МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 4

ИЮЛЬ—АВГУСТ 1949

О РОЛИ ЛЕНИНСКОЙ ТЕОРИИ ПОЗНАНИЯ В ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ

Н. П. ШАРОВАТОВ (Москва)

Нашему юношеству надо прививать основы марксистско-ленинского мировоззрения — в этом заключается важнейшая задача идейно-политического воспитания. Выполнение этой задачи не мыслится в форме преподнесения учащимся отдельных положений марксистско-ленинской теории в виде отвлеченных определений и высказываний. Марксистско-ленинское мировоззрение надо прививать учащимся в процессе преподавания всех учебных предметов. Преподаватель на материале своего предмета должен подводить учащихся к материалистическому пониманию законов развития природы, техники, общества и подчеркивать при этом связь теории с практикой, с жизнью.

Знания, преподносимые учащимся, должны быть строго научно достоверными и соответствовать современному уровню науки. Научность преподавания требует, чтобы все учебные предметы излагались на основе материалистической диалектики. Для выполнения этих задач каждый преподаватель должен настойчиво учиться методам материалистической диалектики и умению применять их в объяснении вопросов своего учебного предмета.

В математической литературе (особенно в переводной) нередко можно встретить при трактовке некоторых математических понятий всякие идеалистические извращения и мистические толкования, оставляемые без критики. Так, например, в книге «Что такое математика» Р. Куранта и Г. Роббинса (перевод с английского, под редакцией проф В. Л. Гончарова, Гостехиздат, 1947), в предисловии от издательства говорится, что «многие разделы книги могут быть использованы в школьных кружках любителей математики», и т. п., тогда как в этой книге в различных местах имеются явно идеалистические и мистические положения, оставленные без каких-либо замечаний.

Так, на страницах 18 и 19 мы читаем: «В XVII и XVIII вв. греческий идеал аксиоматической кристаллизации и систематической дедукции потускнел и утратил свое влияние, хотя античная геометрия продолжала высоко расцениваться. Логически безупречное мышление, отправляющееся от отчетливых определений и «очевидных» взаимно не противоречащих аксиом, перестало импонировав новым пионерам математического знания. Предавшись подлинной оргии интуитивных догадок, перемешивая неоспоримые заключения с бессмысленными полумистическими утверждениями, слепо доверяясь сверхчеловеческой силе формальных процедур, они открыли новый математический мир, полный несметных богатств».

Преподаватель советской школы обязан вскрывать фальшь и антинаучность подобных толкований вопросов развития математической науки. Преподаватель должен уметь разъяснять учащимся, что «новый математический мир, полный несметных богатств» был открыт не на основе перемешивания неоспоримых заключений с бессмысленными полумистическими утверждениями, а на основе внесения в математику методов материалистической диалектики.

В настоящей статье автор поставил целью на основе ленинской теории познания осветить некоторые понятия математики (главным образом средней математики), показав материалистическое существо ее аксиом и теорем, и выяснить особенности практики как критерия истинности математических понятий. Кроме того, в этой статье с позиций материалистической

диалектики дается критика отдельных идеалистических утверждений, содержащихся в упомянутой книге Куранта и Роббинса.

Сущность процесса познания объективного мира сформулирована Лениным в следующем знаменитом тезисе, ставшем в настоящее время широко известным: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике— таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности» (Ленин, Философские тетради, 1947, стр. 146).

Познание — сложный процесс, в который включаются неразрывно связанные друг с другом чувственное познание, абстрактное познание и практика.

Наши представления о внешнем мире образуются на основе ощущений, получаемых от воздействия на наши органы чувств окружающих нас вещей и происходящих вокруг нас явлений.

Живое созерцание — это чувственное познание предметов и явлений, проистекающее из ощущений, получаемых нами от воздействия внешнего мира, оно лежит в основе наших представлений о предметах и явлениях мира.

Абстрактное познание или мышление представляет собой более высокую ступень процесса познания. Чувственное познание дает нам представления об отдельных предметах и их свойствах. Но предметы и явления имеют много общих свойств, имеют глубокую внутреннюю сущность и закономерность. Общие свойства предметов и явлений, их внутренняя сущность и закономерность уясняются нами посредством абстрактного познания или мышления.

«Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит, если оно правильное— от истины, а подходит к ней. Абстракция материи, закона природы, абстракция стоимости и т. д., одним словом все научные (правильные, серьезные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее» (Ленин, Философские тетради, 1947, стр. 146).

И далее: «...самое простое обобщение, первое и простейшее образование понятий (суждений, заключений и т. д.) означает познание человека все более и более глубокой объективной связи мира» (там же, стр. 153).

Вершиной познания объективного мира является марксисткая материалистическая диалектика, отражающая в своих обобщениях, понятиях и заключениях окружающую действительность во всем ее многообразии, вскрывающая внутренние тенденции предметов и явлений и потому дающая возможность человеку заглядывать в будущее и предугадывать развитие событий.

Практика, как завершающий момент процесса познания, как его основа, является критерием истинности познания, критерием правильности абстракций и понятий человека о предметах, явлениях, их связи друг с другом, критерием правильности нашего предвидения событий и процесса развития.

«Точка зрения жизни, практики должна быть первой и основной точкой зрения теории познания» (Ленин, Сочинения, т. XIII, стр. 116).

«...наши знания о законах природы, проверенные опытом, практикой, являются достоверными знаниями, имеющими значение объективных истин» (Сталин, О диалектическом и историческом материализме, 1945, стр. 13).

Доказать правильность какого-либо обобщения, суждения или заключения, связанного с нашим пониманием данного явления природы,— это значит произвести самим это явление, вызвать его из его условий (как говорит Энгельс) и заставить его служить нашим целям.

Материалистическо-диалектическая теория познания, преодолев метафизический материализм, вошла в передовую науку нашего времени как ценнейшее ее приобретение в результате жестокой борьбы с различными идеалистическими философскими теориями познания, вытекающими из потребностей реакционных классов различных общественных формаций затормозить развитие науки о природе и обществе для увековечивания своего господства. Эта борьба имеет место и в наши дни.

Современная реакционная философия англоамериканской империалистической буржуазии, обслуживая заказ своих хозяев — доказать вечность и незыблемость порочных капиталистических порядков, вытаскивает вновь на свет научно несостоятельные идеализм и теологию. Кантианский и махистский идеализм, реакционная идеалистическая диалектика Гегеля, переделанная в софистику, положены в основу философии империалистических мракобесов. Исключительный успех науки наших дней, все более и более подтверждающий истинность диалектического материализма и его неоспоримое научно-познавательное значение, красноречиво показывает ничтожность и вздорность «философии» современных империалистических обскурантов, прибегающих к наглости, цинизму и фальсификации как средствам «научной» аргументации.

Ученые философские холуи американо-английских империалистов, не желая (или будучи не в силах) понять переход от неживой материи к живой, голословно отрицают связь мышления с материей и воздействие материального мира

на сознание человека. Такая «логика» неизбежно приводит их к прямой вражде с передовой наукой, и они открыто заявляют о мистическом и религиозном характере своего мировоззрения, подчеркивая его враждебность науке. Так, один из столпов американского персонализма (Р. Флюелинг) утверждает, что материя существует в силу непрерывной и целесообразной воли высшей силы, которая создает и существующие отношения и личности, постигающие эти отношения; другой (Э. Хокинг) заявляет, что он верит в мистический реализм, который является единственно приемлемым видом реализма; третий (Э. Брайтмен) обобщает высказывания первых двух и определяет персонализм как веру в то, что вселенная есть общество сознательных существ, что энергия, описываемая физиками, есть божья воля в действии, природа является опытом и проявлением энергии личности, которая больше, чем природа.

Нелепость и вздорность этих утверждений философских дельцов империализма очевидна.

Ученые нашей передовой страны и все лучшие и честные ученые мира в своем движении вперед отметают прочь с научного пути идеалистический бред и чуждую живому человеческому уму мистику. Диалектический материализм Маркса, Энгельса, Ленина и Сталина освещает путь передового человечества в его стремлении к покорению природы и к совершенному общественному строю — коммунизму.

Среди наук, созданных человеком в его стремлении понять окружающий мир и заставить природу служить своим целям, математика занимает вспомогательное место, обслуживая главным образом потребности астрономии, физики, механики и техники.

Математика, как наука о величинах, в основном изучает количественную сторону различных процессов, абстрагируясь от вещественного содержания этих процессов.

В соответствии с таким определением предмета математики ее надо отнести в разряд типичных абстрактных наук, занимающих прочное место в «абстрактном мышлении» как второй ступени в ленинской схеме пути познания объективного мира, в которой на первой ступени находится живое созерцание, а на третьи— проверка абстракций практикой.

Однако отнесение математики к абстрактной науке не может служить основанием к тому, чтобы ее понятия и положения рассматривались как порождения чистой мысли.

Будучи типично абстрактной, как иногда говорят, умозрительной наукой, математика в доказательстве своих положений всегда следует общей схеме пути познания: живое созерцание, абстракция, проверка абстракции и границ их приложения практикой. Это подтверждается разбором существа всех понятий и обобщений, входящих в математику.

Понятия математики и ее законы идеалистами, и ранее и теперь, трактуются как чистые мыслительные сущности, имеющие внеопытный характер. Один из лидеров современного реакционного субъективного идеализма, злейший враг науки и научной философии Рёссель заявляет, что понятия чистой математики, как продукты логического мышления, обладают подлинной реальностью, а предметы и процессы материального мира, как объекты чувственного восприятия, менее реальны. Этот философский бред представляет собой мешанину из антинаучных положений платоновского и махистского идеализма, теоретическая несостоятельность которых, их враждебность науке и реакционная сущность были исключительно убедительно показаны Лениным в его гениальном труде «Материализм и эмпириокритицизм». Приписывание понятиям математики независимого от нашего опыта и объективного мира существования вызывается классовыми интересами реакционных буржуазных философов и математиков, стремящихся отвлечь науку от прогресса, несовместимого с дальнейшим существованием загнивающего капитализма; кроме того, оно, иногда, вызывается простым невежеством — незнакомством людей с уже давно завоеванными наукой положениями о физиологическом характере и существе нашего мышления, разработанными в основном нашими знаменитыми учеными И. М. Сеченовым и И. П. Павловым.

Натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5... как начальные и простейшие понятия математики сложились путем уяснения человеком количественных особенностей предметов реального мира. Первейшие представления о количественной разнообразности предметов выражались словами «много», «мало», «ничего». По мере развития мышления и расширения практики в сравнении количеств предметов человек пришел к понятию натурального числа, при помощи которого носящие на себе следы непосредственной созерцательности понятия «много», «мало», «ничего» раздробились и приняли довольно отвлеченную (абстрактную) форму, применимую к обширнейшему ряду предметов в качестве выразителей результата их измерения или в качестве выразителей их множественности.

Живое созерцание и простейшие обобщения (абстракции) в уяснении различных группировок предметов объективного мира — вот основы формирования первых числовых понятий.

Незнание или забвение того, что абстракции создаются путем отвлечения их от действительного мира, от реальных вещей, приводит мате-

матиков к теологии или пустой софистике — никчемному жонглированию понятиями. В книге Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика» (стр. 20) приводятся слова Л. Кронекера, которыми он определил, по мнению Куранта и Роббинса, прочный фундамент, на котором может быть построено здание математики: «бог создал натуральные числа, все прочее—дело рук человеческих». В той же книге далее (стр. б\) приводятся высказывания Лапласа о том, как чрезвычайно высоко расценивал величайший ум своего времени — Лейбниц бинарную систему счисления: «В своей бинарной арифметике Лейбниц видел прообраз творения. Ему представлялось, что единица представляет божественное начало, а нуль — небытие, и что высшее существо создает все сущее из небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его системе выражают все числа».

О «научно-познавательном» значении приведенных высказываний Кронекера и Лапласа говорить не приходится. Эти высказывания также «способствовали» прогрессу науки, как легенда о сотворении мира высшим существом и о том, что человечество произошло от Адама и Евы. Относительно бинарной системы счисления надо сделать несколько пояснений.

В одной из заметок раздела «Математика» в «Диалектике природы» (изд. 1946 г., стр.209) Энгельс указал, что «основание числовой системы определяет качество не только самого себя, но и всех прочих чисел». При этом Энгельс привел несколько примеров, показывающих, как выбор того или иного основания счисления влияет на свойства самих чисел и на правила оперирования над знаками чисел; так, в системе счисления с основанием 3 на три будут делиться такие (и только такие) числа, запись которых оканчивается цифрой «0». Это указание Энгельса вытекает из одного: из основных положений материалистической диалектики, согласно которому любой предмет и любое понятие надо исследовать не изолированно, не само по себе, а с учетом связи этого предмета или понятия с другими предметами и понятиями. Качество числа глубоко познается при учете связи числа с основанием счетной системы.

Лейбниц занимался исследованием бинарной системы счисления с основанием 2. Эта система представляла теоретический интерес отчасти и потому, что число 2 является наименьшим возможным основанием системы счисления.

Видя оригинальность бинарной системы счисления, в которой любое количество единиц выражается тем или иным числом, записанным при помощи сочетания только двух цифр (единицы и нуля), Лейбниц и заключил, что единица— это божественное начало, а нуль — небытие и что высшее существо создает все сущее из небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его системе (бинарной системе) выражают все числа.

Это мистическое, антинаучное заключение Лейбница о бинарной системе счисления имеет классовые корни и вытекает из его идеализма. Известно, что в истории философии идеализм всегда выступал против материализма как идеология реакционных классов, ученые представители которых всегда стремились (и стремятся) использовать в своих целях всякий успех науки. Лейбниц знаменит не тем, что в его суждениях встречаются идеализм и поповщина (см.: Ленин, Философские тетради, 1936, стр. 80), он знаменит как один из основоположников дифференциального и интегрального исчислений, чему он обязан угаданным им диалектическим идеям о всеобщем движении и развитии, о связи единичного и общего.

Не приходится сомневаться и в том, что «пояснения» сущности чисел на основе приведенных в книге Куранта и Роббинса мистических высказываний Кронекера и Лейбница говорят о том, что не только ум Лейбница и Кронекера был засорен историческими предрассудками и повериями давнего времени,— но и ум современных буржуазных математиков, таких, например, как Курант и Роббинс, еще далеко не свободен от подобных заблуждений, мешающих им правильно осмыслить сущность основных математических понятий.

Понятие числа абстрагировано человеком из реального мира. Назначение и роль числа в мыслительных процессах весьма разнообразны: число может быть и именем предмета (например, номер дома) и шифром, обозначающим не только слово, но и фразу и даже текст любой длины. Однако в этих случаях числовой знак может быть заменен любым иным символом (например, буквой), имеющим определенный смысл.

По преимуществу действительные числа выражают реальные свойства предметов объективного мира как показатели результатов измерения этих предметов, как показатели их множественности и как указатели местоположения предметов среди других предметов.

Не всякий реальный процесс можно уяснять путем применения к нему сложных или простых математических операций; многие реальные процессы совсем не нуждаются в математической трактовке. В тех случаях, когда для уяснения существа реальных процессов допустимы или необходимы математические операции, требуется соблюдать особую осторожность в выборе и оценке исходных количественных

данных объективного практического характера, так как с них начинаются математические операции.

Правильное, полезное абстрагирование возможно лишь на основе правильных объективных, практических данных.

Искусственное, необоснованное привязывание операций над числами к пояснению тех природных процессов, которые не нуждаются в математической трактовке, приводит к софистике или явной нелепости. Грубость или недостаточная осторожность в выборе практических, опытных посылок, на основе которых в дальнейшем хотя бы и правильно делаются числовые операции и математические построения, приводит к таким результатам, с которыми в практике, в жизни делать нечего ввиду их явной непригодности.

Известны софизмы древнегреческого философа Зенона о том, что Ахиллес (древнегреческий мифический герой) при самом быстром своем беге не может догнать черепаху, и о том, что движения нет и не может быть. Зенон не допускал существования противоречий, он это считал как бы аксиомой. Далее он рассуждал так: при движении тело должно пройти расстояние между двумя точками, но сначала оно должно пройти половину этого расстояния, потом — половину оставшейся непройденной половины и т. д. Какая бы малая часть непройденного расстояния ни оставалась впереди, предстояло снова пройти половину этого малого непройденного расстояния — и так без конца. Такая делимость оставшихся непройденных половин на половины бесконечна (Ахиллес не может догнать черепаху). Движение, как прохождение конечного расстояния между двумя точками, невозможно, так как оно, по Зенону, должно состоять из прохождения бесконечно большого количества половин. Получается противоречие, а так как Зенон не допускал существования противоречий, то он и сделал вывод о невозможности движения.

В софизме Зенона, конечно, не доказана невозможность движения; в нем обойден вопрос о сущности движения, а только высказана идея о мыслительной возможности бесконечного деления расстояния, проходимого движущимся предметом. Этот софизм, опровергающийся любым фактическим процессом движения, основан на искусственном, ненужном привязывании арифметической идеи о бесконечной делимости расстояния к описанию сущности движения и на неправильном исходном тезисе, выражающемся в недопущении противоречий.

Ясно, что отрезок пути между двумя точками, который предстоит пройти движущемуся предмету, можно как величину выразить тем или другим числом (например, единицей), а потом это число делить пополам, затем частное первого деления снова делить пополам и т. д. При этом мы действительно встречаемся с процессом бесконечного деления. Но движущееся тело не знает никаких чисел и не отсчитывает половины пройденного расстояния, «...идеальная потребность математика не есть принудительный закон для реального мира» (Энгельс, Антидюринг, 1945, стр. 49).

Бесконечность операций деления отрезка пути на половины или любой другой способ его деления не может служить причиной невозможности движения и вообще не может никак повлиять на движение. Вопрос о сущности движения связан с настоящими диалектическими трудностями и противоречиями, непонимание их и привело Зенона к софизму. Кроме того, этот софизм получается вследствие ошибочного представления о том, будто в реальной действительности бесконечные операции не имеют смысла, на самом же деле любое механическое движение и есть выполнение в реальной действительности бесконечных операций.

Итак, в софизме Зенона имеется ненужное привязывание математики к описанию сущности движения; правильное же применение математики к уяснению процессов движения приводит к выдающимся научным достижениям, что имело место, например, при определении знаменитым русским ученым академиком С. А. Чаплыгиным подъемной силы аэропланного крыла чисто математическими средствами.

Правильная трактовка вопроса о движении была дана на основе материалистической диалектики. Сущность механического движения, по Энгельсу и Ленину, состоит в том, что движущееся тело в один и тот же момент времени находится в данном месте и одновременно не находится в нем. Непрерывное возникновение этого противоречия и разрешение его — вот что такое движение. Некритическое применение математики к выяснению реальных явлений физики, забвение того положения, что одни только числа сами по себе не могут вскрыть глубокое внутреннее существо физических явлений, приводит к конфузу даже виднейших математиков. Знаменитый русский кораблестроитель и математик академик А. Н. Крылов обнаружил грубую ошибку в одной из формул знаменитого итальянского математика Туллио Леви Чивита, увлекшегося формальной математической стороной дела, в силу чего он не заметил, по выражению А. Н. Крылова, «наглядной несообразности» выведенной им формулы для определения верхнего предела динамической нагрузки. По формуле Леви Чивита получалось, что при движении поезда по мосту динамиче-

екая нагрузка приобретала тем большее значение, чем меньшую скорость хода имел поезд. Как пишет А. Н. Крылов, «знаменитый математик, привыкший со всею «евклидовой» строгостью перемалывать аксиомы и постулаты, не заметил грубости одного из своих постулатов, сообразно которому и получил столь высокий верхний предел» (А. Н. Крылов, Мои воспоминания, изд. Академии наук СССР, 1945, стр. 373).

«Формула Леви Чивита, полученная «изящнейшими с математической стороны выводами», оказывалась математически верной, а какой в ней толк?» — замечает А. Н. Крылов.

Как Зенон в древности, применяя правильную математическую идею о бесконечной делимости пути к характеристике существа движения, не нуждающегося в этой идее, — пришел к заключению о невозможности движения, противоречащему любому реальному движению, так и Леви Чивита в наше время, увлекшись абстрактной математической стороной и не проверив правильности своих посылок, пришел к заключению в виде формулы, в которой нет никакого практического толка. Эта ошибка Леви Чивита произошла в результате несоблюдения требования марксистской диалектики — проверить правильность абстракций и умозаключений практикой.

Вопрос о проверке практикой математических абстракций очень важен и требует пояснений.

Математические аксиомы часто называются истинами, не требующими доказательств, в них сформулированы исходные математические понятия как результаты практического опыта, они выражают то, что человек в очень и очень многих случаях подмечает в природе и в своей практике только при помощи простейших обобщений показаний органов чувств (зрения, слуха, осязания). Иначе говоря, математические аксиомы, будучи в большинстве случаев непосредственно опытными и объективными истинами, являются плодами живого созерцания человека, как первой ступени познания объективного мира.

Многие теоремы средней математики (алгебры, геометрии и тригонометрии) выводятся из небольшого числа аксиом чисто дедуктивно по законам логики. Многие понятия высшей математики и ее теоремы устанавливаются и выводятся также по законам логики из начальных аксиом чисто опытного происхождения, но основные понятия высшей математики (производная, дифференциал, интеграл и др.) и ее важнейшие теоремы устанавливаются и выводятся в порядке все большего познания человеком пространственных форм и количественных отношений действительного мира, на основе диалектической логики.

Теоремы средней математики и ее неаксиоматические понятия, понятия и теоремы высшей математики представляют собой результаты абстрактного мышления и обобщения, как второй ступени познания объективного мира.

Выясним, в чем же заключается особенность практики (третьей ступени познания объективного мира) как критерия истинности неаксиоматических понятий и теорем математики. Доказать истинность какой-либо математической теоремы, а тем более такой, которая, как продукт логического конструирования начальных математических аксиом, отстоит сравнительно далеко от этих начальных аксиом в системе математического знания, это не означает обратным многоступенчатым нисхождением прийти от данной теоремы обязательно к исходным аксиомам, воспринимаемым нами в опыте почти только чувственно.

Доказать истинность математической теоремы, находящейся сравнительно далеко от начальных математических аксиом, — это значит путем обратного нисхождения привести данную теорему к ближайшим уже доказанным теоремам (или теореме), истинность которых ранее установлена путем их сведения к начальным исходным аксиомам или путем их сведения к теоремам, которые через посредство других теорем были сведены к исходным аксиомам чисто опытного, т. е. практического происхождения. В этом случае роль практики как критерия истинности доказываемой теоремы ясна, так как приведение теоремы к аксиоме или аксиомам и есть доказательство опытной, т. е. практической истинности теоремы, поскольку аксиомы — это продукты опыта, практики. Сущность доказывания истинности математических теорем путем их приведения к аксиомам — чисто опытным, практическим данным — читатель может рассмотреть хотя бы на примере доказательства геометрической теоремы о том, что сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам, или на примере утверждения алгебры о том, что сумма S всех членов геометрической прогрессии равна выражению ^? , в котором / — последний член прогрессии, q — знаменатель ее, а — первый член. Итак, теоремы математики — это результаты логического конструирования ее понятий, истинность которых подтверждается их вытекаемостью из аксиом — положений чисто опытного, практического характера.

Таким образом, особенность практической проверки истинности обычных математических

теорем заключается в том, что для установления их объективного и опытного происхождения часто требуется пройти более или менее длинный путь перехода от понятия к понятию, в конце которого встречается аксиома — этот бесспорный практический показатель истинности. В физике, например, науке, имеющей дело с определенными реальными предметами и явлениями природы, истинность понятий и утверждений в большинстве случаев доказывается чисто опытно, а не путем длинного перехода от понятия к понятию, ранее подтвержденному другим опытом. Понятия физики представляют собой описания и обобщения существа предметов и явлений реального мира, изученных человеком в практике его покорения сил природы. Многие математические теоремы доказываются путем их приведения не к аксиомам, а к так называемым определениям математических понятий. Определения средней математики— это так же, как и аксиомы, суть продукты практики, опыта, их отличие от аксиом заключается разве только в том, что их опытный характер более непосредственен и ясен, нежели опытный характер аксиом.

Истинность определений устанавливается нами путем непосредственной мыслительной фиксации данных, получаемых от воздействия предметов объективного мира на наши органы чувств (по преимуществу на зрение и осязание). Вот некоторые примеры математических определений.

Окружностью называется кривая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром окружности. Прямая, соединяющая центр окружности с какой-нибудь ее точкой, называется радиусом.

Из существа определения окружности ясно следует, что все радиусы одной и той же окружности равны друг другу.

Геометрическая теорема о том, что диаметр окружности (прямая линия, проходящая через центр окружности и соединяющая две ее противоположные точки) делит ее на равные части, доказывается посредством перегибания чертежа окружности вокруг диаметра, при этом дуга одной части окружности совпадает с дугой другой ее части, так как каждая из точек окружности находится на одинаковом расстоянии от центра, — что дано в определении понятия окружности. Таким образом, истинность теоремы о разделении окружности диаметром на две равные части доказывается путем приведения этой теоремы к утверждению, содержащемуся в определении окружности, а определение окружности фиксирует положения практические, опытные и совершенно очевидные. Так практика и в данном случае служит критерием истинности теорем, основывающихся не на аксиомах, а на определениях.

Но какой же опытный, т. е. практический, критерий может быть применен к установлению истинности, например, таких утверждений: «минус на минус дает плюс» (при умножении и делении) и «произведение двух мнимых единиц равно обыкновенной отрицательной единице» (т. е. |/"ZTi.y^ZTf =— \у или i-i=—1)?

Основная практическая проверка истинности правил, выражающихся формулами: (—1) •(—1)= = —|— 1, i-i= — 1, заключается в установлении их пригодности находиться в математических положениях, с помощью которых правильно уясняются закономерности природных явлений и технических процессов.

Человечество с помощью математических понятий решило весьма много важнейших задач практического характера в процессе покорения сил природы, в процессе развития техники. Немало труднейших технических проблем решено и решается с применением математических понятий и формул, в которых, и в простых и в сложнейших сочетаниях, встречается и умножение отрицательных чисел на отрицательные числа, дающее в результате числа положительные, и умножение мнимых чисел на мнимые числа, дающее в результате обыкновенные отрицательные числа. С примерами решения подобных проблем можно ознакомиться в трудах наших знаменитых ученых Н. Е. Жуковского, С. А. Чаплыгина, академика Н. И. Мусхелишвили и других. В этом — основа практического критерия истинности правил действия над отрицательными и мнимыми числами. Кроме того, в практическую проверку истинности указанных правил входит показ их непротиворечивости основным правилам действий над положительными и действительными числами. Истинность правил действий над целыми положительными числами проверена счетной и измерительной практикой человека в течение нескольких тысячелетий. Основные законы арифметики (коммутативный, или переместительный; ассоциативный, или сочетательный, и дистрибутивный, или распределительный) как теоретические обобщения счетной практики не нарушаются правилом умножения отрицательного числа на отрицательное число.

Правило: (— 1)-(— 1) =+ 1 не может быть доказано обычными приемами математических доказательств путем его сведения к каким-либо аксиомам или определениям чисто опытного, созерцательного, предметного характера. Истинность этого правила подтверждается тем, что оно не противоречит, например, распредели-

тельному закону, выражающемуся формулой: a(b-\-c) =ab+ac

Если бы приняли, что (—1)-(—1) = —1, то, полагая, например, а =— 1, 6 = 2, с = — 1, получили бы — 1 • (2 — 1) = —2 — 1=—3, тогда как в действительности — 1 • (2 — 1) = = — 1(1)=—1. Итак, истинность правила: (— 1) • (— 1) = 1 подтверждается путем показа его непротиворечивости основным законам арифметики, утвержденные в своей истинности в течение длительной и разнообразной нашей вычислительной практики. Таким образом, и в случае установления истинности правила: (—1).(—1)=1 мы обращаемся к опыту, к практике как критерию всякой истинности. Конечно, основные законы арифметики сначала были утверждены только для обыкновенных (положительных) чисел. Закономерность их переноса на отрицательные числа связана с развитием вычислительной практики при переходе от феодального к капиталистическому способу производства в XVII веке, в течение которого наблюдалось решительное введение в математику отрицательных чисел. Более интенсивное развитие техники, сопутствовавшее новому капиталистическому способу производства, требовало изучения самых разнообразных величин и, в том числе, величин, имеющих прямое и обратное направление. При представлении последних величин математика не может обойтись без отрицательных чисел. Так практика развития производительных сил способствовала утверждению в математике- понятия об отрицательных числах, правила действий над которыми устанавливались согласованно с установившимися ранее правилами, подтверждаемыми вычислительным опытом. Практика математических операций убеждает нас также в правильности утверждения: yr— \ • \/— \ = —1 (или в другой форме записи ii = — 1). Это утверждение, удовлетворяющее очень широкому и общему понятию о числе, не противоречит сохранению основных законов арифметики (переместительного, сочетательного и распределительного), обеспечивает широкую свободу арифметико-алгебраических операций и во многих очень сложных случаях вычислений приводит к значительному упрощению и убедительности. Например, при помощи комплексных чисел (основным правилом которых является утверждение, записываемое формулой —1) в алгебре можно решать двучленные уравнения вида хп-\-а = 0.

Если какая-нибудь теорема или математическое положение сперва доказывается методами, не имеющими применения комплексных чисел, а затем в истинности этой теоремы или положения мы убеждаемся путем проверки ее правильности на практике, и если потом мы эту же теорему или положение доказываем методами с применением комплексных чисел, то ясно, что правила, касающиеся комплексных чисел (и в том числе правило i-i=—1) верны, истинны, в противном случае они бы не могли привести к теоремам и понятиям, подтверждающимся в практике.

Так в практике самих математических операций подтверждается истинность правил: (— 1) - (— 1) = —|— 1, / - / = — 1, в этом и заключается особенность практической, опытной проверки их правильности*.

Таковы самые общие соображения о применении в математике ленинской теории познания, кратко выраженной в знаменитом тезисе: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины...» (Ленин). Диалектическая глубина и многосторонность этого тезиса настолько значительны, что он применим к уяснению сущности и всей математики в целом, вооружая нас сильнейшим методом исследования ее составных логических частей и к уяснению сущности ее отдельных, сравнительно узких и частных понятий, определений, аксиом и теорем.

* В настоящей статье речь идет только о выяснении практического критерия истинности формул (— 1)-(— 1) = 4-1, /•/ = —-1, но не о формальнологических их доказательствах, возможных при помощи так называемых пар первой и третьей ступени. Теория таких доказательств излагается в курсах теоретической арифметики (см., например П. Д. Белоновский, Основы теоретической арифметики, Учпедгиз, 1938).

К ВОПРОСУ ОБ УЧЕБНИКЕ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

В. Н. МОЛОДШИЙ (Москва)

Многие наши преподаватели считают целесообразным использовать факты истории математики и в частности отечественной, на уроках и на внеклассных занятиях. Они, конечно, правы. Правдивые и красочные рассказы о жизни и деятельности передовых русских и советских математиков помогают развивать у учащихся чувство животворного советского патриотизма, чувство глубокой преданности великому делу партии Ленина — Сталина. Удачно подобранные и доходчиво изложенные исторические факты помогают учащимся глубже разобраться в изучаемых вопросах, показывают им, что и математика возникла и развивается под влиянием запросов жизни. История помогает учителям разъяснить учащимся выдающуюся роль математики в технике и других науках, стимулирует их любовь к точному знанию, к нашей промышленности и сельскому хозяйству, развивает их творческие способности.

Богатый опыт наших преподавателей в этом направлении еще не изучен. Небольшие заметки, посвященные описанию использования истории математики в работе школьных кружков, картины не меняют*. Нашим методистам рекомендовалось бы здесь проявить свою инициативу.

В среде студентов математических факультетов университетов и физико-математических факультетов педвузов заметно пробудился интерес к истории математики, в первую очередь к отечественной. Студенты с большим интересом слушают факультативные курсы по истории математики, включают исторические темы в планы работ научных студенческих обществ. Например, в Московском городском педагогическом институте имени В. П. Потемкина большой интерес вызвало заседание научного студенческого общества, посвященное жизни и творчеству Николая Ивановича Лобачевского. Большим успехом пользуются курсовые работы, относящиеся по тематике к жизни и деятельности гениальных русских ученых, к развитию русской методики математики. При написании курсовых работ студенты привлекают первоисточники и существующую литературу по истории математики.

В этой заметке я хочу остановиться на вопросе, имеющем непосредственное отношение к рассматриваемой стороне деятельности наших преподавателей и учебе студентов-математиков: какими источниками по истории математики они могут располагать, какие из этих источников приемлемы и неприемлемы и чего в них нехватает. Тема эта очень большая; сказанное мною в этой связи лучше всего рассматривать только как постановку вопроса.

За тридцать один год советские ученые проделали большую работу по самым разнообразным вопросам истории математики**. Особое внимание они уделили подробному выяснению и описанию достижений дореволюционной русской и советской математики. Творчеству Н. И. Лобачевского, П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова, С. В. Ковалевской, А. А. Маркова, М. В. Остроградского, В. Я. Буняковского и др. посвящены многие фундаментальные исследования. Среди них достаточно назвать работы А. Н. Колмогорова, П. С. Александрова, Н. Г. Чеботарева, В. Ф. Кагана и др. о содержании и значении научного творчества Лобачевского. Полные собрания сочинений этих корифеев русской математической мысли или изданы или издаются. Все эти работы позволяют утверждать, что родиной научных интересов наших гениальных дореволюционных математиков была Россия, а не Запад; тем самым пошлые измышления западноевропейских и американских ученых — лакеев капитала — о «неполноценности» и «несамобытности» русской математики оказались битыми.

* Эти заметки печатались в разные годы в журнале «Математика в школе».

** См. статью А. П. Юшкевича в сборнике «Математика в СССР за XXX лет».

Решение ряда важнейших проблем и вопросов, ранее приписываемое иностранцам, принадлежит нашим математикам. Приоритет Лобачевского в открытии и полной разработке неевклидовой геометрии установлен неопровержимым образом. Определение функции, приписываемое Дирихле, было раньше введено Лобачевским. Некоторые основные формулы теории интегралов, приписываемые Гауссу и Эрмиту, доказал Остроградский. Золотарев раньше Дедекинда начал заниматься теорией идеалов. Передовые русские математики XIX века вели не только большую научную, но и широкую общественную и педагогическую деятельность. Лобачевский, Чебышев, Остроградский многие годы жизни посвятили как высшей, так и средней и начальной школам. Их мысли о преподавании математики в средних и начальных школах* не утратили своего значения, должны быть учтены и нашей методикой математики. В научной и педагогической деятельности передовые русские математики XIX века руководствовались естественно-научным материализмом, мастерски связывали теорию с практикой. Лобачевский боролся против философии Канта; открыв свою геометрию, он нанес этой философии решающий удар. Чебышев настаивал на примате практики над теорией, с гениальным мастерством черпал темы важнейших математических исследований в задачах из техники и жизни. Материалистические воззрения передовых русских математиков XIX века явились продолжением и развитием естественно-научного материализма русского естествознания и математики XVIII века (Ломоносов, Курганов, Козельский, Осиповский, Гурьев). Последовательное описание работ русских математиков (до 1917 г.), в связи с их педагогической деятельностью, было выполнено А. П. Юшкевичем. Успехи советской математики, ее ведущая роль в теории чисел, теории дифференциальных уравнений, топологии и пр. областях, деятельность ее крупнейших представителей, в первую очередь сталинских лауреатов, нашли отражение в описаниях советских математических школ и в специальных сборниках, один из коих—«Математика в СССР за тридцать лет»—опубликован недавно.

Имеются у нас и некоторые успехи в разработке вопросов истории математики древнего мира и нового времени. К сожалению, однако, по этим вопросам имеют хождение переводные книги и статьи, принадлежащие буржуазным ученым, их авторы извращают историю математики, пропагандируют чуждые советским людям взгляды. Обнаружить и разоблачить эти вредные взгляды порой трудно, т. к. авторы маскируют их «строго научным» и «объективным анализом», На мой взгляд, центральное место среди этих книг занимают «Лекции по истории математики в XIX веке» Ф. Клейна (издана в 1937 г.).

Ф. Клейн был одним из крупнейших немецких математиков последней четверти XIX и начала XX в. Его «Эрлангенская программа» исследования по неевклидовым геометриям и др. получили достаточно широкую известность. «Лекции»—одна из немногих книг, в которой делается попытка — хотя и не во всем объеме, но достаточно подробно — рассмотреть процесс развития математики в XIX веке во взаимных связях с развитием других наук — физики, механики, астрономии, геодезии. Это, конечно, нравилось многим.

Русское издание «Лекций» снабжено вводной статьей проф. М. Я. Выгодского «Феликс Клейн и его работа». Выгодский ставит «Лекции» очень высоко, считает их «бросающими яркий свет» на ряд интереснейших проблем истории математики. Он подчеркивает, что «Лекции» «будят интерес к широкой постановке вопросов истории математики», в ряде случаев подымаются до их диалектико-материалистической трактовки. Говоря о жизни Ф. Клейна, Выгодский указал, что автор «Лекций» воспитывался в старопрусском духе, а в математике был представителем немецкой крупной буржуазии. Однако, писал Выгодский, «Клейну был совершенно чужд шовинизм, свивший себе прочное гнездо в консервативных кругах немецкой буржуазии и юнкерства... Вопреки этому шовинистическому течению, Клейн демонстративно подчеркивал, что в создании культурных ценностей немецкая нация не играла какой-либо особой роли» (курсив мой.—В. М.)

После такой вводной статьи проф. Выгодского читатели, конечно, могли отнестись к «Лекциям» Ф. Клейна с полным доверием, читать и искать в них не только не шовинистическое, но даже диалектико-материалистическое изложение математики. Надо, однако, сказать, что в «Лекциях» Ф. Клейна ничего такого нет; попытки читателей остались бы тщетными.

«Лекции» Ф. Клейна содержат много важных фактов из истории математики XIX века; в этом отношении они полезны. Но Ф. Клейн более чем часто трактует эти факты неправильно, извращает их. «Лекции» Ф. Клейна — это апологетический гимн по адресу буржуазной немецкой математики, ее «непревзойденности» и «ни с чем не сравнимой красоты». Ф. Клейн

* См. журнал «Математика в школе», № 6 за 1948 г.

указывает факты, много фактов. Но они — только камни пьедестала, на котором в «ярком» и «нешовинистическом» свете выступают «недосягаемые» гении — Гаусс, Риман, Вейерштрасс и др. Ф. Клейн пытается доказать, что за весьма редким исключением все основные идеи математики XIX века были развиты немецкими учеными, в первую очередь Гауссом, Риманом и Вейерштрассом. Клейн пытается убедить читателей, что гениальность этих математиков «выше всякой обычной меры оценки» (42). Но так как это противоречит неопровержимым фактам истории, то Ф. Клейн вынужден извращать их, идти порой на явную ложь.

Особо много извращений фактов там, где речь идет о Гауссе. Идея создания неевклидовой геометрии, пишет Клейн, появилась одновременно в нескольких, совершенно независимых друг от друга местах. Если, однако, «тщательно» проанализировать исторические факты, то окажется, что и здесь (!!) Гаусс опередил своих современников на несколько лет. Следовательно (это «следовательно» Клейн не произносит, а предоставляет произнести читателю), приоритет открытия неевклидовой геометрии принадлежит Гауссу, а не Лобачевскому. Это — ложь! Как и некоторые его современники, Гаусс не исключал возможности существования неевклидовой геометрии, доказал некоторые ее элементарные теоремы. Но, побоявшись выступить против «абсолютного» авторитета Евклида, Гаусс нигде и никогда не заявил открыто о своих взглядах. Только в переписке с друзьями, содержание которой Гаусс просил не разглашать, он иногда «рисковал» сказать кое-что о новой геометрии. Впервые неевклидова геометрия была полностью развита Лобачевским. Только Лобачевский первый не побоялся выступить в ряде работ за созданное им новое учение. Известно, что эти обстоятельства сыграли огромную роль при отыскании реального истолкования неевклидовой геометрии. С таким же пренебрежением к фактам Ф. Клейн извращает и историю открытия геометрического истолкования арифметики комплексных чисел. Последнее было найдено в 1797 г. не «сверх-гением», а норвежским землемером Г. Весселем. Через несколько лет с обоснованием аналогичных идей выступил Арган и некоторые другие французские математики. Только в 1831 г. Гаусс впервые выступил с геометрической трактовкой арифметики комплексных чисел; к этому его принудили исследования в области теории чисел. Положение, казалось бы, предельно ясно. Но даже и в этом случае Ф. Клейн приписывает Гауссу приоритет, указывая, что якобы с именем Гаусса связан отказ математиков от мистического истолкования понятия комплексного числа! Интересно отметить, что другой немецкий автор — Симон* устыдился подобных выводов. Но желая и здесь хотя в какой-либо мере сохранить за Гауссом приоритет, он заявил: Гаусс открыл геометрическое истолкование арифметики комплексных чисел не первым; однако работ своих предшественников он не читал, так как не знал французского языка. Одним словом, хотя Гаусс был не первым, но приоритет-то все же принадлежит и ему!

Для чего понадобилось Ф. Клейну такое явное извращение фактов? Чтобы «доказать», что «труды Гаусса не только в хронологическом смысле знаменуют начало XIX столетия, но и являются также исходным пунктом для различных новых отраслей науки этого столетия»!

Для Ф. Клейна «Риман — человек блестящей интуиции. Своей всеобъемлющей гениальностью он превосходит всех своих современников». С такой же похвалой отзывается Ф. Клейн и о Вейерштрассе. Что Риман и Вейерштрасс были крупнейшими математиками — этого не отрицает никто. Но ничто не позволяет Клейну ставить их в более чем привилегированное положение. Тем более никто ему не может простить той пошлости, какую он посчитал возможным написать о С. Ковалевской.

Гениальным русским математикам «не повезло»: достижения некоторых из них (Лобачевский, С. Ковалевская) Клейн постарался или преуменьшить или приравнять нулю; о других (Чебышев, Остроградский) он просто не вспомнил. Но та же участь постигла и многих иностранных (не немецких, конечно) авторов. Чтобы оттенить «сверх гениальность» Гаусса, Клейн сравнивает его деятельность с деятельностью Лежандра, при этом везде и всюду Клейн находит недостатки у Лежандра и особые достоинства у Гаусса. О чешском математике Больцано Клейн считает возможным заявить, что раз он был священником и философом, то «первое побуждение к своим исследованиям он почерпнул из схоластических традиций 1. Достаточно прочесть «Парадоксы бесконечного» Больцано, чтобы понять ложность этого утверждения. «Ранняя зрелость, неукротимый темперамент» — все это, по мнению Клейна, делают Галуа «типичным представителем неупорядоченного (?!), чисто французского гения». Галуа был «дерзким», «заносчивым», и за это его исключили из Нормальной школы. В чем же на деле сказалась «неупорядоченность» и «дерзость» Галуа? Он считал делом

* Симон, Дидактика и методика, пер. с нем., 1912.

чести своей жизни служить революции, публично выступал против короля Людовика-Филиппа. За это неоднократно подвергался преследованиям, сидел в тюрьме. На двадцать первом году жизни погиб на дуэли, повидимому спровоцированной королевскими агентами*.

Такова идейная направленность «Лекций» Ф. Клейна.

В таком же стиле написаны и другие исторические исследования немецких авторов. Если, например, поверить Тропфке**, то можно подумать, что арифметика успешно развивалась только в Германии.

Если Клейн, Тропфке, Симон и др., извращая факты, «стыдливо» создают видимость аргументированных выводов, то прижившийся в Америке немецкий математик Курант, в содружестве с американцем Роббинсом, извращает факты, не смущаясь ничем. В книге «Что такое математика»*** он умаляет заслуги И. М. Виноградова и А. О. Гельфонда в теории чисел, ни слова не говорит о П. Л. Чебышеве, не указывает на приоритет Н. И. Лобачевского в открытии неевклидовой геометрии. Зато немецкие и американские авторы упоминаются им достаточно часто.

Приведенных фактов достаточно, чтобы с полным основанием утверждать, что в некоторой своей части имеющая хождение переводная литература по истории математики не способна удовлетворить запросы наших преподавателей и студентов, что эта литература вредна. Вредность этой литературы усугубляется тем, что к ней приходится обращаться. Существующая научная литература по истории математики, носящая исследовательский характер, трудна для широкого круга читателей. До сих пор нет научного, т. е. марксистски выдержанного учебника истории математики, доступного широким кругам наших читателей — педагогам, студентам, любителям математики. Если раньше с таким ненормальным положением как-то мирились, то теперь это недопустимо. Такой учебник истории надо создать, и чем скорее, тем лучше.

Написать марксистски выдержанный и в то же время доступный широким кругам читателей учебник истории математики—дело трудное: с ним может справиться только коллектив ученых. Чем скорее такой коллектив будет создан, тем лучше.

* См. предисловие Н. Г. Чеботарева к русскому изданию сочинений Галуа, М.—Л. 1936.

** Тропфке, История арифметики.

*** Р. Курант и Г. Роббинс, Что такое математика, перевод с английского, под редакцией проф. В. Л. Гончарова, Гостехиздат. М.—Л. 1947.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

АЛГЕБРА ЛОГИКИ И ЕЕ МЕТАМОРФОЗЫ

Ю. М. ГАЙДУК (Харьков)

Странные равенства. Предложим вниманию читателя две таблицы:

Таблица сложения

1+1 = 1 1+3=3 1+5=5 1+15=1^ I 3+1=3 3+3=3 3+5=15 3+15=l5 m 5+1=5 5+3=15 5+5=5 5+15=1^ f I1) 15+1 = 15 15+3=15 15+5=15 15+15=15 )

Таблица умножения

1-1 = 1 1-3=1 Ь5=1 1-15=1 )

3.1 = 1 3-3=3 3-5=1 3-15=3 l/m 5-1 = 1 5-3=1 5-5=5 5-15=5

15-1 = 1 15-3=3 15-5=5 15-15=15 )

Мы не удивимся, если первой реакцией у читателя, просмотревшего эти таблицы, будет чувство недоумения: действительно, из составляющих таблицы тридцати двух равенств только одно (Ы = 1) не вызывает никаких сомнений; остальные же равенства, как, возможно, склонен решить читатель, «противоречат всем законам математики».

— Всем ли?— возразим мы читателю. — Не спорим, равенства, о которых идет речь, сильно расходятся с индивидуальными арифметическими свойствами тех четырех чисел (1, 3, 5, 15), которые входят в эти равенства. Но как обстоит дело с законами алгебры?

Попросим читателя забыть на время усвоенную с детства арифметику и заняться проверкой того, соблюдены ли в системе наших равенств традиционные алгебраические законы действий сложения и умножения. Читатель легко убедится в том, что ни коммутативный, ни ассоциативный законы сложения и умножения:

aJrb = b-]-a (1)

a-b = b-a (2)

(* + b) + c=a + (b + c) (3)

(a-b)c = a-(b.c), (4) ни дистрибутивный закон:

a.(b-\-c) = a-b-\-a-c (5)

не нарушены в системе наших равенств,— впрочем, что касается законов коммутативности, уже одного взгляда на наши таблицы достаточно, чтобы убедиться в его соблюдении. Каждый из остальных законов можно проверить, придавая буквам я, Ь, с и его формуле все возможные значения из множества (1, 3, 5, 15) и используя для «вычисления» результатов необходимые равенства из наших таблиц. В качестве примера проверим справедливость формулы дистрибутивного закона при я = 3, b = 15, £ = 5. Итак, нам нужно показать, что

3.(15 + 5) = 3-15 + 3-5 (а)

даже при наших «неправильных» таблицах сложения и умножения. «Вычисляем» отдельно левую и правую части проверяемого равенства. Имеем:

3.(15 + 5) = 3.15 = 3

— в силу четвертого равенства третьего столбца таблицы сложения и второго равенства четвертого столбца таблицы умножения. Аналогично:

3-15 + 3.5 = 3+1 =3

— в силу вторых равенств четвертого и третьего столбцов таблицы умножения и второго равенства первого столбца таблицы сложения. Совпадение полученных результатов доказывает соотношение (а)*.

Мы видим, что в системе парадоксальных, казалось бы, не заслуживающих доверия равенств (I—II) оказываются пунктуально соблюденными основные законы алгебраических действий. В связи с этим у читателя, очевидно, воз-

* Это не значит, конечно, что мы этой частичной проверкой уже установили справедливость в системе наших равенств дистрибутивного закона. Только после выполнения всех возможных частных проверок (соответственно всем возможным значениям я, Ь, с) мы вправе заключать о соблюдении нашего закона.

никла уже догадка, что в наших таблицах (I—II) знаки -(- и • не изображают с настоящих» действий сложения и умножения, а являются символами каких-то других действий над числами, — действий, с алгебраической точки зрения имеющих много общего с «настоящим» сложением и «настоящим» умножением.

«Сепаратные» законы алгебры равенств (I—II). Продолжим наши «алгебраические наблюдения» за равенствами таблиц (I—II).

Сопоставляя равенства, стоящие на «главных диагоналях» наших таблиц, легко подмечаем следующие два закона:

а-\~а = а (6)

а-а=а. (7)

Непосредственной проверкой (как выше) читатель может убедиться в наличии еще следующего закона:

a-\-b-c = {a+b){a + c). (8)

Законы (6) — (8), конечно, не имеют мест а в обычной алгебре, в которой равенства (6) — (8) можно рассматривать разве как уравнения, но ни в коем случае не как тождества. Другое дело в алгебре, создаваемой нами «на базе» таблиц (I—II): здесь равенства (6) — (8) имеют такой же тождественный характер, как и равенства (1) —(5), и наряду с последними служат законами этой алгебры.

Дадим законам (6) — (7) наименование законов тавтологии сложения и, соответственно, умножения, — закон же (8) назовем вторым дистрибутивным законом,— в отличие от первого, выраженного формулой (5).

Заметим, что новые законы (6) — (8) независимы от прежних, т. е. не могут быть выведены непосредственно из последних (в противном случае, они вместе с темя были бы тождественно справедливы в обычной алгебре).

«Нуль» и «единица». Итак, мы видим, что в системе равенств (I—И) имеет место «своя» алгебра, отчасти похожая, отчасти непохожая на обычную школьную алгебру. Если читатель знаком с так называемой «векторной алгеброй», он не найдет необычным то, что в нашей новой алгебре имеются некоторые «новые» законы, чуждые привычной алгебре: ведь и в векторной алгебре имеет место, скажем закон:

отсутствующий в обычной алгебре.

Впрочем, черты сходства нашей алгебры равенств (I—II) с алгеброй «настоящей» не ограничиваются соблюдением в обеих алгебрах законов (1) — (5): параллель между обеими алгебрами можно провести несколько дальше.

Так, важно отметить, что и в нашей алгебре есть свой «нуль» и своя «единица».

Напомним читателю, что в алгебре нуль определяется как «модуль сложения», единица «как модуль умножения», т. е. как элементы, не изменяющие других элементов при сложении и, соответственно, умножении. Просмотрев таблицу (I), читатель убедится, что модулем сложения («нулем») у нас является число 1, так как при всяком допустимом в нашей алгебре значении а

а + 1=д;

аналогично из рассмотренной таблицы (II) можно вывести заключение, что модулем умножения («единицей» нашей алгебры) служит число 15, так как равенство: а.15 = а

также имеет место при всяком (допустимом) значении я.

Мы надеемся, что читателя не смутит то обстоятельство, что в нашей алгебре 1 является «нулем», а «единицей» служит 15. Впрочем, если читателю удобнее, он может смотреть на элементы (1, 3, 5, 15) нашей алгебры, как на особые символы, не соединяя с ними их привычного числового смысла. Символы эти нужно мыслить тогда связанными между собой условными равенствами (I—II) и обычными правилами, регулирующими в математике употребление знака равенства.

Чтобы нагляднее выразить специальные свойства в нашей алгебре чисел 1 и 15, мы позволим себе ввести для них «параллельные» обозначения. Обозначим: 1=®э 15 = ©, Итак: а + ® = а (9)

а-© = а (10)

Действие негации. Нам остается сделать еще один шаг, чтобы окончить закладку фундамента нашей «странной» алгебры.

Обратные действия для действий сложения и умножения (действия вычитания и деления), как легко видеть, не могут быть определены в нашей алгебре. Действительно, уравнение а-[~д:=&, решение которого должно было бы привести нас к понятию разности b — а> либо вовсе не имеет решения в нашей алгебре, либо имеет (вообще говоря) неоднозначное решение. (Последнее имеет место вследствие того, что вместе с х решением будет и a-J-лг, как это сейчас же следует из законов ассоциативности и тавтологии.) Так, читатель легко проверит с помощью таблицы сложения, что уравнение Ъ-\-Х = 5 вовсе не имеет решений в нашей алгебре, а уравнение 5 -f- х = 15 имеет два решения (х = 3 и х = 15). Совершенно аналогично обстоит дело с вопросом о действии деления.

В нашей алгебре, вместо отсутствующих в ней действий вычитания и деления, оказывается возможным ввести новое действие — действие негации. Последнее относит каждому элементу а некоторый другой элемент а1 («негацию а») нашей алгебры согласно следующей «таблице»:

Г = 15; 3' = 5; 5' = 3; 15' == 1 (III) Легко заметить, что новое действие удовлетворяет «закону двойной негации»:

(а')' = а, (11)

который напоминает формулы алгебры. — (— а) = а и (а-1)—1 = д

Существует тесная связь между тремя действиями нашей алгебры. Мы предлагаем убедиться в соблюдении таких двух законов:

а-\-а' = ® (12)

а-а' = ® (13)

Вопрос о непротиворечивости. Теперь уже нет необходимости обращаться к самим таблицам I — III в поисках новых, скрытых в них законов: эту задачу отныне мы можем решать чисто алгебраически, оперируя исключительно уже установленными нами законами (1) — (13). Мы не будем приводить здесь соответствующих примеров: они во множестве встретятся в дальнейшем, когда мы подойдем к нашей алгебре с другой стороны.

Сейчас мы обратимся к вопросу о «логической прочности» нашей новой алгебры, т. е. о ее внутренней непротиворечивости. Правда, до сих пор у нас все «шло гладко», и наша «алгебра», при всех своих странностях, пока не обнаружила каких-либо признаков внутренней несостоятельности, но где гарантия того, что подобные признаки не заявят о себе в дальнейшем? Заранее не исключено, что, получая все новые следствия из установленных нами псевдоалгебраических законов, мы не придем, в конце концов, к какому-нибудь противоречию (например, к равенству 1 = 15 или подобному абсурду), которое означало бы тогда, разумеется, смертный приговор всей нашей «новой алгебре».

Понимая законность этих опасений, поспешим устранить их*.

Для этого, вернув, если нужно**, элементам 1, 3, 5, 15 их обычный числовой смысл, истолкуем действия нашей алгебры следующим образом:

Под суммой а-\-Ь чисел а и Ъ нашей алгебры будем понимать их общее наименьшее кратное:

a + b = 0-H-K(a, ft),

под произведением а*Ь — их общий наибольший делитель:

a-b = 0-H-JX-(a, Ь%

наконец, под негацией а! числа а — частное от деления числа 15 на а:

а = —. а

Предоставляем читателю проверить, что в результате применения этих определений мы придем к нашим, казавшимся столь странными, таблицам сложения, умножения и негации. Мы видим, таким образом, что наши исходные 32 равенства (плюс соотношения негации) и обслуживающая их «странная алгебра» являются символическим выражением некоторых обычных арифметических свойств делителей числа 15 (чисел 1, 3, 5, 15). Тем самым мы получаем успокоительный ответ на опасения относительно возможной несостоятельности нашей новой алгебры: действительно, всякое противоречие в ней было бы только отражением*** какого-то противоречия в обычной арифметике, — а в непротиворечивости этой последней ни мы, ни, вероятно, наш читатель не склонны сомневаться.

Нужна ли «странная» алгебра? Показав логическую безупречность нашей «странной» алгебры, мы еще не утвердили за ней достаточного «права на жизнь»: в самом деле, весь смысл этой алгебры виден пока лишь в последнем истолковании ее действий как операций образования тех или иных делителей числа 15. Это, таким образом, некая специальная «алгебра делителей числа 15».

В действительности наша алгебра, — если смотреть на нее как на систему «чистых» формул (1) — (13), — подобно другим аксиоматическим системам****, допускает целый ряд различных по своему «материалу» истолкований (интерпретаций), среди которых имеются и очень важные. Как раз благодаря этим последним наша алгебра и получила «право на жизнь».

Метаморфозы «странной» алгебры. Алгебра классов. Наша «странная» алгебра до сих пор была алгеброй только четырех элементов (которыми служили числа 1, 3, 5,

* Приводимая ниже аргументация в пользу непротиворечивости «странной» алгебры представляется нам наиболее убедительной с методической точки зрения. Можно было бы, однако, аргументировать и непосредственно на основе наших таблиц.

** Т. е. если читатель последовал ранее данному нами разрешению и лишил знаки 1, 3, 5, 15 их числовых функций.

*** Буквально — символическим выражением.

**** Пусть читатель, знакомый с вопросами аксиоматики геометрии, припомнит разнообразие интерпретаций аксиоматической системы, хотя бы евклидовой геометрии.

15). Эта немногочисленность элементов позволяла нам выше устанавливать законы нашей алгебры чисто «эмпирическим» путем — посредством таблиц (I — III). Существуют, однако, такие интерпретации нашей алгебры, в которых число ее элементов бесконечно велико* (или вовсе не указано).

Такова, в частности, одна из важнейших интерпретаций, — известная под названием алгебры классов.

Классом в логике называют то, что в математике охотнее обозначают терминами «множество» или «совокупность». Класс считается заданным, если существует правило, позволяющее определять, принадлежит или же не принадлежит всякий данный объект этому классу в качестве его элемента.

Так, правила: «все нечетные числа», «все точки данного квадрата, кроме его вершин», «все правильные треугольники», «наибольший общий делитель чисел 30 и 105», «наибольшее натуральное число» — удовлетворяют требуемому условию и, следовательно, задают соответствующие классы. В частности, последнее правило задает так называемый пустой класс, не содержащий ни одного элемента.

Два класса равны (или тождественны), если каждый элемент одного из них является элементом другого, и наоборот. Таковы, например, класс всех равнобедренных треугольников и класс всех треугольников с двумя равными углами.

Если каждый элемент класса а является также элементом класса Ь, то говорят, что а есть подкласс класса Ъ.

В силу этих определений, в частности, все пустые классы равны между собой, и всякий пустой класс является подклассом любого класса.

Напомнив читателю эти, вероятно, знакомые ему определения, перейдем к построению «алгебры классов». С этой целью зафиксируем некоторый определенный класс k (впрочем, безразлично какой) и рассмотрим класс /С, элементами которого будем считать все подклассы класса k. Среди элементов класса К будут, в частности, пустой класс и сам первоначальный класс k.

С помощью нижеследующих определений установим действия (сложения, умножения и негации) над элементами класса К: назовем суммой элементов а и Ъ класса К — класс а Ь, содержащий в качестве своих элементов все элементы класса а и все элементы класса Ь, но не содержащий никаких других элементов.

Назовем произведением элементов а и Ь класса К— класс а-b, содержащий в качестве элементов все те элементы класса а, которые принадлежат также классу Ь, но не содержащий никаких других элементов.

Назовем, наконец, негацией элемента а класса К — класс а\ содержащий все отличные от а элементы класса К, но не содержащий никаких других элементов.

Легко видеть, что классы а-\~Ь, а-b, а' будут, так же как а и Ь, подклассами класса К и, значит, снова явятся элементами класса К.

Оказывается, что определенные нами действия над классами в точности следуют всем законам нашей «странной» алгебры. При этом роль элемента ® здесь играет пустой класс, а роль элемента © — класс k.

Проверим, в качестве примера, справедливость в алгебре классов нашего «второго дистрибутивного закона»:

a + b-c = (а + ft)(fl + c).

Пусть a, Ь, с — три произвольных подкласса класса ky и пусть £ — произвольный элемент подкласса a -j- b-c, а 7] — произвольный элемент подкласса {a -f- b) • (a -|- с). Проверяемое равенство будет установлено, если мы покажем, что С будет элементом класса (a -j- b)-(a -j- с), а y] — элементом класса а-\-Ь-с. Докажем сначала первое. Элемент £ класса а-\-Ь-с, в силу определения суммы классов, должен быть элементом хотя бы одного из классов а и Ь-с. Если он элемент класса а, то он подавно будет элементом каждого из классов а-\-Ъ и а -\- с, а. значит, и элементом их произведения (a -j- b) (a -j- с). Если же Е — элемент класса Ь-с> то он будет элементом каждого из классов b и с, а значит, и каждого из классов {a -[- b) и (а -{- с), а вместе с тем и элементом их произведения. Таким образом, элемент I всегда принадлежит классу (а -{- Ь) * (а-\-с). Остается показать, что элемент т) принадлежит классу а-\-Ь-с. В силу своего определения, элемент 7] принадлежит как классу а-\- Ь, так и классу а -j- с. Как элемент класса а -\- Ь он должен принадлежать (хотя бы) одному из классов а и Ь, как элемент класса а-\-с — одному из классов а и с. Но тогда 7] либо принадлежит классу а, либо принадлежит обоим классам b и £, так что во всяком случае он должен принадлежать классу

Аналогично можно было бы проверить все остальные законы. Предоставляем сделать это читателю.

Итак, наша «странная» алгебра получила

* Отметим, что если число (различных) элементов нашей алгебры конечно, то оно (как можно доказать) составляет некоторую степень числа 2.

ответственную роль «алгебры классов». В этой роли она является важным орудием теории множеств.

Отметим, что в интерпретации с помощью классов действия и соотношения нашей алгебры приобретают особую прозрачность, переходящую в геометрическую наглядность, когда в качестве класса k выбирается некоторое точечное множество (например, множество точек определенного квадрата),

Алгебра логики. Ролью «алгебры классов» не исчерпываются способности нашей алгебры к перевоплощению. Эта алгебра вначале, быть может, показавшаяся читателю «нелогичной» наибольшим успехом пользуется в роли... «алгебры логики».

Мысль об «алгебраизации» логики, т. е. о превращении формальной логики в символическое «исчисление», в котором процесс умозаключения получил бы все технические преимущества алгебраической выкладки, издавна привлекала внимание логиков и математиков. Еще Лейбниц, один из основоположников «новой» математики, сделал — правда, мало удачную — попытку построения логического исчисления. Первой удачной формой такого исчисления явилась (близкая к только что изложенной «алгебре классов») алгебраическая система, разработанная немногим более ста лет тому назад Дж. Булем и получившая впоследствии название «булевской алгебры», или «алгебры логики».

Наша «странная алгебра» (она же алгебра классов) и есть немного модернизированная форма булевской логической алгебры.

Отметим, однако, что «алгебра логики» отнюдь не является универсальным логическим исчислением: в излагаемой ниже (правда, самой простой) трактовке — это только «алгебра элементарных предложений» т. е. символическое исчисление той части формальной логики, в которой предложения изучаются в их «внешних» логических связях между собой, — тогда как их «внутренние» связи, зависящие от «тонкой структуры» самих предложений*, остаются вне рассмотрения**.

Познакомимся с новой, «логической» метаморфозой нашей алгебры. Элементами последней (я, Ъу с.. .) будут теперь не числа — делители числа 15, как при первой интерпретации, и не классы — как при второй, а логические «предложения». Под «предложением» мы понимаем всякое «содержательное» высказывание, т. е. выражение какой-либо истинной или ложной мысли. (Примеры предложений: «воздух весом», «гипотенуза больше катета», «существует наибольшее простое число». Из этих трех предложений два первые — истинны, третье — ложно.) Два предложения мы считаем (в нашей алгебре!) равными, если они «логически равноценны», т. е. если они либо оба истинны, либо оба ложны. В силу этого условия, алгебра логики содержит только два различных элемента: ® и (Г>, которые символизируют, соответственно, любое ложное и любое истинное предложения. Перейдем к установлению действий над элементами — предложениями.

Действие сложения предложений а и b состоит в составлении предложения «я или &», которое, очевидно, ложно тогда и только тогда, когда ложны оба предложения я, Ь. Предложение «я или Ь» называется суммой (я -f- b) предложений а и Ь.

Действие умножения предложения я на предложение b состоит в образовании предложения «я и 6», которое, очевидно, истинно тогда и только тогда, когда оба предложения я и b — истинны. Предложение «а и Ь» называется произведением (а-b) предложений я, Ь. Действие негации предложения я заключается в составлении предложения я', отрицающего утверждаемую предложением я мысль; очевидно, предложение а! истинно тогда и только тогда, когда само я ложно (предложение а! читается: «я ложно» или, кратко, «не-я»).

Зависимость «логической ценности» (истинности или ложности) комбинированного предложения (а-\-b, a*by а') от логической ценности его составных частей (я, Ь) мы систематизируем в нижеследующих (особенно простых в данном случае) таблицах действий алгебры логики:***

Таблица сложения

Таблица умножения

Таблица негации

+

®

©

X

®

©

а

о'

®

®

©

®

®

®

®

©

©

©

©

©

®

©

©

®

* Выражающиеся в характере отношения субъекта к предикату.

** Впрочем, уже некоторое «переистолкование» алгебры предложений позволяет придать ей такую форму, которой охватывается все аристотелевское учение о силлогизмах. См. Гильберт и Аккерман. Основы теоретической логики, М. 1947, гл. II. По этой же книге читатель может познакомиться с новейшим развитием идеи алгебраизации логики.

*** Сумма а Ь (произведение а-b) отыскивается в пересечении строки, содержащей я, со столбцом, содержащим Ь.

С помощью этих таблиц читатель может без труда проверить, что в «алгебре предложений» имеют место все тождественные соотношения булевской алгебры (формулы (1) — (13). Интересно отметить, что как раз специфические, отличающиеся от «обычных» формулы булевской алгебры оказываются выражением самых основных законов формальной логики. Так, формулы а а = #, а-а = а выражают логический закон тавтологии. Формула a-f-а' = ® символизирует закон исключенного третьего: «всегда имеет место или а, или не-а» («третьего не дано»), формула а• а' — ® передает закон противоречия («невозможно, чтобы а и не-а имели место одновременно»). Добавим еще, что формула (а')' = а выражает логический закон двойного отрицания. Заметим, что логическая интерпретация легко подсказывает нам ряд формул нашей алгебры, логически тривиальных, но не столь очевидных вне этой интерпретации. Таковы, например, формулы:

©' = ©; а-f © = ©; д.®=@; (а + Ь)' -= а'-Ь' (14)

Кроме обычных булевских действий сложения, умножения и негации, в алгебре логики часто вводится еще одно действие — импликации. Действие это определяется формулой:

(в)) =а' + 6 (15)

и служит для выражения «условного» предложения: «если а, то Ь». Кратко предложение Ь читают как «а влечет 6». Предложение — импликация aZD Ь, очевидно, ложно тогда и только тогда, когда а истинно, a b ложно. Заметим, что с действием импликации в алгебре логики связан ряд «парадоксальных» формул, ставящих под сомнение логическую целесообразность определения (15). Одну из таких формул — формулу

(^6) + (6D «)=©, (16)

читающуюся как «всегда или а влечет Ь, или b влечет а», читатель может легко получить, складывая почленно тождества: a -j- а! = © и Ь V = © и используя законы ассоциативности, коммутативности и тавтологии сложения. В связи с такого рода «парадоксальными! результатами необходимо обратить внимание читателя на то, что точный смысл действия импликации заключен только в определении (15), очевидно, не вполне адэкватном своим словесным переводам.

Отметим, не входя в подробности, что «алгебра логики», доставляя технически весьма совершенную формализацию для определенного круга логических соотношений, является необходимым орудием современных логико-математических исследований.

Аксиоматика булевской алгебры. Выше мы проследили за различными «превращениями» нашей «странной» алгебры. Многообразие интерпретаций, являющееся характеристической чертой этой алгебры, естественно подсказывает мысль об ее аксиоматическом оформлении, при котором становится возможным исследовать «в самом чистом виде» свойства самих ее своеобразных операций.

Аксиоматизируя булевскую алгебру, мы отказываемся от привычки связывать с ее элементами и действиями тот или иной конкретный смысл, — отказываемся, образно говоря, «воплощать» их. Мы мыслим элементы и действия нашей алгебры как понятия, точное и полное «описание» которых дается соответствующей системой аксиом (или постулатов, как их чаще называют).

Имеется целый ряд аксиоматик этой алгебры, различающихся между собой как выбором формул, принимаемых за аксиомы, так даже и выбором основных действий. Наиболее примитивная аксиоматика булевской алгебры постулирует: существование трех действий (сложения, умножения и негации), неограниченно выполнимых в классе К элементов алгебры, существование элементов ® и © алгебры, различных между собой, и выполнение следующих десяти аксиом:

(Ал) cl -J— b = b -|— а

(Л2) a+(b + c) = (a+b) + c (А9) л • (& с) = а-b -f- а-с (Л|) а-\-®' = а

(Аь) а + а' = ®

(Мх) a-b = b-a

(Af2) a.(b-c) = (a.b)-c

[Ak) a + b-c = (a + b)(a-{-c) (AfJ a-® = a

(MB) a-a'=®

Как мы замечаем, все эти принятые за аксиомы формулы имеются среди установленных нами выше соотношений (1) — (16). Из числа последних такие соотношения, как:

©' = ©; a -f а = а- {а')' = а; а + © = ©;

а + Ь= (а'-Ь'У (17)

и ряд других, не значатся среди аксиом, и, следовательно, должны быть их следствиями. Убедимся в этом для формул (17).

Теорема 1. ®' =®.

Для доказательства полагаем: а = ® в Аь и используем Л4.

Теорема 2. а-\-а = а.

Для доказательства достаточно положить: Ь= а и с = а' в Л/3 и использовать аксиомы Мь, А41 Лб, Af4.

Теорема 3. (а!)' = а.

Заменяя в аксиомах Аь и Мь а на а\ имеем:

а' + (а')' =®, а'.(а')' = ®.

В силу тех же аксиом

а-\-а'=®9 а-а=®.

Умножая первое из этих четырех равенств на а, а третье на (а')', получим, используя остальные два равенства и аксиому АА:

(а')'а = а и а{а')'={а')\

откуда в силу Atv

а = (*')'•

Теорема 4. а-\~® = ®. (Единица абсорбирует при сложении.) Действительно:

<*-{-© = (* + ©) (а-\-а') = а-\-®.а' = = а~\-а' = ©(в силу Аъ, Ж3, М4, Мл).

Теорема 5.

a + ft = (a'-ft')'. (18)

Для доказательства применяем к выражению

(а-\-Ь)-\-а'-ft' аксиому ЛТ3:

(а + Ь)+а' • V = [(а + ft) + а']. [(а + ft) + ft'].

Каждое выражение в квадратных скобках, в силу аксиом Av Л2, Аь и теоремы 4, равно ©, так что в силу уИ4:

(a-f ft)-f-a'.ft' = ®.

В силу же аксиомы Аъ:

(a+b) + (a-\-by = ®.

Умножая первое из двух последних равенств на (а-\-Ьу, найдем (аксиомы Жб, Ав, А4):

(a+ft)' = (a+ft)'a'.ft', умножая второе равенство на a'-ft', получим:

а! • V = а!. V [(a -f ft) -f (а + ft/] = = a'. ft' (a-f 6) + a'. ft' - (a+b)' = (a'. b') (a-f ft)' (в силу аксиом Л3, Ж1э Мб, Л4). Таким образом:

(a4-ft)'=a'-tV,

и, наконец, в силу теоремы 3:

a-|_ ^=(a'.b')'.

Возвращаясь к системе аксиом Аг — Мь, обратим внимание читателя на ту совершенную симметрию, с которой построена эта система формул относительно действий сложения и умножения: каждая из формул Ak переходит в

соответствующую формулу Mk при замене знаков-{-и «друг другом и при одновременной взаимной замене элементов ® и ©. Эта двойственность соотношений нашей алгебры, проявляясь в ее аксиомах, должна, разумеется, распространяться и на все их следствия. Пользуясь этим принципом двойственности, мы вправе, например, из теоремы 5 непосредственно вывести двойственную ей теорему 6.

a. ft = (а'+ &')'. (19)

Формулы (18)—(19) показывают, то в нашей алгебре действия сложения и умножения не являются независимыми, а выражаются друг через друга при посредстве действия негации. Это открывает путь к значительному упрощению аксиоматики нашей алгебры. Оказывается, что если принять за основные (неопределяемые) действия сложение и негацию, умножение же определить через последние формулой (19), то всю нашу алгебру можно вывести из трех следующих аксиом*:

a -f- ft =з ft -J- я,

a + (b + c)=(a + b) + c,

a-b-\-aV = a.

Такое сокращение числа аксиом имеет, в частности, то значение, что естественно приводит к гораздо более «тонкому» анатомированию взаимосвязей законов булевской алгебры, чем это имеет место в рамках аксиоматики Аг-Мь.

Преобразование булевской алгебры в кольцо. В современной математике все большую роль играет понятие кольца, проникающее сейчас уже и в курс элементарной алгебры**. Кольцом называется класс элементов***, в котором по какому-либо правилу определены две операции — сложение и умножение — коммутативные, ассоциативные и связанные между собой обычным дистрибутивным законом****, причем относительно сложения предполагается еще существование обратной операции (вычитания). В силу этого определения, кольцами будут, например, такие классы (с обычным образом определенными в них действиями сложения и умножения): совокупность всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля), совокупность всех четных чисел, совокупность всех целых рациональных функций от х. Легко доказать, что всякое кольцо

* Две первые из них содержатся и в нашем исходном списке аксиом, а третья легко получается из Л3, Л5, М4.

** См., например С. И. Новоселов, Алгебра (для учительских институтов), Учпедгиз, 1947.

*** Безразлично, какой «природы».

**** Т. е. формулой нашей аксиомы А3.

обладает модулем сложения (т. н. «нулем»). Как мы видим из определения кольца и приведенных примеров, в кольце не предполагается обязательная возможность обращения действия умножения: в этом коренится причина возможного отличия «алгебры кольца» от обычной алгебры*.

Естественно напрашивается вопрос: не является ли наша булевская алгебра, задаваемая аксиомами А1—Мь, кольцом относительно определенных в ней действий сложения и умножения? Легко видеть, что нет: в этой алгебре, как мы знаем, отсутствует действие вычитания.

Можно, однако, показать, что булевская алгебра легко может быть «преобразована» в кольцо.

С этой целью, рассмотрим в нашей алгебре новое (производное от основных) действие — действие дифференциации, символизируемое знаком Д и определяемое равенством:

аД&Еа.^+а,.й. (20)

(При логической интерпретации действие аД&, очевидно, выражает «полную дизъюнкцию»: «либо а, либо Ь» т. е. «или а без Ь> либо b без а».)

Установим основные свойства новой операции:

1) аДа = ®,

2) аДа' = ©,

3) аД® = а,

4) аД© = а',

5) alb = Ыа (коммутативный закон диффенциации).

Все эти свойства непосредственно следуют из определения (20).

6) аД (Ь\с) = (alb) 1с (этот ассоциативный закон дифференциации легко проверяется с помощью определения (20) и формулы (18).

7) Уравнение xlb = а имеет (необходимо единственное) решение x=alb (т. е. действие дифференциации допускает обращение!). Действительно: (alb) Д& = al (bib) = al® =ау так что х = alb, во всяком случае, будет решением. С другой стороны, если у — какое-либо решение этого уравнения:

у lb = а,

то

(ylb) lb = alb,

yl(blb)=albt у = alb,

так что решение х = alb — единственное.

8) а-(Ыс) = а-Ыа-с (этот дистрибутивный закон легко проверяется переходом к определению Д).

Установленные свойства (5—8) действия дифференциации совместно со свойствами действия умножения, зафиксированными в аксиомах Мг и М2 булевской алгебры, показывают, что относительно действий дифференциации и умножения булевская алгебра является кольцом; при этом булевский нуль остается также нулем кольца (свойство 3). Таким образом, булевская алгебра включается как частный случай в общую теорию колец: специфический характер булевской алгебры как кольца определяется наличием в ней закона тавтологии умножения и существованием единицы**.

«Нелогичные» алгебры логики. Рассмотренная нами алгебра известна сейчас под именем уже старой, или классической алгебры логики. Дело в том, что в последнее время был предложен ряд новых «алгебр логики», законы которых в том или ином пункте отличаются от булевских. Нужно отметить, что с этими новыми абстрактными алгебрами лишь условно связывается традиционное название алгебр логики: действительно, при переводе на язык исчисления предложений в каждой из них оказывается нарушенным (или хотя бы исключенным) тот или иной закон аристотелевской логики.

Таким образом, эти новые алгебры логики, в отличие от старой, отнюдь не могут служить для исследования самой логики. Их цель иная: каждая из них стремится создать свой квази-алгебраический аппарат для нужд тех или иных математических (или физических) теорий, доставив им тем самым такие же преимущества, какие доставляет логике алгебра Буля. Эти алгебры представляют также значительный чисто алгебраический интерес — как материал для исследования свойств различных алгебраических действий.

Из этих алгебр логики можно назвать: «исчисление проблем» акад. А. Н. Колмогорова, различные формы «алгебры геометрии», алгебру логики квантовой механики, наконец «логику модальностей», тесно связанную с представлениями теории вероятностей.

* Так, существуют «кольца с делителями нуля», в которых равенству а-Ь=0 можно удовлетворить парой элементов я, Ь, из которых ни один не равен нулю. Подробнее о кольцах читатель может прочесть в «Курсе высшей алгебры А. Г. Куроша, Гостехиздат, 1946.

** Отметим, что кольцо булевской алгебры будет, вообще говоря, «кольцом с делителями нуля», как это показывает тождество а-а' = @.

МЕТОДИКА

МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ В КУРСЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Ф. Ф. НАГИБИН (г. Киров)

1

Хорошо известно, что метод математической индукции с его разнообразными вариациями и обобщениями является одним из важнейших методов математики.

В школьную математику метод математической индукции проник не сразу, но все же довольно быстро. Начиная с середины XIX столетия, в учебниках элементарной алгебры появляются доказательства, использующие этот метод, однако широких применений в школьной алгебре он все же не нашел. В учебниках элементарной алгебры установилась традиция, сохранившаяся и до наших дней, ограничивать применение метода математической индукции такими вопросами, как доказательство формулы «произведения биномов» и формулы, выражающей закон составления подходящих дробей для непрерывных дробей.

Что касается распространенных задачников по алгебре, то в огромном их большинстве не предполагается применений математической индукции.

Таким образом, в учебной литературе метод математической индукции либо совсем замалчивается, либо упоминается вскользь, «между прочим».

В методических пособиях по алгебре, как правило, о математической индукции говорится в общих выражениях. Серьезных попыток, имеющих своей целью определить место метода математической индукции в школьном курсе математики, мы не встречали.

С какими же знаниями о математической индукции выходят оканчивающие среднюю школу? В 1947 и в 1948 гг. при посещении экзаменов на аттестат зрелости мы часто задавали экзаменующимся вопрос: «В чем состоит метод математической индукции?». На этот вопрос ответа мы либо совсем не получали, либо получали такие ответы, которые свидетельствуют о непонимании отвечавшими математической индукции. Ни одного правильного ответа, свидетельствующего о сознательном усвоении вопроса, нам так и не удалось слышать.

В ноябре 1947 г. в двух десятых классах одной из лучших средних школ города Кирова мы провели специальный опрос учащихся. Результаты этого опроса таковы:

1) Почти все опрошенные учащиеся на вопрос: «Что такое индукция?» — дали более или менее правильные ответы, но примеры, иллюстрирующие индукцию, в большинстве случаев были неудачными.

2) На вопрос: «В чем состоит метод математической индукции?» — никто правильного ответа не дал.

Вот типичные ответы на этот вопрос: а) «Метод математической индукции состоит в том, что сначала доказывается справедливость формулы для п каких-то величин, а затем для я + Ь.

б) «Сначала доказательство проводится на каком-нибудь частном примере, а затем это доказательство переносится на общие случаи».

в) «Метод математической индукции состоит в справедливости какой-нибудь формулы не только для частных случаев, но и для общих».

г) «Методом математической индукции доказываются все формулы в математике, физике) химии».

3) Никто из опрошенных учащихся не мог сформулировать принцип математической индукции.

4) Только один из 22 учеников смог доказать, пользуясь методом математической индукции, тождество:

1+2 + 3 + ...+/»= m(m2+1)

Такой же опрос мы провели в мае и ноябре того же года, только на этот раз опрашивались студенты первого курса физико-математи-

ческого факультета пединститута приемов 1946 и 1947 гг. Результаты этого опроса оказались ничуть не лучше, чем результаты опроса выпускников средних школ.

Эти результаты говорят прежде всего о том, что средняя школа необходимых знаний о методе математической индукции своим воспитанникам не дает. Окончившие среднюю школу и изучающие математику в высшей школе оказываются не подготовленными к пониманию различных применений математической индукции. Можно ли мириться с таким положением? Разумеется, нельзя. Серьезное усвоение математики без умений пользоваться методом математической индукции немыслимо. Усвоение метода математической индукции обязательно для всех, кто желает более или менее основательно изучить математику. Это требование становится особенно актуальным в современных условиях, когда в преподавании математики совершенно справедливо особое внимание обращается на глубокое выяснение ведущих идей и методов математики, на развитие логического мышления учащихся.

Метод математической индукции учащимся наших средних школ, во всяком случае десятиклассникам, доступен, но почему же тогда представления об этом методе у окончивших среднюю школу удивительно бедны и формальны, а порой и совсем отсутствуют. Ответ на этот вопрос напрашивается сам собой. Виноваты учебники, методики и невольно виноваты учителя, ограничивающиеся обычно только «попутным» рассмотрением метода математической индукции при доказательстве формулы, выражающей произведение биномов. Иных результатов при этих условиях и нельзя ожидать, в особенности, если учесть то обстоятельство, что усвоение метода математической индукции сопряжено с преодолением определенных трудностей психологического характера. Следовательно, для достаточно глубокого усвоения учащимися метода математической индукции необходимо сломать сложившиеся традиции, т. е. необходимо радикально перестроить методику ознакомления учащихся с этим методом и его применениями.

Место метода математической индукции в курсе средней школы, по нашему мнению, определяется следующими соображениями.

1. Первое знакомство учащихся с этим методом должно состояться не в X классе, а раньше. Прежде чем пользоваться математической индукцией в довольно трудном случае (бином Ньютона), учащихся надо подготовить к этому. Вот почему представляется целесообразным познакомить учащихся с методом математической индукции еще в IX классе.

2. Не следует рассчитывать на то, что двух или трех применений метода математической индукции, сопровождаемых пояснениями, будет достаточно для осознания учащимися этого метода. Сжиться с методом математической индукции можно лишь в том случае, если придется воспользоваться им в нескольких различных по своему характеру случаях, на протяжении более или менее длительного промежутка времени.

3. Овладение методом математической индукции, по своему характеру, не может быть штурмом, а должно быть постепенным, последовательным.

Эти соображения приводят нас к следующим выводам практического характера. Впервые о методе математической индукции следует говорить еще при изучении прогрессий. С помощью этого метода могут быть доказаны формулы общего члена прогрессий. При этом внимание учащихся естественно обратить на фактическое применение математической индукции, на основные этапы рассуждений. Подробное разъяснение сущности метода и усвоение специальной терминологии на первых порах не представляется необходимым; вполне достаточно усвоения конкретных примеров применения метода. В X классе при изучении комбинаторики целесообразно вновь воспользоваться методом математической индукции при изучении таких вопросов, как число размещений и число перестановок. Применения математической индукции в этих случаях несложны и достаточно отчетливы.

Лишь после усвоения этих применений метода математической индукции представляется необходимым детализированное выяснение сущности нового метода доказательства математических предложений и специальной терминологии. Удобнее всего сделать это непосредственно перед рассмотрением формулы, выражающей произведение биномов, с тем, чтобы подготовить учащихся к пониманию доказательства этой формулы. После специального рассмотрения метода математической индукции, на основе накопленных ранее его применений, этим методом следует воспользоваться для доказательства формулы произведения биномов и для повторного доказательства формулы бинома Ньютона.

Впоследствии метод математической индукции должен быть применен в нескольких случаях . Это необходимо для того, чтобы учащиеся освоились с ним, так как в противном случае дело будет сделано лишь наполовину. Вот почему следует настаивать на применении метода математической индукции для доказательства некоторых типичных тождеств и неравенств.

Особенно полезным представляется нам использование математической индукции для обоснования некоторых положений теории натуральных чисел. К сожалению, действующая программа не предусматривает систематизирующего рассмотрения вопросов учения о числе в X классе. Можно надеяться, что со временем такая систематизация будет не только признана, но и узаконена. Пока этого нет, для заключительного применения метода математической индукции, с целью более серьезного обоснования операций над натуральными числами, могут быть использованы кружковые занятия*.

Первые применения метода математической индукции. Как сказано выше, первые применения метода математической индукции желательны в IX классе при изучении прогрессий. Обычный «вывод» формул любого члена арифметической и геометрической прогрессий с помощью неполной индукции должен быть дополнен характерным для математической индукции переходом от т к m-f-1. Для арифметической прогрессии сделать это можно так. По определению этой прогрессии второй член а2 = аг — d, третий аь = аг 2d, четвертый а± = аг — 3d, пятый аь = а1-\- Ad,

Рассмотрение получившихся выражений для нескольких первых членов позволяет думать, что вообще k-ft член для арифметической прогрессии равен al-\-d{k — 1). Однако полной уверенности в справедливости этого вывода не может быть. Действительно, некоторое соотношение может быть справедливым для нескольких первых натуральных чисел, но не для всех. Например, если вместо т в выражение т2 — т-f-41 подставлять числа: 1, 2, 3, 4,..., 40, то каждый раз будет получаться простое число. Можно было бы сделать вывод, что данное выражение для любого натурального т дает простое число, но это неверно. При т = 41 получается составное число. Вот почему для подтверждения вывода, сделанного на основании рассмотрения нескольких частных случаев, необходимы дополнительные рассуждения. Такие дополнительные рассуждения состоят в переходе от т к m-f-1. Смысл этого перехода в том, чтобы убедиться в «передаче по наследству» справедливости рассматриваемого соотношения от произвольного натурального числа т к следующему за ним

Пусть формула, выражающая любой член арифметической прогрессии, справедлива для т-то члена. Значит:

ат = а1 + Л{т- 1).

Покажем,что эта формула при сделанном предположении будет верна и для следующего члена, номер которого /ю-f-l. Иными словами, необходимо показать, что если

am = ai + d(m

то и

<Wi = <*г-\-d 1) — 1].

Сделать это можно так: к обеим частям справедливого, по предположению, равенства

am = a1 + d(m — 1)

прибавим число d. Тогда получим:

am + d = al + d{m— + что можно записать иначе:

<*т+\ = ах + d [(т — 1) +1 ].

Следовательно, если формула любого члена арифметической прогрессии справедлива для т-то члена, то она справедлива и для следующего члена, номер которого m-f-1. То-есть справедливость этой формулы действительно «передается по наследству». А так как она справедлива, например, для пятого члена, то должна быть справедлива и для шестого, а раз справедлива для шестого, то справедлива и для седьмого и т. д. Значит, формула любого члена арифметической прогрессии справедлива, каков бы ни был номер этого члена.

Аналогично выводится формула любого члена геометрической прогрессии. Этими двумя примерами на первых порах и можно ограничиться. Несколько позднее, в самом начале изучения элементов теории пределов, когда систематизируются знания учащихся о свойствах абсолютных величин чисел, полезно воспользоваться математической индукцией для доказательства одного важного свойства абсолютных величин чисел. Мы имеем в виду известное неравенство:

|a1+a,+...+awJ<|a,|+las|+...+ |«J.

1. Для двух слагаемых аг и а2 это неравенство является простым следствием правила сложения двух чисел. Поэтому

1<*1+«21<КЖ<ч1-

2. Пусть доказываемое неравенство справедливо для п слагаемых:

••+««! <l«il + l«»l+--4-

* Для проведения этих занятий с успехом можно воспользоваться книгой проф. М. К. Гребенча, Арифметика, Учпедгиз, 1947, а также книгой проф. П. Д. Белоновского, Основы теоретической арифметики, Учпедгиз, 1938.

Покажем, что из этого предположения вытекает справедливость рассматриваемого неравенства для п-\-\ слагаемых, т. е.

В самом деле, сумму а1-\-а2-\-.. .-\-ап-\-ап^\ можно рассматривать как сумму 2 слагаемых, из которых первое (аг -f- д2 + • • • + ап)> а вт0" рое ап+\. Тогда на основании первой части рассуждений имеем:

l*l + **+--- + *J + **+l|<

<1«1+а2+...+ая| + |ая+1|.

Если учесть предположение, то полученный результат можно переписать так:

1*1 + «!+•• -+ап + а*+Л<\<*1\ + \а2\ + + --- + \ап\ + \а*+\\>

а это как раз то, что и нужно было получить. Итак, мы доказали справедливость рассматриваемого неравенства

1) для 2 слагаемых и

2) для /г —J— 1 слагаемых, при предположении, что оно справедливо для п слагаемых. Следовательно, это неравенство справедливо для любого числа слагаемых. Этот пример представляет собой довольно типичное применение метода.

3

Специальное изучение метода математической индукции. Специальное изучение метода математической индукции должно найти себе место на уроках алгебры в X классе. Более всего для этого подходят последние уроки по разделу «Соединения». Нам думается, что двух уроков будет достаточно, чтобы рассмотреть основные вопросы, относящиеся к этому методу. Общий ход этих уроков может быть таким.

1. В предыдущем изучении математики различные соотношения между величинами часто устанавливались с помощью неполной индукции, т. е. на основе рассмотрения нескольких частных случаев делался общий вывод. Так, например, были найдены формулы для подсчета числа размещений и перестановок. Во всех этих случаях не могло быть полной уверенности в справедливости полученных выводов, ибо справедливость некоторого соотношения для нескольких случаев еще не гарантирует справедливость его для всех таких случаев. Короче говоря, неполная индукция не дает строгих выводов. Это положение необходимо подтвердить конкретными примерами. Вот несколько таких примеров.

а) Как известно, Ферма было высказано предположение, что все числа вида 2a/z —f- 1 при п целом неотрицательном — суть простые числа. Действительно, при п=0 имеем: 22°-|-+ 1 = 3, при /1=1, 2а1 + 1=5, при /* = 2, 2*2-fl = 17, при /г = 3, 2*3+1 =257, при /1 = 4, 224-j- 1 = 65537. Однако Эйлер привел пример, противоречащий предположению Ферма. Оказалось, что при п = 5, 2а5 —|— 1 = =4296961297 = 64Ь6700417. Впоследствии было обнаружено, что при л, равном 6, 7, 8, 9, 11, 12, 18, 23, 36, 38 и 73, получаются составные числа.

б) Рассмотрим числа вида 2Р — 1, где р — простое число (числа Мерсенна):

р = 2,

22 —

1=3

Р = 3,

23-

1=7

р = 5,

25-

1 =31

Р = 7,

27-

1 = 127

Во всех этих случаях числа Мерсенна оказываются простыми. Однако сделать вывод о том, что любое число Мерсенна есть простое, будет неверно. При р = 11 получается 211 — 1 = = 2047=23-89.

в) Если рассматривать числа вида 2Р~1 — 1, где р — простое число, то непосредственные вычисления для всех простых чисел, не превосходящих 1000, показывают, что эти числа не делятся на р2. Общее заключение на основании рассмотрения этих частных случаев было бы ошибочным, так как при р = 1093 число 2Ю92—а делится на 10932*.

г) Рассмотрим функцию натурального аргумента

/(я) = | п — 1000 | + (п — 1000).

Для /1=1, 2, 3,..., 1000 соответствующее значение этой функции оказывается равным 0. Можно было бы сделать вывод, что значение этой функции равно 0 для любого п. Но это было бы неверно, так как для п = 1001, например, получаем:/(1001) = 2.

д) Особенно яркий пример недостоверности выводов, получаемых с помощью неполной индукции, приведен польским математиком Серпинским**. Для очень многих последовательных натуральных значений п число вида 991я2-[-1 не является квадратом какого-либо целого числа. Наименьшее натуральное число л,

* Это предположение было высказано, а затем опровергнуто в 1913 г.

** См. журнал «Математика и физика в школе», 1936, № 3.

для которого это свойство оказывается несправедливым, равно 120 557 357 903 313 594 474 425 387 67. При этом значении п число Э91я2-|-1 впервые оказывается квадратом целого числа 379 516 400 906 811 930 638 014 896 080.

Все эти примеры с развенчивают* неполную индукцию. Они показывают, что посредством проверки некоторого соотношения даже для очень большого числа последовательных натуральных значений еще нельзя сделать вывода о справедливости этого соотношения для любого натурального числа.

2. «Развенчав» неполную индукцию в одном, надо утвердить ее в другом. Неполная индукция «наводит» на заключения. Рассмотрение нескольких частных случаев позволяет догадаться о наличии общей закономерности. Следовательно, неполная индукция — это важное вспомогательное средство для установления общих закономерностей. Но эти закономерности, обнаруживаемые с помощью неполной индукции, должны затем доказываться. С этой целью во многих случаях и может быть применен метод математической индукции.

Здесь уместно заметить, что в школьной практике неполная индукция и метод математической индукции должны, как правило, в IX и X классах взаимно дополнять друг друга, взаимно помогать друг другу. Сначала с помощью неполной индукции подмечается некоторое соотношение общего характера, а затем это соотношение доказывается.

3. Если некоторое утверждение для натуральных чисел получено с помощью неполной индукции, то возникает вопрос, как доказать это утверждение. Непосредственная проверка может быть проведена лишь для конечного числа случаев, может быть, даже и очень большого, но все-таки конечного. Как бы далеко эта проверка ни продвинулась, все же ее никто не согласится признать исчерпывающей. Проверяемое утверждение остается лишь предсказанием.

Полная математическая индукция позволяет кратко и исчерпывающе доказать утверждение, она простым переходом от п к п -f- 1 заменяет необходимость непосредственной проверки утверждения для бесконечного множества случаев.

В этом ее сила, и научиться пользоваться этой силой очень важно.

4. Известные учащимся конкретные примеры доказательств с помощью метода математической индукции говорят о том, что в основе этого метода лежит следующее положение: если некоторое утверждение справедливо для натурального числа а и если из предложения о справедливости этого утверждения для некоторого определенного числа п вытекает справедливость утверждения и для числа л-f-l, то это утверждение справедливо для всех натуральных чисел, начиная с а, т. е. для а и всех превосходящих а.

Наш опыт показывает необходимость пояснения принципа математической индукции для психологического осознания его несколькими примерами.

Примеры эти могут быть такими: а) Чтобы установить наличие некоторого качества у всех поколений какого-нибудь вида растительного или животного мира, достаточно обнаружить, во-первых, что этим качеством обладает определенное поколение и что, во-вторых, это качество обязательно передается по наследству от поколения к поколению, б) Если представить себе бесконечно простирающуюся спокойную водную поверхность, то как можно установить, что эта поверхность всюду рано или поздно будет волноваться? Для этого нужно обнаружить, во-первых, существование источника волнений, а во-вторых, доказать, что волнение любого участка поверхности обязательно передается соседним с ним участкам, каковы бы ни были эти участки, в) В пространство передается радиосигнал. Как установить, что в любой части пространства абсолютно чувствительным приемником этот сигнал будет принят? Для этого, во-первых, необходимо установить, что некоторой радиостанцией сигнал был послан, и, во-вторых, что этот сигнал обязательно передается любой частью пространства следующим за ней частям, каковы бы ни были эти части.

5. Примеры доказательств с помощью метода математической индукции и примеры, иллюстрирующие принцип математической индукции, показывают учащимся необходимость двух этапов. Первый этап — это доказательство справедливости утверждения для определенного натурального числа а. Второй этап — это доказательство справедливости утверждения для числа п -j-1 в предположении справедливости его для числа п. Ни один из этих этапов не может быть опущен. По отношению ко второму этапу это, пожалуй, не нуждается в разъяснениях. Существенность первого этапа полезно проиллюстрировать примерами. Эти примеры должны показать учащимся, что нельзя ограничиться одним вторым этапом, что «передача по наследству» еще не доказывает утверждения, так как может случиться, что это утверждение ни для одного натурального числа не будет справедливо. Два таких примера при-

ведены в статье Я. С. Безиковича «Метод полной математической индукции»*.

Вот один из этих примеров. Легко показать, что если некоторое натуральное число п больше следующего за ним числа я + 1, то это будет также справедливо для чисел я+1 и я-)-2. Действительно, пусть /г>я+1. К обеим частям этого неравенства прибавим 1. Получим: я+1>/г+2. Значит, справедливость утверждения, что всякое последующее натуральное число меньше предшествующего, — «передается по наследству», но «предков», для которых было бы справедливо это утверждение, нет. Аналогичный пример приведен в книге проф. П. Д. Белоновского**.

Пусть какое-нибудь число п ^> 2 равно своему предшествующему. Тогда следующее за п число л+1 также должно быть равно своему предшествующему. Действительно, если

п = п — 1,

то должно быть

л+1 = (/г-1) + 1,

или п +1 — п. Однако ни одно натуральное число не равно своему предшествующему.

Таких примеров можно придумать довольно много. Чтобы было из чего выбирать, приведем еще 3 примера.

1) Если какое-нибудь натуральное число п есть число вида а, 5, то следующее число —|— 1 будет числом такого же вида. В самом деле, если п = а, 5, то прибавив к обеим частям этого равенства 1, получим:

«+1 = (а + 1),5.

Следовательно, справедливость утверждения, что всякое натуральное число есть смешанное число с дробной частью 0,5, — «передается по наследству», но нет ни одного натурального числа, имеющего такой вид.

2) Пусть некоторое натуральное число п иррационально. Тогда иррациональным должно быть и следующее за ним число /2+1, так как оно получается из иррационального числа п путем прибавления к нему 1. Однако утверждение, что любое натуральное число есть иррациональное число, конечно, ошибочно, потому что нет ни одного натурального числа, которое было бы иррациональным.

3) Легко показать, что если бы при некотором натуральном п произведение 1-2-3...п было равно 0, то произведение п-\-\ последовательных натуральных чисел, начиная с 1, было бы также равно 0. В самом деле, если

1 -23.. .л = 0,

то умножив обе части этого равенства на /z +1, получим

1-2-3. ..п (л+1) = 0. Однако при всяком натуральном п произведение 1-2-3... -п отлично от нуля.

6. Предшествующие разъяснения сущности метода математической индукции достаточны для того, чтобы можно было подвести некоторые итоги.

Основной итог таков: вместо непосредственного доказательства справедливости рассматриваемого утверждения для всех натуральных чисел т^>а доказывают: 1) что утверждение верно для натурального числа а; 2) что если утверждение верно для какого-нибудь натурального числа /2, то оно верно и для числа л—|—1. Когда удается сделать то и другое, тогда на основании принципа математической индукции делается вывод о справедливости рассматриваемого утверждения для всех натуральных чисел т, больших и равных а.

При этом если рассматриваемое утверждение было сформулировано с помощью неполной индукции, то остается совершить лишь переход от л к л-j-l.

7. С целью уточнения представлений учащихся о методе математической индукции полезно несколько задержаться на заключительной стадии применения этого метода в конкретных случаях. Чтобы показать, какое уточнение мы имеем в виду, рассмотрим пример. Требуется доказать справедливость тождества

1-f 3 + 5 + 7+.. .+ (2т- \) = т\

1. Подстановкой убеждаемся, что для т = 3 тождество справедливо:

1+3 + 5 = 32.

2. Пусть рассматриваемое тождество справедливо для числа п, т. е.

1+3 + 5+7 + .. .+ (2/2- 1) = /22. Тогда:

1+3 +5 + 7 + ...+ (2/2- l) + (2/i+ 1) =

= /l* + (2fl+l) = (/t + l)2.

Значит, тождество при сделанном предположении оказалось верным и для числа /2+1. Вывод: тождество

1+3+ 5+...+ (2/z- \)=т2 справедливо для числа 3 и всех натуральных чисел, превосходящих 3.

Будет ли справедливо это тождество для чисел, меньших 3 — вопрос остается открытым. Наше доказательство ответа на этот вопрос не дает. Если бы мы вначале показали справедли-

* Журнал «Математика в школе», 1946, № 1.

** П. Д. Белоновский, Основы теоретической арифметики, Учпедгиз, 1938.

вость тождества для т=1, тогда вывод был бы иной. Можно было бы утверждать справедливость тождества для всех без исключения натуральных чисел. Вот почему, пользуясь методом математической индукции, следует вначале установить справедливость доказываемого утверждения для наименьшего возможного значения.

8. Следует сделать еще одно замечание об оформлении доказательства с помощью метода математической индукции. Относится это замечание ко второму этапу доказательства. Наш опыт показывает, что переход от п к п-\-\ удобно осуществлять следующим образом. Пусть, например, требуется доказать:

Предполагаем справедливым это тождество для п:

со

Нужно, исходя из (1), вывести

(2)

Как это сделать? Чтобы получить (2) из (1), к обеим частям (1) прибавим (я-(-1)2. После преобразований получаем:

(3)

Сравнивая с (2), видим, что (3) то же самое, что и (2), только в несколько иной записи. Значит, цель достигнута, переход от я к л-f-l выполнен.

Так именно нужно поступать для того, чтобы мысль учащихся была целеустремленной, организованной. Не попытки как-нибудь перейти от п к л-J-l, а именно целенаправленные выкладки и рассуждения — вот о чем надо заботиться.

9. После выяснения сущности метода математической индукции, для конкретизации представлений учащихся об этом методе, следует выполнить несколько упражнений.

1) Доказать справедливость неравенства: 2т^> ]> т, где т — любое натуральное число.

2) На плоскости даны т точек, причем никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Сколько всего прямых линий можно провести, соединяя эти точки попарно?

3) Доказать, что сумма кубов последовательных натуральных чисел от 1 до т включительно

равна квадрату суммы этих чисел, т. е.

4) Доказать:

Последующее изучение алгебры в X классе богато возможностями для применения метода математической индукции. Наиболее интересные из этих возможностей, несомненно, должны быть использованы. Прежде всего должно быть рассмотрено традиционное доказательство формулы произведения биномов.

Кроме того, при изучении формулы бинома Ньютона полезно дать учащимся задание на дом — доказать эту формулу методом математической индукции. Рассмотрим второй этап доказательства.

Исходя из предположения:

О)

надо показать справедливость тождества

(2)

Умножим (1) на а-\-Ь, получим:

Пользуясь известным соотношением

результат можем представить в такой форме:

В том же разделе алгебры может быть доказана теорема о квадрате многочлена. Формулируется эта теорема обычно так: квадрат многочлена равен сумме квадратов его членов и удвоенных произведений членов, взятых попарно»

1) Для двучлена #i-f~a2 эта теорема справедлива.

2) Надо показать, что из предположения

о)

вытекает:

Это можно сделать так:

При изучении неравенств методом математической индукции полезно воспользоваться для доказательства такой теоремы:

Если

и все числа at и Ъ-г положительны, то

1) Пусть a1^>bl и я2>62, где av a2f bx и b2 — положительные числа. Рассмотрим разность ага2 — ЬХЬ2. Ее можно записать так:

Слагаемые получившейся суммы положительны, следовательно:

Таким образом, для случая двух неравенств теорема доказана.

2) Требуется доказать, что из предположения

следует

С этой целью возьмем два неравенства:

На основании (1) можем перемножить почленно эти неравенства: члены их положительны. Тогда и получим:

В заключение приведем доказательство теоремы Безу методом математической индукции.

1) Для многочлена первой степени остаток можно найти непосредственным делением

2) Предположение: остаток от деления целой рациональной функции

на х — а равен fn (а). Требуется показать, что при этом предположении остаток от деления функции

На основании предположении имеем:

Тогда

Выражение х (х — a) g (х) делится на х — а. Остаток может получиться лишь при делении

xfn {а)-\тап + \ на х — я,

но xfn (а) -f- ап +1 — многочлен первой степени, а для него теорема доказана. Следовательно, остаток от деления fn + \ (х) на х — а равен

afn(a)-\-an + i> а это и есть /л + 1(а). 4

Упражнения на применение метода математической индукции

1) Доказать: 1 + 3 + 5 + 7 + .. • -4- (2m — 1) = т\

2) Доказать, что разность ат — Ьту где т — любое натуральное число, делится на а — Ь.

3) Доказать, что при любом натуральном т rr&-\-bm делится на 6.

4) Доказать, что при jc>0 и натуральном т>1 справедливо неравенство

(l + x)m> 1 + тх.

5) Доказать:

6) Доказать, что для любого натурального т справедливо тождество:

7) Доказать:

8) Для каких значений п справедливо неравенство 2п > л3?

9) Доказать неравенство:

10) Доказать:

Более трудные упражнения: 11) Доказать:

12) Доказать:

13) Доказать:

14) Доказать:

15) Доказать:

16) Доказать, что при любом а, для которого

а

sin -J* Ф 0, справедливо тождество:

17) Доказать тождество:

18) Доказать:

На кружковых занятиях, кроме применения математической индукции для обоснования операций над натуральными числами, можно разобрать еще доказательство теоремы: среднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше среднего геометрического этих чисел. Доказательство этой теоремы с помощью так называемой регрессивной индукции разобрано в задачнике по алгебре Кречмара, а доказательство с помощью обычной (прогрессивной) индукции дано в учебнике алгебры для учительских институтов С. И. Новоселова.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ В КУРСЕ АРИФМЕТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

С. А. ПОНОМАРЕВ и П. В. СТРАТИЛАТОВ (Москва)

Введение геометрического материала в курс арифметики, согласно программе средней школы, преследует две цели:

«а) дать учащимся достаточный запас геометрических образов и понятий, на основе которых они могли бы в дальнейшем приступить к изучению систематического курса геометрии; и

б) сообщить учащимся ко времени окончания семилетней школы круг знаний, применяемых к простейшим вопросам практической жизни»*.

Весь геометрический материал сообщается учащимся в связи с решением задач, выделенных в объяснительной записке в отдельную группу — задач геометрического содержания.

Настоящая статья имеет целью рассмотреть, как следует проводить изучение геометрического материала в курсе арифметики V—VI классов.

В III и IV классах начальной школы в курсе арифметики учащиеся знакомятся с метрической системой мер (меры длины, площади и объема), с простейшими геометрическими фигурами (квадрат, прямоугольник, куб и прямоугольный параллелепипед)** и с вычислением периметра и площади квадрата и прямоугольника, поверхности и объема куба и параллелепипеда В V классе при повторении этого материала (в связи с повторением действий над многозначными числами) следует остановиться на вычерчивании квадрата, прямоугольника и разверток куба и параллелепипеда. Можно рекомендовать изготовление моделей куба и параллелепипеда самими учащимися. Следует также поставить вопрос о вычислении по данной модели куба или параллелепипеда их поверхности или объема, произведя необходимые для этого измерения на модели.

Все это и указывается в объяснительной записке к программе***.

* Объяснительная записка к программе по математике средней школы. Учпедгиз, 1948, стр. 8—9.

** В дальнейшем мы будем говорить везде для краткости просто параллелепипед.

*** Издание 1948 г., стр. 9, строки 6—19 сверху.

Следует рекомендовать записи буквенных формул для периметров квадрата и прямоугольника, их площадей, а также поверхностей и объемов куба и параллелепипеда. Можно дать понятие и о степени числа. Нам кажется целесообразным при повторении этих разделов приучить учащегося к терминологии систематического курса геометрии. В частности, вместо слов «длина» и «ширина» прямоугольника следует ввести термины «основание» и «высота».

В результате повторения этого материала целесообразно изготовить настенные таблицы. Приводим их образцы.

Фигуры квадрата, прямоугольника, развертки куба и параллелепипеда целесообразно вырезать из цветной бумаги и наклеить вырезки на большой лист. Фигуры куба и параллелепипеда также можно выкроить и склеить из цветной бумаги и одной гранью наклеить на лист таблицы.

Наконец, при повторении данного раздела учитель должен особое внимание уделить развитию глазомера и привитию практических измерительных навыков. Следует добиться, чтобы учащиеся могли на глаз указать величину метра, кв. метра, сантиметра, знали среднюю длину своего шага и т. д. Желательно показать каркас 1 кб. м. В связи с построением прямого угла следует дать понятие об отвесе и указать практическое его значение при кладке стен, подвеске часов, картин и т. д. Можно и следует показать учащимся построение прямого угла на местности с помощью эккера и египетского треугольника. Следует рассказать историю введения метрической системы мер во времена французской революции и в СССР со времени Великой Октябрьской социалистической революции. Было бы весьма целесообразно издать учебный кинофильм, посвященный истории создания метрической системы мер и введения ее в СССР.

Полученные геометрические сведения помогут учителю графически конкретизировать некоторые вопросы курса арифметики. Например, изменение произведения при изменении сомножителей полезно пояснить изменением площади прямоугольника при изменении его высоты и основания: этим учитель предупредит распространенную ошибку об увеличении произведения в (т -j- п) раз при увеличении сомножителей — одного в т раз и другого в п раз. Аналогично можно пояснить правила умножения числа на сумму (площадь ряда прямоугольников с равными высотами и различными основаниями), числа на произведение (объем параллелепипеда) и т. д.

Ознакомление учащихся с параллелограмом, треугольником и вычисление их площадей включено, согласно программе, в тему «Обыкновенные дроби».

Как познакомить учащихся с параллелограмом? Вначале необходимо еще раз рассмотреть (повторить) прямоугольник и его свойства:

а) число сторон — четыре;

б) углов — четыре и все прямые и

в) противоположные стороны не пересекаются и не пересекутся при продолжении.

При рассмотрении свойства (в) можно сообщить, что такие прямые называются параллельными; они отстоят друг от друга на одно и то же расстояние. Учащиеся знают, что противоположные стороны прямоугольника равны. Следует привести еще ряд примеров параллельных прямых и измерить расстояние между ними; при измерении расстояния между параллельными прямыми придется проводить перпендикуляр к этим прямым. Самый термин «перпендикуляр» учащимся можно и не сообщать,

но нужно научить строить измеряемое расстояние с помощью угольника и обязательно отметить наличие прямых углов при точках пересечения с параллельными прямыми.

Знакомство с параллелограмом можно дать на модели шарнирного прямоугольника, преобразуя последний в параллелограм. Мы полагаем, что определение параллелограма в V классе давать не следует, но важно подчеркнуть отличительные свойства частного случая параллелограма — прямоугольника.

Свойства параллелограма:

а) число сторон — четыре;

б) углов — четыре, и, если параллелограм— не прямоугольник, то два острые и два тупые;

в) противоположные стороны не пересекаются и не пересекутся при продолжении.

В последнем можно убедиться, проведя и измерив две-три высоты.

Вывод правила нахождения площади параллелограма может быть дан следующим образом. Вырезав из бумаги параллелограм, учащиеся строят в нем при помощи угольника высоту. Разрезав параллелограм вдоль проведенной линии на две части и поменяв местами эти части, ученики рассматривают полученную фигуру и убеждаются, что они заменили параллелограм прямоугольником той же площади (см. чертеж 1). Отсюда формулируется правило нахождения площади параллелограма.

Черт. 1

Проделав ряд задач на нахождение площади параллелограма, надо приступить к нахождению площади треугольника. Желательно сначала вывести правило нахождения площади прямоугольного треугольника. На чертеже 2 показано, как можно вывести это правило.

Нужно, чтобы ученики проделали это на модели из бумаги.

Черт. 2

Затем надо перейти к выводу правила вычисления площади любого треугольника. При выводе учащиеся должны отчетливо осознать,

что, проводя диагональ параллелограма, они разбивают его на два равных треугольника. Можно показать вывод правила с помощью прямоугольника, как изображено на чертеже 3.

Черт. 3

После изучения этих вопросов можно рекомендовать изготовление настенных таблиц, аналогичных указанным выше для куба и параллелепипеда.

Мы считаем целесообразным записывать в общем виде (на буквах) правила вычисления периметра и площади параллелограма и треугольника.

В порядке замечаний к программе мы полагаем, что следовало бы в V классе понятие о параллелограме не давать, а ограничиваться прямоугольником, с помощью которого можно вывести правила вычисления площади треугольника и площади круга.

В теме «Десятичные дроби» учащиеся знакомятся с вычислением длины окружности, площади круга, поверхности и объема цилиндра. Ознакомление с понятием окружности можно провести так: предложить учащимся с помощью циркуля провести замкнутую кривую линию. Из способа вычерчивания ученики видят, что все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от некоторой точки — центра окружности. Определение окружности можно не сообщать учащимся, но нужно, чтоб они могли указать общее свойство точек окружности. Далее надо остановиться на понятиях «радиус» и «диаметр». Существенно, чтобы учащиеся не смешивали понятия «круг» и «окружность».

После ознакомления с окружностью надо познакомить учащихся с измерением длины кривой линии. Надо разъяснить, что прямолинейный отрезок нельзя совместить всеми своими точками с кривой линией, а затем предложить практический прием измерения длины окружности. Нахождение длины окружности можно провести следующим образом. Раздать ученикам несколько картонных кружков и предложить измерить окружность каждого кружка с помощью бумажной ленты и, выпрямив ленту, узнать длину окружности. Затем измерить диаметр кружка с помощью линейки. Полученные результаты измерения записать в следующую таблицу.

Длина окружности

Длина диаметра

Во сколько раз длина окружности больше своего диаметра

1-е измерение

152 ММ

48 ММ

3,17

2-е измерение

3-е измерение

Сравнив полученные результаты, ученики видят, что длина окружности больше своего диаметра приблизительно в 3,1 раза, откуда длина окружности равна произведению длины диаметра на 3,1. Надо подчеркнуть, что полученные значения, выражающие отношение длины окружности к длине диаметра, являются приближенными и что более точно это отношение выражается числом -у-, или 3,14. Полезно дать формулу для нахождения длины окружности: С = тг£> или С = 2тг/?.

Решив ряд задач на вычисление длины окружности, можно приступить к вычислению площади круга.

Черт. 4

На чертеже 4 показан способ вывода правила для нахождения площади круга. Отсюда делается вывод, что площадь круга равна произведению половины длины окружности на длину радиуса. Если учащиеся имеют понятие о степени, то полезно сообщить формулу для вычисления площади круга: S = 3,14/?2 или

Черт. 5

Черт. 6

Ознакомление учащихся с правилами нахождения поверхности и объема цилиндра можно провести следующим образом.

Исходя из рассмотрения развертки поверхности цилиндра, легко вывести формулы для нахождения боковой поверхности и полной поверхности цилиндра.

Приводимые чертежи 5, 6 и 7 поясняют сказанное.

Обоснование правила нахождения объема цилиндра можно провести различными способами. Мы считаем наиболее целесообразным обоснование, предложенное методистом г. Москвы С. В. Филичевым. Чертежи 8, 9 и 10 поясняют этот преим. Из рассмотрения чертежей учащиеся сделают вывод, что объем цилиндра V = тг/?2//. Решение

ряда практических задач закрепит полученную формулу.

При прохождении темы «Проценты» учащиеся знакомятся с составлением столбчатых и секторных диаграмм.

Наряду с построением столбчатых диаграмм,

Черт. 8

Черт. 9

Черт. 10

следует дать построение линейных диаграмм, это явится хорошей пропедевтикой к построению графиков функций.

Покажем на примере, как это сделать.

Преподаватель сообщает учащимся следующие числа.

По союзному бюджету на народное просвещение израсходовано:

В 1928 г.........0,16 миллиардов руб.;

, 1939 г.........4,6

. 1944 г.........20,4

, 1945 г.........28,6

Далее учитель предлагает изобразить эти числа в виде столбчатой диаграммы. Принимается масштаб: площадь одной клеточки тетради берется за миллиард рублей (черт. 11).

От столбчатой диаграммы можно перейти и к линейной (черт. 12).

Можно предложить соединить концы построенных отрезков ломаной линией, которая и покажет рост средств, ассигнованных на народное просвещение.

Черт. 11

При построении секторных диаграмм дается понятие об измерении угла в градусах и пользовании транспортиром. Для построения диаграмм рекомендуется использовать данные социалистического строительства, данные пятилетнего послевоенного плана развития народного хозяйства СССР.

Все приведенные сведения геометрического характера закрепляются решением задач.

Черт. 12

В задачнике Березанской имеется около 150 задач с геометрическим содержанием, но они охватывают главным образом прямоугольник,

квадрат, окружность, куб, параллелепипед и цилиндр.

Приводим образцы дополнительных задач, в частности задач на параллелограм и треугольник.

Квадрат и прямоугольник

1. Начертить прямоугольник со сторонами 4 см и 9 см и квадрат с такой же площадью, как у этого прямоугольника. Какая из двух фигур имеет больший периметр?

2. Два участка: прямоугольный, длина которого 25м, и квадратный, сторона которого Юл*,—имеют равные площади и обнесены изгородью. У какого участка изгородь имеет большую длину?

3. Колхозный сад прямоугольной формы имеет в длину 320 м и в ширину 120 м. Третья часть сада занята ягодными насаждениями, а остальная часть—плодовыми деревьями. Сколько деревьев в саду, если на каждое дерево в среднем приходится по 8 кв. м!

4. Сколько досок пойдет на настилку пола в комнате, если длина пола 6 м, ширина 5 м, а длина каждой доски 6 м и ширина 25 см!

5. Один участок земли квадратной формы имеет площадь 16 я, а второй в 25 а. На сколько метров ограда второго участка длиннее ограды первого участка?

Куб и параллелепипед

1. Сколько воздуха в классной комнате, длина которой 10 му ширина 8 м л высота З-^м? Сколько учеников в ней можно поместить, считая на 1 ученика по 8 куб. м воздуха?

2. Определить вес дождевой годы, выпавшей на поле площадью в 10 га, если толщина слоя воды равна 35 мм.

3. Сколько кубометров досок пойдет на устройство забора вокруг прямоугольного участка земли, если длина его 70 м, ширина 30 м, высота забора 2 м, а толщина досок 2 см?

4. Сарай имеет размеры: 8 м, 4-^- м и 3-^ м. До

половины он наполнен сеном. Сколько весит сено, помещенное в этом сарае, если 1 куб. м сена весит 80 кг?

Параллелограм и треугольник

1. Нейти периметр параллелограма, если одна его сторона 5^- см, а другая на см меньше.

2. Найти периметр параллелограма, если известно, что одна сторона б см, а другая в 1 -д- раза меньше.

3. Периметр параллелограма 30 см. Одна сторона вдвое больше смежной стороны. Найти стороны параллелограма?

4. Одна сторона параллелограма на 2~cf см больше другой, а периметр параллелограма равен 21 см. Найти стороны параллелограма.

5. Периметр равностороннего треугольника равен 51 см. Найти стороны треугольника.

6. Одна из сторон треугольника 5 см, вторая на 3 см больше, а третья на 1 см больше второй. Найти периметр треугольника.

7. Периметр треугольника 36 см. Одна сторона на 2 см больше другой и на 2 см меньше третьей. Найти стороны треугольника.

8. Вырежьте из бумаги параллелограм. Измерьте его основание и высоту. Вычислите площадь. Проверьте результат, приняв другую сторону за основание.

9. Вычислите площадь параллелограма, если основание равно 15~2 см, а высота на 5-g- см меньше основания.

10. Чему равна площадь параллелограма, если основание и высота вместе имеют длину в 15 см,

а высота на 2-j см меньше основания.

11. Вырежьте треугольник. Измерьте его основание и высоту и вычислите площадь.

12. Стороны прямоугольного треугольника, заключающие прямой угол, равны Ь см и 12 см. Найдите площадь треугольника.

13. Площадь треугольника 24 кв. см. Основание равно 24 см. Чему равна высота треугольника?

Цилиндр

1. Вычислить площадь бумаги, которой можно обернуть боковую поверхность цилиндра, если диаметр основания равен 10 см, а высота цилиндра 8 см.

2. На рисунке дана развертка цилиндра на плоскость. По данным на чертеже 13 размерам вычислить полную поверхность цилиндра.

3. Сколько литров воды вмещает цилиндрический сосуд, высота которого 4 м, а внутренний диаметр основания 1 м?

4. Вычислить объем ведра, имеющего форму цилиндра, если диаметр дна равен 30 см, а высота ведра равна 50 см.

5. Сколько железа идет на выделку такого ведра? (см. задачу JS& 4).

6. Стакан имеет форму цилиндра. Как узнать объем стакана в куб. см?

Масштаб. Работа на местности

При сообщении геометрических сведений в V и VI классах имеет большое значение проведение некоторых измерений на местности. Необходимость таких работ на местности указывается и в объяснительной записке к программе по математике.

Черт. 13

В журнале «Математика в школе», № 2 за 1941 г., была напечатана статья М. А. Знаменского «Работы на местности в средней школе в связи с курсами геометрии и тригонометрии», в которой автор приводит примерный минимальный перечень работ для всех классов, с I по IX включительно.

Рассмотрим некоторые вопросы, относящиеся к проведению работы на местности.

Понятие о численном масштабе. Следует указать учащимся на невозможность вычерчивания на плане или карте расстояний в натуральную величину. Чтобы изобразить план класса на классной доске, мы длину и ширину класса уменьшаем в одно и то же число раз и изображаем план класса, например, в масштабе 1:20. Это отношение, показывающее степень уменьшения, и есть численный масштаб. Следует дать учащимся примеры наиболее часто употребляющихся масштабов: 1:100; 1:10 000; 1 : 25 000 и т. д. Необходимо, чтобы учащиеся ясно поняли, что отрезок длиной 1 см на карте в масштабе 1:250 000 соответствует действительному расстоянию 250 000 см = 2500 м = 2,5 км. Необходимо также дать понятие о сравнении масштабов: более мелкий масштаб тот, у которого знаменатель больше. В заключение следует решить несколько упражнений, например:

1. Какая карга имеет более крупный масштаб: карта 1 : 25 000 или карта 1 : 100 000?

2. Расстояние от школы до реки 1С00 м. Как велико будет это расстояние на плане с численным масштабом 1 : 10 000?

3. На плане расстояние между двумя строениями 2,5 см, а в действительности 175 м. Каков масштаб плана?

Понятие о линейном масштабе. Учащиеся знают, что масштабом называется степень уменьшения линии на карте или плане по сравнению с действительными размерами на местности. Однако численный масштаб не всегда удобен, так как требует не только измерений на карте или плане, но и последующих вычислений. Можно ограничиться только измерением расстояния на плане или карте, чтобы сразу узнать истинную величину расстояния на

местности. Для этого применяют линейный масштаб, т. е. отрезок прямой, разделенный на единицы длины—миллиметры или сантиметры, заменяющие метры или километры на местности. Далее следует пояснить построение линейного масштаба. Можно рекомендовать следующие упражнения:

1. Построить линейный масштаб плана, численной масштаб которого равен 1:10 000.

2. Дан линейный масштаб 5 м в I см. Найти соответствующий ему численный масштаб.

3. Измерить по карте, пользуясь линейным масштабом, действительное расстояние между городами.

Развитие глазомера. Следует познакомить учащихся с примерной различимостью предметов на различных расстояниях

Предметы

С какого они

км

расстояния видны?

м

Деревни и большие дома

8

Окна в домах......

4

Отдельные деревья и люди

2

Километровый столб . . .

1

Стволы деревьев .....

850

Движение ног лошади . .

600

Движение рук......

400

Лица людей.......

150

Глаза..........

60

Затем целесообразно дать задание измерить среднюю длину своего шага, показав сначала в классе, как это сделать. Этот вопрос целесообразно увязать с понятием о среднем арифметическом в связи с решением задач из задачника Березанской. При выходе на местность учитель предлагает наметить 2 — 3 предмета (например, ствол дерева, километровый столб, отдельные деревья и др.) и разбивает учащихся на группы по числу отмеченных предметов. Разделив каждую группу учащихся пополам, учитель предлагает организовать проверку определенных глазомером расстояний (с помощью таблицы) непосредственным измерением этих расстояний на местности. Для этого одна половина каждой группы остается на месте, другая половина идет к избранному предмету, и обе половины группы идут навстречу друг другу, провешивая прямую—расстояние между предметом и первоначальной точкой.

После установки вех или параллельно с провешиванием 2—3 учащихся, выделенных в каждой подгруппе, измеряют шагами провешенное расстояние (2—3 учащихся необходимы для взаимной проверки числа шагов). Зная среднюю длину шага, после измерения шагами можно вычислить и самое расстояние. Можно организовать измерение провешенного расстояния и мерной лентой. Для свободных учащихся можно организовать работу по определению числа шагов в отмеченном и измеренном расстоянии (сколько шагов в 100 л*?) в качестве проверки средней величины длины шага. Кроме того, этим учащимся предложить построить на местности прямой угол, ар и гектар.

Программой по арифметике для VI класса предусмотрено сообщение учащимся понятия о съемке плана. Эту работу можно провести при наличии астролябии, в крайнем случае самодельной. Прежде чем выйти в поле, необходимо проверить умение учащихся обращаться с компасом, а затем дать понятие об азимуте. «Азимутом данного направления называется угол между северным концом магнитной стрелки компаса и данным направлением, отсчитываемый по часовой стрелке от 0 до 360°».

До выхода в поле в классе нужно продемонстрировать астролябию, а также познакомить учащихся с содержанием работы и оформлением записи измерений.

При работе на местности участок, выбранный для измерения, обозначается вешками, поставленными в вершинах углов. Число сторон участка надо брать не больше 6. Съемку плана участка можно провести двумя способами: или обходом по контуру, или полярным (астролябия устанавливается в одной точке внутри контура участка так, чтобы из нее были видны все вершины участка (черт. 14).

Величины азимутов и длины сторон заносятся в форме следующей таблицы:

Направление

МА

MB

МС

MD

ME

Азимуты . .

Длина ....

В результате проведенной работы на местности, в классе учащиеся чертят план участка в масштабе 1 : 1 000 или 1 :5 000 или 1 : 10 000 (в зависимости от размеров участка) и могут определить (это не обязательно) по плану площадь этого участка.

Все работы на местности можно уложить в два выхода, затратив на это не более 4 часов.

ИЗ ОПЫТА

ПРИМЕНЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

А. А. СТОЛЯР (Энгельс)

Понятие предела является одним из самых трудных для учащихся средней школы, поэтому от учителя требуется тщательная работа над методикой этого вопроса, чтобы его сделать доступным для учащихся, не снижая при этом теоретический уровень преподавания. К сожалению, наши существующие учебники не дают современную трактовку вопроса, и очень во-время появились статьи С. И. Новоселова и В. М. Шепелева в журнале «Математика в школе», № 4 за 1948 год. Этот ценный методический материал был мною использован. Я изложил теорию пределов в IX классе по статье С. И. Новоселова, дополняя ее разнообразными упражнениями в достаточном количестве для закрепления теоретического материала. Геометрическое истолкование основных понятий, указанное в статье, является неотъемлемым элементом в изложении этой темы.

Таблицы с изображением интерпретаций различных последовательностей при помощи точек прямой дают учащимся наглядное представление о свойствах этих последовательностей. Результаты внедрения в педагогической практике современных идей математики, изложенных на страницах журнала, полностью опровергают доводы некоторых учителей о недоступности этих идей для учащихся средней школы.

Опыт показал, что учащиеся не хуже, а лучше усваивают понятие предела последовательности, чем понятие предела «переменной величины, которая на определенной стадии процесса изменения становится и в дальнейшем остается...»

Разговоры о недоступности современной трактовки понятия предела для учащихся средней школы являются лишь выражением консерватизма в обучении, что несовместимо с задачами, стоящими перед нашей школой. Мы должны внедрять в практике обучения все то новое, что дает нам наука, и в первую очередь наша советская наука, не дожидаясь появления этого нового в учебнике.

В настоящей статье я предполагаю рассказать, как я проводил в соответствие с новой трактовкой понятия предела различные его применения в курсе геометрии IX и X классов.

После прохождения теории пределов в современном изложении немыслимо преподнести учащимся такие вопросы, как длина окружности, площадь круга, поверхности и объемы круглых тел, в таком виде, в каком они изложены в учебнике Киселева. В учебнике изложение этих вопросов не только отстает от современной точки зрения, но имеются и явные противоречия, вызванные отсутствием четкой терминологии. Так, например, при определении длины окружности, после вписания в данную окружность правильного многоугольника и откладывания его периметра на прямой удвоения числа его сторон и т. д., мы читаем (Киселев, часть I, § 234, стр. 142):

«Вообразим, что такой процесс удвоения и откладывания периметров продолжается все далее и далее. Тогда мы получим неограниченную (курсив мой. — А. С.) последовательность периметров ОР1? ОР2, ОР3у которая является возрастающей последовательностью. Однако возрастание это не может быть неограниченным (курсив мой. — А. С.)...»

Этот текст сохранился неизменным во всех изданиях учебника. Оказывается, что не только учащиеся склонны смешивать два различных понятия: «неограниченная последовательность» и «бесконечная последовательность», о чем предупреждает нас автор статьи, но и наш учебник им помогает в этом.

Я считаю, что после изложения теории пределов в освещении, которое рекомендует С. И. Новоселов, мы должны стремиться и к строго логическому обоснованию тех понятий курса геометрии, которые определяются при помощи понятия предела.

Длина окружности

Необходимо вначале разъяснить учащимся, что мы имеем дело с новым понятием, отличным от понятия длины отрезка.

Предварительно достаточно доказать одну лемму (а не две, как в учебнике Киселева):

«Периметр выпуклого многоугольника меньше периметра всякого другого многоугольника, объемлющего первый».

При доказательстве этой леммы мы ссылаемся на теорему (Киселев, ч. I, § 51): «Отрезок прямой, соединяющий две какие-нибудь точки, меньше всякой ломаной, соединяющей эти же точки».

Для определения нового понятия длины «окружности» впишем в данную окружность правильный многоугольник, например шестиугольник. Его периметр обозначим через Pv удвоим число сторон вписанного многоугольника и обозначим периметр вновь полученного многоугольника через Р2. Удвоим число сторон второго многоугольника и обозначим периметр третьего многоугольника через Рь и т. д. Вообразим, что такой процесс удвоения числа сторон продолжается бесконечно. Рассмотрим последовательность периметров правильных вписанных многоугольников:

Pi* ^2» ^3' * * • ^л> • • •

Эта последовательность:

а) возрастающая, так как Рп + \^> Рп на основании доказанной леммы,

б) ограниченная, так как Рп<^Р при любом п, где Р^>0 — определенное число, в данном случае — периметр любого описанного многоугольника, ибо любой правильный вписанный многоугольник объемлется любым описанным около той же окружности многоугольником.

Следовательно, будучи возрастающей и ограниченной, эта последовательность имеет предел.

После того, что мы доказали существование предела этой последовательности, мы можем дать определение длины окружности.

Предел последовательности периметров правильных вписанных в окружность многоугольников, полученных путем неограниченного удвоения числа сторон правильного вписанного в эту окружность многоугольника, называется длиной окружности.

Если обозначить длину окружности через С, то по определению

C=lim Рп.

Таким образом, вычисление длины окружности приводит к нахождению предела последовательности периметров правильных вписанных многоугольников. Нахождение этого предела основывается на следующем свойстве окружности:

«Отношение длины окружности к диаметру постоянно, т. е. одно и то же для всех окружностей».

Доказательство. Возьмем две окружности с радиусами R и г и впишем в них одноименные правильные многоугольники с периметрами Рг и pv Их периметры относятся как радиусы (Киселев, ч. I, § 218), т. е.

отсюда

Вообразим, что мы неограниченно удваиваем число сторон этих правильных многоугольников, и рассмотрим последовательности отношений их периметров к соответствующим диаметрам, т. е.

а)

(2)

Так как соответственные члены этих последовательностей равны:

то и

Остальные вопросы, связанные с длиной окружности, я изложил по учебнику Киселева.

Площадь круга

Здесь также необходимо подчеркнуть вначале, что имеем дело с новым понятием. Слово «площадь» нельзя понять в случае круга так же, как в случае многоугольника. Никаким способом нельзя заполнить круг равными квадратами, площадь которых принята за единицу измерения площадей.

Предварительно докажем следующую лемму:

« Последовательность

ai> а2> аг>.....> ап>- •••

сторон правильных вписанных в окружность многоугольников, полученных путем неограниченного удвоения числа сторон какого-либо правильного вписанного многоугольника, имеет своим пределом число нуль*.

Доказательство. Пусть периметр правильного вписанного многоугольника (например, шестиугольника)—Рг периметр правильного вписанного 12-угольника, полученного пу-

тем удвоения числа сторон шестиугольника — Я2 и т. д. Тогда:

Следовательно:

но

значит:

lim ап = О, ч. т. д.

На основании этой леммы мы доказываем следующую теорему: Последовательность

%ъ К2> Къ..., Кп>...

апофем правильных вписанных в окружность многоугольников имеет своим пределом радиус этой окружности.

Доказательство.

Пусть АВ = ап — сторона /z-го правильного вписанного многоугольника (черт. 1).

Черт. 1

OA = R — радиус окружности, ОС=Кп—апофема п-то правильного вписанного многоугольника. Из Д АОС имеем: OA — ОС< АС; но так как

АС = ^-> и ОА>ОС, то 0<#-/Гя<-^.

Так как lim ап = О, то, как бы малым мы ни взяли число в>0, имеем: ап<^2г при достаточно больших п, и, следовательно R — Кп <С -н- или R— Кп<Сг при достаточно больших я, а это по определению предела означает, что R — lim Кю ч. т. д.

Теперь мы имеем возможность доказать следующую теорему, позволяющую и определить и вычислить площадь круга:

«Последовательность площадей правильных вписанных в круг многоугольников, полученных путем неограниченного удвоения числа сторон одного какого-либо вписанного многоугольника, имеет предел*. Обозначим эту последовательность так:

^3> • • • J Sn> * * *

Имеем:

где Рп = периметр, Кп — апофема.

Так как последовательность Sn есть произведение двух последовательностей Рп и K^j,

из которых каждая имеет предел, то, на основании теоремы о пределе произведения, заключаем, что и Sn имеет предел, равный произведению пределов последовательностей — сомножителей.

Определение. Предел последовательности площадей правильных вписанных в круг многоугольников, полученных путем неограниченного удвоения числа сторон правильного вписанного в этот круг многоугольника, называется площадью круга.

Если площадь круга обозначить через S, то

S = lim Sn.

Теорема. Площадь круга равна половине произведения длины окружности на радиус. Действительно, по определению:

5 = limSn = limРп . Ка = ^ШРЛЛ\тКт

но НтРя = С, аНтЛгл = /?, следовательно:

S=-^-C-R, ч. т. д.

Остальные вопросы, связанные с площадью круга, я изложил по учебнику Киселева.

Понятие предела находит себе применение и в школьном курсе стереометрии при определении численной величины боковых поверхностей и объемов круглых тел.

Я приведу, для примера, изложение вопроса о боковой поверхности конуса.

Боковая поверхность конуса

Определение. Правильная пирамида с вершиной в вершине конуса, основанием которой служит правильный многоугольник, вписанный в окружность основания, называется правильной вписанной пирамидой.

Вообразим, что мы неограниченно удваиваем число сторон основания правильной вписанной пирамиды или, что тоже, число ее боковых граней. Получаем бесконечную последовательность правильных вписанных пирамид.

Докажем следующую теорему: «Последовательность

апофем правильных вписанных пирамид имеет своим пределом образующую конуса». Доказательство.

Пусть АВ = ап — сторона основания (черт. 2)

Черт. 2

/2-й правильной вписанной пирамиды;

SA = I — образующая конуса; SM = Ьп — апофема правильной вписанной пирамиды. Из Д ASM имеем: SA — SM < AM или

AR

SA — SM<™, и так как SA>SM, то <></-&„<**-.

Согласно доказанной нами лемме lim аЛ = О, и, следовательно, каким бы малым мы ни взяли число в^>0, имеет место неравенство ап<^2г для всех достаточно больших значенияй пу и поэтому

1 — Ьп<^~ или /— £л<е

при всех достаточно больших значениях пу а это означает, что / = lim bm. ч. т. д.

Теперь мы можем доказать еще одну теорему, позволяющую определить и вычислить площадь боковой поверхности конуса.

Теорема. Последовательность

$6^, $62у ... ySsni • • •

боковых поверхностей правильных вписанных в конус пирамид имеет предел, Действительно:

где Я> — периметр основания /2-й пирамиды, Ьп — апофема /2-й пирамиды. Так как каждая из последовательностей

"о" Рп и имеет предел, то и их произведение Sn= л Pn'bn также имеет предел, равный произведению пределов последовательностей — сомножителей, ч. т. д.

Определение. Предел последовательностей боковых поверхностей правильных вписанных в конус пирамид, полученных путем неограниченного удвоения числа сторон основания (или боковых граней) правильной вписанной в этот конус пирамиды называется боковой поверхностью конуса.

Если боковую поверхность конуса обозначить через Ss то Se = lim Se .

Теорема. Боковая поверхность конуса равна половине произведения длины окружности основания на образующую.

Действительно:

Sfi = lim Se , но,

п

имеем: lim Рп = Сп — длина окружности основания конуса,

lim bn = l—образующая конуса, следовательно:

S*=-i-C./, ч. т.д.

Следствие. Так как

С=2тс#, то S6 = izRl

Совершенно аналогично обосновываются при помощи понятия предела последовательности понятия объема конуса, боковой поверхности и объема цилиндра.

Понятие предела применяется также для определения и вычисления объема пирамиды. Необходимо при этом отметить, что учебник Киселева загромождает этот вопрос лишней леммой («чортова лестница»).

Я изложил этот вопрос по учебнику Глаголева, изменив лишь немного терминологию, с целью приведения ее в соответствие с принятой нами при прохождении теории пределов терминологией.

ХРОНИКА

РАБОТА МЕТОДИЧЕСКОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ МАТЕМАТИКОВ ПРИ РИЖСКОМ ГОРМЕТОДКАБИНЕТЕ

И. М. РАБИНОВИЧ (Рига)

Методическое объединение математиков при Рижском городском методическом кабинете проводит свою работу в виде организационных мероприятий двоякого характера: в виде общих собраний, созываемых регулярно раз в месяц, и в виде групповых консультаций, проводимых по мере надобности.

На общих собраниях читаются и обсуждаются рефераты, а также заслушиваются и комментируются текущие методические указания городского отдела народного образования. На групповых консультациях рассматриваются вопросы, интересующие отдельные группы учителей, например вопросы, связанные с прохождением тем программы определенного года обучения. На групповых консультациях также происходит обмен опытом работы.

На ежемесячных собраниях в качестве докладчиков выступают как сами члены методического объединения, так и приглашенные лекторы—научные сотрудники институтов и преподаватели высших учебных заведений.

В частности, надо отметить активную помощь в этом отношении со стороны Латвийского государственного института усовершенствования учителей, физико-математического факультета Латвийского гос. университета и Рижского отделения Ленинградского заочного индустриального института.

О характере вопросов, обсуждаемых на собраниях, можно судить по темам докладов, которые мы приводим ниже.

I. Доклады общего характера

1. Воспитание чувства советского патриотизма и национальной гордости на уроках математики.

2. Коммунистическое воспитание на уроках математики.

3. Советская математика за 30 лет.

4. Борьба с идеалистической лженаукой в свете доклада акад. Лысенко «О положении в биологической науке».

II. Доклады научного характера

5. Понятие функции в школьном преподавании.

6. Тригонометрические уравнения.

7. Влияние чертежа на формирование геометрических представлений.

8. Согласование курса математики средней школы с потребностями высшей математики.

III. Доклады методического характера

9. О школьных математических кружках. 10. Борьба с неуспеваемостью по математике. П. Методика повторения при подготовке к экзаменам.

12. Метод анализа в преподавании математики.

13. Методика преподавания задач на составление уравнений.

14. Устный счет и устные упражнения в средней школе.

15. Методика систематического курса геометрии в VI—VII классах.

16. Методика преподавания геометрических теорем в VI—VII классах.

17. Методика решения геометрических задач на построение (применительно к программе данного класса).

IV. Обзорные рефераты

18. Впечатления о преподавании математики в школах Ленинграда.

19. Анализ письменных работ по материалам вступительных испытаний в Латвийский гос. университет.

20. Анализ контрольных работ, проведенных по темам Латвийского гос. института усовершенствования учителей.

Помимо проведения собраний и групповых консультаций, методическое объединение в контакте с городским методическим кабинетом собирает, и пропагандирует опыт учителей-передовиков, организуя взаимопосещения уроков.

Методическое объединение уделяет большое внимание созданию и укреплению личного контакта между учителями. С этой целью практикуется проведение вечеров самодеятельности. В январе 1949 г. была организована экскурсия в г. Ленинград, где рижане ознакомились с постановкой преподавания математики, а также с достопримечательностями и культурной жизнью славного города. Предполагается организация экскурсии на Кавказ и в Крым.

ОБСУЖДЕНИЕ «СБОРНИКА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ», ЧАСТЬ I, П. А. ЛАРИЧЕВА*

По предложению Управления школ Министерства просвещения РСФСР рядом институтов усовершенствования учителей было организовано обсуждение нового задачника по алгебре для VI и VII классов, автором которого является заслуженный учитель школы РСФСР П. А. Ларичев. Институты усовершенствования (Смоленский областной, Воронежский, Саратовский областной, Московский городской, Ивановский и др.) давали отзывы на основе материалов, полученных от учителей, применявших в настоящем учебном году новый задачник в своей практической работе в школе. Ряд отзывов был получен от групп учителей и от отдельных лиц (группа учителей гор. Костромы, методическое объединение учителей Москворецкого района г. Москвы, методическое объединение учителей Красногвардейского района гор. Москвы, учителя Е. Бондарева (г. Пенза), Еськов (г. Балашов), П. И. Ищенко и т. Е. Машков (г. Ростов на Дону), Кольмбах (г. Бежица), П. Бронштейн (г. Брянск), А. А. Панов (Москва).

Во всех без исключения отзывах новому сборнику дается положительная оценка, книга признается ценным пособием, удовлетворяющим, в основном, тем высоким научным и педагогическим требованиям, которые должны быть предъявлены к новому учебнику. Авторы рецензий отмечают следующие положительные качества сборника П. А. Ларичева:

1. Соответствие требованиям программы.

2. Задачник содержит разнообразный материал по разделам программы и является более богатым по содержанию, чем сборник Шапошникова и Вальцова.

3. В новом задачнике нашла должное отражение функциональная точка зрения: содержится достаточное количество упражнений на составление таблиц, вычерчивание графиков, на вычисление численных значений алгебраических выражений при различных значениях букв. Последние упражнения имеют важное значение в отношении укрепления вычислительных навыков учащихся.

4. В каждый раздел курса VI—VII классов введены задачи на составление уравнений.

5. Наличие задач на повторение пройденного.

6. Наличие вопросов, помогающих учащимся сознательно, а не формально усваивать пройденный материал.

7. Наличие «комбинированных» примеров «на все действия» над многочленами и дробными выражениями.

8. По каждой главе материал дается в правильной методической последовательности и систематизированный по степени возрастающей трудности.

9. «Значительно увеличено количество примеров на те разделы курса, где учащиеся обычно допускают много ошибок» (из отзыва Смоленского ИУУ).

По поводу тематики задач ряд рецензентов отмечает, что «в сборнике имеется материал, расширяющий кругозор учащихся, развивающий их логическое мышление, содействующий идейно-политическому воспитанию учащихся» (из отзыва т. Бондаревой). Авторы отзывов одобряют наличие задач с современной тематикой (задачи, содержащие данные пятилетнего плана, характеризующие рост нашей промышленности и сельского хозяйства); задач, «близких к интересам и запросам советского школьника» (из отзыва т. Бондаревой); задач, иллюстрирующих связь теории с практикой (задачи с геометрическим и физическим содержанием), и, наконец, исторических задач и задач-шуток.

В отзывах содержится ряд критических замечаний и высказываются соображения о желательных улучшениях книги в последующих изданиях. В отзыве Саратовского областного ИУУ высказывается пожелание не допускать наличия большого числа упражнений под одним номером, предлагается в будущих изданих ввести колонтитулы. В отзыве Московского ИУУ указывается, что «мало примеров на действия с относительными числами», «недостаточно количество примеров на нахождение неизвестного члена пропорции» и «в примерах на действия с алгебраическими дробями мало отражены трудные случаи порядка действий». Преподавательница женской школы № 4 гор. Пензы т. Бондарева считает, что обилие материала может вызвать ряд затруднений у молодого учителя, поэтому желательно внесение дополнительных указаний.

Тов. Панов указывает, что число задач «на доказательство» недостаточно.

Тов. Кольмбах считает слишком трудными примеры на буквенные показатели (для VI класса).

Тов. Бронштейн высказывает пожелание дать некоторое количество задач, не имеющих решений.

Рецензенты высказывают пожелания об исправлении вкравшихся отдельных погрешностей, как, например, неудачные данные, неудачная редакция отдельных задач, опечатки в ответах и т. п.

В заключительных строках рецензенты пишут:

«Общее мнение, и при этом мнение единодушное, сводится к тому, что задачник Шапошникова и Вальцова уже отжил свое время..., а поэтому сборник Ларичева после его тщательного просмотра и исправления некоторых неточностей и опечаток следует ввести в массовой школе как стабильное и учебное пособие» (Смоленский ИУУ).

«Все учителя приветствуют выпуск сборника Ларичева как отрадное явление. Ни одного отрицательного отзыва не получено» (Воронежский ИУУ).

«В настоящем учебном году задачником пользуются учителя VI—-VII классов в своей практической работе, и все его одобряют» (группа учителей гор. Костромы).

«Совещание просит выпустить этот сборник массовым тиражом, чтобы с нового учебного года его можно было ввести в школах района» (из протокола совещания учителей Москворецкого района г. Москвы).

«Можно сожалеть о том, что задачников П. А. Ларичева недостаточно» (Ивановский ИУУ).

«Задачник радует учителя и учащегося как трудными, так и легкими примерами и задачами, радует тем, что заставляет творчески думать и работать» (из статьи заслуженного учителя школы РСФСР т. Цлаф «Не отрываться от школьных будней» («Учительская газета» от 29 января 1949 г).

Н. С.

* П. А. Ларичев, Сборник алгебраических задач, ч. I Учпедгиз, 1948.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА В г. ТАГАНРОГЕ

А. И. МОЖАЕВ (Таганрог)

Кафедра математики Таганрогского государственного учительского института в январе 1949 года провела вторую математическую олимпиаду школьников г. Таганрога. Как в прошлом учебном году, так и в текущем олимпиада вызвала большую активность в среде и учащихся и учителей. Достаточно сказать, что за два тура 1949 года было подано около 600 работ.

Внимательный анализ работ показывает возросшие знания учащихся массовых провинциальных школ и свидетельствует об огромной творческой работе, которая теперь ведется в школах. Многие из учащихся показали хорошую ориентировку в решении трудных задач, иногда требовавших строго логического и самостоятельного рассуждения, выходящего за пределы программы средней школы. Наблюдалась быстрота и сообразительность в решении отдельных, далеко не легких вопросов.

Олимпиада помогла выявить наиболее талантливых учащихся, дважды продемонстрировавших безусловную даровитость и отличные знания, выходящие за пределы программы.

Интересно отметить, что во многих случаях к финишу первыми пришли и оказались победителями «неизвестные», а «известные» остались далеко позади их. Олимпиада разбудила детский и юношеский задор и вызвала определенное стремление не отстать от товарищей, с достоинством отстоять честь школы. Желание упрочить авторитет всего коллектива, показать положительно в целом школу характерно для всех шестисот человек, принявших участие в работе.

Олимпиада имела и другое положительное значение: она вызвала стремление у многих учащихся глубже изучать предмет, интересоваться вопросами, выходящими за рамки повседневной работы в классе, браться за решение более трудных, интересных и оригинальных задач.

Ниже мы хотим остановиться на некоторых выводах, которые нужно сделать на основе анализа работ участников олимпиад.

Задачи по алгебре получили лучшие и более грамотные решения. И в группе VII—VIII классов и в группе IX—X классов задачи по алгебре были, в основном, решены правильно. Задачи по геометрии решались значительно слабее, а иногда, по отдельным вопросам и разделам геометрии, и не решались. Из 28 работ, поданных учащимися IX—X классов в первом туре олимпиады, правильно решили задачу по алгебре 26 человек. Задача же по геометрии была решена только одним учеником. Аналогичная картина была выявлена и в группе VII— VIII классов, где задачу на составление уравнения решили 79% участников, задачу же по геометрии правильно решили только 2% участников. Больше того, 600 работ, которые мы имели возможность тщательно изучить, дают основание делать вывод о том, что учащиеся всех классов значительно лучше справляются с общими, так называемыми теоретическими, задачами, нежели с задачами практического характера.

И на первой математической олимпиаде 1948 года и на второй 1949 года мы дали для группы учащихся VII—VIII классов задачи на построение, не выходящие за рамки программ школ. И первый и второй раз задачи не были решены. Большинство учащихся не знали, как приступить к их решению, они не знали метода решения этих задач.

Вот одна из таких задач:

Построить квадрат, три вершины которого лежали бы на трех данных параллельных прямых.

Некоторые учащиеся рассуждали так: «Из точки В раствором циркуля АВ засекаем точку А. Из точки А этим же раствором засекаем точку Ь. Из точки D и В раствором АВ засекаем дугу АВ, и в точке пересечения этих дуг будет четвертая вершина квадрата».

Характерно, что из этого «решения» ученики сделали совершенно неожиданное заключение: «ABCD — квадрат, так как все стороны его равны, а углы прямые».

Один из учащихся писал: «Проведем четыре параллельные прямые. Возьмем дополнительные точки ABCD, соединим их и получим искомый квадрат». Подобное «решение» было не единичным.

Решения всех остальных учащихся можно свести к следующему. Брали на двух рядом находящихся параллельных прямых две произвольные точки и, соединив их прямой, брали этот отрезок в качестве стороны квадрата.

Для учащихся IX—X классов была дана задача: Высота, биссектриса и медиана, проведенные из вершины треугольника, разделили угол при этой вершине на четыре равные части. Найти углы этого треугольника.

Из 28 поданных работ правильных решений этой задачи не оказалось. Восемь человек совершенно решений не дали, в пяти работах учащиеся стали на ложный путь в рассуждениях. Они считали, что угол, вершина которого находится внутри круга, измеряется полуразностью двух дуг, из которых одна заключена между его сторонами, а другая — между продолжениями сторон.

Во втором туре для учащихся IX—X классов нами была предложена и такая задача:

Показать, что задача Построить треугольник по двум сторонам и радиусу вписанного круга не может быть в общем случае решена при помощи циркуля и линейки. Предлагая эту задачу, мы хотели убедиться в размахе работы математических кружков в школах, в глубине внеклассных занятий по математике. Учащиеся всех без исключения школ в один голос заявили, что подобных задач они не встречали и решить ее. не могут, некоторые при этом удивились, что можно «решать задачи только с помощью циркуля и линейки».

Во втором туре математической олимпиады 1949 года для учащихся VII—VIII классов мы предложили решить следующую задачу на доказательство:

На продолжении основания равнобедренного треугольника взята произвольная точка. Доказать, что разность расстояния от этой точки до боковых сторон равна высоте, опущенной на боковую сторону. Из 36 поданных работ с этой задачей правильно решенных оказалось только десять.

Что наиболее характерного показала эта задача?

Во-первых, многие учащиеся не приучены решать задачи подобного типа, а потому они затруднились определить данные, по которым надо ее решать.

Во-вторых, неумение по условию задачи сделать чертеж. Многие затруднялись сделать чертеж только лишь потому, что задача дана в общем виде, нет величины сторон, не выражены углы в градусах, и т. п.

В-третьих, сильно страдает логика рассуждения при доказательстве, нет необходимой последовательности и самоконтроля, делаются выводы без предварительного доказательства.

Относительно работ по арифметике учащихся V—VI классов можно сказать, что ученики знают типовые задачи и довольно бойко решают их. У них выработана значительная техника вычисления, необходимая сноровка и должная ориентация. Задачи не стандартного характера учащиеся решают значительно хуже. Многие из них (даже хорошие ученики) затрудняются сделать анализ и самостоятельно составить план решения.

Для первого тура олимпиады мы предложили ученикам V—VI классов следующую задачу: Два трактора различной мощности при совместной работе за 15 часов вспахали Ve часть всей площади полосы земли, намеченной колхозом для полезащитных лесонасаждений. Если бы первый трактор работал один 12 часов, а затем второй трактор — 20 часов, то они вспахали бы вместе Ць часть всей полосы земли, намеченной для лесонасаждений. За сколько часов может вспахать всю эту землю каждый трактор в отдельности?

Задача оказалась непосильной для учащихся и пятых и шестых классов. Многие из них неоднократно и настойчиво спрашивали членов жюри, к какому типу отнести эту задачу, и тогда они ее решат непременно.

Во втором туре второй задачей учащимся V—VI классов мы предложили решить совсем простую задачу, но только потребовали сделать полное объяснение ее решения. Ученику было предложено перемножить два числа, произведение которых равно 4500. Ученик, переписывая с доски данные числа, написал во множителе вместо цифры 5, стоящей в конце его, цифру три и после умножения в результате получил 4380. Найти данные числа.

Задача была решена 68% присутствующих, но никто из них не объяснил решение, не дал обоснованного плана и анализа. Эта деталь оказалась характерной не только для данной задачи. Мы уже не говорим о том, что многие работы выполнены далеко не самым рациональным приемом, много совершенно излишних записей, а иногда и действий, которые могли бы быть заменены простыми устными вычислениями.

Не единичны случаи, когда в работах при умножении одного именованного числа на второе получается третье именованное число, при делении рублей на рубли получаются километры и прочее.

Внимательно наблюдая за работой учащихся в течение двух олимпиад и проверяя в результате до 1200 работ, мы пришли к глубокому убеждению, что во многих школах нет должной борьбы за привитие учащимся математической культуры: сюда мы относим рациональность методов и приемов работы учащегося, математическую запись, построение чертежей, умение экономно использовать бумагу, правильно и последовательно делать те или иные записи в тетрадях, приучать учащихся различать основные действия от вспомогательных, дополнительных действий, являющихся результатом самих действий и вычислений. С этой точки зрения большинство работ страдают весьма серьезными недостатками, которые являются результатом, скорее всего, невнимания со стороны некоторых учителей.

В первом туре олимпиады мы поставили для всех учащихся, желающих ответить, один вопрос: «Назовите нам известных русских и советских ученых-математиков. Что вам известно об их работах?» Мы исходили и из той мысли, что учащиеся школы и тем более лица, получающие аттестат зрелости, должны знать представителей русской науки, которые своими выдающимися трудами украсили нашу родину, обогатили ее.

Что можно сказать о результатах? Подавляющее большинство учащихся назвали фамилию знаменитой русской женщины-математика С. В. Ковалевской. Это обстоятельство мы объясняем тем, что в городе долгое время шла пьеса «Софья Ковалевская». Шесть человек учащихся старших классов назвали имя академика Чебышева, двенадцать человек, имя русского «Коперника геометрии» — Н. И. Лобачевского, создателя неевклидовой геометрии. Других ученых больше не называли.

В итоге, из представителей старой русской школы было названо три фамилии, представителей же советской эпохи, ученых, которые вписали блестящие страницы в развитие математической мировой науки, не было названо и одной фамилии, ученики, следовательно, уже на пороге выхода из средней школы показывают исключительное невежество в этих весьма важных вопросах. Мы полагаем, что подобное положение терпимо быть не может. Ученики старших классов средней школы должны знать о выдающихся работах советских ученых.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О СБОРНИКЕ ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ

Б. А. КОРДЕМСКИЙ (Москва)

Учебнику, задачнику свойственно стареть и умирать. Главной причиной умирания задачника является неустранимый разрыв между формой и содержанием — между изменяющейся, прогрессирующей методикой, формой обучения и неизменным содержанием массового задачника.

Такого естественного одряхления за 40 лет своего существования достиг и задачник по алгебре Н. А. Шапошникова и Н. К. Вальцова. Большие методические достоинства этого задачника в период его рождения гармонировали с господствовавшими тогда педагогическими воззрениями и приемами обучения алгебре учащихся средней школы. Теперь же, когда целеустремленность, форма и акценты в преподавании алгебры значительно изменились, когда формализм, голая логистика и ложный классицизм окончательно уступают место осмысленности, разносторонности, жизненности, задачник Н. А. Шапошникова и Н. К. Вальцова безнадежно устарел. Никакие последующие его «омоложения» не были и не могли быть радикальными средствами. Более того, все еще вынужденная необходимость пользоваться только этим задачником сковывает учителя, задерживает его методический прогресс.

Радикальным средством может быть только создание нового задачника.

Первым и, повидимому, довольно удачным приближением к разрешению «проблемы задачника» является выпущенный в конце 1948 г. Учпедгизом «Сборник задач по алгебре» П. А. Ларичева (часть I, для VI—VII классов школы). Естественно, что сборник составлен в полном соответствии с требованиями программы и позднейшими методическими указаниями Министерства просвещения РСФСР. Это, конечно, основной постулат, определяющий лицо школьного задачника, но задачник должен еще быть органической частью учебника, его дополнением, пунктуально следовать ему, на задачном материале претворять практически педагогические устремления учебника. В таком примерно соответствии находятся задачник и учебник Н. Рыбкина по тригонометрии. Беда только в том, что и тот и другой давно пора сдать в архив. Это — самые архаичные учебные пособия по математике.)

В алгебре же до сих пор нет такого органического слияния между учебником и задачником. Нет (и хорошо, что нет) кровного родства между «старичком» — учебником А. П. Киселева и «новорожденным» «Сборником задач по алгебре» П. А. Ларичева.

Конструктивно сборник традиционен, и это обстоятельство позволит учителю математики приспособить его к действующему пока учебнику А. П. Киселева, но идейно сборник Ларичева богаче, свежее, и это облегчит учителю свободу действий, будет содействовать стремлению учителя возвысить свою работу над уровнем учебника А. П. Киселева. Однако же после замены учебника алгебры А. Киселева новым учебником, соответствующий задачник обязательно должен приобрести ориентацию этого учебника. Задачник П. А. Ларичева, как не рожденный новым учебником, нельзя назвать новым в полном смысле слова. «Скелет» задачника, как сказано, традиционен, но в нем немало свежей, молодой «крови». Основной стержень первой части задачника — идея уравнения. В этом —первое ценное качество сборника.

Сборник открывается простейшей задачей на составление уравнения: к числу а прибавили 20 и получили 35. Найти число а (зад. № 45, гл, I) — и заканчивается солидными задачами экзаменационного типа (гл. X). В этом отношении сборник идет навстречу уже сложившейся среди передового учительства практике раннего введения уравнений. Тема «Уравнения» занимает теперь ведущее место в курсе алгебры VI—VII классов. Расширение понятия числа и тождественные преобразования сопутствуют главной теме, вытекают из ее собственных потребностей и тем самым становятся более осмысленными, конкретными и прочнее усваиваются. В задачнике П. А. Ларичева упражнения, тренирующие ученика в преобразованиях, подкрепляются уравнениями и задачами, требующими выполнения тех же преобразований. Таковы, например, задачи №№ 46, 101 (гл. III), №№ 110, 114 (2), гл. IV, и др. В этом — второе ценное качество сборника, так как подобная интерпретация алгебраических операций на задачах и уравнениях очень важна в методическом отношении.

Раздел задачника «Буквенные выражения» и начальный раздел уравнений базируется на знаниях, приобретенных в курсе арифметики, и одновременно способствует закреплению арифметических навыков.

Действительно, это — важная тренировочная ступень на пути к овладению методом составления уравнений.

При переходе от одного раздела программы к другому учитель математики, наряду с сообщением нового материала, стремится возможно полнее использовать пройденное, закрепить приобретенные навыки и знания. Поэтому руководящим принципом для составителя всякого задачника должен быть такой подбор задач и упражнений и такая система их расположения, чтобы в каждой главе имелись задачи и упражнения трех типов: 1) только по текущей теме, 2) включающие пройденный материал и соединяющие его с новым, 3) только по пройденной теме (для повторения).

Сборник П. А. Ларичева в значительной степени отвечает указанным требованиям. В этом — его третье ценное качество.

Каждая глава задачника заканчивается параграфом «для повторения», а весь задачник — главой «Задачи для повторения». В этих параграфах имеется главным образом тренировочный материал по ранее изученным вопросам, но есть также задачи несколько повышенной трудности, задачи для контрольных работ, задачи и вопросы, способствующие улучшению понимания пройденного и повышению математического развития ученика. Таковы, например, следующие задачи: «—5<т< — 2. Какие целые значения может принимать число т?» (№ 97, стр. 41). «При каких значениях х выражение: а) — 2х\ б) Зл:: 1) число положительное, 2) число отрицательное, 3) равно нулю» (№ 99, стр. 41). «Объяснить, почему разность а3— я, где а — любое натуральное число, делится на 3» (№ 114, стр. 105) и т. д. Подобного рода нешаблонные задачи разбросаны по всему задачнику. Таковы, например, №№ 23, 31, 33 (стр. 47), №№ 51, 52 (стр. 49), № 104 (стр. 57), № 305 (стр. 82), № 10 (стр. 111) и т. д., но, к сожалению, таких задач очень мало. Увеличить их количество можно хотя бы за счет сокращения задач на вычисление числового значения алгебраических выражений. Этот раздел, действительно, следовало усилить и «во времени» по сравнению с тем, что есть в существующем задачнике.

Задачи на вычисление нужны как средство перманентного укрепления арифметических навыков и как функциональная пропедевтика. Но в сборнике арифметизация несколько раздута и как следствие всякого гипертрофирования доведена до крайностей. Так, например, на стр. 78 (№ 287) предлагается найти числовое значение выражения, предварительно упростив его:

(хЗ+2ах—8дЗ): (х-2а)—(6х* + ах—а*): (2х+а)] -2а при

х = —2; а = — .

Очевидно, что числовые значения настолько удобны, что легче и быстрее вычислить данное выражение, сразу подставляя значения х и д, нежели предварительно дважды заниматься делением многочлена на двучлен.

На стр. 56 (№№ 98, 99) предлагается доказать тождества:

(а + Ь) + (с — Ь) = а + с; (а + Ь) + (а — Ь) = 2а

и другие, а затем проверить их при различных несложных значениях букв a, b и с, например, при а = 5, Ъ = 8 и с = 15.

Какая цель этих упражнений? Ученик уже продвинулся в алгебре, а эти задачи помещены в разделе действий над многочленами. Если цель — упражнения в арифметике, то они примитивны. Если цель—«проверить справедливость тождества», то они просто вредны, так как могут возбудить у ученика недоверие к доказательству, которое он только что проделал, надо надеяться, с полным пониманием его законности:

я + 6 + с — Ь = а + с\ а -\- с = а-\-с.

Разве это нуждается еще в арифметической проверке? Наоборот, такая проверка легко может превратиться в мнимый догмат доказательства.

На стр. 113 предлагается такая задача (№ 22): Проверить справедливость равенства:

при следующих значениях я, 6, т (дальше следуют 4 серии значений, например: а = 7, 6 = 8, т = 3). Разумный ученик скажет: «по условию равенства дробей две дроби -у и равны между собой, если ad = be; проверяю: amb = bma\ значит,

am а

у меня нет сомнений в том, что = -у , и я

отвергаю предложенную мне арифметическую проверку». Что будет делать ученик, послушный воле автора задачника? Он напишет: g7§ вместо »

теперь сократит тройки (или хуже: сначала перемножит, а потом сократит), и задача решена. Проделав это 4 раза, ученик, естественно, может подумать даже, что он доказал то свойство дроби, о котором его спрашивает автор во втором вопросе этой задачи, и со спокойной душой (на основании, богатого опыта!) ответит утвердительно на третий вопрос: может ли буква т обозначать

am а

любое число в равенстве gjj- = у?

Такого рода примитив чередуется в задачнике с хорошими примерами на вычисление числовых значений алгебраических выражений и полезными упражнениями на применение законов действий и алгебраических формул в практике арифметических вычислений для более рационального их выполнения (№ 22, стр. 27; № 56, стр. 33; № 41, стр. 49; № 242, стр. 72; № 295, стр. 80; № зоб, стр. 82 и т. д.).

К сожалению, среди упражнений на вычисление значений алгебраических выражений отсутствуют очень полезные комбинированные примеры с предварительным исключением некоторых величин. Пример: Вычислить t при заданных С, т, /, р, /, .S если

0 = 0,24/2^, # = ^и1(Ют = ^-.

Главная, ведущая методическая линия сборника достаточно выпукла, чего нельзя, однако, признать за некоторыми его побочными линиями.

Вот некоторые примеры.

1. Параграф второй главы V озаглавлен «Сокращение дробей». Его начинает цитированная выше задача № 22; «Проверить справедливость равенства am а ч jjjjjj =-£-...», место которой не в задачнике, а в учебнике. Допустим, что ее появление в задачнике объясняется желанием автора предпослать задачам на сокращение алгебраических дробей теоретическое оправдание права производить сокращение, но если это оправдание только в V главе, то на каком же основании ученик будет сокращать дроби, помещенные в предшествующей главе, такие как

и т. п. (гл. IV, § 1, №№ 2, 11, 12, 13, 76, 77, 78)?

2. Расплывчато требование первой задачи главы IV: «Разложить на множители: 1) 15,... 8)24т2я4». Предполагает ли автор бесконечную множественность решений, имеющую место в поле рациональных чисел.

3. В последней четверти учебного года ученики VII класса знакомятся с извлечением квадратного корня из числа. Для того чтобы ученики владели хорошими приемами вычислений 1^50-98. у 25?— 242 и т. п., надо их ознакомить с теоремами об извлечении корня из произведения и дроби, либо доказывая их полностью, либо, может быть, оставляя доказательство до VIII класса, подавая их пока как практические правила, справедливость которых легко проверяется на каждом примере.

Серия таких задач (№ 20, стр. 211) начинается «теоретической» задачей (№ 19) весьма сомнительной ценности. В задаче требуется проверить справедливость равенства

у аЪ = у а • у Ь

путем возвышения в квадрат обеих его частей и затем формулировать, что выражает данное правило?

Нельзя безоговорочно давать ученику такое средство проверки тождеств, как возвышение в квадрат обеих его частей. Заменим, например, подкоренное выражение аЬ чуть более сложным (а— bp. Тогда, как известно:

У (а — Ь)2 = а — Ь, если а > Ь.

Однако при том же условии а> Ь можно «проверить» способом решения задачи № 19, что

У {а — by = Ь — а.

В самом деле, возведем в квадрат обе части этого равенства. Тогда:

(а — Ь)* = (Ь- а)\

что бесспорно.

4. При наличии учебника вообще излишни в задачнике прямые вопросы теории, такие, например, как № 15 (стр. 210): «Что значит извлечь квадратный корень из числа?» или № 11 (стр. 139), в которой предлагается вывести производные пропорции из данной. Примеров же на применение производных пропорций очень мало в разделе уравнений с одним неизвестным и совсем нет в разделе систем уравнений.

5. Непонятны соображения автора, заставившие его в некоторых случаях одни и те же задачи включить в различные разделы сборника. Совпадают, например, задачи № 179 (стр. 21) и № 100 (стр. 161); № 107 (5), стр. 102 и № 109 (стр. 124); № 110 (стр. 162) и № 190 (стр. 170); задачи №№ 133, 135 и 131 (стр. 16) совпадают с задачей той же главы № 200 (5); № 150 (стр. 17) и № 201 (4), (стр. 24); № 100 (стр. 42) и № 15 (стр. 44) и т. д.

Повторить в разных разделах полезно было бы не эти задачи, а такие, которые могут приобрести новые качества при переходе в расширенную область чисел. Например, серия задач №№ 163—167 главы 1 (т. е. до введения отрицательных чисел) содержит такие вопросы: при каком условии, или при каких числовых значениях а: 1) я>а2; 2) ab^>a; 3) д3<а2. Молчаливо предполагается, что й>0 и 6>0. Если бы автор повторил эти задачи после введения отрицательных чисел, то задачи обогатились бы новым содержанием.

6. В подборе и оформлении упражнений, укрепляющих навыки в тождественных преобразованиях, в выполнении действий составитель сборника не отошел от установившегося стандарта. А жаль, так как этот раздел курса алгебры с его неизменным и почти единственным требованием «выполнить указанные действия» создает питательную среду для формализма. Почему бы не внести некоторое разнообразие в оформление условия ряда задач, обязывающих выполнить желательные действия?

Ученика больше разовьет активная форма такой, например, задачи: «представить 6(* — 5)5 в виде произведения так, чтобы одним сомножителем было ~2~(х—у)3», нежели пассивная редакция сборника (№ 273, стр. 71): «выполнить деление 6(х — 5)6:-2" —у)3». Нельзя, разумеется, совсем изгнать формальные упражнения на выполнение действий «по правилам», но необходимо почаще отходить от шаблона; нужны задачи и вопросы, имеющие назначение проверить, сделались ли «правила» или ^навыки» оперативными. Очень нужны (а в сборнике их мало) задачи, требующие разнообразных целенаправленных тождественных преобразований, кроме традиционных «упростить», таких, скажем, как представить данное выражение в форме произведения с заранее данным сомножителем; выделить полный квадрат из a2 + 4ab-\- ЗЬ2; представить 0,01л:3_у6 как квадрат простейшего одночле на, разложить числитель дроби х2_х + 4 на два слагаемых, из которых одно 2х—1 (производная знаменателя), а второе не должно содержать л:, и т. д. Несколько редакционных замечаний:

1. Почему все-таки остался термин «относительные числа»?

2. Если ученик усвоил определения сложения и умножения одночленов, например, что «сложить два одночлена — это значит соединить их знаком плюс», то у него вызовет недоумение условие задач: «выполнить сложение одночленов: 2лг + (+3_у)» (№ 15, стр. 46); «выполнить действия: ( + д) • (-\~Ъ) (№ 134, стр. 60) и т. д. По определению эти действия уже выполнены.

3. Неправильно выражение: «Вывести правило умножения многозначного числа на однозначное на следующих примерах...» (№ 149, стр. 63). Слово «вывести» надо заменить словом «пояснить».

4. Неудачна редакция следующих задач: «Длина и ширина прямоугольника равна (?) 12,5 м, а его периметр равен 25 м. Найти длину и ширину прямоугольника» (№ 60, стр. 182). «Записать двумя способами площадь 5 прямоугольника ABCD...* (№ 147, стр. 62).

«Записать, чему равна площадь прямоугольника ABCD и сравнить между собой записи двух последних ответов» (№ 180, стр. 67). Неясно, что значит «сравнить записи»!

5. Такое же неконкретное требование «сравнить результаты» в задаче № 8 (стр. 208): «Найти отношение любых двух значений а (в формуле 5 = а2) и сравнить (?) это отношение с отношением соответствующих значений S». Конкретнее было бы потребовать вычислить ряд отношений значений величины а и соответствующих значений 5 и из наблюдений предложить вывести заключение о зависимости между этими отношениями.

6. На стр. ПО предлагается вычертить график функции у в —, на стр. 144 — график функции 4 у=. —, и тут же приведены соответствующие чертежи. Ученику остается только скопировать их. Кроме того, график у = — неэкономно занимает -о- страницы книги.

7. На стр. 115 (№ 39) предлагается упростить дробь и найти численное значение выражения д2 — ах

-_ , если а = 3,5; л; =1,12. Для чего здесь значение если дробь сокращается на а — jc?

8. Величины К, Л и Р в задачах № 31, № 34 и № 35 (стр. 146) суть рациональные алгебраические дроби (но без действия вычитания); в условии указано, что все компоненты этих дробей, а также и К, Л и Р— положительны. Очевидно, что последнее условие — лишнее.

9. На стр. 207 (№ 6) предлагается объяснить, какое из чисел больше: а2 или ПРИ Д>1 и

при а < 1.

Но разность а2 — I — I меняет свой знак еще

при а = —1. Думается, что автор имел в виду д>0, но забыл это оговорить.

10. Из опыта известно, что задача: вычислить разность чисел а и b в квадрате (т. е. а — Ь2) при данных значениях а и Ъ (№ 137, стр. 16) воспринимается учеником как (а — £)3. В задачнике ответа нет. Вообще говоря, хорошо, что в задачнике приведены ответы не на все задачи, но на задачи, подобные этой, ответ необходим потому, что, не имея контролирующего ответа, ученик может остаться в заблуждении, если учитель не проверит его выкладки.

11. Есть задачи бессодержательные, например № 11 (стр. 26): «Даны числа (положительные и отрицательные). Выписать отдельно положительные и отрицательные числа».

12. Опечатки. На стр. 43 (№ 112): т= —-2 и

т= —■ ; надо одно из т заменить на л.

На стр. 61 (№ 50): 473 = 4,103 + 7,10 + 3; надо запятые заменить точками.

На стр. 114 (№ зз): | а должно быть:

Р2-Ч2 в

Сборник очень выиграет, если устранить указанные дефекты, изъять задачи «пустые» и примитивные и пополнить его задачами, решаемыми «подбором», «рассуждением», задачами неопределенными и переопределенными, задачами нешаблонными, повышенной трудности и даже несколько повышенной громоздкости.

О КНИГЕ И. М. ГУЛЯ «ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО»

Издательство Академии педагогических наук РСФСР, М. — Л. 1947

Ю. М. ГАЙДУК (Харьков)

Из предисловия автора видно, что цель книги — в популярной форме ознакомить преподавателей и учащихся старших классов средних школ с большим историко-научным и философским значением геометрии Н. И. Лобачевского.

Рассказать просто о педагогической, общественной и научной деятельности Н. И. Лобачевского — значит привлечь внимание широких кругов советских читателей к огромному вкладу, который он внес в математику и материалистическую философию, еще выше поднять их чувство гордости за достижения отечественной науки. Задача трудная и ответственная, но для каждого автора почетная и благодарная.

Освещение научной деятельности Н. И. Лобачевского важно и по другой причине.

Западноевропейские историки математики, особенно немецкие, более чем часто старались доказать, что приоритет в открытии неевклидовой геометрии принадлежит не Н. И. Лобачевскому, а Гауссу. Еше с большим упорством они «доказывали», что заслуги Н. И. Лобачевского были признаны учеными только тогда, когда была опубликована переписка Гаусса с Шумахером. Как только стало известно, твердили они, что Гаусс в одном из писем к Шумахеру похвалил Лобачевского, так немедленно пробудился интерес к неевклидовой геометрии, ее развитием стали заниматься многие выдающиеся математики. Столь же часто они стараются разделить славу открытия неевклидовой геометрии между Н. И. Лобачевским и Еольяи.

Ложность этих утверждений западноевропейских историков разоблачена в работах советских математиков*. Неевклидову геометрию открыл Н. И. Лобачевский. Он не ограничился разработкой ее элементов (что на ряду с Гауссом сделали и другие авторы), а развил ее целиком. Он достиг цели потому, что руководствовался правильным, материалистическим пониманием предмета геометрии,— потому, что был революционером в науке, не отступал, как Гаусс, перед трудностями, а преодолевал их. Полнота и завершенность исследований Н. И. Лобачевского сыграли важнейшую роль в открытии первой (локальной) интерпретации неевклидовой геометрии. Переписка Гаусса могла только усилить эффект этого открытия, но не заменить его.

Если немецкие историки вопреки фактам отстаивали явную ложь, то это, конечно, было обусловлено отнюдь не их неосведомленностью. Они старались выполнить определенный социальный заказ — убедить, что в открытии и признании неевклидовой геометрии приоритет принадлежит не русской, а немецкой науке.

Теперь эту же цель преследуют и англо-американские математики. За примерами ходить недалеко — достаточно перелистать книгу Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика» (перевод с английского под редакцией проф. В. Л. Гончарова, Гостехиздат, М. — Л. 1947).

В нашей историко-математической литературе этим реакционным бредням места нет. Не должны

* См., например, «Строение неевклидовой геометрии у Лобачевского, Гаусса и Больяи». Труды Института истории естествознания АН СССР, т. II, 1948.

находить место и их отголоски на страницах наших популярных изданий. Однако в этом отношении рецензируемую книгу нельзя считать безупречной.

Книга И. М. Гуля состоит из биографического очерка, составленного, как указывает автор, по биографии, написанной проф. А. И. Васильевым, и по воспоминаниям «некоторых современников» и из десяти глав, в которых дается описание элементов геометрической системы Лобачевского.

Уже первые страницы биографического очерка вызывают недоумение читателя. Излагая историю возникновения неевклидовой геометрии, автор предпосылает первому упоминанию об исследованиях Лобачевского довольно пространное описание работ Гаусса и Больяи, упоминая о приоритете Лобачевского лишь в связи с тем «ударом», которым явилось для Больяи известие об открытии Лобачевского.

В дальнейшем И. М. Гуль всегда старается приоритет открытия неевклидовой геометрии... разделать между Лобачевским и Больяи.

Недоумение вызывают и сомнительной значимости мелкие подробности из личной жизни и служебной деятельности Лобачевского, в том числе неблагоприятные для памяти великого геометра, которыми И. М. Гуль нашел возможным усеять свой очерк. Вряд ли удачна и ссылка на Чернышевского, письма которого (к сыновьям), содержащие отрицательную оценку идей Лобачевского, выставляются автором книги как образец того глумления, которое встречал ученый «даже со стороны самых передовых людей XIX века».

Особо неблагоприятное впечатление в биографическом очерке производят беспомощные попытки автора объяснить научно-историческое значение геометрии Лобачевского. Вместо конкретной и ясной характеристики этого значения мы находим у И. М. Гуля лишь пустые риторические формулы и давно надоевшие «сравнения» Лобачевского с Колумбом и Коперником. Всячески декларируя «огромное философское значение» идей Лобачевского, И. М. Гуль ни разу не упоминает о том, какой удар нанесла геометрическая система Лобачевского идеалистической философии Канта. Зато И. М. Гуль считает своим долгом указать, что некоторые философы в конце прошлого века «видели в работах Лобачевского главнейшую услугу, которую русская философская мысль оказала общечеловеческой». Что это за философы и в чем они усматривали эту услугу геометрии Лобачевского— остается недоговоренным. Точно так же остается неизвестным, разделяет ли И. М. Гуль эту явно одностороннюю оценку значения русской философии.

Перейдем теперь к излагаемым в книге элементам геометрии Лобачевского. В математическом отношении — это более или менее добросовестная компиляция, составленная по обычным учебникам неевклидовой геометрии. Беда, однако, в тех сомнительных комментариях, которые автор частенько делает «от себя». Вот их образцы.

1) Как ни странно, автор, повидимому, твердо убежден, что в действительном пространстве (на практике) реализуется только именно евклидова геометрия. Иначе нельзя понять таких высказываний в книге, как, например, нижеследующее: «Другие же пытались доказать этот постулат* только на основании предыдущих аксиом Евклида, но незаметно для себя во время рассуждений вводили какое-нибудь новое предложение, бесспорно верное на практике** (?! — Ю. Г.), но все же из остальных аксиом не следующее».

2) Автор склонен преуменьшать ценность конструктивной работы Лобачевского, сводя все открытие неевклидовой геометрии исключительно к «усомнению в постулате Евклида». Он пишет, что «Для создания неевклидовой геометрии трудно было сделать лишь первый шаг — усомниться в постулате о параллельных. Шаг этот... сделали одновременно (?! — Ю. Г.) несколько математиков. Но первенство по праву принадлежит... Лобачевскому. .., а также (?—Ю. Г.)... Иоганну Больяи, опубликовавшему свои работы три года спустя». Поистине, у И. М. Гуля странные понятия и об одновременности, и о сравнительной ценности работ Лобачевского и Больяи. (Как известно, Лобачевский продвинул гораздо дальше разработку неевклидовой геометрии, чем это сделали Больяи и Гаусс.)

3) Неясен нам смысл, вкладываемый И. М. Гулем во фразу: «Задача интерпретации реального физического пространства в той или иной геометрии имеет неоднозначное решение». Если здесь автор имеет в виду (как это, повидимому, следует из контекста), приближенную применимость к ограниченной части пространства той или иной геометрии, то термин «интерпретация» представляется употребленным в новом, не свойственным ему значении.

Мы не останавливаемся на более мелких фразеологических неточностях — даже в формулировках аксиом, часто допускаемых автором (впрочем, настойчиво поучающим читателя о том, как необходима точность при занятиях неевклидовой геометрией).

Таким образом, ни содержание, ни стиль книги И. М. Гуля не соответствуют тому ее назначению, которое определяется характером «Педагогической библиотеки учителя». Мы вправе были ожидать от Академии педагогических наук РСФСР гораздо более авторитетной и содержательной публикации на такую ответственную тему, какова тема рецензируемой книги.

* Пятый постулат Евклида. — Ю. Г.

** Курсив мой. — Ю. Г.

НОВАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ

В. А. НЕВСКИЙ (Москва)

Второе полугодие 1948 г.

I. Из истории математики. Советские математики. Классики

Бруевич Н. Г., О роли отечественных ученых в развитии машинной математики («Вестник Академии наук СССР», 1949, № 8, стр. 50-65).

Значение вычислительной техники. Принцип создания математических машин, их классификация. Точность математических машин. Описания отдельных типов математических машин отечественного производства.

Делоне Б. Н., Николай Григорьевич Чеботарев (1894—1947) («Известия Академии наук СССР. Серия математическая», 1948, № 4, стр. 337- 340).

Краткая биография и сведения о математических работах покойного проф. Н. Г. Чеботарева.

Делоне Б. Н., Математика и ее развитие в России. Стенограмма публичной лекции, прочитанной в Центральном лектории в Москве. М., «Правда», 1948, 16 стр. с илл. Тираж 30 000 экз. Цена 60 к. (Всесоюзное общество по распространению политических и научных знаний).

Беглый очерк развития математики в России от Эйлера до наших дней. Приложен указатель литературы (20 назв.).

Канторович Л. В., Функциональный анализ и прикладная математика («Вестник Ленинградского университета», 1948, № 6, стр. 3—18).

Статья посвящена обзору результатов исследований, произведенных за последние годы в Ленинградском университете.

Лаврентьев М. А., Пути развития советской математики («Известия Академии наук СССР. Серия математическая», 1948, № 4, стр. 411—416).

Доклад на юбилейной сессии отделения физико-математических наук Академии наук СССР 28 октября 1947 г., посвященной 30-летию Великой Октябрьской социалистической революции.

Модзалевский Л. Б. (собрал и редактировал), Материалы для биографии Н. И. Лобачевского, М. — Л., Изд. Академии наук СССР, 1948, 828 стр. с илл. и 24 л. илл. Тираж 3000 экз. Цена 70 р.

В книге помещены 622 документа для биографии Лобачевского за 1792—1859 гг., 23 воспоминания о нем, список всех изданий сочинений Лобачевского за 1928—1945 гг. и некоторые другие материалы.

Прудников В. Е., Педагогическое наследие Чебышева («Природа», 1948, № 7, стр. 64—69).

Отзывы Чебышева о различных математических учебниках и другие материалы его работы в Ученом комитете Главного правления училищ в 1856— 1878 г. (по архиву Ученого комитета).

Рахилевич М. К., О рукописи «Книга поземельная геометрия» («Ученые записки Молотовского гос. педагогического института», вып. 11,

1947, стр. 171-183).

Содержание рукописи и методические идеи, в ней отраженные (рукопись относится к 1-й половине XVIII века и хранится в краеведческом музее г. Молотова).

Сиповская И. В., Средние в работах К. Маркса («Вестник Ленинградского университета»,

1948, № 3, стр. 65-83).

Опыт использования средних величин в работах Карла Маркса и их логическое обоснование с точки зрения математической философии.

Чеботарев Н. Г. Математическая автобиография («Успехи математических наук», 1948, вып. 4, стр. 3 -66).

Живой очерк математического образования и научной работы в области математики покойного Н. Г. Чеботарева, начиная со школьной скамьи и кончая защитой докторской диссертации (1927).

Труды совещания по истории естествознания 24—26 декабря 1946 г., М. — Л., Изд. Академии наук СССР, 1948, 376 стр. Тираж 3000 экз. Цена в перепл. 30 р.

В книге помещены 5 статей по истории математики: Д. Д. Мордухай-Болтовский, Поризмы и данные (у Евклида); А. П. Юшкевич, О методе исчерпывания древних математиков; М.Я.Выгодский, Математическая строгость в XVIII веке; Л. Б. Модзелевский, Новые материалы о Н. И. Лобачевском; Б. В. Гнеденко, Русская школа теории вероятностей.

Труды Института истории естествознания Академии наук СССР, том II, М.—Л., Изд. Академии наук СССР, 1948. Семь статей сборника посвящены истории математики: В. Ф. Каган, Строение неевклидовой геометрии у Лобачевского, Гаусса и Больаи (стр. 323—389); Б. В. Гнеденко, Развитие теории вероятностей в России (стр. 390—425); И. Н. Веселовский, Египетская наука и Греция (стр. 426—498); А. П. Юшкевич, Омар Хайям и его алгебра (стр. 499 — —534); Н. И. Лобачевский «Наставления» учителям математики в гимназиях. Неизданная рукопись (стр. 554—560); А. П. Юшкевич, О некоторых (математических) статьях «Правды Русской» (стр. 564—566); А. П. Юшкевич, О первом русском издании трудов Евклида и Архимеда (стр. 567—572).

Академик Д. М. Синцов (1867—1946), «Ученые записки Харьковского гос. университета им. Горького», т. XXIV. «Записки научно-исследовательского института математики и механики и Харьковского математического общества», серия 4, т. XIX, 1948, стр. 5-19).

Краткий очерк жизни и работы в области математики Д. М. Синцова. Приложен список его научных трудов (123 назв.).

II. Учебники и учебные пособия

Бахвалов С. В., Моденов П. С. и Пархоменко А. С, Сборник задач по аналитической геометрии. Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебн. пособия для вузов, М. — Л., Гостехиздат, 1948, 488 стр, с черт. Тираж 15 000 экз. Цена 15 р. 50 к.

Задачник предназначен для студентов физико-математических факультетов университетов и педагогических институтов.

Виноградов С. П., Краткий курс высшей математики, в переработке Б. В. Кутузова, Учебник для учительских институтов, изд. 10-е, стереотипное, Учпедгиз, М. 1948, 296 стр., с черт. Цена 7 р. 70 к.

Делоне Б. Н. и Райков Д. А., Аналитическая геометрия, том I, Гостехиздат, М. — Л. 1948, 456 стр. с черт. Тираж 20 000 экз. Цена в перепл. 14 р.

Данный учебник аналитической геометрии составлен на основе курса, многократно читанного первым из авторов на механико-математическом факультете Московского университета.

Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, Гостехиздат, М. — Л. 1948, 204 стр. с черт. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 9 р. 50 к.

В основу книги положен курс линейной алгебры, читанный автором на механико-математическом факультете Московского университета и в Белорусском гос. университете.

Гольдфайн И. А., Элементы векторного исчисления. Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебного пособия для высших технических учебных заведений, изд. 2-е, Гостехиздат, М. — Л. 1948, 176 стр. с черт. Тираж 20000 экз. Цена в перепл. 4 р. 50 к.

Гордон В. и Семенцов-Одуевский М., Курс начертательной геометрии, изд. 5-е, М. — Л. Гостехиздат, 1948, 408 стр. с черт. Цена в перепл. 12 р.

Забронский В. В., Задачи по начертательной геометрии, под ред. А. Т. Чалого, Украинское отделение Машгиза, Киев —- Москва, 1948, 44 стр. с черт. Тираж 5000 экз. Цена 5 р.

В книге подобраны 82 типичные задачи, предназначенные для студентоз вузов.

Моденов П. С. и Невяжский Г. Л., Курс высшей математики. Допущен Министерством высшего образования СССР в качестве учебника для педагогических институтов. Гостехиздат, М. — Л. 1948, 560 стр. с черт. Тираж 35 000 экз. Цена в перепл. 17 р.

Книга предназначена для нематематических факультетов педагогических институтов, а также для физико-математических факультетов учительских институтов.

Сборник задач по геометрии. Для учительских институтов. Составили С. В. Назарьев, И. И. Никитин, Й. Р. Игнатенков и И. В. Безызвестное. М. Учпедгиз, 1948, 167 стр. с черт. Тираж 30 00} экз. Цена 4 р. 50 к.

Недзельская Т. А., Элементы высшей математики, Л. Военно-воздушная инженерная академия, 1948, 79 стр. с черт. Цена 5 р.

Перепелкин Д. И., Курс элементарной геометрии, часть I. Геометрия на плоскости. Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебника для педагогических институтов. М.—Л. Гостехиздат, 1948, 343 стр. с черт. Тираж 50 000 экз. Цена в перепл. 8 р. 20 к.

Привалов И. И., Аналитическая геометрия. Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебника для высших техн. учебных заведений, изд. 15-е, М. —- Л., Гостехиздат, 1948, 312 стр. с черт. Тираж 50 000 экз. Цена в перепл. 8 р. 25 к.

Мальцев А. И., Основы линейной алгебры. Гос. изд-во техн.-теоретической литературы, М. — Л. 1948, 423 стр. с черт. Тираж 8000 экз. Цена в перепл. 17 р. 50 к.

В основу книги положен курс лекций, читанный автором в Ивановском пединституте, причем многие разделы значительно расширены.

Степанов Н. Н., Сферическая тригонометрия, изд. 2-е, Гостехиздат, Л. — М. 1948, 154 стр. с черт., Тираж 25000 экз. Цена в перепл. 3 р. 50 к.

Книга представляет собой учебное пособие, рассчитанное на студентов — астрономов, геодезистов, топографов и маркшейдеров.

Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, том I. Допущ. Мин-вом высшего образования СССР в качестве учебного пособия для студентов математических отделений университетов и аспирантов. Гостехиздат, М. — Л. 1948, 690 стр. с черт. Цена в перепл. 16 р.

Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, том II. Министерством высшего образования СССР допущен в качестве учебного пособия для студентов математических отделений университетов и аспирантов. Гостехиздат, М. — Л. 1948, 860 шт. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена 23 р. 50 к.

III. Методика преподавания математики

Альмухамедов М. И., Задачи на максимум и минимум в средней школе («Ученые записки Казанского гос, педагогического института», вып. 6,

1947, стр. 3-39).

Брадис В. М., Средства и способы элементарных вычислений. Пособие для учителей математики и физики семилетней и средней школы, Изд. Академии педагогических наук РСФСР, М. — Л. 1948, 196 стр. с илл. Тираж 15 000 экз. Цена в перепл. 6 р. 50 к. (Педагогическая библиотека учителя).

Белозерова А. Г., Анализ качества знаний учащихся V—X классов школ Архангельской области по математике по контрольным работам за 1-е полугодие 1947/48 учебного года.

Методическое письмо. Архангельск, обл. институт усовершенствования учителей, 1948, 22 стр. Тираж 600 экз.

Власова М. Н., Устные вычисления по арифметике в V классе, Л. Городской институт усовершенствования учителей, 1948, 23 стр. Тираж 5000 экз. Цена 2 р.

131 задача с кратким методическим введением (из опыта одной из средних школ г. Ленинграда).

Грацианская Л. М., Киевская городская математическая олимпиада 1948 г. («Успехи математических наук», 1948, вып. 4, стр. 173—175).

Задачи, предложенные для учащихся VII—X классов средней школы.

Гинцбург О., Внеклассная работа по математике как средство воспитания (сборник «Идейное воспитание учащихся в процессе обучения», Л. 1948, стр. 370—380).

Гриднев В. И. и Рыжиков В. В., Измерительные работы на местности и самодельные инструменты для их выполнения. Грозный, обл. изд.-во,

1948, 96 стр. с илл. Тираж 2000 экз. Цена 2 р. 25 к. (Грозненский обл. институт усовершенствования учителей).

Депман И. Я., Исторический элемент в преподавании математики в средней школе (сборник «Идейное воспитание учащихся в процессе обучения», Л. 1948, стр, 360—369).

Дрокин А. В., О решении геометрических задач на построение, под ред. А. Волгина, изд. 2-е, пересмотр, и исправл., Краснодар, гос. педагогич. и учительский институт, 1948, 40 стр. Тираж 2000 экз. Цена 3 р. 75 к.

Дрокин А. В. и Таранов А. М., Алгебраические задачи на тождественные преобразования. Пособие для учителей математики, под ред. А. В. Дрокина, Краснодар, краевой институт усовершенствования учителей, 1948, 80 стр. с черт. Тираж 2000 экз. Цена 10 р.

В книге содержится небольшое методическое введение и помещены 444 задачи.

Прянишников В. и Антрушин А., Подумай. Сборник занимательных вопросов и задач, «Молодая гвардия», Л. 1948, 152 стр. с илл. Тираж 30 000 экз. Цена в перепл. 4 р.

Сборник вопросов и задач из различных отраслей естествознания, географии и математики для детей и подростков.

Прочухаев В. Г., Анализ ошибок учащихся средней школы по математике, под ред. проф. И. И. Соколова, М. 1948, 103 стр. Тираж 1000 экз. Цена 9 р. (Московский гос. педагогич. институт имени В. И. Ленина. Ученые труды, том 47, кафедра методики физики и математики, вып. 1).

Смирнова О. А., Методическое письмо по математике (Симферополь, Институт усовершенствования учителей, 1948, 24 стр. Тираж 500 экз.

Анализ контрольных работ учащихся VII и X классов средней школы за 1-е полугодие 1947/48 учебного года.

Серебровская Е. К., Опыт внеклассной работы по математике. Иркутск. Обл. изд-во, 1948, 120 стр. с илл. Тираж 5000 экз. Цена 2 р. 10 к.

Трайнин Я. Л., Освещение школьного курса математики в математических дисциплинах, входящих в учебный план педагогических институтов («Ученые записки Новосибирского гос. педагог, института», 1947, вып. 5, стр. 55—77).

Тайбинский Ф. Т., Понятие о непрерывности функций в средней школе («Ученые записки Казанского гос. педагогического института», вып. 6,

1947, стр. 109—112).

Четверухин Н. Ф., Стереометрические задачи на проекционном чертеже, часть 2. Метрические задачи. Изд. Академии педагогических наук РСФСР, М. — Л. 1948, 72 стр. с черт. Тираж 15 000 экз. Цена 1 р. 75 к. (Институт методов обучения. Педагогическая библиотека учителя).

Филичев С. В. и Чекмарев Я. Ф., Руководство к решению арифметических задач. Пособие для учителей, Учпедгиз, М.—Л. 1948, 192 стр. Цена 4 р. 25 к.

Руководство предназначено в помощь начинающим учителям и лицам, готовящимся к преподаванию арифметики. Большинство задач дано с решениями.

Тренировочные задачи к математической олимпиаде школьников, Татгосиздат, Казань 1948, 19 стр. Тираж 500 экз. Основная часть задач составлена проф. И. Григорьевым.

IV. Литература по различным вопросам высшей математики

Научные монографии

Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, Гостехиздат, М. — Л.

1948, 397 стр. с черт. Тираж 6000 экз. Цена в перепл. 26 р.

Веблен О., Инварианты дифференциальных квадратных форм, перев. с англ., под ред. А. М. Лопшица, Гос. изд-во иностранной литературы, М. 1948, 140 стр. Цена в перепл. 8 р. 80 к.

Гуревич В. и Волмэн Г., Теория размерности, перевод с англ. И. А. Вайнштейн, под ред. и с предисловием П. С. Александрова, Гос. изд-во иностранной литературы, М. 1948, 232 стр. Цена в перепл. 15 р. 50 к. «Чтение книги Гуревича — Волмэна является удобным способом войти в круг идей современной топологии...» (из предисловия).

Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, перевод с англ. А. М. Гутерман, Гос.

изд-во иностранной литературы, М. 1948, 260 стр. с черт. Цена в перепл. 14 р.

Ермилов Н. Д., Номографические методы в математической статистике. («Ученые записки Магнитогорского гос. педагогического института», вып. 1, 1947, стр. 32—96 и 23 табл. с номограммами).

Ландау Эдмунд, Основы анализа. Действия над целыми, рациональными, иррациональными, комплексными числами. Дополнение к учебнику по дифференциальному и интегральному исчислению. Перевод с немецкого Д. А. Райкова. Гос. изд-во иностранной лит-ры, М. 1947, 183 стр. Цена в перепл 10 р. 10 к.

Ландау Э., Введение в дифференциальное и интегральное исчисление, пер. с немецк. Д. А. Райкова. Гос. изд-во иностранной литературы, М. 1948, 462 стр. Цена в перепл. 26 р. 75 к.

Марков А. А., Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее уклоняющихся от нуля. С биографическим очерком и примечаниями Н. И. Ахиезера. Гостехиздат, М. —Л. 1948, 412 стр. с черт. Тираж 5000 экз. Цена в перепл. 13 р. 25 к. (Классики естествознания).

В книге помещены: биография А. А. Маркова, 12 его трудов и статья К. А. Поссе «К вопросу о предельных значениях интегралов или сумм».

Риман, Бернгард, Сочинения, перевод с немецк., под ред., с предисл., обзорной статьей и примеч. проф. В. Л. Гончарова, Гостехиздат, М. —Л. 1948, 543 стр. с черт. Тираж. 4000 экз. Цена в перепл. 25 р.

В начале книги помещен вводный очерк В. Л. Гончарова «О научных работах Римана».

Тарский, Альфред, Введение в логику и методологию дедуктивных наук, перевод с англ. О. Н. Дынник, редакция и предисловие к русскому переводу проф. С. А. Яновский, примечания Г. М. Адельсона Вельского, Гос. изд-во иностранной литературы, М. 1948, 327 стр. Цена в перепл. 15 р.

Тимофеев А. Ф., Интегрирование функций, Гостехиздат, М. — Л. 1948, 432 стр. с черт. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 12 р. 50 к.

Чеботарев Н. Г. Теория алгебраических функций, Гостехиздат, М. — Л. 1948, 396 стр. с илл. Тираж 6000 экз. Цена в перепл. 20 р.

Фукс Б. А., Теория аналитических функций многих комплексных переменных Гос. изд-во техн.-теоретич. лит-ры, М. — Л. 1948, 472 стр. Тираж 5000 экз. Цена в перепл. 18 р.

V. Научно-популярные книги

Берман Г. Н., Число и наука о нем. Общедоступные очерки по арифметике натуральных чисел. Гостехиздат, М. — Л. 1948, 164 стр. с илл. Тираж 50 000 экз. Цена 2 р. 50 к.

Книжка посвящена общедоступному, но серьезному изложению некоторых глав учения о целых числах. Для ее понимания достаточно знать арифметику и немного алгебры, примерно, VIII—IX классов средней школы. (Из предисловия автора.)

Школьник А. Г., Задача деления круга, изд. 2-е, Учпедгиз, М. 1948, 42 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена 1 р. 20 к.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 1 за 1949 год

№ 1

Решить уравнение:

(*2 — 1б)(*-3)з + 9*з = 0. (1)

1-е решение (совпадающее с решением автора задачи). Непосредственно убеждаемся, что * ф 3. Тогда, разделив обе части уравнения (1) на (*— З)3, получим:

или:

В левой части сумма квадратов. Дополняем до квадрата суммы оснований обе части уравнения:

(2)

(3)

Положим:

подставив во (2), будем иметь

у2 _ — 16 = 0.

Отсюда:

Л = 8; у2 = -2.

Подставив найденные значения у в (3), получим два квадратных уравнения:

*3 —8* + 24 = 0 *з + 2* — 6=0,

откуда найдем:

*1,2 = 4 + 2 / -/2 ; *3>4 =-1 ± /У.

2-е решение (тт. Шебаршин, Ширшов и др.). Преобразуем левую часть:

(Жз — 16) (х — 3)2 + 9 *2 = *3 (* — ЗЯ — 16 (* — 3)3 + + 9 *2 = *з (х — 3)3 + 9 (* — 3)3 + 9 *з — — 25 (х —3)2 = 0. Раскроем скобки во втором члене: Х2 (Х _ 3)3 + 9 х2 - 54 л: + 81 + 9 *з - 25 (* — 3)2 = = *2 (* — 3)3 -t- (18л:2 — 54 х + 81) -25 (* — 3)2 = =:(л:3-3*)з+18(*3 —3*) + 81 —25 (л: — 3)3 = = (;с*--3* + 9)3 —25 (л: —3)3.

Разложив по формуле разности квадратов, получим:

(*з + 2 * — 6) (л:3 - 8 л: + 24) = 0.

Отсюда легко находим значения х. 3-е решение. Оригинальное решение дане тов. Капраловым.

Раскрыв скобки в первом члене, получим:

ха_б *з + 9 *3 — 16 (х — 3)2+9*3 = 0 ** —6*з+ 18*3 — 16 (л: — 3)2 = 0 ** — 6 (* — 3) *з — 16 (* — 3)3 = 0.

Решаем это уравнение относительно *3, принимая х — 3 за коэфициент:

х* = 3(х — 3) ± /9 (* — 3)2+ 16 (jc — 3)3 *з = 3(* —3) ±5(*-3) Отсюда имеем:

*з = 8(* — 3) и *2 = — 2 (* —3), то-есть приходим к уравнениям (4).

Четвертый (и, по нашему мнению, наименее удачный) способ, применявшийся в присланных решениях, заключался в раскрытии скобок в данном уравнении и в разложении полученного многочлена на множители путем довольно сложной группировки, имеющей целью выделить общим множителем трехчлен *з — 2 х + 6.

Неверных решений почти не было, но слишком много неудачных способов решения. Многие из них занимают до 3—4 страниц.

№ 2

Решить уравнение:

ccs2* — 2 cos * cos_y cos (*+j>) +

+ cos2(*+_y)=a (1)

относительно хну. Определить значения а, при которых уравнение имеет решения.

Решение. После преобразований уравнение (1) принимает вид:

sin2j/=a. (2)

Интерес задачи и состоял в выборе наиболее краткого пути к получению этого уравнения. Приведем несколько способов, фигурирующих в присланных решениях, начиная с более «длинных».

1. cos2 * — cos (* +у) [2 cos * cosy — cos (*+_y)l =

= cos2*— cos (* +_y)(cos* cos.y+ sin*sin.y) = = cos**— (cos*cos.y — sin* sin y) (cos* cos у + sin*siny) = cos2 * — cos2*cos2у +sin2*sin2^ =r = cos2 * (1 — cos2_y) + sin2 x sin2_y = = cos2*sin«^ + sin3*sin2^ =

= sin2_y (cos2 x + sin2 x) =

= sin2y = a. (3)

2. Так как

2 cos * cos у = cos {x +_y) -f cos (x —y), то данное уравнение можно представить в таком виде:

cos2 х — [cos (х +у) + cos (х —у)] cos (х +у) +

+ cos2 (х +у) = cos2 х — cos (х —у) cos (* -\-у) =

1 + cos 2х cos 2 л: -f cos 2у_ 1—cos 2 у

2 2 *" 2 "~ ~

2sin2_y =-2-— sin2 _у — <2.

3. Преобразуем по формуле cos (х-\-у):

cos1 х — 2 cos2 jc cos2у + 2 cosjccos j/sin jf sin у + + cos2 jccos2^-—2 cos л; cos_y sin x s\n у + sin2* sin2 _y = cos2 x — cos2 д: cos2 _y + sin2 jc sin2 >> = cos2 x (1 — cos2 j/) + sin2 л: sin2 y. Дальше, как в (1).

4. Вычтем из левой части и прибавим к ней cos2 л: cos2_y.

Получим:

cos2 л: — cos2 х cos2у + [cosjccos_y — cos (х-\-у)]2 = = cos2jc (1 —cos2 у) + sin2* sin2 j\ Дальше, как в (1).

Итак, мы получили уравнение: sin2_y ==д. Отсюда следует:

1) величина левой части уравнения от х не зависит, т. е. х — произвольно.

2) j>= пп + arc sin а , где

0<а<1.

Во многих решениях давались только два значения корня: arc sin ( ± а). Но поражает то. что в подавляющем большинстве решение дано в таком вьде: у <= k* ±_ ( — \ )k arc sin у а . Ведь совершенно ясно, что множитель ( — 1)^ здесь не имеет никакого значения, так как при всяком k значение arc sin V а берется с обоими знаками. Сказалась рутина, и привычка к «общей формуле». Следует упомянуть и о решениях, в которых для х отыскивались определенные значения: cosat = 0 или cos^:=l и т. п.

№ 3

В треугольнике угол А =43°. Найти (без помощи таблиц) остальные углы этого треугольника, если для него имеет место соотношение:

2s = abyrsinM^sYn2 В~+sin A sin IT (1) 1-е решен и е. Имеем:

ab sin С

* =-2-• (2)

Подставив в (1) и сократив на ab, будем иметь:

sin2 С = sin2 А + sin2 В + sin A sin В (3) sin2 С — sin2 В = sin Л (sin А + sin В)

Разложив на множители разность квадратов в левой части, получим: о С + В С —В (С±В) ш С-В

2 sin —2— cos —2— * cos-2- —2— ==

= sin Л (sin Л + sin В) sin (С + В) sin (С — В) -= sin A (sin А +■ sin В). Но sin (С + В) = sin А, отсюда:

sin (С — В) « sin А + sin В sin (С — В) — sin(C + В) = sin В, — 2 cos С sin В = sin В, а так как sin В фО, то

— 2 cos С = 1; cos С = — -g- .

Но С<1£0°, следовательно: С=120\

а значит, Б = 180° —120° - 43° = 17°. 2-е решение (более короткое). Умножим (3) на 4/?3, где R — радиус описанной окружности. Так как

а Ь с

sin Л " sin В ~~ sin С ^ то, произведя замену, получим:

с2 = д2 + 62 + а&. (4)

С другой стороны, как известно:

сз — д*-|-&1 — 2а& cos С. (5)

Из (4) и (5) получаем:

д£ =—2 ab cos С; cosC= —-^г.

Были даны в решениях и другие преобразования, более сложные, чем приведенные здесь.

В некоторых решениях принималось А = 45°, тогда, естественно, получалось В = 15°. Но уже совсем неверным являлось второе решение В = 77°. Непригодность его легко показать.

№ 4

Найти соотношение между углами a, f м 7, если дано, что

tg('* + B tg7=l. (1)

Решение. Автором задачи было дано очень сложное и длинное решение, в то время как на простейшее решение наталкивал сам вид уравнения.

С удовлетворением отмечаем, что все присланные решения отличаются краткостью и с небольшими вариациями сводятся к следующему:

Из (1) имеем:

tg (a + p)s=ctgT«tg (90е—т).

Отсюда:

а + р = 180е /1 + 90° — т « + 0 + 7 = 90° (2/1 + 1).

Эта совершенно элементарная задача получила слишком много неверных решений, именно а + + + 7 = 90° (иногда: а -+■ р 4- 7 = 90° или 270°).

Если решения задачи № 2, данные в форме у = = arc sin (■£ у/~а)У редакция засчитывала как верные (но неполные), то приведенные выше решения задачи № 4 она квалифицировала как неверные и не засчитывала. В самом деле, в задаче спрашивается: если такое-то равенство верно, то какому соотношению обязательно должны удовлетворять а, р и |? Ответ: а + р + y = 90° неверен. Углы а = 200°, f = z= 14С°, 7 = 110° удовлетворяют равенству, данному в задаче, но не удовлетворяют соотношению а + + (14-7 = 90°. Другое дело вопрос, поднятый в некоторых решениях: в каких случаях из соотношения а 4-^ + 7=90° (2k+ 1) не следует (1)? Это может быть, например, в случае а + р = 2&-90° и 7 = 90°. Мы считаем такое исследование лишним. Ответ на задачу совершенно точен: каковы бы ни

были углы а, р и 7, при наличии равенства, данного в задаче, они должны удовлетворять такому то соотношению.

№ 5

Доказать неравенство'.

(1)

при О < а,- < к.

Решение. Приведем решение, данное большинством и совпадающее с решением предложившего задачу.

1. При п =з 2 и ахф а2 имеем:

и так как aj — а2 Ф 0, то cos-?>—<1 и, следовательно:

(2)

Итак, для л = 2 неравенство доказано.

2. Докажем теперь, что если неравенство (1) справедливо для некоторого п за т, то оно будет справедливо и для п = 2 т.

Пусть имеем:

(3)

Тогда:

К каждому слагаемому в правой части применим неравенство (1).

В правой части получим сумму двух синусов, к которой можем применить доказанное неравенство (2). Получим окончательно:

(4)

и неравенство доказано.

Из (2) и (4) заключаем, что неравенство доказано для любого л = 2Л, где натуральное число.

3. Докажем, наконец, неравенство для любого п. Всегда найдется натуральное число k такое, что

2*-1 <л<2*.

Если п =. 2k, то неравенство доказано. Пусть теперь

л + г = 2*.

Положим:

Тогда по доказанному будем иметь:

или:

Но

Подставив в (5), получим:

Или, так как 2k = п + г:

a _f_ g 4- . . _f_ а Вычтя по rsin----, получим окончательно:

Если otj = сс2 = • • • = ат то неравенство обратится в равенство.

Эта задача была прислана т. Танасевским (Кишинев) в качестве небольшой статьи, сопровождавшейся указанием о применении этого неравенства, в частности, к вопросу, сформулированному в задаче 6. Из-за экономии места редакция поместила основное содержание статьи в виде двух задач. Поэтому редакция решительно отвергает упрек, имевший место в некоторых решениях, что т. Танасевский приписывает якобы себе авторство по отношению к неравенству, давно известному и доказанному.

Некоторые решения отличались большой краткостью, именно: доказательством неравенства для п = 2 и ссылкой на задачу № 47 § 8 в задачнике Кречмара: если

при

то

Такую ссылку в соответствии с заметкой «о задачах», помещенной в № I, считаем вполне допустимой.

№ 6

Определить, какой из вписанных в окружность п-угольников имеет наибольший периметр.

Решение. Задача легко решается применением неравенства, доказанного в предыдущей задаче.

Пусть стороны вписанного многоугольника равны alt а2.>.ап, а соответствующие им центральные углы aj, а2...ал. Тогда

tf; = 2#Sin (1)

Полагая /=1,2,... л, будем иметь: *1 + *з 4- • • • + ап «а

= 2tf (sin -тг+sin ~-+ ... +sin^. (2) Применив неравенство из задачи 5, получим: *i + а2 + ... + ап <

<2Л..Л1±(^+^+...+^.).

Но

«1 + «2+ +ая=360°,

следовательно:

180°

«1 + *2 + • • • + ап < п 2R sin —, (3) 180°

и так как 2/?sin-^— есть сторона правильного

л-угольника, то из (3) заключаем, что наибольший периметр имеет правильный л-угольник.

Мы считаем неверными решения, которые вытекают из неточного понимания существа задачи. Почему-то некоторые приняли л за переменное число и утверждают либо, что задача не имеет решения, либо, что наибольший периметр дает только окружность. В задаче совершенно ясно спрашивается: какой из вписанных л-угольников имеет наибольший периметр? И ответ может быть только один: правильный.

№ 7

Дана окружность и ее центр. С помощью одной линейки вписать в эту окружность квадрат.

Решение. Различные решения этой задачи можно дать в зависимости от того, какое из элементарных построений (одной линейкой при заданной окружности и ее центра) положить в основу. Такими решениями могут быть:

1) провести хорду, параллельную диаметру;

2) из данной точки опустить на диаметр перпендикуляр;

3) разделить хорду пополам.

Напомним одно из решений первой задачи. Проводим диаметр АВ (черт. 1) и произвольную точку С окружности соединяем с А. На продолжении АС берем произвольную точку М. Соединяем С с В и М с О. Они пересекутся в некоторой точке N. Проводим AN до пересечения с MB в точке К» Отрезок СК, а, следовательно, и CD параллельны диаметру (доказательство опускаем).

Что касается 2-й задачи, то она неоднократно помещалась в журнале (см. решение задач: 87 в № 2 за 1947 г., 21 в № 5 за 1948 г., 99 в № 5 за 1947 г.).

Решение задачи 3-й аналогично решению 1-й. Хорда CD в точке Е делится пополам.

Приведем теперь несколько решений данной за» дачи.

1. Проводим диаметр АВ (черт. 2) и через произвольную точку С на окружности — хорду CD, паралелльную АВ (построение 1). Проводим АС и BD до их пересечения в точке М. Прямая МО пересечет окружность в точках Е и F. Четырехугольник AEBF—квадрат. Доказательство ясно.

Черт. 1 Черт. 2

2. Из произвольной точки С (черт. 3) на окружности опустим перпендикуляр на диаметр АВ (построение 2-е). Точка D — вторая точка пересечения этого перпендикуляра с окружностью. Проводим диаметр DE. Соединяем А с С и В с Е. Точка F— точка пересечения АС с BE. Прямая OF перпендикулярна к АВ. Ее точка пересечения окружностью—М и N. Квадрат AMBN — искомый.

3. Проводим два произвольных диаметра АС и BD и строим прямоугольник ABCD (черт. 4). Делим стороны его пополам (построение 3). Получим точки М, N, Р и Q. Пересечения прямых MP и NQ с окружностью дадут вершины искомого квадрата.

Черт. 3 Черт. 4

Возможны, конечно, и фактически были присланы и другие способы решения.

В частности, в некоторых решениях пользовались двусторонней линейкой для проведения параллельных, в чем, как видим, нет никакой необходимости.

Были даны и другие способы решения (в большинстве были сложные. Так, в одном из построений мы насчитали более 40 операций с линейкой). Привести все их, конечно, для настоящего объема

журнала невозможно. Но вызывают возражения решения задач 7 и 8 (а их немало), в которых авторы пользуются двусторонней линейкой (для проведения параллельных), мотивируя это тем, что в задаче не обусловлена односторонность линейки. Это, конечно, неправильно. В средней школе мы даем много задач на построение с помощью циркуля и линейки, нигде не оговаривая, что линейка односторонняя. Наоборот, в случае соответствующей задачи, надо непременно сказать, что линейка может быть двусторонней (и притом с параллельными краями). На этот раз мы такие решения из формальных соображений зачли, но на будущее предупреждаем, что в задачах на построение с линейкой она всегда мыслится как односторонняя, если нет соответствующей оговорки.

№ 8

Даны окружность и ее центр. С помощью одной линейки вписать в эту окружность правильный треугольник.

Решение. Можно воспользоваться решением предыдущей задачи. Будем считать построенными два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD (черт. 5). Разделим пополам хорду АС (построение 3-е). Получим точку Е. Разделим пополам радиус СО. Дтя этого из произвольной точки Р окружности опустим перпендикуляр PQ на АВ. Находим точку К пересечения CP и ОВ. В трапеции OCPQ проводим диагонали, которые пересекутся в точке L Прямая KL пересечет ОС в точке F, причем OF=FC (см. решение задачи 95 в № 2 за 1948 год). Точки пересечения прямой EF с окружностью дадут две вершины искомого треугольника. Третья вершина—D. Доказательство не приводим в виду его элементарности. Были присланы и другие решения.

Черт. 5

№ 9

Дана окружность радиуса R. Внутри ее проведена окружность, проходящая через центр данной и внутренне касающаяся ее. Построить окружность, касательную к данным окружностям и к диаметру большей окружности, касательному к меньшей.

Решение. Прежде всего следует отметить правильное замечание тов. Шебаршина, что лучше было задать полуокружность. Тогда само собою исключалось бы тривиальное решение, данное на черт. 6. Отведя этот случай, положим, что окружность с центром в 02 — искомая (черт. 7), Тогда из Д OiK02 имеем:

OxOl — OiK2 = KOl

или.

(4-+*)'-(т-)'-к°|. С)

где х — радиус искомой окружности. Но из Д ОК02 имеем:

КО\ = 00\ - О/С3 = (R- jc)3 -X* = R* -2Rx.

Черт. 6

Черт. 7

Подставив в (1) и раскрыв скобки, получим: 2Rx = Д2_ 2Rx.

Отсюда:

R

Зная величину х, легко выполним построение (например, отложив ОК = -т~ Rf проведем К021| OA и на К02 радиусом = R от точки О делаем засечку. Получим центр 02).

Любопытно, что эту элементарную задачу в некоторых присланных решениях квалифицируют как не имеющую решения. Очевидно, была не понята самая задача.

№ 10

Построить равносторонний треугольник, вершины которого лежали бы по одной на трех данных параллельных прямых.

1-е решение. Задача эта была помещена в № 5 за 1939 г. Единственное решение ее было дано в № 2 за 1940 г. Приведем его вкратце, так как оно фигурирует и в присланных решениях.

Считая данными расстояния р и q между параллелями, определим </МАВ = х (черт. 8). Из Д АМВ:

(1)

Из Д AN О.

(2)

Но / M4C=18C°-60° — *=120°-;с. Разделив (1) на (2), будем иметь:

cos* _ р

"cosll20° — *) g~'

Отсюда после несложных преобразований определяется tgx:

По этой формуле можно построить угол х. Дальнейшее ясно.

2-е решение. Решение т. Шебаршина ставит ту же задачу, что и первое решение: найти угол у (что совпадает с предыдущим, так как х = = 90° — V). Но оно выгодно отличается от первого тем, что находит угол у геометрически, не

Черт. 8

прибегая к довольно сложному построению формулы

_P±2q__

Руз '

Из подобия треугольников ADF и CEF (черт. 9) находим:

AF _ AD __ р FC ~ СЕ q '

Строим произвольный равносторонний треугольник A^fa и одну из его сторон, например, АгСь делим в отношении р : д.

Черт. 9

Получим точку Fh Проведя BiFi получим ^AjBjP, = ^ABF.

3-е решение. Остроумное и изящное решение дано т. Ширшовым и др.

Из вершины В проводим перпендикуляр BD (черт. 10). Повернем Д BDC вокруг вершины В на 60°. Очевидно, он займет положение ВЕА (вершина D упадет в Е, вершина С в А). Точку Е легко построить, так как треугольник BDE — равносторонний; а так как z. ВЁА = ^ BDC = 90°, то легко находится и вершина А. Отсюда построение: на перпендикуляре BD строим равносторонний треугольник BDE, через точку Е проводим перпендикуляр к BF. Он пересечет третью параллель в точке А. Радиусом АВ засекаем точку С. Треугольник ABC— искомый.

4-е решение. Наиболее простым и остроумным нам представляется решение, присланное учеником VIII класса г. Москвы Владимиром Маневич. Собственно, получение этого решения и побудило редакцию поместить вторично задачу. Приводим его.

На параллели ЪЬХ (черт. 11) при любой его точке М, как вершине, строим ЬМА = 60° (что, конечно, очень легко сделать, построив, например, произвольный равносторонний треугольник и затем построив при MBi угол, равный углу этого треугольника).

Черт. 10

Пусть вторая сторона этого угла пересекает параллель аах в точке А. Принимая А за вершину, строим на Аа угол в 60°. Вторая сторона его пересечет параллель ссх в точке N, причем ^/ ANC = 60°. Через 3 точки А, М и N проводим окружность. Пусть вторые точки пересечения ее с параллелями ЬЬ\ и ссх будут В и С. Треугольник ABC — искомый.

Действительно, АСВ = ^ АМВ = 60°, так как они опираются на одну и ту же дугу АВ.

Черт. 11

Далее, ^ А£С = £ ANC= 60° по той же причине. Значит, треугольник равносторонний.

С удовлетворением следует отметить, что задача получила множество самых разнообразных решений. Большинство все же совпадает с решением, уже опубликованным в журнале N° 2 за 1940 г.

№ 11

Найти общий вид целых чисел, выражающих длины катетов прямоугольных треугольников, имеющих общую гипотенузу.

Решение. Туманная формулировка задачи, на что справедливо указывали многие, привела к различным ее толкованиям. В зависимости от этого задача получила разнообразные решения, и некоторые из них являются содержательными и интересными. (Из-за экономии места не приводим их.) По замыслу же автора задача, выраженная в аналитической форме, представилась бы так: найти общие формулы для целых решений уравнения:

X*-\-y2 = U(2 + V*, (1)

причем даже не требовалось, чтобы эти формулы давали все возможные решения. Такими формулами являются, например;

х «в mt + nl

у — nt — ml

и = mt — nl

v = nt -\- ml,

где m, n, t} I — произвольные целые числа. Задача, естественно, исключается из конкурса. Вместо нее в настоящем номере помещена задача, представляющая собой исправление задачи 15.

№ 12

Найти простые числа р, удовлетворяющие условию, что 4/?з + 1 и б/?2 +1 будут тоже простыми числами.

Решение. Все натуральные числа разбиваются по модулю 5 на пять классов: 5*; 5* + 1 и 5* + 2.

1. В классе чисел вида 5* имеется только одно простое число 5 (при * = 1). Так как

4.53 + 1 = 101 и 6-52 + 1 = 151

числа простые, то число 5 удовлетворяет условию задачи.

2. Для простых чисел вида р = 5/г + 1 будем иметь:

4^2 _f_ 1 = 4(5*+1)3 + 1 = = 100*2+ 4ГЛ + 5=10 w + 5,

т. е. 4/?2+1 делится на 5 (понятно, что мы принимаем *>0, так как при * = 0 будем иметь р=1, но единица не является простым числом).

Следовательно, среди чисел вида 5k + 1 нет удовлетворяющих условию задач.

3. Для простых чисел вида р = 5k + 2 будем иметь:

6>2 + 1 =-.6(5*+2)2+1 = = 150*2 + 120* + 5 = Ют + 5.

Тот же вывод, что и в предыдущем случае. Итак, имеем одно решение: р = 5.

В большинстве решений за модуль бралось число 10, а не 5, что, конечно, приводило к тому же результату.

Было некоторое количество решений, утверждавших, что значений, удовлетворяющих условию задачи, не существует. Гораздо больше, вернее, слишком много было решений, дававших два ответа: р=1 и р = Ь. Раз навсегда советуем запомнить: единица не считается простым число и. Поэтому во всех определениях говорится: простым числом называется всякое натуральное число, большее единицы, которое и т. д...

№ 13

Две вершины треугольника неподвижны, а третья перемещается по некоторому контуру. Доказать, что центр тяжести данного треугольника описывает контур, подобный данному.

Решение. Проведем из подвижной вершины В медиану BD (черт. 12). Центр тяжести треугольника находится в точке М на расстоянии ЛШ = -3- BD от точки D. При всяком другом положении АВгС треугольника ЛВС центр тяжести будет в Mi, причем DM\ = -g- BXD.

Итак:

т. е. имеем подобное преобразование с центром гомотетии в D и коэфициентом подобия -д-.

По поводу этой задачи т. Ширшов пишет: «нет смысла помещать такие задачи». Конечно, доказательство ее самое элементарное, но непос-

Черт. 12

редственный опрос показал, что многим учителям (если не большинству) совсем неизвестен самый факт подобия фигур, описываемых вершиной и центром тяжести треугольника (при неподвижных двух остальных вершинах). В констатации этого факта и заключается смысл помещения задачи.

№ 14

Определить объем трехгранной пирамиды по трем ее боковым ребрам а, Ъ, с и плоским углам а> pi 7 при вершине.

Черт. 13

Решение: Примем за основание пирамиды грань SBC (черт. 13). Тогда А будет вершиной пирамиды. Дано:

Искомый объем

(1)

где Н = АО — перпендикуляр, опущенный из А на плоскость SBC. Остается определить Н=АО.

Опустим из А перпендикуляры АВ{ и АСг соответственно на SB и SC. Далее, проведем ОВъ ОСь OS и обозначим £OSBl = x. Тогда будем иметь:

(2) (3)

Из (2) и (3) находим:

(4)

(предполагаем, что хф№. В противном случае мы могли бы взять вместо А другую вершину). Аналогично, из треугольников ASCX и OSAx получим:

Отсюда;

Но здесь следует заметить, что точка О может упасть не внутри Д ЪВС, как на нашем чертеже, но и вне его за стороной SB или SC. В зависимости от этого £OSA может иметь значения: a -f х и х — а.

Но так как соз (х — а) = cos (а — х), то последний случай можно не принимать во внимание. Следовательно, для общности мы должны положить:

(3)

Из (4) и (5) имеем:

или:

Отсюда по делении на cos х:

(6)

Но из Д АОВх имеем:

(7)

где:

(8)

(9)

Подставив из (8) и (9) в (7), получим:

(10)

Делая, наконец, подстановку из (10) в (1), найдем:

В зависимости от способа решения ответ давался и в других формах.

№ 15

Доказать, что в любом трехгранном угле углы аь а2, а3 наклона ребер к противоположным граням связаны соотношением:

Решение. В таком виде задача, конечно, совершенно тривиальна; так как углы меньше 180°, то синусы их положительны. Следовательно, каждая из дробей неравенства больше или равна 1, а их сумма больше или равна 3, а значит, и подавно больше 1. В задаче допущена опечатка. В настоящем номере она помещается в исправленном виде под № 11.

№ 16

Доказать для прямоугольного треугольника соотношение:

Решение. Предполагая А ф В и принимая во внимание, что sin А > 0 и sin£>0, можем написать:

или:

Но:

Произведя подстановку, получим по возведении в квадрат:

что и требовалось доказать.

При А = £ = 45° получим равенство:

№ 17

Доказать для остроугольного треугольника неравенство:

Решение. Ограничимся приведением наиболее краткого решения. Предполагая, что из углов Л, В% Су по крайней мере, какие-либо два не равны друг другу, и учитывая, что все три тангенса положительны (углы острые), можем применить теоремы о среднем арифметическом нескольких чисел:

Но для треугольника имеем:

Произведя замену, получим:

Сократив на tgA tgZ?tgC>0, найдем,

или:

При А «= В= С—60° неравенство обращается в равенство:

№ 18

Решить уравнение:

J/0,5-t-jc +1/0,5-* =1. (1)

Решение, Введя обозначения:

J/0,5 + * = и; J/0,5 - * = v, (2)

получим систему:

u + v= 1 (3)

и» + ©5 = 1 (4)

Преобразуем уравнение (4)

ц5 + VZ = (ц + t,) (И4 _ иЗр+ U*V—UV* + С/*) = в (« + V) [(U + — 5u3i7 — 5ив0в — 5и*8] = (u + v) [(и +i/)4 — Suv {и2 + uv + v2)] = = (u + v)[(u + v)* — 5ии (и + v)2 + 5iiV] = 1. Произведя подстановку из (3), получим: 1 — 5uv + 5u2v2= 1;

отсюда:

5щ/ (ыс/ — 1) = 0.

Будем иметь:

1) ц =0; |/0,5 + * =0; *1== —0,5

Решив эту систему, найдем:

Подстановка показывает, что все найденные корни удовлетворяют заданному уравнению.

//3

По отношению к корням лгя4 = ±—2— мнения разделились почти пополам; одни считали, что эти корни удовлетворяют уравнению, другие признавали их посторонними. Этот вопрос следует уточнить. Те, которые признавали + — ^— 33 корни данного уравнения, доказывали это непосредственной проверкой, т. е. подстановкой в данное уравнение, затем возведением его в 5-ю степень и т. д. Такое «доказательство» нельзя признать достаточным. Ведь посторонние корни и могли появиться именно при возведении в степень, а потому и обнаружить этим путем посторонние к~рни нельзя.

Непригодность же корней устанавливалась таким образом. Представив подкоренные выражения в тригонометрической форме, будем иметь:

Отсюда:

Совершенно очевидно, что сумма этих выражений не равна единице. Это рассуждение тоже не совсем точно. Правильно было бы написать:

и соответственно:

где А = 0, 1, 2, 3, 4 (конечно, во 2-м случае можно было вместо 300° взять 60°).

Каждый из корней имеет 5 значений, и, может быть, комбинация каких-либо двух из них будет удовлетворять уравнению. Это и имеет место при % = 4 для первого корня и k = 0 — для второго. Действительно, тогда будем иметь:

и сумма их равна единице.

Таким образом, ответ зависит от условия: будем ли мы брать все значения корня 5-й степени или только одно из них, например при к = 0. Поэтому редакцией зачтены все решения независимо от заключения о корнях х3 4 = + —г^—.

№ 19

Определить стороны треугольника, если они выражаются целыми числами, образующими арифметическую прогрессию, и периметр треугольника равен. 15.

Решение. Считая а меньшей стороной, будем иметь по условию:

а + с = 26; а + 6 + с = 15.

Отсюда находим:

6 = 5; д + с = 10: с = 10 —а.

Так как a, 6 и с — стороны треугольника, то имеет место соотношение:

с < а + Ь

или:

lO-aO-r-5,

откуда:

а>2-\,

и так как 6 = 5, то для а возможны три значения: 3, 4 и 5, в соответствии с чем получаем для сторон треугольника:

3; 5; 7, 4; 5; б, 5; 5; 5,

г. е. два решения или три, если считать последнее решение «прогрессией» с разностью d=zQ (что мы считаем совершенно нецелесообразным).

Сверх всяких ожиданий, эта простая задача получила очень много неверных решений (19 из 120), причем допущенная ошибка является достаточно элементарной и грубой. Именно в качестве решений давались значения а=1, 6 = 5, с = 9 и а = 2, 6 = 5, с = 8, причем забывалось основное требование, что для сторон треугольника должно быть а + Ь>с.

№ 20

Определить стороны треугольника, если они выражаются целыми числами, образующими геометрическую прогрессию, причем произведение этих чисел равно 216.

Решение. Сохраняя обозначения предыдущей задачи, будем иметь по условию:

ас = б8; abc = 216.

Отсюда находим:

36

6 = 6; ас = 36; с = — . В силу соотношения (для треугольника) с<а + 6,

будем иметь:

36

— <а + 6; а« + 6д — 36>0.

Решив это неравенство с учетом, что а целое, получим:

я>4

(т. к. положительный корень трехчлена а ^ 3,72). Отсюда имеем одно решение:

4; 6; 9,

или еще второе:

6; 6; 6,

если считать «прогрессией» ряд со «знаменателем 0 = 1». Обе задачи (19 и 20) даны со специальной целью —узнать мнение читателей о том, считать или не считать «прогрессией» случаи d = 0 и ?=1.

Редактор журнала глубоко убежден в нецелесообразности (и теоретической, и, в особенности, практической) присоединения этих случаев к прогрессиям. Тем интереснее получить мнения и аргументацию читателей.

Эта задача получила «рекордное» число неверных решений (45 из 117). Одна ошибка аналогична ошибке в задаче 19; принимались за решения значения: а = I, 6 = 6, с = 36 и а ^ 2-6 = 6, с=18.

Кроме того, во многих решениях пропущены значения а = 4, 6 = 6, с — 9. Очевидно, из требования, что а, 6, с должны быть целыми числами, делался неверный вывод, что и знаменатель прогрессии должен быть целым числом.

ЗАДАЧИ

(Срок присылки решений 1 октября 1949 г.)

61. Доказать, что если lg т, \gn и \gp составляют геометрическую прогрессию, то и log^jc, log/!** logpjc, где х — произвольное положительное число, тоже составляют геометрическую прогрессию.

Н. Дзигава (Тбилиси)

62. К двум внешне касающимся окружностям радиусов R и -к проведена общая касательная.

Определить радиус окружности, касающейся двух данных и их общей касательной.

Н. Дзигава.

63. Решить в целых числах уравнение: 3*-4y = 5

Г. Ахвердов (Ленинград)

64. Для нумерации страниц книги потребовалось в п раз больше цифр, чем было страниц. Сколько страниц в книге? (п — натуральное числа).

Г. Ахвердов

65. Из точки проведено п лучей. Сколько образовалось углов (меньших 360°)?

А. Владимиров (Ялта)

66. Из вершины угла внутри его проведено п лучей. Сколько образовалось углов?

А. Владимиров

67. Решить систему уравнений:

xy + xz = х- + 2 xy+yz=y2 + 3 xz-\-yz = z2 + £

А. Владимиров

68. В следующем примере:

восстановить вместо точек цифры, если известно лишь то, что последняя цифра частного (т. е. число единиц) в два раза больше его первой цифры (т. е. числа десятков тысяч). Показать, что решение единственное.

В. Голубев (Кувшинова)

69. Доказать: если число п оканчивается цифрой 4, но не делится на 12, то /г5— 5я3 4п делится нд 1440,

Л. Малюгин (Горький)

70. Город имеет вид прямоугольника, разделенного улицами на квадраты. Таких квадратов в направлении север —юг т, в направлении восток-запад п. Сколько имеется возможных (различных хотя бы в часги пути» кратчайших дорог от одной из вершин прямоугольника до противоположной?

В. Голубев

Э. Ясиновый (Куйбышевская обл.)

71. В прямоугольном треугольнике А^С гипотенуза АВ = с, AM2 -f В№= т\ где AM и BN— биссектрисы острых углов. Определить длину MN.

Р. Бернштейн (Мукачево, Закарпатье).

72. Найти площадь треугольника, зная сумму (q) косекансов его углов, периметр (2р) и сумму (ЗМ2) квадратов его медиан.

Р. Бернштейн

73. В окружность радиуса R вписана окружность. Даны а,, 6] и с\— проекции сторон а, Ь и с на диаметры, проведенные соответственно из С, А и В. Определить площадь треугольника {R = 4,7, аг=. = 5,2, Ьх = 6,8, С\ = 8,6).

В. Капцтадзе (Тамбов)

74. В выпуклом четырехугольнике АВСО через точку О пересечения диагоналей* проведены: АУВ2II АВ (А на AD), В,С2 II ВС (Я, на АВ), C2D21| CD (С, на ВС) и DlA2\\DA{Dl на CD).

Доказать, что:

С. Зетель (Москва)

75. Десять простых чисел составляют арифметическую прогрессию. Найти эти числа, если аг <2и0 и fl,0 < 3000

С, Синакевич (Ленинград)

76. Показать, что если 11 простых чисел составляют арифметическую прогрессию, то по крайней мере одно из них больше 200UO.

С. Синакевич

77. Найти все дроби, удовлетворяющие условию: ху v

где х, у, и, V— цифры ъ v ф у.

М. Шебаршин (Кемеровская обл.)

78. Решить систему уравнений:

xyz — т2; xyyz = п2, где тип — целые числа.

М. Шебаршин

79. Стороны вписанного в окружность шестиугольника последовательно равны а, Ь, с, d, е, f. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы три прямые, соединяющие противоположные вершины, пересекались в одной точке.

А. Ширшов (ст. Луганская)

80. Прэв:сти к данной окружности из внешней точки касательную, пользуясь одной линейкой.

А. Ширшов

11. (Вместо помещенной в № 1.) Доказать, что в любом трехгранном угле углы а,, а2, а3 наклона ребер к противоположным граням связаны соотношением:

* См. чертеж на стр. 58 и № 1 журнала за 1949 год.

СВОДКА РЕШЕНИЙ по № 1 за 1949 г.

В сводку вошли решения, полученные редакцией до 25 апреля. Следует отметить значительное число (144 из 1354) неверных решений, особенно по задачам 19 и 20. Как уже сказано выше, задача 11 в сводку не входит.

Г. Автух (Витебская обл.) 1-3, 7—16, 18-23; К. Агринский (Москва) 1—4, 7—10, 16—19; М. Адигамов (Чкалов) 2—4, 10, 16, 19, 20; Я. Айзенштат (Киев) 1—8,12—13,16—19; Г. Алапашвили (Тбилиси) 1—3, 9, 10, 16, 18, 19; И. Альтшулер (Ленинград) 4, 17, 19, 20; А. Аляев (Пензенская обл.) 1 — 10, 13— 16, 18—20; Г. Ахвердов (Ленинград) 1 — 10, 12—20; И. Байдюк (Ольгополь) 2, 10, 16; М. Байтальский (Одесса) 16, 18; С. Байцур (Чкалов) 1—10, 12—14, 16—2и; Ш. Бакурадзе (Грузинская ССР) 3, 4, 16, 18; А. Баюшкин (Мордовская АССР) 16, 18, 19; М. Беликов (Хабаровский кр.) 10; И. Белов (Одесская обл.) 4, 12, 18; Е. Боков (Краснодарский кр.) 2, 4, 7—10, 13—16, 19, 20; В. Буткевич (Ровно) 1 — 4, 6-10, 12, 14—20; Б. Вайнман (Киев) 2—4, 7—9, 13, 16—20; Е. Банковская (Тамбов) 2—4, 16, 18; С. Вашакмадзе (Тбилиси) 1, 3, 4, 16—20; А. Владимиров (Ялта) 1—4, 7, 8, 10, 13, 15—20; М. Володарский (Актюбинская обл.) 1—4, 18—20; Я. Волок (Житомир) 2—4, 6—20; М. Глант (ст. Узловая) 1, 19, 20; С. Гликсон (Сарны) 1—4, 7—20; И. Гоз (Чкаловская обл.) 2, 3, 4, 6, 10, 14, 16, 18— 20; М. Гозман (Киевская обл.) 3, 12, 16, 19, :0; В. Голубев (Кувшиново) 1—4, 6—13, 15, 16, 18—20; Р. Гольденберг (Николаев) 19; Г. Голянд и С. Третьяков (Краснодарский край) 16, 18—20; И. Гопп (Казань) 1, 2, 4—10, 13—20: А. Дейнеге (Винницкая обл.) 1—4, 15—19; И. Десятое (Мичуринск) 3—5, 16, 18; Н. Дзигава (Тбилиси) 1-4,7,9, 10, 13, 14, 16— 20; М. Дзоценидзе (Грузинская ССР) 4, 19, 20. Б. Дудолькевич (Киевская обл.) 2—4, 7, 16, 19; И. Евланов (ст. Павелец) 1—4, 13, 16—18; М. Жучков (Киргизия) 10; В. Зимин (Ленинградская обл.) 2—4, 7—9, 16, 18, 20: Н. Зубилин (Орловская обл.) 2-4, 16, 18, 19; И Иванов (Псков) 1—4,9, 12,13,16, 18, 19; Я. Иванченко (Грозный) 2—4, 7, 8, 13, 16— 19; С. Казаков (Рязанская обл.) 3, 4, 16, 18, 19; И. Каплан (Пушкин) 16, 19, 20; Г. Капралов (Горький) 1—20- Б. Кашин (В. Волочок) 1—20; Я. Килимник (Винница) 1, 3, 4, 7, 12, 15, 19, 20; Н. Кириллов (Ярославль) 2—4, 7, 8, 16—20; М. Киселева (Саратовская обл.) 10. Д. Клименченко (Глухов) 2—4, 10, 16—18; Б. Ксдацкий (Ленинград) 2—4, 6, 7, 12, 13, 15—20; П. Козлов (Минская обл.) 2-4, 16, 18—20; С. Колесник (Харьков) 1—10, 13-20; А. Корнилов (Ростовская обл.) 2—6, 9, 10, 13, 16, 18, 20, В. Куженко (Кировоградская обл.) 2—4, 7, 8. 16, 18 19; Н. Кухарев (Уфа) 3, 4, 10, 16, 18— 20; Э. Лазарев (Азербайджанская ССР) 19; И. Лахно (Глухов) 4, 9, 18; С. Лебензон (Малаховка) — 4, 7, 9, 10, 12—14, 16—20; Я. Левин (Семипалатинск) 9, 19, 20 А. Лейман (Здолбун.жо) 1—20; Г. Литвинов (Усть-Абаканск) 1, 4, ,6, 18—20; Л. Лоповок (Проскуров) 1—4, 6—20; Н. Луковкин (Сталинградская об i.) 7, 18. 19, Ю. Луппо (Латвийская ССР) 18, 19; Д. Людмилов (Винница) 1— 20; М. Ляндрес (Горьковская обл.) 2, 10, 19, 20; М. Ляпин (Казань) 1—4, 7—10, 13, 15—19; И. Ляшко (Синельниково) 1, 7, 13, 19; А. Магеро (Витебская обл.) 7—9, 16—20; /7. Макуха (Севастополь) 1—3, 16, 18, 19; М. Манукян (Казахская ССР) 3, 16; Л. Малюгин (Горький) 1—20; С. Марценюк (Нежин) 16, 18; Математический кружок средней школы (Бандза) 3, 4, 12, 16, 18—20; Медведев (Серебряково) 2—4, 7—10, 12, 16, 18—20; М. Месяц (Житомир) 1, 2, 4—6, 12, 14—20; Г. Многолетний (Мглин) 18, 19; И Моисеев (Уфа) 20; Мышакова (Молдавская ССР) 1—4, 7—10, 12—16, 18—20; Б. Одинцов (Чкалов) 4, 10, 16, 19, 10; И. Орлов (Кашира) 2—4, 7—10, 14, 16, 18, 20; М. Пашковский (Могилев) 16, 19; Ф. Певишев (Шилово) 1—4, 6—10, 12—16, 18—20; Л. Перцель (Свердловск) 2—4, 16; 18—20; О. Пищик (Золочев) 2—4, 6—9, 13, 15—20; Г. Полознев (Томская обл.) 13, 19; Т. Полякова (Рязанская обл.) 4, 19; П. Постников (Ряжск) 1—4; 6—10, 13, 14, 16, 18—20; В. Прибытков (Саратовская обл.) 2—4, 7, 8, 14, 18; Г. Пушкаревский (Башкирская АССР) 19, 20; Е. Радченко (Курская обл.) 2—4, 16, 18—20; Г. Рачинский (Изберг) 1 — 10, 12— 2 ); В. Розентуллер (Ленинград) 1, 3, 4, 16, 19, 20; Б. Рубенчик (Минск) 1, 4—8, 13, 19; Я. Рубцов (Калининская обл.) 16, 19, 20; 3. Рупейка (Каунас) 1—4, 6—10, 13—16, 18—20; Я. Сабаляускас и Л. Чехавичус (Литовская ССР) 18; В. Саннинский (Ворошиловград) 1 —1Э, 13—2); В. Севастьянов (Сталинградская обл.) 1—4, 7—10, 13, 14, 16, 18, 20; Г. Сенников (Горький) 2, 4, 7—10, 16, 18—20; Ф. Сергиенко (Запорожье) 1—8, 10—19; С. Синакевич (Ленинград) 1—6, 12, 15—20; А. Снопков (Спасск) 1, 3, 4, 16, 19, 20; Л. Сошников (Клайпеда) 1. 18; И. Сурин (Ростов на Дону) 1, 3, 4, 9, 14, 16, 18, 19; Г. Табидзе (Тбилиси) 1, 2, 4, 16—20; Л. Твалавадзе (Грузинская ССР) 2—4, 16, 18; А. Темногрудов (Пенза) 3, 4, 6, 10, 16, 19, 20; И. Титов (Казань) 1—4, 7—20; Я. Титов (Тюмень) 1—20; В. Токарев (Константиновка) 1—4, 7—10, 13, 15— 20; А. Тралмак (Ленинград) 1—20; В. Утемов (Красноуфимск) 1 — 10, 12—19; А. Филиппова (Коми АССР) 18; Я. Фомкин (Каменец-Подольск) 4—20; Б. Цакоев (Рязанская обл.) 1—4, 9, 10. 15, 16, 18— 20; Ф. Чердаков (Чувашская АССР) 2—4, 6—8, 13, 16, 19, 20: М. Черепнин (Долинка) 2—4, 7—10, 13—19; А. Шагинян (Ереван) 2, 4, 9, 10, '8, М. Шебаршин (Кемеровская обл.) 1—20; Л. Шевелев (Орел) 1 — 10, 12—18; К. Шевелева (Московская обл.) 2—4, 7-10, 13, 14, 16, 19, 20: С. Шестеренко (Глухов) 7, 8, 18; А. Ширшов (Ворошиловоградская обл.) 1—20; Б. Шлотгауэр (Павлодарская обл.) 3, 16, 19: 3. Штупман (Винница) 2—4, 7, 8, 15, 16, 19; Я. Эрдниев (Барнаул) 1—4, 6—10, 13—2-1; С. Юдицкий (Москва) 12; Э. Ясиновый (Куйбышев) 1—10, 13-19.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Н. П. Шароватов — О роли ленинской теории познания в изучении математики............................. 1

B. Н. Молодший — К вопросу об учебнике по истории математики . . 9

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

Ю. М. Гайдук — Алгебра логики и ее метаморфозы.......... 13

МЕТОДИКА

Ф. Ф. Нагибин — Метод математической индукции в курсе средней школы............................... 21

C. А. Пономарев и Я. В. Стратилатов — Геометрические сведения в курсе арифметики в средней школе............... 29

ИЗ ОПЫТА

А. А. Столяр — Применение понятия предела в школьном курсе геометрии ............................... 36

ХРОНИКА

И. М. Рабинович — Работа методического объединения математиков при Рижском горметодкабинете.................. 40

Обсуждение «Сборника алгебраических задач», часть I, П. А. Ларичева 41

A. И. Можаев — Математическая олимпиада в г. Таганроге...... 42

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Б. А. Кордемский— О сборнике задач по алгебре........... 44

Ю. М. Гайдук — О книге И. М. Гуля «Геометрия Лобачевского» .... 47

B. А. Невский — Новая литература по математике........... 49

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 1 за 1949 г.............. 52

Задачи................................. 62

Сводка решений задач......................... 63

№ А —01236

Заказ № 353 Тираж 20 000 экз.

Технический редактор В. С. Якунина

Редакционная коллегия

Редактор А. Н. Барсуков Зам. редактора С. И. Новоселов Члены редакционной коллегии Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыикий, А. П. Садиков, Н. Ф. Четверухин

Корректор А. С. Киняпина

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6. Учпедгиз Министерства просвещения РСФСР

Сдано в производство б/у' 1949 г. Подписано к печати 22/VI 1949 г. Печ. л. 4. Учетно-изд. л. 8 Печ. зн. в 1 п. л. 82 000._Цела 4 р. 50 к.__Формат 84xl08/i6.

13-я типография Главполиграфиздата при Совете Министров СССР. Москва, Гарднеровский пер., la.