МАТЕМАТИКА ШКОЛЕ

3

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКВА 1947

СОДЕРЖАНИЕ

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

А. П. Юшкевич — Математика и ее преподавание в России XVII—XIX вв . . . 1

МЕТОДИКА

B. К. Матышук Определения в преподавании математики.......... 14

Л. Н, Барсуков — Первые уроки алгебры.................. . 26

Ю. О- Гурвиц п С. В. Филичев — Арифметические записи в средней школе . . 40

Н. А. Принцев — Решение неравенств и графики функций.......... 49

Е. Б. Дынкин и И. М. Яглом — Девятая математическая олимпиада учащихся московских школ............................ 54

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Н. М. Бескин — о книге н. ф. Четверухина „Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии“ . ......................61

C. И. Новоселов — Обзор новых книг.................... 63

И. Я. Депман.—Обзор методических статей в „Ученых записках“ педагогических институтов............................... 66

ЗАДА ЧИ

Решения задач................................ 69

Задачи................................... 79

Сводка решений задач........................... 80

А—02815 Редакционная коллегия:

Заказ К» 1189 Ответственный редактор А. Н. Барсуков

Зам. отв. редактора С. И. Новоселов типя™ 90ооп с>тг* Члены редакционной коллегии: Ю. О. Гурвпц,

1ираж zu.uju экз. и в Немыцкий, А. П. Садиков, Н. Ф. Четверухин

Адрес редакции:

Москва, Чистые пруды, д. 6, Учпедгиз Министерства просвещения РСФСР

Технический редактор В. Н. Сморгонская

Корректор А» С. Киняпина

Подписано к печати: 5/V 1947 г. Печ. знаков в 1 п. л. 72.000

Печ. .i стов 5. Учетно-изд. л. 8,9 Цена 4 р. 50 коп.

Типография № 2 Управления издательств и полиграфик Ленгорисполкома

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 3

май —июнь

1947

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЕ В РОССИИ XVII—XIX вв.

Проф. А. П. ЮШКЕВИЧ (Москва)

ЭВОЛЮЦИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В XVIII В.

Продолжение

1. Подготовка математиков в Петербургской академии наук

Важную роль в развитии русского математического просвещения сыграло открытие в 1725 г. Петербургской академии наук. Состоявшая вначале из нескольких первоклассных европейских ученых различных специальностей, среди которых были Я. Герман, Дан. Бернулли и Леонард Эйлер, новая академия сразу же заняла почетное место среди научных обществ Европы. Русское образование и просвещение также испытало влияние Академии наук весьма быстро, хотя отразилось оно и на малом круге людей.

Согласно одобренному Петром Великим 22 января 1724 г. проекту академия учреждалась в составе собственно академии и двух учебных заведений: университета и гимназии. Это необычное для других европейских государств объединение ученого общества со школой объяснялось отсутствием в тогдашней России таких средних и высших учебных заведений и стремлением правительства сосредоточить подготовку русских ученых в одном месте с наименьшей затратой денежных средств и людских резервов. Академики должны были, двигая вперед науки и выполняя различные правительственные поручения, вместе с тем готовить себе помощников и заместителей из университетских студентов, а последние—обучать свою гимназическую смену.

История академических гимназии и университета представляет собою историю длительной и тягостной борьбы передовых русских ученых XVIII в. с косностью, своекорыстием и бюрократизмом тогдашнего академического аппарата. Академические и внеакадемические власти, отождествляя интересы страны с интересами помещичьего дворянства, то своими действиями, то своей бездеятельностью мешали привлечению учащихся, препятствовали нормализации учебного процесса, держали гимназистов и студентов на голодном пайке. К тому же гимназия и университет открыты были в эпоху, когда даже столичное дворянство гналось в большей части за одним внешним образовательным лоском, когда купцы и мещане еще нередко ходатайствовали об освобождении их детей от учения в цифирных школах, когда правящий класс смотрел на подавляющую массу населения, т. е. на крепостных, как на двуногий скот. Ясно,

какие препятствия стояли на пути развития молодой русской науки вообще и математики в частности.

Доступ в гимназию и университет был формально открыт всем состояниям, кроме положенных в подушный оклад. На первых порах в гимназию поступало много дворянских детей, но чем далее, тем менее дворянским становилось это учреждение. Окончание гимназии не давало ни чина, ни прав, и дворянам для военной или гражданской карьеры было предпочтительнее обучаться в организованном в 1731 г. Шляхетном кадетском корпусе. Да и обучались дворяне в гимназии, кто чему хотел, а главным образом иностранным языкам. В инструкции президента академии, графа Разумовского, писанной в 1750 г., прямо говорилось: „а ежели кто не от наук содержание свое иметь похочет, тому учиться в гимназии тем наукам, которые служат к его намерению“1. Университета дворянство вовсе чуждалось, не видя интереса в прохождении его долгого и специального курса, который вел к лишенной выгод ученой должности. Учащимися были преимущественно семинаристы, дети мелких академических служащих, мастеровых, а более всего дети солдат гвардейских полков. Процент солдатских детей в иные годы достигал 65. Так, в 1760 г. их было 22 из 37 гимназистов, в 1761 г. 30 из 45. Тщетно пытался великий Ломоносов широко открыть путь к науке всему „третьему сословию“, тщетно писал он в полемике с автором одного проекта: „Другие европейские государства наполнены людьми учеными всякого звания, однако ни единому человеку не запрещено в Университетах учиться, кто бы он ни был, и в Университете тот студент почтеннее, кто больше научился, а чей он сын, в том нет нужды. Здесь, в Российском государстве, ученых людей мало; дворянам для беспорядку рангов, нет ободрения; в подушный оклад положенным запрещено в Академии учиться“2. И все же русская наука с колыбели оказалась разночинной. Академики Иноходцев, Котельников, Протасов, Лепехин были солдатскими детьми, Румовский и Соколов—из духовных. Кононов был сыном фабричного унтер-мастера, Ломоносов и Головин вышли из крестьян и т. п. Когда позднее в науку пошел дворянин, то более всего это был уже „дворянин в мещанстве“, беспоместный, деклассированный.

Количество учащихся в гимназии было невелико. При открытии в 1726 г. в нее приняли 112 человек. Но в 1737 г. их имелось лишь 19, а годом позже 13, из которых посещало занятия 3—4. К 1760 г. их было 37, в 1782-м, вместо 50 положенных по штату, состояло всего 27 человек. В 90-е годы число гимназистов временно возросло, примерно до 100 и более, но затем численность их вновь, и на этот раз окончательно, стала падать. С академической гимназией начали конкурировать народные училища, возникшие в 1782 г., а в 1895 г. вслед за открытием губернских гимназий она была официально закрыта.

Академическая гимназия должна была служить подготовительным отделением при университете. Обучали в ней латыни, новым языкам, арифметике, геометрии и тригонометрии, географии и истории Полный курс обучения, продолжался около 8—10 лет. В системе обучения имелись серьезнейшие недостатки. Гимназисты поступали разного возраста, прием производился круглый год, каждый учил свое. Наряду с хорошими учителями имелись совершенно неподходящие, из недоучившихся студентов.

Учителя нередко манкировали занятиями, и своим поведением давали дурной пример гимназистам. Отсев в результате был огромный. Испытания, производившиеся самими академиками, часто говорят о крайне низкой успеваемости. Так, на августовском экзамене 1734 г. из 13 учеников низшего класса в средний перевели 3, а из 10 учеников среднего класса—в высший только 1. Подавляющее большинство окончивших и не окончивших обучение гимназистов направлялось в канцелярии, в мастерские, в типографию и книжные лавки академии. До университета доходили очень немногие В 1742 г. среди 12 студентов было два питомца гимназии, Протасов и Котельников, семеро приглашенных из Московской духовной академии и трое иностранцев.

1 Д. А. Толстой, Академическая гимназия в XVIII столетии. Сборник отдел, русск. языка и словесности Академии наук, XXXVIII, № 5, СПБ., 1885, стр. 19.

2 Д. А. Толстой, цит. соч., стр. 33.

Как говорилось, гимназический курс включал преподавание арифметики, геометрии и тригонометрии. Учились сперва до широко распространенному в те времена. „Auszug aus den Anfangsgründen aller mathematischen Wissenschaften“ Xp. Вольфа (1713), по „Руководству к арифметике“ Л. Эйлера (СПБ, 1740—1760)1, по „Краткому руководству к теоретической геометрии“ акад. Г. В. Крафта (СПБ, 1748), перевод которого был редактирован Ломоносовым2. В курс арифметики входили, конечно, и многочисленные „правила“, включая правила соединения и ложного положения, излагавшиеся либо без доказательства, либо очень замысловато, и причинявшие большие неприятности не только ученикам, но и учителям. В начале 50-х годов эти правила были исключены из арифметики и с должными объяснениями рассказывались при изучении алгебры. Любопытно заявление преподавателя арифметического класса студента А. Барсова, позднее профессора Московского университета, в котором он излагал некоторые мотивы своего прежнего прошения об увольнении от должности учителя: „понеже я ныне правило соединения и правило фальшивое, которые главные препятствием в собственном моем учении были и меня к оному прошению принудили, с некоторыми учениками прошел, а впредь оных правил обучать за непотребно рассуждено, для того, что оные в алгебре способнее и лучше преподавать можно. Того ради я оную должность за отягчение себе более не признаваю“3. Во второй половине 50-х годов, когда математику преподавал адъюнкт С. Румовский, преподавание было близко к составлявшейся им в то время книге, и эти правила ввели снова. По учебнику Румовского („Сокращения математики, часть первая, содержащая начальные основания арифметики, геометрии и тригонометрии“, СПБ, 1760) преподавали и в 70-е и в 90-е годы. С середины 50-х годов некоторое время обучал математике также С Котельников, придерживавшийся Вольфа, книгу которого он перевел и дополнил отделом диференциального и интегрального исчислений. („Сокращение первых оснований математики“, СПБ, 1770—1771.) Руководства Вольфа рекомендовал и Ломоносов4.

В начале 90-х годов академия обратила специальное внимание на постановку преподавания математики в гимназии, в связи с плохими результатами экзаменов. 10 января 1793 г. комиссии в составе академиков Иноходцева, Румовского, Крафта и Шуберта было поручено подготовить план преподавания математики в гимназии. Проект, составленный П. Иноходцевым, показывает, как шло обучение в последний период существования гимназии: „Как число обучающихся первым основаниям математики нарочито велико, писал автор, то непременно нужно быть двум учителям, из которых бы один преподавал арифметику, а другой геометрию и плоскую тригонометрию по книге г. коллежского советника и академика Румовского. Протолковав каждое правило, должно учителю спросить учащихся, довольно ли оное поняли и могут ли сами пересказать; в противном случае надлежит повторить. Причем стараться, чтобы ученики на предложенные им вопросы, особливо из геометрии, решения и причины сперва изустно пересказывали, а потом уже самые вычисления на доске делали и доказательства предлагали. Перед окончанием класса можно им задавать вопросы, которые бы они к следующему дню решили и учителю показывали. Здесь упомянуть еще надлежит, чтоб прием учеников был в определенное время строго наблюдаем и не для каждого бы учителю начинать особливо: такое неудобство примечено в нижних классах, а наипаче в арифметическом“5.

Судьба академического университета во многом повторяла судьбу гимназии. Открыт он был в 1726 г., но первое время занятия велись только с несколь-

1 Немецкий оригинал: Einleitung zur Rechnenkunst“. СПБ; 1738-1740.

2 Немецкий оригинал: „Kurze Einleitung zur Geometrie“, СПБ., 1740.

3 M. Сухомлинов, История российской академии, вып. 4, стр 101.

4 Ср. П. Пекарский. История Академии наук, т. II, СПБ, 18/3, стр. 741.

5 См. „Протоколы конференции императорской Академии наук“, т. IV, СПБ., 1911 и М. И. Сухомлинов, Цит. соч., вып. 3, стр. 201—202. Указания Иноходцева о методике преподавания интересно сопоставигь с советами „Руководства учителям народных училищ“ (СПБ., 1783), о котором говорится далее.

кими студентами. В 1731 г. не имелась ни одного студента. В 1742 г. 12 академиков-профессоров обучали 12 же студентов. Пополнение нередко поступало из Московской духовной академии; так, в 1742 г. было принято в академический университет 7 семинаристов, а 1748 г. их зачислили около 20. В 1753 г. из гимназии по экзамену в университет перешло 8 человек, а всего студентов имелось 18, и столько же было их в 1760 г. Далее число их стало падать, и в 1783 г. их было всего 2. В это время университет фактически прекратил существование. Регламент 1803 г. уже не предусматривал в составе академии университета, сохранив лишь институт немногочисленных „воспитанников“, мы бы сказали, аспирантов. В начале XIX в. имелся один такой „элев“ — математик у акад. Н. Фусса—Э. Коллинс.

На работе университета пагубно отражалось и то, что академическая канцелярия часто не давала возможности с таким трудом набранным слушателям пройти полный курс учения.

В 1745 г, академики жаловались на управлявшего делами академии Шумахера: „что при академии довольного числа студентов никогда не бывало, о сем не токмо теперь, но еще с начала академии от всех профессоров происходили жалобы. Однако-ж, об отвращении сего вреда никогда довольного старания не было. И хотя из Спасского училищного монастыря, что в Москве, дважды выписаны были молодые люди, которые в науках и в языках уже некоторое основание имели, однакож и сие от большей части без плода было, ибо большая часть из них вместо обучения наукам сделаны переводчиками, подъячими и ремесленными людьми“1. Шумахер, писали академики, „только о художествах, которые глазами можно чувствовать, и дабы тем себя показать, старание имеет“.

Студенческая подготовка отличалась многопредметностью. В середине XVIII столетия намечалось прохождение следующих университетских наук: латинского красноречия, истории, географии, генеалогии и геральдики, натурального права и нравоучительной философии, логики и метафизики, рисования, физики, математических наук и т. д.

Лекции академиков читались и посещались нерегулярно, и серьезного наблюдения за ходом занятий не было. Неудивительны поэтому слабые успехи большинства студентов. На университетских экзаменах 1753 г. из 20 признали окончившими семерых, а в 1765 г. половина из наличного состава 18 студентов подала прошение об исключении из университета, „не имея склонности более обучаться наукам“2. Академики, особенно Ломоносов, неоднократно пробовали наладить дело, но их вмешательство не приносило долговременных результатов.

В университете имелась специализация студентов и с течением времени постепенно повышался уровень подготовки его немногочисленных слушателей. Так, В. Е. Ададуров, с 1733 г. бывший адъюнктом математики, о своем воспитании в гимназии и университете писал:

„Кроме языков обучался я при Академии наук истории, географии, философским, математическим и физическим наукам, а именно: логике, метафизике, арифметике, геометрии, тригонометрии плоской и сферической, алгебре и некоторым другим“3.

В конце 40-х годов имело место по крайней мере индивидуальное обучение высшей математике, а в середине 50-х годов введено было чтение лекций на русском языке по высшей математике. Так, в объявлении о лекциях на 1757 г. сообщалось, что профессор Котельников „слушателям своим в простой геометрии и алгебре довольно упражнявшимся, подавать будет наставление о диференциальных и интегральных выкладках, предложив наперед некоторые основания алгебры и кривых линий, кои могут служить вместо введения к помянутым выкладкам“.

Котельников излагал также механику, оптику, гидростатику. В 1785 г. при академии организовано было регулярное чтение публичных лекций для всех желающих, и курс математики, с примерами и задачами, в течение 12 лет вел тот же Котельников. Эти академи-

1 С. В. Рождественский, Очерки по истории систем народного просвещения в России в XVIII—XIX вв., т. 1, СПБ. 1911. стр. 166 -167.

2 Д А. Толстой, Академический университет в XVIII столетии, стр. 44 и 57.

3 П. Пекарский, История императорской Академии наук, т. I, СПБ.. 1870, сто. 511.

ческие чтения собирали довольно обширную по тем временам аудиторию. Занятиями отдельных выдающихся студентов руководили академики, отчеты об их успехах разбирались в заседаниях Конференции.

Мы проследили за эволюцией математической подготовки кандидатов в адъюнкты. Если в 30-е годы адъюнкт Ададуров ограничился солидным изучением элементарной математики, то следующий за ним адъюнкт из русских, С. К. Котельников, в последние годы своего студенчества изучал труды по исчислению бесконечно-малых Лопиталя, Стоуна, Вольфа и Иог. Бернулли. Пробные, мы бы сказали дипломные, работы Котельникова относились к интегральному исчислению, и, например, 21 сентября 1750 г. его руководитель известный физик ак. Рихман представил Конференции работу Котельникова о квадратуре и спрямлении конхоиды. Эта работа была послана на рецензию жившему в то время заграницей Эйлеру, который прислал 9 марта 1751 г. весьма одобрительный отзыв. Аналогичные студенческие сочинения в те же годы представляли студенты С. Я. Румовский, М. Сафронов, Б. А. Волков1. Средством повышения квалификации служили нередко заграничные командировки. Так, в течение ряда лет обучались у Эйлера заграницей Котельников и Румовский и, более краткий срок, Сафронов; в Геттингене в 1765—1767 гг. обучались П. Б. Иноходцев и И. Юдин, и там же у известного математика А. Г. Кестнера заканчивал в 1785—1789 гг. свое математическое образование А. Кононов. Эйлер сыграл особенно видную роль в подготовке русских математиков. Кроме названных ученых, он, по возвращении в Петербург, в 70-е годы много лет руководил математическими занятиями М. Е. Головина и Н. И. Фусса, исполнявших при нем и секретарские обязанности.

С годами требования к академическим воспитанникам все повышались. Показателен экзамен, которому подвергнут был вернувшийся из Геттингена 23-летний студент А. К. Кононов. 27—29 марта 1789 г. он сдавал устные испытания по астрономии, физике, химии, минералогии и математике. Академики Фусс и Ф. Т. Шуберт задали ему по математике 13 вопросов. Не будучи особенно трудными, они охватывали paзнooбpaзные отделы анализа: учение о кривизне, теорию экстремумов, неопределенные интегралы, разложения в степенные ряды, геометрические и механические приложения интегрального исчисления.

Успешно сдав экзамены, Кононов должен был представить еще две диссертации на темы, предложенные ему Фуссом. Одна из диссертаций посвящена была решению линейного диференциального уравнения 2-го порядка с переменными коэфициентами (х2 — 1 ) ^ -f -х Ш = п2У (подстановкой a: = coscp оно приводится к виду ^ф-тп2у = 0). После выполнения обоих заданий 18 июня 1789 г. Кононов был избран в адъюнкты физико-математических наук2.

В общем, как ни плохо работали академические гимназия и университет, как ни тяжела была обстановка казенно-дворянского пренебрежения наукой и учеными, эти два учреждения сыграли выдающуюся роль в истории русского просвещения и русской науки. Из них вышли первые ученые деятели русского просвещения. Не говоря о гениальном Ломоносове, не касаясь представителей гуманитарных и естественных наук, только математическим наукам первый русский университет дал академиков С. К. Котельникова (1723—1805), С. Я. Румовского (1734 -1812), П. Б. Иноходцева (1742-1806), М.Е. Головина (1756— 1790), А. К. Кононова (1766-1795), Н. И. Фусса (1755—1826), педагогов и переводчиков В. Е. Ададурова (1709— 1778), А. А. Барсова (1730-1791), И. Юдина, М. Сафронова (1729—1758), Б. А. Волкова (ум. в 1762 г.) и иных.

Эти люди и другие, мною не названные, много потрудились для распространения математических знаний в России, а некоторые первыми из русских выступили на ученом поприще. Благодаря их деятельности, во многом руководимой их общим учителем Л. Эйлером, на более высокий уровень было поднято обучение

1 Эти работы хранятся в архиве Академии наук. См. также „Протоколы конференции императорской Академии наук“, т. II (по именному указателю.)

2 См. „Протоколы конференции императорской Академии наук“, т II и М. Сухомлинов, цит. соч., вып. 3, стр. 273 и след., 437 и след.

математике и за пределами академии.

В значительной мере их трудами была создана оригинальная и переводная русская учебная литература по математике, а некоторые их публичные выступления содействовали пропаганде нашей науки.

2. Преподавание математики в военно-технических школах.

Отчетливое понимание государственной важности профессионального образования, которое было присуще Петру I и наиболее культурным деятелям его времени, было в значительной мере утрачено при первых преемницах императора. До середины века, от Екатерины I до Елизаветы, а особенно при Анне Ивановне, о подготовке новых кадров офицерства, инженеров, моряков, учителей заботились ничтожно мало. В Морской академии перед смертью Петра числилось 394 учащихся, но в 1725 г. их было уже лишь 180, в 1731 г.—140, а в 1745 г. она вместе с Сухаревской школой насчитывала всего 102 ученика. В упадок пришли инженерные школы. Остатки цифирных школ в 1744 г. слиты были с гарнизонными школами. Дворянство успешно добивалось освобождения от обязательных службы и учения, и указом 9 февраля 1737 г. ему предоставлено было право домашнего образования, право, вменяемое даже в обязанность, которая, однако, чаще всего исполнялась кое-как, для одной проформы. Недаром в одной из сатир поэта А. Д. Кантемира невежда-помещик заявлял:

„Землю в четверти делить без Евклида

смыслим,

Сколько копеек в рубле, без алгебры

счислим“.

Сидевшие по своим деревням Простаковы были уверены, что „без наук люди живут и жили“.

Во второй четверти XVIII в. вновь организованы были только Шляхетный сухопутный и кадетский корпус, открытый Минихом в 1731 г., да гарнизонные школы, созданные в 1732 г. при пехотных гарнизонных полках для солдатских детей 7—15 лет, „дабы впредь польза государству и в рекрутах облегчение были“. Образование при этом принимает все более ярко классовый характер. Лишь для дворян открывается доступ в учебные заведения, подготовляющие офицеров, инженеров, чиновников. Из разночинцев готовили только мастеровых, межевщиков, унтер-офицеров, младших учителей и их помощников и т. п.

В середине XVIII в. начинается постепенный рост специальных школ. Комплект сухопутного Шляхетного корпуса возрастает с 20Э человек при его основании до 600—700 к концу века. Артиллерийский и инженерный корпуса в 1762 г. объединяются, и штат их учеников с 150 возрастает к 1784 г. до 400. В 1752 г. вместо Сухаревской школы в Москве, Морской академии и Морской артиллерийской школы создается Морской шляхетный кадетский корпус с комплектом в 360 человек. В первое время он выпускает по 30 человек в год, но в 1775 — 1783 г. уже в среднем по 85 человек ежегодно. В 1783 г. в Петербурге организуются мореходные классы, в 1798 г.—Кораблестроительное училище. Значительное развитие казенных и частновладельческих металлургических заводов сильно обостряет в царствование Екатерины II потребность в квалифицированных специалистах, и в 1774 г. основывается Горное училище с 4-летним курсом обучения, в который вошли арифметика, алгебра, геометрия, маркшейдерское искусство, минералогия, химия, физика, механика, гидравлика, рисование. Число учащихся довольно скоро поднимается в училище с 20 до 120, а в 1776 г. при нем открывается подготовительное отделение. Увеличивается число учащихся в гарнизонных школах с 6000 в 1738 г. до 12 000 в 1797 г.; в 1762 г. при кадетских корпусах создаются „солдатские роты“ и „штурманские школы“ для обучения „нижним мастерствам и художествам“1.

Для развития математики в России постановка военно-технического образования имела весьма серьезное значение и в послепетровское время. С преподаванием математики связаны были создание обширной учебной литературы, подготовка педагогов, методические исследования. Мы увидим также, что на рубеже XVIII и XIX веков некоторые

1 См. Д. А. Толстой, Взгляд на учебную часть в России в XVIII столетии до 1782 г. Сборник отд. русск. яз. и слов. ими. Акад. наук XXXVIII. №4. СПБ., 1885; С. В.Рождественский, цит. соч.; М. Владимирский-Буданов, Государство и народное образование в России XVIII в., ч. I, Ярославль, 1874,

воспитанники военно-технических школ явились проводниками новейших течений математической мысли, не нашедших сторонников среди большинства членов Академии наук.

Об эволюции преподавания математики в специальных школах можно составить представление на примере Морского кадетского корпуса. До 1755 г. в Морской академии обучение математике основывалось преимущественно на „Арифметике“ Магницкого и знакомых уже нам книгах или конспектах по практической геометрии и тригонометрии. Правда, Фархварсон сделал, повидимому, попытку поднять уровень преподавания математики, подготовив русское издание широко распространенных в Европе „Elementa geometriae planae et solidae“ А. Такэ (1-е изд., 1654), где были изложены в несколько упрощенном виде I—VI и XI—XII книги „Начал“ Евклида и, на основе своеобразного предвосхищения метода пределов, основные теоремы Архимеда об измерении круга и шара. Но переведенные И. Сатаровым Сум. в 1749 г.) „Евклидовы элементы“ (СПБ, 1739) и „Архимедовы теоремы“ (СПБ, 1745) употребления в свое время не получили. Не удалась и вторая попытка, сделанная воспитанником Морской академии, капитаном, позднее адмиралом С. Мордвиновым (1701 — 1777), выпустившим довольно солидную „Книгу полного собрания о навигации“ (СПБ, 1748—1753), содержавшую теоретический курс геометрии, плоской и сферической тригонометрии и навигации. Книга Мордвинова оказалась трудной не только для кадетов, но и для учителей. Однако уже вскоре после того характер изложения математики изменяется. На должность преподавателя математики и навигации выдвигается ученик Магницкого Н. Г. Курганов (1725 или 1726—1793). Этот выдающийся деятель просвещения XVIII в., автор известного „Письмовника“, значительно поднял уровень математической подготовки в Морском корпусе. „Универсальная арифметика“ Курганова (СПБ., 1757 и 1794), в которой были изложены также элементы алгебры, быстро сменила лишенную доказательств „Арифметику“ Магницкого. В 1765 г. Курганов издал также „Генеральную геометрию“, содержавшую начала геометрии, тригонометрии на плоскости и сферики, а затем для преподавания в корпусе перевел с французского „Елементы геометрии, то есть первые основания науки об измерении протяжения, состоящие из осьми Евклидовых книг, измененные новым способом, удобопонятнейши юношеству“. (СПБ., 17С9). В Морском корпусе начали применять и руководства для академической гимназии. Например, в 1765 г. геометрии обучали по „Краткому руководству к теоретической геометрии“ акад. Г. В. Крафта, а тригонометрии—по выполненному Б. Волковым переводу французского учебника Депарсье, приложенному ко 2-му изданию курса Крафта (СПБ., 1762). Любопытно, что преподаватели Морского корпуса имели сильное тяготение к „Началам“ Евклида. Об этом свидетельствует новый перевод классического труда Евклида, на этот раз сделанный с греческого языка преподавателями корпуса В. Н. Никитиным (1739-1809) и П. И. Суворовым (1750—1815), под названием „Евклидовых стихий книг осьм“ (СПБ., 1784 2-е изд. 1789). В 1784 г. Никитин был назначен инспектором корпуса, а Суворов его помощником, и, под влиянием этих педагогов, магистерскую степень получивших в Оксфорде, арифметику стали проходить после геометрии. При Никитине же в корпусе было введено впервые чтение лекций „по образу, как в университетах делается“. С середины 60-х годов старшим воспитанникам, уже прошедшим основной курс, акад. Котельников излагал разделы высшей математики1. В конце XVIII в., по инициативе П. Я. Гамалеи (1766—1817), прекрасно знавшего и высоко ценившего математику, курс математики был еще усилен, значительно пополнен аналитической геометрией и анализом и поручен акад. Н. И. Фуссу. В начале XIX в. Гамалея выпустил сам „Вышнюю теорию морского искусства“, две первые части которой (СПБ., 1801 — 1802) содержали очень ясно и толково написанные руководства по алгебре, аналитической геометрии и анализу, включая интегрирование диференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производи

1 Специально для корпуса Котельников выпустил „Первых оснований мафиматических наук“, часть первую содержащую в себе арифметику (СПБ., 1766, 3-е изд.. 1789).

ньтми. И позднее математическое образование русских морских офицеров стояло очень высоко и лекции по специальным вопросам читали им такие лица, как, например, акад. Остроградский, акад. Ленц1, акад. А. Н. Крылов и др.

Впрочем, в некоторых корпусах обучение было поставлено хуже, как, например, в Сухопутном, где обследование 1784 г. выявило картину совершенно хаотического состояния преподавания и многопредметность, переходившую в полную беспредметность2.

В прогрессе преподавания в кадетских корпусах и специальных школах крупная роль принадлежала Академии наук. Мы видели, например, что акад. Котельников читал лекции по высшей математике в Морском корпусе, и что позднее туда приглашен был акад. Фусс. Тот же Н. И. Фусс, начиная с 1783 г., вел в течение почти 20 лет преподавание в Сухопутном корпусе (позднее— Первом кадетском), для которого написал ряд руководств: „Elemens d'algèbre“, переведенные на русский в 1798—1799 г. и представлявшие собой краткое изложение классической „Универсальной арифметики“ Эйлера (СПБ, 1768—1769), „Leçons de géométrie“, по-русски вышедшие также в 1798—1799 г., „Начальные основания высшей геометрии“ (СПБ., 1804), и „Начальные основания диференциального и интегрального исчислений“ (СПБ., 1804). В конце столетия акад. С. Гурьев преподавал в Кораблестроительном училище, акад. Румовский ряд лет руководил занятиями в Греческом кадетском корпусе, который был создан в связи с турецкими войнами для греческих мальчиков, но в котором обучалось и много русских. Прямо или косвенно связаны были с Академией наук и многие деятели военных и морских школ. Н. Г. Курганов, например, принимал участие в ряде астрономических работ академии. При Академии наук обучался преподаватель Артиллерийского корпуса и известный писатель капитан Я. П. Козельский. Наконец, воспитанники различных учебных заведений нередко слушали лекции в Академии наук.

Из военно-морских и технических школ вышли такие крупные деятели просвещения и науки XVIII и начала XIX в., как акад. С. Е. Гурьев (1764—1813), проф. Н. Г. Курганов, поч. акад. П. Я. Гамалея, акад. В. И. Висковатов, (ум. в 1812 г.), не говоря уже о менее видных педагогах и писателях, вроде В. H Никитина, П. И. Суворова, Е. Войтяховского (ум. около 1812 г.) автора первого русского учебника алгебры Н. Е. Муравьева (1724-1770).

3. Математика в Московском университете в 1755—1803 гг.

По инициативе М. В. Ломоносова, поддержанной графом И. И. Шуваловым, в 1755 г. был открыт Московский университет с двумя гимназиями при нем, одной — для разночинцев, другой — для дворян. Вскоре, в 1758 г., для пополнения университета была открыта такая же двойная гимназия в Казани. В университет могли поступать и разночинцы. Гимназия имела успех, так как освобождала менее богатых дворян от необходимости нанимать дорогих и к тому же часто совершенно неподготовленных гувернеров. В 1779 г. параллельно гимназии был создан в Москве благородный пансион, послуживший образцом для целого ряда небольших дворянских школ в Твери, Рязани, Новгороде, Курске, Нижнем Новгороде и других губернских городах. В Москве число гимназистов быстро возрастало; в 1768 г. их было около 250, в 1787 г. около 1000, а в начале XIX в. более 3000. В Казани число их не превосходило 150, а перед закрытием в 1784 г. числилось всего 52. Состав университета был гораздо меньшим, и в XVIII в. в нем обучалось одновременно не более 100 человек, например, в 1774 г.—44, а в 1787 г.-823.

Гимназия разделялась на две школы. В русской школе обучали русской грамматике и началам латыни; в „латинской“, разделявшейся на три класса, проходили: в 1-м классе, кроме языков, арифметику в целых числах (дважды в неделю по четыре часа); в среднем — арифметику и геометрию (всего 4 часа в неделю), географию; в верхнем классе арифме-

1 Ср. Ф. Веселаго, Очерк истории Морского кадетского корпуса. СПБ, 1852.

2 См. С В. Рождественский, цит. соч,. стр. 621—622.

3 Подробности см. С. Шевырев, История имп. Московского университета, М. 1855.

тику и геометрию (всего 4 часа в неделю) и вместо географии — историю. Можно было вместо латинской школы проходить немецкую или французскую, в основном отличавшиеся обучением новым языкам вместо древнего. Но для поступления в университет знание латыни было обязательным. Некоторые различия в программах дворянской и разночинской гимназий исчезли в 70-е годы. В 90-е годы добавлены были начала тригонометрии и алгебры. Высшей ступенью гимназического образования являлся руководимый ректором „ректорский латинский класс“, где поступающие в университет в течение годичного срока восполняли пробелы в своей подготовке. Курс гимназии проходился примерно в 8—9 лет1. В Московской гимназии преподавание было поставлено сравнительно удовлетворительно. Много хуже обстояло дело в Казанской гимназии. Поэт Г. Державин, обучавшийся в ней в 1759—1732 гг., вспоминал: „нас учили тогда вере без катехизиса, языкам без грамматики, числам и измерению без доказательств, музыке без нот. Книг, кроме духовных, почти никаких не читали.“ Около 1800 г. преподавание было поставлено уже и в Казани гораздо лучше. Учителем математики, в частности, тогда состоял воспитанник Московского университета Г. Карташевский.

Московский университет был организован в составе трех факультетов: философского, юридического и медицинского. Среди десяти созданных вначале кафедр имелись и естественно-научные: натуральной истории и анатомии, химии, теоретической и экспериментальной физики. Специальной кафедры математики вначале не было. Вообще математика служила лишь вспомогательным предметом; арифметика, геометрия, плоская тригонометрия и алгебра — вот каков был круг чисто математических наук, преподававшихся в течение почти полувека.

Впрочем, Московский университет не представлял в этом отношении исключения среди своих европейских собратьев. Немногим лучше, например, было положение математики в немецких университетах. Специальных физико-математических факультетов и здесь не имелось. Лекторы излагали математику весьма элементарно, и лишь одиночки углубляли свои знания, прибегая нередко к частной помощи профессоров. Уровень математической подготовки в университетах Германии повышался медленно. В 70-е годы в Геттингене А. Г. Кестнер начал читать анализ бесконечно малых и высшую механику, а Лихтенберг — теорию конических сечений, но это были еще редкие исключения. И, например, в 1781 г. в Венском университете у Мецберга, читавшего элементарную математику по краткой обработке курса Хр. Вольфа (1711 года!), имелось 130 слушателей, у Бауера, следовавшего полному руководству Вольфа,—21; проф. Шерфер читал высшую математику перед аудиторией в 2 человека, а лекции по высшей астрономии, объявлявшиеся дважды, слушателей не нашли2.

Преподавание математики в Московском университете было поручено сперва воспитаннику и преподавателю университета Академии наук магистру А. Барсову, который через пять лет перешел, однако, на кафедру русской словесности. Около 1730 г. произошло выделение математики в особую кафедру, переданную И. А. Росту (1726-1791), коте рому вскоре стал помогать в чтении математических курсов ученик Барсова Д. С. Аничков (ум. в 1788 г.) Курс математики был разделен при этом на две основные части. По „чистой математике“, в которую входили арифметика, геометрия, тригонометрия и алгебра, лекции читал Аничков; по прикладной, включавшей механику, оптику, астрономию, гидравлику, аэрометрию, иногда военную и гражданскую архитектуру, геодезическую практику, горное дело,—И. А. Рост. В основу преподавания положены были „Institutiones mathematicae“ И. Ф. Вейдлера, составленные в общем в духе сочинений Хр. Вольфа и впервые изданные в 1718 г., а пятым, латинским изданием вышедшие еще в 1750 г. Педантически сухая книга Вейдлера, математические разделы которой Аничков перевел в 1735 г., а также составленные на ее основе учебники самого Аничкова, приобрели в Московском университете мо-

1 С. В. Рождественский, цит. соч., стр. 221—247.

2 Н. Timerding. Die Verbreitung, mathematischen Wissens und mathematischen Auffassung, Berlin—Leipzig, 1914, стр. 106 и след.

нополию почти на сорок лет. Уже один этот факт характеризует рутинность тогдашнего университетского преподавания. Но и в этом отношении Московский университет не был одинок. Курс Хр. Вольфа, о котором придется говорить далее, вышедший в 1711 г., лежал в основе университетского образования в Германии без малого сто лет!

Преподавание в университете носило лекционный характер, причем разделение по курсам отсутствовало. Математику проходили чаще всего в первые два года, но при желании можно было заниматься ею под конец обучения, которое продолжалось 3—4 года. Лектор обычно не отступал от своего руководства ни на шаг, употребляя из года в год даже одинаковые обороты речи. Печатные объявления о лекциях, называвшихся „публичными“, ибо на них могли приходить и посторонние лица, позволяют восстановить некоторые детали обучения. Д. Аничков, преподававший с 1762 по 1780 г. по Вейдлеру, а затем, в связи с выходом большей части его руководства, до 1787 г. по собственным учебникам, читал чистую математику в 2—3 года, по две двухчасовые лекции в неделю. На первый год приходились арифметика с геометрией, на второй — продолжение геометрии и тригонометрия; алгебра читалась не всегда. Рост никогда не успевал изложить алгебру и неизменно заканчивал учебный год словами: «sed tempus jam deficit» (однако уже не остается времени).

Первое изменение программы произошло только в 1830 —1801 гг., когда проф. В. К. Аршеневский (1758-1808) объявил, что будет в обычное время „по Вейдлерову руководству преподавать тригонометрию плоскую, алгебру и свойства кривых линий, в особенности конических.“

Главная заслуга Московского университета в развитии русской математики в XVIII в. заключалась в создании педагогических кадров. Для подготовки преподавателей в 70-е годы создана была, повидимому, специальная педагогическая семинария.

Среди воспитанников университета были профессора математики Д. С. Аничков, М. И. Панкевич (ум. в 1812 г.), Т. И. Перелогов (1765—1841), В. К. Аршеневский, В. А. Загорский, Ф. И. Чумаков (1782—1837), Д. П. Тростин, преподаватели гим назии и других учебных заведений С. Лобанов (ум. в 1770 г.), И. Федоров (ум. в 1770 г.), А. Любинский, А П. Рогов (1742—1811), Г. И. Карташевский (ум. в 1840 г.), автор нескольких учебников магистр Ал. Барсов и другие. Эти люди, не оставив следа в науке, много содействовали распространению математических знаний своей педагогической деятельностью в Москве, своими учебниками, речами, переводами. Но в XVIII в. уровень преподавания в Московском университете был ниже, чем в специальных школах. Лишь после организации физико-математического факультета в 1801 г. преподавание математики в Московском университете было поставлено на более высокой основе, на которой возможным стало и развитие научной мысли.

4. Учреждение народных училищ

В середине XVIII в. в русском обществе, как и во всей Европе, начал резко возрастать интерес к проблемам воспитания, стали обсуждаться вопросы о роли и методах воспитания вообще, о том объеме знаний, которым должны обладать различные сословия. В екатерининской Комиссии об уложении в 1768 г. отдельные представители купечества и крестьянства впервые заговорили о необходимости открытия школ и для детей их сословий.

Незначительная часть дворянства поддерживала даже мысль о сельских школах, которые должны были стать проводниками религиозности и послушания хозяевам и начальству1. После долгих проволочек и колебаний в 1782 г. была создана Комиссия об учреждении народных училищ. Результатом ее деятельности явилось открытие первых в России государственных общеобразовательных школ. План, правда, разработан был чрезвычайно скромный и незавершенный. Об обязательности начального обучения не было и речи. Отброшены были мысли о сельских школах2, а городские школы

1 См. СВ. Рождественский, цит. соч.; Г. В. Плеханов, История русской общественной мысли Сочинения, т XXII. М.— Л., 1925.

2 О единичных сельских школах XVIII в. см. К. Сивков, Из истории крепостной школы второй половины ХVIII в. Исторические записки Академии наук СССР, вып. 3. М.— Л., 1939.

не давали полного среднего образования. В итоге система общего образования, действовавшая с 1782 г. по 1804 г., сложилась следующая. В уездных городах за счет местных „Приказов общественного призрения“ (не правительственной казны!) создавались малые двухклассные народные училища. В первом классе проходились чтение и письмо, устный и письменный счет, закон божий, священная история. Во втором — продолжалось преподавание закона божьего, заканчивалась на тройном правиле арифметика, начиналось изучение грамматики и изучалась книжка „О должностях человека и гражданина.“ В губернских городах учреждались главные народные училища с пятилетним обучением (четвертый класс был двухгодичный). Программы первых двух классов (шли те же, что в малых училищах. В старших классах обучали географии, истории, физике, механике, архитектуре, естественной истории, продолжали заниматься по грамматике и катехизису. Из математики в III классе проходили арифметику (дроби, в том числе десятичные, тройные правила, правила товарищества, смешения, ложного положения), а в IV— геометрию, в весьма кратком изложении. Наконец, для подготовки учителей создана была в Петербурге Учительская семинария.

Народные училища уже не постигла судьба цифирных школ. С 1782 г. по 1800 г. число школ, учащихся и учителей довольно быстро возрастало:

Годы.

Число школ.

Число учащихся.

Число учителей.

1782

8

518

26

1785

12

1491

38

1786

165

11388

394

1793

311

17297

738

1800

315

19915

790

(девочек было менее 10%)1. Резкий рост в 1733 г. связан был с первым выпуском 150 учителей. Замедление в 90-е годы, в течение нескольких лет сменившееся даже падением числа школ и учащихся, было связано с реакцией, вызванной Французской революцией. Приведенные числа следует, однако, сопоставить с народонаселением. В 1790 г. население России достигало примерно 26 млн. человек. Если прибавить к ученикам светской городской школы около 15 тысяч семинаристов, около 6000 воспитанников кадетских корпусов и дворянских пансионов и примерно 10000 учеников гарнизонных школ, то получится, что 1 учащийся приходился в среднем, приблизительно, на 500 человек. О просвещении сколько-нибудь широких слоев населения, следовательно, и не думали. Нужно иметь также в виду, что очень многие ученики не заканчивали курс. В 1788 г. директор народных училищ О. Козодавлев после инспекции школ писал: „Во всех главных народных училищах найдено мною, что число учащихся в третьих и четвертых классах весьма мало и что учащиеся во вторых классах обыкновенно не желают продолжать учения в третьем разряде. Сие происходит оттого, что родители и свойственники учащихся не видят цели учения, в высших классах преподаваемого. Они почитают, что детям их нужны токмо предметы двух нижних классов, да и то по причине чтения и чистописания, а прочие науки почитают они бесполезными, или по крайней мере ненужными... Всякий знает, что для снискания места в гражданской службе нужно одно токмо чистописание. . .“2. Разумеется, тут играли роль и другие обстоятельства: бедность многих родителей, плохая постановка преподавания и др.

Для подготовки учителей главных училищ с января 1784 г. при петербургском главном училище создано было специальное отделение, с осени 1786 г. выделенное в Учительскую семинарию, со сроком учения в два с половиной года. Предметами обучения были: математика, включая начала анализа и теории кривых, физика, естественная история, география, история, черчение, рисование, русский, латинский и немецкий языки. Преподаватели сперва были приглашены из Академии наук. Учащиеся все наб-

1 См. П. Н. Милюков, Очерк по истории русской культуры, изд. 6-е, СПБ, 1909, ч. II, стр. 327,

2 М. Сухомлинов, цит. соч. вып. 6, стр. 49. В Архангельской губернии за 1786—1803 гг. в училищах перебывало 1432 чел., а с полным аттестатом вышло 52. Это крайность, но показательная. См А Воронов, Историко-статистическое обозрение учебных заведений С.-Петербургского учебного округа с 1715 но 1828 г. включительно СПБ, 1849,. стр. 73. Ср. П. Милюков, цит. соч., стр. 324.

раны были из духовных училищ1. В течение четырех лет здесь вел занятия почетный академик М. Е. Головин, написавший также для народных училищ учебники арифметики и геометрии; профессором математики и физики был также П. И. Гиларовский, автор „Сокращения высшей математики“ (СПБ., 1795) и „Руководства к физике“ (СПБ., 1793). За 15 лет из семинарии вышло более 400 педагогов/и среди них Т. Ф. Осиповский, впоследствии профессор Харьковского университета и учитель М. В. Остроградского. В 1804 г. Учительская семинария была преобразована в Педагогический институт, на основе которого в 1819 г. возник Петербургский, ныне Ленинградский университет. В младших школах преподавали выпускники главных училищ.

В новых школах должна была быть введена и новая система обучения. С этой целью Ф. И. Янкович (1741 -1814), главный руководитель Учительской семинарии, выпустил „Руководство учителям первого и второго классов народных училищ Российской империи“ (СПБ., 1783). В основу было положено совокупное наставление. Урок должен был объясняться один и тот же всему классу; если кто отвечал, все должны были слушать и быть в свою очередь готовыми к ответу. Ранее в наших учебных заведениях, как правило, каждый занимался особо. Теперь собрание учеников, находившихся в школьной комнате, превращалось в учебный класс. Одной из основ учебного процесса было совокупное чтение. Прежде всего новый отдел должен прочитать вслух по учебнику учитель, затем весь класс повторяет отрывок хором или порознь от 8 до 12 раз, смотря по трудности. В помощь к этому применялось изображение на доске начальных букв слов подлежащей запоминанию фразы. Заучивание наизусть играло, таким образом, очень важную роль в этой системе. Правда, добавлялось, что лучше было бы, если бы учащиеся отвечали „исправно своими словами, нежели теми самыми, какие находятся в книге; ибо из того видеть можно, что они дело понимают“. Вместе с тем предлагалось развивать сообразительность учеников, новые трудные вещи разъяснять особо, в случае неточных ответов задавать наводящие вопросы. Абсолютно запрещались столь частые в ходу в те времена телесные наказания, а также „все посрамления и честь трогающие устыжения, как-то: уши ослиные и название скотины, осла и тому подобные“ (стр. 103).

Обучение арифметике Янкович предлагал начинать с учениками, умеющими уже хорошо читать и писать. Сперва шел устный и письменный счет. При изложении четырех действий учитель должен каждое правило пояснить примером и разбором „для чего он поступил так, а не иначе.“ После того к классной доске, впервые, видимо, появившейся в школе, вызывается лучший ученик, и у него спрашивается, по какому правилу и как он решает задачу. Затем учитель задает на доске или под диктовку пример, который класс решает на аспидных досках, или же кто-нибудь пишет на доске решение, подсказываемое всем классом. Чтобы ученики научились применять правила с толком, советовалось давать им по приобретении навыка „несколько хороших и состоянию их приличных задач, не сказывая, однако, по какому правилу задачу решить должно“ (стр. 76). Задачи при этом нужно брать не отвлеченные, но „выбирать такие случаи, которые попадаются в общежитии, в хозяйстве, в ремеслах, художестве, купечестве и других частных промыслах, в мере, весе и монете употребительной“ (стр. 72). На дом рекомендовалось давать новые примеры и затем их обязательно проверять. Сходные указания для учителей содержались и в предисловии к „Краткому руководству к геометрии“ (СПБ., 1786), написанному М. Головиным.

Как ни велики были недостатки описанной системы преподавания, она представляла собой значительный шаг вперед. К сожалению, и ее осуществление наталкивалось на большие трудности. Учителя младших школ, окончившие лишь главные народные училища, часто были плохо подготовленные люди, не знакомые с педагогикой и бравшиеся за дело лишь по горькой нужде. Оклад был незначительный. Местное дворянство и купечество относились к учителям свысока, грозные размеры носило пьянство.

1 Ср. Е. Зябловский, Историческая повесть об учительской семинарии, СПБ, 1333,

Подведем некоторые итоги. На протяжении XVIII столетия преподавание математики в России сделало немалые успехи. В специальных школах за математикой прочно укрепилось положение одного из важнейших предметов обучения, и от заучивания наизусть рецептов практической арифметики, геометрии и тригонометрии преподавание дошло до введения элементов исчисления бесконечно-малых и аналитической геометрии. В конце столетия были сделаны первые робкие попытки введения общеобразовательных городских школ. В учебных заведениях Академии наук воспитаны были десятки квалифицированных математиков. Вместе с тем, в системе математического образования имелись большие недостатки. Школами всех видов охвачена была ничтожная часть населения, и правительства считали возможным сообщить каждому „состоянию“ лишь минимальную „приличную“ ему сумму знаний. На школы отпускались ничтожные средства. В огромной стране к концу столетия имелись только один университет и одна Учительская семинария, причем в единственном Московском университете не готовили квалифицированных математиков. Общеобразовательная система была недоделана: между главными народными училищами и университетом оставался разрыв. Назревала потребность в реформе, которая и была частично проведена в начале XIX в., когда в губернских городах открыты были гимназии, основано несколько университетов, а в них созданы физико-математические факультеты.

Более полное представление о постановке преподавания математики можно получить, лишь познакомившись с учебной литературой. К русской математической литературе XVIII в. мы перейдем в следующей главе.

(Продолжение следует)

ОТ РЕДАКЦИИ

Поправки к статье П. С. Александрова „Научное содержание школьного курса алгебры“ №№ 4—6 за 1946 г.

МЕТОДИКА

ОПРЕДЕЛЕНИЯ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

В. К. МАТЫШУК (Архангельск)

§ 1. Составление определений

Давая определение какому-нибудь понятию, мы должны ввести в это определение существенные признаки понятия и притом в достаточном количестве. Существенными признаками понятия называются такие, без которых данное понятие, как таковое, мыслиться не может. Для параллелограма, например, такими существенными признаками являются: то, что он четырехугольник, и то, что его противоположные стороны попарно параллельны. Умение выбирать существенные признаки определяемого понятия далеко не такое простое дело и требует не только хорошего знания всего, что относится к данному понятию, но и соответствующей выучки. Мне из моей практики припоминается следующий случай, имевший место в далеком прошлом. Один учитель начальной школы давал такое определение кубу: „Кубом называется тело, ограниченное шестью квадратами, из которых четыре вертикальных и два горизонтальных“. Я сделал замечание, что если куб поставить на ребро, или на вершину, у него не будет ни вертикальных, ни горизонтальных граней. Любопытно, что учитель не согласился с моим замечанием, возразив, что куб обычно так стоит, что у него четыре вертикальных и две горизонтальных грани.

Часто бывает так, что одно и то же понятие может иметь много существенных признаков. Например, у параллелограма можно считать существенными следующие признаки : параллельность противоположных сторон, их равенство, равенство двум прямым углам суммы пары его соседних углов и деление пополам его диагоналей в точке их пересечения. Но тем не менее не все эти признаки вместе можно вводить в определение, нужно, чтобы признаки были независимыми, т. е. чтобы ни один из них не был следствием других признаков, уже введенных в определение. Поэтому мы и говорим, что параллелограм есть четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Мы не добавляем при этом „и равны“, или „и диагонали делятся взаимно пополам“, так как последние два свойства могут быть доказаны на основании первого. Но мы могли бы сказать, что параллелограмом называется четырех угольник, у которого противоположные стороны равны, или что это такой четырехугольник, у которого диагонали делятся взаимно пополам и т. п. Каждая из таких формулировок могла бы быть взята за определение параллелограма, и из нее при помощи логических построений могли бы быть выведены все свойства этой фигуры. Определение, содержащее в себе лишние в указанном смысле признаки, будем называть избыточным Но существенные признаки должны входить в определение в достаточном количестве, т. е. их не должно быть слишком мало, иначе определение будет неточным. Оно будет охватывать и такие понятия, которые под него никак подходить не могут. Например, если сказать, что параллельными прямыми называются такие, которые не пересекутся, сколько бы их ни продолжать, то такое определение неточно, так как под него

подойдут и скрещивающиеся прямые. Такие определения мы будем называть недостаточными.

Подойдем теперь с другой стороны к вопросу о составлении определений. Существенные признаки, характеризующие понятие, суть в свою очередь также понятия, которые тоже подлежат определению. Они должны быть, таким образом, установлены. Следовательно, определяя данное понятие, мы сводим его к совокупности других, ранее установленных понятий. Чтобы определение было научным, нужно, чтобы такое сведение было полным, т. е. чтобы в определении не было ни одного понятия, не установленного ранее. Но каждое такое ранее установленное понятие при его определении также сводится к совокупности других, еще более рано установленных понятий. Например, понятие о параллелограме сводится к совокупности таких понятий: „четырехугольник0 и „параллельный“. Каждое из них в свою очередь сводится к совокупности других понятий, которые были определены раньше. Это: „многоугольник“, „прямые“, „плоскость“. „Многоугольник“ сводится к понятиям: „фигура“, „ломаная“, „замкнутый“ и т. д. Мы можем себе, следовательно, мыслить процесс редуцирования более сложных понятий к более простым. Естественно, что этот процесс не может быть бесконечным. В конце концов мы придем к настолько простым понятиям, что их уже не представится возможным свести к более простым. Такие понятия в науке называются первоначальными, или основными. В математике — это, например, точка, прямая, число и пр. Всякая попытка определить эти понятия приводит к замене одних терминов другими, им эквивалентными, или просто к описанию некоторых их свойств, или к указаниям на процесс, результатом которого они являются, и т. д. Рассмотрим несколько подобных определений: „Прямой называется линия, соединяющая две точки по кратчайшему расстоянию“, „прямая есть линия, имеющая в каждой точке одно и то же направление“, „линия есть длина без ширины“ (определение Евклида), „точка есть то, что не имеет частей“ (тоже определение Евклида), „точка есть то, что не имеет ни длины, ни ширины, ни толщины“, „точка есть то, что определяет место в пространстве, само не занимая места“ и т. д. Если мы сводим понятие о прямой к понятию о расстоянии или о направлении, или связываем понятие о точке с понятием о месте, то в свою очередь возникает вопрос, а что такое „расстояние“, „направление“, „место“. Когда мы говорим, что точка — это нечто, не имеющее частей, или нечто, не имеющее ни длины, ни ширины, ни толщины, то здесь мы пользуемся так называемыми отрицательными определениями. Такие определения требуют осторожного подхода к себе. В самом деле, отрицательное определение говорит не о том, что содержится в данном понятии, а о том, чего в нем нет. А мало ли что не присуще той или иной вещи. Поэтому отрицательное определение может вообще ничего не определить. С другой стороны, у нас возникают вопросы: а что такое „часть“, „длина“, „ширина“, „толщина“? Как определить эти понятия?

Чаще всего в учебниках по элементарной геометрии такие основные понятия, как точка, линия, поверхность определяются в связи с термином „граница“. „Границы линии суть точки“ — говорит в „Началах“ Евклид. „Границы поверхности суть линии“, „Границы тела суть поверхности“ — говорится там же. Соответственно этому в учебнике по геометрии Киселева мы читаем: „Часть пространства, ограниченная со всех сторон, называется геометрическим телом. Геометрическое тело отделяется от окружающего пространства поверхностью. Часть поверхности отделяется от смежной части линией. Часть линии отделяется от смежной части точкой“. Все это только описания некоторых свойств этих объектов, основанные на нашем опыте, на наших наглядных представлениях. Говоря, например, о теле, мы представляем себе две части пространства, одну внутри его, другую вне. Форма тела представляется нам как бы в виде сосуда, заполненного материей. Стенки сосуда абстрагируются в нашем сознании в поверхность. Поверхность есть, следовательно, то, что отделяет одну часть пространства от другой. Заметим, что это свойство поверхности не является для нее существенным. Существует, например, односторонняя поверхность — лист Мебиуса, который не отделяет одной части пространства от другой.

Число есть также неопределимое понятие. Когда мы говорим о нем, что оно есть результат счета, то мы ничего не определяем, так как само слово „счет“ при своем определении опять сводится к понятию о числе. Мы здесь указываем лишь на хорошо известный нам из опыта процесс.

Все приведенные нами определения нельзя назвать научными, так как здесь нет сведения понятий к ранее установленным. Поэтому при изложении математики как научной дисциплины первоначальные понятия просто принимаются за исходные и не определяются вовсе. Свое изложение геометрии Гильберт начинает с указания на то, что мы будем иметь дело с тремя системами вещей — точками, прямыми и плоскостями. Что это за вещи, какое реальное содержание мыслится в них, этого геометрия в изложении Гильберта не рассматривает. Задается лишь система аксиом, которая устанавливает соотношения между этими вещами. На основании этой системы аксиом и указанной совокупности первоначальных понятий развивается существующая система теорем. При этом возникают новые, более сложные понятия. И вот все такие понятия должны быть уже определены, т. е. сводимы по определенным правилам к ранее установленным и. в конце концов, к первоначальным. (Более подробно об определениях и научном изложении геометрии можно прочесть в статье Глаголева, приложенной в конце учебника по стереометрии Киселева.)1

Наконец, рассмотрим вопрос о составлении определений с третьей стороны — формальной. Еще древнегреческая наука выработала принципы составления определений per genus et differentios, т. е. при помощи рода и отличий тесно связанные с одним из методов познания — классификацией. Когда мы изучаем какую-нибудь совокупность предметов, фактов, явлений, отношений и пр., то мы прежде всего ищем то общее, что есть у них. Группу вещей, которую можно объединить по какому-нибудь общему признаку, будем называть родом. В свою очередь, рассматривая всю совокупность вещей, которые образуют род, мы часто можем увидеть, что некоторые из них обладают еще каким-нибудь добавочным признаком, отличающим их от других вещей, образующих тот же род. Мы можем эти вещи объединить в новую группу, составляющую часть первой. Такую частную группу будем называть видом. Подобного рода последовательное выделение частных групп из более общих может идти довольно далеко, что, например, мы наблюдаем в зоологии, ботанике и в других дисциплинах, где соответственно этому употребляются такие термины: класс, род, вид, отряд, подотряд и пр. Мы будем, однако, пользоваться только двумя терминами—род и вид.

Параллелограм есть вид четырехугольника. Следовательно, все четырехугольники составляют род.

Заметим, однако, что понятия рода и вида условны и связаны с тем, что именно в данный момент мы изучаем.

Так, например, изучая параллелограмы, мы выделяем среди них прямоугольники и ромбы. В этом случае прямоугольники и ромбы — виды параллелограма.

Изучая квадрат, мы определяем его как вид прямоугольника или как вид ромба.

Составляя определение, мы должны включить в него прежде всего указание на род, к которому принадлежит определяемое понятие, а затем перечислить все те признаки, которые относят это понятие к соответствующему виду, указать все нужные видовые отличия. Касательной к окружности называется прямая, имеющая с ней одну общую точку. В данном случае совокупность всех прямых на плоскости образует родовое понятие. По отношению к данной на плоскости окружности они могут быть разбиты на три вида: прямые, не имеющие с этой окружностью ни одной общей точки, имеющие одну общую точку (касательные) и имеющие две общие точки (секущие). Никаких других прямых на плоскости, которые можно было бы по отношению к данной окружности считать четвертым видом, не существует.

1 От редакции. Подходя к определениям с чисто логической стороны, автор не учитывает часто встречающихся в математике определений через аксиомы, когда сначала перечисляется совокупность свойств объекта. Эта совокупность свойств и дает определение данного объекта.

Таким образом, в определений касательной видовым признаком будет ее свойство иметь с данной окружностью одну общую точку.

Давая определение, мы должны указывать в нем ближайший род, к которому принадлежит определяемое понятие. Мы могли бы, конечно, сказать, что ромб есть плоский, выпуклый четырехугольник, у которого все стороны равны, и это было бы правильно. Но так ромб не определяют, так как ближайшим родовым понятием по отношению к нему является параллелограм. Поэтому ромб рассматривается как вид параллелограма, а не четырехугольника.

В процессе школьного обучения весьма полезными бывают и так называемые генетические определения. В них также указывается тот род, к которому принадлежит определяемое понятие, но вместо видовых признаков описывается процесс, создающий это понятие. Естественно, что при описании такого процесса указываются лишь существенные его условия и притом в достаточном числе. Приведем несколько примеров таких определений. Шаром называется тело, образованное вращением полукруга вокруг ограничивающего его диаметра. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная движением прямой, перемещающейся параллельно самой себе и пересекающей все время одну и ту же кривую. Заметим, что для генетического определения вовсе не обязательно движение как процесс, создающий соответствующий образ. Возможно лишь, чтобы здесь имел место вообще какой-то процесс. Возьмем в качестве примера определение линейного угла двугранного угла, данное в учебнике по геометрии Киселева: „Если из произвольной точки D ребра AB проведем на каждой грани по перпендикуляру к ребру, то образованный ими угол CDE называется линейным углом двугранного угла“. Часто одному и тому же понятию можно дать и определение обычного, формального характера и генетическое определение.

Например, окружность можно определить и как кривую, все точки которой одинаково удалены от одной и той же точки, и как кривую, образованную движением конечной точки отрезка прямой, если начальная его точка неподвижна. Аналогично можно двояким способом определить, шаровую поверхность: и как поверхность, все точки которой одинаково удалены от одной и той же точки, называемой центром, и как поверхность, образованную вращением дуги полуокружности вокруг диаметра, стягивающего концы этой полуокружности.

В учебнике по стереометрии Киселева (§ 49) определение многогранного угла содержит описание процесса, посредством которого этот угол может быть создан. Таких примеров можно привести много. Нужно сказать, что предпочтительнее определения, построенные по принципу: род и видовые отличия, ибо только эти определения и имеют место при научном изложении математики. Однако в преподавании часто приходится отдавать преимущество генетическим определениям, так как они рисуют соответствующий образ более ярко, выпукло и выразительно.

В заключение заметим, что введение нового понятия в математике часто связано с необходимостью доказательства существования соответствующего объекта. Так, определив параллельные прямые, мы сейчас же доказываем теорему, что два перпендикуляра к одной и той же прямой не пересекаются, т. е.. что они параллельны. Этим мы устанавливаем, что параллельные прямые существуют. Дав определение призмы, мы сейчас же доказываем, что такой многогранник существует (учебник по стереометрии Киселева, § 68). Конечно, в тех случаях, когда существование определенного понятия достаточно очевидно, доказывать нечего. Но в остальных случаях это нужно делать.

§ 2. Определения в школьном изложении математики

В школе, наряду с научными определениями, вполне допустимы и такие формулировки, которые не полностью или даже вовсе не сводят определяемое понятие к ранее установленным. Такие определения, которые мы будем называть педагогическими, сводят рассматриваемое понятие к другим понятиям, настолько хорошо известным учащимся из опыта, что об их смысле можно специально и не говорить. К числу подобных формулировок относятся, например, генетические определения, пользующиеся

движением для создания в представлении учащихся соответствующих образов.

Естественно установить, в какой мере и в каком сочетании с научными определениями должны встречаться в школьном курсе математики педагогические определения. Этот вопрос был принципиально освещен в статье проф. Хинчина под заглавием „О математических определениях в средней школе“ (журнал „Математика в школе“ № 1 за 1941 г.), а также в брошюре того же автора „Основные понятия математики в средней школе“. Поэтому подробно на нем мы останавливаться не будем. Заметим только, что выбор характера определения связан с возрастными особенностями учащихся, с объемом знаний учащихся, с целями обучения математике и пр. Впрочем, предпочтение должно отдаваться научно сформулированным определениям, и лишь соображения педагогической целесообразности могут заставить учителя выбрать определение иного характера. Например, действие вычитания может быть формально определено как действие, обратное сложению, но в учебнике по арифметике Киселева, по педагогическим соображениям, выбрана иная формулировка, которую, конечно, нельзя назвать определением этого действия: „Действие, состоящее в том, что от одного числа отнимается столько единиц, сколько их содержится в другом данном числе, называется вычитанием“. В этой формулировке термин „вычитание“ связывается с хорошо известным детям из опыта понятием „отнимания“. Ясно, что педагогические определения, как по форме, так и по содержанию, должны последовательно приучать учащихся к научным определениям, а также и к пониманию того значения, которое система определений имеет в построении математики. К концу обучения математике учащийся только с научными определениями и должен иметь дело.

Особо следует остановиться на определении первоначальных понятий в школе. При научном изложении математики эта проблема снимается, так как первоначальные понятия не определяются, а принимаются за исходные. Но в преподавании так поступать нельзя. Способность мыслить по абстрактно-формальным схемам дается лишь в результате длительного обучения. Поэтому, пользуясь каким-нибудь математическим термином, учитель всегда должен договариваться с учащимися о смысле понятия, связанного с таким термином. Следовательно, для первоначальных понятий в школе вполне уместны определения описательного характера. В подходящих случаях допустимо даже такие описательные определения заменять просто обращением к непосредственному опыту учащихся, как это, например, сделано в учебнике по геометрии Киселева в отношении прямой: „Представление о прямой линии,— говорится там, — всем хорошо известно. Мы получаем это представление, рассматривая туго натянутую между опорными точками нить или наблюдая луч света, выходящий из малого отверстия“.

Вопрос о том, какого характера дать определение понятию, связан с соображениями педагогической целесообразности. В самом деле, какой смысл давать чему-то строго научное определение, если содержание формулировки определения недоступно пониманию учащихся. В лучшем случае они просто заучат наизусть соответствующее сочетание слов, а в худшем могут получить превратное представление о вещах. Возьмем для примера определение сложения иррациональных чисел в учебнике алгебры Киселева, предназначенное для учащихся восьмого класса: „Сложить числа а и р (имеются в виду иррациональные числа) значит найти такое третье число т, которое было бы больше суммы любых приближенных их значений, взятых с недостатком, но меньше суммы любых приближенных значений, взятых с избытком“. Что это за число, которое больше суммы любых чисел одного рода и меньше любых чисел другого рода ? А обязано ли оно существовать? Совершенно понятно, что отчетливое понимание смысла подобного определения недоступно ученику восьмого класса. Несомненно, что нередко встречающиеся превратные представления о сущности иррационального числа в значительной мере обязаны своим появлением указанному выше определению и им подобным.

Мы допускаем в известных случаях замену научно сформулированных определений педагогическими, т. е. определениями, преследующими в первую очередь цели обучения. Но при этом всегда надо помнить, что всякое определение, какой бы природы оно ни было, должно

правильно отражав научные концепций, господствующие в данный момент времени в науке (подробнее см. указанную выше статью проф. Хинчина).

Рассмотрим, например, распространенную среди учителей такую формулировку определения понятия „отношение“. „Отношением называется результат сравнения двух чисел посредством деления“. В этой формулировке указано совсем не то родовое понятие, которое нужно, так как отношение есть прежде всего число, а не что-то иное.

Правильной формулировкой понятия об отношении мы считаем следующую: „Кратным отношением двух чисел называется частное от их деления“. Но уже совершенной нелепостью является такое, неоднократно слышанное нами на уроках арифметики определение отношения: „Отношение есть сравнение двух чисел посредством деления“. Отношение — это число. Сравнение же есть некоторый процесс, и отождествление этих понятий— явная бессмыслица.

Другим определением, которое перестало соответствовать научному содержанию понятия и которое прочно укрепилось в школьной практике, является определение уравнения. В учебнике алгебры Киселева сперва устанавливается понятие о равенстве: „Два числа или два алгебраические выражения, соединенные знаком равенства, составляют равенство“. Равенство, рассматриваемое в учебнике Киселева как родовое понятие, распадается на два вида: уравнения и тождества. Уравнением называется равенство, которое удовлетворяется не при всяких численных значениях букв, в него входящих (видовой признак). Тождеством называется такое равенство, которое удовлетворяется при всяких численных значениях входящих в него букв. Между тем в современной трактовке уравнением считается соотношение

/ (х,у,...) = <р(х,ву,...),

выражающее равенство значений двух функций. В частных случаях это равенство может быть справедливым при каких угодно численных значениях неизвестного или неизвестных. Таким образом, теперь тождество не противопоставляется уравнению. Подробный анализ определений уравнения и тождества дан в книге А. Н. Барсукова „Уравнения первой степени в средней школе“ в главе III (Учпедгиз, 1944). К этой книге, представляющей обстоятельное методическое исследование по вопросу об уравнениях первой степени, мы отсылаем читателя.

Третьим таким определением, еще сохранившимся в преподавании, но, несомненно, более вредным, является определение абсолютной величины числа. „Абсолютной величиной относительного числа называется это число без знака“ — говорится в учебнике алгебры Киселева (1940). Есть числа положительные, отрицательные и нуль, вводя же указанное выше определение, мы наталкиваем мысль учащихся на то, что существуют какие-то беззначные числа. Так как при изучении арифметики о знаке числа ничего не говорилось, то, следовательно, в арифметике рассматриваются именно такие числа. В алгебре же появляются дополнительно еще положительные и отрицательные числа.

Не отражает также научной точки зрения то определение иррационального числа, которое давалось в учебнике алгебры Киселева в изданиях до 1939 г. Иррациональное число рассматривалось там как корень я-ой степени из рационального числа, не представляющего собой /1-ой степени другого рационального числа. Благодаря такому определению числа, например, ic, У 2-\-Y~2 и др. нельзя было назвать иррациональными.

§ 3. О значении определений в обучении

Воспитательное значение определений весьма велико. Для того чтобы определить какое-нибудь понятие, надо хорошо знать все, что к нему относится. Мы видели выше, что в формулировку всякого определения обязательно должны входить существенные признаки определяемого понятия. Каждая вещь может иметь много различных свойств, часто связанных с теми условиями, в которых она находится, и сказать, какие из этих свойств являются существенными, а какие нет, требует соответствующих знаний. Но и хорошее знание вещи не всегда позволит правильно определить ее, если нет должной выучки. Школа, обучая детей давать правильные определения, приучает их во всем искать существен-

ные, важнейшие признаки. Этим она способствует глубокому пониманию изучаемых вещей, фактов, явлений.

С другой стороны, составление определений путем указания на род и видовые отличия приучает детей правильно видеть положение данной вещи в системе вещей, т. е. знакомит их с тем методом научного познания, который называется классификацией. А так как каждое определение указывает на то общее, к которому принадлежит данное понятие как частное, то дети приучаются видеть общее, что есть в общем и частном, и чем частное отличается от общего. Все это способствует развитию у учащихся соответствующих навыков в научном мышлении.

Постоянная тренировка в составлении определений приучает детей относиться ответственно к своей речи. Всем известно, что дети очень часто усваивают слова как таковые раньше усвоения их смысла. Поэтому от ребенка зачастую можно слышать такие фразы, которые невольно вызывают у нас улыбку своеобразным их смыслом. К сожалению, такие неправильные сочетания слов без учета их подлинного смысла приходится слышать и от учащихся старших классов средней (и даже высшей) школы. Дело в том, что школа не воспитывает как следует у учащихся чувства ответственности за свои слова. Мы имеем здесь в виду ответственность за элементарную осмысленность произносимых ими фраз.

В 1940 г. автором в лучших школах гор. Ростова на Дону у лучших учителей лучшим ученикам была предложена специальная контрольная работа, имевщая целью выяснить, как представляют себе учащиеся десятого класса сущность иррационального числа. Было собрано около 110 работ, относящихся примерно к 12—15 различным школам. Среди вопросов, поставленных учащимся, был такой: „что такое иррациональное число? Дай определение, если помнишь его, и напиши, как ты себе представляешь это число“. Оказалось, что 20—25% учащихся дали такой нелепый ответ: „Иррациональным числом называется такое число, из которого корень не извлекается“. Бессмысленность подобного ответа очевидна. Так, например, из 30 квадратный корень не извлекается, значит 30 согласно такому ответу иррациональное число! При этом нужно учесть, что отвечали так лучшие ученики десятого класса и что отвечали они в письменной форме, т. е. имели возможность обдумать свой ответ. Возможность подобных формулировок могла родиться лишь в условиях того, что учитель не требовал у детей настойчиво и систематически на всем протяжении их обучения в школе правильно выражать свои мысли словами и не контролировал, в какой мере дети понимают то, что они формулируют. Повседневные требования давать определения являются одним из средств приучить детей ясно, кратко и точно выражать свои мысли словами.

§ 4. Ошибки в определениях, допускаемые учащимися

Перейдем теперь к рассмотрению ошибок, которые наиболее часто делаются учащимися при формулировке определений. Нередко неправильные, ошибочные определения учащихся остаются не замеченными учителем, а следовательно, и не исправленными им. Особенно это бывало тогда, когда понятие определяется учащимися своими словами и притом в пространной форме. Причины этого обстоятельства заключаются в том, что при том живом темпе, в котором должен вестись урок, учителю нехватает иногда времени вдуматься в обширную и нестройно выраженную формулировку учащегося. Учитель сумеет быстро реагировать на ответы учащихся, если он будет хорошо знаком с принципами составления определений и будет знать те ошибки, которые чаще всего делают учащиеся. В конце концов многие ошибки учащихся неизменно повторяются. Не претендуя на полноту, мы попытаемся составить некоторую классификацию этих ошибок.

Сперва мы выскажем общие соображения относительно того, каким может быть ошибочное определение. Ошибка в определении может или сделать его бессмысленным, противоречивым или сделать его неточным. Примеры бессмысленных определений были приведены выше. Это например: „отношение есть сравнение двух чисел посредством их деления“ и „иррациональным числом называется число, из которого не извлекается корень“. Часто встречаются не-

точные определения. Определение может быть неточным в том смысле, что охватывает или более широкий или более узкий круг вещей, чем это фактически соответствует определяемому понятию. Примеры всех таких определений будут даны ниже. Мы выделим ошибки, сделанные в отношении родового понятия, в отношении видовых признаков, а также остановимся на некоторых ошибках, связанных с неправильным употреблением слов обыденной речи, входящих в формулировку определений и не носящих характера терминов.

Ошибки в отношении родового понятия

a) Часто учащиеся так формулируют определения, что в них отсутствует указание на родовое понятие. Обычно это понятие заменяется словами: это, когда. .., это, если..., это то, что... и пр. Например, на вопрос, что такое предел, учащиеся десятых классов любят отвечать: „это, когда разность между постоянным и переменным есть бесконечно-малая величина“. На вопрос: „что такое равновеликие фигуры“ бывают такие ответы: „это, если две фигуры имеют равные площади“. Определения подобного рода встречаются в тех классах, где учащиеся не приучены давать полные ответы.

b) В определении дается слишком широкое родовое понятие, благодаря чему определение становится неточным. Например, излюбленным учащимися определением параллелограма является следующее: „Параллелограм есть фигура, у которой противоположные стороны параллельны“ (под это определение подойдет, например, правильный шестиугольник). „Биссектрисой треугольника называется прямая, делящая угол треугольника пополам“ (правильно сказать: „Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника от вершины угла до противоположной стороны“). „Диаметром круга называется прямая, проходящая через центр круга“. Диаметр есть не вся прямая в целом, а лишь хорда, проходящая через центр. Подобные ошибочные определения встречаются весьма часто.

c) В определении указано не то родовое понятие, к которому данное понятие относится как вид. Часто даже родовое понятие вообще не имеет никакого отношения к определяемому понятию, как, например, в дважды цитированном нами выше определении отношения двух чисел. В таких случаях определение как бессмысленное, нелепое является грубо ошибочным. Но иногда определения подобного рода являются просто неточными. Например, говорят: „Площадь есть часть поверхности, ограниченная замкнутой линией“. „Объем есть часть пространства, ограниченная замкнутой поверхностью“. Ошибка в этих двух определениях заключается в том, что как площадь, так и объем являются числами. Ведь не говорим же мы, что длина — это часть прямой или кривой. Таким образом, правильно было бы сказать, что площадь есть величина части поверхности, ограниченной замкнутой линией. Аналогично надо сформулировать и определение термина „объем“.

Учащиеся девятого класса, определяя понятие двугранного угла, почти всегда говорят так: „Двугранным углом называется угол, образованный двумя полуплоскостями, имеющими общую прямую“. Здесь неверно употреблено слово „угол“. Как известно, всякое определение должно свести определяемое понятие к какому-то ранее установленному понятию. Но „угол“ как ранее установленное понятие есть плоский угол. Таким образом, указанное выше определение отождествляет двугранный угол и плоский угол, что, конечно, нелогично.

d) Наконец, нельзя признать безукоризненными и те определения, в которых указано не ближайшее возможное родовое понятие. Примеры подобных определений были приведены выше: диаметр окружности не как хорда, а как отрезок прямой, ромб не как параллелограм, а как плоский четырехугольник, параллелепипед не как четырехугольная призма, а как тело и т. п.

Ошибки в отношении видовых признаков

а) Мы выделим сперва определения в которых не все нужные видовые признаки введены. Эти „недостаточные“ определения неточны, так как охватывают и такие понятия, которые не должны подходить под соответствующий термин. Приведем ряд примеров подобных

определений, особенно часто встречающихся в школьной практике.

Учащиеся пятого класса постоянно дают такое определение пропорциональным величинам: „Пропорциональными называются такие две величины, что с возрастанием (уменьшением) одной из них другая тоже возрастает (уменьшается)“. Учащиеся склонны считать две одновременно возрастающие или убывающие величины пропорциональными. Следовательно, из двух видовых признаков, которые должны входить в определение пропорциональной зависимости величин, один выпускается („во сколько раз—во столько раз“).

Постоянно делается ошибка при определении параллельных прямых: „Параллельными прямыми называются такие прямые, которые при продолжении никогда не пересекаются“. Здесь пропущен видовой признак: „прямые расположены в одной плоскости“. Без этого под термин „параллельные прямые“ подойдут и скрещивающиеся прямые. Вписанным углом называется угол, образованный двумя пересекающимися хордами. Здесь не указано, что вершина вписанного угла должна лежать на окружности. Без этого вписанным углом можно назвать и всякий угол, вершина которого лежит внутри круга.

Очень часто учащиеся неверно определяют понятие периода тригонометрической функции. Обычно говорят, что периодом тригонометрической функции называется число, от прибавления которого к аргументу функция не меняет своей величины. Родовое понятие здесь указано правильно: период есть число. Но пропущено два существенных признака: во-первых, прибавляемое число должно быть наименьшим положительным, и, во-вторых, его можно прибавлять к любому значению аргумента.

Ь) В определении содержатся указания на лишние существенные признаки, т. е. такие, которые являются следствием других признаков, уже приведенных в данном определении. Следовательно, видовые признаки не независимы в определении; такие определения мы назвали избыточными. Они довольно часто встречаются в школьной практике. Например, учащиеся охотно говорят: „Параллелограмом называется такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны“, „Диаметром называется наибольшая хорда, проходящая через центр круга“, „Правильной пирамидой называется такая пирамида, у которой в основании правильный многоугольник, боковые грани—равные треугольники и вершина проектируется в центр основания“ и др. Избыточные определения являются ошибочными по форме, а не по существу. Они вообще нежелательны, но иногда их вводят в преподавание сознательно из педагогических соображений. Например, смежные углы иногда определяют так: „Два угла называются смежными, если у них одна сторона и вершина общие, а две другие стороны составляют продолжение одна другой“. Прибавляя слова „вершина общая“, мы делаем определение более ярким, более образным. В учебнике по геометрии Киселева подобными треугольниками называются такие, у которых: 1) углы одного соответственно равны углам другого и 2) стороны одного пропорциональны сторонам другого. Ясно, что теоремы о признаках подобия треугольников делают это определение избыточным, ибо, если у треугольников соответственные углы равны, то отсюда вытекает и пропорциональность сходственных сторон и наоборот. Указанная формулировка определения подобных треугольников в учебнике Киселева вызывается теми соображениями, что автор хочет сперва изучить вопросы подобия простейших фигур—треугольников—и на полученных результатах обосновать учение о подобии фигур более общего характера — многоугольников. Избыточными надо также признать и определения прямоугольника и ромба в учебнике Киселева: „Прямоугольником называется параллелограм, у которого все углы прямые“, „Ромбом называется параллелограм, у которого все стороны равны“. Избыточным является определение соизмеримых отрезков прямой, данное в учебнике геометрии Гурвица и Гангнуса: „Соизмеримыми отрезками прямой называются такие, которые имеют общую меру, содержащуюся в каждой из них целое число раз“.

с) В формулировку определения включены несущественные признаки понятия. Ошибки этого рода обычно делают мало обученные люди. В геометрии подобные определения могут встре-

чаться оттого, что учащиеся склонны рассматривать свойства некоторых фигур в связи с их положением на плоскости или в пространстве. Например, на вопрос „что называется взаимно-перпендикулярными прямыми?“ следует ответ: „Взаимно-перпендикулярными прямыми называются: „вертикальная и горизонтальная прямые“. „Осью абсцисс называется горизонтальная координатная ось, осью ординат — вертикальная координатная ось“ и т. п.

В алгебре примером подобного определения является следующее весьма распространенное среди учащихся определение коэфициента: „Коэфициентом называется число, стоящее перед буквенным выражением“. В этой формулировке дан несущественный признак понятия — стоять перед буквенным выражением — и нет существенного, именно указания на характер связи числа с буквенным выражением (численный сомножитель). Таким образом, правильно было бы сказать: „Коэфициентом называется численный сомножитель в буквенном выражении“. Далее уже не в порядке определения, а в форме дополнительного разъяснения следует сказать: „Обычно он становится впереди буквенного выражения“. На вопрос: „Что такое десятичная дробь?“ мы слышали раз в начальной школе такой ответ: „Десятичная дробь— это дробь с запятой“.

К тому же типу ошибочных определений относится и определение иррационального числа, которое давалось в прежних изданиях алгебры Киселева. Здесь для определения иррационального числа брался несущественный признак, а именно—быть корнем я-ой степени из рационального числа. Благодаря этому обширные классы иррациональных чисел выключались из определения. Вообще обычно введение несущественных признаков в определение суживает круг понятий, отвечающих соответствующему термину.

d) В определение вводятся такие видовые признаки, которые приводят определяемое понятие в противоречие с ранее установленными понятиями. Примером подобного определения может служить уже рассмотренное выше определение иррационального числа, как „числа, из которого не извлекается корень“, или определение действительного числа как некомплексного и др.

е) Определения—тавтологии. Тавтологией называется определение термина через тот же термин. Такие словесные формулировки решительно ничего не определяют. Излюбленными тавтологиями учащихся являются следующие: „Касательной к окружности называется прямая, которая касается окружности“, „Переменной величиной называется такая, которая меняется“ и др.

Ошибки, связанные с неправильным употреблением слов обыденной речи

С точки зрения внешней структуры каждое определение представляет собой какую-то фразу, т. е. состоит из некоторого сочетания слов. Часть этих слов— термины, а другая часть—слова, которые мы употребляем в обыденной речи. Например, „общий“, „лежит“, „принадлежит“, „пересекается“ и т. п. Понятно, что для таких слов мы специальных определений не даем. Но это можно делать лишь при том непременном условии, что подобные слова имеют единственный, совершенно ясный и точный, всеми одинаково понимаемый смысл. Употребление же слов, которые могут пониматься в различном смысле, естественно делает определение неясным и неточным. С такого рода нелепыми и неточными формулировками приходится особенно часто встречаться, когда учащиеся пытаются высказать определение не по-книжному, а выразить его своими собственными словами. Но и учебники бывают небезгрешными в этом отношении. Во многих дореволюционных учебниках арифметики и алгебры пытались найти для действия умножения такое определение, которое одинаково годилось бы для всех чисел, для целых и дробных, для положительных и отрицательных, т. е. такое, которое не приходилось бы изменять при переходе от одного типа чисел к другим. Такой универсальной формулировкой считали: „Умножить одно число на другое, это значит из множимого составить новое число так, как множитель составлен из единицы“ (например, определение действия умножения положительных и отрицательных чисел в алгебре Давидова

и других учебниках). В этом определении таким неясным и многомысленным словом является слово „составлен“. Как понимать фразу „составлен из единицы“? Да в нее можно вложить разное содержание. Лицо, употребляющее определение, о котором идет речь, надо думать, понимает его так: в произведении 5 • множитель -с составлен из единицы следующим образом: единица разделена на четыре равные части и взята сумма трех таких частей. Следовательно, число 5 надо также разделить на четыре равные части и взять сумму трех таких частей. Получим: 5- -7- = -x'^~~J“ • ^° мы мжем представить себе число -у составленным из единицы и по-другому, в частности:

Но тогда произведение 5 • -у- представится в таком виде:

Мы получим неверный результат.

Остановимся еще на одной подобной же формулировке, встречающейся в таком солидном учебнике геометрии, как руководство Давидова: „Из двух наклонных та, которая дальше отстоит от перпендикуляра, больше другой“. Здесь неверно употреблено слово „отстоит“, ибо совершенно неясно, что следует понимать о расстоянии между двумя пересекающимися прямыми.

§ 5. Методика обучения формулированию определений

Методика обучения давать правильные определения несложна и не требует каких-нибудь специальных приемов. Нужна лишь повседневная, упорная и систематическая работа учителя с учеником.

Прежде всего в течение всего времени обучения в школе, начиная с первого класса и кончая десятым, не должно быть ни одного урока по математике, на котором не спрашивались бы определения по крайней мере нескольких понятий. Должны спрашиваться не только определения тех терминов, которые входят в заданный урок, но и всех тех понятий, которые изучались прежде и так или иначе связаны с содержанием текущего урока. Полезно время от времени, если позволят условия урока, вспоминать определения, усвоенные и значительно раньше.

Учитель должен всегда внимательно вслушиваться в произносимые учащимися формулировки с тем, чтобы иметь возможность обнаружить всякую сделанную в определении ошибку, сейчас же указать на нее и тут же добиться, чтобы эта ошибка была всеми осознана. Мы специально подчеркиваем слова „внимательно вслушиваться“, ибо нам неоднократно приходилось наблюдать во время уроков, что учитель пропускал „мимо ушей“ заведомо неверные формулировки учащихся, и таким образом неверные определения сходили за верные. Приходилось нам также наблюдать, что, если ошибка ученика в определении формально и исправлялась, то сущность ее так и не доводилась до сознания учащихся. Всякая сделанная учащимся ошибка должна быть им осознана. Если ученик девятого класса на вопрос, что такое предел переменной, ответит: „это, когда разность между постоянной и переменной есть бесконечно-малая величина“, учитель обязан немедленно добиться того, чтобы ученик сам установил то ближайшее родовое понятие, к которому относится слово „предел“. Если ученик скажет, что параллелограм есть фигура, у которой противоположные стороны параллельны, то учитель тут же должен начертить на доске правильный шестиугольник и показать, что эта фигура также подходит под сказанное определение. Если учащийся скажет, что параллелограм есть четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и паралелльны, то учителю надо спросить: „а есть ли такие четырехугольники, у которых противоположные стороны были бы попарно паралелльны, но не равны?“ и т. д. Всякая ошибка в определении тут же на месте должна быть разобрана и ее смысл уяснен.

Но даже если учащиеся и правильно формулируют определения, нужно время от времени проверять, в какой мере они понимают их содержание. Дети нередко

воспринимают и повторяют слова, не понимая их смысла. Кроме того, словесная формулировка вообще легко заучивается учащимися наизусть без того, чтобы как следует сознать ее содержание. Всем известно, например, как охотно записывают дети всякие правила, без заботы о понимании их сущности. Поэтому здесь нужен постоянный контроль учителя: а как понимают учащиеся то, что они говорят? Не нужно жалеть времени на такой контроль.

Очень вредит делу неразумное требование учителя, чтобы дети учили формулировки определений наизусть и отвечали их слово в слово по книге или так, как это было им продиктовано. Подобная требовательность способствует формальному усвоению учащимися учебного материала. Учителю нужно радоваться, если учащийся сумел своими словами грамотно передать суть определения — пусть это будет даже в более пространной форме, чем это бы ему хотелось. Всякая такая разумно осуществленная учащимся свобода в составлении определения делает очень вероятным то, что и смыслом определения он также владеет. На первом месте должен стоять смысл произносимых фраз, а затем форма. Учитель всегда имеет возможность приучить ученика постепенно к переходу от пространных формулировок к более кратким. Заучивание же определений наизусть должно требоваться лишь в тех крайних случаях, когда ученик никак не может передать нужные мысли своими словами. Но и то такое заучивание следует рассматривать как начальную стадию в обучении составлять определения. Таким образом, если ученик скажет определение такими же словами, как в книге, это хорошо. Скажет правильно своими словам, это тоже неплохо. Только в этом последнем случае учителю нужно особенно внимательно прислушиваться к речи учащегося, так как здесь легко появляются ошибки вследствие неправильного употребления слов, взятых из обиходной речи: определение может выйти неточным или даже смысл его может быть искажен. Здесь, конечно, необходимо немедленное вмешательство учителя, и ошибки в таком определении должны быть всеми осознаны.

ПЕРВЫЕ УРОКИ АЛГЕБРЫ

А. БАРСУКОВ (Москва)

Первые уроки являются одним из важнейших этапов в изучении школьного курса алгебры. Основное содержание их составляет введение буквенных обозначений для чисел. От того, насколько глубоко и сознательно овладеют учащиеся буквенной символикой, в значительной, пожалуй, в решающей степени зависит качество усвоения всего курса алгебры.

В качестве основного итога первых уроков алгебры должно быть твердое и отчетливое усвоение учащимися следующих положений:

1. Всякая буква в алгебраическом выражении представляет собою некоторое число, и только число. (С символическим буквенным обозначением математических операций, напр. lg, sin, cos и т. п., учащиеся встретятся только в старших классах, и пока с этим можно не считаться.) Нужно добиваться того, чтобы при взгляде на букву в алгебраическом выражении в голове ученика она ассоциировалась с каким-то числом, вызывала представление о числе. То, что ученик „не видит“ за буквой числа, и является причиной первой серии типичных ошибок, хорошо известных всем учителям. Именно, ученик пишет: а-\-а — а}\ а - а~2а и т. п., хотя тот же ученик никогда не напишет 5 + 5 = 52 или 5 • 5 = = 2-5.

2. Ученик должен ясно осознать, что буква в алгебраическом выражении может представлять собою любое число (если, конечно, условия задачи не налагают на множество допустимых значений те или иные ограничения). Недостаточно отчетливое осознание этого факта влечет за собой другую серию типичных ошибок, заключающуюся в утверждениях, что, например, ab всегда больше а, а* больше а и т. п.

3. Действия над числами, выраженными буквами, подчиняются полностью тем же законам арифметики, что и действия над числами, изображенными с помощью цифр. Поэтому ученик должен знать, что всякий раз, когда у него возникает сомнение в правильности той или иной операции, то наилучшим способом самопроверки является подстановка вместо букв каких-либо чисел. Законность или правильность операции тогда становится ясной. К такой проверке надо всемерно побуждать учащихся, особенно на первых этапах изучения алгебры. (В дальнейшем, по мере приобретения и механизации навыка в тождественных преобразованиях, необходимость в такой проверке будет сама собой постепенно отпадать.)

Совершенно ясно, что все эти три положения категорически требуют самой тесной увязки первых уроков алгебры с арифметикой. (Заметим, что, может быть, несколько в меньшей степени, но эта связь должна иметь место на всем протяжении курса алгебры VI и VII классов.)

Это требование полностью совпадает и с элементарным методическим правилом: при объяснении нового материала исходить из известного, привлекать полученные ранее знания как базу для лучшего понимания и усвоения нового.

Формы этой связи подсказываются уже приведенными выше положениями: обоснование производимых операций над буквенными выражениями законами арифметических действий и числовая проверка результатов должны занять прочное место в начальном курсе алгебры. Сюда следует еще присоединить обязательное решение арифметических задач с буквенными данными. Под этим углом зрения и дается ниже примерное изложение первых уроков курса алгебры VI класса.

Материал первой темы может быть распределен на 14 уроков примерно по такому плану:

1. Вводная беседа о предмете алгебры. Решение арифметических задач с записью решения в виде формулы . . 1 урок

2. Введение букв. Решение задач в 1—2 действия.............2 урока

3. Алгебраическое выражение. Численная величина алгебраического выражения. Решение задач в 2—3 действия ................ 3 урока

4. Коэфициент............ 1 урок

5. Возведение в степень.......2 урока

6. Порядок действий........- . 1 урок

7. Свойства арифметических действий . 3 урока

8. Контрольная работа.........1 урок

Подчеркиваем, что этот план является только примерным. В зависимости от конкретных условий возможны различные варианты как в порядке прохождения отдельных вопросов раздела, так и в распределении часов между ними. Ничего не будет плохого, если учитель в интересах лучшего усвоения отведет на всю тему не 14, а 15 часов. Именно здесь, на начальном этапе изучения новой дисциплины, спешить не следует, а затраченные лишние 1—2 часа возместятся более быстрым и сознательным усвоением последующих разделов.

Перейдем теперь к обзору материала по отдельным темам.

1. Вводная беседа. Решение задач

В школьном учебнике алгебры Киселева, как, впрочем, и в большинстве учебников, вышедших за последние десятилетия, отсутствует определение предмета алгебры. И это вполне правильно: если в математической литературе можно встретить различные определения алгебры как науки1, то школьный курс элементарной алгебры, представляющий собою конгломерат сведений из различных математических дисциплин, вообще не поддается определению с какой-либо единой точки зрения. Проще всего было бы перечислить разделы, входящие в школьный курс алгебры („будем изучать иррациональные числа, уравнения“ и т. д.), но такой перечень, конечно, не даст учащимся никакого представления о предмете алгебры, так как самые слова „уравнения“ и пр. ничего им не говорят. Поэтому учитель должен воздержаться от попытки в самом начале курса дать определение предмета алгебры.

Но вполне вероятно и совершенно естественно, что ученики, уже узнавшие, что ботаника, например, изучает строение и жизнь растений, зоология — строение и жизнь животных, наконец, что геометрия изучает формы и размеры тел, сами зададут учителю вопрос: а чем занимается, что изучает алгебра? Просто „отмахнуться“ от ответа на такой вопрос („потом узнаешь“) со стороны учителя было бы неправильно.

Поэтому следует признать целесообразным, чтобы учитель на первом же уроке алгебры провел небольшую вступительную беседу, в которой, отправляясь от уже известного ученикам предмета — арифметики, в некоторой мере осветил бы перед учащимися вопрос, чем они будут заниматься на уроках алгебры. Содержание этой беседы кратко сводится к следующему.

„В арифметике мы изучали числа и их свойства. Сначала имели дело только с целыми числами; затем, после того как приобрели достаточный навык в действиях с целыми числами, мы стали изучать новые числа — дробные и правила действий с ними. В алгебре мы будем продолжать изучать эти целые и дробные числа, но, кроме, того, введем еще новые числа и будем изучать правила действий с ними.

В арифметике мы изучали четыре действия с числами: сначала сложение и вычитание, а затем еще умножение и деление. В алгебре мы будем продолжать изучение этих четырех действий, но, кроме того, введем еще некоторые новые действия и будем изучать законы этих действий.

В арифметике мы занимались решением задач, причем применяли различные способы решения (способ пропорции, приведения к единице и др.). В алгебре мы познакомимся еще с новыми, практически особенно ценными, способами решения задач“.

Таково примерное содержание беседы. Этого, по нашему мнению, вполне достаточно, чтобы создать у учеников некоторое представление о предмете дальнейших занятий, тем более, что в ближайшее же время они познакомятся и с новыми числами (отрицательными), и с новыми действиями (возведение в степень), и с новым методом решения задач (с помощью уравнений), на что в соответствующие моменты и следует обратить их внимание.

Само собою разумеется, что под вступительной беседой мы разумеем не сухую лекцию учителя, хотя бы в том виде, как это изложено выше, но действительно живую беседу в вопросо-ответной форме: „Какие числа вы знаете из арифметики?“

1 См., например, по этому вопросу:

1. В. Ф. Каган, Что такое алгебра? Одесса, 1910.

2. О. Ю. Шмидт, Алгебра, статья в БСЭ, т. 2.

3. А. Г. Курош, Современные алгебраические воззрения. Что такое алгебра? — статья в .Сборнике статей по философии математики“ под ред. С. А. Яновской. М., 1936.

„Какие действия с ними изучали?“ „Действия с какими числами были для вас труднее?“ „Вот почему дробные числа мы и начали изучать на несколько лет позднее, чем целые“, „Как вы решите такую-то задачу?“ (Задача в 2—3 действия хотя бы на пропорциональное деление.) „В дальнейшем такие задачи мы будем решать гораздо более простым и коротким способом“ и т. п.

В VIII классе при изучении раздела о функциях можно указать, что учение о функциях (целых рациональных), в частности вопрос о их нулевых значениях (решение уравнений), занимает одно из центральных мест в элементарном курсе алгебры.

Наконец, в X классе в конце курса можно дать в возможно популярной форме общую характеристику предмета современной алгебры как научной дисциплины.

Переходим ко второму разделу первого урока — решению задач.

Учащиеся уже в V классе практиковались в записи решения задачи в виде числовой формулы, не производя промежуточных вычислений до ее получения. Поэтому целью данного урока является лишь на двух-трех задачах воспроизвести в их памяти такую форму записи решения для увязки с дальнейшей записью решения задачи в общем виде с помощью букв. (Впрочем, если окажется, что учащиеся обладают в этом отношении очень слабым навыком, то, возможно, придется отвести на тренировку в записи решения числовой формулой и второй урок.)

Для решения подбираются несложные задачи в 2, максимум в 3 действия. В качестве первой можно предложить хотя бы такую задачу:

„Коля купил 4 тетради по 18 коп. и учебник за 80 коп. Сколько заплатил он за всю покупку?“

Решается задача обычным путем — по вопросам. В итоге получается формула: 18*4 -f- 80. Вычисление дает 1 р. 52 к. Затем другому ученику дается аналогичная задача: „Ваня купил 5 тетрадей по 16 коп. и учебник за 65 коп. Сколько заплатил он за всю покупку?“

Получается формула 16 • 5 + 65. Выясняется, что действия и порядок их в обеих задачах одни и те же, разница только в числах. Поэтому третьему ученику для задачи:

„Вася купил 6 тетрадей по 20 коп. и учебник за 90 коп.“ предлагается, исходя из предыдущих задач, сразу написать формулу решения.

Вторую задачу можно дать несколько посложнее, например:

„Для школы закуплено 80 учебников по алгебре и 60 задачников, всего на 250 рублей. Сколько стоил задачник, если учебник стоил 2 рубля?“

Получается формула: -—-

Следующему ученику дается аналогичная задача:

„Для школы закуплено 90 учебников и 75 задачников по арифметике, всего на сумму 405 руб. Сколько стоит учебник, если задачник стоит 3 руб.?“ и предлагается сразу написать формулу ее решения. Этими двумя примерами можно и ограничиться, лишь добавив к ним в качестве задания на дом 2—3 задачи в 3—4 действия.

В итоге можно сделать вывод, что ряд однородных (сходных) задач решается при помощи одинаковой формулы, лишь с разными числами. Этот вывод и будет служить вступлением к следующему уроку.

2. Введение букв

Введение буквенных обозначений следует начать с нескольких вариантов простой задачи в одно действие, в которой один из компонентов остается одним и тем же, а другой принимает различные значения. Примеры таких задач:

1. В палатке продаются арбузы по 5 рублей за килограмм. Сколько должен получить продавец за арбуз весом 3 кг? 5 кг? 31/2 кг?

2. Поезд в среднем проходит 40 км в час. Какое расстояние пройдет он за 4 часа? 6 часов? 7х/2 часов?

3. Килограмм хлеба стоит 3,4 рубля. Сколько нужно заплатать за 2 кг? 4 кг? Б1/. **?

4. Окружность в 3,14 раза длиннее своего радиуса. Чему равна длина окружности, если радиус равен 3 см? 5 см? 4,5 см?

Решение первой задачи в ее первом варианте дает формулу 5 • 3, во втором — формулу 5 • 5 и в третьем 5 • З1/*.

Вместе с учащимися устанавливается, что продавцу приходится все время решать множество похожих друг на друга задач и решать их одним и тем же способом, именно: цену одного килограмма умножать на вес арбуза. Нельзя ли решение всех этих задач выразить одной формулой? Другими словами, нам требуется написать произведение цены килограмма арбуза на вес арбуза. Так как цена килограмма все время одна и та же, то, очевидно, она (то-есть число 5) и будет первым множителем; второй же множитель все время меняется. Обозначим поэтому его какой-нибудь буквой, например буквой а. Таким образом, а означает какое-то число килограммов, какое именно будет весить арбуз. Тогда стоимость арбуза запишется так:

5 • а.

Стоит вместо а подставить любое число — вес арбуза в килограммах, и мы получаем стоимость арбуза. Так, при а = 3 получим решение первой задачи, при а = 5 — второй и т. д.

Но раз так, то мы и самую задачу можем сформулировать, как говорят, в общем виде, именно:

„В палатке продаются арбузы по 5 рублей за килограмм. Сколько стоит арбуз весом в а килограммов?“

Формула 5а и дает решение этой задачи для арбуза любого веса.

Таким же ходом рассуждений, но уже гораздо быстрее, получится для второй задачи формула

40-t

(указать, что принято употреблять буквы латинской азбуки).

После этого можно перейти к решению аналогичных задач, уже сразу сформулированных в общем виде, т. е. имеющих одно из данных в буквенном обозначении, например:

„Рабочий получает в день 12 руб. зарплаты. Сколько рублей он получит за m дней?“ и т. п. Преподавателю не представит труда придумать сколько угодно подобных задач1. На этом же уроке следует дать 2—3 задачи и на деление, как, например:

„На одном складе х кубометров дров. На другом в 3 раза меньше. Сколько кубометров дров на втором складе?“

Можно давать задачи и в 2 действия, например:

„В одной школе а учеников, в другой в 2 раза больше, а в третьей в 2 раза меньше, чем в первой. Сколько учеников в каждой школе?“

Отметим, что можно уже при решении первых же задач указать на принятое соглашение опускать знак умножения между числом и буквой, но можно отнести это и на последующие уроки, когда в выражении будут фигурировать несколько букв и соглашение можно уже дать полностью (то-есть указать, что знак умножения опускается и между буквенными множителями).

На следующем уроке следует ввести действия сложения и вычитания, начав хотя бы с такой задачи.

„Брат на 5 лет старше сестры. Сколько лет брату, если сестре 18 лет? Сколько будет лет брату, когда сестре будет 22 года? 31 год? 38 лет?“

И здесь устанавливается, что сколько бы ни было лет сестре, брату будет больше на 5 лет, что приводит к формуле:

а + 5

Теперь, когда учащиеся несколько освоились с буквенным обозначением чисел, можно наряду с конкретными задачами, подобно приведенным выше, уже дать несколько задач и отвлечённого характера, например:

1. Некоторое число записано в виде За. Чему равно это число, если а = 4; 21/,; 0; 1; 0,3?

2. Решив некоторую задачу, получили формулу m — 7. Каков будет ответ задачи, если m = 15; Ю1/^ 7?

3. Дано некоторое число /?. Как написать число, в 2 раза большее его?

4. Дано число а. Как написать число, меньшее его на 5 единиц?

Заметим, наконец, что уже на данном уроке можно задать несколько вопросов, углубляющих понимание учащимися буквы как „некоторого“ числа, заставляющих их подумать, какое именно число может представлять данная буква. Вот примеры таких вопросов:

1 Довольно большой подбор задач для первых уроков алгебры (103 задачи), а также, и для дальнейших разделов дан в книге автора настоящей статьи: „Уравнения 1-й степени в средней школе.“ Учпедгиз. 1944, а также в статье „Уравнения 1-й степени в VI классе“ в сборнике' „Математика в школе.“ Учпедгиз, 1943.

1. Всегда ли число 2т будет больше, чем т? (Нет: при т=0 эти числа равны.).

В связи с этим вопросом полезно обратиться к задачам 3 и 4 и установить, что первая не имеет решения при р = 0, а вторая при а < 5. Но, пожалуй, лучше выяснить это непосредственно при решении самих задач.

2. Всегда ли a-f-3 больше, чем а? (Всегда).

3. Всегда ли а + 3 больше, чем 3? (Нет).

4. Является ли число Ът целым числом? g— дробным числом? (Могут быть и теми и другими. Дать числовые примеры.)

Но при недостатке времени такого рода вопросы могут быть отнесены на дальнейшие уроки.

В итоге этих (а также дальнейших) упражнений учащиеся должны ясно осознать, что под всякой буквой можно подразумевать любое число — целое, дробное (меньшее, большее единицы), нуль (конечно, если эта буква в последнем случае не является делителем). В конкретных задачах возможные значения букв могут ограничиваться условием задачи или самым характером величины, числовое значение которой обозначено буквой. На эти ограничения следует систематически обращать внимание учащихся. В дальнейшем при составлении и исследовании уравнений это принесет существенную пользу.

3. Алгебраическое выражение

Три последующих урока должны быть посвящены дальнейшему расширению буквенных обозначений. Здесь даются задачи, решаемые в 2, в 3, а затем и в 4 действия, притом уже с двумя и тремя буквенными данными.

При подборе задач должны быть учтены следующие положения.

1. В большинстве задач должны одновременно фигурировать и числовые и буквенные данные. Например:

„Смешано m кг печенья по 8 руб. килограмм и п кг по 12 рублей килограмм. Сколько будет стоить килограмм смеси?“

Такое сочетание числовых и буквенных данных приучает смотреть на числа, изображенные буквами, как на равноправные с числами, изображенными цифрами. Яснее осознается „числовая сущность“ буквы.

2. Особое внимание следует уделить задачам на разностное и кратное сравнение (на столько-то больше, меньше; во столько-то раз больше, меньше). В задачах на составление уравнений именно такого рода соотношения между величинами встречаются наиболее часто. Навык в написании величин, находящихся в разностном и кратном отношении (как, впрочем, и вообще решение задач с буквенными данными), в дальнейшем значительно облегчит овладение навыком в решении задач при помощи уравнений.

3. Подобрать задачи легче всего из задачников по арифметике для IV и V классов, заменив в них некоторые числовые данные буквенными.

4. Среди других задач должны быть даны и упражнения из §§ 1 и 2 из задачника Шапошникова и Вальцова. Эти упражнения обычно носят название алгебраического диктанта. Они дают некоторую предварительную тренировку, главным образом для составления уравнений по условиям задачи. Однако мы бы не рекомендовали очень увлекаться такого рода упражнениями. Дело в том, что при решении арифметических задач с буквенными данными постоянно придется составлять выражения такого же типа, как и в этих упражнениях. А в задачах на составление уравнений учащимися приходится иметь дело именно с теми же величинами и зависимостями, которые встречались им в арифметических задачах. Поэтому решению последних мы придаем большее значение, чем „алгебраическому диктанту“.

Что касается методики решения задач, то здесь надо иметь в виду следующее.

1. При решении каждой задачи после получения ответа давать в полученном выражении буквам одно, два числовых значения. Обратить внимание на особые случаи при некоторых значениях букв, если это имеет место. Например, в некоторых случаях получается дробное число, которое по условию задачи не годится. В случае, если в выражение входит разность, обратить внимание на то, что уменьшаемое должно быть не меньше (а иногда больше, например когда разность входит в знаменатель), чем вычитаемое и т. п.

2. Нужно предусмотреть и заранее спланировать по урокам ряд вопросов, заставляющих учащихся глубже почувствовать, осознать „числовую сущность“ каждой буквы. Часть таких вопросов приведена в предыдущем параграфе. Если они были заданы на предыдущих уроках, их полезно повторить, добавив к ним вопросы для выражений, состоящих из нескольких букв, например:

„Всегда ли ab больше, чем.а“? (Нет, может быть и равно и меньше.)

„Когда aô = a?“ (Обычный ответ: при Ь = \, и упускается случай а — О.)

„Всегда ли а + й больше а?“ (Нет).

„Может ли а-\- b быть меньше, чем а?а (Нет: только больше или равно)1 и т. п.

Такого рода вопросы не нужно, конечно, сосредоточивать на одном уроке. Как уже сказано, их надо заранее распределить на несколько уроков, связав каждый с какой-либо задачей. Большей частью они легко увязываются с задачами отвлеченного характера, как это было показано в предыдущем параграфе.

3. В процессе решения задач следует ввести термины: „алгебраическое выражение“ и „числовая величина“ или „числовое значение“ буквенного выражения. Никоим образом не следует заставлять учащихся заучивать данное в учебнике Киселева „определение“ алгебраического выражения. (Его можно лишь прочитать вслух в классе и разъяснить смысл каждой фразы.) Во-первых, этот термин совсем не является таким математическим понятием, на котором базируются дальше какие-либо выводы или теоремы (подобно, например, понятиям „прогрессия“, „логарифм“, „окружность“ и т. п.). Во-вторых, данное у Киселева определение никак нельзя назвать удачным. Насколько проще и короче определение, данное в учебнике Александрова и Колмогорова: „всякая запись чисел и действий над ними называется алгебраическим выражением“.

4. Для нахождения числовых значений алгебраических выражений, кроме использования для этой цели ответов, получаемых при решении задач, следует включить и упражнения, обычно называемые „примерами“, т. е. упражнения типа №№ 259, 261, 263, 264 из § 9 главы 1 задачника Шапошникова и Вальцова. После введения понятия о степени следует учесть и остальные задачи этого параграфа, или аналогичные им.

5. При вычислении алгебраических выражений применяются различные формы записи. Например:

Найти числовую величину выражения

Мы прежде всего возражали бы против второй формы записи, как могущей повести к недоразумениям. Пусть, например, требуется вычислить х2 —- Ъх -f - 5 при х=7. Получим:

По существу первая строка представляет собою уравнение, в котором х имеет вполне определенные значения.

Первая форма представляется нам тоже не совсем удачной, особенно в случаях, когда буквам дается не одно, а несколько значений. Наиболее удобной мы считаем такую запись:

Вычислить

1 Такого рода вопросы следует снова задавать после введения отрицательных чисел. Понятно, что ряд ответов соответственно изменится.

В первоначальных упражнениях полезно выписывать все промежуточные вычисления, чтобы проверить и закрепить знание учащимися порядка действий. Но затем следует все в большей и большей мере приучать производить ряд промежуточных действий в уме, в особенности напоминая о применении приемов устных вычислений.

6. Нахождение числовой величины алгебраических выражений никоим образом не должно ограничиваться уроками, специально отведенными этой теме. Наоборот, на протяжении всего курса алгебры, особенно в VI — VII классах, следует систематически прибегать к подстановке чисел вместо букв. В тождественных преобразованиях такая подстановка не только является тренировкой в вычислениях (что само по себе имеет большое практическое значение), но и служит прекрасным средством для проверки правильности полученного результата.

4. Коэфициент

Собственно говоря, определение коэфициента легко можно было дать на одном из предыдущих уроков в связи с какой-либо задачей. Если мы здесь и отводим этому понятию отдельный урок, то только имея в виду подчеркнуть необходимость введения нескольких упражнений специально на эту тему. Такие упражнения даны в § 3 главы 1 задачника Шапошникова и Вальцова.

Напомним здесь же, что в дальнейшем при изучении уравнений с буквенными коэфициентами придется расширить данное здесь определение (коэфициент может быть не только числовым, но и буквенным).

В большинстве англо-американских учебников уже сразу дается такое расширенное определение коэфициента, и даже более расширенное, чем в нашем обычном понимании. Так, в учебнике Wentworth and Smith „Academic algebra“ читаем:

„Если в выражение входит произведение двух множителей, то один из этих множителей называется коэфициентом другого.

Так, в выражении ab, а есть коэфициент Ъ, а Ъ — коэфициент а.

Множитель, рассматриваемый как коэфициент, обычно пишется первым. Так, в выражении 2тс/?, 2 есть коэфициент при тг/?, 2тс — коэфициент при /?.

Коэфициент 1 опускается, х означает то же, что 1 х.и

Мы не видим необходимости давать на первых же уроках такое расширенное толкование термину „коэфициент“. Привели же предыдущую цитату вот из каких соображений: у нас, к сожалению, довольно многие учителя (мало знакомые с учебно-математической литературой) слишком догматически воспринимают всякое определение, даваемое в учебнике, считают его единственно „правильным“ и не допускают ни малейших отклонений от него. Это, конечно, неправильно. Многие употребляющиеся в математической литературе термины не только допускают различную словесную формулировку, но часто в них вкладывают и различное содержание. Термин «коэфициент» и является одним из таких. В качестве другого примера можно указать на „тождества“, которые одни авторы учебников (Киселев) противопоставляют уравнениям, другие (Александров и Колмогоров) рассматривают как частный случай уравнений. С „научной“ точки зрения обе классификации одинаково приемлемы; с точки же зрения логической стройности вторая (тождества — уравнения, справедливые при любых значениях входящих в них букв) представляется нам более подходящей.

Что касается упражнений на уяснение и закрепление понятия о коэфициенте, то для этого дает в общем достаточно материала § 4 гл. 1 задачника Шапошникова и Вальцова. Отметим здесь лишь следующее :

1. Учащихся (да и учителей) иногда смущают упражнения типа №№ 63—65.

Например з^Ь^ - Не является ли здесь 4- уже коэфициентом? Конечно, да, так как ^ есть не что иное, как ~j *• Приводя выражение у -f- ~ к виду или

Y*, мы, по существу, приводим подобные члены, то-есть складываем коэфициенты.

Отметим, что во французских учебниках этот вопрос трактуется так. Во-первых, одночлен определяется как произведение числовых и буквенных множителей. Во-вторых, вводится понятие „приведенной формы“ (forme réduite) одночлена. Под последней понимается одночлен, в котором на основе переместительного и сочетательного законов выполнены все возможные умножения. (Например: ЪаЬЪа = 5 • Saab « \5агЬ). Тогда многочлен состоит из числового множителя, который называется коэфициентом, и буквенной части1.

В связи с этим мы рекомендуем исключить упражнения №№ 63 и 70, так как с нашей точки зрения их нельзя написать без коэфициентов. (Тогда как в правой части равенства 4ab = ab~\~ab-\- ab -f ab коэфициент 1 не написан, он только подразумевается.)

2. Следует к упражнениям задачника добавить несколько упражнений, связанных с коэфициентом, равным единице. Например:

1) Назвать коэфициенты в выражениях:

2) В выражениях:

За+1; 1 -6 + 3; 1

где можно опустить единицу и почему?

3) Чем является единица в выражении 5а+1? в выражении 1 «a-f-5?

и т. п.

Такого рода вопросы в значительной мере могут предупредить ошибки в дальнейшем (например при разложении на множители выражений вида За3—2а2-(-а.)

5. Возведение в степень

Первый из двух уроков, отведенных на данную тему, следует посвятить только второй и третьей степеням. Начав с элементарной задачи, например:

„Длина и ширина комнаты содержат по k метров. Чему равна площадь пола?“,

ввести определение и обозначение второй степени и закрепить новое понятие путем вычислительных упражнений, включая упражнения из §4, главы 1 задачника Шапошникова и Вальцова, и решения задач типа:

„Рабочий работал по с часов в день, зарабатывая в среднем по 4 р. в час Сколько он заработал за с дней?“

„Ширина огорода d м, длина в 3 раза больше ширины. Какова площадь огорода?“

Понятно, что и эти задачи должны служить материалом для вычислительных упражнений и возведений в квадрат при различных числовых значениях букв.

Особое внимание следует обратить на возведение в квадрат смешанных чисел, чтобы предупредить обычную ошибку учащихся : (з у )2 = 9 у- .

В таком же порядке вводится понятие и даются упражнения на третью степень.

Нужно требовать, чтобы учащиеся постепенно заучили наизусть квадраты натуральных чисел до и кубы до 10. На втором уроке дается уже общее понятие о степени и проводятся упражнения на вычисление алгебраических выражений из § 9 задачника Шапошникова и Вальцова.

6. Порядок действий

По вопросу о порядке действий существуют две точки зрения на взаимоотношение между умножением и делением. Одна ставит эти действия в равноправное положение (действия совершаются в том порядке, как они написаны) так же, как сложение и вычитание, возведение в степень и извлечение корня. Такая точка зрения проводится и в учебнике Киселева. Другая точка зрения отдает предпочтение умножению перед делением (сначала производится умножение, хотя бы оно стояло и после деления. Например: 48:3-4 = 48 :12 = 4, тогда как с первой точки зрения 48:3-4»\6-4 = = 64. Такая точка зрения проводится, например, в учебнике Александрова и Колмогорова.

Мы стоим всецело на первой точке зрения. Не вдаваясь здесь в детальную

1 A. Benoit, Algèbre. Classe dem athematlques. Paris, 1944 г.

A. Chatelet et R. Ferrieu, Geometrie et algèbre; classe de troisième. Paris, 1935 г.

аргументацию по существу1, заметим лишь, что, во-первых, эта точка зрения является более стройной и более понятной учащимся: действия каждой ступени равноправны по отношению друг к другу и совершаются в том порядке, в каком написаны. Трудно, если не невозможно, найти понятный для учащихся довод в пользу того, что сложение и вычитание, возведение в степень и извлечение корня подчиняются одному правилу, а умножение и деление почему-то другому.

Во-вторых, и это главное, преподаватель нашей школы просто вынужден проводить первую точку зрения, так как именно она проводится в арифметике в начальной школе и в V классе. Все учебники и задачники по арифметике построены на принципе равноправия умножения и деления. Переучивать учащихся в этом отношении было бы просто дико. Другое дело, если бы вторая точка зрения проводилась с самого начала обучения арифметике. Но такая „реформа“ не вызывается никакой необходимостью, а, главное, проведение ее явится задачей колоссальной трудности: пришлось бы переучивать десятки тысяч учителей и выбросить за непригодностью десятки миллионов существующих задачников по арифметике и других пособий, что не имеет никакого оправдания. (Дело не только в том, чтобы изменить „ответы“, как в приведенном выше примере, а в том, что ряд упражнений уже не может иметь места при новом правиле. Так, упражнение 4:2-3 уже не годится в пределах первого десятка, упражнение 48:16-4—до изучения дробей ит. д.).

Порядок действий полезно проиллюстрировать на нескольких задачах, как, например:

„На складе было а ц угля. В течение k дней на склад привозили еще по Ъ ц ежедневно. Сколько стало угля на складе?“ (a + bk).

„Из двух городов выехали навстречу друг другу два велосипедиста. Один ехал со скоростью m км, другой п км в час. Через р часов они встретились. Чему равно расстояние между двумя городами?“ Решить двум способами \mp-\-np\ +

„Побелка стен комнаты, длина и ширина которой / метров, стоила m руб. Покраска пола обошлась в а руб. за квадратный метр. Сколько стоит весь ремонт?“ (/tt-f-a/2).

Не следует увлекаться упражнениями типа №№ 161 — 162 § 1 главы 1 задачника Шапошникова и Вальцова. В смысле математического развития они ничего не дают, в отношении уяснения порядка действий ничем не помогают, а требуют для своего прочтения таких путаных фраз, от которых, как говорится, „язык можно сломать“ (см., например, №№ 166, 167).

Впрочем, и эти примеры можно использовать, если только подойти к ним по-другому: не требовать „прочесть словами“ эти выражения (по крайней мере, более сложные из них), а отнести их к упражнениям 186—19&, т. е., продиктовав ученику выражение, спросить его: „Скажи, в каком порядке ты будешь вычислять это выражение, если вместо букв подставишь числа?“

Понятно, что должны быть исключены все номера, в которые входит извлечение корня.

7. Свойства арифметических действий

Этот раздел представляет собой по существу повторение пройденного по арифметике. Это повторение необходимо прежде всего потому, что на свойствах арифметических действий основаны все тождественные преобразования, а также решение уравнений. В то же время, пройденные в течение длительного промежутка времени, они обычно очень бессистемно, отрывочно складываются в памяти учащихся и в значительной части забываются. Наконец, имеет значение и то, что здесь эти свойства могут быть при помощи буквенных обозначений выражены в общем виде.

Но если только изложить в декларативном порядке свойства арифметических действий так, как это сделано в учебнике Киселева, то вряд ли получится от этого большая польза. Перед учащимися промелькнет калейдоскоп правил, заучивать которые довольно скучно и которые в лучшем случае он запомнит чисто механически.

1 Подробнее об этом см. нашу статью „К вопросу о порядке действий“. „Математика в школе“. 1941 г., № 3.

Вот почему мы отводим на этот раздел не менее трех уроков с тем, чтобы каждое или почти каждое свойство вывести из конкретной задачи с буквенными данными и иллюстрировать затем подстановкой числовых значений вместо букв.

Метод изучения каждого свойства один и тот же. Дается задача, которая двумя учениками решается двумя различными способами. Один способ дает левую часть формулы, например a-f-(ô — с), другой-правую (а + Ь—с). Так как ответ в обоих случаях должен быть один и тот же, то оба выражения приравниваются друг к другу: a + (ô—c) = a + b—с. Полученная формула проверяется подстановкой числовых значений и дается словесная формулировка свойства.

Так как в задачниках обычно отсутствуют специально подобранные задачи для иллюстрации перечисленных в учебнике алгебры свойств, то мы даем здесь подбор таких задач. Понятно, что они являются лишь примерными. Преподаватель сам может придумать задачи, аналогичные приведенным и, может быть,» более удачные.

1. Переместительный закон сложения. „В одном ящике а, а в другом b апельсинов. Сколько апельсинов в обоих ящиках?“

Можно к апельсинам в первом ящике присчитать апельсины, лежащие во втором. Получим а-\-Ь. Можно наоборот: к апельсинам во втором ящике присчитать апельсины первого. Получим b -j- а. Очевидно, должно быть а-\-Ь = Ь-\-а.

Хорошей числовой иллюстрацией этого свойства является такая задача, обычно нравящаяся ученикам.

„Город Калинин стоит на железнодорожной линии Ленинград—Москва. От Калинина до Ленинграда 443 км, а до Москвы 166 км. Сколько километров от Ленинграда до Москвы?“

Представим себе поезд, идущий из Ленинграда в Москву. Он пройдет сначала 443 км до Калинина, а затем 166 км от Калинина до Москвы. Всего он пройдет 443 км-\-\66 км, что и даст расстояние Ленинград—Москва.

Наоборот, поезд, идущий из Москвы в Ленинград, пройдет сначала 166 км до Калинина, а затем 443 км от Калинина до Ленинграда, что даст 166 км 4--4-443 км. Очевидно, что 443 км-\--f-166 км = Ш км -У 443 км = 609 км.

2. Группировка слагаемых. „На склад привезли в первый день а кубометров березовых дров и b кубометров сосновых. На второй день привезли с кубометров березовых и d кубометров сосновых. Сколько всего дров привезли за два дня“.

1-й способ:

1. Сколько дров привезли в 1-й день? a + ô.

2. Сколько дров привезли во 2-й день? с + d.

3. Сколько дров привезли в оба дчя? (a + b)^-(c + d).

2-й способ.

1. Сколько всего привезли березовых дров? а-\-с.

2. Сколько всего привезли сосновых дров? bid.

3. Сколько всего было привезено дров?

(a+c) + (b + d). Очевидно, имеем: (a + b) + (c + d)=(a + c) + (b+ d).

3. Прибавление суммы. „На складе было а ц угля. В первый день привезли еще b ц, а во второй с ц. Сколько угля стало на складе?“

1-й способ.

1. Сколько угля привезли за 2 дня? Ь + с.

2. Сколько угля стало на складе? а±(Ь+с).

2-й способ.

1. Сколько стало угля в первый день? а + Ь.

2. Сколько стало угля во второй день? (а + Ь) + с.

Будем иметь:

a + (&4-c) = (a + ô) + <7.

Примечание. Свойства сложения мы даем здесь в том порядке и в тех формулировках, как они даны в учебнике Киселева. Считаем, однако, необходимым отметить, что в научных курсах математики сочетательный закон дается только в той форме, к какой приводит задача 3, т. е. выражается формулой: я + (Ь + с) = (а -+- Ь) 4- с. Свойство же 2-е, названное у Киселева сочетательным законом, является, по существу, применением переместительного и сочетательного законов.

4. Вычитание суммы. „На складе было а ц угля. В первый день из него взяли b ц, а во второй с ц. Сколько стало угля на складе?“

Решение аналогично предыдущему. В итоге получится:

а—(Ь -\~с) = а—Ь—с.

5. Прибавление разности. „Брат и сестра ходили в лес за грибами. Брат нашел а грибов, а сестра b грибов. Но у нее с грибов оказались червивыми, и их пришлось выбросить. Сколько грибов принесли они домой?“

1-й способ.

1, Сколько хороших грибов нашла сестра? Ь—с.

2. Сколько грибов было принесено домой? а-\-(Ь—с).

2-й способ.

1. Сколько грибов нашли брат и сестра? a-fô.

2. Сколько грибов принесли они домой? а-\-Ь—с.

В итоге:

а + с) = а 4- Ъ—с.

6. Вычитание разности. „Покупатель имел при себе а руб. Он уплатил за покупку в кассу b руб. и получил сдачи с руб. Сколько денег у него осталось?“

1-й способ.

1. Сколько было уплачено за покупку? Ь—с.

2. Сколько денег осталось у покупателя? а—(Ь—с).

2-й способ.

1. Сколько денег осталось у покупателя после того, как он уплатил в кассу b руб.? а—Ь.

2. Сколько денег стало у него, когда он получил сдачи с руб.? a—Ь-\-с.

В итоге:

a—(b—c) = a—b-\-c

7. Переместительный закон умножения. „Прямоугольный участок имеет в длину a ж, в ширину b м. Какова его площадь?“ Помножив длину на ширину, а затем ширину на длину, получим ab = ba. (Для полного „равноправия“ обоих данных можно было сформулировать задачу и так: передняя стена дома имеет в длину а м, а боковая b м. Какую площадь он занимает?)

8. Сочетательный закон умножения. „Для столовой был привезен картофель на п грузовиках, по гп мешков на каждом. Сколько килограммов картофеля привезли, если каждый мешок весил а кг?

1-й способ.

1. Сколько килограммов картофеля привезли на каждом грузовике? am.

2. Сколько килограммов картофеля привезли на ri грузовиках? (am) п.

2-й способ.

1. Сколько всего мешков картофеля было привезено? тп.

2. Сколько килограммов картофеля было привезено? а(тп).

В итоге:

(ат)п*=* а(тп).

9. Распределительный закон, См. задачу о велосипедистах, приведенную в предыдущем параграфе.

10. Умножение на произведение. Дать задачу, аналогичную 8, изменив порядок способов решения. Получится формула

а(тп) = (ат)п.

Можно также, не придумывая новой задачи, при решении задачи 8, после получения формулы: (ат)п — а(тп), переписать ее в виде а(тп) = (ат)п и сразу сформулировать свойство 10.

11. Умножение произведения. Задача, аналогичная задаче 8.

12. Умножение разности. „Из одного пункта отправились в одном направлении велосипедист и пешеход. Скорость велосипедиста а км в час. пешехода b км в час. На каком расстоянии будут они друг от друга через t часов?“

1-й способ.

1. На сколько километров велосипедист обгоняет пешехода за 1 час? а—Ь.

2. На каком расстоянии они будут друг от друга через t часов? (а—Ь)t.

2-й способ.

1. Какое расстояние проедет велосипедист за t часов? at.

2. Какое расстояние пройдет пешеход за t часов? bt.

3. На каком расстоянии они будут друг от друга через t часов? at—bt.

В итоге:

(a-b)t = at—bt

13. Умножение на разность. „В столовую привезли а мешков картофеля по m кг в каждом. В первый день было израсходовано b мешков. Сколько килограммов картофеля осталось в столовой?“

1-й способ.

1. Сколько мешков картофеля осталось? а—Ь.

2. Сколько килограммов картофеля в a — b мешках? т(а — Ь).

2-й способ.

1. Сколько картофеля было привезено? та.

2. Сколько картофеля было израсходовано? mb.

3. Сколько картофеля осталось? та — mb.

В итоге:

m {а — Ъ) = та~ mb

14. Деление суммы. „Для одной школы было закуплено а тетрадей, для другой b тетрадей. Все тетради были розданы учащимся по m тетрадей каждому. Сколько учеников в обеих школах ?“

1-й способ.

1. Сколько всего закуплено тетрадей? а+ 6.

2. Сколько учеников в обеих школах?—•

2-й способ.

1. Сколько учеников в 1-й школе?—'

2. Сколько учеников во 2-й школе?

3. Сколько учеников в обеих школах?

В итоге: m 1 m

15. Деление разности. „На складе было а кг картофеля в мешках по m кг в каждом. Было израсходовано b кг. Сколько мешков картофеля осталось?“

Решение аналогично предыдущей задаче. В итоге получится формула

16. Деление произведения. „На п грузовиках было привезено m мешков картофеля по a кг в каждом. Сколько килограммов картофеля было привезено на каждом грузовике?“ 1-й способ.

1. Сколько всего килограммов картофеля было привезено? am.

2. Сколько было привезено на каждом грузовике? — “

2-й способ.

1. Сколько мешков картофеля было привезено на каждом грузовике? — •

2. Сколько килограммов картофеля в — мешках? а • —• ъ п

В итоге:

17. Деление на произведение. „Изготовленные фабрикой m резиновых мячей были уложены в коробки и упакованы в а ящиков по b коробок в каждом. Сколько мячей было уложено в каждую коробку?** 1-й способ.

1. Сколько было всего коробок? Ьа.

2. Сколько мячей было в каждой коробке? Ьа^а6-

2-й способ.

1. Сколько мячей было в каждом ящике?- -

2. Сколько мячей было в каждой коробке? ~ :Ь В итоге:

Задача несколько неудачна в том отношении, что приходится менять порядок сомножителей для того, чтобы запись соответствовала словесной формулировке, данной в учебнике (сначала разделить на первый сомножитель). Если несколько изменить формулировку (сначала на один из сомножителей), то перестановки делать не придется.

Примечание. Из курса арифметики V класса учащиеся уже знают, что деление на число а равносильно умно-

жению на обратное число Это позволяет учителю совместно с учениками выявить, что все перечисленные выше свойства деления являются прямыми следствиями аналогичных свойств умножения. Например: в п. 12 дается правило умножения разности на любое число, в частности на какое-либо число

Но умножить на ^ все равно, что разделить на а. Отсюда непосредственно получается правило деления разности на любое число а (не равное нулю). Аналогично и в остальных случаях. Такое сопоставление, обобщение, является ценным для математического развития учащихся.

Таковы примерные задачи на все свойства действий, данные в учебнике. По поводу этих задач нужно заметить следующее.

1. Совсем не обязательно все свойства до одного выявлять на задачах. Для основных свойств это нужно, а для некоторых можно, как в учебнике, ограничиться числовыми иллюстрациями и обобщением на буквах. Так можно поступить со свойствами 13, 16, 17 и др.

2. Для ясности здесь приведены решения по вопросам. Конечно, в классе не нужно писать вопросы. Они говорятся устно, а записывается лишь ответ. Другое дело, если некоторые из этих задач будут даны на дом. (А это рекомендуется, хотя бы по одной задаче на каждый урок.) Дома задача должна быть решена двумя способами, с записью вопросов. Формулировка же свойства дается в классе.

3. При записи свойств в общем виде не рекомендуется пользоваться многоточиями, как это сделано в учебнике. Можно взять не три, а больше компонентов, но всегда определенное число.

4. Каждую полученную формулу проверить подстановкой чисел вместо букв.

8. Заключение

Как мы уже говорили, изложение темы, данное здесь, является лишь рекомендуемым, но совсем не обязательным. Как распределение материала, так и дозировка его по часам могут быть изменены в ту или другую сторону в зависимости от конкретных условий. Единственное, на чем мы настаиваем со всей категоричностью, — это обязательность включения и систематического решения (на протяжении всего курса алгебры VI и VII классов) конкретных задач с буквенными данными. Помимо оживления изучения начальных глав алгебры, это окажет услугу при решении задач методом уравнений, т. е. поможет там, где в знаниях учащихся имеется слабое место.

Изучение раздела следует закончить контрольной работой. В последнюю должны войти:

1. Арифметическая задача в 4—5 действий с последующей подстановкой чисел вместо букв.

2. Нахождение числового значения алгебраического выражения (не очень сложного). Желательно дать для вычисления две системы числовых значений букв.

Напомним еще о методической ценности исторических экскурсов, оживляющих преподавание и повышающих у ученика интерес к предмету. Для данного раздела такие экскурсы должны быть посвящены развитию алгебраической символики (буквенных обозначений, знаков действий и пр.). Следует показать на примерах изложение правил в алгебре реторической (арабы), синкопированной (например Диофант) и символической (Вьета, Декарт, Ньютон).

Отдельные сведения можно давать в процессе изучения темы, а по ее завершении провести более длительную беседу. Впрочем, последнюю можно перенести на 3—4 урока далее, в течение которых, согласно программе, должны быть даны первоначальные сведения об уравнении. После этого учитель более свободно сможет начать беседу с вопроса о возникновении алгебры, которое обычно историки связывают с решением уравнений (Египет, Вавилония). Но понятно, что об уравнениях здесь следует сказать очень немного. Основное содержание беседы должно составлять, как уже сказано, развитие буквенной символики (материал можно найти в №№ 10— 14 и особенно 9 указателя, данного в конце настоящей статьи).

В заключение считаем целесообразным указать на те пункты в предыдущем изложении, по которым среди методистов существуют различные точки зрения.

1. Некоторые считают, что вводить буквенные обозначения следует на бо-

лее трудной задаче. Тогда нагляднее становится целесообразность введения буквенных обозначений (см., например, статью тов. В. Матышук „Первые уроки алгебры“. „Математика в школе“ 1938 г., № 4. Там первая же задача приводит к формуле:

Как видно из предыдущего, мы придерживаемся прямо противоположной точки зрения. В приведенных нами первых задачах действительно приходится решать целый ряд однородных задач и естественно объединить эти решения в одной формуле. Кроме того, введение сразу трех и более букв трудно для учащихся, запутывает их.

2. В изложенном здесь плане отсутствует раздел „Понятие об извлечении корня“, хотя он есть в учебнике. Мы считаем, что говорить здесь об этом действии мимоходом, чтобы тут же забыть о нем, не имеет никакого смысла. Когда дело дойдет до извлечения корня из чисел, тогда это действие и нужно вводить.

3. В данной статье нигде не дается определение „формулы“, которое имеется в учебнике. А между тем этот вопрос неясен для многих учителей и они нередко ставят его перед методистами или путем запросов в редакцию журнала. Дело в том, что данное в учебнике определение говорит о формуле как о двух алгебраических выражениях, соединенных знаком равенства или неравенства. Многие методисты строго придерживаются этого определения и даже настойчиво рекомендуют особо отметить это перед учащимися. А между тем в арифметике, как и в настоящей статье, формулой называется и то числовое (или буквенное) выражение, которое является результатом решения задачи. Получается противоречие. Некоторые находят выход из него в том, что ставят перед формулой решения: х = и тем самым подводят формулу под определение учебника. Другие избегают называть такую формулу „формулой“, предпочитая слова: решение, ответ и т. п.

Не вдаваясь в детали этого вопроса по существу, изложим здесь вкратце нашу точку зрения.

Термин „формула“ является одним из тех, о которых мы говорили выше и которые допускают различные определения с различным вложенным в них содержанием. С „научной“ стороны и то и другое не вызовет возражений.

Определение, данное в учебнике, мы считаем не неверным, а неудачным. С одной стороны, оно слишком узко (к нему не подходят формулы решения задач), с другой — слишком широко (как-то неудобно называть формулой уравнение 5 л:2 —Зх + 5 = 0, а оно целиком подходит под это определение).

Мы считаем, что „всякая запись чисел и действий над ними является алгебраическим выражением“. Если же это выражение относится к некоторым конкретным объектам, его можно назвать формулой.

Запись ^—-^ есть алгебраическое выражение. Но если оно получилось, в итоге решения задачи, оно является формулой решения этой задачи.

Запись 5 = vi можно назвать функцией двух переменных или уравнением с тремя неизвестными. Но если v означает скорость равномерного движения, a t — время, то это будет формула равномерного движения. Запись — 2а- ь просто алгебраическое выражение. Но если a, b и с суть коэфициенты квадратного уравнения, то это выражение есть формула корней этого уравнения.

Мы, конечно, не настаиваем на принятии нашей точки зрения, но считаем, что она более соответствует принятой терминологии и снимает беспокоящее учителей противоречие, которое было указано выше.

Литература для учителя

1. А. Н. Колмогоров, .Математика“ (статья в БСЭ, т. 38 )

2. О. Ю. Шмидт, .Алгебра“, (статья в БГЗ, т. 2.)

3. П. С. Александров, О новых течениях математической мысли, возникших в связи с теорией множеств. Сборник статей но философ и математики, под ред. С, А. Яновской.

4. А. Г. Курош, Современные алгебраические воззрения. Что такое алгебра? (Там же.)

5. В. Ф. Каган, Что такое алгебра?

6. В. Матышук, Первые уроки алгебры. „Матем. в школе“, 1938 г., № 4.

7. А. Н. Барсуков, Уравнения в VI классе. Сборник „Математика в школе“, 1943 г.

8. А. Н. Барсуков, Уравнения в средней школе. Учпедгиз, 1944.

9. В. И. Лебедев, Очерки по истории точных наук. Выпуск 1. „Кто изобрел алгебру“.

10. Кэджори. История элементарной математики.

11. Г. Г. Цейтен, История математики в древности и в средние века.

12 Г. Г. Цейтен, История математики в XVI и XVII веках.

13. Вилейтнер, Как рождалась современная математика.

14. В. П. Шереметевский, Очерки по» истории математики.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАПИСИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ1

Ю. О. ГУРВИЦ и С. В. ФИЛИЧЕВ (Москва)

I

При ознакомлении с письменными работами по арифметике учащихся V класса приходится отметить, что учащиеся пользуются весьма различными способами как записи действий с целыми и дробными числами, так и объяснений к решению задач.

Думается, что целесообразно поставить вопрос о некоторой унификации записи выполнения действий в арифметике, а также дать указания, как записывать учащимся краткие объяснения при решении текстовых задач.

Каждый учитель должен всегда помнить, что ему надлежит научить учащихся решать задачи. Решить задачу означает: уметь разобраться в условиях задачи, наметить правильный план решения задачи, выполнить это решение и дать ответ на вопрос задачи. Вполне понятно, что надо начинать с решения несложных (простых) задач, так как навык в решении простых задач поможет учащемуся в дальнейшем разобраться в решении составных (сложных) задач.

Умение разобраться в решении простых задач составляет один из важнейших этапов в развитии логического мышления учащихся. Составная задача, в свою очередь, требует для своего решения расчленения ее в определенной последовательности на ряд простых задач. Указание последовательности решения простых задач, на которые расчленяется составная задача, называется составлением плана решения составной задачи.

В составлении плана решения задачи, основанного на установлении зависимостей между данными и искомыми величинами, имеется богатый источник для того, чтобы приучить учащихся предварительно уяснить задачу и обосновать последовательные этапы ее решения.

Каким бы способом учащийся не решал задачу, предварительный анализ ее необходим, а потому установлению плана решения задачи (синтезу) предшествует предварительное рассуждение (анализ) о том, как использовать данные в задаче условия для ответа на вопрос задачи.

Научить учащегося провести анализ задачи, а затем составить и план ее решения — ответственная задача учителя.

На первых этапах упражнений в решении задач учитель должен добиваться того, чтобы учащийся мог пояснить в устной форме, как он рассуждает, составляя план решения заданной задачи. Лишь тогда, когда учащийся приобрел должные навыки в умении четко и просто проводить требуемое условиями задачи рассуждение, надлежит приступить к записи анализа, предшествующего плану и решению самой задачи.

Одновременно следует научить учащихся проводить проверку правильности полученного решения, однако нет надобности требовать проведения проверки решения каждой задачи; такая проверка проводится учащимся в каждом отдельном случае по указанию учителя.

Ниже приводятся образцы записей действий с целыми и дробными числами, а также примерные образцы анализа, плана и решения некоторых текстовых арифметических задач.

II

Запись действий с дробями

Смешанные числа следует читать так: 1) 7 g-— семь и три восьмых; 2) 40-^— сорок и девять десятых; 3) 7,23 — семь целых двадцать три сотых; 4) 40,9 — сорок целых девять десятых и т. д.

1 Статья помещена в порядке обсуждения.

Должное внимание необходимо уделить записи учащимися смешанного числа, когда дробная часть — обыкновенная дробь. Смешанное число следует записывать так, чтобы горизонтальная черта дроби приходилась против середины обозначения целого числа и сама дробь была бы записана на том же уровне, как и целое число. Например: 5-^-, 108у и т. д. Запись обыкновенной дроби с помощью косой черты, напр., 5%, Vu не должна иметь места в школьной практике. При записи действий столбцом знак сложения (плюс) следует ставить перед последним слагаемым, знак вычитания (минус) перед вычитаемым, знак умножения (косой крест или точка) перед множителем. Например:

При выполнении деления десятичных чисел следует приучать учащихся к приводимой ниже записи, требуя, чтобы при делении десятичного числа на десятичное в делителе запятая была опущена и делитель, следовательно, сделался бы целым числом, а в делимом запятая была бы перенесена на столько десятичных знаков вправо, на сколько десятичных знаков была перенесена запятая в делителе (так как частное не изменяется от умножения делимого и делителя на одно и то же число). При таком преобразовании делимого и делителя делимое делят на целое число, что не должно представлять для учащихся трудностей. Например:

При записи деления следует предпочесть двоеточие (:) знаку деления углом.

Отметим также, что если остаток равен нулю, то и следует поставить нуль под первой цифрой справа, не заменяя этот нуль двумя черточками или кавычками.

Несколько замечаний, относящихся к вопросу о записи при сокращении дробей.

Нецелесообразно при сокращении дроби зачеркивать числитель и знаменатель и надписывать над ними частные, полученные от деления их на одно и то же число; более целесообразно записать сокращение дроби с помощью знака равенства, например,

Иначе обстоит дело, если требуется перемножить или разделить несколько дробей. В этом случае неизбежно при сокращении зачеркивание соответствующих чисел, и надлежит добиваться, чтобы зачеркивание отдельных чисел производилось бы аккуратно косой чертой и частные от деления, в том числе и единица, записывались бы над зачеркнутым, числом.

При приведении дробей к наименьшему общему знаменателю можно разрешить учащимся на первых порах записывать над дробями дополнительные множители, отказавшись от этого по мере приобретения ими твердых навыков в приведении дробей к наименьшему общему знаменателю.

Например,

Нередко приходится встречаться с крайне неграмотным выполнением учащимися действий сложения и вычитания смешанных чисел, когда они предварительно обращают смешанные числа в неправильные дроби. Такой прием недо-

пустим. Рациональные приемы сложения и вычитания смешанных чисел указаны в решении следующих примеров:

или:

Примеры записи умножения и деления обыкновенных дробей:

В тех случаях, когда приходится выполнять действия совместно с обыкновенными и десятичными дробями, надо или обыкновенные дроби заменить десятичными или, наоборот, десятичные дроби обыкновенными, при этом к замене обыкновенных дробей десятичными следует прибегать лишь тогда, когда входящие в пример обыкновенные дроби могут быть заменены конечными десятичными дробями. Примеры:

или

Второй прием решения более целесообразен.

В данном примере было целесообразно сперва выполнить отдельно действия с десятичными и отдельно с обыкновенными дробями.

При умножении и делении обыкновенных и десятичных дробей целесообразно выполнять эти действия, обратив десятичные дроби в обыкновенные и заменив деление умножением на обратное число.

При решении числовых примеров учащиеся должны соблюдать принятый порядок действий. Так, если в примере даны только действия первой ступени (сложение и вычитание), не заключенные в скобки, то действия следует выполнять в том порядке, в каком они заданы в условии задачи, при этом надлежит приучить учащихся пользоваться переместительным и сочетательным за-

конами действий, где это целесообразно я упрощает вычисления.

Если числовой пример задан без скобок и содержит действия первой и второй ступени, то сперва выполняют действия умножения и деления.

Наконец, если в примере имеются лишь действия второй ступени, то здесь до сих пор не установлено единое правило: одни рекомендуют сперва выполнить умножение, а затем деление, другие же считают необходимым выполнять действия в том порядке, в каком они записаны; указанного последнего порядка придерживаются составители учебников и задачников по арифметике, применяющихся в нашей начальной и средней школе.

Учитывая, однако, что по данному вопросу мнения расходятся, целесообразно желательный порядок действий отметить постановкой скобок.

Пусть требуется вычислить, чему равно выражение 18:9*2.

Если автор имеет в виду сперва выполнить деление, затем умножение, то следует записать так: (18 :9) • 2; если же автор имеет в виду, что надлежит сперва выполнить умножение, а затем деление, то следует записать так: 18 : (9 • 2); решения получаются в этих случаях различные. Понятно, что в примерах, в которых встречаются скобки, сперва выполняют действия, указанные в скобках.

При решении числовых примеров учащиеся должны правильно, аккуратно, в определенной последовательности расположить записи, соблюдать установленный порядок действий, безошибочно выполнять действия, уметь при устном опросе дать нужные объяснения.

Пример:

При устном опросе учащийся должен дать примерно следующее объяснение: „Чтобы вычислить данный пример, найдем сперва частные чисел 28 и 1—, 1 — и 22, 4 и i-L и произведение чисел 1 — и 9— после чего сложим полученные результаты и полученную сумму умножим на 3 1 ; затем найдем произведение чисел 47 и — и вычтем его из 67— ; последним действием будет деление произведения, полученного в числителе, на разность, полученную в знаменателе.

Последовательную запись решения по шагам следует расположить так:

Ответ:

Нередко приходится встречать запись решения примеров „цепочкой.“ Такая запись нерациональна; ее следует избегать, особенно в примерах, содержащих большое число промежуточных вычислений.

Выше приведена примерная запись решения числового примера. По мере приобретения навыка в действиях с дробями нужно все более и более приучать учащихся применять приемы устного счета в промежуточных действиях, благодаря чему записи становятся более короткими. Например,

и т. п.

Полезно познакомить учащихся с решением примеров, содержащих „.*“. Решение этих примеров основано на отчетливом знании учащимися зависимости между членами четырех арифметических действий.

Приводим пример и его решение.

найти je.

Выражение в прямых скобках, как делимое, равно 0,01. 700=7, а потому имеем:

В полученной сумме первое слагаемое содержит неизвестное „х“ и равно 7.-2,84=4,16, Итак, -1 = 4,16; в этом произведении первый множитель [х — I-* J содержит неизвестное и равен 4,16:— = 5,2; из равенства X — 1 ^- = 5,2 находим уменьшаемое пх*, оно равно 5,2 + 1,5 = 6,7.

Ответ: х=~6,7.

III

Запись решения текстовых задач

В последние годы в школьной практике установился обычай при письменном решении арифметических задач записывать лишь план (вопросы), реше ние(действия) и ответ.

Проверка решения, как правило, отсутствует, но, главное, отсутствует анализ, который помогает учащемуся наметить план решения задачи.

Необходимо учителю приступить к серьезной и нужной работе — научить учащихся умению не только устно, но и письменно оформлять анализ (рассуждение), на первое время при решении несложных арифметических задач, а затем и при решении типовых задач.

Умение записать анализ при решении задачи является показателем сознательного решения, понимания существа задачи.

Опыт работы ряда школ показал, что требование составления плана решения задачи значительно повысило интерес учащихся к осмысливанию задачи, анализу ее и самостоятельному решению.

В виду такой важности проведения анализа и составления плана решения задачи, запись решения текстовых арифметических задач в V—VI классах должна включать следующие разделы: 1) анализ, 2) план и решение, 3) проверку и 4) ответ.

Само собой разумеется, что не все задачи должны решаться по указанной схеме; важно научить учащихся уметь решать задачи по этой схеме, и если в течение второго полугодия учащиеся V класса решат таким путем примерно 8—10 задач, то можно надеяться, что они приобретут навык в письменном решении задач с анализом. Следует при этом иметь в виду, что при устном опросе учащиеся должны проводить анализ при решении каждой задачи.

Несколько замечаний о постановке наименований. В начальной школе при решении текстовых задач наименования единиц записывают у данных чисел и результата; наименования не ставят лишь у множителя, делителя при делении на части и частного при делении по содержанию.

В средней школе целесообразно приучить учащихся наименования единиц у данных и искомых чисел не ставить; наименования ставить лишь в скобках (см. Киселев „Арифметика“. Учебник для средней школы, §§ 139, 149).

Ниже приводятся примерные образцы решения задач.

Задача 1. Было куплено 13-~ кг конфет и печенья. Когда роздали 3 кг конфет и в 1у раза больше печенья — конфет и печенья осталось поровну. Сколько килограммов купили конфет и сколько килограммов печенья?

I. Анализ1. Чтобы узнать, сколько купили печенья, надо знать, сколько роздали отдельно конфет и отдельно печенья, а также, сколько конфет и печенья осталось. Из условия задачи известно, сколько конфет роздали, а сколько роздали килограммов печенья можно узнать, так как в задаче указано, что печенья роздали в 1— раза больше, чем конфет. Узнав, сколько всего конфет и печенья роздали, узнаем, сколько осталось конфет и печенья. Так как конфет и печенья осталось поровну, то можем узнать, сколько осталось отдельно конфет и печенья, а затем уже сколько купили конфет и сколько печенья.

Итак, сперва узнаем, сколько роздали печенья, после чего узнаем, сколько всего роздали конфет и печенья и сколько осталось конфет и печенья вместе и порознь и, наконец, сколько купили конфет и печенья.

II. Решение.

1)а-1——4-£- (кг); 4-— кг роздали печенья.

2) 3 + 4— = 7— (кг); 7— кг роздали конфет и печенья.

3) --7-^-=б (кг); 6 кг конфет и печенья осталось после раздачи.

4) 6:2 = 3 (кг); по 3 кг конфет и печенья осталось после раздачи.

5) 3 4-3 = 6 (кг); 6 кг было куплено конфет.

6) 4^-+3=7— (кг); 7-~ кг было куплено печенья.

III. Проверка.

Итак, после раздачи осталось одинаковое число килограммов конфет и печенья, что и указано в условии задачи.

IV. Ответ: Конфет было куплено 6 кг, а печенья 7— кг.

Запись решения с объяснением при веденной выше задачи.

1) Конфет роздали 3 кг, а печенья в 1— раза больше; действием умножения узнаем, сколько килограммов роздали печенья

2) Конфет роздали 3 кг, а печенья 4 1 кг, следовательно, сложением узнаем, сколько роздали печенья и конфет:

3) Мы знаем, сколько килограммов конфет и печенья было куплено и роздано, а потому мы можем вычитанием узнать, сколько килограммов осталось конфет и печенья:

4) Так как конфет и печенья осталось поровну, то мы можем узнать делением,

1 Вместо слова „анализ“ можно употреблять и слово „рассуждение“, которое для учащихся понятнее Но лучше употреблять слово „анализ“ по аналогии с геометрией, когда при решении задач на построение начинают с анализа, целью которого является найти способ решения задачи.

сколько порознь осталось килограммов конфет и печенья:

6:2 = 3 (кг).

5) Зная, сколько килограммов конфет роздали и сколько килограммов осталось, мы сложением узнаем, сколько килограммов конфет было куплено:

3 + 3 = 6 (кг).

6) Зная, сколько килограммов печенья роздали и сколько килограммов осталось, мы сложением узнаем, сколько килограммов печенья было куплено:

Задача № 2. В колхозе трактористы в первый день работы вспахали — поля, во второй день в 2— раза больше, а в третий день остальные 87 га. Сколько всего земли было вспахано за три дня?

I. Анализ.

Чтобы узнать, сколько всего земли было вспахано за три дня, нужно узнать, какую часть всей земли вспахали трактористы в третий день. Когда мы узнаем, какую часть всей земли трактористы вспахали в третий день, мы можем узнать, сколько гектаров земли они вспахали за три дня, так как нам известно, что в третий день они вспахали 87 га.

Чтобы узнать, какую часть всей земли трактористы вспахали в третий день, мы должны сперва узнать, какую часть всей земли они вспахали в первые два дня. Какую часть всей земли они вспахали в первый день, мы знаем из условия задачи; какую же часть всей земли они вспахали во второй день, мы можем узнать, так как в задаче указано, что вовторой день они вспахали в 2— раза больше, чем в первый.

Таким образом, чтобы решить задачу, примем число гектаров, которые трактористы вспахали за три дня, за единицу (условную) и найдем сперва, какую часть всей земли они вспахали во второй день, затем за первый и второй дни вместе, и, наконец, за третий день. Теперь мы знаем, какую часть всей земли составляют 87 га, и можем по части найти целое, т. е. узнать, сколько гектаров земли трактористы вспахали за три дня

II. План и решение

1) Какую часть всей земли трактористы вспахали во второй день?

2) Какую часть всей земли они вспахали в первые два дня?

3) Какую часть всей земли они вспахали в третий день?

4) Сколько гектаров земли они вспахал и за три дня?

III. Проверка.

1) В первый день было вспахано:

2) Во второй день было вспахано:

3) В первые два дня было вспахано:

45+108 = 153 (га).

4) В третий день было вспахано:

240- 153 = 87 (га).

Нелишне познакомить учащихся с проведением проверки решения путем составления новой задачи, в которой полученный ответ принимается за данное, а одно из условий первоначальной задачи принимается за искомое. Например, для проверки решения данной задачи можно составить следующую новую:

В колхозе трактористы в три дня вспахали 240 га земли. В первый день они вспахали — всего участка, во второй день в 2— раза больше, а в третий день остальное. Сколько гектаров было вспахано в третий день?

Решение.

1) 240 45 (га).

2) 45-2-|-== 108 (га).

3) 45 + 108= 153 (га).

4) 240-153 = 87 (га).

Задача решена правильно.

IV. Ответ: Затри дня трактористы вспахали 240 га.

Задача 3. (Задача № 1141 из задачника Березанской.)

Скорый поезд проходит расстояние в 187-^- км за 3 часа, а товарный поезд 288 км за 6 часов. Через 7-^- часа после выхода товарного поезда по тому же пути отправляется скорый. Через сколько времени он окажется на одной станции с товарным поездом?

I. Анализ.

Чтобы ответить на вопрос задачи: через сколько времени скорый поезд окажется на одной станции с товарным, т. е. догонит его, начав свое движение через 7— часов после выхода товарного поезда, надо знать 1) сколько километров в час проходит каждый поезд, 2) какое расстояние уже прошел товарный поезд до выхода скорого поезда, и, наконец, 3) на сколько километров в час скорый поезд проходит больше товарного. Все это можно узнать из условий задачи.

II. План и решение.

1) Сколько километров в час проходит скорый поезд?

2) Сколько километров в час проходит товарный поезд?

3) На сколько километров в час скорый поезд проходит больше, чем товарный?

4) Сколько километров прошел товарный поезд за 7— часа?

5) Через сколько времени скорый поезд окажется на одной станции с товарным поездом?

III. Проверка.

Видим, что до встречи поезда прошли одно и то же число километров, и, следовательно, задача решена верно.

IV. Ответ: Скорый поезд догнал товарный поезд через 24 часа.

Задача 4. (№ 1109 из задачника Березанской).

В двух кусках 72—м ткани. Сколько ткани в каждом куске, если— числа метров ткани одного куска составляют — числа метров ткани второго куска?

I. Анализ.

По условию задачи первый кусок больше второго куска, а потому, чтобы решить эту задачу, надо сперва узнать, во сколько раз первый кусок больше второго. Это мы можем найти, так как — первого куска содержат столько же метров ткани, как— второго куска. После того, как мы узнали, во сколько раз первый кусок больше второго, мы можем узнать, сколько метров ткани было в каждом куске; для этого примем, что меньший кусок составляет одну часть. и запишем, сколько таких же частей со-

держит второй кусок и оба куска вместе. Зная это, найдем, сколько метров ткани в каждом куске.

II. План и решение.

1) Во сколько раз первый кусок больше второго куска?

— первого куска = — второго куска,

или

-— первого куска = — второго куска,

или первый кусок = —- второго куска =

= 1— второго куска, т. е. первый кусок в 1— раза больше второго.

2) Сколько всего частей приходится на 72— м?

3) Сколько метров ткани было во втором куске?

4) Сколько ткани было в первом куске?

III. Проверка:

IV. Ответ: В первом куске было 39— м, а во втором куске было 33 м ткани.

Из приведенных образцов записи анализа можно заключить, что работа эта для учащихся дело нелегкое. Чтобы научить учащихся записывать анализ задачи, требуется от учителя много труда, настойчивости и продуманной системы работы. Необходимо начинать работу по записи анализа с задач чисто арифметических с небольшим числом действий (3—4); типовые задачи представляют для записи анализа большие трудности, чем чисто арифметические задачи, и к ним следует приступить, когда учащиеся уже приобретут навык в записи анализа чисто арифметических задач.

Стоящие перед учителем и учащимися трудности должны быть преодолены, так как подобная работа научит учащегося осмыслить задачу, находить зависимости между данными и искомыми величинами и наметить правильный план решения задачи.

Такая работа, проводимая систематически, поможет научиться самостоятельно решать задачи и будет воспитывать логическое мышление учащихся.

Следует указать, что подобного рода работа, как правило, в массовых школах не проводилась. Однако опыт работы по записи учащимися анализа решения задач, проводимый по определенной системе рядом московских школ, позволяет отметить, что в связи с этой работой повысился интерес учащихся к решению задач.

Уже в пятых классах после длительной работы с учащимися по проведению анализа в устной форме целесообразно во втором полугодии приступить к проведению учащимися анализа в письменной форме.

Не следует перегружать учащихся большим числом задач с записью анализа; думается, что во втором полугодии в пятых классах можно ограничиться решением 8—10 задач с такой записью.

Опыт должен быть поставлен и учтен. Понятно, что в настоящее время, пока опыт еще не учтен, нецелесообразно требовать, чтобы учащиеся на испытаниях выполнили работу по решению задачи с записью анализа. Решение задачи должно быть выполнено с записью плана решения и развернутого ответа на вопрос задачи.

От редакции. Во всех примерах на сокращение дробей зачеркивание чисел не показано по техническим причинам.

РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ И ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

Н. А. ПРИНЦЕВ (Россошь)

Целая рациональная функция изображается графически некоторой линией (в частности, прямой линией, если ее степень равна единице). Эта линия может пересекать ось абсцисс или касаться ее, в таком случае абсциссы точек пересечения или касания суть действительные корни функции. Если многочлен имеет только мнимые корни, то графически он изображается линией, которая не пересекает и не касается оси абсцисс.

На чертеже 1 изображен график функции у = xs -f 2х2 — Ъх —- 6, которая имеет корни 2, — 1 и — 3, соответствующие абсциссам точек Л, В и С.

Черт. 1

На чертеже 2 представлен график функции у = л-3 — х2-\-х — 1, которая имеет два мнимых корня и один действительный, равный 1, на чертеже 2 он изображается абсциссой точки Л.

Алгебраическим неравенством будем называть такое неравенство, у которого одна из частей (обычно правая) равна нулю, а другая есть многочлен, Общий вид алгебраического неравенства следующий

В средней школе рассматривают обычно неравенства 1-й степени с одним неизвестным, общий вид которых

ах + b > О или ах -f b < О,

и неравенства 2-й степени с одним неизвестным, общий вид которых

ах2 + Ьх -f с > О или ах2 + bx + с < О,

Очевидно, что алгебраическое неравенство может быть задано в другом виде, который можно привести к общему виду, Так, неравенство 1-й степени, заданное в виде ах ^ Ь, всегда можно привести к виду: ах + b ^ 0.

Вопрос о положительных и отрицательных значениях дробной рациональной функции сводится к решению системы неравенств. Пусть необходимо решить вопрос, при каких значениях х дробь И—1 положительна.

Неравенство yj^- > 0 выполняется при условии F(x)>0 и f(x)>0 или при условии F(x)<0 и f(x)<0, т. е. вопрос сводится к решению алгебраических неравенств в том смысле, как это было сказано выше.

В средней школе изучаются системы неравенств следующих типов:

Черт. 2

Если известен график функции, то легко непосредственно определить те значения л\ при которых функция положительна или отрицательна.

Так, если рассмотреть график функции (черт. 1) у = X* -f- 2х2 — 5л: — 6, то очевидно, что у > 0 или *з-(- 2х2 — 5х — 6>0 при х> 2 и при —3<*<—1, т. е. при значениях х> изображающихся точками луча АХ и точками отрезка СВ, исключая точки Л, Л и С, так как их абсциссы равны тем значениям, при которых функция равна нулю.

Таким образом, изучение темы о неравенствах можно тесно связать с функциональной зависимостью. Однако обычно при изучении неравенств эту связь перед учащимися не вскрывают. Мы не говорим уже о том, что изучение неравенств в связи с функциональной зависимостью

сближает элементарную математику с высшей, помогая учащимся более глубоко осмыслить одно из важнейших понятий современной математики — понятие функции, такое изучение ценно и в методическом отношении. Ряд вопросов становится для учащихся более простым, изложение приобретает наглядность и живость.

Линейные неравенства. Вопрос о знаке линейной функции у = ах -j- b приводит к решению неравенств

ах -j- b > 0 или ах + b < 0.

Эти неравенства 1-й степени можно назвать линейными неравенствами.

Аналитически эти неравенства решаются так:

если число я> 0;

если число а<0. Или

На чертеже 3 изображен график функции у = х-\-2. Решение неравенства х-±-2^>0 дает X > — 2, т. е. значения х равны абсциссам точек луча АХ, исключая точку х = - 2. При х < — 2, функция у = X + 2 < 0.

На чертеже 4 изображен график функции у = —;c-f-3, ее значения положительны, т. е. — х + 3^>0, если X изображается точками луча ВХ' (исключая точку х = 3), и функция отрицательна вдоль луча ЬХ (исключая точку х = 3).

Переходим к графическому способу решения системы двух линейных неравенств. Пусть дана система

Черт. 3

Эту задачу о решении данной системы можно интерпретировать следующим образом: даны две функции fi(x) = — X — 3 и f2(x) - X — 4; найти те значения аргумента, при которых обе функции положительны.

Аналитическое решение этой системы дает противоречивые границы для х, так как /\(х)^>0 при X < — 3, a f2(x) > 0 при X > 4.

Графически это означает, что функция f\(x)>О вдоль луча ВХ' (черт. 5), а Л(а:)>о вдоль луча АХ. Эти лучи и ВХ' не имеют общих точек, а следовательно, данные функции не могут быть одновременно положительными, и данная система не имеет решения.

Черт. 4

Черт. 5

Если исследовать возможность отрицательных значений этих функций, то необходимо будет решить систему

Функция fi[x) =• — X — 3 <^ 0 вдоль луча ВХ, а /аМ'<:0 вдоль луча АХ'. Лучи АХ' и ВХ имеют общую часть — отрезок АВ\ а поэтому эти функции одновременно отрицательны, если аргумент X принимает значения, равные абсциссам внутренних точек отрезка AB.

Для наглядности можно на классной доске луч ВХ отметить красным мелком, а луч АХ' —

синим, тогда их общая часть — отрезок AB — будет подчеркнут двумя цветными чертами. На чертеже 5 это отмечено штрихами и точками.

В том случае, когда при решении системы получаются границы для х одного и того же смысла, мы на чертеже имеем общую неограниченную часть. Пусть нужно решить систему

U-2>0,

т. е. определить при каких общих значениях аргумента обе функции fx(x) = х — 4 и ЛМ — •* — 2 положительны.

Графически эти функции изображаются параллельными прямыми (черт. 6). Лучи АХ и ВХ имеют общую часть ВХ. Значит, обе функции положительны, вдоль луча ВХ, т. е. при дг>4.

Если коэфициент а—0 в уравнении у=ах+Ь, то у = Ь, т. е. график функции есть прямая, параллельная оси XX'. Если 6>0, то>>0 при всевозможных значениях ее аргумента, а если b < О, то у < 0.

Квадратные неравенства. Квадратным неравенством называется неравенство, у которого одна из частей есть квадратный трехчлен, а другая его часть равна нулю: ах2 -f bx-{-c^ 0, где а Ф 0.

Аналитическое решение этой задачи будем вести параллельно его графическому решению. При исследовании выделим три случая: корни трехчлена действительные и неравные, двукратный корень и корни мнимые.

Ограничимся исследованием такой функции, у которой коэфициент а>0; в том случае, когда а<0. можно обе части данного неравенства умножить на —1, и тем самым решение данного неравенства свести к решению другого, ему эквивалентного.

Итак, примем: I) коэфициент я>0 и 2) корни трехчлена, если они действительные и неравные, обозначим через хх и х2. причем х^<^х2.

I. Корни трехчлена действительные и неравные.

Черт. 6

Это неравенство выполняется если оба сомножителя положительные, т. е. когда х^> хх и *>лг2, но так как х2> хь то эта система неравенств возможна при х>х2. Далее, неравенство (je _ хх) (х — х2) > 0 возможно, если оба сомножителя отрицательны, это будет при х<^х\.

Итак: квадратный трехчлен в рассматриваемом случае положителен при всех значениях х, не заключающихся между значениями корней.

Это неравенство выполняется, если 1) х^>х2 » X < х1 и 2) X < х2 и X > Х\.

Первая система несовместна, так как-к2>-*1» а/ вторая система возможна при

Итак: квадратный трехчлен отрицателен, если х принимает значения, заключающиеся между корнями.

Геометрически это означает (черт. 7), что f(x) = ах2 + Ьх + с будет положительна вдоль лучей х2Х и ххХ' (причем х Ф хх и х Ф jc2) и f(x) < 0 внутри отрезка ххх2.

II. Трехчлен имеет двукратный корень: л?! = х^

Черт. 7

Квадрат любого действительного числа, не равного нулю, есть число положительное, поэтому неравенство выполняется при всех значениях

2) их2 -Ь bx -f- с <\ 0. Это неравенство эквивалентно неравенству (х — лг^^О, которое невозможно ни при каких действительных значениях х.

Итак, если корни функции у = ах2 -f bx -f- с равны; то функция положительна при всех значениях аргумента, за исключением х = xh отрицательных значений функция в этом случае не имеет (при условии я>0). Геометрически это ясно из чертежа 8, где ординаты точек кривой положительны везде, за исключением ординаты точки касания х\, для которой у ==0. Итак, неравенство выполняется вдоль лучей ххХ и Х\Х', за исключением общего начала лучей хх.

III. Корни трехчлена мнимые: хх = a -f ß/ и jc2 в а — ß/. Тогда

Если ах2 + Ьх + с>0, то (х — э)2 + ß2 >>О, так как а>0. Последнее неравенство (л: — а)2+ рт>о есть безусловное неравенство, так как оно верно при всех действительных значениях х, а и ß (так как ß по условию не равно 0). Если допустить, что ах2 + + с<0, то это приводит к невозможному неравенству (х — a)2-f-ß2<0 (так как сумма квадратов действительных чисел, не равных одновременно нулю, положительна).

Итак, если квадратный трехчлен ах2-\-Ьх-\-с при а>0 имеет мнимые корни, то его значения только положительны, отрицательных значений при этих условиях трехчлен не имеет. Геометрически это ясно из чертежа 9: неравенство у > 0 выполняется вдоль всей прямой XX'.

Если я>0, то можно аналитически провести подобные рассуждения

Ограничиваюсь рассмотрением лишь графиков функций при я<0. Все три случая: неравные действительные корни, двукратный корень и мнимые корни, представлены на одном чертеже 10. Привожу выводы для случая а<0, полагая, что

х 1 <С х2-

Если я<0, то:

1 ) у = ах2 -f Ьх + с > 0 при х1 < х < х2 и _у<0 при лг>х2 и дг<лг1, если трехчлен имеет действительные неравные корни;

2) у < 0 при всех значениях за исключением X — хх = х2, если трехчлен имеет двукратный корень, положительных значений в этом случае трехчлен не имеет;

3) У < 0 для всех значений х, если корни трехчлена мнимые.

Использование графического способа исследования функции значительно облегчает усвоение и сознательное запоминание тех выводов, которые необходимо знать при исследовании квадратного трехчлена. Решение упражнений при использовании графического способа значительно проще, чем в том случае, когда используется только аналитический прием.

Черт. 8

Черт. 9

Черт. 10

Черт. 11

Рассмотрим несколько примеров. При использовании графического метода решения можно ввести некоторые упрощения в процесс вычерчивания графика параболы. Вычерчивание прямой, изображающей график линейной функции, технически выполняется быстро и просто по двум ее точкам А (0, Ь) и В (а, 0). При вычерчивании параболы достаточно определить общий ее вид, зная, где она пересекает ось XX' и куда она обращена ветвями. Так, например, парабола V = X2 — 2jc— 15 имеет вид, изображенный на чертеже П. Она имеет вершину под осью XX', так как я= 1>0, и пересекает ось XX' в точках M (5,0) и N (—3,0), так как хг = — 3, х2 = 5. Ветви ее намечены частично и пунктиром; этого достаточно, чтобы определить, когда _у>0 или ^<0. При решении упражнений на неравенства,

в которых легко использовать графический способ решении, последний может иметь вспомогательный характер по отношению к аналитическому.

Перейдем к решению упражнений.

Упражнение I. Решить неравенство

2х* + 5х — 12<0

путем разложения левой части на множители.

Решение. Неравенство 2х2 + 5дг — 12 < О равносильно такому : (х +- 4) (2х — 3)< 0, которое возможно, если возможно найти решение таких систем :

Аналитическое решение этих систем дает такие результаты: 1) х^> — 4 и дг<1,5, т. е. первая система возможна, если — 4<*<1,5; 2) х<^— 4 и лг> 1,5, в случае второй системы границы противоречивы, и система не имеет решения.

Графически, в случае системы 1, нужно, чтобы ^(х) = дг + 4>0 и f2(x).= 2х — 3<0. Первое условие выполняется вдоль луча АХ, второе вдоль луча ВХ', эти лучи имеют общую часть — отрезок В А, т. е. данное неравенство возможно внутри отрезка AB (черт. 12). Пунктиром отмечены части ветвей параболы у = 2х2 -f Ъх — 12. Из чертежа ясно, что этот трехчлен меньше нуля внутри отрезка AB.

Аналогично можно объяснить графически противоречивость второй системы неравенств.

Упражнение 2. Решить неравенство (— х2 — Зх + 10) (х2 + х + 4)>0.

Трехчлен — х2 — Зх + 10 имеет корни х^ = 2, хг = — 5, трехчлен х'2 + х + 4 имеет мнимые корни, поэтому возможна одна система неравенств

так как *2-f-л; + 4 > 0 при всех действительных значениях х и не может быть числом отрицательным или равным нулю. На чертеже 13 намечен пунктиром график функции у — — х1 — 3* + + 10/ График функции у = х2 -f- х + 4 на чертеже нет надобности изображать. Таким образом, решение задачи сводится к отысканию тех значений X, при которых у = — je2 — Зх + 10 > 0, эти значения, как видно из чертежа, равны абсциссам внутренних точек отрезка AB, т. е. данное неравенство (— X2 — Зх + Щ(х2-\-х + 4) > 0 справедливо только при —5<.л:<2.

Упражнение 3. При каких значениях дробь

Ограничимся только графическим решением этого неравенства, которое приводится к решению таких двух систем неравенств:

Черт. 12

Черт. 13

Приближенные графики (в виде пунктира) функций Мх) — х* — 4х + 3 и f2(x)= - X2 — бдг — 8 изображены на чертеже 14, где точки пересечения первой параболы с осью XX' имеют координаты: Л(1,0) и £(3,0), а второй параболы —С(-2,0) и D(—4,0).

Система (1) совместна, если значения аргумента X будут равны абсциссам внутренних точек отрезка АВ9 так как f\{x) < 0 и в то же время

Черт. 14

абсциссам внутренних точек отрезка CD, так как /2(л)>0, но эти отрезки не имеют общей части, а поэтому система (1) не имеет решения. Вторая система имеет решения, если значения х будут равны абсциссам точек лучей ВХ и АX', так как /i(*)>0, и абсциссам точек лучей СХ и DX' для случая /2(*)<0; эти лучи имеют общие части: отрезок АС и лучи ВХ и DX\ а поэтому вторая система возможна, если значения х удовлетворяют условиям: 1)—2<х<1; 2) jc>3 и с)х<-4.

При этих условиях данная дробь отрицательна.

Упражнение 4. При каких значениях х дробь

положительна или отрицательна?

Решение. Данную дробь представим в таком виде

и обозначим ее числитель и знаменатель через f\(*) и /*2 М> так что Jx (х) в: л* + 4 и /2(jc) = — ** — 8лг— 15.

Данная дробь положительна, если 1) /Ах)^>0 и Ux) > 0 или 2) Мх) < 0 и /2(дг) < 0.

График функции /г(х) (черт. 15) есть прямая, которая пересекает ось XX в точке С (—4,0), а график функции /2(л0 есть парабола, пересекающая ось абсцисс в точках А (— 5,0) и В (— 3,0). Функция f(x)^>0, если лг> —4, т. е. вдоль луча СХ. Функция /2(*)>0, если je лежит в промежутке от — 5 до — 3, т. е. внутри отрезка AB; последний имеет общую часть с лучом СХ; эта общая часть отрезок ВС. Таким образом, дробь f}^\ >0> если — 4<л:-3. Функция /i(*) <0 вдоль луча CA', a f2W<0 вдоль лучей БЛ' и АДГ; эти лучи имеют общую часть — луч АХ\ т. е. данная дробь будет положительна, если *<-5.

Дробь будет отрицательна, если: 1) /iU)<0 и/2и)>0 или 2) /,(*)> 0 и /2М<0.

При первом предположении отмечаем общую часть луча СХ' и отрезка AB, это есть отрезок АС, т. е. fi(x)<^0 и Ъ(х)^>0 одновременно, если — 5<х< — 4; второе предположение справедливо вдоль луча СХ и вдоль лучей ВХ и АХ', эти лучи имеют общую часть — луч ВХ, т. е. fi(x) >0 и f2(x) < 0, если X > — 3. Итак, данная дробь положительна, если 1) —4<jc< —3 и 2)л*< — 5, и отрицательна, если 1) — 5<дг< — 4 и 2) je > — 3.

При некотором навыке подобные упражнения графически решаются учащимися очень быстро, и графический способ решения является хорошим контролем за теми выводами, которые получаются при аналитическом решении.

Черт. 15

ДЕВЯТАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА УЧАЩИХСЯ МОСКОВСКИХ ШКОЛ

Е. Б. ДЫНКИН и И. М. ЯГЛОМ (Москва)

В апреле—мае 1946 г. Московский государственный университет совместно с Московским математическим обществом и Московским городским отделом народного образования проводили IX математическую олимпиаду учащихся московских школ. Олимпиада проводилась, как обычно, в два тура. Успешно прошедшие первый отборочный тур допускались ко второму туру. Победители второго тура премировались. Олимпиада проводилась раздельно для учащихся VII—VIII и учащихся IX—X классов. В каждом туре было предложено по 5 задач. Эти задачи были составлены профессорами и научными работниками университета. Для того чтобы пройти на второй тур, достаточно было решить две задачи первого тура. Все школьники, решившие хотя бы одну задачу второго тура, были отмечены, как успешно прошедшие олимпиаду1.

В первом туре для школьников VII—VIII классов были даны две задачи по геометрии и три по алгебре.

Из двух геометрических задач более трудной оказалась следующая: .Какое наибольшее число острых углов может встретиться в выпуклом многоугольнике“. Ответы на эту задачу давались самые разнообразные: два угла, три, четыре, триста шестьдесят, сколь угодно большое число. Многие из приводивших правильный ответ: „три

1 Информация об олимпиаде дана в заметке А. И. Фетисова в № 1 журнала „Математика в школе“ (1947 г.)

угла* обосновывали его совершенно неубедительно. Самое простое решение этой задачи следующее: сумма всех внешних углов выпуклого многоугольника равна 4d, следовательно, никакой выпуклый многоугольник не может иметь более, чем три тупых внешних угла; отсюда вытекает, что никакой выпуклый многоугольник не может иметь более трех острых внутренних углов. Три острых угла могут быть в треугольнике. Это решение было дано восьмью участниками олимпиады. Более обычное решение опирается на формулу суммы внутренних углов выпуклого многоугольника. Всего эту задачу решили 36 школьников.

Вторая геометрическая задача, которая по типу наиболее приближается к задачам, решаемым в школе, получила максимальное число решений (более двухсот).

Более трудной для учащихся, чем предполагали члены оргкомитета олимпиады, оказалась простая система восьми уравнений с восьмью неизвестными. Эта задача не представляла никаких принципиальных трудностей, и лишь недостаточностью прививаемой в школе культуры счета можно объяснить тот факт, что почти все школьники, решавшие эту систему уравнений, запутывались в вычислениях и не могли получить правильного ответа. И бралось за эту задачу сравнительно немного школьников. Учащиеся наших школ, даже интересующиеся математикой, очевидно, не любят и не умеют считать „до числа“.

Вторая алгебраическая задача формулировалась следующим образом: „Доказать, что в произведении

после раскрытия скобок и приведения подобных членов не остается членов, содержащих х в нечетной степени“. Наиболее простое из предложенных решений этой задачи заключалось в следующих преобразованиях:

Другое решение состояло в следующем: при раскрытии скобок член х1т+1 произведения получается при перемножении х% из первой скобки на хк из второй, причем i+ £=2/z-f-l. Следовательно, если I четно, то k нечетно, и наоборот; отсюда видно, что член х1хк сокращается с членом хкх*. К сожалению, надо отметить, что из тех школьников, которые, повидимому, знали это решение, лишь немногие сумели его грамотно изложить.

Кроме упомянутых четырех задач, на первом туре для VII—VIII классов предлагалась следующая задача: „Найти четырехзначное число, которое при делении на 131 дает в остатке 112, а при делении на 132 дает в остатке 98“. Около 80°/о школьников, решавших эту задачу, принимали без доказательства, что частные при делении искомого числа на 131 и 132 равны. Правильных решений было дано только 26.

Из задач первого тура для IX и X классов наиболее простыми оказались обе геометрические задачи. Стереометрическую задачу решило более двухсот человек, планиметрическую, несколько менее шаблонную, решило более чем сто человек. Значительно меньшее число решений получили задачи по алгебре. Задачу: „Доказать, что п2-\-Зп-\-5 ни при каком целом числе п не делится на 121 “--решило 52 человека. Основная масса учащихся решила эту задачу следующим образом: из уравнения riÀ+3/1+5=12171 следует

Число 4»lim— 1 ни при каком целом m не делится на 11. Отсюда вытекает, что подкоренное выражение не может быть полным квадратом и, стало быть, п не может быть целым, если m целое. Значительно реже (10 работ) встречалось следующее остроумное рассуждение:

п2+3п+5=(/i+7)(/i—4)+33.

Для того, чтобы это выражение делилось на 11, необходимо, чтобы (п-\-7)(п—4) делилось на 11. Но так как (п-\-7)—(п—4)= 11, то оба сомножителя делятся или не делятся на 11 одновременно. Стало быть, если (п-\-7) (л — 4) делится на 11, то оно делится на 121, и, следовательно, (п-\-7)(п—4)-\-33 не может делиться на 121. Интересно, что это решение, предложенное рядом школьников, не пришло в голову ни одному из членов оргкомитета олимпиады, обсуждавших задачи.

Во второй алгебраической задаче, предложенной ученикам IX—X классов, требовалось доказать несложное алгебраическое тождество. Задачу решил 51 участник олимпиады, т. е. меньше, чем предыдущую задачу, что было неожиданностью для членов оргкомитета.

Самой трудной задачей первого тура, приближающейся по трудности к задачам второго тура, была тригонометрическая задача: „Доказать, что, если а и ß острые углы и <x<ß» то

Эту задачу правильно решили только два человека. Приводим одно из решений, предложенное учеником X класса 1-й специальной школы ВВС Годуновым.

Из чертежа 1 замечаем следующее соотношение между площадями секторов О AM и О AB и площадями треугольников OAD и ОАС:

отсюда

или

но :осд стало быть — <-, откуда следует требуемое неравенство.

Перейдем теперь к разбору задач второго тура. Из всех задач второго тура наибольшее число правильных решений получили первая задача для школьников VII—VIII классов и первая задача для школьников IX—X классов, которые имели похожие формулировки:

Задача для VII—VIII классов: „В шахматном турнире участвовали два ученика VII класса и некоторое число учеников VIII класса. Два семиклассника набрали 8 очков, а каждый из восьмиклассников набрал одно и то же число очков. Сколько восьмиклассников участвовало в турнире? Найдите все решения“.

Задача для IX—X классов: „В шахматном турнире участвовали ученики IX и X классов. Десятиклассников было в 10 раз больше, чем девятиклассников, и они набрали вместе в 4,5 раза больше очков, чем все девятиклассники. Сколько очков набрали девятиклассники? Найти все решения“.

В каждой из аудиторий, где проводилась олимпиада, школьникам были объяснены правила шахматного турнира: каждый из участников турнира играет с каждым по одной партии. Если один из играющих выигрывает партию, он получает одно очко, а его противник—нуль очков. В случае ничьей играющим записывается */2 очка.

Несмотря на сходство формулировок, обе задачи существенно различаются по характеру, Первая из них сводится к простому неопределенному уравнению. Обозначим через х число восьмиклассников и через у число очков, полученных каждым восьмиклассником. Тогда, подсчитывая двумя способами общую сумму очков, набранных всеми играющими, придем к уравнению

откуда следует, что х имеет одно из значений 1, 2, 7, 14, Значения 1 и 2 для х отпадают, так как в этом случае у получается отрицательным. Задача имеет два ответа х—7 и *=14.

Принцип решения задачи для IX—X классов совершенно иной. Проще всего ответ получается путем следующих рассуждений: если х число девятиклассников, то 1 \х общее число участников турнира и-----сумма очков, набранных всеми участниками. Так как отношение числа очков, набранных девятиклассниками и десятиклассниками, равно 1:4,5, то девятиклассники набрали л: (11л — 1) очков, и, стало быть, каждый из девятиклассников выиграл все 11 jc—1 партий, которые он играл. А если бы среди участников турнира нашлось два девятиклассника, то партию между собой они должны были бы оба выиграть, что невозможно. Итак, в турнире участвовал один девятиклассник, набравший 10 очков. Это последнее рассуждение, которое можно провести и более обычным путем (оценивая, какое наименьшее число очков могут получить 10х шахматистов, играющих в турнире с 11л: участниками), составляет центральное место доказательства. Из школьников, решавших задачу, большинство дали неверный ответ: задача имеет бесчисленное число решений; девятиклассники могли набрать х(\\х— 1) очков, где х—любое целое число.

Сравнительно много решений получила следующая геометрическая задача, предложенная ученикам VII—VIII классов:

На сторонах угла от вершины О отложены отрезки ОА^>ОВ. На отрезке OA взята точка Мг а на продолжении отрезка OB точка N так, что AM - BN = X. Найти значение х, при котором отрезок MN имеет наименьшую длину (черт. 2).

Самым коротким из большого числа равных решений, предложенных участниками олимпиады,, было такое:

Пусть AM'=BN'=----, так что СШ'= ON' (черт. 3), пусть далее AM=BNn ON>OM. Доказываем, что MN>M'Nf. Обозначим через Р

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

точку пересечения MN и M'N'. Продолжим M'N' за точку М' и отложим на продолжении отрезок M'Q=N'P; соединим Q с М\ aMM'Q= aNN'P. Отсюда MN = MP+MQ> PQ=M'NL Искомое значение x есть --

Ученикам IX—X классов была предложена задача на отыскание геометрического места.

Черт. 4

На сторонах треугольника PQR отложены отрезки AB, CD, EF. Внутри треугольника задана точка S0. Найти геометрическое место точек S, лежащих внутри треугольника PQR, для которых сумма площадей треугольников SAB, SCD и SEF равна сумме площадей треугольников S0AB, S0CD и SqEF (черт. 4). Рассмотреть особый случай, когда

Эта задача по формулировке похожа на задачи, предлагаемые в школе, однако решение ее совсем не шаблонно. Решается она следующим образом: Пусть — > —- > . Отложим на сторонах QR и PR отрезки

Тогда

(черт. 5).

В последней формуле следует ставить—, если точка S лежит внутри четырехугольника PQD'E, и знак + в противоположном случае.

Черт. 5

Отсюда следует, что для точек S искомого геометрического места S^SD,E, должна быть постоянной. Искомым геометрическим местом является отрезок прямой, параллельной D'Er и проходящей через точку S0.

Такое решение дал только один участник олимпиады — окончивший 10 классов сержант Филиппов. Несколько участников олимпиады доказывали, что искомое геометрическое место в системе косоугольных координат с осями, направленными по двум сторонам треугольника, выражается линейным уравнением, и затем совершенно аккуратно показывали, что такое уравнение задает прямую. Это доказательство менее эффектно, чем приведенная выше геометрическая конструкция, но оно свидетельствует о математической зрелости учащихся, и то, что таких решений было дано сравнительно много, говорит в пользу нашей школы.

Следующая задача была дана в одной и той же формулировке для младших и для старших школьников.

Из тридцати пунктов Ai А2 Az,... Л30, расположенных на прямой MN на равных расстояниях друг от друга, выходят тридцать прямых дорог. Дороги располагаются по одну сторону от прямой МЫ и образуют с MN углы (см. табл. ниже).

Из всех тридцати пунктов выезжают одновременно тридцать автомобилей, едущих, никуда не сворачивая, по этим дорогам с постоянной скоростью сорок километров в час. На каждом из перекрестков установлено по шлагбауму. Как только первая по времени машина проезжает перекресток, шлагбаум закрывается и преграждает путь всем следующим машинам, попадающим на этот перекресток. Какие из машин проедут все перекрестки на своем пути и какие застрянут?

№ начального пункта.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

угол дороги с прямой MN

60°

30е

15°

20°

155°

45°

10°

35°

140°

50°

125°

65е

85°

86°

80°

№ начального пункта

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

угол дороги с прямой MN

75°

78°

115°

95е

25°

28°

158°

30°

25°

15°

160°

170°

20°

158°

Изменится ли ответ, если не предполагать равными расстояния между двумя последовательными точками (черт. 6)?

Несмотря на некоторую „игрушечность“ формулировки, эта задача возникла из важного и до сих пор еще полностью не решенного вопроса кристаллографии о законе роста кристаллических игл, образующихся на плоской поверхности под случайными углами к этой поверхности.

Решение этой задачи таково

Обозначим дорогу, выходящую из пункта Лл, через аю угол, который образует эта дорога с прямой MN, через <хп (углы ап заданы таблицей) и перекресток дорог ап и ат через Рпт. Условимся называть коротко машину, идущую по ап машиной ап. Тогда:

Г Если машина ащ задерживается на перекрестке Ртп, то угол ' ап ближе к 90°, чем угол ат. (Дорога ап идет круче, чем ат.)

2° Пусть р<Сд. Дороги ар и aq пересекаются, если ар<С?а, и не пересекаются, если ар^ая.

Черт. 6

Черт. 7

3е Если все дороги, пересекающие ап менее круты, чем ап, то машина ап проходит все перекрестки.

Это следует из Г.

4° Пусть ат самая крутая из всех дорог, пересекающих дорогу ап. Если ат круче, чем ап, то машина ат не может быть задержана раньше, чем в точке Ртп.

В самом деле, предположим, что машина ат задерживается на перекрестке Pqm, лежащем на отрезке АтРтп. Тогда согласно 1° дорога aq круче, чем ат и, значит, по условию не может пересекать ап. Покажем, что это невозможно. Рассмотрим два случая:

а) Точка Aq лежит вне отрезка АпАт (черт. 7).

Поскольку aq пересекает сторону АтРтп треугольника АпРтпАт и не пересекает стороны АпАт> эта дорога должна пересечь АпРтп.

б) Точка Ад лежит внутри отрезка АпАт%

Предположим сначала, что л < ? < m. Из того, что пары дорог ап и ат, aq и ат пересекаются, а пара дорог ап и aq не пересекается, следует, согласно 2°, что ад < in < ат. Поскольку ат ближе к 90°, чем ап> неравенство ап <; ат возможно лишь при ат < 90е. Но тогда из неравенства aq •< *п следует, что ад не более крута, чем аю что противоречит условию. Аналогично рассматривается случай m<lq < я.

5° Из пунктов 4° и 1° следует, что если машина ап проходит все перекрестки, то все дороги, пересекающие ап, менее круты, чем ап (предположение, обратное 3°).

Из пунктов 3* и 5° сразу можно получить полное решение задачи. Прежде всего сразу ясно, что машина, идущая по самой крутой из всех 30 дорог, а именно четырнадцатой, не будет нигде задержана. Далее будут задержаны все машины, путь которых пересекается с четырнадцатой дорогой, а именно 1-я, 2-я, 3-я, 4-я, 6-я, 7-я, 8-я, 10-я, 12-я, 13-я, 18-я, 19-я, 22-я, 27-я, 28-я, 30-я. Из первых 13-ти машин остаются лишь 5-я, 9-я, 11-я. Но все эти три дороги пересекаются с первой дорогой, которая более крута, чем все они: следовательно, машины, идущие по этим путям, тоже будут задержаны. Из машин с 16-й по 30-ю по наиболее крутой дороге идет 19-я машина. Все дороги от 15-й до 18-й пересекаются с одной из двух пересекающихся дорог 14-й и 19-й; так как все они менее круты, чем эти две, то все машины, идущие по этим дорогам, будут задержаны. Из дорог от 20-й до 30-й наиболее круто идет 23-я дорога. Дороги 20-я и 21-я пересекаются с 23-й, следовательно, эти две машины будут также задержаны. Далее из дорог с 24-й по 30-ю самая крутая 24-я. Из дорог с 25-й по 30-ю самая крутая 30-я, которая пересекается с менее крутыми дорогами 25-й, 26-й и 29-й. Так как 30-я дорога тоже пересекается с 14-й, то, кроме 14-й дороги, лишь 23-я и 24-я не пересекаются с более крутыми дорогами.

Итак, не будут нигде задержаны лишь 14-я, 23-я и 24-я машины.

Все приведенные рассуждения не зависят от расстояний между последовательными точками АХг А2,..., А^.

Эту задачу решали почти все участники олимпиады как в младшей, так и в старшей группе. Все поданные решения можно разделить на 5 групп:

а) решения, в которых школьники не могли разобраться в сложных условиях задачи и в результате обычно очень длинных и путаных рассуждений получили фантастические результаты (например, что все машины оказывались задержанными). Таких работ было сравнительно немного;

б) работы, в которых школьники непосредственной и кропотливой проверкой пересечений отдельных пар машин на их чертеже получали частично или даже совсем верные ответы, однако никак не отвечая на важный заключительный вопрос задачи. Таких работ было много, главным образом в младшей группе;

в) самая многочисленная группа, в которой сразу выделялась самая крутая 14-я дорога и утверждалось, что 14-я машина не будет нигде задержана (это рассуждение, конечно, справедливо при произвольных расстояниях между точками Ai, Л2,..., Л30), а в дальнейшем шли зависящие от расстояний между точками рассужде-

ния о том, какая машина задержит какую машину;

г) очень немногочисленна группа, где делалась попытка доказать независимость ответа от расстояний между точками Л1э Л2..... Лзп, но доказательство проводилось с более или менее серьезными дефектами;

д) 5 работ (все в старшей группе), в которых было дано полное и безукоризненное решение задачи.

В качестве курьеза можно отметить, что в одной из поданных работ было строго доказано, что решения задачи не зависят от расстояний между точками Ah Л2,..., Л30, но не была указана ни одна машина, которая нигде не задерживалась.

Самой трудной задачей этой олимпиады оказалась следующая, которая была дана и школьникам старшей группы и, в значительно облегченном виде, школьникам VII—VIII классов.

Задача для школьников IX—X классов:

В городе 57 автобусных маршрутов. Известно, что:

1) с любой остановки на любую другую остановку можно попасть без пересадки.

2) Для любой пары маршрутов А и В найдется, и притом только одна, остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов на другой.

3) На каждом маршруте не менее трех остановок.

Сколько остановок имеет каждый из 57 маршрутов?

Задача для VII—VIII классов:

Автобусная сеть города устроена следующим образом:

1) С любой остановки на любую другую остановку можно попасть без пересадки.

2) Для любой пары маршрутов А и В найдется, и притом единственная, остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов на другой.

3) На каждом маршруте ровно три остановки. Сколько автобусных маршрутов в городе.

Эта задача представляет переформулировку важного геометрического вопроса о том, какие существуют конечные проективные конфигурации из элементов, называемых „точками“ и „прямыми“, где каждые две „прямые“ пересекаются в одной „точке“ и через каждые две „точки“ проходит единственная „прямая“ или о проективных геометриях с конечным числом точек (см , например, изложение этого вопроса в хорошей элементарной книжке О. Вольберга „Основные идеи проективной геометрии“. Ленинград — Москва, 1935 г., глава IV, стр. 79—88, где говорится, в частности, о подобных задачах).

Вот как решается эта задача (в формулировке, предложенной школьникам IX—X классов).

Обозначим через А какой-либо один из 57 маршрутов (черт, 8); пусть на нем будет п остановок. Из произвольного пункта К, лежащего вне этого маршрута, можно попасть в любую из этих п остановок. Так как каждый маршрут встречается с А, никакие два маршрута, проходящие через К, не проходят через одну и ту же остановку Л, и ни один маршрут не имеет с ним двух общих остановок (условие 2), то через К проходит ровно п маршрутов. Каждый маршрут В, не проходящий через какую-либо остановку К, не лежащую на маршруте Л, имеет ровно п остановок, через К проходит п маршрутов, никакие два из них не имеют одной общей остановки с В и каждый из них встречает В в единственной остановке. Каждая остановка В соединяется каким-либо маршрутом с К. Для любого маршрута В найдется пересекающий его маршрут, отличный от А, и в силу условий 2) и 3) задачи на нем остановка К, не лежащая на В. Итак, на каждом маршруте города имеется одно и то же число п остановок. Следовательно, для каждой остановки К найдется не проходящий через нее маршрут А, на котором имеется п остановок и, значит, через каждую остановку проходит ровно п маршрутов.

Черт. 8

Теперь решение задачи становится ясным. Через каждую из п остановок какого нибудь маршрута А проходит, кроме Л, еще п — 1 маршрутов: всего получаем п (п—1) разных (в силу предположения 2) маршрутов и еще маршрут А. Это все маршруты города (условие 2). Итак, если // — общее число всех маршрутов в городе, то п (п — 1) + 1 = N, но в нашем случае N = 57, и, следовательно, п = 8.

Задача для VII—VIII классов может быть решена из аналогичных соображений, которые очень сильно упрощаются уже сделанным предположением, что все маршруты города имеют одно число остановок (3). В выведенной выше формуле /1 = 3, но неизвестно общее число маршрутов N, которое, очевидно, равно

^=3 (3-1) 4-1=7

Черт. 9

Однако, когда эта задача давалась школьникам VII—VI11 классов, не предполагалось, что они проведут подобное рассуждение: от учеников требовалось лишь, чтобы они указали конкретную схему маршрутов (см. черт *)» чт0 Уже могло свидетельствовать о значительных логических и комбинаторных способностях школьников.

Задача для старших школьников получила единственное полное решение (Захаров, ученик IX кл. 557-й школы). Еще в двух работах решение было набросано в основном правильно, но не было аккуратно проведено во всех деталях. Интересно отметить, что по черновикам старших участников олимпиады можно было судить, что почти никто из школьников не брался за решение этой задачи: необычность задачи и кажущаяся бедность условия показались пугающими. Из школьников VII—VIII классов правильную схему семи маршрутов нашли четыре человека: однако попыток решения и неверных решений этой задачи было довольно много.

Теория целых чисел была представлена у младших школьников следующей задачей:

Докажите, что выражение

*5 -f Зх*у — 5х*у* _ 15^3 + 4ху4 _|_ \2уь

не равно 33 ни при каких целых значениях хну.

Для того чтобы решить эту задачу, надо представить данное выражение в виде

(X + 2v)(x-у)(х +у)(х- 2у)(х + Зу)

Ясно, что при у Ф 0 все пять сомножителей этого произведения попарно не равны между собой Между тем число 33 нельзя разложить более, чем на четыре различных оелых множителя. Разложение на четыре множителя возможно несколькими способами, например 33 = ( — 11) . 3 . 1 • (—1) или 33= 11 . ( —3) . 1 . ( —1). Если _у = 0, то наше выражение есть л:5 и не равно 33 при х целом.

Задача эта получила сравнительно много решений, однако лишь немногие из них были аккуратно проведены до конца. В большинстве работ школьники пользовались идеей приведенного доказательства, однако неправильно считали, что наибольшее число не равных между собой делителей, на которые можно разложить число 33, есть два (38 = 3.11) или три (33 = 1 • 3 • 11). Были даны и другие решения этой задачи.

Задача по теории целых чисел для IX—X классов была одной из самых трудных задач олимпиады. Приводим ее формулировку:

Дан ряд чисел:

О, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. 34, 55, 89..., в котором каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих1. Найдется ли среди первых ста миллионов одного (108 +1) членов этого ряда число, оканчивающееся четырьмя нулями?

Эту задачу решили только три участника олимпиады. Два из них — школьники Пантелеев (IX кл. 464-й школы) и Успенский (VIII кл. 167-й школы)—дали то решение, которое предполагалось членами оргкомитета олимпиады.

Вот это решение.

Оставим в каждом члене ряда Фибоначчи, записывающемся пятью и более цифрами, только последние четыре цифры. У нас получится последовательность чисел, каждое из которых меньше, чем 1С4. Обозначим через ak член этой последовательности, стоящий на £-ом месте. Заметим, что, если нам известно ak_^{ и то мы можем вычислить ak_ j, ибо k — 1-й член ряда Фибоначчи равен разности k -f- 1-го и k-ro членов, а последние четыре цифры разности можно определить по последним четырем цифрам уменьшаемого и вычитаемого. Отсюда следует, что, если для некоторых номеров кип окажется, что <*k = ak+n>ak + i=ak + n+i> то тогДа **-/ = =ak+n-\, я*_2 = я* + л-2. Но так как ai = °> то это будет означать, что в ряде Фибоначчи на п-\-\-ом месте стоит число, оканчивающееся четырьмя нулями. Остается показать, что среди пар

найдутся две одинаковые пары. Но это непременно будет так, ибо все числа аь а^, а3,... не превышают 104, а из чисел 0, 1, 2, 3, 4,...., 9999 можно составить только 108 различных пар.

Полной неожиданностью для членов оргкомитета олимпиады, в том числе и для предложившего эту задачу, было третье представленное решение задачи, данное школьником Э. Э. Балашем (IX кл. 591-й школы). Основанное на совершенно других соображениях, это решение представляет собой маленькое исследование, которое позволяет сделать гораздо большее, чем требовалось в условии задачи, а именно, точно указать номер первого члена ряда Фибоначчи, который оканчивается на четыре нуля (7501).

В заключение отметим, что IX Московская школьная математическая олимпиада прошла с большим успехом, показан высокий уровень математического развития школьников. Среди предложенных задач было несколько таких, которые по характеру уже приближаются к задачам „большой математики“, и относительно которых у организаторов олимпиады было сомнение, получат ли они хотя бы одно решение (это относится, например, к задаче с автобусными маршрутами и задаче на ряд Фибоначчи).

Однако все задачи оказались решенными. Сравнение задач, предлагающихся в Москве на олимпиадах из года в год, наглядно показывает рост математического уровня наших учащихся. Каждый год на олимпиаде неизменно предлагаются все более и более трудные задачи, а число правильных решений, несмотря на это, не уменьшается, а даже увеличивается. Самые трудные задачи первых олимпиад, которые решались отдельными участниками, стоят на уровне рядовых задач, получивших много решений на последних олимпиадах. И в этом росте, нам кажется, известную роль сыграли традиционные олимпиады, задачи которых решаются сотнями и обсуждаются тысячами школьников.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О книге Н. Ф. Четверухина „Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии" (Учпедгиз, Москва, 1946)

H. М. БЕСКИН (Москва)

Нет ни одной области школьного преподавания, в которой допускалась бы такая низкая культура, как в выполнении стереометрических чертежей.

Что мы сказали бы об учителе русской литературы, который писал бы с многочисленными орфографическими ошибками? Надо надеяться, что таких учителей нет. Тем более нельзя себе представить, чтобы был издан учебник русской литературы, в котором нарушение орфографии являлось бы системой. Зато есть сколько угодно учителей математики, которые на уроках стереометрии выполняют на доске безграмотные чертежи. В школьном учебнике („Стереометрия“ А. П. Киселева), по которому обучаются миллионы людей, большинство чертежей, изображающих круглые тела, ошибочно1. Правда, есть учителя и методисты, подводящие теоретическую базу под установившуюся практику использования безграмотных чертежей: по их мнению, чертеж может быть схематическим, и необязательно, чтобы он представлял проекцию оригинала. Мы не вступаем здесь в полемику с этой точкой зрения, так как она никем не поддерживается в печати, но всегда готовы принять вызов, если кто-нибудь решится выступить в ее защиту.

Низкая культура чертежа объясняется отчасти тем фактом, что до последнего времени не было книги, по которой учитель, желающий научиться правильно выполнять стереометрические чертежи, мог бы это сделать. Дело в том, что в курсах начертательной геометрии не встречается та постановка вопроса, которая помогла бы учителю выполнять чертежи в условиях педагогического процесса.

В курсах начертательной геометрии мы обычно задаемся определенным положением оригинала (относительно плоскости проекций) и определенным проектирующим аппаратом. Это значит, что мы изображаем не просто куб, а куб, определенным образом расположенный относительно доски и по определенному направлению (например ортогонально) проектирующийся на доску. При такой постановке вопроса на чертеже ничего нельзя изображать произвольно, а все надо строить. Совершенно непрактично требовать от учителя, чтобы он, объясняя какой-нибудь вопрос из стереометрии, загромождал свой чертеж построениями, не имеющими к этому вопросу никакого отношения.

К тому же если учитель рассказывает о свойствах куба, то для него безразлично, как расположен этот куб и как он проектируется. Ему лишь важно быть уверенным, что выполненное им изображение можно рассматривать как изображение куба (безразлично, какого).

Книга Н. Ф. Четверухина содержит следующую постановку вопроса. Положим, что указаны некоторые условия, которым удовлетворяет оригинал например, известно, что оригинал представляет четырехугольную пирамиду с равными боковыми ребрами и прямыми плоскими углами при вершине. Требуется изобразить ее, не задаваясь определенным положением в пространстве и определенным проектирующим аппаратом. Такие изображения автор называет условными (потому что они изображают оригинал, удовлетворяющий определенным условиям).

В книге излагается созданная самим автором теория полных и неполных изображений. Изображение называется полным, если всякая инциденция2, определяемая в оригинале, может быть построена на изображении. Например, изображение шестигранника ABCDE (черт. 1) является неполным, потому что точка пересечения прямой D'E' с плоскостью А'В'С'3, которая в оригинале является вполне определенной, на изображении может быть взята произвольно (после чего изображение станет полным). Автор вводит

1 В этой книге имеется более десятка ошибочных чертежей. Особенно режут глаз чертежи с шарами (№№ 137, 141, 146, 152, 153 и 154), где экватор изображается в виде эллипса, а полюсы помещаются на абрисе.

2 Инциденция нескольких элементов—элемент, принадлежащий им всем одновременно. Например, инциденция прямой и плоскости есть точка пересечения этой прямой и этой плоскости. Не смешивать со словом „инцидентность“, выражающим факт совмещенного положения элементов.

3 Буквы со штрихами обозначают точки оригинала, соответствующие буквы без штрихов—их изображения.

понятие о коэфициенте неполноты, понимая под этим число параметров, которые надо задать, чтобы изображение стало полным. Так, для изображения, приведенного на чертеже 1, коэфициент неполноты £=1, потому что это изображение становится полным после задания точки на прямой DE, а положение точки на прямой определяется одним параметром. Вообще оказывается, что изображение п точек общего положения имеет коэфициент неполноты £=л—4.

Черт. 1

После рассмотрения позиционных задач автор переходит к метрическим вопросам. Оказывается, что полное изображение не определяет оригинала метрически, а только с точностью до аффинного преобразования. Имея метрически определенное изображение (так называется изображение, оригинал которого определен с точностью до подобия), мы не можем никаких построений изображать иа нем произвольно. Если же изображение не является метрически определенным, то имеется некоторый запас параметров, характеризующих степень нашего произвола. Этот запас параметров (не вполне удачно называемый автором параметрическим числом) показывает число условий, которые нужно наложить на оригинал, чтобы изображение стало метрически определенным. Для полных изображений параметрическое число (в параллельной проекции) равно 5, а для неполных оно равно 5+£, где k— коэфициент неполноты изображения. Усвоение этих положений позволяет учителю вполне сознательно относиться к выполнению стереометрического чертежа. Покажем это на примерах.

Черт. 2

На чертеже 2 произвольно выполнено изображение тетраэдра. Можно ли считать, что это — изображение прямоугольного тетраэдра с прямыми углами при вершине О'?

Изображение тетраэдра всегда полное. Параметрическое число равно 5. Требованием прямоугольности мы налагаем на оригинал три условия

Z А'О'В1 - Z В'(У С = Z ОСУ А' = 9Э°.

Остаются еще два свободных параметра. Следовательно, фигуру ОАВС можно считать изображением прямоугольного тетраэдра; параметрическое число этого изображения равно 2.

Можно ли на этом чертеже произвольно изобразить высоту тетраэдра, проведенную из вершины О'? Можно, потому что задание на изображении перпендикулярных прямой и плоскости требует двух параметров (§ 26). Таким образом, можно произвольно провести прямую ОР и считать ее изображением высоты1. После этого изображение становится метрически определенным.

Можно ли считать фигуру ОАВС изображением прямоугольного равнобедренного тетраэдра? Да, потому что это равносильно пяти условиям

Однако фигура ОАВС, рассматриваемая как изображение прямоугольного равнобедренного тетраэдра, является изображением метрически определенным, и в этом случае высота ОР не может быть изображена произвольно: точка Р должна быть точкой пересечения медиан треугольника ABC.

Рамки этой статьи не позволяют нам подробно описать содержание книги Н. Ф. Четверухина. Мы лишь хотели дать некоторое представление о ее предмете. Переходя к оценке этой книги, отметим следующие факты.

Книга Н. Ф. Четверухина заполняет существенную пустоту в учебной литературе, так как других книг с аналогичной постановкой вопроса нет.

Книга содержит изложение оригинальных теорий, принадлежащих автору. Эти теории позволяют исчерпывающим образом ответить на все вопросы, связанные с построением условных изображений. Кроме общих теорий, книга содержит большое количество примеров, тематика которых в большинстве случаев взята из школьного курса стереометрии.

Знакомство с этой книгой мы считаем необходимым для учителей. Если бы познания в этой области распространились среди учителей математики, то был бы достигнут большой прогресс в иллюстрации курса стереометрии. А ведь уродливый чертеж—одна из причин, отталкивающих учеников от стереометрии.

Кроме того, изучение этого круга вопросов поднимает геометрическую культуру, так как требует применения глубоких геометрических теорий.

1 Разумеется, один лишь подсчет параметров недостаточен, а необходимо исследование возможных облаете^ их существования, что и делается в книге H. Ф. Четверухина. В частности, выясняется, что точку Р, изображающую основание высоты, можно произвольно выбрать внутри треугольника ABC.

Книга отнюдь не легка. Изучение ее (особенно метрической части) потребует большого труда главным образом вследствие полной непривычки большинства наших учителей (и ученых) к этим вопросам. Но всякий учитель, который пожелает „перестроиться“ и не пожалеет на это труда, получит большое удовлетворение.

В 1944 г. Нил Александрович Глаголев написал отзыв о работе Н. Ф. Четверухина, которая в то время была в рукописи. Мы приводим выдержки из этого отзыва, чтобы хотя посмертно мнение Нила Александровича по важному вопросу о стереометрических чертежах стало известно нашему учительству

„Работа Н. Ф. Четверухина является первым трудом, содержащим полный научный анализ и всестороннее освещение вопроса о правильности тех изображений пространственных фигур, которыми пользуется преподаватель геометрии в практике своей работы.

Этот вопрос имеет большую историю. Существуют сторонники схематизации геометрического чертежа, отрицающие необходимость соблюдения правильности изображения пространственных фигур в процессе преподавания. Но большинство ученых и педагогов отстаивает необходимость правильных изображений в процессе преподавания геометрии. И следует признать, что факты объективной действительности подтверждают правильность последней точки зрения. Если проследить эволюцию чертежа в учебной литературе за последние 60—70 лет, то легко убедиться, что чертеж в учебниках геометрии эволюционирует неизменно в одном направлении—в сторону его математической правильности. Борьба за правильность учебного рисунка, начатая Ф. Клейном, продолжена его учениками, и в настоящее время правильность чертежа завоевала прочное положение в западноевропейских учебниках геометрии. Основное затруднение, возникающее на пути проведения в жизнь правильности учебного рисунка, состоит в трудности для преподавателя соблюдать в процессе его работы правила начертательной геометрии и в незнании им более коротких путей получения правильного рисунка. Эту основную трудность и стремится преодолеть проф. Н. Ф. Четверухин“.

„Появление этой книги, несомненно, будет большим и радостным событием в жизни учителя“.

ОБЗОР НОВЫХ КНИГ

С. И. НОВОСЕЛОВ (Москва)

С. С. Бюшгенс« Аналитическая геометрия. Издание 4-е, переработанное. Учебник для педагогических институтов. Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1946.

Часть первая. Стр. 560. Цена в перепл. 14 руб. 50 коп.

Часть вторая. Стр. 318. Цена в перепл. 8 руб. 50 коп.

Курс проф. Бюшгенса предназначается для физико-математических факультетов педагогических институтов. Первая часть курса содержит геометрию образов 1-го порядка (прямая на плоскости, плоскость и прямая в пространстве), а также исследование кривых и поверхностей 2-го порядка по каноническим уравнениям. Вторая часть содержит геометрию образов второй степени (общую теорию кривых и поверхностей 2-го порядка).

В настоящем издании коренной переработке подверглась вторая часть. Исследование образов второй степени начинается с изучения проективных свойств, затем делается переход к аффинным и, наконец, к метрическим свойствам. Такое расположение материала придало общей теории кривых и поверхностей значительную алгебраическую стройность. Однако могут возникнуть опасения, что при новом расположении материала вторая часть стала более трудной для первоначального изучения предмета. Этот вопрос решит практика работы по новому изданию учебника.

Курс проф. С. С. Бюшгенса пользуется широкой известностью как один из наиболее обстоятельных учебников по аналитической геометрии. К положительным качествам учебника следует отнести тщательную обработку текста, выполненную автором с максимальным вниманием, и стремление автора к стройности и компактности изложения. Проф. С. С. Бюшгенс является старейшим педагогом высшей школы, и его высокое педагогическое мастерство получило отражение в учебнике. Педагогические достоинства книги известны по ее предыдущим изданиям. Однако книга Бюшгенса встречает по некоторым принципиальным установкам автора критику со стороны ряда научных работников и преподавателей. В соответствии с педагогическими воззрениями автора, в книге тщательно избегается пользование векторными методами, все изложение ведется в координатной форме. Можно согласиться с тем, что неумеренное увлечение векторными методами не оправдало себя, но, с другой стороны, трудно оправдать и полный отказ от этих методов там, где они оказываются плодотворными. Наиболее уязвимым местом курса является введение бесконечно удаленных (лучше сказать несобственных) элементов, далеко не соответствующее современным научным воззрениям. Далеко не современным путем вводятся проективные координаты. Пользование косоугольными координатами с равными масштабными единицами по осям координат квалифицируется теперь как архаизм.

В настоящее время ведется большая работа по созданию новых учебников по курсу аналитической геометрии. Мы полагаем, что пока эта работа полностью не окончена и ряд принципиально важных педагогических и программных вопросов не получил полного разрешения, весьма обстоятельный и стильный, но несколько старомодный, курс С. С Бюшгенса не утратит своего значения.

Я. И. Перельман. Живая математика (Математические рассказы и головоломки). Издание 2-е. Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1946 г. Стр. 184. Цена 3 руб.

Книга покойного Я. И. Перельмана, получившая по первому изданию широкую известность, в настоящем, втором издании вышла в свет почти без изменений. В небольшой по объему книге Я. И. Перельмана собран богатый материал из области „занимательной математики“. Здесь имеются головоломки, требующие сообразительности, рассказы о больших числах, описание математических игр, занимательные вопросы из геометрии. В занимательной форме автор касается различных вопросов естествознания и смежных с математикой дисциплин и сообщает при этом читателю ряд полезных научных и практических сведений.

От читателя не требуется никакой специальной подготовки, так что основной материал книги доступен учащимся младших (V—VII) классов. Для чтения девятой главы „Геометрические головоломки“ требуется знание элементарной геометрии в объеме программы VIII—IX классов.

Книга Я. И. Перельмана представляет значительный интерес для учителей младших классов. Во-первых, книга может быть использована на уроках. Занимательные и нешаблонные вопросы и задачи, образные и наглядные сопоставления (взятые в разумной мере) способны оживить уроки. Во-вторых, книга содержит богатый материал для занятий школьных кружков. В младших классах подбор материала для занятий кружков (ввиду ограниченности познаний учащихся) значительно труднее. Учащихся V—VII классов в значительной мере привлекает элемент занимательности, и, естественно, что для этих классов математические кружки нередко работают под названием кружков „математической смекалки“. В книге Я. И. Перельмана учащиеся младших классов в простой и доступной форме получат представление о тех вопросах и методах математики, которые будут полезны при дальнейшем изучении предмета. Примерами могут служить понятия о росте геометрической прогрессии, о вероятности, о решении уравнений в целых числах, о росте факториала.

Все сказанное выше позволяет рекомендовать книгу Я. И. Перельмана как полезное пособие для самостоятельных и кружковых занятий учащихся семилетней и средней школы.

В. И. Костин. Основания геометрии. Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебника для педагогических институтов. Учпедгиз, 1946. Стр. 303. Цена в перепл. 10 р. 20 коп.

Книга В. И. Костина содержит следующие главы: краткий исторический очерк, абсолютная геометрия, геометрия Евклида, геометрия Лобачевского, тригонометрия Лобачевского и абсолютная тригонометрия, интерпретации геометрии Лобачевского, теория площадей.

Курс „Основания геометрии“ является одной из наиболее трудных дисциплин, изучаемых в педагогических институтах. Однако значимость этой дисциплины невозможно переоценить, как играющей исключительно важную роль в формировании правильных научных воззрений будущего учителя. „Основания геометрии“ необходимо знать всякому учителю, стремящемуся к повышению научного уровня преподавания математики в школе.

После краткого исторического обзора автор формулирует по группам геометрические аксиомы за исключением аксиомы параллельности. В принятой автором системе аксиом группа аксиом конгруэнтности заменена аксиомами движения. Одновременно с рассмотрением различных групп аксиом автор выводит основные, вытекающие из них, следствия. Теоремы, вытекающие из этих аксиом, имеют место как в геометрии Евклида, так и в геометрии Лобачевского. Это и является содержанием главы „Абсолютная геометрия". Далее, присоединяя к рассмотренным аксиомам либо аксиому параллельности эквивалентную 5-му постулату Евклида, либо аксиому Лобачевского, мы получаем две различные геометрические системы: геометрию Евклида и геометрию Лобачевского. Эти две геометрические системы подробно и рассматриваются автором. Отправляясь от аксиом, автор в подробном изложении дает синтетическое построение „абсолютной геометрии“ и геометрии Лобачевского. Автор вполне справедливо подчеркивает ту основную мысль, что при современном построении геометрических систем мы должны доказывать теоремы чисто логически как следствия аксиом, не опираясь на наглядные представления. Автор подробно рассматривает арифметические модели, дающие интерпретации геометрических аксиом. Систематическое изложение фактического материала является достоинством книги, способствующим усвоению предмета начинающим читателем.

Недостатком книги является отсутствие полной ясности в изложении ряда вопросов, имеющих существенное значение, каковыми являются понятия о непротиворечивости, полноте и независимости аксиом. Именно эти вопросы должны быть с предельной ясностью осознаны учащимися. Мы не ставим упрек автору в части формулировок определений и проведения самих доказательств. Речь идет о тех разъяснениях, которые предпосылаются автором этим определениям и доказательствам. Так, на стр. 109 и 110 современная постановка вопроса о доказательстве непротиворечивости геометрии недостаточно отчетливо сформулирована автором. Рассуждения на стр. 137, долженствующие разъяснить смысл понятия полноты системы аксиом, неубедительны и не раскрывают перед читателем сущность дела. Параграф о независимости аксиом (стр. 158) почему-то оказался в мелком шрифте. В этом параграфе не получила отчетливого выражения основная идея, что для доказательства независимости какой-либо аксиомы от других достаточно построить модель, в которой реализуются все аксиомы, кроме этой одной (которая не имеет места). Неудачны предварительные разъяснения, в которых автор говорит об окружностях, горициклах и эквидистантах как об ортогональных траекториях прямолинейных пучков. Ниже даются точные определения этих линий, однако предварительные разъяснения способны дезориентировать читателя.

Систематическое изложение геометрических фактов является достоинством книги как учебника. Синтетический путь построения геометрии, отправлясь от аксиом, полно и обстоятельно показан автором. В этой части книга В. И. Костина может быть использована в качестве учебника для педагогических институтов.

H. A. Глаголев Начертательная геометрия. Издание второе, переработанное. Учебник для физико-математических факультетов государственных университетов и педагогических институтов, Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1946, стр. 170. Цена в перепл. 8 руб.

Книга покойного проф. Н. А. Глаголева предназначена для студентов университетов и педагогических институтов. В соответствии с этим назначением, ее характер существенным образом отличается от характера учебной литературы для технических учебных заведений, где доминирующую роль играют вопросы практического выполнения технических чертежей. Главное внимание уделяется автором теоретическому обоснованию предмета. Таким образом, на первый план поставлена математическая сторона дела. Это вполне соответствует задачам курса в университетах и педагогических институтах. Книга состоит из четырех глав: геометрические основы начертательной геометрии, метод Монжа, метод аксонометрического проектирования и линейная перспектива. Основные понятия теоретического курса начертательной геометрии, каковыми являются перспективно аффинное и аффинное соответствия, даются в первой главе. Эти понятия получают многочисленные применения во всем дальнейшем изложении.

Следуя основной задаче теоретического курса, автор нередко ограничивается лишь описанием необходимых построений, не загромождая чертежей деталями. Книга написана доступно, от читателя предполагается знание геометрии в объеме курса средней школы.

Книга проф. Н. А. Глаголева является хорошим учебником для университетов и педагогических институтов. Книга будет полезна и для учителей средней школы. Знание принципов изображения геометрических фигур особенно необходимо учителям, работающим в старших классах.

Д. Ю. Панов. Счетная линейка. Издание 5-е. Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1946, стр. 127. Цена 3 руб.

Книга проф. Д. Ю. Панова рассчитана на читателя, имеющего небольшую математическую подготовку. Весь материал разбит на два концентра. В первом концентре даются сведения, относящиеся к простейшим вычислениям на логарифмической линейке. В этом же концентре излагается принцип построения логарифмической шкалы, дается подробное описание линейки, указываются правила обращения с нею. Изложение неразрывно сопровождается многочисленными примерами выполнения действий при помощи линейки. В тексте приводится большое количество чертежей и схем. Вопросы, связанные с математическим обоснованием устройства линейки, изложены петитом. Для чтения мелкого шрифта от читателя предполагается знание свойств логарифмов в объеме программы IX класса средней школы.

Второй концентр посвящен более сложным вычислениям: вычисления с перевернутым движком, логарифмические и тригонометрические вычисления, решение уравнений.

Книга Д. Ю. Панова написана просто и доступно (главным образом это относится к первому концентру). В средней школе книга может быть весьма полезной для занятий школьных кружков. Хотя тема „счетная линейка“ и не входит в программу, но многие преподаватели, учитывая огромное практическое значение логарифмической линейки, считают нужным дать о ней понятие, если не в классных, то на кружковых занятиях. Понятие о логарифмической линейке является полезной и интересной темой для кружков в IX и X классах. Книга Д. Ю. Панова может служить хорошим пособием по этой теме1.

1 От автора. В моей книге „Счетная линейка“, вышедшей сейчас новым (пятым) изданием, по вине издательства допущена досадная опечатка, искажающая смысл задачи 12 (стр. 22) и ответа на нее (стр. 125): в книге перепутаны чертежи 24 и 105. Для восстановления смысла их необходимо поменять местами.

Проф. Д. Ю. Панов.

ОБЗОР МЕТОДИЧЕСКИХ СТАТЕЙ в „Ученых записках“ педагогических институтов за последние годы

Проф. И. Я. ДЕПМАН (Ленинград)

Результаты теоретической работы по методике математики публикуются главным образом в „Ученых записках“ педвузов и университетов. Эти издания имеют обычно такой малый тираж, что они редко попадают в руки учителя, однако для работающих по методике чрезвычайно важно знать, по каким вопросам имеются новые работы и где они напечатаны, чтобы хоть по межбиблиотечному обмену получить возможность ознакомиться с полученными результатами.

Ниже приведены аннотации таких работ (частично с краткими данными о результатах), напечатанных за последние 5—6 лет. Главным образом даются сведения о работах провинциальных институтов, так как работы центральных учреждений выходят в большем тираже и вследствие этого более известны.

А. В. Ланков, Н. И. Лобачевский в элементарной геометрии.

Ученые записки Пермского (ныне Молотовского) пед. ин-та, вып. 3. Пермь. 1938.

Сначала рассказывается известная история рукописи учебника элементарной геометрии Лобачевского, забракованной академиком Фуссом, найденной потом в архиве Казанского университета профессором Загоскиным и изданной, наконец, в 1911 г. в Казани. Автор указывает, что Лобачевский при составлении учебника не последовал ни за Лежандром, ни за английскими учебниками школьного Евклида; не стремился к формальной строгости, но и не вводил практических приложений геометрии, как это делал первый реформатор школьного учебника геометрии Клеро (1741). Сливая планиметрию и стереометрию, Лобачевский почти исключает задачи на построение. В статье даются примеры изложения Лобачевского, в которых „педагог преодолел ученого“. Некоторые вопросы (вычисление тс, правильные тела) излагаются очень подробно и оригинально; эти места могли бы служить в современной школе материалом для кружковых занятий. Постулат параллельных вводится в скрытом виде.

М. К. Рахилевич. Геометрические идеи Леонтия Магницкого. (Там же.)

Геометрические сведения у Магницкого играют лишь роль материала для арифметики. Мнение автора о том, что эти обрывки геометрии и составляют все геометрическое мировоззрение Магницкого, что он Евклида не знал, вряд ли правильно. Для доклада в кружке о Магницком статья дает полезные справки. В связи с данной работой укажем статьи о Магницком к двухсотлетию со дня его смерти. Пишущим настоящий обзор, кроме статьи в „Математике в школе“ № 5 за 1940 г., были напечатаны статьи: в „Морском сборнике“ № 1 за 1940 г. с подробным рассмотрением астрономической и навигационной части арифметики Магницкого, в „Природе“ № 3 за 1940 г. — общий очерк с кратким обзором методических взглядов автора; в журнале „Наука и жизнь“ № 5—6 за 1940 г. очерк с приложением типичных задач по „Утешной арифметике“; такая же статья в журнале „Народный учитель“ № 2 в Хабаровске и общий очерк в „Вестнике знания“ № 1 за 1940 г.

В том же выпуске „Записок“ Пермского института помещены статьи:

В. У. Грибанов, Арифметика приближенных вычислений в пятом классе средней школы (методическая разработка).

Е. Г. Гонин. Интерпретация Пуанкарэ, как аналог стереографической проекции.

Е. Г. Гонин. Доказательство независимости аксиом соединения проективной геометрии.

Б. В. Бородин. Некоторые замечательные числа (эликвотарные, числа Моргана, Бернулли, Эйлера). Статья может быть использована для кружковых занятий.

М. К. Рахилевич. Методическая практика в педагогических вузах.

Ученые записки Тюменского гос. пед. ин-та вып. 1. 1939 г.

Е. В. Зеленин. Некоторые вопросы начертательной геометрии пространства четырех измерений.

В том же выпуске записок Тюменского института для преподавателя представляет некоторый интерес статья Э. К. Хилькевича, по поводу задачи гармонического деления и об одном свойстве треугольника, перспективно вписанного в другой треугольник.

Чрезвычайно интересна статья: В. Л. Mинковского, Об одной попытке избежать доказательства от противного в русской методической литературе. Речь идет о „Начальных основаниях геометрии“ Татаринова, признанных академиками и Буняковским и Фуссом заслуживающими внимания по оригинальности построения и награжденных демидовской премией Академии наук в 1843 г1.

И. Д. Дуб. Тождественные преобразования в курсе средней школы. Науков. зап. Одесского пед. ин-та, том II, 1939 г.

Автор считает важным подготовить учащихся VI класса к пониманию значения перехода на буквенную символику и значения самой буквенной символики. Для этого надо показать преимущества нового способа записи, сравнив, например, арифметическое определение правила умножения дробей с записью -у • —т- e jj- *

Автор отмечает ряд неудачных формулировок в школьном учебнике и указывает, как следовало бы их изложить. Вообще в статье подчеркнуты многие „важные мелочи".

1 Пишущему настоящий обзор удалось найти некоторые сведения об авторе, до этого совершенно неизвестном. Петр Игнатьевич Татаринов— инженер, подполковник, 1800—1844, как свидетельствует его надгробный памятник на Митрофановском кладбище в Ленинграде. О методических и методологических идеях Татаринова см. ст. В. Л. Минковского. „Математика в школе“. 1941, № 3.

M. H. Хитрин, Очерки по методике математики. Методика составления уравнений. Ученые зап. Казахского лед. ин-та им. Абая. Том 1. Алма-Ата, 1940 г.

Подготовкой к трудному делу составления уравнений должно служить чтение, запись и вычисление значений буквенных выражений. Особое внимание автор уделяет задачам на десятичную систему счисления.

Д. С. Гончаров, К вопросу о тождественных преобразованиях в курсе тригонометрии средней школы. Труды Одесского гос. ун. Сборник кафедры педагогики. Том. I, 1940 г.

Автор указывает, что этот важный вопрос тригонометрии в школьном учебнике изложен плохо. От ученика требуется „упростить выражение“, хотя ему не объяснили, что значит „упростить“ и как судить о „простоте“ выражения, и тут же дается преобразование

где никакого упрощения не происходит. Автор рекомендует разбить тождественные преобразования на группы и для каждой группы определить цель преобразования. Автор указывает на подготовительные упражнения, которые желательно предпослать тождественным преобразованиям и рекомендует при первых упражнениях освободить тригонометрическое выражение от тригонометрической символики и облечь в алгебраическую форму. Например: доказать тождество

Обозначим: tga = A, ctga= ,4 1. Доказываемое тождество принимает вид:

Далее автор рекомендует интерпретировать тригонометрические тождества геометрически, ,на языке геометрии круга“.

Пример: доказать тождество

Если построить для угла а (первой четверти) линию тангенсов AT и обозначить точки пересечения подвижного радиуса с окружностью буквами С и К (последняя в третьей четверти), то по свойству касательной и секущей А Г2 = ТС AT => ТК • ТС или — = —;ю> A7=tga, 77С sec*-f-l, ТС = sec—1; подставляя эти значения в пропорцию, получаем доказательство тождества.

С. Я. Максимов, Учение древних математиков об определении объемов и поверхностей тел. Ученые зап. Рязанского гос. пед. ин-та, том II, 1940 г.

Автор дает обзор материала по рассматриваемым вопросам. Материал рассчитан на 5кружковых занятий, планам которых автор предпосылает связное изложение. Более интересной в статье является глава, посвященная греческой математике (в нее включена и задача об удвоении куба). Выборка мест из Евклида и Архимеда, относящихся к вопросам об объеме и поверхности тел, облегчит преподавателю постановку кружковых занятий. Довольно подробно изложен пример применения метода исчерпывания древними математиками.

И. Н. Михеев, Основные ошибки начинающих учителей математики. Дагестанский гос. пед. ин-т им. Сулеймана Стальского. Ученые зап. вып. I, Махачкала, 1940 г.

Г. С. Томашпольский, Домашние задания по математике в старших классах школы. Труды Одесского гос. ун-та. Сборник кафедры педагогики. Том I, 1940 г.

Рассматриваются вопросы:

1. Цели и задачи домашних заданий.

2. Руководство домашними заданиями. Автор требует серьезной подготовки учителем домашних заданий и формулирует ряд требований, которые должны быть предъявляемы ученикам при выполнении заданий. Домашние задания, по мысли автора, могут учитывать склонности большинства учащихся и в связи с этим принять определенный уклон.

Г. С. Томашпольский, Виды домашних заданий по математике в средней школе. Труды Одесского гос. ун-та. Педагогика, т. II, 1941 г. (на украинском языке).

Изучение опыта нашей средней школы приводит автора к такой классификации домашних заданий:

1. Задания для закрепления материала. Они преследуют цель усвоения теоретического материала, объясненного в классе. Виды их: задачи, аналогичные решенным в классе, задания, требующие привлечения разных учебных пособий, помимо школьных, задачи и примеры, которые решаются более или менее интересным приемом; составление задач самими учащимися; изготовление моделей, приборов, графиков и таблиц; измерительные задачи на воздухе.

2. Задания для повторения пройденного; повторительные задания, вклинивающиеся в новый материал; задания, связанные с ликвидацией пробелов, обнаруженных как у отдельных учащихся, так и у всего класса в целом; „подготовительные“ задания, долженствующие создать базу для лучщего усвоения нового материала; задания, имеющие целью систематическую сводку классной работы; задания, связанные с заключительным повторением в конце четверти, в конце года, для повторения материала в целом, для дополнения пройденного раньше.

А. В. Дрокин, Методика преподавания соединений. Труды Краснодарского гос. пед. ин-та им. 15-летия ВЛКСМ. T. VIII, 1941 г.

В большой статье мало такого, что для учителя, имеющего некоторый опыт в преподавании, являлось бы новым. Автор подчеркивает необходимость, кроме вычисления числа соединений, выяснять существенные особенности разных видов соединений, предлагая называть отдельные соединения не группами, а группировками элементов. Для вводного занятия автор предлагает задачу о шахматном турнире при различных числах участников и премий. Автор дает много примеров, задач и вопросов, среди которых есть неудачные, например, № 4* „Совхозная телефон-

ная станция имеет некоторое число абонентов. Что представляют собою соединения абонентов со станцией“. № 114: Определить С^. Решение: с°т^ст-° = с% = \к1.

T. И. Попадько, К методике преподавания геометрии в средней школе. Уч. зап. Орловского пед. ин-та, вып. I, 1940 г.

Автор подчеркивает важность применения моделей при преподавании геометрии и указывает простые пособия, которые могут быть изготовлены учителем и учащимися. По мнению автора, интуитивное знакомство учащихся с доказываемой теоремой позволяет им самим сформулировать теорему и прочнее усвоить ее доказательство. Автор рассматривает подробно тему „равенство треугольников“.

Согласно мысли автора, урок по геометрии, особенно в младших классах средней школы, должен состоять из следующих моментов:

1) Опыт и наблюдение (желательно на подвижных моделях). Модель может дать числовой материал, в обработку которого вовлекается весь класс.

2) Обобщение полученных данных, постановка гипотезы, формулировка теоремы.

3) Проверка правильности поставленной гипотезы и ее всеобщности, доказательство теоремы.

4) Решение задач для увязки доказанной новой теоремы с ранее установленными и применение выведенных свойств к изучению вопросов окружающей жизни.

A. Б. Тиц, Графическое решение уравнений, систем уравнений и неравенств. Харьковский инж. строит, ин., 1941 г., 19 стр.

Сборник задач с ответами и несколько решенных примеров.

B. А. Александров, О применении методов высшей геометрии к решению задач на построение. Уч. зап. Орловского пед. ин-та Вып. 1, 1940 г.

Статья представляет интерес для преподавателя тем, что дает руководящую идею для решения задач на построение, которые обычно требуют специфического для данного примера способа.

П. А. Шеварев, К вопросу о природе алгебраических навыков. Ученые записки гос. научно-иссл. ин-та психологии. Том II, Москва, 1941 г.

Первая часть работы озаглавлена „О двух типах связей, имеющих значение при решении алгебраических примеров“. Автор наблюдениями над взрослыми и учениками установил, что большинство из них при выполнении алгебраических действий правил не вспоминало, а делало, по их словам, „без размышления, как подносишь ложку ко рту, когда ешь“. Рядом дальнейших опытов было установлено, что дело обстояло именно так, что решающие действительно правил не вспоминали, а действовали по установившемуся у них навыку.

Автор подчеркивает важность рассмотрения разных особенных случаев задач, чтобы предупредить возможные ложные заключения.

H. Н. Шемянов, У истоков русской методики математики. Ученые зап. Ярославского пед. ин-та. T. V. 1945 г.

Статья посвящена известному русскому методисту и математику, академику Е. Е. Гурьеву (1762 (?)—1813) и представляет сокращенную главу из работы автора „Отец и сын Гурьевы — основоположники русской методики математики.“ Очерк написан крайне интересно и свидетельствует о том, что автор разыскал все, что можно найти о замечательном русском человеке и крупном методисте Гурьеве.

И. С. Соминский, О работе учащихся шестого класса в связи с изучением первых теорем геометрии.

Ученые зап. пед. ин-та. им. Герцена, Т. 52, Кыштым, 1944 г.

Первые уроки систематического курса геометрии являются для учащихся самыми трудными. Здесь они встречаются сразу с целым рядом новых понятий, восприятие которых требует довольно высокой математической зрелости. Ребенку нужно понять, что значит доказать, что в теореме дано, что считается известным, нужно усвоить разные методы доказательства, нужно оперировать логическими понятиями, к чему он мало приучен.

Автор выделяет основные трудности и дает примерный материал для преодоления их, разбитый на следующие разделы:

I. Утверждения верные и неверные. Простейшие доказательства.

2. Более сложные доказательства. Упражнения в развитии речи.

3. Логическая связь между утверждениями.

4. Наложение. Теорема о равнобедренном треугольнике.

5. Применение этой теоремы.

6. Равенство треугольников.

7. Прямая и обратная теоремы.

8. Доказательство от противного.

Небольшая работа эта представляет для учителя исключительный интерес. В последнее время в педагогической литературе много говорится о развитии логического мышления учащихся. Работа И. С. Соминского среди статей на эту тему приятно выделяется тем, что в ней без лишних слов показывается эффективный путь для достижения этой важной цели обучения.

1 От редакции. Разъяснение: Доказать равенство = 1 невозможно, так как при п =0 символ утрачивает смысл. В самом деле, нельзя составлять сочетаний из m элементов „по нулю“ взятых. Придать смысл С°т можно лишь по определению. Таким образом, .решение“, предлагаемое в статье т. Дрокина, содержит грубую логическую ошибку; эти рассуждения могут служить лишь доводом, что целесообразно принять определение: С°т = 1. Аналогично обстоит дело с символом 0! = 1.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 5—6 за 1946 г.

81

Решить уравнение.

(1)

где о — данный, а х — искомый угол.

Решение. Эта задача, взятая из »Journal des Mathématiques élémentaire“, интересна тем, что ее внешняя простота, причем один корень х = 5 виден непосредственно, оказывается обманчивой. Для ее решения приходится применять такие искусственные приемы, что, вероятно, каждый решавший эту задачу напал на них только после нескольких неудачных других.

Освободим уравнение (1) от знаменателей, одновременно приведя его к однородному путем замены 1 выражением sina8 -f- cos28. Будем иметь:

(2)

Чтобы можно было применить хотя бы к первым членам (2) формулу синуса суммы, нужно, чтобы sin 8 и cos 8 входили в первых степенях. Для этого заменим cos28 через 1—sin^u и sin28 через

1—cos28.

Получим:

(3)

Как видим, первый и третий члены дают sin (х + 8), а второй и четвертый:

—sin 8 cos 8 cos (х — о).

Итак, имеем:

(4)

Для преобразования двух последних членов прибавим к ним равное нулю выражение

sin 8 cos 8(1 — sin2* — cos3jc),

раскрыв в нем предварительно скобки. Получим:

или:

Подставив полученное выражение в (4), получим:

и, наконец, окончательно:

Теперь уже уравнение решается легко. Первый множитель да“е~т:

Из второго находим:

Отсюда

82

Решить уравнение.

(1)

Решение. Применим формулу тангенса суммы трех углов:

(2)

(которую легко вывести из формулы для tg(m-f-rt), положив в ней /я = а и /1 = ^-4-7). Положим

откуда:

Из (1) имеем:

Или после подстановки:

Отсюда, после обычных упрощений, имеем:

Предположив, что 2х3 + Зл:2 — 3 Ф О, решение данного уравнения приводим к решению уравнения:

Л4 — л2 — 6х = О,

или:

х(х — 2) (xJ + 2x + 3) = 0.

Отсюда имеем два действительных корня 0 и 2. Подстановкой убеждаемся, что оба этих корня не обращают в нуль знаменатель 2х* + Зх2 — 3. Корнем данного уравнения является х = 2, в чем убеждаемся проверкой.

83

Найти четыре целых положительных числа а, 6, с, d таких, что а, 6, с образуют геометрическую, Ь, c,d — арифметическую прогрессию и c-\-d = 44.

Решение. Обозначив знаменатель геометрической прогрессии через q, мы можем искомые числа записать так:

a; 6 = aq\ c = aq2; d — 44 — aq2. (1)

Так как b, с и d должны составлять арифметическую прогрессию, то должно иметь место равенство 2с = b -f- d, «ли:

2aq2 = aq -[- 44 — aq2.

Отсюда

3aq2 — aq = 44,

(2)

Так как в задаче не оговорено, что ч должно быть целым числом, то положим q = —, где m и л взаимно простые натуральные числа. Тогда (2) примет“ вид:

(3)

Но таккакс = а?а=-^г должно быть по условию целым числом, то при взаимно простых тип, очевидно, а должно делиться на п2. Таким образом, имеем:

а = пЧ, (4)

где k — натуральное число. Равенство (3) примет вид:

(5)

Исследуем возможные случаи.

1. Пусть m = 1. Тогда из (5) имеем:

Отсюда заключаем, что п может быть равно только 1 или 2.

В первом случае получим b = 22, q = 1. Искомые числа равны:

а = 22; b = 22; с = 22; d = 22.

Формально данные числа дают решение задачи, так как a, b и с составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 1, а Ь, с nd — арифметическую прогрессию с разностью нуль. Мы, однако, исключим этот случай, как тривиальный.

Во втором случае будем иметь 6 = 44, ^—-.j

и, следовательно,

а = 4 . 44; b = 2 • 44; с = 44; d = 0.

Решение не годится, так как по условию должно быть rf>0.

2. Пусть m = 2. Тогда из (5)

Отсюда заключаем, что п может быть равно лишь 5 (п = 4 не годится, так как m и /г — числа взаимно простые).

Тогда b = 22, q = -g- ; и мы будем иметь:

а = 25 • 22; 6 = 5 - 44; с = 88; rf = —44.

Очевидно, решение не годится, так как d<0.

3. Пусть m-4. Из (5) имеем:

Отсюда заключаем что, может быть лишь п = 1, и п = 11.

В первом случае имеем: 6 = 1; q — 4 и, следовательно:

а= 1; 6 = 4; с = 16; d = 28.

Это решение полностью удовлетворяет условиям задачи.

Во втором случае имеем: 6 = 11; ^ = -j-p откуда:^ И8; 6 = 4-112; с~ 16-11; rf = — 12-11.

Очевидно, решение не годится.

Аналогичным способом убедимся, что при m = 11, m = 22 и m = 44, мы не получим новых решений.

Итак, имеем одно решение: 1; 4; 16; 28.

Решение значительно упрощается, если сразу предположить q целым числом. Тогда пришлось бы исследовать формулу (2) лишь для случаев <7== 1; 2 и 4.

84

Доказать, что уравнение

X2_3y2=17 (1)

не имеет решений в целых числах.

Решение. Наиболее короткое решение этой совершенно элементарной задачи таково. Из (1) находим:

Х2 = Зу2 + 17 = 3(у2 + 5) + 2. (2)

Следовательно, x'J должен иметь вид 3£ + 2 где k натуральное число (мы ограничиваемся положительными значениями х, так как х входит во второй степени, и, следовательно, перемена его знака не меняет уравнения (1)).

Если X кратно трем, то левая часть делится ва 3. а правая не делится, что невозможно.

Если X не кратно трем, то оно имеет вид 3/7+1, где р — натуральное число. Тогда, как видно из равенства:

*2= (3/7±1)3 = 9/72±6^ + 1 = 3 (Зр2±2р) +1, jc2 имеет вид Зя+1, тогда как правая часть имеет вид 3& + 2, что опять невозможно. Итак, уравнение (1) не удовлетворяется никакими целыми значениями х при целом у.

85

Дано 2р\1 последовательных целых чисел. Доказать, что за одним исключением сумма и разность произведений р первых и р последних чисел делятся на р (р-\-1). Определить условие, при котором теорема не имеет места.

Решение. Пусть а — первое из последовательных чисел. Тогда данное выражение представится в виде:

а(а + \)(а + 2)...(а+р-1)+: ±(а+р+1)(а+р + 2)... (a+tp). (1)

Так как р и р +1 — числа взаимно простые, то для делимости числа на произведение р (р + 1) необходимо и достаточно, чтобы число делилось в отдельности на р и на р +1. Но делимость (1) на р устанавливается сразу. Действительно, известно, что произведение р любых последовательных целых чисел делится на произведение р первых натуральных чисел, то-есть на р\, а, следовательно, и подавно делится на р. Отсюда заключаем, что каждое из произведений в (1), а, следовательно, и их сумма и разность делятся на р. Остается исследовать вопрос о делимости (1) на /7-4-1.

Пусть

a = k(p + l) + r,

где k—целое число и 0<></? + 1. Тогда

а(а-+1)... (а+/7-1) = [*(/7-И) + + r][k(p+ 1) + г+1]... [k(p + \) + r + p-l].

Выполнив умножение, мы, очевидно, получим члены, содержащие множителем /7 + 1, кроме последнего, именно

(2)

Таким образом, вопрос о делимости на /7 + 1 первого из произведений (1) сводится к вопросу о делимости выражения (2). Нетрудно заметить, что и делимость второго произведения в (1) сводится к вопросу о делимости того же выражения (2).

Действительно, это произведение запишется в виде:

1(* + 1)(р + 1) + г] [(*+1)(р + 1) + г + 1]... [{k + l)(p + l) + r + p-U

и по умножении мы получим члены, содержащие множителем р + 1 и, кроме того, выражение (2).

Итак, исследуем делимость на р + 1 выражения (2).

1. Пусть г = 0. Это значит, что а делится на р + 1. Но тогда и первый член второго произведения а+р+\, а, следовательно, и выражение (1) делится на р+1.

2. Пусть г>1. Тогда г+р — 1>/7. Значит в ряду чисел

г, г+ 1,..., г+р — 1

непременно найдется одно число, равное /7+1. Но тогда (2), а, следовательно, и (1) делится на р+1.

3. Пусть г= 1, Тогда (2) примет вид

1. 2. 3... />=/>!

Здесь приходится различать два случая, в зависимости от того, является ли р+1 числом простым или составным.

За. Пусть р+1 — составное число.

р + 1 = яа - $ • с*.-.. Тогда числа

как меньшие числа р+1, войдут множителями в р\ и, следовательно, (3), а значит и (1) разделятся на произведение этих чисел, то-есть на р+\.

36. Пусть р+1 простое число. Тогда по теореме Вильсона р\+\ делится на р+1. Значит выражение (3) при делении на р+1 даст остаток равный — 1 (или, что то же, равный р). Значит, такой остаток даст и каждое из произведений в (1). Но отсюда следует, что разность этих произведений разделится на/7+1» а сумма их не разделится и даст остаток —2 (или, что то же, /?—1). Это и есть то исключение, о котором говорится взадаче.

Эта интересная задача (так же, как и 83, 84, 86) была помещена в журнале „The american Mathematical Monthly“ за 1945 г.

86

Доказать, что если 2n+l=pk, где р —простое число, то k есть степень числа 2.

Решение. Допустим, что k имеет нечетный множитель т, больший 1:

k = md

(где d может быть равно и 1). Тогда можем написать

(1)

Но это равенство невозможно, так как второй множитель содержит нечетное число (именно т) нечетных слагаемых и, следовательно, является нечетным числом, большим 1.

Итак, остается единственно возможный случай, что k = 2а.

Если а>0, мы можем написать:

Отсюда:

де a>ß и о -f ß = л. Вычтя второе равенство из первого, найдем:

Очевидно, это равенство возможно лишь при

Тогда имеем: п = 3; р* = З3. Действительно,

23+ 1 = 9 = 32.

Если же а = 0, то & = 1, и, следовательно, 2n + 1 — простое число, то-есть р20-

87

Дано, что число

апЬп(х2п +у2п) (1)

делится на

Ху (а2 + Ь2) _ д& (д;2 + 3,2). (2)

Доказать, что и число:

х«уп(а2п + Ь2п) (3)

делится на тот же делитель (а, Ь, х и у — натуральные числа).

Решение. Представим выражение (2) в виде произведения. Будем иметь:

(4)

Покажем, что на это выражение делится разность выражений (1) и (3). Имеем:

(5)

Очевидно, что первый множитель в (5) делится на ах — by, а второй на ау—bx. Таким образом, разность выражений (1) и (3) делится на (2). Но (1) делится на (2) по условию. Следовательно, и (3) делится на (2).

88

Доказать, что при всяком целом значении п число

л(л2-1)(п2 — 5л+ 26) (1)

делится на 120.

Решение. Элементарная задача, решаемая как и большинство задач этого типа путем представления данного выражения в виде произведения. Здесь наиболее простым будет такое преобразование

Первое слагаемое представляет собою произведение пяти последовательных натуральных чисел. Следовательно, оно делится на произведение пяти первых натуральных чисел, то-есть на 1 • 2 • 3 • 4 • о = 120. Во втором слагаемом произведение (п — 1 ) п (п + 1; по той же причине делится на 1 • 2 • 3 = 6, а, следовательно, все слагаемое тоже делится на 120.

89

Существует ли такой треугольник, в котором как стороны, так и углы составляют арифметическую прогрессию?

Решение: Пусть углы А, В и С треугольника именно в этом порядке образуют арифметическую прогрессию. Тогда по свойству прогрессии имеем:

2В шш А + С

Отсюда

А + С + В = 2В + В = ЗВ= 180°,

то-есть

В = 60°.

Так как в треугольнике большему углу соответствует и большая сторона, то стороны дан* ного треугольника должны образовать арифметическую прогрессию тоже в порядке а, Ь, с* Отсюда:

2Ь = а + с,

или:

2-- — 1~ о • Ь'

Заменяя отношение сторон отношением синусов противолежащих углов, получим:

Отсюда, так как

получаем:

Принимая во внимание, что В = 60°, будем иметь:

Это равенство (для треугольника) возможно лишь при А = С. Отсюда:

Следовательно, искомый треугольник может быть только равноугольным, а значит и равносторонним. Формально он удовлетворяет условию задачи, так как его стороны и углы образуют арифметическую прогрессию с разностью = 0.

90

Доказать, что уравнение

лгз + З/мг + 1 =0 (1)

не может иметь рациональных корней при р целом и не равном нулю.

Решение. Применим доказательство от противного. Пусть уравнение удовлетворяется рациональным значением х. Обозначим его -у, где а и Ь целые взаимно простые числа. Подстановка в (1) дает:

откуда:

(2)

Из (2) вытекает, что -у должно быть целым числом. Но это может быть лишь при 6=1, так как а и b — числа взаимно простые. Тогда (2) примет вид:

Ф + Зра + 1 = 0. (3)

Из (3) непосредственно следует, что 1 должна делиться на а. Значит а = 4- 1. Исследуем оба эти случая.

Г д = 1. Подстановка в (3) даст:

Так как по условию р — целое число, то а =1 не удовлетворяет условию задачи. 2° а = — 1. Подстановка в (3) даст:

— 1-3/7+1=0; р = 0,

что опять противоречит условию задачи.

Отсюда заключаем, что уравнение (1) рациональных корней иметь не может.

91

Некто N родился в XIX веке. В 1901 г. сумма цифр числа лет, прожитых им, равнялась сумме цифр года его рождения. В каком году родился N?

Решение. Обозначим через х и у цифры единиц и десятков года рождения А. Тогда год рождения выразится числом:

1800 + 10y + jc. (1)

Число лет, прожитых N до 1902 года, будет равно:

19Q1 -(1800+10^ + *) = 101 — 10у — X (2)

Допустим сначала, что лс>1. Тогда (2) может быть представлено так:

90— 10у+ 11 = 10(9 —j/) + 11 — X, (3),

где 9—у является цифрой десятков, а 11—х цифрой единиц возраста TV в 1901 г. Сумма цифр года рождения Лг, то-есть числа (1), равна

l + S+y + x = 9+y + x, ' (4)

а сумма цифр возраста N в 1901 г., то-есть числа (3), равна

9 — У ~\~ 11 — X = 20 — у — X. (5)

По условию (4) и (5) должны быть равны. Отсюда

9Ц-у+х = 20—у — х (6)

2(у + х)=П

чего быть не может, так как х и у — числа целые.

Значит, X может быть равно только 0 или 1. Тогда разность (2) будет иметь вид:

100 _ 10у +1 — X = 10 (10 —у) + (1 — х)\

и сумма цифр этого числа равна

10 — у + 1— X m 11 —у — X.

По условию имеем:

9-г у + х = 11 —у — х.

Отсюда

Итак, возможны два случая:

Г. X = 1; у == 0. Тогда год рождения JV будет 1801 и возраст его в 1901 г. равен 100 годам. Суммы цифр этих чисел: 10 и 1 не равны. Следовательно, это решение не годится.

2°. X == 0; y=z 1. Тогда год рождения N будет 1810-й и возраст его в 1901 г. равен 91 году. • Суммы цифр этих чисел будут 10 и 10, то-есть удовлетворяют условию задачи.

Итак, N родился в 1810-м году.

92

Некто N жил в XIX веке. Суммы цифр года его рождения и смерти одинаковы. Число прожитых им лет начинается цифрой 8. Определить год рождения N.

Решение. Обозначим цифры десятков и единиц года рождения iV через хм у, а года смерти— соответственно через гни. Тогда год рождения N будет

1800 + m* +у,

а год смерти:

1800 + 10z + и.

По условию имеем:

x + y = z + u. (1)

Число лет, прожитых N, равно

или, подставив из (1) значение у:

По условию:

откуда

Отсюда получаем:

z — x = 9 (2)

(z — л: = 10 не может быть, так как z и х — числа однозначные). Но это равенство возможно лишь при

z = 9и х = 0

в силу однозначности чисел z и х. Отсюда из (1) имеем

что по той же причине может быть лишь при у = 9; и = 0.

Итак, год рождения N 1809-й, год смерти 1890-й и число лет жизни 81.

93

Решить уравнение'.

(1)

Решение. Обозначив для краткости:

(2) (3)

разложим левую часть уравнения (1) на множители. Будем иметь:

и, окончательно,

Отсюда имеем:

Приняв во внимание (2) и (3), будем иметь:

или:

(5) (6)

Отсюда получаем:

где а — любой из корней л-й степени из единицы. 94

В треугольнике ABC проведены биссектрисы ADt BE, CF внутренних углов, а через середины биссектрис проведены перпендикуляры: MMt±AD; NN^BE; PPt±CF (M, Mv N, Nlt P, Pj— соответственно на AC, AB, AB, ВС, ВС, АС,). Доказать, что площадь &MNP = площади kMiNiPi площади &DEF.

Решение. Найдем площадь àMNP как разность между площадью S данного треугольника и площадями, образуемыми треугольником MNP при каждой из вершин треугольника ABC (черт. 1), то-есть

Черт. 1

(1)

Находим:

(2)

(3) (4)

Итак, нам нужно определить отрезки, образуемые вершинами треугольника MNP на сторонах д ABC.

Из треугольника АКМ находим:

Но АК = -ft AD = -я- Следовательно,

(5)

По известной формуле:

(Для незнакомых с этой формулой вывод ее дается ниже)

Подставив в (5), получим:

(6)

Отсюда:

(7)

Совершенно аналогично (или просто круговой подстановкой) получим:

(8)

(9)

Подстановка из (6), (7), (8), (9), в (2), (3), (4), а затем в (1) дает:

Но

и (10) примет вид:

Произведя в скобках обычные упрощения (то-есть приведя к общему знаменателю ее члены и т. д.), получим

(11)

Но именно такой формулой выражается площадь треугольника, образованного концами биссектрис, через площадь и стороны данного треугольника. Следовательно:

SAMNP = SADSA

Совершенно аналогично можно вывести, что и площадь треугольника Мг Nt Pi выразится той же формулой (11).

Добавления.

1°. Выведем формулу для ЬА (черт. 2). Из д ABD имеем

откуда

Черт. 2

Найдем DB*=x. По свойству биссектрисы

По свойству равных отношений:

и, следовательно:

Подставив в (1), получим:

Но по теореме синусов:

и подстановка в (3) дает окончательно:

Посредством круговой подстановки получим аналогичные формулы для Ьв и Ьс.

2°. Выразим S^DEF через 5 и a, M (черт, 3)

Черт. 3

Пусть AD, BE и CF — биссектрисы углов /\АВС.

Будем иметь

Найдем

(2)

Аналогично тому, как было получено в (1°) выражение (2) для х, найдем:

(3)

Подставив в (2), получим:

Но

Отсюда

Совершенно аналогично (или круговой подстановкой) получим:

Подставив найденные выражения в (1) и произведя обычные упрощения, получим ту же формулу, чтр и в правой части равенства (11).

95

Внутри треугольника ABC через вершины В и С провести секущие BD (D на АС) и СЕ (Е на AB), пересекающиеся в точке F так, чтобы около четырехугольника AEFD можно было описать и в него можно вписать окружность.

Решение. Пусть ABC —- данный треугольник и в нем BD к СЕ — искомые секущие (черт. 4). Следовательно, в четырехугольник ADFE можно вписать и около него можно описать окружность (вторая на чертеже не показана). Определим величину угла СОВ. Имеем;

Черт. 4

(1)

Но из треугольников АОС и АОВ имеем:

(2) (3)

Отсюда, подставив из (2) и (3) в (1), получим:

или:

(4)

Для вычисления суммы в правой части (4) можно воспользоваться углом СЕВ, выразив его как внешний угол по отношению к треугольникам CFD и BFE.

Будем иметь:

Сложив эти два равенства и приняв во внимание, что:

(так как ОС — биссектриса £ DCE и OB — биссектриса DBA), а также, что

(как смежные к углам ^/ FDA и FEA, которые дают в сумме 18Q°, так как четырехугольник ADFE вписуемый), получим:

(5)

Но

Подставив в (5), найдем окончательно:

Отсюда:

(6)

Сравнивая (6) с (4) получаем, что

Отсюда вытекает построение,

На ВС, как на диаметре, строим окружность. Точка О пересечения этой окружности с биссектрисой угла А даст центр вписанной в ADFF окружности. Опустив из О перпендикуляр ОМ на AB, радиусом AM проводим эту окружность и из вершин С и В проводим к ней касательные, которые и являются искомыми секущими.

Задача возможна при А<^90°.

96

Нужно было сделать из материи шар. Для этого представили шар разделенным на п полосок ОАОф (черт. 5), а каждую полоску

при достаточно большом п приняли за -у часть поверхности полуцилиндра (черт. 6 и 7). Тогда будем иметь:

Черт. 5

(1)

Отсюда

(2)

Но

и значит.

Черт. 6 Черт. 7

Рде ошибка?

Решение. Неверно равенство (2). Так как h =--— ; то равенство (1) можно записать так:

Беря п таких полосок, мы и получим для их общей площади выражение _L_ n2R'2 • n — tz2R'j.

При любом значении п общая площадь всех п полосок остается той же. Причина неправильности равенства (2) кроется в том, что величины площадей бесконечно малой фигуры АОВО\ (черт. 6) и бесконечно малого двуугольника (черт. 5) не являются эквивалентными.

97

Аналогичная задача об объеме шара. Решение то же, что и для № 96.

98

Если в треугольной пирамиде один из плоских углов при вершине — прямой, а высота пирамиды проходит через точку пересечения высот основания, то и прочие плоские углы при вершине — прямые. Доказать.

Решение. Пусть в пирамиде S ABC (см. чертеж 8) угол CSB прямой и высота .SO проходит через точку пересечения высот основания АР и BE. Соединим .S с D. По теореме о трех перпендикулярах будем иметь

SD±BC

то-есть SD является высотой, опущенной из вершины прямого угла треугольника CSB на гипотенузу. Отсюда:

SC* = BC . DC. (1)

Прямоугольные треугольники ADC и ВЕС подобны, как имеющие общий острый угол С. Из подобия их находим:

Черт. 8

Отсюда:

ВС • DC = АС • СЕ. (2)

Из (1) заключаем:

SC2 = АС - СЕ.

Но СЕ есть проекция ребра SC на АС (так как SE J_AC). Отсюда следует, что угол CS А — прямой. Аналогично докажем, что и угол BSA — прямой.

99

Из данной точки на окружности опустить перпендикуляр на диаметр при помощи лишь одной линейки (центр окружности неизвестен).

Решение. Пусть дана окружность с диаметром AB и на ней точка M (черт. 9). Опустим сначала перпендикуляр на AB из точки, лежащей вне окружности. Для этого проведем прямую через А и M и прямую через В и произвольную точку окружности N так, чтобы обе прямые пересеклись вне окружности в некоторой точке 5.

Получим треугольник ASB. Соединив M и N с В и А, замечаем, что AN и ВМ являются высотами треугольника ASB. Пусть Q — точка их пересечения. Тогда, проведя прямую SPQR через S и Q, мы получим, очевидно, третью высоту того же треугольника (так как все три высоты пересекаются в одной точке), то есть перпендикуляр к AB.

Дальнейшее построение легко: проведем через Р и M прямую до пересечения ее с диаметром AB в точке К. Точку К соединим с R. Пусть L — вторая точка пересечения KR с окружностью. Тогда ML и будет искомым перпендикуляром.

Действительно, так как KP — KR (как наклонные равноудаленные от основания перпендикуляра), то они, как легко показать, отсекают от окружности равные дуги РМ и RL, а это значит, что ML И PR, то-есть перпендикулярна к AB.

100

Доказать, что не существует выпуклого многогранника, имеющего семь ребер.

Решение. Допустим, что хотя бы одна из граней многогранника является четырехугольником. Так как при каждой из вершин должен быть по крайней мере трехгранный угол, то из каждой вершины четырехугольника должно выходить еще по крайней мере одно ребро. Но тогда всех ребер получается не меньше восьми. Итак, четырехугольник (а, следовательно, и подавно многоугольник с большим числом сторон) не может служить гранью искомого многогранника.

Следовательно, все его грани должны быть треугольники. Пусть число их равно k. Тогда всех ребер будет 3k. Но каждое ребро является стороной двух смежных граней. Следовательно, на самом деле число ребер равно ~. Но отсюда следует, что k должно быть четным числом. k = 2т. Тогда число ребер будет равно Зт, что, очевидно, не может быть равно 7

Черт 9.

ЗАДАЧИ

41. Если к удвоенному и к утроенному некоторому двузначному числу прибавить по 1, то в обоих случаях получится точный квадрат. Найти это число.

42. Два сосуда Л и В одинакового веса содержат различное количество воды. Вес сосуда А с водой составляет g- веса сосуда В с водой. Если всю воду из В вылить в А, то вес А будет в 8 раз больше, чем вес В. Зная, что воды в В было больше на 50 г, чем в Л, определить вес сосудов и первоначальное количество воды в каждом (Дать алгебраическое и арифметические решения.)

43. Решить уравнение:

44. Два курьера вышли одновременно один из А в В, другой из В в Л. Каждый шел с постоянной скоростью и, придя в конечный пункт, немедленно поворачивал обратно. Первый раз они встретились в 40 км от В; второй раз в 20 км от А через 40 секунд после первой встречи. Найти расстояние между А и В и скорость обоих курьеров. (Дать алгебраическое и арифметическое решения.)

45. Найти два натуральных числа А и Ву зная, что их сумма равна 360 и что они имеют 12 общих делителей.

46. Какие значения для х в уравнении

являются допустимыми?

47. Дан прямоугольный треугольник ABC (А — прямой угол). Из вершин В и С восставлены перпендикуляры к гипотенузе ВС и на них отложены отрезки ВВх = АВ и СС1 = ЛС.

Определить стороны треугольника ABC, если его периметр равен 2р, а площадь трапеции m2 равна -g-.

Исследовать решение.

48. Решить в целых положительных числах уравнение

X -\-у + z + v = ху + ZV.

49. Решить в целых числах уравнение:

ах + by = с,

если

ат + Ьп = с.

50. Доказать, что

22225555 + 55552*22

кратно 7.

51. Даны два положительных числа а и Ъ. Составить из этих чисел рациональное выражение, численная величина которого меньше а и меньше Ъ.

Моденов (Москва)

52. Доказать, что если

Моденов

53. Дано положительное рациональное число г, причем га<2. Составить при помощи этого числа другое рациональное число гг, удовлетворяющее неравенствам:

г < Г!<2.

Моденов

54. Доказать, что

где [х] означает целую часть х.

Моденов

55. Решить уравнение:

( xyz означает число, составленное из цифр х,у и z).

А. Могильницкий (Кривое Озеро, Одесской обл,) 56. Если написать подряд год, номер месяца и число дня моего рождения, то получится семизначное число abcdefg. Определить дату дня моего рождения, если:

А. Могильницкий

57. На какое число нужно умножить 333667, чтобы получить в произведении число, изображенное одними восьмерками?

А. Могильницкий

58. Из всех треугольников, вписанных в данный сегмент, найти треугольник, у которого произведение сторон имеет наибольшее значение.

С. Зетель (Москва)

59. Построить равнобедренный треугольник по биссектрисе угла при вершине, зная, что биссектриса угла при основании в два раза больше биссектрисы угла при вершине.

С. Зетель

60. Построить прямоугольный треугольник по высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу, если известно отношение длин двух взаимно перпендикулярных отрезков, проведенных из основания высоты до пересечения с катетами.

С. Зетель

СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ по № 1 за 1946 г.

Проверка первых „послевоенных“ решений дала довольно неблагоприятные результаты

Из 1628 присланных решений оказались неверными 305.

Приводим сводку количества верных и неверных (последние в скобках) решений по каждой задаче.

№ 1—45 (46); № 2—81 (8); № 3—69 (17); № 4— 88 (6); № 5-39 (14); № 6—89 (0); № 7-9 (42); № 8-103 (5); № 9-50 (50); № 10-87 (17); № 11-40 (21); № 12—106 (12); № 13-11 (4); № 14-47 (35); № 15—83 (3); № 16-79 (0); № 17-26 (4); N2 18—49 (14); № 19-75 (0); № 20-47 (7)

Как видим, по некоторым задачам неверных решений было дано больше, чем правильных.

Дадим краткую характеристику отдельных решений.

В № 1 большею частью пропускались решения 858 и 900:

В № 2 вместо — давались ответы —, —- и др., т. е. не наибольшее число, требующееся условием задачи.

В № 3 или пропускался один из ответов (1935 или 1944), или утверждалось, что чисел, удовлетворяющих условию задачи, не существует, или, наконец, давалось слишком много „решений“ (до 120).

По № 5 давалось неполное решение. Большею частью пропускались 8 и 17. Были и неверные ответы.

По № 7 иногда давалось одно решение (1233 или 8833). В большинстве же случаев пропускались решения 10 000 и 10 001.

По № 9 вместо двух решений давалось какое-либо одно из них.

В задаче № 10 большие разногласия проявились в определении посторонних корней. В то время как одни принимали во внимание только арифметические значения корня 4—Зл:, другие учитывали и отрицательные значения. Редакцией не зачтены только решения, в которых неверно найдены самые корни.

В № 11 типичной ошибкой было то, что давалось одно решение верное только, если х и у оба четные или оба нечетные, задача же требует решения „при любых целых значениях х и у*. Но были и нелепые решения, вплоть, например, до приравнивания у/ху мнимому числу it.

В задаче № 14 большинство ошибок относится к исследованию решения: для пригодных значений а устанавливались самые разнообразные границы.

Очень мало, к удивлению, получила решений задача № 17, по существу довольно простая. Во многих решениях здесь вместо касательной проводился диаметр, перпендикулярный к прямой, проходящей через заданные точки, что, конечно, одно и то же.

Неверные решения на № 18 особенно характерны тем, что здесь допускалась грубая логическая ошибка: из известной теоремы о равенстве произведений отрезков хорд, проходящих через одну точку, выводилось нелепое заключение, что в каждой из этих хорд отношение отрезков одно и то же. Другими словами из равенства 4 . 6 = 3- 8 выводилось, что =

В № 20 искомым геометрическим местом у некоторых оказался эллипс.

Приводим в заключение сводку зачтенных решений.

Г. Автух (Чашники БССР) 2—4, 6, 8, 9, 12, 13. К. Агринский (Москва) 1—6, 8—16. Б. Алеев (Мордовская АССР) 2-4, 6, 8, 12—15, 18—19. Е. Алмазова (Беднодемьяновск) 2—4, 6, 8, 10, 12. С. Андреев (Торжок) 2, 4—6, 8, 10, 12, 13, 15, 17, 19, 20. О. Аракелян (Ереван) 10, 12, 13, 16. Г. Ахвердов (Ленинград) 1—13, 16, 18—20. Т. Барашкова (Москва) 2, 8, 10, 12, 13, 15. В. Безноско (Клинцы) 2—6, 8, 12—16, 18, 19. Д. Бессарабов (Воронеж, обл.) 10, 12, 13, 15. Ю. Блувштейн (Житомир) 2, 4, 6, 8, 12, 13, 15, 19. А. Бобровников (Тульск. обл.) 1-4, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 19. Г. Бобылев (Тула) 8, 10. 12, 13, 16. И. Бородуля (Реутово) 2, 4, 6, 8, 9, 12—16. И. Бочкин (Витебск) 1—4, 6, 8—13, 15, 16. И. Бригадин (Одесса) 12, 13. Е. Бугулов (Садонский р. С. О АССР) 1—4,6, 8, 10, 11—16, 19. С. Веселое (Марийская АССР) 3, 8, 9, 10, 13, 15, 16. А. Владимиров (Ялта) 1—19. Я. Волок (Житомир) 2, 4, 6, 8, 12—16, 18—20. С. Вотрин (Иваново) 4. Р. Гангнус (Муром) 4, 13, 16. А. Ганц (Молодечно) 2—6, 8, 10, 12, 13, 15—20. И. Гапонов (Воронеж, обл.) 2—4, 6, 8, 10, 13, 15-17, 19, 20. В. Голубев (Кувшиново) 2-6, 8, 10—13, 15-20. А. Горохов (Белорецк) 2—6, 8 — 10, 12—17, 20. М. Гречкин (Морозовск) 8, 13. У. Дакацьян (Ростов-н/Д) 2, 4, 8, 10, 12. П. Демидович (Киселевск) 2—6, 8—10, 12, 13, 15, 16, 19, 20. Н. Дзигава (Тбилиси) 6, 9, '0, 12, 13, 15, 16, 18. О. Дирекчиянц (Кишинев) 1—6, 8-16, 18—20. В. Добрынченко (Астрахань; 1—4, 6, 8, 10—12, 15, 19, 20. И. Дубовицкий (Пенз. обл.) 2, 4, 8, 10, 12, 13, 15, 16. А. Егорин (уч. Тульск. Сув, уч.) 12. М. Жидков (Ленинград) 1-6, 8, 10—20. Н. Житомирский (Речица) 4—6, 8-16, 19. Н. Запольский (Б. Тарханы) 4, Д. Захаров (Канаш) 4, 8, 10, 12, 13; И. Зотов (Ряз. обл.) 2, 6, 8, 10, И, 13, 15 16, Н. Зубилин (Орловск, обл.) 2, 3, 6, 8-10, 13—16. 19. В. Зяблицкий (Калинин) 1, 4, 8, 12, 13, 16. И. Иванковицев (Серафимович) 1—4, 6, 8, 10, 12—16, 18. А. Иванов (Торопец) 1-6, 8, 10. Ильин (Ахтуба) 4, 6, 8, 10 - 16, 18-20. А. Исаев (Тульск. обл.) 4, 10. Г. Капралов (Горький) 1—4, 6, 8, 10-13, 15, 16, 19, 20. Б. Кашин (Иркутск, обл.) 2, 4—6, 8, 9, 13—16, 18-20. В. Кириллов (Киргиз. ССР) 1, 3, 4, 12, 13, 19. К. Киричек (Бердск) 1—4, 8, 19, 20. П. Китайгородский (Москва) 2—6, 8—10, 12-16, 19. П. Клейман (Чкалов) 10, 12, 13. Б. Кодацкий (Горький) 1—8, 10—17. 19, 20, С. Колесник (Харьков) 2—6. 8, 10 — 16, 18—20. В. Конев (Ростовск обл.) 4. Е. Костюкова и Е. Сапунцев (Таганрог) 1 — 8, 10—16, 18, 19. А. Круговых (уч. Тульск. Сув. уч.) 12, Г. Кудреватов и В. Семыкин (Фергана) 2—4, 6, 8, 10, 12, 13, 15, 16, 19. П. Левин (Семипалатинск) 1—3, 6, 8-10, 12, 13, 15, 16, 19. И. Либман (Каменец-Подольск) 13, 15, Ф. Лиманский (Краснодар) 1, 2, 4, 6, 9, 10, 12, 13, 15, № 19. А. Локтев (Набережные Челны) 6, 8, 13, 16, 19. М. Люккэ (Новосиб. обл.) 1 4, 6, 8, 11-13, 15, 16, 18-20 С. Малакаев (ТАССР, село Екатерининское) 1 3, 4, 6, 8, 10—13, 15, 19. Л. Малюгин (Горький)

2—6, 8, 10—17, 19, 20. С. Марценюк (Нежин) 8, 12, 13. Л. Медведев (Сталингр. обл.) 4, 6, 8, 9, 12, 13, 15, 19. В. Меркушкин (уч. Тульск. Сув. уч.) 12. А. Мирзоев (Северо-Казахст. обл.) 4, 6, 5—11. А. Могильницкий (Одесск. обл.) 2—6, 8, 10—16, 13—20. М. Мхитаров (Дзауджикау ) 6, 8, 10, 12. 13, 15, 16. И. Наидин (Инза; 6, 8, 12, 13, 19. В. Никитин (Тамбов) 2, 4—6, 8—10, 19, 20. А. Панов (Москва) 2, 8. Е. Плешкова (Лысьва) 4, 5, 8-10, 12, 13, 15, 19. М. Поляновский (Ал т. кр.)2, 6, 9, 10, 12, 13, 15. П. Постников (Ряжск) 3, 4, 6, 8—10. 12—16, 19, 20. М. Принцев (Россошь) 2, 3, 5, б, 8-10, 12-16, 18, 19. И. Рабинович (Рига) 1—4, б, 8, 9, 13, 15. В. Розентуллер (Ленинград) 6, 12, 15. В. Рубенский (Юрьевец 8, 10, 12, 13. М. Саакян (Краснодар) 3, 6, 8 —lu, 12, 13, 16. С. Садихов (Баку) 8, 10, 12-16. Б Сахаров (Горький) 2—6, 8, 12—20. С. Севастьянова (Москва) 4, 6, 8, 10, 15. Б. Сенин (Перово). 1—4, 6, 8, 10-16, 18—20. И. Сергачев (М. Ярослав-, ц) 1, 2, 8, 1с, 13. .//. Скорняков (Москва) 1, 2, 4, 6, а—13, 15-20. В. Снопков (Спасск) 8, 10, 12, 13, 19. Соловьев-Серкин (Москва) 1—4, 6—8, 10—13, 15—20. А. Тимофеев (Ярославль) 1, 3, 6, 8, 1 \ 12—16,19. Н. Титов (Казань) 2—4, 6. 8—10, 12-20. П\ Титов (Тюмень) 1—6, 8—13, 15—20. А. Тихонов (Иван, обл.) 2, 4, 10, 12— 1 г>, 19. Е. Тишков (Орша) 4, 6, 8, 9, 12—19. В. Федоров (Курганск. обл.) 2, 3, 5, 6, 8, 10—19. Г. Фридман (Красноярск) 2—13, 15—20. J1. Хайруллин (Сарат. обл.) 1, 3, 4, 6, 8-10, 12—14, 18—20. X. Хамзин (Стерлитамак) 1—6, 8-20. Я. Цимерман (Ейск) 6, 8, 10, 12, 13, 15, 16, 18. Г. Чепкасов (Краснодар.) 2—4, 6, 8, 10, 12—16, 18, 19, //. Чижиков (Краснослободск) 12, 13, М. Шебаршин (Кемер. обл.) 1—6, 8, 10—20. А. Ширшов (Ворошиловгр. обл.) 1—6, 8-10, 12-16, 18-20. Г. Шигалин (Дагест. обл.) 2, 4, 6, 8-10, 12, 13, 16, 18, 19. И. Шпилькин (Удмурт. АССР) 1—4, 7, 8—16, 19, 20. С Шулепов (Сарат. обл.) 2, 4, 6, 8, 10—15, 18—20. В, Шушин (Горьк. обл.) 8, 10, 12, 13. Е. Ясиновый (Куйбыш. обл.) 1—4, 6, 8—10, 13, 15, 16, 18—20.