МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

6

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКВА 1948

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИИ РСФСР

№ 6

НОЯБРЬ-ДЕКАБРЬ 1948

МИХАИЛ КУЗЬМИЧ ГРЕБЕНЧА

В ночь на 21 июня 1948 г. скоропостижно скончался один из крупнейших деятелей в области народного образования профессор Михаил Кузьмич Гребенча.

Михаил Кузьмич родился в 1897 году в семье народного учителя села Малаешты Тираспольского уезда Херсонской губернии (по прежнему административному делению). В 1915 г. М. К. окончил гимназию в г. Николаеве и в том же году поступил на физико-математический факультет Московского университета.

В апреле 1918 г., будучи студентом Московского университета, М. К. вступил добровольцем в ряды Красной Армии, участвовал в боях на Южном фронте и после контузии был демобилизован в октябре 1918 г. Вернувшись из армии, М. К. снова приступил к занятиям в Московском университете, который и окончил в 1919 г.

Научно-педагогическую деятельность М. К. начал тотчас после окончания университета: в марте 1919 г. он поступил преподавателем подготовительных курсов Московской горной академии. В 1920 г., когда подготовительные курсы были влиты в состав Горной академии, М. К. по конкурсу, общим собранием профессорско-преподавательского состава, был избран профессором Академии по кафедре математики. В 1930 г., после реорганизации Горной академии М. К. занял должность профессора — заведующего кафедрой математики Горного института. Этот пост М. К. занимал до последних дней своей жизни.

В 1931 г. в Москве был организован вечерний Московский городской педагогический институт. Перед вновь открытым институтом стояла задача—дать возможность многочисленной группе учителей Москвы получить законченное высшее педагогическое образование без отрыва от работы в школах.

М. К. с первых же дней организации института возглавил в нем кафедру математики. Не считаясь с трудными условиями организационного периода (многочисленность слушателей различной подготовки, разбросанность отделений института по районам города), М. К. со свойственными ему энергией и любовью взялся за это большое дело, сумел привлечь высококвалифицированные профессорско-преподавательские силы и поставить работу физико-математического факультета на большую высоту.

В 1933 г. при вечернем институте было открыто дневное отделение, на котором М. К. явился организатором математической специальности и заведующим кафедрой математики. С течением времени Московский городской педагогический институт стал одним из ведущих педагогических вузов, одним из крупнейших центров научно-исследовательской работы в области методики преподавания школьных дисциплин. После введения нескольких кафедр М. К. занял должность заведующего кафедрой алгебры и элементарной математики (в которую входила и методика математики). Эту должность М. К. занимал до конца своей жизни. Трудно переоценить выдающуюся роль Михаила Кузьмича как организатора математической специальности, как первого руководителя кафедрой математики, как руководителя аспирантуры.

Характерной чертой M. К. была широта его интересов, широта его научной и педагогической деятельности, сочетавшаяся с блестящим я организаторскими способностями и с неистощимой энергией. Будучи широко образованным математиком большой эрудиции, М. К. работал в области как теоретической, так и прикладной математики, а также в области методики математики.

М. К. принадлежат свыше 30 печатных работ на различные научные, прикладные и методические темы. Обширному кругу учителей, преподавателей и студентов педагогических и учительских институтов М. К. известен как автор ряда учебников, получивших широкое распространение (курс дифференциальных уравнений, курс математического анализа, учебник арифметики для учительских институтов).

М. К. живо интересовался прикладной математикой. Его труды в этой области были тесно связаны с исследовательской работой Горного института. М. К. далеко продвинул вперед ряд трудных проблем горного дела, в частности задачу о выборе наивыгоднейшего места заложения шахты.

В течение своей многолетней профессорской деятельности М. К. читал самые разнообразные курсы: курс математического анализа, теории чисел, высшей алгебры, элементарной математики, методики математики, общий курс высшей математики (в Горном институте) и пр. М. К. был талантливым педагогом, для него преподавательская деятельность была любимым занятием, которому он с искренним увлечением отдавал лучшие свои силы. Недостаточно сказать, что курсы, которые читал М. К., были всегда глубокими по содержанию, высоко принципиальными, построенными в соответствии с требованиями современной науки—эти курсы были интересными, оригинальными и увлекательными для слушателей.

Будучи врагом всякой рутины, формализма и казенщины, М. К. никогда не был удовлетворен достигнутым. За время своей многолетней педагогической деятельности М. К. много раз приходилось читать одни и те же курсы, но никогда его лекции не были механическим повторением прочитанного в прежние годы. Всякий раз, увлеченный творческим исканием, М. К. вводил в свои курсы что-либо новое. Блестящий лектор, энтузиаст своего любимого дела, смелый и остроумный новатор, М. К. умел увлечь своих слушателей. В этом и лежит причичина того, что М. К. пользовался неизменной любовью учащихся.

В течение своей многолетней преподавательской деятельности М. К. воспитал не одну сотню талантливых учителей, инженеров и научных работников; все они сохранили лучшие воспоминания о своем учителе.

В профессорской деятельности М. К. далеко не ограничивался исполнением прямых обязанностей: чтение лекций, руководство аспирантами, рецензирование диссертаций и пр., он принимал участие в самых разнообразных мероприятиях. Так, в 1947 г. он был избран председателем научного студенческого общества в Городском педагогическом институте, под руководством М. К. активно работали студенческие научные и методические кружки, из участников которых в дальнейшем вырастали научные работники.

Особо важным и интересным мероприятием был математический кружок, организованный М. К. при Московском городском педагогическом институте. В работе этого кружка принимали участие многие научные работники, учителя и методисты Москвы, а также аспиранты и сотрудники института. Многим лицам, окончившим институт, кружок помогал поддерживать взаимную связь, а также связь с институтом. Темы докладов на заседаниях кружка были самые разнообразные, но всегда близкие и актуальные для преподавателей и методистов, составлявших большинство участников кружка. За пять лет работы кружка ряд сообщений был сделан видными московскими профессорами: Н. А. Глаголевым, Н. Ф. Четверухиным, Д. И. Перепелкиным, А. П. Юшкевичем и др. В 1946 г. М. К. организовал методическую секцию кружка. М. К. умело втягивал молодежь в активную работу кружка, воспитывал в ней любовь к самостоятельной творческой деятельности.

Исключительно важной явилась многолетняя плодотворная деятельность М. К. в области народного образования. С начала своей научной и педагогической деятельности М. К. принимал участие в самых разнообразных мероприятиях в области народного образования, как, например, разработка и обсуждение программ, учебных планов, рецензирование выходящих учебников и методических пособий. После смерти профессора Н. А. Глаголева в 1945 г. М. К. возглавил в качестве председателя секцию математики Учебно-методического совета Министерства просвещения РСФСР. С 1946 г. М. К. был председателем ученой комиссии по математике при Главном управлении высших учебных заведений Министерства просвещения.

На этих постах М. К. принимал участие в самых разнообразных важнейших мероприятиях Министерства просвещения, как составление программ и руководящих методических материалов, апробация вновь выходящих учебников и пособий, рассмотрение издательских планов и планов научно-исследовательской работы педагогических и учительских институтов. Активно

участвуя в решении крупных проблем, М. К. никогда не устранялся от текущей повседневной работы, будучи готовым участвовать во всяком полезном деде, вне зависимости от его масштабов.

В своих суждениях М. К. был всегда глубоко принципиален и объективен.

Деятельность М. К., тесно связанная с жизнью средней школы, основывалась на непосредственном общении с учительством. Большое значение для М. К. имела его работа в качестве заведующего кафедрой математики Московского городского педагогического института.

Как уже говорилось, в вечерний педагогический институт пришла многочисленная группа учителей с многолетним стажем практической работы, и руководить их обучением мог лишь тот, кому были близки и понятны нужды учительства. М. К. пользовался всяким случаем, позволявшим установить непосредственное общение со школой. В течение многих лет он читал лекции для учителей и методистов на различные научные и методические темы, выступал на учительских конференциях и на заседаниях методических объединений, читал лекции и руководил семинарами при Московском институте усовершенствования учителей, принимал непосредственное участие в руководстве педагогической практикой студентов. М. К. принадлежит ряд научно-популярных статей, опубликованных в педагогических журналах.

Высокая научная эрудиция и глубокое знание жизни школы и явились тем сочетанием, благодаря которому в последние годы М. К. занял ведущее место среди ученых педагогов-математиков. Живое общение со школой и учительством и было источником того глубокого практического смысла, с которым подходил М. К. к решению принципиально важных вопросов. В этом и заключается источник той уверенности, с которой М. К. поддерживал всякое полезное начинание, и той твердости, с которой он умел противостоять всяким беспочвенным тенденциям в вопросах преподавания.

Плодотворной была деятельность М. К. в тяжелые годы Великой Отечественной войны. В дни вражеского наступления на Москву М. К. принял на себя обязанности директора Горного института, сохранил его ценнейшее оборудование и обеспечил планомерную эвакуацию. На базе оставшегося оборудования М. К. развернул работу на нужды фронта. В дни войны М. К. вел большую работу по организации и налаживанию занятий в Московском городском педагогическом институте и, совместно с профессором Н. А. Глаголевым, — в Московском государственном университете.

Президиумом Верховного Совета СССР М. К. был награжден в 1938 г. орденом Трудового Красного Знамени, а в 1944 г. — медалью «За оборону Москвы». Министерство угольной промышленности СССР и Министерство просвещения РСФСР наградили М. К. званием отличника.

Ко всему сказанному остается прибавить, что М. К. был обаятельным, добрым человеком, стремившимся оказать помощь всем, кто в ней нуждался. К Михаилу Кузьмичу обращались многие лица по самым разнообразным поводам. К нему обращались за советами по текущей работе, за консультацией по диссертационным темам, за советами по вопросам, связанным с научной работой. Не было дня, чтобы М# К. не получал писем из различных городов и мест нашей страны.

При всей напряженности своей большой и многосторонней работы М. К. никогда не отказывал, кто бы к нему ни обращался за помощью или за советом. Трогательную заботу проявлял М. К. по отношению к своим ученикам. Среди студентов и аспирантов М. К. пользовался уважением, как справедливый, требовательный учитель, и искренней любовью, как старший друг, всегда готовый в нужный момент оказать моральную, а в трудных обстоятельствах и материальную помощь. О своих воспитанниках М. К. не переставал заботиться и после того, как они вступали на путь самостоятельной жизни, поддерживал с ними связь, помогал советами в их работе.

Лучшие воспоминания о Михаиле Кузьмиче сохранились у многих лиц, встречавшихся с ним в его многосторонней деятельности. Чуткий и отзывчивый товарищ, остроумный собеседник, всегда жизнерадостный и полный энергии, он обладал замечательным свойством—вселять чувство бодрости в тех, кому приходилось с ним соприкасаться.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

П. С. МОДЕНОВ (Москва)

В ряде доказательств теорем геометрии, при решении задач «на построение» и «на доказательство» в школьном курсе математики применяются следующие методы: «метод симметрии», «метод вращения», «метод переноса», «метод подобия», которые называются «методами преобразований». В настоящей статье я хочу дать определение того, что называется преобразованием, и рассмотреть класс преобразований, называемых аффинными, которые в известном смысле (в каком именно, будет указано ниже) являются простейшими геометрическими преобразованиями. Аффинные преобразования объединяют в себе только что указанные преобразования (симметрия, подобие, перенос, вращение и т. д.) и вместе с тем составляют класс преобразований, из которых можно выделить много таких, которые в руках учащихся средней школы будут весьма сильным инструментом в решении ряда конструктивных задач геометрии.

Переходим к основным определениям: Определение 1. Преобразованием множества всех точек плоскости называется такое соответствие, при котором каждой точке M плоскости ставится в соответствие одна определенная точка М' той же плоскости. Точка M называется прообразом точки М\ а точка М' называется образом точки М. Если точке M соответствует точка М', то мы будем писать:

М-+М'.

Пример 1. Поставим в соответствие точке M плоскости ее проекцию Мг на прямую / (черт. 1).

В этом преобразовании каждая точка M плоскости имеет образ Ж', расположенный на прямой /, каждая точка Мг прямой / имеет бесконечное множество прообразов — это точки прямой, проходящей через точку М' перпендикулярно /. Точки, не лежащие на прямой /, не имеют прообразов.

Черт. 1

Пример 2. Поставим в соответствие каждой точке M плоскости точку Ж', симметричную точке M относительно прямой / (черт. 2).

Черт. 2

В этом преобразовании каждая точка M плоскости имеет образ — точку М\ симметричную точке M относительно прямой /. Каждая точка Р прямой / совпадает со своим образом (Р/). Наконец; каждая точка Мг плоскости имеет прообразом точку уИ, симметричную точке М' относительно прямой /.

Определение 2. Преобразование множества всех точек плоскости называется взаимнооднозначным, если выполнены следующие два условия:

(X) Двум любым разным прообразам соответствуют два разных образа.

(Y) Каждая точка плоскости имеет прообраз*.

В примере 1 преобразование не взаимнооднозначно [не выполняются оба условия и (X) и (Y)].

В примере 2 (симметрия) преобразование, очевидно, взаимнооднозначное, так как выполняются оба условия: и (X) и (Y).

Определение 3. Преобразование множества всех точек плоскости называется коллинеацией, если трем любым точкам-прообразам, лежащим на одной прямой, соответствуют три точки-образы, также лежащие на одной прямой.

В обоих примерах, приведенных выше, преобразования являются коллинеациями.

Определение 4. Аффинным преобразованием множества всех точек плоскости называется взаимнооднозначная коллинеация, т. е. такое взаимнооднозначное преобразование множества всех точек плоскости, при котором три любые точки, лежащие на одной прямой, переходят в три точки, также лежащие на одной прямой.

В примере 1 указано преобразование, не являющееся аффинным, так как хотя оно и коллинеарно, но не взаимнооднозначно.

В примере 2 указано аффинное преобразование, так как симметрия есть преобразование взаимнооднозначное и коллинеарное.

Многие преобразования, рассматриваемые в школьном курсе геометрии, являются аффинными, например: поворот, подобие, и т. д. В самом деле: повернем все точки плоскости вокруг какой-нибудь точки О на один и тот же угол в одном и том же направлении (черт. 3). При этом две любые различные точки Р и Q после поворота перейдут в две различные точки Р/ и Q' (двум любым различным прообразам соответствуют два разных образа). Если мы возьмем любую точку М' на плоскости, то для отыскания ее прообраза надо повернуть отрезок ОМ' вокруг точки О на угол ср, но в противоположном направлении. При этом конец М' отрезка О А/ перейдет в точку AI, являющуюся прообразом А\' (черт. 3) (каждая точка плоскости имеет прообраз!). Наконец, если мы возьмем три любые точки Ру Q, R, лежащие на одной прямой, то после поворота отрезков ОР> OQ, OR вокруг точки О в одном и том же направлении на один и тот же угол эти точки перейдут в точки Р', Q', /?', также лежащие на одной прямой, т. е. любым трем коллинеарным точкам-прообразам соответствуют три коллинеарные точки-образы. Итак, поворот — аффинное преобразование.

Аналогично доказывается, что при преобразовании подобия с центром подобия О двум любым различным точкам Я и Q плоскости соответствуют две разные точки Р' и Q' плоскости (черт. А). Каждая точка Рг плоскости имеет прообраз (если коэфициент подобия равен k, то для отыскания прообраза Р точки Р' надо произвести над точкой Р' подобное преобразование с тем же центром подобия, но с коэфициентом подобия, равным -~ ; тогда точка Pf перейдет в свой прообраз Р).

Черт. 3

Черт. 4

Наконец, при подобном преобразовании трем любым коллинеарным точкам-прообразам соответствуют три коллинеарные точки-образы (черт. 4).

Приведем ряд других аффинных преобразований, обычно не рассматриваемых в школе.

I. Сжатие к оси

Возьмем на плоскости произвольную прямую / (черт. 5). Пусть M — произвольная точка плоскости, не лежащая на прямой /. Поставим ей в соответствие точку M', лежащую на пря-

* Ниже мы будем делать ссылки на эти условия знаками (X) и (У).

мой MPJ_1, расположенную по ту же сторону от прямой /, что и точка Му причем:

где k — положительное число, одно и то же для всех точек M плоскости (на чертеже 5 -4-)-

Если точка M лежит на прямой /, то ей поставим в соответствие эту же точку (черт. 5).

Указанное преобразование называется аффинным сжатием к оси /, или короче: сжатием к оси /,

Ясно, что это преобразование взаимнооднозначно. Нетрудно доказать, что это преобразование является коллинеацией. В самом деле: пусть Mv М2, Мг— три произвольные точки, лежащие на одной прямой (черт. 6). Пусть МхРг±1, МгР2±1, МгРг±_1 и Ми М2, Мг — образы точек Mv М2, Мг\

Черт. 5

Черт. 6

Из этой пропорции следует, что точки M\f М2, Ms также лежат на одной прямой. Итак, сжатие к оси есть аффинное преобразование*.

Если ft = l, то каждая точка плоскости совпадает со своим образом.

Если k > 1, то образ отстоит от прямой / дальше, чем прообраз; в этом случае лучше было бы назвать преобразование растяжением от прямой /; мы, однако, чтобы не вводить новой терминологии, будем и в этом случае называть преобразование «сжатием» к оси (с коэфициентом сжатия k большим единицы).

Итак, если k < 1, то происходит фактическое сжатие к оси, если k=\, то все точки плоскости состаются на месте», если ft>l, то происходит растяжение плоскости от оси /.

Преобразование сжатия вполне задано, если указана ось сжатия (прямая I) и пара соответственных точек M и Мг (не лежащих на оси сжатия). При этом построение образа N' любой точки N плоскости может быть осуществлено чисто геометрически: пусть прямая MN (черт. 7) пересекает прямую / в точке Р; соединяем точку Р с точкой М! и проводим через точку N прямую, параллельную ММ'\ точка ЛР встречи указанных прямых и есть образ точки N (почему?). На чертеже 8 дано построение образа треугольника ABC.

Черт. 7

Черт. 8

В качестве упражнения предлагается построить образ N' точки N в случаях: 1) MN\\l; 2) точка N лежит на прямой ММ'. Постройте также образ окружности в указанном преобразовании (черт. 9) (надо построить образы ряда точек окружности и соединить полученные точки плавной линией; эта линия называется эллипсом). На чертеже 10 дан рисунок и его сжатие к оси.

Можно изготовить прибор, при помощи которого легко наглядно демонстрировать сжатие к оси: перетяните две параллельные

* Другие возможные случаи расположения точек Мь М2, Мг относительно прямой / предлагается рассмотреть читателю.

планки рядом резиновых тесемок (черт. 11). При удалении планки m от неподвижной планки I фигуры, изображенные на тесемках, будут испытывать сжатие (растяжение).

Черт. 9

Преобразование сжатия (приблизительно!) происходит на сетчатке глаза, если мы рассматриваем плоский рисунок под углом к его плоскости. Так, например, если в конце длинного коридора положен ковер прямоугольной формы, то он может казаться нам квадратом или даже сокращенным не в том направлении, в каком это имеет фактически место. Окружности проектируются на сетчатку также сжатыми и кажутся нам эллипсами и т. д.

Попробуйте рассматривать фотографии или рисунки, располагая плоскость рисунка под углом, близким к 90° к поверхности лица; Вы увидите, какое сильное искажение произойдет в зрительном восприятии рисунка.

Сжатие (и растяжение) к оси легко наблюдать на тенях; для этого надо вырезать из картона какую-нибудь фигуру и передвигать источник света по направлению, перпендикулярному к плоскости фигуры, — тень будет вытягиваться, сокращаться и т. д.

Черт. 10

Черт. 11

II. Сдвиг относительно оси

Рассмотрим прямую /. Поставим в соответствие каждой точке уИ, не лежащей на прямой /, точку Мг такую, что ММ || / и MM' = kMP, где МР±_1У причем число к — одно и то же для всех точек плоскости. Иначе говоря: сдвинем каждую точку M плоскости, не лежащую на прямой /, параллельно прямой / на расстояние ММ, пропорциональное расстоянию MP от точки M до прямой /. При этом условимся точки, расположенные по разные стороны от прямой /, сдвигать в противоположных направлениях. Наконец, каждой точке, лежащей на прямой /, поставим в соответствие ту же точку (черт. 12).

Черт. 12

Указанное преобразование называется сдвигом плоскости относительно прямой /. Число £(>0) называется коэфициентом сдвига.

Докажем, что сдвиг есть аффинное преобразование. В самом деле: очевидно, что это преобразование взаимнооднозначное. Оно является коллинеацией. В самом деле: пусть Мг, Ж2, Мъ — три произвольные точки, лежащие на одной прямой, и М\% М2, Жз— их образы при сдвиге относительно прямой / (черт. 13). Из соотношений: МхМ\**кМ<^х%

M2M2 = kM2P2, МгМъ = кМгРъ следует, что точки yVfi, M2t М'ъ также лежат на одной прямой (подробное доказательство предлагается провести читателю). Итак, сдвиг есть аффинное преобразование.

Черт. 13

Сдвиг вполне определен, если задана прямая, относительно которой производится сдвиг, и пара соответственных точек (М и М). Для построения образа N' произвольной точки N поступаем так: пусть Р — точка встречи прямой MN с прямой /; проводим прямую М'Р и прямую,, проходящую через точку N параллельно /; точка Л/' является точкой пересечения указанных прямых (черт. 14).

На чертеже 15 построен образ треугольника при сдвиге.

Черт. 14

Черт. 15

Рекомендуем построить образ окружности при сдвиге (черт. 16).

На чертеже 17 дан рисунок и его образ при сдвиге.

Сдвиг легко осуществить при помощи прибора, который был описан для демонстрации сжатия к оси; надо планку m передвигать параллельно неподвижной планке / (черт. 18).

Черт. 16

Черт. 17

Черт. 18

III. Родство

Можно рассматривать преобразование, полученное в результате последовательного применения сначала сжатия к оси, затем сдвига (или наоборот). Такое преобразование (оно, очевидно, также является аффинным!) иногда называется «родством». На чертеже 19 дан рисунок и его образ в преобразовании «родства»; образ

напоминает тень прообраза; так оно и есть в действительности ; преобразование «родства» легко осуществить на тенях плоской фигуры, изготовленной, скажем, из картона. Родство можно наглядно иллюстрировать на описанном уже приборе с резиновыми тесемками. Это преобразование с успехом может быть использовано в некоторых теоретических вопросах начертательной геометрии (см. например, Глаголев Н. А., Курс начертательной геометрии).

IV. Гиперболический поворот

Рассмотрим две взаимноперпендикулярные прямые / и V (черт. 20). Произведем сжатие плоскости к оси / с коэфициентом сжатия k и одновременно (или после первого сжатия) сожмем плоскость к оси V с коэфициентом сжатия При этом точка M плоскости перейдет в точку М' такую, что площади прямоугольников MPOQ и M'P'OQ' — равны. Это преобразование называется гиперболическим поворотом.

Происхождение этого названия таково: примем прямые / и /' за оси координат. Если х и у — координаты точки М, то координаты х' и у' точки M определяются соотношениями:

Черт. 19

Черт. 20

Отсюда

х/у, = ху.

Поэтому, если точка M лежит на гиперболе

у=-х- или ХУ = С,

то образ ее также лежит на той же гиперболе, так как \'у' = ху. Придавая с всевозможные значения, мы «покроем» плоскость множеством гипербол.

На чертеже 21 показано стрелками перемещение точек на плоскости при гиперболическом повороте; точки как бы «растекаются» в стороны по гиперболическим струям. Точки, лежащие на прямых / и /', остаются соответственно на тех же прямых. Точка О пересечения прямых / и /' при гиперболическом повороте остается на месте (т. е. совпадает со своим образом). Так как гиперболический поворот осуществляется проведением двух сжатий к осям и так как сжатие к оси есть аффинное преобразование, то и гиперболический поворот есть аффинное преобразование. Гиперболический поворот вполне определяется парой неизменяемых прямых (/ и /') и парой соответственных точек (М и М'). Как при этом геометрически построить образ Nr произвольной точки TV плоскости?

На чертеже 22 дан рисунок и его образы при гиперболическом повороте.

Гиперболический поворот обладает рядом свойств, напоминающих обычный поворот на плоскости:

Черт. 21

1) при обычном повороте точки плоскости описывают окружности, при гиперболическом повороте — гиперболы ;

2) при обычном повороте имеется одна неподвижная точка, при гиперболическом повороте на месте остается точка пересечения прямых / и /';

3) при обычном повороте сохраняются площади фигур (скажем, треугольников). Читателю предлагается доказать, что тем же свойством обладает и гиперболический поворот (например, при гиперболическом повороте сохраняется площадь произвольного треугольника).

Гиперболический поворот оказывается связанным с геометрией Лобачевского; об этой связи можно прочитать в статье члена-корреспондента Академии наук СССР Б. Н. Делоне, помещенной в журнале «Математика в школе», 1947, № 6.

V. Эллиптический поворот

Частным случаем эллиптического поворота является обычный поворот. Эллиптический поворот наглядно можно описать так: если рассматривать плоскость под углом и произвести обычный ее поворот вокруг какой-нибудь прямой, к ней перпендикулярной, то на сетчатке глаза произойдет преобразование, называемое эллиптическим поворотом. Эллиптический поворот это, так сказать, обычный поворот, рассматриваемый под углом. Эллиптический поворот можно осуществить и на тени плоской фигуры: пусть С — тень плоской фигуры С. Повернем фигуру С на произвольный угол вокруг произвольной прямой, перпендикулярной к ее плоскости; тогда тень С фигуры С преобразуется, и это преобразование тени есть эллиптический ее поворот.

Перейдем к точному геометрическому определению: рассмотрим прямую / и произвольную точку M плоскости. Сожмем плоскость к прямой / с произвольным коэфициентом сжатия k; пусть точка M перейдет при этом в точку Р. Повернем плоскость вокруг точки О, лежащей на прямой /, на произвольный угол ср. Точка Р при этом перейдет в точку Рг. Наконец сожмем плоскость к прямой / с коэфициентом сжатия —; пусть точка Рг перейдет в М\ Если мы теперь точке M поставим в соответствие точку Ж', то получим преобразование, называемое эллиптическим поворотом (см. черт. 23, k = 2). Так как эллиптический поворот получается последовательным проведением аффинных преобразований, то это преобразование также аффинное. Эллиптический поворот вполне определяется заданием неподвижной точки О и парой соответственных точек. Читателю предлагается продумать, как осуществить при этом задании эллиптического поворота построение образа N' любой точки N плоскости.

На чертеже 24 дан рисунок и его образ при эллиптическом повороте.

Черт. 22

Черт. 23

VI. Параболический поворот

Рассмотрим какую-нибудь параболу С и будем ее переносить так, чтобы параболы, полученные после переноса, имели бы с параболой С общую ось и то же направление вогнутости.

При этом плоскость «покроется» множеством одинаковых (конгруентных) парабол (черт. 25). Возьмем любую точку M на плоскости. Перенесем ее в направлении, перпендикулярном оси параболы, в определенную сторону на определенный отрезок MP = h и через точку Р проведем прямую, параллельную оси параболы. Пусть М' — точка встречи проведенной прямой с той параболой, на которой лежит точка М.

Черт. 24

Черт. 25

Тогда преобразование, при котором точке M ставится в соответствие точка М\ называется параболическим поворотом.

Название это объясняется тем, что в указанном преобразовании точка M не сходит с той параболы, на которой она лежит. На чертеже 25 построены образы М\ N', L'9 S' точек М9 N, L, S при параболическом повороте. При параболическом повороте парабола не просто скользит сама по себе, но еще и деформируется («в себе»). Замечательно, что параболический поворот есть также аффинное преобразование. Взаимная однозначность этого преобразования очевидна, а коллинеарность установить гораздо сложнее, и мы на этом останавливаться не будем. Отметим лишь соображения кинематического характера: будем рассматривать множество парабол, которыми «покрыта» плоскость как множество «струй» жидкости, выброшенной из разных точек одной вертикали с одной и той же начальной скоростью (черт. 26). Тогда за любой промежуток времени перемещение точек струй будет параболическим поворотом. В самом деле: все точки движущейся жидкости за любой промежуток времени пройдут в горизонтальном направлении одно и то же расстояние h и останутся на своих траекториях (к этому их вынудит сила тяжести). Итак, параболический поворот осуществляется автоматически силой тяжести над частицами жидкости, которые выбрасываются из точек одной и той же вертикали с одной и той же начальной скоростью.

Если мы возьмем три частицы жидкости, лежащие на одной прямой, то коллинеарность параболического поворота с кинематической точки зрения заключается в том, что при движении жидкости частицы все время будут оставаться на одной прямой; это является достаточно естественным обстоятельством (но, конечно, эти рассуждения нельзя признать математически строгими). Строгое доказательство можно провести, опираясь на уравнение указанного множества парабол; на этом сейчас мы останавливаться не будем (для проведения доказательства нужны небольшие сведения по аналитической геометрии; доказательство дано во второй части этой статьи).

VII. Гомотетия

Подобное преобразование с центром подобия называется гомотетией. Это преобразование рассматривается в школьном курсе геометрии. Оно, очевидно, является аффинным. Гомотетию

Черт. 26

можно рассматривать, как результат сжатия к двум взаимноперпендикулярным прямым с равными коэфициентами сжатий (черт. 27).

Черт. 27

VIII. Симметрия

Это преобразование также часто применяется в школьном курсе геометрии. Оно является аффинным (черт. 28).

Черт. 28

Указаными примерами далеко не исчерпываются типы различных аффинных преобразований. Можно, например, комбинировать указанные выше преобразования: сначала произвести, например, гиперболический поворот, затем симметрию или провести последовательно параболический поворот, затем сдвиг и затем сжатие к какой-нибудь оси и т. д.

Обыкновенный перенос плоской фигуры в ее плоскости есть, очевидно, аффинное преобразование. Это преобразование от рассматриваемых выше преобразований отличается тем, что в нем сохраняются длины отрезков.

Из рассматриваемых выше преобразований подобным свойством обладала симметрия. В курсах высшей геометрии доказывается, что любое преобразование, в котором сохраняются длины отрезков, есть перенос, соединенный, быть может, с симметрией. Такое преобразование называется также ортогональным. Итак, ортогональное преобразование есть преобразование, в котором сохраняются длины отрезков. Ортогональные преобразования делят на два типа: если в ортогональном преобразовании сохраняются ориентации (скажем, треугольников), т. е. если, например, периметры треугольника-прообраза и треугольника-образа обходятся в одинаковых направлениях, то такое ортогональное преобразование называется переносом, или трансляцией. Если же в ортогональном преобразовании ориентация меняется (симметрия!), то такое преобразование называется ортогональным преобразованием второго рода.

Отметим, без доказательства, что любое аффинное преобразование плоскости можно осуществить, производя два сжатия по двум взаимноперпендикулярным направлениям, а затем ортогональное преобразование. Геометрическую теорию ортогональных преобразований и доказательство упомянутой теоремы читатель сможет найти в интересной книге Делоне Б. Н. и Райков Д. А., Курс аналитической геометрии.

Рассмотрим примеры приложения аффинных преобразований к решению задач по геометрии.

Пример 1. В треугольнике ABC (черт. 29) проведена прямая EF\\ АС. Доказать, что ВО — медиана треугольника, где О — точка встречи прямых ЕС и AF.

Решение. Произведем сдвиг относительно прямой АС такой, чтобы треугольник АВГС был бы равнобедренным (АВ'=СВ'\ Пусть Е' и Fr —образы точек Е и F и О' — точка встречи прямых ЕС и F'А. Ясно, что В'О' — медиана треугольника АВГС.

Черт. 29

Произведем сдвиг в обратную сторону. Точки F\ О', В' перейдут в точки Е, F, О, В; точки А,К,С останутся на месте. Точки

ß,0,/C останутся на одной прямой. Но АК= = КС, и предложение доказано.

Пример 2. На данной прямой р найти точку, сумма расстояний от которой до двух данных точек Fx и F2 равнялась бы данному отрезку А'А.

Решение. Множество точек, сумма расстояний каждой из которых до двух данных точек Fx и Ft равна данному отрезку (на чертеже 30 А'О = OA), есть эллипс с фокусами Z7! и F2, большая полуось которого равна OA. Построим прямоугольный треугольник OBF21 в котором BF2 = OA. Тогда OB — меньшая полуось эллипса. Произведем растяжение плоскости от прямой АА! такое, чтобы точка В перешла бы в точку В', причем OB' = OA. Тогда эллипс перейдет в окружность радиуса OA с центром в точке О, и данная прямая р перейдет в некоторую прямую /?'. Найдем точки Р' и Q' встречи прямой р' с указанной окружностью. Проведем через точки Рг и Q' прямые, параллельные OB; точки Я и Q встречи указанных прямых с прямой р — искомые.

Мы ограничимся этими двумя примерами.

Отметим еще, что «штейнеровские построения», которыми еще иногда занимаются в школе (в кружках по математике), полезнее было бы заменить задачами аффинной геометрии, т. е. задачами, где в конструктивном построении разрешается проводить прямые через две точки, через данную точку проводить прямую, параллельную данной прямой, и делить отрезок в данном отношении (ниже будет доказано, что подобное построение не нарушается при любом аффинном преобразовании и будет разъяснен смысл этого утверждения). В качестве упражнения приведу задачу.

Задача. Дан параллелограм ABCD, на прямой ЕК II AD найти точку S такую, чтобы площади параллелограмов ABCD и AESF были бы равны (разрешается проводить прямую через пару точек и прямую через данную точку параллельно данной прямой) (черт. 31).

Черт. 30

Все изложенное выше можно разделить на две части: одна часть состоит из четырех определений, вторая часть иллюстрирует примерами понятие аффинного преобразования.

Черт. 31

Четыре определения, данные выше, позволяют построить чисто геометрически теорию аффинных преобразований. Эта теория достаточно трудна, но для ее понимания не требуется больших знаний по геометрии. Если познакомить учащихся (скажем, на занятиях в школьных кружках) с теми методами доказательств, которые применяются ниже, то это, на наш взгляд, окажет большое влияние на повышение уровня математической культуры учащихся, так как, с одной стороны, теоретико-множественные методы почти отсутствуют в школьных курсах (они трудны, абстрактны), а, с другой стороны, в современной геометрии эти методы имеют большое значение. Для понимания части текста ниже от читателя потребуется знакомство с понятием координат точки на плоскости*.

* Теория, излагаемая ниже, написана мной под влиянием лекций чл.-кор. Академии наук СССР Б. Н. Делоне. Интересующихся затронутыми вопросами отсылаем к учебнику по аналитической геометрии того же автора. Следует отметить, что многие на практике (в преподавании) отказываются от того «экономического» определения аффинного преобразования, которое дано здесь, и добавляют к определению то, что может быть доказано, или опускают доказательства. Так или иначе, в большинстве курсов теорема Дарбу (см. ниже) опускается. Некоторые авторы прямо определяют аффинное преобразование, как преобразование линейное в координатах. При преподавании в вузе это оправдывается тем обилием фактов, которые преподаватель должен сообщить учащимся, и построение в этом вопросе тонкого логического фундамента является своего рода роскошью. Мне кажется, что изучение затронутых вопросов в школьном кружке по математике является вполне подходящим (хотя и несомненно очень трудным). Разработка затронутой темы могла бы служить предметом нескольких занятий школьного кружка и принесла бы очен большую пользу учащимся. (Отмеченная выше книга может служить пособием и для школьника: в ней содержится чисто геометрическая теория аффинных и ортогональных преобразований, и чтение этих разделов не потребует от читателя специальной подготовки.)

Теоремы о взаимнооднозначных преобразованиях

Мы будем обозначать в дальнейшем преобразования буквами Л, В, Су...

Теорема 1. Пусть А — любое взаимнооднозначное преобразование плоскости (не обязательно аффинное), М'—любая точка плоскости, a M — ее прообраз в преобразовании А; тогда соответствие M' —+М является преобразованием; оно называется преобразованием обратным для А и обозначается так: Л““1. Преобразование Л““1 взаимнооднозначно.

Доказательство. Любая точка М' плоскости имеет прообраз [условие (Y)] и притом только один [условие (X)]; если бы мы предположили, что точка М' имеет два различных прообраза Ж и Я, то мы пришли бы в противоречие с условием (X).

Черт. 32

Итак, соответствие M M есть преобразование. Остается доказать, что это преобразование Л“1 взаимнооднозначно, т. е. что двум любым различным точкам М' и N' соответствуют в преобразовании А два различных прообраза A4 и N и что каждая точка M плоскости имеет образ AV (в преобразовании А). Второе положение совершенно очевидно (ведь А — преобразование); докажем первый пункт, т. е. докажем, что если М' ф TV'*, то M ф N (A4 и N — соответственно прообразы точек M и N' в преобразовании А). Предположим, что точки A4 и N совпадают; тогда будут совпадать и их образы M' и IST в преобразовании А (противоречие!). Теорема доказана.

Определение 5. Рассмотрим два произвольных преобразования А и В плоскости (не обязательно взаимнооднозначные). Возьмем любую точку M плоскости. Пусть М' — ее образ в преобразовании В, а М“ — образ точки A4' в преобразовании А. Тогда преобразование М—*А4“ называется произведением преобразования А на преобразование В и обозначается так: AB. Отметим, что, вообще говоря, AB ф В А (т. е. AB и В А — разные преобразования).

Пример. Пусть А есть зеркальное отражение в прямой /, а В — перенос точек плоскости в направлении отрезка PQ на длину этого отрезка. Если мы возьмем любую точку A4 плоскости и произведем указанный перенос, а затем зеркальное отражение от прямой /, то точка M перейдет в точку М“\ соответствие A4 —>А4“ есть преобразование AB. Произведем теперь преобразования А и В в обратном порядке. Точка M перейдет в точку Р“. Соответствие М—+Р“ есть преобразование В А; точки M ' и Р“ различны, значит различны преобразования AB и ВА. На чертеже 32 дан рисунок и его образы в произведениях AB и ВА указанных преобразований.

Предлагаем читателю доказать теорему:

Теорема 2. Произведение взаимнооднозначных преобразований есть преобразование взаимнооднозначное.

Определение 6. Преобразование А4—+М, т. е. преобразование, при котором каждая точка плоскости совпадает со своим образом, называется единичным преобразованием. Мы будем обозначать единичное преобразование буквой Е. Очевидно:

АЕ = ЕА = АУ

где А — любое преобразование и АА-* = А-1А = Е,

где Л — любое взаимнооднозначное преобразование.

* Запись М' ф N' означает, что точки М' и N' — различны.

Теперь мы переходим к одному из важных понятий в геометрии — к понятию группы преобразований (плоскости).

Рассмотрим какое-нибудь множество:

0(Л, Я, С,...),

составленное из взаимнооднозначных преобразований Л, В, С,... плоскости.

Определение 7. Множество G называется группой преобразований плоскости, если выполнены следующие два условия:

1°. Если А и В — два любых преобразования, входящие в множество G, то их произведение AB также входит в G {условие замкнутости).

2°. Если А — любое преобразование, входящее в множество G, то преобразование Л““1 также входит в множество G.

Предлагаем читателю доказать две следующие теоремы:

Теорема 3. Если G — группа преобразований, то в нее входит единичное преобразование.

Теорема 4. Множество всех взаимнооднозначных преобразований плоскости образует группу.

Вернемся опять к теории аффинных преобразований.

Теорема 5. Множество всех аффинных преобразований плоскости образует группу.

Доказательство. Пусть А и В—два любых аффинных преобразования плоскости, т. е. две взаимнооднозначные коллинеации. Тогда AB — взаимнооднозначное преобразование (теорема 2) и коллинеация (почему?). Остается доказать, что преобразование Л-*1, обратное аффинному,— также аффинное. Будем вести доказательство от противного: пусть найдутся три коллинеарные* точки Р', Q', /?', прообразы которых Р, Q и R (в преобразовании А) — неколлинеарны (черт. 33). Пусть M — любая точка плоскости. Предположим, что прямые MQ и PR пересекаются в точке S (в противном случае мы рассмотрели бы прямые QR и РМ или PQ и MR). Тогда образ S' точки .S упадет на прямую P'R' (почему?), а образ Мг точки M — на прямую Q'S' (почему?), т. е. образ М' точки M лежит на прямой P'Q'S'. Мы пришли к противоречию, которое заключается в том, что образы всех точек плоскости расположены на одной прямой; значит, точки плоскости, не лежащие на этой прямой, не имеют прообразов, т. е. А не есть взаимнооднозначное преобразование.

Следствие. Три любые неколлинеарные точки Р, Q, R в любом аффинном преобразовании имеют неколлинеарные образы.

Черт. 33

Теорема 6. Пусть X — любая прямая плоскости, А — любое аффинное преобразование плоскости; тогда существует на плоскости такая прямая X', что аффинное преобразование А отображает взаимнооднозначно* множество всех точек прямой X на множестве всех точек прямой У.

Прямая X называется прообразом прямой X', а прямая X' называется образом прямой X.

Эту теорему иногда коротко формулируют так: при любом аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.

Доказательство. Возьмем на прямой X две любые различные точки Р и Q. Пусть Р' и Q' —- их образы в аффинном преобразовании А. Рассмотрим прямую P'Q'\ обозначим ее через X'. Тогда: 1) каждой точке R прямой X соответствует в преобразовании А одна и только одна точка R' прямой X'; 2) двум любым различным точкам прямой X соответствуют в преобразовании А две различные точки прямой X' (почему?); 3) прообраз R любой точки R' прямой X' лежит на прямой X, так как преоб-

* Точки называются коллинеарными, если существует прямая, на которой все они расположены.

* Мы говорим, что множество всех точек прямой X отображается на множестве всех точек прямой А', если каждой точке M прямой X соответствует одна и только одна точка М' прямой У. Точка M называется прообразом точки М\ а точка М'— образом точки М. Отображение называется взаимнооднозначным, если: 1) двум любым разным прообразам соответствуют два разных образа и 2) каждая точка (прямой V) имеет прообраз. Аналогично определяются понятия отображения плоскости на плоскость (и понятие взаимнооднозначного отображения плоскости на плоскость). Таким образом, принципиальное отличие преобразования от отображения заключается в том, что первое понятие относится к одному множеству, а второе — к двум множествам. Отметим, что эта разница делает невозможным перенести на отображения некоторые понятия, связанные с понятием преобразований; так, например, не имеет смысла говорить об единичном отображении и т. д.

разование, обратное аффинному, — также аффинное (теорема 5), Теорема доказана.

Теорема 7. Если прямые X и |х параллельны, то их образы X' и в любом аффинном преобразовании А также параллельны.

Доказательство. Если бы прямые X' и р/ имели бы общую точку М', то ее прообраз M лежал бы и на прямой X и на прямой м, т. е. точка Ai' имела бы в аффинном преобразовании А два различных прообраза (противоречие!). Теорема доказана.

Теорема 8. Если прямые X и ja пересекаются в точке М, то их образы X' и \/f также пересекаются, и точка М! их пересеченая является образом точки M в рассматриваемом аффинном преобразовании.

Доказательство этой теоремы предлагается провести читателю.

Теорема 9. Пусть R—середина отрезка PQ; Я7, Q', R' —образы точек Р, Q, R в любом аффинном преобразовании А. Тогда R' — середина отрезка P'Q',

Эту теорему иногда коротко формулируют гак: при аффинном преобразовании середина отрезка переходит в середину отрезка.

Черт. 34

Доказательство. Проведем через точки Р и Q две пары параллельных прямых: X, ц и а, ß (черт. 34). Указанная на чертеже 34 конфигурация перейдет на основании доказанных выше теорем в конфигурацию того же типа, а именно: параллельные прямые X, р. и а, ß перейдут в параллельные, пересекающиеся прямые перейдут в пересекающиеся, точки Я, Q, 5, Т пересечения пар прямых (ß, ja), (X, а), (р., а), (X, ßj перейдут в точки Р', Q', S', V пересечения пар прямых (ß', ji/), (X', а'), (рЛ а')> (*Л ß') и т. д., и таким образом, точка R пересечения диагоналей PQ и S Г параллелограма PSQT перейдет в точку R' пересечения диагоналей P'Q'n S'T' параллелограма P'S'Q'T', т. е. R' — середина отрезка P'Q'.

Следствие. Если любой отрезок PQ разделить на п равных частей:

PDX =DXD2 = D2D, = ... = D^Q,

то

P'D[ = DDi = DiDs- .. .=Dn-i(r,

где Я', D,', D'2, D*,..., Q' — образы точек Я, Du D2, D3,.. Q в аффинном преобразовании A.

Доказательство. Предположим, что соотношения P'D[ = DXD2= ... где-нибудь нарушены, например d'iD'2 ф D2D3, тогда в силу D102 = o2Ds приходим в противоречие с только что доказанной теоремой.

Теорема 10 (Дарбу). Пусть PQ — произвольный отрезок плоскости и H—любая точка, лежащая на продолжении отрезка PQ (либо за точку Р, либо за точку Q); пусть А—любое аффинное преобразование плоскости, а Р', Q', И'—соответственно образы точек Р, Q и И в аффинном преобразовании А. Тогда точка И' лежит на продолжении отрезка P'Q' (за точку Р' или за точку Q').

Замечание. Коротко эту теорему формулируют так: при аффинном преобразовании внешняя точка отрезка переходит во внешнюю.

Мы не будем приводить доказательства этой теоремы. Оно достаточно сложно. Интересующихся отсылаем к указанному выше курсу. Отметим только, что предыдущими теоремами подготовлено доказательство этой теоремы. Я приведу идею доказательства, а вместе с тем поставлю перед читателем две интересные (но трудные) задачи по геометрии.

Возьмем точку О, не лежащую на прямой PQ, и выполним следующее построение:

OQ = OQv PS^-SD, OZ, i| ЯД LH = HM

(черт. 35), где D — любая точка прямой OQ, отличная от точек О, Q и Qv Построенную конфигурацию будем называть конфигурацией Дарбу. Идея доказательства теоремы Дарбу заключается в следующем:

I. Надо доказать, что при любом выборе точки D (лишь бы точка D не совпадала ни с одной из точек О, Q или Qj) точка H есть внешняя точка отрезка.

II. Если мы выберем любую внешнюю точку H для отрезка PQ, то всегда можно найти на прямой OQ точку D (не совпадающую с О, Q и Qj) такую, что если выполнить построение

чертежа 35, то мы придем к выбранной нами точке Н.

Иначе говоря: если точка D описывает прямую OQ, «пропуская» точки О, Q и Qv то точка H «проходит» через все внешние точки отрезка PQ.

Если решить эти две задачи (их мы и предлагаем читателю), то доказательство теоремы Дарбу проводится очень просто: возьмем произвольный отрезок PQ и любую точку Я, лежащую на его продолжении (за точку Р или за точку Q). Эту точку на основании II можно связать с точками Р и Q конфигурацией Дарбу (черт. 35). Производя любое аффинное преобразование, нетрудно видеть, что конфигурация Дарбу перейдет в конфигурацию Дарбу, так как в конфигурации Дарбу участвуют только такие понятия, как: точка, прямая, пересекающиеся прямые, параллельные прямые, середина отрезка, т. е. понятия, которые при аффинном преобразовании сохраняются. Таким образом, после аффинного преобразования точка Н' будет связана с точками Р' и Q' конфигурацией Дарбу и, значит, на основании I точка Н' будет внешней точкой отрезка P'Q'.

Следствие. Если H — любая точка, лежащая на отрезке PQ между точками Р и Q, а Р', Q', Н' — соответственно образы точек Р, Q и И в любом аффинном преобразовании А, то точка Н' лежит на отрезке P'Q между точками Р' и Q' (коротко это положение формулируется так: при аффинном преобразовании внутренняя точка отрезка переходит во внутреннюю).

Следствие это легко доказывается от противного; доказательство предоставляется читателю.

Теорема 11. Рассмотрим три попарно различные точки Мг, М, М2, лежащие на одной прямой. Пусть точка M лежит между точками Мх и М2 и пусть М\ M', М2 — образы точек Мъ М, М2 в любом аффинном преобразовании Л; тогда

Черт. 36

Коротко эту теорему формулируют так: отношение, в котором точка M делит отрезок МгМ2, сохраняется при любом аффинном преобразовании.

Доказательство. Допустим, что

Возьмем на отрезке М1М2 точку Q' такую, что

точки М' и Q', очевидно, различны (черт. 36). Разделим отрезок МхМ'ч на п равных частей и выберем п столь большим, чтобы хотя бы одна точка S' деления попала бы между точками Q и М'. Тогда прообраз 5 точки S' лежит между точками Мг и M (почему?), а кроме того

Черт. 36

(почему?);

с другой стороны:

(почему?);

(почему?),

и мы пришли к противоречию.

Теперь мы сформулируем ряд определений, имеющих общее значение в геометрии, а затем снова перейдем к аффинным преобразованиям.

Рассмотрим любое преобразование плоскости (не обязательно аффинное и не обязательно взаимнооднозначное).

Пусть Al' — образ M в этом преобразовании.

Определение 8. Будем называть г-окрестностью точки M плоскости (г^>0)множество всех точек плоскости, расположенных внутри окружности радиуса г с центром в точке Al.

Определение 9. Преобразование плоскости называется локально непрерывным в точке Al, если, какова бы ни была окрестность образа Al' точки Al, найдется такая ^-окрестность прообраза M точки М', любая точка которой отобразится внутрь ^.-окрестности точки Al' (черт. 37).

Черт. 37

Определение 10. Если преобразование плоскости локально непрерывно во всех точках плоскости, то оно называется тотально непрерывным.

Аналогично определяется понятие локальной и тотальной непрерывности отображения одной плоскости на другую и определение непрерывности преобразования прямой и, наконец, непрерывность отображения одной прямой на другую.

Черт. 38

Для того чтобы лучше понять данное определение непрерывности преобразования и отображения (плоскости на плоскость или прямой на прямую), полезно рассмотреть случаи разрывного преобразования: представьте себе плоскость как лист, который подвергается разрыву (в буквальном смысле), после чего в соответствие точкам начальной плоскости ставятся те точки новой плоскости, в которые они перейдут после разрыва (черт. 38). Пусть М' — точка, лежащая на краю разрыва, а AI — ее прообраз (лежащий на линии разрыва). Ясно, что если мы возьмем любую о-окрестность точки М, то она также разорвется на два куска (части разорванной плоскости), и, значит, можно указать такую 6-окрестность точки Al', что в нее не попадет целиком образ 5-окрестности точки Aîr как бы мало о ни было — всегда часть образа 8-окрестности попадет вне е-окрестности точки Al'.

Теорема 12 (о непрерывности аффинного преобразования). Любое аффинное преобразование плоскости тотально непрерывно.

Доказательство. Предварительно отметим,что если PQR — любой треугольник, S—любая точка, лежащая внутри этого треугольника, Pf, Q',R' и S'— соответственно образы точек.

Я, Q, R, S в любом аффинном преобразовании А, то точка S' — внутренняя точка треугольника P'Q'R1. В самом деле: пусть S — любая внутренняя точка для треугольника PQR. Пусть L— точка встречи прямых PR и QS. Так как точка L лежит между точками Р и Я, то образ LI точки L лежит между образами Р' и R' точек Р и R. Так как точка S лежит между точками L и Q, то образ 5' точки S лежит между точками L' и Q'. Итак, точка 5' лежит между точками L и Q', где II — точка, лежащая между Рг и R', значит S' лежит внутри треугольника P'Q'R' (черт. 39).

Пусть теперь M—любая точка плоскости, a Ai' — ее образ в любом аффинном преобразовании А. Возьмем любую е-окрестность точки Al' (черт. 40) и поместим в нее треугольник P'Q'R' такой, чтобы точка Ai' лежала бы внутри него. Пусть Я, Q, R — соответственно прообразы точек Я7, Q', R' в рассматриваемом аффинном преобразовании А. Тогда любая ô-окрестность точки Al, умещающаяся целиком внутри треугольника PQR, отобразится внутрь

Черт. 39

Черт. 40

выбранной е-окрестности точки М'. Теорема дсказана.

Отметим без доказательства следующие две теоремы:

Теорема 13. Всякое аффинное преобразование в декартовой системе координат определяется линейными соотношениями:

где

здесь х1уу — координаты прообраза, а^и у' — координаты образа.

Теорема 14 (обратная). Если по отношению к любой декартовой системе координат заданы линейные соотношения:

где

то этими соотношениями определяется аффинное преобразование (если л:, у считать координатами прообраза, а л:' и у' — координатами образа).

Доказательства этих теорем читатель найдет в указанном выше учебнике Делоне Б. Н. и Райкова Д. А.

Черт. 41

Мы применим сейчас вторую из теорем для доказательства того, что рассмотренные выше преобразования (сдвиг, сжатие и т. д.) — аффинные.

Пример 1. Аффинное сжатие к оси в координатах (черт. 41) определится соотношениями:

эти соотношения линейны, и детерминант преобразования отличен от нуля

значит, указанными формулами на основании теоремы 14 определяется аффинное преобразование. Итак: сжатие к оси есть аффинное преобразование.

Пример 2. Аффинный сдвиг вдоль оси Ох в координатах определится соотношениями (черт. 42):

Черт. 42

здесь

мы имеем аффинное преобразование.

Пример 3. Гомотетия в координатах (черт. 43) определяется соотношениями:

Черт. 43

здесь

следовательно, гомотетия есть аффинное преобразование.

Пример 4. Гиперболический поворот в координатах также определяется линейными соотношениями (черт. 44):

Черт. 44

с детерминантом

отличным от нуля. Значит, на основании той же теоремы 14 гиперболический поворот есть аффинное преобразование.

Пример 5. Докажем, что эллиптический поворот есть аффинное преобразование. Из чертежа 45 находим: M (л:, у)-* m fx, А- у )

Таким образом, эллиптический поворот в координатах определяется линейными соотношениями:

Детерминант этого преобразования равен 1:

значит, эллиптический поворот есть аффинное преобразование.

Пример 6. Докажем, что параболический поворот— аффинное преобразование. Пусть у=ахг -f- с — семейство парабол (с — параметр, а — фиксированное число). Точке М(х, у) мы ставим в соответствие точку М' (х\ У), где x? = x-\-h (черт. 46). Найдем ординату /\

Черт. 45

Итак, параболический поворот в координатах определяется линейными соотношениями:

с детерминантом:

отличным от нуля. Значит, параболический поворот — аффинное преобразование.

Черт. 46

В заключение статьи мне хотелось бы затронуть вопрос, выходящий из рамок возможного приложения к аффинным преобразованиям и имеющий, на мой взгляд, большое значение в преподавании.

Иллюстрация аффинных преобразований чертежом носит статический характер. Между тем каждую геометрическую фигуру, рисунок и т. д. в каком-либо аффинном преобразовании,

например при сдвиге, можно рассматривать как функцию коэфициента сдвига. В известном смысле эта функция непрерывна, а ее отдельными «значениями» будут также рисунки, получающиеся из начального при различных значениях коэфициента сдвига. Естественно поставить вопрос о том, как иллюстрировать эту «функцию» динамически? В тексте предложены реализации при помощи прибора (черт. 18) или теней. Однако не для любого аффинного преобразования возможна подобная реализация. Например, гиперболический поворот осуществить указанным образом уже труднее. Студенты МГУ физфака, с которыми я занимался аффинными преобразованиями, предлагали много самых разнообразных (иногда весьма остроумных!) приборов, осуществляющих гиперболический поворот. Трудности резко возрастают, если мы переходим к изучению проективных преобразований и различных частных случаев (гомология, инволюция, движение в плоскости Лобачевского и т. д.) и уже совсем непреодолимы при переходе в пространство. И вот здесь на помощь могло бы прийти кино. В качестве первого опыта можно было бы изготовить короткие кадры, изображающие динамику тех или иных аффинных преобразований (или проективных). Не исключена, мне кажется, возможность создания и художественно-научных фильмов, в которых можно было бы, помимо иллюстраций, дать и фактические сведения. В качестве возможных тем можно указать хотя бы только что затронутую в настоящей статье. Я читал недавно рассказ, написанный ленинградским математиком Вольбергом, о том, каким бы казался нам мир, если утрировать предположения, выдвигаемые при построении теории относительности. Интересно было бы с этой же точки зрения рассмотреть, скажем, плоскость Н. И. Лобачевского. Задача о внедрении кино в математику безусловно очень сложна. Здесь нужны, с одной стороны, лица, хорошо знакомые с фактической стороной дела, а с другой стороны, те, кто сумеет облечь это в художественную и занимательную форму. Но я убежден, что подобные фильмы вызовут огромный интерес у широкой аудитории, интересующейся предметом. Даже нехитрые рисунки зайцев, птиц и т. д. и их образов в аффинных преобразованиях оживляют преподавание. Думается, что и в других отделах математики найдется материал для подобных фильмов*.

* Иллюстрации к настоящей статье выполнены Н. А. Меделяновский.

ОТ РЕДАКЦИИ

1. До сих пор в редакцию поступают многочисленные решения задач, оформление которых нарушает правила, неоднократно публиковавшиеся в журнале. Это крайне затрудняет их проверку и своевременное внесение в итоговую сводку. Редакция еще раз обращается с просьбой соблюдать следующие травила:

а) писать решения четко и разборчиво;

б) ни в коем случае не писать на одном листе решения задач из разных №№ журнала;

в) всякого рода вопросы к редакции посылать отдельно от решений.

2. Редакция еще раз доводит до сведения читателей, что она не может принимать на себя выполнение многочисленных просьб и поручений по приобретению и высылке каких бы то ни было книг.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

О ПЕДАГОГИЧЕСКОМ НАСЛЕДИИ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО

В. М. НАГАЕВА (Москва)

«Во всяком преподавании должны быть цель и суждение на твердых началах»

Лобачевский

Настоящий обзор составлен по материалам новых архивных документов, связанных с именем Лобачевского и обнаруженных лишь в самое последнее время. Этими документами являются:

1) «Наставления учителям математики в гимназиях», рукопись, принадлежащая перу Лобачевского (ЦГА ТАССР, арх. 5612, оп. 1, ф. 977, лл. 9-14, 1830 г.).

2) Письма Лобачевского к директорам учебных заведений Казанского учебного округа, написанные им в период его попечительства и содержащие указания по вопросам преподавания различных дисциплин в средней школе.

3) Письмо Лобачевского к попечителю Казанского округа Мусину-Пушкину (ЦГА ТАССР, арх. 5186, оп. 1, ф. 92, лл. 34—35, 1841 г.).

Все указанные материалы дают возможность судить о принципиальных точках зрения Н. И. Лобачевского на вопросы обучения и о том значении, которое должно занять на страницах истории нашей педагогики имя великого русского ученого.

Ряд документов, обнаруженных автором этого обзора за последние несколько месяцев, указывает на то, что влияние гения Лобачевского шире круга чисто математических и связанных с ними философских проблем. Эти материалы говорят о том, что, владея определенной системой педагогических идей, основанных на его наунчых воззрениях, и занимаясь широкой научно-педагогической деятельностью, Лобачевский не мог не оказать влияния на ход развития нашей педагогической мысли. Научно-педагогическая деятельность Лобачевского протекала в первой половине XIX в. и в значительной части в тот период, когда по уставу учебных заведений 1804 г. основная роль в организации и руководстве делом народного образования принадлежала университетам. С самого начала своей университетской деятельности Лобачевский принимает непосредственное участие в жизни Казанского учебного округа, будучи (последовательно) членом училищного комитета, ректором университета, попечителем Казанского учебного округа и, наконец, помощником попечителя его. Как профессор университета, Лобачевский руководит занятиями в высшем математическом классе Казанской гимназии, составляет и на практике проверяет свои учебники. В 1830 г. Лобачевский по поручению попечителя округа пишет «Наставления учителям математики в гимназиях», где он излагает свои взгляды на преподавание. В период с 1835 по 1840 г, он посещает Нижегородскую, Пензенскую, Симбирскую и Казанскую гимназии, а также ряд уездных и приходских училищ в тех же губерниях. В 1841 г. в письме к Мусину-Пушкину Лобачевский излагает ряд интересных мыслей о преподавании в средней школе. В 1845 г. он назначается попечителем Казанского учебного округа, а с 1846 г. по 1855 г. состоит в должности помощника попечителя того же округа. За первое трехлетие деятельности в попечительстве Лобачевским написаны в адрес директоров учебных заведений десятки писем, содержащих ценные дидактические и методические указания.

В блестящей плеяде русских мыслителей XIX в. Лобачевский является наиболее ранним представителем материалистических тенденций в русской педагогике. Сравнительное сопоставление научного и педагогического наследия Лобачевского показывает, что формирование его педагогических взглядов шло под непосредственным влиянием научных воззрений. Влияние это прежде всего сказалось в материалистическом подходе Лобачевского к решению педагогических проблем. Наибольший интерес представляют его воззрения на процесс обучения, связанные с его гносеологическими взглядами.

Существенным моментом в оценке педагогического наследства Лобачевского может служить сопоставление его идей со взглядами современных ему представлений западноевропейской педагогической мысли, развитие которой шло на идеалистической основе, под значительным влиянием философских идей Канта и Фихте. Идее кантовского априоризма Лобачевский противопоставляет материалистическое понимание процесса познания. Не врожденные идеи, а «понятия, которые мы получаем в природе прямо чувствами», составляют основу математического знания (из «Наставлений»). Приступая к «Наставлениям», Лобачевский прежде всего подчеркивает отвлеченность математических знаний на том уровне развития, до которого они доведены: «Обширность науки даже в первых ее началах, которые должны составить гимназическое учение, уже такова, что может быть обнимаема только в общих правилах». Отвлеченное мышление, развитие которого и составляет формальную цель математического образования, по мнению Лобачевского, необходимо в процессе овладения этими знаниями, так как, «чтобы прийти к сим правилам, надобно частные и раздельные представления о мере и числе соединить в одно, и с такими-то сложными и отвлеченными понятиями рассуждать о всяком предмете и счете» (там же). Но не развитие отвлеченного мышления является у Лобачевского самоцелью в математическом обучении, а «умение применять общие правила ко всякому случаю», что необходимо предполагает «твердое познание их и сверх того навык» (там же).

Таким образом, содержание знаний, а не средства к достижению их, материальная, а не формальная цель выступает у Лобачевского в роли примата в процессе обучения. Свою систему математического обучения Лобачевский строит на основе материалистического понимания роли чувственного восприятия в процессе познания. Так, при обучении арифметике детей младшего возраста необходимо иметь в виду, что «все должно быть у ученика под пальцами м перед глазами». Здесь надобно, чтобы «чувства заменяли суждение и чтобы от этих непосредственных впечатлений сам собой перешел к тому кругу отвлеченных понятий, где ум начинает уже свои действия» («Наставления»). Поэтому на данной ступени обучения «напрасно было бы заботиться об определениях, присоединять пояснения правил» (там же). При обучении «арифметическому счету с десятичными и обыкновенными дробями присоединяются толкования, которые не дают доказательств строго, но дают чувствовать причины» (там же). В этих «толкованиях и пояснениях» пока еще очень большое место занимают конкретные представления ребенка, вследствие того, что «даже первые наши суждения о предметах, составляющих сии (т. е. первые. В. И.) понятия, заключаются более в чувствах по навыку, нежели в действиях ума, когда он под общим видом обнимает все возможные случаи». Отсюда следует, что процесс образования понятий у детей, по воззрениям Лобачевского, не совершается изолированно от представлений и восприятий. Своими пояснениями и «толкованиями» учитель, не выводя школьника из круга его конкретных представлений, способствует образованию у него новых, более сложных понятий. В письме к директору Пензенского дворянского института (ЦГА ТАССР, арх. 5620, оп. 1, ф. 92, л. 171, 1845 г.) Лобачевский пишет о том, что «теория значит суждение в общем виде, следовательно, всегда отвлеченное, к которому ученик, начиная арифметику, совсем не способен». Покуда ученик учится на числах, до тех пор он нуждается в одних объяснениях, прямо на каждый случай. «Математическая теория начинается не прежде, как с алгебры». То же самое он подчеркивает и в «Наставлениях»: «Только с алгеброй начинается строгое математическое учение, которое возвращается также к первым правилам арифметики, и утверждается верность их строгим суждением, выражаясь всегда буквами и знаками». Таким образом, на этой ступени обучения ученик способен уже осмысливать и пополнять свои арифметические знания с точки зрения некоторых общих математических закономерностей. На тех же принципиальных основах строится Лобачевским и его система преподавания геометрии. Так как трудности геометрического учения заключаются в первых понятиях о геометрических величинах, «...то при вступлении в геометрию надобно довольствоваться теми понятиями, которые получали о них прямо помощью чувств без всяких дальнейших исследований и постороннего пособия. Эти понятия просты, и на них основанные истины ощутительны». Лобачевский справедливо считает, что совершенное с научной точки зрения

изложение не всегда уместно из чисто педагогических соображений. Поэтому, хотя в понятиях, о которых шла речь, и € замечается некоторая темнота и неопределенность, но совершенная строгость могла бы вовлечь в исследования, которые были бы не у места в гимназическом учении >.

Материалистическое понимание роли чувственного восприятия вкладывает принципиально иное содержание и в понятие принципа наглядности, отличное от того, которое присуще идеалистической педагогике. В последней наглядность в процессе обучения есть такой способ, который призван доводить до ясного осознания представления, находящиеся в душе еще прежде сознания их опытом. Такая точка зрения сообщает опыту пассивно-созерцательный характер. У Лобачевского принцип наглядности приобретает глубоко действенный характер, так как для него приматом является сам предмет, а не его представление в сознании. При обучении арифметике применение способов наглядного преподавания, но мнению Лобачевского, не может быть ограничено областью изучения целых чисел; оно весьма важно и в учении о дробях. Самый переход от понятия целого числа к понятию дроби должен быть естественным и сопровождаться применением наглядных приемов. В письме к директору Пензенского дворянского института (арх. 5620, оп. 1, ф. 92, л. 171, 1845 г.) Лобачевский указывает, что «учение об именованных числах должно предшествовать учению о дробях и что самое понятие о значении дробей может утверждаться применением их к именованным числам, когда раздробим единицу». Кроме того, «в учении дробей можно для наглядности прибегать к черчению, показывая разделение целого на линиях и площадях. Лучше, по-моему,—продолжает он,—когда за арифметикой следует начало геометрии, как такой части, которая по своей ощутительности в истинах с пособием чертежей легко приспособляется к понятию первого возраста» (из письма к Мусину-Пушкину). Мы со своей стороны не можем не отметить всей ценности рекомендуемого Лобачевским введения элементов геометрии в учение о дробях; помогая лучшему пониманию и усвоению понятия дроби, это способствует одновременно накоплению предварительных геометрических представлений и развитию пространственного воображения, облегчая в дальнейшем занятия собственно геометрией. Развитие отвлеченного мышления, как справедливо полагает Лобачевский, есть процесс постепенный, совершающийся на различных ступенях обучения. Необходимым условием успешности этого процесса является сознательное усвоение учебного материала. «Способность составлять отвлеченные понятия, которые позволяют множество различных предметов соединять в одном представлении, приобретается постепенно для развития ума, а в постепенном развитии понятий и в умении не допускать, чтобы одно изучение на память общих правил и механическое исчисление заменяли суждение, заключается искусство преподавания и успех его». Сознательность в процессе обучения должна иметь место на всех ступенях его, отличаясь лишь своей глубиной и характером. У Лобачевского элемент сознательности у школьника младшего возраста заключается в том, «чтобы ученик постигал прямо чувствами то, чего не в состоянии постигать суждением». На той ступени обучения, когда он вступает в круг отвлеченных понятий, самое важное для него— в понимании смысла операций с отвлеченными понятиями, выраженными буквами, так как «всякое суждение в математике останавливается, как скоро перестаем понимать под знаком то, что оно собственно представляет. Поэтому и надобно, чтобы учитель с употреблением знаков давал понятия совершенно определенные и строгие; наконец, не довольствуясь еще и этим, присоединял сюда примеры, которые столько же поясняют правила, сколько предупреждают механическое их употребление». Из приведенных высказываний Лобачевского следует вывод о том, что принцип сознательности в обучении сводится им на роль ясного понимания учащимся того, что он должен усвоить. С нашей точки зрения, сознательность в процессе обучения необходимо предполагает также выработку у учащегося элементов сознательного отношения к самому процессу обучения и способности самоконтроля. Все это в значительной мере достигается практикой домашних заданий; поэтому мы не можем согласиться с тем отношением Лобачевского к этому вопросу, которое выражено им в письме к директору саратовских училищ следующей фразой: «Надобно принять за основание то, что ученик в гимназических классах сидит довольно часов, чтобы остальное время давать ему на отдых, необходимый особенно в этом возрасте. Итак, учение должно преимущественно ограничиваться занятиями в классе» (арх. 5755, ЦГА ТАССР, оп. 1, ф. 92, л. 26). Одним из средств борьбы с механическим заучиванием учебного материала является развитие способности к активному целенаправленному вниманию. Последнее же находится в тесной связи с возбуждением интереса школьника к проходимому им материалу. В письме к Мусину-Пушкину, цитированном выше, Лобачевский говорит о «занимательности» как необходимом средстве с возбуждать и поддерживать то

внимание, без которого преподавание не бывает успешным». У детей младшего школьного возраста, как известно, произвольное внимание страдает крайней неустойчивостью и большой степенью отвлекаемости. Это то, что Лобачевский называет «леностью и рассеянностью детского возраста», «победить» которую можно лишь «разнообразием» способов обучения, «предохраняющим учеников от скуки»; опираясь, таким образом, на непроизвольное внимание школьника, связанное с его непосредственным интересом, Лобачевский в вопросах воспитания произвольного внимания использует особенности самого возраста. Но особенно интересны его замечания о «занимательности» в обучении детей старшего возраста. В письме к директору Пензенского дворянского института (арх. 5913, оп. 1, ф. 92, лл. 27—28), делая методические указания учителю математики Савинову, Лобачевский замечает, что «занимательность учеников заключается в удовольствии понимать предмет и преподанное применять к решению вопросов». Так, по мнению Лобачевского, самый процесс познания должен стать источником детских интересов, которые в свою очередь способствуют успеху в приобретении знаний. Вместе с тем такой метод возбуждения интереса школьника развивает творческие силы ученика. Вопросы творческого применения знаний занимают в воззрениях Лобачевского большое место. Так, целью обучения, по мнению Лобачевского, является «применение его к потребностям в нашей жизни и дальнейшее развитие науки...» Что касается математического образования, то «математике должно учить в гимназиях еще и с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточны для обыкновенных потребностей в жизни». Особенно характерны в этом смысле его высказывания о преподавании геометрии. Главная цель, — пишет Лобачевский в «Наставлениях»,— которую надобно предположить в преподавании геометрии, будет та, чтобы дать общие правила для измерения... Давая общие правила для измерения, надобно согласовать их с той целью, для которой они должны служить, то-есть для измерения на самом деле». Эта практическая целенаправленность в преподавании такой отвлеченной науки, как математика, играет роль метода повышения умственной активности школьника, который за математической формулой привыкает видеть реальное явление жизни, осознавать практическое значение необходимости математического образования; в этом смысле указания Лобачевского не потеряли своего значения и в наши дни. В тот исторический период они носили, кроме того, прогрессивный характер, созвучный требованиям экономического роста страны в ходе исторического развития ее. Практическая целенаправленность в преподавании математики отнюдь не обозначала игнорирования со стороны Лобачевского вопросов строгости и научности в изложении курса, в пределах доступного в условиях школы. Так, говоря об «общих правилах», которые должны служить «для измерения на самом деле», Лобачевский тут же оговаривается, что с важно, не погрешая против математической строгости, доказывать справедливость всех общих положений». Наконец, замечание его о том, что «к общим правилам... важно прийти только с помощью геометрического рассуждения», свидетельствует о том, какое значение придавал Лобачевский геометрическим рассуждениям, способствующим развитию пространственного воображения и логического мышления. Признавая, что практическая целенаправленность в преподавании математических дисциплин, занимающая столь большое место в высказываниях Лобачевского, не имеет ничего общего с утилитаризмом, ограничивающим общеобразовательные цели обучения, мы, тем не менее, не можем согласиться с тем расположением учебного материала, которое он рекомендует в своем учебнике геометрии. Всецело подчиняя это расположение целям измерения, он строит весь курс так, что каждая глава учебника ставит и расширяет ту или иную проблему, связанную с измерением какого-либо геометрического объекта в следующей последовательности: «измерение линий», «измерение телесных углов», «об измерении прямоугольников и других фигур», «об измерении призм», «измерение пирамид и всех тел, ограниченных плоскостями», «измерение окружности и площади круга», «об измерении объема цилиндра и конуса, поверхностей прямого цилиндра и прямого конуса», «о величине объема и поверхности шара». Мы вполне признаем ценность такого метода изложения, при котором каждый ученик, решая ряд проблем, поставленных перед ним ходом развития системы, сам становится на положение активного создателя ее; но у Лобачевского это приводит к одновременному изучению плоскостной и пространственной геометрии. Между тем сложность в представлении пространственной фигуры требует от ученика определенной степени развития пространственного воображения, которое и достигается предварительным изучением легче обозримых и воспроизводимых на чертеже плоских фигур. Такое преимущественное подчеркивание практических целей в обучении находит свое отражение лишь в исторических условиях того времени, в условиях усиливающихся формальных тенденций в гимназическом образовании.

В то же время мы не можем не отдать должного принципиальному значению постановки вопроса о целенаправленности в преподавании; именно таким путем, путем практической целеустремленности должна устанавливаться необходимая связь между умственной работой школьника и его практической деятельностью в процессе обучения, в форме наблюдений, опыта или практического применения знаний. О степени влияния, которое оказывал в этом направлении Лобачевский на преподавание в школе, свидетельствуют материалы годового отчета второй Казанской гимназии за 1846 г. (ЦГА ТАССР, арх. 5843, оп. 1, ф. 92), где указывается, что метод преподавания употребляем был более синтетически «практический, которого польза указана и замечена на деле самим господином Управляющим Округом (т. е. Лобачевским) во время посещения его классов этого заведения». Конкретным примером занятий, проводимых в этом плане, может служить одобренное Лобачевским в письме к директору Пензенского дворянского института (арх. 5620, оп. 1, ф. 92, 1845 г., л. 171) преподавание учения о целых числах учителя Трофимова. Приведем отдельные выдержки из сообщения этого учителя, сделанного им на заседании педагогического совета: «Все ученики, поступающие в первый класс института, хотя знают механически первые четыре правила арифметики, но нумерации не знают... и потому преподавание я начинаю с нумерации; объяснивши ученикам происхождение чисел, спрашиваю на примерах, поняли ли они объяснение; если вижу, что ясно поняли, объясняю механизм, принятый для письма цифр... перед объяснением способа, как писать числа, заставляю ученика выучить таблицу, показывающую, на каких местах стоят какого порядка числа и притом на разбив, и это делаю для того, чтобы при всяком сказанном числе ученик знал бы уже, сколькими знаками должно изобразить число; в один класс, самое многое в два, способные без ошибки начинают писать всякие числа. Эти знания я поддерживаю и утверждаю беспрерывными повторениями. Когда ученики начинают свободно писать числа, я кратко прохожу с ними счет простых целых чисел, или лучше сказать: повторяю и привожу в систему те их познания, с которыми они поступили в класс; когда это кончаю, начинаю занимать практическими задачами; здесь я стараюсь довести их до того, чтобы они ясно поняли: 1) чего требует вопрос и 2) отчетливо рассказали постепенный ход решения вопроса..., занимаясь около месяца практическими задачами, с простыми целыми числами, далее я механически прохожу счет простых дробных чисел»... (на последнее со стороны Лобачевского последовало указание о том, что «учение об именованных числах должно предшествовать учению о дробях»).

Заканчивая на этом краткий обзор некоторых документов, характеризующих дидактические взгляды Лобачевского, мы тем не менее обошли еще целый ряд важнейших вопросов, получивших свое освещение в высказываниях его по поводу школьного обучения; но и этих материалов, как нам кажется, достаточно для того, чтобы можно было судить о ценности педагогического наследства Лобачевского. Основное его значение состоит в том, что он материалистически подошел к разрешению таких важнейших проблем дидактики, как соотношение между материальной и формальной целями обучения, между эмпирическим и рациональным способами познания в школьной практике. В борьбе против классицизма дворянско-помещичьей школы Лобачевский выдвинул идею реализма и учета жизненной практики в образовании. Наконец, высказывания его по вопросам воспитания мышления, роли и характера интереса и сознательного отношения школьника к его учебной работе, о целенаправленности в преподавании, отличаясь исключительной глубиной мысли, не потеряли своего значения и до наших дней. Вместе с тем, принимая во внимание его широкую научно-педагогическую деятельность, создавшую благоприятные условия для внедрения его идей в практику школы, мы вправе сделать вывод о несомненном вкладе Лобачевского в историю развития русской педагогической мысли.

НОВЫЕ ДАННЫЕ О Л. Ф. МАГНИЦКОМ

И. ГОЛУБЕВ (Калинин)

245 лет назад, в 1703 г., по «повелению» Петра I в Москве был отпечатан первый русский учебник по арифметике под заглавием: «Арифметика, сиречь наука числительная».

Автором учебника был учитель Московской «школы математических и навигацких наук» Леонтий Филиппович Магницкий, «первый русский арифметик и геометр», как называл его крупный русский ученый XVIII в. и неудачный поэт В. К. Тредьяковский.

Известно, что Л. Ф. Магницкий был сыном крестьянина Патриаршей слободы, вошедшей в

состав г. Осташкова (б. Тверской губ., теперь Калининской обл.), но до сих пор нет полной и ясной биографии Магницкого. Многие обстоятельства жизни Магницкого остаются неосвещенными. Даже самый год его смерти (1739) подвергается сомнению. Поэтому не лишним будет сообщить здесь некоторые данные о Магницком, обнаруженные нами в документальных материалах фонда Житенного Осташковского монастыря*, хранящегося в Калининском областном государственном архиве.

Один из документов — копия купчей крепости на купленную Магницким в 1731 г. у дворянина Леонтия Наумова сына Чирикова пустошь Гатилиху, близ г. Осташкова. Под копией следующая собственноручная подпись Магницкого: сК сей копии учитель Леонтий Филиппов сын Магницкий руку приложил, а подлинную к себе взял»**.

Второй документ — заемное письмо, данное Магницким в 1733 г. Житенному монастырю на занятые у монастыря 100 рублей. Заемное письмо, написанное безграмотно, писал не сам Магницкий, а его ключник. Магницкий лишь подписался под письмом: «К сему письму учитель Леонтий Филиппов сын Магницкий руку приложил»***. В залог за занятые деньги Магницкий передал монастырю указанную выше пустошь Гатилиху и все документы на нее.

В письме говорится, что если Магницкий в течение трех лет (1734—1736) не возвратит монастырю занятых денег, пустошь переходит в полную собственность монастыря. Очевидно, Магницкий не смог выкупить пустошь, потому что в дальнейшем, как можно видеть из документальных материалов, монастырь распоряжался ею, как ее собственник.

В сохранившемся синодике (помяннике, т. е. книге со списками живых и умерших, поминаемых в церквах во время литургии за особый вклад—вещами или деньгами) того же Житенного монастыря записан «Род Иоанна Леонтиева сына Магницкого»****, т. е. очевидно, сына Л. Ф. Магницкого. В этой записи, сделанной, по нашему мнению, не ранее 1761 г., перечисляется 62 имени умерших членов рода И. Л. Магницкого. Начинается запись именами: «Схимонаха Фирса,Леонтиа, Марии, Иоанна...» Имя «Леонтий» встречается в записи всего один раз. В синодиках обычно не указываются родственные отношения лиц, имена которых записаны для поминовения. Нет этого и здесь. Однако можно думать, что «схимонах Фирс»— это отец Леонтия Филипповича, в миру Филипп*****, а под следующим именем «Леонтий» разумеется сам автор «Арифметики», отец Ивана Магницкого.

Когда умер Л. Ф. Магницкий? В «Описи церковной» Житенного монастыря, составленной в 1744 г. и содержащей подробное перечисление книг, полученных монастырем в 1731, 1732, 1733, 1734, 1736, 1737 и 1742 гг., отдельно за каждый год, имеется такая запись: «1742-го года при бытности строителя Аарона прибыло книг: I. Триодь цветная дачи Леонтия Магницкова в десть»******.

Если считать достоверным, что Л. Ф. Магницкий умер в 1739 г., то запись эту надо понимать так, что книга была пожертвована в монастырь родственниками Магницкого уже после его смерти. Но запись не дает оснований к такому пониманию. Она говорит прямо, что книга—«дачи Леонтия Магницкова», т. е. что книга была отдана в монастырь самим Л. Ф. Магницким*******. Наконец, если бы книга была передана в монастырь родственниками Л. Ф. Магницкого, то непонятно, почему они передали ее не вскоре после смерти Леонтия Филипповича (1739), а лишь через три года. Поэтому вероятнее всего считать, что Л. Ф. Магницкий умер или в том же 1742 г., или позднее.

* Осташковский Житенный мужской монастырь находился в 1 км от г. Осташкова, на острове оз. Селигер, соединенном с городом насыпью. Основан был в 1716 г., с 1764 г. числился заштатным (см. Полный прав, богосл. энциклопедический словарь, изд. II, Сойкина, т. II, стр. 1716).

** Фонд Осташковского Житенного монастыря, д. № 2, л. 134.

*** Там же, л. I, сборн.

**** Рукопись Калининского Облгосархива, № 1117, л. 55-56.

***** При пострижении в иноческий чин постригаемому давалось новое имя, первые буквы которого совпадали с такими же буквами мирского имени, например: Иона—Иоанн, Вассиан—Василий; следовательно, монашеское имя Фирс может соответствовать мирскому имени Филипп.

****** Указ. фонд, д. № 2, л. 19.

******* В «описи» выражение, что книга «дачи» такого-то встречается при многих названиях перечисляемых книг. Нет оснований считать, что книга дана в монастырь не тем лицом, какое указано, а кем-то другим.

ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ НАСЛЕДИЕ П. Л. ЧЕБЫШЕВА

В. Е. ПРУДНИКОВ (Москва)

На протяжении всего XIX в. русские математики успешно выполняли две задачи, которые были поставлены еще Петром I: «производили» свою науку и внедряли ее в широкие народные массы.

Этому успеху в значительной мере способствовало развитие у нас математики как учебного предмета. Вопросами преподавания своей науки в школах всех разрядов русские математики всегда интересовались. Исключением не были и те из них, которые стояли в первом ряду научных деятелей своего времени. Выдающиеся русские математики прошлого века не замыкались в круг узких научных интересов, а значительную долю своего времени и сил отдавали делу народного образования, понимали всю важность этого великого дела и сочувствовали ему, что в значительной степени характеризует их не только общественное, но и политическое лицо.

Известна широкая деятельность по народному образованию академиков Румовского и Фусса, особенно их участие в составлении и обсуждении проекта гимназического устава 1804 года, в составлении первого каталога учебных руководств по математике и другим предметам для гимназий и для университетов. Оба они, кроме того, были авторами сочинений, служивших в свое время учебными руководствами по математике для гимназий. Известна также широкая педагогическая деятельность академика Гурьева и профессора Осиповского; по инициативе первого, между прочим, была создана в самом начале XIX в. специальная математическая комиссия при Морском корпусе, ставившая себе целью — найти наиболее рациональные методы обучения математике; по учебнику математики второго училась молодежь нашей страны в первые десятилетия XIX в. Великий русский геометр Лобачевский, подобно своим предшественникам, с большим интересом относился к педагогическому делу, в частности к преподаванию элементарной математики. В начале 30-х годов он сам руководил преподаванием алгебры в Казанской гимназии, а по его запискам в этой гимназии преподавалась математика.

Академики Остроградский, Буняковский и Сомов, внесшие ценные вклады в сокровищницу математической науки, находили для себя возможным вникать в постановку преподавания арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии, писали и издавали учебники по этим наукам и методические указания к ним.

Известный для своего времени астроном и выдающийся профессор Московского университета Перевощиков, педагогическую деятельность которого высоко ценил Чернышевский, в течение всей своей долгой жизни уделял живое внимание средней школе. По его «Ручной математической энциклопедии» учились математике Гоголь, Лермонтов, Милютин и другие знаменитые люди нашей страны. Перевощикова, даже когда он был ректором Московского университета, нередко можно было видеть на экзаменах в 1-й Московской гимназии, воспитанники которой долгое время учились по его «Курсу чистой математики для гимназий».

Трудам Лобачевского, Остроградского, Буняковского, Сомова, Гурьева, Перевощикова, Румовского, Фусса преподавание элементарной математики в низших и средних школах и было обязано тем высоким уровнем, на каком оно находилось в середине прошлого века. Этот ряд русских математиков продолжает Чебышев. В последние годы о нем писали сравнительно много; но главное усилие при этом было направлено на то, чтобы познакомить советских читателей с научным наследием великого русского математика. Сейчас найдены новые материалы, позволяющие говорить о педагогическом наследии Чебышева, что значительно расширяет сложившееся обычное представление о нем. Подобно своим упомянутым выше предшественникам, Чебышев был не только академик и великий ученый, обогативший математическую науку рядом выдающихся открытий, но и крупный деятель в области народного просвещения, много поработавший на пользу русских школ всех разрядов.

Найденные новые материалы свидетельствуют, что Чебышев с живым интересом относился к вопросам методики и дидактики, в частности к вопросам преподавания элементарной математики в низших и средних училищах.

Как известно, он не писал и не издавал своих школьных учебников по математике, не преподавал эту науку в школах. Тем не менее он оказал большое влияние на постановку преподавания элементарной математики в гимназиях, прогимназиях, уездных и приходских училищах и даже воскресных школах.

Обстоятельства, которые привели Чебышева к деятельности по народному просвещению, вкратце были таковы. В 1856 г. русское правительство решило восстановить Ученый комитет Главного правления училищ, упраздненный в 1836 г., и ввести в его состав лиц, пользовавшихся особым авторитетом в науке. Среди русских математиков того времени оно остановило свой выбор на Чебышеве, ученом с евро-

пейским именем, адъюнкте Академии наук, действительном члене артиллерийского отделения Военно-ученого комитета и ординарном профессоре Петербургского университета.

Чебышев принял это предложение правительства. Он был назначен членом Ученого комитета по математическим наукам в 1856 г.; оставил службу там только в 1873 г., бессменно и непрерывно проработав, таким образом, 17 лет.

Обязанности Чебышева в Ученом комитете были самые разнообразные; на него возлагалось: 1) участие в разработке уставов низших, средних и высших школ, 2) рецензирование математических учебников, предназначавшихся в качестве руководств и пособий для приходских, уездных училищ и гимназий, 3) постоянное наблюдение за тем, в каких учебных руководствах по математике нуждаются школы для более успешного преподавания, и нахождение средств для удовлетворения этой нужды, 4) составление и рассмотрение программ по математике и т. д.

Эти обязанности Чебышеву пришлось выполнять в наиболее трудный период жизни Ученого комитета: надлежало подготовить и осуществить на деле одну из важнейших реформ в нашей стране—школьную.

Ни один из математических вопросов, связанных с этой реформой, не был решен без участия Чебышева, влияние которого было весьма значительным. Нужные сведения обо всем этом и дают найденные новые материалы, распадающиеся по своему содержанию на следующие группы:

1) отзывы об учебных руководствах по математике для низших и средних училищ; 2) программы для этого рода училищ по математике с объяснительными записками к ним; 3) доклады об учебных руководствах по математике и инструкции об объеме преподавания математики в этого рода училищах; 4) проекты объявления конкурсов на составление учебников по математике и космографии для гимназий, прогимназий и начальных народных школ; 5) мнения о проектах уставов высших учебных заведений (университетов и специальных институтов). 6) мнение о проекте устава Московского математического общества и о первом томе «Математического сборника», изданного в 1867 г. этим обществом; 7) мнение о преподавании в начальных народных школах арифметики по способу Грубе; 8) записка о реальных классах в уездных училищах; 9) доклад о математических рукописях, поступивших на объявленный в 1865 г. конкурс; l0) мнение об отчетах кандидатов, отправленных за границу: Ермакова, Лигина и Андреевского (будущих профессоров математики); 11) мнения об изменении порядка испытаний по математике лиц, желающих приобрести звание учителя; 12) некоторые другие материалы, не имеющие особенно важного научно-педагогического значения.

Главной и наиболее обширной из перечисленных групп является первая — отзывы об учебных руководствах по элементарной математике. Таких отзывов (сохранившихся до наших дней) Чебышев дал свыше двухсот. Эти отзывы характеризуют участие Чебышева в таком важном для учебного дела вопросе, как оценка учебников; с другой стороны, эти отзывы сами по себе составляют весьма ценный материал для библиографии учебно-математической литературы и, особенно, для установления взглядов Чебышева на преподавание элементарной математики.

Мы не будем приводить сейчас полностью перечень тех руководств по математике, о которых дал отзыв Чебышев. Ограничимся только следующими.

I. Арифметика

1. «Курс арифметики» Серре.

2. «Руководство к арифметике» Назарова.

3. «Методика арифметики» Евтушевского.

4. «Сборник задач по арифметике для приготовительного и систематического курса» его же.

5. «Практическая арифметика» Полякова.

6. «Руководство к арифметике для средних учебных заведений» Андреевского.

7. «Арифметика» Лёве.

II. Алгебра

1. «Начальные основания алгебры» Тихомандрицкого.

2. «Основания алгебры» Перевощикова.

3. «Курс начальной алгебры» Краевича.

4. «Начальная алгебра» Пржевальского.

5. «Руководство алгебры и собрание алгебраических задач» Малинина и Буренина.

6. «Сборник примеров и задач, относящихся к курсу элементарной алгебры» Бычкова.

III. Геометрия

1. «Основания геометрии» Руше и Комберуса.

2. «Начальная геометрия для средних учебных заведений» Беренса.

3. «Начальная геометрия. Опыт методического руководства» Полякова.

4. «Начальная геометрия» Воленса.

5. «Собрание геометрических задач» Ритта.

IV. Тригонометрия

1. «Начальные основания прямолинейной тригонометрии» Дмитриева.

2. «Тригонометрия» Серре.

3. «Руководство прямолинейной тригонометрии» Малинина.

4. «Элементарная теория тригонометрических линий и прямолинейная тригонометрия» Соколова.

5. «Прямолинейная тригонометрия и сборник тригонометрических задач» Пржевальского.

V. Космография

1. «Руководство по космографии для гимназий» Малинина.

2. «Начала космографии» Краевича.

VI. Таблицы логарифмов

1. «Сокращенные логарифмические таблицы» Буссе.

2. «Пятизначные таблицы логарифмов» Пржевальского.

Из перечисленных 27 книг Чебышев для употребления в гимназиях и народных училищах одобрил в качестве учебных руководств:

1. «Арифметику» Лёве.

2. «Алгебру» Тихомандрицкого.

3. «Тригонометрию» Малинина.

4. «Тригонометрию» Соколова.

5. «Космографию» Краевича.

6. «Алгебру» Малинина.

в качестве учебных пособий:

1. «Алгебраический задачник» Бычкова.

2. «Тригонометрию» Дмитриева.

Тригонометрия Пржевальского не была одобрена даже в качестве учебного пособия, но признана полезной, по богатству материала, для гимназических библиотек.

Остальные книги были не одобрены по разным причинам, из которых главными являлись: несоответствие гимназическому курсу и нестрогость доказательств.

Чтобы иметь представление о характере отзывов Чебышева о математических руководствах, приведем следующий из них:

«Практическая арифметика (в трех частях)», П. Полякова (Москва 1871 г.).

«Курс арифметики г. Полякова содержит в себе эту науку в полном составе: кроме учения о целых числах и дробях, в нем заключаются и пропорции с тройными правилами и корни кв. и куб.

По содержанию своему этот курс даже выходит за пределы программы преподавания арифметики в гимназиях, где извлечение кв. и куб. корней отнесено к алгебре, но по изложению своему арифметика г. Полякова далеко не соответствует требованию гимназического курса, так как в ней многие доказательства предложений, особенно важных, изложены неудовлетворительно. Чтобы показать, до какой степени в этом отношении страдает арифметика г. Полякова, приведу здесь доказательства, предлагаемые автором относительно различных предложений. На странице 21 читаем: «Неизменяемость произведения от перестановки производителей: 5X4 значит 5 повторить четыре раза в сложении, т. е. 5-}-5+ 5+ 5 = 20. 4X5 значит 4 повторить в сложении 5 раз, т. е. 4 + 4 + + 4 + 4 + 4 = 20.

Итак, все равно, что 5х 4 или 4X5; следовательно, от перемены порядка производителей произведение не меняется»*.

Приведя еще несколько подобных примеров, Чебышев сделал свое заключение о том, что «Курс арифметики» Полякова не может быть одобрен для употребления в гимназиях ни в качестве учебного руководства, ни в качестве учебного пособия. Ученый комитет согласился с заключением Чебышева. Мы привели этот отзыв, с одной стороны, потому, что он характерен для Чебышева, требовавшего доказательной формы изложения арифметики. С другой стороны, этот отзыв имел свои интересные последствия, которые мы вкратце позволим себе привести.

П. А. Поляков — преподаватель математики 1-й Московской гимназии, видный педагог своего времени, автор ряда учебных руководств по математике. Неудовлетворительный отзыв Чебышева о «Практической арифметике», выдержавшей в 1871 г. уже четвертое издание**, заставил Полякова написать на имя министра народного просвещения докладную записку, поддержанную Московским учебным округом, где членом попечительского совета по математике был профессор А. Ю. Давидов.

В этой записке Поляков просил Ученый комитет отменить свой «строгий приговор» о его арифметике и включить ее, если не в число полезных руководств, то, по крайней мере, в число пособий.

Записка Полякова была передана министром народного просвещения на рассмотрение Ученого комитета, который в свою очередь передал ее Чебышеву. Вот что докладывал последний Ученому комитету по поводу этой записки в марте 1872 г.

«Касательно замечаний, сделанных Ученым комитетом о том, что некоторые заключения, выводимые г. Поляковым, не имеют надлежащей строгости, он в своей объяснительной записке говорит следующее: «В объяснительной прежней записке, представленной вместе с учебником, я сам сознавался в таком недостатке и при-

* Центральный государственный исторический архив в Ленинграде, оп. 3, ф. 734, 1872 г., д. № 18, стр. 187-193.

** 9-е издание «Практической арифметики» Полякова вышло в 1897 г.

водил тому следующую причину: первая часть практической арифметики и начало второй (статья о делителях) содержат в себе не совсем точные определения и доказательства по той причине, что строгие научные определения и доказательство недоступны для детей того возраста, в котором обыкновенно проходится арифметика. Поневоле приходится жертвовать строгою точностью в пользу ясности и доступности предмета. Впрочем, такая необходимая жертва не может нисколько повредить делу, потому что арифметика, при повторении ее учениками 7-го класса гимназии, излагается в строго научной форме по учебникам, совершенно различным с теми, какие употребляются в низших классах».

Такой взгляд на преподавание арифметики положительно неверен. Доказательства, лишенные надлежащей строгости, ничего, кроме вреда, принести не могут. Не говоря уже о напрасной потере времени, употребленного на изучение таких доказательств, нестрогие доказательства вредно действуют на умственные способности учеников, приучая их видеть там достаточную причину, где ее нет. Если что-либо не может быть строго доказано, необходимо это прямо сказать ученикам, а не вводить в заблуждение, предлагая им нестрогое доказательство: пример этого нам дал сам Евклид в своей геометрии.

Г. Поляков также ошибается, утверждая, что при повторении арифметики в 7-м классе гимназии она излагается по учебникам, совершенно различным с теми, какие употребляются в низших классах. Не говоря уже о том, что нельзя с успехом проходить алгебру с учениками, не вполне усвоившими арифметику, преподавание арифметики в гимназиях потребовало бы слишком много времени, если бы ее стали проходить два раза по двум разным учебникам и предлагали различные доказательства на те же самые истины»*.

Ученый комитет и на этот раз согласился с мнением Чебышева, оставив в силе свое прежнее заключение о неудовлетворительности «Практической арифметики» Полякова. Весь изложенный инцидент важен тем, что послужил поводом для Чебышева высказать свой взгляд на преподавание арифметики.

Мы видим, таким образом, что в этом преподавании он обращал особое внимание на объяснение в школьной обстановке закона коммутативности произведения. Изложение этого закона в учебнике Полякова, как и в некоторых других, представлявшихся на рассмотрение, Чебышев находил не только недостаточным со стороны полноты и убедительности, но и прямо вредным, поскольку оно приучало учеников под менять логические доказательства общих предложений простой проверкою их на одном единственном примере, не содержащей никаких общих идей, никакого объяснения и ответа на вопрос: «почему?»

Представляет собой интерес вопрос: какое же объяснение этого свойства при изучении арифметики Чебышев считал «достаточным»? Само собой разумеется, что он не имел в виду объяснение аксиоматическое или при помощи принципа полной математической индукции, для чего потребовались бы знакоположения алгебры. Он, повидимому, имел в виду «надлежащее» объяснение при помощи прямоугольной схемы закона коммутативности при умножении двух конкретных чисел, например, 5 X 4 = 4 X 5, затем распространение этого закона на два любые конкретные числа (8X7=7X8» 4x3=3x4 и т. д.), а дальше обобщение свойства переместительности в соединении с сочетательностью на случай перемножения трех и более сомножителей.

К сожалению, непосредственных высказываний самого Чебышева по этому вопросу найти не удалось. Но косвенный ответ на поставленный вопрос дают те учебники арифметики, которые были одобрены Чебышевым в качестве руководств в гимназиях и прогимназиях. К числу их относятся: «Арифметика» Буняковского, «Руководство к арифметике» Буссе, «Руководство к арифметике» Воленса, «Арифметика» Симашко. Особенными научными и методическими достоинствами обладало первое из перечисленных руководств, тщательно обсужденное в свое время специальной математической комиссией во главе с Остроградским.

В «Арифметике» Буняковского (СПБ 1849, 3-е изд., стр. 21—22) закон коммутативности произведения доказывается в тесной связи с пифагоровой таблицей умножения и при помощи прямоугольника (для произведения 5 X 6):

сумма

При доказательстве подчеркивалось, что «если бы вместо множителей 5 X 6 взяли какие ни есть другие, то подобным образом увидели бы, что произведение их одинаково, в каком порядке не производилось умножение». Затем объясняется неизменяемость произведения в случае трех сомножителей при перестановке их местами.

* Центральный государственный исторический архив в Ленинграде, оп. 3, ф. 734, д. № 18, стр. 95—96.

Вообще, Чебышев считал, что в арифметике надо давать такие объяснения, чтобы «ученик понял, почему при вычислении поступают так, а не иначе. Бессознательное заучивание различных приемов предлагаемых в арифметике, не может принести никакой пользы»*.

В своем проекте объявления конкурса на составление лучшего учебника по арифметике, геометрии, алгебре, тригонометрии и космографии Чебышев подчеркивал следующее: «При изложении означенных руководств должно быть обращено особенное внимание на ясность и определительность выражений, на устранение таких оборотов речи, при которых является возможность различного понимания смысла. Все объяснения должны быть вполне строги, без излишних подробностей и с крайне осмотрительным употреблением слов: «очевидно», «само по себе понятно» и т. п., которые нередко употребляются авторами именно там, где доказательства представляют особенные затруднения. Из различных приемов для доказательства теорем желательно, чтобы предпочтение было сделано тем приемам, которые наиболее естественны; там, где могут быть употреблены одинаково способ доказательства от противного и способ пределов, употреблять последний»**.

Надо заметить, что подобного рода принципиальных высказываний в найденных материалах о деятельности Чебышева в Ученом комитете много, и касаются они всех предметов, входящих в состав элементарной математики. Они дают исследователю возможность установить взгляд Чебышева на преподавание арифметики, геометрии, алгебры, тригонометрии и космографии в низших и средних учебных заведениях.

Особенно ценны в этом отношении его отзывы об учебных руководствах по математике. Эти отзывы не пространны, но очень строги по своему характеру.

Решительное ограждение школ от плохих учебников по математике, стремление поднять преподавание этой науки в низших и средних училищах на надлежащую высоту путем одобрения для них только хороших руководств, которые излагали математику с надлежащими объяснениями и доказательствами, а не ограничивались только правилами и примерами на них, —это были главные задачи, которые поставил перед собой Чебышев, возглавляя математические науки в Ученом комитете.

Рукописи и книги всевозможного математического содержания широким потоком текли в министерство народного просвещения, а оттуда в Ученый комитет к Чебышеву. Последний каждую рукопись и книгу прочитывал весьма внимательно; некоторые из них были настолько недоброкачественны, что Чебышев в своих отзывах иногда ставил вопрос о нормальности тех авторов, которые подобные рукописи представляли.

Вот, например, сочинение обоянского землемера Богуславского: «Арифмография и арифметика» (1862 г.), о которой Чебышев докладывал Ученому комитету следующее: «Это сочинение г. Богуславского представляет чрезвычайно темное и сбивчивое изложение учения о числах целых, отвлеченных и именованных. Не составив себе ясного понятия о том, что должно собственно составить арифмологию, автор в сочинении своем многие предметы полагает вдвойне, но, несмотря на такое повторение объяснения одного и того же, у него все остаются не вполне ясными, и это, как можно полагать, происходит от того, что сам автор имеет сбивчивые понятия. Так, в самом начале своего сочинения г. Богуславский, смешивая понятия величины вообще с величинами конечными и счета предметов с измерением величин, говорит так:

«Конечною величиною называется все, что только способно в нашем представлении и на самом деле увеличиваться и уменьшаться, например: стол, доска, перо, тетрадь и пр.; отсюда мы видим, что каждая конечная величина подвержена перемене или изменению; рядом же с понятием о перемене величины стоят числа. Числа нам знакомы с того времени нашей жизни, с которого мы начали определительно сличать или сравнивать между собою и различать величину одного от другого». Подобные недостатки встречаются у автора очень часто».

Наряду с подобными недоброкачественными сочинениями на отзыв Чебышева часто поступали весьма содержательные работы по элементарной математике молодых талантливых русских математиков (Жбиковского, Козлова и др.) и и опытных преподавателей (Краевича, Малинина, Лёве, Симашко и др.).

Что касается остальных групп найденных .материалов, то здесь наибольший интерес имеет проект программы преподавания математики для гимназий, составленный Чебышевым в 1858 г. По этому проекту преподавание математики в гимназиях предполагалось значительно расширить включением в курс учебных предметов, кроме арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии, основ аналитической и начертательной геометрий, механики, оптики, сферической тригонометрии и некоторых разделов анализа (понятие о функциях, производные, формула Тейлора и т. д.).

Намеченный в проекте Чебышева объем преподавания математики намного превышал не только существовавший в гимназиях того времени, но и объем, установленный уставом 1804 г., по

* Там же, оп. 3, 1867 г., д. № 6, стр. 32.

** Там же, оп. 3, 1865 г., д. № 2, стр. 1180.

которому, наряду с частями чистой математики до аналитической геометрии включительно, полагалось изучать прикладную математику (статику, гидравлику и т. д.).

Очень любопытна судьба указанного проекта. На протяжении 6 лет, в течение которых обсуждалась в широких общественных и учительских кругах школьная реформа, этот проект подвергся многократным изменениям, отразившим в себе борьбу двух господствовавших тогда направлений—«классического» и «реального». Победило в конце концов первое из них, почему программа Чебышева по математике для гимназий была сведена на уровень программы 1852 г. с некоторым ее расширением в «реальных» гимназиях.

Интересна программа Чебышева по математике для уездных училищ, составленная в 1857 г. Особенность ее та, что впервые в практике этого рода училищ обращалось внимание на доказательную форму изложения математики и на решение задач при изучении теории. Упомянутая программа снабжена методическими указаниями, дающими возможность ознакомиться с целями и приемами преподавания элементарной математики в конце 50-х годов.

Сохранилась подлинная записка Чебышева о том, как, по его мнению, следовало бы организовать «реальные курсы» при уездных училищах, чтобы придать им жизненный характер и вывести их из того безнадежного тупика, в котором эти курсы, а вместе с ними и уездные училища очутились в конце первой половины XIX века.

Мы не будем останавливаться на характере других групп найденных материалов: они имеют также большую ценность и свидетельствуют о широкой общественно-педагогической деятельности Чебышева.

Все эти материалы по количеству весьма значительны (около 250 рукописных страниц) и намного превышают все то, что было оставлено нам в этом направлении другими знаменитыми русскими математиками прошлого века.

Опубликование их с надлежащим историческим освещением принесет неоспоримую пользу для установления путей, по каким развивалась в нашей стране элементарная математика как учебный предмет.

Роль Чебышева в этом развитии была прогрессивного характера; так как он много сделал для того, чтобы изжить в русских низших и средних школах рецептурную форму преподавания математики и заменить ее доказательной, приспособленной к возрасту учащихся.

Само собой разумеется, что Чебышев, несмотря на свои гениальные способности, не мог предвидеть всех возможностей дальнейшего развития математической науки. Поэтому некоторые из его методических взглядов не могут быть полностью приняты сейчас (например, взгляд на недостаточность пятизначных логарифмов и предпочтение логарифмам семизначным в гимназическом преподавании).

Однако все его высказывания методического характера полны глубокого интереса и имеют для нас не только историческое значение.

МЕТОДИКА

О ВОСПИТАНИИ У УЧАЩИХСЯ ЧУВСТВА СОВЕТСКОГО ПАТРИОТИЗМА И СОВЕТСКОЙ НАЦИОНАЛЬНОЙ ГОРДОСТИ В СВЯЗИ С ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ*

С. М. ЧУКАНЦОВ (Калуга)

I

Постановление ЦК ВКП(б) требует от работников идеологического фронта «активного участия в деле воспитания советских людей, отвечать на их высокие культурные запросы, воспитывать советскую молодежь бодрой, жизнерадостной, преданной родине и верящей в победу нашего дела, не боящейся препятствий, способной преодолеть любые трудности»**.

Работники идеологического фронта выполнят свою важную роль в деле воспитания трудящихся только в том случае, если будут «активно пропагандировать политику советского государства, которая является жизненной основой советского строя».

Эти указания ЦК ВКП(б) имеют прямое отношение и к школе, к учителю, в том числе и к учителю математики.

В брошюре действительного члена Академии педагогических наук РСФСР И. А. Каирова «Идейно-политическое воспитание учащихся» довольно полно освещена роль учителя в процессе идейно-политического воспитания учащихся и даны ценные указания, как учитель советской школы должен помогать «партии и народу воспитывать молодежь в духе беззаветной преданности советскому строю, в духе беззаветного служения интересам народа» (Жданов)***. Все эти указания и преподаватель математики должен принять к сведению и исполнению.

Опыт показывает, что у преподавателя математики имеются более широкие возможности, чем перечисленные проф. Каировым в его брошюре.

В разделе «Идейно-политическое воспитание на уроках в пятых-десятых классах» профессор И. А. Каиров указывает, что осуществление задач идейно-политического воспитания возможно и на уроках математики и выдвигает такие вопросы;

1) развитие логического мышления учащихся,

2) привитие навыков точности и аккуратности в работе,

3) развитие критического отношения к себе и к окружающему,

4) развитие волевых качеств учащихся (смелость, мужество, борьба с трудностями, преодоление препятствий),

5) воспитание духа новаторства.

Все это очень важно и необходимо. К этому мы добавим, что в связи с преподаванием математики учитель обладает большими возможностями воспитания у учащихся чувства советского патриотизма и советской национальной гордости.

В. П. Потемкин в речи на активе учителей 7 февраля 1943 г. указывал: «Недостаточно чувствовать что я люблю свою родину. Нужно знать, за что я ее люблю, что мне в ней до-

* В основу настоящей статьи положены доклады, прочитанные на секции преподавателей математики г. Калуги 8 января 1948 г. и на конференции молодых учителей сельских школ Калужской области 10 января 1948 г.

** Постановление ЦК ВКП(б) от 26 августа 1946 г. «О репертуаре драматических театров и мерах по его улучшению».

*** Доклад тов. Жданова о журналах «Звезда» и «Ленинград», Огиз, Госполитиздат, 1946. стр. 38.

рого, что я защищаю, ради чего я отдам ей, если понадобится, собственную жизнь.

Воспитание такого сознательного патриотизма является первейшим долгом нашего советского учительства»*.

В чем должна и может заключаться работа преподавателя математики по воспитанию чувства советского патриотизма и советской национальной гордости у наших учащихся ? Какова основная обязанность учащихся перед народом, в чем должен проявляться их патриотический долг перед родиной?

Основной патриотический долг учащихся вытекает из указаний товарища Ленина и товарища Сталина, данных ими молодежи: «Задача состоит в том, чтобы учиться»**, сказал В. И. Ленин на III Всероссийском съезде РКСМ.

Товарищ Сталин в своей речи на VIII Всесоюзном съезде ВЛКСМ 16 мая 1928 г. сказал:

«Храбрость и удаль нужны теперь так же, как и раньше. Но на одной лишь храбрости и удали далеко не уедешь... Чтобы строить, надо знать, надо овладеть наукой. А чтобы знать, надо учиться. Учиться упорно, терпеливо.. . Перед нами стоит крепость. Называется она, эта крепость, наукой с ее многочисленными отраслями знаний. Эту крепость мы должны взять во что бы то ни стало. Эту крепость должна взять молодежь, если она хочет быть строителем новой, жизни, если она хочет стать действительной сменой старой гвардии»***.

Отсюда ясно, что первейшей обязанностью перед народом, первейшим патриотическим долгом каждого ученика перед родиной является его отличная учеба в школе.

Советский ученик должен добросовестно, упорно, настойчиво и терпеливо учиться, учиться хорошо и отлично, ибо «духовный облик нынешних советских людей виден, прежде всего, в сознательном отношении к своему труду, как к делу общественной важности и как к святой обязанности перед Советским государством»****

Если мы говорим об изучении математики, то в современных условиях, для советской учащейся молодежи ее изучение является, как указывал М. И. Калинин, совершенно необходимым.

Необходимым потому, что: «Во-первых, математика дисциплинирует ум, приучает к логическому мышлению.

Во-вторых, . . . диапазон практического применения математики огромен. Какую бы науку вы ни изучали, в какой бы вуз ни поступали, в какой бы области ни работали, если вы хотите оставить там какой-нибудь след, то для этого везде необходимо знание математики. .. И потому, если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе»,—говорил Михаил Иванович Калинин учащимся восьмых, девятых и десятых классов средних школ Ленинского района г. Москвы 17 апреля 1941 г.*****

Учитель вместе со школьной комсомольской организацией должен разъяснить учащимся, что учеба есть их главная обязанность перед народом, перед родителями, их первейший патриотический долг перед советской родиной.

II

Второе, на что нам хотелось обратить внимание,—это на вопрос выработки у учащихся умений и навыков применения полученных знаний на практике, ибо знания сами по себе еще недостаточны для того, чтобы быть готовым всегда выполнить свой патриотический долг перед советской родиной. Нужно еще уметь применять полученные знания.

Знать и уметь применять полученные знания— это не одно и то же.

Не только сказать или рассказать о применении того или иного раздела математики должен учитель, а и научить своих учащихся применять полученные знания на практике — вот что должен всегда иметь в виду учитель математики и что он обязательно должен делать. Ведь эту задачу поставил товарищ В. М. Молотов перед школой еще на XVIII съезде ВКП(б).

Что наши учащиеся стремятся принимать активное участие в практической работе, что они любят общественно-производительный труд, направленный на благо нашей великой родины, об этом говорят факты участия пионеров и школьников в Великой Отечественной войне Советского Союза против немецко-фашистских захватчиков, об этом говорит работа учащихся в колхозах во время летних каникул, об этом говорит их творческая работа в школе в различных кружках Дворца пионеров, в детских технических станциях и т. д. и т. п.

К сожалению, не все преподаватели уделяют должное внимание этому вопросу, и особенно

* В. П. Потемкин. Речь на собрании актива учителей 7 февраля 1943 г., «Советская педагогика», 1943, № 5 6, стр. 7.

** В. И. Ленин, И. В. Сталин, О молодежи, Партиздат ЦК ВКП; б), 1936, стр. 134.

*** Там же. стр. 202.

**** В. М. Молотов, Тридцатилетие Великой Октябрьской социалистической революции, Огиз, Госполитиздат, 1917, стр. 27.

***** М. И. Калинин, О коммунистическом воспитании, изд. 2-е, 1946, стр. 98—99.

мало проявляют свою инициативу в этом отношении преподаватели математики. Не все отделы математики в должной мере используются преподавателями математики в целях воспитания активных юных патриотов нашей социалистической родины, в целях привития учащимся умений и навыков активной деятельности, практического применения полученных знаний.

Приведем несколько примеров.

В 1946/47 учебном году нам пришлось присутствовать на уроках тригонометрии в VIII классах ряда школ г. Калуги. Первые уроки по тригонометрии во всех школах прошли интересно. Каждый учитель подробно рассказал историю возникновения и развития тригонометрии, рассказал о том значении, которое имеет тригонометрия во многих областях практической деятельности человека.

Но дальше этого рассказа при последующем изучении тригонометрии ни один преподаватель математики не пошел. Ни одним учителем ни в одной школе на последующих уроках тригонометрии в VIII классе или на занятиях математического кружка не было показано учащимся, как же в самом деле применяется на практике тригонометрия? Учащихся не научили хотя бы простейшим практическим измерениям на местности в связи с изучением темы «Тригонометрические функции острого угла». Не восполняются эти пробелы и в последующих классах.

В VI классе по геометрии изучаются признаки равенства треугольников. Этой теме уделяется немало внимания в школе. А вот, чтобы весною выйти с учащимися в поле или на берег реки и решить какую-нибудь практическую задачу на местности, этим почти никто из преподавателей математики не занимается.

А как подымают такие измерения в глазах учащихся значимость математики! Какую большую пользу приносят они учащимся и с точки зрения подготовки к практической деятельности, и с точки зрения повышения интереса к изучению самой математики!

По заданию Института методов обучения АПН РСФСР нами была проведена письменная работа в двух пятых классах 1-й женской средней школы г. Калуги.

Среди других примеров и задач была предложена такая задача:

«Вычисли площадь этого прямоугольника и запиши решение». Тут же прилагается начерченный прямоугольник Никто из шести учащихся V класса «Г», решавших эту задачу, правильно ее не решил. Почти у всех были допущены грубые ошибки в измерении.

В V же классе «В» той же школы, где преподаватель В. А. Соколова не только учит своих учащихся теории, но и приучает их применять полученные знания на практике, все учащиеся, решавшие эту задачу, решили ее правильно.

Или еще пример.

Несколько учащихся VII класса установили в зале Дворца пионеров новогоднюю елку.

— Семнадцать метров высотою! — заявляет один ученик.

— Ну, этого быть не может, — возражают ему, — в зале невозможно вместить елку семнадцати метров высотою.

— Ну, не семнадцать, так пятнадцать обязательно будет, — уверенно отвечает другой.

Это говорит о том, что у этих учащихся нет конкретного представления о метре, а также и о том, какова средняя высота классной комнаты (зал двухсветный, значит, примерно, в два раза выше).

В прошлом 1947/48 учебном году нами было предложено студентам 1-го курса учительского института решить треугольник (из § 13 Рыбкина «Сборник задач по тригонометрии»), все линейные элементы которого были выражены в метрах или километрах, а площадь треугольника было предложено выразить в гектарах. Результат получился такой: из 72 студентов 28 все-таки оставили этот вопрос без ответа, 15 человек сделали этот перевод неверно и только 29 учащихся, т. е. только 40,3% студентов, выполнили эту задачу верно.

Но ведь в практической деятельности нашим учащимся придется иметь дело не с отвлеченными, а именно с именованными числами. Ясно, что неудовлетворительный результат решения задачи объясняется недостаточным вниманием учителей к вопросам практического применения полученных знаний.

Вопрос умения применять полученные знания имеет большое значение и в самой математике. На весенних испытаниях в 1947 г. в письменной работе по арифметике учащимся V класса был предложен пример, в котором требовалось умножить 1 на 3. Из просмотренных нами нескольких сот контрольных работ учащихся V классов школ города Калуги и Калужской области все учащиеся, за исключением одного )ченика, обращали при этом смешанное число в неправильную дробь. На устных испытаниях мы спрашивали учащихся о распределительном законе умножения. Все учащиеся уверенно отвечали и приводили примеры «(2-}--j-3)-2 = 2-2-J-3-2)». А если тут же предлагаешь ученику умножить 2 у на 2, то 2 ~ обязательно обращается в неправильную дробь

Или, еще пример. В первом полугодии Институт усовершенствования учителей Калужской области провел письменную контрольную работу по математике. Среди других примеров и задач в V классе предлагалось вычислить Никто из учащихся V классов не применил здесь переместительного закона умножения, чтобы упростить вычисления и произвести их так:

У нас, конечно, ни на минуту не возникает сомнения в знании учащимися переместительного закона умножения, но какая же польза от этих знаний, если они не применяются на практике? И повинны учителя в том, что не научили учащихся применять полученные знания даже в самой математике.

А применение знания законов арифметических действий повысило бы интерес учащихся к изучению этих законов, что, в свою очередь, дало бы возможность учащимся шире и смелее применять математику и при изучении других дисциплин (например физики), и в практической деятельности.

Если мы хотим, чтобы математические знания учащихся были действенными, то мы должны научить их хорошо устно считать, так как в практической деятельности человека, особенно на фронте, в боевой обстановке, чаще всего приходится производить несложные вычисления именно в уме.

А как у нас обстоит дело с устными вычислениями в старших классах? Во многих из просмотренных нами ученических работ имеются письменные записи таких вычислений: 100: 5; 12-5; 45-4; 62 2; 100-12; 99-20; 136:16; 43—32; 60-35; 90:45; 15:12.

Неужели ученик VII класса не может выделить целое число из без того, чтобы не записать это деление углом, или в уме не может разделить 100 на 5?

И, наконец, вопрос о проверке результатов своих вычислений. Ученик VII класса, деля -х^- на 1—, получил в результате 37-у. Неужели ученик не знает, что при делении на число, большее единицы, частное должно быть меньше делимого? Значит, конечно, он не приучен оглядываться назад, не научен проверять свою работу, оценивать результат на глаз. А как это необходимо будет нашим учащимся в жизни,—тогда, когда они выступят на поприще социалистического строительства как самостоятельные строители!

Или возьмем опять результаты вышеупомянутой письменной работы АПН по арифметике. Умножая 28 руб. 5 коп. на 26, одиннадцать учащихся V классов 1-й женской средней школы из четырнадцати, решавших этот пример, получили в ответе 74 руб. 10 коп. вместо 729 руб. 30 коп.

Здесь дело не только в том, что учащиеся допустили ошибку в вычислении. Более печальным, с нашей точки зрения, является тот факт, что учащиеся не проверили полученный ответ, что учащиеся сочли возможным сдать учителю работу с таким «ответом».

А ведь легко прикинуть в уме: 20 р-Х^О уже дает 400, следовательно, умножая 28 р. 5 коп. на 26, мы должны получить во всяком случае более 400 руб., а уж никак не 74 рубля.

Очевидно, никто из 11 учащихся, допустивших в данном вычислении ошибку, не сделал хотя бы приблизительной проверки на глаз результата своих вычислений.

Формализм знаний, механическое усвоение правил, отрыв преподавания математики от задач воспитания активных строителей коммунистического общества — вот причина вышеуказанных недостатков в знаниях учащихся.

На все эти и подобные им вопросы практического применения получаемых учащимися знаний учителю математики необходимо обратить серьезное внимание, если только он всерьез желает, чтобы воспитание советского патриотизма было действенным.

Было бы неправильным, однако, из вышеприведенных фактов делать вывод, что наши учащиеся вообще плохо знают математику, ибо мы рассматривали знания отдельных учащихся специально только с точки зрения умения применять полученные знания на практике. К тому же вышеотмеченные недостатки относятся, как правило, не ко всем учащимся, а преимущественно к отдельным классам или даже учащимся.

Для общего суждения о качестве математических знаний наших учащихся мы позволим себе привести следующие показатели. Нами была проведена в IX и X классах трех школ г. Калуги письменная контрольная работа по математике, содержанием которой были американские тесты, предназначенные для проверки уровня математических знаний у кончающих американскую среднюю школу. Полученные результаты мы сравнили с результатами, полученными в американских колледжах (эти результаты приведены в статье проф. И. Я. Депмана «Уровень математических знаний у кончающих американскую среднюю школу» в журнале «Математика в школе» в № 4 за 1946 год, стр. 48—50). Итоги оказались следующие:

По алгебре

Задача № 120, по данным Американской математической ассоциации, была правильно решена только 44% общего числа учащихся, решавших эту задачу. Учащиеся IX и X классов г. Калуги дали 96,3% правильных решений. Задача №23—в американских колледжах 65% правильных решений, в наших школах—96,8%, задача № 46—74% и 98,2%, № 60-61% и 91,8% и № 75—соответственно 61 % и 75%„

По тригонометрии

Результаты в американской и нашей школах соответственно таковы: задача № 23—21% и 68,8%, № 30-43% и 71,7%, № 36—53% и 94,2% и № 76—68% и 92,3%.

Кк видим, данные говорят за то, что уровень математических знаний у кончающих нашу советскую среднюю школу гораздо выше, чем у учащихся, кончающих американскую среднюю школу.

Это и понятно. Там, где дело народного образования в руках самих трудящихся, там и качество обучения и воспитания детей должно быть выше. Там, где учащиеся знают, что их патриотический долг перед родиной—приобретение глубоких знаний для того, чтобы впоследствии приложить эти знания на благо и преуспевание своей любимой родины, там и уровень знаний должен быть выше.

Там, где широко открыты двери любого высшего учебного заведения для всех трудящихся, там, где дети сознают, что богатства страны —это их богатства, что интересы родины и их интересы—неотделимы, там и уровень знаний учащихся должен быть выше.

Тем более хочется пожелать, чтобы преподаватели математики еще больше, повседневно, на каждом уроке и вне урока, обращали бы внимание на привитие учащимся умения применять полученные знания на практике как при решении конкретных практических жизненно-необходимых задач, так и на применение этих знаний в самой математике.

III

Центральный Комитет партии требует «воспитывать молодежь в духе беззаветной преданности советскому строю, в духе беззаветного служения интересам народа» (Жданов)*.

В своем докладе «О коммунистическом воспитании» на собрании партийного актива города Москвы 2 октября 1940 г. М. И. Калинин говорил:

«Необходимым составным элементом коммунистического воспитания является также развитие любви к Родине, к социалистической Родине, развитие советского патриотизма».

И далее:

«Проповедь советского патриотизма не может быть оторванной, не связанной с корнями прошлой истории нашего народа. Она должна быть наполнена патриотической гордостью за деяния своего народа. Ведь советский патриотизм является прямым наследником творческих дел предков, двигавших вперед развитие нашего народа»**.

Вот почему, заботясь о формировании большевистской идеологии у молодого поколения, школа должна показывать великие достижения нашей страны, нашего народа в прошлом и особенно настоящем, раскрывать заслуги передовых деятелей, выдвинутых народом.

Имеется ли возможность у преподавателя математики показать своим учащимся великие достижения нашего народа в прошлом и в настоящем, раскрыть перед учащимися заслуги передовых деятелей математической науки перед человечеством, показать достоинства нашей социалистической системы, ее преимущества перед капиталистической, показать героизм и патриотический подъем нашего народа?

Каждый преподаватель математики, приступая к тому или иному разделу математики или заканчивая ту или иную тему на уроке, обычно дает своим учащимся краткий исторический очерк. Таким образом, из бесед учителя или из чтения учебника наши учащиеся узнают имена великих людей, сделавших тот или иной вклад в развитие математической науки.

Так, например, на уроках арифметики в теме «О делимости чисел» из объяснения учителя или из чтения учебника по арифметике наши учащиеся V класса узнают имена знаменитых математиков Ферма, Эйлера, Эратосфена (см. Киселев, Арифметика. Учебник для V класса семилетней и средней школы, Учпедгиз, 1947, стр. 64—65).

Но, как известно, в области теории чисел огромный вклад в науку внес наш соотечественник—Пафнутий Львович Чебышев (1821— 1894), основатель русской математической школы, с тех пор и до настоящего времени занимающей выдающееся место в мировой науке.

В 28 лет Пафнутий Львович получил в Петербургском университете степень доктора.

* Доклад т. Жданова о журналах «Звезда» и «Ленинград»), Госполитиздат, 1946, стр. 38.

** М. Калинин, О коммунистическом воспитании, изд. 2-е, 1946, стр. 83.

В 38 лет он уже был ординарным академиком, спустя год П. Л. Чебышев был избран членом-корреспондентом Парижской Академии наук, а в 1874 г. та же академия удостоила его весьма редкой чести избрания своим иностранным сочленом*.

В своей замечательной книге «Теория сравнений» (1849) и в статьях о простых числах (1852) он глубоко продвинул решение вопроса о распределении простых чисел, вопроса 2000-летней давности.

Отличительной чертой научного творчества Чебышева являлась его направленность на удовлетворение запросов практики. «Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее... наука находит себе верного руководителя в практике»,—говорил Пафнутий Львович**.

Современники П. Л. Чебышева, русские академики А. А. Марков и Н. Я. Сонин, так оценили заслуги Чебышева перед наукой:

«Труды Чебышева носят отпечаток гениальности. Он изобрел новые методы для решения многих трудных вопросов, которые были поставлены давно и оставались нерешенными. Вместе с тем он поставил ряд новых важных вопросов, над разработкой которых трудился до конца своих дней.

Ввиду оригинальности исследований П. Л. Чебышева, ему редко приходилось упоминать о чужих исследованиях Зато другие ученые все чаще и чаще упоминают о нашем славном сочлене и черпают свои идеи из той богатой сокровищницы мыслей, которую представляют труды П. Л. Чебышева» (см. П. Л. Чебышев, Избранные математические труды, Огиз, 1946, стр. 9).

О том, как высоко ценит наш народ заслуги П. Л. Чебышева, говорит постановление Совнаркома СССР 1944 г. «О мероприятиях по увековечению памяти академика П. Л. Чебышева в связи с 50-летием со дня смерти»***.

Почему бы каждому учителю математики, говоря об Эратосфене, Ферма и других математиках, не рассказать, хотя бы кратко, о Пафнутий Львовиче Чебышеве, о его трудах, оставивших неизгладимый след в истории мировой науки и в развитии русской культуры? Почему бы портрет гениального русского математика не иметь в каждой школе на видном месте?

Мы говорим учащимся о работе Леонарда Эйлера (см. Киселев, Арифметика, стр. 64— 65), но многие учителя забывают при этом рассказать своим учащимся о том, что более 30 лет своей жизни Леонард Эйлер работал у нас в Петербургской Академии наук, что Россия была для него второй родиной, что в России он и умер (в 1783 г.) и похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге, что и до сих пор сохранилась его могила и надгробный памятник в Ленинграде****.

Нужно рассказать учащимся, что Л. Эйлер высоко ценил русских студентов и был преисполнен глубокой благодарности Петербургской Академии наук. Эйлер сам рассказывал, что в бытность свою в Берлине на вопрос короля прусского Фридриха о том, где изучил он то, что знает, Эйлер ответил: «Я согласно истине ответил, что всем обязан своему пребыванию в Петербургской Академии наук»*****.

На одном из занятий математического кружка 1-й женской средней школы студент физико-математического отделения Калужского государственного учительского института С. П. Гуров выступил с докладом: «Леонтий Филиппович Магницкий и его учебник «Арифметика сиречь наука числительная». Доклад этот был тем более интересен, что на этом занятии С. П. Гуров показал учащимся и самую книгу Л. Ф. Магницкого (учебник арифметики Л. Ф. Магницкого издания 1703 г. имеется в математическом кабинете КГУИ). Мы присутствовали на подобном докладе в 5-й мужской средней школе. С каким интересом ученики VII класса рассматривали книгу Л. Ф. Магницкого! Надо было видеть, с какой любовью и осторожностью перелистывали учащиеся страницы этой книги! И это вполне понятно, так как докладчик со всей убедительностью рассказал учащимся, что в этой книге, как выразился Л. Ф. Магницкий,

«Разум весь собран и чин — Природно-русский, а не немчин»,

т. е., что уже Магницкий подчеркивал, что природно русский разум развивается своими путями, отличными от западноевропейских.

Арифметику Магницкого и грамматику Смотрицкого величайший гений русского народа М. В. Ломоносов называл «вратами своей учености». Проф. Б. Г. Кузнецов указывает, что «повидимому, они (эти книги. — С. Ч.) и пробудили в Ломоносове то стремление к

* См. Б. В. Гнеденко, Очерки по истории математики в России, Огиз, 1946, стр. 114.

** П. Л. Чебышев, Черчение географических карт, Избранные математические труды, 1946, стр. 100.

*** См. доц. В. Молодший, Пафнутий Львович Чебышев, журн. «Математика в школе», 1946, № 3, стр. 16.

**** См. проф. А. П. Юшкевич, Математика и ее преподавание в России XVII—XIX вв., журн. «Математика в школе» 1947, №5, стр. 25.

***** Сборник «Леонард Эйлер», стр. 235.

наукам, которое было причиной отъезда его из родной деревни в Москву»*.

Все это говорит о том, что сообщение учителя об «Арифметике» Л. Ф. Магницкого на уроке или доклад на эту тему в математическом кружке представляют большой интерес и с точки зрения воспитания у учащихся чувства национальной гордости и советского патриотизма, и с точки зрения возбуждения у учащихся большего интереса к изучению арифметики.

Говоря об измерении величин и о метрической системе мер и весов на уроках арифметики в V классе, обращая внимание учащихся на преимущества метрической системы мер, следует рассказать учащимся о том, что до введения метрических мер учащимся приходилось заучивать такие соотношения между единицами квадратных и кубических мер, как, например: 1 кв. аршин = 256 кв. вершкам, 1 куб. аршин = = 4096 куб. вершкам и т. п. Какие сложные выкладки приходилось производить ученику дореволюционной школы при вычислении площадей и объемов! Надо рассказать учащимся о том, что метрические меры были введены во время Французской буржуазной революции в конце XVIII в., а также и о том, что царское правительство всячески противодействовало введению метрических мер у нас в России не только потому, что они имели революционное происхождение, а также потому, что в основе их лежала идея интернационализма: создать систему мер «на все времена, для всех народов». В частности, можно указать, что в 1823 г. учебник геометрии Н. И. Лобачевского не был дозволен к печати за то, что Лобачевский провел в нем десятичное деление угла и метрические меры, а «сие разделение выдумано было во время французской революции», говорилось в рецензии на учебник Лобачевского**.

Только при советской власти декретом Совета Народных Комиссаров от 14 сентября 1918 г. у нас введены метрические меры. Вопросу «Удобства метрической системы» посвящен § 110 учебника Киселева. И вот, говоря о преимуществах метрических мер и сравнивая их со старыми русскими мерами, учитель иногда просто целиком порицает при этом наши старые русские меры.

При всех своих недостатках система русских мер имела и положительные стороны, как, например, удачно выбранные основные единицы длины и веса и еще более удачно взятое соотношение между основными единицами и их производными, более мелкими единицами. В самом деле, тот факт, что аршин разделился на 16 вершков (16 = 24), делал возможным дробить аршин на более мелкие доли, не имея при этом дела с дробями: не только пол-аршина или четверть аршина, но полчетверти и даже четверть четверти можно было взять от аршина и все равно результат выражался целыми вершками, а не дробными. То же самое и пуд, равный 40 фунтам (40 = 23-5).

На уроках геометрии мы рассказываем учащимся об Евклиде, как об авторе первого систематического курса геометрии. Но некоторые учащиеся и кончают школу, ничего не слышав о нашем соотечественнике — великом математике Николае Ивановиче Лобачевском, об этом всем миром признанном «Копернике геометрии».

Николай Иванович Лобачевский разрешил проблему, над которой более двух тысяч лет трудились математики всего мира.

«В истории науки трудно найти такой коренной переворот, который можно поставить рядом с открытием неевклидовой геометрии. Ж. Таннери сравнивал Лобачевского с Колумбом, но достижение нового материка не потребовало и не означало такого решительного отказа от незыблемых и привычных идей, как геометрия Лобачевского. Клиффорд назвал его «Коперником геометрии»***, но гелиоцентрическая система Коперника заставила лишь по-иному представить себе расположение и движение небесных тел в пространстве, а система Лобачевского требует нового представления о самом пространстве. Если Коперник остановил Солнце и двинул Землю, то «легче было двинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой — на расхождение!»****

Открыть неевклидову геометрию и довести ее развитие до возможного в то время совершенства мог только гений. Это несомненно, но этого недостаточно!

* Проф. Б. Г. Кузнецов, Ломоносов, Лобачевский, Менделеев. Очерки жизни и мировоззрения, изд. Академии наук СССР, 1945, стр. 15.

** Там же, стр. 173, или В. Ф. Каган, Лобачевский, стр. 79.

*** Клиффорд, английский ученый, так характеризовал заслуги Лобачевского: «Чем Коперник был для Птоломея, тем был Лобачевский для Евклида. Между Коперником и Лобачевским существует поучительная параллель. Коперник и Лобачевский— оба славяне по происхождению. Каждый из них произвел революцию в научных идеях, и значение каждой из этих революций одинакого велико. Причина громадного значения и той и другой революции заключается в том, что они суть революции в нашем понимании Космоса...» (Цитирую по книге проф. Б. Г. Кузнецова. Ломоносов, Лобачевский, Менделеев, изд. АН СССР, М.—Л. 1945, стр. 304.)

**** Проф. Б. Г. Кузнецов, Ломоносов, Лобачевский, Менделеев, изд. АН СССР, М.—Л. 1945. стр. 95.

Надо было иметь смелость отказаться от абсолютизации геометрии Евклида, порвать с многовековыми традициями, выступить против философии Канта. Это мог сделать человек с передовым материалистическим мировоззрением, человек, для которого материализм был орудием отыскания истины. Надо было иметь волю и решимость довести дело до конца, не оглядываясь в сторону «беотийцев». Но для этого «надо было быть не только гением, но и революционером в науке. Им-то и был Н. И. Лобачевский!»* Этого гения и революционера в науке выдвинул из своей среды наш великий русский народ.

«В творчестве Лобачевского выразились общественный подъем и развитие русской культуры, пробужденные Отечественной войной против Наполеона. Казалось, напряжение всех сил народа против захватчиков вызвало к жизни громадные достижения русского гения во всех областях искусства, литературы и науки». Лобачевский «жадно прислушивался к сообщениям о подвигах Багратиона и мечтал прославить русское имя. Эта биографическая деталь иллюстрирует национальные корни творчества Лобачевского. Но Лобачевский, подобно Ломоносову, был связан с международным движением науки»**.

Но заслуги Лобаческого не исчерпываются только созданием им неевклидовой геометрии. Большой вклад Николай Иванович внес и в другие отрасли математики. В частности Лобачевский впервые формулировал общее понятие функции, обычно связываемое с именем Дирихле.

Н. И. Лобачевский был блестящим педагогом, общественным деятелем и был глубоким патриотом своей родины, своего народа. Гениальный ученый всегда «был борцом за русскую национальную культуру, каждодневным строителем ее, не боявшимся трудов, тягот, обид и разочарований, неизбежных в его положении, особенно в тот «жестокий век», в котором протекала его деятельность»***.

Современник Н, И. Лобачевского, великий немецкий математик Гаусс, оценивший заслуги Лобачевского при его жизни, но боявшийся об этом признаться в печати, высоко отзывался о работах Лобачевского и изучал русский язык, чтобы в подлиннике знакомиться с работами Лобачевского****.

Но не так-то легко было прокладывать дорогу к науке при царском правительстве в России! Царское правительство испугалось этого неутомимого новатора в науке и его непосредственного общения со студентами и не утвердило его ректором университета (несмотря на то, что совет снова переизбрал его ректором), отстранило от чтения лекций в университете, созданию которого он отдал лучшие годы своей жизни. Правительство тем самым лишило гениального геометра возможности преподавать математику. В царской России гений математической мысли не был признан: даже Петербургская Академия наук не избрала его своим членом.

Совершенно правильно делают те учителя, которые на своих уроках или в математическом кружке рассказывают учащимся об этом великом «Копернике геометрии», нашем соотечественнике Н. И. Лобачевском, о его жизни и деятельности, о его взглядах на воспитание, о его материалистическом мировоззрении, о его мировом вкладе в геометрию, о тех трудностях, которые приходилось переживать такому великому гению науки в силу варварского отношения царского правительства к русским талантам, к самобытной русской науке.

Только после Октябрьской социалистической революции русская наука, поддерживаемая партией и правительством, получила возможность широко и беспрепятственно развиваться.

Ученикам X класса на занятиях математического кружка можно рассказать и о самой геометрии Лобачевского. Хорошим пособием для этой цели может явиться только вышедшая из печати книга И. М. Гуль, Геометрия Лобачевского, изд. АПН, 1947.

Ученикам старших классов на занятиях математического кружка следует рассказать о топологии***** и указать, что топология рядом своих фундаментальных достижений обязана советским ученым (П. С. Урысон, П. С. Александров, Л. С. Понтрягин) и что в 1935 г. была созвана, по инициатива Математического института Московского университета, Первая международная топологическая конференция.

«Совершенно новые, своеобразные пути проложены в геометрической области топологии членом-корреспондентом АН СССР П. С. Александровым»,— говорит президент АН СССР

* См. В. Н. Молодший, Новые книги о Николае Ивановиче Лобачевском, «Математика в школе», 1946, № 1, стр. 56.

** См. предисловие президента Академии наук СССР академика Комарова к книге Б. Г. Кузнецова, Ломоносов, Лобачевский, Менделеев, изд. Академии наук СССР, М.—Л. 1945, стр. 9 —10.

*** П. С. Александров, Н. И. Лобачевский— великий русский математик. Ломоносовские чтения, «Молодая гвардия», 1946.

**** См. Б. Г. Кузнецов (указанная работа стр. 319), или Б. В. Гнеденко, Очерки по истории математики в России, стр. 93.

***** См. статью А. Д. Александрова, Что такое топология, «Математика в школе», 1946, № 1.

академик С. И. Вавилов в своей книге «Тридцать лет советской науки» (1947, стр. 47).

При изучении тригонометрии, говоря о практическом применении тригонометрии в геодезических съемках, надо рассказать учащимся и о том, что наши русские геодезисты славились и славятся исключительной точностью своих измерений не только у нас, но и за границей.

IV

Первая глава школьного учебника алгебры заканчивается краткими историческими сведениями. В этих исторических сведениях перечисляется ряд имен иностранных ученых, внесших в свое время тот или иной вклад в алгебру (см. Киселев, Алгебра, 1947, стр. 7 — 8). Таким образом, у учащихся получается впечатление, что вся алгебра была создана иностранцами и что нам, русским, ничего не остается более, как заимствовать у них эту науку.

Но это не совсем так. Я до сих пор не ногу забыть того глубокого впечатления и чувства гордости за свою родину, которое произвело на меня, да и на всех нас, бывших в 1928 г. студентами III курса Смоленского государственного университета, сообщение доцента С. В. Воронина, который на одной из своих лекций разъяснил, что слово «алгебра» произошло от арабского слова «альджебр», что значит «восстановление». — из названия книги с Альджебр уаль мукабала», написанной в первой половине IX столетия арабским математиком Мухаммедом ибн Муса Альхорезми, т. е. Мухаммед — имя ученого, ибн Муса— сын Муса, Альхорезми—из провинции Хорезми или теперешней Хивы, города близ Бухары, Узбекской ССР.

О том, что слово «алгебра» происходит от названия сочинения Альхорезми, мы найдем в любом справочнике по математике и в учебнике алгебры Киселева, но указания о том, что Альхорезми жил на территории теперешней Узбекской ССР, т. е. на территории, входящей в Советский Союз, в учебниках для учащихся почему-то не указывается. Не указывается в учебниках математики или в других доступных учащимся средних школ книгах и на то, что среднеазиатские математики средних веков, и в особенности Мухаммед ибн Муса Альхорезми, оказали огромное влияние на развитие алгебраических представлений в Европе*. Отметим, что у Альхорезми же мы впервые встречаем и намеки на наш современный способ деления, названный «золотым» за его удобство. В более явной форме этот способ затем встречается только в XII веке у индуса Баскары.

Большой вклад в развитие современной алгебры внесли советские математики — Отто Юльевич Шмидт, а также ученик Павла Сергеевича Александрова, а впоследствии О. Ю. Шмидта—молодой ученый А. Г. Курош.

Укажем также, что на Международном математическом конгрессе в 1936 г, докладчик О. Ope в своем докладе «Декомпозиционные теоремы алгебры» изложил среди других достижений по данному вопросу работу академика О. Ю. Шмидта и А. Г. Куроша** (А. Г. Курошу было тогда всего 28 лет).

Наших учащимся должно быть знакомо имя С. В. Ковалевской. Софья Васильевна Ковалевская— знаменитая русская женщина-математик (1850 —1891 гг.), первая в мире женщина — профессор математики.

В 1888 г. она получила первую премию в Парижской Академии наук за работу, на которую неоднократно объявлялся конкурс Парижской Академией, за работу, которой занимались лучшие математики всего мира, но решение которой смогла дать только дочь нашей родины— С. В. Ковалевская. Ее исследование о/ движении твердого тела вокруг неподвижной точки было признано «замечательным трудом», значительно продвинувшим науку вперед. За работу была увеличена премия с 3000 до 5 000 франков. Каково же было удивление членов комиссии, когда они увидели, что победителем конкурса оказался не кто-нибудь из видных математиков Запада, а русская женщина С. В. Ковалевская. Эта работа С. В. Ковалевской имела большое значение для дальнейших исследований в деле развития самолетостроения. Знаменитый русский ученый в области прикладной математики, отец советской авиации Н. Е. Жуковский высоко отзывался о работах С. В. Ковалевской.

Исследования С. В. Ковалевской по теории дифференциальных уравнений в частных производных до сих пор входят в современные учебники по теории дифференциальных уравнений.

Но Ковалевская известна всему миру не только как женщина-математик. Она была одарена разносторонними талантами. Помимо того, что она создала русской науке славу своими математическими работами, Софья Васильевна писала романы и драмы, пользовавшиеся в то время большим успехом и печатавшиеся у нас и за границей.

В общественной жизни С. В. Ковалевская проявила себя борцом за равноправие женщин.

С. В. Ковалевская читала лекции в Стокгольмском университете и пользовалась большой по-

* См. Гнеденко, Очерки по истории математики в России, стр. 4.

** См. «Математика в школе», 1940, № 3, стр. 63.

пулярностью. «Имя русской женщины было известно всему культурному миру»... Статьи о Ковалевской печатались во всех русских и зарубежных газетах и журналах*.

Только в царской России не нашлось места для работы С. В. Ковалевской. Президент Петербургской Академии наук великий князь Константин Константинович заявил: «Так как доступ на кафедры в наших университетах совсем закрыт для женщин, каковы бы ни были их способности и познания, то для г-жи Ковалевской в нашем отечестве нет места столь же почетного и хорошо оплачиваемого, как то, которое она занимает в Стокгольме»**. Не так относился русский народ и передовые ученые к С. В. Ковалевской.

Передовые русские математики высоко ценили заслуги Ковалевской. По предложению Чебышева, они избрали ее в 1889 г. членом-корреспондентом нашей Академии. В связи с этим Чебышев послал Ковалевской в Стокгольм телеграмму: «Наша Академия наук только что избрала вас членом-корреспондентом, допустив этим нововведение, которому не было до сих пор прецедента. Я очень счастлив видеть исполненным одно из моих самых ценных, пламенных и справедливых желаний. Чебышев»***.

Но когда С. В. Ковалевская приехала на заседание Академии наук, администрация Академии все-таки не допустила С. В. Ковалевскую в зал заседания Академии наук только потому, что она была женщина.

Как дико кажется это сейчас нам, сынам и дочерям советской родины, где Сталинской Конституцией «женщине в СССР предоставляются равные права с мужчиной во всех областях хозяйственной, государственной, культурной и общественно-политической жизни».

Вот почему, рассказывая учащимся биографию С. В. Ковалевской, нельзя не обратить внимание на то положение, которое занимала женщина в царской России, да и сейчас еще занимает в капиталистических странах, нельзя не рассказать о той заботе, которую проявляет советская власть о женщине, о тех возможностях, которые предоставляются женщинам сейчас у нас, в Советском Союзе; нельзя не вспомнить, что для освобождения женщины в нашей стране в первые же месяцы советской власти было сделано столько, «сколько за 130 лет не сделали все вместе передовые, просвещенные «демократические» республики всего мира» (Ленин).

Если в царской России, преодолевая неимоверные препятствия, выдвинуться в науке могли только женщины-одиночки, то в Советском Союзе женщине открыта широкая дорога в науку. Свыше 200 сталинских премий присуждено женщинам, 62 женщины нашей страны имеют высокое звание Героя Советского Союза.

Патриотизм С. В. Ковалевской, ее любовь к родине, интерес к ее научным деятелям, к развитию русской науки подчеркивает профессор П. А. Некрасов. Несмотря на то что по стечению многих обстоятельств деятельность ее сосредоточилась за границей, она стремилась к общению с русскими учеными. «Это доказывается живым участием ее в занятиях VI и VII съездов русских естествоиспытателей и врачей, а также ее сношениями с русскими учеными во время приездов в Россию». В этом Ковалевская проявляла «энергичную настойчивость»****.

Немецкий ученый Ф. Клейн в своей книге «Лекции о развитии математики в XIX столетии», ч. 1-я, пытается взять под сомнение заслуги С. В. Ковалевской. «Первое, что бросается в глаза, — пишет он в своих лекциях, — это то, что ее работы находятся в столь тесной связи с работами Вейерштрасса..., что не видно, в какой мере эти работы заключают ее собственные мысли» (см. стр. 337)*****. Мы должны сказать, что здесь имеет место явная попытка со стороны Клейна неправильно осветить роль своего соотечественника Вейерштрасса и умалить роль русской женщины-математика.

Мы знаем, что подобное же утверждение Ф. Клейн пытался высказать и по поводу создания Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии: «Однако тщательный анализ обнаруживает полную несостоятельность этой теории» (В. Ф. Каган, Лобачевский, стр. 273—274), да и самому Клейну от такого утверждения впоследствии пришлось отказаться (см. В. Ф. Каган, Лобачевский, стр. 276).

Мы знаем, что такие попытки приписать заслуги русских ученых своим соотечественникам в капиталистических странах встречаются и сейчас. Вспомните, например, выступление итальянского министра почт, телеграфа и телефона Мерлина по поводу открытия радио: 28 сентября 1947 года он пытался доказать, что честь открытия радиосвязи принадлежит Маркони (1897 г.), а не нашему русскому ученому Александру Степановичу Попову, изобретшему радио в 1895 г.******.

Такое несправедливое умаление роли советских и вообще русских ученых-математиков и

* С. В. Ковалевская, Воспоминания, стр. 208.

** Там же, стр. 209.

*** Там же, стр. 210.

**** С. В. Ковалевская, Воспоминания детства и автобиографические очерки, стр. 203.

***** Феликс Клейн, Лекции о развитии математики в XIX столетии, ч. 1-я, ОНТИ НКТП СССР, 1937, стр. 337.

****** См. «Известия» № 240 от 11 октября 1947 г., или журн. «Техника молодежи», 1947, № 12, статья инж. М. Ильина, стр. 8 и 9.

часто незаслуженное восхваление американских, английских и других буржуазных математиков мы неоднократно встретим на страницах книги американских авторов Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика», недавно переведенной на русский язык (перевод под редакцией проф. В. Л. Гончарова). Авторы совершенно не упоминают имена таких русских ученых, как П. Л. Чебышев, П. С. Александров, Л. С. Понтрягин, П. С. Урысон, даже тогда, когда пользуются их трудами (например, авторы приводят теорию размерности, созданную П. С. Урысоном, не упоминая при этом имени ее творца), или пытаются выдвинуть на первое место западно-европейских математиков (например Гаусса и Болья) и приписать открытие неевклидовой геометрии и тем самым затушевать приоритет русских ученых, приписать заслуги советского математика А. О. Гельфонда буржуазному ученому Зигелю (см. стр. 162—163 книги Куранта и Роббинса) и т. п.

V

Нужно рассказать учащимся о том, что большой вклад, имеющий огромное мировое значение, внесли советские математики в науку за 30 лет существования советской власти.

Преподаватель математики должен рассказать учащимся, что подлинный расцвет математического творчества (как и вообще всякого научного творчества) в нашей стране пришел только после Великой Октябрьской социалистической революции, что успехи, достигнутые советскими математиками за 30 лет советской власти, есть результат Великой Октябрьской социалистической революции, коренным образом изменившей исторические условия жизни советского народа.

Высшее образование и наука стали достоянием не привилегированных слоев населения, а всего народа. В стране создается целая сеть университетов и научно-исследовательских институтов, в том числе и математических, в которых находят свое место все способные работать в науке. На смену гениальным одиночкам, часто с большим трудом пробивающим себе путь, в науку «пришли мощные математические коллективы, совместными усилиями преодолевающие трудности творческого пути»*, наука стала массовой и народной.

Изменился и самый характер науки.

Под руководством партии, по указанию товарища Сталина создается новая наука, передовая наука, «наука, которая не отгораживается от народа, не держит себя вдали от народа, а готова служить народу, готова передать народу все завоевания науки, которая обслуживает народ не по принуждению, а добровольно, с охотой» (Сталин)**.

Страна предъявляет к науке огромные требования, ставит перед наукой, в том числе и перед математикой, определенные задачи, и советские математики активно помогают разрешению поставленных практических задач, а это в свою очередь положительно влияет и на развитие самой математики.

Нужно показать учащимся, что достигнутые советскими математиками успехи за немногие годы, прошедшие со времени Великой Октябрьской социалистической революции, в других общественных условиях были бы невозможны.

В своем докладе, посвященном тридцатилетию Великой Октябрьской социалистической революции, 6 ноября 1947 г. В. М. Молотов сказал: «Величие Советского Союза создано благодаря социалистической революции и ныне признано народами всего мира»***. Это величие Советского Союза признано народами всего мира и в области математики.

Преподавателю математики небезынтересно знать такие факты: на международном математическом конгрессе в Осло в 1936 г. ставился ряд обзорных докладов по математике. Многие докладчики при этом ссылались на работы наших советских ученых. Так, автор доклада «О диофантовых приближениях» И. Г. Ван-дер-Корпут, делая сводку достижений в этой области за один 1935 г., неоднократно ссылался на ряд работ советских ученых-математиков; в частности, в литературном перечне работ по этому вопросу имелось 18 ссылок на работы И. И. Виноградова, т. е. почти столько же, сколько имелось ссылок на работы всех остальных авторов, вместе взятых.

М. Фреше, в докладе «Математические мелочи» многократно ссылается на работы советских ученых—Маркова, Бернштейна, Романовского и Колмогорова, подчеркивая в особенности значение последних.

На секциях Международного конгресса с докладами выступали и наши советские ученые, например Л. С. Понтрягин и другие****.

Л. С. Понтрягин (1908 г. рождения)—профессор Московского университета, член-корреспондент Академии наук, лауреат Сталинской премии—16 лет от роду потерял зрение. Известна судьба таких людей в царской России. Но в

* Б. В. Гнеденко, Очерки по истории математики в России, стр. 158.

** Речь товарища Сталина на приеме в Кремле работников высшей школы 17 мая 1938 г., Огиз, Гос. изд-во политической литературы, 1938, стр. 3-

*** В. М. Молотов, Тридцатилетие Великой Октябрьской социалистической революции, стр. 14.

**** См. статью проф. И. Депмана в журнале «Математика в школе» № 3 за 1940 год, стр. 62—64.

Советском Союзе жизнь Л. С. Понтрягина сложилась иначе. Он становится математиком с мировым именем.

«Когда Принстонский университет в Америке издал книгу Понтрягина по теории непрерывных групп, один из крупнейших современных математиков Уайтхед писал, что результаты автора принадлежат к одним из самых интересных достижений в математике за последние годы и что университет, издавший их, нужно поздравить с таким блестящим началом своих научных публикаций.

Основные теории книги Понтрягина принадлежат к тем, открытие которых требует исключительного воображения. Изложение их требует исключительного искусства. Нельзя не признать, что эта блестящая книга граничит с гениальностью»*.

Можно рассказать и о некоторых других достижениях советских математиков. Например, проблема Гольдбаха, высказанная им в 1742 г., долгое время привлекала внимание ученых-математиков всего мира. В 1912 г. на международном конгрессе математиков было заявлено, что решение этой проблемы превосходит силы математиков, а в 1930 г. наш советский ученый Л. Г. Шнирельман, а затем в 1937 г. академик Виноградов разрешили эту проблему почти полностью.

В 1900 г. на II Международном математическом съезде, состоявшемся в Париже, знаменитый немецкий математик Гильберт прочел доклад о проблемах будущей математики. Седьмой по счету—из общего числа 23—Гильберт поставил следующую проблему: будут ли числа вида а Р, где а—алгебраическое число и ß— алгебраическая иррациональность, например 2^2, числами трансцендентными или, по меньшей мере, иррациональными?

Многие из указанных Гильбертом проблем были решены вскоре после прочтения им доклада, но седьмая проблема в течение 30 лет так и оставалась проблемой, бросая вызов ученым. И только советский математик Александр Осипович Гельфонд в 1934 г. полностью разрешил ее**.

Отметим, что в 1926 г. ленинградский математик Р. О. Кузьмин нашел исчерпывающее доказательство проблемы Гаусса, современника Н. И. Лобачевского.

Больших успехов достигли советские математики в деле развития теории вероятностей, и особенно академик Бернштейн.

Книга академика Бернштейна «Теория вероятностей»—одно из лучших произведений мировой литературы по теории вероятностей. Академик С. И. Вавилов, президент Академии наук СССР, в своей статье «Тридцать лет советской науки», так характеризует успехи советских математиков, достигнутые ими за тридцатилетний период существования советской власти:

«Русская математика с начала XIX века заняла одно из первых мест в мировой науке, но никогда не достигала она такой широты, разнообразия и глубины, как за рассматриваемые советские годы. Особенно замечательны оригинальные результаты, достигнутые нашими математиками, в особенности академиком И. М. Виноградовым, в области теории чисел. И. М. Виноградову принадлежит широкое развитие нового аналитического метода теории чисел и решение ряда труднейших задач в этой области. Очень большое значение как для самой математики, так и для физики, для различных областей статистики, для техники и для военного дела имели работы советских математиков — академика С. Н. Бернштейна, А. Н, Колмогорова, А. Я. Хинчина по теории вероятностей. Очень многое, притом практически важное, достигнуто советскими аналитиками по теории дифференциальных уравнений. Среди длинного ряда блестящих работ этого направления можно отметить исследования академиков И. Г. Петровского, С. Л. Соболева, В. И. Смирнова и многих других.

Совершенно новые своеобразные пути проложены в геометрической области—топологии—членом-корреспондентом Академии наук П, С. Александровым»***.

VI

Заботясь о воспитании чувства патриотизма и национальной гордости у молодого поколения, школа должна показывать великие достижения нашей страны, нашего народа в прошлом и особенно настоящем. На уроках математики это особенно удобно сделать.

При решении задач преподаватель математики может показать учащимся грандиозные темпы нашего социалистического строительства, колоссальный размах восстановительных работ, несмотря на разрушения, нанесенные варварским нашествием фашистских извергов на нашу родину, энтузиазм рабочих и крестьян и сопоста-

* См. «Обучение и воспитание в школе», сборник статей под редакцией Л. Е. Раскина, Ленинградский городской институт усовершенствования учителей, 1947, стр. 148 — 149.

** Доц. Молодший, II Всесоюзный математический съезд, «Математика и физика в средней школе», 1934, № 3, стр. 4, или Гнеденко, Очерки но истории математики в России, стр. 193-194.

*** См. журнал «Техника молодежи» № 12 за 1947 год, стр. 3, или отдельная брошюра акад. С. И. Вавилова, Тридцать лет советской науки, 1947, стр. 46-47.

вить это с тем упадком, который сейчас переживают капиталистические страны, обратить внимание учащихся на рост числа безработных в капиталистических странах и т. п. Приведем примеры таких задач. Задача 1.

Законом о пятилетнем плане восстановления и развития народного хозяйства СССР на 1946— 1950 гг. установлен «план восстановления и нового строительства государственного жилого фонда на пятилетие в размере 72,4 млн. кв. метров жилой площади»*. Что содержится в этом, написанном тремя цифрами числе 72,4 млн.?

Если считать, что на каждого человека требуется 8 кв. метров жилой площади, то сколько жителей населения нашего могучего Советского Союза будут обеспечены новой жилой площадью за пятилетие?

Без карандаша и бумаги, устно легко подсчитать, что за пятилетку будет построено новых домов с жилплощадью для 9 050 000 человек. Цифра настолько внушительна, что вряд ли школьник еще поймет, что это значит.

Попытаемся конкретизировать ее еще немного. В Калуге** около 90 тыс. (по данным переписи 1939 г.) жителей, жилая площадь Калуги, примерно, около 720 тыс. кв. метров. Сколько городов, таких, как Калуга (не считая промышленных и коммунальных построек), содержится в новой жилплощади?

72 400000:720000= 100,56.

Ответ: Более 100 городов за пятилетку, т. е. 20 городов таких, как г. Калуга, будет в среднем ежегодно строиться для квартир рабочих и служащих в этой пятилетке. Это только строительство государственного жилого фонда. К этому еще надо прибавить 12 млн. кв. метров жилой площади индивидуального строительства в городах и рабочих поселках на средства населения с помощью государственного кредита, а это также составит (будем и здесь сравнивать с жилплощадью Калуги)

12000000:740000= 16,7 городов.

В какой капиталистической стране возможно такое строительство? В какой капиталистической стране вы найдете такую заботу о жилищных условиях трудящихся? Ни в какой!

Аналогично мы имеем «план ввода в действие государственного жилого фонда в городах РСФСР в размерах 44 595 тыс. кв. метров»„ что составит 44 595 000:720 000= 62 города таких, как Калуга, или на каждый год строительства приходится более 12 городов.

На решении задач мы можем показать учащимся, какую большую заботу о детях проявляют наша партия и правительство.

Задача 2.

В 1914 г. в начальных и средних школах России училось 8025 тыс. человек, а в 1940 г. количество учащихся в начальных и средних школах достигло 34 800 тыс. человек***.

Во сколько раз увеличилось число школьников в 1940 г. по сравнению с 1914 г.? (или: на сколько процентов увеличилось число школьников?).

Ответ: В 4 — раза (или на 334 процента).

Задача 3.

В Калужской губернии в 1915 г. «было 925 школ, из которых только 16 с семилетним сроком обучения и 16 средних школ. Контингент учащихся составлял 70 495 человек, из них в средних учебных заведениях обучалось лишь 4945 учащихся.

В 1947/48 учебном году в области насчитывается 1 475 школ, причем 298 неполных средних и 42 средних.

164453 учащихся обучаются в настоящее время в школах, из них 60 609 — в семилетних и 26 490 в средних школах (см. «Знамя»**** №235 от 26 ноября 1947 г., стр. 3—«О прошлом и настоящем Калужской области»).

Во сколько раз в настоящее время в школах Калужской области обучается детей больше, чем обучалось в 1915 г.? Во сколько раз возросло количество школ?

Ответ: Количество учащихся возросло более чем в 2,3 раза, причем в средних школах— более чем в 5,3 раза. Количество школ увеличилось почти в 1,6 раза, причем количество семилетних школ увеличилось более чем в 18 раз, а средних более чем в 2,6 раза.

Задача 4.

Рост материального благосостояния у нас в Советском Союзе тесно связан с увеличением численности рабочих и служащих в народном хозяйстве: «За годы пятилетки в среднем количество рабочих и служащих будет ежегодно возрастать на 1 млн. 250 тыс. человек, и к концу 1950 г. оно достигнет 33,5 млн. человек» (Л. Володарский, Послевоенная пятилетка в действии, Госполитиздат, 1947, стр. 53).

* «Закон о пятилетнем плане восстановления и развития народного хозяйства СССР на 1946— 1950 гг.», Гос. изд.-во политической литературы, 1946, разд. III, п. 4, стр. 54.

** От редакции. В этой и в ряде следующих задач автор пользуется данными по г. Калуге и Калужской области. Каждый учитель по этим образцам может составить аналогичные задачи применительно к своей области.

*** См. «Что дала советская васть молодежи», изд-во ЦК ВЛКСМ «Молодая гвардия», 1947 г., стр. 140.

**** Газета «Знамя», орган Калужского обкома и горкома ВКП (6).

На сколько человек увеличится количество рабочих и служащих за пятилетку?

Решение. Мы имеем арифметическую прогрессию, первый член и разность которой равны 1 250 000, а число членов равно 5. Следовательно, увеличение количества рабочих и служащих за пятилетку будет равно:

т. е. 18 млн. 750 тыс. человек! И это в то время, когда в капиталистических странах, даже в Америке, армия безработных все время увеличивается ! Задача 5.

Приведем одну задачу, характеризующую положение крестьян в капиталистических странах и «заботу» их правительств о материальном и культурном уровне жизни крестьян.

В газете «Правда» сообщалось, что в Италии около 100 тыс. безземельных крестьян Римской области «под руководством местных организаций конфедерации сельскохозяйственных рабочих заняли 30 тыс. гектаров пустующих земель, принадлежащих помещикам и римской аристократии...

Руководство Римской ассоциации аграриев (владеющих половиной земель Римской провинции, причем 155 тыс. гектаров принадлежат всего лишь 65 семьям во главе с латифундистом князем Караффа) призвало полицейские власти «восстановить порядок и священные права собственности»*. Поставим такой вопрос:

Сколько гектаров пустующей земли придется в среднем на семейство одного безземельного крестьянина Римской области и сколько гектаров в среднем останется каждой семье римского помещика или князя?

Ответ: На одну крестьянскую семью придется 30000:100 000 =0,3 гектара пустующей земли и на одну семью помещика или князя останется (155000 — 30 000): 65=1 923 гектара. И все-таки итальянские помещики и князья взывают к «священному» праву собственности и не могут добровольно согласиться даже на такое нищенское удовлетворение безземельных крестьян пустующей землею.

Задача 6.

Средняя урожайность по крестьянским хозяйствам Калужской губернии за период с 1906 по 1915 г. была следующая (в пудах с гектара):

Рожь — 31 пуд 20 фунтов с гектара, овес— 32 пуда, ячмень — 28 пудов, просо — 20 пудов 20 фунтов, картофель—360 пудов**.

Совсем иное мы имеем в деревнях Калужской области сейчас, при советской власти. Некоторые артели получили среднюю урожайность зерновых культур в этом году от 13 до 15 центнеров с гектара. Еще выше урожай на участках передовых бригад и звеньев.

Во сколько раз средний урожай зерновых в колхозах Калужской области в 1947 г. выше среднего урожая зерновых крестьянских хозяйств царской России?

Решение.

1. Средняя урожайность зерновых с гектара в крестьянских хозяйствах Калужской губернии с 1906 по 1915 г. составляла (31 п. 20 ф.+ + 32 п.+ 20 п. 20 ф.):4=112 п.:4 = 28 п. с гектара.

2. Средняя урожайность зерновых в колхозах Калужской области в 1947 г. составила: (13 ц+ 15 ч):2=28 ц: 2 = 15 ц=6,\ -14 = 85,4 пуда с гектара.

3. Средняя урожайность в колхозах Калужской области превышает среднюю урожайность зерновых в крестьянских хозяйствах царской России более чем в 3 раза (85,4:28=3,05).

Задача 7.

На секции преподавателей математики г. Калуги 9 января 1948 г. преподавательница математики 1-й средней женской школы Л. Н. Сеник привела пример такой задачи, решаемой ею с учащимися: Стахановец Детчинского леспромхоза Даниил Объедков в честь выборов в местные Советы за 16 дней заготовил 175 кубометров рудничной стойки, что составляет 510 процентов нормы. За первую половину декабря т. Объедков заработал 1500 рублей. Определить норму заготовок рудничной стойки в 1-й день и ежедневный заработок стахановца Объедкова. (Задача составлена на основании наметки «Стахановца лесозаготовок», помещенной в Калужской областной газете « Знамя > № 1 от 1 января 1948 г.)

Это очень интересная задача. Она интересна, во-первых, тем, что показывает патриотический подъем рабочих в связи с выборами в местные Советы. Во-вторых, она интересна тем, что близка интересам большинства учащихся школ Калужской области. Ведь почти у каждого ученика сельской школы Калужской области найдется в семье человек (отец, брат или дядя), который также работает зимою на лесозаготовках. Ясно, что ученик доведет до сведения родных содержание задачи, которую он сегодня решал в школе. А это не может не иметь определенного воспитательного воздействия и на членов семьи.

Задача 8.

Приведем в качестве примера несколько простых, но интересных в воспитательном отношении, как нам кажется, задач.

* См. «Положение в Италии», газета «Правда» № 263 от 5 октября 1947 г., стр. 4.

** Газета «Знамя» от 15 ноября 1947 г., № 227, «Так было».

В октябре рабочие, работницы, инженерно-технические работники и служащие промышленных предприятий города Ленинграда обратились с письмом к товарищу Сталину, в котором сообщали, что 23 октября 1947 г. промышленность города Ленина «завершила выполнение государственного плана второго года послевоенной пятилетки. За 9 месяцев и 23 дня ленинградская промышленность выполнила план 1947 г. по выпуску валовой продукции на 101,3 процента, выпустила продукции на 24 процента больше, чем за весь 1946 год»*.

Поставим перед учащимися такую задачу: сколько процентов плана может выполнить ленинградская промышленность за весь 1947 г., если в оставшиеся 2 месяца и 8 дней рабочие будут работать так же интенсивно?

Решим задачу.

План

Выполнено

Может быть выполнено

Колич. дней 365

за 296

за 365

Процент выполнения 100 . . .

101,3

X

Решение задачи.

Вывод: Промышленность Ленинграда перевыполнит за год план почти на 25 %. Если ленинградцы из года в год будут перевыполнять план на 25%, то они с успехом выполнят послевоенную пятилетку в 4 года.

Решив эту задачу, учащиеся поймут, почему 19 ноября 1947 г. ленинградцы обратились ко всем работникам промышленности Советского Союза «широко развернуть всесоюзное социалистическое соревнование за выполнение пятилетки в 4 года»**. Им понятно будет, что выполнение пятилетки в 4 года—это не мечты, а реальная возможность, которая усилиями рабочих и крестьян, их патриотическими действиями вполне может быть превращена в действительность.

Задача 9.

Указом Президиума Верховного Совета РСФСР от 7 января 1948 г. присвоены звания Героя Социалистического Труда передовикам сельского хозяйства Красноярского края:

«1. Белоусову Сергею Федоровичу — звеньевому колхоза «Завет Ленина» Казачинского района, получившему урожай пшеницы 31,1 центнера с гектара на площади 32 гектара.

2. Бондарю Дмитрию Моисеевичу—старшему агроному Идринской МТС Идринского райнао, получившему в обслуживаемых колхозах урожай пшеницы 22,52 центнера с гектара на площади 612 гектаров, и другим, всего 85 передовым работникам сельского хозяйства***.

На первый взгляд может показаться странным, что звание Героя Социалистического Труда присвоено Белоусову С. Ф., получившему урожай пшеницы 31,1 центнера с гектара, и Бондарю Д. M , получившему урожай только 22,52 центнера с гектара.

Но простые арифметические подсчеты покажут нам, что заслуги перед родиной в деле повышения урожайности пшеницы достаточно велики как у т. Белоусова, так и т. Бондаря.

В самом деле, возьмем средний урожай пшеницы с гектара 20 центнеров (это более 122 пудов!) и сравним, сколько пшеницы сверх этой средней нормы получили на своих посевных площадях товарищи Белоусов С. Ф. и Бондарь Д. М.

На площади 32 гектара т. Белоусов С. Ф. получил больше средней нормы:

(31,1 — 20).32=355,2 ц, или 2167 пудов,

а т. Бондарь Д. М. на площади 612 гектаров получил лишних

(22,52 — 20).612=1 542 ц, или 10 076 пудов.

Одного этого избытка урожая достаточно на год для 840 человек. Но это говорит о том, как важно поднять общую урожайность хлеба хотя бы на 1 ч, даже на один пуд с каждого гектара посевной площади в каждом колхозе, как много это дает нашему государству дополнительного хлеба.

Мы не говорим здесь о методике решения таких задач и о тех требованиях, каким должны отвечать задачи с конкретным содержанием, о том, что в основе их должны лежать реальные факты и данные, и ни в коем случае не должны иметь место надуманность и искусственность, а также о том, что учитель должен систематически накапливать материал для составления задач с конкретным содержанием и сам составлять такие задачи, систематически читая газеты, ежедневно участвуя в жизни местного колхоза, сельсовета, района и т. д. (мы уже имели возможность высказаться по этому вопросу на страницах журнала «Математика в школе»****.

Газеты и журналы, повседневная производственная жизнь колхоза, района и области

* См. «Правду» № 289 от 31 октября 1947 г.

** См. «Правду» № 308 от 19 ноября 1947 г.

*** См. «Правду» № 8 от 8 января 1948 г.

**** См. С. Чуканцов, К вопросу о политическом воспитании учащихся, 1939, № 6, стр. 28—32 и «Задачи с конкретным содержанием на уроках математики», 1940, № 2, стр. 61—65.

ежедневно дают нам богатый материал для составления подобного рода задач с конкретным содержанием, решение которых помогает ученику более глубоко понять окружающие явления, героику наших повседневных дел, пафос строительства рабочих и крестьян и сравнить это с тем, что происходит за границей, в капиталистических странах. Связь с жизнью делает обучение более активным и интересным, воспитывает жизнедеятельность.

Мы не указываем также, в какой теме, в каком классе должна или может быть решена та или иная приведенная здесь или подобная задача, так как считаем, что почти любая задача с конкретным содержанием может быть решена в любом классе средней школы, только в одном случае она может быть решена на уроке при объяснении нового материала, в другом — при повторении, а в третьем — на занятии математического кружка.

Например, задачу № 4 в IX и X классе можно решить как задачу на прогрессии, а в V— VIII — непосредственным вычислением. Любая такая задача с конкретным содержанием может быть решена в теме приближенных вычислений, так как она дает богатый материал для округления результатов вычисления — вопрос, которому в школе на уроках математики должно быть уделено гораздо больше внимания, чем обычно уделяется сейчас.

Задача 10.

Обратимся еще раз к условию задачи 8. Дополним это условие данными из передовой статьи «Великое патриотическое движение масс» из журнала «Большевик» № 23 от 15 декабря 1947 г. Здесь мы читаем: «Ленинградская промышленность выполнила план 1946 г. за 22 дня до срока, а план 1947 г. за 2 месяца и 8 дней до срока.

За 9 месяцев и 23 дня 1947 года ленинградская промышленность выпустила продукции на 25% больше, чем за весь 1946 г.».

Поставим себе такую задачу: «Определить, на сколько процентов план 1947 г. больше плана 1946 г. для ленинградской промышленности».

В 1946 г. ленинградская промышленность выполнила план за 22 дня до срока, следовательно, она перевыполнила план на 100-22 ала, 365—22“ ~ в>4%, а всего, следовательно, за 1946 г. выполнила план на 106,4%. За 9 месяцев и 23 дня 1947 года ленинградская промышленность дала продукции на 24% больше, чем за весь 1946 г., следовательно, выполнение плана по отношению к плану 1946 г. составило:

1,24-1,064=1,323, т. е. 132,3%.

Но из задачи 8 мы знаем, что это перевыполнение составляет 101,3% плана 1946 г., вычисления дают, что план 1947 г. составляет приблизительно 130,6% плана 1946 г.:

101,3% плана выпуска продукции 1947 г. составили 132,3% 1946 г.

100% плана выпуска продукции 1927 г. составят х% 1946 г.

Откуда

Следовательно, план для ленинградской промышленности 1947 г. был более плана 1946 г. примерно на30%. Таким образом, по некоторым сравнительным данным ленинградской промышленности за 1946 и 1947 гг. мы определили то, о чем непосредственно в письме ленинградцев и не сказано. Если бы здесь хоть одна цифра была бы выражена в рублях, то мы могли бы определить стоимость всей валовой продукции ленинградской промышленности за год.

Внимательный подход преподавателя математики к составлению задач, уменье использовать цифровой материал из газет, журналов и окружающей действительности поможет учителю математики раскрыть перед детьми пафос нашего социалистического строительства, лучше понять патриотический подъем наших рабочих и служащих, проникнуться любовью к своей социалистической родине, понять важность активного участия в социалистическом строительстве.

Но для этого учитель сам должен быть глубоким патриотом своей родины, знать свою родину, не жалея сил отдаться делу коммунистического воспитания подрастающего поколения.

Учитель всегда должен держать тесную связь с местной партийной организацией, с местными советскими организациями, с колхозом, если он работает в деревне, всегда знать очередные задачи колхоза, стараться помочь ему вместе с учащимися и через учащихся в выполнении его задач, конечно, в меру сил и не противопоставляя это задачам воспитания и образования подрастающего поколения.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О РАВНОВЕЛИКОСТИ ПИРАМИД

Д. Д. БАЧЕЛИС (Москва)*

Теорема. Пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики.

Доказательство.

Предположим, что эти пирамиды неравновелики, т. е. объем одной из них, хотя бы Sl9 больше объема другой на некоторую величину V. Обозначив объем пирамиды Sx через Vl9 а пирамиды 52 через V2y мы можем написать:

vt-vt=v.

Обычным, излагаемым во всех учебниках, способом строим в пирамиде Sx п «выходящих призм», объемы которых обозначим (начиная сверху) через р1% р2,..., рп, а в пирамиде S2 n—1 «выходящих» призм с объемами^, q29..., qn-\ получим два ступенчатых тела (черт. 1 и 2), причем объем тела, построенного в пирамиде Sv будет равен 1^+.* (где х — сумма объемов выступающих из пирамиды частей призм), а тела, построенного в пирамиде 52, будет равен V2 — у (где у — объем части пирамиды, не занятой призмами). С другой стороны, объем первого тела равен

Pi + P% +Рз + - - - +Рп -1 +Р„

а второго —

Черт. 1 Черт. 2

Поэтому мы можем записать:

Вычитая почленно из первого равенства второе, имеем:

или, выражая V* — V2 через V:

Если мы сравним величины рг с qv р2 с q2 и т. д., то увидим, что эти величины попарно равны, так как они выражают объемы призм с попарно равновеликими основаниями и равными высотами. Поэтому предыдущее равенство перепишется так:

Умножим обе его части на п:

Ясно, что правая часть этого равенства при любом п выражает объем призмы, имеющей высоту и основание, соответственно равные высоте и основанию пирамиды St; обозначим этот объем через Q и рассмотрим левую часть равенства. Так как величина I/, по нашему предположению, не равна нулю, существует число z9 удовлетворяющее уравнению

Но если мы возьмем я>2\ то произведение V-n будет больше Q, выражение V-n-\-Jf-(x-\-y) п также будет больше Q (так как x и у положительны), и мы придем к противоречию:

Следовательно, допущение, что пирамиды Sx и S2 неравновелики, — неверно. Теорема доказана.

* Эта заметка получена редакцией в 1946/47 уч. году от ученика Х класса школы № 267 г. Москвы.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

В КАКОМ КЛАССЕ НАЧИНАТЬ СИСТЕМАТИЧЕСКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ*

Ю. М. ГАЙДУК (Харьков)

В своей содержательной статье Н. М. Бескин приходит к выводу о необходимости сохранения начала систематического курса геометрии в VI классе.

Целиком разделяя это мнение, мы не можем, однако, согласиться со всеми деталями аргументации, развиваемой Н. М. Бескиным. В связи с этим нам хотелось бы высказать ряд соображений.

1) Прежде всего бросается в глаза, что в аргументации Н. М. Бескина не нашла явного выражения познавательная ценность систематического курса геометрии. Вместо этого всячески подчеркивается «техническое» значение этого курса как пресловутой «гимнастики ума» (в понимании автора, очевидно, «ума вообще», а не «математического ума»). Такое понимание роли геометрии в школьном образовании, нам кажется, давно уже признано несостоятельным (ср. хотя бы известные замечания по этому поводу Ф. Клейна). Правда, для того чтобы ученикам VI—VII классов доказательства ряда теорем—особенно из числа «основных»—не показались как раз пустой гимнастикой ума, необходимо уметь объяснить им две вещи: 1) отношение геометрии к свойствам окружающего пространства, 2) роль геометрического доказательства (не только как средства установления геометрических истин, но и как средства их координации и классификации). Нам кажется, что методическое решение этой задачи вполне достижимо.

2) На наш взгляд, в пользу возможно более раннего введения систематического курса геометрии говорит неизменно возрастающая роль математики в современной культуре, ее возрастающие связи с техникой, естествознанием, биологией, философией,—наконец, особое развитие в математике и ряде других наук аксиоматического метода. Это последнее обстоятельство диктует необходимость развития у школьника способности к абстрактному мышлению, умения обобщать; дедуктивный курс геометрии представляется естественным и необходимым средством для достижения этой цели. Вряд ли эта цель станет, однако, реально достижимой при том сокращении срока изучения систематического курса геометрии, который предусмотрен проектом № 1.

Заметим в скобках, что, став на точку зрения авторов проекта 1, мы по существу вернулись бы—как это ни парадоксально—к средневековому положению в преподавании геометрии, когда обучение евклидовым «Началам» начиналось лишь в университетах, а в последние принимались юноши начиная с возраста наших восьмиклассников.

3) Нелестное отношение проф. Я. С. Дубнова к «евклидовой схоластике» и «евклидову гипнозу» невольно вызывает в памяти известную критику Шопенгауэром «мышеловочных» и «фокуснических» доказательств Евклида и его требование сведения всякого логического обоснования к чисто интуитивному. Осуществление подобной программы даже в смягченном виде имело бы неизбежным последствием дискредитацию геометрии в школе. По нашему мнению, смягчение евклидова «педантизма» должно достигаться не путем отказа от строгости изложения, а путем сочетания последнего с не противоречащей ей наглядностью преподавания, особенно же путем более систематического рассмотрения связей геометрии с другими науками.

4) Мы видим опасность «евклидова гипноза совсем не в том, в чем усматривает ее проф. Я. С. Дубнов; нам кажется, что тот характер курса геометрии в VI—VII классах, который предлагает придать ему проект № I, неизбежно внушил бы учащимся представление об абсолютной истинности евклидовой геометрии, ибо узкий геометрический опыт школьника, естественно, не сможет вывести его за рамки евклидовых соотношений. Такой «евклидов гипноз» впоследствии затруднит понимание учащимися основных идей неевклидовой геометрии, которым (хотя бы в минимальном объеме) должно, по нашему убеждению, найтись место в программах X или XI класса.

(Продолжение обсуждения см. в № 1 1949 г.)

* От редакции. Статья Н. М. Бескина «В каком классе начинать систематический курс геометрии» «Математика в школе» 1948, № 1 вызвала многочисленные отклики читателей журнала. По вопросу о том, когда следует начинать систематический курс геометрии, нет единого мнения, этот вопрос продолжает оставаться предметом оживленного обсуждения. В порядке этого обсуждения помещаются три статьи, авторы которых придерживаются различных точек зрения.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 3 за 1948 год

№ 41

Доказать тождество:

Решение. Прежде всего следует усилить данное в задаче условие, при котором тождество справедливо. Именно должно быть:

А — ВфЫ, В — СфЫ\ С — АфЫ, (1)

где£ = 0, 1,2,... (Если, судя по обозначениям, автор имел в виду лишь углы треугольника, то данное в задаче условие достаточно для остроугольного и прямоугольного треугольников;для тупоугольного треугольника должно быть дано условие il) при k=r 0 и 1.)

Согласно условию (1) ни один из знаменателей не равен нулю. Следовательно, мы можем левую часть привести к общему знаменателю. Тогда для числителя левой части, применив формулу разности конусов, получим:

Перегруппируем члены и снова применим ту же формулу:

В прямых скобках первые два слагаемых преобразуем по формуле суммы синусов, а третье — по формуле двойного угла. Получим:

По сокращении на общий знаменатель получим:

т. е, правую часть тождества.

№ 42

Если уравнение

x* + ax* + bx + c = 0 (1)

имеет корчи igah tga2, tga3, а уравнение

ys + cy* + by + a=0 (2)

имеет корни tgßlt tgß2, tg(*3, то «i + ^ + ^

где/f —целое. Доказать.

Решение. Из уравнения (1) по известным формулам имеем:

По формуле для тангенса суммы трех углов:

Делая подстановку из (3), получим:

(4)

Аналогично из уравнения (2) найдем:

(5)

Из (4) и (5) находим:

откуда непосредственно заключаем, что

№ 43

Сколько имеется пар натуральных чисел, имеющих наименьшим общим кратным данное натуральное число

N-*p*iP*}- “Pknnl

Решение. Очевидно, что числа, входящие в состав каждой пары, должны состоять только из множителей р\, Ръ,...,рп в степенях не выше Ä2,kn. Следовательно, обозначив числа пары через а и Ь, можем положить:

а - pi р%. .р'пп ; Ь=р\'р1'... /„“.

При этом каждый множитель /?/ должен входить в наивысшей степени по крайней мере в одно из чисел а и Ь. Установив это, возьмем множитель pj. Он может входить в состав чисел а и b в таких комбинациях:

1. а содержит рг в наивысшей степени k\. Тогда b может содержать pi в |степени 0, 1, 2,.... k\— 1 всего k\ комбинаций.

2. b содержит р\х, тогда а содержит рг в степени О, 1, 2...... *1-1 — всего опять k\ комбинаций.

3. Оба числа содержат /?] в степени k\. Всего, таким образом, получаем kx + k\ + 1 = 2£2 +- 1 комбинаций.

Аналогично для р2 получим 2ä2 + 1 комбинаций, для ре получим 2£3+1 комбинаций и т. д,

Сочетая каждую из комбинаций для рх с каждой из комбинаций для р2, получим (2^-Ь 1) (2^-h 1) сочетаний. Продолжая так далее, получим всего

М= (2fti + l) (2*2 + 1)...(2*я + 1)

возможных комбинаций чисел а и Ь, имеющих N наименьшим кратным, Но легко видеть, что каждая из комбинации неравных чисел а и b встречается дважды (а = m, b = п и а—п, b = m). Отсюда, учитывая случай равных а и b (когда а = b = N), получим всего

(1)

различных пар чисел aw b, имеющих N общим наименьшим кратным.

Дадим несколько конкретных иллюстраций к этой элементарной, но интересной задаче тем более, что из присланных (пока немногочисленных) решений все оказались неверными,

1. Пусть N = ab. Тогда по формуле (1) число пар (2+1)(2^1) + 1 г п ч чисел равно-^- =5. Действительно, такими парами будут: 1) ab, 1; 2) ab, а; 3) ab, b; 4) ab, ab, 5) a,b.

II. Пусть N « a2b. Тогда число пар равно —^— = 8. Эти пары будут:

1) аЧ, 1; 2) аЧ,а\ °) а%Ъ, Ь; 4) аЧ, а*; 5) аЧ, ab; )) аЧ, аЧ; 7) ab, а*; 8) Ь, а*.

III. Пусть N = в*&2. Тогда число пар равно

именно:

Полагаем, что преподавателям небезынтересно было бы заняться нахождением соответствующих пар для чисел вида:

N~a%b*\ N=abc; N = a2bc и т. п.

Для большей наглядности можно вместо а, Ь, с взять просто число, например, Af = 23-32-5 = 360.

№ 44

Определить, при каких значениях натуральных чисел а и b корни уравнения x2 — abx Ч- а + b = 0 являются тоже натуральными числами.

Решение. Если корни уравнения — натуральные числа о и р, то имеем соотношения:

Отсюда:

(1)

При натуральных значениях a, b, a, ß равенство (1) возможно в случаях:

1) (а — — 1) = 1; (а-1, (р-1)^-1. Отсюда:

я =2, Ь = 2, а = 2, f = 2.

Получим первое решение.

2) (а-1)(6-1) = 0; (а —1)(р—1) = 2.

Отсюда a = l,b произвольно.

Но равенство (а— l)(ß—1) = 2 означает, что

либо: а = 2, р «= 3,

либо а = 3, f = 2.

В обоих случаях получаем уравнение

х* — 5х + 6 = 0,

т. е. при а = 1 должно быть 6 = 5. Получили второе решение: а = \, 6 = 5.

б) Ь=1. Аналогично предыдущему получаем: 6= 1, д = 5, что по существу является тождественным с предыдущим решением,

3) (а——2; (х — 1)(р — 1) =0.

Отсюда:

а) а — 3, b — 2, тогда а = 5, ß = 1 (или наоборот), получим третье решение.

в) а = 2, 6 = 3— решение по существу тождественное с предыдущим.

Итак, имеем всего три решения:

1) д = 2, 6 = 2,

2) а=1, 6 = 5 (или наоборот),

3) а = 2, 6 = 3 (или наоборот).

№ 45

Найти натуральные значения п, при которых какие-либо три последовательных коэфициента разложения бинома (х-\-а)п являются тремя послеöовательными членами арифметической прогрессии.

Решение. Пусть коэфициенты £-го, k+ 1-го и ä + 2-го членов образуют арифметическую прогрессию.

Тогда:

или:

что после упрощений дает:

или:

Отсюда:

Пусть 8k + 9= (2т + 1)2.

Тогда

Отсюда:

пх = m2 + 2т — 1 ; п2 = /я2 — 2,

так как m* + 2т — 1 = (m + О2 — 2, то фактически для п имеем одну формулу л = m2 — 2, где /я = = 3, 4, 5...

№ 46

Основание правильной пирамиды с плоским углом а при вершине вписано в основание полушара радиуса R, причем вершина S пирамиды находится вне noлvшapa. Вычислить длину линии, по которой пересекаются поверхности этих тел.

Черт. 1

Решение. Линия пересечения данных тел состоит из четырех равных дуг (черт. 1). Проводим: SM±BC, ОМ и ON±SM. Будем иметь:

(2) (3)

Далее, из Д SOM имеем:

Радиус дуги ВХСХ:

Проведем BN. В пропорции «3) мы можем заменить ОМ равным ему отрезком ВМ, получим:

Следовательно,

Проведем BXN. Тогда

Отсюда дуга

Длина этой дуги равна

Длина всей линии пересечения:

№ 47

В треугольнике ABC со сторонами а, Ь, с биссектриса АЕ делится биссектрисой BD пополам. Найти отрезки биссектрисы BD, на которые делит ее биссектриса At.

Решение. Пусть в треугольнике ABC (черт. 2) биссектрисы пересекаются в точке О. По условию АО = ОН. Тогда ВО является в треугольнике ABE биссектрисой и медианой. Легко доказать (4-й признак равенства треугольников, см. Н. А. Глаголев «Элементарная геометрия», ч. I, стр. 58), что в этом случае AB = BE и ВО J_ АЕ. Аналогично в треугольнике АСЕ будем иметь АС = СЕ и СО _!_ АЕ. Отсюда два нелепых вывода:

1) АВ + АС = ВЕ + СЕ = ВС,

т. е. в треугольнике сторона равна сумме двух других.

2) ОС±АЕ и OD J_ АЕ,

т. е. из одной точки на прямой проведены к ней два различных перпендикуляра.

Таким образом, задача не имеет решения; другими словами, случай деления биссектрисы пополам другой биссектрисой невозможен.

№ 48

Найти двузначные числа, кратные сумме факториалов его цифр.

Решение. Условие задачи дает:

\Qx+y = k(x\+y\). (1)

Так как уже 5!= 120 — число трехзначное, то, очевидно, x и у не могут быть более четырех. Рассмотрим возможные случаи.

1) Пусть jc = 4. Тогда из (1) получаем:

4ß+y=k(24 + yl).

Равенство невозможно, так как при k = l правая часть меньше 40, а при к = 2 больше 49.

2) Пусть JC — 3. Тогда

M + y = k(6+y]).

Подстановкой у= 1, 2, 3, 4 убеждаемся, что равенство справедливо только при у = 2 и ^ = 4, откуда получаем число 32.

3) Пусть л: = 2. Тогда

20+_у = *(2+.у!).

Подстановка jfal, 2, 3, 4 дает для у одно значение у в 1, откуда получаем число 21.

4) Пусть x = I. Тогда:

10+^ = ^(1+^). Получим j>=2 и число 12.

Итак, условию задачи удовлетворяют три числа: 12, 21 и 32.

Черт. 2

№ 49

На поверхности твердого шара дан полюс М. Построить другой его полюс N.

Черт. 3

Первое решение. 1) Из полюса M (черт. 3) произвольным радиусом проведем окружность и на ней возьмем три произвольные точки: А, В и С. Измерив расстояние между ними, перенесем треугольник ABC на плоскость, опишем около него окружность и этим найдем радиус АО\.

2) Пусть Mi является вторым полюсом. Треугольник MAMi — прямоугольный и в нем АО — высота, опущенная на гипотенузу (диаметр шара). Треугольник МАМХ мы также можем построить на плоскости, именно: строим AAfAOj по гипотенузе MA и катету АО\\ из точки А проводим перпендикуляр АМ\ к AM до пересечения с продолжением АО\. Таким образом мы нашли диаметр шара (и, следовательно, радиус шара).

3) Начертив окружность большого круга, впишем в него квадрат. Радиусом, равным стороне этого квадрата, проведем из полюса M окружность; это будет окружность экватора.

4) Из двух точек экватора тем же радиусом (равным стороне вписанного квадрата) проводим окружности; они пересекаются как в полюсе М, так и в полюсе М\, что и решает задачу.

Второе решение. Как показал тов. А. И. Ширшов, можно быстрее найти сторону квадрата вписанного в окружность большого круга. Приведем его решение. Возьмем на шаре две произвольные точки Я и Q и из этих точек произвольным, но одинаковым раствором циркуля сделаем засечку. Получим некоторую точку А. Таким же образом другим и третьим раствором циркуля получим точки В и С. Легко видеть, что все эти три точки лежат на окружности большого круга, который является для точек Р и Q плоскостью симметрии. Взяв расстояния AB, ВС и АС, построим на плоскости треугольник. Окружность, описанная около этого треугольника, будет окружностью большого круга. Вписав в него квадрат, получим радиус, которым из полюса M проведем экватор. Дальше как в п. 4 первого решения.

№ 50

На поверхности шара дана дуга произвольного радиуса г, являющаяся частью параллели. Найти полюс, из которого эти дуга проведена.

Решение. I) Из точек А и В произвольным радиусом проводим дуги, которые пересекаются в точках Fi и F2 (черт. 4).

2) Способом, изложенным в предыдущей задаче, находим сторону квадрата, вписанного в окружность большого круга. Радиусом, равным этой стороне, проводим дуги из точек F\ и Рь их пересечение даст точку /С.

Черт, 4

3) Тем же радиусом из точки А проводим дугу большого круга F\ F2, которая в точке С разделит дугу AB пополам.

4) Таким же способом, как в пп. 1—3, проводим дугу большого круга через середину дуги АС. Пересечение двух дуг (пп. 3 и 4) даст полюс М.

Возможны и другие построения.

№ 51

Определить cosa из уравнений:

Решение. Из данных уравнений имеем:

(1)

Из формул для тройного угла

определим cos8? и sin3 <р и подставим в (1). Получим:

(2)

Умножим обе части первого из этих уравнений на cos3tp, второго на sin Зср:

Вычтя второе из первого, найдем:

или

т. е.

Для решения задачи остается выразить cos 4f через т.

Возьмем опять уравнения (2). Возведя каждое в квадрат и сложив, получим:

Группируя в скобках первый член с последним, 3-й с 4-м и 2-й с 5-м, получим:

или:

Подставив найденное значение l-f-3 cos 4? во (2), получим окончательно:

(4)

В большинстве присланных решений cos а выражен через m и ср., что, конечно, недостаточно, ибо в этом случае достаточно было бы одного уравнения, например -Cos3cp— = т' Ясно также, что исключить надо именно так как для исключения m достаточно его просто отбросить в условии и определить cos а из оставшегося уравнения

№ 52

Решить уравнение:

xi _ 2*3 4- х + 0,25 = 0. (1)

Решение. Прибавив и вычтя в левой части хг> будем иметь:

Положив

(2)

получим уравнение:

V2 -J*+ 0,25 -0, (3)

решив которое, найдем:

Подставив найденное значение у во (2), получим:

Можно было сразу представить левую часть в виде:

№ 53

Решить уравнение:

Решение. Очевидно, для решения следует левую часть уравнения разложить на множители, что можно сделать различными способами. Наиболее короткий способ дан тов. А. Ширшовым, решение которого и приводим:

Имеем:

Приравнивая к нулю каждый из множителей, получим:

Другая группировка приводит левую часть к виду:

Дальнейшие преобразования ясны.

№ 54

Найти два числа abad и abed, удовлетворяющие следующим условиям: 1) наибольший общий делитель их равен 3; 2) большее из них кратно И; 3) ас—2d; 4) одно из чисел является датой известного события, а другое — юбилейной датой того же события. Решить задачу сначала независимо от последнего условия.

Решение. Разобьем решение на несколько этапов.

1) Так как 2rf<18, то из условия (3) вытекает, что

а —1.

2) Возьмем разность

I a~bcd — abad | = 10 | с — а \ = 10 1 с - 11,

причем эта разность должна делиться на 3 (условие 1). Отсюда следует, что

а) сфО; б) с> 1

(так как при с=1=а оба числа были бы равны). Значит, с=»4 или с = 7 и abed> abad. Но из условия ас = 2d следует, что с четно.

Итак:

с = 4.

3) Из условия яс = 14 =2.4 следует

rf = 7.

4) Наконец, по признаку делимости на 11 имеем:

Отсюда очевидно, что

6 = 9.

Итак, искомые даты

1917 и 1947,

т. е. даты Великой Октябрьской социалистической революции и ее тридцатилетнего юбилея.

В большинстве решений не всегда принимались во внимание все ограничительные условия, а поэтому искомое решение находилось после испытания некоторых других комбинаций.

№ 55

Выразить диагонали и площадь вписанного в круг четырехугольника через его стороны.

Решение. 1) Из треугольников BAD и BCD (черт. 5)

Черт. 5

(1) (2)

Отсюда:

(3)

но С = 180е — A) cos С = — cos А. Тогда из (3; и ^4) имеем:

Отсюда:

Окончательно имеем:

Аналогично для другой диагонали получим:

(6)

В качестве следствия из (5) и (6) получим теорему Птоломея:

2) Из (1) и (2) найдем:

Отсюда:

(7)

Далее:

Из 7) выводим:

(8)

(9)

где

Подстановка из (9) в (8) дает:

№ 56

Доказать, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков гипотенузы, на которые ее делит точка касания вписанного круга.

Решение. Задача, конечно, совершенно элементарна и допускает различные варианты решений, например:

1) Известно, что отрезки гипотенузы будут равны р — а и р — Ь. Их произведение

2) Имеем формулу:

5 = гр = г (х + у + г), (черт. 6) По теореме Пифагора:

Черт. 6

(1) (2)

После вычитания (2) из (1) получим: s = xy.

№ 57

На ограниченном куске плоскости дана точка и по одну сторону от нее — две прямые, пересекающиеся вне данного куска плоскости. Определить расстояние данной точки до точки пересечения прямых.

Задача получила разнообразные решения; приведем некоторые из них.

Первое решение. Проведем MP \_АВ и MQ _L CD (до пересечения с AB). Точку пересечения данных прямых обозначим через X (черт. 7)

ШРС} ~ bRPX (оба прямоугольные и M = X).

Черт. 7

Отсюда:

Тогда из прямоугольного треугольника МРХ имеем:

(2)

Так как все отрезки, входящие в правую часть равенства (2), доступны измерению, то тем самым задача решена.

Второе решение. Соединив основания перпендикуляров Р и S, получим треугольник MPS. Если на отрезке MX, как на диаметре, построить окружность, то она пройдет через точки М, Р и 6“ (через M по построению, через Р, так как / МРХ = 90°, и через S, так как ^ MSX = 90°).

Таким образом, искомое расстояние MX можно определить как диаметр окружности, описанной около треугольника MPS, все стороны которого известны

Многие присланные решения требуют некоторых предварительных поисков или проб. Например:

Третье решение. Пусть МР = а, MQ = b. Отложим на MP произвольный отрезок ME и на MQ — отрезок MF = MEПроведем ЕЕХ \\ PB и FF\ II QB. При выбранной надлежащим образом точке Е эти прямые пересекутся внутри данного куска плоскости в точке R. Тогда искомое расстояние определится из пропорции:

MX:MP = MR:ME.

Справедливо указывается, что требование задачи, чтобы точка M лежала по одну сторону от прямых, является лишним (черт. 8).

Черт. 8

№ 58

На сторонах выпуклого четырехугольника построены подобные равнобедренные треугольники так, что третьи вершины двух из них (противоположных друг другу) находятся вне четырехугольника, а двух других — внутри его.

Доказать, что эти четыре вершины определяют параллелограм.

Решение. Задача получила разнообразные решения. Приведем решение (А. Ширшова и др.), которое представляется нам наиболее простым и коротким.

Пусть M, N, Р и Q — середины сторон данного четырехугольника (черт. 9). Известно, что эти четыре точки определяют параллелограм (см. Рыбкин, ч. 1, § 5, № 87). Далее: 1. \AMlB^^ANlD (по условию). Отсюда:

Из (2) заключаем, что

/_ MXANX = /_MAN. (3)

Из (1) и (3) заключаем, что

Черт. 9

Отсюда:

(4)

2. Аналогично предыдущему найдем:

(5)

но MNPQ — параллелограм, следовательно,

С другой стороны, по условию задачи:

Но тогда из (4) и (5) следует:

(6)

3. Совершенно аналогично докажем, что

(7)

Из (6) и (7) следует, что четырехугольник MlNlPlQl — параллелограм.

№ 59

Квадрат со стороной а превратить в прямоугольник, разрезая его на наименьшее число частей, притом так, чтобы стороны прямоугольника относились, как 3:1.

Решение. Пусть сторона квадрата равна а, меньшая сторона прямоугольника х. Тогда:

3*2 = а\

откуда:

Большая сторона

Строим /_ BAN = 60° (черт. 10) и продолжаем AN до пересечения с продолжением ВС в точке Е Из треугольника ABE имеем:

т. e. BE — большая сторона искомого прямоугольника. От вершины В по ВА отложим меньшую сторону ВМ = хяа—^— и проведем MN\\BC ло пересечения с АЕ.

Черт. 10

Тогда имеем:

СЕ = ВЕ — ВС= а/3 — а = л (/3 — l). (1)

С другой стороны, из подобия треугольников AMN и ABE заключаем:

Отсюда:

(2)

Из (1) и (2) получаем: СЕ = MN, значит àAMN= àPCE. Так же легко показать, что &ADP = &NFE.

Итак, для превращения квадрата ABCD в требуемый прямоугольник достаточно разбить его на три части: MBCPN, AMN и APD.

В большинстве присланных до сих пор решений квадрат разбивался на четыре куска.

№ 60

С поезда сошли два пассажира и направились в один и тот же пункт. Первый половину времени шел со скоростью а, а вторую половину со скоростью Ь. Второй шел первую половину пути со скоростью а, а вторую со скоростью Ь. Который из них скорее пришел к месту назначения?

Решение. Пусть первый пассажир пришел в конечный пункт через t\ часов, а второй через t2 часов. Расстояние до места назначения обозначим через d. Тогда первый пассажир за первую половину времени прошел расстояние , за вторую“2“. Отсюда:

и

Второй половину расстояния, т. е.-g-, шел со скоростью а, вторую половину со скоростью Ь* Отсюда:

Возьмем разность

Так как все множители в правой части положительны, то /2— *i>°. т- е- h>h и> следовательно^ первый пришел раньше второго (при а = b будет h = t2).

ОТ РЕДАКЦИИ

В № 5 1948 г# журнала «Математика в школе» в статье П. С. Моденова «О статье А. И. Фетисова: учение о тригонометрических функциях в средней школе» по вине редакции допущена следующая опечатка:

ЗАДАЧИ

101. Найти числа abed, являющиеся точным квадратом, если а + с + d = 5b и 3d = 2 (а -f- с).

Б. Алеев (Мордовская АССР)

102. Определить, при каких значениях п число 20я + 16л — Зл — 1 делится на 323.

Л. Могильницкий (Одесская обл.)

103. Дан прямоугольник ABCD. Построить квадрат А\ Вх С\ Dl так, чтобы: 1) точка Di лежала на DC; 2) прямая В\С\ проходила через точку В. В каком случае задача невозможна?

X. Глейбман.

104. Решить относительно х уравнение:

Н. Ованесов (Астрахань).

105. В конус с высотой H вписан шар, а в шар вписан равносторонний конус. Определить полную поверхность большего конуса, если его объем в 7 -g- раза больше объема меньшего конуса.

В. Утемов (Красноуфимск).

106. В треугольнике ABC сторона а = 2 и / С= ;== 45*.

Определить величину rrbl если —— = -о—- .

В. Утемов.

107. Найти сумму п членов ряда:

В. Утемов.

108. В тетраэдре совпадают центры вписанного и описанного шаров. Что можно утверждать относительно его граней и ребер?

А. Ширшов (Ворошиловградская обл.)

109. Определить объем тетраэдра, если противоположные ребра его попарно равны я, b и с.

А. Ширшов.

110. Доказать тождество:

А. Ширшов.

111. Доказать, что в правильном семиугольнике имеет место соотношение:

Р. Бернштейн (Мукачево, Закарпатье)

112. В треугольнике ABC высоты AD и СЕ пересекаются в точке M под углом Ь. Отрезки AM и ВМ даны. Построить треугольник ABC.

Р. Бернштейн.

113. Дан ^ XOY = 60°. Из точки M вне его (в той же плоскости) опущены на стороны перпендикуляры MA и MB, длины которых щ и п2. Из той же точки M опущен перпендикуляр MC на биссектрису угла XOY. Определить длину ОС.

Р. Бернштейн.

114. Вычислить сумму:

X. Хамзин (Стерлитамак).

115. Исключить x, у, z из равенств:

X. Хамзин.

116. Доказать тождество:

С. Зетель (Москва). 117. Доказать тождество:

С. Зетель.

118. Пользуясь одним циркулем, определить: можно ли около данного четырехугольника описать окружность?

С. Зетель.

119. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

y = JC3-6*2 + 9jt + 2,

в промежутке

-1<*<4.

П. Моденов (Москва).

120. Даны значения тангенсов трех острых углов:

\gx = a\ tgy=6; tgz = c.

При каком условии угол x-\-y-\-z будет также острым?

П. Моденов.

ЗАДАЧИ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ КРУЖКОВ

(даны на 6-й Московской олимпиаде).

I тур: VII—VIII классы

1. Разложить на множители: (Ь — с)8+(с — <*)3+

2. Пароход от Горького до Астрахани идет 5 суток, а от Астрахани до Горького 7 суток. Сколько дней будут плыть по течению плоты от Горького до Астрахани?

3. Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых чисел от 1 до 100 включительно?

4. Провести данным радиусом окружность, касающуюся данной прямой и данной окружности. Сколько решений имеет задача?

I тур: IX—X классы

1. Решить систему уравнений:

(*3 + У3) (**+.У*) = 2&5 х+у=Ь

2. Все целые числа выписаны подряд, начиная от единицы. Определить, какая цифра стоит на 206788-м месте.

3. Построить окружность, равноудаленную от четырех точек плоскости. Сколько решений имеет задача?

4. В плоскости даны две прямые. Найти геометрическое место точек, разность расстояний которых от этих прямых равна заданному отрезку.

5. Факториалом числа п называется произведение всех целых чисел от единицы до п включительно. Найти все трехзначные числа, равные сумме факториалов своих цифр.

II тур: VII—VIII классы

1. Найти четырехзначное число, являющееся точным квадратом, и такое, что две первые цифры одинаковы между собой и две последние также.

2. Точки А, В, С— вершины вписанного в окружность равностороннего треугольника. Точка D лежит на меньшей дуге. AB-DC = AD + BD. Доказать.

3. Данным четырехугольником неправильной формы настлать паркет, т. е. покрыть всю плоскость четырехугольниками, равными данному, без пропусков и перекрытий.

4. Сколько существует пар целых чисел x, у, заключенных между 1 и 1000 гаких, что х2-\-у2 делится на 49?

II тур: IX—X классы

1. На бесконечном конусе, угол развертки которого равен, взята точка. Из этой точки в обе стороны проводится линия так, что после развертки она превращается в отрезки прямых. Определить число ее самопересечений.

2. Что больше: 300! или 100«оо?

3. Центр О описанной около треугольника ABC окружности отражается симметрично относительно каждой из сторон. По трем полученным точкам Oi, 02, 03 восстановить треугольник ABC, если все остальное стерто.

4. Доказать неравенство:

(в|, а2» • • • i ап — положительные числа). 5. Сколько существует положительных целых чисел je, меньших 10С0Э, для которых 2 * — х* делится на 7?

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 2 ЗА 1948 год.

Следует отметить резкую разницу в числе присланных решений по задачам №№ 21—30, с одной стороны, и №№ 31—40 с другой, как показывает следующая сводка (в скобках указано число неверных решений) № 41-80(3); № 22-75 (3); № 23— 41 (8), № 24—42 (1); № 25—75 (15); № 26-66 (25); № 27-56 (22); № 28-55 (12); № 29—59 (1); № 30-76(2); № 31-28(2); № 32—23 (0); № 33—19(3); № 34-23 (2); № 35-32 (2); № 36—33 (2); № 37-19 (7); № 33-26 (4); № 39_22 (4); № 40-9 (2).

Очевидно, задачи второго десятка превысили среднюю степень трудности для большинства решавших; с другой стороны, нельзя не отметить, что и задачи первого десятка (особенно №№ 25— 28), по существу очень легкие, получили слишком много неверных решений, что в первую очередь можно объяснить недостаточной внимательностью. Большей частью давались неполные решения (но были и совсем неверные). Так, по № 25 пропускалось решение (0,1—1); по № 26 давался один или два корня вместо трех; по № 27 или давались только положительные значения корней (l,-j-, “g“ )• или, наоборот, давалось решение ( + 1, + ~2“ » ±“о-) без всяких ограничении относительно знаков; по № 28 также или давались один, два ответа вместо трех, или давались лишние, не удовлетворяющие условию задачи (например 22). Отметим еще, что задача 38 вследствие не совсем ясной формулировки получила самые разнообразные решения ^например производилась замена га— _ и т. д. и дело этим исчерпывалось.

Приводим сводку решений.

Г. Автух (Чашники) 21-23, 25—29, 31, 36; К. Агринский (Москва) 21—30; X. Аликов (Ольгинское) 21, 22, 26, 30; Е. Алмазова (Беднодемьянск) 21, 24-26, 28-30; И. Альтшуллер (Ленинград) 21, 23, 25, 28, 30; А. Аляев (Старый Валовай) 21-25, 27—32, 34—36, 33, 39; Р. Багдассароь (Векиль-Базар), 21, 22, 25, 30; И. Берман (Турткуль) 21—23, 25, 28, 30;

Л. Бескин (Москва) 21, 23, 26, 28—32, 35, 36, 38; Г. Бобылев (Тула) 21, 22, 25, 26, 30; Е. Боков (Кононово) 21-23, 25, 2:1-30, 35; И. Бочкин (Витебск) 21—26, 28—30; И. Бригадин (Сталино) 21, 22, 25, 30; Б. Бурназов (Ейск) 21—30, 33-39; В. Буткевич (Ровно) 21—25, 23, 36, 39, 40; Б. Вайнман (Киев) 21, 22, 24—27, 30; А. Владимиров (Ялта) 21-30, 34—40; М. Волков (Москва) 21, 22, 25; Р. Гацерелия (Гегечкори) 21, 22, 25, 30; Г. Голянд и С. Третьяков (ст. Ленинградская) 22, 23, 25—27, 30; Р. Гангнус (Москва) 21, 23, 26. 30, 38; Н. Гамкрелидзе (Чиатура) 21, 25; И. Голайд]о (с. Первомайское) 21—25, 28-32, 34-36, 38, 39; Н. Гречкин (Морозовск) 21, 30; Б. Дудолькевич (Петроковка) 21,24,25, 24, 36; Евланов (ст. Павелец) 21. 22, 25, 3ü; А. Егорин (Тула) 30; Д. Захаров (Канаш) 21, 22, 25, 26, 23, 30; В. Зяблицкий (Калинин) 21, 30; Ц. Кандаян (Ереван) 21, 22, 25, 26, 27—30; Я. Килимник (Винница) 21-23, 27; Н. Кириллов (Ярославль) 21, 22, 24, 25, 29-32; /7. Китайгородский (Москва) 21, 22, 24—26, 28-30; С. Колесник (Харьков) 21—36, 39; А. Корнилов (с. Нов. Егорлык) 21—39; И. Кугай (Новоград-Волынский) 21, 22, 24, 25, 29, 30, 38; В. Кунахович (с. Безводное) 21, 22, 27, 30; Н. Кухарев (Уфа) 21, 22, 24— 27, 30, 31, 35, 37, 38; С. Лебензон (Малаховка) 21, 22, 24—40; Г. Литвинов (Усть-Абаканск) 21, 22, 24, 28—30, 35, 38; Д. Людмилов (Гайши) 21—30, 38, 39; М. Ляндерс (п. Вахтай) 21, 22, 30, 35; М. Ляпин (Казань) 21—25, 27—32, 35, 36; П. Макуха (Алма-Ата) 21, 23-25, 28—37, 39; Н. Манукян (п, Келлеровка) 21, 22, 26, 27, 30; П. Манукян (Ереван) 21, 22, 25; Медведев (Себряково) 21—24, 28, 29, 31, 32. 34—37; М. Месяц (Житомир) 21-24, 28—32, 35, 36, 38, 39; Г. Многолетний (Мглин) 21, 22, 24, 25, 29, 30; М. Мустафаев (Нуха) 21, 22, 24, 25, 30; А. Овчинников (Сталинград) 21, 22, 25—32, 34—36; Ю. Орехов (Ленинград) 21, 22, 24, 25; А Патарая (Бандза) 22, 25, 26, 30, 35; Ф. Певишев (ст. Шилово) 21, 22, 24, 25, 27-30, 33, 34, 36—38; Ю. Петров (Ленинград) 23, 28, 29, 34, 36; О. Пищик (Золочев) 21—26, 28—36, 38, 39; П. Постников (Ряжск) 21, 22, 24-30, 34-36, 39; Г. Пушкаревский (с. Степановка) 21, 22, 24, 29, 30; Н. Рытов (Каменка) 21, 22, 28—30, 35, 36; М. Сандмуродов (Самаркандский р.) 21, 22, 30; И. Сергачев (Малый Ярославец) 21, 22; Ф. Сергиенко (Запорожье) 21, 23, 24, 26, 27, 29-33, 35, 36, 38—40; А. Снтков (Спасск) 21, 26, 30; Б. Стара с (Городок) 21—23, 28, 30, 36; Г. Сотников (Казань) 21, 22, 25, 30; В. Утемов (Красноуфимск) 21—33, 36-38; Циммерман (Ейск) 21—25, 29—31, 33, 37, 38; В. Цхай (Караганда) 22/24, 25, 30—32, 34, 36; И. Цыпкин (Казань) 21—24, 26-30; М. Чаус (Вчерайшее) 21— 23, 25, 26, 29, 30, 34—36, 39; М. Черепнин (Караганда) 22—24, 29—36; И. Чижиков (Краснослободск) 22, 25, 30; Г. Шакирзянов (Атнинск) 22; М. Шебаршин (Кемерово) 21—33, 35—40; Л. Шевелев (Орел) 21—27, 29—36, 38—40; А. Ширшов (Луганск) 21—40; Я- Юрченко (Знаменка) 21 — 25, 28—33, 36, 38—40; Э. Ясиновый (Куйбышев) 21— 25, 28-33, 36, 38—40.

ПО № 3 ЗА 1948 год

Решений по этому номеру прислано сравнительно немного, всего 568, что очевидно, объясняется летним временем, так как задач повышенной степени трудности в данном номере почти нет. Все же неверных решений оказалось значительное количество—78. По отдельным №№ решения верные и неверные (в скобках) распределяются так: № 41_22 ( 0); № 42—27(0); № 43-5 (9); № 44-19 (7); № 45—22(10); № 46—13(17); Х° 47—23(11); № 48— 32(0); Х° 49—16(2); № 50—13(0); № 51—7(13); № 52-45 (0); № 53—40 (2); № 54—37 (0); № 55—35 (1); Mb 56—47 (0); Л& 57—23 (2); № 58-11 (0); №59-12 (2); № 60—40 (3). Наименьшее количество решений (и притом с наибольшим процентом неверных) получила задача 43. Ответы были самые разнообразные: Са.+аН-...*,,; 2(^11)...(ал+1); 2л-1—1 и т. п. Трудной оказалась и задача 46. Наряду с ошибками в процессе решения, приводившими к неверному ответу, давались настолько сложные ответы

например,

что даже в случае их правильности решение нельзя признать удовлетворительным.

По задаче 45 часто давалось единственное решение л = 7 или же утверждалось отсутствие решения. Наоборот, по задаче 47 давались разнообразные выражения для заданных отрезков, хотя отсутствие решения обнаруживается очень легко и быстро. К приведенным в решении доказательствам (см. в настоящем номере) можно прибавить следующее: из равенства AB = BE следует: £BAD = /_ВЕО. А так как £ВАО = /JOAD, то получается, что внешний угол ВЕА треугольника АЕС равен внутреннему углу ОАО.

Наконец, задача 51 была непонятна многим, может быть, в силу неясной формулировки самого задания. Очевидно, нужно было сказать: «исключить 9 из уравнений». В задаче 48 некоторыми учитывалось известное условное соглашение 0! = 1 и потому давались еще решения 10, 20 и 30, что допустимо.

Даем сводку верных решений.

Г. Автух (Витебск, обл.) 44, 45. 47 —49, 52 — 54, 57, 60; К. Агринский (Москва) 41, 42, 45, 47. 48, 52 — 56, 60; Я. Айзенштадт (Кисловодск) 41—45, 47 — 60; П. Алексеев (Череповец) 56,60, Е. Алмазова (Беднодемьянск) 48, 52 — 56, 6Ю; А. Аляев (ст. Валовай) 48, 52 — 56, 60; И. Альтшуллер (Ленинград) 52, 53, 56; Л. Бескин (Москва) 42, 45 — 50, 53 — 57, 60; Г. Бобылев (Тула) 52, 53. 56; Я. Боков (Краснодар. кр.)42, 44, 48, 52 — 56, 60; И. Бочкин (Витебск) 41, 45,48,52 — 56; И. Бригадин (Сталино) 52; В. Буткевич (Ровно) 41, 42, 45 — 50, 52 — 60; Б. Вайнман (Киев) 52, 55. 60; А. Владимиров (Ялта) 41, 42, 44, 45, 47, 48, 51 —57, 60; М. Волков (Москва) 52 — 55, 60; Ю. Вольфенгаут (Томская обл.) 42, 46, 47, 52, 54 —

57, 60; Р. Гацерелия (Гегечкори) 52, 53; В. Голубев (Кувшиново) 41 — 44, 47, 48, 52 — 54, 56 — 60; Б. Дудалькевич (Киевская обл.) 42, 48, 54 — 56, 60; И. Евланов (Па • ' *ц) 52, 53, 56, 57; Д. Захаров (Канаш) 48, 54, 56, 60;Н. Зубилин (ст. Нарышкино) 41, 42,44, 47 — 50, 52 — 57, 60; В. Зяблицкий (Калинин) 52, 53; Я. Килимник (Винница) 47, ^8, 56, 57, 60; П. Китайгородский (Москва) 42, 51 — 56, 60; С. Колесник (Харьков) 41, 42, 44 — 60; А. Корнилов (Ростов, область) 41, 42, 44, 45, 48, 52 — 57, 59, 60; И. Кугай (Новгород —Вол.) 41, 42, 51 —53, 55, 56; Н. Кухарев (Уфа) 41, 44, 45, 52, 55, 56; Д. Лебединский (Сумск. обл.) 52, 54, 56, 60; С. Лебензон (ст. Малаховка) 41—45, 47 — 50, 52 — 60; М. Манукян (Казах. ССР) 41, 42, 52, 56; Медведев (Михайловна) 42, 44, 47, 48, 52 — 56, 60; Г. Многолетний (Мглин) 48, 52 — 56; Ю. Орехов (Ленинград) 55; А. Паторая (Тбилиси) 41, 47, 51—53, 55, 56, 59, 60; Ф. Певишев (ст. Шилово, 45, 48, 52 — 54, 56, 57, 60; О. Пищик (Золочев) 41, 42,44 — 46,48 — 51, 53 — 57, 59, 6J; Г. Полознев (Томск, обл.) 46 — 49, 56, 60; Т. Полякова (Гагарино) 47, 52, 60; П. Постников (Ряжск) 41,42, 45,46,48 — 50, 52 — 60; Н. Рождественский (Днепропетр. обл.) 41 —48, 52, 54 — 58, 60; В. Розентуллер (Ленинград) 42, 45, 49, 54, 56, 60; Г. Сотникова (Казань) 47, 52, 53, 56, 60; Р. Срода (Астрахань) 48, 52 — 56, 60; М. Сухова (Томск, обл.) 41, 42, 45, 52 — 57, 60; В. Ураевский (Кузнецк) 52,56; В. Утемов (Красноуфимск) 41, 42, 44 — 50,52 — 57; Я. Циммерман (Ейск) 42. 45. 48—50, 52 — 57, 59. 60; М. Чаус (Житомир, обл.) 44, 46 — 48, 53, 54, 56, 58, 60; Г. Шакирзянов (Татар. АССР) 47, 53, 54, 60; М. Шебаршин (Кемеровск. обл.) 41—50, 52 — 60; А. Ширшов (Станично-Луганск.) 41, 42, 44, 52 — 60; Ясиновый (Куйбышев) 41, 42, 44 — 50; 52 — 58, 60.

СОДЕРЖАНИЕ

Михаил Кузьмич Гребенча....................... 1

НАУЧНО ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

П. С. Моденов. Геометрические преобразования............. 4

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

В. М. Нагаева. О педагогическом наследии Н. И. Лобачевского .... 22

И. Голубев. Новые данные о Л. Ф. Магницком............. 26

B. Е. Прудников. Педагогическое наследие П. Л. Чебышева....... 23

МЕТОДИКА

C. М. Чуканцов. О воспитании у учащихся чувства советского патриотизма и советской национальной гордости в связи с изучением математики в средней школе........................... 34

Д. Д. Бачелис. Доказательство теоремы о равновеликости пирамид ... 50

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Ю. М. Гайдук. В каком классе начинать систематический курс геометрии 51

ЗАДАЧИ

Решения задач............................. 52

Задачи................................. 61

Задачи для математических кружков.................. 62

Сводки решений задач......................... 62

№ 09337 Заказ № 652

Тираж 20 000 экз. Технический редактор Е. Н. Пергаменщик

Редакционная коллегия

Редактор А. Н. Барсуков Зам. редактора С. И. Новоселов

Члены редакционной коллегии Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий, А. П. Садиков, Н. Ф. Четверухин

Корректор А. С. Киняпина

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз Министерства просвещения РСФСР

Сдано в производство 13/IX 1948 г. Подписано к печати 26/Х 1948 г, Печ. л. 4 Учетно-изд. л. 7,47 _Печ. зн. в 1 п. л. 72 000. Цена 4 п. 50 к._Формат 82х108/16_

13-я тип. треста сПолипрафкиита* Огиза при Совете Министров СССР. Москва, Денисовский, 30.