МАТЕМАТИКА ШКОЛЕ

6

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКВА 1947

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

Стр.

Б. И. Делоне — Неэвклидова геометрия Лобачевского............. 1

И. А. Гибш — Источники приобретения и потери корней при решении уравнений 18

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

А П. Юшкевич — Математика и её преподавание в России XVII—XIX вв. 26

МЕТОДИКА

С. С Бронштейн — О некоторых методах решения задач по арифметике 38

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О требованиях, предъявляемых к письменным работам по математике . . . 52

ЗАДАЧИ

Решение задач........ .............. .......58

Задачи............ ...... ...... ... 63

Сводка решение.................,........(на обложке)

A-084G5 Заказ № 5695 Тираж 20000 да.

Редакционная коллегия:

Редактор Л. Н. Барсуков Зам. редактора С И. Новосёлов Члены редакционной коллегии: Ю. О. Гурвиц, В В. Немыцкий, А. П. Садиков, Н. Ф. Четверухин

Технический редактор В. С. Якунина. Корректор Л. С. Киняпина Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, д. 6. Учпедгиз Министерства просвещения РСФСР

Сдано в производство 27 VIII 1947 г. Печ. лисюв 4. Учетно-изд. п. 6,96

Подписано к печати: 5/1Х 1947 г. Печ знаков в 1 п. л. 73000

Типография 2 Управления издательств и полиграфии Ленгорисполкома

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 6

НОЯБРЬ — ДЕКАБРЬ 1947 г.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

НЕЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО

Член-корреспондент Академии наук СССР Б. Н. ДЕЛОНЕ

Вопрос, которым задавался Лобачевский и ещё один-два математика его времени, очень существенный: это вопрос о том, каково наше пространство, в котором мы живём; такое ли оно, как учит эвклидова геометрия, или иное.

Это смогут узнать только физики и астрономы, так как надо изучить, каково пространство в действительности. Однако для того, чтобы успешно разрешать этот вопрос, надо прежде всего разобрать чисто математически, какие здесь могут быть возможности. Это и было основное, что хотел сделать Лобачевский.

Я буду говорить не только о том, что сделал сам Лобачевский, но и о том, что сделали его продолжатели. Идеи Лобачевского были в высшей степени новаторскими и неожиданными. Хотя Лобачевский первый доклад о неэвклидовой геометрии сделал ещё в 1826 г., но лишь постепенно с его идеями начали знакомиться, привыкать к ним, и крупнейшие последующие математики закончили то, что начал наш гениальный учёный.

1. О внутренней геометрии поверхности

Самый вопрос о том, каково наше пространство, с первого взгляда не ясен. О чём, собственно, идёт речь? Это происходит главным образом потому, что сами мы в нём живём. Если бы мы могли как-нибудь из пространства выйти и посмотреть на него „со стороны“, то было бы яснее, о чём можно спрашивать.

Для того чтобы понять, в чём тут дело, представим себе на момент, что существуют не только трёхмерные, но и двухмерные существа, и то пространство, в котором они живут, тоже двухмерно (т. е. поверхность). Попробуем вдуматься в психологию какого-либо из таких двухмерных субъектов, являющегося как бы тенью или пятном на той поверхности, „в“ которой он живёт. Вся его жизнь происходила бы „в“ этой поверхности. Если бы вы его спросили, каково его пространство в третьем измерении, „поперёк“ поверхности, он бы вас не понял. Никакого третьего измерения для него не существовало бы, так же как для нас реально не существует четвёртое. Его геометрией была бы не стереометрия, а только планиметрия. Измерять он мог бы только внутри поверхности, не выходя из неё. Вопрос о том, каково то двухмерное пространство, в котором он живёт, для такого субъекта был бы не ясен, так как он не может „вылезти“ из него и посмотреть на него извне. Однако, если бы он, например, заранее знал, что это только и может быть либо плоскость, либо сфера, то мог ли бы он, измеряя только внутри своего пространства, узнать, плоскость ли это или сфера? Оказывается, он мог бы это сделать.

Действительно, если бы он стал измерять, например, отношение длины окружности к её диаметру, то в случае плоскости это отношение было бы для любого радиуса одно и то же — равное те. В случае же сферы, как легко видеть, чем больше радиус, тем это отношение меньше. Число те для сферы не постоянно. Это потому, что на сфере кратчайшей линией, соединяющей две точки, является дуга большого круга, проходящего через эти точки; она играет роль прямой, и геометрическое место точек, равно удалённых по дугам больших кругов от данной точки О сферы, есть окружность, у которой обычный её центр лежит внутри шара, ограниченного рассматриваемой сферой. Обычный её радиус короче её радиуса, составленного соответственной дугой большого круга. Таким образом, если те будет выходить не постоянным, наш „двухмерный“ математик решит, что то двухмерное пространство, в котором он живёт, не плоскость, а сфера. А это уже капитальная разница. Плоскость бесконечна, а сфера конечна. Он сможет, далее, по скорости уменьшения те с увеличением радиуса своей окружности узнать величину этой сферы. Для нас же, живущих в трёхмерном пространстве, стоит взглянуть извне на эту поверхность, в которой живёт этот „двухмерный“ субъект, чтобы сразу узнать, плоскость это или сфера. Вопрос о том, каково то трёхмерное пространство, в котором мы живём, для нас так же мало понятен, как вопрос о том, какова та поверхность, „в“ которой живёт двухмерный субъект, для этого субъекта, но он был бы совершенно ясен для четырёхмерного субъекта, если бы такой мог существовать, стоило бы ему посмотреть на наше пространство „со стороны“.

Пусть дана некоторая поверхность. Будем её деформировать. Деформации (видоизменения) возможны двух видов — чистые изгибания и изгибания с сжатиями или растяжениями (вдоль самой поверхности, т. е. такие, при которых изменяются длины линий, нарисованных на поверхности). Бумага почти нерастяжима, но очень легко сгибается. Вот пример чистых изгибаний (черт. 1). Наоборот, весьма тонкая резиновая плёнка и весьма легко изгибается, и нетрудно растягивается—это пример общих деформаций с сжатиями и растяжениями.

Сделаем весьма важное замечание.

Для „двухмерного“ субъекта, живущего в „данной поверхности“, будут заметны только деформации с сжатиями и растя жениями. Чистых же изгибаний этой поверхности он совершенно не заметит, так как при них расстояния между его точками (расстояния, измеренные „в“ этой поверхности, которые он единственно воспринимает) вовсе не будут изменяться, так же как не изменяются обычные расстояния между точками обычного твёрдого тела в трёхмерном пространстве. Не будут при этом изменяться и расстояния между его точками и другими точками этой поверхности (измеренные „в“ этой поверхности), так же как не изменяются обыкновенные расстояния между точками твёрдого тела и другими точками трёхмерного пространства, если оно в нём неподвижно. Все те геометрические свойства поверхности, которые доступны исследованию „двухмерного“ субъекта, в ней живущего, называются внутренней геометрией этой поверхности. Легко видеть, что это будут как раз те свойства, которые не изменяются при любых чистых изгибаниях поверхности. Для двухмерного „жителя“ совсем всё равно, живёт ли он „в“ плоскости или же эта плоскость изогнута в цилиндр, конус или ещё как-нибудь.

Черт. 1.

2. Поверхности, на которых имеется полная группа движений

Любой кусочек плоскости можно, не сжимая и не растягивая, передвинуть по плоскости в любое место и при этом ещё любым образом повернуть. Такое передвижение характеризуется тремя параметрами (числами): числами х и у, указывающими, куда перенесена некоторая точка этого куска параллельно осям X

и К, и углом ср, на который повёрнут кусок. Если по некоторой поверхности, или по её части, её кусочек можно таким образом передвигать в любое место, чтобы он всё время к ней прилегал, и любым образом поворачивать, может быть, изгибая его (как, например, в случае кусочка конуса на конусе), но не сжимая его и не растягивая вдоль него самого, то мы будем говорить, что на этой поверхности, или на этой её части, возможна полная группа движений.

На всякой ли поверхности возможна полная группа движений?

Вопрос этот естественный. Во-первых, можно доказать, что если поверхность совсем произвольная, то кусочка её, вообще говоря, вовсе нельзя так передвигать по ней. Поверхности, по которым можно передвигать кусочек, производя лишь чистые изгибания его, весьма специальны. Возможно также, что хотя передвигать кусочек по поверхности и можно, но всё же на ней не имеется полной трёхпараметрической группы движений. Возьмём, например, обыкновенное яйцо и рассмотрим „шапочку“ около его острого конца. Можно ли передвинуть эту „шапочку“ куда угодно по яйцу без сжатий и растяжений, допуская лишь чистые изгибания? Можно доказать, что этого сделать нельзя. Однако любой кусочек поверхности яйца можно передвигать по нему, вращая его вокруг оси яйца (черт. 2). Можно доказать, что никак иначе его передвигать нельзя, если требовать, чтобы он при этом не сжимался и не растягивался, а только изгибался.

На яйце, таким образом, движение возможно, но все эти движения образуют лишь однопараметрическую, а не полную трёхпараметрическую группу движений. На плоскости и на сфере возможна полная группа движений (черт. 3 и 4). Она возможна также и на любой поверхности, которая получается чистым изгибанием плоскости или сферы (черт. 5). В нашем обычном трёхмерном пространстве также имеется полная группа движений. Любое тело можно передвинуть в любое место и при этом любым образом повернуть без того, чтобы его при этом пришлось сжимать или растягивать.

Вопрос о том, каковы все возможные поверхности, на которых возможны полные группы движений, очень глубокий.

Он, оказывается, в некотором смысле, почти совпадает с задачей, поставленной себе Лобачевским, если говорить о двухмерных геометриях. В результате исследований Лобачевского и его продолжателей оказалось, что, кроме плоскости; и сферы и результатов их изгибаний,

Черт. 2.

Черт. 3,

Черт. 4.

есть, в основном, ещё только одно двухмерное пространство, в котором возможна полная группа движений. Кусок (круговой сектор) этого пространства может быть осуществлён в виде некоторой поверхности, называемой псевдосферой, подобно тому, как сектор плоскости может быть изогнут в виде боковой поверхности конуса. Аналогичные теоремы имеют, оказывается, место и для трёхмерных пространств.

Ввиду того, что всё, что мы будем говорить далее о двухмерных пространствах, в основном имеет место и для трёхмерных, мы ограничимся случаем двухмерных пространств.

3. Аксиоматика эвклидовой плоскости и аксиоматика плоскости Лобачевского

Как известно, геометрия эвклидовой плоскости, иначе говоря, двухмерная геометрия Эвклида, может быть построена, исходя из небольшого числа исходных геометрических аксиом. Набор этих аксиом, данный у самого Эвклида, был не полный. В последние десятилетия, главным образом благодаря работам Д. Гильберта, создана полная система этих аксиом. Они следующие:

Аксиомы соединения:

1. Через каждые две точки проходит прямая и притом только одна.

2. На каждой прямой лежит не менее двух точек; существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

Аксиомы порядка:

1. Если точки Л,- В и С лежат на одной прямой и точка В лежит между точками Л и С, то точка В лежит и между точкам С и Л.

2. На прямой AB существует, по крайней мере, одна такая точка С, что В лежит между Л и С.

3. Из трёх данных точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими.

4. Если прямая а не проходит ни через одну вершину треугольника ABC и пересекает отрезок AB, то она пересечёт либо отрезок Л С, либо отрезок ВС.

Аксиомы конгруэнтности:

1. На любой прямой от любой её точки можно отложить отрезок, равный данному.

2. Два отрезка, равные третьему, равны между собой.

3. Если А, В, С точки одной прямой, и Av В1у Са тоже точки одной прямой и АВ = АгВ1у ВС = В1С1, тогда, если отрезки AB и ВС, а также ААВХ и ВХСХ не имеют общих точек, то АС = А1С1.

4. От любой точки данной прямой по данную её сторону можно построить один и только один угол, равный данному.

5. Если в треугольниках ABC и А1В1С1 стороны AB— АгВг, АС = АХСХ и /тВАС=/_ВхА1Си то /_АВС-=/_А1В1С1 и /_АСВ = /тАхС1В1.

Аксиомы непрерывности:

1. Аксиома Архимеда. Если AB и CD произвольные отрезки, то на прямой AB существует ряд точек Аи Л2,..., Ап таких, что AAi =АгА2 = .. .=ЛЯ_1ЛЛ = = CDyl что В будет лежать между Ля_х и Ап, либо совпадать с Ап.

2. Аксиома полноты. К системе точек и прямых невозможно присоединить другую систему вещей так, чтобы в новой расширенной системе были попрежнему удовлетворены все указанные аксиомы.

Аксиома о параллельных. Через каждую точку плоскости можно провести не более одной прямой, не пересекающей данной.

Из этих исходных положений выводятся все теоремы эвклидовой планиметрии.

Попробуем эти аксиомы испытать на сфере, на которой прямыми будем считать большие окружности, отрезками — их дуги, а длинами отрезков —длины этих дуг. Вторая аксиома соединения остаётся в“силе, сохранится: на каждой большой окружности лежит не менее двух точек; существуют три точки сферы, не лежащие на одной большой окружности. Напротив, первая не сохранится: если

Черт. 5

точки — диаметрально противоположные точке сферы, то через такую пару точек можно провести не одну большую окружность, а бесконечное множество (пример — меридианы, проходящие через полюсы). 3-я аксиома расположения не сохраняется — из трёх точек, лежащих на большой окружности сферы, любая лежит между двумя другими. В соответствии с этим меняется смысл 1-й и 2-й аксиом порядка. Но 4-я аксиома порядка сохраняется. Аксиомы конгруэнтности сохрдняются. Вообще, аксиомы конгруэнтности в своей совокупности равносильны существованию полной группы движений. Сохраняются и аксиомы непрерывности. Аксиома параллельности не сохраняется, так как любые две большие окружности сферы пересекаются в двух точках.

Но если на место не сохраняющихся аксиом плоскости поставить другие аксиомы, описывающие соответственные основные свойства больших кругов и точек сферы, то так полученная новая система аксиом будет определять геометрию сферы; геометрия сферы может быть логически развита из этих аксиом.

После этого становится понятным такое утверждение: так как все геометрические свойства фигур выводятся из аксиом, то сказать, что двухмерное пространство другое, чем плоскость, значит сказать, что для него верны другие аксиомы.

Геометрия сферы, в виде базирующейся на геометрии Эвклида науки — сферической тригонометрии, используемой в астрономии, издавна привлекала к себе внимание и давно хорошо изучена. Но почему-то никто не считал её возможным строить аксиоматически как самостоятельную науку, так, как строят планиметрию Эвклида; должно быть, потому, что сфера не бесконечна. Тем более никому не приходила в голову мысль, что может существовать, кроме плоскости, другое бесконечное двухмерное пространство, все свойства которого в малом почти такие же, как у плоскости, в котором возможна полная группа движения, но которое в целом всё же совсем отлично от плоскости.

Всё это стало возможным только после исследований Лобачевского.

Исторически дело было так. Ещё в древности к аксиоме о параллельных относились с сомнением, быть может, потому, что в изложении геометрии она появляется сравнительно далеко, и поэтому многие теоремы от неё не зависят.

Во всяком случае, математики старались доказать аксиому параллельности, т. е. вывести её как следствие из других аксиом. Таких доказательств было предложено много. Однако все они содержали логический круг: большей частью доказывающие принимали бессознательно за верное некоторое предположение, которое само не вытекало из других аксиом и было просто равносильно аксиоме о параллельных, т. е. было, так сказать, иначе высказанной аксиомой о параллельных. Так длилось более 2000 лет, пока, наконец, Лобачевский (и почти одновременно с ним Больяи и Гаусс) не предположил, что аксиома о параллельных не есть следствие других аксиом эвклидовой плоскости. Чтобы это показать, Лобачевский заменил эвклидову аксиому о параллельных такой аксиомой: через любую заданную точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести целый пучок прямых плоскости, не пересекающих заданной прямой. Затем Лобачевский, сохранив все остальные аксиомы Эвклида, начал строить геометрию с такой новой аксиомой о параллельных. Как далеко Лобачевский ни шёл в построении теорем своей геометрии, нигде не встречалось противоречий. Отсюда Лобачевский сделал вывод, что, во-первых, аксиома Эвклида о параллельных не следует обязательно из остальных аксиом Эвклида, т. е. не может быть при помощи их доказана, и, во-вторых, что существует вторая двухмерная геометрия, неэвклидова, имеющая все те же аксиомы, как геометрия Эвклида, кроме одной — аксиомы о параллельных, которая заменена его аксиомой. Некоторые теоремы геометрии Лобачевского, а именно те, которые не зависят от аксиомы о параллельных, такие же, как и в геометрии Эвклида, а теоремы, зависящие от аксиомы о параллельных, другие, но отступления от геометрии Эвклида тем меньше, чем фигура меньше. Так, например, сумма углов треугольника меньше 2d, но тем ближе к 2d, чем меньше треугольник и т. д.

Существенное было сделано. Была получена уверенность в существовании, другого, чем плоскость, бесконечного двухмерного пространства, обладаю-

щего полной группой движений и имеющего такие же основные свойства, выраженные в аксиомах, как у плоскости, кроме одного свойства, выраженного аксиомой о параллельных. Но из того, что противоречий при доказательстве ряда следующих друг из друга теорем не получалось, ещё не следовало, что противоречие где-нибудь дальше всё же не обнаружится. Строгого доказательства непротиворечивости своей геометрии Лобачевский так до конца жизни и не получил.

Доказательство это было дано много позже совместными усилиями ряда математиков, в основном Кэли и Клейна. В основе этого доказательства лежит принцип моделирования (т. е. толкования, интерпретации) этой геометрии в обычном пространстве Эвклида. К рассмотрению этой идеи мы и переходим.

4. Модель эвклидовой плоскости в круге

Пусть имеется обыкновенная плоскость Эвклида Р (черт. 6.) Спроектируем её следующим образом в круг. Положим на плоскость Р полусферу / так, чтобы обрез её был параллелен плоскости, и будем проектировать точки А“ плоскости Р на полусферу прямыми из центра С её обреза. Всякая точка А“ плоскости будет иметь своей проекцией одну вполне определённую точку А ' полусферы /, и обратно, всякая точка А' полусферы /, не лежащая на её обрезе, будет проекцией некоторой, и притом только одной точки А“ плоскости Р. Прямые плоскости Р будут проектироваться в дуги больших кругов полусферы /, имеющих своими диаметрами диаметры её обреза. Далее, можно ещё точки А' этой полусферы, в свою очередь, спроектировать перпендикулярами А1 А в точки А плоскости круга а обреза, что, в свою очередь, произойдёт взаимнооднозначно, и тогда окончательно вся плоскость Р будет взаимнооднозначно отображена (спроектирована) в круг а. Взаимнооднозначно — это значит, что каждая точка плоскости Р отобразится в одну точку круга а, и обратно, каждая точка круга а отобразится в одну точку плоскости Р. Точкам плоскости Р будут соответствовать точки круга а, за исключением точек его окружности, т. е. его границы. Таким образом, плоскость Р отобразится на внутренность круга а. Прямым а плоскости Р будут соответствовать полуэллипсы ß круга а, имеющие своими большими осями диаметры круга а.

Любое движение плоскости Р, как жесткого целого, в себе, а следовательно, и любое движение её куска „в“ ней, можно осуществить, как известно, поворотом её вокруг некоторой точки и затем некоторыми двумя соответственно подобранными параллельными переносами её в двух зафиксированных направлениях, например, поворотом вокруг точки О, касания полусферы / с плоскостью Р, и затем некоторым параллельным пе-

Черт. 6.

реносом в направлении зафиксированной (т. е. не участвующей в движениях плоскости Р) оси ОХ и некоторым параллельным переносом в направлении зафиксированной оси OY. Как будут выглядеть эти элементарные движения плоскости Р в указанной её проекции на круг а? Вот схема, это поясняющая, на которой даны пути точек при этих элементарных движениях (черт. 7).

Черт. 7.

Расстояния между указанными проекциями точек плоскости Р на круг а не будут, само собою разумеется, равны истинным расстояниям между проектируемыми точками плоскости Р, но мы всё же будем называть „расстояниями“ между точками круга а обыкновенные расстояния между теми точками плоскости Р, проекциями которых они являются. Углом между двумя „прямыми“ круга мы будем называть также обыкновенный угол между теми прямыми плоскости Р, проекциями которых они являются, и т. д. Так будет введена так называемая метрика круга а. К любой „прямой“ круга a MKN, через любую точку А (черт. 8), на ней не лежащую, можно провести „параллельную“ „прямую“, а именно тот полуэллипс MAN который проходит через точку А и имеет своей „большой“ осью тот же диаметр круга MN, как и „прямая“ MKN, и притом только одну, так как „прямая“ с любым другим диаметром MN непременно пересечёт прямую MKN.

Определив, таким образом, основные объекты „плоскости“ а — точка, прямая, отрезок, угол и т. д. — и дав способы их измерять, мы можем всю геометрию обыкновенной эвклидовой плоскости объяснять не на самой плоскости, при помощи её точек, прямых, отрезков, углов и т. д., а на этом круге а, при помощи отображений точек, прямых, отрезков, углов плоскости на круг. Довольно странное занятие излагать геометрию Эвклида не на плоскости, а на этой проекции плоскости на круг а, но тем не менее это можно сделать.

Когда изучение одного геометрического объекта (в данном случае — обыкновенной плоскости) заменяется изучением другого геометрического объекта (в данном случае—внутренностью круга а), который так сопоставлен с первым, что его изучением можно заменить изучение этого первого объекта, говорят, что изучают данный объект по его модели, или толкованию, или интерпретации.

Гораздо труднее понять, какая мысль пришла продолжателям дела Лобачевского. Хотя Лобачевский далеко развил свою планиметрию (и стереометрию тоже, но мы для простоты будем рассматривать только планиметрию, т. е. двухмерную геометрию Лобачевского), т. е. вывел много её теорем, однако, как уже говорилось выше, он не смог доказать, что в ней нет внутренних противоречей. Ещё могло быть подозрение, что где-нибудь дальше, при дальнейшем её построении, эти противоречия появятся. Для того чтобы доказать непротиворечивость планиметрии Лобачевского (так же можно сделать и для стереометрии), продолжатели Лобачевского построили модель плоскости Лобачевского в обыкновенном эвклидовом круге а, аналогичную той, которую мы сейчас строили для плоскости Эвклида. Разница была та, что мы получали нашу модель плоскости Эвклида, проектируя её на круг а, а в случае плоскости Лобачевского этого делать было нельзя, так как мы не имели плоскости Лобачевского в нашем двухмерном пространстве.

Черт. 8.

Мы будем рассматривать модель Кэли — Клейна плоскости Лобачевского в круге а. При этом сделаем так. Интерпретацией точек плоскости Лобачевского будем считать точки круга а (черт. 9), прямых — хорды круга а, отрезков — отрезки этих хорд, интерпретацией движений плоскости Лобачевского — некоторые элементарные преобразования круга а в себя и их комбинации, расстоянием Лобачевского между двумя точками и углом Лобачевского между двумя прямыми — величины, определяемые соответственными точками и хордами круга, которые будут пояснены дальше. После того, как всё будет сделано, окажется, что для этих „точек“, „прямых“, „отрезков“, „расстояний“, „углов“ выполняются все аксиомы Лобачевского, т. е. что это есть модель плоскости Лобачевского, в которой каждая теорема планиметрии Лобачевского выражает некоторое свойство фигур на эвклидовой плоскости.

Таким образом, если нет противоречий в самой эвклидовой геометрии, то нет противоречий и в геометрии (в данном случае в планиметрии) Лобачевского. Далее окажется, что кусок, именно круговой сектор плоскости Лобачевского, можно осуществить в виде обыкновенной кривой поверхности, так называемой псевдосферы, в обыкновенном пространстве Эвклида, точками на которой будут считаться её точки, а прямолинейными отрезками — кратчайшие линии на этой поверхности, т. е. те линии, которые получаются, если натянуть между двумя её точками ниточку, лежащую на этой поверхности. Расстоянием между двумя точками является длина такой ниточки, т. е. ближайшее расстояние между точками вдоль этой поверхности; „угол“— угол между касательными к этим „прямым“, проведённым к ним в точке их пересечения. Окажется, что хотя эта поверхность не есть ни плоскость, ни сфера, ни их кусок или результат изгибания, тем не менее по ней возможна полная группа движений её куска (если только не придвигать его слишком близко к её границе)1.

Однако, чтобы все это доказать, нам надо будет сначала рассмотреть ряд элементарных лемм, к чему мы и переходим.

5. Несколько элементарных лемм

Мы будем называть сжатием с коэфициентом ft (где ft — некоторое положительное число, меньшее единицы) пространства ft, некоторой плоскости Р, такое преобразование всего пространства, при котором все точки самой плоскости Р остаются на месте, любая другая точка пространства остаётся с той же стороны от этой плоскости и на том же перпендикуляре к ней, на котором она лежала до сжатия, но лежит на нём так, что её расстояние от плоскости Р будет равно старому её расстоянию, умноженному на ft. Аналогичное преобразование, но с коэфициентом, большим единицы, будем называть растяжением от плоскости Р (черт. 10).

Очевидно, что при таком сжатии или растяжении любая прямая AD пространства преобразуется в прямую же, что следует из того, что точки Л, В, С этой прямой перейдут в точки А', В\ С такие, что _ A'A = kÄA,_ B'B = k • ВВ, С С, = ft • СС, где АА, ВВ, СС перпендикуляры, опущенные на плоскость Р. Но прямоугольные треугольники AAD, BBD» CCD подобны, следовательно и прямоугольные треугольники A'AD, BrBDy CCD тоже подобны, т. е. углы их при точке D одинаковы, и потому DA\ DB\ DC лежат на одной прямой (черт. 10).

Черт. 9.

1 У нас останутся недоказанными две дальнейшие капитальные вещи, а именно: 1° что нет никакой 4-й поверхности, отличной от куска плоскости, сферы, псевдосферы или результатов их изгибаний, на которых возможна полная группа движений, и 2° что нельзя осуществить всю плоскость Лобачевского в целом виде обыкновенной поверхности в трёхмерном пространстве. Но доказательство этих фактов уже гораздо более трудно.

Далее, легко видеть, что точка м, делящая отрезок ab в данном отношении, переходит в точку m, делящую преобразованный отрезок агвг в том же отношении. Это следует из того, что если параллельные прямые аа, мм, вв пересечь двумя секущими db и db' то, как известно, секущие разрежутся ими на пропорциональные части (черт. 11). Отсюда следует, что любой прямолинейный отрезок переходит в прямолинейный отрезок.

Черт. 10.

Черт. 11.

Перейдём теперь к доказательству первой из двух основных лемм, важных для дальнейшего.

Лемма I. Пусть Р и Q (плоскости (черт. 12), касающиеся некоторого прямого кругового конуса с прямым углом при вершине по двум противоположным образующим OU и OV. Если сделать сжатие пространства к плоскости Р с некоторым коэфициентом k и затем растяжение его от плоскости Q с коэфициентом 1 = \, то в результате такого составного преобразования пространства, которое мы будем обозначать через L, конус в целом, а также совокупность всех полупрямых пространства, проходящих через его вершину О и идущих внутри него, преобразуется в себя. При этом пути точек пересечения этих прямых с плоскостью 5, секущей конус перпендикулярно его оси (и которую мы будем предполагать не участвующей в этом преобразовании), будут при изменении к в преобразовании L полуэллипсами, большая ось которых есть диаметр UU того круга, по которому плоскость 5 сечёт конус.

Под прямым круговым конусом с прямым углом при вершине мы понимаем здесь бесконечную поверхность, получаемую в результате вращения стороны угла в 45° вокруг другой его стороны.

Черт. 12.

Для доказательства этой леммы проведём некоторую плоскость /?, пересекающую плоскость Р и плоскость Q и параллельную к плоскости R0, проходящей через упомянутые образующие OU и 01/. Эта плоскость R пересечёт конус по некоторой бесконечной линии 7, называемой гиперболой. Если брать различные плоскости R, параллельные плоскости R0, то получаются аналогичные гиперболы, так что вся поверхность конуса будет состоять из таких гипербол (черт. 13 и 13-а).

Покажем, что для всех точек любой одной и той же из таких гипербол произведение ху расстояний до плоскостей Р и Q есть величина постоянная.

Действительно, пусть M какая-нибудь точка одной из этих гипербол f. Проведём через точку M плоскость S, перпендикулярную к оси конуса. Она пересечёт конус по некоторой окружности а, плоскости Р и Q —по касательным к этой окружности, касающимся её в точках U и V, лежащих на упомянутых образующих (черт. 14). Вписанный угол UMV опирается на диаметр, и поэтому прямой, т. е. треугольник UMV прямоугольный. Мы имеем, следовательно, по известной теореме о высоте прямоугольного треугольника и отрезках гипотенузы xy=d2. Но х = х V2, у=у \^2, и, следовательно, мы имеем для точки M гиперболы 7, получающейся в сечении конуса плоскостью R, ^у = “2~. Но для любой другой точки этой же гиперболы произведение ху будет то же самое, так как d есть просто расстояние от рассматриваемой плоскости R до параллельной ей плоскости Ro. Итак, постоянство произведения ху расстояний до плоскостей Р и Q для всех точек любой одной из гипербол т доказано. Очевидно и обратное: что если точка, лежащая в плоскости R, имеет такое произведение ху, то она принадлежит этой гиперболе т.

Сделаем теперь сжатие всего пространства к плоскости Р с коэфициентом k и растяжение от плоскости Q с коэфициентом 1 = -\ъ т-е. преобразования про-

Черт. 13.

Черт. 13 а

Черт. 14.

странства, которые мы обозначали через/.. Плоскость R, как перпендикулярная и к Р и к Q, очевидно, при этом перейдёт в себя, и любая точка её, для которой рассматриваемые расстояния были х и у, перейдёт в точку с расстояниями х'= kx и у'=-£-уУ т. е. если для этой точки было ху — —, то для той точки, в которую она преобразуется, будет тоже ху' = kx • -j-y = ху = -у. При преобразовании L, следовательно, рассматриваемая гипербола 7 перейдёт в себя. Но по той же причине и каждая из гипербол, соответствующих любой другой плоскости R, параллельной R0, из которых состоит поверхность конуса, также перейдёт в себя, т. е. и вся поверхность конуса перейдёт в себя.

Посмотрим теперь, как при таком преобразовании L, состоящем из указанных сжатия и растяжения, преобразуются прямые 8 (черт. 15), проходящие через вершину О конуса и лежащие внутри него или на его поверхности. Напомним, что мы считаем, что плоскость S и, следовательно, круг а не участвуют в преобразовании L пространства. Перемещение указанных прямых 8 при преобразовании L будем прослеживать по передвижению тех точек, в которых эти прямые пересекают плоскость S. Очевидно, что если прямая 80 лежит в плоскости R0 и является не образующей конуса, а внутренней его прямой, то при изменении коэфициента k в преобразовании L она будет преобразовываться так, что точка Л0, в которой она пересекает плоскость S, будет скользить вдоль диаметра UV. Если прямая Ьх лежит на поверхности конуса, т. е. есть одна из его образующих, но не совпадает ни с образующей OU, ни с образующей OV, то она будет проходить через некоторую точку M гиперболы 7 и, как это ясно из предыдущего, при изменении k в преобразовании L будет зачерчивать поверхность конуса (собственно половину его поверхности), и, следовательно, точка Аг, её пересечения с плоскостью S, будет скользить по соответствующей полуокружности окружности а. Рассмотрим теперь любую прямую 8, лежащую внутри конуса, но не лежащую в плоскости /?0. Проведём через эту прямую 8 и „конёк“ DE „крыши“ плоскость Т и рассмотрим прямые 80 и 8lf лежащие в этой плоскости. Очевидно, что отношение, в котором любой отрезок, параллельный DE, соединяющий точки прямых 80 и Ь19 делится прямой 8, не будет изменяться при любом преобразовании L, так как оно не меняется уже при составляющих его сжатии и растяжении. При изменении k в преобразовании L, следовательно, точка А19 пересечения прямой 8j с плоскостью S, будет описывать полуокружность а, точка Л0, пересечения прямой 80, будет скользить до диаметру UV, оставаясь всё время проекцией точки Л, на этот диаметр, а точка Л, пересечения прямой 8 с плоскостью S, будет оставаться на отрезке АгА0 и делить его в постоянном отношении, т. е. будет описывать некоторый эллипс (собственно полу эллипс), т. е. сжатую к UV окружность а с большою осью UV. Пути движения точек пересечения прямых 8 с плоскостью 5 при изменении k в преобразовании L будут полуэллипсы (черт. 15).

Лемма I доказана полностью.

Рассмотрим на прямой четыре последовательные точки М, Л, В, N. Частное от деления того отношения -щ- , в котором точка Л делит отрезок MN9 на то отношение -^щ- , в котором его делит точка В, т. е. число -д^- • -д^' называется двойным отношением, образуемым точками М, А, В* N. Двойное отношение обозначается так: (MABN).

Лемма II. Если задачи четыре полупрямые, исходящие из одной точка

Черт. 15.

и лежащие в одной плоскости, то двойное отношение, в котором делится любая секущая этими четырьмя полупрямыми, для любой секущей одно и то же (черт. 16).

Доказательство. Пусть длины отрезков ОМ, OA, OB, ON суть m, a, b, n, a длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую MN, равна А. Из рассмотрения соответствующих треугольников получим AN - h = a /г sin (а, п), откуда

Черт. 16.

Аналогично

Подставляя эти формулы в исследуемое двойное отношение, мы получаем:

т. е. оказывается, что рассматриваемое двойное отношение зависит только от углов между заданными четырьмя полупрямыми. Мы имеем, следовательно,

Лемма доказана1.

6. Интерпретация (модель) плоскости Лобачевского

Рассмотрим некоторый круг а и будем его условно называть „плоскостью“ Лобачевского, его внутренние точки — „точками“ Лобачевского, его хорды — „прямыми“ плоскости Лобачевского. Отрезки этих хорд—„прямолинейными отрезками“ плоскости Лобачевского.

Объясним теперь, что мы будем называть „движениями“, как жёсткого целого, плоскости Лобачевского в себе. Одним из элементарных таких „движений“ мы будем считать любой поворот (обыкновенный) на тот или иной угол круга а вокруг своего центра. Труднее пояснить, что мы будем называть вторым элементарным её „движением“ в себе. Для этого повторим построение, рассмотренное в лемме I предыдущего пункта

Предположим, что мы сделаем преобразование L (с некоторым коэфициентом k) пространства по отношению к „крыше“ PQ этого построения. Как мы видели в лемме I, все полупрямые, исходящие из вершины конуса и идущие внутри него, при этом преобразуются в такие же полупрямые. Если мы сжимаем к плоскости Р и растягиваем от плоскости Q, то эти полупрямые 8 как бы „сгустятся“ внутри конуса к плоскости Р и „разредятся“ у плоскости Q (черт. 17 и 18). Плоскость S, а следовательно, и круг а, мы будем считать не участвующими в преобразовании. В таком случае при преобразовании L точки круга а, в которых он пересекается полупрямыми, как бы сгустятся в сторону U и разредятся от стороны V, передвигаясь при изменении k по эллипсам. Такое перераспределение точек круга а мы будем называть вторым элементарным „движением“ плоскости Лобачевского а, как

Черт. 17.

1 Эта лемма, является одной из основных лемм проективной геометрии.

целого, в себе. Мы будем говорить, что это движение индуцировано преобразованием L с данным коэфициентом k.

Сделаем теперь построение леммы I, но с „крышей“, имеющей „конёк“, пер пендикулярный к „коньку“ DE, т. е. построение, играющее ту же роль по отношению к диаметру WT круга а, перпендикулярному к диаметру UV, какую само построение леммы I играет по отношению к диаметру UV. Преобразование круга а, индуцированное преобразованием U по отношению к этой крыше (с тем или иным коэфициентом k'), мы будем называть третьим элементарным „движением“ „плоскости“ Лобачевского отсоединение этих двух последних „движений" круга а в себе уже позволяет любую точку Л, лежащую внутри этого Круга, передвинуть в любую другую его точку А', а если ещё сделать предварительно нужный поворот круга а вокруг его центра, то можно добиться сверх того, чтобы кусок круга, прилегающий к точке Л, был в окончательном своём положении около точки Л' повернут так, как мы хотим.

Любая комбинация этих трёх элементарных „движений“ плоскости Лобачевского называется „движением“ плоскости Лобачевского.

Заметим, что хотя внешне пути точек при изменении k в L и к' в V те же самые эллипсы, что и пути точек при параллельных переносах в направлении X и Y плоскости Эвклида, которые получались в модели (проекции) плоскости Эвклида в круге а, но смысл их совсем другой. Там эти полуэллипсы были проекциями параллельных прямых и передвижение по этим эллипсам (UV) такое, при котором эллипсы (WT) переходят последовательно друг в друга, соответствовало параллельному переносу эвклидовой плоскости в направлении UV. Здесь же эти эллипсы вообще не прямые плоскости Лобачевского. Прямые её суть хорды круга а, и преобразование L даёт не параллельный перенос плоскости Лобачевского, а передвижение её точек по так называемым „эквидистантам“ к прямой UV.

Наконец, „расстоянием“ Лобачевского d(AB) от точки Л до точки В круга а (которые обе внутренние — только такие точки суть „точки“ плоскости Лобачевского) мы будем называть логарифм двойного отношения (MABN), где MN та хорда круга а, на которой лежат точки Л и В, причём M, А, В, N четыре её последовательные точки.

d(AB) = ln(MABN)

Так как (MAAN)=\, то d(AA) = 0. Так как (MABN) = (NВАМ), то d(AB) = = d(BA). Кроме того, легко видеть, что если точка В не совпадает с точкой Л, то (MABN) всегда больше 1, т. е. d(AB)>0. Всё это обстоит ровно так же, как для обыкновенного расстояния на эвклидовой плоскости.

Докажем теперь несколько теорем о „плоскости“ Лобачевского.

Теорема 1. „Расстояние“ между двумя точками плоскости Лобачевского не изменяется при её „движениях“.

В случае простого поворота круга а вокруг его центра, очевидно двойное отношение (MABN) не изменяется, а следовательно, не изменяется и его логарифм, т. е. „расстояние“ между точками Л и В.

Рассмотрим теперь преобразование L, например, по отношению к диаметру UV, с некоторым данным коэфициентом k. Что сделается с самой хордой MABN круга а при таком преобразовании? Она, вообще говоря, перестанет быть хордой круга а, но останется некоторой хордой MÄBN конуса (черт. 19), так как при сжатии и растяжении составляющих/, она, как прямолинейный отрезок, перейдёт опять в прямолинейный отрезок, а концы её останутся на конусе (каждый передвинется по нему по соответственной гиперболе 8). При этом мы будем иметь (MÄßN)=(MABN), так как при сжатии и растяжении составляющих L даже простые отношения, в которых делят хорду MN точки Л и В,

Черт. 18.

не изменятся. Та хорда круга a MA'B'N', в которую преобразуется хорда его MABN „движением“ „плоскости“ Лобачевского а индуцируемым преобразованием L, будет проекцией хорды MÄBN на круг а полупрямыми 8 из вершины О конуса. Но MABN и MA'B'N' суть две разные секущие одной и той же четвёрки полупрямых 8, следовательно, в силу леммы II, мы будем иметь (MÄBN) = = (М'А' B'N'). Итак

(M'A'B'N') = (MABN),

а, следовательно, и

In {MA'B'N') = In {MABN),

т. е. „расстояние“ Лобачевского между точками круга а не изменяется при „движениях“ Лобачевского этого круга а.

Теорема 2. Для любых трёх последовательных точек А, В, С „плоскости“ Лобачевского а, лежащих на одной „прямой“, расстояния аддитивны, т. е. d(AB) + d(BC)--=d(AC)

Действительно:

так как сумма логарифмов равна логарифму произведения.

Теорема 3. Для любых трёх точек А, В, С „плоскости“ Лобачевского, не лежащих на одной прямой, выполняется неравенство треугольника

d{AB) + d(BC)> d(AC)

Соединим прямыми точки M и Р, а также N и Q (черт. 20), и пусть К точка пересечения этих прямых. В силу леммы II, мы имеем (MABN) = (ArAGC) и (PBCQ) = (A'GCC), следовательно,

или, рассуждая, как в предыдущей лемме:

т. е.

так как

Таким образом,

d(AB)+d(BC)>d(AC).

Если длиной линии „плоскости“ Лобачевского считать так же, как и для плоскости Эвклида, предел суммы расстояний между последовательными точками, взятыми на этой линии, когда число этих точек увеличивается до бесконечности, а расстояния между соседними точками стремятся все к нулю, то из доказанного в теореме 3 неравенства треугольника, как обычно, следует, что прямолинейный отрезок „плоскости“ Ло-

Черт. 19.

Черт. 20.

бачевского, соединяющий две ее точки А и В, есть кратчайшая линия этой „плоскости“, соединяющая эти точки.

Рассмотрим более подробно метрику „плоскости“ Лобачевского. Пусть в круге а имеется около его центра маленький отрезочек (элемент) эвклидовой длины (длины в обычном смысле) А, перпендикулярный его диаметру UV (черт. 21). В таком случае при „движении“ Лобачевского, при котором этот диаметр переходит в себя, в силу того, что эвкидистанты суть эллипсы, эвклидова длина А' этого элемента уменьшается при удалении его от центра круга а, как sincp, т. е. A' = Asincp. При „движениях“ Лобачевского круга а хорды его переходят, как мы видели при доказательстве теоремы 1, опять в хорды, и., следовательно, прямолинейные отрезки, лежащие в круге а, в прямолинейные отрезки, причём отрезки, перпендикулярные к диаметру UV, при „движении“, индуцируемом преобразованием L, при котором диаметр UV переходит в себя, переходят в отрезки, ему перпендикулярные, а отрезки, лежащие на диаметре UV, в отрезки, лежащие на этом диаметре.

Покажем теперь, что если на диаметре UV около центра лежит весьма малый прямолинейный отрезок эвклидовой длины А, то его эвклидова длина А', при таком удалении от центра по этому диаметру UV, будет убывать, как sin2cp, т. е. приближенно A'=Asin2cp. Действительно, если сделать преобразование L и затем такую гомотетию из точки О (при которой полупрямые 8, исходящие из О, переходят каждая в себя и которая, следовательно, не передвигает точек круга а), чтобы компенсировалось сжатие к плоскости Р, то в сечении фигуры, изображённой на черт. 22, произойдёт только растяжение от прямой OV с коэфициентом /2=-р. При этом диаметр UV длины 2г перейдёт в отрезок U*V некоторой длины 2а и при этом растянется равномерно. Следовательно, элемент А диаметра UV перейдёт в элемент А* отрезка U*V такой, что А* = А . у . Если бы мы далее проектировали элемент А*, лежащий на U*V, на UV прямыми, параллельными OA, то он помножился бы на —9 как это ясно из треугольника ACV, а так как он проектируется на UV полупрямыми, исходящими из точки О, то он помножится ещё на —. Окончательно мы будем иметь А' = А- . — • ъ или А' = А—. Но из треугольников О AB и OCU получается ^ = у и, следовательно, А' = А • ~, но cd = s2, т. е. А' = Д^ или A'=Asin2cp,

Полученные результаты мы можем применить к тому, чтобы пояснить, что такое „угол“ Лобачевского между двумя „прямыми“ плоскости Лобачевского. Дело в следующем. Если взять вокруг

Черт. 21.

Черт. 22.

центра круга а маленький кружок и „передвинуть“ его в смысле Лобачевского вдоль диаметра UV, то в силу сказанного вертикальный диаметр кружка уменьшится в sin«? раз, а горизонтальный в sin2? раз, т. е. отношение их в sincp раз. Если этот маленький эллипс спроектировать лучами, перпендикулярными к плоскости а на касательную плоскость Р к шару, имеющему окружность а своим экватором, касающуюся шара в точке, являющейся проекцией центра этого эллипса, то он снова вытянется в направлении своего меньшего диаметра в ~п— раз и, следовательно, спроектируется на эту плоскость в виде кружка (черт. 23). Отсюда следует, что такая проекция перенесённого в смысле Лобачевского кружка, описанного вокруг центра круга а, будет получаться из этого кружка двумя одинаковыми взаимно перпендикулярными сжатиями в sincp раз. Таким образом, углы между двумя радиусами кружка вокруг центра круга а и этой проекцией на касательную плоскость к шару кружка, полученного его „передвижением“ в смысле Лобачевского, —будут одинаковы. „Углом“ Лобачевского между двумя „прямыми“ AB и CD „плоскости“ Лобачевского а можно поэтому считать обыкновенный угол между ортогональными к плоскости а проекциями этих „прямых“ на плоскость, касающуюся полусферы в точке, являющейся проекцией на полусферу точки пересечения этих „прямых“. Или иначе говоря, угол между касательными к полуокружностям, получаемым в сечении полусферы плоскостями, проходящими через прямые AB и CD перпендикулярно к плоскости в точке их пересечения. Такой угол, как мы сейчас доказали, инвариантен по отношению к „движениям“ Лобачевского.

7. Аксиоматика „плоскости“ Лобачевского

Если просмотреть для этой модели плоскости Лобачевского весь список аксиом эвклидовой плоскости, рассмотренных в пункте 3, то окажется, что все они остаются верными, кроме одной — аксиомы о параллельных.

На плоскости Эвклида через любую точку С, не лежащую на данной её прямой MN, можно провести одну, и только одну, прямую, параллельную этой прямой, т. е. при продолжении в обе стороны, её не пересекающую. А на плоскости Лобачевского дело обстоит совсем иначе. Через точку С можно провести целый пучок „прямых“ „плоскости“ Лобачевского, не пересекающих прямой MN. Две крайние из них M'N и N'M пересекают „прямую“ MN на окружности круга а, т. е. в бесконечности, и поэтому называются параллельными к прямой MN (черт. 24).

8. Псевдосфера Бельтрами.

В 1868 году Бельтрами показал, что существует такая поверхность—псевдосфера, которая даёт интерпретацию (толкование) куска плоскости Лобачев-

Черт. 23.

Черт. 24.

ского, если точками считать её точки; длинами линий, на ней начерченных,— обыкновенные их длины; прямыми (или скорее прямолинейными отрезками) — кратчайшие её линии, соединяющие пары точек, и т. д. К сожалению, как это гораздо позже показал Гильберт, нет такой поверхности в нашем трёхмерном пространстве, которая в этом же смысле интерпретировала бы не кусок плоскости Лобачевского, а всю плоскость Лобачевского в целом. Это доказательство Гильберта труднее, и мы на нём останавливаться не можем.

Поясним теперь, что такое псевдосфера Бельтрами.

Возьмём круговой сектор на обыкновенной эвклидовой плоскости Р и свернём его в конус. Получится обычный конус (т. е. боковая поверхность обыкновенного прямого кругового конуса (черт. 25 и 26). Если взять сектор на сфере, свернуть его и склеить, то получится „выпуклый конус“, поверхность, похожая на поверхность головки снаряда (черт. 27 и 28). Почему это? Конечно, потому, что поперечное расстояние между близкими радиусами (радиусами, делающими небольшой угол друг с другом) у сектора плоскости растёт просто пропорционально длине радиуса от вершины сектора, а у сферического сектора медленнее длины этого радиуса; если же взять сферический сектор, идущий до противоположного полюса шара, то после его сгибания и склеивания получится даже сигарообразная поверхность. Что же касается плоскости Лобачевского, то, как это легко вывести из законов sincp и sin2cp, наоборот, длина Лобачевского поперечного расстояния между близкими радиусами растёт быстрее, чем длина радиуса Лобачевского (черт. 29). Поэтому, если хотеть, чтобы эти длины были обыкновенные эвклидовы длины соответствующих линий, то надо взять соответственно „вогнутый конус“ (черт, 30).

При этом ясно, что когда наклон элемента его поверхности дойдёт до прямого угла с осью, то дальше выгибать уже некуда, т. е. что, чем больше угол сектора, тем короче должен быть его радиус для того, чтобы его можно было интерпретировать в эвклидовом пространстве в виде такого „вогнутого конуса“. Такой „вогнутый конус“ называется псевдосферой Бельтрами. Внутренняя метрика его в двух взаимно-перпендикулярных направлениях совпадает с метрикой плоскости Лобачевского. По непре-

Черт. 25.

Черт. 26.

Черт. 27.

Черт. 28

Черт. 29.

Черт. 30.

Черт. 31.

рывности отсюда можно показать, что и в любых направлениях она совпадает. Отсюда следует, что любой кусочек псевдосферы можно передвигать по ней в любое место и любым способом поворачивать на ней, лишь бы, конечно, он не налезал на вершину псевдосферы и на окружность её основания. На псевдосфере имеется, таким образом, полная группа движений (черт. 31 ).

ИСТОЧНИКИ ПРИОБРЕТЕНИЯ И ПОТЕРИ КОРНЕЙ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ

И. А. ГИБШ (Москва)

1. Введение. Настоящая статья посвящена установлению причин приобретения и потери корней данного уравнения при последовательной замене его другими уравнениями, выполняемой в процессе решения.

2. Тождество. В учебниках алгебры два алгебраических выражения, имеющие равные числовые значения при всех значениях входящих в них букв, называются тождественно равными между собою, а равенство, выражающее утверждение, что два алгебраических выражения имеют равные числовые значения при всех значениях входящих в них букв, называется тождеством. Однако позже эти определения заменяются более точными: именно, два алгебраических выражения называются тождественно равными между собою в том случае, если равенство их числовых значений имеет место для всех тех значений входящих в них букв, при которых эти числовые значения существуют.

Так, например, равенство

(1)

имеет место для всех значений буквы а, за исключением значения 2: при а = 2 левая часть равенства (1) не имеет числового значения (теряет смысл). Равенство

(2)

имеет место при всех значениях букв а и Ь, отличных от значений b = 0, Ь = а, Ь — -^а: при ô = 0 обе части равенства (2) не имеют числового значения (теряют смысл); при Ь = а и ô = — а не имеют числового значения соответственно только левая и только правая части равенства (2). Равенство

(3)

верно при всех значениях буквы х, отличных от значений (2л+1)-^-, так как при этих значениях буквы х обе части равенства (3) теряют смысл. Равенство

не выполняется только при х == п я и = х=(2п-{-1)-^-, так как при х=пк обе его части теряют смысл, а при х = (2п-\- 1)-^- правая часть не имеет числового значения.

Равенство

у/а-2 - v/a-5 =у/(а-2)(а-5) (5),

устанавливающее связь между тремя арифметическими корнями, имеет место только для значений буквы а, не меньших, чем число 5, ибо при 2 < а <5 корни yJa — Ь и у/ (а — 2) (а — 5), а при а <2 корень \ja-2 не представляют собою арифметических корней.

Равенство

(6)

справедливо только при \а \ < 1, \Ь \ < 1 и при каждом из условий: 1) ab КО;

3. Рациональные уравнения. Для решения уравнения

(1)

мы умножаем обе части этого уравнения на общий знаменатель 2{х—1 ) (л; 4) всех его дробных членов, в результате чего получаем уравнение

(2),

которое эквивалентно данному уравнению (1), так как при умножении обеих частей данного уравнения (1) на целое относительно буквы х выражение *2(х—\)(х-\-А) мы могли только приобрести корни 1 и — 4, но так как эти числа обращают в нуль знаменатели дробных членов уравнения (2), то числа 1 и —4 не являются корнями уравнения (2).

Выполним теперь сокращение дробных членов уравнения (2). Тогда мы придём к уравнению

(х+1)(х + 4) = 9(х-1) + 2(х + 4)> (3)

которое не эквивалентно уравнению (2), так как его корнем служит число 1, не удовлетворяющее уравнению (2).

Таким образом, при переходе от уравнения (2) к уравнению (3) мы приобрели корень. Но в чём состоял этот переход? Уравнение (3) было получено из уравнения (2) путём сокращения его дробных членов, т. е. путём замены этих членов целыми членами на основании тождеств:

Однако замененные дробные члены не имеют числовых значений соответственно при X == 1, X = — 4, X = 1, между тем как заменившие их целые члены имеют числовые значения при этих значениях неизвестной х.

Поэтому в результате произведённого преобразования мы перешли от уравнения (2), корнями которого не могли служить числа 1 и —4, к уравнению (3), для которого эти числа могут являться корнями. Путём подстановки убеждаемся, что в рассматриваемом примере число 1 как раз оказывается корнем уравнения (3).

Итак, источником появления постороннего корня при освобождении уравнения (1) от дробных членов послужил именно тот факт, что после умножения всех членов уравнения на общий знаменатель всех его дробных членов мы заменили полученные дробные члены тождественно равными им целыми членами, имеющими определённые числовые значения для всех значений неизвестной X, включая и те, для которых замененные дробные члены не имеют смысла.

4. Решим то же уравнение (1) другим путём. Перенеся все его члены в левую часть, преобразуем левую часть полученного уравнения к виду дроби; тогда уравнение (1) заменится эквивалентным ему уравнением

которое после преобразований в числителе может быть представлено сперва в виде

а затем — в виде

(4)

Так как числитель и знаменатель левой части уравнения (4) содержат общий множитель X — 1 в одной и той же степени, то после сокращения левой части на х — 1 мы заменим её дробью х_5, которая при не обращается в нуль.

5. К иному выводу мы придём, решая тем же путём уравнение

Именно, после приведения уравнения (5) к виду

£^£-0 (6)

мы получаем уравнение, левая часть которого есть дробь, допускающая сокращение на двучлен х — 1 ; но так как двучлен л — 1 содержится в числителе этой дроби в более высокой степени, чем в знаменателе, то после сокращения левой части уравнения (6) на х — 1 мы заменим её выражением х—\у которое при X = 1 обращается в нуль, в виду чего число 1 будет служить корнем уравнения

*-1=0, (7)

так что при решении данного уравнения (5) указанным путём мы приобретём корень 1. Этот факт является результатом замены дроби ^—^г, не имеющей числового значения при х=1, тождественно равным ей выражением, имеющим числовое значение при х = 1 и притом именнр значение 0.

6. Иррациональные уравнения. Иррациональному уравнению

v/3F+T + \/х~^4 = у/4* +5, (1)

членами которого являются арифметические квадратные корни, соответствует сопряжённое уравнение

v/ЗЗс+Т + \/ х — А = — v/4x + 5, (2)

которое, очевидно, корней не имеет, так как сумма двух положительных чисел не может быть равной отрицательному числу. Поэтому при возвышении обеих частей уравнения (1) в квадрат мы получим уравнение

(Уз^+Т+)2 = (v^+5)2, (3)

эквивалентное уравнению (1).

Выполним теперь тождественные преобразования в обеих частях уравнения (3). Мы придём к уравнению

4д: + 2у/(Зл:+1)(л:~4)-3 = 4л: + 5,

которое может быть заменено эквивалентным ему уравнением

v/(3*+1Ka;-4) =4. (4)

Но уравнение (4) не эквивалентно уравнению (3). В самом деле, уравнение (4) имеет корни--1- и 5, из которых корень—J- является посторонним для уравнения (3), ибо при х = —^ подкоренные выражения Sx -f-1, х — 4 и Ах-\-Ь имеют отрицательные значения. В чём же состоит причина появления постороннего корня при переходе от уравнения (3) к уравнению (4)? Причина и на этот раз кроется в применении тождеств

(v^+T)2==3^+l, (5)

(/7Z74)2 = X__4) (6)

(у^+5)2=4л: + 5, (7)

\/3Î^-\/^T = }J(3x + \)(x--4), (8)

левые и правые части которых имеют определённые числовые значения не при одних и тех же значениях неизвестной х: именно, в тождествах (5), (6) и (7) левые части имеют определённые числовые значения соответственно при х>~ ~ , при X > 4 и при X > —~-, а правые части -— при всех действительных значениях неизвестной х\ в тождестве (8) левая часть имеет определённое числовое значение при х > 4, а правая часть — не только при X > 4, но и при X ^--1- , в чём можно убедиться, решив неравенство

(3x+l)(*-4)>0. (9)

Выражение у/(3л; + 1) (х — 4) представляет собою арифметический корень при всех значениях буквы х, удовлетворяющих неравенству (9), т. е. как при х > 4, так и при X <--^-, между тем как выражение \/Зх4- 1 • \J х — 4 представляет собою произведение арифметических корней, равное арифметическому корню \!(Ъх +1 ) (х — 4), только лишь при значениях неизвестной х, удовлетворяющих системе неравенств

Зл:+1>0, х-4>0, (10)

т. е. при X >4.

Поэтому число--g-, удовлетворяющее требованию (9), но не удовлетворя-

ющее требованию (10), оказалось для уравнения (3) посторонним корнем.

Итак, при решении иррациональных уравнений, содержащих только квадратные радикалы, посторонние корни могут появляться не только в результате возвышения обеих частей уравнения в квадрат, но и после преобразований, состоящих в замене некоторых членов уравнения тождественно равными им выражениями, но определёнными также для тех значений неизвестной х, для которых заменяемые члены уравнения не определены.

7. Из приведённых рассуждений вытекает следующий практический вывод: для того, чтобы корень уравнения, полученного путём возвышения обеих частей данного иррационального уравнения, содержащего только квадратные радикалы, в квадрат и выполнения всех тождественных преобразований, был корнем данного или сопряжённого с ним иррационального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы этот корень удовлетворял системе неравенств, выражающих условие действительности радика лов, входящих в данное уравнение.

Так, для уравнения (1) это условие выражается системой неравенств:

3x-fl>0, х- 4>0, Ах + Ь > 0,

которые совместны при х > 4.

8. Тригонометрические уравнения

Для решения уравнения

tg-f 0 + cos*) = 0 (1)

последовательно заменяем его уравнениями:

(2)

(3) (4)

из которых последнее имеет решение 180°/г, где п есть любое целое число. Но так как tg—^— имеет числовое значение (именно 0) только при n = 2k, то уравнению (1) удовлетворяет только решение 180° • 2k = 360%, а решение 180° {2k + 1) является посторонним для уравнения (1). Какое же из выполненных преобразований повлекло за собою появление этого постороннего решения? Так как равенство

(5)

имеет место для всех действительных значений переменной х, а обе части равенства

имеют равные числовые значения или теряют числовой смысл для одних и тех же значений переменной ху то замена левых частей этих равенств их правыми частями в левой части уравнения (1) привела к уравнению (2), эквивалентному уравнению (1). Переход от уравнения (2) к уравнению (3) выполнен посредством сокращения левой части уравнения (2) на cos у, т. е. путём замены её тождественно равным ей выражением 2 sln^-cos^-. Но равенство

(6)

имеет место для всех действительных значений переменной л* отличных от значения 180° (2А+1): при х=180о(2£+1) правая часть равенства (6) имеет значение 0, но левая часть не имеет числового значения. Следовательно, в результате произведённой замены левой части уравнения (2) левой частью уравнения (3) могло появиться постороннее решение 180° (2k-\-\). Выше мы убедились в том, что это решение действительно является посторонним для уравнения (1).

Итак, и в данном случае источником возникновения постороннего решения явилось преобразование, состоявшее з замене выражения, не имевшего числового значения для некоторого множества значений переменной х, тождественно равным ему выражением, имеющим числовое значение при всех значениях переменной х. При этом посторонними корнями оказались как раз те значения

переменной х, для которых заменяемое выражение теряет смысл.

9. Если для решения уравнения

ctg* + tg(x + 45°)+l=0 (7)

мы заменим первый член его левой части выражением т—-, то, как можно убедиться подстановкой, мы потеряем решение 90° + 180°л = 90в(2я + 1). Эта потеря решения 90°(2я + 1) оказалась возможной потому, что 90° (2/t -f- 1 ) есть как раз то значение переменной х, при котором замененный член ctgx имеет числовое значение, а заменившее его выражение — теряет смысл.

10. Если для решения уравнения

sec л: — tg X = sin х -f- cos х (8)

мы выразим все его члены через tg у , то это уравнение заменится уравнением

При этом преобразовании мы потеряем решение 180° (2/г —f-1), в чём можно убедиться подстановкой. Эта потеря решения 180° (2п -f- 1 ) оказалась возможной потому, что 180° (2/г -f-1) есть то значение переменной х, при котором нарушаются равенства:

послужившие основанием для замены членов уравнения (8).

11. О производной пропорции. Если уравнение имеет вид пропорции, то нередко его заменяют другим уравнением, представляющим собою по отношению к данному уравнению производную пропорцию, полагая, что эти уравнения эквивалентны. Но это не так. При решении уравнения путём замены его производной пропорцией необходимо пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Для нахождения корней уравнения

(1)

где /,(*), g,(x), /2(х), gt(x) суш выражения, вообще содержащие неизвестную X, достаточно найти корни уравнения

(2)

и затем исключить из найденных корней те, которые обращают в нуль знаменатели gi(x) и £2(л;), и присоединить к найденным корням корни системы

(3)

Доказательству этой теоремы предпошлём следующую лемму.

Лемма. Если четыре числа а, Ь, с, d связаны пропорцией

(4)

и если при этом каждое из отношений этой пропорции отлично от 1, т. е. афЬ и следовательно, с фа, (5) то имеет место и производная пропорция

(6)

В самом деле, при выполнении равенства ad = bc, вытекающего из пропорции (4), выполняется и равенство

(a-\-b)(c — d)=r-{a — b) (c-\-d);

но из этого равенства, при наличии (5), следует пропорция (6).

Следствие. Если четыре числа а, Ь, с, d связаны между собою пропорцией (6) и если при этом числа b и d отличны от нуля, то имеет место пропорция (4).

В самом деле, если ЬфО и афО, то а-^-Ьфа — Ь nc-^-d^c — d; поэтому к пропорции (6) может быть применена лемма; пользуясь ею, мы убеждаемся, что при ЬфО и d^O пропорция (6) влечёт за собою пропорцию (4).

Обратимся к доказательству теоремы. Если а есть корень уравнения (2), то имеет место пропорция

Для того чтобы из этой пропорции вытекала пропорция

(8)

достаточно (в силу следствия из леммы), чтобы имели место соотношения g*i(a)^0, g2(<x)zpO, т. е. чтобы число а не обращало в нуль знаменателей gx(x) и g2(x) в уравнении (1). Поэтому каждый корень уравнения (2), не обращающий в нуль знаменателей gt(x) и g2(x) в уравнении (1), есть вместе с тем корень уравнения (1). Очевидно, что те корни уравнения (2), которые обращают в нуль по крайней мере один из знаменателей gi(x) и gî(x)> не могут быть корнями данного уравнения (1) и должны быть исключены.

Может ли уравнение (1) иметь корни, не принадлежащие к числу корней уравнения (2)?

Если некоторое число а удовлетворяет соотношениям

тФё№ /..(«) (9)

то, являясь корнем уравнения (1), оно служит вместе с тем корнем уравнения (2), так как при наличии соотношения (9) пропорция (8), в силу леммы, влечёт за собою пропорцию (7).

Если же число а удовлетворяет соотношениям

/i(«)=si(«), Ш~еМ> (10)

то оно, очевидно, не может служить корнем уравнения (2) и, наоборот, при условии gifa) ф 0, g2(a)z£:Q служит корнем уравнения (1), так как

Отсюда следует, что число а, которое, не находясь среди корней уравнения (2), является корнем уравнения (1), есть корень системы (3). Этот именно корень, в случае его существования, необходимо присоединить к тем корням уравнения (2), которые служат корнями уравнения (1).

В качестве примера решим уравнение

(11)

Составляя производную пропорцию, после простых преобразований приходим к уравнению

из которого получаем уравнение

(13)

эквивалентное предыдущему и не имеющее корней.

Но так как мы заменили пропорцию (11) производной пропорцией (12), то необходимо ещё решить систему

(14)

Эта система имеет корень 0. Следовательно, и данное уравнение имеет корень 0. Корень 0 был бы потерян, если бы мы не присоединили его после решения системы (14). В данном случае потеря корня не была бы следствием какого-либо тождественного преобразования, а явилась бы попросту результатом замены данной пропорции производной пропорцией.

12. Об обращении частей уравнения. Допустим, что для решения уравнения (12), которое, как мы видели, не имеет корней, мы заменили его уравнением

(15)

левая и правая части которого представляют собою дроби, соответственно обратные левой и правой части уравнения (12). Уравнение (15) имеет корень 0. Этот корень является посторонним для уравнения (12). Появление постороннего корня в данном случае может быть объяснено на основании следующей теоремы:

Теорема. Если уравнение

(16)

заменено уравнением

(17)

то, найдя корни уравнения (17), необходимо исключить из них те, которые обращают в нуль знаменатели gx(x) и g2(x), и присоединить к найденным корням корни системы

/i(*) = o, ЛС*) = о. (18)

Доказательство этой теоремы основано на том, что корнями уравнения (16) яв-

ляются как те числа, которые удовлетворяют уравнению (17), но не обращают при этом знаменателей giix) и g2 (х) в нуль (так как при а ф 0 и с =f= 0 пропорция a:b = c:d влечёт за собою пропорцию b:a = d:c), так и те числа, которые обращают в нуль оба числителя fi(x) и f2(x) в уравнении (16).

13. Системы уравнений. В заключение рассмотрим способ решения систем уравнений, состоящий в почленном умножении или делении уравнений системы (мы ограничимся системой двух уравнений).

Теорема 1. Если система двух уравнений

fi (х,У) = gi {х,У\ /а (х$У) = g* (ХУ) (1)

заменена системой уравнений

fi(xfy) = g1(x,y), fi (x,y)f2(x,y) === gl (x,y). g2 (x,y), (2)

одно из которых совпадает с каким-либо уравнением системы (1), а другое получено из уравнений этой системы путём почленного перемножения их, то, найдя решения системы (2), необходимо исключить из них те, которые удовлетворяют системе

/i(*jO'-0 A(x,v)-0 (3)

и не удовлетворяют уравнению

Доказательство теоремы 1 основано на том, что все решения системы (1) находятся среди решений системы (2), а из решений системы (2) не удовлетворяют системе (1) только те, которые, обращая в нуль каждую из частей уравнения fi(x,y) = g1(x,y), перенесённого из системы (1) в систему (2) без изменения, не удовлетворяют заменённому уравнению f2(x,y)*=g2(x,y).

В качестве примера решим систему:

х* _ 2j/3 =х + 4у, б** —19*у+15у2=1. (4)

Принимая во внимание, что левые и правые части уравнений системы (4) представляют собою однородные многочлены соответственно 3-го, 1-го, 2-го и 0-го измерений по отношению к х и у и что 3-(-0 = 2+1 (что здесь существенно), заменяем систему (4) системой

второе уравнение которой есть однородное уравнение. Разделив все члены этого уравнения на у3, мы получим уравнение

(6)

при этом мы потеряем решение х = Ог у = 0. Заменив дробь у, тождественно равную числу 1, этим числом, мы придём к уравнению

(7)

эквивалентному уравнению (6) так как после сокращения неизвестная у сохранится в знаменателе.

Введём теперь вспомогательную неизвестную, обозначив отношение у через г. Тогда уравнение (7) примет сперва вид:

гз _ 2 = (г+4) (6г2 — 19 г +15), (8)

а после упрощений — вид:

5гз + 5г2 _ 61г _|_ 62 = о. (9)

Делитель 2 свободного члена 62 есть корень уравнения (9). Поэтому уравнение (9) распадается на уравнения:

г-2 = 0 и 5г2 + 15г-31=0,

из которых находим:

Следовательно, уравнение (6) распадается на уравнения:

Умножая обе части каждого из них на у, мы получаем уравнения:

которые удовлетворяются потерянным ранее решением х = 0, у =0.

Итак, система уравнений (5) свелась к системам:

(5Х), (52),

(53).

Система (5^ имеет решения:

Согласно теореме 1, системе (4) не удовлетворяют те из этих решений, которые, являясь решением системы

х* — 2ув = 0, x + 4y = 0,

не служат решениями уравнения • б*2 - 19ЛГЗ/ + 15у2 = 1.

Этому требованию подчиняется решение (0,0), которое и должно быть исключено.

Аналогично находятся и исследуются решения систем (52) и (53).

14. Обратимся к теореме о почленном делении двух уравнений.

Теорема 2. Если система двух уравнений

fx (х*У) = gl (х*У), Л (*>У) = S2 (х,у) (1)

аменена системой уравнений

(2)

одно из которых совпадает с каким-либо уравнением системы (/), а другое получено из уравнений этой системы путём почленного деления их, то, найдя решения системы (2), необходимо исключить из них те, которые удовлетворяют системе

/iC*jO-A gl(x,y) = 0 (3)

и не удовлетворяют уравнению

и присоединить к ним те, которые одновременно удовлетворяют уравнениям

Доказательство этой теоремы основано на том, что системе (1) удовлетворяют все решения системы (2) за исключением тех, которые, обращая в нуль выражения /г(х,у) и g1{x,y)9 не удовлетворяют уравнению /2 (х,у) = g2 (х,у)% а также те пары чисел, которые одновременно удовлетворяют уравнениям (4).

В качестве примера решим систему

2(х2 + \) = ху9 2у(х2 + \) = 25х. (5)

Для этого последовательно заменим её системами:

(6)

(7)

которые эквивалентны между собою, так как в результате сокращения мы не приобрели решений. Решаем систему (7):

Следовательно, система (7) имеет решения:

(8)

Согласно теореме 2, из решений (8) должны быть исключены те решения системы

2(х2 + 1) = 0, ху = 0, (9)

которые не удовлетворяют уравнению 2у(х2-\-\) = 25х, и к решениям (8) надо присоединить решения системы

Но решения x=dti, у = 0 системы (9) не находятся среди решений (8), а уравнения системы (10) несовместны. Поэтому решения (8) суть решения системы (5).

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЕ В РОССИИ XVII—XIX вв.

проф. А. П. ЮШКЕВИЧ (Москва)

(Продолжение)

Русская математика на рубеже XVIII—XIX столетий

1. Новые течения в математике конца XVIII в. Одной из особенностей математики конца XVIII в. явилось постепенное оформление ряда новых самостоятельных дисциплин. Так, например, в недрах математического анализа возникли вариационное исчисление, дифференциальная геометрия; выделились в особые науки теория дифференциальных уравнений и теория конечных разностей; предметом специальных исследований становилась теория бесконечных рядов, которые ранее служили только вспомогательным средством приближённого решения разнообразных вопросов. Эта дифференциация анализа была тесно связана с разработкой задач общей и небесной механики и теоретической физики. В области геометрии, далее, обособилась столь важная в инженерной практике начертательная геометрия, а в начале XIX в. была заново открыта проективная геометрия, основы которой были заложены ещё в XVII в. в забытых затем сочинениях Дезарга.

Другой особенностью рассматриваемого времени явилось резкое усиление интереса к проблемам обоснования анализа. Ещё Ньютон и Лейбниц потратили немало усилий на более строгое обоснование открытых ими дифференциального и интегрального исчислений; и ещё в их времена среди математиков и философов нашлись противники нового анализа, более или менее остроумно критиковавшие обычно применявшееся отбрасывание бесконечно-малых величин. Во второй половине XVIII столетия споры вокруг проблем „метафизики“ исчисления бесконечно-малых весьма оживились. Участие в них приняли крупнейшие учёные, которые оказались, однако, единодушными только в признании большой важности этих проблем. Так, в глазах Эйлера дифференциальное исчисление оперировало с нулями, бесконечно-малая и дифференциал были настоящие нули. Этим Эйлер и объяснял правильность результатов, получающихся при отбрасывании бесконечно-малых слагаемых, и, скажем, правомерность формулы

d (ху) = xdy-\-ydx, возникающей из формулы

(x-\-dx) (y+dy) — ху= xdy-{-ydx-\-dxdy,

если в последней пренебречь произведением dxdy, бесконечно-малым в сравнении с xdy и ydx. Отношения нулей, т. е. и дифференциалов dy :dx, указывал Эйлер, могут принимать различные значения, определяемые законом умаления соответствующих переменных. В согласии с этим, Эйлер рассматривал интеграл не как сумму дифференциалов, ибо суммирование любого, в том числе и бесконечного числа нулей, даст нуль, но как функцию, обладающую дифференциалом данной формы. Величина, которую позднее Лаплас, Лакруа и Коши назвали определённым интегралом, оказывалась при этом частным значением (неопределённого) интеграла с той или иной фиксированной постоянной. Л. Карно доказывал правильность результатов анализа, исходя из мысли о неизбежной взаимной компенсации ошибок, возникающих в различных уравнениях при от-

брасывании бесконечно-малых, которые он рассматривал, как переменные величины, сколь угодно умаляющиеся по абсолютному значению. Вслед за Ньютоном В. Робинси К. Маклорена позднее Даламбер, Ж. Кузен и С. Люилье предлагали строить анализ на основе понятия о пределе. Лагранж возражал против употребления бесконечных и бесконечно-малых величин и пределов и в своей „аналитической теории функций“ пытался обосновать анализ на понятии о производной функции, рассматриваемой непосредственно как коэфициент при втором члене разложения f (x + h) в строку Тэйлора, для которой он впервые вывел формулу остаточного члена1.

Прямым результатом неудовлетворённости математиков той эпохи наличными основами анализа являлись многочисленные работы, посвященные попыткам более строго вывести уже известные теоремы, — например, формулу бинома Ньютона, строку Тэйлора, теорему о равенстве смешанных производных f и /% и т. п.

Одновременно шли дебаты относительно содержания понятия функции, вырисовывались контуры идей о непрерывности функций и сходимости бесконечного ряда и вырастали новые проблемы, из которых на первое место постепенно выдвигались проблемы существования производной и интеграла. Когда математикам пришлось встретиться с рядом конкретных задач, связанных с разложениями в тригонометрические и степенные ряды более сложных функций, с интегрированием разрывных функций и т. п., все эти споры, ранее казавшиеся многим лишь околоматематическими, приобрели первостепенное значение.

Наконец, третьей существенной для нас особенностью этого времени оказалось выдвижение на передний план вопросов методики преподавания. Мы видели, что ещё в начале XVIII столетия Вольф и его последователи начали перестраивать немецкую учебную литературу, основываясь на мысли о решающем значении математического образования для развития ума. Вольфианцы ограничились, однако, в основном сухо-педантическим подчёркиванием роли формально-логических доказательств в математике. С другой стороны, ряд английских учёных подверг научно-критическому анализу некоторые отделы эвклидовых „Начал“. Между тем в порядок дня становились общие вопросы методики — относительно наиболее целесообразной системы расположения и изложения математического курса на различных ступенях образования. В постановке и изучении этих вопросов особенно деятельное участие приняли прежде всего французские математики.

В 30-х годах XVIII в. во Франции, после десятилетий застоя, сменивших период, отмеченный именами Декарта и Ферма, начался новый расцвет математического творчества. На общем фоне подъёма французской буржуазной культуры яркое место заняли блестящие работы Клеро, Даламбера, Лагранжа, Лапласа, Лежандра, Монжа по математике и её приложениям, а с кончиной гениального Эйлера французская математическая школа определённо заняла первое место. Революция 1789 г. сообщила новый мощный импульс прогрессу всего естествознания и математики. Важную роль сыграла при этом реформа светского образования и, в частности, создание Политехнической и Нормальной школ, в которых работали Лагранж, Монж, Лакруа, Лежандр, Фурье и из которых вскоре вышли Ампер, Понселе, Коши и другие учёные, ещё на полвека закрепившие первенствующую роль за французской математикой, хотя в двадцатые годы выдвинулись Лобачевский и Остроградский в России, Абель в Норвегии, а в Германии в начале XIX в. творил Гаусс.

Педагогические проблемы, как известно, глубоко интересовали передовых людей из среды французской буржуазной интеллигенции: вспомним хотя бы про „Эмиля, или о воспитании“ Ж.Ж.Руссо. Проблемы эти в полной мере относились и к преподаванию математики и в особенности к построению курса геометрии. Потребности времени требовали углублённого изучения геометрии военными, моряками, инженерами и т. д., но наличная литература более не удовлетворяла школу. В середине XVIII в. резко выступил против системы Эвклида Клеро, который в „Elements de géométrie“ (1741) встал на защиту естеет-

1 Подробнее см. в моей статье „Идеи обоснования математического анализа в XVIII веке“ в книге Л. Карно „Размышления о метафизике исчисления бесконечно-малых“. М.—Л., 1936.

венности, практичности и простоты изложения, в противовес ненужной ложной строгости, отвлечённости и трудности обычных курсов теоретической геометрии. Даламбер в ряде статей знаменитой „Энциклопедии“, с которой, по замечанию Плеханова, „французская интеллигенция обращалась прежде всего к трудящемуся населению своей страны“, изложил оригинальную точку зрения и на общие принципы преподавания математики и на систему начального курса геометрии. В результате для военных и морских школ Франции ещё до революции 1789 г. был составлен ряд новых руководств и среди них известный курс Э. Безу, а в конце столетия появились „Elements de géométrie“ Лежандра (1794), курсы элементарной и высшей математики Лакруа, а за ними множество других учебников. Все эти руководства так или иначе стремились упростить изложение и приспособить его к нуждам квалифицированных артиллеристов, моряков, инженеров, интендантов и т. д. В них проводились и новые научные идеи анализа и геометрии. А в начале XIX в. Лакруа выпустил специальную книгу по вопросам преподавания вообще и в особенности математики: „Essay sur renseignement en général et celui des mathématiques en particulier“ (1805).

Для русской математики 90-е годы XVIII в. и начальные годы XIX в. также явились переломными. Духовный подъём, который переживали лучшие круги русской дворянской интеллигенции, нашёл своё выражение не только в общественной, публицистической и философской деятельности Радищева, в литературном творчестве молодого Карамзина и т. д., но и в усилении тяги к науке, в стремлении к распространению просвещения в более широких кругах населения. В области математики эти два десятилетия ознаменованы были переходом к критическому освоению и распространению новых открытий и идей, особенно — идей методологии и методики математики.

Следует отметить, что изучение опыта передовой французской школы началось у нас в военно-учебных заведениях. Именно здесь ранее всего заинтересовались постановкой обучения математике во Франции, именно для их нужд, например, переведены были на русский язык „Новый курс математический для артиллеристов и инженеров“ Б. Ф. Белидора (СПБ 1766—1769) и отдельные части руководства Э. Безу, в начале XIX в. полностью переведённого В. А. Загорским для Московского университета. Академические ученики Эйлера,—Румовский, Котельников, Фусс— остались в основном чуждыми новым идеям, и в Академию наук их принёс воспитанник Инженерно-артиллерийского корпуса С. Е. Гурьев.

Французская буржуазная революция ещё более убедительно продемонстрировала прямую государственную важность резкого повышения научной подготовки инженеров и офицерских кадров армии и флота. В первые же годы XIX в. в России были приняты серьёзные меры для повышения квалификации учащихся специальных школ. Например, в докладе вице-адмирала Чичагова, представленном Александру I в 1801 г., подчёркнуто было, что обязанности морского офицера, который должен знать корабельную архитектуру, гидродинамику, механику, астрономию, требуют глубокого изучения математики, и последняя, соответственно, „долженствует быть главнейшим предметом, систему морского учения составляющим“. Учебный курс Морского корпуса действительно был значительно расширен, а известный деятель русского флота, преподаватель и инспектор Морского корпуса почётный академик П. Я. Гамалея (1766—1817) составил пятитомную „Вышнюю теорию морского искусства“ (СПБ 1801 — 1808), первые две части которой, как упоминалось, представляли собой превосходное и весьма содержательное руководство по математике.

Для сухопутного кадетского корпуса, переименованного в 1-й кадетский, Н. И. Фусс составил более краткие „Начальные основания дифференциального и интегрального исчислений“ и „Начальные основания высшей геометрии“ (СПБ 1804). Обширная программа по математике (превосходившая даже программу некоторых организованных тогда физико-математических факультетов) была введена в открытом в 1809 г. Институте путей сообщения и т. д.

Дело, однако, отнюдь не ограничилось созданием новых, более полных учебников и расширением существующих учебных программ. Группа передовых деятелей—С. Е. Гурьев, В. И. Вискова-

тов, П. А. Рахманов, Ф. Кузьмин и некоторые другие — с большой энергией взялась за устную и печатную пропаганду новейших достижений математической мысли и сама приняла активное участие в разработке методологических и методических вопросов. Эти люди, работавшие, правда, ещё почти в одиночку, энергично боролись за распространение математического просвещения, за резкое повышение уровня преподавания своей науки. Они первые выступили на русском языке с сочинениями по высшим разделам анализа-и геометрии, по философии математики и методике преподавания, с публичными учёными спорами по этим вопросам, с решительной критикой устаревших взглядов. Основной труд старшего сочлена этой группы —СЕ. Гурьева, его „Опыт о усовершении элементов геометрии“ (СПБ 1798) —явился при этом не только выдающимся успехом русской математической мысли, но и первым большим трактатом по общим вопросам методики геометрии. „Essay“ Лакруа вышел в свет семью годами позднее. Деятельность этих учёных, как будет видно, принесла богатые плоды.

2. Жизнь и деятельность С. Е. Гурьева. Семен Емельянович Гурьев родился в 1764 г. в мелкопоместной дворянской семье. С 1779 по 1784 г. он обучался в Артиллерийском и Инженерном кадетском корпусе, окончив который, занялся преподаванием навигации, артиллерии и математики. В 1790 г. он издал несколько дополненный перевод шестой части курса Безу. Уже в этой работе Гурьев проявил интерес к вопросам философии анализа, занятия которой позднее привлекали его постоянное внимание. 32 лет Гурьев был избран адъюнктом Академии наук, а ещё два года спустя — академиком. В академии Гурьев развил чрезвычайно активную деятельность. Протоколы академической Конференции пестрят сообщениями о его научных докладах, выступлениях по организационным вопросам, о его отзывах на различные печатные и рукописные сочинения; в трудах академии он опубликовал около 30 мемуаров по анализу, геометрии и механике.

Весьма характерной для всей научно-педагогической работы Гурьева была его неизменная забота о подготовке русских учёных и о распространении научных знаний на русском языке. Он руководил академической гимназией в последние годы её существования, читал публичные лекции по математике, настойчиво стремился проводить в число аспирантов („элевов“, по тогдашнему выражению) и адъюнктов академии молодых русских учёных. Особенно много сделал он для создания русской научной и учебной литературы. Ещё в 1799 г. он предложил Конференции полностью переводить латинские Nova Acta Academiae Petropolitanae на русский язык и приступить к изданию переводов лучших математических руководств. Однако другие академики предложили ограничиться переводом только наиболее доступных статей, да и то лишь по геометрии и отчасти по прикладной математике, и в итоге издание не состоялось. Лишь через 9 лет, опять-таки по настоянию Гурьева, академия приступила к публикации „Умозрительных исследований имп. Академии наук“, В пяти томах этого журнала (1809 —1819) помещено было много ценных статей по естествознанию и математическим наукам, но вскоре после кончины Гурьева издание прекратилось, и, к сожалению, академия на долгое время прекратила издание своего единственного научного органа на русском языке.

Гурьев принял большое участие в реформах в области просвещения. С 1799 г. он состоял профессором математики в Училище корабельной архитектуры, а в 1801 г. был приглашён в комитет, разрабатывавший курс морских учебных заведений. С 1809 г. он преподавал в Петербургской духовной академии, при открытии которой, между прочим, прочитал „Рассуждение о мафематике и её отраслях“ (СПБ 1809), свидетельствующее о его материалистическом подходе к вопросу о происхождении и предмете математики. Годом позднее он получил также профессуру в только что открытом Институте путей сообщения.

Перу Гурьева принадлежит много учебных руководств и мемуаров. Кроме упомянутого перевода книги Безу, он издал дополненный им перевод „Дифференциального и интегрального исчисления“ Кузена (СПБ 1801), „Курс геометрии“ (1804—1807, 2-е изд. под названием „Основания геометрии“, Спб 1811), „Науки исчисления книгу первую, содержащую основания арифметики“ (СПБ 1805), „Основания дифференциального исчисления с приложением оного к аналитике"

(СПБ 1811), „Оснований механики, часть первую“ (СПБ 1815) и другие. Упомянутый только что курс дифференциального исчисления содержал обширнейший материал. В „Основаниях трансцендентной геометрии кривых поверхностей“ (СПБ 1806) Гурьев дал первое на русском языке изложение дифференциальной геометрии и теории двойных интегралов (по Эйлеру). В „Умозрительных исследованиях“ он напечатал несколько статей учебного характера по теории поверхностей второго порядка, дифференциальной геометрии, теории экстремумов. Большая часть этих сочинений оказала серьёзное влияние на развитие русской математической культуры.

Гурьев скончался в 1813 г. всего 49-ти лет. Уже из сказанного видна кипучая научно-общественная деятельность этого учёного. Мы полнее оценим его значение в истории русской культуры, ознакомившись с его научным творчеством.

3. Даламбер и Лежандр о началах геометрии. Прежде чем перейти к обзору научной работы Гурьева, необходимо остановиться на упомянутых ранее новых течениях педагогической мысли, имевших значение в формировании его собственных взглядов.

План курса геометрии, изложенный Даламбером в ряде статей „Энциклопедии“, исходил из следующих основных положений. Прежде всего Даламбер рекомендовал исключить из курса геометрии аксиомы и постулаты, бесполезные в силу своей очевидности. Разве требуется, — спрашивал он, — аксиома о целом и части, для уразумения того, что половина отрезка меньше целого? Он настаивал также на серьёзном пересмотре определений основных понятий. Не педагогично, например, сразу определять поверхность как границу тела, лишённую глубины. Следует начать с рассмотрения тела, как оно есть, а потом показать, что с помощью последовательных отвлечений мы приходим к понятию о теле, обладающем лишь протяжённостью и фигурой, и далее — к поверхности, линии, точке. Прямую и кривую линии вовсе не стоит определять, вследствие трудности, а может быть, и невозможности свести понятия о них к более простым идеям.

Даламбер возражал вообще против широко распространённого построения курса геометрии в духе „Начал“ Эвклида с их пренебрежением к задачам измерения фигур, отказом от пользования движением и т. д. Напротив, в курсе должны быть особенно подчёркнуты вопросы метрической геометрии. В первой части курса нужно дать изложение свойств прямой и окружности, разбирая обе линии совместно, чтобы сразу использовать при измерении углов дуги окружностей. В начальных теоремах, трактующих о свойствах плоских фигур, связанных с взаимным расположением линий, достаточно применения такого измерения углов и принципа наложения. Учение о подобии — в случае несоизмеримости отрезков — можно обосновать с помощью метода пределов, именно теоремы о том, что пределы одной и той же переменной величины между собой равны. Это позволит обойтись без сложной эвклидовой теории пропорций. Геометрия поверхностей, составляющая предмет второй части курса, имеет главной целью выразить их площади через площадь прямоугольника. В учении о круге здесь снова применяется метод пределов, который показывает, что площадь круга равна половине произведения длины окружности на радиус, поскольку обе эти величины суть пределы площадей одних и тех же вписанных (или описанных) многоугольников. Быть может, следовало бы отнести ко второй части измерение шаровой поверхности. Наконец, в третьей части, геометрии тел, измерение объёмов приводится к сравнению их с объёмом прямоугольного параллелепипеда, причём для пирамиды, шара и т. д. вновь привлекается метод пределов.

Таким образом, основными принципами доказательств должны были, по Даламберу, служить принцип наложения, метод пределов и начала теории пропорций (особенно теорема о равенстве произведений крайних и средних членов), выведенные геометрическим путём. Даламбер считал, что неправильно применять алгебру в курсе начальной геометрии, который должен предшествовать изучению алгебры. Относительно метода пределов Даламбер указывал ещё, что в силу связанных с его применением длиннот, можно заменять его применением бесконечно-малых величин, разъяснив, однако, что правильное употребление последних, в сущности, равносильно предельным переходам.

В той же „Энциклопедии“ Даламбер изложил и свою точку зрения на философию анализа. Развивая и вместе с тем очищая от механических элементов воззрения Ньютона, он отвергал известные в то время определения бесконечно-малой величины как „несравнимой“ с конечной или как величины, которая исчезает в „последний момент“ своего существования. Дифференциальное исчисление, утверждал Даламбер, имеет дело в конечном счёте с пределами переменных конечных величин. Он не возражал, впрочем, и здесь против традиционного употребления бесконечно-малых, которое позволяет сокращать и упрощать вычисления. Применение способа пределов должно опираться на две теоремы — о равенстве величин, служащих пределом третьей, и о том, что предел произведения равен произведению пределов. Эти идеи отчасти предваряли реформу, произведённую Коши, но подробнее развиты и реализованы в научной и педагогической практике Даламбером не были.

Требуя от курса геометрии простоты и ясности изложения, Даламбер вместе с тем подчёркивал важность точности и строгости доказательств. „Нельзя, — писал он, — трактовать науки слишком точно, и особенно те из них, которые называют точными“; чем строже вывод, тем он доступнее, ибо подлинная точность состоит в выводе всех теорем простым и прямым образом из простейших принципов. Для различных категорий учащихся Даламбер считал всё же целесообразными различно построенные курсы. Одни ученики удовлетворятся учебником практической геометрии, в котором лишь слегка освещены применяемые операции; другие могут ограничиться более или менее строгими рассуждениями; наиболее способные нуждаются в полном и совершенно строгом теоретическом руководстве.

Частичную реализацию замыслы Даламбера получили в „Cours des mathématiques“ Э. Безу (1764—1769), который, однако, имея в виду интересы военных и морских школ, существенно отошёл от строгости в вопросах, связанных с измерением окружности, подобием, параллельностью и т. п. Это отразилось и на других популярных учебниках конца XVIII и начала XIX вв., например, на содержательных и вместе с тем легко написанных книгах Лакруа.

Преследуя те же цели демократизации изложения и приспособления его к потребностям новой школы, но иным путём пошёл А. М. Лежандр. В своих блестящих „Elements de géométrie“ (1794), получивших чрезвычайное распространение в XIX столетии, Лежандр счёл нужным возвратиться к античной строгости построения системы геометрии. Он восстановил, в частности, в прежних правах и классические определения и аксиомы. В отличие от античных математиков и от Даламбера, Лежандр широко применял начальные правила алгебры, а также арифметически развитую теорию пропорций, в которой свободно переносил на иррациональные величины свойства, доказанные в арифметике лишь для чисел рациональных. Совместное изложение геометрии и алгебры позволило Лежандру избавиться от труднейших V и X книг эвклидовых „Начал“. Методу пределов Лежандр предпочёл несколько видоизменённый им античный способ „исчерпывания“, с его постоянными приведениями к нелепости1.

В расположении материала Лежандр также не последовал за проектом Даламбера. В первой части его курса рассматривались пересекающиеся прямые, треугольники, параллелограмы, во второй— круг и измерение углов, в третьей — теоремы о подобии и измерении площадей прямолинейных фигур. Четвёртая была посвящена правильным многоугольникам и измерению окружности и круга, пятая — плоскостям и телесным углам, шестая — многогранникам, седьмая шару и сферическим треугольникам и, наконец, восьмая — измерению цилиндра, конуса и шара. В многочисленных изданиях учебника Лежандра мы встречаем также различные попытки доказать постулат Эвклида о параллельных прямых. Под сильным влиянием Лежандра был составлен вскоре более краткий русский учебник Н. И. Фусса („Геометрия в пользу и употребление благородного юношества“, СПБ 1798 и ряд переизданий).

4. Научные работы С. Е. Гурьева

Основной труд С. Е. Гурьева „Опыт о усовершении елементов геометрии“

1 Ср., например, эвклидов вывод теоремы об отношении площадей двух кругов в „Хрестоматии по истории математики“ Г.Вилейтнера (М—Л, 1936). Книга Лежандра имеется в русском переводе (Лежандр „Основания геометрии“, СПБ 1837).

(264 стр., in-quarto, СПБ 1798) составлен был в значительной части уже в 1796 г. и отпечатан к концу 1797 г. Часть рукописи, впрочем, света не увидела,—именно та, в которой автор подверг смелой и во многом основательной критике нестрогий вывод формулы бинома Ньютона, данный Эйлером,и эйлерову же трактовку расходящихся степенных рядов, возникающих из дроби у^~г. После долгих споров в академической Конференции ученики Эйлера, академики Фусс и Румовский, к сожалению, настояли на исключении этого раздела из готового уже к печати сочинения. Мы не будем подробнее останавливаться на этой критике, которая оставалась неизвестной до самого последнего времени1.

Целью сочинения Гурьева были, с одной стороны, критика распространённых приёмов изложения геометрии, а с другой,— подробное развитие собственного плана построения её курса. В первой главе автор прежде всего настаивал на необходимости восстановить строгость античной геометрии Эвклида и Архимеда, утраченную в новое время, но восстановить на новой основе, более совершенной и более лёгкой для учащихся. Для вывода теорем о равенстве размеров фигур Гурьев предлагал применять правило наложения и метод пределов, в форме, сообщённой ему Даламбером и несколько видоизменённой им самим. Указав на некоторые двусмысленности в формулировке понятия предела у Даламбера, Гурьев давал следующее собственное определение:

„Есть ли какая-нибудь величина от какого ни есть известного без конца продолжаться могущего действия всегда возрастает или убывает, и от того к другой непременной величине приближается, так что может разниться с нею меньше, нежели всякая по произволению данная или взятая того же роду величина, и со всем тем её никогда не достигает, то сия другая непременная величина есть то, что пределом первой (возрастающей или убывающей величины) мы называем“ (стр. 34). Требование монотонности и связанная с ним недостижимость предела было удобно при рассмотрении предела отношения ~ при А х -> 0, в котором, таким образом, числитель и знаменатель не достигали предельного нулевого значения; но вместе с тем это ограничение имело очевидные теперь неудобства, а заодно приводило к необходимости все теоремы доказывать отдельно для возрастающих и для убывающих величин. Следует отметить также, что в определении Гурьева речь шла о пределе последовательностей геометрических величин, но не чисел. Гурьев не признавал существования иррациональных чисел и решительно исключал из курса геометрии применение арифметики и алгебры. : Доказав на основе своего определения теорему о единственности предела переменной величины, Гурьев затем переходит к выводу ряда основных предложений о круге, пирамиде, шаре и т. п. Он дал при этом (одновременно с Лакруа „Elemen s de géoméirie“, 1798) первый подробный вывод теоремы о равенстве площади круга и прямоугольного треугольника, катетами которого служат длина окружности и радиус, с помощью теории пределов. Для этого он устанавливает, что при увеличении числа сторон периметр вписанного многоугольника возрастает, а описанного убывает, так что периметры эти „к состоянию закрыть дугу ближе и ближе подходят“, и что разность между их площадями может быть сделана менее любой заданной однородной с ними величины. Далее вывод опирался на три момента: 1) круг и треугольник, о которых идёт речь, неизменны; 2) вписанный многоугольник при удвоении числа сторон приближается к кругу и к треугольнику так, что разность его с ними может быть сделана менее любой данной величины (ибо разности между вписанным многоугольником и кругом или треугольником меньше, чем между вписанным и описанным многоугольником); 3) вписанный многоугольник, возрастая, остаётся всегда меньше и круга, и треугольника. Разбирая вопрос о равенстве объёмов призм с равными основаниями и высотами, Гурьев, между прочим, отклонил лежандрово доказательство теоремы о равенстве двух призм, на которые рассекается наклонный параллелепипед плоскостью, проходящей через два его параллельных и противоположных ребра. Лежандр опирался здесь на симметрию равных граней, Гурьев же предпочёл

1 Подробнее см. мою статью. Академик С. Е. Гурьев и его роль в развитии русской науки“, Труды Института истории естествознания, т. 1, М.-Л. 1947.

единообразно применять принципы наложения и метода пределов.

Вторая глава „Опыта“ посвящена была теории пропорций. Классическое определение равенства двух отношений, содержащееся в „Началах“ Эвклида, в наших обозначениях можно передать следующим образом. Отношения А к В и С к D равны, если для любых положительных целых чисел т, п, при наличии одного из условий пА=^тВ выполняется соответственное из условий пСЩтО. Гурьев находил это определение „принуждённым и непрямым“ и предложил заменить его другим, более доступным для начинающего. По определению Гурьева, две пары несоизмеримых величин Л, В и С, D пропорциональны, если для всяких целых положительных п и соответствующим образом подобранных m одновременно выполняются неравенства

т~ <А < (m4-1)—и т—< 0<(/и+1)-

Далее выводились свойства пропорций и некоторые теоремы о подобии, а затем второе основное предложение теории пределов ( если у= ^ТОИШу = -о) и теорема об отношении площадей двух кругов. В заключение Гурьев писал: „Сии предначертанные две главы, соединённые с евклидовыми елементами, составляют достаточный материал, так сказать, к сочинению желаемым Д'Аламбертом елементов геометрии, елементов полных и самых строжайших“ (стр. 162). Но, исключая из геометрических начал числовые соотношения и отрицая наличие иррациональных чисел, Гурьев упрекал Даламбера в непоследовательности и возражал как против введения в них измерения углов дугами, так и против измерения поверхностей и объёмов квадратами и, соответственно, кубами. В этом вопросе он примыкал к античной эвклидовой традиции.

В двух наиболее замечательных руководствах по геометрии — Эвклида и Лежандра—Гурьев видел ряд недостатков. Курс геометрии, полагал он, можно сообразовать либо с принципами доказательств, либо с её предметами. Первое построение пригодно для людей, которые способны к самостоятельному творчеству. Второе полезно тем, кто в силах понимать лишь известные уже вещи, расположенные в должной связи. И так как вторая категория людей преобладает, то „система, сообразованная с предметами, есть превосходнейшая, тем паче, что люди первого роду, следуя оной, не преминут усмотреть пружины её, которые те же самые, что и системы, сообразованной с Началами“ (стр. 167—168).

С этой точки зрения эвклидовы „Начала“ расположены беспорядочно. Шесть первых книг ориентируются более на однородность принципов, но книга XI оперирует преимущественно принципом наложения, и многие её предложения должны были бы следовать за I—IV книгами, до V и VI, применяющих теорию пропорций, и т. п. Кроме того, как мы видели, Гурьев считал несовершенными эвклидову теорию пропорций и античный метод доказательства теорем, требующих предельного перехода.

В сочинении Лежандра Гурьев также усматривал серьёзные дефекты. Недопустимо в элементарной геометрии применять алгебру и вычисления. Арифметическая теория пропорций в геометрии недостаточна, алгебра же, „рассматриваемая во всей её общности“, сама предполагает геометрию и её общую теорию пропорций. Лежандр, далее, напрасно отказался от усовершенствованного метода пределов, предпочтя ему тяжеловесные доказательства, требующие постоянных приведений к нелепости. Бессодержательны многие определения Лежандра, например, угла и другие. Среди ряда других замечаний Гурьева особый интерес представляет его разбор первого лежандрова доказательства постулата о параллельных. Чтобы доказать, что наклонная АС и перпендикуляр BD пересекаются, Лежандр откладывал на АС точки F, С, Р и опускал из них перпендикуляры на LI. Легко показать, что их основания G, M, N падают последовательно между А и В. Таким образом, основания этих перпендикуляров непрестанно удаляются от А ; предположить же, что существует граница их расстояний, скажем AM, — нелепо. В самом деле, рассуждает Лежандр, если бы СМ был последний перпендикуляр, то, взяв Р за С и опустив перпендикуляр PN, можно было бы показать, что N лежит от А далее, чем М. Значит, точки G, M, N удаляются от А сколь угодно и среди них найдётся одна, совпадающая с в, что и доказывает пересечения АС и BD. Гурьев заметил слабый пункт этого доказательства: из

него следовала лишь невозможность существования последнего перпендикуляра, опущенного из точек АС на LI, а не невозможность границы расстояний AM. Ведь неизвестно, соответствуют ли, например, равным A F =FC= CP и т. д. равные AG = GM= MN и т. д. Быть может, A G-f- GM-\- MN +... растёт, как сумма членов ряда 1 + + +..., так что при любом удалении точки С эта сумма никогда не достигает 2AG (стр. 189—190)? Эта остроумная критика не помешала, впрочем, Гурьеву допустить в собственной попытке доказательства аналогичную ошибку. Очевидно, он остался недоволен и своим доказательством, так как позднее в учебнике геометрии привёл известное доказательство Бертрана, осторожно заметив, что оно, „кажется, изъято всякого предположения“.

Среди нескольких приложений к „Опыту“ я остановлюсь на одном, содержавшем собственную программу Гурьева. Прежде всего Гурьев анализировал основные определения и свойства геометрических образов, постепенно вводил понятия геометрического тела, поверхности, линии и точки. Между прочим, он подчеркнул необходимость доказать, что прямая, заключённая в каком-нибудь определённом пространстве, при достаточном продолжении пересечёт его границу (доказательство, конечно, было недостаточным). Самый курс, сообразованный с предметами, по Гурьеву, распадается на 4 книги: о сопряжении прямых с прямыми, круга с прямыми, плоскостей с прямыми и плоскостями, и, наконец, трёх простейших поверхностей: цилиндра, конуса, шара — с прямыми и плоскостями. Первая книга начинается с рассмотрения двух прямых, перпендикулярных и наклонных. Сопряжение трёх прямых приводит к треугольникам или к двум параллельным прямым, пересечённым третьей и т. д. Отсюда — пять глав первой книги: 1) об углах, 2) о треугольниках, 3) о параллельных прямых, 4) о параллелограмах, включая теорему Пифагора, 5) о многоугольниках. В последней главе вслед за преобразованием многоугольника в равновеликий треугольник ставится обратный вопрос—о преобразовании треугольника в многоугольник, — вопрос неопределённый, и потому ограничиваемый требованием сходства этого многоугольника с некоторым данным. Это приводит к учению о подобии и введению теории пропорций. Вторая книга разбивается на три главы: 1) о сопряжении окружности с прямыми, не замыкающими определённого пространства, 2) о вписанных и описанных многоугольниках, 3) о способе пределов и сравнении круга с треугольником. Две главы третьей книги должны были трактовать о сопряжении плоскостей с прямыми и плоскостями, не порождающими определённого пространства, и о параллелепипедах, призмах и пирамидах. Последняя, четвёртая, книга должна была состоять из трёх глав — о цилиндре, конусе и сфере. Как видно, это расположение отличалось и от эвклидова, и от намеченного Даламбером, и от системы Лежандра.

„Опыт“ Гурьева явился, как говорилось, не только первым русским сочинением по философии и методике математики, но и первым обобщающим трудом такого рода в европейской литературе. Здесь не место входить в его детальную методическую оценку. На его содержании отразились достаточно противоречивые тенденции, и наряду с весьма остроумными критическими замечаниями и передовыми идеями (введение в геометрию теории пределов) мы находим в нём защиту устарелых взглядов (исключение из геометрии всех вычислений). С исторической точки зрения „Опыт“ Гурьева был, несомненно, весьма выдающимся произведением. Для развития русской математической культуры он имел особенное значение. Русского читателя эта книга впервые приобщала к актуальной проблематике и передовым идеям тогдашней науки. Она раскрывала перед ним новые горизонты и наталкивала на дальнейшие самостоятельные раздумья. Важной чертой этого сочинения Гурьева была смелость мысли, свободный подход к воззрениям крупнейших авторитетов науки — смелость, которая спустя 30 лет с несравненной силой проявилась в новаторском творчестве гениального Лобачевского.

Согласно общему плану Гурьева, учащиеся морских школ должны были сперва пройти подготовительный курс „детской“ арифметики и геометрии: начальные правила арифметики, черчение простейших фигур, склеивание моделей из бумаги. После этого им полагалось изучить полный курс начальной геометрии, а затем уже арифметику и алгебру и

приложения геометрии к измерениям. Учебник геометрии Гурьева, составленный в полном согласии с его планом, получился, однако, чрезвычайно громоздким и трудным. Даже ближайшие сторонники его остались не удовлетворены этим, почти недоступным для учащихся, руководством. Малоудачным оказался и учебник Гурьева по арифметике, а его курс алгебры не успел выйти в свет.

Наиболее ценным учебником Гурьева оказались его „Основания дифференциального исчисления“. Это было, для своей эпохи, выдающееся руководство. Здесь я отмечу лишь отчётливо проявившийся в нём интерес автора к вопросам обоснования анализа, например, постановку проблемы существования производной, как предела^, — проблемы, в то время особенно начавшей волновать умы математиков1. „И, во-первых, — писал Гурьев, — при сем встречается нам затруднение, каким образом мы удостовериться можем, что вообще отношение разностей или приращений функции и самого переменного количества предел имеет? Ибо виды функций до бесконечности разнствуют между собою“. „Доказывал“ Гурьев существование Нт^, опираясь на очевидный факт существования касательной у кривой, лишённой разрывов (стр. 6—14). Как известно, такие доказательства были широко распространены в европейской литературе прошлого столетия до тех пор, пока не были обнаружены непрерывные, но недифференцируемые во всех точках функции.

Недостаток места не позволяет мне подробнее рассмотреть научные мемуары Гурьева. Некоторые из них посвящены были более строгому доказательству теоремы о биноме Ньютона, формулы Тэйлора и т. п. Подлинной строгости, несмотря на отдельные остроумные замечания, автор, как и многие другие его современники, достигнуть здесь не мог, ибо опирался на теорию пределов Даламбера, в которой не были ещё разработаны ни вопросы, связанные с непрерывностью, ни учение о сходимости рядов и т. д. Это было время постановки уже полуназревших вопросов, но ещё не их строгого разрешения. Не лишена интереса и теперь критико-историческая статья „Краткое изложение различных способов изъяснять дифференциальное исчисление“ („Умозрительные исследования“, IV, 1815). Из работ по элементарной математике отмечу мемуар „О некоторых достопримечательных феоремах, до трёхсторонней пирамиды относящихся“ („Умозрительные исследования“, I, 1808), где, в частности, выводились формулы объёма такой пирамиды по длинам рёбер, а также по этим длинам и по углам между рёбрами. В курсах истории математики и в математических энциклопедиях часто упоминается также важная работа Гурьева, содержавшая вывод основных формул для кривых в полярных координатах: формул угла касательной с радиус-вектором, подкасательной, радиуса кривизны, площади, длины дуги кривой, объёма и поверхности тела вращения. Особенностью этой работы являлось то, что Гурьев исходил из соответствующих формул в декартовых координатах, а нужные ему формулы единообразно получал из них путём аналитических преобразований (Nova Acta Ac. Petrop. XII, 1801). 5. Первые ученики и последователи Гурьева

Поднятые Гурьевым вопросы встретили быстрый отклик в русских математических кругах. Время приспело для этого, да и сам Гурьев многое сделал для пропаганды своих идей. Например, из воспитанников Петербургской духовной академии вышло пятнадцать его учеников, и среди них А. Н. Ильинский, преподаватель Петербургского горного корпуса и автор кратких „Оснований геометрии, составленных по системе академика Гурьева“ (СПБ 1825), С. И. Райковский, написавший „Начальные основания геометрии“ (СПБ 1827), В. И. Себржинский, профессор названной академии и автор „Оснований алгебры“, написанных по неопубликованным рукописям Гурьева (СПБ 1820), преподаватель московских духовных школ А. Ю. Покровский и др. Гурьев нашел также сторонника в лице Фед. Кузьмина. Московский учитель математики Кузьмин, о личности которого сведений

1 Эту проблему выдвигает в своём курсе анализа Лакруа (1797), а первое аналитическое доказательство попытался провести в 1806 г. Ампер. Как видно из одного неопубликованного письма Румовского от 1797 г., Гурьев пытался геометрически разрешить эту проблему уже в одной из опущенных при публикации частей своего „Опыта“.

я не имею, выпустил в 1804 г. небольшую популярную книгу „Способ пределов и его употребление в геометрии“, вскоре переработанную под названием „Начала способа пределов и применение его к началам геометрии“ (М. 1806). Эта книжка опиралась в основном на „Опыт“ Гурьева.

Среди первых последователей Гурьева двое сыграли особенно крупную роль в развитии русской математической культуры, а в некоторых отношениях пошли далее своего учителя. Это были В. И. Висковатов и П. А. Рахманов.

Лейтенант Василий Иванович Висковатов, учитель алгебры и механики в Артиллерийском кадетском корпусе, был привлечён к работе в Академии наук Гурьевым. В 1799 г. он был избран членом-корреспондентом, а в 1807 г.—академиком. Он рано скончался, в (1812 г.), но за недолгие годы своей научно-литературной деятельности опубликовал ряд работ, излагавших новейшие математические исследования. Особенно ценны были его статьи в I-III томах „Умозрительных исследований“, подробно знакомившие русских любителей математики с теорией аналитических функций Лагранжа и её приложениями, начиная с простейших и кончая отысканием экстремумов простых и кратных интегралов. В этом изложении Висковатов, в отличие от самого Лагранжа, всякий раз проводил удобные для читателя параллели с понятиями с приёмами обыкновенного исчисления бесконечно-малых и, опять-таки в отличие от Лагранжа, широко пользовался различными геометрическими иллюстрациями. В его статьях впервые на русском языке введён был термин „производная функция“.

Пётр Александрович Рахманов, родом из старинной дворянской семьи, обучался в пансионе Войтяховского, которому посвятил, между прочим, свой краткий „Essay sur quelques usages de la méthode des limites“ (Вена 1805)1. Профессиональный военный, он более всего, однако, интересовался математикой, много читал, сблизился с московскими университетскими кругами, поддерживал личные отношения с Гурьевым и Кузьминым. В 1803 г. он издал небезинтересную „Новую теорию содержания и пропорций геометрической соизмеримых и несоизмеримых количеств“ (М. 1803), в которой применил теорию пределов в изложении Гурьева, но вместе с тем проявил уже тогда самостоятельность в отношении к своему учителю, принимая существование иррациональных чисел, определяемых как пределы рациональных. В том же году он уехал в Париж, где посещал лекции в Политехнической и других школах и познакомился с Лагранжем, Био, Лежандром. Личное общение с крупнейшими учёными имело серьёзное значение для его дальнейшей деятельности. По возвращении в Россию в 1806 г. он принялся за литературную работу. В „Артиллерийском журнале“ и в только что открытом университетском органе „Московских учёных ведомостях“ он опубликовал ряд статей по теории бесконечных рядов и блестяще написанных рецензий на новинки учебной литературы. С 1810 г. он предпринял также издание „Военного журнала“, в котором вёл математический отдел и неустанно пропагандировал значение математического образования для военных. Он написал также ряд брошюр, объединённых затем в „Собрание сочинений“ (ч. 1, СПБ 1807), где изложил, следуя Монжу, теорию поверхностей вращения, цилиндрических и конических поверхностей и, между прочим, вывел уравнение касательной плоскости к поверхности путём предельного перехода от плоскости, проходящей через три точки поверхности. Из других его сочинений по математике следует упомянуть выпущенные его учеником Н. Тенигиным „Лекции г. Рахманова о дифференциальном исчислении“ (СПБ 1810)и „Опыт о различных теориях дифференциального исчисления и о сравнении оных“ (СПБ 1812), критически освещавший взгляды виднейших учёных от Барроу до Лагранжа.

В пропаганде математики Рахманов не ограничился средствами печати. На своей петербургской квартире он читал бесплатные лекции по математическому анализу, в конце которых уделял место и критико-философскому обзору его истории. Лекции эти имели широкий успех среди учащейся молодёжи, учителей и офицерства. Распространение математических знаний Рахманов считал своей обязанностью, как гражданина и патриота.

1 В этой брошюре Рахманов геометрически вывел с помощью предельного перехода формулы для площади криволинейной трапеции и для объёма тела вращения в декартовой прямоугольной системе координат.

„Долг дворянина,—говорил он упомянутому Тенигину, — есть посвящать отечеству все свои умственные качества“. То же патриотическое воодушевление побудило Рахманова, вышедшего в 1810 г. в отставку в чине майора, принять участие в Отечественной войне. Он погиб в битве под Лейпцигом в октябре 1813 г.

В литературной продукции Рахманова видное место занимала рецензионно-полемическая часть. Особенного внимания заслуживают позднейшие статьи-рецензии, направленные против Гурьева, с которым он постепенно всё более расходился во взглядах, хотя продолжал ценить его работу по развитию теории пределов. Рахманов упрекал Гурьева, в частности, за некоторое отставание от века, указывая, например, что в книге Гурьева по дифференциальной геометрии использованы были только открытия Эйлера, но совершенно не учитывались важнейшие исследования Монжа. Очень резкой и во многом справедливой критике Рахманов подверг в 23 и 24-й книжках „Военного журнала“ за 1812 г. „Основания геометрии“ Гурьева. Долгое время,— писал он, — и ему казалось убедительным построение курса по какой-нибудь из двух систем — предметов или начал. В действительности, как он убедился, каждая из них имеет свои недостатки, и первая, в частности, связана с длиннотами, повторениями и искусственностью, которые легко могут отвратить начинающего. Поэтому, вероятно, Эвклид, Лежандр и Лакруа не придерживались одной какой-нибудь системы. Гурьев же „не только что строго наблюдает порядок, сообразованный с предметами, но ещё вступает в такие подробности и такие замысловатости, которые сверх сил всякого ребенка“,—вроде предлагаемой в первой же части общей теории пропорций, которой не предпослана была арифметическая теория пропорции. Вообще, изгнав из геометрии число и поставив её впереди арифметики, Гурьев сделал её по существу недоступной для детей. Даже на изложении теории пределов тяжело отразились неосновательные старания избегнуть понятия о числе. Другие серьёзным недостатком курса Гурьева Рахманов считал исключение измерения углов, поверхностей и тел, в результате которого учащийся, пройдя огромный курс, не узнает основной — измерительной цели геометрии и не научится измерять даже простейшие площади: „следовательно, ... сочинитель в своей геом,етрии всё сказал о равенстве фигур, кроме того, для чего обыкновенно сие говорится“.

Критика Рахманова не осталась без ответа. Сам Гурьев, правда, не вступил в споры, но в „Санктпетербургском вестнике“ за 1812 г. Висковатов дал запоздалый отрицательный отзыв на „Опыт о поверхностях вращения“ Рахманова“, а в 1813 г. вышло анонимное „Рассмотрение примечаний на Основания геометрии, сочинённые г. Гурьевым, помещённых в Военном журнале“. Брошюра эта написана была H. М. Архангельским (1787 — 1857), будущим профессором Харьковского университета, в 1812 — 1813 гг. командированным для усовершенствования к Гурьеву. Продолжения полемики не последовало: в 1813 г. скончались и Рахманов и Гурьев. Влияние Гурьева продолжало, впрочем, сказываться и позднее,—например на „Основаниях геометрии“ Д. Перевощикова (М., 1826) и ряде других трудов. Мы ещё встретимся с ним в дальнейшем.

Деятельность Гурьева и Рахманова в значительной части пришлась уже на новый период в истории русской математики. За сто лет, прошедших с издания „Арифметики“ Магницкого (1703 г.), был сделан огромный шаг вперёд. От догматического и бездоказательного изложения правил практической арифметики и геометрии русские математики за короткое время перешли к научной работе и к критическому анализу вопросов методологии и методики своей науки. Лучшие круги нашей интеллигенции высоко оценили роль передовой науки для мощи государства и для общественного прогресса.

Реформа общей системы образования и особенно открытие в 1804 г. физико-математических факультетов знаменовали собой начало нового периода в истории русской математики. Годы учения подходили к концу, математика в России вступала на путь самостоятельного творческого развития, первые блистательные успехи которого оказались связанными с именами Н. И. Лобачевского и М. В. Остроградского.

МЕТОДИКА

О НЕКОТОРЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО АРИФМЕТИКЕ

С. С. БРОНШТЕЙН (Москва)

Не существует документа, дающего развёрнутое изложение того, что собственно имеет в виду предусмотренное программой решение задач по арифметике в курсе V класса неполной средней и средней школы, какие виды задач должны быть охвачены, каковы методы их решения, какие задачи надо решать в курсе арифметики и какие из помещённых в сборниках арифметических задач следует перенести в курс алгебры и решать методом уравнений.

Настоящая статья представляет попытку ввести в систему комплекс вопросов, связанных с решением задач в курсе арифметики, осветить вопрос о типах арифметических задач, о методах их решения, о грани, отделяющей задачи, решаемые арифметическим методом, от задач, решаемых методом уравнений.

Задачи по арифметике разнообразны по содержанию и по трудности решения. При решении некоторых задач не встречается затруднений в выборе того или иного действия. Такие задачи тесно примыкают к примерам или, иначе, к задачам на вычисление. В примерах прямо указано, какие действия и в каком порядке надо произвести над данными числами. В некоторых задачах действия непосредственно не указаны, но легко улавливаются по смыслу.

Если правила действий над целыми числами и дробями хорошо усвоены, решение таких задач затруднений не вызывает. В настоящей статье решение этих задач, как и решение примеров, рассматривать не будем. К задачам, представляющим пример, описанный словесно, можно отнести следующую. Куплено а метров сукна по b рублей и с метров по d рублей. Узнать стоимость всей покупки. Ответ на поставленный вопрос получается следующими действиями:произведение b на а определяет стоимость одного сорта; произведение d на с—стоимость второго сорта; сумма обоих произведений Ьа и de даёт стоимость всей покупки; общая стоимость выражается суммой: ba-\-dc. Подобного рода задачи представляют нижнюю границу по степени сложности. Эти задачи затруднений не вызывают; упражнение в их решении крайне необходимо.

Рассмотрим теперь верхнюю границу с точки зрения сложности решения. Для этой цели решим задачу № 256 из сборника Каменского и Либермана.

„Из города А в город В, расстояние между которыми 900 км, выехали одновременно и по одному и тому же пути два автомобиля: легковой, идущий со скоростью 57 км в час, и грузовой — со скоростью 21 о в час. Через сколько часов остаток пути до города В для грузовой машины будет в 3 раза больше, чем остаток пути до города В для легковой машины?“

Сами авторы считают приведённую задачу трудной, так как помечают её звёздочкой и дают в конце решение.

Авторы дают следующее решение:

1) Каждый час грузовой автомобиль отстаёт от легкового на 57—21=36 (км). Предположим, что уже через 1 час легковой автомобиль оказался втрое ближе к городу В, чем грузовой. Тогда, принимая остаток пути для легкового автомобиля за единицу, получим, что остаток пути для грузового автомобиля равен трём условным единицам, и, следовательно, легковой автомобиль был бы ближе к цели на

2) 3-1=2 (ед).

Таким образом, мы получим, что 2 условные единицы равны 36 км, отсюда 1 условная единица равна

3) 36:2=18 (км).

При этом предположении расстояние между А и В было бы

4) 18+57=75 км.

5) Действительное расстояние между А и В было больше в 900 :75=12 (раз).

6) Следовательно, остаток пути для грузового автомобиля будет втрое больше, чем для легкового через 12 часов.

Приведённый способ решения недостаточно прост и нелегко даётся начинающим.

Поэтому, несмотря на всю заманчивость идеи решить эту задачу арифметическим методом, целесообразно воспользоваться методом уравнений: он проще, естественнее и понятнее.

В настоящей статье исключены из рассмотрения, с одной стороны, задачи, решение которых до прозрачности ясно, а с другой — задачи, решение которых методами арифметики сложно и искусственно, а методом уравнений естественно и просто.

Отбор задач, решаемых в арифметике, от задач, решаемых методом уравнений, производится недостаточно чётко. Приведённый выше пример показывает, что в сборниках упражнений по арифметике часто помещаются задачи, решаемые проще методом уравнений. С другой стороны, в сборниках алгебраических упражнений встречаются задачи, легко решаемые арифметически; у учащихся часто возникает недоумение, почему задача нахождения двух чисел по их сумме и разности отнесена в курс алгебры: ведь её легко и привычно решать средствами арифметики.

Иногда, встречая затруднения в решении задач по арифметике, предварительно решают задачу методом уравнений, а затем стараются по алгебраическому решению отыскать чисто арифметическое и сделать его доступным для понимания и объяснения. Такой метод нецелесообразен.

Но даже при указанном выше ограничении арифметические задачи очень разнообразны и по своему арифметическому содержанию, и по тематике, и по применяемым методам решения. Чтобы облегчить рассмотрение обилия задач, принято соединять их по группам или по типам. Было сделано много попыток классифицировать задачи: одни предлагают ввести классификацию по числу действий, другие—по методам решения, третьи—по арифметическому содержанию, не уточняя последнего понятия.

Все эти попытки оказались неудачными, ибо до настоящего времени не удалось провести классификацию всех задач по одному критерию, а вводимые несколько критериев не всегда логически выдержаны.

Конечно, было бы желательно установить общепринятую, на едином принципе построенную классификацию арифметических задач, но, учитывая практическую её недостижимость, приходится отказаться от подобной попытки, примириться с более скромными требованиями, предъявляемыми к системе классификации, и, жертвуя единством критерия, ограничиться требованием помочь разобраться в разнообразии задач.

Содержание сборников задач по арифметике, как современных, так и дореволюционных, можно считать сложившимся в определённую систему : несмотря на различие в числе задач, в тематике и в других особенностях, все сборники содержат определённую компактную массу, которая может быть разбита на два основных класса, в зависимости от того, преобладают ли в решении задачи чисто арифметические приёмы или строго логические умозаключения. Во избежание недоразумений и неправильного понимания высказанной мысли необходимо уточнить её. Решение каждой задачи содержит и чисто арифметические действия и логические умозаключения, но не в одинаковой степени: в одних задачах превалируют арифметические действия, а в других рассуждения и логические умозаключения играют столь преобладающую роль, что после логических заключений решение задачи сводится к технике выполнения действий, не требующей напряжения мысли.

К первому классу отнесём задачи, решение которых основано на чисто арифметических соображениях. Если нужные сведения по арифметике усвоены и задача подобного типа уже разобрана, то другие задачи подобного рода решаются без труда.

В основу рассмотрения арифметических приёмов положим понятие отношения в его постепенном развитии и осложнении. Получим следующие группы или типы задач :

I. Задачи на отношение в его простейшем виде, на развитие умения понимать дробь не только как частное, но и как отношение.

II. Задачи на прямо пропорциональные величины и на обратно пропорциональные величины.

III. Задачи на деление прямо пропорционально данным числам.

IV. Задачи на деление обратно пропорционально данным числам.

V. Задачи на среднее взвешенное.

VI. Задачи на проценты.

VII. Задачи на связь между числами и цифрами, при помощи которых они записаны.

Относительно названий типов следует отметить следующее: термины отражают или

1) арифметическое содержание, например, задачи на пропорциональные величины;

2) или арифметический метод, например, метод отношений. Нахождение двух чисел по их сумме и разности, по сумме и отношению;

3) или тематику. Задачи на смешение, на проценты, на сплавы.

А. ЗАДАЧИ ПЕРВОГО КЛАССА

1. Задачи на отношение в его простейшем виде

В учебной литературе нет чёткого определения понятия отношения. Считая неуместным в данной статье подробно останавливаться на разборе понятия „отношение“, примем следующее определение:

Отношением двух однородных величин называется число, измеряющее первую, когда вторая принята за единицу.

Из свойств отношений при решении задач нужны преимущественно следующие:

1. Если отношение двух величин равно m : п, то существует некоторая величина того же рода, которая содержится m раз в первой величине и п раз во второй. Поэтому можно принять первую величину за тх, а вторую за пх,

2. Та величина, которой измеряют, с которой сопоставляют, принимается за единицу.

3. От прибавления одного и того же числа к обоим членам отношения отношение в общем случае изменяется.

Усвоение понятия отношения можно начать с самых простых задач.

1. Вся площадь, занимаемая участком колхоза, состоит из пашни и леса: площадь пашни составляет Ув площади, занятой лесом. Какую часть всей площади занимает пашня и какую часть лес?

Если площадь пашни составляет 2/з площади леса, то дробь !/, может быть рассматриваема как отношение 1:3. Можно понимать отношение 1:3 так: на каждую квадратную единицу площади, например, на 1 км2 пашни, приходится 3 км2 леса, а, стало быть, 1 км2 пашни приходится на 1 + 3, т. е. на 4 км2 общей площади. Иначе говоря, площадь пашни составляет у^'или —общей площади колхозного участка, а площадь леса з или-J-общей площади.

2. Два ученика купили вместе одну книгу. Отношение суммы, внесённой первым, к сумме, внесённой вторым, равно-3:5. Какую часть стоимости книги внёс каждый?

На каждые 3 коп., внесённые первым, второй вносит 5 коп., в каждых 8 копейках стоимости книги содержатся 3 коп., внесённые первым учеником и 5 коп., внесённые вторым учеником. Таким образом, первый внес -g- стоимости книги, и 5 .. а другой -g- ее стоимости.

Приведём, наконец, более сложную задачу этого типа.

Четыре ученика купили вместе футбольный мяч. Один ученик обязался дать половину суммы, вносимой остальными; другой обязался внести х/3 суммы, вносимой тремя остальными, третий 1/« суммы, вносимой остальными, а четвёртый — остальные 65 руб. Сколько стоит футбольный мяч и сколько внёс каждый мальчик?

Сначала надо каждую из данных дробей заменить дробями, выражающими отношение взноса каждого не к суммам, собранным всеми остальными, а к общей стоимости мяча; первый мальчик вносит 2~ общей суммы, второй общей стоимости, третий —U- общей стоимости; все трое внесли x + ~4~ + ~5~ = 60 = 47 = ^ стоимости мяча; четвертому пришлось добавить остальные 1— = общей стоимости, что и составляет 65 руб. Следовательно, мяч стоит 65 : ^ =300 (руб.).

Первый мальчик внёс 300 • -g- = 100 руб.; второй 300 • = 75 руб., третий 300 • ~- = 60 (руб.)

II. Задачи на пропорциональные величины

Тройное правило

Дальнейшее развитие метода отношений представляют задачи на тройное правило. Термин „тройное правило“ обязан своим происхождением тому времени, когда на арифметику смотрели, как на собрание некоторых готовых рецептов; термин связан не с арифметическим содержанием, а с чисто внешним формальным признаком нахождения числа по трём данным числам. Само собой разумеется, что по арифметическому содержанию задачи этого типа являются упражнениями на пропорциональные величины.

Программа предусматривает решение задач на тройное правило способом приведения к единице. Рассмотрим задачу № 1890 из сборника Е. С. Березанской:

„5 насосов в течение 3 час. выкачали 1800 вёдер воды. Сколько воды выкачают 4 таких же насоса в продолжение 4 час?“

Условие записывается в две строки так, чтобы два значения одной и той же величины были записаны одно под другим:

5 насосов 3 часа 1 800 вёдер 4 „ . 4 „ X

Решение способом приведения к единице

Если 5 насосов за 3 часа выкачивают 1 800 вёдер, то 1 насос за те же 3 часа выкачает

а четыре насоса

Если 4 насоса за 3 часа выкачивают

Характерной особенностью способа приведения к единице является вычисление числа вёдер, выкачиваемых сначала одним насосом, а затем четырьмя, далее переход от 3 час. к 4 час. совершается путём определения, сколько ведер выкачивается в 1 час. Отсюда и название „приведение к единице“.

Решение способом отношений.

4 насоса выкачивают при прочих равных условиях у того числа ведер, которое выкачивают 5 насосов, т. е. 1800 . *j , а за четыре часа выкачивается числа ведер, выкачиваемых за 3 часа, т. е.

1800 • — . — = 1 920 (вёдер).

Характерным для способа отношений является умножение заданного числа на отношение, т. е. на дробь, представляющую отвлечённое число.

Одной из наиболее сложных задач на тройное правило является задача № 1902 из сборника Е. С. Березанской:

„Отопление здания, имеющего 12 печей, в продолжение 7 месяцев осиновыми дровами обходится в 480 руб. Сколько будет стоить отопление здания, имеющего 18 печей, в течение 8 месяцев берёзовыми дровами, если 7 куб. м берёзовых дров дают столько же тепла, сколько 12 куб. м осиновых дров, но 3 куб. м берёзовых дров стоят столько же, сколько 5 куб. м осиновых?“

Запись условия

12 печ. 7 мес. 480 р. 12 мв осин. 5 л/3 осин. 18 , 8 , X ■ 7 бер. 3 jw3 бер.

Решение способом приведения к единице

Отопление 12 печей обходится в

1 печи 18 печей

в течение 7 мес.

12 куб. м осин, дров обходится

Отопление 3 куб. м бер. дров обходится

Решение способом отношений.

480 р. стоит отопление 12 печей, а отопление 18 печей обойдётся в — раз дороже, т. е. 480 • — (руб.)

Отношение стоимости отопления в течение 8 месяцев к стоимости отопления в течение 7 месяцев равно у ; поэтому отопление 18 печей в течение 8 месяцев обойдётся в 480 • — . у (руб.)

Отношение нужного количества кубометров берёзовых дров к количеству кубометров осиновых дров равно ~ ; поэтому отопление 18 печей в течение 8 месяцев берёзовыми дровами обойдётся в 480 - — . -8- . - (руб.)

Наконец, отношение стоимости 1 мг берёзовых дров к стоимости 1 мъ осиновых равно у. Поэтому всего потребуется на отопление берёзовыми дровами

х=480. —. - . 1 . 5 ; ^ = 800 (руб.)

Сопоставляя оба способа решения данной задачи, можно прийти к такому выводу: объяснение решения данной задачи проще по способу отношений, чем по способу приведения к единице.

Несколько слов о решении задач на тройное правило способом пропорций. Арифметический метод тем ценен, что в нём выявляется смысловое значение каждого действия, а в методе пропорций за определённой схемой маскируется реальное содержание, формализм метода скрывает содержание действий1.

В задачнике Е. С. Березанской на тройное правило помещены в двух разделах: задачи на пропорциональные величины и задачи на сложное тройное правило. Рекомендуем решить задачи №№ 1891, 1893, 1899, 1908, 1911.

III. Задачи на пропорциональное деление

К третьему типу отнесём задачи на пропорциональное деление. Арифметическое содержание этого типа задач сводится к следующему: по данной сумме (или разности) и по отношению этих же чисел требуется определить каждое из чисел в отдельности. Рассмотрим следующую задачу:

1 Редакция не совсем согласна с этим положением автора. См. по этому вопросу статью Н. Т. Зерченинова в одном из следующих №№ журнала.

В двух ящиках 72 кг чая; количество чая во втором ящике составляет у количества чая первого. Сколько чая в каждом ящике? (Е. С. Березанская, Сборник задач по арифметике, № 1860).

В условии дана сумма количеств чая в обоих ящиках, отношение количества чая во втором ящике к количеству в первом равно — :1, или 3:7.

Обычно задачу решают одним из следующих способов. На каждые 3 весовых части чая второго ящика приходится 7 весовых частей первого; итого 3 —[— 7, или 10 весовых частей, что составляет 72 кг, а потому на одну весовую часть приходится 72:10, или 7,2 кг; вес чая первого ящика равен 7,2 • 7 = 50,4 (кг), а вес чая второго ящика равен 7,2 • 3= = 21,6 (кг).

Иногда ведут рассуждения по методу допущений. Допустим, что вес чая в первом ящике равен 7 кг, тогда, по условию задачи, вес чая во втором ящике равен 3 кг. Общий вес при этом допущении равнялся бы 7 + 3, или 10 кг; действительный вес больше предполагаемого в 72:10, или 7,2 раза. Чтобы умножить сумму на 7,2, достаточно умножить каждое слагаемое на 7,2. Получим 7 • 7,2=50,4 (кг) чая в первом ящике, 3- 7,2 = 21,6 (кг) чая во втором.

Второй способ вызывает затруднения у учащихся вследствие произвольности допущения.

Слабое место первого способа состоит в расплывчатости понятия „весовая часть“. Поэтому нам кажется более рациональным возможно раньше ввести в курс арифметики обозначение неизвестного числа буквой X. Опираясь на свойство отношения, ученик уже знает, что если отношение двух велич-ин равно 7:3, то существует некоторая величина, которая содержится 7 раз в первом ящике и 3 раза во втором. Обозначим это число (килограмм) через л:;тогда в первом ящике 7х кг чая, во втором Зл;, а в обоих ящиках Зл: -j- 7х, или 10х кг, что составляет 72 кг; а потому 10л: = 72, X = 7,2 (кг); в первом ящике 7,2 • 7=50,4 (кг) чая, во втором 7,2 • 3 = 21,6 (кг).

Задачи на пропорциональное деление осложняются, когда даётся сумма не двух, а трёх (или более) слагаемых и отношения первого ко второму и первого к третьему (или второго к третьему).

В этих задачах даются сумма и два отношения.

Разделить число А пропорционально числам m, п и р значит по данной сумме трёх неизвестных чисел хх-\-х^-\-хь= А и по отношению хх :х2 = т :п и x1:x3= = т:р найти в отдельности каждое из чисел хи *2 и хз-

Иными словами, первое слагаемое хг должно содержать столько раз число т, сколько раз второе слагаемое х2 содержит число п и сколько третье слагаемое х3 содержит число р;

Если допустим, что первое слагаемое хх содержит m частей, то второе слагаемое содержит п таких же частей, а третье р таких же частей, т. е. всё число А содержит т-\-п-\-р частей, а потому одна часть равна m_±_nj_„ > а первое число

Несколько более сложным представляется решение следующей задачи: разделить 608 на 3 части, чтобы отношение первого ко второму было равно 32:15, а отношение второго к третьему 1 :7.

Второе неизвестное число входит в оба отношения: оно является вторым членом в первом отношении и первым членом во втором отношении. В первом отношении неизвестное число выражено 15 единицами, а во втором отношении одной единицей. Очевидно, это могло произойти оттого, что члены второго отношения были сокращены на некоторый общий делитель. Так как отношение не изменяется от умножения обоих чисел на одно и то же число, то, умножив оба числа второго отношения на 15, можно, не изменяя величины второго отношения, достигнуть того, чтобы ОДНО L то же слагаемое выражалось в обоих отношениях одним и тем же числом, а именно 15. Отношение второго числа к третьему равно 15-: 105. Теперь задача приведена к предыдущей, а имевно, к делению числа 608 пропорционально числам 32, 15 и 105.

Первое слагаемое равно 32-f-'15+ 1Q5 “ ^ = ^ ' втоhое слагаемое равно 32_^^_1()5 • 15 = 60, а третье 32 + ^8+105 • 105 = 420.

Можно решить эту задачу другим способом. Отношение первого слагаемого ко второму равно следовательно, на основании определения отношения первое число равно ^ второго, т. е. если второе принять за единицу, то первое равно yg. Во втором отношении примем за единицу то же второе слагаемое и возьмём не отношение второго к третьему, а отношение третьего ко второму, оно равно 7:1, т. е. третье число в 7 раз больше второго. Таким образом, если на второе слагаемое приходится одна доля, то на первое j^, а на третье 7 таких же долей. Итого ^ + 1+7=*= 10 jg долей, что составляет 608, а потому второе число равно 608 :10-jy, или —Ys}— == 60, первое число равно 60- jg=128, а третье число равно 60 . 7 = 420.

Последний способ можно рационализировать введением обозначения х для второго числа; получим:

Сравнивая второй способ решения задачи с первым, видим, что во втором понятие пропорционального деления выигрывает в ясности благодаря операциям над двумя отношениями.

IV. Задачи на деление обратно пропорционально данным числам

К четвёртой группе отнесём задачи на деление обратно пропорционально данным числам.

Мотоциклист проехал за 3,7 часа три равных участка пути с разными скоростями: первый со скоростью 20 км/час, второй со скоростью 25 ягж/час и третий со скоростью 30 км/час. Сколько часов мотоциклист затратил на каждую часть пути и сколько километров он всего проехал?

На 1 км первого участка мотоциклист тратил 1 :20, или-^-часа; на 1 км второго участка 1 :25, или ^ часа; на 1 км последнего участка 1 :30, или часа; а так как все три участка равны между собой, то, очевидно, время на весь путь надо разделить пропорционально числам , и эд-, или натуральным числам 15, 12, 10.

15 + 3\2-\- [о ' 15 = 1,5 (часа) затрачено на первую часть пути;

15 + 12 + [Q - 12 = 1,2 (часа) на вторую часть пути и

15+312+Ю * Ю== 1 (час) на последнюю часть.

Длина всего пути вычисляется так: за 1 час на третьем участке мотоциклист проезжает 30 км, т. е. 4- всего пути, а потому весь путь составляет 30-3, или 90 км.

Из разобранного примера видим, что надо разделить 3,7 часа обратно пропорционально числам 20, 25 и 30, и что делить обратно пропорционально этим числам значит разделить прямо пропорционально обратным числам, т. е.

Указанными методами решается ряд задач из сборника задач и упражнений по арифметике Е. С. Березанской. Рекомендуется решить задачи №№ 1881, 1884, 1885 и 1889.

V. Задачи на среднее арифметическое и среднее взвешенное

При решении некоторых вопросов приходится вводить среднее, например, среднее показание из ряда наблюдений над температурой. Среднее показание получается путём деления суммы всех показаний на их число. Это число называется средним арифметическим.

Но иногда наблюдения производятся не в одинаковых условиях, неодинаково благоприятных для точности наблюдений. Так как результаты наблюдений неравноценны, то их характеризуют различным „весом“. Допустим, что смешано 5 кг печенья по 6 руб.. за 1 кг с 3 кг по 10 руб. за 1 кг; требуется вычислить среднюю цену 1 кг смеси. Здесь взяты неравные количества килограммов, поэтому надо учесть ещё и „вес“ каждого сорта, отсюда и происходит название

среднего взвешенного. Для решения задачи надо знать стоимость печенья каждого сорта, затем общую стоимость обоих сортов и разделить её на число килограммов. Полученный результат и называется средним взвешенным. В данном вопросе среднее взвешенное, или средняя цена 1 кг смеси, равно 5_|_3— = -g- = 7,5 (руб.). Среднее же арифметическое цен равно^-4^ = 8 (руб.). Среднее арифметическое можно рассматривать как среднее взвешенное величин, у которых „веса“ равны.

Иногда приходится решать обратный вопрос, а именно, по заданному среднему взвешенному, по общему весу всей смеси и по ценам одного килограмма определить вес каждого из смешиваемых веществ. Задачи подобного рода можно решать двумя способами.

Из двух сортов печенья ценой по 10 руб. за 1 кг и по 8 руб. за 1 кг составлено 12 кг смеси средней ценой по 8,5 руб. за 1 кг. Сколько килограммов взято каждого сорта? Задача эта может быть решена двумя способами.

Первый способ—способ предположения—состоит в следующем. Если бы все 12 кг были первого сорта, то общая стоимость составляла бы 10 • 12=120 (руб.), фактическая же стоимость равна 8,5 • 12 = 102 (руб.), т. е. меньше предположенной на 120— 102, или на 18 руб. Снижение средней стоимости достигается заменой нескольких килограммов по 10 руб. таким же числом килограммов по 8 руб. От замены 1 кг 10-рублевого печенья одним килограммом 8-рублевого получается снижение стоимости на Ю-8 = 2 руб., а чтобы снизить стоимость на 18 руб., надо произвести таких замен 18:2 = 9, т. е. надо взять 9 кг восьмирублевого печенья и 12 — 9 = 3 (кг) 10-рублевого.

Этот способ состоит в произвольном допущении и последующем рассмотрении разности стоимости, полученной при таком допущении, и стоимости фактической и сведении этой разности к нулю. Неудобство этого метода состоит в произвольности допущения, притом противоречащего условию задачи. Поэтому более естественным и в практических приложениях более принятым является другой способ.

От продажи 1 кг печенья первого сорта, т. е. 10-рублевого, за 8,5 руб. получается убыток в 10 — 8,5 = 1,5 (руб.); от продажи 1 кг ценой в 8 руб. за 8,5 руб. получается прибыль 8,5 — 8 = = 0,5 (руб.). При установлении средней цены в 8,5 руб. за 1 кг уже учтено, что прибыль и убыток взаимно компенсируются. Ясно, что для компенсации 1,5 руб. убытка, получаемого от продажи 1 кг первого сорта, надо взять второго сорта 1,5:0,5 = 3 (кг). Таким образом, отношение количества первого сорта к количеству второго равно 1 :3, т. е. надо разделить 12 кг в отношении 1: 3.

Второй способ естественнее: в нём нет произвольных допущений, вычисление числа килограммов каждого сорта производится путём сравнения прибыли и убытка, получаемого от продажи 1 кг каждого сорта по средней цене.

Для удобства записи и обозримости действий принята следующая схема:

Применение понятия среднего взвешенного и отличие его от среднего арифметического хорошо иллюстрируется на следующей задаче:

„Аэроплан летел сначала со скоростью 180 км в час. Когда ему осталось пролететь на 320 км меньше, чем он пролетел, он стал лететь со скоростью 250 км в час. Средняя его скорость на всём пути оказалась равной 200 км в час. Сколько всего километров пролетел аэроплан?“ (А. Каменский и И. Либерман, № 1108).

Сначала определим отношение времени, затраченного на первую часть пути, ко времени, затраченному на вторую часть его.

На первой части пути при скорости в 180 км аэроплан каждый час отставал от средней скорости 200 км на 200—180=

=20 (км)у а на второй части пути скорость превышала среднюю на 250—200= =50 (км). А потому отношение времени, затраченного на первую часть пути, ко времени, затраченному на вторую его часть, равно 50:20, или 5:2.

Допустим теперь, что на первую часть пути затрачено 5 час, тогда на вторую часть затрачено 2 часа. При таком предположении за первую часть пути было бы пройдено больше, чем за вторую, на 180-5—250-2, или на 400 км; на самом же деле, первая часть пути больше второй на 320 км. Так как щ = -g-, то надо допустить, что на первую часть пути затрачено не 5 час, а 5 • у = 4 (часа), а на вторую часть пути 2 - - = -=1у (часа).

Следовательно, аэроплан пролетел всего 180-4 + 250 - y=720+400=1120(K.if).

По своей тематике задачи этого типа называются задачами на смешение 2-го рода, хотя по арифметическому содержанию это задачи на среднее взвешенное.

Задачи несколько осложняются с увеличением числа сортов смешиваемых веществ.

Из трёх сортов кофе ценой по 2 р. 25 к. за 1 кг, по 1р. 80 к. и по 1 р. 60 к. составлено 6,2 кг смеси ценой по 2 руб. за 1 кг. Отношение числа килограммов первого сорта к числу килограммов второго сорта равно 8:5. Сколько килограммов каждого сорта вошло в смесь?

Задача может быть решена двумя способами.

Первый способ. От продажи 1 кг первого сорта по средней цене 2 руб. получается убыток 2,25—2=0,25 (руб.); от продажи 1 кг второго сорта за 2 руб. получается прибыль в 2—1,8=0,2 (руб.); от продажи 1 кг третьего сорта за 2 руб. получается прибыль 2—1,6=0,4 (руб.).

Допустим, что первого сорта продано 8 кг, тогда получится убыток, равный 0,25 • 8=2 (руб.). Но тогда второго сорта должно быть продано 5 (кг), от которых получится 0,2 • 5=1 (рубль) прибыли; от продажи 8 кг первого сорта и 5 кг второго получится 2—1=1 (рубль) убытка, для покрытия которого надо продать третьего сорта 1 :0,4=21/2 (кг). Итак, надо поделить 6,2 кг пропорционально числам 8, 5, 2}/2 или 16, 10, 5;

Второй способ. Если взять 8 кг первого сорта и 5 кг второго, то получится смесь ценой за 1 кг----8+-^—— =

Теперь имеем такую задачу. Смешано 6,2 кг кофе двух сортов: первого, составленного из двух сортов, ценой в 2^ руб., и второго в 1,6 руб. Сколько килограммов взято каждого сорта?

Следовательно, третьего сорта взято 25_|_5 = 6'з| 5 = 1 (кг). Остальные 6,2—1=5,2 (кг) надо разделить пропорционально числам 8 и 5.

VI. Задачи на проценты

Процент есть часть;

1 о 100 и,и1в

Соответственно с таким пониманием процентов существуют три основных типа задач на проценты: 1) нахождение процентов данного числа; 2) нахождение числа по данным его процентам и 3) нахождение процентного отношения двух чисел.

Третья основная задача на проценты есть задача на нахождение отношения двух чисел, первая задача—на нахождение дроби от числа и вторая—на нахождение числа по данной его дроби.

Отсюда непосредственно видно, что задачи на проценты по методам решения совпадают с задачами на дроби.

Основные затруднения при решении задач на проценты связаны с неумением достаточно чётко различить основные элементы понятия „процент“. Для развития нужных навыков можно рекомендовать следующие примеры.

Задача 1. Число женщин, работающих на фабрике, больше числа мужчин на 60%. На сколько процентов число мужчин меньше, чем число женщин?

Так как число женщин больше, чем число мужчин на 60%, то, очевидно, надо число мужчин принять за 100%. Тогда, согласно условию, число женщин составляет 100%-f-60%= 160% числа мужчин. При ответе на вопрос, сколько процентов числа женщин составляет число мужчин, основным является число женщин, т. е. 160, а процентами число мужчин, т. е. 100; следовательно, надо определить, сколько процентов составляет 100 от 160, т. е. надо найти процентное отношение 100 к .160,

Таким образом, число мужчин составляет 62,5% числа женщин. А так как теперь число женщин принято за 100%, то число мужчин меньше, чем число женщин, на 100%—62,5% = 37,5%, а не на 60%.

Задача 2. Свежий гриб содержит 80% воды, а сушёный 12%. Сколько килограммов свежих грибов надо собрать, чтобы получить 5 кг сушёных?

При решении данной задачи надо исходить из того, что остаётся неизменным в условиях вопроса: неизменным остаётся масса самого грибного вещества, грибной экстракт без содержания воды; количество этого вещества не меняется в условиях задачи, меняется лишь количество воды; в свежих грибах количество грибного вещества составляет 100%—80%= 20% всего веса; в сухих грибах то же количество грибного вещества составляет 100% — 12% = 88% всего веса.

Сколько килограммов грибного вещества содержится в 5 кг сушёных грибов? Надо найти 88% от 5 кг; 1QQ == 4,4 (кг грибного экстракта). Эти же 4,4 кг грибного экстракта составляют 20% веса свежих грибов; следовательно, чтобы найти искомый вес свежих грибов, надо по данной дроби найти число

Итак, надо собрать 22 кг свежих грибов.

Аналогичная задача находится в сборнике Е. С. Березанской (№ 1994).

Задача 3. Совхоз обязался поставить кооперативу картофель с условием, чтобы мелкий картофель не превышал 20% общего количества. В доставленных 12,5 m мелкий картофель составляет 24%. Сколько надо добавить крупного картофеля, чтобы мелкий картофель составлял 20% общего веса?

По условиям задачи, приходится добавлять только крупный картофель, количество мелкого остаётся неизменным, из него и надо исходить.

В доставленных 12,5 (т) картофеля содержится —— = ^ Он) мелкого. Эти 3 т, согласно обязательству, не должны превышать 20% всего картофеля. Следовательно, всего картофеля должно быть —ôq— = 15 (m), а потому одного крупного надо добавить 15—12,5 = = 2,5 (m).

Задача 4. Киоск пользуется при покупке книг от КОГИЗ“а скидкой в 20% с номинальной цены, а продаёт по номиналу. Сколько процентов надбавки получает киоск?

КОГИЗ исходит из номинальной цены, а киоск из фактически уплаченной им суммы. Допустим, что киоск купил книг на 100 руб. по номиналу. За эти книги киоск уплатит 100 — 20 = 80 (руб.). На эти 80 руб. киоск повышает цену на 20 руб., так как продаёт их за 100. Остаётся узнать, сколько процентов coon < ОЛ . 20-100 ставляют 20 руб. от 80 руб. —^— = 25%. Итак, киоск делает накидку в 25%.

Задача 5. Рабочий получил за деталь 19 руб. 20 коп., на изготовление детали тратилось 12 час. С введением более рациональных методов работы производительность труда увеличилась на 20%,

а оплата за выработку той же детали была установлена 20 руб. На сколько процентов увеличилась почасовая оплата?

Первый способ решения. Первоначальная почасовая оплата была равна 19,20:12 = 1,60 (руб.).

При увеличении производительности труда на 20% она оказалась равной 100°/о+20%= 120% первоначальной производительности; поэтому время, нужное для производства детали, сократилось в 1,2 раза, т. е. на деталь потребуется 12:1,2 = 10 (час). Оплата за 10 час. установлена 20 руб., т. е. по 20:10 = 2 (руб.) за 1 час; таким образом, почасовая оплата увеличилась на 2—1,6 = 0,4 (руб.), что составляет 16—=25%.

Второй способ. Первоначальная почасовая оплата составила 19,20:12 = = 1,60 (руб.). С увеличением производительности на 20% рабочий выработает за те же 12 час. не одну деталь, а деталь и ещё 20% и получит не 20 руб., а 20 руб. с прибавкой 20%, т. е. 20 + -^^ = 20 + 4, или 24 руб.; следовательно, почасовая оплата рабочего увеличилась на . б|— = 25%.

Задача 6. В библиотеке всего 6100 книг русских, французских и английских; французских больше, чем английских, на 25% и меньше, чем русских, на 20%. Сколько книг на каждом языке?

Число французских книг сопоставляется в одном случае с числом английских, в другом—с числом русских. Можно принять за основное число, т. е. за 100%, либо число английских, либо число русских книг. Если принять за 100% число английских книг, то число французских книг составит 100%+ 25%= 125% числа английских книг. Остаётся выразить все три числа в процентах одного. Два числа уже выражены в процентах числа английских книг; остаётся выразить число русских книг в процентах числа английских. В условиях задачи число русских книг сравнивается не с числом английских, а с числом французских, причём французских на 20% меньше числа русских, т. е. если число русских книг принять за 100%, то число французских книг составит 100%—20% = 80%, или 0,8 числа русских книг.

Итак, 125% числа английских книг составляют 0,8 числа русских книг; следовательно, число русских книг составляет 125% -0,8 = 156,25% числа английских книг. Все 6100 книг составляют 125%+ 100%+156,25%, или 381,25% числа английских книг. Таким образом, было

381 ^5 = (книг английских);

6381 255 = 2^ (книг французских);

6100-156,25, ч -—=2500 (книг русских).

Другой способ решения. Примем число английских книг за 100%; число французских книг составит 125% числа английских, а потому отношение числа английских книг к числу французских равно 100:125, или 4:5.

Если принять число русских книг за 100%, то число французских книг равно 100%—20%=80°/о числа русских, отношение числа французских книг к числу русских равно 80:100 = 4:5. Итак, число английских книг составляет -=- числа французских книг, а число русских книг составляет-|- числа французских книг. Остаётся разделить 6100 пропорционально числам 5, 1, или числам 16, 20, 25.

16-f 20+~25 ~ (книг английских);

Уб+2?+ 25 ' 20 = 2000 (книг французских);

' 25 = 2500 (книг русских)

Задача 7. В техническом журнале появились три объявления: первое предлагает усовершенствование в паровой машине, дающее 40% экономии топлива; второе рекомендует изобретение, которое даёт 35% экономии топлива, и третье, дающее 25% экономии. В конторе мельницы решили применить все 3 усовершенствования, получить 40%+35%+25%, или 100% экономии топлива, т. е. пустить в ход паровую машину без топлива. В чем неверность расчётов?

Источник допущенной ошибки следующий: проценты исчисляются не от одного и того же количества топлива, а от разных, всё уменьшающихся количеств топлива, так как рационализаторские приёмы прилагаются не к одному и тому же количеству топлива, а к различным. Примем перво-

начальный расход топлива за 100 кг. Первое изобретение даст 40% экономии топлива, т. е. 40 кг; следовательно, надо будет затратить 100—40 = 60 (кг) топлива. Второе усовершенствование даёт 35% экономии с 60 Kl, т. е. 6^5- = 21 (кг); после применения второго изобретения потребуется топлива 60 — 21 =39 (кг). Третье изобретение даёт 25% от 39 кг, 39 • 25 т. е. loo “9,75 (кг) экономии. Общая экономия после введения всех трёх усовершенствований составит 40-J-21 -j-9,75= = 70,75 (кг) топлива.

Разобранная курьёзная задача полезна как упражнение на определение того, что является основным числом. Несколько парадоксальная форма задачи привлекает внимание и интерес учащихся. Нужны ли подобные задачи в большом количестве? Нам кажется, что такие задачи полезны в некоторых отдельных случаях, когда необходимо привлечь внимание учащихся к самому вопросу, но постоянное применение таких задач непедагогично, так как создаёт излишнее напряжение. Необходимо развивать в учащихся способность спокойно, без напряжения, целеустремлённо решать вопросы. В реальной жизни приходится решать более простые, не столь искусственно надуманные задачи. Само собой разумеется, если проходимый раздел требует развития некоторых навыков, то можно и нужно практиковать соответствующие упражнения, хотя и не встречающиеся в жизненной практике. Однако в качестве системы задачи надо подбирать в соответствии с условиями окружающей жизни.

Приведём несколько примеров на задачи из практической жизни.

Задача 8. На сколько процентов увеличивается реальная зарплата рабочего при общем снижении цен на продукты на 20%?

После снижения цен на продукты стоимость их составит 100%—20%=80% первоначальной стоимости, или 0,8 первоначальной. Поэтому, если на какую-либо сумму, например, на 1 руб., можно было приобрести до снижения цен какое-либо количество продуктов, то после снижения цен на ту же сумму можно приобрести 1 : у=-£- = 1,25= 125% прежнего количества, т. е. реальная зарплата увеличилась на 125% — 100% = = 25%.

Задача 9. На сколько процентов увеличится зарплата при общем снижении цен продуктов на 20% и одновременном увеличении номинальной зарплаты на 25%?

С увеличением номинальной зарплаты на 25% она окажется равной 100% + 25% = 125% прежней, или -^-прежней.

Снижение цен на продукты на 20%» как уже выяснено в предыдущей задаче, приводит к тому, что цены на продукты сделаются равными -g- первоначальных.

Поэтому на можно будет купить продуктов щ- : ~ = ~|= 156,25% прежнего количества, т. е. общее увеличение зарплаты составит 156,25%—100% = = 56,25%.

В сборнике Березанской задачам на проценты отведён специальный раздел. Рекомендуется решить следующие задачи: №№ 2075, 2081, 2097, 2100, 2109 и 2125.

VII. Задачи на связь между числом и цифрами, при помощи которых число записано

Эти задачи встречаются в алгебраических задачниках и решаются методом уравнений.

Задача 1. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если из искомого двузначного числа вычесть 18, то получится число, написанное теми же цифрами в обратном порядке. Найти двузначное число.

Сначала на целом ряде примеров устанавливается следующий факт: разность между двузначным числом и числом, написанным теми же цифрами в обратном порядке, кратна 9 и равна произведению 9 на разность единиц и десятков. Доказательства этого факта мы здесь не касаемся.

Если разность между двузначным числом, написанным теми же цифрами в обратном порядке, равна 18, то число десятков больше числа единиц на 18: 9=2.

Итак, сумма цифр равна 12, а разность тех же цифр равна 2; следовательно, число десятков равно —^— = 7, а число единиц —2— = 5, т. е. искомое число есть 75.

Задача 2. Сумма цифр двузначного числа равна 9. Если переставить цифры в искомом двузначном числе, то отношение полученного числа к искомому равно

Л-т Найти двузначное число.

На ряде примеров устанавливается, что сумма двузначного числа с другим двузначным, написанным при помощи тех же цифр, кратна 11 и равна произведению 11 на сумму цифр обозначенного числа. Доказательства этого факта мы не касаемся здесь.

Если сумма цифр двузначного числа равна 9, то сумма двузначного числа и другого двузначного, написанного теми же цифрами в обратном порядке, равна 9-11=99. Теперь задача сведена к другой: сумма двух чисел равна 99, а отношение их равно 4:7. Найти эти числа:

Заметим, что, зная это свойство, можно решить первую задачу другим способом. Если сумма цифр двузначного числа равна 12, то сумма искомого двузначного числа, написанного теми же цифрами в обратном порядке, равна 12-11, или 132, а разность тех же чисел равна, по условию, 18. Поэтому большее двузначное число равно

Задача 3. Шестизначное число начинается слева цифрой 1. Если эту цифру перенести с первого места слева на последнее место справа, то вновь полученное число будет втрое больше первоначального. Найти первоначальное число.

В задаче имеем два шестизначных числа: одно искомое, а другое полученное из него перемещением 1 на последнее место, назовем его для краткости окончательным. Окончательное число оканчивается 1 и больше искомого втрое. Если умножим последнюю цифру искомого числа на 3, получится последняя цифра 1. Но 1 получится на месте единиц только после умножения 7 на 3, ибо 7.3 = 21. Итак, в искомом числе последняя цифра есть 7, а в окончательном две последние цифры 71. Так как 3 • 7 = 21, то в 7 десятках содержатся два десятка, полученные от умножения 7 единиц на 3, т. е. от умножения на 3 собственно десятков последняя цифра получилась 7—2, или 5; но последняя цифра 5 получается от умножения 5 на 3; следовательно, в искомом числе предпоследняя цифра равна 5, т. е. в искомом числе две последние цифры 57, а в окончательном 571. Цифра 5 получилась от прибавления 1 к 4, т. е. от умножения собственно сотен получилась последняя цифра 4, а на 4 оканчивается только произведение 8 на 3; следовательно, в окончательном числе последние 4 цифры 8571, а в искомом последние три 857. Цифра 8 в окончательном числе получилась как сумма 2, перенесённых.от умножения ближайшего разряда, и 6; 6 получается только от умножения 2 на 3; следовательно, 5 последних цифр окончательного числа 28571, а 4 последние цифры искомого 2857; на 2 оканчивается только произведение 4 на 3, следовательно, окончательное число есть 428571, а искомое число есть 142857.

В. ЗАДАЧИ ВТОРОГО КЛАССА

Ко второму классу отнесём задачи, для решения которых методами арифметики недостаточно знания теоретических сведений по арифметике, но, кроме того, требуется ещё высокоразвитая способность делать логические умозаключения, умение находить в каждом отдельном случае своеобразный метод, делающий доступным для понимания решение.

Значительная часть задач второго класса обычно решается методом исключения неизвестного. Сюда относятся :

1. Исключение одного неизвестного путём замены его другим.

2. Уравнивание неизвестных.

3. Исключение одного неизвестного путём сложения или вычитания двух соотношений задачи.

1 Метод исключения одного неизвестного путём замены его другим был выяснен при решении задач на среднее взвешенное, в решении задач на смешение второго рода путём предположения. Там же были вскрыты неудобства этого метода.

Необходимо признать, что вся идея этого метода есть замаскированное решение уравнения: не применяя уравнения, пытаются проделать все операции, совершаемые при решении уравнения, но стараются эти операции сделать доступными

для понимания путём соответствующих объяснений.

Следует признать, что непосредственное применение способа уравнений к решению таких задач естественнее и понятнее, чем путь замаскированный.

2. Метод уравнивания неизвестных был уже показан на одном примере, когда была установлена верхняя граница трудных задач, которые надо исключить из арифметики и отнести в алгебру.

3. Исключение одного неизвестного путём сложения или вычитания двух соотношений задачи. Этот способ поясним на нескольких примерах:

1) 7 тетрадей и 18 карандашей стоят 2 р. 85 к., а 7 тетрадей и 15 карандашей стоят 2 р. 55 к. Сколько стоит 1 карандаш и 1 тетрадь? Сопоставляя оба соотношения, находим непосредственно, что 18—15 = 3 (карандаша) стоят2р. 85к.— —2 р. 55=30 (коп.). Следовательно, 1 карандаш стоит 30 :3= 10 (коп.). 15 карандашей стоят 10 . 15 = 150 (коп.), а потому 7 тетрадей стоят 255— 150=105 (коп.), следовательно, 1 тетрадь стоит 105:7 = = 15 (коп.).

2) 3 стакана и 5 блюдечек стоят 8 р. 90 к., а 6 стаканов и 8 блюдечек стоят по тем же ценам 16 р. 40 к. Сколько стоит 1 стакан и одно блюдечко?

Удвоим первую покупку: 6 стаканов и 10 блюдечек стоят 17 р. 80 к., а 6 стаканов и 8 блюдечек стоят 16 р. 40 к. Следовательно, 10 — 8 = 2 (блюдечка) стоят 17 р. 80 к. — 16 р. 40 к. = 140 (коп.); одно блюдечко стоит 140 :2 = 70 (коп.). 5 блюдечек стоят 70- 5 = 350 (коп.), 3 стакана стоят 890 — 350 = 540 (коп.), а 1 стакан 540:3= 180 (коп.) = 1 р. 80 к.

Решение этого типа задач тоже представляет замаскированное решение системы двух уравнений первой степени способом сложения.

Из сопоставления решения обоих классов задач непосредственно вытекает следующий вывод: задачи второго класса проще и естественнее решать методом уравнений. И в самом деле, с помощью уравнений все задачи всех типов решаются одним общим универсальным приёмом—составлением уравнений; не надо задумываться над тем, к какому типу относится предложенная задача, решение составленных уравнений производится чисто механически и не требует напряжения мысли, не приходится ставить вопрос о смысловом значении каждой операции. Чем больше требуется логических рассуждений для решения задачи арифметическим способом, чем больше требуется изобретательности на нахождение смыслового вопроса каждого действия, тем отчётливее выступают преимущества метода уравнений, сводящего все логические трудности к составлению уравнений, а решение уравнений к механическому шаблону.

Приведём ещё задачу, решение которой требует высокоразвитой способности делать логические выводы.

Задача. Из Москвы в Калинин ежедневно в 6 часов отправляется товарный поезд, который встречается в 14 час. в Калинине с пассажирским поездом, идущим из Ленинграда и прибывающим в Москву в 18 час. Однажды товарный поезд вышел из Москвы часом позже и встреча с ленинградским поездом произошла на расстоянии 16 км от Калинина. Узнать расстояние от Москвы до Калинина.

Товарный поезд покрывает путь от Москвы до Калинина за 14 — 6 = 8(час), а пассажирский покрывает тот же путь за 18—14 = 4 (часа). Следовательно, отношение скорости пассажирского поезда к скорости товарного равно 2:1.

Встреча произошла не в Калинине, а на расстоянии 16 км от Калинина, между Калинином и Москвой. Пассажирский поезд вышел из Калинина в 14 час, товарный поезд в 14 час. находился на расстоянии своей часовой скорости от Калинина. Таким образом, в 14 час. вышли навстречу друг другу ленинградский поезд из Калинина и московский поезд из точки, находящейся от Калинина на расстоянии, равном часовой своей скорости. К моменту встречи ленинградский поезд прошел 16 км: так как скорость пассажирского вдвое больше скорости товарного, то за то время, когда пассажирский поезд проехал 16 км, товарный проехал 16:2, или 8 км; следовательно, часовая скорость товарного равна 16 -}- 8 = 24 (км), а расстояние от Москвы до Калинина равно 24 - 8= 192 (км).

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О ТРЕБОВАНИЯХ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫХ К ПИСЬМЕННЫМ РАБОТАМ ПО МАТЕМАТИКЕ

(По поводу статьи Ю. О. Гурвица и С В. Филичева в журн. „Математика в школе“ № 1, 1947 г.)

От редакции. Опубликование статьи Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева, напчсанной на основе опыта проведения экзаменов в школах г. Москвы, дало возможность подвергнуть обсуждению требования, предъявляемые к письменным работам учащихся.

По многочисленным откликам, поступившим в редакцию от читателей, можно судить о том живом интересе, который вызвала затронутая тема.

Наличие различных точек зрения о характере требований, которые следует предъявлять к письменным работам, указывает на необходимость всестороннего обсуждения данного вопроса. В порядке этого обсуждения и помещаются нижеследующие три заметки. В прочих письмах и заметках, поступивших в редакцию, заключаются высказывания, содержащиеся в этих трёх заметках.

Проф. Я. С. ДУБНОВ (Москва).

Давно сказано, что школьные экзамены являются проверкой одновременно ученика и учителя. К этому надо добавить, что проверка через экзамены в отношении учителя начинается несколько раньше материалом для неё служат и экзаменационные задания и в особенности то, каким учитель представляет себе образцовое выполнение этих заданий. С этой стороны статья Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева вызывает тревогу за качество преподавания и за то направление в каком некоторые из руководящих методистов стремятся повести за собой школу. В самом деле, проанализируем помещенные там задачи и образцовые решения, следуя порядку их расположения в статье.

1. Задача для VII класса на стр. 41, левый столб.., приводит к уравнению

Почему „ученик“ не сокращает сразу на 3? Почему он волочит за собой этот лишний множитель на протяжении всех преобразований уравнения? Объяснить это явление можно по-разному: а) ученик не ставит перед собой вопроса о возможности сокращения, хотя множитель 3 очевидным образом присутствует в двух членах уравнения; или, может быть, он не умеет применить к числу 237 признак делимости на 3 — это плохо; б) ещё хуже, если эта возможность замечена, но не использована: ,а вдруг этого нельзя делать-. Поощряют ли авторы такую прискорбную робость? Повидимому, да, так как во второй задаче (правый столб, стр. 41) то же повторяется упущена возможность сокращения на 12. Но тут авторы устами „образцового“ ученика поднимают свою схему решения на принципиальную высоту. Оказывается, для того „чтобы решить . . уравнение необходимо (подчёркивание здесь и в дальнейшем принадлежит мне) предварительно его привести к нормальному виду“. Почему же необходимо? Скорее „достаточно“. Но если и достаточно, то всегда ли нужно? Станем ли мы советовать ученику приводить к „нормальному виду“ такие уравнения, как

2(х— 1) = 3 (дг — 1) или (х- 1)2 = 4.

Ведь это значило бы — глушить живую мысль и инициативу ученика, толкать его на путь нерассуждающего автоматизма. В частности, по отношению к рассматриваемой сейчас задаче можно заметить, что более изящное решение получится, если представить уравнение в виде пропорции

с последующим составлением производной пропорции.

2. В решении задачи № 1, стр. 42, прежде всего непонятно, во имя чего заставляют ученика записывать уравнение -=--\-п в промежуточной форме

Если здесь имеются в виду трудности, связанные с умножением обеих частей уравнения на функцию неизвестного, то ведь эти трудности никак не устраняются промежуточной формулой. Опять автоматизм: сначала приведи все члены уравнения к общему знаменателю, затем умножь. .. А почему же не сразу умножить обе части уравнения на х (х + т)?

Но это мелочь по сравнению с той бесплодной схоластикой, которая развёртывается дальше. Установлено, что квадратное уравнение имеет действительные корни разных знаков (последнее—на основании знака свободного члена). А так как по смыслу задачи должен быть

сохранён только положительный корень, то, казалось бы, остаётся избрать тот, где перед знаком радикала плюс (ведь при b > О всегда а + Ь^>а — Ь). Вместо этого авторы тратят полстолбца (правого, стр. 42) для того, чтобы непосредственной проверкой убедиться в положительности этого корня! Здесь уже ученику прививается дурной вкус: неэкономно расстрачивать свои силы, ломиться в открытую дверь.

Другого рода дурной вкус проявляется в части, озаглавленной „Проверка решения задачи“. Надо упростить разность двух дробей с иррациональными (и притом „сопряжёнными“) знаменателями. Если бы ученик догадался освободить обе дроби от иррациональности в знаменателе (зачем же его этому не обучали?) и, разумеется, сократить полученные дроби, то он был бы избавлен от неуклюжей выкладки, занимающей середину стр. 43.

3. При решении задачи № 2, стр. 43, молчаливо действует догмат: через х обозначь то число, которое по условию задачи требуется найти. Разве не естественнее было положить RN=x (км).

MR == x -\- ш (км),

тогда скорости (в —. ) выразятся дробями

час

уравнение получится в виде

Отсюда

(разумеется, по смыслу задачи — никакого двойного знака в правой части), следовательно,

Вернёмся, однако, к решению, рекомендуемому в статье. Следуя догмату, полагают MN = х и получают с усилиями несколько большими, чем выше, уравнение

(x-\-mfp = (x — myq.

За этим следует бесполезная растрата сил: к чему двойной знак в уравнении

Ур(х + т) = ± ^(х — т),

когда по смыслу задачи левая часть и разность x—m положительны? Не действует ли здесь другой догмат: решая уравнение, забудь о смысле задачи и работай как счётная машина? В результате возни с двойными знаками для х не одно, а два значения. Дальнейшие усилия направлены к тому, ч«тобы освободиться от второго решения. Для этой цели привлекаются неравенства х > О, х^> m (зачем первое, если оно поглощается вторым?) и последнее — почему-то без мотивировки (в то время, когда авторы требуют объяснения гораздо более очевидных утверждений). Всё „исследование“ (стр. 44, левый столб., сверху), состоящее из трёх пунктов, излишне и не имеет другого оправдания, кроме того, что оно „полагается по штату“.

4. В задаче №3 (стр. 44, правый столб.) появляется новый, хотя не высказанный явно, догмат: при решении задачи с помощью уравнений старайся обойтись одним неизвестным. А между тем здесь работа ученика была бы заметно облегчена, если бы он, предположив, что краны наполняют ванну соответственно за х и у часов, составил бы два уравнения

откуда после лёгкого комбинирования получается

x -\-у = 2t, ху = 2т t.

Этот способ решения имеет ещё то преимущество, что делает очевидным полную симметричность задачи относительно х и у (впрочем, эта симметричность задачи обнаруживается уже при внимательном анализе условия задачи). Поэтому корни квадратного уравнения (легко устанавливается, что оба положительны) можно сразу истолковать: один даёт значение х, другой — значение у. Вместе с тем делается излишним почти всё приведенное в статье исследование (стр. 45, левый столб.), к тому же содержащее грубую логическую ошибку: для проверки некоторого неравенства возводят обе части в квадрат, получают после преобразований т2 > 0; и желаемый вывод делают из того, что „пришли к очевидному неравенству“. Но ведь так можно доказать, что 2<—3: возведём обе части в квадрат, получим 4 << 9 —„пришли к очевидному неравенству“. Подчёркиваю: проверяемое авторами неравенство верно, но мотивировка не убедительна, более того — опасна1).

В разделе „проверка“ (стр. 45) снова делается ошибка, на этот раз типично ученическая: проверено только одно из условий задачи, и это считается достаточным для вывода „следовательно, задача решена правильно“.

5 На стр. 45 (правый столб.) авторы бесстрастно констатируют: „в письменную работу по алгебре... вводят обычно и пример на бином Ньютона“. Жаль, что не видно собственного мнения авторов по поводу задач типа „найти тот член в разложении бинома...“, поучительность которых давно и справедливо оспаривается. Но посмотрим, как решается эта „классическая“ задача. Начну с недоуменного вопроса, касающегося детали: из каких соображений заставляют ученика писать (стр. 46, левый столб.) при каждом шаге преобразования Tk^_l = .., Тщ = .,.., =...., вместо общепринятого в математике Tk_^_x = . .. = ... = ? А вот что более существенно: получив равенство

авторы пишут: „если а не равно нулю или единице, то“..., (показатели должны

1 От редакции. Редакция не может согласиться с выказываниями проф. Я. С. Дубнова. Возводя в квадрат обе части неравенства, авторы не допускают логическую ошибку, так как в данном примере обе части неравенства положительны.

Отсутствие указания на это обстоятельство следует поставить в вину авторам.

быть равны). В устах ученика эта „утончённая“ оговорка обнаруживает только способность повторять слышанное им по другому поводу, но свидетельствует о полном непонимании смысла задачи. А смысл этот таков, что приведённое выше равенство должно быть тождеством относительно а, следовательно, должно выполняться и при таких значениях а, которые заведомо отличны от 0 и от 1. Вот это и нужно было сказать.

6. Переходя к геометрическим задачам, авторы желают предпослать им ряд общих наставлений (стр. 48). Среди них имеется и такое „... учащийся ... в первую очередь должен записать формулу, с помощью которой даётся ответ на вопрос задачи. После этого учащийся определяет из условий задачи те величины, которые надлежит подставить в формулу...“ Прежде всего можно заметить, что это предписание применимо лишь к ограниченному кругу задач шаблонного типа (найти объём, поверхность,...), но даже и здесь оно может направить ученика на ложный путь. Возьмём для примера задачу: найти боковую поверхность правильной пирамиды, зная площадь основания и двугранный угол при основании. Что же мы требуем от ученика, чтобы он написал S = Pk и искал периметр Р основания и апофему k пирамиды? Но их найти невозможно, а между тем задача разрешима, и притом без труда.

В условии задачи № 1 (стр. 49, левый столб.) дан угол (а) между диагональю основания и большей его стороной. Решив благополучно задачу в общем виде, умеющий думать ученик должен спросить себя: где же я использовал то обстоятельство, что угол а прилежит именно к большей стороне? И ответить — нигде; и написать: условие задачи содержит лишнее данное. Вот за это стоило было повысить ученику оценку (а авторам статьи — понизить). Аналогичный промах содержится в условии задачи № 2 (стр. 50, левый столб.): вместо фразы, начинающейся словами „две другие её боковые грани ...*, надо было сказать „одна из двух других боковых граней образует с плоскостью основания угол а“ (потому что треугольники SBA и SBC, черт. 2, равны по двум катетам). Ученик, сознательно решивший задачу, не мог этого не заметить и должен был о замеченном написать. Хотим ли мы воспитать вооружённого только формулами и инструкциями беспрекословного исполнителя или человека, способного критически осмысливать и рационализировать всякую порученную ему работу? Во всяком случае заметим: из трёх разобранных в статье геометрических задач две редактированы так, что дискредитируют составителей в глазах способного самостоятельно мыслить ученика.

В задаче № 3 (стр. 51, правый столб.) возражения вызывает уже не условие, а решение. Вводная часть его совершенно не мотивирована. Куда девалась педантичная требовательность авторов к объяснению каждого шага, хотя бы и правильного? В самом деле, „в шар вписана правильная треугольная пирамида. Высота SOi пирамиды лежит на диаметре SE шара“. Почему это не обосновано? — потому ли, что доказательство не всякому под силу? Но ведь перед нами „образцовое“ решение, долженствующее характеризировать лучшего ученика. Далее, „основание пирамиды лежит в плоскости малого круга“, — почему же „малого“, он может быть и большим. За этим следует не совсем обычное построение правильного треугольника, вписанного в круг — опять без обоснования. Увенчивается абзац неправильным выражением (стр. 52, левый столб, сверху) „... высота SOi проектируется в центр Oj окружности ....

Здесь не исчерпаны все возражения, которые я мог бы сделать; оставлены в стороне те, которые потребовали бы более пространных разъяснений. Но уже можно подвести итоги. В качестве примерного ученика нам рисуют молодого человека, хорошо знающего формулы и приёмы решения стандартных задач, ещё лучше усвоившего требуемые схемы письменного изложения, но 1) не уверенного в своих „математических правах“ (боится упростить уравнение), 2) лишённого инициативы (если не предписано освобождаться от иррациональности в знаменателе, то ему это и в голову не приходит), 3) слепо следующего правилам (при извлечении квадратного корня обязательно двойной знак), 4) готового делать ненужную работу ради „схемы“ (раз полагается „исследование“, пиши неравенства), 5) логически слабого (из а2^>Ь2 следует а^>Ь). 6) не способного (или не умеющего) критически отнестись к условию задачи, 7) с хитрецой (где не сумею объяснить, возьму апломбом).

Можно было бы впасть в уныние, если бы таков был действительный облик нашего школьника. На самом же деле, „примерный ученик“ обсуждаемой статьи это ещё абстракция, для одних педагогов — недостигнутый идеал, для других — сигнал об опасности.

И. М. РАБИНОВИЧ (Рига)

Требования, предъявляемые к решению задач, можно свести к трём пунктам:

1. Формальное соблюдение правил действий.

2. Логическая целесообразность, ведущая к сокращению вычислений.

3. Внешнее оформление, соответствующее логике решения.

Приведённые в статье Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева примеры решений („Математика в школе“, № 1, 1947) содержат некоторые отступления от второго пункта требований. Сами по себе эти отступления можно было бы считать несущественными, однако они узаконивают небрежное отношение к подобного рода погрешностям; поэтому представляется целесообразным их отметить:

1. Правильный навык вычисления требует, чтобы всегда, где только не имеется специальных соображений противоположного устремления, производились сокращения на общий множитель. Тогда последующие стадии вычисления производятся с менее сложными выражениями, т. е. с меньшей затратой энергии. Это правило нарушается авторами статьи. Так, в задаче левого столбца 41 стр. не производится сокращение на 3 при решении уравнения:

Дальнейшие преобразования должны быть такими:

Аналогичный недосмотр мы наблюдаем при решении уравнения в правом столбце 41 стр.:

2. Методически более существенна, притом уже в принципиальном отношении, неправильность в употреблении знака равенства в схеме логарифмирования (задачи № 1 и № 2, стр. 50 — 51). В приведённой авторами схеме, которую условно назовём „свободной“, знак равенства имеет два смысла — „внешний“, когда знак „=“ стоит перед вертикальной чертой, и „внутренний“, когда им обозначается тождественный переход в преобразовании составляющих величин. Такая двусмысленность в понимании и употреблении знака „=“ не может быть оправдана, тем более, что ёе легко избежать, если разграничить стоббцы записи вертикальными чертами. Получается логически вполне правомочная запись:

Вертикальные черты заменяют скобки записи, ^£бок=0§2 + 21224>5 + • • • О. которая при объяснениях предшествует логарифмической схеме. Одновременно они принуждают учащихся более размеренно планировать всю запись вычислительной работы. Назовём такую схему „связанной“.

У автора этой заметки была возможность сравнить классные работы со „свободной“ и „связанной“ схемами логарифмирования.

Оказывается, что при „связанной“ схеме число ошибок составляет около 40% по сравнению с числом ошибок „свободной“ схемы.

3. С точки зрения практики представляется рациональным прививать навык критического отношения к конечной форме „общего вида“ решения тригонометрической задачи в смысле удобства дальнейших вычислений. Поэтому целесообразно заменить некоторые, часто встречающиеся, числовые коэфициенты, особенно если они иррациональны, функциями углов. Так, например,

Общий вид решения задач № 1, стр. 50, и № 3 стр. 51 представится так:

S бок = 4rf2 sin 45° sin a ig ß cos (45° - а) сл& ^пир = #3 sin 60° sin2 a sin2 2 а (куб. ед.)

Отпадает необходимость вычислять дробные значения логарифмов, преобразовывать отрицательные мантиссы и т. д.

4. Анализируя результаты задач, заданных параметрами в буквенном виде, авторы статьи применяют распространённый метод исследования, который можно характеризовать словами: „исследование ради исследования“. Опыт показывает, что учащимся весьма затруднительно осмыслить логику, этого метода. Ещё в меньшей степени, чем прямым своим назначением, это оправдывается попыткой оказать влияние на понимание идеи функциональной зависимости, так как сразу преподносятся сложные функции нескольких аргументов. Реальная цель исследования — узнать, какой корень уравнения (или оба сразу) и при каких условиях отвечает требованиям задачи,— оттесняется на задний план громоздким аналитическим аппаратом.

Не лучше ли будет, с точки зрения „политехнического стиля“, упростить всю механику исследования? Так, в задаче № 1, стр. 42 надо установить, какой из корней х\ и лг2, или оба вместе, соответствуют условиям, если m, n, U х заведомо положительные числа. Ясно, что х2 непригоден, ибо сумма двух отрицательных чисел при делении на положительное число даёт отрицательное число. Ссылка на теорему Виета, приводимая в примере, искусственна.

В задаче № 2, стр. 43, необходимо проводить частичное исследование в середине решения немедленно после псяв тения двузначности. Действительно : (х + m)2р = (х — /и)2 q, откуда - = ± y -2. „по смыслу задачи“ т>0, л:>0, X > т, следовательно, левая часть уравнения представляет собою частное двух положительных чисел.

Вариант х п~ ,п = — \ /SL отпадает. х — т V р

К. Е. АГРИНСКИЙ (Москва)

Вопрос о требованиях к письменным работам по математике обычно вызывает разногласия, обусловленные различиями в индивидуальных наклонностях и в степени квалификации преподавателей.

Нельзя, разумеется, установить единого трафарета, пригодного для всего многообразия задач, тем не менее, в основном большинством преподавателей достигнута определённая договорённость. Однако не все преподаватели знают требования к письменным работам, значительная часть учащихся не умеет как следует выполнять письменные работы, поэтому очень ценной и своевременной является статья Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева „Требования к письменным работам по математике“ („Математика в школе“

№ 1, 1947). В статье дано много ценных методических указаний. Даны подробные решения по алгебре пяти задач и двух примеров и по геометрии трёх задач для учащихся VII и X классов.

В журнале „Народное образование“ (№ 1 — 2, 1946) П. А. Ларичев в статье „О письменных работах по математике на аттестат зрелости“ отметил недостатки работ, указав, как не следует выполнять письменные работы. Ю. О. Гурвиц и С. В. Филичев дают примерные образцы решений и указывают, как следует выполнять письменные работы.

Статья руководящая, а потому должна быть тщательно продуманной во всех деталях, должна быть по возможности свободной от недостатков, даже незначительных.

К сожалению, недостатки всё же имеются. Укажем некоторое из них.

I. О краткости и многословии. Методист Московского горОНО С. В. Филичев на совещаниях преподавателей неоднократно давал совершенно правильную установку: „объяснения должны быть краткими, но исчерпывающими“.

Принцип этот в статье не выдержан: некоторые фразы излишне подробны, некоторые просто излишни. Излишни, например, фразы на стр. 43: „так как уравнение имеет вид пропорции* и „извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения“. Фразу из 11 слов на стр. 41: „чтобы решить полученное уравнение, необходимо предварительно его привести к нормальному виду. Имеем:“ можно заменить фразой из 4-х слов: „приведём уравнение к нормальному виду“.

Обычно объяснения при решении задачи по алгебре требуют писать возможно подробнее. Допустим, в задаче сказано, что скорость курьерского поезда на m км в час больше скорости товарного поезда.

На собраниях любители подробных объяснений рекомендовали здесь такую запись:

„обозначим скорость товарного поезда через X —— Так как в задаче сказано, что скорость курьерского поезда на m км в час больше скорости товарного поезда, то, чтобы выразить скорость курьерского поезда, надо к числу х прибавить число т. Таким образом, скорость курьерского поезда выразится через

Кому и для чего нужны такие подробности? Прав С. И. Hовоселов („Математика в школе“, 1947, № 2, стр. 28), когда, осуждая преувеличенную любовь многих преподавателей к подробным записям, пишет: „объяснение служит надёжным орудием борьбы с формализмом, тогда как доведённая до крайности бесцельная „писанина“ способна служить лишь насаждению формализма“.

Авторы несколько сокращают подробности, когда на стр. 42 пишут: „рабочий А обрабатывает за это же время (х -\- т) деталей, так как в условии задачи сказано, что обрабатывает за это время на m деталей больше, чем В“. Нахожу, что ученик не сделал бы погрешности, если бы, ограничившись только ссылкой на условие задачи, написал: „.. .рабочий А согласно условию задачи обрабатывает за это время (лг-f m) деталей“.

Лаконизм, предельно кратко записанная мысль, свидетельствующая о понимании учеником того, что он пишет, — часто вызывает неудовольствие преподавателя.

Могу заверить читателей, что в ученических тетрадях большинством преподавателей были бы подчёркнуты совершенно ясные по смыслу фразы: „.. .фигурная скобка равна нулю“ (проф. П. С. Александров, „Введение в теорию групп“, стр. 48) и „скобки имеют противоположные знаки“ (статья С. И. Новоселова, „Математика в школе“, 1946, №5 — 6, стр. 28).

На одном собрании, говоря о недостатках письменных работ, преподаватель обращается к аудитории:

„Вот полюбуйтесь, как десятиклассник начинает решать задачу (выписывает на доске):

I труба.. .X

II труба.. .X -f- m

Одна экспансивная учительница восклицает: „боже мой!“. Реплики с места: „дело — труба“, „вылетим в трубу“. В аудитории весёлое оживление, гул. В тетради есть где разгуляться цветному карандашу, здесь и вопросительный знак и восклицательный! Спрашивается, до такой ли степени смешна, нелепа и безграмотна приведённая запись? В черновике она была бы вполне допустимой.

Но вот в другой тетради десятиклассника скромно подчёркнута ошибка,

Ученик сократил мешающие ему двойки и тем самым обнаружил полное незнание тригонометрии. Почему эта грубейшая ошибка не вызывает столь бурной экспансии сравнительно с указанным выше недочётом?

II. Как и что объяснять? 1) Объяснив на стр. 42, почему рабочий А обрабатывает именно (х-\-т) деталей, авторы непосредственно после этого без всяких объяснений пишут: „рабочий А на обработку одной детали тратит х_^т мин.*

Почему без объяснений? Ведь этот второй шаг нисколько не проще и не очевиднее, чем первый.

2) На стр. 51 авторы без каких-либо объяснений пишут преобразование

для среднего ученика такое преобразование не настолько обычно, что не требует ни единого слова объяснений и даже ссылки на соответствующую формулу.

3) С другой стороны, на стр. 52 дан вывод формулы для площади правильного треугольника, хотя этой формулой учащиеся постоянно пользуются в IX и X классах.

4) Соотношения между элементами прямоугольного треугольника авторы приводят без ссылок на соответствующие теоремы, но из черновиков учащихся (и не только черновиков) можно усмотреть, как часто учащиеся путают: гипотенуза множится (или делится) на синус (или косинус) противолежащего (или прилежащего) угла.

Из приведённых авторами объяснений трудно выявить их точку зрения, — что они считают обязательным для объяснений, на что можно лишь сослаться без подробных объяснений и что можно совсем не объяснять.

Между тем именно по этому вопросу желательно было бы иметь авторитетные указания, выражающие определенные установки.

В задаче по геометрии на аттестат зрелости в 1947 г. бесспорно, что подлежит обоснованию равенство противоположных граней пирамиды, а также какие линейные углы соответствуют данным в задаче двугранным углам, но берется под сомнение обязательность подробного обоснования совпадения высот прямоугольного параллелепипеда и пирамиды. Нет, кажется, оснований требовать от десятиклассника обоснования, почему перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей прямоугольника на его сторону, равен половине параллельной ему стороны прямоугольника. По последним двум пунктам среди преподавателей нет единогласия. Одна и та же работа различными преподавателями оценивается различными отметками с расхождениями на одну и даже две единицы.

Во всяком случае, преподаватели при оценке работ (особенно не своих учеников) должны считаться в сомнительных случаях с возможностью различных точек зрения.

III. Другие недостатки. 1) На стр. 54 в окончательном ответе знаменатель не освобождён от иррациональности. На собраниях методисты, не исключая и С. В. Филичева, всегда рекомендовали освобождаться от иррациональности в знаменателе.

Методист Министерства просвещения РСФСР т. Ларичев в журнале „Народное образование“ в указанной выше статье такой недочёт квалифицирует именно как недочёт.

2) Авторы обходят молчанием вопрос об обязательности проверки задач по алгебре для X класса (московским педагогам было указано, что проверка желательна, но не обязательна).

3) На стр. 42, приводя уравнение, содержащее неизвестное в знаменателе, к нормальному виду, авторы умалчивают о возможности отбрасывания здесь знаменателя без нарушения эквивалентности.

4) Авторы выписывают логарифмы, не прологарифмировав предварительно общей формулы решения (в двух задачах, стр. 50 и 51), так что остаётся необоснованным, почему над логарифмами производятся те или иные действия.

5) Возвышая правую и левую части неравенства в квадрат (стр. 45), авторы не пишут обязательной здесь оговорки: „так как обе части неравенства положительны“.

6) Авторы пишут (стр. 45): „заменим... корни дробными показателями степеней*.

Корень одним показателем степени заменить нельзя. Следовало сказать: „степенями с дробны показателями“.

IV. Мелкие замечания. 1) „Сколько км“ (стр. 48) вместо „сколько километров“.

2) Параметр „а“ в задаче № 11 (стр. 48) в ответ не входит и, являясь излишним, может навести ученика на сомнения.

3) Опечатка на стр. 51: cos 18°17' вместо 18°07.

V. О построении чертежа. Дана, например задача: „В шар вписана правильная пирамида...“

Методист П. А. Ларичев склонен рассуждать здесь так: „Кто-то вписал в шар пирамиду. Как он её вписал — не наше дело. Наше дело использовать при решении задачи свойства вписанного тела. Никаких построений здесь делать не следует. Другое дело, если задача начинается словами: „в шар вписать правильную пирамиду и определить то-то“.

В логичности таким рассуждениям нельзя отказать, но большинство квалифицированных педагогов (в том числе и авторы статьи) требуют обязательного построения чертежа (точнее описания построения). Последняя точка зрения более приемлема, так как при правильном построении чертежа ученик более ясно представляет себе суть задачи.

До сего времени остаётся невыясненным вопрос, в каком разрезе давать построение. Не выяснили до конца этот вопрос и авторы статьи. Так, в задачах № 1 (стр. 49) и № 2 (стр. 50) авторы пишут: „вычерчиваем прямоугольный параллелепипед“ и „вычерчиваем четырёхугольную пирамиду“, совершенно не касаясь вопроса, как это сделать.

В задаче же № 3 (стр. 51) авторы почему-то дают подробное описание построения и даже фактически выполняют одну часть построения (в круг вписан правильный треугольник).

Вопрос о построении имеет принципиальное значение, и в однотипных задачах его следовало бы разрешить более или менее однообразно. Рядовой преподаватель имеет право требовать большей ясности при разрешении данного вопроса.

Несмотря на кажущееся обилие недочётов, многие из которых несущественны, статья в общем представляет большую ценность и будет полезна многим преподавателям и учащимся, регулярно читающим журнал. Преподавателям в будущем году следует предостеречь учащихся от безинициативного подражания образцам, как трафаретам.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещённых в № 3 за 1947 г.

№ 421

Два сосуда А и В одинакового веса содержат различное количество воды. Вес сосуда А с водой составляет -g~ веса сосуда В с водой. Если всю воду из В вылить в А, то вес А будет в 8 раз больше, чем вес В. Зная, что воды в В было больше на 50 г, определить вес сосудов и первоначальное количество воды в каждом.

1. Алгебраическое решение. Введём обозначения (в граммах)

x — вес каждого из сосудов;

у — количество воды в А\

z — количество воды в В.

Непосредственно из условия задачи сразу получим три уравнения:

* +У = “у (x + z),

x + У + * = 8л\ z — у = 50,

или, после упрощений:

ж + 4у=0, (1)

y + z = 7x, (2)

z — у = 50. (3)

Решение легче всего проводится так: из (2) и (3) путём их сложения и вычитания выразим у и z через х. Получим:

2г-7лг + 50, (4)

2 у = 7х— 50. (5)

Затем, умножив (1) на 2, сделаем подстановку

из (4) и (5);

2х + 5 (7х - 50) — 4 (7* 4- 50) = 0.

Отсюда легко находим:

9х = 9 . 50; je = 50,

и из (4) и (5)

г = 200; у = 150.

2. Арифметическое решение. Наполненный сосуд А, по условию, весит на 50 г меньше, чем наполненный сосуд В (так как вес сосудов одинаков). В то же время дано, что сосуд А с водой составляет -g- веса сосуда В с водой Следовательно, -g- веса сосуда В с водой составляет 50 г. Значит, сосуд В с водой весит 50 г • 5 = 250 г, а сосуд А с водой 250 г — 50 г = = 200. Если вылить воду из В в А, то вес А будет в 8 раз больше веса В. Об.иий же в:с их равен 450 г. Значит, вес сосуда В (а, следовательно, и сосуда А) равен 4^.0 г : 9 = 50 г. Вес же воды в А равен 200 г — 50 г = 159 г, в £ равен 250 г — 50 г = 200 г.

Как видим, здесь оба способа дают лёгкое и быстрое решение.

№ 43

Решить уравнение:

Решение. Образуем производную пропорцию, взяв сумму и разность членов первого и второго отношений. Будем иметь:

Применим тот же способ ещё раз;

или

Отсюда:

Задача даёт пример типичного уравнения, наиболее легко решаемого применением производных пропорций.

№ 44

Два курьера вышли одновременно из А в В и из В в А. Каждый шёл с постоянной скоростью и, придя в конечный пункт, тут же поворачивал обратно. Первый раз они встретились в 40 м от В; второй раз в 20 м от А через 40 сек. после первой встречи. Найти расстояние между А и В и скорость обоих курьеров (черт. 1.).

Черт. 1

1-е решение (алгебраическое). Обозначим искомое расстояние AB через х. До первой встречи курьер, вышедший из Л, прошёл расстояние AM = x—40 м, а курьер, вышедший из В, прошёл 40 м. Так как они шли одинаковое время, то отношение их скоростей равно

(1)

В течение следующих 40 сек. первый курьер прошёл расстояние

MB + BN = 40 + x — 20 = х + 20 м.

1 Задача 41 ошибочно помещена вторично. Её решение дано в № 4, 1947 г., задача 11.

Второй курьер за то же время прошёл

MA + AN = x — 40 + 20 = * — 20м

Следовательно, отношение их скоростей равно

дг + 20

X — 20 “ (2>

Так как скорости обоих оставались всё время постоянными, то имеем уравнение

(3)

Решить уравнение проще всего при помощи производной пропорции —y~ = d . Будем иметь

Сократив на х (так как х Ф 0), получим:

х —20 = 80; X = 100.

Итак, расстояние AB = 100 м.

Чтобы определить скорости, найдём, какое расстояние прошёл каждый из курьеров за 40 сек.

Первый прошёл х + 20 = 100 + 20 = 120 м; второй X — 20 = 100 — 20 — 80л*. Значит, скорость первого -jQ = 3 ж/сек, скорость второго ^ = 2 м/сек.

Приведённое решение является наиболее коротким и чётким. Обычный „школьный“ способ решения таков: определив расстояние, пройденное каждым курьером за промежуток между двумя встречами, т. е. за 40 сек., именно х-\-20 м и X — 20 м, находят скорость каждого:-^— и —jq— . Затем, определив расстояния, пройденные каждым курьером до первой встречи, именно: х — 40 м и 40 м, находят время, затраченное каждым до первой встречи:

Отсюда получается уравнение

Легко видеть, что этот способ здесь является гораздо более сложным и длинным, чем приведённый выше.

Наконец, можно было ввести большее число неизвестных (например, искомые скорости) и получить систему уравнений. Система составляется легко, но решение будет более длинным.

2-е решение (арифметическое). За время до первой встречи оба курьера вместе прошли всё расстояние АВ{АМ -\-ВМ). За следующие 40 сек. они два раза прошли то же расстояние AB (первый MB + BN и второй MA+AN. Но МВ + + MA + BN + AN = AB + AB = 2лВ) Следовательно, до первой встречи они шли 20 сек. Так как второй курьер прошёл за это время ВМ = 40 м, то его скорость 40 : 20 = 2 м/сек. За следующие 40 сек. он, значит, прошёл 80 м. Этот путь складывается из участка MN и из удвоенного участка AN, что даёт 40 м. Значит, участок MN = 80 — — 40 = 40 м. Всё же расстояние AB = 20 + 40+ + 40= 100 л*. Тогда скорость первого курьера

100-40 равна -go-= 3 м/сек.

№ 45

Найти два натуральных числа А и Bt зная что их сумма равна 360 и что они имеют 12 общих делителей.

Решение. Всякий общий делитель числа А и В, а значит и их наибольший общий делитель, должен делить и их сумму, т. е. 360. Но

360 = 2з . 32 . 5. (1)

Значит, наибольший общий делитель А и В должен иметь вид:

D = 2а . 3ß - 5Т. (2)

Причём D имеет по условию 12 делителей (так как каждый общий делитель А и В должен быть и делителем D). Отсюда:

(а+1)(В + 1)(т+1) = 12, (3)

где должно быть, согласно (1),

a<3;ß<2;T<l. (4)

Но число 12 может быть лишь единственным способом разложено на 3 множителя (из которых ни один не равен 1), именно

12 = 3 - 2 . 2

и, следовательно, показатели а, ß и 7 могут только быть равны 2; 1; 1.

Число 12 может б^ть разложено на 2 множителя так:

12 = 6 -2 = 4 -3.

Но из (4) следует, что условию задачи может удовлетворить только последнее разложение. Итак, мы имеем два случая.

а) Показатели равны 2, I и 1. Из (4) следует, что для D могут быть лишь два значения:

D - 22 . 3 - 5 = 60 и D = 2 - 32 . 5 = 90. Пусть D = 60. Тогда

А = 60а; В = 60&,

где а и b — взаимно простые числа. По условию:

Л+ В = 60а -f 606 = 360,

откуда

а + b = 6.

Но число 6 только единственным способом может быть разложено на два взаимно простых слагаемых, именно 6 = 5 + 1. Отсюда

Л=5 • 60 = 300 и В= 1 -60 = 60

или наоборот, что безразлично). Пусть D = 90. Тогда:

а + £ = 4.

Число 4 может быть единственным способом разложено на два взаимно простых слагаемых, именно

4 = 3+ 1. Отсюда:

А= 3 - 90 = 270; В = 1 ■ 90 = 90.

б) Во втором случае показатели равны 3 и 2. Согласно (4) это может быть только при а = 3 и ß = 2. Тогда

D =23 . 32 = 72.

В этом случае:

72а + 72Ь = 360

и

а + Ь = 5.

Число 5 может быть разбито на два взаимно простых слагаемых двумя способами, именно

5 = 4+ 1 иЗ + 2. Отсюда соответственно имеем:

А « 4 . 72 = 288 и В — 1 . 72 = 72

или: Л=- 3 72 = 216 и В = 2 • 72 =« 144.

Итак, имеем всего четыре пары чисел, удовлетворяющих условию задачи:

№ 46

Какие значения для х в уравнении

являются допустимыми?

Решение. Так как sm у может принимать только значения от — 1 до -\- 1, то имеем условие:

Отсюда, после упрощений, получим

или

Отсюда легко получаем, что при jc<0 левая часть отрицательна

Следовательно, допустимыми значениями для х будут

Кроме того, при х = 0 и при х = имеем 4

siny = — 1 и при X = имеем sin у = 1.

№ 47

Дан прямоугольный треугольник ABC (А — прямой угол. Из вершин В и С восставлены перпендикуляры к ВС и на них отложены отрезки ВВ' = AB и СО = АС. Определить стороны треугольника ABC, если его периметр равен 2р, а площадь трапеции ВВ'С'С равна т22~- Исследовать решение (черт. 2).

Обозначив длину катетов и гипотенузы соответственно через X, у и z9 согласно условию задачи, получаем три уравнения:

X2 + y2 = z2 (1)

x+y + z = 2p (2)

(x+y)z=m2. (3)

Для решения системы замечаем, что (2) и (3)

д,ают сумму и произведение величин х-\-у и z.

Следовательно, х-\-у и z и являются корнями уравнения:

и2—2ри+ m2 = 0. (4)

Отсюда получаем:

х + У = Р+Ур2-т2> (5)

z = p-VpZ- m*, (6)

(Возможна только данная комбинация, так как должно быть X -(- у ]> z).

Для определения х и v найдём сначала произведение их: ху. Имеем:

Черт. 2

Отсюда:

(7)

Из (5) и (7) заключаем, что х и у являются корнями уравнения

(8)

Отсюда:

Одно из значений г (любое) равно х, другое у.

Исследование. Для того чтобы уравнение (5) имело действительные корни, должно иметь место условие:

р > т. (9)

В этом случае оба значения х 4- у и z, т. е. (5) и (6), будут положительны и x-\-y^>z.

Для того чтобы уравнение (8) имело действительные корни, должно быть:

2р2 —т2- 6>\//?2 - т2 > 0.

Отсюда:

2р2 — т2> е:р\р2 — щ2.

Так как (9) 2р2 — m2>0, то получаем:

(10)

Для решения этого неравенства положим = v. Тогда будем иметь:

321/2 — 32i/ — 1 <0.

Это неравенство выполняется при значениях v, заключённых между корнями уравнения

321/2 _ 32v — 1 - 0, т. е. при условии;

Вместе с (9) это неравенство даёт условие.

Отсюда:

№ 48

Решить в целых положительных числах уравнение

X +_у + z + V ~= ху + ZV.

Решение. Данное уравнение можно представить в таком виде:

Ху — X-y-\-\-\-zv — г— Ü+1 =2,

или:

(х- 1)0,- 1) Н*-1)(*-1)=2.

Так как каждое из слагаемых в левой части должно быть числом неотрицательным и целым, то можно сделать только два предположения: или каждое из них равно 1, тш оп.но равно двум, а другое нулю. Исследуем оба случая.

1. Пусть (х- 1)(у— 1) = 1.

Это может быть только при х — I = \ и у — 1 = 1: откуда

X = 2 и у = 2.

Точно так же найдём:

z = 2 и V = 2.

2. Пусть (х —1) (у — 1) = 0. Значит, или х = 1 у—произвольное число, или^у=1; х — произвольное число.

В обоих случаях для z и v будем иметь: (ж-1)(*-1)-2

Отсюда, или

z = 2; v = 3

или

г = 3; v = 2.

Подводя общий итог, замечаем, что уравнения удовлетворяются, во-первых, значениями:

X = у z = v = 2

или же три любых неизвестных равны 1, 2 и 3, а четвёртый (тст, который в правой части является сомножителем неизвестного, равного 1) — лроизвольное натуральное число.

№ 49

Решить в целых числах уравнение:

ax-\-by = c, “ (1)

£СЛ11

аш + Ь* = с. (2)

Решение. Вычтя (2) из (1), получим: ах + Ьу — ат — Ьп = О,

или

а{х-ат-1) + ь{у-Ьп'-1) = 0. (3)

Отсюда сразу получаем одно решение: m — 1 , п — 1

X — а ; у = b

Найдя же одно решение а и ß неопределённого уравнения, мы можем найти все остальные по известным формулам:

х«« + М, у = $ — at.

Для данного уравнения будем иметь:

X mm а -\-Ы

У = b —at, где f — произвольное целое число.

№ 50

Доказать, что

22225555+55552222 (1)

кратно 7.

Решение. Задача допускает разнообразные способы решения. Наиболее коротким, пожалуй, будет такое.

22225555 + 55552222 =, (22225)Ш1 + (55652)ш _ i = (22225 + 55552) M, где M — целое число (сумма нечётных одинаковых степеней двух чисел делится на сумму оснований)

Следовательно, достаточно показать, что 22225 + -f-55552 делится на 7. Имеем далее:

22225 + 55552 = 25 11115 + 52 . 11112 =

= 11Ц2( 5 . ццз + 52) (2)

11113 = (7 . 158 + 03 = 7Л: + 5з.

Подставив это выражение ве (2> и отбросив множитель НИ2 и слагаемое в скобках, кратное 7, получим:

25 . 53 + 52 = 52(25 . 5+ 1) = = 52 . 161 = 52 . 7 - 23.

Итак, выражение (2), а следовательно, и данное, кратно 7.

№ 51

Даны два положительных числа а и Ъ. Составить из этих чисел рациональное выражение, численная величина которого меньше а и меньше Ь.

Решение. Очевидно, что

Отсюда, по свойству обратных чисел, имеем:

Таким образом, условию задачи удовлетворяет число

№ 52

Доказать, что если

Решение. Из (1) следует, что

(3)

Далее:

Так как с = -\f — № < а, то будем иметь, приняв во внимание (3):

Наконец, произведя замену с2 из (2), получим:

№ 53

Дано положительное рациональное число г, причем г2<.2. Составить при помощи этого числа другое рациональное число г± удовлетворяющее неравенствам:

г< гг и < 2.

Решение. Возьмём положительное число п > 1 и рассмотрим число гх = г + —. Очевидно, м>г. Далее:

(1)

Если взять такое значение п, чтобы выполнялось неравенство

(2)

то из (1) следует, что и подавно будет rj<2. Но из условия (2) имеем

(2 — г2 по условию число положительное). Таким образом, взяв, например,

получим число

удовлетворяющее условию задачи.

Как известно, таким именно способом в теории иррациональных чисел по Дедекинду доказывается, что в классе рациональных чисел, квадрат которых меньше 2, не существует наибольшего числа.

№ 54

Доказать, что

где [х] означает целую часть х.

Решение. Полагая х = k -f- а, где k — целое число, a 0 < а < 1, будем иметь

(так как из определения символа arc tg следует, что дуга взята в пределах между — -g- и ~2~)-Делая подстановку в данное выражение, получим:

что и требовалось доказать.

№ 55

Решить уравнение:

(xyz означает число, составленное из цифр

х> У> _

Решение. Так как xyz < 1 ООО, то

\J~XYZ <31.

Отсюда следует, что

2г<4

(так как 4 . 4! = 96 > 31).

Но так как xyz является точным квадратом, то z может быть равно только 0 или 1.

1. Пусть z = 0. Тогда из равенства xyz следует, что и у = 0. Но ни одно из чисел 100, 400 и 900, как легко проверить, не удовлетворяет уравнению

х\ + а • 1 + 4 • 1 - v/ibô

(мы здесь принимаем обычное условие, что 0' = 1).

Пусть г — 1. Очевидно, должно быть;

*<4и_у<3 _(1)

так как 5! > 31 и 3 • 4!>31). Полагая \/xyï = (= 10&-|-1, будем иметь:

lOOjc-h lQy + 1 = 100£2+10(2£) + 1.

Из условий (1) непосредственно следует, что k «• 1, а отсюда х = 1, у = 2. Проверка даёт:

1! + 3 . 2! + 4 . 1! = 11 =/121.

№ 56

Если написать подряд год, номер месяца и число дня моего рождения, то получается семизначное число abcdefg. Определить дату дня моего рождения, если:

Решение. 1) Очевидно, что а = I, откуда а = с = f = I. 2) Число b может быть лишь 8 или 9, так как люди, живущие сейчас, родились в XIX или XX столетии. Но при b = 8, число egb -f-10 не может быть точным квадратом. Следовательно, b = 9.

Если b = 9, то из 2-го условия следует, что g = 3 или g = 7. Но при g = 3, из того же условия, имеем:

e~3g+\0= 169,

что невозможно. При g = 7 имеем;

^79 + 10 = 289,

т. е. верное равенство при е = 2. Итак, g = 7 и е = 2,

4) Наконец, из 3-го условия имеем.

Решив это уравнение, найдём d = 5. Следовательно, искомое число 1 915217, т. е. дата дня рождения 17 февраля 1915 г.

№ 57

На какое число нужно умножить 333667, чтобы получить в произведении число, изображённое восьмерками.

Решение. Число единиц множимого 7. Для того чтобы число единиц произведения было равно 8, число единиц множителя должно быть равно 4. Производим умножение:

Для того чтобы в произведении число десятков равнялось 8, необходимо, чтобы 7 при умножении на число десятков множителя давало бы первое (справа) число 2. Следовательно, число десятков множителя равно 6. Тогда имеем:

Таким же путём найдём, что число сотен множителя должно быть равно 6, и получим

Наконец, находим, что число тысяч множителя должно быть равно 2, и, умножив данное число на 2664, получим требуемое число 88 888 888.

Итак, искомое число 2664.

№ 58

Из всех треугольников, вписанных в данный сегмент, найти треугольник, у которого произведение сторон имеет наибольшее значение (черт. 3).

Решение. Имеем

После замены а = 2Rsin An сокращения на sin А —^2— » получим;

be = 2Rha.

Но 2R — величина постоянная (сегмент дан). Следовательно, be будет иметь наибольшее значение при наибольшем значении п^ т. е. для равнобедренного треугольника.

№ 59

Построить равнобедренный треугольник по биссектрисе угла при вершине, зная, что биссектриса угла при основании в два раза больше биссектрисы угла при вершине.

Решение. Пусть /\АВС — искомый, AD — биссектриса угла Л, BE — биссектриса угла В. Причём BE = 2AD по условию. Определим

£В~С = х.

Проведём DE || BE. По теореме о средней линии треугольника будем иметь;

DF == -J-BE = AD. (I)

Следовательно, /\ADE равнобедренный, в котором

Кроме того;

(4)

Из (3) и (4) имеем

Отсюда получаем:

X шт 36°.

Но, как известно, угол в 36° можно построить циркулем и линейкой (угол в 36° является центральным углом, опирающимся на сторону вписанного правильного десятиугольника).

Отсюда построение: строим произвольный равнобедренный треугольник с углом при основании в 36°. Проводим биссектрису угла при вершине и на ней откладываем от вершины отрезок, равный данной биссектрисе. Через полученную точку проводим прямую, параллельную основанию. Возможны и другие способы построения, не менее простые.

№ 60

Построить прямоугольный треугольник по высоте, опущенной из вершины С прямого угла на гипотенузу, если известно отношение длин двух взаимно-перпендикулярных отрезков DM и DN, проведенных из основания высоты до пересечения с катетами.

Решение. По условию MDJ_DN Отсюда:

^ADM^^CDN

(как углы с взаимно-перпендикулярными сторонами). Но отсюда следует, что в подобных треугольниках ADC и CDB отрезки DM и DN являются сходственными элементами, и, следовательно:

где — — данное отношение

Отсюда построение: строим прямоугольный треугольник с катетами та и па (где а — произвольный отрезок). Проводим высоту из вершины прямого угла. Далее такое же построение, как и в задаче 59.

ЗАДАЧИ

101. Пользуясь только масштабной линейкой, определить объём бутылки (с круглым, квадратным или прямоугольным основанием), которая частично заполнена жидкостью.

В. Кубинцев (Красноярск).

102. В городе состоялись два шахматных турнира. В первом турнире трое из участников получили по такому числу очков, что произведение этих чисел оказалось равным числу очков, набранных всеми участниками второго турнира. Во втором турнире участвовали 22 лучших и, примерно, одинаковых по силе шахматистов. Победитель на этом турнире набрал такое же количество очков, как и один из упомянутых выше участников первого турнира.

Сколько очков набрал каждый из участников второго турнира?

М. Белоусов (Москва).

103. Имеется п металлических кубов, длины рёбер которых, выраженные в сантиметрах, составляют натуральный ряд чисел от 1 до п. Из этих кубов выплавлена квадратная плита толщиной в 1 см. Определить площадь этой плиты.

М. Белоусов (Москва).

104. Домазать, что, если пятизначное число делится на 41, то и все числа, полученные путём круговой перестановки цифр этого числа, делятся на 41.

М. Белоусов (Москва).

105. Граница болота и луга — прямая линия MN. Связист должен возможно скорее попасть из пункта А на болоте, отстоящего от MN на 2 км, в пункт В на лугу, отстоящий от MN тоже на 2 км. Где он должен пересечь границу MN, если скорость его равномерного движения по болоту в 2 раза меньше, чем скорость по лугу, и если расстояние между перпендикулярами, опущенными из А и В на MN, равно 5 км!

Г. Ахвердов (Ленинград).

106. При целом положительном п доказать неравенства.

(1) 2M/i!</tn (при л>6)

(2) 3“л!> лм (при п> 1)

И. Гальперин (Киев).

107. В прямоугольном треугольнике

sin 3А = -t—,

где hc и Ьс высота и биссектриса, проведённые из вершины прямого угла С. Определить величину острых углов этого треугольника.

М. Дубенец (Ново-Шепеличи).

108. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу точкой касания на отрезки аир. Определить острые углы треугольника.

М. Дубенец (Ново-Шепеличи, Киевск. обл.).

109. Угол при вершине осевого сечения прямого кругового конуса равен d. Через точку А на окружности основания проведена секущая плоскость под углом р к основанию. Вычислить объём конуса, если площадь сечения равна S.

М. Дубенец (Ново-Шепеличи). ПО. Углы треугольника связаны соотношением

sinM -f sin2ß — cos (A — B)cos С — cos C2= -j

Определить угол С.

M. Дубенец (Ново-Шепеличи).

111. Решить уравнение:

Г. Капралов (Горький).

112. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD через сторону основания AD проведено сечение ADKL, где К и L точки на рёбрах SB и SC. Доказать, что у отсечённой пирамиды:

Г. Капралов (Горький).

113. Биссектриса среднего по величине угла треугольника равна меньшей его стороне и делится другими биссектрисами в отношении 1:2. Определить стороны треугольника, если периметр его равен 21 см.

Г. Капралов (Горький).

114. Внутри правильного треугольника определить геометрическое место точек, обладающих тем свойством, что из перпендикуляров, опущенных из этих точек на стороны, можно построить треугольник.

Г.Капралов (Горький).

115. Если в треугольнике стороны а<£<с образуют арифметическую прогрессию, то

ас zu 6 Rr.

Доказать.

В. Ураевский (Кузнецк, Пензен. обл.)

116. В треугольнике углы удовлетворяют соотношению:

Определить угол А.

В. Ураевский (Кузнецк).

117. Доказать для прямоугольного треугольника соотношение:

где с — гипотенуза.

С. Танасевский (Кишинёв).

118. Доказать, что из всех четырёхугольников с данными диагоналями а и b и данным углом а между ними наименьший периметр имеет параллелограм.

С. Танасевский (Кишинёв),

119. В плоскости имеются а параллельных прямых, пересеченных b параллельными прямымыми. Сколько при этом образовалось параллелограмов?

X, Хамзин (Стерлитамак)-

120. Биссектрисы углов данного выпуклого четырёхугольника своими пересечениями образуют новый четырёхугольник внутри данного. Биссектрисы этого нового четырёхугольника опять образуют четырёхугольник и т. д. Найти пределы, к которым стремятся углы этих четырёхугольников.

X. Хамзин (Стерлитамак).

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВОДКИ РЕШЕНИЙ, поступивших после сдачи соответствующих сводок в типографию

По № 1-46 г. Бобровников (Ашхабад) 2—4,9; И. Бочкин (Витебск) 17-20; Ю. Волков (Казань) 1-4, 6,8-20; В. Нор тынский (Лениногорск) I -10,12—15; 18,19. Л. Галетян (Ереван) 4,8, 12, 13. 15. Я. Глейбм н (Бе.ьцы) I, 3, 4, 6, 9, 12,13,16,18-20; Г. Голянд и с. Третьяков (Краснодар, кр.) 1, 2, 4, 6,9, 12, 1с$, 19, 20; А. Горелый (Чернигов, обл.) 1, 2, 9, 10, 12, 13; Н. Гречкин (Морозовск.) 6, 15, 16, 19; Н. Дзигава (Тбилиси) 2, 5; А. Иванов (Торопец) 11-16, 18-20: А. Исаев (Тульск. обл.) 3,11-16, 18—20; В. Кощеев (ст. Бисер) 1-4,8, 12, 13; /1. Медведев (Сталингр. обл.) 16; А. Минэсян (Ереван) 2,8—10, 12, 13; Певишев (Казатин) 2,4,8— Ю, 12, 13; А. Попов (Заинек) 6, 12, 13, 15; И. Рабинович (Рига) 12, 14: Б. Раппопорт (Ленинград) 2-6, 8-10, 12, 13, 15—20; Н. Рытов (Тамбов, обл.) 1-4, 6, 8,10—20; В. Санинский (Всрошиловград) 1-3,5, 6, 8, 10—20; И. Сергачев (М. Ярославен) 8, 16; Г. Соколов (Владимир) 1—9, 12-16, 19; И. Терещенко (Забайкал. ж. д.) 8, Ю, 12, 13; А. Фирсанов (Елец) 8, 12, 13; К. Хо« менко (Смела) 1-6, 8, 10, 12, 13, 16, 18, 20, Я. Циммерман (Ейск) 2; А. Ширшов (Ворошиловгр. обл.) 11, 17; Цыпкин (Казань) 1—20.

По № 4—46 г.

И. Бочкин 61, 62, 67, 70, 71; А. Владимиров (Ялта) 61, 63, 67,71—73; 76; А. Тавц (Молодечно); 61,64,66-71; 73—80: Черкасов ^Краснодар, край) 61, 64, 66, 68, 74, 76, 78. 79.

По № 5—6-46 г.

Т. Ахвердов (Ленингра ) 82—84; 87—89, 91—93, 100; И. Бородуля (Реутово) 81-83, 87, 88; И. Бочкин (Витебск) 81, 87, 90, 93, 95—97, 99, 100; A. Владимиров (Ял«а) 81—85, 87—93, 95—100; B. Голубев (Кувшиново) 82-84, 86, 88, 89, 91, 92, 96, 97, 100. М. Жидков (Ленинград) 1—94, 96-100; Б. Кашин (Иркутск, обл. 81-84, 86-90, 92, 94, 98-100; Кодацкий (Горький) 81 -1-0: Л. Малюгин (Горький) 81—93, 98—100; А. Могильницкий (Кривое Озеро) 82, 83, 87-89, 91—93, 96, 97, 99, 100: Н. Титов (Казань) М—100.

СВОДКА РЕШЕНИЙ По № 1 за 1947-й год.

Задачи этого номера в большинстве принадлежат к лёгким и потому получили сравнительно мало ошибочных решений. Приводим сводку верных и неверных (в скобках) решений: А» 1—48 (3); М> 2-21 (16); JMs 3-54 (4) Ks 4-42 (6); Ks 5-3 s (0); Ks 6-45 (3); Ks 7—51 (0); Ns 8-4* (2); Ks 9-43 (3); Ks 10-39 (7); Ks 11-47 (2); Ks 12-48 (3); Ks 13-34 (2); Ks 14—40 (3); Jé 15—33 (4); Ks 16—43 (0); № 17-51 (0); № 18-40 (3); № 19-49 (0); Ks 20-43 (0).

Всего было прислано 913 решений, из них 852 верных. По Кг 1 почти все решения верны, но у некоторых арифметическое решение получилось гораздо сложнее и длиннее алгебраического. По № 2 были ошибки двоякого рода: одни причисляли к решениям на значения числителя между 144 и 196, не обратив внимания на требование несократимости дроби, другие, наоборот, давали лишь три и даже одно решение вместо двадцати. В условии задачи № 4 было пропущено требование целочисленности сторон. Поэтому многие дали решение в общем виде, которое, понятно, является неопределённым. Другие сами ввели пропущенное требование. Интересно геометрическое решение этой задачи, данное тов. Аляевым: всякий прямоугольный треугольник, описанный около окружности радиуса 4 и дополненный до прямоугольника, удовлетворяет условию задачи.

В № 5 вместо „26“ было напечатано 261, и поэтому большинство дало правильный ответ, что задача не имеет решения. Но некоторые (т.т. Глейбман, Люкке, Титов, Токарев и Цыпкин) удачно догадались взять 26 и дали решение, совпадающее с приведенным в № 4 журнала.

Приводим сводку зачтённых решений. Е. Алмазова (Беднодемьяновск) 1, 3, 12, 16, 17, 19; А. Аляев (Пензенская обл.) I, 3—13, 16—20; Г. Ахвердов (Ленинград) 1-4, 6—12, 14-20; Г, Бобылев Пула) 3, 5, 14. И. Бородуля (Реутово) 1, 3—9, 12—14, 16—19, А. Владимиров (Ялта) 1—20, Г, Волков (Московская обл.) 1, 3—12, 14—20. Р. Гангнус (Муром) 3, 6—9. 11, 14, 17. А. Ганц (Молодечно) I; 3-20. Р. Гацередия (Гечечкори) 3, 14, 15. Я. Глейбман (Молдавская ССР) 1, 4, 5, 7-10, 12 16—19. В. Голубев (Кувшиново) 1—3, 5-11. 14—20. Г. Голянд и С Третьяков (Краснодар, кр.) 1—3, 5—7, 9—12, 16, 17, 19, 20. Дудолькевич (Каменец-Подольск, обл.) I, 3—7, 11, 12, 16-20. Д. Захаров (Канаш) I, 3,4, 6, 8, 9, 11. Н. Зубилин (Орловск. обл.) 1 3, 5 9, И, 12, 16—20. Г. Капралов (Горький) 1—20. Б. Кашин (Иркутск, обл.) 3, 4, 6 20. М. Кекелия (Бандза) 1, 3, 6-8, 10—12, 14-20. Я. Килимник (Винница) 6, 10—12, 14, 16, 17, 19, 20. Кодацкий (Горький) 1—20. С. Колесник (Харьков) I, 3, 4, 6—17, 19, 20. В. Котко. (Брянск) 7. И. Кугай (Тарнопольск. обл.) 1, 3, 4, 7, 10—14, 17—Ж И. Лаврищев (Саратов) 1, 4, 13, К. Латышкевич (Бобруйск, обл.) 1, 3—13, Ш, 17, 19. A. Левин (Алма Ата) 3, 7, 10, 12, 17, 19, 20. А. Логашов (П. Арчада) 1, 5—7, 10—20. Н. Любочский (Горьковск. обл.) 1—9, 11. Д. Людмилов 1,3-5,7—20. М. Люккэ (Новосибирская обл.) 1—9, 11—20. Л. Малюгин (Горький) 1—20. Л. Медведев (Себряково) 1,3—13, 16—20. М. Месяц (Житомир) 1, 3, 4, 6-14, 16—20. А. Мирзаев (Северо-Казахстан. обл.) 1, 3—5, 7—10, 12—17, 19. А. Могильницкий (Кривое Озеро) 1—20. Найданов (Загустай Б. М. АССР) 1, 4, 6-9, 11. 12, 16—20. В. Нефедов (Владимир) 1, 3—20. B. Никитин (Тамбов) 1—4, 6—9, 11, 12, 16. 17, 19, 20. В. Панасюк (Новошахтинск) 3. И. Пясь (Краснодар, кр.) 1, 2, 5, 7, 10, 12 С. Петров (Винницк. обл.) 3—7, 11, 13, 18-20. П. Постников (Ряжск) 1, 3, 4, 6—12, 14, 17—20. П. Пришивалко (Брянская обл.) 1, 3—13, 16, 17, 19, 20. Г. Рачинский (Дагест. АССР) 1, 3-20. Н. Рождественский (Днепропетр. обл.) 1—7, 9, 11—20, В. Розентуллер (Ленинград) 3, 11, 12, 14. М. Саакян (Краснодар, кр.) 3, 12—15, 17, 18, В. Санинский (Ворошиловград) 1—20. Л. Скорняков (Москва) 1—20.Н. Титов (Казань) 1—20. В. Токарев (Сталинск. обл.) 1—20. В. Ураевский (Кузнецк) 3 17. В. Утемов (Красноуфимск) 3—5, 7—9, II, 12, 14—20, Л. Фридман (Красноярск) 1—4, 6—20. X. Хамзин (Стерлитамак) 1, 3—17, 19, 20. Я. Циммерман (Ейск) 1, 3, 6, 7,11, 12, 17—20 И. Цыпкин (Казань) 1—11, 13—20. М. Шебаршин (Кемеров. обл.) 1—20. А. Ширшов (Ворошиловгр. обл.) 1—20. Э.Ясиноватый (Куйбышевск. обл.) 1, 2-3, 1О-20,