МАТЕМАТИКА ШКОЛЕ

5

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКВА 1947

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 5 1947

СЕНТЯБРЬ-ОКТЯБРЬ

ВЕЛИКИЙ СЛАВНЫЙ ПУТЬ

1

В настоящем году, 7 ноября, исполняется 30 лет со дня Великой Октябрьской социалистической революции.

Великая историческая дата. Тридцать лет назад, впервые в истории человечества, трудящиеся великого Русского государства, занимающего ~* часть земного шара, под руководством коммунистической партии свергли иго эксплоататорских классов, взяли в свои руки власть и основали первое в мире Советское социалистическое государство.

За истекшие 30 лет молодая советская республика прошла длинный и трудный, но в то же время величественный и славный путь. Это был путь тяжелой борьбы, но и великих побед. Неуклонно росла и крепла мощь Советского государства. Эта мощь самым ярким, самым убедительным образом была продемонстрирована перед всем миром в великой смертельной схватке трудящихся Советской страны с фашистской Германией и ее сателлитами.

В течение трех с лишком лет после Октябрьской революции Страна Советов должна была оружием отстаивать свое право на существование. С востока и запада, с севера и юга наступали на молодую советскую республику русские белогвардейцы и иностранные интервенты, объединенные жгучей ненавистью к стране социализма. В условиях жестокой экономической разрухи — наследия четырехлетней первой мировой войны— беззаветно боролась с врагом на всех фронтах Советская Армия, руководимая Лениным и Сталиным, поддерживаемая трудовым народом, боролась и победила.

Разгром белогвардейцев и интервентов обеспечил возможность строительства Советского государства в мирных условиях. Конечно, о „мирных условиях“ можно говорить лишь относительно: самые разнообразные методы — дипломатический нажим, экономическое давление, организация и поддержка контрреволюционных организаций, создание вредительских, диверсионных банд — ничем не пренебрегала международная контрреволюция для подрыва советского строительства и в итоге — для свержения советской власти. Но открытых фронтов, отвлекавших людские силы и экономические ресурсы Советской страны от хозяйственных задач, уже не было. Некоторые попытки в этом направлении (достаточно вспомнить неоднократные провокации японской военщины) быстро и решительно пресекались нашей Советской Армией.

Вся страна дружно и горячо взялась за восстановление разрушенного хозяйства. В итоге героической работы по истечении четырех лет (в 1925 году) страна уже почти достигла в промышленности и в сельском хозяйстве довоенного уровня.

Восстановительный период был в основном закончен. „Но Стране Советов, стране строящегося социализма недостаточно было простого восстановления хозяйства, простого достижения довоенного уровня. Довоенный уровень — это

был уровень отсталой страны. Надо было двигаться дальше“1.

Партией и правительством перед страной была поставлена задача социалистической реконструкции всего ее хозяйства, задача превращения страны из аграрной в индустриальную; задача создания мощной индустриальной базы, делающей Советскую страну экономически независимой от капиталистических стран.

Преисполненный энтузиазма, советский народ и в выполнении этой задачи показал такие темпы, какие не знала ни одна капиталистическая страна. Уже в 1929 году промышленность Советского государства достигла такой ступени, которая позволяла постепенно подвести мощную индустриальную базу под распыленное, мелкое сельское хозяйство. А это поставило на очередь вопрос о создании крупных коллективных хозяйств, о сплошной коллективизации сельского хозяйства и на ее основе — о ликвидации кулачества как класса, представлявшего собой еще достаточно крупную экономическую силу, упорно противодействующую социалистическому росту страны. И эта задача в течение ближайших 6—7 лет была блестяще завершена.

С 1929 года начинается эпоха величественных сталинских пятилеток, направленных на завершение социалистической реконструкции советского народного хозяйства, на завершение строительства социалистического общества. Сталинские пятилетки в корне преобразили лицо нашей страны. Уже в итоге первой пятилетки можно было со всей определенностью заявить, что „социалистический уклад является безраздельно господствующей и единственно командующей силой во всем народном хозяйстве“2.

Еще более грандиозная по своему размаху вторая пятилетка (выполненная в 4 года 3 мес) завершила победу социализма, способствовала поднятию материального благосостояния трудящихся, поднятию их культурного уровня.

Эти решающие успехи социализма в Советской стране нашли свое яркое выражение в великой Сталинской Конституции СССР, принятой VIII съездом Советов в 1936 году.

Величественная творческая работа советского народа была нарушена подлым нападением на Советскую страну гитлеровской Германии в 1941 году. Раздавившая тяжелым сапогом свободу и независимость почти всей Европы, ввергнувшая десятки стран в мрачную бездну нищеты, рабства и отчаяния, фашистская клика решила покончить и с Советской страной, всегда стоявшей поперек горла у оголтелых представителей международной реакции. Началась великая борьба за свободу и независимость Советского государства, за самое существование советского народа.

Все перипетии этой борьбы еще слишком живы в нашей памяти, чтобы напоминать здесь о трудовом героизме, о воинской доблести народов Советского Союза, спаянных единой волей к победе, руководимых гением великого полководца товарища Сталина.

Результат этой борьбы — полный разгром фашизма—спас весь мир от нависшей опасности уничтожения целых народов, уничтожения вековой культуры, от возврата к самым мрачным временам варварства. Эта победа показала всю несокрушимую мощь Страны Советов, подняла на огромную высоту ее авторитет среди стран всего мира.

Таков в самых кратких чертах трудный и славный путь Советского государства, совершенный под руководством ее гениальных вождей Ленина и Сталина.

2

Великая Октябрьская социалистическая революция обеспечила широкие возможности для развития советской науки. Прежде всего само высшее образование перестало быть привилегией буржуазии и верхних слоев чиновничества и интеллигенции, как это было в царской России. Высшая школа стала доступной для самых широких масс трудящихся. Создание сети рабочих факультетов способствовало быстрому проникновению рабоче-крестьянской молодежи в стены высшей школы. В то же время быстрыми темпами росла сеть университетов и специальных высших учебных заведений, что полностью отвечало той жгучей потребности в высококва-

1 „История ВКП(б)“, стр. 259.

2 Из доклада товарища Сталина на XVII съезде партии. „История ВКП(б)“, стр. 306,

лифицированных кадрах инженерно-технических работников, которую испытывала страна строящегося социализма.

В царской России научные изыскания были частным делом ученых-одиночек, испытывавших часто к своей творческой работе не только равнодушие, но и прямое противодействие правительства. В Советской стране научная работа пользуется широкой материальной и моральной поддержкой со стороны советской власти. Создана широкая сеть научно-исследовательских институтов, оборудованных новейшими приборами и аппаратами.

Все это имело своим результатом расцвет советской науки, бурный рост научных кадров.

Если в прежние времена русскую науку представляли, правда, гениальные ученые (имена Лобачевского, Менделеева, Павлова, Лебедева и других, известных всему культурному миру), но все же ученые-одиночки, то в настоящее время многие десятки крупнейших советских ученых внесли ценнейшие вклады в мировую науку.

Отличительной чертой советской науки является то, что она теснейшим образом связана с жизнью, с практикой, со всем социалистическим строительством. Гигантская реконструкция промышленности на основе новейшей техники, подведение научной базы под сельское хозяйство своими крупнейшими успехами немало обязаны советским ученым, что многократно и отмечалось высокими правительственными наградами и многочисленными сталинскими премиями. Немалые заслуги принадлежат советской науке, советским ученым и в достижении победы, в священной освободительной борьбе советского народа с фашизмом.

В бурном росте советской науки одно из первых мест принадлежит математике. Последние десятилетия ознаменовались целым рядом крупнейших открытий и достижений в области математики, выдвинувших Советскую страну на первое место среди всех стран Европы, оказывающих непосредственное влияние на состояние и продвижение математической науки в мировом масштабе. Нет возможности в кратком очерке перечислить хотя бы главные, наиболее крупные достижения советских математиков. Можно сказать, что почти нет такой области математики, на развитие которой не оказали бы влияние труды наших ученых.

3

Октябрьская революция открыла широкий путь культурному росту народов Советской страны. Ликвидация неграмотности, наследия царизма, осуществление всеобщего начального обучения, постепенное введение обязательного семилетнего обучения, широкая сеть культурно-просветительных учреждений в городе и деревне — таковы главные из многочисленных мероприятий, имевших своим результатом резкое поднятие культурного уровня трудящихся. В этой работе основная заслуга принадлежит советскому учительству. Ставшее с первых дней Октябрьской революции на путь сотрудничества с советской властью, на путь служения нуждам Советского государства, наше учительство сыграло громадную роль в социалистическом строительстве. Именно оно воспитало миллионы советских людей, беззаветно любящих свою социалистическую родину, отдающих все свои силы делу укрепления ее мощи.

Именно оно воспитало миллионы советских патриотов, отдавших свою жизнь делу защиты своей родной страны. Дальнейшее укрепление и улучшение постановки обучения и воспитания в советской школе составляет постоянную заботу нашего учительства, является руководящей идеей в его педагогической деятельности.

Светлой и прекрасной во всей своей мощи вступает Советская страна в 31-ю годовщину своего существования.

Пусть же растет и процветает Советский Союз — оплот мира, свободы и благосостояния советского народа.

ПРЕПОДАВАНИЕ МАТЕМАТИКИ В СОВЕТСКОЙ ШКОЛЕ 1917—1947 гг.

H. Н. НИКИТИН (Москва)

(Институт методов обучения Академии педагогических наук)

Советская школа в области преподавания математики прошла сложный исторический путь. Переход от классовой царской школы с ее делением на массовую (начальную) школу и школу для состоятельных и привилегированных классов к единой советской школе, обеспечивающей всеобщее обучение для всего населения нашей страны; введение всеобщего обучения среди народностей, которые в царской России отличались почти поголовной неграмотностью,—было делом нелегким.

В течение 30 лет, в сложной международной и внутренней обстановке, росла и развивалась советская школа. В соответствии с этим ростом, проходя известные этапы, укреплялось и школьное математическое образование.

В основном можно наметить следующие периоды в деле развития методических идей в преподавании математики и разработки программного материала.

Первый этап характеризуется тем, что школа в программной части работала, опираясь в основном на старые программы и на инициативу учительских масс.

Этот период следует считать примерно с 1917 до 1920 года.

Второй период—это время с 1920 по 1924 год, когда школа работала по временным программам.

С 1924 до 1932 г. школа работает по программам, разработанным секциями Государственного Ученого Совета (ГУСа).

Наконец, с 1932 г. школа работает по программам, разработанным на основе исторических постановлений ЦК ВКП(б) от 5 сентября 1931 г. и 25 августа 1932 года.

Остановимся отдельно на каждом из этих этапов.

1917-1920 гг.

Первые дни после Великой Октябрьской социалистической революции ознаменовались мероприятиями, которые были направлены к расширению сети школ, к их общедоступности, демократизации, к устранению разрыва между различными типами школ, к привлечению широких народных масс для участия в создании новой советской школы, к установлению принципов новой школы, которая, в отличие от дореволюционной схоластической школы, далекой от жизни, должна была стать школой жизненной, трудовой.

16 октября 1918 г. за подписью председателя ВЦИК Я. М. Свердлова было опубликовано „Положение о единой трудовой школе Российской Социалистической Федеративной Советской Республики“.

Статьей 1-й этого „Положения“ устанавливалось одно наименование для всех школ: „Единая трудовая школа“.

В статье 2-й указывалось: „Единая трудовая школа разделяется на 2 ступени: 1-я—для детей от 8 до 13 лет (5-летний курс) й 2-я —для детей от 13 до 17 лет (4-летний курс)“.

Таким образом, вместо различных школ: начальных, высших начальных, гимназий, реальных училищ, коммерческих, кадетских корпусов, институтов благородных девиц и т. д. установилась единая для всех граждан РСФСР школа с 9-летним сроком обучения.

В единую трудовую школу были преобразованы не только бывшие средние учебные заведения, но и высшие начальные училища, первый класс которых был отнесен к 1-й ступени, а 2-й, 3-й и 4-й вместе с вновь организованным старшим дополнительным классом должны были составить 2-ю ступень.

Таким образом, число средних школ сразу резко увеличилось.

В „Положении о единой трудовой школе“ были указаны и принципы обучения и воспитания в новой советской школе.

Статья 12-я говорила следующее:

Основой школьной жизни должен служить производительный труд не как средство оплаты издержек на содержание детей и не только как метод преподавания, но именно как производительный общественно-необходимый труд. Он должен быть тесно, органически связан с обучением, освещающим светом знания всю окружающую жизнь.

Предполагалось, что вся учебная работа должна была протекать в школе. В статье 17-й „Положения“ указывалось: „Задавание обязательных работ и уроков на дом не допускается“.

Радикальная перестройка школьного обучения потребовала огромного напряжения от вновь созданных органов народного образования и от советского учительства. Совершенно на новых началах должен был строиться процесс обучения и воспитания. Учительство начальной школы должно было решительно и немедленно заняться повышением своей квалификации, так как программа пяти классов 1-й ступени Единой трудовой школы резко отличалась от скромной программы 3-х и 4-летней начальной школы. Значительные трудности встали и перед теми учителями средних школ, которые ранее работали в высших начальных училищах, преобразованных в школы 2-й ступени.

Немалые трудности встали и перед квалифицированными учителями бывших средних учебных заведений дореволюционной России, и им надо было пересмотреть свои методические установки; увязать теоретические знания с жизнью, с вопросами практики (а для этого требовалось ознакомление с целым рядом сельскохозяйственных и индустриальных трудовых процессов) и т. д.

Подавляющее большинство учителей, особенно в провинции, немедленно и энергично принялось за создание школы на новых началах. Прежде всего надо было пополнить свои теоретические, методические и практические знания. Немедленно началась коллективная работа по повышению квалификации. По своей инициативе, в трудных условиях послевоенной разрухи и гражданской войны, учителя собирались в городах, районах, часто совершая пешком переходы в несколько десятков километров, горячо обсуждали новые пути обучения и воспитания детей молодой Советской России.

В летние каникулы 1919 г. повсеместно проводились летние курсы учителей 1-й и 2-й ступени единой трудовой школы, продолжительностью до двух месяцев, охватившие почти все учительство страны.

На этих курсах уяснялось и уточнялось содержание, понимание нового для всех термина „трудовая школа“; учителя работали в слесарных, столярных мастерских, дебатировали содержание программ, возможность и характер сближения школьного преподавания с трудом, с общественной работой; обсуждали вопросы, связанные с оборудованием школы, с методикой изучения отдельных вопросов программы.

Нужны были огромные кадры лекторов, однако их было недостаточно. Поэтому руководителями занятий в подавляющем большинстве были передовые, наиболее квалифицированные и опытные учителя тех же школ.

Трудно было в это время ждать каких то единых форм работы, единого содержания. Всюду была своя творческая мысль. Едва ли можно было найти какие-нибудь курсы, которые бы работали единообразно. По-разному работали и школы. Одно было общим—это стремление дать учащимся возможно больше знаний, активизировать процесс обучения, связать обучение с реальной действительностью, с первыми мероприятиями советской власти по созданию новой жизни.

При этом учителя вынуждены были работать по старым программам, внося в них те или иные изменения применительно к местным условиям, но разрозненные усилия учительства, хотя и проводимые с энтузиазмом, не могли дать желаемого результата. Нужно было объединить воедино эти усилия масс, нужны были прежде всего единые новые программы, снабженные подробными объяснительными записками.

1920-1924 гг.

Работа по составлению новых программ началась сразу же после Великой Октябрьской социалистической революции, но она не сразу нашла свое отражение в практике массовой школы.

Первые программы по математике следует отнести к 1918/19 учебному году.

В этих программах с особенной силой отразилось стремление дать возможно больше знаний трудовому народу, который взял власть в свои руки и принялся за великую работу по строительству новой жизни; сказалась вера в великие силы народа. Однако составители первых программ потеряли чувство меры, и первые программы, которые носили название: „Проект примерного плана занятий по математике на первой ступени Единой трудовой школы-коммуны“, оказались чрезвычайно перегруженными. Выработаны они были естественно-математическим подотделом по реформе школы при Народном комиссариате по просвещению.

Проект программ по математике для 1-й ступени говорит о том, насколько велико было стремление авторов проекта дать учащимся возможно больше знаний, при этом знаний по возможности близких к потребностям жизни.

Это явление станет совершенно понятным, если мы вспомним, какая острая нужда ощущалась молодой советской республикой в хорошо грамотных людях необходимых для работы в центральных государственных учреждениях, в советских учреждениях на местах, в кооперации, в избах-читальнях и т. д.

Проект программ для школ 1-й ступени был чрезвычайно перегружен материалом. Он в некоторых своих частях по своему объему превосходит даже программные требования современной нам семилетней школы (геометрический материал, некоторые вопросы алгебры, элементы функциональной зависимости).

В особенности он характерен стремлением отразить в программах возможно более раннее изучение геометрии и осуществить связь с практическими задачами. Уже с I класса учащиеся, помимо овладения арифметическим материалом в пределе первой сотни, знакомятся с прямой, отрезком, измерением длин, с масштабом, определением длин на-глаз, определением веса мускульным ощущением. Оценка на-глаз проверяется измерением, оценивается ошибка, дается первое понятие о приближенном числе.

Во втором классе вводится вычисление площадей прямоугольных фигур, сначала с помощью клетчатой бумаги, а затем и с помощью косвенного измерения. Учащиеся знакомятся с прямоугольным параллелепипедом, делают разверстку прямоугольных брусков, вычисляют объем прямоугольного параллелепипеда. Работа выходит за пределы класса. Учащиеся знакомятся с провешиванием прямых, наносят на бумагу с помощью масштаба результаты измерения длин на местности, исследуют помещение в гигиеническом отношении (объем, световая площадь).

На третьем году обучения учащиеся знакомятся с вычислением площади треугольника, трапеции, параллелограма, с вычислением поверхностей тел. В отношении вычисления объемов — дается прием вычисления объема пирамиды, наклонной призмы. Ставятся практические задачи в связи с вычислением веса по объему (с помощью удельного веса). Расширяются измерительные работы на земле: разбивка прямоугольного участка по плану, измерение высоты холма.

На 4-м году обучения дается понятие о подобии, симметрии, проводятся землемерные работы с помощью эккера, решаются задачи на определение расстояний до неприступной точки. Вычисляются поверхности и объемы всех основных геометрических тел.

Пятый год завершается организационными работами, статистическими обследованиями, с составлением диаграмм и графиков, отражающих местную жизнь.

В первой ступени, еще в III и IV классах, завершается изучение действий над обыкновенными и десятичными дробями. Учащиеся систематически приучаются к приближенным числам, к оценке погрешности при вычислениях. Понятие о проценте дается еще в III классе.

Элементы алгебры начинаются уже во втором и третьем классах, где учащиеся решают уравнения по соображению. В четвертом классе вводятся отрицательные числа, в пятом классе вводится составление линейных уравнений с двумя неизвестными, извлечение квадратного и кубического корня.

Начиная с третьего года, вводятся графики, сначала линейных функций, а в дальнейшем (V класс) и функций вида у = ах2; у — ахг; _у = а\/х .

В У классе даются элемента тригонометрии, проекционного черчения.

В проекте программ подчеркивается и необходимость небольших практических работ: изготовление лото, шашечницы, портфеля, приготовление эккера, съемка плана и т. д.

Русские меры заменяются метрическими.

К проекту примерного плана занятия по математике была составлена объяснительная записка, которая отражала методические идеи авторов программы („плана занятий“).

Придавалось особое значение связи с жизнью, с непосредственной практикой ребенка:

Знания, не имеющие приложения в настоящем, оторванные от текущей жизни, знания чисто словесные,—окажутся бесполезными и в будущем, а развитие интеллекта достигается не путем приобретения большого количества сведений от учителя или из учебника, а самостоятельной работой над проблемами.

Школа выдвигает на первое место воспитание воли, активности, умение действовать...

Школа из учебного заведения должна превратиться в детскую коммуну, главным содержанием которой явится производительный труд, создающий как материальные, так и культурные ценности, и где образовательная работа заключается не в обучении, а в решении тех проблем, которые выдвигает жизнь школьного коллектива.

... В школе, рассчитанной на широкую самодеятельность учащихся, нельзя не дать простора творчеству учащихся. Поэтому предлагаемый план занятий по математике представляет собой только примерную схему того, что, как и когда может быть проработано с детьми.

... План выдвигает на первое место те главы математики, которые имеют первостепенное значение для решения жизненных вопросов. Сюда относятся: арифметические действия над целыми и дробными числами, линейные уравнения, буквенная символика, диаграммы, графики, функциональная зависимость, измерения всякого рода, решение треугольников, основы технического черчения (для городских школ) и основы геодезического черчения (для сельских школ).

Объяснительная записка предлагает уделить особое внимание историческому элементу. В конце записки дан проект примерного плана занятий по истории математики в школе первой ступени.

Существовал проект программ и для второй ступени, который включал в себя, помимо элементарной математики, элементы аналитической геометрии и анализа, куда входили такие разделы, как производная, диференциал, интеграл, ряды Тейлора и Маклорена, признак сходимости Д'Аламбера, теория конических сечений, диференциальные уравнения.

Реализация таких программных требований была, конечно, невыполнимой задачей.

Программы были составленье оез учета реальных условий. Авторы мало знали школу, не считались с возрастными возможностями учащихся. Большой ошибкой первых программ было стремление систематическое изучение математики заменить эпизодическими экскурсами в математику в связи с трудовой деятельностью детей.

Естественно, что проект встретил отрицательное отношение учителей и математической общественности, в частности Московского математического кружка, который в своих резолюциях предупреждал, что предлагаемый проект „грозит школе устранением из нее математики, как учебного предмета“.

В № 11 — 12 журнала „Народное просвещение“ за 1919 г. один из авторов программы (О. Вольберг) помещает статью „Два мировоззрения“, в которой отстаивает ту мысль, что в школе не должно быть математики как особого учебного предмета, что проект: „вынуждает устранить из школы математику как учебный предмет, и это не „возможность“, а „необходимость“, логически вытекающая из принятых программной комиссией предпосылок“. „Проект прямо говорит: в школе „общеобразовательная работа заключается не в обучении, а в решении проблем, выдвигаемых жизнью“.

По мнению автора, здесь столкнулись два мировоззрения: „сознание членов Московского математического кружка, людей замкнутых в рамках самодовлеющего научного мышления, строящих отвлеченные схемы в уединении своих кабинетов“, и „мировоззрение класса революционного, преобразующего мир“.

Новый проект программ не оказал влияния на работу молодой советской школы, не дошел до массовой школы, а в тех случаях, когда и был получен в школах, не был принят учительством. Так, например, московские школы работали по своим программам, которые

имели значительно меньший объем и носили действительно учебный характер.

В 1920 г. Московским отделом народного образования были напечатаны „Примерные программы Единой трудовой школы“ для 1-й ступени (пятилетней). В первых трех классах преподавание предполагалось поклассное, а в IV и V классах — предметное.

Приводим краткое содержание этих программ по годам обучения.

1-й г од обучения

4 действия в пределе 20-ти. Сложение и вычитание до 100. Знакомство с простейшими долями, с общеупотребительными мерами. Решение задач в одно действие.

2-й год обучения

4 действия в пределе 1000. Сложение и вычитание дробей с равными знаменателями. Прямоугольник, квадрат, круг.

3-й год обучения

4 действия с многозначными числами, отвлеченными и именованными. Площадь прямоугольника и квадрата. Сложение и вычитание дробей. Умножение и деление дробей на целое число.

4-й год обучения

Повторение всех действий над целыми числами, десятичные дроби: сложение и вычитание; умножение и деление на целое число. Преобразования обыкновенных дробей. Треугольник, куб, призма, пирамида, цилиндр, конус, шар.

5-й год обучения

Целые числа. Свойства арифметических действий, обозначение их в общем виде на буквах. Числовое значение несложных формул. Простейшие уравнения 1-й степени. Вычисление площадей и объемов. Диаграммы и графики.

Приведенные выше программы говорят о том, что массовая школа имела свои, более реальные и выполнимые программы. Методические идеи, изложенные Научно-методической секцией МОНО в предисловии к программам, ориентируют учителя на те основные положения, которые изложены в „Положении о Единой трудовой школе“, а именно:

...Основою жизни и деятельности школы 1-й ступени должен быть труд в своих разветвлениях: труд умственный, эстетический, нравственно-волевой, физический и социальный. Но все эти виды труда должны взаимно переплетаться, один пронизывая другой.

.. .Дети при комплексном методе, получая необходимые навыки в области чтения, письма, счета и т. п., в то же время получают ряд познаний, необходимых для осмысливания окружающей их жизни, но не путем изучения определенных учебных предметов.

Большой простор дается инициативе учителя в деле распределения учебного материала :

.. .Примерное распределение учебного материала по годам ни в коем случае не следует считать неизменным, оно должно изменяться и варьироваться в зависимости от индивидуальных особенностей каждой школы.

Вопросу о построении программ для Единой трудовой школы было уделено особое внимание на Первой всероссийской конференции школьных подотделов, работавшей 16—22 августа 1920 г.

Конференцией была выделена Математическая комиссия из ленинградских и московских специалистов. Здесь были приняты программы по математике для 1-й ступени, по алгебре для 1-й ступени (факультативная), по алгебре для 2-й ступени, по геометрии для 2-й ступени, по анализу, аналитической геометрии и тригонометрии.

Методические идеи, связанные с содержанием этих программ, нашли свое выражение во вводной статье, помещенной в I выпуске этих программ (1920 г.). Статья начинается с общей оценки школьного преподавания математики:

Ни в одной области школьного преподавания столько не говорили о необходимости реформы и столько не делали для осуществления той или другой реформы“, как в математике (так начинается вводная статья). Но несмотря на это, вряд ли в какой области так мало изменился объем и содержание школьного курса, как в математике. Все попытки реформы преподавания математики были в общем очень робки, нерешительны и во всяком случае недостаточно глубоки. И в настоящий момент мы скорее стоим ближе к исходной точке реформы преподавания, чем к конечной ее цели.

В значительной, если не в полной мере это объясняется тем, что реформа преподавания математики требует прежде всего и больше всего реформы всей школы целиком, коренного преобразования всего ее строя, ее методов и задач.

Сейчас мы находимся в периоде такой коренной перестройки школы—... и можем начать поиски правильных путей для реформирования преподавания математики.

Авторы не обольщали себя надеждой, что реформа может быть произведена достаточно быстро и полно:

Слишком закоснели в нас старые привычки и старый взгляд на вопросы математического образования, чтобы сразу можно было совершить в этой области коренной переворот. Но пути реформы уже можно наметить сейчас.

Далее в статье высказывается взгляд на место математики в трудовой школе:

Значение математики в школе--в воспитательном характере ее методов, в развитии в детях умения ими пользоваться, умения их применять и прибегать к ним, когда это нужно им в их практической жизни.

Необходимо помнить,— пишется в вводной статье,—что цель школы не в том, чтобы готовить будущих математиков, физиков, историков и других ученых; ее цель в том, чтобы развить всесторонне все элементы человеческого ума и его способностей, открыв юноше дорогу туда, куда его влечет, где он может найти свое место.

В нашей школе математика имеет, таким образом, не самодовлеющее значение, а значение орудия, которым юноша будет пользоваться в открывающейся перед ним реальной жизни, прилагая свои математические познания к ее разнообразнейшим явлениям.

Все то, что ценно в математике, как в самостоятельной и отвлеченной науке, разовьется само но себе в юноше, который пожелает и сможет посвятить себя математике, как отвлеченной науке. Во всяком случае, это не задача общеобразовательной школы в целом; она может найти себе место в ученических кружках из наиболее способных* и склонных к математике учащихся.

Правильные мысли высказаны в объяснительной записке и в отношении традиционного деления математики на элементарную и высшую:

Нам необходимо отказаться от условного деления математики на элементарную и высшую,— говорится в вводной статье.—Вообще деление математики на элементарную и высшую весьма и весьма условно и не оправдывается научной стороной дела. Обычный курс математики в школе далеко не охватывает того, что принято называть элементарной математикой, но общий план изложения курса математики в школе таков, что юноша, кончающий школу, остается с сознанием, будто вся элементарная математика им изучена, а дальше идет запретная для него область— высшая математика.

Мы, конечно, не имеем в виду перегружать курса математики еще новыми частями, иногда недоступными в юном возрасте. Мм предполагаем только пересмотреть курс математики с методологической точки зрения и под этим углом зрения определить содержание школьного курса. С этой точки зрения должен быть пересмотрен и весь обычный „элементарный“ курс математики; из него должны быть выкинуты целые главы и их отдельные части (сложное тройное правило, цепное правило, неопределенный анализ, бином Ньютона, непрерывные дроби, целые части из элементарной геометрии и т. д.). С другой стороны, никак нельзя обойти в школе и не познакомить учащихся с такими исключительно важными методами математического исследования, как основы анализа бесконечно-малых или аналитическая геометрия.

Ценные мысли высказаны в вводной статье и в отношении установления связи преподавания математики со смежными учебными предметами :

Трудовая школа налагает на преподавателя математики больше обязанностей, чем старая школа. В трудовой школе преподаватель должен быть в курсе хода всей общеобразовательной работы в школе: он должен заглядывать к своему соседу естественнику, физику, химику, историку, должен знать, что делается в мастерских школы, на огороде и поле, должен интересоваться намечающимися и проведенными экскурсиями и во всех областях школьной жизни и работы искать и выбирать тот материал, на котором можно развить те или иные математические положения и методы.

Полученный из других, особенно же из естественно-научных областей, материал имеет свою внутреннюю сущность и цель.

При таком общем подходе к усвоению математических знаний учащиеся значительно глубже и прочнее, чем при всяких других методах, усвоят основные математические понятия — о числе, уравнении и функции, легче будут с ними оперировать, яснее будут разбираться в геометрических образах. Математика не будет тогда для учащегося отвлеченной наукой, которую можно забыть тут же по выходе из школы, а орудием, которое можно и необходимо постоянно употреблять в практической жизни.

Были в вводной статье, конечно, и ошибочные высказывания, спорные утверждения, крайности, обусловленные общей педагогической настроенностью того времени.

Так, например, авторы программ недооценивали образовательного значения математики.

Крайности имеются и в деле установления связи теории с практикой:

Необходимо стремиться к тому, чтобы ни одно сведение по математике не было даваемо учащимся без конкретного указания на его практическое применение в науке и технике, больше того, без практического применения его на деле тут же в школе. Нужно стремиться, но возможности, чтобы каждое новое математическое предложение вытекало из потребности учащихся в разрешении того или иного практического вопроса, для разрешения которого оно необходимо.

По своему объему, содержанию и системе расположения материала примерные программы 1920/1921 г. были значительно выше программ 1918/1919 г. 1-я ступень в основном была ориентирована на изучение арифметики и начальной геометрии, а 2-я ступень содержала значительно более продуманный материал и во всяком случае, более доступный, чем программный материал 1918/1919 г.

Содержание программ по алгебре для 2-й ступени' вкратце сводилось к следующему:

1-й класс (6-й год обучения). Составление и решение уравнений 1-й степени с одним неизвестным. Построение графика функции у~ах~\-Ьпо точкам и графическое решение уравнений. Тождественные преобразования одно-

членов и многочленов. Отрицательные числа и действия с ними. Арифметическая прогрессия, Пропорциональность. Функции yrzzmx и у = ах -f b. Алгебраические дроби.

II-й класс (7-й год). Системы уравнений 1-Й степени. Графическое решение системы. Пропорции. Обратная пропорциональность. Функция у — —у as X2. Извлечение квадратного корня.

Приближенные вычисления. Квадратные уравнения (частные случаи). Геоуетрическая прогрессия.

III-й класс (8'й год). Квадратные уравнения в общем виде. Графическое решение их. Степени и корни. Функции у = ах* и у = ахъ + Ь\ Обобщение понятия о показателе. Показательная функция. Логарифмы.

Аналитическая геометрия входила в программу IV класса и включала в себя темы: уравнение прямой; задачи на прямую; эллипс, гипербола h парабола как геометрические места; Элементарные свойства конических сечений. Асимптоты гиперболы: Простейшие задачи на касательные.

Наконец, анализ входил в программу V класса (10-й год) и содержал разделы: пределы и теоремы о пределах: Производная и теоремы о производных. Задачи на наибольшие и наименьшие значения функций: Интегрирование как операция, обратная диференцированию. Понятие об определенном интеграле и его истолкование.

Приведенные выдержки из программ 1920/1921 г. показывают существенное отличие их от совершенно нереальных программ 1918/1919 г.

К программам даны обстоятельные методические соображения, которые в известной степени не потеряли своего значения и для развития современной методической мысли. Отметим некоторые места из этих записок.

Авторы выдвигают на первый план развитие активности учащихся:

Главнейшей задачей, которую должно преследовать преподавание математики в общеобразовательной школе,— пишут они в объяснительной записке,— является пробуждение в учащихся математического мышления. Эта цель может быть достигнута лишь при условии, что учащиеся заинтересуются предметом и проявят активность и самостоятельность в приобретении знаний.

...Учащиеся в общем должны быть поставлены в такое положение, чтобы они не усваивали математических истин в готовом виде, а как бы сами вновь переоткрывали их в процессе самостоятельной работы. Поэтому преподавателем должны быть использованы, по возможности, все средства, способствующие указанному характеру обучения.

В преподавании математики должна получить возможно более широкое место наглядность обучения; школа должна быть обильно снабжена наглядными пособиями, которые должны быть шире доступны учащимся.

Большое значение придавали авторы программ установлению связи между отдельными предметами:

В общеобразовательной школе не может быть проводимо резких границ между отдельными математическими дисциплинами, и они не должны изучаться последовательно, как это имело место в старой школе. Наоборот, между ними должна быть с самого начала обучения самая тесная связь.“ Поэтому изучение арифметики и геометрии должно начинаться и вестись одновременно; в органической связи весьма рано могут быть к ним присоединены и элементы алгебры. В дальнейшем должна установиться тесная связь между алгеброй и арифметикой, алгеброй и геометрией и тригонометрией, наконец между элементами низшей и так называемой высшей математики, основами анализа и аналитической геометрии.

Уделялось внимание также элементам исторического характера, созданию математических кружков и клубов при школах.

В объяснительной записке нашли отражение методические идеи авторов и по отношению к преподаванию отдельных учебных предметов. В отношении арифметики авторы высказываются за использование индуктивного метода при ознакомлении с новыми понятиями, за использование задач практического характера, как исходных положений для каждого нового математического вопроса, отмечается целесообразность связи вычислительной стороны с геометрией.

По отношению к алгебре в объяснительной записке высказаны такие мысли:

Курс алгебры школы 2-й ступени имеет целью дать каждому, окончившему ее, ряд полезных навыков и сведений для разрешения практических задач, выдвигаемых как техникой различных отраслей труда, так и повседневною жизнью. С другой стороны, курс алгебры должен обогатиться такими общими понятиями, которые необходимы каждому для установления правильного отношения к окружающему миру, познакомить с общими научными методами, приложимыми к чрезвычайно разнообразным явлениям, освоить с символикой, выяснить ее обобщающее и экономизирующее значение, выработать точность языка и т. д.

В отношении практических навыков школа должна достигать сознательного пользования: 1) уравнениями, как могучим орудием для решения и исследования практических задач; 2) графическим методом изображения зависимости между величинами, дающими незаменимое средство иллюстрации явлений жизни и хода их изменений; 3) графическим способом решения, благодаря которому сложные с алгебраической точки зрения вопросы получают ответы технически очень простыми приемами; 4) тождественными преобразованиями, как средством облегчения вычислений; 5) приемами приближенных вычислений, которые обеспечивали бы степень точности вычислений, требуемую данной задачей.

Выполнение отмеченных выше задач связано с соблюдением ряда условий.

Первым из них является соответствие объема курса тому периоду времени, в течение которою он должен быть воспринят, так как мы считаем

гораздо ценнее такую постановку дела, при которой каждый отдел алгебры будет проработан возможно глубже, нежели поверхностное знакомство с большим по объему курсом. Этим объясняется то обстоятельство, что в состав курса не введены такие важные с точки зрения общего образования отделы, как комбинаторика и бином Ньютона, теория вероятностей, комплексные числа и т. д.

Вторым необходимым условием нормального прохождения курса является соответственное психике возраста распределение материала по классам и способы проработки его. В силу этого соображения вопрос о пределах вынесен в IV класс (9-й год обучения), начальные элементы аналитической геометрии и анализа отражены уже в I и II классах (б-й и 7-й годы обучения) в форме графического изучения хода изменения функций, лишь постепенно переходящего в аналитическое.

Самостоятельность работы учащихся, этот важнейший фактор трудового начала, может быть осуществлен при условии посильности тех требований, которые предъявляются учащимся.

Лучше дольше остановиться на простых примерах, задачах и вопросах, чем преждевременно усложнять их: решение же сложных вопросов должно явиться завершением работы в школе. Процесс приобретения алгебраических знаний должен носить, по возможности, генетический характер, чему в значительной степени могут способствовать исторические ссылки. Многие исторические данные, связанные с курсом, могут быть добыты учащимися путем самостоятельной работы над доступными им источниками.

Далее авторы дают по целому ряду вопросов частные методические указания применительно к конкретным вопросам программы.

Эти методические комментарии к программам по алгебре, несомненно, должны были дать учителю полное представление о характере изучения изложенного в программах материала.

Заканчивая объяснительную записку по алгебре, авторы не предлагают свои точки зрения как непреложные и единственно правильные, а, напротив, предупреждают учителя от слепого следования им. .

В заключение надо отметить (читаем в объяснительной записке), что на все изложенные соображения ни в коем случае не следует смотреть как на обязательные для преподавателя. Здесь возможны вариации в зависимости от взглядов преподавателя, от индивидуальности класса, от его подготовки и т. п.

Не менее обстоятельные объяснительные записки составлены и к программе по геометрии, по основам анализа и аналитической геометрии.

По геометрии авторы призывают порвать с традицией, основанной на буквальном следовании за Евклидом, с ее старой схемой изложения в виде теоремы, доказательства, следствия. Предлагают ввести начала начертательной геометрии.

Характер изложения курса, по мнению авторов программ, должен базироваться:

...не только и не столько на старой логической системе последовательности евклидизированных доказательств, а больше на ряде вновь вводимых идей: симметрия, движение и т. д.

Придается большое значение измерениям на местности:

Измерения на местности имеют еще то неоценимое педагогическое достоинство, что естественно выносят часть школьной работы за пределы душного и скучного класса на вольный воздух и привлекают сильнейшее внимание ребят.

Для измерения на местности вовсе не нужно каких-либо сложных и дорогих приборов, в школе, можно обойтись простейшим эккером, построенным самими же детьми и ими же сделанным простейшим угломерным инструментом.

Польза таких измерений, помимо их практической ценности, в том еще, что усвоенные геометрические понятия и образы конкретизируются в реальном пространстве, а не связываются, как обычно, в головах учащихся только с чертежом на бумаге или на классной доске.

По вопросу о введении элементов анализа и аналитической геометрии в объяснительной записке высказаны такие мысли:

При отсутствии разветвлений на старшей ступени единой школы программа по математике должна ограничить свои цели только интересами общего образования. Именно в этих интересах, а отнюдь не в интересах тех учащихся, которые в своей дальнейшей деятельности будут нуждаться в специальных математических сведениях, в последнем классе 2-й ступени вводятся элементы аналитической геометрии и анализа, главным образом диференциального исчисления.

Понимание основных положений современной математики о природе (в широком смысле) сознательное отношение к важнейшим проявлениям человеческой материальной культуры настоятельно требует от каждого знакомства с плодотворными идеями высшего математического анализа. В то же время эти идеи давно уже освободились от окружавшего их раньше метафизического тумана и могут быть изложены с такой кристальной ясностью и простотой, которые делают их доступными каждому.

Многочисленные и разнообразные приложения как в области самой математики, так и в других областях знания и техники, обеспечивают элементам высшей математики напряженный интерес со стороны учащихся; этому же способствует установление связи между понятиями и задачами, которые казались чуждыми друг другу (например, понятие об угловом коэфициенте касательной и о скорости; задача о проведении касательной и о нахождении площади). Самая общность излагаемых понятий и методов, синтез

различных точек зрения и методов (анализ и геометрия) вполне отвечают душевным потребностям юношеского возраста.

Примерные программы Единой трудовой школы 1920/1921 г. выгодно отличались от программ 1918/1919 г. Несмотря на некоторую перегруженность, эти программы в части конкретного содержания и методических идей стояли в целом на правильном пути, отражая в себе передовые идеи лучших преподавателей и представителей математической общественности начала XX века.

Они ориентировали учителя на отражение в программах содержания, более близкого к современному состоянию математической науки, призывали к усилению активности и самостоятельности учащихся, подчеркивали значение наглядности, значение практических, в частности, землемерных работ. В расположении материала чувствуется знание школы; в обстоятельных объяснительных записках, приложенных к программам, имеется много ценных конкретных указаний, существенно помогающих учителю и в то же время не стесняющих его педагогического творчества, напротив, призывающих к инициативе и творчеству.

Семилетняя единая трудовая школа

Блестящая победа Советской Армии и советского народа на всех фронтах гражданской войны, разгром интервентов знаменуют собой переход в 1921 г. в полосу мирного строительства. Перед Советской страной встали грандиознейшие задачи по восстановлению жестоко разрушенного народного хозяйства. Для осуществления этой задачи требовались огромные квалифицированные кадры во всех областях сельского хозяйства и промышленности. Особенно острый недостаток ощущался в среднем техническом персонале. Это и было основной причиной школьной реформы 1921 г., но которой в основу общего образования ставилась 7-летняя школа (вместо 9- и 10-летней) с последующей надстройкой в виде целой сети техникумов, обеспечивающих среднее профессиональное образование молодежи.

Семилетняя школа разбивалась на 2 концентра (4 и 3 года). Для этой школы в августе 1921 г. и были утверждены новые программы. По своему объему эти программы были перегружены не только не меньше программ 1919 года, но в ряде мест даже превосходили их в этом отношении.

Особенно ярко эта перегрузка сказалась на программе для 1-го концентра, содержание которой вкратце сводилось к следующему:

I класс. Четыре арифметических действия с числами до 1000 (т. е. программа теперешних двух первых классов). Знакомство с простейшими дробями. Знакомство с метрическими и русскими мерами (метр, сантиметр, килограмм, грамм, верста, сажень, аршин, вершок, фут, дюйм, пуд, фунт и т. д.).

II класс. 4 действия с многозначными числами (умножение и деление на 2-х, 3-х и 4-значные числа). Сложение и вычитание дробей с знаменателями 2,4 и 8. Десятичные дроби с знаменателями 10 и 100. Дальнейшее расширение знакомства с метрическими и русскими мерами (гектолитр, гектар, десятина и пр.). Действия с составными именованными числами. Вычисление площадей.

III класс. Признаки делимости на 2, 5, 4, 25, 3, 9. Действия с обыкновенными и десятичными дробями. Преобразование одних в другие. Кубические меры и вычисление объемов.

IV класс. Основное место занимало решение задач. Кроме того, проценты, чтение и составление диаграммы и графиков, вычисления квадратур и кубатур. Приближенные вычисления;

Все это предполагалось пройти при четырех уроках в неделю как на втором, так и на третьем и четвертом годах обучения (по первому году обучении число недельных часов не указано). Следует учесть и то обстоятельство, что в „Положении о Единой трудовой школе“ указано на недопустимость домашних заданий.

Само собой разумеется, что такая перегруженная программа не могла быть выполнена; на местах проходили столько, сколько позволяли детские силы и местные условия, тем более что и учебников, соответствующих этим программам, не было.

Не менее перегружены были программы и по другим предметам.

Так, по алгебре программа V класса заканчивалась решением и составлением уравнений 1-й степени с одним неизвестным графиком функции у = ах -f- b

В VI классе изучались: система уравнений 1-й степени. Функция У = -~- Возведение в степень. Точное и приближен-

ное извлечение квадратного корня. Функция у = ах2 и уравнение х2 = а

Программу II класса составляли квадратные уравнения, системы уравнений 2-й степени, действия с радикалами.

Программа по геометрии отличалась сугубым концентризмом (разбивалась на 4 концентра) и завершалась в VII классе элементами тригонометрии, включая решение прямоугольных и косоугольных треугольников и измерения на местности.

Если программы 1921 г. и отличались крайней перегруженностью и в этом отношении были совершенно нереальны, то приложенные к ним объяснительные записки (как, впрочем, и объяснительные записки к более ранним программам) содержали ряд правильных и ценных мыслей, не потерявших своей свежести и значения и в наши дни.

В отношении преподавания арифметики высказаны следующие методические идеи:

Преподавание арифметики имеет целью научить учащихся производить вычисления с целыми и дробными числами, отвлеченными и именованными, сознательно, быстро, уверенно, каллиграфически (если вычисления производятся письменно) и ответственно, то-есть с сознанием, что ошибок не должно быть, что полученный результат должен быть тщательно проверен, и дать осмысленный ответ на предложенный вопрос.

Здесь характерным для русской методической мысли является особое значение, придаваемое сознательному усвоению программного материала. Эта мысль красной нитью проходила в трудах лучших представителей методической мысли еще в дореволюционной России, она является руководящей и в работах представителей советской методики и в практической работе советского учителя. Особо важным является и подчеркивание ответственности за полученный результат, необходимость тщательной проверки его, значение осмысленного ответа на предложенный вопрос. Борьба за преодоление элементов формализма в преподавании математики, проводимая в настоящее время, в значительной степени сводится к реализации на практике высказанных здесь методических положений.

Придавая решающее значение сознательному усвоению программного материала, авторы программ в то же время предостерегают на этой ступени обучения от излишнего увлечения вопросами обоснования, элементами теории:

Отвлеченной теории чисел арифметических действий,— читаем в объяснительной записке,— нет места в программе, так как эта сторона дела недоступна пониманию учащихся указанного возраста. Таким образом, на первый план выдвигается практическая цель арифметических операций, которые могут изучаться без точных, строго научных определений и в некоторых случаях, по усмотрению учащего, даже догматически. Например, нет надобности затруднять учащихся обоснованием правил умножения простых дробей; это объяснение по существу очень трудное, учащиеся могут его выучить, но вряд ли усвоят; поэтому целесообразнее преподавать правило умножения дробей догматически, другими словами — сделать правило определением действия.

Во всех же тех случаях, когда объяснение нового материала доступно пониманию учащихся и может быть иллюстрировано для их психологии примерами, оно безусловно необходимо, так как иначе не будет достигнута сознательность в арифметических операциях.

В объяснительной записке подчеркивается значение уверенности, быстроты в вычислениях, но не в ущерб точности и аккуратности, подчеркивается особое значение устного счета:

Всякое вычисление, которое можно произвести в уме, должно быть так и сделано. Надо поставить руководящим правилом — отводить от каждого урока на первых двух годах обучения в школе 10—15 минут (никак не более) на вычисления в уме, давая материал для вычисления в полном соответствии с проходимым курсом. Следует приучать учащихся производить по возможности быстро и письменные выкладки, но при этом необходимо строжайше следить за тщательностью записей и ни в коем случае не допускать неряшливого и неразборчивого письма. В этом отношении следует всемерно стремиться к нарядным, изящным записям и в пользу их каллиграфичности можно жертвовать быстротою. Идеалом же остается быстрая, красивая запись,— читаем мы в объяснительной записке.

Совершенно правильные и ценные мысли высказаны в отношении воспитания у учащихся чувства ответственности при выполнении вычислений.

При изучении дробей авторы дают предпочтение десятичным дробям и считают необходимым при решении задач встречающиеся простые дроби обращать в десятичные:

Нет надобности, — пишут они, — заниматься примерами вроде f4§5 + 594 или сокращением дробей вида ^fyj •

Это бессмысленно, сложно и никакой цели не достигает. Гораздо целесообразнее добиться быстрого счета в уме примеров типа

Метрология проходит через всю программу арифметики. Правильные методические указания даны в отношении характера ее изучения:

В отношении метрологии самое существенное то, что все меры должны быть усвоены учащимися не по описанию, а чувственными восприятиями, практически, в реальной обстановке. Необходимо организовать измерения одного рода, (взвешивание, оценку объема). Весьма важно, чтобы учащиеся понимали меры и их реальный смысл, например, может ли человек иметь рост в 3 метра, может ли рабочая лошадь весить 100 килограммов, может ли жилая комната иметь площадь в 300 кв. метров и т. п. Кроме того, следует развивать глазомерную оценку протяжений, высот, тяжести, емкости и т. д.

Авторы программы решительно высказываются против задач, противоречащих здравому смыслу и жизненной правде, которыми были полны дореволюционные задачники по арифметике. Но, высказывая в основном правильные мысли в отношении содержания и характера задач, авторы, однако, впали в крайность и дошли до отрицания централизованных единых задачников для школы:

Для учащихся,—пишут они,—нельзя рекомендовать ни одного из напечатанных задачников. Каждый задачник, вследствие своей универсальности, непригоден для любой школы. Задачник надо писать для каждой школы отдельно, то-есть это должен делать сам учащий. Многих учащих пугает отсутствие подходящего задачника. Но это — недоразумение, основанное на рутине и привычке. Окружающая жизнь дает нам столько разнообразных явлений, числовой учет которых понятен и доступен учащимся, что нечего изобретать задач, они сами напрашиваются. Наблюдения над погодою, всякого рода измерения, взвешивания, собирание и исследование статистических данных и т. д. дают неисчерпаемый материал для жизненных задач, интересных для учащихся и важных в воспитательном отношении. Такие задачи, содержание которых понято учащимся, или ими пережито, или наблюдено, послужит надлежащим материалом для арифметических упражнений, постепенно возрастающих в отношении количества вычислений и, таким образом, незаметно переходящих в решение действительных и нужных жизненных вопросов.

Ошибка авторов программы в этом вопросе заключалась в том, что они отрицают значение задачников, составленных по строго продуманной системе и имеющих своей целью постепенно развивать сообразительность, мышление, речь учащегося, помогать изучению самих основ арифметики. Очевидно, правильное разрешение вопроса о задачах заключается в том, чтобы содержание общешкольных задачников на местах дополнялось учителем местным материалом.

Интересные и в ряде случаев правильные методические идеи содержит в себе и объяснительная записка к программе по алгебре.

Первые шаги преподавания алгебры на пятом году обучения рекомендуется согласовать с известным уже учащимся материалом из арифметики и геометрии.

Цели преподавания алгебры в семилетней школе сформулированы следующим образом:

1. Обобщение идеи числа.

2. Развитие идеи функциональной зависимости.

3. Ознакомление с алгорифмом уравнения.

Говоря о целях преподавания алгебры, авторами совершенно не упоминаются тождественные преобразования, которым они не придавали самодовлеющего значения, а признавали за ними лишь служебную роль:

Что касается тождественных преобразовании, этой формальной стороны алгебры (читаем мы в объяснительной записке), то ей необходимо уделить внимания не больше, чем это требуется для выработки чисто технических навыков в упрощении уравнений, то-есть подведению их к шаблону.

Техника буквенного счисления должна усваиваться на уравнениях.

Центральным местом программы авторы считают уравнения и идею функциональной зависимости. По идее авторов, уравнения, элемент вычисления и графики должны тесно переплетаться в процессе преподавания алгебры. Решение не должно отрываться от исследования.

Идея функциональной зависимости является основой всякого уравнения: вот почему для большей легкости восприятия результатов, получаемых аналитическим путем, в курсе предлагаемого типа тесно переплетается элемент вычисления с графическим.

В части, касающейся развития понятия числа, авторы программ считают нужным обстоятельно ознакомить учащихся с отрицательными числами, но не находят возможным с достаточной глубиной ознакомить их с иррациональным числом и тем более с комплексным.

По мысли авторов, к расширению понятия числа приводят уравнения. В них синтезируется все, что составляет предмет алгебры, и это надо дать почув-

ствовать учащимся. На протяжении всех трех лет обучения (V—VII классы) авторы стремятся формальную сторону переплетать с чисто идейной и практической.

К программе, кроме объяснительной записки, дано „Приложение к программе по алгебре для семилетней школы“. Авторы указывают на то, что вопрос о введении графического элемента в преподавание алгебры в связи с выяснением идеи функциональной зависимости является настолько существенным и важным, что необходимо более подробно осветить эту сторону курса разбором ряда основных графиков, и указанием типичных примеров для самостоятельных практических работ учащихся.

На 22-х страницах большого формата даются в методическом плане конкретные указания, как познакомить учащихся с идеей метода прямоугольных координат, образцы эмпирических графиков, а также образцы графиков всех функций, указанных в аналитической форме в тексте программы.

Эти методические указания были чрезвычайно ценными и не только для начинающего, но и для опытного учителя математики.

Заканчивая эту методическую часть, авторы пишут:

Предлагаемый материал — примерный и поддается бесконечным вариациям, хотя здесь сконцентрировано все типичное и характерное и вполне доступное обработке силами учащихся трех старших лет семилетней школы.

Сознательное усвоение материала, подобного предложенному, будет способствовать развитию функционального мышления, даст навыки в конкретизации отвлеченных схем и осветит роль графического элемента в алгебре.

Должно помнить, что графическая грамотность нужна и мастеру, и сельскому хозяину, и статистику, и биологу, и врачу, и воспитателю.

Можно не изучать математику специально, но азбука точного знания должна быть известна всякому образованному человеку, и при том не как нечто обособленное и оторванное от других областей знания и жизни, а, наоборот, должна быть вкраплена в них, как элемент, экономизирующий силы и время в решении самых обыденных, будничных вопросов, с которыми практическая деятельность сталкивает на каждом шагу, какое бы направление она ни приняла. Математическая грамотность, кроме пользы, ничего не принесет, и поэтому задача каждого преподавателя — привить к ней вкус у учащихся исподволь, постепенно, не нагромождая трудностей.

Надо добиться того, чтобы в сознании ученика сухие формулы и знаки ожили, приобрели реальный смысл, тогда даже тем немногим знаниям, с которыми он выйдет из школы, он сам найдет приложение; к этому надо стремиться всеми путями, всеми средствами.

Программы для семилетней школы 1921 г. существовали до 1924 г.

Основным недостатком всех программ, составленных в период времени 1918— 1921 гг., является увлечение объемом, стремление дать учащимся возможно больше математических знаний. При семилетнем сроке обучения и недостаточном количестве недельных часов, отводимых на математику, они, вообще говоря, были невыполнимы.

Едва ли они были где-нибудь полностью реализованы в школьной практике, так как педагогический опыт убеждал учителя-практика в их нереальности. Всякий учитель выполнял программу постольку, поскольку позволяли обстоятельства. Это было возможно потому, что в программах подчеркивалась их необязательность, ориентировочность. Программы 1918/1919 и 1920/1921 гг. и назывались „Примерными программами“. Программы для семилетней школы, хотя и не заключали в себе слова „примерные“, но в объяснительной записке подчеркивалась свобода „педагогического маневрирования“.

Невыполнение программ было возможно и потому, что по „Положению о Единой трудовой школе“ оценки знаний и экзамены были отменены. Оценка знаний производилась на основании общего впечатления, какое складывалось об ученике у учителя. При таком положении дел работа учителя почти не подвергалась контролю. Следует отметить и то обстоятельство, что вступительные экзамены в вузы были отменены.

Несмотря на указанный выше недостаток, присущий всем программам 1918— 1921 гг., следует сказать, что в них было и много ценного, свежего, обновляющего школьное преподавание математики.

В них сохранялись отдельные предметы. Материал располагался в определенной системе.

Устанавливалась более тесная связь между отдельными предметами школьной математики (арифметика, алгебра, геометрия, начало тригонометрии), было стремление сблизить преподавание математики с жизнью, большое внимание уделялось развитию функционального мышления (нередко даже идеи анализа

заслоняли алгебраическую часть); в геометрии ценным следует считать введение пропедевтического курса, с одной стороны, с другой — приспособление систематического курса к уровню развития юношей; большое внимание уделялось сознательному усвоению материала, активности учащихся, воспитанию ответственности за полученный в итоге решения результат; положительным является внимание, уделяемое в программах элементам приближенных вычислений, жизненности числовых данных при решении задач.

Объяснительные записки, в особенности для программ 1921 г., отличались принципиальностью, большой полнотой, конкретностью методических указаний (в то же время они избегали рецептуры и оставляли простор для творческой инициативы учителя).

Если бы развитие методических идей в области преподавания школьной математики продолжало идти в том же направлении, весьма возможно, что были бы найдены практически приемлемые нормы в отношении общего объема программ, и советская методика математики встала бы на путь быстрого и естественного развития. Но в последующий период времени восторжествовали другие идеи, которые нашли свое выражение в так называемых программах ГУСа, принятых коллегией Наркомпроса 5 марта 1923 г. Эти программы по существу вели к уничтожению отдельных предметов в школе и призывали строить работу в школе на совершенно иных началах.

1924-1931 гг.

Составленные Научно-педагогической секцией Государственного Ученого Совета новые программы, вошедшие в историю советской школы под именем „Программ ГУСа“, были введены в школах с 1924/1925 учебного года.

Наиболее полно и последовательно они проводились в начальных классах школы.

Методические идеи, положенные в основу новых программ, изложены во вводной записке к программам школ 1-й ступени, в методических записках к ним.

В основе программ (читаем мы во вводной записке) лежит изучение трудовой деятельности людей, на основе которой развивается общественная жизнь и сущность которой состоит в подчинении природы потребностям человека.

В первом отделении начальной школы изучается наиболее близкий для ребенка труд — труд в школе, труд домашних — в связи с изменениями в природе в различные времена года.

Во втором году кругозор ребенка расширяется: он изучает трудовую деятельность и уже более широкой окружающей его среды.

Третий год носит по преимуществу краеведческий характер. Четвертый год является по преимуществу мироведческим. Комплексные программы каждого года распадаются на ряд центральных тем.

Усвоение навыков речи, письма, чтения, счета и измерения должно быть теснейшим образом слито с изучением реальных явлений и не должно быть в школе арифметики и русского языка как отдельных предметов.

В этом смешении всех предметов и заключалась „комплексная“ система обучения.

Программы для начальной школы строились параллельно по трем графам, объединенным общей темой, например:

I год обучения Природа и человек.

Труд.

Общество.

3. охрана здоровья

Больной и здоровый человек. Детские болезни. Заразные болезни.

Измерение роста и веса детей (меры длины и веса; половинные и четвертные доли).

Охрана школы от заразных болезней. Соблюдение гигиены в семье ребенка.

Указания, относящиеся к тому, как сочетать изучение тем программы с изучением математики, изложены в методических записках следующим образом:

Математика не должна изучаться в школе как оторванный самодовлеющий предмет: она должна являться упражнением детей в счете и измерении изучаемых ими реальных вещей.

Подобный ход работы заставляет нас поэтому отказаться от строгой системы и постепенности развития математических представлений и навыков, как это было в старой школе и как это часто бывает теперь.

Подчиняя математику жизни, считая ее роль служебной, мы пользуемся ее языком, ее символами для того, чтобы эту жизнь понять, преобразовать.

Поэтому для нас на первый план выдвигается в математике не строгость ее доказательств, а их наглядность и простота.

В методической записке имеются особые указания и по отношению к задачам. Задачники общего типа для всех школ должны отмереть, вместо них должны появиться книжки типа практи-

ческих занятий по математике, приспособленные к нуждам новой школы и местным условиям. Предполагалось, что каждая школа сумеет создать для себя целый ряд ценных пособий этого рода.

Геометрический материал, по мысли авторов программ, должен вводиться очень рано, а именно — с первого года обучения, тесно переплетаясь с изучением арифметики.

На школу возлагалась также обязанность познакомить учащихся с ведением элементарного счетоводства: умением вести приходо-расходные записи, составлять несложные сметы и т. д.

К программе был приложен весьма краткий перечень знаний и навыков по отдельным годам обучения.

Основным, органическим пороком программ ГУСа для начальной школы является стремление нарушить самостоятельность в преподавании математики, придать ей служебное значение, эпизодически применяя ее при изучении тех или иных практических вопросов.

Следует отметить, что в методической записке заключались и некоторые положительные мысли, а именно: связь с жизнью — больше внимание геометрии, введение элементов приближенных вычислений, активизация учащихся. Но эти положительные черты тонули в тех недостатках, которые возникали вследствие того, что терялась самостоятельность математики как учебного предмета, самым недопустимым образом нарушались целостность и система в преподавании математики, не обращалось должного внимания на закрепление знаний и вычислительных навыков.

Пусть, например, для V класса (осенний триместр) вводятся „комплексные“ темы: 1) формы сельскохозяйственной промышленности; 2) развитие сельского хозяйства в России.

В программе по математике эти темы детализируются в четырех параллельных колонках:

1) целевая установка программы;

2) материал для математической проработки;

3) математические навыки;

4) методические указания.

Совершенно понятно, что уложить целиком математический материал в узкие рамки „комплексной“ темы было невозможно, а потому „пристегивание“ ряда математических сведений и формул носило чисто внешний, искусственный характер. Целые же разделы математики, никак не влезавшие в „комплекс“, были попросту отброшены.

Итак, математика, как самостоятельный предмет, исчезает; об этом прямо говорят и авторы программ в указаниях к программам.

Если кое-как, с трудом, еще можно было подчинить практическим задачам изучение арифметики и начальной геометрии в начальной школе, то значительно труднее это было сделать в средней школе.

И все же в программах для V—VII классов математика так же, как и в начальной школе, была подчинена изучению общих комплексных тем.

Школьная математика не имеет своих самодовлеющих целей. Место математики в школе определяется тем, насколько математика помогает осуществить общие задачи воспитания. Математика сама по себе не имеет образовательной ценности в школе, математика важна лишь постольку, поскольку она помогает разрешать практические задачи. Отсюда вытекает, что в программе по математике не должно быть места таким вещам, которые имеют исключительно теоретическую ценность. Нужно помнить, что школа не готовит математиков, школа имеет целью выпустить практически* подготовленных к жизни людей.

В отношении системы в изучении математики предлагается последовательность курса поставить в зависимость от содержания и основной идеи комплексных тем.

Приведенные выше программы и методические указания к ним, носящие характер крайне утилитарный, предлагающие вместо системы, определяемой самой внутренней логикой предмета, систему, связанную со случайно выбранными комплексными темами, являющиеся плодом некритического подражания зарубежной школе, главным образом американской (метод проектов, комплексность, Дальтон-план и др.), как и следовало ожидать, привели к снижению уровня математической подготовки учащихся. Учащиеся получали поверхностное, случайное знакомство со многими вопросами из математики, но по-настоящему прочно и сознательно знать ничего не могли.

Методические указания сводились к декларативным утверждениям, попытке

организационно поставить те или иные вопросы, к внешней стороне организации преподавания и почти не затрагивали имеющих существеннейшее значение собственно методических проблем: как достигнуть понимания, сознательного усвоения определенной системы математических знаний, как приблизить преподавание математики к современной научной трактовке того или иного вопроса.

Естественной связи с жизнью, к которой стремились авторы, не получилось. В самом деле, как можно было связать изучение - формул сокращенного умножения с темой „Обмен между городом и деревней“ или преобразования радикалов с темой: „Развитие мирового хозяйства“?

Ненормальность и неразумность создавшегося положения, которые не могли не вызвать соответствующей критики со стороны учительства и представителей высших учебных заведений, получающих контингенты из школы, привели к необходимости пересмотреть позиции и само содержание программ. Улучшение, некоторое исправление программ начали проводить на местах. Так, например, в 1927 г. выходят „Программы минимум для V, VI и VII года обучения“, созданные Московским отделом народного образования.

В этих программах хотя и отмечается, что программой по математике остается комплексная программа 1926 г., но она носит уже совершенно иной характер.

Аналогичная работа по составлению своих программ велась и в других местах, где учителя и работники отделов народного образования, опираясь на опыт школ и местные условия, создавали свои программы, ослабляя те существенные недостатки и излишние увлечения, которые нашли свое выражение в программах ГУСа.

Отметим, что в РСФСР наряду с семилеткой, как основным типом школы, продолжала частично существовать и девятилетняя школа, в составе трех концентров (4, 3 и 2 года). При этом последнему концентру придавался тот или иной практический „уклон“, то-есть вводились предметы, дающие некоторую подготовку по той или иной специальности. Обычно эти уклоны были: 1) педагогический, 2) кооперативный, 3) административно-советский.

Программы ГУСа мало затронули этот последний концентр. Конечно, были попытки ввести и в них „комплекс“, но они потерпели полную неудачу.

Школа крестьянской молодежи (ШКМ) и фабрично-заводская семилетка (ФЗС)

В связи с стремлением сблизить школьное преподавание с практической деятельностью оканчивающих возникла мысль о создании двух типов школ: для сельских местностей — школ крестьянской (впоследствии колхозной) молодежи и для промышленных центров — фабрично-заводской семилетки.

Первые проекты программ для этих школ были опубликованы в 1926—1927 гг.

Обе школы строились на базе первой ступени и имели 3 года обучения.

В соответствии с типом школы и содержание „комплексных“ тем концентрировалось около вопросов сельского хозяйства или фабрично-заводской промышленности.

Большое место и внимание уделялось практическим работам. Так, в ШКМ (бывшей „школой круглого года“) учебный план содержал следующие разделы:

Учебная работа....... ... 47,4%

Производственное обучение и практика . , 35,4%

Общественная работа..........11,7о/0

Физическая культура...........3,5о/0

Понятно, что математика здесь не имела самодовлеющего характера. Она лишь входила в программы как „математический материал“ в свяаи с общими „комплексными“ темами.

Появились специальные книги вроде: „Паровоз на уроках математики“, „Самолет на уроках математики“, „Производственные вопросы и задачи прикладной математики“ и др.

Вместо систематически построенных учебников по отдельным математическим предметам стали создаваться рабочие книги, в которых переплетались сведения из различных отделов элементарной математики.

Наряду с теми программами, которые издавались Наркомпросом, велась довольно энергичная программная работа на местах. Задача местных отделов народного образования и отдельных школ сводилась к конкретизации программ, и

приспособлению их к местным условиям, к собиранию и обработке местного материала.

Нами установлено более 60 местных программ, но, повидимому, их было больше.

Разнобой в программах, нарушение системы при изучении отдельных предметов, отсутствие объективного учета знаний, рабочие книги, заменившие систематически построенные учебники,— все это повело к снижению общей и математической грамотности. Техникумы и вузы стали получать контингента, недостаточно владеющие основами наук.

Следует сказать, что наиболее последовательно проводили комплексирование математики с другими учебными предметами и с вопросами практического порядка в школах первой ступени.

Школы второй ступени, а в особенности VIII и IX классы, все же стремились сохранить в математических предметах присущую им систему, тем более что в комплексных программах, как правило, давался известный программный минимум и некоторые методические указания, относящиеся к изложению отдельных вопросов программы.

В большинстве случаев преподаватель математики опирался на свой прежний опыт и стремился вопреки общим указаниям вести преподавание математики, избегая фузионизма, по отдельным предметам, в определенной последовательности, стремясь лишь отразить связь с практикой в подборе упражнений и задач.

Это до некоторой степени поддерживало уровень математических знаний учащихся и давало в известной мере возможность в техникумах и вузах, хотя и не без труда, справляться с задачами профессионального среднего и высшего образования.

Следует отметить, что еще в 1921 г. были организованы рабочие факультеты, которые имели 4-летний срок обучения, были прикреплены к высшим учебным заведениям, для которых они и готовили будущих студентов, помимо тех лиц, которые готовились средней школой. На рабфаки принимались лица, командированные профсоюзами производственных предприятий, имеющие знания в объеме первой ступени. На рабфаках учащиеся получали систематические знания из области элементарной математики, обеспечивающие успешное обучение в вузах различных специальностей. Рабфаки существовали до 1935 г.

1932-1947 гг.

На неудовлетворительное состояние учебной работы в школах обратил внимание ЦК ВКП(б), который 5 сентября 1931 г. вынес специальное постановление о начальной и средней школе. Это историческое постановление указывало на коренной недостаток школы, заключающийся в том, что обучение в школе не дает достаточного объема общеобразовательных знаний и неудовлетворительно разрешает задачу подготовки для техникумов и высшей школы вполне грамотных людей, хорошо владеющих основами наук (физика, химия, математика, родной язык, география и др.).

В постановлении ЦК ВКП(б) было предложено перейти на новые программы с 1 января 1932 г., причем в программах следовало обеспечить „точно очерченный круг систематизированных знаний“.

Наркомпрос немедленно организовал работу по составлению новых программ, которые были составлены к декабрю 1931 г. и в январе 1932 г. были подписаны к печати.

Первые программы по математике для начальной школы, составленные на основе постановления ЦК ВКП(б), представляли собой весьма солидный труд, содержащий в себе вводную записку, детальную программу по годам обучения, разбитую на четверти учебного года, и обширную методическую записку, составленную также по годам обучения.

В вводной записке были изложены принципы построения программ. Принципы эти выражены следующим образом:

—... Ни в одной учебной дисциплине система не играет такой большой роли, как в арифметике и геометрии. Здесь каждая новая ступень может быть понята и усвоена только в том случае, если хорошо проработана и хорошо усвоена предшествующая ступень. Здесь каждый новый навык вырастает из“ предшествующих навыков. Поэтому в математике каждый, даже малейший, пробел в основах затрудняет всю дальнейшую работу. Между тем, до сих пор в практике школьной работы мы имели частые случаи нарушения системы: в связи с проектным методом занятия по математике часто носили случайный характер, нередко нарушались самые элементарные требования методики, основные сведения недостаточно твердо н сознательно усваивались учащимися.

С этими недочетами школа должна повести решительную борьбу: знания и навыки по математике, сообщаемые учащимся, должны располагаться в определенной системе и строгой последовательности; основные сведения по математике должны прорабатываться особенно тщательно; переход от одной ступени к другой может совершаться лишь тогда, когда хорошо усвоена предшествующая ступень.

В вводной записке более четко указаны задачи начальной школы в части уровня знаний и навыков учащихся.

За 4 года обучения школа должна дать учащимся: а) твердые знания и навыки в производстве четырех арифметических действий с целыми числами любой величины, как отвлеченными, так именованными; б) умение правильно и сознательно производить четыре арифметических действия с десятичными дробями (до тысячных долей); в) знание метрической системы мер и умение пользоваться этими мерами; г) первоначальные сведения из геометрии, связанные с развитием у ребят представлений о геометрических формах и с простейшими работами по съемке и измерению; одновременно ребята получают первоначальную топографическую грамотность; д) первоначальные сведения о дробях: навыки сложения и вычитания, а также простейшие случаи умножения и деления обыкновенных дробей; е) элементарные навыки по черчению в связи с измерениями и занятиями по труду и технике; ж) умение применять счетные и измерительные навыки к решению жизненно-практических задач.

Так же четко очерченный круг знаний определяют и программы для V—VII классов.

В объяснительной записке выдвигается принцип систематического построения курса математики, который должен обеспечить оканчивающим семилетнюю школу:

знание теории и приобретение навыков по определенным разделам математики; развитие математического мышления: ориентировки в пространстве и количественных отношениях; овладение методом математики с тем, чтобы обеспечить оканчивающим ФЗС возможность дальнейшего изучения математики и применение математических методов в других областях знания и в проблемах практики.

Каждый учебный предмет в программе дается отдельно, при этом указывается и примерное количество уроков для отдельных тем программы.

В методических указаниях к программе каждого предмета даны конкретные методические указания почти по всем вопросам программы.

Программы 1932 г. получили в основном положительную оценку ЦК ВКП(б). Однако в них имелся еще ряд недостатков, на которые было указано в новом постановлении ЦК ВКП(б) от 25 августа 1932 г. „Об учебных программах и режиме в начальной и средней школе“.

В главе I „Об учебных программах“ было указано на следующее:

Констатируя, что после решения Центрального Комитета от 5 сентября 1931 г. учебные программы НКПроса РСФСР для начальной и средней школы, в особенности программы 1-й ступени, значительно улучшились, стали выше по объему знаний и систематичнее по расположению учебного материала по сравнению с программами предшествующих лет. ЦК считает, что они все еще страдают существенными недостатками и должны быть в части программ 5-го, б-го и 7-го годов обучения переработаны.

Основными недостатками программ являются:

а) перегрузка программ учебным материалом, приводящая к тому, что ряд дисциплин проходится в школе наспех, а знания и навыки детьми твердо не усваиваются и не закрепляются (по математике отдел стереометрии в 7-й группе, по литературе — включение в учебные программы произведений, недоступных учащимся, и т. д.);

б) недостаточность и даже отсутствие увязки между отдельными программами, в особенности между программой по математике и черчению, а также между программами по математике, физике, химии и программой по труду и т. д. (геометрические знания, требуемые программой по черчению 5-го года, даются лишь в 6-м году, изучение физики в 5-м, б-м и 7-м годах обучения не обеспечено объемом математических знаний и т. д.); в) наличие принципиальных ошибок в ряде программ; г) недостаточность исторического подхода к программам по общественным предметам.

—... В соответствии с этим ЦК предлагает: 1. НКПросу РСФСР переработать к 1 января 1933 г. программы для начальной и средней школы таким образом, чтобы обеспечить действительное, прочное и систематическое усвоение детьми основ наук, знание фактов и навыки правильной речи, письма, математических упражнений и пр.

2. При переработке программ руководствоваться следующим:

а) провести внутреннее перераспределение учебного материала программ по математике, физике, химии и биологии для групп II концентра, приведя объем и характер учебного материала этих программ в полное соответствие с возрастными особенностями детей каждой из этих групп. Одновременно с этим необходимо произвести и частичное сокращение программ II концентра по математике, физике, химии и биологии с тем, чтобы безусловно обеспечить твердое и прочное усвоение и закрепление основ каждой науки;

б) устранить существующие факты недостаточной увязки между учебными программами II концентра по математике, физике и химии...

д) предусмотреть увеличение количества часов на математику, построив курс математики в начальной и средней школе таким образом, чтобы обеспечить переход к следующим ступеням профтехнического образования.

Решающее влияние на улучшение постановки преподавания математики в школе оказали указания ЦК ВКП(б) об установлении твердого расписания занятий, об уроке как основной форме организации учебной работы, о систематическом приучении учащихся к самостоятельной работе, о текущем индивидуальном, систематически проводимом учете знаний учащихся, о внимательном изучении каждого учащегося, о необходимости установления в конце года проверочных испытаний, о разработке методик по отдельным дисциплинам, об издании учебных наглядных пособий, о правильном использовании на работе опытных учителей, о заочном обучении учителей, о поощрении и премировании учителей за лучшие образцы работы.

В том же постановлении ЦК ВКП(б) был поставлен вопрос о десятилетней школе, а именно, в главе IV постановления „О старших группах средней школы“ было сказано:

— ... в целях скорейшего поднятия уровня общеобразовательной и политехнической подготовки учащихся средней школы, расширения подготовленных контингентов для высшей школы и устранения возрастного несоответствия между средней и высшей школой, приступить, начиная с 1932/33 уч. года к реорганизации семилетней политехнической школы в десятилетнюю.

Исходя из этого, предложить СНК СССР в месячный срок утвердить конкретный план и размеры организации в предстоящем учебном- году над семилеткой 8-х групп, как первый шаг к десятилетней школе.

В связи с указаниями ЦК ВКП(б) Наркомпросом были составлены новые программы.

В основу программ по математике были положены программы 1932 г. Изменения были внесены главным образом по линии сокращения материала и перенесения некоторых разделов в старшие классы.

В 1934 г. 16 мая постановлением ЦК ВКП(б) и Совнаркома РСФСР была установлена единая система школьного образования. В основу этой системы положены три типа общеобразовательной школы:

1. Начальная школа (4 года).

2. Неполная средняя школа (7 лет).

3. Средняя школа (10 лет).

Эту структуру общеобразовательная школа и имеет в настоящее время.

В том же году Наркомпросом были еще раз пересмотрены программы с целью точно определить круг знаний для каждого типа школы и обеспечить естественный переход от одного типа школы в другой.

Итогом этой работы в области математики явилась программа, по которой школы работают и в настоящее время.

Не вдаваясь в детальный анализ этой программы, хорошо знакомой каждому преподавателю, отметим ее характерные особенности:

1. Программа восстанавливает математику как самостоятельную дисциплину, имеющую большое образовательное и практическое значение.

2. Каждая из математических дисциплин является самостоятельным систематическим курсом, построенным в строго логической последовательности (понятным исключением является пропедевтический курс арифметики в начальной школе, построенный концентрически). Это, конечно, нисколько не исключает требования возможно тесной увязки друг с другом как отдельных математических дисциплин, так и математики в целом с другими школьными предметами.

3. Стремление приблизить школьную математику к современному уровню математической науки находит свое отражение в идее функциональной зависимости, которая проходит через всю программу математики, особенно алгебры. Но в последнее время со стороны математической общественности все более настойчиво выдвигается мнение, что этого уже недостаточно, что наступил момент, когда идеи современной математики должны получить более широкое отражение в школьном курсе путем введения в него элементов анализа и аналитической геометрии.

4. Связь теории с практикой — одно из основных требований, предъявляемых к преподаванию математики. Ученик должен уже в школе научиться прилагать полученные им знания к разрешению практических вопросов как из области других наук, так и непосредственно в его практической работе.

Нами были рассмотрены руководящие материалы — постановления партии и правительства, программы и объяснительные записки к ним, опираясь на которые советская школа работала в период времени с 1917 до 1947 г.

Наряду с руководящими материалами, которые получала школа, неустанно работала и работает методическая мысль, обобщает опыт передовых учителей и стремится наметить конкретные пути для реализации решений партии и правительства о школе.

За время с 1917 по 1947 г. вышло более 2000 различных методических работ: журналов, монографий, отдельных статей, причем большинство из них выходило огромными тиражами в 50,100 и более тысяч. Учебники, как правило, выходят миллионными тиражами.

Для сравнения интересно отметить, что за все время — с начала книгопечатания до 1908 г. (почти триста лет) — вышло всего 1678 названий, относящихся к преподаванию математики в России, причем они выходили крайне малыми тиражами. (Агапов Д. В., Алфавитный каталог русских книг по математике, вышедших в России с самого начала книгопечатания до последнего времени. В V отделах: I. Арифметика. II. Алгебра. III. Геометрия. IV. Тригонометрия. V. Математика элементарная и высшая. Оренбург, 1908 г.)

Для подготовки учителей математики, кроме университетов, существуют педагогические институты и учительские институты. Кроме того, для повышения научно-методической квалификации учителей и оказания им методической помощи в каждом областном центре организованы институты усовершенствования учителей.

Таким образом, со времени исторического постановления ЦК ВКП(б) от 5 сентября 1931 г. проведена огромная программная и организационно-методическая работа.

Математическое образование стало достоянием миллионов детей и юношей всех национальностей, населяющих нашу великую страну.

Последние годы характеризуются особым вниманием правительства Советской страны к улучшению качества преподавания в школе. На Всероссийских совещаниях по народному образованию в 1944, 1945, 1946 гг. в центре внимания стоял вопрос о качестве знаний учащихся. Основным недостатком в подготовке учащихся, по заключению совещаний, является все еще имеющий место формализм в знаниях учащихся. Народный комиссар просвещения В. П. Потемкин на совещании в августе 1945 г. так характеризовал проявление формализма в знаниях учащихся („Учительская газета“ № 34 от 13 августа 1945 г. Доклад народного комиссара просвещения РСФСР В. П. Потемкина „Об улучшении качества обучения и воспитания в школе“):

Механическое усвоение учебного материала, содержание которого не раскрыто и не продумано; заучивание учениками словесных формул, лишенных для них конкретного смысла; отсутствие связи между приобретенными знаниями и жизнью практической — вот основные признаки того, что мы называем формализмом в обучении.

Преодоление этого недостатка в кратчайшие сроки является основной задачей нашей школы.

Наряду с этой задачей во весь рост встает вопрос о перестройке работы школы в связи с тем, что с 1945/1946 учебного года в нашей школе снижается возраст учащихся на один год. Если ранее принимали в I класс детей восьмилетнего возраста, то теперь в школу поступают дети семилетнего возраста.

Стоит на очереди вопрос об одиннадцатилетнем обучении.

Наконец, само развитие математической науки, задачи высшего образования, необходимость широкого распространения математических знаний в широчайших массах населения ставят вопрос о пересмотре содержания школьной математики.

Если, несмотря на колоссальные затруднения, которые стояли перед страной после Великой Октябрьской социалистической революции, удалось десятки миллионов детей приобщить к основам математической культуры, если дальнейший рост этих мероприятий не ослабел даже в тягчайшие годы Великой Отечественной войны, то теперь, после величайшей победы над фашизмом, в годы сталинских пятилеток по восстановлению и развитию народного хозяйства, имеются все возможности для того, чтобы не только продолжать дальнейшее продвижение математических знаний в широчайшие массы трудящихся нашей страны, но и направить работу вглубь, дабы содержание школьного математического образования возможно больше и быстрее приблизить к задачам социалистического строительства нашей страны и развития самой математической науки.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЕ В РОССИИ XVII—XIX вв.

Проф. А. П. ЮШКЕВИЧ (Москва)

Продолжение

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В РОССИИ В XVIII ВЕКЕ

1. Петербургская Академия наук и развитие математики в XVIII веке

Открытие в 1725 г. Академии наук в Петербурге не только послужило поворотным пунктом в развитии русской математической культуры, но и сыграло огромную роль в прогрессе международной математики. Математики заняли в академии выдающееся место. Значительно было одно их число: из двадцати трех профессоров и адъюнктов, приглашенных в 1725—1727 гг., семеро, т. е. почти треть, было математиков и механиков. В результате тщательного и в целом удачного выбора среди них оказались известный ученый Яков Герман (1678—1733), разносторонний эрудит Христиан Гольдбах (1690—1764), способный тригонометр Фр. Мейер (умер в 1729), а главное три молодых швейцарца, сыновья Ивана Бернулли—Николай (1695—1726) и Даниил и Леонард Эйлер. Деятельность двух последних имела, как известно, особенно важное значение в истории человеческой мысли. Позднее состав академии пополнился занимающими почетное место в истории науки и просвещения академиками С. К. Котельниковым, С. Я. Румовским, Н. И. Фуссом, А. И. Лекселем, Ф. И. Шубертом и С. Е. Гурьевым.

Первое же заседание ученой Конференции Академии наук как бы предвещало блестящее развитие в ней математических наук. В этом собрании, состоявшемся 13 ноября 1725 г. (ст. ст.), professor primarius et Matheseos subli mioris Герман сделал доклад об аналитическом выводе сфероидальной формы Земли, которую Ньютон обосновывал синтетическим методом. Сообщениями о математических докладах пестрят и последующие протоколы академической Конференции. И с характерным для последней четверти XVIII в. обострением внимания к проблемам обоснования математики, эти протоколы в их математической части завершены были отчетом о длительной дискуссии в 1797 г. между академиками Гурьевым и Фуссом о принципах исчисления бесконечно-малых.

Уже сухие статистические данные свидетельствуют о размахе математических исследований в Петербургской академии наук в XVIII в. Начиная с 1728 г., когда вышел 1-й том Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae за 1726 г., по 1806 г., в котором издан был последний XV том академических Nova acta, в изданиях академии опубликовано было более 700 научных мемуаров и книг по математике и механике1. Среди них имелось около 400 работ Эйлера, около 40 мемуаров Д. Бернулли, по 2—3 десятка работ Лекселя, Гурьева, Фусса, Шуберта, ряд исследований Ив. Бернулли, Я. Германа, Г. В. Крафта, С. Румовского, С. Котельникова, С. Люилье, М. Кондорсе, И. Ф. Пфаффа и других.

1 В 1728—1751 гг. вышло 14 томов Commentarii; за ними последовало 20 томов Novi Commentarii (1750—1776); 12 томов Acta (1778—1786) и 15 томов Nova Acta (1788-1806).

Но дело было не только и не столько в многочисленности этих сочинений, сколько в их исключительно богатом содержании. Пожалуй, не имелось почти ни одного раздела математики (и механики), по которому в изданиях Петербургской академии не были бы сообщены оригинальные и важные результаты. Это в равной мере относится к теории чисел и теории вероятностей, к элементарной тригонометрии и к теории тригонометрических рядов, к приближенным вычислениям и к сферической геометрии, а особенно к различным областям математического анализа: интегральному исчислению, интегрированию диференциальных уравнений, вариационному исчислению и т. п. В Петербурге же вышли в свет классическая „Mechanica sive motus scientia analytice exposita“ Эйлера (2 тома, 1736), его „Универсальная арифметика“ (1768— 1769) и фундаментальный курс математического анализа „Institutiones calculi differentialis“ (1755) и „Institutiones calculi integralis“ (4 тома, 1768-1794), общим объемом свыше 2 700 страниц In-quarto. Значительное содействие развитию математики оказывала наша академия и своими конкурсными темами, среди которых, быть может, особенно любопытен объявленный в 1787 г. конкурс на решение вопроса о природе произвольных функций, входящих в интегралы диференциальных уравнений с частными производными. Премия по этому вопросу, явившемуся ранее темой долгой и важной дискуссии между Д'Аламбером, Эйлером и другими виднейшими математиками, присуждена была Л. Арбогасту, мемуар которого вышел в Петербурге на французском языке в 1791 г.1.

Публикации Петербургской академии наук оказали поистине колоссальное влияние на развитие математических наук в XVIII в., и ученые того времени с нетерпением ожидали выхода очередного тома ее мемуаров.

С первых же лет основания академии русская столица превратилась в один из важнейших центров математической мысли XVIII столетия, с которым долгое время мог конкурировать лишь Париж, где работали Клеро, Д'Аламбер, а затем Лаплас и Лагранж. Этим своим положением наша Академия наук обязана была более всего научному творчеству Л. Эйлера, который наряду с М. В. Ломоносовым принадлежит к наиболее крупным деятелям русской науки и русского просвещения рассматриваемой эпохи.

2. Леонард Эйлер

К началу XVIII в., благодаря трудам целой плеяды ученых, а более всего Ньютона, Лейбница и братьев Якова и Ивана Бернулли, созданы были диференциальное и интегральное исчисления, установлены некоторые важнейшие его понятия и операции. К исследованию функций привлечены были, правда, в еще недостаточно систематической форме, бесконечные степенные ряды. Приемы созданной Декартом и Ферма аналитической геометрии распространены были на кривые третьего порядка. Но перед математиками XVIII в. стоял непочатый край работы. В недрах еще не расчлененного исчисления бесконечно-малых уже созревали ростки целых новых дисциплин: теории диференциальных уравнений, теории рядов, вариационного исчисления, диференциальной геометрии. Диференциальное и интегральное исчисления нуждались в усилении их методов, в их распространении с ограниченных классов простейших функций на более широкие и сложные. Необходимо, далее, было приведение в стройную систему многообразных открытий, следовавших друг за другом с большой быстротой; необходимо было создание руководств, четкая формулировка основных определений и теорем, — материал, изложенный в первом учебнике диференциального исчисления Лопиталя (1697), уже вскоре оказался недостаточным.

Самый анализ предстояло изложить в соответствии с наметившимися тенденциями развития, на числовой основе, как анализ общих функциональных зависимостей, в противовес еще сильно геометризованной манере построения у первых его творцов и их ближайших последователей. А в смежных дисциплинах возникали все новые и новые проблемы. Важные задачи вставали в области не-

1 См. И. Тимченко. Исторические сведения о развитии понятий и методов, лежащих в основании теории аналитических функций. Зап. Мат. Отд. Новоросс. университета, т. XVI, 479 стр. и след.).

бесной механики (кометные орбиты, теория движения Луны), общей механики, которая даже не была еще изложена в аналитической форме, гидродинамики1, так называемой ныне математической физики (колебание струны, пластинок и т. д.).

Разработка бегло перечисленных здесь проблем выпала на долю второго и последующих поколений преемников Лейбница и Ньютона: Б. Тэйлора, К. Маклорена, Л. Эйлера, Д. Бернулли, А. Клеро, Ж. Даламбера, Ж. Лагранжа, П.Лапласа и многих других. С 1730 г. в течение полувека, до самой кончины, первое место среди них принадлежало, бесспорно, Эйлеру, про которого Лаплас как-то сказал: „читайте, читайте Эйлера, он наш общий учитель“.

Леонард Эйлер родился 4(15) апреля 1707 г. в Базеле в семье сельского пастора Павла Эйлера, бывшего учеником Якова Бернулли. Университетским учителем молодого Эйлера был Иван Бернулли, с сыновьями которого Даниилом и Николаем он завязал тесную дружбу. Блестяще закончив университет, Эйлер принял участие в конкурсе на кафедру физики в Базельском университете. Здесь постигла его неудача: вакантные должности замещались тогда в Базеле путем жеребьевки. Жребий выпал другому, и 19-летний Эйлер оказался в Швейцарии не у дел. К счастию для него и для всего человечества, он был, по рекомендации братьев Бернулли, приглашен в Петербург, куда и приехал в 1727 г. С Петербургской академией наук и оказалась связанной дальнейшая личная судьба Эйлера и его научная и общественная деятельность. В Петербурге он женился на дочери живописца Академии наук, в Петербурге приобрел учеников, на старости лет помогавших ему в работе; там он устроил на службу своих троих сыновей, из которых старший впоследствии занял кафедру физики в Академии наук; там же, наконец, он неожиданно скончался 18 сентября 1783 г. в преклонном возрасте, но еще в полном цвете творческих сил. На Смоленском кладбище Ленинграда и сейчас можно посетить могилу Эйлера.

С Академией наук, с русской научной культурой Эйлера соединили крепкие связи. Я уже рассказывал о той роли, которую сыграл Эйлер в успехах русского математического просвещения, в подготовке русских математиков и создании учебной литературы. Огромное воспитательное значение для нашей интеллигенции имели и замечательные „Письма к принцессе“ Эйлера, посвященные изложению физики и переведенные с французского (3 тома, СПБ, 1768— 1772) на русский С. Я. Румовским. Но участие Эйлера в общественной жизни России не ограничивалось ни просветительной деятельностью, ни математическими исследованиями. Он вообще жил одной жизнью с Академией наук и, подобно другим академикам, выполнял многообразные ее поручения. Так, он работал в комиссии о мерах и весах, участвовал в испытании предложенного знаменитым изобретателем Кулибиным проекта одноарочного моста через Неву, несколько лет активно работал над составлением географических карт России, ряд лет состоял вместе со своим старшим сыном и академиками С. Котельниковым, С. Румовским и химиком

Леонард Эйлер

1 Недостаток места не позволяет мне остановиться подробнее на деятельности Д. Бернулли (1700—1782), состоявшего членом нашей Академии в 1725—1733 гг. и опубликовавшего в ее трудах свои замечательные работы по гидродинамике, теории диференциальных уравнений, тригонометрических рядов, теории вероятностей и т. д.

И. Леманом в комиссии, управлявшей академией, и т. д. Связи Эйлера с Академией наук ни в малой мере не ослабели и в период длительного его отъезда за границу (1741 —1766), вызванного главным образом беспокойством и неустойчивостью положения в кратковременное регентство Анны Леопольдовны. Живя за границей, Эйлер, перешедший на положение почетного члена Академии наук, помогает ей в подыскании ученых на вакантные должности, руководит подготовкой ряда молодых математиков и публикует в изданиях Академии около 105 трудов (почти столько же, сколько в трудах Берлинской Академии наук) и среди них „Scientia navalis“ (1749), важнейший труд по теории корабля, позднее вышедший в русском сокращенном переводе М. Е. Головина („Морская наука“, СПБ, 17781), а также названные уже „Основания диференциального исчисления“.

Среди математиков всех времен Эйлер отличался особенной работоспособностью, а также совершенно необыкновенной и притом высококачественной продуктивностью. При жизни его только в изданиях Петербургской Академии наук опубликовано было 464 работы — от небольших мемуаров до огромных книг. После кончины Эйлера его статьи печатались в органах Академии наук до 1862 г., и за это время опубликовано было еще 199 трудов. Издаваемое уже несколько десятилетий полное собрание сочинений Эйлера должно будет составить около 60—70 толстых томов in-quarto. Но не менее поразительной, чем количественная продуктивность, была широта научных интересов Эйлера и принципиальное значение его открытий.

Развитие математики в конечном счете через более или менее сложную цепь посредствующих звеньев определяется задачами, возникающими в фундаменте общества, в сфере производительных сил. На этой основе возникают и внутренние закономерности развития науки в целом и отдельных наук, на этой основе поддерживается интерес и внимание к проблемам, не получающим сразу непосредственного приложения в практических задачах, но связанным с ними лишь косвенным образом. В творчестве Эйлера мы встречаемся с разработкой проблем и ярко выраженного прикладного характера и чисто теоретических вопросов.

Проблемы транспорта и военного дела, например, породили „Морскую науку“ Эйлера. С ними же связаны были частично его работы по уточнению теории движения Луны, которые легли в основу таблиц, позволявших мореплавателям определять долготу по видимому положению Луны2. С нуждами военной практики, далее, связан был сделанный Эйлером немецкий перевод (снабженный им ценными примечаниями) „Новых принципов артиллерии“ математика и физика Б. Робинса, значительно продвинувшего вперед баллистику. К очередным задачам оптотехники примыкали обширные исследования Эйлера по оптике, получившие завершение в трех томах его „Dioptrica“ (СПБ, 1769—1771) и еще ранее приведшие Эйлера к заключению о возможности конструкции ахроматических систем, действительно сконструированных Доллондом3. Ряд задач страхового дела был решен в важных мемуарах Эйлера о пожизненных рентах, о страховании на случай смерти и т. п4. Многие из этих и других исследований не только нуждались в остроумном применении уже наличного математического аппарата, но и содействовали его развитию. Например, исследования по теории движения Луны привели Эйлера к открытию приближенного метода интегрирования диференциальных уравнений первого порядка, распространенного им и на уравнения второго порядка. Несомненно, что географические труды Эйлера обратили его внимание на проблемы картографии, которой он посвятил важную работу, где рассмотрел некоторые отображения с сохранением площадей или с сохранением углов и впервые применил в этой связи комплексные величины (в одной примыкавшей к ней статье Ф. И. Шуберта для отображения с консерватизмом углов было употреб-

1 Еще находясь в Швейцарии, юный Эйлер представил на конкурс Парижской академии сочинение о расположении мачт на корабле.

2 См. А. Н. Крылов, Леонард Эйлер (В сборнике того же названия). М.—Л., 1935, стр. 22—28.

3 См. С. И. Вавилов, Физическая оптика Л. Эйлера (в названном сборнике).

4 См. В. В. Паевский, Демографические работы Л. Эйлера (в названном сборнике).

лено выражение „конформное проектирование“).

С другой стороны, Эйлеру принадлежат важнейшие результаты по теории чисел, которые легли в основу последующих работ Лагранжа, Лежандра, Гаусса, а также замечательных теоретико-числовых исследований П. Л. Чебышева и его школы. Проблемы теории чисел увлекали Эйлера на протяжении всей его научной жизни. Он занимался вопросами неопределенного анализа, дал первое доказательство теоремы Ферма о сравнении am=l (mod-p) и обобщил эту теорему, ввел понятие о степенных вычетах и опубликовал — без вывода — закон взаимности квадратичных вычетов, полное доказательство которого нашел Гаусс. Он далее нашел ряд признаков простых чисел, опубликовал ряд теорем аддитивной теории чисел относительно числа способов, которыми можно представить данное число в виде суммы некоторых других. Эйлер же открыл формулу:

левая часть которой распространена на все простые числа, а правая — на все натуральные; как известно, ряд, стоящий в правой части и называемый ныне „дзета-функцией“, играет важнейшую роль в аналитической теории чисел.

Но главная заслуга Эйлера состояла в мощном развитии исчисления бесконечно-малых и его ответвлений. Здесь им было получено не поддающееся перечислению множество новых результатов, большую часть которых он вместе с открытиями своих предшественников и современников изложил в классического „Introductio in analysis infinitorum“ (1748)1, курсах диференциального и интегрального исчислений и в трактате по вариационному исчислению (1744)2. Эйлер все же был по преимуществу аналист, и притом аналист с ярко выраженным интересом к приложениям в области механики и физики3.

Задачу составления полного трактата по исчислению бесконечно-малых Эйлер поставил перед собой еще до 1744 г. При этом он убедился в необходимости предпослать ему введение в анализ, ибо „хотя анализ бесконечно-малых не требует совершенного знания элементарной алгебры и всех сюда относящихся искусств, однако, есть много вопросов, разрешение которых важно для подготовки изучающих к более высокой науке и которые, однако, в элементарной алгебре либо пропускаются, либо рассматриваются недостаточно обстоятельно“. В первом томе „Введения в анализ“ Эйлер сразу кладет в основу анализа понятие о функции, как „аналитическом выражении, составленном каким-либо образом из переменного количества и чисел или постоянных количеств“4. Вслед за этим он приводит классификацию функций на трансцендентные и алгебраические, различая среди последних иррациональные и рациональные, а рациональные подразделяет далее еще на целые и дробные. Тут же он формулирует различение между функциями однозначными и многозначными, явными и неявными, четными и нечетными. Все дальнейшее изложение посвящено чисто аналитическому изучению (в I томе нет ни одного чертежа!) различных типов функций.

Для рациональных функций здесь приводятся формулы разложения на простейшие слагаемые, для квадратичных иррациональностей : разъясняется способ их рационализации („эйлеровы подстановки“). В учении о трансцендентных функциях Эйлер сделал ряд фундаментальных нововведений. Он впервые определил тригонометрические величины не как отрезки, но как числа, т. е. ввел тригонометрические функции как таковые, и почти по-современному изложил

1 „Введение в анализ бесконечно-малых“, т. I, пер. Е. Пацановского, под ред. С. Лурье. М.—Л., 1936. Чтение этого труда представляет выдающийся интерес и в наше время.

2 „Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума“ пер. Н. С Кошлякова, М.— Л., 1934.

3 Я не могу входить здесь в рассмотрение „Механики“ Эйлера и замечу только, что в ней впервые дано было столь необходимое аналитическое изложение предмета. Подробнее см. Л. Эйлер, Основы динамики точки, пер. В. С. Гохмана и С. П. Кондратьева, под. ред. В. П. Егоршина. М.—Л., 1938.

4 Впоследствии мы встречаем у Эйлера и более широкую трактовку понятия функции. См. И. Тимченко, цит. соч., стр. 479 и след.

понятие о функциях показательных и логарифмических. А затем он распространил понятие о тригонометрических и показательных функциях на область мнимых значений аргумента и получил^ исходя из так называемой формулы Моавра, всем известную важнейшую формулу exi= cos x-\-i sin x1

Далее Эйлер с помощью теоремы о биноме вывел разложения в бесконечные ряды элементарных трансцендентностей, впервые получил ряд важных разложений функций в бесконечные произведения, нашел некоторые новые свойства непрерывных дробей, которые, между прочим, применил к решению уравнений2.

О главном содержании трактатов по диференциальному и интегральному исчислениям читатель может составить себе примерное представление, если просмотрит оглавление обычного курса анализа нашего времени. Я отмечу лишь некоторые личные открытия Эйлера. Ему принадлежит ряд методов вычисления неопределенных интегралов, введение понятия о двойном интеграле, важные исследования по эллиптическим интегралам и их еще не совершенная классификация, введение так называемых ныне B-функций и Г-функций, вычисление многих несобственных определенных интегралов, например /sin* , —rr ах, применение мнимых величин в интегрировании, метод решения обыкновенного линейного диференциального уравнения п-го порядка с постоянными коэфициентами, учение об интегрирующем множителе, решение ряда уравнений с частными производными, возникающих в задачах о колеблющейся пластинке, и т. п., исследования специальных функций, позднее названных бесселевыми, так называемая формула суммирования Эйлера, приближенные методы интегрирования и т. д. Вариационное исчисление Эйлер превратил в самостоятельную математическую дисциплину. В частности, он нашел условие экстремума интеграла fF(x, y,y')dx в виде а также метод решения вариационных задач, много позднее разработанный в новой форме под названием прямого.

Повторяю, перелистывая труды Эйлера, читатель найдет в них огромное число знакомых формул и теорем, многие из которых являлись личным достоянием автора. Вместе с тем нынешний читатель не встретит в замечательных руководствах Эйлера той строгости в обосновании основных понятий и теорем, которая со времени Коши и Гаусса со все возрастающей силой начала пронизывать и математические исследования и учебники. В трудах Эйлера почти не встречается ни формулировок понятий непрерывности, предела, сходимости ряда и т. п., ни установления границ применимости тех или иных предложений, ни доказательства различных теорем о существовании и т. п. Более того, мы находим в них свободное оперирование расходящимися рядами3, а в части философского уяснения оснований анализа,— недостаточно строгие, нередко метафизические рассуждения о бесконечности, о диференциалах как чистых нулях, не равных, однако, в известном смысле между собою и потому обладающих различными геометрическими отношениями. Эти воззрения Эйлера, как мы увидим, подвергались критике еще в XVIII в., но перестройка анализа на новой, более строгой основе явилась уже делом ученых XIX в.

Я не буду касаться других открытий великого математика — по диференциальной геометрии, сферической тригонометрии, алгебре, аналитической геомет-

1 Эйлер полагал, что дал строгий вывод этой формулы. Там, где Эйлер усматривал наличие доказательства, мы теперь вводим новое определение показательной функции, обобщенное на случай комплексного аргумента. Следует указать еще, что в других работах Эйлер первый правильно распространил на отрицательные и мнимые числа понятие логарифма, разрешив тем самым ряд парадоксов, смущавших математиков XVIII в.

2 Разложение в непрерывную дробь числа е, данное Эйлером, и вытекающее из его формул соотношение е2к1=\ легли в основу первого доказательства иррациональности чисел е и те, а также позднейшего доказательства их трансцендентности. (См. сборник „О квадратуре круга“, пер. под ред. С. Н. Бернштейна, М.—Л., 1934).

3 Впрочем, следует заметить, что позднее математики успешно обобщили понятие суммирования и на случай расходящихся рядов.

рии поверхностей второго порядка и т. д.,—но и из этого беглого очерка ясно, какое огромное влияние оказал великий новатор и систематизатор математики на своих современников. От его трудов отправлялись в различных вопросах Лаплас, Лагранж, Фурье, Гаусс, Дирихле, Коши; они не утратили своего стимулирующего значения и поныне.

Переезд Эйлера из маленького Базеля в Петербург имел решающее значение для его судьбы. Эйлер дал России, ставшей его второй родиной, многое, но не менее получил от нее. Неизвестно, как сложилась бы судьба гениального ученого, если бы он не нашел тех условий для работы и для издания его сочинений, какие смогла ему предоставить Россия. Сам Эйлер преисполнен был глубокой благодарности в отношении Петербургской академии наук. В бытность в Берлине он это высказал в следующих знаменательных словах. Для молодого ученого, указывал он, самое важное, чтобы его специальность была главным предметом его занятий. „Такому вожделенному случаю не только доктор Гмелин обязан всем, что сделало известным его имя, но и я и все прочие, имевшие счастие состоять некоторое время при Русской императорской Академии. Мы, должен сознаться, сколько обязаны благоприятным обстоятельствам, в которых только что находились. Что собственно до меня касается, то в случае неимения такого превосходного случая, я бы вынужден был главнейшие прилежать к другим наукам, от которых, но всем признакам, я бы отупел только. Его королевское величество (Фридрих прусский.—Л. Ю.) недавно меня спрашивал, где я изучал то, что знаю? Я согласно истине ответил, что всем обязан своему пребыванию в Петербургской академии наук“1.

3. Научная деятельность русских математиков во II половине XVIII в.

Переходя к обзору научной деятельности учеников и младших товарищей Эйлера по Академии наук, мы должны прежде всего подчеркнуть те условия, в которых протекала их деятельность.

Даже в тяжкой обстановке крепостнического режима, господствовавшего в России XVIII в., наиболее передовые деятели русской науки и техники создавали выдающиеся труды и сделали ряд ценных вкладов в сокровищницу мировой науки и культуры — достаточно напомнить славное имя М. В. Ломоносова. Чрезвычайно большую работу провели они в области распространения и углубления русского просвещения.

И вместе с тем общее положение науки в царской России того времени было чрезвычайно тяжелым. Одним из важнейших гнетущих обстоятельств, тормозивших прогресс русской науки, было равнодушие, а нередко и пренебрежительное отношение к научному творчеству со стороны кругов бюрократии и паразитического класса помещиков. Не забудем при этом, что в ту эпоху проникло немалое количество иностранцев, особенно немцев, с открытым высокомерием относившихся ко всему русскому и ко всем русским. Даже в недрах самой Академии наук поставленные у кормила правления чиновники вроде Шумахера и ему подобных всячески оттесняли русских на задний план, препятствовали подготовке русской ученой молодежи, стремясь всеми мерами сохранить за собой захваченное ими временно монопольное положение в русской науке. В результате многим талантливым русским ученым не довелось развить в столько-нибудь полной мере свои дарования. В этом отношении показательна была судьба С. К. Котельникова.

Надгробный памятник Леонарду Эйлеру в Ленинграде

1 См. сборник „Леонард Эйлер“, стр. 235—236.

С. К. Котельников

Семен Кириллович Котельников, сын солдата Преображенского полка, родился в 1723. г. В 1741 г., после нескольких лет обучения в духовной семинарии, он был принят в академическую гимназию. В гимназии и университете Академии наук он проучился 9 лет, слушая лекции по физике, математике, ботанике, физиологии, истории, философии и изучая иностранные языки. Профессора неоднократно отмечали его выдающиеся успехи. Физик Рихман, в частности, рекомендовал его как первого среди своих слушателей по математике

В 1751 г. за работу о спрямлении и квадратуре конхоиды Котельников получил звание адъюнкта. Четыре года Котельников занимался еще под руководством Эйлера.

Эйлер оставался вполне доволен своим учеником, о прилежании, дарованиях и успехах которого отсылал в Петербург наилучшие отзывы. Когда в Академии наук встал вопрос о замещении вакантной математической кафедры, Эйлер признал Котельникова достойным претендентом. Сравнивая его с некоторыми другими намеченными кандидатами-немцами, Эйлер в письме от 27 августа 1754 г. сообщал академии: „Эти субъекты, как мне кажется, из-за своего необыкновенного трудолюбия потеряли здравый человеческий смысл. По сравнению с ними я могу с полным правом считать Котельникова Архимедом или Ньютоном. В самом деле, во всяком случае, несомненно, что во всей Германии не найти более трех человек, которые в математике заслуживали бы предпочтения перед Котельниковым, но я надеюсь, что в течение года добьюсь с ним того, что он превзойдет и этих людей“. Он отдавал Котельникову преимущество даже перед Кестнером.

Вскоре после возвращения в Петербург, в конце 1756 г., Котельников был назначен экстраординарным профессором математики и начал свою научную, педагогическую и общественную деятельность. В 1761 — 1766 гг. он руководил академической гимназией, десятилетиями преподавал чистую и прикладную математику, преподавал и в Морском шляхетском корпусе, а с 1785 по 1796 г. читал при Академии наук публичные лекции. Одно время он возглавлял географический департамент, долгие годы входил в состав комиссии, управлявшей Академией, заведывал музеем и библиотекой, рецензировал труды и переводы своих коллег, участвовал в различных экспертизах. Мы уже познакомились с некоторыми руководствами его по элементарной и высшей математике и его переводами. В 1774 г. он выпустил также „Книгу, содержащую в себе учение о равновесии и движении тел“,—первый русский учебник механики1, а еще ранее составил курс: „Молодой геодет, или первое основание геодезии“ (СПБ„ 1766). Он был, далее, один из переводчиков „Естественной истории“ Бюффона и с самого возникновения Российской академии принимал, в качестве ее сочлена, активное участие не только в разборе технических слов, но и в обсуждении грамматических и лингвистических вопросов. Состоя академическим библиотекарем, он издал Софийскую новгородскую летопись. Скончался Котельников 83 лет от роду, в 1805 г.2.

Эта большая и плодотворная работа не должна и не может быть забыта потомством. Научные труды С. К. Котельникова были сравнительно немногочисленны. Он опубликовал всего четыре небольших специальных исследования, из них три по механике и физике и одно по математике. Последнее посвящено

1 Не считая краткого изложения свойств простейших механических машин в „Науке статической“ Г. Г. Скорнякова-Писарева (СПБ, 1722).

2 См. М. Сухомлинов, История Российской академии, вып. 6.

было вопросу о числе возможных разбиений л-угольника на треугольники с помощью непересекающихся диагоналей. Эту задачу, по инициативе Эйлера, пробовал решить еще физик А. Зегнер, сформулировавший одно рекуррентное соотношение. Котельников поставил целью дать вывод предложенного Эйлером выражения 2-3-4.5. . (п-\)— • В I главе курса геодезии Котельников вновь изложил свои соображения по этому вопросу, наряду с теоремами о числе элементов, определяющих я-угольник, и другими, им родственными. Между прочим, обобщением приведенной задачи занимались позднее Фусс, Родригес, Каталан, Лиувилль и другие1. Я напомню еще о разобранной ранее превосходной научно-популярной речи Котельникова о значении математики.

Как ни мала была научная продукция Котельникова, не следует думать, что высокая оценка, данная ему Эйлером, оказалась ошибочной. Котельников, несомненно, был способным и трудолюбивым человеком. Об этом свидетельствует весь пройденный им путь ученого и педагога, который он начал 18-летним, совершенно не подготовленным юношей. Научная же пассивность Котельникова отнюдь не представляла собой единичного и случайного явления в ту эпоху.

Основные причины этого явления были вкратце, изложены выше. К этому можно добавить, что и постановка преподавания в XVIII в. не создавала условий для возникновения сколько-нибудь многочисленной среды математиков, в которой могли бы возникнуть научные школы и течения. Нужны были гений, научная целеустремленность и общественная страстность Ломоносова, чтобы неустанно творить в удушающей обстановке царского режима XVIII столетия. Котельников и подобные ему просветители не были в своей области Ломоносовыми. Характерно, как быстро ослабли чисто научные интересы Котельникова, хотя просветительская деятельность его не прекращалась до глубокой старости: все научные мемуары его и превосходная речь о пользе математики, разобранная нами ранее, составлены были между 1757 и 1762 гг. Характерно и то, что когда в 1763 г. Котельникова запросили о том, почему он не дает статей для научно-популярных „Новых ежемесячных сочинений“, он ответил: „Порученное мне дело в рассуждении гимназии, такожде и чтение лекций студентам оставляют весьма мало времени, в которое бы мне в науке моей профессии можно было упражняться в покое“.

Степан Яковлевич Румовский был более активным ученым. Румовский родился в 1734 г. в семье священника и так же, как Котельников из духовной семинарии переведен был в академическую гимназию. Математические способности Румовского вскоре обратили на себя внимание профессоров, диссертация по интегральному исчислению доставила 19-летнему юноше звание адъюнкта, и он вместе с талантливым Сафроновым отправлен был учиться к Эйлеру. Возвратившись в 1756 г. в академию, Румовский развил весьма активную деятельность. Он работал в географическом департаменте, четверть века руководил составлением ежегодных астрономических календарей, читал лекции, написал для академической гимназии „Сокращение математики“ (СПБ, 1760), перевел „Письма к принцессе- Эйлера и ряд других книг, в том числе Тацита. С 1803 г. до смерти последовавшей в 1812 г., Румовский состоял членом Главного управления училищ и попечителем Казанского университета, куда, между прочим, пригласил Бартельса. В 1800—1803 гг. он был вице-президен-

С. Я. Румовский

1 М. Simon, Über die Entwicklung der Elementar-geometrie im XIX Jahrhundert, 1906, стр. 164-165

том Академии наук. Вместе с тем Румовский уделял место и научной работе. Главные его заслуги относятся к астрономии. Он дважды предпринял большие путешествия для наблюдения прохождения Венеры, и вторая экспедиция в Колу дала ценные результаты (1769). Путешествия его имели серьезное значение для географического познания России, в частности благодаря весьма точному по тому времени определению координат ряда пунктов. Астрономические труды Румовского получили хорошую оценку и его современников и ученых XIX в., например, столь выдающегося астронома, как акад. В. Я. Струве.

По математике академик Румовский опубликовал семь мемуаров. Все они принадлежали к области анализа и написаны были в связи с работами Эйлера. Первый мемуар содержал определение контура основания конуса данной высоты, обладающего при заданном объеме наименьшей боковой поверхностью. Три мемуара были посвящены интегрированию некоторых иррациональностей, вроде -з —. Две статьи содержали решения некоторых диференциальных уравнений и одна—суммирование расходящихся рядов вроде Iя— 2Л-|-3Л— . . . при целом положительном п. Если не говорить о последней работе, то остальные не лишены были значения при развитии анализа. Позднее такие частные задачи утратили интерес, но в эпоху разработки начал интегрального исчисления дело обстояло, разумеется, иначе. Подобными задачами немало занимался сам Эйлер, а также другие ученые1.

Самым плодовитым среди непосредственных учеников Эйлера был Николай Иванович Фусс. Фусс родился в 1755 г. и по рекомендации Д. Бернулли был приглашен Эйлером в качестве секретаря. По приезде в Петербург в 1775 г. Фусс прожил у Эйлера десять лет, почти ежедневно занимаясь по 8—9 часов, то читая великому математику вслух, то записывая что-либо под его диктовку, то проделывая по его поручению выкладки. Эйлер вырастил из Фусса знающего и работоспособного математика. В 1776 г. Фусс избран был адъюнктом, в 1783 г.— академиком, а с 1800 г. состоял непременным секретарем Академии наук. В 80-е и 90-е годы он преподавал в военных школах, составил ряд знакомых уже нам кратких руководств, а с 1803 г. в качестве члена Главного правления училищ принимал участие в реформе системы народного просвещения и организации университетов. Умер Фусс в 1826 г.

Почти вся научная деятельность Фусса была связана с продолжением и комментированием отдельных исследований Эйлера по анализу, механике и физике2. Первым трудом его явилась составленная на основании работ Эйлера инструкция об изготовлении оптических линз и микроскопов (1774), за которой вскоре последовало сочинение об устройстве страховых касс и лотерей (1776). Начиная с 1778 г., когда Фусс опубликовал свой первый мемуар о разложении дроби 7^—аЯ-^у (_j_ на простые, до 1830 г. в котором были напечатаны представленные Фуссом за два месяца до кончины статьи о приведении некоторых иррациональных выражений к рациональному виду и о вычислении некоторых двойных интегралов, он опубликовал в изданиях Академии наук более 100 трудов по анализу, механике и геометрии.

Наибольший интерес представляют работы Фусса по геометрии, как элемен-

Н. И. Фусс

1 Об интеграциях Румовского см. М. Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, т. IV.

2 Фуссу принадлежит также интересное .похвальное слово Эйлеру, содержащее его биографию (Eloge de Мт Euler“, СПБ, 1783).

тарной, так и высшей. Он нашел (одновременно с Эйлером) новое решение задачи о круге, касающемся трех заданных кругов; одновременно с Эйлером же, Лекселем, Кастилльоном и Лагранжем решил задачу о вписании в круг треугольника, стороны которого проходят через три заданные точки. Он решил также для п = 4, 5, 6, 7, 8 задачу об отыскании /1-угольника, описанного около одного данного круга и вписанного в другой (обобщениями занимались затем Понселе, Якоби и другие). В области диференциальной геометрии он исследовал целый ряд задач, например, об определении кривых, радиус кривизны которых является функцией радиус-вектора и др. Особенную известность приобрели работы Фусса по геометрии на шаре, примыкавшие к аналогичным исследованиям его сочленов по Петербургской академии наук Лекселя и Шуберта.

Начало этому направлению положили открытия Андрея Ивановича Лекселя (1740—1784), приглашенного в 1768 г., по предложению Эйлера, из Упсалы в Петербург. В истории астрономии Лексель прославился исследованиями, посвященными носящей его имя комете, и доказательством того факта, что обнаруженная Гершелем необычная звездочка около созвездия Близнецов являлась не кометой, как первоначально предположил сам Гершель, но новой планетой, (позднее названной Ураном). В математике Лекселю принадлежали первые исследования по полигонометрии; в частности, он решил задачу об определении по заданным 2п — 3 элементам я-угольника остальных его элементов. Он занимался также вслед за Эйлером изучением эллиптических интегралов и теорией интегрирующего множителя диференциальных уравнений. В сферической геометрии он, среди других теорем, установил замечательное предложение о том, что геометрическим местом вершин сферических треугольников с общим основанием и одинаковой площадью является некоторый малый круг шара (1779). Отправляясь от этой работы Лекселя, получил ряд новых результатов и Фусс. В одной из своих работ Фусс решил следующие три задачи относительно сферического треугольника с данным основанием: 1) построить его так, чтобы угол при вершине, лежащей на данном большом круге, был наибольшим, 2) чтобы сумма сторон при вершине была наименьшей, 3) чтобы площадь была наибольшей (1788). В другой статье, вышедшей в свет в том же году, он занялся изучением свойств так называемого сферического эллипса, т. е. геометрического места вершин сферических треугольников с данным основанием и данной суммой двух других сторон.

К работам Лекселя и Фусса примыкали также исследования астронома и математика Федора Ивановича Шуберта (1758—1825) автора ряда распространенных учебных руководств по астрономии. Шуберт занялся изучением геометрического места вершин сферического треугольника с данным основанием при условии, что заданы отношения синусов или косинусов двух других сторон, либо синусов или косинусов половин этих сторон. В первом случае геометрическим местом служит некоторая кривая двоякой кривизны, во втором — большой круг, перпендикулярный к основанию, а в третьем и четвертом — некоторые малые круги, также перпендикулярные к основанию треугольника1.

Вскоре после кончины Эйлера в русской математике возникает новое идейное направление, тесно связанное с новыми успехами в развитии русского просвещения и математической культуры. Родственное передовым течениям общеевропейской математической мысли конца XVIII в., это новое направление нашло своих ревностных пропагандистов на рубеже XVIII и XIX вв. в лице акад. С. Е. Гурьева и П. А. Рахманова. К характеристике этого периода в истории русской математики мы обратимся в дальнейшем.

1 Подробности см. в IV т. .Vorlesungen M. Кантора.

МЕТОДИКА

ЭЛЕМЕНТЫ ВОСПИТАНИЯ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ1

Заслуженный учитель школ РСФСР М. Н. ПОКРОВСКАЯ (Москва)

„Что значит воспитывать? Это значит влиять на психический и моральный облик ученика, влиять в определенном направлении в течение всей его десятилетней учебы, т. е. формировать из него человека“. (М. И. Калинин, Речь на вечере учителей-орденоносцев 8 июля 1939 г.).

Постановление ЦК ВКП(б) и доклад тов. Жданова о журналах „Звезда“ к „Ленинград“ ставят вопрос о перестройке воспитательной работы среди молодежи перед работниками идеологического фронта и в первую очередь перед нами — учителями.

Кто ведет воспитательную работу в школе? Ее ведут классные руководители, ведут учителя и все работники школы. А можем ли мы, преподаватели математики, обучая школьников своей дисциплине, самоустраниться от воспитательного воздействия на учащихся, от участия в формировании личности и характера молодого человека?

Конечно, нет. Михаил Иванович Калинин в упомянутой выше речи 8 июля 1939 г. напоминал об этом: „Многие учителя забывают, что они должны быть педагогами, а педагог — это инженер „человеческих душ“. Такова и традиция русской школы. В „Уставе учебных заведений, подведомственных университетам“ (1804) говорилось (п. 41): „При наставлении всех учащихся, а особливо возрастных, учитель должен стараться не терять из виду главного предмета юношеского наставления, состоящего в том, чтобы приучить детей к трудолюбию, возбудить в них охоту и привязанность к наукам“. В уставе от 1828 и 1864 гг. в п. 161 сказано: „Учителя и во время преподавания и вне классов обязаны действовать на юные души воспитанников, служа для них примером благонравия и трудолюбия“.

Обучение и воспитание — это две стороны единого педагогического процесса.

Я хочу остановиться на некоторых элементах воспитания в процессе обучения математике в X классах. Прежде всего буду говорить о воспитании внимания.

Внимание — необходимый фактор трудовой деятельности человека, и в первую очередь деятельности умственной. Внимание, как черта личности человека, становится в дальнейшем чертой его характера. Перед преподавателями математики вопрос о воспитании внимания учащихся встает с наибольшей остротой в силу особенностей объектов, изучаемых в математике. Одна из особенностей этих объектов состоит в том, что они одновременно и сходны и различны:

-у и —; дробь бесконечная периодическая и дробь бесконечная непериодическая, функция прямая и функция обратная, взаимнообратные функции и взаимнообратные величины : f(x) = ax* + bx + c; f(x)>0; f(x)m*c; f(x) = 0; нечетное число 2п-\-1 и нечетные числа: 4/1+1 и An— 1 и т. д.

От учащихся постоянно требуется распределение внимания, требуется уменье подмечать в объектах одновременно и сходство и различие, подмечать зависимость между ними. Все это возможно, если ученики владеют не только непроизвольным, эмоционально-

1 Доклад, прочитанный на учительской конференции при Московском городском институте усовершенствования учителей.

обусловленным вниманием, но и произвольным.

Однако каждому из нас приходится встречаться с учащимися, которые внешне внимательны, умеют слушать, но не слышат, смотрят, но не видят исключительно благодаря рассеянности, безалаберности, ставшей чертой их характера. Сколько раз, исправляя контрольную или самостоятельную работу, мы замечаем, что допущенные учеником ошибки объясняются не незнанием определенных правил, формул и теорем, не неуменьем применить их на практике, а исключительно невнимательностью, неуменьем видеть. Чем, как не безалаберностью, безответственностью в работе, объясняется привычка некоторых учащихся выполнять работу кое-как. Вызванный к доске ученик пишет на ней где попало; цифры и буквы имеют различные размеры, чертеж небрежен. На предложение дать, положим, при решении алгебраической задачи последовательное объяснение, нередко и хороший ученик, совсем этого не замечая, пропускает целые логические этапы и перескакивает с одного этапа на другой.

Я хочу попробовать раскрыть значение так называемых „мелочей“ педагогического процесса в воспитании внимания учащихся, аккуратности и исполнительности, заранее сговорившись, что, по моему личному убеждению, „мелочей“ в учебно-педагогической работе нет. Чтобы воспитывать внимание учащихся, учитель сам должен быть внимателен ко всякой „мелочи“.

Мы должны учить школьников организации, концентрации собственного внимания или произвольной сосредоточенности его на каком-либо объекте (в противоположность рассеянности). В этом смысле немалую роль играет борьба учителя за такую „мелочь“, как почерк.

Кто дал нам право доводить до X класса учеников, имеющих совсем плохой почерк, считающих требование учителя культурно оформлять работу — „бюрократической выдумкой“, допускающих при решении задач и примеров ошибки лишь благодаря неразборчивому почерку. У меня есть факты, когда за письменную работу приходится ставить „2“, а в рецензии к работе отмечать — „нельзя разобрать, что написано“. Борьба за правильный, четкий почерк —один из моментов борьбы за воспитание концентрированного внимания, аккуратности, ответственности за качество выполнения работы.

Беру другую „мелочь“ —- ведение учеником тетради. Казалось бы, не все ли равно учителю математики, как его ученики ведут свои тетради, ведут ли ежедневные записи проделанной работы в классе, отмечают ли даты работы, имеют ли поля в тетрадях и т. д. Однако опыт работы убеждает в неоценимой роли этой „мелочи“ в деле воспитания привычки концентрировать внимание на аккуратном, тщательном выполнении работы — качества, совершенно необходимого советскому человеку. Конечно, недостаточно ставить перед учениками требование, но необходимо добиваться точного выполнения наших требований, например, в отношении тетради. Ученики на полях ставят даты, уроки по порядку нумеруются, на обложке тетради отмечается ее № и даты, когда начата тетрадь и когда окончена. Повторяю, выполнение своих требований учитель должен систематически проверять, и тогда, даже на протяжении одного учебного года можно безалаберного, рассеянного ученика заставить подтянуться. Ученик вынужден следить за восполнением пропущенных уроков и тем с помощью товарищей, а ведь каждому из нас понятно, какое значение имеет для успеваемости ученика систематичность записей в тетрадях, в особенности при отсутствии в учебниках материала по целому ряду изучаемых в X классе вопросов математики („аркусы“, исследование квадратного трехчлена, решение неравенств 2-й степени и др.). Полезно в целях поощрения поставить и оценку за ведение тетради, правда, в особую графу: „за тетрадь“, чтобы учесть это обстоятельство при выведении четвертной оценки за знания учащихся.

Воспитанию распределения внимания или контроля сознания за одновременным выполнением нескольких процессов способствует и такая „мелочь“, как рациональная запись вычислений. Например, при вычислениях с помощью таблиц логарифмов ученик должен добиваться правильного результата и одновременно следить, чтобы ни одна запись числа или его логарифма не повторя-

лась дважды, вычитаемые логарифмы заменять слагаемыми, разряды чисел подписывать точно один под другим и т. д. Запись учащегося на доске тоже должна удовлетворять определенным требованиям учителя.

Забота учителя о рациональных приемах вычисления воспитывает навык в распределении внимания учащихся. Например, при решении геометрической задачи требуется от учеников использование формул сокращенного умножения, законов арифметических действий.

Активнейшим средством развития навыка распределения внимания является самостоятельная умственная работа учащихся во всем многообразии приемов и методов ее осуществления. Особенную ценность в этом отношении представляет работа, сопряженная с процессом активного труда, с процессом творческого искания. Приведу несколько примеров. В целях проверки домашней работы в начале урока предлагается всем ученикам составить план доказательства заданной на дом теоремы или перечислить логические этапы доказательства. Подобного рода задание, с одной стороны, облегчает контроль учителя за работой класса, а с другой стороны—требует от учащегося значительно большего внимания, нежели простое повторение прочитанного доказательства. Иногда дается ученикам геометрическая задача, которую требуется не только решить, но устно или письменно составить план решения, отметив в логической последовательности те положения (аксиомы, допущения, теоремы), которые были использованы при решении задачи. В других случаях предлагается учащимся самостоятельно составить план по пройденной теме или по плану дать развернутое изложение материала. Пример. В классе полностью изложен теоретический материал по вопросу: „Функция у = Arc sin хи, на следующем уроке учащиеся составляют план по этой теме, а затем по составленному плану самостоятельно излагают фактический материал по указанному вопросу.

Развитию распределенного внимания содействует и такой вид работы по математике, как составление учащимися конспекта изложения материала, данного учителем, а в X классе нередко из-за отсутствия материала в учебнике преподаватель вынужден добиваться подробной записи его объяснений учащимися.

Другая задача — воспитание уменья сознательно переключать внимание с одного объекта на другой—мне представляется значительно более трудной. С необходимостью переключать внимание учащихся от самостоятельной работы к тому, что делается у доски, от опроса учащихся к слушанию речи учителя, от впечатлений перемены или предыдущего урока к материалу текущего, от мелочей к основному—постоянно приходится встречаться в работе.

Проиллюстрирую свою неудачу на одном примере. Раньше я пробовала иногда делать так: придя в класс, вызывала двух-трех учеников к доске, давала им для решения по задаче и по вопросу теоретического характера, классу же предлагала решать задачи самостоятельно. Первая часть урока, пока вызванные учащиеся готовились у доски, проходила прекрасно, все внимательно, сосредоточенно работали. Но вот один ученик у доски все выполнил и начинает отвечать — мне необходимо было привлечь внимание коллектива к ответу товарища, так как на примере устных ответов у доски учащиеся знакомятся с требованиями учителя, привыкают точно, кратко и ясно выражать свои мысли, подмечать ошибки в высказываниях другого. Момент переключения внимания учащихся от того, над чем они работали в своих тетрадях, к происходящему у доски мне не удавался. В дальнейшем от такой организации работы я отказалась.

В методической литературе рекомендуется так называемый „уплотненный“ опрос, о котором я говорила выше. В текущем учебном году мною было организовано в школе два открытых урока по „уплотненному“ опросу, после тщательного обсуждения уроков на методическом объединении математиков мы пришли к единодушному выводу: отказаться от такой формы организации работы ввиду того, что она не содействует воспитанию внимания школьников.

Исполнительность и ответственность за порученное дело требует произвольного внимания, порождаемого

не только интересом, но и сознанием ответственности. Эти качества, необходимые каждому человеку, мы можем и должны развивать. Пути и средства весьма многообразны. Я остановлюсь на принципе повседневной индивидуальной работы учителя с каждым учащимся в отдельности. Раньше я вела на учеников индивидуальные карточки, которые в дальнейшем заменила индивидуальными „листками“ (в тетради учета), где независимо от принадлежности к тому или иному классу данной параллели (в алфавитном порядке) занесены все ученики. В эти „листки“ заносятся индивидуальные пробелы в знаниях по тому или иному вопросу, а также записываются оригинальные, выдающиеся мысли и высказывания учащихся. Откуда черпается материал для „листков“? Материал дают контрольные, самостоятельные работы, устные ответы, внеклассная работа. В „листок“ заносится ошибка учащегося или на конкретном примере, или в виде общего замечания. Приведу выдержки из учетной тетради:

С. считает, что система двух линейных уравнений имеет два решения.

Л. без всяких оговорок сокращает уравнение на выражение, содержащее неизвестное.

Приведенные замечания выписаны в „листки“ из контрольных работ, а вот замечания по устным ответам:

Р. путает понятия ,обозначение“ и „определение“.

С. угол между образующими конуса берет не при вершине, а на боковой поверхности.

И. Не различает понятий „число“ и „величина“.

Материал для „листка“ дает и проверка домашних заданий:

К. предпочитает решать задачу составлением системы двух уравнении с двумя неизвестными, избегая составления квадратного уравнения. П. не исправляет ошибок в работах.

Вот примеры замечаний положительного характера:

С хорошо исследовал задачу на „касательную“. Л. первый правильно построил график f(x) = [х] Л. дал оригинальное доказательство теоремы о том, что если квадратное уравнение имеет один комплексный корень, то имеет и второй комплексный сопряженный.

Внесением материала в „листки“ учетной тетради работа с учащимися не заканчивается, а начинается. Учащийся вызывается к учителю или после уроков, или в специальный день консультаций, и там, во-первых, дается соответствующее разъяснение по поводу допущенной ошибки и указывается теоретический материал, который необходимо проработать, и, во-вторых, дается специальное дополнительное практическое задание по тому же вопросу. Через 3—10 дней учащийся сдает выполненную работу на проверку. Работа проверяется: ученику задаются нередко дополнительные вопросы, и, если ученик покажет достаточные знания, то его „счет“ закрывается. Эта работа чрезвычайно трудоемкая, но она целиком себя оправдывает. Ученик, находясь под постоянным точным контролем учителя, привыкает быть исполнительным и внимательным к своим учебным обязанностям.

Индивидуальные „листки“ облегчают преподавателю возможность выведения объективной оценки знаний ученика, давая возможность оценить знания не только формально по тем баллам, которые имеются в журнале, но и учесть конкретные недостатки в знаниях по тому или иному вопросу программы.

Произвольное внимание отличается от непроизвольного своим волевым качеством и воспитывается при условии систематических требований учителя и проверки выполнения. Но источником произвольного внимания наряду с волей является интерес, содействующий развитию произвольного внимания.

Интерес и любовь к математике могут воспитываться в учащихся при условии научного изложения материала, при условии раскрытия идейной сущности изучаемых математических фактов. Большую роль в этом отношении играют также исторические сведения, сообщаемые учителем при переходе к новой теме.

В X классе, когда подводятся итоги всей десятилетней работы школьника по предмету, исключительную роль в фор-

мировании интереса учащихся к науке приобретают обзорные лекции и доклады. Обзорные лекции, вскрывая новые стороны программных вопросов, способствуют более глубокому усвоению их и облегчают устойчивость внимания.

В силу особенностей объектов, изучаемых в математике, нам не всегда представляется возможность естественной увязки программного материала с вопросами текущей политики, однако там, где это возможно сделать, увязка полезна и в отношении математического материала и в отношении воспитания идейной направленности учащихся.

Приведу пример. При повторении в X классе по арифметике темы „Проценты“ я предложила учащимся в качестве практической работы, а также для повторения техники деления, составление двух сравнительных процентных таблиц роста продукции промышленности и сельского хозяйства нашей Родины за 1913, 1940 и 1950 годы. В одной таблице за 100% были взяты цифры 1913 года, а в другой 1950 года. Цифры ученики X классов должны были выписать сами из соответствующих источников.

С большим интересом выполнялась эта работа учащимися.

Для еще более реального, конкретного восприятия цифр нового пятилетнего плана была составлена одна общая таблица в диаграммах и с рисунками.

Привожу образец одной из ученических работ (см. таблицы).

В заключение хочу остановиться на значении личного примера учителя и его личных качеств.

Рост производства в народном хозяйстве СССР (в процентах)

Наименование

Годы

1913

1940

1950

Чугун.......

Сталь...... .

Уголь...... .

Нефть.......

Товарное зерно . • . Хлопок-сырец . • .

4 млн. 220 тыс. т. 4 млн. 230 тыс. т.

29 млн. т.

9 млн. т. 21 млн. 600 тыс. т. 740 тыс. /я.

15 млн, т. 18 млн, 300 тыс т.

166 млн. т.

31 млн. т. 38 млн. 300 тыс. т. 2 млн. 740 тыс. т.

19,5 млн. пи 25,4 млн. т. 250 млн. т. 35,4 млн. т.

М. И. Калинин на совещании учителей-отличников 28 декабря 1938 г. сказал:

„Мировоззрение учителя, его поведение, его жизнь, его подход к данному явлению так или иначе влияют на всех учеников“, а на вечере учителей-орденоносцев 8 июля 1939 г. он говорил:

„Учителя должны быть людьми, с одной стороны, высокообразованными, а с другой стороны — кристально честными“.

И из приведенных цитат видно, да и так каждому понятно, что одних личных качеств педагога недостаточно. Необходима наша повседневная работа над повышением своей теоретической и идейно-политической квалификации, ибо только тогда мы сможем справиться с задачей обучения и воспитания, поставленной перед нами партией и правительством.

Наименование

Годы

1913

1940

1950

Чугун . . . ... .

100%

355,5о/о

462Д0/0

Сталь .......

100%

432,6о/о

600,50/0

Уголь ...» ...

100%

572,40/0

862о/0

Нефть.......

100%

344,40/0

393,30/0

Товарное зерно . . .

100%

177,30/0

Хлопок-сырец . . •

100%

370,30/0

Наименование

Годы

тз 1

1940

1950

Чугун .......

21,60/о

76,90/0

ЮОо/о

Сталь .......

16,60/0

720/о

1000/0

Уголь.......

11,60/0

66,4о/0

ЮОо/о

Нефть.......

25,40/0

87,6о/о

100о/в

Товарное зерно . . .

56,40/0

lOOo/o

—i

Хлопок-сырец . . .

270/0

lOOO/o

УЧЕНИЕ ОБ ИРРАЦИОНАЛЬНОМ ЧИСЛЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

В. К. МАТЫШУК (Архангельск)

§ 1. Неправильный подход к преподаванию учения об иррациональном числе в средней школе, непродуманные в методическом отношении формулировки соответствующих определений, хотя и правильные в научном отношении, но взятые без всяких изменений из строгих теоретических курсов, стремление эти формулировки лишь провозгласить в классе, без какой-либо заботы учителя и учебника добиться их понимания учащимися, приводят к тому, что у учащихся создаются неясные и туманные, а то и вовсе превратные и нелепые представления об иррациональном числе. Для того чтобы это утверждение сделать достаточно обоснованным, мы провели весной 1940 г. в десятых классах школ г. Ростова-на-Дону специальную контрольную работу. Эту работу писали лучшие ученики класса (не более 3—5 человек на класс) у лучших учителей в лучших школах города. Было собрано около 120 ответов учащихся 18 различных школ города. На тех же основаниях эта работа была повторена в 1944 г. в семи школах Архангельской области. Предложенная контрольная работа состояла в следующем. Учащимся предлагалось ответить на такие вопросы:

1. Что называется иррациональным числом? Дай определение, если помнишь его, и напиши, как ты представляешь себе это число.

2. Напиши, что такое действительное число и чем оно отличается от иррационального числа.

3. Можно ли сложить следующие четыре числа: я, у“2“, V 3 и V~8~* Все ли их можно сложить друг с другом, или их вообще нельзя складывать? Если их можно сложить, то напиши, как ты себе представляешь их сумму. Если же нельзя, то объясни, почему нельзя.

4. Найди, какое из двух чисел больше: 8, 4842 или 6\/~2~. Покажи, почему.

Предложенная работа писалась в апреле, следовательно, после того, как учащиеся X класса прошли тему о комплексном числе1.

Самые интересные ответы были даны на третий вопрос. Больше половины учащихся категорически заявили, что все эти четыре числа сложить нельзя. Можно сложить только два из них: \/~2~ и V~8~. При этом многие прямо доказывали свои утверждения следующим образом: числа V 2 и V 8 потому можно сложить, что здесь возможно приведение подобных членов. Числа же у~2~ и VIT по этой причине сложить нельзя. Отдельные учащиеся отрицали возможность сложения числа тс с другими предложенными числами по таким соображениям: тс есть отношение длины окружности к диаметру. Следовательно, это отвлеченное число. Числа же V~2~, V~3~ и V~8~ получились в результате измерения отрезков прямой. Это неотвлеченные числа. Поэтому их складывать нельзя.

Невозможность сложить тс с остальными числами отдельные учащиеся объясняли и таким образом: тс есть число, показывающее отношение длины окружности к диаметру. Но окружность неспрямляема. Следовательно, число тс не имеет места на шкале чисел. Остальные же предложенные числа имеют свое место на ней.

Наконец, отдельные учащиеся прямо заявляли, что тс не иррациональное число, а потому с остальными предложенными числами его сложить нельзя.

Следующая по обширности группа учащихся не отрицала, что предложенные числа можно сложить. При этом некоторые выражали мысль, что эти числа вообще сложить нельзя, но если извлечь корень и взять приближенные значения, то сложить можно. Тут же извлекался корень обычно с двумя знаками и с недостатком, полученные таким путем рациональные числа складывались, причем иногда утверждалось, что это и есть искомая сумма, а чаще ничего при этом не утверждалось. Вот один из типичных ответов (цитируется буквально).

Если из этих чисел извлечь корень с какой-либо точностью, то их можно сложить: 3.14-4-+ У~3~ + V~2“ + V“8~ = 3,4 + 1,73 + 4,23 - 9,1.

Никаких дополнений и пояснений к этому равенству не приводилось. Следова-

1 Все материалы и оригинал работы были уничтожены пожаром в результате военных действий. Настоящая работа в большей части восстановлена по памяти.

тельно, почему учащийся берет при извлечении корня именно две цифры — неизвестно.

Третья по численности группа учащихся тоже считала сложение предложенных чисел возможным. При этом указывалось, что приближенные значения слагаемых надо находить с недостатком и с избытком со все возрастающей точностью и складывать значения слагаемых отдельно с недостатком и отдельно с избытком. И это все. Больше ничего не добавлялось. Таким образом, что же такое сумма рассматриваемых слагаемых, оставалось неясным. Анализ некоторых ответов учащихся заставляет думать, что такая сумма отождествлялась ими со всем множеством ее приближенных значений, т. е. здесь мыслилось число, совпадающее со всеми своими приближенными значениями.

Четвертая группа учащихся — всего лишь 3—5 человек — прибавляла к предыдущему разъяснению, что искомая сумма будет число, большее всех указанных сумм, взятых с недостатком, и меньшее всех указанных сумм, взятых с избытком (формулировка учебника Киселева).

Наконец, пятая группа учащихся — всего лишь два человека — дала наиболее правильный ответ, смысл которого сводился к следующему: предложенные иррациональные числа можно сложить. Результатом будет новое число, которое может быть выражено посредством рациональных чисел с любой степенью точности, если брать с соответствующей точностью слагаемые.

Много интересного материала содержали ответы учащихся на первый и второй вопросы. Ответы на первый вопрос нередко носили формальный характер, и содержание их часто не совпадало с ответом на второй вопрос. При этом, однако, основной смысл понимания учащимися сущности иррационального числа раскрывался именно в ответе на второй вопрос.

Приступая к разбору этих ответов, мы не можем не остановиться на одном нелепом определении иррационального числа, которое было зарегистрировано нами в 25% случаев, т. е. имело весьма распространенный характер, а именно: „Иррациональным числом называется число, из которого корень не извлекается“.

С возможностью появления таких формулировок учитель всегда должен считаться.

Ответы учащихся на первый вопрос, т. е. на вопрос, что такое иррациональное число, можно разбить на две группы. В первой группе ответов иррациональное число рассматривается с алгебраической точки зрения. Обычно смысл этих ответов такой: это корень той или иной степени из рационального числа, из которого он не извлекается. Ясно, что подобные ответы связаны с прохождением алгебры по учебнику Киселева, изданному до 1939 г., где иррациональное число определяется примерно таким образом.

Другая группа ответов не связывает иррациональное число с извлечением корня. Эту группу ответов можно в свою очередь разделить на ряд частных групп. Так, часть учащихся определяет иррациональное число как такое, которое не может быть выражено ни целым, ни дробным числом, т. е. как нерациональное число. Другая часть учащихся в соответствии с учебником Киселева, изданным после 1939 г., определяет иррациональное число как бесконечную десятичную непериодическую дробь. Наконец, отдельные учащиеся рассматривают иррациональное число как предел рациональных чисел, являющихся его приближениями.

В ответах на первый вопрос учащиеся почти всегда отделывались заученными формулировками, иногда искаженными вследствие давности того времени, когда эти формулировки усваивались. Но ответы на второй вопрос „Что такое действительное число и чем оно отличается от иррационального“? очень часто обнаруживали отсутствие у учащихся правильного понимания сущности иррационального числа.

Многие отождествляли действительное число с рациональным числом. Вот характерные ответы:

Действительные числа — это все положительные и отрицательные, целые и дробные числа.

Действительные числа отличаются от иррациональных тем, что они получаются при точном извлечении корня из чисел, а иррациональные числа выражаются приближенно.

В других ответах учащиеся заявляли, что „действительное число от иррационального ничем не отличается, так как

иррациональное число есть действительное число“. В ряде случаев учащиеся определяли действительное число как некомплексное или как комплексное число, мнимая часть которого равна нулю, и т. д. Правильных ответов, что действительными числами называются рациональные и иррациональные числа, было очень мало — всего около пяти.

Среди ответов на вопрос, чем отличается действительное число от иррационального, наибольший интерес для нас представляет довольно обширная группа ответов такого рода:

Действительные числа — это точные числа, иррациональные числа — неточные числа.

Действительное число имеет определенное место на числовой оси, иррациональные числа не имеют определенного места на этой оси.

Иногда говорилось прямо:

Не имеет никакого места на числовой оси. Иррациональные числа — это колеблющиеся числа.

Иррациональные числа — это приближенные числа

и т. д.

Мы привели здесь категорические, недвусмысленные формулировки учащихся. Но во многих случаях таких категорических утверждений учащиеся не делали. Тем не менее, анализируя их порой туманные и путаные объяснения, можно было ясно уловить указанные мысли.

Несколько особняком стоит четвертый вопрос из предложенного задания: „Определить, какое из двух чисел больше: 8,4842 или 6у“2~. При правильном решении этой задачи надо 6 внести под знак корня и извлекать квадратный корень из 72. Уже третий десятичный знак покажет, что второе число больше первого. Однако этим способом нашли ответ только около 30% учащихся. Остальные извлекали квадратный корень из двух и результат умножали на 6. При этом одни извлекали квадратный корень с точностью до 0,1, другие— до 0,01, третьи— до 0,001 и четвертые —до 0,0001. Почему выбиралась та или иная степень точности извлечения корня — никаких объяснений не давалось.

Таким образом, ответы учащихся получались неверные. Извлекая корень из двух с точностью до 0,1, или 0,01, или 0,001, они находили, что 8,4842 больше, чем 6\/~2~. Только те, которые брали большую точность, получали правильный ответ.

Из рассмотренного нами материала можно сделать следующие совершенно ясные выводы: у очень многих учащихся складывается представление об иррациональном числе как каком-то особенном числе, резко отличающемся от обычных, т. е. рациональных. Эти числа, например, нельзя складывать друг с другом и с рациональными числами. Это не какие-нибудь определенные числа. Одни учащиеся представляют себе иррациональное число как бы совпадающим со всем множеством своих приближенных значений, другие отождествляют его с каким-то интервалом чисел. Третьи мыслят себе какое-то колеблющееся число. Четвертые, рассматривая два ряда рациональных чисел, из которых один возрастает, а другой убывает (приближенные значения числа, взятые с недостатком и избытком), не чувствуют, что эти ряды сходятся, определяя тем самым действительно некоторое число,— им рисуется здесь пустое место. Пятые считают его каким-то неточным числом и т. д. Ряд учащихся высказывался совершенно определенно именно только что приведенными словами. Другие прямо так не говорили, но, разобравшись в том, что они писали, можно было усмотреть такие же мысли, во всяком случае можно было об этом догадываться.

Что же является источником таких неправильных представлений учащихся об иррациональном числе? Эти источники следующие:

1) Непродуманные в методическом отношении формулировки и определения (хотя бы и правильные в научном отношении).

2) Чрезмерные требования логического характера, предъявленные к учащимся средней школы в отношении теории иррационального числа.

3) Отсутствие тщательной и конкретной проработки понятия об иррациональном числе, стремление отделаться лишь формулировками, подлежащими запоминанию.

4) Недостаточное использование геометрической интерпретации.

Формулировки, даваемые учащемуся в VIII классе при изучении темы об иррациональном числе, недоступны для его

понимания и прямо толкают его на неверное восприятие сути дела. Возьмем в качестве примера определение действия сложения иррациональных чисел в учебнике алгебры Киселева. Поставим себя в положение ученика VIII класса. Что это за число, которое больше любых чисел одного типа и меньше любых чисел другого типа? Откуда видно, что такое число, и притом только одно, может существовать? А может быть, его совсем нет? Не отсюда ли рождается понятие о каком-то числе, отождествляющемся с некоторым множеством чисел? Не отсюда ли возникает идея о каком-то колеблющемся числе? Да и вообще можно ли неподготовленному надлежащим образом человеку проникнуть в сущность указанного выше определения?

Другим источником неправильных представлений у учащихся об иррациональном числе является неосторожное употребление в учебнике терминов: „точный корень“ и „приближенный корень“. „Точным квадратным корнем из данного целого или дробного числа,—говорится в учебнике алгебры Киселева (ч. I, § 114),— называется такое число, квадрат которого в точности равняется данному числу“. „Из таких чисел, — говорится дальше в учебнике,—из которых нельзя извлечь корень, можно извлекать лишь приближенные корни“. Таким образом, ученику VII класса сообщается, что точный корень числа не всегда существует (имеется в виду рационального числа). Тогда существуют приближенные корни. Так как иррациональное число появляется тогда, когда нет точного корня, то отсюда легко перейти к представлению о том, что иррациональное число какое-то неточное число в отличие от рационального числа, которое всегда точное.

Термин „точный корень“ использован в учебнике весьма неудачно.

Дело будет обстоять иначе, если пользоваться терминами „точное значение корня“ и „приближенное значение корня“. Этими терминами мы подготовляем учащихся к мысли о том, что корень из иррационального числа всегда существует. Но в одних случаях его можно точно выразить посредством рационального числа, в других этого нельзя сделать. Тогда мы выражаем его приближенно, посредством известных ученику VII класса чисел, т. е. рациональных.

Наконец, заметим, что на усвоение понятия об иррациональном числе нужно отвести достаточное количество времени. Обычно вопросу об иррациональном числе учитель посвящает в VIII классе два часа, редко—три, торопясь поскорее перейти к действиям с радикалами. Ясно, что за такое короткое время ученик, кроме путаных формулировок, ничего не вынесет.

§ 2. Теперь перейдем к рассмотрению вопроса о том, как следует излагать в школе тему о действительном числе так, чтобы у учащихся развились правильные о нем представления.

Самым удобным для средней школы признается сейчас понятие об иррациональном числе, основанное на изображении его посредством десятичной дроби, так как с аппаратом десятичных дробей дети хорошо знакомы.

По существу лишь в X классе можно раскрыть учащимся логическую природу учения о числе, сообщая и приводя в систему все знания о числе, приобретенные ими в школе в разное время. И это нужно делать не во всей полноте. Исходя из этих соображений, мы должны в VIII классе, знакомя учащихся с иррациональными числами, ставить перед собой весьма ограниченные цели. Наша задача убедить учащихся в том, что введение иррациональных чисел необходимо, что целесообразно признать эти числа существующими. Надо дать аппарат для их выражения, показать, что новые числа обладают всеми присущими числам свойствами, что их можно сравнивать друг с другом и с рациональными числами, что над ними можно производить все арифметические действия и т. п. Для нас важны здесь не столько научные формулировки и строгие определения, сколько понимание всего только что сказанного. Пусть это будет понимание, основанное даже только на интуиции. Вопрос же о том, что для иррациональных чисел все алгебраические действия могут быть целесообразно определены и что при этом остаются в силе свойства действий, установленные для рациональных чисел, — этот вопрос может быть освещен только в X классе и то лишь в известной мере.

Теперь нам должно стать ясным, какими методами следует пользоваться в VIII классе при изложении темы об иррациональном числе. Это — широкое использование геометрических представлений, выполнение учащимися разного рода графических работ и вычислений, рассмотрение готовых графиков и таблиц.

Ознакомление учащихся с учебным материалом в школе должно вестись так, чтобы все новое, что сообщается на уроках, не представлялось для них чем-то совсем неожиданным, никогда неслыханным.

Подготовка учащихся к овладению понятием иррационального числа должна начаться уже в V классе. Здесь соответствующей разработке (с учетом будущих потребностей) подлежит вопрос об обращении обыкновенной дроби в десятичную, в частности, как мы полагаем, подлежат изучению периодические дроби.

В результате обучения арифметике ученик V класса должен отчетливо представлять себе, что для обыкновенной дроби, которая не обращается в конечную десятичную, существует бесконечное количество таких десятичных дробей, которые являются для нее приближенными значениями, что эти дроби бывают двух типов — изображающие данную дробь с недостатком и изображающие ее с избытком, что такие дроби отличаются друг от друга степенью точности своего приближения к данной обыкновенной дроби и что среди них всегда есть такие, которые отличаются от данной обыкновенной дроби на какую угодно малую величину.

В VII классе при изложении вопроса о приближенном извлечении квадратного корня учителю следует помнить о стоящей перед ним в будущем задаче развить у учащихся правильное представление об иррациональном числе. Об осторожном употреблении здесь соответствующей терминологии говорилось выше. Но нужно иметь в виду еще одно обстоятельство: между постановкой вопроса о нахождении приближенного значения для обыкновенной дроби в V классе и постановкой вопроса о приближенном извлечении квадратного корня в VII классе существует принципиальная разница. В V классе ученик, вычисляя десятичную дробь, знает, что то число, для которого эта дробь является приближением, действительно существует, и что здесь дело идет о замене одной формы изображения числа другой, хотя бы такая замена и не приводила к полному равенству. В VII же классе при вычислении приближенного значения квадратного корня из числа не может быть речи о подобной замене, так как не из всякого числа можно извлечь корень, т. е. для ученика VII класса не всегда такой корень существует как число. И тем не менее мы говорим здесь о приближенных значениях квадратного корня, давая последним специальное определение. Так, например, мы говорим: „Приближенным значением квадратного корня из числа А с точностью до одной десятой называется такая десятичная дробь со знаменателем десять, квадрат которой меньше Л. Но если эту дробь увеличить на одну десятую долю, то квадрат этой дроби будет больше А“. Мысль же о том, существует ли рациональное число, равное такому корню, в VII классе не подается. Наличие указанных приближенных значений корня с недостатком и избытком при возрастающей степени точности даст в VIII классе одно из оснований для установления понятия о числе, которое посредством рациональных чисел может быть выражено лишь приближенно.

Мы полагаем, что развить у учащихся правильное представление об иррациональном числе невозможно, не опираясь на соответствующий геометрический материал, причем здесь весьма существенным в педагогическом отношении является использование понятия об общей мере двух отрезков прямой. Перед установлением этого понятия полезно напомнить учащимся о некоторых свойствах рациональных чисел. Любые два целые числа всегда имеют общий делитель, хотя бы единицу. Это положение можно развить дальше. Для любых двух рациональных чисел всегда можно найти такое третье число (рациональное), которое целое число раз содержится в первых двух. Например, дробь Д содержится в числе 5-д- десять раз, а в 7 -к четырнадцать раз. И вычислить такую дробь совсем не трудно. Нужно

только данные числа привести к одинаковому знаменателю и найти общий делитель числителей.

В нашем случае мы имеем: 5y=-g-= ^ и ^yg — “^- Общий делитель 80 и 112 есть число 8 (даже наибольший делитель). Следовательно, ~ и есть искомая дробь.

Аналогично мы устанавливаем понятие общей меры двух отрезков прямой. Чрезвычайно важно в педагогическом отношении показать учащимся, что если отрезок прямой соизмерим с другим отрезком прямой, принимаемым за единицу, то его длина выражается рациональным числом. Отправляясь отсюда, мы вводим понятие о несоизмеримых отрезках, причем здесь опять весьма важно в педагогическом отношении доказать, что такие отрезки существуют. Сейчас стараются давать доказательства, не связанные с алгоритмом Евклида. Самое удачное доказательство подобного рода дано в намеченной к изданию второй части учебника по элементарной алгебре проф. Александрова и акад. Колмогорова (см. журн. „Математика в школе“, № 3 за 1941 г.). Оно настолько хорошо, что мы позволим себе привести его здесь:

Требуется доказать, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Сперва доказывается лемма:

Не существует рационального числа, квадрат которого равнялся бы двум.

Доказательство леммы носит обычный характер. Сперва показывается, что нет такого целого числа, квадрат которого равнялся бы двум. Затем допускается, что существует несократимая дробь — квадрат которой равнялся бы двум, и приходят к невозможному равенству: т2 = 2п\

Теорема: Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.

Доказательство: Пусть ABCD — данный квадрат, и АС его диагональ. На АС, как на стороне, строим квадрат AÉFC. Легко видеть, что площадь равна двум площадям данного квадрата.

Допустим теперь, что диагональ квадрата соизмерима с его стороной. Это значит, что отрезки прямых AD и АС имеют общую меру. Пусть их общей мерой будет отрезок ху (черт. 1), который содержится в AD п раз, а в АС m раз. Отложим отрезок ху на всех сторонах квадратов ABCD и AEFC и, проведя прямые, параллельные их сторонам, разобьем каждый из них таким образом на квадратики, которые все будут равны друг другу. Тогда площадь квадрата ABCD будет состоять из я2 квадратиков, а площадь AEFC из tri* таких же квадратиков. С другой стороны, пл. AEFC = 2 пл. ABCD. Следовательно,

т2 = 2п\

Но мы видели, что такое равенство, где т и п — целые числа, невозможно. Таким образом, сделанное нами вначале допущение было неправильно. Диагональ квадрата несоизмерима с его основанием.

Показав учащимся при помощи этой теоремы, что несоизмеримые отрезки существуют, мы сейчас же устанавливаем, что если отрезок прямой несоизмерим с другим отрезком прямой, принимаемым за единицу, то его длина не может быть выражена никаким рациональным числом.

§ 3. Перейдем теперь к разработке темы об иррациональном числе в VIII классе.

Понятно, что вначале нам следует вспомнить с учащимися тот материал из прошлого, который нужен для хорошего понимания ими содержания новой темы:

1) Обращение обыкновенной дроби в конечную десятичную и условия такого обращения.

Черт. 1

2) Установление положения, что если обыкновенная дробь не обращается в конечную десятичную, то процесс деления ее числителя на знаменатель приводит, во-первых, к бесконечной десятичной дроби и, во-вторых, обязательно периодической.

3) Обращение периодической дроби в обыкновенную. Надо подчеркнуть, что всякая бесконечная десятичная периодическая дробь может быть обращена в обыкновенную.

Следует повторить сведения о приближенных вычислениях, рассмотрев сперва вопрос выражения обыкновенных дробей посредством десятичных, а затем вопрос приближенного извлечения квадратных корней из чисел. Все это надо рассмотреть несколько шире, остановившись на понятии об абсолютной величине погрешности и погрешности при вычислении суммы и разности.

На эту вступительную часть надо затратить 2—3 урока, так как нужно проделать с учащимися некоторое количество упражнений.

Само изложение темы об иррациональном числе следует проводить так:

1) Прежде всего учитель ставит задачу показать учащимся, что чисел, до сих пор известных им, недостаточно для решения ряда задач, выдвигаемых математикой. Его мысли должны развиваться примерно в такой последовательности:

Возьмем квадрат со стороной, равной единице длины, например, 1 ж, и поставим перед собой цель найти число, измеряющее длину диагонали этого квадрата, поскольку естественно считать, что длина всякого отрезка прямой есть число. Раньше было установлено, что для этого надо найти число, которое должно было бы получиться в результате извлечения квадратного корня из двух. Но было доказано, что нет ни целого, ни дробного числа, равного \J~2. Таким образом, длл выражения длины диагонали квадрата со стороной в 1 м нет соответствующего числа.

Но диагональ квадрата есть отрезок прямой, и естественно считать, что всякий отрезок прямой должен иметь длину. Длина же есть число. Следовательно, для выражения длины диагонали рассматриваемого нами квадрата должно существовать число. Отсюда делается вывод, что тех чисел, которые мы до сих пор знали, недостаточно для измерения длины любого отрезка прямой.

Пример с квадратом, сторона которого равна единице, не должен быть единственным, рассмотренным в классе. Для закрепления материала вызывается к доске ученик, которому прежде всего предлагается доказать, что не существует ни целого, ни дробного числа, равного \/5. Доказательство ведется так же, как и для /5. Затем строится квадрат MNPQ со стороной MN = Ъ ед. Внутри строится квадрат ABCD (черт. 2). Легко установить, что площадь последнего квадрата 5 кв. ед. Следовательно, чтобы найти длину отрезка AB, являющегося стороной последнего квадрата, надо найти численно значение /6. Итак, мы установили, что тех чисел, которыми мы пользовались до сих пор, недостаточно для решения некоторых задач. Поэтому мы вынуждены ввести дополнительно к известным числам новые числа. Эти числа не могут быть представлены никаким полным количеством единиц (т. е. они не целые числа), никаким количествам долей единицы (т. е. они не дробные числа). Прежним, до сих пор известным числам дается название рациональных чисел, а новые числа получают название иррациональных чисел.

На практике мы попрежнему для измерения длины отрезков пользуемся рациональными числами, обычно. десятичными дробями. Мы заменяем иррациональные числа их приближенными значениями в виде рациональных чисел и делаем это таким же образом, как в арифметике, когда находим десятич-

Черт. 2

ные дроби, выражающие с той или иной степенью точности данную обыкновенную дробь. Для уяснения этого учитель приносит в класс и вешает на стенку заранее приготовляемую^ таблицу приближенных значений у/2, вычисленных достаточно далеко (см. табл. 1). Затем преподаватель приступает к извлечению на доске квадратного корня из двух. Сперва он устанавливает, что число, обозначаемое знаком у/~2, больше единицы, но меньше двух, так как площадь квадрата в 2 кв. ед. больше площади квадрата в 1 кв. ед., но меньше площади квадрата в 4 кв. ед. На доске появляется запись:

1<]/2 <2.

Таблица № 1 приближенных значений числа \2~

Получив следующее число 1,4, учитель говорит, что эта десятичная дробь выражает число, записанное символом j/2, с недостатком, так как площадь квадрата со стороной в 1,4 ед. длины, равная 1,96 кв. ед., меньше площади квадрата в 2 кв. ед. Следовательно, отрезок прямой в 1,4 ед. длины короче отрезка, длина которого записана символом У 2. Поэтому 1,4<|/2. Аналогично устанавливается, что]/2<1,5, и на доске появляется запись:

При таких же разъяснениях на доске появляются еще две записи:

1,41 <2< 1,42; 1,414<|/2<1,415,

после чего учитель переходит к рассмотрению табл. 1. Здесь он подчеркивает мысль, что процесс извлечения ]/_2 бесконечен, ибо в противном случае \/2 равнялся бы в точности некоторой десятичной дроби и, следовательно, был бы рациональным числом. Затем он на конкретном примере показывает смысл приближенных значений ]/2. Делается это так: задается вопрос: „Дан квадрат со стороной 1 м. Сколько миллиметров, имеет длина его диагонали?“ Из четвертой строки таблицы видно, что эта длина больше 1414 мм, но меньше 1415 мм, т. е., приняв за длину диагонали одно из этих чисел, мы сделаем ошибку, меньшую 1 мм. Истинная величина диагонали заключается между этими двумя числами. Если взять за длину диагонали десятичные дроби шестой строчки, то получим 1414,21 мм с недостатком ц 1414,22 мм с избытком, т. е. ошибка не превышает 0,01 мм — ее мы не увидим невооруженным глазом. Если взять числа девятой строчки, то истинная величина диагонали рассматриваемого квадрата заключается между 1414,21356 мм и 1414,21357 мм. Разница между этими числами равна 0,01 микрона. (Вспомним, что длина самых крупных бактерий составляет 2 микрона.) Если взять числа одиннадцатой строки, то их разность равна 0,1 миллимикрона, т. е. есть величина порядка размеров атома, и т. д. Практически мы можем всегда взять вместо иррационального числа такую десятичную дробь, т. е. такое рациональное число, что делаемая при этом ошибка будет как угодно малой. Следовательно, то обстоятельство, что иррациональное число не может быть выражено ни целым, ни дробным числом, с практической точки зрения не представляет никаких неудобств.

2) Вернемся к таблице приближенных значений \/2. Вообразим себе, что процесс извлечения квадратного корня из двух мы будем продолжать неограниченно. Это будет выражаться в том, что к той десятичной дроби, которая

выписывалась на левой стороне таблицы, будет последовательно приписываться все новая и новая цифра. Мы получим, таким образом, бесконечную десятичную дробь, которую можем принять за истинное выражение для иррационального числа ]/2.

Для сравнения полезно привести процесс обращения обыкновенной дроби в десятичную. Деля 29 на 22, мы можем результат деления записать так:

§=1,318181818181...

Здесь бесконечную десятичную дробь 1,318181818181 . . . можно рассматривать как одну из форм изображения числа ^. Точно так же мы можем написать:

]/2= 1,414213562373...

и рассматривать стоящую справа бесконечную десятичную _дробь как способ изображения числа \/2, весьма удобный для практических целей, так как из бесконечной десятичной дроби легко получить приближенные значения числа в виде конечных десятичных дробей с любой степенью точности.

Для закрепления материала преподаватель предлагает ученикам составить таблицу приближенных значений числа ]/5 так же, как это сделано для |/2, ограничившись четырьмя первыми строчками, а затем демонстрирует большую таблицу приближенных значений \/ 5 (табл. 2). В заключение выписывается выражение |/5 в виде бесконечной десятичной дроби

^/5 = 2,236067977499...

Таблица № 2 приближенных значений числа V5~

Теперь остается выяснить характер тех бесконечных десятичных дробей, посредством которых выражаются иррациональные числа. Вернувшись еще раз к числу 22“, преподаватель обращает внимание учащихся на то, что та бесконечная десятичная дробь, которая изображает это число, периодическая. Но те бесконечные десятичные дроби, посредством которых записываются выражения для иррациональных чисел (например, для У 2, j/5), не могут быть периодическими, так как если бы они были периодическими, то их можно было бы обратить в обыкновенные дроби, и было бы рациональным.

3) Теперь можно перейти к окончательным выводам. Учитель напоминает учащимся, что рациональное число может быть или целым числом, или обыкновенной дробью. Последняя может быть представлена либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной десятичной дроби, но в последнем случае обязательно периодической. Впрочем, учащиеся знают, что и целое. число может быть записано в виде дроби, правда, сократимой, в частности в виде десятичной дроби, у которой после запятой стоят нули. Таким образом', можно сформулировать следующее положение:

Рациональное число—это такое число, которое может быть изображено в виде десятичной дроби, конечной или бесконечной, в последнем случае обязательно периодической.

Иррациональное число—это такое число, которое может быть представлено в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.

4) Мы до сих пор говорили о таких иррациональных числах, происхождение которых носило геометрический характер и для которых их выражение в виде бесконечной десятичной дроби не задавалось, а получалось в результате алгебраической операции извлечения квадратного корня из рационального числа. В условиях преподавания математики в VIII классе возникает естественное опасение, что учащиеся будут мыслить

себе иррациональное число только как такое, которое является следствием извлечения корня той или иной степени из рационального числа. Этой опасности трудно избежать здесь, так как только в IX классе учащиеся получают возможность познакомиться с иррациональным числом иного происхождения. Тем не менее и в VIII классе следует показать примеры иррациональных чисел, заданных только их выражениями посредством бесконечных десятичных дробей.

Возьмем в качестве примера следующую бесконечную десятичную дробь, которую для краткости обозначим символом а.

а = 1,252552555255552555552...

Закон образования этой бесконечной десятичной дроби ясен: после каждой двойки количество пятерок увеличивается на единицу. Мы всегда можем сказать, на каком месте какая цифра стоит. Но эта дробь непериодическая. Таким образом, нет рационального числа, которое можно было бы выразить посредством рассматриваемой дроби. Учителю нужно показать, что мы можем представить себе геометрически такое иррациональное число, которое бы выражалось этой дробью.

Черт. 3

Таблица № 3 приближенных значений десятичной дроби.

а ~ 1,252552555255552...

Вспомнив с учащимися, что такое шкала чисел и как она строится, учитель вычерчивает ее на доске, взяв масштаб в 1 м (черт. 3). Затем он обращается к рассмотренной перед тем десятичной дроби и отмечает, что числам первой строки таблицы (табл. 3) на шкале чисел соответствуют две точки Аг и Вх (ОА1=\ м и ОВх = 2 м). Числам второй строчки соответствуют точки Л, и В2 (ОЛ2= 1,2 м и 0£2=1,3 м). Рас: стояние между этими точками равно 1 дм. Числам третьей строчки таблицы соответствуют точки Л3и Bz(OAs= 1,25м и ОВг=\,26 м). Расстояние между ними равно 1 см. (Л3<83= 1 см). Числам четвертой строчки таблицы соответствуют точки Л4 и ß4 (0Л4= 1,252 м и Oß4 = = 1,253 м. Точки на шкалу не нанесены вследствие технической невозможности это сделать). Расстояние между этими точками равно 1 мм. Промежуток А4В±=\ мм. Вообразим себе, что будем так продолжать все дальше и дальше. Числам седьмой строчки таблицы отвечают точки Л7 и Б7(ОЛ7=1,252 552мм и 0ВЧ = 125,553 мм). Промежуток между ними равен 1ц (тысячной доле миллиметра). Промежуток А10В10 на шкале чисел должен равняться одному (одной миллионной доле миллиметра). Для сравнения следует указать на размеры атома водорода (около 0,1 m\i).

Процесс перехода от одной строки таблицы к другой мы можем мыслить продолжающимся неограниченно далеко. При этом будем получать два ряда точек: А19 Ло, Л3,..., Л10... —каждая следующая точка лежит правее предыдущей, и Bl9 В2, Bs,...9 В10,... — каждая следующая точка лежит левее предыдущей. Промежутки AxBl9 А2В2у A3BS..., A10,ßio,- неограниченно укорачиваются, стремясь к нулю. Они, как говорят в математике, стягиваются к точке. Под этим понимается следующее: можно признать, что существует одна, и только одна, точка С, которая принадлежит всем указанным выше промежуткам. Другими словами, существует один, и только один, такой

отрезок ОС, который длиннее всех отрезков oaïy оа2, ОЛ8,..., оа10..., короче всех отрезков ови ов2, овг,..., ob1q,... Длина этого отрезка ос и выражена посредством бесконечной дроби а =1,252552555255552... Так можно рассуждать, взяв любую бесконечную десятичную непериодическую дробь. Всегда найдется такая точка на прямой, которую можно .считать соответствующей этой дроби. Подобным же образом можно изобразить на прямой рассмотренные ранее с_ учащимися иррациональные числа |/2 и Vb . Однако само нанесение на шкалу последних двух чисел лучше произвести геометрическим путем, построив отрезки прямой ab согласно чертежам 1 и 2 и отложив их вправо от точки о. Концы этих отрезков дадут нам точки, изображающие данные числа.

В заключение следует отметить, что можно рассматривать отрицательные иррациональные числа, если представить себе, что длина соответствующих отрезков прямых отсчитывается на числовой прямой влево от точки о.

Итак, можно утверждать, что каждой десятичной дроби, конечной или бесконечной, периодической или непериодической, на прямой соответствует определенная точка. Обратное также справедливо: каждой точке на прямой соответствует определенное число, выраженное десятичной дробью. Это число находится путем операции измерения.

Числа рациональные и иррациональные вместе называются действительными.

5) Теперь следует подвести некоторые итоги. Учитель отмечает следующие установленные положения:

a) вначале было показано, что известных ранее учащимся чисел недостаточно для решения некоторых задач, в частности для измерения длины любых отрезков прямой. Чтобы преодолеть это затруднение, оказалось необходимым ввести дополнительно новые иррациональные числа;

b) отличие новых чисел от прежних (рациональных) состоит в способе их изображения десятичной дробью;

c) иррациональным числам, подобно рациональным, соответствуют на числовой прямой определенные точки,

Далее учитель переходит к ознакомлению учащихся с тем, как сравнивать по величине эти числа друг с другом и с рациональными числами. Естественно признать два числа равными друг другу, если десятичные дроби, их представляющие, одинаковы, т. е. если цифры, стоящие на одном и том же месте, равны. Если же десятичные дроби, представляющие данные числа, неодинаковы, то надо последовательно сравнивать друг с другом цифры, стоящие на одном и том же месте в каждой из них, начиная от крайней левой цифры. Тогда та десятичная дробь считается большей, у которой целая часть больше; если же целые части равны, то та, у которой первая по порядку из неравных цифр, стоящих после запятой, больше. Эти критерии сравнения надо усвоить на примерах.

Пример 1 ; Какое число больше: \/3 или 1,7369.

Решение. Извлекаем \/3~. Получаем: V 3= 1,7320... Ясно, что число 1,7369 больше, чем у/з~#

Пример 2. Указать, какое из следующих трех чисел больше:

Решение. Сравниваем заданные числа, превращая их в десятичные дроби. Начинать следует с дробей, так как обращать их в десятичные дроби легче. Имеем:

Ответ выражается в форме неравенства:

Рекомендуем в качестве дополнительных упражнений следующие: узнать, какие из нижеследующих чисел больше:

Изложение вопроса о сложении иррациональных чисел должно быть тщательно продумано учителем. Прежде всего у учащихся надо вызвать представление о том, что сложение иррациональных чисел так же мыслимо, как и рациональных, и что его результатом, т. е. суммой, будет определенное число. Для этого необходимо в первую очередь воспользоваться соответствующими геометрическими образами и лишь затем разъяснить смысл того, что следует иметь в виду под рассматриваемым действием, не торопясь со словесными формулировками определения.

Возьмем два числа у/2 и yfà. Мы видели выше, что каждое из них может выражать длину определенного отрезка прямой. Если эти два отрезка сложить, то получится новый отрезок прямой. Число, выражающее его длину, естественно принять за сумму чисел, выражающих собой длины слагаемых отрезков, т. е. за сумму чисел yj2 и V5. В связи с этими рассуждениями учитель производит циркулем и линейкой геометрические построения на числовой прямой соответственно тому, как это выполнено на таблице 4. Это пособие должно быть заранее подготовлено учителем и принесено в класс. Но то, что на нем изображено,, учитель вновь воспроизводит на доске, а ученики — в своих тетрадях.

Примечание к таблице 4. Квадрат AMBD, диагональ которого выражает число у“2,~должен быть выделен легкой штриховкой. Ломаную ЛВС следует выделить толстой цветной линией. (Она должна резко выделяться на чертеже и таким же цветом должна быть выделена на шкале внизу.)

Установив таким образом, что сумме двух чисел соответствует на прямой определенная точка, учитель показывает, как получить ту десятичную дробь, йоторую следует считать суммой этих чисел. Составляется табличка примерно такая, как и в учебнике алгебры Киселева. Табличка воспроизводится на доске и в тетрадях учащихся. При ее составлении следует обратить внимание учащихся на то, что приближенные значения суммы получаются с точностью не до одной доли соответствующего разряда, а до двух. Составление таблицы заканчивается рассмотрением приготовленной заранее и повешенной на стену таблицы 5.

Таблица № 4

Таблица № 5 приближенных значений V2 +V5

При рассмотрении таблицы 5 следует обратить внимание учащихся на то, что составляющие, как конечные десятичные дроби, представляют величину суммы чисел yJ2 и sjb со все возрастающей степенью точности. Если бы мы, например, пожелали выразить в миллиметрах длину отрезка прямой, равную (j/2~_|-y 5 ) метров, и взяли бы двенадцатую строчку таблицы, то получили бы два числа:

3650,28153986 лш 3650,28153988 мм

Разность этих двух чисел — 0,02/ир. (вспомним еще раз, что размеры атома водорода около 0,1 ту*). Первое число меньше данного, второе больше. Следовательно, число \J2 + v/5 заключено между ними. Но таблица может быть продолжена дальше. Таким образом, мы будем получать десятичные дроби, как угодно мало отличающиеся от суммы числа 1/2+v/5. Левая колонка десятичных дробей таблицы, выражающих приближенные значения суммы V2 +\/5 , будучи неограниченно продолжена, приводит к бесконечной десятичной дроби, которую мы и принимаем за сумму чисел \J2 и v/5 . Таким образом, если нужно сложить два иррациональных числа, мы складываем их приближенные значения, выраженные десятичными дробями, взятые с недостатком и с одной и той же степенью точности. Вообразив себе, что такое сложение будет производиться, во-первых, последовательно и, во-вторых, неограниченно, мы составим бесконечную десятичную дробь, которая принимается за сумму данных иррациональных чисел.

Совершенно так же, как и сложение, могут быть установлены и другие действия над иррациональными числами, в частности — умножение. Но вряд ли есть смысл и время подробно останавливаться на этом в VIII классе. Важно лишь, чтобы учащиеся усвоили себе идею всего этого. А это разъяснено достаточно подробно на действии сложения.

На этом мы заканчиваем тему, посвященную учению об иррациональном числе в VIII классе.

В заключение дадим примерную разбивку материала темы по урокам.

Вступительная часть — повторение нужного арифметического и алгебраического материала из прошлого —2 часа.

Установление понятия об общей мере отрезков прямых и о соизмеримых и несоизмеримых отрезках прямой — 2 часа.

Установление понятия об иррациональном числе—3 часа.

Сравнение иррациональных чисел — 1 час

Сложение иррациональных чисел — 1 час

Подведение итогов — 1 час

Всего 10 часов.

Впрочем, глава о соизмеримых и несоизмеримых отрезках прямой может быть отнесена на уроки по геометрии. Тогда на тему об учении об иррациональном числе нужно минимум 8 часов.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 2 ЗА 1947 ГОД

№ 21

Велосипедист совершил поездку из А в В и обратно. Путь состоял из горизонтальных участков, подъемов и спусков. На горизонтальных участках его скорость была 12 км в час, на подъемах 8 км в час и на спусках 15 км в час.

Из А в В велосипедист ехал 5 часов, из В в А— 4 часа 39 мин. Зная, что общая длина горизонтальных участков составляет 28 км, определить общую длину подъемов и общую длину спусков (от А к В).

1. Арифметическое решение. На прохождение горизонтальных участков велосипедист затратил:

Следовательно, на подъемы и спуски по направлению от А к В было затрачено:

и в направлении от В к А

На каждый километр подъема (от А к В) велосипедист затрачивает J-часа и на него же в обратном направлении затрачивает JL часа (так как он становится уже спуском). Таким образом, на каждый лишний километр подъема от А к В велосипедист затрачивал лишних

Всего же им затрачено лишних

Отсюда следует, что длина подъемов от А к В больше, чем длина спусков на

На эти 6 км подъема велосипедист затратил

Следовательно, на остальные подъемы и на спуски (причем и те и другие имеют уже одинаковую длину) было затрачено:

На I км подъема и на I км спуска вместе затрачивается:

Следовательно, общая длина спусков от А к В равна:

Общая же длина подъемов равна:

2. Алгебраическое решение. Задача принадлежит к той группе задач, для которых алгебраическое решение является неизмеримо более коротким и легким.

В самом деле, обозначив (от А к В) длину подъемов через х, длину спусков через у, мы. сразу получаем систему двух уравнений :

решив которую, и получим ответ на вопрос задачи.

№ 22

Доказать, что если—\, а являются корнями уравнения x'2n+l+\=Q, то

Решение. По теореме Безу имеем тождественно:

Отсюда но разделении на лг-f-l получим:

Положив в этом тождестве лг=1, и получим требуемое соотношение.

Примечание. В задачнике по алгебре Кречмара есть аналогичная задача для уравнения хп—1=0. В этом случае, как легко показать, (1—(1—.. (1_Х>=л.

№ 23

Точками Е, F и D каждая из сторон треугольника ABC разделена в отношении m : п.

Найти отношение площади треугольник!, образованного прямыми АЕ. В F и CD к площади данного треугольника Решение. Согласно условию

(1)

Обозначим искомую площадь через x, а площади треугольников и четырехугольников, на которые разбивается прямыми АЕ, BF и CD данный треугольник, соответственно через р\, р2, и g и <7г“ fJz (см. черт. 1).

Черт. 1

Из равновеликости треугольников ВАЕ и CBF следует, что

/>3+?8=Л+?1- (2)

Точно так же из равновеликости треугольников ВАЕ и ACD:

/>2+?2=/>1+?3- (3)

На основании же теоремы о треугольниках, имеющих общую вершину, найдем, что

Отсюда:

На том же основании:

(5)

Но тогда;

Из (4) и (6) получаем:

(7)

Совершенно аналогично найдем:

(8)

Исключив x из (7) и (8) путем вычитания, получим:

(9)

или

По из (2) и (3) имеем:

После подстановки получим:

Наконец, приняв во внимание (2),

или:

Но отсюда непосредственно следует:

А тогда из (2):

Совершенно аналогично найдем, что

а тогда из (3), что

и, следовательно, в итоге имеем:

Pi =P2 = Ps = P и ^ = ?2 = çg = д.

Выразим площадь S треугольника ABC через pnqn через площадь х искомого треугольника. Будем иметь:

x И- Зр -f- 3q = S. (8)

С другой стороны, соотношения

дают следующую систему уравнений относительно Р “ Я-

или:

Решив эту систему, найдем:

Подставив эти значения в (8), получим:

№ 24

В центре квадратного участка земли со стороной 12 м требуется вырыть котлован цилиндрической формы с радиусом в 4 м. Вырытую землю нужно разбросать ровно по остальной поверхности участка (с той же плотностью). Определить с точностью до 1 см, до какой глубины нужно рыть, чтобы котлован получился глубиной в 1,25 м.

Решение. Если обозначить через х (в метрах) глубину CD, на которую нужно рыть, то объем вырытой земли будет равен:

7г42лг — 1Ö7U:.

Площадь, на которой будет раскидана вся эта земля, равна площади участка без площади основания котлована (черт. 2), т. е.

Тогда толщина DE нового слоя земли будет равна:

Общая же глубина котлована СЕ по условию должна быть равна 1,25 м. Следовательно, имеем:

Отсюда:

Непосредственным вычислением находим:

С точностью до i ем х--0,81 м.

В условии задачи были пропущены размеры участка земли, и отсюда данных для ее решения оказалось недостаточно. Понятно, что задача исключается из конкурса.

№ 25

Найти два числа А и В, зная их сумму ((Л и частное от деления их ОНК на ОНД, равное 120.

Решение. Обозначив ОНД = d, будем, иметь:

А — md; В = nd,

где тип взаимно простые числа. Тогда OIIK—k будет равно:

k = mnd.

По условию:

(1)

и, кроме того,

А-\- В = (m + n)d = 667. (2)

Из (1) и (2) следует, что нужно 120 разбить на два таких взаимно простых множителя, сумма которых делила бы число 667=23-29. Но 120 = = 23 • 3 • 5. Чтобы множители были взаимно простыми, необходимо и достаточно, чтобы 2'] целиком входил только в один из них. Отсюда имеем такие возможные разложения:

или, соответственно:

Сумма т-\-п будет соответственно равна:

121; 23; 43; 29.

Итак, видим, что условию удовлетворяют лишь значения:

1) й»8 ия«15 rf = 29; 2) m = 5 и n m 24 d = 23,

так как лишь в этих случаях число 667 делится на m -j- п.

Следовательно,

А = 8 • 29 = 232; В = 15 • 29 = 435

или:

А = 5- 23 -115; 5 = 24-23 = 552. № 26

Найти натуральное число N, зная, что:

1) число его делителей нечетное;

2) если его разделить на 39, то получится в частном простое число и в остатке 1. Решение. Число делителей выражается формулой:

(а+1) (Р + 1)...(Х + 1),

где а, р,... I — показатели простых множителей, входящих в iV.

Так как это произведение по условию — число нечетное, то каждый из множителей (д + I) (ß -f- 1)... должен быть нечетным числом, а, значит, каждый из показателей а, В,... число четное. Другими словами, число N должно быть точным квадратом. Пусть N =* р2.

Тогда по условию:

/?3 «в 39т + 1,

где m — число простое. Отсюда:

(р+1) (р- 1) = 3« 13. т.

Так как 3,13 и m числа простые, то следует рассмотреть следующие возможные комбинации:

Из этих комбинаций сразу должны быть исключены 5-я и 8-я, так как /> + 1>/7- 1. Невозможна и 1-я комбинация, так как разность (Р + 1) —* (Р — 1) получается больше двух, 2-я комбинация дает:

р = 38; m = р — 1 = 37 — число простое.

Следовательно, имеем одно решение: # = 382= 1444 = 39.37 + 1.

3-я комбинация дает:

/7=14; Зт = р + 1 = 15; m =: 5.

Следовательно, имеем второе решение;

#= 142 = 196 = 39-5+ 1.

4-я комбинация не дает решения, так как здесь:

р = 4; 13т = р + 1 = 5,

и для m не получается целое значение.

По той же причине не дает решения и 6-я комбинация, так как в этом случае

р = 12; 3m=p — 1 = И.

Наконец, 7-я комбинация дает третье решение:

№ 27

Найти все четырехзначные числа, делящиеся на 13, сумма цифр которых равна 13.

Решение. По условию имеем:

1000« + 1006 + 10с + d - 13Ä,

или:

1001а — а + 1040 - 46 + 13с-3с + d = 13/г,

отсюда:

— a — 4b — 3c + d = 13k. (1)

С другой стороны, по условию должно быть:

<* + Ь +с+ d= 13. (2)

Сложив (1) и (2), найдем:

— ЗЬ — 2с + 2d = 13л

или:

3£ + 2(c-d) = 13я. (3)

Давая а значения от 1 до 9, a b значения от 0 до 9 (можно составить таблицу, расположив, например, по горизонтали значения а, по вертикали значения Ь), мы будем получать соответствующие значения для с + d (из 2). Пользуясь условием (3), найдем соответствующие значения для с и d.

Пусть, например, а = 4, 6=1. Тогда

c + rf = 8 2 (с — йГ) = 13/г — 3. (4)

При п = 1 получим с — d = 5 и для с и d получим значения 6 4f и 1 которые, очевидно, не годятся.

При п — — 1 получим с — ti = — 8. Отсюда в (4) находим, что с = 0, af = 8. Получаем число 4108, удовлетворяющее условиям задачи. Пусть еще а = 6, 6 = 2. Имеем:

с + <* = 5

2 (с — d) = 13л-6.

Очевидно, здесь придется положить п = 0 и, значит, с — d — 3.

Находим с = 1 и й = 4. Получаем число 6214. Всего, таким образом, найдем 31 число, удовлетворяющее задаче.

№ 28

Велосипедист выехал из А в В и ехал с постоянной скоростью 20 км в час. Когда он проехал 8 -4~ км> ег0 нагнал автокар, вышедший из А на 15 мин. позднее и шедший тоже с постоянной скоростью.

После того как велосипедист проехал еще 25 км, он встретил автокар, уже возвращавшийся из В, где он стоял -g- часа. Определить расстояние между А и В.

Решение. Расстояние АС (см. черт. 3) велосипедист проехал в 8 -у :20 = у^часа.

Так как автокар вышел на -j- часа позднее велосипедиста, то, значит, это же расстояние он прошел в -ту - г = е~ часа.

Черт. 3

Отсюда скорость автокара равна:

Велосипедист проехал следующие 25 км в течение

Автокар же за это же время был в пути

и, следовательно, прошел расстояние:

Но это расстояние складывается из CD = = 25 км и удвоенного расстояния DB. Следовательно, расстояние DB равно

Вес же расстояние между А и В равно:

№ 29

Показать, что ни в какой арифметической прогрессии с рациональными членами произведение четырех последовательных членов не может быть точным биквадратом.

Решение. Пусть первый член прогрессии -g-, а разность-^-, где а, Ь, с и d — целые числа. Тогда искомое произведение будет:

или

(1)

Так как знаменатель в (1) является точным биквадратом, то достаточно показать, что числитель не может быть точным биквадратом.

Обозначив для краткости ad — m и be — n получим;

Q = m(m + n)(m -f 2n) (m + 3n)

или:

Q = m* -f 6/Ш* J- 1 \n*np f- 6nßm.

Прибавив и вычтя л4, мы можем это выражение представить в таком виде:

Q = (m- + 3/fifl г л2)- — /г4

(в чем легко убедиться непосредственной проверкой).

Предположив, что Q является точным биквадратом, т. е. Q = Ä4, будем иметь:

*4 ni sas (m2 t 3m/i -f /г-')2.

Но это равенство невозможно, так как сумма четвертых степеней двух целых чисел не может быть точным квадратом (см., например, Вебер и Вельштейн „Энциклопедия элементарной математики“, т. 1, или Граве „Трактат по алгебраическому анализу“, т. II).

№ 30

Решить уравнение

Решение. Сгруппируем члены левом части так:

(*М 2v2-|-i).j-2(.vH-.v) f 2(k*ï 1).

Отсюда имеем :

ix2+\)2 + 2(x*+\)(x+ 1)^0.

или :

(х*+\)(х* + 2х + 3)-0.

Следовательно, имеем два уравнения:

л2 +1=0 х2 + 2* -f 3 = 0,

решив которые, найдем:

*1,2 - ± *3,4*= ~l±i V2.

№ 31

Вычислить сумму:

Решение. Из тождеств :

по сложении их получим

Отсюда но сокращении найдем :

№ 32

Определить угол равнобедренного треугольника АБСу в котором высота вдвое менее биссектрисы угла при основании.

Решение. Имеем:

АЕ = 2BD. (1)

Выразим высоту BD и биссектрису АЕ через сторону AB = с и угол А.

Из треугольника ADB имеем:

BD = csin/l (2)

Из треугольника ABE:

угол как внешний к д АЕС равен

Но £В= 180°-2^/ А. Отсюда имеем:

(3)

Подставив из (2) и (3) в (1), получим по сокращении

Отсюда:

(4)

Это уравнение дает

Но в первом случае получим А = 180°, что невозможно. Следовательно, у = 90°—Л, откуда Л-36°.

№ 33

Доказать тождество :

Решение. Имеем:

Но но условию:

и следовательно:

Произведя замену в (1), получим:

По раскрытии скобок и приведении подобных членов получим требуемое тождество.

№ 34

Доказать, что при неравных a, b и с

(1)

Решение. Из (1) имеем:

или:

Отсюда:

или:

Отсюда, по перенесении всех членов в левую часть, получим;

Но это неравенство очевидно при положительных и неравных между собой числах a, b и с. Отсюда, производя преобразования в обратном порядке, получим требуемое неравенство.

№ 35

Теорема Морлея.

Все углы треугольника ABC разделены на три равные части прямыми U 1\1 т, тх\ я, щ. Точки пересечения прямых /, и m, mi и п\ щ и / обозначим соответственно Р, Q, R. Доказать, что A PQR правильный.

1-е решение (геометрическое). Пусть:

О и Я —точки пересечения 4 я Щ i\ и m (черт. 5) Так как Я—точка пересечения биссектрис АР и BP треугольника AGB (черт. 6), то и ОР—биссектриса того же треугольника и, следовательно,

Z.AOP = Z.BOP = 90° — (а + ß)

или, так как

(1)

Черт. 5

Черт, б

Построим на РО при вершине Р углы по 30°. Пусть R и Q — точки пересечения ' вторых сторон этих углов с АО и ВО. Тогда:

bPRO = àPQO (2)

по общей стороне РО и прилежащим к ней углам. Отсюда PR = PQ и так как Z.RPQ = 60°, то A PRQ — правильный. Остается показать, что R и Q являются точками пересечения / и üj9 л и mj то-есть, что

Отложим AM шт АР и ВК = #Л тогда

(3)

Точно так же найдем, что

ZA'Qtf - 180°—2?.

Из (3) заключаем, что

MR=*RP и Q/C =- А?.

Отсюда следует, что

MR = QK. (6)

Это значит, что четырехугольник MRQK есть равнобочная трапеция (MR = QK и ^MRQ »= s= /_KQR). Опишем вокруг нее окружность.

Угол AÎ/?Q опирается на дугу MKQ\ следовательно, дуга Af/CQ содержит столько же градусов, сколько угловых градусов содержит 2 /.MRQ, а значит, дуга MRQ содержит столько же градусов, сколько угол 360° — 2^/ MRQ. Приняв во внимание (4), найдем, что дуга MRQ содержит 360° — 2 (180° — 2?) = 4? градусов. Но отсюда следует, что дуга MRQK содержит 67 градусов, так как MR = RQ = QK. А так как /_С содержит З7 градусов, то, значит, и вершина С лежит на проведенной окружности. А отсюда непосредственно следует, что

Второе решение (вычислением). Имеем:

(1)

Затем:

(D —- диаметр описанной окружности).

Обозначим BQ = m и BP = п.

(Из ABQC, приняв во внимание (1), найдем:

(2)

Из &ВРА:

(3)

Далее:

Точно так же получим

Подставив из (4) и (5) во (2) и (3), получим

(6)

Далее?

или, подставив из (6):

(7)

Определим величину выражения, заключенного в скобки. Но, применив теорему косинусов к треугольнику с углами 00° -f-а, 60° + 7 и ß (заметим, что (60° -f a) -f (60° + + 180°) и диаметром описанной окружности, равным 1 (тогда стороны, заключающие угол ß, равны 60°-f-а и 60°-(-т)» сразу получим, что выражение в скобках в (7) равно sin2 ß. Подставив в (7), найдем окончательно: ...

(8)

Таким же способом получим и для QR и RP то же выражение, что, впрочем, следует уже из симметричности выражения (8) относительно в, M т.

№ 36

Треугольник ABC двигается на плоскости таким образом, что две его стороны AB и ВС все время касаются двух постоянных окружностей. Доказать, что сторона АС треугольника тоже касается некоторой окружности.

Решение. Пусть Ох и 02—центры окружностей, которых касаются стороны AB и ВС треугольника ABC (черт. 7). Проведем через Ох прямую, параллельную AB через 02 прямую, параллельную ВС. Пусть В'—точка пересечения этих прямых. Очевидно, В', при всех положениях треугольника ABC, лежит на дуге окружности, построенной на ООх и вмещающей угол, равный Z.ABC (так как =* £В).

Далее, точка В' находится на постоянных расстояниях от AB и ВС, равных радиусам данных окружностей. Следовательно, точка В' твердо скреплена с треугольником ABC и, значит, находится на постоянном расстоянии и от АС.

Опустим из О! и 02 перпендикуляры на AB и ВС и пусть M — точка их пересечения и MD — перпендикуляр, опущенный на АС. Так как /JVO.M V £В'02М =90°-f- 9()9= 180°, то и /В'+ T dLOiMO-i — 180° и, следовательно, точки 0\ В', Q2 и M лежат на одной окружности. Пусть О—вторая точка пересечения MD с той же окружностью. /_0{МО = Z.CAB— как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Но ^А — угол данного треугольника. Следовательно, и ^ОуМО, равный ему, остается одним и тем же, а значит, и дуга ОхО, на которую этот угол опирается, тоже остается постоянной. Но точка Ох— определенная точка, следовательно, и точка О остается все время на своем месте. Далее, так как ^МОф прямой, то и £МОВ'. прямой (опирается на ту же дугу). Отсюда ÖB' \\ АС и, значит, OD = const.

Отсюда следует, что сторона АС все время касается окружности с центром в О и радиусом, равным OD.

№ 37

Используя все цифры от 1 до Р, составить три трехзначных числа с наибольшим или наименьшим возможным произведением.

Решение. 1. Очевидно, при минимуме число сотен должно быть наименьшим. Это значит, что три искомых числа должны иметь вид:

1 ах; 2Ьу; Ъсг,

где а, Ъ, с, х, у, г.— остальные цифры.. 1. Докажем, что должно быть:

а<Ь<с (1)

Предположим противное — например, что а > Ь. Тогда

и так как по предположению а > Ь% то

Черт. 7

то-есть Отсюда :

то-есть произведение

не является наименьшим.

Аналогично доказываются и остальные из неравенств (1).

2. Докажем теперь, что должно быть

Опять предположим, что, например, х > у. Тогда

(так как три сомножителя в левой части положительны). Отсюда :

а это опять значит, что произведение (2) не является наименьшим.

3. Докажем, что каждая из трех цифр х, у, г больше каждой из цифр а, Ь, с.

Предположим, например, что b >х, то-есть b = х + а(а>0)

Тогда

(в скобках уменьшаемое больше, а вычитаемое меньше 1000).

Отсюда :

то-есть опять произведение m не будет наименьшим. Так же можно доказать и другие случаи. Из 1, 2, 3 непосредственно следует, что наименьшее возможное произведение будет

m = 147 . 258. 369.

Очевидно, при максимуме числа* должны иметь вид:

M = 9ах • Sby • lez.

Так же, как ив 1, доказывается, что должно быть

3'. каждая из трех цифр x, у, z меньше каждой из цифр а, Ь, с. »

Отсюда непосредственно получим:

№ 38

Построить треугольник, зная на плоскости положение трех точек, являющихся центрами квадратов, построенных на сторонах треугольника и расположенных вне треугольника.

Решение. Задача допускает различные способы решения.

Приведем один из них.

Пусть ABC (черт. 8) искомый треугольник; M, N, Р—заданные три точки; Ах, Вх, С]—середины соответственных сторон треугольника ABC.

Черт. 8

Соединим M с N, Р с В, С\ с Au и Ci с Вх Далее, отложим C\N || А\Н и CjN = AXN и точку TVj соединим с N. Тогда:

так как оба равны

так как оба равны

как углы с взаимно перпендикулярными сторонами;

на том же основании.

Отсюда следует, что ломаная МС^ЫХЫ й Ломаная ВСхВгР равны (то-есть совпадают при наложении) и, значит, MN = PB, а так как MCi±BCb то значит, эти ломаные повернуты относительно одна другой на 90°. А из этого непосредственно следует, что MN±BP.

Отсюда построение: соединяем точки M и N. Опускаем из Р перпендикуляр на MN и откладываем PB = MN. Получаем вершину В треугольника. Таким же способом находятся и остальные вершины.

№ 39

Доказать, что прямые, соединяющие каждую из вершин четырехугольника с центром тяжести треугольника, образованного тремя остальными вершинами, пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 3:1.

Очевидно, достаточно доказать, что какие-либо две такие прямые делятся в точке пересечения в отношении 1:3. Пусть Р и Q (черт. 9)—центры тяжести соответственно треугольников ACD и BCD и О — точка пересечения прямых AQ и BP. Очевидно, Р лежит на медиане AM треугольника ACD и делит ее в отношении 2:1. Точно так же Q лежит на медиане ВМ треугольника BCD и делит ее в отношении 2:1. Отсюда AMPQ ж àMABt и коэфициент подобия равен 1:3.

Из подобия треугольников OQP и О AB за-ВО АО AB заключаем, что—по = -7577- = ~7ТТГ = Т*

№ 40

Из каждой вершины квадрата как из центра проведена окружность радиуса, равного стороне квадрата. Доказать, что фигура, полученная в пересечении четырех кругов, может вращаться внутри правильного треугольника так, что все время каждая из сторон треугольника будет иметь одну общую точку с периметром фигуры.

Решение. Треугольник MCÖ (черт. 10) правильный. Следовательно, /_MCD = 60°, /_ВСМ~-30° и так как ВС=МС, то £СВМ= — 2 — =75°, а, значит, £АВМ = 15°. Так же докажем, что £ХВС = 15°, а следовательно,

Z.MBN = 90° — 15° - 15° = 60°.

Но ВМ — BN (что легко доказать, хотя бы, например, из равенства треугольников ВС M и BAN). Следовательно:

^ BMN = Z.BNM = 60°

и, значит, треугольник MBN правильный.

Теперь представим себе, что точки M и N фигуры MNPQ скользят по сторонам XY и YZ правильного треугольника XYZ (черт. 11). Через

В обозначим тот же центр дуги PQ, что и на черт. 10. Так как £MYN, l_MBN (см. черт. 10) содержат по 60°, то точки M, Y, В и N лежат на одной окружности (на дуге, построенной на отрезке MN и вмещающей угол в 60°). Отсюда £NYB = £NMB (как опирающиеся на одну и tv же дугу NB). Но £NMB = 60° (см. черт, 10), следовательно, и £NYB =* 60°; а это значит, что

Черт. 9

Черт. 10

Черт. 11

YB-\\ XZ. Следовательно, еели высота треугольника XYZ равна AB, т. е. радиусу дуги PQ, то при указанном движении фигуры дуга PQ окружности все время касается стороны XZ.

Остается убедиться, что при таком движении дуги MN д^ги MQ и NP не пересекут сторон ХУ и ZY. Как показано выше, £ МСВ = *= £MDA = INDC = /_MDN = 30°. Это значит, что хорда MN фигуры составляет с касательными к дуге MNt проведенными в точках M и N углы по ~2~ = 15°. Такие же углы образуют: касательная к дуге NP в точке N с хордой N и касательная к дуге NP в точке N с хордой NP, Отсюда следует, что эти две прямые составляют с хордой MN углы в 90°+ 15°= 105°.

Пусть, как сказано, точки M и .V фигуры скользят по сторонам УХ и YZ, а центр В дуги PQ двигается от положения У до крайнего положения В, при котором точка Р попадает на XZ (см. черт.). Так как /.MBN= 60° и Z.QBp= 60° — 30°=30°, то £NBP=-2-•= 15в; Следовательно, в крайнем положении и угол между МЫ й XZНравен 15° (углы с взаимно перпендикулярными сторонами), а, значит, £ ЫМХ = = 180°—60°—15°=105°. Итак, при движении фигуры угол XMNуменьшается от 120° до 105°— дуга MQ все время не пересекает стороны ХУ. Еще легче проверяется подсчетом пределов, в которых меняются углы NM Y, MNY и MNZ, что дуги МЫ и NP не пересекают сторон правильного треугольника.

ЗАДАЧИ

81. Найти два трехзначных числа, сумма которых кратна 504, а частное кратно 6.

(L'Education mathématique).

82. Римлянин Сабиний составил завещание, по которому его имущество должно быть поделено поровну между его сыном Азинием и несколькими вольноотпущенниками. Но. за два года до его смерти был издан (в 40 г. до нашей эры) закон Фальцидия, обеспечивающий за прямым наследником не менее -^-наследства.

По этому закону Азиний должен будет получить на 2 250 сестерций больше, чем ему приходилось по завещанию.

С другой стороны, если бы вольноотпущенников было на 2 меньше, то часть, завещанная Азинию отцом, была бы на 3 750 сестерций больше, чем ему причиталось по закону Фальцидия.

Как велико было наследство и сколько было вольноотпущенников?

(L'Education mathématique)

83. Найти два числа, произведение которых — трехзначное число, являющееся точным кубом некоторого натурального числа, а частное—квадрат.

(L'Education mathématique).

84. Доказать, что уравнение

x2+px + q = Q

не может иметь рациональных корней, если рис — целые нечетные числа.

(L'Education mathématique.)

85. Найти трехзначные числа, квадрат которых оканчивается теми же цифрами, которые образуют само число.

А. Зайцев (Ногинск)

86. Упростить выражение:

2 (sin* X + sin2 X cos2 х cos4 д)2 — (sins x + cos» v)

А. Зайцев

87. Решить систему уравнений:

X. Хамзин (Стерлитамак)

88. Исключить X я у кз системы уравнений:

89. Иайти пять четырехзначных чисел, удовлетворяющих следующим условиям:

1. Искомые числа являются квадратами пяти последовательных возрастающих натуральных чисел.

2. Если искомые числа разбить на грани по две цифры, то суммы чисел, образованных гранями, являются квадратами пяти последовательных убывающих натуральных чисел.

М. Шебаршин (Кемерово)

90. Найти шестизначные числа, удовлетноряющие условию:

xyzuvt = (xyz + uvtf.

(M, Шебаршин)

91. Доказать для треугольника соотношение:

где h — высоты, / — биссектрисы треугольника, R — радиус описанной окружности.

А. Владимиров (Ялта)

92. В прямоугольном треугольнике с углом в 15° найти катеты, если гипотенуза равна а (не прибегая к тригонометрии).

А. Владимиров

93. Решить уравнение:

(JC —4) (х-*5)(х— 6)(Х — 7)т 1680

Л. Аляев (ст. Валовой)

94. Найти cos* и sin г, если

a cos x -f- b sin x = с

П. Моденов и Л. Пархоменко (Москва)

95. 1°. Доказать теорему: прямая, проходящая через точку пересечения боковых сторон трапеции и через точку пересечения ее диагоналей, делит основания трапеции пополам.

2°. Пользуясь одной линейкой, разделить трапецию: а) на две равновеликие части; б) на две части, площади которых относятся как 1 :3.

С. Зетель (Москва)

Примечание. Построения с помощью одной линейки известны под названием построений Штейнера. Большое количество построений Штейнера осуществляется на основе приведенной здесь теоремы.

96. При помощи одной линейки разделить параллелограм: а) на две разновеликие части, б) на две части, площади которых относятся как 3:1.

С. Зетель

97. В круг вписан правильный шестиугольник. Пользуясь только линейкой, построить часть радиуса, где п = 2, 3, 4, 5 . . .

Л. Аляев

98. Найти геометрическое место середин отрезков, концы которых находятся на двух скрещивающихся прямых в пространстве.

П. Моденов и А. Пархоменко (Москва)

99. В треугольнике ABC прямые ЛР, BQ и CR пересекаются в одной точке О. Доказать: для того, чтобы имели место равенства:

необходимо (и достаточно), чтобы ЛР, BQ и CR были медианами треугольника ABC.

П. Моденов и Л. Пархоменко

100. Дано уравнение:

2*з f х°~ — 4х + 3=*0.

Не решая его, составить уравнение третьей степени, корнями которого были бы квадраты корней данного уравнения.

П. Моденов и Л. Пархоменко

ЗАДАЧИ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ КРУЖКОВ

(задачи были даны на 1-й Московской олимпиаде).

1. Поезд проходит мимо наблюдателя в течение fj секунд,, а мимо моста длиною в а метров в t2 секунд. Определить скорость и длину поезда.

2. Построить квадрат, три вершины которого лежали бы на трех данных параллельных прямых.

3. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания а и плоскими углами при вершине, равными углам наклона боковых ребер к плоскости основания.

4. Построить треугольник по точкам пересечения медианы, биссектрисы и высоты (проведенных из одной вершины) с описанной окружностью.

5. На поверхности куба найти 3 точки, из которых диагональ видна под наименьшим углом:

6. Сколько действительных решений имеет система;

x +у = 2; ху — 2« =* 1.

7. Решить систему:

8. Вычислить сумму:

9. Сколькими способами можно представить число п в виде суммы трех слагаемых (представления, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считать различными).

10. Обозначим через M (a, b c...k) наименьшее общее кратное, а через D (а, Ь, с... k) наибольший общий делитель чисел а, Ь, с...к. Доказать

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Великий славный путь.......................... . 1

Н. Н. Никитин — Преподавание математики в советской школе 1917—1947 гг. . 4

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

A. П. Юшкевич — Математика и ее преподавание в России XVII—XIX вв. . . . 23

МЕТОДИКА

М. Н. Покровская — Элементы воспитания в процессе обучения математике . . 34

B. Я. Матышук — Учение об иррациональном числе в средней школе . . . 39

ЗАДАЧИ

Решение задач, помещенных в № 2 за 1947 год ........ 52

Задачи.................................... 62

Задачи для математических кружков.................... 63

Сводка решений задач........................(на обложке)

Редактор А. Н. Барсуков Зам. редактора С. Я. Новосёлов Члены редакционной коллегии: Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий, А. П. Садиков, Н. Ф. Четверухин.

Технический редактор Е. Н. Харькова. Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, д. 6, Учпедгиз Министерства просвещения РСФСР

А 010ИЗ Заказ № 4573 Тираж 20.000 экз.

Сдано в производаво 30/VI 1947 г. Печ. листов 4. Учётно-изд. л. 6,74 Подписано к печати: 18 IX 1947 г. Цена 4 р. 50 к. Печ, знаков в 1 ц, л. 730GO

СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ по № 4 за 1946 год

Решения задач были помещены в № 2 за 1947 г. Всего было прислано 624 решения, из них 70 неверных, По отдельным №№ верные решения распределяются так (в скобках число неверных решений):

№61-30 (0); № 62—И (0); № 63 -19 (0); № 64— 44 (0); № 45-30 (10); № 66-27 (0); № 67—30 (0); Но 68—32 (4); № 69—33 (3); № 70—25 (2); № 71-20 (4); № 72—12 (10); № 73-38 (2); № 74—22 (9); № 75—34 (3); № 76-19(4); № 77-40 (0) № 78—31 (13); № 79-31 (3); № 80—24 (3);

Сравнительно большое количество неверных решений получили № 65-большею частью был неверен первый корень (х — 2kn вместо х — 4£тг); № 72 - давались лишь тривиальные корни (х—1; 4=0 и т. д.); № 74 — и № 78 — давались не все корни.

По № 69 в журнале приведены 2 решения, оба довольно длинные. Большинство прислало 1-е решение. Но некоторые (тт. Ахвердов, Жидков, Могильницкий, Рабинович) дали гораздо более короткое и изящное решение. Приводим его вкратце здесь. Дано решить систему: х-{-у = ==1 (1); л* + уи = 2 (2); Jtz2-f-jw2 = 5 (3), xz* + -J->7/3 = 14 (4). Пусть z и и являются корнями квадратного уравнения х'л -f рх + q — 0 (5). Найдя р и q, мы найдем и z и и. Для этого умножим (1) на q, (2) на р и сложим (1), (2) и (3). Получим X (z2 -f-px -f q) -\-у (и2 + /ш -f- <?) = 5 -f -\-2р + q. Отсюда: 5 + 2/? -+ # = 0 (6) [так как z и и корни — ур-ния (5)]. Затем, умножив (2) на <7, (3) на р и сложив (2), (3) и (4) получим xz (z2-\-pz + q) + yu(u2+pu + q) = U + bp * 2q, откуда 14 -t- bp -i- 2q = 0 (7). Из (6) и (7) легко находим р и q, а затем из (5) <г и и. Даем сводку правильных решений. Г. Автух (Витебская обл.) 73, 78. Л, Агамалов (Москса) 61—80. Е. Алмазова (Беднодемьяновск.) 64, 66, 68—70, 73—75. Г, Ахвердов (Ленинград) 61- 71, 73—75, 77—79. Г, Бобылев (1ула) 64. Я. Бородуля (Реутово) 61, 64, 67, 70, 73, 75-78. Я. Бочкин (Витебск) 64-66, 68, 69, 73- 75, 77, 78. Л. Владимиров (Ялта) 61, 64 66, f8, 69, 73—75, 77—80. Р. Гангнус (Муром) 64, 65, 68, 77-79, Л. Г нц (Молодечно) 61, 61, 66—71, 73, 45-80. И. Гапонов (Воронежская обл.) 61, 64, 67, 69, 70, 73— 75—79. В. Голубева Кувшиново) 61, 62,64-70, 74, 75, 77—80. //. Гречкин (Морозовск) 65. В. Добрынченко (Астрахань) 61, 66, 67, 73, 75, 78. Л. Егорин (Тула). 64. М. Жидков (Ленинград) 63-70, 73, 75, 77-80. Д. Захаров (Канаш) 64, 68, 73, 79. Я. Зубилин (Орловская обл.) 64, 68, 69, 73, 75. Я. Ивашов цер (Серафимович) 64— 66, 69, 73, 77-80. Л. Исаев (Тульская обл.) ^8, 73, 77, 78. Г. Капралов (i орький) 61—71, 73, 74, 76—80. Л. Карпов (Владимирская обл.) 61—75, 77—80. Б. Каъин (Иркутская обл ) 61, 64, 66 -73, 75—77, 79, 80. /7. Китайгородский (Москва) 61, 63-67, 69, 70, 73-75, 77.79. Кодацкий (Горький) 61—71, 73, 78, 80. С. Колесник (Харьков) 61, 63—70, 73-80. Д. Лабутин (Пятигорск) 67 Л. Левин (Алма-Ата) 67, 69, 77—79. М. Люкк. (Новосибирская обл.). 61, 63—68, 70, 71, 73—80. Л. Малюгин (Горький) 61—20. С. Марценюк (Нежин) 64, 65, 79. Л. Медведев (Себряково) 61, 64, 65, 67—69; 71, 73,75, 77, 78. Л. Мирзаев (Северо-Казахстанская обл.) 61, 64, 65, 68, 69,71, 73, 75, 77, 78. Л. Могильницкий (Одесская обл.) 61, 64—69, 71—75, 77, 79, 80. В, Нефедов (Владимир) 61,64—80. В. Никитин (Тамбов) 61,63—66, 68, 69, 73, 75—80. Я. Постников (Ряжск) 61, 63—65, 68, 69, 73, 75, 77, 79, 80. Я. Рабинович (Рига) 61, 64, 67, 73, 75, 77, 78. С. Садихов (Баку) 64, 65, 67, 69, 70, 74, 76, 77. Я. Сергачев (М. Ярославен) 64, /1-73, 77, 78, 80. Я. Титов (Казань) 61-72, 74-80. Я. Титов (Тюмень) 61-71, 73-80. B. Федоров (Курганская обл.) 61, 64, 67—70 73—75, 77, 79, 80. Л. Фридман (Красноярск) 61. 63-69, 71, 73—77, 79, 80. Л. Хайруллин (Саратовская обл.) 64, 68, 75, 77—79. Э. Хамзин (Стер лита мак) 61—79, Я. Циммерман (Ейск) 64, 67, 70, 75. 77. М. Шебаршин (Кемеровская обл.). 61—80. Л. Ширшов (Ворошиловградская обл.) 61—74, 76—Я0. Э. Ясиновый (Куйбышевская обл.) 61-64, 66, 67, 69—73, 75—77, 79, 80.

СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ по № 5—6 за 1946 год

По задачам этого номера прислано наименьшее число решений, что, возможно, объясняется большим запозданием, с которым типография сдала тираж журнала, а может быть, и повышенной трудностью ряда задач. Ошибочных решений прислано сравнительно немного (мы не считаем явные описки, встретившиеся во многих решениях, а также отсутствие в ряде решений проверки корней, например, в № 82 для исключения посторонних).

Приводим список лиц. приславших решения: Я. Бочкин (Витебск) 82, 83, 88, 89, 91, 92. В% Добрынченко (Астрахань) 82, 83, 87—89, 91, 93. Я. Иванковицер (Серафимович) 82, 83, 91—92. Г. Капралов (Горький) 81—83, *7, 89, 92. 93, 95, 98-100. Л. Карпов (Собинка) 81-90, 92-100. C. Колесник (Харьков) 82, 83, 86—93,95,98-100. М. Люкке (Новосибирская обл.) 81—98, 100. Медведев (Себряково) 81, 82, 84, 87—89, 95—99. Л. Мирзаев (Сев. Казахстанская обл.) 82, 83, 88, 91. В. Нефедов (Владимир) 81—83, 86, 88—95, 98—100. Я. Пась (Краснодарский кр.) 81, 82, 89. Я. Постников (Ряжск) 81—83, 88, 89, 92, 94, 96, 97, 100. 7/. Титов (Тюмень) 81-93, 96, 100. В. Федогов (Курганская обл.) 81—89, 91, 96, 97, 99, 100. J7. Фридман (Красноярск) 81-84, 86— 94, 96—100. л. Хамзин (Стерлитамак) 81 — 100. М, Шебаршин (Кемеровская обл.) 81—100 Л. Ширшов (Ворошиловградская обл!) 81— 1С0. Э. Ясиновый (Куйбышевская обл.) 81—83, 87— 90, 92-98, 100.