МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

2

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

MОСКВА 1948

СОДЕРЖАНИЕ

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

Л. Я. Юшкевич — Математика и ее преподавание в России XVII—XIX вв. 1

К ВЕСЕННИМ ИСПЫТАНИЯМ

П. С. Моденов — О приемных испытаниях по математике на механико-математическом и физическом факультетах МГУ в 1947 г. .....15

Е. И. Пузанова — О приемных испытаниях по математике в некоторые московские втузы.........................21

А. С. Цесюлевич — Наши пожелания ..................27

Е. Ф. Мамаенко — О приемных экзаменах по математике в специальное среднее учебное заведение ................... 34

И. М. Рабинович — О данных одного экзамена...... .....36

Я. Л. Ларичев — О критериях оценки письменных работ учащихся средних школ по математике.........................37

ХРОНИКА

О. Финке — Первый год работы кабинета математики Харьковского городского института усовершенствования учителей........... 43

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Я. С, Моденов — Алгебра и ее преподавание в школе (О книге Бронштейна). 45

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 5 за 1947 год.............53

Задачи...............................62

Задачи для математических кружков...................63

Сводка решений задач.....................на обложке

А-01958 Заказ № 78

Тираж 20000 экз.

Редакционная коллегия

Редактор А. Н. Барсуков Зам. редактора С. И. Новоселов

Члены редакционной коллегии

Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий, А. Я. Садиков, Н. Ф. Четверухин

Технический редактор В. С. Якунина, корректор Л. С. Киняпина.

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз Министерства просвещения РСФСР

Сдано в набор 20/XII 1947 г. Подписано к печати 15/Ш 1948 г. Печ. л. 8 Учетно-изд. л. 6,94. Типогр. зн. в 1 п. л. 73 000. Формат бумаги 82xl081/ie- Цена 4 р. 50 к.

Типография № 2 Управления издательств и полиграфии Ленгорисполкома

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 2

МАРТ —АПРЕЛЬ 1948 г.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЕ В РОССИИ XVII—XIX вв.

Проф. А. П. ЮШКЕВИЧ (Москва)

(Продолжение)

Николай Иванович Лобачевский

1. Жизненный путь Лобачевского.

С легкой руки известного историка Казанского университета проф. Н. П, Загоскина было принято считать, что Николай Иванович Лобачевский родился 22 октября (2 ноября) 1793 г., а место рождения его в точности известно не было. По архивным справкам недавно было установлено, однако, что величайший геометр XIX в. родился 20 ноября (1 декабря) 1792 г., в Нижнем Новгороде (ныне г. Горький)*. Отец его, небогатый мелкий чиновник, скончался в 1797 г., и примерно тогда же осиротевшая семья (мать и три сына, из которых Николай был средним) переехала в Казань. Здесь энергичной Прасковье Александровне Лобачевской удалось поочередно устроить своих сыновей в Казанскую гимназию на казенное содержание. Н. И. Лобачевский принят был в гимназию осенью 1802 г., а в феврале 1807 г., пятнадцатилетним юношей, был зачислен студентом незадолго перед тем открытого Казанского университета.

Гимназия в Казани, основанная в 1758 г., первые десятилетия влачила жалкое существование, а в 1788 г. была вовсе закрыта. Ее восстановили в 1798 г., значительно укрепив в материальном отношении и пригласив хороших преподавателей. Счастливое начало деятельности возродившейся гимназии, а затем тесно связанного с нею университета, в значительной мере связано было с удачным подбором преподавателей. Мы отметим среди них И. И. Запольского, учителя, а затем адъюнкта физики, и особенно воспитанника Московского университета Г. И. Карташевского (1779—1840).

Знаменитый писатель С. Т. Аксаков, обучавшийся в Казани почти одновременно с Лобачевским, писал об их общем учителе: .Григорий Иванович принадлежал к небольшому числу тех людей, нравственная высота .которых встречается очень редко и которых вся жизнь — есть строгое проявление этой высоты“. И математике обучал Карташевский очень хорошо. Когда, рассказывает Аксаков, в Казань приехал Бартельс и впервые стал знакомиться с подготовкой студентов, то „Александр Максимович Княжевич разрешил ему из дифференциалов и конических сечений такую чертовщину, что Бартельс, как истинный ученый, пришел в восторг и, сказав, что для таких студентов надобно профессору готовиться к лекции, поклонился и ушел“.

* См В. Ф. Каган, Лобачевский. М.— Л. 1944, стр. 9-10. Впрочем, В. Ф. Каган указывает, что сведения Горьковского архивного бюро нуждаются еще в дополнительной проверке.

Второй учитель Лобачевского, профессор Бартельс, которого пригласил из-за границы попечитель Казанского университета акад. С. Я. Румовский, также был выдающимся педагогом, хотя и не принадлежал к числу творцов науки*. С 1808 г. он. поставил обучение математики в Казани на очень высокий уровень, опираясь в своем изложении на лучшие сочинения того времени. Анализ он читал, следуя Эйлеру и Лакруа, аналитическую механику по Лагранжу, дифференциальную геометрию по Монжу, основные разделы теории чисел по Гауссу (школьным учителем которого был в молодые годы). Лучших среди своих учеников, а их насчитывалось около 20 человек, он приучал и к самостоятельной работе над трудами классиков математики и механики. Некоторые другие педагоги не уступали Бартельсу по эрудиции и педагогическому таланту, например, известный астроном И. А. Литтров, любимым учеником которого был товарищ Лобачевского И. М. Симонов, впоследствии сам выдающийся астроном.

Не меньшую роль, чем преподавательская коллегия, сыграл в успехах Казанского университета и состав слушателей. Значительная часть учащихся в результате общего духовного подъема, который переживала в ту пору русская интеллигенция, горячо и искренно стремилась к знаниям и культуре и даже увлекала своих учителей. „Нельзя без удовольствия и без уважения вспомнить, — писал Аксаков, —какою любовью к просвещению, к наукам было одушевлено тогдашнее старшее юношество гимназии. Занимались не только днем, но и по ночам... Учителя были также подвигнуты таким горячим рвением учеников и занимались с нами не только в классах, но и во всякое свободное время, по всем праздничным дням... Прекрасное, золотое время! Время чистой любви к знанию, время благородного увлечения“. И Бартельс, как мы указывали ранее, отмечал это обстоятельство, говоря, что „нашел в Казани, несмотря на незначительное число студентов, необыкновенно много любви к изучению математических наук“.

Лобачевский быстро выдвинулся как лучший по математике студент. В 1811 г. Бартельс характеризовал его успехи с самой выгодной стороны и в отзыве попечителю, в частности, писал следующее: „О искусстве последнего (Лобачевского.— А. Ю.) предложу хотя один пример. Лекции свои располагаю я так, что студенты мои в одно и то же время бывают слушателями и преподавателями. По сему правилу поручил я перед окончанием курса старшему Лобачевскому предложить под моим руководством пространную и трудную задачу о вращении, которая мною для себя уже была по Лагранжу в удобопонятном виде обработана. В то же время Симонову было приказано записывать течение преподавания, которое я в четыре приема кончил, дабы сообщить его прочим слушателям. Но Лобачевский, не воспользовавшись сею запискою, при окончании последней лекции подал мне решение сей столь запутанной задачи, на нескольких листочках в четверку написанное. Г. академик Вишневский, бывший тогда здесь, неожиданно восхищен был сим небольшим опытом знаний студентов“**.

В 1811 г. Лобачевский был произведен в магистры. Приобретя превосходную подготовку по математике и смежным областям, он приступил сам к преподаванию— сперва к занятиям по арифметике и геометрии с чиновниками, готовившимися к сдаче экзаменов на чин, а затем и к работе в университете. В марте 1814 г. он был произведен в адъюнкты, а в августе 1816 г. получил кафедру математики со званием экстраординарного профессора (ординарным профессором он был назначен в феврале 1822 г.). В эти годы он читал теорию чисел, алгебру, анализ, сферическую тригонометрию, а также разделы элементарной математики, в то время еще входившие, как мы знаем, в университетский курс. В течение двух учебных лет Лобачевский заменял Симонова в преподавании физики и астрономии (Симонов участвовал в 1819—1821 гг. в кругосветной экспедиции Беллингсгау-

* Распространенный анекдот, будто Лаплас на вопрос о том, кто первый математик в Германии, ответил: .Бартельс, так как Гаусс первый математик в мире“, основан на недоразумении. Лаплас сказал это о Пфаффе. Впрочем, и в том и в другом случае приведенные слова Лапласа свидетельствовали более всего о плачевном состоянии тогдашней немецкой математики.

** А. В. Васильев, Николай Иванович Лобачевский, СПБ 1914, стр. 19-20.

зена), но затем возвратился к ведению математических курсов. В 30-е и 40-е годы он читал на II курсе интегральное исчисление, на III—интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, на IV—интегрирование уравнений с частными производными и вариационное исчисление. Лобачевский рекомендовал при этом слушателям известные руководства Лакруа, Кузена и Лагранжа, но сам вовсе не строго придерживался названных авторов. Его ученик, а затем преемник по кафедре проф. А. Ф. Попов рассказывал о своем учителе, что „в аудитории он заботился об изложении со всею ясностью, но любил более сам учить, нежели излагать по авторам, предоставив слушателям самим познакомиться с подробностями учебной литературы".

Просветительская деятельно:ть Лобачевского, однако, далеко выходила за рамки одних его прямых профессорских обязанностей. Начиная с августа 1818 г., когда он вошел в состав училищного комитета, руководившего училищами округа, и почти до конца дней своих Лобачевский вел напряженную административную и организационную работу в области просвещения, которая одна могла бы обеспечить ему почетное место в истории русского просвещения. На протяжении десятилетий Лобачевский заботливо руководил всей учебной работой обширного Казанского округа. В 1835—1840 гг. он лично знакомился с постановкой преподавания в школах Нижегородской, Симбирской и Пензенской губерний, вел частую переписку с директорами учебных заведений и, как показывают недавно произведенные архивные изыскания, оказал большое и плодотворное влияние на характер преподавания в школах округа вообще, и в особенности математики*. В течение 15 лет Лобачевский состоял председателем одного из отделений возникшего в 1839 г. Казанского экономического общества, причем к этой своей общественной должности относился с чрезвычайной добросовестностью. Так, он производил опыты высева различных сортов семян, пропагандировал ведение метеорологических наблюдений, написал доклад о развитии профессионального образования в связи с нуждами сельского хозяйства и т. д. Но основное значение, конечно, имели неустанные труды Лобачевского, как университетского деятеля.

Лобачевскому пришлось приступить к административной работе в Казанском университете в тяжелое семилетие попечительства Магницкого. В 1819 г. на него возложено было приведение в порядок крайне расстроенной университетской библиотеки, а с ноября следующего года также обязанности декана физико-математического факультета. Некоторое время спустя он вошел также в состав строительного комитета, а с февраля 1825 г. стал его председателем.

В связи со строительством университета Лобачевский специально изучает архитектуру, углубляется в финансовые отчетности и не упускает из виду ни одной детали порученного ему важного дела. Особенный размах деятельность строительного комитета приобрела в 1833 г., уже в эпоху ректорства Лобачевского, начавшегося вскоре после отставки Магницкого, с мая 1827 г., и продолжавшегося по август 1846 г. В течение 19 лет под руководством Лобачевского были выстроены анатомический театр, химическая лаборатория с физическим

Николай Иванович Лобачевский

* См. об этом обнаруженное В. М. Нагаевой „Наставление учителям математики в гимназиях“ Лобачевского и введение В. М. Нагаевой к этому документу, публикуемые в „Трудах Института истории естествознания“, т. II.

кабинетом и библиотекой, астрономическая и магнитная обсерватории, оранжерея и ряд хозяйственных построек. Характерно, что при начальной смете в 727 тысяч рублей комитету удалось сэкономить около 160 тысяч! Правда, в одном 1839 -г. комитету пришлось провести 125 заседаний. Лобачевский был настоящий, рачительный и расчетливый хозяин, который не экономил только свои силы и время. В значительной мере Лобачевскому же пришлось заняться оборудованием физического кабинета и обсерватории. И он же положил начало знаменитым „Ученым запискам“ Казанского университета, первая книжка которых вышла в 1834 г. и в которых была напечатана большая часть его бессмертных творений*. Глубокая преданность Лобачевского-ректора интересам университета, его духовной жизни и его материальной основе, такт, с которым он руководил профессурой, внимание к жизни студенчества снискали ему глубокое уважение и ученой коллегии, и молодежи. И совершенно прав П. С. Александров, говоря, что если бы Лобачевский даже не оставил „ни одной строчки самостоятельных научных исследований, мы должны были бы вспомнить о нем, как о значительнейшем нашем университетском деятеле, как о человеке, который высокому званию ректора университета дал такую полноту содержания, которой ему не придавал, повидимому, никто другой из лиц, носивших это звание,—до, во время или после Лобачевского“**. Параллельно со всем этим развивалось и научное творчество Лобачевского, на котором мы остановимся далее особо.

В ноябре 1845 г. Лобачевский был в шестой раз на очередное четырехлетие избран ректором университета. Однако в августе следующего года должно было исполниться 30-летие его профессорской работы, за которой, по уставу, должен был последовать выход в отставку. Совет университета возбудил ходатайство перед министром просвещения об оставлении заслуженного профессора на кафедре еще на пять лет, с тем, чтобы Лобачевский остался и на посту ректора. „Совет почитает,—гласил протокол,—за особенную честь для университета иметь в числе профессоров столь отличного ученого и опытного педагога“. Министерство не сочло, однако, нужным исполнить просьбу Совета. Вместо этого Лобачевский был назначен на сравнительно второстепенный пост помощника попечителя Казанского округа, и прямым начальником гениального ученого и замечательного просветителя вскоре оказался казанский помещик, генерал Молоствов. Слишком непокладистый и прямой, слишком просвещенный, Лобачевский, видимо, не был угоден начальству ни на посту ректора, ни на посту попечителя***. Отстранение Лобачевского от любимого дела, которому он отдал более тридцати лучших лет своей жизни, оскорбительное для его достоинства подчинение малокультурному Молоствову, наконец, глубокое горе в связи со смертью старшего сына — все это резко подорвало и ранее уже расстроенное здоровье Лобачевского. Силы его падают катастрофически быстро, а в довершение всего у него начинает заметно слабеть зрение. В последний год жизни великий геометр ослеп полностью, и предсмертную работу свою— „Пангеометрию“ он уже продиктовал двум своим ученикам. 12(24) февраля 1856 г. Лобачевский скончался.

2. Мировоззрение Лобачевского. О взглядах Лобачевского на мир, окружающий человека, на место человека в мире и в обществе, на принципы научного познания мы можем судить по отдельным сообщениям, по отрывкам из его математических трудов и по „Речи о важнейших предметах воспитания“, произнесенной и опубликованной в 1828 г.

Религиозность Лобачевского находится под большим сомнением. В юные годы университетская администрация обращала на это специальное внимание. Например, помощник университетского

* „Ученые записки“ заменили преимущественно нравоучительно-богословский „Казанский вестник“, которому Магницкий поставил главной задачей доказывать, что „христианское благочестие есть основание истинного доброго воспитания“.

** Сборник .Николай Иванович Лобачевский“, М.—Л„ 1943, стр. 19

*** Не забудем, что в эти годы нарастания революционных настроений во всей Европе министерство просвещения повело новое наступление на просвещение вообще, на университеты в частности (В. Ф. Каган, цит. соч., стр. 238— 242).

инспектора сообщал в 1811 г. Совету, что „мнение Лобачевского получило многие ложные понятия“, что он „в значительной степени явил признаки безбожия“, и лишь заступничество профессоров предотвратило те тяжелые последствия, которые могло в то время повлечь за собой подобное обвинение. Позднее, в 1825 г., по одному поводу Магницкий писал о „неуместной и поистине смешной гордости“ Лобачевского, которую трудно вылечить, „когда единственное от нее лекарство—вера—отвергнуто“. И мы знаем также, что Лобачевский, избегая вообще вступать в резкий конфликт с всесильным Магницким, решительно уклонился в 1821 г. от произнесения актовой речи, которую требовалось выдержать в духе ханжеского мистицизма. Это унизительное для честного ученого поручение выполнил угодливый профессор Никольский. „Слово о достоинстве и важности воспитания и просвещения, основанных на вере христианской“, произнесенное Никольским (Казань, 1821), полностью могло удовлетворить мракобесию попечителя. Оратор, в частности, опираясь на тексты из священного писания, обрушивался на „прелестное мнение деистов“, будто бог, сотворив мир, предоставил его далее самому себе, на „богопротивные толки материалистов о первобытном хаосе, из которого якобы мир мог сам собою составиться“, на идею о том, „что якобы земля впоследствии времени от уменьшения теплоты замерзнет“, и советовал искать научную истину в священном писании. Никольский заявлял, что все земные человеческие науки служат по большей части удовлетворению одной чувственности, „мамоне“, а для достижения идеала воспитания рекомендовал каждому студенту „быть меньшим всех, младенцем, кротким и благопослушным“.

Семь лет спустя, когда господству мистиков пришел конец и когда Лобачевский уже состоял ректором университета, он выступил со своей замечательной упомянутой речью. Многое он не договаривал до конца,—иначе поступить в 1828 г. было немыслимо, но и то, что он высказал вслух, ярко характеризует его глубокое уважение к человеческой личности, к просвещению и науке. Вопросы религиозного воспитания Лобачевский почти полностью обошел молчанием, и вся речь его была направлена против „идеалов“, возвещавшихся Никольским. Не мнимая кротость, не фальшивое умственное самоуничижение должны служить руководящими идеями воспитания, но широкое и многостороннее развитие человека, его умственных, художественных, нравственных и физических возможностей. Человек имеет право и, более того, обязан перед самим собою и перед другими людьми стремиться к гармоническому совершенствованию всех своих способностей—в этом состоят его честь, достоинство и слава, этого требует его патриотический долг, это, наконец, придает человеку силу преодолеть самый страх неизбежной смерти. В начале речи Лобачевский подчеркивал значение умственного воспитания. „В каком состоянии, воображаю, должен бы находиться человек, отчужденный от общества людей, отданный на волю одной дикой природе. Обращаю потом мысли к человеку, который среди устроенного, образованного гражданства последних веков просвещения высокими познаниями составляет честь и славу своего отечества. Какая разность! Какое безмерное расстояние разделяет того и другого. Эту разность произвело воспитание. Оно начинается с колыбели, приобретается сперва одним подражанием, постепенно развертывается ум, память, воображение, пробуждается любовь к себе, к ближнему, любовь славы, чувство чести, желание наслаждаться жизнью. Все способности ума, все дарования, все страсти, все это обделывает воспитание, соглашает в одно стройное целое, и человек, как бы снова родившись, являет творение в совершенстве“. Воспитание не должно подавлять страсти человека, но только придавать им полезное и благородное направление: насилие над природой человека вредно, а страсти, чем сильнее, тем полезнее в обществе, лишь направление их может быть общественно вредным. Одного умственного воспитания, однако, недостаточно. „Человек, обогащая свой ум познаниями, еще должен учиться уметь наслаждаться жизнью. Я хочу говорить об образованности вкуса. Жить—значит чувствовать, наслаждаться жизнью, чувствовать непрерывно новое... Ничто так не стесняет потока жизни, как невежество: мертвою, прямою дорогою провожает оно жизнь от колыбели к могиле. Еще в низкой доле изнури-

тельные труды необходимости, мешаясь с отдохновением, услаждают ум земледельца, ремесленника; но вы, которых существование несправедливый случай обратил в тяжелый налог другим, вы, которых ум отупел и чувство заглохло, вы не наслаждаетесь жизнью. Для вас мертва природа, чужды красоты поэзии, лишена прелести и великолепия архитектура, не занимательна история веков. Я утешаюсь мыслью, что из нашего университета не выйдут подобные произведения растительной природы; даже не войдут сюда, если к несчастию родились с таким назначением. Не войдут, повторяю, потому, что здесь продолжается любовь славы, чувство чести и внутреннего достоинства“. Перспектива развития человечества, одушевляемого взаимной любовью его сочленов и их благородным честолюбием, по Лобачевскому, необозрима. „Кажется, природа, одарив столь щедро человека при его рождении, еще не удовольствовалась, вдохнула в каждого желание превосходить других, быть известным, быть предметом удивления, прославиться и таким образом возложила на самого человека попечение о своем усовершенствовании. Ум в непрестанной деятельности стремится стяжать почести, возвыситься, и все человеческое племя идет от совершенства к совершенству—и где остановится?.. Будем же дорожить жизнью, пока она не теряет своего достоинства. Пусть примеры в истории, истинное понятие о чести, любовь к отечеству, пробужденная в юных летах, дадут заранее то благородное направление страстям и ту силу, которые дозволят нам торжествовать над ужасом смерти“.

Лобачевский не выступал против общественного строя, в котором он жил, хотя и отмечал „несправедливую случайность“ привилегий одних и „низкой доли“ других. В его речи заметны также черты индивидуализма, и его патриотизм, разумеется, не тот. который ныне воодушевляет советских людей. Не забудем, однако, что все эти мысли высказаны были более 100 лет назад,—тогда мы сможем полностью оценить их высокий общественный пафос. Речь Лобачевского интересна и в том отношении, что в ней явно заметны восходящие к передовой философии XVIII в. материалистические идеи Лобачевского (например, в характеристике формирования личности), с одной стороны, а с другой—его необыкновенная страстность в отношении к науке и возвышенное представление об общественном долге и чувстве чести подлинного ученого. Эти два обстоятельства весьма существенны для понимания научного творчества Лобачевского. Его материалистический подход к основным понятиям науки явился одной из предпосылок открытия неевклидовой геометрии, а его преданность истине, в искании которой он видел свой способ служения народу и человечеству, помогла ему не отступить в борьбе с насмешками или равнодушием, которые встретили его новаторские идеи среди современников.

Материалистическая трактовка некоторых коренных вопросов теории познания видна и из других высказываний Лобачевского. Единственный источник человеческого знания вообще Лобачевский усматривал в природе, в свойствах движущейся материи. Все в той же речи он, например, говоря о средствах к приобретению познаний, ссылался на слова Бэкона: „Оставьте трудиться напрасно, стараясь извлечь из разума всю мудрость; спрашивайте природу, она хранит все истины и на вопросы ваши будет отвечать вам непременно и удовлетворительно“. Убеждение в опытном происхождении всех наших знаний, в том числе и наиболее общих понятий науки, высказывалось Лобачевским неоднократно. Так, в первой печатной работе по неевклидовой геометрии „О началах геометрии“, 1829 г., он писал: „Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врожденным—не должно верить“. Мы сейчас увидим, какое значение имели эти воззрения Лобачевского для его научных открытий.

3. Лобачевский о принципах математического познания. Абсолютная истинность и единственная возможность всем известной системы геометрических предложений, которая около 300 г. до н. э. нашла замечательное завершение в „Началах“ Евклида, не подвергалась сомнению вплоть до начала XIX в. По иронии истории незадолго перед открытием неевклидовой геометрии, в конце XVIII в.,

Кант попытался сообщить евклидовой геометрии совершенную непоколебимость, объявив ее априорной формой пространственных представлений вообще. Он утверждал, что пространственные воззрения человека не обладают опытным происхождением, иначе, по Канту, аксиомы геометрии имели бы индуктивный характер, геометрия снизошла до уровня простой эмпирической дисциплины, а ее теоремы утратили безусловную достоверность. Геометрические представления—это своего рода врожденные идеи, это априорные схемы, которые человек накладывает на все существующее во внешнем мире и которые носят доопытный и внеопытный характер. „Пространство,—писал Кант,—не есть что-либо объективное и реальное, ни субстанция, ни атрибут, ни отношение, но субъективная и идеальная, происходящая из природы ума по постоянному закону как бы схема для координации всех внешних ощущений"*. Человек также не в состоянии мыслить явления вне рамок обычной геометрии, как не в состоянии, скажем, считать без чисел.

Воззрения Канта были хорошо известны в России начала XIX в. Выше рассказывалось о критике, которой подверг взгляды Канта на пространство харьковский профессор Осиповский. Кантианские идеи нашли распространение и в Казани, и Лобачевский не мог, разумеется, их не знать. Аксаков вспоминал о физике Запольском, что тот „любил пофилософствовать, он был последователь и поклонник Канта; на каждой лекции о физике он как-нибудь припутывал „Критику чистого разума“. Лобачевский занял в вопросе о природе геометрии и пространства материалистическую позицию, диаметрально противоположную кантианской, и вместе с тем подошел к этой проблеме неизмеримо глубже всех своих предшественников. Для него пространственные представления являлись отвлечениями от единственно наблюдаемых нами в мире материальных движений, а характер геометрических предложений должен был опредэляться свойствами физического мира, по существу законами действия сил, т. е. механикой. „В природе,—писал он,—мы познаем собственно только движение, без которого чувственные впечатления невозможны. Итак, все прочие понятия, например, геометрические, произведены нашим умом искусственно, будучи взяты в свойствах движения; а потому пространство, само собой, отдельно, для нас не существует. После чего в нашем уме не может быть никакого противоречия, когда мы допускаем, что некоторые силы в природе следуют одной, другие своей особой геометрии“ („Новые начала геометрии“, 1835). Именно опираясь на эту материалистическую концепцию пространства, Лобачевский и пришел к созданию неевклидовой геометрической системы и тем самым нанес заодно сокрушительный удар кантианству.

Если одной из предпосылок гениального открытия Лобачевского явились эти его философские воззрения, то другой послужило его отношение к проблемам обоснования математики. Мы знаем, что еще в XVIII в. математики испытывали неудовлетворенность нестрогим обоснованием анализа бесконечно-малых,—выразителем этих тенденций у нас в России явился прежде всего С. Е. Гурьев. Старания ученых XVIII в. не привели, однако, в свое время к сколько-нибудь полному решению вопроса, хотя во многом подготовили почву для последующей реформы анализа. Вместе с тем попытки их носили в большой мере характер критического анализа и обоснования уже наличных понятий, уже применявшихся методов исследования, но не обладали подлинной эффективностью, не служили сами для дальнейшего творческого развития математики. В самом конце XVIII в. и в первые десятилетия XIX в. положение дела резко изменилось. Проблемы обоснования математики приобретают жизненное значение, и без их решения становятся невозможными ни дальнейший прогресс ее, ни применение ее в естествознании. На первый план выдвигаются разнообразные проблемы существования, т. е. вопросы об условиях, в которых имеют реальный смысл различные математические понятия и операции, например, о существовании интеграла функции, решения дифференциального уравнения, корня алгебраического уравнения, о разрешимости такого уравнения в радикалах, о действиях над рядами, о разложимости функций в степенные или тригонометрические ряды

* Кант, О форме и началах мира чувственного и умопостигаемого, пер. Н. Лосского, СПБ 1910, стр. 21.

о значении комплексных величин и т. д. И в самых разных местах Европы начинается интенсивная работа по пересмотру схарых понятий и по выдвижению новых идей и методов исследования. Выдающимися реформаторами математики выступили Коши и Гаусс, а также норвежец Абель, чех Больцано, венгерец И. Больаи, ирландец У. Гамильтон, француз Галуа. Почетнейшее место среди этих обновителей математики занял гениальный русский геометр Лобачевский.

Стремление к строгому критическому анализу фундаментальнейших понятий науки пронизывает творчество Лобачевского в различных направлениях, и он сам отчетливо выразил эту тенденцию в предисловии к своему курсу алгебры. „Алгебру и Геометрию, —писал Лобачевский,— постигла одинаковая участь. За быстрыми успехами вначале следовали весьма медленные и оставили науку на такой степени, где она еще далека от совершенства. Это произошло, вероятно, оттого, что математики все свое внимание обратили на высшие части Аналитики, пренебрегая началами и не желая трудиться над обрабатыванием такого поля, которое они уже раз перешли и оставили за собою. Всякий, надеюсь, согласится со справедливостью моего замечания, что первые понятия во всех отраслях Математических наук приобретаются легко; но всегда соединены с недостатками, которые пополнить даже и впоследствии бывает весьма трудно. Если писатели для начинающих опускают это из виду, то они предполагают другую цель, опасаясь бесполезно затруднить читателей. Где-нибудь, однакож, надобно воротиться снова к началам и теперь уже всю строгость почитать у места“ („Алгебра, или вычисление конечных“, 1834).

Эти общие установки Лобачевского привели его к замечательным по математической и логической тонкости мыслям в ряде вопросов. Например, он несколько ранее Дирихле сформулировал о5щее понятие о функции, как о произвольном соответствии между числами-элементами двух совокупностей*. Он подчеркнул также необходимость отчетливо различать между непрерывностью (по его терминологии „постепенностью“) и дифференцируемостью („непрерывностью“) функции**. Но наиболее замечательным явилось гениальное применение этих общих идей к критическому анализу начал геометрии.

4. Открытие неевклидовой геометрии. Со времен Евклида в основу системы геометрических предложений всегда кладется небольшая группа исходных положений, аксиом или постулатов (которые до Лобачевского считались самоочевидными и безусловными истинами) и определений некоторых основных понятий,— и из этих аксиом дедуктивно выводятся все прочие предложения (теоремы). Списки аксиом Евклида несколько менялись позднее от одного автора к другому, но одна из аксиом издавна приобрела в глазах математиков совершенно особый интерес. Ни у кого не вызывало сомнений, что через две точки можно провести один и только один прямолинейный отрезок, который можно неограниченно продолжать в обе стороны, что из данной точки, как центра, через другую данную точку можно провести на плоскости одну окружность или что при прибавлении к равным величинам других равных величин получаются равные. Знаменитый евклидов постулат о параллельных также не вызывал сомнений по существу своему, но сложный характер его формулировки и относительно меньшая самоочевидность обра-

* „Общее понятие требует, чтобы функцией от данного X называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно меняется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое дает средство испытать все числа и выбирать одно из них, или зависимость может существовать и оставаться неизвестною... В таком случае предположение, будто функция выражается аналитически, должно назваться произвольным... Обширный взгляд теории допускает зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими принимать как бы данными вместе. Лагранж в своем вычислении функций, которым хотел заменить дифференциальное, столько же, следовательно, повредил обширности понятия, сколько думал выиграть в строгости рассуждения“ („Об исчезновении тригонометрических строк“, 1834).

** „Способ уверяться в исчезании бесконечных строк“, 1835. Стоит отметить, что вскоре выдающийся чешский ученый Б. Больцано (1781 — 1848) задолго до Вейерштрасса нашел первый пример непрерывной, ко нигде не дифференцируемой функции,— пример, опубликованный много времени спустя после его смерти

тили на него особенное внимание геометров. Этот V постулат Евклида гласил: если при пересечении двух лежащих в одной плоскости прямых третьей сумма внутренних односторонних углов меньше 2d, то названные две прямые не параллельны, т. е. при достаточном продолжении пересекаются (и притом с той стороны, с которой сумма указанных углов менее 2d)*. Попытки доказательства V постулата начались еще в античности и впоследствии предпринимались неоднократно математиками первого ранга. Так, Валлис доказывал этот постулат, отправляясь от очевидного в его глазах наличия подобных треугольников, Бертран применял остроумные соображения, связанные с незакономерным, как выяснилось позднее, сравнением бесконечно-больших областей плоскости.

Итальянец Саккери пришел к оригинальной идее: доказать постулат о параллельных от противного. Для этого он восстановил к линии AB два равных по величине перпендикуляра АС и BD. В возникающем четырехугольнике ABCD углы ACD и BD С равны между собой и могут быть либо тупыми, либо острыми, либо прямыми (в последнем случае имеет место евклидов постулат). Саккери поставил целью привести гипотезы тупого и острого углов к противоречию. Это удалось ему в известном смысле для первой гипотезы; он ошибочно полагал также, что смог достичь того же и в предположении острого угла. Много усилий потратил на доказательство евклидова постулата и выдающийся французский математик Лежандр. Одно более раннее ошибочное доказательство его мы приводили выше,—ошибку обнаружил акад. С. Гурьев. Позднее Лежандр свел доказательство постулата с параллельных к исследованию суммы углов в плоском треугольнике. При некоторых предпосылках он сумел доказать, что эта сумма не может превосходить 2d**. Оставалось доказать, что она не может быть также менее 2d, в таком случае она была бы равна 2d, и отсюда следовала бы аксиома о параллельных. Все попытки Лежандра в этом направлении, однако, оказывались тщетными.

В итоге к началу XIX в. проблема параллельных оставалась неразрешенной, разделяя судьбу классических задач древности об удвоении куба или квадратуре круга. Усилия множества математиков приводили только к тому, что взамен евклидова постулата принимался без доказательства какой-либо другой недоказанный постулат, представлявшийся данному автору более несомненным, но по существу ему равносильный, либо к тому, что из допущения неевклидовой гипотезы получались следствия, отпугивавшие своей видимой парадоксальностью, но тем не менее не дававшие доказательства V постулата. Положение представлялось безысходным. Иные приходили к выводу, что проблема доказательства V постулата при помощи остальных аксиом геометрии просто неразрешима и должна быть оставлена навсегда. Выдающийся знаток вопроса геометр Больаи писал в 20-х годах XIX в. своему сыну Иоганну: „Молю тебя, не делай только и ты попыток одолеть теорию параллельных линий: ты затратишь на это все свое время, а предложения этого вы не докажете все вместе. Не пытайся одолеть теорию параллельных линий ни тем способом, который ты сообщаешь мне, ни каким-либо другим. Я изучил все пути до конца: я не встретил ни одной идеи, которой бы я не разрабатывал. Я прошел весь беспросветный мрак этой ночи, и всякий светоч, всякую радость я в ней похоронил. .. Этот беспросветный мрак... никогда не прояснится на земле, и никогда несчастный род человеческий не будет владеть чем-либо совершенным даже в геометрии. Эта большая и вечная рана в моей душе“***. Беспросветный мрак, о котором писал Больаи старший, удалось рассеять Лобачевскому.

Лобачевский заинтересовался теорией параллельных линий рано. В лекциях, которые он читал в 1815—1817 гг., он пытался еще найти доказательство постулата о параллельных. В рукописном учебнике „Геометрия“, 1823 г. (издан-

* Комментатор Евклида, англичанин Плейфер, предложил в середине XVIII в. заменить постулат Евклида другим, более очевидным: через точку, лежащую вне прямой, можно в их общей плоскости провести только одну прямую, не пересекающую первой.

** Лежандр и Саккери исходили из евклидова представления о неограниченности прямой

*** В. Ф. Каган, цит. соч., стр. 127.

ном в 1909 г.) он, однако, отказался от этих попыток и писал: „Строгого доказательства сей истины до сих пор не могли сыскать; какие были даны, могут назваться только пояснениями, но не заслуживают быть почтены в полном смысле математическими доказательствами“. А еще три года спустя, 11 февраля ст. ст. 1826 г., Лобачевский представил физико-математическому отделению „Краткое изложение начал геометрии“, в котором уже были изложены руководящие идеи новой геометрической системы. Это „Краткое изложение“ вошло составным элементом в его классический труд „О началах геометрии“ („Казанский вестник“, 1829— 1830), впервые ознакомивший мир с неевклидовой геометрией.

Я говорил уже о философских предпосылках открытия Лобачевского и о его неизменном стремлении к строгости в анализе математических идей. Все это было важно в качестве предварительного условия создания неевклидовой геометрии. Исключительно смелый, новаторский подход Лобачевского к самой постановке проблемы обоснования геометрии и гениальная математическая одаренность позволили ему сделать еще один, и важнейший, шаг в ее решении. Этот шаг заключался в том, что Лобачевский осознал и доказал возможность новой,отличной от евклидовой, геометрической системы, в которой постулат о параллельных заменен другим, осознал и доказал возможность нового представления о пространстве вообще. Клиффорд назвал Лобачевского „Коперником геометрии“. Творчество Лобачевского оказало, действительно, не менее революционное влияние на последующее развитие науки, чем в свое время гелиоцентрическая система Коперника. Но „коперниканские“ идеи высказывались, как то было известно и творцу гелиоцентрической системы, еще в античной древности. Лобачевский же в этом отношении не имел предшественников.

В своем первом мемуаре Лобачевский указывает, что „Начала“ Евклида „несмотря на глубокую древность их, несмотря на блистательные успехи наши в Математике, сохранили до сих пор первобытные свои недостатки. В самом деле, кто не согласится, что никакая математическая наука не должна бы начинаться с таких темных понятий, с каких, повторяя Евклида, начинаем мы Геометрию, и что нигде в Математике нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой принуждены были допустить в теории параллельных линий“. Все содержание мемуара и должно было показать, как восполнить этот коренной недостаток строгости в прежней постановке вопроса. Центральная идея состояла в том, что старое евклидово представление о пространстве является не единственно возможным, что принципиально неверно абсолютизировать старые, укоренившиеся представления о пространственных свойствах мира. „Сумма углов прямолинейного треугольника,— писал Лобачевский, — не может быть > тс. Остается предполагать эту сумму = те или < тт. То и другое может быть принято без всякого противоречия в последствии, от чего и происходят две Геометрии— одна, употребительная до ныне по своей простоте, соглашается со всеми измерениями на самом деле; другая, воображаемая, более общая и потому затруднительная в своих вычислениях, допускает возможность зависимости линий от углов“.

Черт. 1

В построении новой геометрической системы Лобачевский исходит прежде всего из новой аксиомы о параллельности. Если в плоскости даны прямая AB и точка С вне ее, то через точку С проходят две прямые, CL1 и CL2 нигде не пересекающие AB (параллельные ей); эти параллельные прямые отделяют прямые, лежащие внутри вертикального угла LXCL2 и сходящиеся с прямой AB, от прямых, лежащих внутри вертикальных углов L^M^ L2CM2 и расходящихся с ней. Угол параллелей ^.DCL2=^4DCLU с перпендикуляром CD к прямой AB Лобачевский назвал углом параллельности (в евклидовой системе он равен прямому). Для этого угла он выводит

одну из основных формул воображаемой геометрии, устанавливающую связь между длиной отрезка CD = а и соответствующим ему углом параллельности г(а) в виде tg-тр =е ,„где е—неопределенное постоянное число, но под которым можем разуметь основание Непперовых логарифмов, по причине неизвестности, какая линия берется единицей при измерении прямых“. В том же мемуаре Лобачевский вывел основные тригонометрические соотношения воображаемой геометрии, ввел понятие о предельной линии и поверхности (в которые переходят окружность и шаровая поверхность при удалении центра их в бесконечность), построил аналитическую геометрию на плоскости, вывел основные дифференциально-геометрические формулы (дифференциал дуги, площади и объема). Он указал вместе с тем, что геометрия на предельной сфере (при замене прямых на предельные линии) совпадает с общепринятой геометрией на плоскости и что соотношения евклидовой геометрии выполняются в малых областях пространства воображаемой геометрии с точностью до малых высшего порядка*.

Внешняя парадоксальность ряда теорем новой геометрии (отсутствие подобных фигур, наличие границы площадей треугольников, зависимость между отрезком и углом) не смущала Лобачевского. Оставалось, однако, два вопроса кардинальной важности. Первый из них состоял в том, какова геометрия видимого мира, а второй — в том, как строго доказать непротиворечивость новой системы. Что касается первого вопроса, то рассмотрение астрономических данных, именно параллаксов неподвижных звезд, привело Лобачевского к заключению, что „все линии, которые подлежат нашему измерению, даже расстояния между небесными телами, столько малы в сравнении с линиею, принятою в теории за единицу, что употребительные до сих пор уравнения прямолинейной Тригонометрии без чувствительной погрешности должны быть справедливы“**. Для решения второго вопроса Лобачевский прибегнул к приему, не обладающему по существу строгой доказательностью, но все же подкреплявшему его уверенность во внутренней согласованности системы „воображаемой геометрии“. Это были именно чрезвычайно искусные и остроумные приложения найденных им формул для измерения фигур к вычислению ряда сложных определенных интегралов. Совпадение результатов некоторых таких вычислений со значениями тех же интегралов, полученными чисто аналитически, дополнительно убеждало Лобачевского в прочности системы соотношений новой геометрии. „Обыкновенная Геометрия,— писал он в итоге, — Тригонометрия и эта новая Геометрия всегда будут согласны между собой“.

Мемуар „О началах геометрии“ содержал не только принципы новой математической дисциплины, но и развитие их в основных направлениях. В дальнейшем Лобачевский совершенствует и углубляет свои построения. Вместе с тем он широко пропагандирует свои идеи. В 1835—1839 гг. он публикует особенно полное изложение вопроса в „Новых началах геометрии с полной теорией параллельных“, издает за границей мемуары на французском и немецком языках (1837 и 1840) и еще за год до смерти диктует обширное сочинение „Пангеометрия“, заменяя этим термином прежнее двусмысленное наименование „воображаемой геометрии“.

5. Алгебра Лобачевского. Среди других работ Лобачевского, который был геометром по преимуществу,— но не только геометром,— заслуживают разбора его труды по анализу и по алгебре. Недостаток места не позволяет остановиться на них здесь подробно. Основная черта их—это то же постоянное внимание к строгости математических понятий. Выше отмечались уже его тонкие рассуждения в статьях о бесконечных рядах. Весьма интересен был и университетский курс „Алгебры, или вычисления конечных“ Лобачевского (Казань, 1834).

* Изложение геометрии Лобачевского см. в статье Б. Н. Делоне „Неевклидова геометрия Лобачевского“ в журнале „Математика в школе“, 1946, № 6.

* Впрочем, Лобачевский прозорливо оставлял открытым вопрос о том, „какого рода перемена произойдет от введения воображаемой геометрии в механику“ и физику, в частности—„за пределами видимого мира, либо в тесной сфере молекулярных притяжений“ („Новые начала геометрии,“ 1835).

В первых главах этого руководства, посвященных основным операциям, Лобачевский детально исследовал их фундаментальные свойства. Например, он определяет нуль условиями a-f-0 = a и ö-\-a = a; обосновывает равенство a-f-+(/? +О + + своеобразным „методом спуска“ и уже отсюда получает переместительность сложения (при а =0, bJrc = c-{-b); он считает даже необходимым доказывать, что разность двух чисел может быть одним единственным числом. Понятия о положительных и отрицательных числах он вводит формально, „единственно в намерении правила сложения и вычитания сделать общими“. Во всем этом он самостоятельно прокладывал пути к созданию новой алгебры, которую одновременно создавали и западноевропейские математики.

Опираясь на лучшие результаты Гаусса, Коши, Фурье и других учеиых, Лобачевский внес в свое руководство и собственные интересные открытия и идеи. Так, в гл. IX он приводит подробный разбор систем линейных уравнений, в своеобразной форме применяя определители, „представительные выражения “. Для обозначения детерминанта он при этом вводит новые символы. Так, выражение:

ЩкЬсф-k) (с-Ь) (с — k)\

он понимает как определитель третьего порядка, сперва формально перемножая скобки, а затем низводя показатели в индексы букв:

Далее он применяет и другую символику:

и т. п.* Формулу бинома Ньютона он доказывает со всей строгостью путем полной математической индукции, „наведения“. В курс высшей алгебры он вводит, далее, довольно полную теорию логарифмов, включая разложения в сте-

пенные ряды, а также тригонометрические функции, которые определяет чиста аналитически в сущности по формулам Эйлера. „Надеюсь,— писал он в этой связи в предисловии,— что меня одобрят, потому что не только решение уравнений требует такого пособия, но даже и учение о степенях осталось бы иначе не полным“.

В теории уравнений необходимо отметить два пункта. Это, во-первых, оригинальные дополнения, внесенные Лобачевским в гауссову теорию двучленного уравнения вида хп—1=0 (найденные им еще в 1813 г.), а затем — важнейший способ численного решения алгебраического уравнения, который, как он справедливо подчеркивал, „заслуживает внимания по краткости и легкости вычисления в сравнении с другими, известными мне способами“. Это именно был знаменитый способ приближенного вычисления корней, основанный на отделении корней путем составления уравнения, корни которого суть 2*-ые степени корней данного уравнения (гл. XVII). Прием этот, до сих пор часто называемый способом Греффе, был опубликован Лобачевским на три года ранее Греффе (в 1828 г. его нашел также бельгиец Данделен). По существу этот способ должен называться методом Данделена — Лобачевского.

Алгебра Лобачевского была, разумеется, побочное, но вместе с тем замечательное творение его гения. Она нуждается еще в более тщательном исследовании**.

6. Лобачевский и современники. В те же годы, что и Лобачевский, теорией параллельных занимался молодой венгерский математик Иоганн Больай. Независимо от Лобачевского, но на три года позднее, в 1832 г., он опубликовал в приложении („Appendix“) к учебному руководству своего отца весьма краткое изложение основных начал новой геометрии. И был еще один математик, в косвенной форме — в переписке с друзьями — заявивший права на открытие неевклидовой геометрии — Гаусс. Роль Гаусса в истории неевклидовой геометрии

* Символика эта принадлежала самому Лобачевскому. Заметим, что введение определителей в курс алгебры было в то время весьма редким явлением.

** Нельзя не упомянуть еще, что в одной астрономической работе 1842 г. Лобачевский выдвинул идею о синтезе двух антагонистических теорий света истечения и волновой в одну единую теорию, в которой „частички света получают в своем источнике как погонное, так и качательное движение“.

оказалась весьма своеобразной, и на ней нужно коротко остановиться.

При жизни своей Гаусс публично не обмолвился ни одним словом о неевклидовой геометрии. Но из посмертно изданной его переписки (1863 г.) выяснилось, что в конце 10-х годов XIX столетия Гаусс убедился в возможности неевклидовой геометрической системы, в разработке которой он сделал для себя лично несколько первых шагов. В одном письме 1824 г. к занимавшемуся теорией параллельных линий юристу Тауринусу он кратко очертил свои идеи по этому вопросу, потребовав, впрочем, чтобы адресат держал его сообщение в строжайшем секрете. Несколько позднее, в 1829 г., он писал астроному Бесселю, что еще нескоро обработает свои идеи „так, чтобы их можно было опубликовать“. „Возможно даже,—продолжал Гаусс,— — что я не решусь на это всю свою жизнь, ибо я боюсь крика беотийцев (т. е. глупцов.—А. Ю.), который поднимется, когда я выскажу свои воззрения целиком“. Так Гаусс и поступил в действительности. Занятия его неевклидовой геометрией остались, таким образом, моментом его личной биографии, а не истории науки, на развитие которой не оказали никакого влияния. Он не осмелился даже оказать открытой поддержки ни Больай, ни Лобачевскому, с трудами которых познакомился. Гаусс лишь косвенным образом выразил свое одобрение трудам Лобачевского, для более подробного ознакомления с которыми даже изучил русский язык. Он именно предложил в 1842 г. избрать творца неевклидовой геометрии членом-корреспондентом Геттингенского научного общества и лично известил Лобачевского об этом избрании.

Безусловный приоритет Лобачевского в открытии неевклидовой геометрии не может быть подвержен каким бы то ни было сомнениям. Но дело не только в этом приоритете и не только в смелости Лобачевского, столь отличавшей его от Гаусса, или в его великолепном упорстве, отличавшем его от Больай (который, не найдя у Гаусса поддержки, впал в меланхолию и не опубликовал после 1832 г. ни одного труда по геометрии). Как справедливо пишет В. Ф. Каган, „Уже в первой работе Лобачевского неевклидова геометрия развернута несравненно шире и глубже, нежели это было сделано Гауссом и Больай; в последующих же работах он дал ей еще гораздо более углубленное развитие. Можно сказать, что работа Лобачевского находится в таком же отношении к результатам Гаусса и Больай, как современная геометрия во всем ее развитии относится к элементам геометрии, к „Началам“ Евклида. Это творение несравненно более высокого порядка“*. И математики в последующем развитии геометрических идей отправились прежде всего от трудов Лобачевского.

Из современников Лобачевского только Гаусс и Больай сумели оценить глубину его открытия. Остальные математики отнеслись к созданию неевклидовой геометрии с иронией или, в лучшем случае, с безразличием. Совершенно не поняли его доклада в 1826 г. Симонов и работавший тогда в Казани Брашман. Учитель Лобачевского, проф. Бартельс смотрел на его геометрические труды „более как на интересные и остроумные исследования, чем как на работу, полезную для прогресса науки“**. Не встретили открытия Лобачевского сочувствия и у замечательного русского математика М. В. Остроградского, а акад. Буняковский в своем сочинении „Параллельные линии“ (СПБ 1853) обошел имя Лобачевского полным молчанием. Из кругов, повидимому, связанных с Остроградским, вышла опубликованная в булгаринском „Сыне отечества“ за 1834 г. статья, в которой мемуар „О началах геометрии“ третировался как сатира или карикатура на геометрию“***.

Вскоре, однако (к сожалению, лишь после смерти Лобачевского) пришло и признание. В начале 60-х годов имя Лобачевского начинает встречаться на страницах некоторых геометрических и философских книг. Публикация переписки Гаусса, в которой сочинениям Лобачевского дана была самая высокая оценка,

* См. Н. И. Лобачевский, Полное собрание сочинений, т. I, M—Л. 1946, стр. 166.

** См. Б. Г. Кузнецов, Ломоносов, Лобачевский, Менделеев, М.—Л. 1945, стр. 171. Это, между прочим, доказывает, что Бартельс не был знаком с идеями глубокоуважаемого им Гаусса, и лишний раз опровергает тенденциозные попытки некоторых иностранных историков, надеявшихся обнаружить какое-либо влияние Гаусса на Лобачевского.

*** Правда, первые мемуары Лобачевского были написаны чрезвычайно трудно.

дополнительно привлекла внимание к его трудам (и только таким путем Гаусс посмертно несколько содействовал успехам неевклидовой геометрии). В 1866 г. Гуель издает французский перевод с немецкого „Геометрических исследований по теории параллельных линий“, а год спустя —специальную работу, излагающую идею Лобачевского. Еще через год профессор Московского технического училища Ал. Вас. Летников публикует в III т. Математического сборника (Москва, 1868) русский перевод „Геометрических исследований“, предпосылая ему статью, в которой пишет, что это сочинение Лобачевского „бросает совершенно новый свет на основные начала геометрии и открывает новый, еще не разработанный путь разысканиям, которые могут привести к неожиданным открытиям“. Баттальини в 1867 г. выпускает в свет итальянский перевод „Пангеометрии“, и в это же время начинается триумфальное развитие новой геометрии. В 1867 г. выходит посмертно из печати глубокое исследование Б. Римана „О гипотезах, лежащих в основании геометрии“, в котором с чрезвычайной сжатостью изложены были идеи дальнейшего обобщения понятия о пространстве и, в частности, идея кривизны многомерных пространств. Почти одновременно с этим Бельтрами удалось найти первую геометрическую интерпретацию системы Лобачевского на так называемой псевдосфере. Интерпретация эта, правда, еще не обладавшая в некотором отношении полнотой, значительно содействовала привлечению интереса математиков всего мира к нееквлидовой геометрии. Вслед затем в разработке новых геометрических идей принимают участие крупнейшие математики мира: Пуанкаре. Клейн, Ли, Пеано, Гильберт и др. Рамки учения о пространстве раздвигаются при этом шире и шире, возникают обширные исследования о различных мыслимых системах геометрии; исследования о непротиворечивости геометрических систем приводят к разработке мощного аксиоматического метода, который находит затем применение во всех областях математики. Самое развитие неевклидовых геометрий связывается с развитием других математических дисциплин, как проективная геометрия, теория групп и т. д. Наконец, идеи обобщенной неевклидовой геометрии проникают в механику и физику и становятся одной из предпосылок современных физических теорий, приводящих к выводу, что пространство физического мира оказывается своеобразным неевклидовым пространством. Лобачевский стоял еще в начале того пути, на который стали в наше время математика и физико-математические науки, но он первый сообщил направление нынешнему их развитию. Имя великого новатора навсегда будет записано золотыми буквами в истории человеческой мысли.

Так, в творчестве Лобачевского впервые, и при этом с необыкновенной силой, проявились те три черты русской математики, которые были указаны нами ранее: широкий материалистический подход к проблемам науки, великое идейное новаторство и сознание важнейшего общественного значения просвещения и научной деятельности.

К ВЕСЕННИМ ИСПЫТАНИЯМ

О ПРИЕМНЫХ ИСПЫТАНИЯХ ПО МАТЕМАТИКЕ НА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОМ И ФИЗИЧЕСКОМ ФАКУЛЬТЕТАХ МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА В 1947 г.

П. С. МОДЕНОВ (Москва)

Приемные испытания по математике в 1947/48 учебном году свидетельствуют о положительных сдвигах в подготовке учащихся средней школы по математике за последний год. Если же провести сравнение за более длительный период времени, то разница в подготовке получится более внушительной. Причины неуклонно растущей подготовки учащихся средней школы кроются в целом комплексе мероприятий, принимаемых для улучшения работы средней школы. Сеть курсов повышения квалификации и усовершенствования учителей, лекции для учителей и учащихся, организуемые как органами Министерства просвещения, так и целым рядом учебных заведений, способствуют повышению математической культуры учащихся. Хочется отметить огромную работу Московского математического общества при МГУ, под руководством которого уже много лет подряд проводятся математические олимпиады, лекции профессоров МГУ для школьников (эти лекции посещаются и преподавателями), систематические занятия кружков по математике для школьников, консультации для поступающих в вузы и т. д. Всю эту работу трудно переоценить. Она уже принесла и будет приносить огромную пользу. Этот опыт работы следовало бы использовать и другим высшим учебным заведениям.

Для иллюстрации того, как сильно возросла математическая культура учащихся, может служить список задач (см. в настоящем номере отдел „Задачи“, стр. 63), которые предлагались учащимся для подготовки к олимпиаде (и эти задачи решали многие учащиеся!).

Изменилось и преподавание в вузах. К студентам с самого начала предъявляются более высокие требования. В качестве примера могу указать, что студенты физического факультета I курса в нынешнем учебном году с первых же недель занятий приступили к изучению теории действительного числа, причем факультативно в ряде групп они познакомились с различными построениями этой теории, получили понятие изоморфизма и т. д. Понятие множества прочно вошло в университетские курсы уже с первых шагов. И все это большинство студентов понимают и осознают. Интерес к математике большой, а работы студентов в математических кружках, семинарах, в научном студенческом обществе и т. д. еще раз подтверждают, что математическое воспитание стоит у нас на правильном пути.

За последние десятилетия средняя школа получила от университетов, педагогических институтов и учительских институтов целую армию высококвалифицированных преподавателей.

Вот те огромные достижения, которыми может гордиться наша школа.

Возросшие требования к абитуриентам можно иллюстрировать темами работ по алгебре и геометрии с тригонометрией, которые были предложены в 1947/48 учебном году в МГУ на механико-математическом и на физическом факультетах. Каждая тема состоит из трех задач (нумерация вариантов мною изменена).

Многие из предложенных задач были блестяще решены абитуриентами. Это еще раз свидетельствует о том, что в наши вузы идет талантливая и в большинстве своем отлично подготовленная молодежь.

А-1

1) В колбе в начальный момент имеется N бактерий. К концу каждого часа количество бактерий увеличивается на р°/0 по сравнению с тем количеством их, которое имелось в начале этого часа; кроме того, в конце каждого часа из колбы берется порция, содержащая п (п < N) бактерий. Через сколько часов количество бактерий в колбе будет превышать (после изъятия соответствующей порции) начальное количество их в два раза?

Выяснить условия, при которых задача имеет решение.

2) Решить систему уравнений:

3) Сколько рациональных членов содержится в разложении:

1) Определить номер наибольшего члена разложения

по убывающим степеням буквы р, предполагая, что

Р>0, q>0, p + q=l

При каких условиях: а) наибольшим членом будет первый; в) наибольшим членом будет последний; с) разложение будет содержать два одинаковых последовательных члена, превышающих все остальные члены разложения.

2) Упростить выражение:

если

где числа а, Ь действительны и

3) Решить уравнение:

А-3

1) Длины сторон треугольника образуют возрастающую геометрическую прогрессию. В каких границах может меняться знаменатель этой прогрессии?

2) Упростить выражение

если где

3) Решить уравнение:

А-4

1) Доказать, что в разложении

(а>0, 6>0; п — целое положительное число) не может быть трех одинаковых последовательных членов. При каких условиях это разложение имеет два одинаковых последовательных члена? 2) Упростить выражение:

если

п > 1.

3) Решить систему уравнений:

А-5

1) Из чисел 1, 2, 3,.. 100 составлены всевозможные различные парные произведения. Сколько среди полученных таким образом чисел будет таких, которые кратны 3.

2) Упростить выражение:

если

3) Решить уравнение:

А-6

1) Знаменатель геометрической прогрессии равен

Показать, что каждый член (начиная со 2-го) этой прогрессии равен разности двух соседних с ним.

2) Упростить выражение

если

0<а< 1.

3) Решить систему уравнений:

Г-1

1) Доказать, что произведение длин перпендикуляров, опущенных из какой-нибудь точки окружности на две противоположные стороны вписанного в нее четырехугольника, равно произведению длин перпендикуляров, опущенных из той же точки на две другие стороны этого четырехугольника.

2) Полная поверхность прямого кругового конуса в п раз больше поверхности вписанного в него шара. Под каким углом образующие этого конуса наклонены к плоскости его основания?

3) Решить систему уравнений?

Г 2

1) Стороны треугольника ABC равны (соответственно) а, Ьу с. Определить, в каком отношении биссектриса угла А делит отрезок стороны ВС, заключенный между точками пересечения ее с медианой и высотой треугольника, проведенными из вершины А.

2) Определить объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно /, а двугранный угол между двумя смежными боковыми гранями равен ß.

3) Доказать, что

Г-3

1) Правильный треугольник А ВС разбивается прямой на два треугольника: ABD и ACD. В каком отношении прямая AD делит сторону ВС, если радиус круга, вписанного в треугольник АВЦ в два раза больше радиуса круга, вписанного в треугольник ACD?

2) Прямая линия — касательная к боковой поверхности конуса — составляет с образующей, проходящей через точку касания, угол 6. Какой угол составляет эта прямая с плоскостью основания Р конуса, если образующие его наклонены к плоскости Р под углом а?

3) Решить уравнение:

Г-4

1) Хорда, проходящая через точку М, лежащую внутри окружности, делится в этой точке в отношении m :п. В каком отношении делит данную окружность эта хорда, если она образует угол ср с диаметром, проходящим через точку /И?

2) В основании четырехугольной пирамиды лежит ромб, сторона которого равна а и острый угол равен а. Плоскости, проходящие через вершину пирамиды и диагонали основания, наклонены к плоскости основания под углами ср и <!/. Определить объем пирамиды, если высота ее пересекает сторону основания.

3) Решить уравнение:

Г-5

1) Доказать, что прямая, соединяющая точки пересечения непараллельных сторон трапеции и ее диагоналей, делит основания трапеции пополам.

2) Грани правильной усеченной трехугольной пирамиды касаются шара. Определить отношение поверхности шара к полной поверхности пирамиды, если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания ее под углом а.

3) Доказать, что

Теперь отмечу дефекты в работах абитуриентов.

Напомним определение модуля, или абсолютной величины числа:

абсолютной величиной (или модулем) числа X называется само это число, если оно положительно или равно нулю, и число —X, если число х отрицательно:

\х\ = ху если х>0. |jc|=—X, если д:<<0. Например:

|5| = 5, I — 31 — — 1 — 3| — 3, |01 = 0ит.д.

И еще: арифметическое значение корня ]/х2 равно \х\ (а не х, как иногда пишут учащиеся).

Например:_

5)2Н —5; =5 и т.д.

Эти простые вещи должны быть известны всем: однако, повидимому, им в школе слишком мало уделяется внимания. Следовало бы построить график функции у = \х\ и рассмотреть побольше задач, связанных с символом модуля.

В этом году у некоторых студентов I курса непреодолимые затруднения вызвало решение следующего уравнения:

рс + 3| = 5.

Преподавателям вузов приходится подбирать задачи и вопросы, связанные со знаком модуля, разъяснять и повторять элементарные определения, о которых я писал выше. Но это дело средней школы. Ведь можно, например, наряду с рассмотрением графиков функций _y==sin^:, y = igx, y = lgx, у = ах2 -f - bx -f- с и т. д. рассмотреть графики функций: у = \ъ\ъх\, ,y = |tg*|, y=*\lgx\, у — \ax2Jt-bx-\-c\ и т. д. Полезно рассмотреть уравнения и неравенства, связанные со знаком модуля. Например, решить уравнения:

и т. д.

Решить системы:

и т. д.

Решить неравенства:

и т. д.

Вот, например, вопрос, на который ряд учащихся X класса дали неверный ответ: „Найти арифметическое значение корня ]/{х — 1)2а. Неверный ответ: х— 1. Верный ответ: х— 1, если х>19 и 1-х, если л:<1. Среди ошибок абитуриентов в работах по алгебре большой процент падает на ошибки такого характера.

Повидимому, в школе следует больше уделять внимания неравенствам. В задачах не следует ограничиваться неравенствами 1-й и 2-й степеней. Ведь решение, например, такого неравенства

(х — 1 ) (х — 3) (х - 5) (X —10) > 0

не требует никакой „общей теории“, за исключением только того соображения, что указанное произведение сохраняет знак, если х заключается между двумя последовательными корнями, а при переходе через корень — меняет знак. Решением данного неравенства является следующее множество чисел:

х<1, 3<х<5, х>10.

На неравенства можно (и полезно) предлагать учащимся задачи из всех

разделов школьного курса математики (по алгебре, тригонометрии и геометрии).

Следует более четко поставить преподавание обратных тригонометрических функций. В ряде случаев учащиеся не дают даже точных определений, которые я позволю себе здесь привести:

Следствием того, что учащиеся не всегда знают даже эти определения, являются непреодолимые трудности в операциях над обратными тригонометрическими функциями. Здесь можно рекомендовать пособие (для учителей): СИ. Новоселов, „Обратные тригонометрические функции“, Учпедгиз, 1947, где, помимо теории аркфункций, даны краткие сведения о понятии функции и содержится глава „Тригонометрические уравнения“. Хотелось бы видеть и в наших стабильных учебниках такое же корректное, но более компактное изложение этих разделов.

Я хочу еще подробно остановиться на одной стороне дела, которой уделяется слишком мало внимания. Речь будет идти об изложении — устном и письменном — доказательств и решений задач.

Совершенно недопустимым является то, что окончивший среднюю школу, часто в совершенстве владеющий слогом в тех случаях, когда речь идет о сочинении по литературе, становится совершенно беспомощным, если ему приходится излагать доказательство какой-либо теоремы или решение задачи.

Вот образцы изложения решения задачи № 1 варианта А-2.

„Из условия задачи находим, что сумма чисел p-\-q=\, но разложение бинома содержит п таких же сумм, поэтому напишем (p-\-q)n=ln. Любое число дает единицу (?!) тогда, когда показатель степени есть нуль, значит /1 = 0. Рассматривая разложение бинома как какое-нибудь число (?!) (в данном случае положительное, так как />>0, q > 0), утверждаем, что такого разложения бинома (p-\-q) и не существует, потому что п = 0. Поэтому и решения для этого разложения нет (?!)“.

Другой абитуриент по поводу той же задачи пишет: „Чем больше показатель знаменателя дроби, тем она меньше, и с возрастанием его пределом дроби будет 0, но чем меньше абсолютная величина знаменателя дроби, тем она больше, по сравнению с другой, знаменатель которой больше и которая изменяется также с увеличением показателя ее знаменателя, отсюда:

a) наибольшим членом будет первый, при условии q гораздо больше, чем р, но не больше, чем 1 — р, даже в том случае и даже только, когда

b) при р гораздо большем, чем q, и

c) разложение будет удовлетворять третьему требованию при нечетном числе л“.

В обоих случаях дан набор слов, лишенный смысла, обе работы, конечно, оценены как неудовлетворительные.

Часто от студента I курса в ответ на замечание, что он плохо излагает доказательство или решение, приходится слышать: „Я это знаю, но не могу изложить“. Преподавателям математики следует больше внимания уделять форме изложения математических доказательств.

Иногда работа абитуриента подается написанной небрежно, даже без соблюдения правил пунктуации (в математических текстах есть некоторые специфические правила, с которыми надо познакомить учащихся), формулы хаотически разбросаны по листу бумаги, написаны неряшливо, математически неграмотно. Можно с уверенностью сказать: если что-либо подобное было бы допущено в работе по литературе, то неудовлетворительная оценка была бы обеспечена. Однако в математике к оформлению работы еще не всегда предъявляется достаточная строгость.

Учащиеся часто неправильно представляют себе, насколько подробно в работах надо приводить элементарные промежуточные выкладки. Иногда абитуриент подробно приводит все выкладки, связанные, скажем, с решением

системы двух уравнений с двумя неизвестными первой степени или с решением квадратного уравнения, без конца переписывая одно и то же и производя при этом какую-нибудь одну операцию. Например, уравнение

2х + Ь = 7х — 4

решают так:

Всего этого писать (абитуриенту), конечно, не нужно. Достаточно сказать; „решая уравнение:

2л- + 5 = 7*-4,

получим:

х = ^

Ведь у проверяющего работу абитуриента не может возникнуть сомнения в том, что абитуриент умеет переносить слагаемые из одной части равенства в другую, приводить подобные члены и т. д. В подобных случаях, т. е. тогда, когда дело сводится к совершенно элементарным преобразованиям, нужно только написать, что мы делаем, и дать окончательный результат. Мне никогда не приходилось, например, видеть такой записи: „Решая квадратное уравнение:

л2-4х + 3 = 0,

получим:

%i = 3, Хч = 1“.

Нет! Учащийся всегда пишет:

х = 2± v/4 —3 = 2 ± 1 и т. д.

Это уместно, когда изучают квадратное уравнение, но совершенно излишне в работах абитуриента. При Нагромождении элементарных преобразований в работе иногда совершенно отсутствуют словесные пояснения к решению, описания построений и чертежей и т. д., а все это чрезвычайно важно. Работы по математике надо выполнять, сопровождая их ясными и четкими пояснениями, опуская элементарные промежуточные выкладки, непосредственно следующие друг за другом. Формулы более или менее значительные по размеру следует помещать в один столбец между строк пояснений, а дальнейшие словесные пояснения следует начинать всегда с новой строки несколько ниже последней выделенной между строк формулы. При перечислении формул они отделяются друг от друга запятой. Все слова в работе надо записывать полностью. Примером, образцом может служить любая статья, написанная, скажем, в журнале „Математика в школе“.

Полезно рассмотреть какую-нибудь статью именно с точки зрения изложения, пояснений, расположения формул относительно текста пояснений и при изложении решений следовать этому образцу.

В устной речи надо покончить с вульгаризацией математического языка: „решить задачку“, „приписать единичку“, „набить руку“, „проработать бином“ и т. п.

Мы полагаем, что пора исключить из школьной практики архаичную терминологию: „геометрическое место точек“ (линия одна или несколько, множество точек!), „переменная величина“ (функция!) и т. д. Если учащихся познакомить с современной математической терминологией и разъяснить понятия, обозначаемые теми или иными терминами, то это принесет большое облегчение в работе со студентами.

Осторожно надо относиться ко всякого рода пропедевтическим введениям, которые могут создать у учащихся впечатление неточности или расплывчатости изложения. Преподаватель не должен злоупотреблять этим, надо каждый раз подчеркивать, что речь идет о разъяснении, а не о точном определении.

По нашему убеждению, сложившемуся в течение многолетней педагогической работы, злоупотребление всякого рода „предварительными разъяснениями“, „эвристическими изысканиями“, „методическими введениями“ и т. д. приводит к тому, что малоопытный студент не всегда может отделить строгое изложение от „пропедевтических излияний“. Большую ответственность здесь несут методисты средней школы и работники высшей школы, интересующиеся вопросами преподавания.

О ПРИЕМНЫХ ИСПЫТАНИЯХ ПО МАТЕМАТИКЕ В НЕКОТОРЫЕ МОСКОВСКИЕ ВТУЗЫ

Е. И. ПУЗАНОВА (Москва)

Настоящая статья написана по материалам приемных экзаменов (осенью 1947 г.) трех институтов: Московского высшего технического училища, Московского текстильного института и Московского автомеханического института.

Экзамены по математике, как обычно, проводились устные и письменные. Задачи на письменных экзаменах, как по алгебре, так и по геометрии, давались средней трудности.

Письменная работа по геометрии вызвала большие затруднения, чем письменная работа по алгебре. Из 1637 работ по алгебре неудовлетворительными оказалось 638 (т. е. 39°/0), а из 1626 письменных работ по геометрии неудовлетворительными оказалось 705 (т. е. 43%)- На устном экзамене количество неудовлетворительных оценок резко снизилось. Из 1563 человек, державших устный экзамен, не выдержали 268 человек, что составляет всего 17°/0.

Это явление говорит о недостаточном умении учащихся самостоятельно работать. На письменной работе экзаменующийся предоставлен самому себе. Ошибаясь и не умея себя контролировать, он часто забирается в такие дебри ошибок, что не может из них выпутаться. На устном же экзамене, будучи остановлен экзаминатором при первом неверном шаге, он часто исправляет сейчас же свою ошибку и встает на верный путь.

Кроме того, нужно сказать, что хотя письменные работы давались не особенно трудные, но оценивались они строго. При проверке принимались во внимание самые незначительные ошибки и влекли за собой понижение оценки, а хотя бы одна грубая ошибка приводила к неудовлетворительной оценке.

В окончательных оценках преобладает оценка „посредственно“, но и повышенных оценок в этом году довольно много (см. табл. № 1).

Из всех экзаменовавшихся около 85°/0 окончили среднюю школу в 1946 и 1947 гг.

Ученики московских школ оказались в среднем сильнее учеников провинциальных школ. Они дали несколько мень-

Таблица 1

Результаты приемных экзаменов в МВТУ, МТИ и МАМИ

неуд.

пос.

хор.

отл.

всего

Количество оценок

267

748

412

136

1563

17%

48 Vo

26%

9%

100%

ший процент неудовлетворительных оценок и больший процент повышенных оценок.

Сравнивая оценки, полученные на приемных экзаменах, с оценками в аттестатах, нужно отметить, что в большинстве случаев первые ниже последних. Наиболее устойчивой оценкой является „3“. Оценки „4“ и „5“ более склонны к понижению. (В особенности в отношении провинциальных школ.)

Таблица 2

Сопоставление средних оценок в аттестате с оценками, полученными на приемных экзаменах

Средняя оценка в аттестате

3

4

5

Общ.

Понизили оценки

Количество

49

440

396

885

25^

71%

86%

69%

Сохранили оценки

Количество

106

142

64

312

55%

23%

14%

25%

Повысили оценки

Количество

38

36

74

20%

6%

6%

Всего держало

193

618

460

1271

Знакомство с письменными работами экзаменовавшихся приводит к заключению, что в школе учащиеся приобретают навык в решении определенного типа задач. Задачи же, отличающиеся от привычных своим содержанием, вызывают затруднения. Например, задачу на наполнение бассейна двумя трубами решили 87% абитуриентов (решавших задачу), в то время как аналогичную задачу на выполнение заказа тремя фабриками решили лишь 21% абитуриентов, так как условие этой задачи необычно для учащихся. Точно так же задачу такого содержания: „В арифметической прогрессии 3-й член равен 35, а 5-й член равен 55. На какое число надо разделить сумму пяти членов этой прогрессии, чтобы получилось число, меньшее делителя на 7 единиц, а остаток после деления был бы равен половине частного“ — решили 95°/о абитуриентов, а задачу „Сумма первых двух членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 6, а сумма кубов тех же членов равна 72. Найти, чему равен логарифм при основании 2j/ 2 суммы членов этой прогрессии“ решили только 30°/0 абитуриентов. В этой задаче экзаменующихся затруднил последний вопрос.

Большое затруднение вызвала задача такого содержания: „Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 2:3, а другая в отношении 3:7. По сколько ведер нужно взять из каждой бочки, чтобы составить 12 ведер смеси, в которой спирт и вода были бы в отношении 3:5.“ Эту задачу решили 21% абитуриентов. Основная ошибка в том, что отношение спирта к смеси в первой бочке бралось не 2:5, а 2:3 (аналогично и в других случаях).

Задачи на „путешественников“, на „выполнение работы“ меньшим числом рабочих, чем предполагалось первоначально, и т. п. решались без особых затруднений.

Из алгебраических примеров наиболее легкими для экзаменующихся оказались следующие:

система уравнений

(решили 77% абитуриентов);

система уравнений

(решили 70% абитуриентов);

уравнение

lg(152 + x8)-31s(x+2) = 0 (решил 71% абитуриентов);

уравнение -<Л^х + = 1

(решили 72% абитуриентов).

Наибольшие затруднения у экзаменующихся вызвало следующее „уравнение“:

которое решили 15% абитуриентов. Уравнение

решили 13% абитуриентов. Систему уравнений

решили 28% абитуриентов.

Остановлюсь на отдельных ошибках в работах экзаменующихся. Наибольшее количество их приходится на долю логарифмов.

В одной работе находим следующие преобразования:

В другой работе в том же примере читаем:

* От редакции. Надо полагать, что подобного рода „примеры“ могут свидетельствовать лишь о недостаточном контроле со стороны руководств кафедрами качества экзаменационных заданий.

Один экзаменующийся, имея „уравнение“ lg5 lg, lg3 \g2x = — оо , преобразует его lg5 lg4 lg3 \g2x = 1g 0 и дальше не знает, как поступить. Другой из этого же уравнения получает 5~°° 4~~°° 3~°° 2~°° = л, откуда 120 ~°° = х\ 12о°°_х 1 —оо =ху при этом дается такое объяснение: „120~°° есть бесконечно большая величина, но она стоит в знаменателе, то в частном получится бесконечно малая величина“. Третий это же „уравнение“ решает так:

Видно, что понятие логарифма усвоено прочно, но осознать, что же получилось, оказалось непосильным*).

К сожалению, приходится встречать такое логарифмирование:

или такое потенцирование:

Или еще: \g(x — 5) — lgj/ Ъх — 20 = = lg (10 — 5), знаки логарифма зачеркиваются и получается х — Ъ—л/Ъх— 20 = = 10-5.

В одной работе экзаменующийся оперирует с символом логарифма, как с числом. Приводим полностью „решение“ системы уравнений:

Дальше идет „исследование“ решений. Положительные решения:

Отрицательные решения:

Бесконечные решения :

Неопределенные решения:

Совершенно очевидно, что абитуриент

* От редакции. Полагаем, что „честь“ получения результатов, так красноречиво говорящих за себя, вместе с экзаменующимися должны разделить и составители экзаменационных заданий.

очень добросовестно заучил технику решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, но, к сожалению, не видит смысла в своих действиях.

В алгебраических примерах на преобразование нужно отметить массовую тенденцию к усложнению выражений вместо их упрощений. В примерах, где требовалось найти числовое значение алгебраического выражения при данных числовых значениях входящих в него букв, эти значения подставлялись вместо букв до упрощения выражения, и затем, как правило, экзаменующийся погибал в грандиозных выкладках.

В тригонометрических преобразованиях наблюдается то же самое. Экзаменующиеся не видят упрощений, которые напрашиваются сами собой. Часто вместо чисел вводят тригонометрические величины, где это совсем не нужно (например, sin 90° вместо 1 или tg 45° и т. п.). В качестве иллюстрации приводим один пример, в котором сделано много „почти верных“, но совершенно не нужных выкладок и преобразований, а задача оставлена нерешенной. Нужно было решить уравнение

экзаменующийся делает следующее:

На этом решение уравнения заканчивается.

Неправильные решения примеров по тригонометрии очень часто связаны с ошибками алгебраического характера : неправильным сокращением, неверным решением квадратного уравнения и т. и. Например из равенства

экзаменующийся заключает, что

2cosx+l = 0, или из равенства

получает равенство 0 = — 4sin х(sin х-{-+ cos.v).

Но встречаются ошибки, вытекающие из незнания формул. Например:

Как получился окончательный результат, непонятно, он противоречит самым начальным сведениям из тригонометрии, но ничуть не смущает экзаменующегося. Или еще:

Примеры на обратные тригонометрические функции очень многие экзаменующиеся решают совершенно легко, быстро, без всяких затруднений. Это показывает, что большинство школ обратило внимание на данный раздел. Но есть школы, которые не касались этого раздела, их ученики совсем не принимаются за решение соответствующих примеров. Незначительное количество работ показывает, что обратные тригонометри-

ческие функции недостаточно усвоены. К ним экзаменующиеся пытаются применить формулы, относящиеся к тригонометрическим функциям, например, считают, что arc tg *=агс cosx и т. п.

Задачи по геометрии были стереометрического содержания, с применением тригонометрии. Главные затруднения возникали в связи с неправильным представлением тел, заданных в задачах. Вместо углов наклона боковых граней пирамиды к плоскости основания берутся углы наклона боковых ребер пирамиды к плоскости основания или к сторонам основания. В задаче, где рассматривается пирамида с прямоугольным треугольником в основании и с равными боковыми ребрами, мало кто сообразил, что высота упадет в середину гипотенузы. По мнению нескольких экзаменующихся, высота треугольной пирамиды должна падать в точку пересечения биссектрис основания.

В одной из задач ромб вращается вокруг прямой, перпендикулярной к одной из сторон и проходящей через вершину острого угла. Несколько экзаменующихся взяли ось вращения перпендикулярно большей диагонали ромба. Повидимому, такое тело более знакомо учащимся, и они предпочли иметь дело с ним, а не с новым, незнакомым телом. Экзаменующиеся обнаружили слабое представление о плоских углах многогранного угла.

Приводя примеры ошибок экзаменовавшихся и характеризуя недочеты в их знаниях, я имела в виду главным образом неудовлетворительные работы и слабые ответы. Но кроме неудовлетворительных работ, которые составили 39% по алгебре и 43% по геометрии, были и отличные работы (17% по алгебре и 15°/0 по геометрии), сделанные без ошибок, и хорошие работы (21% по алгебре и 17% по геометрии), с незначительными ошибками. Устных ответов отличных было 10%. хороших 28%.

Эти работы и ответы, а также основная часть посредственных ответов, которых было 45%, позволяют сделать вывод, что подготовка школьников по математике за последние два года значительно улучшилась. Поднялось общее математическое развитие, что сказалось на обстоятельных объяснениях и обоснованных исследованиях решений задач по геометрии и по алгебре, которые дали очень многие экзаменующиеся. Улучшилось пространственное представление. Ошибки, о которых я говорила, в этом году встречались реже, чем в предыдущие годы.

Теперь остановимся на тех недостатках в знаниях учащихся, которые обнаруживаются в процессе обучения в вузе.

Особенно труден для студентов первый семестр, в течение которого они осваиваются с совершенно новыми для них идеями высшей математики. Усвоению нового материала мешают старые недостатки. Мешает слабая техника в преобразованиях алгебраических и тригонометрических выражений, незнание значений тригонометрических функций простейших углов (0°, 30°, 45° и т. д.), чрезвычайно слабая техника счета, в особенности устного. А самое главное затруднение заключается в неумении логически мыслить, делать самостоятельные заключения и выводы и критически относиться к результатам своих вычислений.

Все это сказывается на результатах первой экзаменационной сессии. На зимней экзаменационной сессии 1946/47 учебного года студенты I семестра МАМИ, поступившие из средней школы, получили главным образом посредственные оценки (40%). Повышенных оценок было получено 32%, не выдержали испытаний 12%, остальные не держали экзамена по разным причинам.

Сравнение оценок по математике в аттестатах за среднюю школу с оценками, полученными за I семестр, дает таблица № 3 (стр. 26).

Эта таблица показывает, что посредственные оценки и в этом случае оказываются более стойкими, чем повышенные. Оценку „3“ сохранило 48% учащихся, в то время как оценку „4“ сохранило только 27%, а оценку „5“ — 22%. Нужно заметить, что в этот подсчет включены не только студенты, принятые по экзамену, но также и отличники.

Желая помочь преподавателям средней школы, я хочу указать на ряд „мелочей“, которые несомненно учитываются в средней школе, но которые, повидимому, ученики не усваивают в должной мере.

Ежегодно, при преобразовании тех или иных выражений, приходится произ-

Таблица 3

Сопоставление средних оценок в аттестате с оценками за I семестр

водить сокращение —т== = л/2 или —г= У 3 и т. п. Каждый раз большинство группы спрашивает „Как вы это сделали?“ Ответ „сократила“ студентов не удовлетворяет. Если объяснить это преобразование освобождением от иррациональности в знаменателе, то это всем понятно, но сокращение является каким-то откровением. Не думаю, чтобы подобные сокращения не производились в средней школе, но, повидимому, это проходит мимо внимания учеников.

При извлечении квадратного корня из десятичных дробей число разбивается на грани всегда от конца, а не от запятой.

Подстановка вместо буквы числового значения не затрудняет студентов, но если вместо какой-нибудь буквы нужно подставить новое буквенное выражение, то это вызовет много ошибок. Например, в выражении х — х2-{-3 вместо х взять (* + 1).

Освобождение от иррациональности в знаменателе знакомо всем студентам, но если требуется освободиться от иррациональности в числителе, то многим это кажется недопустимой операцией.

Очень затрудняет студентов решение уравнений высших степеней разложением левой части уравнения на множители.

Масса затруднений встречается при определении области существования функции. Решить, для каких значений X выражение /(*—2)(л~-5) будет иметь действительные значения, а для каких—мнимые, требует большого напряжения. Немногие из группы свободно ответят на вопрос: „При переходе через какие значения х подкоренное выражение меняет знак?“ Затруднения встречаются и в более легких случаях. Например: х2<4; |л;|<2; написать в развернутом виде последнее неравенство (—2<л;<2) многие затрудняются и, в связи с этим, не умеют выделить на числовой оси интервал значений х. Еще труднее кажется студентам неравенство \х—1|<СЗ. Здесь напишут что хотите, но не — 2<х < 4.

Об обратных тригонометрических функциях все знают и, если нужно из соотношения у = sin х выразить х, то все безошибочно скажут A: = arcsinj/, но общего понятия обратной функции нет у учащихся. Из соотношения у = %\п2х почти никто из группы не может правильно выразить X.

В тригонометрии и более простые вещи вызывают затруднения. Студенты затрудняются построить угол по его тангенсу. Если прямая имеет уравнениеу=^-х, то студенты не знают, где нужно отложить отрезки, пропорциональные числам 2 и 3, чтобы получился нужный наклон прямой.

Формулы тригонометрии

а также формулы суммы и разности синусов и косинусов разных углов известны студентам, но когда нужно, при интегрировании, употребить эти формулы слева направо, т. е. sin2 х= х~~c°s2* или

и т. п., обнаруживается, что в этом нет навыка.

Мне кажется, что соответствующим подбором упражнений указанные мною недостатки можно выправить довольно легко.

НАШИ ПОЖЕЛАНИЯ*

А. С. ЦЕСЮЛЕВИЧ (Одесса)

В журнале „Народное образование“ за март —апрель 1946 г. (№3—4) напечатана статья M. Н. Скаткина „Пути борьбы с формализмом в советской школе“. В 1946 и 1947 гг. мне пришлось проводить конкурсные испытания по математике для поступавших в Одесское высшее мореходное училище. Проведенные письменные и устные экзамены доставили богатый материал для исследования, и мне хочется поделиться своими впечатлениями о математической подготовке окончивших среднюю школу.

Тов. Скаткин говорит, что „знание слов и бойкий и с внешней стороны вполне правильный ответ ученика еще отнюдь не служит доказательством наличия у него полноценных знаний“. Это верно. Я имел много случаев убедиться в том, что экзаменующийся, правильно проделавший математические преобразования, не понимает их сути. Что бы мы хотели видеть у окончивших среднюю школу; если касаться хотя бы только математики? Прежде всего уменье ясно и четко наименьшим числом слов формулировать свои мысли. Затем уменье применять полученные знания в повседневной жизненной практике и, наконец, наличие способностей к проведению самостоятельных исследований, заключающихся в умении стрэить правильную последовательность рассуждений и выводов. Нам кажется, что стройность картины перехода от сравнительно простых закономерностей к все более сложным, раскрываемая перед учащимися на протяжении ряда лет обучения в средней школе, должна развить в них и логическую последовательность мысли, и пытливость ума, и стремление к поискам правильных заключений, и уменье высказываться кратко и в то же время всеобъемлюще. Но не все окончившие школу дошли до этого идеала. Например:

1) Экзаменующемуся дана задача:

Дано sin 6° 30'=0,113

cos 6° 30' =0,994.

Найдите sin 19° 30'. Только один из тех, кому предлагалась эта задача, и то после подсказа, что 19° 30'—это три раза по 6° 30', понял, как ее решить. Остальные так и не знали, что делать.

2) Другая задача:

Зная только значение sin Г, можно ли составить таблицу тригонометрических функций через 30'. Если можно, то по каким формулам?

Правильно ответить не смог ни один, хотя все, кому предлагалась задача, знали нужные тригонометрические формулы.

3) Дайте приблизительную оценку числа З15, если известно, что lg 3 =0,48.

Задача решена правильно только одним из шести.

4) Другой пример:

— 1QIg_a х~~ bXga?9

найдите \gbx.

Пример решен правильно одним из девяти.

5) Из устных вычислений такие примеры, как

большинство пыталось решать обыкновенным умножением.

Достаточно этих примеров, чтобы прийти к выводам, что изучают в алгебре формулы сокращенного умножения, но не приучают пользоваться ими в практических вычислениях. В числе 49 ученик не видит 50 без единицы, он не замечает, что 38 - 42 это (40—2) (40+2). Формулы он изучал для алгебры, а не для практики. Он знает тригонометрические формулы, но он не испытал радости творчества от сознания того, что сам может составить таблицу натуральных значений функций, зная только sin 1°.

* Статья печатается в порядке обсуждения.

Он знает логарифмы и их свойства, но не приучен применять эти знания в простых вычислительных примерах. Он смотрит на выражение

_ lOlgfl Х~~ big а*

и „убит“ вопросом „Найдите lgbxu, и только потому, что он не привык видеть в lg а3 утроенный логарифм а, хотя он сделает правильно, если ему сказать: „Прологарифмируйте а3“.

Это переходит и в высшую школу, так как и здесь задачу—„найдите производную функции

студент будет добросовестно решать по всем правилам и чаще всего запутается потому, что он не видит, что это выражение есть

I [ig(*2+i)-№-i)],

которое дифференцировать совсем просто.

Окончивший среднюю школу знает все формулы, но в нем не развито стремление искать возможностей их применения, не развиты навыки исследовательской работы.

Формулы ради формул! Алгебра для алгебры! и т. п.

Вместо уверенности в нем развита неуверенность, даже страх перед математической премудростью. „Таких задач мы не решали“ — вот ответ, доказывающий схоластичность методов преподавания.

Я ставлю карандаш на стол и спрашиваю, как проверить, перпендикулярен он к плоскости стола или нет? Я не слышу правильного решения, однако убеждаюсь, что все, кому предложен вопрос, знают соответствующую теорему стереометрии.

Чтобы решить уравнение 5 = 2х — 3, ученик обязательно перенесет 2х влево, 5 вправо, поменяет знаки и т. д. Он не привык читать справа налево и не видит сразу, что 2х = 8 без всяких переносов, а только потому, что после уменьшения на 3 осталось 5.

Мало кто может ответить, чему равен X, если

X — а _ с

Ъ~~~а, хотя знает пропорции.

Чтобы умножить 42 на 19, ученик добросовестно множит в уме на 9 и на 10 вместо того, чтобы сразу сказать, что это будет 840 без 42. Любой продавец в магазине сделает именно так: „42 кг по 19 рублей? Если по 20 так 840, а по рублю назад...“ и т. д. Почему же окончивший среднюю школу, знающий бином Ньютона, логарифмы и пр., пасует перед ним в применениях к практике?

Вот еще пример:

Что такое наименьшее кратное? Экзаменующийся дает правильный ответ. Тогда ему задан вопрос: „Вот вы изучали наименьшее кратное, а понадобилось ли это понятие где-нибудь дальше в математике? Может быть, припомните, где приходилось его применять?“ На это следует ответ: „Очень редко, но где, не помню“. И даже когда после было предложено сложить

14-14-1 5 ' 10 ' 6'

он, проделав это безукоризненно, все же не понимает, что в процессе решения находилось наименьшее кратное знаменателей.

„Назовите 20 процентов числа 340“. Большею частью ответ дается после размышлений. Еще хуже с 15 процентами, потому, что ученик привык составлять пропорцию, а не брать 10 процентов и половину от них.

Учащиеся сравнительно хорошо знают курс старших классов и плохо курс V—VII классов. Ученик, умеющий доказывать теоремы стереометрии, не может вспомнить доказательства теоремы о сумме углов треугольника. Это значит, что в нем не развита математическая интуиция. Он проводит вспомогательные прямые только там, где ему указывали. Его учили доказательству конкретных теорем, но не приучили к геометрическим методам! Окончивший 10 классов не может дать определение простой дроби, отношения двух чисел, взаимно-простых чисел, непрерывной пропорции. Он часто слышал название „геометрическое место точек“ и никак не может определить, что это такое. Но даже и из курса X класса ни один из тех, кому был предложен вопрос, не смог толково объяснить, в чем заключается метод полной математической индукции. Оказалось, что большинство не поняло его сущности и силы. Многие

затрудняются в вопросе: „Что больше, у или гт?в. Не „чувствуют“, что у[ ближе к половине, чем^-. „Возможен ли треугольник со сторонами 7, 10 и 18?“ или „Какой это треугольник, если его стороны равны 7, 8 и 11?“ Даже эти вопросы вызывают затруднения, а спросите соответствующие теоремы планиметрии, вам ответят их формулировки правильно.

» Вычислите выражение ( 1 +06~~( 1 — ifи. Окончивший среднюю школу даже не попробует каждую скобку возвести сначала в квадрат, а потом в куб, хотя если бы он сделал так в уме, то он с удивлением обнаружил бы, что все выражение вычисляется просто, без бумаги и карандаша.

„Выведите формулу произведения п членов геометрической прогрессии“— вам отвечают, даже после того как вы настаиваете, чтобы ученик попробовал это сделать, что этой формулы в школе не выводили.

Абитуриенту предлагается задача: „Найдите ^ числа 32-^-“. Он решает эту задачу, умножая 32 -g- на jg. Когда вы спрашиваете: „Почему надо умножать? Покажите, что так действительно нужно сделать“, оказывается, что и в таких задачах можно обнаружить неумение показать правильность способа решения.

„Покажите, что биквадратное уравнение с действительными коэфициентами не может иметь нечетное число мнимых корней“—оказывается, что и эта задача непосильна для большинства абитуриентов.

* * *

Окончившие школу могут применять знания в решении тех задач, которые они решали, и затрудняются в случаях, когда ставится вопрос, требующий самостоятельных исследований, требующий поисков возможностей применять те или иные полученные ими сведения. По большей части они не пытаются ставить перед собой пытливые вопросы и не ищут их из окружающих их явлений. Спросите наудачу нескольких учеников старших классов. Они, например, часто ходят по улицам и видят, как проехавший освещенный автомобиль отбрасывает от них тень. С какой скоростью двигалась тень? Нельзя ли по скорости движения тени узнать скорость автомобиля? и что для этого нужно знать? Ставят ли они перед собой задачи такого рода? А ведь в нашем быту таких вопросов бесконечно много.

Прежде всего мы склонны рассматривать всякую математическую задачу как исследовательскую работу, поставленную перед учеником. Поставлена задача; возникает вопрос: как ее решить? Ученик вдумывается в нее, и его мозг начинает работать в направлении поисков решения. Пусть эта задача аналогична уже решенной в классе, — тогда мозговая работа невелика, и, можно сказать, мозг работает малопродуктивно, не с полной нагрузкой, он выполняет только формальную работу.

Поставьте теперь задачу, не похожую на решавшиеся, и если даже ученик не смог ее решить, но пытался, его мозг работал с полной нагрузкой и благодаря этому развивался. Пусть он только на следующий день узнал, как можно было решить,—его вчерашняя работа не пропала. На следующий раз он будет работать более вдумчиво. Такая работа не может не дать обильных плодов. Вопрос только в том—будет или не будет ученик пытаться достаточно серьезно решать задаваемые задачи. Серьезно в том смысле, что он будет искать возможностей решения с соответствующим азартом, терпением и выносливостью. И нельзя ли развить у него эту „поисковую работу“ каким-либо образом?

Ученик прочел задачу, обдумывает, пошел по одному пути, попробовал, что-то вычислил, что-то записал—не получилось. Снова прочел, снова обдумывает и... ничего не пишет! Теперь он ищет путей не на бумаге, а в уме! Вот в уме-то он и должен видеть решение достаточно далеко. Для этого у него должно быть соответствующее развитие. Что же может развить возможность „прощупывания деталей“?

Мы настаиваем на том, что, во-первых, устные вычисления играют в этом отношении огромную роль. Прежде всего ученик в младших классах должен твердо знать наизусть таблицу умножения, выучить ее, а не фиксировать элементы этой таблицы в течение долгого промежутка времени. Выучить можно за короткий срок. Это трудная для мозга

работа, но именно и нужно вызвать больше напряжения на короткий срок для развития мозга. Этот пройденный этап подготавливает возможность более сложной работы. Поясним этот процесс на таком примере. Уже с младших классов ученик должен уметь складывать 37+18 устно, прибавляя 20 и отнимая от результата 2. Или в дальнейшем 273+ 189, прибавляя 200 и в уме отбрасывая 11. Он мысленно говорит: 273 да 200, это 473, долой 11 и отвечает: 462. Сначала это трудно, ведь куда легче написать

273 + 189'

подчеркнуть и складывать сначала единицы и т. д. Но чтобы мозг развивался, надо, чтобы он был все время в напряжении. Кроме того, складывая на бумаге, ученик не чувствует чисел, они его не интересуют, они как бы мертвы. Наоборот, складывая их в уме, он чувствует их содержание, он приучается видеть в 189 двести без одиннадцати.

Такая же работа должна проделываться и при вычитании

273- 189

Ученик тоже должен моментально отбрасывать 200 и прибавлять 11. B этом случае он видит, как после отбрасывания 200 осталось 73, и вслух говорит ответ: 84. Такая работа не может не вызвать интереса, тогда как... „девять из 13—пишем четыре и т. д.“ формально и скучно.

Но мало вызвать большое напряжение, надо развивать и поиски облегчения работы, т. е. идти по пути развития исследовательских возможностей.

Скажем:

если даже складывать на бумаге, мы обязаны обратить внимание учащегося, что легче сложить 3 и 7, а потом 9, чем в том порядке, как к этому приучают: 3 + 9+7. Следует отказаться и от такого формализма, что складывать надо обязательно сверху вниз, нужно иногда идти и снизу вверх и, наконец, в произвольном порядке. Тем самым мы невольно толкаем учеников на поиски наиболее экономных путей. Итак, 3 и 7— десять и 9—девятнадцать, 9 пишем и сразу замечаем, что оставшийся десяток экономнее складывать снизу, потому что 1 да 1 да 8 составляют 10 да 7 семнадцать и т. п. И, наконец, почему бы не приучать складывать такие столбики в уме. Прибавить 189 значит 200 без 11; прибавить 317 значит 300 и 17, то-есть все вместе 500 и 6. Ответ получается сразу. Это не может не вызвать удовольствия от сознания, что три трехзначных числа ученик сложил в уме. Изменим цифры этого примера. Возьмем теперь

278 + 189

317 •

при формальном сложении тоже нельзя не обратить внимания, что складывать 8 да 9 да 7 гораздо легче иначе, заменив каждую из этих цифр десятью и отбросив от результата 6, или только в первых двух сразу сказать мысленно: „20 без 3 да 7—это 24\

При умножении надо также толкать самих учеников на поиски экономных действий в уме: умножить на 5—припиши 0 и возьми половину: 247 на 5—это 2470 пополам, т. е. 1235, а половину числа надо приучать видеть сразу. Умножить на 9—припиши нуль и отбрось множимое: 37 на 9—это 370 без 37. Ведь это же легче, чем на бумаге: „девятью семь“ и т. д. Кроме того, на бумаге не ощущается величина числа. Вопрос вовсе не в том, чтобы превратить ученика в счетную машину. Вопрос значительно серьезнее: надо мозг ученика приучить искать экономные пути к решению вопросов, приучить глубоко чувствовать то, что он делает, приучить видеть в уме достаточно далеко. Подготовка мышления должна идти по пути последовательного и непрерывного развития, без застоев.

Когда в дальнейшем ученик, оперируя с дробями, стоит перед решением вычислительного примера, скажем

обязательно нужно потребовать, чтобы он мог, не решая, оценить, каков может быть результат. Что мы получим? сотни,

тысячи или число порядка одной сотой? Он должен привыкнуть к тому, чтобы видеть, что в числителе что-то около 4 или 5, что в квадратной скобке 9 или 10, да еще отнимем потом 5, в знаменателе тоже около 5, значит в ответе будет приблизительно единица — единица, а не сто или одна сотая. Почему мы считаем, что это обязательно? Потому, что мы обязаны приучить ученика видеть под кучей операций конечную суть. Я имел случай убедиться, когда студент 2-го курса в подобном вычислительном примере не мог заранее „почувствовать“ результат, и еще курьезнее то, что в конце концов получил неверное число совсем другого порядка.

При решении примеров на умножение очень полезны устные вычисления: 34 на 12—это 340 да 68 или 34 на 18— это 680 без 68.

Предложите ученику задачу на дом: как легче всего умножать на 27, на 36? Может быть, он и догадается, что умножить на 27—это значит умножить на 30 без 3, 23 на 27—это 690 без 69 —интересно, легко и приучает видеть. Или, как наиболее экономно умножать на 25? на 125? Может быть, один из учеников найдет, что 27, умноженное на 25,— это 2700, деленное на 4, причем он в уме возьмет половину и еще раз половину. Может быть, другой найдет, что сколько четверок в 27, столько будет сотен, и только оставшиеся единицы надо умножить на 25 и прибавить. А может быть, кто-нибудь предложит еще более интересный путь решения? То же самое и с делением на 4, на 8, на 25 и т. п.

* * *

Второй путь, путь развития исследовательских способностей, заключается, по нашему мнению, в решениях задач. Здесь мы считаем опасным формальный метод, заключающийся в том, что решение определенного типа задач указывается преподавателем, после чего ученику на дом даются задачи этого типа. Нет элементов развития исследовательских способностей. Это путь необходимый, но недостаточный. Надо все время давать решать дома также и задачи, требующие обдумывания возможностей подхода к ним.

Предположим, педагог поставит в классе перед учениками задачу. Как ее решить? Мозг учеников в напряжении. Это исследовательская работа — своего рода прилив. Пусть это 2—3 минуты, но кто-то пытается, что-то предлагает. Наконец, учитель объясняет, задача решена, мозг уже не в напряжении — отлив. И для следующей подобной задачи напряжение уже исчезло. Подобная задача, заданная на дом, мало эффективна. Она необходима для закрепления пройденного, но надо нет-нет дать и такую задачу, над которой надо подумать; этим мы вызовем напряжение, и если даже ученики ее не решат, но пытались— мы уже достигли многого.

В современных руководствах и задачниках арифметики очень много весьма ценных задач с рассматриваемой точки зрения, но решают ли их в школах? В дальнейшем ученик любую из этих задач просто решит методами алгебры, однако алгебраическое решение исследовательские способности развивает не так эффективно, как арифметическое, потому что там нет надобности достаточно далеко видеть в уме.

Неизвестное—х, подставляй, составляй уравнение и решай — путь формальный — мозг нагружен слабо. Почему бы не предложить при решении задач на системы уравнений решить задачу арифметическим путем? Мы считаем, что задачу, например, такого типа: „2 кг первого сорта и S кг второго сорта некоторого продукта стоят 22 руб., а 3 кг первого сорта и 5 кг второго сорта стоят 35 руб. Узнать цену за килограмм каждого сорта“ весьма полезно предложить решить арифметическим путем даже и в X классе. Задаем задачи на бином Ньютона, предлагаем также и эту. Ученикам будет даже весьма интересно попытаться решить ее арифметически. Если даже только один-два ученика на класс сумели ее решить и объяснили классу решение, то это не может не вызвать элементов соревнования в другой раз. Таких задач чрезвычайно много, тем интереснее покажется возможность арифметических решений. Предлагая на дом задачу: „На плоскости дано п точек, расположенных так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько возможно провести прямых, соединяющих все данные точки попарно?“— в X классе, следует потребовать ее решения также и другими путями, а не только с помощью теории соеди-

нений. Пусть в другой раз ученики догадались решить ее с помощью арифметической прогрессии и не подумали о возможности арифметического решения; следует предложить им к следующему разу попробовать решить ее арифметическим путем. Это „оживляет“ самую задачу, она запомнится им как интересный случай. В нашем распоряжении бесконечное множество таких „интересных случаев“, повышающих заинтересованность учеников предметом. Лучше решить меньше задач с максимальным привлечением инициативы учеников, чем большее количество „узаконенными“ методами.

Мы считаем также, что для поставленной нами цели огромное значение имеют геометрические задачи и прежде всего задачи на вычисление и доказательства (хотя нам кажется, что в сборнике Рыбкина задач последнего типа маловато). Эта работа вполне творческая и весьма важная, здесь ученик приучается далеко видеть в уме. Возьмем простейшую задачу такого типа. „Общая хорда двух пересекающихся окружностей (неравных радиусов) продолжена. На продолжении взята точка, из которой проведены к окружностям касательные. Доказать, что эти касательные равны“. Рассматривая чертеж, ученик ищет путей решения. Он изучает чертеж, рассматривает проведенные отрезки и через некоторое время обнаруживает, как легко решается задача. Ему невольно хочется на следующий день выступить со своим решением. Мы должны поддержать в нем это стремление. А разве для нас не важно, что через эту задачу теорема о произведении секущей на ее внешнюю часть „ожила“ и из простого программного материала превратилась в инструмент для познания.

Еще большее значение, по нашему мнению, играют задачи на построение и различные задачи на исследование. Первые, казалось бы, бесполезны для дальнейшей жизни, но для развития способности производить поиски, для развития вдумчивого отношения они чрезвычайно ценны.

Как мы в настоящее время учим? Мы ставим вопросы (теоремы) и сами их разрешаем (доказываем теоремы). После этого мы требуем от учеников повторения наших способов доказательства. Вот если бы мы могли поставить процесс обучения так: ставится вопрос, а ученики сами ищут доказательств; такой путь несомненно развил бы учеников значительно больше. На таком принципе были поставлены школы у древних греков, и какого замечательного развития достигли эти школы! К сожалению, у нас нет этих возможностей. Мы обязаны за 10 лет дать ученикам основы и ограничены в наших стремлениях часами. Это нередко порождает формализм: делай так и так. Как будто бы нет выхода, и все же у нас еще много возможностей выходить за рамки формализма. Во-первых, доказывать так, чтобы класс принимал участие в элементах поисков доказательств*. Во-вторых, мы должны задавать на дом задачи, требующие собственных исследовательских попыток. Разве не вызывает у нас беспокойства то обстоятельство, что ряд молодых людей на вступительных экзаменах оказался беспомощным в решении такой задачи: „Найти построением геометрическое место точек плоскости, расстояния которых от сторон данного угла находятся в постоянном отношении т:пи. Или что многие державшие испытания в высшую школу не могут привести других примеров геометрических мест точек пространства, кроме поверхности шара.

* * *

С VII класса ученик не занимается арифметикой, он изучает алгебру. И вот здесь вся эта наука может выродиться в сплошной формализм. Ученика научили точно выполнять все алгебраические операции, но как это опасно, если не оживлять их всеми возможными путями. Не странно ли, что древние греки достигли многого, совсем не владея алгеброй. Разве нас не поражает, какие они делали замечательные открытия, не владея этим упрощающим аппаратом? А не следовало бы сказать, что они достигали именно потому, что не владели им? Это парадоксально, но дело в том, что они имели развитую способ-

* От редакции. Однако здесь надо строго соблюдать чувство меры. „Эвристические поиски“ ни в коей мере не должны нарушать систематичности изложения учебного материала.

ность далеко видеть в уме. Если нас поймут так, что мы против алгебры, то это ошибка! Мы за алгебру, но при условии ее оживления, точнее, мы за то, чтобы любая алгебраическая формула ассоциировалась бы у ученика с некоторыми чувствами и образами. Мало, если ученик знает формулу

(a + b)* = a* + 2ab + b\

надо ему показать соответствующую фигуру в виде квадрата, разделенного на четыре части. Для формулы

(а + by = а3 + 3 аЧ +3 ab* + Ь*

следует предложить самому дома вычертить соответствующий куб. Надо показать, что

292 = (30-1)* = 302 +1 - 2 . 30

и т. п.; и таким образом и здесь продолжать ту же работу „приучать видеть“. Предложите самому ученику доказать, что квадрат числа, оканчивающегося на 5, получается по такому правилу: „Умножь число десятков на число на единицу большее и припиши справа 25“. Пусть он сам дома объяснит, почему можно 282 вычислить так: 30-26 + 4, и выведет соответствующую формулу, а может быть, он еще натолкнется и на другие способы.

Мы настаиваем на том, что ученик должен писать значение х из уравнения

х* + рх + д=0

с такой же легкостью, как и из уравнения

0 = <7-|-л;2

или

px + q+x2 = 0.

Здесь проявится его вдумчивое отношение к формуле. Он должен видеть коэфициент при х* независимо от того, стоит ли он на первом или на втором месте.

Ученик знает формулы

\g(ab) = lga + \gb,

lgy = lga-lgô;

пусть он читает их как слева направо, так и справа налево. Развитый формализм убивает понимание. Ученик должен сразу из выражения

читать ответ

Он ведь, изучая свойства пропорции, знает, что крайний член х — а равен -г-, значит надо его приучить видеть и конечный результат. Так и в случае

он должен сразу читать:

или даже если

На это надо немного времени, надо только (даже в IX или X классе) изредка писать на доске такие примеры, обращаясь к классу. Почему обязательно надо забыть арифметику и заставлять учеников приводить к общему знаменателю и т. п.?

Формальности облегчают работу, но мы протестуем против того, чтобы при решении уравнения

делать все по порядку, переносить влево и т. д.

Почему не писать сразу

И читать ответ справа налево.

Это простое требование — приучить видеть — столь же законное, как законно требовать решать уравнение

X2 -f 5х - 50 = 0

в уме по теореме Вьета.

О ПРИЕМНЫХ ЭКЗАМЕНАХ ПО МАТЕМАТИКЕ В СПЕЦИАЛЬНОЕ СРЕДНЕЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ

Е. Ф. МАМАЕНКО (Херсон)

Обыкновенно о знаниях учащихся, окончивших семь классов средней школы, судят или по годовым оценкам или по ответам на экзаменах в тех же учебных заведениях, где они учились. Мне кажется, что представляют интерес и результаты приемных экзаменов в специальные средние учебные заведения. Но надо иметь в виду, что экзаменам подвергаются не самые лучшие ученики-отличники, так как последние принимаются без испытаний. Следует заметить, что и среди неотличников имеются учащиеся с хорошей подготовкой, которые получают на экзамене отличные и хорошие оценки.

Приводимый ниже материал основан на анализе ответов приблизительно 250 учеников, закончивших семь классов (иногда восемь) школ, большею частью, сельских. Мы остановимся на типичных ошибках, допускаемых учащимися; полагаем, что на эти ошибки следует обратить внимание учителей средней школы.

Как видно из ответов, учащиеся слабо владеют нумерацией. Предлагалось написать число с нулями в середине (например, пять миллиардов пять тысяч пять); только в виде исключения число было написано правильно.

Также довольно редко удавалось получить правильный ответ на предложение прочитать, например, 12000050030, учащиеся не умели разбить число на классы.

При делении целых чисел (иногда с дробным результатом) не получалось частное, если оно содержало нуль в середине. Было предложено разделить 2145 на 200, более половины ответов были неправильны; в частном получались единицы, бывали и сотни, даже тысячи.

Это получалось потому, что учащиеся не знали разницы между сносом цифры и припиской нуля, вследствие чего запятая в частном ставилась „на-глаз“.

Почему-то термины „половина“, „четверть“ затрудняют учащихся; они иногда после довольно продолжительного обдумывания неуверенно задают вопрос: „Это одна вторая?“ „Это одна четвертая?“. Между тем принято говорить: „половина“, „четверть“, но не „одна вторая“, „одна четверть“.

Учащиеся боятся устного счета: 200—8 надо написать на доске, затем письменно отнять.

Иногда встречаются ошибки в таблице умножения: 4X9=32; семью восемь =54 и т. п.

В простых дробях камнем преткновения оказалось задание: единицу разделить на ^. Получались иногда ответы (хотя реже, чем в предыдущие годы): „половина“, „единица“.

При выполнении действий с дробями учащиеся получают очень большие числа в знаменателе и в числителе, гак как они не делают сокращений, позабыв признаки делимости или не умея применить их на практике. Нет ясного представления разницы в (5 раз) и на (5) больше (меньше).

Аналогичные ошибки допускаются при возвышении в степень 202=40, 32=6, / IV 2

Ь) =6и т-п-

В десятичных дробях бывали ответы (но не массовые, а сравнительно редкие), когда учащийся не мог правильно поставить запятую при вычитании; действие располагалось так:

Чаще учащиеся ошибались в постановке запятой при делении (зачеркивание и приписывание нулей). Так, например, не выходило деление: 1 : 0,02. Здесь сказывался очень существенный недостаток—неуменье „думать“, „рассуждать“. Особенно ярко это сказывалось, когда дело доходило до процентов. На вопрос, как найти процент от числа?— обыкновенно без особенного труда следовал ответ: „надо число поделить на 100 и помножить на „процент“ (как говорят учащиеся).

Но стоило только слегка выразить сомнение: „А, может быть, надо помно-

жить на 100, и поделить на число процентов?“ — как в большинстве случаев следовал ответ: „Конечно, надо помножить на 100 и поделить на число процентов“. При дальнейшем выяснении, что же в конце концов правильно, на что надо множить, на что делить?—получить толкового, обоснованного ответа не удавалось. Никак нельзя было получить ответа: делим на сто потому, что сначала находим один процент, а затем находим столько-то процентов, потому и множим на число процентов.

Иногда получалась путаница в ответе только оттого, что преподаватель мотнул головой или пожал плечами, или вообще сделал знак, который учащийся счел за отрицание или сомнение: ответ сейчас же менялся на обратный.

В алгебре наблюдается хаос в формулировке правил, в систематическом распределении правил одного по отношению к другому.

Полной, последовательной формулировки почти не удавалось получить—то учащийся не указывает, что надо делать, например, с коэфициентами при делении, то сначала скажет, как надо поступить с показателями степеней одинаковых буквенных выражений, а потом говорит о действии с коэфициентами и т. п.

На вопрос: „Какие выражения называются подобными?“ следовали ответы: .У которых разные коэфициенты“ или: „У которых одинаковые буквы“. В виде исключения получался ответ: „С одинаковыми буквенными выражениями и с одинаковыми показателями степеней этих выражений; коэфициенты же могут быть разные“.

Это неуменье точно и систематически сформулировать правила и отсутствие ясного их понимания приводило к тому, что учащиеся в некоторых случаях были бессильны справиться с заданиями, не выходящими за пределы пройденного курса. Например, в виде исключения удавалось получить исчерпывающий ответ на вопрос: „Как вы производите деление одночлена на одночлен?“ — следовали ответы: „Степени одинаковых буквенных выражений вычитаются“. Относительно же коэфициентов и самых букв (буквенных выражений) не говорилось ничего. Задание: разделить 2а2Ь на abd встречало затруднения, и приходилось затрачивать много усилий, чтобы, наконец, установить, что d надо не приписывать, а подписывать в знаменателе, и при этом учащиеся иногда говорили, что „такого“ в классе им не приходилось делать. Понятно, что с делением многочлена на многочлен дело обстоит еще хуже: при делении аг—Ь3 на a—b получилось а2—б2. Вообще, где требовались рассуждения, анализ,—там возникали затруднения (например, при решении задач, особенно, геометрических).

Неуменье давать точные определения сказывается и в геометрии. Так, например, редко удавалось получить полное определение высоты треугольника как перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на его основание или продолжение основания, последнее не договаривалось, а потому в тупоугольном треугольнике высота из острого угла никак не могла быть опущена.

Наконец, следует отметить, что вместо вдумчивого, обоснованного исправления своих ошибок учащийся нередко при малейшем отрицательном движении преподавателя вытирает на доске подряд все как правильно, так и неправильно написанное. Мне кажется, что из сказанного в первую очередь можно сделать следующие выводы: необходимо вести преподавание так, чтобы у учащегося превалировал авторитет не преподавателя („нам так говорили“ — это неоспоримый аргумент в представлении учащегося), но авторитет научной истины, передаваемой учащемуся преподавателем. Если, например, 5 слив стоят 20 копеек, то одна будет стоить в пять раз меньше, а потому надо 20 разделить на 5 (но не потому что .нам так говорили“). Прежде чем заставлять заучивать учащегося какое-либо правило (или определение), необходимо его точно сформулировать, и усвоение точной формулировки, а не каких-либо приблизительных отрывков из нее, считать знанием учащегося.

Жаль, что контролирующие органы отделов народного образования не обращают внимания на данные, которые можно получить на приемных экзаменах в специальные средние учебные заведения, а при суждении о знаниях учащихся ограничиваются только данными в своих школах, у своих преподавателей, в привычной обстановке.

О ДАННЫХ ОДНОГО ЭКЗАМЕНА

И. М. РАБИНОВИЧ (Рига)

Осенью 1946 г. в Риге проводились вступительные экзамены в Ленинградский заочный индустриальный институт. Контингент экзаменовавшихся составили лица в возрасте от 19 до 24 лет. По характеру занятий они в своем большинстве являлись техниками разных специальностей и имели дипломы средних технических учебных заведений.

Заслуживают внимания следующие обстоятельства : экзаменовавшиеся не располагали временем для повторения материала, так как, во-первых, экзамены проводились „без отрыва от производства“, во-вторых, в сроки, непосредственно следовавшие за объявлением приема.

У большинства имел место одно-трехгодичный перерыв в учебе со времени окончания школ.

Мы приводим некоторые данные, связанные с проверкой знаний по арифметике и алгебре.

Материалом для обработки и анализа послужили следующие примеры, которые в числе других задач были предложены экзаменующимся:

№ 1. Найти численное значение величины

Результат округлить с точностью до 1/1000.

№ 2. Решить систему

ах—у=Ь ху-\-х—с

№ 3. Символическц логарифмировать

Для проведения анализа результатов мы составили следующие вопросы, на которые отвечали „да“ или „нет“ на основании данных контрольной работы:

По данным примера № 1,

1. Получен ли правильный результат?

2. Производится ли сокращение множителей в дробях?

3. Упрощаются ли действия с десятичными дробями путем переноса запятых, добавляя в нужном месте единицу с нулями ( например : д^у-=^^) ?

4. Применяются ли буквенные преобразования (подстановка, сравнение) для исключения промежуточной величины d с последующим сокращением букв до подстановки чисел?

По данным примера № 2.

5. Известен ли способ подстановки для исключения неизвестной буквы?

6. Сохранилась ли в памяти формула решения квадратного уравнения?

7. Получен ли правильный результат? По данным примера № 3.

8. Получен ли правильный результат? Для общей характеристики мы ставили следующие вопросы.

9. Удовлетворительно ли оформление работы, т. е. систематична ли планировка вычислений, опрятна ли запись и т. д.

10. Свободно ли выполнение действий (в частности вспомогательных) от примитивных навыков (например, деление на делитель с нулями, не отбрасывая их; умножение „на бумаге“ двузначного числа на однозначное ц т. д.).

Заметим, что работа производилась без возможности переписать набело и без „черновиков“.

Результаты своеобразной анкеты сведены в таблицу, в которой указано число положительных и отрицательных ответов.

Вопросы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

да

6

11

7

б

17

15

11

14

10

9

нет

14

9

13

14

3

5

9

6

10

11

Итак, примерно у половины всей группы оказываются удовлетворительные и хорошие знания алгебраических тем, но только треть в состоянии получить правильный результат арифметических действий!

Графа 3 отстает от графы 2; выходит, что половина всех тех, кто упрощает дроби путем сокращения, не сознают, что преобразования с .десятичными дробями являются по сути дела тем же сокращением. Формализм в знаниях получает весьма ощутимое выражение. Одновременно мы замечаем, что навык сокращать дроби и „переносить“ запятые оказывается не увязанным с умением получать правильный результат (графа 1).

Наиболее многозначительные выводы напрашиваются при сравнении граф 4 и 5. Подстановки, о которых в этих графах идет речь, мы условно назовем соответственно .мультипликативной“ и „аддитивной“ подстановками. Чтобы полностью оценить парадоксальность контраста 6 и 17 положительных случаев, надо учесть, что большинство формул и преобразований, с которыми имеет дело техник в своей практической деятельности, — это преобразования мультипликативного характера (плотности и объемы, мощности и коэфициент полезного действия, сопротивление проводников, допустимая нагрузка).

И вот оказывается, что ею умеют пользоваться меньше трети всей группы; и только около 35% лиц, которым ясен смысл аддитивной подстановки, в состоянии воспользоваться мультипликативной подстановкой. Невольно напрашивается вывод, что школьный курс алгебры не развивает нужного для практической деятельности навыка, заменяя его комплексом формальных сведений.

Наконец, наша табличка ставит вопрос о роли оформления вычислительной операции. Графа 9 является как бы итоговой, которая характеризует то, что происходит в других графах. Возникает вопрос, является ли недоброкачественное оформление следствием плохого знания или источником ошибок?

Если верно последнее предположение, то оформлению и навыку оформления необходимо уделять значительно больше внимания, чем это имеет место.

О КРИТЕРИЯХ ОЦЕНКИ ПИСЬМЕННЫХ РАБОТ УЧАЩИХСЯ СРЕДНИХ ШКОЛ ПО МАТЕМАТИКЕ

П. А. ЛАРИЧЕВ, консультант Управления школ Министерства просвещения РСФСР

Правильная оценка письменных работ учащихся имеет большое принципиальное и практическое значение. Являясь одним из мероприятий по поднятию качества знаний учащихся, правильная оценка письменных работ по математике особенно важную роль играет на выпускных экзаменах. Вполне понятно поэтому, что высказывания по вопросам, связанным с требованиями к письменным работам, вызывают живые отклики нашей педагогической и научной общественности. На страницах журнала „Математика в школе“ помещен ряд статей по данному вопросу (проф. В. М. Брадиса, Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева, проф. Я. С. Дубнова, К. Е. Агринского, И. М. Рабиновича, О. И. Кисловской, С. И. Новоселова).

По тому же вопросу от ряда лиц (Р. В. Гангнуса, О. Гинзбурга, Гнусова и др.) Управлением школ Министерства просвещения и редакцией журнала „Математика в школе“ было получено большое число писем и заметок.

Развернувшаяся дискуссия показывает, что имеется ряд спорных вопросов о требованиях к письменному решению примеров и задач, а следовательно и об их оценке. Анализ дискуссионных материалов позволяет отметить, что в большинстве случаев различие мнений связано с недостаточным уяснением принципиальных указаний Министерства просвещения

о критериях оценки письменных работ учащихся по математике, с субъективным толкованием этих указаний, а иногда с неотчетливым разграничением официальных требований от высказываний, советов и пожеланий отдельных лиц.

Напомним, что официальные требования к письменным работам учащихся и критерии их оценки, обязательные для школ и ОНО, изложены в специальном документе, опубликованном еще в 1943 г. и называемом „Нормы оценки успеваемости учащихся по математике“ (Учпедгиз, 1943, изд. 2-е). К сожалению, еще не все учителя достаточно хорошо ознакомлены с этим документом, так как некоторые недоумения, отмечаемые в выступлениях авторов статей, легко разрешаются простой справкой, взятой из указанной брошюры.

Отметим прежде всего принципиальную установку данного документа по вопросу о требованиях и оценке письменных работ по математике. „Единые нормы должны являться основой при оценке успеваемости учащихся и не освобождают учителя от обязанности индивидуально подходить к оценке каждой письменной работы,.. .при оценке успеваемости учитель должен обращать внимание не только на отдельные ошибки, допущенные учеником, но и на качество выполнения задания в целом; не только на количество ошибок в работе, но и на характер их“ (стр. 3).

Среди некоторой части работников школ все еще существует мнение, что сложную и ответственную обязанность изучения каждой индивидуальной письменной работы учащихся для ее правильной оценки можно свести к механическому подсчету ошибок, определяемых точно регламентированными свыше требованиями, и к применению особой, данной опять-таки свыше, шкалы, автоматически дающей „объективную“ оценку работы. Эта тенденция некоторой части учительства выражается в желании получить строго регламентированные „показатели“ успеваемости, перечисление ошибок, за которые надо снижать балл и на сколько снижать по данной письменной работе, желание получить „образцы“ идеального выполнения работ и т. д.

Требования качественного анализа письменных работ учащихся, индивидуального подхода к оценке каждой работы, каждой ошибки — эти требования принципиально противоположны мнениям и практике некоторых зарубежных педагогов, с их системой тестов, как объективной мерой успеваемости.

Переходя к рассмотрению отдельных вопросов о требованиях и оценке письменных работ, вопросов, являющихся предметом дискуссии, остановимся на требованиях к решению примеров и решению задач по алгебре и геометрии.

По отношению к решению примеров „Нормы оценки успеваемости* устанавливают следующие требования:

Оценка „5“ ставится в том случае „если решение всех примеров доведено до конца и получены правильные ответы, все действия и преобразования выполнены верно, рационально, все записи хода решения примеров верны, аккуратны, расположены последовательно“ (стр. 10).

Подходя с этой официальной точки зрения к высказываниям авторов статей о требованиях, относящихся к решению примеров, мы безусловно должны отрицательно отнестись к приему решения уравнений в статье Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева (стр. 41, 1947 , № 1), как к приему, нарушающему требование „рационального“ способа решения.

Действительно, на стр. 6 брошюры „Нормы оценки успеваемости“ сказано: „Рациональными называются способы вычислений и преобразований в том случае, когда применены приемы, которые помогают быстрее решить задачу с наименьшим числом действий, когда вычисления и преобразования выполнены устно там, где это возможно, своевременно выполнены все возможные сокращения и другие упрощения, умело использованы известные формулы сокращенных вычислений“.

Отмеченный выше недочет в решении уравнений был немедленно вскрыт и справедливо осужден многими участниками дискуссии (Я. С. Дубнов, Р. В. Гангнус, Г. Е. Машков, И. М. Рабинович и др.).

Требование применять рациональные приемы вычислений и преобразований далеко еще не вошло в практику школы. Нередки случаи, когда преподаватели допускают грубейшие нарушения данного требования и не снижают за это оценку работы. Достаточно указать на беспорядочные записи логарифмических

вычислений (см. статью И. М. Рабиновича), на нерациональные записи арифметических вычислений, на нерациональное выполнение преобразований с радикалами (статья Я. С. Дубнова) и т. д.

Существо дела требует, чтобы преподаватель систематически обращал внимание учащихся на необходимость пользоваться возможными упрощениями всех операций и во всех случаях. Планомерная работа преподавателей по рационализации выполнения письменных работ, всемерное поощрение достижений учащихся в этой области и неуклонная борьба с проявлением всякого рода небрежности—необходимые условия для улучшения качества работ по математике. Характерно, что „Нормы успеваемости“ высоко расценивают проявление инициативы учащихся в рационализации приемов вычислений и преобразований. „Если в работе дан оригинальный и вполне рациональный прием решения, свидетельствующий о высоком уровне математического развития данного учащегося, то оценка „5“ может быть поставлена и при наличии одного несущественного недочета“ (стр. 10), Это указание еще раз подтверждает принципиальную установку, которая должна служить основой требований учителя к письменным работам; не формальное подсчитывание ошибок и недочетов определяет оценку работы, а тщательное взвешивание качества работы в целом, ее индивидуальных особенностей.

В порядке дискуссии некоторые авторы ставят вопрос: следует ли требовать, чтобы выполнение примеров сопровождалось объяснением? „Нормы оценки успеваемости“ не выдвигают это требование. Действительно, если обратиться к объяснениям, данным в статье Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева к решению уравнений (стр. 41, 42, 43), то ненужность таких пояснений к решению примеров становится очевидной. Ряд авторов (например, Агринский, Дубнов и др.) справедливо указывают на излишнюю многословность этих пояснений, на загромождение работы ненужной „писаниной“ и т. д. Действительно, на стр. 41, 42, 43, 45 мы читаем такие объяснения к решению уравнений и примеров: „чтобы решить полученное уравнение, необходимо предварительно его привести к нормальному виду“ или (на стр. 45):

„Заменим в членах бинома корни дробными показателями степеней (?). Тогда данный бином примет вид“; „Найдем сначала показатель степени данного бинома“ (и т. д.).

Приведенные фразы являются примерами тех риторических „украшений“, которые без необходимости увеличивают объем письменной работы и лишают ее характерных особенностей математического стиля — лаконичности и четкости.

Точно так же следует считать нецелесообразным требование давать в письменных работах словесный пересказ формул. В практике школ имели место случаи, когда учащиеся, решая, например, квадратное уравнение, старательно выписывали: „Мы знаем, что неизвестное квадратного уравнения общего вида равно дроби, у которой... “ и т. д.

Оговариваемся, что в течение года, предлагая письменную работу для проверки усвоения определенного частного вопроса, преподаватель может потребовать, чтобы и решение соответствующих примеров сопровождалось объяснением, но в работах итогового характера (годовых, экзаменационных) решение примеров, как правило, выполняется без объяснений, если, конечно, последние не требуются по существу дела.

Наибольшее количество высказываний авторов дискуссии относится к вопросу о требованиях к объяснению решения задач. Следует напомнить, что требование сопровождать решение задачи объяснением предусмотрено инструкцией Министерства просвещения о проведении выпускных экзаменов и переводных испытаний. Точно так же и в „Нормах оценки успеваемости“ данное требование рассматривается как обязательное для положительной оценки работы.

Требования к объяснению решения задачи зависят от той возрастной группы, для которой предлагается задача. Так, например, от учащихся V и VI классов при решении задач по арифметике требуется объяснение, состоящее или в постановке вопроса перед выполнением соответствующего действия, или в пояснении, относящемся к результату действия (Инструкция о проведении экзаменов и испытаний.) Это требование полностью соответствует требованиям, изложенным в „Нормах оценки успеваемости учащихся по математике“

(изд. 1943 г., стр. 11), не вызывает принципиальных возражений, и целесообразность его проверена многолетней практикой школы.

В целях развития логического мышления и речи учащихся весьма полезно, начиная с пятых классов, а особенно в шестых классах, приучать учащихся сначала устно, а потом и в письменной форме давать развернутое объяснение в виде связного и мотивированного изложения всего хода решения задачи по арифметике. Опыт работы многих школ (в частности, школ Бауманского района г. Москвы) доказывает, что планомерная работа преподавателей в данном направлении дает хорошие результаты в поднятии уровня математического развития учащихся.

При оценке письменной работы, содержащей решение задачи по арифметике, преподаватель руководствуется следующими указаниями, данными в „Нормах оценки успеваемости“ (стр. 11): „Оценка „5“ ставится в том случае, когда задача решена правильно, способ решения выбран наиболее простой, все действия и преобразования выполнены верно и рационально; даны полные и правильные формулировки вопросов или правильные и полные пояснения, записи правильны, расположены последовательно и выполнены аккуратно, наименования поставлены правильно; дан верный ответ на вопрос задачи“.

При наличии недочетов оценка работы соответственно снижается.

Рассмотрим те требования, которые должны предъявляться к решению задач на составление уравнений (VII—IX классы).

Методическая литература по данному вопросу, высказывания компетентных лиц (методистов, научных работников, учителей) и практика лучших школ позволяют наметить следующие основные требования к письменному оформлению работы по решению задач на составление уравнений:

1) Обозначения и их объяснение (перевод условия задачи на язык алгебры).

2) Составление уравнений с достаточной мотивировкой и ссылкой на условие задачи.

3) Решение уравнения.

4) Ответ на вопрос задачи.

5) Проверка правильности ответа по условию задачи.

В „Нормах оценки успеваемости учащихся по математике“ предусматривается, что оценка „5“ за решение задач по алгебре ставится в том случае, „когда задача решена правильно, ход решения правилен, способ решения задачи выбран наиболее простой, все действия и преобразования выполнены верно и рационально; даны полные и верные пояснения к выбору неизвестных, и к введению обозначений, составлению уравнений или систем уравнений; все записи хода решения задачи верны и аккуратны, расположены последовательно; дан исчерпывающий ответ на вопрос задачи и сделана проверка соответствия полученного решения условию задачи“ („Нормы оценки успеваемости учащихся по математике“, 1943, стр. 11).

Анализ экзаменационных работ по алгебре учащихся VII—IX классов показывает, что имеют значительное распространение следующие недочеты в решении задач:

1) Неполнота объяснения решения (в частности отсутствие пояснений к составлению уравнений).

2) Отсутствие записи наименований.

3) Отсутствие проверки правильности ответа на вопрос задачи.

4) Чрезмерное многословие, излишние повторения одного и того же пояснения.

Учитель должен постепенно усиливать требования к правильности, точности, краткости и четкости объяснения, разбирая с учащимися их ошибки и давая образцы хороших работ.

Объяснения решения задач в VII классе, данные в статье Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева (1947, № 1), могут быть использованы учителем в качестве конкретных примеров с учетом тех замечаний, которые были сделаны выше. Учителю следует иметь в виду, что достижение хороших результатов в данной области возможно лишь при проведении планомерной и длительной работы с учащимися.

Было бы неправильно думать, что решение всех задач (предлагаемых в классе и для домашней работы) необходимо сопровождать развернутым объяснением; в рабочем порядке достаточно ограничиться требованием введе-

ния обозначений, составлением и решением уравнения.

В старших классах особое место при решении задач на составление уравнений с буквенными коэфициентами занимает требование выполнения так называемого „исследования решения задачи“. Следует отметить, что некоторые преподаватели без необходимости усложняют поставленные требования побочными обстоятельствами, загромождая работу излишними выкладками, оперированием с неравенствами и т. д.

Требование, которое в данном случае предъявляется, заключается в том, что учащийся должен определить, какой из корней (или оба корня) составленного им уравнения пригоден для ответа на вопрос задачи в соответствии с ее условием.

Нельзя согласиться с мнением, изложенным в статье т. Рабиновича, что всю механику исследования следует радикально упростить „с точки зрения политехнического стиля“. Мы не вполне понимаем, что подразумевает т. Рабинович под термином „политехнический“ стиль, но если он означает, что учащийся может в качестве аргументов ссылаться на понятия „ясно“, „очевидно“, не приводя соответствующих обоснований, то такая точка зрения не может быть приемлемой для школы. Практика лучших учителей и мнения многих методистов дают основание потребовать, чтобы учащийся, решая задачу с буквенными параметрами, умел отчетливо ответить на следующие вопросы:

1) При каких значениях параметров, данных в условии задачи, и при каких соотношениях между ними данная задача имеет смысл.

2) Какие значения может принимать выбранное для составления уравнения неизвестное, чтобы оно удовлетворяло условию задачи.

3) Какой из найденных корней уравнения удовлетворяет этим условиям и будет пригоден для ответа на вопрос задачи.

Поставленные вопросы в значительной мере ограничивают работу учащихся по исследованию решения задачи, так как здесь рассматриваются лишь те значения параметров, которые они принимают по смыслу данной задачи, в то время как при общем исследовании уравнения рассматриваются всевозможные допустимые значения параметров и их соотношения.

Между тем в письменных работах иногда встречаются случаи, когда учащийся, игнорируя конкретное содержание условия задачи, выполняет формальное исследование решения квадратного уравнения по схеме: 1-й случай — дискриминат больше нуля, 2-й случай — дискриминат равен нулю и т. д. Преподавателям математики надо всемерно бороться с проявлениями формализма в исследовании решения задачи. На конкретных примерах необходимо показать, что весьма целесообразно вопросы исследования ставить и разрешать в процессе всей работы по решению задачи.

Проф. Я. С. Дубнов в своей статье (1947, № 6) указывает прекрасный пример исследования корней уравнения в решении задачи № 2 (пример, приведенный в связи с разбором статьи Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева).

Практика школ показывает, что при соответствующей подготовке учащиеся удачно справляются с поставленными требованиями к исследованию решения задачи и дают примеры четкого и правильного выполнения этой части работы.

В статье Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева определение корней уравнения, пригодных для ответа на вопрос задачи (стр. 42, 2-й столбец), выполнено в указанном выше плане и не вызвало принципиальных возражений со стороны критики, если не считать вполне правильных замечаний Я. С. Дубнова, связанных с допущенными авторами недочетами в оформлении исследования (громоздкость исследования, наличие лишних преобразований и т. д.).

Несколько замечаний необходимо добавить по вопросу о том, следует ли требовать, чтобы учащиеся выполняли в письменной работе по алгебре проверку правильности решения задачи. Выше уже указывалось, что работа, оцениваемая баллом „5“, должна содержать проверку соответствия полученного решения условию задачи („Нормы оценки успеваемости учащихся по математике“, стр. 11). В статье проф. Брадиса „Математические задачи в школе“ (1946, № 1) необходимость требования выполнять проверку правильности решения задачи убедительно обосновывается с принципиальной точки зрения, а в статье преподавательницы Кисловской приводятся интересные

примеры, показывающие практическую целесообразность поставленного требования.

Наиболее сложным вопросом дискуссии следует считать вопрос о требованиях к письменным работам по геометрии. „Нормы оценки успеваемости“ устанавливают следующие требования к решению геометрических задач: „Оценка 5 ставится в том случае, если ход решения задачи правилен, способ решения задачи рационален; все обоснования, объяснения, формулировки верны и рассуждения последовательны, все чертежи сделаны правильно, четко, снабжены обозначениями, все необходимые преобразования выполнены верно, рационально, все записи хода решения задачи верны, аккуратны, расположены последовательно, наименования поставлены правильно, дан исчерпывающий ответ на вопрос задачи“ (стр. 12). Изложенные требования с принципиальной стороны вполне ясны, понятны и не вызывают возражений. Однако в практике проведения их в школе возникает ряд затруднений, касающихся отдельных частных вопросов письменного решения задач по геометрии.

Так, например, ставится вопрос об объяснениях, связанных с чертежом пространственной фигуры. Следует отметить, что некоторые из выступавших в дискуссии недостаточно отчетливо различают требования „построить геометрическую фигуру“ и „дать описание изображения геометрической фигуры“ (описание выполнения чертежа — статья К. Е. Агринского). Задачи на построение геометрической фигуры по данным условиям принадлежат к специальным задачам с их специфическими особенностями. В статье Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева выдвигается приемлемое по данному вопросу требование: „Выполнив чертеж и проставив на нем требуемые обозначения, учащийся должен в краткой форме пояснить, как выполнен им чертеж, и отметить на нем заданные условием задачи величины“ и т. д. (стр. 48, правый столбец). Дальнейшие пояснения авторов, данные в решении задач (стр. 49, 50, 51), совершенно ясно указывают, в чем состоит „описание выполнения чертежа“. Я думаю, что никто не будет называть это описание чертежа „построением пространственной фигуры“ в том смысле, как принято понимать в геометрии термин „построение“. Основное внимание учащихся при выполнении чертежа и пояснениях к нему должно быть сосредоточено на анализе условия задачи и на обосновании свойств получившейся фигуры и ее элементов.

Следует отметить, что данная часть работы является основной, и правильное выполнение ее требует от учащихся проявления инициативы, сообразительности, соответствующего, развития пространственного представления и логического мышления.

Участники дискуссии (Я. С. Дубнов, Р. Гангнус и др.) справедливо указывают на недочеты, имевшие место в обосновании пояснений к чертежам в задачах на стр. 50 и 51 в статье Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева.

Нередко ставится вопрос о том, что и как должен пояснять учащийся в решении геометрической задачи. Просмотр экзаменационных работ по геометрии показывает, что иногда учащиеся заполняют многословными пояснениями до 15 страниц тетради. Имеются случаи, когда учащиеся, встречая в задаче слова квадрат, диагональ, старательно выписывают соответствующие определения, или, например, доказывая равенство двух треугольников, полностью приводят формулировку признаков равенства треугольников и т. д.

Вопрос, что и как объяснять в решении геометрической задачи, должен быть разрешен с точки зрения требований „необходимости“ и „достаточности“. В течение всего обучения в школе преподаватель должен требовать умения выделять в данной задаче центральные вопросы и вопросы, имеющие вспомогательное значение. Если учащийся не умеет выделить в задаче узловые, центральные вопросы, а сосредоточивает свое внимание на второстепенных частностях и в ущерб главному, то это уже крупный недочет в его работе. Делая ссылку на ту или иную теорему, учащийся может привести или ее полную формулировку или указать кратко ее содержание в зависимости от того значения, которое имеет данная теорема в ходе решения задачи.

Точная регламентация в данном вопросе совершенно излишня и может при вести лишь к ненужному формализму в требованиях, в ущерб существу дела.

ХРОНИКА

ПЕРВЫЙ ГОД РАБОТЫ КАБИНЕТА МАТЕМАТИКИ ХАРЬКОВСКОГО ГОРОДСКОГО ИНСТИТУТА УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ УЧИТЕЛЕЙ

Кабинет математики Харьковского городского института усовершенствования учителей организовался в августе 1946 г.

Формы и методы работы были различны: семинары, практикумы, лекции, тематические и индивидуальные консультации, выставки, методические разработки, подбор дидактического материала к отдельным разделам курса математики в средней школе, доклады, обобщающие опыт лучших учителей.

Для учителей VI и VII классов за год состоялось 28 занятий.

Темами семинара для учителей VI класса были :

Первые уроки по алгебре и геометрии. Введение отрицательных чисел. Доказательство первых геометрических теорем.

Методика решения задач на доказательство по готовым чертежам.

Первые уроки на геометрические места точек и т. д.

Темами семинара для учителей VII класса были:

Теория алгебраических дробей. Задачи на построение параллелограмов. Теория пропорций.

Составление уравнений по условиям задач с письменным объяснением и т. д.

Занятия семинара содействовали развитию сознательного восприятия учащимися курса геометрии.

Специально подобранные упражнения на простейшие геометрические построения приводили учащихся к необходимости доказательства первых теорем. Знание этих теорем закреплялось решением задач на доказательство по готовым чертежам, что содействовало развитию логического мышления учащихся. Анализируя решение геометрической задачи на построение, учащиеся VI и VII классов составляли план построения. Как показал опыт работы многих харьковских школ, введение плана построения оказалось удачным методическим приемом.

Влияние семинара сказалось на преподавании алгебры: учащиеся VI классов решали много задач на составление числовых и буквенных формул, а также составляли условия задач по данной числовой или буквенной формуле, глубже изучали действия над отрицательными числами, закрепляли вычислительные навыки, решая примеры на нахождение числовых величин в течение всего учебного года; учащиеся VII классов научились писать связные объяснения решения задач на составление уравнений по данному условию задачи.

Кабинет провел также семинар по решению задач на построение в пространстве (10 занятий); практикум по изучению логарифмической линейки (12 час).

С учителями V классов было проведено несколько занятий семинара на следующие темы: методика пропедевтического курса геометрии, самостоятельное составление задач учащимися, письменное объяснение решения задач, периодические дроби и т. д.

Эти занятия помогли учителям методически правильно построить прохождение наглядной геометрии, широко использовать моделирование, привить учащимся навыки измерения элементов геометрических фигур и тел, необходимых для определения площадей, поверхностей и объемов.

В школах стали систематически пользоваться составляемой учащимися таблицей применения арифметических действий при решении простых зад!Ч, что приучало учащихся к сознательному применению действий при решении сложных задач.

Самостоятельное составление задач учащимися стало практиковаться во многих школах; при этом часто использовались цифровые данные нового сталинского плана восстановления и развития народного хозяйства.

Для учителей VIII—X классов было организовано городское методическое объединение, которым руководил кабинет математики.

За год было 12 собраний, на которых в порядке обмена опытом состоялись доклады на темы:

Исследование уравнений 1-й и 2-й степени. Знак квадратного трехчлена и решение неравенств второй степени. Функции и графики.

Гомотетия и решение задач на построение методом подобия.

Метод инцидентности при решении геометрических задач.

Вписанный и описанный шары. Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения. Самостоятельные работы учащихся. Процессуальное и заключительное повторение и др.

Были прочитаны лекции:

„Основы современной алгебры“ (проф. А. К. Сушкевич).

.Аксиоматика геометрии“ (доц. Д. 3. Гордевский).

„Советские математики и их роль в развитии математической мысли“ (проф. Г. И. Дринфельд).

Существенную помощь учителям оказывали тематические и индивидуальные консультации. Тематических консультаций за год было 18, индивидуальных — около 900 в кабинете математики и более 100 непосредственно в школах после посещения уроков математики. Кроме того, за год состоялось шесть выездов в отдаленные районы города, во время которых были прочитаны методические доклады и даны консультации по различным вопросам преподавания математики.

При кабинете функционировала постоянная выставка, экспонаты которой менялись в зависимости от хода учебного процесса в школах (подготовка к новому учебному году, к весенним испытаниям и экзаменам, подбор дидактического материала и наглядных пособий к различным разделам курса, кружковая работа и т. д.).

Некоторые из экспонатов выставки послужили образцами для изготовления наглядных пособий в школах: таблица употребления четырех арифметических действий при решении про:тых задач; таблица геометрических мест точек; наглядные таблицы получения формул по теории соединений, наборы моделей по наглядной геометрии и др.

Кабинет математики всячески содействовал организации школьных кружков и активно участвовал в подготовке и проведении харьковской математической олимпиады. Были составлены примерные планы работы кружков средних и старших классов, даны библиографические указания, подбиралась литература к отдельным темам, а также задачи для подготовки к участию в математической олимпиаде. Были выпущены три бюллетеня, посвященные обмену опытом кружковой работы.

За год кабинет собрал и составил ряд методических разработок по следующим вопросам, самостоятельная работа и методика опроса учащихся, приемы устного счета, опыт прохождения тригонометрии в системе координат, преподавание геометрии в V классе и др.

Часть этих разработок будет отпечатана в методическом сборнике, издаваемом Институтом усовершенствования учителей г. Харькова. Постоянное общение учителей математики параллельных классов сблизило их, оживило обмен опытом; при кабинете организовался актив. Три человека из актива прослушали в Харьковском государственном университете курс лекций по истории математики у проф. А. К. Сушкевича и обрабатывают лекции этого курса с целью внедрения элементов историзма в преподавание математики в средней школе; этот материал станет достоянием всех учителей города.

Научно-исследовательский Институт математики и механики в г. Харькове охотно помогает кабинету математики в проведении различных мероприятий.

1946/47 учебный год был годом исканий форм работы, которые бы оказали действенную помощь учителям в их непосредственной работе в школе.

Семинары-практикумы оправдали себя, они должны существовать и далее.

Актуальным оказался также систематический подбор дидактического материала к отдельным разделам курса; но это были первые шаги — предстоит большая работа по составлению „карточек“ по отдельным разделам курса с указанием библиографии, с примерами дидактического материала, с методическими указаниями, с образцами самостоятельных и контрольных работ.

О. Финке,

заведующая кабинетом математики Института усовершенствования учителей г. Харькова.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

АЛГЕБРА И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЕ В ШКОЛЕ

(По поводу книги С. С. Бронштейна)*

Доц. П. С. МОДЕНОВ (Москва)

I

Для огромного контингента учителей массовой семилетней школы ощущается острая необходимость в пособиях двух родов: с одной стороны, необходимы методические пособия, содержащие изложение конкретных вопросов методики преподавания предмета и служащие для учителя „руководством к действию“; с другой стороны, необходимы пособия, дающие более подробное и глубокое изложение элементарного курса математики по сравнению со школьными учебниками.

Мы полагаем, что решение этих двух задач в более или менее полной мере невозможно сочетать в одной книге; та или иная часть, а вернее всего, обе пострадают от такого „симбиоза“. Наглядным доказательством этого является книга С. С. Бронштейна „Алгебра и ее преподавание в семилетней школе“. Эту книгу нельзя отнести к какой-либо одной из указанных двух категорий, так как в ней рассматриваются и теоретические вопросы и вопросы методики преподавания алгебры. Отсюда в качестве следствия вытекает ее основной недостаток: ни теория, ни методика не даются каждая в систематическом изложении.

Книгу С. С. Бронштейна в некоторой ее части нельзя назвать бесполезной; в ней учитель найдет теоретическое освещение ряда трудных вопросов (учение об отрицательных числах, об уравнениях), в ней содержится много методических указаний, в ней дано много образцов решений задач и упражнений. Однако при отсутствии определенной ориентации многое, являющееся нужным и полезным, но собранное без определенной системы, покажется читателю хаотичным и случайным, а потому и не даст должного эффекта. Читая книгу, нередко трудно найти грань между пересказом материала учебника и методическими указаниями. Не всегда можно понять, предназначает ли автор сообщаемые им сведения для повышения квалификации учителя или показывает, как нужно излагать эти сведения в школе на уроке. Приведем несколько примеров.

1. Характерное для книги отсутствие определенной ориентации сказывается, начиная с первых же страниц. В первом параграфе автор, желая отдать долг современности, употребляет термины „кольцо“, „поле“, „группа“. Получилась видимость научности, но так как сущность этих понятий осталась невскрытой, то и все изложение по сути дела является бессодержательным. Полагаем, было бы лучше совсем отказаться от этого параграфа, чем свести его к ничего не говорящему употреблению „модных“ терминов. Здесь пострадала теория.

2. На стр. 23 автор приводит примеры типичных ошибок учащихся в отношении порядка действий и ни слова не говорит о методах борьбы с этими ошибками. Здесь уже пострадала методика.

3. Весь § 7 посвящен „обозначению действий“, причем изложение ведется так:

„Знак сложения остается в буквенных выражениях такой же, как и для чисел — плюс (+); а-\-Ь означает, что надо сложить число а с числом Ь и читается: 9а плюс Ьт. Для обозначения вычитания в буквенных выражениях, как и при вычитании чисел, употребляется знак минус t—); а — Ь означает, что из числа а надо вычесть число Ъ и читается: „а минус Ь*. Для умножения букв употребляются знаки умножения, принятые в арифметике, т. е. косой крест (X). точка ( • )“ (почему-то уже не сказано, что означает выражение а • b и как оно читается!) и т. д.

Что это— теория или методика? Даются ли эти сведения для самого учителя или показывается, как он должен сообщить эти сведения ученику? Мы полагаем, что и в томи в другом случае это место в книге совершенно лишнее. Учитель, даже самый малоподготовленный, все это отлично знает, а для ученика гораздо лучше и короче сказано у Киселева: „для обозначения первых четырех действий в алгебре употребляются те же знаки, что и в арифметике“. Подобных примеров можно привести значительное количество.

4. Перескакивая от теории к методике и обратно, автор нередко теряет связь в изложении, забывает, о чем он недавно говорил, и впадает в повторения. Так, на стр. 27—28 читаем:

„Для обозначения понятия больше употребляется знак >, например, „8 больше 5“ записывается так: 8 > 5. Для обозначения соотношения меньше употребляется знак <, например, фраза ,12 меньше 20“ записывается так: 12<20.

* С. С. Бронштейн, Алгебра и ее преподавание в семилетней школе. Пособие для учителей. Утверждено Министерством просвещения РСФСР, Учпедгиз, 1946, стр. 263. Цена 4 р. 85 к.

Соотношение .10 не равно 20“ записывается так: 10^ 20* и т. д.

И уже на следующей, 29-й странице читаем опять:

„В неравенствах правая и левая части соединяются знаками неравенства: > “больше*, < „меньше“, Ф 'неравно“, ^ .меньше или равно“, > 'больше или равно“, например, для выражения мысли: .8 больше 3“ надо поставить знак, выражающий понятие .больше“: 8> 3 (кстати, и здесь невольно возникает вопрос: теория это или методика?)

5. На стр. 93 — 94 читаем:

„...разделить многочлен Л на многочлен означит найти два многочлена —один Q, а другой/?, удовлетворяющие следующим двум условиям:

1) A = BQ+R

2) Показатель степени старшего члена многочлена R относительно основной буквы... должен быть меньше показателя той же буквы в старшем члене многочлена В".

Между прочим, непонятно, почему так длинно сформулировано второе условие, когда раньше (стр. 90) уже был введен термин .степень многочлена“.

Но вот через три страницы (стр. 97) снова находим:

.Деление многочлена А на многочлен В заключается в нахождении двух многочленов Q и R, удовлетворяющих следующим условиям:

1) Должно быть удовлетворено соотношение A = BQ+R.

2) Показатель степени # должен быть меньше показателя степени В,

(Все же принято говорить .степень многочлена“, а не .показатель степени многочлена“.)

Заметим попутно, что нам совершенно непонятна оговорка автора .по степеням основной буквы“. Как известно, постановка вопроса о делении с остатком многочленов с несколькими аргументами не идентична постановке вопроса о делимости многочленов с одним аргументом (см. хотя бы книгу М. Бохера .Введение в высшую алгебру“).

6. На стр. 94 и 97 говорится два раза, что Л называется делимым, В — делителем, Q — частным и R — остатком.

7. На стр. 156 дается пример 5 Решить уравнение:

а на стр. 181 пример 2. Решить уравнение:

и в обоих случаях способ решения один и тот же.

8. Один и тот же пример из Шапошникова и Вальцова (ч. 1, гл. V I, M 173) дан на стр. 157 и 181. 11равда, в первом случае буквенные данные заменены числовыми, но способ решения и здесь один и тот же.

Может быть, этой же .двойной установкой“ объясняются и противоречия, в которые впадает автор с самим собой.

9. На стр. 43—44 автор защищает употребление термина .относительные числа“. Аргументирует он тем, что .понятие рационального числа возникает после введения иррациональных чисел“, что „сначала появляется термин иррациональные числа и только после этого, для отличи» от вновь введенных чисел, прежде известным присваивается название рациональных“. И, наконец, что .В школе с отрицательными числами знакомятся в шестом классе, а с иррациональными в восьмом; поэтому ввести термин рациональные числа и пользоваться им в течение двух лет без понимания его смысла нецелесообразно“.

Не будем здесь спорить с автором по существу, хотя аргументация его представляется нам совершенно несостоятельной. (Ну, в самом деле, например, почему ученик поймет смысл слова .относительный“, и не поймет смысл слова „рациональный“, хотя оба слова означают одно и то же и оба для него одинаково новы.) Здесь интересно то, что в той же главе на стр. 50, говоря о числовой оси, автор забывает о всех приведенных выше аргументах и, не стесняясь того, что учащиеся (или учителя) „не поймут смысла термина“, черным по белому пишет:

„Числа целые и дробные называются рациональными числами. Изображения рациональных чисел называются сокращенно рациональными точками прямой“.

Итак, все же и в VI классе можно употребить термин „рациональные числа“. Так во имя чего же ломались копья на стр. 44? Разгадка, нам кажется, в том, что пока говорилось о числах, то можно было спокойно говорить об .относительных“ числах. А на стр. 50, когда речь пошла о числовой оси, автор уж постеснялся ввести термин .относительные точки“ и предпочел нарушить собственный завет —не вводить термин „рациональный“ до VIII класса.

10. На стр. 36 идет речь о записи при решении уравнений. Приведем этот абзац целиком .Надо обратить особое внимание на запись. Уравнение содержит два выражения, соединенные знаком равенства; поэтому не следует писать так: Зх = 22 + 8 = 30; х — = Ю; этого не следует делать по двум причинам: во-первых, получаются не два выражения, а три, соединенные знаком равенства; во-вторых, различаются тождественные преобразования от равносильных (!? — Я. М.) — учащемуся эти понятия еще неизвестны, но он должен привыкать в тех случаях, когда левая часть уравнения не изменяется, не переписывать ее, а производить тождественные преобразования только над числами в правой части уравнения“.

Здесь многое неясно и непонятно. Непонятно, почему нельзя написать три выражения, соединенные знаком равенства, Например, в задачнике Обер и Папелье дается система уравнений:

в аналитической геометрии в пространстве прямая дается каноническими уравнениями

и никаких недоразумений это не вносит.

Непонятен термин „равносильные преобразования“— до сих пор мы знали только о .равносильных уравнениях“.

Но главное в том, что конец абзаца совершенно противоречит началу. С одной стороны, нельзя писать Зх •« 22 8 — 30 (мы считаем,

что, наоборот, именно так и надо писать); с другой стороны, учащийся должен, если «левая часть не изменяется, не переписывать ее...* и т.д., то-есть должен писать Зх = 22-f-8 = 30.

Но, может быть, автор хотел сказать следующее: .если преобразования производятся только в одной части уравнения (правой или левой безразлично), а другая часть остается без изменения, то не нужно каждый раз переписывать все уравнение; следует взять отдельно первую часть, произвести над ней нужные преобразования и результат приравнять другой части*. Так, например, поступает сам автор на стр. 171, решая уравнение:

(1)

Он пишет: „Так как

то уравнение (1) можно представить в виде:

и т. д.

Против такого полезного совета мы ничего не могли бы возразить. Но, к сожалению, автор и в этом случае впадает в двойное противоречие с самим собой (не говоря уже о том, что сказано все это крайне неясно).

Во-первых, здесь изменяется как раз не правая часть, а левая; этот же случай почему-то автором исключен (см. приведенную выше цитату).

Во-вторых, и это главное, приведенный только что пример является, кажется, единственным, где автор сам следует своему собственному совету. Во всей книге он упорно .переписывает“ неизменяющуюся часть.

На следующих же страницах (37—38) читаем:

и т. д. Еще хуже на стр. 179 и 184:

Насколько сократилась бы вся эта .писанина“, если бы автор не забыл свой собственный совет.

11. На стр. 150 автор делит равенства „на два вида: на равенства, верные при всяких значениях букв, и равенства, верные лишь при определенных значениях букв. Первые равенства называются тождествами, вторые—уравнениями“. Но на той же странице автор, вопреки себе, утверждает: .существуют равенства, переходные (!? — П. Af.) между тождествами и уравнениями: так, например, равенство \х\ = х верно при любых положительных значениях х и при х = 0; в этом смысле его нельзя назвать уравнением, но оно неверно при отрицательных значениях х% а потому и не является тождеством*.

И, наконец, на стр. 155: „Уравнение первой степени с одним неизвестным не может иметь бесконечное множество решений, не будучи тождеством".

Здесь масса путаницы и противоречий.

Во-первых, автор в первой цитате резко разделяет уравнения и тождества, а в последней уравнение, оказывается, может быть и тождеством.

Во-вторых, по первой цитате все равенства делятся на тождества и уравнения, а по второй существует еще третий тип равенств, имеющий особое название .переходные равенства“ (признаться, мы до сих пор не встречали такого термина в математической литературе).

В-третьих, почему автор отказывает равенству \х\ = X в чести назваться уравнением? Оказывается, потому, что оно имеет не „определенное число“, а бесконечное множество решений. Но ведь и уравнение х+у— 1 имеет бесконечное множество решений, однако до сих пор никто не усомнился в том, что это равенство является уравнением.

12. Еще один пример. На стр. 190 дано решение неопределенного уравнения Зх + 4у = 9 в таком виде:

И далее говорится:

.Все рациональные корни уравнения уже найдены; из этих корней надо отобрать только целые. Очевидно, у или t должно быть любым числом (курсив наш. — Я. Af.) и, кроме того, X должно быть целым...“ Далее выводится, что для того чтобы X было целым, необходимо, чтобы t было кратно 3, то-есть уже не может быть любым числом.

Кроме того, из текста непонятно, что такое „корень“ уравнения с двумя неизвестными. По-

видимому (по причинам нам непонятным), автор считает корнем значение неизвестного х.

Ограничимся этими примерами. Их достаточно, чтобы сделать совершенно определенный вывод: попытку С. С. Бронштейна дать в одной книге, в своеобразном переплетении, теорию и методику алгебры следует признать неудачной. Повторяем, что, по нашему мнению, она и не могла быть удачной.

II

Итак, мы рассмотрели книгу С. С. Бронштейна главным образом с точки зрения ее структуры, ее „двойной установки“ и, как нам кажется, привели достаточно доводов, доказывающих, что эта двойная установка оказалась в корне порочной, от нее потерпели ущерб как теоретическая, так и методическая часть книги. Перейдем теперь к возможно краткому анализу самого содержания книги.

Начнем с методической части. Как мы уже говорили выше, книга содержит известное количество полезных методических указаний, некоторые разделы (отрицательные числа, уравнения) методически разработаны достаточно подробно, приведены образцы решения задач и примеров повышенной степени трудности, причем показаны разнообразные методы решения (разложение на множители). Но при всем этом в книге имеется ряд положений и указаний в достаточной мере спорных, а иногда и совершенно неприемлемых. Обратимся к примерам.

1. На страницах 36—38 и далее в главе об уравнениях автор приводит примеры записи решения задач. В соответствии со своей основной установкой (см. выше п. 10) он решает уравнение Зл: — 8=» 22 так:

В о-первыX, мы все же не понимаем, почему нельзя было записать короче:

А во-вторых, мы считаем, что и с методической и с практической точек зрения учитель обязан приучать ученика и добиваться от него такой записи:

а повторение последней строчки со словом „итак“ для нас совсем уже необъяснимо.

И такого рода излишняя „писанина“, против которой предостерегает и инструкция Министерства просвещения, проходит через всю книгу.

Более того: на стр. 38 приводятся две записи решения уравнения 5(л-|-3)»45 в следующей форме:

Если с правой записью мы не согласны из-за излишней писанины, то с левой записью мы не согласны, кроме того, и из-за нерационального способа решения. Для нас и для любого среднего учителя единственно приемлемой является такая запись:

то-есть всего три записи вместо 5 и 6, рекомендуемых автором.

2. На стр. 42 автор приводит решение примера, имея в виду цель „приучить к определенной схеме записи нахождения численного значения алгебраического выражения и познакомить с возможными упрощениями при нахождении числового значения многочленов, расположенных: относительно главной буквы. Этим, во-первых, прививаются навыки к рациональным вычислениям, во-вторых, своевременно иллюстрируется применение распределительного закона умножения относительно суммы и, в-третьих, подготовляется почва для схемы Горнера“ (курсив везде наш.—Я. М.).

„Пример. Найти числовое значение многочлена

Запись:

Повторно применяя распределительный закон умножения, получаем (приводим точную копию записи):

Итак,

Не будем придираться к мелочам. Не будем спрашивать автора, почему в третьей строке первый X остался не замененным двойкой (охотно относим это за счет редакции и типографии). Не будем спрашивать, почему знак умножения между скобкой и числом появляется только с третьей строки, да и то не везде (относим туда же). Не будем, наконец, задавать автору вопрос, который непременно задаст учителю ученик при решении хотя бы такого примера (в записи автора):

\х*-\Ъх + Ь\х_х

„Что мне записать в качестве ответа: 12 или —12? Получил я —12, но ведь до сих пор вы меня

учили, что знак | | означает абсолютную величину выражения“

Основное здесь не в том. Основное в записи и в способе решения. И то и другое мы не можем назвать иначе, как чудовищным и издевательским как по отношению к ученику, так и к здравому смыслу и к самой алгебре.

В нашей практике мы всегда решали подобные примеры так:

И это еще не наилучшая запись. Мы поощряем тех, кто сразу напишет третью строку после первой.

И еще лучше, если ученик, зная наизусть первые 6—8 степеней двух (а этого мы постепенно, в порядке упражнений, добиваемся), решит все упражнение так:

„Определенная схема записи“, предлагаемая автором, нас совершенно не удовлетворяет (наоборот, вызывает решительный протест). .Возможные упрощения“ нам кажутся „невозможными усложнениями44, навык в „рациональных вычислениях“, по нашему мнению, в приведенном примере не развивается, а атрофируется. А что касается схемы Горнера, то, во-первых, она еще далека от нашего ученика, а во-вторых, она еще дальше от схемы, предлагаемой С. С. Бронштейном.

Мы не знаем, преподает ли или преподавал ли С. С. Бронштейн алгебру в VI классе средней школы, но сильно подозреваем, что нет. Ведь иначе достаточно было бы ему представить своего 12-летнего ученика VI класса, начинающего изучение алгебры, получившего задачу, предложенную С. С. Бронштейном на 42-й странице своей книги и думающего: „Сколько же скобок мне надо поставить вначале? Хватит или нехватит „круглых, прямых и фигурных“, о которых говорил Бронштейн в своей книге (нехватит: у самого Бронштейна круглая скобка уже повторяется. А если вам дан многочлен 6-й степени, то придется повторить и круглые, и прямые скобки и т. д----) И как мне дальше постепенно закрывать эти скобки?“ Достаточно было бы, повторяем, представить себе этого живого ученика, чтобы зачеркнуть, стереть резинкой весь этот „пример“ и тем более его „обоснование“ Нет, думаем мы, т. Бронштейн не имел перед своими глазами этого ученика ни в действительности, ни даже в воображении.

3. В § 34 (стр. 70—71) рассматривается возведение в степень относительных чисел. При этом для отрицательных чисел автор, естественно, различает два случая: Г) показатель — четное и 2) показатель — нечетное число. Но дальше во всех восьми приведенных примерах автор почему-то различает три случая, беря показатели 2т, 2т + 1 и 2т — 1.

Так, он пишет:

и т. д.

Мы полагаем, что такое упорное различение случаев 2т + 1 и 2т — 1 может только запутать ученика и дает неправильную установку учителю. Надо, наоборот, добиваться, чтобы ученик твердо знал, что 2т + 1 и 2т — 1 означают совершенно одно и то же, именно, любое нечетное число (конечно, при m целом).

4. На стр. 155—156 и далее на стр. 180—182 автор настойчиво рекомендует решать уравнения не на основе свойств арифметических действий, а „на основании непосредственного рассмотрения уравнения“. В этих целях предлагается преобразовать обе части уравнения „к аналогичному по структуре виду, из которого непосредственно вытекает решение уравнения“.

Автор дает примеры: 1) л: + 5 = 12

„Представим 12 в виде суммы 7 -f- 5; получим X -f 5 = 7 4- 5. Непосредственно видим, что подстановка 7 вместо X превращает уравнение в верное равенство, стало быть, 7 есть корень уравнения. Итак, х = 7“.

Аналогично преобразовываются уравнения:

и отсюда выводится заключение, что х равен 25, 8 и 80.

Но ценность предлагаемых здесь упражнений „на соображение“ нам представляется сомнительной уже в двух первых примерах. В самом деле, ведь для того чтобы представить 12 в виде суммы 7-f-5, ученик должен сначала вычесть 5 из 12, то-есть фактически решить уравнение, а тогда все остальное является уже бесцельным. Что касается 3-го и 4-го примеров, то здесь нецелесообразность рекомендуемого автором приема становится уже совершенно ясной. В самом деле, для уравнения Sx -f 7 = 31 ученик должен „по Бронштейну“ рассуждать так: „в левой части второе слагаемое 7. Следовательно, я должен из 31 выделить 7, то-есть вычесть 7. Получу 24 + 7. Далее, в левой части первое слагаемое содержит множитель 3. Следовательно, я должен выделить из 24 множитель 3, то-есть разделить 24 на 3. Получу 8. Итак:

Зх 4-7 = 3. 8 + 7

Значит, jc = 8.

К чему все это? Не проще ли и не короче ли провести рассуждение так: „в левой части два слагаемых, одно из которых 7, а сумма их 31. Следовательно, второе слагаемое:

Зх = 3\ —7 = 24.

Далее, произведение 3 и х равно 24. Следовательно:

X = 24 : 3 = 8*.

Преимущество этого общепринятого способа не только в его естественности и краткости, но и в том, что он дает уверенность в единствен-

ности решения, заставляет глубже и прочнее осознать и усвоить зависимости между компонентами действий, а это имеет несомненную и теоретическую и практическую ценность. И уже вызывает решительный протест дальнейшее .углубление“ рекомендуемого автором способа. В самом деле, посмотрите, как автор решает „по соображению“, например, уравнение

„Внешний вид уравнения наводит на следующие соображения: 15 и х входят симметрично (?— П М.) в два средних члена и после переноса известных членов в одну часть уравнения, а неизвестных в другую X в одной части будет заменен 15 в другой (ничего не понимаю! - /7. М.). Остаются еще первые и последний члены. При X = 15 дробь-yg- равна —— = 2. Таким образом, можно утверждать, что значение х = 15 превращает уравнение в верное равенство и, следовательно, является корнем уравнения“.

Попробуйте разберитесь в этих рассуждениях!— Сплошная бессмыслица. А ведь автор предполагает, что так должен рассуждать ученик-семиклассник. Мы считаем, что такое „выворачивание мозгов'4 ученика ничего, кроме вреда, принести не может.

Но автор идет еще дальше. Таким же способом он предлагает решать уравнения (стр. 182):

Не будем приводить рассуждений автора, отсылая читателя к самой книге. Совершенно ясно, что против такой акробатической „тренировки“ мозгов ученика надо всеми силами протестовать.

Не будем останавливаться на более мелких недочетах методической части книги. Отметим лишь один, по нашему мнению, крупный дефект. На протяжении всей книги автор во всех примерах дает крайне подробную запись всех совершаемых преобразований, ничего не оставляя на долю устных вычислений и преобразований. И с методической и с практической точек зрения будет неправильно, если учитель пойдет по этому пути, на который толкает его книга.

Приведенные примеры позволяют, как нам кажется, сделать следующий вывод: методическая часть книги, несмотря на наличие отдельных правильных советов, неудовлетворительна, и потребуется слишком большая работа по ее пересмотру и исправлению для того, чтобы сделать книгу приемлемой в этой части.

III

Перейдем, наконец, к теоретической части книги.

Здесь прежде всего хотелось бы отметить следующее: книга предназначена для учителя математики, то-есть для читателя, знающего алгебру во всяком случае в объеме школьного учебника, по которому он преподает ее. Следовательно, задача теоретической части рассматриваемой книги заключается в том, чтобы пополнить, расширить эти знания, подвести под них научную базу. Между тем автор незаслуженно много места уделяет элементарнейшим вещам, вроде приведенных уже выше рассуждений о знаках, употребляемых в алгебре (стр. 20). И вообще в очень многих местах книга просто повторяет учебник Киселева, не добавляя к нему ничего. Это бесполезно.

Но, кроме того, в этой части имеются научные и логические ошибки, совершенно недопустимые в книге, предназначенной служить руководством для учителя. Приведем некоторые из них.

1. Уже на 4-й странице автор дает неверное историческое освещение развития алгебры, утверждая, что „в первый период развития алгебры она отличалась от арифметики буквенными обозначениями“.

Достаточно общеизвестно, что алгебра вавилонян, греков и арабов обходилась без буквенной символики. Начало символической алгебры можно отнести не ранее как к XV веку.

2. На стр. 124 имеется уже грубая математическая ошибка. Вводя действия с алгебраическими дробями, автор устанавливает .критерий“ сравнения двух дробей

тогда и только тогда, когда ad = be;

Перед этим автор пишет:

„Необходимо подчеркнуть (курсив наш.— П. M.), что числитель а при различных значениях входящих в него букв может иметь любое значение, знаменатель же b может принять любое значение, за исключением нуля“.

При наличии этого .подчеркивания“ тем более непонятно, как мог автор написать два приведенные выше „критерия“, выраженные неравенствами. Ведь любой шестиклассник уличит автора в противоречии истине, подставив в неравенства вместо букв числа, например:

и т. д.

Еще хуже, что автор в определении алгебраической дроби -г- под а и b подразумевает, в частности, и многочлены (стр. 123), а тогда приведенные им неравенства уже теряют всякий смысл.

3. Не менее грубая ошибка имеется на стр. 149—150. Автор приводит ряд равенств:

и говорит далее:

.Равенство (1) верно при а — 17, так как 17 -|- 5 = 22; при всяком другом значении буквы а равенство (1) неверно. Равенство (2) верно при а = 6 и неверно при всяком другом значении я.

Равенства (3), (4) и (5) верны при всяком значении букв. Равенство (6) неверно, так как по распределительному закону a (b -f с) = ab-\-ac% а не ab 4 с“.

Вот это последнее утверждение находится в прямом противоречии и с алгеброй и даже со здравым смыслом, так как сраз> видно, что равенство (6) верно, например, при а = 1 и при любых значениях b и с или при с — 0 и при любых значениях а и Ь, то-есть представляет собой самое обыкновенное уравнение. Ведь с точки зрения автора уравнение:

имеющее совершенно определенный корень х = Q, является .неверным равенством*, так как по распределительному закону 5 (3 + jc) = 5-3 + 5-jc, а не 5 • 3 + х.

Неужели автору, подобно школьнику, нужно заменить в равенстве (6) буквы я, b и с буквами je, у и 2, чтобы увидеть в нем уравнение?

4. Неудачной с ло!Ической точки зрения является фраза на странице 170. Сложив три дроби с знаменателями х2—1, х-\-2, х2 — 1, автор говорит далее:. Хотя (а2 — 1 ) (jc -f- 2) и есть наименьшее общее кратное всех знаменателей, дробь в левой части полученного уравнения все же сократима*.

Что хотел сказать автор этим .хотя*? То, очевидно, что, как правило, дробь в этих случаях должна получиться несократимой, Но ведь любой ученик V класса хорошо знает, что, наоборот, в этих случаях полученная дробь сокращается очень часто, например:

Оговорка, данная автором «хотя", может только дезориентировать ученика. 5. На стр. 186, решая уравнение

автор делает оговорку: „из области допустимых значений исключается х = 0 и h — х = 0, т. е. X = Л*.

Это, конечно, верно, и очень хорошо, что сделана такая оговорка. Но вот перед этим уравнением решается другое:

и почему-то здесь никакой оговорки относительно X не делается. Точно так же вслед за уравнением с оговоркой .решается уравнение" „без оговорки". Почему такая бросающаяся в глаза непоследовательность?

6. На стр. 193 автор дает неверное определение равносильных систем уравнений:

„Две системы уравнений называются равносильными, если они допускают одно и то же решение или одну и ту же систему корней". Чтобы опровергнуть утверждение автора, достаточно взять системы

которые .допускают одно и то же решение или одну и ту же систему корней“, именно л =6, у 2 и все же не являются равносильными, так как вторая система имеет еще решение X = 2 и у = 6.

Но, может быть, автор имел в виду лишь системы уравнений первой степени, хотя это и не оговорено. Тогда возьмем системы:

которые имеют одно и то же решение х = б, у = 2 и в то же время не равносильны, так как вторая система допускает еще бесконечное множество решений.

Обычное исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными автор сопровождает следующим замечанием (стр. 205) ... .подлинное положение дела следует в интересах точности выразить так: если иметь в виду только действительные (?) уравнения, то исходная система (1) и выводная (II), полученная из (I) умножением на некоторые числа с последовательным сложением, равносильны, если же иметь в виду также и исключительные случаи, т. е. тождества и неверные (?) уравнения, то любое решение системы исходной является решением системы выводной. Обратное заключение может и не быть равным (?)• (курсив наш.—П.М.).

Во-первых, вызывает недоумение противоречащее принятому в науке, а также здравому смыслу деление уравнений на .действительные уравнения“ и на „исключительные случаи*, которые в свою очередь делятся на тождества и .„неверные уравнения“.

Во-вторых, замечание автора, сделанное в „интересах точности“, не лишено вопиющей неточности. Возьмем, например, следующую, с точки зрения автора .действительную“ систему:

а вместо .некоторых чисел“ возьмем сначала числа 1 и 2, а затем 2 и 4. Получим выводную систему

Не лишено интереса, как сможет автор показать равносильность исходной и выводной систем? 7. На стр. 249 дается такое определение:

„Возведение в степень есть частный случай произведения, когда сомножители равны“. Нехорошо, что действие (возведение в степень) отождествляется с результатом его (произведение). Достаточно заменить слово .произведение- словом „умножение“, и все было бы верно.

8. На стр. 149 дается .определение“ равенства посредством равенства (порочный круг).

Не будем приводить довольно значительного количества более мелких дефектов логического и стилистического порядка. Приведем лишь несколько фраз из достаточно большого числа тех, смысл которых нам неясен.

9. На стр. 3 говорится:

.По четвертому определению алгебра есть наука об уравнениях особого типа“.

Нам непонятно, какой „особый тип“ имеет в виду автор?

10. На стр. 16читаем:

„Символы —это представления и мысли о заменителях чисел, об их представителях“. Признаемся, тут мы ничего не поняли.

11. На стр. 30:

„Самостоятельное составление формул учащимися возможно лишь после того, как материал (какой?—П. М.) хорошо продуман учащимися и является выражением собственных мыслей учащегося“ (курсив наш.—Я. М.).

Добавим, наконец, два места из тех, которые объясняются скорее авторским и редакторским недосмотром при чтении корректур.

12. Стр. 89.

„Представить выражение 2а2 -f-W + 2с2 — 2аЬ— — 2дс — 2Ьс в виде суммы квадратов трех разностей двучленов“. (?)

13. Стр. 93.

„Если каждое из чисел а и Ь кратно с, то и а±Ь кратно с. В самом деле, если а кратно с то —— число целое; если Ь кратно с, то и А кратно С (?)

Отметим еще раз, что количество недостатков всех трех приведенных в этой главе типов можно увеличить в несколько раз, чтэ значительно увеличило бы объем настоящей статьи.

Подведем итоги.

Задача создания для учительства руководства по алгебре и по методике ее преподавания попрежнему стоит во всей своей остроте; рассматриваемая книга не решила ее ни в одной части и даже не продвинула насколько-нибудь ее решение.

Со стороны содержания книга дает немало полезных и правильных сведений и указаний, но они обесцениваются чрезмерным обилием научных, логических и методических ошибок и дефектов.

Преподаватель, достаточно подготовленный в области теории и методики, сумеет отнестись к книге критически и, отбросив все неверное и методически неприемлемое, использует в своей работе остальное.

В отношении же начинающего педагога создается большая опасность, что книга в области теории будет неправильно ориентировать его и приведет к ошибочным выводам; в области же методики в ряде вопросов поведет по неправильному пути и тем самым принесет больше вреда чем пользы.

От редакции

Ученика IX класса Чеботарева, приславшего письмо в редакцию, просим сообщить свой адрес. Редакция просит также сообщить адрес и фамилию преподавателя математики (подпись неразборчива), написавшего свои замечания по журналу и ряд пожеланий, в том числе о рассылке математической литературы.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 5 за 1947 год

№ 81

Найти два трехзначных числа, сумма которых кратна 504, а частное кратно 6.

Решение. По условию :

х+у = Ъ04т, (1)

— = 6 л (2)

Так как числа трехзначные, то должно быть: у > 100

и из (2):

X > 600

Отсюда:

X + у > 700. (3)

С другой стороны, на том же основании:

то-есть: Отсюда:

(4)

Итак,

(5)

По условию, х-\-у кратно 504. Но между 700 и 1165 имеется только одно число 1008, удовлетворяющее этому условию. Число п должно быть равно 1, так как частное от деления трехзначного числа на трехзначное может быть лишь однозначным числом. Итак, имеем:

х+у= 1008; * = бу,

откуда :

je« 864; у = 144 № 82

Римлянин Сабиний составил завещание, по которому его имущество должно быть поделено поровну между его сыном и несколькими вольноотпущенниками, но за два года до его смерти был издан (в 40 г. до нашей эры) закон Фальцидия, обеспечивающий за прямым наследником не менее ~j наследства.

По этому закону Азиний должен будет получить на 2250 сестерций больше, чем ему приходилось по завещанию.

С другой стороны, если бы вольноотпущенников было на 2 меньше, то часть, завещанная Азинию отцом, была бы на 3750 сестерций больше, чем ему приходилось по закону Фальцидия.

Как велико было наследство и сколько было вольноотпущенников?

Решение. Пусть наследство исчислялось в х сестерций, а вольноотпущенников было п человек.

Тогда по завещанию Азинию причиталось — сестерций, а по закону Фальцидия — сестерций. По условию:

(1)

С другой стороны, если бы вольноотпущенников было на 2 меньше, то-есть л—2 человек, то на долю Азиния пришлось бы —^— сестерций, и по условию:

(2)

Решим систему уравнений (1) и (2), которую можно переписать так:

(3)

Разделив (3) на (4), получим:

Отсюда после обычных преобразований получим

8л (л - 4) = 0.

Так как л Ф 0, то л = 4. Подставив это значение в (3), найдем:

Итак, наследство составляло 45 000 сестерций, и вольноотпущенников было 4 человека.

М. Шебаршин очень удачно указывает, что уравнение (5) допускает чисто .словесное* решение. Приводим его: 1) л>3, так как при л = 3 числитель обращается в нуль, а при л<^3 он отрицателен при положительном знаменателе; 2) л < 5, так как при л = 5 знаменатель обращается в нуль, а при л > 5 — он отрицателен при положительном числителе; 3) так как_у число целое, то остается л = 4, каковое значение и остается проверить подстановкой.

№ 83

Найти два числа, произведение которых — трехзначное число, являющееся точным кубом натурального числа, а частное—квадрат того же числа.

Решение. Пусть х и у — искомые числа. По условию:

ху = т*; (1)

— = т\ (2)

Так как ху по условию меньше I 000, то m —число однозначное. Перемножив (1) и (2), найдем:

а разделив (1) на (2):

у2 - т.

Итак, m является точным квадратом, и так как m3 > 100, то m > 5.

Но из однозначных чисел, больших 4, только 9 является точным квадратом. Итак, m = 9, откуда:

X = 243 : V = 3.

Действительно:

№ 84

Доказать, что уравнение x* + px + q = 0

не может иметь рациональных корней, если р и q целые нечетные числа.

1-е решение. Для того чтобы корни данного уравнения были рациональны, необходимо и достаточно, чтобы p* — 4q было точным квадратом .нечетного числа (так как число р2—4q нечетное).

Пусть Тогда

и так как m (m -(-1) — число четное, то

Но как известно, квадрат целого нечетного числа всегда имеет вид Sk-\-\ (действительно:(2/?-|-1;2-= =4р(р-{- 1) + 1, где р (/? + !)—■ число четное). Следовательно, p2 — 4q не может быть точным квадратом, и, значит, уравнение не имеет рациональных корней.

2-е решение. Если р2 — 4 является квадратом нечётного числа, то можем положить:

pa - 4<7 = г2

откуда:

р2- г* = 4q.

Но это равенство невозможно, так как правая часть делится на 4 (q нечетно), а левая на 8. Докажем последнее. Пусть

р = 2т + 1; г =2л 4-Ь

Тогда:

Но т — ли m 4- л +-1 — числа различной четности, так кгк сумма равна 2/л + 1 — числу нечетному. Следовательно, одно из этих чисел четное, и, значит, р2 — г2 делится на 8. 3-е решение. Так как

то мы можем положить

где а — число целое.

Но а не может быть четным числом, так как тогда X было бы целым, и мы имели бы

х(*+Р) = — ?»

что невозможно, так как из чисел х и х-\-р одно должно быть четным (так как р нечетное), а правая часть — q число нечетное.

Не может быть а и нечетным числом, так как тогда мы имели бы:

или:

что невозможно, так как в правой части четное число, а в левой нечетное (так как а нечетно).

Итак, а не может быть ни четным, ни нечетным числом, что и показывает невозможность рациональных корней для данного уравнения.

№ 85

Найти трехзначные числа, квадрат которых оканчивается теми же цифрами, которые образуют само число.

1-е решение. Обозначим искомое число через X. Тогда, согласно условию:

л*= \0*т + х. (1)

Отсюда.

х(х — 1) = Wit = 53.23т. <92)

Так как х и х— 1 числа взаимно простые, то число 5 может входить множителем только в одно из них, то-есть это число должно делиться на 125. То же относительно множителя 8.

Возможны два предположения.

1. Пусть X = 125 k. Тогда из (2) имеем:

£(125£—1) = 8т. (3)

Так как дг<1000, то k < ~~f^g“ = & Следовательно, на 8 должно делиться число 125 k— 1:

125£-1=86. (4)

Так как 120£ делится на 8, то из (4) следует;

bk — 1 = Sb,

или

bk = 86 4-1.

Но 86 —(— 1 делится на 5 только при 6 = 3 и при 6 = 8. При 6 = 3 получаем:

5* = 25; k = 5.

Отсюда:

X = 125-5 = 625.

Действительно,

6252 - 390 625 При 6 = 8 получим:

Это значение k не годится, так как должно быть

£<8.

2. Пусть

х-\ = 125*.

Тогда из (2):

(125£ + I)* = 8m.

Так как и здесь £<8, то 125 Л? -f-1, или, что то же, bk + 1 должно делиться на 8

bk+\ =8с.

Отсюда:

bk = 8c- U

Но 8с— 1 делится на 5 при с = 2 и при с = 7. При с = 2 получим:

5£ =15; £ =* 3.

Отсюда:

X— 1 - 125-3 = 375; х = 376.

Действительно:

3762 = 141 376.

При с — 7 получим:

5£ = 55; k - 11.

Это значение не годится, так как k < 8. Итак, имеем два числа 376 и 625, удовлетворяющие условию задачи.

№ 86

Упростить выражение:

Решение:

1-е решение. Имеем:

Затем:

Вычитая (2) из (1), получим, что данное выражение равно 1.

2-е решение. Возведя в квадрат многочлен в скобках и умножив результат на 2, получим;

Вычтя отсюда sin8* -f- cos8* (вторую часть выражения) и перегруппировав члены, найдем:

№ 87

Решить систему уравнений:

(1) (2) (3)

Решение. Сложив (1) с (2), затем (1) с (3) и (2) с (3), получим по сокращении на 2:

(4)

Обозначив для краткости хуг — т, из (4) найдем

(5)

Перемножив уравнения (3) и заменив в левой части хв у* z8 на m8, получим:

или: отсюда:

Тогда из (5) найдем:

Отсюда:

или

где а — один из кубичных корней из единицы. При выборе этих корней следует учесть требование, чтобы произведение их хуг давало бы единицу. Отсюда следует, что возмижны следующие комбинации (если обозначить корни через 1. а, а2)

Следовательно, из каждой полученной системы корней получим 9 решений, всего же 18 решений.

№ 88

Исключить X и у из системы уравнений:

(1) (2) (3)

Решение. Преобразуем данные суммы в произведения. Получим по сокращении на 2:

(4) (5) (6)

Выразим s\n(x-{-y) и cos х cos у через а и Ь. Разделив (4) на (5), получим:

(7)

По известной формуле:

(8)

Возведя в квадрат (4) и (5) по сложении, получим:

(9)

Возведя в квадрат (5) и сделав подстановку из (9), найдем:

(10)

Теперь имеем:

(11)

(12)

Сложив (11) и (12). найдём:

(13)

Наконец, подстановка из (8) и (13) в (6) даёт:

№ 89

Найти пять четырехзначных чисел, удовлетворяющих следующим условиям:

1. Искомые числа являются квадратами пяти последовательных возрастающих натуральных чисел.

2. Если искомые числа разбить на грани по две цифры, то суммы чисел, образованных гранями, являются квадратами пяти последовательных убывающих натуральных чисел.

Решение. Обозначив искомые числа через N, а цифры разрядов, начиная с высшего, через X, у, z, t, будем иметь.

(1)

По условию:

(1)

где nL — натуральное число Вычтя (2) из (1), получим:

(2)

Аналогично для остальных четырех искомых чисел будем иметь:

и т. д. Или:

(3)

Но по условию имеем

Отсюда, делая подстановку в (2), получим

(5)

Вычтя здесь почленно первое равенство из второго, будем иметь:

2(iVj + щ) = 99[10(x2 - х{) +у2 -ух]. (6)

Отсюда заключаем, что A^ + nj должно делиться на 99. С другой стороны

Л^! < 100, (7)

так как по условию N\< 10000, и п\< 200, то-есть

щ < 15, (8)

так как п\ является суммой двух двузначных чисел. А отсюда следует, что

Щ+пх<\\Ь,

то-есть

Nx + пх = 99. (9>

Из (8) из (9) заключаем, что

N\ > 84. (10)

Следовательно

Л^>842 =7056.

Но п\ является суммой чисел, составленных двумя гранями числа N\ и значит во всяком случае больше одной из этих граней, то-есть

п\ > 70 или п > 8.

Итак,

8 < щ < 15,

то-есть для пх возможны лишь значения 14, 13, 12, 11, 10, 9, и для Nx соответственно (из 9) 85, 86, 87, 88, 89, 90. Делая проверку, находим;

852 = 7225;

но

72 + 25 = 90 Ф л2

Следовательно, это значение N не годится. Остальные же дают:

№ 90

Найти шестизначные числа, удовлетворяющие условию-.

(1)

Обозначим:

По условию:

lOOOAf + .V = (Af + Af)2 (2)

Отсюда:

999Af = (Af + iV)3 - (Af + ЛО -

-(M + N)(M + N— 1). (3)

Так как Af-f-N и Af+ N — 1 два соседних натуральных числа, то они взаимно простые. Число 999 = 27-37. Отсюда можно сделать такие предположения:

1. Af + W= 999. (4)

(Точнее, Af -\-N = 999&, но легко показать, что k может быть равно только 1).

Тогда

M + N - i = 998.

и из (3)

Следовательно, из (4)

iV= 1. и искомое число равно

998001 = (998 + 001)2.

2. M + N = 27m; Af -f N — 1 = 37л;

Af = mn.

Отсюда:

27m = 37л+1.

Решив это неопределенное уравнение в целых положительных числах, найдем:

/л = 11 + 37г; л = 8 + 27/.

Но

M = mn - (11 + 37г)(8 + 270 < 1000.

Следовательно, tf = 0 (так как уже при t= 1 имеем 48-35 > 1000). Значит:

Af - 11-8 ==88.

Это значение Af не годится, так как Af по условию число трехзначное.

3. Af + N - 37m; Af + N — 1 = 27л;

M ~ mn.

Отсюда;

37m = 27л+ 1.

Это уравнение дает

m= 19 + 27/; л=г26 + 37/,

и так как (аналогично предыдущему) / = 0, то имеем:

Искомое число:

Предположение Af + N — 1 = 999£ не годится, так как уже при k = 1 получим Af +Af= ÎOCO и из (3) Af =» 1000 — четырехзначное (хотя второе условие задачи имеет место). Итак, имеем два числа

998 001 и 494 209,

удовлетворяющие условию задачи.

Эта задача и предыдущая, предложенные М. Шебаршиным, вскрывают крайне любопытные свойства некоторых групп натуральных чисел.

№ 91

Доказать для треугольника соотношение:

где л — высоты, I — биссектрисы треугольника, R — радиус описанной окружности.

Решение. К предложенному соотношению можно прийти, исходя из различных формул для элементов треугольника. Наиболее короткое решение получим, если возьмем формулу, непосредственно связывающую ли/. Именно.

Отсюда:

Делая здесь круговую подстановку и перемножив полученные равенства, получим:

(1)

Но по известной формуле:

Сделав и здесь круговую подстановку и перемножив, найдем:

(2)

Подстановка из (2) в (1) дает;

(3)

Из известного соотношения:

получим :

Произведя замену в (3), получим требуемое соотношение.

Можно было бы из соотношения

2s = be sin А = aha

найти произведение hahbhc, а для биссектрис воспользоваться формулой

которая легко получается из формулы

Возможен и ряд других вариантов.

№ 92

В прямоугольном треугольнике с углом в 15° найти катеты, если гипотенуза равна а (не прибегая к тригонометрии).

Решение. Дополним данный треугольник ABC до равнобедренного (Д DAB) и опустим высоту DE на AB. Прямоугольные треугольники АБС и DBE подобны, так как имеют общий острый угол В (черт. 1). Отсюда:

Черт. 1

Остается определить BE. Имеем:

BE =а — АЕ. Из треугольника DAE:

Теперь имеем:

И, наконец, из треугольника ABC по теореме Пифагора найдем:

Автор (тов. А. Владимиров) дал три варианта решения этой задачи. Приводим здесь наиболее простой.

№ 93

Решить уравнение:

(je—4) (JC-5) (jc-6) (х—7) = 1680

Решение. В журнале печаталось уже несколько задач этого типа; в них левая часть представляет собой произведение биномов, первый член которых неизвестное число, а вторые члены образуют арифметическую прогрессию. Общий метод решения таких уравнений — замена неизвестного. Новое неизвестное выбирается так, чтобы один из крайних множителей (и соответственно средних) представлял собой сумму двух членов, а другой—разность тех же членов. В итоге получится биквадратное уравнение. Применим этот способ к предложенному уравнению. Нам нужно выбрать новое неизвестное у так, чтобы было;

Сложив эти равенства, получим:

Отсюда :

(1)

(Взяв средние двучлены, мы пришли бы к тому же результату.) Произведя теперь замену, получим.

Отсюда:

или:

Решив это уравнение, найдем:

(берем только действительные значения у). Подставив в (1;, получим:

= 12; х2 = — 1.

Оба корня удовлетворяют уравнению.

Другой доволшо обычный способ решения таких задач состоит в следующем: перемножить данные двучлены попарно так, чтобы в обоих произведениях члены, содержащие неизвестное, были одинаковы. В данном случае, перемножив отдельно крайние и средние множители, получим:

je2— \\х + 28 и je2— 11 + 30.

Остается произвести замену переменного х, обозначив

X*— \\х=у. (1)

Получим квадратное уравнение

(у+28) (v+30) = 1680,

или

У + 58^-840 = 0 Найдя у и подставив в (1), определим х.

№ 94

Найти cos х и sin х, если

a cos x+b sin х=с. (1)

Решение. Наиболее простое решение дано авторами задачи (П. Моденов и А. Пархоменко).

Возьмем тождество:

(a cos x-{-b sin *)2+ -\-{а sin дг—b cos х)2=д2+тд (2)

в справедливости которого легко убедиться непосредственно, возведя в квадрат двучлены. Делая подстановку из (1), получим:

a sin x—b cos х= ± ya2_j_ &2_f2. (3)

Решив систему уравнений (1) и (3), относительно sin X и cos X легко найдем;

№ 95

1. Доказать теорему: прямая, проходящая через точку пересечения боковых сторон трапеции и через точку пересечения ее диагоналей, делит основания трапеции пополам.

2е. Пользуясь одной линейкой, разделить трапецию:

а) на $ее равновеликие части', б) на две части, площади которых относятся как Г.З.

Решение 1°. Требуется доказать, что (черт. 2):

AF=FD и ВН-НС.

Параллельные прямые AD и ВС рассечены прямыми ЕА, EF и ED на пропорциональные части. Отсюда:

Из подобия треугольников AMF и СМИ имеем:

(3)

Черт. 2

Из подобия треугольников FMD и НМВ:

(4)

Из (3) и (4) получаем:

или:

(5)

Перемножив равенства (1) и (5), найдем:

откуда:

и, наконец, из (2) получим:

2°. а) Решение ясно из предыдущего: продолжаем боковые стороны трапеции до их пересечения в точке Е. Проводим диагонали АС и BD, получаем точку их пересечения М. Через точки Е и M проводим прямую, пересекающую основания трапеции в точках H и F. Отрезок HF— искомый.

б) Проделав предыдущее построение, мы разбили трапецию ABCD на две равновеликие трапеции: ABHF и FHCD. Повторив это же построение по отношению к одной из этих трапеций, мы получим трапецию АВОР (черт. 3), площадь которой относится к площади трапеции POCD как I : 3

Черт. 3

№ 96

При помощи одной линейки разделить параллелограм: а) на две равновеликие части; б) на две части, площади которых относятся как 3:1.

Решение, а) На продолжении стороны AB (черт 4.) возьмем произвольную точку Е и соединим ее с D. (Можно и просто взять произвольную точку Ь и соединить ее с Л и D.) В трапеции ABHD по способу, изложенному в решении предыдущей задачи, находим середину F стороны AD. Прямая FM, проведенная через точку F и через точку пересечения диагоналей параллелограма, и будет искомой.

Черт. 4

6) Разделив на две равновеликие части один из полученных параллелограмов, решим вторую часть задачи.

№ 97

В круг вписан правильный шестиугольник.

Пользуясь только линейкой, построить — часть радиуса, где п = 2, 3, 4, 5 . . . .

Решение. Дан правильный шестиугольник ABCDEF (черт. 5).

1. Проводим AD.

2. Проводим CF.

3. Проводим АЕ. Отрезок 01=-i-i9; (доказательство, как вполне элементарное, опускаем).

4. Проводим В\. Отрезок 02 = —/?; это следует из подобия треугольников В\С и 210.

5. Проводим ВО.

6. Проводим С2. Отрезок

Черт. 5

Из подобия треугольников 230 и 2CD имеем:

7. Проводим D3. Отрезок 04 =__R.

8. Проводим Е4. Отрезок 05 = — R; и т. д.

Доказательство везде основывается на подобии треугольников.

№ 98

Найти геометрическое место середин отрезков, концы которых находятся на двух скрещивающихся прямых в пространстве.

Решение. Искомым геометрическим местом будет плоскость, параллельная обеим прямым и проходящая через середину любого отрезка, концы которого лежат на данных прямых. Докажем это. Пусть А и В — концы любого отрезка, лежащие на данных прямых, С — его середина, тс— плоскость, проходящая через точку С параллельно данным прямым а и Ь, а ир — плоскости, проходящие через прямые а и Ь параллельно плоскости те. Рассмотрим произвольный отрезок PQ, концы которого лежат соответственно на прямых а и Ь, и обозначим через M точку встречи этого отрезка с плоскостью я. Проведем через точку А прямую AD \\ PQ; пусть D и Е точки встречи этой прямой соответственно с плоскостями ß и тс; тогда АЕ = ED, так как ЛС= СВ и CE h BD. Значит, РМ = MQ, так как AD ii PQ. Таким образом, доказано, что середина M любого отрезка PQ лежит в плоскости тс. Надо еще доказать, что какую бы точку Mf в плоскости тс мы ни взяли, найдутся точки Р' и Q', лежащие на прямых а и Ь, такие, что серединой отрезка P'Q' будет точка М\ Для доказательства проведем плоскость через точку М' и прямую Ь\ш Пусть Р' — точка встречи этой плоскости с прямой a, a Q — точка встречи прямой р/с/- с прямой Ь. Тогда точка М' есть середина отрезка.

№ 99

В треугольнике ABC прямые APt BQ и CR пересекаются в одной точке О. Доказать: для того- чтобы имело место равенство:

необходимо (и достаточно), чтобы АР, BQ и CR была медианами треугольника ABC.

Решение. Треугольники АОВ и POQ (черт. 6) подобны, так как = ЁО. по условию и /_АОВ = /_POQ. Отсюда следует, что PQ II AB. Аналогично покажем, что RQ || ВС и RPII АС. Следовательно, четырехугольники PQ RB и ARPQ — параллелограмы. Значит, AR=PQ=RB, то-есть CR—медиана треугольника ABC. То же относительно АР и BQ. Обратное положение общеизвестно:

Черт. 6

№ 100

Дано уравнение'.

2х* + х2 — 4х+3 = 0

Не решая его, составить уравнение третьей степени, корнями которого были бы квадраты корней данного уравнения.

Решение . Приведем наиболее короткое решение, данное авторами задачи (П. Моденов и А. Пархоменко). Пусть хг, х2 и х2 — корни данного уравнения:

Тогда

2.сз + X2 — Ах + 3 = 2(х — хх) (X,— х2) (х — хъ) (1)

Заменив в данном уравнении х на — х, получим уравнение :

—2*3 + л? + 4х + 3 = О,

корни которого будут : — JCj, — х2, — х3.

Отсюда -_2д:3+л;2 + 4jc + 3 = —2(* + *,) (х + х2)

(х + хъ) (2)

Перемножив (1) и (2), получим:

Отсюда видно, что, заменив в левой части х2 на: V, получим уравнение:

корнями которого будут

ЗАДАЧИ

21. Решить уравнение:

22. Решить систему уравнений:

23. Доказать, что дробь

при всяком целом значении t несократима.

24. Разложить на множители выражение

(L'Education mathématique)

25. Решить систему уравнений:

26. Решить уравнение:

tg3* — tg*tg(60°+ •*) = <)

M. Кекелия (Бандза. Грузинская ССР).

27. Решить систему уравнений:

М. Кекелия.

28. Найти числа ab и Ьа, квадраты которых соответственно равны acd и аса.

Б. Алеев (Мордовская АССР).

29. Найти числа abed, если известно, что с\мма такого числа с обращенным deba в 10 раз больше самого числа abed.

Б. Алеев.

30. Решить уравнение:

8*5-20^+9-0

Б. Алеев.

31. В треугольнике даны середины двух сторон. Через произвольную точку в плоскости треугольника провести одной линейкой прямую, параллельную третьей стороне.

С. Зетель (Москва).

32. В плоскости треугольника даны две прямые параллельные двум сторонам треугольника. Через произвольную точку в плоскости треугольника провести одной линейкой прямую, параллельную третьей стороне.

С. Зетель (Москва).

33. Прямая / пересекает две произвольные непараллельные плоскости аир. Иссл.довать, сколько плоскостей можно провести через прямую / так, чтобы они пересекали данные плоскости по двум взаимноперпендикулярным прямым.

П. Моденов и Л. Пархоменко (Москва).

34. Доказать, что центр тяжести системы из трех однородных отрезков, образующих треугольник ABC, лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника PQR, где Р, Q и R соответственно середины сторон BCt CA и AB.

П. Моденов и Л. Пархоменко

35. В основании четырехугольной пирамиды лежит параллелограм. Через одну из сторон этого параллелограма и среднюю линию противолежащей грани проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

П. Моденов и Л. Пархоменко.

36. В плоскости дан треугольник ABC. Каково множество тех точек плоскости, расстояние каждой из которых до точки А меньше каждого из расстояний ее до точек В и С.

37. В треугольнике ABC имеет место соотношение:

где г, га, гъ, гс — радиусы вписанной и вневписанных окружностей. Найти величину произведения tgAtgB.

M. Шебаршин (Кемеровская обл.).

38. В треугольнике ABC имеет место соотношение:

га+гь^ге+г

Найти зависимость между сторонами треугольника.

М. Шебаршин.

39. В данный треугольник ABC вписать треугольник MNP так, чтобы его стороны были параллельны медианам треугольника ABC. Вычислить площадь треугольника MNP и определить, сколько таких треугольников можно построить.

М. Шебаршин.

40. В данный треугольник ABC вписать треугольник так, чтобы его стороны были параллельны биссектрисам треугольника ABC. Вычислить площадь треугольника MNP и определить, сколько таких треугольников м^жно построить.

М. Шебаршин

ЗАДАЧИ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ КРУЖКОВ

(Задачи были даны для подготовки к X математической олимпиаде при МГУ.)

Задачи для VII—VIII классов

1. Каждый из людей, когда-либо живших на земле, сделал определенное число рукопожатий. Докажите, что число людей, сделавших нечетное число рукопожатий, четно.

2. Можно ли выложить в цепь, следуя правилам игры, все 28 костей домино так, чтобы на одном конце оказалась шестерка, а на другом — пятерка?

3. Имеется полстакана вина. Ложка вина переливается в стакан с водой, после чего жидкость размешивается. Ложка полученной смеси переливается в стакан с вином. Эта операция, состоящая из двух переливаний, повторяется трижды. Чего в результате оказалось больше: вина в воде или воды в вине?

4. Из 80 золотых монет одна фальшивая (более легкая). Как определить фальшивую монету посредством четырех взвешиваний на весах с двумя чашечками без гирь?

5 Определить радиус биллиардного шара, производя построение циркулем и линейкой на самом шаре и на листе бумаги.

6. Расставить на шахматной доске 24 шашки симметрично относительно главной диагонали так, чтобы на каждой горизонтали стояло по три шашки. Ставить шашки на эгу диагональ воспрещается.

7. Какое максимальное число слонов можно поставить на шахматной доске так, чтобы она не угрожали друг другу? Доказать, что число способов такой расстановки слонов есть квадрат некоторого числа.

8. Разложить на множители:

a) (а+Ь+с)*-аЗ-ЬЗ—сз,

b) as+b*+c2—3abct

c) 2аЧ2+2Ь*с2+2а'2с*—а*—Ь4—с4.

9. Доказать, что:

10. Сколько раз в сутки стрелки часов образуют между собой прямые углы?

11. Двое часов начали и кончили бить одновременно. Первые бьют через каждые 2 секунды, вторые —через каждые 3 секунды. Всего было насчитано 13 ударов (сливающиеся удары воспринимаются, как один). Сколько времени на первых часах?

12. Докажите, что при любом целом значении а, я3— а делится на 3, а5—а на 5, а1—а на 7.

13. Если р, q — простые числа, большие трех, то p2—q2 делится на 24. Доказать.

14. /?, p-f-10, р+14—простые числа. Определить р (найти все решения и доказать, что дру гих нет).

15. Выписан ряд чисел:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. 144, 233..., в котором каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Доказать, что в этом ряде каждое третье число—четное, каждое четвертое число делится на 3, каждое пятое—на 5. каждое пятнадцатое—на 10.

16. Числа от 1 до 1000 выписаны подряд по кругу. Начиная с первого, вычеркивается каждое 15-е число (1, 16, 31...), причем при повторных оборотах зачеркнутые числа считаются снова.

Сколько чисел останется незачеркн>тыми?

17. Найти наименьшее целое число, начинающееся цифрой 7, и такое, что если переставить эту цифру в конец, то число уменьшится втрое.

18. Найти наименьшее число, в 4 раза меньшее своего обращенного (т. е. состоящего из тех же цифр, но записанных в обратном порядке). Найти все такие числа.

19. Если для любого целого числа, имеющего четное число знаков, составить обращенное (см. задачу 18) и из большего вычесть меньшее, то полученная разность делится на 9.

20. Дано трехзначное число, у которого первая и последняя цифры разнятся не менее, чем на 2. Составляется разность этого числа и числа «обращенного (см. задачу 18). К результату прибавляется число, ему обращенное. Доказать, что полученная сумма равна 1089

21. Вывести признак делимости на 11.

22. Число вида хх234х делится на 396. Восстановить пропущенные цифры.

23. Найти шестизначное число, которое при умножении на 2, 3, 4, 5, 6 дает числа, написанные теми же знаками, но в другом порядке.

24. Найти наименьшее число, дающее остатки: при делении на 2—1, при делении на 3—2, при делении на 4—3, при делении на 5—4 и при делении на 6—5.

25. Докажите, что любое целое число рублей, больше семи, можно уплатить без сдачи денежными билетами достоинством 3 и 5 рублей.

26. Построить треугольник по:

a) двум сторонам и медиане между ними;

b) стороне и медианам двух других сторон;

c) двум сторонам и медиане к одной из этих сторон;

d) трем медианам.

27. Найти геометрические места:

a) середин равных хорд данной окружности;

b) середин хорд, проходящих через данную точку внутри окружности.

28. Построить данным радиусом окружность, касающуюся данной прямой и данной окружности.

29. Доказать, что в любом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, в точке пересечения делятся пополам.

30. Доказать, что во всяком треугольнике сумма трех его медиан меньше периметра и больше полупериметра.

31. Дан угол и точка M внутри его. Провести через M прямую так, чтобы отрезок, отсекаемый на ней сторонами угла, делился в точке M пополам.

32. В данный треугольник вписать прямоугольник с диагональю данной длины.

33. На какое наибольшее число частей могут разделить плоскость 15 прямых? 4 окружности?

34. Брусок дерева имеет размеры 8X8X27. Разрезать его на части так, чтобы из них можно было сложить куб.

35. Через точку, данную внутри окружности, провести хорду:

a) заданной длины,

b) наименьшей длины.

(Продолжение в следующем номере)

СВОДКА решений задач по № 4 за 1947 год

В этом номере не было дано задач особо повышенной степени трудности, а потому и ошибочных решений прислано немного. Наименьшее количество решений (и из них большая часть неверных) получила задача 71. Многие неправильно поняли условие задачи, утверждая, что задача неверна, так как С2п может быть представлено в виде суммы и более чем трех слагаемых того же вида (например, С fQ = C?+ С\+ С\ +С\. Но ведь в задаче это и не отражается. Известная теорема о том, что всякое натуральное число может быть представлено в виде суммы не более четырех квадратов, совсем не исключает того, что оно может быть представлено и в виде суммы пяти, десяти, ста и более квадратов.

Наибольшее количество решений получили задачи 64, 65, 66 и 72. Очевидно, задачи этого типа стали уже привычными, и на ближайшее время можно их уже не давать.

Задачу 68 большинство решало, исходя из положения, что максимальную площадь из треугольников с данным периметром имеет равносторонний. Другие находили максимум выражения

По задаче 69, несмотря на то, что формула была дана неправильно, все присланные решения оказались верными, что вполне естественно, так как простые преобразования известных формул приводят к правильному ответу.

Приводим сводку правильных решений. Г. Автух (БССР, Чашники) 63—68, 79, 80; К. Агринский (Москва) 61, 62, 64 — 70, 72, 79, 80; А. Аляев (ст. Валовая) 64, 65, 67—69, 72, 73, 75, 79—80; Е. Аронсон (Кременчуг) 64, 65, Г. Ахвердов (Ленинград) 61—69, 72—76, 79; И. Берман (Турткуль) 64, 65, 67; Г. Бобылев (Тула) 65, 66; Б. Бурназов (Ейск) 64—67, 73, 76, 79, 80; И. Бригадин (Архангельск) 64 — 66; В. Буткевич (Ровно) 61-65, 67—75, 76, 78-88; Б. Вайнман (Киев) 64—67, 72; Л. Владимиров (Ялта) 61—70, 72, 75, 76, 78-80; И. Воинов (Волхов) 61—69, 72, 73, 75, 76, 80; М. Волков (Москва) 65, 67; Р. Гангнус (Муром) 65, 68, 69; В. Гильц (Кемерово) 63 — 69, 72-76, 79, 80; И. Глотов (Мордовская АССР) 64, 65; М. Люккэ (Гогулин) 61—80; И. Голайдо, (с. Первомайское) 63—65, 67-69; В. Голубев (Кувшиново) 61—65, 67, 68, 79, 80; А. Горохов (Белорецк) 64—66; Б Дудолькевич (с. Петраковка) 63-65, 67, 69, 75, 79, 80; А. Егорем (Тула) 64, 65; Д. Есипович (Богородск) 67, 68, 79; Г. Зайцев (Иваново) 61, 62, 64, 65, 67, 75, 79, 80; Д. Захаров (Канаш) 64, 67, 75, 79; Н. Зубилин (ст. Нарышкино) 62—64, 66, 79; М. Кекелия (Бандза) 61, 62, 65, 66, 68—70, 72, 73, 75, 76, 78—80; /7. Китайгородский (Москва) 62-69, 72, 79, ЬО; С. Колесник (Харьков) 61,68—70,72,73,76, 79,80; Г. Кудреватов (Фергана) 67, 79, 80; Литвинов (Хакасская обл.) 64—67; М.Марагас (Винница) 54 65; М. Манукян (п. Келлеровка) 64—66, 72; A. Могильницкий (Кривое Озеро II) 61—76, 79, 80; Н. Московкин (Баку) 61, 64, 65, 67; Н. Никитин (Тамбов) 61—68, 72, 73, 75, 76, 79, 80; Ф. Певищев (ст. Шилово) 61,63—66,69,72-75,80; П. Постников (Ряжск) 63—68, 73—76, 79, 80; Г. Пушкаревский (с. Степановка Баш. АССР) 64 - 67; И. Рабинович (Рига) 64—66, 79; В. Розентуль (Ленинград) 64; Н. Рытов (Каменка) 64, 65, 72; B. Семнииский (Ворошиловград) 62—68, 72, 73, 75, 79, 80, Я. Сергачев (Малый Ярославец) 64—66; Ф. Сергиенко (Запорожье) 62, 64—68, 72, 75, 77, 79,80; Н. Семенец (Ярунь) 64-67, 79; М. Симаков (Ярцевский р.) 62—67; А. Снопков (Спасск) 64, 66, 72, 79; H Титов (Казань) 61, 64-70, 74, 79, 80; С. Третьяков и Г. Голянд (ст. Ленинградская) 64, 65, 67—70, 74; В. Утемов (Красноуфимск) 61—69, 75, 79; Е. Фивейский (Москва) 62, 64—67, 72, 76, 78, 80; Л. Фридман (Красноярск) 61—67, 69, 72, 73, 75, 76, 79, 80; М. Фридман (Куйбышев) 62, 64, 65, 67, 80; Я. Циммерман (Ейск) 67, 76, 79; И. Чижтов (Краснослободск) 65; Ф. Шахматов (Арзамас) 64, 66; М. Шебаршин (Кемеровская обл.) 61—80; Э. Ясиновый (Куйбышевская обл.) 61—65, 67, 69, 73-76, 79.

Цена 4 p. 50 к.

ОТКРЫТА ПОДПИСКА на 1948 год

НА ДВУХМЕСЯЧНЫЙ ЖУРНАЛ

„ИНОСТРАННЫЕ ЯЗЫКИ В ШКОЛЕ“

(ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР)

В журнале освещаются проблемы английского, французского, немецкого и испанского языков, а также вопросы методики преподавания этих языков в средней школе и идейно-политического воспитания учащихся.

Журнал рассчитан на учителей-преподавателей иностранного языка в средней школе.

Объем каждого номера—8 печ. листов» Подписная цена, на 6 мес* — 18 руб на 12 мес. —38 руб.

Подписка принимается в городских, районных отделениях Союзпечати.

Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР