МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 1

ЯНВАРЬ-ФЕВРАЛЬ 1949 г.

ПО ЛЕНИНСКОМУ ПУТИ

(К 25-летию со дня смерти В. И. Ленина)

Двадцать пять лет назад умер величайший гений нашей эпохи, основатель и вождь великой партии большевиков, создатель и руководитель первого в мире Советского социалистического государства — Ленин.

ЦК ВКП(б) в своем обращении «К партии, ко всем трудящимся» писал:

«Никогда еще после Маркса история великого освободительного движения пролетариата не выдвигала такой гигантской фигуры, как наш покойный вождь, учитель, друг. Все, что есть в пролетариате поистине великого и героического — бесстрашный ум, железная, несгибаемая, упорная, все преодолевающая воля, священная ненависть, ненависть до смерти к рабству и угнетению, революционная страсть, которая двигает горами, безграничная вера в творческие силы масс, громадный организационный гений, — все это нашло свое великолепное воплощение в Ленине, имя которого стало символом нового мира от запада до востока, от юга до севера».

Следуя великим ленинским заветам, советский народ под руководством товарища Сталина превратил нашу Родину в могучую индустриально-колхозную социалистическую державу и уверенно идет по пути строительства коммунистического общества.

Бессмертные идеи ленинизма завоевывали все новые миллионы трудящихся, оказывали и оказывают все более глубокое влияние на судьбы мировой истории.

Силы демократии и социализма растут и сплачиваются. В орбиту борьбы за освобождение от гнета империалистического, колониального рабства втянуты теперь сотни миллионов людей. Ленинизм стал знаменем освободительной борьбы во всех частях земного шара. Социализм, построенный в нашей стране советским народом под руководством партии большевиков, является живым воплощением всепобеждающих идей ленинизма.

Всю свою жизнь Ленин отдал делу освобождения трудящихся от власти капиталистов и помещиков, делу социализма. Ленин не только отстоял и защитил от врагов самое передовое революционное учение — марксизм, но развил и двинул вперед это учение применительно к новым условиям эпохи империализма и пролетарских революций.

На основе глубокого анализа империализма Ленин открыл закон неравномерного экономического и политического развития капитализма, доказал возможность победы социализма в одной, отдельно взятой стране.

После победы Октябрьской социалистической революции и победоносного окончания гражданской войны под руководством Ленина был совершен переход страны на мирную работу по восстановлению народного хозяйства. Ленин и Сталин разработали основы новой экономической политики, укрепившей союз рабочего класса и крестьянства для строительства социализма.

Ленин ушел от нас, когда страна находилась у самых истоков социалистического строительства. Партия большевиков, советское государство стояли перед лицом глубочайших противоречий и трудностей, связанных с технико-экономической отсталостью страны и ожесточенной борьбой капиталистических элементов города и деревни против социалистического строя.

Чтобы выполнить великие заветы Ленина и осуществить его план построения социализма в нашей стране, нужно было мобилизовать и сплотить всю партию большевиков вокруг ее генеральной линии, разоблачить и разбить врагов социализма — троцкистов, бухаринцев и зиновьевцев, разбить в открытых боях капитали-

стические элементы в городе и деревне, поднять весь советский народ на великую созидательную работу по строительству социализма в нашей стране. Эти гигантской сложности задачи принял на свои плечи и победно их разрешил достойный преемник и великий продолжатель дела Ленина, наш вождь и учитель Иосиф Виссарионович Сталин.

Товарищ Сталин, на основе учения Ленина, создал величественную программу социалистической индустриализации. В результате осуществления этой сталинской программы коренным образом изменился облик нашей страны. Из отсталой аграрной в прошлом наша родина превратилась в передовую индустриальную страну. В 1940 году крупная промышленность СССР давала почти в 12 раз больше продукции, чем в 1913 году. Под руководством товарища Сталина партия решила труднейшую задачу социалистической революции — задачу коренной перестройки сельского хозяйства. Колхозный строй сделал сельское хозяйство нашей страны самым передовым и самым жизнеспособным в мире.

В ходе строительства социализма преобразовалось не только хозяйство страны, но и люди. Произошел коренной переворот во взглядах людей на труд. Зародилось в стране стахановское движение и с огромной быстротой распространилось на все отрасли промышленности и сельского хозяйства. Социализм глубоко вошел в жизнь страны и изменил духовный облик советских людей.

Материальные и духовные богатства нашего народа во всей своей силе сказались в годы Великой Отечественной войны. Эта война явилась проверкой прочности советского строя, нашей социалистической экономики. В ходе войны особенно ярко проявилось преимущество советского общественного и государственного строя.

Вдохновленный учением Ленина, руководимый большевистской партией, великим Сталиным, советский народ не только отстоял независимость нашей родины, но и помог другим народам избавиться от фашистского ига.

Победоносно завершив Отечественную войну, наш народ приступил к мирному строительству. В то время когда капиталистический мир раздирается острейшими классовыми конфликтами и его экономика не может преодолеть противоречий послевоенного периода, наша страна, наше хозяйство неуклонно идет в гору.

В 1948 году валовая продукция промышленности в целом превзошла довоенный уровень. План первых трех лет послевоенной пятилетки по валовой продукции перевыполнен. Валовой сбор зерновых культур в 1948 году уже достиг уровня 1940 года.

Принятое по инициативе товарища Сталина постановление партии и правительства о плане полезащитных лесонасаждений, введения травопольных севооборотов, строительства прудов и водоемов представляет грандиозный план преобразования природы и дальнейшего расцвета производительных сил сельского хозяйства нашей страны. Этот план великих работ уже претворяется в жизнь.

В нашей стране идет неуклонный подъем материального благосостояния народа. Проведение денежной реформы и снижение цен на товары дали возможность поднять реальную заработную плату трудящихся более, чем в два раза.

Основой послевоенных успехов советского государства является трудовой подъем советского народа, вдохновляемого величественной программой дальнейшего движения вперед, начертанной нашим вождем товарищем Сталиным. Социалистическое соревнование приобрело подлинно всенародный размах.

Советский строй впервые в истории человечества сделал доступными народу все духовные ценности, накопленные человечеством, все достижения культуры, науки и искусства. Советские ученые преисполнены чувством гордости за нашу науку, за ее достижения, за ее приоритет в ряде важнейших открытий и изобретений; им чуждо преклонение перед буржуазной наукой — служанкой реакции, пособницей поджигателей войны.

Ленинизм учит, что для успешного осуществления постепенного перехода к коммунизму решающее значение имеет коммунистическое воспитание масс, преодоление пережитков капитализма в сознании людей.

Широкая пропаганда основ нашего научного мировоззрения, глубокое изучение ленинизма, систематическое воспитание людей в духе коммунистической морали, последовательная и настойчивая борьба с пережитками капитализма в сознании людей — одна из главнейших задач нашего времени. В осуществлении этой задачи исключительно важную роль играют кадры советских педагогов.

Громадные созидательные задачи стоят перед нашим народом. Преодолевая трудности, стоящие на его пути, он неуклонно и уверенно движется к коммунизму.

Ведет его к этой цели великий сподвижник гениального Ленина—Сталин, о котором миллионы людей с любовью и воодушевлением говорят: Сталин—это Ленин сегодня. Под его мудрым водительством наш народ после смерти Ленина проделал свой победоносный путь, путь, начертанный Лениным. Под его гениальным руководством он достигнет новых успехов и побед в строительстве коммунистического общества.

ИСТОРИЧЕСКАЯ ВЕХА В РАЗВИТИИ БИОЛОГИЧЕСКОЙ НАУКИ

(Кандидат сельскохозяйственных наук Л. Н. БАРСУКОВ (Москва)

Сессия Всесоюзной академии сельскохозяйственных наук имени В. И. Ленина, происходившая 31 июля — 7 августа 1948 г., привлекла к себе всеобщее внимание, вызвала огромный интерес всего советского народа. Она подвела итог многолетней борьбы двух направлений в биологии и показала полное торжество мичуринского учения над обанкротившимся в теории и на практике менделизмом-морганизмом. Глубокий анализ положения в биологической науке, данный акад. Т. Д. Лысенко в докладе на этой сессии, имеет громадное научное и политическое значение. Этот доклад, одобренный ЦК ВКП(б) и, таким образом, выражающий линию большевистской партии, обосновывает и показывает тот путь, по которому может и должна развиваться советская биологическая наука, чтобы глубже вскрывать закономерности природы, закономерности жизни и развития растений и животных, чтобы умножать успехи в подчинении природы воле человека и внести возможно больший вклад в дело построения коммунизма в нашей стране.

Биология как наука о законах возникновения и развития живой природы является одной из важнейших составных частей естественнонаучной основы марксистско-ленинского мировоззрения. Отсюда вполне понятно, что с того момента как Дарвин своей работой «Происхождение видов» положил начало научной биологии, последняя на всем протяжении своего дальнейшего развития была ареной острой идеологической борьбы. Это была борьба двух непримиримых мировоззрений: диалектического материализма и идеализма, борьба диалектики против метафизики, науки против мистики. В современный период мировой истории указанные две противоположные тенденции, два противостоящих друг другу направления в биологической науке определились особенно резко. Одно из них — прогрессивное, материалистическое, берущее начало от Дарвина, творчески развивавшееся И. В. Мичуриным и блестяще развиваемое сейчас школой советских биологов-мичуринцев, возглавляемой акад. Т. Д. Лысенко. Другое направление — реакционное, антидарвинистское, идеалистическое, выдвинутое Менделем и развитое Вейсманом и Морганом.

Представители реакционной биологической науки защищают так называемую хромосомную теорию наследственности. Они считают, что наследственность целиком и полностью определяется хромосомами, из которых состоят ядра половых клеток. В хромосомах размещены в определенном порядке; в определенной последовательности невидимые и никак не обнаруживаемые материальные носители наследственности — гены, каждый из которых «несет» один определенный признак или свойство организма. Структура хромосомных нитей представляется вейсманистам своего рода шифровальным кодом, содержащим весь «план» будущего развития живого организма и его функционирования в зрелом состоянии. Внешняя среда, условия жизни организма никакого влияния на его наследственную основу оказать не могут. Изменения тела, вызванные у родителей влиянием окружающей среды, условиями жизни, не наследуются потомством. Иначе говоря, по мнению вейсманистов, приобретаемые организмом в определенных условиях его развития и жизни новые свойства, признаки, склонности и отличия не могут быть наследственными, не могут иметь эволюционного значения. И если у потомства выявляется какой-либо новый признак, отсутствовавший у родителей, то вейсманисты объясняют это тем, что случайно создались условия для проявления действия гена, находившегося до этого в хромосоме в скрытом, невыявленном состоянии, или же тем, что в наследственной основе, в хромосомах половых клеток по неизвестным причинам случайно произошли какие-то изменения (мутация). Вообще же наследственная основа, по их мнению, передается из поколения в поколение, как правило, неизменной. Она существует непрерывно, пока существует данный вид. В этих рамках наследственная основа бессмертна. В половом процессе происходит слияние ядер половых клеток родителей, приводящее к различным комбинациям свойств и признаков родителей у потомства, причем характер этих комбинаций совершенно случаен. Мутации, неопределенные качественные изменения наследственности (природы) живых тел, с точки зрения вейсманистов, совершенно независимы от условий внешней среды, от условий жизни. Эти изменения имеют все признаки случайных явлений. Они возникают неожиданно и по неизвестным причинам. Ни предсказать, ни вызвать произвольно ту или иную мутацию человек не может. Вейсманисты решительно отвергают наличие какой-либо закономерной связи между качеством мутации и определенным изменением в факторах внешней среды.

Такова «концепция» вейсманистов. Из этих лженаучных представлений они делали и соответствующие производственные выводы, дезориентировавшие ученых и производственников и нередко приносившие прямой вред. Они

утверждали, например, что улучшение сортовых качеств культурных растений и породы скота путем систематического отбора возможно только при наличии явных различий в наследственной основе у различных особей данной группы растений и животных, то-есть только в популяциях. Внутри чистого сорта (чистой линии) систематический отбор, по их мнению, не может дать положительных результатов, причем изменением условий внешней среды наследственно улучшить сорт невозможно. В целях закрепления желательных свойств у данного сорта перекрестно опыляющегося растения или у данной породы скота они рекомендовали и широко применяли принудительное самоопыление растений (инцукт) и близкородственное размножение у животных, что ослабляло жизненные силы потомства и вело к вырождению и деградации.

По мнению вейсманистов, внутрисортовое скрещивание не может привести к улучшению сорта в силу тождественности наследственной основы у всех особей данного сорта. Они признавали лишь межсортовое скрещивание, позволяющее «комбинировать» наследственные задатки, заложенные у родителей.

Межсортовое скрещивание, обеспечивая в потомстве различные комбинации хромосом ядер исходных потовых клеток, может случайно привести к такой комбинации хромосом, которая даст начало новому сорту с улучшенными свойствами. Систематическим отбором этот сорт можно выделить, очистить его от примесей. Процессом оплодотворения исчерпывается, по мнению вейсманистов, творческая работа по выведению сорта. После этого роль се акционера заключается в том, чтобы лишь «отсеять», отобрать наилучшую из полученных форм и закрепить ее устойчивость путем отсева, удаления расщепляющихся форм.

Все эти выводы вейсманистов, как и изложенная выше их «концепция», ложны от начала до конца. Вся многовековая практика сельского хозяйства, садоводства и цветоводства, весь накопленный естествознанием от Дарвина и до наших дней богатейший материал, замечательные работы великого преобразователя природы И. В. Мичурина, выдающиеся успехи советских биологов-мичуринцев, достигнутые ими в последние годы, —все это решительно говорит против выводов и против всей «концепции» вейсманистов. Эта «концепция» бесплодна в смысле практическом и худосочна в смысле познавательном. Возможности человека по переделке природы растений и животных она ограничивает «комбинаторикой» свойств и признаков, извечно заложенных в хромосомах. Сверх этого — лишь случайные, с течением времени все более редкие, по их мнению, неопределенно направленные и неизвестно по каким причинам возникающие мутации, которые случайно могут дать начало улучшенному сорту или породе. Какая беспомощность, какая бесперспективность! И это называлось наукой!

На совершенно иных, диаметрально противоположных позициях стоит мичуринская биологическая наука. Она отвергает, как противоречащее фактам, утверждение вейсманистов о существовании в организме особого, специфического вещества наследственности, особого материального носителя наследственности, качественно отличного от остального тела. Она решительно отбрасывает, как совершенно ложное, основное положение вейсманизма — положение о полной независимости наследственных свойств от условий жизни растений и животных, о ненаследуемости признаков и свойств, приобретаемых растительными и животными организмами в течение их жизни. Только мичуринская биологическая наука, опираясь на принципы диалектического материализма, могла действительно по-научному поставить на разрешение вопрос о причинах изменчивости, о закономерностях возникновения наследственных изменений, о путях направленного изменения наследственности организмов.

В своем докладе на сессии акад. Т. Д. Лысенко дал блестящее изложение основ мичуринского учения. Исходным для мичуринской биологической науки является положение, что «организм и необходимые для его жизни условия представляют единство» (Т. Д. Лысенко). Разные живые тела для своего развития требуют разных условий внешней среды. Исследуя особенности этих требований, мы и узнаем качественные особенности природы организмов, качественные особенности наследственности. «Наследственность есть свойство живого тела требовать определенных условий для своей жизни, своего развития и определенно реагировать на те или иные условия» (Т. Д. Лысенко). Знание природных требований и отношения организма к условиям внешней среды дает возможность управлять жизнью и развитием организмов, что позволяет все глубже и глубже постигать их природу и тем самым устанавливать способы изменения ее в нужную человеку сторону, т. е. направленно изменять наследственность организмов.

Каждое живое тело, указывает Т. Д. Лысенко, строит себя из условий внешней среды на свой лад, согласно своей наследственности. Поэтому в одной и той же среде живут и развиваются различные организмы. Как правило, каждое данное поколение растений или животных развивается во многом так же, как и его предшественники, в особенности ближайшие. «Воспроизведение себе подобных есть общая

характерная черта любого живого тела» (Т. Д. Лысенко).

В тех случаях, когда организм находит в окружающей среде условия, соответствующие его наследственности, развитие организма идет так же, как оно проходило в предыдущих поколениях. Когда же организмы не находят нужных им условий и вынужденно ассимилируют условия внешней среды, в той или иной степени не соответствующие их природе, получаются организмы или отдельные участки их тела более или менее отличные от предшествующего поколения. Если измененный участок тела является исходным для нового поколения, то последнее будет уже по своим потребностям, по своей природе в той или иной степени отличаться от предшествующих поколений. Причиной изменения природы живого тела является изменение типа ассимиляции, типа обмена веществ. Половые клетки и любые другие клетки, которыми размножаются организмы, получаются в результате развития всего организма путем превращения, путем обмена веществ. Пройденный организмом путь развития как бы аккумулирован в исходных для нового поколения клетках.

В развитии растительных организмов акад. Т. Д. Лысенко считает необходимым различать два рода качественных изменений:

1. Изменения, связанные с процессом осуществления индивидуального цикла развития, когда природные потребности, т. е. наследственность, нормально удовлетворяются соответствующими условиями внешней среды. В результате получается тело такой же породы, наследственности, как и предшествующие поколения.

2. Изменения природы, т. е. изменения наследственности. Эти изменения также являются результатом индивидуального развития, но уклоненного от нормального, обычного хода. Изменение наследственности обычно является результатом развития организма в условиях внешней среды, в той или иной мере не соответствующих природным потребностям данной органической формы.

Изменения условий жизни вынуждают изменяться сам тип развития растительных организмов. Видоизмененный тип развития является, таким образом, первопричиной изменения наследственности. Организмы, а отсюда и их природа, создаются, подчеркивает акад. Т. Д. Лысенко, только в процессе развития. Конечно, замечает он, и вне развития живое тело также может изменяться (ожог, поломка суставов, обрыв корней и т. п.), но эти изменения, однако, не будут характерными, необходимыми для жизненного процесса и потому не могут стать наследственными. В этой связи становится очевидной вся нелепость постановки Вейсманом (для получения с неопровержимого» доказательства ненаследственности благоприобретенных признаков) таких «опытов», как обрубание хвостов у последовательного ряда поколений мышей.

Вейсманисты категорически отрицали возможность получения гибридов вегетативным путем, так как вполне отдавали себе отчет в том, что такая возможность нацело опровергает их хромосомную теорию наследственности и доказывает правильность мичуринского понимания наследственности. Между тем И. В. Мичурин и его последователи нашли способы массового получения вегетативных гибридов. В случае прививок подвой и привой, очевидно, не могут обмениваться хромосомами, и все же наследственные свойства передаются из подвоя в привой и обратно. Следовательно, указывает акад. Т. Д. Лысенко, пластические вещества, вырабатываемые привоем и подвоем, так же, как и хромосомы, как и любая частичка живого тела, обладают породными свойствами, им присуща определенная наследственность.

Путем прививки или скрещивания, а также путем воздействия условиями внешней среды в определенные моменты развития организма можно «расшатать» его природу, т. е. ликвидировать его консерватизм, ослабить его избирательность в отношении условий внешней среды. Выращивая такие пластичные растительные формы в тех условиях, потребность или приспособленность к которым требуется вырабатывать и закреплять у данных организмов, можно направленно изменить их природу, их наследственные свойства. Далеко не всегда этого можно добиться сразу. Обычно требуется повторное все усиливающееся воздействие в определенном направлении на несколько (2—8) последовательных поколений организмов, чтобы получить нужный результат.

По мнению акад. Т. Д. Лысенко, биологическая значимость процесса оплодотворения (слияния женских и мужских половых клеток) заключается в том, что таким образом получаются организмы с двойственной наследственностью: материнской и отцовской. Двойственная наследственность обусловливает большую жизненность организмов и более широкую амплитуду их приспособленности к варьирующим условиям жизни. Полезностью обогащения наследственности, указывает акад. Т. Д. Лысенко, и определяется биологическая необходимость скрещивания форм, хотя бы слегка различающихся между собой. Не только в пределах сорта, даже в пределах «чистой линии» нельзя представить себе наличия двух организмов с абсолютно одинаковой наследственностью. Вот почему внутрисортовое скрещивание, вопреки мнению вейсманистов, может давать и действительно дает положительный эффект, ведет к улучшению по-

родных свойств сорта, к повышению его урожайности.

Обновление, усиление жизненности растительных форм может идти и вегетативным, неполовым путем через ассимиляцию живым телом новых, необычных для него условий внешней среды. Управляя условиями внешней среды, условиями жизни растительных организмов, можно направленно изменять, создавать сорта с нужной нам наследственностью.

Умелой гибридизацией можно сразу объединить в одном организме то, что ассимилировалось и закреплялось у взятых для скрещивания пород многими поколениями. Но никакая гибридизация не даст положительных результатов, если не будет создано условий, способствующих развитию тех свойств, наследуемость которых хотят получить у выводимого или у улучшаемого сорта. Поэтому, процессом оплодотворения, операцией скрещивания не завершается творческая работа селекционера по выведению сорта, а только еще начинается. Игнорированием этого в первую очередь и объясняются почти сплошные неудачи, постигшие селекционеров-менделистов (вейсманистов) в их попытках путем гибридизации вывести нужные сорта.

Таковы основные положения мичуринской биологической науки, развитые и обоснованные акад. Т. Д. Лысенко в его докладе на сессии. Достаточно сопоставить их с положениями, защищаемыми вейсманистами, чтобы стало совершенно очевидным, что эти два направления в биологии разделяет непроходимая пропасть. Участники сессии в своих выступлениях привели обширный и разнообразный опытно-экспериментальный материал, подтверждающий жизненную правду и действенность мичуринской науки. Мичуринское направление в биологии представляет собой качественно новую, высшую ступень в развитии дарвинизма. Очищенный от ошибок Дарвина, обогащенный творческим учением И. В. Мичурина о развитии растений и В. Р. Вильямса о почвообразовании и путях прогрессивного повышения плодородия почвы, дарвинизм приобрел великую действенную силу, стал мощным орудием активного, планомерного преобразования живой природы. Опираясь на эту передовую теорию, советская агрономия мобилизует свои силы для успешного решения задач, поставленных нашей партией и правительством перед работниками сельского хозяйства.

Значение сессии выходит далеко за пределы биологических наук. Доклад Т. Д. Лысенко, прения, развернувшиеся на сессии, и вынесенные решения имеют глубокое политическое, научное и практическое значение для всех работников культурного фронта, в частности и в особенности для преподавателей — воспитателей молодого поколения.

Они ярко освещают с марксистско-ленинских позиций перед советской общественностью современное состояние биологической науки, они повышают общий культурный уровень советского работника, ибо биология является естественнонаучной основой марксистско-ленинского мировоззрения. Они наглядно демонстрируют всю силу и действенность принципа единства теории и практики: блестящие практические достижения, основанные на передовой мичуринской биологической науке, с одной стороны, и бесплодность, беспомощность в этом отношении ложной теории вейсманистов.

Они показывают всю опасность, весь вред, которые таит в себе рабское преклонение перед буржуазной наукой, некритическое приятие «открытий» и «теорий» западноевропейских ученых и одновременно недооценку заслуг и достижений лучших представителей отечественной науки.

Все эти положения целиком и полностью могут быть отнесены к любой научной отрасли и тем более к математике, где великие достижения русских ученых изумляют весь мир.

Труды сессии помогают формированию и развитию нового типа человека, человека социалистического общества, человека сталинской эпохи, характерными чертами которого является творческий, активный подход к природе, дерзание и инициатива в труде.

Изучив труды сессии, каждый педагог глубже поймет свои задачи как воспитателя советской молодежи и свою ответственность перед родиной за формирование молодого поколения, за выработку в нем ценнейших качеств советского человека — человека, преобразующего общество и природу. В трудах сессии он найдет и богатейший материал для этой своей воспитательной работы с советской молодежью.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЕ В РОССИИ XVII—XIX вв.

Проф. А. П. ЮШКЕВИЧ (Москва)

Продолжение

Петербургская математическая школа

На основе успехов в области просвещения, постепенного усовершенствования университетского образования и роста общественной активности русская математика испытала в последнее полустолетие перед Великой Октябрьской социалистической революцией новый подъем. Как мы знаем, выдающаяся роль в прогрессе русской математики во второй половине XIX в. выпала на долю академика П. Л. Чебышева и лично и в качестве основателя Петербургской математической школы. Возникновение новой математической школы в Петербурге явилось важнейшим фактом истории русской математики в рассматриваемый период времени, оказавшим огромное влияние на развитие математической мысли в направлениях теории чисел, теории вероятностей и некоторых разделов анализа*. Но одновременно или почти одновременно с этой школой в других университетских центрах России стали возникать и другие научные направления. Так, в Московском университете и тесно с ним связанном Московском математическом обществе начинаются исследования по дифференциальной и проективной геометрии, первоначально зародившиеся несколько ранее в Дерпте (ныне Тарту). В университетах Казани и Харькова ряд ученых также разрабатывает вопросы высшей геометрии, в том числе (в Казани) и неевклидовой; там же проводится ряд работ по теории дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и с частными производными, которые часто переплетаются с аналогичными работами чебышевской школы. Разнообразные вопросы анализа и геометрии изучаются также и москвичами и деятелями более молодых университетов: Киевского, основанного в 1834 г., и Новороссийского, ныне Одесского, основанного в 1865 г. Возникновение научных коллективов, пришедших на смену отдельным замечательным новаторам первой половины XIX в., было первой характерной особенностью этого времени.

Другой характерной чертой рассматриваемого периода явилось существенное и все нараставшее расширение круга математических интересов русских ученых. Со временем значительно расширяется проблематика самой Петербургской математической школы, распространившись в теории чисел на теорию квадратичных форм и теорию алгебраических чисел, в области анализа — на теорию уравнений с частными производными и приводящиеся к ним задачи механики и математической физики. Московские математики в начале XIX в. включили в круг своих занятий проблематику теории функций действительного переменного и некоторые проблемы классического анализа. В Киеве в это же время заложен был первый фундамент новой алгебраической и теоретико-групповой школы; в Одессе проведены исследования по основаниям геометрии; работа по алгебре началась и в самом молодом из дореволюционных университетов — Томском, основанном в 1888 г.

Мы ознакомимся здесь прежде всего с некоторыми важнейшими достижениями школы академика Чебышева, в основном составившейся

* Было бы правильнее говорить о второй Петербургской математической школе, ибо еще в XVIII в. в прежней столице нашей родины работало возглавлявшееся Эйлером содружество математиков: академики Румовский, Котельников, Фусс, Лексель, Шуберт, позже Гурьев и др.

из питомцев Петербургского университета, но привлекшей в свои ряды и московских, и казанских, и харьковских математиков.

1. А. Н. Коркин, Е. И. Золотарев, Г. Ф. Вороной. К поколению старших учеников Чебышева принадлежал прежде всего Александр Николаевич Коркин. А. Н. Коркин родился 19 февраля 1837 г. в семье зажиточного крестьянина Вологодской губернии. По окончании гимназии в Вологде Коркин в 1854 г. поступил на математическое отделение Петербургского университета, где слушал лекции Чебышева, Буняковского, Сомова, знаменитого физика Ленца и др. Его студенческая работа «О наибольших и наименьших величинах» получила лестный отзыв Буняковского, была премирована золотой медалью и вместе с тем явилась его первым печатным трудом: она была опубликована в „Студенческом сборнике" 1857 г. По окончании университета в 1858 г. Коркин занялся преподаванием в кадетском корпусе, а параллельно подготовил магистерскую диссертацию «Об определении произвольных функций в интегралах линейных уравнений с частными производными», после защиты которой в 1860 г. приступил к чтению лекций в Петербургском университете. Докторская диссертация его 1868 г., принадлежавшая к той же области математики («О совокупных уравнениях с частными производными второго порядка и некоторых вопросах механики»), принесла ему звание профессора.

В Петербургском университете Коркин проработал без малого пятьдесят лет, до года кончины его, последовавшей в 1908 г. Заместив сперва в качестве лектора Буняковского, а затем и Чебышева, Коркин на протяжении своей рекордной по длительности профессорской деятельности вел курсы почти по всем математическим дисциплинам, начиная от сферической тригонометрии и начертательной геометрии и кончая специальными разделами классического анализа. В течение трех десятилетий он вел также курс дифференциального и интегрального исчислений в Морской академии. Один из лучших учеников Коркина — академик А. Н. Крылов, заменивший его в 1900 г. в Морской академии, с благодарностью вспоминал о своем учителе: «Как на русском, так и на иностранных языках существовало множество курсов дифференциального и интегрального исчислений, но Коркин не придерживался ни одного из них, и, можно сказать, не столько читал, как диктовал нам свой совершенно оригинальный курс, отличавшийся особенною точностью определений, краткостью, естественностью и изяществом выводов всех формул, отсутствием той излишней щепетильности и строгости, которая не поясняет для техников, каковыми мы были, а затемняет дело, и которая необходима лишь для математиков, изучающих математику как безукоризненную область логики, а не как орудие для практических приложений»*.

Наряду с исследованиями по интегрированию уравнений с частными производными Коркину принадлежит ряд важных результатов по теории чисел, полученных им в 1871—1877 гг. совместно с его учеником Е. И. Золотаревым. Отправляясь от работ Чебышева и Эрмитаг Коркин и Золотарев в трех мемуарах исследовали вопрос о точных границах минимумов положительных квадратичных форм, т. е. однородных многочленов второй степени с несколькими переменными вида I>aikxixk при отличном от нуля дискриминанте (aik — действительные числа); при этом они исправили некоторые неточные утверждения Эрмита и вообще далеко превзошли результаты, полученные этим выдающимся математиком. К этим мемуарам непосредственно примыкала появившаяся вскоре блестящая магистерская диссертация А.А. Маркова «О бинарных квадратичных формах положительного определителя» (1880), под которыми Марков понимал формы с двумя переменными при отрицательном дискриминанте (т. е. неопределенные квадратичные формы), а также некоторые работы Г. Ф. Вороного, за которыми последовал ряд дальнейших изысканий и советских и иностранных математиков**.

Упоминавшийся только что Егор Иванович Золотарев (1847—1878), слушатель Чебышева и Коркина, приват-доцент Петербургского университета с 1868 г., а с 1876 г. — профессор и академик, обогатил теорию чисел не только в учении о квадратичных формах. Отправляясь от близкой Чебышеву проблемы об интегрируемости в логарифмах эллиптических дифференциалов, приведенных к виду

_(х + A) dx_

1/x(X^l)(X^a)(X-j?) '

Золотарев пришел к созданию важнейших в теории о делимости идеальных чисел (в докторской диссертации «Теория целых комплексных чисел с приложением к интегральному исчислению», 1874 г.)***. Отметив значение введения Гауссом в теорию чисел целых комплексных чисел вида a -f- Ы, зависящих от урав-

* А. Н. Крылов, Мои воспоминания, М.—Л. 1942, стр. 78.

** О работах петербургских математиков по теории чисел см. книгу Б. Н. Делоне, Петербургская теория чисел, М.—Л. 1947.

*** Работы Чебышева по интегрированию алгебраических иррациональностей развиты были также в чисто аналитическом направлении воспитанником, а затем профессором Петербургского университета И. Л. Пташицким (1854—1912).

нения лс2-{-1=0, и Куммером чисел a-f-fy> + + с?2 + • • • + kpn~\ причем р есть корень уравнения деления круга хп~х -\-хп~2-}-. . .-|--j- х -f-1 = 0, где я — простое, Золотарев построил теорию комплексных чисел, зависящих от корней какого-либо неприводимого уравнения с целыми рациональными коэфициентами и старшим коэфициентом, равным 1. При этом он установил важнейшую теорему об однозначности разложения в кольце таких чисел на введенные им простые идеальные множители. Эти исследования были углублены в последующих работах Золотарева, в совокупности своей давших стройную теорию идеальных множителей в общих числовых алгебраических полях. Независимо от Золотарева и почти одновременно с ним теорию идеальных множителей строил Р. Дедекинд, так что создателями этого важнейшего теоретико-числового направления, позднее разрабатывавшегося множеством выдающихся русских и иностранных ученых, явились оба названных математика*.

Магистерская диссертация Золотарева «Об одном неопределенном уравнении третьей степени» (1869) открыла, с другой стороны, обширную серию исследований наших ученых по теории кубического поля и, в частности, глубоких работ Георгия Федосеевича Вороного (1868—1908), ученика Маркова и Сохоцкого, а впоследствии профессора университета в Варшаве. Вместе с русским уроженцем Г. Минковским Вороной явился создателем новой отрасли арифметики — геометрической теории чисел, успешно развиваемой ныне рядом советских ученых**.

2. А. А. Марков. Крупнейшим из прямых учеников Чебышева был знаменитый математик Андрей Андреевич Марков. А. А. Марков родился 14 июня 1856 г. Еще будучи гимназистом, он начал самостоятельно изучать высшую математику и завязал переписку, а потом и знакомство с Коркиным и Золотаревым, которые, наряду с Чебышевым, явились его главными университетскими наставниками. Университет Марков окончил в 1878 г. с золотой медалью за сочинение об интегрировании дифференциальных уравнений с помощью непре-

А. А. Марков

рывных дробей. Магистерская диссертация по теории квадратичных форм 1880 г. принесла Маркову приват-доцентуру в Петербургском университете, а докторская работа «О некоторых приложениях алгебраических непрерывных дробей» 1884 г.—и профессуру. Выдающиеся научные заслуги Маркова отмечены были уже в 1886 г. избранием его в адъюнкты Академии наук и четыре года спустя — в академики. В 1905 г. Марков вышел в отставку за выслугой лет, подобно Лобачевскому, «не желая занятием штатной должности загораживать дорогу другим, более молодым силам». Но в качестве приват-доцента он продолжал чтение отдельных курсов в университете почти до самой кончины, последовавшей 20 июля 1922 г.

Как педагог Марков отличался безукоризненной точностью и простотой изложения, всегда обильно снабженного примерами. «Основным свойством в преподавательской деятельности А. А.,— говорится в одной его биографии,— было стремление дать слушателям весь материал курса в безупречно строгом виде; при этом А. А. не стремился к нагромождению обильного материала, но к заложению прочного фундамента, на котором у его учеников строилось строго критическое отношение к изучаемому материалу и к своей работе у тех из них, кто пошел по пути самостоятельного научного творчества. В лекциях А. А. всегда видна была живая деятельность его острой мысли, несмотря на то, что материал для лекций был тщательно

* Сравнению и развитию теорий Золотарева и Дедекинда посвящены были также некоторые работы профессора и члена-корреспондента АН И. И. Иванова (1862—1939). Теорией делимости занимался также проф. Юлиан Вас. Сохоцкий (1842—1927).

** В этой связи любопытно отметить, что иным иностранным ученым дорого обходится плохое знакомство с трудами русских математиков: некоторые результаты Вороного они нелепым образом «переоткрывают» еще почти полвека спустя. (См. статью Б. Н. Делоне «Развитие теории чисел в России» в «Ученых записках МГУ», вып. 91, М. 1947, стр. 82—83.)

всегда обработан и подготовлен»*. Эти свойства отразились и на замечательных руководствах Маркова. К сожалению, его курсы дифференциального и интегрального исчислений, в отношении строгости не уступавшие лучшим европейским руководствам конца XIX в., были изданы только литографским путем. В печати опубликованы были классические «Исчисление конечных разностей» (СПБ 1889—1891; 2-е изд., Одесса 1911) и «Исчисление вероятностей» (СПБ 1913; 4-е изд., М. 1924). Последнее фундаментальное руководство с особенным блеском соединило черты учебника, написанного с совершенной полнотой выводов и простотой изложения и поясненного тщательно рассчитанными примерными задачами, и оригинальной научной монографии, включавшей исследования автора по методу моментов, по испытаниям, связанным в цепь, и по предельным теоремам теории вероятностей.

Великий математик был также выдающимся гражданином. Со смелостью и резкостью, не так уж часто встречавшимися у «кабинетных ученых» старого времени, Марков выступал на борьбу с некоторыми реакционными действиями царского правительства и его прислужников. К числу таких проявлений гражданской активности Маркова относятся протест в 1902 г. против исключения М. Горького из почетных членов Академии наук (не забудем, что это исключение произошло по прямому распоряжению Николая II) и письмо в Синод с просьбой отлучить его, Маркова, от православной церкви в связи с отлучением от нее в 1901 г. Льва Толстого.

На протяжении многих лет Марков также вел энергичную полемику с проф. Н. А. Некрасовым, стремившимся подкрепить лженаучными аргументами, якобы заимствованными из теории вероятностей, расшатанный авторитет царского режима. Когда в 1915 г. Некрасов, занимавший видный пост в министерстве просвещения, сделал попытку ввести в этих целях преподавание теории вероятностей в гимназиях, Академия наук по предложению А. А. Маркова организовала комиссию в составе его самого, академиков А. М. Ляпунова, В. А. Стеклова, А. Н. Крылова и др. Комиссия эта вынесла следующее решение: «Взгляды Н. А. Некрасова давно известны математикам, но пока они находили место в специальных математических журналах, их можно было считать безвредными. Дело меняется, когда распространителем их является официальный орган. Поэтому Академия наук, как первенствующее ученое сословие Российской империи (устав, § 1), могущее входить во все, касающееся просвещения (§ 8), и обязанное иметь попечение о распространении просвещения и направлении оного ко благу общему (§ 2, п. 6), обязана высказать свое суждение об основных ошибках и неправильных, а потому вредных, идеях, распространяемых Н. А. Некрасовым с целью проведения их в обиход средней школы... Комиссия полагает, что вышеупомянутые заблуждения, ошибочные толкования основ науки и злоупотребление математикой с предвзятой целью превратить науку в орудие религиозного и политического воздействия на подрастающее поколение, проникнув в жизнь школы, принесут непоправимый вред делу просвещения».

Научное творчество Маркова шло в направлениях, намеченных Чебышевым, но им были выдвинуты также новые и весьма значительные идеи. О магистерской диссертации его, посвященной разысканию верхних границ двоичных форм, уже упоминалось. Докторская работа Маркова в значительной части была отведена решению намеченного Чебышевым вопроса об определении высшего и низшего пределов интеграла J*f(x)dx, где а<^х<^Ь, по данным значениям интегралов:

jf(x)dx9 Jxf(x)dx,..., Jxmf(x)dx.

Обобщениям и приложениям того же вопроса посвящен был и ряд других работ Маркова; при этом в ряде случаев он опередил близкие по времени работы Стильтеса**. Не касаясь исследований Маркова по теории непрерывных дробей, их сходимости и т. д., а также по приближенным вычислениям (оценки некоторых приближенных формул,, усиление сходимости рядов***), мы упомянем об одной из работ по теории функций, наименее уклоняющихся от нуля****.

Обобщая одну задачу, поставленную знаменитым химиком Д. И. Менделеевым в труде «Исследование водных растворов по удельному весу», Марков в 1889 г. полностью исследовал

* См. биографический очерк в «Исчислении вероятностей» А. А. Маркова, М. 1924, стр. IV.

** Эти исследования Маркова были обработаны и продолжены воспитанником, позднее профессором Петербургского университета и почетным акад. К. А. Поссе автором ряда исследований по различным вопросам анализа и известного курса дифференциального и интегрального исчислений (1-е изд. 1891).

*** Ряд результатов изложен в «Исчислении конечных разностей».

**** Основные труды Маркова по анализу собраны в книге: А. А. Марков, Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее уклоняющихся от нуля, М.—Л. 1948.

вопрос о верхней границе значений производной многочленов я-ой степени /(х), которые при а <^ х <^ b сами лежат в границах — L ^ ^/C*)^~f"^* Марков решил этот вопрос и для случая, когда х дано и когда х есть любое число между а и 6, показав, что верхней границей значений производной будет

Задача Менделеева—Маркова была вскоре обобщена на высшие производные братом академика Вл. А. Марковым (безвременно скончавшимся в возрасте 26 лет); ею занимались и в наше время.

Наиболее значительными явились, однако, исследования Маркова по теории вероятностей. Одна группа работ Маркова посвящена была точному обоснованию и выяснению условий справедливости центральной (второй) предельной теоремы Чебышева, полный вывод которой самим Чебышевым дан не был. Развивая чебышевский метод моментов (математических ожиданий степеней случайной величины), Марков в 1898 г. дал строгое доказательство этой теоремы. Однако вскоре А. М. Ляпунову удалось провести доказательство этой теоремы в более широких предположениях и иными путями, чем это сделал Марков. Это побудило А. А. Маркова к дальнейшим изысканиям, о которых он в приложениях к «Исчислению вероятностей» рассказывал в следующих выражениях: «Общность выводов в последней работе А. М. Ляпунова далеко превзошла ту, которая была достигнута методом математических ожиданий. Достигнуть столь общих выводов методом математических ожиданий казалось даже невозможным, ибо он основан на рассмотрении таких математических ожиданий, в неограниченном числе, существование которых в случае А. М. Ляпунова не требуется. Для восстановления поколебленного таким образом значения метода математических ожиданий необходимо было выяснить, что вышеупомянутыми работами он далеко не исчерпан до конца». И, действительно, Маркову удалось доказать предельную теорему Ляпунова с помощью предпочитавшегося им метода моментов. В дальнейшем советские математики внесли некоторые дополнения в эти работы Маркова и Ляпунова замечательные по своей общности и по своей значительности для приложений к разнообразнейшим задачам механики и физики*.

Не останавливаясь на работах Маркова о методе наименьших квадратов, отметим еще публиковавшиеся им, начиная с 1906 г., изыскания об «испытаниях, связанных в цепь». В то время как в теоретико-вероятностных работах предшествующего времени изучались совокупности независимых случайных величин, Марков ввел в рассмотрение такие последовательности случайных величин zv Z2,..., 0Л,..., для которых вероятность значения величины zn зависит от предыдущей zn~\ (простые цепи Маркова) или от нескольких предыдущих (сложные цени), и распространил важнейшие теоремы, известные для схемы независимых случайных величин на эти случаи. Сам Марков применил свои схемы лишь к изучению распределения гласных и согласных в первых 20 000 букв текста «Евгения Онегина», и в 100000 букв из «Детских годов Багрова-внука». Вскоре, однако, выяснилось огромное значение созданной им теории в разнообразных проблемах статистической физики, в которых вероятностные характеристики одних состояний систем так или иначе зависят от им предшествующих состояний. Советские математики впоследствии далеко продвинули вперед разработку теории случайных процессов**.

3. В. Г. Имшенецкий и Н. Я. Сонин. К Петербургской математической школе относится и ряд ученых, получивших образование в других университетах и не столь непосредственно связанных в своем творчестве с собственно чебышевской тематикой. После акад. Остроградского в Петербурге сравнительно мало занимались теорией дифференциальных уравнений и задачами математической физики, — более других внимания уделил этой проблематике А. Н. Коркин; ей посвящены были также магистерские диссертации С. Е. Савича, Г. К. Суслова, Д. А. Граве (о последнем нам придется говорить позднее). Широкий размах работы в этой области получили в Академии наук лишь позднее.

После Лобачевского кафедру математики в Казанском университете возглавил его ученик проф. А. Ф. Попов (1815—1876), бывший также с 1866 г. чл.-корреспондентом Академии наук. Важнейшие труды Попова относились к области математической физики, и, вероятно, он возбу-

* Теорема Маркова—Ляпунова гласит, что для неограниченного ряда независимых случайных величин zb z29..., zn,... с математическими ожиданиями ai,0i,... и дисперсиями ЪЬЪЪ... вероятность неравенств:

стремится (в некоторых дополнительных условиях) при неограниченном возрастании п к пределу

** См. приложения к «Исчислению вероятностей« А. А. Маркова и статью Б. В. Гнеденко «Развитие теории вероятностей в России», «Труды Института истории естествознания АН СССР», т. II, 1948.

дил первый интерес к теории дифференциальных уравнений у В. Г. Имшенецкого. Василий Григорьевич Имшенецкий (род. в 1837 г. в г. Ижевске), сын военного врача, окончил Казанский университет в 1853 г. и некоторое время работал учителем в средних учебных заведениях. Прослушанные им во время кратковременного пребывания в Париже курсы лекций Ламэ и Бертрана по математической физике окончательно определили круг его интересов, и обе диссертации его — и магистерская (1864) и докторская (1868) — посвящены были уравнениям с частными производными 1-го и 2-го порядка. О значительности этих работ свидетельствует хотя бы тот факт, что они вскоре после публикации были переведены на французский язык Гуелем, профессором в Бордо, встречавшимся уже нам в качестве переводчика Лобачевского.

Деятельность Имшенецкого в качестве казанского профессора математики оказалась непродолжительной. Как и многим другим ученым XIX в., ему пришлось столкнуться с реакционным начальством, и сознание гражданского долга побудило его подать в отставку. В начале 70-х годов прошлого столетия попечителем Казанского округа состоял некий Шестаков, который сам о себе писал, что за его действия его назовут вторым Магницким. В 1871 г. с ярким обличением ряда злоупотреблений и безобразных поступков попечителя и поддерживавшей его реакционной части профессуры выступил знаменитый П. Ф. Лесгафт, занимавший в Казани кафедру физиологической анатомии. «Дело Лесгафта» было доложено Александру II, и по личному распоряжению императора Лесгафт был уволен из университета. Результатом этого увольнения явились сперва запросы и прения в совете университета, а затем добровольная коллективная отставка шести прогрессивных профессоров и среди них Имшенецкого и выдающегося химика Марковникова. В одном письме Имшенецкий кратко выразился следующим образом: «Видя, что партия большинства подавляет и исключает всякое проявление самостоятельного, основанного на законах, отношения к делу остальной группы членов, я делал вместе с другими попытки получить удовлетворительный выход из этого невыносимого положения, но эти попытки привели только к тому, что наши понятия о праве и правде втоптаны в грязь и положение настолько ухудшилось, что всем нам стало очевидно невозможно оставаться далее в Университете, не поступившись своим человеческим достоинством».

Проведя два трудных года в работе не по специальности (в банке), Имшенецкий был избран профессором Харьковского университета, где в течение шести лет вел активную педагогическую работу и, в частности, организовал математическое общество. В 1881 г. он был избран академиком и вскоре переехал в столицу. В Петербурге он продолжал преподавательскую, научную (обобщения функций Я. Бернулли) и общественную деятельность (учреждение Петербургского математического общества) и скончался в 1892 г*.

Из Московского университета, кроме самого Чебышева и акад. Ив. Иосиф. Сомова (1815 — 1878), главные научные работы которого относились к механике, вышел еще один видный представитель Петербургской математической школы — Николай Яковлевич Сонин (1849— 1915). Окончив Московский университет в 1869 г., Сонин вскоре защитил магистерскую диссертацию о разложениях в ряды по сферическим и цилиндрическим функциям, а в 1874 г. докторскую диссертацию «Об интегрировании уравнений с частными производными второго порядка» («Математический сборник», т. VII), которую проф. Энгель 23 года спустя опубликовал на немецком языке. Работа эта была посвящена установлению некоторых теорем существования и усовершенствованию метода интегрирования Дарбу. С 1872 г. Сонин работал в Варшавском университете, а в 1893 г. был избран академиком. Кроме трудов по теории дифференциальных уравнений, Сонину принадлежит много других работ по вопросам анализа — по специальным, особенно бесселевым функциям, по оценке остаточных членов формул суммирования Эйлера и Стирлинга и т. д.; некоторые мемуары Сонина дополняли и развивали исследования Чебышева (например, об определении предельных значений интегралов); вместе с А. А. Марковым Сонин также издал первое собрание сочинений Чебышева.

4. С. В. Ковалевская. Теории дифференциальных уравнений и их приложениям были посвящены также замечательные работы величайшей среди женщин-математиков — Софьи Васильевны Ковалевской. Ковалевская родилась 15 января 1850 г. в семье артиллерийского генерала. Математика заинтересовала необыкновенно одаренную девочку весьма рано, но в тогдашней России женщинам доступ в университет был закрыт, и для получения специального высшего образования 19-летняя С. В. вместе с своим мужем, впоследствии знаменитым палеонтологом В. О. Ковалевским, уехала за границу. Трудности встречались С. В. Ко-

* См. К. А. Андреев, Василий Григорьевич Имшенецкий, Харьков 1892 и статью А. В. Васильева в «Биографическом словаре профессоров и преподавателей Казанского университета», под ред. проф. Н. И. Загоскина, Казань 1904.

валевской на всем ее жизненном пути: в Берлинский университет ее также не допустили. Тогда она обратилась к известному математику Вейерштрассу с просьбой помочь ей в занятиях. Вейерштрасс был лично противником допущения женщин в университеты. Лишь яркий талант, продемонстрированный молодой женщиной в решении предложенных ей маститым ученым задач, убедил его согласиться на ее просьбу. Вскоре же Вейерштрасс мог сказать о молодой женщине: «Я имел очень немногих учеников, которые могли бы сравниться с ней по прилежанию, способностям, усердию и увлечению наукой».

В 1874 г. Ковалевская представила в Геттингенский университет диссертацию («К теории дифференциальных уравнений с частными производными»), в которой доказала важную теорему о существовании решения у весьма широкого класса систем уравнение с частными производными, разрешенных относительно старших производных. Теорему эту можно найти теперь в каждом солидном руководстве по теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Попытки Ковалевской по возвращении на родину найти приложение своим силам увенчались неудачей. Министр просвещения не разрешил ей даже, несмотря на ходатайство профессуры, держать магистерские экзамены при Московском университете. Почти столь же трудно оказалось получить профессуру и заграницей, и только в 1883 г. она была приглашена профессором университета в Стокгольм. С этого времени С. В. вновь с увлечением отдалась научной работе, совмещая ее с чтением лекций, неизменно имевших громкий успех. В этот второй период деятельности Ковалевской она получила новые выдающиеся результаты. На 1888 г. Парижская академия наук объявила конкурс по вопросу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки,—вопросу, частные случаи которого разобрали в свое время Эйлер, Лагранж и др. Работа Ковалевской, представленная под девизом: «Говори, что знаешь, делай, что обязан; будь чему быть», была признана настолько капитальной, что премия специально была увеличена с 3000 франков до 5000. В этом исследовании Ковалевская чрезвычайно существенно продвинула исследование поставленной задачи и с помощью гиперэллиптических функций получила решение для рассмотренного ею случая в конечном виде.

Перечисленные и иные работы Ковалевской (об абелевых интегралах, о преломлении света в кристаллических средах и т. д.) снискали Ковалевской мировую славу. По инициативе Чебышева Петербургская академия наук избрала в 1889 г. С. В. Ковалевскую своим членом-

С. В. Ковалевская

корреспондентом, по поводу чего П. Л. Чебышев в приветственной телеграмме на ее имя писал: «Наша Академия наук только что избрала Вас членом-корреспондентом, допустив этим нововведение, которому не было до сих пор прецедента. Я очень счастлив видеть исполненным одно из моих самых пламенных и справедливых желаний». Однако и после этого избрания Ковалевской пришлось столкнуться с оскорбительными для женщины чертами царского режима: когда она выразила желание принять в своем новом звании участие в заседаниях математического отделения Академии наук, ей в этом, как женщине, было отказано. Скончалась С. В. от воспаления легких 10 февраля 1891 г.* в расцвете сил и новых творческих начинаний.

5. А. М. Ляпунов. Наиболее крупные достижения в теории дифференциальных уравнений были получены на рубеже XIX и XX вв. наиболее крупным же и оригинальным среди учеников Чебышева — А. М. Ляпуновым.

Александр Михайлович Ляпунов родился б июня 1857 г. в семье директора Ярославского лицея М. В. Ляпунова, до того работавшего астрономом в Казанском университете. Окончив в 1876 г. гимназию с золотой медалью, А, М. поступил на физико-математический факультет Петербургского университета, который в 1880 г.

* Научные труды С. В. Ковалевской выходят сейчас в издании АН СССР. Там же см. ее биографию, написанную П. Полубариновой-Кочиной.

окончил также с золотой медалью за работу по гидродинамике. Особенно сильное влияние на молодого Ляпунова оказывал, естественным образом, Чебышев. Чебышев же поставил перед А. М. Ляпуновым ту знаменитую задачу, с которой были связаны наиболее значительные открытия последнего.

Уже магистерская диссертация Ляпунова «Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости» (СПБ 1884) представляла собой частичное решение этой чебышевской задачи. Речь шла о следующем. Ученые издавна занимались проблемой о возможных фигурах равновесия вращающейся жидкой однородной массы в условиях ньютонова закона тяготения: проблема эта имела прежде всего важнейшее значение для астрономии и, в частности, космогонии. Усилия многих первоклассных ученых (среди них Маклорена, Лапласа, Якоби), продвинув несколько исследование вопроса, отнюдь не довели его до завершения. Между прочим, еще Маклореном было установлено наличие фигур равновесия, имеющих форму эллипсоидов вращения. Вот эту-то задачу неоднократно ставил перед своими младшими сотоварищами, в том числе Золотаревым и Ковалевской, Чебышев, сформулировавший ее в следующих выражениях:

«Известно, что жидкая однородная масса, частицы которой притягиваются по закону Ньютона и которая вращается равномерно около некоторой оси, может сохранить форму эллипсоида, пока угловая скорость о> не превосходит некоторого предела. Для значений (о, больших этого предела, эллипсоидальные фигуры равновесия становятся невозможными. Пусть а> — какое-либо значение угловой скорости, которой соответствует эллипсоид равновесия Е. Даем угловой скорости достаточно малое приращение е. Спрашивается, существуют ли для угловой скорости ю-}-г иные фигуры равновесия, отличные от эллипсоидальных, непрерывно изменяющиеся при непрерывном изменении е, и при е = О, совпадающие с эллипсоидом £?».

Работая над проблемой Чебышева в 1882— 1883 гг., Ляпунов получил решение вопроса сперва только в первом приближении. В четвертом тезисе своей магистерской диссертации он писал: «Для всякого целого п, превосходящего 2, между эллипсоидами Якоби можно найти по крайней мере один, а между эллипсоидами Маклорена Е 2 ^ (т. е. целую часть п .—А. Ю.) таких, к которым бесконечно близки некоторые алгебраические поверхности п-го порядка, для которых можно в первом приближении удовлетворить условию равновесия». Однако, не сумев еще найти лучших приближений, он не опубликовал, исследования, приведшего к указанному результату, ограничившись формулировкой этого тезиса. Основное содержание диссертации было посвящено иным, хотя и родственным вопросам*. В этом добровольном отказе от публикации уже найденных интересных открытий сказалась исключительная скромность и требовательность к самому себе А. М. Ляпунова, которые он проявлял и в дальнейшем.

Для оценки полученного Ляпуновым частичного решения задачи Чебышева интересно указать, что несколько лет спустя выдающийся французский ученый А. Пуанкаре опубликовал мемуар <'0 равновесии жидкой вращающейся массы» (1886), в котором вновь получил первое приближение к решению той же задачи. Результат Пуанкаре произвел сильнейшее впечатление на ученый мир Европы. Через год он был избран членом Парижской академии, а в 1890 г. Лондонское королевское общество присудило ему золотую медаль, при поднесении которой президент общества Дж. Дарвин назвал мемуар Пуанкаре, основной вывод которого был уже предварен Ляпуновым, «как бы откровением».

В. А. Стеклов в связи с этим так охарактеризовал коренное различие в требованиях, предъявлявшихся русским и французским геометрами к математическим теориям. Пуанкаре, нередко получавший свои результаты при помощи нестрогих рассуждений или простых аналогий, исходил из того, что в механике нельзя требовать такой же строгости, как в чистом анализе, между тем как Ляпунов в одной позднейшей работе на ту же тему сказал следующее: «Непозволительно пользоваться сомнительными суждениями, коль скоро мы решаем определенную задачу, будь то задача механики или физики — все равно, как только задача поставлена совершенно определенно с точки зрения математики, она становится тогда задачей чистого анализа и должна трактоваться как таковая». Насколько прав был при этом Ляпунов, продемонстрировала дальнейшая история вопроса. Исходя из первых приближений Пуанкаре, только что упоминавшийся Дж. Дарвин пришел к заключению об устойчивости так называемых грушевидных форм равновесия. Между тем из более совершенных методов, развитых позднее Ляпуновым, вытекало, как показал он в своей полемике с Дарвином, что эти формы—неустойчивые и что результат Дарвина неверен.

Через год после защиты магистерской диссертации Ляпунов переехал в Харьков, где освободилась с отъездом Имшенецкого вакансия, и

* Магистерская диссертация Ляпунова была переведена на французский язык 20 лет спустя.

начал активную педагогическую и научную деятельность в университете и в математическом обществе, в котором с 1891 по 1899 гг. состоял товарищем председателя, а в 1899—1901 гг.— председателем. Отказавшись по скромности от предложенной ему должности и. о. профессора, он долгие годы работал доцентом. К чтению лекций и подготовке их конспектов он относился с поразительной тщательностью и авторитетом среди студенчества пользовался огромным. Его ученик В. А. Стеклов вспоминал: «А. М. занял совершенно особое положение в глазах студентов: к нему стали относиться с исключительно почтительным уважением. Большинство, которому не чужды были интересы науки, стало напрягать все силы, чтобы хоть немного приблизиться к той высоте, на которую вел А. М. своих слушателей Развился особый стыд перед ним за свое незнание; большинство не решалось даже заговаривать с ним единственно из опасения обнаружить перед ним свое невежество. Благодаря этому получилась даже довольно своеобразная организация: курс выдвинул как бы одного уполномоченного, к которому товарищи обращались со своими недоразумениями, а это одно лицо должно было уже от себя лично вести работы с А. М., приняв на себя обязанность за всех краснеть от стыда в случае какого-либо явного промаха».

В 1892 г. А. М. Ляпунов защитил в Московском университете при оппонентах Н. Е. Жуковском и Б. К. Млодзеевском докторскую диссертацию «Общая задача об устойчивости движения» (Харьков, 1892), через 16 лет переведенную на французский язык, ибо изложенные в ней открытия иностранным ученым оставались неизвестными. В этой фундаментальной работе, составившей эпоху в развитии теории дифференциальных уравнений и механики, Ляпунов впервые точно и правильно поставил самую задачу об устойчивости и весьма далеко продвинул ее решение для ряда важных случаев. Одновременно с Пуанкаре он заложил вместе с тем основы качественной теории дифференциальных уравнений, целью которой является, не проводя интегрирования данного уравнения, дать по свойствам правой части уравнения характеристику поведения интегральных кривых, расположения особых точек и т. д. в полной области их существования. Основное отличие результатов обоих математиков состояло в том, что у Пуанкаре задача ставилась несколько шире, но решалась менее строго, чем у Ляпунова.

В 1893 г. Ляпунов получил звание профессора, в 1900 — был избран членом-корреспондентом Академии наук, а в конце 1901—академиком, на вакансию, остававшуюся незамещенной после кончины его учителя Чебышева. Параллельно с работами по устойчивости он некото-

А. М. Ляпунов

рое время занимался отдельными задачами математической физики (теория потенциала) и, в связи с чтением курса теории вероятностей, уже упоминавшимися исследованиями центральной предельной теоремы. Последние 15 лет он посвятил глубокому анализу той же задачи Чебышева, которая явилась отправным пунктом его первых научных работ и, между прочим, подверг разрушительной критике ошибочные работы Дж. Дарвина. Скончался А. М. Ляпунов 3 ноября 1918 г. в Одессе, куда переехал летом 1917 г. для лечения жены. Заслуги А. М. Ляпунова перед наукой отмечены избранием его также членом ряда иностранных академий и обществ. Труды его продолжаются и сейчас многочисленными советскими учеными*.

Академик Ляпунов обогатил тематику Петербургской школы новыми проблемами огромного теоретического и прикладного значения. Вместе с тем, в отличие от академика Маркова, он пользовался новыми, чуждыми классическому чебышевскому направлению методами. Различие между обоими великими учениками П. Л. Чебышева, в связи с их работами по теории вероятностей, подчеркнул акад. С. Н. Бернштейн:

* См. А. М. Ляпунов, Избранные труды, редакция акад. В. И. Смирнова. Л, 1948 и помещенные в этом издании статьи В. И. Смирнова о жизни и научных трудах Ляпунова, а также статью Н. Д. Моисеева, А. М. Ляпунов и его труды по теории устойчивости, сУченые записки МГУ», вып. 91, М. 1947.

«Несомненно,—писал он, — самым ярким выразителем идей и направления Чебышева был А. А. Марков, наиболее близкий своему учителю по характеру и остроте своего математического дарования... А. М. Ляпунов, как известно, был также одним из ближайших учеников Чебышева, испытавшим на себе его глубокое влияние. Известно, например, что проблема фигур равновесия вращающейся жидкости, которая занимает центральное место в исследованиях Ляпунова, была ему предложена Чебышевым, что свидетельствует, между прочим, о том, что интересы Чебышева выходили за пределы областей математики, в которых проявилось его личное оригинальное творчество. Однако влияние Чебышева на Ляпунова, который по силе дарования не уступал ни одному из своих современников как в России, так и на Западе, не было столь исключительным. Ляпунов лучше других представителей Петербургской школы понимал и умел ценить достижения западноевропейских математиков второй половины прошлого столетия, которые ввели в точные рамки методы классического «трансцендентного» анализа, сделав их не менее надежными, чем алгебраические методы Чебышева. Именно это обстоятельство было причиной того, что Ляпунов более независимо подходил к проблемам Чебышева, чем другие его ученики»*. В этом обстоя-

В. А. Стеклов

тельстве была одна из выдающихся заслуг Ляпунова, который первый в Петербургской школе приступил к преодолению некоторых ее ограниченностей, стоявших препятствием на пути к дальнейшему творческому подъему**.

6. В. А. Стеклов. Если Казанский университет пополнил ряды Петербургской школы Имшенецким, а Московский — Сониным, то из Харьковского университета вышел академик В. А. Стеклов. Владимир Андреевич Стеклов родился в семье священника в 1863 г. Проучившись один год в Московском университете, он, после некоторого перерыва, поступил на физико-математический факультет в Харькове, где, начиная с третьего курса, стал заниматься под руководством А. М. Ляпунова. Университет он закончил в 1887 г. и остался работать ассистентом на кафедре механики. Магистерская диссертация его в 1894 г. была по механике, а за нею последовал ряд работ, частью выполненных совместно с Ляпуновым, посвященных задачам математической физики, ставшей затем основной специальностью Стеклова. Докторская диссертация его «Общие методы решения задач математической физики» (Харьков, 1902) вместе с некоторыми предшествующими мемуарами принесла Стеклову широкую известность.

Наряду с педагогической деятельностью В. А. Стеклов вел в Харькове большую общественную и административную работу. В 1902—1906 гг. он состоял председателем местного математического общества, участвовал в разработке нового университетского устава, работал деканом и т. д. В 1903 г. он был избран членом-корреспондентом Академии наук, в 1906 г. переехал на работу в Петербургский университет, а в 1910 г. был избран адъюнктом и, наконец, в 1912 г.—членом Академии наук.

Важная часть жизни В. А. Стеклова пала уже на советское время. В 1919 г. он был избран вице-президентом Академии наук и на этом посту проявил большую энергию. Быть может, особенной заслугой его при этом явилась организация Физико-математического института, который уже после его смерти (1926) был в 1932 г. разделен на два руководящих научных учреждения: Физический институт имени П. Н. Лебедева и Математический институт имени В. А. Стеклова.

Академик Стеклов являлся одним из ярких математиков-прикладников и в ряде своих вы-

* См. сб. «Научное наследие П. Л. Чебышева», вып. I, М. — Л. 1945, стр. 59, 61 — 62.

** Для старшего поколения Петербургской школы было характерно отсутствие интереса к методам теории функций комплексного переменного, новой теории функций действительного переменного, проблемам аксиоматики и т. п. — все это в глазах его представителей было своего рода математическим декадентством.

ступлений горячо пропагандировал, подобно П. Л. Чебышеву, важность соединения теории и практики. Научная его деятельность являлась примером такого единства: основные математические исследования его принадлежали к части прикладной математики. Искренний и горячий патриот, он был большим любителем русской культуры и, между прочим, русской музыки (в молодости у Стеклова был сильный и красивый голос). Ученый по преимуществу, он не замыкался в кругу чисто научных проблем и наряду с большой организационной деятельностью в Академии участвовал в работах Комитета науки при Совнаркоме, в комиссии Госплана по изучению производительных сил и т. д.

Важнейшие работы Стеклова посвящены были уравнениям с частными производными и задачам математической физики. В них исследованы были разнообразные разложения функций в ряды по данным системам ортогональных функций; при этом особенное значение имели исследования по теории замкнутости, самое понятие о которой впервые детально исследовал и использовал именно Стеклов. Другие работы его относились к приближенным вычислениям, формулам суммирования и т. д. В частности, в 1917 —1919 гг. он опубликовал несколько работ, в которых дал весьма полный разбор формул приближенного интегрирования с помощью механических квадратур. И все его труды характерным образом сочетали, как и работы его учителя, точность и строгость математических выводов с направленностью на приложения математики.

7. А. Н. Крылов. Работы В. А. Стеклова по математической физике в большей части своей посвящены были ее принципиальным проблемам; они расширяли и укрепляли самый фундамент теории, который, как выяснилось к концу XIX в., являлся недостаточно прочным. Другому важнейшему направлению математической физики — конкретному числовому решению конкретных же частных задач — посвятил видную долю своих творческих усилий А. Н. Крылов. Алексей Николаевич Крылов (15 августа 1863 г. — 26 октября 1945 г.) являлся крупнейшим математиком, но в значительной мере, так сказать, по совместительству. Это был прежде всего великий морской инженер, труды которого легли в основу современного кораблестроения и отчасти кораблевождения. Мы, разумеется, можем здесь бегло очертить лишь его математические работы и то лишь в части, падающей на рассматриваемое время, т. е. далеко не полно, ибо треть долгой жизни А. Н. Крылова пала уже на советское время, и совокупность его работ этого периода оказалась столь зна-

А. Н. Крылов

чительной, что советское правительство присвоило ему и звание лауреата Сталинской премии и почетнейшее звание Героя Социалистического Труда.

А. Н. Крылов окончил с отличием Морское училище, а затем и Морскую академию, где учителем его по математике был А. Н. Коркин. Яркий прикладник, Крылов, как математик, испытал на себе несомненное влияние этого выдающегося деятеля Петербургской математической школы. Коркин же, большой поклонник классиков XVIII — XIX вв — Эйлера, Фурье, Пуассона и др., — воспитал в Крылове глубокий интерес к тем вечно живым идеям, которые заключаются в трудах этих ученых*.

Ряд важных работ А. Н. Крылова посвящен был полному, доведенному до числового расчета решению задач о колебаниях, например о вынужденных колебаниях стержней постоянного сечения. Именно в связи с этими задачами он получил, между прочим, замечательно простой и изящный прием улучшения сходи-

* Вспомним о замечательных трудах А. Н. Крылова по истории математики: его комментированном переводе «Математических начал натуральной философии» Ньютона (СПБ 1915), затем о переводах и дополнениях к работам Эйлера, его ярких биографиях Чебышева, Ньютона и др. Исторические исследования А. Н. Крылова вместе с тем нередко служили для него отправным пунктом в оригинальных исследованиях.

мости рядов Фурье, разработал новый метод составления и решения векового уравнения и т. д. В ряде работ Крылов применял усовершенствованный им метод численного решения дифференциальных уравнений Адамса-Штермера. Особенной заслугой Крылова перед отечественной математикой явилась блестящая пропаганда разнообразных методов приближенных вычислений в форме, в которой ими могли бы воспользоваться при своих расчетах и ученые, и практические вычислители, и инженеры. В 1906 г. он прочитал курс «Лекций о приближенных вычислениях», в полном виде изданный в 1911 г. Эта замечательная и по содержанию (во многом оригинальному) и по изложению монография, равной которой не имеется до сих пор во всей мировой литературе, явилась и до сих пор служит настольной книгой многих физиков и техников. По направлению к этой монографии примыкала и другая, не менее классическая книга «Приближенное численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений», первым изданием вышедшая в 1918 г.

В 1916 г. А. Н. Крылов избран был академиком, а через год начался новый период в его жизни, как и в жизни всей нашей страны. Как говорилось, нам придется отказаться здесь от рассмотрения дальнейших достижений этого яркого и своеобразного представителя старой Петербургской математической школы, теоретика и прикладника, математика и конструктора, администратора и литератора и, наконец, историка науки, который, как никто, умел находить в творениях старых мастеров идеи, перекликающиеся с современностью*.

Мы рассмотрели далеко не все работы деятелей предреволюционной Петербургской математической школы. Нам пришлось пройти мимо многих интересных ученых, а деятельности других мы не коснулись, ибо она в значительной или даже подавляющей части относится уже к советской эпохе развития математики.

Замечательные достижения Петербургской школы в теории чисел, теории вероятностей, теории приближения функций, и, наконец, теории дифференциальных уравнений явились вершиной в развитии русской предреволюционной математики, а также вкладом огромной ценности в развитие всей человеческой культуры. Как и Лобачевский, Чебышев, Вороной, Марков, Ляпунов, Стеклов и другие наши лучшие математики во многих вопросах далеко опережали европейских ученых, которым, по незнанию русской научной литературы, приходилось многократно и с немалым опозданием «переоткрывать» результаты русских новаторов науки.

Как говорилось в начале главы, во второй половине XIX и начале XX в. заметно нарастал темп прогресса математических исследований и в других университетских центрах России. Мы подробнее очертим успехи русской математической мысли в Москве, Киеве, Казани, Харькове и Одессе в следующий раз.

* См. посвященные академику А. Н. Крылову статьи Л. А. Люстерника и В. И.Смирнова в «Успехах математических наук», т.1, вып. 1 и вып. 3 — 4, 1946.

МЕТОДИКА

НЕСОБСТВЕННЫЕ КОРНИ УРАВНЕНИЙ

А. Л. БОНДАРЕВ (Краснодар)

Когда решение уравнения

/(*) = ?(*)0)

рассматривают как задачу отыскания в заданном множестве допустимых значений, тех значений х = я, при которых

/(а)-<р(а) = 0,(А)

то решением (корнем) уравнения может оказаться только такое число из данного множества, при котором обе части уравнения имеют определенные числовые значения. Так, в уравнениях

х 4-1 1 х2 0л

— = — \— = 2х\ tgx:ctgx = l

х = 0 не может быть корнем в указанном смысле, так как в этом случае не существует числового значения / (а) — ср (а) функции

/(*)-?(*>.

Отсутствие числового значения функции / (л:) — ср (л:) при некотором значении х = а позволяет, однако, не меняя этой функции в ранее заданной области определения, определить ее дополнительно, как нам это будет удобно, и при х = а. Говоря точнее, в этом случае представляется возможным построить новую функцию, совпадающую с / (л:) — ср (х) в области определения последней, но определенную, кроме того (по нашему усмотрению), и при значении х = а, выходящем из этой области.

Обычно принято значением функции в точке, в которой она не определена, считать предел этой функции в данной точке, если этот предел существует. Такое дополнительное определение функции принято в анализе и оправдывается стремлением получить функцию непрерывную в рассматриваемой точке а.

Согласуясь со сказанным, будем значения

х = а, при которых функция f (х) — ср (х) не определена, но

Um[/<*)-¥■(*))-О(В)

х —> а

такж^ считать корнями уравнения (1); эти корни будем называть несобственными. Примеры.

х2

1. В уравнении — = 2х при л;=0 имеем:

lim2лг) = 0.

л- О

Поэтому л; = 0 является несобственным корнем этого уравнения.

х 4-1 1

2. В уравнении —— = — при х=0 имеем:

„ra(£±i_-L)-i^o.

Поэтому х = 0 не является несобственным корнем этого уравнения.

3. В уравнении cos-~ = 0 при х=0 левая часть не определена. В этом случае lim cos —

лг->0

не существует и х = 0 не может считаться несобственным корнем уравнения.

4. В уравнении —— = (х-{-2)\ функция не определена при х = 0, а функция (х-|-2)! не определена при любом нецелом значении х, так что функция —---(je-f-2)! не определена и при х = 0 и вблизи этого значения. В этом случае lim Г—---(x-)-2)!l не имеет смысла и значение л; = 0 не может считаться несобственным корнем уравнения.

Последний пример показывает, что для того, чтобы значение х = а могло оказаться несобственным корнем уравнения (1), необходимо, чтобы при х = а функция f(x) — <р (х) была бы не определена, но в достаточно малой окрестности точки а содержались бы точки, принадлежащие области определения этой функции. Если

lim [/(*)-? (*)]=(>,(С)

X —► оо

то условимся говорить, что уравнение (1) имеет бесконечный корень х=оо. Если

Ит [/(*)-?(*)]= О, (С)

Х-+ — оо

то будем говорить, что уравнение имеет бесконечный корень х = — оо, Например:

1. Уравнение *--т^г = 1 имеет бесконечные корни х=± оо, так как

Но уравнение 2х-\-\=2х бесконечных корней в принятом выше смысле не имеет, так как

lim (2x-fl — 2х) = 1 фО.

X —► ± оо

2. Уравнение lg (x-\-\)=\gx, рассматриваемое в множестве действительных чисел, имеет корень л; = -{-оо, так как

lim [lg (х + 1) - lg х] = lim lg i±J =

JT—>-|-00x —► -}-oo x

-lim lgA+JL)-0.

Ho x = — оо не является корнем этого уравнения, так как при отрицательных значениях х функция lg х не определена, а потому lim [Ig(x-j-l) — IgA:] не имеет смысла.

X —► — со

Хотя в последнее время общим становится мнение о том, что в средней школе следует рассматривать лишь собственные корни, в учебной и методическое литературе, а в том числе и в школьных учебниках, вопрос о несобственных корнях все еще остается неясным.

Преподаватель, доверчиво использующий учебные и методические руководства, часто встречает неразрешимые противоречия и затруднения.

Приведем несколько примеров. 1. Проф. Извольский, рассматривая уравнения*:

*-r*2l~jt-|-3 х% + Ъх + б

11 (* + 2) _0 (х + 2) (х + 3) v'

считает их корнем х = — 2. И это объясняет тем, что cl) неопределенность может равняться любому числу, в том числе и нулю, и 2) подстановка в данное уравнение приводит

4 7 4 к — 4- — =-(р т- е» бесконечность равна бесконечности»**.

В статье «О посторонних корнях алгебраических уравнений»*** автор Рутковский для уравнения

(л: — а) (х — Ь) (х — с)- «-(л: — k) _ Q {х—а) (х — bt) (x — cj.-.fx — kx)

x*=aa считает посторонним корнем. И это объясняет тем, что в левой части уравнения получается неопределенное выражение-q-, в то время как правая часть равна нулю». Однако вслед за этим автор указывает, что «после перенесения всех членов в одну часть уравнения и сложения необходимо полученную дробь сократить».

В итоге получается:

1) Один и тот же довод, которым автор первой статьи оправдывает возможность считать х = — 2 корнем второго уравнения (левая часть уравнения оказывается неопределенной, правая часть уравнения равна нулю), автор второй статьи приводит в оправдание прямо противоположного утверждения.

2) Если решать уравнение — = 0, «по Извольскому», то значение х=0 следует считать корнем уравнения, так как «неопределенность может равняться любому числу, в том числе и нулю».

И «по Извольскому» же то же значение, повидимому, нельзя считать корнем уравнения, так как «подстановка в данное уравнение приводит» к результату: «бесконечность равна нулю».

3) Если решать уравнение = 0 «по Рутковскому», то х = О нельзя считать корнем

* Журнал «Математика и физика в средней школе», 1936, № 5.

** Обратим внимание на то. что при х = —2 правая и левая части первого уравнения и левая часть второго уравнения не определены, а

х J-2(^Т2 + * + 3 х' + 5х + Ь ) =

Поэтому в принятом нами смысле х в — 2 не является ни собственным, ни несобственным корнем этих уравнений.

*** Журнал «Математика в школе», 1937, № 1.

уравнения, так как в «левой части уравнения получается неопределенное выражение в то время как правая часть равна нулю».

И «по Рутковскому» то же значение х = О, повидимому, следует считать корнем, если в левой части уравнения «полученную дробь сократить».

Какой, даже опытный, преподаватель от всей этой путаницы не будет сбит с толку? Кто же здесь прав? Нужно предварительно установить, как понимает каждый автор задачу отыскания корней в рассмотренном особом случае. И может быть, все дело только в разных точках зрения, неточно высказанных авторами.

Но в первой из статей в ответ на это находим только беспринципный довод: «неопределенность может равняться любому числу», «бесконечность равна бесконечности». (Кстати, совсем неясно, чем в этом «смысле» для первого из уравнений значение х=—3 (не указанное автором) хуже, чем х= — 2.)

А во второй статье как будто бы определенное суждение в начале (рассматривать собственные корни) никак не согласуется с концом.

2. В руководстве «Методика алгебры»* проф. Чистяков рассматривает все время только собственные корни, однако для уравнения

(по неизвестным причинам) находит возможным считать корнем значение л;=1**. Что это — простая ошибка или невысказанная точка зрения?

3. В «Сборнике алгебраических задач» Шапошникова и Вальцова до самых последних изданий встречались такие уравнения, как

с необъяснимым ответом х = 0. Обратим внимание, что при х ~ 0 обе части этого уравнения не определены, а

Поэтому значение х = 0 указано корнем из соображений, отличных от принятых нами при спределении несобственных корней.

Эти соображения можно было бы принимать или оспаривать, если бы они были отчетливо высказаны составителями задачника. В действительности же, напротив, все предшествующие пояснения в тексте задачника не объясняют указанного ответа и даже не согласуются с ним. Да и в примерах авторы непоследовательны, так как в принципиально сходном случае, например в уравнении

значение х — а в числе корней не указано. Это уже не точка зрения, а беспринципность.

Редакторы последних изданий этого сборника задач совершенно правильно (в пределах школьного курса) ограничиваются рассмотрением лишь собственных корней уравнений. Это высказано с полной, как нам кажется, определенностью в формулировке:

«Если уравнение имеет дробные члены, то корни этого уравнения должны быть подвергнуты испытанию (проверке). Именно, все те корни, которые обращают один, по крайней мере, из знаменателей какого-нибудь из дробных членов данного уравнения в нуль, должны быть отброшены, как посторонние»***. И после этого в задачнике все-таки остаются уравнения:

с ответом л: = 0

и хУ*~ = {Ух)хс ответом х = 0.

Что это — недосмотр или опять какая-нибудь «точка зрения»?

4. В «Сборнике задач по тригонометрии» Н. Рыбкина**** в отделе тригонометрических уравнений после указания: «В уравнениях 64—73 данные выражения следует предварительно сократить (иначе получатся посторонние корни)» — можно заключить, что если автор и рассматривает несобственные корни, то не иначе, как в смысле принятого выше дополнительного определения функции, как ее предела.

Однако для уравнения

1 — cos 2х__ sin 2л:

2 sin л:1 + cos 2х*****

по неизвестным соображениям указаны корни х=^-п, которые при п нечетном никак не могут быть получены из этого уравнения после «предварительного сокращения», так как

* Издание 1934 г.

** Заметим, что lim

*** Издание 1946 г.

**** То же.

***** § 14, № 70.

В более ранних изданиях этого сборника задач столь же необъяснимый ответ x=\S0°k указан и для уравнения*

Но в издании 1946 г. этот ответ исключен. Далее, в том же отделе того же издания для уравнения**

дан ответ л;=180о&, повидимому, потому, что

Но, например, для уравнения 1+tg* ~и***

значения х = (2Л +1) в числе корней не указаны.

А ведь и здесь точно так же

Непоследовательность очевидна.

Мы привели лишь немного примеров ошибочной или неточной трактовки задачи решения уравнения в «особых случаях». Тахих и подобных примеров можно было бы привести очень много. Но и приведенных достаточно, чтобы иметь основание предостеречь преподавателей математики от возможных ошибок и заблуждений в этом вопросе.

УМНОЖЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ

П. Я. СЕВАСТЬЯНОВ (Воронеж)

При изучении умножения обыкновенных дробей самым трудным в методическом отношении является вопрос об умножении числа на дробь. Трудности здесь заключаются в понимании смысла действия и в технике вычислений.

Ранее данное определение умножения для целых чисел, как повторение множимого слагаемым столько раз, сколько во множителе единиц, при умножении на дробь теряет свой конкретный смысл, ибо повторять слагаемым можно только целое число раз, хотя в обиходной жизни мы и употребляем условное выражение взять «два с половиной раза» и т. д.

Возникает необходимость в другом определении умножения числа на дробь, которое оказывается более абстрактным, более трудным.

В курсах теоретической арифметики умножение дробей выполняется согласно определению:

под произведением двух дробей и-^-разумеется дробь

Такое формальное определение умножения дробей не может быть дано для учащихся V класса средней школы; в школе надо новое определение умножения на дробь дать в конкретной форме и показать его целесообразность. Учителю только надо помнить, что, применяя различные приемы объяснения умножения на дробь, он не доказывает, а только конкретизирует эту операцию и показывает ее целесообразность.

В методической литературе предлагается много различных способов объяснения умножения на дробь; рассмотрим наиболее распространенные и типичные из них.

В практике учителей дореволюционной и советской школы и в методической литературе (Геде «Методика арифметики», Лексин «Методика арифметики») имеет место прием, основанный на зависимости произведения от изменения множителей. Рассуждения здесь примерно ведутся так: надо умножить 5 на -у-. Забудем про знаменатель дроби множителя, тогда у нас будет умножение целого числа 5 на 2. Это делать мы умеем. Но когда мы забыли про знаменатель, множитель увеличился в три раза, следовательно, мы получили произведение, в три раз больше искомого. Чтобы получить искомое произведение, надо полученное произведение разделить на три. Запись ведется так:

* § 14, № 68. Здесь Urn

** § 14, № 27.

*** § 14, № 64.

5. — = "з"=="з"==^~з" • Обратив внимание учащихся на то, как получился числитель дроби произведения и ее знаменатель, выводится правило умножения целого числа на дробь. Этот прием имеет глубокую давность. Еще Л. Эйлер в «Универсальной арифметике», говоря об умножении дробей, писал: «Надлежит только помнить, что — есть с, разделенное на d, и так должно только сперва дробь ~- умножить на с и произойдет , потом разделить на d и выйдет — ». Так трактуется вопрос умножения дробей у ученика Эйлера Фусса, у Войтеховского, учебники которых имели большое распространение в конце XVIII и в начале XIX в.

Разобранный прием подкупает своей простотой, но он имеет следующие существенные недостатки:

а)Здесь без всяких оговорок, без предварительного доказательства, свойство произведения целых чисел изменяться в зависимости от изменения сомножителей переносится на произведение дробных чисел, что, с точки зрения строгости логической системы, делать нельзя.

б)В этом случае смысл действия умножения на дробь не раскрывается, вследствие чего учащиеся будут уметь решать примеры на умножение целого числа на дробь, но будут затрудняться применять действие умножения на дробь при решении задач.

Некоторые учителя несколько видоизменяют этот прием: рассматривают умножение на дробь как умножение на частное, а при умножении на частное надо число умножить на делимое и разделить на делитель. Но такая трактовка усложняет вопрос и не освобождает от указанного второго недостатка. Итак, мы считаем, что рассмотренный прием не следует употреблять в школьной практике.

В дореволюционной школе большое распространение имел прием объяснения умножения числа на дробь, исходящий из нового определения действия умножения. Это новое определение действия умножения имеется еще у французского математика XVIII в. Лакруа. В его книге «Начальные основания алгебры» сказано: «Умножить одно число на другое — значит составить из первого числа произведение таким точно образом, как второе составлено из единицы». Это определение умножения как действия, при котором произведение составляется из множимого так, как множитель составлен из единицы, известно в методической литературе как определение Коши; оно дается в работах многих математиков и методистов, как русских, так и западноевропейских: Дюгамель, Клейн Давидов, Малинин, Тихомандринский, Пржевальский, Маракуев и др. В алгебре Лобачевского так объясняется умножение а на —;— происходит из единицы таким образом, что т-я доля единицы возьмется п раз, следовательно, чтобы найти искомое произведение, нужно найти сумму, написав m-ю долю ап раз».

Положительной стороной данного определения является то, что оно объединяет в одно общее определение случаи умножения целых, дробных и даже отрицательных чисел. В этом его несомненное достоинство. Но это новое определение действия умножения и прием, на нем основанный, для выяснения умножения числа на дробь имеет следующие существенные недостатки:

а)Составление множителя из единицы можно делать различными путями и такими, которые могут дать в произведении неверный результат.

Например, дробь -|- можно из единицы составить и так: для составления числителя единица взята слагаемым два раза, а для составления знаменателя — три раза, т. е. 1 | — | = .

Тогда согласно данному определению умножения получим: 5--j = 5 + 5 + 5 = — -_. Результат, безусловно, неверный.

б)Это определение абстрактно, формально и непонятно для учащихся V класса.

в)Это определение не раскрывает реального смысла умножения числа на дробь, поэтому учащиеся научатся решать примеры на умножение на дробь, но будут затрудняться в применении действия умножения на дробь при решении задач.

Мы считаем, что от применения данного приема в школе следует воздержаться.

В одной из статей журнала «Педагогический сборник» за 1890 г. № 1 дается следующее определение умножения на дробь: «Умножить на дробь — означает взять слагаемым такую часть множимого, какая указана знаменателем множителя, и столько раз, сколько единиц в числителе множителя».

Найти 7 • -4- ; это значит взять слагаемым 4 '4 е 1 три раза, т. е. _ + _ + _ = —=5^-.

Характерной особенностью данного определения является введение новой счетной единицы и ее повторение.

В приведенном примере новой счетной единицей является -j-, и она повторяется слагаемым три раза. Эта новая счетная единица определена путем деления 7 на 4.

Такое понимание умножения на дробь является распространением толкования умножения целых чисел как счета группами единиц. Сущность этого понимания заключается в следующем: мы можем любую группу единиц рассматривать как счетную единицу, подобно составным счетным единицам десятичной системы счисления, например: десяток, сотня и т. д. Другими словами, мы можем вести счет двойками, тройками, пятками и т. д. Выражение 5-7 означает, что счетная единица 5 повторяется слагаемым семь раз.

При умножении на целое число счетная единица дается в готовом виде, при умножении на дробь счетную единицу надо сначала составить путем деления множимого на знаменатель множителя, а потом уже повторять слагаемым эту составленную счетную единицу столько раз, сколько в числителе дроби множителя единиц.

Данный прием объяснения умножения числа на дробь хорошо объясняет решение примеров умножения числа на дробь, но он опять же не раскрывает реального смысла умножения числа на дробь и не указывает, в каких случаях при решении задач применять умножение на дробь. Поэтому мы считаем, что от рекомендации данного приема для практической работы следует воздержаться.

В учебнике А. Киселева дается следующее определение умножения числа на дробь: «Умножить какое-нибудь число (множимое) на дробь (множитель) — значит найти эту дробь множимого». Лучше, пожалуй, было бы сформулировать так: «Умножить какое-нибудь число на дробь — это значит найти от этого числа ту дробь, которую выражает множитель*. Это определение умножения на дробь как нахождение дроби числа наиболее принято в современной методической литературе. В русской методической литературе на такое понимание умножения числа на дробь указывалось давног например в журнале «Педагогический сборник* за 1867 г. говорилось, что учащиеся, «умножая какое-нибудь число на дробь, ищут одну или несколько частей этого числа»; в объяснительной записке к проекту программ по математике 1915 г. говорилось: «Умножение на дробь предпочтительнее рассматривать, как нахождение части от данного числа».

В осуществлении приема объяснения умножения числа на дробь, как нахождении дроби числа, имеются различные методические течения.

В статье Орешкина «Некоторые моменты преподавания дробей в V классе средней школы», помещенной в журнале «Математика в школе» № 1 за 1938 г., рекомендуется к определению умножения целого числа на дробь подойти, пользуясь переместительным законом умножения. Дается пример умножения дроби на целое число f-g- • 5^ , потом множители переставлять 4 5-4\ ются и пишется результат ( 5--у- = -g-J и после соответствующих вопросов, устанавливающих, что в первом случае произведение больше множимого, а во втором случае меньше множимого, сообщается смысл умножения на дробь, как. нахождения дроби множимого.

Такое разрешение вопроса не может считаться удовлетворительным, так как здесь используется переместительный закон умножения без предварительного доказательства его верности в случае дробных множителей.

В книге «Методика арифметики» Егоров рекомендует определение умножения на дробь как нахождение части числа дать ученикам в готовом виде и на числовых примерах вывести правило умножения на дробь. Другие методисты, например Шохор-Троцкий, Евтушевский, Борель и др., считают необходимым дать учащимся определение умножения на дробь не догматически, а подвести их к нему путем решения соответствующих упражнений и задач, оправдывающих целесообразность появления такого нового определения умножения на дробь.

Считая последнюю точку зрения правильной, дадим подробную конспективного характера разработку урока на тему: «Умножение целого числа на дробь».

Во вступительной части урока надо вспомнить умножение дроби на целое число и нахождение дроби числа. Далее дается примерно такая задача: «Пешеход проходит в час 4 км\ сколько он пройдет в три часа?» Решается задача устно с последующей письменной записью. Условие задачи дополняется следующими вопросами:

«Сколько километров пешеход пройдет в 2 часа? 2 в -у- часа?» На последний вопрос учащиеся затрудняются ответить. Учитель в случае затруднения ставит следующие вопросы: «Изменился ли смысл задачи?» Ожидаемый ответ: «Нет». «Каким действием мы определяли путь пешехода, если время движения было равно целому числу часов?», «Каким же действием мы должны определять путь пешехода в случае дробного числа часов, в нашей задаче в ~ часа?»

Ожидаемый ответ: «Умножением». В результате должна получиться на доске, а у учащихся в тетрадях следующая запись: 4-3 = 12 (км)\

4-2 = 8 (км), 4- -|-=?

Для определения пути пешехода в -у часа нам нужно умножить целое число 4 на дробь Как это сделать?

Чтобы ответить на вопрос, проделаем такую знакомую работу: в 1 ч., т. е. ч., пешеход пройдет 4 км, в -Tjj- ч. пешеход пройдет -у- км, в -g- ч. пешеход пройдет -у =— = 2 — (км).

Полученный ответ записывается как решение последнего вопроса задачи: «Вот мы и выполнили умножение целого числа 4 на дробь и тем узнали путь, который пройдет пешеход за -у часа. Что мы находим таким вычислением, которое мы проделали при определении пути, пройденного пешеходом за -g- часа?»

Ожидаемый ответ: «Таким вычислением находим дробь числа».

«Таким образом, умножение числа на дробь выполнено нами путем нахождения дроби числа. Следовательно, умножить какое-нибудь число на дробь — это значит найти от этого числа ту дробь, которую выражает множитель. Таков смысл умножения числа на дробь».

Этим заканчивается основная часть урока, раскрывающая смысл умножения числа на правильную дробь. После этого учитель формулирует правило умножения целого числа на дробь.

Закрепление изученного проводится путем следующих упражнений:

а)решение примеров; ученик должен сказать сначала правило умножения целого числа на дробь, а потом выполнить заданный пример;

б)нахождение дроби числа посредством умножения на дробь; например, найти от 5.

Ученик должен сказать: «Чтобы найти дробь числа, надо данное число умножить на данную дробь» и пишет: 5--^- = —— = 1 -5-;

в)решение задач, приводящих к нахождению дроби числа, например: «В книге 236 стр., ученик прочитал-^- книги. Сколько страниц прочитал ученик?».

Все виды упражнений производить не обязательно. Второй урок будет иметь своей целью закрепить смысл и правило умножения числа на дробь. Обязательно надо проделать первый тип упражнений и сделать обобщение приобретенных знаний на уроке.

Наиболее ответственным в методическом отношении моментом является переход от умножения целого числа на целое число к умножению целого числа на дробь. В методической литературе здесь имеются различные предложения.

Некоторые методисты (Беллюстин) советуют после умножения на целое число брать умножение на смешанное число типа 2 , 2 -тр и т. д. Множитель, равный смешанному числу, дает возможность безболезненно перейти от умножения на целое число к умножению на дробное число, но он приводит к более сложным вычислениям, чем при умножении только на дробь, и не снимает объяснения смысла умножения на дробь.

В статье «К вопросу об умножении на дробь», напечатанной в журнале «Математика в школе» № 1 за 1938 г., Эменов считает целесообразным предпослать умножению на правильную дробь умножение на дробь, выражающую какое-нибудь целое число. Например, решается сначала задача: «Сколько стоит 5 м ситца по цене 6 руб. за метр». Целое число 5 заменяется равным ему по величине дробным числом . Если в первом случае для определения стоимости 5 м ситца нужно 6 руб. умножить на 5, то во втором случае для той же цели надо 6 руб. 20 п умножить на . Во втором случае учащиеся отыскивают сначала цену четверти метра, а потом 20 четвертей. Решение задачи примет такой вид: . Хотя этот прием и обеспечивает переход от умножения на целое число к умножению на дробь, однако он страдает искусственностью; учащимся сначала кажется непонятным, почему целое число заменяется равным ему дробным числом, причем знаменатель этого дробного числа берется произвольным.

В «Методике арифметики» Березанской рекомендуется после задач, приводящих к умножению на целое число, дать задачу, приводящую к умножению на дробь с числителем единица.

Дается задача: Л кг сахару стоит 5 р. 40 к. Каким действием узнать стоимость 2лгг?3 кг? 5 #г?» Ответ: «Умножением». «Какова будет стоимость -i- кг? -g- л:г?» Ответ: «2 р. 70 к.; 1 р. 80 к.». «Каким действием узнать стоимость-^- кг? -g- кг?» Ответ: «Делением».

Ученикам далее приходится пояснять, что вследствие одинакового смысла задач условились и при определении стоимости -у кг, -у кг применять действие умножения. Вместо того чтобы говорить, например: «Чтобы найти от числа 540, надо разделить его на 2», говорят: «540 умножить на -?>-»•

Получается искусственный переход: вполне естественное действие деления приходится заменять умножением, и целесообразность этой

замены на первых порах не убедительна для учащихся.

Наиболее целесообразным является переход от умножения на целое число к умножению на правильную дробь с числителем, отличным от единицы. В этом случае учащиеся или затрудняются или, а это бывает в большинстве случаев, дают ожидаемый ответ: «Умножить».

Далее вполне естественно, что при отыскании способа выполнения умножения числа на дробь мы приходим к нахождению дроби числа, и таким образом раскрывается смысл умножения числа на дробь, а потом выводим правило умножения.

В процессе последующих упражнений по закреплению правила умножения целого числа на дробь надо на конкретных примерах выяснить, в каком случае произведение получается больше, равно, меньше множимого. С этой целью полезно вывесить в классе таблицу примерно такого вида:

Подчеркнуть также, что при умножении и целого и дробного числа на нуль в произведении получится нуль.

Дальнейшие вопросы умножения дробей рекомендуется изучать в следующем порядке: умножение целого числа на смешанное число, умножение дроби на дробь, умножение дроби на смешанное число, умножение смешанных чисел.

При выяснении умножения целого числа на смешанное число надо подчеркнуть целесообразность умножения целого числа сначала на целое число, а потом на дробь и сложения полученных результатов, т. е. надо делать так:

а не так:

Выяснение вопроса об умножении дроби на дробь надо провести в основном по тому же плану, что и выяснение умножения целого числа на дробь. Схема построения урока на тему: с Умножение дроби на дробь» может быть такова:

В первой части урока надо повторить умножение числа на дробь, подчеркнуть смысл этой операции и поставить тему урока. Дальнейшую беседу вести примерно так: «При умножении целого числа на дробь мы находим дробь этого числа, указанную в сомножителе. А если мы целое число множимого заменим дробным числом — изменится ли смысл умножения? Например, вместо 5-возьмем —Какой смысл имеет умножение -у на — вообще — умножения дроби на дробь?»

Ожидаемый ответ: «При умножении дроби на дробь мы находим дробь множимого». Вернемся к нашему примеру. Найдем от -у-; -j- от

5 3 55-3 15

составит "4" от — составит ^ = ; отсюда

Путем соответствующих вопросов, касающихся получения числителя дроби произведения, выводится правило умножения дроби на дробь.

Закрепление изученного производится решением примеров тех же типов, которые были указаны при разборе вопроса об умножении целого числа на дробь.

Вопросы умножения дробей: изменение произведения с изменением сомножителей, произведение нескольких сомножителей, основные свойства умножения изложены достаточно подробно в учебнике Киселева и в особых замечаниях не нуждаются.

Остановимся на следующих вопросах:

1) Можно ли употреблять буквы для выражения правила умножения дробей ?

Употребление букв для выражения правила умножения дробей целесообразно: буквенная запись в сжатом и общем виде выражает правило умножения и подготовляет к курсу алгебры. Полезно приготовить стенную таблицу с числовой и буквенной записью умножения дробей.

2) Надо добиваться того, чтобы учащиеся сокращали множителей числителя и знаменателя в процессе умножения, а не в конечном результате. Нельзя так писать:

Надо:

ОТ РЕДАКЦИИ. Редакция считает необходимым сделать несколько замечаний по поводу статьи т. Севастьянова.

1. После решения задачи на умножение на целое число автор спрашивает: «Каким действием мы определяли путь пешехода, если время движения было равно целому числу часов? Каким же действием мы должны определять путь пешехода в случае дробного числа часов?» Ожидаемый ответ: «Умножением».

Во-первых, здесь автор по существу апеллирует к следующему логическому постулату. Если задача с целочисленными данными решается

путем некоторого действия, то задача того же содержания с дробными данными решается путем такого же действия.

Представление об этом постулате (хотя бы и без явной его формулировки) едва ли могло создаться у детей (не было для этого соответствующих фактов).

Во-вторых, с точки зрения детской логики скорее можно было бы ожидать ответ: «Делением». В самом деле: в 3, в 2 часа пешеход пройдет больше, чем в час, и естественно, что длина всего пути находится умножением (или сложением); в часа пешеход пройдет меньше, чем в час, и также естественно найти величину этого пути делением (или вычитанием).

Такой ответ почти неизбежен, если вместо -g- часа взять -j-, -j- и т. п. Об этом говорит и сам автор, возражая Березанской. Но замена половины двумя третями логически ничего не меняет и лишь психологически несколько «улучшает» положение.

2. Найдя обычным путем от 4 I в ч. — 4 2 4-2 \ — км, в — ч.--— км ), автор неожиданно заявляет: «Вот мы и выполнила умножение целого числа 4 на дробь -у». Ученики вправе возразить: «Нет, мы только обозначили умножение на дробь, записав 4--^-, а находили путь прежним способом, как всегда находили часть числа».

3. Нам кажется, что было бы логичнее провести рассуждения в обратной последовательности. Определив путь, пройденный в 3 и 2 часа, учащиеся обычным знакомым путем находят путь, пройденный в -j- часа. Затем устанавливается, что первые две задачи решались умножением. Третья задача тождественна им по смыслу. Поэтому целесообразно назвать тем же термином «умножение» и нахождение части числа.

4. Мы полагаем, что для первого примера надо взять такие числа, чтобы в итоге получилось целое число ^например 6 •

5. Автор совсем упустил из виду такой важный и в идейном и в методическом отношении вопрос, как распространение законов арифметических действий (переместительного, сочетательного и распределительного) на случай дробных чисел. А между тем то обстоятельство, что 4'-^- дает тот же результат, что и -^-*4, оо является одним из наиболее убедительных аргументов, говорящих в пользу принятого определения умножения на дробь. Еще ярче это выявляется на таком конкретном примере, как нахождение площади участка, длина которого, допустим, 6 км, а ширина км. Понятно, что мы должны получить одинаковый результат, умножаем ли длину на ширину, или наоборот. Вообще выяснению приложимости к дробным числам знаков арифметических действий должно быть уделено большое внимание путем специального подбора примеров и задач.

К МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ ДРОБЕЙ

А. Н. ДОБРОТИН (Урюпинск, Сталинградской области)

В настоящей статье я хочу поделиться своими соображениями о том, как, по моему мнению, нужно объяснять учащимся вопрос об умножении дробей.

Умножение дроби на целое число никаких трудностей не вызывает, и потому на этом я не останавливаюсь. Вместе с этим я предлагаю, чтобы до изучения умножения дробей ученики занимались решением в два приема задач, в которых находится некоторая часть от целого.

Умножение числа на правильную дробь учащиеся усваивают не сразу и не легко, так как им приходится преодолеть две большие трудности, а именно: а) они должны сознать, что умножить не всегда означает увеличить, что при умножении чисел могут быть случаи, когда произведение получается и меньше множимого, и больше его, и б) учащийся должен научиться применять действие умножения к решению задач не ощупью, не путем гадания, а вполне убежденно и сознательно (это особенно отчетливо скажется, когда будет проходиться деление).

К сожалению, обе эти трудности приходится преодолевать не по очереди, а почти одновременно. Но, прежде чем приступить к рассмотрению того случая умножения, когда множителем берется дробное число, преподаватель должен привлечь внимание учащихся к одному вопросу важного принципиального значения, а

именно: надо дать понять ученикам, что рассматриваемый случай умножения принципиально отличен от того случая умножения, когда множитель есть число целое, а потому естественно возникает вопрос, как обосновать новое действие.

Понятие о дробном числе возникло у людей из их потребности разрешить две практически важные задачи: 1) разделить целое или несколько целых на равное число частей и 2) сравнить измеряемую величину (длину, вес, объем и т. д.), с другой, принимаемой за единицу измерения.

Новые числа, дроби, потребовали установления особых правил действий над ними, причем эти действия, по крайней мере на первых порах, не столько обосновывались логически, сколько проверялись практикой.

Так, в общих чертах, развивалось исторически учение о дробях; так же строится и школьное преподавание. «В школе,—говорит Ф. Клейн,— всегда должно апеллировать к живому, конкретному созерцанию; лишь постепенно позволительно выдвигать на первый план логические элементы*.

Однако в вопросе об умножении дробей одной апелляции «к живому, конкретному созерцанию» недостаточно; по необходимости приходится прибегать к аргументации, включающей «логические элементы».

Со стороны педагога было бы крупным упущением, если бы он изложил эту тему так, чтобы ученики не почувствовали необходимости обоснования этой новой для них операции: говоря конкретнее, было бы плохо, если бы ученики не поняли, что умножение, в котором множитель — дробное число, требует иного истолкования, чем умножение, в котором множитель—число целое. В самом деле, если множитель целое число, то умножение (при любом множимом) можно заменить сложением (учитель демонстрирует это на 2—3 примерах, беря различные множимые); в этом случае умножение есть не что иное, как «упрощенное сложение», применяемое тогда, когда слагаемые равны между собою, так что этот случай умножения можно трактовать, как действие, в котором множимое берется слагаемым столько раз, сколько во множителе содержится целых единиц.

Другое дело, когда множитель является числом дробным ^например ~§"Х"|~) '> в этом случае умножение заменить сложением уже нельзя, ибо взять -g- слагаемым — раза абсурдно; таким образом, если все же рассматриваемое действие ( -g- X -g- ) назвать умножением, то это требует, во-первых, своего оправдания, а во-вторых, умения находить искомое произведение.

Наиболее удачным исходным моментом для разъяснения этого вопроса в школьной практике, повидимому, является вопрос о нахождении плошади прямоугольника (впрочем, при желании можно брать и другие примеры).

Пусть требуется найти площадь прямоугольника, одна сторона которого 80 см, а другая— 75 см. Ученики знают, что площадь такого прямоугольника находится посредством умножения чисел, выражающих длины сторон прямоугольника, и записывается так: (80 X 75) fee. см = 6 ООО кв. ем\ но 6 ООО кв.см= 3 = -=- кв. м.

Ясно, что стороны прямоугольника можно было бы задать в метрах, а именно: длина 80 см = -jT- м и ширина 75 см = м. Но если мы находим площадь прямоугольника, когда его стороны задаются целыми числами, умножением, то представляется совершенно логичным распространить то же действие, т. е. умножение, и на тот случай, когда стороны прямоугольника выражаются и дробными числами, т. е. считать произведением чисел, выражающих длины сторон (какими бы числами они ни выражались— дробными или целыми), площадь этого прямоугольника; следовательно, в нашем примере X кв. м должно быть искомою площадью. Нам известна ее величина {^-кв. м.^.

Таким образом, произведенная нами операция над дробными числами и названная, по аналогии с действиями над целыми числами, умножением дробей, является вполне оправданной (по крайней мере в глазах учеников V класса).

После этих вступительных замечаний можно перейти и к самой теме: «Умножение дробей». Изложение этой темы мы разобьем на следующие пять этапов:

I. Учитель выписывает на доске примерно такую таблицу:

12X4 = 48 12 X 3 = 36 12X2 = 24 12X1 = 12

и устанавливает, что если множимое остается без изменения, а множитель уменьшается, то произведение также уменьшается; в том же случае, когда множитель равен единице, произведение равно множимому.

После этого учитель подписывает к таблице еще строку, например: 12 Х-*-» и спрашива-

ет учеников, каким должно получиться произведение: больше 12 или меньше. Несомненно, что ученики ответят вполне сознательно, что в этом случае произведение должно получиться меньше 12. Вовсе не обязательно находить это произведение; важно лишь то, чтобы до сознания ученика дошла мысль, что при множителе, меньшем единицы, произведение не может быть больше множимого.

Сейчас же учитель должен поупражнять учеников примерно на таких вопросах: а когда произведение должно получаться больше: тогда ли, когда 12 умножается на , или тогда, когда 12 умножается на | и т. д. Едва ли ответы кого-либо затруднят. Таким образом, учащиеся свыкнутся с мыслью, что произведения могут получаться и больше множимого, и меньше множимого, и быть равными ему; поймут и то, что с возрастанием множителя, при неизменном множимом, произведение увеличивается, а с уменьшением множителя произведение уменьшается. Этими упражнениями ученики будут подготовлены и к тому, что они сумеют или сейчас же, или несколько времени спустя сформулировать следующее положение: произведение получается больше множимого тогда, когда множитель больше единицы, и меньше множимого тогда, когда множитель меньше единицы.

II. На втором этапе учитель обращается к учащимся примерно с таким вопросом: «Куплено 4 кг сахара по 12 руб. за килограмм. Надо узнать, сколько стоит весь сахар. Каким действием надо решать эту задачу?» Ответ не затруднит никого. Потом учитель спрашивает: «А если купить 3 кг, то какое действие надо сделать? А если 2 кг и, наконец: а если купить кг, у кг и т. д.> Не подлежит сомнению, что большинство учащихся вполне сознательно ответят, что и в последних случаях целесообразно решать задачу также умножением. Ученики сейчас же вспомнят, что если умножать 12 на правильную дробь, то произведение должно получиться меньше 12; да так оно и должно быть, так как стоимость 4- кг '4 сахара, конечно, меньше, чем стоимость целого килограмма. Здесь следует и найти это произведение. Но дальнейшее решение задач должно быть примерно следующего вида: Поезд проходит в час 40 км; сколько он пройдет за 2-^ часа, за 3 -j-часа? и т. д. Задачи эти решаются в уме, по соображению, но запись их в самой краткой форме надо вести: 40 км X 2 ~ = 100 км и т. п. После нескольких примеров, в которых множитель — смешанное число, можно перейти к решению и таких примеров, в которых множитель — правильная дробь. Например, сколько деталей сделает рабочий в -у часа, если он в час может их сделать 20 штук? Вычислить результат не составит труда, а так как ученики подготовлены к тому, что эти задачи решаются умножением, то следует и записывать 3 их так: 20 X 4"==15. Понятно, числа надо подбирать такими, чтобы вычисления производились без труда и не отвлекали внимания учащихся от сути вопроса. Самое важное на этом* этапе заключается в том, чтобы внедрить в сознание учащихся ту мысль, что если содержание задачи остается неизменным, а меняются лишь числа, входящие в эту задачу, то и действие, которым решается эта задача, не должно изменяться. Так, если для нахождения стоимости 3 кг сахара при цене 12 руб. за килограмм вопрос решается посредством умножения, то и для нахождения стоимости и 2-^ кг, и кг сахара при любой цене за килограмм также применяется умножение. Надо добиться того, чтобы этот принцип неизменности действий при решении одинаковых по смыслу вопросов прочно вошел в сознание учащихся: он им в дальнейшем пригодится не один раз. Чтобы фиксировать внимание учащихся на этом принципе, я склонен думать, что уже на этой стадии обучения можно, и весьма полезно, предлагать учащимся также и такие вопросы: за -j м материи заплачено 15 руб.; какое действие надо сделать, чтобы узнать, сколько стоит метр? Пусть учащийся рассуждает примерно так: «А если бы покупали не м, а 3 м, то стоимость 1 м я узнаю посредством деления 15 руб. на 3; значит, чтобы узнать стоимость 1 м, если известна стоимость ~ м, также надо 15 руб. разделить на -|-». Если учитель сочтет возможным включить этот последний вопрос в свое преподавание уже на этом этапе, то он должен здесь несколько задержаться, и ему нужно подобрать 10—15 задач, из которых одни решаются посредством умножения, а другие — посредством деления на правильную дробь и, предлагая их учащимся, задавать им лишь такой вопрос: каким действием решается та или иная задача? Если большинство учеников будут давать правильные ответы, то это будет означать, что главные трудности уже преодолены. Чрезвычайно полезно привлекать к составлению таких задач и самих учащихся.

III. Основная мысль, которую должен провести преподаватель на этом этапе, должна

заключаться в том, чтобы увязать умножение на правильную дробь с нахождением части числа от целого. Учитель опять берет примерно такую задачу: скорость поезда в час 40 км; какое расстояние пройдет поезд в -j часа? Ученики уже знают, что задача должна решаться посредством умножения 40 на . В то же время ученики вспомнят, что эту задачу они решали раньше в два приема: сначала узнавали какое расстояние поезд проходит в -j часа, а потом в ^-часа. Дальше учитель говорит примерно так: «В условии задачи было дано расстояние, проходимое поездом в час, и требовалось найти расстояние, которое он пройдет в ■|- часа, т. е. было известно целое, а нужно найти часть этого целого. Мы знаем, что наша задача решается посредством умножения на правильную дробь. Отсюда вытекает, что для решения задач, в которых надо найти часть (или дробь) от целого, надо целое умножить на заданную дробь. В то же время мы знаем, что эти задачи можно решать в два приема; значит, одну и ту же задачу можно решать двумя способами: в одно действие — умножением на заданную дробь, или, как это было показано раньше, в два приема». Понятно, что первый способ надо предпочесть второму, так как вместо двух действий мы производим одно действие. Кроме того, и это главное, все задачи, аналогичные разбираемой, решаются единообразно—умножением, независимо от того, какие числа входят в задачу.

Заканчивая этот этап, учитель подчеркивает, что смысл умножения на правильную дробь как раз и состоит в нахождении части числа по целому.

IV.На этом этапе учащиеся должны ознакомиться с техникой умножения, что после сделанной подготовки никаких трудностей не представит, и потому на этом вопросе я не останавливаюсь.

V.Закончить главу об умножении дробей, мне кажется, нужно тем, с чего Киселев начинает, а именно: дать определение умножения, причем я полагаю, что это определение должно носить формальный характер. Я думаю, что это определение можно дать в следующей форме: умножение дробей есть действие, посредством которого из двух сомножителей (множимого и множителя) составляется новое дробное число, произведете,—так, что его числителем является произведение числителей сомножителей, а знаменателем — произведение знаменателей.

Само собой понятно, что решению задач на умножение должно быть уделено самое серьезное внимание, причем в классе почти исключительно должны решаться задачи, а решение примеров должно быть отнесено главным образом на домашнюю работу.

Конечно, учитель должен внимательно наблюдать, чтобы все записи и возможные в процессе действия сокращения производились грамотно, аккуратно и культурно; вычисления в уме следует всячески поощрять.

Перехожу к делению дробей. В основном план работы должен совпадать с планом изложения темы «Умножение дробей». Однако в связи с тем, что, с одной стороны, делитель может быть и именованным, и отвлеченным числом, а с другой, что с многими важными моментами учащиеся познакомились при прохождении умножения, в изложение темы «Деление дробей» надо внести несколько изменений и отступлений от тех этапов, на которые распадалась глава об умножении.

I. Отправным пунктом опять должен служить какой-нибудь конкретный вопрос, например: «Имеется \2 кг сахара; его надо разложить по сверткам. Сколько будет свертков, если в каждый положить по 4 кг, по 3 кг, по 2 кг, по 1 кг ?» Ученики отвечают, что задача решается посредством деления и что свертков будет столько, сколько раз 4 кг содержатся в 12 кг и т. д. Составляется таблица:

12:4=3 12:3 = 4 12:2 = 6 12:1 = 12

(писать наименования здесь излишне).

Ученики замечают, что с уменьшением делителя, при неизменном делимом, частное возрастает. Дальше учитель продолжает так: «А сколько будет свертков, если в каждый сверток класть полкилограмма, по одной четверти килограмма, по одной шестой килограмма и т. д. Несомненно, что ученики сумеют ответить, что свертков будет столько, сколько раз полкилограмма, четверть килограмма и т. д. содержатся в 12 кг.

Ученики без труда найдут и результаты, которые и следует записать:

12:1 = 24

12:1-48

12:^ = 72 6

На основании этих таблиц учащиеся сформируют и выводы, в такой, например, форме:

Если делимое остается без изменения, а делитель уменьшается, то частное увеличивается, причем частное будет меньше делимого тогда, когда делитель больше 1; равен делимому, когда делитель 1, и больше делимого, когда делитель меньше 1.

II. Если учащиеся научились находить частное от деления 12 наи т. д., то они сумеют разделить в уме 12 на 10 на 15 на -=■ ит. д. о

Сначала делимое и делитель следует брать именованным и спрашивать, например, так:

3а сколько раз кг содержится в о кг, или во сколько раз 6 кг больше -| кг и т. п., а потом перейти и к таким вопросам: разделить 8 4 на и т. п.

Само собой понятно, что примеры должны быть удачно подобранными. После того как учащиеся усвоят этот материал, следует заняться решением и таких примеров: 2": ~4 ' 4~ ' 8~ и т. п., ставя вопрос так: во сколько раз половина больше четверти и т. д.

Что касается дальнейших стадий в прохождении деления дробей, то я полагаю, что они должны протекать примерно так же, как и соответствующие стадии темы «Умножение».

Мне хотелось бы отметить лишь два момента: 1) следует подчеркнуть резче, чем это делается обычно (показать это на ряде примеров), что умножение и деление—действия взаимно обратные; что всякое деление может быть заменено умножением, а умножение делением на число обратное; 2) обратить внимание учащихся на то, что числитель делимого можно сокращать с числителем делителя и знаменатель с знаменателем делителя; в частности, результат деления, например на , ученики должны получать сразу: .

Определение и правило деления дробей я дал бы в такой форме: деление дробей есть действие, обратное умножению, посредством которого по произведению двух сомножителей (делимому) и одному из этих сомножителей (делителю) отыскивается другой сомножитель (частное). Числитель частного есть произведение числителя делимого на знаменатель делителя, а знаменатель частного—произведение знаменателя делимого на числитель делителя.

Само собою понятно, что задачам на деление дробей надо уделить много внимания, причем задачи на деление должны идти непременно вперемежку с задачами на умножение дробей.

ОТ РЕДАКЦИИ.

Статья т. Добротина также вызывает следующие замечания.

1) В примере с площадью прямоугольника методически правильнее взять в качестве одного из данных целое число и притом допускающее сокращение на знаменатель.

2) После умножения 12-2 и 12-1 автор пишет: 12 ~ и спрашивает: «Какое должно получиться произведение?» С точки зрения строгой логики такой вопрос не имеет смысла, так как ученики вообще еще не знают, что значит умножить целое число на дробное.

3) Вводить здесь же деление на дробь считаем нецелесообразным. Опыт показывает, что это вносит лишь путаницу.

4) Увязка умножения на дробь с нахождением части числа проводится автором, по нашему мнению, слишком поздно. Отсюда все предыдущие объяснения имеют по существу чисто формальный характер. Наоборот, немедленное сближение этих двух операций (как это сделано в статье т. Севастьянова) придает реальный смысл умножению на дробь, вносит в выполнение этого действия большую сознательность.

5) Как и в предыдущей статье, и здесь совсем не уделяется внимание вопросу о распространении законов арифметических действий на дробные числа. Возможно, что оба автора предполагают в дальнейшем выяснение этого вопроса, но дело в том, что это уже на первой стадии изучения умножения на дробь поможет его сознательному усвоению ^примеры

18. J = |-.18;6.4-| = 6.4 + 6.| и т. п.)

6) Некоторые сомнения вызывает аргумент за предпочтение умножения на дробь нахождению части числа (п. III), именно: что в первом случае производится одно действие, а во втором два.

Ведь в обоих случаях фактически приходится производить над целыми числами одни и те же две операции, и мы только меняем терминологию: вместо «нахождение части числа» говорим «умножение на дробь».

В статье т. Севастьянов и т. Добротин дают ряд полезных указаний молодому педагогу по одной из труднейших тем школьного курса арифметики. При этом, исходя из одинаковых принципиальных установок, оба автора иногда предлагают различные способы их конкретизации, причем, как правило, последние не противоречат и скорее дополняют друг друга.

О ПРИМЕНЕНИИ СВОЙСТВ КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ

С. И. ЗЕТЕЛЬ (Москва)

В интересной статье Д. М. Майергойза «Об одном важном алгебраическом» навыке («Математика в школе», 1948, № 3) рассматривается вопрос об исследовании квадратного трехчлена на максимум и минимум.

В настоящей заметке мне хочется показать, что на основании свойств корней квадратного уравнения просто доказываются две теоремы, позволяющие элементарно решать много интересных и полезных задач на максимум и минимум.

Первая теорема. Произведение двух положительных множителей, сумма которых постоянна, имеет наибольшее значение при равенстве множителей.

Вторая теорема. Сумма двух положительных слагаемых, произведение которых постоянно, имеет наименьшее значение при равенстве слагаемых.

Покажем, что, пользуясь дискриминантом квадратного уравнения с заведомо положительными корнями, можно сразу доказать обе теоремы.

Рассмотрим квадратное уравнение

x*-px+q = Oy(1)

корни которого хг и лг2 заведомо положительны.

В этом случае р>0, д^>0 и

Т--?>0.(2)

При обращении дискриминанта в нуль

Х\ == -^2 — ~2~ *

Пусть сумма двух положительных слагаемых хг и х2 равна р\ считая хх и х2 корнями квадратного уравнения (1), из неравенства (2) получаем: д^-^— и наибольшее значение произведения x1x2=q = При этом х1=хп=

= ~y . Итак, первая теорема доказана.

Пусть произведение двух положительных множителей равно q, тогда из неравенства (2) следует, что наименьшее значение суммы равно

p = 2\[q. При этом x1=x2=Vq* Итак, доказана и вторая теорема. Обобщение первой теоремы. Произведение двух положительных множителей х и у,

связанных соотношением тх-\-пу = р, где т и п положительные числа, будет наибольшим при тх — пу — -—-, т. е. при л: = и

Действительно, при ху, имеющем наибольшее значение, наибольшее значение имеет и тхпу или (тх)-(пу), а так как тх-\-пу постоянно, то тх = пу= -j-.

Обобщение второй теоремы. Сумма тх -f- пу при положительных т, п, х и у и при постоянном произведении ху имеет наименьшее значение при тх = пу.

Действительно, при постоянном ху, постоянно тхпу. Обозначив тх через гг и пу через 22, получим: zl-\-z2 имеет наименьшее значение при Z1 = z2, т. е. при тх = пу.

Задача 1. Из круговых секторов данного периметра найти сектор наибольшей площади.

Пусть радиус искомого сектора г, а длина дуги/, тогда периметр сектора 2p = 2r-\-L

Площадь сектора S = ~-* Так как г -j-y = = р, то г-~^ имеет наибольшее значение при

г— y='Y ! 2г=/ — р.

Задача 2. В прямоугольнике проведены два отрезка, параллельные одной стороне. Сумма периметра и этих отрезков равна 2р. Найти длины сторон, при которых площадь прямоугольника имеет наибольшее значение.

Имеем:

4x-f-2j/ = 2/?; 2х-\-у = р\ xy = S; откуда:

2х = у=£; *--£; £-2.

Задача 3. Найти положительное число, которое, будучи сложено со своим обратным, дает наименьшую сумму.

Пусть искомое число равно х, а сумма искомого и обратного равна у, тогда имеем: у =

= х А—-. Так как х-— = 1. то наименьшее

1 XX9

1 -

значение сумма имеет при х== —; х=\.

ИЗ ОПЫТА

БОРЬБА С ФОРМАЛИЗМОМ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Заслуженный учитель школ УССР И. И. ГОЛЬДЕНБЛАТ (Одесса)

Бороться с формализмом математических знаний учащихся — это значит так повести преподавание, чтобы с первых же уроков изучение математики приобрело живой интерес, чтобы учащиеся на каждом шагу убеждались, что приобретаемые ими теоретические знания применимы к практической жизни, что эти знания вооружают их к познанию действительности.

В настоящей статье я хочу поделиться своим опытом борьбы с формализмом.

I. Устный счет и устные упражнения

Часто плохо владеют устным счетом учащиеся не только младших, но и старших классов. Я присутствовал на уроке в V классе. Учительница предложила решить пример: 125«793.8. Вместо того чтобы использовать переместительный закон и решить пример устно так:

125-8.793= 1000-793 = 793000,

учащиеся письменно умножили сначала 125 на 793 и полученный результат — на 8. Решение еще двух примеров носило такой же характер. Решая пример на сложение и вычитание смешанных чисел учащиеся привели дроби к общему знаменателю и сложили эти числа обыкновенным путем, вместо того чтобы устно решить его, применив переместительное свойство:

6§ + 13^+9А=20 + 9

Интересно, что на упомянутом уроке учительница повторяла с учащимися переместительный, сочетательный и распределительный законы, но использовать в вычислениях учащиеся не сумели, потому что они не привыкли полученные теоретические знания применять к практике, а учительница не стремилась направить их мысль по правильному руслу.

Остановлюсь на элементарных частных приемах устного счета. Эти приемы должны быть закреплены и применяться учащимися постоянно, где только есть возможность.

1. Прием перестановки слагаемых:

74 + 57+6 = 74 + 6 + 57 = 137.

2. Округление данных:

502 — 67 = (500 - 67) + 2 = 435.

301 —74 = (300 — 74) + 1 = 226 + 1 = 227.

467 — 99 = (467-100) + 1 = 367 + 1 = 368.

3. Умножение на 50 и 25:

72-50=72.100:2 = 3600. 64.25=64-100:4 = 1600.

4. Умножение на 9, 19, 29 и т. д.:

28-9=28.10- 28 = 252.

5. Перестановка и группировка сомножителей:

25.17.4 = 25.4-17= 1700.

6. Применение сочетательного закона:

35-14 = 35.2.7 = 490.

7. Деление на произведение:

540:12 = 540:2:2:3= 45.

Указанные приемы следует применять всегда при решении примеров и задач.

Устные упражнения следует также применять при прохождении делимости чисел, обыкновенных и десятичных дробей, при решении задач на проценты.

При изучении алгебры, геометрии и тригонометрии я широко применяю различные устные упражнения.

Ниже привожу образцы вопросов, предлагаемых мною учащимся устно.

1. Составьте наименьшее трехзначное число, кратное 3-х; наибольшее четырехзначное число, делящееся без остатка на 8.

2. Составьте из цифр 3, 2, 5 и 8 такое число, чтобы оно делилось без остатка на 25, на 4, на 9.

3. Не перемножая чисел, узнать, делится ли 148-75 на 3, на 5, на 4.

4. Не производя деления, узнать частное и остаток от деления 600 на 9, 1000 на 3, 2000 на 9, 200 на 3.

5. Одна бригада рабочих может выполнить некоторую работу в 5 дней, а другая — вЗ дня. Во сколько времени будет выполнена эта работа обеими бригадами при совместной работе?

6. Через одну трубу водоем наполняется в 8 часов, через другую—в 4 часа. Во сколько времени наполнится водоем при одновременном действии обеих труб?

7. Между двумя пунктами 960 метров. Из этих пунктов идут друг другу навстречу два человека, причем один проходит каждую минуту 42 м, а другой — 38 м. Через сколько минут они встретятся?

8. Из двух пунктов, между которыми 150 м, выходят одновременно два человека и идут в одном направлении. Человек, находящийся впереди, проходит 47 м в минуту, а находящийся позади — 52 м в минуту. Через сколько минут второй догонит первого?

9. Из одного пункта вышел человек, проходящий 48 м в минуту. Через 5 минут из того же пункта вышел по тому же направлению другой, проходящий 60 м в минуту. Через сколько минут второй догонит первого?

10. Разложите устно на простые множители следующие числа:

14000, 2500, 35000, 640, 8100.

11. Сравните по величине 7% от 100 и 100% от 7.

12. В классе 45 учеников; из них 20% отличников. Сколько отличников в классе?

13. Чему равны 30% от 50? 40% от 120?

4% от 350? 12от 40? 1 — % от 400?

33-^-% от 60,12?

14. Сколько процентов составляет число 2 от 2; от 8, от 20; от 40; от 50; от 100?

15. Найти число, 17% которого на 27 больше, чем его 14%.

16. В каком отношении находятся два числа, если — одного из них равны — другого?

17. Каково отношение двух чисел, если 4% одного из них равны Ъ% другого?

18. От какого числа число 48 составляет 3%; 6%; 10%; 12%; 25%; 50%?

19. Если прибавить к неизвестному числу его 10%, то получится 660. Найти это число.

Приведу образцы вопросов по алгебре, геометрии и тригонометрии, предлагаемых мною учащимся для устного решения.

Вопросы по алгебре

Решите устно:

1. 1-0,7; 1 :(—0,8); —1+0,4; -1-(-0,8); (-0,8) — (—1); х-Ъх; -х — (-х); 0 + 6; 4-0; 0 — 5; 3 + 0 —5; 0-1—5; 05; 4-0; 0-(— 5); 3-0-5; (1 — 3)-0; 3-0 +

+ 0-5; (b-b)* a.(b-b);-^; a±(b - b); (a — a) — b.

2. Что больше: — 3 или куб этого числа?

— 3 или квадрат этого числа?

--^- или куб этого числа?

--g- или квадрат этого числа?

-i- или куб этого числа?

-g- или квадрат этого числа?

3. Может ли число при возведении его в квадрат уменьшиться? Чему равно 0,22? 0,23?

4. Всегда ли х<5лг?

5. Каково значение х, если 3* = — Зх?

6. Найдите результат:

аь-а\ (я6)2; 52; х^х2; (Л7)2; 72;

b10.b2. (£10)2. 102.

7. Перемножьте одночлены:

срР + ч . аР - Б9; ха + 2Ь -х2а ~ъь.

8. Разделите одночлены:

9. Перемножьте числа:

34-24; 34-34; 35-37; Зб-22.

10. Является ли число п — числом целым или дробным при п целом?

11. Сократите дроби:

аз — Ь* .у* . a* — 2ab + b* .

а — Ъ ' лг*+_у2 ' д — Ь ' ~ Зх*у + Зуу2 — у* в т* + п2 х2 — 2ху+у* ' т* —я* 9 9х2 + \2ху-{-4у* ла — Ь

9*2 — 4у2 ' cfl — 2ab + №

12. Как извлечь квадратный корень из десятичной дроби с нечетным числом десятичных знаков?

13. Что больше: j/2 или у/3 ?

14. Чему равно 10lg3? Найдите lg3 (-7f) .

15. Всегда ли при увеличении числа его логарифм увеличивается?

16. Чему равно -^Г? ? а а ?

17. Один из корней квадратного уравнения с рациональными коэфициентами равен "j/7—4. Чему равен второй корень?

Вопросы по геометрии (из различных разделов курса)

1. Найти угол, который меньше своего смежного на 90°.

2. По данной сумме 5 и разности d двух отрезков определить каждый из отрезков.

3. На плоскости даны п точек, расположенных так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых можно получить, соединяя данные точки по две?

4. Определить сумму внутренних углов выпуклого десятиугольника.

5. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника с одним из внешних равна \7d. Определить число сторон многоугольника.

Примечание. Следует добиться, примерно, следующего ответа ученика: Сумма внутренних углов всякого выпуклого многоугольника выражается формулой 2d (п — 2), то-есть равна четному числу прямых углов. Так как, согласно условию задачи, сумма внутренних углов многоугольника с одним из внешних равна I7d, то сумма одних внутренних равна I6d, ибо внешний угол упомянутого многоугольника, выражаясь целым числом прямых углов, не может быть больше одного прямого (как один из двух смежных). Итак, 2d(n — 2) равно I6d9 откуда п =10; значит, многоугольник этот имеет 10 сторон.

6. Проведены биссектрисы двух внутренних односторонних углов при параллельных. Под каким углом биссектрисы эти пересекаются?

7. Что является геометрическим местом точек, равноудаленных от двух непараллельных прямых? от двух параллельных прямых?

8. Как найти геометрическое место середин равных хорд данной окружности?

9. Вокруг всякого ли треугольника можно описать окружность?

10. Где находится центр окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника? прямоугольного? тупоугольного треугольника?

11. Во всякий ли треугольник можно вписать окружность?

12. Совпадают ли центры описанной вокруг треугольника и вписанной в него окружности?

13. Что можно сказать о двух треугольниках с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами?

14. В какой четырехугольник можно вписать окружность и вокруг какого четырехугольника можно описать окружность?

15. Во сколько раз периметр правильного описанного треугольника больше периметра правильного вписанного треугольника?

16. Подобны ли два четырехугольника, если углы одного из них соответственно равны углам другого?

17. Подобны ли два четырехугольника, если стороны одного из них соответственно пропорциональны сторонам другого?

18. Можно ли две стороны треугольника пересечь прямой, непараллельной третьей его стороне так, чтобы отсеченный треугольник был подобен данному?

19. Как построить отрезок, равный j/5?

20. Как построить треугольник со сторонами |/3~ у/5 и l/7?

21. Как влияет на периметр и площадь прямоугольника увеличение его сторон в п раз?

22. Во сколько раз нужно увеличить стороны прямоугольника, чтобы периметр его увеличился в п раз?

23. Во сколько раз нужно увеличить стороны прямоугольника, чтобы площадь его увеличилась в п раз?

24. Можно ли водопроводную трубу диаметром в 15 мм заменить тремя трубами диаметром в 5 мм каждая, не изменяя пропускной способности их?

25. Прямая параллельна плоскости; параллельна ли она всем прямым, лежащим на этой плоскости?

26. Как найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми?

27. Можно ли через две скрещивающиеся прямые провести параллельные плоскости?

28. Какое свойство имеют проекции боковых ребер любой пирамиды на плоскость основания, если эти ребра образуют с плоскостью основания равные углы?

29. Какое свойство имеют высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, если эти боковые грани образуют с плоскостью основания равные двугранные углы?

30. В конусе проведена плоскость через его вершину под некоторым углом к его высоте. Какая фигура образовалась в сечении?

Вопросы по тригонометрии

1. Могут ли все шесть тригонометрических функций иметь одно и то же численное значение?

2. Определить, в какой четверти sina-f--f-cosa>l.

3. Может ли дробьбыть отрицательной?

4. В каких четвертях произведение sin a cos а положительно?

5. Чему равен arc sin 1 ? arc sin -у ? Arc sin-g- ?

6. Можно ли построить угол, косинус которого равен 0,7; -|- ; -у ; ^ ?

7. Можно ли построить угол, тангенс которого равен 2; ; 3 ; -jr?

8. Чему равен sin ( arc sin+ arc cos-^- ) ?

9. Может ли быть верным равенство:

cos а • cos р • cos f = 1,7?

10. То же о равенстве:

sec а • sec р • sec 7 = 0,78 ?

11. То же о равенстве: -5-в-г-г

rcosec р 5

12. То же о равенстве:

sin а -|- cos а + sin р = 4 ?

13. Можно ли функцию cos а выразить через tga?

14. Можно ли найти угол, для которого

sin a = а cos a = -^-?

15. Определить, что больше: sin 2a или 2 sin a, если а угол острый и положительный.

16. Какой знак может иметь cos ~ , если a есть угол треугольника?

17. Сократите дробь —gjna .

1С пк sin 20° sfn35° sin 2а

18. Сократите дроби: • ,АО; ■ -АО ;-j- ;

vv sin 40° sin 70° ' sin 4a '

cos -j-cos ~2~

19. Сократите следующие дроби:

1 -4- cos 80° . 2 cos2 32° 30/ , 1 ~~ cos T

2 cos2 40° ' 1 +cos 65* ;a *

2 sin2-j

20. Упростить выражения:

л a • о a i a. , a

COS --sin 2 ' cos 2---sin 2~*

21. Упростить выражение:

4 sin2 a cos2 a.

22. Вычислить выражения:

sin ^ arc sin ; cos ^ arc cos ^ 3 ^.

23. Упростить выражения:

1 — cos2 a -f- sin2 a; sin a -f- cos a tg a; tg « + tg p

Ctg a + Ctg 0 *

24. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катеты которого 6 см и 8 см. Все грани пирамиды наклонены к основанию под углом 60°. Определить боковую поверхность пирамиды.

II. Рациональные приемы решения задач

Очень часто учащиеся при решении примеров и задач употребляют сложные приемы, которые затемняют и затрудняют решение и требуют больших и сложных вычислений.

Необходимо добиваться, чтобы учащиеся, производя вычисления, пользовались своевременно всякими упрощениями, какие в данном случае возможны. В противном случае легко прийти к таким сложным выражениям, операции с которыми займут очень много времени и легко могут вовлечь в ошибки.

Приведу из опыта своей работы образцы решения некоторых примеров и задач.

Пример на сложение и вычитание алгебраических дробей:

_(x+y)*-z*x—y-z

x2—y* + 2yz — z* х+у — z

_ x+y + z (х+у + 2) (х+у-;) х—у + гх* — (у — а)2'г

■ —У — 2 x+y + z _ х+у—z x—y + z

= (x+y + z) (х + у —2) | х у z {х+у — z)(x — y + z) x + y — z

x+y+z _ x+y+z x—y—z _ x — y + z x—y + z x + y — z

x + y + z _ x— у — Z ^ x-y + z ~ x + y+z*

Если в первой дроби не произвести предварительно сокращения, а привести все дроби к общему знаменателю, то решение приведенного примера потребует весьма сложных и громоздких преобразований.

Приведем образец решения задачи по геометрии.

Площадь правильного вписанного в круг шестиугольника равна 6 |/3; определить пло-

* В данном случае (и аналогичных ему) лучше было произвести отдельно преобразование первой дроби, не переписывая каждый раз остальных. (Редакция.)

щадь правильного шестиугольника, описанного около того же круга.

Для решения приведенной задачи наиболее рациональным путем следует воспользоваться следствием из теоремы об отношении площадей подобных многоугольников.

Площади правильных одноименных многоугольников относятся между собой, как квадраты их апофем. На основании этого получим:

где х есть искомая площадь правильного описанного шестиугольника, R — радиус круга,

-2--апофема правильного вписанного

шестиугольника. Из приведенной пропорции находим:

6/?21/3:4 х--=8»/3 *

Покажем два способа преобразования в произведение выражения 1 -j- sin 50°. Так как sin 90°=1, то подставим sin 90° вместо 1 и воспользуемся формулой суммы синусов; получим:

1 sin 50° = sin 90° -f sin 50° = = 2 sin 70° • cos 20° = 2 cos8 20°.

Преобразуем данное выражение 1 -f- sin 50° другим путем.

Воспользуемся формулой

1 + cos а = 2 cos2 .

Вместо sin 50° подставим в данное выражение cos 40°; тогда 1 -}- sin 50° = 1 cos 40° = = 2 cos* 20°.

Ясно, что второй способ преобразования данного двучлена в произведение более рациональный.

III. Изучение наглядной геометрии в V классе

При прохождении в V классе курса наглядной геометрии я пользуюсь индуктивно-лабораторным методом. Задачи практического характера, связанные со всеми разделами проходимого курса геометрии, я составляю сам или черпаю из различных источников. Очень много полезного материала имеется в задачнике по наглядной геометрии А. Астряба (Государственное издательство, Л. 1925).

Остановлюсь на двух-трех уроках, посвященных в V классе измерительным работам.

В начале урока я раздаю учащимся модели фигур различной величины, но одинаковой формы (например, прямоугольники) и предлагаю произвести нужные измерения и вычислить периметр и площадь данной фигуры.

Все предложенные для измерения модели фигур перенумерованы; периметр и площадь каждой из них известны мне (сведения эти записаны в отдельную тетрадь), и поэтому мне легко проверить правильность измерения, произведенного каждым учеником. Все вычисления учащиеся производят на отдельном листке бумаги, на котором они пишут свою фамилию, номер модели, и по окончании работы передают его учителю вместе с моделью. Учащиеся с самого начала урока имеют в своем распоряжении линейку, разделенную на сантиметры, либо измерительную ленту.

Весьма полезной классной работой является измерение различных фигур более сложной формы, составленных из квадратов и прямоугольников (деревянных или фанерных) в виде букв (черт. 1 —4), и другие. Понятие о равнове-

Черт. 1 Черт. 2

Черт. 3 Черт. 4

ликости фигур следует давать учащийся еще в младших классах. В пятом классе, например, можно продемонстрировать учащимся,как из двух равных прямоугольных треугольников составляются шесть различных по виду фигур (черт. 5); все зависит, как видно из чертежа, от способа приложения одного треугольника к другому. Для измерения площади любой из приведенных шести фигур достаточно измерить площадь прямоугольника, что легче всего сделать ученику.

Преобразование параллелограма, треугольника и трапеции в равновеликие фигуры учащиеся наблюдают на подвижных моделях, сделанных самими учащимися. Преобразование фигур весьма полезно рассматривать при изучении измерения площадей; учащиеся имеют возмож-

ность наблюдать образование фигур, их свойства и превращения одной из них в другую; все это содействует развитию у учащихся пространственных представлений. Остановимся, например, на преобразовании параллелограма в равновеликий прямоугольник. Соответствующее

Черт. 5

пособие изготовляется следующим образом. К прямоугольнику, вырезанному из фанеры и покрытому белой краской, прикрепляется параллелограм (картонный или фанерный) темного цвета. От параллелограма (черт. 6) по

Черт. 6

прямой, перпендикулярной к основанию, отрезается прямоугольный треугольник; если этот треугольник приложить к другой боковой стороне параллелограма, он преобразуется в прямоугольник (без изменения величины площади).

После указанных измерительных работ следует обратить внимание на измерения поверхностей и объемов тел (куба и прямоугольного параллелепипеда), В классе работа эта проводится в том же порядке, как и при измерениях плоских фигур (см. выше).

Из этих же тел могут быть построены тела более сложного вида различной формы (черт. 7 и 8). Я вызываю обычно двух учеников, один из которых при помощи измерительной ленты или линейки производит необходимые измерения, другой ученик производит соответствующие записи на доске. Весь класс принимает участие в работе по определению поверхности и объема построенного тела, причем в течение одного урока построение тела меняется несколько раз.

Черт. 7

Кроме измерительных работ в классе, учащиеся производят различные измерительные работы и вне класса во внеурочное время (на пришкольном участке или в открытом поле).

В V классе проводятся следующие работы:

1. Провешивание прямых линий и измерение их. Упражнения для развития глазомера.

2. Построение на местности перпендикулярных и параллельных линий.

Черт. 8

3. Построение ара и гектара в виде квадрата или прямоугольника.

4. Определение расстояния между двумя точками; использование для работы самодельного эккера.

5. Съемка плана данной местности прямоугольной формы при помощи эккера и вычисление площади этого участка.

6. Шагомерная съемка маршрута.

ЗА РУБЕЖОМ

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О СОСТОЯНИИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В СОВРЕМЕННОЙ ЗАРУБЕЖНОЙ ШКОЛЕ

Проф. И. Я. ДЕПМАН (Ленинград)

I

Что все преподавание в школах капиталистических стран пронизано соответствующей общественному строю идеологией, понятно само собой. В школах этих стран учебник арифметики является учебником коммерческой арифметики, весь задачный материал прививает лишь способность производить коммерческие сделки. О каком-либо научно-идейном развитии учащихся там заботятся очень мало. Характерно признание одного русского ученого, преподававшего в американском университете. Он привел в аудитории слова, приписываемые Пифагору: «Числа управляют миром», а потом спросил студентов, как они эти слова понимают? Ответ гласил: «Деньги решают все». Другого ответа было бы трудно ожидать в стране, где для получения характеристики человека существует формула: «Что он стоит?», т. е. сколько у него капитала.

Конечно, отдельные авторы в своих учебниках и задачниках делали попытки проводить те или иные прогрессивные идеи. Так, например, известный методист и историк математики в Колумбийском университете Д. Е. Смит (1860—1944), автор многих книг, из которых некоторые переведены и на русский язык, после первой мировой войны составил антивоенный задачник, который на точных данных статистики показывал, что стоила эта война экономически (других сторон вопроса автор не касался) и что можно было бы сделать на те суммы, которые она поглотила. Эта книга регистрировалась как курьез, и, конечно, она никакого распространения не получила.

В 1947 г. в «Литературной газете» появились заметки, которые уместно воспроизвести здесь. Привожу их без всяких изменений.

ФАКТЫ БЕЗ КОММЕНТАРИЕВ*

Крамола в учебниках арифметики

Совет по делам образования штата Калифорния признал вредными некоторые разделы представленных на его рассмотрение двух новых учебников арифметики. Эксперты констатировали, что «стремление авторов обучать арифметике на примерах из повседневной жизни слишком часто приводит к грустным выводам о современной Америке», вроде того, что «одна треть населения США не имеет порядочных жилищ» и т. д. Совет по делам образования распорядился удалить из учебников арифметики все, что может «привести к неприятностям».

Граждане второго сорта

Доктор Бенджамин Фиш, крупнейший специалист но вопросам школьного образования в США, в результате своих многократных поездок по различным районам страны, собрал обширный материал о плачевном состоянии школьного обучения и положений учителей в Америке.

Большинство американских учителей, по утверждению Фиша, стремится переменить свою профессию: с 1941 г. 350 000 человек ушло с педагогической работы. Повсюду, где только ни побывал Фиш, учителя жаловались ему на то, что чувствуют себя «гражданами второго сорта», ибо правила, установленные для них местными властями и общественными организациями, налагают на них всевозможные запреты. Дело доходит до курьезов. Учителям не разрешают жениться, одеваться, как им нравится, курить и т. п.

125 тыс. американских учителей обладают совершенно недостаточной квалификацией; одна треть всего количества педагогов в США имеет лишь среднее образование. Статистические данные, собранные Фишем, свидетельствуют также о безобразном состоянии школьных зданий, о перегруженности провинциальных школ, где ученикам приходится сидеть на полу, о запущенности помещений и отсутствии элементарных удобств для учащихся и учащих.

* «Литературная газета», № 49 (2364), 1947.

С какими непрочными знаниями по математике выходят молодые люди из средней школы в Соединенных Штатах Америки, об этом читатель найдет данные в моих статьях, помещенных в журнале «Математика в школе», № 4 за 1946 г. Могу к сообщенному там добавить лишь то, что по моему предложению несколько ленинградских учителей провели американские проверочные работы в своих классах и получили почти стопроцентное выполнение задания.

Американские тесты были мною предложены в одном из учительских институтов на первом курсе, следовательно, в аудитории, соответствующей американскому колледжу.

Результаты оказались следующие:

№ задачи по списку

Процент правильных ответов

в СССР

в США

Тригонометрия . . .

№ 23 № 30 № 36 № 76

82 79 84 100

21 43 53 68

Алгебра . .

№ 120

№ 60

№ 46

100

10Э

100

44

61

74

Работа была предложена в случайно оказавшийся свободным час, без всякого предупреждения.

III

Распространенные у нас мнения об английской средней школе страдают неточностью. Очень часто можно слышать и читать слова, -согласно которым в английской школе до сих пор геометрия проходится по «Началам» Евклида. В действительности дело обстоит иначе.

В 1871 г. возникла Ассоциация по улучшению преподавания геометрии (Association for the Improvement of geometrical Teaching), начавшая кампанию против преподавания по Евклиду. Это движение связано с именем Джона Перри, профессора математики и механики в Королевском колледже в Южном Кенсингтоне и члена Королевского общества. Имя Перри и его идеи, некогда у нас весьма популярные, современному учителю уже мало знакомы, поэтому скажу о нем несколько слов.

Джон Перри (1850—1920), как большинство англичан, в молодости приступил к практической деятельности, не пройдя курса высшей школы. Окончив потом курс во вновь устроенном техническом училище нового типа, Перри попал учителем в Японию. Японцы, как давно заметил известный механик Рело, склонны изучать природу лишь с утилитарными целями, поэтому, под влиянием требований своих новых хозяев, Перри стал применять новые методы преподавания, скорее ведущие к поставленной цели — научить делать нужные расчеты, не заботясь ни об умственном развитии учащихся, ни об обосновании приемов расчетов.

Результаты такого обучения оказались удачными для привития учащимся вычислительных навыков. По возвращении на родину Перри продолжал разрабатывать свои новые приемы.

Основы взглядов Перри заключаются в признании положения: мы живем в эпоху, когда умение применять выводы наук стали необходимыми всякому человеку, а науки развились до такой степени, что никто не может изучить их все «до плодоносящей степени подробности». Поэтому надо начинать изучение наук с сообщения самых нужных умений, на науках основанных. Перри говорит, что ученик должен «переоткрыть для себя всякий преподаваемый ему научный факт», что и означает «усвоить» его. Метод, которым ученик достигает этого, для Перри безразличен*.

По мнению Перри, ближайшая цель элементарного обучения математике — сообщение умения делать нужные расчеты. Изучение выводов и доказательств он предоставляет лишь желающим, которые будут продолжать изучение математических наук. Эти идеи, взятые сначала в штыки учеными и учителями, после тридцатилетней агитации Перри получили признание в такой мере, что с 1901 г. Британская Ассоциация содействия наукам устроила на своих заседаниях особый отдел по рассмотрению методов преподавания математики, под председательством Перри. К собраниям Ассоциации 1901 и 1903 гг. Перри и учитель самого аристократического учебного заведения в Англии (Итонского) Эггар представили учебники для школы по новому методу преподавания.

В России горячим сторонником идей Перри был В. В. Лермантов, физик, приват-доцент Петербургского университета, написавший книги «Применимая алгебра», «Применимая геометрия», «Высшая математика для нематематиков», «Механика» и переводивший книги Перри на русский язык. «Силлабус» Перри напечатан в «Вестнике опытной физики и эле-

* Для советской школы, стремящейся дать учащимся всестороннее развитие, точка зрения Перри абсолютно неприемлема. Однако за идеи Перри ухватились разные капиталистические страны, как утопающий хватается за соломинку.

ментарной математики» за 1902—1903 гг. №№ 325, 326; его вступительная речь к заседанию Британской Ассоциации, содержащая обоснование принципов нового метода, напечатана в журнале «Техническое образование» за 1902 г.; сВычисления для инженеров» Перри были изданы на русском языке, как и «Практическая математика», содержащая лекции, читанные для английских мастеровых.

Перри предсказывает экономическую гибель тем странам, которые не введут у себя немедленно новый практический метод преподавания математики: их забьют те страны, которые это сделают своевременно. Это утверждение не вызвало возражений, которые касались лишь средств достижения поставленной цели. Представители физики и техники стали на сторону взглядов Перри, в числе их знаменитый физик Лодж, чья «Легкая математика» также была издана на русском языке в переводе Н. А. Томилина.

Сторонники преподавания по Евклиду проявили не меньше энергии, выступая против Перри. Самыми ярыми из них были профессор математики в Оксфорде Ч. Л. Доджсон и Льюис Керролл, автор книги «Алиса в стране чудес» и других. Он издал в 1879 г. книгу в защиту Евклида в виде драматических сцен, в которых действующими лицами выступают Евклид, Минос, Нострадамус, автор учебника геометрии в новом духе Уильсон. Эту пьесу Клейн признает самой остроумной защитой идей Евклида, так как, как говорит нынешний председатель Ассоциации, «за Доджсоном все время находился Льюис Керролл». Заодно с Доджсоном были такие математики и педагоги, как де-Морган и Тодгентер. Однако все это не спасло Евклида.

В результате неутомимой агитации Перри и его единомышленников в 1902 г. появилось правительственное распоряжение, которое в Англии расценивается, как низложение с трона Евклида. Следующее принципиальное решение правительства о преподавании математики состоялось в 1917 г. и последнее в 1944 г. Английские педагогические круги считают, что от былого господства Евклида в английской школе после этих трех актов не осталось и следа. Последний акт расценивается как решение ввести в школьную программу основы анализа.

О господстве Евклида в массовой английской средней школе не может быть речи, это, конечно, не означает того, что в колледжах, существующих на частные средства, по многовековым традициям, он не может иметь прежнее свое значение. И в них с давних пор делались попытки облегчить ученикам усвоение Евклида. Так, уже в 60-х годах учитель знаменитой школы в Харроу Мидльмист ввел раскрашенные фигуры и модели, но, как говорит хроника, ученикам они помогали мало.

Учителя математики Англии объединены в той же Ассоциации, которая издает журнал «The Mathematical gazette». Ассоциация—учреждение весьма почтенное, как и ее журнал. В 1946/ 47 г. Ассоциация имела 2 500 членов, а журнал насчитывает 32 тома (по 10 книжек каждый). В качестве президентов Ассоциации в разные годы фигурировали весьма крупные ученые: за 1945/46 г. проф. Сидней Чепмен, профессор натуральной философии в Оксфорде и член Королевского общества. Президентом Ассоциации за 1946/47 г. состоял учитель В. Ф. Бушель, давший в прощальной речи (каждый президент, передавая свой пост новому президенту, говорит такую речь) очень интересный очерк эволюции преподавания математики в английской школе. Ассоциация имеет целый ряд специальных комиссий и «разветвления» в частях и странах Британской империи, вплоть до Новой Зеландии. В «Mathematical gazette» печатали свои статьи самые крупные английские математики. Главы посмертной книги недавно умершего Эддингтона, привлекавшей к себе столько внимания, появились при жизни автора на страницах gazette.

Это показывает, что журнал пользуется уважением не только в учительских кругах. Из последних номеров этого журнала мы и почерпнем сведения о состоянии преподавания математики в английской школе на сегодняшний день.

Каков в действительности уровень знаний по математике в массовой английской средней школе, об этом можно в известной степени судить по следующему факту.

Упомянутый выше журнал печатает в каждом номере заметки и статейки под заголовком «Mathematical Notes», в большинстве своем довольно серьезные. В февральском номере за 1946 г. (том XXX, № 288, стр. 35) помещена под номером 1866 следующая заметка, подписанная именем J. Fitz Roy, довольно часто фигурирующим на страницах этого журнала.

В «Отчете конференции о школьных испытаниях по математике» (Report of the Conference on School Sertificate Mathematics, стр. 4) разложение выражения a2b-\- b — ab2 — а называется «неподходящим, каверзным» (awkward). Автор полагает, что следующий подход к этой задаче мог бы снять с нее это клеймо.

а)Первое правило (очевидно, учебника или школьного жаргона.—//. Д.) говорит: «возьми за скобки множитель, являющийся общим для всех членов»;

б)для разложения четырехчленных выражений «возьми члены по два и прилагай к каждой паре первое правило».

Может оказаться необходимым группировать члены данного выражения в пары более, чем одним способом, ранее чем появятся общие множители в виде групп членов. Тогда опять применяй первое правило.

Таким образом*:

ФЪ + Ь — ab2 — а = (a*b-\-b)-(ab2-\-a) = b(a* +1) — a +

—группировка неудачная. Другая группировка дает:

a*b — ab*-\-(b — а) = аЬ(а—Ь)-\-(Ь — а) ={а-Ь){аЬ— 1).

Квалификация этого примера «неподходящим», «неуклюжим» является для нашего учителя седьмого класса совершенно непонятной. Не найдется ни одного учителя седьмого класса в нашей стране, у которого возникло бы какое-либо сомнение в том, можно ли пример такой трудности предложить на испытании,—настолько он прост и тривиален. Если же он попал на страницы органа английских учителей и там сопровождается приведенными комментариями, то позволительно делать из этого факта некоторые выводы относительно уровня преподавания в английской массовой школе.

Еще более странно другое обстоятельство по поводу того же примера.

Французское министерство просвещения издает солидный журнал, регистрирующий достижения в разных областях знания во всех странах мира «Bulletin Analytique» с длинным титулом издателя: «Министерство национального воспитания. Национальный центр научных исследований». В т. VII, № 9, сентябрь 1946 г., стр. 1532 под номером 19030 (часть I, раздел математики) зарегистрированы строчки: <а2Ь-\-ь — ab2 — a=a2b — ab2 + Ъ — а = (а — —b) {ab — 1) jones J. F. Math. gaz. 30 (февр. 1946), стр. 35». Последнее еще менее понятно, чем помещение заметки в английском учительском журнале. Какие научно-исследовательские достижения усмотрел Национальный центр научных исследований французского министерства просвещения в самом тривиальном примере алгебраических упражнений для учеников наших седьмых классов, трудно себе представить. Естественно сделать заключение, что обычный в английской школе классный тренировочный материал по алгебре более примитивен, чем в наших школах, и нет оснований для распространенного у нас мнения, что по меньшей мере уровень фактических, формальных знаний там выше, чем у наших школьников.

IV

Французская школа живет в отношении преподавания в ней математики прочно установившимися, я бы сказал, окаменевшими традициями. Идеал ее в области преподавания математики заключается в том, чтобы подготовить своих абитуриентов к конкурсу для поступления в Парижскую политехническую школу или в Высшую нормальную школу. Все остальные цели школы отступают на задний план.

Роль университета (во Франции официально существует лишь один единственный университет, факультеты которого имеются и в разных других городах, кроме Парижа) в духовной жизни Франции незначительна. Все крупные имена Франции в области физико-математических наук вышли из Политехнической школы или из Высшей нормальной школы. Последняя готовит по своему уставу учителей и профессоров для лицеев, из избранной части которых выходят и научные работники.

Подготовка будущих инженеров во Франции уже с 1792 г. происходит следующим образом. В течение двух лет все будущие инженеры проходят в Политехнической школе в Париже математику, механику, физику, химию, черчение, стереотомию и начертательную геометрию и затем получают специальную техническую подготовку в разных институтах — горном, дорог и мостов, военных и т. д. Конкурс в Политехническую школу громадный, до 2000 чел. на 20 вакансий. Кандидаты отбираются по сложной системе. Идеальный кандидат может набрать 2000 очков. По литературным источникам, как будто, за все время существования Политехнической школы только один человек набрал полное число очков (как будто, это был Эрмит). Как происходит подготовка к конкурсу кандидатов в Политехническую школу, об этом предоставим рассказать французскому автору Ж. Камескасу, хорошо знакомому с делом, так как его книга, из которой мы заимствуем это описание, издана под редакцией и с предисловием известного реформатора преподавания математики И. А. Лезана, экзаминатора в Политехническую школу (см. Ж. Камескас, Как заниматься с помощью ознакомителя с математикой, стр. 23—24). Вот что пишет Камескас:

«Я не хочу упустить случая протестовать энергически против настоящего преступления, совершаемого учителями (как бы преданы делу они ни были), которые не боятся давать учить наизусть даже малолеткам, 7—8 лет, тексты из истории Франции, более или менее тенденциозной .

* В английских школах, повидимому, не пишут знак равенства в конце строки, а только в начале, в случае перехода на новую строку.

Несколько месяцев тому назад в Париже я слышал, как 7-летний мальчик, ученик начального городского училища, твердил наизусть, под бдительным контролем своей матери, урок истории, в котором говорилось о собраниях Генеральных штатов (Сословные съезды) в 1614 г.,—я спросил:

«Так ты знаешь, что такое созывы Генеральных штатов?»

Малютка перестал говорить, посмотрел на мать и сказал: «Ах, дальше я не знаю!» Однако он знал потом урок наизусть, он получил первую награду по истории в конце года. Какая от этого польза? При таком положении дел понятно, что дети бегут из школы или, что, может быть, еще важнее, выходят из нее 13 или 18 лет с отвращением к учению. Было бы несправедливо оставить читателя при мнении, что это зло касается только начальных училищ. Напротив, оно там менее важно, чем в средних школах.

Наилучшей характеристикой того, что происходит в этих последних, может быть следующая цитата из современного философа, недостаточно известного: «Знаете ли вы, что такое «Кротыш»? Это подросток, который учится специальной математике*. Кротыш встает при первом пении воробьев. Обливаясь холодной водой, он припоминает мысленно удовольствия наступающего дня.

Во-первых, прочесть 80 страниц механики и серьезной механики; в ней не говорится ни о паровозах, ни о моторных двигателях, ни о турбинах, ни о какой бы то ни было машине; это — механика без аппаратов: одни только строчки алгебраических символов; вообразите глухонемого, осужденного на чтение музыкальных страниц, не могущего думать о музыке, и вы будете иметь некоторое понятие об удовольствиях Кротыша.

Потом усесться с 50-ю подобными несчастными в комнате с голыми стенами, наводящими уныние, и писать целых 1*/2 часа под диктовку человека, который после 15-летних стараний успел сократить 3 страницы на 2. Невольно вспоминаешь при этом тех терпеливых учителей чистописания, которым удается написать большую страницу какого-нибудь текста на кружочке бумаги величиной с монету. Потом идти к доске и писать 90 слов в час, со всевозможными ловушками. При первой же запинке Кротыша с благодарностью отсылают, как будто говоря насмешливо: «Вы недостаточно умны, чтобы заниматься специальной математикой».

И Кротыш идет в другую комнату и отдыхает от математики, учась физике. Вы думаете в простоте душевной: «Вот мальчик, наконец, сможет слушать, наблюдать, заниматься с аппаратами, приблизиться к природе». Наивный человек, вы ошибаетесь. Он сейчас же примется писать еще быстрее, он будет описывать и разъяснять опыты, которых он никогда не видел, которых никогда не увидит. Совсем близко, в физическом кабинете, аппараты спят в стеклянных шкапах» (Е. Chartrier, Les 101 Propos (d'Alain).

Наши школы могли бы, однако, быть приятными помещениями (обыкновенно это не так).

Пусть хорошенько зарубят себе на носу: когда школа перестанет быть привлекательной для детей, то нет никакого сомнения, что виновата в этом школа».

К этому надо добавить, что ни один «Кротыш» не попадет из специальных математических классов средней школы в Политехническую школу без того, чтобы он не проходил в течение 1—2 лет специальных частных курсов в Париже по натаскиванию к конкурсу. Для этого существуют десятки и сотни руководств, издаются специальные журналы, предприимчивыми людьми выпускаются сборники задач, предлагавшихся на экзаменах. Хотя и существуют подобные издания, не преследующие явно коммерческих целей, но сверх них выходят и находят потребителей все новые и новые издания, обычно руководителей частных курсов по подготовке к экзаменам, уверяющие читателя в том, что издателю удалось достать самые настоящие экзаменационные задачи.

Примерно таким же образом происходит и подготовка к экзаменам кандидатов в Высшую нормальную школу, лишь с той разницей, что в Нормальной школе конкурс несколько слабее, так как там и мест больше и желающих поступить меньше.

* Во Франции «Кротышом» (Taupin) зовут ученика курсов специальной математики, потому что он стремится поступить в Политехническую школу, чтобы быть инженером и рыть, подобно кроту, подземные галереи в копях.

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

АЛЕКСАНДР ФЕДОРОВИЧ МАЛИНИН

В. П. МАЛИНИНА (Москва)

8 марта (24 февраля ст. стиля) 1948 г. исполнилось шестьдесят лет со дня смерти известного математика-педагога, общественного деятеля, автора целого ряда учебников — Александра Федоровича Малинина.

Сын штатного смотрителя 3-го Московского уездного училища — впоследствии 2-го городского (у Красных ворот), А. Ф. родился 29 января 1835 г. в здании этого училища и здесь же получил первоначальное образование. Отец его, не жалевший сил и средств для того, чтобы дать возможно лучшее образование своим детям, поместил А. Ф. по окончании курса в уездном училище во 2-ю гимназию, на Разгуляе. По смерти отца он был переведен в 1-ю гимназию пенсионером, где и окончил курс с золотой медалью.

Высшее образование А. Ф. получил в Московском университете по физико-математическому факультету, который также наградил его золотой медалью.

Избрав себе, по окончании курса в университете (в 1854 г.), трудное и как бы наследственное педагогическое поприще, А. Ф. покинул Москву для того, чтобы отправиться старшим учителем математики в Тверскую гимназию. Но уже через 2 года он снова возвратился в Москву преподавателем 4-й Московской гимназии, где и продолжал службу в течение 14 лет, до назначения в 1870 г. директором Тульской гимназии.

В 1872 году А. Ф. снова вернулся в Москву (и уже больше не покидал ее до самой своей смерти) — на пост директора нового учебного заведения— Московского учительского института, — основателем которого был он сам.

Разностороннее образование и выдающиеся способности помогли А. Ф. в короткое время приобрести вполне заслуженную известность лучшего преподавателя математики. Но преподавательская деятельность не могла вполне удовлетворить А. Ф. и поглотить всю его энергию: он вскоре выступил как педагог-писатель.

В то время (60-е годы) в учебном деле совершался коренной переворот: от сухого, догматического преподавания школа начала переходить к более живому и приспособленному к пониманию учащихся. Огромная доля в этом перевороте, коснувшемся и математических наук, принадлежала А. Ф. Малинину— и как преподавателю и как педагогу-писателю.

Его живой разносторонний ум не мирился с узкими рамками современной ему педантической педагогики. А. Ф. понимал, что для развития науки важно ее широкое распространение в неродных массах, ее общедоступность. Это легло в основу всей его деятельности.

В то время, когда началась и развивалась литературная деятельность Александра Федоровича, в школе было недостаточно учебных пособий по математике. Существовавшие учебники являлись нередко подражанием западным образцам; часто под видом строгой научности в них скрывались не только педагогические ошибки, но и серьезные научные промахи.

Создание элементарной математической отечественной литературы требовало таланта — и таким талантом, соединенным с огромной энергией и трудоспособностью, обладал Александр Федорович Малинин, выступивший в роли педагога-писателя.

Учебно-литературную деятельность А. Ф. начал сРуководством тригонометрии», за ним последовали «Руководство арифметики» и «Собрание арифметических задач». Этим было положено начало целому ряду отличных для того времени учебников, написанных А. Ф. один за другим в короткое время. По этим руководствам десятки лет училось юношество всей России.

Всего Александром Федоровичем Малининым— одним и в сотрудничестве с К. П. Бурениным — составлено 15 учебных книг, из которых многие были премированы министерством народного просвещения.

Приводим перечень этих книг:

1. Руководство тригонометрии.

2. Руководство арифметики.

3. Собрание арифметических задач.

4. Физика и собрание физических задач.

5. Собрание физических задач.

6. Руководство алгебры и собрание алгебраических задач.

7. Курс физики для женских учебных заведений.

8. Начальные основания физики для городских училищ.

9. Собрание задач для умственных вычислений (по Церингеру).

10. Руководство геометрии для городских училищ.

11. Руководство геометрии и собрание геометрических задач для гимназий.

12. Курс геометрии для женских учебных заведений.

13. Курс алгебры для женских учебных заведений.

14. Космография и физическая география для гимназий.

15. Курс математической и физической географии для женских учебных заведений.

Отличительную особенность книг Александра Федоровича составляло соединение учебника со специально и очень удачно подобранными задачами и упражнениями, вполне соответствовавшими содержанию и характеру учебника.

Распространение книг, составленных А. Ф., скоро достигло громадных, небывалых раньше размеров. Так, «Собрание арифметических задач» еще при его жизни разошлось в 18 изданиях, в числе 645 тыс. экземпляров, «Руководство арифметики» — в 15 изданиях, в числе 537 тыс. экземпляров.

Велика также роль А. Ф. как основателя и директора Московского народного учительского института.

Чтобы оценить по достоинству роль его в этом деле, необходимо сказать несколько слов о самом учительском институте — этом совершенно новом, необычном для того времени учреждении, которому суждено было стать высшим учебным заведением для будущих учителей городских школ, в котором воспитывались преимущественно дети бедных родителей, крестьян, мелких чиновников.

В конце пятидесятых годов все более назревало в умах лучших людей сознание о несостоятельности тогдашнего общественного образования; все более и более крепло убеждение в необходимости преобразований. Реформа 1861 г. окончательно решила этот вопрос в утвердительном смысле и определила новое направление школы.

Наряду с другими реформами было приступлено к реформе уездных училищ. Но так как министерство народного просвещения считало, что новые училища только тогда смогут выполнить свое назначение, когда будут снабжены хорошими учителями, оно начало свою реформу не с преобразования уездных училищ в городские, а с учреждения учительских институтов для подготовки учителей.

Основать в Москве первый в России учительский институт был призван А. Ф. Малинин.

Если вообще трудно учредить новое учебное заведение даже по образцу существующих, то еше -больший труд предстоял при учреждении учительского института и организации в нем учебно-воспитательного дела: в то время ни программы, ни методы преподавания не были выработаны. И с этой задачей — благодаря личным трудам и выдающимся педагогическим, организаторским и административным способностям — блестяще справился Александр Федорович, всю свою душу отдавший этому делу.

А. Ф. Малинин

Московский учительский институт, открытый 30 ноября 1872 г., по справедливости, называли малининским. Много учителей кончило в нем курс, и все учительские места в городских училищах Московского округа замещались исключительно его воспитанниками.

Необыкновенно отзывчивый на всякое полезное дело, А, Ф. лично руководил (по заранее выработанному им самим плану) устройством отдела Московского учебного округа на всероссийской выставке в 1882 г. и приобрел институту за образцовые труды его воспитанников почетный диплом

Озабоченный изысканием образовательных средств для воспитанников средних учебных заведений, А. Ф. устроил при отделе Общества распространения технических знаний общедоступные чтения по разным отраслям знаний.

Среди занятий по устройству этих чтений 16 февраля 1882 г. А. Ф. скоропостижно скончался — 53 лет, полный сил и энергии.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

КОГДА НАЧИНАТЬ ИЗУЧЕНИЕ СИСТЕМАТИЧЕСКОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ?

П. А. ГОРБАТЫЙ и Т. Я. НЕСТЕРЕНКО (Киев)

Вопрос о том, когда начинать изучение систематического курса геометрии, поднятый Я. С. Дубновым в «Известиях Академии педагогических наук», т. VI, 1947 г. и в журнале «Математика в школе» № 1, 1948 г. Н. М. Бескиным, является чрезвычайно актуальным. От того, как будет решен этот вопрос, зависит и программа и учебник по геометрии.

Н. М. Бескин совершенно правильно пишет, что этот вопрос не может быть разрешен теоретически, а только опытом, и нельзя без должного уважения относиться к длительному опыту всего человечества, установившему сроки для начала изучения систематического курса геометрии.

Посмотрим, о чем же говорит этот опыт. Из всех математических дисциплин геометрия с древнейших времен считалась наиболее пригодной для общего развития человеческого ума, поэтому начальные сведения по геометрии непременно включались в курсы арифметики. Самым старинным учебником по арифметике у нас является арифметика Магницкого 1703 года издания. Учебник Магницкого содержит в себе сведения по начальному курсу геометрии не только узко практические (вычисление площадей простейших фигур и измерение объемов тел), но и вопросы, связанные с изучением основных понятий геометрии, с развитием логического мышления (мы не касаемся вопроса методики изложения этого материала Магницким, речь идет лишь о содержании).

Так как учебник Магницкого очень долгое время был основным и единственным, то, следовательно, изучению систематического курса геометрии в то время предшествовал начальный курс.

В 1798 г. академик Семен Емельянович Гурьев издает «Опыт о усовершении елементов геометрии». В этом трактате есть указания и о «детской геометрии». Автор пишет, что молодые люди «нечувствительным образом подготовляются к слушанию и удоборазумению настоящих элементов геометрии, как объясняющих сопряжения и оттуда происходящие свойства знакомых им уже предметов». Эти идеи академика Гурьева воплощались в жизнь преподавателем Петроградского морского корпуса Гейлером, который более пятидесяти лет из года в год обучал своих учеников началам геометрии наглядным способом, подготовляя их к слушанию систематического курса геометрии.

В 1853 г. Ф. А. Федоров издает учебник под названием «Геометрия для всеобщего употребления». В предисловии он указывает на огромное образовательное значение геометрии, но начинать ее изучение с систематического курса нельзя. Давая характеристику начальному курсу геометрии, Федоров пишет: «Чуждая отвлеченностей, она выводит все важнейшие геометрические истины, служащие к измерению протяженностей, самым наглядным образом; и поэтому может быть доступна и даже занимательна для самых маленьких детей. Достоинство не малое, если вспомнить, каким трудностям подвергаются вообще дети, начинающие изучать эту часть математики по обыкновенным школьным курсам, где с первой страницы они прямо вводятся в недоступную для их слабого разумения область отвлеченностей. Поэтому неудивительно, если в наших низших училищах, где ученики лишены всякого наглядного понятия о геометрических теоремах, геометрия становится для них самым трудным и непонятным предметом» (Федоров, Предисловие к книге »Общенародная геометрия»).

Выпуская свой курс по начальной геометрии, Федоров и тогда еще предвидел, что найдутся противники такого построения курса геометрии. Эти противники обычно свою точку зрения аргументируют тем, что детям, которым предстоит прослушать полный общеобразовательный курс геометрии, начальный курс геометрии может дать превратные понятия о предмете геометрии и что потом их придется переучивать. На эти возражения Федоров отвечает так: «Ужель и в самом деле отрок, начинающий изучать геометрию, непосредственно понимает те метафизические определения, которые сообщаются ему в начале курса? Сознает ли он прямо, что линия есть протяжение в одну только длину, что плоскость не имеет толщины и пр. и пр.? Не вероятнее ли всего, что долгое время под прямой линией он представляет себе туго натянутую нить, под плоскостью — тонкий лист бумаги, слой слюды и пр.? Кажется, на эти вопросы нельзя ответить отрицательно, потому что ни один человек не перескакивает сразу в область отвлеченностей, но доходит до сознания метафизических истин путем трудным и медленным, начиная с чувственного и частного» (там же).

Большое внимание уделял вопросам преподавания геометрии академик М. В. Остроградский (1801 — 1861 гг.). Он написал учебник по элементарной геометрии, выступая ярым противником того, чтобы начинать изучение геометрии с абстрактных понятий, что может вызвать лишь отвращение к предмету. Он требовал, чтобы на пер-

вой ступени изучения геометрии исходить из наглядных представлений.

Со второй половины XIX столетия, когда К. Д. Ушинский подвел научную базу под вопросы методики и дидактики в своем произведении «Человек как предмет воспитания», вопрос о том. нужно или не нужно вводить начальный курс геометрии (пропедевтический курс, как его тогда называли), не ставился, так как необходимость его была доказана. Вопрос стоял о том, каким этот курс должен быть по объему и по расположению материала. Вопросу о построении начального курса геометрии было уделено большое внимание на педагогической дискуссии, проводившейся Петербургским педагогическим обществом в 1872 г. В этой дискуссии принимали активное участие такие видные методисты-математики России, как Евтушевский, Извольский, Волков, Косинский и др.

В первой четверти XX в. вопрос о начальном курсе геометрии был поставлен еще более резко и научно обоснованно. Это видно по материалам всероссийских съездов преподавателей математики 1910—1913 гг. Проф. Богомолов, выступая с докладом об «основании геометрии в связи с постановкой ее преподавания» отмечает, что начало изучения геометрии с систематического курса может оказаться в высшей степени непонятным ученикам и потому вредным. Изучению систематического курса геометрии должен предшествовать широко поставленный пропедевтический курс, цель которого не только в накоплении геометрического материала и пространственных представлений, но и в подготовке мышления ученика к необходимости логического доказательства.

В докладе Шохор-Троцкого о «требованиях, предъявляемых психологией к математике как учебному предмету», говорится: «Требовать от учащегося, чтобы он только рассуждал, только мыслил и философствовал, чтобы он жил только в области отвлеченных понятий, считалось и поныне многими считается признаком наилучшего тона, но во всей строгости это требование невыполнимо. Путем школьных наказаний и других более тонких средств насилия можно добиться того, что учащиеся, повидимому, будут исполнять подобные требования. Но они это будут делать, только обременяя свою память словами и лишая себя радостей творчества...» (Труды 1-го съезда, стр. 73).

Далее Шохор-Троцкий подчеркивает, что ученик необходимо должен подниматься на высоты отвлеченной мысли и посильно стремиться на эти высоты, но не делать это сразу скачком, ибо то, что недоступно детскому возрасту, может оказаться целесообразным в возрасте юношеском.

В тезисах к докладу Ройтмана на том же съезде «О математическом курсе элементарной геометрии в средней школе» сказано: «Невозможность для среднего ученика усвоить толково и с пользой синтетический курс геометрии в эвклидовской (или видоизмененной лежандровской) форме есть положение, твердо установленное как долгой практикой преподавания, так и с точки зрения рациональных требований педагогики и дидактики».

Главная идея всех этих выступлений сводится к тому, что изучать геометрию, начиная с систематического курса, нельзя, необходим начальный курс геометрии. Начальный курс геометрии должен, с одной стороны, способствовать изучению некоторых важнейших свойств пространства, с другой стороны, внести свою долю в дело развития мышления и умения правильно формулировать умозаключения.

В годы строительства нашей советской школы такие же высказывания мы слышим от ваших советских учителей. Из материалов совещания преподавателей математики средней школы в 1935 г. также видно стремление к введению начального курса геометрии. Особенно ярким было выступление т. Шидловской о положении с началом изучения систематического курса геометрии; она говорит: «Все вопросы преподавания геометрии очень важны, но мне кажется все-таки, что самый большой вопрос - преподавание геометрии в VI классе. Это такой большой вопрос, что было бы не худо, если бы была создана целая секция, посвященная вопросу о начале систематического курса геометрии в VI классе. Ни для кого не секрет, что там мы имеем тяжелое положение. Сплошь и рядом мы видим, что учащиеся не понимают самого главного; не понимают необходимости доказательства. Они не усваивают самого смысла доказательства, и преподаватель поставлен в очень тяжелые условия... Иногда получается формальное благополучие, т. е. учащиеся на вопросы преподавателя дают гладкую формулировку какой-нибудь теоремы, или дают точное определение, но в то же время не понимают смысла произносимых слов» (Материалы совещания преподавателей математики средней школы, 1935 г., стр. 74).

На том же совещании т. Енджеевский из Пятигорска сообщает, что из обследования 1200 учащихся 40 классов установлено, что самое узкое место — это доказательство теоремы. В лучшем случае учащиеся заучивают доказательство теорем, запоминая определенное расположение букв на чертеже, изменение которых сбивает с толку учащегося, и он не может доказать теорему. Происходит это от того, что учащиеся не подготовлены к тому, чтобы воспринимать осмысленно теорему, они не понимают смысла и необходимости доказательства.

На страницах журнала «Математика в школе» очень часто можно видеть те или другие замечания о необходимости перестройки существующего курса геометрии.

В статье «О преподавании геометрии в VI классе» т. Петров говорит, что, дойдя до VI класса, ученики не приносят с собой никаких геометрических понятий и представлений; тот геометрический материал, который вкраплен в программу начальной школы, случаен, разрознен, да и не пользуется должным вниманием со стороны учителей. По существу, в VI классе дети впервые знакомятся с геометрическими понятиями, и, излагая геометрию в VI классе дедуктивно, мы убиваем в детях всякий интерес к этой науке в дальнейшем.

В журнале «Математика в школе» № 3, 1938 г., напечатана статья т. Войтова. Статья составлена на основании систематически проводимого в течение 10 лет учета и анализа знаний по математике, которые были обнаружены лицами, окончившими 7 классов средней школы и поступавшими в транспортный техникум. Тов. Войтов пишет: «Почти 100% учащихся либо не знали доказательства теорем, либо не давали их полностью и обоснованно, почти совсем не отвечали на вопрос, что такое вписанный или описанный угол. На предложение начертить три высоты в тупоугольном треугольнике свыше 50% учащихся чертят так (черт. 1):

На вопрос по поводу последнего чертежа «может ли высота, опущенная на сторону, составлять с ней острый или тупой угол?» отвечают: «В тупоугольном треугольнике может, так как ее иначе построить нельзя». Очень многие утверждают, что в треугольнике можно построить только одну высоту. На предложение «начертите прямоугольник» — около 40% учащихся давали такие чертежи (черт. 2) и т. д. Из материала, данного т. Войтовым, видно

что на протяжении VI и VII классов учащиеся доказывали механически теорем я, не вникая в сущность самих понятий. Получается так, что в погоне за развитием логического мышления мы предлагаем учащимся материал по геометрии, недоступный их возрасту, и в результате не достигаем никаких успехов ни в области развития логического мышления, ни в области накопления геометрических представлений.

Черт. 1

К таким же результатам мы пришли, проводя беседы с учащимися своей школы. На вопрос «Чем вы занимались сегодня на уроке геометрии?» отвечают: «Сегодня весь урок учительница доказывала, что два равных треугольника равны».

На вопрос «Какие теоремы усваиваются трудно?» учащиеся, как правило, отвечаю так «Мы не понимаем, зачем доказывать то. что и без доказательства ясно, например, перпендикуляр короче наклонной, против большей стороны в треугольнике лежит больший угол и др., поэтому в таких теоремах сделаешь чертеж, а сказать не знаешь что. Трудные теоремы усваиваются легче». Бывают и такие ответы: «Очень трудно разобраться в том, что дано и что требуется доказать». На вопрос «что изучает геометрия»? абсолютное большинство ответов были такие: «Нам учитель объяснял, что геометрия — это землемерие, но я второй год изучаю геометрию и никакого в ней землемерия нет, а только доказательства теорем». Часто приходится слышать от оканчивающих среднюю школу такие ответы: «Пойду только в такой вуз, где нет математики, особенно геометрии».

Причины такого явления объясняются, во-первых, большим несоответствием математического развития учащихся с дедуктивным изложением курса, а, во-вторых, оторванностью излагаемых вопросов геометрии от конкретных образов, в мире которых живет ребенок. По существующей программе дети до VI класса с вопросами геометрии, по существу, не встречаются ни разу. В начальной школе весь геометрический материал ограничивается одной темой 8-10 часов и сводится к нахождению площади прямоугольника и объема прямоуго ьного параллелепипеда. Многократные наблюдения над учащимися IV классов показывают, что эти вопросы не усваиваются детьми, они механически запоминают правила нахождения площади прямоугольника и объема прямоугольного параллелепипеда, не понимая, почему это делается так. а не иначе. Задача на определение стоимости побелки классной комнаты данных размеров, если за 1 кв. метр платят данную сумму, вызывает большие затруднения у учащихся V класса. А ведь те же ученики прекрасно решают более сложные арифметические задачи, пишут прекрасные сочинения, полные глубокого понимания излагаемых вопросов. Следовательно, дело не в общем развитии учащихся, а в развитии их пространственных представлений в накоплении ими сведений геометрического характера.

Мы не один раз в своей школе проверяли, с каким запасом геометрических представлений приходят учащиеся к изучению систематического курса, и всегда приходилось отмечать бедность этого запаса. Из тел только куб выделяют правильно. Прямоугольные параллелепипеды различных размеров и цветов не выделяют в общую группу. Отрезки прямых, изображенные на доске, называют кривыми, если они проведены не горизонтально, а наклонно, угол называют треугольником и т. п. Ясно, что с таким запасом геометрических сведений систематический курс геометрии ребенком 12 лет не может усваиваться.

Настаивание на начале изучения систематического курса геометрии с VI класса есть не что иное, как дань веками установившейся традиции. В наше время это бремя традиции болезненно сказывается на преподавании геометрии.

Говоря о необходимости начинать систематический курс геометрии в VI классе, Н. М. Бескин ссылается на дореволюционные гимназии. «В гимназиях геометрия начиналась в IV классе, что по теперешнему счету соответствует шестому» (стр.30), и дальше он говорит: «Также мы не можем примириться с мыслью что английские и французские дети способны в 12—13 лет штудировать геометрию в эвклидовско-лежандровском духе, а проект № 1 считает, что для советских детей это недоступно» (стр. 31).

Как известно, преподавание геометрии в дореволюционной гимназии у нас, а также и за границей было одним из самых слабых мест, о чем говорят и материалы дореволюционных съездов преподавателей математики России и международное реформистское движение, охватившее все страны Западной Европы. Основная идея международного реформистского движения в области улучшения преподавания геометрии сводилась к тому, чтобы внести живую струю в преподавание, приблизить это преподаьание к жизни и поставить в соответствие с психологическими особенностями детского возраста.

Глава реформистского течения Ф. Клейн говорит: «Ни один предмет гимназий и реальных училищ не вызывает таких затруднений, как математика, если только большинство учеников сразу проявляют нежелание дать себя втиснуть в мертвые рамки логических выводов. Гораздо легче заинтересовать молодежь, исходя из явлений, познаваемых внешними чувствами, и только постепенно переходя к абстрактной формулировке ... Поэтому важно, значит убедить, что именно внешний вид ведет к правильному мышлению на почве верных посылок. Но в таком случае следует с самого начала обращать взор на внешний мир» (Трейтлейн, Методика геометрии, ч. 1, стр. 139).

Высказываний передовых педагогов Западной Европы о недоступности детскому возрасту в 12 лет понять синтетический курс геометрии мы могли бы привести бесчисленное множество (Лезан,

Симон. Пуанкаре и мн. др.), но и из этого видно, что иностранные дети не усваивают логического курса геометрии. Оказывается, ссылка Н. М. Бескина на гимназистов и на иностранных детей не основательна.

Признавая необходимость придать некоторую законченность курсу геометрии в семилетней школе, Н. М. Бескин серьезно недооценивает привития практических навыков оканчивающим неполную среднюю школу. «Учащиеся, проходящие полную среднюю школу, должны совершенно неестественным образом запомнить в VII классе бесполезные с общеобразовательной точки зрения формулы для объема шара и конуса только потому, что некоторые их товарищи поступают в техникумы» (стр.32). Вопрос этот слишком суживается Н. М. Бескиным. Дело не только в том, что некоторые из окончивших семилетнюю школу поступают в техникумы, это меньше всего имеется в виду введением начального курса геометрии. Главный вопрос заключается в том, что абсолютное большинство учащихся из семилетки выходит в жизнь — в колхозы, на заводы и т. д., где им очень необходимы практические знания и навыки.

Статистика говорит о громадном количестве учащихся, выходящих из семилетней школы как в техникумы, так и в жизнь, и пренебрегать привитием практических навыков преступно против нашей родины, ведь обучение в наших школах проводится не для обучения, а для жизни, для строительства коммунистического общества. Потребность в привитии навыков оканчивающим как неполную среднюю, так и среднюю школу — огромна. Это видно из целого ряда выступлений.

Строительный рабочий колхоза «Пламя» Раменского района Московской области, окончивший неполную среднюю школу, на совещании, созванном редакцией «Учительской газеты», сказал: «Школьная математика не дает практических навыков, не знакомит с приемами измерений, которые приходится делать на производстве каждому рабочему» («Учительская газета» № 55 от 23 апреля 1939 г.).

Бригадир одного из колхозов, окончивший 9 классов, измерял площадь участка треугольной формы полупроизведением чисел, измеряющих две его стороны. Когда же ему указали на эту ошибку и убедили, что так делать нельзя, то он заявил: «В математике там свои правила, а здесь, в практике, — другие» (из ст. Чуканцова, Ближе к практике, «Математика в школе» № 4, 1940 г.).

Иногда приходится слышать от учеников и такие ответы. Когда учеников спрашиваешь, как узнать, какой из полевых участков треугольной формы больше, ученики хором отвечают: «наложением». Вопросам непосредственного измерения мы, к сожалению, совсем не обучали учащихся, увлеченные идеей научить 12—13-летнего ребенка логически мыслить.

Между тем мы знаем, что с трибуны XVIII съезда ВКП(б) В. М. Молотовым была поставлена задача привития оканчивающим школу юношам и девушкам хотя бы некоторой подготовки к будущей практической работе, так как на заводы, в колхозы, в армию ежегодно вливаются миллионы окончивших неполную среднюю школу.

Геометрия в семилетней школе, больше чем любая другая дисциплина, оторвана от жизни. Ученик изучает в VII классе взаимное расположение окружностей и четыре замечательные точки в треугольнике, но не знает, как вычислить площадь треугольника, трапеции, как узнать емкость ведра цилиндрической формы и т. д.

Программу по геометрии семилетней школы необходимо перестроить так, чтобы учащиеся, кончая 7 классов, получили на уроках законченный практически необходимый для них цикл знаний а определенные навыки. «Наука, порвавшая связи с практикой, с жизнью, — какая же это наука?» говорит товарищ Сталин на 1-м Всесоюзном совещании стахановцев.

Широко практиковать в начальном курсе геометрии вопросы непосредственного измерения необходимо не для того, чтобы опытом заменить логическое доказательство теорем, а прежде всего для того, чтобы довести до сознания ученика смысл, что он хотел получить, чтобы поднять значение теорем в глазах учеников и показать связь теории с практикой. Непосредственные измерения нужны, чтобы заставить учеников искать другие способы для утверждения того или иного положения, свободные от ошибок, связанных с нашими органами чувств. Следовательно, непосредственные измерения не только дают учащимся ряд столь необходимых практических навыков, но и убеждают учеников в необходимости логических доказательств

Н. М. Бескин пишет: «Что же мы ответим выпускникам средней школы на резонный вопрос: «В семилетке мы убедились, что курс геометрии может быть изложен без логических доказательств. Для чего нас заставляют изучать эти доказательства в старших классах?» (стр. 33).

По научным данный, познание окружающей нас реальной действительности совершается по методу, указанному В. И. Лениным: «от живого созерцания к абстрактному мышлению...» Особенно это ярко выступает в развитии познавательной деятельности у детей. Детский ум стремится к конкретному и не способен к отвлеченному мышлению до 14, а иногда до 15-летнего возраста.

Всякий ребенок по преимуществу экспериментатор; он любит наблюдения, опыт и мыслит образами. Но по мере накопления геометрических представлений у учащихся начинает появляться потребность в логическом обосновании справедливости исследуемых свойств геометрических форм. Таким образом, уже в начальном курсе закладывается фундамент для развития логического мышления. Начальный курс геометрии вовсе не исключает логических доказательств; наоборот, при правильном ведении начального курса геометрии как раз должно пробуждаться желание и понимание необходимости доказательства, и оно обязательно проснется, когда при рассмотрении форм, обсуждении их и сравнении на почве внутренней наглядности все настойчивее станет возникать вопрос «почему?», когда сомнительные, ненадежные результаты измерений и черчений понемногу будут преобразовываться в точные определения. Ученик постепенно почувствует естественную потребность в логическом доказательстве, так как оно избавит его от ряда ошибок и ненужных измерений.

Начальный курс геометрии должен быть построен так, чтобы часть вопросов систематического курса можно было бы основательно в нем изучить. (Здесь речь идет не об объеме материала, подлежащего рассмотрению в начальном курсе, это — предмет самостоятельной статьи, а лишь о характере метода для изучения этих вопросов.) Таким образом, введение в программу средней школы начального курса геометрии для V — VII классов не только преследует задачу более целесообразного выполнения последующего систематического курса, но является одним из необходимых условий правильного развития мышления ребенка.

При правильной постановке работы по изучению начального курса геометрии ученики старших классов, пожалуй, сами сумеют ответить на вопрос, поставленный Н. М. Бескиным, а если мы начнем

изучение систематического курса геометрии в VI классе, то как мы ответим на вопрос шестиклассника, который также резонно нас спросит: «Почему же всему тому, чему несколько месяцев назад мы так доверяли, что убеждает нас в справедливости выводов в физике, химии, отныне в геометрии доверять нельзя, экспериментировать не разрешается? Почему никакого действительного наложения производить нельзя на уроках геометрии, а только мысленное, хотя на уроках физики мы это делаем и считаем правильным?»

Заключение. Для правильного развития мыслительных способностей учащиеся, для правильного понимания ими геометрии как науки начинать изучение систематического курса геометрии в VI классе нельзя. Это идет вразрез с психологическими особенностями детского возраста: ребенок из мира ярких конкретных образов попадает в мир отвлеченных идей, идет с завязанными глазами в дальнейшем изучении геометрии и теряет к ней интерес.

В связи с тем, что больше половины юношей и девушек, обучающихся в средней школе, из семилетка выходят либо в техникумы, либо в жизнь, вопрос о законченности программы по геометрии и о привитии целого ряда практических навыков заслуживает большого внимания и требует немедленной перестройки курса геометрии путем выделения для V — VII классов начального вполне законченного курса геометрии.

Начальный курс геометрии, преподаваемый учащимся в основном индуктивно-экспериментальным методом, необходимо должен включать и логические доказательства, в V классе мало, в VI больше и в VII еще больше.

Систематический курс геометрии следует начинать в VIII классе!

К ВОПРОСУ О ПРЕПОДАВАНИИ ГЕОМЕТРИИ В ШКОЛЕ

Н. А. ПРИНЦЕВ (Россошь)

1. Нужна ли коренная ломка программ по геометрии?

На страницах нашего журнала поднят вопрос о том, когда в школе следует начинать изучение систематического курса геометрии. Один из проектов программы предлагает начать изучение систематического курса геометрии с VIII класса, другой — с VII.

Таким образом, предполагается (если иметь в виду особенно проект № 1) коренная ломка учебной программы по геометрии.

Нужна ли такая коренная ломка программы? Чем вызывается она? Не следует ли стать на путь «реформ» в вопросе об изменении учебной программы по геометрии?

Мы работаем по существующим программам не один и не два года, а значительно большее время. Это доказывает, что существующая учебная программа и постановка преподавания геометрии в основном нас удовлетворяют.

Мы сказали в основном, так как, несомненно, учебная программа и вообще преподавание геометрии в нашей школе имеют много недостатков. Следует признать, что первые уроки систематического курса геометрии как для учащихся, так и для учителя являются наиболее трудными; едва ли найдется в курсе элементарной математики более трудный для восприятия материал, чем первые теоремы по геометрии. Но это вполне естественно и закономерно. На первых уроках по геометрии учащиеся впервые знакомятся с элементами логики, с элементарными математическими доказательствами (в курсе арифметики, если таковые и есть, то они обычно на практике обходятся учителем).

Здесь вопрос опирается в психологическую проблему: доступны ли для учащихся этого возраста дедуктивные доказательства с привлечением наглядных образов — геометрических чертежей?

Нам кажется, что практика лучших учителей и данные психологии ребенка отвечают утвердительно на этот вопрос. В таком случае, зачем делать коренную ломку учебной программы? Отступать перед трудностями? Но это не путь научного разрешения проблемы геометрического образования, или, лучше сказать, проблемы развития логического мышления учащихся нашей школы.

Вот почему нам кажется необходимо стать на путь реформ в разрешении рассматриваемого вопроса.

2. О пропедевтическом курсе геометрии.

Ребенок и его психология не есть нечто застывшее, нельзя рассматривать психологию ребенка определенного возраста как нечто неизменное. Образование и воспитание влияют на психологию ребенка, на его развитие. Можно последнее затормозить и, наоборот, ускорить. Ребенок находится под воздействием комплекса факторов, который мы называем педагогическим процессом. Мы должны, очевидно, пользоваться этими факторами для ускорения развития ребенка.

Поэтому мы утверждаем, что можно и необходимо развивать логическое мышление ребенка путем изучения систематического курса геометрии, как это мы делаем при существующей учебной программе. Доказательства тому: 1) многолетняя работа с учащимися по существующим учебным программам по геометрии (несмотря на малую доступность для учащихся текста первой половины учебника Киселева); 2) опыт лучших учителей, которые достигают блестящих результатов в VI — VII классах; 3) длительный опыт работы дореволюционной школы по аналогичным программам и учебникам.

При подходе к вопросу о новой программе по геометрии необходимо прежде всего обратить внимание, как современная программа обеспечивает предварительную геометрическую подготовку учащихся, для того чтобы они могли приступить к более трудному, с психологической точки зрения, систематическому курсу геометрии.

Если для систематического изучения арифметики и грамматики родного языка учащиеся имеют солидную предварительную подготовку в течение первых четырех лет обучения в начальной школе, если для изучения начал алгебры учащиеся могут иметь некоторую подготовку в V классе при изучении «цифровой арифметики», то в отношении геометрии дело обстоит значительно хуже. А про-

педевтический курс геометрии нужен здесь не только как преддверие для изучения систематического курса, но он имеет и большое психологическое значение.

Современная учебная программа наваливается всей тяжестью логических определений и доказательств на психику учащихся VI класса, но ничего не делает, чтобы ослабить эту тяжесть.

В самом деле, в III и IV классах учащиеся изучают очень скудные обрывки из пропедевтики геометрии, в V же классе в лучшем случае учителя поддерживают в стационарном состоянии эти обрывки, а часто забывают и о них, так как считают нужным заниматься только арифметикой. Лишь в нынешнем учебном году впервые появились в билетах для испытаний по арифметике геометрические вопросы, но мы уверены, что это для многих учителей явилось «неприятным сюрпризом».

Таким образом, существующая программа по геометрии не отводит необходимого места пропедевтическому курсу геометрии, который имеет не только практическое значение, но должен служить подготовительной ступенью к систематическому курсу геометрии.

Не следует пренебрежительно относиться и к практическому значению пропедевтического курса; умение вычислить площадь, объем и т. п. важно для расширения понимания практических применений математики, для расширения тематики арифметических и алгебраических задач, для решения задач по физике, для понимания элементов топографии и т. п.

Нам представляется программа пропедевтического курса геометрии в таком схематическом виде:

1. Линии и их измерение. Окружность и круг. 2. Углы и их измерение. 3. Треугольники и многоугольники. 4. Понятие о подобии многоугольников. 5. Площадь многоугольников. 6. Длина окружности и площадь круга. 7. Многогранники, их поверхности и объемы. 8. Круглые тела, поверхности и объемы. 9. Некоторые замечательные предложения геометрии: сумма углов треугольника и многоугольника, теорема Пифагора, отношение площадей подобных многоугольников и кругов, отношение объемов и поверхностей шаров.

Курс должен быть насыщен задачами, наглядностью, но вместе с тем должен содержать логические определения и элементы логических доказательств.

Только при серьезной постановке курса наглядно-логической геометрии можно с успехом выполнить основную задачу — изучить систематический курс геометрии.

3. Об изучении систематического курса геометрии

Первая половина учебного года в VI классе посвящается изучению арифметики и алгебры, а поэтому систематический курс геометрии следует начинать только со второй половины учебного года в этом классе. В первую половину учебного года продолжает изучаться пропедевтический курс геометрии.

Иногда делается такое возражение: так как учащимся многое знакомо из курса пропедевтики геометрии, то им будет «скучно» повторять известные факты при изучении систематического курса геометрии. Но дело все в том, что повторять факты нам не надо, если они не забыты учащимся; центр тяжести не в фактах, а в логическом обосновании их, в показе, что геометрия есть дедуктивная, а не эмпирическая наука.

Задачей учителя при изучении систематического курса геометрии является вскрыть логическую сторону геометрии, а при такой постановке изучения не может быть никакой »скуки».

Теперь несколько замечаний по вопросу о содержании учебной программы систематического курса геометрии.

Пора уменьшить количество изучаемых теорем, а за счет этого увеличить объем изучаемого материала в семилетней школе. Этот объем может быть увеличен и за счет того, что при изучении пропедевтического курса учащимся будут известны многие геометрические образы и факты, следовательно, их логическое обоснование потребует значительно меньше времени.

В программу по геометрии в семилетней школе в дополнение к тому материалу, какой изучается в настоящее время, следует включить вопросы: пропорциональные отрезки, подобие фигур, площади многоугольников и теорему Пифагора.

Для этого, как мы уже заметили, часть учебного материала, имеющегося в современной программе, нужно исключить. Чтобы быть краткими, укажем этот материал, ссылаясь на принятый в школе учебник Киселева, 1-я часть. Можно было бы опустить материал, который помещен в следующих параграфах учебника Киселева: 52, 55, 78, 83, 106, 107, 109, 114, 118, 119, 120, 121, а также большую часть учебного материала по стереометрии, который сейчас изучается в IX классе.

Не надо закрывать глаза на то, что во многих школах доказательства теорем разучиваются, что упражняется память, а не мышление учащихся. Необходимо так поставить преподавание, чтобы было достаточно времени на решение задач на доказательство (многие теоремы, из указанных выше, можно было бы включить в число таких задач) и на построение.

Если некоторые вопросы в семилетней школе не могут быть достаточно обоснованы (надо вообще иметь в виду условность понимания термина «строгого» доказательства в условиях школы) или просто должны быть опущены за их сложностью и трудностью обоснования, то их можно в иной связи включить в программу VIII — X классов, (например, вопросы подобия и гомотетии).

Из курса VIII класса следует изъять учение о тригонометрических функциях, эти вопросы изучаются здесь формально и в отрыве от остальных вопросов программы, изучение систематического курса тригонометрии в IX классе не нуждается в «некоторых сведениях» о тригонометрических функциях в курсе VIII класса.

Наконец, последнее замечание о геометрии в XI классе. Из элементарной геометрии здесь можно оставить весьма небольшую часть того материала, какой сейчас имеется в учебной программе, а большую часть времени отвести на повторение изученного и обзорные лекции по геометрии, имея в виду связь с современной научной геометрией, а также на изучение основ аналитической геометрии.

ЗАДАЧИ

О ЗАДАЧАХ, ПОМЕЩАЕМЫХ В ЖУРНАЛЕ

(На обсуждение читателей)

Отдел задач вызывает живой интерес среди читателей журнала. Об этом говорят и все растущее число участников в их решении, и многочисленные письма с вопросами и высказываниями относительно этого раздела в целом или по поводу тех или иных задач.

В связи с этим редакция обращается с просьбой ко всем читателям высказать свои соображения по вопросам, затронутым ниже. Учет этих высказываний поможет редакции внести в раздел те или иные изменения, исправить имеющиеся недочеты, чтобы в наибольшей степени удовлетворить запросы и интересы преподавателей математики.

Редакция просит сообщить все имеющиеся замечания по задачам, не ограничиваясь поставленными здесь вопросами.

1. В отношении тематики задач редакция строго ограничивается пределами элементарной математики. Иначе и не может быть: включение в орбиту отдела вопросов высшей математики только распылило бы его и увело бы далеко от вопросов, тесно связанных именно с математикой, преподающейся в средней школе.

Но редакция считает, что в решениях задач может быть до известной степени использован математический аппарат, выходящий за рамки программы средней школы. Ведь учитель должен знать больше, чем того требует школьная программа. Поэтому редакция считает вполне допустимыми ссылки в решениях на достаточно общеизвестные положения и теоремы из теории чисел и др. дисциплин и особенно, конечно, на те или иные формулы элементарной математики, не изучаемые в школе (например, из геометрии треугольника, из тригонометрии). Но иногда в редакцию поступают протесты против таких ссылок. Указывается на неправомерность их, так как «учитель может их не знать и не обязан знать». Желательно по этому вопросу узнать мнение большинства.

2. В связи с предыдущим пунктом возникает второй вопрос. Ставя целью не только повышение техники, находчивости и вообще опыта в решении задач, но и расширение теоретических знаний учителя в области элементарной математики, редакция систематически (особенно в довоенное время) помещала в качестве задач вывод тех или иных формул, выходящих за программу средней школы (например, соотношения между элементами треугольника и четырехугольника, некоторые тригонометрические формулы, выражения для суммы наиболее часто встречающихся тригонометрических рядов и пр.). В дальнейших решениях на эти формулы уже просто делались ссылки как на известные, что значительно экономило и место (а это важно для журнала, имеющего такой небольшой объем). Но и это вызывало возражения: указывалось, что краткость и лаконичность решения не позволяют малоопытному учителю извлечь всю пользу из чтения такого решения. Редакция хотела бы знать, целесообразно ли проводить такую систему и в дальнейшем.

3. Вариация задач по степени трудности проводилась в очень широких размерах: от совершенно элементарных, доступных ученику VI—VII класса, до задач сильно повышенной трудности. При этом количество легких задач явно преобладало. И тем не менее довольно часты сетования на то, что задачи трудны для рядового учителя. Об этом до некоторой степени говорит сравнительно небольшое число присылок решений всех двадцати задач, помещенных в номере. В подавляющем большинстве присылаются решения от 5 до 10 задач. Не следует ли, может быть, исключив слишком элементарные задачи, в то же время и отказаться от «трудных» задач?

4. При выборе задач одним из руководящих моментов является краткость решения, что целиком объясняется малым объемом журнала и желанием сэкономить место. Поэтому редакция вынуждена отказываться от помещения и очень интересных задач, но с длинным решением (в журнале «Математическое образование» нередко решение одной задачи занимало несколько страниц). Не следует ли для включения и такого рода задач уменьшить их количество, доведя, например, до 12—15 задач на номер?

5. Редакция время от времени помещала и считает не только целесообразным, но прямо полезным помещать «невозможные» задачи, то-есть задачи, не имеющие решения (например, №№ 47 и 64 за 1948 год). Раздел задач в журнале — не школьный задачник, где такая задача повергла бы ученика в недоумение. Такие задачи развивают критический подход к задачам вообще, дают хороший материал для исследования. Редакция имеет тенденцию несколько повысить процент таких задач и хотела бы знать мнение читателей по этому вопросу.

6. Редакция не проводила строгой дозировки задач по четырем разделам элементарной математики. Следует ли ввести такую дозировку и если да, то в какой пропорции?

Вот, примерно, вопросы, на которые редакция хотела бы получить ответы читателей.

Повторяем, редакция с живым интересом примет всякие другие замечания, указания на более удачные и, наоборот, неудачные задачи и пр.

II

Одновременно редакция предъявляет некоторые претензии к читателям, присылающим решения задач.

Многие получаемые решения оформлены очень хорошо, написаны аккуратно, разборчиво, с соблюдением всех требований, неоднократно публиковавшихся в журнале (тт. Шебаршин, Кодацкий, Колесник, Сергиенко, Титов и мн. другие. Коллектив преподавателей г. Ярославля прислал решения прямо в художественном оформлении). Но не меньше половины решений оформляются далеко не удовлетворительно: небрежно, грязно, неразборчиво; вычисления расположены как попало, — трудно проследить ход решения; написаны на клочке бумаги, доходящем до размеров 1 см X 5 см. На одном листе даются решения задач из разных номеров журналов (в таком случае этот лист попадает в сводку лишь по одному из номеров, остальные задачи остаются без проверки). Нередко бывает трудно и даже невозможно установить, правильно ли решена задача, особенно на доказательство или на построение, где решение не контролируется числовым ответом.

Если принять во внимание, что по каждому номеру журнала редакция получает до тысячи (а иногда больше) решений, то легко представить, сколько времени и труда требует их проверка и на сколько это время и этот труд увеличиваются из-за небрежного оформления решений.

III

Несколько слов по поводу задач, присылаемых для помещения в журнале. Иногда запрашивают, какие требования предъявляются к этим задачам. Полагаем, что непосредственный просмотр 2—3 номеров журнала даст возможность более конкретно судить о характере задач, признаваемых подходящими для их напечатания.

Часто приславший задачи просит сообщить по поводу них мнение редакции. Редакция уже не раз заявляла на страницах журнала, что она не может (просто физически не в силах) вступать в переписку по поводу задач, — не принятые к печати задачи уничтожаются, а принятые печатаются, иногда через длительный срок.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 4 за 1948 год

№ 61

Решить уравнение:

х* + (Ь* — 2)х = 2Ьх* — 2Ь.

Решение. Переносим все члены влево, раскрываем скобки и располагаем многочлен по степеням х:

*з - 2Ьх* + Ь*х — 2х + 2Ь = 0.

Группируем последовательно по два соседних члена:

(jc3 _ bx°~) - (Ьх* — Ь*>х) - (2х — 2Ь) = 0; Х2 (х — Ь) — Ьх (х — Ь) — 2 (х — Ъ) = 0; (х — b)(x*-bx — 2) = 0. Отсюда легко находим:

х\ — о* х%ъ —2

Возможны (и давались в решениях) и другие способы группировки, например:

а)Вынеся за скобки х в первых трех членах и 2 в последних двух, получим:

х (х — Ь)* - 2 (х — Ь) = (х — Ь) (х* -Ьх- 2).

б)Разбивая — 2Ьх~ на два члена, будем иметь:

(х* — Ьх* - 2х) - (Ьх* - Ь*х — 2Ь) = = Х(х* - Ьх — 2) — Ь(*2 — Ьх-2) = = (х-Ь) (х* — Ьх — 2).

Задача, конечно, совершенно элементарная.

Тов. Айзенштат (Кисловодск), кроме решений а) и б), дал еще два решения: применением теоремы Безу и способом неопределенных коэфициентов.

№ 62

Решить уравнение:

Х4- \2х + 323 = 0.

Решение. Напоминая внешне предыдущую, эта задача уже сложнее, хотя метод решения по существу тот же: надо разложить левую часть на два квадратных трехчлена. Можно применить способ группировки и способ неопределенных коэфициентов. Оба эти способа фигурируют в присланных решениях.

1. Введение дополнительных членов для получения расположенного многочлена и последующей группировки было применено в ряде решений. Решение получилось примерно такое:

х* + б*з - 6*з + 17*2 19*2 _ 30.V2 — 114дг -f-

+ 102л:+ 323 = 0;

(д4 | б*з + 19*2) — (6*з + 36*2 + 114*) +

+ (l7*2-fl02* + 323) = 0.

Дальнейшее ясно.

Нельзя признать этот способ удачным. Введение б*3 и представление 12* в виде 114* — 102* хотя и можно в конце концов обосновать, но все же прийти именно к таким операциям можно или после ряда неудачных проб, или путем довольно длинных и сложных рассуждений.

2. Короче и естественнее применить способ неопределенных коэфициентов. Таких решений было больше. При этом в подавляющем большинстве решений с применением этого способа свободный

член 323 представлялся в виде 17-19, а тогда решение принимало вид:

*4 — 12* + 323 = (*2 + /и* + 19)(*2 + л* + 17),

откуда легко находятся тип.

Против этого способа можно возразить лишь то, что выбрать из возможных разложений числа 323 = = 17-19= 1.323 = (- 17).(— 19)=(— 1). ( — 323) именно первое — есть все же дело случая или результат проб.

Поэтому некоторые полагали неизвестными и свободные члены, беря равенство

*4 — 12х + 323 — (*2 4- тх + п) (х* + ах + Ь).

Неудобство этого способа в том, что для отыскания коэфициентов он приводит к уравнению 6-й степени (приводящемуся к кубичному).

3. Подавляющее большинство решений совпадало с решением, предложенным автором задачи. Оно и является наиболее коротким и изящным. Свободный член 323 = 324— 1= 182 — 1. Подставив это выражение и перенеся 12* и 1 в правую часть (что, конечно, не обязательно), получим:

ж4+18*«12х+1.

Естественно к сумме квадратов в левой части (а следовательно, и в правой) прибавить удвоенное произведение оснований. Получим:

ХА _|_ 1S2 + 36*2«. 36*2 -f 12* + 1; (*2+18)2 = (6*+1)2; jc2+ 18 = ±(6*+1).

Дальнейшее ясно.

4. Обособленно стоит более оригинальное решение тов. В. Буткевич (Ровно), применившего тоже способ неопределенных коэфициентов, но довольно своеобразно: левая часть уравнения представлена в виде разности квадратов двучленов:

*4 — 12* + 323 = (*2 + а)2 — (Ьх + сД

После раскрытия скобок и приравнивания соответствующих коэфициентов с помощью простых логических выводов легко получаются значения a, b и с, а дальнейшее понятно.

№ 63

Найти объем правильной четырехугольной призмы со стороной основания а, если сумма углов, образованных диагональю призмы со стороной и с диагональю основания {выходящими из той же вершины) равна 135°.

Решение. Обозначив z ВАС\ = * и САСг — = у (черт. 1), по условию имеем:

*-f-j/r= 135°.(1)

Далее, из ДЛСС^

АС = ayТ = АСг cos у(2)

и из Д АБС/

АБ = а = ACi cos *.(3)

Разделив (2) на (3), получим:

rCOS*

или:

cos_y=)/2 cos*.(4)

Но из (1) имеем: *= 135е—у. Делая подстановку в (4), будем иметь:

cosy = cos (135° —у) =

= j/2 (cos 135° cosy -f- sin 135° sin_y) =

_ / /2, /2 \

-=/2 ^— -g-cosjr-f -y- sin у J =

= — cos_y-f sin.y;

отсюда:

2 cosj> = sin.y; tg_y = 2. Теперь получаем:

v = a*-СС] = а2.AC igy = а*.а /"2.2 = 2/2^. № 64

Найти объел, правильной четырехугольней призмы со стороной основ с ния а, если разность углов, образованных диагональю призмы со стороной и диагональю основания (выходящими из той же вершины), равна 45°.

Решен и е. Задача по своей формулировке аналогична предыдущей, и однако не имеет решения. Доказательств в решениях приводилось несколько, но самым коротким и простым является, конечно, следующее.

В трехгранном угле АБССХ (вершина угла А) имеем: *—у = 45 и ^САС1 = 4Ь*1 т. е. разность двух плоских углов трехгранного угла равна третьему углу, чего быть не может.

№ 65

В треугольнике АБС определить сторону БС, если АБ -f- АС = т, а проекция биссектрисы угла А на сторону А Б равна р.

Решение 1. Имеем (черт. 2):

b + c = т.(1)

- ~i— —

По известным формулам для биссектрисы:

ас ас _ _ ab ab ЯД=Т+7 = -^Г; DC=TT7 = — ; (2)

Из Д ABD:

или:

Отсюда:

Решение 2. Из решений, в которых не применялись формулы (2) и (3), приведем наиболее короткое и изящное решение А. Владимирова (Ялта).

Имеем:

Далее:

(2)

С другой стороны:

(3)

Из (2) и (3) имеем:

(4)

Но из Д ADE-.

Подставив в (4), получим:

(6)

Наконец, подстановка из (6) в (1) дает:

№ 66

Показать, что при нечетном т число

т* - 35т* + 259т2 — 225(1)

делится на 46080.

Решение. Данное выражение можно разложить на множители различными способами, например:

По условию т—-число нечетное: т = 2/1+1. Делая подстановку, получим:

(2)

Известно, что произведение k любых последовательных чисел делится на k\ Следовательно, (л— 2) (п — 1)п(п + \)(п + 2)(п + 3) делится на 6!= = 720. Значит, все данное выражение делится на

26.720 = 46080.

Можно, как это и делали многие, разложив 46080 = 210-32-5, легко показать непосредственно, что правая часть равенства (2) делится на 2*0, на З2 и на 5, а следовательно, делится и на их произведение.

№ 67

Показать, что при всяком натуральном п > 1 число

пп—п* + п — \

делится на (п — I)2. Решение 1. Преобразуем данное выражение:

Так как выражение в прямых скобках — число целое, то предложение доказано. Решение 2. Данное выражение преобразуем так:

Каждое слагаемое в прямых скобках делится на п — 1, а следовательно, данное выражение делится на (п — 2)2.

При решении этим способом многие применяли к выражению пп~~х + пп~2 + ... + /г* + л2 + 1 теорему Безу, чтобы установить делимость его на п — 1 (т. е. подставляли в выражение 1 и получали

в итоге 0). Это было неправомерно, так как теорема Безу относится лишь к целым многочленам, а здесь мы имеем показательную функцию.

№ 68

Показать, что при любых натуральных значениях п число

(а + 1)2*+! +ап+2

делится на а2-\-а-\- 1.

Решение 1. Преобразуем данное выражение, прибавив и отняв а2^2п~^1^:

Так как 2п-\-\ — число нечетное, то выражение в первых прямых скобках делится на (а + \)-\--\-а2 = а2 4- а + 1. Выражение же во вторых прямых скобках при любом натуральном п делится на а3 — — 1 =(а — 1) (л2 ~\- а -f- 1) Предложение доказано.

Решение 2. Предложение легко доказывается методом математической индукции. При п =. 0 данное выражение принимает вид а2-\-а-\-\, при л=1:

(а + \)ъ + а* = (а + \+а) [{а+ 1)!-а(а + 1) f + аа] = (2а + 1)(а2 + а+\).

Пусть теперь предложение справедливо для некоторого натурального значения п = k. Покажем, что оно будет справедливо и для n = k-\-l. Действительно, будем иметь:

Выражение в прямых скобках делится на а2 4- а +• Ч- 1, по предположению, первое же слагаемое имеет множителем я2-f а-\-1. Предложение доказано.

№ 69

В треугольнике радиусы описанного и вписанного кругов равны R и г. Найти отношение площади этого треугольника к площади треугольника, образованного точками касания вписанного круга.

Решение 3. Обозначим площади треугольников АхОВи BjOCj, CiOAx соответственно через Si, S2 и S3 (черт. 3;.

В четырехугольнике ABfiCi Углы С\ и В, прямые; следовательно,

Аналогично:

Далее:

Аналогично:

(2) (3)

С другой стороны, площадь треугольника ABC:

(4)

Из (1), (2), (3) и (4) получим:

Сложив эти равенства, будем иметь:

(5)

Но, как известно:

Делая подстановку в (5), получим:

(6)

Решение 2. Получив по предыдущему равенства (1), (2) и (3), сложим их:

Но

Произведя замену, получим:

Деля это равенство на 8дВс — гР* получим опять соотношение (6). Были даны и другие способы решения.

№ 70

В треугольнике:

Определить

Решение 1. Исходим из формулы Мольвейде:

Приняв во внимание заданные условия, можем написать:

Отсюда легко находим:

Далее:

А 5

Подставив tg ~2~ = ~б~ » найдем:

Решение 2. Можно исходить из формул для тангенса половинного угла:

Отсюда:

Или, приняв во внимание заданные условия:

Отсюда:

В

tg-g" можно найти по предыдущему.

№ 71

Упростить выражение:

Решение 1. Умножим числитель и знаменатель на 2 sin а:

Применив формулы:

получим:

Решение 2. Группируем в числителе и знаменателе члены, равноотстоящие от концов ряда. Получим при п четном:

При п нечетном:

№ 72

Решить систему уравнений:

х2+у2 + 22 + & = 5,(1)

xyzt - 1,(2)

x*(yz + zt+yt)=*3x-h(3)

x*(y + z+t) = x (2* — 3)+1.(4)

Решение. Из (2) заключаем, что ни одно из неизвестных не может равняться нулю. 1) Из (4) имеем:

Зд: — 1 = jc2 (Z—ху—xz — xt).

Делая подстановку в (3) и сокращая на jc*, получим: xy + xz + xt +yz + yt + zt = 2.(5)

2) Из (3) имеем:

1

xyz + xzt + xyt + — = 3.

Но из (2) ^-=yzt. Делая подстановку, получаем:

xyz + xyt + xzt -f- yzt = 3.(6)

3) Сложив (1) с удвоенным (5), будем иметь:

(*+y + * + t)*=9;

x + y + z+t= ±3.(7)

4) Из уравнений (7j, (5), (6) и (2) заключаем (теорема Виета), что х, у> z at являются корнями уравнений:

а)ц4_ЗиЗ-|-2а2 — Зи+1 =0,

б)о* -f- З^з + 2t,2 — 3tf + 1 = 0.

Решив обычным способом эти возвратные уравнения (решения не приводим, ввиду его простоты и для экономии места), получим:

Так как ур-ния (2), (5), (6) и (7) симметричны относительно х, у, z, t, то, приравнивая каждое из них одному из полученных корней, получим для каждого из уравнений а) и б) по 4! = 24 системы решений, а всего 48.

№ 73

Найти трехзначные числа, являющиеся квадратами трех последовательных натуральных чисел, причем суммы цифр этих квадратов являются, в свою очередь, квадратами трех последовательных натуральных чисел.

Решение. Сумма цифр трехзначного числа не больше 27. И так как она должна быть квадратом, то суммы цифр могут быть лишь 1, 4, 16 и 25. Но трехзначное число, сумма цифр которого 25, может лишь состоять из цифр 9, 9, 7 и 9, 8, 8, которые ни в какой комбинации не дают квадрата. Итак, суммы цифр искомых чисел могут быть только

1; 4; 9 или 4; 9; 16,

следовательно, наименьшее из искомых трехзначных чисел должно иметь сумму цифр 1 или 4. Но сумму цифр, равную 1, может иметь лишь число 100. Отсюда первое решение:

100; 121; 144.

Далее, трехзначные числа, сумма цифр которых равна 4, могут лишь состоять из цифр 4, 0, 0; 3, 1, 1; 2, 2, 0 и 2, 1, 1. Из них первая комбинация дает число 400. Отсюда второе решение:

400; 441; 484.

Вторая и третья комбинации не дают точных квадратов; четвертая дает число 121, и получаем третье решение:

121; 144; 169. Л 74

В четырехугольнике ABCD через точку О пересечения диагоналей проведены'. AXR2 II АВ(А\ на AD), ВХС2\\ВС (Я, на AB), CAD2II CD (Ci на ВС) и DXA2 || DA (Dx на CD) (черт. 4).

Определить сумму отношений:

Решение. 1) Д A\OD ~ Д ABD;

отсюда:

2)

отсюда:

Сложив полученные равенства, найдем:

(1)

3) Д ВхОА с/э Д АВС\ отсюда:

4) Д C2OD с/э Д В DC; отсюда:

но сложении получим:

(2)

Совершенно аналогично получим:

(3) (4)

Сложив (1), (2), (3) и (4), будем иметь:

(5)

Предложивший задачу т. Фридман (Красноярск) указывает, что из соотношения (5) как следствие получается известная теорема: заключенный между непараллельными сторонами трапеции отрезок прямой, проведенной параллельно основаниям, есть среднее гармоническое между основаниями трапеции. Это легко доказать, сделав для трапеции построение, аналогичное чертежу 4.

№ 75

Доказать, что если х*-\-у* = <г3, где jc, у и z — целые числа, то одно из чисел jc, у, г должно делиться на 3.

Решение 1. Предполагаем х, у и z числами, попарно взаимно простыми (если какие-либо два из них имеют общий множитель т, то третье число должно делиться на т, и все члены можно сократить на /л3).

Имеем:

(1)

Пусть х} у и г не делятся на 3. Тогда и х 4- у не делится на 3 (в противном случае по (1) должно было бы делиться на 3 и z). Но тогда х +у и Зху, а следовательно, х + у и [(х +у)2 — Зху) — числа

взаимно простые. Из (1) заключаем, что каждое из этих выражений должно быть кубом целого числа. Пусть

х +у = т*, х*+у*-ху = л*.(2)

Возведя первое из этих уравнений в квадрат и вычтя из него второе, получим:

Зху = т6 — лз = (т% П) [(т* — Л)2 + 3т2Л)]. (з)

Левая часть делится на 3. Значит тг— л должно делиться на 3. Но тогда правая часть делятся, а левая не делится на 9 (так как х и у не делится на 3). Полученное противоречие и доказывает теорему.

Решение 2. Пусть х> у и z не делятся на 3. Рассмотрим возможные случаи.

а)Пусть х =з Зт + 1, У = Зп + 1. Тогда

*з +д,з = (3/л + 1)з + (Зл -|_ 1)3 = 9£ + 2, (1)

где k — целое. Число z не может иметь видЗ/? + 1, так как (Зр + I)3 имеет вид 9£ +1. Итак, z = Зр + 2. Тогда:

*з = (з^ + 2)2 = 9£2 + 8.(2)

Сравнивая (1) и (2), получаем:

9£ + 2 = 9*! + 8; 9^ = 9^ + 6. Левая часть делится, а правая не делится на 9.

б)Пусть jc = З/и + 2, .у = Зл+2. Тогда:

jc3 + у3 = (3т + 2)з+(3л + 2)з = 9* + 16, (3)

т. е. имеет вид Зя+1. Значит, одолжен иметь вид Зр +1. Тогда имеем:

z8 = (3^+1)3 = 9^ + 1.(4)

Из (3) и (4) получаем:

9^+16 = 9^ + 1; 9£+15 = 9£1.

Налицо опять противоречие.

в)Случай: х = Зт+ \, у = Зт + 2 (или наоборот)— непосредственно приводит к заключению, что z должно делиться на 3.

Решение 3 (М. Шебаршина). Имеем:

*3 + у* _ 2з = о.(1)

Положим:

x+y-z = a.(2)

Вычитание (2) из (1) дает:

(*з _ Х) + (у*-у) - <*3 _ z) = (х _ Х)х (х + 1) + + (V-l)y(y+l)-(z-l)z(z + l)= -а.

Так как произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 3, то а кратно трем: a = 3t. Тогда из (2):

x+y = z + 3t.(3)

Рассмотрим выражение:

(х + у)3 — («з + уЪ) = (z + 303 - *з

или:

3jcy (л: + у) = 9*2/ + 27 zt* + 27/з.

Правая часть этого равенства делится на 9. Следовательно, или х или у или х+у должны делиться на 3. В последнем случае должно делиться и z} так как

& = (х +у) (х* Ху +у*).

Доказать, что если х5+у5 = г5, где х, у и z — целые числа, то одно из чисел х, у, z должно делиться на 5.

Решение. Все три способа решения, приведенные для предыдущей задачи, применимы и к данной. Кратко изложим первый способ.

Пусть х, у и z не делятся на 5. Имеем:

х* +у* = (х+у){(х+у)*-5ху [(х+у)*-ху)} = z\ (1)

Так как z не делится, то и х+у не делится на 5; значит, х+у и выражение в фигурных скобках — числа взаимно простые. Но тогда должно быть:

х+у = а\(2)

jc4 _ jc3y + jc2y2 _ д^уЗ + 3,1 = Ь\(3)

Возведя (2) в четвертую степень и вычтя из него (3), придем к выражению:

Ъху {х* + ху +у2) = (я* - &){(а* - Ь)* +

+ 5Д& [(04_fc)2+a4£]J.

Отсюда заключаем, что а±—Ъ должно делиться на 5. А тогда правая часть делится, а левая не делится на 25 (легко показать, что если х и у не делятся на 5, то и х* + ху+у2 не делится на 5).

Точно так же можно применить и два других способа.

По поводу задач № 75 и № 76 редакцией получено несколько писем, возражающих против помещения их в журнале, как противоречащих великой теореме Ферма. Считаем эти возражения несправедливыми.

Во-первых, теорема Ферма в общем виде еще не доказана, а потому и ссылка на нее в такой формулировке неправомерна. С другой стороны, известно, что именно для рассматриваемых в задаче случаев эта теорема доказана давно (для л=3— Эйлер и для л = 5 — Дирихле). Это верно. Но ведь она доказана для х, у и z натуральных (как известно, в случае дробных значений х> у, z уравнение можно преобразовать и привести значения к целому виду). Задачи же № 75 и Jsfe 76 сформулированы так, что допускают решение, а именно: 1) х =г 0; у = а (или наоборот); 2) х — а; у = — а (или наоборот), где а — произвольное целое (что даже не обязательно) число. И к этим случаям доказательство вполне применимо, так как в обоих случаях одно из чисел, равное нулю, делится и на 3 и на 5.

Могут возразить, что теорема Ферма исключает приведенные выше «тривиальные случаи. Но ведь задачи и не имели в виду теорему Ферма, а потому не упоминают его имени и дают другую формулировку теоремы.

№77

Вычислить сумму: S = cos a + cos (a + ^) + cos(a + 2.^) + + cos £<х + (л-1)

Решение 1. Подавляющее большинство решений исходило из тождества:

2 cos т sin л = sin (m + л) — sin (т — л).

Давая з десь т значения а, а+ —, а +

л 2к2тск

+ 2- —... а + (п — 1)—, а л значение- ,

получим ряд тождеств:

Сложив почленно эти равенства, получим:

так как sin тс = 0. Но 2 sin —ф 0 (при п >1), а

поэтому 5 = 0.

Решение 2. В некоторых решениях принималась известной формула:

Полагая здесь d = — и т = п—1, получаем:

Решение 3. Предложивший задачу т. Голайдо, а также Сакович (Киев) и Суховой (ст. Луганская) дают геометрическое решение задачи.

Если проектировать периметр правильного л-угольника на прямую, образующую с одной из сторон угол а (черт. 5), то получим:

где а — длина стороны л-угольника.

Но проекция замкнутой ломаной равна нулю, отсюда 5 0.

В некоторых решениях применялась также тригонометрическая форма комплексного числа.

№ 78

Доказать неравенство:

Решение. Рассмотрим выражение:

Очевидно, что это выражение имеет положительные значения при всех действительных значениях х.

С другой сторсны, раскрыв скобки, его можно представить в виде квадратного трехчлена относительно х\

и так как он положителен при всех действительных значениях х, то дискриминант его должен быть отрицательным, т. е.:

А это и есть требуемое неравенство. Оно обращается в равенство, если числа at и b-t пропорциональны, т. е.

аг = kbx\ а2 = kb2',»..; ап = kbn.

Такое решение дано в «Алгебре» Новоселова и в присланных решениях. Можно, как это и сделано некоторыми, доказать неравенство методом математической индукции.

Задача представляет собою известное неравенство Буняковского. (Иногда его называют также неравенством Шварца.)

№ 79

Решить уравнение Бхаскары (XII в.):

хк _ 2х2 - 400* = 9 999.

Решение 1. Данное уравнение преобразовывается так:

Далее:

Итак, имеем:

Отсюда легко получаем:

Такое решение прислано сравнительно немногими (оно же дано и в сборнике Т. Н. Попова «Исторические задачи»). Несомненно, оно носит слишком искусственный характер. По существу, для того чтобы выделить, как это сделано здесь, множители л:—-11 и х +- 9, надо уже знать, что уравнение имеет эти корни.

Более обоснованное разложение дано т. Айзенштатом (Кисловодск); он приходит к выражению:

(*2 - 2х — 99) (х2 + 2* + Ю1).

В большинстве присланных решений дано более короткое решение, совпадающее с решением предложившего задачу. Приводим его.

Решение 2. Переносим 40*)* в правую часть и прибавляем к обеим частям по Ах2 -j- 1; получим:

х\ t 2*2 + 1 = 4х* + 400* -f 10 000,

или:

(л8+ 1)2 = 4(* + 50)2.

Отсюда:

л:2 + 1 = ± (2* -f-100). Дальнейшее ясно.

№ 80

Автомобиль проехал расстояние между двумя городами со скоростью 50 км в нас, а обратно

возращался со скоростью 30 км в нас. Какова была его средняя скорость? Решение. Пусть расстояние до города равно а\

Время, затраченное на проезд в город, будет *gQ- , d

а на обратный проезд -qq\ Очевидно, средняя скорость будет равна:

Задача, конечно, совершенно элементарная и все же получила несколько (3) неверных решений.

Г. Сакович дал этой задаче оригинальное арифметическое решение: автомобиль ехал обратно в -^-раза медленнее.

Отсюда средняя скорость:

ЗАДАЧИ

(Срок присылки решений 15 марта 1949 г.)

1. Решить уравнение:

(*з - 16) (* — З)2 + 9х* = 0.

М. Дубенец (Новошепеличи, Киевской обл.).

2. Решить уравнение:

cos2 * — 2 cos * cos^y со* (* 4- у) -f- cos2 (х А- у) = а относительно * и у. Определить значения а, при которых уравнение имеет решения.

М. Дубенец.

3. В треугольнике угол А равен 43°. Найти (без помощи таблиц) остальные углы этого треугольника, если для него имеет место соотношение:

В. Утемов (Красноуфимск).

4. Найти соотношение между углами а,} и ■(, если дано, что

tg(« + p)tgT = l.

В. Утемов.

5. Доказать неравенство:

С. Танасевский (Кишинев).

6. Определить, какой из вписанных в окружность л-угольников имеет наибольший периметр.

С. Танасевский (Кишинев).

7. Дана окружность и ее центр. С помощью одной линейки вписать в эту окружность квадрат.

М. Шебаршин (Кемеровская обл.).

8. Даны окружность и ее центр. С помошью одной линейки вписать в эту окружность правильный треугольник.М. Шебаршин

9. Дана окружность радиуса R. Внутри ее проведена окружность, проходящая через центр данной и внутренне касающаяся ее. Построить окружность, касательную к данным окружностям и к диаметру большей окружности, касательному к меньшей.

С. Вотрин (Иваново).

10. Построить равносторонний треугольник, вершины которого по одной лежали бы на трех данных параллельных прямых (печатается вторично).

11. Найти обший вид целых чисел, выражающих длину катетов прямоугольных треугольников, имеющих общую гипотенузу.

Я. Айзенштат (Кисловодск).

12. Найти простые числа р, удовлетворяющие условию, что 4р2 -f-1 и 6р2 -f- 1 будут тоже простыми числами.

Я. Айзенштат.

13. Две вершины треугольника неподвижны, а третья перемешается по некоторому контуру. Доказать, что центр тяжести данного треугольника описывает при этом контур, подобный данному.

Э. Ясиновый (Куйбышев).

14. Определить объем трехгранной пирамиды по трем ее боковым ребрам я, Ь, с и плоским углам о, р, т при вершине.

Э. Ясиновый.

15. Доказать, что в любом трехгранном угле углы «I, о^, «з наклона ребер к противоположным граням связаны соотношением:

Э. Ясиновый.

16. Доказать для прямоугольного треугольника неравенство:

Н. Дзигава (Тбилиси).

17. Доказать для остроугольного треугольника неравенство:

Н. Дзигава.

18. Решить уравнение:

П. Китайгородский (Москва).

19. Определить стороны треугольника, если они выражаются целыми числами, образующими арифметическую прогрессию, и периметр треугольника равен 15.

А. Могильницкий (Кривое Озеро Одесской обл.).

20. Определить стороны треугольника, если они выражаются целыми числами, образующими геометрическую прогрессию, причем произведение этих чисел равно 216.

А. Могильницкий.

СВОДКА РЕШЕНИЙ по № 4 за 1948-й год

Следует отметить, как положительный факт, небольшее количество неверных решений (4 из общего количества 740 решений), что до известней, но только до известной, степени объясняется сравнительной легкостью большинства задач. Ошибочные решения были даны: по >& 64 (8 решений) для объема призмы вместо нуля получалась формула 2а3уг2; по № 73 (9 решений) давались два решения вместо трех (или давалось не решение, а проба всех чисел от 10 до 30); по № 77 получались выражения или неравные нулю, или не доведенные до нуля.

Приводим сводку верных решений. Г. Автух (Чашники) 61 — 64, 67, 70, 71, 79, 80; К. Агринский (Москва) 61—63, 65 — 67,69 — 72, 74, 77 — 80; М. Адигамов (Чкалов) 61 —63, 65, 70, 79; Я. Айзенштат (Кисловодск) 61 — 80; Г. Алапашвили (Тбилиси) 61, 62, 65 — 68. 71, 72, 75 — 77, 78, 80; Я. Алексеев (Череповец) 61, 63, 71, 79, 80; Е. Алмазова (Беднодемьяновск), 61, 68, 78. 80; Г. Ахвердов (Ленинград) 61 —74, 77 — 80; Ш. Бакурадзе ГБслниси) 61, 70, 79, 80; Л. Бескин (Мссква) 61 — 64, 66, 67, 71 — 73, 79, 80; Е. Боков (Коноково) 61—63, 65 — 72, 77, 78, 80; И. Бочкин (Витебск) 61, 62, 65 — 68, 70, 71, 73, 79, 80; Б. Бурназов (Ейск) 61 —63, 70, 71, 73, 77 —£0; Б. Вайнман (Киев) 61, 66, 70, 71, 78—в0; А. Владимиров (Ялта) 61—73, 75, 77 — 80; М. Волков (Москва) 61,65, 70, 79, 80; Р. Гангнус (Москва) 80; Я. Глейбман (Бельцы) 61—63, 66, 67 , 70, 71, 79, 80; В. Голубев (Кувшиново) 61 — 64, 66 - 71, 73 , 75 — 80, Г. Голянд и С. Третьяков (ст. Ленинградская) 61—64, 66 — 68,71,73, 80; Н. Дзигава (Тбилиси) 61 — 66, 68 — 72, 77 — 79; Б. Диккер (Ананьев) 61-63, 65 — 68, 70 — 72, 75 — 80; Б. Дудолькевич (Петраковка) 61, 63 — 65, 79, 80; И. Евланов (Павелец) 61, 80; М. Зайденман (Бельцы) 63, 70, 79; В. Зяблицкий (Калинин) 61, 67; А. Карпов (Собинка) 61 — 68, 70 — 80; Я. Килимник (Винница) 75, 76. 78, 80, Н.Кириллов (Ярославль) 61—64, 66 — 73, 79, 80; /7. Китайгородский (Москва), 61, 62, 65 — 68 ; 75, 76, 78 — 80; Коллектив преподавателей школы № 43 (Ярославль) 61, 63— 67, 69, 70,80; С. Колесник (Харьков) 61 — 80; А. Корнилов (Новый Егорлык) 61 — 72, 75 — 77, 79, 80; Н. Костогаров (Курск) 61, 62, 79, 80; И. Кофман (Ярославль) 61—65, 69, 70, 79, 80; В. Кунахович (Безводное) 63, 65 — 67 , 70, 71, 74, 80; Н. Кухарев (Уфа) 61-63, 65, 69 - 71, 74, 77, 79; С. Лебензон (Малаховка) 61—80; М. Л я пин (Казань) 61 —64, 65 — 68, 71, 72, 77, 79, 80; М. Манукян (Келлеровка), 61, 62, 71, 79; Медведев (Михайлсвка) 61 — 63, 65- 70, 72, 74, 79, 80; С.Мельников (Симферополь) 61—71, 73, 75, 79, 80; М. Месяц (Житомир) 61 —68, 70, 71, 77, 78, 80; Г. Многолетний (Мглин) 61, 63, 64, 70, 71, 78, 80; В. Нефедов (Владимир) 61—80; А. Овчинников (Сталинград) 61 — 64, 66, 69 — 71, 73, 77 — 80; Ф. Певишев (Шилово) 61 — 80; О. Пищик (Золочев) 61 — 77, 79, 80; Г. Полезнее (Туганск) 61, 63, 67, 79, 80; Т. Полякова (Гагарино), 61, 63, 64, 69, 70, 80; А.Попов (Заинек) 61,63 — 65, 69 — 71: П. Постников (Ряжск», 61, 63— 66, 68 — 72, 74, 77 — 80; Г. Рагинский (Изберг) 61— 63, 65 — 80: Г. Сакович (Киев) 61 — 64, 66 — 68, 70 — 73, 75 — 80; И. Сергачев (Москва) 61, 66, 79, 80; В. Серов (с. Н. Веруга) 61, 63, 65, 66, 68 — 71, 74, 77 — 79; Г. Соколов (Владимир) 61 — 80; A.Стукен (Омск) 61, 63, 64, 67, 69, 70, 75, 76, 80; М. Суховой (Каргасск) 61 - 65, 70, 71, 77, 79, 80; B.Токарев (Константиновка) 61 — 80; В. Ураевский (Кузнецк) 61, 62; В. Утемов (Красноуфимск) 61-80; М. Чаус (Вчерайшее) 61 -64, 66 — 68, 7i», 71,79, 80; М. Шебаршин (Кемерово) 61 — 80; А. Ширшов (Луганск) 61 — 80; #. Юрченко (Знаменка) 61, 62, 67, 68, 78 — 80; Э. Ясиновый (Куйбышев) 61 — 63, 65 — 80.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ СВОДКА по №№ 1—3 1948 года

Я. Айзенштат (Кисловодск) 8, 19, 20; Г. Алапашвили (Тбилиси) 3—7, 14, 16; А. Багарян (Абхазская АССР) 3, 4, 11, 14, 16, 17; И. Бородуля (Реутово) 1, 3-5, 9, И, 16, 18—20; И. Бочкин (Витебск) 3-6, 9, 14—17; В. Варганов (Москва) 10; Б. Дудолькевич (Петраковка) 3, 5, 8, 16; В. Кунахович (Безводное) 2—5, 7, 10, 11; М. Месяц (Житомир) 16; М. Мустафаев (Нуха) 5, 14, 16; В. Никитин (Тамбов) 1—5, 7, 8, 10, 11, 13-20; Ю. Орехов (Ленинград) 3, 5, 14, 18; А. Павлов (Сталинабад) 1-7, 9-11, 13—17, 19; Т. Полякова (Гагарино) 3, 6; X. Тартаковский (Черновицы) 1, 3—8, 10, 11, 14—18; Л. Твалавадзе (Баши) 3—5, 14; Н. Титов (Казань) 10, 11; В. Токарев (Константиновка) 2—20; В. Утемов (Красноуфимск) 19, И. Ципкин (Казань) 11, 13-20 М. Черепнин (Караганда) 3, 7, 9, 17, 19; Юрченко (Знаменка) 3, 10, 11. Я. Айзенштат (Кисловодск) 21—24, 27—40, П. Алексеев (Череповец) 21, 22, 25—30; Л. Багарян (Абхазская АССР) 21, 2?, 25, 28, 30; Я. Бай дюк (Ольгополь) 21, 22, 25, 26, 30, 34, 37; Л. Бескин (Москва) 25, 27, 34; И. Бороду ля (РеутоЕо) 21 — 23; Б. Вайнман (Киев) 28, 29; С. Гликсон (Сарны) 21—40; В. Голубев (Кувшиново) 21—25, 27 — 36, 38, 39; И Дзигава (Тбилиси) 21, 22, 21 — 26, 28 — 30, 33, 35, 37 — 40; Н. Зубилин (Нарышкино) 21—25, 28, 30, 33, 31, 36, 38 — 40; Б. Кодацкий (Ленинград) 21—40; В. Кунахович (Безводное) 28; Лебедев (Обоянь) 22, 2 <; С. Марцечюк (Нежин) 25; В. Никитин (Тамбов) 21 - 40; Ю. Орехов (Ленинград) 21; Ф. Певишев (Шилово) 31, 32; Г. Полезнее (Томск, обл.) 29; Н. Рождественский (Петриково) 21—30,33 — 36,39; В, Розеншуллер (Ленинград) 28 — 30; М. Саакян (Краснодар) 21, 22, 16-28- 30; Г Сакович (Киев) 21-36, 39; Г. Сотникова (Казань) 21, 22, 25, 30; Л. Твалавадзе (Баши) 22, 24 — 26; Я. Титов (Тюмень) 'Л — 32, 35 - 38; Н. Титов (Казань) 21—40; В. Токарев (Константиновка) 21—38, 40; А. Фирсанов (Свердловск) 21, 22, 26, 30; Н. Эрдниев (Барнаул) 21, 22, 27, 29 — 36, 38; Э. Ясиновый (Куйбышев) 26, 27, 30. Г. Алапашвили (Тбилиси) 42, 45, 46, 52, 53, 55 — 57, 6J; Г. Бурнатив (Ейск) 42, 45, 48, 52-56, 6Э; Б. Вайнман (Киев) 48, 54, 56; В. Варганов (Москва) 52, 55, 56, 59, 60; А. Владимиров (Ялта) 5U; Р. Гангнус (Москва) 53, 56, 60; Г, Голянд и С. Третьяков (ст. Ленинградская) 45, 47, 48, 54 — 5о, 6и; Н. Дзигава (Тбилиси) 42, 44, 48, 52 — 57; А. Евдокимов (Ленинград) 56, 60; Б. Кодацкий (Ленинград) 41, 42, 44, 4;, 47, 48, 51 —58, 60; В. Кунакович (Безводное) 56. 6^; Н. Кухарев (Уфа) 48, 54, 60; М. Ляпин (Казань) 41, 42, 44, 47, 49, 5.' —56, 58, 5Q; П. Макуха (Алма-Ата) 41, 42, 47 — 50, 52, 57, t0; А. Овчинников (Сталинград) 45, 47. 52 — 54, 56 - 60; Ф. Певишев (ст. Шилово) 47,55; Н. Рождественский (Петриковка) 51; Н. Рытое (Каменка) 56, 60; Г. Сакович (Киев) 41, 42, 45 — 5", 52, 54 — 57, 59, 60; С. Сачко (Москва) 4*, 52 — 54, 56, 60; И. Сергачев (Москва) 41, 42, 54, 56; Ф Сергиенко (Запорожье) 41, 42, 44—50, 52 — 57, 59; Н. Титов (Казань) 41, 42, 44 — 46, 48,51 —58, 60; В. Токарев (Константиновка) 41, 42 - 44, 60; Н. Эрдниев (Барнаул) 41, 42, 44, 45, 47, 48, 52 - 56, 58, 60; Я. Юрченко (Знаменка) 52, 55, 56, 60; Э. Ясиновый (Куйбышев) 49, 50.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

По ленинскому пути........................ 1

Л. Н. Барсуков — Историческая веха в развитии биологической науки ............................ 3

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

А. П. Юшкевич — Математика и ее преподавание в России XVII — XIX вв............................. 7

МЕТОДИКА

А. Л. Бондарев — Несобственные корни уравнений........ 19

П. Я. Севастьянов—Умножение обыкновенных дробей....... 22

А. Н. Добротин — К методике преподавания умножения и деления дробей........................... 27

С. И. Зетель — О применении свойств корней квадратного уравнения к решению задач на максимум и минимум........ 32

ИЗ ОПЫТА

И И. Гольденблат —Борьба с формализмом на уроках математики 33

ЗА РУБЕЖОМ

И. Я. Депман — Некоторые сведения о состоянии преподавания математики в современной зарубежной школе ........ 39

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ МАТЕМАТИКИ

В. П. Малинина — Александр Федорович Малинин........ 44

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

П. А. Горбатый и Т. Я. Нестеренко — Когда начинать изучение систематического курса геометрии в средней школе...... 46

Н. А. Принцев — К вопросу о преподавании геометрии в школе . . 50

ЗАДАЧИ

О задачах, помещенных в журнале................52

Решения задач..........................53

Задачи...............•..............61

Сводки решений .........................62

№ А - 11523

Заказ № 829 Тираж 20 000 экз.

Редакционная коллегия

Редактор А. И. Барсуков Зам. редактора С. И. Новоселов Члены редакционной коллегии Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий, А. П. Садиков, Н. Ф. Четверухин

Технический редактор Е. Н. ПергаменщикКорректор А. С. Киняпина

_Адрес редакции: Москва, Чистые пруды 6, Учпедгиз Министерства просвещения РСФСР

Сдано в производство 6/XI 1948 г. Подписано к печати 24/XII 1948 г. Печ. л. 4. Учетно-изд. л. 7,68 _Печ. зн. в 1 п. л. 72 С00. Цена 4 р. 50 к. Формат 82 X Ю8/16.__

13-я тип. треста «Полиграфкннга» ОГИЗа при Совете Министров СССР. Москва, Денисовский, 30

ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕ УЧЕБНИКИ И УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

для студентов педагогических училищ, учительских и педагогических институтов, университетов, учителей начальной и средней школы.

ТУЛИНОВ Б. А. и ЧЕКМАРЕВ Н. Ф. Арифметика для педучилищ. Учпедгиз. 1948 г. Цена 5 р. 40 к.

ФИЛИЧЕВ С. В. и ЧЕКМАРЕВ Н. Ф. Сборник арифметических задач, I—IV кл. Учпедгиз. 1948 г. Цена 6 р. 40 к.

БАРСУКОВ А. Н. Сборник задач по алгебре. Утвержден Министерством просвещения РСФСР в качестве учебника для педучилищ. Учпедгиз. 1947 г. Цена 1 р. 80 к.

СНЕГИРЕВ В. Т., ЧЕКМАРЕВ Н. Ф., Методика арифметики для педучилищ. Учпедгиз. 1948 г. Цена 6 р. 15 к.

ГРЕБЕНЧА М. К. Арифметика. (Элементарная математика для учительских институтов.) Утверждено Министерством просвещения РСФСР. Учпедгиз. 1946 г. Цена 13 р.

ВИНОГРАДОВ С. П. Краткий курс высшей математики. Учебник для учительских институтов. Учпедгиз. 1948 г. Цена 7 р. 70 к.

НОВОСЕЛОВ С. И. Элементарная алгебра для учительских институтов. Учпедгиз. 1947 г. Цена 8 р.

★ ★ ★

Продажа производится в книжных магазинах и киосках КОГИЗа и других книготорговых организаций.

Книги высылаются также по почте (наложенным платежом без задатка) всеми отделами „Книга — почтой" областных, краевых и республиканских отделений КОГИЗа.

КОГИЗ, Москва, Орликов пер., д. 3