МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

5

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКВА 1948

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

B. Н. Депутатов—О формальной недостаточности правила Лопиталя. . . 2

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

А. Я. Юшкевич — Математика и ее преподавание в России XVII — XIX вв. 10

МЕТОДИКА

А Н. Перепелкина — Кинофикация курса геометрии в средней школе . . 20

Н, А. Арсеньев — Задачи на доказательство в неполной средней школе. . 29

И. С. Соминский — Решение арифметических задач способом ложного положения...............................'. . 35

ИЗ ОПЫТА

М. Х. Кекчеева — Из опыта решения стереометрических задач...... 39

М. В. Носов — О тождественных преобразованиях............ 42

Л. И. Кременштейн — Об одном графическом построении тс ...... 46

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Я. С Моденов — О статье А. И. Фетисова <Учение о тригонометрических функциях в курсе средней школы»................. 48

C. И. Новоселов — О книге ß. Л. Гончарова «Арифметические упражнения и функциональная пропедевтика»..................51

ХРОНИКА

С. Я. Фиников — Василий Никитич Депутатов .............. 54

ЗАДАЧИ

Решение задач............................. 56

Задачи................................. 63

Сводка решений.........................на обложке

№ 07778 Заказ № 460 Тираж 20 000

Редакционная коллегия Редактор А. И. Барсуков Зам. редактора С. И. Новоселов

Члены редакционной коллегии: Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий, А. Я. Садиков, Н. Ф. Четверухин Технический редактор В. С. Якунина Корректор А. С. Киняпина

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды. 6, Учпедгиз Министерства просвещения РСФСР

Сдано в производство 2/VI 1948 г. Подписано к печати 18/VIII 1948 г. Печ. л. 4 Учетно-изд. л. 7,75 _Печ. зн. в 1 п. л. 72000. Формат 84ХЮ8/16. Цена 4 р. 50 к.__

13-я тип. треста «Полиграфкнига» ОГИЗа при Совете Министров СССР Москва, Денисовский, 30,

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 5

СЕНТЯБРЬ-ОКТЯБРЬ 1948

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

К СТАТЬЕ ПРОФ. ВАСИЛИЯ НИКИТИЧА ДЕПУТАТОВА „О ФОРМАЛЬНОЙ НЕДОСТАТОЧНОСТИ ПРАВИЛА ЛОПИТАЛЯ“

Акад. Н. Н. ЛУЗИН (Москва)

В 1944 г. проф. Василий Никитич Депутатов сообщил мне о новых найденных им случаях неприменимости правила Лопиталя. Занятый в ту пору обработкой учебника по математическому анализу, я живо заинтересовался этим сообщением Василия Никитича. Примеры, которые он мне представил, в самом деле привели меня в удивление, и я спросил автора о тех размышлениях, которые предшествовали этим примерам и которые привели его к ним.

В ряде бесед с Василием Никитичем я имел возможность убедиться, что его размышления, идя постоянно в том же самом направлении, постепенно созревали и готовились оформиться в большую, основного значения, работу, над фундаментом которой он трудился и контуры которой выступали перед ним еще в тумане.

Чрезвычайная занятость Василия Никитича и длительная тяжелая болезнь лишали его возможности ускорить ход размышлений и приготовить к печати отдельные части его работы, о которых в моих, ведшихся во время бесед заметках, у меня уцелели лишь отдельные пункты и абрисы.

В настоящее время я полагаю, что лишь выполняю мой долг, предавая печати размышления Василия Никитича. Этот материал неполон, многое мною утрачено и забыто (хотя бы в вопросе о неявных элементарных функциях), и, излагая его размышления, я не всегда убежден, что сохраняю верность его руководящей нити.

В этом материале гораздо больше поставленных, чем разрешенных проблем. Но вместе с Георгом Кантором я думаю, что обязанность математика скорее состоит в том, чтобы ставить проблемы, чем чтобы их решать. В прошлом веке на решение математических проблем смотрели как на источник возникновения новых идей.

Рассматривать под этим углом зрения вещи (Кронекер, Гильберт) было законно, ввиду оскудения области идей, на которое справедливо указывал столь сильный человек, как Гильберт. Но в наше время, полное волнующих идей, мы не нуждаемся более в таком источнике, и точка зрения Георга Кантора мне представляется более правильной, чем мнение его антагониста — Кронекера.

Наконец, опубликование этих заметок, которые я редактировал, следуя основной мысли Василия Никитича, есть выполнение простого долга и по отношению к отечественной школе, и по отношению к памяти о безвременно отошедшем от нас интересном математике и редких душевных качеств человеке.

О ФОРМАЛЬНОЙ НЕДОСТАТОЧНОСТИ ПРАВИЛА ЛОПИТАЛЯ

Проф. В. Н. ДЕПУТАТОВ (Москва)

1. Понятие элементарной явной функции

Согласно известному классическому определению, функция / (л:) называется явной элементарной функцией, если аналитическое выражение для функции / (л:) строится только при помощи следующих трех основных действий математического анализа:

Действия сложения арифметики, обозначаемого символом ( ) + ( )» действия возвышения в степень при натуральном основании eS ) и действия логарифмирования при натуральном основании log ( ).

К этому определению обычно присоединяется еще указание на то, что каждое из этих трех основных действий должно проделываться лишь конечное число раз и что действия эти должны отправляться, как от исходного пункта, непосредственно от аргумента х и от заданных постоянных.

Данное определение принадлежит, очевидно, к типу тех, которые называют генетическими, потому что они имеют в виду прежде всего генезис понятия. Но вместе с тем данное определение имеет явный отпечаток неполноты, будучи одновременно полуконструктивным и полуформальным с логической точки зрения.

В самом деле, данное определение не имеет конструктивной полноты, так как в нем не сделано никаких указаний на относительный порядок, в котором должны проделываться названные три основные аналитические действия. И, вместе с тем, данное определение не имеет в себе формально-логической замкнутости, так как в самой его формулировке — строящаяся функция / (х) не вполне отделена от лица, ведущего ее построение.

Этот последний недостаток легко может быть устранен путем отказа от генетического характера определения и постановки его целиком на формально-логическую почву. Делается это следующим образом. Сначала определяют понятие тела функций.

Телом функций называется всякое множество Т функций, содержащее в себе как элементы все константы, аргумент х и инвариантное по отношению к каждому из указанных трех основных действий математического анализа. Это означает, что всякое из этих трех действий, будучи совершено над одною или двумя какими-нибудь функциями тела Г, дает результат, опять содержащийся в теле Т.

Существуют тела Т функций. Например, совокупность всех вообще функций f (х) есть, очевидно, тело Т функций.

Далее, если мы имеем некоторую совокупность {7} тел, то множество всех функций / (л:), принадлежащих одновременно всем этим телам 7, образует опять некоторое тело функций. Иначе говоря, пересечение тел есть опять тело. Чтобы видеть справедливость этого, достаточно заметить, что, во-первых, пересечение тел заведомо есть множество функций, содержащее в себе все константы и аргумент х. И, во-вторых, что результат каждого из трех указанных действий, совершенного над одною или двумя функциями пересечения, непременно должен принадлежать пересечению, ибо находится в каждом из рассматриваемых тел 7, потому что действие это совершается над функциями этого тела Т.

Отсюда следует, что пересечение Т0 всех тел Т есть также тело и притом минимальное тело и поэтому это есть единственное тело.

Теперь, по определению, мы называем явной элементарной функцией всякую функцию f (х), которая принадлежит к минимальному телу 70, существование и единственность которого нами установлены.

Легко видеть, что формально-логическое определение явной элементарной функции, к которому мы только что пришли, вполне согласуется с ранее формулированным генетическим определением. Действительно, прежде всего ясно, что процесс построения функции /(#), о котором нам говорит генетическое определение, должен протекать во времени, и что каждый шаг этого процесса всегда дает промежуточные функции, принадлежащие к минимальному телу Т0. В самом деле, начальные функции, от которых отправляется процесс, будучи константами и аргументом х, принадлежат к минимальному телу 70, но с другой стороны, если все ранее сделанные шаги процесса приводили только к функциям, принадлежащим телу, то и делаемый после них шаг построения не может вывести нас из 70, потому что 70 есть тело. Таким образом, и последний шаг построения, приводящий к финальной функции / (л:), непременно дает нам функцию тела 70.

Отсюда мы заключаем, что совокупность M всех функций /(*), удовлетворяющих генетическому определению, содержится в теле 70, т. е. имеем M < 70. С другой стороны, совокупность M является, очевидно, в свою очередь, телом, так как содержит все константы

и агрумент лг, и так как результат каждого из трех основных действий, совершенного над функциями совокупности М, удовлетворяя генетическому определению, несомненно входит в M. Таким образом, совокупность M есть тело и, значит, должна содержать минимальное тело Т0, т. е. имеем Т0<^М. Отсюда мы заключаем о тождестве Т0 и Ж, 7^ = М, т. е. о согласии генетического и формально-логического определений явной элементарной функции.

Окончательно говоря, мы видим, что для того, чтобы сделать генетическое определение логически строгим, его надо лишь формализировать, т. е. освободить от проскользнувшей в него идеи времени, а также и лица, производящего построение явной элементарной функции.

2. Свойства явных элементарных функций

Это очищение генетического определения достигается внесением в него explicite, объективным образом, того порядка, в котором должны быть проделываемы указанные три основные действия математического анализа для окончательного получения нужной функции /(лг).

Введем для этого следующее определение: конечную перенумерованную совокупность функций и1% и2, и9,..., ип мы называем цепочкой функций, по отношению к трем основный действиям, когда всякий ее член ит, который не есть ни константа и ни аргумент x, есть результат одного из этих действий, проделанного над какими-нибудь двумя или одним предыдущими ее членами, т. е. если имеем:

или ит = и 4- ип,

или ит = еиру

или и„ = log ип,

где рид — натуральные числа, меньшие числа т.

Из этого определения следует, что начальные члены всякой цепочки суть обязательно константы и аргумент и что лишь дальше следуют члены более сложной природы. Затем мы видим, что всякий член цепочки содержится в каждом теле Т и, следовательно, содержится в минимальном теле Т0. Наконец, совокупность M = {#л} последних членов ип образует, очевидно, также тело, потому что совокупность M содержит все константы и аргумент лг, и, кроме того, она инвариантна по отношению к каждому из указанных трех действий ( ) + ( ), ) и log ( ), как в этом легко убедиться, продолжая данную цепочку членом eUm или log um, или ставя одну после другой две цепочки, оканчивающиеся членами и (х) и v (х)у и пополняя полученное таким образом соединение обеих цепочек, которое, очевидно, есть, в свою очередь, цепочка, членом

w (х) = и (x) -f- v (лг).

Таким образом, совокупность M = {#Л} последних членов ип всех цепочек есть также тело функций, содержащееся в минимальном теле Т0 и, следовательно, тождественное ему, M = Т0.

Как следствие, мы выводим:

каждая явная элементарная функция f(x) является последним членом цепочки функций. Для всякой данной/(лг) таких цепочек имеется бесконечно много; среди них цепочки с наименьшим числом звеньев (членов) наиболее тесно связаны с природою функции / (лг); эту минимальную длину цепочек, определяющих /(лг), можно назвать родом функции / (л:).

По поводу принятого здесь определения явной элементарной функции уместно сделать следующее замечание. В жизни высшей школы обычно принимают несколько иное определение этих функций, вводя три отброшенные нами действия арифметики: вычитание —-,умножение^ и деление', для того, чтобы иметь среди явных элементарных функций все рациональные функции. Затем вводят действие возвышения в численную (постоянную) степень как рациональную, так и иррациональную, чтобы иметь среди явных элементарных функций все степенные функции, вообще уже трансцендентные.

Наконец, после введения показательных функций и обратных к ним логарифмических функций, как это мы и сделали, вводят еще все основные тригонометрические функции: sin, cos, tang и т. д., и обратные к ним круговые функции (аркусы): aresin, aretang и т. д.

Такого изложения придерживаются все курсы математического анализа, в том числе и самые солидные.

Этот способ изложения имеет (за собою) не только историческую давность, но и чисто практические соображения, возникающие при дифференцировании функций. Мы нашли, однако, возможным оставить его и, отбросив все обычно вводимые действия, ограничиться лишь тремя указанными выше: сложением, ( ) + ( )> возведением в степень е( > и логарифмированием log ( ), при натуральном основании е. Для побуждения к введению еще каких-либо других действий теоретических соображений не имеется, потому что все иные обычно вводимые действия и функции редуцируются к указанным трем действиям.

В самом деле:

вычитание сводится к умножению и сложению: и — v = u-\-(—\)y^v, умножение сво-

дится к указанным трем основным действиям по формуле:

u-v = eloza + l°sv;

деление сводится к возвышению в численную степень и умножению

возвышение в численную степень также редуцируется по формуле

их = ех X 1<>г «.

Наконец, прямые тригонометрические и обратные им действия также приводятся к трем основным действиям по формулам:

и т. д.

Это последнее наблюдение было сделано еще покойным Михаилом Яковлевичем Суслиным. Здесь мы, конечно, вводим употребление комплексных постоянных и, следовательно, при определении явной элементарной функции не ограничиваемся одними только действительными постоянными.

Дальнейшая редукция трех указанных основных действий к двум, повидимому, невозможна.

Введенное нами выше понятие цепочки функций

Ну аз>- • •> Un

очень удобно для установления тех или иных свойств явных элементарных функций. В самом деле, для этого достаточно проследовать полной индукцией вдоль фиксированной цепочки функций, причем в данном случае эта индукция вполне законна, раз цепочка имеет ограниченное число членов.

В качестве примера докажем предложение:

всякая явная элементарная функция f(x) имеет производную fix), которая, в свою очередь, есть также явная элементарная функция.

Предложение очевидно для начальных членов ^...цепочки, поскольку они суть константы и агрумент х.

И если предложение верно для всех членов uk цепочки, предшествующих какому-нибудь фиксированному ее члену ит, то оно имеет силу и для этого члена ит. В самом деле, мы должны иметь или

»т = *р + иФ

или

или

где /?</я и #</я.

Следовательно, имеем: или

или

um = eup-u.

m p1

или

UP

я = —£ . m Up

Таким образом, подвигаясь все дальше и дальше, мы приходим к последнему члену un=f(x) рассматриваемой цепочки, что и доказывает полностью предложение.

Заметим, что в преподавании высших школ обычно не дают полного доказательства за неимением идеи порядка проделываемых операций и ограничиваются всегда только примерами, причем число промежуточных функций не превосходит десяти.

Обратная проблема:

узнать, является ли данная явная элементарная функция f(x) производной также явной элементарной функции F(x), и, в случае утвердительного ответа, найти эту первообразную F (х) — еще не получила полного решения и до сих пор представляет неодолимые трудности. По существу, это — задача интегрального исчисления и, несмотря на протекшее почти трехсотлетие с момента возникновения этого исчисления (1670), в общем виде здесь почти ничего не сделано, учитывая даже усилия Эйлера и Чебышева. Здесь уместно указать на большую, основного значения, работу проф. Д. Д. Мордухай-Болтовского по интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, в конечном виде имеющую близкое отношение к рассматриваемым в этой статье вопросам.

Наконец, по вопросу определения неявных элементарных функций и отыскания условий, когда они становятся явными элементарными функциями, почти не имеется никаких изысканий. Общеизвестно, что алгебраическое уравнение f(x, у) = 0 четвертой (или низшей) степени относительно буквы у и с коэфициентами, которые суть явные элементарные функции, позволяет выразить у как явную элементарную функцию. Но уже для уравнения

уь+у + х = 0

мы не нашли исследований, которые установили бы, что у не может быть представлена, как явная элементарная функция арг> мента х, хотя это предложение и кажется бесспорным.

3. Правило Лопиталя

Это правило для раскрытия неопределенности -g- , как известно, читается в грубом так: имея дробь , где f(a) = F (а) = О, нужно, продифференцировав отдельно числитель и знаменатель, составить новую дробь f ^) • Ее величина yr^j и является пределом старой дроби, когда x стремится к а».

Но самая точность применения правила Лопиталя контролируется леммой Коши:

если функции / (х) и F (х) непрерывны на интервале 8, имеющем граничной точкой а; если производные f (х) и F'(х) существуют всюду на 8, причем F'(х) нигде не обращается в нуль на 8; и если f(x)—*0 и F(x)-+0> когда х->а, оставаясь на 8; то тогда имеем равенство:

где $ находится между точками а и х.

Из этой леммы Коши следует только то, что существование предела lim v., ( Д необходимо вынуждает существование также и предела lim t: причем численные величины обоих этих пределов обязаны быть равными один другому:

Поэтому, исследуя логически, правило Лопиталя, мы должны прежде всего рассмотреть четыре логически возможных случая:

I. lim— существует, lim ур существует;

II. lim-^г существует, lim yj- не существует;

III. lim-y не существует, lim yr существует;

IV. lim -^не существует, lim-^- не существует.

Случай I есть именно тот единственный случай, который имеет в виду правило Лопиталя, ибо в этом случае обязательно имеем равенство

lim -у- = lim j^r

и, значит, при осознанной трудности вычисления первого предела lim ущ , мы можем вместо него обратиться к вычислению второго предела lim ^ , если он нам кажется более легким, т. е% когда новая дробь yr лучше старой дроби ~г .

На практике, правда, здесь иногда оказывается, что новая дробь уг не лучше старой дроби -у-. Это происходит тогда, когда числитель /' и знаменатель F' новой дроби также стремятся к нулю, когда х приближается к значению а. Если это произойдет, надо обратиться к составлению и исследованию следующей дроби , и, при необходимости, к дальнейшим дробям ~ ,... ,... пока, наконец, не попадем впервые на дробь -^(ту^ - , У которой числитель и знаменатель, стремясь к пределам, при приближении л: к а не имеют их равными нулю.

Тогда мы имеем в точности lim v., = Р^(а В этих условиях дробь JW есть первая дробь, которая действительно лучше начальной дроби .

Однако иногда оказывается, что среди всех последовательных дробей у- , -р , рг ,... ,... нет ни одной, которая оказалась бы лучше начальной дроби -у- . Так происходит, например, когда f(x) = F (х) = е *, либо здесь мы имеем всегда /(л)(0) =/^(О) =0.

В этих условиях применение правила Лопиталя бесполезно, хотя и нисколько не опасно. Это есть случай реального бессилия правила Лопиталя.

Случай II наблюдается в действительности, и он опасен тем, что в нем часто делают ложное заключение из несуществования второго предела lim ' о несуществовании и первого предела lim -l: ' , ссылаясь на указанную лемму Коши об обязательном равенстве

где £ содержится между точками а и х и где x есть любая точка интервала 8. На самом же деле, из леммы Коши должно заключить только то, что при существовании первого предела lim *}*\ и при непрерывном приближени без скачков) точки х по интервалу

8 к его граничной точке а промежуточная точка ? обязана двигаться скачками к точке a, £ —так, чтобы предел дроби jL,^ оказался бы в наличии в то время, как предела дроби угщ никакого нет при непрерывном приближении точки х к точке а по интервалу 8.

Что случай II наблюдается в действительности, это обнаруживает простой пример дроби

где

Здесь

и, очевидно, стремится к нулю, когда х стремится к 0, с какой угодно стороны. И, однако,

так что предела

нет никакого при непрерывном приближении аргумента х к нулю. Тем не менее лемма Коши здесь, разумеется, имеет силу, и верное равенство

указывает, что при непрерывном приближении точки x к нулю промежуточная точка S, 0<е<лг, уже не приближается к нулю непрерывно, но движется скачками так, чтобы сделался возможным предел дроби, стоящей в левой части равенства.

Из сказанного следует, что случай II, в котором либо числитель f ух), либо знаменатель F'\x), либо они оба вместе утрачивают непрерывность в точке x = а, очень опасен для каких-либо заключений о пределе lim -~- . В этом случае новая дробь уг хуже старой дроби -у-. В этом случае применение правила Лопиталя невозможно и может повлечь к опасным заключениям и недоразумениям.

Случай III невозможен, как это доказывает лемма Коши, потому что из равенства Коши

где x — произвольная точка интервала Ъ и где £ заключена между а и а;, а<5<^, мы сразу видим, что предел дроби “^j.y непременно существует, если существует предел lim F,( ' .

Случай IV встречается в действительности. Например,

Наконец, напомним, что в учебниках по математическому анализу доказывается, что правило Лопиталя распространяется и на раскрытие неопределенности —, причем точка а может быть как конечной, так и лежать в бесконечности.

4. Формальная недостаточность правила Лопиталя

В предыдущем параграфе мы рассмотрели известные классические случаи недостаточности правила Лопиталя. Все они берут функции f(x) и F(x) безотносительно к их аналитическому изображению, так что применимость или неприменимость правила Лопиталя диктуется в указанных классических случаях лишь свойствами самих функций и их производных, но отнюдь не их аналитическими изображениями, т. е. не формулами, дающими эти функции.

Для того чтобы это стало ясным, достаточно указать, что в случае голоморфности обеих функций f(x) и F (х) в точке а правило Лопиталя всегда окажется применимым и дающим совершенно определенный результат, как это явствует из следующих соображений: раз f(x) и F(x) голоморфны в точке а и обращаются в нуль в ней, мы имеем тождества:

где числа р и q натуральные и где обе функции ср(лг) и ф(лг) голоморфны в точке а и обе в ней не уничтожаются:

В этих условиях ясно, что, обозначив через m наименьшее из обоих натуральных чисел рид, мы имеем:

тогда как заведомо уже не будем иметь одновременно /М (а) = Ят> (а) = 0 и, значит, пра-

вило Лопиталя окажется существенно применимым на т'ом шаге и долженствующим дать определенный результат.

Попутно мы тут же отметим, что явные элементарные функции всегда суть функции аналитические. Чтобы удостовериться в этом, достаточно взять какую-нибудь цепочку функций

определяющую явную элементарную функцию un=f(x), и проследовать полной индукцией. Начальные члены и ,... цепочки суть аналитические функции, будучи константами и аргументом x. И если аналитичность предположена для всех членов цепочки, предшествующих какому-нибудь фиксированному члену ит9, то она обязательна и для этого члена в силу формул:

или um(x) = up(x)-\-uq(x), или

где p<im и q<^m. Мы видим, что аналитичность имеет силу и для члена ит(х). Следовательно, /(лг) есть функция аналитическая. И, однако, применимость правила Лопиталя к отысканию предела 11т-1Л \ вовсе не является столь безусловной, когда числитель и знаменатель этой дроби суть явные элементарные функции, потому что самое действие дифференцирования для перехода к дроби может внести чрезвычайное осложнение и вовлечь нас в новые неопределенности.

Когда, переходя от первоначальной дроби -jp- к следующей за нею дроби , мы отвлекаемся от аналитических выражений числителя и знаменателя / и F и берем эти функции абсолютным, т. е. безотносительным образом, мы пишем знаки производных f и F', не думая о moм, что всякое дифференцирование, по существу, есть не что иное, как раскрытие неопределенности, и что это действие может влить в имеющиеся формулы для заданных явных элементарных функций f и F новые неопределенности.

В этом отношении классическое изложение правила Лопиталя является половинчатым и далеко не исчерпывающим глубины вопроса; поэтому в серьезных учебниках математического анализа параграфы, посвященные правилу Лопиталя, имеют характер фрагмента какой-то теории качественно иного характера и имеют оправдание в своем помещении в них скорее благодаря традиции, чем по причине практической ценности.

Чтобы не быть голословными, предположим f и F явными элементарными функциями и рассмотрим дроби: первоначальную и следующую за ней р, ~щ . Обе эти дроби суть также явные элементарные функции аргумента X,

исключая который мы получаем соотношение

(1)

где Ф есть аналитическая функция.

Если функция Ф не есть явная элементарная функция, то первоначальная дробь ~- и следующая за нею дробь будут независимы друг от друга в теле явных элементарных функций, и тогда вычисление предела выведенной дроби ф^- должно делаться самостоятельно, без учета связи ее (1) с первоначальной дробью . В этом случае при вычислении предела Ит-р- нет никакого petitio principii.

Положение дела резко изменяется, когда функция Ф есть также явная элементарная функция. В этом случае вычисление предел lim^y- новой дроби, в силу формулы (Ц редуцируется на вычисление предела Нт-^г- старой дроби, т. е. отбрасывается снова к нему, и тогда введение в рассмотрение новой дроби является собственно бесполезным, и самое правило Лопиталя ненужным, ибо, чтобы вычислить предел первоначальной дроби мы, согласно правилу Лопиталя, вводим новую дробь -р-, а чтобы вычислить предел этой новой дроби, в силу формулы (1), мы должны вычислить предел первоначальной дроби

Соотношение (1), где Ф есть явная элементарная функция, является источником случаев формальной недостаточности правила Лопиталя.

Таким образом, чтобы иметь примеры этих случаев, нужно решить дифференциальное соотношение (1), где Ф есть заданная явная

элементарная функция в неизвестных явных элементарных функциях f и F. Мы видим, что в этом ходе идей мы близки к изысканиям проф. Д. Д. Мордухай-Болтовского об интегрировании дифференциальных уравнений в конечном виде.

Чтобы иметь конкретные примеры случаев формальной недостаточности правила Лопиталя, достаточно дать самый простой вид функции Ф.

Пусть, например,

В этом случае дифференциальное соотношение (1) перепишется в виде:

Отсюда мы имеем:

и, следовательно,

и наконец,

(2)

Таким образом, полагая для конкретности

F(x)zzX и const = 1,

мы имеем случай формальной недостаточности правила Лопиталя:

(3)

Действительно, полагая

мы имеем

значит

Повторные применения правила Лопиталя лишь последовательно перевертывают, раз за разом, первоначальную дробь

Это — случай неопределенности

Чтобы иметь случай неопределенности -jj-, достаточно было бы положить в формуле (2) снова

F(x)zzX и const = 0.

В этом случае мы имеем /= Ух'1, F = х и старая дробь есть -у- = ——. Радикал принимается в арифметическом смысле, и правило Лопиталя применяется на интервале (0,1) для x—»0. Имеем:

Поэтому новая дробь есть ~- = 9 т. е.

равна перевернутой старой. И здесь последовательное применение правила Лопиталя лишь перевертывает, один раз за другим, первоначальную дробь:

Этот пример кажется, впрочем, мало приятным, вследствие того, что можно подумать, будто он возникает лишь вследствие недоведенного до конца действия извлечения квадратного корня из jc2, т. е. у~х\

Чтобы иметь другой пример, достаточно положить

В этом случае дифференциальное соотношение (1) напишется в виде:

(4)

и его требуется удовлетворить явными элементарными функциями f и F. Переписывая равенство (4) в виде:

и полагая f2 = у, мы имеем

(5)

Интегрируя это линейное дифференциальное уравнение, мы находим

или, проделывая простые квадратуры,

где С есть произвольное постоянное, мы можем положить С = 1. Таким образом, вспоминая, что y=f2, мы находим / = fV\ -f- f2 и, следовательно, первоначальная дробь напишется в виде:

(6)

где f—какая-нибудь явная элементарная функция, уничтожающаяся в точке х = 0.

Применение к полученной дроби (6) правила Лопиталя нам дает

Мы видим, что в самом деле

и, значит, отыскание предела дроби -—г при помощи правила Лопиталя возможно лишь тогда,, когда этот предел Нт-^- уже известен.

В заключение мы еще раз подчеркнем, что многие вопросы оставлены нами совсем не исследованными. Таков, например, вопрос о том, нельзя ли отыскать, применяя правило Лопиталя, предел новой дроби -рг, не производя никакого перехода к пределу?

Согласно лемме Коши оба предела Ит-^г и Нт^- должны быть равны друг другу и, значит, равны корню z конечного уравнения.

г=Ф(г), (7)

где Ф есть уже введенная нами выше явная элементарная функция.

Является обратный вопрос, в какой мере существование корня конечного уравнения (7)

гарантирует существование предела lim ?

Но первый вопрос, который должен быть решен, это вопрос, какова аналитическая природа явных элементарных функций /(*)? И, в частности, можно ли утверждать, что всякая явная элементарная функция f(x) всеми своими ветвями голоморфна вне некоторого замкнутого счетного (или конечного) множества точек Е, выколотого из сферы Неймана? Затруднительность проследовать полной индукцией при доказательстве этого намечающегося предложения заставляет усумниться в его справедливости.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЕ В РОССИИ XVII—XIX вв.

Проф. А. П. ЮШКЕВИЧ (Москва)

Продолжение

АКАДЕМИК П. Л. ЧЕБЫШЕВ И СОЗДАНИЕ ПЕТЕРБУРГСКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ

I. Жизнь Чебышева. Университеты в Казани и Харькове дали России в первой половине XIX в. Лобачевского и Остроградского, из Московского университета вышел в ту же эпоху младший современник двух названных ученых — Пафнутий Львович Чебышев. Чебышев родился 14(26) мая 1821 г. в деревне Окатове Боровского уезда Калужской губ., в семье местного помещика. В детстве он с увлечением занимался постройкой различных механических игрушек и заинтересовался геометрией, заметив связь между этой наукой и его игрушками. Начальным образованием его руководили мать и двоюродная сестра А. К. Сухарева, обучившая его, в частности, арифметике. В 1832 г. вся семья переехала в Москву для подготовки Пафнутия Львовича и его старшего брата к поступлению в университет. Элементарную математику П. Л. изучил под руководством известного педагога П. Н. Погорельского* и 16 лет от роду, в 1837 г., был принят в Московский университет. Мы видели выше, что стараниями профессоров Зернова и Брашмана преподавание на физико-математическом факультете в Москве было поставлено в ту пору сравнительно неплохо. Здесь читались курсы высшей алгебры, аналитической геометрии, анализа, дифференциальных уравнений и вариационного исчисления (их вел главным образом Зернов), а также теоретической и прикладной механики, которые блестяще преподавал Брашман. Н. Д. Брашман, учитывая нужды русской техники, особенно старался привлечь внимание студенчества к задачам практической механики. Он вводил в свой курс отдельные разделы теории механизмов и машин, а в середине 40-х годов по его предложению на факультете было начато чтение начертательной геометрии и создана кафедра практической механики. Под влиянием Брашмана внимание молодежи все более обращалось к задачам прикладной математики, и к диссертационным темам конца 30-х годов по дифференциальной геометрии, вариационному исчислению, алгебре и теории интегрирования (Лукьянов, Сомов, Драшусов) в 40-е годы в большом числе присоединяются новые, по механике, гидравлике и т. п. — например «О воде, как двигателе» (маг. дисс. А. С. Ершова, 1844), сТеория равновесия тел, погруженных в жидкость» (маг. дисс. А. Ю. Давидова, 1848). с Определение вида поверхности жидкости,

* Платон Николаевич Погорельский (1800—1852), воспитанник и магистр Московского университета, преподавал в 1830—1836 гг. на физико-математическом факультете, но основная педагогическая деятельность его протекала в средней школе. Ему принадлежит русская переработка известного курса Беллавеня, выдержавшая большое число переизданий.

заключенной в сосуде» (докт. дисс. Давидова, 1851).

Занятия Чебышева шли успешно. Он не ограничивался изучением все же недостаточного для более глубокой подготовки лекционного материала, но знакомился с более трудной учебной литературой и трудами классиков. Об этом свидетельствует его студенческая работа, написанная на конкурс перед окончанием университета. В этом небольшом сочинении о приближенном вычислении корней алгебраических уравнений, основанном на разложении корня в степенной ряд, он смело подверг критике некоторые неточности изложения вопроса в учебных руководствах. Быть может, именно этой смелостью и особенно замечаниями в адрес изданных Бурачком и Зеленым лекций по алгебре Остроградского вызвано было то обстоятельство, что конкурсное сочинение Чебышева было отмечено не золотой, но серебряной медалью.

В 1841 г. Чебышев окончил университет с кандидатской степенью. Этот и ближайшие годы жизни оказались для него трудными. Неурожай 1840 г. сильно расстроил материальное положение его родителей. Семья переехала в деревню, а молодой кандидат остался в Москве, имея только даровую квартиру в доме отца на Пречистенке (ныне ул. Кропоткина). Несколько лет Пафнутий Львович провел в серьезной нужде, но на работу не поступил, а много и упорно занимался математикой. В 1843 г. он сдал магистерские экзамены. В качестве диссертационной темы ему был предложен вопрос «О бесконечно малых перемещениях». Чебышев, однако, им не занялся (его рассмотрел в 1845 г. в кандидатской работе Давидов), а вместо того составил для нужд камерального факультета Ярославского Демидовского лицея оригинальное руководство «Опыт элементарного анализа теории вероятностей» (М. 1846), которое и защитил на степень магистра8 (20) июня 1848 г.* На этом и закончился московский период жизни Пафнутия Львовича.

Годы учения в Москве наложили несомненную печать на последующую научную деятельность Чебышева. Он не только приобрел здесь солидные знания, но и получил важные творческие стимулы, — особенно в результате живого общения с Н. Д. Брашманом, который первый оценил великое дарование молодого математика и направил его интересы в сторону теоретических исследований, связанных с практическими приложениями. К Брашману Чебышев сохранил глубокое и искреннее уважение на всю жизнь, и после переезда в Петербург в 1847 г. продолжал поддерживать с ним идейную связь. В бытность в Москве появились в печати и первые научные труды Чебышева. Кроме названного «Опыта», он опубликовал в журналах, издаваемых Лиувиллем и Креллем, три мемуара: по теории определенных интегралов (1843), теории рядов (1844) и о законе больших чисел (1846).

В 1847 г. Чебышев переехал на работу в Петербург. По представлении диссертации на право чтения лекций «Об интегрировании помощью логарифмов»** он был назначен адъюнкт-профессором Петербургского университета. В это время акад. Буняковский, тогда же приглашенный профессором в Петербургский университет, привлек Чебышева к подготовке к изданию трудов Эйлера по теории чисел. Вероятно, эта работа, завершившаяся публикацией Commentationes arithmeticae collectae (СПБ 1849, 2 тома), в которых оба издателя поместили ценный систематический указатель, натолкнула Чебышева на занятия теорией чисел. Докторской диссертацией его явилось руководство «Теория сравнений» (СПБ 1849). В 1853 г. Чебышев получил профессорское звание. В университете Чебышев преподавал до 1882 г., недолгое время он читал также курс механики в Александровском лицее.

Новые блестящие открытия Чебышева по теории чисел (1848—1851) и первые его исследования по теории механизмов и приближения функций (1853) сразу доставили ему выдающуюся известность в ученом мире. Тот же Буняковский содействовал избранию Пафнутия Львовича в 1853 г. адъюнктом Академии наук, а в 1859 г. — ординарным академиком по кафедре прикладной математики.

Начиная с 1843 г., научные труды Чебышева выходили почти равномерно на протяжении всей остальной его жизни. Общим числом их было опубликовано около 70. О быстром признании международного значения творчества Чебышева свидетельствовало хотя бы его избрание иностранным членом-корреспондентом парижской Академии наук в 1860 г. и ее действительным иностранным сочленом в 1874 г.

Жизнь Чебышева была почти полностью отдана науке и просветительной деятельности***. Круг знакомых Чебышева состоял главным образом из математиков. Он часто посещал Буняковского, у которого встречался и с Остроградским, а также своего товарища по Московскому университету, а затем по университету и Академии наук в Петербурге — И. И, Сомова. Он поддерживал также научные связи с Брашманом и с некоторыми крупнейшими европей-

* Напомню, что тогдашняя степень магистра соответствовала, примерно, нынешней кандидатской.

** Ее опубликовал акад. А. Н. Крылов в 1930 г.

*** Если не считать его важной работы в Артиллерийском комитете в 1855—1868 гг., до сих пор мало изученной.

скими учеными — Лиувиллем, Эрмитом, Сильвестром, Леженом-Дирихле и другими.

Как человек, Пафнутий Львович отличался большой личной скромностью, привязанностью к своим многочисленным ученикам и неизменной готовностью поддержать их в научном творчестве. Он скончался от паралича сердца во время легкой инфлуенцы 26 ноября (8 декабря) 1894 г., на семьдесят четвертом году жизни.

2. Чебышев как педагог и просветитель. Педагогическая деятельность Чебышева почти исключительно была связана с физико-математическим факультетом Петербургского, ныне Ленинградского университета, где он читал лекции в течение 35 лет и где он, совместно с Буняковским, Сомовым, а затем со своими учениками поднял преподавание на чрезвычайно высокий уровень, благодаря чему этот факультет оставил на некоторое время далеко позади себя соответствующие отделения других наших университетов.

Читал Чебышев многие курсы; вначале теорию чисел и высшую алгебру, затем аналитическую геометрию, сферическую тригонометрию, интегральное исчисление, теорию определенных интегралов, теорию конечных разностей, теорию чисел и теорию вероятностей. Учебников он, к сожалению, не оставил*, но лектор он был замечательный. «К чтению своих лекций,—рассказывают академики Марков и Сонин, — Чебышев относился с педантичной строгостью; лекций никогда почти не пропускал, никогда на них не опаздывал и ни одной лишней минуты после звонка не оставался в аудитории, хотя для этого приходилось прерывать лекции иногда на полуслове. Недоконченный на какой-либо лекции вывод всегда начинал на следующей с самого начала, если только эта лекция не была немедленным продолжением предыдущей. Всякой сколько-нибудь сложной выкладке предпосылал разъяснение ее цели и хода в общих чертах, а затем производил вычисление на доске большей частью молча, предоставляя студентам следить за ними глазами, а не ухом. Выкладки делал довольно быстро и настолько подробно, что следить за ним было очень легко. Во время лекций Чебышев часто делал отступления от систематического изложения курса, сообщал свои взгляды и разговоры с другими математиками по затронутым на лекциях вопросам и выяснял сравнительное значение и взаимную связь между различными вопросами математики. Эти отступления очень оживляли изложение, давали отдых напряженному вниманию слушателей и возбуждали интерес к изучению предмета в более широких рамках. Курсы, читавшиеся Чебышевым, были невелики по объему, но содержательны, по изложению очень доступны и удобопонятны. На экзаменах Чебышев не был ни слишком строг, ни слишком снисходителен и всегда чрезвычайно сдержан и вежлив. На диспутах возражения Чебышева, всегда касавшиеся не подробностей, а общих вопросов, связанных с предметом диссертации, отличались большой тонкостью и остроумием»**.

Но Пафнутий Львович был не только интересным лектором, образцовым экзаминатором и оппонентом, — он, вместе с тем, являлся и редким научным руководителем. Он охотно помогал начинающим ученым ценными указаниями и советами, а также предлагал им вопросы для самостоятельного исследования, неизменно ставя при этом такие задачи, которые были чреваты важными и интересными результатами. Раз в неделю он принимал у себя дома всех желающих с ним посоветоваться, «и редко кто-нибудь от него уходил, не унося с собою новых мыслей и поощрения к дальнейшей работе»***.

Профессорская деятельность Чебышева принесла необыкновенные плоды: только прямыми учениками его явились академики А. А. Марков, А. М. Ляпунов, проф. А. Н. Коркин, чл.-корр. Академии наук Е. И. Золотарев, проф. Г. Ф. Вороной, акад. Д. А. Граве, поч. акад. К. А. Поссе, профессора И. И. Иванов, Ю. В. Сохоцкий, И. Л. Пташицкий, А. В. Васильев. Научная деятельность всех этих ученых протекала под сильным влиянием Чебышева, многие непосредственно продолжали углубленную разработку его тематики, — и все они разносили идеи своего учителя по университетам и другим высшим школам Петербурга, Харькова, Казани, Киева, Варшавы. Тем самым протягивались нити от Академии наук к провинциальным научным центрам России.

Чебышев, однако, участвовал, в развитии русской математики не только в качестве ученого и университетского деятеля. В настоящее время благодаря архивным разысканиям доцента В. Е. Прудникова удалось осветить другую, весьма важную сторону его просветительской деятельности, до сих пор остававшуюся почти неизвестной. Один из ближайших учеников Пафнутия Львовича, К. А. Поссе, писал: «Общественная деятельность Чебышева исчерпывалась его профессурою и участием в делах Академии наук». В. Е. Прудников в противовес этому показал, что Чебышев сыграл большую роль и в постановке преподавания математики в гимназиях, уездных и приходских училищах и даже в воскресных школах. Подобно

* Только в недавнее время акад. А. Н. Крылов опубликовал по записям акад. А. М. Ляпунова «Теорию вероятностей» (лекции 1879/80 г., М.—Л. 1936) и по записям Авенариуса «Высшую алгебру».

** Сочинения П. Л. Чебышева, т. II, СПБ 1907.

*** Там же.

другим известным русским математикам — Лобачевскому, Остроградскому, Гурьеву и иным, Пафнутий Львович принял самое деятельное участие в разработке проблем обучения математике (и не только математике) в средней школе. В течение 17 лет, с 1856 по 1873 г., он состоял членом Ученого комитета по математическим наукам в Министерстве просвещения. При этом Чебышев занимался разработкой уставов школ, составлением их программ, рецензированием учебников и т. д. В делах Ученого комитета сохранилось свыше двухсот отзывов Чебышева на учебные руководства и пособия, от которых рецензент требовал более всего ясности и точности изложения, указывая, что «доказательства, лишенные надлежащей строгости, ничего, кроме вреда, принести не могут. Не говоря уже о напрасной потере времени, употребленного на изучение таких доказательств, нестрогие доказательства вредно действуют на умственные способности учеников, приучая их видеть там достаточную причину, где ее нет. Если что-либо не может быть строго доказано, необходимо прямо сказать ученикам, а не вводить в заблуждение, предлагая им нестрогое доказательство: пример этого нам дал сам Евклид в своей геометрии». Очень интересно, что Чебышев настаивал на пополнении гимназического курса математики началами аналитической и начертательной геометрии, сферической тригонометрии и некоторыми основными понятиями анализа*.

3. Научное творчество Чебышева. Чебышев не оставил каких-либо высказываний общефилософского характера. Тем не менее все творчество его служит ярким свидетельством его стихийно-материалистического и практического подхода к науке вообще и математике в частности. Акад. С. Н. Бернштейн, крупнейший советский математик, значительно продвинувший далее исследования Чебышева в теории вероятностей и конструктивной теории функций, справедливо писал, что «на основании всей его (Чебышева.—А. /О.) научной деятельности мы могли бы охарактеризовать его отношение к математике, как интуитивно-материалистическое ... Математика для него, как и для Ньютона, — наука о величинах с их очевидными свойствами, имеющими конкретный смысл и значение: всякое соотношение между математическими символами отражает соответствующее соотношение между реальными вещами; математическое рассуждение равнозначно эксперименту безукоризненной точности, повторенному неограниченное число раз, и должно приводить к логически и материально безошибочным выводам»**.

Быть может, особенно характерным для Чебышева было гениальное уменье, отправляясь от частных практических, иногда чисто технических задач, находить в их постановке корни глубоких математических теорий широкого охвата. В полушутливой форме он выразил свою точку зрения на взаимоотношения математики и практики в беседе с проф. А. В. Васильевым: «Математика, — сказал он, — пережила два периода. В первом — задачи ставились богами (делосская задача об удвоении куба), во втором—полубогами (Паскаль, Фермат). Мы вошли теперь в третий период, когда задачи ставит нужда»***. В знаменитой актовой речи (1856), «Черчение географических карт», Чебышев развил эту мысль с полной отчетливостью. «Науки математические,—говорил он,—с самой глубокой древности обращали на себя особенное внимание; в настоящее время они получили еще более интереса по влиянию своему на искусства и промышленность. Сближении теории с практикой дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает: сами науки развиваются под влиянием ее: она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах, давно известных. Несмотря на ту высокую степень развития, до которой доведены науки математические трудами великих геометров трех последних столетий, практика обнаруживает ясно неполноту их во многих отношениях; она предлагает вопросы, существенно новые для науки, и таким образом вызывает на изыскание совершенно новых метод. Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитии ее, то она еще более приобретает открытием новых метод, и в этом случае наука находит себе верного руководителя в практике»****.

Глубокий интерес Чебышева к прикладным вопросам нашел замечательное отражение в его кратком отчете о заграничной командировке в июне — октябре 1852 г. Поразительно, как много успел сделать Чебышев за эти полгода. Утренние и дневные часы он посвящал осмотру ветряных мельниц, паровых машин и передаточных механизмов, бумаго- и льнопрядильных машин, многочисленных фабрик и заводов, лабораторий и технических музеев, рассказывая о которых, он попутно выдвигал ряд

* Должен выразить глубокую благодарность В. Е. Прудникову за любезное разрешение воспользоваться его материалами, которые в ближайшем будущем будут опубликованы полностью.

** С. Н. Бернштейн, Чебышев, его влияние на развитие математики, «Ученые записки Моск. гос. университета», вып. 91, М. 1947, стр. 37.

*** А. В. Васильев, Математика, Пг. 1821, стр. 59.

**** П. Л. Чебышев, Избранные математические труды, М,—Л. 1948, стр. 100.

соображений теоретического характера. Вечера уделялись беседам с учеными — Лиувиллем, Эрмитом, Кели, Сильвестром, Леженом-Дирихле и инженерами, а также научной работе по теории чисел, анализу, теории механизмов и теории приближения функций. Чтение этого документа вызывает в равной мере восхищение и исключительной работоспособностью его автора, и его гениальным теоретическим проникновением в самую суть казалось бы сугубо практических задач*.

Среди тех вопросов, которые, по выражению Чебышева, перед математикой ставит нужда, особенное внимание его привлекали разнообразные экстремальные задачи. В той же речи о черчении географических карт он указывал, что особенную важность имеют те (методы.— А. Ю.), которые необходимы для решения различных видоизменений одной и той же задачи, общей для всей практической деятельности человека: как располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды? Решение задач этого рода составляет предмет так называемой теории наибольших и наименьших величин. Эти задачи, чисто практического характера, имеют особенную важность и для теории: все законы, определяющие движение материи весомой и невесомой, представляют решение задач этого рода. Нельзя не заметить особенного влияния их на развитие наук математических»**. Следует подчеркнуть, что, как видно из приведенных слов, Чебышев имел в виду не простую выгодность экстремальных решений, но то обстоятельство, что самые законы мироустройства определяются, как решения своеобразных задач на максимумы и минимумы. Под этим углом зрения подходил он к теоретическому обобщению актуальных задач машиностроительной техники, картографии, механики, даже портняжного дела***.

Естественно, что с обрисованным подходом Чебышева к целям математики было тесно связано стремление к конкретному, эффективному решению проблем, к построению таких алгорифмов, которые позволяют доводить исследование с помощью конечного числа операций до возможно более точного, желательно — числового результата. Так, задача о черчении географических карт была поставлена им в виде вопроса: при какой конформной проекции изменения масштаба будут наименьшими? Ответ Чебышева гласил, что этим свойством обладает проекция, для которой на всей границе изображения масштаб имеет постоянное значение (доказательство нашел позднее Д. А. Граве); применительно к географической карте России он получил, что изменение масштаба может быть при этом сведено к 2% его нормальной величины, между тем как при стереографической проекции это изменение никак не менее 3%.

Тематика научных работ Чебышева была разнообразна и обнимала, в основном, теорию чисел, теорию вероятностей, теорию механизмов, теорию приближения функций, приближенные вычисления и исследования по интегрированию некоторых иррациональных функций Теория чисел, однако, с течением времени отступала на второй план: лучшие открытия в этой области были сделаны Пафнутием Львовичем между 1848—1851 гг. Относительно невелико было и число работ его по теории вероятностей, к которой, однако, он с большими перерывами обращался неоднократно (работы 1845, 1867, 1887 гг.). Основной — в количественном отношении — массив его исследований составили труды по остальным поименованным разделам теоретической и прикладной математики. Мы вернемся еще к основным открытиям Чебышева далее****.

Питавшееся в своих основах актуальными проблемами современной ему практики и в главном — глубоко новаторское научное творчество Чебышева не было, вместе с тем, оторвано от складывавшихся до него традиций развития международной, а особенно русской науки. Мы видели ранее, какое значение имели для Пафнутия Львовича годы учения в Московском университете, и знаем, что работам его по теории вероятностей и теории интегрирования иррациональностей предшествовали у нас, правда, гораздо менее значительные изыскания Буняковского и Остроградского. Но деятельность основателя новой русской математической школы связана была и с деятельностью создателя первой петербургской школы математиков —Леонарда Эйлера. Дело было не только в том, что Чебышев глубоко изучал сочи-

* Этот отчет переиздан в приложении к брошюре акад. А. Н. Крылова, «Пафнутий Львович Чебышев», М.—Л. 1944.

** Цит. соч., стр. 100-101.

*** В статье «О кройке одежды» (1878) Чебышев исследовал дифференциально-геометрический вопрос об определении швов-кривых, по которым следует выкроить части тонкой материи, с тем, чтобы сшить из них футляр, плотно прилегающий к телу какой-либо формы. Ср. В. А. Стеклов, Теория и практика в исследованиях Чебышева, Пг. 1921 (также «Успехи математических наук», т. 1, вып. 2, 1946). Замечу, что некоторые работы Чебышева по интерполированию возникли в связи с его занятиями по артиллерии.

**** Я не могу останавливаться здесь на работах Чебышева по теории механизмов, положивших начало русским и советским исследованиям в этой области. О них см. статью И. И. Артоболевского в сученых записках Моск. гос. университета», вып. 91, а также сб. «Научное наследие П. Л. Чебышева», вып. 11, М.— Л. 1945.

яения этого классика математики XVIII в. В научном творчестве обоих великих ученых можно заметить важные общие черты. Прежде всего и для Эйлера, и для Чебышева были характерны связи наиболее занимавших их теоретических исследований с запросами практики и тенденция к разысканию эффективных решений задач, к их доведению до точного числового расчета; в частности, оба они немало продвинули вперед теорию приближенных вычислений. И для Эйлера, и для Чебышева, далее, был характерен широкий диапазон их научных интересов, простиравшийся от арифметики целых чисел до приложений математики к задачам технического типа, причем и в том, и в другом случае теоретико-числовые исследования играли в общем творчестве относительно второстепенную роль. Как было сказано, толчок к теоретико-числовым исследованиям Чебышев получил, вероятно, при изучении трудов Эйлера (а отчасти от Буняковского). Можно отметить также сходство цитированных выше высказываний Чебышева о глубоком значении в миропознании и развитии математики задач на экстремумы с идеями творца вариационного исчисления, у которого, однако, эти идеи имели еще метафизическую и даже теологическую окраску*.

Математическое творчество Чебышева было, таким образом, связано с традициями развития русской науки XIX и даже XVIII вв. но, повторяю, и в постановке задач, и в методах их решения оно являлось вместе с тем принципиально новаторским. Наряду с открытиями Лобачевского работы Чебышева явились блестящим образцом постановки и решения русскими математиками новых проблем или же оригинальной трактовки таких вопросов, мимо которых проходила западноевропейская математика и дальнейшая разработка которых во многом преобразила науку последнего столетия. Лобачевский создал неевклидову геометрию, раскрыв совершенно новые горизонты перед математикой и математическим естествознанием. Чебышев впервые создал свою теорию приближения функций, поставил на прочный фундамент теорию вероятностей и первый сдвинул с места изучение одной из центральных проблем теоретической арифметики, — проблемы распределения простых чисел. Он сообщил при этом могучий толчок развитию русской, а затем и международной математической мысли в нескольких направлениях. В рамках настоящей статьи невозможно проследить за ходом его рассуждений. Нам придется далее ограничиться краткими указаниями на основные достижения великого мужа науки.

4. Теория чисел. Первым трудом Чебышева по теории чисел явилась, как сказано, его «Теория сравнений», — превосходное и глубоко оригинальное руководство по этой науке, четырежды издававшееся на русском языке (1849, 1879, 1901, 1944) и переведенное в 1888 г. на немецкий и в 1895 г. на итальянский языки. К «Теории сравнений» был приложен мемуар «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины», вслед за которым в 1852 г. был опубликован второй мемуар «О простых числах». В изучении свойств совокупности простых чисел первый фундаментальный результат был получен древними греками; в «Началах» Евклида было дано доказательство теоремы о неограниченности последовательности простых чисел. В 1808 г. Лежандр поставил вопрос об определении числа простых чисел, не превосходящих данного числа. Опираясь на обширные таблицы простых чисел, он с большим остроумием подобрал эмпирическую приближенную формулу для функции it (jc), выражающей число простых чисел, не превосходящих х (и при большом jc):

Чебышев подошел к поставленной Лежандром задаче не эмпирически, но с теоретической стороны. Используя введенную Эйлером дзета-функцию и эйлерово тождество

он показал в первом мемуаре, что при 2 < х <[ оо функция тс (jc) бесчисленное множество раз удовлетворяет неравенствам

где а — сколь угодно малое ил — сколь угодно большое положительные числа. Из этого он вывел затем, что если только —^--In jc стремится при x —|— оо к какому-либо пределу, то таким пределом может служить только — 1, а отсюда следовало, что приближенная формула Лежандра неверна.

* Вот что писал Эйлер: «Так как здание всего мира совершенно и возведено премудрым творцом, то в мире не про сходит ничего, в чем не был бы виден смысл какого-нибудь максимума или минимума; поэтому нет никакого сомнения, что все явления мира с таким же успехом можно определить из причин конечных при помощи метода максимумов и минимумов, как и из самых причин производящих» (Л. Эйлер, «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума», М. — Л. 1934, стр. 447).

Во втором мемуаре Чебышев установил теорему, из которой немедленно вытекало, что функция тс (л:) имеет тот же порядок роста, что и-- и что отношение я (л:) к —;- лежит в границах между 0,92129 и 1,0555. В этой же работе было сообщено доказательство выставленного незадолго перед тем Ж. Бертаном предложения, согласно которому при п ^> 3 между п и 2/z — 2 всегда имеется простое число.

Эти замечательные открытия Чебышева произвели огромное впечатление на современников и на потомство. Как писал в 1909 г. известный специалист по теории чисел Э. Ландау, «Чебышев первый после Евклида пошел правильным путем для решения задач о простых числах и первый достиг важных результатов». Улучшить оценку Чебышева оказалось нелегким делом. Много времени спустя Сильвестру удалось несколько сузить границы чебышевского неравенства 0,92129 и 1,10555 на 0,95695 и 1,04423, и лишь в 1896 г. Адамар и Валле-Пуассен на новом пути, применяя методы теории аналитических функций, доказали так называемый асимптотический закон распределения простых чисел, именно, что предел отношения 71 (л:) к |д - или / |п ~ при х~* °° есть действительно 1. Ряд родственных вопросов теории распределения простых чисел изучается поныне*.

5. Теория вероятностей. К середине XIX в. теория вероятностей представляла собой довольно развитую дисциплину. Не получив еще сколько-нибудь широкого применения в естествознании (если не считать теорию ошибок), она имела, однако, обширные применения в общественной практике: в страховом деле, организации лотерей, в демографической статистике и т. д. и других вопросах, связанных с рассмотрением массовых совокупностей, отдельные элементы которых обладают некоторыми вероятностями появления или же непоявления; методы ее были распространены и на теорию стрельбы. В связи с этим внимание математиков все более привлекали не теоремы о событиях, происходящих конечное число раз, но предельные закономерности, именно закон больших чисел, в начальной формесформулирован ный и доказанный в начале XVIII в. Я. Бернулли, а затем обобщенный Муавром, Лапласом и Пуассоном. Теорема Бернулли устанавливала связь между теоретической вероятностью наступления случайного события и его фактической частостью при большом числе испытаний и, тем самым, проливала свет на характер массовых закономерностей, возникающих из большого числа независимых, отдельных, случайных событий. Если теоретической вероятностью некоторого события является постоянное число р, то, согласно этой теореме, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе п независимых испытаний фактическое число m появлений этого события будет удовлетворять неравенству р — J <[ е, где 6—любое, как угодно малое положительное число. Муавр и Лаплас разрешили связанный с содержанием теоремы Бернулли вопрос о вероятности тех или иных уклонений частости наступления события от его теоретической вероятности: вероятность неравенства I m — пр I <С^ Ху tip (1 — р) при я -**-[- оо неограниченно приближается к функции F (х) =- f е2 dt.

Наконец, Пуассон распространил теорему Бернулли на случай, когда вероятность наступления события меняется от испытания к испытанию; если эта вероятность при k-ом испытании есть pk, то в неравенстве Бернулли число р следует заменить на среднее арифметическое

Р1+Р2+ ••• +Рп п

Теоремы Лапласа и Пуассона, а также многие их приложения были обоснованы в первой половине XIX в. весьма недостаточно, а некоторые заключения были прямо неверны. На долю Чебышева выпало преобразовать теорию вероятностей в точную математическую дисциплину и сообщить новое направление ее дальнейшему развитию. Первая работа Чебышева, его магистерская диссертация 1846 г., явилась лишь начальным шагом на этом пути. Основной задачей ее было дать возможно более простое изложение начал этой науки, минимально использующее аппарат математического анализа, но уже в ней он стремился к точному выражению основных теорем**. В непосредст-

* Изложение этих работ Чебышева см. у Б. Н. Делоне, «Петербургская школа теории чисел»,М.— Л. 1947. Интересно отметить, что, анализируя дальнейшее развитие проблемы распределения простых чисел в направлении, связанном с изучением поведения дзета-функции в комплексной области, А. О. Гельфонд пришел к выводу, что «в настоящее время есть уже достаточные основания вернуться к идеям Чебышева и с этой стороны попытаться подойти к закону распределения простых чисел». См. комментарии А. О. Гельфонда в 1-м томе Полного собрания сочинений П. Л. Чебышева, М. — Л. 1944, стр. 285—288).

** В начале «Опыта» Чебышев, между прочим, коротко и ясно определил назначение теории вероятностей: «Теория вероятностей имеет предметом вычисление вероятности события по данной связи его с событиями, вероятности которых известны».

венно примыкавшей к «Опыту» работе, опубликованной в журнале Крелля в том же году, Чебышев уточнил доказательство Пуассона. В последующие годы Чебышев занялся преимущественно иными исследованиями, но с 1860 г. он начал чтение лекций по теории вероятностей (ранее их читал Буняковский) и вновь интенсивно занялся вопросом о законе больших чисел, поставив себе при этом целью дать строгие количественные оценки отклонений от предельных закономерностей при конечном числе испытаний. В знаменитой работе «О средних величинах», опубликованной во II т. московского «Математического сборника» (1867), Чебышев вывел одно чрезвычайно важное неравенство, так называемое неравенство Чебышева—Бьюнеме (последний незадолго перед тем привел его в менее общем виде), а из него получил свое классическое доказательство закона больших чисел. При этом он широко использовал понятие математического ожидания случайной величины: как известно, если случайная величина может принимать значения xv лг2,.. .,хп с вероятностями pv /?2,.. .,/?„, то ее математическим ожиданием а = M (х) называется рххх -f- р2х2 -[-...+ Рпхп> Неравенство Чебышева гласило, что вероятность неравенства [л: — М(х)\<^г не менее 1--~ , где так называемая дисперсия b = М(х — а)2, г > 0. В теореме утверждалось, что если xv xv*fX„ суть значения п попарно независимых случайных величин, avav.. ,,ап — их математические ожидания, bv b2y.. .,bn — их дисперсии, и эти дисперсии не превосходят числа С, то для любого s > 0 — вероятность того, что отклонения средней случайных величин от средней их математических ожиданий удовлетворяет неравенству

будет не меньше 1--^— , так что предел этой вероятности при п -4- оо есть 1.

Мы не будем останавливаться на содержании другого важнейшего мемуара Чебышева по теории вероятностей (1887), в котором он подошел к установлению для сумм случайных величин теоремы, аналогичной лапласовой. В этой связи мы ограничимся замечанием, что в работе 1887 г, исследования Чебышева тесно переплелись с работами Маркова и что Марков и Ляпунов значительно продвинули далее вперед изучение предельных законов теории вероятностей. Эти два мемуара Чебышева положили начало мощному развитию теории вероятностей в России и СССР. Как пишет акад. А. Н. Колмогоров, «значение работ Чебышева, Маркова и Ляпунова было вполне оценено в Западной Европе лишь с большим запозданием — в 20-х и даже 30-х годах нашего века. Теперь они всюду воспринимаются, как исходный пункт всего дальнейшего развития теории вероятностей. В частности, основная предельная теорема Ляпунова и теория цепей Маркова были именно тем, что было наиболее необходимо для солидного обоснования развивавшейся статистической физики»*.

6. Теория приближения функций. Вопросы приближенного выражения одних функций другими, в каком-либо отношении более простыми, занимали математиков с середины XVII в. Одним из мощных приемов служили в этой области разложения функций в окрестности какого-либо значения аргумента в степенные или тригонометрические ряды; другим служили различные интерполяционные формулы (Ньютона, Лагранжа и т. д.), с помощью которых аналитически или эмпирически заданная функция заменяется конечным алгебраическим многочленом, некоторые значения которого точно совпадают с определенными значениями заданной функции. Чебышев, отправляясь от задач машиностроения, подошел к проблеме приближения функций с совершенно оригинальной стороны.

Среди различных механизмов, применяемых в машиностроении, большое значение имеет так называемый параллелограм Уатта, который служит для превращения прямолинейного движения поршня во вращательное движение коромысла, и обратно. Однако движение поршня при этом не является точно прямолинейным, но, колеблясь, несколько от него уклоняется, что порождает вредные боковые давления. Заинтересовавшись этим важным явлением, Чебышев, начиная с 1852 г., посвятил его исследованию очень большое число работ. Одни из них нашли выражение в ряде конструкций великого ученого; в частности, он построил трехзвенный шарнирный механизм, преобразующий вращательное движение колеса в криволинейное, столь мало уклоняющееся от прямолинейного, что глаз не обнаруживает колебаний, ибо на отрезке в 20 см длины уклонение не превосходит 1 мм**. Другие работы содержали изложение нового раздела математики, созданного в порядке обобщения встретившихся при этом проблем. Как пи-

* А. Н. Колмогоров, Роль русской науки в развитии теории вероятностей, «Ученые записки МГУ», вып. 91, стр. 59. Подробности см. у С. Н. Бернштейна, О работах П. Л. Чебышева по теории вероятностей, в «Научном наследии П. Л. Чебышева», вып. 1.

** Интересно заметить, что хотя семизвенный механизм Липкина, ученика Чебышева, в принципе точно преобразует круговое движение в прямолинейное, но, вследствие сложности конструкции, дает практически меньшую точность, нежели прибор Чебышева.

сал Чебышев в упоминавшемся отчете о заграничной поездке, «предположивши вывести правила для устройства параллелограмов прямо из свойства этого механизма, я встретил вопросы анализа, о которых до сих пор знали очень мало».

Эти новые изыскания Чебышева были изложены в большом числе статей, начиная с «Теории механизмов, известных под именем параллелограмов» (1854), «Вопросов о наименьших величинах, связанных с приближенным представлением функций» (1859). Чебышев поставил экстремальную задачу об отыскании целого алгебраического многочлена заданной степени с минимальным отклонением от данной функции на интервале некоторой конечной величины. Говоря словами самого Чебышева, требовалось, чтобы «предел его уклонений от f (х) в данном промежутке был менее предела уклонений всех других полиномов той же степени». Не касаясь более широкой постановки вопроса, также предложенной Чебышевым, отмечу, что в обширном мемуаре 1859 г., в частности, были решены задачи об определении функций, наименее уклоняющихся от нуля в промежутке от — h до -f- А для случаев, когда эта функция есть многочлен /1-ой степени, или же рациональная дробь, знаменатель которой (со степенью меньшей, чем числитель) имеет заданные коэфициенты и не обращается в нуль в указанном промежутке. Например, для промежутка от — 1 до -f- 1 такой функцией будет

Каждый из таких чебышевских полиномов Тп (х) в интервале — 1, 4- 1 колеблется между jk^i и 2п— i '» отклонения же от нуля любых других многочленов (соответствующей степени и с коэфициентом 1 при старшем члене) будут большими, чемна-/2л-1.

Теория приближения функций нашла еще у Чебышева разнообразные применения в отделении корней алгебраических уравнений, приближенном вычислении интегралов и т. п. В мемуаре «О квадратурах» (1873) были приведены известные формулы Чебышева, получившие применение в кораблестроении. В употребительных формулах квадратур Симпсона, Котеса и других значения интегрируемой функции соответствуют равноотстоящим значениям аргумента, и входящие в них, различные между собой, коэфициенты зависят от вида интерполирующей функции. Чебышев поставил задачу по-другому: как следует выбрать (неравноотстоящие) значения аргумента с тем, чтобы все коэфициенты выражающей интеграл приближенной формулы были между собой равны и тем самым не усложняли вычислений? Полагая

и требуя, чтобы формула в правой части давала точный результат для подинтегральной функции, являющейся многочленом степени^п9 Чебышев определил значения аргумента х для п = 2,3,4,5,6,7, как корни некоторых алгебраических уравнений степени п\ так для п = 4 эти значения суть корни уравнения x1--g- х2 -f-+ ^g- = 0 и соответственно равны Хг= — хг~ = — 0,79465 и х2 = —х4=- 0,18759**.

В нашем кратком обзоре мы не затронули многих других замечательных открытий Чебышева, например, по теории интерполирования, а также глубоких математических связей между его исследованиями в различных областях математики, на первый взгляд представляющихся далеко отстоящими друг от друга. Упомянем лишь для примера, что и в работах по теории вероятностей, и в решении задач теории наилучшего приближения функций, и в исследованиях по интегрированию алгебраических функций***

* Тг (х)—х9 Т2 (x) — x2 — ~2 ; для дальнейшего вычисления удобна рекурентная формула

** При л = 8 и, как показал в 1937 г. С. Н. Бернштейн, при я = 10 значения агрумента оказываются комплексными.

*** Отметим лишь, что, продолжая работы Абеля. Остроградского и других, Чебышев в мемуаре «Об интегрировании иррациональных дифференциалов» (1853) доказал, что интеграл дифференциального бинома

(т. я, р - рациональные числа) выражается в элементарных функциях лишь в практически известных ранее случаях, когда либо р, либо —-— , либо m+l , есть целое число.

Чебышев широко применял метод разложения функций в непрерывные дроби вида

Чебышев оказал черезвычайно сильное влияние на развитие математики в нашей стране и во всем мире. Многие открытия его были немедленно подхвачены современниками и быстро включены в учебную литературу*, некоторые

получили дальнейшее развитие позднее. Нам придется еще говорить о чебышевском направлении в развитии русской и международной науки и о работах созданной им Петербургской математической школы. Пока же мы вместе с акад. С. Н. Бернштейном скажем, что «математический гений такого масштаба, как Чебышев, не мог не оказать самого крупного влияния на дальнейший ход развития математики и должен был воздействовать, в большей или меньшей степени, на всякого математика, даже далекого от Чебышева по своим интересам»**.

* Например, Ж. Бертран в курсе дифференционального и интегрального исчисления изложил частично теорию приближения функций и охарактеризовал ее как «чудо анализа». Нельзя, между прочим, пройти мимо того возмутительного факта, что некоторые современные иностранные историки математики, как американец Э. Белл, позволяют себе в своих объемистых книгах упоминать о гениальных достижениях П. Л. Чебышева мельком в 3 — 4 строках, и к тому же явно неточным образом.

** «Ученые записки МГУ», вып. 91, стр. 43.— Читатель, желающий ознакомиться с трудами П. Л Чебышева в оригинале, может в настоящее время воспользоваться превосходным академическим изданием его полного собрания сочинений, три тома которого уже изданы, а остающиеся два выйдут в свет в скором времени.

МЕТОДИКА

КИНОФИКАЦИЯ КУРСА ГЕОМЕТРИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

А. Н. ПЕРЕПЕЛКИНА (Москва)

Одним из основных требований, которые мы предъявляем к методике преподавания в средней школе, является необходимость вести преподавание в соответствии с уровнем современного состояния данной науки с непременным учетом возрастных особенностей учащихся.

При преподавании геометрии требование держать курс на высоком уровне современной науки приводит к усилению формально-логического аппарата, к отказу от наглядности, к абстракции, к строгой проверке каждого нового свойства фигуры со стороны его связи с другими, известными ранее свойствами той же фигуры, для сведения этих свойств к минимальному числу основных.

Требование учета возрастных особенностей учащихся приводит к усилению наглядности преподавания, к наибольшей конкретизации преподавания, что вызывает необходимость дать как можно больше свойств изучаемой фигуры, как можно подробнее изучить все ее характерные особенности.

Перечисленные нами, по виду противоположные требования, предъявляемые к курсу геометрии в средней школе, по существу дополняют друг друга. Действительно, усиление формально-логического аппарата геометрии за счет ярких, конкретных геометрических представлений учащихся приведет к формализму в преподавании геометрии.

С другой стороны, усиление наглядности в преподавании геометрии за счет развития формально-логического мышления может привести к поверхностному знакомству со свойствами геометрических фигур и благодаря этому к невозможности использовать геометрические знания в применении их к вопросам окружающей нас действительности, смежных с геометрией дисциплин и техники.

Преподавание геометрии даст наибольший эффект только в том случае, когда усиление наглядности, т. е. ясное представление учащимися всех частных видов данной фигуры, всех возможных ее положений в пространстве, всех ее связей с другими, изученными ранее фигурами, вызовет у учащихся потребность формально-логического обоснования основных (характерных только для нее) свойств этой фигуры.

Логический аппарат не должен быть навязан извне учащимся, а потребность в его применении должна появиться у учащихся в результате накопления у них большого количества всевозможных, основных и случайных, свойств изучаемой фигуры, следующего из наглядности преподавания геометрии.

Например, прежде чем доказать теорему — около всякого треугольника можно описать окружность, — надо продемонстрировать перед учащимися следующие детали.

1) Взять перпендикуляры к сторонам остроугольного треугольника, проходящие через их середины, и наблюдать их точку пересечения по мере того, как один из острых углов треугольника, постепенно увеличиваясь, будет приближаться к прямому (черт. 1).

Черт. 1.

2) Наблюдать точку пересечения перпендикуляров в серединах сторон прямоугольного треугольника (черт. 2).

3) Наблюдать точку пересечения перпендикуляров к сторонам тупоугольного треугольника, проходящих через их середины при изменении тупого угла от угла, близкого к прямому, до угла, близкого к двум прямым (черт. 3).

В результате таких наблюдений учащийся поймет, что центр описанной окружности лежит внутри только остроугольного треугольника. У него явится потребность, ввиду наблюдае-

Черт. 2.

мого разнообразия положений центра описанной окружности для различного вида треугольников, доказать существование центра описанной окружности для всякого треугольника.

Черт. 3.

Таким образом, теорема — перпендикуляры к двум пересекающимся прямым всегда пересекаются — не будет навязана учащимся извне, а огранически вырастет из потребности объединить в одно целое разнообразие наблюденных ими положений изучаемой фигуры.

Приведем другой пример. При изучении свойства высот треугольника пересекаться в одной точке следует предварительно произвести такие наблюдения.

1) Рассмотреть высоты остроугольного треугольника при изменении одного из его углов от угла, близкого к нулю, до угла, близкого к прямому (черт. 4).

Черт, 4.

2) Рассмотреть высоты прямоугольного треугольника (черт. 5).

3) Рассмотреть высоты тупоугольного треугольника при изменении тупого угла от угла, близкого к прямому, до угла, близкого к двум прямым (черт. 6).

После таких наблюдений учащийся поймет, с одной стороны, что, какова бы ни была форма треугольника, его высоты всегда пересекаются в одной точке, с другой стороны, — что расположение этой точки внутри треугольника — явление случайное, принадлежащее только остроугольным треугольникам.

Черт. 5.

Таким образом, у ученика явится настоятельная потребность более глубоко разобраться в сделанных им наблюдениях и убедиться, что всегда, каковы бы ни были форма и размеры треугольника, его высоты пересекутся в одной точке.

В приведенных нами примерах рассматривался, собственно говоря, процесс изменения одного из углов треугольника от 0 до 180°.

Конечно, в первом случае можно было бы использовать модель шарнирного треугольника с припаянными в серединах его сторон перпендикулярами к ним (черт. 7).

Черт. 6.

Черт. 7.

Во втором случае аналогичную подвижную модель труднее применять, так как потребовалось бы, кроме шарнирного треугольника, иметь еще шарнирные прямые в его вершинах — высоты (черт. 8), которые при каждом отдельном положении треугольника пришлось бы устанавливать перпендикулярно его противоположным сторонам.

При изучении более сложных процессов подвижные модели становились бы все сложнее и сложнее и благодаря этому не достигали бы своей цели — способствовать развитию геометрического представления у учащихся.

Очевидно, необходимо более совершенное средство, чем подвижная модель. Таким средством является кино.

Приведенные нами примеры наблюдений над изменением положений центра описанной около треугольника окружности и над изменением положения ортоцентра треугольника могли бы послужить тематикой двух изящных маленьких фильмов, сопровождающих изучение различных свойств треугольника.

Черт. 8.

В основе фильмов такого характера должна быть положена та мысль, что только разнообразие положений в пространстве и форм изучаемой фигуры поможет выбрать все существенные черты этой фигуры, инвариантные во всех отдельных случаях, отличающие ее от других фигур, и, таким образом, последовательно проверив этот выбор логикой, углубить свое представление об изучаемой фигуре.

Не меньшую роль должна сыграть кинофикация преподавания геометрии при изучении геометрических мест на плоскости и в пространстве.

Само понятие геометрического места каких-либо элементов*, как совокупности «всех» элементов, обладающих данным свойством, и «только этих элементов», уже несет в себе некоторый процесс, а для изображения процесса наилучшим средством является кино. Например, изучению геометрического места точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой, должен предшествовать следующий фильм.

Постепенно через каждую точку данной прямой строятся два противоположных, перпендикулярных к ней отрезка данной длины (черт. 9).

Концы А и А' построенных отрезков оставляют след — две прямые а и а', дающие представление об изучаемом геометрическом месте (черт. 9а). Такой фильм необходим, так как он благодаря своей образности навсегда сохранит в памяти учащихся представление о равноправности обеих точек и обеих пряямых а и а , что избавит их в дальнейшем от многих ошибок при применении в различных случаях этого геометрического места (очень часто при решении задач на построение ученики строят только одну прямую этого геометрического места, например прямую а).

Черт. 9.

Черт. 9а.

При изучении геометрического места точек, из которых данный отрезок виден под данным углом, желательно показать следующий фильм.

На данном отрезке AB, как на основании, строится произвольный треугольник ABC с данным углом ос при вершине С (черт. 10).

Черт. 10.

Затем сторона АС вращается в направлении к стороне AB и в противоположном направлении. Строится ряд промежуточных треугольников с углом при вершине С. Точки С оставляют след —дугу АСВ некоторой окружности, без концов А и В (черт. 11). Затем прямая АС

Черт. 11.

* За элементы геометрического места можно принимать точки, прямые, плоскости, окружности и т. д.

вращается далее, переходя на другую сторону прямой AB, строится последовательный ряд треугольников АС'В с данным углом при вершине С'. Точки С' оставляют след в виде новой дуги АС'В окружности, симметричной с первой, так же без концов А и В (черт. 12).

Черт. 12.

Черт. 13.

Фильм заканчивается следующей картиной, которая изображает две симметричные относительно отрезка AB дуги без общих концов А и В (черт. 13).

Этот фильм интересен еще тем, что, кроме равноправности в данном геометрическом месте точек двух симметричных относительно AB дуг окружностей, он подчеркивает необходимость слов «и только этих точек» в определении понятия геометрического места. Действительно, концы А и В дуг не входят в данное геометрическое место, так как в тот момент, когда сторона АС совпадает со стороной AB, треугольник ABC перестает существовать.

Таким образом мы наглядно убеждаемся в том, что хотя концы А и В входят в дуги АСВ, но они не входят в данное геометрическое место.

Последнее свойство должно особенно поразить учеников, если продолжить только что показанный фильм для случая прямого угла при вершине треугольника с данным основанием. Ученики увидят, что искомое геометрическое место точек будет окружностью, имеющей диаметром данный отрезок AB, без концов этого диаметра (черт. 13а).

Таким образом, фильмы, иллюстрирующие понятия геометрического места точек, постепенно приучат учеников к мысли, что в состав геометрического места точек могут входить, как мы только что видели, и отдельные линии, и совокупности линий, и линии без некоторых их точек, и совокупности частей линий и т. д.

Можно построить фильмы, иллюстрирующие понятие геометрического места линий. Рассмотрим, например, следующий фильм.

Геометрическое место прямых, проходящих через данную точку, и перпендикулярных к данной прямой, есть плоскость, проходящая через данную точку и перпендикулярная к данной прямой.

Черт. 13а.

Изображаем сначала данную прямую а и данную точку Л, например, вне прямой а (черт. 14). Затем строим плоскость ос через прямую а и точку Д. В этой плоскости опускаем из точки А перпендикуляр b на прямую а (черт. 15), Проводим далее через точку А прямую с параллельную прямой а, оставляя прямую а из месте, вращаем плоскость а вместе с прямой b вокруг прямой с (черт. 16). Различные положения прямой b оставляют след, который лежит в плоскости ß, проходящей через точку А и перпендикулярной к прямой а (черт. 17).

Этот фильм должен сыграть большую роль в развитии пространственных представлений учащихся.

Мы убеждены, что ученики, знакомые с этим фильмом, сумеют избежать в дальнейшем часто встречающегося ошибочного ответа на вопрос, сколько прямых, перпендикулярных к данной прямой, можно провести через даннуо в пространстве точку?

Черт. 14.

Черт. 15.

Чаще всего отвечают: одну, представляя себе только ту прямую Ь, которая изображена на чертеже 15, т. е. пересекающую прямую а.

Черт. 16.

Неплохо было бы показать в кино геометрическое место окружностей данного радиуса, центры которых перемещаются по данной прямой и плоскости которых перпендикулярны к данной прямой а (черт. 17а).

Черт. 17.

Черт. 17а.

Само собой разумеется, что предварительно просмотренные фильмы, дающие картину образования геометрических мест, только создадут у учащихся правильное пространственное представление о каждом геометрическом месте, дальнейшее изучение свойств которого должно быть строго логически обосновано.

Кинофикация преподавания стереометрии не нуждается в пояснении. В этом случае вместо несовершенных изображений на плоскости пространственных фигур, хотя бы и по всем правилам начертательной геометрии, хотя бы и с применением стереоскопа или анаглифов, ученики увидят в кино живое пространство со всевозможными движениями в нем, с изменением форм и размеров изучаемых фигур.

Параллелепипед является одной из основных фигур в пространстве, поэтому очень полезен будет фильм, показывающий различные элементы параллелепипеда и взаимное их расположение. Можно, например, создать такой фильм.

В параллелепипеде резче обозначается одна пара противоположных вершин, А и В, затем между ними протягивается диагональ AB, потом выделяется другая пара противоположных вершин С и D и между ними проводится диагональ CD. Наконец, через эти две диагонали проводится диагональная плоскость (черт. 18).

Черт. 18.

Таким образом у учеников создается представление о диагонали и о диагональной плоскости параллелепипеда, а также, попутно, представление о том, что две диагонали параллелепипеда лежат в одной диагональной плоскости. В сечении этой плоскости с параллелепипедом получается параллелограм. Поэтому диагонали параллелограма пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, как диагонали параллелограма.

Затем выделяется еще новая пара противоположных вершин Е и F, вновь проводится диагональ EF параллелепипеда и еще одна из диагональных плоскостей, проходящая через новую диагональ EF и одну из прежних, например, через AB (черт. 19).

Из этой картины ученик увидит, что и третья диагональ разделилась пополам в точке О пересечения двух прямых.

Выделяем последнюю пару противоположных вершин К и Z,, строим диагональ KL и проводим через KL и одну из прежних диагоналей, например через диагональ AB, новую диагональную плоскость. Получаем все четыре диагонали параллелепипеда, проходящие через одну и ту же точку и делящиеся в этой точке пополам (черт. 20).

Черт. 19

Черт. 20.

Эта часть фильма заканчивается показом всех четырех диагоналей параллелепипеда, без диагональных плоскостей (черт. 20а). Наконец, можно, постепенно выделяя шесть пар противоположных ребер параллелепипеда, показать все его шесть диагональных плоскостей.

После показа такого фильма пространственные представления учащихся настолько обогатятся, что строго логическое доказательство свойств диагоналей параллелепипеда не представит уже для них никаких трудностей.

При изучении симметрии и вращения правильных многогранников, а также двойственности куба — октаэдру, додекаэдра — икосаэдру — кино незаменимо.

При изучении всех глав геометрии, относящихся к выводу формул для вычисления длины окружности, площади круга, объема пирамиды, объемов и поверхностей тел вращения, т. е. при изучении вопросов, требующих предельного перехода, предварительный просмотр кинофильмов незаменим.

Черт. 20а.

Только в кино можно с предельной ясностью увидеть процесс последовательного удвоения числа сторон правильных многоугольников, вписанных в окружность и описанных около нее.

Только кино может создать у учеников отчетливое представление о возрастающем числе цилиндров, вписанных в шар и описанных около него при убывании их общей высоты, а также о возрастающем числе призм, вписанных в пирамиду или выступающих из нее при убывании их общей высоты.

Ясное представление о протекании таких, процессов необходимо создать перед строгим выводом объема шара и пирамиды.

Очевидно, что в какую бы область элементарной геометрии мы ни заглянули, везде найдем подходящий материал для кинофикации. Следует отметить громадное значение кино при исследовании задач на построение.

Рассмотрим, например, исследование задачи на построение.

Построить треугольник по основанию а, углу а при вершине и медиане основания т.

Задача очень просто решается методом геометрических мест, а именно: вершина искомого треугольника лежит в точке пересечение двух геометрических мест, геометрического места точек, из которых данное основание видно под данным углом при вершине, и геометрического места вершин треугольников, имеющих данное основание и медиану.

Первое геометрическое место, как мы уже упоминали, состоит из двух симметричных относительно основания дуг равных окружностей без общих концов.

Вторым геометрическим местом будет окружность с центром в середине основания искомо-

го треугольника и с радиусом, равным данной медиане, без двух ее точек, лежащих на прямой, определяемой основанием (черт. 21).

Черт. 21.

Очевидно, что в силу симметрии двух указанных геометрических мест максимальное число точек их пересечения будет равно четырем, что даст четыре симметричные друг другу относительно двух осей с и b треугольника, т. е. одно решение в виде неравнобедренного треугольника.

При предельном расположении двух геометрических мест будет две точки их прикосновения, что даст два симметричных относительно общего основания треугольника, т. е. одно решение в виде равнобедренного треугольника (черт. 22).

Черт. 22.

Наконец, геометрические места вершин искомых треугольников могут не пересечься, тогда задача не имеет решения.

Чтобы выяснить зависимость между а, а и ж, просмотрим следующий фильм.

Пусть а будет острым углом. Изобразим последовательно первое и второе геометрические места точек. Закрепим первое геометрическое место точек, т. е. две дуги АСВ и АС В без концов Л и ß (черт. 23); в этом случае каждая дуга больше полуокружности. Затем радиус второго геометрического места — окружности (О; т) будем увеличивать, начиная от нуля. Ученики увидят, что при m ^ -~* пересечения геометрических мест не будет, следовательно, задача при этих условиях не имеет решения.

При увеличении m от OA до ОС, т. е. от m > -|- до m < ctg (из Д АОС), оба геометрических места пересекутся в четырех точках, т. е. решением будет неравнобедренный треугольник АС“В. Если т= -g-ctS-^- к то оба геометрических места точек коснутся в двух точках С и С'. Решением будет равнобедренный треугольник АСВ, Если m сделается больше ~y ctS , то опять не будет пересечения геометрических мест, т. е. задача при т^> 2“ ct& не имеет решения. Таким образом, первая часть этого фильма иллюстрирует следующую зависимость между данными отрезками a, m и углом а. Если а<]90°, то при <С т ^ ~y ~y задача имеет решение.

Черт. 23.

* Отрезок AB = а.

Вторая часть фильма относится к случаю тупого угла при вершине искомого треугольника, т. е. а>90°. Опять закрепляем первое геометрическое место точек, т. е. две дуги АСВ и АС'В без концов А и В, в этом случае каждая дуга будет меньше полуокружности (черт. 24).

Черт. 24

Радиус второго геометрического места увеличиваем, начиная от нуля. Ученики увидят, что при /я < ctg ~y оба геометрических места точек не пересекаются, и, следовательно, задача не имеет решения.

При m = ctg оба геометрических места коснутся друг друга, следовательно, искомым решением будет равнобедренный треугольник АСВ. При дальнейшем увеличении радиуса m от длины отрезка ОС до длины отрезка ОД, т. е. от ctg до -у , оба геометрических места точек пересекутся в четырех точках. Задача будет иметь решением неравнобедренный треугольник

Наконец, если радиус окружности m сделается равным или большим , геометрические места опять не пересекутся, и задача опять не будет иметь решения.

Таким образом вторая часть этого фильма иллюстрирует следующую зависимость между данными отрезками a, m и углом а. Если а]>90 ', то при ctg -yOK^y, задача имеет определенное решение, единственное, если говорить только о размерах и форме искомого треугольника, а не о его положении на плоскости чертежа.

Наконец, третья часть фильма иллюстрирует случай прямого угла а = 90° (черт. 25).

В этом случае закрепляется первое геометрическое место, имеющее форму окружности, построенной на диаметре.

Радиус второго геометрического места увеличивается от нуля. При т<^ у и при гп^> получаются концентрические окружности первого геометрического места, и, следовательно, задача не имеет решения; при т= у оба геометрических места совпадут, и задача будет иметь бесконечное множество решений; таковы будут все треугольники АВС}, 4ВС2 и т. л.

Черт. 25.

Таким образом, третья часть фильма иллюстрирует следующую зависимость между д, m и а. Если а = 90°, то при /и = у—задача неопределенна, а при — не имеет решения.

Кино незаменимо и при исследовании задач на построение окружностей по тем или иным условиям, их определяющим. Рассмотрим, например, исследование следующей задачи: построить окружность данного радиуса, касающуюся данной прямой и данной окружности

Как известно, задача имеет не более восьми решений в силу того, что геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности и имеющих данный радиус, состоит из двух концентрических окружностей, а геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихся данной прямой, — из двух параллельных прямых. Следовательно, так как каждая окружность с каждой прямой пересекается не более чем в двух точках, то число точек пересечения указанных двух геометрических мест не превышает восьми.

Число решений задачи зависит и от отношения радиусов данной и искомой окружности, и от взаимного положения прямой относительно данной окружности. Все это можно показать только в кино.

Иллюстрируем нашу мысль. Обозначим радиус данной окружности через /?, искомой — через г. Расстояние прямой от центра данной

окружности обозначим через d. Пусть /?>2г (черт. 26).

Закрепим неподвижно данную окружность вместе с геометрическим местом центров окружностей данного радиуса, касающихся данной окружности; прямую вместе с геометрическим местом центров окружностей данного радиуса, касающихся данной прямой, будем перемещать по плоскости, постепенно уменьшая расстояние данной прямой от центра данной окружности (черт. 27).

Черт. 26. Черт. 27.

На чертеже 27 изображено такое положение данных окружности и прямой, при котором d ]>/?-(-2г. Задача не имеет решения. Чертеж 28 дает при d = R-\-2r одно решение. Чертеж 29 дает при R < d < R + 2г два решения. Чертеж 30 дает при d = R четыре решения. Чертеж 31 дает при R—2г < û?<7? шесть решений. Чертеж 32 дает при d = R — 2г семь решений. Наконец, чертеж 33 дает при d<^R— 2г восемь решений.

В этом случае возможны все восемь решений в силу того, что диаметр меньшей окружности первого геометрического места больше 2 г, и поэтому обе прямые второго геометрического места пересекут обе окружности первого геометрического места.

Мы изобразили на чертежах 27—33 семь кадров из фильма — решение и исследование задачи построения окружности данного радиуса, касающейся данной окружности и данной прямой.

Черт. 28. Черт. 29.

Можно указать соответственные кадры из того же фильма для случаев, когда

В нашей статье мы не ставим себе цели описать весь фильм. Нашей целью является только показать те вопросы геометрии, для полного понимания которых плодотворно применение кино, и указать основные установки, которые, по нашему мнению, необходимы при разработке кадров отдельных фильмов.

Черт. 30. Черт. 31.

Черт. 32. Черт. 33.

В настоящее время нами разработан сценарий фильма, аналогичного только что указанному, а именно решение и исследование задачи построения окружности, касающейся двух данных окружностей, причем одной из них — в данной на ней точке. В этом фильме рассматривается перемещение точки по окружности и, в связи с этим перемещением, изменение положения двух окружностей, дающих решение указанной задачи.

Показывается, как окружность, касающаяся одинаковым образом двух данных непересекающихся окружностей, переходит от внешнего касания к внутреннему, когда данная точка прикосновения к первой окружности переходит, удаляясь от второй окружности, через точку прикосновения общей внешней касательной.

Параллельно показывается, как окружность, касающаяся различным образом данных окруж-

ностей, переходит от внешнего касания к первой окружности, на которой расположена данная точка, и внутреннего касания ко второй окружности — к внутреннему касанию к первой окружности и внешнему касанию ко второй окружности, по мере того как данная точка прикосновения, удаляясь от второй окружности, переходит через точку прикосновения общей внутренней касательной.

Из указанных нами примеров возможных фильмов по элементарной геометрии видно, что все наиболее существенные вопросы элементарной геометрии могут быть иллюстрированы соответствующими фильмами, которые помогут учащимся приобрести ясные пространственные представления, являющиеся необходимой предпосылкой для углубленного и строго логического изучения геометрии.

До настоящего времени создан только один фильм по элементарной геометрии, сценарий которого написан проф. Н. ф. Четверухиным, — «Образование поверхностей линиями». Этот фильм вполне отвечает тем целям, которые ставятся современными требованиями методики геометрии. В результате просмотра этого фильма у учащегося должно появиться ясное представление о цилиндре и конусе — как геометрических местах своих образующих.

Других фильмов по геометрии нет. Существуют еще только три фильма по элементарной математике, один из них относится к алгебре — «Прямая и обратная пропорциональность» и два фильма по тригонометрии—«Изменение тригонометрических функций» и «Обратные тригонометрические функции».

Таким образом, дело кинофикации курса элементарной геометрии надо начинать сначала, конечно, учтя опыт применения уже существующего единственного фильма, написанного проф. Н. Ф. Четверухиным.

По нашему глубокому убеждению, не следует создавать эпизодических фильмов, связанных с тем или другим вопросом курса геометрии, а необходимо так внедрить кинофикацию в курс геометрии, чтобы весь курс был систематически кинофицирован. Необходимо разработать систематический курс кинофикации геометрии, в параллель учебнику геометрии.

Кинофикацию преподавания геометрии, как мы старались показать в этой статье, надо сделать одним из основных методов преподавания геометрии, таких методов, без применения которых пространственные представления учащихся не могут быть достаточно полными и глубокими и у учащихся не появится потребности строго логического обоснования геометрии.

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО В НЕПОЛНОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Н. А. АРСЕНЬЕВ (Ярославль)

Опыт систематического решения задач на доказательство, в связи с прохождением курса геометрии в семилетней школе, проводился мною с помощью учителей, выразивших желание выполнять эту работу в школе. Все они выражают большое удовлетворение результатами трехлетнего опыта. Получив навык в проведении анализа, весь класс принимает активное участие в доказательстве новых теорем геометрии: учащиеся без особых затруднений находят те из ранее изученных теорем, которые можно применить в том или ином случае сравнительно легко догадываются о необходимых дополнительных построениях.

По нашему плану задачи на доказательство в их простейшей форме на готовых чертежах задаются учащимся с первых же дней занятий по геометрии. Примерами могут служить следующие задачи (черт. 1):

1) если AB = CD, то AC = BD;

2) если AC = BD, то AB = CD\

3) если Z1==Z2» то Z3 = Z4 и т. д.

Материал для такого рода подготовительных упражнений имеется в статье Бернштейна, помещенной в журнале «Математика в школе» за 1941 г., № 4.

Черт. 1.

На решение таких задач нами отводятся первые четыре недели занятий по геометрии. Затем последовательно, по мере прохождения курса геометрии, предлагаются для самостоятельного решения задачи с текстом, без готового чертежа, применительно к разобранным в классе теоремам. Для этих целей подобраны несложные (особенно для VI класса) задачи, на которых учащиеся приобретают навык в

применении только что изученных теорем к самостоятельному доказательству других теорем. Задачи эти помещены в прилагаемом ниже списке за №№1—32.

Задачи, при решении которых требуется применение ранее изученных теорем одного или нескольких разделов курса, подобраны и распределены применительно к трем темам систематического курса: 1) треугольники, 2) параллелограмы и трапеции, 3) окружности (№№33 — 56 по списку). Они предлагаются учащимся при повторении в VII классе.

В начале работы приходится обращать большое внимание на последовательность в суждениях, которой должны придерживаться учащиеся при самостоятельном решении задач.

Рассмотрим задачу. План ее решения мы считаем вполне приемлемым для решения большинства задач.

Медиана, исходящая из какой-нибудь вершины треугольника, одинаково отстоит от двух других его вершин. Доказать.

1. Разбор задачи: выделение (устно) условия и заключения.

Условие. Дана медиана, исходящая из какой-нибудь вершины треугольника.

Заключение. Данная в условии медиана одинаково отстоит от двух других вершин треугольника.

2. Перечень входящих в состав задачи-теоремы понятий и их определения (устно):

а) медиана — прямая, соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны;

б) вершины треугольника — точки пересечения его сторон;

в) расстояние от точки до прямой—длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

3. Построение чертежа (черт. 2\ (равные элементы отмечаются одинаковыми значками).

Черт. 2.

4. Запись условия и заключения, Во многих случаях целесообразно данные в задаче понятия заменять их признаками, входящими в определение этих понятий. Например, в данной задаче вместо: если 1) AD — медиана треугольника ABC; 2) BE и CF — расстояния от вершины В и С до медианы, то ВЕ = CFy — целесообразно записать:

Дано: ДЛВС. AD — медиана (BD = DC) BE J_ AD и CF _L AD.

Требуется доказать: BE = CF.

5. Анализе использованием чертежа.

Расстояния BE и CF, равенство которых нужно установить, суть катеты прямоугольных треугольников с равными гипотенузами и острыми углами.

6. Синтез.

Д BED = l\CDF (как прямоугольные треугольники, имеющие по равной гипотенузе и равному острому углу).

BE = CF (в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны).

На доске или на бумаге фиксируется только: 1) чертеж, 2) условие и заключение, 3) синтез с соответствующими пояснениями.

Черт. 3.

В задаче: доказать, что биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны (черт. 3(; запись условия и заключения проводим в следующей форме. Дано:

1) ^ АОВ -f- ВОС = 180°

2) ^ЕОВ =\</АОВ

3) </BOD= \zLBOC

Требуется доказать: ^EOD=90°.

Здесь строка 1) записана на основании георемы (о смежных углах), строки 2) и 3) — на основании определения биссектрисы. Замена понятия «смежные углы» признаком, известным из доказанной теоремы, и понятия биссектрисы—признаком, входящим в определение, очевидно, облегчает решение задачи. Для получения вывода достаточно произвести почленное сложение равенств 2) и 3) и учесть равенство 1).

Относительно каждой задачи, намеченной для домашнего задания, учитель должен предварительно убедиться, что она отвечает поставленной цели и посильна учащимся, иначе возможны непредвиденные осложнения. Так учи-

телем применительно к теореме о свойстве средней линии трапеции была задана на дом задача (№42 нашего списка):

Прямые, соединяющие последовательно середины сторон равнобочной трапеции, образуют ромб. Доказать.

Учащиеся не могли решить задачи. Пришлось ее проделать в классе при активном участии самого учителя. После построения чертежа анализ задачи проводился в следующем порядке:

а) Четырехугольник EFHL есть параллелограм, так как, соединив последовательно середины сторон любого четырехугольника, мы получим параллелограм (черт. 4».

Черт. 4.

б) Остается доказать, что прилежащие стороны параллелограма EF и FH равны. Равенство этих сторон может быть следствием равенства диагоналей равнобочной трапеции (каждая из этих сторон равна половине соответствующей диагонали), но равенство диагоналей не доказано.

в) Равенство диагоналей может быть следствием равенства треугольников ABD и ACD. Треугольники равны, если равны углы при основании равнобочной трапеции.

План решения задачи был, таким образом, подготовлен. Ученики последовательно решили связанные между собой три задачи.

1) В равнобедренной трапеции углы при основании попарно равны. Провели вспомогательную прямую BK И CD. Д АВК равнобедренный, поэтому ^ А = ^/ АКВ, но ^ АКБ = — ^D (как соответственные), откуда ^А = = / Р. Каждый из углов при верхнем основании пополняется равными углами до 180°, следовательно, эти углы также равны.

2) Диагонали AC = BD, так как ДЛ5о = ~ A ACD (по первому признаку равенства треугольников).

3) EF—FH, так как каждый из этих отрезков равен половине параллельной ему диагонали, а диагонали равны.

Задача решалась несвоевременно, тем более что в ее решении свойство средней линии трапеции не применялось. Цепь аналитических суждений оказалась для учеников сложной. Решение такой задачи более уместно предложить учащимся при повторении темы «Параллелограмы и трапеции», а работу учеником облегчить, расчленив сложную задачу на две простых: в равнобедренной трапеции 1) углы при основании попарно равны, 2) прямые, соединяющие последовательно середины ее сторон, образуют ромб. Доказав равенство углов при верхнем основании трапеции, учащийся докажет равенство треугольников BEF и FCHy откуда следует равенство EF=FH. Промежуточное доказательство равенства диагоналей излишне.

Часто у учащихся при самостоятельном ре шении задачи цепь правильно проводимых суждений прерывается и задача остается нерешенной из-за того, что условие задачи полностью не использовано. Так получилось при решении следующей задачи:

В равнобедренном треугольнике сумма расстояний каждой точки основания от боковых сторон есть величина постоянная, равная высоте, опущенной на боковую сторону. Доказать.

Дано (черт. 5)

Черт. 5.

1) АВ=ВС 3) EF± ВС

2) АР А. ВС 4) ЕК±АВ

Требуется доказать: EF-^EK = AD.

Итак, требуется доказать, что длина ломаной KEF равна длине отрезка прямой AD.

Если из точки Е проведем EL J_ AD, то LD и EF равны, как противоположные стороны прямоугольника. Задача сведена к доказательству равенства отрезков КЕ и AL, которые служат катетами двух прямоугольных треугольников, имеющих общую гипотенузу. У учащихся встретилось затруднение при нахождении второй пары равных элементов двух треугольников. При внимательном пересмотре всех пунктов условия задачи можно было обнаружить, что пункт 1 условия (АВ = ВС) в задаче не имеет применения. После замены

неиспользованного равенства боковых сторон равенством углов при основании равнобедренного треугольника синтез проводится без затруднений:

J/KAE = À/ECD; <SECD = ^AEL,

откуда Z.KAE = j/AEL

/\АКЕ = /\ALE (имеют по равной гипотенузе и равному острому углу).

Следовательно,

КЕ= AL и KE-\-EF = AL-\- LD = AD.

Учащийся должен помнить, что во всех случаях затруднений в первую очередь нужно внимательно просмотреть условие с целью выяснения — использовано ли оно полностью.

Ряд предлагаемых при повторении геометрии задач имеет многообразие в способах решения. Такие задачи, во-первых, дают возможность учителю найти широкое применение повторяемых теорем и, во-вторых, являются хорошим средством, способствующим развитию инициативы учащихся.

Точка M не лежит на перпендикуляре, проведенном к отрезку AB прямой через его середину. Если точки M и В расположены по одну сторону от перпендикуляра, то МВ<^МА. Доказать (черт. 6).

Черт. 6.

Анализ, как обычно, начинается с выделения условия и заключения задачи, и определения входящих в условие и заключение понятий. Перпендикуляр, проходящий через середину отрезка прямой, определяется как геометрическое место точек, одинаково удаленных от конца отрезка прямой.

Строится чертеж и выделяются условие и заключение задачи. В §§ 47, 50, 52 и 54 учебника учащиеся находит теоремы, на основе которых может быть решена задача. Применение различных теорем дает различные способы решения.

1) Желая применить теорему § 47: во всяком треугольнике против большего угла лежит большая сторона, — учащийся доказывает, что в треугольнике АМВ ^А<</АВМ.

Доказательство: 1) /_ А — ^ СВА

2) Z.CBA<</ABM

3) </А<</АВМ (из 1 и 2),

откуда : МВ<^ AM.

2) Применяя к решению задачи теорему § 50: в треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон, учащийся использует свойство сторон треугольника СМВ:

МЯ<#С + СЛ?, но ВС + СМ = =АС + СМ = АМ,

поэтому

MB < AM.

3) Для применения теоремы § 52 нужно получить два треугольника, имеющих по две равные стороны, а их третьими сторонами должны быть AM и ВМ. Такие треугольники получатся, если соединить точки О и М.

В ДЛОЖ и Д MOB АО=ОВ и ОЖ—общая сторона. У МОВ<1У АРМ, следовательно, ЖБ< AM.

4) Проводим вспомогательную прямую MD _]_ AB и применяем теорему о сравнительной длине наклонных (§ 54 учебника), — получаем четвертый способ решения задачи.

К некоторым задачам нами ставился дополнительный вопрос: перечислить те теоремы, которые применялись при решении задачи. Если никто из учащихся не давал исчерпывающего списка применявшихся теорем, то учитель после разбора решения задачи поручал отдельным ученикам подсчитать общее количество теорем, применявшихся в решении задачи с учетом всех разобранных в классе способов.

Рассмотрим задачу.

К двум окружностям О и О', имеющим общую касательную в точке А, проведена общая внешняя касательная ВС. Доказать, что угол ВАС прямой. Найти четыре варианта решения и перечислить теоремы, которыми пришлось пользоваться при решении задачи.

Указание. Провести общую внутреннюю касательную (черт. 7). К построению чертежа сделать устное замечание: строить окружности заметно различных радиусов, так как чертеж с окружностями равных радиусов может натолкнуть учащихся на неверные выводы.

Дано:

1) ВС — отрезок касательной, ограниченный точками касания;

2) А — точка касания двух окружностей. Требуется доказать: /_ВАС— прямой.

Проводим общую внутреннюю касательную AD и получаем два равнобедренных треугольника: /\BDA и /\ADC. Каждый из равных

углов треугольника BD А обозначим через х и каждый из равных углов Д ADC — через у. Требуется доказать: ВАС = x -f- у = 90°.

Черт. 7.

Способы решения

1) В Д ЯЛС имеем: + *+.У = 180°, откуда х-\-у~90°.

2) Обозначим смежные углы при точке D цифрами 1 и 2, получим:

^/1=2^ по свойству внешнего угла Д ADC. £ 1 = 2х по свойству внешнего угла Д ABD

^\+^2 = 2(х+у),

или

X-f j/ = 90e.

3) Если из точки D, как центра, описать окружность радиусом DC, то в силу равенства DC = BD = AD окружность пройдет через все вершины треугольника ВАС, где / ВАС вписанный, опирающийся на концы диаметра, следовательно, он прямой.

4) Проводим линию центров ОО' и радиусы OB и О'С. Угол ЛО'С измеряется дугой АС, а у измеряется половиной той же дуги. Угол АОВ измеряется дугой AB, а х измеряется половиной той же дуги.

Углы ЛО'С и АОВ внутренние односторонние при параллельных OB и О'С и секущей ОО'. Решение.

</АО'С = 2у Z.AOB — 2X

Откуда ^ЛО'С-f ^ АОВ =180° = 2 (* -fj/)t или лг+^а<Ю\

5) Продолжим общую внутреннюю касательную за точку D на расстояние DE — AD, соединим точку Е с точками ß и Си получим параллелограм АВЕС с равными диагоналями, т. е. прямоугольник, а У ВАС будет углом прямоугольника, следовательно, он прямой.

6) В 1\АВС проводим среднюю линию DF, являющуюся медианой равнобедренного треугольника ABD, а медиана равнобедренного треугольника одновременно служит и высотой.

Решение.

DF II АС — как средняя линия ДЛ5С, следовательно, АС JL AB. 7) Через точку А проводим вспомогательную прямую MN II ВС, тогда £ MAB равен углу х (как внутренние накрест лежащие при параллельных MN и ВС и секущей AB) и ^CAN будет равен углу у (как внутренние накрест лежащие при параллельных MN и ВС и секущей АС).

Прямые AB и АС будут биссектрисами смежных углов MAD и NAD, а биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны. В отдельных случаях такие задачи выносились нами на кружковые занятия.

В контрольные работы включались задачи или сходные по приемам решения с ранее решенными задачами, или одинаковые по содержанию, но предлагаемые в иной редакции, или объединенные из двух в одну.

СПИСОК ЗАДАЧ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Примечание. Задачи, взятые из учебника геометрии Киселева, отмечены буквами К. Г., для них указываются параграфы учебника и № упражнений.

К теореме о смежных углах

№ 1. Развернутый угол разделен на три равные части. Биссектриса среднего угла перпендикулярна к сторонам развернутого угла. Доказать.

№ 2. К. Г., § 27, № 4.

К теореме о трех признаках равенства треугольников

№ 3. Биссектрисы двух равных углов равнобедренного треугольника равны. Доказать.

Указание: имеется два способа доказательства теоремы: рассмотрением двух треугольников с общим основанием и двух треугольников с общим углом.

К теореме о сумме двух сторон треугольника

№ 4. К. Г., § 69, № 4.

К теоремам о признаках равенства прямоугольных треугольников

№ 5. На сторонах угла А от его вершины отложены отрезки AB = АС. Из точек В и С восстановлены перпендикуляры к сторонам угла. Точка М, в которой эти перпендикуляры пересекаются, соединена с вершиной угла А. Прямая AM есть биссектриса угла А. Доказать.

№ 6. К. Г., § 69, № 2.

№ 7. К. Г., § 69, № 10,

К теореме об углах, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой

№ 8. Если точка делит пополам отрезок прямой, заключенный между параллельными прямыми, то эта точка делит пополам любой другой проходящий через нее отрезок, заключенный между теми же параллельными прямыми. Доказать.

Nk 9. К. Г., § 102, № 8.

К теореме о сумме углов треугольника

№ 10. Биссектрисы двух любых углов равностороннего треугольника образуют между собой угол тупой, вдвое больший третьего угла треугольника. Доказать.

К теоремам о параллелограме

№ 11. Если в выпуклом четырехугольнике ABC сумма угла А с каждым из прилежащих к нему углов равна 180°, то четырехугольник есть параллелограм. Доказать.

К теореме о прямоугольнике и его свойствах

№ 12. К'. Г., § 102,

№ 13. № 13. К. Г., § 102, № 2.

К теореме о ромбе и его свойствах

№ 14. К. Г.,§ 102, № 14.

№ 15. Если из точки, взятой на биссектрисе угла, провести прямые, параллельные сторонам угла, то получится ромб. Доказать.

К теоремам, основанным на свойствах параллелограма

№ 16. К. Г., § 102, № 1.

№ 17. Прямые, соединяющие последовательно середины сторон ромба, образуют прямоугольник. Доказать.

К теореме о свойстве дуг, заключенных между параллельными хордами

№ 18. Диаметр AB проходит через середины хорд СС и DD'. Доказать, что прямая ММ\ соединяющая середины хорд CD и CD\ перпендикулярна к AB (точки С и D лежат по одну сторону AB).

№ 19. Сумма дуг, заключенных между пересекающимися хордами, не проходящими через центр, равна сумме дуг, заключенных между диаметрами, параллельными хордам. Доказать.

К теоремам о зависимости между дугами, хордами и их расстояниями от центра

№ 20. Точка А, лежащая вне окружности, соединена с центром О. Две секущие ABC и ADE, образующие с OA равные углы, отсекают от окружности равные дуги. Доказать.

Указание: из центра О опустить перпендикуляры на хорды.

№ 21. К. Г., § 135, № 7.

№ 22. К. Г., § 135, № 8.

К теореме об измерении вписанных углов

№ 23. К. Г., § 143, № 4.

Указание: доказать равенство дуг, заключенных между пересекающимися хордами. Провести хорды, стягивающие равные дуги, и доказать равенство треугольников.

№ 24. К, Г., § 143, № 5.

К теореме об измерении углов с вершиной внутри круга

№ 25. Доказать теорему об измерении углов с вершиной внутри круга, пользуясь теоремой о дугах, заключенных между параллельными хордами,

Указание: из точки пересечения продолжения одной из сторон угла с окружностью провести хорду, параллельную другой стороне угла.

К теореме об измерении углов с вершиной вне круга

№ 26. Окружность разделена точками А и В на две дуги. Одна из них точкой С разделена пополам, а на другой взяты произвольные точки Dn Е. Пары прямых DA и ЕС, DC и BE продолжены до их пересечения в точках F и К. Доказать, что /DFE — = £ DKE.

№ 27. Часть касательной, заключенная между касательными, проведенными через концы диаметра, видна из центра под прямым углом. Доказать.

Указание: стороны угла служат биссектрисами двух смежных углов.

№ 28. К. Г., § 135, № 14.

К теореме об измерении углов, образованных хордой и касательной

№ 29. К. Г., § 143, № 3.

№ 30. Две окружности касаются в точке А. Одна из двух прямых, проходящих через точку А, пересекает окружности в точках В и С, другая—в точках ßj и Cj. Хорды ВВХ и СС\ параллельны. Доказать для окружностей: а) имеющих внутреннее касание и б) имеющих внешнее касание.

Указание: через точку касания двух окружностей провести общую касательную к окружностям.

К теоремам о свойствах вписанного и описанного четырехугольника

№ 31. Если около данной трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобочная. Доказать.

№ 32. Если в равнобочную трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона трапеции равна ее средней линии.

ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАЕМЫЕ УЧАЩИМСЯ В СВЯЗИ С ПОВТОРЕНИЕМ КУРСА ГЕОМЕТРИИ

I. К теме Треугольники"

№33. Доказать, что треугольник равнобедренный, если: 1) высота совпадает с биссектрисой, 2) высота совпадает с медианой.

№ 34. Точка О, взятая внутри треугольника ABC, соединена с вершинами А и С. £АОС> £АВС. Доказать.

Указание: продолжить АО или СО за точку О до пересечения со стороной треугольника и дважды применить теорему о внешнем угле треугольника.

№ 35. Два отрезка боковых высот равнобедренного треугольника, вместе с основанием, образуют равнобедренный треугольник. Доказать.

№№ 36 — 39. К. Г., § 69, 3, 5, 8, 9.

II. К теме «Параллелограмы и трапеции"

№ 40. Если в треугольнике совпадают биссектриса и медиана, то треугольник равнобедренный. Доказать.

Указание: применить теорему о свойстве диагоналей параллелограма.

№ 41. Через вершину А треугольника ABC проведена прямая MN. Из двух других вершин треугольника опущены перпендикуляры BD и СЕ на эту прямую. Доказать, что середина стороны ВС одинаково отстоит от точек D и Е.

№ 42. В равнобочной трапеции: а) углы при основаниях попарно равны, б) прямые, соединяющие последовательно середины сторон, образуют ромб. Доказать.

№ 43. В трапеции 1) средняя линия проходит через середины диагоналей, 2) расстояние между серединами диагоналей равно полуразности оснований. Доказать.

№ 44. В треугольнике ABC сторона AB, равная стороне ВС, продолжена за вершину В на расстояние BE, равное Aß, и точка Е соединена с С. Доказать, что Д АЕС прямоугольный. Решить задачу различными способами. Перечислить те теоремы, которые применялись при решении.

№№ 45-49, К. Г., § 102, ЛШ 3, 5, 10, 12, 16.

III. К теме 'Окружность"

№ 50. К. Г., § 135, № 16.

№ 51. Через точку А окружности проведена хорда AB и затем касательная в точке В. Диаметр EF, перпендикулярный радиусу OA, пересекает касательную и хорду, соответственно, в точках С и D. Доказать, что ВС = CD.

Указание: доказать равенство двух углов в треугольнике BCD, учитывая равенство: wAß — = ^АЕ+^ВЕ.

№ 52. Прямые, соединяющие середины дуг, стягиваемых противоположными сторонами вписанного четырехугольника,взаимно перпендикулярны. Доказать.

Указание: применить теорему об измерении угла с вершиной внутри окружности.

№ 53. Доказать, что наиболее удаленные друг от друга точки двух окружностей находятся на линии центров.

Указание: применить теорему об отрезке прямой и ломаной, соединяющих две какие-нибудь точки.

№ 54. Если на радиусе данной окружности, как на диаметре, описать окружность и из общей точки двух окружностей провести хорду большей окружности, то меньшая окружность будет делить эту хорду пополам. Доказать.

№ 55. Окружности, построенные на двух сторонах АС и ВС треугольника ABC, как на диаметрах, пересекаются на третьей стороне (или на ее продолжении). Доказать.

Указание: вторую точку пересечения двух окружностей соединить со всеми вершинами треугольника и рассмотреть полученные углы.

№ 56. Прямая, параллельная касательной в вершине вписанного треугольника и пересекающая его боковые стороны, отсекает от него вписуемый четырехугольник. Доказать.

РЕШЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СПОСОБОМ ЛОЖНОГО ПОЛОЖЕНИЯ

И. С. СОМИНСКИЙ (Ленинград)

В рассказе «Репетитор» А. П. Чехов приводит задачу:

«Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин он купил того и другого, если синее сукно стоило 5 рублей за аршин, а черное 3 рубля».

Эту задачу не смог решить не только девятилетний Петя Удодов, но и его репетитор, гимназист VII класса Егор Зиберов.

Надо сказать, что Чехов выбрал для своего рассказа удачный тип задачи. Такие задачи помещались во всех задачниках по арифметике, и немало «двоек» было в свое время выставлено в гимназические журналы за эти задачи.

Можно думать, что в свое время сам Зиберов получил не одну двойку за задачи этого типа и все же оскандалился на уроке у Пети Удодова.

Задачи этого типа встречаются и в наших задачниках, их называют задачами «на предположение». Известно, что решение этих задач представляет серьезные трудности для наших школьников. Трудно и учителю научить детей решать эти задачи.

В статье: «Работа над трудными и занимательными задачами в IV классе» («Начальная школа», 1946, № 4—5) Л. Н. Скаткин рассказывает, что им были предложены для желающих учеников IV класса 204 й школы г. Москвы несколько задач повышенной трудности. Среди них была дана задача:

«На дворе бегают куры и поросята. У всех вместе 40 голов и 100 ног. Сколько кур и сколько поросят на дворе?»

Решение этой задачи одна ученица представила с подробным объяснением:

«1) Сколько было бы ног, если бы это были одни куры?

2 н. X 40 = 80 н.

2) На сколько ног оказалось бы меньше, если бы были одни куры?

100 н. —80 н. = 20 н.

3) На сколько ног больше у поросенка, чем у курицы?

4 н. — -2 н. = 2 н.

4) Все 40 животных посчитаны двуногими, это дало 80 ног, значит остальные 20 ног оказались не посчитанными.

У поросенка 4 ноги, из них 2 не посчитаны, а всего не посчитано 20 ног. У скольких поросят не посчитано по 2 ноги?

20 н. :2 н. = 10 (поросят).

5) Сколько было кур, если поросят было 10?

40 гол. —- 10 гол. =30 гол.».

Видно, что девочка, давшая это решение, смогла бы помочь и бедному репетитору. Она предложила бы решить его задачу так:

1) Сколько стоило бы все сукно, если бы это было одно черное?

3 p. X 138 = 414 р.

и т. д.

В этой заметке мы ставим своей целью подробно рассмотреть задачи указанного типа, дать несколько иной подход к их решению и тем самым помочь учителю.

Правило ложного положения (Regula falsi).

Еще со времени древних египтян известен следующий прием решения задач. Неизвестное сначала определяется приближенно — на глаз, проверкой оценивается ошибка, и на основе этой оценки ответ исправляется. Этот прием и называется правилом ложного положения.

Поясним этот прием на примере. С этой целью мы рассмотрим уравнение первой степени с одним неизвестным. Решим уравнение:

15* + 3=378.

Определим сначала х сна глаз».

Предположим, что х равен 20. Тогда 15*+ 3 равно 303. Мы получили на 75 меньше, чем требуется. Очевидно, что х больше 20. Заметим, что, увеличив х на 1, мы увеличим сумму на 15. Нам же надо сумму увеличить на 75. Выходит, что х надо увеличить на 5, т. е.

x = 20 + 5 =»25.

Приложим теперь этот прием к решению задачи А. П. Чехова.

Предположим, что черного сукна было 70 аршин. Тогда синего сукна было 68 аршин. Все черное сукно стоило 210 руб., а все синее 340 руб.

Все сукно, выходит, стоило 550 руб. Наше предположение неверно, так как стоимость всего сукна у нас оказалась на 10 руб. более действительной. Это произошло потому, что черного сукна на самом деле больше, чем 70 аршин. Заметим, что увеличение количества черного сукна на 1 аршин при одновременном уменьшении количества синего сукна на 1 аршин вызывает уменьшение общей стоимости сукна на 2 руб. Следовательно, для того чтобы уменьшить стоимость сукна на 10 руб., надо количество черного сукна увеличить на 5 аршин. Выходит, что черного сукна было 75 аршин, а синего 63 аршина.

Обращаем внимание читателя на то, что предположение, которое мы сделали, произвольно. Мы с таким же успехом могли предположить, что синего сукна было 60 аршин, 80 аршин, вовсе не было и т. д. Только ошибка всякий раз была бы иная, и для ее исправления потребовалась бы другая поправка.

Методические указания

Покажем теперь, как можно строить урок, посвященный задачам «на предположение », лучше сказать — «на правило ложного положения».

Учитель предлагает детям задачу; например, приведенную выше задачу о животных. Дети в затруднении. Тогда учитель рассказывает следующее:

С давних пор применяется такой способ решения задач:

Вам разрешается один раз попробовать угадать ответ. Если проверкой будет установлено, что вы угадали правильно, все хорошо — задача решена. Если же окажется, что вы ошиблись, второй раз отгадывать нельзя. Вы должны учесть ошибку, оценить ее и разумно исправить ответ.

Итак, кто хочет попробовать отгадать? Ученик А. Поросят было 15, а кур 25. Учитель. Давайте проверим этот ответ. Как это сделать? Дети проверяют:

У 15 поросят 60 ног. У 25 кур 50 ног. У всех 40 животных 110 ног. Ответ неверен. В условии сказано, что у всех животных вместе 100 ног. Учитель. Сообразим, как исправить ответ, предложенный А.

Сколько на самом деле было поросят: больше, чем 15, или меньше? Ученик Б. На самом деле поросят было меньше 15.

Учитель. Верно. На сколько меньше? Как это узнать?

(Заметим попутно, что это довольно трудное место в решении. Здесь не следует спешить, надо дать детям подумать.)

Если дети не смогут сообразить (что, впрочем, мало вероятно), учитель наводит детей на следующие соображения. Уменьшим число поросят на одного и одновременно увеличим число кур на одну. Животных попрежнему будет 40, но число ног у них уменьшится на 2. (В крайнем случае допустимо здесь провести подсчет ног:

4 н.Х14 = 56 н.; 2 h.X26 н.=52 н.; 56 н. + 52 н. = 103 н.)

Нам же нужно уменьшить общее число ног у животных на 10. Выходит, нужно количество поросят уменьшить на 5 (10 н.:2н. =5 поросят).

Итак, правильный ответ задачи такой: поросят было 10, кур 30.

Надо думать, что охотников отгадать ответ найдется, кроме ученика А, еще несколько. Учителю следует на этом же уроке проверить и исправить еще несколько ответов, предложенных учениками.

При этом учитель должен обратить внимание класса на то, что предположение можно делать какое угодно, и всякий раз, разумно исправляя предположение, мы приходим к одному и тому же ответу.

Учительница 242-й школы Октябрьского района г. Ленинграда т. Дмитриева Е. Н., проверявшая на опыте в своем классе предлагаемый нами подход к решению задач на предположение, первый урок вела устно и только на доске вела запись по следующей, примерно, схеме:

Число поросят

Число кур

Количество ног у поросят

Количество ног у кур

Колич. ног всех 40 животных

Ошибка

Предположение А

15

25

60

50

110

На 10 больше

Исправление

-5

+5

Ответ и его проверка

10

30

40

60

100

Нет

Предположение В

8

32

32

64

96

На 4 меньше

Исправление

+2

—2

Ответ и его проверка

10

30

40

60

100

Нет

Думается, что схема эта наглядна, проста и потому заслуживает внимания.

Кроме такой записи, следует в дальнейшем, на других уроках, использовать и такую. Предположим, что поросят было 15, тогда кур было 25 (40 жив. —15 жив. =»25 жив.). У 15 поросят 60 ног (4 н. X 15 = 60 н.). У 25 кур 50 ног (2 н. X 25 = 50 н.). У всех 40 животных вместе 110 ног (60 н.-f-50 н.=110 н.). Наше предположение неверно, на самом деле поросят было меньше, так как общее число ног у животных на самом деле на 10 ног меньше.

Если бы мы исправили предположение и уменьшили число поросят на одного, общее число ног у животных уменьшилось бы на 2 ноги (4 н. — 2 н. = 2 н.). Нам же нужно, чтобы число ног уменьшилось на 10, а потому нужно число поросят уменьшить на 5 (Юн.:2. = 5пор.). Выходит, что поросят было 10 (15 пор.— 5 пор. = 10 пор.), а кур было 30 (40 жив. — 10 жив. = 30 кур).

Важно подсчитать число действий, при помощи которых решается задача. Нетрудно видеть, что действий получается девять:

1) 40 жив. — 15 жив. = 25 кур.

2) 4 н. X 15 = 60 н.

3) 2 н.Х 25 = 50 н.

4) 60 н. + 50 н. = ПО н.

5) 110 н, —100 н. п=Ю н.

6) 4 н, —2 н. = 2 н.

7) 10 н.:2 = 5 пор.

8) 15 пор,—5 пор. = 10 пор.

9) 40 жив.— 10 жив. =30 кур. Аналогичную задачу учитель дает на дом. При проверке домашнего задания на следующем уроке учитель увидит приятную картину. Дети делали различные предположения, видно, что они действовали самостоятельно, независимо друг от друга.

Возможно, кто-либо из учащихся сделает крайнее (самое, на первый взгляд, нелепое) предположение, что кур во дворе вовсе не было, а были одни поросята, или другое крайнее предположение, что поросят во дворе не было, а были одни куры. В этом случае задача решается не в 9, а в 5 действий. Например:

1) 4 н. X 40 - 160 и.

2) 160 н. — 100 н.= 60 н.

3) 4 н. — 2 н.— 2 н.

4) 60 н.:2 = 30 (кур).

5) 40 жив. — 30 жив. = 10 (поросят).

Учитель должен отметить, что такое предположение делать разумнее всего, так как оно быстрей приводит к правильному ответу. Мы только категорически не рекомендуем на первых порах настаивать на таком решении задачи, навязывать его детям.

Дадим детям возможность прочно усвоить наиболее естественное «длинное» решение в 9 вопросах, и только тогда, когда учитель увидит, что дети научились сознательно решать задачи «длинным» путем, он будет настойчиво рекомендовать им и даже требовать решения задачи «коротким» путем.

Теперь, нам думается, ясно, почему задачи на предположение так затрудняют учеников и так трудны в методическом отношении. Все дело в том, что обычно учитель учит детей

решать задачи этого типа сразу «коротким» путем, не указывая вовсе «длинного» пути. При этом не только складывается, затушевывается суть способа ложного положения, но и нарушается постепенность обучения. Минуя более естественный и доступный детям «длинный» путь решения задач и излагая сразу более совершенный, но зато более трудный «короткий» путь, учитель как бы старается поднять ученика сразу на две ступени. Здесь, однако, лучше сначала поднять на одну ступень и, после того как ученик укрепится на этой ступени, поднять его на следующую.

Для дальнейшего изучения математики важно приучить детей составлять числовые формулы, описывающие решения той или иной задачи. Это в дальнейшем значительно облегчит им изучение алгебры.

Формулы эти в случае «длинного» решения имеют вид:

15 — {[15.4+ (40-15) • 2]—100} : (4—2) (поросят),

40— [15 - {[15-4-К40-15).2] —100} : (4-2)] (кур).

В случае «короткого» решения эти формулы проще:

(4.40—ЮО):(4—2) (кур), 40 —(4-40—100):(4-2) (поросят).

Горячо рекомендуем рассмотрение задач данного типа закончить составлением формул для «короткого» решения.

Остановимся еще па одном способе записи решения. Мы имеем в виду запись с вопросами.

Существует такое мнение, что изложение решения всякой арифметической задачи должно вестись по вопросо-ответной форме. Всякое другое изложение объявляется незаконным.

Безусловно, решение задачи с постановкой вопросов и с записью вопросов оправдывает себя в подавляющем большинстве случаев. Мы за то, чтобы, как правило, задачи решались с вопросами.

Все же при изложении решения некоторых задач вопросы неудобны, они получаются крайне громоздкими и не помогают, а затрудняют отчетливое изложение решения.

Думается, что наряду с решением задач с вопросами следует научить детей излагать решение задачи свободно. При этом нужно лишь следить, чтобы решение было изложено обстоятельно и четко, в точных формулировках.

Решение задач помощью правила ложного положения следует излагать в свободной форме.

Мы подробно остановились на применении правила ложного положения к задачам одного типа. Считаем полезным отметить, что этот способ может быть применен и к решениям задач других типов.

Приведем примеры таких задач из «Сборника задач и упражнений по арифметике» А. П. Каменского и И. Н. Либермана, Учпедгиз, 1939 г.

1 (№ 70). Две линейки, расположенные одна вслед за другой по прямой линии, имеют общую длину 90 см. Одна из них длиннее другой на 18 см. Определить длину каждой из этих линеек.

Решение. Предположим, что короткая линейка имеет длину 30 см, тогда длинная имеет длину 48 см, 2L общая длина линеек 78 см. Наше предположение неверно. В действительности обе линейки длиннее, так как общая длина их на 12 см больше. Если бы мы ошиблись в нашем предположении на 1 см, ошибка в общей длине линеек была бы на 2 см. Значит, мы ошиблись на 6 см, и выходит, что короткая линейка имеет длину 36 см, а длинная 54 см.

2 (№ 99), Два колхозника купили в городе кусок сукна длиною в 28 м; при этом один из них взял на свою долю часть в 3 раза большую, чем другой. Сколько метров сукна купил каждый колхозник?

Решение. Предположим, что один колхозник купил 10 м сукна. Тогда другой купил 30 м, а вместе они купили 40 м. Наше предположение неверно, так как в действительности они купили на 12 м сукна меньше.

Если мы сделаем новое предположение и будем считать, что один колхозник купил на 1 м меньше (9 м, а не 10 м), то выйдет, что второй купил на 3 м меньше (27 м, а не 30 м) и что вместе они купили на 4 м меньше.

Это показывает, что для получения правильного ответа надо уменьшить предположенное нами число 10 м не на 1 м, а на 3 м. Выходит, что один колхозник купил 7 м, а другой 21 м.

Разумеется, все эти задачи могут быть решены и другими способами и притом более просто и изящно.

Мы вовсе не рекомендуем применять метод ложного положения к решению всякой задачи. Мы хотим лишь подчеркнуть некоторую общность метода ложного положения.

Само собой разумеется, что, работая с учениками, учитель будет показывать им различные способы решения одной и той же задачи, будет всячески развивать и поощрять изобретательность, творческую инициативу своих учеников.

Учитель будет прививать учащимся мысль, что важно не только правильно решить задачу, по и решить ее просто, изящно.

ИЗ ОПЫТА

ИЗ ОПЫТА РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПРОЕКЦИОННОМ ЧЕРТЕЖЕ

М. Х. КЕКЧЕЕВА (Москва)

Опыт решения с учащимися задач на построение на проекционном чертеже был проведен мною в 29-й школе г. Москвы в течение двух лет (1944—1946 уч. гг.) под руководством проф. Н. Ф. Четверухина и показал полную возможность введения этих задач в школьную практику, а также их доступность для учащихся. Я хочу поделиться своим опытом работы с преподавателями математики, заинтересованными в успешном развитии у учащихся пространственного воображения.

Прежде всего я познакомилась с теоретическими основаниями и типами чертежей-моделей. Проф. Н. Ф. Четверухин показал приемы построения проекционных чертежей и дал систематически подобранную серию пространственных построений и задач (см. книгу: проф. Н. Ф. Четверухин, Стереометрические задачи на проекционном чертеже, Изд. Акад. пед. наук, М. 1947).

Я составила методический и календарный план применения проекционных чертежей в курсе стереометрии. В плане я указала, в каком месте курса будут применены проекционные чертежи.

В материал обычного курса геометрии были введены задачи позиционного характера, т. е. не содержащие метрических условий.

Опыт решения с учащимися метрических задач предстоит провести в будущем.

Одновременно с прохождением раздела о параллельных прямых в IX классе учащимся был показан способ изображения точек пространства.

Точка пространства изображается на чертеже с указанием ее основания, т. е. проекции ее на «основную» плоскость по определенному (произвольно выбранному) направлению.

Так, например, на чертеже 1 в упомянутой книге проф. Четверухина* даны точки А(А1) и В(Вг). Прямая ААг пересекает основную плоскость в точке Аг. Условились с учащимися прямую ААХ и всякую ей параллельную прямую называть проектирующей прямой.

Будем точку А считать заданной, если на чертеже показана также точка Av в которой проектирующая прямая пересекает основную плоскость.

Пользуясь заданными точками, мы будем задавать прямые и плоскости. Плоскость, параллельная проектирующим прямым, называется проектирующей плоскостью. Прямая AB определяется точками А(А{) и В(Вг) (черт 3 из книги проф. Четверухина). Учащиеся заносят в тетради соответствующие чертежи и производят необходимые записи.

Дается самостоятельная работа: 1) изобразить на чертеже несколько заданных точек в пространстве, 2) задать на чертеже плоскость тремя точками, 3) изобразить прямую, заданную двумя точками, 4) провести через какую-нибудь проектирующую прямую проектирующую плоскость и 5) провести плоскость параллельно заданной проектирующей прямой.

На втором уроке предлагались учащимся следующие упражнения: 1) взять на заданной прямой A (Ai) В (Вг) точку С и найти ее основание Сг (черт. 3 из книги проф. Четверухина). Делается вывод, что любая точка заданной прямой также является заданной, т. е. ее основание может быть построено на чертеже;2) можно взять на заданной плоскости, определяемой точками А (Лх), В (ß^, С (Сг) произвольную точку D и найти ее основание. Делается вывод, что любая точка заданной плоскости является также заданной, т. е. ее основание может быть построено на чертеже.

После этого приходим с учащимися к заключению, что, имея заданные точки, прямые или плоскости, мы можем строить фигуры, все точки которых являются заданными, так как новые точки, прямые и плоскости мы будем определять через данные и, таким образом,

* См. также проф. Н. Ф. Четверухин, Стереометрические задачи на проекционном чертеже, «Математика в школе», 1946, № 2.

решать задачи, пользуясь проекционными чертежами.

Начиная с третьего урока, решаются задачи, связанные с темой «Прямая и плоскость, параллельные между собой» задачи 1 и 2 (черт. 3 и 4), рассмотренные в статье проф. Четверухина (журнал «Математика в школе», 1946, № 2).

На четвертом уроке учащиеся решают задачи 3, 4 и 5 (черт. 5, 6 и 7 в статье проф. Четверухина).

После прохождения темы «Параллельные плоскости» учащиеся решают задачи 6 и 7, на следующем уроке — 8 и 9, затем 10 и 11 и после этого 13 и 14 (см. статью проф. Четверухина).

Первые из этих задач были решены мною с подробным объяснением и с соответствующей записью. С первых же задач я приучала учащихся к аккуратному выполнению чертежей.

Учащимся была предложена контрольная работа для выяснения степени понимания ими поставленной задачи. Все ученицы сделали чертежи и дали объяснения.

По результатам контрольной работы можно было сделать заключение, что задачи вполне доступны учащимся. Все замеченные недостатки были приняты во внимание в дальнейшей работе. Так, например, одна ученица, решая задачу «Построить линию пересечения двух данных проектирующих плоскостей» (черт. 5 в статье проф. Четверухина), взяла не точку пересечения следов АгВх и CXDX данных плоскостей, а точку М, которая в действительности не является общей точкой двух пересекающихся плоскостей. Таким образом, прямая ММг не будет линией пересечения двух проектирующих плоскостей (черт. 1)

Черт. 1.

Учащиеся постепенно приходили к пониманию того, что изображение точек пространства с указанием их оснований обладает свойством «полноты», т. е. на таком чертеже можно находить любые точки и линии пересечения элементов пространства.

Это достигалось тем, что обращалось внимание учащихся на значение указанной системы изображения точек пространства для решения стереометрических задач. Так, например, в задаче 1 (черт. 3 в статье проф. Четверухина) благодаря тому, что прямая AB была задана точками А(Аг) и B(B+)> удалось построить точку X пересечения прямой AB с основной плоскостью. Если же не показать на чертеже основания Аг и Вх точек А и В, то точка пересечения прямой AB с плоскостью может быть выбрана произвольно и задача станет неопределенной.

При всяком удобном случае учащимся давались представления о полноте чертежа (для любой точки чертежа может быть построено ее «основание»).

Учащиеся, проверяя свойство полноты на каждом чертеже, убеждаются в том, что все точки чертежа «вполне заданы». Кроме того, учащиеся убеждаются в том, что на чертеже можно построить искомый элемент: они фактически выполняют пространственные построения на чертеже. Учащиеся приходят к выводу, что сущность метода изображений при построении проекционных чертежей заключается в том, что точка пространства считается заданной, если на чертеже даны: 1) изображение самой точки и 2) изображение «основания» этой точки. Все че]ртежи учащиеся выполняли с соблюдением условий видимости. Для рельефности чертежа учащиеся широко пользовались цветными мелками и цветными карандашами.

Задачи предлагались учащимся как для классной, так и для домашней работы. Много задач было придумано самими учащимися, так как варианты их чрезвычайно разнообразны. Более трудные задачи решались на кружковых занятиях и предлагались более сильным учащимся.

По мере усвоения учащимися материала повышался как мой, так и их интерес к данному методу. Учащиеся по своей инициативе оформили целую серию задач и просили предоставлять им возможность самостоятельного решения задач. Учащиеся легко разбирались в новых задачах и представили прекрасный материал к выставке.

В результате этой работы учащиеся научились, например, находить: 1) точку пересечения прямой с основной плоскостью, 2) линию пересечения наклонной плоскости с основной плоскостью, 3) линию пересечения двух проектирующих плоскостей, 4) линию пересечения двух произвольных плоскостей и т. д.

По теме «Двугранные и многогранные углы» учащиеся умели провести плоскость через три точки и найти ее след на гранях как двугранного, так и трехгранного угла и т. д.

Работа проводилась в двух параллельных классах. Это имело свои преимущества: все замеченные мною методические недостатки

выправлялись на повторном уроке в параллельном классе.

Считая опыт работы первого года (пробного периода) положительным, я продолжала эту работу и в X классах, чтобы на основании двухгодичной работы иметь возможность лучше судить о ее результатах.

Перед началом 1945/46 уч. года я ознакомилась с теми видами задач, которые соответствовали курсу X класса (построение сечений в призме, в пирамиде и ряд других позиционных задач, как, например, построение линии пересечения двух несмежных граней пирамиды и др.). Я проанализировала эти задачи, сделала к ним чертежи, составила объяснения и подобрала их по степени трудности.

При решении задач с учащимися я также пользовалась набором задач, предложенным проф. Н. Ф. Четверухиным и, кроме того, придумывала задачи сама и предлагала придумать их учащимся.

Работу по решению задач на проекционных чертежах я вела одновременно в тех двух классах, с которыми в прошлом году начала эту работу.

Применяя проекции точек на основную плоскость, учащиеся простыми способами решали задачи на построение сечений в призме. За основную плоскость они выбирали основание призмы, а за направление проектирующих—направление боковых ребер.

Учащиеся узнали, что призма является фигурой, обладающей свойством полноты, так как для любой точки, взятой на изображении призмы, известно ее основание. Учащиеся узнали, что общий принцип построения сечений призмы на проекционных чертежах заключается в том, что сечение призмы плоскостью для полного изображения можно задавать тремя точками и искать на какой-либо проектирующей четвертую точку.

На первом уроке мы вспомнили сущность метода изображений, который был положен в основу проекционных чертежей. Затем мы повторили решение простейших задач из курса

IX класса.

Далее мы рассмотрели одну из задач, которая по своему характеру подводит учащихся к решению задач на сечения в призме.

„Плоскость ABC задана тремя своими точками (AAV BBt и CCJ и дана проектирующая прямая р своим основанием Pv Требуется построить точку пересечения X плоскости ABC с прямой р (черт. 19 в книге Четверухина*).

Построение, проведенное в этой задаче, было положено в основу общего принципа построения сечений на проекционных чертежах: искать на какой-либо проектирующей (на ребре призмы) четвертую точку.

Затем следует ряд задач на сечения в призме, как, например, срезать четырехугольную, шестиугольную или вообще я-угольную призму плоскостью, проходящей через три точки на ребрах призмы или на ее гранях.

Решение первой задачи на сечение в призме я привела классу с подробным объяснением всех этапов построения и с соответствующей записью. Следующие задачи решались учащимися под моим руководством и давались в качестве самостоятельной работы.

Далее я давала учащимся условие и чертеж, на котором было видно решение, и просила написать к решению объяснение, затем давались задачи для индивидуального решения; к некоторым из них приводились небольшие указания. Работы проверялись, исправлялись ошибки, и удачные решения демонстрировались перед классом. Сечения выделялись цветными мелками или цветными карандашами.

Решение задач на сечения в призме не вызывало особых затруднений и казалось учащимся более легким, по сравнению с некоторыми решениями задач из курса IX класса.

После того как учащиеся усвоили решение задач на сечения в призме, мы перешли к задачам на сечение в пирамиде. Они уяснили, что пирамида является фигурой, обладающей свойством «полноты».

Параллельное проектирование на основную плоскость было заменено центральным проектированием.

Произвольную точку S пространства берем в качестве центра проекций. Основанием точки А будет точка А1% которая является проекцией точки А из центра 5 на плоскость основания.

Решаем первую основную задачу, которая нами уже рассматривалась перед задачами на сечения в призме. Эта задача при центральном проектировании получает несколько иной вид, но по существу решение остается прежним.

Далее следует целый ряд задач на сечения в пирамиде.

После этого решались другие позиционные задачи, как, например: «Найти линию пересечения плоскости верхнего основания усеченной призмы с плоскостью нижнего основания» и др.

Для выяснения степени усвоения материала по задачам на проекционных чертежах проводился устный опрос, в результате которого учащимся ставились оценки, а также давалась контрольная работа на проведение сечений в призме, в пирамиде и на нахождение следа

* См. также статью проф. Четверухина, Позиционные задачи в курсе стереометрии, «Математика в школе>, 1946, № 3.

сечения на плоскости основания. Контрольная работа давалась в 4-х вариантах. Большинство учащихся с этой работой справилось.

Придумывание задач учащимися является весьма полезным упражнением, показывающим степень понимания материала. Учащимся было предложено придумать и решить самостоятельно задачи на сечения.

Приведу несколько из них.

1) Задача, придуманная Белоусовой Ириной: <Дана 4-угольная призма и три точки M, N и L на трех боковых ребрах. Построить сечение, проходящее через эти три точки, и найти след плоскости сечения на плоскости основания* (черт. 2).

Черт. 2.

2) Задача, придуманная Дамир Еленой: «Рассечь пирамиду плоскостью, проходящей через точку на плоскости основания, точку на стороне основания и точку на боковой грант.

3) Задача, придуманная Савкиной Ольгой: «Дана пятиугольная призма. Провести сечение через сторону основания ED и точку M на боковом ребре» (черт. 3).

Время на проведение работы по решению задач выделялось на уроках геометрии за счет вычислительных задач, которые легко решаются при помощи непосредственного применения формул (например, вычисление объемов и поверхностей тел).

Таким образом, учащиеся фактически производили построения на проекционном чертеже и фактически находили искомые элементы на чертеже.

Постепенно они усваивали метод решения задач, развивали пространственное воображение и конструктивные навыки. На экзаменах на аттестат зрелости был использован материал по задачам на проекционных чертежах, в связи с решением задач по билетам, и учащимся задавались соответствующие вопросы.

Результаты опыта работы показали, на мой взгляд, целесообразность введения в курс стереометрии средней школы задач, решаемых на проекционных чертежах. В указанном направлении желательно продолжать эту работу, распространяя ее на более сложные фигуры.

Черт. 3.

О ТОЖДЕСТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ*

М. В. НОСОВ (Свердловск)

В настоящей статье я хочу рассказать о том, какое отражение в моей практической работе нашли основные принципы тождественных преобразований, изложенные П. С. Александровым в статье «Научное содержание школьного курса алгебры» («Математика в школе», 1946, №№ 4—6) и С. И. Новоселовым в статье «Учение о функциях в средней школе» («Математика в школе», 1946, №№ 5—6) и в книге «Алгебра» (С. И. Новоселов, Алгебра, учебник для учительских институтов, Учпедгиз, 1947).

В статьях П. С. Александрова и С. И. Новоселова дается ряд ценных указаний принципиального характера, касающихся тождественных преобразований в курсе элементарной

* Доклад на «Педагогических чтениях» при Академии педагогических наук РСФСР.

алгебры. Эти указания открывают для каждого преподавателя новые перспективы, способствующие улучшению качества работы и поднятию педагогического процесса на более высокую ступень. Каждый преподаватель, даже при наличии большого педагогического стажа и опыта работы, невольно приходит к мысли, что следует еще и еще раз пересмотреть методы своей работы и путем критической оценки уже пройденного стремиться к совершенствованию педагогического процесса. Проблем, поставленных П. С. Александровым и С. И. Новоселовым, очень много, и я ограничусь только теми из них, которые теснее всего соприкасаются с практической работой в школе. Следует с полной откровенностью заявить, что лично я, как и большинство преподавателей неполных средних школ, встретились с принципами, изложенными в указанных статьях и книге впервые и только в текущем году начали проводить их в жизнь в практике своей работы.

Начну с того, что постановка вопроса о классификации алгебраических выражений резко отличается от той, которая дается в учебнике А. П. Киселева. Одночлен, с точки зрения Киселева — «это алгебраическое выражение, в котором последнее по порядку действий не есть сложение или вычитание».

Согласно определению, принятому в учебнике С. И. Новоселова, «одночлен есть произведение, состоящее из коэффициента, обозначенного цифрами, и одной или нескольких букв, взятых каждая в определенной степени. Одночленом называется также всякое число, обозначенное цифрами, либо отдельной буквой »,

С точки зрения А. П. Киселева алгебраические выражения: (x — у) (х-\-2у) и -~ суть одночлены, а с точки зрения С. И. Новоселова первое выражение есть многочлен, а второе — не является ни одночленом, ни многочленом. В основе всех указанных определений лежат различные принципиальные установки. «В соответствии с определением, принятым в современной алгебре, — пишет С. И. Новоселов («Алгебра», стр. ЗЦ — мы рассматриваем многочлен, как целую рациональную функцию букв-аргументов. Это определение не совпадает с определением многочлена, принятым в школьном учебнике Киселева. С точки зрения принятой классификации, «дробные» многочлены (или одночлены) не могут считаться многочленами (или одночленами)». С такой постановкой вопроса, конечно, нельзя не согласиться, так как она вносит определенную ясность и разрешает постоянные недоумения учащихся, почему выражение (х — у) (х-{-2у) есть одночлен, а после раскрытия скобок обращается в «многочлен»? Не говоря уже о том, что классификация алгебраических выражений по «порядку действий» сама по себе расплывчата, так как этот порядок является «условным» и во всяком случае допускает различные толкования (см., например, статью А. Н. Барсукова. «Математика в школе», 1947, № 3); она вносит много путаницы и излишних дискуссий среди преподавателей при изложении последующих тем программы.

В «Алгебре» С И. Новоселева дается теорема о тождественности двух многочленов, имеющая принципиальное значение для тождественных преобразований многочленов. В практике своей работы, не давая учащимся доказательства этой теоремы, я обратил внимание учащихся на этот вопрос путем, например, таких упражнений: «При каких значениях я, b и с многочлены: ах2-\-Ьх-\-с и X2 — 2;с-}-1 тождественны?» Или: «При каких значениях а, Ь, с и d тождественны многочлены

x3—2х2 -f ~y^ — 2 и axz -f- k*2 + ex + d* и т. д.

Наконец, принципиально важными и «новыми» для меня оказались указания П. С. Александрова о целенаправленности действий над целыми алгебраическими выражениями, которые сыграли немаловажную роль в постановке и разрешении вопроса об упражнениях с учащимися. «Основное содержание действий над целыми алгебраическими выражениями», — пишет П. С. Александров («Математика в школе», 1946, №5—6) — заключается в указании правил, следуя которым, можно всякое целое алгебраическое выражение превратить в многочлен, т. е. функцию, записанную в виде целого алгебраического выражения, привести к ее нормальному виду — к виду нормально записанного многочлена».

Какие выводы сделал я для себя? Во-первых, в практике своей работы понятие о расположении многочлена по степеням главной буквы я дал учащимся значительно раньше, чем это делается в школьных учебниках и задачнике. Я предложил учащимся «нормальную запись» многочлена, опираясь на свойство переместительности суммы. Действия выполнялись над расположенными по степеням главной буквы многочленами. Это вносило определенный порядок как в вычисления, так и в записи. Примеры, предлагаемые учащимся в задачнике Шапошникова и Вальцова, ч. I, в абсолютном большинстве случаев даны в виде нормально записанных многочленов, например: «найти численное значение выражения û3 + 2û2 — 5а-f-6 при а =з 2». Процесс определения численного значения этого многочлена

отвлекает внимание учащихся от его вида, поэтому я считал полезным время от времени давать многочлен в ином виде, изменив порядок расположения членов, скажем, в виде: — 5аa6 -f- 6 -f- 2а2. Учащимся предлагалось сначала записать многочлен в нормальном виде, а затем приступать к вычислительным операциям. Подобные вычисления я проводил в течение полугодия, постепенно усложняя их трудность по мере накопления фактического материала по различным темам программы. Предполагаю при изучении темы «Разложение выражений на множители» давать упражнения на приведение к нормальному виду, например, таких многочленов, как x2-\-ах-{-bx-\-ab или x*-\-ax2-\-abx-\-cx*-\~abc-\-acx и т. д, В конечном счете учащиеся привыкнут к нормальной записи многочленов и не будут выражать недоумения, почему именно при умножении и делении многочленов их располагают по степеням главной буквы.

Я считаю, что достигнуть определенной цели можно только при условии систематической работы, поэтому начинаю расположение многочленов возможно раньше и веду эту работу систематически, а не от случая к случаю. Это можно подтвердить примером из практики моей работы: однажды на уроке я предложил одной из учениц найти численное значение многочлена. Она расположила многочлен по убывающим степеням буквы и заявила, что для нее это «проще» и «больше порядка при вычислениях». С другой стороны, в процессе тождественных преобразований «сознательное выполнение преобразований, по словам С. И. Новоселова, требует постоянного применения основных законов действий. Умение обосновать каждый шаг с точки зрения этих основных законов есть естественное требование, которое следует предъявлять учащимся» («Математика в школе», № 5—6).

Это, на первый взгляд элементарное, требование недооценивалось мною и целым рядом преподавателей неполных средних школ, что, естественно, способствовало формальному усвоению материала. Приходилось исправлять ошибки «на ходу» в процессе практических упражнений.

В «Алгебре» С. И. Новоселов пишет: «Простейшими тождествами, справедливыми в множестве всех рациональных чисел, являются основные законы арифметических действий, выраженные формулами. Соотношения, вытекающие как следствия из этих основных законов, также являются тождествами в множестве всех рациональных чисел. Примерами таких тождеств являются правила действий над многочленными выражениями (алгебраическими суммами). В частности, тождествами являются формулы сокращенного умножения: (Аг±а)2= = х2+2ах-\-а2!. .» При такой постановке вопроса о тождественных преобразованиях становится «наивной» попытка преподавателя обратиться к учащимся с требованием «проверить полученный результат» того или другого действия над многочленами. Становится ясным, что левая часть формулы, скажем (л: + а) (х — а)= = x2 — а2, «заведомо» тождественна правой и при проверке из множества всех рациональных чисел мы выбираем «любую систему» числовых значений х и я, а не какую-либо одну пару значений, например х=1 и а = -^-.

Я вспоминаю случай на уроке, когда одна учительница заявила учащимся: «Итак, мы получили результат умножения многочлена на одночлен; подставим вместо а и b значения 1 и 2. Получили тождество», значит, левая часть равенства «тождественно равна правой». Не так давно и я допускал ошибки, подобные указанной, но в дальнейшем повторять их не думаю, так как принципиальная сторона тождественных преобразований для меня ясна.

Хотелось бы остановиться на вопросе тождественных преобразований дробных алгебраических выражений. В статье П. С. Александрова («Математика в школе», 1946, № 5—6) указывается, что «два дробных рациональных выражения приходится называть тождественно равными, если их числовые значения равны при всех значениях букв, при которых оба выражения имеют смысл» и что «смысл сложных преобразований рациональных выражений заключается в приведении их к нормальному виду, одна из основных задач разложения на множители и заключается в том, чтобы дать удобные приемы этого приведения». Та же мысль высказывается и С. И. Новоселовым в книге «Алгебра» (стр. 67): «Всякое рациональное алгебраическое выражение, посредством последовательного выполнения в надлежащем порядке тождественных преобразований многочленов и дробей, может быть представлено в виде отношения двух многочленов, т. е. в виде рациональной дроби. При всех системах значений букв, допустимых для данного и для преобразованного выражений, их численные значения одинаковы. В самом деле, в результате сложения, вычитания, умножения и деления рациональных дробей мы снова получаем рациональную дробь, поэтому последовательное применение этих операций в любом количестве и в любых комбинациях позволяет представить всякое сложное рациональное выражение в виде отношения двух многочленов и окончательно— в виде некоторой несократимой дроби. Исключение может представиться, если в процессе преобразований обнаружится, что данное выра-

жение не имеет смысла ни при каких значениях аргументов, но тогда его нельзя рассматривать, как рациональное выражение».

В этих немногих словах П. С. Александрова и С. И. Новоселова очерчивается «принципиальное значение» тождественных преобразований рациональных алгебраических выражений. Не отрицая значимости приобретения технических навыков, которым едва ли не все преподаватели уделяют больше, чем следует, внимания, в основу тождественных преобразований полагаются принципы, открывающие для преподавателя новые пути построения упражнений с учащимися.

Пользуясь статьями П. С. Александрова и С, И. Новоселова в журнале «Математика в школе», №№ 4—5—6, я имел возможность применить в процессе упражнений следующее.

а) Я рассмотрел с учащимися вопрос о допустимых значениях дроби на конкретных примерах вроде:

и т. п.

б) При тождественных преобразованиях дробных алгебраических выражений я обращал внимание учащихся, при каких условиях эти преобразования имеют смысл (задачник Шапошникова и Вальцова, ч. I, №№ 81, 82, 83, 84, 94, 96, 99, 100 и т. д.).

в) Следуя принципу «целенаправленности» тождественных преобразований дробных выражений, я внимательно проанализировал упражнения, относящиеся к 4-й главе, ч. I задачника Шапошникова и Вальцова. К сожалению, я не мог установить какого-либо определенного принципа в подборе этих упражнений и в ответах к ним, последние даны в самых разнообразных видах. Так, ответ к примеру 201 дан в виде —Х2 + у2 ! к пРимеРУ 202 — в виде рациональной дроби д> ~ 7g ^; к примеру 199— в виде (jclg)»— и т- д-

Такое разнообразие в видах дробей вызывает постоянные недоумения учащихся и вопросы, на которые часто затрудняются дать ответ преподаватели; это разнообразие нежелательно и по той причине, что учащихся трудно приучить к нормальной записи рациональной дроби. Я считаю, что вид записи нередко диктуется требованиями, которые не являются «принципиально важными». Так, например, для нахождения численного значения дроби а» ?аТ\2 удобно эту дробь представить в виде^' щ и т. п. Однако это отнюдь не дает основания нарушать общий принцип записи рациональной дроби в нормальном виде.

г) В процессе преобразования более сложных рациональных выражений учащиеся начали «осознавать» конечную цель и смысл действий над так называемыми «двухъярусными дробями» и не задавали обычных вопросов «для чего это нужно?» На примере

учащиеся убедились в том, что эту дробь можно привести к виду рациональной несократимой дроби j—-j. Поэтому решение примеров с 220 по 229 (задачник Шапошникова и Вальцова, ч. I, глава IV) не вызывало среди учащихся обычных нареканий и недовольства.

Осмысленности тождественных преобразований алгебраических дробей способствовало также и то, что эту тему я проходил параллельно с повторением арифметических дробей. Чтобы провести этот параллелизм более обстоятельно, приходилось прибегать к решению упражнений из дополнительных сборников задач, так как в школьном учебнике их нет.

Следует отметить, что в процессе упражнений учащиеся обнаружили (независимо от моего указания), что сложение и вычитание алгебраических дробей является более рациональным без выделения целого многочлена из дроби, в то время как в арифметике, наоборот, неправильные дроби лучше представить в виде «смешанных чисел». Это было обнаружено при сложении двух дробей в примере: —+Отсюда, естественно, возник вопрос о том, для какой цели мною было дано понятие о выделении целого многочлена из дроби. По желанию учащихся, я организовал после прохождения темы «Алгебраические дроби» работу кружка, на котором в качестве опыта поставил вопрос о разложении рациональной дроби на элементарные, ограничившись случаем действительных целых корней знаменателя.

Я взял дроби вида: ^1+*+6 и *»+1-6 ' На примерах разложения указанных дробей учащиеся убедились в целесообразности выделения целого многочлена из дроби и познакомились с методом «произвольных значений» при определении числителей элементарных дробей. Тема вызвала со стороны учащихся живой интерес, в особенности проверка правильности разложения путем получения данной дроби из элементарных.

Перехожу к выводам

Изучение статей П. С. Александрова и С. И. Новоселова:

1) оказало мне большую помощь в практике работы при том даже небольшом опыте, какой я мог поставить, считаясь с возможностями, которые я имел (статьи П. С. Александрова и С. И. Новоселова появились в печати сравнительно недавно, а «Алгебра» С. И. Новоселова только что появилась в магазинах г. Свердловска);

2) способствовало повышению моей квалификации и разрешению целого ряда вопросов, связанных с «идейностью» преподавания математики;

3) создало все предпосылки для того, чтобы вновь критически отнестись к пройденным этапам педагогической работы и оценить их с точки зрения «современной алгебры».

Знания и навыки учащихся стали более осмысленными и «целеустремленными», несмотря на то, что мною предприняты еще только первые шаги для проверки опыта своей работы.

И, наконец, статьи П. С. Александрова и С. И. Новоселова поставили передо мной ряд новых проблем и открыли «неисчерпаемые возможности» для совершенствования педагогического мастерства в дальнейшем.

ОБ ОДНОМ ГРАФИЧЕСКОМ ПОСТРОЕНИИ π

Л. И. КРЕМЕНШТЕЙН (Киев)

1, Вопрос о приближенном вычислении тг, как известно, всегда представлял интерес и нашел свое отражение в ряде исторических задач. В частности, создано немалое количество способов приближенного графического построения.

Вопрос этот, по нашему мнению, должен найти свое место в школьном курсе математики, и притом не только в математическом кружке, но и в классе. В настоящей заметке мы хотим остановиться на одной задаче более общего характера, из которой непосредственно, как частный случай, получается чрезвычайно простое, с высокой степенью точности, графическое построение я.

В курсе тригонометрии перед разделом «Таблица натуральных значений тригонометрических функций и их логарифмы» выводятся чрезвычайно важные для приложений неравенства (при малых положительных значениях а)

(1)

(2)

(3)

которые, однако, не закрепляются потом на примерах и не получают поэтому должной оценки.

2. Прямая задача. Требуется выпрямить дугу AB окружности радиуса R, т. е. построить прямолинейный отрезок, равный по длине дуге AB (черт. 1). Примем для простоты /? = 1. Пусть центральный угол АОВ> соответствующий дуге AB, равен 2 а. Проведем хорду AB и продолжим ее за А на расстояние Л£> = ЛС= СБ = Лг .

Через точку А проведем касательную AN к окружности и из точки D, как из центра, радиусом DB сделаем засечку Е на касательной. Отрезок АЕ и будет искомым, т. е.

ÄE^ÄB.

Черт. 1.

Доказательство. При заданном построении имеем:

AB = 2 sin a; DB = DE = 3 sin a; AD = sin a;

ÂB = 2a; *$zDAE = Tt — a.

По теореме косинусов имеем:

DE2 = DA2 -f- АЕ2 -|- 2D А - АЕ - cos а.

Пусть АЕ = л*. Тогда:

пли

откуда

На основании неравенства (2) имеем:

Подставляя в (4') а вместо sin а и 2а вместо sin 2а, мы в каждом слагаемом и во всем выражении в целом допускаем ошибку не выше 3-го порядка малости по сравнению с 2а.

В результате получаем:

что и требовалось доказать.

В действительности полученный нами результат значительно точнее. В самом деле:

Заменяя в (4') sin а и sin 2а соответственно выражениями а--g- и 2а----^- , мы допускаем ошибку, не превышающую 5- го порядка малости.

После упрощений получим:

откуда, пренебрегая под корнем членом получаем:

Как видно, описанное здесь чрезвычайно простое построение отрезка, равного по длине заданной дуге, дает при малом угле достаточно точные результаты.

Обратная задача. Дан отрезок АЕ (черт. 2). Требуется построить дугу окружности радиуса R, равную по длине заданному отрезку. Для простоты примем R = l и построим окружность так, чтобы АЕ касался ее в точке А (черт. 2).

Разделим АЕ на 4 равные части: AB —

Из точки Ву как из центра, радиусом ВЕ*= ~-~-АЕ засекаем окружность в точке М. Требуется доказать, что

Пусть АЕ = у и <^Л0Л/=2р; тогда

Черт. 2.

Из /\АВМ имеем:

или

откуда

(5)

Сравнивая (4) и (5), мы замечаем, что между у и ß существует такая же зависимость, как между л: и а, т. е. с той же степенью точности 2$^zy, что и требовалось доказать.

3. Примем в прямой задаче а = -g-. Тогда Л£»-~-Ж 1,047. По формуле же (4') АЕ= 1,046, что дает относительную погрешность 3 = 0,1%. При <2 = -g получаем: АЕ^^0,7854. По формуле же (4') АЕ =0,7849. В этом случае относительная погрешность 8^0,07%.

Отсюда видно, что теоретическая точность построения в случае приведенных углов значительно выше той точности, которая может быть достигнута фактически при непосредственном построении с помощью циркуля и линейки.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О СТАТЬЕ А. И. ФЕТИСОВА «УЧЕНИЕ О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ В КУРСЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ»*

П. С. МОДЕНОВ (Москва)

Существует достаточно распространенная точка зрения (которую разделяем и мы), что преподавание тригонометрии в средней школе во многих принципиально важных вопросах находится на архаичных позициях, а потому и не стоит на должной научной высоте.

Так, вполне справедливо указывается, что школьный курс тригонометрии не уделяет должного внимания изучению тригонометрических функций, как функций числового аргумента. Справедливы и нарекания на принятый в школе учебник тригонометрии Рыбкина; эти нарекания общеизвестны (формализм, многочисленные архаизмы, отсутствие современных понятий и т. п.).

Вышедший вторым изданием новый учебник А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника идет навстречу пожеланиям прогрессивно мыслящих педагогов и научных работников; в этом учебнике научная корректность сочетается с доступностью изложения. При этом авторы нового учебника вовсе не вносят экстремистских предложений, не впадают в экстравагантность, не требуют коренной ломки школьного курса, а напротив, относятся с должным уважением к тому полезному, что выработано опытом преподавания прошлых лет.

Нужна проверка нового учебника на практике с тем, чтобы внести в него коррективы, которые подскажет эта проверка. Вместо этого естественного выхода в «Известиях АПН», № 6 в статье ст. научного сотрудника А. И. Фетисова предлагается ««взять быка за рога» и радикально «переработать» весь курс школьной тригонометрии.

В «Известиях» в предисловии действительного члена АПН проф. А. Я. Хинчина о статье дается весьма положительный отзыв:

«... каждая статья затрагивает достаточно глубокую тему принципиального значения, научно освещая ее...»

«Исследования проф. В. Л. Гончарова, проф. Н. Ф. Четверухина и А. И. Фетисова, имеющие целью оригинальное освещение отдельных важных, но мало разработанных разделов школьного курса математики, несомненно, составляют ценный вклад в методическую науку прежде всего потому, что каждая из них дышит научной свежестью».

Однако, что же предлагает А. И. Фетисов в своей статье?

Не более и не менее, как коренную ломку всего курса тригонометрии, а именно: следует предварительно дать учащимся определенный комплекс сведений: 1) по теории векторов; 2) по теории операторов; 3) по теории комплексных чисел и уже на базе этих сведений вводить тригонометрические функции.

Значит, для того чтобы учащиеся средней школы получили надлежащие сведения о тригонометрических функциях и усвоили два десятка простых формул, требуемых программой, они должны предварительно выучить 22 определения новых терминов, 18 теорем и 29 следствий из них. Вот уже подлинно это называется «стрелять из пушки по воробьям».

Рассмотрим аргументы, которые выдвигает А. И. Фетисов в защиту предлагаемой им системы изложения тригонометрии. Он утверждает, что эта система «обладает следующими неоспоримыми (курсив наш. — П. М.) преимуществами».

1. «С первых же шагов устанавливается непосредственная связь тригонометрических функций с комплексными числами».

А. И. Фетисов дает теорию комплексных чисел, а затем, вводя понятие о тригонометрических функциях, непосредственно «связывает» их с комплексными числами. Но то же самое дается и при обычном изложении, только в обратном порядке: сначала (в IX классе) изучаются тригонометрические функции, а как только вводятся (X класс) комплексные числа, они сейчас же «увязываются» с тригонометрическими функциями (тригонометрическая форма комплексного числа).

Выгода второго пути хотя бы в том, что не приходится переносить такой сравнительно трудный раздел, как «комплексные числа», из X класса в IX и не создавать нагромождения новых трудных для учащихся понятий.

2. «Все формулы получаются сразу для углов любой величины, так что никаких дальнейших обобщений, связанных с изменением величины угла, не требуется».

Некоторая экономия во времени здесь действительно есть. Но, во-первых, едва ли эта экономия покрывает хотя бы в двадцатой части «перерасход» во времени, затраченном на изучение векторов, операторов и пр. Во-вторых, можно ту же экономию получить, и не привлекая «тяжелую артиллерию» в виде векторов и операторов, а основываясь лишь на знакомом учащимся понятии проекции отрезка (см. «Тригонометрию» Берманта и Люстерника).

3. «Изучение таких понятий, как «вектор», «оператор», поможет учащимся в дальнейшем легче войти в круг идей современной математики, так как эти понятия играют большую роль в различных разделах алгебры и анализа».

На это можно возразить, что далеко не все и даже не большая часть учащихся из средней школы переходят на математические факультеты или во втузы, где с этими понятиями приходится встречаться.

* Известия Академии педагогических наук РСФСР, 1946, № 6.

Во-вторых, можно было бы назвать ряд понятий, значительно более важных с точки зрения современной математики (например, множество, группа, кольцо, поле, изоморфизм, основные понятия топологии и пр.) и имеющих несравненно большее общеобразовательное значение, чем «операторы» и «векторы».

Но ведь нельзя «объять необъятного», да и не в этом заключается цель общего среднего образования в нашей средней школе.

4. «Большая общность идей позволяет в сильной степени облегчить доказательство многих формул, что освобождает время для изучения других важных свойств тригонометрических функций, обычно не излагаемых (курсив наш. — П. М.) в школе».

Вот, оказывается, в чем дело: расширить (и довольно значительно) программу школьного курса в начале тригонометрии, сэкономить в середине (заметим, не на объеме, а на способе изложения) и еще расширить программу в конце.

И это предлагается в то время, когда и учителя, и советская общественность кричат о перегрузке учащихся, когда Министерством просвещения даются указания о возможной разгрузке программ!

Таковы «неоспоримые» аргументы А. И. Фетисова: все они кажутся нам одинаково несостоятельными.

Автор выдвигает еще один аргумент: он сам преподавал в школе по излагаемой им системе и получал хорошие результаты. Мы не имеем оснований ни верить, ни не верить автору в том, что его личный опыт преподавания курса «Элементы векторной алгебры, теории комплексных чисел и их применение к тригонометрии» дал должные результаты. Быть может, эти результаты относятся за счет личного педагогического таланта А. И. Фетисова. Мы не можем поверить и даже представить себе, чтобы курс тригонометрии, загроможденный экскурсами в ряд других математических дисциплин, осложненный целым арсеналом новых понятий, терминов и теорем, усваивался бы учащимися легче и прочнее, чем принятый в существующей программе.

Итак, мы разобрали аргументы, выдвинутые А. И. Фетисовым в пользу предлагаемой им реформы, и считаем построение курса тригонометрии в средней школе по плану А. И. Фетисова недопустимым по следующим мотивам.

Во-первых, такое построение, если даже и провести его научно корректно (чего нельзя сказать об изложении А. И. Фетисова), приводит к нагромождению целого ряда понятий, вовсе не так уж органически связанных между собой. Учащемуся приходится преодолевать сразу несколько трудностей, что является явно антипедагогическим. Весьма сомнительно, что в руках даже опытного педагога мог бы получиться при этом положительный результат.

Во-вторых, в изложении автора геометрические выводы заменяются формальным механизмом. Это приведет к формальному восприятию учащимися сведений по тригонометрии, т. е. послужит источником формализма.

В-третьих, курс тригонометрии средней школы можно разделить на две части.В первую часть,обычно именуемую «гониометрией», включается изучение тригонометрических функций и соотношений между ними. Вторая часть — приложения теории тригонометрических функций к геометрии. В последнее время некоторые «методисты» пытаются приклеить ярлык безидейности ко второй части, однако, уничтожить практическую значимость этой части все же не в их силах. Мы считаем, что обе части для школьников имеют одинаково важное значение: в изложении А. И. Фетисова прикладная часть тригонометрии (к геометрии) пострадает опять-таки из-за формального изложения «гониометрии».

В-четвертых, не следует вводить понятие комплексного числа в связи с рассмотрением преобразований плоскости. Здесь автор впадает в другую крайность, подменяя вопрос алгебраический — геометрическим. На связь понятий комплексного числа и преобразования плоскости указать полезно, но на первый план должно быть выдвинуто понятие числа. Автор много пишет о том, что при его изложении учащемуся попутно даются новые сведения. А разве идея обобщения понятия числа, идея изоморфизма, которые по существу хорошо изложить здесь (или повторить, если эти понятия уже известны учащимся), являются менее полезными? Именно в таком плане преподносятся учащимся сведения о натуральных числах, числах целых, рациональных, иррациональных. И вдруг — ни с того, ни с сего операторы(?!), называемые комплексными числами. В превосходно написанном учебнике высшей алгебры проф. А. Г. Курош отказывается (и с полным основанием!) от того, чтобы рассматривать комплексное число как оператор и вводит это понятие именно с точки зрения обобщения понятия числа (считаем, что и методически и научно это правильно!)

Преобразования вещь хорошая, но тогда, когда они «у места».

Таким образом, сообщая учащимся попутно с изложением тригонометрии понятие комплексного числа, А. И. Фетисов допускает (попутно же) еще одну ошибку педагогического порядка.

Мы не сомневаемся в том, что предложения автора, если их осуществить, внесут сумбур в головы учащихся и принесут прямой вред школе; учащиеся толком не будут знать ни тригонометрии, ни векторной алгебры, ни учения о комплексных числах, ни «теории операторов».

Во всем предыдущем изложении мы стояли на принципиальной точке зрения и старались убедить читателей в полной неприемлемости изложения тригонометрии (вернее, ряда экскурсов в другие науки по поводу тригонометрии), предлагаемого А. И. Фетисовым.

Но А. И. Фетисов не только рекомендует принять его систему изложения «тригонометрии», а в своем конспекте показывает, как это сделать.

Мы и тут расходимся с А. И. Фетисовым. Даже приняв его концепцию, мы не можем принять ее реализацию в изложении самого автора. Дело в том, что предлагаемый автором конспект имеет много фактических ошибок и погрешностей.

Статья начинается с введения, в котором высказываются общие соображения о преподавании тригонометрии (с которыми, как отмечалось выше, мы не согласны).

В части, относящейся к тригонометрическим уравнениям, автор, между прочим, пишет: «...а например, уравнение вида tgx = х, встречающееся в математической теории упругости, наш учащийся решить не сможет...», интересно знать, как его решит сам автор!

Затем автор переходит к изложению векторной алгебры. К сожалению, в этом изложении допущены прямые ошибки. Приведем несколько примеров.

Стр. 99 — 100. Понятие нуль-вектора дано после определения равенства и суммы двух векторов (?!)

Между тем, если определять сумму двух векторов, не вводя понятия нуль-вектора, то придется сказать, что операция сложения не всегда выполнима (если соответствующая ломаная будет замкнута). Если рассматривать множество векторов по отношению к операции сложения, то это множество есть абе-

лева группа, в которой роль единицы играет нуль-вектор.

Почему автор вводит единицу группы после рассмотрения операции сложения, нам' непонятно. Такой подход неестественный, ненаучный.

Стр. 102. В сноске дается, повидимому, определение линейного оператора (автор не говорит, что «линейного»!)

Вот, что сказано в сноске: с Понятие «оператор> в современной математике определяет тот случай функциональной зависимости (главным образом между нечисловыми объектами), для которой выполняются условия:

1) и(а + Ъ) = и(а) + и(Ьу

2) и (та) = та (я),

где и — символ оператора (а что же такое сам оператор?); а и Ь — данные объекты (какие?!), m — действительное* число. Этими условиями оправдывается название «умножения» для операции применения оператора к какому-нибудь объекту». Пусть судит читатель о том, сколько «ясности» внесло это примечание автора.

Стр. 103. Неверно сформулировано условие линейной зависимости двух векторов; у автора сказано: «при m и п не равных нулю* (надо: при m и л не равных нулю одновременно). Подобные неточности весьма нежелательны.

Стр. 111. «Тогда по определению степени с отрицательным показателем z m = ».

Такого определения автор не приводил. Конечно» в цитированной фразе можно усмотреть само определение. Однако такая формулировка определений безусловно антипедагогична.

Нельзя считать, что понятие целой отрицательной степени известно из алгебры; ведь в алгебре (до изучения комплексных чисел) вводится понятие целой отрицательной степени для действительного числа. Надо было сказать, что это определение переносится и на случай комплексных чисел. Такая оговорка абсолютно необходима, так как в ней содержится определение целой отрицательной степени комплексного числа.

На стр. 119 довольно странно выглядят приложения всей изложенной « еории операторов» к определениям тригонометрических функций: автор определяет sin <о и cos со в связи с рассмотрением комплексного числа, соответствующего «z-оператору»; на той же странице (в конце) говорится, что sin» и cos <о—проекции радиуса вектора, а еще ранее сказано (притом совершенно ясно—см. стр. 116;: «проекцией вектора на ось будем называть вектор...» (кстати, проекцией вектора принято называть число, а то, что автор называет проекцией, обычно называют компонентой). Таким образом получается, что sin со и cos»—векторы! Позволительно спросить: уж не это ли место «дышит научной свежестью»?

Стр. 123. «Тангенс монотонно возрастает в каждом интервале» (?!) Надо было указать интервалы, в которых tg x — возрастающая функция. Такими интервалами являются, например, следующие:

Ведь автор ясно говорит: «тангенс возрастает в каждом интервале». Это неверно Возьмем, например интервал (0, я) и следующие значении д: из этого интервала:

х\ =0, х2= 4 ;

имеем *1<С*2»'

однако lg*i>tg*i,

так как tg х1 = tg 0 = 0, tg хг = tg-^— = —1.

Ту же ошибку делает автор, утверждая, что котангенс убывает в каждом интервале. К сожалению, указанная ошибка распространена среди учеников и даже среди некоторых преподавателей средней школы; автор эту ошибку повторил. Часто можно слышать такие ответы от учащихся: «тангенс всегда растет», «котангенс всегда убывает». Это, как видно из приведенных выше рассуждений, — неверно.

Причиной ошибки, на наш взгляд, является то, что «возрастание» и «убывание» функции не определяют ученикам строго, считая эти понятия чуть ли не очевидными. После того как дано строгое определение (функция f(x) называется возрастающей на множестве М> если для двух любых Х\ и jca, входящих в М% из неравенства Xi<x% следует /йх/м) легко понять неправильность указанных А. И, Фетисовым утверждений.

Стр. 115. «Сумма квадратов действительных чисел всегда положительна». Досадная неточность! В самом деле: О2 + О2 = 0.

Подобные неточности автор допускает и в других местах: нет оговорки b ф0 (стр. 101, 103), гфО (стр. 109, ПО, 111). тфО (стр. 103) и т. д.

Список погрешностей и ошибок можно было бы продолжить.

Перейдем к характеристике стиля автора. Здесь достаточно будет привести выдержки из статьи.

Стр. 99. «Возьмем векторы а и b и составим их сумму, согласно определению. Если теперь от этой же начальной точки (?!) сначала отложить вектор b и присоединить (?!) к нему вектор а, то в силу равенства и параллельности векторов (каких?) мы получим параллелограм, диагональ (какая?—к тому же диагональ не есть вектор!) которого будет суммой векторов и в том, и в другом случае».

Стр. 106. «Положим z = [г, to], и дана сумма

AB + ВС ==АС».

Стр. 109. «... фигура параллелограма ...»

Стр. 117. «Сложению и вычитанию операторов в геометрическом изображении соответствует сложение и вычитание отображающих их радиусов-векторов. Для получения в геометрическом изображении исходим из того обстоятельства, что произведение должно относиться к множимому так, как множитель относится к единице. Это значит, что вектор-произведение вместе с вектором-множимым определяет треугольник, подобный тому, который вектор-множитель образует с основным ортом. Соответствующее построение дано на чертеже 20 (трудно что-нибудь понять!).

Стр. 117. «...Умножая фигуру на число k при центре А...»

Стр. 118. «Величины г, »... однозначно определяют положение точки аффикса на плоскости. Поэтому они называются также полярными координатами» (Почему же все-таки «полярными»?)

Стр. 132. «...изложение многообразно увязывалось... и своеобразное переплетение... разнообразных идей...» (как все это однообразно!)

* А как быть, например, с линейным комплексным пространством?

Список этот можно было бы продолжить.

Следует заметить, что идея построения теории комплексных чисел и тригонометрических функций с операторной точки зрения не является новой. Достаточно обратиться к книге В. Швана «Элементарная геометрия», изданной в русском переводе Учпедгизом в 1937 г,, хотя в списке литературы книга Швана Л. И Фетисовым не указана.

Нам хочется в заключение привести выдержку из статьи проф. А. И. Маркушевича (журнал Математика в школе», 1947, № 1): «создание хорошего учебника для средней школы (по крайней мере, в области математики) непременно предполагает и труд ученого математика, живущего идеями современной науки и преданного интересам математического просвещения в своей стране, и труд опытного, образованного и вдумчивого преподавателя средней школы» Мы считаем, что те же сочетания должны быть при разрешении методических вопросов преподавания в школе. Статья А. И. Фетисова убеждает нас в том, что этого бесспорного тезиса ее автор не придерживался.

О КНИГЕ В. Л. ГОНЧАРОВА «АРИФМЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ И ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОПЕДЕВТИКА»

(Академия педагогических наук РСФСР, педагогическая библиотека учителя, 1947)

С. И. НОВОСЕЛОВ (Москва)

Как показывает название, книга проф. В. Л. Гончарова посвящена двум вопросам: арифметическим упражнениям и функциональной пропедевтике. Автор рассматривает эти два вопроса слитно, мы же в настоящей статье считаем правильным остановиться на них раздельно.

Автор исходит из правильных положений: лица, оканчивающие школу, должны обладать хорошими вычислительными навыками, должны уметь обращаться с приближенными числами, рационально производить вычисления—словом, обладать надлежащей вычислительной культурой. Автор вполне Справедливо считает губительным отрыв формулы от ее числового содержания (см. предисловие). Это бесспорно, и здесь нет ничего нового. Уже давно шла и идет речь о необходимости вырабатывать у учащихся твердые вычислительные навыки. Однако дэ настоящего времени эти навыки оставляют желать лучшего. По указанной причине надо приветствовать всякие конкретные предложения, которые могут способствовать изжитию указанного недостатка. В этом отношении книга проф. Гончарова содержит материал, интересный и полезный для школы. Здесь учитель найдет изложение таких важных вопросов, как, например, способы проверки арифметических действий, действия с приближенными числами, правила округления, приемы сокращенного умножения (правило Утрехта). Наконец, автор дает образцы компактной записи действий в виде таблиц и предлагает разнообразные вычислительные упражнения. Нельзя не согласиться и с теми совершенно очевидными положениями, что вычислительвые упражнения не должны кончаться с окончанием курса арифметики и что нахождение численных значений алгебраических выражений дает богатый материал для этих упражнений.

Выработка хороших вычислительных навыков достигается комбинированием различных средств (например, непосредственные вычисления, устный счет, решение текстовых задач с надлежаще подобранными данными), и применение упражнений какого-либо одного типа не является достаточным. Поэтому упражнения, рекомендуемые автором, не могут сами по себе полностью решить задачу выработки вычислительных навыков, это лишь один из возможных видов упражнений.

В чисто методическом вопросе о практической реализации упражнений в том виде, в каком они даются автором, есть много неясного и по меньшей мере спорного. Книга содержит сравнительно небольшое число достаточно громоздких и трудоемких упражнений. Мы полагаем, что вычислительные упражнения должны носить характер упорной систематической работы, проводимой повседневно с искусно подобранным тренировочным материалом и в тесной связи с изучаемыми программными темами. Мы сомневаемся в эффективности сравнительно небольшого числа громоздких упражнений, проводимых эпизодически. Без повседневной тренировки сложные, эпизодически проводимые упражнения, оторванные от текущего материала, внесут сумбур, вызовут непроизводительную трату времени и, в конечном счете, будут забыты. Приобретенные вычислительные навыки должны, действительно,сделаться достоянием учащихся. Поэтому мы считаем, что применение рекомендуемых автором упражнений «в чистом виде» явилось бы педагогически ошибочным шагом. Здесь мы встречаемся с одним из важных методических вопросов, однако, в книге мы не находим его решения. И довольно странно звучат слова проф. Арнольда (см. предисловие, стр. 5): «Все это облегчает включение предлагаемых автором упражнений — до некоторой степени независимо от повседневной работы над курсом — в практику преподавания в порядке эпизодически проводимых отдельных работ...» (курсив наш. —С. Н.). Странно видеть достоинство упражнений в их независимости от повседневной работы над курсом, в этом естественно видеть недостаток.

Итак, в отношении арифметических упражнений мы считаем, что творчески работающий учитель (при строго критическом подходе) сможет отделить порочные педагогические установки от того, что является полезным и нужным, и после надлежащей методической обработки применить последнее в практике.

Теперь обратимся к другой стороне дела: к функциональной пропедевтике. Мы считаем, что в этой части книга проф. В. Л. Гончарова должна встретить категорические возражения. Мы остановимся предварительно на некоторых соображениях общего характера.

Весьма грубо различные педагогические воззрения можно классифицировать на два направления.

Первый путь кладет в основу систематическое изучение курса, в котором развитие идей происходит в строгой и стройной последовательности

(в соответствии с возможностями данного возраста).

Второй путь выдвигает на первый план методы, скорее разрушающие систематичность, чем ей способствующие. Здесь применяются различные методические приемы. Так, например, путем всякого рода «эвристических изысканий», <предварительных рассмотрений», «пропедевтических предвосхищений», «свободных повествований» и т. п., производится накопление материала, а учащимся предлагается «открывать» давно открытые истины. Здесь нередко применяется ничем не оправдываемый концентризм, когда сначала учащихся знакомят с предметом в «нестрогом изложении», а затем вскоре переучивают то же самое, но в «строгом изложении». Сюда же можно отнести и тот прием, когда учащимся предлагают «вслепую», не видя конечной цели, с большой затратой энергии проделывать упражнения, которые легко и просто будут решаться впоследствии.

Нашей отечественной методике всегда был свойственен первый путь. И в настоящее время наша школа развивается по этому пути, гарантирующему твердые систематические знания, преподанные на должной научной основе. Этот путь указывается и в правительственных документах, которыми руководствуется школа. Как известно, было течение, пытавшееся направить школу по второму пути. Здесь большую роль сыграло некритическое подражание зарубежным образцам (всякие «лабораторные», «комплексные», «дальтоновские» и т. п. методы). Всем известно, что это направление своевременно подверглось резкому, вполне справедливому осуждению.

Не секрет, что в своих крайних проявлениях второй путь нередко приводит к антипедагогическим извращениям, где стройность, свойственная истинной науке, заменяется сумбурными, истерическими вывихами.

Обычное возражение, что якобы первый путь закрывает, а второй открывает возможность к самостоятельной работе учащихся, — не выдерживает критики. Неужели можно всерьез считать математику настолько бедной идеями, методами и фактами, что при систематическом изложении преподавателем основного программного материала уже ничего не остается на долю самостоятельной работы учащихся? Разумеется, это не так, и даже в самых элементарных своих разделах математика содержит неисчерпаемые возможности к развитию творческой мысли учащихся.

Теперь обратимся к пропедевтике. Если при изучении какого-либо раздела оказываются плодотворными методы, которые получат развитие в дальнейшем, и если эти методы акцентируются преподавателем, то такую «естественную пропедевтику» следует только приветствовать. Заметим, что по такому естественному пути с успехом может идти и функциональная пропедевтика (наши соображения по этому вопросу изложены в нашей статье «Учение о функциях в средней школе» журнал «Математика в школе» 5 — 6, 1946).

Никто не возражает и против концентризма, когда он обусловлен возрастными особенностями учащихся (например, начальные сведения по геометрии в курсе арифметики).

Однако характерные для второго пути пропедевтические мероприятия, разрушающие систематичность изложения, привлекаемые как средство изучения основного материала, способны принести печальные последствия. Здесь, разумеется, надо сделать оговорку: в сложном педагогическом процессе не всегда возможно указать определенные стандарты, н разумные пропедевтические приемы, продиктованные спецификой изучаемого вопроса, в отдельных случаях могут быть полезными.

Перейдем к книге проф. Гончарова. Основная мысль автора заключается в следующем: вычисляются отдельные значения данного алгебраического выражения, и затем наносятся соответствующие точки на координатную плоскость; резкие отклонения отдельных точек от намечающейся плавной линии указывают на погрешность в вычислениях. В предлагаемых упражнениях автор пользуется далеко идущими графическими интерпретациями. Так, например, предлагается построение (по точкам) линий второго порядка по их каноническим уравнениям; в связи с решением систем уравнений рассматривается пересечение прямой и окружности, заданных уравнениями; предлагается строить графики функции, имеющих геометрическое и физическое происхождение, и наконец, строятся графики линий, заданных параметрически и в полярных координатах.

Мы считаем, что рекомендуемые автором упражнения неприемлемы для школы по следующим соображениям.

Во-первых упражнения по степени трудности не соответствуют среднему уровню развития учащихся, для которых они предназначаются (VI-VIII классы). Мы предоставляем учителю-практику судить, насколько легко довести до сознания учащихся VII класса (1-я четверть) построение графика функции

(упражнение 7)

на «вырезке из координатной сетки» в узком интервале, да еще с различными масштабами по осям координат.

Во-вторых, предлагаемые упражнения, в том виде, как они рекомендуются, могут послужить источником формализма в знаниях учащихся. В самом деле, если учащимся не будет ясна конечная цель упражнений, если соответствующий метод не сделается их достоянием, то что же иное, кроме формализма, повлекут за собой громоздкие, трудные для данного возраста, эпизодически проводимые упражнения, истинное назначение которых скрыто от учащихся? Это противоречит основным задачам школы— дать учащимся сведения и навыки, твердо усвоенные и до конца осознанные.

К тому же следует заметить, что функциональная пропедевтика, в той форме, как она мыслится автором, явится «инородным телом», вносящим сумбур и усугубляющим напряженность программы VI, VII и VIII классов, и без того насыщенной важным и новым для учащихся материалом.

Можно было бы поставить перед собой следующую методическую задачу: довести учащихся до полного понимания рекомендуемых упражнений, до свободного овладения соответствующими методами, но это потребовало бы коренной перестройки программы, при которой «функциональное начало» получило бы непомерное развитие за счет других, не менее важных вопросов; это создало бы дисгармонию и привело бы лишь к узкому, однобокому пониманию математики. Итак, абстрактно допустив, что указанная методическая задача и может быть решена, мы считаем, что ее решение в положительном смысле принесло бы самые отрицательные результаты.

Проповедь «функционального начала» имеет полувековую давность, и эксцессы восторженных его поклонников уже перестали кого-либо удивлять своей эксцентричностью. «Функциональный набат» есть крайность, равно как и отрицание «функционального начала». Со времени возникновения «клейновского движения» уже накопились и большой опыт, и обширная литература, так что можно отделить действительно полезное от крайностей.

В-третьих, мы не считаем, даже с точки зрения интересов функциональной пропедевтики, упражнения, рекомендуемые проф. В. Л. Гончаровым, наилучшими. В самом деле, таблица значений, в отрыве от исследования свойств функции, не может служить основанием для каких-либо общих выводов. Строго говоря, сама по себе таблица (без знания свойств функции) не может даже служить основанием для построения графика. Естественно устанавливать «облик графика», исходя из свойств функции, а таблица значений служит для уточнения линии. Таким образом, как с точки зрения общеобразовательной, так и в интересах самой математики несравненно более важным представляется научить учащихся исследовать свойства функций. Построение графиков лишь по точкам, проводимое в виде пропедевтических упражнений, может укрепить учащихся в мысли, что все исследование функции сводится к построению отдельных точек с последующим соединением их плавной линией. Такое впечатление получат учащиеся от первой встречи с графиками, а это впечатление является наиболее стойким. Это может лишь приучить делать необоснованные умозаключения.

Такая пропедевтика опасна как мешающая воспитанию правильного логического мышления учащихся. Составление таблицы и использование ее для построения графика естественно, когда учащиеся ознакомятся с понятиями функции и графика в систематическом изложении. Но тогда зачем создавать непомерные трудности пропедевтикой, если сам вопрос (построение по точкам) не имеет первостепенной важности и в свое время в систематическом изложении не вызовет принципиальных затруднений?

Остановимся еще на нескольких примерах.

К числу моментов, разрушающих систематичность изложения, мы относим графическую интерпретацию решения системы линейных уравнений (даваемую в порядке пропедевтики), а также упражнения на сравнение радикалов. В VIII классе эти упражнения естественны при систематическом прохождении соответствующих вопросов, но речь идет о пропедевтике, относимой автором к VII классу (см. таблицу в конце книги с указанием классов и четвертей). У ученика, естественно, возникает недоумение, зачем надо в VIII классе доказывать (на основе подобия треугольников), что график линейной функции есть прямая линия, если в этом его убедили в VII классе. Ученик будет недоумевать, зачем надо вводить определения действий над иррациональными числами, если он уже оперировал с этими числами в VII классе. Придется говорить, что тогда это было только некое «пропедевтическое наведение», а вот теперь дается соответствующее обоснование. Мы не только сомневаемся в правильности таких педагогических приемов, но считаем их порочными, если в том нет никакой необходимости.

Вот еще один пример. Имея формулу, выражающую площадь фигуры как функцию некоторого линейного элемента, можно строить график, откладывая числовое значение площади в виде ординаты. Об этом опять естественно говорить после систематического изучения понятия функции; но мы сомневаемся, что ученик осознает сущность дела, когда подобные упражнения даются в порядке пропедевтики.

В упражнении 9, предназначаемом для второй четверти VII класса, автор рекомендует построение графиков функции f+g, f — g, fg'JT* если Функции / и g заданы графически и их значения находятся измерением, По самой своей постановке этот вопрос вряд ли доступен учащимся VII класса, да еще в первом полугодии. В лучшем случае, дело сведется к бессознательному выполнению (неизвестно зачем,/ определенных манипуляций. Очевидно, в развитие своей мысли, высказанной в предисловии: «В иных случаях вполне возможно «осмыслить» с помощью увлекательного условия и самый текст упражнения» — автор пишет, что пропедевтика упражнения 9 может быть оживлена: «Заданы графически (по годам) продукция х завода А и продукция у завода В; сделать график продукции, доставляемой совместно обоими заводами (х+у)...> Мы считаем, что нарочито придуманная «занимательность» ничуть не занимательна. В самом деле, мы часто встречаем графики и диаграммы в книгах, газетах и журналах, обычно, графики приводятся вместе с числовыми данными, но мы не встречали, чтобы для большей увлекательности читателю предлагалось находить числовые данные из диаграммы при помощи измерения. Мы не отрицаем пользу уметь обращаться с функциями, заданными графически, но не в VII классе, не в порядке пропедевтики и без «оживления» нереальными интерпретациями.

В статье проф. В. Л. Гончарова, помещенной в № 6 «Известий АПН» под тем же названием, что и книга, автор описывает проведенные им эксперименты; результаты этих экспериментов автор считает благоприятными. В предисловии к книге редактор проф. Арнольд утверждает, что книга есть результат «экспериментально проверенной работы». Мы считаем, что оптимистические выводы являются преждевременными. Упражнения, эпизодически проведенные автором, в силу своей новизны, действительно могли внести оживление в жизнь класса (появление нового лица, необычное задание и т. п.). Однако мы считаем, что получится иная картина, если попытаться эти упражнения ввести в повседневную практику массовой школы. Мы убеждены, что именно здесь и скажутся те отрицательные стороны дела, о которых говорилось выше.

Итак, мы считаем, что в части арифметических упражнений книга содержит много полезного и свежего материала, хотя с методическими установками автора невозможно согласиться; от функциональной же пропедевтики, в том виде как ее мыслит автор книги, следует категорически предостеречь школу.

Книга проф. В. Л. Гончарова содержит сравнительно небольшое число упражнений «специального назначения», и нет оснований опасаться, что она способна создать какое-либо течение в методике математики. Однако ее применение сможет внести в педагогический процесс диссонансы, свойственные пути (условно названному выше вторым), совершенно чуждому установившимся лучшим традициям нашей отечественной методики.

ХРОНИКА

ВАСИЛИЙ НИКИТИЧ ДЕПУТАТОВ

Проф. С. П. ФИНИКОВ (Москва)

7 ноября 1947 г, математическая общественность проводила в последний путь профессора Василия Никитича Депутатова. Едва ли можно найти математика, который имел бы так много близких друзей и о котором столько товарищей сохранили теплую, благодарную память, ничем не омраченные воспоминания за десятки лет...

Необычен был жизненный путь Василия Никитича, и вряд ли все те, кто сталкивался с ним в его широких интересах, представляли себе, какую школу жизни он прошел.

По архивной справке родившийся 1 марта 1892 г. мальчик Василий Григорьев уже 5 марта был сдан в Московский Воспитательный Дом, а еще через 20 дней отправлен в Рузский уезд на воспитание к кормилице. В 1901 г. он уже был формально усыновлен крестьянином деревни Булыгиной Никитей Ивановичем Депутатовым. С этой семьей В. Н. до конца своих дней сохранил родственные связи.

Одиннадцати лет он был огдан на скорняжную фабрику Кондратьева в Замоскворечье. Здесь он застал вполне патриархальные нравы старозаветной фабрики: еда из общего котла, спанье на козлах в повалку и тяжелый труд. В этой тяжелой жизни мальчик тянулся к свету. Еще в деревне он прошел школу. В Москве в его руки случайно попадает задачник по арифметике, и будущий математик с жаром решает одну задачу за другой. К сожалению, скоро пошли задачи на дроби, и никто не мог сказать, что означают две цифры, разделенные чертой. Бегая на посылках в Замоскворечье, он достает копеечные книжки, находит библиотеку общества трезвости. Здесь он узнает о существовании курсов для рабочих и вот каждый вечер после работы он снова в школе. Благодарную память о своих учителях он пронес через всю жизнь.

Занятия в вечерней школе не могли наладиться. Осенний набор к весне быстро таял, а осенью приходилось начинать сначала. Через два года ему нечего было там делать; тогда назревает большой проект — поступить на курсы подготовки к экзамену за полный курс средней школы, держать экстерном экзамен на аттестат зрелости, который открывает двери в университет. Тайком от приемных родителей он бросает фабрику. Ему подыскали работу в библиотеке Курской ж. д., и из 10 руб. своего жалования 5 рублей он отдает за право учения на подготовительных курсах. Весной 1913 г. Василий Никитич блестяще выдерживает экзамен на аттестат зрелости. Из 84 приступивших к экзаменам только 6 были допущены к устным испытаниям, только 3 получили аттестат зрелости.

Не могло быть колебания в выборе факультета. Василий Никитич входит в Московский университет студентом математического отделения физико-математического факультета.

В то время на математическом факультете пользовался огромным влиянием и авторитетом Николай Николаевич Лузин. Он только что защитил докторскую диссертацию, вошел молодым профессором в университет и захватывал в сферу своего влияния всех сколько-нибудь одаренных студентов.

При необыкновенном уменье видеть людей он не мог пропустить Василия Никитича, и, действительно, мы видим завязавшиеся между ними тесные отношения. Когда из-за разрухи 1918 — 1919 гг. В. Н. поехал народным учителем в Воронежскую губернию, Николай Николаевич Лузин помог ему вернуться в высшую школу, пригласил его ассистентом в свою кафедру математики в Иваново-Вознесенский политехнический институт и после возвращения в Москву (в 1922 г.) в бытность В. Н. в аспирантуре поддерживал с ним личные и научные отношения.

В Институте математики и в университете В. Н. много вынес из школы математического анализа, но научно работать он стал в области геометрии, в новой тогда школе проективной геометрии Нила Александровича Глаголева. Здесь была снова поставлена задача, еще хорошо сформулированная А. К. Власовым, о штаудтовской теории вурфов. Уже была проведена параллель между четверкой точек на прямой и действительным числом (например, сложное отношение их), но что же можно было поставить в соответствие пятерке точек на плоскости? Коллинеация позволила дать произвольное расположение четырем точкам, пятая займет строго опре-

деленное положение. Василий Никитич построил теорию «плоских вурфов» (мемуар в 25-м томе «Математического сборника»). Он показал, что для плоских вурфов (пятерка точек на плоскости) можно построить теорию четырех арифметических действий, вполне аналогичную теории линейных вурфов, и эта теория позволяет поставить в соответствие плоскому вурфу комплексное число. Этот мемуар Василия Никитича послужил отправной точкой целого ряда мемуаров из школы Н. А. Глаголева и, наконец, докторской диссертации самого Нила Александровича, где эта проблема трактована во всей широте. Но сам Василий Никитич не мог удержаться в рамках одного направления. Может быть, наиболее характерным для него была широта его интересов. Он с увлечением принимал участие в моем семинаре по дифференциальной геометрии, всегда живо отзываясь на всякие общие предприятия, вроде реферирования литературы за последние годы. Я знаю, что в последние месяцы своей жизни он с интересом работал над вопросом геометрического качания кривой. Он собирался прийти ко мне и поделиться результатами, но судьба решила иначе.

В 1926 г., уезжая в научную командировку, я попросил Василия Никитича заменить меня в Электромашиностроительном институте. Он проработал там 10 лет, и, когда мне приходилось присутствовать на его лекциях, я поражался неторопливой речи, мастерству и ясности, с которыми он излагал предмет. Как материальный след этой работы, остался его курс лекций по теории рядов, с незаурядной строгостью и простотой трактующий эту теорию для студентов-электротехников, но еще важнее его лекции по аксиоматике геометрии, которые он читал для студентов Педагогического института. Они были напечатаны в журнале «Математика в школе» и долгое время были единственным доступным по изложению пособием по курсу оснований геометрии.

В. Н. работал с 1938 г. в Московском областном педагогическом институте, где читал курсы аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и оснований геометрии. Эти курсы всегда были тщательно подготовлены В. Н., научно строги по изложению и доступны для студентов. Кроме того, в институте В. Н. Депутатов вел специальный геометрический семинар по теории измерения геометрических величин.

С осени 1947 г. В. Н. начал работать по совместительству в Московском городском институте усовершенствования учителей, где читал курс геометрии для учителей V — VII классов и курс проективной геометрии для учителей VIII — X классов.

Неожиданная смерть прервала многостороннюю научно-педагогическую деятельность Василия Никитича Депутатова. Его жизнь оборвалась, когда он все ближе подходил к вопросам преподавания математики и многое здесь мог бы сделать.

ОТ РЕДАКЦИИ.

Редакция просит:

1) преп. Алексеева, вернувшегося из южной группы войск;

2) уч. 9 кл. Чеботарева,

приславших письма на имя редактора журнала сообщить свои адреса.

Редакция просит всех т. т., присылающих письма в редакцию, непременно писать свой адрес в самом письме, а также писать разборчиво фамилию. Много писем, полученных редакцией, остались без ответа именно в силу несоблюдения указанных условий.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ в № 2 за 1948 год

№ 21

Решить уравнение:

хъ _ b) x + b « О

Решение. Раскрыв скобки, представим уравнение в виде:

х* — Ъх — -/Fx + 6=0

или:

Отсюда:

№ 22

Решить систему уравнений:

(1) (2)

(3) (4)

Решение. Из (2) находим:

' = хг-_У-7 (5)

Подставив из (5) в (3) и (4), получим:

ххЪ +у — 2xz = 8 (6)

xzi + 2y-. Злг* = 36 (7)

Из (1) определяем .уев* — 2 и подставляем в (6) и (7):

xz* + x — 2 — 2л* = 8 ДГ2ГЗ + 2л; — 4 — 3xz = 36

Отсюда:

— 2z+ 1) = 10

je (гЗ — Зг + 2) = 40

или:

.t(r-l)2=:10 (8)

x (z -I)» (г + 2) = 40 (9J

Из (8) заключаем, что х ф 0 и z ^ 1. Поэтому, разделив (9) на (8), найдем:

Теперь из (8) получим:

x = 10,

и из (1) и (5):

_у =х 8; / = 5.

№ 23

Доказать, что дробь

при всяком целом значении t несократима.

Решение. Задача допускает различные варианты решений. Приведем наиболее короткое.

Если 14/+ 3 и 21r-f-4 имеют какой-либо общий множитель, то он должен быть множителем и выражения

3(14/ + 3) — 2(21г + 4),

которое, как легко убедиться, раскрыв скобки, равно 1. Отсюда следует, что 14г-{-3 и 21* -f-4 имеют общим множителем только 1, т.е. они — числа взаимно простые, и, значит, данная дробь несократима.

№ 24

Разложить на множители выражение:

Решение. Преобразовываем последовательно данное выражение:

Итак:

№ 25

Решить систему уравнений:

(1)

(2) (3)

Решение. Представив (2) в виде

y + z^3xt (4)

возведем обе части в куб и вычтем из результата (1> Получим:

(V + 2)3 —_уЗ_гЗ;^ 27*3 _ 7дЗ.

или:

3j»Cy + *) — 20*3 — 0 (5)

Заменив в (Ъ) y + z из (4), получим:

9xyZ — 20*3 ass О

jt(9y* — 20jc*) = 0 (6)

Отсюда:

1)*,=а0.

Тогда данные уравнения примут вид:

y* + z==0 (7)

у + *=0 (8)

.у= 2. (9)

Из (8) и (9) находим:

y,= l 2Г1 = — 1

2) 9yz —20x2 = 0 (10)

Уравнение (3) запишем в виде

y — z=ï2~x. (11)

Решив систему уравнений (4) и (11) относительно у и z% найдем:

y=zx+l; z — 2x—\. (12)

Подставив найденные значения у и z в (10), получим уравнение

9 (je +1) (2* — 1 ) — 20^2 « о

или по упрощении

2x2-9jc + 9 = 0.

Отсюда найдем:

и соответственно из (12):

№ 26

Решишь уравнение

tg Ъх~\%хА% (60е + л:) = 0. (1)

Решение. По формуле для тройного аргумента имеем:

(Формулу легко, конечно, вывести, воспользовавшись для tg (2л; •+• je) формулой тангенса суммы.)

Правую часть равенства можно представить в таком виде

Применив формулы для тангенса суммы и разности двух аргументов, получим:

tg3x = tg x tg (60е + x).\g (60° - x). (2)

Подставив найденное выражение (2) для tg3.v в (1), будем иметь:

Отсюда:

№ 27

Решить систему уравнений

(1) (2) (3)

Решение. Отметив три системы тривиальных решений, именно, когда два из неизвестных равны нулю, а третье является произвольным числом, в дальнейшем будем предполагать, что ни одно из неизвестных не равно нулю. Удвоив обе части уравнения (2) и разделив каждое из них, соответственно, на yzy xz и ху, будем иметь:

(4)

(5)

(6)

Сложив эти три уравнения, найдем (по сокращении на 2):

(7)

Вычтя из (7) поочередно (4), (5) и (6), получим:

(8)

Отсюда, перемножив эти уравнения, найдем:

(9)

Наконец, деля (9) поочередно на каждое из уравнений (8), получим:

Знаки могут быть взяты лишь в таких комбинациях: или все три неизвестных положительны, или одно положительно, а два другие отрицательны. Отсюда имеем 4 различных системы решения.

№ 28

Найти числа ab и Ьа, квадраты которых соответственно равны aed и аса. Решение. По условию имеем:

(10а + *)2 sa 100а +\0c + d (1)

(106 + а)а=» lOOd + Юс + а. (2)

Вычтя (2) из (1), получим, по сокращении на 99: а2 — б2 = а~- d (3)

Так как 322= 1024, т. е. является уже четырехзначным числом, тоа<3. Но квадрат целого числа (см. уравнение 2) не может оканчиваться ни на 2, ни на 3. Значит а = 1. Тогда подстановка в (3) дает b*=d.

Так как d — число однозначное, то b может быть равно лишь 1, 2 или 3(0*^0). Испытывая эти значения, находим числа 11, 12 и 13, которые все удовлетворяют требованиям задачи. Действительно:

№ 29

Найти числа abed, если известно, что сумма такого числа с обращенным deba в 10 раз больше самого числа abed.

Решение. Из условия задачи следует, что число deba в 9 раз больше числа abed. Отсюда следует, что в=1, так как при а>1 число, большее abed в 9 раз, было бы пятизначным. Но тогда, очевидно, de9.

По условию имеем 9 (1000 + ЮОЬ + Юс + 9) = 9000 + 100с + 106 +•1. Отсюда по упрощении получим:

с = m+е.

Так как с — число однозначное, то, очевидно, b « 0 и, значит, с = 8.

Итак, искомое число будет одно, а именно 1089. Действительно: 1039 + 9S01 = 10890= 10-1089.

№ 30

Решить уравнение:

8*3 — 20*+ 9 = 0. (1)

Решение. Преобразуем левую часть:

Отсюда имеем:

№ 31

В треугольнике дани средины двух сторон. Через произвольную точку в плоскости треугольника провести одной линейкой прямую, параллельную третьей стороне.

Решение. Пусть дан треугольник ABC, точки D и Z7 —середины сторон ВС и Aß (черт. 1). Проведя медианы AD и CF, получим точку О их пересечения. Проведя ВО, получим точку Е— середину стороны АС.

Пусть M произвольная точка в плоскости треугольника ABC.

Проведем прямую через точки А и M и на ней возьмем произвольную точку Р. Соединим Р с Е и С. Прямая MC пересечет РЕ в точке Q. Прямая AQ пересечет PC в точке N. Прямая, проведенная через точки M и N, — искомая.

Доказательство от противного. Допустим, что MN не параллельна АС. Проведем прямую через М, параллельную АС. Она пересечет PC в некоторой точке N\, отличной от N. Тогда ANt пересечет PC в некоторой точке Qlt отличной от Q (так как иначе Ni совпала бы с N). Наконец, прямая PQ{ пересечет АС в некоторой точке Ei% отличной от Е. Но, согласно известной теореме (см. решение задачи 95 в том же № ?), точка Ех должна быть серединой АС, т, е. совпасть с точкой Е. Но тогда Qi совпадет с Q и точка N} с N.

Черт. 1

№ 32

В плоскости треугольника даны две прямые, параллельные двум сторонам треугольника. Через произвольную /почку в плоскости треугольника провести одной линейкой прямую, параллельную третьей стороне.

Решение. Пусть KL и PQ соответственно параллельны AB и ВС. Взяв на KL две произвольные точки M и N, получим трапецию (или параллелограм) ABNM, позволяющую найти середину F стороны AB. (См. решения задач 95 и 96 в том же № 2.) Аналогично PQ позволит найти середину D стороны ВС. Таким образом, задача свелась к предыдущей.

Как видим, решение всех четырех задач (95 и 96 за 1947 г., 31 и 32 за 1948 г.), относящихся к построениям Штейнера, основываются на теореме о трапеции, приведенной в задаче 95.

№ 33

Прямая I пересекает две произвольные не параллельные плоскости а и ß. Исследовать, сколько плоскостей можно провести через прямую I так, чтобы они пересекали данные плоскости по двум взаимноперпендикулярным прямым.

Решение. Если данная прямая пересекает плоскости а и ß в двух различных точках А и В, то строим на отрезке AB, как на диаметре, — сферу. Если прямая пересечения данных плоскостей пересекает сферу в двух различных точках Р и Q, то имеется две плоскости, именно АВР и ABQ, которые пересекают плоскости о и ß по двум взаимноперпендикулярным прямым.

Если прямая пересечения данных плоскостей касается сферы в точке Р, то имеется одна плоскость, именно ABQ, которая пересекает плоскости а и f по двум взаимноперпендикулярным прямым. Наконец, если прямая пересечения данных плоскостей не имеет со сферой общих точек, то нет ни одной плоскости, проходящей через данную прямую и пересекающей плоскости а и р по двум взаимноперпендикулярным прямым. При этом все случаи действительно могут иметь место; докажем это. Возьмем любую сферу; пусть А и В две диаметрально противоположные течки, а прямая CD — произвольная прямая в пространстве, не содержащая точек А и В. Пусть аир плоскости ACD и BCD. Если прямая CD пересекает сферу, то имеет место первый случай, если прямая CD касается сферы, то — второй, а если не пересекает,—то третий.

Мы предполагали, что прямая / пересекает плоскости и а и р в двух различных точках. Если же прямая / переходит через точку, лежащую на линии пересечения данных плоскостей, то, проведя прямую /', параллельную /, сводим задачу к уже рассмотренной.

№ 34

Доказать, что центр тяжести системы из трех однородных отрезков, образующих треугольник ABC, лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника PQR, где Q, Р и R, соответственно, середины сторон ВС, CA и AB.

Решение. Пусть а = ВС, b = АС, c = Aß. Центр тяжести однородного отрезка находится в его середине. Поэтому систему трех отрезков мы можем заменить системой трех материальных точек Р, Q и R (черт. 2) с массами, пропорциональными, соответственно, числам а, b и с.

Центр тяжести системы точек Р и Q лежит ü&PQ в точке М, причем

С другой стороны:

Из (1) и (2) следует, что

(3)

А это означает, что RM — биссектриса угла R.

Черт. 2

Таким образом, центр тяжести системы точек R и M, а значит, и системы течек R, Р и Q лежит на биссектрисе RM угла R. Аналогично докажем, что центр тяжести этой же системы лежит на биссектрисе PN угла Р, т. е. находится в точке их пересечения.

№ 35

В основании четырехугольной пирамиды лежит параллелограм. Через одну из сторон этого параллелограма и среднюю линию противолежащей грани проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

Черт. 3

Решение. Пусть ABCD (черт. 3) параллелограм, лежащий в основании пирамиды SABCD, ЕР— средняя линия AASB, CDEF — секущая плоскость. Пирамида SABCD разбивается на две части: пирамиду SEFCD и клин EFABCD. Соединим точку F с точками А и В. Клин разобьется на четырехугольную пирамиду FABCD, объем которой равен половине объема данной пирамиды (так как ее высота равна половине высоты данной пирамиды), и на треугольную пирамиду DAEF. Объем этой пирамиды в 4 раза меньше объема пирамиды DASB, так как площадь треугольника AS В в 4 раза больше площади треугольника AEF (основание ЕР» = AB и высота — вдвое меньше^. Но объем пирамиды DASB или SABD в 2 раза меньше объема данной пирамиды, значит, объем пирамиды DAEF равен -g- объема данной пирамиды, а объем клина равен -.г“ 4- -g- = -g- объема данной пирамиды.

Отсюда ясно, что объем пирамиды ESPCD равен -g- объема данной, а искомое отношение равно 3:5.

№ 36

В плоскости дан треугольник ABC. Каково множество тех точек плоскости, расстояние каждой из которых до точки А меньше каждого из расстояний множества до точек В и С.

Решение. Через середины сторон AB и АС черт. 4) проведем к ним перпендикуляры, которые пересекутся в точке О. Угол MON, образованный этими перпендикулярами, заключает внутри себя все «точки, удовлетворяющие условию задачи.

Доказательство. Возьмем внутри угла MON произвольную точку Р, соединим ее с А и В я проведем из нее перпендикуляр PQ к AB. Так как во всех случаях будем иметь AQ < ВС, то на основании теоремы о наклонных и их проекциях будет иметь место неравенство АР <ßP. Аналогично доказывается неравенство ДР<СР. Легко видеть, что если взять произвольную точку вне угла MON, то, по крайней мере, одна из точек В и С будет ближе к Р, чем точка Д.

Так как О является центром окружности, описанной около треугольника ABC, то ответ можно было сформулировать и так. Искомое множество точек есть внутренняя область угла, вершина которого лежит в центре описанной окружности, а сторонами служат перпендикуляры к AB н АС.

Черт. 4

№ 37

В треугольнике ABC имеет место соотношение

где rv га, гь% гс—радиуг.ы вписанной и вневписанных окружностей. Найти величину произведения tg A tg£. Решение. Из (1) имеем:

(2)

Применяя формулу га = р__а » подстановкой в (2) получим:

или:

Применяем формулу для разности квадратов:

или:

Отсюда:

Применяя для левой части теорему тангенсов, а для правой формулу для тангенса половинного угла, получим:

отсюда последовательными преобразованиями получаем:

Наконец, разделив обе части на cos В, найдем:

№ 38

В треугольнике ABC имеет место соотношение

ra + rö^rc + r (1)

Найти зависимость между сторонами треугольника.

Решение. Зависимость между сторонами треугольника можно записать, например, в виде равенств, выражающих две стороны треугольника через третью.

Положим поэтому

а = сх\ b — су (2)

Тогда:

Пользуясь теми же формулами, что и в предыдущей задаче, получим:

Согласно условию (1), имеем по сокращении:

Отсюда:

Положим теперь

x=(l-y)t. (4)

Тогда подстановка в (3) дает:

(1 _ /3 + (1 -.y} t2-(\ -у)* t -

-(1+^)2(1-Л«0. (5)

Так как 1—уфО (иначе из (4) следовало бы х=0 и из (2) а=0, что невозможно), то по сокращении (5) на 1 — у, получим:

(1 -У)2 Vs + *2 — 0—(1 +УУ — 0.

Отсюда:

Применив производную пропорцию, найдем;

Тогда из (4) имеем:

Подставив найденные значения х и у в (2), получим искомые соотношения:

(8) (9)

Остается определить, при каких значениях t получаются для а и b действительные и положительные значения.

Пусть знаменатель ±^t*+fl-t +1<0, что, очевидно, может быть только при знаке минус перед радикалом. Тогда будем иметь

что может быть лишь при *>1. Но тогда из (9) следует, что а отрицательно, а потому, знаменатель не может быть отрицательным. Но тогда из (9) следует, что должно быть />0, а из (8)—-что числитель должен быть положителен, т. е. перед радикалом должен быть взят знак плюс и выраже. ние Yt*+P—t —-1 > 0, что, как мы видели, приводит к неравенству *> 1. Итак, а и b выражаются через с формулами (8) и (9) при *>1, причем перед радикалами должен быть взят знак плюс.

№ 39

В данный треугольник ABC вписать треугольник MNP так, чтобы его стороны были параллельны медианам треугольника ABC. Вычислить площадь треугольника MNP и определить, сколько таких треугольников можно построить.

Черт. 5

Решение. Пусть ABC (черт. 5) данный треугольник и AD, BE и CP—его медианы. И пусть MNP—искомый треугольник.

По условию имеем: MN \\ AD, NP || BE и MP || CF. Введем обозначения С В = а, CA = b, AB ■> с, CM**x\ CN=*y, NA = z, APz=zu,PB*=vt BM = t.

Доказательство. Очевидно, что ДМСаУсо &ÛCA, откуда имеем:

CM:CN = CD:CA

или:

так как

Далее очевидно, что ДЛЛГЯ 1ч> ДД5£. Отсюда имеем:

или

(3)

так как

(4)

Далее очевидно, что и Д РВМ un д FBQ откуда

имеем:

или:

(5)

Но

x + t = at

а потому получаем:

x + 8* — 2а » д;

откуда:

Подставляя это значение х в (1), (2), (3), (4) и (5), получим:

Определить площадь треугольника MNP не представляет труда. Пусть 5—площадь ДДВС.

Тогда пл. &CAD**-j-S.

Но Д CAW un Д САД откуда имеем, что

Аналогично находим площади Д NAP и Д РВМ, которые (площади) равны “тг^ и -<r Sr

Отсюда:

Совершенно очевидно, что можно построить еще только один &MiN\Pl% удовлетворяющий условиям задачи, причем он будет равен Д MNP.

№ 40

В данный треугольник ABC вписать треугольник MNP так, чтобы его стороны были параллельны биссектрисам треугольника ABC. Вычислить площадь треугольника MNP и определить, сколько таких треугольников можно построить.

Решение. Пусть ABC (черт. 6)—данный треугольник и A D, BE и СЕ — его биссектрисы. И пусть MNP— искомый треугольник. По условию имеем: MN H AD, NP И BE и MP || CF

Черт. 6

Введем обозначения: ВС=а, AC=bt АВ = с, СМ=х, CN=y, AN=z, АР=и, BP=v и BM=f.

Доказательство. Исходя из свойства внутренних биссектрис треугольника, имеем:

очевидно, что bMCN~ bACD. Отсюда имеем:

CM:Ci\'=CD:CA,

или:

(1)

так как

то

(2)

Очевидно, далее, что Отсюда имеем

или:

Так как

то

Очевидно, далее, что А РВМ ~ Д FBC. Отсюда имеем BP:BM = BF:8C

или

(5)

По

а потому получаем:

откуда:

Но

поэтому

где

Подставляя это значение х в (2) и (4), получим:

Аналогично получим:

Для построения отрезка х выражение для m удобнее преобразовать к следующему виду:

Определим теперь площадь треугольника MNP, пл. bMNP^nn. ЬАВС — (пл. ДМОУ + пл. ДЛ/АР -4-+ пл. ЬРВМ).

Имеем

Но

откуда:

Аналогично найдем, что

Таким образом

Кроме треугольника MNP, можно построить еще равный ему треугольник M\NXPX

Действительно, если обозначить ВМ через jclf то аналогично предыдущему найдем, что

Вычислим теперь

откуда:

Дальше: откуда:

Отсюда получаем: MN=zMxN\.

Аналогично легко доказывается, что NP « NXPX и РМ == РхЛ1ь т. е. что

ЗАДАЧИ

81. Определить два числа х и уу зная, что их сумма, разность и произведение пропорциональны числам a, b и с.

82. Дано равенство:

А = а2 4- ла,

где А и л — целые числа и 0 < п <[ 2.

1°. Доказать, что а является корнем квадратным из А с точностью до 1 ( с недостатком).

2°. Воспользовавшись доказанным, найти два последовательных целых числа, зная, что разность их кубов равна 27 361.

83. Решить и исследовать систему уравнений: (2т — 3)jc — ту = 3/п — 2 — 5* + (2т + 3)у = -5. Определить знаки хну при различных значениях т.

84. Решить систему уравнений:

85. Найти углы прямоугольного треугольника, если синусы углов образуют: 1) арифметическую прогрессию; 2) геометрическую прогрессию.

А. Могильницкий (Кривое Озеро, Одесск. обл.).

86. Построить -g- данного отрезка, не прибегая к построению параллельных.

А. Аляев (Ст. Валовай, Пенз. обл.).

87. Вычислить сумму:

Г. Ахвердов (Ленинград).

88. Найти восьмизначные числа — точные квадраты, которые остаются точными же квадратами, если каждую из первых четырех цифр увеличить и одновременно каждую из последних четырех цифр уменьшить на единицу.

М. Шебаршин (Кемеровск. обл.).

89. Найти шестизначные числа вида xyzzyx, которые были бы точными квадратами.

М. Шебаршин.

90. Найти дробь, лежащую между -у и -^-,зная, что ей соответствует чистая периодическая дробь, у которой сумма цифр периода на 12 больше квадрата числа цифр в периоде.

Л. Лоповок (Проскуров).

91. Найти точку, сумма квадратов расстояний которой от вершин треугольника наименьшая. Определить величину этой суммы.

Л. Лоповок.

92. Доказать тождество:

В. Барановский (Глухов, Саратов, обл.). 93. Найти построением, только с помощью линейки, центр тяжести фигуры, изображенной на чертеже 1.

Я. С. Моденов.

Черт. 1

94. Найти следующие суммы:

И. Я- Танатар.

95. Стороны треугольника неограниченно уменьшаются. Справедливо ли утверждение, что при этом радиус описанного около этого треугольника круга также будет неограниченно уменьшаться?

Я. С. Моденов.

96. Доказать:

И. Я. Танатар.

97. В равносторонний треугольник вписываются окружности равных радиусов, касающиеся друг друга, как это указано на чертеже. Найти предел, к которому стремится отношение площади, занимаемой всеми вписанными кругами, к площади треугольника, когда число кругов неограниченно возрастает.

Я. С. Моденов.

Черт. 2

98. Построить четырехугольник по его сторонам, вокруг которого можно описать окружность.

И. Я. Танатар.

99. Построить окружность, которая из вершин данного треугольника видна под тремя данными углами.

И. Я. Танатар

100. На весах производится взвешивание в целых килограммах и при этом допускается класть гири на обе чашки весов. Доказать, что достаточно только п гирь для взвешивания любого веса до 3Л—1 кг включительно. Найти расположение гирь при взвешивании 421 кг.

ОТ РЕДАКЦИИ

В № 4 1948 г. журнала «Математика в школе“ по вине типографии допущены следующие опечатки:

СВОДКА РЕШЕНИЙ по № 1 за 1948 год

Все задачи этого номера являются легкими, доступными для учащихся старших классов средней школы. Тем не менее количество неверных решений оказалось неожиданно слишком значительным (из 816 решений 160 неверных). В подавляющей своей части неверные решения падают на 1,2, 8 и 9.

По № 1 (из 47 решений 22 неверных) давались или частные решения, или две, три общие формулы вместо четырех. По № 2, кроме частных решений, общая формула давалась в виде х = m (m 1), у=т-\-1, z — m, что не исчерпывало возможных решений (30 неверных из 48). По № 8 (10 неверных из 43) давались одно или два числа вместо трех. Особенно огромное количество неверных решений (47 из 62) — дала задача № 9 (как на основании опыта и ожидал автор задачи тов М. Шебаршин), несмотря на то, что ряд читателей выразил удивление по поводу помещения такой .детской* задачи. Не были учтены все возможные положения двух тел относительно друг друга и точки А; отсюда получался один ответ, или два, притом в самых различных комбинациях (3 и 30; 3 и 35; 30 и 35 и т. п.) Значительное число неверных решений (14 из 38) дала также задача № 18 (ответы: 18, 25, 30, 60 и т. п.).

Приводим сводку верных решений (хотя зад. №12 вследствие опечатки исключена из конкурса в сводке для сокращения места она не исключается там, где соседние имеют верные решения).

П. Автух (Чашники) 3, 5, 7, 15, 16; К. Агринский (Москва) 3—6, 8—11, 15, 16; А. Аляев (Старый Валовой) 3, 5-7, 10, 11,15, 16, 18—20; Айзенштат (Кисловодск) 1—7, 10—17; Г. Ахвердов (Ленинград) 1—9, 11—14, 19, 20; Р. Бернштейн (Мукачево) 20; И. Берман (Тарткуль) 3, 10, 11; Л. Бескин (Москва) 1,3,5,7,9, 13—16, 20; Бобровников (Ашхабад) 1, 3-6, 9, 15, 16, 19; Б. Бурназов (Ейск) 1,3-5,7—16, 19; В. Буткевич (Ровно) 1, 3—8, 10—17; Б. Вайнман Киев) 3, 6, 8, 16, 18; В. Варганов (Москва) 8, 11, 17; А, Владимиров (Ялта) 1, 3—8, 10—Г0; М. Волков (Москва) 3, 15, 16; Р. Гангнус (Муром) 3—6, 13, 15—18; С. Гликсон (Сарны) 1—20; И. Голайдо (Первомайское) 1—8, 10-17, 19, 20; В. Голубев (Кувшиново) 1 — 20; Г. Голянд и С Третьяков (ст. Ленинградская) 1—6, 10, 11, 13, 15—17; Н. Гречкин (Ростов, обл.) 16; Н. Дзигава (Тбилиси) 3, 4, 7, 8, 14, 16, 17; И. Евланов (ст. Павелец) 3, 14, 16, 18; Д. Захаров (Канаш) 3, 4; Н. Зубилин (ст. Нарышкино) 3, 5—7, 11, 14-16, 18, 19,; Я. Каганцов (Воркута) 2—6, 8, 10, 11, 13, 15, 19, 20; Г. Капралов (Горький) 3, 4, 6, 7, 10, 11, 15, 16, 18, Я. Килимник (Винница) 3, 4, 7, 14—16; Б. Кодацкий (Ленинград) 1, 3-20; Г. Кандаян (Ереван) 3, 5, 14—16; С. Колесник (Харьков) 3—8,10—19; А. Корнилов (Нов. Ьгорлык) 1—19; И. Кугай (Новоград-Волынский) 3, 5, 6, 16; Н. Кухарев (Уфа) 14, 16, 17; Г. Литвинов (Усть-Абаканск) 3—7, 10—13, 15—18; Д. Людмилов (Гайсин) 1—7, 10-20; М. Ляпин (Казань) 3—8, 10-13, 15—38; П. Макуха (Алма-Ата) 1, 3, 4, 6, 7 10—17, 19; П. Манукян (Ереван) 3, 14, 16; Медведев (Себряково) 3, 5, 7, 13, 14, 16, 17, 19; И. Месяц (Житомир) 3—8, 11—15, 17—19; Г. Многолетний (Мглин) 3, 15—17; Н. Николаев (Троицкое) 5, 15; А. Овчинников (Сталинград) 3-8, 10—13, 16; Ф. Певишев (ст. Шилово) 1—10; П. Постников (Ряжск) 3—8, 10, 11, 13—18; Г. Пушкаревский (Башкирия) 3, 14, 16; Н. Рождественский (Петриковка) 1—8, 10—17, 19, 20; В. Розентуллер (Ленинград) 2—4, 8, 17; Н. Рытов (Каменка) 2-7, 10, 11, 14—16; М. Саакян (Краснодар) 3, 8, 13, 14, 16, 17; Г. Сакович (Киев) 1—8, 10—19; Ф. Сергиенко (Запорожье) 1—8, 10-18, 20; Б. Старак (Городок) 3, 10, 11, 15, 17; Н. Титов (Казань) 1,3-8,13—10; П. Титов (Тюмень) 3-8, 10—20; В. Утемов (Красноуфимск) 1, 3; 5—8. 10—i0; Я. Циммерман (Ейск) 3, 8, 9, 15—19; И. Ципкин (Казань) 1—10; М. Чаус (Вгерайшее) 3, 5—7, 15—17; А. Ширшов (ст. Луганская) 1—17, 19„ 20; М. Шебаршин (Кемерово) 1—20; П. Эрдниев (Барнаул) 1, 3-5, 7, 10—16, 18; Э. Ясиновый (Куй* бышев) 3—7, 10—19.