МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

3

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

М0СКВА 1948

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 3

МАЙ—ИЮНЬ 1948

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЕ В РОССИИ XVII—XIX вв.

Проф. А. П. ЮШКЕВИЧ (Москва)

(Продолжение)

Новые математические исследования в Академии наук (М. В. Остроградский и В. Я. Буняковский)

В первой четверти XIX в. деятельность математической школы, созданной в Академии наук Эйлером, подходила к закату. В 1813 г. скончался акад. Гурьев, в 1825 и 1826 гг. один за другим закончили свой жизненный путь академики Ф. Н. Шуберт и Н. И. Фусс. Исследования этих ученых были охарактеризованы ранее. Мы видели, что в основном их усилия направлены были на доработку и комментирование эйлерова наследия. Оригинальные работы проведены были главным образом в области геометрии на сфере (Лексель, Фусс, Шуберт) и в области методологии и методики математики (Гурьев). Гурьев и его ученики Рахманов и Висковатов содействовали также распространению в России новых идей математического анализа и его приложений к геометрии, выдвинутых на рубеже XVIII—XIX вв. Прямые ученики Эйлера не могли уже, однако, встать на путь оригинального продолжения его творчества. В то время как начиналась коренная реформа классического математического анализа, разрабатывались методы решения задач математической физики, закладывался фундамент теории функций комплексного переменного, в то время как в алгебре на первое место выдвигалась проблема разрешимости уравнений в радикалах, в теории чисел создавался мощный аппарат сравнений и быстро возрастал интерес к теории вероятностей, в это время старые ученики Эйлера продолжали решать отдельные частные вопросы, употребляя при этом прежние, уже устаревшие методы исследования. Это было идейное отставание, нередкое у эпигонов великих новаторов науки.

Начало второй четверти XIX в., которое отмечено были в Казанском университете гениальными открытиями Н.И.Лобачевского, явилось переломным и для развития математических исследований в Академии наук. С 1828 г. в состав Академии вошли два молодых ученых—М. В. Остроградский и В. Я- Буняковский, которые сообщили новое направление русским математическим исследованиям. Остроградский и Буняковский вовсе не порвали при этом с прогрессивными традициями, завещанными Эйлером. И в их постоянном вниманий к приложениям математики к задачам практики, к доведению исследования до числового результата и в проблематике их можно найти преемственную связь с работами главы первой петербургской школы. Но вместе с тем они впервые

ввели в круг внимания русских ученых ряд новых задач, методов и идей, выдвигавшихся в первой половине XIX в. на передний план. Отчасти и эта проблематика восходила, конечно, к Эйлеру. С его трудами связана была вообще значительная часть тогдашних математических работ. Деятели того времени, как Лаплас, Гаусс, Коши и др., учившиеся по руководствам и мемуарам великого петербургского академика, ощущали эту связь гораздо живее и непосредственнее, чем мы теперь. Но творческое продолжение математических работ XVIII в. требовало и преодоления их слабых сторон, и постановки новых задач в уже сформировавшихся разделах науки, и создания новых дисциплин и новых приемов исследования.

Прежде всего Остроградский и Буняковский, особенно первый из них, положили начало русским работам по аналитической механике и математической физике — по применению к изучению физических процессов дифференциальных уравнений с частными производными. С этим кругом проблем переплетались исследования по классическому математическому анализу, по вариационному исчислению, по теории алгебраических функций и их интегралов, по приближенным вычислениям. Остроградский получил в этих областях ряд первоклассных результатов. И нельзя не заметить, в связи с этим, что неоспоримый приоритет его в ряде открытий до сих пор упорно замалчивается в зарубежной литературе. Другие работы обоих академиков, и в этот раз преимущественно Буняковского, содействовали привлечению интереса русских математиков к теории чисел и к теории вероятностей.

Другой существенной чертой деятельности Остроградского и Буняковского явилось тесное сплетение научного творчества и просветительной активности, выразившееся в создании ряда новых руководств, в преподавании в многочисленных гражданских и военных учебных заведениях, в постоянном общении с другими, в том числе иногородними, учеными*.

Благодаря этому между Академией наук и университетскими научными центрами был установлен живой научный контакт, чрезвычайно важный для обеих сторон.

1. Жизнь М. В. Остроградского. Михаил Васильевич Остроградский родился 12 (24) сентября 1801 г. на Украине, в дер. Пашенной Кобелякского уезда Полтавской губернии. Мальчиком он мечтал о карьере военного, но по настоянию отца в 1816 г. был определен в Харьковский университет, где столь блестяще поставил преподавание математики проф. Т. Ф. Осиповский. Первое время Остроградский и в университете все порывался к военной службе. Решающим для всей его жизни явилось заботливое и дружеское внимание к нему преподавателя математики А. Ф. Павловского, на квартире которого он поселился. Под влиянием уговоров и советов Павловского, пораженного ярким математическим дарованием молодого студента, Остроградский с увлечением занялся математикой и быстро стал обгонять своего учителя. Осенью 1818 г. он окончил университет действительным студентом. После годичного перерыва он вновь приступил к занятиям и в 1820 г. блестяще сдал экзамен на степень кандидата, не подозревая, какие испытания придется перенести ему в связи с той идейно-политической борьбой, которая тем временем разворачивалась в Харьковском университете.

Выше говорилось уже о том, что профессор и ректор университета Осиповский (1765—1832) вел резкую борьбу с идеалистической немецкой философией,

* В этой связи следует отметить значение конкурсов на соискание демидовских академических премий и отзывы Остроградского и Буняковского на многочисленные конкурсные работы Н. Д. Брашмана, Н. Е. Зернова, А. Ю. Давыдова, И. И. Сомова, Н. В. Бугаева и др.

представителями которой в Харькове были профессора Шад и Дудрович. Осиповский не стеснялся в выборе выражений и по адресу мистиков, призванных в конце второго десятилетия прошлого века к руководству министерством просвещения и учебными округами. Ненависть к свободомыслящему ректору Дудрович перенес и на его ученика, также не любившего ни немецкой метафизики, ни мистики. Когда Осиповский предложил присвоить Остроградскому степень кандидата, Дудрович, ссылаясь на то, что Остроградский уже получил аттестат действительного студента, и на некоторые пункты устава, опротестовал действия ректора. Остроградский вновь сдал необходимые экзамены, оставалось выдержать испытания по философии, но Дудрович отказался принимать экзамен, ссылаясь на то, что Остроградский не посещал его лекций. Резкая стычка по этому вопросу между ректором и Дудровичем привела к тому, что последний состряпал и на Осиповского и на Остроградского гнусный донос, обвиняя первого в том, что он называл мистиков сумасшедшими, что по его вине все студенты-математики не занимаются вероучением, а второго в том, что он, „несмотря на предписание начальства . . . не слушал богопознания и христианского учения“. Попечитель Корнеев добился увольнения Осиповского из университета вообще. И хотя Остроградский выдержал затем экзамен по философии, но, по представлению тех же Дудровича и Корнеева, министерство не утвердило его в степени кандидата, не возвратило даже выданный ему в 1818 г. и затем удержанный студенческий аттестат. Ему лишь разрешено было подвергнуться испытаниям вновь. Так, благодаря проискам реакционеров и мракобесов александровского времени Россия едва не лишилась одного из лучших своих математиков.

Остроградский, однако, перенес все эти удары мужественно. Отказавшись от права вновь держать экзамены й без всякого свидетельства о высшем образовании, он решил дополнить свои знания в Париже, где в то время работали Лаплас, Фурье, Ампер, Пуассон и Коши. Усердно и успешно занимаясь животрепещущими вопросами математического анализа, Остроградский быстро завоевал дружбу и уважение французских математиков. Уже через два года после его прибытия в Париж Коши в своем знаменитом мемуаре „Об интегралах, взятых между мнимыми пределами“ (1825 г.), сообщая о некоторых результатах, найденных Остроградским, характеризовал его, как „молодого русского человека, одаренного большой проницательностью и весьма сведущего в исчислении бесконечно малых“. Известный механик Пуансо знакомил его со своими трудами до их публикации. Как видно, молодой Остроградский очень скоро занял место младшего сотоварища в кругу деятелей Политехнической и Нормальной школ. В 1826 г. Остроградский доложил Парижскому институту сообщение, в котором, пользуясь классическими методами интегрирования уравнений с частными производными, решил задачу об определении малых волнообразных движений жидкости, заключенной в цилиндрическом сосуде (опубликовано в 1832 г.). После годичного преподавания в колледже Генриха IV Остроградский вернулся в Россию, в Петербург, где уже было известно и о его обширных познаниях, и о блестящих дарованиях. В декабре 1828 г. он был избран адъюнктом прикладной математики Академии наук, а в августе 1830 г. — ординарным академиком.

Одновременно с работой в Академии наук, в изданиях которой он регулярно публиковал свои ученые труды (в общей сложности около 60), Остроградский начал и кипучую преподавательскую работу в столичных высших учебных заведениях. С 1828 по 1861 г. он руководил кафедрой математики в Морском училище, созданном за год перед тем из офицерских классов Морского кадетского корпуса*, с 1831 г. читал лекции по механике в Институте корпуса инженеров путей сообщения, с 1828 г. вел занятия по математике и механике во вновь созданном Главном педагогическом институте; преподавал он также в Артиллерийском и Инженерном училищах. С 1847 г. Остроградский состоял главным наблюдателем по преподаванию математических наук во всех военных учебных заведениях страны. Он очень высоко поднял уровень преподавания в

* Преемниками Остроградского в Морской академии были акад. Буняковский (1861 — 1867). проф. А. Н. Коркин (1867—1900), акад. А. Н. Крылов (с 1900 г.).

этих школах*. Его учебных руководств я коснусь несколько далее.

Остроградский скончался от случайного злокачественного нарыва в Полтаве 20 декабря 1861 г. (1 января 1862 г.) и, согласно его воле, похоронен в той же деревне, в которой родился. Его выдающиеся заслуги еще при жизни были отчасти оценены и за границей, — об этом говорит хотя бы избрание его (1856) членом-корреспондентом Парижской академии наук, а также членом Туринской, Римской и Американской академий**.

2. Научные труды М. В. Остроградского. Некоторые вопросы математической физики (колебание струны и пластинки и др.) подвергнуты были изучению еще в XVIII в., особенно Эйлером, Даламбером, Дан. Бернулли, Лагранжем и Монжем. Решения соответствующих дифференциальных уравнений с частными производными уже тогда удалось получить как с помощью введения произвольных функций, вид которых определяется по начальным и граничным условиям, так и с помощью бесконечных рядов, в том числе и тригонометрических. Французская научная школа первой половины XIX в. значительно расширила круг изучаемых проблем и усилила методы их исследования. Быть может, особенно показательным образцом работ деятелей Политехнической школы явилась „Аналитическая теория тепла“ Фурье (1822 г.), в которой было выведено и решено при некоторых граничных условиях уравнение теплопроводности и в связи с этим гораздо более подробно и глубоко изучены тригонометрические ряды. Видное место занимали исследования по изгибанию пластинок, теории потенциала, по капиллярности, теории электричества, теории упругости, гидродинамике, оптике и т. д. Эти исследования стимулировали дальнейшую разработку многих разделов математического анализа — в первую голову теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления и теории интегрирования. Выдающиеся успехи в применении анализа к математическому естествознанию чрезвычайно усиливали внимание ученых к указанным разделам исчисления бесконечно малых. Общим убеждением было, как выразился во введении к названному труду Фурье, что „математический анализ столь же обширен, как сама природа“ и что метод дифференциальных уравнений доводит решения задач до „окончательных численных приложений, что представляет собой условие, которое необходимо в каждом исследовании и без которого получились бы только бесполезные преобразования“.

Вот этот-то важный круг вопросов привлек прежде всего внимание Остроградского. В своих работах он решил ряд новых задач, например о распространении тепла в призме, основанием которой служит равнобедренный прямоугольный треугольник; вместе с тем Остроградский в 1828 г., предваряя Ламэ и Дюгамеля, дал существенное обобщение метода Фурье. Одновременно с Дирихле и независимо от него Остроградский исследовал также вопрос о сходимости тригонометрических рядов Фурье***.

Не останавливаясь на выдающихся работах Остроградского по аналитической и небесной механике****, я замечу лишь, что в тесной связи с ними и с другими работами его по приложениям математики находятся важные мемуары по вариационному исчислению. Основания вариационного исчисления заложены были в систематическом виде Эйлером, а затем Лагранжем, но они ограничились исследованием экстремумов простых интегралов. Изучением вариации двойных интегралов занялся в XIX в. ряд математиков, и среди них Пуассон. В „Мемуаре об исчислении вариаций кратных

* Отмечу, что из этих учебных заведений при Остроградском вышли Добролюбов, Менделеев (Гл. пед. ин-т), П. Л. Лавров (Артилл. училище), который вел там занятия по математике в 1845—1865 гг., Ц. Кюи (известный композитор и профессор фортификации) и др.

** См. В. Г. Алексеев, М. В. Остроградский, Юрьев 1902

** См. В. А. Стеклов. О работах М. В. Остроградского в области математической физики („Празднование столетней годовщины дня рождения М. В. Остроградского-, СПБ. 1902).

**** Здесь следует, быть может, особо отметить работы Остроградского, связанные с принципом наименьшего действия и дальнейшим распространением исследований Гамильтона и Якоби по теории канонических дифференциальных уравнений динамики, а также его работы по теории удара. См. А. М. Ляпунов, О заслугах М. В. Остроградского в области механики (цит. выше юбилейный сборник) и Н. Е. Жуковский. Ученые труды М. В. Остроградского по механике (Математический сборник, т. XXII).

интегралов“* (1834). Остроградский с простотой и изяществом, которых он всегда добивался в своих научных трудах, вывел правила варьирования частных производных от функции многих переменных, а также вариации многократного интеграла и преобразовал эту вариацию к форме, удобной для применений. Эта замечательная работа Остроградского, позднее опубликованная в некоторых иностранных изданиях, сперва не обратила на себя должного внимания. Парижская академия наук в 1840 г. объявила конкурс на решение задачи об экстремумах кратных интегралов и удостоила премии работу Саррюса (опубликована в 1848 г.)—работу, не содержавшую чего-либо принципиально нового по сравнению с результатам, и Остроградского и даже не во всем верную**.

В том же мемуаре 1834 г. опубликована была найденная Остроградским важнейшая формула преобразования п-кратного интеграла по л-меркой области в (п — 1)-кратный интеграл по ее границе с уравнением L (х, у, z,...) =0

где I, Р, Q, /?...суть конечные, однозначные, непрерывные и имеющие соответствующие производные функции аргументов х9 у9 z, . . .и ds означает элемент границы области. Формула эта для п = 3 входит во все учебники интегрального исчисления; для этого случая

(л, есть вектор — нормаль к граничной поверхности). Эту формулу или ее разновидности называют то по имени Грина, то по имени Гаусса, но она безусловно должна получить, наконец, название формулы Остроградского***. Любопытно, что в 1869 г. ту же формулу вновь получил Кронекер, который заодно вывел и другую, принадлежащую Остроградскому, формулу дифференцирования кратного интеграла по параметру, входящему и в подинтегральную функцию и в уравнение границы области“****.

Остроградский не прошел также мимо теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В „Заметке о линейных дифференциальных уравнениях“ 1838 г. он рассмотрел уравнение

уп)_)_ ду(»-1Ц-. . .-f- ty = 0

и показал, что если общий интеграл его записан в виде

У = С1у1 + С2у2 + ...-{ Cnvn,

то так называемый ныне определитель Вронского W (х), составленный из частных решений ух,у2).. .,уп и их последовательных производных до (п— 1)-го порядка, выражается формулой

W= const <Г ^pir.

Эта важная формула была одновременно опубликована Лиувиллем и до сих пор во всех учебниках незаслуженно носит имя только последнего.

Ряд существенных результатов получен был ö 1833—1844 гг. Остроградским в теории алгебраических функций и их интегралов, разрабатывавшейся также Абелем и Лиувиллем. В исследовании вопроса об интегрируемости алгебраической функции в алгебраических же функциях Остроградский подробнее остановился на двух частных случаях: когда подинтегральная функция имеет вид / С*> У)> гДе У есть квадратный корень из целого многочлена, и когда она рациональная. Не останавливаясь на всех его

* Как и большинство научных работ Остроградского, издана на французском языке.

** См. Е. Ф. Сабинин, Михаил Васильевич Остроградский, М. 1901.

*** На это, между прочим, указал еще в 1873 г. известный физик Максвелл.

**** См. A. В. Васильев, Математика, вып. I, Птг. 1921, стр. 29. Л. К. Лахтин, Работы М. В. Остроградского в области анализа (Математический сборник, т. XXII) и Н. Н. Зинин, О формулах Остроградского в теории кратных интегралов и об их приложении (Математический сборник, т. XV).

результатах, замечу, что попутно он привел вошедший в учебники анализа под названием формулы Остроградского—Эрмита метод выделения алгебраической части интеграла рациональной функции

(здесь $ (х) есть общий наибольший делитель ср(х) и <р' (х), а X (*) частное от деления <р (х) на^(л;); коэфициенты многочленов и (х) и V (х) берутся неопределенные и находятся посредством дифференцирования тождества). Уже эти, бегло перечисленные, результаты Остроградского показывают как глубокую связь его математических исследований с вопросами прикладной математики, так и внутреннюю их взаимозависимость. Я приведу еще два примера. Остроградский, постоянно работая в военно-учебных заведениях, весьма интересовался задачами баллистики. Специально баллистике он посвятил три работы, причем в двух из них исследовал дифференциальное уравнение, задачи о движении центра тяжести и о вращении сферического снаряда, центр тяжести которого не совпадает с геометрическим центром, причем указал, что коэфициенты в уравнениях, зависящие от сопротивления воздуха, должны быть определены из опытов со стрельбой*. С вопросами баллистики, повидимому, связано было и исследование остаточного члена важной в различных приложениях анализа формулы суммирования Эйлера—Маклорена, выражающей сумму нескольких членов ряда с общим членом ип = f(n) через ряд, содержащий интеграл / (п) и ее последовательные производные:

Другим примером тех же практических устремлений великого математика служат его немногочисленные статьи по теории вероятностей. В одной, например, он решает задачу: из сосуда, заключающего в себе s шаров, вынуто I шаров, из которых m белых и п черных; определить вероятность, что среди оставшихся s — / шаров будет х белых и у черных. Остроградский указывает, что задача эта имеет употребление при приемке материалов**.

Сочинения Остроградского издаются в настоящее время Академией наук. Можно выразить пожелание, чтобы это, несколько затянувшееся, важное научно-культурное предприятие было поскорее завершено.

3. Просветительная деятельность Остроградского. Выдающаяся эрудиция Остроградского и его стремление к широкому распространению математических знаний, как сказано, сильно отразились на подъеме уровня преподавания математических дисциплин в высшей школе. В первую очередь содействовал он этому своими устными лекциями и их изданиями. Лектор он был, когда желал, увлекательный. Один слушатель его в Институте путей сообщения, инж. В. А. Панаев, вспоминал: „Все серьезно занимавшиеся молодые люди ждали всегда лекции Остроградского с лихорадочным нетерпением, как манны небесной. Слушать его лекции было истинным наслаждением, точно читал он нам высокие поэтические произведения... Ясность и краткость его изложения были поразительны; он не мучил выкладками, а постоянно держал мысль слушателя в на пряженном состоянии относительно сущности вопроса“***. Из лекций Остроградского по механике, между прочим, возник литографированный в 1836 г. курс аналитической механики. Большое значение имели также краткий и вместе с тем весьма глубокий курс публичных лекций по небесной механике, изданный по-французски Янушевским в Петербурге в 1831 г. (этот курс получил очень высокую оценку и в Парижской академии наук), и особенно „Лекции алгебраического и трансцендентного анализа, читанные в морском кадетском корпусе акад. Остроградским“ (СПБ 1837), подготовленные к печати С. А. Бурачком и С. И. Зе-

* Третья работа была посвящена вычислению таблиц одной важной в баллистике функции. См. H. Е. Жуковский, Цит. соч.

** См. А. В, Васильев, Цит. соч., стр. 31—32.

*** Следует заметить, что как об экзаминаторе о знаменитом академике сохранились самые противоречивые предания.

леным*. Курс лекций по алгебре и теории чисел знакомил слушателей и читателей с самыми новыми достижениями в этой области. Здесь излагались открытия Штурма, Гаусса, Абеля, и в том числе доказательство неразрешимости в радикалах общего алгебраического уравнения выше четвертой степени, теория сравнений, понятия о вычетах, первообразных корнях, индексах, гауссова теория решения двучленного уравнения и т. д.

Методы и идеи лекций Остроградского получили распространение и в работах других русских математиков того времени. Так, московский профессор Н. Д. Брашман во многом последовал за Остроградским в „Теории равновесия тел твердых и жидких“ (М. 1837). Под влиянием Остроградского написаны были „Теория определенных алгебраических уравнений высших степеней“ (М. 1838) и „Рассуждение об интегралах алгебраических иррациональных дифференциалов с одною переменною“ (М. 1841) И. Сомова. По лекциям Остроградского составлено было „Дифференциальное исчисление“ В. Беренса (СПБ 1849) и т. д.

Остроградский интересовался преподаванием и элементарной математики. Он издал интересный конспект тригонометрии, в котором определял тригонометрические функции через отношения сторон прямоугольного треугольника и затем распространял их определения на углы, большие прямого („Программа и конспект тригонометрии для руководства в военно-учебных заведениях“ (СПБ 1851)**. На основе воззрений Остроградского составлена была затем „Тригонометрия“ Ф. Симашко (СПБ 1857), которая заканчивалась решением различных задач на определение размеров недоступных предметов. Остроградский опубликовал также обширное „Руководство начальной геометрии“ в трех частях (СПБ 1855-1860, свыше 600 стр.). Одной из целей Остроградского было при этом „приблизить изложение истин начальной геометрии к способам, употребляемым в других частях математики“, и он действительно придал отдельным частям курса алгебраический характер, пользуясь и символикой алгебры. Вместе с тем, стремясь избежать неполноты объяснений, автор в самом начале курса вошел в такие подробности относительно понятий прямой, плоскости, параллельности и т. п., что для школьника уже введение к курсу представляло практически непреодолимые трудности. Руководство Остроградского быстро вышло из употребления.

Вместе с тем перу Остроградского (совместно с проф. Блюмом) принадлежит одна брошюра о преподавании в средней школе, в которой подверглось критике неподходящее для детей изложение начал наук в виде отвлеченных положений и упражнений. „Учащиеся,— писали авторы,—должны по возможности самостоятельно приобретать понятия о фигурах, счете, весах и мерах, простейших машинах, физических и химических свойствах тел. При школах необходимо организовать небольшие мастерские и лаборатории, где ученики могли бы лепить, рисовать, строить фигуры, учиться обращению с несложными приборами и т. п. Лишь когда учащиеся приобретут некоторые сведения таким наглядным путем, можно приступать к систематическому преподаванию точных наук***. Как видно, в педагогических воззрениях Остроградского имелись и весьма передовые идеи.

4. Жизнь и творчество В. Я. Буняковского. Виктор Яковлевич Буняковский, младший товарищ Остроградского, и также украинец, родился 3 (15) декабря 1804г. в Подольской губернии. Высшее математическое образование он получил в Сорбонне и Коллеж де Франс, где обучался почти одновременно с Остроградским. Две работы его по аналитической механике и математической физике принесли ему в 1825 г. степень доктора. В Академии наук он приступил к работе в качестве адъюнкта с 1828 г., через два года был избран экстраординарным академиком, а в 1836 г.—ординарным. С 1864 г. он в течение четверти века состоял вице-президентом Ака-

* Ст. Анис. Бурачек — корабельный инженер, впоследствии ген.-лейтенант (1800—1876), известен был так же как реакционный критик и писатель, близкий к Булгарину. Сем. Ив. Зеленый впоследствии стал вице-адмиралом. Бурачек и Зеленый были, повидимому, авторами пасквиля на Лобачевского, помещенного в „Сыне отечества“.

** В начале курса такое определение тригонометрических функций (восходящее к учебной литературе XVII в.) имеет свои достоинства. Ср. А. Ф. Бермант и Л. А. Люстерник, Тригонометрия. М. 1940.

*** См. Е. Ф. Сабинин, Цит. соч., стр, 26—27.

демии. Буняковский скончался в глубокой старости 30 ноября (12 дек.) 1889 г.

Несмотря на большую плодовитость Буняковского — он написал свыше 100 научных работ, — в науке он оставил меньший след, чем Остроградский. Большинство его мемуаров посвящено было сравнительно частным вопросам теории чисел, теории вероятностей и анализа. Так, он дал новое доказательство закона взаимности, нашел один новый признак сходимости бесконечного числового ряда, исследовал вопрос об интегрируемости в конечном виде функции ——где V есть целый многочлен четвертой степени и т. п. В одном из этих мемуаров (1859 г.) Буняковский, между прочим, вывел весьма важное в разных вопросах интегральное неравенство

найденное затем через 16 лет Шварцем и обыкновенно несправедливо именуемое неравенством Шварца. Ряд работ Буняковского посвящен был началам геометрии. В труде „Параллельные линии“ (1853 г.) он дал интересный исторический обзор и критическое рассмотрение различных доказательств евклидова постулата о параллельных. Тщательно проанализировав попытки доказательства Нассир-Эддина, Кастилльона, Симпсона, Бертрана, Лежандра, Гурьева и др., Буняковский разбивает их на несколько групп. Он отвергает при этом доказательства, основанные на рассмотрении бесконечных частей плоскости, на непосредственных построениях и на понятиях о силах и движении. Но применение так называемого принципа однородности* он считал совершенно строгим и закономерным и, не будучи удовлетворен соответствующим доказательством Лежандра, предложил вместо него свое собственное. Работы Лобачевского в этом обзоре не были даже упомянуты. В позднейшей работе (1872 г.) Буняковский вновь высказал резко отрицательное отношение к неевклидовой геометрии, как некоей логической распущенности, сделал новую неудачную попытку обоснования знаменитого постулата; однако в этот раз он отозвался о трудах Лобачевского с известным уважением.

Среди работ Буняковского виднейшее место занимают его труды по теории вероятностей. Первым сочинением по теории вероятностей на русском языке явилась годичная речь учителя Остроградского проф. Павловского „О вероятности“ (Харьков 1821 г.). В этой публичной речи Павловский популярно изложил основные понятия теории вероятностей, теоремы сложения и умножения, понятие о вероятностях гипотез, о нравственном ожидании и о теореме Бернулли, ведущей к заключению, что „отношения между действиями природы почти совершенно постоянны, когда сии действия рассматривать в большом количестве“. Он остановился также на приложениях теории вероятностей к статистике смертности. Развитие статистических исследований в России, появление страховых обществ и покровительство им со стороны правящих кругов значительно усиливали интерес и к теории вероятностей. Об этом свидетельствует еще одна речь: „Теория вероятностей с приложениями преимущественно к смертности и страхованию“ проф. Московского университета Зернова, в печатном изложении занимавшая 85 страниц (М. 1843). В

* Принцип однородности, предложенный Лежандром, по существу заключается в отрицании такой геометрической системы, в которой мера линий зависела бы от величины углов. См. В. Ф.. Каган, Н. И. Лобачевский, М.—Л. 1944, стр. 170

этой речи, наряду с довольно подробным изложением начал теории вероятностей, Зернов особенно останавливался на вопросах демографической статистики, с одной стороны, и страхования, с другой. Для подготовки кадров по страхованию написана была и упоминавшаяся уже магистерская диссертация молодого Чебышева „Опыт элементарного анализа теории вероятностей“ (М. 1845). Буняковский посвятил теории вероятностей и ее приложениям более 20 работ, опубликованных с 1835 по 1876 г. Наибольшее внимание он уделил разработке проблем страхования, касс взаимопомощи и демографии: им были составлены таблицы смертности и народонаселения, установлена одна эмпирическая формула закона смертности, произведены подсчеты вероятных контингентов русской армии на ряд лет и т. д. Он во многом помог при организации эмеритальных касс во флоте, а с 1858 г. состоял правительственным экспертом по вопросам статистики и страхования. Еще ранее того Буняковский опубликовал первое большое русское руководство „Основания теории вероятностей“ (СПБ. 1843), вместе с дополнениями содержавшее 478 страниц. Потому времени это был весьма обстоятельный и серьезный курс, в котором автор многое сделал для упрощения изложения вопроса у Лапласа и в который он вложил также некоторые собственные исследования*. Большая часть курса, начиная с 173-й страницы, отведена была приложениям теории вероятностей к демографии, рентам, страхованию**, определению вероятностей свидетельств и обработке результатов наблюдений. В книге имелся и краткий исторический очерк развития этой дисциплины***.

Работы Буняковского по теории вероятностей имели очень большое значение для развития этой науки в нашей стране. Они содействовали, в частности, введению ее преподавания в русских университетах в значительно большем объеме, чем за границей. Современники Буняковского вполне оценили эту сторону его деятельности. На праздновании полувекового юбилея присуждения Буняковскому докторской степени знаменитый астроном Бредихин, выступая от имени Московского математического общества, между прочим, сказал: „Вы обогатили литературу классическим сочинением по теории вероятностей. Этим сочинением вы водворили эту науку у нас и не переставали оставаться ее представителем до настоящего времени. Вывод и основания ее не были вами оставлены в сфере одного теоретического рассмотрения. Вы приложили ее законы и заключения к решению важных задач нашей государственной и общественной жизни. Вы содействовали научному разрешению многих вопросов русской статистики. Вам принадлежит главная заслуга научной разработки задач об русских эмеритальных кассах“****.

С научной работой Буняковский совмещал и педагогическую. С 1827 по 1864 г. он преподавал в Морском училище, а в 1846 — 1859 гг. читал в Петербургском университете курсы лекций сперва по дифференциальному и интегральному исчислению, теории вероятностей и аналитической механике, а затем по интегрированию дифференциальных уравнений, вариационному исчислению и теории конечных разностей. Преподавал он и в Горном институте, и в Институте путей сообщения. Тот же инж. Панаев характеризовал манеру чтения лекций Буняковским в таких выражениях: „Читал он с поразительной ясностью и отчетливостью, читал ровно, так что увлечения и вдохновения не чувствовалось. Он не производил того ошеломляющего впечатления, которое вообще производил Остроградский, но каждому, не менее того, чувствовалось, что перед ним находится величина и сильный вождь“.

Распространению математических знаний в России много содействовали и другие труды Буняковского, из которых я

* В начале этого курса изложены некоторые общие положения научного мировоззрения Буняковского: „Все явления, представляющиеся нам как в вещественном, так и в нравственном мире, подчинены законам непреложным...в этом убеждаемся внутренним сознанием, что нет действия без причины“. Замечание автора о невозможности применять подсчет вероятностей свидетельских показаний к религиозным преданиям на стр. 326 следует, скорее всего, объяснить общими цензурными соображениями.

** Напомню, что демографическими исследованиями занимался еще Эйлер и что Эйлер же и Фусс положили в России начало разработке проблем страхования (Буняковский ссылается на их работы, например, на стр. 225-226).

*** С современной точки зрения, после замечательных работ Чебышева и его учеников, курс Буняковского, разумеется, устарел.

**** См. „Описание празднования докторского юбилея В. Я. Буняковского“ СПБ., 1875, с-р. II.

отмечу еще его перевод „Краткого изложения уроков о дифференциальном и интегральном исчислении“ Коши (СПБ 1831), по которому русский читатель смог впервые на родном языке ознакомиться с этим классическим руководством реформатора математического анализа, а также „Лексикон чистой и прикладной математики“ Буняковского, расположенный в алфавитном порядке французских терминов. Основными целями этого замечательного издания было — сообщить достаточные сведения о наиболее важных теориях прошлого и настоящего времени и восполнить русскую математическую терминологию. К сожалению, Буняковскому удалось выпустить в свет только первый том этого издания, на буквы A — D (СПБ 1839). Обширные статьи этого словаря знакомили читателя с историческим развитием и современным состоянием целого ряда вопросов математических наук. Многие из них впервые излагали на русском языке важные математические теории,—например, барицентрическое исчисление Мебиуса, теорию сходимости рядов* и т. п. Другие статьи содержали краткие и ясные обзоры теории капиллярности, теории тепла Фурье, основ баллистики, метода наименьших квадратов, теории сравнений и т. д. Ряд терминов Буняковского укоренился затем в нашей литературе (статочность, сравнение и др.). Для историка науки интересны и поныне статьи о методе каскад Ролля, о деривационном исчислении Арбогаста, о дифференциальном исчислении и др.

Как видим, деятельность Буняковского и Остроградского имела многообразное значение. Особенно следует подчеркнуть, что они не только обогатили математику рядом важных оригинальных открытий, но и возродили в Академии наук творческую научную работу, преодолев то отставание, которое имело место в деятельности эпигонов Эйлера. Остроградский и Буняковский—одновременно с Лобачевским — вновь вывели русскую математику на широкую дорогу прогресса. Сами они научной школы еще не создали. Педагогическая работа Остроградского протекала более всего в военно-учебных заведениях, которые подготовляли не математиков, а моряков, инженеров, артиллеристов, офицеров. Буняковский, с другой стороны, не был, видимо, настолько богат научными идеями, чтобы увлечь за собою университетскую молодежь. Но, вместе с тем, в работах этих академиков отчасти уже наметился круг проблем, ставших в центре внимания их младшего современника П. Л. Чебышева, создателя и главы новой математической школы, труды которой в области теории чисел, теории вероятностей и математического анализа стяжали русской математике неувядаемую мировую славу.

* Еще подробнее Буняковский изложил новейшие работы по теории сходимости рядов (в том числе признаки Раабе, Дюгамеля, Моргана) в IV приложении к курсу теории вероятностей.

МЕТОДИКА

ОБ ОДНОМ ВАЖНОМ АЛГЕБРАИЧЕСКОМ НАВЫКЕ

(Выделение полного квадрата в квадратном трехчлене)

Д. М. МАЙЕРГОЙЗ (Киев)

Выделение полного квадрата в квадратном трехчлене является очень важным алгебраическим навыком среди всех прочих навыков в тождественных алгебраических преобразованиях. Потребность в безукоризненном владении этим навыком студенты-первокурсники остро ощущают на каждом шагу при изучении математики в высшей школе, например при определении координат центра окружности, шаровой поверхности, при определении координат вершины параболы у = ах2-\- bx -f- с, при интегрировании рациональных дробей и некоторых иррациональных алгебраических функций, при установлении достаточных условий экстремума функций двух аргументов и т. п.

Этот же навык имеет исключительно важное значение при изучении многих вопросов элементарной математики.

К сожалению, абитуриенты средней школы, как правило, совсем не владеют этим приемом, а многие даже не знают о его существовании.

Чем же объяснить такое странное явление? Ведь овладение указанным приемом не требует много времени и вполне доступно даже слабым по математике учащимся.

Основной причиной этого прискорбного факта является недооценка этого навыка в учебнике и нашими учителями.

Обычно учителя применяют выделение полного квадрата только один раз — при выводе формулы корней приведенного квадратного уравнения. При этом стараются быстро перейти к тренировке учащихся в решении квадратных уравнений по готовой формуле. У учащихся, естественно, создается ложное впечатление, будто решение квадратных уравнений является самоцелью, а вывод формулы — чем-то второстепенным, неважным, что придется вызубрить только перед экзаменами.

Ясно, что при такой постановке вопроса учащиеся даже не представляют себе суть выделения полного квадрата. Многие учащиеся не могут даже ответить, в чем состоит суть вывода формулы корней квадратного уравнения, хотя самый вывод как будто формально усвоили. Редко кто из учащихся оказывается в состоянии применить вывод формулы корней уравнения х2-\-px-\-q = 0 к конкретному уравнению с числовыми коэфициентами; например, решить уравнение X2— Зх— 4 = 0, не пользуясь готовой формулой.

Известно, что овладение всяким новым понятием, или навыком зависит от „первой встречи“ с ним и от многократных упражнений в его применении.

„Первая встреча“ с выделением полного квадрата при обычном выводе формулы корней уравнения х2-{-рх ~j- q = 0 крайне неудачна в изложении учебника Киселева. У многих, не только слабых, учащихся изложение оставляет тягостное впечатление. Для учащихся неожиданным является представление простого выражения рх в виде 2- ~- • х, как и последующее прибавление к обеим частям уравнения члена ~.

Понятно, почему многие учащиеся стараются разгрузить свою память от этого неприятного вывода и облегченно вздыхают, когда учитель быстро переходит к тренировочным упражнениям на автоматическое применение готового алгорифма.

Больше к применению выделения полного квадрата в практике массовой средней школы не прибегают.

Разложение квадратного трехчлена на множители излагают по учебнику, пользуясь формулой:

ах2 -\-Ьх-\-с = а (х—хх)( х—х2).

То же самое относится и к традиционному изложению неравенств второй степени и т. п.*

Наши передовые учителя давно отрешились от такой практики, не следуют слепо учебнику Киселева, а посвящают сначала несколько уроков решению полных квадратных уравнений с числовыми коэфициентами с помощью предварительного выделения полного квадрата.

Вот как, например, учитель В. В. Адрианов** начинает тему „Квадратные уравнения“.

Он берет уравнение х2— 6х-\-8 = 0 и решает его: х2— 6x^—8; х2— 6х-\-9-\; (х-ЗУ= 1; х-3==Ы; х = Ъ + 1; хх = 4; Х2=== 2.

Для усвоения этого приема Адрианов рекомендует решить по данному образцу 8—10 примеров; причем самые разнообразные в отношении знаков, но непременно легкие: коэфициент при Xs равен 1, коэфициент при х — четный и небольшой. Когда учащиеся решат эти примеры, он переходит к выводу общей формулы.

При таком изложении вопроса учащиеся ясно осознают, что решить квадратное уравнение можно и без готовой формулы, пользуясь общим методом выделения полного квадрата.

Формула корней в сознании учащихся приобретает служебную роль для сокращения выкладок и экономии времени.

Тем не менее, если только ограничиться этим, то все равно в дальнейшем будет у учащихся атрофирован навык выделения полного квадрата вследствие многократного применения готового алгоритма в нахождении корней квадратного уравнения.

Поэтому следует применить выделение полного квадрата не только для решения квадратных уравнений, а и для разложения квадратного трехчлена на множители, решения неравенств второй степени, исследования квадратной функции ах2-\- bx-j- с на maximum, minimum, построения ее графика и т. д.

Покажем, как это, по нашему мнению, следует делать.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Даем учащимся задание разложить на множители трехчлен: л:2—6л:-f-8. Обычно учащиеся производят разложение на множители методом группировки, представляя предварительно х2—6х-\- 8 в виде Л'2—2х—4*-f-8.

Хотя этот метод способствует в некоторой мере развитию сообразительности учащихся, тем не менее следует обязательно подчеркнуть учащимся его слабые стороны.

Для этого достаточно предложить разложить на множители хотя бы трехчлен X2—2х—£88 тем же методом группировки. На этом примере учащиеся убеждаются в малой пригодности этого метода, так как трудно им догадаться представить — 2хв виде lex— \8х.

Подчеркиваем, что существуют такге квадратные трехчлены, которые в множестве известных нам чисел (действительных) нельзя разложить на множители, и предвидеть это с помощью метода группировки невозможно.

Поэтому для решения данного вопроса применяют более общий и мощный метод, а именно — выделение полного квадрата.

Рассматриваем пример х2 — 2х—288 и обращаем внимание на первые два члена. Бросается в глаза, что для квадрата разности двух чисел нехватает члена (+1), поэтому к данному выражению прибавляем и вычитаем член (+1). Тогда получаем:

X2 - 2х - 288 = (X2 - 2х-\- 1) — 289 = = (х-1,2 -172 = (х - 18)(х+16). Постепенно усложняем примеры. Единственной трудностью для учащихся является случай с нечетным коэфициентом при х. Для преодоления этой трудности достаточно разъяснить учащимся, что любое число можно представить, как удвоенную его половину. Поэтому 3 представляем как и т. д.

Переходим к примеру: разложить на множители X2 — 3jc — 10. Дополняя

* Мы отнюдь не против применения этой формулы для разложения квадратного трехчлена. Мы за то, чтобы наряду с этим приемом применялись также и другие, о чем будет речь дальше.

** См. брошюру: „Многолетний опыт учителя математики“ В. Адрианова. М., Учпедгиз, 1938, стр. 82.

первые два члена до полного квадрата, имеем:

Особого внимания заслуживают трехчлены типа x2±zx—6, так как некоторые слабые учащиеся не замечают коэфициента (± О.

Опыт показывает, что после небольшого числа упражнений с нечетным коэфициентом при х (затем и с дробным) учащиеся быстро овладевают этим навыком. Под конец следует дать упражнения типа *2+6л:+10.

Выделяя полный квадрат, учащиеся убеждаются, что данный трехчлен представляет собой сумму квадратов: х2+6л: + 10= (х +3)2+1. Подчеркиваем, что в таких случаях разложение на множители невозможно в множестве известных нам действительных чисел.

Важно подчеркнуть учащимся, что после выделения полного квадрата в квадратном трехчлене возможны три случая:

1) квадратный трехчлен представляется в виде разности квадратов;

2) квадратный трехчлен представлен в виде суммы квадратов;

3) квадратный трехчлен представляет собой полный квадрат.

Представляя трехчлен x--\-px-\-q в виде (х + 2~)2— (f- — q)> видим, что все зависит от значения выражения ~— q: если оно положительно, имеем первый случай, если оно отрицательно, имеем второй случай. При ^— q = 0 имеем третий случай.

Так как по знаку выражения ~ — q можем заранее судить, какой из трех случаев будет иметь место, то этому выражению дали особое название „дискриминант“ (различитель).

Когда предлагается разложить на множители квадратный трехчлен, следует предварительно по знаку дискриминанта определить, возможно ли это разложение в известном нам множестве чисел.

До изучения темы „Комплексные числа“ не следует показывать учащимся разложение квадратных трехчленов с отрицательным дискриминантом, как это, например, имеет место в учебнике Киселева.

Крайне неудачен пример 2, помещенный в учебнике Киселева в § 45. „Трехчлен Здс3+х+1, корни которого следующие : хх =-^-; х2 =-~-, разлагается так:

Как можно говорить о равенстве Зх2+л:-}-1 произведению двух комплексных множителей, если само действие умножения комплексных чисел еще не было определено?

На данной стадии обучения такие примеры могут только способствовать насаждению формализма.

На разложении трехчлена ах2 + Ъх -f- с не останавливаюсь, так как после вынесения за скобки множителя а все сводится к предыдущему.

Решение неравенств второй степени

В подробных курсах алгебры и в методической литературе общепринято связывать решение неравенств второй степени с рассмотрением корней соответствующего квадратного трехчлена. Такой способ решения неравенств второй степени имеет ряд существенных недостатков методического характера.

У многих учащихся при таком изложении вопроса возникают затруднения психологического порядка.

Во-первых, учащихся смущает, почему мы приравниваем квадратный трехчлен нулю. Их возражения, примерно, таковы: „Какое все-таки право имеем приравнивать данный трехчлен нулю, если в условии нам дано, что он больше (или меньше) нуля?“

Во-вторых, чтобы решить неравенство второй степени с числовыми коэфициентами по общепринятому способу, следует запомнить шесть возможных случаев в зависимости от значения дискриминанта и знака коэфициента а при х2.

Запомнить все эти шесть отдельных случаев трудно, и тем самым усвоение решения неравенств второй степени напрасно усложняется.

Оказывается, что этих трудностей можно легко избежать, если в основу решения неравенств второй степени положить выделение полного квадрата.

Решение неравенств второй степени по предложенному нами способу мы рекомендуем в такой последовательности. Начинаем с такого конкретного примера: решить неравенство х2—6л:-|-10>0.

Выделяя полный квадрат в левой части неравенства х2 — 6л:-}- 10 > 0, имеем:

(х-3)*+1>0. (1)

Левая часть неравенства (1) является суммой двух квадратов и, следовательно, может равняться только положительному числу. Иными словами, оказывается, что трехчлен х2—6х-}-10 может иметь только положительные значения.

Стоит на этом примере сопоставить обычный способ решения неравенств второй степени (предварительное нахождение корней трехчлена) с предложенным нами способом, чтобы убедиться в бесспорном преимуществе последнего.

После предыдущего примера предлагаем решить неравенство: х2—6л:-|-9>0. Выделив полный квадрат, имеем (X—3)2>0. Учащиеся обычно склонны считать, что и это неравенство удовлетворяется всеми действительными значениями X.

Подчеркиваем, что (х — 3)а не может быть отрицательным, но нулю равняться может, а именно: при х=3. Поэтому следует прежний ответ уточнить: неравенство х2 — 6л:-(-9>0 удовлетворяется всеми значениями х ф 3.

Переходим к решению неравенства X2 — 6лг+8>0. После выделения полного квадрата имеем:

(х-3)2-1>0. (2)

Так как левая часть неравенства (2) является разностью квадратов, то в этом случае уже трудно сразу дать ответ. Рекомендуем разложить левую часть на множители: (х—З)2—1=(лг—2)[х—4), и получаем неравенство:

(х-2)(х-4)>0. (3)

Решение неравенства (3) сводится к уже известному учащимся решению систем совокупных неравенств первой степени:

Под конец можно предложить учащимся решить неравенство типа:

-Ьх2 + 4х-\-\ <0.

Деля предварительно обе части неравенства на (—5) и меняя знак неравенства на противоположный, получаем такое равносильное неравенство:

Выделяя полный квадрат, имеем:

/ 2x2 9 . Л 0 - 5)-25>0'

откуда(х— >0-

Дальнейший ход решения ясен.

Из рассмотренного видно, что для решения любого неравенства второй степени достаточно пользоваться одним и тем же приемом — предварительным выделением полного квадрата, и нет никакой надобности переобременять память учащихся многими деталями при изучении этой темы в школе.

Исследование квадратного трехчлена на максимум, минимум

Известно, что вопросы нахождения максимума и минимума функции вызывают огромный интерес у учащихся.

Исследование квадратного трехчлена на максимум и минимум не требует много времени, вполне доступно учащимся и служит прекрасным материалом для развития „функционального мышления“. При традиционной практике изложения в школе исследования квадратного трехчлена эти вопросы опускают и всю энергию направляют на исследование решений задач второй степени со многими параметрами, которое на практике принимает уродливые формы — „формалистического жонглирования“ знаками неравенства.

После решения неравенств второй степени естественно перейти к рассмотрению вопроса о нахождении наибольшего (наименьшего) значения квадратного трехчлена.

Начать следует с конкретного примера. Берем тречлен х2—6х-{-10 и ставим вопрос: нет ли среди всех его значений наименьшего? Оказывается, что для ответа на этот вопрос достаточно предварительно выделить полный квадрат: X2 — 6x-f Ю=(х — 3)2+1. Обращаем

внимание, что второе слагаемое не содержит аргумента х. Так как первое слагаемое является квадратом, то наименьшим его значением будет 0. Нулевое значение первое слагаемое имеет при х = 3. Следовательно, этому значению (х = 3) соответствует наименьшее значение трехчлена, равное 02-}-1 = 1. Для закрепления этого навыка можно предложить определить наименьшее значение трехчленов: х2 — 8х + 21, x'*-\-10x-{-2'à9 л2+4л: + 13,5; х2 - х + 1, х2 — 6х + 7 и т. д., требуя обязательно указывать каждый раз, при каком значении х квадратный трехчлен имеет наименьшее значение.

После рассмотрения конкретных трехчленов с числовыми коэфициентами можно перейти к определению наименьшего значения трехчлена: х2 -\-px-\-q.

Выделяя полный квадрат, имеем;

Учащиеся сами делают вывод: трехчлен X2-\-px-\-q при х = — ^- имеет наименьшее значение, равное — (f-—

Обращаем внимание учащихся, что наибольшего значения этот трехчлен иметь не может, так как уменьшаемое может иметь как угодно большие значения при достаточно больших значениях абсолютной величины х.

Труднее для учащихся определение наибольшего значения трехчлена ~x2+px + q.

Поэтому следует раньше рассмотреть трехчлен такого типа с числовыми коэфициентами.

Даем, например, определить наибольшее значение трехчлена — х2 + 6 х — 8.

Для выделения полного квадрата целесообразно предварительно преобразовать данный трехчлен так:

- X2 + 6* - 8 = - (х2 — 6х + 8) = = - [(X - З)2 - 1] = 1 - (X -З)2.

Подчеркиваем, что разность двухчленов с постоянным уменьшаемым может иметь наибольшее значение, когда вычитаемое имеет наименьшее значение. При х = 3 вычитаемое имеет наименьшее значение (нулевое); следовательно, при этом значении х трехчлен имеет наибольшее значение, равное 1 — О2 = 1. Поэтому ни при каких значениях X трехчлен — х + 6х — 8 не может иметь, например, значения 1,25; 2, 3 и т. д.

Обобщая, приходим к выводу: среди всех значений трехчлена х2 -\-рх -f- q имеется наименьшее, среди всех значений трехчлена—х2 -\-px-\-q имеется наибольшее. Определить эти значения легко с помощью предварительного выделения полного квадрата.

Лишь под конец следует перейти к трехчлену ах2 -f- Ьх -f- с и установить, что при а >0 существует наименьшее значение, а при а < 0 — наибольшее значение.

Завершить рассмотрение вопроса следует обязательно решением конкретных задач на максимум, минимум.

Задача 1. Огородить прямоугольный участок земли так, чтобы при данном количестве погонных метров изгороди, равном 100, площадь участка была наибольшей.

Решение. Если обозначим ширину участка через х, то длина выражается через 50—х, а площадь участка через х(50 — х)= — х2-{- 50л:.

Выделяя полный квадрат, имеем:

-х2 + 50;с =- (х*-Ь0х) = = -[(.* — 25)2 — 625] = 625 — (X -25)1.

Отсюда видно, что при х = 25 разность имеет наибольшее значение.

Вывод: при данных условиях тот прямоугольник будет иметь наибольшую площадь, равную 625 м2, у которого ширина 25 м, а следовательно, и длина 25 м, т. е. квадрат.

Учащимся следует обязательно обобщить данный результат: из всех прямоугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

Задача 2. Огородить прямоугольный участок земли с трех сторон при данном количестве р погонных метров изгороди.

При каком соотношении сторон участка его площадь будет наибольшей, если четвертая сторона прилегает к стене сарая?

Решение. Если обозначим ширину участка, прилегающую к стене сарая, через X, то длина выразится через ^у—, а площадь через

Выделяя полный квадрат, имеем:

Эта разность будет наибольшей при наименьшем значении вычитаемого, т. е. при х = -у. Следовательно, длина равная

а отношение ширины к длине равно:

Вывод: при данных условиях площадь участка будет наибольшей, когда ширина будет вдвое больше длины.

Построение графика трехчлена второй степени

Существенным в изложении данного вопроса является смещение вершины параболы. Поэтому после изучения графика функции у = х2 следует сейчас же перейти к графику функции у = х* + п, а затем к у = {X — т)2 и потом к у (х — m)2 -f- п.

График функции у = х2-\-к учащиеся легко и быстро усваивают (сдвиг вершины в направлении оси ординат).

Значительно труднее дается учащимся график функции у = {х — т)2 (т. е. сдвиг вершины в направлении оси абсцисс.

Причиной затруднения у учащихся является мешающая им аналогия с предыдущим случаем. Обычные возражения учащихся примерно таковы: „Почему график функции у = х2—1 есть парабола, смещенная вниз на единицу, а график функции у = (х — I)2 есть уже парабола, смещенная вправо, а не влево, ведь —1 должно означать смещение на единицу в направлении, противоположном положительному“.

Лучше всего убедить учащихся в неверности их представлений непосредственной проверкой: только при х=\у y = Q, при х = — 1, у=(— 1 - 1)2=-4. А раз вершина параболы должна быть на оси абсцисс, наименьшее значение функции у = (х— I)2 равно нулю, то это возможно только при х = \.

Дальнейший переход к графику функции у = (X — т)2 + п не вызывает уже затруднений, так как это воспринимается учащимися как последовательное применение двух операций: сначала смещения в направлении оси абсцисс, а затем в направлении оси ординат.

После этого можно перейти к построению графика, хотя бы функции

у = х2-6х-\-8.

Выделяя полный квадрат, имеем:

3/ = (л: — З)2 — 1.

Следовательно, координаты вершины параболы — графика данного трехчлена суть (3;-1).

Переходим к обобщению — графику функции у = X2 -\-рх -f- q.

Выделяя полный квадрат, имеем:

Следовательно, графиком трехчлена служит парабола с вершиной в точке

направление оси симметрии совпадает с направлением оси ординат. Следует подчеркнуть учащимся, что ордината вершины параболы у = х2 -{-рх +<7 есть наименьшее значение данной функции.

Лишь после этого следует перейти к рассмотрению графика функции.у= —х29 сопоставив его тщательно с у = х2.

В дальнейшем повторяется та же последовательность:

Завершающим этапом должно быть рассмотрение графиков функций:

ЗАДАЧИ ПО АРИФМЕТИКЕ НА ТЕМЫ ПЯТИЛЕТНЕГО ПЛАНА РАЗВИТИЯ СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА

Л. Г. КРУПОВЕЦКИЙ (Туринск, Свердловской обл.)

Настоящая статья является дополнением к нашей статье „Закон о пятилетнем плане на уроках арифметики“, напечатанной в № 5—6 журнала „Математика в школе“ за 1946 год. Здесь разработаны материалы исключительно по вопросам сельского хозяйства, в то время как в той статье использованы были показатели по разным отраслям народного хозяйства.

Задачи расположены здесь в таком же порядке и последовательности, как и в статье, помещенной в № 5—6 журнала, что облегчит учителю работу по совместному пользованию этим материалом в обеих статьях.

Методические указания для самостоятельного составления учителем задач даны в указанной выше статье.

I. Задачи на обыкновенные и десятичные дроби

1. Капиталовложения самих колхозов в их общественное хозяйство за годы второй пятилетки выразились в 13,2 млрд. руб. В третьей пятилетке сумма этих вложений была на 10,8 млрд. руб. больше, чем во второй пятилетке, и на 14 млрд. руб. меньше капиталовложений, намеченных по новому пятилетнему плану. Определить сумму капиталовложений в третьей пятилетке и по новому пятилетнему плану и вычислить, во сколько раз вложения в новой пятилетке увеличатся сравнительно со второй и третьей пятилетками.

Ответ: 24 млрд. руб.; 38 млрд. руб. В 2,9 раза; в 1,6 раза.

2. Сбор льна-волокна в 1913 г. выразился в 3,3 млн. ц, а в 1950 г. сбор увеличится сравнительно с 1913 г. на 4 млн. ц. Определить сбор льна - волокна в 1950 г. и вычислить, во сколько раз он будет больше, чем в 1913 г.

Ответ: 8 млн. ц.; в 2,4 раза.

3. Средняя урожайность льна-волокна составляла в 1937 г. 2,7 ц с 1 га, а в 1950 г. она увеличится в 1 27- раза. Определить урожайность льна-волокна в 1950 г.

Ответ: 4 Ц.

4. Сбор зерна в 1913 г. составлял 80 млн. т, что в 1 раза меньше сбора зерна, намеченного по плану на 1950 г. Сколько зерна должно быть собрано в 1950 г.?

Ответ: 127 млн. т.

5. В 1945 г. площадь цитрусовых насаждений составляла 18 тыс. га, что в 112,5 раза больше площади таких насаждений в дореволюционной России, и в 1 -jg- раза меньше, чем по плану на 1950 г. Определить площадь цитрусовых насаждений в дореволюционной России и в 1950 г.

Ответ: 160 га; 29 тыс. га.

6. Во второй пятилетке было выпущена 512 тыс. тракторов (в пересчете на 15-сильные), что в 3 -I- раза больше тракторов, выпущенных в первой пятилетке, а выпуск тракторов в первой пятилетке в 4,5 раза меньше числа тракторов, намеченных к выпуску в новой пятилетке. Определить выпуск тракторов в первой пятилетке и в новой, послевоенной пятилетке.

Ответ: 160 тыс., 720 тыс.

7. Рост мощностей сельских электростанций характеризуется следующими данными:

Годы

Мощность в тыс. квт

Во сколько раз увеличивается сравнительно с 1913 г.

Во сколько раз увеличивается сравнительно с предшествующим годом

1913

2,0

_

1932

65,9

?

?

1937

230,0

?

?

1940

275,0

?

?

1950

2269,7

?

?

Заполнить таблицу.

Ответ (ср. с 1913 г.): 32,95; 115; 137,5; 1134,85 (ср. с предшествующим годом): 32, 95, 3, 49; 1,2; 8,25.

8. В 1917 г. плантации чая занимали всего лишь 962 га, a в новой пятилетке площадь чайных плантаций в СССР будет доведена до 62,4 тыс. га. Определить, на сколько гектаров больше и во сколько раз больше будет увеличена площадь чайных плантаций в 1950 г. по сравнению с 1917 г.

Ответ: на 61 438 га; в 65 раз.

II. Задачи на нахождение дроби данного числа и на нахождение неизвестного числа по данной величине его дроби

9. В 1940 г. овоще-бахчевые культуры по всему СССР занимали площадь в 10 млн. га, a в 1950 г. площадь эта возрастет на -jrg- этого числа. Какая площадь будет занята этими культурами в 1950 г.? (Решить устно.)

Ответ: 12,6 млн. га.

10. Поголовье крупного рогатого скота в колхозах в конце новой пятилетки (в 1950 г.) намечено в 25,9 млн. голов, а в конце второй пятилетки поголовье равнялось -у- этого количества. Сколько крупного рогатого скота было к концу второй пятилетки?

Ответ: 14,8 млн. голов.

11. Поголовье свиней в колхозах будет доведено в 1950 г. до 11,1 млн. голов, а в 1937 г. оно равнялось этого количества. На сколько возрастет поголовье свиней в 1950 г. по сравнению с 1937 г.?

Ответ: на 4,8 млн. голов.

12. Заготовка грубых кормов для скота в 1940 г. выразилась в 105 млн. т, что составляет-^- заготовки таких же кормов по плану на 1950 г. Сколько грубых кормов будет заготовлено в 1950 г.? (Решить устно.)

Ответ: 140 млн. т.

13. Урожайность подсолнечника в 1940 г. выражалась в 9,3 ц с одного гектара, что составляет 0,93 урожайности 1950 г. Определить урожайность подсолнечника в 1950 г. (Решить устно.)

Ответ: 10 ц.

III. Задачи на процентные расчеты

1. Нахождение процентов от числа

14. Производство сельскохозяйственных машин в 1937 г. выражалось в сумме 597 млн. руб., а по плану на 1950 г. сельскохозяйственное машиностроение возрастет на 111,7%. На какую сумму будет выпущено сельскохозяйственных машин в 1950 г.? (Вычислить в целых миллионах рублей.)

Ответ: 1264 млн. руб.

15. Объем капитальных работ в сельском хозяйстве за новое пятилетие установлен в размере 19,9 млрд. руб., из них 44,2% пойдет на восстановление и развитие машинно-тракторных станций. Определить сумму капитальных вложений на восстановление и развитие машинно-тракторных станций (с точностью» до 0,1 млрд. руб.).

Ответ: 8,8 млрд. руб.

16. В 1950 г. намечено выпустить 254 тыс. тракторов (в переводе на 15-сильные). В 1936 г. выпуск тракторов был ниже этого количества на 30,3%. Определить в целых тысячах производство тракторов в 1936 г.

Ответ: 177 тыс.

17. Посевная площадь под сахарной свеклой до войны (в 1940 г.) составляла 1226 тыс. га, что на 89% выше посевной площади сахарной свеклы в 1913 г. и на 9,45°/о ниже площади посева ее, предусмотренной в 1950 г. Определить посевную площадь под сахарной свеклой в 1913 г. и в 1950 г. и вычислить, во сколько раз будет увеличена эта площадь в 1950 г. сравнительно с 1913 г. и 1940 г.

Ответ: 648,7 тыс. га; 1354 тыс. га. В 2,1 раза; в 1,1 раза.

18. Поголовье лошадей на конец 1950 г. выразится в 15,3 млн. голов, из них поголовье лошадей в колхозах составит 67,3% от общего их количества. Вычислить с точностью до 0,1 млн. число лошадей в колхозах на конец 1950 г.

Ответ: 10,3 млн. голов.

19. В 1945 г. было заготовлено силоса в колхозах 17,5 млн. m, а в 1950 г. заготовка силоса будет увеличена вдвое против 1945 г. Сколько силоса будет заготовлено в 1950 г. и на сколько процентов больше по сравнению с 1945 г.? (Решить устно.)

Ответ: 35 млн. т\ на 100%.

2. Нахождение числа по данному его проценту

20. Годовой сбор зерна в 1950 г. намечен в 127 млн. т, что дает рост против 1940 г. на 7%. Сколько зерна было собрано в 1940 г. (с точностью до 1 млн. т).?

Ответ: 119 млн. т.

21. Производство сахара на Украине в 1950 г. будет доведено до 16,37 млн. ц, что составляет 68,2% производства сахара по всему Советскому Союзу. Сколько будет произведено сахара по СССР в 1950 г.?

Ответ: 24 млн. ц.

22. Поставка сельскохозяйственных машин для сельского хозяйства во второй пятилетке выразилась в 1,9 млрд. руб., что на 57,8% ниже поставки этих машин в 1950 г. На какую сумму будет поставлено машин в 1950 г.?

Ответ: 4,5 млрд. руб.

23. Производство и поставка минеральных удобрений (азотистых, фосфатных и калийных) выразились во второй пятилетке в 8,7 млн. /я, что на 48,8% ниже, чем в новом пятилетии. Сколько будет произведено и поставлено этих удобрений в 1946—1950 гг.? (Вычислить в целых млн. т.)

Ответ: 17 млн. т.

24. Выпуск комбайнов во второй пятилетке составлял 123,5 тыс. штук, что на 808% превышает их выпуск в первой пятилетке и на 29,15% ниже выпуска их в новой пятилетке. Определить производство комбайнов в первой и новой пятилетках.

Ответ: 13,6 тыс. ; 174,3 тыс.

3. Нахождение процентного отношения

25. В 1937 г. производство сельскохозяйственных машин выразилось в сумме 597 млн. руб., а по плану новой пятилетки продукция сельскохозяйственного машиностроения 1950 г. выразится в 1264 млн. руб. На сколько процентов возрастет производство сельскохозяйственных машин в 1950 г. по сравнению с 1937 г.?

Ответ: на 111,7%.

26. Годовой сбор зерна в 1913 г. составлял 80 млн. /n, а в 1950 г. должно быть собрано 127 млн. т. На сколько процентов увеличится сбор зерна 1950 г. сравнительно с 1913 г.? Ответ: на 58,75%.

27. Средняя урожайность зерна до революции (1909—1913 гг.) составляла 7,4 ц с одного гектара, а в конце 1950 г. эта урожайность будет доведена до 12 ц. На сколько процентов возрастет урожайность в 1950 г. сравнительно с дореволюционным периодом?

Ответ: на 62,2%.

28. Посевные площади в СССР в 1950 г. по всем культурам будут доведены до 158,5 млн. га, в том числе у колхозов 122 млн. га. Определить процент посевных площадей у колхозов по отношению ко всем посевным площадям в СССР.

Ответ: 77%.

29. Определить в процентах производство каждого рода сельскохозяйственных машин в общем производстве главнейших сельскохозяйственных машин в 1950 г. по таким данным:

Число машин (в тыс. штук)

В % к итогу

Тракторы.......

112,0

?

Плуги тракторные . . .

110,0

?

Культиваторы тракторные .........

82,3

?

Сеялки тракторные . .

82,3

?

Молотилки сложные . .

18,3

?

Итого

404,9

100,0

Заполнить таблицу:

Ответ: 27,7%; 27,2%; 20,3%; 20,3%; 4,5%.

30. Посевные площади в СССР в 1950 г. по культурам распределяются следующим образом:

Виды культур

Вся посевная площадь

В том числе у колхозов

в млн. га

в % к итогу

в млн. га

в % к итогу

Зерновые ......

105,8

86,0

?

Технические ....

11,8

?

10,4

>

Овоще-бахчевые . .

12,5

5,2

?

Кормовые .....

28,4

?

20,4

?

Итого:

158,5

100,0

122,0

100,0

Заполнить таблицу.

Ответ (вся пос. площ.): 66,8; 7,4;7,9; 17,9; (в том числе у колхозов: 70,5; 8,5; 4,3; 16,7.

31. Принимая производство сельского хозяйства в 1932 г. за 100%, а в 1950 г. за 225%, найти, во сколько раз увеличится производство в 1950 г. сравнительно с 1932 г. (выразить обыкновенной дробью).

Ответ: В 2 -j- раза.

IV. Графики и диаграммы

32. Построить график роста средней урожайности зерна по таким данным:

1909—1913 гг. по 7,4 ц с 1 га 1933—1937 гг. „ 9,1 „ „ 1 „ 1946-1950 гг. „ 12,0 „ „ 1 „

33. Построить график роста поголовья скота в колхозах по следующим данным (в млн. голов на конец года).

Виды скота

1932 г.

1937 г.

1940 г.

1950 г.

Крупный рогатый скот.....

Свиньи . ... Овцы и козы . .

8,7 3,1 11,3

14,8 6,2 22,7

20,0 8,2 41,9

25,9 11,1 68,1

34. Составить прямоугольную диаграмму роста годового сбора зерна по таким данным (в млн. т)\

1913 г.

1932 г.

1940 г.

1950 г.

80

70

119

127

35. Составить прямоугольную диаграмму роста капиталовложений самих колхозов в их общественное хозяйство по таким данным:

Во второй пятилетке 13,2 млрд. руб.

В третьей пятилетке 24,0 »

В новой пятилетке (1946—1950 гг.) 38,0 . .

36. Показать наглядно круговой диаграммой распределение всех посевных площадей Советского Союза в 1950 г. по следующим данным:

По РСФСР......99,4 млн. га

. Украинской ССР . . 30,5 . . . прочим 14 республикам 28,6 „ .

Итого: 158,5 млн. га1

V. Смешанные задачи

(Для повторения)

37. Капиталовложения государства в сельское хозяйство во второй пятилетке составляли 16,76 млрд. руб., что на 5,96 млрд. руб. больше таких вложений в первой пятилетке и на 3,14 млрд. руб. меньше, чем в новой пятилетке. Определить сумму капитальных вложений в первой и в новой пятилетках и вычислить, во сколько раз увеличатся капиталовложения в сельское хозяйство в новой пятилетке по сравнению с первой и второй пятилетками.

Ответ: 10,8 млрд. руб. ; 19,9 млрд. руб.

В 1,84 раза; в 1,2 раза.

38. Валовая продукция подсолнечника в 1950 г. составит 3,7 млн. m, а в 1913 г.

она равнялась у этого количества. Определить валовую продукцию подсолнечника в 1913 г. Ответ: 0,74 млн. т.

39. В 1937 г. количество овец и коз в колхозах выражалось в 22,7 млн. голов, что составляет поголовья овец и коз в 1950 г. Сколько овец и коз в колхозах должно быть в 1950 г.?

Ответ: 68,1 млн. голов.

40. Валовой сбор хлопка-сырца в 1913 г. составлял 740 тыс. т. В 1932 г. было собрано на 71,6% больше, чем в 1913 г., в 1937 г. на 103,1% больше, чем в 1932 г., а в 1950 г. будет собрано на 20% больше сравнительное 1937 г. Определить валовой сбор хлопка-сырца в 1932 г. , 1937 г. и в 1950 г. (с точностью до 0,01 млн. т).

Ответ: 1,27 млн. т; 2,58 млн. т; 3,1 млн. т.

41. В 1940 г. вся пашня в совхозах составляла 10 935 тыс. га, а в 1950 г. она будет доведена до 12 млн. га. На сколько процентов увеличится пашня в совхозах в 1950 г.?

Ответ: На 9,7%.

42. Прирост тракторного парка за новую пятилетку намечен в 10,8 млн. л. с, что на 350% выше прироста в первой пятилетке и на 40,4% выше, чем во второй пятилетке. Определить прирост тракторного парка в первую и вторую пятилетки.

Ответ: 2,4 млн. л. с; 7,69 млн. л. с.

43. Поголовье скота на конец 1950 г. определено пятилетним планом в таких размерах:

Виды скота

Все поголовье

В том числе в колхозах

% скота в колхозах

в млн. голов

Лошади . ...

15,3

10,3

?

Крупный рогатый скот ....

65,3

25,9

?

Овцы и козы . .

121,5

68,1

?

Свиньи .....

31,2

11,1

?

Итого

223,3

115,4

?

Заполнить таблицу.

Ответ: 67,3%; 39,7%; 56,1%; 35,6%; 49,5%.

44. Построить график роста мощностей сельских электростанций по таким данным (в тыс. квт):

1913 г.

1932 г.

1937 г.

1940 г.

1950 г.

2,0

65,9

230,0

275,0

2269,7

45. Составить круговую диаграмму, показывающую распределение посевной площади в СССР по отдельным культурам в 1950 г. в процентах к общей посевной площади по следующим данным:

Зерновые..........66,8%

Технические........7,4<>/0

Овоще-бахчевые.......7,9°/о

Кормовые..........17,9%

Итого: 100,0%

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ ИЗ ТЕОРИИ ГОРЕНИЯ БЕЗДЫМНЫХ ПОРОХОВ

А. Н. ЧЕРКАСОВ (Москва)

1. В настоящее время в науке и технике наблюдается большой интерес к вопросам горения и взрывчатым веществам. Некоторые вопросы из теории горения бездымных порохов, нуждающиеся для своего разрешения только в элементарной геометрии, полезно и интересно рассматривать в средней школе. Исходя из этого, ниже я предлагаю вниманию читателей материал, из которого можно создать довольно много задач на вычисление поверхностей и объемов.

Основной геометрический вопрос, стоящий во всех этих задачах, следующий:

Может ли при уменьшении объема тела площадь его поверхности возрастать.

Оказывается, что ответ на этот простой вопрос имеет важное практическое значение.

2. Геометрический закон горении порохов

При исследованиях и расчетах, связанных с горением бездымных порохов, пользуются следующими предположениями:

1) масса пороха однородна;

2) воспламенение пороха мгновенно;

3) горение идет параллельными слоями с одинаковой скоростью со всех сторон.

Эти предположения хорошо согласуются с опытами и были выдвинуты Вьеллем (Vielle), почему и называются законом Вьелля, или геометрическим законом горения бездымных порохов.

Правда, третье условие при наличии углов выполняется не совсем точно, но в первом приближении им допустимо пользоваться.

Рассмотрим горение одного зерна пороха. A priori можно различать три случая:

1) площадь поверхности зерна при горении уменьшается, в этом случае порох называется „дегрессивным“;

2) поверхность зерна при горении не изменяет своей площади - это „порох с постоянной поверхностью горения“;

3) площадь поверхности зерна при горении увеличивается, это порох „прогрессивный“.

Оказывается, как это будет показано ниже, все три случая можно реализовать, придавая зерну пороха ту или иную форму.

Таким образом, делая зерно пороха различной формы, можно регулировать образование пороховых газов, — этим постоянно пользуются при составлении зарядов.

О скорости горения пороха мы не будем говорить, так как это вывело бы нас из рамок предлагаемой заметки.

3. Примеры пороховых зерен

1) Зерно имеет форму куба. В силу закона Вьелля, в течение всего процесса горения форма куба будет сохраняться, и поэтому поверхность горения будет уменьшаться. Это порох дегрессивный.

2) Зерно имеет форму трубки (или макароны), т. е. это цилиндр, высота которого //, радиус основания R, в котором имеется канал цилиндрической формы, причем ось канала совпадает с осью цилиндра, высота канала также Я, а радиус основания г(г</?). Будем предполагать, что торцы зерна, т. е. верхнее и нижнее основания, не горят, они, как говорят, „бронированные“. Таким образом, горящая поверхность состоит из боковой (внешней) поверхности цилиндра и поверхности канала. В начальный момент времени площадь горящей поверхности равна

P=2-H(R + r).

Теперь рассмотрим площадь горящей поверхности после того, как сгорел слой пороха толщиной h

(где А<-^-~—).

В этот момент размеры зерна будут: высота H (с торцов зерно не горит), внешний радиус уменьшился на Л, т. е. будет R — h, внутренний радиус увеличится на А, т. е. будет r-f-A.

Поэтому площадь горящей поверхности будет:

т. е. PY = P.

Итак, порох с зерном указанной формы будет порох с постоянной поверхностью горения. Это свойство, очевидно, сохраняется до полного сгорания зерна.

3) Зерно имеет форму цилиндра с двумя каналами; размеры и форма его определяются так:

Радиус основания цилиндра равен /?, высота H=CR. Оси каналов расположены в осевом сечении цилиндра, параллельны оси цилиндра и находятся от нее на расстоянии -g- R\ радиусы г обоих каналов одинаковы и равны г---й- (см- черт. 1а).

Черт. 1

Торцы не бронированы.

Поверхность горения в начальный момент имеет площадь, равную:

Откуда

После того как сгорит слой пороха толщины h Ç h < —j-), размеры зерна будут следующие:

Высота H—2fi = 6R — 2h (горение происходит и с верхнего, и с нижнего торца).

Внешний радиус /? — Л; радиус каналов г -|- А = -g- + Л. Поэтому площадь горящей поверхности будет:

так как А<-^-, то из последнего равенства следует, что площадь РХ>Р, т. е. при горении зерна указанной формы площадь горения будет возрастать, т. е. порох прогрессивный. Однако при Л=-^— внешняя поверхность коснется поверхности канала (см. черт. 1, в), и зерно распадется на две криволинейные призмы, которые будут продолжать гореть, но уже дегрессивно.

Ясно, что на каком бы расстоянии ни были от оси цилиндра расположены каналы, горение будет происходить сначала прогрессивно, до момента распада зерна, и, следовательно, начало дегрессивного горения зависит от расположения каналов.

Поэтому в практике стараются придать зерну такую форму, чтобы часть зерна, горящая дегрессивно, была как можно меньше.

Зерно формы, указанной в примере 3, в жизни не встречается именно по этой причине.

Чаще всего прогрессивный порох изготавливают в форме цилиндра с семью каналами.

4) Американский порох имеет зерно следующей формы (см. черт. 2):

В цилиндре, радиус основания которого R и высота //, сделаны семь цилиндрических каналов той же высоты H и одинакового радиуса г, с осями, параллельными оси цилиндра.

Черт. 2

Один из каналов имеет ось, совпадающую с осью цилиндра, а остальные расположены так, что проекции их осей на основание цилиндра находятся в вершинах правильного шестиугольного радиуса р, центр которого совпадает с центром основания (см. черт. 3).

Черт, 3

Обычно соблюдаются следующие размеры:

4R < H <5R; мы будем считать H = AR,

Выясним следующие вопросы:

а) Будет ли в начале горения этот порох прогрессивным?

б) При какой толщине сгоревшего слоя произойдет распад зерна?

в) Какая часть объема зерна сгорит прогрессивно?

В начальный момент горящая поверхность имеет площадь, равную:

После того как сгорел слой толщиной h(h< /?), размеры зерна будут следующие:

высота H — 2h = AR — 2h; внешний радиус R—h;

радиус каналов г + h = -f h.

Поэтому площадь горящей поверхности равна:

Так как

и А<ур RtTo Рг>Р, и, следовательно, порох прогрессивный. При h = ^ R разгоревшиеся каналы и внешняя поверхность коснутся друг друга* и зерно распадется на двенадцать криволинейных призм

которые будут гореть уже дегрессивно (см. черт. 4).

Черт. 4

Объем зерна в начальный момент равен:

Объем зерна в момент распада, т. е. в тот момент, когда сгорит слой толщиной А=уу/?, будет равен:

откуда

Найдем отношение оно равно:

Таким образом, в американском порохе приблизительно 14°/о зерна сгорает дегрессивно и, следовательно, 86% прогрессивно.

Примечание. Существует улучшенная форма американского пороха, в котором наружная поверхность представляет не одну цилиндрическую поверхность, а состоит из кусков шести цилиндрических поверхностей, описанных вокруг осей каналов радиусом гг = Ъг (см. черт. 5).

Черт. 5

5) Кроме разобранных примеров, можно ставить большое число задач, относящихся к этому же вопросу.

Приведем примеры некоторых из них:

Какова должна быть высота зерна в примерах 3 и 4 для того, чтобы порох был дегрессивный?

Как расположить 3-4 канала в цилиндре, чтобы прогрессивно сгорала возможно большая часть зерна?

* Так как расстояния между центрами каналов равны.

ИЗ ОПЫТА

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Н. Т. ЗЕРЧЕНИНОВ (Загорск)

Объяснив ученикам зависимость между величинами и выделив два наиболее часто встречающихся в задачниках вида зависимости, прямую и обратную пропорциональность, учитель переходит к решению задач на пропорциональные величины. Такой порядок изучения материала целесообразнее, чем общепринятый, когда сначала ученики знакомятся с прямой пропорциональностью и решают задачи только на прямо-пропорциональные величины, а потом уже знакомятся с обратной пропорциональностью и решают задачи только на обратнопропорциональные величины: задачи на пропорциональные величины надо непременно решать вперемежку на прямую и обратную пропорциональность, иначе ученики привыкают к шаблону и начинают решать задачи чисто механически, не рассуждая.

Программа требует, чтобы ученики умели решать задачи на пропорциональные величины, т. е. задачи на тройное правило, двумя способами: способом пропорций и способом приведения к единице. Равноценны ли эти два способа? Иногда предлагают отдать предпочтение способу приведения к единице и приводят три довода:

1) способ приведения к единице развивает у учеников и уменье рассуждать, и уменье излагать свои мысли;

2) способом пропорций ученики решают задачи механически;

3) задачи на сложное тройное правило решаются способом приведения к единице, так как решение их способом пропорций требует огромного количества записей. Третий довод неоспорим, хотя методика вообще предостерегает против переоценки задач на сложное тройное правило и против чрезмерного увлечения решением задач более чем на три величины. Справедливость двух первых доводов можно подвергнуть сомнению.

Конечно, чтобы решить задачу способом приведения к единице, ученик должен правильно думать и правильно излагать свои мысли. Однако есть целый ряд задач, где обычный прием рассуждения, требуемый учителями, приводит к противоречию со здравым смыслом.. С другой стороны, чтобы приучить учеников к этому приему рассуждения, учителям приходится дать ученикам два чисто механических правила.

Возьмем задачу № 1 : „За 3 кг хлеба заплатили 5 р. 10 к. Сколько стоят 2 кг такого же хлеба?“ Как должен решать эту задачу ученик способом приведения к единице? Прежде всего принято записывать условие задачи в две строчки так, чтобы в каждом столбце стояли значения одной и той же величины, а в каждой строчке — соответствующие значения обеих величин. Появляется запись:

3 кг хлеба 510 коп. 2 кг хлеба х коп.

Дальше ученик рассуждает примерна так: „510 коп. заплатили за 3 кг хлеба. За 2 кг придется заплатить меньше, но нам трудно сразу сказать, во сколько раз меньше“. (Правильная фраза: „а за 2 кг придется заплатить 2/3 того, что заплатили за 3 лгг“—совершенно не в: стиле учеников VI класса.) Поэтому вместо 3 кг мы возьмем сначала 1 кг, а потом уже 2 кг“. Ученик рассуждает и пишет так: 1) Сколько стоят 3 кг хлеба? х = 510 (коп).

2) Сколько стоит 1 кг хлеба?

X =—5=170 (коп.)

3) Сколько стоят 2 кг хлеба?

X = ^ - = 340 (коп.)=3 руб. 40 коп.

Попутно учитель сообщает ученикам первое механическое правило: „Каждый вопрос начинается теми же словами, что и вопрос задачи“.

Когда ученики научатся решать такие задачи по вопросам, учитель начинает требовать, чтобы они решали эти задачи уже без вопросов, в форме связного рассуждения. Ученик должен говорить: „За 3 кг заплатили 510 коп.“ и при этом писать х = — . . .

Ученик знает, что и в задачах на прямо пропорциональные величины, и в задачах на обратно пропорциональные величины X всегда сначала имеет вид дроби, поэтому заранее заготовленная черта дроби обеспечивает грамотность записи. Ученик продолжает: „а за 1 кг заплатят в 3 раза меньше“ и пишет:

и заканчивает: „а за 2 кг заплатят в 2 раза больше“ и пишет:

Решение этой задачи не представляет для учеников ни малейшей трудности, но лишь потому, что подобные задачи они уже решали и во II, и в III, и в IV классах, только решали они их по вопросам, но везде первый вопрос был такой: „Сколько стоит 1 кг?“, а второй такой: „Сколько стоят 2 кг?“. Значит, в VI классе для решения таких задач ученики получают не новую форму рассуждения, а лишь сокращенную запись решения.

Положение резко изменяется, если для решения задачи мысль ученика должна идти необычным путем. Возьмем задачу № 2: „За 2 часа поезд прошел 90 км. За сколько часов он пройдет 135 км?“

Подобные задачи ученики тоже решали во II, в III и в IV классах, но там первый вопрос ставился так: „Сколько километров пройдет поезд за один час?“ А теперь первый вопрос должен быть такой: „За сколько часов поезд пройдет 1 км?и Формулировка обычная, хотя очень неудачная: ведь ученики прекрасно понимают, что на пробег 1 км поезд тратит меньше одного часа. Однако правильная формулировка: „За какую часть часа поезд проходит 1 км'?а— совершенно не в стиле учеников VI класса.

Чтобы добиться от учеников осмысленного решения задач типа задачи № 2, приходится руководствоваться вторым механическим правилом: „Нельзя приводить к единице ту величину, одно значение которой неизвестно“. Конечно, широко используется и первое механическое правило; кстати, оно очень пригодится ученикам при решении задач на сложное тройное правило.

Как мы видели, уже в задаче № 2 обычная формулировка первого вопроса является очень странной с точки зрения здравого смысла: „За сколько часов поезд пройдет 1 км?“ Но здесь у учителя еще есть возможность объяснить ученикам, что так „условились“ говорить, а понимать нужно вот в каком смысле: „За какую часть часа поезд пройдет 1 км?а

Но возьмем задачу № 3: „Из 68 м материи можно сшить 17 костюмов. Сколько костюмов выйдет из 28 м такой же материи?“ В этой задаче первый вопрос будет звучать дико: „Сколько костюмов выйдет из 1 м материи?“ Переделать этот вопрос никак нельзя, потому что еще более дико звучит фраза: Какая часть костюма выйдет из 1 м материи?“ Таких задач много. Вот, например, задача № 4: „За 3 кг хлеба заплатили 10 руб. 20 коп. Сколько килограммов хлеба дадут на 6 руб. 80 коп.?“

В этой задаче первый вопрос приходится ставить так: Сколько килограммов хлеба дадут на 1 коп.?“ Часто на попытку учителя или ученика так формулировать вопрос следует ехидная реплика класса: „На копейку никакого хлеба не дадут!“ Переделать вопрос нельзя, ибо фраза: „Какую часть килограмма хлеба дадут на 1 коп.?“ вызовет ту же реплику со стороны класса. А вот задача № 5: „Работая по 8 час. в день, машинистка может переписать рукопись за 5 дней. Сколько часов в день она должна работать, чтобы переписать рукопись за 4 дня?“ Попытка решить эту задачу способом приведения к единице немедленно приводит к вопросу: „Сколько часов в день должна работать машинистка, чтобы переписать рукопись в один день?“ А на этот вопрос приходится дать удивительный ответ:“ Не 8 час, а в пять раз больше, т. е. 40 час в день!“ А ведь в сутках всего 24 часа! Конечно, можно добиться, чтобы ученики спокойно решали задачи типа задач №№ 3, 4,5, но это будет „механическое“ реше-

ние в самом скверном смысле этого слова: ученики будут говорить слова, не вдумываясь в их содержание.

Вывод: задачи типа задач №№ 3, 4 и 5 совсем не следует решать способом приведения к единице, решая их только способом пропорций.

Есть, наконец, задачи, для которых ученику VI класса, даже решающему много задач, очень трудно дать решение в форме связного рассказа; это бывает всякий раз, когда хотя бы одно значение той величины, которая приводится к единице, выражено правильной дробью. Возьмем в качестве примера задачу № 6:

„ Машина за у часа дает 900 болтов. Сколько болтов она даст за “g* часа?“

Ученик начинает решение: „За “4 часа машина дает 900 болтов, а за один час она даст...“ Как же сказать дальше? Нельзя сказать: „в f раза меньше“, так как, очевидно, машина даст в час не меньше болтов, а больше. Нельзя сказать: „в j раза больше“, — ведь, если „больше“, то как будто надо умножить 900 на if , а это даст число, меньшее 900. Наконец, самое выражение ,4“ раза“ является бессмысленным: можно сделать что-либо, например стукнуть ручкой по столу, 4“ раза?

Эта задача правильно может быть решена четырьмя способами.

Первый прием. „За -4 часа машина дает 900 болтов. Чтобы узнать, сколько болтов даст машина за целый час, надо 900 разделить на “4 , потому что все число по его части находится делением. А чтобы узнать, сколько болтов дает машина за ~q часа, надо полученное число умножить на ^ , потому что часть по целому находится умножением“.

Второй прием. „За 4- часа машина дает 900 болтов; за \ часа даст в 3 раза меньше; за час она даст в 4 раза больше; за “g* часа она даст в 6 раз меньше; за ~q часа она даст в 5 раз больше“.

Третий прием. „Приведем обе дроби к общему знаменателю, тогда T = ï2; б“ = 1>- Будем делать приведение не к одному часу, а к 73 часа. За 75 часа машина дает 900 болтов, а за Î2 часа она даст в 9 раз меньше, а за Ï2 часа она даст в 10 раз больше“.

Четвертый прием. „Можно часы раздробить в минуты; тогда f часа = = 45 минутам, -g“ часа = 50 минутам. За 45 минут машина дает 900 болтов, а за одну минуту она даст в 45 раз меньше, а за 50 минут она даст в 50 раз больше“.

Любой из приемов доступен ученику VI класса, особенно четвертый. Однако вряд ли целесообразно тратить время на сообщение ученикам (сами они догадаться не смогут) особых приемов, пригодных для решения отдельных задач.

Вывод: задачи типа задачи № б целесообразнее решать не способом приведения к единице, а способом пропорций.

Общий вывод: не всякую задачу на пропорциональные величины целесообразно решать способом приведения к единице; кроме того, при решении задач способом приведения к единице приходится использовать два чисто „механических“ правила.

Способом пропорций одинаково легко решаются все задачи на простое тройное правило, в том числе все, приведенные выше. В этом отношении способ пропорций, несомненно, имеет преимущество перед способом приведения к единице.

Но над способом пропорций тяготеет тяжелое обвинение в том, что это — „способ механический“, что ученики могут решать задачи способом пропорций „не думая“, что у учеников, решающих задачи способом пропорций, совсем не

развивается способность излагать свои мысли в форме связного рассуждения. Конечно, решение всякой задачи способом пропорции заканчивается чисто механически: надо найти неизвестный член пропорции. Но самое составление пропорции по условию задачи, при правильной постановке преподавания, никак нельзя считать механическим процессом; при составлении пропорции ученику приходится и думать, и излагать решение в форме связного рассказа ничуть не меньше, чем при решении задачи приведением к единице.

Возьмем задачу № 7: „14 рабочих могут вырыть канаву в 6 дней. Во сколько дней выроют такую же канаву 12 рабочих?“

Записав условие задачи, как всегда, в две строчки, ученик должен рассуждать так: „В этой задаче говорится о двух величинах: о числе рабочих и о времени, которое нужно для выполнения работы. Это величины обратно пропорциональные: если рабочих будет больше, то времени на работу им понадобится меньше во столько же раз (ученики часто пропускают эти слова, а ведь без них нельзя говорить о пропорциональности величин). Во второй раз рабочих будет меньше, значит, дней им понадобится больше во столько же раз. Поэтому л больше 6 во столько же раз, во сколько раз 14 больше 12.“ С этими словами ученик пишет пропорцию: je : 6 = 14 :12. Конечно, такое решение задачи никак нельзя назвать механическим.

Перечисляя величины, о которых говорится в задаче, и устанавливая вид зависимости между этими величинами, ученик не должен называть никаких чисел: он должен понимать, что зависимость между числом рабочих и числом дней работы не изменяется от того, что рабочих будет 14 или 15. Нельзя позволить ученикам говорить пропорцию так: пх относится к 6, как 14 относится к 12“.

Это, конечно, верно, но тогда ученик с одинаковой легкостью может сказать и написать „ . . . . , как 12 относится к 14“. Надо требовать, чтобы ученики в обоих отношениях говорили только слово „больше“, тогда пропорцию нельзя написать механически.

Возьмем теперь задачу № 8: „Поезд за 3 часа прошел 150 км. Сколько прошел он за 2 часа?а Эту задачу ученик должен решить так: „В задаче говорится о двух величинах: о времени движения поезда и о расстоянии, которое прошел поезд. Это величины прямо пропорциональные: если поезд будет идти дольше, то он пройдет во столько же раз больше километров. Во второй раз поезд шел меньше времени, значит, он пройдет меньше во столько же раз. Поэтому 150 больше X во столько же раз, во сколько раз 3 больше 2а С этими словами ученик пишет: 150:л; = 3:2.

Верной была бы и пропорция: х : 150 = = 2:3, но было бы неверно читать ее: X меньше 150 во столько раз, во сколько раз 2 меньше За, потому что отношение 2:3= з~ никогда не показывает, во сколько раз 2 меньше 3. А прочесть эту пропорцию правильно: х должен составлять такую часть от 150, какую 2 составляет от 3,— совершенно не в стиле учеников VI класса.

Вывод: из двух способов решения задач на простое тройное правило надо отдать предпочтение способу пропорций, а способом приведения к единице решать только такие задачи, г.де ученику не придется вступать в конфликт со здравым смыслом.

О РАЗВИТИИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ВООБРАЖЕНИЯ

П. М. РЫБАКОВ (Иваново)

Развитие пространственного воображения является одной из основных задач школьного курса геометрии. Работа по развитию пространственного воображения должна проводиться с первых шагов обучения планиметрии: ученик должен „чувствовать“ размеры и хорошо распознавать фигуры плоской геометрии. Первое требование достигается проведением постоянной работы по развитию „глазомера“. При ознакомлении с измерением отрезков учитель объясняет

ученикам, какое практическое значение имеет обладание хорошим глазомером, и проводит следующую работу.

1-я работа. Каждому ученику предлагается определить „на глаз“ и записать в тетради линейные размеры ряда предметов, затем эти размеры находятся с помощью измерительных инструментов (рулетки, мерной линейки), после чего ученик вычисляет процент погрешности своих глазомерных определений.

Ученики ведут в своих тетрадях следующие записи:

пп.

Наименование

Глазомерные определения

Истинные размеры

Погрешность (в%%)

1

2

10

Длина классной комнаты Высота парты

. . .

2-я работа. Предлагается начертить на доске или в тетради отрезки заданной длины (например, в 3 см, в 8 см и т. д.), не пользуясь при этом мерной линейкой, затем измерить построенные отрезки и вычислить процент погрешности своего глазомера.

Практика подобных работ показывает, что ученики допускают различные ошибки при определении расстояний по различным направлениям в пространстве. Учитель обращает на это внимание учеников и предлагает им, в порядке домашнего задания, проделать ряд глазомерных определений расстояний. К этой работе ученики относятся с большим интересом, и на следующем уроке при повторной работе большинство учеников допускают уже весьма незначительный процент погрешности при глазомерном определении расстояний.

Подобные работы проводятся и для развития хорошего „глазомера“ в определении углов.

В дальнейшем следует возвращаться к упражнениям в глазомерном определении размеров отрезков и углов. Так, например, давая задачу на вычисление объема модели правильной четырехугольной пирамиды, учитель сперва предлагает ученику определить „на глаз“ размеры, требуемые для решения задачи, и затем найти их с помощью измерительных инструментов.

Систематическая работа по развитию у учеников хорошего глазомера приучает учеников „чувствовать размеры“, а это является существенным в деле развития пространственного воображения.

По мере ознакомления учеников с плоскими геометрическими фигурами (треугольники, параллелограмы, трапеции и т. п.) учитель предлагает ученикам указать примеры этих фигур в классной комнате и затем примеры (на память) из окружающего мира (например, при ознакомлении с трапецией — видимая поверхность подоконника, большая из граней четырехскатной крыши, боковая стенка почтового ящика и т. д.). Такие упражнения приучают ученика находить геометрические образы в предметах окружающего мира, развивают у него наблюдательность и зрительную память, то-есть те качества, какие необходимы для воспитания пространственного воображения.

Хорошее знание элементов стереометрии служит основой для воспитания пространственного воображения. Отчетливое понимание теории и умение применять ее к решению задач возможно только в том случае, если ученик обладает способностью „вообразить“ пространственную фигуру во всех ее деталях.

Ученик должен видеть геометрические тела, осязать, иметь их перед собой: непосредственное рассмотрение геометрических форм является первой и необходимейшей ступенью в развитии пространственного воображения, поэтому обучение стереометрии должно возможно шире сопровождаться демонстрацией моделей. Учитель прибегает к показу модели при разборе нового вопроса теории и использует модели как материал для задач. При решении последних ученик предварительно должен выполнить ряд измерений, используемых затем для вычисления требуемого результата (например, для вычисления поверхности и объема модели правильной шестиугольной пирамиды).

Показ модели сопровождается ее чертежом. Ученики строят чертеж, строго руководствуясь правилами косоугольной параллельной проекции. Ученик всегда ценит и любит ту работу, которую

хорошо выполняет, и любовь его к этой хорошо выполняемой работе возрастает по мере повышения ее сложности. Постоянная высокая требовательность со стороны учителя хорошего оформления (грамотного и красивого) графических работ приведет к тому, что ученик научится „грамотно“ строить чертеж и уверенно „читать“ его, т. е. отчетливо представлять изображенную пространственную фигуру во всех ее деталях.

Постепенно, по мере роста понимания учеником стереометрического чертежа, модель отходит на второй план и ее заменяет чертеж*.

Приведем две задачи, решая которые, ученик строит сперва чертеж и затем дает подробное описание полученных фигур.

Задача № 1. Куб ABCDAXBXCXDX рассекается двумя плоскостями, проходящими через точки B,D и Ах и через точки CyDx и Вх. Затем многогранник AXBDBXCDX рассекается плоскостью, проходящей через точки CyD,Ax и Вх. Требуется указать относительно каждой из полученных пирамид: 1) вид пирамиды, 2) вид ее основания и боковых граней, 3) положение перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды на плоскость основания, 4) плоские углы при вершине пирамиды.

Ученик чертит куб и указанные плоские сечения куба и дает затем подробное описание каждой из двух отличных друг от друга пирамид, при этом ученик показывает рукой, как наклонена каждая из боковых граней пирамиды к плоскости основания. Объяснения ученик подтверждает ссылками на предложения стереометрии.

Задача 2. Дан куб ABCDAXBXCXDX. Средины противоположных сторон грани A1B1CXDX соединены отрезками KL nMN.

На какие фигуры делится куб четырьмя плоскостями, проходящими через отрезки KL и MN и через параллельные им стороны грани ABCD?

Куб делится секущими плоскостями на 9 пирамид: правильную четырехугольную пирамиду OABCD, 4 равные четырехугольные пирамиды (одна из них — ААхКОМ) и 4 равные треугольные пирамиды (одна из них ОAMD). Ученик дает подробное описание пирамид OABCD, ААхКОМ и О AMD, подобное приведенному выше.

Упражнения на подробное описание геометрической фигуры, изображенной на чертеже (с показом жестами взаимного положения ее элементов), имеют большое значение для развития пространственного воображения, и поэтому они являются хорошим дополнением к сборнику задач по стереометрии, принятому в школе.

Полезны упражнения на деление секущими плоскостями сложной фигуры на ряд элементарных. Приведем следующий пример: учитель приносит в класс большого формата рисунок здания с четырехскатной крышей и с чердачными окнами и предлагает ученику разделить наименьшим числом секущих плоскостей чердачное помещение здания на ряд простейших геометрических тел и указать затем, какие следует выполнить измерения для вычисления объема всего чердачного помещения. При решении этой задачи ученик должен уметь распознать простейшие геометрические фигуры в их различных положениях; ученику предоставляется известный простор в комбинировании при изыскании секущих плоскостей.

При преподавании стереометрии следует приучать учеников находить изучаемые геометрические фигуры в предметах окружающего мира. Цилиндрические и призматические трубы, строения, как комбинации простейших геометрических тел, земляные сооружения — все это представляет богатый материал для развития наблюдательности ученика, для развития умения расчленять сложное тело на ряд простейших. Ученик проникается убеждением в широкой приложимости геометрии к решению задач жизненной практики, и у него повышается интерес к геометрии и стремление к дальнейшему ее изучению.

Отличными упражнениями для развития пространственного воображения служат задачи на определение геометрических мест в пространстве. Приведем некоторые из этих задач.

Отдел „Прямые и плоскости в пространстве“.

1. Найти геометрическое место точек, равноотстоящих: а) от двух данных точек, б) от двух пересекающихся

* См. нашу статью „Наглядные пособия по математике и работа с ними“ (журнал „Математика в школе“, 1946, №№ 3 и 4).

плоскостей, в) от двух пересекающихся прямых.

2. Найти геометрическое место точек, равноотстоящих от трех данных точек, не лежащих на одной прямой.

3. Найти геометрическое место точек, равноотстоящих: а) от граней данного трехгранного угла, б) от ребер данного трехгранного угла.

4. Найти геометрическое место точек, равноотстоящих от двух данных плоскостей и в то же время равноотстоящих от двух данных пересекающихся прямых.

Отдел „Тела вращения“.

1. На поверхности шара найти геометрическое место точек, равноотстоящих от двух данных точек, лежащих на поверхности шара.

2. Даны две взаимно перпендикулярные, но не пересекающиеся прямые. Указать, что служит геометрическим местом точек, находящихся на данном расстоянии от этих прямых.

3. Дана прямая MN и на ней точка А. Указать, что служит геометрическим местом точек, находящихся на расстоянии а от прямой MN и на расстоянии b от точки A (£>а).

4. Найти геометрическое место точек, отстоящих от данной плоскости на а см и от данной прямой на b см.

Задачи на стереометрические построения, равно как и задачи на нахождение геометрических мест в пространстве, можно назвать упражнениями по развитию пространственного воображения. Вообще задачи на стереометрические построения относятся к числу довольно трудных задач. Приводим несколько элементарных задач.

1. Через данную точку А провести плоскость, параллельную двум данным прямым, не лежащим в одной плоскости.

2. На данной плоскости Р найти точку, равноотстоящую от точек А, В и С, не лежащих на одной прямой.

3. Построить сферическую поверхность данного радиуса: а) проходящую через три данные точки, б) проходящую через две данные точки и касательную к данной плоскости, в) проходящую через данную точку и касательную к двум Данным плоскостям.

Показать, при каких условиях имеют решение эти задачи.

4. Построить сферическую поверхность, проходящую через данную окружность, и через точку Л, лежащую вне плоскости этой окружности.

С первых шагов изучения стереометрии следует практиковать устные задачи, проводить эти упражнения в течение всего курса, постепенно их усложняя с тем, чтобы приучить ученика при решении любой стереометрической задачи сперва представить в уме указанные в задаче пространственные взаимоотношения, наметить план решения, затем уже выполнять необходимые чертежные и вычислительные работы. На первых порах устные упражнения сочетаются с показом соответствующих моделей, причем при решении одних задач модель показывается одновременно с решением задачи, при решении других демонстрация модели проводится после решения. Так, например, при изучении параллельности в пространстве учитель задает ряд вопросов о виде плоских сечений куба, причем каждый раз сперва предлагает решить данную задачу в уме и затем показывает вид плоских сечений на сплошных деревянных или проволочных моделях. Ученики, решая, например, задачу: „Рассечь куб плоскостью так, чтобы получить в сечении равнобочную трапецию, основания которой относятся как 2:1“, не имеют перед собой куба и должны представить в уме куб и искомое расположение секущей плоскости. При такой постановке дается пища воображению, к последующему затем рассмотрению модели ученики подходят с большим интересом, ярче запоминаются пространственные фигуры.

Приведем другой пример. Ученики ознакомились с проекцией отрезка на плоскость; учитель задает вопросы:

1. „Какое условие должно быть соблюдено, чтобы проекцией прямого угла на плоскость служил прямой угол?“.

2. „При соблюдении какого условия плоская кривая линия проектируется на две пересекающиеся плоскости в виде прямой линии?“

3. „При соблюдении какого условия две прямые, не лежащие в одной плоскости, проектируются в виде прямых, параллельных друг другу?“

После того как задачи эти решены в уме, учитель демонстрирует соответствующие модели.

Подводим итоги. Работа по воспитанию пространственного воображения за-

ключается в непосредственном рассмотрении геометрических фигур, в приобретении уменья правильно строить и свободно читать чертеж, в развитии способности решать в уме задачи, содержанием которых служит установление взаимного положения элементов пространственной фигуры. Непосредственное рассмотрение геометрических фигур приводит к развитию глазомера, наблюдательности, зрительной памяти. По мере накопления опыта работы с чертежом, последний становится для учеников основным пособием при разборе вопросов стереометрии; разбирая задачу, решение которой в уме представляется сложным, ученик строит чертеж и затем, „читая чертеж“, рисует в своем воображении все детали рассматриваемой фигуры. Постоянная систематическая работа по развитию пространственного воображения обеспечит хорошее усвоение учениками основ стереометрии.

ИЗУЧЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ В VI КЛАССЕ

В. С. ФЕДОРОВ (село Чаша, Курганской области)

Изучение основных задач на построение в VI классе проводится, согласно программе, после усвоения учащимися необходимых сведений о треугольниках. На изучение этих задач учителя обычно отводят 7 уроков, в среднем по одному уроку на каждую из основных задач, но иногда уменьшают это количество до 5, что нельзя признать правильным.

Кроме того, из-за недостатка времени мало решается задач, требующих применения основных построений. Поэтому основные задачи на построение слабо закрепляются.

Указанные недостатки приводят к тому, что позднее, при решении сложных задач на построение, учащиеся не могут расчленить их на основные. Жалобы учителей на неумение учащихся решать задачи на построение общеизвестны. Даже простая комбинация основных задач, достаточная для решения многих сложных задач, оказывается непосильной для учащихся. Известно, например, что для многих учащихся, окончивших 7 классов средней школы, задача о проведении всех высот в тупоугольном треугольнике непосильна. Даже основную задачу — проведение перпендикуляра из точки на прямую — учащиеся не всегда могут решить: на горизонтальную прямую перпендикуляр опускается без затруднений, а на наклонную — с большими трудностями. Учащиеся часто отождествляют высоты треугольника с медианами и биссектрисами.

Беглое изучение основных задач, без закрепления их решением вспомогательных задач, некоторое пренебрежение к ним из-за несложности конструкций этих задач и сокращение количества уроков на основные построения — все это тормозит развитие способностей и навыков учащихся в решении задач на построение.

Неоднократно проделанный опыт по устранению указанных недостатков показал, что изучение основных задач на построение целесообразно проводить по следующему плану:

1-й урок

Задачи: 1 (основная). Построить треугольник по трём сторонам его: а% Ь, с.

2. Построить треугольник по сумме двух его сторон Ь-\-су одной из этих сторон с и третьей стороне а.

Домашнее задание

Задачи: 3. Построить равнобедренный треугольник по основанию а и боковой стороне Ь.

4. Построить треугольник по его периметру и двум сторонам а и Ъ.

5 (запасная). Построить треугольник, зная разность двух его сторон b — с, одну из этих сторон b и третью сторону а.

2-й урок

Задачи: 6 (основная). Построить угол, равный данному углу А.

7. Построить треугольник по двум сторонам его а и b и углу С между ними.

8 (запасная). Построить треугольник по двум сторонам его а я с к углу А,

лежащему против большей из данных сторон.

Домашнее задание

Задачи: 9. Построить треугольник по стороне а и двум углам В и С, прилежащим к этой стороне.

10. Построить треугольник по сумме двух сторон его а + &, углу С между ними и одной из этих сторон а.

11 (запасная). Построить треугольник по разности двух его сторон b — с, стороне b и углу А между этими сторонами.

3-й урок

Задачи: 12 (основная). Разделить данный угол пополам.

13. Разделить данный угол на 4 равные части.

14. По сумме и разности двух углов найти эти углы.

Домашнее задание

Задачи: 15. В данном треугольнике провести биссектрисы всех углов.

16. Построить равнобедренный треугольник по его основанию и сумме углов при основании (вместо суммы углов можно дать угол при вершине).

17 (запасная). Построить треугольник, равный данному треугольнику (различными способами).

4-й урок

Задачи: 18 (основная). Из точки, лежащей вне прямой, опустить на прямую перпендикуляр.

19. Из точки, лежащей на прямой, восставить к прямой перпендикуляр.

20. Построить прямоугольный треугольник по катетам.

21. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.

Домашнее задание

Задачи: 22. Построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.

23. В треугольнике провести три высоты (разобрать случаи остроугольного и тупоугольного треугольника).

5-й урок

Задачи: 24 (основная). Данный отрезок AB разделить пополам.

25. Построить равнобедренный треугольник по основанию и сумме боковых сторон.

26. Построить равнобедренный треугольник по основанию и высоте.

Домашнее задание

Задачи: 27. Построить равнобедренный треугольник по основанию и периметру.

28. По сумме и разности двух отрезков найти эти отрезки.

29. Найти точку, равноудаленную от вершин данного треугольника.

6-й урок (применение основных задач)

Задачи: 30. Разделить данный отрезок на 8 равных частей.

31. Построить прямоугольный треугольник по катету и прилежащему острому углу.

32. Построить треугольник, симметричный данному относительно данной оси.

Домашнее задание

По учебнику Киселева повторить §§ 61—67.

7-й урок (проверочная работа)

Задачи: 33. Построить равнобедренный треугольник по высоте и углу при вершине.

34. Построить отрезок, симметричный данному относительно данной оси.

35 (запасная). Даны точки Л, В и С, не лежащие на одной прямой. Из точки А провести прямую, от которой точки В и С будут находиться на одинаковом расстоянии.

При выполнении этого плана учащиеся не только приобретут новые знания, но и прочнее закрепят ранее изученные сведения о треугольниках и линиях в треугольнике.

Следует заметить, что все задачи для самостоятельной работы учащихся, перечисленные в плане, целесообразно решать по соображению, не прибегая на первых порах к полному решению, т. е. к анализу, доказательству и исследованию. Эти этапы решения нужно вводить постепенно. Удобнее вводить полное решение задачи на построение постепенно, начиная с доказательства правильности построения. Этот этап учащимися уже усвоен при изучении теорем. После этого можно будет ввести исследование, на котором учащиеся должны осознать, что в зависимости от величины данных для решения задачи и их расположения на чертеже зависит количество решений задачи. Необходимость исследования каждой решаемой задачи можно показать на следующих задачах:

Задачи-. 36. Построить треугольник по двум сторонам и углу, лежащему против меньшей из них.

37. Даны два различных отрезка. Построить точку, равноудаленную от кондов каждого из этих отрезков.

38. Найти точку, равноудаленную от сторон данного угла и в то же время равноудаленную от концов данного отрезка.

39. Построить равнобедренный треугольник, имеющий данное основание, вершина которого находилась бы на данном расстоянии от данной точки.

Эти задачи потребуют затраты еще одного урока или же можно включить их в отведенные 7 уроков за счет задач №№ 30 и 31.

Требовать от учащихся проведения анализа при решении задач можно только после приобретения ими необходимых навыков для выполнения построений. Анализ задач на построение лучше изучать в VII классе.

Чтобы учащиеся не забыли основных задач на построение, следует при изучении нового материала вводить в домашние задания задачи на повторение основных построений. Можно рекомендовать такие задачи.

Задачи: 40. В треугольнике провести три медианы.

41. Найти точку, равноудаленную от сторон данного треугольника.

42. Построить равнобедренный треугольник:

a) по боковой стороне и углу при основании,

b) по высоте и боковой стороне,

c) по гипотенузе (равнобедренный прямоугольный треугольник).

43. Через точку, данную внутри угла, провести такую прямую, которая отсекла бы от сторон угла равные отрезки.

44. Построить прямоугольный треугольник по катету и сумме гипотенузы с другим катетом.

45. Построить равнобедренный треугольник, имеющий данное основание, вершина которого находилась бы в равном расстоянии от двух данных точек.

Настоящая заметка не претендует на новизну содержащегося в ней материала. Она — результат стремления автора поделиться с начинающими учителями скромным опытом по изучению в школе основных задач на построение.

ИЗ ПИСЕМ И ЗАМЕТОК ЧИТАТЕЛЕЙ

1. В заметке „К прохождению соединений“ т. Н. Н. Архангельский (Пенза) отмечает, что формула

обычно остается без применений, тогда как она способна упростить решение ряда примеров из школьного задачника. Для иллюстрации автор приводит решение примера № 22 гл. XVII из задачника Шапошникова и Вальцова:

Решение:

После, сокращая, получим уравнение:

Аналогичное замечание относится к формуле для числа размещений:

Рекомендуемый т. Архангельским прием прививает учащимся полезные навыки в обращении с „факториалами“.

2. В заметке „К методике темы „Квадратные уравнения“ т. Я. Габович (Тарту) отмечает, что многим учащимся доставляет затруднение запоминание нескольких формул решения квадратного уравнения (общий случай и частные виды); это приводит к ошибкам, связанным с неправильным применением формул. Тов. Габович рассказывает о своем опыте: выводится лишь одна формула

решения квадратного уравнения

Следовательно, через b обозначается половина коэфициента при х. Вывод формулы дается выделением полного квадрата после предварительного умножения обеих частей на а. Уравнение с целочисленными коэфициентами и нечетным коэфициентом при х, во избежание дробей, рекомендуется предварительно почленно умножить на 2 или —2. Пример: — Зх2-\-5х-\-12 = 0; умножаем на — 2:

6x2 — IOjc —24 = 0.

Имеем:

Аналогичные замечания по поводу решения квадратного уравнения содержатся в заметке т. X. Брандере (Рига).

Далее т. Габович отмечает, что в школьном задачнике только в двух примерах на квадратные уравнения имеется общий множитель всех коэфициентов. Тем самым учащимся не прививается навык в предварительном сокращении уравнений на общий множитель, появляются „большие числа“, что влечет за собой многочисленные ошибки. Автор рекомендует видоизменять примеры школьного задачника (глава VIII, § 1) путем умножения уравнений на какие-нибудь небольшие числа, например 2, 3, 4, 5.

3. В заметке „О тригонометрической форме комплексного числа“ т. Гуляев (гор. Малмыж Кировской обл.) пишет о том, как можно связать повторение темы „Обратные тригонометрические функции“ с изучением темы „Комплексные числа“. Приводим образец упражнений, рекомендуемых автором. Представить в тригонометрической форме z = — 5 — Зг.

Имеем: \г\ = К34 . Точка z лежит в третьем квадрате, поэтому в качестве аргумента z может быть взят угол <р, лежащий в промежутке от п до -2 * (третья четверть). Имеем coscp = — —g- Угол лежит во второй четверти, а потому

Аналогично для данного числа z можно получить:

На чертеже следует показать точку z, а также точки zlt z2, zs с тем же модулем и с аргументами, равными

Эти упражнения помогут твердо усвоить промежутки, в которых выбираются значения аркфункций.

4. В заметке „По поводу тождества а =Ьи т. В. Н. Русанов (Вольск) рекомендует следующий план изучения темы „Логарифмы“.

I. Открываем первую страницу таблиц: 1...... 0,0000

2......0,3010

3...... 0,4771

............. и т. д.

„Левые“ числа называем антилогарифмами, правые — соответствующими „логарифмами“.

II. Изучение свойства таблицы: умножение антилогарифмов соответствует сложению логарифмов, деление — вычи-

танию (проверяем на нескольких примерах). В случае получения двузначного числа в логарифме появляется единица целых. Оставляем пока без объяснения.

III. Аналогия с правилами сложения и вычитания показателей при одном и том же основании. Эвристическая догадка, что и здесь имеем дело с показателями, подтверждается равенством логарифма единицы нулю, логарифма 10—единице и т. д. Объясняем термины „характеристика“ и „мантисса“. Устанавливаем основной факт: всякое положительное число можно рассматривать как результат возведения 10 в некоторую степень. Вводим обозначение \gb и тождество

IV. Определение десятичного логарифма—следствие из всего предыдущего: чтобы получить некоторое число, достаточно возвести 10 в степень логарифма этого числа.

V. Решение более сложных задач без интерполяции. На основании определения получаем основные оперативные тождества для символа Igb.

VI. Ставится вопрос о возможности систем лагарифмов при других основаниях. Возможность построения такой системы объясняется на примерах вида

Дается понятие о модуле перехода.

VII. Изучаются обычным способом детали устройства таблиц десятичных логарифмов.

На основе своего опыта автор пришел к заключению, что при этом способе изложения теории логарифмов основное тождество не только не вызывает никаких вопросов, но полагается после его разъяснения в основу всей теории.

5. Вряд ли можно отрицать целесообразность разумного пользования наглядными пособиями при изучении стереометрии. При отсутствии готовых наглядных пособий можно пользоваться самодельными пособиями. В заметке „Конструктор по стереометрии“ тов. А. М. Баранов (Хакассия, Иудино) дает описание пособия, которое весьма легко изготовить. „Конструктор“ состоит из ящика с песком размером 75 см\ X 45 см X 12 см и набора деревянных палочек-лучинок различной длины и различной окраски. Для скрепления „узлов“ в пространстве нужны колечки, настриженные от резиновой трубки. Дополняет конструктор набор плоских фигур из фанеры или картона (треугольники, квадраты, ромбы, параллелограмы, трапеции, круги и т. д.). Разнообразие конструкций достигается тем, что воткнутая в песок палочка может быть поставлена под любым углем и в любом направлении; вся конструкция устойчива на „вкопанных столбах“. Любая задача по стереометрии может быть смонтирована в виде „прозрачной“ геометрической фигуры в пространстве, имея опору на плоскости песка. На чертеже изображена конструкция, выполненная применительно к задаче № 19 § 4 из сборника Рыбкина. Узел только при вершине 5. Отрезок EF положен на продолжениях АЕ и BF. Проекции на плоскость песка Р наносятся лучинками. Искомые отрезки монтируются цветными палочками. Описание аналогичного пособия дано в заметке т. Б. А. Колоконова (Багазинская ср. школа, БАССР).

6. Вопрос о составлении числовых формул при решении арифметических задач, а также о переходе от числовых к буквенным формулам (в VI классе) рассмотрен в статье А. Н. Барсукова „Первые уроки алгебры“ („Математика в школе“, № 3, 1947). В заметке „Фор мула решения арифметической задачи“ т. Ю. М. Владиславская (Тамбов) рекомендует работу по составлению фор-

мулы решения арифметической задачи начинать с IV класса. Рекомендуется начать с решения задачи по вопросам, а после решения записать в строку все выполненные действия и, если нужно, поставить скобки. После приобретения навыка следует перейти к составлению формулы до выполнения вычислений, а в дальнейшем составление формулы предшествует составлению плана.

Автор заметки вносит интересное предложение: учащимся даются готовые несложные цифровые формулы, например:

и требуется по данной формуле составить задачу. Эти упражнения полезны при изучении умножения и деления целого числа на дробь и дроби на целое число. Разумеется, что для одной и той же формулы можно подобрать сколько угодно задач.

7. В письме в редакцию инженер А. П. Николаенко (Запорожье), основываясь на многолетнем опыте руководства практической работой окончивших среднюю школу, отмечает следующие недостатки в их подготовке:

1) неуменье применять устный счет; так, например, сложение двух чисел производится на бумаге;

2) нет уменья пользоваться счетной линейкой не только для нахождения тригонометрических функций, но даже для простого умножения и деления;

3) при умножении и особенно делении десятичных дробей часто допускаются ошибки в постановке запятых;

4) нет уменья производить вычисления с большими числами, когда требуется получить практический результат, и часто в погоне за „точностью“ делают ошибку в 10 и более раз;

5) стремление во всех случаях пользоваться справочником (даже для нахождения sin 30°, tg 45°) и готовыми формулами. Неуменье выводить самостоятельно формулы, если нет под рукой справочника;

6) доверчивость к полученному и вычисленному результату, неуменье критически его рассмотреть и проверить;

7) частые ошибки при пользовании различными мерами измерения входящих в формулу величин, так, например, скорость течения воды — м\сек, диаметр— мм, длина трубы — м.

Автор высказывает пожелание, чтобы преподаватели средней школы принимали меры к устранению указанных недостатков.

8. В заметке „Методы закрепления навыков по алгебре“ тов. Н. С. Файнберг (Саранск) рассказывает о применяемых им трех формах работы с классом: алгебраические диктовки,алгебраическое объяснительное чтение и устные упражнения.

Алгебраические диктовки. Страница тетради делится на части — левую и правую — в отношении 2:1. Левая часть служит для записи диктуемых учителем выражений, правая — для записи этих выражений в виде формул.

Например:

удвоенный куб разности чисел а и b 2(а — о).

Автор считает, что словесная запись продиктованного поможет учащимся осознать допускаемые ошибки.

Первая диктовка, предложенная VI классу, была следующего содержания:

1. Сумма двух слагаемых S, одно из них а. Выразить другое слагаемое.

2. Частное двух чисел q, делимое а, выразить делитель.

3. Сумма частных от деления а на b и b m а более 2.

4. Написать без коэфициентов

~^тп — 2pq.

5. От плюс 11 отнять минус 8 и еще отнять минус 3.

6. Третья степень числа — 5 сложена с четвертой степенью числа — 3. Чему равна сумма?

Алгебраическое объяснительное чтение преследует цель выработать культуру математической речи, уменье правильно читать и произносить математические записи. Материал для чтения можно заранее записать на доске, но лучше изготовить большие листы бумаги, на которых крупным шрифтом пишутся математические записи, подлежащие чтению. Вызванному ученику предлагается по порядку читать написанные выражения, класс следит за чтением и вносит поправки, а учитель дает пояснения. Вот примеры записей,

рекомендуемых для чтения в начале изучения алгебры:

и т. п.

Устные упражнения. Если предлагается вычислить значения несложных выражений, то следует ограничиться слуховым устным счетом.

Например: Среднее арифметическое чисел 7 и 23 возвысить в квадрат, вычесть куб числа 5, и полученное число представить в виде произведения двух одинаковых сомножителей.

Если выражения, предлагаемые для вычисления, нелегко запоминаются, то их нужно записывать на доске, а вычисления производить устно.

Например: Утроенный квадрат суммы чисел а и b сложить с квадратом утроенного произведения этих чисел и полученный результат вычислить при а = 3, Ь = 2.

8. В статье под названием „Об одном учебнике, отставшем от жизни“, тов. Л. Г. Круповецкий (Туринск) ставит вопрос о необходимости обновления задач с современной тематикой, имеющихся в сборнике Е. С. Березанской. Данные о плане развития народного хозяйства, о достижениях в области промышленности и сельского хозяйства, о рекордных цифрах имеют огромное воспитательное значение. Однако сообщаемые в задачнике Березанской данные имеют десятилетнюю давность, а потому они не могут в должной мере заинтересовать учащихся и дать правильное представление, о современной действительности. Как справедливо отмечает автор, содержание школьного задачника нельзя изменять ежегодно, однако теперь настало время пересмотреть содержание 30—40 задач из современной жизни, помещенных в сборнике.

9. В заметке „Извлечение квадратного корня из чисел, мало превышающих 1“ тов. Е. Рачко (Киржач) указывает на элементарный способ оценки погрешности известной приближенной формулы

Имеем:

При е>0 получаем следующую оценку погрешности:

Этот вывод вполне доступен учащимся. По постановке вопроса задача является интересной и содержательной.

10. В заметке „Определение рациональных корней многочленов“ тов. Д. Н. Лабутин (Пятигорск) пишет об одном известном, но мало популярном в школе приеме отыскания рациональных корней многочлена с целыми коэфициентами. Этот способ основан на теореме: если многочлен

оо хп+ аххп-1 + а2хп “2 +... + ап

с целыми коэфициентами имеет рациональный корень х==~-, где — есть несократимая дробь, то р есть делитель ап, a q есть делитель а0. Докажем теорему для многочлена 3-й степени

а0х3 + öl-*2 + а2х + ау

Если X = ~y корень, то

(1)

Умножив равенство на ^—, получим

Левая часть есть число целое. Значит, и правая часть должна быть числом целым, но q3 не делится на /?, поэтому а3 должно делиться на р. Умножив равенство (1) на q\ получим

Следовательно, а0 делится на q.

Пример. Найти рациональные корни многочлена 12л*3 — 8х2 — Ъх + 2. Здесь

и возможные рациональные корни суть:

Проверкой находим

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О КНИГЕ Н. М. БЕСКИНА „МЕТОДИКА ГЕОМЕТРИИ“

Учебник для педагогических институтов. Учпедгиз, 1947

Б. А. КОРДЕМСКИЙ (Москва)

1

Педагогические искания в теории и практике обучения элементарной математике за минувшие три десятилетия обогатили методику геометрии разнообразным фактическим материалом, главным образом в форме разрозненных статей и рефератов. Давно назрела потребность в научном отборе и систематизации накопленного материала в форме хорошего руководства, в котором учитель мог бы найти научное освещение школьной математики и методов ее преподавания в нашей школе.

Таким „собирателем“ и выразителем современных научно-методических взглядов в области элементарной геометрии оказался Н. М. Бескин— автор „Методики геометрии“ — книги интересной, свежей, во многом очень убедительной и несомненно весьма нужной и полезной „для студентов педвузов и для тех учителей, которые хотят научиться самостоятельно—и притом научно, а не делячески — решать встречающиеся им на практике методические вопросы“.

В книге две части. В первой части изложены некоторые общие вопросы методики и элементы логики. Во второй части проведено методическое исследование основных разделов курса школьной геометрии: конгруентнрсти фигур, параллельности прямых, подобия фигур и теории измерения геометрических величин. По одной главе посвящено первым урокам геометрии, преподаванию стереометрии и преподаванию тригонометрии. В качестве примеров детального разбора темы написаны главы: „Четырехугольники“ и „Окружность.“ Заключительная глава .„Методика преподавания наглядной геометрии“ написана большим специалистом в этой области — профессором А. М. Астрябом. В этой главе освещаются идеи пропедевтического курса геометрии применительно к существующим программам III — V классов.

Вся книга написана в соответствии с действующей программой геометрии для VI—X классов средней школы, но не является простым спутником или „ключом“ к школьному учебнику геометрии или к пробному учебнику Н. А. Глаголева, так как методическое кредо Н. М. Бескина свежее и ближе к современной науке, чем взгляды А. П. Киселева, и не во всем тождественно взглядам Н. А. Глаголева.

Каждому разбираемому разделу геометрии автор „Методики“ предпосылает краткое, но ясно очерченное научное освещение (к сожалению, скупясь на исторические сведения), а затем уже развертывает методическую интерпретацию темы для осуществления в школе.

Н. М. Бескин владеет секретом лаконичного, но точного изложения разделяемых им взглядов, причем в форме логичной и убедительной.

Красной нитью через всю книгу проведена автором мысль о том, что целью преподавания геометрии является не только изучение пространственных форм, но и логическое развитие ученика.

„Нельзя одобрить практику тех учителей, которые сосредоточивают все свое внимание на привитии ученикам навыков и обходят все сколько-нибудь тонкие принципиальные вопросы под тем предлогом, что они мало доступны ученикам. Если ученик только приобрел навыки в решении задач и запомнил доказательства теорем, приводимые в учебнике, то цель преподавания геометрии еще не достигнута.

Основное правило преподавания математики: на всех ступенях не снижать научного уровня, не обходить принципиальных вопросов, а, наоборот, подчеркивать их. Глубоко ошибочно думать, что, имея перед собой слабых учеников, мы облегчим им усвоение математики, обходя тонкие вопросы. Дело обстоит как раз наоборот, ибо, не добившись вполне отчетливого уяснения учениками принципиальных вопросов, мы не облегчим, а затрудним для них изучение геометрии, так как лишим их многих ассоциаций, общего подхода к разным вопросам и многих внутренних связей. Из стройной системы мы превратим геометрию в собрание отдельных предложений. Имея дело со слабыми учениками, учитель должен проходить принципиальные вопросы математики нисколько не в меньшем объеме, чем с сильными, но лишь разъяснять их более подробно“ (добавляю: искать „форм изложения, более доступных пониманию ученика). .Математику можно преподавать всем — и сильным и слабым,—не превращая это преподавание в натаскивание, а полностью сохраняя все идейные моменты“ (стр. 5).

Далее: .... если какая-нибудь трудность вызывается существом дела, то в школе следует не обходить ее, а научить учеников ее преодолевать“ (стр. 42).

Учитель прежде всего сам должен глубоко знать то, что преподает, и критически осмыслить содержание предмета с современных научных позиций. Н. М. Бескин объединяет важнейшие темы в группы вопросов по принципу „их общей логической природы и кратко, но выпукло раскрывает их научное и методическое содержание,

доставляя тем самым учителю материал для размышлений и достаточную канву для дальнейшего совершенствования. Штудируя эту книгу, учитель, несомненно, значительно квалифицированнее подготовит план урока.

Преподавание геометрии не должно превращаться в калейдоскоп разрозненных теорем и задач, не объединенных четко очерченной общей идеей. Автор „Методики“ справедливо советует учителю так построить свою работу, „чтобы ученики всегда ясно представляли, какой круг проблем подлежит решению в каждом разделе математики, и знали, какие из них решены и какие нет“ (стр. 72).

Предостерегая от формалистического изложения геометрии, автор „Методики“ рекомендует придерживаться генетического метода как в изложении отдельных теорем, так и в изложении целых разделов курса.

При этом методе геометрические знания возникают „не в законченном, выкристаллизовавшемся виде, а в развитии...“ .Каждый ученик делается активным создателем геометрии: мы ставим перед ним проблемы, при решении которых возникают отдельные теоремы и целые разделы геометрии“ (стр. 67).

„Учитель должен заставлять учеников не только заучивать доказательства, но постоянно размышлять о математике, подходя к каждому вопросу с различных точек зрения. Человек, много думающий над каким-нибудь вопросом, обладает многими ассоциациями и связями, скрытыми от других“.

В этой интересной книге читатель найдет сопоставление аналитического и синтетического методов доказательства. Позиция автора выражена словами: „Вообще мы лишь хотим рекомендовать учителю по возможности пользоваться генетическим методом при изложении теорем и аналитическим методом при их доказательстве“ (стр. 78). При этом .доказательства теорем в курсе геометрии приводятся не для того, чтобы убедить учеников в справедливости этих теорем..., но для того, чтобы ученики овладели методами геометрических доказательств и могли самостоятельно строить доказательства“ (стр. 75).

Правильно раскрывает автор методику „определений“; рекомендует учителю все определения без исключения сопровождать доказательством существования определяемых объектов и там, где это имеет место, доказывать их единственность (см., например, на стр. 90), „Единственность перпендикуляра“.

Опираясь на принципы диалектического материализма, автор вскрывает ошибочность представлений о том, что математическое понятие, „раз возникнув в сознании ученика, всегда пребудет в нем неизменным“.....Каждое понятие в сознании ученика развивается с течением времени, становится более зрелым по мере того, как он знакомится с его оперативным применением и узнает его связи с другими понятиями“ (стр. 65). Определение нельзя рассматривать как первую и последнюю стадию ознакомления ученика с новым понятием, так как .формирование и дальнейшее уточнение понятия не кончается в тот момент, когда мы даем определение. ..“ „Поэтому учитель не должен надеяться, что чрезмерно длинными подробными объяснениями ему удастся преодолеть те затруднения, которые вызываются здесь самой сущностью процесса познания...“ „Надо скорее переходить к делу“ „.. .Мы не должны забывать, что самые неясности и противоречия, заключенные в этих основных понятиях, служат стимулом, заставляющим учеников размышлять над ними“ (стр. 82).

Хорошо разъясняет автор сущность необходимых и достаточных условий. В практике преподавания еще недостаточно культивируются эти важные понятия.

Для того чтобы предупредить возможные заблуждения, учитель должен подвести ученика к сознанию логической необходимости доказательства теоремы, кажущейся очевидной. Как студент, так и учитель легко запомнят этот важный методический принцип, удачно преподанный Н. М. Бескиным почти как афоризм: .Сначала сделать неясным, а затем ясным“.

Автор „Методики“ иногда сопоставляет различные научно-эквивалентные точки зрения, выявляя педагогические преимущества какой-либо из них (теория измерения величин, определение угла и др.).

Очень содержательна глава .Конгруентные фигуры“. Вообще в книге много положений, модернизирующих методические воззрения учителя геометрии, не претендующих, однако, на коренную ломку школьных программ, но, несомненно, способствующих их усовершенствованию.

Можно отметить, например, что в предлагаемом „вузовском усовершенствовании“ „чортовой лестницы“ (§ 4. Объемы) Н. М. Бескин идет впереди существующих школьных учебников.

2

Книгу H: М. Бескина „Методика геометрии“ собственно следует признать первым учебником, написанным с позиций научной и прогрессивной методики. Естественно поэтому, что она не лишена и недостатков.

1. Книга по методике, предназначенная для усовершенствования научного мировоззрения советского студента и учителя, должна базироваться на философии диалектического материализма и быть ее проводником. Последнее несколько затушевано автором, вследствие чего книга получилась как бы академически-бесстрастной. Так, например, неудачна глава 1—.Эволюция взглядов на основания геометрии*. Автор подробно рассматривает ненаучность взгляда на аксиомы, как на очевидные истины. Но это уже трюизм даже для начинающего студента. Достаточно было ограничиться простым предупреждением или напоминанием. Но совсем не рассмотрен позитивный вопрос: „а каков же научный взгляд на аксиомы, их происхождение и чем обусловлен выбор аксиом?“. Здесь нельзя ограничиться наивной фразой: .Итак, аксиомы принимаются без доказательства не потому, что они очевидны, а потому, что они суть первые предложения, для доказательства которых еще нет никакого исходного материала“. Может быть, аксиомы—это продукт свободного творчества мыслителя,—как говорят субъективисты? Ведь некоторые современные математические теории были созданы на основе произвольного комбинирования аксиом. И может быть, в выборе системы аксиом математики руководствуются только требованием непротиворечивости, независимости и т. д.? Но это требования формально-логические и к миру вещей отношения не имеют. Автор показывает только то, что современная система аксиом, в отличие от системы

Евклида, удовлетворяет указанным требованиям. И читатель заключит: .Раз дело только в этом, то, значит, существующая система аксиом вечна и нерушима“ Но это идеалистическая концепция.

Как же не показать в „Методике геометрии“ хотя бы сжато, что аксиомы: „описывают структуру основных отношений, в которых выступают изучаемые объекты“, а также и то, что опыт является не единственной причиной происхождения аксиом (вопреки утверждениям эмпириков), что развитие аксиоматики зависит от подъема уровня математики, от направления ее развития и что процесс этот протекает диалектически: аксиоматический метод способствует открытию новых фактов, но рост знаний обнаруживает несовершенство исходной системы аксиом и требует ее усовершенствования.

В той же главе методологически расплывчато дано объяснение геометрии как логической системы. Тезисы автора вполне конкретны: .из абстрактной (т. е. не связанной с определенным истолкованием основных терминов) геометрии можно получить различные интерпретации“, и „ее можно связывать с различными пространственными представлениями“. Но развиты эти тезисы слабо и разжижены такими скользкими фразами:

„Геометрия как логическая система имеет чисто словесный характер“, „Употребляемые в ней основные термины суть только слова, которым не приписывается никакого пространственного смысла. Эти слова определены лишь тем, что они входят в определенные аксиомы“ (стр. 21). Знающий читатель, может быть, поймет автора правильно, но со студентом так разговаривать опасно. Легко отдать его во власть номиналистов.

Автора неизбежно подвело это стремление избежать философий ив главе II—«Элементы логики*. Он пишет в сноске: ....мы излагаем техническую сторону формальной логики, не вдаваясь в философские вопросы*.

Действительно, техническая сторона логики показана в хорошем стиле, но и здесь нельзя остаться бесстрастным повествователем, так как бой между идеалистической и материалистической концепциями идет и на арене формальной логики. В этой главе (§ 2) Н. М. Бескин приводит три определения категории .Предложение* (лучше: „Суждение“). Первое: как приписывание признака понятию. Второе: как включение класса в класс (Аристотель). Третье (в сноске): как высказывание, которое может быть истинным или ложным. Третье определение совсем не рассматривается, но сопровождается ссылкой: D. Hilbert und W. Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik, Berlin, 1928, стр. 3. Но кому принадлежит последнее определение? Гильберту? Или он только разделяет эту точку зрения? Аморфное изложение вопроса о суждении льет воду на мельницу идеалистов.

Определение суждения—как высказывания, которое может быть либо истинным, либо ложным,— принадлежит Аристотелю, всемерно поддерживается и развивается нашими философами-материалистами. Имеет место ревизия аристотелевого определения суждения некоторыми представителями современной математической логики. Гильберт и Аккерман определяют суждение по Аристотелю, однако заменяют термин „истинное“ термином „правильное“,— отклоняясь тем самым в сторону идеализма, ибо под истинным суждением вслед за Аристотелем материалисты понимают не просто формально правильное, а верно отображающее действительность. Логисты же (Рёссель, Буркамп) заменили термин „суждение“ менее удачным термином .предложение".

2. В книге недостаточна историчность и есть исторические неточности. По поводу метода доказательства независимости аксиом Н. М. Бескин пишет: .Этот метод, указанный Гильбертом, заключается в следующем.. .* (стр. 23). Но наш „старейшина геометров* В. Ф. Каган в своей книге .Лобачевский** убедительно показывает,, что .для доказательства независимости постулата Гильберт следует тому пути, который был указан Лобачевским* (стр. 316).

Указывая на заслуги Д. Гильберта в разработке аксиоматики, Н. М. Бескин обходит молчанием капитальную работу В. Ф. Кагана .Основания геометрии*, по поводу которой покойный В. Н. Депутатов справедливо замечает: „Из ученых нашей страны, независимо от Гильберта и в другой форме, полную систему аксиом геометрии разработал В. Ф. Каган* («Математика в школе* 1938, № 2, стр. 6.)

3. В изложении Н. М. Бескина доказательства независимости системы аксиом выглядит совершенным и завершенным. В действительности же даже „самая постановка вопроса о независимости системы суждений еще нуждается в существенном уточнении“, .... до конца эту задачу нельзя еще считать решенной до настоящего времени* (В. Ф. Каган, Лобачевский, стр. 316). Причина этого, в частности, и в том, ...что самую независимость постулатов во всей их совокупности можно понимать различно. Нужно еще установить общую точку зрения на этот вопрос; это требует еще углубленной работы мысли в области логики* (там же),

4. Аналитический и синтетический методы, доказательств в их чистом виде хорошо анатомированы автором. К сожалению, рассмотрены только педагогические недостатки синтетического метода. Следовало бы обратить внимание и на то, что синтетический метод приучает к необходимой краткости доказательств, и аргументация, свойственная этому методу, категорически убедительна.

Не показана генетика методики доказательств применительно к изменяющемуся уровню развития учащихся.

Не бесполезно было бы также преподать читателям два совета Адамара по методике доказательства теорем:

а) в рассуждениях необходимо использовать условие теоремы и даже использовать его, вообще говоря, полностью;

б) необходимо заменять определяемые понятия их определениями.

5. Интересная точка зрения на общее понятие о подобии и достаточные признаки подобия фигур произвольного вида заслуживают большой методической полноты и четкости. Приведено определение подобия: .Если Л, В, С — три любые точки одной плоскости, а А\, Bv Ct—три соответственные точки другой плоскости, то треугольники ABC и i^Z^Cj подобны“ (сто, 156). Но нет предварительного разъяснения понятия .соответственные- точки. Далее: откуда следует достаточность сформулированных признаков подобия фигур произвольной формы? Вообще, желательна более подробная педагогическая разработка этой темы.

6. Автор переложил на плечи читателя рассмотрение вопроса о вписанных и описанных.

четырехугольниках (см. стр. 152). Но один вопрос здесь нельзя обойти. Как доказать теорему, обратную теореме о свойствах сторон описанного четырехугольника? Эта теорема не входит в программу, но это не препятствие для любознательного ученика. В стабильном учебнике нет доказательства этой теоремы. Доказательства, приведенные в прежних учебниках, логически не полноценны, как это показал Я. С. Дубнов. Доказательство, придуманное Я. С. Дубновым, основано на идее непрерывного изменения отрезка; оно было опубликовано почти четверть века тому назад и учителям мало известно. В учебнике методики должно бы найтись место для изложения и методического анализа доказательства Я. С Дубнова.

7. Справедливо отмечая, что не надо ставить перед собой цель-достичь абсолютной строгости в школьном курсе геометрии, Н. М. Бескин упрощает и формализует вопрос, рекомендуя для средней школы только .греческий* уровень геометрии. .Важно лишь не спускаться ниже известного уровня строгости. Это — тот уровень, который характерен для .Начал' Евклида* (стр. 25). „Евклид в своей теории площадей исходил из веры в существование площади, и мы считаем, что здесь, как и в других разделах элементарной геометрии, греческий уровень строгости является достаточным для средней школы* (стр. 190). Но действительней школьный уровень геометрии все-таки не адэкватен греческому. Современная методология геометрии, если ею владеет учитель, неизбежно оказывает воздействие на уровень школьной геометрии, возвышая его над греческим.

Автор .Методики“ и сам признает, что ,В разных разделах “курса мы соблюдаем больший или меньший уровень строгости* (стр. 199). Причем .меньшая строгость* не всегда предполагает отказ от современной концепции, но лишь некоторое педагогически целесообразное ослабление строгости путем, например, постулирования того, что доказуемо. Уровень школьного изложения отличается от греческого и в элементах теории пределов, и в вопросах конгруентности, подобия и подобного преобразования фигур. и в логической строгости определений, отчасти и в элементах теории измерения величин, а также « в изложении метрических зависимостей.

Излагая три точки зрения на метрические зависимости, Н. М. Бескин снова вынужден признать, что .нет необходимости доказывать неприменимость первой (т. е. евклидовой) точки зрения в школьном преподавании*.

8. В изложении вопроса о длине кривой автором допущена не свойственная ему непоследовательность. Определяя длину окружности, автор требует, чтобы каждая сторона вписанного многоугольника стремилась к нулю. Но выше (стр. 180) он разъяснял, что во избежание неясностей достаточно требовать, чтобы наибольшее звено стремилось к нулю. Вследствие этой оплошности определение длины окружности, приведенное Н. М. Бескиным, становится логически неполноценным, так как в процессе образования последовательности периметров вписанных в окружность многоугольников стороны их теряют свою индивидуальность, и сравнимы, следовательно, длины только характерных сторон, например наибольших.

Студенту и учителю следовало бы показать научное сопряжение определения длины окружности с современным определением предела числовой последовательности, а также и методику использования геометрического материала для пропедевтики понятия предела.

9. Вопросы функциональной зависимости на уроках геометрии слегка освещены только в главе о наглядной геометрии. А в систематическом курсе геометрии разве нет места этой идее или разве здесь нечего сказать методисту?

10. В одном из вопросов методики тригонометрии автор придерживается отживающих, архаических взглядов. Так, без всяких оснований Н. М. Бескин утверждает, что определение тригонометрических функций без введения специальных линий (как это сделано, например, в учебнике А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника „Тригонометрия“) не встречает серьезной поддержки у методистов. Ссылка на книгу В. В. Репьева „Методика тригонометрии“ явно недостаточна. Н. М. Бескин не учел опыт передовых учителей математики. Авторы пробного учебника по тригонометрии А. Ф. Бермант и Л. А. Люстерник получили о первом издании книги много положительных отзывов от учителей и учительских коллективов, проверивших книгу на практике. В настоящее время вышел в свет этот учебник во второй редакции, которая еще убедительнее показывает преимущества использования идеи направленного отрезка при построении курса тригонометрии.

11. Н. М. Бескин предлагает в начале курса геометрии за единицу измерения углов принимать прямой угол, а к градусной мере перейти значительно позже. Но зачем же начинать измерение углов с безжизненной единицы измерения и так долго ее придерживаться?

12. Автор „Методики“ преувеличивает роль принципах „Ученики должны давать определения сами“. „В самом крайнем случае учитель... должен прийти на помощь с готовой формулировкой“ (теоремы). Это — крайность. Достаточно, чтобы ученик был подготовлен к восприятию определения или теоремы.

3

Каждый учитель математики найдет в „Методике геометрии“ Н. М. Бескина полезный для себя материал. Один освежит свои методические воззрения, другой расширит кругозор, третий сверит свою практику с научной методикой, а иному и вся книга будет внове. Конечно, эта книга ответит не на все вопросы практики преподавания геометрии, но автор и не ставил себе такой задачи. Книгу эту следует считать только первой (научной) частью методики геометрии. Работа Н. М. Бескина требует продолжения для освещения вопросов, не рассмотренных в его книге, и для обобщения практики лучших учителей в форме конкретной разработки всех тем школьной геометрии.

О КНИГЕ С. И. НОВОСЕЛОВА „ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ“

Пособие для учителей. Издание второе, переработанное

В. Б. ГУРЕВИЧ (Москва)

В нашей основной учебной литературе для средней школы обратные тригонометрические функции и их свойства освещаются очень скупо. Как будто считается, что свойства обратных тригонометрических функций должны изучаться в высшей школе. Но в курсах для высших учебных заведений свойства обратных тригонометрических функций не рассматриваются.... и делаются ссылки на элементарную математику*.

Как нельзя более своевременно книга С. И. Новоселова восполняет этот пробел в нашей учебной литературе. Книга содержит систематическое и достаточно полное изложение свойств обратных тригонометрических функций. Тысячи читателей получат по ней правильное представление об этих функциях. И это тем более важно, что, как справедливо отмечает автор, относительно свойств обратных тригонометрических функций существует ряд распространенных заблуждений, которые вскрываются автором на страницах книги. Для многих будет неожиданным, что тождество arc sin (sin*) = X верно не при всяком х, а только при х, заключенном на сегменте [—“2~î *2~j* При ~2 < X < ~2~ имеет место другое тождество arc sin (sin х) = n — х. Точно так же тождество arc sin х—ятс cos*j/“l — х% имеет место лишь при 0<х<1. Если же — 1 < X < О, то arc sin X s= — arc cos y/l — x2 и т. п.

Задавшись целью дать достаточно полные сведения об обратных тригонометрических функциях, автор в начале книги знакомит читателя с общим понятием обратной функции и условиями ее существования, дает описание аркфункций и их графиков. В дальнейших главах рассматриваются тригонометрические операции над аркфункциями и, обратно, аркфункций от тригонометрических функций, соотношения между аркфункциями и теоремы сложения. Несколько особняком стоят две главы о тригонометрических уравнениях.

Характер изложения таков, что научность сочетается с четким, методически правильно построенным объяснением. Установление каждого свойства начинается с исследования вопроса на числовых примерах, которые сразу вводят в существо вопроса. На этих примерах тотчас же выясняется, какие трудности появятся при решении задачи в общем виде, и намечаются пути их преодоления. От этого изложение не только выигрывает в ясности, но читатель-учитель видит также, как надо рассказать этот материал учащемуся, чтобы он все хорошо понял и сознательно усвоил. Для лучшего уяснения вопроса автор часто пользуется остроумными графическими интерпретациями. Например, на чертеже 30 мы непосредственно усматриваем формулу:

cos (arc sin*) •= у 1 — *2.

Чертеж 33 с предельной ясностью показывает, что

Автор пользуется всякой возможностью, чтобы внести ясность в вопросы, в которых, по создавшейся плохой традиции, господствует путаница. Так, на стр. 13 отмечается ошибочность взгляда на радианную меру, как на „отвлеченную“, принципиально отличную от градусной. Никакого принципиального различия здесь нет, все дело только в выборе различных единиц измерения. Радианное измерение углов удобно только тем, что многие важные формулы при эюм измерении принимают наиболее простой вид. Жаль только, что это утверждение не пояснено на нескольких формулах. Найдем, например,

lim —. Пусть х° = а (радианов). Тогда

Далее, sin jc ■= cos x, если x — в радианах

(так как формула выводится на основе формулы

lim ■-=z 1, верной прл а — в радианах).

и т. п. Без этого пояснения (которого в нашей учебной литературе не найдешь), возможно, некоторые читатели до конца не разберутся в вопросе.

Очень важно замечание на стр. 9 об обратной функции: функция х = ср (у), обратная к функции у = /(jc), является ею и в том случае, когда в уравнении х = ср (у) не произведена замена буквы x на букву у (и наоборот). Такая замена делается только для стандартизации обозначений и для придания графику функции стандартного расположения относительно осей координат (функцию принято обозначать буквой ут а аргумент буквой х). Но эта замена вовсе не обязательна (распространенное представление об обязательности этой замены ошибочно), и это очень важно понять.

Весьма интересны исследуемые в книге функции. Графики этих функций содержат угловые точки, отрезки прямых, точки разрыва и в то же время аналитически очень просто выражаются через аркфункций. Функции, играющие значи-

* С. И. Новоселов, Обратные тригонометрические функции. Пособие для учителей, изд. 2-е, М. Учпедгиз, 1947.

тельную роль в теории рядов Фурье и имеющие „пилообразные“ графики, разрывные графики из отрезков прямых, выражаются через аркфункций такими простыми формулами, как arc sin (sin *), arc cos (cos jc), arctg(tg*) и т. д. Важные в ряде математических теорий полиномы Чебышева выражаются формулой cos (marc cos*).

Комбинируя функции arc sin (sin x) и т. д. с другими функциями, автор получает еще более примечательные функции. Много поучительного найдет читатель в исследовании и построении графиков этих функций

Книга, однако, не свободна от недостатков, к разбору которых мы переходим.

Нельзя согласиться с тем, что автор разделил непроходимой пропастью arc sin х и Arc sin x (и, соответственно, другие аркфункций), так что определения их, данные в книге, ничего общего не имеют. Получается, что это какие-то несравнимые величины, каждая sui generis. Между тем они связаны простым соотношением, которое и приводится на стр. 71:

Arc sin x = ( — 1)* arc sin x -f- n п.

Законно отказаться от многозначных функций действительного аргумента, но тогда следует рассматривать в соответствующих случаях несколько функций. И автор по существу это и делает (см. стр. 113, черт. 52). Надо прямо и указать, что Arc sin х есть совокупность функций, одна из которых есть arc sin *, и тогда не будет того разрыва между Arc sin х и arc sin *, который только затуманивает дело.

Есть еще одна возможность: вовсе отказаться от введения символов Arc sin х, Arc tgjc и т. д.

В книге в нескольких местах имеются излишне сложные, а иногда нечеткие рассуждения.

Теорема о необходимом и достаточном условии, чтобы два угла имели одинаковый синус (стр. 75), может быть доказана проще:

(1);

(2)

(**)

Объединяя формулы (*) и (**), имеем:

(***)

Уравнение (1) равносильно уравнению (2), следовательно, и и I/, удовлетворяющие условию (**•), являются решениями уравнения (1). Так как найдены все решения уравнения (1), то условие (***) является необходимым и достаточным, чтобы sin и был равен sinv [уравнение (1)].

Неясно и неточно разобраны примеры решения уравнений, содержащих аркфункций (стр. 102—105). Решая уравнение

« — arc sin x = arc cos x.

автор делает в этом уравнении замену п — arc sin x на arc sin x и получает уравнение arc sin x = = arc cos*. Читатель будет долго размышлять, на основании чего можно сделать такую замену в уравнении. На самом деле путем этой замены автор составляет новое уравнение, отличное от первоначального, что из текста совсем не следует. Приведя уравнения (4) и (5) к иррациональному уравнению х = yj\—*2 и найдя его корень х = , автор показывает, что этот корень является посторонним для уравнения (4) и не говорит, что он удовлетворяет уравнению (5). Для чего же тогда составлено было уравнение (5)?

На стр. 105 сказано, что корни уравнений (9) и (10) удовлетворяют одному и тому же квадратному уравнению x (х + = 0. Это желательно уточнить: один из корней квадратного уравнения х = — |/з удовлетворяет уравнению (10), а другой x = 0 ему не удовлетворяет, Наоборот, уравнению (9) удовлетворяет х = 0, а другой корень квадратного уравнения x = — уз ему не удовлетворяет.

Аргумент тригонометрической функции рассматривается в книге (стр. 13—14) как угол или как дуга, или, наконец, как число, и указывается, что .при рассмотрении тригонометрических функций, как функции числового аргумента, условились в качестве единицы измерения дуг и углов принимать радиан“. Хотя далее указано, что выбор единицы аргумента принципиального значения не имеет, следовало бы, чтобы внести полную ясность, прямо сказать, что как при радианном, так и градусном измерении можно рассматривать тригонометрические функции, как функции числового аргумента. Но ввиду различия в выборе единицы измерения угла получаются при обоих измерениях различные таблицы значений каждой функции, соответствующих одним и тем же численным значениям аргументов. Поэтому аналитическое представление функций получается различное; если при радианном измерении угла функцию синус обозначим sin*, то соответствующая функция при градусном измерении угла примет вид

Рассмотрение тригонометрической функции как функции угла или дуги не согласуется с данным в книге определением функциональной зависимости как соответствия двух числовых множеств. Необходимо в связи с этим дать более общее определение функциональной зависимости как соответствия элементов любых двух множеств.

При выяснении поведения функции sin* на сегменте — ^ ; “g“ I сказано, что sin * возрастает на этом сегменте и что

(стр. 15). На основе непрерывности sin * отсюда следует, что синус пройдет всякое промежуточное значение £, заключенное между — 1 и 1, а из монотонности синуса в этом промежутке

(в силу доказанной на стр. 10 книги общей теоремы) sin X примет значение, равное kt лишь при одном значении аргумента х. О непрерывности синуса в связи с этим свойством следует упомянуть хотя бы в сноске, учитывая, что читатели книги в большинстве знакомы с этим понятием. Утверждение .на сегменте £—-j-; yj-j синус возрастает от — 1 до 4- 1“ неудачно названо .условным* (в том смысле, что подразумевается непрерывное изменение синуса).

Формулы соотношений между аркфункциями имеют довольно сложный вид, и поэтому при решении задач с числовыми заданиями аргументов автор вполне правильно рекомендует пользоваться не формулами, а методами их получения. Но иногда эта рекомендация полезна и при исследовании аркфункций с буквенными аргументами. Так, исследуя функцию

имеем:

Так как то — 71 <агс tg X -f- arc tg ^ _|_ x < тс, и из уравнения tg у = 1 находим на этом сегменте у1 = и у3 = — -J- тс. Если arc tg х и arc tg отрицательны (это будет при x < — 1), то у=—-т тс Если же -1, то либо одно из слагаемых, либо оба слагаемых положительны, а так как отрицательное слагаемое не может быть меньше, чем —, то у Ф — -у тс, и, следовательно, у = -т .

Итак, если если х>— '.

При решении таких числовых примеров: „найти 7, если sin*r = у- и ~2 Kt^~2 (стр. 23) лучше пользоваться не готовыми формулами, а решить задачу непосредственно, применяя общий метод.

Автор избегает по возможности перехода от аркфункций к прямым тригонометрическим функциям, что составляет стиль книги и, это вообще говоря, неплохо. Но в отдельных случаях такой переход к прямым функциям облегчает и уясняет исследование. Так, определяя интервал для arc sin x -J- arc sin у по заданным значениям хну (стр. 53—55) полезно положить асе sin х = о; и arc sin_y = ß, откуда sin а = х; sin ß =у. Рассмотрим более сложный случай, когда х и у — одного знака или один из них или оба равны нулю (случай, когда хну разных знаков, разрешается сразу). Пусть x>0 иу>0. Тогда 0 < а < , тс 0<ß < у , откуда 0 < a i ß < тс. При возрастании хну значения а и ß монотонно возрастают (так как оба эти угла в первой четверти).

Когда а + ß = ~2~ ' то

Так как то при

Обратно, если х*-\-у2 *■ 1» то

JC2 = 1 —у2

или

sin2 а = 1 — sin« ß — cos« ß, откуда sin а = cos ß (так как а и ß в первой четверти), и а + ß = y •

Пусть теперь дано х2-\-у2<^\. В уравнении х*-\-у2=\ значение одной из букв можем выбрать такое же, как в данном неравенстве. Так как

при

то из монотонного возрастания а и ß с возрастанием хну следует тогда, что при *2 + у2<1

имеем а -f- ß < 2“ • Точно так же устанавливаем, что при *2+_у2> 1 имеем a + ß> 2 . Итак, если

если

Если д:<0 Hjy<0, то — *>0 и— v > 0 и все рассуждение остается в силе для —х и — у. А так как (— х)2А- (—у)2 =хъ+у*, то выводы предыдущего случая не изменяются. Получаем общий критерий для аргументов х и у одного знака.

Аналогичные рассуждения можно провести для сумм других аркфункций.

Книга не свободна от неточностей. Определения возрастающей и убывающей функции (стр. 7) неточны: .функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции: /(*])</(*2)» есЛ1* -*1<-*2*« Из определения получается, что, если из соотношения Х\ < х2 одной пары значений вытекает/(*])</(лг2), то функция, f(x) уже есть возрастающая, что, конечно, неверно. Необходимо в определении указать, что соотношение: f(xi) < f(xt) ПРИ х \ <-*2 должно осуществляться для любой пары чисел Х\ и хъ принадлежащих отрезку (следует также сказать, что это есть определение возрастания функции на отрезке).

На стр. 40 сказано: .функции sin (marc sin х)\ cos (marc tg x)... могут быть выражены алгебраически“. Это неясно. Надо указать, что эти функции на отдельных сегментах могут быть представлены различными алгебраическими выражениями от X.

На стр. 53: 9х и у—числа разных знаков, причем (?) одно из них или оба могут равняться нулю“. Если x и у — числа разных знаков, то нл одно из них не может быть равно нулю.

Еще некоторые неточности были указаны выше. Имеются и технические недочеты.

Все указанные дефекты легко исправимы. Надо пожелать, чтобы в следующем издании все недочеты в этой нужной и хорошо составленной книге были исправлены.

О ФОРМАЛИЗМЕ В ШКОЛЬНОМ УЧЕБНИКЕ ТРИГОНОМЕТРИИ*

О. И. КИСЛОВСКАЯ (Шадринск)

В ряде появившихся в последнее время статей наш школьный учитель получает главным образом указания на способы изжития формализма в навыках учащихся и в его собственной работе.

Нам кажется уместным затронуть также вопрос о формализме некоторых школьных учебников. Ведь если мы требуем от ученика вдумчивого отношения к предмету, то ученик вправе требовать доброкачественного изложения материала в учебнике.

В нашей средней школе прочно укоренился учебник по тригонометрии Н. Рыбкина, который импонирует главным образом своей краткостью.

Мысль о том, что учебник Рыбкина страдает схоластичностью и формализмом изложения, что он не удовлетворяет потребностям современной школы, — не нова: вдумчивый учитель вынужден постоянно обращаться к другим пособиям. Однако эта похвальная инициатива учителя имеет своей обратной стороной то, что ученик еще в большей степени чувствует себя беспомощным, теряет веру в свои силы и привыкает не развивать свое упорство в деле овладения учебным материалом, а ждать дополнительных разъяснений учителя.

Приведем несколько примеров: в § 63 на стр. 57 в учебнике Рыбкина мы читаем: .Введем вспомогательный угол для A -f- В и А — В% обозначая через А и В какие угодно выражения.

Имеем А + В = Л ( 1 + -^А; здесь принимаем за тангенс некоторого угла, что возможно, так как значением тангенса может быть любое число“.

Вооруженного этим кратким напутствием ученика отсылают к задачнику Рыбкина, где на стр. 29 § 11 он получает в качестве упражнений не менее скудные и формально составленные примеры: преобразовать с помощью вспомогательного угла

Это все, что получает наш ученик по данному вопросу.

Для сравнения обратимся к учебнику тригонометрии Шмулевича (§ 17, стр. 183). После подробного изложения того же метода вспомогательного угла мы читаем: ,П; и помощи подобного преобразования всегда возможно привести к логарифмическому виду любой двучлен, а применяя этот же способ несколько раз, и любой многочлен.

Но все же на практике этот прием редко применяется. Дело в том, что полученная таким путем формула слишком сложна, и для ее вычисления понадобится произвести значительно больше действий, чем того требует непосредственное вычисление каждого из слагаемых А и В в отдельности и подсчет их общей суммы.

В указанном общем методе возможны иногда и кое-какие упрощения, а именно: 1) если известно, что слагаемые А и В имеют одинаковые знаки, 2) ес;;и известна относительная величина данных двух слагаемых и т. д. Указанные частные случаи хотя и дают более простые результаты, чем общий прием, все же, в конце концов, ведут только к усложнению вычислений и поюму на практике почти никогда не применяются.

Но бывают случаи, когда введение вспомогательного уг.;а действительно приносит существенную пользу. Это имеет место, если для преобразования задана алгебраическая сумма синуса и косинуса одного и того же угла с различными при них коэфициентами. Таковы, например, выражения:

Затем следует подробный разбор решений наиболее типичных примеров.

Мы видим воочию, какой ценой достигается пресловутая .краткость“ учебника Рыбкина, и склонны все менее и менее бояться объемистых учебников. Спрашивается, почему ценными методическими замечаниями может обладать один лишь учитель, вынужденный в силу создавшегося положения вещей держать ученика на рыбкинской мертвечине?

* От редакции. Настоящая статья печатается в порядке обсуждения школьных учебников.

Та же картина имеет место и при изложении некоторых искусственных приемов приведения выражений к виду, удобному для логарифмирования. После конкретных указаний и разбора 5 примеров, 25 упражнений, предложенных Шмулевичем, решаются быстрее, чем 8 примеров, данных Рыбкиным без всяких указаний (стр. 29, №№ 50-58, § 11).

Приведем еще пример схоластики и формализма в учебнике Рыбкина при изложении им теории обратных тригонометрических функций:

„Пусть в равенстве slnjc=j>, — читаем мы у Рыбкина (§ 49, изд. 1928 г.),— через х обозначено так называемое отвлеченное выражение дуги, положительное или отрицательное. Если рассматривать ху как обыкновенное алгебраическое количество, без мысли об измерении угла, то у нас будет зависимость между двумя отвлеченными алгебраическими количествами, установленная при помощи дуги круга и условленных линий при нем, а именно: аргумент переводится на дугу, принимая за единицу радиус круга, а значение функции дается по той же единице — определенной линией в круге. С такой точки зрения, когда sin л:, cos Ху... не служат целям тригонометрии, они называются по своей связи с кругом круговыми функциями. Они часто применяются в высших отделах математики“.

К сожалению, это рыбкинское определение обратных тригонометрических функций, выброшенное из последующих изданий, продолжает довлеть над школьным курсом тригонометрии.

Переработка учебника выполнена больше чем поверхностно, и лица, производившие переработку, не обратили внимания или не придали значения тому, что примеры и упражнения к отделу: .Обратные тригонометрические функции“, данные в § 15 .Сборника задач по тригонометрии* Рыбкина, составлены в строгом соответствии со старым определением:

.Пусть в равенстве sin;t=.y через х обозначено так называемое отвлеченное выражение дуги“. В самом деле: ни один из гримеров этого параграфа не имеет градусного выражения дуги. Пусть для лиц, знающих математику, это — мелочь, пустяк, но эта мелочь создает сумятицу в уме школьника, не освоившего еще толком нового понятия обратных тригонометрических функций.

У учащегося складывается впечатление, что .аркусы“ должны непременно сопровождаться радианным измерением углов, что аркусы — это что-то весьма сложное и заумное, не связанное со знакомой ему задачей нахождения угла по данному значению тригонометрической функции, и уж никак в его сознании не укладывается мысль, что школьные четырехзначные математические таблицы, которые он держит чуть ли не каждый день в руках, насыщены арксинусами и арккосинусами наравне с обычными синусами и косинусами.

Когда автору настоящих строк довелось как-то сказать об этом в беседе с десятиклассниками, послышалась реплика:

,В таблицах не аркусы, а антилогарифмы“.

.Ну, хорошо,—ответил учитель, — а если вы пришли не к логарифму числа 'или синуса, а к натуральному синусу, то что тогда вы будете находить по таблицам?“

„Антисинус“, — последовал ответ...

Ученик готов придумывать собственную терминологию, лишь бы только не произносить заумного, как ему кажется, слова .арксинус“.

Схоластический, механистический отрыв формы от содержания имеет место в учебнике Рыбкина на продолжении чуть ли не всего курса. Так, например, в §§ 10, 27, 33, 47 (изд. 1928 г.) и в §§ 10, 26, 32, 47 (изд. 1946 г.) под разными соусами преподносится одна и та же задача о нахождении дуги по данной тригонометрической функции, но ни разу не употребляется термин „аркус“, не дается понятия аркфункций, ни разу не говорится о тесной связи этой задачи с теорией обратных тригонометрических функций.

Быть может, математически подготовленный читатель предчувствует будущие аркусы в каждой формуле рыбкинского §.47, но школьник, еще не привыкший читать .между строк“, ничего не видит в § 47, кроме обычных алгебраических неизвестных, и не связывает формул общего вида углов, соответствующих данному значению тригонометрических функций, с рыбкинское теорией обратных тригонометрических функций.

Автору настоящих строк пришлось однажды в беседе со школьниками X класса сказать, что в сущности вы, десятиклассники, уже в скрытом виде занимались отысканием как „малых“ (задача § 10 учебника Рыбкина), так и „больших“ (§ 47 того же учебника) аркусов, на что послышался энергичный протест всего класса, что, мол, в IX классе этих „ужасов“ у них не было. И мало помогают делу позднейшие попытки редакторов связать концы с концами в рыбкинской теории обратных тригонометрических функций. Мало помогает вставленная позднее фраза (§ 49): .Формулы* взяты из § 47 (.как взяты, — спрашивает ученик,— когда их там нет“), но там еще не употреблялись обозначения обратных тригонометрических функций“. Не помогают и новые (взамен выброшенного рыбкинского) определения обратных тригонометрических функций: „Если мы имеем одно уравнение с двумя неизвестными (читаем мы во вставленном позднее § 48 учебника Рыбкина), то из него, вообще говоря, можно определить любое неизвестное через другое. Например, если мы имеем

— это есть первое впечатление, которое ученик получает при знакомстве с новым, трудным понятием обратных тригонометрических функций в учебнике Рыбкина.

Очевидно, редакторы намеревались предпослать понятию обратных тригонометрических функций понятие обратных функций вообще^ И, действительно, было бы вполне уместно предложить здесь вниманию ученика знакомые ему функции: у = x2, обратную ей функцию х = ± УУуУ1***1* и обратную ей х — lgav, и т. л. Было бы также уместно начертить графики этих функций. На графиках можно было бы познакомиться с понятием монотонного возрастания и убывания функций, с понятием однозначности и многозначно-

сти функций, с понятием непрерывности функций и подготовить почву для четкого представления об интервалах главных значений аркфункций, а также для выяснения кажущейся ошибки в старом издании Рыбкина, где предлагалось считать интервал главных значений для котангенса от — *2“ до+ несмотря на то, что в этом интервале функция arc ctgy испытывает разрыв. Но ничего этого нет у Рыбкина. И благие начинания его редакторов в том виде, в каком они даны в настоящем школьном учебнике, и предписание в издании 1946 г. считать интервалом главных значений для котангенса не ^— -у, + a (G», в то время как ответы в задачнике составлены в соответствии со старым интервалом I — -j-, -f- -g-1 лишь запутывают ученика.

Нужно отметить, что программы по тригонометрии для десятиклассников, сдающих экзамены на аттестат зрелости, составлены в соответствии с общей концепцией учебника Рыбкина. И не случайны наиболее часто задаваемые на консультации перед экзаменом вопросы: «Чем кончать билет № 4 или № 5 и с чего начинать билет № 20 или № 21е. Ведь если дополнительные разъяснения учителя, данные им в году, помогли ученику связать в единое целое задачу нахождения общего вида углов по заданной тригонометрической функции с теорией обратных тригонометрических функций, то ученик, готовящийся к связному ответу на экзаменах, несколько недоумевает, почему вопрос билета № 4: .Дать общий вид углов, соответствующих данному значению tg;c = y* (§ 47 учебника Рыбкина), не разрешает ему закончить свой ответ введением понятия *=Arctg_y, а билет № 20 не содержит в себе формулы общего вида углов, на которую опирается его первый вопрос .Функцияу=Arc tgx* (§§ 48, 49 того же учебника).

Когда в одной школе ученики начинали изложение билетов №№ 18, 19, 20, 21 ссылкой на полученные в билетах №Л6 2, 3, 4, 5 формулы, то экзаминаторы даже выразили некоторое сомнение, не являются ли эти ссылки свидетельством того, что ученики не знают вытянутых ими билетов.

В заключение остановимся на существующем мнении, что обратные тригонометрические функции не имеют под собой почвы в средней школе. На стр. 306 своего „Справочника“ проф. М. Я. Выгодский пишет: .... вообще в пределах элементарной математики введение этого понятия по существу не оправдывается. В высшей же математике арксинус часто появляется как необходимый результат некоторого действия (интегрирования), и именно здесь возникло понятие арксинуса и его обозначения'.

Не отрицая того, что обратные тригонометрические функции играют особо важную роль в высшей математике, мы склонны тем не менее думать, что и в средней школе они могут (при правильной постановке их изучения) иметь большое общеобразовательное значение.

Те трудности, которые испытывает ученик на первых порах знакомства с аркфункциями, укрепляют в его сознании понятия прямой и обратной функций.

Но нужно также приучать ученика видеть в аркфункциях присущую им специфику обычных дуг: важно довести до сознания учащегося, что согласно с самим определением аркфункций всегда имеют место тождества:

по свойству дополнительных дуг и т. д.

Далее, для вдумчивого ученика является даже некоторым .математическим событием* возможность представления хорошо знакомых ему тождеств

например, в таком виде:

И если ученику понадобится проверить правильность написанных тождеств, то во многих случаях ему придется восстановить в своей памяти таблицу выражения любых тригонометрических функций (прямых) через одну из них, что будет хорошим повторением всего пройденного материала.

Нечего и говорить о том, что в школьной практике „аркфункций“ играют также существенную роль при решении тригонометрических уравнений и вообще являются логическим завершением тригонометрии, одной из наиболее стройных и увлекательных дисциплин элементарной математики.

НОВАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ

В. А. НЕВСКИЙ (Москва)

Первое полугодие 1947 г.

I. Из истории математики. Советские математики. Классики

Гнеденко Б. В., Очерки по истории математики в России, М.—Л., Гостехиздат, 1946, 247 стр. с илл. Тираж 50 000 экз. Цена в перепл. 7 р. 50 к.

Содержание. Математические познания в России до начала XVIII века. Научная математическая работа в России в XVIII и XIX веках (Эйлер, Н. И. Лобачевский, Петербургская математическая школа, М. В. Остроградский, П. Л. Чебышев, Л. А. Марков, А. И. Ляпунов, С. В. Ковалевская, Московское математическое о-во). Развитие математики в XX веке (математические центры Советского Союза. Московская математическая школа. Советская школа теории чисел. Советская школа теории вероятностей).

Книга рассчитана на широкий круг читателей.

Гнеденко Б. В., Краткие беседы о зарождении и развитии математики, М. — Л., изд. Академии педагогических наук РСФСР, 1946, 40 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена 1 р. 20 к. (Научно-исследовательский институт методов обучения. Педагогическая б-ка учителя.)

Брошюра содержит 21 очерк по истории математики в России и предназначена для использования в школьном преподавании.

Лобачевский Н. И., Полное собрание сочинений, том I. Сочинения по геометрии. Геометрические исследования по теории параллельных линий. О началах геометрии. Главн. редактор В. Ф. Каган, М. —Л., Гостехиздат, 1946, 415 стр. с черт, и 6 л. илл. Тираж 5000 экз. Цена в перепл. 19 руб.

Оба сочинения Н. И. Лобачевского сопровождены комментариями.

Лобачевский Н. И., Алгебра или вычисление конечных. Отрывки. (.Успехи математических наук“, новая серия, т. I, вып. I, 1946, стр. 22-26).

Чебышев П. Л., Избранные математические труды, М. — Л., Гостехиздат, 1946, 200 стр. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 8 руб. (Классики естествознания.)

В книге собраны „те из статей П. Л. Чебышева, которые наиболее коротким путем и в то же время достаточно полно и многосторонне рисуют важнейшие идеи и результаты знаменитого математика“ (от издательства). В начале помещена биография П. Л. Чебышева, написанная в 1895 г. его учеником акад. А. М. Ляпуновым.

Лурье С. Я., К вопросу о возникновении алгебраического мышления (.Успехи математических наук“, новая серия, т. I, вып. I, 1946, стр. 248-257).

Развернутая рецензия на книгу М. Я. Выгодского „Арифметика н алгебра в древнем мире“, М. 1941.

Александров П. С, Н. И. Лобачевский (,Успехи математических наук“, новая серия, т. I, вып. I, 1946, стр. 11—14).

Значение неевклидовой геометрии Лобачевского. Основные даты жизни Лобачевского.

Лобачевский Н. И., Мысли и высказывания („Успехи математических наук“, новая серия т. I, вып. I, 1946, стр. 15—21).

Выдержки из разных работ Лобачевского.

Ефимов Н. В., Литература о Лобачевском (.Успехи математических наук,“ новая серия т. I, вып. I, 1946, стр. 258-262).

Краткий обзор новых книг и сборников, вышедших в 1943-1945 гг. (в связи с 150-летием со дня рождения Лобачевского).

Каргин Д. И., Гаспар Монж — творец начертательной геометрии (1746—1818. К 200-летию со дня рождения). (.Природа-, 1947, № 2, стр. 65—73).

Александров П. С, Советская математика в предстоящем пятилетии. (.Вестник Академии наук СССР“ № 10, 1946, стр. 48—60).

Основные темы исследовательских работ по математике Математического института Академии наук СССР в новой сталинской пятилетке, в связи с общим обзором работы советских математиков.

Стеклов В. А., Теория и практика в исследованиях Чебышева (.Успехи математических наук“, новая серия, т I, вып. 2 (12), стр. 4—11).

Речь, произнесенная в 1921 г. в Академии наук СССР, когда отмечалось 100-летие со дня рождения великого русского математика П. А. Чебышева (1821—1894).

Смирнов В. И., Владимир Андреевич Стеклов (.Успехи математических наук“, новая серия“, т. I, вып. .3—4, 1946, стр. 17—22).

Краткий биографический очерк знаменитого русского математика В. А. Стеклова (1863—1926).

Кузьмин Р. О., Алексей Николаевич Крылов как математик (.Природа“, 1946, № 8, стр. 81—84).

Смирнов В. И., Научное творчество Алексея Николаевича Крылова (.Успехи математических наук“, новая серия, т. I, вып. 3—4 (13 — —14), 1946, стр. 3—12).

Общая характеристика математических работ А. Н. Крылова.

Бахвалов С. В., Нил Александрович Глаголев (1888—1945). Некролог. (.Успехи математических наук“, ,новая серия, т. I, вып. 2 (12), 1946, стр. 43-47).

Краткий очерк жизни, педагогической и научной работы Н. А. Глаголева.

Никольский С. М., Труды Математического института им. В. А. Стеклова (.Успехи математических наук“, новая серия, т. I, вып. 5—6 (15-16), 1946, стр. 244-246).

Обзор изданий 1945—1946 гг.

Павел Сергеевич Александров. К 50-летию со дня рождения (.Успехи математических наук“, новая серия, т. I, вып. 5—6(15—16), 1946, стр. 231-233).

Очерк научной деятельности П. С. Александрова (род. 7 мая 1896 г.).

Александр Як овлевич Хинчин (.Успехи математических наук“, новая серия, т. I, вып. 2 (12), 1946, стр. 192—193).

Очерк жизни и научной работы А. Я. Хинчина в связи с 50-летием со дня рождения (род. 17 авг. 1894 г.).

Николай Григорьевич Чеботарев (.Успехи математических наук“, новая серия, т. I, вып. 2 (12), 1946, стр. 189-191).

Очерк жизни и научной деятельности Н. Г. Чеботарева в связи с 50-летием со дня рождения (род. 3 июня 1894 г.).

II. Учебники и учебные пособия

Берман Г. Н., Сборник задач по курсу математического анализа для втузов. Под ред. проф. А. Ф. Берманта, М. — Л., Гостехиздат, 1947,404 стр. с черт. Тираж 50 000 экз Цена в перепл. 11 руб.

Настоящий сборник задач составлен применительно к курсу математического анализа проф. А. Ф. Берманта.

Виноградов С. П., Краткий курс высшей математики. Утвержден Министерством просвещения РСФСР в качестве учебника для учительских институтов, изд. 9 е, переработанное Б. В. Кутузовым, М., Учпедгиз, 1946, 296 стр. с черт. Тираж 50 000 экз. Цена в перепл. 10 р. 80 к.

В настоящем издании .Краткий курс аналитической геометрии и дифференциального и интегрального исчислений* С. П. Виноградова переработан применительно к программе учительских институтов.

Тулинов Б. А. иЧекмарев Я. Ф., Арифметика. Для педагогических училищ. Утвержден Министерством просвещения РСФСР в качестве учебного пособия для педагогических училищ, Ун Учпедгиз, 1946, 300 стр. с черт. Тираж 150000 эк.. Цена в перепл. 5 р. 75 к.

Лаженицын Г. В., Краткий курс математического анализа, Л., Военно-морская академия кораблестроения и вооружения им. А. Н. Крылова, 1946. Часть I, 149 стр. Часть II, вып. 1, 159 стр.; вып. II, 276 стр.; вып. III, 312 стр.

Арустамов Х. А., Сборник задач по начертательной геометрии. С решениями типовых задач. Допущен ВКВШ при Совете Министров СССР в качестве учебного пособия для втузов. М., Машгиз, 1946,374 стр. с черт. Тираж 10 000экз. Цена в перепл. 31 руб.

Раскин В. И., Правила пользования логарифмической линейкой. Допущено ГУУЗ МУМ СССР как учебное пособие для студентов Московского металлургического техникума, М. 1946, 15 стр. и 1 л. илл. Тираж 2800 экз. Цена 2 р. 50 к.

III. Методика математики

Труды научно-исследовательского института методов обучения Академии педагогических наук РСФСР. Отв. редактор член-корреспондент АПН РСФСР проф. В. Л. Гончаров, М.—Л., изд. Академии педагогических наук РСФСР, 1946, 167 стр. с черт. Тираж 5 000 экз. Цена 10 руб. (.Известия Академии педагогических наук РСФСР*“ вып. 6).

Книга отражает исследовательскую работу Кабинета методики математики Института методов обучения, выполненную им на протяжении 1945 г. В ней помещено 6 статей.

1) И. В. Арнольд, Принципы отбора и составления арифметических задач (стр. 7—28). 2) В. Л. Гончаров, Арифметические упражнения и функциональная пропедевтика в средних классах школы (стр. 29—58). 3) Я. С. Дубнов, Геометрия в семилетней школе (стр. 59—76) 4) Н. Ф. Четверухин, Вопросы методологии и методики геометрических построений в школьном курсе геометрии (стр. 77—94). 5) А. И. Фетисов, Учение о тригонометрических функциях в курсе средней школы (стр. 95—134). 6) Н. П. Никитин, Съезды преподавателей математики в России. (Историко-библиографический очерк), стр. 135-167.

В начале сборника помещены два предисловия, дающие общую оценку напечатанных в нем работ (проф. В. Л. Гончарова и проф. А. Я. Хинчина).

Перепелкин Д. И., Геометрические построения в средней школе, М. — Л., изд. Академии педагогических наук РСФСР, 1947, 84 стр. с черт. Тираж 15 000 экз. Цена 2 р. 50 к. (Институт методов обучения. Педагогическая б-ка учителя).

Брошюра состоит из трех глав. Первая глава охватывает общие вопросы темы (геометрические инструменты и их роль, общая логическая схема решения задач на построение), вторая главз отведена понятию геометрического места и его применению, третья — построениям, связанным с учением о пропорциональности отрезков (метод подобия, алгебраический метод).

Шеварев П. А., Опыт психологического анализа алгебраических ошибок (.Известия Академии педагогических наук РСФСР“, 1946, вып. 3, стр. 135—180).

Работа представляет попытку дать психологический анализ некоторых алгебраических ошибок.

Менчинская Н. А., Интеллектуальная деятельность при решении арифметических задач (.Известия Академии педагогических наук РСФСР“, 1946, вып. 3, стр. 99—134).

В статье дается характеристика некоторых существенных сторон мыслительной деятельности при решении арифметических задач.

В помощь учителю. Сборник методических материалов для учителей V-X классов средней школы, вып. I (XII), Красноярск 1946, 80 стр. с черт. Тираж 2 000 экз. Цена 5 руб. (Красноярский краевой институт усовершенствования учителей).

По вопросам преподавания математики в сборнике даны две статьи: Н. Д. Шевчугов, К изучению темы „Делимость чисел“ в V классе (стр. 23—30) и 2) доц. И. С. Соминский, О работе учащихся шестого класса в связи с изучением первых теорем геометрии (стр. 31—45).

Вaхтин Б. М.. К вопросу о развитии пространственных представлений учащихся при изучении геометрии в средней школе. (.Известия Воронежского Государственного педагогического института“, т. VIII, вып. I, 1946, стр. 22—32).

Марков К. А., Внеклассная работа по математике. (Сборник „Внеклассная работа в школе“, вып. I, Ярославль 1946, стр. 5—15).

Опыт работы математического кружка в V и VI классах Ярославской средней школы имени Карла Маркса. На стр. 47 дан список литературы для математического кружка (18 назв.).

Ерофеев Б., Наглядный вывод формул поверхности и объема шара. (.Производственное обучение- № 10—11, 1946, стр. 43).

Из опыта Бакинского ремесленного училища № 1 (по указаниям „Наглядной геометрии“ А. М. Астряба).

IV. Элементарная математика Научно-популярные книги

Маркушевич А. И., Ряды. Элементарный очерк, изд. 2-е, исправл. и дополн, М., Гостехиздат, 1947, 156 стр. с илл. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 3 руб.

Книга рассчитана на учащихся старших классов средней школы.

Берман Г. Н., Приемы быстрого счета, изд. 2-е, Гостехиздат, 1947, 142 стр. Тираж 100030 экз. Цена 1 р. 50 к.

„Эта книга не является учебником. Она не претендует ни на полноту, ни на систематичность изложения. Здесь собраны простые приемы, которые помогают ускорить вычисления, ускорить не какие-нибудь сложные расчеты, а самые обычные числовые выкладки, с которыми постоянно приходится иметь дело в быту и, особенно, на производстве“. ( автора.)

Хинчин А. Я., Три жемчужины теории чисел, М. - Л., Гостехиздат, 1947, Тираж 25 000 экз. Цена 1 р. 50 к.

Книга посвящена трем теоремам арифметики, бывшим, несмотря на свою кажущуюся простоту, предметом усилив многих крупных ученых.

Панов Д. Ю., Вычисление площадей, М.—Л., Гостехиздат, изд. 2-е, 1946, 64 стр. с илл. Тираж 25 000 экз. Цена 1 руб.

Популярная книга, доступная для учащихся старших классов.

Панов Д. Ю., Счетная линейка, изд. 5-е, М.—Л., Гостехиздат, 1946, 127 стр. с чертеж, и 4 огд. л. черт. Тираж 75000 экз. Цена 3 руб.

Перельман Я. И., Живая математика, Математические рассказы и головоломки, изд. 2-е, М.—Л., Гостехиздат, 1946, 184 стр. с илл. Тираж 75 000 экз. Цена 3 руб.

Венсан А. В., Математика в артиллерии. Пособие для учителей средней школы, М.. Учпедгиз, 1946, 44 стр. с черт. Тираж 10000 экз. Цена 75 коп.

Книга ставит своей целью показать на ряде конкретных примеров применение элементарной математики к решению разнообразных практических задач из области артиллерии.

Шклярский Д. О., Московский математический кружок („Успехи математических наук“, новая серия, т. I, вып. 3—4 (13-14), 1946, стр. 112—217).

67 задач по элементарной математике.

Задачи эти, в большей части оригинальные, предлагались на математических олимпиадах и в школьном математическом кружке при Московском университете в 1937—1941 гг.

Хургин Я. И., Школьный математический кружок (.Успехи математических наук,“ новая серия, т. I, вып. 3—4 (13—14), 1946, стр. 218— 220).

Обзор работы школьного математического кружка при Московском университете за 1934/35-1944/45 гг.

Гальперин С. А., Московская математическая олимпиада школьников (апрель 1946). (.Успехи математических наук“, новая серия, т. I, вып. 3-4 (13-14), 1946, стр. 206-211)

Обзор результатов 9-й Московской математической олимпиады школьников. Приведены 20 задач, предлагавшихся на олимпиаде.

V. Книги по различным вопросам высшей математики

Лаврентьев М. А., Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики. М.—Л., Гостехиздат, 1946, 159 стр. с черт-Тираж 8 000 экз. Цена 6 руб. (Физико-математическая б-ка инженера).

Карман Т. и Био М., Математические методы в инженерном деле. Перев. с англ. М. Г, Шестопал, под ред. А. М. Лопшица, М.—Л., Гостехиздат, 1946, 423 стр. с черт. Тираж 8 000 экз Цена в перепл. 2 у руб. (Физико-математическая б-ка инженера).

Михлин С. Г., Приложения интегральных уравнений к некоторым проблемам механики, математической фишки и техники. М.—Л., Гостехиздат, 1947, 304 стр. с черт. Тираж 8 000 экз. Цена в перепл. 10 руб. (Физико-математическая б-ка инженера).

Хинчин А. Я., Восемь лекций по математическому анализу, изд. 2-е, М.—Л., Гостехиздат, 1946, 232 стр. с черт. Тираж 20 000 экз. Цена 9 р. 50 к.

Второе издание отличается от первого лишь немногими изменениями.

Сретенский Л. Н., Теория ньютоновского потенциала, M—Л., Гостехиздат, 1946, 318 стр. с черт. Тираж 3 000 экз. Цена в перепл. 17 р. 50 к.

Книга посвящена изложению теории ньютоновского потенциала и теории гармонических функций в пространстве.

Люстерник Л. А., Топология функциональных пространств и вариационное исчисление в целом, изд. Академии наук СССР М.—Л., 1947, 100 стр. с черт. Тираж 2 000 экз. Цена 6 руб. (Труды Математического института им. В. А. Стеклова.)

Кузьмин Б. С, Основы теории ошибок измерений (Военно-топографическое управление Генерального Штаба Вооруженных сил СССР), М., Воениздат, 1946, 116 стр. Цена в перепл. 4 руб.

Власов В. Г., Интегральное интерполирование и некоторые его приложения, М.—Л., Военмориздат, 1946, 263 стр. с черт. Цена в перепл. 22 руб. 50 к.

Немчинов В. С, Полиномы Чебышева и математическая статистика, М, 1916, 139 стр. с портр. и 7 л. табл. Тираж 3 000 экз. Цена 11 руб. (Институт Академии наук СССР, Московская ордена Ленина с.-х. академия им. К. А. Тимирязева).

VI. Издания для заочных учебных заведений

Филичев С. В., Рецензирование контрольных работ по математике. (В брошюре: .Рецензирование контрольных работ по русскому языку и математике заочников педучилищ“, М., Учпедгиз, 1947, стр. 32-46.)

Программы и методические указания для заочников педагогических институтов.

Физико-математический факультет. Высшая алгебра (автор методических указаний доц. Л. Я, Окунев), изд.-во „Над. школа“, Киев 1946, 32 стр. с черт. Тираж 2 000 экз., на украинском языке (Управление высшей школы Министерства просвещения УССР).

Перепечатка с издания НКП РСФСР

ХРОНИКА

РАБОТА СЕКЦИИ МАТЕМАТИКОВ ПРИ ОДЕССКОМ ГОРОДСКОМ МЕТОДИЧЕСКОМ КАБИНЕТЕ В 1946 и 1947 годах

Д. С. ГОНЧАРОВ (Одесса)

I. Как и в предыдущие годы, секция математиков при Одесском городском методическом кабинете проводила свою работу регулярно по понедельникам. Всего состоялось 32 заседания в 1946 г. и 30 заседаний в 1947 г.

Состав секции по сравнению с довоенным временем значительно изменился. Многие члены секции прошлого состава оказались, в результате военных действий, далеко за пределами Одессы; некоторые активные члены секции погибли во время войны. Среди погибших И. Д. Дуб, А. Г. Окунь, С. М. Бердичевский, С. Л. Срулевич и некоторые другие. Умер в августе 1946 г. проф. К. М. Щербина. Все это, конечно, не могло не отразиться на работе секции.

Одной из ближайших задач секции является задача сплочения нового крепкого актива. И следует отметить, что в составе преподавателей математики г. Одессы имеется в настоящее время немало весьма опытных и высококвалифицированных преподавателей, которые охотно принимают участие в работе секции.

II. В 1946 г. были заслушаны следующие доклады:

1. К. Ф. Филиппович. Повторение пройденного.

2. В. Г. Рубинштейн. Несколько замечаний об иррациональных уравнениях.

3. В. Г. Рубинштейн. Задачи, связанные с окружностью.

4. Г. С. Томашпольский. О преподавании арифметики в старших классах.

5. В. Г. Рубинштейн. Подготовка к экзаменам.

6. М. Г. Литинский. Проценты.

7. А. Котляревская. Образцы письменных объяснений к решениям арифметических задач.

8. Г. Л. Срулевич. Теория пределов в средней школе.

9. Р. Е. Гройсер и А. Каминская. Образцы письменных объяснений к алгебраическим задачам на составление уравнений.

10. М. М. Куперман. Разложение на множители алгебраических выражений в VI классе.

11. И. П. Исаенко. О лемме для вывода формулы объема шара.

12. В. Г. Рубинштейн. Учение о площадях в учебнике геометрии А. Киселева.

13. А. Ф. Брадовская. Образцы задач для экзаменационных билетов в VII классе.

14. Д. С. Гончаров. Общий обзор книги И. А. Глаголева, «Элементарная геометрия“, части I и II.

15. К. Ф. Филиппович. Изложение вопроса о симметрии в планиметрии H.A. Глаголева.

16. Ф. А. Свидзинский. Образцы задач для экзаменационных билетов по математике в VIII классе.

17. К. Ф. Филлиппович. Образцы задач для экзаменационных билетов по математике в VIII классе.

18. Г. Л. Срулевич. Образцы задач для экзаменационных билетов по геометрии в IX классе.

19. Проф. Б. Я. Левин. Великий русский математик Н. И. Лобачевский и его геометрия.

20. В. Г. Рубинштейн. С какими знаниями по математике должен явиться учащийся в V класс.

21. К. Ф. Филиппович. Привитие навыков самостоятельной работы на уроках математики.

Примечание. Этому весьма интересному и содержательному докладу были посвящены четыре заседания секции.

22. М. Д. Каменецкий. Наглядный курс геометрии в III, IV и V классах.

23. В. Г. Рубинштейн. Элементы логики на уроках математики.

24. М. Г. Литинский. Приближенное извлечение квадратного корня.

25. М. Д. Каменецкий. Уроки по наглядному курсу геометрии.

26. В. Г. Рубинштейн. Культура труда на уроках математики.

27. Д. С. Гончаров. О геометрических построениях на поверхности шара.

28. В. Г. Рубинштейн. О математических кружках в школе.

Примечание. Этому докладу были посвящены два заседания.

29. Обсуждение открытого урока преподавательницы 43-й средней школы Р. Е. Гройсер на тему „Пропорции в VII классе“.

30. В. Г. Рубинштейн. О неравенствах.

III. В 1947 году были заслушаны следующие доклады :

1. А. К. Беркович. 35-летие I всероссийского съезда преподавателей математики.

2. В. Г. Рубинштейн. Формулы сокращенного умножения.

3—4. В. Г. Рубинштейн. Теория пределов в средней школе (2 заседания)

5. 3. Я. Рашковский. Опыт проведения классных сочинений по математике в средней школе (на тему: „Этапы развития понятия о числе“).

6. В. Г. Рубинштейн. Образцы задач для контрольных работ за III четверть по математике для V—X классов.

7. А. К. Беркович. Обратные круговые функции.

8. В. Г. Рубинштейн. Тригонометрические уравнения.

9—12. Эти четыре заседания были посвящены рассмотрению экзаменационных билетов и образцов задач для экзаменационных задач по математике в V—X классах.

13. А. В. Колот. Об эквивалентности уравнений.

14—15. В. Г. Рубинштейн. Комплексные числа.

16—17. Доцент В. И. Костин. Об аксиоматике в геометрии.

18. Проф. Лившиц. Математика в СССР за 30 лет.

19. Обсуждение открытого урока преподавателя К. Ф. Филипповича на тему: „Средняя линия трапеции-.

20. А. К. Беркович. Некоторые свойства логарифмов.

21. В. Г. Рубинштейн. О неравенствах.

22—24. А. В. Колот. Исследование уравнение и неравенств.

25. Д. С. Гончаров. Очерк из истории подготовки преподавателей математики в России.

26—30. Пять заседаний были посвящены различным текущим вопросам, связанным с обследованием школ, с подготовкой к традиционным январским и августовским конференциям, а также предварительному ознакомлению с проектами новых программ но математике для средней школы.

ХРОНИКА ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЖИЗНИ

Проф. И. Я. ДЕПМАН (Ленинград)

Ленинградский Дворец пионеров организовал для учащихся IX и X классов серию лекций по математике, вызывающих сильный интерес к себе не только учащихся, но и учителей. В плане, уже претворяемом в действие, значатся следующие 10 лекций:

1. Бесконечность в математике, проф. И. П. Натансон.

2. Комплексные числа, проф. Д. К. Фаддеев.

3. О непрерывных преобразованиях геометрических фигур, докт. физ.-мат. наук Н. А. Шанин.

4. Из истории логарифмических и тригонометрических таблиц, проф. Р. О. Кузьмин.

5. Непрерывные дроби, проф. Б. А. Венков.

6. Современная геометрия, проф. А. Д. Александров.

7. Комбинаторика, проф. В. А. Тартаковский.

8. Наука о случае, проф. Ю. В. Линник.

9. Что такое дифференциальное исчисление, пгоф. Г. М. Фихтенгольц.

10. Что такое интегральное исчисление, акад. В. И. Смирнов.

Состоявшиеся лекции собирали очень большую аудиторию и представляют выдающееся явление в деле распространения математических знаний. Несомненно, их значение громадно и в деле поднятия уровня преподавания в школе. Немало учителей приходят на лекции вместе со своими учениками и не могут не унести с собою освежающее впечатление ог этих лекций, которое, конечно, окажет влияние и на их работу в классе. Сообщенная выше тематика лекций может послужить образцом для организаций подобных лекций в других местах.

Дворец пионеров в этом году проводит очередную, четырнадцатую математическую олимпиаду для учащих.я VIII, IX и X классов. Эти олимпиады устраиваются еже! одно Дворцом пионеров; даже в годы блокады, когда научные работники почти все были эвакуированы олимпиады были проведены работниками Института усовершенствования учителей во главе с пишущим эти строки. В настоящее время секцию математики по работе со школьниками возглавляет проф. В. А. Тартаковский.

Для тренировки к очередной олимпиаде отпечатано и разослано по школам небольшое собрание задач, которое здесь прилагается.

ЗАДАЧИ РАЗЛИЧНОГО ХАРАКТЕРА ДЛЯ УЧАЩИХСЯ VIII, IX И X КЛАССОВ*

1. Восемь золотых монет внешне одинаковы; одна из них фальшивая—легче остальных. При помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету.

2. Некоторое число оканчивается справа цифрой 2. Если эту цифру в конце числа зачеркнуть и поместить ее впереди числа (слева), то новое число будет вдвое больше первоначального.

Найти это число (без применения алгебры).

3. Может ли ограниченная со всех сторон геометрическая фигура иметь два центра симметрии?

4. В бесконечной десятичной дроби 0,123456789101112... после нуля выписаны подряд все целые числа. Будет ли эта дробь периодической?

5. Из бочки с вином берут литр вина и выливают его в бочку с водой; затем, не размешивая, из второй бочки черпают литр неразмешанной смеси и выливают в первую бочку.

Чего больше: вина в воде или воды в вине?

6. Некий досужий математик написал такое выражение:

Каждой букве соответствует определенная цифра. Требуется расшифровать это сложение, т. с найти цифры, соответствующие буквам.

* Более трудные задачи отмечены звездочкой.

7. Показать, каким образом равными выпуклыми четырехугольниками произвольной формы можно уложить паркет, т. е. покрыть всю плоскость без пропусков и перекрытий.

8. Пловец плыл против течения Невы. Возле Республиканского моста он потерял пустую флягу. Проплыв еще 20 минут против течения, он заметил свою потерю и вернулся, чтобы догнать флягу; догнал он ее возле моста лейтенанта Шмидта. Какова скорость течения Невы, если расстояние между мостами равно 2 км7

9. Через некоторую точку пространства проведены 4 плоскости; никакие три из них не пересекаются по прямой. На сколько частей разбивается пространство?

10. 1) Из точки, не лежащей на окружности, опустить перпендикуляр на данный диаметр или его продолжение при помощи одной линейки.

2)* Из данной точки окружности опустить перпендикуляр на данный диаметр, пользуясь только линейкой (центр окружности не задан).

11.* 1) Можно ли ходом ладьи (на одну клетку) попасть из одного угла шахматной доски в противоположный, побывав в каждой клетке доски один и только один раз?

2) Можно ли ходом коня проделать то же самое?

12.* Два игрока по очереди кладут на стол пятикопеечные монеты. Выигравшим игру считается тот, кто положит монету последним. Как должен класть монету игрок, начинающий игру, чтобы обеспечить себе выигрыш?

Стол имеет прямоугольную форму. Монеты класть можно только на свободные места, чтобы они не закрывали друг друга даже отчасти. Каждый из играющих имеет неограниченное количество монет. Сдвигать монеты с мест, на которые они положены, нельзя.

13*. Сколько существует различных путей, по которым ладья может пройти из верхнего левого углового поля шахматной доски в любое данное поле, предполагая, что ладья движется поступательно, т. е. только слева направо и сверху вниз?

1. (Десятиклассникам решить задачу с доской в п2 клеток.)

14* В каждый данный момент направление минутной стрелки часов зависит от направления часовой стрелки.

Заменим в часах минутную стрелку часовой, а часовую стрелку минутной. Сколько раз в сутки часы после такой замены покажут „возможное“ время, т. е. сколько раз направление минутном стрелки будет в точности соответствовать направлению часовой?

15.* Могут ли три кольца из гибкой проволоки находиться в зацеплении между собой так, что никакие два из них между собой не зацеплены?

16.* Из двухсот чисел 1, 2, 3, 4, 5,.., 199, 200, произвольно выбрали сто одно число. Доказать, что среди выбранных чисел найдутся два, из которых одно делится на другое.

17.* На конкурсе любителей задач и головоломок в результате соревнований отличились три человека.

Чтобы выделить из них самого сообразительного, им показали 5 бумажек: 3 белых и 2 черных. Затем всем троим завязали повязками глаза и каждому на лоб наклеили по одной бумажке, а две оставшиеся бумажки уничтожили. После этого повязки были сняты, и каждый увидел у своих противников по белой бумажке. Было объявлено, что победителем будет первый, определивший цвет своей бумажки. Некоторое время соревнующиеся сидели друг перед другом: наконец один из них заявил, что его бумажка —белая.

Как он рассуждал?

18.* Плоская геометрическая фигура состоит из 9 точек и 9 прямых отрезков; через каждую точку проходят 3 отрезка и на каждом отрезке лежат i точки. Какова эта фигура?

ИТОГИ КОНКУРСА ПО РЕШЕНИЮ задач за 1946 г.

По подсчету присланных решений задач, помещенных в 1946 г., присуждены премии следующим 20 участникам конкурса, приславшим наибольшее количество правильных решений.

1. М. Шебаршин (Кемерово), 2. X. Хамзин (Стерлитамак), 3. А. Ширшов (Ворошиловгр. обл.), 4. Кодацкий (Горький), 5. А. Владимиров (Ялта), о. Я. Титов (Тюмень), 7. Л. Малюгин (Горький), 8. Л. Фридман (Красноярск), 9. С Колесник Харьков), Ю. М. Люкке (Новосиб. обл.) I. Г. Капралов (Горький), 12. Л. Могильницкий (Одесск. обл.), 13. И. Бочкин (Витебск), 14. В. Федоров (Курганск. обл.), 15. Б. Кашин (Иркутск, обл.), 16. К. Агринский (Москва), 17. Н. Титов (Казань), 18. Э. Ясиновый (Куйб. обл.), 19. М. Жидков (Ленинград), 20. В. Голубев (Кувшиново).

Всем перечисленным товарищам будет высылаться бесплатно журнал за 1948 г. и, кроме того, посылается математическая литература, вышедшая в 1946—1948 гг.

Редакция

От редакции. В № I журнала „Математика в школе“ за 1948 г. в статье проф. А. И. Маркушевича „Символ бесконечности и его употребление в математике“ на стр. 2 (правый столбец) и стр. 3 (левый столбец) типографией ошибочно вместо знака эквивалентности <>э набран знак бесконечности ОС.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 6 за 1947 г.

№ 101

Пользуясь только масштабной линейкой, определить объем бутылки (с круглым квадратным или прямоугольным основанием), которая частично заполнена жидкостью.

Решение. 1) Так как возможная форма дна бутылки (круг, квадрат, прямоугольник) задана, то площадь дна с помощью масштабной линейки легко определяется. Обозначим ее величину через s.

2) Измеряем высоту пА жидкости в бутылке. Тогда объем жидкости равен sh\ (понятно, что дно бутылки предполагается плоским или почти плоским).

3) Опрокидываем бутылку вверх дном и измеряем высоту 1ц пустого пространства от уровня жидкости до дна сосуда. Объем этого пространства будет равен sh2. А так как объем жидкости равен shi9 то объем всей бутылки равен

shi -\-sh2^s (hi -f- h2).

В большинстве из присланных решений этой задачи „на соображение“ приводятся более сложные способы. Как курьез отметим несколько решений, исходящих из предположения, что вся бутылка имеет форму цилиндра или параллелепипеда. Авторы измеряют высоту, затем, наклоняют бутылку так, чтобы уровень жидкости совпадал с нижней точкой одного основания и верхней точкой другого (что, очевидно, может быть лишь только в том случае, если жидкость занимает ровно половину объема бутылки), измеряют показываемую уровнем жидкости диагональ, вычисляют дно из измерений основания по теореме Пифагора и т. д.

№ 102

В городе состоялись два шахматных турнира. В первом турнире трое из участников получили по такому числу очков, что произведение этих чисел оказалось равным числу очков, набранных всеми участниками второго турнира. Во втором турнире участвовали 22 лучших и, примерно, одинаковых по силе шахматиста. Победитель на этом турнире набрал такое же количество очков, как и один из упомянутых выше участников первого турнира.

Сколько очков набрал каждый из участников второго турнира?

Решение. Вместо решения автора задачи, исходящего из предположения (не оговоренного в условии), что каждый из участников первого турнира получил целое число очков, приведем лучшее из присланных (пока немногочисленных) решений — решение инженер-капитана Б. С. Кодацкого (Ленинград).

Легко установить, что общее число очков, набранное всеми участниками второго турнира, равно-2— — 231-

Произведение чисел очков, полученных тремя участниками первого турнира, равно 231 = = 3 • 7 • 11. При этом может быть, что кто-либо из них набрал не целое число очков. А так как дробная часть может быть равна лишь половине, то оказываются возможными лишь следующие комбинации:

Но победитель второго турнира должен был набрать больше--10 очков и не больше 21 очка (по числу участников). Следовательно, из приведенных комбинаций остаются лишь 1-я, 2-я, 4-я и 5-я, то-есть победитель на втором турнире набрал 14 или 11 очков.

С другой стороны, в условии сказано, что участники были, примерно, равны по силе. Следовательно, колебания в числе очков должны быть наименьшими. Этому требованию удовлетворяет (как увидим дальше) число 11, так как число 14 дает слишком большую разницу в числах очков.

Но если победитель турнира набрал 11 очков, то, учитывая равные силы участников (а также то, что среднее количество очков на каждого участника равно =* 10 “g- J . следует признать, что один из остальных получил 10 очков, а 20 участников—по 10* очков.

Как видно, задача по типу близка к предыдущей, являясь тоже задачей „на соображение".

№ 103

Имеется п металлических кубов, длины ребер которых, выраженные в сантиметрах, составляют натуральный ряд чисел от 1 до п. Из этих кубов выплавлена квадратная плита толщиной в 1 см. Определить площадь этой плиты.

Решение. Так как толщина плиты равна 1 см, то ее площадь (в кв. см) численно равна ее объему (в куб. см), т. е. сумме объемов всех кубов:

13 + 23 + 38+.., + лЗ.

Но известно, что сумма кубов натурального ряда чисел равна квадрату суммы оснований, т. е:

(1+2 + 3 + .. . + /1)2

А так как

то искомый объем равен

Примечание. Можно было непосредственно исходить из формулы:

Мы из-за экономии места не даем вывода этой формулы, считая ее достаточно общеизвестной. Укажем лишь, что она легко доказывается: 1) методом математической индукции; 2) при помощи тождества:

Давая здесь k значения 1, 2, 3,..., сложив полученные равенства и приняв во внимание, что

(см. Киселев, Алгебра, ч. II, § 78) и

после упрощений получим требуемое выражение.

№ 104

Доказать, что если пятизначное число делится на 41, то и все числа, полученные путем круговой перестановки цифр этого числа, делятся на 41.

Решение. Полагаем, что наиболее коротким будет такое решение (отличное от всех присланных и от авторского).

Дано, что

А = abode = Ю*а + Ше = Ш. (1)

Требуется доказать, что число

В = bcdëa = lObcde + а (2)

тоже делится на 41. Из (1) имеем:

10А = 105а + 10Ш* - 41 ' l0k>

или:

(105— \)a + l6bcde + а= 41 • 10*.

Но

105 —1 =41 . 2439.

Отсюда и, принимая во внимание (2), получаем:

41 . 2439а + В =41 • 10 к. Отсюда непосредственно следует делимость В на 41.

Получив из Б путем перестановки C=cdeabf таким же путем докажем, чго и С кратно 41 и т. д.

№ 105

Граница болота и луга—прямая линия ММ. Связист должен возможно скорее попасть из пункта А на болоте, отстоящего от ММ на 2 км, в пункт В на лугу, отстоящем от ММ тоже на 2 км. Где он должен пересечь границу ММ, если скорость его равномерного движения по болоту в 2 раза меньше, чем скорость по лугу, и если расстояние между перпендикулярами, опущенными из А и В на ММ, равно 5 км? (черт. 1)

Черт. 1

Решение. Пусть Р — точка пересечения связистом границы ММ. Обозначив расстояние CP через X, скорость по болоту через v, получим

(1)

(2>

Время, затраченное на прохождение от А до В* равно

(3)

Согласно условию задачи, требуется найти значение х, при котором значение у являлось бы наименьшим.

Представив (3) в виде

заключаем, чхо у получает наименьшее значение одновременно с выражением

(4)

Минимальное значение выражения (4) можно найти, пользуясь дифференциальным исчислением (т. е. найти производную от z по х и т. д.). Решим вопрос, оставаясь в рамках элементарной математики.

Освободим уравнение (4) от радикалов. Получим (из-за экономии места элементарные преобразования опускаем):

Отсюда:

Или:

Можно показать, что в (5) следует взять знак плюс. [Например, возведя (2) в квадрат и приравняв (5)}. Но тогда ясно, что минимум z2, а, следовательно, и z будет достигнут при минимальном значении выражений (х—1)2 + 8 и (x — \)J (х •— 4)2 -f-100, что, очевидно, будет при

х=\. Итак, СР = 1 км.

Решение крайне упрощается, если исходить из положения (которое можно обосновать), что наименьшее время будет затрачено на переход от А и В в том случае, когда на пути по болоту и по лугу будет затрачено одинаковое время (или, что то же, принимая во внимание скорости, если путь по лугу будет вдвое длиннее пути по болоту). Тогда из (1) и (2) получаем сразу:

Или:

Отсюда легко получаем х = 1.

№ 106

При целом положительном п доказать неравенства:

(1) 2пп\<пп (при п >6)

(2) Зпп ! > пп (при n > 1)

Решение. Исходим из неравенств:

(3)

(4)

из которых первое очевидно (достаточно разложить 11 + J по формуле Ньютона). Второе также легко доказывается элементарным путем (см., например, И. И. Привалов и С. А. Гальперин .Основы анализа бесконечно малых“). Но проще всего вспомнить, что

есть фУнкиия возрастающая, имеющая пределом при п оо число е = 2,7... Отсюда непосредственно следуют (3) и (4).

Воспользуемся методом математической индукции. Умножим (1) на (3) и (2) на (4). Получим:

или

Умножим оба неравенства на (я +1):

Или:

(5) (6)

Итак, если неравенства (1) и (2) справедливы для некоторого л, то они справедливы и для я-f-l. Проверив теперь неравенство (1) для л=6, а (2) для п = 2, завершаем полностью доказательство.

№ 107

В прямоугольном треугольнике

(1)

где пс и Ьс—высота и биссектриса, проведенные из вершины прямого угла С. Определить величину острых углов этого треугольника.

Решение. Из треугольника CDE (черт. 2) имеем:

Черт. 2

(как углы с взаимно перпендикулярными сторонами;,

Z ECD - 45° - Z А, (4)

Z CED = 90° — Z ECD = 45e + A. (5)

С другой стороны, из (1) и (2) имеем: sin Z CED - sin ЗА.

Откуда:

Z CED = ЗЛ (6)

или:

Z CED =» 180° — ЗА. (7)

Из (5) и (6) находим:

ЗЛ = 45° +Д А = 22°30'; В = 67°30'.

Из (5) и (7):

180° —ЗЛ -45° +Л, А =33°45'; В = 56°15'.

№ 108

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу точкой касания на отрезки а и ß. Определить острые углы треугольника

Решение. Имеем (черт. 3).

АВ = а + Ь (1)

ВС = ВЕ+ EC = BD + EC = * + r, (2)

АС= AF + FC = AD + FC = $ + r, (3)

где г — радиус вписанного круга.

Черт. 3

По теореме Пифагора имеем:

Отсюда. Определяем

(4)

Из (2), (3) и (4) определяем катеты:

Теперь имеем:

Обратная дробь даст tgB.

Черт. 4

№ 109

Угол при вершине осевого сечения прямого сругового конуса равен а. Через точку А на жружности основания проведена секущая плоскость под углом ß к основанию. Вычислить объем конуса, если площадь сечения равна s.

Решение: В сечении получается эллипс, проекция которого—круг диаметра d = AD (см, черт. 4 и. 4а — осевое сечение конуса), Определим d. Имеем: S = 5ЭЛ . cos ß,

Черт. 4 а

(1)

Из треугольника ADE:

(2)

Из треугольника СОЕ, в котором имеем:

(3)

Но АС = 2R = AD + DC, откуда

или, по приведении к логарифмическому виду

(4)

Далее для треугольника ВОС имеем

Из (4) и (5) находим:

Примечание. В задаче вместо а было напечатано d% что дало повод некоторым из решавших принять угол при вершине конуса равным 90°. Тогда решение и окончательная формула несколько упрощаются.

№ 110

Углы треугольника связаны соотношением:

(1)

Определить угол С.

Решение. Исходим из тождеств:

(2)

(3)

Заменив в (1) cos С на — cos (Л -f В), что имеет место для углов треугольника, получим:

Отсюда легко получаем:

(синусы углов треугольника положительны). Окончательно получаем:

^: = 30° или С = 150°.

Это наиболее короткое решение дано П. Китайгородским (Москва). Близко к нему решение Кодацкого. Задача допускает различные варианты решений.

№ 111

Решить уравнение:

Решение. Имеем:

Отсюда:

Или:

(2) (3)

Подставив из (2) и (3) в (1), получим

Умножив на С% ( С£ Ф О), будем иметь

Решив это уравнение, найдем: х1 = \5; *2 = 2.

Понятно, что пригоден только второй корень. Некоторые из решавших, учитывая, что по смыслу задачи должны быть х •< 4, находили значение х путем проб чисел 1, 2, 3, 4.

№ 112

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD через сторону основания AD проведено сечение ADKL, где К и L — точки на ребрах SB и SC. Доказать, что у отсеченной пирамиды:

Черт. 5 Черт, 6

Решение. Имеем:

(1)

где <р — плоский угол при вершине пирамиды.

(2) (3)

(4)

Выразим SAASK через SàASD и SàKSL . Из (1) и (3) имеем:

или, приняв во внимание (2),

(5)

Делая подстановку из (5) в (4), найдем

или:

что и требовалось доказать.

№ 113

Биссектриса среднего по величине угла треугольника равна меньшей его стороне и делится другими биссектрисами в отношении 1:2. Определить стороны треугольника, если периметр его равеи 21 см.

Решение. Пусть А < В<СС (черт. 6), BD и СЕ — биссектрисы углов В и С. По свойству биссектрисы из треугольника BCD имеем:

(1)

Отсюда:

Из треугольника ABC:

Отсюда:

Но AD -f- DC = AC = b и DC = -~. Произведя замену, получим:

Отсюда

Но по условию a-\-b -f с = 21 см. Следовательно, имеем:

b = 7 см.

Для определения а и с применим свойство биссектрисы: квадрат биссектрисы угла при вершине равен произведению боковых сторон без произведения отрезков, на которые она делит основание, т. е. :

BD* = ac — AD-DC. (4)

Но из (3) имеем:

Отсюда:

Или, так как b = 7 и а-{-с = 2р — b =• 21— 7 = 14;

(5)

Подставив из (2) и (5) в (4) и приняв во внимание, что по условию BD = a, получим:

Отсюда: Но тогда

а, следовательно, а = 6 см.

Большинство из присланных решений несравненно сложнее приведенного.

№ 114

Внутри правильного треугольника определить геометрическое место точек, обладающих тем свойством, что ия перпендикуляров, опущенных из этих точек на стороны, можно построить треугольник.

Решение. Известно, что сумма перпендикуляров, опущенных из точки внутри правильного треугольника на его стороны, равна его высоте. Значит, периметр треугольника, построенного из этих перпендикуляров, равен высоте треугольника. Отсюда следует, что каждая из сторон (т. е. каждый из опущенных перпендикуляров) должна быть меньше (так как в противном случае одна из сторон была бы больше суммы двух других или равна ей).

Заметив это, проведем в треугольнике ABC (черт. 7) средние линии MN, NP и РМ.

Черт. 7

Перпендикуляр, опущенный на А С из любой точки, лежащей внутри треугольника MBN, будет больше -^-i а опущенный из точки, лежащей на MN, равен —. Следовательно, все эти точки не удовлетворяют условию задачи. Аналогичный вывод по отношению к точкам, лежащим внутри треугольников MAP и PCN, а также к лежащим на MP и NP. Наоборот, по отношению ко всякой точке О, лежащей внутри треугольника MNP, имеем (предположив, что ОВЛ наибольший из перпендикуляров, что не уменьшает общности)

и так как

или:

№ 115

Если в треугольнике стороны а<Ь<^с образуют арифметическую прогрессию, то

ас = 6Rr. (1)

Доказать.

Решение. Исходим из известных формул

Отсюда

Но по условию 2Ь = а-\-с (Ь — средний член арифметической прогрессии). Делая подстановку в (2), получим:

т. е. соотношение (1).

№ 116

В треугольнике углы удовлетворяют соотношению:

(1)

Определить угол А.

Решение. Из (1) последовательно имеем:

Деля обе части на cos -j Ф О, получим:

Отсюда:

№ 117

Доказать для прям- угольного треугольника соотношение:

(1)

где с — гипотенуза.

Решение. Исходим из известных формул:

Так как в данном случае С = 90°, то умеем

Делая подстановку в левую часть соотношения (1), получим:

(2)

Выразим тангенсы через синус и косинус:

(так как в нашем случае А-\-В = 90°). Под:тавив в (2), получим:

Сложив дроби в скобках, приведя их предварительно к общему знаменателю, после элементарных упрощений найдем:

(3)

Но

Делая подстановку в (3), получим по сокращении:

Решение будет значительно короче, если воспользоваться мало знакомыми (но легко выводимыми) формулами:

№ 118

Доказать, что из всех четырехугольников с данными диагоналями а и b и данным углом а между ними наименьший периметр имеет параллелограм.

Решение. Пусть ABCD — произвольный четырехугольник (черт. 8). Произведем параллельное перенесение его сторон AB и AD в точку С. Получим

Черт. 8

Из (1) вытекает, что АВВ{С — параллелограм, и, следовательно:

ВВХ = АС и ВВХ ii АС. (3)

Точно так же из (2) заключаем, что ACD{D — параллелограм и, следовательно:

АС = DDX и АС II DDX. (4)

Из (3) и (4) следует, что

BBi = DD{ и ВВХ H DDlt (5)

а это значит, что четырехугольник BB\D{D — параллелограм, причем его сторонами служат диагонали данного четырехугольника.

Из треугольников BCD и DCBb где BD1 и DB,— диагонали полученного параллелограма, имеем:

(6)

где р — периметр данного четырех\тольника. Если данный четырехугольник ABCD — параллелограм, то неравенство (6) превращается в равенство, откуда и вытекает предложение, данное в задаче.

№ 119

В плоскости имеются а параллельных прямых, пересеченных b параллельными прямыми. Сколько при этом образовалось параллелограмов^

Решение. Для простоты допустим, что прямые пересекаются под прямым углом (черт. 9). Тогда стороны прямоугольников будут служить их основанием и высотой. Подсчитаем, ско 1ько получится прямоугольников с некоторым основанием k и высотой / Очевидно, что левая нижняя вершина такого прямоугольника может лежать лишь на 1-й,2-й,.., a—k-Pi из вертикальных прямых (так как если взять эту вершину на а— & + 1-Й прямой, то правая вершина будет уже за я-й прямой). Другими словами, если принять нашу сеть за координатную, то абсцисса x левой нижней вершины прямоугольника может принимать a— k значений от 1 до a—k.

Точно так же найдем, что ордината у той же вершины может принимать Ь—1 значений от 1 до b-l. Комбинируя эти значения, получим всего (a—k) (b—l) прямоугольников со сторонами £ и/.

Но k может принимать значения от 1 до а—1, а /_от 1 до Ь-Л. Оставляя пока / фиксированным и давая k значения 1, 2,..., а-I, получим

(1)

прямоугольников. Наконец, давая / значения 1, 2.....Ъ—1 и складывая результаты, получим всего

прямоугольников. Ход рассуждений остается абсолютно тем же, если вместо прямоугольников возьмем параллелограмы. Присланные решения отличаются исключительной длиннотой.

Черт. 9

№ 120

Биссектрисы углов данного выпуклого четырехугольника своими пересечениями образуют новый четырехугольник внутри данного. Биссектрисы этого нового четырехугольника опять образуют четырехугольник и т. д. Найти пределы, к которым стремятся углы этих четырехугольников.

Решение. В первом полученном четырехугольнике А\ Bi Ci Di (см. черт. (10) имеем:

(1)

Совершенно аналогично для углов второго четырехугольника найдем:

(2)

но из (1) имеем:

(3)

Подставив из (3) в (2), получим:

(4)

Черт. 10

Из (4) найдем:

(5)

Точно так же, продолжая далее, найдем:

(6)

Или, заменяя правые части в (6) из (5):

(7)

Итак, после четырехкратного построения разность между противоположными углами четырехугольников уменьшается вчетверо. После 4л построений будем иметь:

Отсюда:

Или:

(8)

Но

Из (8) и (9) заключаем, что

Hm Ain = lim Cin = 90°. To же относительно углов В^ и D^

ЗАДАЧИ

41. Доказать тождество:

X. Хамзин (Стерлитамак).

42. Если уравнение

х* + ах* + Ьх + с = 0 имеет корни tg «jj tg а2, tg а3, a уравнение

у* + су* + Ьу +а = 0

имеет корни tgßb tgß2, tgrf3, то «î + ea + aa-f-

+ ßi + Pa + Pi = *«. где k — целое. Доказать.

X. Хамзин.

43. Сколько имеется пар натуральных чисел, имеющих наименьшим общим кратным данное натуральное число

X. Хамзин.

44. Определить, при каких значениях натуральных чисел а и b корни уравнения х* — — abx а + 6 = О являются тоже натуральными числами.

X. Хамзин

45. Найти натуральные значения л, при которых какие-либо три последовательных коэфициента разложения бинома (х-\-а)п являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

Л. Лоповок (Проскуров, Каменец-Подольской обл.).

46. Основание правильной четырехугольной пирамиды с плоским углом а при вершине вписано в основание полушара радиуса R, причем вершина 5 пирамиды находится вне полушара. Вычислить длину линии, по которой пересекаются поверхности этих тел.

Л. Лоповок.

47. В треугольнике ABC со сторонами а, Ь, с биссектриса АЕ делится пополам биссектрисой BD. Найти отрезки биссектрисы BD, на которые делит ее биссектриса АЕ.

Л. Лоповок.

48. Найти двузначные числа, кратные сумме факториалов его цифр.

Л. Лоповок.

49. На поверхности твердого шара дан полюс М. Построить другой его полюс N.

С. Андреев (Горький)

50. На поверхности шара дана дуга произвольного радиуса г, являющаяся частью параллели. Найти полюс, из которого эта параллель проведена. С. Андреев

51. Определить cos а из уравнении:

П. Залгаллер (Москва).

52. Решить уравнение:

Л4_ 2*3 -f x + 0,25 = 0.

М. Кекелия (Бандза, Грузинская ССР).

53. Решить уравнение:

64*6 + 96*4 _ 64*3 _ \2х + 7 = 0.

М. Кекелия.

54. Найти два числа abad и abed, удовлетворяющие следующим условиям: 1) наибольший общий делитель их равен 3; 2) большее из них кратно 11; 3) ас = 2d; 4) одно из чисел является датой известного политического события, а другое юбилейной датой того же события. Решить задачу сначала независимо от последнего условия.

М. Кекелия.

55. Выразить диагонали и площадь вписанного в круг четырехугольника через его стороны.

А. Владимиров (Ялта).

56. Доказать, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков гипотенузы, на которые ее делит точка касания вписанного круга.

А. Владимиров.

57. На ограниченном куске плоскости дана точка и по одну сторону от нее две прямые, пересекающиеся вне данного куска плоскости. Определить расстояние данной точки до точки пересечения прямых.

А. Аляев (ст. Валовой. Пензенск. обл.).

58. На сторонах выпуклого четырехугольника построены подобные равнобедренные треугольники так, что третьи вершины двух из них (противоположных друг другу) находятся вне четырехугольника, а двух других — внутри него. Доказать, что эти четыре вершины определяют параллелограм.

А. Аляев.

59. Квадрат со стороной а превратить в прямо угольник, разрезав его на наименьшее число частей, притом так, чтобы стороны прямоугольника относились, как 3 :1.

А. Аляев

60. С поезда сошли два пассажира и направились в один и тот же пункт. Первый половину времени шел со скоростью а, а вторую половину со скоростью Ь. Второй шел первую половину пути со скоростью b, а вторую со скоростью л. Который из них пришел скорее к месту назначения?

М. Белоусов (Москва)

От редакции. Редакция просит читателей: 1) писать решения четко, разборчиво; 2) всякого рода замечания или вопросы к редакции посылать отдельно от решений.

СВОДКА решений задач по № 5 за 1947 год

Из присланных 782 решений по данному номеру оказалось 71 неверных, главным образом по № 85, 88, 90. В условии задачи №63 не было ясно указано, что частное есть квадрат того же числа, поэтому многие совершенно правильно дали 4 ответа вместо одного. Для задачи Лй> 84, если считать известной теорему, что при р и q целых рациональные корни могут быть только целыми числами, решение становится крайне простым (из рассмотрения равенств лгг4- х2—— р и XiX2~ q). По №№ 88 и 94 в ряде решений в ответах давались чрезвычайно сложные выражения. По № 97 дано несколько способов, в большинстве гораздо более сложных, чем приведенный в № 2 1948 г.

Приводим сводку правильных решений.

Л. Абрамов (Днепропетровск) 81 — 86, 92, 95, 96, 98; Г.Автух (Чашники) 81, 82, 84, 86, 87, 92, 93, 95—98; К Агринский (Москва) 81, 83-96, 98, 100; Е. Алмазова (Беднодемьянск) 81—86, 95, 96; А. Аляев (Пензенская область) 81—86, 91-98 Г. Ахвердов (Ленинград) 81—86, 90—100; Борман (Турткуль) 82, 84, 92, 93; Г. Бобылев (Тула) 86, 92, 93; И. Бруцкус (Тара) 81-83, 86, 87; Б. Бурназов (Ейск) 81, 83-86, 91-96, 99, 100;В. Буткевич (Ровно) 81—88, 90—99; Вайнман (Киев) 86; В. Варганов (Москва) 91, 92, 95, 96; Л. Владимиров (Ялта) 81, 83-87, 89,91—98,100; И. Войнов (Волхов) 82, 83, 85, 86, 88, 91—100; М. Волков (Москва) 81—83, 93; Р. Гангнус (Муром) 86, 91, 92, 95, 96, 100; В. Гильц (Кемерово) 81—96, 98—100; Я. Голайдо (с. Первомайское) 81—86, 91—100; В. Голубев (Кувшиново) 81—87, 89-91, 92—96, 98-100; Г. Голянд и С. Третьяков (ст. Ленинградская ) 81—87, 92—96, 99, 100; О. Джартыбаев (Семипалатинская область) 86, 93, 94; Я. Дзигава (Тбилиси) 82, 83, 85, 86, 88' 89—97, 99; В. Добрынченко (Астрахань) 81—84, 86, 87, 89, 91—97, 99; Б. Дудолькевич (с. Петраковка) 81—84, 86, 91, 92, 95, 96; А. Егорин (Тула) Д. Есипович (Богородск) 81—84, 86,91,94,95; Я. Зубилин (ст. Нарышкино) 81, 82, 84, 86,91-93, 95, 96, 99, 100; Г. Капралов (Горький) 81, 83, 84, 86; 91—93, 99; Л. Карпов (Собинка) 81—89, 91—100. М. Кекелия (Бандза) 81, 82, 84, 85, 88; 89, 91—96, 99; П. Китайгородский (Москва) 81, 83, 86, 91, 93, 95, 96; Б. Кодацкий (Ленинград) 81—88,90—100; С. Колесник (Харьков) 81—86,88—96, 98—100; О. Ладинский (Кисловодск) 86,88, 92, 93, Г. Литвинов (Усть - Абаканск) 81—83, 85, 86, 92, 93, 95, 96, 99; М. Ляпин (Казань) 81 - 83, 85, 86, 94-96,98,99; Я. Магарас (Винница) 81—86| 92, 93, 95, 96; Медведев (Себряково) 82-84, 86, 89, 91—93, 95, 96, 99, 100; Метелицына (Михайлов) 81—83, 86, 87, 91—94; Л. Могильницкий (Кривое Озеро) 81—84, 86, 88,89. 91—96, 98-100; Я. Могильный (Игрень) 91—94; В. Нефедов (Владимир) 81—89, 91—100; В.Никитин (Тамбов) 81—100; Ф. Певишев (ст. Шилово) 81—84, 86-89, 92, 94, 96, 98, 100; Л. Перцель (Свердловск) 84, 86, 91, 92, 94, 100; Т. Полякова (Гагарино) 92; П. Постников (Ряжск) 81—83, 85, 86, 88, 91—100; Г. Пушкаревский (Башкирия) 82, 91, 93; Я. Рабинович (Рига) 81—88,91, 94,98,100; М. Саакян (Краснодар) 82, 83, 86,91—94, 100; В. Савнинский (Ворошиловград) 81—84,, 86—88, 91—94, 95, 96, 99, 100; Ф. Сергиенко (Запорожье) 81-88, 90—100; Л. Снопков (Спасск) 82,86, 92,93; Я. Титов (Казань) 81-86,88,91—93; В. Утемов (Красноуфимск) 81-83, 86, 88, 89, 91-93, 95—98, 100; Л. Фридман (Красноярск) 81—100; AI. Фридман (Куйбышев) 81, 83, 92, 93,95, 96; Д Циммерман (Ейск) 81-84, 86, 88, 91, 92,95—97,99; В. Шушин (с. Наумово) 82, 86, 87, 91—93; М. Шебаршин (Кемеровская обл.) 81—100; Эрдниев (Барнаул) 81,83—87, 89-91, 93, 95, 97, 98; Э. Ясиновый (Куйбышевская обл.) 81-84, 86—89, 91—96, 98-100.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ СВОДКА решений по №№ 2—4 за 1947 год

Г. Ахвердов (Ленинград) 41—43,45, 46,49—58, 60; Л. Багарян (Абхазск. АССР) 21, 28, 30; 43, 46, 47, 52, 57; Ф. Бичай (Орша) 41, 42,43; Я. Бородуля (Реутово) 21, 25, 26,28, 30—34, 43, 46,47, 49, 50, 52,57, 58; Б. Нойнман (Киев) 56,57; М. Волков (Москва) 21, 25, 28, 30, 41, 42, 56, 57; 3. востротина (Ашхабад) 64,65; Я. Гамкрелидзе (Чиатуры) 64—66, 72; Г. Гурвич (Красноярск) 61—69, 72-76, 78-80; Л. Зимин (Вишняково) 64—69, 72—75, 79, 80; Кодацкий (Ленинград) 21—28, 30-34, 36, 37, 39—60, 61-73, 75—80; Я. Костогаров (Курск) 41—44, 46; Я. Кугай (Трембовля) 64, 67, 79, 80; Я. Михайлов (Андижанск, обл.) 43; Р. Найданов (Загустай) 21, 23, 25, 26, 28, 30, 31, 42, 43, 46-48, 56—58, 60, 62, 64—68, 72, 80; В. Токарев (Константиновка) 23, 32, 39, 47, 51, 59, 60, 61—73, 75, 76, 78-80; Я. Эрдниев (Барнаул) 61-63, 65-68, 70, 71, 74-76, 79, 80.