МАТЕМАТИКА ШКОЛЕ

4

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКВА 1947

СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ по № 2 за 1946 г.

По № 2 решений прислано заметно меньше, чем по № 1. Причина, очевидно, в том, что было дано несколько задач повышенной трудности. Всего получено 662 решения, из которых 102 неверных. По отдельным задачам число верных и неверных (в скобках) решений дает следующая таблица:

№ 21-19 (6); № 22-40 (0); № 23-18 (16); № 24— 9 (20); № 25— 9 (7); № 26—37 (2); № 27-20 (11); № 28-32 (5); № 29-40 (3); № 30—15 (2); № 31—53 (4); № 32—24 (2); № 33-26 (7); № 34—31 (2); № 35-21 (3); № 36—18 (2); № 37—21 (2); Н° 38-52 (0); № 39—59 (QY; № 40—16 (8)-

Сводка показывает, что наиболее трудными оказались задачи №№ 25, 30, 40. Остановимся на решениях некоторых задач в отдельности.

Решение задачи № 21 в подавляющем большинстве совпадает с решением автора задачи Я. И. Перельмана1 (см. решения, помещенные в № 4, 1946 г.). Но были даны решения и независимые от магических квадратов с постоянной суммой (X. Хамзин, А. Ширшов). К неверным решениям относятся: решения с повторяющейся в каждой строке одной и той же группой чисел (в различной последовательности), в частности решения, в которых все клетки заполнялись одним и тем же числом. Как курьез, отметим решение, в котором одна из клеток каждой строки, столбца и диагоналей заполнялась нулем. Понятно, что тогда во все остальные клетки можно ставить любые числа.

Ответ на вопрос задачи № 22 во всех решениях давался правильный, но доказательство во многих случаях длинно до утомительности. Никем не дано изящное и короткое решение автора задачи Я. И. Перельмана (отметим также краткое решение М. Шебаршина). Не повезло двум „провокационным задачам“. Я. И. Перельмана — задачам №№ 23 и 24, не имеющим решения. Задача 23-я имела в виду обратить внимание учителей на то, что учащиеся часто среднее арифметическое результатов нескольких измерений считают истинным значением измеряемой величины. Ответы показывают, что для некоторых учителей этот вопрос не был ясен. В одних решениях указывалась прямо та или иная .истинная“ величина. В других отсутствовал прямой ответ на вопрос задачи, но говорилось, что за истинную величину „можно принять“ то или иное число.

Задача 24-я имела целью оттенить одно из основных свойств чисел — то, что делимость числа совершенно не зависит от способа его изображения. Однако многие из решавших, считая, очевидно, это свойство достаточно общеизвестным, предположили, вопреки тексту задачи, что 75 уже написано по какой-то недесятичной системе и находили в качестве основания числа 9, 14, 19 и т. д. Были и совсем фантастические решения (например, что 75 написано в четверичной (?) системе или что 75 и 5 написаны в недесятичной системе, а деление надо производить по десятичной системе). В задаче 25-й отметим введение некоторыми в формулу удельного веса скорлупы (который, якобы, можно найти в том или ином справочнике), что противоречит условию задачи. Ошибочные ответы к задаче 27-й давали неполное число решений.

Крупным недочетом довольно большого коли чества решений задачи 28-й (все же зачтенных редакцией) было совсем ненужное удлинение решения. Именно, получив уравнение х = у (у— —11), которое уже и является решением, это уравнение решали относительно у, и в итоге получились ответы вроде таких y = t-{-6; x = ß-\--\-t — 30. При этом не замечалось, что этот ответ (ввиду произвольности f) полностью совпадает с ответом y~t; x = t (£ — 1), который получается непосредственно из приведенного выше уравнения.

Задачи 38-я и 39-я на тригонометрические тождества получили наибольшее число решений. Повидимому, такого рода задачи, по существу посильные ученикам IX класса, уже не стоит помещать в журнале, как не дающие материала для тренировки учителя.

Приводим сводку правильных решений.

О. Аракелян (Ереван) 31. Г. Ахвердов (Ленинград) 22-24, 26, 28—34, 38, 39. А. Ахманов (Татарская АССР) 31. Б. Барашкова (Москва) 33, 38, 39. В. Безноско (Клинцы) 22, 23, 26, 28, 29, 31—34, 37—39. Д. Бессарабов (Воронежская обл.) 38, 39. Бобровников (Ашхабад) 22, 24, 27, 31, 38, 39. Я. Бородуля (Реутово) 29. 33, 38, 39. Я. Бочкии (Витебск) 22, 23, 26, 27, 29—32, 34— 40. И. Бригадин (Архангельск) 39. Е. Бугулов (Садонск, р-н Сев.-Осет. АССР) 26, 27, 31, 32. С. Веселое (Марий ск. АССР) 21, 22, 31, 33, 38, 39. А. Владимиров (Ялта) 22, 23, 25—27, 29—33 35, 37—40. Л. Галстян (Ереван) 38, 39. Р. Гангнус (Муром) 31, 39. А. Гапонов (Воронеж, обл.) 22, 25, 26, 28—31, 34—40. Г. Голянд и С. Третьяков (Краснодар, кр.) 22, 28, 29, 38, 39. В. Голубев (Кувшиново) 21—24, 26, 27, 29, 31, 32, 38, 39. А. Горелый (Черниговская область) 33* А. Горохов (Белорецк) 29, 38, 39. Я. Гречкин (Морозовск) 31, 33, 38, 39. Л. Дзигава (Тбилиси) 22, 29, 33, 34, 38, 39. О. Дирекчиянц (Кишинев) 21—23, 26, 28, 29, 34, 38, 39. Добрынченко (Астрахань) 22, 26, 29, 31, 34—39. Жидков (Ленинград) 21, 22,25, 27—29, 31—35, 38—40. Я. Зубилин (Орлов, обл.) 22, 28, 29, 31, 37—39. Я. Иванковицер (Серафимович) 23, 26, 31, 38, 39. Ильин (Ахтуба) 28, 31, 33, 38, 39. А. Исаев (Тульск. обл.) 22, 31, 34-36, 38—40. Г. Капралов (Горький) 21, 22, 26, 28—31, 33—36, 38—40. Б. Кашин (Иркутск, обл.) 22, 26—29, 31, 33—39, Я. Китайгородский (Москва) 22, 28, 31, 33,38, 39. Кодацкий (Горький) 21—24, 26—40, С. Колесник (Харьков) 22, 24, 26—28, 31—40. Е. Костюкова и Е. Сапу нцов (Таганрог) 21, 22, 26-29, 31—35, 37-40. Г. Кудреватов (Фергана) 31, 38, 39, Я. Либман (Каменец-Подольск) 31, М. Люкке (Новосибирск, обл.) 21, 22, 24, 26-29, 31, 32, 34, 36-39. Л. Малюгин (Горький) 21, 22, 25—40. С. Марценюк (Нежин) 22, 31, 39. Л. Медведев (Серебряково) 22, 23, 26, 28-32, 34, 37—39. А. Мирзаев (Сев.-Каз. обл,) 26, 31. Л. Могильницкий (Кривое озеро) 22, 23, 26, 28, 29, 31, 34, 35, 37—40. В. Нефедов (Владимир) 21, 22, 26—29, 31—40. В. Никитин (Тамбов) 22, 25-29, 31, 32, 34. Л. Попов (Заинек) 38,39. Я. Постников (Ряжск) 28, 29, 31, 33, 34, 38, 39. Я. Рабинович (Рига) 21, 25, 26, 31, 38, 39. В Розентуллер (Ленинград) 38, 39. В. Рубинский (Юрьевеи) 33, 39. Я. Рытов (Тамбов, обл.) 25, 26, 30—32, 38, 39. М. Саакян (Краснодар) 28, 29, 31, 40. Л. Снопков (Спасск) 40. С. Садихов (Баку) 29, 31. Сакович (Киев) 2х—23, 26, 29. В. Саннинский (Ворошиловград) 29, 31, 34, 39. Б. Сахаров (Горький) 22, 25 -32, 34, 36,38, 39. Я. Сергачев (М. Яросла-

1 На запросы многих читателей сообщаем, что некролог о Я. И. Перельмане помещен в журнале „Физика в школе“ № 2 за 1946 г.

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 4

ИЮЛЬ —АВГУСТ 1947

НАУЧНО ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

Проф. А. И. МАРКУШЕВИЧ (Москва)

1. На протяжении последних десятилетий тема функции является одной из наиболее распространенных на страницах журналов, посвященных вопросам преподавания математики. Интерес к ней вполне оправдан той ролью, которую понятие функции играет (или, вернее, должно играть) в курсе средней школы. И если мы, после столь большого количества статей на эту излюбленную тему, выступаем еще с одной статьей, то это только потому, что вопрос о функции, столь простой и ясный с точки зрения математики, нельзя считать окончательно решенным с точки зрения методики преподавания. Наша статья преследует чисто методические цели и рассчитана на учителя средней школы.

2. Оставляя в стороне историю развития понятия функции, основные факты которой широко известны, мы остановимся сначала на современной трактовке этого понятия. Его формулировке должно предшествовать выяснение более элементарного понятия множества, которому пора, наконец, „объявиться“ в школьном преподавании и начать называться своим настоящим именем.

Фиксирование внимания школьников на понятии „множества“, как на определенном научном понятии, и на самом термине „множество“, с указанием его распространенных синонимов (совокупность, класс, собрание, категория, группа1 и пр.) может производиться по разным поводам еще в начальной школе. Примеры, относящиеся к этому понятию, будут содействовать и общематематическому развитию учащегося и вместе с тем развитию логического мышления. Выяснение понятия множества производится, конечно, не путем определения, но на примерах, в которых особое внимание должно обращаться на правильное словоупотребление. При этом вовсе нет нужды, чтобы в качестве элементов множеств брались математические объекты. Напротив, наилучшими примерами, содействующими развитию способности абстрагирования (вот одна из важных общих целей математического образования), могут служить примеры множеств: школьников в данном классе, школьников в данной школе, окон на фасаде школьного здания, городов Советского Союза и т. д. и т. п.

При рассмотрении этих примеров полезно постепенно вводить и дальнейшие термины, употребляя их в установленных сочетаниях: элемент множества, элемент принадлежит или не принадлежит данному множеству, множество содержится или не содержится в другом множестве (т.е. является или не является частью или подмножеством другого множества). По-

1 Не в математическом смысле этого слова.

лезно обращать внимание на важнейшие способы задания множеств: посредством перечисления (списка, каталога) элементов или посредством задания характеристического свойства.

Учащиеся с пользой и удовольствием примут участие в придумывании примеров из обыденной жизни. Разумеется, время, затраченное на все эти упражнения, которые столько же относятся к математике, сколько и к логике, не пропадет даром. Позднее, в систематическом курсе арифметики, учитель обратит внимание учащихся на множество натуральных, четных, нечетных, простых и т. д. чисел. Полагаем, что не будут бесполезны упражнения вроде следующих: „охарактеризовать элементы общие множеству четных чисел и множеству чисел кратных трем“, или, в другом роде: сосчитать количество всех частей множества, состоящего из двух, трех, четырех элементов и т. п.

На уроках геометрии возможны следующие вопросы: каково множество всех прямых, проходящих через две, через одну, через три данные точки; имеют ли общие элементы множества равнобедренных и прямоугольных, равносторонних и прямоугольных треугольников, в каком отношении друг к другу находятся множества всех параллелограмов и прямоугольников, прямоугольников и квадратов, прямоугольников и ромбов и т. д.

Понятие „геометрического места точек“ и самый этот термин, имеющий почтенную школьную традицию, будет излишним при систематическом использовании понятия множества. Речь будет идти просто о множестве точек, определенном посредством какого-либо характеристического свойства: находиться на заданном расстоянии от заданной точки плоскости, находиться на равных между собой расстояниях от двух сторон угла, от двух заданных точек плоскости и т. д. При дополнительном условии, что точки множества должны принадлежать той же плоскости, мы получим в качестве ответа множество всех точек окружности, множество точек биссектрисы угла, множество точек перпендикуляра, проведенного через середину отрезка, и т. п.

3. Мы не считаем, конечно, что сделанные выше беглые замечания уже решают вопрос о методике введения понятия множества в курс средней школы. Мы полагаем, однако, что доведение дела до конца не встретит ни принципиальных, ни технических трудностей. По мере того, как понятие множества осваивается учащимися, можно столь же постепенно и на простейших примерах, но последовательно и настойчиво, знакомить их с понятием соответствия между элементами двух множеств, что и составляет понятие функции в полном его объеме.

Мы исходим из следующего определения функции (пока однозначной): если каждому элементу х множества M поставлен в соответствие некоторый элемент у множества N, то говорят, что на множестве M задана функция1, и пишут: y=*f fx).

При этом отдельные элементы х называют значениями аргумента, а элементы у — значениями функции.

На первых порах мы отдаем преимущество примерам, заимствованным из обыденной жизни и формулированным в математических и логических терминах. Например: 1) каждому учащемуся в списке класса ставится в соответствие его порядковый номер; здесь значения аргумента — учащиеся, значения функции — натуральные числа (номера); 2) при расчете учащихся, выстроенных в одну шеренгу, каждому ставится в соответствие также некоторое натуральное число, это другая функция; 3) каждому учащемуся VIII класса в крнце третьей четверти 1946/47 учебного года ставится в соответствие определенная отметка по алгебре. Здесь значениями аргумента снова являются учащиеся, значениями функции — натуральные числа: 1,2, 3, 4, 5; 4) между множествами танцующих на танцовальной площадке юношей и девушек устанавливается соответствие, при котором каждому юноше ставится в соответствие его партнерша; здесь юноши играют роль значений аргумента, а девушки—значений функции и т. д. и т. п.

Эти, или им подобные, примеры могут произвести на математика впечатление карикатуры; мы согласны и с тем, что они вызовут веселое оживление в классе. Но при всей необычности употребления

1 Или в иных терминах, что множество M отображено в множество M тогда элементы х называются прообразами, а элементы у — образами.

математической фразеологии в столь тривиальной обстановке, они вполне корректны с научной точки зрения, а главное, по нашему глубокому убеждению, наилучшим образом приспособлены для выяснения понятия функции в его полном и истинном значении. Во всяком случае, мы предпочитаем эти примеры тем, которые обычно рекомендуются в целях фунциональной пропедевтики и в которых сразу же предлагаются довольно сложные математические соответствия, причем внимание учащегося сосредоточивается не на соответствии между элементами множеств, а на изменении одной величины, в зависимости от изменения другой1. Не оспаривая корректности приводимых обычно примеров, мы возражаем лишь против традиции первоначального ознакомления с элементарным и отчетливым понятием функции через сложные, требующие специального обоснования, понятия величины, переменной величины, понятие зависимости.

4. По мере выяснения общего понятия функции учитель начинает приводить примеры математического содержания. Одним из простейших случаев является последовательность, т. е. функция, заданная на множестве натуральных чисел. Примерами являются последовательности четных, нечетных, простых чисел и т. д. В первом случае натуральным числам 1, 2, 3, 4,...ставятся в соответствие натуральные же числа 2, 4, 6, 8,... Самая запись последовательности сводится к последовательному записыванию значений функции — членов последовательности; при такой записи о значениях аргумента свидетельствуют отсчитываемые от начала, по порядку, места, занимаемые членами последовательности. Например, в случае последовательности простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,... число 17 является значением функции, соответствующим значению аргумента, равному 7 (17 занимает седьмое место). Полезно рассмотреть последовательность количеств делителей натуральных чисел: 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2,... В случае последовательностей четных или нечетных чисел учитель сможет указать арифметические действия, которые следует произвести над значением аргумента п, для того чтобы получить соответствующее значение функции: Un = 2n, или Un= 2/1+1- Он обратит внимание учеников на то, что сделать то же самое для последовательности простых чисел или для последовательности делителей ни он и никто другой не сумеет. Это обстоятельство не имеет, однако, никакого значения с точки зрения применения понятия функции (в частном случае — последовательности) к рассматриваемым примерам.

Примеры последовательностей доставляют также цифры, идущие после запятой в десятичном разложении какого-либо числа. Здесь значениями аргумента являются номера мест, отсчитываемые по порядку, после запятой, а значениями функции—сами цифры.

На примере периодических разложений учитель может привести новые иллюстрации того, что в некоторых случаях удается заменить обычную запись последовательности, предполагающую бесконечно длинную строчку, более удобной, компактной записью посредством нескольких формул, позволяющих полностью восстановить всю последовательность. Например, для последовательности цифр разложения: ^ = 0,312121212... имеем: ^=3,^=1, Цл+1=2 (/г-1,2,3,..).

5. Благодарный материал для примеров функций дают алгебра и геометрия. В алгебре, на первых порах, рассматриваем буквенные выражения, в которых значениями аргумента являются числа, пары чисел, тройки чисел и т. п., в зависимости от количества букв, которым мы придаем численные значения. Так, например, придавая в выражении а2^_Ь2 паре чисел а и b различные числовые значения: а = ....,& = мы получаем определенные числовые значения этого выражения. Следовательно, наше выражение ставит в соответствие каждому элементу множества пар чисел a=..,,ô=..., определенное число^~^2 9 которое и является значением функции, тогда как пара чисел а и b образует значение аргумента. Разумеется, следует начинать с выражений, содержащих только одну букву и притом таких, которые не теряют смысла при каком-либо специальном числовом значении буквы (здесь бы понадобились

1 Ср. статью А. Я. Хинчина, Понятие функциональной зависимости в средней школе, „Математика в школе“, 1939, № 5.

дополнительные разъяснения). Точно так же примеры функций дают левые части уравнений и т. д.

Простые и наглядные примеры доставляет геометрия. Не следует только дожидаться появления формулы, чтобы начать говорить о функции. Напротив, на ряде примеров (о некоторых мы говорили в связи с последовательностями) следует убедить учащегося, что формулы, одна или много, воспроизводящие некоторое соответствие, это случайный и внешний, хотя очень часто удобный и полезный атрибут понятия функции. Так мы можем на первых же ступенях преподавания геометрии указывать учащимся, что величины углов, длины сторон и площадь представляют собою функции, определенные на множестве всех треугольников. Здесь значениями аргумента являются фигуры, значениями функции тройки чисел или в случае площади—числа.

Рассматривая множество треугольников, в которых две стороны имеют фиксированную длину, мы можем говорить, что длина третьей стороны представляет функцию противолежащего угла, или, напротив, угол представляет функцию стороны. В этом примере значения аргумента и функции являются числами. Если, например, аргументом берется сторона, то множество значений аргумента есть множество положительных чисел, меньших суммы длин двух других сторон и больших их разности; если же в качестве аргумента берется угол, то множество значений аргумента есть множество всех положительных чисел, меньших 180 (углы измеряем в градусах).

6. Когда учащийся познакомится с графическим изображением функции, то к этому времени в его руках будут распространенные (но не исчерпывающие, конечно, всех возможных) способы заданий функций: формула и график.

В числе функций, встречающихся в школьном обиходе, необходимо рассмотреть абсолютную величину: \х\, определенную на множестве всех чисел (действительных) и равную X при X > 0 и — X при X < 0. Ее график может быть рассмотрен после того, как учащийся ознакомится с графиками: j; = хиу =— х.

К элементарным примерам функций, с которыми можно познакомить учащихся в самом начале курса алгебры, относятся также целая часть числа: [х] и дробная часть числа: {*} = ;с — [х].

Можно в виде упражнения построить характерные графики этих функций — первый в виде ступенек бесконечной лестницы, второй—производящий впечатление противотанкового заграждения.

7. Задание функции графиком или уравнением имеет некоторое своеобразие, которое необходимо рассмотреть здесь подробнее. Начнем с графика.

Пусть на плоскости задана система декартовых прямоугольных координат, одна из осей которых, например, ох, будет служить для геометрического изображения значений аргумента, à другая — оу — для значений функции. Тогда, a priori, заданный график É, в виде некоторого множества точек (например, непрерывная кривая) определит функцию y=f (х), если мы условимся каждому X, представляющему абсциссу некоторой точки графика, ставить в соответствие в качестве значения функции ординату этой точки графика. Своеобразие такого способа задания функции заключается в том, что здесь заранее не задается множество Ж, на котором определяется функция. Множество это состоит из всех х, являющихся абсциссами точек нашего графика. Чтобы получить М, достаточно спроектировать каждую точку графика на ось ох\ множество всех проэкции и составит М.

Задание функции у =/ (л:) уравнением вида F (хуу) = 0 представляется, с принципиальной точки зрения, более сложным. В самом деле, оно предполагает, что мы уже имеем функцию F(x,y), определенную на некотором множестве пар чисел (х,у), или, если угодно, на некотором множестве точек Р' плоскости хоу. Уравнение F(x,y) = 0 указывает, что из этого множества нас интересуют те и только те точки, которым соответствует значение функции F(x,y)t равное нулю. Пусть Р ci Р'1 множество этих точек. Тогда множество всех значений ху являющихся абсциссами точек из Р, даст множество М, на котором определена функция y=f(x). Каждому ху принадлежащему Му т. е. абсциссе некоторой точки Я, ставится в соответствие в качестве значения функции ордината у этой точки,

1 С— знак включения, обозначает, что множество Р есть часть множества Р'.

иными словами, корень уравнения F(x,y) = 0 при заданном значении х.

Оба способа задания функции: (графиком и уравнением) можно сблизить между собой. Именно, если воспользоваться системой координат в пространстве oxyz, то задание функции F(x,y) будет равносильно заданию ее графика Е, т. е. такого множества точек (х,у, z), что для каждой точки (х,у) £ Р1 соответствующее z будет совпадать со значением F(x,y), Уравнению F (х, у) = 0 удовлетворяют абсцисса х и ордината у тех точек графика Е, для которых z== О, т. е. которые принадлежат плоскости хоу. Иными словами, множество точек Р, о котором мы говорили выше, есть множество точек пересечения графика функции F(x, у). с плоскостью хоу. Остается добавить, что Р и будет представлять график функции у = f(x) (неявной функции), определяемой уравнением F (х, у) = 0.

Целью высказанных замечаний было обратить внимание учителя на то, что наиболее распространенные способы задания функции, посредством графиков или уравнений, являются, с логической точки зрения, отнюдь не самыми простыми. Именно при таком задании обычно отсутствует указание на множество М, на котором определяется функция, и поэтому приходится дополнительно отыскивать это множество.

Оно находится либо посредством проектирования графика на ось ох в случае графического задания, либо путем отыскания всех значений х, для каждого из которых уравнение F(x,y)=0 имеет, по крайней мере, по одному корню у в случае аналитического задания.

Для того чтобы сделать задание функции посредством графика или уравнения более полным и четким, желательно каждый раз указывать, на каком именно множестве M (в частности, интервале или отрезке) функцию определяют посредством данного уравнения или графика. Само собой разумеется, что это пожелание обращается в закон, когда график или уравнение используется, по тем или иным причинам, для определения функции не на всем том множестве М, о нахождении которого говорилось выше, а только на некоторой его части.

Так, например, уравнение ху — с2 = 0 (с ф 0) определяет у, как функцию х, на множестве M всех действительных чисел, отличных от нуля. Но если х обозначает длину основания, a j; - высоту прямоугольника, имеющего площадь с2, то то же уравнение определяет у, как функцию от X, только в бесконечном интервале 0 < X < -f который и должен быть указан вместе с уравнением ху — с1 = 0.

8. Задание функций графиками и уравнениями необходимо приводит к расширению понятия функции вплоть до понятия многозначной функции. Так, если график вычерчивать от руки, a priori, то параллель к оси у может встречать его вообще во многих точках, и, таким образом, заданному значению аргумента будет соответствовать несколько (быть может бесконечно много) различных значений функции. Точно так же, если значения функции у определять из уравнения, содержащего также и значения X (неявная функция), то одному значению аргумента могут соответствовать многие, быть может, бесконечно многие значения функции. Помимо хорошо известных примеров, например, х—у2=0, х>0, (у = + ]/х), мы укажем один, принадлежащий к обширному циклу примеров, которые можно широко разнообразить. Рассмотрим уравнение:

Если л:<0, то — х — \х\= 0 и уравнение сводится к следующему :у-\- I у | = 0. Но последнему удовлетворяет любое неположительное числом :у <0. Итак, каждому значению х <0 соответствует в качестве значения аргумента не одно число у, но множество чисел, а именно: множество всех неположительных чисел. Если же X > 0, то | х | = х, и уравнение У-\~ I У I —х—\х\=0 перепишется в виде: У+\У \ — 2*=0, т. е. у+ I у I =2х>0. Этому уравнению не может удовлетворять никакое.у<Х); для^у > 0 оно принимает вид: 2у=2х, т. е. у = х. Итак, для каждого л:>0 мы получаем только одно значение функции: у=х. График нашей функции (многозначной), определенной на множестве всех действительных чисел, состоит из всех точек третьего координатного квадранта (включая и его граничные точки) и из полупрямой, являющейся биссектрисой первого квадранта.

1 Символическая запись m ^ M обозначает, что m есть элемент множества Af.

Введение в математику понятия многозначной функции диктуется отнюдь не тем или иным способом задания функции—хотя и это является весьма веским и вполне достаточным доводом в пользу их,—но самим существом дела. Если мы определяем функцию, как соответствие между элементами двух множеств M и N, или (что, по смыслу, является тем же самым) как отображение одного множества в другое, то мы, естественно, можем потребовать рассмотрения и обратного соответствия, ведущего от значения функции у к значению аргумента X, которому у соответствует (т. е. от образа к его прообразу), и это соответствие назвать обратной функцией или обратным отображением. Вообще говоря, обратная функция будет многозначной. Так, например, если каждому учащемуся соответствует определенная отметка по алгебре из множества чисел: 1,2, 3, 4, 5, то обратно каждому из чисел 1, 2, 3, 4 и 5 соответствует не один, но многие учащиеся, имеющие соответствующие успехи по математике. Здесь, в случае многозначных функций, роль значения функций играет, вообще говоря, не один элемент, а некоторое множество их. В нашем примере — множество всех учеников, получивших в четверти один и тот же балл. В общем же случае определение функции (вообще многозначной) можно формулировать следующим образом:

Если каждому элементу х множества M поставлено в соответствие некоторое подмножество п (не пустое) множества N, то говорят, что на M задана функция, значения которой принадлежат N и пишут: n=f(x). Если каждое множество п состоит только из одного элемента у £ N, то мы получаем однозначную функцию у = f(x). Если же по крайней мере одно из п содержит более одного элемента, то функция называется многозначной. Согласно с этим определением значение многозначной функции есть вообще не один элемент, а некоторое их множество. Если воспользоваться понятием множества 15 всех подмножеств N, то каждое подмножество N будет одним из элементов 15-я £15, и мы сможем говорить об однозначной функции п — f(x), значения которой принадлежат 1В. Так, в нашем примере совокупности всех школьников, получивших один и тот же балл по алгебре, представляют лишь пять элементов из множества 15 всех возможных подмножеств школьников. Пользуясь этим множеством, можно сказать, что функция многозначная, если ее значения относить ко множеству N всех школьников, становится однозначной, если ее значения относить ко множеству 15 всех подмножеств школьников.

9. Обратимся к многозначным функциям, значения которых суть множества чисел. Такова, например:

1) двузначная функция х = ±у, определенная на множестве всех неотрицательных чисел, обратная по отношению У= I X I , _

2) двузначная функция у = у'х, определенная также на множестве всех неотрицательных чисел,

3) бесконечно значная функция у=* — Arc sin Ху определенная на сегменте [-1,4-1] и т. п.

Говоря о какой-либо многозначной функции у =f(x), мы всегда должны помнить, что тогда как значениями аргумента являются числа, значениями функции f(x) являются некоторые множества чисел. В связи с этим мы можем говорить, что f(x) есть многозначный символ (при каждом фиксированном *).

Это особенно важно помнить при сравнении между собой значений двух или нескольких многозначных функций, а также при выполнении арифметических действий над ними. Например, утверждать, что f(x0)= <р(л:0), мы можем лишь в том случае, когда множества чисел f(x0) и ср(х0) состоят из одних и тех же элементов. С этой точки зрения неправильно писать, например, Arc sin 0= 0, так как символ Arc sin 0 выражает собой бесконечное множество чисел вида пку где п обозначает любое целое число, тогда как 0 лишь один из элементов этого бесконечного множества. Чтобы выразить соотношение между 0 и Arc sin 0, можно употребить запись: 0 £ Arc sin 0. Говорить о сложении, вычитании, умножении или делении многозначных символов f(x) и ср(х) непосредственно не имеет смысла, так как арифметические операции производятся над числами, а не над множествами чисел. Одна ко в соответствии с обычным способом

употребления многозначных символов мы будем понимать:

f(x)

'/(*) + <?(*)> /(*)“? (я), ffô как многозначные символы, обозначающие множества чисел, получающиеся соответственно путем сложения, вычитания, умножения или деления всех пар чисел, одно из которых принадлежит f(x), а другое у(х). В связи с этим было бы ошибочно писать, что f(x)—f(x) = 0 или f(x)-f-+/(•*) = 2f(x), f(x) • /(*)= {/(л)] » и f{x) :/(*)= 1.

В самом деле, символ f(x)—f(x) выражает множество всех разностей чисел, принадлежащих f(x). Среди них имеются разности, равные нулю; но если символ f(x) обозначает множество, состоящее, по крайней мере, из двух различных чисел, то в f(x)—f(x) войдут и разности, отличные от нуля.

Точно так же, символ f(x)-\-f(x) выражает множество всех сумм пар чисел, принадлежащих f(x). Среди них имеются суммы равных между собой чисел, которые действительно образуют 2 f(x); но здесь будут также и суммы чисел, не равных между собой, которые могут не входить в 2f(x). Подобные же замечания относятся и к f(x)-f(x) или к f(x) f(x). Все, что можно утверждать в общем случае, выражается. соотношениями:

Забвение этого обстоятельства ведет к грубым ошибкам. Вот примеры:

1) Пусть H и Ч — многозначные символы, выражающие соответственно множества всех нечетных и четных целых чисел:

±3, ±5. . . }, ¥{20,±, ±4,. . .}.

Символы эти легко выразить, например, через значения обратных тригонометрических функций:

# = - Arc cos 0, V=-2 Arc sir 0.

Рассмотрим теперь выражения: Н-\-Н и Ч+Ч.

Очевидно, что, складывая всевозможные нечетные числа друг с другом, мы получим множество всех четных чисел; точно так же множество всех четных целых чисел получится, если складывать друг с другом всевозможные четные числа. Мы можем писать, следовательно, # + # = Ч-\- Ч. Но если заменить Н+Н через 2Я, a через 2¥, то получится 2Н = 2Ч, или, сокращая на 2 (что законно всегда), Н=Ч, т. е. множество нечетных чисел идентично с множеством четных чисел!

Ошибка получилась именно вследствие незаконной замены Н-{-Н через 2Н и 4+ Ч через 24.

На самом деле 2Н есть множество тех четных чисел, которые не делятся на 4, тогда как 24 есть множество чисел, делящихся на 4. И то и другое входят в #-f Н= */+ 4= Ч, но они не имеют ни одного общего элемента.

На этом же примере можно заметить, что Н—Н совпадает со множеством всех четных целых чисел: Н—Н=* Ч.

2) Ошибочно писать

Arc cos у — Arccos|-=C.

Чтобы получить верное соотношение, заметим, что Arccos у = ± у + 2пк9 где п— любое целое число. Вычитая одно число вида ——у + 2ai7ïï из другого числа того же вида ± -5- 2/ютг, мы можем получить следующие результаты:

а) 2(т—п)ъ — 2Ы, где k произвольное целое число (в случае, когда у входит с одним и тем же знаком в уменьшаемое и вычитаемое);

тс 2ft

6)2(m-f/i)-2y = 2Ы--g-(в случае, когда I входит со знаком + в уменьшаемое и со знаком — в вычитаемое);

в) 2 {т-п)к-2~^2Ы-^ (в случае, когда -у входит со знаком — в уменьшаемое и со знаком -f- в вычитаемое).

Итак, Arc cos у—Arc cos у представляет множество всех чисел вида: 2&ir, 2йтг+-^, 2kn—--y-, где k произвольное целое число.

3) Известно, что Arc sin л;=у—Arc cos х;

это соотношение не вызывает никаких возражений. Но было бы ошибочно пе-

реписывать это соотношение в виде:

Arc cos х±Arc sin х = у. В самом деле,-^- представляет лишь одно из бесконечного множества чисел, изображаемых левой частью. Чтобы установить, где произошла ошибка, заметим, что перенос слагаемого из одной части равенства в другую, с обратным знаком, предполагает, что мы предварительно прибавляем к обеим частям равенства противоположное число. В данном случае, следовательно, подразумевается операция:

вполне законная. Однако писать, что (у—Arc cosxj -f- Arc cosx = - j, мы уже не имеем права, ибо, как было отмечено, Arc cos х-Arc cos хфО.

Число подобных примеров, по существу однотипных, можно было бы умножить. Во всех этих примерах речь идет о предосторожностях при выполнении арифметических операций над многозначными символами. Именно предосторожности требуются всякий раз, когда складываются, вычитаются, умножаются или делятся равные между собой символы.

10. Все предыдущее должно было указывать на естественность и важность понятия многозначной функции в математике, начиная с элементарных ее разделов. Нужно отметить вместе с тем, что в методике существует течение, стремящееся изгонять многозначные функции из начального преподавания1. Разумеется, никто из лиц, примыкающих к этому течению, не отрицает того, что понятие многозначной функции есть вполне закономерное математическое понятие, неизбежное, например, при изучении аналитических функций комплексного переменного. Нет, речь идет о том, что в наиболее часто встречающихся случаях, многозначную функцию формально можно рассматривать как совокупность двух или большего числа, быть может, бесконечно многих однозначных функций. Так, например, вместо двузначной функции _у = уОс (х>0), получаем две однозначные функции: У — \f^x (арифметическое значение корня из неотрицательного числа х) и у=— вместо бесконечнозначной функции у= = Aresin х-бесконечное множество различных функций: y = avcsinx-{-2kTz(k = =0,±1,±2,...) и y=(2k + l)n—aresin* (k = Q,± 1,±2,...), где arc sin х—главное значение Aresin* и т. п.

Такая трактовка вполне естественна, ибо при изучении многозначной функции всегда стараются прежде всего выделить ее однозначные непрерывные ветви и, если такое выделение уже произведено, то многозначная функция действительно представляется нам в виде совокупности однозначных функций своих ветвей). Мы, однако, не согласные тем, что, отказывая этой совокупности в наименовании многозначной функции, изгоняя самое понятие многозначной функции из преподавания, мы добиваемся большей простоты и ясности в преподавании. Если преподавание последовательно придерживается общей теоретико-множественной концепции функции, то понятие многозначной функции появляется само собой, необходимо и просто, и нет нужды стыдливо избегать его, суживая объем понятия функции, вводя ненужные оговорки и запреты.

11. Остановимся несколько подробнее на том, как именно может развертываться преподавание в связи с понятием многозначной функции. Обычные трудности, реально существующие, связаны с тем, что преподаватели нередко впервые выясняют понятие многозначной обратной функции сразу же на наиболее сложных во всем курсе элементарной математики объектах, а именно, на обратных тригонометрических функциях. Но этого не следует делать!

Обращаясь к изложению вопроса об обратных функциях, преподаватель начинает с примеров нематематического содержания, рассматривая соответствия, возникающие в случае, когда по образу (значению функции) восстанавливаются прообразы (значения аргумента) (см. черт. 1). Констатируя, что если соответствие у — f(x) (х £ M, y£N)

1 Сравните А. Я Хинчин, Основные понятия математики и математические определения в средней школе. Учпедгиз, 1940 г. Некоторые авторы идут дальше и изгоняют понятие многозначной функции также и из курса анализа. Ср. М. К. Гребенча и С. И. Новоселов, Курс математического анализа.

было однозначным, то обратное соответствие х = у{у) вообще многозначно, преподаватель дает определение обратись функции. На тех же простейших примерах он выясняет, что множество, на котором определена обратная функция, может и не совпадать со всем множеством N (см. черт. 2) и переходит к серии примеров, в которых N и M суть числовые множества. Так, например, для последовательности: 1, 4, 9, 16, 25..., представляющей функцию, определенную на множестве всех натуральных чисел, он получает обратную, однозначную функцию, определенную лишь на множестве натуральных чисел, являющихся точными квадратами: * = \/^,где y£N[l, 4, 9, 16, 25,...}; для последовательности 1, — 1, +1, —1,..., или у = (—1)х~1, обратная функция определена только на множестве, состоящем из двух чисел 1 и —1 и является бесконечнозначной. Значению у= +1 соответствует множество всех нечетных натуральных л:, а значению у = — 1—множество всех четных натуральных X. Далее преподаватель переходит к примерам функций, определенных в интервале действительных чисел, в частности, на всей действительной оси, и здесь каждый пример сопровождает рассмотрением графика. Для каждого отдельного примера целесообразно иметь у каждого ученика по 2 одинаковых квадратных кусочка бумаги. На каждом из них набрасывается график одной и той же функции, а затем, для лучшего суждения о свойствах обратной функции, один из графиков поворачивается на 90° (см. примеры на черт. 3).

В каждом примере ученик должен указать множество, на котором определены прямая и обратная функции. Наш пример в (черт. 3) значительно проще, чем примеры обратных тригонометрических функций. Вместе с тем он обнаруживает черты того же типа, что и в случае Arc sin х или Arc cos х. Множество, на котором определена обратная функция, есть сегмент [0,1]; обратная функция бесконечнозначна, причем, если главной ветвью назвать ту, значения которой удовлетворяют неравенству: 0\<л;<1 и заметить, что эти значения совпадают со значениями у: х=у, то для многозначной обратной функции получаем: x = y-\-k, где fe = 0,±l, ±2,..

Из всех этих примеров видно, что для изучения обратных функций, наряду

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3.

с исходными, целесообразно, во-первых, изменить на графике обратной функции направление оси у—с которой теперь берутся значения аргумента—на противоположное; при этом график заменяется другим, симметрично расположенным относительно оси х-ов, служащей теперь для изображеняя значений функции. Во-вторых, целесообразно переменить наименования осей, а вместе с тем и наименования значений функций и аргумента, заменив х на у и у на х. Соответствующие графики можно нанести на тех же кусочках бумаги. При этом для большей ясности можно сначала набрасывать графики карандашом, а окончательно, в новых обозначениях, пользоваться чернилами (см. черт. 4).

Черт. 4

Все эти примеры могут служить и для выяснения понятия однозначной непрерывной ветви многозначной функции. Вполне наглядное представление о них можно дать, предлагая ученику выбрать какую-либо точку на графике многозначной функции и, поставив в нее острие карандаша или пера, вести вдоль графика сначала в одном, а затем в другом, из двух возможных, направлениях, соблюдая при этом два правила: 1) острие не отрывается от бумаги („непрерывность“) и 2) оно не проходит второй раз над или под теми частями графика, в которых раз уже побывало (однозначность).

Полезно иметь в виду, что получаемые таким образом однозначные непрерывные ветви могут быть определены в различных интервалах. На чертеже 5 изображен график многозначной функции, определенной на сегменте [а, с]. Мы имеем для нее 4 однозначные непрерывные ветви, с графиками I, II, III и IV, определенные на сегментах [а, Ь)$ [а, с], [d, с] и [d, е]. Заметим, наконец, что если в простейших случаях, с которыми приходится встречаться в элементарном курсе, для функции, обратной по отношению к непрерывной, можно выделить ее однозначные непрерывные ветви, то это только благодаря тому, что во всех этих случаях интервал, на котором определена данная функция, разлагается на конечное или бесконечное множество интервалов, на каждом из которых функция либо только возрастает, либо только убывает (т. е. является монотонной). Каждому из этих интервалов монотонности соответствует по одной однозначной и непрерывной ветви обратной функции (см. черт. 6, где имеется 5 интервалов монотонности функции у = f(x) и сообразно с этим 5'однозначных непрерывных ветвей обратной функции X ä v(y).

Черт. 5

В общем же случае, для однозначной непрерывной функции у =f(x) может не существовать ни одного интервала, в котором она была бы монотонной; тогда для обратной функции, которая необходимо будет многозначной, не существует ни одной непрерывной однозначной ветви.

Черт. 6

Именно так обстоит дело для функций, обратных по отношению к тем непрерывным функциям, которые не имеют производной ни при каком значении х. На чертеже 7 показаны три первых приближения к одной из таких функций (функция Хельге фон Коха). Чтобы от какого-либо, уже имеющегося приближения к этой функции, перейти к следующему, нужно разделить каждый из прямолинейных отрезков, входящих в график приближения, на три равные части и среднюю треть заменить двухзвенной ломаной. Вершина этой ломаной должна лежать над средней точкой отрезка, выше ее, на расстоянии (отсчитываемом параллельно оси у-ов), равном 1/6 отрезка, т. е. половине длины его третьей части.

Читатель уяснит себе этот процесс из нашего рисунка на примере перехода от первого приближения ко второму и от второго к третьему. Легко понять, что таким образом мы действительно будем постепенно приближаться к непрерывной функции, которая не будет монотонной ни на каком сколь угодно малом интервале. Обратная, по отношению к такой функции, не будет иметь ни одной однозначной непрерывной ветви.

12. В связи с вопросом об обратных функциях мы скажем несколько слов о тождестве или различии двух функций. От некоторых преподавателей математики мне приходилось слышать, что они не разрешают своим ученикам говорить, например, что х = ^-у есть функция обратная по отношению к функции у = 2х. Обратная функция, по их мнению, появляется лишь тогда, когда мы изменим обозначения и напишем у=-^-х. До этой

Черт. 7

поры, говорят они, мы имеем одно и то же уравнение у — 2х = 0, только написанное в разных видах (у = 2х и х =~y У — уравнения эквивалентные), один и тот же график, одну и ту же зависимость между у и X, а следовательно, и одну и ту же функцию.

По поводу этой аргументации следует отметить с самого же начала, что если в каждом из уравнений : у — 2х = О, у = 2х и х=-^-у, X обозначает значение аргумента, а у—значение функции, то тогда все они определяют одну и ту же функцию y=f(x). Но если мы, рассматривая хотя бы одно и то же уравнение у — 2х = о, скажем в первый раз, что х обозначает значение аргумента и у значение функции, а во второй раз, что у обозначает значение аргумента, а х значение функции, то оба раза речь будет идти о различных, а именно, взаимно-обратных функциях: у = 2х и х=-^-у.

Нужно иметь в виду, что уравнение F(x,y) *= 0 не определяет еще функцию, пока мы не укажем, что в нем обозначает значения аргумента и что—значения функции. Разумеется, мы можем условиться в том, что X обозначает значения аргумента, а у—значения функции и затем привыкнуть к этому условию. Нужно только опасаться, чтобы привычка не воспринималась потом как закон, от которого нельзя отступать. Понятие функции применяется в столь многообразных вопросах математики, естествознания и техники, что было бы неправомерно требовать, чтобы в каждом случае применения этого понятия мы запрещали бы использовать специфические обозначения (например, m для массы, v для скорости, t для времени или температуры и т. п.) и заменяли их каждый раз через х и у. Но если наш ученик рано или поздно должен быть готов к тому, чтобы в различных вопросах обозначать функцию и аргумент различными буквами, то не следует запрещать ему в вопросе, где наряду с некоторой функцией встречается ей обратная, обозначать через х то значения аргумента, то значения функции.

Вернемся к общему определению функции и уточним его так, чтобы во всех случаях можно было дать однозначный ответ на вопрос о том, когда две функции следует рассматривать как идентичные, а когда—как различные.

Если из всего определения функции запомнить только то, что функция это соответствие (или зависимость, в менее точной формулировке), то мы будем иметь под ногами весьма шаткую почву. В самом деле, тогда мы должны говорить, что функции одни и те же там, где соответствия (или зависимость) одинаковы. Но соответствие не есть самостоятельное понятие, которое можно рассматривать безотносительно к множествам, между элементами которых оно установлено. Соответствие есть прежде всего определенное отношение между двумя множествами M и N и может рассматриваться вне этих множеств.

Мы встанем на правильный путь, только исходя из полного определения функции. В его основе лежат два множества M и N, играющие несимметричную роль в определении. Именно одно из них, например Му является множеством значений аргумента, другое (/V), множеством, из которого черпаются значения функции. Различие ролей, которые M и N играют в определении функции, проявляется в том, что каждый элемент Ж фигурирует в качестве значения аргумента, тогда как вообще не каждый элемент N выступает в качестве значения функции; кроме того, самое соответствие между элементами M и N% которое и определяет функцию, мыслится, как направленное соответствие, ведущее от элементов M к элементам N. Для того чтобы две функции у = f(x) и у= <f(xf), определенные на Ж и М\ со значениями функции принадлежащими соответственно к N и были идентичны,, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1) множества M и М' идентичны, т. е. каждый элемент х^М есть в то же время элемент М\ и каждый элемент хг £ M есть в то же время элемент М;

2) каждое значение y^f(x) (принадлежащее N) принадлежало бы также и N' и каждое значение у'= у(х?) (принадлежащее N') принадлежало бы также и N; иными словами, /V и N' должны иметь общую часть, содержащую все значения f\x) и <?(х');

3) если X = х\ то f(x) = <f(x').

Из этих трех условий лишь последнее непосредственно говорит о соответствии

и сравнивает два соответствия y—f(x) и У =f(x') между собой. Самая возможность сравнения соответствий возникает только после того, как выполнены условия 1) и 2).

Теперь мы можем, в качестве иллюстрации, еще раз вернуться к вопросу, с которого мы начали этот пункт. Итак, одну и ту же, или две различные функции представляют уравнения у = 2х и х= ~у, если в первом случае х обозначает значения аргумента и ^—значения функции, а во втором у обозначает значения аргумента, а х—значения функции? В том и другом случае не указано, на каких множествах определены наши функции. Однако, пользуясь тем, что каждое из этих уравнений имеет корень относительно у (или л:), если х (или у) получает любое действительное значение, мы можем считать, что каждая из наших функций определена на множестве всех действительных чисел, т. е. множество M в обоих случаях1 одно и то же. Значения функции в обоих случаях являются также действительными числами. Следовательно, как в том, так и в другом, можно принять в качестве N также множество всех действительных чисел (N = M). Итак, условия 1) и 2) выполнены. Теперь мы имеем право сравнивать между собой и соответствия, т. е. обратиться к условию 3). Взяв, например, значение аргумента, равное 1, мы для функции, определяемой уравнением у = 2х (л:—значение аргумента, у—значение функции), получаем значение 2, тогда как для функции, определяемой уравнением х==-^ у (у—значение аргумента, х—значение функции), получается значение у. Так как эти числа различны, то различны и соответствия, т. е. различны и функции.

13. Одна из распространенных трудностей, которую приходится преодолевать начинающему знакомиться с понятием функции, связана с заданием функций графиками или формулами. Эта трудность заключается в следующем: как можно говорить об одной и той же функции, в случае когда мы для ее определения пользуемся несколькими произвольными кривыми (график) или несколькими произвольными формулами? Трудность эта является фактически иллюзорной и при правильном ознакомлении с понятием функции, исходящем из наглядных примеров соответствий (между множествами), задаваемых самыми различными путями (вообще говоря, без графиков и без формул), с ней можно не встретиться совсем. Однако на ней стоит остановиться, ибо она имеет почтенную традицию, и предрассудки, с ней связанные, живут среди некоторых преподавателей математики и до сих пор. Почву для этих предрассудков представляет привычная для математиков старой (очень старой) школы ассоциация понятия функции с понятием закона, причем в последнее привносятся весьма неточные и неопределенные представления.

В учебнике алгебры Киселева мы встречаем, например, такую формулировку1: „Переменная величина, изменяющаяся по определенному закону, не может иметь более одного предела“. Но что это означает: „по определенному закону?“ Не то ли, что речь идет об у, являющемся определенной функцией х:у= /(х)? Или же в эти слова „определенный закон“ вкладывается еще и иной, весьма не новый, но вместе с тем и весьма мало определенный смысл?

Наиболее ярким примером носителя представления о роли „определенного закона“ в концепции функции является Эйлер, с его своеобразным пониманием непрерывности (Эйлерова непрерывность).

Эйлер исходил из того, что наиболее важные и часто встречающиеся в математике зависимости задаются каждая одной формулой, одним уравнением, одним законом. Функции, определяемые для всех значений аргумента одним и тем же уравнением, он и называл непрерывными, применяя здесь, очевидно, слово „непрерывный“ к закону, управляющему функцией. В тех же случаях, когда для различных промежутков (интервалов или отрезков) употреблялись различные законы, т. е. различные формулы или уравнения, функция называлась разрывной или смешанной. В этом случае термин „разрывный“ относился к закону, обозначал разрыв в законе, отказ от одного закона и переход к другому за-

1 А. Киселев, Алгебра. Часть вторая. М. Учпедгиз, 1937, стр. 176.

кону, при переходе от одного отрезка к другому. Разрывными функциями Эйлер называл также и такие, в которых никакого закона не обнаруживается и к которым мы приходим, например, рассматривая ординату точки произвольно начерченной на бумаге линии, как функцию абсциссы.

Так, для Эйлера обе ветви гиперболы образуют график одной и той же непрерывной функции, ибо они управляются одним и тем же законом: У =~~ - Напротив, график функции, изображенной на чертеже 8, есть график разрывной (смешанной) функции, ибо в разных интервалах (a, b), (Ь, с) и (с, d) она задается разными законами, а именно, уравнениями различных прямых: AB, ВС и CD.

Какой бы ни казалась убедительной для начинающего классификация Эйлера, она теряет всякое значение, если к ней ближе приглядеться. Ее порок заключается в злоупотреблении понятием закона. В самом деле, имеет ли вообще какой-либо смысл проводить принципиальное различие между одним и многими законами? Если, например, в княжестве А воображаемого государства С имеется закон, по которому кража карается лишением имущества, а в княжестве В того же государства кража карается лишением свободы, то мы имеем два различных закона, и, следуя Эйлеру, мы должны были бы сказать, что наблюдается разрыв в наказании, рассматриваемом как функция преступления: мера наказания определяется на разных территориях различными законами (формулами). Но что мешает законодателю государства С, не меняя ничего, в соответствии наказания с преступлением, издать такой единый закон: „кража карается лишением имущества, если она совершена на территории А, и лишением свободы, если она совершена на территории В“ ? Этот пример должен только подчеркнуть чисто формальный, беспочвенный характер различий, которые усматривал Эйлер в задании функций. Позднейшее развитие науки показало, что во всех случаях, где Эйлер видел многие различные законы в задании функции или, напротив, не усматривал ни одного закона, можно всегда указать единый закон—формулу, аналитическое выражение, которое определит данную функцию для всех значений аргумента. Именно эта принципиальная возможность задавать любую из встречающихся в математическом обиходе функцию, по желанию, одной или многими формулами, которые можно, кроме того, бесконечно разнообразить по их внешнему виду (например, можно пользоваться рядами многочленов, тригонометрическими рядами, интегралами и т. д.), показывает, насколько несущественны для самого понятия функции те или иные способы ее задания. Практически, в каждом отдельном случае, нужно пользоваться теми из них, которые наиболее просты и естественны, не стесняя себя какими-либо посторонними соображениями.

14. В заключение мы скажем еще несколько слов по поводу понятия непрерывности функций. Уже давно в математике термин непрерывность употребляется не в эйлеровском смысле, а в смысле Коши. Как известно, функция f(x), определенная в некотором интервале, заключающем точку а, называется непрерывной в этой точке, если для любого е>0 неравенство \f(x) — /(а); < е выполняется, коль скоро X берется достаточно близким к а: \ х — а\<Ъ(ь). Функция непрерывная в каждой точке некоторого интервала называется непрерывной в этом интервале.

Понятие непрерывности является одним из наиболее трудных для начинающих изучать математику. Однако трудности можно уменьшить, если, не заботясь на первых порах об оформлении определения непрерывности, привести учащегося к пониманию полной естественности и необходимости тех ограничений, которые в этом определении накладываются на функции.

Пусть функция f(x) определена в интервале (а, Ь) и х—какая-либо точка

Черт. 8

интервала. Как можно судить о соответствующем значении функции Дх0)? Мы знаем, что каждое действительное число х0 определяется его десятичным разложением:

х0 = ар ...а0, ЬХЬ2ЬЬ (здесь ар,...,а0, bu £2,... цифры, т. е. целые числа, заключающиеся между 0 и 9). В теоретических вопросах мы имеем в виду все это бесконечное разложение целиком, но в каждом конкретном вопросе мы ограничиваемся укороченным разложением, дающим лишь то или иное приближение к х0. Если это приближение есть хг = ар .. .а0, ЬгЬ2. . ,Ьп, то мы вместо значения f(x0) получаем /(хг), которым и вынуждены пользоваться, если только не захотим взять иное, более точное приближение кх^. Но какая гарантия того, что хорошим приближениям к значению аргумента х0 будут соответствовать хорошие приближения к f(x0)? Учитель может указать, что учащийся в вычислениях: при сложении, вычитании, умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня весьма часто данные, над которыми производятся выкладки, заменяет их приближенными значениями. При этом не возникает сомнения в том, что получается хорошее приближение к результату (значению функции), если выбраны достаточно хорошие приближения для данных чисел (значений аргумента). Вот это свойство функций, которым мы вынуждены постоянно пользоваться, и есть непрерывность. На первых порах его можно формулировать, например, так: функция непрерывна, если всем достаточно хорошим приближениям значения аргумента х0 соответствуют сколь угодно точные приближения значения функции f(x0). Разумеется, той или иной формулировке должно предшествовать обстоятельное разъяснение, сопровождаемое простыми примерами.

Изложение этого пункта лучше приспособлено к определению непрерывной функции, формулируемому следующим образом: функция f(x) называется непрерывной при X = x0i если для любой последовательности значений аргумента |хл}, сходящейся к х0, последовательность соответствующих значении функции: {/(*„)} сходится к f(x0).

Или в символах:

f(xn)-+f(x0\ пР“ хя~-+хе1

Это определение, принадлежащее Гейне (Е. Heine), эквивалентно определению Коши. В школьном курсе ориентировка на это определение имеет то преимущество, что сводит новое и нелегкое для учащегося понятие к более элементарному понятию предела последовательности. Это последнее понятие неизбежно при любой системе преподавания.

15. В заключение мы скажем еще несколько слов о понятии предела функции в точке и об употреблении термина „точка разрыва“. Во многих вопросах математики приходится встречаться с функциями, которые определены, например, в интервале за исключением некоторой его точки а, лежащей внутри интервала, или в одном из его концов.

Такова, например, функция f(x) = ~~ определяемая указанной формулой для всех X, кроме х = 0. В таких случаях возникает вопрос о возможности восполнить определение функции, приписав ей некоторое значение в точке х0, получаемое из соображений непрерывности. Для достижения этой цели используется понятие предела функции (в точке).

Говорят, что f(x) стремится к пределу А, при X, стремящемся к а, если для любой последовательности значений {л;л}, отличных от а и сходящейся к а, последовательность соответствующих значений \ f(xn)} сходится к А. Коротко факт стремления f(x) к пределу А записывают так:2

f(x)—>Л, при х—*а или l\mf(x)=A.

Понятно, что в этом определении мы рассматриваем только значения хпфа. Ведь f(x), вообще говоря, может и не быть определенной при х = а. Но если даже f(x) определена при х = а, если, например, мы имеем дело с функцией: /(х) = ^, при х^О и Д0) = 0, то, отыскивая lim/(*), мы отбрасываем значение /(0), как заданное, a priori, и, быть

1 Или lim f(xn)=f(xQ), если lim xnz=xö.

2 Если a есть левый или правый конец интервала, на котором определена функция, то рассматривают только значения х соответственно большие или меньшие, чем а, и тогда говорят о пределе справа или слева.

может, не связанное с соседними значениями функции требованием непрерывности.

Понятие предела функции в точке позволяет как бы анатомировать понятие непрерывности функции в точке, расчленить его на составные части. Вот к чему мы тогда приходим:

Функция /(*) называется непрерывной в точке а, если выполнены следующие условия:

1) а принадлежит интервалу, на котором /(*) определена;

2) существует предел: НтДх);

3) предел этот равен значению функции в точке а:

Определение это эквивалентно определению предыдущего пункта. Мы привели это определение здесь потому, что на нем основано правильное словоупотребление термина „точка разрыва.“ Казалось бы, проще всего называть точкой разрыва функции любую точку а, для которой не выполнено хотя бы одно условие последнего определения. Однако так не поступают, и прочно сложившаяся в науке традиция ведет по другому пути. Понятие точки разрыва функции не есть логическое отрицание точки непрерывности. Так, например, никто не говорит, что функция f(x) = lgx разрывна при х=*—1, или что arc sin* имеет разрыв при л: = 2, хотя и та и другая точки не принадлежат интервалам, на которых определены наши функции (соответственно (0,оо) и [-— 1, + 1]) и, следовательно, условие 1) непрерывности здесь не выполнено.

Говорят, что функция /(*) имеет точку разрыва х = а, если выполнено условие 1), но не выполнено условие 2), либо выполнены условия 1) и 2), но не выполнено условие 3). Так, например, для функции:

и для а = 0 выполнено 1), но не выполнено 2); для функции

и для а = 0 выполнены условия 1) и 2), но не выполнено условие 3) (lim^^ = 1#/(0) = 0).

Еще чаще говорят о точке разрыва, когда функция в интервале, внутри которого лежит точка а или концом которого она является, определена всюду, кроме этой точки, и если предел lim/(*) не существует. Так, например, функция /(*) = 7 (— 00 <х < + °°, хфО), функция fix) = ctg * (— ic <*<тс, X ф 0), функция /(*) = sin-i- (—oo<*<-f оо, хфО) —разрывны при * = 0. Указанными случаями исчерпываются общепринятые условия употребления термина „точка разрыва“.

Некоторые авторы^ говорят еще, что функция /(*), определенная всюду в интервале (а, р), за исключением некоторой точки а (она может быть концом интервала) и удовлетворяющая условию 2), непрерывна в точке а. Однако такое словоупотребление не является общепринятым.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЕ В РОССИИ XVIII—XIX вв.

Проф. А. П. ЮШКЕВИЧ (Москва)

УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА 1730-1800 гг.

Продолжение

1. Общая характеристика. В тесной связи с общей эволюцией преподавания математики в XVIII в. развивалась и русская учебная математическая литература. Постепенное увеличение количества школ и учащихся сопровождалось соответствующим ростом числа учебных руководств. За первую половину XVIII в. издано было 30 учебных книг по математике или со специальными математическими разделами. За следующие 25 лет, с 1751 —1775 гг., таких книг вышло почти столько же, сколько за первые полвека, именно 32. А в последнюю четверть столетия, за 1776—1800 гг. издано было больше руководств по математике, чем за предыдущие 75 лет, а именно 661).

Различие в программах и требованиях учебных заведений влекло за собой и диференциации) учебной литературы. Для гимназии и университета Академии наук публиковались серьезные, иногда фундаментальные руководства; курсы для передового Морского кадетского корпуса отличались, как правило, более высоким научным уровнем, чем для других кадетских корпусов. Характерны, например, троекратный перевод „Начал“ Евклида для Морского корпуса (1739, 1769, 1784 с переизданием в 1789) и наряду с этим три издания лишенной каких-либо доказательств „Практической геометрии“ С. Hазарова для Сухопутного корпуса (СПБ, 1760, 1767, 1775). С течением времени почти каждое учебное заведение обзаводилось подходящей к его целям литературой. Так, особые руководства выпускаются для Смольного института („Начальные основания геометрии“ М. Матинского, СПБ., 1798), для народных училищ. Появляются учебники и для более широкого и менее определенного круга читателей, вроде „Арифметики или числовника... в пользу всякого учащегося воинского, статского и купеческого юношества“ Н. Курганова (СПБ., 1771, 1776, 1791) и популярного в свое время четырехтомного „Теоретического и практического курса чистой математики“— именно арифметики, алгебры, геометрии, тригонометрии (1-е изд., М., 1787—1790) Е. Войтяховского.

Разнообразнее и глубже становится и содержание учебной литературы. В 1752 г. Н. Муравьев публикует первый специальный русский учебник алгебры („Начальное основание математики“, ч. 1, СПБ., 1752). В 1770 г. в переводе книги Хр. Вольфа на русском языке появляются впервые сведения о перспективе, а позднее выходят „Рассуждение о перспективе“ Н. Львова (СПБ., 1789) и „Правила о перспективе“ А. Альберти (СПБ., 1791). В 1771 г. выходит в составе той же книги Вольфа первое у нас краткое пособие по исчислению бесконечно-малых С. Котельникова, а в 1790— 1800 гг. по анализу и высшей геометрии издается уже 5 и в 1801—1815 гг.—около 20 сочинений.

1 Приведенные данные составлены на основании „Русской физико-математической библиографии В. В. Бобынина (тт. 1—3, М. 1885— 1900), в которой были учтены почти все соответствующие издания до 1816 г.

Общей тенденцией европейской учебной литературы рассматриваемого времени было стремление перейти от догматического изложения правил и решения задач к систематически построенным курсам, содержащим доказательства всех или, по крайней мере, наиболее важных теорем. Это направление педагогической мысли принимало в разных странах различные формы. В Германии, особенно под влиянием Вольфа, возникла обширная учебная литература, на первый план выдвигавшая логическую тренировку ума. Это течение, представлявшее шаг вперед по сравнению с прежним чисто догматическим обучением математической рецептуре, страдало, однако, увлечением внешней и формальной стороной дела. В действительности оно в значительной степени вырождалось в нагромождение лишенных научного и учебного значения аксиом, определений, терминов и мало связанных с ними теорем, короллариев и поучений. Со временем оно все более застывало в формалистическом педантизме, отставало от развития математики и в конце концов стало препятствием на пути дальнейшего развития живой педагогической мысли. В Англии шла главным образом усиленная работа над комментированием и совершенствованием „Начал“ Евклида, бывших основой обучения математике в английской школе XVIII—XIX вв. Наконец, в предреволюционной Франции велась борьба за демократизацию преподавания и делались энергичные попытки соединить простоту и общедоступность обучения математике с большей или меньшей точностью и убедительностью доказательств (А. Клеро, Ж. Даламбер). Стремление к сочетанию ясности, простоты и доказательности изложения характерно было и для руководств великого Эйлера.

В оригинальной и переводной русской литературе 1730—1800 гг. проявлялись, правда, с различной силой, все описанные тенденции. Мы встречаемся в ней с книгами Вольфа и его последователя Вейдлера и примкнувшего к ним московского профессора Д. Аничкова; с переводами учебников известного французского ученого Э. Безу, стремившегося, даже ценой строгости, к максимальной доступности своих широко распространенных руководств; с попытками внедрить „усовершенствованного“ Евклида со стороны В. Никитина и П. Суворова и т. п.

Наряду с большим числом учебников, написанных в манере вольфовой школы, мы встречаем, далее, замечательные руководства Эйлера и курсы его последователей или учеников—С. Котельникова, Н. Курганова, М. Головина, Н. Фусса. Некоторые из этих курсов написаны были на высоком научном и методическом уровне. С течением времени заметно оскудевает вольфианская струя, и под влиянием нужд специального технического преподавания со все большей силой пробиваются передовые научные и методические идеи, наиболее яркими выразителями которых были во Франции Даламбер, а в России Эйлер. В конце XVIII в. русская математическая мысль выступает публично с первым серьезным трактатом по философии и методике математики— с „Опытом об усовершении елементов геометрии“ С. Гурьева (СПБ., 1798).

Я не могу подробно исследовать здесь хотя бы важнейшие русские учебники математики разбираемого времени и ограничусь краткой характеристикой наиболее представительных из них.

2. Руководства Вольфа. Вейдлера и Аничкова. Математика в глазах Хр. Вольфа (1679—1754) представляла всеобъемлющий метод познания и пропедевтику всех наук. В 1710 г. Вольф выпустил полный курс математики в 4-х томах, за которым последовало облегченное сокращение „Auszug aus Anfangsgründen aller mathematischen Wissenschaften“ (1713), вышедшее в русском, значительно дополненном, переводе С. Котельникова под названием „Сокращение первых оснований мафиматики, сочиненное в ползу учащегося юношества Христианом Волфом“ (2 тома, СПБ., 1770-1771, 2-е изд. 1791). Курс содержал в себе изложение 19 математических наук: арифметики, геометрии, тригонометрии, механики, гидростатики, аэрометрии, гидравлики, оптики,, катоптрики, диоптрой, перспективы, астрономии, географии, хронологии, гномоники, пиротехники, архитектуры, военной и гражданской, и, наконец, алгебры. В предисловии излагались основные фило софско-педагогические идеи автора. „Я,— писал Вольф,—с Филиппом Меланхотоном непременно думаю так, что никто твердо и право рассуждать не может о вещах, не учася прилежно математике“. Особенную важность представляют при этом не отдельные факты, но порядок математики

я ход ее рассуждений; выучивание предложений на память представляет малую ценность. „Не мафиматические правды, но порядок учения, из которого оные точно познаются, способствует ко изощрению человеческого разума, которые выгоды пропадают, когда мафиматические науки обыкновенным преподаются образом, где больше память поощряется, нежели разум“.

Однако Вольф лишь в малой мере реализовал свое намерение содействовать развитию математического мышления. Правда, в его курсах теоремы или правила обычно снабжались доказательствами (иногда весьма туманными), но подлинного раскрытия взаимных связей между предложениями той или иной математической дисциплины, ее структуры и внутренней логики ее развития он нигде не дал. Всему изложению сообщен был схоластический оттенок, совмещавшийся С очень специальными деловыми советами, полезными только для геодезистов. Педантическая псевдострогость доходила иногда до курьезов. Например, в основаниях архитектуры встречаются всерьез доказываемые modo geometrico теоремы вроде: „окно от полу выше трех футов быть не должно“ или „высота покоев должна быть не гораздо велика и не гораздо мала“.

Не останавливаясь на содержании курса Вольфа и родственных ему по духу „Jnstitutiones mathematicae“ И. Вейдлера (1-е изд., 1718), четыре математические части которых опубликовал Д. С. Аничков (1-е изд., М. 1765), я перейду к руководствам самого Аничкова.

Аничков примкнул к Вейдлеру в построении своего труда очень близко, но использовал и другие источники, например, учебник С. Я. Румовского. В общем итоге он значительно увеличил число примеров и задач, ряд выводов изложил подробнее и яснее, исключил многие лишние детали, изменил отдельные доказательства. Курс его, состоявший из четырех частей, получился лучше, чем у Вейдлера: доступнее, живее и содержательнее.

„Теоретическая и практическая арифметика“ (М., 1775, 1788, 1793), по объему вчетверо превосходившая учебник арифметики Вейдлера, открывалась „Предуведомлением о математическом способе учения“, где разъяснялись термины: определение, аксиома1, теорема, проблема и т. д. и сообщались определения количества пребывающего (все части которого существуют одновременно и вместе) и последовательного, а также количества непрерывного, части которого соединены, и раздельного, т. е. числа. „Число,—писал Аничков вслед за акад. Румовским (в его „Сокращении математики“, СПБ., 1760),— есть множество частей одинакового роду, вместе взятых; и всякая из оных частей называется единица“2. Арифметика объявлялась первой среди математических наук в силу особой простоты понятия о раздельном количестве. Далее давались определения чисел равных, больших, меньших, четных, нечетных, излагалась нумерация и ее краткая история, а затем приводилось 10 аксиом о целых числах: 1) всякое число можно вымерять через единицы, которые в нем находятся. 2) Всякое число или количество само себе равно. 3) Равные количества имеют между собой взаимное сношение, т. е. одно на месте другого может поставлено быть. 4) Когда два числа или количества равны одному третьему, то оные равны и между собой. 5) Что больше одного из равных количеств, то больше и другого. 6) Целое равно всем своим частям, вместе взятым, и больше каждой своей части. В 7—10 аксиомах говорилось о том, что если к равным или к большему и меньшему прибавить (отнять, умножить, разделить) равные, то получатся равные или первый результат будет более второго. Замечу, что при введении отношений чисел сообщался ряд аналогичных новых аксиом. Отрицательное число Аничков вводил—уже на 27-й странице—в точных выражениях Румовского: „когда случится вычитать большее число из меньшего, то вычитается меньшее из большого, а к остатку приписывается знак—“. Понятие отрицательного числа очень кратко

1 Любопытно, что под аксиомой вольфианцы понимали, выражаясь словами Аничкова, „истину, которая непосредственно выводится из определения и не подлежит особливому доказательству для своей ясности", например: целое равно своим частям, вместе взятым. Отсюда—первостепенная роль определений.

2 Число, как отношение двух однородных величин, у нас ввел впервые по „образу нютонову“ акад. С. Котельников в „Первых основаниях мафиматических наук“, части первой, содержащей ъ себе арифметику (СПБ., 1766).

пояснялось с помощью приходо-расходных операций. Излагая приемы действий, Аничков не разбирал многие важные их свойства. Зато он „доказывал“ теоремы вроде такой: „Числа слагаемые должны быть одного роду“.

Подробно рассказав о действиях над именованными числами, Аничков вводил арифметическое и геометрическое отношения, проводя различение „содержаний“ большей неравности, когда предыдущее больше последующего, меньшей неравности, двойных, тройных, полуторных, полутретных (5:2), половинных, третных,— причем параллельно здесь, как и всюду, приводилась и латинская терминология. В этом разделе при доказательствах рядом применялись буквенное обозначение количеств и числовые примеры. После этого излагались учение о прогрессиях, действия над дробями, извлечение корней, свойства логарифмов. Во второй части книги („О практической арифметике“) подробно растолковывалось тройное правило и правило товарищества и без вывода сообщались правила смешения и ложного положения. Аничков, правда, указывал, что алгебра делает последние излишними. Книга заканчивалась подробными таблицами древних и современных мер, занимавшими книги, около 100 страниц

Столь же объемистая, как арифметика, „Теоретическая и практическая геометрия“ (М., 1780, 1787) делилась на лонгиметрию, планиметрию и стереометрию. Особенно любопытно для нас характерное сочетание теоретического материала с прикладными задачами, столь щедро рассыпанными по тексту, что неминуемо утрачивалось представление о взаимной связи геометрических предложений. Аничков (и Вейдлер) почти не объединяли теорем в большие группы, за которыми следовали бы приложения, а преподносили все в трудно усвояемой смеси. В гл. I говорилось о предмете геометрии и об определениях, а также весьма своеобразно подобранных аксиомах и постулатах планиметрии. В гл. II—об устройстве и применении циркуля, рейсфедера, зубчатого колеса для пунктира, линейки, наугольника, землемерной цепи, отвеса, квадранта с диоптрой, астролябии с нониусом, мерительного столика—мензулы, о качестве чернил и т. д. Гл. III начиналась с задачи о проведении прямой между двумя точками на бумаге (с помощью линейки), дереве или камне (с помощью крашеной веревки), на поле (с помощью кольев и цепи). За этим решалась задача об измерении прямого отрезка на бумаге циркулем и в поле с помощью веревки, вываренной в горячем масле и навощенной, чтобы от сырости ее длина не менялась. Далее следовали теоремы о смежных и вертикальных углах, измерение углов астролябией, теоремы о равенстве треугольников, и тут же приближенное вычерчивание параллельной прямой на данном расстоянии, как касательной к дугам данного радиуса, описанным из двух точек заданной прямой и т. п. После теорем о подобии решались задачи на определение расстояний. Последняя, IV глава первой, лонгиметрической, части посвящена была теоремам об окружности и приближенному вычислению ее длины.

Во второй, планиметрической, части мы находим основные предложения о четырехугольниках и многоугольниках, приближенное построение правильных многоугольников по способу Ренальдини, правила измерения площадей. Теорема об отношении площадей двух кругов основывалась на рассмотрении окружности, как вписанного многоугольника со столь большим числом сторон—хорд, что они „от окружности нимало не будут разноствовать“. Затем доказывались теоремы Пифагора и о квадрате стороны, лежащей против острого угла, и проводилось вычисление площади треугольника по трем сторонам. Большое место отводилось черчению планов, делению площадей фигур на равные части.

В третьей, стереометрической, части, посвященной главным образом измерению тел, широко применялся принцип Кавальери. На нем базировалось доказательство того, что объем шара равен 2/3 объема описанного цилиндра (ибо из KL2-\-LM2= = KN2 следует, что сумма объемов полушария и конуса БОС равна объему цилиндра ABCD (см. черт. 1). Тут же давалось описание изготовления калиброванной линейки для определения веса пушечных ядер, визира—для измерения бочек и т. д. Несомненно, что не только студенты университета—будущие врачи, юристы, учителя ичиновники,—ной практики-геодезисты знали бы больше, если бы вместо довольно хаотической смеси аксиом, теорем, правил употребления

астролябий и калиброванных линеек и т. п. получили более однородный и систематический курс геометрии и ее приложений.

Черт. 1

Я оставляю в стороне „Теоретическую и практическую тригонометрию“ (М. 1780, 1787). Что касается „Начальных оснований алгебры или арифметики литеральной“ (М. 1791), то в них заслуживает упоминания последняя глава, содержавшая краткие сведения о конических сечениях (с уравнениями, отнесенными к вершине) и их свойствах, а также о циклоиде, конхоиде, циссоиде, квадратрисе, логарифмической кривой и спирали Архимеда. Уравнения трансцендентных кривых получались, как то нередко делалось в XVII—XVIII вв., в алгебраической форме на основе зависимостей между специально подобранными отрезками. Например, циклоида определялась тем свойством, что для любой ее точки M дуга РА = х, отсекаемая на образующем круге отрезком МР=у9 параллельным основанию, всегда равна длине этого отрезка, так что у — х (черт. 2).

Черт. 2

При оценке учебников Аничкова и ему подобных следует, однако, иметь в виду, что нас отделяют от них 150—200 лет. Мы теперь видим в этих сочинениях прежде всего сочетание псевдострогих дизъюнкций с грубым эмпиризмом, педантическую сухость и догматическую веру в непогрешимость и завершенность системы. Но в свое время они несли на смену ненаучному преподаванию новые идеи и имели немалый успех. Главной бедой было рутинное использование таких книг даже в те времена, когда уже появились талантливые руководства Клеро, Эйлера и др.

3. Арифметика Эйлера и Курганова. „Руководство к арифметике“ Л. Эйлера явилось у нас первой научно составленной книгой по этому предмету (нем. изд. „Einleitung zur Rechenkunst“, st Ptsb., 1738—1740; русск. пер. ч. I, СПБ., 1740; ч. II, СПБ., 1760). В предисловии к первой части, превосходно переведенной В. Ададуровым, Эйлер критиковал обе категории существовавших в то время иностранных руководств: и те, которые содержали одни лишь правила с примерами, и те, которые правила доказывали, „однако ж так трудным и непонятным образом, что ежели кто к математическому порятку не привык, тому не можно почти того и выразуметь“. Эйлер упрекал других авторов еще в том, что „они не стараются... о тех способах, чрез которые счисление лехче и короче учинить можно“. Своей целью Эйлер ставил дать и обоснованное и удобопонятное изложение числовой арифметики. В первых двух частях предполагалось изложить действия над целыми и дробями, в третьей—тройное и прочие правила, а за этим намечалось составить часть курса, „которой надлежит до геометрии и до прочих частей математики, и содержит в себе десятичные дроби купно с вычитанием радиксов (извлечением корней.—А. Ю.), а напоследок также и учение о логарифмах и их употреблении толкует“. Из-за неожиданного отъезда Эйлера за границу в 1741 г. учебник остался недописанным, и вышли только две первые его части; теория десятичных дробей и логарифмы включены были впоследствии в курс алгебры Эйлера.

Отказавшись от нереальных в ту эпоху и вообще неподходящих для начального обучения попыток аксиоматического построения арифметики, Эйлер дал очень толковое и доступное изложение числовой арифметики. В первой части подробно разъяснялись четыре действия над целыми, их взаимозависимости и переместительное свойство умножения; особо разбиралось деление с остатком и очень большое место отведено было дробям.

Дробь определялась, во-первых, как частное, возникающее при делении, не осуществляющемся нацело, а затем как сумма долей единицы. Чтобы убедить читателя в реальности дробей, Эйлер брал пример с делением 17 на 5 и писал, что частное, заключающееся между 3 и 4, целым числом быть не может, „однакож оно есть некоторое количество, или число, потому что можно сказать, что сие частное число больше нежели 3, а меньше нежели 4“. В разряде о дробях излагались признаки делимости на 2, 4, 8, 5, 3, 6, 9, вводились „больший общий делитель“ и „самое меньшее общее делимое число“. Правило умножения дробей Эйлер обосновывал следующим образом. Прежде всего вводилось умножение дроби на целое, как сокращенное сложение, и, в частности, умножение дроби -5- на п. Выяснив, что при этом нужно умножать числитель дроби на целый множитель, Эйлер распространял найденное свойство на дробные множители. Возникающую в результате дробь с дробным числителем он упрощал путем умножения ее обоих членов на знаменатель первого члена. При делении сперва рассматривался случай дробей с равными знаменателями, в котором ясно, например, что-^- вдвое больше “5~, т. е. “у-'-ёр =2; в общем случае правило получалось путем приведения делимого и делителя к общему знаменателю.

Вторая часть учебника отведена была действиям над именованными числами и таблицами мер. Здесь проявилась, между прочим, забота Эйлера об упрощении вычислений. Так, он указывает, что при умножении на -~ следует исходить из того, что ~ =* у + 2 I 2 * Полезно также помнить, что “з ^ у +-2Т3- , ~24 + ТГЗ + 2.34 и т. п.

При всех своих достоинствах „Арифметика“ Эйлера имела и некоторые недостатки. В ней было мало примеров (а задачников в те времена не существовало). Нецелесообразно было помещать учение о дробях перед отделом об именованных числах, после которого они усваиваются гораздо легче (как поступал у нас еще Магницкий). Не обладали подлинной доказательностью попытки обосновать существование дробей и действия над ними. Однако главным недостатком для тогдашнего читателя явилась незаконченность книги. Этим и объясняется ее малая популярность. И все же эйлеровой арифметике предстояло дойти до самых широких кругов учащихся XVIII в. через посредство руководства Н. Курганова.

Когда Н. Г. Курганов приступил к составлению нового учебника для Морского корпуса, он имел перед собой устаревшую „Арифметику“ своего наставника Магницкого, незаконченное „Руководство к арифметике“ Эйлера и слишком трудный для учащихся курс алгебры Н. Муравьева. Курганов поставил актуальную и важную задачу дать „сокращенный и основательный способ учения начальных математических наук в житии человеческом необходимо потребных“. Плодом его трудов явилась прежде всего „Универсальная арифметика“, содержащая „основательное учение, как легчайшим способом разные во обществе случающиеся, математике принадлежащие, арифметические, геометрические и алгебраические выкладки производить“ (СПБ., 1757, 1794, стр. 411). Ни одно сочинение по математике, кроме книги Магницкого, не приобрело такой популярности у нас в XVIII в., как эта книга, а особенно ее сокращенное издание „Арифметика или числовник“ (СПБ., 1771, 1776, 1791, стр. 103). Этому содействовали, с одной стороны, легкость и простота изложения, обилие и разнообразие задач, а также хороший литературный язык автора „Письмовника“. Избегая подробных доказательств, Курганов чаще всего пояснял справедливость предложений с помощью конкретных примеров, а более трудные правила оставлял без доказательства: „продолжительное и подробное изъяснение,—писал он,—причиняет юношеству скуку с нерачением“. С другой стороны, причиной успеха книг Курганова явилось умелое сочетание уже привычных в России приемов старой школы с новыми идеями научного изложения. Подобно Магницкому, Курганов в своей „Универсальной арифметике“ дал полуэнциклопедический курс, включивший арифметику, ее приложения к геометрии, ал-

гебру и логарифмы. Подобно Магницкому же, он снабдил курс многими задачами коммерческого характера, задачами на вычисление площадей и объемов, наконец, развлекательными задачами (это имел в виду сделать и Эйлер). Но вместе с тем, Курганов дает разъяснения многих правил (не доказывая лишь правила смешения и ложных положений), в арифметике и алгебре пользуется современной символикой и объединяет правила практической арифметики в большие группы (не различая, например, тройного правила в целых и в дробях и т. п.).

Влияние учебника Эйлера отчетливо сказалось на первых двух частях „Универсальной арифметики“ Курганова. Здесь совпадают многие заголовки, все важнейшие определения, порядок изложения (например, учение о дробях предшествует действиям над именованными числами), пояснения (вплоть до примеров, скажем, с делением 17 на 5). Курганов использовал и некоторые особенности в обозначениях Эйлера, например, запись действия деления 147475 на 362 с целой частью частного 407 в виде 362 (147475) 407 и другие. Но, в отличие от Эйлера, очень поздно вводившего знаки действий, Курганов последовательно применял их, начиная с главы о сложении целых чисел.

Третья часть книги отведена была правилам практической арифметики. Тройное правило пояснялось на основе понятия о пропорции и теоремы о равенстве произведений крайних и средних членов пропорции, проверенной на числовом примере. Среди задач на правило смешения разбиралась знаменитая задача Архимеда о короне царя Гиерона. Четвертая часть содержала учение о десятичных дробях, извлечение корней, приложения к вычислению площадей, объемов и т. п. В пятой части излагалось буквенное исчисление алгебры, решение некоторых примеров „экваций или сравнениев“ первой и второй степени (с отсылкой за решением высших уравнений к алгебре Муравьева), теория пропорций, арифметические и геометрические прогрессии и логарифмы. Ни в какие подробности относительно свойств „отрицательных или вычитательных“ чисел, наспех введенных в качестве чисел со знаком минус, Курганов не входил. Среди задач, между прочим, имелась задача о моментах встречи часовой и минутной стрелок часов. Логарифмы определялись как показатели степеней членов всякой геометрической прогрессии, первый член которой равен единице.

„Арифметика или числовник“ отличалась от „Универсальной арифметики“ главным образом выключением алгебраической части. Зато в ней было значительно увеличено число задач, в частности на вычисление процентов. К существенным отличиям следует отнести также исключение геометрических приложений, помещение отдела о десятичных дробях непосредственно вслед за главой о дробях и объединение тройного и прочих правил в одной главе под названием „О пропорционных правилах или употребление пропорции“. Все это сообщило новому учебнику Курганова большую однородность, хотя в нем сохранилось еще изложение свойств прогрессий и логарифмов.

Совершенно иной характер имели теоретические учебники арифметики Румовского и Котельникова. В них мы находим аксиоматику и тяжеловесное применение буквенного исчисления1. Эти книги употреблялись более всего в гимназии Академии наук и почти не конкурировали с учебниками Курганова, которые стали понемногу выходить из употребления лишь в конце XVIII века.

4. Алгебра Эйлера и Фусса. Курс алгебры Муравьева (1752 г.) содержал обширный материал, включая бином Ньютона и методы решения уравнений высших степеней. Это была, однако, трудная и довольно несистематично написанная книга. В руководстве Курганова наиболее ценной была, конечно, арифметическая часть. Поэтому составление курса алгебры на русском языке оставалось в сущности нерешенной задачей. Эта задача была решена Эйлером в его классической двухтомной „Универсальной арифметике“, переведенной П. Иноходцевым и И. Юдиным (СПБ., 1768—1769, 1787—1788; 3-й, неполный перевод В. Висковатова, СПБ., 1812), вышедшей в Петербурге и на немецком языке („Voll-

1 Любопытно, что в курсе Котельникова, где число понималось общим образом, как отношение двух величин, в I главе речь шла о сложении и вычитании, во II главе—об отношениях и пропорциях, а умножение и деление рассматривались в главе III.

ständige Einleitung zur Algebra“, 1770), а затем многократно издававшейся на французском, английском, немецком и других языках.

В первой половине XVIII в. вышли три выдающихся курса алгебры: Ньютона (1707;, Маклорена (1748; и Клеро (1746). „Arithmetica universalis“ Ньютона прежде всего продолжала и развивала тенденции декартовой математики. Декарт, отойдя от геометрической алгебры древних и алгебры разнородных величин Виета, строил алгебру как исчисление прямых отрезков. Ньютон пошел в арифметизации дальше и в основу алгебры положил понятие о числе, как об отношении величины к однородной величине, принятой за единицу, т. е. отвлеченном вещественном числе. Для Декарта построение корней уравнений с помощью пересечения кривых имело не только практическое, но и принципиальное значение как общий метод отыскания решений приведенных к уравнениям задач. Ньютон использовал этот прием только для вычисления первых знаков числовой величины корня и разработал числовые методы. Ньютон пошел дальше Декарта в исследовании границ вещественных корней, в исследовании числа положительных и отрицательных корней; он ввел также степенные суммы корней. Но геометрические приложения и задачи и самое построение корней занимали у Ньютона еще очень видное место.

„А treatise of algebra“ Маклорена был составлен в качестве обширного комментария к лишенному доказательств многих важных предложений труду Ньютона. Но этот комментарий содержал и большой новый материал (формула бинома, прогрессии, теоремы о границах корней и т. д.), частью принадлежавший самому Маклорену. Маклорен сделал также попытку обосновать правила действия над отрицательными числами и рад дробями. Геометрические приложения занимали в его книге более скромное место.

Очень свежо и своеобразно построены были „Elements d'algèbre“ Клеро. „Я,— писал он в предисловии, — стремился дать здесь правила алгебры в том порядке, которому могли бы следовать изобретатели. Ни одна истина не представлена здесь под видом теорем. Напротив, все они как бы открываются при занятиях задачами, которые побудили решать необходимость или любопытство“. Не предпосылая систематических пояснений об алгебраических символах и операциях, Клеро начинал с ряда задач на уравнения первой степени, попутно в задаче о курьерах вводил отрицательные числа; затем с помощью одной задачи на проценты и задачи о двух источниках света вводил и исследовал квадратные уравнения. В его книге приводились также формула бинома Ньютона, решение уравнений 3-й и4-й степени и имелось немало собственных открытий. Клеро тоже пытался обосновать правило перемножения отрицательных чисел.

Книга Эйлера также представляла со бой не только серьезный научный курс алгебры, но и оригинальный труд. Расположение курса было существенно изменено. Первый том был целиком отведен основным понятиям алгебры и постепенному развитию алгебраического исчисления: расширению понятия о числе, действиям над одночленами, логарифмам, затем многочленам, разложениям в ряды дробей, вроде и -j—у-, соединениям и биному Ньютона, отношениям и пропорциям, прогрессиям, бесконечным десятичным дробям и процентам. В главе о пропорциях попутно разъяснялись тройное и цепное правило. Везде, где возможно, параллельно с алгеброй излагалась арифметика. Второй том посвящен был уравнениям: сперва решению уравнений до четвертой степени включительно, затем приближенным методам вычисления корней и, наконец, неопределенному анализу. Расположение материала было проведено очень последовательно (если исключить присоединение к алгебре трансцендентной операции логарифмирования). Но столь позднее введение уравнений впоследствии было оставлено, и авторы учебников пошли по более удобному в преподавании пути, среднему между руководствами Эйлера и Клеро.

Очень важные перемены имелись и в содержании курса. „Универсальная арифметика“ не должна была служить полным трактатом высшей алгебры и ее приложений. Эйлер исключил поэтому общие теоремы о числе корней уравнений и правилах знаков, о преобразовании корней, об их границах, о степенных суммах корней, о разложении на квад-

ратичные множители и т. п. (сохранив часть этих теорем лишь в применении к рассмотренным им уравнениям первых четырех степеней). Он полностью исключил также все геометрические задачи и применение кривых, придав курсу чисто аналитический характер. Для великого систематизатора математики, как и для Лагранжа и ряда других ученых того времени, типично было планомерное выделение геометрических представлений из анализа и разработка последнего на числовой основе. Тем самым Эйлер на долгие годы изгнал из алгебры идею о функции, введенную туда в форме уравнения кривой Декартом.

С другой стороны, Эйлер ввел в курс алгебры, отчасти вслед за Маклореном (но независимо от Клеро), формулу бинома Ньютона и учение о соединениях, прогрессии, бесконечные десятичные дроби, логарифмы. Он здесь первый систематически изложил учение о логарифмировании, как об одной из двух операций, обратных возведению в степень; до того логарифмы вводили как члены арифметической прогрессии, соответствующие данной геометрической прогрессии.

Подобно Маклорену и Клеро, Эйлер пытался доказывать правила действий. Это не могло привести в то время к подлинному успеху. Например, его приемы обоснования знаков при умножении опирались на неявные предпосылки и перенос свойств положительных чисел на отрицательные. Рассматривая умножение как сокращенное сложение, Эйлер сперва доказывает, что—а X 3 дает—За: „понеже — а за долг принять можно, то известно, что долг сей три раза взятой, три раза более быть должен, следовательно, вылет искомое произведение—За“; случай ЗХ(-а) Эйлер отдельно не разбирал, предполагая, очевидно, переместительное свойство. Далее он писал: „Осталось теперь только упомянуть о следующем случае: когда—умножен будет на—или —а на —Ь причем, во-первых, известно, что произведение в рассуждении литер будет ab; но должно ли к тому придать знак -f- или —, о том сказать не можно, то только известно, что один из оных знаков, или тот, или другой быть должен. Но теперь вопрошаю, не может ли тут быть знак — ? понеже —а, умноженное на + Ь, дает — ab, следовательно —а, умноженное на —Ь, не может тоже дать, что дает —а на -f- b, но должно из того выйти противному, а именно -\-abu1.

Следует отметить еще одну сторону изложения алгебры у Эйлера. Наряду с числовыми примерами и некоторыми задачами с реальным содержанием он приводил много задач, бьющих в глаза неестественностью их постановки. Например, в одной задаче речь идет о покупке дома за цену, равную 365-угольному числу с боком 12, т. е. за 23 970 руб.

(т—угольное число с боком п выражается дробью —-- -—).

В другой задаче, приводящей к уравнению х2= 225, говорится: „несколько купцов вместе наняли фактора и послали его в Андорф торговать, к чему каждый положил в 10 раз больше талеров, нежели сколько их в компании было; таким образом, отправляемый фактор получил барыша на 100 талеров вдвое больше числа людей, компанию составляющих; ежели же 1/100 всего выигрыша умножить на 22/9, то в произведении выдет число купцов; спрашивается, сколько их всех было?“ Гораздо живее и интереснее были многие исключенные Эйлером геометрические задачи, не говоря уже о задачах, вроде приводимых Клеро. С легкой руки Эйлера в последующие руководства и задачники попали, наряду с интересными, многие такие искусственные задачи.

Большие размеры курса Эйлера, наличие в нем огромного и оригинального отдела диофантова анализа и ряда трудных специальных приемов не позволили ему стать школьным руководством, на что Эйлер и не претендовал. Но благодаря блестящим методическим достоинствам и исключительной ясности изложения сочинение Эйлера послужило наиболее авторитетной основой всех позднейших учебников алгебры, начиная с учебника Н. Фусса.

„Начальные основания алгебры, выбранные из алгебры Леонарда Эйлера“ Н.И. Фусса (СПБ., 1798 и ряд переизданий в XIX в.) представляли собой прямое сокращение „Универсальной арифметики“. Фусс существенно приспо-

1 Я не касаюсь здесь взглядов Эйлера на бесконечность, деления на нуль и т. п., которые придется рассмотреть в дальнейшем.

собил книгу для школьного обучения. Из отдела неопределенного анализа он сохранил лишь краткие сведения о решении линейных уравнений, резко сократил раздел об уравнениях 3-й и 4-й степени, исключил приближенные методы определения корней, а все изложение сильно сжал. Фусс также переместил ближе к началу учение об уравнениях, отнеся в конец книги пропорции и прогрессии (но логарифмы оставил на прежнем месте). Кое-где он внес отдельные улучшения, например, дал определения некоторых терминов (формула, многочлен) и провел на числовых примерах исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, впервые введя в нашей учебной литературе понятия о независимости уравнений и о невозможных системах. Манере изложения был сообщен более учебный характер. В учебнике Фусса сохранилось еще немало вещей, позднее исключенных из школьного обихода (уравнения 3-й и 4-й степени, простейшие разложения в ряды и т. д.), но в целом эта книга была уже достаточно близка к ходовым руководствам XIX в.

5. Учебники геометрии. Если не считать получившего крайне малое распространение первого перевода „Начал“ Евклида в переделке Такэ (1739), то первым серьезным руководством по геометрии явилось у нас переведенное под редакцией Ломоносова „Краткое руководство к теоретической геометрии“ Г. В. Крафта (СПБ., 1748, 1762), по-немецки вышедшее несколько ранее: („Kurze Einleitung zur Geometrie“ St. Ptsb., 1740). Учебник Крафта был сходен со многими современными ему руководствами. Основными отличиями его от разобранного, например, выше учебника Аничкова являлись отсутствие предварительной системы аксиом и большая легкость изложения, с одной стороны, и широкое применение движения для образования плоских и пространственных фигур,—с другой. Вопросы, связанные с несоизмеримостью, по возможности обходились: при измерении широко применялись принцип Кавальери и рассмотрение кривых линий, как многоугольников с бесконечно малыми сторонами. И хотя учебник Крафта назывался „Теоретической геометрией“, но содержал очень много указаний прикладного характера.

Последующие руководства долгое время не превосходили по своим педагогическим достоинствам книгу Крафта. Выходили то чисто практические курсы (С. Назаров), то учебники традиционного смешанного типа, вроде „Генеральной геометрии или общего измерения протяжения, составляющего теорию и практику оной науки“ Н. Курганова (СПБ., 1765), немногочисленные доказательства которой не выдерживали критики даже с точки зрения школьных требований того времени. В 90-е годы появились переводы очень просто, но не строго изложенных „Основ геометрии“ Э. Безу (СПБ., 1794, 1798) и неудачная книжка для народных училищ, о которой речь будет идти далее.

Шаг вперед был сделан Н. Фуссом, выпустившим в конце XVIII в. „Геометрию в пользу и употребление обучающегося благородного юношества в Сухопутном шляхетском корпусе“ (СПБ., 1799, и ряд изданий в XIX в.. франц. изд. „Lecons de géométrie“ St. Ptsb., 1798). В этой сравнительно небольшой книге дано было систематическое изложение планиметрии и стереометрии. Теоретические построения более не загромождались геодезическими задачами и наставлениями, отошедшими в специальные руководства. Все теоремы доказывались с помощью изложенных вначале немногочисленных (и, конечно, недостаточных) аксиом. Порядок изложения полностью порвал со старым делением на лонгиметрию, планиметрию и стереометрию и был довольно близок к принятому Лежандром („Elements de géométrie“, 1794). Это особенно относится к планиметрии. Глава I посвящена была прямой и градусному делению углов; глава II—теоремам о смежных и вертикальных углах, о параллельных прямых, о равенстве треугольников, их сторонах и углах (причем, Фусс „доказывал“ по Лежандру, что перпендикуляр и наклонная к данной прямой пересекаются); глава III—кругу, хордам в нем, вписанным и иным углам и т. д.; глава IV—пропорциональности и подобию фигур, глава V— сравнению и измерению фигур (сюда попала и теорема Пифагора), а глава VI— превращению и делению плоских фигур.

Наряду с этими достоинствами, которые он разделял со своим блестящим образцом, учебник Фусса имел существенные

недостатки. В нем можно найти бессодержательные определения, неудачные формулировки аксиом, опровергнутое еще ко времени первого издания книги, но повторенное даже в издании 1811 г., доказательство постулата о параллельных. Еще хуже были, однако, связанные со стремлением к простоте и краткости неточные доказательства ряда теорем, например, в учении о подобии. В учении об измерении пирамиды, шара и пр. Фусс, между прочим, продолжал применять принцип Кавальери, как это делали еще Аничков и Крафт (Лежандр использовал видоизмененные античные приемы).

В конце 90-х годов появился упоминавшийся уже труд С. Е. Гурьева, оказавший большое влияние на геометрические руководства XIX в., но о нем будет рассказано отдельно.

6. Курс тригонометрии М. Головина. Типичным представителем учебников тригонометрии середины XVIII в. может служить приложенный ко 2-му изданию книги Крафта перевод „ Traité de trigonométrie rectiligne et sphérique“ (1741) A. Депарсье (A. Deparcieux). Тригонометрические линии здесь рассматривались в окружности произвольного радиуса, который сам принимался за полный синус и участвовал во всех соотношениях и выкладках. Вопрос о знаках тригонометрических линий в разных четвертях до конца не был выяснен. Депарсье считал, что у тупых углов вообще нет синусов, ибо „тригонометрия не рассуждает о тех линиях, которые сходятся вне угла“. Вместо синусов тупых углов, меньших 180°, вводились синусы их дополнений до двух прямых, что приводило к введению дополнительных теорем. Принималось, далее, что тупой и острый смежные углы имеют общий тангенс. Об углах, больших двух прямых, вообще не было речи. Второй характерной чертой старых тригонометрии был значительный удельный вес части, посвященной вычислению таблиц натуральных синусов. За исходный пункт бралась теорема Птолемея, и с ее помощью в 11 задачах показывалось, как вычислять хорды 2-, 3-, 5-кратных дуг и важнейших частей дуг. Самый аппарат формул тригонометрии почти отсутствовал, все сводилось к двум-трем теоремам (синусов, тангенсов и заменявшему теорему косинусов предложению о том, что большая сторона в треугольнике относится к сумме двух других сторон, как разность последних относится к разности отрезков, отсекаемых на большей стороне соответствующей ей высотой). Аналитические преобразования совершенно отсутствовали. Задачи решались путем довольно сложных приведений к немногим используемым зависимостям, да и разбирались только наиболее простые случаи решения треугольников. Кроме того, объяснялось, как пользоваться логарифмическими таблицами и употреблять различные геодезические инструменты. В том же духе были составлены тригонометрия Аничкова, тригонометрические разделы учебников Курганова, Назарова и др. Несколько большее число теорем имелось в учебнике В. Никитина и П. Суворова („Тригонометрии две книги“ СПБ., 1787), но и он был составлен в старом духе. Наиболее любопытной чертой его была проведенная в нем, как и в переводе Евклида 1784 г., попытка создать новую математическую терминологию на славяно-греческой основе. Из предложенных Никитиным и Суворовым терминов некоторые вошли в обиход (чертеж, вершина и др.), но большая часть не удержалась (сумма — купа, теорема — мыслие, минута — лепта, параллельные — минующие, гипотенуза — подтягающая и т. п.).

Между тем в научной тригонометрии были достигнуты очень большие успехи, главным образом благодаря Эйлеру. Не только высшая, но и элементарная тригонометрия приняла современный вид лишь у Эйлера, в частности, в его „Introductio in analysis infinitorum“ (1748). Эйлеру обязаны мы пониманием синуса, косинуса, и т. д., как функций, и аналитической трактовкой всей тригонометрии. Ранее каждая теорема выводилась из чертежа отдельно и по большей части записывалась словами, Эйлер показал, как можно вывести всю систему формул из немногих исходных, а заодно открыл ряд новых соотношений. Все формулы были им значительно упрощены, благодаря систематическому обозначению сторон треугольника буквами а, Ьу с, противолежащих углов буквами А, В, С, и благодаря тому условию, что радиус основного круга, „полный синус“ был принят равным единице. Эйлер же внес совершенную ясность в вопрос о

знаках тригонометрических функций во всех четвертях и выписал формулы приведения для общего случая. Существеннейшие усовершенствования сделаны были Эйлером и в сферической тригонометрии.

Тригонометрические исследования Эйлера отразились у нас прежде всего на разделе плоской тригонометрии в „Сокращении математики“ С. Румовского, но Румовский совсем не развил ее аппарат формул. Составить передовой учебник тригонометрии выпало на долю М. Головина.

„Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами“ М. Е. Головина (СПБ., 1789) оставила далеко позади все более ранние учебниники и не уступала по научному уровню лучшим современным ей европейским руководствам. Она написана была на основе изложенных достижений Эйлера, т. е. в аналитическом духе. Автор детально исследовал знаки тригонометрических величин, пользовался новой символикой и, между прочим, отказался от применения секанса, косеканса и синус-верзуса, ввиду их малой употребительности. Мы находим здесь в привычной записи важнейшие зависимости между тригонометрическими функциями, формулы функций суммы и разности, формулы суммы и разности тригонометрических функций, формулы для синусов и косинусов кратных углов и многое другое, а также разбор решения треугольников. Головин дал также аналитическое изложение сферической тригонометрии и главных случаев решения сферических треугольников. Обратные функции в учебнике не рассматривались.

7. Учебники для народных училищ. Для употребления в появившихся в 80-е годы народных училищах были изданы специальные краткие учебники. Первым вышло составленное М. Головиным „Руководство к арифметике“ (ч. 1, СПБ., 1783, стр. 102, ч. 2, СПБ., 1786, стр. 138), которое затем многократно переиздавалось. Первая часть знакомила с понятиями единицы и целого числа (к которым не причислялись по старинке 0 и 1), с нумерацией, действиями над целыми и именованными числами и с тройным правилом. Знаки действий вводились в самом конце. В следующих изданиях глава о тройном правиле, которую в младших классах проходить не успевали, была исключена. Во второй части сообщались сведения о дробях и действиях над ними, о десятичных дробях, об извлечении квадратного и кубичного корней, арифметической и геометрической пропорции, наконец, о тройных правилах, правилах смешения и одного и двух ложных положений (последние, конечно, не доказывались). На каждое из правил давалось от 5 до 15 нетрудных примеров (задачников в то время не имелось!).

Если сравнить „Руководство к арифметике“ с учебниками Курганова,то видно, что содержание курса мало изменилось. Более почетное место заняли десятичные дроби, полностью исключены были геометрические задачи и логарифмы. Но попрежнему важнейшее место занимали правила практической арифметики и среди них догматически изложенное фальшивое правило.

Книга Головина получила широчайшее распространение на низшей ступени образования и сама и через очень близкую к ней „Краткую арифметику“, „служащую к легчайшему обучению малолетнего юношества, в вопросах и ответах“. М. Меморского (М. 1794), переиздававшуюся чуть ли не сто лет. От учебника Головина книга Меморского отличалась лишь формой изложения. Вот образец его:

„В. Что есть Арифметика? О. Арифметика есть наука о числах.

В. Что есть число?

О. Число есть собрание единиц одного рода.

В. Что есть единица?

О. Всякая вещь сама по себе взятая, в своем роде одна“.

„Краткое руководство к геометрии“ (СПБ., 1786, и много переизданий), как говорилось в предисловии, содержало только„самонужнейшие предложения, без знания коих в общежитии всякому гражданину обойтись затруднительно“. Учебник этот был очень неудачный. Немногие содержавшиеся в нем доказательства были либо неаккуратно проведены, либо просто неверны. Многие теоремы сообщались вообще без доказательства, а для. решения приводимых многочисленных задач на построение, на определение расстояний и т. п., книга часто не давала нужных теоретических сведений. Я сомневаюсь

в справедливости указаний на авторство Головина. Скорее это был перевод какого-то скверного иностранного учебника. Влияния эта книжка на дальнейшую русскую литературу по геометрии почти не оказала, если не считать немного более содержательных, но в общем весьма близких к ней „Начальных оснований теоретической и практической геометрии“ М. Розина (СПБ., 1797) и учебника Матинского (1798).

8. Первые руководства по высшей математике. Первые сведения по высшей математике на русском языке появились в „Новом курсе математическом для артиллеристов и инженеров“ Б. Ф. де Белидора (2 части, СПБ., 1766 — 1769), где довольно подробно рассматривались по отдельности три конические сечения и в форме, характерной для последователей Кавальери и Валлиса, производились квадратуры эллипса и параболы и кубатуры эллипсоида, параболоида и гиперболоида вращения. Такой же, но только более сокращенный материал имелся и в „Артиллерийских предложениях“ И. А. Вельяшева-Волынцева (СПБ., 1767, 1777).

В 1771 г. С. К. Котельников во II томе своего издания „Сокращения первых оснований математики“ Вольфа дал на 45 страницах конспективное изложение элементов введения в анализ, диференциального и интегрального исчислений. Главным источником его были при этом классические труды Эйлера — „Введение в анализ“ (1748), „Institutiones calculi differentialis“ (1755) и I том „Institutiones calculi integralis“ (1768). Котельников бегло знакомил здесь с классификацией функций или „объятий“, разложением рациональных дробей на простые, рационализацией с помощью одной из подстановок Эйлера, формулой бинома Ньютона, основными правилами диференцирования, строкой Тэйлора и задачами на экстремумы, с вычислением некоторых простейших видов интегралов и, на нескольких примерах, с интегрированием обыкновенных диференциальных уравнений.

Крайне конспективного изложения Котельникова через некоторое время оказалось недостаточно. Одновременно с выходом 2-го издания книги Вольфа другое краткое изложение начал диференцибального и интегрального исчислений опубликовал в духе Лопиталя-Безу С. Гурьев в своем переводе „Навигационных или мореходных исследований“ Безу (2 тома, СПБ., 1790-1791).

Значительно серьезнее было „Сокращение высшей математики“ П. Гиларовского, предназначенное для употребления в учительской семинарии (СПБ., 1796, 1806). Самое изложение диференциального и интегрального исчислений заняло здесь немного места, но зато приведено было большое количество приложений: здесь имелись задачи на спрямления, квадратуры, кубатуры, на исследование различных кривых, вроде конхоиды, циссоиды, спиралей, квадратриссы, на экстремумы, на определение центров тяжести, задача о циклоидальном маятнике и т. д.

Почти одновременно с книгой Гиларовского вышла в Москве „Новая алгебра,“ содержащая в себе не только простую аналитику, но также диференциальное, интегральное и вариационное исчисления магистра А. Барсова (М. 1797). Эта книга была составлена в основном по руководству выдающегося геттингенского профессора А. Г. Кестнера („Anfangsgründen der Analysis des Unendlichen“, 1761) и содержала обширный материал. Кестнер, а за ним Барсов довольно широко пользовались нестрогим понятием предела XVIII в.

Книга эта не осталась без некоторого влияния на литературу начала XIX в. Несколько ранее вышли „Начальные основания математики“ А. Г. Кестнера (2части, СПБ., 1792—1794), переведенные, повидимому, П. Б. Иноходцевым. Здесь, между прочим, приводились сведения о простейших бесконечных рядах для дробей вроде Y~a\ и Разбирался вопрос об их сходимости. Небольшая глава курса отведена была теории перспективы. Больше места уделялось аналитической геометрии конических сечений, причем Кестнер (кажется, впервые в истории математики) начинал этот отдел с уравнения прямой с угловым коэфициентом.

9. Популяризация математики. К учебной литературе отчасти примыкала литература популярная. В рассматриваемое время, да и долго спустя, она не отличалась богатством, и о систематической популяризации математики не было и речи. Но в отдельных случаях появ-

лялись „развлекательные“ статьи по математике, а особенно видное место было отведено пропаганде полезности математики: ведь даже почти каждый учебник начинался с предисловия о пользе математики и для общества и для отдельных его сочленов.

Попытки популяризации математики начались с самого основания Академии наук. Уже в „Исторических, генеалогических и географических примечаниях в ведомостях“ 1729 г. была напечатана серия замечательных статей о квадратуре круга, удвоении куба и трисекции угла, написанных, повидимому, Эйлером (№№ 56, 57, 65, 66, 67, 69.) Позднее спорадически появлялся ряд статей о пользе и по истории математики, а в „Академических известиях“ за 1779— 1781 гг, под названием „История о математике“ был напечатан перевод значительной части „Histoire des mathématiques“ Монтюкла (1768). Эта книга, написанная с большим подъемом и прекрасным языком, могла быть прочитана с наслаждением, доставляемым подлинно художественными произведениями, широкими кругами образованных людей. Введение, в частности, представляло собой блестящий панегирик в честь математических наук, ярко характеризовавший их общественную полезность.

Среди статей и речей о пользе математики большой интерес представляет публичная речь акад. С. Котельникова: „Слово о пользе упражнения в чистых математических рассуждениях“ (СПБ., 1761). Котельников особенно подчеркивал тот факт, что многие открытия, казалось бы, лишенные практической пользы, впоследствии, иногда — весьма не скоро, оказывались чрезвычайно важными для прогресса науки и культуры. В связи с этим он построил свою искусную речь в историческом плане.

Что может быть проще теоремы Пифагора и вытекающего из нее основного предложения тригонометрии ? — спрашивал оратор. А между тем отнимите эту истину — и рухнет плоская и сферическая тригонометрия, а за ними—учение о движении небесных и земных тел, прекрасные оптические открытия и вообще все математические исследования в физике, в которых участвуют углы или круговые дуги. Далее, указывал он, работы Аполлония сделали возможными великие открытия Кеплера. И что мог бы сделать Кеплер, не зная свойств эллипса, хотя бы он и произвел все нужные вычисления и, вычертив путь планеты, увидел, что он подобен „продолговатому кругу“? Даже столь незначительные, как будто, с прикладной точки зрения, работы Диофанта нашли важные приложения в интегральном исчислении.

Далее обзор Котельникова переходил к более новым временам. Лучшим свидетельством роли открытий Декарта, говорил он, является „механика, где время, силы, движущие тела и препятствующие им в движении, скорость, путь и все перемены наималейшие, изображаются или дугами кривых линий, или площадьми, в оных заключающимися, или отрезками оси или полупоперешниками“. Котельников перечислял затем открытия Ньютона и Лейбница, их приложения в гидродинамике, в теории движения Луны и в заключение своей речи сделал ряд замечаний общефилософского характера. Согласно Котельникову, существуют три ступени познания вещей: историческая (описательная.), философская, исследующая причины вещей, и математическая, завершающая две первые и дающая подлинное и точное доказательство законов миропорядка. „И понеже математики рассуждают вообще о всех вещах, ничего не называя своим именем... то можно оные рассуждения их во всех употреблять науках, глядя по обстоятельствам случающихся в телах перемен“. Математика, таким образом, являлась в глазах Котельникова всеобщим методом познания мира, принципиально применимым во всех вопросах естествознания.

Речи, подобные речи Котельникова, оказывали существенную поддержку развитию математической культуры и просвещения. Эти речи, вместе с тем, были плодом глубоких научно-философских раздумий своих составителей и в сущности принадлежали к результатам их научного творчества. Научными трудами русских математиков XVIII в. мы займемся в следующей главе.

МЕТОДИКА

О РАБОТЕ УЧАЩИХСЯ VI КЛАССА В СВЯЗИ С ИЗУЧЕНИЕМ ПЕРВЫХ ТЕОРЕМ ГЕОМЕТРИИ

И. С. СОМИНСКИЙ (Ленинград)

Известно, что изучение первых теорем геометрии вызывает у учащихся серьезные затруднения. Многие преподаватели считают это явление неизбежным. В действительности дело обстоит далеко не так. Имеются средства, позволяющие не только значительно облегчить изучение первых теорем, но и устранить бессмысленную зубрежку, к которой в это время так часто прибегают ученики.

Для этого достаточно провести ряд упражнений, которые, постепенно усложняясь и оставаясь все время посильными для учеников, охватили бы по своему содержанию круг вопросов, возникающих при изучении первых теорем геометрии. Эти упражнения должны обеспечить сознательное и прочное усвоение учащимися программного материала, поднять их математическую культуру.

Какие же трудности приходится преодолеть ученику при изучении первых теорем геометрии? Изучение опыта массовой школы дает основание выделить следующие основные моменты:

1. Учащийся впервые слышит термин „доказать“ и не всегда осознает, что надо считать доказанным и что еще не доказано.

2. Учащемуся трудно отделить условие теоремы от заключения и уяснить логическое значение каждой из этих частей.

Учащемуся трудно иногда понять связь между доказываемым утверждением и утверждениями, лежащими в основе доказательства, используемыми при доказательстве.

Так, например, ученик иногда бойко и в нужных выражениях излагает доказательство теоремы о равнобедренном треугольнике и не может ответить на вопрос о том, в каком месте доказательства он использовал тот факт, что треугольник, рассматриваемый им, — равнобедренный.

3. Учащемуся нужно в короткий срок овладеть специальными методами доказательств (наложение, рассуждения от противного). Не успеет ученик овладеть одним методом доказательства, как приходится уже изучать другой. Кому, например, не приходилось видеть, как ученик недоумевает, почему при доказательстве теоремы о равнобедренном треугольнике учитель настаивает на том,, что сначала надо заметить, что сторона AB пойдет по ВС и потом уже показать, что точка А совместится с С?

4. Уже при доказательстве первых теорем приходится ссылаться на ранее установленные положения. В этом тоже есть немалая трудность для первых этапов работы.

5. От ученика требуется уменье разобраться в точной формулировке теоремы, выделить в ней условие, заключение, построить обратную теорему. Последнее вызывает затруднения даже у учеников старших классов, а иногда и у студентов вузов.

6. Немало осложнений на первых порах вызывает слабое развитие речи у учащихся VI класса.

7. Учащимся приходится преодолевать также технические трудности, связанные с изготовлением и использованием чертежей, производством записей и пр.

В целом можно сказать, что сознательное и прочное усвоение первых теорем геометрии требует довольно высокой математической культуры. В этом смысле первые теоремы предъявляют к изучающему их такие же требования, как и последующие.

На основе изучения основных трудностей, возникающих у школьников, нами разработана система упражнений при усвоении первых теорем. В состав их вошли и предварительные упражнения и работы, непосредственно связанные с усвоением теорем о равнобедренном треугольнике и о равенстве треугольников. Упражнения даны в той последовательности, в которой они должны проводиться. Разбиты они на следующие разделы.

I. Утверждения верные и неверные. Простейшие доказательства.

II. Более сложные доказательства. Упражнения в развитии речи.

III. Логическая связь между утверждениями.

IV. Наложение. Вывод теоремы о равнобедренном треугольнике.

V. Применение теоремы о равнобедренном треугольнике.

VI. Равенство треугольников.

VII. Прямая и обратная теоремы.

VIII. Доказательство от противного.

По поводу использования упражнений и методики их проведения необходимо сделать следующие предварительные замечания.

Предлагаемый материал является примерным и, пожалуй, максимальным. Он рассчитан и на работу с классом, и на индивидуальные задания. В зависимости от конкретных условий, от успешности работы класса, некоторые работы могут быть изменены или исключены.

Материал для работы следует выбирать с таким расчетом, чтобы он был посилен для учеников и постепенно поднимал их на более высокий уровень культуры.

Наибольший эффект даст при проведении упражнений широкое использование самостоятельной работы учащихся. Однако учитель не только дает задания, но и учит работать, разбирает в классе результаты работы, дополняет их своими объяснениями. Делать это следует неторопливо, но и не теряя понапрасну драгоценного времени.

Переходим к изложению примерных упражнений; в связи с отдельными группами их будут сделаны частные методические указания.

1. Утверждения верные и неверные. Простейшие доказательства

Относительно каждого из следующих утверждений указать, верно оно или нет. Верные — доказать, неверные — опровергнуть.

1. В нашем городе есть средняя школа.

Решение. Утверждение верно. Доказывается показом.

2. В каждом селении есть средняя школа.

Решение. Утверждение неверно. Доказательство: в селении А нет средней школы.

3. Существует мальчик, которого зовут Миша.

4. Не всякого мальчика зовут Миша.

5. Всякого мальчика зовут Миша.

6. Все квадраты имеют одинаковую площадь.

7. Если число оканчивается нулем, то оно делится на 5.

8. Если число делится на 5, то оно оканчивается нулем.

9. Придумать верное и неверное утверждение.

Методические указания. На уроке ученикам предлагается проверить первое и второе утверждения. Рассмотрение этих двух вопросов дает возможность познакомить детей: а) с понятием утверждение, б) с тем, что утверждение может быть истинным и ложным, в) с тем, что истинное утверждение может быть доказано, а ложное опровергнуто.

После этого дается на дом несколько вопросов этой группы. На следующем уроке учитель производит опрос. Вызывается ученик (сначала целесообразно вызвать одного из хороших учеников), которому предлагается рассказать, как он выполнял работу по первому из предложенных на дом вопросов. Существенно при этом дать ученику возможность сказать все, что он считает нужным. Учитель предлагает классу дополнить, возразить, задать вопросы, т. е. призывает класс к обсуждению ответа ученика. После этого учитель дает свои объяснения и, тщательно ис-

правляя допущенные ошибки, оценивает ответ вызванного им ученика. Так же разбираются и другие вопросы домашнего задания; при этом никто не записывается, не заучивается. Таким же путем разбираются все упражнения этой группы.

2. Более сложные доказательства. Упражнения в развитии речи

1. В ящике лежат яблоки двух сортов. Каково наименьшее количество яблок, которое следует наугад взять из ящика, чтобы среди них оказались хоть два одного сорта?

Решение. Среди трех яблок, взятых из ящика, хоть два должны быть одного сорта. Если же взять только два яблока, они могут быть разных сортов.

2. В классе 40 учеников. Найдутся ли среди них хоть два, фамилии которых начинаются с одной и той же буквы?

Решение. Так как букв в алфавите меньше 40, то такие ученики найдутся.

3. В классе 20 учеников. Можно ли утверждать, что среди них найдутся хоть два, фамилии которых начинаются с одной и той же буквы?

Решение. Так как букв в алфавите больше 20, этого утверждать нельзя.

4. На заводе 500 рабочих. Можно ли утверждать, что хоть один из них родился 5 июля? Можно ли утверждать, что хоть два из них имеют один и тот же день рождения?

Отв. Нельзя. Можно.

5. В ящике лежат яблоки трех сортов. Каково наименьшее количество яблок, которые следует взять наугад из ящика, чтобы среди них оказались хоть 2 яблока одного сорта? Хоть 3 яблока одного сорта?

Отв.: 4; 7.

6. В классе 30 учеников, причем девочек больше, чем мальчиков. Верно ли, что в классе 15 мальчиков? Верно ли, что в классе больше 15 мальчиков? Верно ли, что в классе меньше 15 мальчиков?

Отв. Неверно. Неверно. Верно.

7. Число оканчивается нечетной цифрой и на 5 не делится. Если это число умножить на самого себя, то произведение оканчивается той же цифрой, что и само число. Какой цифрой оканчивается число?

8. Известно, что в классе не меньше 30 учеников и не больше 30 учеников? Сколько учеников в классе?

Отв. В классе 30 учеников.

9. Утверждение: „в классе 30 учеников“ — неверно. Как сформулировать верное утверждение?

Отв. В классе или больше или меньше 30 учеников?

10. Утверждение: „этому мальчику больше 13 лет“ оказалось неверным. Как ответить на вопрос, сколько лет мальчику?

Отв. Этому мальчику не больше 13 лет.

11. Число А меньше 24, а число В на 20 больше, чем А. Что можно сказать о величине числа В?

Отв. Число В меньше 44.

Методические указания. В организационном отношении работа над задачами данной группы не отличается от работы над задачами 1-й группы, но задания здесь более сложные, и нужно потребовать от учеников более подробных объяснений.

Так, например, разбирая задачу 1, можно дать такое объяснение:

Требуется найти наименьшее число яблок, которое надо взять наугад из ящика, чтобы среди них оказалось хоть два одного сорта. Ясно, что одно яблоко взять недостаточно; недостаточно взять и два, так как среди них могут оказаться яблоки разных сортов. Среди трех яблок всегда найдутся хоть два одного сорта. Действительно, либо все три яблока будут одного сорта, либо не все они будут одного сорта. Последнее может иметь место только тогда, когда 2 яблока будут одного сорта, а третье-другого сорта. Таким образом, наименьшее число, удовлетворяющее требованиям задачи, есть 3.

Разбирая эту задачу, учитель может показать, что значит обстоятельно изложить решение задачи.

В качестве другого примера разберем еще задачу 7 из этого раздела.

Число оканчивается нечетной цифрой; следовательно, последняя цифра — либо 1, либо 3, либо 5, либо 7, либо 9. Однако число на 5 не делится, значит 5 не является последней цифрой. Если бы число оканчивалось на 3, то, будучи умножено на самого себя, оно дало бы в произведении число, оканчивающееся

на 9; следовательно, 3 исключается. По той же причине исключаются 7 и 9. Остается предположить, что число оканчивается на 1. В этом случае удовлетворяются все требования условия задачи.

3. Логическая связь между утверждениями

1. Даны четыре утверждения: 1) Брат на 6 кг тяжелее сестры. 2) Брат и сестра вместе весят 64 кг. 3) Вес брата 35 кг. 4) Вес сестры 29 кг.

Показать, что утверждения 1-е и 2-е вытекают из утверждений 3-го и 4-го. Составить задачу, в условие которой входят утверждения 3 и 4, а в вопросы—утверждения 1 и 2.

Выразить зависимость между утверждениями предложением вида: если..., то... Выразить эту зависимость между утверждениями схематически.

Решение. Брат весит 35 кг, сестра 29 кг. На сколько килограммов брат тяжелее сестры и сколько они весят вместе?

Формулировка. Если брат весит 35 кг, а сестра 29 кг, то брат на 6 кг тяжелее сестры. И вместе они весят 64 кг. Стрелки показывают, что утверждения 1 и 2 вытекают из утверждений 3 и 4.

Хорошо бы прямоугольники 3 и 4 нарисовать карандашом одного цвета, а прямоугольники 1 и 2 — карандашом другого цвета.

2. Зависимость между утверждениями задачи 1 выразить иначе, приняв за основные не 3-е и 4-е утверждения, а какие-либо иные. Составить соответствующую задачу и формулировку и нарисовать схему.

Решение. Из утверждений 1 и 3 вытекают 2 и 4.

Задача. Брат весит 35 кг. Сколько весит сестра и сколько весят вместе брат и сестра, если брат на 6 кг тяжелее сестры?

Формулировка. Если брат весит 35 кг и при этом он на 6 кг тяжелее сестры, то сестра весит 29 кг, а брат и сестра вместе весят 64 кг.

3. Дать другие варианты решения задачи о зависимости между утверждениями задачи 1.

Отв. Из любых двух утверждений задачи 1 вытекают остальные два, и, таким образом, задача допускает 6 вариантов решения.

4. Выявить зависимость между утверждениями, составить задачу и; формулировку, выражающую эту зависимость.

1) Отец старше сына на 30 лет. 2) Сыну 10 лет. 3) Отцу 40 лет. 4) Отцу и сыну вместе 50 лет.

5. Выполнить аналогичную работу относительно утверждений:

1) В классе 40 учеников. 2) Фамилии 5 учеников класса начинаются с буквы К. 3) Не всем ученикам класса исполнилось 13 лет. 4) В классе 24 девочки.

Решение. Между этими утверждениями нет логической связи.

Ни одно из них не вытекает из остальных. Это—независимые утверждения. Они схематически могут быть представлены четырьмя прямоугольниками, которые не связаны друг с другом стрелками:

6. То же относительно утверждений. 1) В классе 37 учеников. 2) В классе 22 девочки. 3) В классе 17 мальчиков.

Решение. Эти утверждения противоречивы.

7. Придумать несколько независимых утверждений.

8. Придумать несколько противоречивых утверждений.

9. Придумать несколько согласованных (непротиворечивых) зависимых утверждений и вскрыть зависимость между ними.

Методические указания. Цель этих упражнений заключается в том, чтобы показать учащимся: а) что утверждения могут находиться в логической связи друг с другом, т. е., что одни утверждения могут вытекать из других, б) что одно и то же утверждение в одном случае является условием, в другом заключением, в) что утверждения могут быть независимыми друг от друга и противоречивыми. Все это показывается на примерах и обсуждается, но выводы, не записываются, не заучиваются.. Цель упражнений заключается также в развитии речи.

При разборе упражнений представляется возможность составить несколько вариантов решения: этой возможностью надо широко воспользоваться в целях развития сообразительности и творческой инициативы учащихся.

В заключение этой группы упражнений полезно рассказать, что курс геометрии содержит значительное количество утверждений, расположенных именно в таком порядке, что из утверждений, высказанных и принятых ранее, выводятся (доказываются) последующие утверждения.

Здесь уместно разъяснить значение аксиомы. Необходимость введения аксиом учащиеся поймут легко из такого примерно объяснения:

Предположим, что утверждения расположены в порядке: тогда утверждение № 20, например, вытекает из первых 19, утверждение № 10—из первых 9. А утверждение № 1? Оно неизбежно должно быть принято без доказательства.

Надо думать, что при анализе первых теорем и неоднократно впоследствии учитель построит схему, из которой будет наглядно видно, как некоторая теорема курса логически связана с другими теоремами и аксиомами.

4. Наложение. Вывод теоремы о равнобедренном треугольнике

В нижеследующих задачах буквами А, В, С обозначены вершины треугольника, отрезок BD делит треугольник ABC на два треугольника: ABD и В DC.

1. BD — биссектриса угла В; ВС больше AB. Указать, какое положение займет треугольник ABDy если его повернуть вокруг BD и наложить на треугольник ВDC. Что можно сказать о величине углов BDA и BDC?

Решение. Так как BD — биссектриса угла В, сторона AB пойдет по ВС. Так как ВС больше AB, точка А будет находиться на отрезке ВС между точками В и С. Таким образом, треугольник ABD расположится целиком внутри треугольника BDC. Угол BDA меньше угла BDC, так как BDA занимает только часть угла BDC.

2. BD — биссектриса угла В; ВС больше AB. Указать, какое положение займет треугольник DBC, если его повернуть вокруг BD и наложить на треугольник ABD.

3. Угол ABD меньше угла ЛАС. Указать, какое положение займет треугольник ABD, если его повернуть вокруг BD и наложить на треугольник BDC.

4. Угол ABD меньше угла DBC. Указать, какое положение займет треугольник DBC, если его повернуть вокруг BD и наложить на треугольник ABD.

5. Угол ABD равен углу DBC; А В равно ВС. Указать, какое положение займет треугольник ABD, если его повернуть вокруг BD и наложить на треугольник BDC. Что можно сказать о длине отрезков AD и DC? О величине углов ADB и BDC? О величине углов Л и С?

6. AD равно DC; BD перпендикулярна к АС. Какое положение займет треугольник ABD, если его повернуть вокруг BD и наложить на треугольник BDC?

7. AD меньше DC; BD перпендикулярна к АС. Какое положение займет треугольник ABD, если его повернуть вокруг BD и наложить на треугольник В DC?

8. Угол ABD равен углу DBC; угол BDC— прямой. Какое положение займет треугольник ABD, если его повернуть вокруг BD и наложить на треугольник BDC?

9. BD — биссектриса угла В треугольника ABC. Можно ли утверждать, что поворотом треугольника ABD вокруг BD его можно совместить с треугольником BDC?

Указание: см. задачу 1.

10. BD — биссектриса угла В треугольника ABC. Поворотом вокруг BD удалось треугольник A BD совместить с треугольником BDC. Что можно сказать о сторонах и углах треугольника ABC?

11. BD — биссектриса угла В; ВС больше AB. Является ли BD высотой треугольника ABC?

Указание: см. задачу 1.

12. BD — биссектриса угла В, AB равно ВС. Является ли BD медианой треугольника ABC?

Указание: см. задачу 5.

13. BD — медиана и высота треугольника ABC. Можно ли утверждать, что треугольник ABC— равнобедренный?

Указание: см. задачу 6.

14. BD — биссектриса и высота треугольника ABC. Можно ли утверждать, что треугольник ABC — равнобедренный?

Указание: см. задачу 8.

15. BD — биссектриса угла В; АС равно ВС. Является ли BD высотой треугольника ABC? Можно ли утверждать, что BD — медиана треугольника АБС?

15. Верно ли утверждение: в равнобедренном треугольнике каждая из трех биссектрис его является одновременно медианой и высотой?

17. Что можно сказать о треугольнике, каждая биссектриса которого есть одновременно и медиана, и высота?

18. Доказать теорему: если в треугольнике одна и та же прямая является одновременно медианой и высотой, то треугольник этот равнобедренный.

Указание: см. задачу 6.

19. Доказать теорему: если в треугольнике одна и та же прямая служит одновременно биссектрисой и высотой, то треугольник этот равнобедренный.

Указание: см. задачу 8.

20. Доказать, что в равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является одновременно медианой и высотой.

Указание: см. задачу 5.

21. Доказать, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

22. Доказать, что в равностороннем треугольнике каждая из биссектрис его является одновременно медианой и высотой.

23. BD — биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника ABC. Точка К лежит на BD между точками В и Д точка M лежит на продолжении BD (вне треугольника ABC). Доказать наложением, что а) треугольник АВМ равен треугольнику ВСМ; б) треугольник ADB равен треугольнику BDC; в) треугольник АВК равен треугольнику ВКС\ г) треугольник ADK равен треугольнику DCK; д) треугольник ADM равен треугольнику CDM.

24. Диагональ BD четырехугольника ABCD делит углы В и D пополам. Доказать наложением, что треугольник ABD равен треугольнику BDC.

Методические указания. Задачи сформулированы нами для учителя. Давать их в таком виде ученикам не следует. Мы рассчитываем на то, что учитель даст учащимся чертеж и рядом запишет условие; вопрос можно дать в том виде, как он сформулирован в тексте упражнений. Например, задача № 1 (черт. 1) задается так: Указать, какое положение займет треугольник ABD, если его повернуть вокруг BD и наложить на треугольник BDC. Что можно сказать о величине углов BDA и BDC?

В целях разделения трудностей чертеж надо дать в готовом виде. Позже необходимо будет научить детей изготовлять чертеж самостоятельно, исходя из условий задачи.

Черт. 1

Как нетрудно видеть, задача 5 есть, собственно, курсовая теорема о равнобедренном треугольнике, но об этом при первом разборе задачи сообщать не надо. При решении задачи 20 класс вернется к задаче 5, и тогда естественно будет отметить особое значение этой задачи и вывести указанную теорему.

Надо разъяснить, что каждая задача дает возможность результат ее решения сформулировать в виде теоремы (что и проводится в задачах 18—22), В курс вводят, однако, только важнейшие, основные теоремы.

Мы уверены, что, выполнив предлагаемые нами упражнения, учащиеся будут понимать доказательство теоремы о равнобедренном треугольнике. Тем не менее, чтобы учить детей усваивать теоремы на основе объяснения преподавателя, чтобы подчеркнуть особую важность этой теоремы, преподавателю следует полностью дать ее доказательство, указать соответствующий параграф учебника и предупредить, что надо знать наизусть формулировку теоремы и уметь обстоятельно изложить ее доказательство.

Остановимся еще на технике ведения уроков, связанных с предлагаемыми упражнениями. Было бы неправильным, если бы учитель на уроке строил на доске чертеж и поручал ученикам строить его в своих тетрадях, если бы во-

прос задачи записывался учениками под диктовку учителя, если бы ученики, наконец, записывали в тетрадях решения задач. Это отняло бы у класса много драгоценного времени. Мы рекомендуем поступить так:

1) учитель заранее составляет сборник упражнений, которые он намерен предложить ученикам, и размножает его (например, при помощи учеников старших классов);

2) учитель заранее изготовляет на достаточно большом плакате чертеж и текст задачи, которую он намерен разобрать в классе.

Таким образом, на уроке ни учитель, ни ученики ничего не чертят и не пишут. Учитель вывешивает плакат, поясняет задачу, и класс ее решает устно. На дом учитель задает работу, пользуясь сборниками упражнений, имеющимися у учеников.

Разумеется, в отдельных случаях учитель потребует от учеников и небольшой письменной работы с выполнением чертежа.

Это замечание о технике ведения урока относится и к упражнениям других разделов.

5. Применение теоремы о равнобедренном треугольнике

1. Доказать, что в равностороннем треугольнике все углы равны.

2. Треугольник ABC делится отрезком BD на два треугольника: ABD и BDC; AD, BD и DC равны между собой. Доказать, что угол ABC равен сумме углов ВАС и ВСА.

3. АС и BD — диагонали четырехугольника ABCD; BD — биссектриса угла В; АВ = ВС. Доказать: а) что треугольник ABD равен треугольнику BDC (т. е. совпадает с ним при наложении); б) что треугольник ADC — равнобедренный; в) что угол А равен углу С.

4. В четырехугольнике ABCD AB равно ВС, AD равно DC. Доказать, что угол А равен углу С.

Указание: провести диагональ АС.

5. В четырехугольнике ABCD AB, ВС, CD и DA равны между собой. Доказать, что угол А равен углу С, а угол В равен углу D.

6. Доказать теорему: если точку D, лежащую на оси симметрии равнобедренного треугольника ABC, соединить с концами основания АС, то получаемый при этом треугольник ADC — равнобедренный.

Указание: при доказательстве рассмотреть пять случаев положения точки D относительно треугольника ABC; Точка D может оказаться внутри треугольника, вне его (два случая), на основании АС и в вершине В.

7. Треугольник ABC—равнобедренный. Основание ВС продолжено в обе стороны. Доказать, что полученные при этом углы АСЕ и АВК— равны.

6. Равенство треугольников

1. Угол А равен углу Аг\ АС равно АХСХ; AB меньше АХВХ.

Наложением треугольника ABC на треугольник А1В]С1 убедиться, что угол С меньше угла Сх.

2. Угол А больше угла А^\ АС равно АХС[\ угол С равен углу Сх. Наложением треугольника А1В1С1 на треугольник ABC убедиться, что ВС больше ад.

3. АС равно АХСХ; угол А больше угла Ах; угол С больше угла Сг. Наложить треугольник AxBxCi на треугольник ABC так, чтобы первый из них целиком поместился внутри второго.

4. АС равно ^iQ; угол А больше угла Ах; угол С меньше угла Сг. Какое положение займет треугольник ABC, если его наложить так, чтобы АС совпало с АХСХ и чтобы угол С поместился внутри угла Ci?

5. Угол А равен углу Аг; AB равно АгВх; АС равно АгС1т Можно ли наложить треугольник ABC на треугольник AlBlCl так, чтобы они совпали?

6. Угол А равен углу At; AB больше AiBx; АС меньше АХСХ. Наложить треугольник ABC на треугольник А1В1С1 так, чтобы угол А совпал с углом Ах.

7. Угол А равен углу Ах; АС равно АХСХ; угол С равен углу Сх. Можно ли наложить треугольник ABC на треугольник А1В1С1 так, чтобы они совпали?

8. АС равно АХСХ; AB равно АХВХ; угол А равен углу Вх. Можно ли утверждать, что треугольник ABC равен треугольнику АХВХСХ?

9. Угол А равен углу Ль угол В равен углу Вх; угол С равен углу Сх; ВС равно ВХСХ. Можно ли утверждать, что

треугольник ABC равен треугольнику A-ßiCJ Нет ли в условии лишних данных?

10. АС равно АгСх\ угол А равен углу Аг; угол В равен углу Вх: угол С равен углу Сг; AB равно Л^. Можно ли утверждать, что ВС равно В^х? Нет ли в условии лишних данных?

11. Верны ли утверждения: а) если сторона одного треугольника равна стороне другого треугольника, то такие треугольники равны; б) если две стороны одного треугольника равны соответственно двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны?

12. Верно ли утверждение, если сторона и угол одного треугольника равны стороне и углу другого треугольника, то такие треугольники равны?

13. Какое утверждение вытекает из задачи 5?

14. Какое утверждение вытекает из задачи 7?

15. AB равно АгВг; АС равно АгСх; ВС равно ßiCx. Можно ли наложением убедиться, что треугольник ABC равен треугольнику A^BjCj?

16. Верно ли утверждение, если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны?

17. Почему первый признак равенства треугольников изложен в учебнике раньше третьего? Нельзя ли их изложить в обратном порядке?

18. Перечислить те теоремы, которые используются при доказательстве третьего признака равенства треугольников.

19. AB равно AXBY\ ВС равно ВгСх; АС равно AxCi. Какой угол треугольника ABC равен углу Лх треугольника А.В.С,?

20. ABC — равносторонний треугольник; BD и CK — медианы; H — точка их пересечения. Доказать, что треугольник HDC равен треугольнику АНК.

21. Доказать теорему: если основание и биссектриса угла при вершине одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и биссектрисе угла при вершине другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

22. Доказать, что у равностороннего треугольника все высоты равны.

Методические указания. Основная цель этих упражнений—помочь учащимся сознательно усвоить способ наложения.

Обращаем внимание на задачу 10. Она допускает несколько вариантов ответа на вопрос о лишних данных. Представляется крайне важным как можно подробнее рассмотреть эти варианты.

Рассмотрение задач 13 и 14 следует закончить изложением учителем доказательства 1-го и 2-го признаков равенства треугольников.

Разбирая дома задачи 15 и 16, учащиеся придут в класс с недоумением: если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, треугольники как будто должны быть равны, однако доказательство наложением не выходит —в чем дело? Полезно подержать учащихся в этом недоумении. Полезно предложить им попытаться построить неравные треугольники, но такие, у которых стороны соответственно равны.

Попутно можно показать построение треугольника по трем сторонам при помощи циркуля и линейки, не вдаваясь при этом в подробности. Учитель почувствует, когда класс созреет для ясного понимания задачи. Тогда и следует изложить обычное доказательство третьего признака равенства треугольников.

Мы привели недостаточное количество упражнений по применению признаков равенства треугольников, имея в виду, что довольно много упражнений на эту тему помещено в статье М. С. Бернштейна „Задачи на доказательство в курсе геометрии“ („Математика в школе“, 1941, № 4).

Разбирая эти задачи, учащиеся часто доказывают равенство треугольников не путем применения признаков, а посредством наложения. Такая работа учеников является правильной и должна быть высоко оценена. С чисто математической стороны здесь все обстоит благополучно. Ученик еще не превратил признаки равенства треугольников в инструменты, которые он будет применять автоматически: для него пока естественно повторять в каждом отдельном случае рассуждения, которые он применял при выводе признака.

Осторожно, сначала вскользь, а потом все более настойчиво нужно указывать на неэкономность такого решения: „За-

чем всякий раз повторять одно и то же? Не лучше ли воспользоваться готовым признаком?“ Осторожность нужна здесь главным образом для того, чтобы не вызвать преждевременной автоматизации применения признака в ущерб его сознательному усвоению.

7. Прямая и обратная теоремы

Первое задание. В следующих утверждениях отделить условие от заключения:

1. Если углы вертикальны, то они равны.

2. Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3.

3. Если число оканчивается 0 или 5, то оно делится на 5.

4. Если у треугольника все стороны равны, то у. него и все углы равны.

5. Если в треугольнике один угол тупой, то два другие — острые.

6. Если углы смежны, то сумма их равна 180°.

7. Если одно слагаемое увеличить на 5, а другое увеличить на 3, то сумма увеличится на 8.

8. Если а равно 2, то 10а равно 20.

9. Если прошел дождь, то под окном сыро.

10. Вертикальные углы равны.

11. Всякий равносторонний треугольник — равноугольный.

12. Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

13. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине служит одновременно медианой и высотой.

14. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

15. Сумма двух нечетных чисел есть число четное.

Первые девять предложений умышленно составлены по схеме: если..., то____В таких случаях нетрудно отделить условие от заключения. Значительно сложнее это сделать в предложениях 10— 15, их целесообразно сначала переписать по схеме: если ..., то ....

Второе задание. Утверждения 10—15 первого задания переписать, выразив их по схеме: если ..., то ...

Третье задание. Для каждого из утверждений первого задания написать обратное. Можно ли утверждать, что обратное утверждение верно, если верно прямое?

Решение.

1. Если углы равны, то они вертикальны.

2. Если число делится на 3, то и сумма цифр числа делится на 3.

3. Если число делится на 5, оно оканчивается 0 или 5.

4. Если у треугольника все углы равны, то у него равны и все стороны.

5. Если в треугольнике два угла острые, то третий угол тупой.

6. Если сумма двух углов равна 180°, то углы эти смежные.

7. Если сумма двух слагаемых увеличилась на 8, то одно слагаемое увеличилось на 5, а другое на 3.

8. Если 10а равно 20, то а равно 2.

9. Если под окнами сыро, то прошел дождь.

10. Равные углы вертикальны.

11. Всякий равноугольный треугольник — равносторонний.

12. Во всяком треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

13. Если в треугольнике биссектриса одного из углов служит одновременно медианой и высотой, то треугольник этот равнобедренный и вершина этого угла является вершиной треугольника (т. е. равны между собой стороны треугольника, образующие рассматриваемый угол).

14. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник этот равнобедренный и общая сторона равных углов является его основанием.

15. Если сумма двух слагаемых четна, то каждое слагаемое нечетно.

Нельзя утверждать, кто обратное утверждение верно всякий раз, когда верно прямое.

Четвертое задание. Относительно каждого из утверждений третьего задания указать, верно ли оно.

Отв. Утверждения 1, 5, 6,7, 9, 10, 15 неверны, остальные верны.

8. Доказательство от противного

1. Сумма двух чисел 75. Первое из них на 15 больше второго. Способом рассуждений от противного доказать, что второе число равно 30.

Решение. Предположим, что второе число не равно 30, тогда оно либо больше 30, либо меньше 30. Однако, если второе число больше 30, то первое боль-

ше 45, и сумма их больше 75. Если же второе число меньше 30, то первое меньше 45, и сумма их меньше 75.

2. Доказать, что углы при основании равнобедренного треугольника — острые (предполагается, что теорема о внешнем угле треугольника пройдена).

Решение. Предположим, что утверждение неверно. Тогда углы при основание равнобедренного треугольника должны быть либо прямые, либо тупые. Предположим сначала, что они прямые, тогда внешние углы треугольника, смежные с ними, будут тоже прямыми, и окажется, что внешний угол треугольника будет равен внутреннему, с ним не смежному.

Предположим теперь, что углы при основании тупые, тогда внешние углы треугольника, смежные с ними, будут острыми, и окажется, что внешний угол треугольника меньше внутреннего, с ним не смежного.

3. Произведение двух целых чисел больше 75. Доказать, что хоть один из сомножителей больше 8.

Решение. Предположим, что ни один из сомножителей не больше 8. Тогда возможны следующие три случая: 1) каждый сомножитель равен 8; 2) один из сомножителей равен 8, а другой меньше 8; 3) оба сомножителя меньше 8. В каждом из этих случаев произведение меньше 75.

4. Число Л меньше 25, а число В на 20 больше, чем Л. Доказать, что В меньше 45.

Решение. Предположим, что утверждение неверно, т. е. что В не меньше 45. Однако, если В равно 45, то Л равно 25. Если же Б больше 45, то Л больше 25.

5. Произведение некоторого двузначного числа на 5 — тоже двузначное число. Доказать, что первая цифра в этом числе есть 1.

Решение. Предположим, что первая цифра числа отлична от 1.

Тогда она не менее 2, а само число не менее 20.

Однако произведение 20 на 5 равно 100, и, следовательно, произведение рассматриваемого двузначного числа на 5 не меньше 100, т. е. не является двузначным.

В заключение остановимся на возражении, которое иногда делали учителя по поводу приведенных упражнений: „Где взять время? Мы не выполним плана, если долго будем задерживаться на первых теоремах!“

Мы уже отметили, что при правильной организации работы, когда учителем заранее подготовлены и розданы учащимся сборники упражнений, когда им заранее подготовлены плакаты, класс не будет тратить время на записи и чертежи и может сразу приступить к разбору упражнений. Мы, кроме того, неоднократно подчеркивали, что упражнения эти разбираются в классе устно, что результаты вообще не записываются.

Ведь основная цель этих упражнений — поднять общее развитие учеников на тот уровень, при котором возможно сознательное усвоение программного материала.

Если класс и без того достаточно развит и усваивает материал прочно, в этих упражнениях, может быть, и нет особой нужды. Ну, а если учитель видит, что ученики недостаточно развиты, чтобы понять нужным образом предлагаемые им теоремы, если учащиеся усваивают материал только формально? Как быть в этом случае?

Надеяться, что со временем все выяснится и усвоится? Нет. В этом случае разумно „потерять“ некоторое время на выполнение предлагаемых упражнений. Не надо забывать, что класс, приученный к самостоятельной работе и достаточно развитый, вскоре начинает легко справляться с рядом теорем, работая только по учебнику. Прочно овладев основами курса, класс легко двигается вперед, легко добивается высокого уровня знаний. Наконец как свидетельствуют учителя некоторых ленинградских школ, упражнения эти интересны ученикам, а это далеко не последнее в деле обучения.

ИЗ ОПЫТА

ПЕРВЫЕ УРОКИ ГЕОМЕТРИИ В VI КЛАССЕ

Е. Д. ЗАГОСКИНА (Москва)

Содержание и характер изучения материала данной темы программы — первой в курсе геометрии VI класса — должны в значительной степени зависеть от тех геометрических знаний, которые приобретены учащимися за предыдущие годы обучения. По ряду вопросов, перечисленных в программе, учащиеся VI класса уже будут иметь некоторые сведения: они представляют себе прямую линию, угол, в частности, прямой угол, и т. д. Задача учителя: используя знания учеников, привести в систему имеющиеся у них сведения, дать определения ряда основных геометрических понятий и направить учащихся на путь изучения абстрактных геометрических образов, связанных с имеющимися у них представлениями, почерпнутыми из окружающей действительности.

Изучение темы не должно превращать в сообщение перечня определений, в которые учащиеся не будут вкладывать конкретного содержания и которые будут заучиваться наизусть без понимания их смысла. Чтобы избежать этого, следует подходить к каждому определению после тщательного выяснения сущности определяемого понятия с помощью конкретных иллюстраций и наглядных пособий; путем вопросов выяснить, поняли ли ученики смысл сообщенного им определения, разнообразя при этом форму вопросов.

Точно так же при изучении свойств прямой линии надо, чтобы учащиеся умели не перечислять их наизусть, а применять; для этого надо предложить им решить ряд упражнений (см. ниже) для усвоения этих свойств в процессе выполнения различных элементарных построений.

В данной теме мы не рекомендуем вводить термин „теорема“ —он будет дан лишь позднее, когда учащиеся уже несколько освоятся с тем новым материалом, который они встречают в систематическом курсе геометрии. Отнюдь не следует знакомить учащихся VI класса подряд, вне связи с изучаемыми ими вопросами, с видами математических предложений (определение, аксиома, теорема, следствие); мы не советуем также давать понятие об обратной теореме, пока такая теорема еще не изучалась.

Изучение свойств смежных и противоположных углов должно сопровождаться решением достаточного числа задач.

Материал всей темы можно уложить в 12—14 уроков; примерное распределение материала и методические указания даны ниже.

1-й урок. Введение

Содержание урока: предмет геометрии, геометрическое тело. Основные геометрические понятия : поверхность, линия, точка; понятие о фигуре.

На первом уроке учитель разъясняет происхождение слова „геометрия“ и делает небольшой очерк возникновения этой науки; здесь же можно впервые упомянуть об Евклиде, имя которого должно быть хорошо известно учащимся средней школы.

Сообщая исторические сведения, надо следить за тем, чтобы учащиеся понимали, о какой эпохе и о какой стране идет речь.

Сравнивая несколько тел одинаковой формы, но разного цвета, веса и окраски (куб деревянный, картонный,.

стеклянный, металлический, такие же цилиндры и т. д.), учитель разъясняет понятие о геометрическом теле. Учащиеся поймут, что у ряда рассматриваемых тел общее —форма. „Наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение предметов, называется геометрией“. (Глаголев, Элементарная геометрия, ч. I).

Преподаватель указывает, что в геометрии мы изучаем форму тел, независимо от их физических свойств. Нужно вести беседу так, чтобы изучаемые геометрические образы не представлялись учащимся только как создание человеческого ума, как отвлеченные „понятия“, но присутствовали бы для них конкретно в каждой вещи окружающей действительности; чтобы дети поняли, что, отвлекаясь от физических свойств окружающих их предметов (окраски, веса и пр.), обращая внимание лишь на их форму, они будут рассматривать геометрические образы. Основная задача заключается в создании у учащегося правильного представления о геометрическом теле, а не в заучивании им наизусть определения последнего.

Далее дается представление о поверхности. Поверхность есть граница тела или граница между двумя частями тела. Приводятся примеры из окружающей действительности, иллюстрирующие понятие поверхности.

Затем ставится вопрос о делении поверхности на части и дается понятие о линии.

Можно рассмотреть лист бумаги, части которого окрашены в разные цвета, географическую карту; часто стена классной комнаты бывает окрашена в два цвета, граница между различно окрашенными частями — линия. Можно привести и такую иллюстрацию: проведем на доске линию. Теперь мы можем говорить о „правой“ и „левой“ частях доски — мы разграничили две части поверхности доски.

Аналогично с конкретными иллюстрациями дается понятие точки как границы линии.

Чтобы подчеркнуть неделимость точки, можно в качестве исторической справки привести определение Евклида: „Точка есть то, что не имеет частей“.

Надо указать учащимся, что всякий чертеж на доске или в тетради является лишь „изображением“ линий и точек-точка не имеет протяжения, геометрическая линия не имеет ширины. Для подчеркивания этого факта хорошо обратить внимание на границу между двумя частями рисунка, окрашенными в различный цвет; граница между водой и маслом или керосином, налитым в сосуд, иллюстрирует поверхность, как не имеющую толщины. К понятию о поверхности, линии и точке можно подойти также из рассмотрения куба — его граней, ребер, вершин.

Полезно познакомить учащихся и с образованием линии движением точки (линия — след вычерчивающего карандаша), поверхности — движением линии. (При быстром вращении окружности на центробежной машине получается представление о шаровой поверхности и т. п.).

Чтобы помочь правильному пониманию введенных геометрических понятий, рассматриваются разборные геометрические тела; с их помощью можно показать, что часть тела есть также тело, что поверхность тела не может быть отделена от него.

Учитель указывает, что: „цель геометрии состоит в изучении особенностей поверхностей, линий и точек, как отдельно взятых, так и взятых в сочетании друг с другом“ (Извольский, Геометрия на плоскости). Дается определение фигуры, как совокупности точек, линий, поверхностей и тел, расположенных в пространстве (см. Киселев, Геометрия). Геометрия изучает свойства геометрических фигур.

Задание на дом: Киселев, Геометрия, ч. I. Введение, §§ 1, 2.

Надо дать учащимся указания, как приготовить урок, внимательно прочесть с ними в классе текст указанных параграфов, рассмотреть рисунки, обратить внимание на пояснения к основным понятиям, выделенным в книге жирным шрифтом.

Полезно заставить учащихся во время урока найти эти основные определения в книге и прочесть. При отсутствии достаточного числа учебников главнейшие положения должны быть записаны в тетрадях.

2-й урок

Содержание урока: виды линий. Прямая линия, луч, отрезок.

Свойства прямой. Виды поверхностей, плоскость; разделение геометрии.

Урок начинается с короткого опроса учащихся, чтобы выяснить, насколько ими усвоены основные понятия, введенные в предыдущей беседе. (В дальнейшем такой опрос пройденного материала предполагается для каждого урока.) Вопросы надо стараться задавать в такой форме, чтобы учащиеся не давали ответы только в виде заученного наизусть текста определения. Например: „Вот на столе несколько кубов, что у них общего?“ (Форма.) „Назовите несколько предметов, имеющих одинаковую форму“. „Чем занимается геометрия?“ и т. п.

Далее учащиеся переходят к рассмотрению простейшей из линий — прямой линии.

В VI классе дети уже имеют, конечно, ясное представление о прямой линии.

Можно вызвать кого-либо к доске и предложить начертить прямую.

Туго натянутая нить, край линейки дают представление о прямой; дети без труда укажут прямые линии в окружающей обстановке.

Учитель может пояснить, как провешивается прямая линия на местности.

Нескольким учащимся предлагается с помощью линейки начертить на доске прямые в различных направлениях: горизонтально, вертикально, наклонно к краю доски (в последнем случае учащиеся иногда заявляет: это прямая, а „косая“). Начерченные прямые обозначаются буквами. Переходят к изучению свойств прямой линии.

Рассматриваются следующие свойства прямой: 1) прямая может быть безгранично продолжена в обе стороны (здесь полезно сопоставить, начертив их на доске, прямую линию и окружность);

2) через две данные точки можно провести прямую и только одну (поясняется проведением прямой по линейке через 2 данные точки);

3) две прямые могут пересекаться только в одной точке (пояснить как следствие свойства 2).

Далее дается понятие о луче и об отрезке, указывается на способы обозначения отрезков буквами: двумя заглавными буквами, поставленными у концов, или одной малой буквой, стоящей в середине. Надо с самого начала приучить ставить буквы на чертеже и пользоваться обозначениями, а не указаниями: „тот отрезок“, „этот луч“ и т. д.; при этом буквы надо стараться использовать различные.

Можно дать упражнения примерно такого характера:

1. Сколько прямых можно провести через одну точку, две, три данные точки? (Выполняются чертежи.)

2. Через две точки провести несколько линий.

3. Взять четыре точки (из которых никакие три не лежат на одной прямой) и попарно соединить их прямыми. Сколько получится прямых?

4. Провести прямую: а) пересекающую данную прямую в данной точке; б) проходящую через одну данную точку и пересекающую данную прямую в другой данной точке.

5. Начертить две прямые, пересекающиеся в данной точке.

6. Дана прямая. Взять две точки вне этой прямой: а) по одну сторону ее; б) по разные стороны; взять две точки на данной прямой.

7. На прямой взять три точки, обозначить их буквами и назвать полученные отрезки.

8. Начертить два луча, проходящие через одну и ту же точку. (Характер и количество упражнений зависят от развития учащихся и объема их геометрических знаний.)

Переходя к рассмотрению различных видов поверхностей и понятию о плоской поверхности, учащиеся легко укажут плоские и кривые поверхности в окружающей обстановке, но основное свойство плоскости довольно трудно для усвоения, поэтому оно должно быть тщательно разъяснено учителем с помощью наглядной иллюстрации. Можно взять плоскую поверхность (папка, стол) и показать, что прямая линия (неочиненный карандаш, тонкая, узкая линейка), имея с ней две общие точки, вся уложится на плоскости; тут же из листа бумаги свертывается коническая поверхность; проткнув ее карандашом, можно иллюстрировать, что прямая линия в этом случае имеет с кривой поверхностью две общих точки, но не совпадает с этой поверхностью, не лежит на ней; для уяснения вопроса надо показать и прямую, пересекающую плоскость.

Учитель указывает, что геометрия раз-

деляется на планиметрию и стереометрию, и характеризует содержание этих разделов.

На дом задаются §§ 3, 4, 5 из учебника.

Можно задать в качестве домашней работы и некоторые из перечисленных выше упражнений, уясняющих свойства прямой линии, или другие подобные им упражнения.

3-й урок

Содержание урока: сравнение отрезков. Равенство отрезков. Сложение и вычитание отрезков.

Урок начинается с рассмотрения вопроса о сравнении величин двух отрезков. Рассматриваются 3 случая сравнения отрезков (AB=CD, АВ> CD; AB < CD), результаты сравнения записываются в виде неравенства или равенства. Беря два отрезка для сравнения их длины, не следует всегда чертить их параллельными друг другу.

Можно показать на этом уроке таблицу „обманов зрения“; при сравнении на глаз длин отрезков учащиеся будут делать ошибки, в которых они убедятся при наложении отрезков друг на друга с помощью циркуля.

Учащиеся должны научиться пользоваться циркулем для того, чтобы „взять“ отрезок и перенести его. Крайне существенно, чтобы процесс наложения отрезка на отрезок был ими хорошо понят, и чтобы они могли точно передать словами этот процесс. Также существенно дать учащимся определение равных отрезков; надо, чтобы они умели ответить на вопрос: „Какие отрезки называются равными?“ Эти сведения сыграют большую роль при переходе к доказательствам методом наложения.

Действия над отрезками должны выполняться построением.

Отрезки при выполнении действий с ними следует обозначать двояким образом (в одной задаче двумя буквами AB, CD и т. д.; в другой—одной буквой а, Ь, с и т. д.)

Не надо требовать знания определения суммы отрезков, а лишь умения построить эту сумму и рассказать, как выполняется построение (термин „построить“ должен стать привычным для учащихся). При выполнении сложения и вычитания отрезков ведется запись выполненных действий. Надо указать на то, что сумма отрезков обладает свойством переместительности.

В результате этого урока учащиеся должны уметь, пользуясь циркулем,сравнить величину отрезков, выполнить сложение двух или нескольких отрезков, вычитание отрезков и сделать соответствующие записи. Они должны уметь разбить данный отрезок на два или несколько слагаемых и назвать эти слагаемые, обозначив отрезки буквами, а также представить данный отрезок как разность двух отрезков. Надо сделать в классе соответствующие упражнения, требуя необходимых словесных пояснений.

Задание на дом: Киселев, §§ 6, 7, 8.

Построения: 1. Взять произвольные два отрезка и построить:

а) их сумму, б) их разность.

2. Взять произвольный отрезок AB и разбить его на три неравных слагаемых (обозначить точки деления буквами и записать, какие отрезки получились).

4-й урок

Содержание урока: умножение и деление отрезка на число. Измерение отрезков.

Упражнения на действия с отрезками.

Умножение отрезка на число рассматривается как повторное сложение равных отрезков. Построив отрезок AB = 4CDf можно поставить вопросы: показать отрезок, равный AB; AB; у AB.

Затем выполняется на-глаз деление отрезка на 2,3, 4 равные части (с последующей проверкой циркулем); интересно поставить упражнение на деление пополам отрезка, расположенного вертикально или наклонно к краям доски; ведется запись выполнения действия. Далее решаются задачи типа: даны отрезки „а“ и „Ьа, где а >Ь; построить отрезок, равный За + 2& или За — 2Ь или -^Y^ и т. п.; аналогичные задачи при трех заданных отрезках. Эти задачи могут быть даны в качестве самостоятельной работы в классе.

Надо пояснить учащимся, что значит измерить отрезок, и провести несколько упражнений, измеряя длину, как непосредственно масштабной линейкой, так и перенося отрезок циркулем на масштаб-

ную линейку. На доске работа выполняется классными чертежными инструментами; все учащиеся имеют на руках масштабные линейки и циркули и выполняют измерение отрезков, вычерченных в тетрадях. Полезно проделать ряд упражнений на действия с отрезками, предварительно измеренными, с последующей проверкой результата арифметическим вычислением и измерением.

На этом же уроке можно выяснить, какие у учащихся имеются сведения о масштабе, систематизировать эти сведения и провести работу по измерению расстояний между двумя пунктами, заданными на географической карте, и вычислению их действительной величины и по определению длины на карте данных расстояний (см. Гурвиц, Методическое пособие по геометрии, § 7; контрольные вопросы и указания к ним).

Задание на дом: Рыбкин, § 1, задачи 3, 4, 6, 7.

5-й урок

Содержание урока: окружность и круг; радиус, хорда, диаметр, секущая, сектор, сегмент; угол, его вершина и стороны. Обозначение угла. Сравнение углов, равенство углов.

Первая часть этого урока посвящается знакомству с окружностью. Преподаватель чертит на доске циркулем окружность и, постепенно выясняя свойства начерченной линии (замкнутая, кривая, и т. д.), дает ее определение.

Выясняется различие между окружностью и кругом (столяр чертит на доске „окружность“ и выпиливает „круг“).

Даются определения радиуса, секущей, хорды, диаметра, дуги, сектора, сегмента.

Решаются упражнения выясняющие соотношения между длиной радиуса и диаметра одной и той же окружности. Например: 1) Радиус окружности равен 5,3 см. Чему равен ее диаметр? 2) Диаметр окружности равен 0,1 лг\ Определите радиус. 3) Отрезок AB равен диаметру окружности. Как найти ее радиус? и т. п.

Учащиеся должны научиться владеть циркулем для черчения окружностей в тетрадях; делая чертеж на доске, они также должны уметь пользоваться классным циркулем.

Чтобы дать понятие об угле, учитель предлагает построить в нескольких различных положениях фигуру, состоящую из двух лучей, выходящих из одной точки; такая фигура называется углом. Дается понятие о вершине угла и об его сторонах; необходимо подчеркнуть, что величина угла не зависит от длины отрезков, изображающих его стороны (показывается на чертеже и на модели шарнирного угла с выдвижными сторонами, при отсутствии такового можно использовать и складной метр).

Вводится обозначение угла буквами: одной буквой или тремя буквами, вводится знак угла; учащиеся практикуются в обозначении углов и правильном чтении этих обозначений. Далее переходят к сравнению величины углов путем наложения. Наложение надо показать ученикам наглядно, так как они обычно неясно представляют себе этот процесс. Здесь хорошо можно использовать две малки или две модели шарнирных углов, а также произвести наложение картонных углов.

Дается определение равных углов, которое, как и определение равных отрезков, будет иметь существенное значение впоследствии для усвоения вопроса о равенстве фигур. При сравнении углов учащиеся должны уметь четко описать словами процесс наложения и записать результат в виде неравенства или равенства. Для сравнения углы берутся в различных положениях, например, интересно дать такой чертеж, чтобы один угол был расположен внутри другого.

Задание на дом: Киселев, §§ 9, 10, 11, 12, 13, 14.

6-й урок

Содержание урока: сложение и вычитание углов; развернутый угол, построение угла, большего данного в несколько раз; деление угла на равные части; биссектриса угла. Прямой угол. Тупой и острый углы.

Сложение и вычитание углов иллюстрируется вначале при помощи моделей. Учитель, пользуясь малкой или углами из бумаги и картана, показывает, как надо один угол приложить к другому, чтобы построить их сумму; как наложить углы, чтобы получить их разность. На этом уроке учащиеся при построении суммы и разности также пользуются бумажными

моделями или строят углы на-глаз; в дальнейшем, когда они познакомятся с градусным измерением углов и с употреблением транспортира, они будут с помощью последнего строить угол, равный данному.

Учитель может задать для сложения два угла, сумма которых дает развернутый угол (т. е. при построении суммы две их стороны составят одну прямую), и, таким образом, подойти к этому понятию; учащийся знакомится с определением развернутого угла. Здесь же удобно показать с помощью модели и на чертеже процесс образования угла путем вращения луча около его неподвижного конца. Но в связи с этим „определения“ угла, как меры поворота, не следует давать.

Решаются упражнения на сложение и вычитание углов: представить данный угол как сумму нескольких углов, как разность двух углов, как разность между развернутым углом и некоторым другим углом и т. п.

Для самостоятельного решения в классе можно дать такие, например, упражнения: начертив на доске данный ниже чертеж предложить учащимся вопросы:

1) Какой угол больше: JLAFB или £AFC1

2) Назовите угол, который получится, если сложить 2i CFD и AFC?

3) Назовите угол, который получится, если отAFD отнять £AFB?

4) Есть ли на чертеже угол, больший угла AFC? Назовите такой угол.

5) Какой угол получится, ecAH^DFE прибавить Kj/^AFD?

С помощью моделей показывается и построение угла, в 2, 3, 4 раза большего данного; при этом может получиться угол, больший развернутого. Этот случай надо пояснить и на модели показать образование такого угла в результате вращения луча около его конца. Путем перегибания бумажного угла показывается деление угла на 2, 4, 8 равных частей.

Затем деление угла выполняется на чертеже (на-глаз); ведется запись. Дается название прямой, делящей угол пополам,— биссектриса.

Можно предложить провести биссектрису развернутого угла (если учащийся не сумеет это сделать, то поможет перегибание листа бумаги). Учащиеся имеют понятие о прямом угле и сразу дадут это название половине развернутого угла.

Учитель дает определение прямого угла как половины развернутого. Отыскиваются прямые углы в окружающей обстановке.

Даются определения острого и тупого угла; учащиеся упражняются в черчении углов различных видов и в распознавании их на чертеже. Рассматривается чертежный угольник (один угол прямой, два угла острых); показывается плотничий угольник, употребляемый для вычерчивания прямых углов.

Из определения развернутого угла очевидно, что все развернутые углы равны между собой, а отсюда следует, что и все прямые углы равны между собой (это все же следует подчеркнуть).

Задание на дом: 1) Киселев, §§ 15, 16, 21. 2) Начертить развернутый угол, прямой, острый, тупой углы. 3) Рыбкин, § 2, №№ 4, 5, 7, 11

7 и 8-й уроки

Содержание урока: дуговой градус, центральный угол; угловой градус, минута, секунда. Связь между числом дуговых градусов в дуге и числом угловых градусов в соответствующем угле. Устройство транспортира.

Измерение углов и построение углов данной величины с помощью транспортира.

На первом из этих двух, уроков дается понятие, о дуговом градусе (1/360 часть всей окружности), затем понятие о центральном угле. Рассматриваются предложения (называть их теоремами не рекомендуется): 1) равным центральным углам соответствуют и равные дуги; 2) равным дугам соответствуют равные центральные углы; справедливость этих свойств подтверждается наложением секторов. Дается определение углового градуса как

Черт. 1

центрального угла, которому соответствует дуга в один градус, и устанавливается связь между числом дуговых градусов в дуге и числом угловых градусов в центральном угле. Рассматривается в градусах величина прямого и развернутого угла; угловой градус—1/90 часть прямого угла.

Вводится понятие о минуте и секунде. Полезно показать чертеж угла в 1° (его можно найти в некоторых учебниках). Надо, чтобы была хорошо усвоена разница между дуговым градусом, как единицей измерения дуг, и угловым градусом, как единицей измерения углов; чтобы в дальнейшем при пользовании транспортиром учащиеся поняли, что они измеряют дугу в дуговых градусах и пользуются тем свойством, что центральный угол содержит столько же угловых градусов, сколько соответствующая дуга —дуговых градусов. Важно также, чтобы было усвоено, что длина дуги, равной 1°, зависит от радиуса окружности, величина же углового градуса — постоянна; показать это можно на чертеже, взяв 2—3 концентрических окружности и построив центральный угол.

В связи с градусной системой интересно сообщить учащимся некоторые исторические сведения о шестидесятиричной системе счисления у древних народов, а также рассказать о значении угловых измерений в производстве, в ориентировке на местности и т. п.

Решаются задачи на вычисление величины дуг и углов в градусах (угол между стрелками часов, между спицами колеса и т. п.); на определение вида угла (тупой, острый), заданного в градусах, минутах, секундах.

После ознакомления с устройством транспортира (все учащиеся имеют на руках транспортиры, учитель пользуется классным прибором) проводится ряд упражнений: по транспортиру строится прямой угол, острые и тупые углы заданной величины: измеряются различные углы, взятые в разнообразных положениях на доске и в тетрадях; на-глаз строятся углы в 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, и правильность построения проверяется транспортиром. (Развитие глазомера имеет существенное значение в подготовке учащихся к практической деятельности).

Конец урока по этому разделу посвящается решению упражнений на действия с углами (сложение, вычитание, умножение на целое число, деление на равные части), причем данные углы измеряются и равные им строятся с помощью транспортира.

Решаются задачи на вычисление с величинами углов, выраженными в градусах, минутах, секундах (№№ б, 8, 9, 12, 14, 16 из § 2 задачника Рыбкина можно частью решить в классе, частью оставить для домашнего задания).

Чтобы приучить учащихся к пользованию обозначениями углов и одновременно дать вычислительные упражнения, можно предложить им задачи типа: дан прямой угол ABC, из вершины которого проведены внутри него прямые БЕ и BD.

а) определить ^/ DBC, если /_ABD~ =j62° 10х;

б) /mABD = 5S° 40' 32“, а DBE = =20°, определить АВЕ\

в) /_DBE = 2l° 50' 40“, определить сумму углов ABD и ЕВС.

Для домашних заданий по данному разделу: Киселев, §§ 17, 18, 19, 20; Рыбкин, § 2, №№ 2, 3, 6, 8,9, 12, 14, 16, § 7, №№ 2, 3, 4.

9-й урок

Содержание урока: смежные углы. Сумма смежных углов. Сумма углов, имеющих общую вершину и расположенных: а) по одну сторону от прямой; б) вокруг общей вершины. Понятие о перпендикулярных прямых. Черчение перпендикулярных прямых с помощью угольника.

Чтобы учащиеся хорошо усвоили определение смежных углов, полезно заставлять их чертить смежные углы в разнообразных положениях, затем дать на доске ряд чертежей: два угла имеют общую вершину и общую сторону, но две другие стороны их не составляют одну прямую; два угла имеют вершины на одной прямой, стороны их одинакового направления; два угла смежные, но их общая сторона направлена вниз от вершины и т. п.

Учащиеся на заданном чертеже распознают смежные углы и поясняют, почему той или иной паре углов нельзя дать, название смежных.

Так как ранее уже было дано понятие о развернутом угле, то свойство суммы смежных углов непосредственно следует из определения этих углов.

После того как учитель сформулирует и пояснит свойство суммы смежных углов, надо предложить кому-нибудь из учащихся сделать чертеж и повторить пояснение.

Учитель выясняет вместе с учащимися, что, если один из двух смежных углов прямой, то и другой также прямой.

Рассматривая этот вопрос, можно воспользоваться моделью смежных углов, общая сторона которых вращается около вершины; внимание учащихся останавливается на том, что величина одного из двух смежных углов изменяется в зависимости от изменения величины другого.

В связи с рассмотрением равных смежных углов вводится понятие о перпендикуляре и перпендикулярных прямых; понятие о перпендикуляре противопоставляется понятию о наклонной.

Так как в учебной литературе большей частью употребляются термины „восставить“ и „опустить“ перпендикуляр, то следует пояснить эти термины.

Учащиеся должны приобрести навык и уменье проводить перпендикуляр с помощью угольника через точку, лежащую на прямой и вне ее (на доске чертеж выполняется при помощи классного угольника, все должны иметь угольники на руках); чертежи следует располагать различно, например проводить прямую наклонно к краю доски. Наравне с этим необходимо, чтобы дети упражнялись в проведении перпендикуляра к данной прямой от руки. Учащиеся VI класса, вероятно, уже имеют представление о горизонтальном и вертикальном направлениях, здесь надо уточнить эти понятия.

Рассматриваются свойства суммы углов, имеющих общую вершину и расположенных по одну сторону от прямой или по разные стороны от нее.

Чтобы закрепить знание изученных свойств, следует решать задачи (Рыбкин, №№ 21, 22, 23, 29, 33 и др.). При решении задач, например, №№ 21, 22 и др., используется составление уравнений.

Надо приучить учащихся, решая задачи, аккуратно выполнять чертежи и ставить обозначения; записывать, что дано и что требуется определить; в более сложных задачах, заданных на дом, они должны давать краткие пояснения к ходу решения. Задачи, в которых дается разностное или кратное отношение углов, решаются как арифметическим путем, так и составлением уравнений. Если учащиеся к этому времени еще не получили первых сведений об уравнении, то следует эти же задачи решить еще раз в соответствующий момент на уроках алгебры.

Задание на дом; Киселев, §§22, 23, 24. 25; Рыбкин, § 2, №№ 19, 20, 30, 31.

10 и 11-й уроки

Содержание урока: понятие о вертикальных (противоположных) углах. Равенство вертикальных углов. Решение задач на свойства смежных и вертикальных углов.

В начале урока повторяются путем опроса учащихся определение и свойство смежных углов. Затем можно дать задачу: построить угол, смежный сданным углом; выясняется, что возможны два решения; полученные углы—вертикальные.

Выводится свойство вертикальных углов, подробно разъясняется, почему это свойство имеет место.

Рассуждение ведется на основе рассмотрения двух пар смежных углов, в которых один угол является общим. Так как при сложении смежных углов в обоих случаях получаются равные суммы, а первые слагаемые также равны, то и вторые слагаемые должны быть равны.

Ход рассуждения записывается в тетрадях с помощью математических символов, с необходимыми краткими словесными пояснениями. В случае отсутствия достаточного числа учебников, записывается и формулировка рассматриваемого свойства.

Далее предлагается кому-либо из учащихся повторить рассуждение, не стирая записанное на д^ске. Если учитель доказал равенство одной пары углов, то можно предложить на том же чертеже доказать равенство другой пары. Затем записи стираются, и другой учащийся делает новый чертеж, ставит другие обозначения и снова проводит объяснения.

Коней урока и следующее занятие посвящаются опросу и решению задач на свойства смежных и противоположных углов (Рыбкин, §• 2, №№ 2 , 26, г7, 32, 36, 37); Киселев, упражнения №№ 4, 5 (стр. 16).

Задание на дом: Киселев, § 26, упражнения №№ 1, 2, 3,6; Рыбкин, § 2

№№ 34, 35. Кроме того, задается повторение материала по всей теме.

Подведение итогов по теме.

Заключительная беседа. Письменная контрольная работа.

Проводится заключительная беседа по всей данной теме; эта беседа, с одной стороны, служит повторением, с другой, строится с таким расчетом, чтобы опросить учащихся и учесть их знания по теме.

Желательно дать письменную контрольную работу, в которую можно включить 2—3 задачи следующего характера:

1) Даны два отрезка а и Ь, причем а > Ь\ построить отрезок, равный За — Ь.

2) Дана прямая AB и точка С; провести прямую, пересекающую в точке С прямую AB под заданным углом (пользуясь линейкой и транспортиром).

3) В окружности, радиус которой 3,4 см, проведены два диаметра, образующие между собой угол, равный 125°.

Определить: а) длину диаметра окружности в миллиметрах; б) величину остальных трех полученных центральных углов.

4) В одной точке О пересекаются 3 прямые: AB, CD и MN; прямая AB JL CD, прямая MN образует с прямой AB угол, равный 3/5rf.

Определить величину каждого из полученных углов, образованных двумя соседними лучами.

Контрольную работу можно дать в двух аналогичных вариантах.

Для проведения контрольной работы желательно отвести специальный урок.

ИЗ ПИСЕМ И ЗАМЕТОК ЧИТАТЕЛЕЙ

В отдельных заметках и письмах, которые в большом количестве поступают в редакцию, читатели нашего журнала высказывают свои пожелания, вносят ряд заслуживающих внимания предложений, делятся своим педагогическим опытом. Объем журнала не позволяет опубликовывать весь материал, поступающий в редакцию в виде писем и заметок. Однако на основании изучения этого материала вполне возможно сделать известную сводку предложений, высказываний и пожеланий наших читателей. Нередко от различных лиц поступают заметки, относящиеся к одному и тому же вопросу, так что представляется возможным найти общие мысли, высказываемые различными лицами.

Редакция журнала предполагает время от времени (по мере накопления материала) опубликовывать сводки по письмам и заметкам, поступающим от наших читателей.

Об исследовании квадратного трехчлена. Помещенная в № 3 журнала за 1946 г. статья т. Н. И. Кашина вызвала многочисленные отклики. Предложения, высказываемые в заметках тт. Б. П. Бычкова (Тюмень), Н. А. Боголюбова (Марпосад, Чувашская АССР), А. А. Столяр (г. Каган, Узбекской ССР), С. И. Софронова (с. Шало, Красноярский край), Дрознеса (Полтава), можно резюмировать следующим образом.

При исследовании знака квадратного трехчлена у = ах2 -f- bx-f-с с действительными корнями целесообразно, разложив данный трехчлен на множители а {х — хг) (х - х>), где хг ^ х2, составить следующую таблицу распределения знаков каждого из линейных множителей

X — X j И X X . >.

Эта таблица позволяет легко решить вопрос и о знаке произведения (х — х^ (х — х2). Промежутки x<xlf хг<х<х2 и х2<х следует иллюстрировать геометрически в виде соответствующих промежутков числовой прямой.

Авторы заметок справедливо указывают, что этот способ применим к решению дробных неравенств и неравенств высших степеней. Пусть, например, требуется решить неравенство

Разложив числитель и знаменатель на множители, получим (^2+х+1)(л:+1) > 0.

Так как трехчлен х2-\-х-{-1>0 при всех значениях х, то данное неравенство эквивалентно неравенству -—- > 0.

Корни числителя и знаменателя суть Х}=— 1, хй=4; хв=5. Составим таблицу распределения знаков для каждого множителя:

Зная знаки множителей, нетрудно определить знак левой части у данного неравенства. В нашем примере неравенство справедливо, если — 1 < х < 4 или 5<лг.

Тов. Б. П. Бычков предлагает следующую краткую формулировку правила для определения знака квадратного трехчлена.

Трехчлен ах2-\-Ьх-\-с имеет знак коэфициента а старшего члена при всех значениях х, кроме тех, которые содержатся между корнями, а также равны корням уравнения ах* + bx -f- с = 0.

Правило применимо и к трехчлену с мнимыми корнями, если принять во внимание, что раз нет действительных корней, то нет и действительных чисел, содержащихся между корнями. В этом случае трехчлен является знакопостоянным.

Тов. И. С. Гулида (Москва) в заметке „О решении неравенств второй степени“ останавливается на способе решения неравенств второй степени посредством выделения полного квадрата; сначала решаются „неполные“ неравенства ах2-\-с>0 (или <0). Так, например,

Общий случай приводится к рассмотренным посредством выделения полного квадрата

Так как преобразование выделения полного квадрата имеет важное значение, то указанный способ можно рекомендовать в качестве параллельного, знакомство с ним желательно.

Тов. В. И. Широков (Кировская область) предлагает несложный способ отыскания наибольшего и наименьшего значения квадратного трехчлена. Пусть для определенности а > 0, трехчлен у = ах2-\-Ьх-\-с имеет наименьшее значение ут1п. Сместим параболу в направлении оси OK на отрезок величины, равной ут1п. Составим уравнение смещенной параболы (черт. 1):

Трехчлен ах2 + Ьх + с — ут1п имеет наименьшее значение, равное нулю, что возможно, если этот трехчлен имеет

Черт. 1

двойной корень. Находим корни трехчлена:

Из условия

определяем

Переиздание учебника алгебры Киселева, II ч., в 1947 г. утверждено Министром Просвещения РСФСР с дополнениями, посвященными неравенствам второй степени, исследованию квадратного трехчлена и комплексным числам. Текст дополнений принадлежит А. Н. Барсукову.

Замечание к тексту учебника геометрии Киселева, ч. II. В § 20 учебника в форме задачи дано доказательство теоремы, утверждающей, что через точку Л, не лежащую на плоскости Ру можно провести единственную плоскость, параллельную Р. Тов. Н. П. Кулаков (Бугуруслан) отмечает, что текст надо дополнить доказательством единственности построенной плоскости. Это доказательство т. Кулаков предлагает дать в следующей редакции:

Допустим, что через точку А проведены две плоскости Q и Qb параллельные Р. Проведем через точку А какую-либо плоскость R, пересекающую плоскость Р. Плоскость R пересечет плоскости Q и Qt по-прямым, параллельным прямой пересечения плоскостей R и Ру что противоречит аксиоме о параллельных.

О преобразовании радикала Va ±\J в. Тов. И. A. Mхитаров (гор. Дзауджикау) и т. П. Г. Тернавский (Красноярский край. Таймырский нац. округ) пишут, что при решении задач по алгебре и тригонометрии встречается потребность в формуле для преобразования радикалов вида ± (/ В , однако вывод формулы в школьных учебниках не дается, этот вывод авторы и предлагают в своих заметках.

Изучение формулы преобразования радикала \/ A±\J В не входит в программу, и учитель вправе опустить соответствующие задачи. При благоприятных условиях можно рекомендовать ниже следующий наиболее краткий вывод формулы. Положим

Возводя в квадрат, получим

откуда

и, следовательно,

Аналогично найдем

Складывая и вычитая, получим интересующие нас формулы.

О грамотности в письменных работах по математике. В своей заметке т. Ф. Я. Брижак (пос. Ильинское, Раменского р-на Московской обл.) справедливо указывает, что даже ученики старших классов нередко допускают такие грубые ошибки, как еденица, вычеслить, паралельный и т. п. Тов. Брижак рассказывает о своем опыте борьбы с этим „живучими“ ошибками. По указанию учителя, отдельными учениками составляются настенные таблицы (размером примерно 80 см X 60 см) слов, в которых красным цветом выделяются сомнительные буквы (величина, правило). Словарный состав таблиц различен для V—VII и для VIII--X классов. Автор отмечает, что наличие таких таблиц почти исключает ошибки в написании соответствующих слов особенно в V и VI классах. Примерами „сомнительных“ слов могут служить: абсцисса, аксиома, биссектриса, величина, гипотенуза, диагональ, иррациональный, лемма, ло-

маная, мантисса, медиана, парабола, параллельный, периодический, числитель, уравнение и т. п.

Об измерении углов в частях прямого угла. В заметке под названием „Рутина“ т. Я. Н. Цлаф (Куйбышев) резко осуждает употребление для измерения углов таких величин, как -j-d, -jy-ûf, 0,375 d, yrf ит. п. Автор справедливо отмечает, что измерение углов в долях прямого угла не встречается ни в практике, где пользуются градусным измерением, ни в теории, где пользуются радианным измерением. Измерение в долях d встречается лишь в учебниках и задачниках для VI— VII классов. По этой причине автор считает, что наличие архаичных выражений как 19“ ^ ТУ ^ и т. д. засоряет учебную литературу никому не нужными надуманными величинами и объясняется лишь „вековой традицией“.

Замечание к учебнику тригонометрии Рыбкина. В заметке „Об экономной записи вычислений при решении косоугольного треугольника по трем сторонам“ т. В. П. Антоненко (с. Мостовое, Краснодарского края) справедливо замечает, что запись вычислений, рекомендуемая в учебнике Рыбкина, не является максимально экономной. Как известно (в общепринятых обозначениях), tgy = -^^, tg|-==^^' С г ig 2 = р_с и S—p-r. Целесообразно вычислить сначала, а затем находить последовательно tg^' tg у, tgу и S. Заметим, что в некоторых учебниках (см., например, А. Ф. Бермант и Л. А. Люстерник, Тригонометрия. Учпедгиз, 1940) рекомендуется именно такая последовательность вычислений.

Из опыта преподавания тригонометрии. В заметке под таким названием т. X. Александров (Именево, Чувашской области) касается вопроса о вычислении тригонометрических функций острого угла по данному значению одной из них. Автор отмечает, что обилие формул, связывающих тригонометрические функции, затрудняет учащихся, в особенности в начале прохождения тригонометрии. Тов. Александров рекомендует при вычислении тригонометрических функций по заданному значению одной из них не прибегать к пользованию заученными формулами, а пользоваться геометрическим изображением тригонометрических функций в виде сторон прямоугольного треугольника.

Пусть, например, надо выразить все тригонометрические функции через sina. Воспользовавшись прямоугольным треугольником, изображенным на чертеже 2, получим:

Черт. 2 Черт. 3

Чтобы выразить значения тригонометрических функций через тангенс, следует воспользоваться треугольником, изображенным на чертеже 3.

Нужно добиться, чтобы учащиеся, мысленно представив нужные треугольники, могли выводить в уме соотношения между тригонометрическими функциями. При наличии таких навыков заучивание таблицы для выражения тригонометрических функций друг через друга становится излишним. При решении задач учащиеся „на ходу“ делают нужные подстановки и быстро получают ответ.

ЗАДАЧИ

ПО ПОВОДУ ОДНОЙ ЗАДАЧИ

С. И. ЗЕТЕЛЬ (Москва)

В № 2 „Математика в школе- за 1946 г. дано решение задачи № 55, помещенной в одном из номеров журнала за 1941 г.

Задача № 55. На стороне AB правильного (подчеркнуто мною) is ABC взята точка D и проведены DE Ц АС (точка Е на стороне ВС), EF \\ AB (точка F на стороне АС) и FG \\ ВС (точка G на стороне AB) (чертеж 1)

Черт. 1

При каком положении точки D на стороне AB площадь трапеции DEFG будет наибольшей?

Приводится решение для равностороннего треугольника, далее доказывается путем параллельного проектирования, что решение не изменится, если заменить равносторонний треугольник равнобедренным и, наконец, снова пользуясь параллельным проектированием, доказывают, что решение сохраняет силу для произвольного треугольника.

Я хочу дать простое решение для произвольного треугольника, не рассматривая предварительно равностороннего и равнобедренного треугольников.

Пусть Jfè^k. Из подобия треугольников DBE и ABC имеем

Итак, Sf—площадь трапеции равна

где 5 площадь треугольника ABC.

Итак, задача сводится к отысканию maximum'a выражения (2 — 3k) k.

Далее можно предложить два решения: 1) При наибольшем значении выражения (2 — 3k) k наибольшим будет и (2 — 3k) 3k> а так как наибольшее значение произведения двух множителей 2—3k и сумма которых постоянна 2—3k -\-3k=2t имеет место при равенстве множителей, то

2) Второй способ решения:

Наибольшее значение 5 имеет при k = -g-.

Итак, задача решена для произвольного треугольника. Полученное решение позволяет сделать некоторые интересные замечания.

1) Для всех равновеликих треугольников площадь трапеции постоянна, следовательно, если вершина С будет передвигаться по прямой, параллельной AB, то площадь трапеции DEFG остается постоянной.

Определим периметр трапеции (черт. 1)

Вопрос: На какой из сторон следует выбрать точку, чтобы построенная трапеция имела бы наименьший периметр?

Ответ: Точка должна быть выбрана на наименьшей стороне.

Интересно решить и следующую задачу. Из всех равновеликих треугольников с данным основанием С найти треугольник, для которого построенная трапеция имеет наименьший периметр. Задача сводится к решению следующей задачи: из всех равновеликих треугольников с данным основанием найти треугольник с наименьшей суммой боковых сторон.

Из чертежа 2, где Л СБ—равнобедренный треугольник, ADB—произвольный треугольник и точка В1 симметрична В относительно CD, следует, что АС+СВ = АВ'1 a AD + BD = AB + i-B'D'; AB + BD> AB*.

Итак, искомым треугольником является равнобедренный.

Черт. 2

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 1 за 1947 г.

№ 1

Два вкладчика вложили одинаковые суммы в одну и ту же сберкассу (по простым процентам). Первый по истечении 8 месяцев получил вместе с процентной суммой 893 р. 20 к. Второй по истечении 75 месяцев получил 913 р. 50 к. Какая сумма была вложена каждым вкладчиком и по каким процентам (решить задачу алгебраически и арифметически). 1-е решение (алгебраическое). Обозначим положенную каждым вкладчиком сумму через х, а число выплачиваемых процентов через у. Тогда процентная сумма, выплачиваемая за 8 месяцев, будет равна

а выплачиваемая за 15 месяцев равна

По условию имеем:

(1)

(2)

Полученная система обычно решается таким способом: вынеся за скобку х в обоих уравнениях и разделив одно на другое, получим уравнение с одним неизвестным у. Но здесь этот способ ведет к сложным вычислениям. Поэтому решим систему другим способом.

Вычтя (1) из (2), получим:

или:

Откуда:

Подставив найденное значение ху в (2), найдем:

Для проверки сделаем подстановку в (1). Получим опять:

Подставив найденное значение х в (3), найдем

2-е решение (арифметическое). Разность 913,5 — 893,2 = 20,3 руб. является процентной суммой, полученной вторым вкладчиком за лишние 15 —8 = 7 месяцев.

Значит, за 8 месяцев процентная сумма должна составлять —-у— = 23,2 рубля. Такую сумму должен был получить первый вкладчик.

Отсюда следует, что вложенная сумма равна 893,2 — 23,2 -870 рублям. Число же выплачиваемых процентов равно

Как видим, алгебраическое решение данной задачи, несмотря на проделанные упрощения, все же оказалось гораздо сложнее и длиннее, чем арифметическое.

№ 2

Вычислить с точностью до — (с недостатком) квадратный корень из числа 1,60333... Определить, какие дроби (несократимые) со знаменателем 100 имеют тот же квадратный корень (конечно, вычисленный с той же точностью).

Решение. Согласно правилу извлечения приближенных корней нам нужно найти целое число х% удовлетворяющее условию:

(1)

или:

Но 25- 1,60333. . =5. 8,01666. . == = 40,08333. . . Корень квадратный (с недостатком) из этого числа с точностью до 1 равен 6.

Следовательно, искомый корень равен g-=l,2

Проверка:

значит, корень найден верно.

Переходим ко второй части задачи. Требуется найти несократимые дроби, имеющие знаменателем 100 и удовлетворяющие условию

(2)

где X — целое число, числитель искомой дроби.

Отсюда:

или:

Итак, все значения х от 144 до 195 (т. е. 52 значения) удовлетворяют неравенству (2). Остается исключить из этих 52 значений те, которые не являются взаимно простыми с числом 100. В этом заключается третья часть задачи.

Так как 100 —22 . 52, то мы должны из чисел:

144, 145, 146, . . . Д95

исключить числа, делящиеся на 2, и числа, делящиеся на 5. Но на 2 делятся четные числа,

144, 146, . . . ,194. Таких чисел будет

Теперь исключим числа, делящиеся на 5. Их будет:

Но из этих 11 чисел мы уже исключили числа, делящиеся на 2, т. е. числа, делящиеся на 10. Таких чисел:

Остается 6 чисел. Всего, таким образом, мы должны исключить 32 числа из 52. Остаются 20 чисел, удовлетворяющих условию задачи:

№ 3

Решите уравнение:

(1)

Решение. Элементарная задача, приводящаяся ч квадратному уравнению. Положим

(2)

Тогда (1) перепишется в виде:

или:

(3)

Решив (3), найдем ух= и у2 =2. Подстановка в (2) дает:

Отсюда:

№ 4

Найти прямоугольники с целочисленными сторонами, у которых площадь выражается тем же числом, что и учетверенная сумма длины, ширины и диагонали.

Решение. Обозначив длину и ширину прямоугольника через хну, будем иметь по условию:

(1)

или:

Отсюда следует, что задача имеет решение при условии

ху >4(х+у). (3)

При этом допущении из (2) получим:

16jc2 + 16_у2 =z xiy* — 8xy (X \-y) + 16 (x +y)*.

После упрощений и сокращения на ху (ху ф 0), получим:

ху — 8(х +у) + 32 = 0. (4)

Прибавив к обеим частям по 32, мы можем представить (4) в таком виде:

(* — 8) (.у — 8) = 32. (5)

Таким образом, целые числа х — 8 и у — 8 являются делителями 32. Не уменьшая общности, мы можем положить х>у. Заметим, что х — 8 и у—8 не обязательно должны быть положительными. Равенство (5) требует лишь, чтобы они были одинакового знака. Разлагая 32 на два множителя, получим следующие гипотезы (при х>у):

лг-8 = 32 3; — 8 = 1 лг-8^16 у —8 = 2 х — 8 — 8 у —8 = 4 Соответственно получаем:

Длина Ширина Диагональ

40 9 41

24 10 26

16 12 20

Подстановка найденных значений хну в (3) показывает, что условие (3) во всех трех случаях выполняется. Значит, все найденные решения удовлетворяют условию задачи.

Что касается отрицательных значений х- 8 и V—8, то мы получаем:

х- 8 = — 1 у — 8 = —32 x — 8 = — 2 у — 8 = — 16 х-8 = — 4 у — 8 = — 8

Мы видим, что в этом случае одна из величин или отрицательна или нуль. Следовательно, эти решения не удовлетворяют условию задачи.

№ 5

Найти числа, составляющие арифметическую прогрессию, зная, что сумма ее первых четырех членов равна 26, сумма последних четырех членов 110 и сумма всех членов 187.

Решение. Обозначив первый член, разность, последний член и число членов прогрессии соответственно через я, г, Ь и л, будем иметь по условию:

или по упрощении:

4я + 6г=26, (1)

4Ь-6г =110, (2)

п (а + Ь) = 374, (3)

Ь — а^{п—\)г. (4)

Сложив (1) и (2), получим:

4а + 46=136; а + & = 34. (5)

Подставив из (5) в (3), найдем

п = 11

Подставив найденное значение п в (4), будем иметь

b — а ~ 10 г. (6)

С другой стороны, вычтя (1) из (2), получим:

4 (£-«) — 12 rz=84. Замени» здесь b — а из (6), найдем 40г — 12г = 84,

откуда:

г = 3.

Теперь из (1) и (2) легко находим а = 2; Ь = 32.

Искомые числа

2, 5; 8; 11;....; 32.

№ 6

Найти дробь у, равную jq^j , сумма членов которой а-\-Ь равна кубу некоторого простого числа.

Решение. Прежде всего сократим дробь Так как

399 = 3 . 7 . 19 и 1064 = 2» . 7 . 19, то получим:

Всякая дробь, равная -g-» имеет вид » где

x — целое число.

Тогда сумма членов дроби

а + Ь— Пх.

Так как а-\-Ь является кубом простого числа, то x может быть равен лишь П2 = 121. Следовательно, искомая дробь равна g ■ ^\ — 96Ъ

№ 7

Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с и медиане одного из катетов т.

1-е решение (метод геометрических мест). Анализ. Пусть A ABC— искомый (черт. 1), в котором ^С = 90°; AB —с; AM — m и ВМ = =zCM.

Соединим M с серединой О гипотенузы. МО как средняя линия параллельна CA и, следовательно, Z, ОМВ — 90°.

В таком случае точка M лежит на окружности, построенной на OB, как на диаметре. С другой стороны, точка M лежит на окружности, описанной из точки Л, как из центра, радиусом AM = т.

Черт. 1

Черт. 2

Следовательно, M является точкой пересечения этих двух окружностей. Отсюда построение.

Построение. Берем отрезок АВ=с (черт. 2), делим его пополам точкой О и на ОВ9 как на диаметре, строим полуокружность. Из точки Л, как из центра, проводим дугу радиусом AM = m, которая пересечет полуокружность в точке М. Соединяем В с M и из точки Л опускаем перпендикуляр АС на ВМ. Полученный à ABC — — искомый.

Доказательство. AB = с. AM — m и l_ACB — 90° по построению. У ОМВ — прямой, как опирающийся на диаметр OB. Отсюда ОМ, проходя через середину AB и будучи параллельной Л С, делит и СВ пополам, т. е, AM является медианой. Таким образом, А ABC удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование. Так как две окружности могут пересечься не более, чем в двух точках, то получим два равных треугольника, расположенных по обе стороны от AB. Можно их считать за одно решение.

Решение возможно лишь при условии, что окружности пересекутся, для чего должно быть (см. черт. 2):

АО<т<АВ,

т. е..

~<™<с

2-е решение (алгебраический метод). Из треугольников ABC и AMC (черт. 1) имеем:

(1.) (2)

Отсюда вычитанием получим:

т* а? = 4- (ci““2)-

Умножив (2) на 4 и вычтя из него (I), найдем:

ЗЬ*= 4т*— с2; ft2— _1 (4т2—с*). <4>

По формулам (3) и (4) легко построить а и b по данным сит.

Исследование. Для того, чтобы а2 было положительно, необходимо, чтобы было:

с2— т2> о или с > т.

Для того, чтобы Ъ2 было положительно, необходимо:

4т2— с2>0 или m>Y'

т. е. мы пришли к тем же условиям возможности решения, что и раньше

№ 8

Найти целое число N, содержащее простыми множителями только 2, 5 и 7, зная, что:

1) 5N имеет на 8 делителей больше, чем Nr

2) 7N имеет на 12 делителей больше, чем Nr

3) 8N имеет на 18 делителей больше, чем N Число N имеет вид:

N = 2X -ЗУ -V.

Число его делителей по известной формуле равно

(x+l)(y+l)(z+l).

Число bN = 2х. 5У+1. 7* и число его делителей равно:

(x+\)(y + 2)(z+\). Согласно условию:

(*+ 1) (V + 2) (z + l)-(x+ 1) (у + !)(*+ 1) = 8 или:

(1)

Число 7Nz=2x-5У • 7*+1. Аналогично предыдущему, получим:

+ (2)

Наконец, 8N = . 5У . 7* откуда найдем:

ЗСУ+1) (*+!) = 18

или:

(у+1)(* + 1)«& (3)

Получили систему трех уравнений с тремя неизвестными, которая обычно решается так. Перемножив (1), (2) и (3), найдем

(д: + 1)2 (у + 1;2 (г: + 1)2 = 8 - 12-6,

откуда

(*+1)(у + 1)(* + 1) = 24. (4)

Деля (4) последовательно на (1), (2) и (3), получим:

ум 1=3; z+l = 2; *•+ 1 =4.

Отсюда:

х — Ъ; yz=z2\ г =1.

Следовательно,

Л^=2з.52.7 = 1400.

№ 9

Число N, раз разложенное на простые множители, имеет вид ахЬУсг. 1) Если N разделить на а, то новее число будет иметь на 30 делителей меньше, чем N; 2) если N разделить на то новое число будет иметь на 35 делителей меньше, чем N\ о) если N разделить на с, то новое число будет иметь на 42 делителя меньше, чем N. Определить х% у и z.

Решение. Задача аналогична предыдущей. Если N— ахЬУс2, то число его делителей равно

(x+ï)(y+\)(z + l).

Разделив N на а, мы показатель х уменьшим на 1 и число делителей нового числа будет равно X (у -J- 1) (z +1), т. е. уменьшится на

{x+\)(y + \)(z+l)-x(y+\)(z+l) = = 0 +

По условию имеем:

(y+l)(*+l) = 30. (1)

Аналогично в двух остальных случаях получим:

(*+1)(2г + 1)=:35; (2)

(*+1)(У+ 1) = 42. (3)

Имеем простую систему трех уравнений с тремя неизвестными. Перемножив (1), (2) и (3), найдем:

откуда

(4)

Деля (4) на (1), (2) и (3), найдем лг+1, _y-f 1 и z -f-1, а, следовательно, и дг, _у, z. Получим:

дг+1=7; ^ + 1-6; z+\=5; X = 6; у=^Ъ\ z — A

и, значит, число N имеет вид: N — аЧ^с4. № 10

Числа хну связаны соотношением: x*v = 2 ]/х~.

Г. Вычислить у, если xs= 4. 2°. Вычислить je, если v2= 8.

Решен и е. Задача, конечно, совершенно элементарная, являющаяся по существу простым упражнением в технике вычислений Г. Из (1) имеем:

Подставляя сюда

получим:

Логарифмируя, найдем :

Отсюда: у = 0,92588.

2°. Подставив в (\)у = 2\П , получим:

или:

Отсюда:

И далее:

]gx= — 0,31g2= -0,3.0,03103= —0,09031--=T,909Ö9. Отсюда:

дг=0,8122б.

№ 11

Двузначное число обладает следующими свойствами: если к удвоенному и к утроенному этому числу прибавить по единице, то в обоих случаях получится точный квадрат. Найти это число.

Решение. Приведем очень изящное арифметическое решение, данное в «L'Education Mathematigue“. Пусть искомое число а. Тогда число 2а-\-\ по условию должно быть точным квадратом. Но точные квадраты всех чисел могут оканчиваться только цифрами:

0; 1; 4; 5; б; 9.

Вычтя из этих чисел по 1, найдем, что число 2а может оканчиваться только цифрами:

9; 0; 3; 4; 5; 8.

Но число 2а четное. Следовательно, для него возможны только цифры:

0; 4; 8.

Отсюда следует, что число а может соответственно оканчиваться лишь цифрами:

0 или 5; 2 или 7; 4 или 9.

Тогда За должно оканчиваться одной из следующих цифр:

0; 5; 6; 1; 2; 7,

а число За-\- I соответственно

1; 6; 7; 2; 3; 8.

Но число За+1 является тоже точным квадратом (по условию). Следовательно, для него последней цифрой могут служить лишь

1 и 6.

Отсюда число За должно оканчиваться только на 0 и 5, а значит, а оканчивается тоже на 0 или 5. Но тогда число 2a-f-l в обоих случаях оканчи-

вается на 1. Заметим теперь, что а по условию число двузначное, т. е.

10<я<100.

Отсюда:

20<2а + 1 <201.

Но между 20 и 201 только два точных квадрата оканчиваются на 1. Это 81 и 121, т. е. а=40 или а, ~ 60. Но тогда

За + 1 = 121 или За+1 = 181

Из этих двух чисел только 121 является точным квадратом. Итак, имеем:

л = 40; 2а+ 1 =81 = 92; За +1 121 = 1R

Здесь характерна цепь логических суждений, путем последовательного исключения приводящих к единственному числу, удовлетворяющему условию задачи.

№ 12

Возраст ребенка, увеличенный на 3 года, дает точный квадрат. Этот же возраст, уменьшенный на 3 года, дает как раз квадратный корень из упомянутого квадрата. Определить возраст ребенка (допускаются арифметические и алгебраические способы решения).

1-е решение (алгебраическое). Если обозначить настоящий возраст ребенка через х, то три года тому назад ему было л: — 3 лет, а через 3 года будет jc-j-3 лет. По условию:

X + 3 = (X — З)2.

Отсюда:

л? — 7jc+ 6 = 0.

Получим: л', =6; х2 = 1. Но по смыслу задачи X > 3. Следовательно, имеем одно решение: х = 6.

2-е решение (арифметическое). Обозначим возраст ребенка 3 года тому назад через а. По условию задачи квадрат этого числа больше его на 6, т. е.:

а2 — а = 6.

или:

1) = 6.

Если предположить, что а число целое, то а и а—1 являются делителями числа 6. Но

6=3.2 = 6-1.

Из этих двух разложений только первое дает множители, разнящиеся на 1. Следовательно, а — 3 и возраст ребенка равен 3 + 3=6 годам.

3-е решение. Эта простая задача интересна тем, что в журнале „L'Education Mathématique“, откуда она взята, приводится 2-е решение, названное там „эмпирическим . Сущность его такова. Возраст ребенка должен быть не меньше 3-х лет (по условию) и не больше 12 (по смыслу слова .ребенок“). Значит через 3 года ребенку будет не меньше 6 и не больше 15 лет. Но между 6 и 15 есть только один точный квадрат (предполагая его целым), именно 9. Значит, возраст ребенка равен 9 — 3 = 6 годам. Мы полагаем, что и в наших школах неплохо было бы ввести в практику такого рода решения „по здравому смыслу“.

№ 13

Решить систему уравнений:

(1)

(2) (3)

Решение 1. Допустим сначала, что х = 0. Тогда из (1) имеем a2y2z2 = 0, откуда или_у = 0, или z = 0 (конечно, а, Ь и с предполагаются не равными нулю).

Положим у = 0. Тогда все три уравнения при любом z обращаются в тождества: 0 = 0. Вследствие симметричности уравнений по отношению к X, у, z, мы получаем, таким образом, три системы решений

где m — произвольное число.

1. Положим теперь, что ни одно из неизвестных не равно нулю. Тогда, разделив (1) на a2jc2V2Z2y (2) на b'2x2y-z2 и (3) на с- х2 у2 z\ получим:

Эту систему можно написать в таком виде.

(4) (5)

(6)

Сложив эти три уравнения, получим:

откуда:

Отсюда непосредственно получаем:

Далее, сложив (4) и (5), найдем:

откуда:

Делая подстановку из (7), получим окончательно:

Очевидно, аналогично получим:

Как видим, здесь изящная по форме система имеет не менее изящное решение.

№ 14

Решить уравнение:

Решение. Перепишем уравнение так:

Чтобы сделать правую часть квадратом, прибавим к обеим частям по 2х*-\-\. Получим:

откуда:

Таким образом, имеем два квадратных уравнения:

Решаем уравнение (1):

или:

Решаем уравнение (2):

или:

№ 15

Решить уравнение

Решение. Перепишем данное уравнение так:

х4 — 4хЗ= 1.

Прибавив к обеим частям по х*-\-2х%, получим в обеих частях квадраты:

или:

Отсюда :

Получили два квадратных уравнения:

или:

(1)

(2)

Решаем уравнение (1)

или :

Уравнение (2) дает:

или :

Мы решили это уравнение независимо от уравнения, данного в задаче 14. Но сравнивая оба эти уравнения, мы могли бы заметить, что каждое из них получается из другого путем замены X на ~. В самом деле, возьмем уравнение задачи 14:

х* + 4jc — 1 =0. Положим дг=-^и сделаем подстановку. Получим

откуда: или:

т. е. получили уравнение задачи 15.

Но из этого следует, что корни одного из них обратны корням другого. Следовательно, мы могли, не решая уравнения задачи 15, получить его корни, взяв величины, обратные корням уравнения задачи (14). В этом легко убедиться непосредственно.

№ 16

Доказать, что в арифметической прогрессии, члены которой— целые числа, а разность — число нечетное, сумма любых четырех последовательных членов не может быть точным квадратом

Решение. Обозначив первый из взятых членов через а, разность прогрессии через d, бугем иметь:

S4 - а + (а + d) + (а + 2d) + (а + 3d) = = 4а + 6d = 2(2a + 3d).

Так как 2а -\-3d при любом целом а является числом нечетным, то S содержит, следовательно? множитель 2 в нечетной степени. Отсюда непосредственно следует, что «S не может быть точным квадратом.

Как видим, задача совершенно элементарна; но она позволяет вывести некоторые интересные следствия.

1. Положив d=l и я>0, мы будем иметь сумму четырех последовательных чисел. Отсюда следует вывод: сумма любых четырех последовательных натуральных чисел не может быть точным квадратом.

Предлагаем читателям самостоятельно исследовать вопрос: для каких значений п сумма п последовательных натуральных чисел не может быть точным квадратом?

2. Из формулы 54 = 2 (2а -)- 3d) следует: квадрат нечетного числа никогда не может быть представлен в виде суммы четырех членов арифметической прогрессии.

3. Из той же формулы следует: если квадрат четного числа может быть представлен в виде суммы четырех членов арифметической прогрессии, то разность этой прогрессии обязательно число четное.

№ 17

Доказать, что в треугольнике, у которого разность углов при основании равна прямому углу, биссектриса внутреннего угла при вершине равна биссектрисе внешнего угла.

Решение. Обозначив острый угол В при основании через а (черт. 3), будем иметь:

Черт, 3

Итак, биссектриса AD образует с основанием угол в 45°. Но тогда и биссектриса АЕ внешнего угла образует с основанием угол в 45° (так как эти биссектрисы взаимно-перпендикулярны, т. е. в треугольнике EAD угол А — прямой). Отсюда следует, что АЕ = AD

№ 18

Решить уравнение:

\/ 2 sin3jc = 4 cos2 X.

Решение. Выразив cos через sin и положив для краткости smx=yy получим:

или, по сокращении на у/2 :

Представив левую часть в виде:

замечаем, что для разложения этого выражения на множители достаточно прибавить и вычесть 2у. Получим:

Приравнивая нулю каждый из полученных множителей, будем иметь:

Очевидно, этот корень не годится, так как должно быть I у I = I sin x I < 1.

или:

Корень у3 не годится по той же причине, чтои^. Итак, имеем единственный корень:

Отсюда :

или в общей форме

Мы могли бы тот же корень найти и другим способом. Представим найденное значение у в таком виде:

Но

и, следовательно:

sin x = 4 sin 45е sin 18е.

Отсюда по таблицам логарифмов найдем то же значение х, что и выше.

№ 19

На прямой даны три точки: А, В и С (В лежит между А и С). На отрезках AB и ВС по одну сторону от прямой построены равносторонние треугольники АВСХ и ВСАХ. Точки M и N —середины отрезков ААХ и ССХ. Доказать, что треугольник ВMN—равносторонний.

Решение. Докажем сначала, что ААХ=ССХ (черт. 4).

Действительно, обозначив ВС = а и AB — с будем иметь для треугольников АВАХ и СфС:

А1В==ВС = а'1 АВ = С1В = с; £ АВАХ = Z. СфС == 120°.

Следовательно, Д АВАХ = Д СХВС и отсюда ААг = С, С.

Из равенства тех же треугольников следует, что ВМ = BN, как медианы, проведенные из соответственных вершин.

Наконец, из равенства треугольников ВМА\ и BNC (по трем сторонам) заключаем, что /1 МВАЛ «=• /_ NBC. Но / NBC вместе с углом A}BN составляет угол в 60°. Следовательно, и Z МВА, + 1_ А^ВЫ = / MBN = 60°. Отсюда непосредственно следует, что /\MBN равносторонний (так как ВМ = BN),

№ 20

В пространстве даны две пересекающиеся плоскости M и N. На линии их пересечения дана точка А. Доказать, что из всех прямых, лежащих в плоскости M и проходящих через точку А, наибольший угол с плоскостью N образует та, которая перпендикулярна к линии пересечения плоскостей M и N.

Пусть прямая AB перпендикулярна к линии пересечения плоскостей M и N (чtрт. 5) Опустив из точки В перпендикуляр ВС на плоскость N будем иметь :

(1)

Проведем теперь через точку А в плоскости M произвольную прямую АК и покажем что угол, образуемый ею с плоскостью jV, меньше угла ВАС. Через точку В проведем в плоскости M прямую BD и AK. Очевидно, что АК и BD образуют равные углы с плоскостью N. Но

(2)

Сравнивая выражение (2) с (1), замечаем, что числитель в обеих дробях один и тот же (ВС). Знаменатель же DC больше АС (как наклонная и перпендикуляр, проведенные из С к линии пересечения плоскостей). Отсюда:

Ч ABAC >tgZ.BDC н, следовательно:

£BAC> £BDC (так как оба угла острые)

Черт. 5

ЗАДАЧИ

Редакция просит: 1) присылать в одном конверте решения только по одному номеру журнала; 2) решение каждой задачи дать на отдельном листке за подписью и с указанием местожительства.

Задачи, присланные для помещения в журнале и не принятые редакцией, уничтожаются, и вступать по поводу них в переписку редакция не имеет возможности.

61. Найти целые положительные значения х, при которых выражение

X х + г +(х + 1)х

делится на 3.

62. Решить в целых числах уравнение:

X2 + ху -j-y2 = X* у\

63. Найти общий вид иррациональных чисел х, обладающих тем свойством, что число , если его записать в виде бесконечной десятичной дроби, изображается, начиная с первой значащей цифры, теми же цифрами и в том же порядке, как и число X.

64. Решить уравнение:

(X -1) (дг+2) (*-3) (х+4) = 144.

А. Могильницкий (Кривое озеро, Одесск, обл.)

65. Решить уравнение:

X (х-1) (х-2) (X-Z) = 24.

66. Решить уравнение:

67. Из трех различных цифр х, у и z образованы все возможные трехзначные числа; сумма этих чисел в 3 раза больше числа ххх • Найти X, у и Z.

А. Могильницкий

68. Доказать, что в треугольнике величина площади не превышает ^ у——

А. Владимиров (Ялта)

69. Доказать, что в треугольной пирамиде с ребрами а, Ь, с, прямым трехгранным углом при вершине (т. е. все его плоские углы — прямые) и высотой h существует соотношение.

А. Владимиров

70. Найти наименьшие целые числа, оканчивающиеся на 1192 и имеющие: 1) 30; 2) 20; 3) 16; 4) 40 делителей.

В. Голубев (Кувшиново)

71. Доказать, что числа С2п при п > 2 могут быть представлены в виде суммы не более, чем трех слагаемых того же вида (т. е. вида С2К )

В. Голубев

72. Решить уравнение:

8*4 + 2*3 + 2\х ' + Зх + 18 = 0.

В. Голубев

73. В тетраэдре SABC, (S — вершина) через ребра SA, SB, SC провезены биссекторные плоскости, которые, как легко показать, пересекутся по одной прямой .SP. Выразить объемы полученных трех тетраэдров через объем v данного и через площади SA , SB , Sc его граней (SA — — площадь грани, противолежащей вершине А и т. д.).

К. Рупасов (Раненбург)

74. В тетраэдре SABC через все его ребра проведены биссекторные плоскости. Все они пересекутся в некоторой точке 0. Выразить объемы полученных четырех тетраэдров через объем v данного и через площади SA , SB , Sc его граней.

К. Рупасов

75. В тетраэдре SABC проведены биссектрисы внутренних углов основания ABC. Через эти биссектрисы и соответствующие боковые ребра проведены плоскости. Выразить объемы полученных трех тетраэдров через объем v данного и стороны его основания.

К. Рупасов

76. Доказать тождество

77. Построить треугольник ABC, если ланы следующие три точки: точка О—центр описанной около этого треугольника окружности; точка D — основание высоты, опущенной из вершины А: точка Е — точка пересечения стороны ВС с биссектрисой внешнего угла А.

78. Доказать, что если

^1+^2 4“ л3+- • +ллг=л

и наибольший общий делитель щ, п2, л3, . . . пк равен единице, то (п — 1)! делится на произведение nL\ л2! . . . nk !

79. Из сосуда с вином отлит 1 л вина и добавлен 1 л воды. Затем отлит 1 л смеси и добавлен 1 л воды, и т. д. После того как этот процесс был повторен 35 раз, оказалось, что смесь в сосуде состоит наполовину из воды и наполовину из вина. Сколько вина было первоначально в сосуде?

80. Найти сумму п дробей, числители которых образуют арифметическую прогрессию с первым членом а и разностью d, а знаменатели — геометрическую прогрессию с первым членом b и знаменателем q.

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

А. И. Маркушевич — Понятие функции.................... I

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

А. П. Юшкевич —- Математика и ее преподавание в России XVIII— XIX вв. 17

МЕТОДИКА

И. С. Соминский — О работе учащихся VI класса в связи с изучением первых теорем геометрии ............................ 31

ИЗ ОПЫТА

Е. Д. Загоскина — Первые уроки геометрии в VI классе............ 41

Из писем и заметок читателей........................ 49

ЗАДАЧИ

С. И. Зетель — По поводу одной задачи................... 53

Решения задач................................ 54

Задачи.................................. 63

Сводка решений......................... на обложке

Главлит № А—02873 Заказ № 3148

Гираж 20 000 экз.

Редакционная коллегия: Редактор А. H Барсуков. Зам. редактора С. И. Новоселов. Члены редакционной коллегии: Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий, А. П. Садиков. Н. Ф. Четверухин,

Технический редактор В. Н. Сморгонская Корректор А. Киняпина

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6. Учпедгиз Министерства просвещения РСФСР

Сдано в производство 20/IV 1947 г. Подписано к печати 12/VII 1947 г. Печ. л. 4, У четно-изд. л. 6.69, Печ. зн. в I п. л. 72 000. Цена 4 р. ,50 к.

Типография № 2 Управления издательств и полиграфии Ленгорисполкома

вец) 28, 31: Соколов (Владимир) 21, 22, 26, 29. И. Терещенко (Читин. обл.) 40. Н. Титов (Казань) 21, 22, 24, 26—32, 34, 38, 39. П. Титов (Тюмень) 22—24, 26, 28—39. В. Федоров (Курган, обл.) 22, 23, 26, 28, 29, 31—39. Л. Фридман (Красноярск) 21—23, 26—29, 31, 32, 34—40. А. Хайруллин (Саратов. обл.) 26, 31,38. X. Хамзин (Стерлитамак) 21—23, 26—40. Л. Циммерман (Ейск) 23, 29, 31, ^8, 39. Г. Чепкасов (Краснодар, кр.) 21—23, 26, 29, 38, 39. М. Шебаршин (Кемерово) 21—24, 26— 32, 34—40. А. Ширшов (Ворошиловгр. обл.) 21 — 40. Э. Ясиновый (Куйбыш. обл.) 22, 26, 28, 31, 33—35, 38, 39.

по № 3 за 1946 г.

Всего по № 3 прислано 598 решений, из них 49 неверных. По отдельным задачам число верных и неверных (в скобках) решений распределяется так.

№ 41—42 (0); № 42—43 (4);. № 43—4 (2); № 44—36 (2); № 45-8 (2): № 46—33 (2); № 47—26 (0); № 48-43 (2); № 49 — 12 (2); № 50-28 (2); № 51—52 (0); № 52—39 (9); № 53-26 (2); № 54—3 (14); № 55-23 (Зу, Хо 56-20 (0); № 57-20 (2); № 58—22 (0); № 59-10 (0); № 60-20 Нетрудными, по существу почти непосильными, для основной массы читателей оказались задачи по геометрии. Отсюда приходится сделать вывод, что хотя данные в № 3 геометрические задачи и интересны по содержанию и не выходят за пределы элементарной математики, тем не менее количество их должно быть уменьшено за счет задач несколько более легких, могущих дать нужную тренировку для решения задач повышенной степени трудности. Особенно много ошибочных решений дано по задаче 54.

По большей части в ответах указывалось 5 сфер (а иногда 11). Задача 49, очевидно, отпугивала сложным видом получающегося квадратного уравнения, но более простого решения нет. С другой стороны, следует отметить, как положительный факт, что по ряду задач № 3 (и отчасти № 2) дано несколько вариантов решений, отличных от напечатанных в № 1 за 1947 г., и иногда более коротких.Так, в № 44 стороны многоугольников выражались при помощи тригонометрических функций центральных углов; оригинальные и более короткие решения даны по № 45; в задаче 53 при доказательстве исходили из формул г — — и R — abc ~ ~Ljt что приводило к неравенству,

(b -f- с — a) (a — b + СХ abc-

Любопытно одно „доказательство“ последнего неравенства: исходя из положения, что сумма 2-х сторон тр-ка меньше (?!) третьей, писались неравенства а + b <^c\ bс <^а; с-\-а<^ Ь, отсюда: (Ь-\-с) (а-\-с) (а-\- b) <^abc; уменьшив каждый из множителей в левой части соответственно на a, b и с, получим требуемое неравенство. Справедливость требует отметить, что товарищ, приславший такое решение, математически вполне грамотный и вообще присылает вполне доброкачественные решения, так что здесь, несомненно, налицо некоторый психологический казус.

Особо отметим задачу № 60. Подавляющее большинство решений приводило невыпуклый многогранник как пример тела, подходящего под определение призмы, данное в учебнике Киселева. (Наиболее простой пример — наклонная призма вместе с ее зеркальным отражением). Эти решения правильны по отношению к задаче, как она сформулирована в журнале (поэтому редакция вынуждена была их зачесть); но они неправильны по отношению к учебнику, так как в нем раньше было указано (стр. 33), что „мы будем рассматривать только выпуклые многогранники“. В журнале дан пример тела, подходящего под определение учебника и с учетм этой оговорки.

Приходится пожалеть, что решения по № 3 запоздали к тому времени, когда их уже нужно было сдавать в печать, так как можно было бы привести в качестве вариантов некоторые решения тт. Ахвердова, Колесника, Шебаршина, Ширшова и др. Может быть, редакции удастся поместить их в одном из следующих номеров. Ниже даем сводку верных решений.

Б. Алеев (Мордовская АССР) 50. Е. Алмазова (Беднодемьяновск) 41, 43, 46, 51. О. Аракелян (Ереван) 51—53. Г. Ахвердов (Ленинград) 41—44, 46, 48,50—53, 56. Д. Березников (Алтайский край) 42. Бобровников (Ашхабад) 41—43, 46, 48, 50—52, 56. И. Бородуля (Реутово) 41-44, 46-48, 50—52. И. Бочкин (Витебск) 41-44, 46, 48—52. И. Бригадин (Архангельск) 48. И. Василевич (Витебская обл.) 47, 51. С. Веселое (Марийская АССР) 42, 48. Л. Владимиров (Ялта) 41—55, 57—59. Р. Гангнус (Муром) 41—44, 48, 51, 52, 60. Л. Ганц (Молодечно) 41—45, 47, 48, 50—52, 56, 60. И. Гагонов (Воронежск. обл.) 41—44, 46—49, 51, 52, 54, 56—58. М. Гардашников (Полтава) 43. В. Голубев (Кувшиново) 41—48, 51. Г. Голянд и С. Третьяков (Краснодар, край) 41, 44, 48, 51, 52. А. Горохов (Белорецк) 41—44, 48, 50-52, 60. И. Гречкин (Морозовск) 42,43, 51, 52. В. Добрынченко (Астрахань) 41, 42, 44, 46, 48, 51, 52, 56, 58, 60. Д. Захаров (Чувашская АССР) 41, 42, 55. В. Зяблицкий (Калинин) 41. И. Иванковицер (Серафимович) 42, 44, 48, 51. 52, 58, 60. Ильин (Ахтуба) 41, 43, 48, 50—52. Г. Капралов (Горький) 41_44, 46-48, 50—53, 55—60. Б. Кашин (Иркутск, обл.) 41-44, 46—48, 50, 51, 53. 56, 57, 59. П. Китайгородский (Москва) 41—44,46,48, 51—53. Кодацкий (Горький) 41—53, 55—60. С. Колесник (Харьков) 41-44, 46-48, 50-53, 55—58,60. Л. Конопальцев (Рязанской обл.) 43, 44. Е. Костюкова и Е. Сапучцов (Таганрог) 42, 43, 46,48,51, 52, 57. Г. Кудреватов (Фергана) 42, 43, 46, 51—53, 55, 56. И. Левчук (Киев) 50—52. И. Либман (Каменец-Подольск) 43. М. Люкке (Новосибирская обл.) 41_44t47, 48,50—53, 55, 58, 60. С. Малакаев (Тат. АССР) 41, 44, 46—48, 51, 55, 57, 60. Л. Малюгин (Горький) 41-44,46-48,50-53 56-58,60. С. Марценюк (Нежин) 52. Л. Медведев (Серебряково) 41—44, 47—51, 53, 55—58. А. Мирзаев (Сев.-Каз. обл.) 41-44, 46—48, 50—53. Л. Могильницкий (Кривое озеро) 41—44, 46—53, 55—60. Мхитаров (Дзауджикау) 42, 43, 46, 48, 51, 52. Ф. Певишев (Казатин) 41, 43, 46, 48, 51. П. Постников (Ряжск) 41, 42, 44, 47, 50-53, 55-58. И. Рабинович (Рига) 41—43, 46, 48, 51, 52. В. Розентуллер (Ленинград) 43. В. Рубинский (Юрьевец) 51. С. Садихов (Баку) 43, 48, 51, 52. Сакович (Киев) 60. Б.Сахаров (Горький) 41,43-51,53,55-60.И. Сергачев (М. Ярославец) 42, 48, 49, 51. Л. Снопков (Ряз. обл.) 42, 51. Г. Соколов (Владимир) 41. /7. Титов (Тюмень) 41—44, 46—49, 51—53, 55—60. В. Федоров (Курган, обл.) 41—51, 53, 55, 56, 58, 60. Л. Фридман (Красноярск) 41—44, 46—48, 51—53, 55, 57, 58. Л. Хайруллин (Саратовск. обл.) 41—44, 48, 51, 52, 55. X. Хамзин (Стерлитамак) 41—60. Чепкасов (Краснодар, кр.) 41—44, 46, 48, 50, 51, 53, 55, 56, 60. М. Шебаршин (Кемерово) 41—60. Л. Ширшов (Ворошиловгр. обл.) 41-44, 46—53, 55—60. В. Шушин (Наумово) 51, 52. Э. Ясиновый (Куйбыш. обл.) 41—44, 46—48, 50—53, 55, 57, 58.