МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

4

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКВА 1948

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 4

ИЮЛЬ—АВГУСТ 1948 г.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ОБОЗНАЧЕНИЯ ЧИСЕЛ У РАЗНЫХ НАРОДОВ

Проф. А. К. СУШКЕВИЧ (Харьков)

Введение

Понятие о числе — одно из основных, одно из самых распространенных понятий у человечества. числа, можно сказать, окружают нас всюду и всегда: во всякой отрасли человеческого труда, во всякой области человеческих знаний, во всяком производстве, во всех науках, в искусстве, наконец и в обычной, повседневной жизни — всюду встречается счет, всюду встречаются те или иные измерения, иногда весьма примитивные, иногда и очень сложные, почти всюду встречаются и вычисления,— тоже начиная от простого сложения небольших натуральных чисел и кончая сложнейшими вычислениями при помощи сложных счетных машин и приборов. совершенно естественно, что человечество, начиная с древнейщих времен, должно было выработать и наиболее удобные названия для чисел, и наиболее совершенные обозначения чисел, и наиболее удобные и экономные приемы вычислений. конечно, все это выработалось не сразу: постепенно, в процессе своей работы, по мере ее расширения и усложнения вырабатывал человек и новые, более сложные виды вычислений, совершенствовал старые обозначения, вводил новые. так возникли у человека представления вначале о небольших числах натурального ряда, о счете, о простейших действиях над числами, в первую очередь — о сложении, затем — о вычитании, делении, наконец об умножении, которому, может быть, предшествовало понятие об удвоении. так возникла и оформилась у человека «система счисления», в частности десятичная система, происшедшая от счёта по пальцам рук, завоевавшая постепенно повсеместное господство. в процессе счета, в процессе вычислений, вероятно, весьма рано появилась у человека необходимость обозначать числа. эти обозначения чисел, по мере того как у человека вырабатывалась письменность, приняли форму «письменного счета», «числовых знаков», «цифр». но и эти письменные обозначения чисел потерпели еще большую, длительную эволюцию, пока не обратились, наконец в наши цифры «с принципом поместного значения», или, как еще называют этот способ обозначения чисел, — в «позиционную систему», которая тоже утвердилась почти повсеместно.

Уже в самых младших классах общеобразовательной школы наши учащиеся — еще детьми — знакомятся с нашими цифрами, с позиционной системой, со способами производства действий над натуральными числами, а большинству эти цифры знакомы еще и до школы. все эти вещи входят «в плоть и кровь», и учащиеся в дальнейшем смотрят на них, как на нечто естественное, весьма простое и само собою понятное. но у более пытливых, у более любознательных учащихся уже в средних классах общеобразовательной школы может возникнуть вопрос: а откуда же произошли наши цифры? кто их «выдумал»? кто и когда «изобрел» правила действий над ними? как люди вообще научились считать? и т. п. на все эти вопросы учащихся надо дать правильный и обстоятельный ответ. надо разъяснить им, что ни цифр, ни правил действий никто не «выдумывал» и не «изобретал»: все это появилось и оформилось в результате длительной эволюции, в процессе человеческого труда; в процессе своей

работы человечество «изобретало» и совершенствовало обозначения чисел и вычисления с ними, и много труда пришлось положить людям, пока, наконец, цифры и способы вычислений обратились в те самые, весьма удобные цифры и правила действий, которые нам так хорошо знакомы. На все вопросы учащихся учитель должен дать правильные ответы; нельзя здесь давать только «приближенные» ответы, нельзя «фантазировать» или отвечать «по своему усмотрению», пользуясь тем, что учащийся, мол, не в состоянии проверить, верно ли ему ответил учитель. Если точного, правильного ответа на поставленный вопрос нет, если имеется только гипотеза, от об этом прямо и надо сказать учащемуся, объяснив ему, на каких основаниях имеется то или иное предположение. Но для этого сам учитель должен быть хорошо осведомлен или во всяком случае иметь под рукою соответствующую литературу, которую он мог бы и рекомендовать наиболее способным и интересующимся учащимся. Пособия, популярные книжки о происхождении счета, о том, как люди научились считать, у нас имеются, есть довольно уже старые, есть и новые, но все они имеют один недостаток: их авторы в большинстве своем мало сведущи в том вопросе, о котором они пишут, — они познакомились с этим вопросом из таких же популярных, только более старых книжек. И повторяются в этих книжках «из поколения в поколение» одни и же сказки. Говорится, например, о том, что будто бы у «туземцев» Новой Зеландии имеется одиннадцатиричная система счисления, что неверно. Говорится о том, что финикийцы ввели алфавитное обозначение чисел*, что тоже неверно: финикийцы «изобрели» алфавит, явившийся родоначальником как всех европейских алфавитов, так и алфавитов Ближнего Востока, но они никогда не обозначали числа буквами алфавита, а имели для чисел специальные обозначения. Говорится, далее, в популярных книжках о том, что цифры западных арабов назывались «губар», что значит «пыль», потому что арабы вначале имели счетную доску (абак), покрытую песком (пылью), и это название «пыль» в дальнейшем и было перенесено на их цифры; это не совсем правильно: никакой счетной доски (абака) у арабов не найдено, и связь названия «губар» для цифр со счетной доской, посыпанной песком, есть только гипотеза: может быть, от такой счетной доски ведет свое начало название «губар», но как именно оно появилось у западных арабов, у которых никакой счетной доски не обнаружено, неизвестно. Можно было бы привести и другие примеры, выражаясь мягко, «неточностей», встречающихся в популярных книжках о происхождении счета. Упомянем еще только одну «неточность», очень широко распространенную : это — наименование наших цифр «арабскими». Они ни в коей мере не арабские; с большой степенью вероятности их еще можно назвать «индусскими».

Настоящая статья не ставит себе целью исправить все эти ошибки и неточности; такая задача была бы слишком смела и ответственна. Я рассматриваю в моей статье только один вопрос — о письменном обозначении чисел у разных народов, но пытаюсь рассмотреть его во всех подробностях. Думаю, что те сведения, которые я даю в этой статье, и образцы обозначений чисел (цифр), которые я привожу, будут и интересны, и полезны не только для учителей математики средних школ, но и для учащихся старших классов. Обозначения чисел, приводимые мною, я собирал в течение многих лет из разных источников; поэтому таблицы цифр, которые я привожу, гораздо подробнее, чем те таблицы, которые обычно приводятся в популярных книжках.

§ 1. Зачем человеку понадобилось «обозначать» числа или, скажем несколько иначе, «отмечать» числа? Для этого могли быть две причины: во-первых, человеку было необходимо отмечать числа в процессе вычислений, когда эти вычисления сделались более или менее сложными: найдя одно из чисел, над которыми должны были производиться дальнейшие вычисления, и переходя к нахождению других искомых чисел, человек должен был как-то «отметить» данное число, чтобы не забыть его при дальнейших вычислениях, чтобы иметь его наготове, когда оно снова понадобится. Использовав это число и вычисляя дальше, человек получал надобность «отметить» уже иное число, а «отметку» использованного уничтожить, как уже ненужную. Для таких «отметок» естественно было применять камешки или косточии, которые в нужном количестве раскладывались по определенным местам, сначала просто на земле, затем на специальной доске; можно было также чертить палочкой просто черточки — горизонтальные или вертикальные — или точки на песке. Эти отметки легко уничтожаются (стираются), и потому они удобны для вычислений. При небольших вычислениях достаточно было и пальцев собственных рук вычисляющего; их преимущество в том, что они всегда находятся «под рукой»; но их всего 10, слишком мало,— они годятся только для очень примитивного счета. Но в дальнейшем люди научились использовать их и в более сложном счете, составляя

* Даже в изданной в 1946 г. Б. В. Гнеденко книжке „Краткие беседы о зарождении и развитии математики“ на стр. 6 говорится о существовании алфавитного обозначения чисел у финикийцев.

из них различные условные фигуры и для чисел, больших десяти. Так образовался «пальцевый счет», существовавший у многих древних народов. Но к нашей теме он имеет только косвенное отношение.

Во-вторых, человеку понадобилось отмечать числа для того, чтобы «сохранить» их на продолжительное время. Эта надобность появилась тогда, когда человек достиг уже определенной культуры, имел уже некоторое хозяйство, должен был уже «рассчитывать вперед», должен был знать свои запасы продовольствия, количество голов скота и т. п. Такими «сохраняющимися» отметками были зарубки на дереве, узлы на веревке (когда человек уже научился вить веревки), наконец, запись, письменная отметка (когда у человека уже возникло письмо).

Можно сказать определенно, что все названные способы отметок чисел действительно существовали у человека. Про пальцевый счет уже было сказано выше. «Счет веревочный», или «узловой», был весьма распространен в древнем Перу (в так называемом царстве инков), где он был тесно связан и с «узловым письмом». Счет камешками привел к счетной доске (абаку), одной из разновидностей которого являются наши «счеты». Это очень важный вид счета, который имеет свою историю и тесную связь со счетом письменным. Наконец, черточки или точки на песке или зарубки на дереве привели к письменному обозначению чисел, о котором я имею в виду говорить.

§ 2. Уже в древнейшем, образном или картинном письме, которое выработало человечество, имелись и специальные знаки для обозначения чисел, — сначала только небольших натуральных чисел; вероятно, это первые абстрактные понятия, которые стал «записывать» человек. Для этой записи имелась уже готовая форма: те же черточки (вертикальные или горизонтальные) или точки, которые уже раньше человек чертил на песке или зарубал на дереве. При этом — совершенно естественно — одна черточка (или точка) означала единицу, две черточки — число два и т. д. Только писали их краской на коже, или на камне, или на папирусе, или выдавливали на глине и т. п. Но когда понадобилось записывать сравнительно большие числа, то большое количество черточек делало письмо ненаглядным, требовало много времени и для написания, и для прочтения. Но здесь сыграла свою роль формировавшаяся уже в устном счете «система счисления», десятичная, иногда двадцатиричная или пятиричная, часто смешанная— пятирично-десятичная или десятично-двадцатиричная. «Основание» системы счисления — в большинстве это было число 10 — рассматривалось, как «единица» высшего разряда; естественно было ввести для этого числа новый, особый письменный знак. Затем, при записи числа, состоящего из десятков и единиц, записывался нужное число раз знак для десятка, а затем нужное количество раз знак единицы. Вся запись изображала, таким образом, число, равное сумме всех изображенных десятков и всех изображенных единиц, т. е. здесь имел место так называемый аддитивный принцип. Дальше дело шло аналогично: был введен особый письменный знак для сотни, особый знак для тысячи, и т. д. Сложное число, имевшее, например, тысячи, записывалось так, что ставился нужное количество раз знак для тысячи, затем нужное число раз знак для сотни (если в записываемом числе сотен не было, то, конечно, и соответствующего знака не ставилось), затем аналогично для десятков и для единиц. Причем интересно, что во всех странах соблюдался один и тот же принцип: сначала писались более крупные единицы, затем — более мелкие; так, если число состояло из тысяч, сотен, десятков и единиц, то сначала писались тысячи, затем сотни, далее десятки и напоследок единицы. Слова «сначала», «затем» и т. п. следует понимать в согласии с тем направлением, в котором у данного народа шло письмо: слева направо (как у ассиро-вавилонян, у греков, у римлян), или справа налево (как у египтян в иератическом шрифте, у финикийцев, у евреев), или сверху внизу (у китайцев).

§ 3. Этот, я сказал бы, примитивный письменный счет у разных народов в разные эпохой модифицировался. В связи с развитием письма и письменный счет у разных народов слился с письменностью, приобретя в начертаниях характерные особенности письменности данного народа. Так, у древних египтян в иероглифическом письме для степеней числа 10 имелись иероглифы особого рода (см. ниже), у ассиро-вавилонян обозначение чисел клинообразное, у китайцев числа обозначаются характерными китайскими иероглифами (штрихами) и т. п. Интересно, что с развитием буквенного письма у разных народов обозначения чисел (числовые знаки, цифры) заняли особое положение, оставшись особыми знаками, наравне с буквами, и не были заменены написанием числительных слов буквами; это понятно: ведь назначение числовых знаков (цифр) — не просто записать число, а и вычислять с числами, но для этого обозначение чисел должно быть удобным, более коротким, чем запись чисел «словами». Впрочем у многих народов буквы сыграли для обозначений чисел особую роль (см. ниже — алфавитное обозначение чисел).

Далее следует отметить огромную роль арифметических действий в развитии обозначений чисел. Уже в примитивных обозначениях чисел

участвует сложение: написанное число надо понимать, как сумму, например, всех сотен, всех десятков и всех единиц. В дальнейшем и умножение приняло участие в обозначении чисел, например у ассиро-вавилонян, у финикийцев,—начиная с сотен, у китайцев. Вычитание участвует в римских обозначениях чисел. Даже деление (пополам) принимает участие (например в обозначении числа 5 у римлян). Эта роль действий вполне понятна: ведь обозначения чисел не «изобретались», а образовывались и совершенствовались постепенно, в процессе самих вычислений.

§ 4. Переходя к детальному рассмотрению систем письменного обозначения чисел у разных народов, разделим все эти системы на четыре категории:

Первую категорию составляют примитивные системы, или системы с повторениями знаков для единицы и для степеней основания. Такая система в своем первоначальном виде описана в § 2; принцип там «аддитивный», т. е. числа, обозначаемые знаками, просто складываются. Таково было обозначение чисел в иероглифическом письме древних египтян (см. табл. 1, 1-й столбец), где имелись особые знаки для степеней десяти, кончая 107. Такова же система чисел так называемой критской культуры (на острове Крит, за 1*/2 тысячи лет до н. э., см. табл. 1, 9-й столбец). Таковы же числовые знаки финикийцев (до сотни), представляющие смешанную десятично-двадцатиричную систему, и родственные им сирийские и пальмирские 'числовые знаки (см. табл. I, 6-й, 7-й и 8-й столбцы). Таковы же числовые знаки ацтеков, представляющие тоже смешанную десятично-двадцатиричную систему—до 203 включительно (см. табл. II, 11-й столбец). Наконец, таковы же так называемые греческие Геродиановы цифры и римские цифры (см. табл. I, 10-й, 11-й столбцы); обе системы смешанные—пятирично-десятичные. Особенность римских цифр- -субтрактивный принцип, встречающийся в обозначениях чисел 4 ( = 5—1), 9 (=10—1), 40 (= =50—10), и т. д.; при этом знак, означающий меньшее число, которое вычитается из большего, стоит перед (слева) знаком того большего числа, из которого вычитается.

К той же категории принадлежит и старая система обозначений чисел у ассиро-вавилонян (до введения 60-ричной системы; см. табл. I, 5-й столбец, где, впрочем, числа 60—90 написаны по 60-ричной системе). До сотни—там аддитивный принцип. Начиная с сотни —- мультипликативный принцип: знак для числа 100 не повторяется при обозначении числа в несколько сотен, но число сотен ставится слева от знака сотни и означает множитель для этой сотни. Тот же мультипликативный принцип, начиная с сотни, имеется и в числовой системе финикийцев, и в сирийской, и пальмирской числовой системе. Мы увидим позже, что этот мультипликативный принцип применяется в некоторых системах второй и третьей категорий. Начиная с 1 000, у ассиро-вавилонян снова применялся мультипликативный принцип; 10 000 обозначалось, как 10ХЮХ^(слева от сотни ставили два знака для десятка).

§ 5. Вторую категорию составляют так называемые системы слитных знаков, являющиеся дальнейшим развитием систем первой категории. По мере развития экономической жизни народа, торговых сношений, повышения общего культурного уровня усиливается потребность в вычислениях, сами вычисления усложняются, и рассмотренные нами примитивные системы обозначений чисел становятся слишком громоздкими. В связи с возникновением «скорописи» в области письменности вообще, возникает и «скоропись» в обозначениях сложных чисел: эти обозначения « сокращаются» — несколько одинаковых, писавшихся отдельно знаков сливаются в один. Если одну, две, три палочки еще легко быстро написать, то для числа 4 уже вводится особый знак, сначала бывший просто слиянием четырех палочек, а при дальнейшем упрощении потерявший уже связь со своим происхождением. Так образуются специальные знаки для чисел 4, 5, 6,... (а иногда уже и для чисел 2 и 3), далее, для чисел 20, 30,... для 200, 300,... Этим сильно упрощается обозначение сложных чисел; например, для числа 856 необходимы только три знака: для 800, для 50 и для 6, а не 19 знаков системы первой категории (восемь знаков числа 100, 5 знаков числа 10 и шесть единиц).

Примерами числовых обозначений этой категории являются иератические и демотические числовые знаки древних египтян, древнеиндусские цифры, сингалезские цифры, китайские старые и китайские купеческие цифры.

Иератическое письмо в древнем Египте существовало с древнейших времен наравне с иероглифическим. Это была, так сказать, скоропись, употреблявшаяся в повседневной жизни, тогда как иероглифами расписывались стены зданий (храмов), при этом здесь преследовалась и эстетическая цель. Все сохранившиеся египетские древнейшие рукописи (папирусы), в том числе и математические (начиная с 2000 лет до н. э.) написаны иератическим письмом. Из начертаний иератических числовых знаков (см. табл. I, 2-й столбец) можно ясно видеть их происхождение от иероглифов.

В VII веке до н. э. в Египте развилось демотическое (т. е. «народное»—от греческого

Таблица I

ЧИСЛОВЫЕ ЗНАКИ РАЗНЫХ НАРОДОВ

ЧИСЛОВЫЕ ЗНАКИ РАЗНЫХ НАРОДОВ

слова «демос»—народ) письмо, представлявшее собой дальнейшее видоизменение иератического; оно употреблялось в Египте повсеместно в греко-римскую эпоху; после эпохи Диоклетиана оно было вытеснено коптским письмом греческого происхождения. Демотические числовые знаки изображены в табл. I, в 3-м столбце.

Китайские старые числовые знаки интересны тем, что там, начиная уже с десятков, применяется мультипликативный принцип; имеются знаки для чисел от 1 до 10, затем для 100, 1000, 10 000. Сложные числа обозначаются по следующей схеме (только сверху вниз): например, число 473 пишется так, что один за другим ставятся знаки чисел 4, 100, 7, 10, 3. Китайские купеческие цифры подчиняются тому же принципу, только в сложных числах пишутся слева направо, при этом число десятков подписывается в маленьком виде над знаком десяти, число сотен—над знаком сотни, и т. д. Так, число 473 схематически напишется так: 100 10 3. Интересно, что если в средине числа отсутствуют единицы какого-нибудь разряда, то на месте этого разряда ставится ноль в виде кружочка; этот ноль, несомненно, заимствован из Индии и является в рассматриваемой системе совершенно лишним: ведь если, например, в числе отсутствуют десятки, то в написании данного числа это и так выявится тем, что будет отсутствовать знак десятка.

Китайские цифры (в особенности купеческие) представляют собой уже переход к так называемой позиционной системе (см. ниже).

§ 6. К третьей категории я причисляю так называемое алфавитное обозначение чисел, т. е. обозначение отдельных чисел буквами в том порядке (по величине), в каком эти буквы стоят в алфавите. При этом первые 9 букв алфавита означают числа от 1 до 9 (включительно), следующие 9 букв — числа десятков — от 10 до 90, следующие буквы — числа сотен. Сложные числа в этих системах обозначаются так же, как в системах второй категории; различие только в происхождении самих числовых знаков: в то время как в системах второй категории эти знаки произошли естественным путем — от слияния черточек и т. п. сокращений, алфавитное обозначение чисел, так сказать, сознательно искусственное, условное.

Финикийцы первые «изобрели» алфавит, т. е. расположили в определенном порядке те сравнительно немногие письменные знаки (буквы), которые употреблялись в их письме и были ими заимствованы, вероятно, из иератического письма египтян. Но алфавитного обозначения чисел у финикийцев не было. Финикийский алфавит распространился в дальнейшем и на запад, и на восток, видоизменяясь различным образом у различных народов. Еврейский (а за ним сирийский, затем арабский), греческий (а за ним, с одной стороны,—римский, готский, с другой—славянские, с третьей—коптский), грузинский, армянский алфавиты — все являются потомками финикийского алфавита.

Повидимому, греки первые ввели алфавитное обозначение чисел; от них его заимствовали другие народы. Числовые значения букв существуют в алфавитах: греческом, еврейском, сирийском, арабском, грузинском, армянском, коптском, абиссинском, готском, славянских (в «глаголице» и в «кириллице»). В таблице III приведены все эти алфавитные обозначения.

В обычном греческом алфавите 24 буквы; но чтобы обозначить только все единицы, десятки и сотни, требуется уже 27 букв. Поэтому в греческом алфавитном обозначении чисел употребляются еще три старые буквы, именно: «вау» (или называемая еще «дигамма» (двойная гамма), стоявшая между е и С (соответствующая латинской букве F), имеющая числовое значение 6 (см. табл. III, 1-й столбец); «коппа» Ч или Q между тс и р (соответствующая латинской букве Q), имеющая числовое значение 90; и «сампи» после со (соответствующая еврейской букве «цадек»), имеющая числовое значение 900. Итак, при помощи 27 букв греки могли изобразить все числа от 1 до 1000. Тысячи (до 10000) обозначались, как и единицы, только со штрихом внизу слева (см. табл. III, 1-й столбец); десятки тысяч обозначались буквою M (начальная буква слова jiupioi = 10000) с обозначением наверху числа десятков тысяч (см. табл. III, 1-й столбец).

В еврейском алфавите всего 22 буквы, при помощи которых изображались все числа до 500 (последняя буква «тоф» означает число 400). Для обозначения большого количества сотен ставились рядом две или три буквы, означавших сотни,—по аддитивному принципу. Для обозначения тысяч употреблялись те же буквы, что и для обозначения единиц, только с двумя точками наверху; подобно же обозначались десятки и сотни тысяч, т. е. так могли быть выражены все числа до миллиона.

Остальные народы, имевшие алфавитное обозначение чисел, заимствовали его у греков или у евреев, при этом с некоторыми видоизменениями: и количество всех букв, и порядок, в каком они вошли в алфавит, в различных алфавитах были иными, нежели в греческом или в еврейском алфавите. И вот в одних алфавитах (в славянском—глаголицей, в армянском, в готском) числовые значения букв устанавливались в том порядке, в каком эти буквы стоят

Таблица III

АЛФАВИТНОЕ ОБОЗНАЧЕНИЕ ЧИСЕЛ

в данном алфавите, в других же алфавитах (в славянском—кириллице и в арабском) числовые значения получили не все буквы, а только те, которые соответствуют греческим (или еврейским), и в том именно порядке, в каком эти буквы стоят в греческом (или еврейском) алфавите. Этим, например, объясняется, что славянская (в кириллице) буква g совсем не имеет числового значения: дело в том, что греческой букве ß соответствует буква В, которая, как и ß, имеет числовое значение 2. Значение 9 имеет буква ^,(фита), хотя она в алфавите предпоследняя, но она соответствует греческой букве 6 (тэта), стоявшей после т) ( = 8), и т. п. Такое слепое подражание греческому алфавиту, конечно, вносит путаницу и лишает алфавитное обозначение чисел как раз самого существенного—именно, соответствия порядка следования чисел по величине порядку букв в алфавите.

§ 7. К четвертой категории я причисляю так называемые позиционные системы или системы обозначения чисел с принципом поместного значения цифр. Этот принцип состоит в том, что каждый числовой знак (цифра) имеет двоякое значение: в зависимости от своего начертания и в зависимости от места (в изображении числа), на котором он стоит. В настоящее время позиционные системы распространены почти у всех народов; в частности, такова же и наша цифровая система, распространенная в Европе, в Америке, в Австралии и во многих областях Азии и Африки. Ведь позиционная система очень проста: она содержит только десять числовых знаков (цифр): 0, 1, 2,..., 9, при помощи которых просто и наглядно изображается всякое натуральное число. Кроме того, эта система дает возможность быстро и просто производить числовые вычисления — действия над натуральными числами; в этом ее особенно важное значение. Мы так привыкли к вычислениям с нашими цифрами, что склонны недооценивать важную роль при этом принципа поместного значения. Но я рекомендовал бы попробовать, например, перемножить два трехзначных числа, написанных римскими цифрами; мы убедились бы при этом, как усложняются вычисления, производимые без труда в нашей позиционной системе.

Но «изобрести» принцип поместного значения цифр было не просто; вернее, его никто не «изобрел», а сам он появился или, лучше сказать, развился в процессе долгой эволюции. Этот принцип требует наличия цифры «нуль», т. е. знака, означающего отсутствие числа, — для заполнения пустого места. Например, в числе 308 в средине нуль необходим, ибо он показывает, что десятков в числе нет, а цифра 3 означает сотни. Но это понятие о нуле, которое кажется нам совершенно естественным, совсем не так просто: оно требует большого математического развития. Древние греки, обладавшие высокоразвитой математикой, не имели никакого представления о нуле (исключение составляет астроном Клавдий Птоломей, у которого в 60-ричных дробях встречается знак 0 для обозначения отсутствующих долей—градусов, минут или секунд; о—начальная буква слова oüSsv—ничего; вероятно, здесь заимствование у ассиро-вавилонян).

Известны три пункта, где развились позиционные системы: Ассиро-Вавилония, Центральная Америка (племя майя) и Индия; в каждой из этих стран позиционная система возникла, повидимому, самостоятельно.

§ 8. В Ассиро-Вавилонии уже за 2000 лет до н. э. была в ходу 60-ричная письменная система счисления с принципом поместного значения. Здесь возникают два вопроса: почему за основание системы взято число 60? И каким образом был «изобретен» принцип поместного значения? Ставились различные гипотезы, отвечающие на эти вопросы. Мы не имеем возможности рассмотреть все эти гипотезы; приведем только наиболее вероятную из них, высказанную Нейгебауером в его книге «Vorgriechische Mathematik» («Догреческая математика»). Предварительно укажем на одну особенность позиционной 60-ричной системы ассиро-вавилонян; письменное обозначение чисел в ней было, если так можно выразиться, «относительное»: написанное число, например 25, могло значить 25 единиц, или 25-60, или 25-602, и т. д., или даже дробь: 25 шестидесятых, ибо 60-ричные дроби употреблялись и обозначались наравне с целыми числами. Подобно же и в случае «сложных» чисел в 60-ричной системе: число, имеющее, например, 3 единицы 2-го разряда и 28 единиц 1-го разряда, могло быть: 3-60-)- 28, или 3-602 + 28.60, или З + ~^-. или -б7г- + —ëtvt-, и т. д. Никакого указания на то, где же стоят целые единицы, не было, никаких «нулей» в начале или в конце числа не ставилось; по смыслу конкретной задачи можно было только узнать «абсолютную» величину числа.

Нейгебауер полагает, что 60-ричная система ассиро-вавилонян имеет конкретное происхождение: когда два народа, из которых позднее образовалась ассиро-вавилонская нация, — сумерийцы (древнейшие жители Месопотамии) и аккадьяне (семиты, пришельцы с северо-запада) — ассимилировались и образовали уже единую культуру, то меры, в частности меры веса (и

денег), должны были у них как-то единообразно установиться; эти меры веса (и денег) были: мина, содержащая 60 шекелей. Вероятно (так полагает Нейгебауер), у одного из двух упомянутых народов была более крупная мера веса — мина, у другого — более мелкая — шекель; их единичное отношение вначале приблизительно равнялось 60; а позже было установлено, что это единичное отношение должно точно равняться 60. В дальнейшем по этому образцу установились и другие меры (например, более крупная единица веса и денег— талант = 60 минам). Вначале ведь математика ассиро-вавилонян была чисто практической и конкретной. А позже уже в отвлеченные математические вычисления вошло это привычное число 60 как основа счета.

Из предыдущего видно, что нуль как знак для заполнения «пустого» места был нужен в 60-ричной системе ассиро-вавилонян только, если это «пустое» место было «в середине» числа, например, если в числе были единицы 1-го и 3-го разрядов, но отсутствовали единицы 2-го разряда, место которых и надо было как-нибудь отметить. И такой знак для заполнения пустого места — ассиро-вавилонский «нуль» — существовал, имел форму двух маленьких клиньев: | ; встречается этот знак в математических памятниках более позднего происхождения (за 300 лет до н. э.); трудно сказать, когда он был введен; вероятно, тогда, когда по мере развития и усложнения ассиро-вавилонской математики в вычислениях стали появляться числа «с пустым местом посредине»; заметим, что в 60-ричной системе такие числа встречаются сравнительно редко.

Заметим, что наше деление окружности на 360°, градуса на 60', минуты на 60“, а также деление суток на 24 часа, часа на 60 минут и минуты на 60 секунд—ассиро-вавилонского происхождения, остаток их 60-ричной системы.

§ 9. Другим народом, имевшим позиционную систему, является индейское племя майя, жившее в Центральной Америке (южнее Мексики) и имевшее своеобразную культуру, время расцвета которой IV—VI в. н. э. и X—XII в. н. э. Числовая система племени майя была двадцатиричная (с одною неправильностью), позиционная; направление письма — сверху вниз; был у них и знак нуля в виде полузакрытого глаза (см. табл. II, 12-й столбец). Особенностью их системы было то, что единицей 3-го разряда было не 20, а только 18 единиц 2-го разряда; а в дальнейших разрядах шла уже точно двадцатиричная система. Объясняется это астрономическим происхождением их системы: их год, состоявший из 365 суток, разделялся на 18 месяцев по 20 суток и, кроме того, имел еще 5 дополнительных суток.

§ 10. Принцип поместного значения в десятичной системе счисления возник в Индии, повидимому, не раньше, как в IV—V в. н. э., и из Индии распространился на восток (Бирма, Сиам), и на север (Тибет, Монголия, Китай), и на запад (арабы, а через них и Европа). В Индии же появилось и наше обозначение нуля — сначала в виде жирной точки, а затем в виде кружка; время его появления — VII в. н. э. При этом в Индии же нуль, бывший сначала только знаком для заполнения пустого места (его название — «сунья», что значит «пустой»), обратился в число, с которым индусы научились и оперировать. До введения принципа поместного значения в Индии были различные системы числовых обозначений, относящиеся по большей части ко второй категории. При введении принципа поместного значения из старых числовых обозначений были сохранены первые девять (для чисел 1—9) и введен знак нуля, а остальные числовые знаки (для десятков, сотен и т. д.) утратились, ибо оказались ненужными.

Но каким образом в Индии появился принцип поместного значения? Как уже было сказано, никто его не «изобретал». Киевский историк проф. Бубнов (в начале XX в.) высказал гипотезу о возникновении этого принципа в результате практики вычислений на счетной доске (абаке), при этом мечеными жетонами (т. е. жетонами, на каждом из которых стояла одна из цифр 1—9). При этом ведь сама разграфленная на полосы доска оказывалась фактически ненужной: можно было просто класть рядом меченые жетоны, которые означали (считая справа) простые единицы, десятки, сотни и т. д. Надо было только иметь какую-то отметку для «пустого» места, если в числе, которое надо было обозначить, отсутствовали единицы какого-нибудь разряда; но для этого как раз оказался подходящим оставшийся без употребления немеченый жетон, представлявший собой кружок с дыркой посредине — материальный прототип нуля. А в дальнейшем и самые меченые жетоны были отброшены, как отслужившие свою службу: вместо того чтобы ставить жетон, можно было просто написать тот числовой знак (цифру), который стоял на нем; а «пустое» место можно было обозначить жирной точкой или кружком — изображением немеченого жетона: так образовался наш знак нуля. Таким образом, принцип поместного значения (и цифра нуль) возник в результате повседневной практики счета, необходимого по мере развития экономической жизни и торговли. Слабая сторона этой гипотезы в том, что она представляет собой «остроумную догадку», но

совершенно не проверенную фактами: до сих пор нам неизвестно, чтобы у индусов была когда-либо счетная доска. Правда, о древней индусской математике мы почти ничего не знаем: ведь «историческая» математика индусов начинается только с IV—V в, н. э; здесь требуются новые исторические исследования.

Но следует заметить, что принцип поместного значения вообще является естественным этапом по мере развития практики счета: числовые системы многих народов «подошли» к к этому принципу, хотя и не сделали последнего шага. Мы видели (в § 5), что китайские старые и китайские купеческие цифры подходят близко к позиционной системе. Еще более интересный пример представляют так называемые китайские «научные» цифры (см. табл. II, 3-й столбец), представляющие собой действительно позиционную систему с нулем в виде кружка. Эти цифры действительно произошли от счета палочками («сан джи») на специальной доске, разграфленной на квадратики. Вместо того чтобы класть палочки, стали их просто изображать; доска сделалась ненужной, а нуль в виде кружка был заимствован у индусов. Да и у греков, евреев и римлян, как мы видели, большие цифры (начиная с тысяч) обозначались, как и единицы, только с некоторою дополнительною отметкой (штрих внизу — у греков, две точки сверху — у евреев, черта сверху — у римлян); это по существу тоже переход к принципу поместного значения.

§ 11. Из Индии, как уже было сказано, принцип поместного значения распространился в другие страны. При этом одни народы переняли у индусов только самый принцип поместного значения и нуль, сохранив свои старые числовые знаки для первых 9 чисел (например, дравидское племя Тамиль в Индии же, Сиам), другие же народы заимствовали у индусов и самые цифры, конечно, несколько видоизменив их (Тибет, Монголия, арабы). Следует заметить, что Индия велика, и в разных ее местностях при том же самом принципе поместного значения цифры оказались различными. Так, те цифры, которые заимствовали восточные арабы (так называемые цифры Индустани), сильно отличаются от индусских цифр Деванагари и индусских цифр Бенгали (см. табл. IV, строки 12, 13 и 16). Эти «восточноарабские» цифры распространились по всем мусульманским странам и сейчас еще в употреблении в несколько видоизмененной форме (см. табл. IV, строка 18). Наши же современные цифры произошли от так называемых цифр «губар» западных (испанских) арабов. Слово «губар» означает «пыль»; может быть, это название произошло от того, что когда-то вычисления с этими цифрами производили просто на песке. Вероятно, эти цифры от западных арабов попали на меченые жетоны абака (счетной доски) к ученым Западной Европы, вычислявшим на абаке (так называемые абацисты, X—XI вв.; см. табл. IV, строки 19—22). Позже (в XII в.) эти цифры были заимствованы у западных арабов алогоритмиками (так назывались ученые в Западной Европе в XII в., которые переводили математические сочинения с арабского языка на латинский и пропагандировали позиционную систему и индусские способы вычислений без абака); в дальнейшем эти цифры, постепенно видоизменяясь, распространились по Европе. После изобретения книгопечатания, начиная с XVI в., форма наших цифр, можно сказать, стабилизируется (см. табл. IV, строки 23—28).

Но возникает еще вопрос: откуда произошли цифры «губар» западных арабов? Если они (как обычно принимаются) индусского происхождения, то каким образом они из Индии достигли Испании? Конечно, только через страны Передней Азии и, далее, через север Африки, т. е. через страны восточных арабов. Но ведь цифры восточных арабов совершенно отличны от цифр «губар» западных арабов (ср. табл. IV, строки 16 и 20). С другой стороны, наши цифры несомненно родственны индусским цифрам Деванагари (см. табл. IV, строка 12). Каким же образом индусские цифры, как-то «перепрыгнув» через промежуточные страны, оказались в Западной Европе? Проф. Бубнов и здесь выставляет свою гипотезу: он считает, что арабы, придя в начале VIII в. в Испанию, не принесли с собой цифр «губар», а наоборот, нашли сами эти цифры в Испании, где эти цифры уже были в ходу наряду с римскими цифрами.

Проф. Бубнов считает вероятным, что еще в эпоху процветания Александрии (III—I в. до н. э.), которая несомненно имела торговые сношения и с Индией, одна из систем тогдашних индусских цифр (еще без принципа поместного значения) проникла в Александрию, получив оттуда распространение в средиземноморских странах, дошла и до Испании, где продолжала далее эволюционировать. Арабы, придя в Испанию, принесли с собой из Индии принцип поместного значения, но числовые знаки использовали уже имевшиеся до них в Испании (а может быть, и в странах Северной Африки), применив к ним принцип поместного значения, оставив только первые девять этих знаков и присоединив к ним принесенный с востока нуль в виде кружочка.

Относительно этой гипотезы проф. Бубнова следует сказать то же, что и о приведенной в

Таблица IV

ТАБЛИЦА РАЗВИТИЯ СОВРЕМЕННЫХ ЦИФР

§ 10 первой его гипотезе: все это остроумно, но пока что — голословно, требует еще своего подтверждения (или опровержения) фактами. В этом вопросе необходимы еще дальнейшие исторические исследования.

Дополнительные объяснения к таблицам

§ 12. Таблица I.

Столбец 1 представляет древнеегипетские иероглифические числовые знаки; они принадлежат к первой категории (§ 4) со строго проведенным аддитивным принципом в изображении сложных чисел — по строго десятичной системе счисления. Обращает внимание большое количество степеней числа 10, имеющих специальные знаки, — до 107 включительно. Знак для сотни толкуется, как изображение мерной ленты, посредством которой египетские землемеры («гарпедонапты»—натягиватели веревок) измеряли длины на земле. Знак для тысячи точно не выяснен. Знак для 10000 означает палец — по созвучию (10 000=таб, палец = тба по-древнеегипетски). Знак для 105 представляет головастика: после разлива Нила, когда он входил в свое русло, на берегу оставалось много ила, в котором кишели в очень большом количестве головастики; таким образом, представление головастика у древних египтян ассоциировалось с представлением очень большого числа. Знак для миллиона представляет бога вселенной, поддерживающего своими руками небесный свод. Происхождение знака для 107 не выяснено.

Столбцы 2 и 3 представляют иератические и демотические числовые знаки древних египтян. Они принадлежат ко второй категории (§ 5) со строго аддитивным принципом в изображении сложных чисел. Иератическое и демотическое письмо египтян шло справа налево, поэтому в написании сложных чисел единицы высшего разряда стояли справа, а единицы низшего разряда — слева (см. § 2). В столбцах 2 и 3 табл. I можно легко усмотреть происхождение иератической, а в дальнейшем и демотической системы числовых обозначений от иероглифов. Следует только учесть, что в столбце 1 иероглифическое письмо считается идущим слева направо (определенного направления иероглифического письма в древнем Египте не было: иногда оно шло слева направо, иногда — справо налево).

Столбцы 4 и 5 представляют числовые знаки древних народов Месопотамии; в столбце 4 название «сумерийские» цифры довольно условно: сумерийцы уже употребляли и клинообразное письмо (столбец 5); материал для письма был один и тот же: глиняные дощечки, на которых выдавливались знаки палочкой; в древности эти палочки представляли собой цилиндр, почему и выдавливались на глине кружки или полукружки; позже эти палочки представляли собой трехгранные призмы, которые и выдавливали на глине клинья и углы. В столбце 4 система — чисто 60-ричная, так что, например, тысяча там имеет вид: 16-60-f--f- 40. В столбце 5, начиная с сотни, числа изображены в десятичной системе, по «старому» способу, причем применяется мультипликативный принцип (см. § 4).

Столбцы 6, 7 и 8 представляют родственные друг другу цифры — финикийские, сирийские, пальмирские; начиная с сотни, применяется мультипликативный принцип. До сотни — десятично-двадцатиричная (в столбцах 7 и 8 даже пятирично-десятирично-двадцатиричная) система с применением аддитивного принципа. Самые древние из этих цифр — финикийские, употреблявшиеся за много веков до н. э.; цифры «пальмирские» были в употреблении в городе Пальмире (теперь — Тадмор), в Сирии, в средине III в. н. э.; сирийские цифры были найдены в манускриптах VI и VII вв. н. э.

Столбец 9 представляет цифры критской культуры, упоминавшиеся уже в § 4; они — первой категории, в строго десятичной системе с аддитивным принципом.

Столбцы 10 и 11 упоминались уже в § 4. Греческие Геродиановы цифры*, употреблявшиеся в Греции в VII — V вв. до н. э., представляют собой, кроме единицы, обозначавшейся буквою йота, имеющей форму палочки, — начальные буквы древнегреческих числительных: Г = Пе7те = 5; Д = Леха = 10; Х= XtXtot ; M = Mvptot = 10 000; только обозначение H = 100 составляет некоторое исключение по-древнегречески c'Sxaxov, но дело в том, что «придыхание» (штих т) в древности могло быть заменено буквою «эта»: Н, т. е. писали: Hexaxov, отсюда и обозначение сотни через H (в латинском языке этой букве соответствует буква H, h, имеющая, как известно, значение «придыхания»). Обозначения для 50, как 5 десятков, для 500 и аналогично для 5000= р ясны.

В § 4 уже было упомянуто о применяемом в римских цифрах субтрактивном принципе; в древности он применялся еще более широко, например, 8 обозначалось: ИХ. Заметим еще, что хотя римские цифры тоже имеют форму

* Они называются так по имени византийского грамматика Геродиана, жившего во 11 в. н. э. и описавшего эти цифры.

букв (не имеющих ничего общего с соответствующими числительными), но это их сходство с буквами — случайное, результат их эволюции. Римские цифры произошли от этрусских числовых знаков. Так, знак для числа 10 у этрусков был: -f- или X (крестик); у римлян осталась эта последняя форма; знак же для пяти: V — половина знака для 10 (у этрусков и V и Д), т. е. здесь применялся принцип деления. Для числа 50 этрусское I обратилось в римское J_, а затем в L. Этрусский знак для сотни ф обратился у римлян в Q, а затем в С. Древнеримский знак для тысячи: обратился в букву M (единственный случай начальной буквы, соответствующего числительного: Mille); а для числа 500, равного половине тысячи, осталась и «половина знака»: D.

Наконец, как уже упоминалось в конце § 10, в позднейшее время существования римского государства в больших числах, содержавших несколько тысяч, число тысяч обозначалось, как и число единиц, только с чертою наверху. Например, число 435 842 обозначалось: CDXXXV DCCCXLII. Миллион обозначался M и назывался «большая тысяча».

§ 13. Таблица II. Столбцы 1 — 3 представляют три системы китайских цифр; о них мы уже говорили в конце § 5 и в § 10. Заметим только, что так называемые старые китайские цифры (столбец 1) в идеографическом письме китайцев, где каждый знак означает определенное понятие, являются одновременно и написанием китайских числительных (как мы говорим: «словами», или «прописью»).

Столбец 4 представляет цифры надписей Карости в восточном Афганистане и северном Пенджабе; они датируются IV — III в, до н. э.; направление шрифта и цифр — справа налево. Интересно здесь (до сотни) смешение четырехричной, десятичной и двадцатиричной систем; начиная с сотни, — мультипликативный принцип.

В столбце 5 — цифры пещерной надписи Nasik в Индии, датируемой 100 л. до н. э. Это — одна из многочисленных древних числовых систем Индии — до введения принципа поместного значения. Эти системы второй категории (§5); начиная с сотни, — мультипликативный принцип.

В столбце 6 изображены сингалезские цифры, славящиеся своей вычурностью. Сингалезы — жители острова Цейлона, потомки выходцев из Индии, переселившихся на Цейлон еще до начала н. э. и принесших с собой одну из индусских цифровых систем (конечно, без принципа поместного значения); эти цифры, пройдя некоторую эволюцию, и обратились в те сингалезские цифры, которые представлены в столбце 6. Эти цифры — второй категории (§ 5); начиная со 100, применяется мультипликативный принцип.

В столбце 7 — цифры дравидского племени тамиль, живущего в Индии. Эти цифры вначале представляли систему второй категории: позже были заимствованы у индусов нуль и принцип поместного значения, но первые 9 числовых знаков своей системы были оставлены (см. начало §11). На таблице изображены также старые числовые знаки для 10, 100, 1000.

Повидимому, родственные предыдущим — малабарские — цифры в Индии же изображены в столбце 8.

Столбцы 9 и 10 представляют бирманские и сиамские цифры (на полуострове Индо-Китай). Вероятно, когда-то и эти цифры входили как часть в системы второй категории, но позже превратились в позиционные системы с заимствованием у индусов нуля и принципа поместного значения.

Столбцы 11 и 12 дают цифры ацтеков, упоминавшиеся в § 4, и цифры племени майя, о которых шла речь в § 9. Обращаю внимание на сложный знак для числа 8000; он толкуется, как кошелек с деньгами. Обращают также внимание на обозначения чисел 200 и 100, где участвует принцип деления от 400 и -i- от 400).

Очень интересны цифры, изображенные в столбце 13; это — искусственные цифры, описанные в 1539 г. Noviomagus'on в сочинении «De numeris», — цифры, которыми пользуются Chaldei et Astrologi. Повидимому, эти цифры изобретены каким-то средневековым астрологом; распространения они не имели. Особенность этих цифр та, что основой всех их является вертикальный стержень, к которому присоединяются дополнительные палочки: сверху справа—для обозначения единиц, такие же палочки сверху слева—для обозначения десятков, такие же палочки снизу справа — для обозначения сотен и снизу слева — для обозначения тысяч. Сложное число (меньшее, чем 10000) обозначается на одном вертикальном стержне, на который снизу слева «нанизываются» тысячи, снизу справа — сотни, сверху слева — десятки, сверху справа — единицы. Например число 1945 выглядит так: ^Чп.

Вместо вертикального можно брать горизонтальный стержень; тогда вся система окажется повернутой на 90°.

§ 14. Таблица III. Эта таблица посвящена алфавитному обозначению чисел, о котором мы говорили в § 6. О греческом алфавитном обо-

значении чисел (столбец 1-й) мы уже говорили. В столбцах 2 и 3 — славянские алфавиты — кириллица (в настоящее время малоизвестная) и глаголица; оба алфавита возникли из греческого письма в X в.; их «изобретение» приписывается греку, св. Кириллу (который вместе со своим братом Мефодием проповедовал христианство среди славян) и ученику его Клименту. В § 6 мы уже говорили, что в алфавитном обозначении чисел кириллицей не выдержан главный принцип алфавитного обозначения: буквы идут не в порядке их алфавита. Этого недостатка в глаголице нет: там числовые значения букв идут в строго алфавитном порядке; так

В столбце 4 — готский алфавит, введенный епископом Вульфилой в IV в. н. э.

В столбце 5 — еврейское алфавитное обозначение чисел. Последняя (22-я) буква «тоф» означает число 400; остальные сотни обозначаются по аддитивному принципу (500 = 400-]-+ 100, 600 = 400 + 200, и т. д.) Позже эти сотни, начиная с 500, стали обозначать некоторыми из употребленных ранее букв, но в их начертаниях в конце слов (отличающихся от их обычных начертаний); так, в нашей таблице число 900 обозначено той же буквой («цадек»), что и число 90, — только в другом начертании. Тысячи обозначаются первыми буквами алфавита, как и единицы, — только с двумя точками сверху; впрочем, в сложных числах эти две точки могли и пропускаться, если не было недоразумений, т. е. если «после» (т. е. слева) тысяч шли сотни. Здесь мы видим уже переход к позиционной системе.

В столбце 6 — обозначение чисел в сирийском алфавите; этот алфавит — потомок еврейского— образовался в I в. н. э.

В столбце 7 — арабское алфавитное обозначение чисел. Арабский алфавит — потомок сирийского; из сирийского же было перенято алфавитное обозначение чисел, господствовавшее у арабов с VI по VIII в. н. э. Основной принцип не выдержан: буквы в алфавитном обозначении идут не подряд (как в алфавите). Причина этому та, что букв в арабском алфавите больше, чем в сирийском (и еврейском), причем одна и та же (по начертанию) буква означает разные звуки — в зависимости от числа точек, стоящих над нею или под нею. В алфавитном же обозначении чисел у арабов числа до 500 обозначаются буквами, соответствующими сирийским и еврейским буквам, означающим те же числа, а для сотен с 500 до 1000 включительно употребляются еще остающиеся 6 букв арабского алфавита. Далее для тысяч применяется мультипликативный принцип: так, 2000 обозначается тем, что пишутся (справа налево) числа 2 (буква «ба») и 1000 (буква «гайн») — только эти две буквы соединены друг с другом (как в словах в арабском языке) и поэтому имеют начертания, отличные от их начертаний, когда они стоят отдельно. Подобно же обозначается 3000, и т. д.

В столбце 8 — коптское алфавитное обозначение чисел. Копты — потомки древних египтян, принявшие христианство. Коптский алфавит возник после III в. н. э. из греческого, со включением некоторых египетских демотических знаков.

Алфавитное обозначение чисел взято с греческого, но для обозначения сотен применяется мультипликативный принцип.

В столбце 9 — абиссинское (эфиопское) обозначение чисел, представляющее эволюцию коптского.

Столбцы 10 и 11 дают грузинское и армянское алфавитные обозначения чисел, применявшиеся прежде (до XVII в.). Обращает на себя внимание армянский алфавит — самый длинный из известных мне (38 букв); при числовых обозначениях буквы алфавита идут строго подряд; последняя буква означает число 20 000.

В настоящее время алфавитное обозначение чисел уже нигде не применяется; оно имеет только исторический интерес.

§ 15. Таблица IV. Эта таблица посвящена эволюции наших современных цифр. В ней можно различать четыре части: 1) строки 1—8 дают предполагаемых предков позднейших индусских и наших цифр ; 2) строки 9 —15 дают различные индусские цифры с принципом поместного значения — от VIII в. до современных — и цифры, заимствованные из Индии (тибетские, монгольские); 3) строки 16 —18 дают цифры восточных арабов, заимствованные из западной Индии (цифры «Индустани»), те же по существу цифры, которые приводит Максим Плануд (Византия, XIII в), и несколько видоизмененные современные общемусульманские цифры; 4) наконец, строки 19 — 28 дают уже цифры в Европе, начиная от цифр западных арабов и цифр на меченых жетонах абака («Apices») и кончая современными цифрами.

МЕТОДИКА

ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА В КУРСЕ IX КЛАССА

С. И. НОВОСЕЛОВ (Москва)*

В настоящей статье мы ставим задачей с методической точки зрения рассмотреть тему IX класса «Понятие предела». Ознакомление с понятием предела в средней школе неизбежно, так как иначе невозможно дать правильные представления о длине окружности, о площадях поверхностей круглых тел, об объемах этих тел, о сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии. С другой стороны, теория пределов в полном и строгом современном изложении далеко не элементарна. Поэтому не может быть и речи об изложении теории пределов в школе со всеми логическими тонкостями, свойственными современным курсам анализа.

Наиболее распространенным выходом из создавшегося положения явится привлечение понятия переменной величины, находящейся «в процессе изменения» во времени; далее вводится понятие бесконечно малой величины и доказывается ряд теорем о бесконечно малых и о пределах. Это изложение совершенно не соответствует современным научным воззрениям. Получается тяжелый разрыв. С одной стороны, в курсе математики учащимся настойчиво говорят, что необходимо уяснить себе точный смысл каждого нового понятия, что каждое определение должно давать точное описание нового понятия при помощи понятий уже установленных. С другой стороны, приходится апеллировать к наивному представлению о «переменных величинах», о «процессе изменения» и т. п. как о вещах, очевидных «само по себе». Для большей «ясности» нередко прибегают к разного рода понятиям о бесконечно малых, которыми «можно пренебрегать», о «моменте времени», начиная с которого, переменная величина «может сделаться и оставаться», о бесконечно малой, обращающейся в «пределе» в нуль, «бесконечно больших числах», о возрастании «до бесконечности» и т. п. Таким образом, сначала создается иллюзия понимания сущности дела, а затем следуют «строгие» доказательства теорем о пределах и о бесконечно малых. При таком изложении вся «строгая теория» представляется лишь зданием, построенном «на песке».

Неуклюжие приемы, которыми пользуются, чтобы «свести концы с концами» при архаичном изложении теории пределов, способны лишь дезориентировать учащихся. Так, например, говорят, что «постоянное число» все-таки можно рассматривать как «величину переменную», имеющую одно и то же значение. Однако незадолго перед тем понятия «постоянного» и «переменного» противопоставлялись как исключающие друг друга. С современной точки зрения закон соответствия функции может быть таков, что каждому значению аргумента соответствует одно и то же значение функции (функция постоянна), и никакого противопоставления «постоянного» и «переменного» нет. Вот пример рассуждений о нуле: хотя нуль и «постоянное число», а все же он является величиной бесконечно малой. Возьмем еще один пример. В теореме о сумме бесконечно малых делается, для «строгости», традиционная оговорка: сумма конечного числа бесконечно малых величин. Позволительно спросить, что же представляет собой сумма с «бесконечным числом» слагаемых? Ведь учащиеся IX класса не имеют никакого понятия о действиях с «бес-

* От редакции. В настоящем номере даются две статьи —С. И. Новоселова и В. М. Шепелева—на одну и ту же тему: о понятии предела в курсе IX класса. В основном обе статьи проводят одну и ту же точку зрения. Методика, изложенная в статье С. И. Новоселова, требует решительного отхода от традиционного изложения учения о пределах, распространенного в старых учебниках. Автор второй статьи вносит менее радикальные предложения.

Учителю представляется возможность осуществить переход к современному изложению учения о пределах постепенно, в том случае, если резкий отход от старых традиций вызовет затруднения.

конечным числом» компонентов. Смысл оговорки общеизвестен: надо исключить из рассмотрения суммы, подобные тем, с которыми оперирует интегральное исчисление. Однако такие суммы, нельзя рассматривать как суммы некоторых вполне определенных слагаемых функций в обычном смысле слова «сумма». Здесь суть дела совершенно ясна: ищется предел суммы некоторого числа функций, но можно говорить о сумме двух или трех, или в общем случае п функций, и сумма с «бесконечно большим» числом слагаемых ниоткуда не может появиться.

Следует признать нелепым излюбленный термин «постоянное число». Разумно спросить: «а что такое непостоянные числа?»

Неудивительно, что при традиционном изложении теории пределов живая мысль учащихся, не находя ответа на ряд естественно возникающих вопросов, способна уклониться в различного рода кривотолки. Неудивительно, что учащиеся нередко из курса средней школы выносят нелепые антинаучные представления о бесконечности как о числе, о бесконечно малых числах, о бесконечных значениях, о «переменной, которая меняется», и т. п. Преподаватели высшей школы хорошо знают, какую жестокую борьбу приходится иногда выдерживать с прочно укоренившимися в сознании учащихся антинаучными понятиями.

Мы находим, что в основу изучения понятия предела в IX классе следует положить следующие принципы.

Во-первых. Надо строго ограничиться лишь теми понятиями, которые необходимы для элементарной математики, и отказаться от попытки изложить теорию пределов «в общем виде».

Во-вторых. Точный смысл минимального количества насущно необходимых понятий должен быть до конца осознан учащимися.

В-третьих. Учитывая невозможность в рамках школьной программы полного обоснования теории пределов, следует свести к минимуму число теорем, подлежащих усвоению. Не только можно, но и должно ряд теорем давать без доказательства, но с надлежащим разъяснением их смысла.

Какие же сведения из теории пределов необходимы для элементарной математики? Для элементарной математики существенно понятие предела числовой последовательности. В самом деле, площадь круга определяется как предел последовательности площадей правильных вписанных многоугольников; объем конуса как предел последовательности объемов правильных вписанных пирамид; сумма бесконечно убывающей прогрессии как предел последовательности ее частных сумм и т. д. Поэтому естественно в курсе IX класса говорить не о пределе «переменной величины» вообще, а о пределе последовательности. На такую точку зрения вполне правильно встал проф. Н. А. Глаголев при переработке учебника геометрии Киселева. Однако в тексте учебника параграфы, посвященные понятию предела, изложены лаконично, без достаточной методической детализации.

Ниже мы попытаемся наметить примерное содержание учения о пределах в школьном курсе IX класса, разбив всю тему на отдельные вопросы.

I. Понятие последовательности. Если учащиеся в VIII классе хорошо усвоили понятие функции как соответствия, то понятие последовательности не должно встретить затруднений. Множество допустимых значений для аргумента функции может быть любым числовым множеством. В частности, допустимыми значениями для аргумента могут быть всевозможные натуральные числа 1, 2, 3,..., л,...

В этом частном случае функция называется последовательностью. Нетрудно привести примеры последовательностей.

Iе. Возвысив каждое натуральное число в квадрат, получим последовательность

1, 4, 9,..., п\...у {л2}

квадратов натуральных чисел.

2°. Взяв для каждого натурального числа число, обратное по величине, получим последовательность

3°. Обычный процесс извлечения квадратного корня из числа 2 с точностью до 1, до 0,1 и т. д., продолжаемый неограниченно, приводит к последовательности приближенных значений Y 2 по недостатку

1, 1,4, 1,41,...

4°. Отрезок AB несоизмерим с единичным отрезком Е\ пусть, например, единичный отрезок укладывается на AB 3 раза, часть Е укладывается на остатке 2 раза, щ часть Е укладывается на втором остатке 5 раз. Процесс десятичного измерения отрезка AB можно продолжать неограниченно, что приведет к последовательности приближенных значений длины AB по недостатку с точностью до 1; 0,1; 0,01 и т. д.

После рассмотрения примеров можно сформулировать следующее определение:

Последовательностью называется функция от натурального аргумента.

Каждому натуральному числу п соответствует вполне определенное значение рассматриваемой функции; это значение называется я-ным членом последовательности. Буквенные или цифровые символы, обозначающие члены последовательности, обычно пишут в том порядке, как расположены числа натурального ряда: на первом месте пишут первый член s,, на втором второй член s.2 и т. д.:

5х, 52,. . ., sny. . .

Последовательность может быть задана формулой, выражающей ее закон соответствия (как, например, srt=#2); в этом случае говорят, что задается формула для «общего члена». Полагая в этой формуле последовательно п=\, 2, 3..., можем выписать любое количество членов. Вовсе необязательно, чтобы последовательность была задана формулой. Формула общего члена может не быть известной, возможно, что закон соответствия нельзя выразить формулой, содержащей рассматриваемые в элементарной математике операции. Так, например, последовательность десятичных приближенных значений j/sT по недостатку задается не формулой, а описанием процесса, позволяющего для каждого заданного п найти приближенное значение у/ 2 с точностью до —.

Вот другой пример: мы можем говорить о последовательности простых чисел

2, 3, 5, 7,. .., рпУ ...

несмотря на то, что никакие формулы (содержащие элементарные операции) для рп неизвестны.

Не исключена возможность, что двум различным числам натурального ряда соответствует одно и то же значение функции, тогда в последовательности на двух различных местах будет находиться одно и то же число. Так, например, для последовательности заданной формулой

s* = (-!)“

1, -1, 1, -1,... все члены с нечетным номером равны -f-1 и с четным номером —1.

Для последовательности заданной формулой 8.-1:

1, 1, 1,. .. все члены равны 1.

Если все члены последовательности равны между собой, то такая последовательность называется постоянной.

Так, например, длины апофем правильных описанных около круга данного радиуса R многоугольников при неограниченном удвоении числа сторон образуют постоянную последовательность bn=R.

Очень полезны упражнения на составление формулы для общего члена последовательности. Однако эти упражнения нередко даются в неправильной формулировке. Разберем для примера следующую задачу.

Составить выражение для общего члена последовательности, зная ее четыре члена

В такой постановке вопроса задача не имеет определенного решения, ибо, зная лишь четыре члена последовательности, можно «продолжить» ее как угодно. Положив, например, все дальнейшие члены равными нулю, получим:

В данном примере «наиболее естественной» представляется следующая формула для общего члена:

Полагая /1 = 1, 2, 3, 4, мы получим четыре данных члена.

После разобранного примера ясно, что продолжение посредством формулы sn = -~ есть лишь один из возможных способов продолжения. В подобного рода упражнениях надо разъяснять учащимся, что ищется формула для общего члена, представляющаяся наиболее «простой и естественной», но отнюдь не единственно возможной. Подбор упражнений не представляет затруднений и может быть выполнен учителем. Вот образцы таких упражнений:

II. Возрастающие и убывающие последовательности. Как известно, функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. В частности это определение применимо к последовательностям. Определение можно сформулировать в следующем виде.

Последовательность

называется возрастающей (убывающей), если в ней любой последующий член больше (меньше) предыдущего, т. е. для возрастающей последовательности

Sn<S* + b

а для убывающей

S«>S„+i.

Ясно, что для возрастающей последовательности любой член с большим номером больше чем любой член с меньшим номером. (Здесь аргументом является номер и, таким образом, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.)

Понятие возрастающей и убывающей последовательности следует иллюстрировать достаточно большим числом примеров. Рассмотрение конкретных примеров можно предпослать формулировке определения.

Важно познакомить учащихся с примерами последовательностей, не являющихся ни возрастающими, ни убывающими. Ниже приводим ряд несложных примеров, по образцу которых учитель сможет составить достаточное количество упражнений.

1. Процесс извлечения квадратного корня из числа 2 приводит к двум последовательностям приближенных значений:

1, 1,4, 1,41,... (по недостатку)

2, 1,5, 1,42,... (по избытку), первая последовательность возрастает, а вторая убывает.

2. Последовательность {я2} возрастает.

3. Последовательность |—| убывает.

4. Последовательность

не является ни возрастающей, ни убывающей; такую последовательность можно назвать колеблющейся. Последовательность

1, —10, 100, -1000,..., (—юу-Ч.-колеблющаяся.

6. Последовательность

-1, —10, —100,..., —10*,... убывает.

7. Последовательность

1, -1, 1,..., (_1)*-\... колеблющаяся.

Примечание. Если известно, что всякий последующий член не меньше предыдущего, т. е.

то говорят, что последовательность не убывает. Примерами могут служить последовательность

1, 1, 2, 2, 3,3,... /г, я,...

и последовательность десятичных приближенных значений по недостатку иррационального числа 0,101001000100001 ...

Аналогично определяется невозрастающая последовательность.

При рассмотрении примеров числовых последовательностей необходимо пользоваться геометрической иллюстрацией, изображая члены последовательности точками числовой прямой. Учащиеся должны хорошо представлять особенности в расположении точек на прямой для возрастающей и убывающей последовательностей. Полезно выполнить в качестве пособий крупные настенные чертежи-таблицы. На чертеже 1 представлено изображение последовательностей {/г2} и |-^-| на числовой прямой. Масштабную единицу в каждом случае надо выбирать, сообразуясь с характером последовательности, чтобы на чертеже поместилось достаточное количество точек. Такого рода упражнения необходимо давать учащимся на дом.

III. Ограниченные последовательности.

1°. Рассмотрим последовательности

Черт. 1

Все эти последовательности обладают следующим общим свойством: каким бы большим мы ни взяли число Af^>0, среди членов последовательности найдутся числа, по абсолютной величине большие, чем М. Среди точек, изображающих члены каждой из этих последовательностей, имеются точки, расположенные на числовой прямой «как угодно далеко».

2°. Рассмотрим последовательности

Никакой член каждой из этих последовательностей не может по абсолютной величине превосходить 1.

Для последовательностей приближенных значений \J2

1, 1,4, 1,41,...

2, 1,5 1,42,...,

а также для последовательности

никакой член не может по абсолютной величине превосходить число 2.

Последовательности, рассмотренные в пункте 2°, обладают следующим общим свойством: можно указать число М^>0 такое, что любой член последовательности по абсолютной величине не превосходит числа М. Последовательности, обладающие этим свойством, называются ограниченными.

Итак, последовательность

называется ограниченной, если существует число М, такое, что любой член данной последовательности по абсолютной величине не превосходит число М:

\sn\-^M. (при всех /1 = 1,2,...)

Построим на числовой прямой отрезок с концами в точках — M и Ж (черт. 2), все точки, изображающие члены ограниченной последовательности, будут лежать на этом отрезке. Это построение надо проделать для рассмотренных выше числовых примеров.

Последовательности, рассмотренные в пункте 1°, не являются ограниченными, такие последовательности называются неограниченными.

Нередко учащиеся склонны смешивать два различных понятия: «неограниченная последовательность» и «бесконечная последовательность». Термин «бесконечная последовательность» означает, что последовательность содержит бесконечное множество членов, как, например, последовательность |-^-} • Однако эта последовательность, будучи бесконечной, ограничена, ибо все ее члены заключены в промежутке от О до 1. Рассмотрением конкретных примеров следует предотвратить возможность возникновения указанной ошибки.

IV. Предел последовательности. Понятие предела является основным и вместе с тем наиболее трудным. Мы полагаем, что общей формулировке следует предпослать рассмотрение конкретных примеров.

1°. Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим этот квадрат на две равные части (черт. 3), оставшуюся часть снова делим на две равные части и т. д., как показано на чертеже 3. Рассмотрим площади заштрихованных фигур (площадь прямоугольника и фигуры, составленной из прямоугольников, известна учащимся еще из младших классов). При неограниченном продолжении описанного процесса деления прямоугольников мы получим бесконечную последовательность площадей

Интуитивно ясно, что заштрихованная площадь sn после достаточно большого числа шагов может быть сделана «как угодно близкой» к площади квадрата s=l. Какой же точный смысл следует вкладывать в последнее утверждение? Составим разность между площадью квадрата и площадью, заштрихованной после /г-ного шага:

Поставим следующий вопрос: как велико должно быть число шагов, чтобы площадь оставшейся части была меньше 0,01 ? Так как 27 128 > 100, то <С0,01, а при я>7 неравенство

1-5я<0,01 (1)

будет выполняться и подавно. Итак: неравенство справедливо при всех значениях я>7.

Ясно, что вместо 0,01 можно взять другое число и в соответствии с ним определить нужное число шагов. Так, например, неравенство

1 — sÄ<0,001

Черт. 2.

Черт. 3.

будет справедливо, если п > 10, ибо 210=1024 > >1000 и 0,001. Ясно, что вместо 0,01 или 0,001 можно задавать другие «малые» числа и для каждого из них находить такое я, что после /г-ного шага оставшаяся площадь будет меньше, чем заданное число. В общем виде результат можно сформулировать так:

Каким бы малым ни было задано число е>0, для этого числа можно указать такое число N, что разность (т. е. площадь, оставшаяся незаштрихованной) будет меньше у чем г, если только

n^>N: 1-8я<*. (2)

На конкретных примерах мы указали, что при г = 0,01 можно взять N = 7; при е = 0,001 можно взять Л/= 10.

Кратко будем говорить так: неравенство (2) выполняется при всех достаточно больших значениях п.

2°. Рассмотрим другой пример. Пусть

s- = l, Sf=l,4, 57 = 1,41,...

и

s+ = 2 s+=l,5, s+=l,42,...

последовательности приближенных значений у/2 с недостатком и с избытком. Зададим какое-нибудь «малое» число, например,

При шестом шаге процесса извлечения корня будем иметь

(по самому определению приближенных значений с недостатком и с избытком). Так как

Если взять п > 6, то неравенства

будут выполняться и подавно. Итак, для заданного числа уф мы указали число 6 такое, что при п^>6 десятичные приближенные значения у/2 по недостатку и избытку будут отличаться от меньше, чем на Вместо ^ можно взять любое другое «малое» число е и для него указать такое число Ny что неравенства

st — l/2<e и /2-$Г<е (3)

будут иметь место при всех достаточно больших значений номера п,

n>N.

Так как s^“>|/2, а 1^2 >s7, то мы в первом случае вычитали ]/2 из а во втором S/T из 1/2. Если воспользоваться знаком абсолютной величины, то неравенства (3) можно записать единообразно:

3°. Рассмотрим последовательность

Члены этой последовательности попеременно^ то больше, то меньше нуля (черт. 4), но по абсолютной величине могут быть сделаны «как угодно близкими к нулю» при достаточно больших значениях номера. Рассмотрим абсолютную величину разности между /г-ным членом последовательности и нулем:

|s„-0|=|sn| = i

Возьмем любое как угодно малое число е^>0; неравенство \sn — 0 [ < е или, что то же, <Са будет выполняться для всех значений /г2, больших чем—, т. е. при п >-^=. Так, если взять г=0,01, то |s„Ke, если /1>10: если взять 8 = 0,001, то |s„|<e, если /г = 31.

После рассмотрения примеров можно сформулировать определение:

Число I называется пределом последовательности.

$\ч 52,..., Snj...,

если каким бы малым ни было взято число е при всех достаточно больших значениях п абсолютная величина разности между п-ным членам последовательности и числом s;

Черт. 4.

Смысл утверждения, что неравенство (4) выполняется при всех достаточно больших значениях л, заключается в следующем: каким бы малым ни было задано число г, для этого числа можно указать такое число 7v, что неравенство будет выполняться для всех (без исключения) членов последовательности, номер которых больше чем N, т. е. п > N. В рассмотренных предварительных примерах мы для конкретных числовых последовательностей и для численно заданного £ отыскивали соответствующие значения для N.

Для обозначения предела последовательности будем писать:

\\msn = /*.

Возвратимся к рассмотренным примерам. В примере 1° имеем

\\msn = 1.

В примере 2°

lim st = lim s^ = \/2.

В примере 3°

lim<=j£ = 0.

Желательно, чтобы учащиеся представляли себе геометрический смысл неравенства (4). Это неравенство иначе можно переписать так:

/-e<s„</ + e. (5)

При всех достаточно больших значениях п точка, изображающая член s„, находится на расстоянии меньшем е от точки /; ясно, что при этом условии точка sn должна лежать внутри промежутка с концами в точках / — s и /—|— е, что и выражают неравенства (5).

Для закрепления общего определения следует рассмотреть несколько примеров. Один из таких примеров приводим в качестве образца. Найти предел последовательности с общим членом sn=2~^TY Сначала полезно взять значения sn при каком-либо большом п. Положим, например, п = 100, тогда s100 = 2и1 , получилось число, близкое к-у-. Можно взять еще несколько значений для п. Теперь покажем, что lim sn = . Требуется доказать, что при любом наперед заданном г>0 будем иметь

при всех достаточно больших п. Это неравенство можно записать так:

откуда

следовательно, 2п > -j--1, и, наконец определяем, как большим следует взять п:

Так, например если мы положим s = щ^, то следует взять: п>Ы~ 4“-Достаточно положить п>50, чтобы иметь

|s»-4-|<0'01-

Вот примеры таких упражнений:

Для твердого усвоения понятия предела необходимо привести примеры последовательностей, не имеющих предела.

1°. Рассмотрим две последовательности

Первая имеет предел, равный 0, а вторая 1. Образуем новую последовательность, поставив члены данных последовательностей «через один» следующим образом:

Эта последовательность не имеет предела. Точки, изображающие ее члены, группируются около двух точек 0 и 1.

2°. Примером последовательности, не имеющей предела, может служить любая неограниченная последовательность.

* Нередко пишут

Вообще, если речь идет о пределе функции, то указание точки, в которой берется предел, безусловно обязательно. Так, например,

и неизвестно, о каком пределе идеть речь, если написано лишь lim л*. Однако в случае последовательности ни о каком другом пределе, кроме lim sn, речи быть не может, а потому не могут возникнуть никакие иные толкования упрощенной записи lim sn.

В качестве образца приведем примеры последовательностей, не имеющих предела. Следуя этому образцу, учитель может составить достаточное количество упражнений:

В заключение заметим следующее. На примере мы показали, что число “j/2 можно рассматривать как предел последовательностей приближенных значений по недостатку и по избытку. Однако ясно, что вместо ]/2 можно взять любое иррациональное число а. Иррациональное число а можно представить в виде бесконечной (непериодической) десятичной дроби. Сохранив в этой дроби п знаков после запятой и откинув все последующие, получим приближенное значение s~ по недостатку числа а с точностью до —. Увеличив на 1 последний знак s~, получим приближенное значение s+ числа а по избытку с той же точностью. Имеем:

откуда

Следовательно,

Поэтому иррациональное число можно рассматривать как общий предел последовательностей его десятичных приближенных значений по недостатку и по избытку*.

V. Теоремы о пределах. Наметим тот минимум теорем, который следует рассмотреть в IX классе.

Теорема, утверждающая, что всякая последовательность может иметь только один предел, доказана в учебнике геометрии Киселева, § 228 (текст принадлежит проф. Н. А. Глаголеву). К доказательству полезно дать геометрическую иллюстрацию.

Пусть Птап = Л и Итап = В; заключим точки А и В внутрь достаточно малых промежутков (А — s, i4-f-e) и (В— е, В-{-г), не имеющих общих точек (черт. 5).

Черт. 5.

Теперь ясно, что точка ап при достаточно больших п не может принадлежать обоим этим промежуткам.

На основании этой теоремы можно утверждать, что всякая последовательность либо имеет один предел, либо не имеет предела.

Основной теоремой является теорема о возрастающих (или убывающих) ограниченных последовательностях :

Всякая возрастающая (или убывающая) ограниченная последовательность имеет предел.

Примечание. Теорема верна для неубывающих и для невозрастающих последовательностей.

В учебнике геометрии Киселева (§ 229) эта теорема сформулирована для возрастающих последовательностей, доказательство же дано мелким шрифтом. Мы считаем, что эту теорему следует дать без доказательства, и лишь в исключительных условиях можно воспользоваться доказательством, данным в учебнике.

Теорема о возрастающих и убывающих последователь ностях имеет исключительно важное значение в геометрии, поэтому сообщая ее (как правило) без доказательства, учитель должен весьма обстоятельно разъяснить ее смысл. Для этого надо вспомнить примеры уже рассмотренных возрастающих и убывающих ограниченных и неограниченных последовательностей. Следует дать геометрическую иллюстрацию теоремы. Желательно изготовить большие таблицы по образцу чертежа 6.

Черт. 6.

Теперь перейдем к теоремам о действиях над пределами. Мы полагаем что теоремы о пре-

* Однако было бы ошибкой это последнее свойство выставить в качестве определения понятия иррационального числа. Против этой логической ошибки предостерегал еще Г. Кантор. Дело в следующем: чтобы утверждать, что Нш5~ = а, надо установить при всех достаточно больших п справедливость неравенства j s~ — а ] < е, но чтобы составить разность 5~ — а, надо сначала определить понятие иррационального числа и установить действия над действительными числами.

делах суммы, произведения и частного следует сообщать без доказательства, разъяснив надлежащим образом, их смысл. Возьмем, например, теорему о пределе суммы. Пусть мы имеем две последовательности

аи а2т--> ап>--- (а)

t>2> • • •> bn> • • - (*)

Составим новую последовательность, сложив соответствующие члены данных последовательностей. Получим последовательность-сумму

Чтобы эта постановка вопроса не показалась искусственной, следует напомнить действия над иррациональными числами. Если даны два действительных числа a иß, представленные в виде бесконечных десятичных дробей, то чтобы получить приближенные значения суммы a-f-ß, именно так и поступают: составляют последовательности приближенных значений для каждого из слагаемых, а затем складывают соответствующие приближенные значения.

Теорема о пределе суммы утверждает, что если каждая из последовательностей (а) и (Ь) имеет предел

lim а„ = А и lim Ъ„ = В,

то последовательность-сумма также имеет предел, равный сумме А-\-В:

lim (ая + Ьп) = А +В.

При благоприятных условиях (однако это вовсе не обязательно) можно дать доказательство примерно в следующем виде. Составим разность между ап-\-Ьп и суммой пределов А + В

(*я + К)-(А + В) = (ап - А) + (Ьп - В).

Надо доказать, что при достаточно большом п абсолютная величина этой разности будет меньше любого наперед заданного числа е. Но при достаточно большом п будем иметь

(так как lim ап = А и Hm Ьп = В)

\{*п + Ьп)-{А + В)\<\а„-к\+\Ья-В\

(по свойству абсолютной величины суммы, вытекающему из правила сложения относительных чисел), а потому и подавно

1К + ^)~И + ^)!<-5- + ~- в ч т. д.

Повторяем, что мы вовсе не считаем обязательным это доказательство.

Теоремы о пределе произведения и частного

и

(где lim Ъп ф 0) сообщаются без доказательства.

Полезно снова обратиться к действиям над иррациональными числами. Можно взять какие-либо два иррациональные числа, например, |/2 и 1/7, и вычислить ряд членов последовательностей, приближенных значений их суммы и произведения.

Мы полагаем, что этих сведений вполне достаточно для сознательного понимания тех вопросов геометрии и алгебры, которые требуют применения понятия предела. Учитель должен руководствоваться следующим основным положением: учащиеся должны получить правильное представление о сущности дела и уяснить точный смысл новых понятий, стремиться же к формальному разучиванию как можно большего количества доказательств отнюдь не следует.

На этом мы заканчиваем изложение вопроса о преподавании теории пределов в IX классе.

Примечание I. В приведенном выше изложении мы вовсе не пользовались понятием бесконечно малой величины. Полагаем, что есть лишь одно «разумное» основание вводить это понятие — вопрос «что такое бесконечно малая?» может встретиться в экзаменационном билете.

Примечание II. Мы полагаем, что для первоначального ознакомления с понятием предела этих сведений достаточно, и в IX классе не следует давать большее количество нового материала.

Если учащиеся правильно и ясно усвоили понятие предела последовательности, то не представит затруднений по мере возникновения в том потребности делать нужные обобщения. Так, когда понадобится ввести понятие бесконечного предела, будет уже нетрудно дать соответствующее определение:

Символической записью

lim sn=oo

обозначают следующее свойство числовой последовательности: каким бы большим ни было наперед задано число /С>0 при всех достаточно больших п, будет выполняться неравенство

Для иллюстрации определения следует обратиться снова к уже знакомым примерам.

Так, для последовательности sn = n2 будем иметь:

/г2>10, если я>3;

/г2 > 1000, если я>31;

ri1 > 1 000 000, если п > 1 000. Аналогично определяется понятие lim $лвв— оо.

Заметим, что если lim | sn | = оо, то это еще не значит, что lim я= оо или lim s„= — оо. Примером может служить последовательность

2,-4, 8,-16,..., (_l)“-i.2*,...

Примечание III. В связи с изучением суммы «бесконечно убывающей» прогрессии необходимо подчеркнуть следующее. Арифметика изучает действия с конечным числом компонентов. Всякое выражение, содержащее указание на необходимость выполнения некоторых действий в бесконечном количестве, как, например,

с точки зрения обычной арифметики не имеет смысла. Придать этому выражению смысл можно лишь по определению. Таким образом, нельзя доказать, что сумма бесконечно убывающей прогрессии есть предел последовательности ее частных сумм] здесь мы инеем дело не с теоремой, а с определением. Это должно быть отчетливо осознано учащимися.

Полезно привести известный пример суммирования ряда

(s)

Можно рассуждать так. Само по себе (оставаясь на базе арифметических определений) это выражение не имеет смысла, так как мы не знаем, что значит сложить бесконечно много слагаемых. Сложим п первых членов:

Как нетрудно видеть, Нт5я = 1. Этот предел мы условимся рассматривать как сумму s.

Следует считать крайне вредным нижеследующее «решение» одной из задач, относимых некоторыми учителями к числу остроумных, изящных упражнений. Найти

По возведении в квадрат получим:

Дальнейший ход ход «решения» ясен.

Во-первых, само по себе без определения не ясно, какой смысл имеет данное выражение.

Во-вторых, если даже мы и будем рассматривать его как предел аналогично построенного выражения, но с конечным числом п радикалов, то надо еще доказать существование этого предела и законность выполнения указанных преобразований. Без этого обоснования все «решение» становится грубо дефектным, способным внушить учащимся лишь ложные представления. Вспомним знаменитый парадокс, основанный на рассуждениях того же характера:

5 = 1_1+1_1+...=(1_1)+(1_1)+...=0

и

5 = 1 —1+1-1+... = 1-(1 —1)—(1—l)-f ... = 1

Примечание IV. Весьма важным применением понятия предела является нахождение объемов тел, например, пирамиды, посредством разрезания тела на слои, суммирования объемов этих слоев (рассматривая их приближенно как призматические или цилиндрические) и предельного перехода (см., например, Н. А. Глаголев, Элементарная геометрия. Стереометрия). Конечно, в средней школе не может быть и речи об обосновании учения об объемах с той степенью строгости, которая присуща современной науке. Указанный метод наиболее близко подводит учащихся к пониманию тех методов, которыми пользуется современная математика. В том же направлении идет развитие идей в интегральном исчислении.

В школе до настоящего времени еще имеет хождение принцип Кавальери. По вопросу о целесообразности использования принципа Кавальери нет единого мнения, и мы позволим себе высказать нашу личную точку зрения. Мы не намерены умалять исторического значения принципа Кавальери, но полагаем, что в настоящее время этот принцип лишь вуалирует сущность дела. Формулируемый без обоснования, принцип способен вызвать справедливое чувство неудовлетворенности. Для «высшей математики» принцип бесполезен, ибо в условиях его применимости подинтегральные выражения и пределы двух интегралов одинаковы, но тогда и интегралы имеют одинаковое значение; это факт настолько тривиальный, что было бы странно возводить его в принцип. Применение принципа Кавальери далеко не всегда естественно. Не так легко догадаться, что для вычисления объема шара следует в цилиндре сделать коническую выемку! Мы полагаем, что принцип Кавальери просочился в школу в период увлечения справедливо осужденными тенденциями к упрощенчеству.

О ПРЕПОДАВАНИИ ПРЕДЕЛОВ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Проф. В. М. ШЕПЕЛЕВ (Коломенский учительский институт)

Среди всех вопросов математики, изучаемых в средней школе, наиболее трудным для восприятия учащихся является теория пределов. В большинстве случаев элементы теории пределов крайне затрудняют учащихся; теория воспринимается механически, не приносит пользы для математического развития и не облегчает изучения пределов в высшей школе. Это обстоятельство различными лицами объясняется различно. По мнению автора настоящей статьи, одной из основных причин трудности усвоения учащимися этого раздела школьного курса является разрыв между определением и приложениями.

Определение предела дается для случая величины, меняющейся непрерывно, а во всех применениях, какие встречает понятие предельного перехода на протяжении курса средней школы, речь всегда идет о пределе последовательности*.

Предел последовательности рассматривается в теории бесконечных десятичных дробей, теории иррациональных чисел, при изучении прогрессии и во всех геометрических приложениях. Таким образом, ученику приходится иметь дело с двумя разновидностями переменных: с переменной, принимающей счетную последовательность значений, и с переменной, меняющейся непрерывно и, следовательно, принимающей множество значений мощности континуум, а это приводит к известным затруднениям, ибо эти разновидности «отличаются друг от друга столь существенными моментами, что при первом знакомстве с понятием предела трудно усмотреть в них роднящие общие черты и признать их частями единого целого»**.

Эти затруднения осложняются тем, что во всех вопросах, которые изложены в учебнике геометрии*** и в основном курсе алгебры****, рассматриваются последовательности, а в дополнение к тому же учебнику алгебры***** идет речь о «переменной величине х», которая при своем изменении «может быть сделана и в дальнейшем остается».

Учитель считает себя не вправе выпустить или сократить вопросы, затронутые в этом дополнении, потому что программа IX класса по геометрии требует дать не только «Понятие о пределе числовой последовательности», но и «основные теоремы о бесконечно малых и пределах». Это вынуждает учителя рассматривать предел переменной, которая «делается и в дальнейшем остается».

Давая такое определение предела переменной величины, стремятся охватить две разновидности: 1) предел последовательности ух, у2, Уь>• • • > Ую • • • при и 2) предел функции y=f(x) при условии, что x стремится к постоянному числу а.

Но школьнику трудно «усмотреть роднящие общие черты» и осознать, что и в том и в другом случае имеется функция, различие только в поведении независимой переменной, характеризующей собой течение процесса: в первом случае эта переменная п, пробегает лишь целые положительные значения, во втором x — непрерывный ряд значений; в первом случае п безгранично возрастает, во втором x стремится к конечному пределу.

Невольно возникает вопрос: «А для какой цели школьник должен преодолевать указанные трудности? Вероятно, понятие предела непрерывно меняющейся величины приносит пользу для его математического развития или облегчает изучение теории пределов в высшей школе?»

Ответ напрашивается отрицательный, ибо нельзя утверждать, что большую пользу для математического развития приносит то, что воспринимается формально и не находит никакого применения в других отделах математики.

Так же нельзя утверждать, что понятие предела переменной величины будет необходимо при изучении высшей математики, потому что многие учебники высшей математики совершенно не вводят этого понятия. Например, перед самой войной поступила в продажу книга «Курс математического анализа» под общей редакцией В. В. Немыцкого******, предисловие к которой начинается словами: «От других учебников мате-

* Программа средней школы не включает вопроса о предельном значении функции. Вопросы, аналогичные вопросу о значении функции tg х, когда х = 90°, трактуются в средней школе без пояснения о предельном переходе, и могут быть предметом специальной статьи.

** Проф. А. Я. Хинчина, Основные понятия математики и математические определения в средней школе. Учпедгиз, 1940.

*** Киселев, Геометрия, ч I.

**** Киселев, Алгебра, ч. II.

***** Дополнение II «О пределах».

****** Немыцкий, Слудская, Черкасов, «Курс математического анализа- Госиздат технико-теоретической литературы, М.—Л. 1940. Для математических факультетов университетов и педагогических институтов.

матического анализа настоящая книга отличается прежде всего тем, что мы совершенно отказались от понятия предела переменной величины, сведя все вопросы теории пределов к рассмотрению предельных значений функций».

Построение теории пределов на основе рассмотрения предельных значений функций не только сохранилось во 2-м издании названной книги, но в 1946 г. появилось в книге С. П. Виноградова «Краткий курс высшей математики», переработанной Б. В. Кутузовым* и в новом издании книги Берманта: «Курс математического анализа для втузов».

Указанное построение теории пределов, пожалуй, нельзя принять в средней школе в силу возрастных условий учащихся, да и нет необходимости вводить такое изложение. в курс средней школы, потому что программа средней школы не включает вопросы о предельном значении функции, и это понятие будет в значительной степени чуждо другим вопросам средней школы.

Не лучше ли избежать излишних трудностей и ограничиться более узкой концепцией предела? Не следует ли совершенно исключить из рассмотрения предел переменной величины и не вводить предельного значения функции, а рассматривать только предел последовательности} Это позволит сделать изложение логически более прозрачным и более доступным пониманию учащихся.

«Основной задачей преподавания теории пределов в средней школе является создание прочного и отчетливого представления о предельном переходе, идейно отвечающего той концепции предела, которая принята современным математическим анализом и его основными приложениями»,—утверждает профессор А. Я. Хинчин в указанной брошюре. Трудно что-либо возразить на это профессору А. Я. Хинчину, так же, как трудно не согласиться с его утверждением, отмечающим существование «того общеизвестного явления, что даже самые основные понятия, формулировки и методы рассуждения в школьном преподавании в силу вековой традиции часто излагаются в несоответствии с их пониманием и практикой в современной науке».

В силу только «вековой традиции» до сих пор сохраняется в школе рассмотрение предела непрерывно меняющейся величины.

Необходимо отказаться от «вековой традиции» и излагать теорию пределов в средней школе на основании рассмотрения последовательности. Для этого необходимо дать определение предела, удовлетворяющее двум основным требованиям:

определение, во-первых, должно быть достаточно конкретно и, во-вторых, не должно находиться в противоречии с современным научным пониманием.

Ограничившись рассмотрением переменных, принимающих счетную последовательность значений, нетрудно удовлетворить высказанным требованиям.

Школьник, ознакомившийся с понятием предела последовательности, без труда овладеет в вузовском курсе понятием предельного значения функции, принадлежащим Гейне:

Число b называется предельным значением (пределом^) функции y=f(x) при x, стремящемся к а, если, какова бы ни была последовательность значений х:

*и х2, х3..„ хп,... (где хп = а),

имеющих пределом число а, соответствующая им последовательность значений У1=/(Хг)>У2 =/(х*\Уз=*/(*з) • •..Уя=/(хя) имеет пределом число Ь.

А это определение Гейне, как известно, естественно приводит к определению Коши.

Автор настоящей статьи поставил своей целью указать, как школьный учитель может, изменив только определение бесконечно малой величины, изложить теорию пределов, сохранить почти без изменения обычные теоремы и, не вводя указанной двойственности, выполнить утвержденную программу. «Понятие о пределе числовой последовательности. Основные теоремы о бесконечно малых и пределах».

Изложение теории пределов можно начать с примеров последовательностей и рассмотреть какую-нибудь арифметическую прогрессию, например:

(1) fl^—0,3; д2 = 0,6; д3=»0,9; а4 —1,2;...; ая = 0,3-/1,. . .

какую-нибудь геометрическую прогрессию, например:

(2)

а также

и еще последовательность, получаемую при помощи какого-нибудь простого закона, например:

* Учебник для учительских институтов, Учпедгиз, 1946.

Взяв для каждой последовательности свою числовую прямую, отметим на ней точки, соответствующие начальным элементам каждой последовательности (см. чертеж). Эти отмеченные точки будем называть короче элементами данных последовательностей. Допустив, что отмечены все элементы данных бесконечных последовательностей, легко заметить существенное различие в расположении элементов этих последовательностей. В случае последовательности (1) или (2) нельзя указать точки, к которой «сходятся» элементы данной последовательности, а в случае последовательности (3) или (4) можно указать точку, к которой «сходятся» элементы данной последовательности: элементы последовательности (3) «сходятся» к точке 0, а элементы последовательности (4) «сходятся» к точке 1.

Указанное различие в расположении элементов последовательности дает основание для введения понятия «сходящейся последовательности».

Числовая последовательность называется сходящейся, если на числовой оси, на которой отмечены все элементы этой последовательности, можно указать такую точку, что любой отрезок с центром в этой точке не содержит только конечного числа элементов этой последовательности, а содержит внутри себя бесконечно много элементов этой последовательности.

Необходимо на конкретно взятых последовательностях, например на последовательностях (3) и (4), показать, что любой отрезок с центром в точке, которая является пределом последовательности, не содержит только конечного числа элементов этой последовательности, а содержит внутри себя бесконечно много элементов этой последовательности. На примере последовательности (4) легко видеть общее заключение:

если последовательность х1у х2,..., хп,... сходится к а, то последовательность хг — а, х2 — а, хь — а,..., хп — а,... сходится к 0.

Это показывает, что особо важную роль играют последовательности, сходящиеся к нулю. Для дальнейшего изучения их следует геометрическое определение таких последовательностей заменить алгебраическим. Для этого вспомним, что если отрезок (—е,-}-е). имеющий центром точку О и длину 2е, содержит точку ал, то выполняются неравенства — е -< ал < е. Если же точка ап лежит вне указанного отрезка, то неравенства выполняться не будут. Если последовательность xv дг2, хь.. . сходится к 0, то для любого положительного б отрезок ( — е, + s) содержит бесконечно много элементов этой последовательности и не содержит только конечного числа элементов этой последовательности.

Значит, неравенство — е < ап < s может не выполняться только для конечного числа значений п, а для всех достаточно больших значений п оно выполняется. Это приводит нас к следующему определению:

Последовательность аг, сс2, а3,... ,ап,... называется сходящейся к нулю, если для любого положительного е выполняется неравенство

-s <ая<8

для всех достаточно больших значений п.

Такое определение значительно суживает понятие бесконечно малой, потому что переменные величины, которые принимают несчетное множество значений, выпадают из нашего рассмотрения. Но так как во всех вопросах, связанных с переходом к пределу и включенных в программу средней школы, приходится иметь дело только с величинами, принимающими счетную последовательность значений, то такое сужение определений вполне уместно в средней школе. Кроме того, это определение более просто, имеет применение во многих вопросах, а потому является более конкретным, отчего легче воспринимается учащимися и воспринимается ими сознательно, а не просто механически заучивается. Сознательное же усвоение понятия бесконечно малой дает известное расширение математического развития учащихся. Для тех, кто будет в дальнейшем изучать высшую математику, это понятие является хотя и недостаточным, но очень полезным, потому что, имея понятие о бесконечно малой, принимающей счетную последовательность значений, легко расширить это понятие на случай величин, принимающих несчетное множество значений, например, при помощи указанного определения Гейне.

Замечание. Из определения бесконечно малой следует, что если ап есть бесконечно малое, то и (— ап) будет тоже бесконечно малой.

Итак, чтобы данную величину можно было назвать бесконечно малой, необходимо наличие двух условий:

1. Она принимает последовательность различных значений.

2. Эта последовательность сходится к нулю.

Условимся 0 называть бесконечно малой, хотя 0 и не удовлетворяет данному определению.

Можно рассмотреть такую последовательность, у которой первое значение равно 0, второе О, третье 0 и т. д. Точки такой последовательности уже «сошлись» в одну точку, а не только «сходятся». Поэтому во многих случаях очень целесообразно считать 0 бесконечно малой. Если не считать нуль бесконечно малой, то формулировки многих теорем излишне усложнятся.

Надо указать школьнику, что никакую постоянную, отличную от нуля величину нельзя представить последовательностью «сходящейся» к нулю, и потому нельзя называть бесконечно малой. И, например, выражение: «сантиметр есть бесконечно малое по сравнению с расстоянием до Солнца» должно «оскорблять слух современного математика».

Никакую физическую величину нельзя измерить совершенно точно. Например, еще никому не удалось измерить длину с точностью до (10~ю) процентов. Поэтому при решении какой-нибудь физической задачи на вычисление длины не имеет никакого смысла пытаться дать ответ с точностью до 10 ~10 процентов. Например, при вычислении расстояния от Земли до Солнца не имеет смысла говорить об одном сантиметре.

Величины, настолько малые по сравнению с другими, что они не оказывают никакого влияния на практическое применение ответа данной задачи, называются в этой задаче ничтожно малыми.

Можно сказать: «по сравнению с расстоянием до Солнца сантиметр есть ничтожно малая величина».

Например, при вычислении длины большой железнодорожной линии 1 м можно считать величиной ничтожно малой, а при вычислении размеров вагона это недопустимо.

Школьнику надо указать основное различие между величинами ничтожно малыми и бесконечно малыми.

Если ничтожно малую величину умножить на постоянное число, то произведение может не быть ничтожно малой величиной, но произведение бесконечно малой на постоянную величину остается бесконечно малой.

В качестве примера доказательства теорем при принятом определении бесконечно малой величины приведем доказательство высказанного свойства бесконечно малых величин.

Дана бесконечно малая величина хп\ надо доказать, что произведение Лхп, где А постоянная величина, тоже бесконечно малая величина.

В силу замечания о знаке бесконечно малой величины, достаточно доказать только для случая, когда множитель А положителен.

Другими словами, дана последовательность

(5)

которая сходится к нулю, а надо доказать, что последовательность

(6) Axv Ах2, Ахг,..., Ахп, ..., где А > 0,

тоже сходится к нулю.

Возьмем произвольное положительное число е и рассмотрим отрезок Ç — >Г>~Ьл)*

В силу сходимости последовательности (5) только конечное число ее членов не принадлежит этому отрезку, а все члены с достаточно большими номерами содержатся внутри этого отрезка. Если число хп принадлежит этому отрезку, то

— J <хп <+j, но тогда — е<Ах:л<е, т.е.

число Ахп принадлежит отрезку (— е, —|— б).

Итак, произвольно взятому отрезку (— в, -|- г) может не принадлежать только конечное число членов последовательности (6), а все элементы с достаточно большими номерами принадлежат взятому отрезку, а это и значит, что эта последовательность сходится к 0, а потому Ахп есть бесконечно малая величина, когда п принимает значение натурального ряда чисел.

В еилу этой теоремы произведение числа 10000000 000 и бесконечно малой величины СУУ, где п принимает последовательность натуральных чисел, является бесконечно малой.

Значит, величина -^п- при бесконечно возрастающем п будет бесконечно малая величина, хотя першые значения, которые принимает эта величина, выражаются довольно большими числами:

хг — 5 000 000 000; хъ = 2 500 000 000; х% = 1 250 000 000, ...

Используя понятие бесконечно малой, легко дать определение предела:

Пределом переменной величины хп, где п принимает всевозможные натуральные значения, называется такое постоянное число а, что разность хп — а является бесконечно малой величиной.

Можно указать, что отметив на числовой оси точки, изображающие различные значения, которые принимает хп, получаем последовательность, сходящуюся к а.

Это выражают записью при помощи следующего символа:

lim хп=а,

который читается так: «предел величины хп при п, стремящемся к бесконечности, равен а».

Введя определение предела, можно сказать, что бесконечно малая величина имеет пределом нуль, и обратно, если

lim хп = 0,

то величина хп есть бесконечно малая, когда п принимает последовательность натуральных чисел.

Автор считает, что следует писать «lim», а не «пред», но читать «предел при п стремящемся к бесконечности»; необходимо приучить школьника с самого начала знакомства с пределами указывать условия, в которых ищется предел.

Дальнейшее изложение теории пределов остается почти неизменным, необходимо только у переменных ставить индекс п и писать «lim» вместо «пред. х» или «lim*». Даже текст дополнения II к учебнику Киселева «Алгебра» (часть вторая) можно во многом сохранить, принимая, конечно, во внимание сказанное выше. Следует избегать записи вроде следующей: «дана переменная х, такая, что х—*3», а полезно всегда брать какую-нибудь конкретную величину, которая стремится к 3, например можно взять хп = —^— и придавать п значения 1, 2, 3, 4, 5...

Опыт автора показывает, что учащийся усваивает данное определение бесконечно малой легче, сознательнее и сразу привыкает различать ничтожно малую от бесконечно малой. Учащийся привыкает к тому, что бесконечно малая может иметь первое значение очень большое, второе еще больше, третье еще больше и т. д., но для достаточно больших номеров значение ее будет (по модулю) меньше любого задуманного числа. Это дает некоторое математическое развитие и в значительной степени облегчает усвоение вузовского курса.

ОБ ОДНОМ ПРИЕМЕ БОРЬБЫ С ОШИБКАМИ УЧАЩИХСЯ ПО АЛГЕБРЕ

В. Л. МИНКОВСКИЙ (Шадринск)

Работа над ошибками учащихся составляет одну из главнейших обязанностей учителя. Часто практикуемое простое указание на ошибки, как правило, не искореняет последних. Осуществляясь в порядке пропедевтики, оно порой способно лишь провоцировать возникновение ошибок. В известной степени помогает постоянное воспроизведение соответствующих правил. Однако основным, эффективно действенным средством оказывается только содержательный анализ ошибок и причин их возникновения.

Всякий ошибочный ответ парадоксален, он противоречит одному из исходных принципов или одному из ранее полученных выводов в данной отрасли знания. Возникает возможность постановки вопроса: существуют ли условия и если да, то какие, при соблюдении которых ошибочное (в общем случае) утверждение оказывается справедливым.

В практике преподавания следует воспользоваться некоторыми из ученических ошибок как поводом для проведения весьма ценных в педагогическом отношении элементарных исследований. От учащихся здесь требуется установить, при каком дополнительном условии анализируемое ошибочное соотношение окажется справедливым. Подобными упражнениями достигается углубленное осознание теории и допущенной ошибки. Эти же упражнения играют известную роль в развитии функционального мышления учащихся, так как на каждое выражение вырабатывается взгляд как на функцию входящих в него букв.

Конкретизируем высказанные утверждения несколькими примерами из нашей педагогической деятельности в средней школе.

Пример первый. Ученик VII класса 3., выполняя сложение двух дробей, сложил их числители и знаменатели отдельно, первую

сумму взял за числителя, вторую за знаменателя, т. е. выполнил сложение дробей так:

(1)

Несмотря на парадоксальность написанной формулы, можно указать бесконечное множество таких значений для а, Ь, с и d, при которых равенство (1) будет иметь место. К числу таких значений принадлежат, например, следующие: а = — 12, 0 = 2, с = 3, d = l. Вообще равенство (1) будет удовлетворяться любой системой четырех чисел, взятых при условии:

К последнему соотношению приходим с помощью следующих элементарных выкладок:

или

(2)

Придавая произвольные значения Ьу с и d, исключая ô = 0, d=0, b-\-d=0 и находя соответствующие значения а по формуле (2), получим бесконечное множество систем из четырех чисел, удовлетворяющих парадоксальной формуле (1).

Равенство (1) справедливо тогда и только тогда, когда выполнено дополнительное условие (2). Подобные формулы не имеют, конечно, практического значения. С их помощью можно только пополнить коллекцию любопытных арифметических тождеств.

«Универсальная» же формула — -|- — = — не связана никакими ограничениями, если не считать требования, чтобы b и d были отличными от нуля, выражающего запрет деления на нуль. Разумеется, только эта формула выражает общее правило сложения алгебраических дробей.

Пример второй.

(3)

Весьма распространенная ошибка: сокращение знаменателя на общего числителя с одним из слагаемых числителя.

Ставим перед учениками вопрос: в каких частных случаях эта грубейшая ошибка не приведет к заблуждению?

Исследование дает: ас -\~ be = ас -\- ade, be = abc или b = ab, так как знаменатель с не может быть равен нулю. Из соотношения b (I — а) = 0 следует, что равенство (3) будет справедливо только в двух частных случаях: во-первых, когда Ь = 0 и формула (3) принимает вид во-вторых, когда а = 1 и формула (3) принимает вид —-— = —^— .

Пример третий.

(4)

Типичная и весьма упорная ошибка. Исследование дает:

Из последнего равенства следует, что или а = 0, или

ô2 + £2 + fo = 0.

Однако трехчлен b2 -f- с1 -\- be ни при каких действительных отличных от нуля значениях b и с в нуль не обратится. В самом деле, если Ьфс, то или b2^>\bc\f или с2^>\Ьс\, если Ь = с, то Ь2 = с2=be. А потому во всех случаях b2-\-c2-\-bc>0.

Выходит что «формула» (4) оказалась справедливой только в том тривиальном случае,, когда а=0.

Мы не случайно остановились на примерах, относящихся к тождественным преобразованиям над алгебраическими дробями и к действиям над ними. Дело в том, что очень большое число массовых ошибок учащихся падает именно на эти вопросы.

Пример четвертый:

\Ttf~b = a Vb. (5)

Ученик VIII класса Р., сделавший эту ошибку, вслух рассуждал так: корень квадратный из а2 есть а, так как из b он не извлекается, то b остается под корнем, получается a \/b.

В. Г. Прочухаев на основании просмотра большого числа работ учащихся различных школ нашей республики утверждает, что ошибки типа}/11 = 3 “|/2 «весьма распространены и требуют упорной работы по их предупреждению»*.

* Кандидатская диссертация на тему „Анализ ошибок учащихся средней школы по математике“, М. 1945, стр. 88. Рукопись хранится в фонде диссертаций Ленинской библиотеки под шифром ДК

По времени возникновения ошибку нашего ученика, весьма склонного к автоматизму, мы объясняем как следствие переноса на этот случай только что приобретенного навыка в извлечении корня из произведения.

Заставив ученика с помощью класса ощутить свою ошибку, предлагаем учащимся на дом задание: установить, при каком дополнительном условии формула (5) будет иметь место, и воспользоваться этим соотношением для пополнения нашей галереи числовых тождеств.

Исследование дает: a2-{-b=a2b; a2=*b (а2—1);

(6)

Формула (5) имеет место в множестве действительных чисел, когда а>1 и выполнено соотношение (6). Исключаются значения а = 4-1, при которых соотношение (6) теряет смысл, а формула (5) становится неверной.

Если, например, а=2, то Ь=-^~ и

Подобные исследования весьма заинтриговали многих учеников. Так, например, к следующему уроку по собственной инициативе ученик Г. составил и разрешил задачу, которую мы приводим в качестве последнего примера.

Учитель должен быть предупрежден, что рекомендуемый разбор ошибок приносит положительный эффект только при условии глубокого осознания учащимися всех элементов проводимых рассуждений. Несоблюдение этого условия не только полностью обесценивает применение упражнений указанного типа, но и делает их вредными, так как в сознании учащихся сохраняется лишь след от зрительного восприятия неверных формул.

Пример пятый. Установить условия применимости парадоксальной формулы уЛао=у.

Исследование дает: аЪ = -^ \ ab9=a2:

Отсюда или а = 0, или

b = Vä. (7)

Первый случай тривиален, но второй может служить источником любопытных арифметических тождеств. Так, если а положить, например, равным 8, то b=}f%=2, а|/8-2 находится делением первого множителя подкоренного числа на второй.

В заключение считаем нужным подчеркнуть, что предлагаемые упражнения содержат элементы активного противодействия механическому заучиванию правил и не имеют ничего общего с бессодержательными задачами-шутками типа следующих:

«1) Имеем “65“ = ~5“- Нет ли еще других дробей, которые можно сократить простым зачеркиванием одинаковых цифр?

2) а + ь ==а— *• Нет ли еще других дробей, которые можно сократить простым зачеркиванием одинаковых букв»*.

Подобные же «доказательства» для тригонометрических тождеств, построенные на зачеркивании в соответствующих формулах тригонометрии символов тригонометрических функций, приводит В. Городков в своих «Математических заметках»**.

Законное сомнение, в какой мере подобные доказательства (поскольку они ограничиваются простым констатированием факта) могут быть поучительны или даже только курьезны, выражает Я. С. Дубнов в статье «О разложении на множители некоторых тригонометрических выражений»***.

* Бем, Волков, Струве, Сокращенный сборник упражнений и задач по элементарному курсу алгебры, ч. 1, М. 1928, стр. 82.

** .Математика в школе“, М. 1938, т. 1, № 1, стр. 33 34.

*** Сборник статей под редакцией И. Чистякова и Н. Соловьева .Вопросы математики и ее преподавания“, М. 1923, стр. 66.

ИЗ ОПЫТА

БОЛЬШЕ ВНИМАНИЯ ТЕХНИКЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ*

С. М. ЧУКАНЦОВ (Калуга)

В статье «Арифметические записи в средней школе» Ю. О. Гурвиц и С. В. Филичев поставили вопрос о некоторой унификации записи выполнения действий в арифметике, а также поделились своими соображениями по вопросу: «Как записывать учащимся краткие объяснения при решении текстовых задач».

Нам кажется, что затронутые в статье вопросы поставлены авторами своевременно. Нерациональность записей учащихся при решении арифметических примеров уже неоднократно отмечалась в печати.

Мы имеем в виду обратить внимание читателей на вопросы, тесно примыкающие к вопросам, поставленным авторами, — на технику арифметических вычислений.

I

Первое, на что нам хотелось обратить внимание, — это черновики учащихся. К сожалению, в вышеуказанной статье авторы этого вопроса не затрагивают.

Мы отрицательно относимся к черновикам учащихся в письменных работах по арифметике, особенно при решении упражнений (примеров), не только потому, что, как указывает К. Н. Рашевский: «Применение черновиков развивает у учащихся неряшливость, приучает их сначала делать, а потом уже думать, а не наоборот,.. . заставляет учащихся тратить на решение задачи почти вдвое больше времени**, но еще и потому, что в силу широкого распространения черновики, как правило, не проверяются учителями; создается такое положение, что в письменных работах учащихся остается бесконтрольным самая ответственная, самая главная часть работы по арифметике — техника вычислений.

Просматривая письменные работы учащихся V, VII и X классов школ города Калуги и ряда сельских школ Калужской области, выполненных в 1947 г. на испытаниях, мы обнаружили, что:

1. По ряду школ слишком велик процент учащихся VII и X классов, не сумевших получить правильный ответ в арифметическом примере.

В X классах с решением арифметического примера дело обстоит лучше, чем в VII классах, но по некоторым школам процент учащихся, правильно решивших арифметический пример, все же далеко недостаточен.

2. Техника арифметических вычислений в письменных работах учащихся VII и X классов очень мало отличается от техники вычисления в письменных работах учащихся V классов, т. е. она очень мало совершенствуется за 5 лет обучения.

3. Ряд ошибок учащихся в вычислении является следствием исключительной небрежности записей учащихся и описок. Тщательный анализ черновиков, приложенных к письменным работам, дает основание сделать вывод, что значительная часть ошибок могла бы и не иметь места, если бы учащиеся или не пользовались черновиками, или если бы эти черновики были несколько упорядочены.

В письменных работах учащихся нам приходилось неоднократно наблюдать такие ошибки, объяснить которые можно только после анализа черновиков. Например, в одной работе записано:

* В порядке обсуждения статьи Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева, Арифметические записи в средней школе, журн, .Математика в школе- № 3, 1947.

** См. статью К. Н. Рашевского, Записи при решении задач, журн. «Начальная школа“ № 12, 1945. стр. 29.

Тщательный анализ черновика вскрывает следующую картину. Прежде чем производить вычитание, ученица обратила смешанные числа в неправильные дроби, заменив при этом -gg- на —. Далее, умножая числитель на дополнительный множитель, она получает: 7555 вместо 6555.

В чем причина ошибки? Во-первых, все записи в черновике ученица производит крайне небрежно.

Во-вторых, ученица обращает смешанные числа в неправильные дроби, дроби своевременно не сокращает и вынуждена производить чрезвычайно много лишних вычислений с многозначными числами.

Черновой листок для таких колоссальных вычислений явно мал, он исписан весь несколько раз вдоль и поперек. Ученица достаточно утомлена, запись цифр становится все более и более небрежна, и двойку она принимает за тройку при сложении частных произведений. Далее мы видим, что ученица дважды производит вычитание 6476 из 7555 и получает 1079, т. е. она подозревает, что здесь у нее что-то не совсем благополучно, ищет свою ошибку, но не находит ее, так как ищет не в том месте. Небрежно написанная двойка не дала возможности девочке получить правильный ответ арифметического примера, хотя потратила она на его вычисление слишком много сил и времени ^в окончательном ответе вместо 10,04^

Учитель проходит мимо всех этих курьезов, он просто констатирует: «ошибка в вычитании обыкновенных дробей».

Вот такие и подобные им факты и заставляют нас высказать самое отрицательное мнение по поводу черновиков при решении арифметических примеров. Но нужно указать учащемуся, где расположить те вспомогательные вычисления, которые они обычно стыдятся писать в «беловике».

Наше мнение по этому поводу таково.

1. Правы авторы статьи, указывая, что «по мере приобретения навыка в действиях с дробями нужно все более и более применять приемы устного счета в промежуточных действиях» .

Надо, чтобы устный счет не был бы только приемом, специально применяемым учащимися на пятиминутках устного счета.

Приемы устных вычислений надо широко внедрять в повседневную практику математических расчетов учащихся на всех уроках, где только приходится применять вычисления.

Просматривая черновики учащихся, мы обнаружили, что многими учащимися письменно, столбиком производятся даже такие вычисления, как сложение:

135 + 23; 4,5 + 60; 0,84 + 9,2;

вычитание 15,06 — 14,22; умножение 400Х°\45; 3,2 7 на 5, 134 на 4; 1,2 на 5; деление 1 на 5; 1200 на 12; 1,2 на 0,4; и тому подобное. Не ясно ли, что в подобных случаях учащиеся прибегают к пользованию черновиками не потому, что черновики действительно нужны, а просто потому, что они к этому привыкли, потому, что они этим самым якобы сохраняют красоту и опрятность записей в «беловике». Заметим, что такое понятие о красоте и опрятности тетради в ущерб существу дела, по нашему мнению, не должно культивироваться учителями,

2. Некоторые учащиеся полагают, что на черновике они производят все вычисления механически, не думая, и, таким образом, разгружают свой мозг от умственной работы, заменяя ее механической работой руки. Не ясно ли, что такие учащиеся глубоко заблуждаются. Стараясь все вычисления производить чисто механически, они не стремятся обдумать, как можно более рационально произвести те или иные вычисления, а потому и пользуются часто нерациональными приемами: не производят своевременно сокращение дробей, обращают смешанные числа в неправильные дроби тогда, когда в этом нет надобности, игнорируют вычисления в десятичных дробях и т. п.

А в результате получается, что ученик вынужден производить действия с колоссальными семи-и девятизначными цифрами там, где вполне можно обойтись трех-и четырехзначными. Например, ученица VII класса не могла довести арифметический пример до конца, так как в пятом вопросе она уже получила

другая ученица получила в ответе

третья ученица при делении 14,858 на 1,615 получила в ответе 9 -^^Ш вместо 9>2; У четырех учениц в окончательном ответе арифметического примера 10 -§3-7925“ вместо 10,04, Ответы в последних двух случаях по существу правильные, но безобразны по форме. Но вряд ли здесь можно сказать, что перенесение центра тяжести вычислительной работы на механическое действие руки разгрузило учащихся от умственной работы. Наоборот,

такое, как говорил Гольденберг, «праздное многоделие и бесцельное бумагомарание» ещё в большей степени утомляет и мозг и руки.

3. Наряду с приемами устных вычислений, как это рекомендуют авторы, следует научить учащихся широко применять полуписьменные вычисления и всячески поощрять их применение.

4. Все вычисления, которые учащийся не может произвести устно или полуписьменно, должны быть выполнены обязательно тут же, в тетради, а не на отдельных листках или в специальных черновых тетрадях. И не на полях, как это рекомендуют некоторые. Поля для таких вычислений слишком малы, к тому же поля должны быть оставлены для пометок и замечаний учителя.

Все вспомогательные вычисления ученик должен производить тут же в тетради, отступив вправо сантиметра на два. Желательно, чтобы эти вычисления были записаны более компактно, более мелким почерком, но обязательно так же аккуратно, как и все остальные записи. Думается, что эти вспомогательные вычисления в тетрадях учащихся должны представлять собой примерно то же самое, что мелкий шрифт в учебной книге.

Только при таких требованиях ко всем вспомогательным вычислениям в письменных и в домашних работах учитель сумеет систематически наблюдать за техникой арифметических вычислений, уделить должное внимание вопросу совершенствования техники вычислений, привить учащимся надлежащую культуру арифметических вычислений; сумеет достигнуть того, чтобы знания учащихся, получаемые ими на уроках алгебры, применялись бы ими к совершенствованию техники арифметических вычислений, чтобы в VII классе ученик производил бы эти вычисления более совершенно, чем в VI, а в X — более совершенно, чем в IX.

II

Совершенно правильно замечание авторов относительно нерациональности записи решения сложных примеров «цепочкой» и что записи цепочкой следует избегать, особенно в примерах с большим числом промежуточных вычислений. Нам непонятно, чем мотивирует П. А. Ларичев свое утверждение в статье «О письменных работах по математике на аттестат зрелости», что «было бы целесообразно предъявить к учащимся требования выполнять записи решения арифметических примеров в виде последовательно расположенных тождественных преобразований, причем действия, требующие громоздких выкладок, записывать в стороне от основных записей, а все остальные действия выполнять в порядке устного счета»*. Соглашаясь с последним утверждением, мы не можем согласиться с первым. Наши наблюдения показывают, что школы, в которых учащиеся решение арифметического примера разделяли на отдельные вопросы, имели более высокий процент правильных решений, чем школы, в которых применялась запись «цепочкой» (т. е. запись в виде последовательно расположенных тождественных преобразований).

III

Целиком присоединяясь к категорическому требованию авторов статьи производить сложение и вычитание смешанных чисел, не обращая их в неправильные дроби, мы думаем, что в этом отношении следует идти и дальше, а именно: умножение и деление смешанных чисел на целое число и умножение целого числа на смешанное следует производить, не прибегая к обращению в неправильные дроби.

С этой точки зрения мы не можем согласиться с такими образцами записи, приведенными авторами в их статье на стр. 46:

или

Нам кажется, что подобные вычисления ученик уже в V классе должен производить так :

Объяснение:

В этом году во втором варианте письменной работы для учащихся V класса был предложен арифметический пример, в котором тре-

* См. журнал .Народное образование- №1-2, 1945, стр. 62.

бовалось умножить 1 -gy- на 3. Мы ожидали, что учащиеся произведут это умножение так:

Однако из просмотренных нами более 500 письменных работ такое умножение мы обнаружили только в одной работе. Но что еще более странно в работах многих учащихся и множитель (целое число 3) обращался в неправильную дробь -у- , и вычисление производилось так:

Мы присутствовали на устных испытаниях по арифметике в V классе одной из школ города Калуги. Ученик отвечает у доски распределительный закон умножения суммы на число. Приводит пример и толково его разъясняет: (2 + 3).2 = 2-2 + 3.2=4 + 6 = 10.

Предлагаю вопрос: как вы будете умножать 3 4- на 2?

Ученик отвечает и записывает на доске:

Какая же польза от того, что ученик заучил формулировку распределительного закона, если он не умеет его применить к упрощению арифметических вычислений?

Аналогично деление смешанного числа на целое число следует также производить, не обращая делимое в неправильную дробь, т. е. так, как это сделано авторами разбираемой статьи при делении 187 -i- на 3.

В стабильном учебнике Киселева примеров на деление смешанного числа на целое, к сожалению, не дано, но в «Методике арифметики» Е. С. Березанской на стр. 145 дан хороший образец такого деления.

Более простые примеры даны в учебнике арифметики для педагогических училищ Б. А. Тулинова и Я. Ф. Чекмарева (изд. 1946 г.):

(стр. 178).

Следует помнить, что подобная запись дана для обоснования приема вычисления, но отнюдь не как обязательная запись ко всем вычислениям подобного рода.

Приведем образец более сложного случая деления:

После этого приведем пример из задачника Е. С. Березанской и покажем, как нами мыслится его решение:

Пример № 967:

В начале 1946/47 учебного года мы провели среди студентов, поступивших на физико-математическое отделение Калужского государственного учительского института, письменную работу по арифметике, в которую включили и такие четыре примера*:

При выполнении работы из 65 студентов обращали смешанные числа в неправильные дроби: в первом примере 13 человек, во втором — 41, в третьем — 38, в четвертом — 42.

Это говорит о том, что нерациональные приемы вычислений, применяемые учащимися в

* На приемных экзаменах в Калужском учительском институте в прошлом, 1946/47 учебном году в решении арифметического примера, при умножении смешанного числа на целое число, все поступившие, решавшие соответствующий вариант, обращали в неправильную дробь смешанное число. В настоящем, 1947/48 учебном году такое обращение смешанного числа в неправильную дробь при умножении на целое число производили 83% поступавших. Как курьез отметим, что в письменных работах 1946/47 года мы встретили и ряд таких случаев, когда при делении 3 -g- на единицу дробь -g- обращалась в неправильную дробь -g— .

V классе, имеют место и в следующих классах, вплоть до окончания школы.

Нам кажется, что такое положение с техникой вычисления в значительной мере объясняется тем, что учителя и старших классов, проверяя письменные работы учащихся, только отмечают правильно полученные ответы в «беловиках» и часто не подозревают того, какими нерациональными приемами достигают учащиеся этих правильных ответов, так как самые приемы вычисления «скрыты» от учителя «черновиками».

IV

Говоря о совместных действиях с обыкновенными и десятичными дробями, авторы указывают, что «надлежит приучить учащихся пользоваться переместительным и сочетательным законами действий, где это целесообразно и упрощает вычисления» (стр. 42 и 43), и приводят ряд удачных примеров (стр. 42). Но высказанное перед этим утверждение, что «в тех случаях, когда приходится выполнять действия совместно с обыкновенными и десятичными дробями, надо или обыкновенные дроби заменить десятичными, или, наоборот, десятичные дроби обыкновенными» (см. стр. 42), противоречит приведенным вслед за этим утверждением примерам и цитированному указанию.

В самом деле, пример № 2 на стр. 42

авторы проводят вычисления совместно в обыкновенных и десятичных дробях, а не обращают все слагаемые в обыкновенные или десятичные дроби. Так же они поступают и решая пример № 5. Нам кажется, что при выполнении действий с обыкновенными и десятичными дробями следует идти гораздо дальше. Так, приведенное авторами на стр. 44 деление 4,16 на -g-, нам кажется, следует приводить не в обыкновенных или десятичных дробях, как это рекомендуют авторы, а именно совместно в обыкновенных и десятичных дробях, т. е. так:

Приведем ряд примеров на умножение:

Все примеры взяты из письменных работ по алгебре для учащихся VII класса. Все учащиеся, производя умножение, обращали десятичные дроби в обыкновенные, отчего решение примеров получилось слишком громоздким. Причем только некоторые из них производили эти вычисления так, как это показано авторами в примере № 6 на стр. 42, большинство же учащихся эти вычисления производили таким, еще менее рациональным способом:

Ясно, что при таком способе умножения учащиеся не могли обойтись без черновиков. Должное внимание приемам совместных вычислений обыкновенных и десятичных дробей при умножении и делении уделено только в книге Г. Н. Бермана: «Приемы быстрого счета» (Огиз, Гостехиздат, 1947). На стр. 70 этой книги автор приводит и такой интересный пример на умножение:

«Сократить ничего нельзя, — читаем далее в этой книге, — делить десятичную дробь на 7 — это обрекать себя на бесконечное деление. Поэтому умножаем числитель и знаменатель на 100, чтоб устранить десятичную дробь в числителе, и получаем — , а по сокращении на 2 — окончательный ответ: -gg^— ».

Анализ письменных работ и наблюдения за устными ответами учащихся приводят нас к выводу, что совместные действия обыкновенных дробей с десятичными, в полном смысле этого слова, учащиеся не производят ни в V, ни в VII, ни в X классах. Вычисления производятся, как правило, в обыкновенных дробях, и лишь изредка некоторые учащиеся переводят обыкновенные дроби в десятичные.

Такое явление мы склонны объяснить:

а) отсутствием соответствующих указаний в учебнике арифметики Киселева и других учебниках арифметики, а также недостаточностью этих указаний в методике арифметики Е. С. Березанской;

б) отсутствием контроля за техникой вычисления учащихся со стороны учителя. Это вызвано, с одной стороны, тем, что все свои вычисления учащиеся производят на черновиках, в которые учитель заглядывает обычно только тогда, когда, обнаружив ошибку в вычислениях, желает установить, чем вызвана эта ошибка, с другой стороны, — вообще недостаточным

вниманием со стороны многих учителей к вопросу повседневного совершенствования культуры арифметических вычислений учащихся.

Нам кажется, что по вопросу о совместных действиях с обыкновенными и десятичными дробями следует придерживаться следующих правил (постараемся формулировать их, не претендуя при этом ни на оригинальность, ни на совершенство формулировки):

1. Прежде чем производить арифметические вычисления, посмотри, каким способом наиболее рационально произвести эти вычисления.

2. Если возможно совместно производить вычисления обыкновенных дробей с десятичными, то не следует приводить все дроби к одному и тому же виду.

3. Если совместные действия не могут быть применены рационально, то следует учесть, в каких дробях наиболее рационально произвести эти вычисления, и только после этого приводить все дроби к одному виду.

4. Если обращение обыкновенных дробей в десятичные облегчает вычисления, то вычисление следует производить в десятичных дробях, например:

5. Если же вычисления более рационально произвести в обыкновенных дробях, то следует десятичные дроби обратить в обыкновенные, например:

Интересен, с этой точки зрения, пример № 6, приведенный авторами статьи на стр. 42.

6. Если при сложении и вычитании обыкновенных дробей с десятичными обращение обыкновенных дробей в десятичные невозможно, а по условию задачи (или примера) результат должен быть точный, а не приближенный, то неизбежно выполнение вычислений в обыкновенных дробях. Пример:

7. Если же по условию задачи ответ может быть выражен приближенно, то вычисления удобно производить в десятичных дробях, обратив предварительно обыкновенные дроби в десятичные с такой степенью, точности, которая обеспечит требуемую точность ответа.

Пример:

«Как, — скажут некоторые учителя, — семь правил по такому вопросу, как совместные действия обыкновенных дробей с десятичными! Да когда же учащимся их учить? Да они все их перепутают!»

Не нужно требовать от учащихся, заучивания всех этих правил. Наоборот, мы считаем, что вместо этих правил ученик должен твердо уяснить, запомнить и всегда применять только одно, восьмое правило:

8. Прежде чем решать пример или задачу, обдумай, как наиболее рационально можно выполнить решение, и выполняй так. Затем у тебя и голова на плечах, затем ты и

Мы подчеркиваем важность применения (ноне заучивания!) уже в V классе всех правил и особенно 5-го и 7-го. Нам неоднократно приходилось наблюдать, когда преподаватель, требовал от учащихся обязательного обращения обыкновенных дробей в десятичные даже и при выполнении таких упражнений, которые в обыкновенных дробях как раз решаются проще. Например, при проверке домашнего урока учительница требовала, чтобы пример № 1626 (1), решенный учеником дома в обыкновенных дробях, решался у доски обязательно в десятичных дробях, утверждая, что вычисления в десятичных дробях всегда проще.

Но для этого ученику потребовалось делить «углом» 7 на 25, чтобы обратить -^г- в десятичную дробь, затем 1,456 делить на 0,28 также «углом», обращать -jg- в десятичную дробь таким же делением и еще производить письменно целый ряд делений и умножений многозначных чисел.

В домашней же тетради у него этот пример был выполнен так:

т. е. именно в обыкновенных дробях, и это оказалось проще и экономнее; не применяя никаких черновиков, ученик обошелся одними сокращениями.

Особенно заслуживает внимания шестая строчка решения сложного примера, приведенная авторами на стр. 43:

и далее девятая строчка на стр. 44:

т. е. из неправильной дроби не исключается целое число, если в дальнейшем предполагается деление или умножение ее на дробь.

Мы обращаем особое внимание на эти записи потому, что еще недавно нам приходилось слышать возражения со стороны некоторых учителей против подобных записей в промежуточных результатах и наблюдать снижение балла письменной работы за подобный «нерациональный» прием тем учащимся, которые оказались достаточно сообразительными и не исключили целого числа, предвидя, что неправильную дробь в дальнейшем придется делить на другую дробь.

VI

При сложении или вычитании дробей все учащиеся V классов, работы которых нам удалось просмотреть, для нахождения общего знаменателя разлагали знаменатели данных дробей на простые множители «столбиком», т. е. по всем правилам, как это делается в учебнике Киселева (отметим, что это разложение все учащиеся производили в черновике и крайне небрежно). Никто из учащихся не использовал замечание, сделанное Е. С. Березанской в ее методике арифметики, что при этом иногда получается «запись в столбец очень длинна, и особенной необходимости в ней нет».

Далее, общее наименьшее кратное находилось всегда тем общим приемом, какой дан в учебнике Киселева, даже и тогда, когда знаменатель легко можно было определить и по соображению, не применяя общего правила. Но особенно печально, что для нахождения дополнительных множителей многие учащиеся делили найденный общий знаменатель на частные знаменатели. Такой прием нахождения дополнительных множителей мы обнаружили в черновиках примерно у 40% учащихся.

Такой прием одинаково часто применяется как при сложении дробей со знаменателями 36 и 63, так и при вычитании дробей со знаменателями 28 и 12, т. е. эти учащиеся даже для простейших знаменателей не сумели воспользоваться указанием стабильного учебника о том, что для нахождения дополнительных множителей можно воспользоваться уже произведенным разложением данных множителей и выделением из них недостающих множителей.

Добавим к этому, что такой же прием нахождения общего знаменателя и дополнительных множителей применялся многими учащимися и VII — X классов при вычитании 12 -gg- — — 11 и учащимися X классов при вычислении 14-^ + 7^-8-28- .

В некоторых школах деление общего знаменателя на частные знаменатели для определения дополнительных множителей применяли 70% учащихся X классов. Больше того, встречаются работы, в которых и при сложении 1 -g- 4- + 2 общий знаменатель 60 многие учащиеся находили разложением «столбиком» на простые множители чисел 6 и 20, а дополнительные множители определяли делением 60 на 6 и 20, причем это деление производилось на черновике и обязательно «углом».

Сколько напрасной траты сил и времени! Какое господство шаблона, штампа, отсутствие сообразительности, находчивости, смекалки! В некоторых работах имеет место полное отсутствие сколько-нибудь рациональных приемов вычисления.

Во многих школах учащихся не научили применять знания, полученные ими при изучении темы «Разложение чисел на простые множители», не научили производить неполное разложение на множители и выделять недостающие множители для определения дополнительных множителей к числителям.

VII

Приведем решение примера на обыкновенные дроби из письменной работы учащихся V класса, предложенной на переводных испытаниях в 1947 г. Это решение без применения черновиков и с максимальным использованием устных и полуписьменных вычислений, посильное каждому ученику V класса, нам представляется в таком виде:

общий знаменатель

общий знаменатель

Окончательный ответ подчеркиваем двумя черточками, промежуточные — одной.

Примечание. Многие учащиеся безусловно сумеют в данном случае правильно найти наименьший знаменатель и дополнительные множители, не прибегая даже и к такому неполному письменному разложению данных знаменателей на множители.

В этом случае и такая запись, какую мы привели в четвертом вопросе, будет излишней, и учитель не должен требовать, чтобы она обязательно имела место в тетради. Нужно помнить, что подобного рода запись является лишь средством, а не самоцелью.

Чем больше вычислений ученик производит в уме, тем лучше, тем выше должна быть оценена работа.

Приведем еще для образца решение примера по арифметике из письменной работы учащихся VII класса.

общий знаменатель

Не надо смотреть на приведенные записи как на образцы, которым надо обязательно подражать при решении всякого примера. Эта запись является только примерной; в ней подчеркивается необходимость осмысленного подхода к арифметическим вычислениям.

Так, 8-й вопрос примера с тем же успехом может быть выполнен и в обыкновенных дробях:

Надо обязательно приучать учащихся прикидывать результат вычисления на глаз. Например:

умножая 91,08«-jg- , мы видим, что-jg- немного больше -~ ; следовательно, ответ должен быть примерно равен -i- от 92, т. е. несколько более 30, но менее 45, так как 45 — это уже ~ от 90; или еще: 14,858:1,615, ответ должен быть менее 10, так как эта приблизительно равно

Можно было бы обойтись и без четвертого вопроса, объединив его с последним вопросом:

15,06 — 14,22 + 9,2 = 0,84 + 9,2=10,04, решив, таким образом, весь пример в 9 вопросов, а не в десять. Но мы считаем такое решение нецелесообразным, так как оно дает только кажущееся упрощение, фактически же не дает никакой экономии; наоборот, вопрос о порядке действий не становится таким отчетливым, как при решении примера в 10 вопросов.

Нам думается, что такая запись решения арифметического примера не потянет учащихся к применению черновиков, так как при этой записи ученик сумеет все вычисления произвести в уме или полуписьменно, или же записать здесь же достаточно аккуратно и не громоздко.

В то же время такой прием записи решения арифметического примера, без применения черновиков, дает полную возможность учителю повседневно контролировать, направлять и систематически совершенствовать технику арифметических вычислений учащихся.

Требование подобных записей будет стимулировать учащихся к применению устного счета на каждом уроке математики.

Опыт нашей работы с учащимися, начиная с V класса до X, показал, что наши требования к письменным работам учащихся вполне посильны для среднего учащегося. Ведь наши дети такие сообразительные, такие находчивые, так любят проявлять свою инициативу, и проявляют ее везде, в том числе и в арифметике, стоит только освободить их от постоянного требования шаблона, освободить их от того формального зазубривания арифметических правил и определений, словом, — освободить их от формализма при обучении.

Прочитайте о героях Краснодона в романе А. Фадеева «Молодая гвардия», посмотрите кинофильм «Тимур и его команда», вспомните героику наших детей в период Отечественной войны, вы увидите, насколько наши дети впитали в себя русскую смекалку своих отцов и прадедов и как умеют они ее проявлять! Расскажите и покажите ученику, что точно и быстро считать, четко и аккуратно писать очень нужно в «избранной» им его будущей специальности, и вы увидите, что ученик сумеет проявить эту смекалку и в арифметике, только, повторяем, не связывайте его инициативу требованием обязательно зазубривать все и всякие правила, не связывайте его обязательным требованием подгонять любое вычисление под одно и то же правило, под один шаблон.

А этим наши некоторые преподаватели, к сожалению, иногда страдают. Нам памятен случай из практики этого учебного года. Студент-практикант, давая урок на тему «Обращение обыкновенных дробей в десятичные», показал учащимся V класса прием обращения обыкновенных дробей в десятичные посредством умножения числителя и знаменателя на множитель, дополняющий знаменателя до единицы с нулями:

рекомендуя при этом умножение производить в уме, а результат сразу записывать десятичной дробью.

— Как, — возразила учительница, — а почему не по правилу деления числителя на знаменатель?

— Я покажу им и это правило, кагда подойдем к более сложным дробям, — заявил студент.

— Так что же, по-вашему, я должна буду требовать от них заучивания двух правил на обращение обыкновенных дробей в десятичные?— недоумевала учительница.

И действительно, просматривая черновики письменных работ учащихся X класса, мы обнаружили, что в некоторых школах при обращении обыкновенных дробей 1 и 4 -g- в десятичные ряд учащихся делили единицу на пять письменно «углом».

Вот этот трафарет, вот это обязательное выучивание правила на каждый шаг действий в арифметике, вот это неверие в способности учащихся, их сообразительность и находчивость со стороны некоторых учителей и, с другой стороны, щепетильная требовательность многих учителей к чистоте и опрятности ученических тетрадей, вплоть до запрещения зачеркивать неправильное решение или ошибочный ответ, и требования в подобных случаях пользоваться резинкой или заключать в скобки неправильно записанное, обращая, таким образом, во? прос о чистоте и опрятности ученической тетради в самоцель, нам кажется, и толкает учащихся к пользованию черновиком, к трафарету, мешает ученику проявить свою сообразительность, вселяет в него неверие в свои силы, в свою память и порождает то, что называют формализмом.

VIII

Техника арифметических вычислений заслуживает гораздо больше внимания, чем мы иногда думаем и чем мы обычно уделяем ей внимания в школе. Вот почему мы горячо приветствуем появление в журнале «Математика в школе» статьи Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева «Арифметические записи в средней школе».

Разве можно воспитать у учащегося любовь к математике, если для того чтобы произвести простейшие вычисления с обыкновенными или десятичными дробями, ему обязательно требуется применение «тяжелой артиллерии» в виде полного и последовательного применения всей теории делимости чисел, деления «углом» общего наименьшего кратного на данных знаменателей и тому подобное.

Мы говорим о практической подготовке учащихся, но можно ли говорить, что мы дали учащимся надлежащую практическую подготовку, если для того, чтобы умножить 12 на 5, разделить 1200 на 12, сложить 135 и 23, вычесть 14,22 из 15,06*, ему обязательно надо брать в руки карандаш и бумагу, иначе он не привык доверять результатам своих вычислений!

Просматривая письменные работы учащихся по алгебре с VII до X класса, видишь, какой огромный шаг вперед сделали учащиеся за эти три года учебы в алгебре и в умении применять эти знания к решению задач. Но в области техники арифметических вычислений учащиеся X класса остались почти на том же уровне, что и учащиеся VII класса. В решении арифметического примера ученика VII класса не видно, что его решал ученик, достаточно знающий алгебру, а в решении ученика X класса не видно, что это решение принадлежит ученику, закончившему изучение курса элементарной алгебры.

Знание формул алгебры никак не отражается на технике вычислений. Об этом приходится только очень и очень сожалеть.

РЕШЕНИЕ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

К. Е. АГРИНСКИЙ (Москва)

Теорема тангенсов и формулы для тригонометрических функций половины углов треугольника изъяты из программы X класса. Тем не менее в ряде школ треугольники решаются (2-й и 3-й случаи) при помощи именно этих изъятых теорем и формул. Такую практику некоторых школ нельзя оправдать, так как изъятие указанных теорем было мотивировано достаточно убедительными соображениями и имеет силу обязательного для всех постановления. Кроме того, решение без помощи этих теорем не труднее способов, изложенных в учебниках Рыбкина.

Приведу один из возможных вариантов решения треугольников.

I

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними. Дано: я, Ь, С.

1) С<90°. Из Д BDC (где BD — высота) :

(1) Ä=asinC;

(2) DC mm a cos С;

(3) AD=*b — DC = b — acosC.

Из Д ABD:

/ л \ 1м л h a sin С

(4) tgA = ~ш = b_acosC, откуда определяется угол А.

После этого по теореме синусов:

/г\ г> Ь sin А

(5) sinß — —— .

(6) Проверка: А-\-В-\- С= 180°.

/т\ гт я sin С

(7) По теореме синусов: с = gjn А .

го\ о ab sin С \Р) =-2-*

Примечание. Можно было начать с определения площади треугольника, после чего 2S

Таким образом, tgA определяется одной и той же формулой решения независимо от величины угла С. Решение заканчивается, как и в первом случае.

Здесь приходится tg А логарифмировать «по частям», но этот вопрос входит в программу IX класса и не представляет затруднений Числовой пример (Рыбкин, § 13, №8)

* Все примеры из письменных работ учащихся/

Решение:

x = a cos С; х — 225 cos 36°44'; обычными логарифмическими вычислениями находим х =180,7. Далее: b — х = 800 —180,7 = 619,3, откуда при помощи таблиц находим

откуда В = 48°59' или В = 180° - 48°59' = = 131°Г; Ь^>а, поэтому угол В может быть тупым. Проверка суммы углов показывает, что

II

Решение треугольника по трем сторонам. Дано: а, Ьу с. По формуле Герона находим:

Аналогично:

(5) Проверка: Л + ß + C= 180°.

Числовой пример (Рыбкин, § 13, № 25). а =89. £ = 321, с = 395. Решение:

Так как с^>Ь^>а, то угол С может быть тупым.

Проверка показывает, что угол С будет тупым.

5) Проверка: 7°58' -f 29°58' + 142°04 = 180°

ИЗ ОПЫТА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В X КЛАССЕ

С. М. КИПНИС (Кировоград)

В настоящей статье я предполагаю рассказать о некоторых методических мероприятиях, которые применялись мною в целях улучшения организации самостоятельной работы учащихся по математике. Эти мероприятия дали весьма положительные результаты: заметно повысилась успеваемость и значительно продвинулось вперед повторение курса математики.

1. Имеется много таких задач и теорем, которые могут быть решены и доказаны несколькими способами. Проходя с учащимися такие теоремы и задачи, я прежде всего стремился обеспечить усвоение учащимися какого-либо одного из вариантов доказательства или решения. Добившись этого, я направлял активную творческую мысль учащихся на отыскание других возможных способов. Полученные различные варианты обоснования одного и того же вопроса обсуждались во время урока, сопоставлялись их преимущества и недостатки и таким путем устанавливалось, какой из рассмотренных способов доказательства или решения является наиболее простым и изящным.

Подобный разбор теорем и задач является делом весьма трудоемким, а потому этот разбор частично выполнялся учащимися как домашнее задание.

Это методическое мероприятие приносит учащимся весьма большую пользу, так как оно содействует развитию их способности к самостоятельному математическому мышлению и приучает к разностороннему, нешаблонному, критическому подходу к тому или иному математическому вопросу.

2. Для упорядочения текущего повторения каждый учащийся завел себе специальную тетрадку под заголовком:

«Что из пройденного оказалось необходимым при проработке текущего нового материала?»

В этих тетрадях учащиеся систематически ежедневно отмечали, какие именно теоремы, формулы, определения, относящиеся к ранее пройденному курсу, были применены при изучении нового материала.

В этих тетрадях учащиеся записывали и наиболее интересные тригонометрические преобразования, с которыми они встречались при решении задач на применение тригонометрии к геометрии. Эти преобразования обычно относятся к курсу IX класса и чрезвычайно полезны при повторении гониометрии.

Я требовал от учащихся, чтобы они, готовя домашние задания по текущему материалу, повторяли связанный с ним ранее пройденный материал, отмеченный в этой тетрадке. Так, например, изложив теорему косинусов, я дал учащимся домашнее задание не только усвоить эту теорему, но и повторить доказательство теоремы о квадрате стороны треугольника, на которую мы ссылаемся. При опросе я проверял усвоение как нового материала, так и заданного для повторения. В целях обеспечения контроля я для себя вел такую же тетрадку для заметок по текущему повторению.

3. При систематическом повторении математики в X классе я широко применял домашние задания в виде сочинений-рефератов обзорного характера.

В течение первых трех четвертей прошедшего учебного года ученицы 7-й и 11-й средних женских школ г. Кировограда писали домашние сочинения-рефераты на следующие темы:

1) Равенства и неравенства.

2) Аналитическое и графическое решение и исследование линейных уравнений.

3) Квадратный трехчлен.

4) Углы на плоскости и в пространстве.

5) Шар и его части.

6) Схема решения задач, требующих применения тригонометрии к геометрии.

Рефераты сдавались в письменной форме, и к ним прилагались соответствующие чертежи и т. д в виде наглядных плакатов.

Лучшие рефераты зачитывались авторами перед классом.

Работа над этими рефератами оказалась в высшей степени полезным делом, так как она стимулировала учащихся к самостоятельному и тщательному продумыванию и систематизации материала, разбросанного по разным параграфам учебника. Эти рефераты значительно продвинули вперед систематическое повторение математики за весь курс средней школы.

4. Много внимания было мною уделено целесообразной организации консультаций для отстающих учащихся.

Определив предварительно, в чем именно заключается отставание каждого из этих учащихся, я осуществлял на консультациях индивидуальный подход. Мною были заготовлены индивидуальные карточки-задания. На одной стороне такой карточки имелся ряд задач или упражнений, относящихся к тому типу, который недостаточно усвоен, а также указывался срок выполнения задания; на обороте писалась фамилия учащегося и приводился образец подробного решения какой-либо задачи того же типа. Каждая карточка заготовлялась в двух экземплярах, из которых один вручался учащемуся, а второй я оставлял себе. Это давало мне возможность систематически следить за выполнением дополнительных индивидуальных заданий, и, когда истекал срок, я на уроке опрашивал данного ученика не только по текущему материалу, но и по дополнительному заданию.

Когда учащийся, не справившийся с выполнением домашнего задания по решению той или иной задачи, обращался ко мне с просьбой объяснить ему способ решения, я, как правило, объяснял не эту самую задачу, а иную, резервную, близкую ей по содержанию и способу решения. Требование же самостоятельно решить заданную на дом задачу я оставлял в силе и этим предотвращал превращение консультации в натаскивание.

Этот примененный мною подход содействовал тому, что отстающий учащийся в кратчайший срок приобщался к самостоятельному выполнению домашних заданий.

5. Весьма часто дебатируется вопрос о правильной увязке математики с жизнью. В целях осуществления такой увязки, но не искусственной и надуманной, а естественной и целесообразной, я широко использовал при повторении арифметики те многочисленные цифровые данные, которые сообщает наша пресса о ходе восстановления народного хозяйства, культурной и общественной жизни нашей страны. Так, например, при повторении темы «Проценты» учащиеся, по моему заданию, внимательно ознакомившись с помещенным в газетах отчетом Госплана СССР о результатах первого года первой послевоенной сталинской пятилетки, составили и решили на основании приведенных в этом отчете сведений ряд упражнений по всем основным типам процентных вычислений.

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

АНДРЕЙ ПЕТРОВИЧ КИСЕЛЕВ*

А. Я. МАРГУЛИС (Москва)

„Страна должна знать имена лучших педагогов, как знает имена прославленных летчиков, героев труда, доблестных пограничников, известных деятелей науки и техники.

„Правда-1 апреля 1939 г. № 90 (7775),

Автор общеизвестных учебников по элементарной математике Андрей Петрович КИСЕЛЕВ родился в г. Мценске Орловской губернии 30 ноября 1852 г. в бедной мещанской семье. Обучался в приходском (1 год), а затем в уездном училище (3 года). Все время приходилось вести тяжелую борьбу за существование. Еще с ученической скамьи, в уездном училище, начинает он педагогическую деятельность. У соседки-лавочницы умер муж. Вдова, чтобы не закрывать лавочки, решила сама приняться за торговлю и пригласила Андрюшу поучить ее считать, писать и читать. За ученье лавочница платила Андрюше полфунта чаю и несколько фунтов сахару в месяц.

Среднее образование А. П. получил в Орловской классической гимназии.

В гимназию А. П. поступил благодаря родственнику, состоятельному торговцу в Орле.

Андрюша в течение 6 лет, обучаясь сам в гимназии, учил его детей.

Курс гимназии А. П. окончил с золотой медалью, которую он вскоре продал, и на вырученные деньги (вместе с заработанными на частных уроках) отправился в Петербург, где поступил в 1871 г. в университет на физико-математический факультет.

Неизгладимое впечатление на молодого А. П. оказали преподававшие тогда в университете: П. Л, Чебышев, А. Н. Коркин и О. Сомов. Слушал А. П. также лекции Ю. В. Сохоцкого, только что начинающего свою деятельность Е. И. Золотарева, Д. К. Савина и тогда уже известного химика Д. И. Менделеева.

В 1875 г. (15 января) А. П. кончил курс в университете со степенью кандидата физико-математического факультета по математическому разряду, подав факультету сочинение на тему по высшей алгебре «Отделение корней».

После окончания университета А. П. был назначен преподавателем математики, механики и черчения в Воронежское реальное училище, где прослужил до июля 1891 года.

После пятнадцати лет работы в Воронежском реальном училище А. П. был переведен на должность преподавателя математики и физики в Харьковское реальное училище. Но уже в следующем, 1892 г. А. П. вновь вернулся в Воронеж в качестве учителя математики и физики Кадетского корпуса.

Здесь А. П. прослужил еще 9 лет (до 14 октября 1901 г.), после чего (прослужив всего учителем 25 лет) вышел в отставку и стал заниматься исключительно своими учебниками.

Кроме непосредственной педагогической и параллельно начатой литературной деятельности, А. П. принимал активное участие в общественной жизни г. Воронежа.

Как человек большой эрудиции, А. П. был хорошо знаком с новыми методическими идеями, а также с открытиями в области естествознания. Живо откликаясь на них, он стремился своими публичными лекциями будить мысль слушателей.

* От редакции. Редакция предполагает систематически помещать статьи с кратким описанием жизни и деятельности выдающихся русских педагогов-математиков.

Переходим теперь к рассмотрению той стороны деятельности А. П., которая доставила ему всеобщую известность, —к составленным им учебникам по математике и физике.

В начале педагогической деятельности А. П. в средней школе в ходу были учебники: арифметики Малинина и Буренина, алгебры и геометрии—Давыдова.

Недостатки всех их были—неясность изложения, неточность определений и какая-то расплывчатость, неумение отделить в изложении важное, существенное от неважного. Созданию учебников, не имеющих этих недостатков, и посвятил А. П. свою долгую жизнь.

Следует заметить, что хотя теперь учебники Киселева и не удовлетворяют полностью значительно возросшим требованиям, предъявляемым к учебникам, но в свое время они действительно стояли на значительно более высоком теоретическом и методическом уровне, чем учебники других авторов.

А. П. начал с учебника по арифметике, на написание которого употребил 3—4 года. Учебник был издан в 1884 г. Интересно, что до 1938 г. общий тираж всех 36 изданий этой книги составил лишь 1 800 000 экземпляров, тогда как стабильный учебник по арифметике издан тиражом около 3 000 000.

По напечатании книга была разослана по редакциям разных журналов (для отзыва) и сдана на комиссию в некоторые столичные книжные магазины (Петербург «Новое время», Стасюлевича, Москва—Думнова).

Через некоторое время были получены очень хорошие отзывы из различных мест (см., например, рецензию Шохор-Троцкого в журнале «Семья и школа» или В. П. Ермакова в журнале «Элементарная математика»).

Вскоре (со вторым изданием) книга была одобрена Ученым Комитетом Министерства народного просвещения для школ.

Успех книги окрылил автора, и с тех пор А. П., не прерывая преподавательской работы, занялся составлением других руководств. Вторым руководством был учебник алгебры, который получил ряд лестных отзывов (вышел в 1888 г.) и выдержал до Октябрьской революции около 30 изданий, а после революции— более 10 изданий (общий тираж до 7 000 000). Затем последовали «Дополнительные статьи алгебры» (курс VII класса реальных училищ, 1893 г.), «Геометрия» (1893 г.); учебник геометрии выдержал 30 изданий до революции и 12 изданий после революции (общий тираж около 6 000000). Непечатаны были также: «Краткая арифметика для городских училищ» (1895 г., — 20 изданий, общий тираж (200 000), «Краткая алгебра» для женских гимназий и духовных семинарий (1896 г.— 16 изданий, тираж 65 000), «Физика» (две части—12 изданий, общий тираж 80 000), «Начала дифференциального и интегрального исчислений» (1908 г. в 1-м издании), «Начальное учение о производных». Были еще написаны брошюры: «Графическое изображение некоторых функций, рассматриваемых в элементарной алгебре» (1911 г.), «О тех вопросах элементарной геометрии, которые решаются обыкновенно помощью пределов» (1916 г.), «Иррациональные числа, рассматриваемые как десятичные бесконечные непериодические дроби» (1923 г.), «Элементы алгебры и анализа» (1925 г.).

Подсчитать общий тираж книг А. П. очень трудно, так как книги его часто переиздавались (иногда и за пределами России, например в Коломее—Галиция, Нью-Йорке—Америка). У нас же стабильные учебники А. П. также печаются на многих языках. Поэтому и сведения о тиражах, которые мы ранее приводили, сугубо ориентировочны.

Учебники А. П. довольно быстро распространялись. Этому способствовало также и то, что он наряду с рассылкой проспектов о своих книгах рассылал преподавателям по всей России и самые книги (бесплатно) для непосредственного ознакомления с ними.

Сначала учебники вводились в тех городах, где преподавал сам автор, т. е. в Воронеже и Харькове, а затем они стали быстро распространяться в столичных и других учебных заведениях.

При составлении своих учебников А. П. использовал все книги, которые он находил на русском и иностранных языках (исходя из принципа «как бы плох учебник ни был, но что-нибудь ценное в нем найти можно»).

В годы революции А. П. снова принялся за преподавание (главным образом в военных школах).

26 декабря 1933 г. А. П. за выдающуюся педагогическую деятельность был награжден орденом Трудового Красного Знамени.

Последние годы А. П. жил в Ленинграде, где и умер 8 ноября 1940 г.

«Я счастлив, —говорил незадолго до смерти Андрей Петрович,—что дожил до дней, когда математика стала достоянием широчайших масс. Разве можно сравнить мизерные тиражи дореволюционного времени с нынешними? Да и неудивительно. Ведь сейчас, в сталинскую эпоху, учится вся наша страна. Я рад, что и на старости лет могу быть полезным своей великой родине».

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

НОВАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ

В. А. НЕВСКИЙ (Москва)

Второе полугодие 1947 г.

I. Из истории математики. Советские математики. Классики.

Александров А. Д., Геометрия и топология в Советском Союзе („Успехи математических наук“, 1947, вып. 4, стр. 3—58).

Обзор основных достижений за последние 15 лет (сведения о развитии геометрии и топологии за первые 15 лет советской власти см. в сборниках: „Математика. XV. (Наука в СССР за XV лет)“, М. — Л. 1932, и .Математика и естествознание в СССР“. М. - Л. 1938).

Ахиезер Н. И., Русский математик А. А. Марков. К 25-летию со дня смерти („Природа“, 1947, № 8, стр. 76—81).

Очерк жизни и научной деятельности А. А. Маркова (1856-1922).

Ахиезер Н. И., Конструктивная теория функций в Харьковском университете и Математическом институте („Успехи математических наук“, 1947, вып. 3, стр. 158—174).

Из цикла статей, посвященных развитию математики в СССР за 30 лет (1917—1947 гг.).

Бернштейн С. Н. и Гиршвальд Л. Я., Д. М. Синцов („Успехи математических наук“, 1947. вып. 4, стр. 191—206).

Обзор научной работы Д. М. Синцова.

Боев Г. П., Беседы по истории математики. В помощь учителю средней школы. Под ред. проф. Н. Г. Чудакова.

Предисловие проф. В. Л. Гончарова, Саратовск. обл. изд-во, 1947, 104 стр., тираж 1000 экз. (Саратовский обл. институт усовершенствования учителей).

Характеристика развития математики в различные исторические эпохи. Краткие сведения из истории отдельных вопросов математики. Темы бесед и докладов по истории математики (конспекты 14 тем). Краткие биографические сведения о математиках. Литература (36 назв.).

Делоне Б. Н., Петербургская школа теории чисел. М. - Л., изд. Академии наук СССР, 1947, 422 стр. с черт, и 6 порт., тираж 3000 экз., цена в перепл. 20 руб. (Научно-популярная серия).

Цель настоящей книги — познакомить любителей математики с важнейшими работами шести корифеев петербургской школы теории чисел (П. Л. Чебышева, А. Н. Коркина, Е. И. Золотарева, А. А. Маркова, Г. Ф. Вороного и И. М. Виноградова).

Георгиева А., Ученый — воспитанник комсомола („Техника — молодежи“, 1947, № 11,стр. 13),

Очерк жизни и деятельности молодого математика— доктора физико-математических наук, профессора Московского университета Н. А. Леднева

Гокиели Л. П., Математические рукописи. Карла Маркса и вопросы обоснования математики, Тбилиси, изд. Академии наук Груз. ССР, 1947, 111 стр., тираж 1000 экз., цена 12 руб. (Грузинский филиал Института Маркса — Энгельса — Ленина при ЦК ВКП (б)).

Костин В. И., Н. И. Лобачевский и его геометрия, Горький, обл. изд-во, 1947, 75 стр. с черт., тираж 5000 экз., цена 1 р. 60 к.

„Начала“ Евклида. Абсолютная геометрия. Пятый постулат и сумма углов треугольника. Открытие неевклидовой геометрии. Биография Лобачевского

Рыбкин Г. Ф., Новые книги о Н. И. Лобачевском (.Труды Института истории естествознания Академии наук СССР“, т. I, 1947, стр. 428—440).

Разбор семи книг, изданных в 1943—1945 гг.

Соболев С. Л. и Фихтенгольц Г. М., Академик В. И. Смирнов („Вестник Ленинградского университета“, 1947, № 6, стр. 155—157).

Очерк научной деятельности (в связи с 60-летием со дня рождения).

Юшкевич А П., Академик С. Е. Гурьев и его роль в развитии русской науки („Труды Института истории естествознания Академии наук СССР“, т. I, 1947, стр. 219-268).

Русская математическая культура в XVIII в. Жизнь С. Е. Гурьева (1764—1813). Научная работа Гурьева.

Юшкевич А. П., Советская юбилейная литература о Ньютоне. („Труды Института истории естествознания Академии наук СССР“, т. I, 1947, стр. 440-455).

Разбор четырех книг, выпущенных в 1943 г., к 300-летию со дня рождения Ньютона.

Юшкевич А. П., О возникновении понятия об определенном интеграле Коши („Труды Института истории естествознания Академии наук СССР“, т. I, 1947, стр. 373—411).

Яновская С. А., Новые издания трудов П. Л. Чебышева и литература, посвященная ему („Труды Института истории естествознания Академии наук СССР“, т. I, 1947, стр. 417—425).

Обзор изданий 1944—1946 гг.

Яновская С. А., К теории египетских дробей (О структуре таблицы разложений для 2/п) («Труды Института истории естествознания Академии наук СССР“, т. I, 1947, .стр. 269—282).

История изучения таблицы и авторские соображения о ней.

Яновская С. А., Мишель Ролль как критик анализа бесконечно малых („Труды Института истории естествознания Академии наук СССР“, т. I, 1947, стр. 327 - 346).

Общие сведения о Мишеле Ролле (1652—1719). Его математические работы.

II. Учебники и учебные пособия.

Барсуков А. Н., Сборник задач по алгебре. Утвержден Министерством просвещения РСФСР в качестве учебника для педагогических училищ, М. — Л., Учпедгиз, 1947,112стр. Тираж65000 экз., дена 1 р. 80 к.

Вольберг О. А., Лекции по начертательной геометрии. Утверждено Министерством просвещения РСФСР в качестве учебного пособия для физико-математических факультетов педагогических институтов, М.—Л., Учпедгиз, 1947, 348 стр. с черт., тираж 40000 экз., цена в перепл. 12 р. 80 к.

В основу книги легли лекции, читанные автором в течение ряда лет в Ленинградском педагогическом институте им. Герцена. „Научить будущих преподавателей строить чертежи, которые встречаются в курсе стереометрии средней школы, — такова практическая задача книги“ (предисловие автора).

Выгодский М. Я., Краткий учебник геометрии для ремесленных и железнодорожных училищ.

Допущено Ученым советом Профтехнического образования Министерства трудовых резервов в качестве учебника для ремесленных и железнодорожных училищ.

М, — Л., Гостехиздат, 1947, 92 стр. с илл., тираж 100 000 экз., цена 2 р. 30 к.

Учебник составлен применительно к новой программе по математике для ремесленных и железнодорожных училищ (для групп с 4-классной подготовкой).

Выгодский М. Я., Краткий учебник высшей математики. Пособие для самообразования. 2-е изд., М. — Л., Гостехиздат, 1947, 479 стр. с черт., тираж 100 000 экз., цена в перепл. 11 р. 50 к.

В основу книги положена программа индустриальных техникумов.

Изучать эту книгу может всякий, владеющий алгеброй и геометрией в объеме восьми классов средней школы и имеющий начальные сведения по тригонометрии.

Гюнтер Н. М. иКузьмин Р. О., Сборник задач по высшей математике, т. I, изд. 11-е. Допущено Министерством высшего образования СС^Р в качестве учебного пособия для вузов. М. — Л., Гостехиздат, 1947, 220 стр. с черт., тираж 2000О экз., цена в перепл. 6 р. 75 к.

Перепечатка без перемен с 10-го переработанного издания 1945 г.

Гюнтер Н. М. и Кузьмин Р. О., Сборник задач по высшей математике. Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебного пособия для вузов, т. II, изд. 11-е., М. — Л., Гостехиздат, 1947, 224 стр., тираж 25000 экз., цена в перепл. 7 руб.

Книга вышла без перемен с 10-го переработанного издания 1945 г.

Гюнтер Н. М. и Кузьмин P.O., Сборник задач по высшей математике. Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебного пособия для вузов, изд. 3-е, переработ., т. III, M.— Л., Гостехиздат, 1947, 254 стр. с черт., тираж 25 000 экз., цена в перепл. 8 руб.

Этот том содержит отделы: XII. Ряды. XIII. Приближенные вычисления. XIV. Функции комплексного переменного. XV. Уравнения математической физики. XVI. Вариационное исчисление. XVII. Теория вероятностей.

Большой переработке по сравнению с предыдущим изданием подверглись три первые отдела книги.

Каменев В. И., Аксонометрические проекции. Допущено ВКВШ при СНК СССР в качестве учебного пособия для втузов, изд. 4-е (дополн.), М., Машгиз, 1946,183 стр. с черт., тираж 15000 экз., цена 7 руб.

Он же, Аксонометрические проекции. Альбом чертежей, 4-е дополн. изд., М., Машгиз, 1946, 73 черт., тираж 15 000 экз., цена в перепл. 15 руб.

Мусхелишвили Н. И., Курс аналитической геометрии. Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебника для физико-математических факультетов университетов, изд. 3-е, исправл. и дополн., М. — Л., Гостехиздат, 1947, 644 стр. с черт., тираж 25 000 экз., цена в перепл. 19 руб.

Настоящее издание книги мало чем отличается по своему содержанию от предыдущего: значительной переработке подвергалась лишь глава VI (Мнимые и несобственные элементы. Однородные декартовы и проективные координаты. Проективные преобразования).

Новоселов С. И., Алгебра. Утверждено Мнистерством просвещения РСФСР в качестве учебника для учительских институтов. М. — Л., Учпедгиз, 1947, 268 стр. с черт., тираж 50 000 экз., цена 8 руб. (на обложке: Элементарная математика для учительских институтов).

Книга составлена в соответствии с программой по курсу „Элементарная математика“ для учительских институтов.

Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебного пособия для физико-математических факультетов университетов, изд. 2-е, М. — Л., Гостехиздат, 1947, 196 стр. с черт., тираж 15 000 экз., цена 4 руб.

Курс лекций, читанных автором в Саратовском и Московском университетах.

Попов Н. А., Курс начертательной геометрии. Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебника для втузов. М. — Л., Гостехиздат, 1947,459 стр. с черт., тираж 40 000 экз., цена в перепл. 17 о. 50 к.

Настоящий учебник содержит более полные сведения, чем те, которые включались раньше в курсы начертательной геометрии для втузов. Согласно вновь утвержденной программе, в курс включены методы ортогональных проекций и аксонометрия.

Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления. Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебного пособия для студентов математических отделений университетов и аспирантов, т. I, М. — Л., Гостехиздат, 1947, 690 стр. с черт., тираж 25 000 экз., цена в перепл. 16 руб.

Основные отделы курса: Вещественные числа. Теория пределов. Функции одной переменной. Производные и дифференциалы. Исследование функций с помощью производных. Функции нескольких переменных. Функциональные определители; их приложения. Приложения дифференционального

«счисления к геометрии. Задача распространения функций.

Цубербиллер О. Н., Задачи и упражнения по аналитической геометрии. Допущено ВКВШ при СНК СССР в качестве учебника для втузов, изд. 14-е, М.—Л., Гостехиздат, 1946, 308 стр. с черт., тираж 50 100 экз., цена в перепл. 10 руб.

14-е издание вышло без изменений.

III. Методика математики

Арнольд И. В., Отрицательные числа в курсе алгебры. Пособие для учителя, М.—-Л., изд. Академии педагогических наук РСФСР, 1947, 79 стр. с черт., тираж 5000 экз., цена 2 р. 50 к. (Институт методов обучения. Педагогическая библиотека учителя).

Бескин Н. М., Методика геометрии. С приложением главы .Методика преподавания наглядной геометрии“ А. М. Астряба. Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебника для педагогических институтов, М.—Л., Учпедгиз, 1947, 276 стр. с черт., тираж 75000 экз., цена в перепл. 10 р. 75 к.

Книга имеет следующие основные разделы: Часть I. Общие вопросы методики геометрии. Роль геометрии в школьном образовании (введение). Гл. I. Эволюция взглядов на основания геометрии. Гл. II. Элементы логики. Гл. III. Методика изложения определений аксиом и теорем. Часть II. Методическое исследование курса элементарной геометрии. Гл. IV. Первые уроки геометрии. Гл. V. Конгруентные фигуры. Гл. VI. Параллельные прямые. Гл. VII. Четырехугольники. Гл. VIII. Окружность. Гл. IX. Подобие фигур. Гл. X. Измерение геометрических величин. Гл. XI. Преподавание стереометрии. Гл. XII. Преподавание тригонометрии. Гл. XIII. Методика преподавания наглядной геометрии.

Березанская Е. С, Методика арифметики. Пособие для учителей средней школы. Утверждено министерством просвещения РСФСР, изд. 4-е. М.—Л., Учпедгиз, 1947, 436 стр. с илл., тираж 50 000 экз., цена в перепл. 8 р. 30 к.

Основные разделы книги: I. Общие методические указания к преподаванию арифметики. II. Нумерация. III. Сложение. IV. Вычитание V. Умножение. VI. Деление. Совместные действия. VII. Свойства чисел. Делимость чисел. VIII. Дробные числа. IX. Действия над обыкновенными дробями. X. Десятичные дроби. XI. Проценты. XII Задачи. XIII. Пропорции и пропорциональные величины.

В помощь учителю математики. Сборник статей. Под ред. проф. И. Я. Депмана. Ленинградский гор. институт усовершенствования учителей, 1947,120стр. с черт., тираж 5 000 экз., цена 10 руб.

В книге помещено 9 статей: Н. Н. Полозова, К вопросу о преподавании арифметики в школе (стр. 3—11); И. Я. Депман, Арифметика в курсе средней школы (стр. 12-29 ; И. И. Чистяков, Варианты решений основных задач на построение (стр. 30—51); П. А. Компанийц, Простейшие сведения о площади круга и длине окружности для задач в курсе дробей (стр. 52—59); И. Я. Депман Иррациональное число (стр 60—71); П. А. Компанийц, О вычислениях приближенных значений результатов действий над иррациональными числами (стр. 72- 94); И.Я Депман, Исследование решений уравнений и неравенств (стр. 95—102); П. Ю. Германович, Комплексные числа (стр. 103—111); И.Я.Депман, Обзор литературы для учителя математики (стр. 112—120).

Гребенча М. К. Вопросы общей методики математики во втузах („Вестник высшей школы“, 1947, № 5, стр. 8-12).

Существующие взгляды на задачи и методы преподавания математики в вузах в настоящее время и их разбор.

Лазарев К. С, Решение арифметических задач в средней школе. (.Методический сборник в помощь учителю Института усовершенствования учителей Адыгейской автономной области“, 1947, № 1 (4), стр. 81-109).

Пауткин Н. М.. Конструирование моделей и методическая мысль (.Вестник высшей школы*, 1947, № 4, стр. 42-43).

Некоторые выводы из многолетнего опыта автора по конструированию моделей геометрических образов с переменными параметрами.

Математика в школе, Методический сборник, вып. 1, Л., Обл. институт усовершенствования учителей, 1947, 168 стр. с черт., тираж 5000 экз., цена 10 руб.

Сборник содержит четыре статьи: Д. К. Фадеев, О геометрических построениях (стр. 3—20); С. Е. Ляпин, Задачи на построение по геометрии (стр. 21—40); А. Т. Прозорова, Задачи на построение (стр. 41— — 106); С. Е. Ляпин. Некоторые соображения о повторении математики в средней школе (стр. 107— -167).

Матышук В., О подготовке учителей математики для средней школы („Народное образование“, 1947, № 6, стр. 34 -43).

Менчинская Н. А., Очерки психологии обучения арифметике, М.—Л. изд. Академии педагогических наук РСФСР, 1947, 104 стр., тираж 10 000 экз., цена 3 руб. (Институт психологии. Педагогическая б-ка учителя).

Первая глава книги посвящена психологии процессов счета, во второй дается психологическая характеристика решения арифметических задач. В третьей главе говорится о методах исследования арифметическик операций.

Морозов В. В., Казанская математическая олимпиада 1947 г. (.Успехи математических наук“, 1947, вып. 4, стр. 188).

Краткие сведения о математической олимпиаде школьников. Приведены 9 задач, предлагавшихся на олимпиаде.

Никулин Н. А., Геометрические построения с помощью простейших инструментов, Симферополь, Крымиздат, 1947, 34 стр. с черт., тираж 2000 экз., цена 2 руб. (Крымский педагогич, институт им. Фрунзе. Библиотека „В помощь учителю“).

В книге даны указания по решению ряда геометрических задач с помощью некоторых простейших инструментов (произвольный угол, двухсторонняя линейка, два произвольных угла и т. п.).

Изложение доступно для учащихся старших классов средней школы.

О преподавании математики в семилетней и средней школе. Методические указания, составленные Институтом методов обучения Академии педагогических наук РСФСР, М., Учпедгиз, 1947, стр. 19, тираж 60 000 экз., цена 25 к. (Управление школ Министерства просвещения РСФСР).

Указания по классам о преподавании арифметики (стр. 3—7), алгебры (стр. 7—13), геометрии (стр. 13—17) и тригонометрии (стр. 17—19).

Сапирштейн Л., Юные математики („Семья и школа“, 1947, № 8, стр. 26—28).

Общемосковская школьная математическая олимпиада. Роль семьи в развитии математических способностей детей.

Смирнова А. И., Математический кружок (сборник „Опыт Крымской школы“, Симферополь 1947, стр, 48-51).

Описаны 6 занятий математического кружка, учащихся VII класса Керченской мужской школы.

Соколовский В. Н., Преподавание элементов истории математики в средней школе («Труды Ашхабадского государственного педагогического института им. Горького за 1946 г.“, вып. 3, 1946, стр. 15-21).

Указания на элементы истории математики в стабильных учебниках. 10 тем для лекций-бесед по истории математики, рекомендуемых автором для VII—X классов средней школы с указателем литературы по ним (58 названий)

Четверухин Н. Ф., проф., Стереометрические задачи на проекционном чертеже, М.—Л., изд. Академии педагогических наук РСФСР, 1947, 60 стр. с черт., тираж 15000 экз., цена 1 р. 50 к. (Научно-исследовательский институт методов обучения. Педагогическая библиотека учителя).

В книге дан ряд примеров (для учителя) различных стереометрических задач на проекционных чертежах, не требующих каких-либо дополнительных сведений из области начертательной геометрии и вполне доступных для учащихся средних школ.

В § 10 даны методические указания о практическом использовании педагогом материала этой книги.

Я к у б Л. М., Методика лекционного изложения курса высшей математики (.Вестник высшей школы“. 1947, № 5, стр. 12—14).

IV. Книги по различным вопросам высшей математики

Александров П. С, проф, Комбинаторная топология, М.—Л., Гостехиздат, 1947, 660 стр. с черт., тираж 5000 экз., цена в перепл. 31 р. 70 к.

.Настоящая книга является введением в современную гомологическую топологию, доступную всякому читателю, имеющему некоторую общую теоретико-множественную и алгебраическую культуру и стремящемуся получить некоторые познания в области топологии путем систематического изучения основных глав этой дисциплины“ (из предисловия).

Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, часть I. Перев. с немецкого Д. А. Райкова. Под ред., с предислов. и добавлением А. Г. Куроша (2-е издание). М.—Л., Гостехиздат, 1947, 339 стр., тираж 8000 экз., цена в перепл. 15 р. 50 к.

Часть II. 260 стр., тираж 8 000 экз., цена в перепл. 3 руб.

Во 2-м издании, опубликованном в 1937—1940 гг., автор существенно переработал и дополнил книгу, учтя новейшие достижения алгебры. В тех же целях сделаны некоторые дополнения и редактором настоящего издания.

Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления. Перев. с англ. Д. А. Райкова, М.% Гос. изд-во иностранной литературы, 1947, 408 стр., цена в перепл. 24 руб.

Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М.—Л., изд. Академии наук СССР, 1947, 111 стр., тираж 2000 экз., цена 9 руб. (Труды Математического института им. В. А. Стеклова, вып. 2-й).

Вопросы современной начертательной геометрии. Сборник статей. Под ред. Н.Ф.Четверухина, М.—Л., Гостехиздат, 1947,034 стр. с черт., тираж 10000 экз., цена в перепл. 13 руб.

В книге помещено 6 статей: Н. А. Глаголев, Геометрические преобразования в начертательной геометрии (стр. 9 — 54); Н. М. Бескин, Основные положения аксонометрии (стр. 55 — 126); Н. Ф. Четверухин, Полные и неполные изображения (стр. 127 — 187); Он же, Условные изображения и параметрический метод их построения (стр. 188 — 243);

B. В. Рыжков, Начертательная геометрия кривых линий и поверхностей (стр. 244 — 285); Я. Б. Шор, Векторные методы в начертательной геометрии и их приложения в механике (стр. 296 — 330).

Дольский Е. Е., Новый способ решения задач начертательной геометрии по методу проф. С. М. Колотова. Киев —Львов, Гостехиздат Украины, 1947, 33 стр. с черт., тираж 8 000 экз., цена 2 руб.

Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении. При ред. участии Г. Б. Гуревича. Часть 1. Аппарат исследования. Общие основы теории и внутренняя геометрия поверхности, М.—Л., Гостехиздат, 1947, 512 стр. с черт., тираж 5 000 экз., цена в перепл. 28 руб.

Книга дает изложение наиболее существенного материала дифференциальной геометрии поверхностей в современном ее построении.

Картан Э., Теория спиноров. Перев. с франц. под ред. проф. П. А. Широкова. М.,Гос. изд-во» иностранной литературы, 1947, 224 стр., цена в перепл. 13 руб.

Крамер Гаральд, Случайные величины и распределение вероятностей. Перев. с англ. А. М. Яглома. Под ред. А. Н. Колмогорова, М., Гос. изд-во» иностранной литературы, 1947, 144 стр., цена в перепл. 11 руб.

Книга может служить основой для углубленного* изучения теории вероятностей для лиц, уже знакомых с ней в пределах элементарного курса.

Ладон И. Ф., Приложение понятия о полном дифференциале к приближенным вычислениям. Л., Военная Краснознаменная академия связи имени C. М. Буденного, 1947, 26 стр.

Брошюра имеет своей целью помочь развитию элементарных навыков приближенных вычислений.

Немыцкий В. В. и Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений. М— Л., Гостехиздат, 1947, 448 стр. с черт., тираж 10000 экз., цена в перепл. 19 р. 50 к.

Настоящая монография возникла в результате совместной работы авторов в качестве руководителей ряда математических семинаров в Московском университете.

Попов А. А., Новый метод интегрирования с помощью ортогональных фокусов. М.—Л„ Гостехиздат, 1947, 84 стр. с граф. и 4 отд. л., тираж 8 000 экз., цена 3 руб.

Рашевский П. К., Геометрическая теория уравнений с частными производными, М.—Л., Гостехиздат, 1947 , 354 стр., тираж 7 000 экз., цена в перепл. 15 р. 50 к.

Романовский В. И., Применения математической статистики в опытном деле. М.—Л., Гостехиздат, 1947, 247 стр. с черт., тираж 10 000 экз., цена в перепл. 8 руб.

Книга предназначена для работников опытных полей и других сельскохозяйственных учреждений, а также для работников любого учреждения, имеющих дело со статистически поставленными задачами.

Трикоми Ф., О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. Перев. с итальянского Ф. И. Франкля. М.—Л.,.

Гостехиздат, 1947, 192 стр. с черт., тираж 6000 экз., цена 6 р. 70 к.

Романовский В. И., Основные задачи теории ошибок. М.—Л., Гостехиздат, 1947, 116 стр., тираж 10000 экз., цена 3 р. 75 к.

Шагинян А. Л., О полноте семейств аналитических функций в комплексной области. Ереван, 1947, 61 стр. с черт., цена 10 руб. (Академия наук Армянск. ССР. Сообщения Института математики и механики, вып. 1).

V. Научно-популярные книги

Берман Г. Н., Счет и число. М.—Л., Гостехиздат, 1947, 40 стр. с илл., тираж 10j 000 экз., цена 65 коп. (Научно-популярная библиотека).

В популярной форме автор дает краткие сведения по истории счета и об основах нашей десятичной системы счисления.

Гнеденко Б. В., и Хинчин А. Я., Элементарное введение в теорию вероятностей. М. -Л., Гостехиздат, 1946, 128 стр. с черт., тираж 25 000 экз., цена 2 р. 50 к.

В общедоступной форме книга знакомит с основными понятиями и методами теории вероятностей.

Гнеденко Б. В., Как математика изучает случайные явления. Под общей редакцией акад. М. А. Лаврентьева, Киев, изд. Академии наук УССР, 1947. 75 стр. с черт., тираж 8 000 экз., цена 5 руб.

Гуревич Г. М., 14 головоломок, задач, шуток. М., Коиз, 1947, 16 стр. с илл., тираж 25 000 экз., цена 3 руб.

В книжке приведены 14 рисунков с различными арифметическими и другими головоломками для детей среднего возраста.

Травин С, Необычная геометрия (.Знание — сила“, 1947, 6, стр. 17 — 20).

Элементарное изложение вопросов топологии для подростков.

Тюрин Н. И., Единицы измерений, принятые в СССР. (Научно-популярный очерк.) Под ред. И. П. Лисаченко, М., изд. Комитета по делам мер и измерительных приборов при Совете Министров СССР, 1947, 83 стр., тираж 5000 экз., цена в перепл. 5 руб.

VI. Пособия для заочников

Программы и методические указания для заочников учительских институтов. Физико-математическое отделение. Высшая математика. Автор методических указаний С.И.Новоселов, М., Учпедгиз, 1947, 102 стр. с черт., тираж 5 000 экз.,'цена 5 руб.

(Главное управление высших учебных заведений и пед. училищ Министерства просвещения РСФСР. Научно-методич. кабинет по заочному обучению учителей.

Программы и методические указания для заочников педагогических институтов. Физико-математический факультет. Математический анализ (Дифференциальное исчисление). Авторы: А. И Погорелов и В. Э. Киссин, 2-е изд., М., Учпедгиз, 1947, 56 стр. с черт., тираж 2 000 экз., цена 2 р. 50 к. (Главное управление высших учебных заведений и пед. училищ Министерства просвещения РСФСР,-Научно-методический кабинет по заочному обучению учителей).

Программы и методические указания для заочников педагогических училищ. Методика преподавания арифметики. М., Учпедгиз, 1947, 35 стр., тираж 25 000 экз., цена 1 руб. (Главное управление высших учебных заведений Министерства просвещения РСФСР. Научно-методический кабинет по заочному обучению учителей.)

Программы и методические указания для заочников учительских институтов.

Физико математическое отделение. Элементарная математика(алгебра). Автор С. С. Бронштейн. М., Главное управление высших учебных заведений \ь пед. училищ Министерства просвещения РСФСР, 1947, 123 стр., тираж 10000 экз., цена б р. 50 к-(Научно-методический кабинет по заочному обучению учителей).

Глаголев А. А., Аналитическая геометрия, 2-е переработ, и дополн. издание. М., изд-Всесоюзного заочного института советской торговли, 1947, 168 стр. с черт., тираж 4 000 экз., цена в папке 12 руб.

Иовлев Н. Н., Практическое пособие к решению задач по аналитической геометрии на плоскости. М., изд. Московского заочного института строительных материалов, 1947, 150 стр. с черт., тираж 2 500 экз., цена 18 руб.

VII. Справочные издания

Гаусс Ф., Таблицы для вычисления прямоугольных координат. Дополнено и переработано проф. А. С. Чеботаревым, изд. 9-е, М., Воениздат, 1947, 107 стр. с черт., цена в перепл. 7 руб.

Перепечатка без изменений с 8-го переработанного издания (1935).

Штейнбреннер Г., Пятизначные таблицы тригонометрических функций (для десятичного деления квадранта). М. 1946, 125 стр., тираж 10 000» экз.

ХРОНИКА

В ЛЕНИНГРАДСКОМ ИНСТИТУТЕ УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ УЧИТЕЛЕЙ

Проф. И. Я. ДЕПМАН (Ленинград)

Одним из средств воспитания советского патриотизма и национальной гордости является ознакомление учащихся с достижениями русской науки, часто забытыми, а еще чаще приписываемыми зарубежным ученым.

Однако учитель, как правило, очень плохо информирован в этом отношении. Ленинградский городской институт усовершенствования учителей поэтому уже в течение ряда лет уделяет значительное внимание просвещению учителей математики в вопросах истории математической науки и математического образования в России.

Помимо лекций и учительских докладов, посвященных юбилейным датам:

„Н. И. Лобачевский“ —доклад проф. И. Я. Депмана, и учительницы М. А. Щукиной.

„П. Л. Чебышев'— доклад проф. И. Я. Депмана,

„Г. Ф. Вороной“ — доклад проф. Б. А. Венкова и воспоминания учительницы С. А. Свет.

„Учебники Войтяховского“—доклад H.H. Полозовой,

„Учебник геометрии Головина“ —-. доклад А. Л. Бронниковой, в самые ужасные дни блокады была устроена выставка по истории математики в России, отмеченная Верой Инбер в ее дневнике как один из показателей того, что ленинградцы, несмотря на налеты и бомбардировки, продолжают усиленными темпами свою обычную работу.

Настоящий учебный год в Институте усовершенствования учителей начался собранием учителей математики на могиле великого Эйлера (впервые по этому случаю сфотографированной). На могиле собралась большая группа лучших учителей математики Ленинграда, где пишущим настоящие строки был прочтен доклад об Эйлере и в особенности о его трудах, имеющих непосредственное отношение к преподаванию в средней школе. Забытая и запущенная могила была реставрирована, а на будущее время математические кружки школ приняли на себя заботу о содержании ее в порядке.

В течение нынешнего семестра был прочитан проф. Б. А. Венковым, в институте доклад „Русские математические школы“, а на очередных учительских конференциях — проф. И. Я. Депманом доклады: „Исторический элемент на уроках математики как средство идейного воспитания“ и „Главнейшие достижения советской математики, имеющие непосредственное отношение к преподаванию в школе“. Оба доклада печатаются в трудах конференции. В январском плане работы стоит доклад „Я. И. Перельман — замечательный популяризатор математических знаний в СССР“, а в ближайшее время предполагается учительская конференция на тему „Математика и математическое образование в России“, с докладами учителей и заведующего кафедрой на тем) „Забытые и забываемые достижения русской математики“. В институте имеется собрание портретов и иллюстрированных материалов по истории математики в России, которое используется как на докладах, так и на конференциях, дополняемое экспонатами из богатейшего личного собрания заведующего кафедрой (свыше 2000 номеров). Эти иллюстрированные материалы привлекают внимание учителей, во многих школах имеются свои небольшие собрания таких материалов, а в последнее время ряд школ стал усердно пополнять свои математические уголки портретами математиков, в первую очередь русских. Кафедра математики института всячески поощряет интерес учителей к истории математики в России, видя в этом один из возможных путей, способствующих воспитанию советского патриотизма и национальной гордости на уроках математики.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, помещенных в № 1 за 1948 г.

№ 1

При каких значениях п сумма натурального ряда чисел от 1 до п делится на 99? Решение. Сумма п первых натуральных чисел равна —^2— • По Условию должно быть:

или:

(1)

где m —натуральное число. Так как п и —числа взаимно простые (причем одно из них непременно четное), то одно из них должно делиться на 9. Одновременно это же число или второе должно делиться на 11. Отсюда имеем следующие возможные случаи:

1« п = 99л\ (2)

2Э л-И = 99л:, откуда п = 99дг — 1. (3)

Оба решения удовлетворяют задаче при любом х>1.

3° п = 9х; п+\=\\у.

Отсюда:

lljH — 9jc=1. (4)

Уравнение (4) решим обычным способом или, короче, так: Имеем:

(5)

Совершенно очевидно, что -g- дает целое

значение при у = Б; тогда из уравнения (б) получим x « 6. Итак, имеем третье решение задачи:

х=Ш+6,

а, следовательно,

п = 9ЭЯ-54. (6)

4° л —Их; л + 1=9у.

Отсюда :

9у—Пх= 1. Так же, как и в предыдущем случае, найдем:

и, следовательно:

п = 99*4-44. (7)

Получаем 4-е решение.

Сопоставляя формулы (2), (3), (4), (5) и (7), заключаем, что все значения л, удовлетворяющие условию задачи, являются членами одной из четырех арифметических прогрессий, у которых разность d = 99, а первые члены равны 44, 54, 98 и 99,

№ 2

Найти целые положительные числа, удовлетворяющие уравнению:

(1)

Решение. Не уменьшая общности решения, мы можем предположить, что x, у и г не имеют общего множителя (все такие решения мы можем получить, умножая найденные значения х% у и z н а одно и то же произвольное натуральное число). Пусть н. о. д. чисел х и z равен m, а чисел у и z равен п. Тогда мы можем положить

x = тхц z = mjt2, (2)

;-«Л! * = яу2, (3)

где Х\ и дг2, а также уг и у2 — числа взаимно простые. Заметим прежде всего, что числа тип должны быть также взаимно простыми, так как в противном случае из (2) и (3) следует, что x, у и z имеют общего множителя, что противоречит предположению. А раз так, то мы можем положить

z — тпр% (4)

где р — натуральное число. Покажем, что р = 1. Данное уравнение мы можем представить в виде :

ху — xz —yz = 0;

отсюда

ху — xz — yz + z* es

или:

(x-z)(y-z) = zfi. (5)

Подставив значения дг, у и z из (2), (3) и (4), получим по сокращении:

(х1 — пр) (ух — тр) = тпр*. (6)

Допустим, что р>1. Тогда из (6) следует, что* например, Jtj — л/? должно иметь с р общего множителя. Но этого не может быть, так как тогда этого общего множителя должен иметь и хъ и значит m не является н. о. д. для х и z. То же про-

тиворечие получим, предположив, что У\ — тр и /; имеют общего множителя. Итак, /7 = 1. Тогда из (6) имеем:

0*1- >0 Oi - m) = m/z, (7)

а так как из (2) и (3) следует, что хг не может иметь с бщих множителей с я, а уг — общих множителей с m (в противном случае д:, у и : имели бы общего множителя), то из (7) непосредственно следует, что

хг — п = m и ух — т — п,

откуда

х1 = m -f п к Ух = m -\- п.

Тогда из (2), (3) и (4) имеем:

x = m ( m -f л); у = п(т + п); z = mn. (8)

Эти выражения и дают общее решение заданного уравнения. Действительно, подставив в уравнение найденные значения x, у и г, приведем его к виду:

Получили тождество, в справедливости которого легко убедиться непосредственно. Давая здесь m и п произвольные значения, получим сколько угодно частных решений данного уравнения, например:

Заметим, что в L'Education mathématique, откуда взята задача, дано гораздо более длинное и сложное решение, приводящее к известным формулам для Пифагоровых треугольников.

№ 3

Найти двузначное число, которое равно сумме куба числа его десятков и квадрата числа его единиц.

Решение. Обозначив число десятков и единиц соответственно через х и у (причем по условию х^О), будем иметь согласно условию:

\0х+у = х*+у*. (1)

Отсюда

х(10-х*)=у(у-\). (2)

Из равенства (2) заключаем, во-первых, что должно быть x2 < 10, откуда х < 3; во-вторых, что х должно быть четным числом (так как у (у — 1) — число четное). Следовательно, получаем для х единственное значение х = 2, а тогда из равенства (2) имеем у = 4. Действительно,

№ 4

Определить значения тип, при которых многочлен

x* +(т + п) аз -f (m — п) x2 + (m2 -f 2п — 1) х + + т+2п + 4 (1)

делится на х2 — 2х-\-1. Чему будет равно частное?

Решение (1). Так как *2 — 2х + 1 = (х — 1)2,то многочлен (1) должен делиться на х—1, т. е. 1 является его корнем. Отсюда подстановка х = 1 в (1) дает:

1 + (т + п) + (т-п)+ (т2+2п—\) + (т+2п+4) = О или

т2 + 5т + 4л + 4==о. (2)

Г азделив многочлен 1 на (х — 1), получим частное:

лгз + (m + п + 1) *2 + (2m+1) x + (т?+2т + 2п) (3)

и остаток m2 3m + 4п + 4, который по (2) равен нулю. По условию задачи многочлен (3) также должен делиться на x — 1, т. е. jc= 1 является его корнем. Отсюда поде:ановкой х = 1 в (3) получаем:

1 -h(m + п + 1) -г-(2т+ 1)+ (т2 + 2т + 2п) О

или

т2 + 5т + 3п + 3 = 0. (3)

Решим систему уравнений (2) и (3). Вычтя (2) из (3), получим:

2т —я — 1 =0,

откуда

л = 2т-1. (4)

Подстановка из (4) в (2) или в (3) дает уравнение: m* + lim = 0,

решив которое, найдем

т1 = 0, т2 = — 11

и соответственно из (4):

щ = - 1; л2=—23.

Таким образом, искомые многочлены будут: 1 ) x* —- х^ -f- x* — Зх -г* 2 = 0, 2) x* - 34*з + 12jc2 + 74* - 53 = 0.

Соответствующие частные от деления их на x* - 2х + 1 :

\)Х2 + Х + 2,

2) *2 — 32* — 53.

Решение 2. Разделив данный многочлен на x2 — 2*4-1, получим в частном:

Х2 + (т + п + 2) дг + (3т4-л + 3) (5)

и в остатке:

(m2 + 5m + Зп + 3) * — (2m - п - 1).

Так как по условию остаток должен быть тождественно равен нулю, то должны быть равны нулю все его коэфициенты, т. е.

Получили ту же систему уравнений (3) и (4), из которой найдем прежние значения тип. Подставив их в (5), найдем соответствующие частные.

№ 5

Доказать» что произведение

ху(Зх + 2) (5у + 2)

есть разность квадратов двух целых многочленов с целыми коэфициентами.

Решение. Обозначив искомые многочлены через А и В, по условию будем иметь:

ху (Зх + 2) (by + 2) ~ А* — Я*,

или:

(Зху + 2у) (5ху + 2х) = А8 — В*.

Мы можем положить:

А + В = 5ху+2х% А — В = 3ху+2у.

Отсюда легко найдем:

А = 4ху + х+у, В = ху + х — у.

Многочлены А и В удовлетворяют условию задачи.

№ 6

Дано, что медианы та и тс треугольника ABC образуют со стороной АС углы, равные Ъ\° 15'41“ и 28° 44' 18“, и что площадь прямоугольника, построенного на этих медианах, равна -/3 . Вычислить без помощи тригонометрии площадь треугольника ABC. Решение, Из чертежа 1 замечаем, что

Черт. 1.

Проведя высоту АН треугольника АЕМ, найдем, что

(1)

(так как НМ в прямоугольном треугольнике AHM лежит против угла в 30° и AM AD=-jma).

Вычислим АН:

Найдем теперь площадь треугольника БАМ:

Но по условию татс = |ЛЗ, Сделав подстановку, найдем:

Площадь же треугольника ЕАМ, как легко видеть, составляет -у площади треугольника ЕАС, а эта последняя составляет половину площади данного треугольника ABC. Отсюда получаем:

№ 7

Через точку А, лежащую внутри данного круга, провести хорду так, чтобы, она разделилась в точке А в данном отношении т:п.

Решение. Пусть ВС — искомая хорда (черт. 2). Проведем из точки С прямую, параллельную радиусу OB, до пересечения в точке D с продолжением отрезка OA. Из подобия треугольников В АО и DAC имеем:

Черт. 2.

(1)

Отсюда:

(2)

Но OA и OB — данные отрезки (точка А дана, а OB — радиус данной окружности). Следовательно, отрезки АО и DC мы можем построить. Отсюда вытекает решение задачи.

1) Находим по (2) отрезок AD и откладываем его на продолжении OA.

2) Находим по (2) отрезок DC и из точки D описываем радиусом DC окружность, которая пересечет данную, окружность, вообще говоря, в двух точках Ci и С2.

3) Соединив С\ и С% с А и продолжив С^А и CVA до пересечения с окружностью в т.ч ;\\ Вх и В,, получим, вообще говоря, две хорды

В\г.\ и В<гС2. дающие решение задачи.

№ 8

Найти четырехзначные числа, удовлетворяющие условию:

xyzu = (ху + *й)2, (1)

Решение. Обозначим

ху = M;~zu = N. (2)

По условию:

100 M + N = (M + N)*. (3)

Вычтя из обеих частей по M + ЛГ, получим:

99 M = (Ai + N) (Л* + N-1). (4)

Отсюда:

Итак, произведение (М + N) (М + ЛГ—1) должно делиться на 99, а так как M + N и M + N—1 —числа взаимно простые, то возможны следующие случаи

1) M+N = 99; M + N-\ = 98. (6)

(Легко видеть, что случай M + N—1=99 невозможен, так как тогда из (5) получаем M = 100, что противоречит условию двузначности числа М. По той же причине не может быть M + N = V9 k при *>1).

В этом случае из (5) имеем Af = 98 и из (6) N = 1. Действительно:

9801 = (98 + 01)2.

2) M + N = Ua; M + N-l = 96; (7)

Отсюда:

9^= lia—1.

Решив любым способом это неопределенное уравнение, найдем:

а = 9/ + 5; & = 11/ + 6, (8)

где / — целое и />0.

Подстановка из (7), а затем из (8) в (5) дает: M = ab = (9/ + 5) (11/+6) = 99/2 + gg* _|_ з0,

а так как iW<100, то.отсюда следует, что /= О и М=30, а = 5, M+ 7V= 11д = 55; W=25. Действительно:

3025 = (30 + 25)2.

3) M + N=9a; M + N—1 = lib.

Отсюда: 9д=Ш+1.

Решив это уравнение аналогично предыдущему, найдем:

M = 20; N = 25. Действительно:

2025 = (20+ 25)2.

Итак, условию задачи удовлетворяют три числа: 2025, 3025 и 9801.

№ 9

Два тела, находящиеся от точки А на расстояниях 159 м и 78 м, движутся по направлению к А:первое со скоростью 5м, второе со скоростью 2 м в минуту. Через сколько времени одно тело будет вдвое дальше от точки А, чем другое?

Решение. Так как в условии задачи не сказано, которое из двух тел находится вдвое дальше от точки Л и по какую сторону от этой точки оно находится, то могут представиться четыре случая:

1. Первое тело M находится вдвое дальше, чем второе тело N (положение MxNi% черт. 3). Тогда, обозначив искомое время через Л легко получим:

159-5/= 2 (78-2/).

Отсюда fj = 3.

2. Второе тело N вдвое дальше (положение M2N2). Тогда:

2(159 — 50 = 78-2/.

Отсюда /2 — 30.

3. Второе тело N вдвое дальше, но первое тело M перешло за точку А (положение МъЩ. Тогда

2 (5/-159) = 78 - 2/.

Отсюда /3 = 33.

Наконец, тело Мь перейдя за точку А, оказалось вдвое дальше (положение Af8iV8). Тогда

5/-159 = 2(78- 2/). Отсюда /4 = 35.

Черт. 3.

Задача, конечно, совершенно элементарна, нэ предложивший ее тов. Шебаршин сообщает, что он ни. разу не получил полного ответа на эту задачу (дается один, в лучшем случае два ответа). Присланные в редакцию решения подтверждают опыт т. Шебаршина.

№ 10

Теорему о свойстве углов вписанного четырехугольника обобщить на случай вписанного многоугольника с четным числом сторон.

Решение. Обобщенную теорему можно сформулировать так:

„Во всяком вписанном многоугольнике с четным числом сторон сумма углов, взятых через один, равна сумме остальных углов“.

Докажем теорему способом математической индукции. Пусть AB (черт. 4) — сторона вписанного многоугольника, удовлетворяющего условию теоремы. Обозначим </А номером 1, тогда Z.B получит номер 2л.

Черт. 4

В сегмент, лежащий вне этого многоугольника, впишем произвольный четырехугольник ABCD, который вместе с данным 2/г-угольником составит (2л + 2)-угольник. Тогда номер Z.C будет 2/14-1, a ^D - 2п-\-2. При этом z. А увеличится на DAB, а сумма всех углов с нечетными номерами увеличится на ^DAB+Z.C^ 2d. Точно так же Z. В увеличится на z. ABC, а сумма всех углов с четными номерами увеличится на ^_АВС + /JD = 2d. Таким образом, если углы 2л-угольника удовлетворяют теореме, то ей будут удовлетворять и углы (2п + 2)-угольника. Но для четырехугольника, т. е. для л = 2, теорема доказана. Следовательно, она верна и для п=*3, 4, 5...

№ 11

Теорему о свойствах сторон описанного четырехугольника обобщить на случай описанного многоугольника с четным числом сторон.

Решение. Обобщенную теорему можно сформулировать так: „Во всяком описанном четырехугольнике с четным числом сторон сумма сторон, взятых через одну, равна сумме остальных сторон“.

Доказательство можно провести, как и в предыдущей задаче, методом математической индукции. Но здесь теорема легко доказывается и непосредственно. Обозначим АВ% ВС, CD- соответственно через аг а2% а3- a2k (черт. 5).

Введя обозначения для отрезков АН = АЕ= тх\ BE=BF=ni) CF = CG = т2 и т. д., будем иметь:

Черт. 5.

Складывая отдельно стороны с нечетными и четными номерами, получим в обоих случаях одну и ту же сумму:

(тх-\-т2+ ... +т£ + (п1 + п%+ ... +пл), что и доказывает теорему.

№ 12

Доказать, что при натуральном п > 1 выражение 72“ —42л —297 делится на 264.

Решение. Так как 264 = 23-3-11, то, доказав делимость данного выражения на взаимно простые числа 23, 3 и 11, докажем делимость его и на их произведение 264.

1. Выражение 72Л — 42Л, как разность одинаковых четных степеней двух чисел, делится на разность 3 и на сумму 11 этих чисел, т. е. делится на 33. А так как 297 = 33-9, то и все данное выражение делится на 33.

2. При п > 1 выражение 42П делится на 8. Покажем, что и 72П — 297 делится на 8.

Но

где k — число целое. Отсюда

72л _ 297 = 8£ + 1 — 297 = 8£ — 296 = 8£ — 8 • 37.

Таким образом, данное выражение делится на 8.3-11 =264.

В условии задачи допущена опечатка (вместо 264 напечатано 924). Поэтому задача исключается из конкурса.

№ 13

Без помощи таблиц определить большее из чисел 99SÔ97 и 997999. Обобщить результат

Решение. Исходя из известного неравенства

(1)

при п > 2 будем иметь:

откуда

(2)

Возведя (2) в квадрат, получим последовательно:

Это неравенство и дает обобщение задачи. Полагая здесь л = 997, получим заданный случай:

997Ö99 > 999W7.

Примечание. Справедливость неравенства (1> ясна из того, что функция —возрастающая, имеющая пределом при п оо число е = = 2,7128... Можно его легко доказать и непосредственно.

№ 14

Решить систему уравнений:

(1) (2) (3)

Решение. Представим первое уравнение в следующем виде:

х2 + ху + yz + zx = а?. (4)

или:

(x+y)(x + z) = a*. (5)

Сложив (4) с (3), получим:

*2 + ху +yz + zx = с2. (6)

или:

(z + x)(z+y) = c*. (7)

Наконец, вычтя (2) из (6), найдем:

У2+ xy + vz + zx=b* (8)

или:

(У + х)(у + г) = Ъ*. (9)

Перемножив (5), (7), (9), найдем по извлечении квадратного корня:

(x +у) {у + z) (z + x) = ± abc. (10)

Разделив (10) последовательно на (5), (7), (9), получим:

отсюда легко найдем x, у, z.

№ 15

Наборщик рассыпал некоторое число, представляющее шестую степень натурального числа. Его цифры: 023447889. Восстановить по этим цифрам число.

Решение. Разобьем рассуждение на несколько этапов.

1. Рассыпанное число M — девятизначное, т. е.

103<jc8<10»,

отсюда

Ю- /100< x < 10 /1000. (1)

И так как легко видеть, что

2</100<ЗиЗ</1000 <4,

то из (1) следует, что

20<д:<40. (2)

2. Сумма цифр числа M равна, 45, т. е. делится на 9. Следовательно, основание х должно делиться на 3.

3. Так как М = х$ является точным квадратом, то из имеющихся в нем цифр оно может оканчиваться лишь, на 4 и 9 (Нуль исключается, так как в квадрате должно быть на конце четное число нулей.)

а) Пусть M оканчивается на 4. Тогда Y M должен оканчиваться на 2 или 8 (так как квадраты только этих чисел оканчиваются на 4). Но тогда х должно оканчиваться соответственно на 8 или 2, так как

(10 £ + 2)3= 1Сл + 8 и (10£ + 8)3 = 10/г + 2.

Учитывая границы числа х (см. неравенство 2), найдем, что возможны для х лишь значения:

22, 28, 32, 38.

Но ни одно из этих чисел не делится на 3. Следовательно, они не дают решения.

б) Пусть M оканчивается на 9. Тогда /iW« je3 оканчивается на 3 или 7, а значит х соответственно на 7 или 3. Учитывая делимость х на 3, получим возможные значения лишь 27 и 33. Но

336 > 32G = (25)б = (2Ю)з Ä (Ю24)3 > Ю»,

т. е. является числом десятизначным. Остается испытать число 27. Получаем:

27« = 387420489.

Это число удовлетворяет всем условиям задачи. 6 _

Взяв в неравенстве (1) уЛДО00 = уТл) с точностью до 0,1, мы получили бы для x границы

20<jc<32

и тогда сразу получили бы для испытания единственное число 27.

№ 16

Доказать тождество:

(1)

Решение. Преобразуем правую часть

Подставив полученное выражение в (1) и перенеся первый член в левую часть, получим:

или

Но справедливость последнего тождества очевидна (применение формулы для разности косинусов). Отсюда легко перейти к исходному тождеству.

№ 17

Доказать теорему, обратную теореме о свойстве сторон описанного четырехугольника, т. е. если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Решение. Пусть дан четырехугольник AB CD (черт. 6), в котором

AB + CD = BC + AD. (1)

Черт. 6.

Построим обычным путем (т. е. проведя биссектрисы углов В и А и взяв точку их пересечения за центр) окружность, касательную к сторонам AD, AB и ВС. Покажем, что она будет касательной и к стороне CD.

Допустим противное: пусть окружность находится целиком внутри четырехугольника ABCD, не касаясь сторон CD.

Проведем касательную СЕ из точки С. Тогда по прямой теореме:

АВ + СЕ = ВС + АЕ. (2)

Вычтя почленно (2) из (1), получим: CD — СЕ = AD — АЕ,

или:

CD — CEe=ED. Мы получили, что в треугольнике CDE разность двух сторон равна третьей стороне, что невозможно. Совершенно аналогично докажем невозможность случая, когда CD пересекала бы окружность. Отсюда вытекает справедливость теоремы.

№ 18

В выпуклом пятиугольнике проведены все диагонали. Сколько (максимально) различных треугольников получились при этом?

Произведем последовательно подсчет треугольников, начиная хотя бы с вершины А (черт. 7).

Черт. 7.

1) Число треугольников со стороной AB равно

2) » (новых) „ „ АС , 3

3) . „ . „ AD „ 2

4) „ АЕ „ 3 3) ■ . . AR „ 1

Итого имеется 15 треугольников с вершиной А. Таким же путем найдем, что новых треугольников с вершиной В будет 9, с вершиной С—6, с вершиной D—4 и, наконец, с вершиной £—1. Всего, таким образом, получим 55 треугольников. Если учесть, что четырехугольник с диагоналями дает всего 8 треугольников, то число 35 для пятиугольника является довольно неожиданным.

№ 19

Доказать, что уравнение

5*2 + 6x + 15=>>2

не имеет целых решений.

Решение. 1) Если х делится на 3, то первые два члена в левой части и правая часть делятся на 9, в то время, как 15 на 9 не делится. Равенство невозможно.

2) Пусть х = Зт + 1. Тогда подстановка дает: 5 (3 m ± 1)2 + 6 (3 m ± 1) + 13 =“45 т2±30т + + 5 + 18 /л±6+ 15 = 3* + 2.

Но правая часть у2 может быть только вида 3 k + + 1 (так как i3ä± 1)2 =>9аг ±6а + 1 =3& + 1); следовательно, и в этом случае равенство невозможно. Итак, данное уравнение не удовлетворяется никакими целыми значениями * (при целом у)>

№ 20

Если целые числа 8 п + 1 и 24 п + 1 одновременно точные квадраты, то число 8д + 3 при л>1 не может быть простым. Доказать.

Решение. По условию

8/1 + 1««?* (1)

24 п + 1 = Ь2. (2)

Умножив (1) на 4 и вычтя из результатов (2)> получим:

8 п + 3 = 4 а2 — Ь2 = (2 а + Ь) (2 а - Ь). (3)

Равенство (3) сразу показывает, что 8 п + 3—число составное. Исключение составит случай, когда 2 а —b = 1 (и при этом 2а-\-Ь будет простым числом). Посмотрим, когда имеет место этот случай. Имеем в этом случае Ь — 2а- 1. Умножив (1 ) на 3 и вычтя из результата (2), найдем:

2 = 3 а2 - Ь\

Подставив b = 2a— 1, получим уравнение:

а* _ 4 а + 3 = 0,

откуда найдем ах = 3. а2—\. Отсюда из (1) получим п = 1 и п = 0. В этих случаях 8 п 4- 3 равно простым чгслам 11 и 3.

ЗАДАЧИ

Редакция просит присылать решения, а также задачи для помещения в журнале отдельно от всякой другой корреспонденции.

Задачи, не принятые к напечатанию, уничтожаются, и вступать по поводу их в переписку редакция не имеет возможности.

61. Решить уравнение:

хъ 4. (ъ* — 2) x = 2Ьх* - 2Ь

В. Розентуллер (Ленинград).

62. Решить уравнение:

д;4_ 12* 4-323 = 0

В. Розентуллер.

63. Найти объем правильной четырехугольной призмы со стороной основания я, если сумма углов, образованных диагональю призмы со стороной и с диагональю основания (выходящими из той же вершины), равна 135°.

Б. Верклиев (Мытищи).

64. Найти объем правильной четырехугольной призмы со стороной основания а, если разность углов, образованных диагональю призмы со стороной и диагональю основания (выходящими из той же вершины), равна 45°.

Б. Верклиев.

65. В треугольнике ABC определить сторону ВС, если AB 4“ АС = m, а проекция биссектрисы угла А на сторону AB равна р.

Б. Верклиев.

66. Показать, что при нечетном m число

/пв-35/и4 +259/7*2- 225 делится на 46 080.

О. Аракелян (Ереван).

67. Показать, что при всяком натуральном п >1 число

пп — л2 + п — 1 делится на (л — I)2.

О. Аракелян.

68. Показать, что при любых натуральных значениях а и п число

(А + 1)2Л+Ч« Л + 2

делится на a2 -f a -f- 1.

О. Аракелян.

69. В треугольнике радиусы описанного и вписанного кругов равны R п г. Найти отношение площади этого треугольника к площади треугольника, образованного точками касания вписанного круга.

П. Китайгородский (Москва)»

70. В треугольнике:

С 2 а + с = 2Ь и tg -7)г = -5-.

Определить tg ~2 и tg

П. Китайгородский.

71. Упростить выражение:

Я. Китайгородский.

72. Решить систему уравнений:

В. Нефедов (Владимир).

73. Найти трехзначные числа, являющиеся квадратами трех последовательных натуральных чисел, причем суммы цифр этих квадрат .в являются в свою очередь квадратами трех последовательных натуральных чисел.

В. Нефедов.

74. В четырехугольнике ABCD через точку О пересечения диагоналей проведены: А^В2 II AB (А\ на AD), ВгС2 II ВС(ВХ на AB), CXD21| CD (Ci на ВС) и DXA2 H DA (Dx на CD).

Определить сумму отношений:

Л. Фридман (Красноярск).

75. Доказать, что если je3 = z\ где х% у и z — целые числа, то одно из чисел дг, у, z должно делиться на 3.

Л. Фридман.

76. Доказать, что если *5 +уЬ =» г\ где *, у и z — целые числа, то одно из чисел *, у, z должно делиться на 5.

77. Вычислить сумму:

И. Голайдо (Брянской обл.).

78. Доказать равенство:

И. Голайдо.

79. Решить уравнение Бхаскары (XII в.):

х\ _ 2*2 - 400* = 9999.

Г. Залгаллер (Ленинград)

80. Автомобиль проехал расстояние между двумя городами со скоростью 50 км в час, а обратно возвращался со скоростью 30 км в час. Какова была его средняя скорость?

Е. Цыгуля (Дубоссары).

ЗАДАЧИ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ КРУЖКОВ

(Продолжение)

Задачи для IX—X классов

1. Решить систему:

{x* — yz = a y*-xz = b z* — xy = c

2. Решить уравнение:

(х + а) (х + 2а) (х + За) (х + 4а) = Ь*.

3. Доказать, что если х7 = 1, но х ф 1, то

4. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

5. Доказать, что если

Вычислить:

7. Доказать, что

8. Дан ряд чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233..., в котором каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предшествующих. Докажите неравенство:

9. Тысячное число в ряде задачи (8) имеет более чем 200, но менее чем 250 цифр. Вообще п-е число имеет не более-у-и не менее цифр. Доказать.

10. Найти сумму коэфициентов многочлена, получающегося после раскрытия скобок и приведения подобных в выражении:

(1 — 3 x + 2 *2)743 (1 + 3 X — 2 *2)744,

11. Найти целые решения уравнения:

ху = х+у.

12. Доказать, что наименьшее число, взаимно простое с каждым из 1, 2, 3... л, есть число простое.

13. Доказать, что все числа ряда 100001,10000100001, 1000010000100001,... составные.

14. Докажите, что для любого целого числа п

16 + 25+... +(2 п)ь

делится на 2 п + 1 •

15. Сколько различных делителей имеет число:

22.33.44.55.

Найти сумму всех делителей.

16. Если х19 х2— корни уравнения л2 — бдг+1, TOJtn + *2 при любом целом значении п является целым числом и никогда не делится на 5.

17. Воспользовавшись равенствами 1.000.009« = 1000« 4- 32 = 9722 + 2352, разложить 1000009 на два сомножителя, каждый из которых отличен от единицы.

18. Найти сумму Ы! + 2-2! + 3-3! + ♦ .. +п.п

(Здесь т\ = Ь2»3*....m).

19. Привести к виду, удобному для логарифмирования:

a) cos x + cos 2 х + cos 3 х + ... + cos 2пх; в) ein x -f- sin 2 x + sin 3 x -f- ... -f- sin 2nx.

20. Не существует выпуклого многогранника, имеющего 7 ребер. Доказать.

21. Разрезать треугольник на две части, имеющие равные периметры и площади.

22. Четыре скрещивающихся прямых в пространстве пересечь одной и той же прямой.

23. Данный выпуклый четырехгранный угол пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограм.

24. Доказать, что всякая плоскость, проходящая через середины двух противоположных ребер тетраэдра, делит этом тетраэдр на две равновеликие части.

25. Построить треугольник по следующим данным:

26. Дан правильный октаэдр. Радиус вписанного в него шара равен R. В центре одной из граней взята точка А.

Вычислить сумму расстояний от А до каждой из остальных граней. Та же задача, если дан правильный додекаэдр.

27. В пространстве даны точки Л, В, С, Д причем AB±CD, AC±BD.

Доказать, что AD\_BC.

28. В плоскости даны четыре точки. Провести через каждую из них прямую так, чтобы:

a) получился квадрат;

b) „ ромб с данным углом;

c) . прямоугольник, отношение сторон которого дано.

29. Доказать, что треугольник равнобедренный, если у него равны:

a) две медианы.

b) две высоты,

c) две биссектрисы (трудная задача).

30. Построить треугольник по медиане, высоте и биссектрисе, проведенным из одной вершины.

31. Построить окружность:

a) проходящую через данную точку и касающуюся двух данных прямых;

b) касающуюся данной окружности и двух данных прямых.

32. Найти все целые корни уравнений:

СВОДКА РЕШЕНИЙ по № 6 за 1947 г.

Хотя задачи данного номера были почти исключительно простые, тем не менее неверных решений было получено неожиданно мнзго (94 на 604 верных). Наибольшее количество неверных решений получила задача 119. Большинство почему-то принимали во внимание только параллелограмы, образованные двумя соседними параллелями и, конечно, без всякого труда получали ответ (а—1) (6-1). Много неверных решений получили задачи 107 и 110: в обеих давался одчн ответ вместо двух. Задача 108 получала различные решения в зависимости от того, отыскивался синус или тангенс угла А или А “2~. Ответы на задачу 119 давались в самой разнообразной, иногда крайне сложной, форме. Даем сводку правильных решений.

Г. Автух (Чашники) 102, 103, 105, 107, 110, 111, 113, 114, 116; Е. Алмазова (Беднодемьянск) ПО, Г15; А. Аляев (ст. Валовка) 101, 103—105, 107, 108, 110-117, 119; Г. Ахвердов (Ленинград) 101, 103, 104, 106-108, 110—117; Л, Багарян (Сухуми) 103, 107, 108. 111, 115, 116; Я. Байдюк (Ольгополь) 103, 107, 108, 111-113, 115, 116; Я. Берман (Турткуль) 105, 111, 115, 116. Б. Бурказов (Ейск) 101—103, 106, 108-113, 115—117; В. Буткевич (Ровно), 101 — 103, 105, 106,108-110,112—117,119,120; Б. Вайнман (Киев) 113, 115, 116; В. Варганов (Москва) 107, 108, 114—118; А. Владимиров (Ялта) 102—104, 107—117; М. Волков (Москва) 110, Ш, 113, 116, 117; Р. Гангнус (Муром) 103, 108,109, 111, 113, 115—117; Р. Гацерелия (Гегечкори) 111, 116; В Голубев (Кувшиново) 102—104, 106, 111, 113, 115. 116, 119, 120; О. Джартыбаев (Семипалатинская обл.) 110, 115— 117; И. Дзигава (Тбилиси) 101, 103, 107—109, 111, 112, 115, 116; В. Добрынченко (Астрахань) 101, 102, 104-112,115-117, 119, 120; Б. Дудолькевич (Петраковка), 101, 105, 107, 108, 110, 111, 113, 115—117; Д. Захаров (Канаш) 101, 103, 105, 111—113,115, 116. И. Зубилин (ст. Нарышкино) 101, 103, 107, 106, 111, 113, 115, 116, 119, 120; П. Китайгородский (Москва) 103, 105, 108, 109, 111, 113, 115—117; М. Кекелия (с. Бандзы) 101—105, 107—119. Б. Кодацкий (Ленинград) 101—120; Е. Колесник (Харьков) 101— 104, 107—109, 111—117; Я. Кугай (Новгород-Волынский) 103, 108-117; Г. Кудреватов (Фергана) 103, 107—108, 110—113, 115. 116. Я. Курдадзе (ст. Хашури) 108, 111, 115, 116; М. Люккэ (Гогучин) 101-120; Af. Ляпин (Казань) 101—103,108-114,119; Af. Манукян (Келлеровка) ПО, 111, 116; Медведев (Себряково) 103, 104, 108-111, 113, 116—118; Мовшевич (Гродно) 103, 108, 111, 115; Л. Могильницкий (Кривое Озеро) 102—108, 110—113, 115—117; Я Могильный (ст. Игрень) 103, 111, ИЗ, 115. М. Мустафьев (Нуха) 111, 115, 117; С. Мухаммед (Самарканд) 111, 112, 115; Р. Найданов (Загуаай) 103, 108, 111, 112, 115, 116; В. Никитин (Тамбов) 101—104, 106, 108-117, 119, 120; Ф. Певищев (ст. Шилово) 102, 103,106-117, 120; Л. Перцель (Свердловск) 103, 108, 110, 115, 116; Т. Полякова (Троекурово) 108, 111, 115, 116; Я. Постников (Ряжск) 103—105, 107—110, 112, 113, 115—117,119, 120; Г, Пушкаревский (Башкирия, с. Степановка) ИЗ: В. Розентуллер (Ленинград) 111, 115, 116: И. Сергачев (Малоярославец) 107, 116; Ф. Сергиенко (Запорожье) 101, 103, 108—118, 120; В. Серов (С. Ведуга) 113, 115, 117.; Н. Титов (Казань) 101—118; Г. Тревогин (Акмолинск) 102—169, 111— 118; 120; С. Третьяков и Г. Голянд (ст. Ленинградская) 102—104, 111, 112, 115, 116; В. Утемов (Красноуфимск) 101-103, 105, 107-109, 111-119; Л. Фридман (Красноярск) 101, 103-118, 120; Я Циммерман (Ейск) 103, 108, 111, 112. 115-117; Е. Цигуля (Дубоссары) 103, 108, ПО, 111, 115, 116; M. Haye (с. Вчерайшее) 101, 104, 108, 109, 112-116, 120; С. Черкасов (Тамбовская обл.). 108, 109, 112, 113, 115; М. Шебаршин (Кемерово) 101—120; В. Шушин (Горьковская обл), 103, 105, 108, НО, 115, 1Î7; Э. Ясиновский (Куйбышевская обл.) 101—106,108— 112, 114-118, 120; П. Эрдниев (Барнаул) 101—106, 108-112, 114-118, 120.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ СВОДКА по №№ 2—5 за 1947 г.

Г. Ахвердов (Ленинград) 41 -43,45,46, 49—5, 54— 58; 60; И. Бородуля (Реутово) 21, 24, 26, 28' 30—34, 43,46,47,49,50, 52, 57, 58; Л. Багарян (Абхазия) 21, 28, 30, 43, 47, 52, 57, Л. Ганц (Молодечно) 41— 44,46-48; Ф. Бичай (Орша) 41, 42; Б. Вайнман (Киев) 56,57; В. Варганов (Москва) 99, Af. Волков (Москва) 21,25,28, 30,42,56, 57; 3. Востротина (Ашхабад) 64, 65; Н. Гамкрелидзе (Чантуры) 64—66, 72; Р. Гацерелия (Гегечкори) 87, 92; Я. Глейбан (Бельцы) 95; Г. Гурвич (Красноярск) 61—69, 72—76, 78—80; Г. Жуковицкий (Минск) 95—97; Л. Зимин (Вишняково) 64-69 , 72 -75. 79, 80, 81—86,91—97, 99, 100; Л. Кац (Семипалатинск) 86; Кодацкий (Ленинград) 21—28, 30-31, 36, 37, 39, 40-61, 70, 72, 73, 75-80; В. Килимник (Винница) 81—86, 92—97; Н. Кириллов (Ярославль) 81—83, 86, 89, 92—96, 99; И. Костогаров (Курск) 41—44; И. Кугай (Трембовля) 64—67, 79, 80, 82, 83, 85, 86, 88, 91—93, 99, 100; М. Ляпин (Казань) 91,93,94, 100; Н. Михайлов (Узбекск. ССР) 43; Н. Москалев (Воронежск. обл.) 30; Af. Мустафаев (Муха) 64-66, 72, 86, 88, 91, 92; Р. Найдёнов (Загустайск) 62, 65, 67, 68, 72, 80, 82—84, 89, 93—9fi; В. Новицкий (Мотоль) 79; Н. Рытов (Каменка)81 — ,86, 92,93,95,96,98,99; Я. Сергачев (Малоярославец) 81, 83, 91, 92; В. Токарев (Константиновка) 32, 39, 47, 51, 59—64, 66—73, 75, 76. 78—80; Я. Чижиков (Краснослободск) 43; М. Фридман (Куйбышев) 41, 50, 55—57;/7.Эрдниев(Барнаул)61, 63, 68, 71, 76,80.

ПИСЬМО В РЕДАКЦИЮ

В связи с напечатанной в № 1 за 1948 г. статьей Н. М. Бескина прошу поместить это заявление, без которого моя позиция в вопросах преподавания геометрии осталась бы искаженной.

Н. М. Бескин полемизирует одновременно: а) с проектом программы, разработанным Институтом методов обучения АПН, (.проект № 1“ в обозначениях Н. М. Бескина), б) с моей статьей .Геометрия в семилетней школе“, в „Известиях АПН“, № 6 за 1946 г. В качестве сотрудника Института методов обучения АПН, каким я состоял в 1946—1947 гг., я по обязанности принимал участие в разработке „проекта № I“, но окончательную редакцию этого проекта отказался подписать и подал особое мнение, содержавшее, в частности, ряд возражений против предложенного там построения начального курса геометрии (Н. М. Бескин пользуется вместо этого скомпрометированным термином .наглядная геометрия“, которого нет в критикуемых им материалах). Конечно, Н. М. Бескин и редакция журнала „Математика в школе“ имеют формальное право игнорировать это обстоятельство, поскольку оно не отмечено в предисловии к „проекту № 1“. Однако простое сопоставление текста программы, содержащейся в моей статье, с текстом „проекта № 1“ „должно было обнаружить глубокое их расхождение. Поэтому выискивание Н. М. Бескиным действительных и мнимых противоречий между двумя критикуемыми им публикациями нельзя признать безупречным полемическим приемом.

Я. С. Дубнов

Москва, 20 IV 1948 г.

ОТ РЕДАКЦИИ

Редакция считает необходимым возразить против обвинения, предъявленного профессором Я. С. Дубновым редакции и автору статьи в конце своего письма.

Поскольку проф. Я. С. Дубнов указан в числе авторов „проекта № I“ программы без каких бы то ни было оговорок о несогласии с той или иной его частью, Н. М. Бескин имел право не проводить строгого разграничения между программой и статьей Я. С. Дубнова и указать на некоторые противоречия в этих документах.

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

Стр.

A. К. Сушкевич. Обозначение чисел у разных народов ......... 1

МЕТОДИКА

С. И. Новоселов. Понятие предела в курсе IX класса............. 16

B. М. Шепелев. О преподавании пределов в средней школе..... . 26

B. Л. Минковский. Об одном приеме борьбы с ошибками учащихся...... 30

ИЗ ОПЫТА

C. М, Чуканцов. Больше внимания технике арифметических вычислений ... 33

К. Е. Агринский. Решение косоугольных треугольников ...»....... 42

С. М. Кипнис. Из опыта преподавания математики в X классе........ 43

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ И МАТЕМАТИКИ

A. Я. Маргулис. А. П. Киселев........................ 45

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

B. А. Невский. Новая литература по математике............... 47

ХРОНИКА

И. Я. Депман. В Ленинградском институте усовершенствования учителей . . 52

ЗАДАЧИ

Решение задач................................ 53

Задачи................................. 60

Задачи для математических кружков................ 61

Сводка решений задач........................ 62

№ 06701 Заказ № 328

Тираж 20 000 экз.

Редакционная коллегия

Редактор А. Н. Барсуков Зам. редактора С. И. Новоселов

Члены редакционной коллегии Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий, А. П. Садиков, Н. Ф. Четверухин Технический редактор В. С. Якунина Корректор А. С. Киняпина

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз Министерства просвещения РСФСР

Сдано в производство 11/V 1948 г. Подписано к печати 5/VII 1948 г, Печ. л. 4 Учетнс-изд. л. 7,67 _Печ. зн. в 1 п. л. 72 000. Цена 4 р. 50 к._Формат 84ХЮ8/16_ .

13-я тип. треста «Поляграфккита» ОГИЗа при Совете Министров СССР. Москва, Денисовский, 30.

Цена 4 руб. 50 коп.

ПРОДОЛЖАЕТСЯ ПОДПИСКА

НА ЖУРНАЛ

„ИНОСТРАННЫЕ ЯЗЫКИ В ШКОЛЕ“

(ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР)

Журнал рассчитан на преподавателей иностранного языка в средней школе и студентов институтов иностранных языков.

ПОДПИСНАЯ ЦЕНА: НА 6 мес. —18 руб.

НА 12 мес —36 руб.

ПОДПИСКА ПРИНИМАЕТСЯ В ГОРОДСКИХ И РАЙОННЫХ ОТДЕЛЕНИЯХ СОЮЗПЕЧАТИ.

УЧПЕДГИЗ