МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

1

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКВА 1948

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

А. И. Маркушевич. Символ бесконечности и его употребление в математике .... 1

Л, Чакалов. Несоизмеримые углы в треугольниках................. 22

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

А. П. Юшкевич. Математика и ее преподавание в России XVII— XIX вв.......14

МЕТОДИКА

Д. Д. Мордухай-Болтовской История и методика математического символа .... 24

Н. М. Бескин. В каком классе начинать систематический курс геометрии...... 28

А. Я- Шор. О некоторых способах борьбы с формализмом........... . . . 33

Я И. Кашин. О неудачных задачах на составление уравнений........... 46

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О. И. Кисловская.. О требованиях, предъявляемых к письменным работам по математике.................................... 51

П. С. Кудрявцев. По поводу книги Б. В. Гнеденко «Очерки по истории математики в России“.................................... 53

ЗАДАЧИ

И. Я- Танатар. Об одной теореме......................... 55

Решения задач................................ 56

Задачи.................................... 63

Сводка решений...........................на обложке

Главлит А 01946 Заказ № 7517 Тираж 20000 экз.

Редактор А. И. Барсуков

Зам. редактора С. Я. Новоселов

Редакционная коллегия:

Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий, А. Я. Садиков, Я. Ф. Четверухин

Технический редактор В. С. Якунина. Корректор А. С. Киняпина

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, д. 6. Учпедгиз Министерства просвещения РСФСР

Сдано в производство 15/XI 1947 г. Подписано к печати 27/11 1948 г. Печ. л. 4.

Учетно-изд. л. 6.75. Типогр. знаков в 1 печ. л, 73 000. Цена 4 р. 50 к. Форм. бум. 84 X ЮЗ1/™.

Типография № 2 Управления издательств и полиграфии Ленгорисполкома

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 1

ЯНВАРЬ - ФЕВРАЛЬ 1948

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

СИМВОЛ БЕСКОНЕЧНОСТИ И ЕГО УПОТРЕБЛЕНИЕ В МАТЕМАТИКЕ

Проф. А. И. МАРКУШЕВИЧ (Москва)

1. Изучающие математику не могут пройти мимо символа, имеющего характерный вид „лежащей восьмерки“: оо . С ним встречаются они в алгебре, геометрии и тригонометрии, символ этот испещряет страницы учебников, научных монографий и статей, посвященных анализу и теории функций. Освоиться с ним — это значит рассмотреть условия, в которых его принято употреблять, и научиться истолковывать смысл тех записей, где он входит как составная часть. Но у изучающего могут возникать еще и вопросы относительно характера самого понятия, выражаемого этим символом, указания места, занимаемого им среди других математических понятий. Ответы на эти вопросы, распространенные в нашей учебной литературе, являются, так сказать, негативными. Мы сошлемся на два изложения основ анализа, принадлежащие перу выдающихся ученых и педагогов: Н. Н. Лузина и А. Я. Хинчина. На стр. 36 „Восьми лекций по математическому анализу“ А. Я. Хинчина (цитируем по издайию 1946 г.) читаем: „На вопрос о том, что означает, например, символ + оо , правильнее и яснее всего будет ответить, что взятый сам по себе он лишен всякого смысла; смысл получает только выражение „окрестность f - оо...а. В,Дифференциальном исчислении“ Н. Н. Лузина на стр. 78—79 (издание 1946 г.) мы встречаемся со многими предостережениями против „огромной опасности“, в которую „неопытный ум“ может быть ввергнут сближением символа бесконечности с числами.

На точке зрения, отраженной в указанных местах, стоят и многие другие распространенные у нас руководства анализа. Однако эта точка зрения отнюдь не является ни единственной, ни даже наиболее простой среди концепций бесконечности, известных в науке. Вот почему оттенок категоричности в приведенных нами высказываниях следует рассматривать лишь как относящийся к выявлению педагогического credo их авторов. Повторяем, что из современного состояния науки не вытекает однозначно ни отказ от явно формулированного определения понятия, обозначаемого символом оо, „самого по себе“, ни отказ от сближения этого понятия с числами.

В настоящей статье мы, не претендуя на какую-либо оригинальность*, хотим познакомить читателя с трактовкой, бесконечности как несобственного числа (действительного или комплексного). Мы, однако, отнюдь не требуем, чтобы подобная трактовка проводилась в преподавании математики в средней школе. В школьном преподавании бесконечности (сравнительно с другими понятиями) законно уделяется достаточно скром-

* В учебной и научной литературе по анализу и теории функций можно найти все элементы нашего изложения Смотрите в частности: С. Caratheodory „Vorlesungen über reelle Funktionen".

ное место. Поэтому потребности в какой бы то ни было „теории бесконечности“ здесь, конечно, не возникает. Но, употребляя символ бесконечности (хотя бы мимоходом), преподаватель средней школы должен иметь систематические и отчетливые о нем представления. Иначе он может оказаться беззащитным между Сциллою безусловных запретов и осуждений и Харибдою слишком больших вольностей, относящихся к бесконечности. Впрочем, следует подчеркнуть, что упомянутая Сцилла не таит в себе математических ошибок; она лишь сковывает движения.

2. Разъяснению понятия бесконечности мы предпошлем краткое напоминание концепции действительного числа, связанной с именами Кантора и Мере. Теория действительных чисел исходит из множества всех рациональных чисел и опирается на уже развитую в нем арифметику. Задача заключается в том, чтобы с помощью рациональных чисел конструировать новые математические объекты — иррациональные числа, которые вместе с рациональными позволяли бы ставить и разрешать основные задачи анализа (в частности, задачи измерения длин, площадей и объемов).

Непосредственным материалом для построения действительных (в частности, иррациональных) чисел в теории Кантора-Мере служат последовательности рациональных чисел: гь г , г3,..., гя,... ; мы будем обозначать эти последовательности коротко так: {гп}.

Последовательность |rnJ называется фундаментальной (вариантой, по терминологии Мере), если для любого е>0 существует натуральное число N(e) такое9 что \ гп+р — гп\ < е, при п > N(e) и любом натуральном р.

Фундаментальные последовательности появляются при решении различных математических задач всякий раз, когда мы ищем все более и более точные приближения интересующего нас результата. Так, например, при вычислении 1/2 можно получить следующие фундаментальные последовательности: последовательность приближений по недостатку:

1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;...,

последовательность приближений по избытку:

2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143%..,

последовательность, где приближения по избытку и недостатку чередуются:

2; 1,4; 1,42; 1,414; 1,4143;... и т. п.

Любые две последовательности {гп} и {r“n J в этом примере обладают тем свойством, что после почленного вычитания дают нулевую последовательность { г'п — гл}, т. е. такую, для которой неравенство | г'п — г“п | < е выполняются, каково бы ни было е>0, если только rt>N(e).

Вообще, две какие-либо фундаментальные последовательности {г'п} и {гп} называются эквивалентными:{гл}оо \г“^у если последовательность {г'п —гл} есть нулевая последовательность.

Легко видеть, что каждая последовательность эквивалентна самой себе: {r»}°°W' Далее, если {гл)оо{гл}, то и {^}оо{гл}, и, наконец, если

{Г.}°°К1 иК}ооК},тои{гд}ооК}.

Эти свойства позволяют разбить множество всех фундаментальных последовательностей на классы, причем в один и тот же класс две последовательности J гл} и J гл} относятся тогда и только тогда, когда они эквивалентны между собой, каждый такой класс, по определению, называется действительным числом.

Если класс содержит последовательность равных между собой чисел: г, г, г,..., г,..., то этот класс называется рациональным числом и отождествляется с г; если же в классе не существует ни одной последовательности, все члены которой равны между собой, то такой класс называется иррациональным числом. Так, класс, содержащий последовательность: 1, 1, 1,..., 1,... и все эквивалентные с ней (например 0,9, 0,99, 0,999,.. .), представляет рациональное число; оно отождествляется с единицей. Класс, содержащий последовательность: 1,1,4, 1,41, 1,414,1,4142,... и все эквивалентные с ней (например 2, 1,5, 1,42, 1,415, 1,4143,...), представляет иррациональное число. Можно доказать, что в этот класс не входит ни одна последовательность, состоящая из равных между собой чисел (рациональных); это иррациональное число изображается символом |/2 , говорящим о про-

исхождении указанных последовательностей.

Напомним, как определяются арифметические операции над действительными числами. Чтобы найти сумму, разность, произведение или частное двух действительных чисел а и (3, т. е. двух классов, берут по одной последовательности из каждого класса: {гп} из а и {рп} из ß и выполняют соответствующие операции над членами этих последовательностей (в случае деления нужно требовать, чтобы числа ря были отличны от нуля и чтобы само число ß было отлично от нуля). Получаются последовательности :

Можно показать, что каждая из этих последовательностей — фундаментальная и что если вместо {гя} и |рп} взять из классов anß какие-либо другие последовательности {г'п} и { р^}, то последовательности, полученные из них в результате тех же операций, будут эквивалентны ранее полученным:

Это позволяет, например, назвать действительное число (класс) которому принадлежат все последовательности: {'» + Р»}> {гп + ?'п}>--- суммой действительных чисел а и ß:

T = a + ß.

Аналогично определяются разность, произведение и частное.

Для завершения теории действительных чисел остается лишь ввести понятие положительных и отрицательных чисел и отношения неравенства. Мы не останавливаемся здесь на этом.

После того как множество действительных чисел построено, мы можем рассматривать последовательности, состоящие из произвольных действительных чисел: аи а2,. ,.э ал .. и на них распространить понятие фундаментальной последовательности. Основным фактом всей теории является то, что фундаментальные последовательности действительных чисел совпадают с сходящимися последовательностями, т. е. с последовательностями, имеющими предел: для каждой из них существует действительное число а такое, что | а — аЛ | < е для любого е>0 и #>Âf(e). При этом для фундаментальной последовательности рациональных чисел {гп}, входящей в класс а, пределом является как раз действительное число а. На этом основании можно расширить понятие класса и ввести в него любые фундаментальные последовательности действительных чисел |ап| (быть может, иррациональных), сходящиеся к а. Тогда два выражения:—последовательность {anJ сходится к а и последовательность janj принадлежит классу а — будут иметь один и тот же смысл.

Среди последовательностей действительных чисел, не являющихся фундаментальными и, следовательно, расходящихся, чаще других встречаются и по своим свойствам ближе других подходят к фундаментальным последовательностям, для которых характерно либо то, что члены их для любого заданного действительного числа M удовлетворяют неравенствам:

ап>Л1, при п > N(M) (I)

либо неравенствам:

ап < Му при п > Nx (M). (II)

Примерами таких последовательностей могут служить

Все последовательности, обладающие свойством (I), объединяются a один класс, называемый положительной бесконечностью и обозначаемый символом + оо ; последовательности, обладающие свойством (II), объединяются в другой класс, называемый отрицательной бесконечностью и обозначаемый символом — оо.

Таким образом, символы — оо и + оо обозначают понятия, имеющие весьма простой и конкретный смысл, а именно— это классы всех последовательностей действительных чисел, обладающих определенными свойствами: (I) или (II).

Указанные классы, по аналогии с действительными числами, рассматриваются так же, как пределы любой входящей в них последовательности. Этим оправдываются наименования: последовательность, сходящаяся к положительной (или отрицательной) бесконечности.

Если мы пополним названными двумя классами множество всех действительных чисел, то получим расширенное множество действительных чисел. Для того чтобы отличать действительные числа от вновь присоединенных классов, первые называют собственными действительными числами (иногда конечными числами), вторые — несобственными действительными числами (иногда бесконечными числами). Впрочем, эпитеты: собственный, конечный обычно опускаются, и просто говорят о действительных числах; что касается несобственных действительных чисел, то здесь наименование действительных чисел без эпитета не употребляется.

Описанное только что расширение множества действительных чисел путем присоединения к нему несобственных (бесконечных) чисел во многом напоминает расширение множества точек, прямых и плоскостей пространства путем присоединения к ним несобственных (бесконечно-удаленных) точек, прямых и плоскостей.

3. Для геометрического изображения расширенного множества действительных чисел можно с одинаковым успехом пользоваться полуокружностью или отрезком прямой. Рассмотрим сначала числовую ось, т. е. прямую, на которой выбраны начало отсчета и точка, изображающая + 1. Отмечая на ней мысленно все точки, изображающие рациональные числа, мы будем иметь геометрическое представление того запаса чисел, от которого отправляется теория действительных чисел. Каждая фундаментальная последовательность рациональных чисел изобразится сходящейся последовательностью точек прямой; иными словами, для нее будет существовать одна—и только одна—точка прямой, в любой окрестности которой заключаются точки, представляющие все члены последовательности (за исключением, быть может, конечного числа этих членов).

Назовем эту точку пределом последовательности точек, изображающих члены последовательности. Можно показать, что две фундаментальные последовательности чисел { г^} и { г^} эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие точки-пределы совпадают. Поэтому каждой фундаментальной последовательности одного итого же класса соответствует одна и та же точка — предел на прямой; последовательностям, входящим в разные классы, соответствуют разные точки. Отсюда следует, что наиболее простое геометрическое изображение каждого класса, т. е. действительного числа, даст соответствующая точка — предел.

Для рационального числа г=-^она будет совпадать с точкой, полученной путем I m I - кратного откладывания отрезка -i- от точки О на нашей прямой в надлежащую сторону. Таким образом, мы не получим здесь противоречия с исходным способом геометрического представления рациональных чисел.

При указанном (общепринятом) геометрическом представлении действительных чисел каждая точка прямой является образом некоторого действительного числа. Для несобственных чисел здесь не остается места. Если мы станем изображать геометрически последовательности чисел, сходящихся к -f- оо или к — оо, то получим последовательность, все точки которой (начиная с некоторой из них) располагаются либо правее любой точки М, фиксированной на прямой (в случае + оо), либо левее любой точки M (в случае — оо). Точки-предела на прямой для таких последовательностей не найдется.

Черт. 1

Перейдем к изображению чисел на окружности, имеющей, например, радиус, равный единице, и касающейся числовой прямой в точке О (черт. 1).

Соединяя отрезком прямой центр С этой окружности с произвольной точкой прямой Л изображающей некоторое число а, мы получим на окружности точку пересечения А'. Будем считать ее геометрическим образом того же числа а. Каждая точка нижней полуокружности KOL, исключая концы горизонтального диаметра, будет тогда изображать некоторое действительное число, и каждое действительное число изобразится некоторой точкой полуокружности. В этом отношении полуокружность не представляет никаких преимуществ по сравнению с прямой. Но если мы рассмотрим теперь последовательность чисел, входящих, например, в класс -f- оо, то все соответствующие точки прямой окажутся, за исключением, быть может, конечного числа их, правее любой точки M на той же прямой. Поэтому все точки полуокружности, изображающие члены последовательности, окажутся, за исключением конечного числа их, на дуге ML, примыкающей к точке L и тем меньшей, чем дальше вправо на прямой взята точка М. Отсюда следует, что на окружности существует точка-предел для любой последовательности точек, изображающих члены последовательности (чисел), входящей в класс + оо. Это точка L\ ее мы и принимаем в качестве образа несобственного действительного числа -|“ оо на полуокружности KOL. Аналогично другой конец горизонтального диаметра К принимается нами в качестве образа другого несобственного числа — оо.

Имея геометрическое изображение всего расширенного множества действительных чисел на полуокружности KOL, мы можем получить изображение этого множества на отрезке прямой PQ. Для этого достаточно спроектировать дугу KOL ортогонально на числовую ось и каждую точку проекции считать образом того самого действительного числа (собственного или несобственного), которое изображается проектируемой точкой. В наших условиях получим, что точка Q будет изображать -f- оо, точка Р — оо, а точки, лежащие между Р и Q,— собственные действительные числа.

4. Мы остановимся теперь на арифметике расширенного множества действительных чисел.

Следует подчеркнуть, что к введению несобственных чисел приводят потребности анализа, но не арифметики и алгебры. Несобственные числа могут встречаться, однако, в качестве значений функций (или аргумента), и так как нередко приходится образовывать сумму, разность, произведение или частное двух или нескольких функций (что предполагает выполнение соответствующих операций над значениями функций), то нужно установить: можно ли придать смысл и какой именно арифметическим действиям над несобственными действительными числами.

Мы будем руководиться здесь теми же принципами, на которых, в теории Кантора-Мере, строится арифметика действительных чисел. А именно, пусть а и ß—два элемента расширенного множества действительных чисел, т. е. два класса числовых последовательностей; желая определить какую-либо арифметическую операцию над ними, мы будем производить одноименные операции над членами последовательностей, извлекаемых по одной из того и другого класса. Если окажется, что в результате операций будут получаться последовательности, входящие в один и тот же класс f нашего расширенного множества, то ? и будет рассматриваться как результат данной операции над а и ß. В противном же случае, т. е. в случае, когда у нас будут либо получаться последовательности, не принадлежащие ни одному из классов, либо же в случае, когда некоторые из получающихся последовательностей будут входить в один, а другие— в другой класс, операция объявляется лишенной смысла.

Рассмотрим для примера сложение несобственного числа с собственным. Пусть а= -|- оо, ß — некоторое собственное число и {ап} — какая-либо последовательность из класса a, a {ßn}—последовательность из класса ß. Образуем последовательность {ап+Ря} и убедимся, что она сходится к + ос, т. е. принадлежит классу + °°* Этого будет достаточно, чтобы положить, по определению: -|- 00+ ß = + оо. В самом деле, каждая фундаментальная последовательность (как нетрудно показать) ограничена; поэтому |ßn|<C, п = 1,2,... С другой стороны, последовательность {ап} сходится к положительной бесконечности и, следовательно, для любого действительного M неравенства ал > M + С

будут выполняться при n>N(M). Отсюда заключаем, что аЛ + ßn>(Ж + С)— ~|рп|>(УИ+С)-С = ЛГ, при n>N(M), откуда и следует, что |ая -}- ßn} сходится к -f- оо, т. е. принадлежит классу + оо. Итак, мы можем положить: -f-oo-f-ß= = + оо. Рассуждая подобным же образом, мы сможем обосновать естественность следующих определений:

(I)

(II)

где р положительное и п отрицательное числа;

(III)

Кроме того, мы примем, что несобственные действительные числа удовлетворяют следующим соотношениям порядка:

(IV)

где ß произвольное действительное число.

Рассуждения, подобные приведенным выше, показывают, что мы не должны придавать никакого смысла следующим выражениям:

где а произвольное, собственное или несобственное действительное число.

Поясним это на примере. Пусть мы хотим образовать сумму а = -j- оо и ß=r — оо и для этой цели извлекаем по одной последовательности из классов а и ß. Если первой из них будет последовательность: 1, 2, 3,..., второй: — 1, — 2, — 3,..., то, складывая их почленно, получим последовательность О, О, 0, 0,..., входящую в класс 0. Но мы могли бы брать и другие последовательности, например 2, 4, 6, 8,... и — 1, — 2, —- 3,..., что после почленного сложения дает последовательность: 1,2, 3,..., сходящуюся к -f- оо, или могли бы брать последовательности 2, 2, 4, 4, 6, 6,... и — 1, — 2, — 3,..., дающие после сложения последовательность: 1, О, 1, О, 1, 0,..., не содержащуюся ни в одном из классов. Все эти факты показывают, что с точки зрения принципов теории действительных чисел, даже при условии их расширенного толкования, выражению + оо -f- (— оо) не следует приписывать какой-либо смысл. Мы и будем рассматривать это выражение как лишенное смысла сочетание символов. Аналогично могут быть рассмотрены и другие случаи. Заметим, что последнее из сочетаний символов, а именно ^, при афО в некотором роде „лучше“, чем остальные сочетания символов. А именно, если {ап} есть какая-либо последовательность чисел, отличных от нуля, принадлежащая классу a, a {ßn} нулевая последовательность отличных от нуля чисел, то для последовательности оказываются возможными всего лишь три случая: 1) она сходится к + оо; 2) она сходится к — оо; 3) она не входит ни в один из классов, но последовательность абсолютных величин II ^- [J сходится к + оо. Таким образом, сочетание символов:-^ при а ф 0 является, если можно так выразиться, менее неопределенным, чем другие „незаконные“ сочетания.

Можно было бы с самого начала вместо двух несобственных чисел -f оо и оо — ввести лишь одно несобственное

число оо, подразумевая под ним класс всех последовательностей {ап}, для которых последовательность абсолютных величин {|аЛ|} сходится к + оо.

Тогда изменилось бы геометрическое представление расширенного множества действительных чисел — вместо полуокружности для той же цели служила бы окружность (черт. 2). Упростились бы несколько и правила действий, ибо тогда не пришлось бы различать + оо и — оо.

Наконец, символу ^ , при афО можно было бы придать определенный смысл, а именно: положить ~ = оо. Однако такой способ введения несобственных чисел, логически вполне допустимый, не является употребительным при изучении функций действительного переменного (в частности, последовательностей). В самом деле, во многих вопросах анализа необходимо отличать последовательности, сходящиеся к + оо, от последовательностей, сходящихся к — оо. Вот почему избегают их смешения в один класс и растворения двух несобственных чисел в одном.

5. Обращаясь к множеству всех комплексных чисел (собственных), мы можем говорить и здесь о фундаментальных последовательностях комплексных чисел и с каждым числом ß соединять класс эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей комплексных чисел {ßn}, сходящихся к ß. Класс всех последовательностей комплексных чисел {ап}, для которых последовательность модулей ||ая|} сходится к положительной бесконечности, представляет единственное несобственное комплексное число, которое можно было бы называть комплексной бесконечностью. Однако обычно эпитет „комплексная" опускается, и говорят просто о бесконечности; она обозначается через оо, символы же + оо и — оо являются специфическими для множества действительных чисел. Они не включаются в расширенное множество комплексных чисел, состоящее из всех собственных комплексных чисел и одного несобственного. Для геометрического представления расширенного множества комплексных чисел пользуются сферой. Ее можно выбрать, например, имеющей радиус 1 и касающейся в точке О „комплексной плоскости“ (точками которой изображаются комплексные числа) (черт. 3). Если точка А плоскости изображает комплексное число z, то, соединяя точку С на сфере, диаметрально противоположную точке касания, с точкой А отрезком прямой, получим в пересечении со сферой некоторую точку А', которую и будем считать образом того же комплексного числа z. Каждая точка сферы, за исключением С, изображает некоторое комплексное число z; обратно, для каждого z найдется точка сферы, изображающая это число. Если мы рассмотрим последовательность чисел {zn}, входящую в класс оо, т. е. такую, для которой последовательность модулей {|znl} сходится к + оо, то все члены этой последовательности, за исключением, быть может, конечного числа их, будут изображаться точками плоскости, лежащими вне круга с центром в начале координат, имеющего произвольно фиксированный радиус. Но это означает, что соответствующие точки сферы будут лежать на произвольно малой „шапочке“ (поверхности сегмента сферы), с центром в С (черт. 4). Иными словами, С на поверхности сферы будет точкой-пределом для любой последовательности точек, изображающей члены последова-

Черт. 2

Черт. 3

тельности |zn), входящей в класс оо. В соответствии с этим мы и принимаем, что С изображает несобственное комплексное число. В геометрической терминологии, где слово „число" заменяют словом „точка“, вместо несобственного комплексного числа говорят о бесконечно-удаленной точке.

Арифметические операции определяются здесь на основании тех же соображений, как и для несобственных действительных чисел. Впрочем, формулы здесь упрощаются, так как мы имеем лишь одно несобственное число. Вот эти формулы:

Черт. 4

Сочетания символов

объявляются бессмысленными.

Заметим, что в отличие от собственных комплексных чисел, несобственному числу не приписывается ни действительная, ни мнимая часть; зато ему можно приписать определенный модуль: оо =+ °°-Точно так же, как и число 0, несобственное комплексное число оо не обладает аргументом.

Разъясним смысл этих соглашений. Рассмотрим, например, последовательность: i, 2i2t 3is, 4/4, Ыь,..., где i мнимая единица. Здесь модули образуют последовательность: 1, 2, 3, 4,..., сходящуюся к +оо; поэтому данная последовательность входит в класс оо. Переписывая ее в виде: /,—2, —3/, 4, Ы, — 6,..., убеждаемся, что действительные части ее членов образуют последовательность: 0, —-2, 0,4,—6,..., а мнимые— последовательность: 1,0—3, 0, 5, О,... Они не являются ни фундаментальными, ни сходящимися к оо, т. е. не имеют никакого—ни конечного, ни бесконечного — предела. Точно так же и аргументы членов последовательности (записываем их с точностью до кратных от 2 тс): ^ ,тс, — ~ 0, v,... не сходятся к какому-либо пределу. Это поясняет, почему мы оо, т. е. классу, в котором содержится последовательность: г, —2, —3/, 4, Ы, —6,..., не приписываем ни действительной, ни мнимой части, ни аргумента.

6. Мы лишь кратко остановимся здесь на приложениях несобственных действительных чисел, отсылая читателя за подробностями к учебникам анализа и теории функций, в особенности к тем из них, где + оо и — оо имеют, так сказать, полные права гражданства (см., например, Валле Пуссен, Курс анализа бесконечно-малых и, в особенности, уже цитированную книгу С. Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen).

Наиболее важна роль несобственных чисел в теории пределов. Пусть Е — некоторое множество действительных чисел (в частности сегмент, интервал, полуинтервал конечный или бесконечный) и х0 — собственное или несобственное действительное число. Если существует последовательность неравных между собой чисел, принадлежащих Е, сходящаяся к х0, то х0 называется предельной точкой £. Так, например, + оо является предельной точкой для интервала (0, + Пусть / (х)— функция, определенная на множестве Е. Если существует собственное или несобственное действительное число а, такое, что для всякой последовательности чисел {xn]f принадлежащих Еч сходящейся к х0 , последовательность соответствующих значений функций {/(*„)} сходится к а9 то говорят, что а есть предел f(x) (по множеству Е) в точке х0 (или при х,

стремящемся к х0) и пишут: lim f(x)= ос.

Так, например:

Однако lim - не существует, ибо для последовательности:

сходящейся к нулю, последовательность значений функции:

2,™ = 3,- = — 4,... не сходится ни к какому, ни к собственному, ни к несобственному числу. Если мы наложим условие: х > 0, то получим: lim— = + оо; точно так же lim-=— оо. Можно сказать, что функция f(x)=- имеет в точке х—0 пределы слева и справа: — оо и -|-оо .

Аналогичным образом несобственные числа могут выступать в качестве верхней и нижней граней множеств, верхнего и нижнего пределов и т. и. Но ими нередко пользуются также в качестве значений функции, особенно в качестве значений производной в дифференциальном исчислении.

Черт. 5

Наличие бесконечной производной у функции f(x) в некоторой точке имеет, как известно, весьма простой смысл: перпендикулярность касательной к графику функции в соответствующей точке к оси абсцисс (черт. 5).

Многие теоремы дифференциального исчисления справедливы и для функций, производные которых могут обращаться в оо (определенного знака.); таковы теоремы Ролля и Лагранжа. Точки, в которых существуют только правая и левая бесконечные производные, должны обязательно приниматься во внимание при отыскании наибольшего и наименьшего значений функций (черт. 6).

Черт. 6

Мы ограничимся этими беглыми замечаниями.

В заключение рассмотрим несколько подробнее один пример применения несобственного комплексного числа в качестве значений функции или аргумента. А именно, рассмотрим вопрос о числе корней (действительных и мнимых) уравнения:

где P(z) и Q(z) многочлены, а А какое-либо фиксированное комплексное число. Простые примеры показывают, что между числом корней этого уравнения и степенями P(z) и Q(z) как будто нет столь простой связи, как для уравнений вида P(z) = A, где число корней всегда совпадает со степенью многочлена. Так, например, из двух уравнений:

первое не имеет ни одного корня, ни действительного, ни мнимого, второе же имеет их два (точнее один двойной корень: z1==z2 = 0). Мы покажем сейчас, что, допуская в качестве значений аргумента z и функции (для jjfer) не только

собственные, но и несобственные числа и распространяя надлежащим образом известные понятия, мы сможем обнаружить весьма простую закономерность, относящуюся к числу корней уравнения Р (z) ~^=А. Рассмотрим рациональную функцию f(z) = ^ffô- Мы будем считать, что многочлены

(афО, ЬфО) взаимно простые; если бы это было не так, то можно было бы найти их наибольший общий делитель и сократить на него числитель и знаменатель дроби.

Обозначим через а19 а2,ар различные нули P(z), т. е. корни уравнения P(z) = 0, а через k1%..., kp обозначим их кратности; точно так же пусть ßi» • • • ft/—различные нули Q (z), а А .. Jq-их кратности. Тогда

Очевидно, что любое из чисел аг,... ,ар отлично от любого из чисел ßb ..., ß^; в противном случае P(z) и Q(z) не были бы взаимно простыми. Кроме того,

Наша формула не определяет f(z) непосредственно, ни при z=ßy;(y=l, 2,. ..q), ни при z= оо . Однако при z=ßy числитель дроби отличен от нуля, а знаменатель равен нулю, в соответствии с чем мы и примем: /(ßy) = оо (/ = 1, 2,..., q). Точки ßlt ß2,..., ß7, в которых рациональная функция обращается в оо , называются полюсами этой функции. Полюсы функции — это нули знаменателя Q (z). Вследствие такой связи мы припишем каждому полюсу определенную кратность, а именно, назовем числа 1г, /2,..., L [кратности нулей Q(z)]— кратностями полюсов ç~. Теперь рациональная функция f(z) определена для любого собственного значения z. Определим ее и для несобственного значения аргумента — в бесконечно-удаленной точке. Прямая подстановка z=-oo в формулу для /(z):

не дает ничего, так как и числитель, и знаменатель обращаются в бесконечность, и мы получаем лишенное смысла выражение. Можно, однако, воспользоваться приемом замены аргумента:

при которой z = oo будет соответствовать С=0. Тогда f(z) принимает вид:

Мы получили новую рациональную функцию от С, значение которой следует определить при С = 0. Здесь различаем три случая:

1) т=п; тогда

и при С = О полагаем:/(оо )=т- (вспомним, что ЬфО).

2) т>п; тогда

в соответствии слем при Ç = 0 полагаем: /(оо)=0. Так как в этом случае С = 0 является нулем числителя дроби кратности п—т, то мы будем говорить, что /(z) имеет при z= оо нуль кратности m — п.

3)т<п; тогда

и при С=0 полагаем: /(оо ) = оо. Так как в этом случае С= 0 является нулем знаменателя порядка п — т, то мы будем говорить, что /(z) имеет при z — оо полюс порядка т—п. Итак, в зависимости от того, будет ли m = п, т>п или т<пу

мы полагаем /( оо) равным g-, 0(оо есть нуль порядка т—п) или оо (оо есть полюс порядка п—т).

Подсчитаем теперь число нулей и полюсов функции /(z)=£^ среди всех чисел расширенного множества комплексных чисел (или, как говорят, в расширенной плоскости). Нулями f(z) являются числа: ссь а2,..ар с кратностями kl9 k2,..., kr Следовательно, мы получаем здесь fei+Ä2-f-.. .-{-kp=n нулей /(z). Если т<.пу то /(z) не будет иметь нулей в бесконечно-удаленной точке, так как /( оо) = |^ 0, еслит=ли/(оо )=оо , если m < п. Следовательно, всего в расширенной плоскости мы получаем п нулей. Но если m > п, то в бесконечно-удаленной точке появляется еще нуль порядка т—п, и, следовательно, общее число нулей будет: п-\-(т—п)=т. Итак, мы обнаружили, что рациональная функция / (z) — ~~ имеет в расширенной плоскости п или m нулей, в зависимости оттого, какое из двух чисел больше: п или т. Обозначим большее из этих чисел через N:

N = max (m, п)

и назовем его порядком рациональной функции. Тогда можно утверждать, что общее число нулей рациональной функции f(z) в расширенной плоскости (с учетом кратности нулей) равно порядку этой функции. Любопытно, что и общее число полюсов f(z) в расширенной плоскости равно порядку f(z). Действительно, среди собственных комплексных чисел мы имеем полюсы: ßx... ß? с порядками: lu ..., lr Число их есть /х—f—.. .-f--\-1д=т. Если т>п, то /(z) не будет иметь полюса в бесконечно-удаленной точке, ибо /(оо) = ^ ф оо при т—п и /(оо) = 0 при т>п. Таким образом, общее число полюсов оказывается равным т. Если же m<ji, то в оо мы имеем еще полюс кратности п—т и общее число полюсов будет: т-\-{п— т) = п. Итак, во всех случаях общее число полюсов совпадает с большим из двух чисел m и пу т. е. с порядком /(г).

Мы нашли, таким образом, число корней уравнения f(z) = А в том случае, когда А=0 либо А =оо . Если же АфО и А Ф со, то, переписывая уравнение f(z) = A в виде:

мы сведем вопрос к подсчету числа нулей рациональной функции

По предыдущему это число равно порядку fi(z)f т. е. наибольшей из степеней многочленов P(z)—AQ(z) и Q(z). Но если п^>т, то степень первого многочлена есть п, второго m и, следовательно, порядок /г(г)=тах (т,п)=пор. f(z). Если же п^Ст, то степень многочлена P(z) — —AQ(z)—обозначим ее через пх—не выше /я, и, следовательно, порядок fx (z) = max (#ь т) = т= пор. /(z).

Итак, во всех случаях пор. fx (z) — =nop./(z), т. е. число корней уравнения

или, что то же самое, число корней уравнения ^| = Л равно порядку /(z).

Мы нашли, что для любого Л (конечного или бесконечного) уравнение щ^ = А имеет одно и то же число корней врасширенной плоскости; число это равно порядку рациональной функции, т. е. наибольшей из степеней многочленов P(z) и Q(z). Так, в примере ^р-=1 мы должны получить два корня. Так как конечных корней наше уравнение не имеет, то оба корня являются несобственными; иными словами, z— оо является двукратным корнем уравнения. Чтобы сделать это наглядным, перепишем уравнение в виде:

а затем перейдем от z к С = -. Так как тогда z = £-, то уравнение примет вид: yq^2- ==0. Мы обнаруживаем двойной корень С!=С2=0, которому ^для z=^ соответствует двойной корень: zx=z2= оо.

НЕСОИЗМЕРИМЫЕ УГЛЫ В ТРЕУГОЛЬНИКАХ

Проф. Л. ЧАКАЛОВ (София, Болгария)

С несоизмеримыми отрезками, т. е. с отрезками, не имеющими общей меры, сталкивались уже древние греки. Известны, например, элементарные доказательства несоизмеримости стороны и диагонали квадрата или стороны правильного десятиугольника и радиуса описанной окружности. Вопрос о несоизмеримости углов, повидимому, значительно сложнее, хотя ясно, что такие углы существуют. Насколько мне известно из имеющейся литературы по элементарной математике, не существует хоть сколько-нибудь простых признаков, при помощи которых можно эффективно установить несоизмеримость двух данных углов, например острых углов знаменитого египетского прямоугольного треугольника, стороны которого содержат 3, 4 и 5 единиц. Цель этой заметки — пополнить этот пробел, установив элементарными средствами простой признак, позволяющий во многих случаях установить несоизмеримость углов некоторой категории треугольников.

Мы докажем сперва следующую теорему:

Если угол cl соизмерим с прямым углом, то для того, чтобы значение cos а было рациональным, необходимо и достаточно, чтобы 2cosa было целым, т. е. имело одно из значений О, ± 1, ± 2.

Доказательство. Достаточность условия становится очевидной, если учесть, что самое общее решение гониометрических уравнений

2cos a = 0, cos a = ± 1, 2cos a= + 1 даны равенствами

a = ± у + k w, a = k 7г, ol= ± -3 k 7Г,

где через k обозначено любое целое число (положительное, отрицательное или нуль).

Для того чтобы доказать необходимость условия, мы допустим, что

2cos a = y , где р и q

взаимно простые целые числа, причем q положительно. Рассмотрим бесконечную последовательность

общий член которой Un = 2qnQosn*. Из гониометрического тождества

cos (п+1) a -f- cos (п — 1 ) a = 2cos a cos /га

получаем, умножая обе части его на

(1) Un + i+qW^pU,,,

что является рекурентным соотношением, связывающим три члена нашей последовательности. Это соотношение позволяет вычислить U ... если известны U„u U «.

Оно показывает, что Un + \ целое число, если Unn Un-i целые. Но U0=2 и Ux = р целые числа, из чего получаем (применяя (1) для /г=1,2,...), что все члены нашей последовательности целые числа.

Допустим теперь, что знаменатель q больше единицы. При этом дополнительном предположении мы докажем, что ни одно из чисел Uv U2,... не может быть кратным q. В самом деле, если Un+1 делится на q% то, учитывая, что р и q взаимно просты, заключаем из равенства (1 ), что Un делится на q. Таким же образом убедимся, заменив в (1) п через я—1, что и Un-i делится на q. Продолжая так, мы приходим к заключению, что Ux=p также делится на q, что неверно.

С другой стороны, если угол a соизмерим с ъ, можно найти целое положительное число п так, что пз. было бы кратным л, т. е. cosna = ± 1, Un=± 2qn, т. е. Un было бы кратным q. Следовательно, невозможно, чтобы в одно и то же время угол a был соизмерим с тги 2cosa было бы несократимой дробью, знаменатель q которой больше 1; другими словами, если 2cos a = где р и q взаимно простые числа и q положительно, то для того, чтобы a было соизмеримо с тг, необходимо, чтобы знаменатель q был равен 1. Но в таком случае 2cosa=/?ecn> число целое, которое не может иметь других значений, кроме 0, ± 1, ± 2.

Ниже мы воспользуемся следствием доказанной теоремы:

Если острый угол треугольника соизмерим с Tz и cos a рациональное число, то непременно cos a=-^, т. e.a = ^(=60°).

Приложения.

1. Рассмотрим египетский прямоугольный треугольник, стороны которого относятся, как 3:4:5. Если обозначим через а и ß его острые углы, причем а < ß, то cos а = g-, cosp=£.

Так как 2cosa и 2cos ß рациональные, но не целые числа, ни один из углов а и ß несоизмерим с прямым углом. Но эти углы не могут быть соизмеримы и между собой, так как если бы они имели общую меру, она входила бы целое число раз в их сумму a-J-ß = ^-, т. е. каждый из этих двух углов имел бы общую меру с прямым углом.

Подобным же образом доказывается при помощи вышеуказанного следствия нашей теоремы, что в каждом рациональном прямоугольном треугольнике угли попарно несоизмеримы. Напомним при этом, что прямоугольный треугольник называется рациональным, когда все три стороны его имеют общую меру.

2. Рассмотрим в качестве второго приложения какой угодно треугольник, подчиненный единственному условию соизмеримости трех его сторон. Если возьмем в качестве единицы общую меру сторон, то длины сторон выразятся через целые числа а, Ь, с. Из теоремы Карно

а2 = Ь2 -f- c2—2bc • cos а

следует, что cos а рационален; то же, разумеется, относится и к cos ß и cos Допустим, далее, что треугольник не равносторонний. Тогда, если, например, а наименьшая его сторона, то противоположный угол а меньше у и cosa>y. Из вышеуказанного следствия теоремы заключаем, что а не может быть соизмеримым с прямым углом. Также, по меньшей мере, один из остальных углов должен быть несоизмерим с прямым углом, ибо в противном случае, если допустим, что 3 и if соизмеримы с прямым углом, то же самое было бы верно и для a = lc_(ß+T).

3. Рассмотрим, наконец, правильный четырехгранник, гранями которого являются 4 равносторонних треугольника, и поставим вопрос о соизмеримости с прямым углом двугранного угла а, составленного из двух соседних граней.

Легко найти, что cos «=-3-, откуда следует, что этот двугранный угол несоизмерим с прямым углом*.

Итак, если все три стороны неравностороннего треугольника имеют общую меру, то наименьший из его углов и, по крайней мере, один из остальных двух углов несоизмеримы с прямым углом. Из этого следует, что все три угла не могут иметь общую меру, так как она входила бы целое число раз и в их сумму a-j-ß + Y =it.

Треугольник а = Ъ, b =7, с = 8 показывает, что один из углов может быть соизмеримым с прямым углом, в данном случае ß = у.

* Более подробное изложение этого вопроса читатель найдет в моей статье: „Многоугольники с соизмеримыми сторонами и углами“, помещенной в „Списание на физико-математического дружество в София год XIII" (1927—1928), стр. 321 -328.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЕ В РОССИИ XVII—XIX вв.

Проф. А. П. ЮШКЕВИЧ (Москва)

(Продолжение)

Реформа математического образования в первой половине XIX в.

В начале XIX в. система образования подверглась в России реформе, которая быстро отразилась на развитии математики в нашей стране.

Высшее математическое образование в XVIII в. почти не было организовано. Единичные специалисты-математики воспитывались при Академии наук, но академические учебные заведения к концу XVIII в. фактически прекратили работу. В Московском университете преподавание математики тогда еще не вышло за пределы четырех школьных дисциплин. Из военных и технических школ математики могли выходить лишь случайно. Лишь в учительской семинарии, открытой в Петербурге в 1786 г., организована была подготовка более квалифицированных математиков. Но первые же годы нового столетия принесли частичное решение давно уже назревшей проблемы реорганизации университетского образования, с одной стороны, и средней школы, с другой. Мы имеем в виду открытие гимназий и создание физико-математических факультетов.

Реформа была произведена, правда, на крайне ограниченной основе: царское правительство усиленно заботилось о том, чтобы среднее и тем более высшее образование не получило сколько-нибудь широкого распространения и оставалось уделом наиболее состоятельных слоев населения, главным образом дворянства. Но даже на этой узкой основе и вопреки многократным усилиям царской бюрократии задержать развитие просвещения, а иногда и обратить его вспять, научная мысль смогла двинуться вперед быстрыми шагами.

В истории русской математики первая половина XIX в. характеризуется следующими основными моментами. Прежде всего с организацией физико-математических факультетов заложен был впервые прочный фундамент для воспитания математиков высокой квалификации. Петербург переставал вместе с тем служить единственным рассадником математических знаний: новые центры ее развития появились в Москве, Казани, Харькове, Дерпте (Тарту), несколько позднее в Киеве и других городах. Ведущая научно-воспитательная роль при этом переходит именно к университетам, — из их стен теперь уже стали, как правило, выходить будущие ученые и педагоги, работники Академии наук и высшей технической школы. Далее, русская математика с первых же своих самостоятельных шагов обнаружила те черты, которые в полной мере смогли проявиться лишь в советский период ее развития: смелость новаторской мысли, широкий материалистический подход к проблемам науки, тесную связь между научным творчеством и просветительской деятельностью. В количественном отношении первые успехи нашей университетской математики были еще незначительные. Как выразился в свое время проф. А. В. Васильев, математику царские чиновники терпели, но и только. Не забудем, что на всю Россию имелось

в то время несколько профессоров математики, научных институтов не существовало, ежегодный выпуск математиков измерялся единицами. Отсюда — резкая неравномерность развития математики того времени. Если в одних областях науки мы далеко опережали другие страны (Лобачевский и неевклидова геометрия, вскоре затем Чебышев) или блестяще разрабатывали общеевропейскую тематику (Остроградский и математическая физика), то в других мы не могли еще не отставать (например теория функций комплексного переменного). Первая половина XIX в. явилась эпохой научного творчества одиночек — Лобачевского, Остроградского, Буняковского. Но уже вскоре, в условиях более мощного общественного подъема 60-х годов, сломавшего некоторые преграды, воздвигнутые царским режимом перед просвещением, возникла первая русская математическая школа, „Петербургская“ школа Чебышева.

1. Реформа системы образования

В 1802 г. для единого руководства системой образования было создано Министерство народного просвещения, а при нем — Главное правление училищ, в котором, между прочим, большую работу провели математики-академики Н. И. Фусс и С. Я. Румовский. Как гласил подготовленный этим правлением указ 1803 г., „для нравственного образования граждан, соответственно обязанностям и пользам каждого состояния, определяются четыре рода училищ, а именно: 1) училища приходские, 2) уездные, 3) губернские или гимназии и 4) университеты“. На каждый приход или два полагалось приходское училище, в каждом уездном городе —одно уездное, в каждом губернском — гимназия*.

Каждая из ступеней школы служила как бы преддверием к следующей высшей, а университеты должны были поставлять гимназических учителей. Тесная связь между школами различных ступеней устанавливалась и в организационном отношении: так, в обязанности университетов включено было руководство работой гимназий (в 1835 г. гимназии были подчинены непосредственно попечителям округов). В целом правительство Александра I первоначально руководилось той мыслью, что образование и наука представляют собой великую военную, техническую и административную силу, которую можно полностью подчинить задачам дворянско-помещичьего класса. В последнем, как мы увидим, царским чиновникам пришлось вскоре разочароваться.

Реформа встретила горячий отклик в кругах русской интеллигенции, которая поддержала ее рядом литературных начинаний, организацией публичных лекций и т. д. Публичные лекции, читавшиеся в начале XIX в. при Московском университете, собирали обширную и разносословную аудиторию. Любитель просвещения, писал Карамзин, „с душевным удовольствием видит там знатных московских дам, благородных молодых людей, духовных, купцов, студентов Заиконоспасской академии и людей всякого звания“. Но именно эта тяга „людей всякого звания“ к науке быстро встревожила правительственные круги. Усилившийся после 1812 г. подъем народно-освободительного движения во всей Европе и в самой России побудил уже Александра I к энергичному наступлению на школы и университеты. В уставе для учебных заведений Дерптского округа 1821 г. подчеркнуто было, что народные училища должны дать знания, составляющие „полный круг школьного образования для беднейшего сословия граждан“, что уездные училища имеют целью только „образование граждан, посвящающих себя ремеслам или промышленности“, и потому способ учения в них не должен „переходить в ученость, которая не соответствовала бы будущему занятью гражданина“. При Николае I Министерство просвещения предприняло целый ряд мер, которые должны были воспрепятствовать юношам, „рожденным в низших слоях общества“, выйти „из круга их первобытного состояния без выгоды для них самих и для государства“. „При возрастающем повсюду стремлении к образованию,—писал в 1840 г. министр просвещения Уваров,— наступило время пещись о том, чтобы чрезмерным этим стремлением к высшим предметам учения не поколебать некоторым образом порядок гражданских сословий, возбуждая в юных умах порыв

* Сельские школы в это время практически почти не существовали.

к приобретению роскошных знаний“. В результате число гимназистов, с 1809 до 1836 г. поднявшееся было с 5569 до 15 476, за следующие 18 лет, к 1854 г., достигло лишь 17809. Один учащийся во всех казенных и частных учебных заведениях, по заявлению того же Уварова, в 1834 г. приходился на 210 чел. населения (не считая обучавшихся дома и не включая Финляндии и польских губерний). С другой стороны, различные ограничительные и репрессивные меры против университетов приводили к недостатку школьных учителей и невозможности расширять сеть средних учебных заведений.

Такова была реакционная просветительная политика царской власти. Даже в тех случаях, когда проводились по существу полезные с педагогической точки зрения мероприятия, цели преследовались вредные. Так обстояло, например, дело, когда в 1828 г. был увеличен на год срок обучения в гимназиях, и в 1835 г. в университетах введен был добавочно четвертый курс. В обоих случаях имелось в виду подольше задержать молодежь в школе, подвергая ее там успокоительному „идейному“ формированию. Что касается, в частности, преподавания математики и естественных наук, то и оно было поставлено далеко не удовлетворительно, хотя в сравнении со школами XVIII в. имелся несомненный прогресс. Вначале одной из причин плохих успехов школы являлась необычайная многопредметность гимназического курса, в который включены были этика, эстетика, психология, коммерция, логика, технология, естествознание, народное право и политическая экономия. Позднее, когда эти опасные с точки зрения развития у гимназистов свободомыслия дисциплины были исключены, грозным врагом для математики и наук о природе явились древние языки: в долголетнем их изучении и в чтении тщательно отобранных отрывков из греческих и латинских классиков и отцов церкви усматривалось средство для отвлечения умов от материалистической крамолы и безбожия. В результате в первое время при семилетнем курсе обучения в уездном училище и четырехклассной гимназии на прохождение четырех математических предметов отводилось — суммируя по всем классам — 25 часов в неделю.

В 1828 г. в гимназиях с греческим языком недельных часов по математике было во всех классах 22^- (на греческий и латынь отводилось 69), в гимназиях без греческого языка 34 Следует заметить, что положение почти не улучшилось на протяжении всего XIX в. В 1834 г. в семи классах гимназии было 27 2 час. по математике (древние языки 72^), а в 1890 г. в девяти классах, считая приготовительный, 29 час. (древние языки 75). Напомним, что в советской школе-десятилетке число недельных часов по математике по всем классам превосходит шестьдесят.

Долгое время на недостаточно высоком уровне находилось и качество преподавания. Можно считать, что некоторый перелом наступил в середине 30-х годов, ибо в это время из программ физико-математических факультетов оказалось возможным исключить предметы элементарной математики. Об объеме школьного курса математики мы можем примерно судить по известным уже нам руководствам Н. И. Фусса, в 1814 г. принятым для гимназического обучения, и объем этот не слишком сильно изменился на протяжении всего XIX в.

В учебной литературе для средней школы можно отметить появление ряда выдающихся и передовых руководств как оригинальных, так и переводных (Безу, Лакруа, Лежандр, Франкёр и др.). Для характеристики общего направления этих книг я остановлюсь на одном из руководств Д. М. Перевощикова. Среди многочисленных учебников этого автора наиболее видное место и широкое распространение заняла живо и легко написанная „Ручная математическая энциклопедия“ в 13 томах (М. 1826—1837), первые четыре части которой отведены были элементарной математике. В „Арифметике“ Перевощиков резко выступил против тройных правил, подчеркивая, что „числительная часть математики не имеет надобности в сем механическом пособии“ и что „особенно начинающие должны приучаться к соображению условий вопросов и разрешать их прямо помощью четырех главных действий арифметики“. Вместо тройных правил Перевощиков предлагал разбор

решения ряда типичных задач, обозначая при этом искомую величину х. Перевощиков вводил в своем курсе арифметики десятичные дроби, знакомил с метрической системой мер и включил учение о логарифмах. В „Основаниях геометрии“ Перевощиков во многом последовал за С. Гурьевым. Как и Гурьев, он строил все изучение на трех началах — способе наложения, теории пропорциональных величин и способе пределов, но, в отличие от автора „Опыта о усовершении элементов геометрии“, применял иррациональные числа. В алгебраической части руководства автор, в основном, придерживался широко распространенных тогда курсов Франкера. Специально для гимназии Перевощиков издал „Гимназический курс чистой математики“ (М. 1838) и „Основания алгебры“ (СПб. 1854).

За первую половину XIX в. вышло немало других оригинальных руководств, но все же еще сильно было увлечение переводными пособиями. Лучшие русские учебники элементарной математики появились уже во второй половине прошлого столетия, и мы рассмотрим их позднее*.

2. Организация физико-математических факультетов

В 1804 г. были открыты университеты в Харькове и Казани и утвержден новый устав Московского университета, а немного раньше, в 1802 г., были учреждены университеты в Дерпте (Тарту) и Вильно (закрытый после польского восстания 1830 г.). Учительская семинария в Петербурге была преобразована в Главный педагогический институт, на базе которого в 1819 г. был создан Петербургский университет. В 1834 г. основан был еще университет в Киеве. Среди факультетов (отделений) университетов был всюду нредусмотрен и физико-математический. Для примера мы остановимся несколько подробнее на судьбе физико-математического факультета в Москве. На вновь организованном отделении в Московском университете открылись восемь кафедр: опытной и теоретической физики, чистой математики, прикладной математики, астрономии, химии, ботанику, минералогии и сельского домоводства и, наконец, технологии и наук, относящихся к торговле и фабрикам. Как видно, факультет в то время охватывал широкий круг естественных и точных наук, и, кроме того, образованию в университетах был придан существенно прикладной уклон. Чистая математика получила только одну кафедру, на которой, впрочем, работало по 2—3 человека.

Наличие единой кафедры математики не должно нас удивлять: курсы по специальным математическим дисциплинам в то время не читались, да и специализация математики была еще не столь велика. Немедленно после организации факультета видоизменены были и учебные планы. Талантливый педагог, профессор В. К. Аршеневский (1758— 1808), адъюнкт В.А. Загорский, профессор И. А. Иде (1775—1806) приступили к чтению курсов алгебры (по Эйлеру), аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений. В основу преподавания положено было известное руководство Э. Безу, „Курс математики“ в четырех томах, который был издан в переводе Загорского. С университетом тесно связано было первое русское математическое общество, основанное в 1811 г. подполковником H.H. Муравьевым (1768— 1840), сыном автора первого русского учебника алгебры. Целью общества было распространение математических и военных знаний, а членами его состояли молодые студенты, которые вместе с главою общества приступили к чтению лекций по математике, механике и военным наукам**.

Отечественная война 1812 г. и кончина нескольких видных членов факультета временно приостановили развитие в нем преподавания, но вскоре работа возобновилась. Долгие годы, однако, обучение математике велось на невысоком уровне. Студенты поступали с плохой подготовкой, и поэтому немало времени на первом курсе (всего их было вначале три) приходилось отводить на чтение повторительных курсов алгебры, геометрии, тригонометрии. Учебная дис-

* Я не имею возможности останавливаться здесь на методической деятельности П. С. Гурьева (сына академика).

** В 1816 г. из математического общества выросло учебное заведение для колонновожатых (офицеров генерального штаба), некоторое время спустя переведенное в Петербург.

циплина среди педагогов и учащихся была плохая. Экзамены сдавались лишь в конце обучения. Герцен, учившийся на факультете в 30-е годы, вспоминал: „в те времена начальство университетом не занималось, профессора читали и не читали, студенты ходили и не ходили.. .а. Далеко не все профессора обладали должной подготовкой и готовились к своим лекциям. Как рассказывал тот же Герцен, один такой „допожарный“ профессор, Ф. И. Чумаков (1782—1837), читая механику, „ подгонял формулы к тем, которые были в курсе Пуансо, с совершеннейшей свободой помещичьего права прибавляя, убавляя буквы, принимая квадраты за корни и л: за известное“. Но уже в середине 20-х годов на факультете появились новаторы преподавания, любители и ревнители науки и просвещения, пропагандисты передового знания. К ним относились уже упомянутый Д. М. Перевощиков, а затем Н. Е. Зернов и Н. Д. Брашман. Благодаря Зернову преподавание анализа в Московском университете было поставлено на уровне современной ему науки. До 1820 г. курс анализа опирался на руководство Безу, разделявшее характерное для большинства учебников XVIII в. пренебрежение к строгому обоснованию действий над бесконечными величинами. Затем перешли к эклектической манере изложения Лакруа и его последователей, вроде Франкера, малогармонически сочетавших теории Лагранжа, Даламбера и Л. Карно. Зернов, после некоторых колебаний, ввел в преподавание анализа новые идеи, незадолго перед тем формулированные в классических руководствах Коши.

В это же время по уставу 1835 г. число курсов было увеличено до четырех и прекратилось преподавание элементарной математики. На I курсе по математике с 1835г. излагалась аналитическая геометрия, на И—дифференциальное и интегральное исчисление, а на III и IV— интегрирование дифференциальных уравнений обыкновенных и частными производными, а также вариационное исчисление. В середине 40-х годов А. С. Ершов (1818—1867) начал читать еще курс начертательной геометрии, с 1850 г. А. Ю. Давидов приступил к чтению на III курсе теории вероятностей с ее приложениями к страховому делу и обработке наблюдений. Почти тогда же введены были курсы теории поверхностей и исчисления конечных разностей.

Параллельно со всем этим улучшалась подготовка как студентов, так и педагогов. Оканчивающие университет должны были подвергаться выпускным экзаменам по всем предметам и, в зависимости от успехов, получали звание действительного студента или же кандидата. Для получения звания адъюнкта (соответствует нашему доценту) необходимо было сдать магистерский экзамен и защитить диссертацию, свидетельствующую о полноте знаний диссертанта в системе наук в целом и в ее частях. Для профессорского звания обязательно было сдать докторский экзамен и защитить диссертацию, свидетельствующую о совершенном знании предмета и о способности к самостоятельным открытиям. Несколько примеров покажут нам существенное повышение квалификации московских математиков на протяжении полустолетия. На магистерском экзамене 1815 г. одному кандидату, А. Величко, пришлось устно объяснить всего лишь происхождение дифференциального и интегрального исчислений и теорию преломления лучей, а письменно рассказать о существенных различиях между коническими сечениями и о теории рычага. Магистерской диссертацией будущего профессора математики П. С. Щепкина (ум. в 1836 г.) в это же время послужил исторический обзор на тему „Об открытиях, сделанных в астрономии со времени изобретения телескопа“ (М. 1815). Двадцать лет спустя, в 1837 г., В. Драшусов сдавал магистерский экзамен в три срока. В соответствии с широким — на теперешний взгляд чрезмерно широким — диапазоном сообщавшейся на факультете подготовки, его экзаменовали по зоологии, минералогии, химии, физике, механике, ботанике и математике. По прикладной математике он представил письменную работу о правиле живых сил, а по чистой — о теории интегрирующего множителя дифференциальных уравнений. Обзорная диссертация его посвящена была уже специальному вопросу „О кривизне поверхностей около каждой их точки“ (М. 1838). Наконец, еще двадцать лет спустя, в 1859—1860 гг. известный впоследствии профессор Киевского университета М. Ф. Хандриков сдавал свои магистерские эк-

замены в пять сроков. Эти экзамены представляли собой уже действительно серьезный опрос по небесной механике, физике, прикладной и чистой математике.

Развитие преподавания в других университетах протекало с небольшими отличиями, в значительной мере определявшимися наличным составом профессуры. Так, в Харьковском университете, где в 1804—1820 гг. преподавание математики возглавлял отличный специалист Т. Ф. Осиповский, преподавание в первое время было поставлено мною лучше, чем в Московском. Также обстояло дело в Казани, где с 1808 г. разнообразные курсы высшей математики вел И. М. Бартельс, а с 1814 г. Лобачевский. В Дерпте преподавание математики было как следует поставлено лишь с приездом туда Бартельса в 1821 г.; в 1843 г. в Дерпте же начал работать Ф. Г. Миндинг. Наконец, в Петербургском университете за первые тридцать лет его существования, при Д. С. Чижове (1785—1852) и В. А. Анкудовиче (1799— 1855), почти не было достигнуто успехов. Но когда в середине 40-х годов к работе в Петербургском университете привлечены были В. Я. Буняковский, П. Л. Чебышев и И. И. Сомов, преподавание математики в нем сразу было поставлено на большую высоту, что и принесло в самом скором времени богатые плоды.

Несколько чисел дадут нам представление о выпуске студентов на физико-математических факультетах. В Москве, например, за 11 лет, с 1825 по 1836 г., факультет окончило 119 человек, т. е. в среднем кончало по 11 человек в год по всем его многочисленным специальностям, за 18 же лет, с 1836 по 1854 г., было выпущено 453 студента, т. е. в среднем за год по 25 человек. В Харькове средний годичный выпуск за это время возрос с 6 человек до 10, в Петербурге—с 3 до 9. Постепенно увеличивался удельный вес кончавших физико-математическое отделение. В Москве доля их в общем числе кончающих университет поднялась с 12 до 29%, в Харькове с 14,5 до 18,5%. В Петербурге, где особенно привлекало перспективой служебной карьеры юридическое отделение, она была значительно ниже. Но и там в начале 60-х годов, когда передовая молодежь с увлечением принялась за изучение материалистического естествознания,— вспомним тургеневского Базарова! — доля эта поднялась до 25%.

Числовые данные эти говорят о постепенном росте в среднем (не касаясь отдельных периодов упадка), но вместе с тем и о весьма малом количестве студентов — естественников и математиков. Разумеется, причиной медленности роста и его срывов была прежде всего охарактеризованная выше политика царского правительства. Университетам ставилась задача — выпестовать покорных слуг крепостнического режима; между тем в студенческой и профессорской среде, в том числе и среди дворян, распространялось освободительно-демократическое движение, вызывавшее решительные ответные меры со стороны властей. Известно, например, что во второй половине царствования Александра I на Казанский, Петербургский и Харьковский университеты обрушилась волна полицейского мистицизма, и „революционному безбожию“, которое царь и его приспешники не без основания отождествляли с передовой наукой, объявлена была бессмысленная и варварская война. Фальшивый и низкий карьерист Магницкий предлагал вообще уничтожить Казанский университет, а когда эта мера была признана слишком скандальной, принял все меры к унижению науки и разума. Он требовал, чтобы профессор физики во всё продолжение курса указывал на „премудрость божию“ и на недостаточность чувств и орудий человека для познания всюду окружающих его чудес. Харьковский попечитель, невежда и мистик Корнеев, прослушав лекцию по электричеству, стал поучать профессора и аудиторию о том, что молния падает, имея на своем конце обязательно треугольник, изображающий „святую троицу“. Попечитель петербургского округа Рунич исключил из университета за свободомыслие лучших профессоров и значительную часть студентов и после этого разгрома, судя по словам историка университета В. Григорьева, в университете на долгие годы воцарилась реакция. Конечно, специально математические науки страдали относительно меньше других, но даже их развитию мракобесы из министерства духовных дел и народного просвещения (так именовалось одно время при Александре I ведомство

просвещения) нанесли прямой тяжелый удар, уволив из Харьковского университета Осиповского. При Николае I поступление в университет было затруднено повышением платы за право учения, а затем, в период революционных движений 1848 г., прямым сокращением приема. Численность студентов во всех русских университетах в результате менялась так: в 1824 г. их было 1691, в 1834 г. 1981, в 1848 г. 4566, а в 1853 г. всего 2987 (в 60-е годы число их поднялось в среднем до пяти с половиной тысяч).

На малочисленности состава физико-математических факультетов, на еще меньшем числе лиц, избиравших научную карьеру, отражалось и то обстоятельство, что отделения эти выпускали гимназических учителей, общественное и материальное положение которых в те времена могло добровольно привлечь немногих. Для продолжения же научной деятельности препятствием служило крайне малое количество вакансий в высшей школе и полное отсутствие научных математических институтов.

Но были другие причины, отвлекавшие от математики многих лучших представителей тогдашней молодежи. В 30-е годы в кругах передовой интеллигенции вновь началось революционное движение. Герцен писал о своих сверстниках: „Молодежь была прекрасная в наш курс. Именно в это время пробуждались у нас больше и больше теоретические стремления. Семинарская выучка и шляхетская лень равно исчезали, не заменяясь еще немецким утилитаризмом, удобряющим умы наукой, как поля навозом, для усиленной жатвы. Порядочный круг студентов не принимал больше науку за необходимый, но скучный проселок, который скорее объезжают в коллежские ассесоры“. Но вопросы, волновавшие таких студентов, касались более всего политической и общественной злобы дня. „Наука,—писал тот же Герцен,— не отвлекала от вмешательства в жизнь, страдавшую вокруг“. И немало способных людей предпочло тогда занятиям математическими науками прямую борьбу с самодержавием и крепостничеством, и среди них сам автор „Былого и дум“, на которого возлагал большие надежды астроном Перевощиков.

Я не касался здесь положения математики в военных и технических школах. Уровень преподавания в них резко повысился; разновременно работали в них Остроградский и Буняковский, а позднее А. Коркин, А. Н. Крылов и другие крупнейшие ученые. Но для развития математики в рассматриваемое время первостепенное значение имели физико-математические факультеты.

3. Первые университетские математики и их деятельность

Старейшим среди профессоров математики в новых университетах явился Тимофей Федорович Осиповский. В 1786 г. Осиповский окончил только что основанную тогда учительскую семинарию в Петербурге и был послан преподавателем в Москву. Его знания и педагогический талант обратили на себя внимание, и в 1800 г. он был приглашен профессором математики и физики той же петербургской семинарии. Здесь он пробыл, однако, недолго. По приглашению Правления училищ он принял большое участие в подготовке к открытию Харьковского университета, где с 1805 г. и начал плодотворную профессорскую деятельность, продолжавшуюся до 1820 г. Лекции его, охватывавшие основные разделы анализа и высшей геометрии, отличались ясностью и глубиной. В Харькове он подготовил несколько будущих своих преемников и вместе со своим учеником, а затем и помощником, профессором А. Ф. Павловским (1780—1849) воспитал Остроградского.

Осиповский составил солидный трехтомный „Курс математики“ (СПБ 1801 — 1820), включавший наряду с разделами элементарной математики весьма полное изложение дифференциального, интегрального и вариационного исчислений и теории дифференциальных уравнений. Руководство это в течение долгого времени являлось в Харьковском университете основным. Вместе с тем Осиповский весьма интересовался философскими вопросами. Он перевел „Логику“ Кондильяка (М. 1805), а в двух примечательных речах, произнесенных на торжественных заседаниях Харьковского университета, резко выступил против немецкой идеалистической философии, идеи которой проповедовал в Харькове шеллингианец профессор Шад. В этих выступлениях („О пространстве и времени“, 1808, „Рассуждение о динамической системе

Канта“, 1813) Осиповский подверг критике кантианство, усматривая в нем возврат к античному идеализму, который, как писал он, уже в XVII в. был ниспровергнут „вразумлениями Бэконов, Декартов и др.“. Осиповский решительно отверг кантианское учение об априорном и вместе с тем субъективном характере наших представлений о пространстве и времени. „Пространство и время, — заявлял он,—суть условия бытия вещей, в самой природе и в них самих, а не в нашем только образе существования. Понятие о пространстве производится по впечатлениям, происходящим от него посредством наружных наших чувств на наши внутренние чувства“. Мы увидим далее, что сходные материалистические воззрения на природу пространства явились одной из философских предпосылок новых геометрических воззрений Лобачевского. Философский материализм Осиповского, конечно, пришелся не по вкусу реакционерам, хозяйничавшим в ведомстве просвещения. Осиповский был не только профессором университета, но с 1813 г. его ректором, он состоял также президентом естественного отделения открывшегося в 1812 г. Харьковского общества наук. В 1820 г. по требованию попечителя Корнеева заслуженный профессор, как опасный вольнодумец, уволен был в отставку. Нетрудно понять, какой удар нанесло это Харьковскому физико-математическому факультету.

Последние годы жизни Осиповский провел в Москве, занимаясь преимущественно вопросами астрономии и оптики.

В то время как Осиповский и Павловский успешно налаживали преподавание математики в Харькове, в Казани с неменьшим успехом начал свою работу И. М. Бартельс (1769—1836). Не будучи творчески одаренным ученым, Бартельс обладал глубокой эрудицией и любовью к своему делу. Он прибыл в Казань в 1808 г. и читал там разнообразные курсы, опираясь в изложении анализа на Лакруа и Эйлера, в механике — на Лагранжа и Лапласа, в дифференциальной геометрии—на Монжа и в теории чисел— на Лежандра и Гаусса. Лучших студентов он приучал к самостоятельному изучению классиков математики. Читал он и историю математики, увлекая аудиторию талантливым обзором достижений человечества в этой области. В 1820 г., в начале губительной деятельности Магницкого, Бартельс покинул Казань и с 1821 г. до конца жизни работал в Дерпте. В предисловии к одному своему учебнику он тепло вспоминал о казанском периоде своей деятельности: „Я нашел в Казани, несмотря на незначительное число студентов, необыкновенно много любви к изучению математических наук. В моих лекциях по высшему анализу я мог рассчитывать по меньшей мере на двадцать слушателей, и понемногу составилась небольшая математическая школа...“

Дмитрий Матвеевич Перевощиков (1790—1880) после окончания университета в Казани несколько лет учительствовал в симбирской гимназии, а с 1818 г. начал преподавание высшей геометрии в Московском университете. По словам современников, это был замечательный лектор, излагавший математику „вдохновенно, как поэт, как бы создавая ее во время изложения, со страстной любовью к ней, которую сообщал и слушателям“. Математику Перевощиков преподавал не очень долго—до 1824—1825 гг., а в 1826 г. получил кафедру астрономии, которой и занимался впоследствии с преимущественным интересом. Он вел также большую административную работу в качестве то декана, то ректора университета, а в 1852 г. по приглашению Академии наук переехал в Петербург (академиком он был избран в 1855 г.). Но и оставив преподавание математики, Перевощиков многое сделал для математического просвещения как писатель. Мы уже упоминали об элементарных разделах „Ручной математической энциклопедии“. В других томах ее он дал краткое, но обстоятельное изложение математического анализа и его основных приложений. Интересно при этом, что Перевощиков, как и другие русские математики того времени, с особым вниманием отнесся к вопросам обоснования анализа. Более всего его привлекала теория компенсации погрешностей Л. Карно, согласно которой ошибки, возникающие в дифференциальных уравнениях анализа при отбрасывании бесконечно-малых величин, обязательным образом взаимно уничтожаются и при переходе к уравнениям с конечными величинами дают правильный результат. Еще ранее Перевощиков выпустил первые на русском языке „Главные осно-

вания аналитической геометрии трех измерений“ (М. 1822), вошедшие также в состав его „Энциклопедии“. Он написал также ряд учебников для гимназии и напечатал переводы руководств Франкера и Лакруа. Научные труды Перевощикова принадлежали к области небесной механики.

Первый московский профессор математики, который поставил преподавание ее на уровень современной науки, был, как упоминалось, Николай Ефимович Зернов (1804—1862). Зернов обучался сперва в Ярославле, а затем в Московском университете, который закончил в 1822 г. Университетские штаты были заполнены, и Зернов долгие годы преподавал в средней школе. Лишь с освобождением вакансии в 1834 г. Зернов получил в университете место адъюнкта, а в следующем году и экстраординарного профессора. В 1837 г. он защитил первую в Москве докторскую диссертацию по математике „Рассуждение об интеграции уравнений с частными дифференциалами“ (М. 1837), содержавшую весьма тщательное и подробное изложение предмета и ряд лет служившую учебным пособием.

Для преподавания анализа Зернов составил „Дифференциальное исчисление с приложением к геометрии“ (М. 1842), справедливо удостоенное Академией наук демидовской премии. Это был серьезный курс, основанный на изучении новейшей литературы, и в частности классических трудов Коши. В нем можно было найти и знаменитый пример функции е“, неразложимой в ряд Маклорена, несмотря на существование при х = 0 производных любого порядка, и другие совсем свежие тогда результаты. Зернов написал также несколько других руководств и статей, которых мы здесь касаться не будем.

Если Зернов значительно поднял уровень преподавания в Московском университете, то Николай Дмитриевич Брашман (1796—1866) вдохнул в него новую жизнь и многим воспитанникам сообщил первые импульсы к научному творчеству. Проработав ряд лет в Казани, Брашман с 1834 г. перешел на кафедру прикладной математики Московского университета. Но хотя преподавал он механику и большая часть его сочинений относится к этой области знания, он чрезвычайно многое сделал и для развития математи ки, неустанно заботясь о распространении математических знаний, собирая вокруг себя талантливую молодежь и тщательно выпестовывая из нее творческих научных работников. По математике перу Брашмана принадлежало несколько статей в „Ученых записках“ университета, превосходный „Курс аналитической геометрии“ (М. 1836) и одна речь, которой мы еще коснемся далее. Названный учебник по аналитической геометрии, также отмеченный демидовской премией Академии наук, как говорилось в предисловии, должен был служить руководством „к новым исследованиям, изложенным в журналах Жергона, Кетле, Креля и в сочинениях Понселе, Штейнера, Плюкера и пр.“*. Брашман явился также инициатором создания знаменитого Московского математического общества и публикации его научного органа—„Математического сборника“, не так давно праздновавших свой 80-летний юбилей. Ярким свидетельством успехов, достигнутых физико-математическим факультетом при Зернове и Брашмане, является тот факт, что за 1835—1870 гг. из него вышли П. Л. Чебышев, И. И. Сомов, Н. Я. Сонин, механик А. Ю. Давидов, астроном Ф. А. Бредихин, физики А. Г. Столетов и Н. А. Любимов и другие выдающиеся русские ученые.

Общими усилиями названных и иных математиков рассматриваемой эпохи достигнуты были серьезные успехи и в создании учебной литературы по высшей математике. Продолжало, правда, издаваться немало переводов,— по большей части действительно хороших руководств, и среди них классическое „Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении“ Коши (пер. В. Буняковского, СПБ 1831). Но все более видное место занимала оригинальная учебная литература, в том числе и по специальным дисциплинам. Некоторые из таких сочинений мы назвали выше. К этим трудам следует добавить „Основания математической теории вероятностей“ В. Я. Буняковского (СПБ 1846), университетское руководство „ Алгебра или вычисление конечных“ Н. И. Лобачевского (Казань, 1834), „Лекции алгеб-

* Действительно, здесь излагались принципы двойственности, теория полюсов и поляр и т. п. новинки.

раического анализа“ M. В. Остроградского (СПБ 1837), „Теорию сравнений“ П. Л. Чебышева (СПБ 1849). Многие диссертации того времени содержали подробное изложение соответствующего вопроса, знакомили с его новейшим состоянием и служили учебными пособиями. Такова была, например, упоминавшаяся диссертация Зернова, таковы были далее работы В. Драшусова „О кривизне поверхностей около каждой из точек“ (М. 1838), Я. Лукьянова „Рассуждение о вариациях главнейших видов функций“ (М. 1839), затем „Рассуждение об интегралах алгебраических иррациональных дифференциалов с одной переменной“, излагавшее работы Абеля и Лиувилля и теорию эллиптических функций (М. 1841), „Теория определенных алгебраических уравнений высших степеней“ (М. 1838) и „Основания теории эллиптических функций“ (1850) И. И. Сомова*, „Опыт элементарного анализа теории вероятностей“ П. Л. Чебышева (М. 1845) и некоторые другие.

В 1841 г. Н. Д. Брашман произнес блестящую речь „О влиянии математических наук на развитие умственных способностей“ (М. 1841), в которой остроумно полемизировал с шотландским философом Гамильтоном, отвергавшим пользу математического воспитания ума; несомненно, что оратор целил также в сторону поклонников „классического“ образования. В этой речи Брашман подводил и некоторые итоги деятельности русских математиков. С огорчением отмечал он недостаток ученой литературы на русском языке и несколько упрекал за это Остроградского. Он справедливо указывал, что если бы Остроградский „писал на русском языке, математическая наша литература занимала бы уже почетное место между другими в Европе, но все его сочинения написаны для ученого мира на французском языке. Желательно, чтобы наш знаменитый геометр оставил нам памятник русский, достойный его редких дарований“. Вместе с тем Н. Д. Брашман отмечал, что русская математика находится на пути быстрого прогресса. „Судя по деятельности русских университетов и других учебных заведений, — писал он, — можем впредь надеяться, что и наша очередь придет, что полюбопытствуют читать не только русских поэтов, но также геометров“. Первые плоды этой деятельности были уже налицо — Брашман перечислял руководства и труды Осиповского, Симонова, Лобачевского, Перевощикова, Зернова, Сомова, указывал на недавнее появление „Ученых записок“ Московского университета и т. п. Славный профессор не знал, однако, как не подозревали этого и другие современники, что труды одного из названных им математиков произвели уже переворот в геометрии, который впоследствии был назван коперниканским и который имел решающее значение для всего дальнейшего развития математики. Мы имеем, конечно, в виду открытия Лобачевского, жизнь и творчество которого будут предметом следующей главы.

* Последние две были удостоены демидовских премий.

МЕТОДИКА

ИСТОРИЯ И МЕТОДИКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО СИМВОЛА

Проф. Д. Д. МОРДУХАЙ-БОЛТОВСКОЙ (Ростов на Дону)

§ 1. Биогенетический закон и история символа

Основной биогенетический закон состоит в том, что онтогенетическое развитие (т. е. развитие индивидуума) представляет сокращение филогенетического развития (т. е. развития вида). Этот закон многими кладется в основу педагогики и, опираясь на него, заставляют учащегося проходить те ступени, которые проходили наши предки. На нем основываются и защитники классицизма, а равным образом и английская методика, упорно выдвигавшая „Начала“ Евклида как школьный учебник. Но биогенетический закон является только грубым приближеним. Ребенок, можно сказать уже с пеленок, живет в атмосфере современной культуры, и его трудно сравнивать, например, с древним египтянином, прожившим 3— 4 десятка лет в совершенно иной обстановке.

Исторический порядок вовсе не совпадает с методическим. Расхождение и сходство этих двух порядков лучше всего можно проследить в истории и в методике математического символа. С одной стороны, мы находим в древнеегипетской и американской письменных нумерациях числовые фигуры (аналогичные используемым многими методистами), с другой стороны, нумерации всех народов, имеющие естественное происхождением не надуманные торговые нумерации, гораздо сложнее тех, которыми мы пользуемся при обучении детей. Ведь при обучении мы всегда должны рассчитывать, чтобы результат получался при возможно меньшей затрате энергии как учеником, так и учителем. Но в истории символа такой расчет не имел места. Во-первых, человеческая мысль шла через ряд ошибок и никогда сразу кратчайшим прямым путем не достигала цели, а блуждала, раньше чем найти такой путь. Во-вторых, практические цели смешивались с другими, например с религиозными и эстетическими, и давали такие сложные знаки, как, например, древние китайские цифры. Поэтому методист с очень большой осторожностью должен брать для себя историю учителем.

§ 2. Эволюция слов в символы

Большинство символов возникает из сокращения слов. Алгебра сперва имела полуриторический характер. Все выражается в словах. Вместо того чтобы писать уравнение

2х+13 = 4^ + 5,

говорят: две вещи да тринадцать единиц—то же, что четыре вещи и пять, единиц.

Вместо того чтобы писать

х2-3;с + 2 = 0,

говорят: квадрат без трех вещей да две единицы дают нуль. Промежуточная ступень между риторической и символической алгеброй—это синкопированная алгебра, т. е. полуритори-

ческая, где часть ее уже облечена в символы, а часть еще выражается в словах.

При этом отмечаются различные ступени такой алгебры соответственно меньшим или большим символическим сокращениям. Пример алгебры, находящейся на границе синкопированной и символической, дает еще Диофант в своей „Арифметике“. По Диофанту, вместо = пишется (в русском переводе) или целиком „равно“, или же сокращенно „рав“, неизвестное означается через „нз“, но это „нз“ склоняется и встречается „нзых“.

В сущности риторическая алгебра нами вносится в арифметику.

Правила последней являются формулами риторической алгебры. В какой мере такая алгебра должна входить в арифметику, это очень важный методический вопрос*. Во всяком случае, следует стремиться к тому, чтобы решение арифметической задачи было наглядно-риторическим, а не формально-риторическим, какое дается риторической алгеброй.

Тот процесс, который обращает риторическую алгебру в синкопированную, а последнюю в символическую, по большей части и создает символы, которые (если не все, то большинство) возникают из сокращения слов.

Очевидно, таковы sin, cos, tang и tg, cotg и cot. В иных случаях сокращение доходит даже до одной буквы, например Е (entier) означает целую часть числа, a D (derive) означает производную.

Для нас теперь кажется странным, что научная мысль так поздно дошла до нашего обозначения степеней показателями

Хг у X у X у . . .

и так долго блуждала, употребляя сперва для степеней соответствующие буквы. Примерами могут служить обозначения в числовой алгебре Пачиоли

со, се, си, сесе, . . .

а затем обозначения Стевина цифры

• • ставились в кружках.

В особенности же долго блуждал Виета** уже в буквенной алгебре, обозначая степени сперва через

Ар A.J, АЩу . . •

затем через

AAA

**qt ™qq> • • •

Очень стойко держалось в числовой алгебре обозначение квадрата через Q, куба через С, четвертой степени через QQ. Причиной этого явления было то, что символы X2, xs, X*, . . . (вне сомнения, раньше приходившие в голову) могли смешиваться с удвоенным, утроенным и т. д. X, в особенности, когда коэфициенты ставились после буквы. Чтобы остановиться именно на этой символике, необходима была привычка к соответствующим понятиям и к оперированию над ними. Вообще, чем легче понятие возникает в памяти, тем кратче устанавливается для него символ. Сокращенное слово sin а можно понимать, как 1) произведение четырех множителей s, i, п, а, 2) можно понимать, как произведение двух s и а, читая in (как Виета), как знак умножения „на“. Но sin а будет читаться так, как мы читаем „синус альфа“, лишь когда сам синус и оперирование над синусом окажутся привычными и символ sina будет быстро вызывать понятие синуса.

В связи с словесным происхождением символов следует здесь коснуться ученических записей. Эти записи не должны носить чисто риторический характер, т. е. слова не должны записываться целиком; если нет соответствующих символов школьной идеографии, то следует рекомендовать употреблять сокращение слов, что и делается учащимися, так сказать, инстинктивно. Таковы сокращения: м (метр), чел. (человек), руб. (рублей), дающие синкопированную запись вроде диофантовой.

§ 3. Искажения букв и образные символы

В случае сокращения слов до одной буквы, для того чтобы не было смешения с буквой, означающей величину вообще, буква подвергается искажению. Известным примером является обозначе-

* Д. Д. Болтовской, Риторическая алгебра и арифметические задачи. Педагогический сборник. Ростов-Дон, 1919.

** Д. Д. Болтовской, Первые шаги буквенной алгебры, Изв. С. К. Г. У. за 1928 г.

ние интеграла символом /, являющимся искажением S (сумма).

Штифель и другие употребляли для неизвестного и его степеней искаженные готические буквы

и т. д.

Подобные символы в школе не употребляются и не без основания, так как при малом искажении остается возможность смешения, а большое искажение дает малоговорящий символ.

Иное дело — образные символы. Эти символы имеют уже независимое от слов происхождение. Как пример можно привести обозначение □ AB квадрата, построенного на AB. Такое обозначение следует рекомендовать при изложении евклидова доказательства теоремы Пифагора. Ведь при этом доказательстве мы имеем дело не с возведением в квадрат отрезка АВ> выраженного в числах, а с квадратом, построенным чисто геометрически (у Евклида циркулем и линейкой) на AB.

§ 4. Изменение символа в зависимости от изменения понятия

Для методиста большое значение имеют факты изменения символа в зависимости от изменения понятия. Очень яркий пример дает история знака равенства „==“, введенного Рикардо*, вместо аед (сокращенное aequalis). Этот символ сперва начал употребляться только при равенстве величин, но в пропорциях продолжал употребляться другой символ. А именно, пропорция писалась так:

а : b ; ; с : d

Здесь ; ; указывало не на равенство, а на подобие отношений. Это подобие обратилось в равенство только тогда, когда число стало мыслиться (с Ньютона)**, как отношение.

При начальном преподавании математики, в особенности же арифметики, не следует стремиться, гоняясь за научностью, становиться на чисто формальную точку зрения. Следует идти в обратном направлении и различные по содержанию понятия обозначать различными символами, хотя бы они и были совершенно одинаковы в отношении формальных операций. Методическая задача не так просто разрешается, как это кажется на первый взгляд. Должны ли мы отождествлять отношения в пропорциях с числами и рассматривать пропорции просто, как равенства двух дробей? Не следует ли нам здесь считаться с тем понятием отношения, которое уже имеет некоторый смысл до его математизации? Не является ли рациональным тогда сохранение знака ; ; в пропорции?

§ 5. Эволюция понятия в зависимости от эволюции символа

Наряду с указанным выше процессом имеет место и обратный, когда символика приводит к созданию новых понятий.

Простой пример даёт обозначение степени показателем

От этого обозначения мысль невольно переходит к отрицательным, затем дробным и, наконец, к иррациональным показателям. Эти степени вводятся так, что в случае деления низшей степени на высшую для результата сохраняются все правила формальных операций.

Здесь является методическая задача об установлении понятий отрицательных и дробных степеней, изыскания приемов, не идущих по чисто формальному пути, а избирающих качественный подход, аналогичный тому, которым пользуются в теории относительных чисел. Следует начинать с установления понятий прямого и обратного отношений к единице, приводя к признанию 1 : х за—1-ю степень, когда х : 1 первая степень, затем 1 : хп за — я-ую и т. д.

§ 6. Обогащение школьной символики

Безусловно необходимо обогащение школьной символики новыми символами, начиная со знака вывода. В самом деле, в этом знаке чувствуется особенно острая потребность. Учащиеся соединяют преобразуемые уравнения знаком

* Кеджори, История элементарной математики.

** Newton, Arithmetica universalis.

инстинктивно чувствуя необходимость в символе вывода.

В математической логике употребляется символ вывода ). Мне представляется более удобным, более говорящим символ стрелка (—И.

Из символов, употребляемых в математической логике, можно еще рекомендовать символы :

w или; г> и;

первый — знак логического сложения, второй знак — логического умножения. Так, можно написать

л2 — Зх2 + 2х = 0 — X = 0 w X2 — Зх + -f- 2 = 0 —+х^ 0их-1и^-2,

Нет необходимости для обозначения „дано“, „ищется“, „заключение“ вводить очень мало говорящие символы, предлагаемые Херигоном и Бальэ (hypoth., req, о). Лучше всего данное просто подчеркивать, а то, что ищется сопровождать вопросительным знаком (?), окончательное решение—знаком восклицательным (!).

Из образных символов следует обратить внимание на обозначение окружности, причем с точкой в центре, если она задается с центром.

Очень серьезный вопрос об обозначении отрицательных чисел. Обычное обозначение

3, 7, 11,. .

потому нехорошо, что в него входит операционный знак вычитания. При операционной теории отрицательных чисел такое обозначение можно еще вывести из самого определения отрицательного числа (например —3, как результат вычитания из нуля трех). Но при качественной теории, когда отрицательные числа являются противоположными положительным, такое обозначение явно не соответствует смыслу этой теории. Здесь напрашивается старинное индусское обозначение

3, 7, 11, . . . ,

причем точку можно заменить чертой, взяв

3, 7, TT, . . .

Но вместе с тем нельзя не отметить, что введение такой символики представляет большие затруднения, так как обычная символика в науке имеет весьма устойчивое положение и едва ли будет когда-либо изменена на другую, а смена, хотя и очень хорошей в методическом отношении символики на другую, научную, будет представлять затруднения.

§ 7. Школьные образные символы

В школе употребляются и теперь несколько образных символов, но различных у разных авторов. Мы уже говорили о знаке равенства „==“. Прежде так обозначалась параллельность. В настоящее время предпочитают, избегая смешения со знаком равенства, параллельность обозначать вертикально поставленными черточками (| . Угол обозначается V и -4. Очевидно, второе обозначение берется (так же как третье) в целях избежания смешения со знаком „меньше“, третье подчеркивает, что имеется в виду число, измеряющее угол. Но практика показывает, что первое обозначение не приводит к такому смешению.

Нельзя нарисовать отвлеченное понятие, поэтому образным его символом не может явиться его изображение, как для параллельных прямых, перпендикуляра, угла, треугольника, четырехугольника, круга и т. д. Наряду с упрощенными рисунками, изображающими конкретные вещи, должны явиться еще образы, уже не прямо, а косвенно говорящие о тех понятиях, которые они символизируют. Математические символы никогда не имеют иероглифического характера, так как иероглифическое письмо основано на том, что слышно. В иероглифах согласные обозначаются определенными вещами, название которых начинается с этих букв. Это процесс, как раз обратный тому, который имеет место при создании буквенной символики, когда предмет обозначается группой начальных букв его названия. Но интересно отметить вкрапление в египетское письмо образов, не входящих в иероглифическое письмо. Они не всегда совпадают с теми, которыми мы сейчас пользуемся, но некоторые могут быть использованы и сейчас.

Я отмечу изображение величин прямоугольниками. Это очень характерно

для зарождающейся геометрии. Первые геометрические величины — это площади. Геометрия вначале — это измерение Земли. В школьной математике полезно наряду со словесным сокращением „пл.“ пользоваться при обозначении площади еще египетским символом □. Н. М. Несторович предлагает площадь треугольника и четырехугольника означать не через

ABC и ABCD,

а через _

\АВС\ и \ABCD I

Полезно ввести символ, заменяющий слова „складываем“, „вычитаем“. Египтяне имели такие символы:

это ноги, движущиеся в одну и в другую стороны.

В КАКОМ КЛАССЕ НАЧИНАТЬ СИСТЕМАТИЧЕСКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ?*

Н. М. БЕСКИН (Москва)

Введение

1. Новая структура средней школы требует создания новых программ по математике. Для этой новой структуры характерно: 1) иное, чем прежде, положение семилетки (значительная часть учащихся будет заканчивать в семилетке свое общее образование и либо переходить в специальные средние учебные заведения, например техникумы, либо выходить в жизнь); 2) введение XI класса.

Существуют два проекта новых программ по математике.

Проект № 1 разработан Институтом методов обучения Академии педагогических наук РСФСР (авторы: В. Л. Гончаров, Н. Ф. Четверухин, А. И. Маркушевич, Я. С. Дубнов, И. В. Арнольд, А. И. Фетисов, Н. Н. Никитин и Е. С. Березанская).

Проект № 2 разработан Управлением начальных и средних школ Министерства просвещения РСФСР (авторы: М. К. Гребенча, А. Н. Барсуков, В. Г. Чичигин, П. А. Ларичев, С. В. Филичев и С. И. Новоселов).

Министерство просвещения РСФСР издало эти проекты отдельными брошюрами для обсуждения (Учпедгиз, М. 1947). Пользуясь этим, мы хотим высказаться по одному важному вопросу: в каком классе следует начинать систематический курс геометрии? Мы увидим, что это — не технический вопрос, и его решение зависит от наших взгядов на основные принципы преподавания геометрии в школе. Кроме упомянутых проектов программ, мы будем ссылаться на статью Я. С. Дубнова, одного из авторов проекта № 1, „Геометрия в семилетней школе“ („Известия Академии педагогических наук РСФСР“, вып. 6, 1946, стр. 59—76), содержащую более детальную аргументацию, чем проект программы.

Три аргумента сторонников реформы

2. По проекту № 1 систематический курс геометрии начинается в VIII классе. В V, VI и VII классах проходится курс наглядной геометрии, впрочем, в гораздо большем объеме, чем мы до сих пор соединяли с этим термином, и с некоторыми элементами логических доказательств.

Три основных аргумента приводятся в пользу этой реформы.

Первый аргумент. Образовательная ценность сложившегося школьного курса геометрии гораздо ниже, чем это думали несколько десятилетий назад. В статье Я. С. Дубнова следующий пункт фигурирует как наиболее принципиальный довод против существующей системы (стр. 62—63):

* Статья печатается в порядке обсуждения.

„Именно полвека назад, когда неоевклидовское направление (Вв) утверждалось в русской школе, в то же самое время в самой науке завершался процесс радикального пересмотра наших взглядов на природу геометрии. На историческом этапе, отделяющем Гильберта от Лобачевского, евклидово здание, как научная система, рассыпалось под ударами критики. Евклидов список аксиом оказался только грубым приближением к тому, на чем действительно может быть построена формально-логическая система геометрии“.

И далее автор говорит о „неоправдываемом нынешним состоянием науки пиетете к евклидовой системе“, об „евклидовом гипнозе“ и т. д. (стр. 64).

Второй аргумент. Логическая структура существующего курса геометрии не соответствует возрастным особенностям учеников VI и VII классов:

„...насилием над психикой 12—13-летного школьника является навязывание ему евклидовой системы...“ (Я. С Дубнов, стр. 59).

Третий аргумент - необходимость придать законченность курсу семилетки: „ Учитывается, что семилетняя школа является массовой школой с обязательным обучением, по окончании которой часть учащихся уходит из школы в жизнь, не продолжая своего образования. Поэтому курс семилетней школы должен давать законченный круг знаний и умений, необходимых для практической деятельности“ (Проект № 1, стр. 3).

„На деле же математика, в особенности геометрия, остается, пожалуй, единственным предметом, который в неполной средней школе изучается как механически отсеченная часть курса десятилетней школы“ (Я. С. Дубнов, стр. 59).

Разбор первого аргумента

3. Мы не можем согласиться с мнением Я. С. Дубнова, что евклидово здание рассыпалось под ударами критики. Евклид был и остается необходимым этапом на пути к Гильберту. Здание не рассыпается от того, что на нем соорудили крышу.

Современная критика установила не только недостатки Евклида, но и его высокие достоинства. Мы считаем недиалектической позицию Я. С Дубнова: раз евклидова система не является абсолютно строгой, значит она не имеет никакой ценности (здание рассыпалось).

Изучать в школе логически совершенную систему геометрии невозможно. Следует ли отсюда, что надо полностью отказаться от логического обоснования? Пусть это обоснование несовершенно с точки зрения современной науки, но оно всё же достаточно совершенно и имеет громадное воспитательное значение как школа логического мышления. Не пройдя этой школы, нельзя идти дальше. Неужели перед нами стоит дилемма: раз нельзя дать ученикам все — не будем давать им ничего?

Сам автор статьи боится сделать этот вывод, неизбежно вытекающий из его установки. Он говорит (стр. 64):

«Констатируя вслед за М. Симоном, что „геометрия (школьная) есть химическое соединение интуиции и логики“, мы менее всего склонны занять позицию „все или ничего“.»

Однако автор занимает именно эту позицию, так как он ставит под сомнение педагогическую ценность школьной геометрии на том основании, что она не является абсолютно строгой с точки зрения современной аксиоматики.

4. Кроме того, первый аргумент представляется нам противоречивым в следующем пункте. Если школьная геометрия несовершенна и поэтому не должна быть изучаема в VI и VII классах, то почему проект № 1 считает возможным преподносить ту же самую геометрию в VIII классе? Почему критические замечания Я. С. Дубнова, которые он считает центральными в критике существующей системы преподавания геометрии, теряют силу по отношению к VIII и следующим классам?

Мы не умеем ответить на эти вопросы.

Разбор второго аргумента

5. Мы отрицаем, что сложившийся курс геометрии с логическими доказательствами недоступен для учеников VI класса. Этот вопрос не может быть разрешен теоретически, а только опытом. Авторы проекта № 1 без должного

уважения относятся к длительному опыту всего человечества, установившему такой возраст для изучения логического курса геометрии.

Никто никогда не доказал, что логическая сторона геометрии недоступна детям. Часто приходится сталкиваться с утверждением, что геометрия плохо усваивается (впрочем, такие жалобы относятся не только к геометрии). Однако утверждение, что в плохом усвоении виновата логическая структура курса, совершенно голословно. Нам неизвестны никакие эксперименты по этому вопросу, где было бы исключено влияние других факторов.

Кто решится утверждать, что наша методика преподавания разработана наилучшим образом, что все учителя достаточно квалифицированы, что учебники не оставляют желать ничего лучшего? Всякий, кто близко стоит к школе, должен признать, что при существующей системе преподавания геометрии есть еще очень много резервов, использование которых подняло бы преподавание этого предмета на значительную высоту. Каждый из нас знает — по личному опыту или из педагогической печати — примеры замечательных учителей, которые добиваются блестящих результатов. Авторы, которые бездоказательно относят все недостатки преподавания геометрии на счет ее логической структуры, видят то, что им уже заранее хочется видеть.

Наш личный опыт привел нас к убеждению, что неуспеваемость по геометрии в средних классах (VI и VII) в большинстве случаев связана с недостаточным общим развитием. Это значит,что по геометрии в большинстве случаев не успевают те ученики, которые не успевают и по другим предметам. Геометрия не является большим камнем преткновения, чем любой другой предмет. В старших классах положение усложняется новым фактором — наличием у некоторых учеников запущенности за предыдущие классы, которая мешает им усваивать курс.

Мы не отрицаем, что логическая сторона геометрии представляет специфическую, именно курсу геометрии свойственную трудность. Однако это не дает никаких оснований для паники. Каждый предмет имеет свои специфические трудности. По иностранному языку надо заучивать большое количество слов. Из-за этого успеваемость по иностранным языкам снижается, но никто не предлагает устранить из курса языков заучивание слов. По истории надо знать много дат, но никто не предлагает учить историю без хронологии. А логические доказательства — столь же неотъемлемый элемент курса геометрии, как хронология в истории.

Вообще нам представляются неубедительными предложения удалить что-либо из школьного курса потому, что это трудно. Процесс обучения весь состоит в преодолении трудностей. Вопрос заключается лишь в том, полезно ли то, что предлагается проходить. У нас нет сомнений в том, что логическая сторона геометрии высоко полезна. Она требует гимнастики ума, делает интеллект более живым и поворотливым. Различные школьные предметы воспитывают различные стороны интеллекта, и геометрия своей логической стороной вносит свой особый, ничем другим незаменимый, вклад в общее дело.

6. Наша школа построена на иных принципах, чем школа в капиталистических странах. Но существует некоторая техническая выучка (например правила орфографии, алгебраические преобразования, доказательства геометрических теорем и многое другое), которая требуется от учащихся и которая не зависит от принципов воспитания. И для того чтобы наши принципы восторжествовали, необходимо, чтобы эта техническая выучка была в нашей школе не ниже, чем в любой другой стране.

С этой точки зрения проект № 1 неудовлетворителен.

Почему советские школьники не могут усваивать того, что усваивали дореволюционные гимназисты? В гимназиях геометрия начиналась в IV классе, что по теперешнему счету соответствует VI. Авторы проекта, вероятно, ответят на это, что гимназисты гоже не усваивали геометрию с достаточным успехом. Однако в гимназиях геометрия преподавалась на низком методическом уровне: натаскивание и приспособление к уродливым требованиям тогдашних конкурсных экзаменов в вузы убивали интерес к предмету и препятствовали усвоению математических идей. Тем не менее значительная часть гимназистов справлялась с теми высокими техническими требованиями, которые предъявлялись в

старой школе. А с тех пор методика преподавания значительно шагнула вперед, появились новые учебники, задачники, популярная литература. Если все эти достижения широко внедрить в практику преподавания, то нет сомнений, что наши школьники будут усваивать геометрию лучше, чем гимназисты.

Также мы не можем примириться с мыслью, что английские и французские дети способны в 12—13 лет штудировать геометрию в евклидовско-лежандровском духе, а проект № 1 считает, что для советских детей это недоступно. Согласно этому проекту советские дети должны быть в логическом отношении менее тренированными, чем иностранные.

7. Итак, по проекту № 1 преподавание геометрии опустится на уровень более низкий, чем в дореволюционной России или чем в современных зарубежных странах.

Более того: оно опустится на уровень более низкий, чем преподавание других предметов в тот же день и в той же классной комнате.

Нормальный возраст прохождения VIII класса —от 15 до 16 лет (лет через шесть этот возраст снизится на один год). Восьмиклассники — не дети, а подростки, часто проявляющие известную умственную зрелость, особенно в излюбленном предмете. В этом классе им предстоит проходить сравнительно сложные вещи. На уроках истории они будут анализировать причины распада феодального строя, по естествознанию — изучать теорию условных рефлексов. В то же время на уроках геометрии будет доказываться теорема о равенстве вертикальных углов или единственность перпендикуляра! Геометрия будет требовать наименьшей работы интеллекта по сравнению с другими предметами (мы имеем в виду качественную сторону, количественно курс геометрии будет сильно перегружен). Это будет одной из причин, понижающих интерес к геометрии в старших классах. Другая причина указана в п. 13.

8. Мы тщательно искали в проекте прямых доказательств того, что именно логическая структура курса геометрии виновата в том, что этот курс недостаточно усваивается, но вместо доказательств нашли лишь резкие эпитеты. На стр. 23 проекта № 1 мы читаем:

„Избегая педантически проводимой системы доказательств.. .в. А на стр. 61 статьи Я. С Дубнова говорится об „евклидовой схоластике“. Можно назвать систему доказательств педантичной, а Евклида схоластиком, но это не значит доказать что-либо.

Разбор третьего аргумента

9. Перед составителем программы стоит коллизия между семилеткой и полной средней школой. Несомненно, что семилетка должна давать в известном смысле законченное образование. Но в такой форме это утверждение является чрезмерно абстрактным. Надо конкретно установить, что именно должно входить в программу семилетки. Абстрактный тезис о необходимости придать законченный характер курсу семилетки не может служить достаточным основанием для того, чтобы забивать этот курс непомерным количеством материала.

Составляя программу семилетки, мы должны также учесть интересы тех учащихся, которые будут учиться в старших классах. Перед составителем программы стоит весьма трудная задача — согласовать интересы этих двух групп учащихся.

Проект № 1 эту трудную задачу не разрешил. Он односторонне подчеркивает необходимость законченного курса семилетки, не соблюдая интересов полной средней школы.

Однако, принося интересы старших классов в жертву семилетке, проект не достигает цели. Ниже изложены причины, по которым мы считаем проект № 1 неудовлетворительным даже с точки зрения интересов семилетки.

10. Желая дать в семилетке законченное в известном смысле образование, авторы проекта № 1 вытравили из геометрии ее логическую сторону. Но эта сторона представляет важный элемент общего образования. Она составляет существенную и специфическую сторону геометрии. В настоящее время ученики, окончившие семилетку, имеют некоторое представление о геометрии как науке (в том объеме, в каком это доступно их возрасту). Проект № 1 хочет обеднить этот курс, удалив из него всю методологическую сторону и оставив одни лишь факты. Если проект № 1 будет

принят, то оканчивающие семилетку будут получать менее законченное образование, чем они получают теперь. Они будут выходить из школы менее культурными.

11. Проект № I вводит непомерную перегрузку курса семилетки (основные понятия геометрии, параллельные прямые, равенство треугольников, геометрические построения, параллелограмы и трапеции, правильные многоугольники, площади, подобие фигур, теорема Пифагора, тригонометрия для острых углов, длина окружности и площадь круга, прямые и плоскости в пространстве, их параллельность и перпендикулярность, многогранники и круглые тела, их поверхности и объемы без вывода, шар). Мы согласны с тем, что подобие фигур имеет общеобразовательное значение и должно найти место в курсе семилетки, но мы отрицаем общеобразовательное значение за формулами для объема конуса или шара, сообщаемыми без вывода. Повидимому, не существует никаких убедительных доводов в защиту этой перегрузки, если авторы проекта вынуждены прибегнуть к следующей аргументации (проект № 1, стр. 3):

„Это имеет особое значение и для той части учащихся, которые по окончании семилетки поступают в техникумы, где уже на I курсе необходим некоторый запас знаний по стереометрии, тогда как лишь незначительное число часов может быть предоставлено для изучения элементарной математики“.

Итак, на курс семилетки возлагается еще новая задача — давать не только фундамент, но и готовый запас сведений, который нужен в техникумах, но не может быть пройден там из-за недостатка времени.

Оказывается, что авторы проекта, смело предлагающие радикальную ломку средней школы, робеют перед необходимостью незначительно изменить число часов в техникумах. Они исходят из незначительного числа часов в техникумах как из факта, не подлежащего изменению. По их мнению, не техникумы должны приспособляться к общеобразовательной средней школе, а наоборот. Учащиеся, проходящие полную среднюю школу, должны совершенно неестественным образом запоминать в VII классе бесполезные с общеобразовательной точки зрения формулы для объема шара и конуса только потому, что некоторые их товарищи поступят в техникумы, где почему-то нельзя увеличить число часов (мы не верим в серьезность этой причины) с тем, чтобы пройти эти формулы.

Мы считаем, что коллизию между семилеткой и полной средней школой надо разрешить иначе. Курсу семилетки надо придать известную законченность без тех непомерных излишеств, которые предлагаются проектом № 1.

12. Перенос начала систематического курса геометрии на два года позже вызывает чрезвычайную перегруженность и в старших классах (например 8 часов отводится на метрические соотношения в треугольнике и круге, 4 часа — на ортогональные проекции, угол прямой с плоскостью и теорему о трех перпендикулярах). Введение XI класса не спасает положения, так как проект № 1 вводит „высшую математику“. Как бы ни относиться к введению высшей математики, но во всяком случае XI класс должен быть использован для увеличения курса. Средняя школа удлиняется не для того, чтобы растянуть ту программу, которая проходится сейчас.

Мы не представляем возможности углубленно пройти в VIII классе тот громадный материал, который намечается проектом № 1.

13. Интерес к геометрии у учеников в старших классах будет ослаблен. Фактическое содержание большей части курса им будет уже заранее известно из семилетки. Теперь им предстоит переучиваться, т. е. то, что было пройдено плохо, теперь проходить лучше, т. е. с доказательствами.

Большинство людей не способно заинтересоваться математикой только с точки зрения ее обоснования. Интерес к геометрии (и вообще ко всякой науке) в значительной степени поддерживается удовлетворением от познавательного процесса: ученики узнают новые интересные факты, составляющие содержание данной науки. В курсе геометрии счастливо сочетается чрезвычайно интересный фактический материал (который весьма осязателен: можно сделать чертеж, произвести расчет) со специфическими методами систематизации и обоснования этого материала. Проект № 1 предлагает разорвать это единство. Фактический материал будет пройден в семилетке, а

в старших классах педагогический процесс сделается томительным для интеллекта: он почти совершенно не будет давать новых фактических знаний.

При этом ученикам будет убедительно продемонстрирована полная ненужность геометрических доказательств. Доказательства в математике даются не для эстетического удовлетворения профессиональных математиков. Они представляют орудие для добывания фактического материала. Математика не может существовать без логических доказательств. Поэтому они и входят в общеобразовательный минимум.

Что же мы ответим выпускникам средней школы на резонный вопрос: „В семилетке мы убедились, что курс геометрии может быть изложен без логических доказательств. Для чего нас заставляют изучать эти доказательства в старших классах?“

Заключение

14. По нашему мнению, введение проекта № 1 имело бы катастрофические последствия. Несколько поколений в нашей стране, которые подпали бы под действие этого проекта, стали бы менее культурными.

Мы не упоминали о Проекте № 2, который вызывает меньше возражений, держась ближе к существующей системе. Однако мы не можем согласиться с переносом начала систематического курса геометрии в VII класс, как это предлагает проект № 2.

Геометрия должна начинаться в VI классе!

О НЕКОТОРЫХ СПОСОБАХ БОРЬБЫ С ФОРМАЛИЗМОМ

Я. А. ШОР (Москва)

Одним из признаков формализма является одностороннее понимание какого-либо математического факта. Всякая новая постановка вопроса или необычный прием решения примера или задачи смущает учащегося, ставит его втупик. Вот почему нам кажется, что овладение различными способами решения задач и примеров, доказательства теорем, вывода формул играет немаловажную роль в преодолении формализма.

Целью этой статьи является освещение методических приемов, связанных с применением различных способов решения задач и примеров.

Применение различных способов решения задач и примеров:

а) способствует более глубокому и всестороннему пониманию вопроса;

б) развивает мышление учащихся, их инициативу.

Правильно направляемая учителем работа учащихся по отысканию различных, а со временем и наиболее кратких, изящных методов решения, является первым шагом, закладывающим основы рационализаторской мысли, значение которой в условиях социалистического строительства трудно переоценить. Следует разъяснять учащимся, какая экономия получилась от такого-то способа решения или вычисления, и тем самым воспитывать у учащихся сознание огромной роли рационализаторской работы. Уж такой простой пример, как 6 уу • 5 = 30^, вместо обычного, применяемого всеми учащимися способа: =îy ; 5 = - = тг = 30 и > может служить источником выявления роли умело выбранного приема вычисления.

Нужно всячески стимулировать попытки учащихся дать решение оригинальным способом. Такая работа должна отмечаться повышенной отметкой, похвалой учащихся перед всем классом, демонстрацией этого способа решения. Даже если избранный учащимся способ и не дает никаких преимуществ, нужно поддерживать инициативу учащихся, которая в дальнейшем даст положительные результаты. Ни в коем случае нельзя отмахиваться от учащихся, заявляющих о том, что они решили задачу другим способом. Надо по возможности вы-

яснять этот способ решения, указать его верность или ошибочность его преимущества или недостатки. Если этого нельзя сделать во время урока при проверке домашней работы, то можно это сделать в другой момент урока, например во время самостоятельной работы, либо при проверке тетрадей и т. д. К сожалению, нередко еще имеют место такие случаи, когда у учителя вызывают раздражение те учащиеся, которые „вечно пристают со своими способами“, когда учитель одергивает этих учащихся, считая, что они мешают „нормально и спокойно“ вести урок.

в) Учитель, ставший на путь внедрения различных способов решения задач, оживляет свою собственную работу. Нередко учитель застывает на определенных, раз навсегда избранных им приемах. Работа становится шаблонной, скучной и для учителя, и для учеников. Вместо развития у учащихся пытливости, сообразительности, находчивости, что составляет одну из основных задач воспитательной работы на уроках математики, культивируются однообразные приемы, вносятся элементы схоластики в процесс преподавания.

г) Решение задач и примеров различными способами повышает квалификацию самого учителя. Каждый учитель из опыта знает, что гораздо легче самому решить задачу, чем быть готовым сразу же дать оценку правильности и целесообразности того или иного способа решения, который применил или желает применить ученик. Для оценки разнообразных приемов решения от учителя требуется быстрая ориентировка, глубокое понимание дела, а следовательно, и более высокая квалификация. В поисках различных способов решения задач и примеров перед учителем нередко открываются такие стороны вопроса, которые ранее оставались незамеченными, и такие методы, которые помогают значительно ярче и глубже провести объяснение материала.

Прежде чем перечислять методические приемы, сделаем следующее замечание.

Чтобы не запутать учащихся, применение различных способов решения задач можно вводить после того, как усвоен основной способ. Сначала надо создать прочную основу, позволяющую затем расширить и обогатить знания учащихся новыми способами. Это замечание нельзя понимать абсолютно: здесь многое зависит от самого материала, от уровня подготовки учащихся и ряда других причин. Не исключены случаи, когда одновременный или сравнительно быстрый переход к различным способам решения помогает усвоению материала.

Можно рекомендовать следующие формы организации решения задач или примеров, доказательства теорем, вывода формул несколькими способами:

а) В процессе проверки в классе домашнего задания могут быть различные мотивы, побуждающие учителя проиллюстрировать различные способы решения задачи. Это может быть в силу заявления ряда учащихся о других приемах решения, или же при просмотре тетрадей сам учитель видит желательность показать различные способы решения.

Не все способы, предложенные учащимися, надо рассматривать. Эти способы могут лишь незначительно отличаться друг от друга, некоторые могут быть слишком громоздкими, демонстрацию других учитель может отклонить как преждевременную. Отобрав два (реже три) способа, учитель может организовать работу так: вызываются к доске 2—3 ученика, доска делится на 2—3 части, и вызванные записывают кратко решение задачи или примера. Как правило, в таких случаях следует ограничиться записью действий, а вопросы или пояснения ученик будет делать устно. Пока вызванные учащиеся подготавливают свои записи, учитель может использовать время самым различным образом: повторить пройденное, провести устный счет, проверить с классом остальную часть домашнего задания, бегло просмотреть тетради и т. д. Когда кто-либо из вызванных к доске уже закончил (или заканчивает) решение, учитель переключает внимание класса на записи на доске и ответы учащихся. При правильной организации работы достаточно 15 минут, чтобы вызванные ученики ответили и получили оценки. За это время учитель успел кое-что сделать и с классом.

Отнюдь не следует думать, что предлагаемая нами форма носит универсальный характер, что всегда следует разбирать 2—3 способа решения и т. д.

Этот, как и всякий, методический прием может принести пользу при умелом и разумном его применении и при соблюдении чувства меры.

6) Другой формой применения различных способов решения является классная работа с учениками.

Пусть, например, учитель в V классе, считая, что решение задач на нахождение двух чисел по их сумме и разности путем вычитания излишка учащиеся усвоили, желает показать решение этой задачи при помощи дополнения меньшего числа до большего. Тогда урок может протекать примерно так: решается задача № 402* „Кусок полотна в 104 м надо разрезать на 2 такие части, чтобы в первой было на 16 м больше, чем во второй. По сколько метров полотна будет в каждой части?“

Доска делится пополам, сначала решается задача одним способом, а потом другим:

Задача № 402

Задача № 402

1) 104—16 = 88 (м).

1) 104+16 = 120 (м).

2) 88 : 2 = 44 (м).

2) 120 : 2 «60 (м).

3) 44+16 = 60 (*),

3) 60-16 = 44 (м).

Ответ: первый кусок 60 м, второй кусок 44 м.

Ответ: первый кусок60 м, второй кусок 44 м.

Мы здесь опускаем формулировку вопросов, но бывают случаи, когда, вводя новый способ решения, следует формулировать на доске и в тетрадях учащихся поставленные вопросы. Пользуемся случаем, чтобы отметить, что в задачах на нахождение двух чисел по их сумме и разности нецелесообразно формулировать вопрос так, как это обычно у нас делают: „Сколько было бы полотна в обоих кусках, если бы в них было поровну?“ Такая постановка вопроса толкает учащегося к тому, чтобы сразу делить пополам. Лучше поставить вопрос так: „Сколько было бы полотна в обоих кусках, если бы первый был такой же длины, как и второй, т. е. на 16 м короче?“

В практике работы встречаются такие типы задач, при решении которых параллельный показ двух приемов помогает лучшему пониманию смысла задачи и предупреждает возможные ошибки. Таковы, например, задачи на предположение.

Рассмотрим задачу № 456: „Мосшвейпром прислал в магазин детские пальто и костюмы, всего 139 шт. на 8 554 руб.

Каждое пальто стоит 56 руб., каждый костюм 70 руб. Сколько было прислано пальто и сколько костюмов?“

Учитывая, что задачи на предположение уже решались в начальной школе, имеет смысл вслед за первым способом сейчас же дать второй.

Запись на доске примет такой вид:

1-й способ:

1) 56-139 = 7784 (руб.).

2) 8554-7784 = 770 (руб.).

3) 70-56 = 14 (руб.).

4) 770:14 = 55 (кост.).

5) 139—55 = 84 (пальто).

2-й способ

1) 70-139=9730 (руб.).

2) 9730-8554 = 1176 (руб.).

3) 70—56 = 14 (руб.).

4) 1176 : 14 = 84 (пальто).

5) 139-84 = 55 (кост )

Сопоставление двух способов решения раскрывает перед учащимися самую сущность метода предположения, свободу выбора и характер получаемого ответа: если мы сделали предположение, что были присланы только пальто, то сначала узнаем, сколько было костюмов, в другом случае ответы получаем в обратном порядке. Учащиеся это обычно путают.

в) Укажем кратко другие формы работы, которые учитель может применять при решении задач несколькими способами:

1) В классе после решения примера или задачи одним способом предлагается решить здесь же самостоятельно этот же пример или задачу другим способом. Этот прием можно видоизменять: либо учитель указывает, каков должен быть другой способ, либо предлагает самим учащимся отыскать другой, а иногда и другие способы решения.

2) Проводится самостоятельная работа в классе с требованием решения двумя (несколькими) способами.

3) Решение проводится в классе одним способом, а дается на дом задание решить другим способом.

4) Домашнее задание включает требование решить двумя (несколькими) способами. Разумеется, что это задание надо учитывать по объему, как 2—3 примера или задачи.

* Задачи по арифметике взяты из задачника Березанской, изд. 1939 г., а по алгебре—из задачников Шапошникова и Вальцова, ч. I и II.

5) Можно практиковать иногда необязательное задание на дом, в дополнение к основному, подыскать другой или другие способы решения. Эта работа может заинтересовать наиболее сильных учащихся.

6) Для кружковой работы учитель может подобрать такие примеры, задачи, теоремы, которые допускают различные способы решения, в том числе изящные или оригинальные. Объявив за несколько дней до занятия кружка содержание задания, учитель организует на заседании кружка выступления учащихся с различными способами решения; эти способы анализируются и сравниваются. Такая работа помогает подготовке будущих участников математических олимпиад.

В качестве иллюстрации к вышеизложенному рассмотрим образцы решения различными способами примеров и задач из арифметики и алгебры.

Арифметика

Выше было показано решение двумя способами задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности. Приведем пример более сложной задачи, допускающей несколько способов решения. Задача № 2168: „Мать, сын и дочь вместе израсходовали некоторую сумму денег, причем мать и дочь вместе израсходовали 200 руб., дочь и сын вместе израсходовали 150 руб., а мать и сын вместе израсходовали 220 руб. Сколько денег израсходовал каждый из них в отдельности?“

1-й способ

2-й способ

3-й способ

Первый и второй способы представляют собой нахождение двух чисел по их сумме и разности. Третий способ существенно отличается от первого и второго: мы сначала узнаем удвоенный расход всех троих (мать и дочь; дочь и сын ; мать и сын), потом их действительный расход и, наконец, расход каждого. Отметим, что этот метод имеет существенное значение в будущем при решении систем уравнений вида:

Кроме указанных способов, в решение этой задачи могут быть внесены некоторые изменения в каждый из эшх способов, что может дать еще несколько вариантов решения.

Возьмем задачу на замену (№ 458): „8 м сатина и 5 м ситца стоят 83 руб. 50 коп. 1 м сатина на 2 руб. 80 коп. дороже 1 м ситца. Сколько стоит 1 м сатина и 1 м ситца в отдельности?“

Заменив 5 м ситца сатином или 8 м сатина ситцем, получаем следующие решения:

1-й способ

2-й способ

Полезно обратить внимание учащихся на то, что если сатин на 2 руб. 80 коп. дороже ситца, то можно также сказать, что ситец дешевле сатина на 2 руб. 80 коп., т. е. стоит на 2 руб. 80 коп. меньше. Неоднократное подчеркивание таких моментов облегчит учащимся в дальнейшем выбор и выражение через данные неизвестных при составлении уравнений.

Рассмотрим более сложную задачу на замену (случай кратного отношения), допускающую различные способы решения.№2258. „Продано32 м ситца,40ж репса и 25 м полотна, всего на 499,8 руб.

Сколько стоит 1 м каждой материи, если 1 м полотна в 2,4 раза дороже 1 м ситца, а 1 M репса в 1,44 раза дешевле 1 м полотна?

1-й способ

Заменим всю покупку полотном

1) За 32 м ситца можно получить

32 :2~ = 13-1 (ле) полотна.

2) За 40 м репса 40:1,44 = 27-Z-0) полотна.

3) 25+ 13 i- -f 27.Х = 66 1 (м) полотна можно купить на 499,8 руб.

4) 499 — :66 L = 7,56 (руб.) —цена 1 л* полотна.

5) 7,56:2,4 — 3,15 (руб.) — цена 1 м ситца.

6) 7,56 :1,44 = 5,25 (руб.) — цена 1 м репса.

Каждый из этих способов допускает различные варианты: в первом способе можно всю покупку заменить репсом или ситцем, во втором способе — за 1 часть принять цену 1 м полотна или 1 м репса. Можно предложить учащимся выполнить то или иное решение.

Приведем задачу на уравнивание данных: № 1126 (даем условно в форме краткой записи):

3— куб. м берез, дров и 2_ куб. м сосновых весят 3 — т.

Сколько весит 1 куб. м березовых и 1 куб. м сосновых дров?

Не навязывая учащимся удобства уравнивания количества сосновых дров, следует предложить им решить задачу двумя способами. Сами вычисления покажут учащимся, что целесообразный подбор тех данных, которые будем уравнивать, может облегчить решение, а ответы, конечно, получатся одни и те же. Еще большую возможность выбора способа решения задач на уравнивание представляют те случаи, когда в задачу входят три величины, подлежащие уравниванию, другими словами, три уравнения первой степени с тремя неизвестными. К таким задачам относятся, например, №№ 2174, 2176 из задачника Березанской. Нам кажется, что включение таких задач в школьный задачник по арифметике ввиду громоздкости их решения лишено смысла.

2-й способ Решение в частях

1) Примем цену 1 м ситца за 1 часть, тогда цена 1 м полотна выразится в Ь 2,4 = 2,4 (части), а 1 м репса в 2,4 :1,44 = 1 _ (части).

2) Стоимость 32 м ситца выразится в 32 частях.

3) Стоимость 40 м репса выразится: 1— -40 = 66 — (части). 3 v '

4) Стоимость 25 м полотна 2,4-25 = 60 (частей).

5) Всего частей 32 + 66 - + 60 = 158 2. (части).

6) 1 часть или цена 1 м ситца 419,8:158—= 3,15 (руб.) и т. д.

При решении задач на сложное тройное правило можно применять способ приведения к единице и способ расчленения задачи на ряд пропорций. Способ приведения к единице, дополненный способом пропорций, глубже вскрывает зависимость между величинами. Можно, наконец, найти связующее звено между этими способами.

Проиллюстрируем сказанное на решении задачи № 1894, краткую запись условия которой дадим так:

Независимо от того, будем ли мы решать эту задачу способом приведения к единице или через ряд пропорций, путем беседы с учениками устанавливаем зависимость между количеством дней горения и остальными величинами. Если керосинок будет больше, то при прочих равных условиях они смогут гореть меньшее число дней; такое же рассужде-

ние и в отношении продолжительности горения в вечер. Следовательно, эти величины обратно пропорциональны числу дней горения. Что же касается количества керосина, то чем его меньше, тем на меньшее число дней его хватит, т. е. имеем прямую пропорциональность. Заметим, что рассуждения мы связываем со второй строчкой, в которой керосинок больше, поэтому и говорим: „чем больше керосинок“ и т. д., запас керосина меньше, поэтому и говорим так: „чем меньше запас керосина...“ и т. д. После этих рассуждений делаем соответствующие надписи на колонках в следующем виде:

Само собой разумеется, что переписывать условие нет надобности и что эти надписи появляются постепенно, в ходе рассуждения. При решении способом приведения к единице сначала ведутся подробные рассуждения: если 30 дней смогут гореть 4 керосинки, то при прочих равных условиях (или при тех же условиях) одна керосинка сможет гореть в 4 раза дольше, т. е. 30-4 (дней), а 5 керосинок — в 5 раз меньше, т. е. g— дней и т. д. Со временем можно, проводя эти рассуждения, устно подойти к такой записи:

30 • 4 дн. 1 керосинка по 3-^- ч. в день при 36 л.

При решении этой задачи при помощи расчленения на ряд пропорций записи примут такой вид:

Примечания. 1) Промежуточные вычисления (хи х2) можно бы не производить, но это приведет к громоздким записям; 2) время от времени следует требовать подробного письменного объяснения, почему здесь имеет место прямая или обратная пропорциональность величин.

Решение задач различными способами вскрывает иногда такие моменты, которые могут ускользать из внимания не только ученика, но, пожалуй, и самого составителя задачника. Покажем это на примере задачи № 2128:

„Для отопления нескольких печей в течение 6 у месяца запасли 18,5 m каменного угля. На сколько времени хватит количества угля, на 40% больше первоначального, при условии, что отапливаться будет в 1 “2 раза меньше пе-

чей, но норма угля для каждой печи составит 120°/0 первоначальной нормы?“

1-й способ

4) 9у • 1 у == 14 (мес); так как печей в 1 у раза меньше, то топлива хватит на срок в 1 -у раза больший.

2-й способ. Примем первоначальный запас топлива за 100%; тогда новый запас будет 140%. Новое количество печей примем за 2 единицы, тогда первоначальное будет равно 3 единицам.

(Отношение 3:2 = 1^. Краткая запись условия такова:

Дадим решение сразу в виде числовой формулы:

Примечание. Следует приучать учащихся к записи решения сразу в виде числовой формулы. Ученики в процессе составления этой формулы ведут рассуждения. Удобно для этого располагать краткую запись так, чтобы х был в последней колонке. Начинаем решение с того числа, которое стоит над х, и все рассуждение должно идти в наименованиях искомой величины. Так, например, в данном случае учащиеся рассуждают так: „На 6-|- месяца хватит запаса в 100% топлива, а если бы его было только 1%, т. е. в 100 раз меньше, то и хватило бы на время в 100 раз меньшее, а если бы его было не 1°/0, а 140%, т. е. в 140 раз больше, то и хватило бы на срок в 140 раз больший и т.д.

Мы видим, что при втором способе решения обнаружилось, что 18,5 m угля — лишнее данное в условии задачи, чего автор не оговаривает, как он это делает, например, в задаче № 2202.

Задача допускает и другие способы решения.

Приведем две задачи на части, решаемые различными способами, причем эти способы далеко не одинаковой степени трудности. Задача № 1138:

„Один из двух поездов проходит расстояние между двумя станциями за часа, другой — за 5 часов. Первый делает в час на 3 км больше, чем второй. Вычислить расстояние между станциями и число километров, которое делает каждый поезд в час“.

1-й способ:

2-й способ

Второй способ, имеющий на одно действие меньше первого, все же значительно труднее усваивается учащимися. Задача № 2222:

„В курином яйце вес белка составляет в среднем -g- веса всего яйца, вес желтка -4- веса белка; остальной вес яйца приходится на скорлупу. Сколько яиц, весом в 63 г каждое, было в ящике, если вес скорлупы, оставшейся от этих яиц, оказался равным Ю-^-дгг?“

1-й способ J 2-й способ

3-й способ

Третий способ легче и доступнее для учащихся, чем первый или второй. На примере последних двух приведенных задач особенно ярко выделяются следующие положения:

1) учителю необходимо продумать различные способы решения, чтобы отобрать тот, который окажется наиболее пригодным, учитывая силы учащихся; 2) нужна осторожность при введении нового способа (будет ли он понят учащимися?) и 3) сам учитель должен всегда быть готов к разнообразным способам решения, которые могут применить учащиеся.

Решая задачи на деление числа пропорционально ряду чисел двумя способами, можно выявить удобство замены отношения дробных чисел отношением целых чисел. Так, например, в задаче № 1847 требуется разделить 1200 пропорционально числам -yg-, -g-, 2, 3-j- и 5^* Решая эту задачу в дробях, нам нужно будет несколько раз то находить часть числа, то умножать на смешанное число. Решив затем эту же задачу заменой отношения дробных чисел отношением целых, учащиеся убедятся, насколько последний способ облегчает вычисления. Ограничившись вышеизложенными образцами задач, решаемых различными способами, укажем на некоторые случаи решения примеров несколькими способами. Мы не останавливаемся на приемах устного счета, достаточно разработанных в ряде методических пособий. Укажем только, что на наш взгляд не следует загромождать устных вычислений специальными случаями, которые трудно запомнить и которые вряд ли смогут войти в практику работы учащихся. Лучше концентрировать внимание учащегося на сознательном использовании более ограниченного числа приемов, имеющих широкое применение, настойчиво добиваясь, чтобы эти приемы стали для учащихся навыками.

При письменном решении применение различных способов может способствовать тому, чтобы приучить учащихся к поиску более рационального приема. Так, например, группировка слагаемых в примере № 696:6^- + -р- + 3 ^_]_ i. Jl _|_ + 10 А в виде: Ь (~84“~Ь ^14 ) облегчает вычисления.

а в первой скобке позволяет их сделать устно, так как 3ß-_|_iyg=5, да и во второй скобке нетрудно сложить устно.

Решение примера №805(8): ' -щ-х сначала последовательно с исключением целого числа после каждого умножения, а затем путем вычисления в таком виде: 7.135. ц.s . 28 = ц =122-ур лучше всяких объяснений учителя убедит учащихся в том, что если выбрать удачный прием, то вычисление можно значительно упростить. Надо еще указать на то, что и сокращать дроби следует наиболее целесообразно. Так, в данном примере, удобно 7 X 8 в знаменателе сразу сократить с 56 в числителе, 135 и 27; 28 и 252 можно сократить полностью. Следует приучить учащихся не исключать целого числа из дроби, не подумав предварительно о следующем действии. И в этом можно убедить учащихся, сравнивая вычисления по тому и другому способу. Весьма полезным упражнением с точки зрения сознательного овладения наиболее рациональными приемами вычисления является такой подбор примеров на совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями, в которых было бы удобно в различных частях примера применять решение то в десятичных, то в обыкновенных дробях.

Анализируя различные способы решения, можно обратить внимание учащихся на значение удачно выбранного приема вычисления. Показ различных приемов вычисления, прививающий учащимся вкус к поискам рациональных способов, должен иметь место во всех классах. Надо прямо сказать, что с этой стороной обучения дело обстоит плохо. Учащиеся вплоть до окончания школы в подавляющем большинстве пользуются самыми несовершенными способами вычислений, не прибегая даже к самым элементарным приемам, облегчающим и сокращающим эти вычисления.

Алгебра

Уже в самом начале изучения алгебры можно вводить решение примеров различными способами. Так, например, записать „без коэфициентов и показателей 3b2cZu можно сначала без коэфициента, потом без показателей, и наоборот. В действиях с относительными числами, после того как правила сложения и вычитания достаточно прочно усвоены, следует показать при сложении ряда чисел и другой прием: сложение всех положительных чисел, потом всех отрицательных и, наконец, нахождение результата. При нахождении знака произведения (-2) • (+3) (— ' (—4)х можно показать учащимся, что, наряду с выяснением знака путем последовательного перехода от одного множителя к следующему, проще выяснить количество чисел, имеющих отрицательный знак, и если оно четное, то знак произведения плюс, если нечетное, — минус.

При сокращенном делении учителя обычно добиваются, чтобы ученик сразу же указал, какую формулу следует применить. Между тем в некоторых случаях лучше произвести сначала деление по правилу деления многочлена на многочлен, а потом уже по формулам сокращенного деления. Это особенно целесообразно в более сложных примерах, когда учащиеся не сразу подмечают наличие формулы. Так, при решении примера № 494 (гл. II) (Xs—y12z4) :(х2—y'èz) предварительно по правилу деления многочленов, а потом по формулам учащиеся смогут убедиться: а) что имеются два способа решения, и если формула забыта, то можно обойтись и без нее; б) что применение формулы облегчает операцию. Это покажет учащимся практическое значение формулы.

В разделе „Разложение на множители“ применение различных способов является совершенно необходимым. Учащиеся после первой неудачной попытки обычно прекращают решение примера („не выходит!“). Разбирая решение различными способами, давая такие задания учащимся, преподаватель тем самым приучает их к многократным попыткам: учащийся становится смелее в поисках решения, научается преодолевать трудности.

При решении примеров на разложение методом группировки надо иногда предлагать учащимся испытать все имеющиеся возможности. Так, решение примера № 65 (гл. III) представится следующим образом:

III.

не дает разложения.

В № 106 (гл. III) л3 — 6п2р + 12прг~-8рг наряду с поисками формулы, охватывающей весь многочлен, можно придти к такой группировке:

В ряде примеров из этой главы, например №№ 134, 135, 136, мы не видим ничего предосудительного, если нужное решение будет найдено после нескольких неудачных группировок. Нам кажется, что разумное применение таких попыток в различных разделах математики не является пустой затратой времени. Обычно, если учащийся избирает неправильный или нежелательный прием, учитель сразу направляет его по нужному пути. Ученики теряют самостоятельность, у них складывается впечатление, что учителя владеют „магическими силами“, заранее заготовленными секретами для решения любых задач и примеров. Элементы исследования, путь творческих исканий отпадает.

В ряде примеров и уравнений следует приучать учащихся к замене некоторого выражения одной буквой для того, чтобы яснее представить решение. Так, в примере № 149 (гл. III) при замене /?-|- g через аир — q через Ъ получаем

Показывая решение различными способами, мы должны воспитывать у учащихся привычку сначала подумать, выбрать прием, а потом приступить к работе. Как мало делаем мы для воспитания у учащихся потребности предварительно поразмыслить, а потом решать!

В разделе алгебраических дробей имеется немало случаев, когда имеет смысл применить различные способы решения. Ряд примеров на сложение и вычитание дробей удобно решается при замене знака перед дробью. Учащиеся воспринимают это либо как новое правило, либо как „фокус“.

Имеет смысл решить какой-нибудь пример., скажем № 84 (гл. IV):

приняв за общий знаменатель

После этого следует решить пример вторично, преобразовав условие так:

Сравнение этих способов покажет учащимся, что дело не в правиле, не в фокусе, а в поисках рационального способа решения. Во многих примерах на умножение и деление дробей, на все действия с дробями порой удобнее расчленить пример на отдельные звенья, упростить их, а потом собрать полученные результаты для совместного решения. И в этих случаях сравнение приемов покажет преимущество того или другого. Так, например, № 230 (гл. IV) удобнее расчленить и записать так (записи даем сокращенно)-

Решение.

Имеем:

Если же все время переписывать условие, то решение получится более громоздким.

Вопрос о применении различных способов при решении и составлении уравнений имеет настолько важное значение, что нуждается в отдельном освещении. В книге А. Н. Барсукова: „Уравнения первой степени в средней школе“ вопрос об уравнениях рассмотрен с такой исключительной обстоятельностью и исчерпывающей полнотой, что там имеется достаточный материал и по затрагиваемому вопросу. На стр. 89 (п. 3) указывается о необходимости поощрения оригинальных способов решения. На стр. 183 дается решение задачи № 391 (Шапошников и Вальцов, ч. I) несколькими способами. На стр. 235 высказывается мысль: „желательно несколько задач решить обоими способами“. Отсылая читателя к этой книге, мы ограничиваемся здесь лишь отдельными примерами. При решении уравнений с коэфициентами, содержащими десятичные дроби, учащиеся обычно испытывают затруднения. Нужно решить несколько уравнений различными способами. Так, например, № 106 (гл. VI;: 0,15*+1,575—0,875* = =0,0625л: имеет смысл решать и оставляя десятичные дроби, и освободившись предварительно от десятичных дробей.

В № 108 (гл. VI):

также имеет смысл показать различные приемы, как-то:

а) привести к общему знаменателю; в) преобразовать

тем самым освободившись от дробности. В № 118 (гл. VI):

наряду с приведением к общему знаменателю следует показать и возможность умножения всех знаменателей на 100. В № 99 (гл. VI):

имеет смысл показать решение путем предварительного упрощения в скобках или же путем предварительного раскрытия скобок. При решении № 217 (гл. VI) методом подстановки можно сделать подстановку из первого уравнения во второе сначала значения х, а затем значения^, чтобы учащиеся убедились в том, что при подстановке удобнее подставлять то неизвестное, которое проще выражается через другие.

В курсе алгебры при решении уравнений имеет значение применение так называемых искусственных способов. Чтобы у учащихся не создавалось впечатления, что здесь применяются какие-то фокусы, имеет смысл время от времени решать некоторые уравнения обычным путем, дабы на основе сравнения выявлялось преимущество искусственного приема. В гл. XIV (Шапошников и Вальцов, ч. II) большое количество примеров решается довольно просто обычными способами, и добиваться от учащихся обязательного применения искусственных приемов в этих случаях нет смысла. Покажем на примерах применение нескольких приемов решения. Гл. XIV, № 57:

1-й способ Приведение к общему знаменателю:

2-й способ Возведение в квадрат;

3-й способ Замена:

Гл. XIV, № 62: ху — 48; j/z = 54; xz= = 72; так как х, у, г не равны нулю, то, деля I на II, получим:

~-=-\ и xz = 72 или х2 = 64.

Другой способ: перемножив все уравнения, получим:

Гл. XIV, № 63:

1-й способ: из I вычитаем II, потом полученное уравнение решаем совместно с III.

2-й способ. Складываем все три уравнения, получаем: 2 (ху + yz + xz) = = 68 или ху + yz + xz = 34 и комбинируем потом с каждым из данных уравнений. Следует показать учащимся, что имеется множество таких случаев, где применение искусственных приемов значительно облегчает решение. Таковы, например, №№ 60, 65, 67, 72 и др.

В работе с радикалами также с успехом можно применять различные способы с целью сравнения и показа лучших из них. Так, в № 156 (гл. IX) сравнение двух способов покажет, что в данном случае проще сразу приступить к умножению, чем приводить предварительно каждый радикал к нормальному виду.

В № 181 (гл. IX):

расчленение решения на две операции (умножение отдельно кубических корней и отдельно корней пятой степени) избавит от необходимости приведения радикалов к общему показателю. И в ряде других примеров приведение всех корней к общему показателю только усложняет решение.

Решение примера № 290 (гл. IX):

двумя способами покажет преимущество уничтожения иррациональности в знаменателе дроби, в примере же № 291 можно

убедиться, что проще сразу приступить к сложению. Такой показ будет прививать учащимся мысль: „Сначала подумай, потом решай“. К такого же рода упражнениям относится решение примеров с отрицательными и дробными показателями двумя способами: предварительно освобождаясь от отрицательного или дробного показателя, а потом уже совершая действия, или наоборот.

На хорошо подобранных примерах полезно показать учащимся, что иногда имеет смысл сначала привести каждую часть уравнения к общему знаменателю. Например:

Обычный прием

Обычно следует раскрытие всех скобок и целый ряд громоздких преобразований.

Другой прием

Дальнейшее решение уже несложно.

После этого нетрудно направить мысль учащихся на то, как применить этот прием для уравнения:

Применение производной пропорции также станет убедительным на сравнении двух способов решения:

1-й способ

2-й способ

и т. д.

Преимущества очевидны.

Насколько легко решается уравнение, если одна его часть может быть представлена в виде произведения, а другая равна нулю, также можно показать на основе следующего сопоставления:

1-й способ

Гл.Х1,№ 21:

2-й способ

Преимущества очевидны.

Применение и поиски искусственных приемов решения имеют большое образовательное и воспитательное значение, о котором уже говорилось выше. Увлекаться, однако, этим делом не следует;

не нужно нагромождать большое количество этих приемов (и особенно сложных), иначе мы рискуем потерять то полезное, что в них имеется.

Рамки статьи не позволяют нам изложить вопрос о применении различных способов решения задач в тригонометрии и геометрии. Эти вопросы заслуживают того, чтобы быть изложенными отдельно.

Заключение

В заключение мы хотели бы высказать следующее:

1. Применение вышеизложенных приемов оправдается, если оно будет вестись разумно, с соблюдением чувства меры, там, где это уместно, с учетом сил учащихся и т. д. Мы вовсе не имеем в виду загромождения работы обязательным включением различных приемов решения задач во всех разделах.

2. Применение различных способов решения может принести пользу и в процессе повторения, расширяя и показывая в новом свете ранее изученные учащимися факты.

3. Помимо задач учебного характера, преподаватель, приучая своих учеников к применению различных способов решения задач, должен развивать у них вкус к поискам лучшего способа решения, привычку сначала подумать, а потом выбрать путь решения, привычку не бояться многократных, порою неудачных, попыток прежде, чем будет найден нужный путь, наилучшим образом приводящий к цели.

О НЕУДАЧНЫХ ЗАДАЧАХ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Н. И. КАШИН (В. Волочек)

Среди задач на составление уравнений в сборниках встречаются такие задачи, которые могут быть сравнительно легко решены при помощи простого рассуждения — без применения уравнений. Это иногда подмечают даже и учащиеся. Однако некоторые преподаватели допускают педагогический промах, заставляя учащихся решать такие задачи при помощи уравнений, и учащимся в этих случаях непонятно,—почему это нужно вместо простого и естественного способа применять сложный прием. Перечисление таких задач (без претензии на исчерпывающую полноту) и является задачей настоящей статьи.

Начнем с задач, в которых указанная особенность выступает наиболее резко.

Дополнительный сборник алгебраических задач Бляшова и Чичигина § 17, № 29

Найти четырехзначное число по следующим условиям: произведение крайних цифр равно 40; произведение средних равно 28; цифра тысяч на столько меньше цифры единиц, на сколько цифра сотен меньше цифры десятков; если к искомому числу прибавить 3267, то получим число обращенное. Если обозначить искомое число через 1000*4-100у-г lOz + u, то решение задачи сводится к решению системы:

При внимательном, не формальном отношении к задаче ее можно решить „в уме“. Произведение крайних цифр равно 40, следовательно, этими цифрами могут быть только 5 и 8; точно так же средними цифрами могут быть только 4 и 7.

Остается решить вопрос, какая же из цифр 5 и 8 будет цифрой тысяч и какая из цифр 4 и 7 будет цифрой сотен. Пользуясь условием задачи, их легко распределить и получить число 5478. Последнее же условие задачи является лишним и может служить только для проверки правильности решения.

Действительно, 5478+3267=8745.

Такого же типа и предшествующая ей задача (№ 28), именно:

Найти четырехзначное число по следующим условиям: сумма квадратов крайних цифр равна 13; сумма квадратов средних равна 85; цифра тысяч на столько больше цифры единиц, на сколько цифра сотен больше цифры десятков; если из искомого числа вычесть 1089, то получится число обращенное.

Крайними цифрами могут быть только 2 и 3. Средние цифры нужно найти по условию, что они отличаются друг от друга на единицу, и сумма их квадратов равна 85. Такими цифрами могут быть только цифры 6 и 7. Теперь остается, пользуясь условием задачи, расставить цифры на места. Получим, что искомое число есть 3762. Проверим по „лишнему“ условию.

Действительно, 3762—1089=2673.

Решение задачи при помощи уравнений приводит к системе:

Укажем такого же рода задачи, но с более элементарным содержанием.

Задачник Шапошникова и Вальцова ч. 1, гл. VI

№ 387. В одном ящике 12 кг, а в другом 36 кг гвоздей. Сколько гвоздей нужно переложить из второго ящика в первый, чтобы гвоздей (по весу) в них стало поровну?

Решение „рассуждением" таково: так как в обоих ящиках 48 кг гвоздей, то, когда в них будет поровну, в каждом будет по 24 кг. Следовательно, из второго ящика в первый нужно переложить 12л:г.

№ 399. Два велосипедиста выехали одновременно из двух городов, находящихся на расстоянии 300 км, и едут навстречу один другому. Первый проезжает в час 12 км, второй 13 км. Когда они встретятся?

Каждый час велосипедисты сближаются на 25 км. Встреча произойдет через 300:25 (час).

№ 478. В двух кассах магазина находится 140 руб. Если из первой переложить во вторую 15 руб., то в обеих кассах окажется поровну. Сколько денег в каждой?

В каждой кассе будет по 70 руб. после того, как из одной переложат в другую 15 руб. Следовательно, в одной из них (в первой) было 704-15 (руб.), а в другой 70—15 (руб.).

№ 495. Разыгрывают книги. Если установленное число лотерейных билетов продавать по 20 коп., то сумма, вырученная за все билеты, будет меньше стоимости книг на 8 р. 50 к.; если же билеты продавать по 25 коп., то всего будет выручено на 6 р. 50 к. больше стоимости книг. Сколько всего лотерейных билетов установлено для распространения и во сколько ценились книги?

Так как при повышении стоимости билета на 5 коп. сумма увеличивается на 15 руб. (8 р. 50 к.+б р. 50 к.), то, очевидно, билетов было 1500:5, т. е. 300. Книги ценились в 300X20+850 (коп.) или, что одно и то же, 300X25— —650 (коп.).

Дополнительный сборник алгебраических задач Алексахина, Кауфман я Сычуговой (доп. к гл. VI § 4)

№ 299. У химика в двух стаканах налито по 50 куб. см серной кислоты. Он желает распределить эту кислоту так, чтобы в первом стакане было втрое менее кислоты, чем во втором. Сколько кубических сантиметров кислоты должен он перелить из первого стакана во второй?

Задача легко решается „в уме“ и является арифметической задачей „на части“.

№ 313. Часы уходят вперед на 15 секунд в час. 1 января 1937 г. часы были поставлены верно по сигналам времени, передаваемым по радио астрономической обсерваторией им. Штернберга. Когда эти часы снова верно показывали время?

Задача вдвойне неудачна. Во-первых, она естественно и просто решается арифметически, именно — часы снова покажут время через 15 24— суток, т. е. 1 мая 1937 г. ; во-вторых, после получения ответа можно от учащихся ждать вопроса: „кто же пользовался такими часами, не поправляя их?“ Ведь в марте

отклонение показаний таких часов от верного времени равнялось 6 час, и они вместо 6 час. показывали 12 час! Содержание задачи явно не реально.

№ 388. Найти 4 таких числа, чтобы суммы групп, образованных тремя из них, были равны 22, 24, 27 и 20.

Задача допускает легкое арифметическое решение, если учесть, что сумма 22-j-24+27-|-20 равняется утроенной сумме четырех искомых чисел. Это очевидно, если обратить внимание на то, что каждое из слагаемых является суммой четырех искомых чисел без какого-либо одного из них, причем эти отсутствующие числа различны в каждом слагаемом; следовательно, при сложении этих сумм каждое из четырех искомых чисел будет повторено слагаемым три раза. Итак, сумма четырех искомых чисел равна ?fi±^4_^?Zi?2 =3i в Вычитая из 31 суммы всех различных групп, образованных из четырех искомых чисел, взятых по три, т. е. числа 22, 24, 27 и 20, получим последовательно все четыре искомых числа, именно 9, 7, 4 и 11.

Правда, все это можно выяснить и при решении путем составления уравнений, если на это обратить внимание учащихся. Во всяком случае, арифметический способ здесь уместен и естественен, и решение пройдет с большим интересом, чем решение при помощи уравнений.

Кроме того, текст задачи составлен слишком сжато („образованных тремя из них“), а потому требует непременного дополнительного объяснения учителя, и задание на дом такой задачи рекомендовать нельзя.

№ 389. Суммы сторон четырехугольника, взятых последовательно по 3, равны соответственно 130 м, 135 м, 147 м, 152 м. Определить длину каждой из сторон.

Содержание задачи аналогично содерг жанию предыдущей, а потому решение таково: сумма всех четырех сторон равна 13о+135+147^152(ж)> те 188л Стороны будут 188—152=36 м, и т. д.

Особое место среди „неудачных“ задач занимают задачи на отыскание цифр неизвестного числа. Множество возможных значений неизвестных здесь очень невелико, именно это есть множество чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Это намного упрощает постановку вопроса и помогает искать более простое решение. При решении подобных задач с помощью уравнений иногда тратится время и энергия на отыскание таких решений уравнений, которые (решения) потом приходится отбрасывать, как неудовлетворяющие условиям задачи. Характерными примерами, подтверждающими это, могут служить первые две задачи, приведенные в настоящей статье. Укажем другие задачи такого же типа, решение которых совершенно не требует применения уравнений.

Задачник Шапошникова и Вальцова, ч. 1, гл. XI*

№ 415. Сумма цифр некоторого двузначного числа равна 12. Если от искомого числа отнять 18, то получится число, обозначенное теми же цифрами, но написанными в обратном порядке. Найти это число.

Так как 18=20—2 и после вычитания 18 из искомого числа получается число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то это значит, что цифра десятков на 2 больше цифры единиц (уменьшая на 2 число десятков, мы получаем число единиц, а увеличивая число единиц на 2— получаем число десятков). Задача, следовательно, сводится к разложению 12 на два таких слагаемых, из которых одно больше другого на 2. Этими слагаемыми могут быть только 5 и 7. Таким образом искомое число есть 75.

№ 416. В некотором двузначном числе десятков вдвое больше числа единиц. Если цифры этого числа переставить, то получим число, меньшее искомого на 36. Найти это число.

Так как 36=40—4, то цифра десятков на 4 больше цифры единиц. Кроме того, цифра десятков вдвое больше цифры единиц, то искомыми цифрами будут 4 и 8, и искомое число есть 84.

№ 501. Если искомое двузначное число разделить на число, изображенное теми

* От редакции. Вряд ли можно согласиться с автором, что во всех приводимых ниже примерах решение задачи „рассуждением“ проще, чем посредством составления уравнен я. Однако рекомендуемые автором способы нешаблонны и нередко являются остроумными. Эти способы могут быть показаны учащимся параллельно с решением посредством уравнений.

же цифрами, но в обратном порядке, то в частном получится 1 и в остатке 9; если же искомое число разделить на сумму его цифр, то частное будет 5 и остаток 11. Найти число.

Для лучшего понимания содержания задачи ее удобнее сформулировать иначе, именно:

Искомое двузначное число на 9 больше числа, изображенного теми же цифрами, но в обратном порядке; если от искомого числа вычесть 11, то полученное число будет в пять раз больше цифр искомого числа. Найти это число.

Так как 9=10—1, то, имея в виду первое условие, заключаем, что цифра десятков искомого числа должна быть на 1 больше цифры единиц. Кроме того, после вычитания от искомого числа 11 получается число, кратное 5, т. е. число, оканчивающееся 0 или 5, а потому заключаем, что искомое число оканчивается 1 или 6. Числами, удовлетворяющими этим двум условиям, являются 21 и 76, из них только 76 удовлетворяет полностью обоим условиям задачи, а потому 76 и является искомым числом.

Дополнительный сборник алгебраических задач Бляшова и Чичигина, ч. 2-я, § 17

№ 14. Сумма цифр трехзначного числа равна 11; сумма квадратов тех же цифр 45. Если от искомого числа отнять 198, то получится число, написанное в обратном порядке. Найти это число.

Так как сумма квадратов искомых цифр равна 45, то наибольшее возможное значение одной из искомых цифр может быть только 6. Выписывая (а проще — вспоминая) квадраты чисел от 0 до 6, т. е. числа 0, 1, 4, 9, 16, 25 и 36, легко можно сообразить, что только три из них могут дать в сумме 45, это числа 4, 16 и 25, т. е. искомыми цифрами являются 2, 4 и 5. Они же удовлетворяют и первому условию, так как 2+4-f-+5=11.

Цифры найдены, остается расположить их в требуемом порядке. Учитывая последнее условие и принимая во внимание, что 198=200—2, заключаем, что цифры сотен на 2 больше цифры единиц, а потому искомым числом является 452. Из этого решения следует, что первое условие задачи является лишним, так как существует единственное трехзначное число, удовлетворяющее последним двум условиям задачи.

№ 15. Сумма цифр трехзначного числа равна 14; цифра десятков представляет среднее геометрическое между цифрами сотен и единиц. Если к искомому числу придать 594, то получится число, написанное в обратном порядке. Найти это число.

Так как 594=600—6 и так как от прибавления 594 к искомому числу получается число, записанное в обратном порядке, то заключаем, что цифра сотен искомого числа на 6 меньше цифры его единиц. Следовательно, цифрами сотен и единиц искомого числа могут быть или 1 и 7, или 2 и 8, или 3 и 9. Первая и третья пары цифр не могут удовлетворить условиям задачи, так как средние геометрические между входящими в них числами являются числами иррациональными. Следовательно, искомым числом является 248. Как и в предыдущей задаче, первое условие (2-j-4-}-8= = 14) является лишним.

* * *

Какие же выводы можно сделать из рассмотрения перечисленных задач? Полагаем, что решать такие задачи при помощи уравнений нет смысла. Уравнения следует применять только в случаях, когда решение „рассуждением“ — затруднительно. Иногда бывает так, что простое решение задачи выясняется только после составления и решения уравнений. В этих случаях следует обратить внимание учащихся на это простое решение и сравнить его с полученным решением, хотя бы только потому, что после такого сравнения учащиеся могут оценить простоту предлагаемого решения. Вообще же решение перечисленных задач „рассуждением“ проходит, как показывает опыт, более активно и с большим интересом, чем решение при помощи уравнений.

Так как решение задач, подобных перечисленным в настоящей статье, может представлять и самостоятельный интерес, то желательно в задачниках выделять их особо, с расчетом на решение без применения уравнений.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О ТРЕБОВАНИЯХ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫХ К ПИСЬМЕННЫМ РАБОТАМ ПО МАТЕМАТИКЕ

(по поводу статьи Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева — „Математика в школе“ 1947, № 1)

С. И. НОВОСЕЛОВ (Москва)

Мы хотим остановиться лишь на одном вопросе, связанном с требованиями к экзаменационным работам. Существует точка зрения, согласно которой .обычные“ требования, предъявляемые к работам учащихся, ведут школу по пути готовых шаблонов и трафаретов и тем самым парализуют живую мысль учащихся, заставляя ее некритически следовать готовой рецептуре.

На такие мысли наводят высказывания проф. Я. С. Дубнова (.Математике в школе-, № 6, 1947).

Попытаемся ответить на вопрос, нужны ли шаблоны и рецептура в школьном преподавании? По нашему убеждению, нужны. В самом деле, многие задачи и вопросы, встречающиеся в математике (да и вообще в практической деятельности), имеют общие моменты, позволяющие дать общие указания к решению, и нередко механизировать самый процесс решения. Вряд ли найдется здравомыслящий человек, который станет оспаривать целесообразность выработки этих общих указаний и шаблонов и отрицать их педагогическую значимость. Однако, совершенно ясно, что всю совокупность жизненных явлений нельзя уложить в рамки готовых правил и трафаретов. Ясно, что не все задачи решаются по одному и тому же шаблону и что всякий шаблон имеет свою „сферу действия“. Весьма важно, чтобы учащийся представлял себе границы применимости данной рецептуры. С этой целью следует практиковать решение (в разумной мере) нешаблонных задач, заставляющих работать живую мысль учащихся. Плох тот учитель, который процесс обучения пытается свести лишь к механическому следованию готовым трафаретам. Никакие доводы, что якобы того требует .систематичность,“ не являются состоятельными.

Часто встречаются случаи, когда рассматриваемый вопрос допускает решение на основе выработанных общих правил, однако специфические обстоятельства задачи позволяют, отступив от шаблона, указать более короткий и рациональный путь решения. Шаблон дает известную .среднюю линию“, что не исключает в частных случаях наличия более коротких путей. Инициатива учащихся в отыскании этих путей должна всячески поощряться учителем. Нешаблонное решение следует сопоставлять с шаблонным и показывать преимущества первого. На наличие различных упрощающих моментов (частного характера) следует обращать внимание учащихся.

Теперь перейдем к вопросу о характере экзаменационных работ. Письменная работа преследует цели выявления, насколько твердо и сознательно учащийся владеет общими методами предмета, насколько твердыми являются нужные навыки. Поэтому вряд ли можно считать приемлемыми в качестве экзаменационных „нешаблонные“ задачи, не допускающие решения на основе известных учащимся общих правил.

Теперь возникает вопрос, можно ли выставить в качестве обязательного требование дать максимально рациональное решение с использованием всех упрощающих моментов (на основе специфических условий задачи). Мы полагаем, что и это требование было бы нереальным. Понятно, что здесь надо соблюдать разумные границы. Так, например, сокращение на явно видимый общий множитель обеих частей уравнения в процессе решения есть естественное требование, и критические замечания, высказанные рядом лиц по этому вопросу, вполне справедливы. В общем же случае положение вещей представляется в следующем виде. Лицо, решающее задачу, может не заметить всех упрощающих моментов. Это случается не только с учениками, но и с высококвалифицированными учеными. Далеко не всегда ученый приходит к своим результатам кратчайшим путем. Нередко решающий задачу, находясь под действием сложившихся навыков, не замечает различных .мелочей“, способных рационализировать процесс решения. И это свойственно всем, а не только ученикам. В статье .Арифметические упражнения и функциональная пропедевтика в средних классах школы“ (Известия АПН, № 6, 1946) проф. В. Л. Гончаров приводит образец вычисления значения 1/ -\+х*— путем выполнения всех действий в том порядке, как указано. Однако было бы лучше, выделив целую часть, представить подкоренное выражение в виде 1 + ^ т; х2 Пример довольно характерный; правда, несколько затруднительно сопоставлять профессора, работающего у себя в кабинете, и ученика, находящегося на экзамене.

Мы полагаем, что авторы статьи (Ю. О. Гурвиц и С. В. Филичев) вовсе не ставили своей целью продемонстрировать свое собственное умение решать задачи. Надо было показать, какими примерно должны быть ученические

* Продолжение обсуждения статьи Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева (см. 1947 № 6).

работы, чтобы они могли претендовать на удовлетворительную оценку. На стр. 40 авторы справедливо отмечают, что формы объяснения могут быть различными, и не следует стеснять инициативу учителя и учащихся. Было бы желательно наряду с решениями, в основном следующими известным общим правилам, указать возможные упрощающие моменты, целесообразные отступления от общих правил, искусственные приемы и пр., применение которых должно поощряться повышением балла. К сожалению, этого не сделали авторы. А между тем это исключило бы возможность превратного толкования, что якобы приводимые образцы решений рекомендуются как .абсолютные идеалы“, совершенные во всех отношениях.

Выработка требований к экзаменационным работам есть нужная, но нелегкая методическая задача, и авторы статьи сделали шаг вперед в направлении ее решения. Мы не считаем статью Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева свободной от недостатков, мы лишь оспариваем крайние пессимистические выводы, к которым можно придти, если живого человека — ученика, сидящего на школьной скамье, — заменить отвлеченным образом, созданным на основе абстрактных суждений о школе и педагогическом процессе.

О. И. КИСЛОВСКАЯ (г. Шадринск)

В № 1 журнала „Математика в школе" за 1947 г. помещена статья Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева, дающая школьному учителю ряд ценных указаний о том, какие требования он должен предъявлять к письменным работам по математике на выпускных экзаменах в X классе. В этой же статье указывается на .желательность проведения проверки решения, по условию задачи“.

Анализ работ, представленных в 1946/47 учебном году, показал, что некоторые учителя приняли это пожелание к неуклонному выполнению и даже снижали оценки в тех работах, где проверки не было, некоторые не сочли даже нужным поставить проверку на повестку дня, чем создавался неодинаковый бюджет времени у школьников, державших экзамены на аттестат зрелости, в некоторых же школах проверка решения по условию задачи была понята как требование подстановки найденного решения в исходное уравнение. Проведенная в таком виде, она не достигала нужного эффекта и скорее была вредна, чем полезна. Поясним сказанное примерами.

В 1946/47 учебном году на письменном экзамене по алгебре в X классе была предложена следующая задача:

„Перевозка одной тонны груза от пункта M до пункта N по железной дороге обходится на Ь коп. дороже, чем водным путем. Сколько тонн груза можно перевезти от M до N по железной дороге на сумму s руб., если водным путем на ту же сумму можно перевезти на k тонн больше, чем по железной дороге?“

Отеет\ по железной дороге за s руб. можно — ta+ v/#fc2+ 400 bsk перевезти-2£--тонн груза, bk -f \/b*k*~+ 400 bsk a водным путем -от- тонн.

Одна из наиболее часто встречающихся ошибок заключалась в том, что ученик неправильно составлял уравнение.

.Обозначим через х — пишет ученик, — стоимость перевозки одной тонны груза водным путем, через X -4- b стоимость перевозки по железной дороге. Тогда —-— есть количество тонн, которое можно перевезти по воде за s руб., a £~~jrg — по железной дороге. Составляем уравнение:

Решая так составленное уравнение, ученик получает неверный ответ: стоимость перевозки одной тонны по воде равна:

При b, k, s>0 он получил не положительную величину, однако это никак ему в глаза не бросается, все свое внимание он обращает на громоздкую механическую проверку и пишет: Подставляем найденные решения в исходное уравнение

Проводя длинные алгебраические выкладки, он получает естественно

200ш* = 200S&r

.Задача решена правильно“, заключает ученик.

Конечно, не эта .проверка“ рекомендуется в вышеприведенной статье, а проверка решения по условию задачи, т. е. фактически от ученика требуется вновь провести рассуждения по установлению функциональной зависимости между величинами примерно в таком виде: по условию задачи водным путем можно перевезти за s руб. на k тонн больше, чем по железной дороге. Если мы правильно решили задачу, то разность между полученными нами выражениями для количества тонн груза, перевозимого по воде и по железной дороге за s руб., должна тождественно равняться k. Проверяем свое решение:

Проверка решения по условию задачи сигнализирует о том, что задача решена неверно.

Вторая типичная ошибка состояла в том, что ученик при составлении уравнения не учитывал размерности данных в условии задачи величин s и Ь. Обозначая через х количество тонн груза, которые по железной дороге можно пере-

везти на сумму s руб., он получает уравнение — == - т ^ + Ь и находит ответ в таком виде:

это железной дороге за s руб. можно перевезти --_L—jLZ ' ° — тонн груза.

Подставляем найденные значения в исходное уравнение“, читаем мы далее:

После алгебраических действий получается 2b?ks = 2b2ks и значит — .задача решена правильно". Проверка же по условию задачи потребует от ученика проведения следующих рассуждений: если за 5 руб. по железной дороге можно перевезти-~ v —X-, тонн груза, то перевозка одной тонны обойдется _s • 2b_ руб.

Если ученик будет внимательным, то можно надеяться, что, рассуждая последовательно, он напишет далее:

и, произведя выкладки, получит

обнаружит свою ошибку при составлении уравнения. Однако встречаются работы, где ученик продолжает упорно игнорировать размерность -s и b и в дальнейших рассуждениях и получает:

Обратимся к третьему типу ошибок, ошибок в знаках: обозначая через х количество тонн груза, которые за s руб. можно перевезти по железной дороге, ученица правильно составляет уравнение:

100s 1005 ——--x-\-k в но ошибается в знаке, приводя его к нормальному виду, и вместо Ьх2 -\-bkx — lOOsfc — 0 получает: bx* + bkx+W0ks*m0.

Ответ пишет в виде: „по железной дороге за s руб. можно перевезти

Подставляет найденное выражение в исходное уравнение:

Хотя при этом типе ошибок механическая подстановка найденного решения в исходное уравнение и достигает нужного эффекта, но нам кажется, что в тех случаях, где дело идет о составлении и решении уравнения, следует для системы (ведь нельзя же заранее знать, где была допущена ошибка) всегда требовать проверки по условию задачи, т. е. проведения некоторых рассуждений, например следующих (если вернуться к работе нашей ученицы): „по железной дороге за 5 руб. можно перевезти

значит стоимость перевозки одной тонны груза по железной дороге равна

а по воде

разность должна тождественно равняться Ь. Так как

то, значит, задача решена неправильно“.

В результате этих рассуждений, как и в результате механической подстановки найденного решения в исходное уравнение при ошибках 3-го типа (и вообще при ошибках, допущенных не при составлении, а при решении уравнения), получаются одни и те же тождества. Это и является главной причиной того, что ученики, а иногда и учителя не делают различия между двумя типами проверок и не отдают себе отчета, что проверка, которая применялась при решении заранее составленных уравнений (подстановка), уже недостаточна для работ, где ученик сам составляет, а затем решает уравнение (1-й и 2-й типы разобранных нами ошибок). Анализ работ 1946/47 учебного года показал, что проверка по условию задачи была редким исключением.

ПО ПОВОДУ КНИГИ Б. В. ГНЕДЕНКО „ОЧЕРКИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В РОССИИ“

(Гостехиздат, М. Л, 1946, стр. 247, цена 7 р. 50 к.)

П. С. КУДРЯВЦЕВ (Тамбов)

Первое впечатление от книги проф. Гнеденко .Очерки по истории математики в России“ вполне приятное. В небольшом объеме автор уместил огромный материал. При этом изложение не сухое, конспективное, а живое и свободное. Автор удачно иллюстрирует свои мысли цитатами из основоположников математической науки в России, бегло, но достаточно выпукло дает биографические справки, поясняет сущность тех или иных математических идей. Все это несомненно достоинства книги.

Но таково только первое впечатление. Правда, автор скромно назвал свою книгу „Очерками“, но самое распределение материала на главы, его объем и характер говорят о том, что это не „очерки“, а, вернее, очерк истории математики в России. Так эту книгу и оценивает рецензент академик Колмогоров.*

Книга проф. Гнеденко является, таким образом, первой ласточкой в советской истории физико-математических наук. Судя по списку использованной литературы, автор не ставил своей задачей изыскание новых материалов, фактов, а стремился по-новому осветить факты уже известные. Это вполне законное и, надо сказать, своевременное стремление. За время, прошедшее от В. В. Бобынина в истории математики и Н. А. Любимова в истории физики, наука далеко ушла вперед. Произошла „переоценка ценностей“, и то, что казалось актуальным и важным вчера, по-иному выглядит сегодня, так же как несущественные, может быть, с точки зрения вчерашнего дня черты приобретают фундаментальное значение сегодня. Поэтому, повторяем, пересмотр старых обзоров и точек зрения — вещь вполне актуальная. Не случайно, что в современной западной литературе по истории и философии наук такие модернизированные обзоры занимают видное место. И книга проф. Гнеденко построена по типу таких обзоров. В ней „совершенно грамотно“ с точки зрения западного „стиля модерн“ освещаются проблемы развития математики в России. Но как раз в этом-то и состоит органический порок первой советской книги по истории математики в России. В ней нет того существенно нового, что вправе ждать советский читатель, что могло бы сделать выход книги действительным событием. В том же духе она могла быть (разумеется, с известными поправками) и в царской России, и на Западе.

Академик Колмогоров в своей рецензии отметил, что История математики у проф. Гнеденко рассматривается вне связи с историей других наук, что нельзя не считать серьезным недостатком книги. Можно и должно этот упрек усилить. В книге проф. Гнеденко развитие математики в России рассматривается вне всякой исторической связи, как внутренний самодовлеющий процесс. Отсюда, в частности, вытекает совершенно произвольная и неудовлетворительная периодизация (математика до XVIII в., математика XVIII и XIX вв., математика XX в.). Иногда автор, видимо, спохватывается и говорит .несколько слов об эпохе" (стр. 76), делая это слишком бегло и поверхностно. Иногда автор вспоминает, что развитие математической науки в России протекало в несомненной связи с ее развитием на Западе (стр. 16, 23, 101), но эти упоминания опять-таки чисто случайные. А между тем, развитие математики в России и на Западе и во всем мире несомненно обусловливалось потребностями жизни, практической деятельностью, и автор напрасно игнорирует указания классиков марксизма на этот счет. С другой стороны, и сами математические идеи были предметом идеологической борьбы, как, например, это было с идеями Лобачевского, о чём упоминает и автор.

Ведь никак нельзя забывать, что происхождение и развитие математических абстракций неоднократно давало в прошлом и продолжает давать пищу сейчас для всяческих идеалистических суждений и выводов. В 20-х годах нашего века вышла книга акад. В. А. Стеклова „Математика и ее значение для человечества“, в которой вопрос о возникновении и движении математических идей трактуется в духе Юма и Канта, а ведь эта книга вышла в свет не только после Лобачевского, но и после работ Маркса и Энгельса, Ленина. В том-то и состояло величие Лобачевского, что он не побоялся открыто и смело порвать с ложными традициями, и его мужество и выдержка особенно рельефно выявляются при сопоставлении с трусостью Гаусса и истерической мнительностью Больяи. История наук и история математики, в частности, помимо научно-познавательной ценности, имеет глубокое воспитательное значение, а книга Б. В. Гнеденко игнорирует это обстоятельство. В результате Б. В. Гнеденко в целом ряде случаев просто ложно ориентирует читателя. Возьмем, например, очерк об Эйлере. Здесь Б. В. Гнеденко касается вопроса о мировоззрении Эйлера и отмечает в нем „странно уживающееся стремление познать явления внешнего мира с сугубо религиозно-идеалистическим миросозерцанием“ (стр. 73). Далее (стр. 76) автор вновь возвращается к вопросу о мировоззрении Эйлера и пишет:

„В 1747 г. Эйлер написал трактат в защиту христианства от атеистов. Богословская выучка была слишком крепка в Эйлере, ее не могли сломить ни общественные сдвиги, проходившие в Европе, ни английские и французские материалисты (?) и просветители, ни его собственные научные занятия“.

Конечно, даже Фридрих II находил, что от Эйлера „сильно пахнет попом“, но судить о миросозерцании Эйлера по его религиозности так же странно, как объявить Ньютона мракобесом на основе его занятий богословием и алхимией. Дело обстояло значительно сложнее. Для характеристики мировоззрения Эйлера более показательны, чем богословские трактаты, его знаменитые „Письма к немецкой принцессе“, вышедшие в Петербурге в 1767—1772 гг. и переведенные несколько позднее на русский язык Румовским. В этой книге Эйлер, между прочим, очень четко ставит вопрос о двух лагерях философии;

* „Партийная жизнь“, 1947, № 8.

материалистическом и идеалистическом и находит сильные и остроумные аргументы против берклианства. Сам Эйлер занимает промежуточную позицию, признавая наряду с объективно существующей материей самостоятельно существующий дух. Но все же он в духе Декарта и французских материалистов пытается найти центр психической деятельности в мозге человека. Особенно важно, что в боевых натурфилософских вопросах своего времени Эйлер занимал прогрессивную позицию, разделяя и поддерживая взгляды своего великого современника Ломоносова. Ломоносов и Эйлер шли против течения в таких вопросах, как природа тяготения, природа света и т. д., в которых в то время господствовала метафизическая ньютонианская точка зрения. Разумеется, Ломоносов смелее и последовательнее, чем Эйлер, развивал свои прогрессивные воззрения, но забывать о борьбе Эйлера против метафизических и идеалистических концепций в натурфилософии нельзя. Вообще странно, почему проф. Гнеденко вспомнил о богословских трактатах Эйлера, но забыл о его „Письмах“, которые имеют значение и в истории логики. Ведь знаменитые „логические круги“ Эйлера даны как раз в этой книге. Точно так же для истории русской науки имеет огромное значение тот факт, что Эйлер неоднократно поддерживал Ломоносова в его борьбе и высоко оценивал научное значение его трудов. Нам вообще непонятно, как можно писать историю русской науки, хотя бы и математики, совершенно не упоминая о Ломоносове — ее великом основоположнике (упоминания на стр. 71, 84, которые имеются в книге, никоим образом в счет идти не могут). Нам представляется, что глубокие и светлые взгляды Ломоносова о роли математики в изучении природы (см., например, .Слово о пользе химии“) могли бы помочь автору книги избежать его существенной ошибки: отрыва эволюции математики от эволюции естествознания.

Особенно неудовлетворительным (что отмечает и акад. Колмогоров) является третий и последний раздел книги. Здесь отрыв от исторической действительности оказал плохую услугу автору. Уже само название раздела „Наука XX в.“ вызывает недоумение. О какой науке здесь идет речь? Первый раздел главы „Массовость науки“ не рассеивает этого недоумения, а еще более усугубляет. Автор хочет обосновать свою периодизацию и спрашивает, в чем же отличие нового периода от предыдущего, ведь, дескать, и раньше были математики и теперь математики. Такой критерий автор находит в массовости науки „...на смену гениальным одиночкам... пришли мощные математические коллективы, совместными усилиями преодолевающие трудности творческого пути" (стр. 158). Спрашивается, откуда появилась такая массовость и составляет ли Она существенную черту всей науки XX в. или только русской? Судя по тому, что в следующем параграфе говорится о .влиянии“ (!) Великой Октябрьской социалистической революции, эта массовость является признаком советской науки. Но в таком случае зачем было мудрить и придумывать какие-то свои критерии периодизации, когда дело обстоит гораздо проще. Была дореволюционная наука и наука революционная, советская со всеми ее особенностями, в том числе и массовостью. Но такое естественное решение вопроса, видимо, не устраивало автора. По схеме автора, советская математика развилась потому, что были живы Стеклов, Егоров и Лузин, которые объединили и выучили математиков, а революция только „влияла“ на этот процесс. Но ведь в действительности дело обстояло по-другому. Великая Октябрьская социалистическая революция коренным образом изменила исторические условия жизни советского народа. Культура советского народа стала строиться на новой, социалистической основе. Наука в капиталистическом обществе была и есть служанка правящих классов и потому далека от народа. Перед советской властью стояла задача создать науку народную, передовую, „которая не отгораживается от народа, не держит себя вдали от народа, а готова служить народу, готова передать народу все завоевания науки, которая обслуживает народ не по принуждению, а добровольно, с охотой“ (Сталин). История еще не знала таких задач. На пути решения этой задачи перед партией и правительством стояли огромные трудности. Надо было преодолеть сопротивление, саботаж старой интеллигенции, настроенной либо выжидательно, либо прямо враждебно по отношению к советской власти. Эпизод со Стекловым характерен в этом отношении. Радость Ленина, перетянувшего „одного из Архимедов“ на сторону народа, вполне понятна.

Надо было далее создать материальные предпосылки для развертывания передовой науки. Организация рабочих факультетов, система государственных стипендий, учреждение аспирантуры и т. д. сделали возможным то, что казалось невозможным; высшее образование и наука стали достоянием не привилегированных слоев населения, а всего народа. Было бы крайне поучительным, если бы Б. В. Гнеденко в своих биографических справках о математиках советского периода сказал, откуда вышли эти люди.

Еще одно обстоятельство указывает на глубину происшедшего переворота. Даже той немногочисленной группе математиков, которой приходилось кончать дореволюционный университет, часто не удавалось найти поле для приложения своих творческих сил.

Советский народ, руководимый партией Ленина — Сталина, осуществил возможность развертывания в бывшей отсталой России разветвленной сети научно-исследовательских институтов, в которых находят свое место все способные работать в науке.

Изменился и самый характер науки. Советские математики активно помогают разрешению важнейших научно-технических задач, ведут большую работу по пропаганде математических знаний в народе. С большой остротой ставятся и решаются вопросы философии и методологии математики. Об этом в книге проф. Гнеденко не говорится ни звука.

В итоге можно сказать, что при всех своих несомненных достоинствах книга проф. Гнеденко имеет серьезные дефекты, не позволяющие пока ее считать первой советской книгой по истории математики. Нужную и интересно задуманную работу следует переработать.

ЗАДАЧИ

ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ

И. Я. ТАНАТАР (Москва)

Доказательство теоремы: „Биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны“ тривиально и требует знаний, не превышающих школьной программы геометрии VI класса Обратная теорема, именно: „Если в треугольнике две биссектрисы равны, то такой треугольник равнобедренный“ не раз привлекала к себе внимание школьников и преподавателей. В качестве одной из задач она была предметом занятий школьного математического кружка при МГУ. Журнал „Математика в школе“ предложил эту теорему в отделе задач в 1935 г. (№ 5), а в № о за 1936 г. в журнале были опубликованы 4 доказательства ее. Из опубликованных доказательств три основаны на использовании формул для вычисления биссектрисы внутреннего угла треугольника или других метрических соотношений в треугольнике в алгебраической и тригонометрической формах. Все эти доказательства громоздки и оперируют с материалом, далеко выходящим за пределы программы геометрии VII класса средней школы.

Четвертое доказательство, хотя имеет геометрический характер, но не прямое (доказательство от обратного) и не вполне корректное, что, впрочем, отмечено редакцией в сноске. В примечании от редакции содержится ссылка на теорему: „В треугольнике большей стороне соответствует меньшая биссектриса“, доказательство которой опубликовано в журнале „L'Éducation mathématique“ № 7 за 1935 г.

Наша теорема о биссектрисах вытекает как следствие из этой теоремы.

Однако осталось незамеченным непосредственное геометрическое доказательство теоремы, принадлежащее Анри Пуанкаре и опубликованное в этом же номере „L'Éducation mathématique“.

Это доказательство представляет интерес уже только потому, что оно связано с именем одного из крупнейших математиков нашего времени.

Оказывается, идея доказательства Пуанкаре настолько содержательна, что ее можно использовать для установления справедливости более сильного предложения, для которого наша теорема является частным случаем, и, что замечательно, — нигде в процессе доказательства мы не выйдем за программный объем знаний VII класса средней школы.

Мы сейчас докажем, следуя А. Пуанкаре, справедливость предложения: .Если из трех чевиан треугольника две равны, а третья служит биссектрисой внутреннего угла, то такой треугольник равнобедренный“.

(Чевианами называются прямые, проходящие через вершины треугольника и пересекающиеся в одной точке.) Легко видеть, что наша теорема о двух биссектрисах есть частный случай этого предложеня.

Черт. 1

Пусть на рис. 1 BE—биссектриса угла ЛВС« ß данного треугольника ABC, a CF и AD — две равных чевианы. Расположим треугольники ABD и CFB (см. черт. 1) так, чтобы их равные стороны AD и FC совпали, как это показано на рис. 2, а вершины В к В' оказались бы по одну сторону от AD(FC).

Черт. 2

Вокруг четырехугольника AB'BD можно описать окружность (окружность, являющуюся геометрическим местом точек, из которых отрезок AD виден под углом ß).

Пусть ВО и В'О' — биссектрисы углов ABD и AB'D.

По свойству внешнего угла треугольника должно быть

^В'СУА = ^O'B'D + ^B'DO'.

С другой стороны, ^.O'B'D = ^ ^^АВО, а

^B'DO' = ^В'ВА (по свойству вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу), поэтому

*В'0'А = ^АВО + ^В'ВА = ^ВгВО.

Черт. 3

Таким образом, в четырехугольнике В'ВОО' сумма противоположных углов В'ВО и В'О'О равна 2d. Значит, вокруг этого четырехугольника можно описать окружность. Легко доказать, что если во вписанном четырехугольнике противоположные стороны равны, то две другие стороны параллельны. В самом деле пусть в четырехугольнике ABCD (черт. 3) равны противоположные стороны AB и CD; тогда по свойству дуг, стягивающих равные хорды, должны быть равны углы ^1 и ^2, из чего следует параллельность сторон ВС н AD.

Возвращаясь к нашему предложению, замечаем (см. черт. 2), что в четырехугольнике В'ВОО' равны стороны В'О' и ВО; ведь они представляют собой один и тот же отрезок биссектрисы треугольника ABC (см. рис. 1). Следовательно, В'В II О'О и четырехугольник AB'BD является трапецией, вписанной в окружность, а значит, равнобочной трапецией. Диагонали этой равнобочной трапеции AB и BrD должны быть равны» т. е. должны быть равны боковые стороны AB и ВС данного треугольника. Таким образом, наше предложение доказано и при этом весьма элементарными средствами.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 4 за 1947 г.

№ 61

Найти целые положительные значения х, при которых выражение

делится на 3.

Решение. 1. Положим х = Зу. Тогда выражение примет вид:

{3yfy+i + (3y + \)*y.

Очевидно, что выражение при любом целому не может делиться на 3, так как первое слагаемое делится, а второе не делится на 3.

2. Положим X в Зу — 1. Тогда выражение примет вид:

Выражение не может делиться на 3 по той же причине, что и в первом случае.

3. Положим, наконец, х = З3/+ 1. Тогда данное выражение примет вид:

(3у +1)^+2+ (3у^2)3>'+1.

Разложив двучлены по формуле бинома, увидим, что все члены в каждом разложении, кроме последнего (т. е. 13>+2 и 2Ву+1), делятся на 3. Таким образом, данное выражение делится или не делится на 3 одновременно с выражением: 23y+i 4_ 1.

Легко видеть, что это выражение при у нечетном не делится на 3. Действительно:

23->,+1 + 1 = 2(2^+1) -1.

При j/ нечетном выражение в скобках делится на 2 + 1 = 3, второй же член — 1 не делится на 3. Наконец, при четном у = 2k выражение примет вид:

cßk+\ _|_ I = 2в*-Н _|_ i6fc-H

и, следовательно, делится на 2-\-\.

Итак, данное выражение кратно трем только» при X =s6&-J-1, где k— целое и k > 0.

№ 62

Решить в целых числах уравнение:

Х* + Ху+у* «*2у2. (1>

Решение. Прибавив к обеим частям по ху* приведем уравнение к виду :

(х+у)2 = ху(ху+\). (2)

Допустим сначала, что ни одно из чисел ху нху-\-\ не равно нулю. Тогда ху и ху4- 1 числа целые, отличающиеся друг от друга на 1, то-есть числа взаимно простые. Но отсюда и из (2) следует, что каждое из них должно быть точным квадратом, что невозможно (два целых квадрата не могут отличаться друг от друга на 1). Следовательно, по крайней мере, одно из выражений ху и ху-{-1 должно равняться нулю.

1. Положим jcy = 0. Если при этом jc=0, то из (1) получаем у=0. Если же у = О, то опять из (1) имеем х = 0. Итак, одно решение уравнения (1) будет

х = 0; у = 0.

2. Положим ху + 1 = 0. Тогда ху — — 1. Тогда и X = 1, у = — 1, или х = —- 1, у в 1. Оба эти решения удовлетворяют данному уравнению. Итак, имеем всего три решения.

№ 63

Найти общий вид иррациональных чисел х, обладающих тем свойством, что число —, если его записать в виде бесконечной десятичной дроби, изображается, начиная с первой значащей цифры, теми же цифрами и в том же порядке, что и число х.

Решение. По условию, числа х и -L могут отличаться при десятичном их изображении лишь местом запятой. Следовательно, мы можем написать:

Отсюда X2 — 10я и X = Vi0я. Очевидно, п должно быть нечетным, так как х — число иррациональное по условию. Итак, х = \/\02k+l, где k—целое число (положительное, отрицательное или нуль).

Примеры:

№ 64

Решить уравнение

(х- 1)(jc + 2)(jc — 3)С* + 4 =144. (1)

Решение. Уравнение решается обычным методом для уравнений такого типа. Представим его в виде:

(х2 -f X - 2) (*2 -f X — 12) = 144 (2) и положим

х2 + х — 2=у. (3)

После подстановки будем иметь: У СУ -Ю) -Н4.

Решив полученное квадратное уравнение, найдем:

Ух = 18:^2 = -8.

Подстановка у\ в (3) дает:

х\ = 4; jca = — 5.

Подстановка ^2 Дает мнимые значения для х:

№ 65

Решить уравнение:

X {х — 1) (х — 2) (X — 3) = 24.

Решение. Решим тем же методом, что и предыдущую задачу. Имеем:

С*2 — 3) (jc2 — Зх + 2) = 24.

Положив

*2-3 = у, (1)

придем к уравнению:

у2-\~2у — 24 = 0,

откуда:

>'i = 4; _у2 = -6. (2)

Подстановка из (2) в (1) дает:

№ 66

Решить уравнение

(1)

Решение. Непосредственно видим, что значение X = 0 не удовлетворяет уравнению. Следовательно, мы можем предположить х Ф 0. Тогда, разделив в (1) числитель и знаменатель на х. приведем уравнение к виду:

Положив здесь:

(2)

получим:

(3)

Решив квадратное уравнение (3), найдем:

Наконец, подставив значения уг и у2 во (2) и решив полученные квадратные уравнения, найдем:

№ 67

Из трех различных цифр х, у и z образованы все возможные трехзначные числа; сумма этих чисел в три раза больше числа — XXX. Найти х, у uz.

Решения. I. Пусть ни одно из чисел х, у, z не равно 0. Тогда по условию:

или:

что по упрощении дает:

222* + 222.У + 2222? = 333*;

Следовательно, jc—число четное.

1. При X = 2 будем иметь:

y + z = \

и, значит, у или z равно нулю, что противоречит предположению.

2. При X = 4 имеем:

У + г=%

что может быть лишь при у = 2 = 1. Решение не годится, так как у иг по условию различны.

3. При X = 6:

_у + * = 3,

что может быть при у=\, *г=2 (или наоборот). Следовательно, имеем одно решение:

1; 2; 6.

4. При X = 8:

_у + * = 4. и имеем второе решение:

>>= 1, z = 3

(или наоборот). 1олучаем тройку чисел:

1; 3 и 8.

II. Пусть одно из чисел, например, у=0. Тогда

или

и так как 211—число простое, то у должно делиться на 211, что невозможно. Итак, имеем два решения. Действительно:

№ 68

Доказать, что в треугольнике величина площади не превышает - Ç—

Решение. Требуемое неравенство:

преобразуем последовательно:

но

Отсюда:

Но последнее неравенство справедливо, как известное соотношение между средним геометрическим и средним арифметическим трех чисел. Отсюда, следуя в обратном порядке, придем к неравенству (1).

№ 69

Доказать, что в треугольной пирамиде с ребрами а, Ъ> с, прямым трехгранным углом при вершине (т. е. все его плоские углы прямые) и высотой h существует соотношение:

Решение. Для определения высоты h пирамиды имеем:

откуда:

(1)

Если за основание пирамиды взять одну из боковых граней, то, как легко видеть, будем иметь:

Подстановка в (1) дает:

Остается определить площадь S основания. Стороны его *, у, z являются гипотенузами прямоугольных треугольников, служащих боковыми гранями; отсюда:

(3)

Следовательно, площадь 5 можно определить по формуле Герона. Для сокращения преобразований возьмем эту формулу в следующем виде:

(4)

(Эта формула обычно и употребляется тогда, когда стороны выражаются квадратными корнями). Подставив в (4) из (3), получим:

(5)

Наконец, подстановка из (5) в (2) дает:

Возведя обе части в степень — 2. получим требуемое равенство.

№ 70

Найти наименьшие целые числа, оканчивающиеся на 1192 и имеющие: 1) 30; 2) 20; 3) 16; 4) 40 делителей.

Решение. Искомые числа по условию должны иметь вид.

АС = 10** + 1192 = 8 (1250* + 149), (1)

то-есть содержат множитель 23. Следовательно, можем написать:

М = &а%а%а%... (2)

Число делителей равно:

П=4(а1 + 1)(а, + 1)(а3+1). . .

1. Сразу видим, что не может быть л=30, так как п должно делиться на 4. Следовательно, в этом случае задача не имеет решения.

2. При п = 20 получаем:

(«1+1) («гИЬ . .=5,

что может быть только при условии, что одно из а, например а1У равно 4, остальные равны нулю. Следовательно, в этом случае

Л1 = 8(1250*+149)=8я*.

Но четвертая степень целого числа не может оканчиваться на 9. Следовательно, и этот случай невозможен.

3. При л = 16:

(«1+1) («2+1). . .=4,

что может быть лишь: а) при а1=3; а2=а8в = . . . =0; б) при о1=а2==1 и а3 = а4= . . . =»0. Отсюда:

М-8028=8(1250* + 149)

или

M=8а^2=8( 1250АН-14 9).

Будем давать k значения 0, 1, 2 . . . Получим: k 0 12 M 149 1399 2649

Числа 149 и 1399—простые и, следовательно, не годятся.

Число 2649=3 • 883, и мы можем положить а,=3, 02=883.

Получим число:

М=8 . 2649=21192, удовлетворяющее условиям задачи.

4. При л=40 имеем:

(«1+0 («а+1) - - - 10=2 • 5=1 - 10.

Тогда

N=8a{ а\

или

N=8 аха\. При * = 3, 4, 5 получим:

M 8 - 3899 8 - 5)49 8 6399

Так как

3899=7 • 557; 5149=14 . 271; 6399=3* • 79, то подходит лишь *=5, причем toi да я2=3 и ej=79.

Получим число:

N=2* . 3* . 79=51192, удовлетворяющее условиям задачи.

№ 71

Доказать, что числа С2п при л>2 могут быть представлены в виде суммы не более чем трех слагаемых того же вида {т. е. вида С\ ).

Решение. В зависимости от вида числа п выражение Сп2 можно представить в одном из следующих трех видов:

что и доказывает предложение.

№ 72

Решить уравнение:

8*4 + 2*3 + 21*2 + 3* + 18=0. (1)

Решение. Так как хФО, то можем уравнение разделить на *“.

Будем иметь:

или

(2)

Положив

(3)

сделав, подстановку в (2) и решив квадратное уравнение, найдем:

после чего подстановка ух и _у2 в (3) дает:

№ 73

В тетраэдре S ABC (S—вершина) через ребра SA, SB, SC проведены биссекторные плоскости, которые, как легко показать, пересекутся по одной прямой SP. Выразить объемы трех полученных тетраэдров через объем V данного и через площади SA, SB, Sc его граней (SA —площадь грани, противолежащей вершине А, и т. д.),

Черт. 7

Решение. Так как тетраэдры SAPB, SAPCy SCPA и SABC имеют одну и ту же вершину S, а основания их лежат в одной плоскости, то их объемы относятся, как площади их оснований. Следовательно, имеем:

(1)

Отсюда

(2)

Для определения площадей треугольников АРВ, ВРС и CPA покажем, что они пропорциональны площадям прилежащих граней тетраэдра.

Возьмем тетраэдры S АРВ и S ВРС. Из (1) имеем;

(3)

Примем в этих же тетраэдрах за основания грани ASB и BSC. Общей их вершиной будет Р. Но точка Р% находясь в биссекторной плоскости двугранного угла с ребром SB, одинаково отстоит от его граней ASB и BSC, то есть высоты в обоих тетраэдрах и здесь будут равны. Отсюда:

(4)

Из (3) и (2) получим:

(5)

Аналогично докажем, что, например:

(6)

и, объединяя (5) и (6), будем иметь:

(7)

Отсюда:

sapb — № с'» sbpc 0 scpa = KSß. (8)

Для определения К сложим равенства (8):

или: откуда:

Наконец, сделав подстановку из (9) а (8) в (2), найдем:

№ 74

В тетраэдре SABC через все его ребра проведены биссекторные плоскости. Все они пересекутся в некоторой точке О. Выразить объемы полученных тетраэдров через объем V данного тетраэдра и через площади SA, SB, Sc его граней.

Решение. Если за общую вершину всех четырех тетраэдров принять точку О, то все они имеют одинаковую высоту (радиус вписанного шара). Следовательно, как и в задаче № 73, можем написать:

(1)

Черт. 2

По свойству равных отношений будем иметь:

или:

Аналогичные выражения получим и для остальных трех тетраэдров.

№ 75

В тетраэдре SABC проведены биссектрисы внутренних углов основания ЛВС. Через эти биссектрисы и соответствующие боковые ребра проведены плоскости. Выразить объемы полученных трех тетраэдров через объем V данного и через стороны его основания.

Черт. 3

Решение. Приняв S за вершину всех тетраэдров, будем иметь:

Отсюда:

Но в треугольнике ABC точка О—центр вписанного круга, и, следовательно, площади треугольников АОВ, ВОС и АОС (с общей вершиной О) относятся, как их основания:

Отсюда :

или:

(3)

Делая подстановку SA0B, SB0C, SA0C из (3), получим:

Задачи №№ 73—75 и их решения даны К. Рупасовым (Раненбург).

№76

Доказать тождество:

Решение. Воспользуемся методом полной индукции.

При п= 1 тождество примет вид:

и легко проверяется путем сложения дробей в правой части. Обозначим правую часть данного тождества через Sn. Будем иметь:

Приведя дроби в правой части к общему знаменателю и вынеся за скобки общие множители в числителях, получим:

отсюда

№ 77

Построить а ABC, если даны следующие три точки: точка О — центр описанной окружности, точка D — основание высоты, опущенной из вершины А; точка Е — точка пересечения стороны ВС с биссектрисой внешнего угла А.

Черт. 4

Решение. Продолжим биссектрису АЕ внешнего угла А до пересечения с описанной окружностью в точке /С. АЕ перпендикулярна к биссектрисе AL внутреннего угла А. Так как биссектриса AL делит угол CAB, а следовательно, и дугу CLB (в точке L) пополам, те продолжение АЕ делит дугу ВАС* пополам (так как </(Л£= = 90°) и как вписанный опирается, следовательно, на диаметр. Значит, KL±_CB.

Опустим из О перпендикуляр OF на АК. Точка F делит пополам хорду АК и, следовательно, лежит на средней линии FQ трапеции MKAD, причем MQ — QD.

Построение. Опускаем OMJ_DE и делим отрезок DM пополам. Получаем точку Q. Проводим OF±MD. Пересечение OF с окружностью, построенной на ОЕ как на диаметре, определяет точку/7! (нЕ2). Пересечение F^E (и F2E) с прямой DA A. DE дает точку Ai (и А2). Окружность с центром в О и радиусом ОАг (или ОА2) пересечет прямую DE в точках Вх и Сг (или В2 и С2), определяющих искомый треугольник. Задача имеет вообще два решения.

№ 78

Доказать, что если

и наибольший общий делитель пъ п2, n5..,nk равен единице, то (л — 1)! делится на произведение nx\n2\...nk\

Решение. Известно, что

(1)

(2)

(где ni + п2 + -+nk = п) суть целые числа. Но из (I) и (2) имеем:

Следовательно, все ntK делятся на п; но тогда на п делится и общий наибольший делитель чисел щКч а таковым по условию является К (так как OHD пи n2...nk равен 1). Отсюда из (1) следует, что (п— 1)! делится на пх\ n2\...nk \

№ 79

Из сосуда с вином отлит 1 л вина и добавлен 1 л воды. Затем отлит 1 л смеси и добавлен 1 л воды и т. Ь. После того как этот процесс был повторен 35 раз, оказалось, что смесь в сосуде состоит наполовину из воды и наполовину из вина. Сколько вина было первоначально в сосуде?

Решение. Пусть вина в сосуде х л. После первого отливания в сосуде осталось х — 1 л вина. После долития водой на каждый литр смеси приходилось —-— вина, а всего в сосуде X (~]ё“0 л вина (т* е“ х ~~ * л> как и должно быть). После второго отливания 1 л в сосуде осталось X (—-— ) — —-— =--- л вина.

На каждый литр смеси приходилось I—-— ) л вина, и т. д. После 35-го отливания и долития водой в каждом ведре смеси стало I —-— I л fx — 1 \35 вина, а всего х у—^— J л. По условию:

Отсюда :

№ 80

Найти сумму п дробей, числители которых образуют арифметическую прогрессию с первым членом а и разностью d, а знаменатели— геометрическую прогрессию с первым членом Ь и знаменателем q.

Решение

ЗАДАЧИ

1. Для каких значений п сумма ряда натуральных чисел от 1 до л, делится на 99?

(L'Education Mathématique.)

2. Найти целые положительные числа, удовлетворяющие уравнению:

(L'Éducation Mathématique.)

3. Найти двузначное число, которое равно сумме куба числа его десятков и квадрата числа его единиц.

(L'Education Mathématique.)

4. Определить значения тип, при которых многочлен xS -j- (m -f- n) x? -J- (m — n) x% -f- {m? -f-+ 2/1 — 1)X +/я-j-2я + 4 делится на*2— 2х + + Ь Чему будет равно частное?

(L'Éducation Mathématique.)

5. Доказать, что произведение

ху&х + 2) (5у+2)

есть разность квадратов двух целых многочленов с целыми коэфициентами.

(Sapplemento al Periodico di Matematlca.)

ô. Дано, что медианы ma и mc треугольника ABC образуют со стороной АС углы, равные 31°15'42,; и 28°41'18“, и что площадь прямоугольника^ построенного на этих медианах, равна \/ 3. Вычислить без помощи тригонометрии площадь треугольника ABC

(ВОФЭМ)

7. Через точку А, лежащую внутри данного круга, провести хорду так, чтобы она разделилась в точке А в данном отношении т:п.

(ВОФЭМ)

8. Найти четырехзначные числа, удовлетворяющие условию.

xyzu = (ху + zu)2.

M. Шебаршин (Кемеровская обл.)

9. Два тела, находящиеся от точки А на расстоянии 159 м и 78 м, движутся по направлению к А: первое со скоростью 5 м> второе со скоростью 2мв минуту. Через сколько времени одно тело будет вдвое дальше от точки А, чем другое?

М. Шебаршин.

10. Теорему о свойстве углов вписанного четырехугольника обобщить на случай вписанного многоугольника с четным числом сторон.

М. Шебаршин.

11. Теорему о свойстве сторон описанного четырехугольника обобщить на случай описанного многоугольника с четным числом сторон.

М. Шебаршин.

1?. Доказать, что при натуральном л>1 выражение

72я —42л —297

делится на 924.

/7. Китайгородский (Москва).

13. Без помощи таблиц определить большее из чисел 9У9907 и 9Э79“. Обобщить результат.

П. Китайгородский.

14. Решить систему уравнений:

П. Китайгородский. 15. Наборщик рассыпал некоторое число, представляющее б-ю степень натурального числа. Его цифры: 023447889. Восстановить по этим цифрам число.

Г. Ахвердов (Ленинград).

16. Доказать тождество:

Г. Ахвердов.

17. Доказать теорему, обратную теореме о свойстве сторон описанного четырехугольника (то-есть, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность).

А. Аляев (ст. Валовая).

18. В выпуклом пятиугольнике проведены все диагонали. Сколько (максимально) различных треугольников получилось при этом?

В. Голубев (Кувшиново).

19. Доказать, что уравнение

5;с2 + 6л: + 15 = ^2 не имеет целых решений.

В. Голубев.

20. Если целые числа 8п 1 и 24п +1 одновременно точные квадраты, то число 8/г -f- 3 при п > 1 не может быть простым.

Скобеев (Новгород).

ЗАДАЧИ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ КРУЖКОВ

(Задачи №№ 1 — 5 предлагались на 4-й Московской олимпиаде, 6 — 10 на 5-й олимпиаде, 1-й тур).

1. Сколько существует плоскостей, равноудаленных от четырех данных точек?

2. В пространстве даны точки 0\, 02, 08 и точка А. Точка А симметрично отражается от точки Oï, полученная точка А1 относительно 02; полученная точка Л2 относительно 03. Получаем некоторую точку Л8, которую также последовательно отражаем относительно 0\% 02, 03. Доказать, что последняя точка совпадает с А.

3. На сколько частей могут разделить пространство п плоскостей?

4. Построить треугольник по основанию, высоте и разносIи углов при основании.

5. Сколько существует целых чисел, меньших тысячи, которые не делятся ни на 5, ни на 7?

6. Решить систему уравнений:

7. Доказать, что

8. Даны три точки А, В, С. Через точку А провести прямую так, чтобы сумма расстояний от точек В и С до этой прямой была равна заданному отрезку.

9. Решить уравнение:

у а — ^ а + х = X.

10. Доказать, что во всяком треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.

СВОДКА РЕШЕНИЙ по 2 за 1947 год

Решений по № 2 прислано сравнительно немного, как видно из следующей сводки числа верных и неверных решений по каждой задаче: № 21-30(3); № 22-22(0); № 23-1(2+15?); № 24-28(0); 25-30(3); № 26-17(8); № 27-20(4); № 28— 32(2); M 29—4(9); №30-33(2); № 31 — 17(3); №32— 14(2); № 33-25(0); № 34-20(0); № 35-3(0); № 36-3(0); № 37-18(4); №38-11 (2); № 39-13(0); № 40— 4(0). Всего было прислано 410 решений, из них 345 верных.

Задача № 24, несмотря на недостаточность в ней данных (пропущены размеры участка), получила достаточное число правильных решений и может быть зачтена. В одних решениях принималось, что участок является квадратом, описанным около окружности котлована, другие брали произвольно величину стороны квадрата.

Крайне малое число решений получили задачи №№ 35, 36 и 40. Очевидно, по своему характеру (№№ 36 и 40) они оказались непривычными и потому трудными.

Приводим список верных решений:

Е. Алмазова (Беднодемьяновск) 25, 28, 31—34; П. Андросенко (Ташкентск. обл.) 24, 25, 30; Г. Ахвердов (Ленинград) 21, 22, 24-26, 28, 30, 31, 33, 34, 38; £. Вайнман (Киев) 24, 30, 31, 34; А. Владимиров (Ялта) 21, 22, 24-34, 36—38; Г. Волков (Солнечногорск) 21, 22, 24-28, 30—35, 38; Р. Гангнус (Муром) 30, 34; А. Ганц (Молодечно) 21, 22, 24—28, 30, 32—35, 37, 39; В. Гильц (Кемерово) 21, 25, 27, 28, 30, 33, 37, 39; Г. Голянд и С. Третьяков (Краснодаром кр.) 21, 25—28, 30; В. Голубев (Кувшиново) 22, 24—28, 30, 32—34, 37—39; А. Горохов (Белорецк) 21, 22, 24, 28, 30; В. Добрынченко (Астрахань) 22, 24, 25, 30, 37; Дудолькевич (Волковинецкая с/ш) 21, 24, 25, 28, 39; Д. Захаров (Канаш) 28; Н. Зубилин (Орловск. обл.) 21, 24, 28, 30, 31, 33, 37; В. Зяблицкий (Калинин) 30; Б. Кашин (Иркутск, обл.) 21, 22, 27, 28, 30, 31, 33, 34, 39; М. Кекелия (Бандза) 21, 23—28, 30—32, 34, 37—40; Я. Килимник (Винница) 21, 25, 28, 30; П. Китайгородский (Москва) 21, 22, 24—26, 28, 30; 31, 34, 38; С. Колесник (Харьков) 21, 22, 24, 25, 27, 28; 30—34. 37; Ф. Кольвах (ст. Бело) 21, 30, 33; Я. Левин (Семипалатинск) 21, 22, 24—28, 30, 33; Литвинов (Красноярск, кр.) 21,24,28, 33; А. Логашов (Арчада) 21, 22, 24, 25, 27, 28, 30—34, 37, 39; Н. Любочский (Горьковск.- обл.) 21, 24—28; М. Люккэ (Новосибирск, обл.) 21,- 22, 24—34, 36—40; А. Могильницкий (Кривое Озеро) 21, 22, 24, 25, 27, 30, 32-34, 37-40; В. Никитин (Тамбов) 21, 22, 24, 25, 27, 28, 30, 31, 37, 39; П. Постников (Ряжск) 21, 22, 24, 25, 28, 30—33; П. Титов (Казань) 21, 22, 24—28, 30—34; В. Токарев (Константиновка) 21, 22, 24-30, 33,34,37;Af. Фридман (Куйбышев) 21, 25, 26, 28, 37; Я- Циммерман (Ейск) 25, 28, 30, 34, 37; М. Шебаршин (Кемеровск. обл.) 21—40; Э. Ясиновый (Куйбышевев. обл.) 21, 22, 24, 25, 28, 30,33, 34,

СВОДКА РЕШЕНИЙ по № 3 за 1947 год

Задачи 41—60 гораздо проще в целом, чем задачи №2, и потому, естественно, получили значительно больше решений. Отметим некоторые из них.

В задаче 43 в условии вместо м было напечатано км, что дало повод к указаниям на ее нереальность.

Задача 45 получила довольно большое число неверных решений: давалось неполное число решений, или, наоборот, давались решения, не удовлетворяющие условию задачи.

Задаче 48 большею частью давалось неполное решение.

В задаче 51 пропущенное условие „положительная“ численная величина дало повод к многочисленным тривиальным решениям, например, а — а-4-6 — Ь; —---— и т. п.

Точно так же тривиальные решения получила задача 55 вследствие опечатки (вместо г <' гх < 2 должно быть г<г1иГ|<2). Обе эти задачи исключаются из конкурса.

Приводим сводку правильных решений: Г. Автух (Чашники) 41—45, 57; Е. Алмазова (Беднодемьяновск) 41—41, 46, 47, 50, 55—59; М. Алтухов (Курск) 41—44; И. Берман (Турткуль) 41—43, 48, 55—57; Г. Бобылев (Тула) 43; Б. Бурназов (Ейск) 41—43, 47,49, 55-57; В. Буткевич (Ровно) 41, 42, 44, 45, 47—50, 54-58; Б. Вайнман (Киев) 43, 55; А. Владимиров (Ялта) 41—46, 49 - 60; И. Воинов (Волхов) 41—44, 46-52; 54-58, 60; Р. Гангнус (Муром) 43, 45, 46, 50, 57; В. Гильц (Кемерово) 41—47, 50—53, 55—60; И. Голайдо (Первомайское) 41 —47,49—51, 53—60; В. Голубев (Кувшиново) 41—44, 46, 47 49—53, 56—60; А. Горохов (Белорецк) 41, 42,44, , 46, 47, 49—54, 57; Г. Голянд и С. Третьяков (Ленинградская) 41—50, 53, 55—57; В. Гузняев (Раненбург) 41—60; В. Добрынченко (Астрахань) 41—43, 45, 46, 50, 51, 53-57, 59, 60; Дудолькевич (Волковинцы) 41—43, 47; Д. Захаров (Канаш) 42—44, 47, 56, 57; Н. Зубилин (Нарышкино) 41—44, 46, 47, 50, 52-60; М. Кекелия (Бандза) 41-44, 46, 47, 49-52, 55-58, 60; Я. Килимник (Винница) 42—44, 46, 47, 49, 51, 57; П. Китайгородский (Москва) 42—44, 47, 52, 56—58, 60; С. Колесник (Харьков) 41—47, 50—60; Ф. Кольвах 42, 44; Литвинов (Усть-Абаканск) 42, 47, 52, 55—57, 60; Л. Логашов (Арчада) 41—44, 46, 47, 49-53, 55—60; Н. Любочский (Дальнеконстантиново) 41—51, 53, 55—58; М. Люккэ (Гогучин) 41—60; П. Манукян (Ереван) 43, 52, 59; Медведев (Себряково) 41, 42, 44, 47, 49, 53, 55—60; А. Мирзоев (Марьевка) 43, 46, 50, 51; A. Могильницкий (Кривое Озеро) 41—51, 43—60; B. Никитин (Тамбов) 41—57, 59, 60; //. Постников (Ряжск) 41 44, 46—48, 50, 52, 54—57, 59, 60; Г. Пушкаревский (Степановка) 42, 43, 57; В. Розентуллер (Ленинград) 41—44, 55—5“; Я. Рубинский (Юрьевец) 41—44, 47, 57, 60; В. Саннинский (Ворошиловград) 41—44, 50,55, 57—60; Л. Снопков (Спасск) 42, 46, 47; Н. Титов (Казань) 41—44, 47, 49—60; В. Токарев (?) 41—46, 48, 50, 52, 54—57; В. Утемов (Красноуфимск) 41—47, 49—60; Л. Фридман (Красноярск) 41—60; М. Фридман (Куйбышев) 41, 50, 55—57; Я. Циммерман (Ейск) 42, 43, 47, 55—57; Т. Шакузячов (Ачинск) 56; М. Шебаршин (Кемерово), 41-60; Э. Ясиновый (Куйбышев) 41, 42, 44, 45, 47, 50-52, 55, 57-60.

Цена 4 р 50 к.

СБЕРЕГАТЕЛЬНЫЕ КАССЫ ПРОДАЮТ и ПОКУПАЮТ ОБЛИГАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОГО 3% ВНУТРЕННЕГО ВЫИГРЫШНОГО ЗАЙМА

Ежегодно по займу производится шесть основных и один дополнительный тираж выигрышей.

В 1948 году основные тиражи состоятся — 30 января, 30 марта. 30 мая, 30 июля, 30 сентября и 30 ноября; дополнительный тираж назначен на 30 сентября 1948 года.

В основных тиражах участвуют все облигации, независимо от срока их приобретения. В дополнительных тиражах участвуют облигации, приобретенные не менее чем за 9 месяцев до срока тиража.

В каждом тираже на один разряд займа в один миллиард рублей разыгрывается следующее количество выигрышей:

Размер выигрыша В основном тираже В дополнительном тираже

100 000 рублей — 1

60 000 рублей 2 6

26 000 рублей б 26

10 000 рублей 26 80

6 000 рублей 80 800

1 000 рублей 700 2 300

400 рублей 7 6Р8 8 289

Всего 8600 11600

ПРИОБРЕТАЙТЕ ОБЛИГАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОГО 3% ВНУТРЕННЕГО ВЫИГРЫШНОГО ЗАЙМА.

Главное Управление гострудсберкасс и госкредита