МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 2

МАРТ — АПРЕЛЬ 1949 г.

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

Е. С. КОЧЕТКОВА (Челябинск)

В планиметрии все геометрические построения являются эффективными, т. е. они могут быть фактически осуществлены на плоском чертеже с помощью соответствующих инструментов. Причем сами эти инструменты содержат в себе возможность построения соответствующего геометрического образа: прямой линии (линейка), окружности (циркуль), перпендикулярных линий (угольник с прямым углом) и т. д.

Теоретическое обоснование возможности геометрических построений с помощью соответствующих инструментов в каждом случае устанавливается системой определений, относящих построенные геометрические образы к классу конструктивных элементов. Так, если иметь в виду циркуль и линейку в качестве инструментов построения, то формально-логическое обоснование этих построений осуществляется следующей системой определений.

Конструктивными являются следующие элементы:

1) Все элементы, данные в задаче на построение, а также какие-либо произвольные точки плоскости (которые необходимы для построения как вспомогательные элементы).

2) Прямая, если она определена двумя конструктивными точками.

3) Окружность, если она определена конструктивными центром и радиусом.

4) Точка пересечения двух конструктивных линий.

(Система определений заимствована из статьи проф. Н. Ф. Четверухина «Вопросы методологии и методики геометрических построений в школьном курсе стереометрии», «Известия» Академии педагогических наук, 6-й выпуск.)

Таким образом, задана на построение является разрешимой или неразрешимой в зависимости от того, содержится или не содержится искомый элемент в определенном классе конструктивных элементов.

Переходя к геометрическим построениям в пространстве, следует отметить, что собственно эффективные построения возможны лишь с помощью моделирования и построений на поверхности материальной модели, но этим способом может быть решено лишь ограниченное число задач, так что этот способ скорее можно считать иллюстрирующим готовое решение в смысле наглядности.

Проф. Н. Ф. Четверухин указывает на два возможных методологических направления в решении вопроса о геометрических построениях в пространстве:

«1) Либо по аналогии с построениями на плоскости развить формально-логическим путем метод построений в пространстве с отказом от реальных построений при помощи инструментов.

2) Либо рассматривать и выполнять пространственные построения на проекционном чертеже, т. е. на отображении пространства, полученном по способу проектирования».

Рассматривая первое направление, можно также, по аналогии с построениями на плоскости, установить класс конструктивных элементов пространства с помощью следующей системы определений:

Конструктивными являются следующие элементы:

1) Все данные в задаче на построение элементы, а также произвольные точки пространства (которые необходимы для построения как вспомогательные элементы).

2) Плоскость, если она определена тремя конструктивными точками,

3) Прямая линия пересечения двух конструктивных плоскостей.

4) Все элементы конструктивной плоскости, входящие в кллсс конструктивных элементов эти плоскости (определенные в теории геометрических построений на плоскости).

Следствие из 1-го и 2 го определений:

Плоскость, определяемая конструктивными прямой и точкой вне ее, двумя конструктивными, пересекающимися или параллельными прямыми, является конструктивной.

Таким образом, задача на построение в пространстве оказывается разрешимой или неразрешимой в зависимости от того, содержится или не содержится искомый элемент в классе конструктивных элементов.

Если не считать построений, определяемых с помощью 4-го определения, которые могут быть произведены принятыми в планиметрии чертежными инструментами, инструменты построений, определяемых первыми тремя определениями, оказываются несуществующими в действительности.

Но можно мыслить (если нельзя представить) инструмент, с помощью которого прикладыванием к трем точкам строится в пространстве плоскость таким же образом, как прикладыванием линейки к двум точкам строится прямая линия на плоскости. Этот воображаемый инструмент проф. Н. Ф. Четверухин называет инструментом-«пластинкой». Построения, выполняемые этим инструментом, являются также воображаемыми.

Воображаемые построения производятся мысленно, но для облегчения обычно применяется чертеж, наглядно иллюстрирующий процесс построения. Этот чертеж, выполняемый часто от руки, с сохранением лишь проективных свойств изображаемых фигур, проф. Четверухин называет чертежом-рисунком или чертежом-картиной, но этот чертеж ни в коей мере нельзя рассматривать как фактическое построение.

Покажем, что если пользоваться предложенной абстрактно инструментальной схемой, все основные задачи на построение в пространстве могут быть решены:

В разделе «Расположение прямых в пространстве».

Задача 1. Через данную точку (А) пространства, расположенную вне данной прямой (I), провести прямую, параллельную данной прямой.

Решение. Плоскость Р, определяемая точкой А и прямой /, является конструктивной (следствие из 1-го и 2-го определений). Прямая т, проведенная в плоскости Р через точку А, параллельно прямой /, является конструктивной (определение 4).

Прямая т — искомая и существует только одна (черт. 1).

В разделе «Расположение прямой и плоскости».

Чертеж 1

Задача 2. Построить точку пересечения данной прямой (I) с данной плоскостью (Р).

Решение. Плоскость Q, определяемая данной прямой / и произвольной точкой М данной плоскости Р, является конструктивной (следствие из определений 1, 2 и 4). Линия т пересечения плоскостей Р и Q является конструктивной (опр. 3). Точка А пересечения прямых / и т плоскости Q является конструктивной (опр. 4).

Точка А — искомая, так как принадлежит данной прямой и данной плоскости.

Задача не имеет решения, если / || т, т. е. /1| пл. Р. (черт. 2).

Чертеж 2

Задача 3. Через данную точку (А) пространства, расположенную вне данной плоскости (Р), провести прямую, параллельную этой плоскости.

Решение. Прямая (I), проведенная на плоскости Р через две произвольные ее точки, является конструктивной (опр. 4). Прямая т, проведенная через точку А параллельно прямой /, является конструктивной (задача 1).

Прямая т — искомая, в силу признака параллельности прямой и плоскости.

Задача неопределенная, так как / —- произвольная прямая пл. Я (черт. 3).

Чертеж 3

Задача 4. Через данную точку (А) пространства, расположенную вне данной прямой (I), провести плоскость, параллельную этой прямой.

Решение. Прямая т, проведенная через точку Л, параллельно прямой /, является конструктивной (задача 1). Плоскость Я, определяемая прямой т и произвольной точкой М пространства (не принадлежащей прямым / и т), является конструктивной (черт. 4). Плоскость Я — искомая.

Чертеж 4

Можно было бы дать другое решение. Прямая т9 проведенная через произвольную точку М пространства (опр. 1), параллельно прямой/, является конструктивной (задача 1). Плоскость Я, определяемая прямой т и данной точкой Л, является конструктивной (следствие). Плоскость Р — искомая.

Задача неопределенная, так как один из элементов, определяющих плоскость Я, является произвольным.

Задача 5. Через данную прямую (I) провести плоскость, параллельную другой данной пряной (т).

Решение. В общем случае прямые / и/я предполагаем скрещивающимися.

Прямая л, проведенная через произвольную точку А прямой /, параллельно прямой т, является конструктивной (опр. 1, задача 1). Плоскость Р, определяемая пересекающимися прямыми / и пу является конструктивной (следствие из опр. 1 и 2). Плоскость Р — искомая. Задача имеет единственное решение (черт. 5).

Чертеж 5

Если / и т параллельны, задача неопределенная, так как сводится к задаче 4.

В разделе с Расположение плоскостей в пространстве».

Задача 6. Через данную точку (А) пространства, расположенную вне данной пло~ скости (Р), провести плоскость, параллельную данной плоскости.

Решение. Две какие-нибудь прямые/ и /л, проведенные через точку (А), параллельно плоскости Я, являются конструктивными задача 3). Плоскость Q, определяемая прямыми / и /я, является конструктивной (следствие из опр. 1 и 2). Плоскость Q искомая и единственная (черт. 6).

Чертеж 6

В разделе «Перпендикулярные прямые в пространстве».

Задача 7. Через данную точку (А) пространства провести прямую, перпендикулярную данной прямой (I).

Случай I — точка А лежит на прямой /.

Решение. Плоскость Я, определяемая данной прямой / и произвольной точкой М пространства, является конструктивной (опр. 1

и следствие из опр. 1 и 2). Прямая т, проведенная на плоскости Р через точку Л, перпендикулярно прямой /, является конструктивной (опр. 4).

Прямая т— искомая. Задача неопределенная, так как точка М, с помощью которой определяется плоскость Р, является произвольной (черт. 7).

Чертеж 7

Решение. Две какие-нибудь прямые т и Пу проведенные через точку Л, перпендикулярно прямой /, являются конструктивными (задача 7). Плоскость Р, определяемая прямыми тип, является конструктивной (следствие) и искомой (черт. 9). Задача имеет единственное

Чертеж 9

Случай II — точка Л не лежит на прямой /•

Решение. Прямая /', проведенная через точку Л, параллельно прямой /, является конструктивной (задача 1). Любая прямая, проведенная через точку Л, перпендикулярно прямой является конструктивной (задача 7, 1-й случай) и искомой (черт. 8). Если ограничиться

Чертеж 8

рассмотрением перпендикулярной прямой, пересекающей данную прямую, то имеем следующее решение. Плоскость Р, определяемая точкой Л и прямой /, является конструктивной.

Прямая, проведенная в этой плоскости через точку Л, перпендикулярно прямой /, является конструктивной (опр. 4). Этот перпендикуляр является искомым и единственным.

В разделе «Перпендикулярные прямые и плоскости».

Задача 8. Через данную точку (Л) провести плоскость, перпендикулярную данной прямой (I).

решение, так как геометрическое место прямых, проходящих через данную точку и перпендикулярных данной прямой, есть плоскость, перпендикулярная этой прямой и проходящая через данную точку.

Задача 9. Через данную точку (М) пространства провести прямую, перпендикулярную данной плоскости (Р).

Случай I — точка М лежит на плоскости Р.

Решение. Произвольная прямая АВ, проведенная на плоскости Р через точку М, является конструктивной (опр. 4). Плоскость Q, проведенная через точку М перпендикулярно прямой АВ, является конструктивной (задача 8). Линия CD пересечения плоскости Р и Q является

Чертеж 10

конструктивной (опр. 3). Прямая MN, проведенная на плоскости Q перпендикулярно CD, является конструктивной (опр. 4). MN — искомый перпендикуляр (черт. 10). В самом деле,

MNA-CD по построению, MNJ_AB, так как лежит в плоскости Q, перпендикулярной АВ. Перпендикуляр MN единственный, что легко доказать методом от противного.

Случай II—точка М не лежит в плоскости Р.

Задача решается так же, как и в 1-м случае, только прямая АВ выбирается совершенно произвольно на плоскости Р (черт. 11).

Чертеж 11

В разделе «Перпендикулярные плоскости».

Задача 10. Через данную точку М пространства провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости Р.

Решение. Прямая MN, проведенная через точку М, перпендикулярно плоскости Р, является конструктивной (задача 9).

Плоскость Q, проведенная через прямую MN и произвольную точку пространства, является конструктивной (опр. 1 и следствие). Плоскость Q—искомая. Задача неопределенная (черт. 12).

Чертеж 12

Все задачи на построение с прямыми, плоскостями, двугранными и многогранными углами и многогранниками, в том числе задачи на сечения многогранников плоскостями и задачи на комбинации многогранников сводятся к рассмотренным основным задачам и построению геометрических образов, входящих, согласно четырем формулированным определениям, в класс конструктивных элементов.

Перейдем теперь к рассмотрению основных задач на построение, относящихся к поверхностям вращения: цилиндрической, конической и сферической. При этом, согласно определению этих поверхностей, цилиндрическая поверхность определяется заданием оси и образующей (или радиуса), коническая поверхность— заданием оси и образующей, сферическая— заданием центра и радиуса.

Все другие способы задания этих поверхностей можно свести к указанным.

Рассмотрим, например, задачу:

Найти цилиндрическую коническую и сферическую поверхности, проходящие через данную окружность (О) и данную точку (М).

Решение. Перпендикуляр 00', восставленный к плоскости данной окружности в ее центре, является конструктивным (задача 9). Плоскость Р, определяемая прямой 00' и точкой М, является конструктивной (следствие из определений 1 и 2). Линия пересечения этой плоскости с плоскостью данной окружности является конструктивной (опр. 3). Точка А

Чертеж 13

пересечения этой линии с окружностью О является конструктивной (опр. 4). Прямая AM плоскости Р является конструктивной (опр. 4).

Если AM || 00', то цилиндрическая поверхность, определяемая осью 00' и образующей AM, является искомой (черт. 13).

Чертеж 14

Если AM пересекается с 00' в точке 5, то коническая поверхность, определяемая осью 00' и образующей AMS, является искомой (черт. 14). Если данная точка М не лежит в

плоскости данной окружности, то перпендикуляр к отрезку AM, проведенный через его середину в плоскости Р, и точка С пересечения этого перпендикуляра с 00, являются конструктивными (опр. 4).

Тогда сферическая, поверхность с центром в точке С и радиусом С 4 является искомой (черт. 15).

Чертеж 15

Рассмотрим задачи на пересечение круглых тел плоскостью и прямой.

Задача а. Найти сечение длиной цилиндрической или конической поверхности плоскостью, проходящей через данную точку (АЦ и перпендикулярной оси данной поверхности.

Решение. Пусть / и / ось и образующая данной поверхности. Плоскость Р, проходящая через данную точку М и перпендикулярная прямой /, является конструктивной (осн. задача 8). Точки О и Л пересечения этой плоскости с прямыми I и / являются конструктивными (осн. задача 2). Окружность, определяемая центром О и радиусом OA в плоскости Р, является конструктивной (опр. 4). Эта окружность представляет искомое сечение (черт. 16).

Чертеж 16

Действительно, эта окружность лежит в данной плоскости Р и на данной поверхности, так как поверхность образуется вращением образующей / около оси /, при этом вращении точка А образующей опишет найденную окружность.

Задача Ь. Найти сечение данной цилиндрической поверхности плоскостью, проходящей через данную точку (М) и параллельной jcu i поверхности.

Решение. Пусть / и / соответственно ось и образующая данной цилиндрической поверхности. Плоскость Р, проходящая через точку М, параллельно оси /, является конструктивной (задача 4).

Плоскость Q, проведенная через произвольную точку пространства, перпендикулярно оси поверхности, является конструктивной (опр. 1 и задача 8). Окружность О сечения данной цилиндрической поверхности плоскостью Q является конструктивной (задача а). Линия т пересечения плоскостей Р и Q (из которых 1-я параллельна оси, а вторая ей перпендикулярна) является конструктивной (опр. 3). Точки А и В пересечения прямой т с окружностью О (в шкч кости Q) являются конструктивными (опр. А). Прямые АА' и ВВ\ проведенные через точки А и В параллельно оси /, являются конструктивными (задача 1). Эти прямые являл; геи искомыми линиями пересечения плоскости Р с данной поверхностью, если они существуют (черт. 17) В самом деле, АА' и

Чертеж 17

ВВ' представляют образующие данной поверхности, так как проходят через точки А и В поверхности, параллельно ее оси; прямые АА' и В В' лежат в плоскости Р, так как проходят через точки А к В этой плоскости, которая параллельна оси /.

Условие возможности и число решений задачи зависят от условия пересечения прямой т с окружностью О, последнее зависит от расстояния данной точки М от оси /; если это расстояние меньше радиуса цилиндрической, поверхности, то существуют две прямые (образующие) пересечения плоскости с поверхностью, в частности, если это расстояние равно нулю, т. е. секущая плоскость проходит через ось, будем иметь осевое сечение; если расстояние

точки М от оси равно радиусу цилиндрической поверхности, прямая т касается окружности О в точке Г, имеем только одну образующую ТТ', по которой плоскость Р касается поверхности; если расстояние точки М от оси больше радиуса поверхности, плоскость Р не пересекает данную поверхность.

Примечание. В том случае, когда рассматривается не цилиндрическая поверхность, а ограниченный цилиндр, вместо перпендикулярного сечения плоскостью Q рассматривается одна из окружностей оснований цилиндра. Тогда искомое сечение представляет прямоугольник, две стороны которого являются отрезками образующих пересечения данной плоскости с боковой поверхностью цилиндра, а две другие стороны — отрезки линий пересечения данной плоскости с перпендикулярными ей плоскостями оснований.

Задача с. Найти сечение данной конической поверхности с данной плоскостью Р, проходящей через вершину (S) конической поверхности.

Решение. Плоскость Q, проходящая через произвольную точку пространства перпендикулярно оси / данной поверхности, является конструктивной (опр. 1 и задача 8). Окружность О пересечения этой плоскости с данной поверхностью является конструктивной (задача а). Линия т пересечения плоскостей Р и Q (из которых первая пересекает ось, а вторая ей перпендикулярна) является конструктивной (опр. 3). Точки Л и В пересечения прямой т с окружностью О в плоскости Q являются конструктивными (опр. 4). Прямые SA и SB данной плоскости Р являются конструктивными (опр. 4, черт. 18).

Чертеж 18

Эти прямые являются искомыми линиями пересечения, так как лежат по построению в данной плоскости и в то же время являются образующими данной конической поверхности, так как соединяют ее вершину с точками А и Ву лежащими на поверхности. Условие возможности и число решений зависят от условия пересечения прямой т с окружностью О. Последнее же зависит от угла между осью и данной плоскостью Р\ если этот угол меньше угла между образующей и осью, то существуют две образующих пересечения (в частности, когда этот угол равен нулю, секущая плоскость проходит через ось, будем иметь осевое сечение); если угол между осью и данной плоскостью равен углу между образующей и осью поверхности, прямая т касается окружности О в точке Т, тогда данная плоскость касается конической поверхности по образующей ST, наконец, когда этот угол больше угла между образующей и осью, прямая m проходит вне окружности О, и плоскость Р не имеет с поверхностью общих точек (кроме точки S).

Примечание. В случае, когда дается ограниченная поверхность, т. е. поверхность конуса, вместо произвольного перпендикулярного сечения можно взять окружность основания конуса. Тогда искомое сечение представляется равнобедренным треугольником, боковые стороны которого — отрезки образующих, пересечения данной плоскости с боковой поверхностью конуса, а основание — отрезок прямой линии пересечения данной плоскости с плоскостью основания конуса.

Задача d. Найти сечение данной шаровой поверхности с данной плоскостью Р.

Решение. Шаровая поверхность задана центром О и радиусом R. Перпендикуляр 00' к данной плоскости Р9 проведенный через данную точку О у является конструктивным (осн. задача 9). Отрезок г = О'М = |/R2 — d* (где d = 00'), построенный в какой-нибудь плоскости Q, проходящей через 00', является конструктивным (опр. 4). Окружность, определяемая центром О и радиусом г в плоскости Я, является конструктивной (опр. 4, черт. 19).

Чертеж 19

Эта окружность представляет искомое сечение, так как, во-первых, она лежит в данной плоскости (по построению), во-вторых, она лежит

на шаровой поверхности, так как все точки ее удалены от центра О шара на расстояние, равное ]/r2 -\-d* = R радиуса шара. Задача возможна, если d=R, в случае, когда d = R, окружность сечения представляет точку, в которой данная плоскость касается шаровой поверхности.

Задача е. Найти точку пересечения данной прямой I с данной цилиндрической поверхностью.

Решение. Предполагаем в общем случае, что данная прямая / и ось i поверхности — скрещивающиеся прямые.

Плоскость Я, проведенная через прямую / параллельно оси /, является конструктивной (осн. задача 5). Прямые линии тип пересечения плоскости Я с данной цилиндрической поверхностью являются конструктивными (задача Ь). Точки М и N пересечения прямых т и п с прямой / (все эти прямые лежат в плоскости Я и прямая / не параллельна тип, согласно условию) являются конструктивными (опр. 4).

Точки М и N — искомые, так как принадлежат к прямой у поверхности (черт. 20).

Чертеж 20

Задача имеет решение, если кратчайшее расстояние между данной прямой / и осью i поверхности меньше или равно радиусу цилиндрической поверхности, в последнем случае прямая и поверхность имеют только одну общую точку, в которой данная прямая касается цилиндрической поверхности.

Если данная прямая пересекает ось, то вспомогательная плоскость проходит через ось; задача в этом случае всегда имеет два решения. Если данная прямая параллельна оси, задача не имеет ни одного решения.

Примечание. Если рассматривается ограниченная поверхность цилиндра, то одна или обе точки пересечения поверхности с прямой могут принадлежать плоскостям оснований.

Задача /. Найти точку пересечения данной прямой I с данной конической поверхностью.

Решение. Плоскость, определяемая прямой / и вершиной 5 конической поверхности, является конструктивной (следствие из опр. 1 и 2). Образующие тип пересечения этой плоскости с поверхностью конуса (если они существуют) являются конструктивными (задача с). Точки М и N пересечения этих образующих с данной прямой являются конструктивными (опр. 4). Эти точки являются искомыми (черт. 21).

Чертеж 21

Задача имеет два решения, если данная прямая пересекает обе образующие, с которыми она лежит в одной плоскости, или одно решение в том случае, когда она или параллельна одной из этих образующих, или касается поверхности (когда обе образующие совпадают), в этом случае она является касательной к поверхности конуса.

Задача не имеет решения, если плоскость, определяемая вершиной конуса и данной прямой, не пересекает конической поверхности.

Примечание. В случае ограниченной поверхности конуса одна из точек пересечения может находиться на плоскости основания конуса.

Задача g. Найти точку пересечения данной прямой и данной шаровой поверхности.

Решение. Плоскость Я, определяемая данной прямой и центром шара, является конструктивной (следствие из опр. 1 и 2). Окружность О сечения этой плоскости с поверхностью шара является конструктивной (задача d). Точки М и N пересечения данной прямой с окружностью сечения в плоскости Я являются конструктивными (опр. 4, черт. 22).

Прямая пересекает поверхность шара в двух точках, если расстояние ее от центра шара меньше радиуса шара; в одной точке, если это расстояние равно радиусу шара; прямая в этом случае является касательной к шару; прямая не

пересекает поверхность шара, если ее расстояние от центра больше радиуса шара.

Разрешимыми, при условии принятия системы определений 1—4, являются те задачи на пересечение многогранников и круглых тел,

Чертеж 22

которые приводят к построению сечений плоскостями граней и точек пересечения ребер многогранника с поверхностями круглых тел, рассмотренных в задачах а — g.

Рассмотрим далее задачи на построение касательных плоскостей к позерхностям вращения.

Задача. Через данную точку (А) провести касательную плоскость к данной цилиндрической поверхности.

Решение. Окружность О сечения цилиндрической поверхности плоскостью, проходящей через данную точку А и перпендикулярной оси, является конструктивной (задача а). Касательная AT к окружности сечения, проведенная в этой плоскости через данную точку, является конструктивной (опр. 4). Плоскость, проведенная через касательную AT параллельно оси i

Чертеж 23

поверхности, является конструктивной (осн. задача 5). Эта плоскость является искомой касательной плоскостью, так как расстояние ее от оси, равное расстоянию между осью и касательной AT, равно радиусу цилиндрической поверхности (черт. 23).

Задача имеет два решения, если точка лежит вне поверхности, одно решение, если точка лежит на цилиндрической поверхности, ни одного, если точка лежит внутри поверхности.

Задача. Через данную точку А провести касательную плоскость к данной конической поверхности.

Решение. Окружность О сечения конической поверхности плоскостью, проходящей через данную точку А и перпендикулярную оси поверхности, является конструктивной (задача а).

Касательная AT к окружности сечения, проведенная в этой плоскости через данную точку, является конструктивной (опр. 4).

Плоскость, проведенная через касательную AT и вершину S поверхности, является конструктивной (следствие из опр. 1 и 2). Эта плоскость является искомой касательной плоскостью (черт. 24).

Чертеж 24

Задача имеет два решения, если данная точка лежит вне конической поверхности, одно решение, если точка лежит на поверхности, и ни одного, если она лежит вне поверхности.

Задача. Через данную точку (А) провести касательную плоскость к данной шаровой поверхности.

Решение. Окружность О сечения шара плоскостью, проходящей через данную точку и центр шара, является конструктивной (задача d).

Касательная AT к окружности сечения, проведенная в этой плоскости через данную точку, является конструктивной (опр. 4). Плоскость, проходящая через эту касательную и перпендикулярная радиусу ОТ шара, является конструктивной (осн. задача 8). Эта плоскость— искомая (черт. 25).

Если данная точка лежит вне поверхности шара, то задача неопределенная, так как через данную точку и центр шара можно провести сколько угодно плоскостей. Если данная точка А лежит на поверхности шара, то для

решения задачи достаточно провести плоскость через данную точку А и перпендикулярную радиусу OA. Задача в этом случае имеет одно решение. Задача не имеет решения, если дан-

Чертеж 25

ная точка лежит внутри шаровой поверхности. Задачи на пересечение круглых тел.

Задача А. Найти пересечение двух данных цилиндрических поверхностей с параллельными осями.

Решение. Окружности О и О' сечений цилиндрических поверхностей плоскостью, проходящей через произвольную точку пространства и перпендикулярной их осям, являются конструктивными (опр. I и задача а). Точки М и N пересечения этих окружностей являются конструктивными (если они существуют, опр. 4). Прямые ММ и NN', проведенные через эти точки, параллельно осям поверхностей, являются конструктивными (осн. задача 1). Эти прямые — искомые линии пересечения, так как являются образующими, принадлежащими обеим поверхностям (черт. 26).

Чертеж 26

Если расстояние между осями меньше суммы, но больше разности радиусов цилиндрических поверхностей, то окружности сечений пересекаются в двух точках, а цилиндрические поверхности пересекаются по двум образующим. Если расстояние между осями равно сумме или разности радиусов, окружности сечений имеют внешнее или внутреннее касание, поверхности имеют в этом случае одну общую образующую и касаются друг друга внешним или внутренним образом. Наконец, если расстояние между осями больше суммы радиусов цилиндров, они не пересекаются и не касаются друг друга.

Задача В. Найти пересечение данных цилиндрической и конической поверхностей или двух конических поверхностей с общей осью.

Решение. Образующие сечений данных поверхностей плоскостью, проходящей через, общую ось, являются конструктивными (задачи Ъ и с).

Точки пересечения образующих сечения одной поверхности с образующими этого сечения другой поверхности являются конструктивными (опр. 4). Окружность сечения, проведенного через одну из этих точек и перпердикулярного общей оси, является конструктивной (задача а). Эта окружность является искомым сечением, так как принадлежит обеим поверхностям (черт. 27).

Чертеж 27

Если иметь в виду двухполостную коническую поверхность, то в случае пересечения ее с цилиндрической поверхностью имеем две равные окружности на двух различных полостях. В случае же пересечения двух конических поверхностей имеем две окружности, если углы в осевом сечении обоих конусов различны, и одну, если они одинаковы.

Задача С. Найти пересечение цилиндрической или конической поверхности с шаровой, центр которой лежит на оси поверхности.

Решение. Сечения данных поверхностей плоскостью, проходящей через ось, и представляющие две образующие для цилиндрической или конической поверхности и окружность для шаровой поверхности, являются конструктивными (задачи Ь9 с и d). Точки пересечения образующих поверхности и окружности сферы являются конструктивными (опр. 4). Окружность

сечения поверхностей, проведенная через одну из этих точек перпендукулярно оси, является конструктивной (задача а). Эта окружность является искомым сечением, так как принадлежит, очевидно, обеим пересекающимся поверхностям (черт. 28).

Чертеж 28

Данные поверхности пересекаются по двум окружностям, если радиус цилиндрической поверхности меньше радиуса шара или расстояние образующей конической поверхности от центра шара меньше радиуса шара. В случае равенства этих величин поверхности пересекаются по одной окружности — шар вписан в цилиндрическую или коническую поверхность, если же радиус шара меньше расстояния образующей поверхности от его центра, шар находится внутри поверхности.

Задача D. Найти пересечение двух данных шаровых поверхностей.

Решение. Окружности С и Q сечений данных шаровых поверхностей какой-нибудь плоскостью, проходящей через их центры, являются конструктивными (задача d). Точки М и N пересечения этих окружностей являются конструктивными (опр. 4), если они существуют. Окружность О сечения данных поверхностей плоскостью, проходящей через найденную точку и перпендикулярной их линии центров, является конструктивной (осн. задача 8 и задача d).

Эта окружность является искомым пересечением, так как принадлежит обеим поверхностям (черт. 29).

Задача имеет решение, если расстояние между центрами шаровых поверхностей меньше суммы их радиусов, но больше их разности. Если это расстояние равно одной из этих величин, шаровые поверхности касаются в одной точке внешним или внутренним образом. Если расстояние между центрами шаров больше суммы радиусов, шаровые поверхности не имеют общих точек.

Следовательно, все основные задачи с геометрическими образами (в элементарном курсе стереометрии) могут быть разрешены, если

Чертеж 29

принять систему указанных четырех определений. К этим основным задачам сводится решение всех других задач на построение в пространстве.

Рассматривая второе направление в решении вопроса о геометрических построениях в пространстве, с помощью изображения пространства по способу проектирования, проф. Н. Ф. Четверухин (в вышеуказанной статье) отмечает преимущество его перед первым направлением в возможности фактического осуществления построения известными чертежными инструментами (циркуль, линейка, угольник).

Эта возможность достигается применением методов начертательной геометрии для решения пространственной задачи на построение на плоском проекционном чертеже. Тем самым обоснование геометрических построений в пространстве устанавливается обоснованием геометрических построений на плоскости.

Проекционный чертеж, на котором фактически выполняется искомое построение, должен быть в отличие от иллюстративного чертежа таким, чтобы на нем определенными приемами могла быть решена как позиционная, так и метрическая задача на построение. В книге «Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии» проф. Н. Ф. Четверухин рассматривает теорию построения таких чертежей, а в журнале «Математика в школе» № 2 и № 3 за 1946 г. — практическое применение их в школьном преподавании.

ИТОГИ ПРИЕМНЫХ ИСПЫТАНИЙ в 1948/49 учебном году

ОБ ИТОГАХ ПРИЕМНЫХ ИСПЫТАНИЙ В ВУЗЫ И ТЕХНИКУМЫ

Итоги приемных испытаний в вузы и техникумы дают богатый материал, позволяющий судить о подготовке учащихся, оканчивающих среднюю и семилетнюю школу. Эти итоги убедительно показывают как достижения, так и недостатки в работе школы. Изучение требований, предъявляемых к абитуриентам вузами и техникумами, играет существенную роль в решении вопроса принципиального значения о согласовании школьного курса математики с потребностями вузов и техникумов. Имея в виду всю важность этих вопросов, редакция в настоящем номере помещает ряд статей о приемных испытаниях в 1948 г. в высших и средних специальных учебных заведениях различных профилей. В этих статьях основное внимание обращено на анализ ошибок абитуриентов, что дает возможность наметить конкретные методические мероприятия, направленные к устранению существующих недостатков в математической подготовке учащихся.

На основании результатов экзаменов в высшие учебные заведения можно отметить значительное улучшение подготовки учащихся за последнее время. В основной массе учащиеся, кончающие десятые классы, обладают твердыми знаниями теоретического материала и проявляют должную уверенность в технических навыках. Среди оканчивающих десятилетку незнание основных теорем и определений, а также грубые ошибки в преобразованиях в настоящее время не носят массовый характер и имеют место лишь как единичные явления.

Однако неуклонный рост качества знаний оканчивающих среднюю школу не может служить основанием для самоуспокоения.

Во-первых, высокие требования, предъявляемые к молодым специалистам, оканчивающим вузы, обусловливают повышение требований, которым должны удовлетворять поступающие. В свете этих требований недостаточно одного лишь усвоения фактического материала, необходимы высокая общая, а также и математическая культура, нужны навыки самостоятельной работы, умение сознательно применять полученные знания. Поэтому уровень знаний абитуриентов, который можно было считать достаточным несколько лет тому назад, теперь уже не может вполне удовлетворить высшие учебные заведения.

Во-вторых, при общем повышении состояния знаний оканчивающих школу, все же в подготовке учащихся имеет место ряд недостатков, носящих общий характер.

Одним из основных недостатков в знаниях учащихся все еще остаются пережитки формализма, борьба с которыми должна продолжаться с неослабевающей силой. Характерным признаком формализма можно считать следующее явление: учащиеся нередко формулируют теоремы и правила, но затрудняются, когда экзаминаторы предлагают «беглые вопросы», требующие некоторой сообразительности и умения сознательно применить полученные знания. Практический вывод ясен: «беглые вопросы» должны шире применяться в школе. При устном опросе и повторении пройденного нельзя ограничиваться воспроизведением заученных правил и теорем, а надо предлагать вопросы «на понимание», требующие сознательного усвоения предмета, умения самостоятельно мыслить и применять полученные знания на практике.

Среди учащихся еще сильны стремления применять при решении задач и примеров шаблонные приемы, несмотря на наличие достаточно явно видимых более рациональных способов решения. Надо признаться, что и среди части учительства существует тенденция культивировать (якобы в целях большей «систематичности») стандартные способы решения примеров и задач. Нельзя отрицать необходимость вырабатывать общие правила и стандарты, фиксировать общие руководящие нити. Этому нисколько не противоречит умение видеть в каждом случае упрощающие моменты и, пользуясь ими, находить наиболее рациональные пути решения. Практический вывод ясен: учитель должен всячески поощрять инициативу учащихся в поисках этих путей, должен показывать учащимся различные способы решения примеров и задач, предлагать им самим искать наи-

более целесообразные способы, воспитывая тем самым навыки самостоятельного творческого исследования.

Авторы статей отмечают, что учащиеся тверже знают материал старших классов по сравнению с материалом младших классов. В особенности это относится к арифметике. Оканчивающие десятилетку недостаточно владеют арифметическими методами, не обладают достаточно совершенными вычислительными навыками. Вычислительная культура нужна в практической деятельности работника любой специальности, поэтому недостаточно, чтобы учащиеся старших классов ограничивались рассуждениями лишь «в общем виде» и «на буквах», не умея довести результат «до числа». Вычислительные навыки, приобретенные в младших классах, должны не утрачиваться, а совершенствоваться в старших классах. Надо, чтобы учащиеся средней школы были знакомы с приемами приближенных вычислений, умели обращаться с числами, встречающимися в практике, а не только с числовыми данными, специально подобранными, «чтобы получилось по ответу». В старших классах средней школы, в связи с изучением элементарных алгебраических и трансцендентных функций, имеется богатый материал для самых разнообразных арифметических упражнений.

Как показывают результаты приемных испытаний, экзамены по алгебре дают в среднем лучшие результаты, чем по геометрии. Средняя школа должна уделять больше внимания развитию пространственных представлений учащихся. При решении задач по стереометрии за формальными вычислениями и преобразованиями не должна оставаться скрытой геометрическая сущность вопроса.

В курсе средней школы должна находить надлежащее отражение функциональная точка зрения. Недостаточно ограничиваться построением лишь графиков линейных функций и квадратных трехчленов, необходимо, чтобы учащиеся овладели простейшими приемами исследования элементарных функций и построения графиков. Особо важно последовательное проведение функциональной точки зрения при изучении тригонометрии. Среди части учительства еще живет архаичная точка зрения на тригонометрию как на своего рода сводку формул. В отрыве от исследования тригонометрических функций как функций числового аргумента вся «гониометрия» получает формалистическое освещение. В этом и следует искать одну из причин того большого количества ошибок экзаменующихся, которое падает именно на тригонометрию.

Наконец, авторы статей указывают на ряд вопросов школьного курса, по которым знания учащихся являются наиболее слабыми, таковы, например, следующие вопросы: понятие об иррациональном числе, решение тригонометрических уравнений и, в особенности, нахождение общего вида дуг, удовлетворяющих уравнению. Наибольшее количество нареканий падает на раздел «обратные тригонометрические функции». Надо полагать, что причина слабых знаний учащихся лежит не столько в трудности самого этого раздела, сколько в недостаточном усвоении общего понятия обратной функции и значения монотонности прямой функции кик достаточного условия существования обратной (однозначной) функции.

Итоги испытаний в техникумы показывают, что в отношении качества подготовки оканчивающих семилетняя школа значительно отстает от полной средней школы.

Одним из «узких мест» в курсе неполной средней школы продолжает оставаться арифметика. Затруднения вызывают вычисления с дробями простыми и десятичными, вычисления с процентами. Школа должна уделять больше внимания технике арифметических вычислений, устному счету, рациональным вычислительным приемам. Встречающееся среди поступающих неумение объяснить по «здравому смыслу» применяемое правило и неизменный довод — «нас так учили», неумение в стройной логической последовательности сформулировать вопросы при решении арифметической задачи показывают, что развитию логического мышления в курсе арифметики не во всех школах и не всеми учителями уделяется должное внимание.

Более ярко в семилетней школе сказывается формализм в знаниях учащихся по алгебре и геометрии. Нередко за догматически усвоенными теоремами и правилами, за готовыми рецептами учащиеся не видят сущность дела и становятся втупик, когда от них требуется сознательное объяснение сказанного или написанного. При изучении начал алгебры нельзя отрывать буквенной формулы от ее арифметического, числового, смысла. Обращение к конкретным числовым примерам (а не только к формальным преобразованиям) должно явиться одним из средств борьбы за сознательное усвоение алгебры, борьбы за преодоление «типичных» ошибок, как, например, (a -f-b)2 = а2 -\- Ь2.

Нельзя мириться с тем положением вещей, когда учащиеся воспроизводят доказательства геометрических теорем лишь на таких же чертежах и при тех же обозначениях, как в книге. Для сознательного усвоения геометрии важно, чтобы учащиеся умели построить элементы фигуры при различных ее форме и положении, умели проводить доказательства, пользуясь каким угодно, а не стандартным чертежом.

Нельзя не высказать сожаления по поводу тенденции некоторых вузов к воскрешению архаизмов, исключенных из программы средней

школы и уступивших место вопросам более важным в научно-идейном и общеобразовательном отношении. Так, например, в статье тов. Фишера как на недостаток в знаниях учащихся указывается на неумение решать возвратные уравнения, на неумение преобразовать «сложные радикалы» вида ]/А ■ \ - \/~в] на неумение пользоваться пятизначными таблицами логарифмов.

Что, кроме недоумения, могут вызвать такие нелепые примеры, как «решить уравнение: lg5 \gA lg3\g^x = — оо» (см. «Математика в школе», № 2 за 1948 г., статья Е. И. Пузановой), у абитуриентов, сознательно, на должном логическом уровне изучивших курс средней школы? Подобного рода требования лишь увеличивают количество незаслуженно полученных неудовлетворительных оценок.

Мы хотели бы слышать от поборников архаизмов в школьной программе ясного ответа, скажем, на такой вопрос: «Для чего, например, будущему инженеру так необходимо умение решать возвратные уравнения? В каких практических задачах встречаются эти уравнения и для каких разделов вузовского курса они так нужны?». Нет ничего плохого, если учитель в хорошо успевающем классе в виде упражнения покажет, например, формулу преобразования „сложного радикала", но отсюда не следует, что знание этой формулы надо включать в число обязательных требований.

Как известно, после всестороннего обсуждения программой средней школы приняты четырехзначные таблицы логарифмов, и, казалось бы, требования к абитуриентам должны определяться школьной программой, я не личным мнением экзаминаторов.

Наконец, вызывает сомнение ценность (как показателя знаний абитуриентов небезызвестных примеров на формальные преобразования, построенных по принципу «нагромождения трудностей». Нередки случаи, когда в письменных работах по геометрии «центром тяжести» оказывается не геометрическая сущность вопроса, а замысловатые приведения к «логарифмическому виду», общеобразовательная и практическая ценность которых весьма и весьма сомнительна. Мало показательны как критерий математической культуры поступающих излюбленные примеры «на бином» с нахождением традиционного Тп+\.

Нельзя пройти мимо указываемых авторами статей отдельных фактов безответственного отношения некоторых школ к правильной оценке знаний учащихся. Чем, как не безответственным отношением отдельных учителей, директоров школ и инспекторов к своим обязанностям, к своему долгу перед страной, можно объяснить случаи, когда учащиеся, имеющий высокие оценки в школьном аттестате, проявляет на экзамене незнание и непонимание предмета. Очковтирательству и погоне за фиктивной успеваемостью не место в нашей школе. Контролирующие органы народного образования и директора школ должны вести упорную борьбу с конкретными носителями этого зла.

Школа должна готовить для вузов и техникумов хорошо и отлично подготовленные контингенты учащихся.

О ПРИЕМНЫХ ИСПЫТАНИЯХ НА ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА в 1948/49 учебном году

П. С. МОДЕНОВ (Москва)

Приемные испытания по математике на физический факультет Московского университета в нынешнем учебном году свидетельствуют о неуклонно растущей подготовке учащихся средней школы по математике. И в письменных работах и на устных испытаниях по математике многие абитуриенты показали отличную подготовку, сознательное и глубокое знание предмета. Большинство абитуриентов хорошо владеют программой школьного курса, а многие отвечали на трудные вопросы экзаминаторов, требующие всестороннего знания предмета.

Неуклонно растет и техническая и логическая подготовка учащихся средней школы. Повышающиеся требования в высшей школе заставляют нас пожелать дальней него улучшения качества подготовки учащихся в средней школе.

Среди абитуриентов можно отметить немало и таких, которые владели материалом, выходящим за рамки школьного курса математики. Целый ряд участников Отечественной войны проявили себя на экзаменах с отличной стороны. Особенно следует отметить высокую сознательность,

дисциплинированность и организованность последних; эти качества они принесли и в университетские аудитории и тем самым оказали благотворное влияние на только что окончивших среднюю школу.

Конечно, в ряде случаев мы встретились и с неудовлетворительной подготовкой и с отдельными случаями нарушения дисциплины на экзаменах (об этом см. ниже).

В отличие от аналогичных статей, напечатанных в журнале «Математика в школе» (№1 за 1947 г. и № 2 за 1948 г.), в этой статье помимо образцов задач, предложенных на письменных испытаниях по математике, и рассмотрения отдельных ошибок абитуриентов мы приводим некоторые из весьма большого числа разнообразных вопросов, предложенных экзаминаторами на устных экзаменах.

На письменных испытаниях по алгебре было предложено 5 вариантов и по геометрии с тригонометрией 6 вариантов.

1. Решить систему уравнений:

2. Решить систему уравнений:

3. Решить систему уравнений:

4. Решить уравнение:

5. Решить систему уравнений:

х +у = 32, JC2 +-J/2 = 5^ хъ +уЪ — 9г.

6. Найти четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, зная, что сумма их равна 130, а сумма их квадратов равна 5044.

7. В каком отношении делит площадь правильного треугольника прямая, проходящая через середину стороны его и составляющая угол, равный а (0<>< <90°), с этой стороной?

8. Решить уравнение:

tg (* tg*)-=ctg(i:ctgA:).

9. В равнобедренном треугольнике длины боковых сторон равны а каждая, а длина отрезка прямой, проведенного из вершины треугольника к его основанию и делящего угол между равными сторонами в отношении 1:2, равна t. Определить площадь этого треугольника.

10. Радиус шара, вписанного в правильную 4-угольную пирамиду, равен г. Двугранный угол, образованный двумя соседними боковыми гранями этой пирамиды, равен а. Определить объем пирамиды, имеющей вершину в центре шара, а вершины основания в четырех точ ах касания шара с боковыми гранями данной пирамиды.

11. Доказать, что

tglO°-tg 50°.tg 70° = tg30°.

12. Расстояние между центрами двух кругов равно d. Общая внутренняя касательная их составляет с линией центров угол, равный а, а общая внешняя касательная их составляет с линией центров угол, равный (J. Определить радиусы этих кругов.

13. В правильной 4-угольной пирамиде через сторону основания, равную л, проведена секущая плоскость, делящая пополам двугранный угол при основании пирамиды, равный а. Определить площадь получившегося сечения.

14. Из точки А, лежащей вне круга радиуса г, проведены: касательная А В и секущая АС. Определить площадь треугольника АБС, если секущая АС наклонена под углом а к касательной АВ и проходит на расстоянии, равном d, от центра круга.

15. В правильной 3-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен а, а кратчайшее расстояние между боковым ребром и противоположной стороной основания (длина общего перпендикуляра) равно d. Определить объем этой пирамиды.

16. Решить систему уравнений:

Sln«JC+Sin«y ша 1,

sin (jc2) + sin (у2) = 0.

17. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 2а. В каком отношении делит площадь этого треугольника прямая, проходящая через середину высоты треугольника и наклоненная под углом р к продолжению основания его?

18. Сегмент круга вращается вокруг диаметра, проходящего вне сегмента и составляющего с хордой его, равной а, угол а. Определить объем полученного тела вращения.

19. Решить уравнение

20. В прямой круговой конус вписана 3-угольная пирамида, у которой плоские углы при вершине равны а, р и ]. Определить объем этой пирамиды, если объем конуса равен V.

Наибольшие трудности вызвали задачи по геометрии (в основном с технической стороны). В решениях задач по алгебре и тригонометрии большая часть ошибок носит уже принципиальный характер; ошибки эти объясняются все еще недостаточной логической подготовкой части абитуриентов, формальным восприятием ряда разделов, непониманием основных определений. Примеры подобных ошибок приводились нами в упомянутых выше статьях, и здесь мы позволим себе ограничиться дополнительно лишь одним примером.

Пример. Решить систему уравнений:

x-\-y = 3z, x2-{-y2 = 5z, x3 + y* = 9Z.

Некоторые абитуриенты начинали решать эту систему (без всяких объяснений?!) так:

x2 + yt=5Z9 — xy = 3—5z и т. д.,

причем запись формул велась в беспорядке, приводились совершенно излишние подробности элементарного характера и т. д. Но не в этом основная беда. Решение такой сравнительно простой системы не было доведено рядом абитуриентов до конца, и ими были допущены как в процессе самого решения, так и в окончательных результатах грубые принципиальные ошибки. В самом деле, если мы пишем уравнение:

а затем сокращаем на z и на х-\-у, то мы должны сделать оговорки: гфО и х-{-уфО, и таким образом случай 2=0 лучше всего выделить с самого начала. Итак, решение можно было бы начать так: предположим, что г = 0; тогда из уравнения х2-\-у2 = Ъг находим, хг-\-уг = 0, откуда х —у — 0. Подставляя х=0, у = 0, z = 0 в уравнения данной системы, убеждаемся в том, что они обращаются в тождества и, таким образом, х = 0, у = 0, 2 = 0 является решением данной системы. Исключая в дальнейшем это решение, заметим, что если гфОу то и х-\-уф0, а потому из первого и третьего уравнений данной системы будем иметь:

х*+у* 9z_ х+у ~ 3z

или

х2 — ху-\-у* = 3 ит. д.

Вследствие логически неполноценных рассуждений, некоторые абитуриенты и потеряли решение: л: = 0, у = 0у 2 = 0. Далее, оказалось (это выяснилось на устных экзаменах), что некоторые абитуриенты не могли даже дать и определения того, что называется «решением» системы; они понимали «решение» как «процесс отыскания неизвестных» (к этому фактически, в лучшем случае, сводились их ответы на этот вопрос), между тем надо было дать на предложенный вопрос такой ответ: «решением системы называется совокупность значений аргументов, входящих в систему, которая удовлетворяет данной системе» [как скажем выше, х = 0, у=0, £ = 0 есть решение (а не решения!) данной системы]. Здесь уже незнание определения. Это незнание так отражалось на выполнении письменной работы: абитуриент находил несколько значений лг, несколько значений у, несколько значений z и не указывал точно, в каких комбинациях эти значения л:, у, Z образуют решения системы.

Не будем здесь приводить всех выкладок, они в конце концов достаточно просты. Отметим только, что окончательный результат должен быть дан в форме:

*1 = 0, ^1=0, zx = 0;

*2 = 2, у2 = 1, z2= 1;

и так должны быть выписаны все решения данной системы. При проверке решений данной задачи мы не сомневались в том, что каждый абитуриент сумеет произвести все необходимые преобразования, но непонимание того, что собственно должно быть в конце концов найденоу сводило в ряде случаев на нет работу, порою столь тщательно выполненную. На примере решения этой задачи видно, как важно дать учащемуся достаточную логическую подготовку и как важно чётко владеть определениями.

Как нам кажется, причины подобных ошибок в алгебре и тригонометрии кроются в том, что отдельные преподаватели считают, что геометрия должна научить ученика рассуждать, доказывать, а роль алгебры и тригонометрии чисто техническая. На наш взгляд и техническая сторона дела и логическая в равной мере должны быть развиваемы на уроках и по алгебре, и по геометрии, и по тригонометрии Один из преподавателей средней школы рассказал нам, что когда в этом году, явившись впервые в новый для него класс, он на уроке по алгебре произнес слово «теорема», то один из учеников сказал: «Но ведь у нас сейчас не геометрия» (?!).

В целом ряде случаев абитуриенты не представляли себе, что в алгебре надо что-то доказывать, вводить определения и т. д. Следует отметить слабое владение методом математической индукции, который с успехом применяется в целом ряде доказательств теорем алгебры.

Вот почему иногда очень простые вопросы по алгебре и тригонометрии на устных испытаниях вызывали непреодолимые затруднения (см. ниже).

В ряде случаев работы были очень плохо оформлены. Мы уже писали (см. журнал «Математика в школе» № 2 за 1948 г.) какие требования мы предъявляем к оформлению письменных работ по математике. Не будем повторять этого.

Вот страница из работы абитуриента Д., окончившего школу № 277 г. Москвы в 1948 г.

3. Решить уравнение:

tg(i5tgx) = ctg cigx).

tg — отвлеченное число (?!) it — отвлеченное число (!?)• Следовательно (?!), ntgx тоже есть отвлеченное число, значит угол выражен в радианах, tg какого-нибудь угла может тогда

равняться ctg, когда они имеют одинаковый знак и разность их составляет 180° (в случае углов, не превышающих 360°). Следовательно:

Здесь сочетаются непонимание существа дела с неудовлетворительным оформлением работы.

Интересно отметить, что указанный абитуриент никак не мог понять своих ошибок, утверждая, что работы выполнены не плохо, что в школе он имел похвальные отзывы по математике (?!), и т. д.

Все это свидетельствует о некритическом отношении к своим знаниям, о невнимательном и несерьезном отношении к учебе. Такие случаи не были единичными.

Мы приведем теперь решение тригонометрического уравнения tg (тс tg х) = ctg (тс ctg х) и изложим это решение примерно так, как следует это делать в письменных работах. Решить уравнение:

tg(Tt tgX)=Ctg(TC ctgx).

Перепишем данное уравнение так:

Для того, чтобы тангенсы двух аргументов:

были равны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

где k — любое целое число. Последнее уравнение после упрощений принимает вид:

или

Так как | sin 2х | 1 и sin 2л: = j-^t^ > т0

так как k — целое число, то k может быть любым целым числом, кроме 0,1, — 1 и — 2. Из соотношения

находим:

и окончательно:

где k — любое целое число, кроме 0 и 1, — 1 и — 2, и п — любое целое число.

Приведем еще решение одной из задач. 2. Решить уравнение:

Перепишем данное уравнение в виде:

или

Отсюда

или

Решая это уравнение, получим:

Подставляя эти значения х в начальное уравнение, убедимся, что х = является корнем данного уравнения; х = g- не является корнем данного уравнения, так как выражение Ах— 15, стоящее под знаком логарифма, при 25

х = -§ отрицательно, а отрицательные числа не имеют логарифмов (речь идет о «десятичных» логарифмах). Посторонний корень появился потому, что lg а2 *=* 2 Ig | а |, а мы в процессе решения уравнения заменили 21g(4*-15) на lg(4х—15)2.

Устные испытания проводились по программам, которые помещаются у нас ежегодно в справочниках для поступающих в высшие учебные заведения. В билет, который получал абитуриент для подготовки к ответу, включалось 2 — 3 вопроса из основных разделов программы, и абитуриенты, добросовестно и тщательно изучившие школьный курс математики, в большинстве случаев справлялись с ответами на вопросы, поставленные в билетах. Однако, помимо ответов на эти вопросы, экзаминаторы предлагали вопросы и сне стандартные», чтобы выяснить глубину усвоения курса абитуриентами, умение владеть фактами, известными абитуриентам из курса средней школы, умение применять эти сведения к решению задач, и т. д. Конечно, все это к моменту «устной беседы» было в некоторой степени уже известно экзаминатору. Мы в своей практике обнаружили (это хорошо понимают и абитуриенты!), что «беглые вопросы» по курсу, вопросы «на понимание» основных определений, вопросы логического порядка, задачи — не очень сложные, но и не тривиальные и т. д. — очень ясно раскрывают перед экзаминатором степень математического развития абитуриента, а у абитуриентов эта часть испытаний по математике вызывает чуть ли не наибольшие трудности. В ряде случаев такие дополнительные вопросы были очень трудными,— это в тех случаях, когда для экзаминатора было ясно, что абитуриент подготовлен очень хорошо и что его следует специально отметить среди остальных. Часть из этих вопросов мы приводим ниже. Большинство вопросов оставлено без ответов. Пусть читатель, если он готовится к приемным испытаниям, попробует свои силы на этих вопросах. К части вопросов (в большинстве случаев сложных) даны ответы или указания на ответы.

1. Решить уравнение tg(x2) = 1.

2. Построить график функции у = 2 ^~х.

3. Уравнение lg(A:2) = lg4 имеет, очевидно, 2 корнь: хг = 2 и х2 =—2. Будем его решать так:

\g(x*) = lg(2*), 2\gx = 2 lg 2, lgx= lg2, x = 2; где потерян корень x = —2?

4. Решить уравнение х = arc sin sin x (ответ: все значения лс, удовлетворяющие условию:

— "2"<^< If)-

5. Указать все значения х, при которых в формуле

sin х = ± j/l — cos2л;

в правой части надо брать знак-]-, и указать все значения ху при которых в этой формуле в правой части надо брать знак —.

7. Найти все значения х, при которых многочлен

(х — l)(x — 2) (X — 3) (х — 4) (Х — 5)

положителен.

8. Будет ли соотношение

. a Sin а

~ 1 — COS а

верно при всех значениях а?

9. Найти линию, на которой располагаются середины отрезков данной длины, концы которых лежат на двух скрещивающихся прямых пространства (трудный вопрос! — ответ окружность).

10. При каком условии система уравнений:

a1x-\-b1y = cv

a2x + b2y = c2

1) совместна? 2) несовместна? 3) определенная (т. е. имеет и притом только одно решение)? 4) неопределенная (т. е. имеет бесконечное множество решений)?

11. Найти все решения двух уравнений тремя неизвестными:

2x + y + 3z = 0,

3^4-5^+0 =0.

12. Дана система линейных уравнений:

a1x-\rbly = c1, a2x-\-b2y = c2,

причем агЬ% — а2ЬгфО. Будем «решать» эту систему любым методом (например, методом «сложения и вычитания»). В результате получим:

х _ с\ьъ — bic2 __ а^с2 — а2с1

d\b<i — л2Ь\ ^ а^Ъъ — a2bi *

Надо ли проверять, удовлетворяют ли указанные значения х и у начальной системе? [Очень трудный логический вопрос! Сознательный ответ на него может дать абитуриент, тщательно изучивший теорию систем линейных уравнений (двух, с двумя неизвестными)].

13. Доказать формулу Рп = п\ для числа перестановок из п элементов методом полной индукции.

14. Решить уравнение:

sin х = | sin х I .

15. Доказать, что диагональ и сторона квадрата несоизмеримы.

16. Будет ли верно равенство:

cteX==ibr

при всех значениях х?

17. Найти все значения х, при которых каждое из нижеследующих выражений является действительным числом:

lg О-*),}/"-7*5. ^Igsinx и т. д.

18. Даны две точки А и В (на плоскости) и число К На какой линии располагаются точки плоскости для которых

= & («окружность Аполлония»!)

19. Найти все точки плоскости, из которых данный отрезок виден под данным углом (ответ: части двух окружностей, для которых данный отрезок служит общей хордой, причем концы указанных дуг окружностей — исключены).

20. Где расположены точки плоскости, для которых

i*i=i

(Z— комплексное число; речь идет о точках плоскости, соответствующих комплексным числам).

21. Где расположены точки плоскости, для которых

arg z = c

(см. предыдущий вопрос; с —заданное число; arg z — аргумент z).

22. Решить систему:

М + М=2.

23. Доказать неравенство:

/(«2- *l)2+(*2-*!)* + + / (Ош- *i)8+№>-*l)e> >У(Яз-*2)2+(*3-*2)2-

24. Стороны треугольника суть 3,4 5. На основании какой теоремы можно утверждать, что этот треугольник прямоугольный (многие ошибались, отвечая на этот «простой» вопрос!)?

25. Доказать, что

(1+а/>1+вг,

где а^> — 1, а г — любое рациональное число (неравенство Бернулли).

Приведенными вопросами мы далеко не исчерпали всех вопросов, какие предлагались экзаминаторами.

В нашей школьной учебной литературе нет сборников подобного рода вопросов «на понимание», а такие сборники безусловно нужны. Составление таких вопросов принесло бы большую пользу школе, как как «беглые» (пусть даже простые) вопросы, не осложненные техническими деталями (а перегрузка этими деталями за счет идейного содержания у нас еще в ряде случаев имеет место), помогут изжить формальное восприятие знаний.

Приведу в заключение один из весьма сложных вопросов логического порядка.

26. В треугольниках ABC и А'В'С имеем:

АВ = А'В\ АС = А'СУ ^ ABC = ^ А'В'С. «Докажем», что эти треугольники равны. Приложим треугольник А'В'С к тр угольнику ABC так, чтобы сторона А'С совместилась со стороной АС и пусть при этом точка В' упадет в точку В". Соединим точки В и В". Тогда: АВАВ" — равнобедренный, так как АВ = АВ". Значит, ^ ABB" = АВ"В. Но ABC = АВ"С, значит, ^ СВВ" = = ^ СВ"В, следовательно, кВСВ" тоже равнобедренный, а потому ВС = СВ" и ЬАВ"С — = &АВС (по трем сторонам). Но ДЛ£"< = =ЬА'В'С\ следовательно, &АВС=ЬА'В'С\ и теорема «доказана». Между тем школьнику должно быть известно, что указанное положение неверно (т. е. если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого и угол, противолежащий одной из этих сторон, равен соответствующему углу во втором треугольнике, то такие треугольники могут быть и не равны!). Таким образом, в приведенном «доказательстве» есть ошибка. Найти эту ошибку!

О ПРИЕМНЫХ ИСПЫТАНИЯХ В МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

В. Н. МОЛОДШИЙ (Москва)

Как и в прошлом году, все билеты для письменных экзаменов содержали четыре задачи.

1. На составление квадратного уравнения.

2. На решение логарифмического уравнения, или на решение неравенства, или на разложение многочлена на множители.

3. На определение объема или площади поверхности тела (с применением тригонометрии).

4. На решение тригонометрического уравнения.

По сравнению с прошлым годом билеты для письменных экзаменов были несколько труднее.

Переходя к качественной характеристике письменных испытаний, необходимо указать, что из четырех задач геометрическая и тригонометрическая показались поступающим наиболее трудными.

В сравнении с прошлым годом в знаниях по алгебре заметен шаг вперед: большинство хорошо составляет и решает алгебраические уравнения, удовлетворительно проводит преобразования; составление уравнения вполне обосновано, проверка решения сделана на основании условий задачи, а не просто по уравнению; техника решения тригонометрических уравнений—умение оперировать тригонометрическими формулами—по сути осталась без изменений; техника решения геометрических задач несколько слабее.

Из недостатков в знаниях поступающих, обнаруженных на письменных испытаниях, необходимо отметить следующие.

Поступающие лучше знают материал X класса, чем материал младших классов. Благодаря этому они порой скорее решают более трудные задачи, чем легкие. Например, оказалась трудной такая простая задача: «Три дюжины мандаринов стоят столько рублей, сколько дают мандаринов на 16 руб. Сколько стоит дюжина мандаринов». Причина ясна: функциональные связи, на рассмотрении которых основано решение этой задачи, учащиеся проходили в V классе.

Поступающие владеют навыками в решении задач не только определенного типа (по способу решения), но и определенного содержания. Поэтому задачи того же типа, но с иным содержанием вызывают у них затруднения. Например, задачу на наполнение бассейна двумя трубами решают почти все. Аналогичную задачу на совместную работу решить затрудняются.

Объясняют так: с Такие задачи мы не решали».

При преобразованиях видно стремление выполнять их по шаблону, благодаря чему часто цель достигается не кратчайшим путем, а порой и совсем не достигается. Так, разложение на множители выражения

ab (а — Ь) — ас (а + с) + be (2а + с — 6)

поступающие производили раскрытием скобок с последующей перегруппировкой членов; проще, конечно, представить последний множитель в виде двух слагаемых:

2а + £ — b = (a — Ь) + (а-\-с)

и затем группировать.

Характер ошибок при решении геометрических задач крайне разнообразен. Частью поступающие ошибались в вычислениях или преобразованиях (хотя задача была понята и решение намечено правильно). Но были ошибки и иного рода: задачу или не понимали, или не умели довести ее решение до конца. Чаще всего имели место трудности последнего типа.

Так, например, для нахождения объема пирамиды было необходимо по ее поперечному сечению определить высоту х\ были известны а и Ь (черт.) и то, что а:(3 = 2:1. Многие эту промежуточную задачу не решили. Некоторые из них рассуждали так: «Если a: {J == 2:1, значит (?) а = 60° и р = 30%.

Ошибки при решении тригонометрических уравнений были традиционными. Только небольшой процент поступающих не мог правильно наметить путь решения уравнения. Но многие теряли корни или не могли найти общий вид корней. Потеря корней обусловливалась двумя причинами: сокращали на выражения, содержащие неизвестное, или, что было чаще, процесс решения вели так:

sin пх = а;

пх = arc sin а;

Тригонометрические уравнения решались часто не простейшим способом. Например, уравнение sin х = sin 2х некоторые решали с помощью формулы

sin а — sin р = 2 cos -^у-^ sin-а~^ .

Указанные недостатки в знаниях особо рельефно проявлялись у тех лиц, которые не выдержали письменного экзамена. Они совершенно отсутствовали у тех, кто получил «отлично» и «хорошо». Таковых было не мало: из 240 чел., сдававших письменные экзамены, 11% получили оценку «отлично», 19%—«хорошо», 48% «посредственно».

Устные испытания показали, что знания теории у поступающих в этом году не ниже, чем в прошлом, а в отдельных вопросах и лучше. Основные теоремы арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии доказывались большинством верно. Знание вопросов, необходимых для прохождения курса высшей математики, несколько лучше. Однако эти сдвиги еще нельзя считать «пределом». Как и в прошлом году, устные испытания показали, что в знаниях оканчивающих школу имеются пробелы, относящиеся преимущественно к пониманию основных вопросов элементарной математики. Вот примеры, подтверждающие сказанное.

В прошлом году экзаменующиеся порой затруднялись сформулировать теорему, обратную данной, не точно передавали содержание аксиомы параллельных и т. п. В этом году с этими вопросами дело обстояло лучше. Но, как и в прошлом году, многие не могли дать точных определений основных понятий. Как найти площадь прямоугольника, объем шара и т. п. — это знали все. Но что такое площадь прямоугольника, объем шара и т. п. — эти вопросы затрудняли очень многих.

Классификация чисел многим неясна. Об иррациональных числах поступающие знают мало. По сравнению с прошлым годом экзаменующиеся оперируют с комплексными числами много лучше, но более сложные задачи вызывают затруднения. Так, например, один из экзаменующихся затруднялся представить в тригонометрической форме число —^ , так как не догадался привести его сначала к виду а -\-Ы.

Как и в прошлом году, с уравнением вида Л (*)•/*(*)••• fn(х) = 0 поступают просто: считают, что все корни уравнений: f1(x) = =0,..., fn (х) = 0 являются корнями и исходного уравнения. Обосновывают это так: «Если один сомножитель равен нулю, то произведение также равно нулю».

Графики функций знают лучше. Почти все строят графики функций: у = ах-\- Ь, у = ах*9 ху = а, у = ах, у = log х, у = sin х, у = cos х, y = tgx, y = ctgx.

Но все это лежит в памяти «мертвым грузом». Даже глядя на график логарифмической функции, многие затруднялись ответить, какой из двух логарифмов больше: log2 1,7 или log2 1,9. Решать графически уравнения никто не умеет.

Неравенства усвоены недостаточно.

Как в прошлом году, так и в этом многие экзаменующиеся говорили, что а0 = 1 при любом а у что оо «больше любого числа», что равенства: а~п = — , У*ат = ап «можно доказать».

Недостаточно усвоена многими теория логарифмов.

Экзаменующиеся обнаружили недостаточное представление о комбинациях геометрических тел (можно ли в наклонную пирамиду вписать шар, в усеченный конус — шар, и т. п.).

Из тригонометрии два вопроса, как, впрочем, и в прошлом году, усвоены недостаточно. Хотя в этом году экзаменующиеся знают, что sin 5— это синус пяти радианов, а не пяти градусов, но обращаются с понятием радиана недостаточно уверенно. Экзаменующиеся плохо знают теорию аркфункций; как правило, имеющиеся у них знания не умеют применять на практике.

Из 189 человек, прошедших устные испытания, 14% получили оценку «отлично», 34% — «хорошо» и 44% — «посредственно».

О ПРИЕМНЫХ ИСПЫТАНИЯХ В УРАЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. С. М. КИРОВА

В. А. КОЧЕВ (Свердловск)

К испытаниям по математике было допущено 1200 человек, из них выдержали испытания 1070 чел., не выдержали 130 чел.

Письменные экзамены по математике дали следующие результаты:

Держали экзамены

Оценки

% неудовлет. оценок

% повышенных оценок

5

4

3

2

1200 чел.

293 139

374 306

342 419

191

336

16

28

55,5 37,1

В этой сводке числитель означает данные, относящиеся к работе по алгебре, а знаменатель— к работе по геометрии и тригонометрии.

В 1947 г. процент неудовлетворительных и повышенных оценок характеризовался (соответственно) следующими цифрами:

19,4% 48,8% 34,4о/о И 39,5%'

Из приведенной сводки видно, что процент неудовлетворительных работ по алгебре ниже, а процент повышенных оценок выше, чем по геометрии. Отсюда следует, что поступающие более успешно решают задачи по алгебре, чем по геометрии и тригонометрии.

Письменные испытания показали, что многие не справляются с решением задач по тригонометрии, а также с решением и исследованием простейших трансцендентных уравнений.

Уместно отметить случаи, когда один и тот же поступающий дал отличную работу по алгебре и совершенно неудовлетворительную по геометрии с тригонометрией. Такого рода несоответствие нами проверялось во время устных испытаний и, как правило, выяснялось, что поступающий, зная хорошо алгебру, плохо знает геометрию, особенно тригонометрию.

Основные ошибки в работах — это неумение упрощать алгебраические выражения, решать задачи из стереометрии с приложением тригонометрии, решать тригонометрические уравнения и т. д.

Приведем для примера задачи двух вариантов по алгебре.

I.

1. В производстве некоторого количества деталей на заводе приняли участие на 2 станка больше и на каждом станке было изготовлено поэтому на 15 деталей меньше, кем намечалось ранее. После того, как 40% работы было сделано, каждый станок должен был произвести еще 36 деталей. Сколько всего деталей было изготовлено?

2. Упростить выражение:

3. Решить уравнение: 521£зКод* =

4. В разложении бинома

(У* + j^-Y*21-u и 22-й клены равны друг другу. Найти х.

Поступающие в большинстве быстро и правильно решили 1-ю задачу, но долго упрощали алгебраическое выражение в задаче №2, с трудом справились с задачами № 3 и 4.

Более половины из числа решавших этот вариант не смогли найти числовое значение для неизвестного в четвертой задаче, главным образом из-за того, что не сумели правильно написать члены разложения, указанные в задаче.

II.

1. Одновременно из пункта А по направлению к В выходят пешеход и троллейбус. Через t минут (t = 20 мин.) пешеход встретил троллейбус, возвращающийся из В, а еще через один километр от места встречи троллейбус нагнал его. Определить скорости пешехода и троллейбуса, если известно, что АВ = S=6 км.

2. Упростить выражение.

3. Решить систему уравнений:

4. Написать средний член разложения (|/2 — 1^2 )ш, если известно, что увеличение

показателя бинома на 3 единицы вызовет увеличение суммы биномиальных коэфициентов положительных членов разложения на 448.

Ответ задачи № 1 просто получается, если решение провести в общем виде. Так, если х — скорость пешехода, ay — скорость троллейбуса, то получается система:

решая которую получим выражения неизвестных в общем виде:

Отсюда легко получаются численные значения неизвестных: при *=-т" часа» 5 = 6 км. Ни один из решавших этот вариант не попытался решать эту задачу в общем виде, а некоторые даже не справились с составлением системы уравнений. В примере № 2 подавляющее большинство ошиблось при приведении дробей к общему знаменателю внутри квадратных скобок и при перемножении радикалов. Произошло это потому, что поступающие не осмысливают план решения задачи; следовало бы представить корни из двучленов в виде степеней.

При решении задачи № 3 многие не справились с ней только потому, что после подстановки получили биквадратное уравнение и не сумели его правильно решить.

Приведем образцы вариантов контрольных работ по геометрии и тригонометрии.

I.

1. На общем основании построены два прямых конуса: один внутри другого так, что их вершины находятся друг от друга на расстоянии а. Определить объем, ограниченный коническими поверхностями обоих конусов, если угол при вершине осевого сечения большего конуса равен а, а меньшего равен [}.

2. Найти радиус г вписанной в прямоугольный треугольник окружности по углу а и биссектрисе прямого угла т.

3. Решить уравнение: tg(x-\-а.) tg(x—$)z=l.

а п л sin В + sin С

4. Показать, что если sin А = -^--^,

cos В cos С

то треугольник ABC прямоугольный.

В ходе решения 1-й задачи многие не справились с определением вспомогательных отрезков, особенно тогда, когда надо было неизвестный отрезок выразить через другой и какую-либо тригонометрическую функцию.

При решении задачи № 3 многие пришли после преобразований) к уравнению:

cos (2лг + а — р) = 0,

но решили его неверно, взяв общий вид углов в форме

лг=4тгА;±7г4-2(а- Р),

вместо

Очень немногие справились с задачей № 4 из-за слабого знания тригонометрии, хотя решение задачи весьма простое.

II.

1. Ромб со стороной а вращается вокруг оси, которая проходит через вершину тупого угла р ромба, не пересекает площадь ромба и образует с его стороной угол а. Найти поверхность полученного тела вращения.

2. Зная боковую сторону а и угол а при вершине равнобедренного треугольника, найти площадь, ограниченную основанием треугольника и высотами, опущенными на его боковые стороны.

3. Решить уравнение

4. Вычислить выражение

Условие задачи № 1 не было понято многими поступающими и писавшими этот вариант. Те же, которые разобрались в условии задачи, представили решение весьма громоздким. Часть допустила большое число ошибок из-за неправильного чертежа.

Задача № 2 была решена подавляющим большинством правильно и быстро. Задача № 3 была решена, но не до конца. Не было написано большинством правильное выражение общего вида углов, удовлетворяющих заданному уравнению. Задача № 4 оказалась весьма трудной почти для всех писавших этот вариант. Обращение с аркфункциями непростительно слабое у всех выпускников средних школ.

Результаты устных экзаменов по математике видны из следующей сводки:

Опрошено

Оценки

Отл.

Хор.

Поср.

Неуд.

%% неуд.

%% повыш. оценок

1100

99

355

516

130

11,8

39,4

В 1947 г. мы имели неудовлетворительных оценок 9,6%, повышенных 35,8%.

В основном, по устным экзаменам можно отметить, что поступающие в этом году показали несомненный рост общей математической культуры по сравнению с поступающими в прошлые годы. Улучшение качества подготовки выпускников средних школ по математике относится, прежде всего, к технике счета, что является одним из наиболее слабых мест в подготовке студентов. Навыки в преобразованиях у поступавших в этом году выше, чем у поступавших в прошлом году. Значительное большинство показало неплохое знание теории.

Заметно, что в курс средней школы вводится понятие функции, хотя еще не во всех школах и не всегда в должной мере.

Однако в подготовке учащихся средних школ по математике имеют место и недостатки. Прежде всего надо отметить слабое знание тригонометрии. Многие с трудом определяют основные тригонометрические функции, не умеют определять обратные тригонометрические функции, не знают основных соотношений между тригонометрическими функциями, формально усвоили формулы приведения, не имеют ясного представления об изменении тригонометрических функций; тригонометрические уравнения решают формально, до конца решения не доводят, общий вид углов, удовлетворяющих заданному уравнению, записывать не умеют. Судя по характеру ответов, в ряде школ на тригонометрию смотрят как на сводку формул, иногда полезных при решении геометрических задач.

Весьма ощутим формализм в преподавании некоторых разделов математики в школе. Поступающий нередко на память формулирует правила, теоремы, следствия, но зачастую становится беспомощным, когда ему предлагают пример, решающийся с помощью только что сформулированного правила. Например, всем известно определение логарифма, но многие не могут упростить выражение lO1^3 или решить уравнение lg10lg10 *=0. После формулировки теоремы синусов экзаменующийся не может найти стороны треугольника с углами в 30°, 60°, 90° и с периметром 24 м и т. д.

Приведу несколько примеров из устных ответов поступающих:

1. Абитуриент П. (Н. Тагил) при нахождении sin а по sin 2а делит значение синуса на 2.

Другой абитуриент П. (Н. Тагил, ШРМ) при нахождении sin-^j- делит sin а на 2, при cosjc= = не смог найти х и привел такое рассуждение: «так как J/^-g-< 1, то cos х должен быть больше 1» (?)

3. Абитуриент М. (г. Молотов, СШ № 9) рассуждает так: «Из уравнения cos ^-^—a:J=0 имеем-^--х = 0° или х — Зх= 1, то Х=--\-» (!?)

Подобные ошибки были и у других поступающих.

4. Абитуриент С. (г. Свердловск, СШ № 12) вичислила выражение

А = ±«с arcslnl

arc cos (--2* )

так:

~~ т805" 1205 ~~ 3^" +1^ ~~ ~Т5~" 1 8>>

5. Абитуриент Д. (Ишим, Тюменской обл.) не смог построить углы, если дано tga==5, не дал четкого определения тангенса, не знает периодов тригонометрических функций, туманно представляет себе формулы приведения. В аттестате зрелости он имеет оценки по математике: 4, 4, 5. Вообще, с графиками простейших функций в средних школах дело обстоит неудовлетворительно. Многие не умеют начертить графики прямой и обратной зависимости двух величин, синусоиду, косинусоиду и т. д.

Несколько лучше по сравнению с прошлыми годами поступающие владеют формальным» навыками в области алгебры. Однако имеют место случаи, когда поступающий не может решить даже квадратного уравнения. Так, например: 1) Абитуриент С. из г. Чусовая, Молотовской обл. (СШ № 25), решая (после 15-минутного размышления) квадратное уравнение х2-{-л;-{-1=0, пишет ответ:

В аттестате он имеет оценки по математике: 3, 4, 4.

2. Абитуриент С. (г. Магнитогорск) не смогла рассказать четко порядок исследования системы линейных уравнений с двумя неизвестными, не смогла решить простые логарифмические уравнения, хотя в аттестате у нее стоят оценки по математике: 4, 3, 4.

Судя по ответам других поступающих из Магнитогорска, следует отметить, что школы этого города плохо готовят своих выпускников по математике.

3. Абитуриент К. (из шк. Полевское, Свердловской обл.) не смогла составить квадратное уравнение по заданным корням: л: = ±Ь от" ветив при этом, что «такого уравнения не может быть». Она же не смогла решить тригонометрическое уравнение |/з sin х — cos х=^

не вычислила ctga, если дано tga=—1,5, и т. д.

В аттестате у нее стоят оценки по математике 4, 4, 4.

4. Абитуриент Л. (СШ г. Верхотурье, Свердловской обл.) не смогла правильно решить двучленное уравнение хъ -f-1 = 0, плохо знает комплексные числа, совершенно не может решать задачи из теории соединений в алгебре. Хотя она в аттестате имеет оценки по математике: 4, 4, 4.

Подобные примеры можно было бы продолжить. Эти пробелы в подготовке выпускников говорят о том, что борьба с формализмом в знаниях учащихся должна продолжаться с неослабевающей силой. Немаловажное значение приобретает борьба с либерализмом в оценке знаний выпускников средних школ.

Следует еще отметить весьма крупный про" бел в работе средних школ, да и не только средних,— это полное отсутствие знакомства учащихся с элементами истории математики , а наши выпускники должны быть знакомы с корифеями русской математической культуры— Н. И. Лобачевским, П. Л. Чебышевым, С. В. Ковалевской, И. М. Виноградовым и др. К сожалению, мы должны констатировать печальный факт, что из опрошенных нами более 500 человек почти никто не смог ответить, кто был Лобачевский, не говоря уже о том, что он сделал в науке. Элементы формализма, имеющиеся в преподавании элементарной математики в школах, в значительной степени объясняются тем, что преподаватели не используют богатый исторический материал по своему предмету.

О ПРИЕМНЫХ ИСПЫТАНИЯХ В МОСКОВСКИЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ

Д. А. ФИШЕР (Москва)

Письменная работа по алгебре и арифметике содержала задачу обычного типа на зависимость между скоростью, расстоянием и временем и три примера. Первый пример был дан на бином Ньютона (например, нахождение члена, содержащего х в той или иной степени) или на применение теории соединений, или на решение уравнений высших степеней (возвратного 4-й степени или с подбором одного-двух целых корней), второй пример требовал найти логарифм составного числа (например, 35) по логарифмам простых чисел (например ,2 и 7), наконец, третий пример был из арифметики на нахождение неизвестного из равенства, содержащего обыкновенные и десятичные дроби, например:

j[(|__i^£).8-0,6]:A}4-i

На решение задач и трех примеров давалось четыре астрономических часа. К концу срока лишь отдельные экзаменующиеся успели справиться с заданием. Подавляющему большинству экзаменующихся времени нехватало!

По геометрии с тригонометрией давалась задача на определение объема тела вращения, один пример простейшего типа на решение тригонометрического уравнения и пример на подсчет произведения из трех-четырех множителей при помощи логарифмических таблиц. На эту работу тоже давалось четыре часа (астрономических). Неудовлетворительные оценки по письменным работам (в рассматриваемом потоке) получили 28% державших экзамены.

Отличных работ было 19,3%.

Вот ряд примеров, взятых из работ абитуриентов.

1. Дано: lg2 = 0,30103 и 1^7 =0,84510, нужно определить lg 35. Некоторые из экзаменующихся требуют предоставления им таблицы логарифмов, так как «наизусть» не знают логарифма 35! Другие, догадавшись разложить 35 на 5 и 7, не знают лишь, с откуда достать» lg5! Слышатся такие реплики: «Мы привыкли к четырехзначным таблицам Брадиса, но не умеем обращаться с пятизначными».

2. Ниже приводятся три «варианта» решения такого примера: Ю1** * -f- хх% х = 20. Решения начинаются словами: «Прологарифмируем каждый член. Получаем: \g2x lglO-J-lgjr \gx = = lg20». Далее следуют индивидуальные изощрения: у одних: 21g2jc — lg20. Производится сокращение на lg и получается 2 1gA: = 20; lg х = 10; х = 1010 (Раменская СШ Московской области, 1948 г.); у других: lg2* (lgl0-{-l) = ~lg20. Но логарифм 20=2, следовательно, Ig2jc(lgl0 + 1) = 2 или lg2 х = 2~~j~j ™1 и т. д.; у третьих: lg2 *-f~'g2 х = lg 20, откуда 2 lg2 х= = lg 20, а при сокращении на 2 получаем lg2 л: = lg 10 или lg*x=l ит. д.

3. Возвратные уравнения 4-й степени вовсе не были решены (выяснилось со слов учащихся,

что в школах возвратные уравнения не проходились), а часть абитуриентов решила уравнение методом подбора корней (в случае целых корней). Характерно, что частное от деления многочлена на (х — а) абитуриенты получали непосредственным делением. Знакомства с получением частного по способу Горнера или путем группировки с оставлением в скобках множителя (х — а) ни у кого не обнаружено.

4. Систему двух уравнений, которую легко решить при помощи замены — = — и — = v, никто не решил этим способом.

5. Арифметический пример весьма многих завел в тупик. Многие приводили к одному знаменателю выражение, содержащее х в одной скобке, и получали впоследствии «дикие» дроби. Лишь отдельные экзаменующиеся пользовались соотношениями между результатом и компонентами действий.

Почти все сопроводили решение задачи с численными данными длинным и путаным «исследованием корней» полученного решения.

6. Решение задачи на определение объема тела вращения обнаружило (по словам многих экзаменующихся), что в школах на этот раздел задач не решали. Во всяком случае, полная беспомощность у многих была налицо.

7. При решении тригонометрических уравнений обнаружилась склонность многих пользоваться таблицей формул (что якобы в школах им разрешалось): нельзя де всю массу» формул тригонометрии запомнить наизусть. Решение однородных относительно синуса и косинуса уравнений приведением к тангенсу известно немногим. Особые затруднения чувствовались при решении уравнения вида

a sin х 4- b cos х= с, где сфО.

8. Недостаточно понята многими сущность общих формул углов, имеющих данный синус, косинус и т. д.

9. Не всеми твердо усвоена практика логарифмирования при помощи таблиц. При вычитании логарифмов с отрицательной характеристикой и сложении отрицательных логарифмов попытка сделать мантиссу положительной удавалась немногим. Во многих работах фигурируют логарифмы синуса и косинуса с положительными характеристиками.

Многих не смущала необходимость брать логарифм отрицательного числа (например, tg 165°), иные просто игнорировали знак, а некоторые вычитали такой логарифм.

Устный экзамен происходил по билетам, включавшим по одному вопросу (теоретического характера) из арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии.

Несложные задачи предлагались вне билета. Устный опрос преследовал цель выявления знания теоретического материала, а также общей математической культуры поступающих. Слов нет, были отличные ответы, доказывающие отчетливое усвоение программного материала и высокую степень математического развития. Такие ответы дали 45 чел., что составляет 15% общего числа державших устные экзамены. Были и вполне удовлетворительные (хорошие) ответы в 116 случаях, что составляет 38%. Остальные 47% посредственных и плохих ответов подтвердили недостатки, выявленные на письменных работах. Суть дела не только в том, что учащиеся не знали или забыли доказательства тех или иных теорем, а в том, что у многих нет достаточного понимания материала, слабо общее математическое развитие, ограничена математическая интуиция. Приведем ряд примеров.

1. Вопрос: «Что такое иррациональное число?» Ответ: «Это корень квадратный из отрицательного числа» (!). После возражения со стороны экзаминатора следует новый ответ: «Это такое число, которое не может быть выражено правильной дробью». В конце концов, откровенное признание: «Не знаю».

2. Вопрос: «Чему равен корень кубический из числа минус восемь?» Ответ: «2г». Добиваюсь уточнения смысла символа i и напоминаю, что 1^— 8 имеет не одно значение. Это мало помогает. Пишу и называю двучленное уравнение л:3-}-8 = 0 и прошу его решить. Решение получено правильное. Спрашиваю, нет ли связи между первоначальным вопросом о корне |^-8 и двучленным уравнением хъ-\-8 = 0. Связи не усматривается.

3. Уравнение вида ах2 -j- bx = О многие считают двучленным.

4. Вопрос: «Что такое радианная мера угла?» Ответ: «Это когда угол выражают в единицах длины дуги!» Значит,— уточняю я, — угол, как и длина дуги, выражается в метрах, сантиметрах и т. д. Абитуриент с недоумением отвечает: «Я знаю, как вычислить радианную меру угла, но не знаю, как словами сказать». Прошу вычислить радианную меру угла в 25°. Тотчас пишутся такие строчки:

ти = 180°

лг=25°(!)

Правильное понимание определения радианной меры отсутствует, отсутствуют, стало быть, и навыки пользоваться этим определением для вычисления радианной меры угла.

5. Вопрос: «Дан tg сс= . Определите величину синуса и косинуса». Моментальный ответ гласил: «Синус равен 3, а косинус 4» (!). На мой вопрос: «Как же так получилось?» Следует

ответ: «Ведь tg а равен sin а: cos а, a есть 3:4. Отсюда sin а = 3, a cos а = 4».— «Но ведь синус и косинус не могут быть больше единицы»— возражаю я. «Не могут, но в тангенсе, очевидно, могут»,— ответил на мое замечание абитуриент. Между прочим, почти такие же безграмотные ответы я получал и от других абитуриентов тех же школ (СШ в г. Вычуге и СШ в Раменском).

6. Составление алгебраического уравнения по данным его корням по формуле

(л: — хг) [х — х2)...(х — хп)

знали весьма немногие. Деление числа обратно пропорционально ряду чисел известно учащимся лишь в случае двух чисел; производные пропорции, особенно свойство равных отношений, знают немногие; процентное отношение двух чисел (процент выполнения плана) являлось для многих «камнем преткновения». Здесь не обходится без составления строк и столбцов и пропорции или появляется «трехэтажная дробь», периодические дроби для многих — неприятные воспоминания далекого «арифметического», как выразился один экзаменующийся, периода школы.

Радикал Va±\/b пугает всех одним своим «видом». Во всяком случае, учащиеся «не встречались с ним нигде». Учащиеся не знали радикала вида, а теория пределов рисуется как «предел окружности» и т. д.

Какие же выводы можно сделать из всего изложенного? Кто виноват в том, что пополнение для вузов содержит высокий процент брака? Пусть некоторый процент брака падает на легкомыслие и неряшливое отношение части абитуриентов, недостаточно или вовсе не готовившейся к экзаменам. Но подавляющая часть брака относится за счет средней школы. Школа несет вину за то, что переводятся из класса в класс, наконец выпускаются с аттестатом зрелости, с отметками «хорошо» и даже «отлично» люди, математически недостаточно подготовленные.

ОБ УРОВНЕ ЗНАНИЙ ПО АРИФМЕТИКЕ ОКАНЧИВАЮЩИХ СЕМИЛЕТНЮЮ ШКОЛУ

Я. А. ШОР (Москва)

Настоящая статья составлена по материалам приемных экзаменов в 1948 г. в Первом Московском педагогическом училище имени К. Д. Ушинского. Несколько слов о составе абитуриентов. Это девушки, в подавляющем большинстве окончившие 7 классов в школах Москвы в 1948 г.; незначительная часть поступивших окончила школы рабочей молодежи, либо окончила школы в предыдущие годы. Основной контингент державших экзамены не может быть отнесен к слабым учащимся, так как, во-первых, был большой конкурс (на 100 мест — 800 заявлений), о чем поступавшие знали, и, во-вторых, к экзаменам по математике были допущены лишь выдержавшие испытания по русскому языку.

Письменные работы состояли из одной арифметической задачи, одного несложного примера на обыкновенные и десятичные дроби и одного алгебраического примера. Главный упор был сделан на арифметическую задачу. На выполнение работы было предоставлено 3 часа (астрономических) — более, чем достаточно. Ниже приводятся данные по 4 группам экзаменовавшихся (по остальным группам получилась такая же картина).

Перед нами 91 работа. Из них:

с оценкой 5 и 4— 18 работ — 19,7 %

> 3-19 » — 20,9 %

» 2 и 1 — 54 » — 59,4 %

Вот образцы предлагавшихся задач:

/. Кооператив продал две партии масла на общую сумму 7890 руб., причем за вторую партию он получил на 30 руб. больше, чем за первую. На деньги, вырученные от продажи первой партии, кооператив купил 250 м ситца и 140 м сатина, а на деньги, вырученные от продажи второй партии, купил по тем же ценам 160 м ситца и 210 м сатина. По какой цене кооператив покупал один метр ситца и один метр сатина?

Мы имеем несложную задачу, прозрачно составленную из двух задач — на нахождение двух чисел по их сумме и разности и на «уравнивание».

Из общего числа 91 чел. эту задачу решали 23 чел. и из них 20 чел. (87 %) не справились с решением. Почти все справились с первой частью задачи, сделав 3 вопроса, а далее либо вовсе не решали, либо решали неверно. Но и те трое, которые решили задачу правильно, не

дали четкого объяснения уравнивания. Итак, такие несложные виды задач, как на «уравнивание данных», усвоены учащимися недостаточно.

Несколько лучше обстояло дело со следующей задачей: Колхозная палатка продавал, овощи в течение двух дней. В первый день выручено всей суммы, а во второй день ш 50 руб. больше, чем в первый. На вырученные за два дня деньги колхоз купил для школы 50 задачников, 70 учебников и 85 словариков. Какова была цена одного задачника, если учебник стоил на 30 ксп, а словарик на 50 коп. дороже, чем задачник?

Из 21 человека, решавших эту задачу (среди рассматриваемых нами работ), решили ее, вернее, довели до ответа, 14 чел. Формально дело обстоит неплохо, но если вглядеться в решения, то можно, по существу, одобрить лишь 8 работ. Среди остальных 6 работ, в которых задача доведена до ответа, мы встречаем такие вопросы:

«На ск. дороже стоят все учебники, чем все задачники? (30 коп. X 70 83 2100 коп.) Ск. денег заплатили за 70 учебников? (30 коп. у^70— = 2100 коп. = 21 руб.).

Ск. стоили бы 70 учебников, если бы каждый стоил 30 коп.?» и т. д. Эти вопросы показывают, что решавшие не понимали самой сути задачи, т. е. смысла замены, приводящей к удешевлению всей покупки.

В первой части решения мы встречаем такие вопросы: «Ск. денег выручили во второй день? Учащиеся не понимают, что они узнают лишь часть всей суммы, а не количество денег.

Мы уже не говорим о наличии ряда громоздких решений, излишних вопросов и т. д.

Часто встречаются такие записи: 30 коп. X Х70 учеб. = 21 руб.

Среди не решивших задачу многие складывали 50 руб. и ^| части и получали 50 *| рубля.

Следующая задача имела небольшое усложнение в сравнении с предыдущей, хотя тип и ход решения совершенно аналогичны, и этого было достаточно для того, чтобы резко ухудшились результаты.

Палатка от продажи сатина трех сортов за 3 дня выручила некоторую сумму денег. В первый день выручила ^ всей суммы, полученной за три дня; во второй день -|- остатка, а в третий день —на 232 руб. меньше, чем в первый д:нь. За три дня продано: 22 м сатина первого сорта, 20 м второго сорта и 24 м третьего сорта, причем 1 м сатина первого сорта стоил на 10 руб. дороже одного метра третьего сорта и на 6 руб. дороже одного метра второго сорта. Сколько стоил 1 м сатина первого сорта?

Внесенное в условие небольшое усложнение привело к тому, что лишь 5 человек из 25 чел. (или 20 %) решили эту задачу, остальные 80% с ней не справились, причем 7 чел. (или 28 %) вовсе не приступили к решению. Мы не останавливаемся на анализе ошибок, которые мало чем отличаются от указанных выше.

Приведенный материал со всей убедительностью говорит о том, что учащиеся, оканчивающие неполные средние школы, неудовлетворительно справляются с весьма несложными задачами, относящимися к V — VI классам.

Переходим к анализу итогов устных экзаменов. Мы не будем касаться каких-либо курьезных ответов, отражающих вопиющее незнание материала отдельными учениками (кстати, татаких случаев было сравнительно очень мало). Мы будем говорить лишь о том, что относится к большинству экзаменовавшихся.

1. Формальное усвоение материала. Большинство учащихся бойко излагает правила и определения, но почти никто не может обосновать самых простейших положений. Вопрос «почему ?» ставит учащихся втупик. Почему — = — р Большинство оставляло вопрос без ответа и в редких случаях следовал ответ: «Потому что можно сократить». Почему нужно умножить числитель (или знаменатель) при умножении (или делении) дроби на целое число? Почему от перенесения запятой десятичная дробь увеличивается (или уменьшается)? Как обосновать признак делимости на 4, на 3 и 9? (Мы имеем в виду простейшее объяснение на числах, даваемое в учебнике Киселева для V класса.) Почему при умножении числа на 11 его можно умножить на 10, на 1 и результаты сложить? На каком свойстве основана в^можность приведения дробей к общему знаменателю? Где при умножении двух десятичных дробей надо поставить запятую? (пояснение правила).

Аналогичный вопрос в отношении деления (обоснование возможности переноса запятой в делимом и делителе).

Итак, речь идет не о каких-либо замысловатых, а о самых основных вещах, неуменье объяснить которые свидетельствует о формальном усвоении учащимися арифметики.

2. Незнание десятичной системы счисления является почти поголовным явлением. Число и цифра, разряд и класс, чтение и запись чисел, содержащих миллиарды, уменье указать, сколько в данном числе всего десятков, сотен и т. д.— и по такому основному материалу поступающие нередко давали неверные ответы. Здесь счет должен быть предъявлен в первую оче-

редь начальной школе, не заложившей твердых понятий о принципе десятичной системы счисления,

3. Из законов действий учащиеся знают переместительный и сочетательный; распределительный закон знают немногие учащиеся. Еще реже мы встречаем знание правил прибавления или вычитания суммы или разности, умножения или деления произведения или на произведение. Характерным является формальное усвоение этих законов. Учащиеся иллюстрируют законы действий на числах в пределах первого или второго десятка, но когда им предлагается подобрать убедительные примеры применения этих законов к устному счету, то такой вопрос оказывается неожиданным и остается без ответа. Точно так же учащиеся никак не умеют связывать изменения результатов действий при изменении компонентов с устным счетом. Большинство спрошенных нами, почему вместо 387 — 198 можно взять 389 — 200, затруднялось дать объяснение. Вообще, устный счет, его самые элементарные приемы и их обоснование продолжает оставаться узким местом в знаниях учащихся.

4. Задачи на проценты слабо усвоены учащимися. Большинство из них не умеет формулировать задачу на нахождение числа по его проценту. Слабее всего учащиеся решают задачи на процентное отношение.

5. Следует указать, что учащиеся не умеют различать основных типовых задач. Нельзя, например, предложить учащимся составить задачу на нахождение двух чисел по сумме и разности, по сумме и кратному отношению, не говоря уже о других типовых задачах. Что же касается решения типовых задач, то учащиеся затруднялись в решении задач на разностное и кратное отношение, на замену, предположение.

Мы предлагали многим учащимся такие задачи :

а) «У Тани было в Зраза больше карандашей, чем у Лизы. Сколько карандашей было у каждой из них, если у Тани было на 6 карандашей больше, чем у Лизы?»

б) «5 w яблок и 2 кг груш стоят 90 руб. Сколько стоит килограмм тех и других в отдельности, если 1 кг груш на 3 руб. дороже 1 к? яблок?»

Подобного рода задачи без наводящих вопросов экзаменовавшиеся редко решали.

Мы многократно предлагали учащимся такую задачу: «У Вани и Пети тетрадей было поровну. Ваня дал Пете 2 тетради. На сколько тетрадей стало больше у Пети?»—и неизменно получали ответ: «На 2 тетради».

6. Учащиеся избегают вычислений с десятичными дробями и в примерах на совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями стремятся все операции производить в обыкновенных дробях, хотя нередко это приводит к нерациональным вычислениям.

7. Можно было бы указать на некоторые частные вопросы: деление на нуль, несокращение дробей, смешение понятий «на» и «в» и т. д.

Вместе с тем, нельзя не указать и на улучшение знаний учащихся по сравнению с результатом прошлых лет: отсутствие таких грубых ошибок, какие имели место в прошлые годы, более твердые знания и четкие формулировки правил и т. д.

В заключение следует сделать вывод о том, что отмеченные недостатки в знаниях учащихся, имеющие массовый характер, говорят о том, что преподавание арифметики во многих школах не находится на должной высоте, что знания учащихся все еще носят формальный характер. Отсюда следует, что учителя и органы народного образования должны серьезнее отнестись к вопросам методики преподавания арифметики, к делу обучения решению задач.

О НЕДОСТАТКАХ В ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ, ОКАНЧИВАЮЩИХ СЕМИЛЕТНЮЮ ШКОЛУ

И. Г. БОЧКИН (Витебск)

Настоящая статья составлена по материалам экзаменов в 1948 г. в Витебский сельскохозяйственный техникум.

На письменных испытаниях была предложена одна задача и два примера. О характере требований можно судить по приведенным ниже образцам вариантов письменных работ.

Вариант № 1-а

Задача. За 2 м одного сорта и 5 м другого сорта товара заплачено 8 руб. 40 коп. Если цена первого сорта будет снижена на 12,5%, а цена второго сорта — на 15%, то на эту покупку придется истратить 7 руб. 30 коп. Сколько стоит один метр каждого сорта? Пример № 1. Упростить:

Пример № 2. Вычислить:

Вариант № П-б

Задача. Пароход, двигаясь по течению реки, прошел расстояние между двумя городами за 10 часов; возвращаясь назад, он прошел тот же путь за 14 часов. Скорость парохода в стоячей воде 12 км в час. Определить скорость течения реки в час и расстояние между городами.

Пример № 1. Решить систему уравнений:

Пример № 2. Вычислить:

Вариант № V-b

Задача. Окружность переднего колеса экипажа на ~ м меньше окружности заднего. Переднее колесо на расстоянии 30 м сделало столько же оборотов, сколько заднее на расстоянии 36 м. Определить длину окружности каждого колеса. Пример № 1. Упростить:

Пример № 2. Вычислить:

Большинство примеров и задач взяты из школьных задачников; поступающие должны были научиться решать их в школе.

Однако все же были случаи, когда поступающий, посидев 30—40 минут, подавал чистый лист, заявляя: «Я не буду сдавать экзамены». Так, например, абитуриент С. (Радунская НСШ Гродненской области), имевший по аттестату оценку 5 по арифметике, 5 по алгебре, 4 по геометрии, подал чистый лист. Когда С. пришел в учительскую за документами, я спросил: «Почему Вы ничего не сделали? Ведь Вы имели в школе хорошие оценки?» — «Преподавательница и не подозревала, что я ни одну письменную работу в школе не сделал без помощи товарищей, а у Вас списать нельзя. Теперь я убедился, что надо учиться не так, как мы учились», —чистосердечно признался С.

Остановимся на результатах письменных работ (в скобках приведены данные на абитуриентов, окончивших школы в 1948 г. с оценками 4 и 5). Из 317 (127) поступающих, окончивших школы в 1948 г., только 115(65) получили оценки 3 и 4, а 202(62) написали на «плохо» и «очень плохо». Из общего числа 405(127) поступающих 201 (47) не решили ни задачи, ни примера, 182(46) и не приступали к решению задачи. Из 25 поступающих, окончивших школы в 1948 г. с оценкой 5, получили оценки: 5—0 чел., 4»—5 чел., 3—11 чел., 2—8 чел., 1 — 1 чел.

Оценки учащихся по школам завышены.

Поступающие нередко дают правильные решения, но не умеют оформить работу.

Вот пример: абитуриент Г., окончившая 7 классов с оценкой 5 в 1948 г. (Платоновская СШ Красненского района), пишет:

«Решение задачи.

I. Определение. , 1

X M-f"Y м- = окружность переднего колеса...........Зо(^х-{- )Л

X м — окружности заднего колеса 36-х

II. Составление уравнения и решение его. ЗОл'-f-15 = 36л:» и т. д. Затем следует ответ: «2 м окружность заднего колеса. 2 -g- м-\- — м = 3 м окружность переднего колеса».

Разве не формализмом веет от такой работы: за цифрами учащиеся не приучены видеть реальную действительность. Поступающие в подавляющем большинстве не приучены в школе делать проверку решения задачи, а если и делают, то не по условию задачи, а подставляют решение в уравнение.

Задачи первых вариантов для подавляющего большинства поступающих оказались непосильными. Поступающие легко составили первое уравнение, например, к задаче варианта № 1-а: 2х -f- 5у 840, но не смогли правильно составить второе уравнение. Это свидетельствует о том, что проценты в ряде школ изучаются формально. Запомнив определение процента и правило нахождения процента от числа, поступающие не умеют применить это правило к простейшим расчётам. Не по плечу оказался и пример № 1 варианта № 1-а. Большинство поступающих, сделав должные преобразования, не смогли сократить дробь

Поступающие не приучены при выполнении тождественных . преобразований вести запись «в строчку», а пишут «по действиям», считая, что это проще, а на деле исписывают гораздо больше бумаги ненужными выкладками и не видят, что после одного-двух шагов можно сократить дробь и получить простой ответ.

Абитуриент Г., окончившая 7 классов с оценкой 4 (Сиротинская НСШ Сиротинского района), алгебраический пример решала так:

Сократив дробь, Г. обнаруживает полное непонимание формул сокращенного умножения.

Сколько ненужных записей, действий —и в результате неправильный ответ!

Здесь прямая вина преподавателя математики, который позволял в школе подобную стряпню. Мне кажется, что от учащихся VII класса можно потребовать такой записи:

Пример на подстановку численных значений букв оказался непосильным, так как поступающие предварительно возвышали двучлены в квадрат, а затем делали подстановку числовых данных, получался «лес чисел», в которых легко было запутаться. Требовалось вычислить:

А между тем этот пример можно решить устно:

Видимо, в школе нахождению числовой величины алгебраического выражения уделяют внимание только в VI классе при изучении данной темы, а затем не считают нужным к этому возвращаться.

Многие не решили примера из-за того, что не умели вычитать дроби с многочленными числителями. Например, поступающая В., окончившая с оценкой 4 одну из школ Смоленской области, данное в примере уравнение решила так:

Подобные «решения» не единичны; здесь и неумение вычитать многочленный числитель, и отсутствие навыка применять формулы сокращенного умножения, и непонимание свойств уравнения. Наконец, надо отметить вину преподавателя школы, не приучившего своих «хороших» учеников к правильным записям.

Приводя алгебраические дроби к общему знаменателю, поступающие не применяют формул квадрата суммы и квадрата разности.

Окончившая 7 классов с оценкой 5 (Моркоткинская НСШ Ельнинского р-на) абитуриент Р.

совершенно не приступала к решению задачи. Решение примера записала так:

Решения задач вторых вариантов свидетельствуют о том, что в школах мало решают задач на движение, а физика и математика преподаются как две разнородные науки. Только этим можно объяснить, что окончивший с оценкой 5 одну из школ Смоленской области абитуриент С. задачу варианта 2-Б решал так:

«1) Сколько часов шел пароход по течению реки и обратно?

10 ч. + 14ч. = 24ч.

2) Сколько часов шел пароход между городами, если бы он шел в стоячей воде?

24 ч. : 2 = 12 часов.

Чему равно расстояние между городами?

12 кмХ 12 = 144 км.

4) Сколько часов течет вода от города до города?

14 ч. — 10 ч. = 4 ч.

5) Чему равна скорость воды в час?

144 км : 4 = 36 км*.

При решении примера встречалась и такая запись:

На устных экзаменах поступающие уверяли, что они так писали в школе.

При решении уравнений встречаются и такие «подробности»:

Зх — 20 = 2л;-|-20 Зх — 2х = х 20 + 20 = 40 х = 40

Формализм сказывается в том, что учащиеся не задумываются над ответом задачи. Так, например, поступающий Е, окончивший 7 классов с оценкой 5 (Хисловическая НСШ Хисловического района), на вопрос, во сколько часов выполнят работу двое рабочих, дает ответ — 5 часов, но по условию один из рабочих мог окончить работу за 4 часа?!

Поступающие, как правило, обращают десятичные дроби в обыкновенные, но не сокращают последние и получают огромные числа, с которыми не могут справиться. Здесь также отсутствует навык «видеть», какими дробями проще оперировать.

Окончивший 7 классов с оценкой 4 (Сырокоренская НСШ Красненского района) оставляет несокращенными такие дроби:

или сокращает так:

В решениях арифметических примеров 10 поступающих допустили такие ошибки:

Встречаются и такие «открытия» : —

0,00008 Ап 2 0 --—jq— = 40 -у . Здесь сказывается отсутствие умения «на глаз» обнаружить ошибку: ведь никак не могло получиться такое число^

На устных испытаниях в билеты включались три вопроса:

1. Доказать теорему из программы VI или VII класса.

2. Решить задачу (пример) из алгебры.

3. Решить пример (задачу) из арифметики. Примеры и задачи были взяты из школьных

задачников, например:

1) Теорема о сумме внутренних углов треугольника и ее следствия.

2) Возвысить в куб: (-з~а3--з~а^) *

3) Задача. Товар с перевозкой обошелся 394 руб. 20 коп., причем расходы по перевозке составляли 8% стоимости самого товара. Сколько стоит товар без перевозки?

Ответы поступающих показали, что геометрия все еще остается узким местом в школе. Многие поступающие не могли ответить на вопрос: почему два признака равенства прямоугольных треугольников не требуют особого доказательства. При доказательстве теоремы поступающие не умели выделить и записать условие и заключение теоремы. При доказательстве теоремы о сумме внутренних углов треугольника обычно говорят, что / 1 = У 2Т как соответственные. Когда же спросишь, при каких параллельных и какой секущей,—далеко не каждый дает правильный ответ.

То же имело место при доказательстве свойства сторон параллелограма, свойства средней линии трапеции и т. д.

Поступающие в большинстве случаев доказывают теорему книжным языком, заучив доказательство как стихотворение. Очень редки случаи, когда теорема излагается правильно, своими словами. Построить высоту в тупоуголь-

ном треугольнике из вершины острого угла для многих оказалось непосильной задачей.

На вопрос: «Что называется высотой» — ответили: «Отрезок, который падает из вершины на основание и делит его пополам». Не все поступающие смогли правильно определить ромб, квадрат, прямоугольник, параллелограм.

Плохо усвоены поступающими проценты.

Все три типа задач на проценты они пытаются решать по одному, механически заученному, правилу: «Чтобы найти процент от числа, надо это число разделить на 100 и умножить на число процентов». Например, задачу «Бетонщик-стахановец выполнил план на 840%, уложив 52,92 куб. м,- Сколько кубометров предполагалось уложить по плану» почти все решали по этому правилу и получили ответ: 444,582 куб. м.

Задача «18% от некоторого числа составляет 36, найти число» для большинства оказалась непосильной. Ни один поступающий не мог толком сформулировать правило нахождения процентного отношения двух чисел. Почему бы школам не дать простое правило: «Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо одно число разделить на второе (на то, которое принимается за 100%) и результат умножить на 100>.

У поступающих нет навыка производить рационально выкладки. Пример. Найти х:

решают «по действиям»:

Ни один поступающий не написал:

В алгебре многие не различают квадрата суммы от квадрата разности. Правило деления многочлена на многочлен часто формулируют так: «Чтобы разделить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена разделить на каждый член второго многочлена» — при этом уверяют, что это правило они запомнили хорошо. Пример: «Произвести деление: —^";г6):("5" — --2~ z2^» — не решил ни один из 9 человек, решавших его. Как только не пытались решать: приводили сначала к общему знаменателю, затем делили дробь на дробь и т. д. Когда же предложишь припомнить формулу, то и после ее записи говорят, что «таких примеров мы не решали в школе».

Приведем еще несколько примеров.

Абитуриент М., окончивший Пустынскую НСШ Сененского района с оценками 4 по арифметике, 5 по алгебре, не мог решить уравнение:

(а-\-с)2х — съ = (а- — с2)с-\- с2х;

1 га принял за 1000 ар; на вопрос: «5% числа составляет 200, найти число»—дал ответ 10.

Абитуриент П., окончившая Голынковскую НСШ Руднянского района с оценкой 4, пишет: а* — а* + а2—\ =аъ (а2 — 1) -f- (a« — 1) и считает, что разложение закончено.

Абитуриент Р., окончившая Марпоткинскую НСШ Ельнинского района с оценкой 5, не решила задачу: «При печении хлеба из пшеничной муки получается 35% припека. Сколько надо взять муки, чтобы получить 27 хлебов по 1,5 кг каждый?»

Результаты устных экзаменов видны из следующей таблицы:

Количество поступающих

Имели оценки в школах

" Получили оценки на экзаменах

5 __

4

3

2

1

234

у_

95 >^ у^ 25

120

116

Оценки по аттестатам взяты «круглые», т. е. если поступающий имел по всем трем предметам 4, общая выводилась 4, если же хотя бы по одному предмету имел 3, общая оценка выводилась 3.

Как видно, из 19 поступающих, имевших «круглые» 5, ни один не сохранил эту оценку на экзаменах. Разумеется, что не все поступающие и не все школы дали плохие результаты. Были и хорошие ответы и хорошие работы, но я ставил целью вскрыть пробелы в подготовке поступающих.

О ПРИЕМНЫХ ЭКЗАМЕНАХ В СОРОКСКИЙ ТЕХНИКУМ МЕХАНИЗАЦИИ И ЭЛЕКТРИФИКАЦИИ СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА

И. И. НИКОЛАЙЧУК (г. Сороки МССР)

Результаты вступительных экзаменов и дальнейшая работа с учащимися показывают, что математическая подготовка оканчивающих семилетние школы с каждым годом улучшается. Однако в знаниях учащихся все же имеется много недостатков.

Наиболее слабым местом является арифметика.

Привожу примеры из работ поступающих:

Как первый, так и второй примеры говорят о том, что учащийся хотя и знает деление и умножение дробей, но нерационально производит действия над ними.

На вопрос о признаках делимости на 25, на 3, на 8 учащийся отвечает невпопад; на вопрос, что больше: или щ — отвечает, что —Joo~~ больше, так как в этой дроби числитель и знаменатель большие.

При сложении и вычитании смешанных чисел были случаи обращения в неправильные дроби слагаемых или уменьшаемого и вычитаемого.

Привожу пример:

При решении примера: 12,35 X 120 = ? — встречалась такая запись:

Некоторые учащиеся остаются в недоумении, если данное действие произвести таким образом:

При делении десятичной дроби на десятичную учащиеся часто уравнивают число десятичных знаков в делимом и делителе.

Привожу пример: 36,6132:1,04

Решение:

Слабым местом в подготовке является также нахождение неизвестных членов отношения.

Привожу примеры: 1) х: 18 = ^у.

Решение: ;с= 18:-^-. 2) I7i:x = 3i. Решение: х = 3^ :17^ .

Часть учащихся не знает, что делимое равно делителю, умноженному на частное, а делитель равен делимому, деленному на частное.

Многие учащиеся не знакомы с терминами: «предыдущий», «последующий» и «знаменатель отношения».

Иногда учащийся правильно производит действия, но не понимает, почему нужно делать так, а не иначе.

Вот пример: найти 2,5% от 48 кг.

Решение: —щр . На вопрос, почему он делит 48 на 100 и результат множит на 2,5, отвечает так: «Для того, чтобы найти 2,5% от 48 кг} нужно 48 кг умножить на 2,5 и результат разделить на 100».

Хуже обстоит вопрос с нахождением числа по проценту и с примерами на процентное отношение. Значительная часть учащихся в этих вопросах беспомощна.

Привожу примеры.

Найти число, если 4у % его равны 6,2.

Решение:

Вот пример другого решения: 2

5-jj % неизвестного числа равны 228. Найти это число.

Решение:

_ 228 _3_0/ Х~ 53% — 11 /о*

При решении задач в 4—5 вопросов лишь немногие могут поставить правильно, в логической последовательности вопросы и найти зависимость между числовыми данными задачи.

Учащиеся оправдывают свою слабую подготовку по арифметике тем, что они в VII классе арифметики не изучали, а изучали алгебру.

Группе учащихся в 29 человек был дан следующий пример: упростить

2а (р2 _ q4)__рз_

bp ' (р — д) (р + д)2

Этот пример правильно решили только 8 человек. Остальные учащиеся делали ошибки, обусловленные, главным образом, непониманием формул сокращенного умножения.

Некоторые учащиеся смешивали а2 — Ь2 и (а— Ь)2 или (р2— q2)2 записывали в виде рк — q*. Многие допускают такие ошибки в сокращении дробей:

—-— = р2 — о7: —^-=а2 — Ь.

Слабым местом является разложение многочленов на множители, в особенности способом группировки.

Несколько лучше учащиеся усвоили решение уравнений.

Уравнение: 9лг + 7 / х — 2 \ оа —2--(х--7— ) = 36 правильно решили 12 человек из группы экзаменующихся в 28 человек. Основные ошибки допускались при раскрытии скобок. Сравнительно лучше учащиеся ориентируются в решении примеров на систему уравнений 1-й степени с двумя неизвестными с целыми коэфициентами. Однако эти уравнения они умеют решать только способом алгебраического сложения.

Значительная часть экзаменующихся или не знает способа подстановки, или имеет о нем очень смутное представление.

При решении задач на составление уравнений экзаменующиеся испытывали затруднения в отыскивании зависимости между известными и неизвестными величинами, входящими в условие.

Группе в 26 человек была дана задача:

«Заводу заказано определенное количество плугов и установлен определенный срок для выполнения заказа. Если завод будет выпускать 240 плугов в день, то к сроку будет готово на 400 плугов меньше, чем заказано. Если же завод будет выпускать ежедневно 280 плугов, то к сроку будет заготовлено на 200 плугов больше, чем заказано. Сколько плугов заказано и какой срок был установлен для выполнения заказа?»

В этой задаче большинство учащихся правильно выбрали неизвестные, но не знали в дальнейшем, что с этими неизвестными делать, и потому встречались такие записи:

х (дней) = у — 400 (плугов)

х + 200 = 280 + ^

Многие экзаменующиеся не могли дать точных определений геометрических фигур, доказать теоремы о сумме углов треугольника и многоугольника, теоремы об углах с соответственно параллельными и перпендикулярными сторонами, свойства равнобедренного треугольника и т. п.

Некоторые учащиеся сельских школ даже не знают, что кроме задач по арифметике и алгебре есть задачи и по геометрии.

В заключение хочу сказать еще несколько слов о формализме в знаниях учащихся. Были случаи, когда экзаменующиеся совершенно верно доказывали теоремы, как, например, теорему о свойствах равнобедренного треугольника, но следовало только обозначить вершины треугольника другими буквами, повернуть его на 9ЭС или 180° или задать вопрос, обладает ли теми же свойствами равносторонний треугольник, и учащиеся давали неверные ответы.

Учащийся правильно решил пропорцию 3,5: х= =0,8:2,4, знает, что из данной пропорции можно получить еще семь пропорций, но когда его спросили о значении х в этих пропорциях, то по его суждению выходило, что в каждой из этих пропорций будут различные значения х.

Некоторые учащиеся не могли согласиться с таким равенством: (2а — Ь)2 = {Ь — 2а)2, хотя и знали, чему равняется квадрат разности двух чисел, знали также, что произведение двух отрицательных чисел есть положительное число.

МЕТОДИКА

К ВОПРОСУ О ПОНЯТИИ ОТНОШЕНИЯ В КУРСЕ АРИФМЕТИКИ

М. К. ГРЕБЕНЧА* (Москва)

1. В последнее время, в связи с повышением интереса к школьной математике со стороны математической и научной общественности, затронут вопрос и о преподавании арифметики.

Научная общественность ставит вопрос о возможно наилучшем приближении школьной математики к современной науке. Если постановка этого вопроса вполне законна для алгебры и геометрии по разделам, проходимым в более старших классах (иррациональные, мнимые числа, учение о площадях, объемах, функциональная зависимость), то, естественно, постановка аналогичного вопроса для арифметики, изучаемой в первых пяти классах средней школы, отпадает в виду возрастных особенностей учеников.

2. Все же имеют место высказывания и по поводу курса арифметики. В статье «О понятии отношения двух чисел» («Математика в школе», 1941 г., № 2) проф. А. Я. Хинчин пишет, что «школьная арифметика не есть математическая дисциплина в подлинном смысле этого слова», что школьная арифметика является физико-математической пропедевтикой. В частности, автор статьи считает, что «школьная арифметика уже отвоевала одну из важнейших позиций научной арифметики — производить действия только над отвлеченными числами».

Такая характеристика школьной арифметики подчеркивает особо неблагополучное состояние арифметики сравнительно с алгеброй и геометрией.

3. Эта характеристика содержит нечто большее, чем вынужденное признание, что в силу возрастных особенностей учеников преподавание арифметики находится на недостаточном научном уровне. Действительно, если мы возьмем курс алгебры VI класса, то никто не будет утверждать, что изложение отрицательных чисел находится на уровне, характерном для современного учения о числе. Преподавание первых глав геометрии также представляет собой некоторую пропедевтику научных оснований геометрии с элементами наглядной геометрии, своеобразный синтез логики и интуиции, направленных к ознакомлению с основными геометрическими понятиями.

Однакоже никто не будет утверждать, что алгебра или геометрия не есть математическая дисциплина в школьном смысле этого слова, и когда идет речь о повышении уровня преподавания алгебры или геометрии, то предполагается лишь известное исправление или дополнение излагаемого курса.

4. Высказанное суждение проф. А. Я. Хинчина об арифметике констатирует как бы безнадежное ее положение по существу, поскольку арифметика не оказывается математической дисциплиной.

То немногое, что можно внести в преподавание, — это право производства действий только над отвлеченными числами, правильное понимание понятия «отношение двух чисел».

5. Высказанный взгляд проф. А. Я. Хинчина весьма заострен в связи с понятием «отношение двух чисел», которое в курсе арифметики Киселева, переработанном А. Я. Хинчиным, отождествлено с частным от деления двух чисел, что, как пишет А. Я. Хинчин, вызвало огромное количество откликов, в большинстве своем возражающих против этого отождеств-

* Настоящая статья была написана покойным проф. М. К. Гребенчой в порядке обсуждения вопроса о понятии отношения в школьном курсе арифметики.

яения. Возражающие в большинстве соглашаются с тем фактом, что всякое отношение есть частное, но не соглашаются с обратным утверждением. Так, например, при установлении смысла «частное от деления 10 кг на 2 кг» или «частное отделения 10 кг на 2» подчеркивается двоякий смысл деления «по содержанию» и «на равные части»; в первом примере частное есть отношение, а во втором — нет. Возражение А. Я. Хинчина сводится к тому, что «математика знает одно деление», что «разделение всевозможных частных на два типа: являющихся и не являющихся отношениями — ничего общего с математикой не имеет и опять-таки должно быть отнесено за счет того физико-математического конгломерата, какой представляет собой наша школьная арифметика».

6. То исключительное значение арифметики, которую приходится применять на практике буквально каждому человеку, начиная с детей 4 — 5-летнего возраста, создает за ней неизбежную значимость. Говорить о реформе арифметики на базе ограничения действиями исключительно над отвлеченными числами, которые только математика и знает, невозможно, если даже отвлечься от возрастных особенностей учеников. В таком случае пришлось бы создавать наряду с «настоящей» арифметикой еще другую, прикладную. Вместо этих двух по существу раздельных дисциплин и существует под видом арифметики тот «конгломерат», о котором пишет А. Я. Хинчин.

7. В этой полемике между А. Я. Хинчиным и школьным учительством чувствуется тот же самый вековой спор между теорией и практикой, неизбежно возникающий при всякой попытке внимательного отношения к преподаванию в школе.

Теория имеет за собой преимущество в виде достаточно хорошо отшлифованной математики как науки, к которой как к своему идеалу мыслится приближение школьной математики. Что же касается запросов практики, то они сформулированы в общих чертах, то в виде требования уметь применять математику на практике, то в виде уменья прилагать математику при изучении родственных дисциплин.

Алгебра как школьная дисциплина в этом споре приняла сторону теории, отдавая дань практике в виде решения задач на составление уравнений. Геометрия также ограничивается небольшими практическими экскурсами в связи с подобием, с измерением площадей и фигур. Наиболее «не повезло» в этом отношении арифметике. Невозможность построения арифметики даже в виде отдаленного приближения к идеалу — арифметике как математической дисциплине, а также особенно яркая потребность в практической арифметике и привели к созданию физико-математического конгломерата, как его назвал А. Я. Хинчин.

8. Нужно еще к этому прибавить и то, что практика создания подобного рода конгломератов по алгебре и геометрии, имевшая место за рубеж ж и частично у нас, в период методов проектов, убедила, что избранный традиционный путь преподавания алгебры и геометрии правилен, а конгломеративное содержание арифметики неизбежно.

9. Выше было сказано, что учеников первых пяти классов школы (в силу возрастных особенностей) невозможно обучить арифметике как математической дисциплине. Это утверждение требует известных оговорок. Несомненно, что ученики могут заучить правила действий и заучивают их так же, как могут заучить и свойства действий, но применять их сознательно не смогут. Правда, если бы вся арифметика проходилась, начиная с IV класса, то в значительной мере это препятствие было бы устранено. Однако если бы даже мы вообразили, что изучение арифметики происходит в более старших классах, где ученики имеют более высокое общее развитие, все равно не удалось бы избежать знакомства с именованными числами и действиями над ними. В самом деле, общеобразовательная школа не может допустить осуществление образования, в результате ьоторого окончившие школу не смогут оперировать над именованными числами, ибо только с такими числами и имеет дело практика.

10. Можно было бы направить разрешение вопроса о постановке преподавания арифметики в начальной школе по иному руслу: в первых трех классах разрешать вопросы практической арифметики, накопить известный материал для дальнейшего прохождения в IV и V классах арифметики как школьной дисциплины. Однако реализация этого плана наталкивается на значительные трудности.

Если мы обратимся к основному вопросу в курсе школьной алгебры — к учению о числе, то заметим следующее: учение о комплексном числе (в X классе) преподается близко к тому, как это делается в современной науке. Учение об иррациональном числе (VIII класс) является лишь пропедевтикой к строгому изложению теории (описательным путем устанавливаются понятия суммы, произведения иррациональных чисел). Что касается преподавания отрицательных чисел, излагаемых в VI классе, то здесь мы уже имеем дело с пропедевтикой, совершенно удаленной от теории рациональных чисел: рассматриваются сначала величины, изменяющиеся в двух противоположных направлениях, затем вводятся отрицательные числа и действия над ними так, чтобы был ясен реальный смысл производимых операций, и после

того как созданы правила действий, переходят к изучению рациональных функций, сначала целых и затем дробных.

В преподавании рациональных чисел имеет место та же тенденция: дроби рассматриваются в связи с делением величин, устанавливается понятие о дроби как части единицы; с помощью «деления по содержанию» дается понятие о дроби как о частном от деления; сравнение дробей устанавливается на основании реального смысла дроби, равно как действия над дробями и их свойства.

Что же касается до натуральных чисел, то действия над ними устанавливаются исключительно на практическом материале.

11. Действительно ли именованные числа не имеют права на существование в математике и отношение должно быть понимаемо как частное от деления двух отвлеченных чисел? Ответим сначала на второй вопрос. При изучении векторов мы можем рассматривать отношение двух коллинеарных векторов: при умножении вектора А на скаляр X мы получим вектор В> коллинеарный Л, и имеем право написать: — = X.

Здесь мы имеем дело с делением не чисел, а других объектов, не являющихся числами.

Можно привести и другие примеры, когда делить приходится не только числа. Поэтому утверждение А. Я. Хинчина, «что арифметические операции мы производим только над отвлеченными числами», слишком категорично.

12. Это утверждение не вызывает никаких возражений, если мы отнесем его только к арифметике. Действительно, арифметика как математическая дисциплина оперирует только над отвлеченными числами и знает только одно деление. Но в таком случае возникает вопрос, почему именно мы должны школьные математические дисциплины всемерно приближать к тем, которые в науке носят то же название, в частности школьную арифметику — к арифметике-науке. Разве математика ограничена изучением арифметики, алгебры, геометрии?

Нет необходимости заранее очертить круг математических идей, преподаваемых в школе именно так, как это освящено традицией. Сняв это ограничение, мы сможем дискутировать на тему, является ли учение о скалярных величинах достойным для введения его в школьное преподавание; о том, что это учение принадлежит современной науке, возражений, вероятно, не будет.

В свете учения о скалярных величинах именованные числа получают права на существование и притом в арифметике в широком смысле этого слова.

В самом деле, учение о скалярных величинах и векторах приводит к обоснованию учения о дробных, отрицательных и иррациональных и мнимых числах, а потому может быть отнесено к арифметике-науке.

Хотя никто в настоящее время не сомневается в том, что истоки понятия числа лежат в области конкретных «именованных» величин, однако в результате абстракции мы оперируем над отвлеченными числами, забывая об их происхождении. Между тем уже наступила пора реабилитации величин, и в этом заслуга принадлежит современной математике, которая приступила к научному изучению того, что не входило в область математики.

13. Если стать на точку зрения скалярных величин как объектов, изучаемых математикой, то школьная арифметика является известного рода конгломератом, но не физико-математическим, а математическим — из арифметики рациональных чисел и арифметики скалярных величин. Такой конгломерат уже имеет прецеденты: школьная алгебра есть конгломерат арифметики, алгебры и анализа.

Этот конгломерат, имея под собой научную базу, является в то же время чрезвычайно полезным с педагогической точки зрения. Ученики знакомятся с величинами и действиями над ними, а затем переходят к изучению отвлеченных чисел и действий над ними, причем, как они увидят, действия над величинами сведутся к действиям над числами.

14. Возвращаясь к вопросу об «отношении» в школьном курсе арифметики, можно сформулировать следующие возможные варианты.

А. Сохранить существующее в школьной практике положение вещей, а именно: понимать отношение как частное от деления двух именованных величин.

Приняв этот вариант, мы можем писать:

-= 4.

5 кг

Б. Отождествить отношение с частным от деления двух «отвлеченных чисел». Если принять этот второй вариант, то запись ^кг = 4 следует считать не имеющей смысла.

15. Как ни соблазнителен вариант Б даже при признании права за именованными числами и действиями над ними быть узаконенными в курсе арифметики, все же приходится считаться с тем громадным распространением, которое имеет термин «отношение». Принятие варианта Б фактически равносильно изгнанию этого термина из арифметики, так как нет смысла сохранять особое название для частного от деления двух чисел. Прежде всего это затронет в будущем (VIII кл.) геометрию. Правда, можно при изучении отношения отрезков заранее мыслить

частное от деления чисел, выражающих длины Отрезков; однако эта арифметизация геометрии быть может нежелательна не только в силу исторических корней понятия «отношение двух отрезков», с чем можно было бы не посчитаться в целях очищения науки, но и с точки зрения геометрии. Да и в пределах школьной арифметики изучение пропорциональных величин станет более затруднительным, если отождествить отношение и частное. В таком случае придется давать определение пропорциональных величин как такое, в котором отношение соответствующих численных значений величин остается неизменным, но это лишает пропорциональные величины их наглядности в изучении.

16. Изгнать пропорциональные величины из школьной арифметики затруднительно ввиду постоянного с ними общения в физике, в технике, экономике, изучать же их с помощью частных педагогически не убедительно. Не лучше ли сохранить отношение двух величин и избавить учеников от необходимости каждый раз настораживаться при встрече с отношением величин и говорить, что «нас этому не учили».

17. Неверно и то, что сохранение термина «отношение двух величин» ведет часто к неясностям и недоразумениям.

Например:

Отсюда

(1)

Мы имеем пропорцию, дальнейшие операции с которой ведут к нелепостям:

(2)

(3)

Между тем из пропорции:

следуют верные равенства:

Абсурдность равенств (2) и (3) имеет место потому, что по отношению к верному равенству (1) применены свойства пропорции между числами, вообще говоря, неверные для пропорции между величинами.

Действительно, из равенства:

следует, что

или

После умножения равных чисел 60 и 20-3 на равные 40 и 120 - получим равные числа:

60.40 = 20-120

Мы умножаем числа на числа, но не величины на величины (хотя, быть может, числа выражают значения каких-либо величин).

^ 60 кг

Точно так же выражение - не имеет смысла в теории скалярных величин. Между тем из равенств:

следует верное равенство, несмотря на перестановку членов:

Наконец, из равенств:

следует

и далее остаются верными такие равенства:

18. Очевидно, в пределах курса арифметики начальной школы нет возможности изучать соотношения между скалярными величинами, подобные тем, которые были приведены выше, и приходится оставлять учеников на некотором достигнутом уровне (если принять вариант А). Повидимому, можно ограничиться следующим: после установления двух видов деления, т. е. величины на число (деление на части) и величины на величину (деление по содержанию), можно ввести понятие об отношении: отношение двух величин есть число, равное частному от деления их численных значений. Если две величины изменяют свои численные значения так, что отношение двух значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой, то такие величины называются пропорциональными. Таким образом, вводятся в рассмотрение пропорции, члены которых — числа. Пропорции, члены которых — величины, не рассматриваются, равно как не рассматриваются и операции над отношениями величин.

ОБ УМНОЖЕНИИ И ДЕЛЕНИИ НА ДРОБЬ

Н. И. КАШИН (В. Волочек)

Критика различных определений и выводов правил умножения на дробь заняла бы слишком много места, но в этом нет и необходимости, так как все они обладают в той или иной степени недостатками, нежелательными в школьной практике настоящего времени. Поэтому остановимся только на тех методических установках, которые даны в «Методике арифметики» Березанской и в учебнике Киселева.

В «Методике арифметики» Березанской умножению на дробь предшествует параграф «Нахождение доли числа есть умножение». В нем, после некоторых методических приемов (решение ряда задач), рекомендуется сообщить ученикам, что «вместо того, чтобы писать 260:2; 260:3 и т. д., пишут...: 260-^-, 260 X *4-« • • * и т- д- И вместо того, чтобы говорить, например: «найти часть от 260» (260 разделить на 4 части), говорят: «260 надо помножить на одну четвертую».

Не надо иметь большой педагогической опытности, чтобы сказать, что ученики не только не поймут, в чем здесь дело, но и добровольно не согласятся заменить простое и естественное деление на целое число «умножением на дробь». Поэтому понятна следующая фраза автора: «Надо решить много упражнений с учащимися, чтобы они научились нахождение доли числа понимать как умножение и называть умножением, и только после этого можно перейти к следующему вопросу — умножению на любую дробь».

Заключительная часть умножения на дробь изложена не лучше. Именно в § 9 «Нахождение дроби числа умножением» говорится: «Учащиеся уже усвоили, что когда надо найти какую-либо долю числа, то говорят, что это число надо умножить на данную долю единицы. Теперь они подготовлены к усвоению следующего этапа работы. Вместо того, чтобы говорить и писать: «Надо найти, чему равна любая часть (дробь) числа, например -~- или -у-», говорят и пишут: «Это число надо умножить на дробь выражающую часть числа, которую надо найти, а именно на ~-, на -у-»- Опять мы имеем догматизм.

Кроме того, в «Методике арифметики» нет никаких замечаний о выводе правила умножения на дробь, что является существенным недостатком. Таким образом, «Методика арифметики» Березанской не сможет помочь учителю в преодолении трудности рассматриваемого вопроса.

Учебник Киселева указанными недостатками не обладает, изложение построено логично на всем его протяжении. И все-таки слабые места в методическом отношении имеются и здесь. Замечания вызывает, во-первых, исходное положение (определение умножения на дробь) и, во-вторых, заключительная часть — правило умножения.

Умножение на дробь в учебнике Киселева вводится как нахождение дроби числа. Следствием такого «определения» является то, что, как показывают наблюдения, учащиеся знают только нахождение дроби данного числа и каждый раз решают эту задачу «рассуждением» (т. е. в два действия) и, конечно, не могут понять, почему способ решения этой задачи называют «умножением».

Правила умножения в учебнике Киселева состоят из четырех основных правил (умноже ние дроби на целое число, целого числа на дробь, дроби на дробь и умножение смешанных чисел) и одного дополнительного (произведение трех и более дробей). С таким оби лием правил тоже согласиться нельзя, тем более, что кроме этих правил учащиеся обязаны знать изменение произведения с изменением сомножителей, законы умножения. Положение осложняется тем, что усвоение и следующего материала предъявляет к памяти учащихся не меньшие требования, а именно: надо запомнить пять основных правил деления и одно дополнительное (деление на произведение) Вполне естественно поэтому, что учащиеся после прохождения умножения и деления дробей сбиваются при чтении этих правил и основной их работой является не стремление осознать смысл, а только запомнить все правила и не перемешать одно с другим. Опасения учащихся тем более основательны, что все правила являются комбинацией очень большого числа слов.

Часто учителя, имея в виду «поподробнее объяснить» материал учебника, говорят учащимся, «как надо», «как можно» и «как не надо» поступать при том или ином действии. Все это вносит путаницу в головы учащихся, и остается только удивляться, как еще они усваивают материал, несмотря на то, что он изложен в учебнике и подробно объяснен учителей».

В «Известиях Академии педагогических наук»

№ 4 за 1946 г. имеется статья проф. Арнольда «Операторное истолкование числа в курсе элементарной математики», касающаяся и обcyждаемого нами вопроса. Критическая ее часть не вызывает замечаний, и знакомство с ней можно рекомендовав каждому преподавателю. Положительная же ее часть, несмотря на категоричность тона, вызывает возражения методического характера. Кратко эту часть можно изложить так: так как в школе учащиеся получают представление о дроби как о числе именованием, то для них непонятно, «как перемножить и -^-» (аналогия: 2 яблокаX X 3 яблока). В случае целых чисел выручает операторный смысл числа, например: «трижды пять» или «три раза по пяти» и т. п., которого нехватает у дроби (так как нельзя, например, взять множителем какое-либо число ■|- раза).

Проф. Арнольд предлагает ввести в школьную практику операторное толкование и для дроби, а именно: множитель — (который рекомендуется писать впереди множимого) указывает операции—деления множимого на п равных частей и повторение сложения полученных частей т раз.

Например: -i-.6 = 3; -i-. -i- =» (половина одной трети) и т. п. В связи с этим проф. Арнольд предлагает заменить термин «умножить на...» на «столько-то раз г:о...>

«Операторный смысл» дроби, который предлагает ввести проф. Арнольд, не является новым понятием ни в методическом, ни в теоретическом отношении, а является новым только термин операции «умножения на...», о которой и идет речь. Поэтому методических трудностей, связанных с умножением на дробь, предложение проф. Арнольда разрешить не поможет. А отсюда и написание множителя впереди является излишним. Что касается изгнания из школьного обихода термина «умножить >а...э и замены его «столько-то раз по...», то, во-первых это спор о словах, а во-вторых, термин «умножить на...» нельзя отбросить хотя бы потому, что его нечем будет заменить при дальнейшем прохождении математики (умножение одночленов и многочленов, произведение радикалов и т. п.), тем более что существует и аналогичный ему термин «разделить на...».

Таким образом, вышеуказанная статья проф. Арнольда не разрешает трудностей вопроса.

На основании вышеизложенного намечается те требования, которые следует предъявить к методике прохождения умножения на дробь.

Во-первых, определение умножения на дробь не должно зависеть от решения какой-либо задачи, причем это определение должно годиться и для умножения на целое число. Во-вторых, после того как определение умножения на дробь дано, следует выяснить, где это действие может быть применено (нахождение дроби числа). В-третьих, число правил, связанных с этим действием, должно быть по возможности минимальным.

Таким требованиям может удовлетворить следующая схема прохождения умножения на дробь, конечно, после соответствующей методической обработки.

Ученики уже знают, что целое число можно рассматривать как дробь со знаменателем 1. Такое понимание следует укрепить, хотя бы путем решения примеров типа:

Перед умножением на дробь естественно напомнить учащимся умножение любого числа а на целое число и интерпретировать его так:

и обратить внимание на то, что при умножении на целое число мы берем множимое слагаемым «целиком», и поставить это в связь со «знаменателем» 1 целого числа. После этого следует сообщить учащимся, что умножение любого числа на дробь определяется аналогично, именно:

И здесь следует обратить внимание на то, что при умножении на дробь слагаемым берут долю числа, определяемую знаменателем дроби столько раз, сколько единиц в числителе дроби. Если сопоставить это определение умножения с определением дроби, то можно получить, что

Читая справа налево, можно прийти к выводу, что дробь числа находится умножением.

С другой стороны, так как а а а а «, а*3 —+ -4- + Х=4~-3=^Г'Т0' следовательно:

ч/ 3 а-3 «X — —.I" -

т. е. чтобы умножить любое число на дробь, нужно его умножить на числитель и полученное произведение разделить на знаменатель. Этого

правила, вообще говоря, достаточно для применения ко всем возможным случаям, оно легко и для понимания и для запоминания.

При решении текстовых задач следует дробь числа находить умножением (по правилу), а не рассуждением (в два действия), что должно предшествовать умножению на дробь, а не следовать за ним, как это часто бывает в школьной практике. Это освободит учащихся от нудных «рассуждений» при нахождении дроби числа. Ведь в этом и смысл введения умножения на дробь на данной стадии усвоения курса арифметики.

Определение деления трудности не представит. Для этого придется напомнить учащимся определение деления на целое число и переместительный закон умножения. Вывод правила деления на дробь можно получить следующим рассуждением: пусть нужно некоторое (целое или дробное) число b разделить, например, на Это значит, что требуется найти число я, после умножения которого на -у- получается число Ь. Так как при умножении а на у мы умножаем а на 4 и делим на 7 (и получаем число Ь)у то для «восстановления» а нужно Ъ разделить на 4 и умножить на 7.

Это рассуждение после применения к конкретным числовым примерам дает возможность получить правило: чтобы разделить какое-либо число на дробь, нужно его разделить на числитель и умножить на знаменатель. Полезно для учащихся убедиться, что это правило верно и для деления на целое число. Установить связь между нахождением числа по его дроби и делением на дробь — методической трудности не представляет.

Решение текстовых задач, связанных с делением на дробь, должно идти по схеме:

если--х = а, то х = а:—,

а не так, как часто бывает на практике, т. е. так как

и, следовательно,

Размеры статьи не позволяют дать детальную разработку предлагаемого способа, но и из изложенного должно быть ясно, что при его применении память учащихся не будет перегружена и процесс усвоения зрительно сократится. Все это дает возможность учащимся лучше и тверже усвоить школьный курс арифметики.

ОТ РЕДАКЦИИ. Печатая статью Н. И. Кашина в дополнение к двум статьям, опубликованным в № 1, редакция просит читателей высказать свое мнение по вопросам, затронутым этими статьями.

ИЗ ОПЫТА

РАЗВИВАТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ВООБРАЖЕНИЕ УЧАЩИХСЯ

М. М. МАШКОВ (Москва)

В геометрии много хороших задач, развивающих пространственное воображение учащихся. К числу таких задач я отношу, между прочим, задачи без линейных данных. Этим задачам и посвящена настоящая заметка.

Задача 1. Дан куб. Найти угол между диагоналями двух его граней. Рассмотреть все возможные случаи.

Задача простая, однако для диагоналей, выходящих из одной вершины куба, часто слышишь от ученика ответ: 45°... Такие ответы служат предупреждением преподавателю: не пренебрегать даже простыми задачами.

Задача 2. Найти угол между диагональю куба и его гранью.

Задача 3. Найти угол между диагоналями куба.

Задача 4. Дан куб. Через одну и ту же диагональ основания куба проведены две плоскости: одна в сечении с кубом образует равносторонний треугольник, вторая является диагональной плоскостью куба. Найти двугранный угол между этими плоскостями.

Задача 5. Найти угол между диагональю куба и диагональю одной из его граней. Рассмотреть все возможные случаи.

Задача 6. Доказать, что в правильной треугольной пирамиде любое боковое ребро образует с противоположным ребром основания прямой угол.

Задача 7. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро перпендикулярно одной из диагоналей основания пирамиды. Доказать.

Задача 8. Найти угол между гранями в правильном тетраэдре.

Последние три задачи легко решаются применением теоремы о трех перпендикулярах.

Задача 9. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен а. Найти двугранный угол р между боковой гранью и плоскостью основания.

Задача 10. Плоские углы трехгранного угла равны: 45°, 60°, 45°. Найти двугранный угол, ребро которого служит общей стороною для углов в 45°.

Указанную задачу можно решить без применения тригонометрии, используя теорему Пифагора и ей обратную.

Задача 11. Все плоские углы трехгранного угла равны 70°. Найти двугранные углы.

Задача 12. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен а. Найти двугранный угол между смежными боковыми гранями.

Задача 13. Построить линейный угол между противоположными гранями правильной четырехугольной пирамиды.

Указание. Использовать следующую теорему стереометрии: Если имеем две параллельные прямые и через каждую из них проходит плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна заданным прямым (конечно, если плоскости пересекаются).

Задача 14. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен а. Найти двугранный угол между противоположными боковыми гранями пирамиды.

Задача 15. В правильной шестиугольной пирамиде плоский угол при вершине равен а. Найти двугранный угол между противоположными боковыми гранями пирамиды.

Задача 16. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен углу между ребром и плоскостью основания. Вычислить двугранные углы этой пирамиды.

Указание. Эта задача несколько сложнее предыдущих и требует ббльших навыков по тригонометрии.

Ход решения таков: Найти сначала плоский угол при вершине пирамиды:

а=2 arc 310(^7^); a ss51°49'38". Если р — угол между боковой гранью и плоскостью основания, то fS = arc cos ^tg I p«60°55' 50".

Для нахождения остальных двугранных углов можно воспользоваться результатами решения задач 12 и 14.

Задачи подобного типа, не содержащие линейных данных, всегда вызывают живой интерес учащихся, и бесспорно полезно в процессе преподавания уделять некоторое время решению таких задач.

РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ В VI КЛАССЕ

П. В. СТРАТИЛАТОВ (Москва)

Тема «Разложение на множители» представляет для учащихся VI класса большие трудности и быстро забывается. Так, осенью при проведении контрольной работы по алгебре в VII классе учащимся были предложены примеры, аналогичные по содержанию примерам, которые они решали на переводных испытаниях весной того же года. Наибольшее число ошибок в этих работах приходится на «разложение на множители».

Среди причин, которыми обусловливается такое положение вещей, следует отметить две основные:

1) Тема «Разложение на множители» проходится в VI классе в апреле, т. е. в конце учебного года, и учащиеся не имеют достаточного срока для ее освоения и закрепления.

2) Тема эта дается оторванно от остальных вопросов курса VI класса, и учащиеся до VII класса не видят ее применения.

Таким образом, один из наиболее трудных вопросов программы курса алгебры VI класса поставлен в наименее выгодные условия.

Основная мысль предлагаемого способа, проверенного в ряде школ Бауманского района Москвы, заключается в том, чтобы связать отдельные приемы, применяемые при разложении на множители, с изучением умножения и деления одночленов и многочленов.

Так. после умножения одночленов были поставлены учащимся следующие вопросы: «Дан одночлен 12а364. Какие два одночлена нужно перемножить, чтобы получился данный одночлен? Сколько решений имеет задача?» (Коэффициенты считаются целыми)

В связи с вопросом о делении одночленов бы и рассмотрены следующие упражнения:

«Дан одночлен (— \8авЬ2).

а) На какие одно>члены он делится?

б) Выписать все делители этого одночлена». Рассмотрение этих вопросов сопровождалось аналогичными арифметическими примерами с целыми числами.

Параллельно умножению одночлена на многочлен и делению многочлена на одночлен было рассмотрено разложение многочлена на множители способом вынесения за скобки общего множителя. Сразу же после ознакомления с умножением одночлена на многочлен были рассмотрены такие вопросы:

«1. Дан многочлен (\2аъЬ2 — 18а263). От перемножения каких одночлена и многочлена может получиться данный многочлен.

Сколько решений имеет задача?»

«2. Дан многочлен (\2аьЬ2 — \ЪагЬ*). Найти одночленные делители этого многочлена».

«3. Дан многочлен (\2а?Ь2 — 18а268). Выписать все делители этого многочлена».

После такого рода упражнений был рассмотрен вопрос о разложении многочлена на множители способом вынесения за скобки общего множителя, и учащиеся решили соответствующие примеры из сборника задач Шапошникова и Вальцова.

При прохождении формул сокращенного умножения и деления параллельно был разобран вопрос о применении этих формул к разложению многочлена на множители.

Так, например, после разбора формулы (а2 — Ь2) были предложены следующие вопросы:

«Дан многочлен (а2 — Ь2).

а) Найти делители этого многочлена;

б) от перемножения каких многочленов он получился ?

в) на какие множители его можно разложить?» После решения ряда примеров учащиеся

переходили к рассмотрению соответствующих примеров главы III сборника задач Шапошникова и Вальцова.

Таким образом, уже в III четверти учащиеся свободно разлагали на множители многочлен с помощью вынесения за скобки общего множителя и формул сокращенного умножения и деления.

В апреле время, отведенное на тему «Разложение на множители», было использовано:

1) На обзор и повторение двух разобранных и закрепленных приемов (вынесение за скобки общего множителя и применение формул сокращенного умножения и деления).

2) На ознакомление с другими способами — способом группировки и применением нескольких способов вместе.

3) Было решено много добавочных упражнений большей степени трудности, чем данные в задачнике Шапошникова и Вальцова.

Опыт показал, что такой порядок прохождения разложения многочлена на множители значительно повышает качество усвоения этого раздела учащимися.

Следует отметить, что качество усвоения умножения и деления одночленов и многочленов, а также и действий со степенями значительно улучшилось.

ХРОНИКА

К ПЯТИДЕСЯТИЛЕТИЮ НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРОФЕССОРА Д. Д. МОРДУХАЙ-БОЛТОВСКОГО

В. Л. МИНКОВСКИЙ (Шадринск)

Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовской родился 27 июля 1876 г. в семье известного инженера железнодорожного транспорта в уездном городке Павловске Петербургской губернии.

Первые годы учебы Д. Д. протекали в домашней обстановке, а с десятилетнего возраста он обучается в первой классической гимназии Петербурга.

Закончив в 1894г. курс средней школы, Д. Д. продолжает свое образование на физико-математическом факультете Петербургского университета. Здесь незаурядная математическая одаренность и резко выраженная склонность к углубленному осознанию научных проблем новичка-студента привлекают к себе внимание выдающихся профессоров университета, в том числе А А. Маркова и К. А. Поссе. По представлению профессуры Д. Д. в 1898 г. оставляют при университете для подготовки к профессорскому званию по кафедре чистой математики. Однако в конце этого же года начинающий аспирант, нетерпеливо стремившийся к непосредственному педагогическому общению со студенческой молодежью, принимает назначение в качестве ассистента замечательного русского ученого проф. Г. Ф. Вороного в Варшавский политехнический институт. Напряженная и плодотворная педагогическая работа не помешала Д. Д. разносторонне и глубоко подготовиться к магистерским экзаменам, которые он блестяще сдал в 1900 — 1901 гг.

Покончив с экзаменами, Д. Д. развертывает интенсивую научную деятельность, в результате которой в «Сообщениях харьковского математического общества» за 1902 г. появилась первая публикация молодого магистра. Она содержала оригинальное обобщение знаменитой теоремы Абеля.

К моменту представления (1906 г.) своей обширной (свыше 400 стр.) магистерской диссертации Д. Д. имел уже 6 печатных трудов. Его диссертационная работа «О приведении абелевых интегралов к низшим трансцендентным» излагала существенно новый метод приведения, дающий обобщение результатов Пуанкаре-Пикара, решение проблемы Шварца относительно преобразования интегралов Абеля, вывод условий существования алгебраического решения обобщенного уравнения Эйлера и некоторые другие результаты.

Непосредственным плодом ассистентской деятельности Д. Д. является Систематический сборник элементарных упражнений по дифференциальному и интегральному исчислениям» (1904 г.) Этот большой сборник, в основном оригинальный по своему задачному материалу, представляет собою мастерскую реализацию весьма зрелых и интересных педагогических воззрений автора, обстоятельно изложенных в введении к работе.

В 1907 г. Д. Д. в составе небольшой группы научных работников Варшавы командируют в Новочеркасск для непосредственного участия в налаживании учебного процесса в только что организованном Донском политехническом институте. В следующем году Д. Д. был утвержден в качестве профессора вновь открытого института.

Но научные интересы молодого профессора побуждают его думать о возвращении в Варшаву, как в один из немногочисленных центров исследовательской мысли тогдашней России. По конкурсу в 1909 г. он утверждается экстраординарным профессором Варшавского университета, а через три года ординарным.

К варшавскому периоду научной деятельности Д, Д. относятся его обширные исследования по интегрированию в конечном виде трансцендентных функций и решению в квадратурах дифференциальных уравнений.

В 1913 г. Д. Д. решает 22-ю математическую проблему Гильберта, доказав, что функция, определяемая известным рядом, не может быть определена алгебраическим дифференциальным уравнением.

В этом же году Д. Д. обнародовал свои первые изыскания о трансцендентных числах (дополненные впоследствии в 1926 г.), являющиеся серьезным подступом к решению знаменитой седьмой проблемы Гильберта, полностью решенной в 1934 г. другим советским математиком — А. О. Гельфондом.

В 1915 г. Варшавский университет со своим профессорско-преподавательским составом в силу условий военного времени был эвакуирован в Ростов на Дону.

Д. Д. работает в Ростовском университете до его ликвидации в январе 1931 г. После этого он переходит на работу в организованный на базе университета педагогический институт. С возобновлением работы университета Д. Д. успешно совмещает свою научнопедагогическую деятельность в университете и институте.

В 1935 г Всесоюзная аттестационная комиссия при ВКВШ присудила Д. Д. ученую степень доктора физико-математических наук без защиты диссертации.

В ростовский период научные интересы Д. Д. главным образом сосредоточиваются на проблемах четырехмерного мира и пространства Лобачевского. Интенсивно обогащается геометрический кабинет университета новыми оригинальными моделями, относящимися к многомерному пространству. Среди этих моделей много таких, которые представляют собою своеобразную интерпретацию ненапечатанных статей как бы «окристаллизованную» мысль автора. В непосредственной связи с названным кругом интересов находится значительная часть работ Д. Д. по геометрии построений.

В исследованиях по алгебраическим кривым даются интересные обобщения диаметральных и полярных свойств; работы по дифференциальной геометрии относятся к проблемам одевания поверхностей и к кривизне высших порядков.

В 20-х годах Д. Д. начинает живо интересоваться проблемами авиации. С этой новой струей в области научных интересов Д. Д. связаны его первые работы по математической биологии, относящиеся к летучкам, крылаткам и к полету птиц. Большое внимание советских и иностранных зоологов вызвали работы Д. Д., посвященные строению скелетов радиолярий, в частности связанным с ними экстремальным задачам.

Д. Д., являясь неутомимым энтузиастом-педагогом, большее значение придает своим исследованиям по истории и методике математики. Маститый профессор незыблемо убежден в том, что «проблема создать ученого: научить знанию и научной работе — более простая проблема, чем проблема создать учителя: научить учить»*.

По воззрениям, прочно укоренившимся в дореволюционных университетах, заниматься методикой преподавания науки для профессора высшего учебного заведения считалось недостойным его высокого звания. И лишь немногие ученые находили в себе достаточно сил и независимости, чтобы словом и делом противодействовать этому нелепому и вредному предрассудку. Ярким представителем этой передовой группы ученых является Д. Д. Мордухай-Болтовской.

Во всех своих педагогических работах Д. Д. исходит из следующего положения: методика призвана решать аксиоматическо-психологическую проблему. Это означает, что каждое доказательство школьного типа должно быть построено только на тех предпосылках, для которых вопрос о доступности учащимся предварительно решен в положительном смысле.

Отсюда Д. Д. придается очень большое значение изучению психологии восприятия и творчества, в частности, в области математического мышления. И не случайно, что одна из первых работ педагогического цикла самого Д. Д. (относящаяся к 1912 г.) посвящается именно этой проблеме**.

Д. Д. считает, что школьная «геометрия», раньше чем сделаться логической, должна быть опытной или наглядной***. Прежде чем оперировать отвлеченными геометрическими понятиями, надо их приобрести, а последнее достигается с помощью идеализации соответствующих реальных прототипов.

В своих работах Д. Д. настойчиво пропагандирует включение элементов истории математики в цикл обязательного материала для изучения в средней школе. В 1912 г., сопоставляя обычный материал школьного учебника истории того времени с материалами истории науки, он приходит к выводу, «что изучение истории науки в средней школе является не менее полезным, чем изучение каких-либо междоусобных войн или дворцовых интриг»****.

Однако М.-Болтовской решительно выступает против подмены в процессе обучения логической структуры рассматриваемого вопроса его историческим генезисом, воспроизводимым во всех деталях. При всем своем законном уважении к крупнейшему историку математики В. В. Бобынину, Д. Д. в противовес его мнению заявляет, что «едва ли ученику может принести пользу индусская веревка, древнегреческая звезда, римская грома и диоптр Герона Александрийского»*****.

Исключительно большое внимание уделяет Д. Д. изучению истории учебника, считая, что здесь проходит то нижнее русло математической мысли, ознакомление с которым подсказывает современному методисту много ценных мыслей, ибо даже в прошлом заблуждении обычно заключается доля истины.

В связи с изучением учебника Д. Д. весьма содержательно анализирует проблемы математической терминологии.

Будучи последовательным сторонником реформы преподавания математики в дореволюционной России, участником всероссийских съездов преподавателей математики и трудов Русской национальной подкомиссии по преподаванию математики, Д. Д. выступает, однако, против крайностей в осуществлении реформы. Так, например, он решительно высказывается против включения в программу курса средней школы геометрии Лобачевского и Римана. Настаивая на включении в курс средней школы аналитической геометрии (хотя бы ограничиваясь прямой и кругом), Д. Д. отвергает целесообразность изучения в средней школе математического анализа как отдельной дисциплины, ограничиваясь требованием «познакомить (учащихся. — В, М.) с идеей функции на отдельных примерах, познакомить с понятием производной и изменить изложение тех глав геометрии, которые не могут обойтись без предела

* Д. Д. Мордухай-Болтовской, Второй всероссийский съезд преподавателей математики, 1914, стр. 66.

** «Психология математического мышления», «Вопросы философии и психологии», М., сентябрь-октябрь, 1912 г., стр. 491 —534.

*** «Геометрия как наука о пространстве», «Известия Ростовского пединститута», т. X, 1940, стр. 10.

**** М.-Болтовской, О первом всероссийском съезде преподавателей математики, Варшава 1912, стр. 2 .

***** М.-Болтовской, Второй всероссийский съезд преподавателей математики, стр. 62.

суммы бесконечно малых, так, чтобы основная идея интегрального исчисления выступила вполне ясно и определенно»*.

Следует отметить, что Д. Д. постоянно стремится вовлечь в творческую дискуссию учителей, к голосу которых он всегда чутко прислушивается. Он неустанно призывает педагогов к творческому преподаванию и тщательному анализу его итогов. В частности Д. Д. придает очень большое значение глубокому изучению письменных работ учащихся и обоснованной на четких логических и психологических основах классификации ошибок.

Свои методические взгляды Д. Д. до недавнего времени проверял и совершенствовал на личном опыте преподавания математики в разных классах средних школ различного типа. Этой же цели способствовали развернутые дискуссии по различным общим и частным вопросам преподавания математики на постоянно действующем под непосредственным руководством Д. Д. математическом семинаре, привлекавшем на свои заседания передовых учителей средних школ. Многие сообщения участников этого семинара существенно обогатили советскую методическую литературу.

Д. Д. было уже 65 лет, когда началась Великая Отечественнвя война советского народа. Движимый патриотическим чувством, старик-профессор, выполнивший свою годовую учебную нагрузку, просит в 1942 г. предоставить ему возможность безвозмездно работать с заочниками-педагогами. 20 июля, когда Д Д. выходил из института после своей очередной лекции, он был тяжело ранен осколками вражеский бомбы. Ранение повлекло почти годовое пребывание в госпиталях и эвакуацию из Ростова в Ессентуки. Первые мучительные шаги на костылях Д. Д. смог предпринять только в 1943 г. В августе этого же года он возобновляет свою научно-педагогическую деятельность в Пятигорском институте. Летом 945 г. Д. Д. переводится в Иваново, нуждаясь в поддержке и уходе проживающих там родных, а в 1947 г. возвращается на работу в родной Ростов.

Немецкие варвары сожгли богатейший научный архив старого профессора. Но у советского ученого-патриота и на восьмом десятке лет хватило энтузиазма и упорства, чтобы восстановить в короткий срок более сотни своих рукописных работ. Некоторые из них уже опубликованы в «Докладах Академии наук СССР», «Народном образовании», «Математике в школе» и других советских изданиях.

В переводе и с обширным комментарием Д. Д. М.-Болтовского советский читатель уже получил издание математических трудов Ньютона. В ближайшее время ожидается выход из печати выполненного Д. Д перевода с древнегреческого „Начал" Эвклида.

Пожелаем же Дмитрию Дмитриевичу в полувековую юбилейную дату многих лет дальнейшей плодотворной деятельности на благо и преуспевание науки, культуры и просвещения в нашей великой Родине.

О РАБОТЕ РЕДАКЦИИ МАТЕМАТИКИ УЧПЕДГИЗА

С. А. ПОНОМАРЕВ (Москва)

Математическую литературу, издаваемую Учпедгизом, можно подразделить на четыре вида: 1) учебники и учебные пос бия для учащихся средней школы; 2) научные и методические пособия для учителей; 3) учебники и учебные пособия для педагогических училищ, учительских и педагогических институтов и 4) учебники и учебные пособия для других вид jb учебных заведений (школы рабочей и сельской молодежи, спецшколы, заочники и др.).

Из года в год редакция математики увеличивает количество издаваемых названий: в 1946 г. издано было 28 названий, в 1947 г.—42 названия, в 1948 г.— 51 название и в 1949 г. будет издано 68 названий.

В этой статье мы коснемся только той литературы, которая предназначена для учеников и учителей средней школы (V — X классов).

1. Учебники и учебные пособия для средней школы

В результате оккупации фашистскими захватчиками части территории нашей страны и уничтожения ими всех культурных ценностей была уничтожена на территории, подвергавшейся оккупации, также и научно-методическая и учебная литература не только в государственных и школьных библиотеках, но и у отдельных граждан. Поэтому перед Учпедгизом была поставлена задача — издать в таком количестве учебники для средней школы, которое позволило бы каждому учащемуся иметь учебники. Эта задача, в основном, осуществлена в 1948 г.

Удовлетворяют ли выпускаемые Учпедгизом учебники для средней школы современным научно-методическим требованиям? Учебники для средней школы в подавляющем большиттве выдержали издания в течение ряда десятков лет, что подчеркивает их положительные качества, однако их содержание, расположение материала и изложение основ неизбежно отстало от требований жизни, всего того нового, что дала математика в своем развитии за последнее время.

Нашей школе нужны новые учебники, отражающие современное состояние науки и служащие делу воспитания советского человека.

Что же реально сделано Учпедгизом для того, чтобы дать школе хорошие учебники?

По арифметике. В 1949 г. Учпедгиз выпускает в качестве пробного учебника «Сборник задач по арифметике» для V-VI кл. Филичева и Чекмарева. В 1950 г. предполагается издать: 1) Учебник «Арифметика» для V — VI кл., составляемый проф. И. К. Андроновыми проф. В. М. Брадисом, 2) в качестве пробного учебника «Сборник задач по арифметике» для V- VI кл., составляемый группой учителей и научных работников под руководством проф. М. А. Знаменского.

По алгебре. В 1950 г. Учпедгиз предполагает выпустить учебник алгебры, ч. 1, акад. А. Н. Колмогорова и чл.-кор. АН СССР П. С Александрова, который в данное время перерабатывается авторами, а в 1951 г. предполагается издание учебника алгебры, ч. II, тех же авторов.

В 1948 г. издан в качестве пробного «Сборник

* М,-Болтовской, О первом всероссийском съезде преподавателей математики, стр. 10.

задач по алгебре» для VI—VII кл. П. А. Ларичева, а в 1949 г. издаются в качестве пробных «Сборник задач по алгебре» для VI — VII кл. Полозовой и «Сборник задач по алгебре» для VIII—X кл. П. А. Ларичева.

По геометрии. В 1948 г. вышли в свет в качестве пробных учебники геометрии проф. Н. А. Глаголева.

Учитывая, что учебник по геометрии, ч. 1, не дает законченных сведений для тех, кто по окончании 7-летней школы продолжает обучение вне средней школы, Учпедгиз намечает к изданию в 1950 г. в качестве пробного учебника — учебник геометрии, составляемый проф. М. Я. Выгодским, в котором наряду с курсом планиметрии будут изложены некоторые вопросы стереометрии.

По тригонометрии. В 1950 г. Учпедгиз намерен выпустить, вместо явно устаревшего учебника тригонометрии Рыбкина, учебник тригонометрии проф А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника, который, будучи выпущен в качестве пробного учебника, получил признание и высокую оценку как учителей, так и научных работников.

По черчению. В 1950 г. будет издан переработанный, в соответствии с новыми программами, учебник черчения проф. В. О. Гордона.

2. Научные и методические пособия для учителей средней школы

Математическая литература играет важную роль в деле улучшения качества работы учителя. Подготовка специалиста не заканчивается с окончанием им вуза. Вузы, готовящие учителей, не могут выпустить такого специалиста, которому не требуется большой работы над совершенствованием в избранной им специальности. Формирование мастера преподавания и воспитателя есть непрерывный процесс работы учителя над повышением уровня своей квалификации.

Что же дал Учпедгиз учителю в 1946 — 1948 гг. и что он намерен дать в 1949 г.?

Из пособий, изданных в 1946 — 1948 гг. и направленных на повышение общего теоретического уровня, назовем следующие:

1) Г. Л Невяжский, Неравенства; 2) С. И. Новоселов, Обратные тригонометрические функции; 3) О. А. Вольберг, Лекции по начертательной геометрии; 4) Ж. Адамар, Элементарная геометрия, ч. I, с решениями задач, в переводе под редакцией проф. Д. И. Перепелкина; 5) А. Г. Школьник, Уравнения деления круга. Из методических пособий: 1) Е. С. Березанская, Методика преподавания арифметики; 2) А. Н. Барсуков, Уравнения первой степени; 3) В. А. Игнатьев и др., Методический сборник задач по арифметике; 4) Я. Ф. Чекмарев, Сборник устных упражнений по арифметике.

Из учебно-методической литературы, изданной для педагогических училищ, учительских и педагогических институтов, назовем те учебники и пособия, которые представляют интерес для учителей средней школы.

1. М. К. Гребенча, Арифметика для учительских институтов.

2. Б. А. Тулинов и Я. Ф. Чекмарев, Арифметика—для педагогических училищ.

3. С. В. Филичев и Я. Ф. Чекмарев, Сборник задач по арифметике — для педагогических училищ.

4. С. И. Новоселов, Алгебра—для учительских институтов.

5. А. Н. Барсуков, Сборник задач по алгебре для педагогических училищ.

6. А. Н. Перепелкина и С. И. Новоселов, Геометрия и тригонометрия — для учительских институтов.

7. Н. М. Бескин, Методика геометрии — для педагогических институтов.

8. В. И. Костин, Основания геометрии.

9. И. И. Евдокимов, Черчение — для учительских институтов.

10. С. В. Назарьев и др., Сборник задач по геометрии—для учительских институтов.

В 1949 г. из математической литературы, интересующей учителя средней школы, будет издано:

1. Широков, Сборник арифметических задач на соображение.

2. Е. С. Березанская и Ф. Ф. Нагибин, Сборник устных упражнений по алгебре — для VI — VII кл.

3. Е. Н. Обуховская и др., Сборник устных упражнений по арифметике, алгебре и геометрии — для V — X кл.

4. С. А. Богомолов, Геометрия.

5. О. А. Вольберг, Основные идеи проективной геометрии.

6. В. Г. Чичигин, Методика арифметики. Пособие для учительск х институтов.

7. В. А. Ефремов, Сборник задач по геометрии. Учебник для педагогических училищ.

8. А. И. Погорелов, Сборник задач по алгебре. Пособие для учительских институтов.

9. А. И. Погорелов, Сборник задач по тригонометрии. Пособие для учительских институтов.

10. В. М. Брадис, Методика математики. Учебник для педагогических институтов.

11. Н. М. Бескин, Методика тригонометрии. Пособие для педагогических институтов.

Кроме указанной литературы, в 1949 г. будет издан первый том подготавливаемого АПН обширного труда «Основы элементарной математики».

На ближайшие годы редакция математики ставит перед собой задачу полного обеспечения учителя пособиями по теории и методике арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии, создания библиотеки учителя по частным вопросам преподавания и очерков по истории математики.

В деле создания хороших учебников для средней школы, научных и методических пособий для учителя важно участие широких кругов учителей-практиков и научных работников. Редакция математики Учпедгиза обращается к учителям и ко всем читателям журнала с просьбой высказать свои пожелания относительно издания учебной и методической литературы. Каждое замечание учителя, направленное на улучшение учебников или пособий, будет с благодарностью принято редакцией математики.

Письма просим направлять по адресу: Москва, Чистые пруды, 6, Министерство просвещения РСФСР, Учпедгиз, Редакция математики.

В МОСКОВСКОМ ГОРОДСКОМ ИНСТИТУТЕ УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ УЧИТЕЛЕЙ (К десятилетию работы института)

В 1938 г. был организован Московский городской институт усовершенствования учителей. Входивший в состав института кабинет математики начал работу по оказанию методической помощи московским преподавателям путем организации семинаров, лекций, создания и накопления методических документов и пособий.

I.

В разрезе общего плана работы кабинет математики проводил следующие мероприятия:

1) Организовывал научные и методические семинары и лекции на отдельные темы. В качестве лекторов были привлечены известные московские профессора Н. А. Глаголев, Г. М. Шапиро, В. В. Немыцкий, М. К. Гребенча и др.

2) Силами московских методистов и передовых учителей были составлены методические разработки по всем основным темам школьного курса математики.

3) Проводились регулярные групповые консультации для преподавателей каждого класса.

4) Велась большая работа по накоплению имеющихся в школах и по созданию новых наглядных пособий.

В течение последующих лет работа института велась в основном в тех же направлениях. Размах этой работы постепенно расширялся, охватывая все большее количество московских учителей.

В 1943 г. после годичного перерыва институт возобновил свою работу. При институте была организована кафедра математики, в состав которой вошел и кабинет математики.

В журнале «Математика в школе» №5—6 за 1946 г. была помещена статья о деятельности кафедры математики за 1945—1946 гг.

II.

В настоящем 1948/49 учебном году кафедрой математики (зав. кафедрой А. Н. Барсуков) проводятся следующие мероприятия:

1) Организованы годичные курсы отдельно для учителей V—VII и VIII —X классов. Занятия на курсах проводятся один раз в неделю (по средам от 9 до 14 часов) по 6 академических часов. Учителя, зачисленные на курсы на весь учебный год, в этот день освобождаются от работы в школе.

Учебный план курсов включает в себя предметы: осноеы марксизма-ленинизма (для преподавателей V—VII классов); диалектический материализм (для преподавателей VIII —X классов); педагогику; методологию математики, общую методику и специальные предметы (арифметика, алгебра и геометрия для V-VII кл.; алгебра, геометрия и тригонометрия для VIII—X кл.), охватывающие теорию, историю, методику преподавания каждой дисциплины (а также и практические занятия). На курсах ежегодно занимаются свыше 200 слушателей.

2) Проводятся семинары по отдельным темам и вопросам преподавания. В настоящем учебном году планом намечены семинары:

г) по внеклассной работе (руководитель Я. С. Герценштейн);

б) по обмену опытом (руководитель А. Н. Барсуков);

в) по отдельным темам программы в соответствии с заявками преподавателей. Семинары работают по вторникам от 18 до 21 часа.

Для зачисления на годичные курсы требуется командировочный документ от директора школы.

Участие в работе семинаров открыто для всех желающих.

3) Практикумы проводятся еженедельно по вторникам от 18 до 21 часа:

а) по решению арифметических задач (руководитель Н. Т. Зерченинов);

б) по решению геометрических задач на построение (руководитель М. А. Юкин);

в) по изготовлению наглядных пособий (руководитель П. Я. Дорф).

4) Проводятся цикловые лекции, имеющие целью повышение теоретического уровня преподавателей. В первом полугодии читались следующие лекции: по теории чисел (проф. А. Я. Хинчин), по векторному исчислению и его применениям в элементарной геометрии (проф. Я. С. Дубнов).

На второе полугодие намечены циклы лекций по теории вероятностей и начертательной геометрии (лекции проводятся по пятницам от 19 час. 30 мин. до 21 часа).

5) Читаются эпизодические лекции по отдельным темам (по пятницам от 18 до 19 час. 30 мин.).

В первом полугодии были прочитаны лекции: Проф. В. Л. Гончаров «Функции и пределы». Проф. Я. С. Дубнов «Определения и аксиомы в геометрии».

Инж. Кирнарский «Культура и техника вычислений».

6) Организован семинар для районных методистов (руководитель—городской методист С. В. Филичев). Для руководства работой в 25 районах Москвы проводятся ежемесячно совещания по текущей методической работе. На этих совещаниях в первом полугодии 1948/49 учебного года обсуждались следующие вопросы:

а) Итоги 1947/48 учебного года и задачи преподавания математики в 1948/49 учебном году.

б) С какими знаниями пришли учащиеся после летних каникул.

в) Итоги работы по математике за первую четверть.

г) Об экзамене по арифметике в VI классах.

д) Критический разбор билетов по математике для V—X классов и программы с объяснительной запиской по математике на 1948 г.

е) Связь начальной школы со средней. Какие требования должна предъявить средняя школа к учащимся, оканчивающим начальную школу.

ж) Работа секции по математике во время январских учительских совещаний.

7) Ежемесячно методические объединения по каждому классу проводят собрания учителей для обсуждения и консультации по всей тематике ближайшего месяца.

8) Существенную помощь учителям оказывают ежедневные тематические и индивидуальные консультации при кабинете матаматики и знакомство учителей с имеющимися в кабинете наглядными пособиями.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О КНИГЕ П. А. ЛАРИЧЕВА «СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ» (для VI—VII классов семилетней школы), ч. I, Учпедгиз, 1948,

И. Я. ТАНAТАР (Москва)

Рецензируемый сборник задач по алгебре состоит из десяти глав:

I — буквенные выражения, II — относительные числа, III — одночлены и многочлены, IV — разложение на множители, V — алгебраические дроби, VI — пропорции и пропорциональность, VII — уравнения 1-й степени с одним неизвестным, VIII — системы уравнений 1-й степени с одним неизвестным, IX — извлечение квадратного корня, X — задачи для повторения. Всего сборник содержит около 1700 занумерованных задач и примеров, причем под одним номером часто фигурируют несколько примеров или задач. Как видно из оглавления, сборник охватывает полностью программный материал алгебры VI и VII классов. В предисловии к сборнику автор пишет: ч<Издание нового сборника задач для средней школы вызвано назревшей необходимостью дать учителю пособие, составленное в соответствии с требованиями программы и методическими указаниями Министерства просвещения РСФСР «О преподавании математики в семилетней и средней школе» (Учпедгиз, 1947)». Мы полагаем, что автор справился с поставленной задачей, хотя, как это будет ниже указано, сборник не лишен некоторых недостатков.

Существующий стабильный задачник по алгебре Шапошникова и Вальцова не удовлетворяет учителей во многих отношениях; изданный Учпедгизом в 1940 г. «Дополнительный сборник алгебраических задач» (под редакцией проф. М. К. Гребенчи), предназначенный, как это следует из его названия, дополнить стабильный задачник Шапошникова и Вальцова, разрешил эту задачу только частично. Кроме того, пользование двумя задачниками: основным и дополнительным — создает неудобства как для учителя, так и для учащихся.

В задачнике Ларичева представлены с достаточной полнотой все разделы курса алгебры VI и VII классов.

В части задачника, относящейся к курсу алгебры VI класса, в умелой форме введены начальные сведения по составлению уравнений 1-й степени по условиям задач и решения уравнений 1-й степени с одним неизвестным.

Автор вводит в эту часть задачника упражнения, связанные с понятием системы координат. Опыт показал, что эти понятия не только усваиваются без труда учащимися VI классов, но вызывают увлечение, которое не всегда наблюдается при прохождении других разделов курса. Многочисленные вопросы во всех разделах задачника, в особенности во второй главе (§ 8 — упражнения и задачи для повторения), требуют от учащихся сообразительности, уменья рассуждать, а не формальных знаний. Появление таких вопросов и задач надо всемерно поощрять, так как они помогают в борьбе против формализма в преподавании математики, способствуют развитию логического мышления и сознательному усвоению курса алгебры.

Весьма ценным в методическом отношении является достаточное количество упражнений в подстановках.

Количество примеров с буквенными подстановками, ввиду их значимости, было бы желательно увеличить.

Автор пользуется в задачнике термином «относительные числа» (в соответствии с программой). Мы не разделяем той точки зрения, с которой появление этого ненужного термина объясняется методическими соображениями (см., например, «Алгебра» П. С. Александрова и А. И. Колмогорова или «Алгебра» С. И. Новоселова, в которых авторы без всяких методических затруднений обходятся без этого термина).

Мы полагаем, что следовало бы ввести в задачник больше задач «на доказательство», задач и вопросов не шаблонного характера (может быть, более трудных). Почему, например, не предложить такие задачи: «Доказать, что всякое нечетное число и половина следующего за ним четного числа суть числа взаимно простые», или: «Доказать, что произведение двух целых чисел, каждое из которых является суммой квадратов двух целых чисел, также может быть представлено в виде суммы квадратов двух целых чисел», и т. д.

Следовало бы ввести больше задач, связанных с понятием модуля и употреблением знака модуля.

Редакционная работа, к сожалению, выполнена недостаточно аккуратно. Формулировки многих вопросов и задач нуждаются в серьезном улучшении. Приведем несколько примеров:

1) На стр. 150 в зад. 10 читаем: «Определить, какие из следующих уравнений не имеют решения и какие справедливы при любых значениях неизвестного?» Можно подумать, что существуют справедливые и несправедливые уравнения.

Уравнение, «справедливое при любых значениях неизвестного», есть тождество.

2) Вместо общепринятого термина среднее геометрическое двух чисел» в зад. 15 § 16 фигурирует «среднее геометрическое между следующими числами...»

3) Нехорошо сформулирован ряд вопросов типа «проверить справедливость равенств», например:

(abc)2= аЧЧ* или (j^j =

при следующих значениях а, Ь и с — хотя бы потому, что справедливость этих равенств предлагаемым способом не может быть проверена.

4) Неясна необходимость всех примеров типа «разложить на множители 10 xyz* (гл. IV, § 1, № 1). Ведь разложение на множители в алгебре понимается как преобразование суммы в виде произведения, здесь же дается готовое произведение.

5) Неудачны задачи № 332(4) и№ 335(4) (стр. 87/ Приведем их. «Разность квадратов двух последовательных четных чисел равна 28. Найти эти числа» и «Разность квадратов двух последовательных нечетных положительных (здесь уже указывается, что числа положительные, а в первой задаче это условие отсутствует) чисел равно 32. Найти эти числа». Дело в том, что учащийся решит как первую, так и вторую задачу, игнорируя ту часть условия, где говорится о четности или нечетности чисел. Существенным является здесь вовсе не четность или нечетность искомых чисел, а то обстоятельство, что одно из искомых чисел больше другого на 2. Вместо этих неудачных задач можно было бы сформулировать следующую задачу: «Доказать, что разность квадратов двух последовательных положительных нечетных чисел делится на 8 без остатка, а разность квадратов двух последовательных положительных четных чисел делится без остатка на 4, но не делится на 8».

Это же замечание относится к задаче 336(4) (стр. 83).

о) Нехорошо сформулированы задачи 52—58 (стр. 182): «Показать при помощи алгебраического и графического решения, что следующие системы уравнений имеют бесчисленное множество решений» (или в другой задаче: «имеют только одно решение»). Попутно заметим, что термин «бесчисленное множество» следовало бы заменить термином «бесконечное множество», и, кроме того, надо было бы поставить аналогичный вопрос для несовместных систем. Лучше было бы эти задачи сформулировать иначе, например: исследовать следующие системы уравнений (алгебраическим и графическим способом) и установить... и т. д.

7) Напрасно в задачнике введена какая-то нюансировка в считающиеся совершенно равнозначными выражения «решить уравнение» и «определить х из уравнения» (стр. 172, \7Л и далее). Из задачника можно вынести убеждение, что все уравнения с числовыми коэфициентами «решаются , а из уравнений с буквенными коэфициентами «определяется х».

Для облегчения пользования задачником необходимо ввести колонтитулы (нумерация глав и их названия, печатаемые над текстом на каждой странице).

Надо полагать, что отвечающий программе и современным методическим требованиям задачник П. А. Ларичева найдет широко»' распространение, он может быть вполне рекомендован в качестве замены устаревшего задачника Шапошникова и Вальцова. В последующих изданиях можно осуществить высказанные нами пожелания и устранить отмеченные выше недочеты.

О КНИГЕ Р. КУРАНТА и Г. РОББИНСА «ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИКА»

Перевод с английского под редакцией проф. В. Л. Гончарова, Государственное издательство технико-теоретической литературы, М. — Л. 1947.

Ю. М. ГАЙДУК (Харьков)

Появление книги Куранта и Роббинса в русском переводе было встречено с живым интересом широким кругом любителей математики. Имя основного автора книги — проф. Куранта хорошо известно нашим специалистам-математикам и студентам вузов: первым — по его научным работам, вторым — по принадлежащему его перу «Курсу дифференциального и интегрального исчисления», отличающемуся высокими научными и педагогическими достоинствами. Наконец, профессор Курант известен своей активной борьбой против фашистской «философии математики» Бибербаха.

Весьма показательны мотивы, побудившие авторов написать свою книгу. В Соединенных Штатах Америки в последнее время наблюдается заметное понижение уровня преподавания математики, связанное с сильной тенденцией сообщить обучению в технических учебных заведениях грубо-утилитарный, формально-рецептурный уклон. Как противодействие этой тенденции и задумана рецензируемая книга, долженствующая отстаивать познавательную ценность математики.

Книга «Что такое математика является своеобразной краткой математической энциклопедией; в восьми ее главах с их многочисленными дополнениями авторы стараются дать краткий, но обычно достаточно содержательный и «свежий» обзор основных понятий и результатов целого ряда областей современной математики, начиная с теории чисел, алгебры и специальных вопросов элементарной геометрии и кончая неевклидовой геометрией, топологией и элементами математического анализа.

Отнюдь не являясь учебником, книга тем не менее написана с расчетом на активную работу читателя, интерес которого систематически стимулируется интересными упражнениями различной степени трудности.

Хотя книга формально не требует от читателя предварительных знаний, выходящих за рамки программы средней школы, ее стиль и разнообразие материала подразумевают читателя с несколько более высоким уровнем математической культуры — студента-математика младших курсов, учителя, инженера.

Таков общий «габитус» рецензируемой книги.

Научный авторитет авторов книги, широкий круг рассмотренных в ней вопросов, умелая «педагогическая» архитектоника, наконец, самая целенаправленность книги — все это невольно располагает нас в ее пользу.

Однако ближайшее ознакомление с книгой заставляет нас предъявить к ней ряд серьезных обвинений.

Проф. Б. И. Сегал в своей содержательной рецензии на эту книгу, помещенной в журнале «Советская книга» (1948 г., № 3 , приходит "к резко отрицательной оценке ее. Резюмируем основные замечания профессора Сегала:

1) Неподготовленный читатель получит по книге Куранта-Роббинса неправильное представление о том, «что такое математика» с современной точки зрения, так ряд главнейших вопросов современной математики (теория функций комплексного переменного, современная алгебра, дифференциальные уравнения в частных производных, теория вероятностей) вообще не затронут в книге.

2) Авторы книги «упорно не желают делать правильных материалистических выводов, неизбежно

вытекающих из исторического анализа отдельных математических вопросов» (в частности, это ведет к методологической путанице и недоговоренности при освещении развития понятия числа).

3) В книге совершенно неудовлетворительно освещены заслуги русской и советской математической науки. Так, при рассмотрении вопроса аналитической теории чисел вовсе не упоминается П. Л. Чебышев, которому в этой области принадлежит крупнейший и первый по времени результат; метод, которым академиком И. М. Виноградовым решается проблема Гольдбаха, неправильно характеризуется как существенно-неконструктивный (тогда как он позволяет найти асимптотическую формулу для числа представлений нечетного числа суммою трех простых чисел): неточно изложены исследования Л. Г. Шнирельмана; заслуга решения проблемы Гильберта о трансцендентности чисел вида аь (где а —алгебраическое, а Ь — иррациональное алгебраическое число), всецело принадлежащая советскому математику А. О. Гельфонду, произвольно приписывается также Зигелю; приоритет открытия неевклидовой геометрии, бесспорно принадлежащий Лобачевскому, авторами как будто присваивается И. Болиаи (формулой «геометрия Болиаи-Лобачевского»); замалчиваются заслуги советской топологической школы, в частности авторство Урысона в теории размерности, излагаемой в книге.

Если замечание 1) проф. Сегала о неполноте обзора Куранта-Роббинса не представляется нам существенно важным для оценки рассматриваемой книги, ибо читатель, интересующийся, скажем, теорией функций, конечно, не станет искать удовлетворения сгоих интересов в книге с таким названием, как Что такое математика», то его замечания, объединенные нами в пунктах 2) и 3), действительно вскрывают серьезные недостатки книги. Нам кажется, однако, что вину за них должен разделить с авторами книги также редактор ее русского перевода: разве не являлось его прямой обязанностью, скажем, исправление (хотя бы в форме примечаний) неправильных или тенденциозных замечаний авторов о роли открытий наших ученых в развитии математики. Да и отсутствие в книге главы о теории вероятностей, сравнительно легко поддающейся изложению в элементарном обзоре, разве не предоставляло редактору «счастливой» возможности дать самому очерк этой существенной части современной математики, к тому же обязанной своим новейшим развитием именно русскому математическому гению.

Мы вполне разделяем замечание проф. Сегала о неудовлетворительности философской позиции авторов книги. Со своей стороны, мы не думаем, что простое, механическое сокращение вводной главы книги (собственно и озаглавленной «Что такое математика»), предпринятое издательством, достаточно исправляет методологическую неудовлетворенность книги. Здесь уместно было бы ожидать от редактора русского издания хотя бы более или менее обстоятельной критики философских установок авторов книги.

Кроме чисто философских взглядов авторов, чуждое впечатление производят на нас и некоторые их исторические обобщения. Так, в предисловии авторов к первому изданию мы читаем: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека». Вряд ли с этой «прокрустовой» формулой может согласиться кто-либо, сколько-нибудь знакомый с историей математики как науки и как предмета обучения. В частности, средние века дают нам такую картину состояния математических знаний, которую, нам кажется, никак нельзя вставить в универсальную рамку формулировки Куранта-Роббинса.

Выше мы адресовали редактору русского перевода книги Куранта-Роббинса ряд претензий, связанных с недостатками самого оригинала. К сожалению, русскому изданию свойственен еще один недостаток, который приходится отнести уже целиком за счет переводчика и редактора.

Речь идет о том, что перевод книги совершенно без надобности засорен латинизированной и энглизированной терминологией, которой почему-то заменены многие давно установившиеся русские математические (и общенаучные) наименования: так, переводчик заменил обычный в нашем математическом языке термин «задача» термином «проблема» (например, «проблема Аполлония»), являющимся в данном случае просто ненужной калькой с английского; такими же кальками являются: «процедура» (аналитическая, синтетическая и пр.) — смысл этого слова в русском языке специфический и отнюдь не совпадает с его более широкой английской семантикой,— «критицизм» (вместо «критика»), «консистентный» (вместо «совместный»—речь идет о системе аксиом). Общепринятые у нас термины «семиричный», «двенадцатиричный», «шестидесятиричный» переводчик счел необходимым латинизировать в «септимальный», «дуодецимальный», «секзагезимальный». Пущены в ход совершенно чуждые нашей терминологии выражения: «конкуррентные прямые», «квадрические поверхности», понятные только тем, кто знаком с английской математической терминологией, из которой они и позаимствованы переводчиком.

Нам представляется очевидной недопустимость подобного произвольного искажения установившейся русской математической терминологии,—тем более в книге, рассчитанной на широкий круг читателей. Своими многочисленными варваризмами переводчик, бесспорно, сделал изложение книги менее доступным и, во всяком случае, подал дурной пример, которому может последовать некоторая часть читателей книги.

Из всего изложенного вытекает, что образовательное значение, которое могла бы иметь книга Куранта и Роббинса для советского читателя, резко обесценивается наличием в ней грубых идеологических и исторических ошибок.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 5 за 1948 год

№ 81

Определить два числа х и у, зная, что их сумма, разность и произведение пропорциональны числам a, b и с.

Решение 1. По условию:

x+y = at (1)

х —у = Ы (2)

ху = ct. (3)

Из (1) и (2) находим:

И)

Подстановка из (4) в (3) даст:

отсюда:

Подставив из (5) в (4), получим;

Решение 2. По условию имеем:

Из (I) по свойству производной пропорции находим:

(2) (3)

Кроме того, по условию имеем:

(4)

Умножив (4) на (2) и на (3), придем к тому же ответу.

№ 82

Дано равенство:

А = аг + па, (1)

где А и а — целые числа и 0 < п <! 2. /. Доказать, что а является корнем квадратным из А с точностью до 1 (с недостатком). 2. Воспользовавшись доказанным, найти два последовательных целых числа, зная, что разность их кубов равна 27 361.

Решение 1. Легко видеть, что при 0<л<]2 будем иметь:

а2 <а* + па <а* + 2а + 1;

отсюда:

а2<А<(я+1) а</о"<а+1,

что и доказывает положение 1. Несмотря на совершенную его элементарность, многие дали довольно сложные доказательства. 2. По условию:

(jc + 1)3 — д:3 = Зл:1 + Зл: + 1 = 27 361; отсюда: *« + * = 9120.

Сравнивая с (1) находим, что здесь:

а = х; /id и А = 9120.

Применяя доказанное положение (1), находим, что х равен у9120 , вычисленному с недостатком с точностью до 1, то-есть

х = /9120 = 95 (с нед.) Искомые числа: 96 и 95.

№ 83

Решить и исследовать систему уравнений:

(2т — 3) х — ту = Зт - 2 — 5х + (2т + 3) у = — 5

Определить знаки х и у при различных значениях т.

Решение. Имеем:

(2т — 3)х — ту = —5 (1)

(2т — 3) х — ту = Зт — 2 — Ъх + (2т + 3) у. (2) Из (2) полупим:

2(т+ 1)лг — 3(m + l)j/ = 3m — 2. (3)

1. Прч т = — 1 уравнение (3), а следовательно, и данная сиаема не имеют решения.

2. Пусть тф — 1. Исключая^ из (1) и (3) ^для простоты уравнение (3) можно представить в виде

Зт — 2 \ 2х — Зу = т + { J , получим:

(4)

При 9 — 4т = 0, то-есть при т = 2-у , уравнение (4) теряет смысл, и система не имеет решений. При 9 — Am ф 0 будем иметь;

Соответственно найдем:

так как дискриминанты числителей отрицательны, то оба oни имеют положительные значения при всех значениях га.

Следовательно, знаки хну совпадают со знаком знаменателя. Рассмотрим возможные случаи.

1. га + 1>0 и 9 — 4га>0.

Отсюда:

При этих значениях т корни х и у положительны. 2. т+1<0 и 9 — 4га <0.

Отсюда:

Система несовместна.

3. га + 1 > 0 и 9 - 4га < 0.

Отсюда:

Следовательно, при m >2-j- корни х и у отрицательны.

4. га+1<0 и 9 — 4га>0.

Отсюда:

га <— 1 и /и < 2-j7.

Следовательно, при га<—1 оба корня отрицательны.

Итак:

«) при га < —1 и при га>2^- корни отрицательны;

б) при — 1<га<2-^- корни положительны;

в) при га = — 1 и при га = 2-^- система не имеет решений.

№ 84

Решить систему уравнений:

(1)

(2)

(3) (4)

Решение. Из (3) и (4) имеем:

(5) (6)

Перемножив (5) и (6) и сделав в правой части подстановку из (2), получим:

(7)

Приняв х-\-у и z + v за новые неизвестные, решаем систему уравнений (1) и (7):

t% — 22/+ 105 = 0 /1 = 15; t2 = 7.

Итак, имеем:

I. х + у = 7 (8); г-Ьг/=15. (9)

Подставив эти значения в (5) и (6), найдем:

ху = \2 (10); si, = 54 (11)

Решив порознь системы: (8), (10) и (9), (11), получим следующие решения:

х 3 4 3 4

3/4 3 4 3

0 6 6 9 9

v 9 9 6 6 II. л: +_у = 15; z + с = 7. Тогда из (5) и (6) найдем:

Решив эти две системы, получим еще 4 решения:

Эта задача получила наибольшее количество неверных решений. Их можно разбить на 3 группы: 1) самые значения корней даны неверные; 2) даны четыре решения вместо восьми (или только целые, или только иррациональные и мнимые, или по два из обеих групп); 3) приведены все четыре корня для каждого из неизвестных, но не указано, какие же комбинации этих корней дают решении. Логически можно сделать два вывода: или авторы считают за решение лишь системы корней с одинаковыми индексами (то-есть: 1) хь уь zb vx\ 2) х2, у2, z2, v2 и т. д.), тогда их всего получается 4, или же они считают возможной любую комбинацию индексов, тогда получается 4! = 24 решения. Как видим, оба эти числа неверны.

Чертеж 1

Тогда AlV = -j jwz?=-д-Д£, что и требовалось.

Для этой простой задачи дано много разнообразных и часто крайне сложных решений, хотя некоторые из них довольно оригинальны. Для примера приведем хотя бы два.

Решение 2 (т. Айзенштат). Исходя из соотношения:

можем построить отрезок д- а (общеизвестным способом), как отрезок гипотенузы прямоугольного треугольника, у которого высота, опущенная на нее, а и второй отрезок -g- а (который легко построить).

Решение 3 (С. Колесник). 1) На прямой отложим 9 произвольных равных отрезков Ь (с тем, чтобы их сумма 9Ь была больше данного отрезка а). 2) Строим треугольник по сторонам а, 2Ь и lb. 3) Проводим биссектрису угла, противоположного стороне а. Она разделит сторону а в отношении 2:7, то-есть даст отрезок, равный-д- а.

№ 87.

Вычислить сумму.

Решение 1. Положим:

откуда:

Будем иметь:

Найти углы прямоугольного треугольника, если синусы углов образуют: 1) арифметическую прогрессию, 2) геометрическую прогрессию.

Решение 1. Пусть из острых углов А < В. Тогда по условию:

1 + sinA = 2sin£ или (так как Л + £ = 90°):

1 +cos £ = 2 sin В

В В В

2 cos2 у = 4 sin у cos -у.

В

Отсюда (так как cos ^ ф 0):

tg 2"= у-

По таблицам найдем 5 s 53° 10', а следовательно, Л ^36°5Г.

Примечание. Можно было найти, что

3 4

sin А = sin Б — "g-*

Отсюда видно, что катеты и гипотенуза треугольника пропорциональны числам 3, 4, 5, то-есть здесь имеем египетский треугольник. 2. По условию имеем:

sin2£ = 1 .sin А

sin2 В = cos В

1 — cos2 В = cos 5

Решив это квадратное уравнение относительно cos В, найдем:

cosB= ^Ъ~{ -0,618

(отрицательный корень отбрасываем).

Отсюда: В % 51° 48'; Л =s 38° 12'.

В решениях, в зависимости от способа вычисления углов, имеются расхождения в минутах. Часто решения не доводились до окончательного ответа писалось только: В = arc cos-r,-), хотя нахождение его здесь не вызывает никаких затруднений.

№ 86

Построить *д данного отрезка, не прибегая

к построению параллельных.

Решение 1. Наиболее короткое решение (по числу построений) дано предложившим задачу т. Аляевым.

Пусть АВ — данный отрезок (черт. 1). Проводим прямую через В, по обе стороны откладываем по равному отрезку ВС и BD, и точки С и D соединяем с/4. Тогда АВ — медиана в треугольнике ACD.

2) Проводим медиану СЕ. Тогда ВМ = -у АВ.

3) Соединяем М с Д проводим в треугольнике Л4£>С медиану С/7.

Из (2) и (3) имеем:

tg2a= — tg 3f,

но тогда:

Отсюда:

А = пк.

Посмотрим, какие значения может принимать п в этой формуле.

ТС ТС

Taк как tga>l, то-4-<a<-tjt

|-<2а<тс. (1)

тс

С другой стороны, tg р < 1, т. е. 0< Р<"5"

Зге

0<3?<т. (2)

Сложив (1) и (2) неравенства, получим:

тс 7тс

у<2.+ 3р<т.

Отсюда следует, что п = 1 и А = тс. Решение 'I. Более короткое решение дал т. Ширшов. Приводим его. При тех же обозначениях имеем:

В большом количестве неверных решений приписывалось п или любое целое значение, или 0.

№ 88.

Найти восьмизначные числа — точные квадраты, которые остаются квадратами, если каждую из первых четырех цифр увеличить и одновременно каждую из последних четырех цифр уменьшить на единицу.

Решение. Очевидно, что увеличение первых четырех цифр и уменьшение последних четырех на 1 равносильно прибавлению к данному числу 11 110 000

и вычитанию из него 1111. Отсюда имеем: M* = N*+U 110000—1 111

или

Л*з_лгс=1 ПЫ0 000-1 111 —

— 1 11Ь9 999 = 3 3332. (1)

Чтобы уменьшить число проб различных разложений ЗЗЗЗ2 на два множителя, т. Ширшов применил следующий остроумный способ. Из (1) видно, что М, N и 3333 являются пифагоровыми числами. Следовательно, мы можем положить:

М = 2nv; 3333 = п% — xfl\ N = ri* +v2.

Из второго равенства имеем:

(n + v) (n—v) = 3.1Ы01.

Отсюда получаем следующие комбинации:

1) n + v= 101 2) п + v = 303

п — £/ = 33 п — v~\\

3) n + v= 1111 4) n + t/ = 3333

п — v = 3 п — V =I

Но последние три комбинации дают для М = 2nv значения, большие 24 000, а следовательно, Мг будет иметь более 8 цифр. Первая же комбинация дает п = 67; v = 34. Отсюда х = 2nv= 4556. Число jt2 = 20 757 136 удовлетворяет условию, так как 31 866 025 = 56452.

В некоторых решениях давались, с известным основанием, еще два решения:

2) 31 990 336 = 5656* и 43 099 225 = 6565*

3) 19 749 136 = 4444* и 30 858 025 = 5555*

Но точному смыслу задачи они все же не отвечают, так как не все соответствующие цифры отличаются одна от другой на J.

№ 89.

Найти шестизначные числа вида xyzzyx, которые были бы точными квадратами. Решение. По условию имеем:

N* = 105jc + Ю4у + Ю32 + 102* 4. 10у + х =

= 100 OOIjc + 10 010у -h ИОО2Г = 11 (9091л: +

4-910у+ 100z).

Итак, N —ММ (что можно было установить и сразу на основании признака делимости на 11). Тогда:

106<ЛГ2<Ю6; 317 <#< 1000; 317<1Ш< 1000; 29 < М < 90.

Так как число N2 — точный квадрат, то х может быть только 1, 4, 5, 6 или 9. Рассмотрим все эти случаи.

I. х = 1. Тогда 105<ЛГ2<2.105; 316<ЛГ<448; 28<Af<41.

Так как N2 оканчивается на 1, то 1Ш, а следовательно, и М должно оканчиваться на 1 или на 9. Получаем для М значения:

29, 31, 39

и соответственно для N:

319, 341, 429.

Но:

3192 = 101 761; 3412 = 116 281; 4292 = 184 041

не удовлетворяют условию задачи.

II. х=4. Тогда:

4- 105<ЛГ2<5.10'; 632<W<708; 57<Л*<65.

Так как Ы2 оканчивается на 4, то М может оканчиваться лишь на 2 или 8. Отсюда для М имеем значения:

58, 62,

а для N соответственно:

638, 682.

Но числа:

6382 = 407 044 и 6822 = 465 124 не удовлетворяют условию задачи.

III. х = 5. Тогда:

5-105< < 6- Ю5; 707 < N< 775; 64 <М<71.

Для М имеем одно значение 65. Тогда N = 715; но 7152 = 511 225 не удовлетворяет условию. IV". х = 6. Тогда по предыдущему найдем:

70 < М < 77.

Имеем Л1 = 74 или М = 76. Отсюда JV = 814 или N = 836. Из них 8362 = 698 896 удовлетворяет условию задачи.

V. х = 9. Подобно предыдущему, найдем для М возможное значение 87, а для N = 957, которое не удовлетворяет условию.

Итак, имеем единственное решение N2 = 8362 = =-698 896.

Можно было некоторыми приемами уменьшить количество испытаний.

№ 90

Найти дробь, лежащую между -j- и-g-, зная,

что ей соответствует чистая периодическая дробь, у которой сумма цифр периода на 12 больше квадрата числа цифр в периоде. Решение. По условию (предполагая в периоде п цифр):

j хгх2хг.. .хп 1 4 999...9 ^ 3 *

Отсюда легко найдем:

2499.. .9 <ххх%...хп < 333...3 (1)

Следовательно, х1 может быть равен только 2 или 3. Наибольшая сумма цифр получится, если хх = 2, а все остальные цифры девятки. Получим по условию:

|*»+12 = * + *1+ —+*л (2)

л2 + 12<2 + 9 + ...+9 л2+12<2 + 9 (л — 1) /г2 4-12<9л — 7

/12 — 9/1 + 19<0. (3)

Решив неравенство (3), найдем, что оно удовлетворяется при значениях п:

9-/5" ^ ^9 + 1/5" -2-<п<-2-

или:

3,38</!<5,12,

отсюда:

/7 = 4 или /г = 5.

I. Пусть л=4. Тогда сумма цифр в периоде равна 42 + 12 = 28 и, следовательно,

х\ + хг + хз + *4 = 28. (4)

Очевидно, значение хх = 3 не годится (так как по (1) в этом случае х2 должно быть не больше 3; а так как х3 и~ х4 не могут быть больше 9, то равенство (4) невозможно). Итак, х = 2. Тогда

х2 + *з + *4 = 26,

откуда для искомой дроби получаем единственно возможные значения:

0,(2899); 0,(2989); 0,(2998).

II. Пусть /1=5. Тогда сумма цифр равна 52 + 12 = 37. Так же, как в первом случае, найдем, что х<[=2. Получим:

х2 + xz + х4 + хь = 35,

откуда заключаем, что одна из цифр 8, а все другие 9. Имеем четыре дроби, отвечающие условию задачи:

0,(28999); 0,(29899); 0,(29983); 0,(29998)

Всего имеем 7 решений.

В неверных решениях давались или только три первых (в большей части), или только четыре вторых ответа.

№ 91

Найти точку, сумма квадратов расстояний которой от вершин треугольника наименьшая. Определить величину этой суммы.

Решение 1. Наиболее короткое и простое решение получим, если применим теорему Лейбница, которую для треугольника можно сформулировать так:

«Сумма квадратов расстояний точки от вершин треугольника равна сумме квадратов расстояний центра тяжести треугольника от его вершин, сложенной с утроенным квадратом расстояния данной точки от центра тяжести».

Пусть в треугольнике ABC (черт. 2) точка О —

Чертеж 2

центр тяжести, а М — искомая. Тогда по приведенной выше теореме будем иметь:

MA* + MB* -f МС* = OA* + OB* + ОС* + ЗМО*. (1) Так как сумма OA* -f OB* + ОС2 для данного треугольника есть величина постоянная ^равная а* + Ь* + с* \

--^-)i то> очевидно, что минимальное зна-

чение суммы MA* -\- MB* 4- МО- получится при МО = 0, то-есть, когда точка М совпадает с центром тяжести.

Решение 2. Из решений, не основанных на теореме Лейбница, приведем в сокращенном виде решение, данное М. Ширшовым и Н. Титовым.

Пусть М—искомая точка. Легко доказать, что точка не может лежать вне треугольника, так как тогда уже основание перпендикуляра, опущенного из точки М на одну из сторон, дало бы меньшее значение для искомой суммы.

Построим на MA, MB и МС параллелограмы и проведем диагонали MD, ME и MF (черт. 3). На

Чертеж 3

основании теоремы о соотношении между сторонами и диагоналями параллелограма можем написать:

1) 2AM2 + 2ВМ% = с* + MD* = с1 + 4 огМ*

2) 2ВМ* + 2СМ*~а* + ME* = а* + 4 otM*

3) 2СМ* + 2AM* = b* + MF* =P + 4 огМ* Сложив эти равенства, получим:

4 (AM* + ВМ* + СМ*) = а* + Ь* + с* + + 4 (о{М* + о2М* + овМ*).

Очевидно, что наименьшее значение суммы в левой части будет при наименьшем значении суммы огМ2 4- о2М2 -f- овМ*.

Несколькими способами (из экономии места их не приводим) можно показать, что это имеет место в том случае, когда М есть пересечение медиан. В окончательном итоге получим:

В неверных решениях большею частью искомой точкой оказывался центр описанной (а иногда вписанной) окружности.

№ 92

Доказать тождество:

Решение. Преобразуем левую часть:

en

Пользуясь известной формулой:

получим:

и т. д. В итоге получим:

Тогда правая часть в (1) примет вид:

что и требовалось доказать.

Это наиболее короткое решение. Большинство пользовалось методом математической индукции.

№ 93

Найти построением только с помощью линейки центр тяжести фигуры, изображенной на чертеже 4.

Решение 1. Продолжим сторону DE до пересечения с АВ в точке N (черт. 4). Данную фигуру

Чертеж 4

Чертеж 5

можно рассматривать как составленную из прямоугольников ANEF и NBCD. Центр тяжести каждого из них лежит на пересечениях 04 и 02 их диагоналей. Следовательно, центр тяжести всей фигуры лежит на прямой Oi02.

Но мы можем, продолжив FE до пересечения с ВС (черт. 5), данную фигуру рассматривать и как составленную из прямоугольников AbMF и EMCD, центры тяжести которых лежат на пересечениях 03

и О4 их диагоналей. Отсюда центр тяжести всей фигуры лежит на прямой 0304. Значит, он лежит в точке пересечения прямых 0{02 и 0304.

Как видим, все построения выполняются с помощью одной линейки.

В ряде решений давались довольно сложные построения для этой простой задачи.

№ 94

Найти следующие суммы:

(1)

(2)

Решение. Из (1) и (2) легко получаем:

или:

(3)

Далее:

(4)

Или:

(5)

Из (3) и (4) находим:

Примечание. Вывод формулы (5) для суммы ряда (4) неоднократно давался в разделе задач. Напомним, что он основан на тождестве:

2 sin п cos т = sin (т -f- п) — sin (т — п). (6)

Умножив и разделив ряд (4) на sin f и полагая в (6) п = р и т = 2а, 2а 2Jj... ,2д + 2лр, придем к формуле (5).

В большинстве решений, применяя формулу 2 sin2 а as 1 — cos 2а, приходили к тому же ряду (4).

№ 95

Стороны треугольника неограниченно уменьшаются Справедливо ли утверждение, что при этом радиус описанного около этого треугольника круга также будет неограниченно уменьшаться?

Решение. Утверждение не всегда справедливо. Если, например, стороны будут уменьшаться все в одном и том же отношении, то и R будет уменьшаться в том же отношении. Поэтом\ для —, —, — при бесконечном увеличении п как стороны, так и радиус будут неограниченно уменьшаться. Но если закон уменьшения каждой из сторон произволен, то R может оставаться постоянным и даже увеличиваться. Геометрический пример приведен т. Ширшовым: пусть треугольник вписан в окружность. Будем две из его вершин неограниченно приближать к третьей. Стороны будут уменьшаться, a R остается постоянным.

Далее, так как К~~~%%\п~а » то ПРИ уменьшении а можно так изменять b и с, чтобы sin Л уменьшался „сильнее", чем а, и тогда R увеличится.

№ 96

Доказать, что:

Решение 1. Преобразовываем левую часть:

Решение 2. Приняв во внимание, что cos -у- ~

я» — cos -J- , данное равенство можем переписать в таком виде:

тс

Умножив теперь обе части (1) на sin -у-, будем иметь последовательно:

Но последнее равенство очевидно [sin (л + а) = = —sin о].

№ 97

В разносторонний треугольник вписываются окружности равных радиусов, касающиеся друг друга, как это указано на чертеже 6. Найти пределу к которому стремится отношение площади, занимаемой всеми вписанными кругами, к площади треугольника, когда число кругов неограниченно возрастает.

Решение. Пусть нижний ряд содержит п кругов.

п (п -hi)

Топа всего в треугольнике их будет-2-•

Ели радиус каждого круга г, то их общая площадь

" т.г-п (п 4- 1) ртлна S1 =--5-.

Чертеж б

В треугольнике AOD (черт, б) угол OAD = 30°.

Следователь^): Л9=2г и /lZ)=ry^3~.

Тогда дл^ьа стороны треугольника ABC будет: b = AD ±DE + EC=r^Z +r (2/1-2; + r/3 = = 2r(/i -1 + /3).

Площадь A v£C равна:

Отсюда отношение:

В пределе при л-*оо будем иметь:

№ 98

Построить четырехугольник по его сторонам, вокруг которого можно описать окружность.

Решение Задача печатается вторично. Решение ее, основанное на построении окружности Аполлония (геометрическое место точек, отношение расстояний которых от двух данных гоч<лк известно), было дано в № 1 за 1947 г. (задача 57). Приведем другое решение без применения окружности Аполлония. Обозначив одну из диагсналей через х и сохраняя обычные обозначения, получим:

хг = а* + d* —2ad cos D = ^ + —2bc cos B. (1)

Но В -f D = 180° и cos D = - cos B.

Произведя замену в (1), найдем cos В.

Так как а, Ьу с и d даны, то угол В мы сможем построить (порядок построения можно взять, например, такси:

Будем иметь-.

т2 t

Построив теперь t =, получим cos# = — .

Взяв п за гипотенузу, a t за катет, пост[ оим угол В).

Построив /гол В, на его сторонах откладываем Ь и с и из полученных точек А и С проводим дуги радиусами а и d. Их пересечение даст вер чину D. Задача возможна при условии

Другое решение (тоже без окружности Аполлония) дано в учебнике геометрии Давидова.

№ 99

Построить окружность, которая из вершин данного треугольника видна под тремя данными углами

Решение. Пусть ABC — данный треугольник (черт. /), окружность О искомая, то-есть из вер-

Чертеж 7

шин .4, В и С она видна под данными углами а, Р и т.

Соединив вершины А, В и С с центром, проведя касательные ААЬ ВВг и СС\ и соединив точки касания с центром, будем иметь:

Отсюда:

(2)

Отношения синусов во (2) можно заменить отношением отрезков различными способами. Например, построим три прямоугольных треугольника по одному и тому же произвольному катету и противоположным острым углам ~$ > 2 9 ~Т (чеРт- 8)>

Чертеж 8

получим:

Отсюда:

(3)

Сравнивая (3) с (2) и обозначив длины МА2, МВ2, МС2 через т, п, р, будем иметь:

(4)

Таким образом:

1. Отношение расстояний точки О от концов отрезка АВ равно отношению п:т. Но, как известно, геометрическим местом точек, отношение расстояний которых от концов отрезка равно отношению п:т, есть окружность, построенная, как на диаметре, на отрезке, соединяющем точки, делящие отрезок АВ в отношении п:т внутренним и внешним образом (окружность Аполлония). Строим эту окружность (т. е. делим отрезок АВ внутренним и внешним образом в отношении п:т. Построение общеизвестно, получим две точки /Си/, и на отрезке KL, как на диаметре, строим окружность).

2. Аналогичное построение проводим для ВС в соответствии со вторым отношением (4).

3. Пересечение этих двух окружностей дает точку, которая находится от А,В,С на расстояниях, пропорциональных т, п, р, т. е. центр О искомой

окружности. В зависимости от взаимного положения окружностей будем иметь два, одно или ни одного решения. Дальнейшее просто.

Задача оказалась явно непосильной для большинства читателей. Было прислано Всего 6 решений, и из них лишь четыре верных (тт. Айзенштат, Карпов, Шебаршин и Ширшов).

№ 100

На весах производится взвешивание в целых килограммах и при этом допускается класть гири на обе чашки весов. Доказать, что достаточно только п гирь для взвешивания любого веса до ~2~ (3Л — 1) кг включительно. Найти расположение гирь при взвешивании 421 кг.

Решение. Всякое число N может быть изображено в троичной системе счисления:

#=*Л3*+аЛ_13*-1+...+а13+ а0, (1)

где tfo» аь а2...аь принимают лишь значения 0,1 и 2 (лишь а^фО). Но так как число 2 мы можем заменить разностью 3—1, то отсюда следует, что всякое число может быть представлено в виде

N=bk3k+bk^l3k-'+ ... + Ьг3+Ь0, (2)

где ^=1. a bQ, b\...bkm_x могут принимать значения — 1, 0, 1,

Имея п гирь весом в 1, 3, З8...3л килограммов, мы можем взвесить наибольший груз в

3/1_\

1 + 3 + За -f- ... 4- Зп ~1 =-§— килограммов.

(В тексте задачи опечатка: пропущен делитель 2.) 3*—1

Всякое число, меньшее -' может быть представлено в форме (2), и для взвешивания соответствующего груза достаточно на одну чашку весов класть те гири 3k, которым во (2) соответствует коэфициент 1, а на другую — которым соответствует— 1. При этом показатель k во (2) не может быть больше, чем п — 1 (т. е. больше п гирь не понадобится), так как если положим на одну чашку гирю в Зпкг, то, даже положив все остальные гири на другую чашку, получим вес:

Зп - 1

что уже превышает данный в условии вес-?>— •

Для числа 421 имеем:

421 = 1 + 2.3 + 3»-t-C33 + 2.34 + 35 или, заменяя 2 через 3—1:

421 = 1-3 + 2.32 + 0.33 + 2.3* + 35 = = 1 - 3 — 32 + 33 — 34 + 2.35 = = 1 —3 —За + 33 — 34 —35 +36.

Отсюда ясно: на чашку с грузом следует положить гири в 3, З2, З4 и Зб кг, а на другую в З6, З3 и 1 кг.

Задача помещена, между прочим, потому, что в редакцию поступило несколько просьб о решении известной старинной задачи: какие 4 гири надо иметь, чтобы взвесить любой груз от 1 кг до 40 кг. Очевидно, ответ будет: 1 кг, 3 кг, 9 кг и 27 кг.

ЗАДАЧИ

(Срок присылки решений —15 мая 1949 г.)

21. Доказать, что число

2222ми + 5555мм

делится на 7.

22. Решить в целых числах уравнение:

ах + by = с,

если

с s ат + Ьп.

23. Решить в целых и положительных числах уравнение:

12 + 22 + 32+ ... +х*= ху.

24. Построить треугольник по высоте АО, медиане BE и углу В.

25. Решить в целых и положительных числах систему уравнений:

х* + у = я, У + л: = &.

Определить условия, при которых система имеет решение.

Н. Сагателов (г. Степанакерт).

26. Периметр треугольника равен 20. Сумма его высот равна-- и /? =-^— • Определить стороны.

Я. Сагателов.

27. Доказать неравенство:

/ (а+ 6) (c + d) + / (а + с) (* + <*) + + /(я + rf) (& + с)"> /^ + /« +

+ /S5 + /ec + /M + /c5"

при неравных и положительных а, с, rf.

Б. Кашин (Вышний Волочек).

28. Доказать для четырехугольника ABCD соотношение:

АВ*.ОСОО + ВС2-ОА.ОО + С1У.ОА-ОВ + + AD^-O^-OC^ AC-BD(03-0D + OA- ОС), где О — точка пересечения диагоналей.

Б. Кашин.

29. Найти четырехзначные числа, кратные 11, сумма цифр которых равна 11.

В. Никитин (Тамбов).

30. Уравнение:

*з + ах% + Ьх + с = 0, где — а, Ь, с — рациональные числа, имеет корень, где р, q, г — рациональные числа и г не является точным квадратом. Доказать, что в этом случае уравнение имеет рациональный корень.

В. Никитин.

31. Вписать в квадрат правильный треугольник так, чтобы одна из сторон была параллельна данной прямой.

В. Никитин*

32. Доказать, что основания перпендикуляров, проведенных из точки окружности на стороны вписанного треугольника, лежат на одной прямой.

33. Из точки М, взятой внутри угла А на окружности, описанной около треугольника ABC, проведены перпендикуляры к сторонам треугольника. Длины этих перпендикуляров — ра, рь и рс. Доказать, что

С. Лебензон (Малаховка).

34. Доказать, что три общие хорды попарно пересекающихся трех окружностей пересекаются в одной точке.

С. Лебензон.

35. Доказать, что из медиан любого треугольника можно построить треугольник.

Н. Рождественский (Паньковка, Днепропетр. обл.)

36. Если в некоторой системе счисления число N изображается нечетным числом одинаковых цифр, то-есть имеет вид ааа...а, то ни в какой другой системе счисления оно не может быть изображено в виде bb...b, где b^ka и k — четное число.

Н. Рождественский.

37. Построить углы х ну, если х + _у=а и т cos дг= =з п cos у.

С. Андреев (Горький).

38. Построить углы х ну, если х +^=* и т sin х= = п siny

С. Андреев.

39. Решить систему уравнений:

(х+у) (x + z) = x, (У + г)(У + х) = 2у, (z + x) (z+y) = 3z.

А. Владимиров (Ялта).

40. Дана часть шаровой поверхности. При помощи только циркуля определить измерением и вычислением диаметр шара.

А. Владимиров.

СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО № 5 ЗА 1948 год

П. Автух (Чашники) 81—85, 97; К. Агринский (Москва) 81, 83 — 90, 92, 93, 96, 97, 100; Д. Аджиашвали (Бандза) 93; М. Адагамов (Чкалов) 81, 82, 84; Я. Айзенштат (Кисловодск) 81-83, 85, 86, 88—100; Г. Алапашвили (Тбилиси) 81, 83, 85, 86,93; Е. Алмазова (Беднодемьянск) 85, 89; А. Аляев (Пензенская обл.) 81, 84, 93, 94, 97; Г. Ахвердов (Ленинград) 81—86, 88 — 90 — 98, 100; Л. Бескин (Москва) 81—83, 85-88, 90—98, 100; Е. Боков (Краснодарский край) 81—83, 85-87, 94-95; Б. Бурназов (Ейск) 83, 85, 87, 92, 94, 97, 98; В. Буткевич (Ровно) 81—95, 98; Б. Вайнман (Киев) 83—87, 92, 95 — 98; В. Варганов (Москва) 86, 96; А. Владимиров (Ялта) 81—90, 92— 98, 100; А. Ворожцов (Бобруйск) 81, 93; В. Голубев (Кувшиново) 81—90, 92, 95, 96, 100; Г. Голянд и С. Гретьяков (Краснодарский край) 81—90, 92,93,95, 97, 98,100; Я. Гречкин (Ростовская обл.) 81,82,85-87, 94 97, 98; И. Десятов (Мичуринск) 81, 84, 85, 86, 92, 94; Я. Дзигава (Тбилиси) 81, 83 85, 86, 88,90, 92, 98; Б. Дудолькевич (Киевская обл.) 81-83, 85, 87, 93, 98; Я. Евланов (ст. Павелец) 81,85,87,95; Я. Живойкин (Чувашская АССР) 81; В. Зотов (Бежица) 85; А.Карпов (Владимирская обл.) 81 — 86, 88 — 100; М. Кекелия (Бандза) 81, 8i, 85, 86, 89, 9 >, 93, 94, 96; 98; Я. Килимник (Винница) 84, 92, 95; Я. Кириллов (Ярославль) 81,85 — 88,97; /7. Китайгородский (Москва) 81—83, 85, 87 —89, 92, 94, 96, 98, 98; В. Ковалев (Витебская обл.) 81; С. Колесник (Харьков) 81, 83-85, 90, 92—44, 96-98, 100; В. Кунахович (Горьковская обл.) 81—85, 93, 97, 100; Я Кухарев (Уфа) 81, 85, 91—94; Г.Лебедев (Обоянь) 81 -83, 85, 88, 90, 95,97,10Э; С. Лебензон (Малаховка) 81 — 100; М. Ляпин (Казань) 81 —94, 96 — 98, 100; В. Маневич (Москва) 86; М. Манукян (Казахская ССР) 81; Медведев (Себряково) 81, 82, 85,86, f 8, 89, 93; Г. Многолетний (Мглин) 81, 85, 86, 90; Л. Наумов (Тюменская обл.) 81; В. Нефедов (Владимир) 81—83, 85-90, 92, 93, 95-98, 100; А. Овчинников (Сталинград) 81, 83, 85 — 88, 9о, 93, 9S—98; А. Островский (Москва) 93; Ф. Певишев (ст. Шилово) 81-83, 85—90, 93, 95, 97, 98; А. Перцелъ (Свердловск) 81, 83 — 85, 87; О. Пищик (Золочев) 81 —83, 85, 88 — 93, 95, 97, 98; Г. Полознев (Томск) 81, 83, 93, 97; Я. Постников (Ряжск) 81 —83, 85 — 87, 93, 94, 96 — 98; В. Серов (Воронежская обл.) 92, 93, 96; М. Сибирин (Хабаровск) 81, 82,85; А. Стукен (Омск) 81, 85 — 88, 93, 97, 98; М. Суховой (Томская обл.) 81—83, 85, 86, 91—98; Я. Титов (Казань) 81—94, 96—98, 100; В. Утемов (Красноуфимск) 81—83, 85— 90,92, 94—9S 100; М. Шебаршин (Кемеровская обл.) 81—94, 96—100; А. Ширшов (Ворошиловоградская обл.) 81—100; М. Якушев (Ялта) 81— 3, 85, 86, 88-—90, 92, 93, 95-97, 10); Э. Ясиновый (Куйбышев) 81 —86, 88, 90-93, 95 — 98.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ СВОДКА ПО №№ 3 и 4.

От редакции. Настоящая дополнительная сводка является последней. Ввиду регулярного выхода журнала и достаточно длинного срока, предоставляемого для присылки решений, все решения, полученные после этого срока, рассматриваться не будут.

В. Варганов (Москва) 53; А. Войтенко (Днепропетровск) 47—49, 52, 54, 56, 60; С. Гликсон (г. Сарны) 41, 42, 44 — 48, 51 -58, 60; И. Голайдо (Первомайское) 47, 48, 52—57, 60; 3. Карклина (Корхино) 60; П. Макуха (Алма-Ата) 59; М. Мустафаев (Нуха) 41, 52,53, 56; М. Попов (Новый Оскол) 42, 45, 48, 52—54, £6, 60; Л Твалавадзе 47, 52, 53; А. Багарян (Абхазская АССР) 61,63,71,77,79,80; Я. Барыкин (Варваровка) 80; Ф. Больсен (Кировоградская обл.) 61, 66, 68—70, 77; В. Варганов (Москва) 61, 62, 65, 69-71, 79; Я. Волок (Житомир) 61-65, 80; И. Голайдо (Брянская обл.) 61—63—/0, 77— 80; П. Зайденберг (Куйбышев) 62, о9, 79, 80; Я. Кугай (Новоград-Волынский) 61, 63, 67—71, 73,80; Я. Кухарев (Уфа) 66; М. Ляпин (Казань) 73, 75, 76, 78; Я. Макуха (Севастополь) 61—63, 66—68, 80; Метелицына (Рязанская обл.) 61, 62, 66, 70, 80; М. Мустафаев (Нуха) 71; Я. Рождественский (Днепропетровская обл.) 61 — 69; 71—76, 7«—80; В. Розентуллер (Ленинград) 61, 70, 80; Ф. Сергиенко (Запорожье) 61-67, 69, 70, 74, 78—feO; М. Суховой (Томская обл.) 66—69; В. Утемов (Красноуфимск) 74; А. Фирсанов (Свердловск) 61,62; Я- Циммерман (Ейск) 61—63, 65 — 67, 69 — 71, 73, 80.

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНО ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ.

Е. С. Кочеткова — Обоснование геометрических построений в пространстве . . 1 ИТОГИ ПРИЕМНЫХ ИСПЫТАНИЙ в 1948/49 УЧЕБНОМ ГОДУ.

Об итогах приемных испытаний в вузы и техникумы............. 12

П. С Моденов — О приемных испытаниях на физический факультет Московского университета в 1948/49 учебном году................... 14

В. Н. Молодший — О приемных испытаниях в Московский городской педагогический институт............................. 20

В. А. Кочев — О приемных испытаниях в Уральский политехнический институт им. С. М. Кирова............................. 22

Д. А. Фишер — О приемных испытаниях в Московский строительный институт . 25

Я. А. Шор — Об уровне знаний по арифметике оканчивающих семилетнюю школу 27

И. Г. Бочкин — О недостатках в подготовке учащихся, оканчивающих семилетнюю школу................................ 30

И. И. Николайчук. — О приемных экзаменах в Сорокский техникум механизации и электрификации сельского хозяйства................. 34

МЕТОДИКА

М. К. Гребенча — К вопросу о понятии отношения в курсе арифметики .... 36

Н. И. Кашин — Об умножении и делении на дробь.............. 40

ИЗ ОПЫТА

М. М. Машков. — Развивать геометрическое воображение учащихся...... 43

П. В. Стратилатов. — Разложение на множители в VI классе......... 44

ХРОНИКА

В. Л. Минковский — К пятидесятилетию научно-педагогической деятельности профессора Д. Д. Мордухай-Болтовского.................. 45

С А. Пономарев — О работе редакции математики Учпедгиза......... 47

Ф. М. — В Московском городском Институте усовершенствования учителей 49

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

И. Я. Танатар — О книге П. А. Ларичева «Сборник задач по алгебре» .... 50

Ю. М. Гайдук—О книге Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика». . 51

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 5 за 1948 год................. 53

Задачи..................................... 62

Сводки решений задач............................. 63

№ А -01176

Заказ № 9

Тираж 20 000 экз. Технический редактор В. С. Якунина

Редакционная коллегия

Редактор А. Н. Барсуков Зам. редактора С И. Новоселов Члены редакционной коллегии Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий, А. П. Садиков, Н. Ф. Четверухин

Корректор А. С. Киняпина

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды 6, Учпедгиз Министерства просвещения РСФСР

Сдано в производство 6/1 1949 г. Подписано к печати 26/Ц 1949 г. Печ. л. 4. Учетно-изд. л. 7,69

Печ. зн. в 1 п. л. 72 С00. Цена 4 р. 50 к. Формат 84 X Ю8/1Я.

13-я тип. треста «Полиграфкннгаэ ОГИЗа при Совете Министров СССР. Москва, Денисовский, 30