МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 3

МАЙ-ИЮНЬ 1949

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЕ В РОССИИ XVII—XIX вв.

Проф. А. П. ЮШКЕВИЧ (Москва) (Окончание)

Русская математика в конце XIX и начале XX века

1. Математика в средней школе. На всем протяжении XVIII и первой половины XIX в. русской школе, как мы видели, приходилось развиваться в условиях и классового и сословного гнета*. Усилия передовых общественных кругов расширить систему школ, улучшить программы обучения постоянно наталкивались на разнообразные мероприятия царской власти, всячески сдерживавшей распространение просвещения, которое, как выразился министр Уваров, грозило «поколебать порядок гражданских сословий». Однако нужды промышленности, потребности армии и флота и мощное давление демократических слоев вынуждали царскую власть время от времени к уступкам, которые полностью брать назад оказывалось впоследствии уже невозможным.

Когда в середине пятидесятых годов выяснилось банкротство внутренней политики Николая I, в том числе крайне реакционной политики его в области просвещения, когда, с другой стороны, начался подъем демократического движения, наметился некоторый поворот и в жизни средней школы. Вопросы воспитания стали тогда привлекать широкое внимание общественности, им начала отводить большое место периодическая печать, появилась обширная и оригинальная литература по педагогике, а также ряд специально педагогических журналов. На этот период падает расцвет деятельности первых классиков русской педагогической мысли — Пирогова и Ушинского, Чернышевского и Добролюбова и др. и знаменитые споры о «классическом» и «реальном» образовании.

В 1864 г. стали возникать наиболее передовые в тогдашней России земские школы и введен был новый устав гимназий, годом ранее дан был и новый устав университетам.

Гимназический устав 1864 г. далеко не соответствовал требованиям, выдвигавшимся демократической интеллигенцией. Согласно этому уставу вводились семилетние гимназии трех видов: классическая с двумя древними языками, классическая с латинским языком и реальная — без древних языков и с несколько ббльшим объемом программ по математике, физике, естествознанию и космографии**. Отменялись сословные ограничения при поступлении в гимназии, запрещались телесные наказзния, усиливались права педагогического совета. Однако

* Мы не касаемся здесь тех препон, которые царское правительство воздвигало перед развитием культуры различных наций, населявших Российскую империю: украинцев, белорусов, грузин и др.

** Реальные училища начали возникать у нас на рубеже 20-х и 30-х годов XIX в. по инициативе частных лиц. Правительство Николая I быстро озаботилось о том, чтобы сообщить им характер чисто профессиональных школ, надеясь через их посредство «отвлечь детей низших сословий от прохождения гимназического курса». Серьезного развития в то время они не получили.

окончание реального училища не давало права на поступление в университет, вместе с тем обучение древним языкам попрежнему отнимало в классических гимназиях огромное время, а программы по естественным наукам были крайне бедные. Но и этот устав просуществовал недолго. Среди учащейся молодежи нарастало революционное движение, и уже через несколько лет министр просвещения Д. А. Толстой предложил проект нового устава. По крайне реакционному уставу 1871 г., против которого высказалось даже большинство Государственного совета, все гимназии становились классическими, с двумя древними языками, причем недельное число часов на латынь и греческий возрастало, суммируя по всем классам, с 72х/2 до 86. На русский язык и литературу времени отводилось в три с лишком раза менее! Преподавание естественной истории прекращалось, число часов по математике несколько уменьшилось. Реальным училищам в 1872 г. был сообщен сугубо профессиональный уклон, седьмой класс объявлен необязательным (в гимназиях было введено восьмилетнее обучение), и тем самым реальные училища вновь превращались не только в неполноправную, но и в неполноценную среднюю школу.

При Александре III министр Делянов, не производя открытых изменений устава, в циркулярном порядке воздвигнул особые препятствия для поступления в гимназии детей из непривилегированных классов. В 1882 г. Делянов констатировал, что в ряде гимназий и реальных училищ «обнаружились на отдельных учениках следы пагубного влияния преступной пропаганды», что в ряде гимназий и училищ с имели место крупные коллективные беспорядки или же неслыханные и почти невероятные бесчинства учеников». В системе контрмер, предложенной Деляновым, было предусмотрено, что в гимназии впредь будут допускаться дети лишь некоторых сословий, не ниже купцов 2-й гильдии. Мера эта, ударявшая и по буржуазии, даже Александром III была признана неподходящей, и в результате была «только» повышена плата за обучение и директорам школ разослан в 1887 г. т. н. «циркуляр о кухаркиных детях». Директорам предписывалось принимать «только детей таких, которые находятся на попечении лиц, представляющих достаточное ручательство в правильном над ними домашнем надзоре и в предоставлении им необходимого для учебных занятий удобства. Таким образом, при неуклонном соблюдении этого правила гимназии и прогимназии освободятся от поступления в них детей кучеров, лакеев и поваров, прачек, мелких лавочников и тому подобных людей, детей коих, за исключением разве одаренных необыкновенными способностями, вовсе не следует выводить из среды, к коей они принадлежат». В результате с 1881 по 1894 г. и без того огромный процент дворян среди учеников мужских гимназий и прогимназий повысился с 47,5 до 56,9, а общее число учащихся в них понизилось на 3 ООО. Для некоторых национальных меньшинств были введены ограничительные нормы приема.

Мы не будем задерживаться на подробном рассмотрении дальнейших судеб средней школы. Заметим, что в 1888 г. реальные училища вновь приобрели характер общеобразовательных средних школ, хотя попрежнему права на поступление в университет они не давали. Постепенно несколько ослаблен был «классицизм» гимназического обучения: изъят как обязательный греческий язык, уменьшено число часов на латынь (до 30), восстановлено, правда, в очень небольшом объеме, естествоведение (6 часов).

Число средних школ и учащихся возрастало медленно, а в отдельные периоды даже падало. Так, с 1847 по 1854 г. число гимназий уменьшилось с 84 до 77, а учащихся с 22 730 до 17 873. Поднявшись затем к 1863 г. до 31 132 учащихся и к 1876 г. до 65765, число гимназистов при Делянове снизилось, как говорилось, на 3 000. После революции 1905 г. темп роста средних школ усилился. Так, число мужских гимназий с 1908 г. по 1913 г. выросло с 494 до 797, женских — с 351 до 920, а всего в гимназиях (и реальных училищах) обучалось в 1913 г. 219906 мальчиков и 303690 девочек*.

На преподавании математики общие судьбы средней школы в царское время отражались весьма существенно. Правда, общее число часов изменялось не очень значительно, колеблясь около 30 в неделю**. В первых трех классах гимназии изучалась арифметика, к алгебре приступали в третьем классе, к геометрии в четвертом, к тригонометрии в седьмом. Но на методике обучения математике существенно сказывалось прогрессивное движение русской педагогической мысли, а также ее борьба с косностью царских чиновников.

Вопросы программ по математике и методике ее преподавания интересовали русских ученых

* При оценке всех этих чисел следует иметь в виду, что кончали полную среднюю школу далеко не все поступающие. В 1877 г., например, в I—III кл. обучалось 67,6%, в IV—VI 25,4%, а в VII-VIII 7,7%. Что касается перевеса числа гимназисток в 1913 г., то он объясняется тем, что многие мальчики обучались в коммерческих училищах, кадетских корпусах, духовных школах и т. д.

** В реальных училищах по плану 1905/06 г. на математику (с элементами высшей) приходилось 35 недельных часов. В женских гимназиях на математику отводилось около 20 часов в неделю (по всем классам).

и педагогов с самого начала возникновения государственных школ. Напомним, что еще в середине XVIII столетия догматическое изложение, преобладавшее в книгах начала века, было заменено изложением, включавшим большее или меньшее число теоретических доказательств; напомним и про борьбу, которую пришлось вести нашим педагогам с влиянием ошибочных идей иностранного происхождения (например, с вольфианской школьной схоластикой). Вначале, однако, методико-математические идеи развивались от случая к случаю, в связи с составлением того или иного учебника, обсуждением программ той или иной школы. Первым сочинением, специально посвященным проблемам преподавания и школьного учебника, именно актуальным проблемам курса геометрии, явился «Опыт» акад. Гурьева (1798). Гурьев же, работая в морском учебном комитете, первый поставил перед педагогами вопрос о наилучшем порядке прохождения математики в школе, предложив ввести пропедевтический курс геометрии, а также — в чем он был неправ — поставить обучение арифметике после всего курса полной геометрии.

С 30-х годов XIX в. проблемы математического просвещения становятся предметом более широкого обсуждения. Разработка их заметно усиливается в 60-е годы, а затем испытывает особенный подъем в начале нынешнего века. В движении этом принимают участие и учителя школ, и деятели университетов, и члены Академии наук. Возникают специальные журналы, из которых первым явился недолговечный «Учебный математический журнал» К. Купфера (1833—1834). Для начальных и средних школ большое значение имели позднее «Русский начальный учитель», издававшийся В. А. Латышевым в 1880—1911 гг., и «Математический листок» А. И. Гольденберга (1879—1882). Впоследствии большой и заслуженный успех, приобрел основанный В. П. Ермаковым «Журнал элементарной математики», издававшийся в 1884—1886 гг. Э. К. Шпачинским; позднее этот журнал был заменен «Вестником опытной физики и элементарной математики» (1887— 1915); редактировали его Шпачинский, а позже В. Ф. Каган. Этот «Вестник» имел в свое время очень широкое распространение. В нем публиковались статьи и заметки по самым различным вопросам элементарной, а отчасти высшей математики, рецензии, рефераты, методические статьи; большое значение для пропаганды математики имел интересный отдел задач. Вопросы математического просвещения активно обсуждались и в общих педагогических журналах, вроде «Журнала министерства народного просвещения», и в «Педагогическом сборнике» (где, например, в 1878—1879 гг. печаталась серия статей Латышева по истории русских учебников для средней школы), и в первых томах московского «Математического сборника», и т. д., — даже в толстых журналах общего типа, вроде «Русской мысли».

Мы не можем здесь подробно анализировать многочисленные учебники, конкурировавшие во второй половине XIX в. Заметим о них немногое. Особенно широкий размах получила разработка вопросов методики арифметики, причем русским педагогам пришлось отдать не мало сил борьбе с некоторыми неправильными привозными теориями, вроде метода Грубе, который, исходя из идеалистических философских идей, требовал, чтобы все внимание учащихся было обращено долгое время на изучение индивидуальных свойств каждого из чисел до сотни и их взаимосвязям аддитивного или мультипликативного характера, и который вычисления отодвигал на второй план. В этом направлении многое сделали: сын академика Гурьева — П. С. Гурьев (ум. в 1887 г.), автор первого методического труда по арифметике «Руководство к преподаванию арифметики» (1839) и содержавшего около 1500 задач сборника «Арифметические листки, постепенно расположенные от легчайшего к трудному» (1832); далее, уже упоминавшийся В. А. Латышев (1850— 1911), А. И. Гольденберг (род. в 1837 :.), выступивший с резкой критикой Грубе и весьма известного в свое время педагога и автора В. С. Евтушевского, несколько смягчившего крайности метода Грубе, а также С. И. Шохор-Троцкий (1853—1923), который подчеркивал важную роль целесообразно подобранных задач как исходного пункта деятельности учащегося. Ранее уже говорилось о направляющей деятельности в этой и других областях П. Л. Чебышева. Не прошел мимо вопросов преподавания арифметики и В. Я. Буняковский, составивший руководство, выдержавшее в середине XIX в. несколько изданий.

Интенсивность, с которой разрабатывалась методика арифметики, не в малой степени связана была с тем, что арифметика являлась одним из главных предметов обучения в начальных школах, менее зависевших от министерства просвещения и бывших полем деятельности людей, глубоко преданных делу народного образования. Эта методическая работа, вместе с тем, скорее всего могла найти отражение в педагогической практике. Разработка методики гимназических предметов — алгебры, геометрии и тригонометрии—велась сперва с меньшим эффектом. Но и в этой области было сделано многое. Так, весьма передовой по своему времени учебник геометрии составил мо-

сковский профессор А. Ю. Давидов («Элементарная геометрия», 1866). С современной точки зрения можно было бы сделать немало возражений против трактовки Давидовым ряда основных понятий планиметрии и некоторых его доказательств, а для гимназистов четвертого класса первые разделы учебника должны были представлять большие трудности. Но и для нашего времени представляют интерес включенные мелким шрифтом в курс дополнительные разделы: теорема Паскаля для круга, элементы учения об инверсии, о полярах и полюсах (опять-таки для круга), теоремы Чевы и Менелая, краткие сведения о сечениях конуса и т. д. Учебник геометрии Давидова вышел 36-м изданием еще в 1916 г., его учебник алгебры (1883) также переиздавался вплоть до 1922 г.

Во второй половине XIX в. возникли также общеизвестные руководства для гимназий, из которых некоторые в переработанном виде применяются поныне: «Руководство к алгебре» (1875) А. Ф. Малинина (1835—1888) и К. П. Буренина, сборник задач по алгебре Н. А. Шапошникова и Н. К. Вальцова (1887), курсы алгебры и геометрии (1893) А. П. Киселева (1852—1940), «Конспект прямолинейной тригонометрии» Н. Рыбкина (1887) и др.

В 90-е годы XIX в. программы по математике средней школы стали предметом острой критики со стороны некоторых педагогов. Так, в математической комиссии при учебном отделе Общества распространения технических знаний в 1892 г. велись оживленные споры об очистке гимназического курса от лишнего балласта и его дополнении новыми отделами. Вскоре этому вопросу посвятил ярко написанную статью выдающийся деятель отечественного просвещения, позднее профессор университета им. Шанявского, В. П. Шереметевский (ум. в 1919 г.)*. В этой статье «Математика как наука и ее школьные суррогаты», опубликованной в майском номере «Русской мысли» за 1895 г., Шереметевский подчеркнул, что центральные идеи современной математики остаются за рамками гимназических программ. «Молодые люди конца XIX в., готовящиеся принять официальное удостоверение в умственной зрелости, — писал он, — искусственно задерживаются на средневековом уровне математической мысли; считаются неспособными усвоить хотя бы элементы математики, как науки нового времени». Поскольку современное естествознание и современная техника опираются на математику, как науку о законах изменения величин, «то ясно, что и элементарный курс должен группироваться вокруг основного понятия о функциональной зависимости. Чем раньше оно будет вызвано и осторожнее выражено в сознании учащегося, тем лучше». В своем выступлении Шереметевский опередил идеи многих иностранных ученых и педагогов. Конкретно он предлагал за счет некоторых сокращений учебного курса ввести элементы аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых.

Методико-математическая деятельность достигла своего расцвета в старой России в начале XX в. и более всего непосредственно вслед за революцией 1905 г. Еще ранее, правда, возникло несколько научно-педагогических кружков. Так, в Петербурге в 1885 г. был создан отдел математики при Педагогическом музее военно-учебных заведений, в котором за первые 10 лет заслушано было около 200 докладов С 1907 г. деятельность этого отдела стала еще активнее, и вопросами реформы образования в нем занимались педагоги Шохор-Троцкий, Томилин, Филиппович, профессора Б. Коялович, К. Поссе, А. Васильев, акад. Н. Сонин и др. В Москве при Обществе распространения технических знаний работал в 1900—1908 гг. кружок преподавателей, из которого вырос затем т. н. Московский математический кружок, ведший регулярные заседания, устраивавший летние курсы для учителей и с 1911 г. начавший выпускать журнал «Математическое образование». В этом кружке участвовало около 150 членов, и среди них проф. Б. К. Млодзеевский, И. И. Чистяков. Аналогичные кружки возникли затем в Риге (1908), Новочеркасске (1908), Орле (1911) и других городах.

Новые идеи в преподавании элементарной математики находили отражение в довольно обширной литературе. Вопросам преподавания арифметики и алгебры посвятил отдельную работу киевский профессор В. П. Ермаков («Публичные лекции о преподавании арифметики и алгебры», 1900), В. К. Беллюстин опубликовал «Очерки по методике геометрии» (М. 1910), Д. Д. Галанин — книгу по методике арифметики (М. 1911), К. М. Щербина дал общий очерк развития преподавания математики в книге сМатематика в русской средней школе» (Киев 1908) и т. д. Параллельно издавалась популярная литература по математике: интересные сборники софизмов А. И. Обреимова, исторические очерки В. К. Беллюстина («Как дошли люди до настоящей арифметики>, 1914, переизд. 1941), замечательная трехтомная хресто-

* В. П. Шереметевскому принадлежит известная обработка двухтомных «Элементов высшей математики» Г. Лоренца (1-е изд. 1898, 5-е изд. 1926). Написанный им для этой книги очень увлекательный очерк истории математики был издан отдельной книгой—«Очерки по истории математики» (М. 1940).

матия Е. И. Игнатьева и многие другие книги.

Методические исследования русских педагогов и ученых математиков нашли в предреволюционный период известное завершение в работах двух съездов. Первый Всероссийский съезд преподавателей математики состоялся в Петербурге с 9 по 16 января 1912 г. В нем приняли участие 1217 человек, среди них деятели высшей школы А. В. Васильев, К. А. Поссе, В. И. Шифф, С. А. Богомолов (Петербург), В. В. Бобынин, Н. А. Шапошников, В. Б. Струве (Москва), B. Ф. Каган, С. О. Шатуновский (Одесса), Д. Д. Мордухай-Болтовский (Варшава), Д. М. Синцов (Харьков), педагоги А. П. Киселев, C. И. Шохор-Троцкий, Д. Э. Теннер, В. Р. Мрочек, Н. А. Томилин и др.

На пленарных заседаниях съезда был подвергнут обсуждению ряд основных вопросов преподавания математики в средней школе, главным образом в гимназиях. Большинство докладчиков настаивало на более или менее радикальной перестройке программ. С. А. Богомолов предлагал, например, разделить преподавание геометрии на две части: курс пропедевтический, базирующийся на широком пользовании интуицией и сообщающий основные фактические знания, и систематический курс, в котором на первый план должны быть выдвинуты задачи логического построения на аксиоматической основе, В пропедевтическом курсе Богомолов считал полезным ввести начала проективной и начертательной геометрии, а в завершение систематического курса ознакомить учащихся с идеями Лобачевского. К докладу Богомолова примыкало сообщение киевского педагога П. А. Долгушина, в котором докладчик поделился своим опытом популярного изложения идей неевклидовой геометрии в VIII классах при помощи связок окружностей.

Немалое место отведено было вопросу о разработке в старших классах более строгого учения о натуральных числах и операциях над ними и расширению понятия о числе (доклады Б. Б. Пиотровского и Т. А. Афанасьевой), о введении в курс математики исторических элементов (В. В. Бобынин), организационным вопросам, и среди них вопросу о подготовке педагогов (В. Ф. Каган). Отметим еще группу докладов, посвященных реформе курса алгебры и введению начал высшей математики. Преподаванию начал анализа посвящены были доклады Ф. В. Филипповича и М. Г. Попруженко. Опираясь на свой опыт, ф. В. Филиппович утверждал: «Еще с V класса при графическом изображении эмпирических функций мы должны подготовлять почву для дифференциального исчисления. А в VI и VII классах при проведении идеи функциональной зависимости на уроках алгебры следует учащихся знакомить с понятием производной, а на уроках геометрии — с понятием об интеграле. В VIII классе — связный обзор изученных в предыдущих классах функций и элементы дифференциального и интегрального исчислений». Чтобы найти время для всего этого материала, Филиппович предлагал исключить некоторые разделы обычного курса математики: сократить преобразования, некоторые разновидности уравнений, формулу бинома и т. д. Н. А. Томилин подробно развил вопрос о применении графиков и их значении для введения идеи функциональной зависимости, изучения законов физики и химии, приближенного решения задач и т. п.*

В несколько ином плане предлагали решение того же вопроса К. А. Поссе и профессор Межевого института В. Б. Струве. Одобряя включение в общий курс начал аналитической геометрии и анализа, они предлагали вместе с тем организовать специальные математические классы для тех учащихся, которые собираются поступать на математическое отделение университета или в высшую техническую школу. В. Ф. Каган, поддерживая в принципе идеи реформы средней школы, подчеркивал одновременно трудности ее осуществления, в частности отсутствие подходящей литературы, и предостерегал от опасного исключения из программ фактически весьма важного материала.

В секциях съезда также был обсужден ряд насущных вопросов. В нескольких докладах были подвергнуты критике учебные руководства по арифметике, алгебре, геометрии, тригонометрии и высшей математике (для реальных училищ). Среди докладов по более специальным вопросам заслуживают упоминания доклад К. Ф. Лебединцева о дробях, в котором предлагалось сперва знакомить с простейшими дробями, затем с десятичными (без умножения и деления), а далее вести изучение простых и десятичных дробей параллельно; затем доклад В. А. Крогиуса о введении приближенных и сокращенных вычислений в средней школе и доклад Б. А. Марковича о недостатках в изложении учения о логарифмах.

Большой и разнообразной работе съезда был подведен частичный итог в резолюциях. Съезд признал необходимым «поднять самодеятельность и активность учащихся, а также усилить наглядность преподавания на всех его ступенях и в то же время повысить логический элемент

* Л. Франк в специальном докладе предлагал ввести в средней школе даже элементы номографии. Заметим, что идею функции широко провел через свой оригинальный курс алгебры (1911) К. Ф. Лебединцев.

в старших классах, считаясь, однако, с психологическими особенностями возраста учащихся и с доступностью для них преподаваемого материала». Съезд далее признал «своевременным опустить из курса математики средней школы некоторые вопросы второстепенного значения, провести через курс и ярко осветить идею функциональной зависимости, а также — в целях сближения преподавания в средней школе с требованиями современной науки и жизни — ознакомить учащихся с простейшими и несомненно доступными им идеями аналитической геометрии и анализа». В других резолюциях подчеркивалась необходимость систематического повышения квалификации учителей, расширения программ в женских школах и т. д.*.

Ровно через три года в Москве (с 8 по 16 января 1915 г.) состоялся 2-й Всероссийский съезд преподавателей математики. Открывая съезд, проф. Б. К. Млодзеевский также отмечал, что «успехи естествознания и техники выдвинули вопрос о введении в среднюю школу вопросов, изучаемых теперь обыкновенно в высшей школе; стало очевидным,что в настоящее время основные понятия исчисления бесконечно малых, аналитической геометрии и теории вероятностей должны быть достоянием каждого образованного человека». Те же идеи выдвинуты были в докладе А. И. Бачинского о запросах преподавателя физики в области математики. С. Н. Бернштейн подробно изложил свой взгляд на приемы введения понятия о функции. Считая, что учащихся средней школы нужно ознакомить и с оперативным, и с табличным, и с графическим определениями, он утверждал даже, что «на первый план следует выставить оперативное определение функции и, как его простейший, хотя и очень частный пример, аналитическую функцию, т. е. строку Тэйлора».

В остроумном докладе самарского педагога Е. Кедрина были подвергнуты критике условные определения, получившие широкое распространение в учебной литературе, например в курсе алгебры Киселева («условились разность между двумя равными числами считать равной 0» или «условились дугу считать больше хорды» и т. п.). Кедрин указывал, что такие определения чаще всего сообщаются без объяснения их целесообразности и их значения. Считая, что разъяснить все это ученикам невозможно, Кедрин, однако, склонялся в пользу прежней манеры введения выражений вроде а О или с0 и т. п., как вытекающих из наших первоначальных понятий и потому имеющих заранее определенный однозначный смысл. Здесь нет возможности останавливаться на других докладах об отрицательных числах в курсе алгебры, о теории пределов в курсе геометрии, о письменных работах, о контроле успеваемости и т. д.**.

Обозревая доклады на этих двух педагогических съездах, следует сказать, что в них, наряду с интересными идеями, содержалось и много спорных, а также и прямо неверных предложений. Так, несомненными крайностями являлись предложения Франка или же педагогов, настаивавших на немедленном введении курса теории вероятностей. Русская методическая мысль в условиях старого времени не могла разобраться полностью в столь широко поставленных вопросах, а также не могла рассчитывать на реализацию наиболее передовых идей.

Решение сложнейших вопросов методики математики в средней школе выпало уже на долю советской педагогики, вооруженной марксистско-ленинской методологией.

2. Математика в университетах. Судьба высшего образования в России во многом повторяла судьбу образования среднего. Мы не будем затрагивать здесь истории преподавания математики в различных технических институтах и коснемся лишь университетского преподавания. Университетский устав 1863 г., как и гимназический 1864 г., представлял собой несомненный шаг вперед в сравнении с уставом николаевской эпохи и открывал перед университетами более широкие перспективы развития. Вместе с тем увеличено было число кафедр и примерно на две трети возросло число преподавателей. Возникли и новые университеты. В 1864 г. по инициативе Н. И. Пирогова был открыт новый университет в Одессе, в 1869 г. — в Варшаве, в 1888 г.—в Томске. Наконец, во время первой империалистической войны был организован также университет в Ростове на Дону.

Революционные движения, быстро развивавшиеся в студенческой среде, вызвали вскоре, однако, ряд репрессий со стороны правительства, а в 1884 г. был введен и новый, чрезвычайно реакционный устав. Студентам запрещалось устраивать даже научные кружки, запрещались собрания и кассы взаимопомощи, повышалась плата за право учения и т. д. Впоследствии властям пришлось от некоторых мер отказаться и, например, разрешить научные кружки, но, с другой стороны, по отношению

* «Труды 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики, т. I—III, СПБ 1913.

** «Доклады, читанные на 2-м Всероссийском съезде преподавателей математики в Москве», М. 1915.

к «крамольным» студентам неизменно применялись самые суровые меры, вроде «временных» правил 1899 г. об отдаче в солдаты студентов, уволенных из учебного заведения за участие в беспорядках.

Число студентов в университетах постепенно возрастало. Понизившись в последние годы царствования Николая I с 4,5 тысяч до 3 тысяч, оно в 1860 г. составило 5 453, в 1880 г.—8 193, а к 1900 г.—17 508 (из них 1109 вольнослушателей). Почти половина студентов училась в обеих столицах. При этом на физико-математическом факультете обучалось около 20 — 23 °/0 общего их числа.

Программы физико-математических факультетов отличались еще долгое время широтой охвата и вместе с тем сравнительно малой специализацией*. Разумеется, здесь многое зависело от индивидуальности профессоров и доцентов, которые могли объявлять те или иные факультативные курсы, но число последних было обычно невелико.

Уровень преподавания в различных университетах был весьма различен. Выше всего долгое время преподавание было поставлено в Петербургском университете, где работали П. Л. Чебышев, а затем блестящая плеяда его учеников, которые разносили его научные и педагогические традиции также и по другим университетам: А. М. Ляпунов в Харькове, Г. Ф. Вороной и Д. Д. Мордухай-Болтовской в Варшаве, А. В. Васильев в Казани, Д. А. Граве в Киеве и т. д. В Москве на физико-математическом факультете преподавал ряд блестящих механиков, среди которых первое место принадлежало Н. Е. Жуковскому, а в конце XIX и в начале XX в. в Москве развернули активную педагогическую деятельность Л. К. Лахтин, Б. К. Млодзеевский, Д. Ф. Егоров, И. И. Жегалкин. В провинциальных университетах работали и другие крупные ученые: в Казани — А. П. Котельников и затем Д. Н. Зелигер, в Харькове — В. А. Стеклов, С. Н. Бернштейн, Д. М. Синцов, в Варшаве — Н. Я. Сонин, в Одессе — В. Ф. Каган и С. О. Шатуновский и т. д.

Действовавшие программы и традиционные формы обучения сильно стесняли возможности роста факультетского преподавания. Совершенно естественно, что основной костяк математического образования составляли курсы высшей алгебры, аналитическое геометрии и анализа с его главными подразделениями, в том числе вариационного исчисления и теории дифференциальных уравнений. Но обогащение и курсов и программ происходило медленно. Для примера укажем, что с идеями неевклидовой геометрии в Московском университете стали знакомить только в самом конце XIX в. и что еще в начале XX в. в Петербурге не было курса теории функций комплексного переменного. Теоретико-групповые идеи в курс алгебры в Киевском университете были введены лишь в 10-е годы и т. д. К этому следует добавить, что еще во второй половине XIX в. даже в лучших университетах иные курсы читались на недостаточно высоком уровне. Несомненные прямые ошибки имелись в лекциях московского профессора Н. В. Бугаева, о чем свидетельствует его «Введение в анализ и дифференциальное исчисление» (М. 1902). Многие воспитанники МГУ помнят, как почтенный профессор Л. К. Лахтин на склоне лет своих излагал— разумеется, без единой ошибки—краткий, простенький и нестрогий курс анализа в то самое время, когда в соседних аудиториях работали студенческие семинары по теории множеств и топологии.

Отсутствовали или почти отсутствовали и многие привычные теперь формы педагогического процесса. Совершенно недостаточное внимание уделялось упражнениям, и мало где студенты привлекались к работе в специальных семинарах. В Петербурге такие семинары появились еще при Чебышеве, но, скажем, в Москве они стали возникать лишь незадолго перед Октябрьской революцией. Недоставало и учебной литературы, для чтения некоторых дисциплин не имелось на факультетах специалистов. Радикальные перемены во всем этом могли произойти лишь после Октября. И все же благодаря творческим усилиям отечественных ученых университетское преподавание математики быстро развивалось по восходящей линии и, как мы увидим, приносило богатые плоды.

Создавалась в это же время учебная и монографическая литература. Так, появились прекрасные курсы по теории конечных разностей и теории вероятностей А. А. Маркова, по приближенным вычислениям — А. Н. Крылова, по уравнениям с частными производными — В. А. Стеклова, труды по неевклидовой геометрии и основаниям геометрии —В. Ф. Кагана, оригинальные руководства по алгебре и теории чисел — Д. А. Граве и многие иные. Широкую просветительную деятельность в начале XIX в. вело в области физико-математических наук

* В 1884 г. на физико-математических факультетах состояли кафедры: 1) чистой математики, 2) теоретической и прикладной механики, 3) астрономии и геодезии, 4) физики и физической географии, 5) химии, 6) минералогии и геологии, 7) ботаники, 8) зоологии, сравнительной анатомии и физиологии, 9) технологии и технической химии и 10) агрономии.

издательство «Матезис»*, выходили сборники «Новых идей в математике», выпускавшиеся А. В. Васильевым и П. С. Юшкевичем. Но вместе с тем еще не был создан тогда на русском языке хороший и современный по духу университетский курс анализа.

Большую роль в развитии математики сыграли возникавшие при университетах научные общества и их печатные органы. Общества эти явились не только идейными центрами математического прогресса, но и оказали серьезное влияние на университетское преподавание. Первое место среди них и по времени и по значению принадлежит Московскому математическому обществу.

3. Московское математическое общество. В начале 60-х годов XIX в. в Московском университете около профессора Н. Д. Брашмана, о котором уже говорилось ранее, группировался кружок молодых математиков, физиков, механиков и астрономов. По большей части это были воспитанники и работники университета, как А. Ю. Давидов, замечательный астроном Ф. А. Бредихин, Н. В. Бугаев, В. Я. Цингер и др., но также и внеуниверситетские деятели, вроде А. В. Летникова и К. М. Петерсона. 15 сентября 1864 г. на первом заседании кружка, избравшего своим президентом Брашмана, было задумано организовать научное общество. Некоторое время спустя кружок принял решение просить об официальном учреждении общества, которое и было открыто вскоре после кончины Брашмана, 9 февраля 1867 г.

Возникновение Московского математического общества, первого по существу научного математического общества в нашей стране, явилось следствием и серьезного научного роста кадров на физико-математическом факультете и широкого общественного движения 60-х годов**. Работе общества с самого начала был придан регулярный характер. Ежемесячно происходили заседания, посвященные научным докладам, и сразу же начато было издание «Математического сборника», первый том которого вышел в октябре 1866 г.***. Деятельность общества наталкивалась при этом на большие денежные затруднения; не получая долгие годы почти никакой помощи извне, общество одно время вынуждено было даже отказаться от ежегодного издания «Сборника», и два тома его появились с двухгодичными промежутками.

Интересы членов общества и его руководства естественным образом определяли и направление его деятельности. Первым президентом его был в 1867 — 1885 гг. А. Ю. Давидов (1823— 1885), механик и математик, а вместе с тем знаток техники, основатель Общества любителей естествознания, автор известных руководств для гимназий и деятель средней школы. В. Я. Цингер, состоявший президентом затем до 1891 г., был и геометром и ботаником. Н. В. Бугаев — президент в 1891 —1903 гг., работавший преимущественно в области теории чисел, вместе с тем писал учебники для средней школы и являлся с конца 60-х годов одним из активных деятелей Общества распространения технических знаний. Наконец, в 1905 — 1921 гг. президентом был знаменитый механик и теоретик воздухоплавания Н. Е. Жуковский. Если к этому добавить, что активными членами общества были и астрономы и физики, то станет понятным, что деятельность общества весьма длительное время развивалась в различных направлениях. Это отразилось и на содержании «Математического сборника». В первых томах его из 164 статей по математике было 83, по механике 45, по физике и астрономии 36. После кончины Давидова удельный вес математических статей значительно возрос, но еще многие годы сборник не являлся чисто математическим журналом. В первых десяти томах помещались вместе с тем не только работы по высшей математике, но и статьи по элементарной математике, по истории математики, а также рецензии на учебную литературу.

Научная жизнь на физико-математическом факультете Московского университета и в Московском математическом обществе, начиная с 60-х годов, сильно оживилась. Быть может, это в особенной мере относилось первоначально к механике, главным образом благодаря кипучей работе Н. Е. Жуковского (1847 — 1921), окончившего университет в 1868 г., в 1872 г. начавшего преподавание в Московском высшем техническом училище и с 1886 г. состоявшего профессором механики в МГУ. Деятельности Жуковского как механика мы здесь касаться не можем, но следует подчеркнуть, что и перед русской математикой заслуги «отца русской авиации» были очень велики. Проблемы меха-

* Большое распространение, между прочим, имела увлекательная и очень своеобразно составленная «Энциклопедия математики. Очерк ее современного положения» Граве (Киев 1912). К сожалению, эта книга устарела, а новой подобной популярной работы не имеется.

** В это же время, но по большей части позднее, возник ряд математических обществ и в других государствах: в Лондоне (1865), во Франции (1872), еще позднее в Нью-Йорке (1881), Палермо (1883), в Германии (1890).

*** Первым специальным математическим журналом в нашей стране был выходивший недолго с 1862 г. в Вильнюсе «Вестник математических наук», в котором участвовали ученые Москвы, Казани, Киева, Одессы и других городов.

ники одновременно являются проблемами математики, и Жуковский, частью непосредственно, частью через своих многочисленных учеников, влиял и на разработку математических методов. В этой связи можно отметить, например, работу самого Жуковского о геометрической интерпретации рассмотренного Ковалевской случая движения твердого тела около неподвижной точки, а затем его участие в качестве оппонента на защитах докторских диссертаций А. М. Ляпунова, Д. Н. Зелигера, С. А. Чаплыгина и т. д. Наиболее выдающийся из учеников Жуковского акад. С. А. Чаплыгин (1869—1942), также воспитанник МГУ и с 1903 г. профессор по прикладной математике, наряду с фундаментальными работами по теоретической аэродинамике разработал и важный метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений.

Что касается роли Жуковского как президента Математического общества, то ее выпукло охарактеризовал Б. К. Млодзеевский в словах: «Московское математическое общество имело Николая Егоровича своим бессменным президентом в течение многих лет. Во все это время он был поистине душою Общества, в нем все мы постоянно находили живой интерес к нашей работе, а молодые силы — поощрение и поддержку. Его научное дарование представляло счастливое соединение геометрической интуиции, чувства живой действительности и аналитического искусства, и это позволило ему еще более укрепить в Обществе ту широту научных интересов, которая была ему свойственна»*.

Разрабатывались в Москве и различные разделы математики. Так, профессор и чл.-корр. Академии наук Н. В. Бугаев (1837 — 1903) занимался некоторыми задачами теории чисел**. Его ученик Л. К. Лахтин (1858 — 1927), профессор в Юрьеве (Тарту) и позднее в Москве, — разрабатывал вопросы высшей алгебры. Ряд работ по высшей алгебре и анализу опубликовал также другой ученик Бугаева — П. А. Некрасов (1853— 1924), с 1886 г. бывший профессором МГУ и впоследствии ставший, к сожалению, реакционнейшим чиновником царского режима. Интересные и оригинальные исследования по теории дифференцирования с дробным индексом и ее приложениям к решению линейных дифференциальных урарнений с переменными коэфициентами и к специальным функциям провел профессор Московского высшего технического училища и чл -корр. Академии наук А. В. Летников (1837 —1888).

Наибольший интерес, однако, в первые десятилетия работы Московского математического общества представляют различные геометрические исследования. Зачинателем их в Москве явился эстонец К. М. Петерсон (1828 — 1881), воспитанник Юрьевского университета и ученик Миндинга. Занимая скромную должность учителя гимназии, Петерсон был, однако, одним из наиболее одаренных московских математиков того времени. Еще в своей кандидатской диссертации, до сих пор неизданной (она хранится в архиве Тартусского университета), Петерсон провел оригинальные изыскания по теории поверхностей, причем на 3 года ранее публикации Майнарди (1856) употребил соотношения, равносильные т. н. формулам Майнарди— Кодацци, связывающим коэфициенты и их производные для первой и второй квадратичных форм. В Москве Петерсон продолжил работы по теории поверхностей, публикуя свои результаты почти исключительно в «Математическом сборнике». Важную группу проблем Петерсона составили вопросы теории изгибания поверхностей, т. е. такого преобразования одной поверхности в другую, при котором не изменяются длины кривых на поверхностях и углы между пересекающимися линиями (простейшим образцом может служить развертывание конуса в кусок плоскости). Работы Петерсона по теории т. н. изгибания поверхностей на главном основании послужили отправным пунктом плодотворных трудов целой школы московских дифференциальных геометров — Б. К. Млодзеевского, Д. Ф. Егорова, а также многих ныне здравствующих ученых.

В области проективной геометрии работал В. Я. Цингер (1836—1907), учеником которого явился известный геометр, профессор Харьковского, а затем Московского университетов К. А. Андреев (1848—1920), автор распространенного в свое время курса аналитической геометрии. Следует напомнить и тот факт, что в III т. «Математического сборника» за 1868 г. был издан выполненный Летниковым перевод «Геометрических исследований» Лобачевского с предисловием, в котором отдавалась дань уважения смелым и оригинальным идеям творца неевклидовой геометрии. Четверть века спустя жизни и творчеству Лобачевского была посвящена в XVII т. сборника за 1894 г. статья Л. К. Лахтина.

Яркой фигурой среди московских математиков того времени был В. В. Бобынин (1849— 1919), воспитанник МГУ и с 1882 г. приват-доцент на его физико-математическом факультете. Бобынин явился первым русским истори-

* См. книгу Л. С. Лейбензона, Николай Егорович Жуковский, М.—Л. 1947, стр. 104 и след.

** Я не касаюсь здесь реакционных идеалистических философских взглядов Бугаева и отдельных его коллег (например, Некрасова).

ком математики, первый поставил чтение этой дисциплины в университете и первый же положил своими замечательными «Очерками развития физико-математических знаний в России» (ч. 1, 1886, ч. 2, 1890) начало изучению отечественной математики. История математики являлась любимым делом Бобынина; ей он отдал и свои силы и свое состояние, издавая на собственный счёт интересный журнал «Физико-математические науки в их прошедшем и настоящем». Большая часть статей этого журнала, содержавшего статьи по истории математики, библиографические обзоры, новинки научной жизни, статьи по методологии науки, биографии и т. д., писалась самим Бобыниным. Журнал выходил в течение 20 лет (1888—1907) и закрылся из-за недостатка средств у издателя. Особенное значение имеют работы Бобынина по истории русской математики в XVII и начале XVIII в., в частности анализ рукописей XVII в. и трехтомная «Русская физико-математическая библиография», доведенная от начала книгопечатания до 1816 г. Общее число печатных работ Бобынина превосходило 200. Заслуги Бобынина не были оценены в старой России, и даже профессуру он получил уже после Октябрьской революции, 68 лет от роду.

Таким образом, в первые сорок лет существования Московского математического общества в нем организована была регулярная и серьезная научная работа, а «Математический сборник» приобретал все большую известность.

Вместе с тем, по сравнению с великолепными достижениями петербургской школы, исследования московских математиков были долгое время менее значительными, и самая тематика их была более узкой и менее актуальной. И несмотря на то, что Чебышев явился одним из членов-учредителей московского общества и опубликовал в его сборнике несколько первоклассных работ (печатался в сборнике и А. Н. Коркин), между ведущей в ту эпоху чебышевской школой и школой московской серьезного научного контакта еще не было.

Начало XX века явилось переломным для физико-математического факультета МГУ. В области физики это время было отмечено работами гениального П. Н. Лебедева и шедшего к закату жизни, но попрежнему чрезвычайно активного и молодого душой Н. А. Умова, а в области математики деятельностью группы блестящих профессоров — Д. Ф. Егорова, Б. К. Млодзеевского, И. И. Жегалкина, и других, внесших в преподавание математики новые, передовые идеи. Подобно тому как Умов блестяще развил в последних своих работах идеи только что возникавшей специальной теории относительности, так только что названные математики стали разрабатывать идеи новых теории множеств и теории функций действительного переменного. Так, Б. К. Млодзеевский (1859—1922) в самом начале XX в. прочитал в Москве первый курс теории функций действительного переменного*, а И. И. Жегалкин (1869—1947) в 1908 г. опубликовал книгу по теории трансфинитных чисел, содержавшую оригинальное и первое на русском языке детальное изложение этого вопроса. Но более всего принципиальный поворот в развитии московской математики оказался связанным с деятельностью профессора, позднее почетного академика Д. Ф. Егорова (1869— 1930) и его ученика, ныне академика Н. Н. Лузина.

Д. Ф. Егорову принадлежат работы в разных областях математики: по теории поверхностей, вариационному исчислению, курс которого он издавна читал на весьма высоком уровне, интегральным уравнениям. Эти работы весьма интересны, и тем не менее основоположная роль Егорова в развитии московской, а затем и русской математики в целом определялась другим. Ознакомившись с новейшими работами по теории функций, Егоров рано — одним из первых в Европе — пришел к убеждению в коренной важности этой молодой дисциплины для дальнейших успехов математического анализа. В этом его поддержал Млодзеевский. Вдвоем они начали пропаганду новых идей среди немногочисленной, но чрезвычайно одаренной молодежи, учившейся в МГУ на рубеже первых двух десятилетий нашего века. При этом они оба применили новую форму работы со студентами — научные семинары, в которых реферировались новейшие работы по различным вопросам, и тем самым впервые ввели столь привычную теперь форму активного вовлечения студентов в научную деятельность, форму, без которой ныне педагогический процесс нам кажется почти немыслимым.

Сам Егоров в 1911 г. опубликовал одну из основных теорем метрической теории функций, согласно которой всякая последовательность измеримых функций, почти всюду сходящаяся на измеримом множестве, является равномерно сходящейся на совершенном множестве, отли-

* Главные работы Б. К. Млодзеевского, как упоминалось, относились к области геометрии, в частности многомерных пространств. Из его семинара по дифференциальной геометрии, возникшего в 1905 г., вышел ряд крупных советских геометров. Другим выдающимся московским геометром рассматриваемого времени был профессор А. К. Власов (1869—1923), занимавшийся проективной геометрией.

чающемся от первого на множество сколько угодно малой меры. Вскоре за этим последовало открытие Н. Н. Лузиным знаменитой теоремы о том, что всякая измеримая функция, если откинуть ее значение на множестве сколько угодно малой меры, есть функция непрерывная (1912). За этой теоремой Лузина последовал ряд его блестящих работ по теории меры и тригонометрических рядов, а в 1916 г. он, миновав магистерскую защиту, защитил докторскую диссертацию «Интеграл и тригонометрический ряд» (М. 1915), явившуюся отправным пунктом многих работ как ее автора, так и других ученых.

Широкая научно педагогическая деятельность Н. Н. Лузина началась с 1914 г. Лекторское дарование, страстное увлечение своей тематикой, прямое общение со слушателями и участниками его семинаров позволили ему привлечь к дальнейшей разработке теоретико-функциональных вопросов ряд младших товарищей и студентов. Педагогическая работа Лузина принесла почти немедленно прекрасные плоды. В 1916 г. были опубликованы три выдающихся результата — П. С. Александрова (о мощности множеств, измеримых в смысле Бореля), Д. Е. Меньшова (пример тригонометрического ряда, не все коэфициенты которого равны нулю и который, тем не менее, сходится к нулю, если пренебречь множеством меры нуль), А. Я. Хинчина (новое обобщение понятия об интеграле, т. н. интеграл Хинчина — Данжуа). Еще через год, в 1917 г., М. Я. Суслин (1894—1919), обнаружив одну ошибку Лебега, пришел к открытию важного класса А — множеств. И в этом же году состоялась защита магистерской диссертации В. В. Голубева по теории аналитических функций с совершенным множеством особых точек, в которой идеи теории функций действительного аргумента применены были к функциям комплексного аргумента.

Так было положено начало новой Московской математической школе, которая с таким блеском расцвела уже после Октябрьской революции*.

4. Провинциальные центры математической мысли. Мы кратко остановимся в заключение на успехах математики в некоторых университетах провинции. В Юрьевском—Тартусском—университете на протяжении XIX в. работало немало интересных ученых. Наиболее видным среди них был Ф. Г. Миндинг (1806—1885), состоявший профессором в Тарту с 1843 по 1883 г., в 1864 г. избранный членом-корреспондентом Академии наук и в 1879 г. почетным академиком. Научное творчество Миндинга отличалось большим разнообразием. Ему принадлежали очень ценные результаты по теории интегрирующего множителя дифференциального уравнения 1-го порядка, развивавшие труды Эйлера и получившие высокую оценку Остроградского, а также по теории поверхностей и их изгибания. Имя его, между прочим, носит теорема о том, что геодезическая кривизна линии при изгибании несущей ее поверхности не меняется. Работы Миндинга, как упоминалось, явились отправным пунктом для Петерсона и его последователей**.

В другом старейшем университете страны, Харьковском, кафедру математики после Лобачевского в 1846—1866 гг. возглавил его ученик А. Ф. Попов, интересы которого лежали в области анализа. И при Попове, и некоторое время спустя идеи Лобачевского в Казани дальнейшего развития не имели.

Вскоре, однако, в Казанском университете возродился интерес к творчеству его великого воспитанника и профессора. Уже в 1867 г. был поднят вопрос о новом издании трудов Лобачевского, и особенно по теории параллельных (оно вышло в 1883 — 1886 гг.). В 1893 г. в Казани был торжественно отпразднован 100-летний юбилей со дня рождения Лобачевского и собран капитал его имени для премирования лучших работ по геометрии. В это время Казань стала одним из центров пропаганды неевклидовой геометрии. В пропаганде творчества Лобачевского большую роль сыграл, в частности, внук его товарища Симонова, А. В. Васильев (1853 — 1929), окончивший Петербургский университет, а затем работавший в Казани и Петербурге. Не будучи крупным творческим ученым, Васильев многое сделал не только для изучения жизни Лобачевского и распространения его идей, но и в других областях математического просвещения. В Казани он читал, например, впервые курс теории функций комплексного переменного, что было новинкою еще в конце XIX в.; перу его принадлежали многочисленные учебные пособия, в которых излагались новые математические теории, популярные книги по истории математики («Целое число», 1921), ценный

* См. статьи В. В. Степанова «Московская школа теории функций» в «Ученых записках МГУ», вып. 91, 1947; П. С. Александрова, Б. В. Гнеденко и В. В. Степанова «Математика в МГУ в XX веке», Историко-математические исследования, вып. I, М. 1948, и статью Д. Е. Меньшова и П. С. Новикова в брошюре «Николай Николаевич Лузин», М.—Л. 1948.

** См.: А. В. Васильев, «Математика», 1921. стр. 38—43.

очерк по истории математики в России до 60-х гг. XIX в. и множество статей.

Серьезные заслуги в дальнейшем развитии геометрии приобрел сын казанского профессора механики А. П. Котельников (1865 — 1944), работавший и в Казани и в Киеве, а в последние годы жизни профессором механики в Московском высшем техническом училище. В магистерской диссертации «Винтовое счисление» (1896) и затем в диссертации, принесшей ему одновременно звание доктора чистой и прикладной математики,— «Проективная теория векторов» (Казань 1899) Котельников дал весьма полное и оригинальное построение общей теории векторов и механики в неевклидовом пространстве. Важную роль в работе Котельникова имели введенный им новый класс комплекных чисел a-\-b(at у которых мнимая единица удовлетворяет условию со2 равна 0,1 и—1 соответственно для пространств Евклида, Римана и Лобачевского. В ряде существенных пунктов работы А. П. Котельникова на S лет опередили исследования немецкого ученого Штуди*.

К работам Котельникова частично примыкали работы Д. Н. Зелигера (род. в 1864 г.), окончившего университет в Одессе, защитившего в Москве докторскую диссертацию по механике и с 1895 г. работавшего в Казани. Зелигер изучал дифференциальную геометрию пространства, элементами которого служат прямые линии. В Казанском же университете работал в 1894 —1898 гг. его воспитанник Д. М. Синцов (род. в 1867 г.), позднее бывший профессором в Харькове и действительным членом Академии наук УССР. Синцовым был выполнен обширный цикл работ по геометрической теории решений для некоторых видов дифференциальных уравнений. И впоследствии в Казани активно работала серьезная геометрическая школа.

Деятельности математиков Харьковского университета нам уже приходилось касаться ранее, в связи с работой в нем А. М. Ляпунова и В. А. Стеклова. В Харькове же работали геометр К. А. Андреев (до 1898 г., когда он вернулся в Москву) и только что упоминавшийся Д. М. Синцов. В начале XX в. в Харькове же получил приват-доцентуру С. Н. Бернштейн (ныне академик). Научная и педагогическая деятельность С. Н. Бернштейна, позднее переехавшего в Ленинград и затем в Москву, сообщила новое направление харьковской, да и не только харьковской математике.

Работы С. Н. Бернштейна относятся преимущественно к трем областям: уравнениям с частными производными, теории приближения функций полиномами и теории вероятностей По тематике они, таким образом, родственны петербургской школе и, действительно, в ряде случаев отправными для них являлись труды Чебышева и его учеников. Но и в постановке проблем и в методах их изучении С. Н. Бернштейн пошел далее, широко используя богатый комплекс идей новой теории функций, современной аксиоматики, теории функций комплексного переменного и г. д. Уже работа 1903 г., в которой Бернштейн дал решение одной из поставленных Гильбертом задач о характере решения эллиптических уравнений с частными производными, принесла ему широкую известность, еще возросшую после решения дру гой задачи Гильберта из области уравнений с частными производными Докторская диссертация С. Н. Бернштейна «О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени» (Харьков 1912 — 1913) явилась продолжением работ Чебышева и его школы. Этот цикл исследований Бернштейна разрабатывался им, однако, с совершенно новой точки зрения. Исходной идеей было здесь выявление и использование связей с теорией функций, в частности с известной теоремой Вейерштрасса о разложимости всякой непрерывной функции в равномерно сходящий ся ряд полиномов. Эта общая идея оказалась чрезвычайно плодотворной и привела С. Н. Бернштейна к важным открытиям в заново развитой им «конструктивной теории функций действительного переменного», в теории интерполирования, в проблеме приближенного вычисления интегралов и т. д. Позднее работы С. Н. Бернштейна были развиты далее его харьковскими учениками. Наконец, в области теории вероятностей Бернштейн подверг дальнейшему исследованию предельные теоремы, предложил первую аксиоматику теории вероятностей и много занимался задачами математической статистики.

В более молодом Киевском университете заслуживает упоминания активная педагогическая и литературная деятельность М. Е. Ващенко-Захарченко (род. в 1825 г.), окончившего этот же университет. В своих лекциях он знакомил слушателей со специальными отделами теории чисел, проективной геометрией и, по-видимому, впервые в университетах читал в 1878—1881 гг. курсы неевклидовой геометрии. Широта интересов Ващенко-Захарченко отразилась и на выборе темы докторской диссертации, которую он посвятил изложению находившейся в ту эпоху в стадии разработки

* Уже в последние годы жизни А. П. Котельников снабдил прекрасными комментариями некоторые труды Лобачевского, издаваемые в его полном собрании сочинений.

теории функций комплексного переменного (Киев 1866). Видным киевским профессором являлся также В. П. Ермаков (родился в 1845 г.), давший ряд работ по анализу и теории рядов; имя его носит один довольно общий признак сходимости (1870). Новую научную школу в Киере создал, однако, только Д. А. Граве.

Д. А. Граве (1863—1939) окончил Петербургский университет, и работы его были тесно связаны с интересами школы, в которой он воспитывался. В магистерской диссертации 1889 г. он продолжил разработку коркинских методов интегрирования уравнений с частными производными 1-го порядка. В 1894 г. он, как уже упоминалось, нашел доказательство высказанной в 1853 г. Чебышевым теоремы о картографической проекции с наименьшими уклонениями масштаба. Докторская диссертация Граве также примыкала к картографическим проблемам, восходившим еще к Эйлеру и весьма интересовавшим петербургскую школу. А. Н. Коркин выдвинул задачу об определении т. н. эквивалентных проекций, при которых площади криволинейных фигур на данной поверхности переходят в равновеликие площади па карте (при этом меридианы и параллели переходят в прямые и круги). В сочинении (Об основных задачах математической теории построения географических карт», СПБ 1896) Граве нашел все 11 возможных типов таких проекций.

После нескольких лет педагогической работы в Петербурге и Харькове Д А. Граве занял кафедру математики в Киевском университете. С этого времени интересы его переключились главным образом на алгебру и теорию чисел, причем он явился первым у нас пропагандистом теории групп. Педагогическая и литературная деятельность его была разнообразна и плодотворна; он издавал и превосходные книги по элементарной математике («Начала алгебры», СПБ 1915) и специальные руководства по страховому делу, теории эллиптических функций, аналитической геометрии и т. д. Особенное значение имели его курсы алгебры и теории чисел, а также «Теория групп» (1908). Увлекательный лектор и научный руководитель, Д. А. Граве воспитал в Киевском университете целую школу научных работников в области теории групп, алгебры и теории чисел, и прямыми учениками его были академик О. Ю. Шмидт, еще в 1916 г. издавший оригинальную «Абстрактную теорию групп», члены-корреспонденты АН СССР Б. Н. Делоне и Н. Г. Чеботарев (1894—1947), проф. В. А. Тартаковский и др.

Д. А. Граве продолжал интенсивную научную педагогическую и литературную деятельность и в советское время, был избран действительным членом АН УССР и почетным академиком и имел счастье наблюдать за яркими успехами и собственных воспитанников и учеников своих учеников*.

С конца XIX в. математическая и научная деятельность развернулась и в Одесском университете. Профессор И. Ю. Тимченко (умер в 1940 г.), вслед за Бобыниным и Ващенко-Захарченко, явился одним из первых русских историков математики. Главным трудом его явилась замечательная по богатству содержания книга «Исторические сведения о развитии понятий и методов, лежащих в основании теории аналитических функций» (Одесса 18£9), в которой автор собрал и оригинально осветил огромный материал по истории анализа до начала XIX в. Ряд глубоких исследований выполнил приват-доцент и уже после 1917 г. профессор С. О. Шатуновский (1859—1929). В работе об измерении объемов многогранников он решил один трудный вопрос, не поддавшийся усилиям Гильберта (1903), и ранее Веронезе дал строгий анализ понятия площади как величины. Ему же принадлежит аксиоматическое построение учения о величине, которое он доложил в 1913 г. на I съезде преподавателей математики и включил в известный курс «Введения в анализ», возникший из его лекций и опубликованный уже в 1923 г. В работе «Алгебра, как учение о сравнениях по фукциональному модулю» (Одесса 1917) Шатуновский дал новое построение теории Галуа, а во введении к этому сочинению первый указал на логические трудности, связанные с применением закона исключенного третьего к бесконечным, а частью и к конечным множествам.

В Одесском же университете началась в должности приват-доцента деятельность профессора В. Ф. Кагана. В середине 90-х гг. В. Ф. Каган начал разработку и пропаганду идей неевклидовой геометрии и в 1900 г. дал первое обстоятельное изложение системы Лобачевского на русском языке («Очерк геометрической системы Лобачевского», Одесса 1900). В магистерской диссертации «Основания геометрии» (2 тт., Одесса 1905—1907) В. Ф. Кагана содержались своеобразное и отличное от данного несколько ранее Гильбертом аксиоматическое построение евклидовой геометрии в теоретико-групповом стиле (т. 1) и вместе с тем обширный обзор истории оснований геометрии (т. II). И другие главные работы Каина относились к геометрии, например его мемуар «О преобразовании многогранников» (1903), в котором было дано новое и сравнительно эле-

* О Граве см. статью Н. Г. Чеботарева в «Сборнике памяти Д. А. Граве» (М. 1940).

ментарное решение известной задачи Гильберта и доказано существование многогранников равновеликих, но неравносоставленных. Широкую работу вел В. Ф. Каган и в области математического просвещения, редактируя «Вестник элементарной математики и опытной физики», руководя издательством «Матезис», участвуя в жизни средней школы, и т. д. После Октябрьской революции В. Ф. Каган переехал в Москву, где положил начало крупной тензорной дифференциально-геометрической школе.

Наконец, в самом молодом дореволюционном Ростовском университете научную работу первоначально возглавил ученик К. А. Поссе — профессор Д. Д. Мордухай-Болтовской, ранее преподававший в Варшавском университете. Ему принадлежит ряд исследований по вопросам интегрируемости в конечном виде трансцендентных функций, по теории трансцендентных чисел, по интегрируемости дифференциальных уравнений, истории математики, геометрии и т. д. В частности, он дал решение одной весьма трудной (22-й) задачи Гильберта (1913).

Оглянемся в заключение на путь, пройденный русской математикой за два столетия. На протяжении XVIII столетия сделан был резкий скачок от уроков арифметики, геометрии и тригонометрии в петровской Навигационной школе к созданию возглавленной Л. Эйлером первой петербургской школы, к методологическим работам С. Е. Гурьева и его последователей. На протяжении XIX в. в результате широкого общественного и культурного подъема страны замечательные русские ученые в смелом новаторском порыве выдвинули отечественную математику в ряде существеннейших пунктов далеко вперед за общую линию фронта математики зарубежной. Н. И. Лобачевский, разрушая идеалистические воззрения на пространство, показат людям путь к созданию новых геометрических систем и во многом предопределил направление физических изысканий начала XX в. П. Л. Чебышев, руководимый мыслью о единении теории и практики, создал новую теорию приближения функций, перестроил на научной основе теорию вероятностей, а также внес ценнейший вклад в разработку теории чисел. Ученики Чебышева —А. А. Марков, Е. И. Золотарев, А. М. Ляпунов и другие далеко продвинули дело, начатое учителем и в областях, им разрабатывавшихся и в лишь намеченных им и еще ранее М. В. Остроградским направлениях, например в теории дифференциальных уравнений.

В тяжелых условиях царского режима русская математика подходила к Октябрьской революции с крупнейшими достижениями. В Петербурге интенсивно продолжалась разработка проблем чебышевской школы, и в 1917 г. появилась первая из серии замечательных теоретико-числовых работ академика И. М. Виноградова. В Москве закладывались основы первой теоретико-функциональной школы, в Киеве—школы алгебраической, в Харькове создавалось новое направление в теории приближения функций и теории вероятностей, в Москве, в Одессе, Казани и Харькове велись исследования по разным вопросам геометрии.

И вместе с тем полнокровному развитию математических исследований в нашей стране препятствовала вся система царского режима. Народным массам не было доступа к просвещению вообще, к вершинам науки тем более. На физико-математических факультетах обучались по существу одиночки. Нигде не было научных институтов по математике. Во многих крупных городах не имелось высших школ, и многим талантливым математикам негде было целесообразно приложить свои силы. Связь математики с народнохозяйственными нуждами была еще слаба, несмотря на кипучую деятельность таких гигантов и теоретической и прикладной науки, как Н. Е. Жуковский или А. Н. Крылов. Нехватало учебной и научной литературы на русском языке. В ряде случаев велико еще было преклонение перед иностранными «авторитетами». Нехватало и специалистов по ряду математических дисциплин.

Коренной переворот в развитии отечественной математики мог явиться и явился только прямым следствием коренного общественного поворота в судьбах нашей родины. Необходимо было полное раскрепощение скованных старым режимом великих сил нашего великого народа, необходимы были активная всенародная поддержка и постоянная направляющая помощь коммунистической партии и советского правительства, для того чтобы вся наука и вместе с тем математика в нашей стране достигли нынешнего своего блестящего расцвета. Это раскрепощение принесла Великая Октябрьская социалистическая революция, открывшая и новый, советский период в истории математики, период замечательных дерзаний и великих достижений, которые выдвинули ныне советскую математическую школу на первое место в мире.

МЕТОДИКА

К ВОПРОСУ О СОДЕРЖАНИИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Т. А. ПЕСКОВ (Уфа)

В статьях И. В. Арнольда и С. И. Новоселова («Математика в школе», № 2 за 1946 г.) рассматривается весьма интересный и большой вопрос о содержании арифметических задач в нашей школе.

Следует признать, что И. В. Арнольд был прав, считая не изжитым до сих пор недостатком искусственность числовых данных, как, например, 3 -jg- кг сахара, 2 -у р. Такие числа встречаются и в сборнике Березанской: 72-^- р., длина прямоугольника 0,0(36) м и ширина 0,1(2) м.

Особенно резко и вполне правильно подчеркивал И. В. Арнольд, что содержание задач часто бывает однообразным, неинтересным и скучным для детей. Он ставил вопрос о таком подборе задач, который удовлетворял бы любознательность и интерес учеников по отношению к различным предметам и явлениям окружающего нас мира. Против такой рекомендации не может быть никаких возражений принципиального характера, но подчинение содержания всех задач одной этой идее как руководящей — было бы неправильным.

Нельзя не согласиться с И. В. Арнольдом по вопросу о занимательных задачах. Занимательные задачи имеют большую давность. В наше время игнорирование таких задач совершенно недопустимо и включение таких задач в сборники арифметических задач крайне необходимо.

Безусловно был прав И. В. Арнольд и в утверждении, что чем осмысленнее для учащихся требование произвести тот или иной подсчет, тем лучше.

Изложенные выше рекомендации И. В. Арнольда не являются чем-то новым в методике математики, тем не менее они заслуживают внимания, во-первых, потому, что даются с учетом психологии учащихся, во-вторых, потому, что затронутые вопросы до настоящего времени не разрешены с практической стороны.

Однако И. В. Арнольд ограничился довольно общими указаниями, а в некоторых случаях допустил заведомо неприемлемую с методической точки зрения трактовку вопроса об арифметических задачах.

Остановимся прежде всего на вопросе об «искусственных» задачах.

Искусственные задачи помещаются в наших сборниках с целью развития математического мышления учащихся и выработки умения применять математическую теорию к более или менее сложным количественным соотношениям между различными объектами. Для дальнейшего изучения математики и, в частности, для решения задач в старших классах искусственные арифметические задачи имеют огромное значение. Если бы мы решали в школе исключительно конкретные, практические задачи, этим самым мы крайне ограничивали бы свои возможности в отношении математического развития учеников и развития их сообразительности.

Не изгоняя совершенно искусственные задачи из наших сборников, И. В. Арнольд допускал их в занимательной форме, если эти задачи «с изюминкой» или «с перцем».

На неприемлемость такой установки указывает С. И. Новоселов, вполне правильно утверждая, что стремление облекать искусственные задачи в занимательную форму может вредно отразиться на понимании учениками арифметической сущности задач.

Отвлекаясь занимательностью содержания от арифметической стороны задач, ученики не в состоянии будут установить, какие пройденные разделы арифметики они должны применить к решению той или иной задачи.

К аргументации С. И. Новоселова нужно добавить, что если бы мы и согласились с И. В. Арнольдом, мы все равно не могли бы предлагать учащимся искусственные задачи исключи-

тельно в занимательной форме, так как искусственных задач очень много, и во всей математической литературе мы не найдем такого большого количества соответствующих занимательных арифметических задач.

В статье И. В. Арнольда не упоминаются задачи, имеющие непосредственное отношение к идейно-политическому воспитанию учащихся. Необходимость решения таких задач диктуется принципом воспитывающего обучения. В постановлении ЦК ВКП (б) о школе от 25 августа 1932 года подчеркивается, что в упражнениях по математике должны быть использованы материалы социалистического строительства. Язык цифр весьма убедителен, и нужно признать странным, что преподаватели математики редко пользуются этим языком для идейно-политического воспитания учащихся, тогда как преподаватели конституции, истории и географии пользуются числовыми данными в воспитательной работе; числовыми данными оперируют пропагандисты и агитаторы как одним из средств коммунистического воспитания трудящихся. Таким образом, математическим языком пользуются в воспитательных целях люди разных специальностей, но математики меньше всего.

Много задач, построенных по материалам пятилетних планов, дается в статьях Л. Г. Круповецкого, напечатанных в журнале «Математика в школе»: № 4 за 1938 г., № 1 за 1939 г., № 5-6 за 1946 г. и № 3 за 1948 г.

Ценность этих задач с воспитательной точки зрения не подлежит сомнению, но ограничиваться исключительно материалами пятилетних планов означало бы некоторую узость в понимании многосторонней проблемы идейно-политического воспитания учащихся на уроках арифметики.

Нужно принять во внимание также, что задачи по материалам пятилетних планов довольно быстро требуют обновления. Отсюда возникает необходимость составления и таких задач воспитательного характера, которые были бы более разнообразны по содержанию и эффективность которых сохранялась бы достаточно долгое время.

Подводя итоги высказанным соображениям о содержании арифметических задач, мы приходим к выводу, что чрезмерное, одностороннее увлечение И. В. Арнольда задачами с интересной постановкой вопроса, а также занимательными задачами снизит удельный вес задач других категорий. Такое крайнее решение вопроса об арифметических задачах сделало бы невозможным достижение в полном объеме целей, преследуемых школьным курсом арифметики. Доминирование в школьной практике интересных и занимательных задач противоречило бы установке, данной великим русским педагогом К. Д. Ушинским, который рекомендовал сочетать занимательность обучения с требованием от учащихся неуклонного выполнения и неинтересных работ, необходимых по ходу обучения.

Попытки создать интересный для учеников задачник с большим выбором разнообразных задач имели место и в дореволюционное время. Мы укажем на сборник арифметических задач А. Н. Глаголева, где наряду с весьма хорошо составленными задачами жизненно-практического характера имеются задачи, за которые так горячо ратовал И. В. Арнольд, т. е. задачи, отражающие интересные для детей факты и явления окружающего мира. Само собою разумеется, в сборнике А. Н. Глаголева помещены в достаточном количестве и искусственные задачи.

Ниже мы предлагаем вниманию читателей образцы составленных нами задач в качестве дополнительных к школьному сборнику.

Кроме составленных нами задач, будут даны также заслуживающие внимания задачи из различных сборников.

Целые числа

Ученики, переходящие из начальной школы в V класс, в большинстве случаев не имеют представления о величине больших чисел. Поэтому надо на конкретных примерах познакомить учащихся с величиной миллиона и миллиарда. Прежде всего нужно дать такую задачу: Сколько потребуется времени, чтобы написать миллион букв? (Из методики арифметики С. И. Шохор-Троцкого.)

Сначала нужно предложить учащимся ответить на этот вопрос без предварительного вычисления (как им кажется). Ответы бывают очень разнообразными. Некоторые ученики заявляют, что они напишут миллион букв в */2 часа, другие в 1 час, в 2 часа, некоторые называют такие числа, как 1 день, 3 дня, причем большинство учеников находит этот ответ крайне преувеличенным.

Преподаватель выясняет, что правильный ответ можно получить только после вычисления, которое и предлагает сделать учащимся (считая, что в минуту можно написать 100 букв). Ученики получают в ответе 166 ч. 40 м., что при 8-часовом рабочем дне составляет почти 21 день. Ученики бывают очень удивлены таким результатом и в то же время удовлетворены тем, что приобрели хотя бы некоторое представление о величине миллиона.

После этого даются следующие задачи:

1) Сколько нужно поездов для перевозки 1 000С00 ц хлеба, если в каждый вагон погру-

жать 160 ц, а в составе поезда считать 50 вагонов ?

2) Может ли человек прожить 1 000 000 дней?

3) Может ли человек прожить 1 000000 часов?

41 Во сколько времени паровоз сделает 1000000 км пробега, если в 1 час в среднем он проходит 40 км!

При решении задачи о паровозе нужно сообщить учащимся, что на земном шаре нет двух таких пунктов, расстояние между которыми было бы равно 1 000 000 км, т. к. длина окружности экватора равна 40000 км.

5) Для ознакомления учащихся с величиной миллиарда нужно предложить им вычислить, сколько лет составит миллиард минут.

6) Мировая война 1914 — 1918 гг. обошлась для всех принимавших в ней участие государств в 168 млрд. довоенных рублей, не считая убытков от разрушенных городов и селений. Высчитать, сколько городов можно было бы построить на эти деньги, если считать в каждом городе 5000 домов стоимостью в среднем каждый дом в 40000 р.

7) После Великой Октябрьской социалистической революции безземельные и малоземельные крестьяне получили в бесплатное пользование 150 миллионов гектаров земли. По ценам 1916 г. 1 га земли стоил 112 руб. Высчитать стоимость земли, полученной крестьянами.

8) В школе собрали в цилиндрический сосуд дождевую воду, которая натекла в него вj время дождя и поднялась в нем на высоту 3 см. Вычислить: 1) объем воды, выпавшей в школьном саду, площадь которого 1 га, 2) вес этой воды (из сборника Глаголева).

9) Человек, весящий 60 кг, в среднем содержит 6 литров крови. В каждом кубическом миллиметре человеческой крови находится 5 млн. шариков по 7 микронов в диаметре.

Спрашивается, как велика получится цепь из этих шариков от одного человека, если их расположить по прямой линии. Сколько раз эта цепь может обхватить земной шар. Окружность земного шара по экватору равна 40 000 км (из сборника Глаголева).

Дроби

10) В 1942 г. немцы взяли наш славный город Севастополь после осады, которая продолжалась 250 дней, а в 1944 г. Советская Армия затратила времени в 83-^- раза меньше, чтобы выгнать немцев из Севастополя. Сколько времени потребовалось нашей армии для возвращения Севастополя?

11) Первая очередь московской подземной железной дороги (метро) длиной в 12 км строилась 3 — года. В Берлине первая очередь метро длиною в 11 км строилась 6 лет. Высчитать, во сколько раз 1 км метро в Москве строился быстрее, чем 1 км берлинского метро?

12) Ученики одной школы в числе 50 человек убивают вредных личинок, каждый в день истребляя их средним числом 500 штук.

Истребление личинок они продолжали 6 дней. От скольких червей предохранили они полезные растения, если предположить, что 2/3 убитых личинок были матками и каждая из них положила бы 90 яиц (из сборника Глаголева)?

13) При штурме Берлина в 1945 году советские войска обстреливали Берлин из 22 000 орудий.

Сколько металла обрушила советская артиллерия на вражескую столицу, если считать, что каждое орудие выбросило в среднем 1,2 /я металла?

Ответ: 26 400 т (»Спутник агитатора», № 24 за 1946 г.).

14) Слон, живущий в Московском зоологическом саду, получает ежедневно следующую пищу: сена 40 кг, хлеба черного 10 кг, белого 10 кг, картофеля 20 кг, моркови 5 кг, сахара 1 кг, сена древесного 4 кг, а верблюд из того же сада получает ежедневно сена 10 кг, овса 2 кг, ячменя 2 кг, отрубей 1,6 кг, сена древесного 0,2 кг, соли 0,05 кг.

Высчитать: 1) во сколько раз слон получает пищи больше, чем верблюд; 2) во сколько раз слон съедает больше пищи, чем человек, если взрослому человеку нужно пищи в день в среднем 2,2 кг.

15) Из сохранившихся документов видно, что в 1901 г. крупный русский капиталист Морозов, владелец текстильных фабрик, истратил на питание своей семьи 9890 руб. Во сколько раз Морозов тратил на питание больше, чем рабочий его фабрики, если средняя заработная плата рабочего составляла 192 р. в год, причем 1/6 часть этой суммы вычиталась на покрытие штрафов, а на питание рабочий тратил 3/4 остатка? Ответ дать с точностью до 1.

16) В 1901 г. Морозов истратил на устройство вечеринок 7607 руб. Сколько рабочих должны были работать целый год, чтобы оплатить развлечения своего хозяина, если от каждого рабочего Морозов получал 252 руб. прибыли?

17) В дореволюционной России обучалось в начальных и средних школах в 1913 г. 7,5 млн. человек.

В 1938 г. в СССР обучалось в этих школах в 3,92 раза больше.

По пятилетнему плану восстановления и развития народного хозяйства число учащихся в

начальных и средних школах в 1950 г. будет на 2,4 млн. больше, чем в 1938 г. Во сколько раз в 1950 г. будет больше учащихся, чем в 1913 г.?

Проценты

18) В 1914 г. товарищество прохоровской мануфактуры в Москве на основной капитал в 8,1 млн. руб. получило прибыли 14%. Сколько рабочих должны были работать в течение года, чтобы дать такую прибыль, если от каждого рабочего товарищество наживало 252 руб.?

19) В мировую войну 1914—1918 гг. было мобилизовано в армии всех воевавших государств 70 млн. человек. Из этого количества было убито 16,4%, тяжело ранено 17,2%, легко ранено 25,8%. Высчитать с точностью до 0,1 млн., сколько человек было убито, тяжело ранено и легко ранено в войну 1914—1918 гг.?

20) Снегозадержание значительно повышает урожай зерновых культур.

По данным Саратовской опытной станции средний урожай ржи за 10 лет без снегозадержания был равен 18,3 д с 1 гя, а при снегозадержании — 23,4 ц.

На сколько процентов можно повысить урожай путем снегозадержания?

21) По переписи населения 1926 г. в Советском Союзе считалось 147 млн. человек, а по переписи 1939 г.— 170,5 млн. человек. В Западной Европе за тот же период времени население увеличилось с 362 млн. до 399 млн.

Определить в процентах прирост населения у нас и в Западной Европе (проценты высчитывать с точностью до 0,1).

22) В старой России на каждый крестьянский двор приходилось в среднем 7 га земли, что составляло 35% того количества земли, которое приходится в настоящее время на один крестьянский двор в колхозах.

Сколько земли в среднем приходится на один крестьянский двор в колхозах?

23) На земном шаре суша занимает всего 146,45 млн. ке. ои составляет 28,7% всей поверхности земного шара.

Определить поверхность земного шара с точностью до 1 миллиона.

24) По данным 1938 г. население Азии исчислялось в 1,159 млрд. человек, что составляло 54,5% населения всего земного шара, а население Европы составляло 25% всего населения земли.

Сколько людей считалось на Земле в 1938 г. и сколько из них жило в Европе?

К ВОПРОСУ О ПОСТАНОВКЕ НАИМЕНОВАНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ*

Е. МАШКОВ (Ростов на Дону)

Важный вопрос о записи наименования чисел при решении арифметических задач не раз привлекал внимание методистов. Известный методист Гольденберг не был сторонником записи названий чисел.

«Мы производим вычисления не над предметами, а над числом их», — говорил он, советуя производить действия над отвлеченными числами, а наименование придавать только окончательному результату.

Аржеников также советовал оперировать с отвлеченными числами, но предлагал несколько иную, чем Гольденберг, запись решения задачи. Он так высказывался: «Весьма полезно к полученному числовому результату приписывать соответствующее название. Однако было бы неправильно писать, например, 15 —)— 17 = = 32 фунта. С другой стороны, письмо названий при данных числах заняло бы много места и времени. Мы предлагаем не писать наименований ни при данных, ни при результате, соединенном с данными знаком равенства, но, записав этот результат, еще раз написать его вместе с соответствующим названием. Пусть, например, решается задача: в одной деревне 26 домов, а в другой на 12 домов больше; сколько домов в другой деревне? Предлагаемая нами запись решения такая: 26-j-12 = 38; 38 домов».

Другие методисты, как Житков и Шохор-Троцкий, высказывались за употребление наименований, обосновывая это тем соображением, что ученики при употреблении наименований учатся различать, где, при каких действиях над числами возможно наименование и где его не может быть.

Рутковский в своем докладе «О письменных работах по арифметике», прочитанном на 2-м Всероссийском съезде преподавателей математики, оспаривал правильность взглядов Гольденберга и Арженикова.

«Против Гольденберга, — говорил он, — мож-

* Статья печатается в порядке обсуждения.

но сказать, что мы производим действия не над предметами, а над предметными или именованными числами, и что если число имеет при себе наименование единиц, то это еще не значит, что, производя над ним то или иное действие, мы производим действие над предметами, а не над самим числом. Требование производить действия обязательно над отвлеченными числами не всегда выполнимо при решении задач, и сам Гольденберг не соблюдает его, например, при действиях над составными именованными числами» (Доклады съезда, стр. 127).

Об Арженикове он говорит, что Аржеников противоречит сам себе, так как его запись: 26 -f-12 = 38; 38 домов, едва ли занимает меньше места и времени, чем запись: 26 д.-f--j- 12 д. = 38 дом.

Склоняясь к мнению Житкова и Шохор-Троцкого, докладчик указывал, что употребление наименований побуждает учеников вникать в суть действий, чтобы правильно расставить наименование чисел; например, при умножении ученику нужно вдуматься в смысл действия, понять, что множитель, как показывающий, сколько раз должно повторить слагаемым множимое, должен быть числом отвлеченным; что произведение, как составленное из множимого, должно иметь и его наименование.

Чтобы правильно разрешить вопрос о постановке наименований при решении задач, посмотрим, для чего в школе решаются арифметические задачи. Для этого сравним алгебраическое и чисто арифметическое решение арифметической задачи.

Возьмем задачу: «На 120 тетрадей израсходовано 370 листов бумаги, тетради сделаны в 2х/2 и З1/^ листа. Сколько сделано тех и других тетрадей?» (Чекмарев и Филичев, Сборник арифметических задач, 1939, №1841.)

Алгебраическое решение

Число тетрадей в За/2 листа. . . х. Число тетрадей в 21/2 листа . .. 120 — х. Составляем уравнение: 7 5

гт- х -f- ^ (120 —- х) = 370. Далее следует решение этого уравнения.

Арифметическое решение

1. Узнаем, сколько потребовалось бы листов бумаги, если бы все тетради были сделаны в 2 ^ листа?

2 j л. X 120 = 300 л.

2. Узнаем, на сколько больше листов бумаги израсходовали в действительности?

370 л. — 300 л. = 70 л.

и т. д.

И при алгебраическом решении задачи, как и при чисто арифметическом, ученик мыслит логически, но формы, в которых протекает это мышление, различны.

При алгебраическом решении мы мыслим абстрактно-логически, при арифметическом — конкретно-логически.

Характерным в арифметическом решении является то, что каждая операция связана с конкретным представлением, вместе с течением логических умозаключений идет и течение соответствующих им наглядных представлений: «узнаем, сколько потребовалось бы листов бумаги, если бы все тетради были сделаны в 2^- листа».

Этих наглядных представлений нет при алгебраическом решении: «откроем скобки», «перенесем известный член в правую часть» и т. п. — все это отвлеченно-логические рассуждения.

Эта разница между арифметическим и алгебраическим решением задачи была уже подмечена методистом Ф. Н. Егоровым, который писал:

«Между арифметическим и алгебраическим решением задачи, по нашему мнению, существует такое же соотношение, как между решением геометрических задач на построение путем чисто геометрическим и помощью составления уравнений и построения их решений. Если последний способ значительно легче и общнее первого, то зато первый гораздо больше знакомит их с данной задачей и дает точное и наглядное представление о каждом последовательном шаге в решении, о каждой вспомогательной задаче, через которую при этом приходится пройти» (Методика арифметики, 1915, стр. 73).

То, что при чисто арифметическом решении арифметической задачи учащийся мыслит наглядно-логически, и является ценным в таком решении, несмотря на то, что многие трудные для арифметического решения задачи очень легко решаются алгебраически — составлением уравнения. Одной из целей обучения математике является развитие логического мышления учащихся. На нельзя забывать, что развитие этой способности должно идти в тех формах, которые доступны данному возрасту учащихся. Первой стадией развития логического мышления школьника является развитие его наглядно-логического мышления. Он должен пройти эту стадию прежде, чем перейти к следующей — к развитию абстрактно-логического мышления.

Профессор Мордухай-Болтовской Д. Д. пишет:

«Наглядно-логическое мышление—это та стадия, которую должен пройти юный ум раньше, чем вступит в область абстракций и чисто формальных логических операций. Изоляция логического мышления от других умственных операций достигается только на более высших ступенях развития, но, в сущности говоря, и там она не достигается вполне, и мы ищем возможным абстракциям геометрические интерпретации, дающие параллельно развертыванию логических умозаключений течение пространственных образов. Не следует ставить преград деятельности образного мышления учащихся, но стараться использовать последнее в качестве поводыря еще с трудом продвигающегося вперёд, как начинающее ходить дитя, юного логического мышления».

А если арифметическое решение задач является упражнением учащихся в наглядно-логическом мышлении, то ясно, что и число, записанное с наименованием, помогает наглядно-логическому мышлению. Правильно поставленное наименование будет свидетельствовать о правильном мышлении учащегося, о сознательном его отношении к выполняемым действиям. Сознательность же должна быть преимущественной перед всеми другими целями при обучении.

Авторы статьи «Арифметические записи в средней школе» Ю. О. Гурвиц и С. В. Филичев («Математика в школе», 1947 г., № 3, стр. 45) полагают, что вопрос о постановке наименований должен разрешаться по-разному в начальной и в средней школе. Так, они пишут:

«В начальной школе при решении текстовых задач наименования единиц записывают у данных чисел и результата; наименования не ставят лишь у множителя, делителя при делении на части и частного при делении по содержанию.

В средней школе целесообразно приучить учащихся наименования единиц у данных и искомых чисел не ставить; наименования ставить лишь в скобках (см. Киселев, Арифметика. Учебник для средней школы, §§ 139, 149)».

Почему это целесообразно, что принципиально нового вносится при решении задач в V классе по сравнению с их решением в начальной школе — авторы не говорят.

Мы полагаем, что и в V классе арифметическое решение зад^ч преследует ту же цель, что и в начальной школе, — упражнение учащихся в наглядно-логическом мышлении. Раз это так, то нет никаких новых принципиальных доводов в пользу иного отношения к постановке наименований в средней школе, чем в начальной школе. Мы считаем, что приучивание учащихся не ставить наименования единиц у данных и искомых чисел является и принципиально неоправданным и дидактически нецелесообразным. Учащихся придется «не приучать», а «переучивать» без достаточных для этого оснований.

О ТРЕБОВАНИЯХ К ПИСЬМЕННЫМ РАБОТАМ*

О. ГИНЦБУРГ (Ленинград)

За последние два года учителя испытывали большие затруднения в оценке письменных работ по математике на аттестат зрелости. Требования к обоснованию решения с каждым годом справедливо повышаются, но указаний на то, что и как обосновывать, мы, учителя, не находим в методической литературе. Наоборот, часто установки, даваемые в журналах «Математика в школе», «Народное образование», расходятся с указаниями методистов.

Приведу примеры.

В статье Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева «О требованиях к письменным работам по математике» («Математика в школе», № 1 за 1947 г.) рекомендуется хорошая схема пояснения стереометрической задачи с применением тригонометрии:

1) Выполнение чертежа данной пространственной фигуры.

2) Условия и данные задачи.

3) Решение задачи в общем виде.

4) Вычисление результата по числовым данным.

5) Обоснованный ответ.

Мне лично понравилась эта схема, и я проделал несколько задач с учениками по такому плану. Но пояснение к задаче занимало в среднем 5—6 страниц. Я почувствовал, что не имею права отнимать у учеников столько времени на оформление задачи. Ряд учителей также называют эту схему громоздкой.

По поводу формулировки теоремы, при ссылке на нее, научным сотрудником Ленинградского института усовершенствования учителей была дана установка — стереометрические теоремы обязательно формулировать полностью. Следовательно, ссылка на теорему, скажем, о двух перпендикулярах должна сопровождаться такой записью: «Если прямая, пересекающаяся с плоскостью, перпендикулярна к каким-нибудь двум прямым, проведенным на этой плоскости...» (см. учебник Киселева).

Ю. О. Гурвиц и С. В. Филичев в своей статье не указывают на необходимость таких пространных обоснований.

Кстати, несколько слов об обычной нашей речи, стремящейся сжато (правда, условно) формулировать математическое предложение. Мы ведь говорим: «сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы». Впервые, когда изучаем эту теорему, мы формулируем ее так: «Если стороны прямоугольного треугольника измерены одной и той же единицей...» (см. текст в учебнике). В дальнейшем мы никогда так пространно говорить не будем. Здесь сказывается естественное стремление придать нашей речи разумную экономию, оставив время на более полезное.

Камнем преткновения служит и такая формулировка: «Если степени равны при равных основаниях, не равных единице или нулю, то и показатели степени равны> (при решении задач на бином Ньютона).

Когда мы решаем показательное уравнение, разве мы прибегаем каждый раз к такому многословию (особенно при письменной работе)? Ведь, начиная изучать показательную функцию v = ах% мы оговариваем, что а> О и а ф\. А за сокращенную фразу: «основания равны, значит, и показатели равны» — Комиссия горОНО снижала оценку.

Есть еще неполадки такого рода. Ленинградский институт усовершенствования учителей ничего не говорит (на собраниях об установках при выполнении письменных работ на экзамене) о необходимости проверки составления квадратного уравнения по условиям задачи, а в статье Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева говорится о желательности проверки. Замечу, что проверка корней по теореме Виета в данном случае более целесообразна, но об этом в статье нет указаний. Проверка корней решением неравенств приводит к громоздким исследованиям, часто запутывающим и хороших учеников, в то время как в течение года для них не существовало трудных задач.

Подобного рода методические разногласия нередко дезорганизуют учителя при оценке ученической работы.

В декабре 1947 г. ОНО Дзержинского района Ленинграда прислал контрольную работу по арифметике для IX класса. В числе задач был дан пример: Найти х, если

(± - 0,012:0,02 ) : (l -1 -1 • ОД) =

= 2-Л-*:(з,125-5,6:2-§-)-

Я не знал, нужно ли обосновать, как находится неизвестный член пропорции, и мысль о том, что поставленная оценка может кем-то почему-либо считаться завышенной, не позволила мне поставить 5, хотя работа была выполнена четко, рационально и красиво оформлена.

* Статья печатается в порядке обсуждения.

Чтобы обеспечить более точную и единообразную оценку (что было бы важно для горОНО и в целях сравнительной статистики), следовало бы давать учителю достаточно точные указания. Желательно, чтобы по крайней мере один экземпляр образца решения хранился в методическом центре, где учитель мог бы ознакомиться с ним.

Я считаю, что при обосновании решения задачи можно ограничиваться краткой записью, не приводя полной формулировки теоремы. Ссылки на теоремы достаточно делать в такой форме: «по теореме Пифагора», «по формуле Герона», «по теореме, выражающей зависимость между сторонами параллелограма и его диагоналями», и т. п.

В решении арифметического примера целесообразно вести параллельную запись «цепочкой» и отдельными действиями. Оставив после условия свободными 3—4 строчки, проводим горизонтальную черту и под ней в порядковом номере выполняем отдельные действия. В «цепочке» пишем по мере возможности лишь результаты действий по ступеням. Следующие друг за другом действия одной ступени, конечно, можно объединять в одно действие. Например:

Выполнить действия:

В дополнениях к программе по математике, изд. 1947 г., дается указание опустить вывод формул

рекомендуется также не усложнять задачи на бином Ньютона. В соответствии с этим мне кажется, что нужно отказаться (на экзамене) и от квадратных уравнений с буквенными коэфициентами, связанных с громоздким исследованием, тем более, что на вступительных экзаменах в ряде вузов (например, электротехническом, текстильном, технологическом и др. ленинградских институтах) совершенно не предлагалось квадратное уравнение с исследованием в том виде, как требуется на аттестат зрелости. Зато предлагались, как правило, задачи на прогрессии, логарифмические и показательные уравнения, примеры на отрицательные и дробные показатели (довольно сложные), т. е. материал IX класса. В X классе этим вопросам обычно уделяется мало внимания, так как они по установившейся практике не включались в работы на аттестат зрелости.

Я бы рекомендовал дать задачу на составление квадратного уравнения с числовыми коэфициентами примерно такого рода:

«Двое рабочих могут сделать некоторую работу в 6 час. Если бы сначала один сделал 3 работы и затем другой остальную часть, то они употребили бы 12 часов. Сколько времени нужно каждому, чтобы исполнить данную работу одному?»

О МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

И. Н. ГОЛАЙДО (Москва)

Статья Н. И. Кашина «О неудачных задачах на составление уравнений», помещенная в № 1 журнала «Математика в школе» за 1948 г., представляет несомненный интерес для преподавателей математики. Как отмечает редакция журнала, в ней даются нешаблонные и нередко остроумные способы решения задач без применения уравнений, основанные на здравом смысле, на сообразительности. Несомненно, знакомство с этими решениями, особенно с решениями задач на отыскание цифр числа по заданным условиям, расширит кругозор учителя в области решения задач, толкнет его на отыскание новых вариантов решения и в других задачах. В этом — ценность указанной статьи.

Однако я не согласен с основным выводом автора: «полагаем, что решать такие задачи при помощи уравнений нет смысла. Уравнения следует применять только в случаях, когда решение рассуждением затруднительно».

Есть и другие сторонники подобного взгляда. Так, С. С. Бронштейн сетует на то, что «отбор задач, решаемых в арифметике, от задач, решаемых методом уравнений, производится недостаточно четко. В сборниках арифметических задач часто помещаются задачи, решаемые проще методом уравнений. С другой стороны, в сборниках алгебраических упражнений встречаются задачи, легко решаемые арифметически» («Математика в школе», 1947, № 6, стр. 39).

Что же тут страшного? Зачем нужно это четкое разграничение: вот эти задачи решай обязательно арифметически, без уравнений, а вот эти — обязательно составлением уравнений? Не лучше ли одну и ту же задачу решить тем и другим способом и из сравнения решений выяснить преимущества одного способа перед другим? Ведь одной из целей преподавания математики является приучить учеников к применению различных способов решения задач, развить у них вкус к поискам лучшего способа решения, привычку сначала подумать, а потом выбрать путь решения. А упомянутые авторы предлагают заранее навязать учащимся метод решения, относя по методу решения одни задачи к арифметическим, а другие — к алгебраическим.

Но это не все, так как указанная выше цель на деле достигается не сразу и не легко. Прежде чем выбрать тот или иной способ решения, ученик должен овладеть различными способами решения задач. Ведь в действительности учителю приходится иметь дело не с воображаемыми учениками, которые уже знают различные способы решения задач и, получив задачу, задумываются лишь над тем, каким способом ее решить, как бы получше блеснуть своими «рассуждениями», а с живыми людьми, которых прежде всего нужно научить решать задачи. Как видно, упомянутые выше авторы забывают об этом.

Общие методы решения задач должны стать прочным достоянием учащихся, в том числе учащиеся должны прочно овладеть и универсальным методом решения задач путем составления уравнений. Как показывает практика, техника составления уравнений дается учащимся с большим трудом, и естественно, что обучать этой технике учитель должен сначала на простых задачах. И не беда, что в задачниках по алгебре помещены такие простые задачи, которые легко решаются арифметически.

Н. И. Кашин дал далеко не полный перечень «неудачных» задач, на что он и не претендовал. Так, в гл. VI задачника Шапошникова и Вальцова первые 10 задач и многие из последующих действительно решаются легко «рассуждением». И это правильно, потому что нельзя же, в самом деле, изложение нового метода решения производить на таких задачах, которые сложны и для составления уравнения требуют длительных рассуждений, затуманивающих сущность самого метода.

Приступая к объяснению решения задач путем составления уравнений, я предлагаю учащимся одну из первых задач гл. VI задачника, например № 371:

«Два лица имеют вместе 38 руб., причем у первого шестью рублями больше, чем у второго. Сколько денег у каждого?!

Задача знакомого учащимся типа, и они легко решают ее устно, причем последовательность вычислений такова:

1) 38 — 6 = 32 (руб.);

2) 32:2 = 16 (руб.);

3) 16 + 6 = 22 (руб.).

Затем эту же задачу решаем новым методом (при этом записи делаем подробные):

«Обозначим количество денег, имеющихся у второго лица, через х (руб.), тогда первое имеет х -(-6 (руб.). Так как оба лица имеют вместе 38 руб. то х-\-(х-\-6) = 38. Решаем

полученное уравнение:

2л: = 38 —6 =32; х= 32 :2= 16.

Ответ: у первого лица 16 6 = 22 (руб.), у второго 16 (руб.)».

Из сопоставления решений учащиеся замечают, что в обоих случаях мы производили одни и те же действия над данными числами (38 и 6), но в последнем случае нам не нужно было давать смысловое объяснение каждому действию, — мы просто решали уравнение.

В зтом учащиеся видят преимущество нового метода, и потому этот метод заинтересовывает их. Дальнейшая практика решения задач при помощи уравнений подтверждает этот вывод и укрепляет интерес учащихся к новому методу. С. С. Бронштейн считает, что «у учащихся часто возникает недоумение, почему задача нахождения двух чи^ел по их сумме и разности отнесена в курс алгебры, ведь ее легко и привычно решать средствами арифметики» (там же, стр. 39).

Да, эта задача известна учащимся еще со II класса, и за все время обучения (за 7 классов) они решили не один десяток таких задач. Но никаких недоразумений у моих учащихся здесь не возникало: ведь мы рассматриваем не новый тип задач, а новый метод решения знакомой задачи. И работа проходит с большим интересом, ибо элементы нового в старом всегда заинтересовывают учащихся.

Через некоторое время я прихожу в класс со «Сборником задач и упражнений по арифметике» Березанской и предлагаю решить из него задачи новым методом. В результате такой работы учащиеся знакомятся с различными способами решения одних и тех же задач и приходят к выводу, что метод уравнений является универсальным методом. Кроме того, они подмечают, что этим методом многие «арифметические» задачи решаются значительно легче, а у некоторых задач арифметическое решение представляет собой завуалированное решение уравнений и систем уравнений. Так, например, арифметическое решение задач на уравнивание, как № 2172 из задачника Березанской:

„Для входа в театр сперва было продано 42 билета дорогих и 16 более дешевых и за все было получено 395 руб.; затем по тем же ценам было продано 38 билетов дорогих и 24 дешевых за 405 руб. Сколько стоил каждый билет?" — представляет собой замаскированное решение системы двух уравнений первой степени способом алгебраического сложения. С. С. Бронштейн считает, что задачи этого типа «естественнее решать методом уравнений» (там же, стр. 51). Выходит, что из сборников арифметических задач нужно выбросить такие и многие другие задачи, которые естественнее решаются методом уравнений. Что же тогда останется в этих сборниках? Неужели мы делаем преступление, решая с учениками (в свое время) подобные задачи арифметическими средствами? Нет, наоборот, эта работа способствует лучшему математическому развитию учащихся.

Следовательно, упрекать наши задачники по этому поводу не приходится.

Далее, встает вопрос, каким методом естественнее решать данную задачу. Я считаю, что это зависит от тех требований, которые предъявляются к решению. Так, если, например, задача на нахождение двух чисел по их сумме и разности предложена для устного решения, то естественнее решать ее арифметически. Если та же задача дана для письменного решения с требованием записи подробного объяснения решения, то естественнее решать ее при помощи составления системы уравнений:

|х+у = а \х—у=Ь

В самом деле, легче составить и решить такую систему, чем записывать объяснение смысла действий в арифметическом решении этой задачи.

Я считаю, что из всех знакомых учащимся методов решения они должны выбирать тот, который наиболее быстро и легко приводит к цели, т. е. к ответу на вопрос задачи. Это, конечно, в том случае, если учащиеся не ограничены требованием решать задачу каким-либо определенным методом, а это требование иногда явно или неявно довлеет над учащимися.

Интересны в этом отношении задачи, предложенные Министерством просвещения РСФСР семиклассникам на выпускных экзаменах по алгебре в 1948 году. Вот одна из них:

«Расстояние по реке между двумя пристанями А и В равно 13,5 км. От пристани А к пристани В отправилась шлюпка, а через 1 час 10 мин. вслед за ней отправилась моторная лодка. Определить скорость шлюпки и скорость моторной лодки, зная, что моторная лодка шла вдвое быстрее и прибыла к пристани В на 20 минут раньше, чем шлюпка?»

Это — задача, которую «и без алгебры решить можно» (Чехов). В самом деле, если лодка шла вдвое быстрее, то она затратила в два раза меньше времени, чем шлюпка, и, следовательно, сэкономила ровно половину того времени, которое затратила на весь путь шлюпка. Из

условия задачи находим, что лодка была в пути на 1 час. 10 мин. -j- 20 мин. = 1,5 часа меньше, чем шлюпка; поэтому шлюпка была в пути 3 часа, а лодка 1,5 часа. Остается разделить 13,5 км на 3 и на 1,5 — вот и получим искомые скорости. Как видим, задача требует минуты размышления и решается устно. Однако за очень редким, может быть, исключением, все учащиеся р шали эту задачу составлением уравнения или даже системы двух уравнений. Очевидно, они считали, что решение задачи должно быть именно таким, алгебраическим, и не задумывались над возможностью другого, арифметического решения.

В свете сказанного выше о требованиях к решению задач очень странно звучат слова Н. И. Кашина: сИногда бывает так, что простое решение задачи выясняется только после составления и решения уравнений. В этих случаях следует обратить внимание учащихся на это простое решение, хотя бы только потому, что после такого сравнения учащиеся могут оценить простоту предлагаемого решения» (там же, стр. 49).

Неясно, что понимает автор под словами «простое решение». Если эти слова означают наиболее легкое решение, а именно так все понимают простоту решения, то чем же оно просто, если находится только через решение уравнений? Если же задача имеет действительно простое решение без уравнений, то не лучше ли найти его непосредственно, предложив учащимся сначала подумать над условием задачи, а потом выбрать метод решения.

От редакции. Статья тов. Голайдо касается вопроса, породившего много бесполезных споров о строгом разделении задач на задачи, решаемые «арифметически», и задачи, решаемые «алгебраически». Характерные особенности, различных методов решения выясняются путем их сопоставления в применении к одним и тем же задачам. Существенное значение имеет умение решать задачи определенными заданными средствами (в данном случае «арифметически» и «алгебраически»). Поэтому «строгое» разделение задач по методам их решения во многих случаях является бесплодным, педагогически порочным ригоризмом.

ПИСЬМО В РЕДАКЦИЮ ЖУРНАЛА «МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ»

В моей статье «О приемных испытаниях на физфаке МГУ» в журнале № 2 за 1949 г. мною допущены погрешности:

1. в вопросе 9 стр. 18 надо вместо «скрещивающихся прямых» — «скрещивающихся взаимноперпендикулярных прямых»;

2. в вопросе 25 стр. 19 надо указать, что Г>1.

П. Моденов.

ИЗ ОПЫТА

ПО ПОВОДУ СТАТЬИ А. С. ЦЕСЮЛЕВИЧА «НАШИ ПОЖЕЛАНИЯ»

А. М. МИРЗОЕВ (Петропавловск)

В журнале «Математика в школе» за март — апрель 1948 г. (№ 2) напечатана в порядке обсуждения статья А. С. Цесюлевича «Наши пожелания».

Мысли, высказанные в этой статье, по нашему мнению, верны, и проблемы поставлены автором весьма своевременно и требуют практического разрешения.

Наши наблюдения за работой преподавателей математики в течение ряда лет, а также результаты контрольных работ убеждают нас в том, что устный счет, вычислительная техника, приемы быстрого и приближенного вычислений в школах находятся в неудовлетворительном состоянии. Правда, устный счет как элемент урока арифметики практикуется, но этот элемент зачастую вводится для полноты «формы» урока. Приемы устного счета из года в год не усложняются, не закрепляются; в результате этого учащиеся не приобретают достаточного навыка в применении устного счета и на практике им не пользуются. Получается своеобразное распределение знаний по отдельным «коробочкам». Учитель объявляет: «Сейчас мы будем считать устно> или: «Приготовьтесь к устному счету>, и дети вычисляют и считают устно, но через минуту, при письменных вычислениях, уже эти приемы не применяют.

Такой же разрыв имеется между знаниями учащихся по алгебре и геометрии. Например: учащимся VII класса было нами предложено вычислить 2-^- — ^4 -~—^ Т7") ' ни один ученик из 300 учащихся не догадался применить правило вычитания разности, или раскрытия скобки, перед которой стоит знак минус, хотя при действиях с алгебраическими дробями учащиеся эти правила применяют. Мы требуем от детей шаблона и не приучаем их к самостоятельным поискам более рациональных методов вычислений. Если в младших классах ученик должен следовать определенному порядку при выполнении действий со скобками, то по мере расширения его математического кругозора мы обязаны потребовать от него самостоятельного применения своих знаний к конкретным случаям, без подсказывания.

Нам кажется своевременным ввести определенную систему и указать преподавателям минимум приемов устного счета, которые должны быть усвоены учащимися в каждом классе.

Требовалось сложить 5 р. 24 к. и 3 р. 32 к. Учителя, а вместе с ними и инспекторы отделов народного образования нашли, что пример непосилен и превышаат программные требования, ибо дети знакомятся с именованными числами только в III классе.

В VIII — X классах учащиеся по собственной инициативе не прибегают к рациональным методам вычислений, не пользуются таблицами логарифмов без требования преподавателя. Например: ученик решает уравнение 2*=3.

п * 0,4771

Пользуясь таблицами, находит, что х = 0 3010 > а для нахождения х уже не пользуется таблицами, хотя они у него под руками, и производит деление до восьмого девятого и десятичного знака.

Кстати надо указать, что преподаватели физики и химии совершенно не прибегают на своих уроках к таблицам логарифмов, что, по нашему мнению, является досадным упущением.

Весьма уместен и вопрос о решении задач. Азбучной истиной является необходимость применения принципа последовательности в преподавании, и в этом отношении систематизация задач по степени их трудности, по типам и т. п. методически чрезвычайно ценна, но на

практике этот принцип часто неумело применяется.

Преподаватели стремятся предупреждать все возможные трудности при решении задач, указывая тип и способ решения каждой задачи. Учащиеся привыкают к постоянной опеке, к подсказыванию со стороны преподавателя, и эта привычка настолько укореняется, что учащиеся на уроке применяют к решению задач ту теорему или формулу, которую доказал или вывел учитель на данном уроке, без осмысливания содержания задачи. Мы заставляем детей запоминать типы задач, но не развиваем их сообразительность, и естественно, если задача необычная, то они говорят: «Мы таких задач не решали».

Мы вполне солидарны с тов. Цесюлевичем в необходимости применения аналитического метода в преподавании геометрии. Пусть не все теоремы будут доказаны этим способом, но главные, часто применяемые теоремы надо доказать аналитически. Нам кажется, что было бы целесообразно, если бы мы объясняли детям те мотивы, которыми руководствуемся при доказательстве теоремы, проводя ту или другую вспомогательную линию или выполняя то или другое построение.

Надо показать детям удачные и неудачные предложения и построения, которые неизбежны при отыскании решения той или иной задачи.

Например, надо решить задачу: на данном отрезке построить сегмент, вмещающий данный угол.

Начертив отрезок АВ = я, требуем построить такую окружность, чтобы: 1) отрезок АВ = = а был бы хордой этой окружности, 2) вершина угла находилась бы на этой окружности и 3) стороны угла опирались в точки А и В.

Кажущаяся легкость задачи захватывает детей. Один за другим они пытаются построить, но убеждаются в ошибочности своего построения. В чем причина неудач? В том, что нельзя проводить окружность произвольным радиусом, следовательно, надо найти ее центр. Таким образом, учащиеся шаг за шагом, вместе с преподавателем, отыскивают путь решения.

Дети должны учиться на образцах доказательств, изложенных в учебнике, и им подражать, но частое применение этого способа изложения притупляет их инициативу, не приучает их к самостоятельности. Этим отчасти и объясняется та трудность, с которой встречаются учащиеся при решении геометрических задач, в особенности задач на построение.

Одним из ярких примеров такого пассивного подражания приемам преобразования алгебраических и тригонометрических выражений является способ приведения к логарифмическому виду cos2 а — sin2 р, применяемый всеми учащимися и большинством учителей.

Способ этот таков: вначале разлагают данное выражение на множители:

cos2 а — sin2 [5 = (cos а -f- sin р) (cos а — sin £),

a затем каждый из получившихся сомножителей приводят к логарифмическому виду по известной формуле тригонометрии. Получается длинное выражение, которое впоследствии преобразуется в произведение синусов суммы и разности углов.

Все преобразование очень длинно, громоздко и дает большую возможность для всевозможных ошибок. Если бы учащиеся умели читать формулы не только слева направо, но и наоборот, то они легко бы нашли более легкий способ этого преобразования, который основан на применении формул sin и cos половинного угла (если их читать справа налево).

Так же приводятся к логарифмическому виду и выражения:

1 — 2 cos2 а, 3 — 4 sin2 а, 1 — 4 cos2 а и т. д.;

вынося коэфициенты за скобу, получим:

заменяем дробь внутри скобки через sin2 45°, cos2 30°, sin2 30°, получаем в скобках разности квадратов:2(sin2 45°—cos2 а), 4(cos2 30°—sin2 а) и т. д., к которым применяем способ, рассмотренный выше.

ГРАФИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ УСЛОВИЯ ПРИ РЕШЕНИИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

А. М. НЕЧАЙ (Москва, школа № 619)

Как показывает опыт, одной из причин затруднений при решении арифметических задач является недостаточное уменье проанализировать в полной мере условие задачи и выявить зависимости между данными в условии величинами. Необходимо поэтому дать учащимся какой-то прием, облегчающий анализ условия задачи.

Последние два года при проведении работы в V классах я применяла графическую запись условия задач. Составление таких схем-графиков заставляет ученика глубже проанализировать условие задачи, обеспечивает наглядное представление этого условия и способствует выработке необходимых абстракций при составлении плана и решении задачи.

Опыт моей двухлетней работы показывает, что даже слабо развитые и недостаточно успевающие ученики делают большие успехи, применяя графическую запись условия задачи. В настоящей статье я и хочу рассказать об опыте этой работы.

В начале учебного года, при повторении пройденного материала в IV классе, я начинаю приучать учеников к подобной записи. Разберем для примера задачу № 402 из задачника по арифметике Березанской: «Кусок полотна в 104 м надо разрезать на 2 такие части, чтобы в первой было на 16 м больше, чем во второй. По скольку метров полотна будет в каждой части?»

Решение задачи проводилось следующим образом. Прочитав условие задачи, я говорю учащимся, что это условие мы представим в виде рисунка (схемы), для чего количество метров полотна в каждой части мы изобразим в виде отрезка прямой линии.

Делаю чертеж на доске, для чего беру один произвольный отрезок, изображающий количество метров полотна в первой части; под этим отрезком провожу второй отрезок, который должен быть короче. Над разностью этих двух отрезков пишу число 16 (отмечая на первом отрезке часть его, равную второму отрезку).

Оба отрезка объединяю фигурной скобкой, перед которой пишу общее число метров полотна в куске —104. Получается следующая схема (черт. 1).

Эту схему учащиеся записывают в свои тетради; при построении следует обращать внимание на аккуратность чертежа-схемы и на соблюдение выбранного масштаба.

Из рисунка учащиеся видят, что если прибавить к второму куску 16 л (или отнять от

Черт. 1

первого куска 16 м), то в обоих кусках будет по одинаковому числу метров. Отсюда вытекают два способа решения задачи, которые и разбираются.

Решение этой задачи закреплялось решением аналогичных задач в классе (у доски и самостоятельно) и дома (задачи с № 403 по № 417).

Приведем схему-график к условию нескольких задач.

Задача № 417.

Матери было 32 года, когда родилась ее дочь, и 35 лет, когда родился сын. Сколько лет теперь каждому из них, если всем им вместе 59 лет.

Решение задачи вытекает из приведенной схемы (черт. 2).

Черт. 2

Задача № 443.

Три числа в сумме дают 1250. Первое число в 7 раз больше третьего, а второе число на 50 единиц больше первого. Найти эти числа (черт. 3).

Задача № 1129.

Автомобиль в первый час прошел — расстояния между городами, во второй день -г^

оставшегося расстояния и в третий день — остальные 90 км. Найти расстояние между городами (черт/ 4).

Черт. 4

Задача № 1108.

У двух братьев 44 ореха. Половина числа орехов, имеющихся у одного брата, равна -g- числа орехов, имеющихся у другого брата. Сколько орехов у каждого брата? (черт. 5).

Черт. 5

Если число орехов у второго брата принять за 1 часть, то число орехов у первого брата имеет 1 -i- таких же частей. Если принять за 1 часть число орехов у первого брата, то второй брат имеет — таких же частей. На прилагаемой схеме это очень наглядно показано.

Следует отметить, что иногда составление схемы-графика к условию задачи представляет для учащихся некоторые трудности, однако следует сказать, что эти трудности легко устраняются путем должного опыта; зато составленная схема-график, как правило, всегда оказывает действенную помощь в решении задачи, вызывает большой интерес со стороны учащихся и приучает их к самостоятельному более глубокому анализу условия.

От редакции. По поводу статьи т. Нечай следует заметить, что применение графических иллюстраций как вспомогательного средства ни в коей мере не должно ослаблять основное требование — уметь решать задачи при помощи правильного и последовательного логического рассуждения.

ИЗ ПИСЕМ И ЗАМЕТОК ЧИТАТЕЛЕЙ

О различных способах решения задач

1. Многочисленные письма, получаемые редакцией, свидетельствуют о неуклонно повышающемся интересе учительства к применению различных способов решения примеров и задач и доказательств теорем. Как известно, умение отыскивать различные способы решений и доказательств и выбирать из них наиболее рациональные является одним из важнейших средств борьбы с формализмом в преподавании математики. Опыт передовых учителей показывает, насколько многообразной и плодотворной может быть работа в этом направлении.

В заметке «Из опыта работы по решению уравнений в VII классе» тов Б. Е. Алеев (Мордовская АССР, с. Наченалы) рассказывает о живом интересе, с которым относятся учащиеся к «нешаблонным» приемам решения примеров. В классе было предложено решить уравнение:

Учащиеся решили пример «обычным» путем, потратив на выкладки много времени. После этого учитель показал такое решение:

и т. д.

По словам автора, стакое короткое решение привело учеников буквально в восторг, и некоторые из них попросили к следующему уроку подобрать примеры, «которые можно было бы проще решить». В дальнейшем многие учащиеся, прежде чем решать уравнение, всегда немного думали, «нельзя ли каким-либо образом решить его проще».

2. В заметке «Выбор неизвестного при составлении уравнений» тов. Н. А. Байбуртян (Ростов-на-Дону) на конкретном примере показывает важность умения выбрать неизвестное, чтобы получить наиболее простое и естественное решение задачи на составление уравнения. Автор заметки сравнивает два решения одной

и той же задачи, предложенной на выпускных экзаменах в X классах:

Моторная лодка проехала по течению реки расстояние S км от пункта А до пункта В и повернула обратно в пункт А.

Не доехав до пункта А р км, лодка остановилась. На весь путь от А до В и обратно дэ остановки лодка потратила t часов. Определить собственную скорость лодки (скорость в стоячей воде), если скорость течения реки равна а км в час.

Ученик Р. выбрал в качестве основного неизвестного наименьшую из неизвестных скоростей — скорость лодки против течения, составив уравнение:

и решив его, ученик получил:

По смыслу задачи 5]>0, а>0, £>0, р>0, х^>0 и S>p. Корни квадратного уравнения действительны. Из теоремы Виета:

следует, что корни разных знаков. Взяв положительный корень, ученик Р. нашел собственную скорость лодки л;-[-а и проверил решение по условию задачи.

В другой работе ученица X., поступая по шаблону, приняла за неизвестное х собственную скорость лодки и получила решение квадратного уравнения в виде:

Дальнейшие исследования усложнились рассмотрением различных частных случаев и в особенности случая, когда оба корня положительны (при at—р<^0). Ученица X., не смотря на добросовестное выполнение всей работы в течение пяти часов, так и не довела до конца все сисследования».

3. В заметке «Решение иррациональных уравнений способом подстановки» тов. И. А. Мхитаров (г. Дзауджикау) указывает некоторые приемы, вносящие упрощение в процессе решения иррациональных уравнений. Автор заметки имел в виду показать лишь технику решения уравнений определенного вида. Разумеется, что надлежащие исследования (потеря и приобретение корней) должны быть неразрывно связанными с процессом решения. При решении уравнения

(1)

можно сделать подстановку:

(2)

Подставляя в уравнение (1), получим: t-\-u = c; из системы (2) найдем:

(t + u) (t—u) = a — b. Окончательно получим систему уравнений:

Найдя из этой системы t или и и подставив в (2), получим значение х.

В задачнике Шапошникова и Вальцова, ч. II, гл. XIII этим приемом могут быть решены примеры 5, 6, 28, 32.

Этим же способом можно решить уравнение

Пусть x-\-3 = t2 и Ъх — 3 = и*. Подставив в данное уравнение t и я, получим: u-\-t=\0; исключив х из системы, получим: 3# — #2=12 (в сборнике Шапошникова и Вальцова см. примеры №№ 3, 4).

Примеры JS6JS6 11, 12, 23, 24, 25, 26 решаются при помощи подстановки, которая или облегчает решение, или сводит его в большинстве случаев к решению квадратного уравнения.

Рассмотрим пример № 26; имеем последовательно:

положив

получим квадратное уравнение:

Уравнения, содержащие радикалы, можно решить следующим образом: радикалы обозначают какими-нибудь буквами, подставляют их в данное уравнение и находят наиболее простую взаимосвязь между этими буквами.

Пример № 35.

Пусть:

Подставляя исходное уравнение, получим:

образовав производные пропорции получим:

Подставляя значения t, и, v, получим:

откуда:

Этим способом могут быть решены примеры №№ 17, 18, 20, 34, 35, 36, 37.

4. В письме в редакцию тов. П. Д. Муравлянская (Рязанская обл., Пощуповская С. Ш.) приводит доказательство теоремы (§ 34, ч. II учебника геометрии): «Если две плоскости перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны», не опирающееся на «метод от противного». Автор пишет:

«Дано:

пл. Р±АВ, пл. Q±AB

Требуется доказать, что пл. Р || пл. Q (черт. 1).

Доказательство. Через АВ проведем две произвольные плоскости R и S, пересекающие данные плоскости Р и Q по прямым АгВх, ВХСЪ А.2В% и В2С2. АгВх || А2ВГ так как эти прямые лежат в одной плоскости /? и АгВг _1_ АВ, так как АВ пл. Q по условию, А2В% J_ АВ, так как АВ J_ пл. Р по условию. А две прямые перпендикулярные к третьей—параллельны. Аналогично: ВхСг \\ BtCt. Значит, две пересекающиеся прямые в одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости. По признаку параллельности плоскостей пл. Р || пл. Q, ч. т. д.

Такое доказательство теоремы позволяет еще раз повторить признак параллельности плоскостей..., и кроме того, доказательство основывается на аналогичной теореме из планиметрии. Я рассказала учащимся оба доказательства теоремы, причем мне было видно, что второе доказательство теоремы понято и показалось им (учащимся) значительно легче».

5. В письме в редакцию тов. Д. Я. Нодельман (Бурят-Монгольская АССР, г. Бабушкин) пишет об упрощениях, которые вносит в решение ряда задач на прогрессии следующая достаточно известная теорема.

Каждый член арифметической (или геометрической) прогрессии есть среднее арифметическое (соотв. геометрическое) между предшествующим и последующим членами.

Автор письма в качестве примера приводит решение следующей задачи:

Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 45; если из этих чисел вычесть соответственно 2, 9 и 8, то получатся три числа, составляющие возрастающую геометрическую прогрессию. Найти сумму 9 членов полученной геометрической прогрессии.

Пусть агаг и д3 — члены арифметической прогрессии; по условию имеем:

ai + аг + аг = 3 а2 = 45> откуда: яа=Л5; числа

Ьг = аг — 2; bt — 6 и Ь3 =» а% — 8 образуют геометрическую прогрессию, и потому btb3 = 36, кроме того:

Ь9-\-Ьг = аг-\-а3 — 10=2^,— 10 = 20. Дальнейший ход решения ясен: числа Ьг и Ь3 суть корни квадратного уравнения х*— 20х + 36 = 0.

6. В заметке «Как можно научить учащихся решать задачи на составление уравнений по условию задачи» тов. Г. И. Фризен (Алтайский край, с. Локоть) рассказывает о своем опыте прохождения темы «Составление квадратных уравнений по условию задачи». Автор считает, что, в особенности на первых порах, не следует жалеть времени и в течение нескольких уроков подробно рассмотреть решение одной и той же задачи различными способами. В качестве примера автор приводит решение задачи:

Два туриста одновременно выходят из одного города в другой. Первый проходит в час на 0,5 км больше второго и поспевает прийти часом раньше. Расстояние между городами 28 км. Сколько километров проходит каждый из них в час?

1-е решение. Сравнивая время, необходимое для прохождения пути, имеем зависимость:

/ время, за \ / \

„ \ / время, за которое \ которое II - \прохолт/В =1

\проходит АВ) \ }

(такая запись делается на доске).

Обозначив скорость первого туриста через х, получим уравнение:

(далее следует решение этого уравнения)

2-е решение. Можно сравнивать скорости туристов:

(скорость I) — (скорость II) =

Пусть х — время, за которое первый турист проходит АВ, тогда получим уравнение:

3-е решение. Можно взять за основу следующее соотношение:

, ¥Ч тч /время, за которое А

(путь I) - (скорость I). ^ проходит АВ ) .

Пусть х — скорость второго туриста, тогда получим уравнение:

Автор заметки приводит всего 9 вариантов решения этой задачи и 3 варианта решения той же задачи при помощи составления системы уравнений.

Такой подробный разбор задачи помогает учащимся находить равные величины, устанавливать функциональные зависимости, сравнивать между собой различные способы решения. В заключение автор отмечает, что изложенный метод дал хорошие результаты и даже слабые ученики усвоили решение задач на составление уравнений.

Опыт тов. Фризена заслуживает внимания, однако такому подробному разбору должны подвергаться лишь некоторые, но не все задачи.

Методические заметки по арифметике.

7. В заметке «О проверке арифметических вычислений» тов. Юрьев (Кузбасс, г. Кемерово) приводит примеры проверки арифметических действий при помощи выполнения тех же действий над округленными числами. Разумеется, что этот способ проверки приводит к приближенному результату, однако, во-первых, он дает возможность легко обнаружить явные несообразности в вычислениях и, во-вторых, развивает полезные навыки примерной оценки чисел, получающихся в результате последовательного выполнения ряда арифметических действий. При округлении компонентов следует стараться, чтобы допускаемые ошибки по мере возможности компенсировали друг друга. Автор приводит следующие примеры:

точное значение 1,718.

точное значение 0,384.

8. В письме в редакцию тов. Е. С. Березанская (Москва) пишет об одной распространенной методической ошибке, заключающейся в том, что при проверке решения задачи нередко проверяются не все, а лишь некоторые условия задачи. В качестве примера тов. Березанская приводит задачу, рассмотренную в статье Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева («Математика в школе», 1947, № 3).

«Было куплено 13-^- кг конфет и печенья. Когда роздали 3 кг конфет ив 1-^- раза больше печенья, конфет и печенья осталось поровну. Сколько килограммов купили конфет и сколько килограммов печенья».

Ответ. Куплено 6 кг конфет и 7 1/2 кг печенья. Авторы статьи приводят следующую проверку решения:

Проверка

«Итак, после раздачи осталось одинаковое число килограммов конфет и печенья, что и указано в условии задачи>. Однако эта проверка не является достаточной. Пусть, например, допустив ошибку в вычислениях, ученик получил ответ: куплено 5 кг конфет и 6-у- кг печенья. Сделав указанную выше проверку, получим:

Таким образом, после раздачи осталось одинаковое число килограммов печенья и конфет. В условии задачи имеется еще одно данное: «было куплено 13-^- кг конфет и печенья», при помощи которого немедленно устанавливается ошибочность второго ответа,

9. В заметке «Способ нахождения НОК и НОД» тов. А. М. Баранов (Хакасская авт. обл., с. Иудино) пишет о целесообразной записи при нахождении наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного нескольких чисел. Пусть, например, 28, 60 и 210 данные числа, вычисления располагаются так:

НОК = 2.2.3.5.7=420; НОД=2

Указанный способ записи не является новым, он рекомендуется в «Методике арифметики» Е. С. Березанской для нахождения НОК. Как легко видеть, с тем же успехом данный способ применяется и для вычисления НОД.

К методике преподавания логарифмов

10. В заметке «Некоторые замечательные свойства логарифмов» тов. А. К. Беркович (Одесса) приводит ряд упражнений, полезных в качестве задач на доказательство.

1) Доказать, что lgaN= \gak Nk9 т. е. логарифм числа не изменяется, если основание логарифмов и число возвести в одну и ту же степень.

2) Доказать, что

\gaM\gbN=\gaN\gbM

(для доказательства можно воспользоваться основным тождеством: x = algaX).

3) Обобщить на случай произведения любого числа сомножителей. Так, например, для трех сомножителей имеем:

igaNlg*M lgcR = lgaM\gbR \gcM =

4) Доказать, что отношение логарифмов двух чисел не зависит от основания логарифмов.

5) Доказать, что отношение логарифмов одного и того же числа при разных основаниях не зависит от числа.

В школьных задачниках по алгебре не уделяется должного внимания задачам на доказательство, несмотря на то, что эти задачи следовало бы практиковать не только в курсе геометрии, но и в курсе алгебры.

11. В заметке «К методике преподавания логарифмов в IX классе» тов. Л. А. Кирюшкин (Алма-Ата) рассказывает о своем опыте проведения первых уроков на тему «Логарифмы». Автор заметки предлагает следующий план:

I. Сначала нужно сказать о том, что логарифмы нужны для вычисления произведений и частных, например, такого вида:

35,185-6,0133 8,723

или

10_

87,2852»уг75,846 |/ЗДЙ>5

Последнее выражение крайне трудно вычислить путем знакомых операций.

II. Следует указать, что вычисления, в которых содержатся только действия сложения и вычитания, как, например:

136• 75-f-448 • 788— 12,367, выполняются просто.

III. Требуется перемножить два числа: 32X^4. Для вычисления произведения можно воспользоваться следующим приемом:

32 • 64=25 • 26=25+6=2п=2048.

Учащиеся видят возможность замены умножения выполнением сложения.

IV. Составляется таблица степеней числа 2. Пользуясь этой таблицей, учитель решает ряд таких примеров:

1) 32-64 = 2048

2) 163 = (24)3 = 23-4 = 212 = 4096

4 _ 4 _ 21

3) j/4096 =]/212 = 24 = 23 = 8.

После этого введения можно перейти к систематическому изложению теоремы, придерживаясь школьного учебника.

Замечания к тексту учебников

12. В заметке «О формулировке некоторых задач на тела вращения» тов. Я. Б. Каганцов (Коми АССР, г. Воркута) пишет о неточностях в формулировке задач, содержащихся в школьных учебниках. В качестве примера автор заметки указывает на задачи №2, 6 и 14 § 23 из задачника по тригонометрии Рыбкина. Так, задача № 2 сформулирована следующим образом:

Площадь равнобедренного треугольника Q = 50 дмг, а угол при вершине р = 100°24'. Вычислить полную поверхность тела, образованного вращением этого треугольника около прямой, перпендикулярной к основанию и проведенной через один из его концов.

В такой редакции задача имеет бесконечное множество решений, так как в пространстве существует бесконечное множество прямых, проходящих через данную точку, перпендикулярных к основанию треугольника. Однако

ответ дан для того частного случая, когда ось вращения лежит в плоскости треугольника. Поэтому в условии задачи слова, выделенные курсивом, надо заменить следующими словами: «прямой, проведенной в плоскости этого треугольника, перпендикулярно основанию, через один из его концов».

13. В заметке «О трех высотах треугольника» тов. И. С. Киселев (Воронежская обл., село Водопьяново) пишет о целесообразности уточнения редакции теоремы о высотах треугольника. Термины «сторона», «биссектриса», «медиана» и «высота» треугольника понимаются в двояком смысле: как соответствующие прямые (в целом) и как отрезки этих прямых.

Эта двойственность вызывает затруднение у начинающих изучение геометрии: учащиеся нередко затрудняются провести высоту из вершины острого угла или указать расположение точки пересечения высот тупоугольного треугольника. Автор заметки предлагает уточнить текст теоремы (см. учебник Киселева) о точке пересечения высот следующим образом: «три высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке».

Наглядность и графические интерпретации

14. В заметке «Из опыта работы по геометрии в VI классе» тов. А. И. Мулихова (Горьковская обл., г. Павлов) описывает применение плакатов-рулонов в качестве наглядного пособия при прохождении теорем, для доказательства которых требуются вспомогательные построения. На плакате-рулоне даются чертежи, на которых изображаются детали вспомогательных построений, по мере их последовательного возникновения. В качестве примера автор приводит серию чертежей I—VII, изготовленных применительно к доказательству теоремы о внешнем угле треугольника (черт. 2). Эти чертежи выполняются в различных красках, при этом равные элементы изображаются одним и тем же цветом. Вначале учащиеся видят лишь чертеж I, на котором изображены данные элементы, затем, постепенно развертывая рулон, учитель показывает чертежи II, III, IV. Таким образом, перед учащимися постепенно возникают детали вспомогательных построений. На чертеже V сплошными линиями выделяются детали, требующиеся для данного этапа рассуждений, прочие же линии даются пунктиром. На последующих чертежах постепенно удаляются детали, в которых отпадает надобность при дальнейших рассуждениях. В заключение учащиеся выполняют на доске и в тетрадях «обычный» чертеж.

15. Как известно, одной из трудностей при решении тригонометрических уравнений является возможность получить различные формы для решения одного и того же уравнения в зависимости от способа, которым оно решалось. В заметке, присланной в редакцию, тов. Н. Петров (ст. Ак-Булак Чкаловской области) рассказывает о своем опыте преодоления указанной трудности при помощи изображения в три-

Черт. 2

гонометрическом круге возможных положений подвижного радиуса дуг, служащих решением данного тригонометрического уравнения. Так, например, уравнение:

sin 2х — cos х = О

можно решать следующими двумя способами: I. cos л: (2 sin х — 1) = 0, откуда получим общее решение в виде:

Откуда:

Тождественность обеих форм общего решения становится очевидной, если, придавая последовательно числу п всевозможные целые значения (/t=0,+l,=b2,...), изобразить полученные решения дугами тригонометрического круга. На чертеже 3 указаны возможные положения подвижного радиуса; как нетрудно убедиться, для обеих полученных формул общего решения данного уравнения получаются одни и те же возможные положения радиуса.

Заметки на разные темы

16. В заметке «По поводу статьи проф. Л. Чакалова о несоизмеримых углах в треугольниках» («Математика в школе», № 1 за 1948 г.) т. Р. Г. Бернштейн (Закарпатская обл., г. Мукачево) указывает некоторые следствия,

непосредственно вытекающие из результатов, приведенных в статье проф. Л. Чакалова.

Если угол ^за исключением углов 0, , я и т. д.^ соизмерим с прямым углом, то значения всех его тригонометрических функций не могут быть рациональными, и обратно: если значения всех тригонометрических функ-

Черт. 3

ций угла рациональны, то он (угол) несоизмерим с прямым углом (за указанными исключениями).

Все тригонометрические функции рациональны у такого угла, синус которого равен

—г——5 или -3-;—?, где т и п — любые взаимнопростые числа и тфп. Например:

.5 .7 .8

arc sin jg-, arc sin , arc sin -^у суть углы, несоизмеримые с прямым углом.

17. В заметке «К вопросу о методике преподавания неравенств» тов. В. Н. Шишлянникова (Киев) вносит следующее весьма полезное предложение: для лучшего уяснения основных свойств, присущих понятиям «больше», «меньше», «равно», следует в виде примеров рассматривать различные (не обязательно арифметические) системы объектов, для которых рассматриваемые свойства либо имеют, либо не имеют места. Автор заметки приводит следующие примеры.

Свойство обратимости. Параллельность прямых, перпендикулярность прямых, подобие треугольников суть соотношения, обладающие свойством обратимости, так как если АВ || CD, то и CD \\ АВ\ если АВ _L CD, то и CD ± АВ; если А ABC со АА^^, то и АА^^со ААВС.

Допустим, что АА1В1С1 «лежит внутри» А ABC, тогда А ABC не лежит внутри АА^С^ Следовательно, соотношение «лежать внутри» не обладает свойством обратимости.

Свойство транзитивности. Этим свойством обладает параллельность прямых, а также подобие треугольников.

Если АВ || CD и CD \\ MN, то АВ \\ MN.

Если AABCcoAA^Cj^ и ААгВгСг со ААгВ2С2,

то

A ABC со ДД2£2С2.

Свойством транзитивности не обладает перпендикулярность прямых, а также касание окружностей.

Если АВ ± CD и CD J_ EF, то и АВ не перпендикулярна EF (имеем АВ \\ EF).

Если окружность Ог касается окружности 02, и окружность 02 касается окружности 08, то не всегда окружность Ог касается окружности 03.

По этому образцу учитель может строить весьма разнообразные примеры, помогающие уяснить смысл ряда основных соотношений.

18. В заметке под названием «Из опыта» тов. С. Хургина (Москва) вносит следующее предложение: тотчас же после изучения признаков подобия треугольников следует рассмотреть подобные треугольники, получаемые при пересечении данного треугольника прямой, не параллельной ни одной из его сторон. На чертеже 4 секущая прямая DE не проходит ни

Черт. 4

через одну из вершин треугольника; при рассмотрении этого случая следует произвести подробную запись.

Дано: ААВС, отрезок DE,

^BED = ^A и ^BDE = ^C.

Имеем:

AABCcoABED. Сходственные стороны:

АВ и BE ВС и DB АС и DE

Пропорциональность сходственных сторон: АВ _ ВС АС BE - BD — DE

Далее следует рассмотреть случай, когда секущая прямая проходит через одну из вершин треугольника (черт. 5), и сделать, по указанному образцу, подробную запись. По задачнику Рыбкина следует решить задачи № 18 и 19 из § 9. Подробный разбор указанных выше случаев облегчит в дальнейшем изучение основных теорем о метрических соотношениях.

19. В статье под названием «Заметки военного преподавателя» капитан П. И. Кохановский (начальник общеобразовательного цикла Одесского Артиллерийского ордена Ленина училища им. М. В. Фрунзе) пишет о недостатках в математической подготовке учащихся, окончивших среднюю школу. Автор

Черт. 5

отмечает, что лица, оканчивающие школу, получают неплохую теоретическую подготовку, однако навыки в практическом применении полученных знаний продолжают оставаться недостаточными.

1) Большинство учащихся не умеют доводить вычисления до практически требуемого результата. Пусть, например, при вычислении площади земельного участка получился ответ -^3— гя. Большинство считает такой ответ окончательным. С точки зрения практики этот ответ окончательным считать невозможно. Учащийся сам должен определить требуемую степень точности. В данном примере достаточна точность до 0,01 га, поэтому окончательный ответ будет 5,78 га.

2) Учащиеся не умеют проверять результаты вычислений, исходя из практических соображений. Так, например, учащийся ошибся в постановке запятой и получил ответ: ширина комнаты равна 45,3 м (вместо 4,53 м)> однако явная нелепость полученного результата не смущает учащегося.

3) Недостаточны навыки в приближенных вычислениях. Учащиеся нередко не умеют производить целесообразные округления и «блуждают в лесу лишних цифр». Надо помнить и уметь применять слова великого русского ученого Д. И. Менделеева: «точность вычислений не должна и не может быть выше точности наблюдений».

4) Учащиеся не обладают навыками «прикидывать» ответ в уме (об этом см. выше заметку т. Юрьева).

5) Недостаточны навыки в технике арифметических вычислений: учащиеся не умеют выполнять в уме простейшие промежуточные вычисления, не умеют целесообразно располагать и оформлять письменные вычисления, отделять основные вычисления от вспомогательных, слабы навыки в применении рациональных вычислительных приемов.

6) Школа не дает достаточных навыков в пользовании математическими таблицами. Так, например, учащиеся извлекают квадратный корень обычным путем, разбивая число «на грани», однако на практике корни так не извлекают, а пользуются таблицами или линейкой. Автор «заметок» считает, что школа должна дать учащимся навыки в вычислениях с помощью логарифмической линейки.

20. В письме в редакцию тов. С. И. Гаврилов (Осташево Московской области) пишет о методе полной индукции в курсе средней школы. Неправильность того положения вещей, при котором метод полной индукции находит свое применение лишь в X классе в связи с доказательством формулы бинома Ньютона, признается большинством современных методистов. Дискуссионным является лишь вопрос о том, когда впервые учащиеся должны знакомиться с методом полной индукции. По мнению автора письма, уже в VIII классе следует применять метод полной индукции к выводу формулы квадрата суммы любого числа слагаемых. Именно:

1. Повторяется формула (а-\-Ь)2.

2. Доказывается, что

(a -j- ь + с)2 = a* -j- ft2 _|_ &+2ab + 2ас -f 2Ьс; так:

(а+Ь + с)* шш (х + с)2 = + 2хс -f с2= и т. д.

3. Допускаем, что

т чисел

(а+b+c+...+i+k)2 = а2 + + k2 + 2ab-)-... + 2/&.

4. Доказываем, что тогда

(a + b + c + ... + i + k + l)* = a* + b*+...+ _|_& + /2 + 2аЬ + ... -|-2ik + 2il+2kl;

так:

= jc2 4-2*/+/*=(a + £ + c+...+/ + /02 + + 2(а + £ + с + ... + / + £)/+/* и т. д.

Затем методом полной индукции в IX классе следует вывести формулы любого члена арифметической и геометрической прогрессий и, наконец, в X—формулы комбинаторики и бином Ньютона.

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ МАРАКУЕВ (1847—1911)

А. Е. ПОПКО (Томск)

27 января 1947 г. исполнилось сто лет со дня рождения крупного преподавателя математики дореволюционной русской средней школы, автора двухтомного курса «Элементарной алгебры», на котором воспиталось не одно поколение преподавателей математики средних школ дореволюционной России.

Н. Н. Маракуев родился 15 (27) января 1847 г. в гор. Ростове Великом, он был пятым ребенком в многочисленном семействе. Отец Н. Н., Николай Михайлович Маракуев, окончил городскую школу в Ростове Великом и учился в Академии художеств в Петербурге, но курса в ней не окончил. Тем не менее живопись стала основным его занятием, хотя эта работа и плохо обеспечивала материальные потребности его семьи. Нужда усугублялась рядом других неблагоприятных бытовых обстоятельств. В конце концов глава семьи покинул Ростов и семью, которая осталась без средств к существованию. Родственники Николая Михайловича Маракуева взяли его детей с целью дать им нормальное воспитание.

Николай Николаевич Маракуев попал в Москву, в семью своего двоюродного дяди Киселева, который сделал все, что было в его силах, для обеспечения своему воспитаннику возможности получения высшего образования.

По окончании московской гимназии Николай Николаевич поступил на физико-математический факультет Московского университета. Как в гимназии, так и в университете он учился прекрасно. В гимназии он основательно изучил классические древние языки (латынь и греческий), а в университете — французский, немецкий и английский. Это дало возможность Н. Н. широко пользоваться мировой научной литературой при изучении математики и физики, а также определило его вторую специальность — переводчика на русский язык научных трудов и популярно-научных сочинений.

В университете он основательно изучил физико-математические науки. Хранившиеся у него всю жизнь собственноручно каллиграфически написанные им конспекты университетских лекций профессоров — Цингера, Давидова, Брашмана, молодого Бугаева и др. были настолько хорошо обработаны, что их можно было пустить в печать почти без поправок.

Университет Н. Н. окончил в 1867 году с отличием, имея 20 лет от роду.

Путь к научной карьере был узким в царской России, а для тех, кто не имел материальных средств, — тернистым. Свободных вакансий ассистента на кафедрах математики во всех семи университетах не было; аспирантуры в то время при университетах не существовало, и Н. Н. пришлось заняться педагогической работой в средней школе, на которой он и оставался до конца своей жизни.

Сначала Н. Н. работал преподавателем математики в Белостокском реальном училище и

Ковенской гимназии, а затем инспектором реального училища в Пултуске.

Как педагог Н. Н. пользовался, судя по словам его биографов, большим авторитетом у своих коллег и уважением учащихся,

В 1897 году Н. Н. вышел в отставку и поселился в Одессе, где и умер 20 декабря 1910 г. (2 января 1911 г.) от рака желудка и печени. Этот последний период своей жизни он занимался уже исключительно литературной работой.

Н. Н, Маракуевым написан и издан ряд оригинальных трудов.

Основным оригинальным трудом Н. Н. является Систематический курс элементарной алгебры», изданный впервые в 1896 г. в двух томах. Эта книга была в то время лучшим руководством по полноте и обстоятельности изложения. В ней содержалась не только теория, но и большое количество разнообразных задач. Для большинства задач даны решения, иллюстрированные чертежами.

Книга переиздавалась три раза. В последнем издании, вышедшем в 1916 году, теоретическая часть сосредоточена в I томе, а задачи — во II томе.

В настоящее время книга значительно устарела, но не потеряла своего значения и для учителей наших средних школ и студентов педагогических и учительских институтов*.

Им же написаны для средней школы следующие книги:

1. Пособие к решению геометрических задач на вычисление, М. 1909.

2. Сборник задач по физике, курс средней школы, 956 задач с ответами и решениями, М. 1905.

3. Галилей, его жизнь и труды (вышло 5 изданий).

4. Ньютон, его жизнь и труды (вышло 4 издания).

Помимо этих оригинальных работ, Н. Н. Маракуевым переведен на русский язык ряд книг.

Перечень трудов Н. Н. Маракуева говорит о разносторонности его научных интересов и стремлении к широкой популяризации достижений современной ему науки среди широких слоев населения своего отечества.

* От редакции. Курс алгебры Н. Н. Маракуева, явившийся для своего времени выдающимся произведением, теперь настолько устарел, что пользование им может быть рекомендовано лишь при строго критическом подходе к тексту.

ХРОНИКА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА В ДАМБУКИНСКОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

П. БЕЗМАТЕРНЫХ (Прииск Дамбуки Амурской обл.)

Весною 1948 г. в Дамбукинской средней школе (Амурская область) была проведена математическая олимпиада. Организация была проведена следующим образом. На очередном занятии кружка была зачитана статья о девятой математической олимпиаде школьников в Москве (журнал «Математика в школе», № 1 за 1947 г.). Кружковцы заинтересовались и выразили желание организовать олимпиаду в своей школе для учащихся VIII—X классов. Руководитель кружка довел до сведения администрации школы о желании учащихся и получил согласие директора на организацию олимпиады.

С этого момента работа кружка резко активизировалась. Был составлен новый план работы. Это были самые плодотворные занятия. Была организована специальная комиссия по подготовке к олимпиаде. В обязанности комиссии, состоящей из трех учащихся, входили: информация в стенгазете о ходе подготовки к олимпиаде, вывешивание на специальной доске разного рода извещений, списка задач для самостоятельной домашней тренировки, публикация результатов туров олимпиады и т. п. После кружковых занятий и консультаций желающие принимать участие в олимпиаде учащиеся были разделены на две группы: первую составили ученики VIII и IX классов, вторую — X класса. За десять дней до первого тура олимпиады был дан предварительный тур, в котором было предложено пять задач, несколько отличных от обычных задач, содержащихся в школьных сборниках, но все же похожих на них. Каждая задача была оценена некоторым количеством очков и было поставлено условие «набрать не менее 30 очков из общего числа 60 очков». Времени для решения задачи давалось достаточно — 7 дней.

Учащиеся решали эти задачи дома. Из 25 человек получили право на участие в первом туре олимпиады 18 человек.

Ниже в качестве образца приводятся задачи первого тура.

Для VIII — X классов

1. Найти двузначное число, равное утроенному произведению его цифр (15 очков).

2. При равномерном движении поезд проходит расстояние между двумя телеграфными столбами, равное йм, в х минут, а мимо одного столба идет у минут. Определить скорость и длину поезда (10 очков).

3. Доказать, что при любом п выражение пв-\-\\п делится на 6 (5 очков).

4. Построить треугольник по трем его медианам: ть то и тъ (5 очков).

5. Какие три цифры надо приписать к 27, чтобы получился точный квадрат? (15 очков).

6. На прямой АС взята точка В и на отрезках АВ и ВС построены по одну сторону прямой АВ равносторонние треугольники ABD и BCDh Проведены прямые DC и D}A и середины их М и N соединены с точкой В. Доказать, что треугольник MNB — равносторонний (10 очков).

Для X класса

1. Производительность завода А составляет 40,96% производительности завода В. Число годового процента прироста продукции на заводе А на 30 больше числа годового процента прироста продукции на заводе В.

Каков годовой процент прироста продукции на заводе А, если за четвертый год работы завод А дает то же количество продукции, что и завод В (15 очков).

2. Если k четное целое число, то k*-\-2Q k делится на 48 (10 очков).

3. Из конца В отрезка АВ, равного а, проведен к нему перпендикуляр, на котором взяты точки С и D так, что ВС = 2 АВ и CD = AB. Найти сумму углов АСВ и ADB (5 очков).

4. Упростить:

(sin а -4- cosec а)* (cos а + sec af — (tg2 а 4- Ctg2 о) (10 очков).

5. Построить куб по его диагонали (10 очков).

6. Доказать, что если в треугольной пирамиде все грани равновелики, то все они равны между собой (10 очков).

С особой силой олимпиада подчеркнула необходимость вдумчивой, углубленной и систематической работы преподавателей над вопросами развития математического мышления учащихся. Некоторые учащиеся, обычно выполняющие контрольные работы на «5», здесь оказались бессильными, растерялись, испугавшись содержания задач. Задачи немного выше средней трудности, однако у некоторых учащихся они вызвали большие затруднения. Из 25 учащихся 7 человек «отсеялись» на тренировочном туре, не набрав 30 очков. Из 18 участников первого тура были лишены права участия во втором туре 9 человек. Участники второго тура еще «потеряли» двух товарищей. Таким образом, успешно прошли оба тура только 7 человек. Двое из них получили похвальные грамоты. Для решения задач на обоих турах давалось 5 часов. Во время работы

учащихся присутствовали члены комиссии (ассистенты из состава педколлектива). Самостоятельность работ учащихся обеспечивалась.

Положительные стороны олимпиады заключаются в том, что учащимся приходится читать порядочное количество математической литературы, самостоятельно разыскивать Необходимые математические формулы, правила, определения; читать методическую литературу, отыскивая различные способы решения задач. Учащиеся получают навыки в исследовательной работе, развивается их логическое мышление, находчивость, вдумчивость, терпение и другие качества, необходимые нашему школьнику. К отрицательной стороне проведения олимпиады можно отнести то, что в период, предшествующий олимпиаде, учащиеся увлекаются математикой и нередко забывают про другие дисциплины. Однако эта «отрицательная» сторона вполне устранима удлинением подготовительного периода.

Одна из ошибок в проведении первого тура состояла в том, что задачи были расположены не в порядке возрастающей трудности Некоторые учащиеся не догадывались (VIII — IX классы), как можно решить одно уравнение с двумя неизвестными (задача № 1), и много потратили времени на эту задачу, а затем, чувствуя отставание, начали нервно спешить, ошибались, путались и, растерявшись, бросали работу. Перед началам работы надо было объявить о том, что можно начинать с любой задачи, а не обязательно с № 1.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ В ЛЬВОВЕ 1946, 1947 гг.

проф. А. С. КОВАНЬКО (Львов)

В городе Львове при Львовском государственном университете имени Франко по инициативе физико-математического факультета университета и горОНО состоялись две математические олимпиады весной 1946 и 1947 гг.

Первая олимпиада была организована для IX и X классов средних школ и охватила около 50 участников.

Вторая олимпиада была организована для VII, VIII, IX, X классов и охватила около 80 участников.

В той и другой олимпиаде были отмечены победители; в 1946 их было 3, а в 1947 году 6.

Все победители в 1946 г. и часть из победителей 1947 г. поступили на физико-математический факультет университета и оказались отличниками учебы.

Организаторами олимпиад были работники университета: проф. Гнеденко Б. В., проф. Зарицкий М. О., проф. Лопатинский Я. Б., проф. Кованько А. С, доц. Соколов И. Г., доц. Буймола Г. Л., доц Волковысский Л. И.

Задачи, предлагавшиеся на математической олимпиаде 1946 г. (2 й тур, IX и X классы):

1. В треугольнике биссектриса, медиана и высота данного угла делят его на четыре равные части. Определить углы треугольника.

2. Разложить на множители выражение:

д;10 _|_ jc5 _J_ 1.

3. Разрезать прямоугольник с измерениями 16 и 9 на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

4 Из SO одинаковых золотых монет обнаружить одну фальшивую (более легкую), имея двухчашечные весы без гирь и произведя только 4 взвешивания.

5. Из концов данной хорды провести две параллельные между собой хорды, сумма длин которых равна данному отрезку.

6 Вычислить сумму:

sin jc -4- sin 2jc -|- . . .-f-sin/z*.

Задачи, предлагавшиеся на математической олимпиаде 1947 года (2-й тур, IX и X классы).

1. Доказать, что при неравных положительных а и Ь.

"|-f <Г «К—2—*

~ + 1Г

2. Доказать, что при любом целом п выражение л3-}- 11 п делится без остатка на 6.

3. Доказать, что

у^оо--2 sin 70» -1.

4. Дан отрезок и параллельная ему прямая. Пользуясь только линейкой, разделить отрезок пополам.

5. Построить равносторонний треугольник, вершины которого лежат соответственно на трех данных параллельных прямых.

6. Решить уравнение: jc4 -Ь Ах—1 =0.

Задачи, предлагавшиеся на математической олимпиаде 1947 г. (VII и VIII классы).

1. Сосуд в 10 литров наполнен вином. Требуется разделить это вино поровну на 2 части, имея под руками два пустых сосуда емкостью в 7 и 3 литра.

2. Если точка М есть середина отрезка АВ, то для любой точки С, лежащей на прямой АВ отрезок СМ равен полуразности отрезков АС и ВС, если С лежит между А и В и СМ равен полусумме АС и ВС, если С лежит на продолжении отрезка АВ.

3. Разложить на множителя:

(а + Ь + с)* — а* — Ь* — с*.

4. Из трех данных точек, не лежащих на одной прямой, описать три окружности, попарно касающиеся друг друга.

5. Из квадрата, разделенного на четыре квадрата, выкинута одна четверть. Требуется оставшуюся фигуру (в виде буквы Г) разрезать на 4 одинаковые фигуры.

РАБОТА СЕКЦИИ МАТЕМАТИКОВ при Одесском горметодкабинете в 1948 году

Д. С. ГОНЧАРОВ (Одесса)

В 1948 году следует отметить некоторые положительные сдвиги в работе секции математиков при Одесском городском методическом кабинете. Сюда относится: 1) повышение активности преподавателей, выразившееся в количественном росте посещаемости, особенно во второй половине года (сентябрь-декабрь), когда число присутствовавших на заседаниях доходило до 100 и более человек;

2) появление нового методического актива в составе докладчиков; 3) участие в заседаниях и выступление с докладами работников педагогического и учительскою институтов и некоторых других вузов; 4) участие в работе секции студентов педвузов в качестве посетителей и в качестве докладчиков; 5) присутствие на заседаниях и участие в прениях по докладам иногородних математиков (в частности профессора А. М. Астряба из Киева).

Все это, несомненно, свидетельствует о росте популярности работы секции.

Работу секции можно подразделить на такие рубрики: 1) научные и научно-методические доклады 2) методические разработки и доклады;

3) исторические доклады; 4) текущие вопросы (подготовка к экзаменам — апрель-май).

Всего за 1948 год (с 12/1 по S0/XII) состоялось 29 заседаний, на которых были заслушаны следующие доклады:

1. В. Г. Рубинштейн — «Обоснование теории дробных чисел (дроби обыкновенные, десятичные конечные и десятичные периодические)». Этим вопросам были посвящены три заседания.

2. А. В. Колот—«О борьбе с формализмом преподавания математики».

3. А. В. Колот—«О требованиях к письменным работам по математике».

4. «Образцы объяснений к решению геометрических задач» (К. Ф. Филиппович, Б. Л. Кремер, А. В. Колот и тов. Фрайберг).

5. А. В. Колот—«Системы уравнений в VIII классе».

6. Доц. Е. X. Гохман—«Теория пределов» (два заседания).

7. Аспирант Иохвидов—«Софья Ковалевская».

8. В. Г. Рубинштейн — «Теорема Безу».

9. «Задачи к экзаменационным билетам по математике» (И. О. Гольденблат, А. В. Колот, В. Г. Рубинштейн и другие).

10. В. Г. Рубинштейн — «Повторение геометрии в IX классе».

11. А. В. Колот—«Иррациональные числа в средней школе».

12. Студ. Кушнир «Рациональные треугольники».

13. А К. Беркович — Функциональная зависимость в неполной средней школе» (2 заседания).

14. Дои. Е. X. Гохман — «Теория соединения».

15. Д. В. Хазанджи — «О постановке курса тригонометрии».

16. В. Г. Рубинштейн—«Организация занятий по математике».

17. Доц. П. Г. Рехтман — «Великий русский математик П. Л. Чебышев».

18. А. В. Колот — «Тригонометрия как раздел теории функций».

19. В. Г. Рубинштейн — «Математические кружки».

20. Студент Лешан — «Некоторые свойства нечетных чисел».

21. В. Г. Рубинштейн — «Тождества и уравнения».

22. Д. С. Гончаров — «Вопросы методики решения геометрических задач на вычисление». Этому докладу были посвящены два заседания.

«О ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ЧТЕНИЯХ»

Л. ФЕДОРОВИЧ (Москва)

Сектор методики математики Института методов обучения Академии педагогических наук ежегодно проводит «Педагогические чтения» по методике математики.

В течение 1948 г. на «Педагогические чтения» поступил 51 доклад. Все поступившие в сектор доклады возвращались авторам с подробными отзывами. С отдельными авторами велась переписка и была оказана помощь в подготовке их докладов.

Из поступивших в течение 1948 года докладов было отобрано 17 докладов для участия в «Педагогических чтениях».

Математические доклады проходили 3 и 4 февраля.

Были заслушаны следующие доклады:

1. «Практические работы по геометрии в семилетней школе» (учитель математики школы № 24 ст. Пестово Окт. ж. д.— А. Ф. Иванов .

2. Развитие пространственного воображения учащихся IX—X классов на решении стереометрических задач» (учитель математики г. Горького Н. А. Любочский).

3. «Комплексные числа в средней школе» (учитель математики г. Москвы М. И. Ребельский.;

4. «Доказательство теорем методом решения задач» (учитель математики г. Москвы — А. Д. Слоним).

5. «Опыт операторного истолкования числа в школьной практике» (учитель школы № 425 г. Москвы — С. И. Шварцбурд).

6. «О решении арифметических задач» (учитель математики Московского педучилища — Я. А. Шор).

7. «Аналитический метод доказательства геометрических теорем» (учитель математики Копотневской семилетней школы, Московской обл.—Н. Михайлов).

На чтения собралось 120—130 учителей, методистов и научных работников.

Наибольший интерес вызвали доклады: С. И. Шварцбурда, А. Д. Слонима и Я. А. Шора.

Авторы этих докладов получили похвальные отзывы.

В докладе С. И. Шварцбурда на тему «Опыт операторного истолкования числа в школьной практике»—дано применение операторного истолкования числа в изложении тем IX класса: «Дробные показатели степени» и «Логарифмы».

Докладчик сопровождал свое выступление иллюстрацией работ учащихся. Доклад вызвал оживленные прения, в которых были отмечены положительные стороны этого метода. С другой стороны, отмечалась необходимость большой затраты времени на проведение темы указанным методом.

В докладе А. Д. Слонима на тему «Доказательство теорем методом решения задач» освещен прием доказательства теорем путем расчленения доказательства на части самостоятельного значения.

К каждой части рассуждения учителем подбираются специальные задачи. После решения этих задач доказательство проводится учащимися самостоятельно. Доклад вызвал оживленный обмен мнений.

Доклад Я. А. Шора на тему «О решении арифметических задач» был прослушан с большим вниманием. Докладчиком подчеркнута мысль о том, что в средней школе решение задач имеет своей целью не только обучение решению задач, но и развитие мышления учащихся. Докладчик остановился на ряде приемов, помогающих осваивать содержание задачи: выделение краткого условия, пользование пунктирными линиями для связи данных в условии задачи и проч.

Присутствовавшие на «Педагогических чтениях» проявили живой интерес к докладам и отмечали их актуальность.

В дни проведения «Педагогических чтений» в помещении сектора была организована выставка работ московских школ на тему «Внеклассная работа по математике».

В выставке приняли участие школы: №№ 29, 59, 113, 122, 126, 135 и Московский городской институт усовершенствования учителей.

Школы представили работы на следующие темы:

1. Измерительные работы (съемки планов местности, определение высоты предметов, измерения брусов, призм и цилиндров и вычисление веса этих тел по объему и удельному весу) (Московский городской институт усовершенствования учителей).

2. Самодельные пособия (110-я школа).

3. Математические газеты (113-я школа).

4. Математические сочинения и доклады (29 и 113-я школы).

5. Районная конференция учащихся по внеклассной работе (Педкабинет Советского района).

6. Работа математического общества имени Софьи Ковалевской (113-я школа).

7. Подготовка и проведение математических олимпиад по школам (59 и 122-я школы).

Выставку посетили 250 человек.

ОБСУЖДЕНИЕ УЧЕБНИКА А. Ф. БЕРМАНТА и Л. А. ЛЮСТЕРНИКА «ТРИГОНОМЕТРИЯ»*

14 января с г. математическая секция редакционного совета Учпедгиза провела совещание, посвященное обсуждению нового школьного учебника по тригонометрии. В совещании приняли участие учителя средних школ, методисты, научные работники и члены математической секции учебно-методического совета Министерства просвещения РСФСР. Всего на совещании присутствовало 52 человека.

Совещание открыл заведующий редакцией математики Учпедгиза С. А. Пономарев.

Во вступительном слове С. А. Пономарев сказал о давно назревшей необходимости замены устаревших учебников по математике. Некоторые школьные учебники и задачники (учебники Киселева, учебники и задачники Рыбкина) имеют более чем 50-летнюю давность. С одной стороны, это говорит о методических достоинствах указанных учебников и задачников, но, с другой стороны, это же говорит и о том, что они не могут соответствовать тем высоким требованиям, которые в настоящее время предъявляются к учебникам. Товарищ В. М. Молотов, говорит С. А. Пономарев, на 1-м всесоюзном совещании работников высшей школы, кратко, но с исчерпывающей полнотой выразил требования, которые должны предъявляться страной к учебнику. В. М. Молотов сказал:

«Нам нужен учебник, отвечающий современным требованиям. Он должен быть на уровне современной науки и вполне доступен учащимся по своему языку. Он должен дать необходимый объем знаний и вместе с тем подготовлять учащегося к его будущей практической деятельности. Он должен широко использовать прежние наши учебники и иностранные учебники, где очень много ценного для учебы, и вместе с тем он должен в необходимой мере отвечать задачам идейно-политического воспитания молодежи».

Исходя из этих требований и из потребностей школы, Учпедгиз совместно с Министерством просвещения принимает меры к тому, чтобы школы были обеспечены хорошими учебниками. С указанной целью и был выпущен Учпедгизом пробный учебник по тригонометрии проф. А. Ф. Берманта и проф.Л. А. Люстерника. Этот учебник был одним из первых изданных Учпедгизом пробных учебников и в последние годы подвергался обсуждению в ряде городов РСФСР, а также в союзных республиках (в частности, в Грузинской ССР).

С. А. Пономарев призвал присутствующих ответить на вопросы удовлетворяет ли учебник тригонометрии А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника соврем иным научным и методическим требованиям, доступен ли он по своему изложению учащимся — и высказать свое мнение — может ли быть этот учебник рекомендован в качестве основного.

Выступивший на совещании проф. А. ф. Бермант изложил те основные цели и задачи, которые ставили перед собой авторы книги. Авторы, по словам проф. А. ф. Берманта, ставили перед собой скромную и ограниченную цель — написать учебник, который в какой-то мере отражал бы современные точки зрения на самые элементы преподавания тригонометрии и на основные понятия этой действительно очень «скромной» дисциплины среди математических наук.

В существующих программах, в уже образовавшемся укладе преподавания математики, тригонометрия завершает математическое образование в средней школе, и в ней должно быть сконцентрировано внимание на ряде хотя и элементарных, но основных понятий. Это — понятия о функции,

* А. Ф. Бермант и Л. А. Люстерник, Тригонометрия. Учебник для средних школ, изд. 2-е, Учпедгиз, 1948, стр. 192, цена 1р. 50 к.

о координатах, о преобразовании, о геометрической интерпретации функциональной зависимости и т. д.

В отношении фактического материала в новом учебнике нет ничего сильно отличающегося от материала, содержащегося в учебнике Рыбкина. По мнению авторов, дефектом учебника Рыбкина является устаревший подход к основным тригонометрическим понятиям, но не недостаточность фактического материала. В учебнике Рыбкина этот подход отражает те точки зрения, которые господствовали в прошлом веке. Они были для своего времени прогрессивными.

Авторы стремились к тому, чтобы, не ломая основной конструкции преподавания математических наук в школе, дать понятия, которые бы отражали современные точки зрения, образовавшиеся в научном преподавании математики (сюда относятся, в частности, понятия направленного отрезка и его проекции).

В 1940 году авторы получили огромное количество откликов на новый учебник. Учительство очень живо и с большим интересом отнеслось к появлению этой книги. В новом издании авторы старались учесть все замечания и пожелания учителей, но еще нужно сделать ряд исправлений и изменений, улучшающих текст с точки зрения доходчивости до ученика.

Рецензент учительница Н. Н. Николаева отмечает, что основным отличием нового учебника от учебника Рыбкина является определение тригонометрических функций с помощью понятия направленного отрезка и его проекции на ось.

Введение понятия направленного отрезка на первый взгляд как бы усложняет курс, но это только на первый взгляд. В дальнейшем теоремы о проекциях направленных отрезков позволяют сократить многие выводы (например, формулы приведения, теоремы сложения). Таким образом, изложение материала удовлетворяет требованиям науки и вместе с тем не создает перегрузки для ученика. По мнению Н. Н. Николаевой, можно было бы пойти несколько дальше и ввести термин «вектор». Второе преимущество нового учебника заключается в том, что учащемуся показывается вполне отчетливо, что аргумент тригонометрической функции не обязательно угол. В учебнике исключительно хорошо с научной и методической точек зрения дается учение о функциях. Хорошо изложена глава об обратных тригонометрических функциях. Н. Н. Николаева считает весьма желательным, чтобы учебник тригонометрии А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника был принят в школе в качестве основного учебника.

Доц. В. Г. Чичигин отмечает, что выход в свет этого учебника является чрезвычайно отрадным событием в жизни советской школы. Новый учебник должен постепенно заменить учебник Рыбкина, но, по мнению В. Г. Чичигина. в эту книгу нужно внести некоторые изменения, а именно: значительно сократить первую главу, так как в учебнике геометрии этот материал имеется в достаточном количестве. Хорошо, что в новом учебнике дается определение тригонометрических функций без так называемых тригонометрических линий и отрезков. Но введение сразу тригонометрического круга единичного радиуса не улучшает изложения, от этого изложение даже проигрывает. Поэтому лучше оставить определение тригонометрических функций как отношений (в строгом смысле этого слова), а затем ввести понятие единичного круга. Наглядность сохранится та же, но без традиционных тригонометрических линий. По мнению В. Г. Чичигина, построение графиков тригонометрических функций проектированием точек тригонометрического круга никогда и нигде больше не встретится. Поэтому лучше строить график по точкам, как это делается с VIII класса, а теперь будет делаться и с VII класса. Кроме того, нужно уменьшить раздел «Решения треугольников». При переиздании учебника этот раздел следует оставить, но ряд теорем дать мелким шрифтом.

Консультант Министерства просвещения РСФСР П. А. Ларичев в своем выступлении остановился на введении термина «вектор». Бояться слова «век тор» не следует, потому что в физике уже в VII классе рассматривают силу, скорость и другие век торные величины. По мнению П. А. Ларичева 1-я глава учебника является лишней, и ее следует опустить.

Далее, П. А. Ларичев считает необходимым ввести более решительно мелкий шрифт, а именно: материал, не предусмотренный программой, давать мелким шрифтом как не обязательный. Расположение материала нужно более приспособить к программе. Необходимо изложить тригонометрические функции, затем таблицы логарифмов тригонометрических функций и, наконец, решение прямоугольных и косоугольных треугольников и практические вычисления с помощью таблиц.

В заключение П. А. Ларичев говорит, что выпуск этой книги является прогрессивным явлением, ее желательно иметь в качестве основного учебника.

Многие участники совещания, находя учебник хорошим и заслуживающим быть основным в школе, все же отмечают необходимость внести ряд изменений и, в особенности, облегчить язык книги, сделав ее более доходчивой до ученика.

Участники совещания поставили вопрос об издании задачника по тригонометрии, соответствующего новому учебнику.

В работе совещания приняли активное участие П. В. Стратилатов, В. Б. Гуревич, Б. А. Кордемский, Е. Н. Обуховская, Ремизов, А. А. Борисов и др.

В заключительном слове С. А. Пономарев подвел итоги работы совещания: выпущенный вторым изданием в качестве пробного, учебник проф. А. Ф. Берманта и проф. Л. А. Люстерника «Тригонометрия» в основном удовлетворяет современным научным и методическим требованиям. После внесения необходимых исправлений, указанных в рецензиях и отмеченных в выступлениях, книга может быть рекомендована как основной учебник для IX и X классов средней школы. Учпедгизу необходимо издать задачник по тригонометрии применительно к новому учебнику. Также желательно скорейшее издание методики преподавания тригонометрии.

Ф. Мидлер

От редакции. Редакция приглашает преподавателей, ознакомившихся со 2-м изданием учебника, высказать свое мнение о нем, в частности по тем пунктам, которые обсуждались на совещании.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О КНИГЕ Г. Л. НЕВЯЖСКОГО «НЕРАВЕНСТВА» (Пособие для учителей. Учпедгиз, 1947)

Я. С. ДУБНОВ (Москва)

Учитель, к которому обращена эта книга, будет, пожалуй, озадачен: 200 страниц на тему, занимающую такое скромное место в преподавании? Так как предисловия к книге нет (о чем следует пожалеть, как и об отсутствии редакционной аннотации), то объяснение этого кажущегося несоответствия выпадает на долю рецензента. Два устремления, заслуживающих на мой взгляд полного сочувствия, повидимому, руководили автором. Первое — «расширить плацдарм» неравенств в средней школе. Все большее число преподавателей приходит к убеждению, что неравенства в наших программах еще не заняли того места, на которое они вправе рассчитывать по своему удельному весу в современной математике. При этом речь идет вовсе не о том, чтобы добавить еще несколько пунктов к разделу «Неравенства» в программме X класса. На протяжении Всего курса, будь то в алгебре или в геометрии, мы должны пользоваться каждым случаем, дающим повод для применения неравенств или для сопоставлен' я их свойств со свойствами равенств. В книге убедительно показано, насколько разнообразны эти случаи: равносильность неравенств и составленных из них систем (§ 4); неравенства между абсолютными величинами (§ 2); алгебраические и. в особенности, графические методы решения неравенств с одним и двумя неизвестными (§§ 5— 14); сравнение чисел, заданных иррациональными формулами (§§ 16, 22). Уже этого перечня достаточно для того, чтобы убедиться в неразумности такой системы, при которой знакомство с неравенствами ограничивается одним небольшим отрезком школьного курса.

Ясно, что эквивалентными преобразованиями неравенств следует заниматься в связи с эквивалентностью уравнений; от этого понимание последней ощутительно выиграет, так как будут действовать две ассоциации «по сходству» и «по контрасту» («обе части уравнения можно умножить на любое число, отличное от нуля, а обе части неравенства— только на положительное» и т. п.). Решение неравенств высших степеней и систем неравенств с двумя неизвестными почти недоступно без применения графиков. В свою очередь, сила графического метода проявляется в большей степени при решении неравенств, чем при решении уравнений (для коюрых —если не говорить о приближенном нахождении корней — графики служат хорошей иллюстрацией, но не рабочим инструментом)*. О неравенствах между абсолютными величинами уместно говорить в связи с теорией пределов. Наконец, разве не будет выигрышем для дела, если мы взамен части многочисленных упражнений на приведение подобных радикалов научим школьника, отвечать на такие вопросы: «какое из двух чисел: -у=- или 6 — больше?» (стр. 88 - 89).

Ведь изложенные в § 22 три способа проверки неравенства /10 + \2> /15 содержат нечто большее, чем приобретение новых умений: это — в особенности второй способ («метод усиления неравенства», стр. 128) - подлинный вклад в математическое и логическое развитие ученика. Все эти и подобные методические выводы не всегда сделаны в книге, быть может, потому, что иногда они представлялись автору очевидными.

Другая тенденция, приведшая к увеличению объема книги, имеет целью содействовать уже не обучению школьника, а росту его учителя. Неравенства— именно потому, что они не составляют отдельной математической дисциплины, а внедряются в качестве необходимого аппарата во многие области анализа: алгебры,теории чисел, теории вероятностей и т. д. - дают не один повод для сближения школьной математики с так называемой высшей. Эта возможность умело и с надлежащей сдержанностью используется автором. На стр. 43 появляется элементарная теоретико-функциональная терминология: интервал, сегмент и т. д.; на стр. 111 — 112- однородные и симметрические функции; на стр. 133 - число еу для определения которого подготовлены все необходимые неравенства. Заключительная VII глава целиком относится к высшей алгебре, как видно из заглавий параграфов (упорядоченные множества; кольцо, поле; расположенное поле; поле действительных чисел). За пределы школьного курса выходит также значительная часть содержания гл. VI, именно вывод (впрочем, несложными средствами, что составляет заслугу автора) известных неравенств Буняковского— Коши — Шварца, Хельдера, Минковского, Иенсена.

Некоторые нововведения в книге представляются мне удачными. Таковы термины: «относительная эквивалентность» неравенств (стр. 18 и след.) — понятие, которое было бы полезным и в теории эквивалентности уравнений; «неполное решение»

* Странным образом графический метод игнорируется в задачнике П. Обер и Г. Папелье, Упражнения по элементарной алгебре. (Учпедгиз, 1940), который уделяет неравенствам больше внимания, чем другие.

(стр. 53 и след.). Замечу, что этот термин позволяет упростить точное определение «предела функции», одновременно сближая новое понятие с знакомым уже ученику «решением неравенства»:

lim/ (х) = А,

если при всяком положительном е неравенство

|/U) —Л|<е с одним неизвестным х допускает неполное решение вида:

0<|jc — в|<8(е).

Термин «среднее нескольких данных чисел» (т. е. любое число, заключенное между наименьшим и наибольшим из данных, стр. 105) оказался удобным для ряда формулировок (§ 20; отмечу мимоходом, что фраза, помещенная на стр. 107 под заголовком «теорема 3», не имеет характера теоремы).

В критической части я пройду мимо нескольких стилистических шероховатостей и остановлюсь только на том, что смутило меня как читателя. В §§ 12—14 (стр. 60—87), посвященных решению систем неравенств, отсутствует отчетливая постановка задачи. Недостаточно сказать (стр. 60, с большей общностью на стр. 79), что мы ищем пересечение областей, дающие каждая решение одного из неравенств,—надо разъяснить, какого типа неравенствами должно быть охарактеризовано это пересечение; без этого можно считать, что искомая область определена уже теми неравенствами, которые даны в условии задачи. Судя по иллюстрирующим теорию примерам, задача состоит для случая, скажем, двух неравенств с двумя неизвестными — в эквивалентной замене этих неравенств системой или несколькими системами типа:

(вместо >, < допустимы >, <! вместо я, Ъ, <р, ф — символы + оо, - оо); именно это требуется, например, при преобразовании двойного интеграла в повторный. Попытка дать задаче определенное содержание сделана, впрочем, на стр. 6J, но только для неравенств 1-й степени и уже после того, как несколько задач этого рода было рассмотрено, причем, вероятно, читателю бы о неясно, что там требуется найти. В дальнейшем описанию области с помощью неравенств типа (А) уделено много внимания (§ 18), но при этом связь с содержанием §§ 12 — 14 даже не упомянута Справедливость требует отметить, что изложения, свободного от этого упрека, я не нашел и в других руководствах, включая наиболее серьезные и современные (напр., в «Алгебре» С. И. Новоселова).

На стр. 122 (строка 11 снизу) напрасно сказано: «Решим неравенства '21.1) и (21.1')» — на самом деле речь идет не о решении а о проверке неравенств. Заодно отмечу, что проверка неравенств (21.1'), проведенная на стр. 121 — 122, кажется мне натянутой - не лучше ли было бы воспользоваться откровенно формулой для суммы 1 + 22 + ... + я 2, чем давать замаскированный и несколько усложненный вывод этой формулы.

Эта книга, написанная с любовью к делу и со знанием дела, сбережет нам память о безвременно погибшем авторе, вышедшем из учительской среды и сохранившем живой интерес к школе после того, как он приобщился к более высоким областям науки*.

* Гилель Львович Невяжский скончался в сентябре 1946 г. в возрасте 44 лет. Он долгое время преподавал математику в московских школах. Математическая одаренность и любовь к науке позволили ему, не прерывая этой работы, закончить заочный педагогический институт, затем аспирантуру. Преподавая последние годы в вузах, он защитил кандидатскую диссертацию и получил звание доцента.

О КНИГЕ А. Ф. БЕРМАНТА И Л. А. ЛЮСТЕРНИКА «ТРИГОНОМЕТРИЯ»

Учебник для средних школ (издание 2-е)

М. Я. РОМАНОВСКАЯ (Москва)*

Учебник для средних школ А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника «Тригонометрия» (издание 1947 г.) заслуживает исключительного внимания. Книга написана на высоком теоретическом уровне, живым и ясным языком. План книги соответствует существующей школьной программе по тригонометрии.

Первая глава содержит основные сведения о тригонометрических функциях острого угла. Даются определения всех шести тригонометрических функций через отношение линейных элементов прямоугольного треугольника. Вычисляются частные значения тригонометрических функций углов 30°, 45°, 60°. Затем выводятся три основные формулы, устанавливающие зависимость между тригонометрическими функциями одного угла. Устанавливается понятие тригонометрического тождества. Просто и убедительно рассказывается о тождествах зависимых и независимых друг от друга. Устанавливается, что три основных тождества для функций острого угла независимы. Разъясняются понятия «доказать тождество», «упростить данное тригонометрическое выражение» и «из данного тождества п лучить данное выражение». Затем показано, как составляется таблица значений тригонометрических функций с помощью построения, и решена обратная задача построить и вычислить угол по данному значению тригонометрической функции Завершается первая глава решением прямоугольных треугольников.

Первую главу следует считать пропедевтической.

Начиная со второй главы, книга содержит много оригинального, нового и ценного материала. Во второй главе сначала дается обобщение понятия

* Статья печатается в порядке обсуждения вышедшего вторым изданием учебника тригонометрии А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника.

угла: углы меньшие и большие полного угла, положительные и отрицательные. Выводится формула общею вида углов и дуг: 0 = 360°/2 -)- о, где п — число оборотов радиуса, а а — угол меньший по абсолютному значению полного угла.

Затем вводится понятие направленного отрезка и его проекции на ось. Излагаются некоторые теоремы о проекциях. Тригонометрические функции синус и косинус определяются как отношение соответствующих проекций радиуса к его длине.

Тангенс и котангенс определяются как отношения синуса и косинуса. Пожалуй, было бы лучше тангенс и котангенс определить через отношение вертикальной и горизонтальной проекций. Определение тригонометрических функций через проекции вносит в дальнейшее изучение тригонометрии много ценных преимуществ:

1) позволяет многие выводы делать в общем виде; 2) доказательства ряда теорем упрощаются. Так, например, знаки, тригонометрических функций произвольных углов определяются знаком проекции: если направление проекции радиуса совпадает с направлением оси проекции, то проекция положительна, а следовательно, и отношение проекции к длине радиуса положительно. Исследование знака вертикальной проекции позволяет определить знак синуса при различных значениях аргумента. Аналогично проводится исследование знака косинуса и других тригонометрических функций. Установление четности и нечетности тригонометрических функций производится таким же образом. Все это изложено просто и убедительно. Правильному пониманию текста в значительной мере способствуют хорошие, удачно расположенные чертежи Благодаря векторному подходу, формулы приведения:

Sin (90° — а) = COS ое и COS (90° — а) mm sin а

выводятся гораздо короче, чем обычно, и вывод носит общий характер, так как формулы остаются справедливы для любых значений угла а. Вывод формулы

cos (а + == cos а cos ji — sin а sin $

сводится к теореме о проекции замыкающего отрезка. При выводе этой формулы через проекцию не требуется производить дополнительного исследования для различных значений углов а, 3, так как теоремы о проекциях носят общий характер. Здесь стоит напомнить, какой искусственный и надуманный прием предлагается в учебнике Рыбкина при распространении этой формулы для любых значений углов anji и как трудно он воспринимается учащимися. Я мало ошибусь, если выскажу утверждение, что большинство учителей это доказательство просто выпускают.

Глава третья содержит изучение тригонометрических функций отвлеченного аргумента. Это одна из лучших глав в книге по своему методическому мастерству и правильному методологическому подходу.

Авторы рецензируемой книги достигли большого успеха в смысле идейности и вместе с тем доходчивости изложения благодаря тому, что рассмотрение тригонометрических функций числового аргумента выполнено ими в соответствии с точками зрения диалектического материализма. Вот пример того, как математика, изучая количественные отношения действительного мира, подходит к созданию абстрактных понятий (§37, стр. 64):

«Одна и та же математическая функция может выражать зависимость между разными физическими величинами.

Например, квадратичная функция у = х2 определяет зависимость между площадью квадрата у и длиной стороны х.

Значит, х выражает длину, а у площадь. Название у = хг «квадратичная» указывает на ее связь с задачей измерения площади квадрата. Однако квадратичная функция появляется и в иных случаях, когда она выражает зависимость не между длиной и площадью, а между другими величинами. Например, расстояние у, проходимое свободно падающим телом в пустоте, является квадратичной функцией с коэфициентом времени х. Вот эта функция У = -Т[Х^.

Дальше идет абстрагирование этого понятия:

«Поэтому в математике рассматривают квадратичную функцию, как функцию отвлеченной величины х, которая может выражать различные физические величины. Дело обстоит так же и с тригонометрическими функциями.

Сначала они определяются как функции угла, затем им придается более широкий смысл функций отвлеченного аргумента.

Многие вопросы математики, физики и других наук приводят к тригонометрическим функциям, аргументы которых выражают различные физические величины (длину, время, температуру).

Пусть дано число х. Что надо понимать под значением, например, синуса х (sin jc>? За значение sin х, где х некоторое отвлеченное число, принимают значение синуса угла в х радианов».

Через несколько страниц в учебнике дается подтверждение изложенного: синус и косинус рассматриваются как функции, выражающие закон простого гармонического колебания.

Приведу еще один пример (§ 38, стр. 65):

«Задать или определить функцию — значит указать способ, с помощью которого по каждому значению аргумента можно найти соответствующее ему значение функции.

В математике рассматриваются преимущественно такие функциональные зависимости, которые задаются при помощи математических действий».

Далее приводятся примеры алгебраических функций, а затем авторы раскрывают сущность тригонометрических символов sin, cos и др.:

«Возьмем теперь формулу: _y = sinjc. Она дает нам правило (см. § 37), руководствуясь которым находим по одному числу х другое число: sin*. Следовательно, знак sin имеет тот же характер, как и знаки алгебраических действий (напр., знак возведения в степень, извлечение корня). Он обозначает, как одно число преобразуется в другое. Знак sin служит обозначением новой операции над числами, которую называют тригонометрической операцией. То же самое, что здесь сказано о знаке sin, можно повторить и о знаках других тригонометрических операций: cos, tg, ctg».

Приведенные примеры показывают, как наиболее трудные, в смысле абстрактности, понятия можно раскрыть с предельной ясностью и простотой. Это и методологически и методически правильно.

Следует приветствовать включение в курс тригонометрии изучение комплексных чисел в тригонометрической форме. В самом деле, теорема сложения тесно связана с законами умножения комплексных чисел. Формула Муавра позволяет выражать sin пер и cos л? в виде многочленов, относительно cos ср и sin ср.

«Узким местом» в курсе тригонометрии было и остается изучение обратных тригонометрических функ-

ций. В рецензируемой книге к понятию обратной тригонометрической функции авторы подходят из необходимости решения задачи — найти угол или дугу по заданному значению тригонометрической функции. При решении поставленной задачи обнаруживается многозначность решения.

Затем дается общее понятие обратной функции и показывается обший прием построения графика обратной функции. На примерах алгебраических функций производится исследование обратных функций на многозначность и устанавливается, что функция, обратная данной однозначной функции, может быть и многозначной. После этого определение обратной тригонометрической функции формулируется как функции, обратной соответствующей тригонометрической функции. Далее построены графики обратных тригонометрических функций:

Arc sin хУ Arc ccs х% Arctg^-, Arcctgjc;

выделены их главные значения и приведены примеры преобразований обратных тригонометрических функций.

Написана эта глава на высоком теоретическом уровне; удачное расположение материала и живой язык изложения делают ее вполне доступной для учащихся средней школы.

Я полагаю, что для средней школы в таком развернутом виде изучение обратных тригонометрических функций излишне. Для учащихся, которые не будут продолжать свое образование во втузах и на физико-математических факультетах, тем более допустимо сокращение этой темы.

В следующем издании можно рекомендовать параграфы 89—97 (вкл,) печатать мелким шрифтом, как необязательный материал для средней школы.

Общее понятие обратной функции — трудное понятие, и, чтобы достичь полного усвоения, надо отводить больше времени, чем это делается сейчас в календарных планах школы. Изучение этой главы полностью следует рекомендовать лишь наиболее способным и интересующимся математикой учащимся.

Нельзя не отметить удачного изложения темы «Тригонометрические уравнения». После определения тригонометрического уравнения и его корней разъясняется специфичность в решении тригонометрических уравнений. Указываются методы, с помощью которых данное уравнение сводится к простейшему уравнению. Удачно сделан акцент, какие операции при преобразованиях тригонометрических уравнений не нарушают эквивалентность; показаны образцы решений некоторых тригонометрических уравнений. Желательно в новом издании увеличить число решенных уравнений. Кроме того, следует некоторые уравнения решить несколькими приемами и произвести сопоставление примененных способов.

В главе, посвященной решению треугольников, значительно меньше уделено внимания, чем в учебнике Рыбкина, вычислительным операциям с логарифмами. Разобраны лишь основные случаи решения прямоугольных и косоугольных треугольников. Вычисления показаны лишь с четырехзначными таблицами логарифмов. В средней школе решению треугольников уделяется слишком много внимания, в ущерб более нужным разделам. Тратить драгоценное время на эту сравнительно примитивную и неактуальную для дальнейшего образования тему, действительно, незачем. Надо больший упор сделать на изучение тригонометрических функций и соотношений между ними. Решением треугольников надо овладеть лишь в такой мере, в какой это нужно д :я решения задач планиметрии и стереометрии. В этом смысле авторы нового учебника правильно ориентируют школу.

В курсе средней школы очень много уделяется внимания приведению тригонометрических выражений к виду, удобному для логарифмирования, и почти не уделяется внимания преобразованию произведения тригонометрических функций в сумму.

Второй вид преобразований нужен для дальнейшего изучения математики (в интегральном исчислении, в теории пределов и др.). В наше время в практику вступают усовершенствованные счетные машины, и изощренные приемы в преобразованиях для приведения тригонометрического выражения к виду, удобному для логарифмирования, в значительной мере потеряли актуальность.

Авторы в своей книге сначала излагают преобразование произведения тригонометрических функций в сумму, а затем преобразование суммы в произведение. Тенденция авторов направить внимание ученика и учителя на оба вида преобразований заслуживает одобрения.

Новая и весьма ценная глава внесена авторами в школьный курс тригонометрии — «Приближенные равенства для тригонометрических функций».

В этой главе выведены четыре неравенства:

На частных примерах показано, что дает каждое неравенство для вычислительной практики. Приближенное равенство:

знакомит учащихся с плодотворными идеями: 1)приближенное представление тригонометрической функции в виде многочлена; 2) построение таблицы значений тригонометрических функций с достаточной степенью точности; 3) оценка погрешностей.

Видимо, лишь в угоду школьной программе помещена в книге первая глава. Весь стиль книги таков, что пропедевтическая I глава не нужна совсем. Начинать изучение тригонометрии на прямоугольном треугольнике — отжившая традиция.

Если выпустить главу I и соответствующим образом изменить главу II, то сохранится только одно определение для тригонометрических функций. Представление тригонометрических функций через отношение линейных элементов прямоугольного треугольника явится лишь следствием этого определения.

Новый учебник оставляет глубокое впечатление, и кажется странным, как до сих пор могла удержаться в школе столь формальная, сухая и во многом устаревшая книга Рыбкина.

Книга А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника принесет огромную пользу молодым учителям математики благодаря превосходному методическому мастерству изложения. Учащиеся научатся любить и понимать математику; строго научный и вместе с тем живой и ясный язык книги приучит их к самостоятельной работе над математической книгой.

Для ученика школы недостатки учебника устраняются хорошим учителем. В настоящее время учащиеся школ изучают тригонометрию больше по

записям, чем по книге Рыбкина. Поэтому для лиц, самостоятельно готовящихся к экзаменам на аттестат зрелости или к вступительным экзаменам в вуз, новый учебник исключительно полезен.

Новый учебник даст не формальное знание предмета, а знание, основанное на правильном и глубоком понимании. Новый учебник будет способствовать росту математического развития учащихся и повышению их математической культуры.

Необходимо эту весьма полезную книгу издать большим тиражом и как можно быстрее принять в качестве основного школьного учебника.

НОВАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ

В. А. НЕВСКИЙ (Москва)

Первое полугодие 1948 г.

I. ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

Советская математика, классики

К тридцатилетию советской математики («Успехи математических наук», 1917, т. II, вып. 5 (21), стр. 3—8). Основные тенденции развития советской математики за истекшие годы.

Халилов З. И., Развитие математических наук в СССР за 30 лет («Известия Академии наук Азербайджанской ССР», 1947, № 10 стр. 41—46). Обзор важнейших работ ленинградских, московских, киевских, тбилисских и азербайджанских математиков.

Александров А.Д., Геометрия и топология в Советском Союзе. («Успехи математических наук», 1947, 1. II, вып. 5(21), стр. 9—92).

«Ученые записки Московского госуниверситета им. М. В. Ломоносова», вып. 91. Роль русской науки в развитии мировой науки и культ\ры, том 1, книга 1, М. изд. МГУ, 1947, 194 стр., тираж 3000 экз., цена 12 р. Книга содержит 12 статей по истории русской математики, механики и астрономии.

Казанская математическая школа за 30 лет. («Успехи матем. наук», 1947, вып. 6, стр. 3—20). Дан обзор достижений Казанской математической школы. Алгебра (автор В. Б. Морозов); Геометрия (автор А. П. Норден); Анализ (автор Б. М Гагаев).

Балезин С. А., Развитие физико-математических и естественных наук в высшей школе («Вестник высшей школы», 1947, №11, стр. 6—2i). Основные достижения советской математики (стр. 9—12), физики, химии и биологических наук.

Александров А. Д., Геометрия в Ленинградском университете («Вестник Ленинградского университета», 1947, №11, стр 124—148).

Чебышев П. Л., Полное собрание сочинений, том I, Теория чисел. Ответ, ред. акад. М. М. Виноградов и чл.-корр. АН СССР Делоне, изд. 2-е, М.—Л. 1946,343 стр., тираж 3000 экз., цена в перепл. 23 р.

Чебышев П. Л., Полное собрание сочинений, том 2-й, Математический анализ, М.—Л. изд. Академии наук СССР, 1948, 520 стр., тираж 5000 экз., цена г перепл. 32 р.

Чебышев П. Л., Полное собрание сочинений, том 3-й, Математический анализ, М.—Л. изд. Академии науч СССР, 1948, 416 стр., тирая 2500 экз., цена в перепл. 30 р.

Чеботарев Н. Г. («Успехи математических наук», 1947, вып. 6, стр. 68-71). Очерк жизни и научной деятельности Николая Григорьевича Чеботарева в связи с его смертью (4 июля 1947 г.).

Соболев С. Л., Владимир Иванович Смирнов («Успехи математ. наук», 1947, вып. 6, стр. 238—239).

Очерк к 60-летию со дня рождения и 35-летию научной деятельности акад. В. И. Смирнова.

Кузьмин Р. О., Жизнь и научная деятельность Егора Ивановича Золотарева («Успехи математ. наук», 1947, вып. 6, стр. 21 51). Очерк к 100-летию со дня рождения выдающегося русского математика XIX века — Е. И. Золотарева (1847 — 1 7*)

Гаспар Монж, Сборник статей к 200-летию со дня рождения (1746— 1943), под ред. акад В. И. Смирнова, М. - Л. изд. Академии наук СССР, 1947, 87 стр. с портретом, тираж 5000 экз., цена Л р. (научно-популярная серия). В сборнике помещены три статьи: Б. Н. Делоне, Гаспар Монж как математик (стр. 7-16); Д. И. Каргин, Гаспар Монж — творец начертательной геометрии (стр. 17—43); А. И Молок, Гаспар Монж как общественный и политический деятель (стр. 44—84).

Монж Г., Начертательная геометрия, перев. В. Ф. Газе, комментарий, предисловие проф. Д. И. Каргина, под общей редакцией чл.-корр. Академии наук СССР Т. П Кравца, М. изд. Академии наук СССР, 1947, 292 стр., тираж 5000 экз., цена в перепл. 20 р. (Классики науки). С приложением статья проф. Д. И. Каргина «Гаспар Монж и его начертательная геометрия» (стр. 24i—257) и «Перечня трудов (72 назв.) и литературы о жизни и деятельности Монжа» (73 назв.), составленного А. М. Лукомской.

Лейбниц, Избранные отрывки из математических сочинений («Успехи математических наук», 1848, вып. 1, стр. 165—204).

Юшкевич А. П., Лейбниц и основание исчисления бесконечно малых («Успехи математических наук», 1948, вып. 1, стр. 150 - 164).

Глаголев Н. А., Ньютон как геометр («Московский университет — памяти Ньютона», М. 1946, стр. 71—80).

Колмогоров А. Н., Ньютон и современное математическое мышление. («Московский университет—памяти Ньютона», М. 1946, стр. 27—42).

II. УЧЕБНИКИ И УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ

Бермант А. Ф., Курс математического анализа (для втузов), часть 2-я, изд. 3-е, М.—Л. Гостехиздат, 1948, 344 стр. с черт., тираж 20 100 экз., цена 12 р.

Бескин Н. М., Курс аналитический геометрии (для втузов), М.—Л. Гостехиздат, 1948, 50» стр. с иллюстр.. тираж 35 000 экз., цена в перепл. 15 р.

Гребенча М. К., Арифметика (утверждено Министерством просвещения РСФСР в качестве учебника для учительских институтов), М.—Л. Учпедгиз, 1947, 316 стр., тираж 50 00J экз., цена 9 р. 2Ъ к.

Петровский И. Г., Лекции по теории интегральных уравнений. М.—Л. Гостехиздат, 1948, 120 стр. с черт., тираж 10000 экз., цена 2 р. 45 к. Лекции, читанные в Московском университете в 1946 году.

Перепелкина А. Н. и Новоселов С. И., Геометрия и тригонометрия (утверждено Министерством просвещения РСФСР в качестве учебника для учительских институтов), М.—Л., Учпедгиз, 1947, 368 стр, с черт., цена 11 р. 30 к.

Смирнов В. И., Курс высшей математики, том 5-й, М.—Л. Гос^хиздат, 1947, 584 стр., тираж 10 000 экз., цена в перепл. 17 р. ,50 к.

Тарасов Н. П., Курс высшей математики (для техникумов), изд. 5-е (стереотипное), М.—Л. Гостехиздат, 1947, 271 стр. с черт., цена 6 р. 50 к.

III. МЕТОДИКА МАТЕМАТИКИ

Чекмарев Я. Ф., Сборник арифметических задач и упражнений по устному счету (с методическими указаниями для средней школы), пособие для учителей, М. Учпедгиз, 1947, 244 стр., тираж 50 010 экз., цена 2 р. 65 к. Задачник рассчитан, в основном, на учащихся V и VI классов средней школы.

Гончаров В. Л., Арифметические упражнения и функциональная пропедевтика в средних классах школы, предисловие проф. И. В. Арнольда, М.—Л. изд-во Академии педагогических наук РСФСР, 1947, 180 стр. с черт., тираж 15000 экз., цена 4 р. 50 к. (Институт методов обучения. Педагогическая библиотека учителя).

Езриль С. А., Математические кружки в средней школе, под ред. проф. А. М. Астряба, Киев-Львов, изд. «Радянска школа,» 1947, 132 стр. с черт., тираж 5000 экз., на украинск. языке, цена в перепл. 8 р. (Министерство просвещения УССР, Украинский научно-исследовательский институт педагогики).

Место и принципы организации математических кружков в средней школе. Содержание и формы работы математических кружков. Индивидуальная работа с талантливыми учениками. Материалы для работы в математическом кружке. Указания по решению помещенных в книге задач.

Петровский И. Г, и Фетисов А. И., Десятая математическая олимпиада учащихся средних школ г. Москвы «Успехи математ. наук», 1947, вып. 6-й, стр. 243- 247.

Организация олимпиады и задачи, предложенные на ней.

«Математика в школе», методический сборник, вып. 2-й, Л. 1947, 140 стр. с черт., тираж 5000 экз., цена Юр. (Ленинградский обл. институт усовершенствования учителей).

Книга содержит четыре статьи: И. С. Соминский, Об изучении метода математической индукции в средней школе (стр. 3—23); Г. М. Фихтенгольц, Иррациональные числа в средней школе (стр. 24—44); Б. З. Вулих, Теория пределов и некоторые ее приложения (стр. 45—82); И. Л. Натансон, Метод суммирования бесконечно-малых (стр. 93— 140).

Матышук В., Методика математики в педагогических учебных заведениях («Народное образование», 1948, № 1, стр. 23—27).

Фридман Л. М., Использование материалов пятилетнего плана восстановления и развития народного хозяйства СССР на 1946—1950 годы на уроках математики в школе, Красноярск, Краевой институт усовершенствования учителей, 1948, 35 стр., тираж 3000 экз., цена 2 р. 15 к.

Левшунов М. Т., К теории математических доказательств. («Сборник трудов Ставропольского гос. педагогического института», вып. 1, 1947, стр. 337—344).

Типы математических доказательств. Характер математических определений и формулировка математических предложений.

Попко А. Е., О необходимости устранения излишнего концентризма в построении программы по арифметике I класса начальной и средней школы («Ученые записки Томского гос. педагогического института», т. IV, 1947, стр. 33—37).

Из опыта руководящей работы в отделах народного образования.

Калмыкова З. И., Психологический анализ формирования понятия о типе задачи («Известия Академии педагогических наук РСФСР», 1947, вып. 12-й, стр. 139—154).

Автор доказывает на экспериментальном материале целесообразность изучения учащимися задачпо типам.

«Ученые записки Московского городского педагогического института им. В. П. Потемкина» том II, физико-математический факультет, выпуск 2-й, М. Учпедгиз, 1948, 160 стр. с черт., тираж 2t00 экз., цена 13р. 20 к.

В книге помещено 9 нижеследующих статей: 1) Проф. Н. А. Глаголев, Роль движения в курсе элементарной геометрии (стр. 3 —15); 2) Проф. С. П. Фиников, Расслояемые пары кривых (стр. 16—37); 3) Проф. м. К. Гребенча, Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 1-го порядка (стр. 38 — 49); 4) Доц. А. А. Глаголева, О нуль-квадратичном соответствии (стр. 50 — 58). 5) Доц. А. А. Глаголева, К вопросу о существовании трижды сопряженной системы поверхностей (стр. 59— 63); 6) Доц. А. Г. Школьник, Уравнения в полных разностях (стр. 64—90); 7). Доц. А. Г. Школьник, Элементарное доказательство невозможности общего решения в радикалах уравнений высших степеней (стр. 91 — 118); 8). Доц. Н. И. Балдихина, Построение аксиоматики многообразия постоянной кривизны, определенного формой его линейного элемента (стр. 119—134); 9) Проф. Н. Ф. Четверухин, О полноте изображения.

IV. КНИГИ ПО СПЕЦИАЛЬНЫМ ВОПРОСАМ МАТЕМАТИКИ

Вейль Герман, Алгебраическая теория чисел, перев. с англ. Л. И. Копейкиной, М., 1 ос. изд-во иностр. литературы, 1947, 227 стр, цена в перепл. 14 р.

Запись курса теории чисел, прочитанного автором в Принстоне в течение 1938— 1939 гг.

Виноградов И. М., Аналитическая теория чисел (сб. «Юбилейная сессия Академии наук СССР 15 июня —3 июля 1945 г.», том II, М.— Л. 1947, стр. 34—40).

Основные этапы развития аналитической теории чисел.

Гуревич Г. Б., Основы теории алгебраических инвариантов, М.—Л., изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1948, 408 стр. с черт., тираж 700J экз., цена в перепл. 20 р.

Идельсон Н. И., проф., Способ наименьших квадратов и теория математической обработки

наблюдений, М., Геодезиздат, 1947, 359 стр., тираж 2000 экз., цена 30 р.

Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, часть 2-я, при редакционном участии Г. Б. Гуревича, М.—Л., Гостехиздат, 1948, 407 стр. с иллюстр., тираж 5000 экз., цена 25 р.

Понтрягин Л. С, Основы комбинаторной топологии, М.—Л., Гостехиздат, 1947, 143 стр., тираж 3000 экз., в перепл. 7 р.

Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, перев. с франц. С. Леонтович и А. Майер, под ред. и с примеч. А. А. Андронова и с дополн. С. Леонтович, А. Майер, В. Степанова и др., М.—Л., Гостехиздат, 1947, 392 стр., с черт., тираж 8000 экз., цена в перепл. 14 р. (Классики естествознания).

Тичмарш Я. К., Дзета-функция Римана, перев. с англ. Ю. А. трейдера, М., Гос. изд-во иностранной литературы, 1917, 156 стр., цена с перепл. 11 р.

Тичмарш Я. К., Введение в теорию интегралов Фурье, перев. с англ. Д. А. Райкова, М.—Л., Гостехиздат, 1948, 479 стр., тираж 6000 экз., цена в перепл. 21 р.

Харадзе А. К., Теоремы о среднем значении в применении к полиномам, Тбилиси, изд. Тбилисского гос. университета имени Сталина, 1947, 140 стр., тираж 1500 экз., цена 5 р.

Хуа Ло-Кен, Аддитивная теория простых чисел М.—Л., изд. Академии наук СССР, 1947, 180 стр., тираж 2000 экз., цена 13 р. (Труды математического института им. В. А. Стеклова, 22).

Чудаков Н. Г., Введение в теорию L-функций Дирихле, М.—Л., Гостехиздат, 1947, 203 стр., тираж 5000 экз., цена 7 р.

Эйзенхарт Л. П., Непрерывные группы преобразований, перев. с англ. М. М. Постникова, М., Гос. изд-во иностранной лит-ры, 1947, 360 стр., цена в перепл. 19 р.

V. НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЕ КНИГИ. ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ШКОЛЬНЫХ КРУЖКОВ

Барсуков А. Н., Элементы алгебры, пособие для самообразования, М.—Л., Гостехиздат, 1947, 80 стр., тираж 100 000 экз., цена 1 р. 50 к.

Абельсон И. Б., Рождение логарифмов, М.—Л., Гостехиздат, 1948, 231 стр. с иллюстр., тираж 25 000 экз., цена 4 р.

Берман Г. Н., Счет и число, М.—Л., Гостехиздат, 1947, 40 стр. с иллюстр., цена 60 к. (Научно-популярная библиотека).

Как считали в старину. Наша десятичная система счисления.

Гуль И. М., Геометрия Лобачевского, М.—Л., изд. Академии педагогических наук РСФСР. 1947, 100 стр. с иллюстр., тираж 15 000 экз., цена 3 р. (Педагогическая библиотека учителя).

Зетель С. И, Задачи на максимум и минимум, М.—Л., Гостехиздат, 1948, 224 стр. с черт., тираж 25 000 экз., цена 4 р.

Цель книги — дать учителю и любознательным учащимся старших классов средней школы интересный материал по элементарному решению задач на отыскание наибольших и наименьших значений.

Курант Р. и Робинс Г., Что такое математика, элементарный очерк идей и методов, перев. с англ. под ред. проф. В. Л. Гончарова, М.—Л., Гостехиздат, 1947, 664 стр. с черт., тираж 15 000 экз., цена в перепл. 12 р. 50 к.

Маркушевич А. И., Ряды, элементарный очерк, изд. 2-е, исправл. и дополн., М., Гостехиздат, 1947, 156 стр. с иллюстр., цена 3 р.

Перельман Я. И., Живая математика, математические рассказы и головоломки, изд. 3-е (стереотипное), М.—Л., Гостехиздат, 1947, 184стр. с илл., цена 3 р.

VI. ПОСОБИЯ ДЛЯ ЗАОЧНИКОВ

Филичев С. В., Мордкович Г. Я. и А. И. Погорелов, Самостоятельные занятия по элементарной математике, сборник для заочников учительских институтов, Научно-методический кабинет по заочному обучению учителей, М. Учпедгиз, 1948, 260 стр. с черт., тираж 500) экз., цена 9 р. 90 к.

Методические указания к самостоятельным занятиям по арифметике, алгебре и геометрии (стр. 3 — 125). Упражнения по решению алгебраических и геометрических задач (стр. 126—260).

Элементарная математика (Арифметика). Программа и методические указания для заочников учительских институтов. Физико-математическое отделение (автор С. С. Бронштейн). М.—Л., Учпедгиз, 1947, 104 стр. тираж 1<>000 экз., цена 3 р. 65 к. (Главн. упр. высших учеб. заведений Министерства просвещения РСФСР. Научно-методический кабинет по заочному обучению учителей).

Митропольский В. А., доц., Элементы теории вероятностей, под ред. проф. А. А. Глаголева, М., Всесоюзный заочный институт сов. торговли, 1948, 97 стр. с граф., тираж 5000 экз., цена 6 р.

Математика, вып. 1-й, Алгебра. Алгебраические действия. Логарифмы и логарифмические вычисления. Состав. И. Б. Погребысский и П. Ф. Фильчаков, под ред. акад. М. А. Лаврентьева, Киев — Львов, изд-во «Радянска школа», 1947, 172 стр., тираж 15 0С0 экз., цена 6 р. (Комитет по делам культурно-просветительных учреждений УССР. «Университет на дому»).

Данной книгой начат выпуск математической серии «Университета на дому», издаваемого Комитетом по делам культурно-просветительных учреждений УССР. «Цель этой серии — дать самое существенное из курса элементарной математики и тем восполнить пробелы в образовании читателей, по каким-либо причинам не имевших возможности пройти полный курс средней школы».

VII. СПРАВОЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

Хохлов А. И., Карманные математические таблицы (пятизначные), изд. 2-е, М.—Л., Гостехиздат, 1947, 209 стр. с черт., тираж 100 00J экз., цена в перепл. 85 к.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 6 за 1948 год

№ 101

Найти числа abed являющиеся точным квадратом, если

a + c + d=5b (1)

3d = 2(a + c). (2)

Решение 1. Искомое число N имеет вид: N = 1000а + 1006 + Юс + d =» = 990а + 100& + 10 {а + с) + d. (3)

Из (2) имеем:

а + с = ~2~ . (4)

Подставив значение а + с из (4) в (1), найдем:

а* = 26 (5)

и, следовательно, из (4):

а + с=^ЗЬ. (6)

Подстановка из (5) и (6) в (3) дает: N == 990а + 1326 = 66 (15а + Щ = 2-3.11 (15а + Щ .

Так как N является точным квадратом, то, очевидно, должно быть:

15а + 2Ь = 2-3.1 \т2.

Но уже при т = 2 получится пятизначное число. Следовательно, т = \ и искомое число 66* = 4356.

Решение 2. Еще более короткое решение дано С. Лебензоном (Малаховка). Имеем равенства (о) и (6). Подстановка из (5) в (6), кроме того, дает:

a + c = b + d. (7)

Теперь заключаем: 1) из (5), что N делится на 2; 2) из (6) и (7), что N делится на 3; 3) из (7), что N делится на 11. Итак, учитывая, что N—точный квадрат, будем иметь:

JV=2*.3a.ll2m2

По тем же соображениям, что и выше, заключаем, что

т = 1 и 7V = 662.

Следует признать неудачными многие решения, в которых ответ получается в результате испытаний (до 20-ти) различных комбинаций цифр. Как видим, задача легко решается чисто аналитическим путем.

№ 102

Определить, при каких значениях п число А = = 20n + J6n — 3n — 1 делится на д23.

Решение 1. Так как 323 = 18?—1 = 17-19, то будем искать условия делимости данного выражения на 17 и 19.

а) А = (20п — 3Л) + (16л — 1л). Первое слагаемое в правой части делится на 17 при любом натуральном п. Второе слагаемое делится на 17 только при п четном.

б) А = (20л— 1) + (16* — Зл). Первое слагаемое делится на 19 при любом натуральном п, второе же только при п четном.

Итак, данное число А делится на 323 только при четном п.

Решение 2. Можно применить формулу разложения бинома. Так, для установления делимости А на 17 можно А представить в таком виде: Л = (17 + 3)"+ (17— 1)" — Зп — 1.

Сразу видно, что все члены двух разложений, кроме последних, будут иметь множитель 17. Последние же члены 3" и 1 уничтожаются при п четном. Точно так же, представив А в виде:

А = (19 + \)п + (19 - 3)" - Зп - 1, устанавливаем условие делимости А на 19.

№ 103

Дан прямоугольник A BCD. Построить квадрат AB1CiD1 так, чтобы: 1) точка D{ лежала на DC; 2) прямая Bfii проходила через точку В. В каком случае задача невозможна?

Черт. 1

Решение 1. В той форме, в какой задача дана в № 6 (квадрат AjZ^CjDj), она имеет бесчисленное множество решений. В самом деле, пусть ABCD — данный прямоугольник. Проведем вне его через вершину b (черт. 1) произвольную прямую. Из про-

извольной точки Dj на DC проведем к этой прямой перпендикуляр DXC\. На стороне D-fix строим квадрат DXCXB\AX по ту или другую сторону ее (смотря по положению точки В). Впрочем, если считать удовлетворяющим условию и тот случай, когда В лежит на продолжении В\С1% то оба квадрата являются решениями.

В силу произвольности прямой и точки Di будем иметь бесчисленное множество решений.

Можно сделать построение и исходя из произвольной точки Dx на CD. Соединив Dxc В (черт. 2),

Черт. 2

построим на DXB, как на диаметре, полуокружность, которая пройдет через вершину С.

Отрезок L>\Ci, где Сг — произвольная точка на дуге ВС, и является стороной искомого квадрата, так как его сторона Сфх непременно пройдет через В.

Необходимое условие для выбора точки С\ заключается в неравенстве kjB{C\^^JC\D\ (если же, как и выше, понимать прохождение ВХС\ через точку В расширительно, то и это условие отпадает).

Исследование других ограничительных условий легко выполнимо.

Решение 2. Некоторые из приславших решение этой задачи восстановили ту ее формулировку, в какой она была дана автором и какая приведена выше здесь (т. е. вершины А и Аг прямоугольника и квадрата должны совпадать). В этом случае задача имеет единственное решение.

Допустим, что задача решена и квадрат ABxCxDi — искомый (черт. 3). Тогда площадь треугольника

Черт. 3

ABDi равна половине площади квадрата (имеет с ним одинаковые основание ADX и высоту ЬХСХ).

Но эта же площадь равна и половине площади прямоугольника (имеют одинаковые основание АВ и высоту AD). Отсюда следует, что площадь квадрата равна площади прямоугольника. Следовательно, сторона ADX квадрата находится как средняя пропорциональная между сторонами прямоугольника.

Легко видеть, что задача возможна при условии; AD < DC. При AD = DC квадрат ABXCXD совпадает с ABCU.

При AD > DC задача невозможна.

Решение 3. Другие из решавших (т.т. Шебаршин, Ширшов и др.), желая избежать неопределенности решения, ввели условие, аналогичное условию 2, именно, чтобы сторона АХВХ прошла через А. Тогда предыдущий вариант является частным случаем данной задачи. Задача стала более общей, более интересной, но и более сложно i пля исследования и решения.

№ 104

Решить относительно х уравнение:

где

тс

Решение. Легко видеть что при 0 < о <

правая часть имеет положительное конечное значение (при том меньшее единицы). Действительно, имеем:

отсюда:

(1)

Но раз так, то х должен быть положительным. В самом деле, при jt = 0 будем иметь:

l+tg'a + tg^a-f- . ..=1+1+1+... при jc<0 будем иметь:

В обоих случаях ряд будет расходящимся, что противоречит (1). Итак, *>0. В этом случае ряд в левой части является бесконечно убывающей геометрической прогрессией и имеет своим.

пределом 1 _tg.*g • Будем иметь:

(2)

Заменив в правой части 1 на cos2 а + sin2 а, по основному свойству пропорции получим:

Отсюда х = 3.

За единичными исключениями (т.т. Лебензон, Шебаршин к др.) во всех почти решениях без всяких оснований ряд 1-Mg*a + . . . принимали за бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

№ 105

В конус с высотой Н вписан шар, а в шар вписан равносторонний конус. Определить полную поверхность большего конуса, если его объем в 7 -л- паза больше объема меньшего конуса.

Решение. Задача допускает различные варианты решения. На черт. 4 дано осевое сечение конусов. (Заметим, что фактически оси обоих конусов могут и не совпадать, — это обстоятельство обычно опускается учащимися. Но так как нам дано лишь отношение объемов конусов, которое не зависит от их взаимного расположения, то, взяв расположение, наиболее удобное для решения, мы не теряем в общности.) Пусть AD = х, радиус шара г и радиус основания меньшего конуса у.

Искомая поверхность равна:

Черт. 4

(1)

1) Значение у найдем из данного условия:

(2)

где

(3)

Но высота равностороннего треугольника со стороной а равна —^— •

_ J _

Следовательно, h =ууг3 и i ~ " ку^у3 , Подстановка во (2) дает:

откуда:

(4)

2) Выразим теперь х и у через Н и через г шара. Легко видеть, что

(5)

(как половина стороны вписанного правильного треугольника). Из подобия тр-ков BDC и ВЕО имеем:

(б)

По теореме о касательной и секущих:

BE} = BD-BT = Н(Н - 2г) . (7)

Подставив из (6) в (7), получим:

куда:

3) Подставив теперь найденные значения дли х1 и у в (4), будем иметь:

или:

Отсюда легко получим:

(9)

Но тогда из (8) имеем:

(Ю)

4) Наконец, подстановка в (1) даст окончательно:

Как уже сказано, к ответу можно прийти различными путями в зависимости от того, какие теоремы из планиметрии будут применены. Задачу можно решить также, как это и делалось некоторыми, с применением тригонометрии.

№ 106

В треугольнике ABC сторона а =2 и ^С = 45°. Определить величину rrb, если — * of".

Решение. Найдем сначала угол В. Из данного условия имеем:

(1)

Подставив сюда значения:

(2)

получим:

С2

Отсюда:

Далее, перемножив соотношения (2), найдем:

Подставив сюда значение гагс из (1), получим: rrb3rrb = S*.

Откуда:

(3)

Теперь имеем:

В большинстве неверных решений получалось почему-то >/"3±1 и даже >/*3 + У 3^2. Но были и совсем неверные ответы:

№ 107

Найти сумму п членов ряда:

tg « + 2 tg 2а + 2* tg 24 + 23 tg 23д + ... Решение. Исходим из тождества: tg? = ctg(p — 2ctg 2?,

которое легко проверяется. Давая здесь <р значения а, 2а, 4а и т. д., получим ряд тождеств:

tg а = Ctg а — 2 Ctg 2а,

2 tg 2а = 2 ctg 2а — 4ctg 4а,

4 tg 4а = 4ctg 4а — 8 Ctg 8а, (1)

2п~] tg 2 а = 2 ПтА ctg 2 л-!а - 2Л ctg 2п а.

Обозначив искомую сумму через 5, по сложении тождеств (1) получим:

5 = ctg а — 2п ctg 2ла.

Задача получила сравнительно мало решений, что едва ли можно объяснить явной опечаткой (было напечатано: tg а -+- 2 tg 2а + 22 tg2 23а + 23tg23a+ ...

В некоторых решениях вместо п вычислялась сумма членов, и ответ, естественно, был

Ctg a — 2 л+1 Ctg 2 n+la.

№ 108

В тетраэдре совпадают центры вписанного и описанного шаров. Что можно утверждать относительно его граней и ребер?

Решение. Пусть в тетраэдре ABCD (черт. 5) точка О—общий центр вписанного и описанного шаров. Соединив его со всеми вершинами тетраэдра, разобьем последний на 4 тетраэдра, у которых за основания примем грани данного тетраэдра. Тогда у этих четырех тетраэдров:

1) высоты равны (как радиусы вписанного шара);

2) все боковые ребра равны (как радиусы описанного шара);

3) вследствие равенства боковых ребер в каждом тетраэдре основания высот совпадают с центром окружности, описанной около основания тетраэдра (т. е. около граней данного тетраэдра).

4. Вследствие равенства высот все эти 4 окружности имеют равные радиусы (как катеты прямоугольных треугольников, у которых гипотенуза — радиус описанного, а другой катет —радиус вписанного шара .

Плоские углы при любой вершине тетраэдра равны соответственно углам противолежащей грани. Действительно, рассмотрим, например, углы при вершине D. Имеем:

^ ADB = z. АСВ, так как sin /ADB = sin Z.ACB = АВ

— 27^~» гДе R — Радиус круга, описанного около

любой грани тетраэдра.

Введем обозначения: /тВАС= £BDC=a; z.ABC = = ^ADC=$; £ АСВ = /_ ADB = т; £ACD = = z ABD — ab Z.BCD = /BAD = BtJ ziDAC = = £DBC = b. Тогда имеем:

Из Л ABC: a + р + т = 180° (1)

Из Л ABD: «1 + Pi + т = 180° (2)

Из Д ACD: «1 + Р + Ti = *80° (3)

Из Д BCD: а + fL + Ь = 180° (4)

Из (1) и (2): G^ + j^a + fi (5)

Из (3) и (4): aA —pi==a —р (о) Из (5) и (6): a, = a, h = р, след. ft = f.

Отсюда следует, что Д АВС=&ADC — = &ABD = Д BDC, причем АВ = DC, АС = BD, BC = AD, т. е. грани тетраэдра — равные треугольники, расположенные так, что противоположные ребра тетраэдра попарно равны между собой.

Можно доказать, что условию задачи удовлетворяют только остроугольные треугольники. Тетраэдр, удовлетворяющий условию задачи и грани которого были бы прямоугольные или тупоугольные треугольники, невозможен.

Все неверные решения сводились к утверждению, что все грани тетраэдра — равные равносторонние треугольники, т. е. тетраэдр — правильный.

№ 109

Определить объем тетраэдра, если противоположные ребра его попарно равны a, b и с.

Решение. Пусть DABC — данный тетраэдр (черт. 6), причем АВ = /)С = с; AS = BD = b: ВС= AD = а.

Построим призму ABCDEF с основанием ABC и боковым ребром AD. Объем четырехугольной пирамиды с вершиной D и основанием BEhC вдвое больше объема данного тетраэдра. BEFC ромб со стороной, равной а. Пусть О — точка пересечения диагоналей этого ромба. Соединим D с U. DO— высота пирамиды DBEFC, так как DO\_hC (как медиана равнобедренного Д EDC, где

ED = AB = DC~c) и DO \_BF (как медиана равнобедренного Д BDFh где tD = /^C = DF—b). Объем пирамиды DBEFC равен:

Следовательно, объем данного тетраэдра DABC равен:

(1)

Определим теперь ВО, СО и DO.

Из Д BDO имеем: £02 + D02 = R Из Д С DO имеем: СО2 -+- DO2 = с2. Из Д БОС имеем: £02-{-СО2 = а2.

Решив совместно эти три уравнения, найдем:

Подставив значения ВО, СО и DO в (1), получим:

или

где

Мы привели здесь единственное полученное редакцией остроумное, изящное и краткое решение, присланное С. Лебензоном. Во всех остальных решениях непосредственно вычислялся объем данного тетраэдра, и вычисления были довольно длинные (до нескольких страниц).

Следует отметить и то, что во многих решениях в окончательной формуле фигурировали величины, непосредственно в задаче не данные, например, площади 3 граней или косинусы углов и т.п., что, вообще говоря, нельзя считать правомерным. Согласно точному смыслу задачи, требуется объем тетраэдра выразить через a, b и с.

№ 110

Доказать тождество:

Решение 1. В ходе доказательства будем пользоваться известным тождеством:

Ckm + Ck+l = C^, (1)

а также тождеством:

Cm-C*V + 2CW(2)

которое выводится на основании тождества (1). Действительно, преобразованием левой части легко получаем правую ее часть:

Предложенное тождество докажем методом математической индукции. Непосредственной подстановкой убеждаемся в справедливости этого тождества при п = 1 и при п — 2. Докажем теперь, что если тождество верно при п = т и при п = т 1, то оно верно и при п=т + 2.

Итак, допустим, что верны следующие два тождества:

Сложив эти тождества, получим:

или:

а после перегруппировки членов в левой и правой частях:

Применив тождество (2) к левой части и тождество (I) к правой части, получим:

Так как предложенное тождество верно при п = 1 и при п =2, то оно верно и при л = 3, а следовательно, при п я 4 и т. д., т. е. тождество верно при всех натуральных значениях п.

Решение 2. Предварительно убедимся, что тождество справедливо при п = 1. Действительно, в первом случае обе части 1, во втором — также равны 1. Далее, обозначив левую часть через vn и правую через ия, покажем, что они удовлетворяют рекурентным формулам:

Действительно:

Для того, чтобы доказать рекурентную формулу vm рассмотрим выражения:

Эти иррациональные числа:

удовлетворяют формуле:

действительно:

но равенство:

или, что то же:

при рациональных и и w может удовлетворяться только при

wn-\+wn — *п+1 = <)*ип+\— «я-"Л-1-0. Итак, ип +ип_х = ип + 1. Еслии^!»^..,

и un = vn9 то и ип +1 = *я + ь затем ил+2 = = 1/л+2 и т. д. uk = vk при любом натуральном k.

Так как мы показали равенства иг = t/j и u2 = v2, то отсюда, наконец, и следует, что доказываемое тождество справедливо при любом натуральном л.

Любопытно, что и правая и левая части — различные выражения общего члена ряда Фибоначчи.

В самой задаче авторам была допущена описка, не исправленная редакцией в правой части индексы начинались с л, а не с п — 1, как должно быть.

Поэтому в большинстве решений (которые редакция считает верными) просто указывалось, что равенство неверно при я> 1.

Из приведенных здесь решений второе — решение большинства (оно же решение и автора задачи). Первое решение, не прибегающее к иррациональным двучленам, принадлежит С. Лебензону.

№ 111

Доказать, что в правильном семиугольнике имеют место соотношения:

Решение: 1. Применив теорему Птоломея к четырехугольнику АкАвА^5 (черт. 7), получим:

AzAb*AiAt = А9А4'АгАй + А4АуАгА& но АЬАЪ = АгАг; АгАА = ААА5 = АгА2;

АгА6^АгА4;

поэтому: i41i43«y41A4 = АгА2-А\А4 + /11Л2«Л143.

Разделив обе части последнего равенства на А^ А2*АгАуД1Л4, получим:

Решение 2. Соединив Аь До, Аъ и А4 с центром О (на чертеже не показано), будем иметь:

Черт. 7

Подставив в заданное соотношение, получим:

или:

Докажем это соотношение:

Итак, тождество оказалось верным, а следовательно, верно и данное соотношение.

№ 112

В треугольнике ABC высоты AD и СЕ пересекаются в точке М под углом Ъ. Отрезки AM и ВМ даны. Построить треугольник АВи

Решение. Какой бы угол между Ай^и СЕ ни обозначить через $ (черт. 8), прямоугольный тре-

Черт. 8

угольник АМЕ можно построить по гипотенузе AM й острому углу (Ь или 180° — 5). Далее, на продолжении АЁ из точки М радиусом ВМ отмечаем точку В. Затем из точки А проводим перпендикуляр к ВМ и продолжаем его до пересечения с продолжением ЕМ. Треугольник ABC построен. Были даны и другие построения, в большинстве все же исходившие из треугольника АЕМ. Задача простая, а поэтому странно было получить два «решения», утверждающие, что по данным задачи треугольник построить нельзя.

В настоящем номере помещается вариант этой задачи. Небольшое изменение условия влечет за собой совершенно другой метод решения.

№ 113

Дан /_ ХОУ = 60°. Из точки М вне его (в той же плоскости) опущены на стороны перпендикуляры МА и MB, длины которых пх и п2.

Из той же точки М опущен перпендикуляр МС на биссектрису угла ХОУ. Определить длину ОС.

Решение 1. Пусть D и Р — точки пересечения МС с ОХ и ОY. Проведем DE _]_ AM и DF±Or (на чертеже не показано). Тогда ОС = DF (как высоты равностороннего треугольника ODP).

Но OC=DF = AE = MA — МЕ = пх — ME.

Из равенства треугольников MED и MBD заключаем, что МЕ = МВ = п2. Отсюда:

ОС= пх — п2.

Точнее, в зависимости от обозначений и положения точки М, следует написать:

ОС = ! щ — п21

Черт. 9

Решение 2. В подавляющем большинстве решений обходились без дополнительных построений, и вычисления производились на основе рассмотрения ряда прямоугольных треугольников с острым углом в ^0°. Решения получались более длинные.

№ 114.

Вычислить сумму: cos пх 4- п cos (п — 1) х J- С\ cos (п — 2) х 4- ... -h

+ С* cos (n — k)x-\-----hb

Решение 1. Обозначив искомую сумму через Sb возьмем еще сумму.

S2 = sin пх -f- п sin (п — \)х-\-С\ sin (п — 2)х +••• + + п sin х. Сложив S\ и iS2, получим:

С другой стороны:

По возведении в степень п получим:

Итак:

Отсюда:

Почти все решения по существу совпадали с приведенным. Были решения и не применявшие комплексные числа, но все они, естественно, оказались, более сложными и длинными.

№ 115

Исключить ху у, z из равенств:

(x + y){x + z) = Ayz (1)

(y + z)(y + x) = Bxz (2)

(z + x)(z+y) = Cxy (3)

Решение. Задача допускает различные способы решения. Приведем два из них:

Решение 1. Раскрыв в заданных уравнениях скобки и произведя элементарные преобразования, получим:

x(x+y + z)=yz(A — 1) (4)

y(x+y + z) = xz(B-l) (5)

z(x+y + z) = xy(C-l) (6)

Перемножив эти уравнения и сократив на xyz (предполагая *ф0, .уф0, z = 0), получим:

(* +У + z)> = xyz (А — \){В — 1) (С— 1) (7)

Разделив уравнение (7) на (4), (5) и (6), будем иметь:

(8)

(9)

(Ю)

Наконец, сложив (8), (9) и (10) и сократив на х +у + z (следовательно, предполагаем, что х-\--\-У-\-*ф% получим требуемое соотношение.

(И)

Решение 2. Перемножив данные уравнени (в предположении, что х, у, z и любые их суммы по два не равны нулю), получим:

(х +у)* (у + *)2 (z + х)% = ABCx2y*z*y

или:

______ 1

(12)

Из (1), (2) и (3) найдем:

(13) (14) (15)

Сложив (13), (14) и (15) и прибавив к обеим частям по (x+y){y + 2}(z + x) , получим после обычных упрощений:

или, приняв во внимание (12):

Эта формула более определенная, чем полученная в первом решении. Как и в задаче 109, считаем не совсем правомерными решения, которые в окончательную формулу включают величины, не данные в условии задачи.

№ 116

Доказать тождество:

sin2 в + sin2 С— 2 sin В sin С cos А = sinM, (1) если Л-т-Я + С= 180°. Решение 1. Учитывая, что в данном случае cos А = — cos (В + С); sin А = sin (В + С), преобразовываем левую часть:

Решение 2. Решение будет немного короче, если применить формулу представления произведения тригонометрических функций в виде разности. Будем иметь:

4- cos (В + C)-2 sin Б sin C=^ 1 — 7>(cos2B +

+ cos 2C) + cos (B 4- C) [cos (в — C) — cos (Б 4-4- Q] = 1 — cos (B -f C) cos (Б - C) 4- cos (Б 4-4- C) cos (Б — C) — cos2 (B4Q=1-cos2 (Б + 4-C)=l — cos2 Л ^-sin2A

Решение 3 (самое короткое). Умножим обе части предполагаемого равенства (1) на 4 R2, где R— радиус окружности, описанной около треугольника с углами Л, ь и С. Получим:

4 R2 sin2 Б 4- 4 #2 sin2 С — 8 R2 sin В sin С cos А =

= 4 #2 sin2A

или по известным формулам:

Ь* + с* —2 be cos А = а*

получили изрестную формулу для квадрата стороны треугольника, что и подтверждает тождество (1).

№ 117.

Доказать тождество: cos2 В 4- cos2 С + 2 cos A cos В cos С = sinM, (1) если А + £4-С= 180°

Решения 1 и 2 совершенно аналогичны решениям 1 и 2 предыдущей задачи.

Решение 3. Равенство (1) можно представить в таком виде:

sin2 (90° — В) + sin* (90° — С) — — 2 sin (90° — В) sin (90° — С) cos (180° - А) = = sin* (180° — А).

Так как:

(90° — В) 4- (S0° — С) 4- (180° - Л) = 360° —

— (Л 4- В 4- С) = 180°,

то равенство приведено к тождеству, доказанному в предыдущей задаче.

Это решение дал только автор задачи т. Зетель.

Решение 4. Тов. Ширшов дал изящное решение задач 116 и 117 одновременно. Пусть М = sin* В 4~ sin* С —2 sin Б sin С cos А — sin* А (1) iV = cos* В 4- cos* С + 2 cos В cos С cos Л — sin2 А (2) Тогда имеем:

Л* 4- N = 2 + 2 cos A (cos Б cos С — sin В sin С) —

— 2 sin* А = 2 4-2 cos Л cos (В -\-С) — 2 sin* А = - 2 — 2 cos2 А — 2 sin^ А = 2 — 2 = 0.

Далее:

iV — Af = cos 2Б 4- cos 2С + 2 cos Л (cos Б cos С + 4 sin Б sin С) = 2 cos (Б -f С) cos (Б —■ С) — — 2 cos {B+Q cos (Б — С) = 0. Итак, N -\-М = 0 и TV— /И = 0, откуда следует: М =0 и N=0, что и доказывают о а тождества.

Задачи 116 и 117 получили наибольшее количество решений. Все они, конечно, верны, поскольку опираются на элементарные формулы тригонометрии. Но кратких, не шаблонных решений прислано очень мало.

№ 118

Пользуясь одним циркулем, определить: можно ли около данного четырехугольника описать окружность?

Задача получила самые разнообразные решения, из которых приведем три, почти одинаковых по краткости и простоте.

Решение 1. Из точки Б проводим дугу, пересекающую АВ и ВС в точках М и N (черт. 10).

Черт. 10

Из точки D тем же радиусом проводим окружность, пересекающую AD и CD в точках Р и Q. От точки Р в сторону Q откладываем три раза хорду, равную радиусу. Очевидно, дуга PQR равна 180°. Затем радиусом, равным MN, проводим окружность из точки Q. Если она пересечет окружность (D) в точке R, то четырехугольник вписуем.

Решение 2. То же построение, что ив 1-м решении. Далее: от точки Q откладываем (как продолжение PQ) два раза дугу МЫ и один раз дугу PQ. Если конечная точка совпадет с Р, то будем иметь:

2MN+2PQ = 360°;

MN+PQ= 180°,

т. е. четырехугольник вписуем.

Решение 3. Одинаковым радиусом проводим окружности из всех вершин четырехугольника. Получим дуги а, р, т и Ь (черт. 11).

Черт. 11

На продолжении дуг аир откладываем соответственно дуги 7 и 8. Циркулем сравниваем хорды двух полученных сумм. Если они равны, то ос 4-4-7 = jJ + 5 = 180° и четырехугольник вписуем.

Однако здесь следует учесть случай, когда р -4-4- Ь = 360е — (а + 7), хотя а + р<180° (например а = 40°, р = 100°, 7 = 60°, 5 = 160°).

Тогда хорды будут равны, но соответствующие дуги не равны. Конечно, этого случая можно из-

бежать, откладывая, например, на окружности {В) дуги а и 7 от точки М в том же направлении, что и р.

№ 119

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

y = xs-6х* + 9х + 2

в промежутке

— 1 <х<4.

Решение. Приведем одно из наиболее коротких решений. Представим функцию в таком виде:

у = *3 — 6х» + 9х — 4 + б

или:

у = (х-1)*{х-4) + 6

Но в промежутке — 1-<дг-<4 выражение (х —

— I)2(jc — 4)^0, следовательно, у будет иметь наибольшее значение, равное 6, при (;с— I)2 (jc —

— 4) = 0, т. е. при х = 1 и х = 4. Представим теперь функцию в таком виде:

у = д;3 — 6*2 + 9х + 16 —14

или:

Но в промежутке —■ 1 < х < 4 двучлен х + 1 > 0, а следовательно, и выражение

Значит, наименьшее значение в этом промежутке, именно —14, функция принимает при х-\-1 = = 0, т. е. при х= —1.

№ 120

Даны значения тангенсов трех острых углов tgx = a; tg_y = 6; tgz = c.

При каком условии угол x-\-y-\-z будет также острым?

Решение 1. Имеем по известной формуле:

(1)

(2)

71 К

1. Если x + V + z<Y >то х+у<~2 и значи7 tg(x+y)>0.

Но тогда из (1) следует, что

\-ab>0. (&>

Отсюда следует, что

а + Ь + с — abc = а + Ь + с (1 — ab) > 0. Но tg (.* + .)>+ *)>0, тогда из (2) следует, что 1 — аЪ—Ъс — са > 0.

Итак, для того, чтобы угол х А-у + 2 был острым, необходимо, чтобы было:

ab + Ъс-\-са<^ 1.

2. Покажем, что это условие и достаточно. Действительно, из этого условия следует, что

be + сд < 1 —ab,

и так ка\- а, Ь и с положительны, то 1—ab^> 0 А это значит (из 1), что tg (л: + у) > 0, т. е. угол хА-у острый (так как х и у — углы острые).

Далее, так как 1 — > 0, то и а + Ь с — abc = = а + b -f- с(1 — ab) > 0, т. е. числитель и знаменатель во (2) положительны. Значит, tg (дг-f- У + 4-2)>0, и так как и z — углы острые, то

и х +у + z — острый угол.

Решение 2. Так как углы х, у я z острые по условию, то

x+y + z<270°. (1)

Если х -\-у z < 90°, то должно быть

cos(x+y + z)>0. (2)

Таким образом, это условие необходимо. Покажем, что оно и достаточно. Действительно, если имеет место (2), то конец дуги x+y-\-z лежит или в 1-й, или в 4-й четверти. Но в 4-й четверти он, по (1), лежать не может. Следовательно:

x+y + z<90°. Выразим условие (2) через a, ft и с. Имеем: cos (х +y-\-z) = cos (х +у) cos z — sin (х +у) sin z = == cos х cosy cos z — sin x slny cos z — — sin x cosy sin z — cos x sin у sin z > 0. (3)

Так как cos x cosy cos z > 0, то, разделив (3) на это произведение, получим:

1 — tg х tgy — tg х tg г — \gy tg г > 0

или:

1 — ab — ас — be > 0, т. е. получили прежнее условие.

ЗАДАЧИ

(Срок присылки решений 1 августа 1949 г.)

41. Треугольник АБС будет остроугольным, прямоугольным или тупоугольным в зависимости от того, будет ли выражение:

а? + Ъ* + & — 8#*

соответственно положительно, нуль или отрицательно. Доказать.

42. Решить систему уравнений:

Применить к частному случаю: /и = 1, п = 2. 43. Упростить:

44. Вершина А квадрата ABCD соединена прямой с некоторой точкой М на CD, причем AM = d. Биссектриса AN угла ВАМ пересекает сторону ВС. в точке N. Определить величину суммы DM-\-В\\

45. Ученику дали перемножить два трехзначных числа и полученное произведение разделить на пятизначное число. Ученик не заметил знака умножения и принял оба рядом стоящие числа за одно шестизначное. Поэтому полученное частное оказалось в три раза больше истинного. Определить все три числа.

46. Если имеют место соотношения:

а = b cos а -\-с cos р

b = с cos а -\- a cos 7

с = a cos fJ + b cos а9

где a, b и с положительны и каждый из положительных углов а, р, 7 меньше 180е, то существует треугольник со сторонами а, Ь, с и с углами a, р, 7. Доказать.

Айзенштат (Кисловодск).

а р 7 а В 7

47. Если tg 2" , tg у , tg у, гдеу , т>- > 2 острые

углы, являются корнями уравнения х*+рх* + л: 4-^ = 0,

то:

tg<* + tgp4-tg7 = tgatgptg7.

Доказать.

Айзенштат

48. Найти все действительные корни уравнения:

Айзенштат.

49. Доказать, что арифметический корень натуральной степени из положительной конечной десятичной дроби не может быть равен бесконечной периодической десятичной дроби.

В. Барановский (Глухов).

50. Сколько и каких цифр понадобится для того, чтобы написать в десятичной системе все числа от 1 до 10" включительно?

В. Барановский.

51. Построить правильный треугольник по трем отрезкам— расстояниям от точки, взятой внутри треугольника, до его сторон.

Е. Боков (Кононово, Краснод. кр.).

52. Расстояние любой точки окружности, описанной около правильного треугольника. i,o одной из его вершин равно сумме расстояний этой точки до двух других вершин. Доказать.

Е. Боков.

53. Решить уравнение:

А. Владимиров (Ялта).

54. Решить систему уравнений:

А. Владимиров.

55. Доказать, что 19! делится на 820 125.

А. Владимиров.

56. Из точки М, взятой внутри прямоугольного треугольника ABC, проведены перпендикуляры MX, MY, MZ соответственно на гипотенузу АВ и катеты ВС и АС. Доказать, что

аа{ 4- ЬЬ1 + cci = с*, где 0j = В Y, Ьх — CZ, С\ = АХ

Ю. Изосимов (Астрахань).

57. Из точки М, взятой внутри остроугольного треугольника ABC, проведены перпендикуляры MX, MY, MZ соответственно на стороны а, Ь, с. Доказать, что

аах 4- bbx 4- cck — ab cosC= сш,

где я, = ВХ, bl = CY, сг = AZ.

Ю. Изосимов.

58. На окружности радиуса R, описанной около треугольника АБС, внутри угла С взята точка М

и соединена с вершинами треугольника. Найти величину выражения:

М4■ МС 1 МВ-МС __ MA-MR sin Л • sin С sin£'SinC sinA-sin#

Ю. Изосимов.

59. Вычислить радиус окружности, описанной около четырехугольника, если известны радиусы Ra, Rb, Вс и Rd окружностей, описанных около треугольников ЛОВ, ВОС, (.OD и UOA, где О — точка пересечения диагоналей.

Б. Кашин (Вышний Волочок).

60. В треугольнике известна только его плошадь S. Найти величину выражения:

a2 slnnB + b2s\n2A.

Б. Кашин.

ИТОГИ КОНКУРСА ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ за 1947 г.

По конкурсу за 1947 год наибольшее количество задач решили следующие товарищи:

1. М. Шебаршин (Кемерово)

2. Б. Кодацкчй (Ленинград)

3. А. Владимиров (Ялта)

4. А. Могильницкий ^Кривое Озеро, Одесск. обл.)

5. В. Никитин (Тамбов)

6. Г. Ахвердов (Ленинград)

7. Л. Фридман (Красноярск)

8. М. Кекелия (Бандза ТССР)

9. С. Колесник (Харьков)

10. Н. Титов (Казань)

11. Э. Ясиновый (Куйбышев)

12. В. Голубев (Кувшиново, Калининской обл.)

13. М. Люкке (Богучин)

14. В. Токарев (Константиновка)

15. Л. Постников (Ряжск)

16. В. Буткевич (Ровно)

17. Г. Голянд и С. Третьяков (Краснодар, кр.)

18. Н. Зубилин (Орловск. обл.)

19. А. Аляев (Пензенск. обл.)

20. Медведев (Сталингр. обл.)

Всем перечисленным товарищам высылаются бесплатно: журнал «Математика в школе» за 1949 гол и математическая литература (первым десяти товарищам в большем количестве).

Редакция

СВОДКА РЕШЕНИЙ по № 6 за 1948 год

Г. Автух (Чашники) 101—105, 112, 113, 119, 120; К. Агринский (Москва) 101—106, 111—113, 115—118, 120; Я. Айзенштат (Кисловодск) 101, 102, 104—107, 109-120; Я. Алексеев (Череповец) 105, 113, 116-118; Е. Алмазова (Беднодемьяновск) 101, К 2, 112, 116, 117; И. Альтшуллер (Ленинград) 101, 102, 109, 111, 112, 116-120; Ш. Бакурадзе (Грузинская ССР) 116, 117; Ф. Билецкий (Киев) 104, 116, 117; Г. Бобылев (Тула) 116, 117; Е. Боков (Краснодарский кр.) 101, 102, 106, 112, 113, 116-120; Ф. Больсен (Кировоградская обл.) 101, 104, 106, 114, 116, 117, 119; Б. Бурназов (Краснодарский кр.) 101, 104—106, 112, 113, 116, 117, 120; В. Буткевич (Ровно) 101-105, 108, ПО—120; Б. Вайнман (Киев) 101, 102, 104—106, 111, 113, 114, 116, 117, 119; 120: В. Варганов (Москва) 111, 116, 117; А. Владимиров (Ялта) 101, 102, 104, 105, 109, 111-113, 115—118, 120; Ю. Вольфенгаут (Томская обл.) 101, 102, 104, 116-120; В. Голубев (Кувшиново) 101—103, 105, 108, ПО, 112, 113, 116—120; Г. Голянд и С. Третьяков (Краснодарский кр.) 101, 102, 104, ИЗ, 116, 117; Н. Гречкин (Ростовская обл.) 104, 116—118; Я. Денисов (Краснослободск) 101, 105, 107, 111-113, 116, 117; И. Десятое (Мичуринск) 104, 105, 107, 109, 112, ИЗ, 115-117; И. Дзигава (Тбилиси) 101, 104, 105, 112-117, 120; Б. Дудолькевич (Киевская обл.) 101, 105, 112, 113, 116, 117,120;//. Евланов (Павелец) 101, 104, 105, 109, 111, 113, 116, 117, 119, 120; С. Ершов (Челябинская обл.) 104, 111—114, 116—118; Я. Жовтун (Кировская обл.) 112, 113, 118, 119. С. Казаков (Рязанская обл.) 104 105, 10), 116-118, 120; Н. Кириллов (Ярославль) 1(2, 101 111-113, 115—117, 119; Я. Китайгородский (Москва) 101, 104, 105, 107, 112, 113, 116, 117, B. Ковалев (Витебская обл.) 112, 118, 119; Я. Козлов (Смолевичи) 104, 105, 10Э, 113, 116, 117, .120: C. Колесник (Харьков) 101—109, 111—117, 119, 120: А. Корнилов (Ростовская обл.) 102—104, 106, 108, 111, 112, 116-120; М. Крайзман (Львов) 104, 105. 111, 116, 117, 120; Н. Кухарев (Уфа) 104—106, 113,116, 117,120; И. Лашко (Днепропетровская обл.) 102, ИЗ, 116—118; С. Лебензон (Московская обл.) 101,-120; М. Ляндрес (Горьковская обл.) 104, 112, 113, 116 117; М. Ляпин (Казань) 101, 102, 104, 105, 107, 109, 111—113, 115—118, 120; В. Маневич (Москва) 112, 113; М. Манукян (Казахская ССР) 104, 116, 117; Медведев (Себряково) 101, 102, 104, 112, 113, 116, 117, 120; Г. Многолетний (Мглин) 104, 105, 112, 113, 116 -118; Г. Мышакова (Молдавская ССР) 107; Л. Наумов (Тюменская обл.) 104, 116, 117; Ф. Певишев (ст. Шилово) 101-106, 110 113, 115-120; О. Пищик (Злочев) 101, 102, 104, 108, 111—113, 115—120; Т. Полякова (Рязанская обл ) 105, 116, 117; Я. Постников (Ряжск) 101, 103—106, 109, 111—Ш, 115—117, 119, 120; В. Розентуллер (Ленинград) 101, 116, 117; Б. Рубенчик (Минск) 101, 102, 104, 107, 112, 115—119; Я. Рубцов (Калининская обл.) 116, 117; В. Рылов (Брянская обл.) 112, 113; В. Саннинский (Ворошиловград) 101—120; Т. Смирнова (Москва) 104, 105, 112, 113, 116—lib:

Р. Срода (Астрахань) 101, 10?, 104, 115-117; М. Суховой, (Томская обл.) 101, 102, 104, 105, 112 -117; М. Татарский (Старый Оскол) 112, 119; Я. Титов (Казань) 10,-105, 107, 109—117, 119, 120; И. Тищенко (Ворошиловград) 104, 111 — 113. 116, li7; В. Токарев (Сталинская обл.) 101-110, 112—1Г0; А. Тралман (Ленинград) 101—107, 109 11 —114, 116, 118, 120; В. Тюрин (Горьковская обл.) 101, 103, 104, 112, 118; В.Утемов (Красноуфимск, 101—107, 110—119. А. Филиппова (Коми АССР) 104, 105, 1'6, 117; А. Хайруллин (Саратовская обл.) 101, 104, 105, 112, 114, 116; Е. Цугуля (Дубоссары) 101, 104, 116, 117; Af. Чаус (Житомирская обл.) 101—104, 106, 108, 10-), 111—113, 115, 120; Ф. Чердаков (Бичурино) 104, 105, 109, 112, 115— 117; AL Черепнин (Карагандинская обл.) 101, 103—105, 10S, 109, 111—113, 1 5-118, 120; М. Шебаршин (Кемеровская обл.) 101—106, 108-120; Н. Шерман (Астрахань) 104, 105, 112, 113, 116, 117; А Ширшов (Ворошиловградская обл.) 101 — 120; Б. Шлотгауэр (Казахская ССР) 101, 112, ИЗ; С. Юдицкий (Москва) 102; .9. Ясиновый (Куйбышев) 102-106, 109, 112-120.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ СВОДКА по № 5 за 1948 г.

Редакция еще раз предупреждает, что, начиная с задач, помещенных в № 6 за 1948 г., дополнительные сводки больше печататься не будут. Проверяться будут только решения, посланные в срок, указанный в журнале (по № 1 за 1949 г. вместэ 15/111 устанавливается срок 1/1V 1949 г.)

Е. Боков (Краснодарск. кр.) 88, 91; Ф. Больсен (Кировогр. обл.) 82, 85, 87, 91, 92, 96, 98; В. Варганов (Москва) 81, 85, 94; Я. Волок (Житомир) 81 — 86, 89, 91, 94, 98, 100; Я. Денисов (Мордовская АССР) 81, 83, 85-87, 94—97; А. Евдокимов (Ленинград) 85—87; Н. Кухарев (Уфа) 81, 83, 85, 86. 91— 94; Г. Магазинер (Киев) 81—85, 96; Г. Мышакова (Молдавская ССР) 81 — 100; Ф. Певишев (ст. Шилоео) 94, 96; В. Писаренко (Витебская обл.) 81, Б. Рубенчик (Минск) 81, 82, 84, 88, 92, 97; Г. Сакович (Киев) 81—88, 90, 92-98, 100; В. Токарев (Сталинская обл.) 81—98, 100; М. Чаус (Житомирская обл.) 81, 83, 86-88, 92, 93, 95, 97; М. Черепнин (Карагандинская обл.) 81—83, 86, 90—93, 95—99; Б. Шлотгауэр (Казахская ССР) 81.

СОДЕРЖАНИЕ

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

Стр.

А. П. Юшкевич — Математика и ее преподавание в России XVII — XIX вв. .... 1

МЕТОДИКА

Т. А. Песков — К вопросу о содержании арифметических задач........ 15

Е. Машков — К вопросу о постановке наименований при решении текстовых задач.................................... 18

О. Гинцбург — О требованиях к письменным работам............. 21

И. Н. Голайдо — О методах решения задач.................. 23

ИЗ ОПЫТА

А. М. Мирзоев — По поводу статьи А. С. Цесюлевича «Наши пожелания» ... 26

А. М. Нечай — Графическая запись условия при решении арифметических задач 28

Из писем и заметок читателей ........................ 29

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

A. Е. Попко — Николай Николаевич Маракуев................ 37

ХРОНИКА

П. Безматерных — Математическая олимпиада в Дамбукинской средней школе 39

А. С. Кованъко — Математические олимпиады в Львове............ 40

Д. С. Гончаров — Работа секции математиков при Одесском горметодкабинете

Л. Федорович — О «педагогических чтениях»................. 41

Ф. М. Мидлер — Обсуждение учебника А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника «Тригонометрия»............................. 42

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Я. С. Дубнов — О книге Г. Л. Невяжского «Неравенства»........... 44

М. Я. Романовская—О книге А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника «Тригонометрия» 45

B. А. Невский — Новая литература по математике............... 48

ЗАДАЧИ

Решения задач................................ 51

Задачи.................................... 61

Сводки решений................................ 62

№ А—11523

Заказ Mb 208 Тираж 20 000 экз. Технический редактор В. С. Якунина

Редакционная коллегия

Редактор Л. Н. Барсуков Зам. редактора С. И. Новоселов Члены редакционной коллегии Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий, А. П. Садиков, Н. Ф. Четверухин

Корректор А. С. Киняпина

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды 6, Учпедгиз Министерства просвещения РСФСР

Сдано в производство 10/1 III 949 г. Подписано к печати 23/iV 1949 г. Печ. л. 4. Учетно-иэд. л. 7,69. _Печ. зн. в 1 п. л. 72 000._ Цена 4 р. 50 к.___Формат 82 X 103/16.

13-я типография Главполиграфиздата при Совете Министров СССР. Москва, Денисовский, 30