Новоселов С. И., Обзор новых книг. М. Я. Выгодский «Арифметика и алгебра в древнем мире», 1946, № 4, стр. 54; А. Я, Киселев «Алгебра» (учебник для педагогических училищ), 1946, № 4, стр. 54.

Новоселов С. И., Обзор новых книг. Акад. Н. Н. Лузин «Дифференциальное исчисление», 1946, № 5—6, стр. 69—70.

Новоселов С. И., Обзор новых книг. А. Г. Курош «Курс высшей алгебры»; проф. А. К. Власов «Курс высшей математики», 1947, №1, стр. 68-69.

Новоселов С. И., Обзор новых книг. С. С. Бюшгенс «Аналитическая геометрия»; Я. И. Перельман «Живая математика»; В. И. Костин «Основания геометрии»; Н. А. Глаголев «Начертательная геометрия»; Д. Ю. Панов «Счетная линейка»; 1947, № 3, стр. 63—65.

Новоселов С. И., О требованиях, предъявляемых к письменным работам по математике, 1948, № 1, стр. 50-52.

Новоселов С. И., О книге В. М. Гончарова «Арифметические упражнения и функциональная пропедевтика» (Академия педагогических наук РСФСР, «Педагогическая библиотека учителя», 1947), 1948, № 5, стр. 51—53.

Принцев Н. А., К вопросу о преподавании геометрии в школе, 1949, № 1, стр. 50—51.

Романовская М. Я.. О книге А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника «Тригонометрия» (учебник для средних школ, издание 2-е), 1949, № 3, стр. 45-48.

Ряднова Т. Н., Опыт работы в VIII классе по учебнику геометрии Н. А. Глаголева, 1946, № 4, стр. 51—53.

Танатар И. Я., О книге Я. А. Ларичева «Сборник задач по алгебре», ч. I, для VI—VII классов семилетней школы (Учпедгиз, 1948), 1949, № 2, стр. 50—51.

Некрологи

Гребенча М. К., проф., Нил Александрович Глаголев, 1946, № 1, стр. 3—6.

Михаил Кузьмич Гребенча, 1948, № 6, стр. 1—3.

Гончаров Д. С, проф. К. М. Щербина, 1947, № 2, стр. 52-53.

Фиников П. С, проф. Василий Никитич Депутатов, 1948, № 5, стр. 54—55.

За рубежом

Депман И. Я., Некоторые сведения о состоянии преподавания математики в современной зарубежной школе, 1949, № 1, стр. 39—43.

Депман И. Я., Уровень математических знаний у кончающих американскую среднюю школу, 1946, № 4, стр. 48—50.

СВОДКА РЕШЕНИЙ по № 3 за 1949 год

Я. Абдуллабенов (Баку) 42—45, 47; Ш. Аванесян <Баку) 43, 47, 48, 51—53, 55; Г. Автух (Витебская обл.) 41-60; К. Агринский (Москва) 41—47, 51 — 60; Л1. Адигамов (Чкалов) 41-49, 51—60; Я. Айзенштат (Киев) 41—.8, 60; Я. Алексеев (Череповец) 41, 43, 44, 47, 51-53, 55-57, 60; Е. Алмазова (Беднодемьяновск) 41, 43, 4*. 45, 49, 51, 52, 55-57, €0; Я. Альтшулер (Ленинград) 41-43-49, 51, 52, 55—58, 60; А, Аляев (Пензенская обл.) 41—45, 50— 55, 55 58, 60; Г. Ахвердов (Ленинград) 41—60; Л. Багарян (Абхазская АССР) 41, 43, 47, 48, 52, 55, 60; Я. Байков (Московская обл.) 43, 45, 53—55, 60. Ш. Бакурадзе (Грузинская ССР) 43, 47, 48, 53— 55, 60, Ф. Баннов (Сталинградская обл.) 43, 55; Б. Вернадский (Ленинградская обл.) 41, 43—45, 51, 52, 54, 60; Бернштейн (Киев) 41—44, 61-57, 59, 60; Д. Бессарабов (Воронежская обл.) 43—45, 52 — 55, 60; Г. Бобылев (Тула) 43, 44, 53-55; Е. Боков (Краснодарский край) 41, 43, 44, 46 49, 51, 52, 54— 60; Ф. Больсен (Кировоградская обл.) 41,43, 44, 46, 47, 52, 54—56, 6j; Я. Боргер (Алма-Атинская обл.) 41, 43-47, 51-53, 55 58, 60; Я. Бородуля (Москва) 41—44,48, 51—58, 6J; Е. Бугулов (Дзауджикау) 41—60; В. Буткевич (Ровно) 41—60; Ь. Вайнман (Киев) 41, 4>-45, 47 49, 51 — 58, сО; Б. Варганов (Москва) 41, 43, 44, 46, 47, 51, 52, 56—6и; С. Вашакмадзе (Тбилиси) 41, 43, 44, 48, 51, 57—60; А. Владимиров (Ялта) 1 60; Я. Волков (Алтайский край) 41-45, 48, 50-55, 60; И. Волок (Житомир) 41—47, 51—60; Я. Гапонов (Воронежская обл.) 41, 43—49, 51—60; С. Гликсон (Сарны) 41-60; Я. Гоз (Чкаловская обл.) 41, 43, 51, 56, 57, 60; М. Гозман (Киевская обл.) 41-44, 47, 48, 51, 52, 54—58, 6J; Я. Голайдо (Брянская обл.) 41—48, 51-58, 6j; В. Голубев (Кувшиново) 41, 43, 45—47, 49-51, 53— 57, 60; Р. Гольденберг (Николаев) 43, 55; Г. Голянд (Краснодарский край) 41, 43, 44, 49, 51, 52, 55, 60; И. Гопп (Казань) 41—СО; К. Горев (Лукьянов) 41— 60; А. Григорян (Ереван) 43, 44, 55, 56, 57; В. Гузняев (Рязанская обл.) 41—60; В. Гуков (Смоленская обл.) 4о, 49, 51— 3, 55- 60; Я. Десятов (Мичуринск) 41—44, 46, 47—49, 51 - 60; Я. Дзигава (Тбилиси) 41— 44, 46—48,51—57, 59—60, М. Дзоценидзе (Грузинская ССР) 43,60; Б.Диккер (Одесская обл.) 41—48, 51—58, 60; О. Дипекчиянц (Молдавская ССР) 41— 60; Я. Доброгай (Мелитополь) 43, 47, 51, 53—55; Б. Дудолькевич (Киевская обл.) 41, 43, 45, 46, 51, 52, 55—57, 6'); Я. Евланов (Павелец) 41 -44, 48, 51, 53—55, 58, 60; Я. Жовтун (Киевская обл.) 41 45, 47, 48, 51—55, 60; М. Зайденберг (Бельцы) 42—44, 48, 51 - 55, 60; Я. Зубилин (Орловская обл.) 41—46, 48, 49, 51—56, 60; Я. Иванов (Псков) 41—58, 60; И. Каплан (Пушкин) 41, 43, 44, 52—55, 58, 60; Г. Капралов (Горький) 41—6); В. Каптан (Ярославль) 43, 45, 46, 48, 51—54, 60; А. Карпов (Собинка) 41—60; A. Нартышев (Витебская обл.) 43. 51; Г. Каухчьян (Майкоп) 41—43, 4о. 48, 50, 53, 54, 56, 57, 60; Б. Кашин (Вышний Волочок) 41— 58; Я. Килимник (Винница) 41 60; Я. Кириллов (Ярославль) 41—46, 51—57, 60; Я. Китайгородский (Москва) 41—48, 51—57, 60; Д Клименченко (Глухов) 41, 43, 44, 60; B. Ковалев (Витебская обл.) 43, 51, 52, 55; Б. Кодацкий (Ленинград) 41—60; С. Кодацкий (Ленинград) 43, 51, 52; Я. Козлов (Минская обл.) 41 — 44, 46—48, 51-58, 60; Я. Коковкин-Щербак (Чкаловская обл.) 43- 45, 47, 51, 52,54, 56, 60; C. Колесник (Харьков) 41—60; А. Корнилов (Ростовская обл.) 41 -46, 47—56, 60; М. Крайзман (Львов) 41,4 <, 44, 48, 51—5 >, 58, 60; С. Крамаренко (Ставропольский край) 43, 44, 46, 48, 51—56, 60; Я. Краснов (Полоцкая обл.) 41, 43, 44, 49, 51—57, 60; И. Крупский (Киевская обл.) 41, 42, 47, 51-55; Г. Кудреватов (Фергана) 41—44, 47, 51—58, 60; Н.Кухарев (Уфа) 41—44, 46-48, 51-58, 60; И. Лашко (Синельниково) 43—45, 52, 55, 60; Г. Лебедев (Обоянь) 41—43, 4о —58, 60; С Лебензон (Малаховка) 41—^0; Я. Левин (Семипалатинск) 43, 51, 55— 57; А. Лейман (Здолбуново) 41—60; Г. Литвинов (Усть-Абаканск) 41, 42, 51, 52, 56, 60; Я. Луконин (Черниговская обл.) 41-44, 46, 47, 52—58, 60; Ю. Лупко (Кулдига) 43, 4J, 51—57, 60; Г. Луточкин (Пензенская обл.) 43, 56, 57; Д. Людмилов (Винница) 41—60; М. Ляпин (Казань) 41—45, 47, 48, 51 -57, 60; А. Магеро (Витебская обл.) 4», 43, 44, 51, 60; Я. Макуха (Севастополь) 41—44, 53— 55; М. Малец (Энгельс) 4i—48, 51—о0; Л. Малюгин (Горький) 41—60; В. Маневич (Москва) 41, 42; М. Манукян (Казахская ССР) 42, 43, 53, 56—£8, с0; К. Манченко (Сталинская обл.) 43, 60; С. Марценюк (Нежин) 41, 43; Математический кружок средней школы (Бандза) 41, 43—46, 48, 51—57, 60; Медведев (Себряково) 41—57, 59, 60: М. Месяц (Житомир) 41 -49, 51—58. 6); Б. Мирау (Алма-Атинская обл.) 41, 43—47, 51—58, 60. А. Митюгов (Можайск) 41—46, 48, 49, 51-55, 58, 60. Г. Многолетний (Мглин) 4_\ 43, 48, 51 - 58, 60. Я. Могильный (Игрень) 41, 43, 52, 55—57; Л. Морковкин (Узбекская ССР) 43, 47; Л. и М. Мошкович (Москва) 41—47, 49-58, 60; Я. Мурашко (Мозырь) 41—49, 51—58, 60; Т. Мышакова (Молдавская ССР) 41—60; Я. Николаев (Одесская обл.) 43, 44, 48, Ь\ 55; Я. Носков (Омская обл.) 43, 54; Я. Орлов (Кашира) 41—44, 46-49, 51 -56, 58—60; Ф. Певишев (Шилово) 41—44, 46-51, 54—56, 58; Ю. Петров (Ленинград) 41, 43, 45—51, 53, 55; Г. Пискарев (Ярославль) 41—57, 60; О. Пищик (Львовская обл.) 41 60; B. Подрез (Витебская обл.) 42—46, 48, 1—53, 55, 58—60; Г. Полезнее (Томск) 43,44, 51, 52, 55; Я. Постников (Ряжск) 41—60; Б. Правилов (Рязанская обл.) 43, 44, 54; Я. Пришивалко (Полоцкая обл.) 41, 42, 44—47, 49, 51—58, 60; Л. Прокофьев (Воронежская обл.) 41-44, 4 —48, 51—^8, 60; Г. Пушкаревский (Башкирская АССР) 42—44, 50—52, 55 -57, 60; М. Пышный (Барановичская обл.) 41—44, 46, 51, 55, 60; Я. Рассанов (Башкирская АССР) 41—49, 51, 54—55, 57-60; Г. Рачинский (Изберг) 41-60; Д. Рашковский (Кишинев) 41—60; В. Розентуллер (Ленинград) 41, 43-47, 51. 52, 54—57, 60; Л. Роговский (Барановичская обл.) 43, 44, 56, 57, 60; Б. Рубенчик (Минск) 41 -45, 47, 52, 54 - 56,60; П. Рубцов (Калининская обл,) 41, 43, 44, 51, 52, 56, 60; А/. Саакян (Краснодар) 43, 44, 46, 53, 55; А. Савкин (Кемеровская обл.) 41-6'); Г. Сакович (Киев) 41 -55, 58, 60; В. Саннинский (Ворошиловград) 41—48, 51-60; Г. Саркисьян (Москва) 41—60; C. Сачко (Москва) 42—44, 51—55; В. Севастьянов (Сталинградская обл.) 41—44, 4о—48, 51—60; Я, Сергачев (Мало-Ярославец) 41, 42, 44, 45, 47, 51, 52, 54, 55, 60; Ф. Сергиенко (Запорожье) 41—60; М. Сизов (Ленинградская обл.) 43, 51, 52, 54—57, 60; С. Синакевич (Ленинград) 41—45, 47—50, 52-57, 60; Т. Смирнова (Москва) 41—44, 51, 52, 54—57, 60; Л. Сошников (Клайпеда) 53, 54; Р. Срода (Астрахань) 41—47, 51-53, 60; В. Стасюк (Стрый) 41 — 60; М. Суховой (Томская обл.) 41-44, 46—58, 60; X Тартаковский (Черновицы) 41—60; Л. Твалавадзе (Грузинская ССР) 42, 43, 48, 53, 54, 60; Л. Темногрудов (Пенза) 41—44, 46, 48, 51—57, 60; Я. Титов (Казань) 41—60; Я. Титов (Тюмень) 41 - 60.

(Продолжение в след. номере)

КНИГИ, НАХОДЯЩИЕСЯ НА ЦЕНТРАЛЬНЫХ СКЛАДАХ КОГИЗА

Для учителей средней школы

1. Адамар Ж Элементарная геометрия, ч. 1. Планиметрия. Учпедгиз, 1948, 607 стр. Ц. 16 р. 50 к.

2. Школьник А. Г. Задача деления круга. Пособие для учителей математики. Учпедгиз, 1948, 72 стр. Ц. 1 р. 20 к.

3. Нормы оценки успеваемости учащихся V—X классов средней школы по математике. Учпедгиз, 1948, 12 стр. Ц. 15 к.

4. Березанская Е. С. и Нагибин Ф. Ф. Упражнения для устных занятий по алгебре для VI — VII классов средней школы. Пособие для учителей. Учпедгиз, 1949, 144 стр. Ц. 2 р. 90 к.

5. Барсуков А. Н. Уравнения первой степени в средней школе. Пособие для учителей. Учпедгиз, 1948, 275 стр. Ц. 5 р. 85 к.

6. Игнатьев В. А., Игнатьев Н. И., Пономарев С. А. и Шор Я. А. Методический сборник задач и упражнений по арифметике. Пособие для учителей. Учпедгиз, 1949, 134 стр. Ц. 3 р. 15 к.

Учебники и учебные пособия по математике для учительских институтов

Виноградов С. П. Краткий курс высшей математики. Учебник для учительских институтов. Учпедгиз, 1948, 296 стр. Ц. 7 р. 70 к.

Назарьев С. Б., Никитин И. И., Игнатенков И. Р, Безизвестнов Н. В, Сборник задач по геометрии для учительских институтов. Учпедгиз, 1948, 165 стр. Ц. 4 р. 50 к.

Учебники и учебные пособия по математике для педагогических институтов

Лопшиц А. М. Аналитическая геометрия. Учебник для педвузов. Учпедгиз, 1948, Ц. 15 р.

Фиников С. П. Аналитическая геометрия. 1 курс. Учпедгиз, 17,3 л., 10 000 экз. Ц. 8 р. 40 к. ВЗ № 80 - 1948 г.

Костин В. И. Основания геометрии, изд. 2-ое. Учебник для педвузов. Учпедгиз, 1948, 304 стр. Ц. 8 р. 10 к.

Норден А. П., проф., Дифференциальная геометрия. Учебное пособие для педвузов. Учпедгиз, 1948, 215 стр. Ц. 6 р. 25 к.

Вольберг О. А. Лекции по начертательной геометрии. Пособие для физико-математических факультетов педагогических институтов. Учпедгиз. 1947, 348 стр. Ц. 12 р. 80 к.

Лузин Н. Н. Теория функций действительного переменного. Общая часть. Изд. 2-ое. Учебное пособие для педвузов. Учпедгиз, 1948, 318 стр. Ц. 9 р. 80 к.

Учебники и учебные пособия по математике для педагогических училищ

Тулинов Б. А. и Чекмарев Я. Ф. Арифметика для педагогических училищ. Изд. 2-ое. Учпедгиз, 1948, 236 стр. Ц. 5 р. 40 к.

Чекмарев Я, Ф. и Филичев С. В. Сборник арифметических задач. Изд. 5-ое. Учпедгиз, 1948, 336 стр. Ц. 6 р. 40 к.

Барсуков А. Н. Сборник задач по алгебре. Изд. 2-ое. Учебник для педучилищ. Учпедгиз, 1948, 164 стр. Ц. 3 р. 50 к.

Ефремов В. Сборник задач по геометрии. I—III курс. Учпедгиз, 8.5 л,, 75000 экз. Ц. 1 р. 70 к.

Продажа в книжных магазинах и киосках Когиза и других книготорговых организациях.

Книги высылаются также почтой наложенным платежом без задатка всемя отделами «Книга— почтой» областных, краевых и республиканских отделений Когиза.