МАТЕМАТИКА ШКОЛЕ

2

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКВА 1947

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 2 1947

МАРТ-АПРЕЛЬ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА В СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКЕ

Проф. В. В. НЕМЫЦКИЙ (МОСКВА)

Создатель современной теории множеств Г. Кантор так определяет понятие множества: „Под многообразием или множеством я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т. е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона“1. Объединение целой совокупности предметов в одно целое, для изучения свойств всей совокупности и сравнения ее свойств со свойствами других подобных совокупностей — обычный прием. Например, когда изучают физиологию человека, то отнюдь не обращаются к структуре атомов, из которых состоит человек; когда изучают общие законы человеческого общества, то пренебрегают индивидуальными свойствами или характером каждого данного человека. Вся наука есть некоторая „теория множеств“. Поэтому мы должны указать на специфику нашего исследования. Эта специфика состоит в том, что мы желаем провести математическое исследование множеств. Говоря точнее, мы желаем приложить к изучению множеств понятия, развитые математикой, например: равенства и неравенства арифметических операций, функции и т. п.

Интуиция и бесконечные множества

Применяя все эти понятия к бесконечным множествам, мы часто приходим к парадоксальным, удивляющим нас фактам, противоречащим нашей интуиции, нашим привычным представлениям.

Начнем с такого примера, который приводил Гильберт2. Представим себе гостиницу, в которой есть бесконечное число номеров, иными словами, какое бы ни было целое число, всегда есть комната, номер которой равняется этому целому числу. В этой гостинице всегда есть свободные номера, даже если мыслить себе число людей тоже бесконечным. В самом деле, пусть в некий день является новый постоялец; тогда хозяину этой гостиницы стоит только пред-

1 Г. Кантор, Основы общего учения о многообразиях. Примечание к § 1. Новые идеи в математике, № 6, СПБ 1914, стр. 69.

2 Д. Гильберт, Один из величайших математиков современности, создавший многие отрасли математического анализа.

ложить каждому из постояльцев переехать в комнату, имеющую номер на единицу больший, чтобы освободить комнату № 1 и поместить приезжего. Если признать этот пример несколько вычурным, то не менее парадоксальным является следующий факт, собственно, говорящий о том же.

Мыслим себе написанными все четные положительные числа

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, . . . , 2/1. . Подпишем под каждым из этих чисел результат деления четного числа на 2, тогда получим числа

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, . . , п, . . . , т. е. все целые положительные числа. Под каждым четным числом будет написано некоторое целое положительное число, и над каждым целым положительным числом будет написано некоторое четное положительное число, притом над двумя различными целыми числами написаны различные четные числа. Если бы в верхней и нижней строчках было написано лишь конечное число чисел, то мы бы, не сомневаясь, сказали, что в верхней и нижней строчках имеется одинаковое число чисел. А в рассматриваемом случае как-то странно признать, что четных положительных чисел столько же, сколько и всех целых положительных чисел.

Часть равна целому—это противоречит установленной веками традиции. Пойдем дальше. Рассмотрим бесконечный луч. Точка этого луча имеет определенное расстояние от начала луча. Назовем некоторую точку луча рациональной, если это расстояние выражается рациональным числом, и иррациональной, если это расстояние выражается иррациональным числом. Рассмотрим взаимное расположение точек луча. Можно отметить две удивительные вещи. Во-первых, ни про какие две рациональные точки нельзя сказать, что они соседние, так как между любыми двумя рациональными точками всегда есть еще одна рациональная точка. В самом деле, пусть А и В две различные рациональные точки, пусть гх и г2 расстояния точек А и В от начала луча. Рассмотрим точку С, расстояние которой от начала луча равно Г1^Г*, эта точка рациональна и расположена между А и В. Если бы мы имели на прямой конечное, хотя бы и очень большое число точек, то этого обстоятельства ни в коем случае не наблюдалось бы. А вот другое парадоксальное свойство. Рассмотрим сколь угодно малый отрезок, где угодно расположенный на луче. На нем есть и рациональная и иррациональная точки. В самом деле, пусть р длина заданного» отрезка [А, В]. Прежде всего находим десятичную дробь — < ^-. Будем теперь от начала луча откладывать отрезок длины ^ • Так как длина этого отрезка меньше половины длины заданного отрезка, то рано или поздно мы найдем такое целое число к, что отрезок, концы которого имеют абсциссы и —0тг > будет помещаться на отрезке [А, В]. Таким образом на [А, В] мы найдем рациональные точки; но на [А, В] легко указать также и иррациональную точку; в самом деле, такой точкой будет, например, точка, находящаяся от начала луча на расстоянии jw*liW~Wr-

Как принято говорить в теории множеств, рациональные точки всюду плотно расположены на луче, и также всюду плотно расположены и иррациональные точки. Эти множества „взаимно проникают“ друг в друга.

Акад. H. Н. Лузин, желая образно представить это свойство, говорит: „Представим себе, что во всех рациональных точках зажжены фонари, тогда на всей прямой не остается ни одного темного места, а между тем имеется бесчисленное множество темных иррациональных точек“. Я присоединяю к этому такую картину. Пусть в рациональных точках мы зажгли синие фонари, а в иррациональных точках желтые фонари, тогда в нашем глазу эти цвета смешались бы и мы видели бы всю прямую, освещенную ровным зеленым светом1.

Замечу, что в порядке доказательства всюду плотности рациональных точек на прямой мы установили, что всюду плотно расположены и „десятичные“

1 Для научной корректности следует указать, что этого же эффекта мы могли бы достичь и при конечном числе достаточно близко расположенных точек. Аналогичное замечание относится к примеру акад. Лузина.

точки (т. е. точки, имеющие расстояния от начала луча, выражающиеся десятичными, конечными, дробями).

Перенумеруем теперь все десятичные точки, лежащие на отрезке [0,1] длины 1. Назовем номером некоторой десятичной дроби целое число, обозначенное теми же цифрами, что и десятичные знаки данной дроби, но в обратном порядке. Например, дробь 0,57865 получит номер 56875. Ясно, что различные десятичные дроби получат различные номера. Итак, пусть все десятичные дроби занумерованы, запишем их в порядке возрастания номеров в виде строчки

ги Га* /V* • • • Sn> • • •

Так например, г15643 означает дробь 0,34651. Конечно, надо совершенно ясно представить себе, что в этой строчке числа не идут в порядке возрастания: перенумеровать десятичные дроби так, чтобы большему номеру соответствовало бы большее число, конечно нельзя, так как (как мы уже установили) не существует двух соседних десятичных точек.

Пусть теперь е заданное произвольно малое число. Для определенности положим:

•=0,000001=3™.

Поступим теперь так: поместим точку гх внутрь отрезка Аг длины 2 ^ , в центре которого лежит точка гъ и выкинем отрезок А из отрезка [0,1].

Тогда сумма длин оставшихся отрезков будет равна

1 2.100-

Затем поместим точку г2, внутрь отрезка Л2 длины 2^Tïô6 и исключим Л2 из отрезка [0,1], тогда сумма длин оставшихся отрезков будет не меньше

Точно так же поступим со следующим числом г, и т. д.; после выкидывания п отрезков мы получим на отрезке [0,1] систему отрезков, сумма длин которых не меньше1

Будем поступать так неограниченно долго. В результате этого процесса в пределе мы получим на отрезке [0,1] некоторое множество точек. В этом месте читатель мысленно останавливает автора и говорит: но ведь в пределе мы, очевидно, ничего не получим, мы, повидимому выкинем уже все точки отрезка [0,1] на некотором конечном шаге процесса, ведь десятичные дроби всюду плотно расположены на отрезке [0,1], а мы их выкидываем вместе с некоторыми окружающими их отрезками. Однако интуиция обманула нас здесь. В самом деле, после выкидывания п отрезков сумма длин оставшихся отрезков будет не меньше

и, следовательно, предел суммы длин оставшихся отрезков не меньше

Так что десятичные точки, хотя и „предельно тесно“ расположены друг по отношению к другу, но все же настолько „просторно“, что, исключив их из отрезка даже с некоторыми интервалами, мы выкинули не больше чем одну миллионную всей длины отрезка.

Так на каждом шагу при обращении с бесконечными множествами нас обманывает интуиция. Если к приведенным примерам еще присоединить пример Хаусдорфа разбиения поверхности шара на такие четыре неперекрывающиеся части А у Вг С и D, что с помощью движения поверхности шара самой по себе множество А можно совместить с множеством Б и с множеством С; и вместе с тем с множеством А можно

1 Выкидываемые отрезки могут содержаться один в другом или частично перекрываться.

посредством движения совместить множество точек, состоящее из точек В и из точек С, то поневоле может закрасться сомнение. А в самом деле, стоит ли рассматривать бесконечные множества? Ведь доступный нашему изучению мир состоит из конечного числа атомов, в нем происходит конечное число явлений; стоит ли из-за какой-то фикции ставить себя перед необходимостью разбираться во всех этих парадоксальных явлениях?

Математика без бесконечности

Когда так говорят, всегда вспоминается рассказ о том, что случилось бы, если на земле не было бы растений; в какую бесплодную равнину, неприспособленную к жизни, превратился бы земной шар. Такой же разгром, если не больший, постиг бы математику, если бы отказаться от понятия актуальной бесконечности и от рассматривания бесконечных множеств.

В самом деле, допустим, что мы решили бы ограничиться лишь конечным. Тогда бы диагональ квадрата со стороной единица не имела бы длины, простые дроби не всегда обращались бы в десятичные, нельзя было бы найти ни одной окружности, которая имела бы длину. В самом деле, отказавшись от бесконечности, мы должны отказаться от иррациональных чисел, записанных бесконечной десятичной дробью, а если так, то мы должны были бы рассматривать круги, имеющие лишь рациональные радиусы, и тогда длины их окружностей, равные 2ъг, были бы обязательно иррациональными, т. е. с нашей гипотетической точки зрения подобные окружности не имели бы длины. Мало того, нам пришлось бы отказаться от метода аналитической геометрии, сводящего изучение свойств геометрических фигур к рассмотрению уравнений, так как с точки зрения конечного несовместимо положение, лежащее в основе этого метода: каждой точке плоскости соответствует пара чисел и обратно. Нам пришлось бы отказаться и от метода полной индукции при доказательствах теорем, так как в результате его применения мы утверждаем справедливость теоремы для актуально бесконечного числа случаев. По поводу закона полной индукции один из самых гениальных математиков XIX—XX столетий А. Пуанкаре говорит: „В этой области арифметики мы находимся очень далеко от анализа бесконечно-малых, и однако мы видим, что идея математической бесконечности играет решающую роль и без нее не будет науки, так как не будет ничего общего“ („Гипотеза и наука“, гл. I). Если, рассматривая историю науки, посмотреть какой ступени развития математики соответствует та точка зрения, при которой разрешается оперировать только с конечным, то это окажется египетская и вавилонская математика, представляющая сборник эмпирических правил для решения арифметических и геометрических задач. Вместо того, чтобы сложить руки перед трудностями обращения с бесконечным, не лучше ли постараться их преодолеть. К такому решению приводит нас и то соображение, что математика бесконечного уже принесла человечеству неоценимые услуги, и дело нашего столетия указать окончательные правила обращения с бесконечностью, правила неоспоримые, основы которых проанализированы логикой, а результаты применения которых проверены опытом.

Алгебраическая природа множеств

Начнем с алгебры множеств, т. е. определим операции над множествами. Прежде всего, если А и В два множества, то А — В означает тождественное совпадение множеств А и В.

Пусть, например, множество А состоит из трех точек, а множество В из трех апельсинов; хотя число элементов у множества Л и у множества В совпадают между собой, однако мы не скажем, что эти множества равны. Далее устанавливаются три операции над множествами.

Сложение, или соединение

Законы сложения:

А + В = В+А; (А+В)-ЬС = = Л + (Я + С); Л + Л=Л.

Два первых равенства нас не удивляют, так как они аналогичны законам сложения чисел, а вот третье может показаться удивительным. Однако оно будет совершенно естественным, если дать такое

объяснение операции сложения множеств: сложить два множества значит соединить их вместе, а ведь соединять вместе можно только различные вещи, одну и ту же вещь соединить саму с собой—это значит просто ничего с ней не делать, поэтому запись Л + Л может рассматриваться как математическая запись фразы: над множеством А не производится никаких операций. Таким образом, операция сложения над множествами гораздо ближе к смыслу фразы „сложить две вещи в одно место“, чем к фразе „сложить два числа“. Такой смысл сложения не ставит никаких препятствий перед тем, чтобы взять любое даже бесконечное количество слагаемых. Для примера рассмотрим квадрат со стороной, равной единице, и с вершиной в начале координат. Совокупность точек этого квадрата обозначим буквой С.

Рассмотрим множество точек квадрата, расположенных на отрезке прямой, параллельной оси у. Это множество обозначим Ах. Ясно, что С равно сумме множеств Ах по всем X.

Умножение

Законы умножения:

А - В=В . А; (АВ)С = А(ВС); АА=А.

Снова два первых правила нас не удивляют. Что касается последнего А • А=А, оно тоже становится вполне ясным, если операции умножения придать такой смысл: умножить два множества—значит взять элементы этих множеству общие им обоим.

Подобный смысл умножения не ограничивает нас числом множителей. Обозначим, например, через Ак множество точек плоскости, лежащих на прямой, образующей с осью х угол, тангенс которого равен k; тогда произведением всех этих множеств будет начало координат, так как только одна эта точка принадлежит всем множествам.

Дистрибутивный закон:

(А+В).С = АС + ВС,

причем число слагаемых в скобках может быть любым, даже бесконечным.

Вычитание, или взятие дополнения

Пусть А некоторое множество, тогда часть множества А называется его подмножеством. Пусть В подмножество А, тогда множество С называется разностью А— В, если выполнены два свойства В-{-С = А и В - С не содержит ни одной точки.

Итак, множество, как и число, есть некоторый „оперативный символ“, т. в. над множествами можно проделывать операции, как над числами, только законы этих операций несколько отличны от законов операций над числами.

Функции от множеств

Если над множеством можно производить операции аналогично тому, как это делается над числами, то можно так же определить функции от множеств, т. е. такие функции, аргументами которых служат множества.

Начнем рассмотрение примеров с понятия „площади“. Что такое площадь? Площадь—это число, которое определяется заданием геометрической фигуры, т. е. заданием некоторого множества точек. Определяя площадь различных фигур, мы задаем функции на некоторых множествах. Аналогичное обстоятельство наблюдается при определении объемов. Определяя объемы, мы определяем некоторую функцию на совокупности различных телесных геометрических фигур. Длина дуги кривой дает нам новый пример функции множества. После этого, я думаю, станет ясным, насколько распространены во всей (и даже элементарной) математике функции от множеств.

Все функции множеств, которые мы рассмотрели, да и многие другие, которые появляются в физике в результате измерения физических величин, обладают рядом общих свойств. Для краткости речи будем называть значения рассмотренных нами функций мерой. Меру какого-либо множества А будем обозначать mes А.

1. Монотонность меры. Если множество В есть часть множества А, то mes В^ mes Л.

2. Аддитивность меры. Если множество А разбито на несколько частей, не имеющих общих точек, т. е. если А в Ах-\-А2-\-.. .+ЛЛ , причем

At • Aj не содержит ни одной точки, при 1ф]у то

mes А — mes Л J + mes А2 +... + + mes Ап.

3. Инвариантность меры. При движении в пространстве мера не изменяется.

Спросим себя, нельзя ли для всех множеств точек, расположенных как угодно в трехмерном пространстве, определить функцию, которая обладала бы всеми указанными тремя свойствами.

Из примера Хаусдорфа можно вывести, что эта проблема имеет отрицательное решение.

В самом деле, пусть поверхность шара 5 разбита на такие четыре части А, В, С и D, что А конгруэнтно В и конгруэнтно С, и в то же время А конгруэнтно -S+C, именно на такие части разбил Хаусдорф поверхность шара. Допустим, что мы приписали каждому множеству меру с сохранением всех трех свойств.

Прежде всего без доказательства отметим, что часть D имеет такую структуру, что его мера равна нулю. Предполагая это доказанным, нетрудно прийти к противоречию.

В самом деле, имеем и, следовательно,

mes 5 = mes A -f- mes 5-f- mes С -f- mes Д

и, так как mesZ) = 0,

то

mes 5 = mes A + mes В + mes C.

Так как A конгруэнтно В, a В конгруэнтно С, то

mes А = mes В = mes С,

и, следовательно,

mes А = mes S.

С другой стороны, tak как А конгруэнтно В + С, то

mes А = mes (В -\- С) = — mes 5“, т. е. мы пришли к противоречию.

Итак, приписать конечную меру всем множествам в трехмерном пространстве, лежащим на поверхности некоторого шара, мы не можем.

Поэтому возникает важнейшая проблема о нахождении измеримых множеств, т. е. таких тел, которым мы можем приписать объем, таких фигур, которым мы можем приписать площадь, таких дуг, которым мы можем приписать длину, и т. п.

К решению этой проблемы возможны два подхода. Первый подход конструктивный, т. е. мы указываем процесс измерения объема, площади, длины и затем доказываем, что полученные посредством этого процесса функции от множеств обладают указанными тремя свойствами. Другой подход,—разыскать некоторые внутренние свойства измеримых множеств. Оба эти подхода возможны. Для примера укажем один из таких процессов определения объема, называемый процессом определения меры Жордана. Пусть в трехмерном пространстве расположено некоторое ограниченное тело Е, т. е. такое множество, которое мы можем заключить в некоторый куб.

Заключив Е в некоторый достаточно большой куб, разобьем этот куб на кубы со стороной, равной единице измерения, и образуем два числа:

1-е число—это сумма объемов тех кубов, которые содержат хотя бы одну точку тела. Полученную сумму объемов обозначим через Sx.

2-е число—это сумма объемов тех кубов, которые содержатся целиком внутри тела. Полученную сумму обозначаем через Ej.

Это первый шаг процесса. Второй шаг состоит в том, что мы разбиваем основной куб на кубы со стороной, равной ~ единицы измерения, и с этими кубами проделываем то же, что и с кубами, полученными на первом шаге.

Снова получаем два числа St и Е. Далее разбиваем на кубы со стороной, и равной щ единицы измерения, и т. д.

Получаем две последовательности чисел:^; S2;... ; Sn----и Е, ; Е2 ;., . ; Е„...

Тело называется измеримым по Жордану, если lim Sn = lim Еп . Общую величину этих двух пределов и называют

объемом тела. Для обычных геометрических тел эта мера будет совпадать с объемом, определенным приемами элементарной геометрии.

Дальнейшее развитие науки позволило расширить класс измеримых множеств. Наиболее значительное расширение получил французский математик Лебег. Однако рамки настоящей статьи не позволяют нам остановиться на его обобщениях.

Множество как пространство

До сих пор для нас множество было совокупностью каких-то элементов, между которыми не устанавливалось решительно никаких соотношений. Между тем для математики характерно понятие предела, которое связано с возможностью оценивать расстояния между элементами множества. Если бы мы хотела ограничиться рассмотрением множеств, элементами которых являются точки прямой, плоскости или трехмерного пространства, то можно воспользоваться обычным расстоянием между точками. Но ведь математика стремится изучать всевозможные множества, элементами которых могут быть всевозможные предметы. В частности, элементами множеств могут служить функции: например, для алгебры важно рассматривать множество всех полиномов, для математического анализа множество всех непрерывных функций и т. п. Для подобных множеств заранее не установлено, что следует назвать расстоянием. Решение проблемы, которая здесь возникает, очень характерно для метода математики. С одной стороны, казалось бы, мы совершенно свободны в выборе того, что следует назвать расстоянием, и с другой стороны, мы должны, таким образом, выбрать определение, чтобы в тех случаях, когда множество есть множество точек пространства, то введенное нами расстояние было бы похоже на обычное расстояние в пространстве. Надо, следовательно, подметить основные свойства расстояния путем наблюдения, а затем эти свойства и объявить основными свойствами, аксиомами расстояния. Эта работа была в 1906 г. проделана французским математиком Фреше. Он ввел такое определение.

Назовем расстоянием между двумя элементами х и у множества Е некоторое число р (х, у), которое обладает следующими тремя свойствами.

1. Аксиома тождества

р(х, *) = 0 и, если р (х, у) = 0,то х=у.

Расстояние равно нулю в том и только в том случае, если точки х и у совпадают.

2. Аксиома симметрии

р(х, у) = р(у, X).

Расстояние от х до у равно расстоянию от у до X.

3. Аксиома треугольника

р(х, z)^pO, jO+рСу, г).

Обычно определяемое расстояние, конечно, удовлетворяет всем этим требованиям. Можно привести и много других примеров расстояний, удовлетворяющих этим требованиям. Пусть наше множество есть земной шар; тогда за расстояние между двумя точками земного шара обычно принимают длину дуги большого круга, соединяющую эти две точки.1 Это расстояние не есть, конечно, расстояние данных двух точек в трехмерном пространстве, но тем не менее оно удовлетворяет всем аксиомам Фреше.

В качестве другого примера возьмем множество, элементами которого служат непрерывные функции, определенные на отрезке [0,1]. Пусть даны два элемента этого множества / (х) и ср (х), тогда за расстояние мы примем число:

Р (/(*)> ?(*)) = тах|/(*)-<р(х)|.

Легко убедиться, что все аксиомы Фреше выполнены2.

Множество, для элементов которого установлено понятие расстояния, называют „метрическим пространством“. Элементы этого множества называются точками пространства.

Отметим некоторые основные понятия математики, связанные с понятием расстояния.

1 Мы, конечно, здесь несколько схематизировали задачу, рассматривая земной шар как точный шар.

2 max \f (х) — ср (л)\ означает наибольшее значение абсолютной величины разности f(x) — y(x) на отрезке

1. Множество называется ограниченным, если взаимные расстояния между произвольными двумя его точками меньше некоторого числа.

2. Элемент а пространства R называется предельным элементом для некоторого множества Е элементов (точек) этого пространства, если в множестве Е есть элементы сколь угодно близкие к элементу (точке) а.

Например, как это было показано в начале статьи, всякая точка прямой есть предельная точка для множества рациональных точек.

Понятие предельной точки позволяет подвергнуть логическому анализу трудное понятие непрерывности. Утверждение: трехмерное пространство,— плоскость или прямая непрерывны, — с точки зрения теории множеств сводится к следующему утверждению.

Принцип Вейерштрасса. Всякое бесконечное ограниченное множество точек имеет по крайней мере одну предельную точку.

В самом деле, то наглядное представление о непрерывности, которое мы имеем, сводится к представлению, что пространство не имеет „отверстий“, или пустот. Допустим, что была бы некоторая пустота, например, в плоскости. Опишем мысленно около этой пустоты систему концентрических кругов радиуса 1, затем радиуса 1/2 и затем радиуса 1/3 и т. д., радиуса — и т. д.

Рассмотрим пересечение этих кругов с каким-либо радиусом ОР. Получим точки хг; х2\... ; хп;... где хг отстоит от пустоты на расстояние 1; х2 на расстояние у; хп на расстояние ~ и т. д.

Полученное множество точек хп бесконечно и ограничено, следовательно, оно должно иметь предельную точку, но эти точки скопляются только к предположенной пустоте — центру всех кругов, следовательно, центр этих кругов обязательно принадлежит к плоскости.

Известное уже из элементарной математики понятие предела бесконечной последовательности чисел тесным образом связано с понятием предельной точки.

Определение. Элемент а называется пределом для множества Е, если элемент а есть единственная предельная точка для множества Е.

Из этого определения вытекает, что лишь редкие бесконечные множества имеют предел, и, следовательно, желательно иметь признаки, которые позволяли бы, исходя из внутреннего расположения точек множества, заключить, имеет оно предел или нет. Не имея возможности полностью разобрать вопрос, укажу лишь на известный учителям принцип монотонной последовательности, который вытекает из принципа Вейерштрасса.

Теорема. Монотонно возрастающая ограниченная сверху последовательность чисел имеет предел.

Пусть хх^х2^х3.. .^хп.. .^А монотонно возрастающая ограниченная последовательность. Рассмотрим отрезок, концы которого имеют абсциссы х1 и Л. На этом отрезке помещаются все точки (числа), составляющие заданную последовательность. Таким образом эти числа образуют ограниченное бесконечное множество. По принципу Вейерштрасса у него должна быть предельная точка. Покажем, что предельных точек может быть только одна. В самом деле, пусть их две, а и ß, и пусть

a—$=d>0.

Так как а предельная точка, то найдется такая точка нашей последовательности xkr которая помещается на отрезке [ß, а], но тогда все остальные точки нашей последовательности хк+1, хк + 2, ..., хЛ+п> поместятся на отрезке от хк до а, и, следовательно, точки заданной последовательности не могут накопляться около ß, т. е. ß не есть предельная точка. Полученное противоречие доказывает теорему. Понятие предельной точки позволяет также дать точное определение таким понятиям, как: кривая, поверхность, число измерений и многим другим. Рамки статьи не позволяют остановиться на этом.

Упорядоченность элементов множества

Вернемся снова к множествам, составленным из чисел. Каждый элемент этих множеств, т. е. „число“, представляет собою индивидуальность, мы можем его всегда отличить от другого элемента, чего далеко нельзя сказать про элементы множеств вообще, и происходит это оттого, что все числа расположены

в определенном порядке, т. е. про каждые два различных числа а и ß мы можем сказать, что либо a<ß, либо <x>ß. Такое свойство элементов множества называется упорядоченностью. Многие множества легко упорядочить. Пусть, например, множество Е состоит из точек плоскости, тогда между его элементами можно установить такую упорядоченность. Если даны две точки А с координатами jCj, уг и В с координатами х2, у2, то скажем, что А предшествует Д если хг<х2, а если х1 = х2, то А предшествует В, если < у2 .1 Аналогично мы можем упорядочить и точки пространства.

Если можно установить неравенство не между всеми элементами множества, а лишь между некоторыми, то говорят, что множество частично упорядочено. Например, множество комплексных чисел легко частично упорядочить. Пусть даны два комплексных числа

zx = <х + и z2 m 7 -f- ib\ если \гг\ = |z2|,

то мы не устанавливаем между этими числами никакого неравенства; если l^iIФ т0 скажем, что zx < z2, если \Zi\ < \z2\. Такое упорядочение не будет противоречить операциям над комплексными числами, т. е. из условий а < b будет вытекать, что а + с <Ь-\-с при любом с, и из условий^ а < b и с > О будет вытекать

ас < be.

Каждый закон упорядоченности обладает следующим основным свойством.

Если х<у, а у < z, то х < z.

Понятие упорядоченности тесно связано с вопросом о последовательном изменении некоторой переменной величины. „Переменная величина последовательности принимает ряд значений“ означает, что множество значений этой переменной есть упорядоченное множество. Пользуясь этим, легко дать такое определение.

Определение. Переменная величина, последовательно принимающая свои значения, стремится к пределу а, если, каково бы ни было малое число е, можно найти такое значение х0 переменной величины, что для всех значений х, следующих за х0, имеет место равенство \х — а\ < е.

Не все числовые множества обладают тем совершенным порядком, который имеют целые положительные числа. В самом деле, для целых положительных чисел выполняются следующие естественные требования.

1. Если даны два различных целых числа а и ß, то либо а < ß, либо а > ß, т. е. оно упорядочено. Но имеется и второе свойство.

2. Какую бы часть множества целых чисел мы ни взяли, в ней будет всегда наименьший элемент, предшествующий всем остальным.

Это последнее требование, конечно, не выполняется для произвольного множества действительных чисел. Например, множество правильных дробей не имеет первого элемента, так как нет наименьшей правильной дроби.

Множества, между элементами которых установлено отношение порядка, удовлетворяющее обоим сформулированным требованиям, называются вполне упорядоченными. Они обладают тем замечательным свойством, что их элементы можно постепенно друг за другом сосчитывать. Именно так: пусть Е вполне упорядоченное множество; у него есть первый элемент, обозначив его через а19 исключим ах из Е\. в оставшейся части Е тоже есть первый элемент, обозначив его через а2, исключаем ах и а2 из Е; в оставшейся части Е находим первый элемент аъ и т. д. Может случиться, что на п-ом шаге мы исчерпаем все элементы множества Ег тогда множество Е конечно, и может случиться, что мы сможем продолжать этот процесс пересчитывания неограниченно. Тогда этим способом мы получим элементы:

а1 а2 аг... ап...

При этом может произойти одно из двух: либо каждый элемент множества окажется занумерованным целым числом: либо останутся и после этого еще не занумерованные элементы.

1 Так как каждое комплексное число может быть представлено точкой плоскости, то может показаться, что этим способом мы можем установить неравенства между комплексными числами. Однако следует иметь в виду, что такое упорядочение будет противоречить естественному требованию: „Если а < b и с>0, то ас < be". В самом деле, пусть а = — 1; b = /, с = /, тогда согласно нашему закону упорядочения а<^Ь и с > 0, между тем ас = — /, a be = — 1 и, следовательно, согласно тому же закону ас ]> be.

В самом деле, рассмотрим такой пример. Пусть вполне упорядоченное множество состоит из чисел

Перенумеровывая указанным выше способом элементы этого множества, получим:

Все целые числа мы уже используем для нумерации чисел, предшествующих единице, а для единицы нам нехватит номеров. Г. Кантор предложил присвоить единице номер <о и назвать его первым трансфинитным числом. После этого число 1 + -у должно получить номер число 1 +4“ + - • номер -л -J- tiy тогда для числа 2 снова нехватит номеров и мы ему присвоим номер со-2. Числа со, о> + 1... со . 2... Г. Кантор назвал трансфинитными числами. С полученными трансфинитными числами можно производить некоторые арифметические операции, только законы этих операций будут несколько отличными от обычных. Итак, если Е есть вполне упорядоченное множество, то элементы его можно сосчитывать, придавая им все новые и новые трансфинитные номера.

Если последний элемент получил номер 7, то трансфинитное число ? естественно назвать числом элементов вполне упорядоченного множества.

Естественно спросить себя, нельзя ли всякое множество вполне упорядочить и, следовательно, сосчитать его элементы. Э. Цермело показал, что это можно. Однако многие математики не признали доказательства Цермело; они утверждали, что примененный им метод доказательства незаконен. Здесь мы встречаемся с одним из самых трудных вопросов обоснования математики. Какие рассуждения считать законными, какие незаконными? Уже Пуанкаре указал, что математика пользуется некоторыми типами рассуждений (например закон полной индукции), которые не вытекают из законов формальной логики, так как они признают за человеком право рассмотреть сразу результат применения бесконечного числа силлогизмов. Поэтому, если даже признать законы формальной логики, то все же математика не окажется обоснованной.

Рамки настоящей статьи не позволяют осветить этот вопрос. Укажу только, что большинство математиков видят сейчас истинность математики в том, что ее рассуждения, проводимые по определенным правилам, не могут привести к противоречию. Усилия ученых, занимающихся основаниями математики, направлены сейчас к тому, чтобы показать, что все большее и большее число математических фактов, добытых самыми различными путями, может быть получено с помощью системы таких правил вывода (алгоритма), которые не приведут к противоречиям. В частности, таким образом Гильберт, Гедель и другие обосновывали арифметику, геометрию, математический анализ, и, в частности, теорема Цермело о возможности полной упорядоченности тоже оказалась обоснованной. Но математика не мертва, она черпает из окружающей нас действительности новые проблемы и решает их различными методами. Она ставит и будет ставить перед философами все новые и новые проблемы, и тем самым процесс обоснования математики, т. е. сведения ее к формальным схемам и аксиомам, никогда не будет закончен.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЕ В РОССИИ XVII—XIX вв.

Проф. А. П. ЮШКЕВИЧ (Москва)

Продолжение

МАТЕМАТИКА И ВОЕННО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ ПРИ ПЕТРЕ I

1. Организация военно-технического образования

В первой четверти XVIII в. развитию математического просвещения в России было сообщено новое направление. Математика, прежде являвшаяся уделом частных любителей, была сознательно и прямо поставлена на службу военным, хозяйственным и политическим задачам государства. Это обстоятельство сыграло в истории русской математики огромную роль.

Важной частью петровских реформ была реформа культурная. Один пункт постепенно складывавшейся программы деятельности Петра в этой области наметился довольно рано. Этим пунктом явилось формирование кадров русской технической, военной и административной интеллигенции. Срочная подготовка специалистов требовалась и для создания новой регулярной армии и для постройки военного и торгового флота, и для развития торговли и промышленности, и для переустройства государственного аппарата. Петр столкнулся с отдельными элементами этой задачи в юношеских военных играх, а завершил свою работу в области просвещения указом о создании Академии наук.

В конце XVII в. Петр задумал приступить к организации русских военно-технических школ. Первой из них была основана школа .математических и навигацких, то есть мореходных хитростно искусств учения“, указ об учреждении которой был дан 14 января 1701 г. Преподавателями в ней были приглашенные Петром I на педагогическую работу в Россию воспитанник эбердинского университета Эндрью Фархварсон, у нас прозванный Андреем Даниловичем (Andrew Fargwarson), Стефан Гвин (Stephen Gwyn) и Ричард Гриз (Richard Gries) из колледжа Крист-Черч1, а также Л. Ф. Магницкий. Эта школа была своего рода политехникумом и выпускала молодых людей „во все роды службы, военной и гражданской, которые требовали некоторых научных сведений или даже одного знания русской грамоты; из навигацкой школы выходили, кроме моряков, инженеры, артиллеристы, учители в другие новые школы, геодезисты, архитекторы, гражданские чиновники, писари, мастеровые и проч.“2. Вскоре возникло еще несколько военных и технических школ, притом более определенного профиля. В 1715 г. от навигационной школы, помещавшейся в не так давно снесенной Сухаревской башне, отделилась Морская академия, переведенная в Петербург. В 1711—1712 гг. Я. В. Брюс организовал в Москве инженерную и артиллерийскую школы, позднее также переведенные в Петербург. С 1714 г. стали возникать в различных городах низшие, так называемые цыфирные, школы. В это же время появилось несколько горных училищ на Урале; в 1707 г. при московском госпитале доктора Бидло приступили к подготовке врачей; наконец, в течение ряда лет с 1703 г. в Москве на Покровке функционировала общеобразовательная гимназия, открытая пастором Глюком.

Перечисленные учебные заведения, кроме гимназии Глюка, имели целью не общее образование широких кругов населения, но ускоренный выпуск сравнительно немногочисленных специалистов. В то многотрудное время, в период растянувшихся на четверть века войн со Швецией и Турцией, прежде всего необходимо было позаботиться о подготовке профессиональных кадров. Подобные профессиональные школы имелись и в Западной Европе. В России эти школы сыграли выдающуюся роль, не только выполняя свое непосредственное назначение, но и потому, что явились первыми центрами пропаганды международной светской науки.

Для преподавания в новых школах, для распространения знаний вообще нужны были книги. В 1700 г. Петр I дал амстердамскому коммерсанту Яну Тессингу грамоту на издание и продажу в России книг,—кроме церковных. По математике Тессинг выпустил лишь .Краткое и полезное руковедение во аритметыку“ (Амстердам, 1699) Ильи Федоровича Копиевича или Копиевского—уроженца Белоруссии. Большая часть этой книжечки была посвящена различным изречениям (по латыни и в русском переводе) и басням Эзопа Арифметике отведено было только 16 страниц содержавших беглые указания о нумерации и первых четырех действиях. Книжка не имела ни успеха, ни влияния, Столь же невелико было значение переведенной и изданной самим Копиевичем „Книги учащей морского плавания“ А. де-Граафа (Амстердам, 1701), содержавшей, кроме специального материала, кое-какие сведения по космографии и геометрии3.

1 М. М. Богословский, Петр Первый М. 1941, т. II, стр. 63; т. II, стр 367, 378, 381, 395.

2 Ф. Веселаго, Очерк истории морского кадетского корпуса, СПБ 1852, стр. 7.

3 См. П. Пекарский, Наука и литература в России при Петре Великом, т. I, СПБ, 1862, стр. 10 и след.

В начале же XVIII века под наблюдением самого Петра и Брюса начался выпуск светских книг в московской типографии. Содержание издававшейся литературы было весьма разнообразным. Публиковались календари, книги по географии и истории, грамматике и юриспруденции, политические памфлеты, руководства хорошего тона, учебники по военному делу, навигации, архитектуре, математике и т. д. С 1703 г. стала выходить, правда, нерегулярно, печатная газета „Ведомости“, первый же номер которой сообщал, между прочим, что „в математической штюрманской школе более 300 человек учатся и добре науку приемлют“. В том же году напечатаны были знаменитая „Арифметика“ Магницкого и „Таблицы логарифмов“ Влакка, переизданные в 1715 г. с указанием, что издание было произведено „тщанием и заосвидетельством мафематиконавигацких школ учителей“ Фархварсона, Гвина и Магницкого. По арифметике в петровское время вышли еще два издания. Одним из них была составленная Вас. Киприановым таблица „Новый способ арифметики феорики или зрительные“ (Москва, 1705). Эта таблица, украшенная многочисленными аллегорическими рисунками, портретами математиков и астрономов и изображениями математических инструментов, содержала в форме вопросов и ответов сведения о действиях над целыми и дробями, в том числе „децимальными“, и решение немногочисленных примеров. „В свое время,—замечает Б. Е. Райков,—эти листы играли ту же роль, какую в наше время популярные книжки“.1 Другим сочинением по арифметике были таблицы умножения до 100X100, ранее изданные в 1682 г. (Москва, 1714).

Первым изданием по геометрии был перевод книги „Геометрия славенски измерение“ или же „Приемы циркуля и линейки“ (издания: Москва, 1708, 1709, СПБ, 1725). Эта книга была посвящена геометрическим построениям и, между прочим, замечательна тем, что первая была набрана новым облегченным шрифтом, введенным взамен славянского и уже мало отличавшимся от современного. Рукопись перевода просмотрел сам Петр. Вероятно, при Петре вышла также „Геометрия практика“, содержавшая сведения об измерении фигур и тригонометрии (единственный экземпляр ее, хранящийся в библиотеке Академии наук СССР, уцелел без титульного листа и указания выходных данных).

Математические сведения приводились также в технической и военной литературе. Например, обширное математическое введение встречается в „Описании артиллерии“ Т. Бринка (Москва, 1710), переведенном с голландского Андреем Виниусом. Первая часть книги капитана Бринка сообщала сведения об употреблении циркуля, „началнейшего во первых орудия, еже пушкарю подобает при себе имети“. Здесь излагались простейшие понятия геометрии, показывалось, как проводить прямую, параллельную данной прямой (на-глаз: как касательную к двум дугам, описанным одним раствором циркуля из точек данной прямой), как делить пополам отрезок, строить прямой угол, строить треугольник по сторонам, делить отрезки на равные части, и т. п. Здесь же сообщался рецепт устройства „размерительного жезла“, калиброванной линейки для определения диаметра ядра по весу и обратно с помощью „кривого циркуля“, позволяющего обнять ядро в двух противолежащих точках. Линейка эта, очевидно, была разделена на части, пропорциональные кубическим корням. В особой главе разъяснялся способ определения зазора, который должен иметься между ядром и жерлом пушки. Этот зазор, именно, берется равным отрезку og на приложенном чертеже 1, где lh касательная к кругу, сечению жерла, дуга dl описана радиусом круга из точки касания h и hg — dl (так что, при r=ldl=2cos 15°=1,932 и og=0,068). Вторая часть, предназначенная для офицеров, содержала сведения о десятичных немецких мерах длины, о тройном правиле, об извлечении квадратного и кубического корней и обу потреблении астролябии при измерении расстояний до недоступных мест. В этой литературе можно видеть первые ростки больших военных руководств, которые стали появляться в России в середине XVIII в. Для пропаганды математики такие сочинения имели немаловажное значение. Авторы их указывали, что без знания математики невозможно изучение военного искусства. Бринк на первой же странице приводил крылатое изречение Платона, обращенное к желающим обучаться философии, и писал: „Сице прилагать возможно, и всем людем, хотящым во дверь сего военного дела вступити, да никто же в чин или достоинство наипаче в начальство военное вступит, иже не имеет искусства во первых геометрии и артилерии“.

Среди математиков той эпохи первые места занимали бесспорно Магницкий и Фархварсон.

Леонтий Филиппович Магницкий родился в 1669 г. и происходил из крестьян Тверской губернии. Он обучался в Московской высшей духовной школе, „славяно-греко-латинской академии“, из которой позднее вышел Ломоносов, и самоучкой приобрел довольно солидное знание математики и новых языков. В Навигацкой школе он преподавал с момента ее открытия арифметику, а после отъезда Фархварсона в Петербург, возглавлял в ней преподавание до конца жизни. Арифметику Магницкий составил в 1700— 1703 гг. Вместе с Фархварсоном и Гвином он издал „Таблицы логарифмов“ Влакка и вместе с Фархварсоном „Таблицы горизонтальные северные и южные широты восхождения солнца...“ (с голландского оригинала, Москва, 1722). Умер Магницкий 31 октября (ст. стиля) 1739 г., оставив в истории русского математического просвещения весьма приметный след.

Андрей Данилович Фархварсон читал в Навигацкой школе навигацию, астрономию и, быть может, геометрию с тригонометрией. С 1716 г. он работал профессором Морской академии. Он участвовал в издании ряда переводов и написал несколько руководств, из которых издана была лишь „Книжица о сочинении и описании сектора, скал плоской и гунтерской со употреблением оных инструментов в решении различных математических проблем“ (СПБ, 1739). Это пособие знакомило с употреблением усовер-

Черт. 1

1 Б. Е. Райков, Очерки по истории гелиоцентрического мировоззрения в России, М.—Л,. 1937, стр. 109.

шенствованного Галилеем пропорционального циркуля и с изобретенными Эдм. Гунтером логарифмической шкалой и линейкой; оно содержало (без доказательств) правила и примеры решения прямоугольных треугольников1. Под редакцией Фархварсона вышел также перевод первого на русском языке курса теоретической геометрии, именно «Евклидовых элементов“ в сокращении и переработке А. Такэ (СПП, 1739). Особенно значительны были заслуги Фархварсона в подготовке моряков. В 1737 г., по представлению Адмиралтейств-коллегии, ему был присвоен чин бригадира, „понеже через него первое обучение математики в России введено, и едва ли не все при флоте ее императорского величества российские подданные от высших и до низших к мореплаванию в навигацких науках обучены“. Фархварсон скончался в 1739 г., в один год с Магницким.

2. „Арифметика“ Л. Ф. Магницкого

„Арифметика сиречь наука числительная. С разных диалектов на славенский язык преведенная, и во едино собрана, и на две книги разделена“ Магницкого сыграла в истории русского математического образования чрезвычайную роль2. Она представляла собой первый в России печатный курс арифметики для школы и самообразования, содержавший, наряду с подробным и систематичным изложением арифметики, элементы алгебры и некоторые приложения к геометрии и навигации. Популярность сочинения была необыкновенной, и около 50 лет оно не имело в широких читательских кругах конкурентов. „Арифметику“ Магницкого и грамматику Смотрицкого называл „вратами своей учености“ Ломоносов. Вместе с тем, „Арифметика“ явилась связующим звеном между традициями московской рукописной литературы и влияниями новой, западноевропейской. Через посредство дальнейших звеньев она оказала, вместе с тем, немалое влияние на учебные руководства русских авторов, начиная от Киселева XVIII века—Н. Курганова, до Курганова XX века - А. Киселева.

С внешней стороны „Арифметика“ представляла собой большой том in 4°, более чем в 600 страниц, набранный еще славянским шрифтом; даже пагинация (нумерация страниц) была славянской. Но все вычисления проведены были с помощью современной нумерации. Имея в виду не только нужды школы, но и самоучек, каким в математике являлся он сам, Магницкий снабдил книгу очень большим числом подробно решенных задач и примеров на различные правила. Таких задач в ней было значительно больше, чем в соответствующих заграничных руководствах. Доказательств в „Арифметике“ не имелось. В предисловии автор, по примеру своих предшественников, разъяснял полезность математики. Он только в гораздо большей мере подчеркивал государственную важность математического образования, в частности для военного дела и мореплавания.

„Арифметика“ распадалась на две книги. Первая, объемом в 218 двойных страниц, знакомила с арифметикой практикой: с действиями над целыми числами, с деньгами и мерами различных государств, с дробями, тройными правилами, правилом ложного положения, прогрессиями, извлечением квадратных и кубичных корней и вычислением размеров некоторых геометрических фигур. Во вторую книгу включены были сведения о шестидесятиричных дробях, по алгебре (решение уравнений первой и второй степени), а также элементы астрономии, землемерия и навигации. Этот отдел, совершенно новый в русской литературе, занимал 87 двойных страниц. Первая книга открывалась аллегорической картинкой, изображавшей восседающую на троне Арифметику с короной на голове и с большим ключом (к знанию) в правой руке. К трону вели пять ступеней: счисление, сложение, вычитание, умножение, деление. Портик храма поддерживали восемь колонн, изображавших, согласно надписям, геометрию, стереометрию, астрономию, оптику, географию, меркаторию (торговое дело), фортификаиию и архитектуру, На пьедестале была надпись: „Арифметика что деет, на столпах то все имеет". Такие рисунки, возбуждавшие любопытство читателя, были в то время в большой моде; например, на титульном листе „Arithmetischer Wegweyser“ И. Фаульгабера была выгравирована совершенно сходная картина.

Нет нужды подробно останавливаться на деталях содержания основной части первой книги, ибо в ней Магницкий тесно примкнул к уже описанным мной ранее рукописям, щедро заимствуя из них примеры и задачи и держась той же последовательности изложения. Я остановлюсь лишь на самых важных особенностях этой книги.

Одной из новых, по сравнению с рукописями XVII в. черт, являются определения основных действий. Рукописи лишь описывали способ производства действий, Магницкий сообщает их определения. Относя по старинному обычаю нумерацию к пяти основным операциям арифметики, Магницкий прежде всего спрашивает: „Что есть нумерацио?“ и дает ответ: „Нумерацио есть счисление еже совершенно вся числа речию именовати, яже в десяти знаменованиях, или изображениях содержатся и изображаются сице: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, из них же девять назнаменовательны суть: последнее же 0 (еже цифрою3 или ничем именуется) егда убо едино стоит, тогда само о себе ничтоже значит. Егда же коему оных знаменований приложение будет, тогда умножает в десятеро". Определения действий арифметики у Магницкого естественно были весьма сходны с определениями современной ему иностранной литературы. „Аддицио или сложение,—говорит Магницкий,—есть двух или многих числ во едино собрание, или во един перечень совокупление". „Складывать (Addirn),—писал Фаульгабер,—называется соединять (Zusammen— — thun), то есть делать из многих чисел одно число или сумму“, „Сложение есть собрание (collectio) нескольких чисел в одну сумму“,— —определял Такэ. Можно сказать, что

1 Совершенно неизвестна судьба упоминаемого Фархварсоном в этой книге его учебника тригонометрии. Неизвестно даже, был ли он опубликован.

2 Магницкому посвятили работы В. В. Бобынин, а также Д. Д. Галанин („Л. Ф. Магницкий и его арифметика“, вып. 1 - III, M., 1914). Я во многом расхожусь в оценке „Арифметики“ с обоими исследователями.

3 Слово „цифра“ обозначало у арабов и позднее долгое время в Европе нуль.

определять сложение чисел, как их соединение или собирание в одно, значит просто заменить одно слово другим. Мы бы определили задачу о сложении чисел, как задачу об отыскании числа, характеризующего множество вещей, составленное из множеств, характеризуемых слагаемыми числами (хотя бы числа, содержащего в себе все единицы этих чисел), или же определили бы действие сложения через его свойства1. Но такая критика определений, относящихся к XVII в., была бы неисторичной и бесплодной. Из этих старых определений в процессе их анализа и совершенствования родились современные, и важным было уже осознание необходимости в определении математических действий и понятий вообще. Вычитание определялось в „Арифметике“, как это естественно на первой стадии обучения, не через связь со сложением, но как самостоятельная операция. „Субтракцио, или вычитание, по Магницкому, —есть, имже малое число, из болшего вычитаем, и излишнее объявляем“. То же мы найдем у Фаульгабера: „Вычитание учит, как нужно отнимать, вычитать и отбирать (Abziehen, Subtrahiren und Wegnehmen) меньшую сумму от большей, чтобы увидеть, сколько будет в остатке“.

Современные нам авторы опять-таки сводят вычитание чисел к отниманию от некоторого целого множества (хотя бы множества единиц) его части, а затем устанавливают соотношение между сложением и вычитанием. Последнего нет у Магницкого, хотя для проверки вычитания и деления он пользовался обратными действиями. Как независимые действия, решающие некоторые задачи, определялись также умножение и деление. „Умножение,—писал Магницкий,—есть, имже что в числах умножаем, или коликим вещем по множеству иных вещей раздаем: и количество их числом показуем“. Магницкий здесь, как видно, сводил умножение к повторному сложению совокупностей предметов. Наконец, деление определялось так: „Деление есть, имже болшее число, или перечень на равные части меншим разделяем, от них же едину числом же показуем“. Общего определения деления с остатком не давалось. Свойства действий также не рассматривались. Зато подробно разбирались многочисленные примеры, более простые из которых последовательно сопровождались более сложными. Автор не забывал и о том, чтобы развлечь учащегося. Так, он дает примеры умножения „с некоим удивлением“, в которых произведения состоят из одних единиц или двоек и т. п. (777X143; 777X286 252x481). Как и другие авторы XV—XVII вв., Магницкий приводил по нескольку способов производить деление и умножение. Для проверки вычитания и деления применялись, как сказано, обратные действия, для всех действий проверка с помощью 9. Знаки первых четырех действий не употреблялись (как и в иностранных учебниках).

Такой же шаг вперед в сравнении с авторами рукописей XVII в сделал Магницкий в отделе о дробях. „Число ломаное,—говорит он,—ничтоже ино ее ь, токмо часть вещи, числом обявленая, сиречь полтина есть половина рубля, а пишется сице Va рубля, или четь 1/4, или пятая часть 1/5»

или две пятые части 2/б и всякие вещи яковая либо часть, обявлена числом: то есть ломаное число“. Учение о дробях следовало за отделом об именованных числах и системах мер (такова и нынешняя практика). Это и позволяло прийти к понятию дроби, как доли не отвлеченной единицы, но величины, вещи. Дробь при этом мыслилась в сущности как некое целое, состоящее из меньших единиц, скажем полтина, как пятьдесят копеек. Если, например, Такэ писал, что дробное число есть часть или части единицы, то сразу добавлял при этом: „единицы, представляющей какое-либо делимое целое“. Единица, как таковая, частей не имела Рассмотрение дробей, как пар целых чисел, или их операторное толкование есть дело сравнительно недавних дней. В наших школьных руководствах мы не так далеко уходим от Магницкого или Такэ, когда опираемся на раздробление именованных величин и объясняем незнакомое школьнику слово „дробь“ житейским привычным словом „доля“ или собрание долей единицы2. Как и другие авторы, Магницкий предпосылал всем действиям над дробями рассмотрение доли дроби, превращение смешанных чисел в неправильные дроби, и обратно, приведение к общему знаменателю и сокращение дробей.

В третьей части, касающейся тройных правил, Магницкий довольно тесно примкнул к старым русским авторам, но самые правила изложил более подробно и расчлененно. Кроме тройного правила в целых и долях, он особо выделяет „правило тройное сократительное“, в котором возможно предварительное сокращение данных членов пропорции (прием, введенный итальянцами и называвшийся у немецких авторов Welsche practic, т. е. итальянской, „гвельфовой“ практикой), обратное тройное правило, пятерное и семерное правила, различая при этом правила прямое, обратное и смешанное. Простое тройное правило Магницкий описал довольно многословно, но недостаточно ясно. Указав, что в основе дела лежит пропорциональность, „подобие“ величин, он не объяснил как следует, в чем состоит это подобие. Как и в старых рукописях, искать разъяснений следовало не столько в изложении самого правила, сколько в примерах и задачах.

Большинство задач третьей и четвертой частей 1 книги Магницкий взял из рукописей XVII в. Часть задач разбиралась ясно и подробно, другие решались чисто формально. Это относится, например, к встречавшейся нам уже ранее задаче о муже и жене, выпивающих кадь квасу, или же к впервые введенным у нас Магницким задачам на смеси. Решение задачи об определении пропорции двух сортов вин известной цены в смеси, продаваемой по третьей цене, проводилось без всяких объяснений в форме рецепта (здесь количества смешиваемых веществ обратно пропорциональны разностям данных и желаемой цен). Вот еще пример сравнительно простой задачи, решение которой давалось без должного пояснения. „Один путник идет от града в дом, а ходу его будет 17 дней, а другой путешественник от дому во град тойжде путь творяше, а может пройти в 20 дней, оба же сии человека пойдоша во един и тойжде час от мест своих, и ведателно

1 Ср. А. Киселев, „Систематический курс арифметики“. М. 1937, стр. 11.

2 Ср. А. Киселев, цит. соч., стр. 69.

есть в колико дней сойдутся. Придет в 97/37 дня, зри изобретается сице:

Эта типичная задача на так называемое в старой западноевропейской литературе régula ambulations, правило прогулки, могла быть разъяснена без особенных затруднений. Прием ее решения служит примером того, как даже незначительное отступление от шаблонной задачи должно было ставить втупик учащегося той эпохи! Среди различных задач делового характера я приведу одну, сохранившую популярность и много позднее (на так называемое régula conductions, правило найма): „Некий человек нанял работника на год, обещав ему дати 12 рублей и кафтан. Но той по случаю работав 7 месяцев восхоте отити, прошаше достойные платы с кафтаном, он же даде ему по достоинству разчет 5 рублей и кафтан, и ведателно есть: коликие цены оный кафтан бяше“.

При изложении правил ложного положения (часть 4-я) Магницкий значительно подробнее, чем авторы старых рукописей, описал различия в решении его различных случаев. Между прочим, в отличие от своих русских и иностранных предшественников он рассмотрел не два, а три случая правила двух ложных положений (когда оба положения больше искомого, когда оба они меньше, и когда одно больше, а другое меньше). Мы встречаем у него также задачи, решаемые по правилу одного ложного положения, которое, однако, Магницкий особо не выделил. Так, например, задачу, в которой сумма трех капиталов равна 32 р. 10 к., причем, второй капитал в 2Vg раза более первого, а третий составляет 1/4 и */§ второго, Магницкий решает и по правилу двух положений и, как он выражается, „кратким образом", а фактически по правилу одного положения. Он, именно, принимает первый вклад равным 40; тогда второй будет 100. третий 45, а вместе они составят 185; далее 3210 делится на 185 и умножается соответственно на 40, 100 и 45 (л. 167—168). Это правило Магницкий применял и в задачах, приводящихся к уравнениям типа ах + Ь = с, предварительно сводя их к виду, который мы записали бы ах = с — о1).

Решаются здесь задачи и другими способами. Так, в одной задаче требуется определить, сколько было аршин сукна каждого из трех сортов, если всего имелось 106 арш., третьего сорта было на 12 арш. более второго, а второго на 9 арш. более первого. Магницкий складывает „излишества“ сукон, т, е. 9, 9, 12; вычитает 30 из 106, а затем делит разность на три.

На фальшивом правиле, по которому „всяка недоуменность яже во гражданстве бывающая в числах удобне разрешается и обясняется“,—заканчивалась та часть „Арифметики“, которая по содержанию была общей с рукописями XVII в.

Далее сочинение Магницкого предлагало русскому читателю материал почти сплошь новый» В пятой и последней части I книги Магницкий поместил учение о прогрессиях и об извлечении квадратных и кубических корней. При последовательном изложении, указывал он сам, следовало бы предварительно сообщить сведения из алгебры, но, ввиду трудности этой науки, он выделил ее во II книгу. Потребности же практики, и в первую очередь военной, вынуждали вк.ючить в арифметическую часть дополнительные разделы: „зде же якоже обещахомся н дополнение многих, в прешедших частех различных правил и гражданских числителных потреб, паче же воинских: полагаем о прогрессиях, или шествованиях к примножению или уменшению чрез различные пропорции чисел и с семействами их, такожде и о радиксах квадратных и кубических со многими и во гражданстве потребными же приклады“. Подобное расположение материала имелось и во многих иностранных руководствах (Баррем, Дешаль, Озанам). Магницкий занялся здесь арифметическими и геометрическими пропорциями и прогрессиями, о гармонических пропорциях лишь упомянув „Прогрессио, - писал Магницкий,—есть пропорция или подобенство числ к числам в примножении, или во уменшении яковых либо перечнев“, Как всегда, без доказательства он сообщает правила определения членов по первому члену и разности или знаменателю и нахождения суммы прогрессии Квадратный (и затем кубический) корень он, имея в виду геометрические приложения, рассматривает здесь с геометрической же точки зрении, как „число яковые либо четверобочные и равномерные фигуры или вещи един бок содержащие“. Произведение квадратного корня на самого себя „нарицается число квадратное или четвертный радикс, зане всея равномерно-четверобочные сущие фигуры вся ареа, или плоскость в том произведении числами познавается“ (слово квадрат еще отсутствовало). Тут же знакомил Магницкий -опять таки в связи с определением площадей -с немецкой десятичной системой мер, в которой сажень, или рута, содержала 10 футов, фут 10 цоллей-дюймов, дюйм—10 гран, а гран 10 скрупулов. Этот „иной чин арифметики... яже децималь или десятная именуется, сиречь в лесятных частех, или в сотых, или в тысяшных и множайших“ отличался от уже вошедших в западноевропейскую научную математику десятичных дробей употреблением специальных значков для обозначения рут, футов, цоллей и т. д Все примеры этого раздела были геометрические и содержали для русского читателя немало нового Первые задачи основывались на (несформулированной) теореме Пифагора. Образцом их может служить определение глубины колодца по его диаметру и длине диагонально пересекающей его лестницы. Несколько задач касалось расстановки солдат в строю, вроде такой: „иный генерал имаше ратных людей 4800, от нихже учинити хощет баталию, чтобы имела в лице втрое нежели в стране, и ведателно есть колико будет в лице человек, такожде в стране“. Далее следовали задачи на определение боковой поверхности шатра (конуса) по периферии основания и образующей, на определение поверхности шара по диаметру и т п. Любопытна одна из них: .окрест некоего града бяше водный ров, имущий внешнее окружение 4400 аршин, широта же его 14 аршин, и ведателно есть колико аршин имать по внутрен-

1) В. В. Бобынин, таким образом, ошибся, когда писал, что Магницкий „решительно следует примеру отечественных рукописей... в устранении из рассмотрения правила одного ложного положения“ (См. „Физико-математические науки в их настоящем и прошедшем“, т. VII, 1888, стр. 307).

нему окружению“. Магницкий берет при этом отношение окружности к диаметру равным Отмечу еще задачу, в которой ищется количество пуль диаметром в У2 долля каждая, которое можно выделать из свинцового ядра диаметром в 18 цоллей.

Вторая книга „Арифметики“ открывалась пространным предисловием, знакомившим с назначением арифметики „астрономской“ и основными понятиями сферической астрономии, к которым н сколько далее примыкали правила употребления шестидесятиричного счета. Не останавливаясь на этих разделах, я перейду к алгебраической части „Арифметики“, по которой русский читатель впервые познакомился с алгеброй.

Текст этого раздела, знакомившего с алгебраической символикой и действиями, таблицей биномиальных коэфициентов для извлечения корней, уравнениями первой и второй степени, производит впечатление, что автор изучил довольно обширную коссическую английскую и французскую литературу, но изучил неглубоко. Он сам писал, что собрал материал „не по мнозе времени“. Иногда изложение неясно, в примерах порядочно описок и опечаток. Изучение алгебры Магницкий считал уделом немногих. Она не нужна ни купцам, ни ремесленникам, но лишь тем, кому придется иметь дело с более сложными геометрическими задачами,—специалистам военного, морского и землемерного искусства. В этой части своей книги Магницкий далее, чем где-либо отошел от старых традиций и более всего соприкоснулся с идеями современной ему научной литературы более высокого класса. В его алгебре заметны влияния и старонемецких коссических авторов, и символики „отца алгебры“ Виета, и эклектического изложения в „Cursus seu mundüs mathematicus“ Дешаля (1674), и, быть может, „Mathesfs universalis“ знаменитого Валлиса (1657). Вместе с тем наличие этой части в „Арифметике“ Магницкого сильно отличало ее от практических арифметик западных авторов и сообщало ей характер энциклопедии элементарной математики и ее приложений.

На европейской почве прогресс алгебры начался в XV веке. В работах немецких и итальянских алгебраистов тщательно разработано было решение квадратных уравнений и постепенно произошло слияние трех различных его форм, каждой из которых соответствовало ранее свое особое правило решения. Тысячелетняя традиция рассматривала по отдельности уравнения

ах2 -\- Ьх = с, ах'2 = Ьх-\-с и ах2 -f- с = Ьх,

ибо знала только положительные коэфициенты (и положительные корни). У М. Штифеля (1544) три правила были заменены одним, Р. Бомбелли (1572) дал первый аналитический, а не геометрический вывод решения квадратного уравнения на числовом примере. Итальянские математики XVI в. нашли решение уравнений 3-й и 4-й степени. Французы Н. Орезм и Н. Шюке еще ранее обобщили действие возведения в степень на дробные и, соответственно, отрицательные и нулевой показатели. Все более ширилось применение отрицательных, а затем и мнимых величин. Важные сдвиги происходили параллельно во внешней форме записей. В результате сокращения математических терминов или изобретения специальных знаков были введены сперва различные, но понемногу унифицировавшиеся знаки действий, корня, равенства и др. Немецкие алгебраисты — коссисты (от итальянского названия алгебры arte délia cosa, где cosa означала вещь, неизвестную — наш х) придумали, в частности, особые значки для ряда положительных степеней одной неизвестной.

В конце XVI в. новый и мощный толчок сообщил развитию алгебры знаменитый французский ученый Фр. Виет. Особенно важным при этом оказалось различение символов для величин данных и неизвестных, из которых первые Виет предложил обозначать согласными буквами латинского алфавита В, D... , а вторые — гласными Л, Лишь введение буквенных коэфициентов создало предпосылку для возникновения аппарата алгебраических формул и их преобразований. Не останавливаясь на принципиальных воззрениях Виета, а также на ряде недостатков его алгебраической символики, неудобной, в частности, для записи высших и дробных степеней, я отмечу еще, что современный вид алгебра получила в классической „Геометрии" Декарта (1637).

Алгебраический материал, входящий в наши школьные учебники, в XVII в. являлся еще достоянием ученых трактатов. И декартова система отнюдь не сразу получила общее признание. В курсах тогдашних авторитетных педагогов мы встречаем преобладание то коссических, то виетовских идей или обозначений, то признание, то отрицание новых категорий чисел — отрицательных и мнимых, иногда собственную символику, очень часто комбинацию различных приемов обозначений и вычислений. Эклектизм западноевропейских руководств естественно отразился в сочинении Магницкого, который обучался сам, как ясно из сравнения его текста с курсами Дешаля и Валлиса, именно по этим руководствам, а не по трудам Виета или Декарта.

Магницкий перечисляет семь „видов“ (species) алгебры, приводя их, по своему обыкновению, по-русски и латыни. Это счисление (numeratio), знаменование (notatio), сложение, вычитание, умножение, деление и тройное правило. Нумерацией Магницкий назвал терминологию и символику коссической алгебры, знаменованием — приемы записи Виета и его учеников. Термины эти были взяты из западноевропейской литературы.

Описывая коссические знаки, Магницкий приводит таблицу первых 25 степеней неизвестного1. За таблицей следовало разъяснение: „Радикс есть или бок, или число из егоже прочая числа происходят. Зенсус (лат. census, А. Ю.) или квадрат бывает, когда радикс через самого себя умножается. Кубус бывает, когда квадрат умножается через радикс...“ и т. д. Что касается „знаменования алгебраики“, то оно ничтоже ино есть, токмо литеры гласные полагаемые за количество непознаное числ, или о немже взы-

1 С коссическими обозначениями читатель может познакомиться в „Хрестоматии по истории математики“ Г. Вилейтнера (М., 1936). Для дальнейшего важно отметить лишь, что первую степень неизвестного Магницкий обозначает R (от Radix — корень), а вторую з (нем. „цет“) или q (от quadratum). Таблицы коссических значков приводили и Дешаль и Валлис.

екание есть. Такожде и согласные полагаемые за количества даных числ, или познанных“. Самые обозначения были таковы.

А, АА, AAA,... или АХ, А2, A3,... для неизвестных (по Магницкому „непознанных“) и Ь, bb, bbb,... или b\, Ь2, ЬЗ,... для известных величин (.познанных“). Такие обозначения употреблял и Дешаль, пользуясь, впрочем, только прописными буквами1.

В дальнейшем Магницкий пользовался различными обозначениями, и, например, знак минус —;— применял удлиненный коссический, а знак равенства - удлиненный английский, введенный Рекордом (1557).

Разобрав на примерах действия с многочленами, Магницкий затем привел заимствованную у коссистов таблицу чисел, являющихся по нашей терминологии биномиальными коэфициентами, и таблицу первых 12 степеней чисел от 1 до 9. Эти таблицы Магницкий применял к извлечению корней,— например корня 4-й степени из 3 662 186 256. После этого он переходил к квадратным уравнениям. Вот правило решения для случая x2-\-px = q. „Первое егда едино есть или многая q + единым, или многими радиксы равняются числу, якоже q + R — о, или q =» о R, или о = q + R2). Творится же сие правило сице: первое, множи число праздное чрез квадрат (т. е. коэфициент при квадрате А. Ю): второе, множи половину радикса само на ся: третие, она два произведения сложи во едино: четвертое, из сложения оного извлецы радикс квадрат: пятое, от радикса квадрата вычти половину числа радикса, и остаток раздели чрез число квадрата, и имети будеши просто число радикса сиесть \Ru3 Как видно, это словесное выражение нашей формулы

Об уравнении q + о = R Магницкий замечал, что „обретенное же число сего правила выходит сугубо, си есть меншее и болшее“.4 Отрицательные решения, как видно, Магницкий не применял.

Алгебра служила Магницкому для решения геометрических задач. Во 2-й части II книги „О геометрических чрез арифметику действующих“ сперва приводятся простые задачи на вычисление площадей треугольника, параллелограма („ромбоида“), трапеции („параллелограма“) и произвольного четырехугольника („трапеция“), который для этого разбивался диагональю на два треугольника,— это правило носило землемерный характер. Далее сообщались правила Герона, вычисления площади круга, сегмента и сектора круга, поверхности и объема шара, объемов призмы, пирамиды, цилиндра и конуса, а также цилиндрической и конической поверхностей.

Первые задачи на составление решения уравнений были отвлеченного характера. В одной нужно разделить 300 на две части так, чтобы сумма меньшей, умноженной на 2, и большей, разделенной на 2, снова давала 300. Магницкий обозначает меньшую часть 150—;—R (большая тогда будет 150 4- R)*

В другой (разделить 1000 на 2 части так, что произведения одной на 2, а другой на 3 между собой равны) он обозначает одну неизвестную \R, а другую \а. Такие обозначения для двух неизвестных имелись еще у Штифеля, а затем у Фаульгабера. Среди задач на квадратные уравнения имеется такая: разность произведения крайних из четырех пропорциональных величин IR, 4R, \6R, 64R и суммы средних равна 1500. Геометрические задачи „о различных линиях в фигурах сущих“ относились главным образом к треугольникам (определение стороны прямоугольника по диагонали и площади; стороны прямоугольного треугольника по площади и разности катетов; отрезков, на которые делит сторону высота,— по трем сторонам, — задача, восходящая к арабской алгебре Магомета бен Муса Альховаризми, и др.). Такие задачи встречались в западноевропейских книгах по алгебре, в частности и у Дешаля. Я приведу одну более сложную задачу. В прямоугольном треугольнике ABC, с высотой AD, AB -f- BD равно 36. AC+ -f- CD равно 24 (черт. 2) Магницкий обозначает DB = \R и CD = \A. Так как AB «= = 36-/?, AC = 24 — А, то из AB* — BD'J = AC2 — CD2 следует A=\^R — 15, CB2 - e^q — 75R + 225, с другой стороны, АС2 + AB* = 2817 - №R+3^q, что приводит к квадратному уравнению 3q -f-114R = 2592. Впрочем, выкладки в этой задаче Магницкий почти не разъяснил.

Я не буду задерживаться ни на очень кратком и неясно изложенном отделе тригонометрии, несколько задач которого подводили к приемам составления таблиц синусов, ни на последней части второй книги, в которой излагались различные сведения, полезные для моряков (таблицы широты, точек восхода и захода солнца и луны, географические координаты важнейших портов и городов, часы прилива и отлива в портах, задачи на определение координат пункта, в который попадет корабль из данного пункта при данном румбе и т. п.).

„Арифметика“ Магницкого должна была и действительно сумела удовлетворить важной государственной потребности своей эпохи. Разделив судьбу родственных ей учебников в Западной Европе, она прослужила до середины XVIII в., когда с большой силой стали предъявляться к преподаванию новые педагогические требования.

Черт. 2

1 Виет обозначал степень, ставя буквы qu (квадрат), cub (куб); обозначение аа, ааа ввел Герриот (опублик. 1631).

2 Коэфициенты, таким образом, Магницкий не выписывал.

3 Указания на умножение и деление на коэфициент при X несогласованы здесь с возведением в квадрат половины коэфициента при х. Примеры, впрочем, решены верно.

4 Происхождение знака о для свободного члена не вполне ясно. Быть может, это искаженный коссический знак данного числа Ф.

3. Геометрические и тригонометрические руководства

Сочинение Магницкого надолго решило вопрос о большом курсе арифметики, но для обучения геометрии было недостаточным. Но если при создании учебника арифметики можно было во многом опереться на материалы, разрабатывавшиеся в России ранее, то здесь приходилось дать книгу почти совершенно нового содержания. Естественно было при этом обратиться прежде всего к наличной европейской литературе.

Европейские учебники геометрии XVI — XVII вв. можно, грубо говоря, разделить на две группы. В одну входили многочисленные издания, а затем переработки „Начал“ Евклида на латинском и новых языках. Здесь имелись и полные комментированные издания, и издания, содержавшие только формулировки предложений, вроде немецкого перевода Гольцмана-Ксиландера (1562), и книги вроде курса Такэ (1654), исключившего арифметические части „Начал“ и заменившего значительную часть доказательств новыми. Но такие сочинения не могли удовлетворить нужд практических деятелей. Художники и строители, военные инженеры и маркшейдеры, землемеры и артиллеристы нуждались не столько в Евклиде, книга которого была написана трудно и отвлеченно и не давала прямых указаний на способы решения измерительных и конструктивных задач, сколько в новом Героне. Начиная с середины XV в., в ряде западноевропейских стран появляется литература по прикладной геометрии, в которой излагались приемы измерения фигур, определения расстояний, построения правильных прямолинейных фигур и некоторых криволинейных и т. п. Для геодезии и картографии придуман был ряд инструментов: нониус, якобштаб, пропорциональный циркуль, мерительный столик, пантограф для черчения подобных фигур в любом масштабе и т. д. Большие успехи сделаны были и в области тригонометрии. Важные для практиков открытия или усовершенствования стали сводиться в математические руководства, по большей части однотипного содержания, да и носившие часто одно и то же название „Практической геометрии“. В этих сочинениях нередко предлагались одни рецепты построений и вычислений, которым предпосылались определения математических терминов, а иногда аксиомы и постулаты. В других случаях давались простейшие выводы, и еще реже курс практической геометрии содержал теоретическое обоснование сообщаемых приемов. Авторами „Практических геометрий“ являлись подчас весьма выдающиеся математики — ученые и педагоги, вроде Хр. Клавия (1604), Д. Швентера (1627), А. Такэ (1668), Озанама (1684).

При тех требованиях, которые предъявлялись в Навигацкой школе к учащимся, понятно, что для перевода у нас выбрали именно свод приемов и правил „практической геометрии“. „Геометрия словенски землемерие издадеся новотипографским тиснением повелением царя... Петра Алексеевича“ в Москве, в 1708 г. Книга имела также второе заглавие: „Приемы циркуля и линейки или избраннейшее начало во математических искусствах, имже возможно легким и новым способом вскоре доступити землемерия, и иных из оного происходящих искусств“. Книга представляла собой перевод сочинения, изданного, как видно из рисунков и текста, в Австрии. Автор и переводчик неизвестны; мы знаем лишь, что редактировал рукопись сам Петр. Книга переиздавалась в 1709 и 1725 гг., а отдел „О превращении плоских фигур“ первоначально был издан в 1708 г. отдельно.

„Приемы циркуля и линейки“ посвящены были различным геометрическим построениям и некоторым преобразованиям фигур. Начинались они интересным и остроумным рассуждением об отношении между теорией и практикой. Автор писал, что существуют „геометриа феоретика“ и „геометриа практика“. Первая „обходится токмо единым размышлением о доводах в художествах и искусствах, по ведомым ли правилам оные употребляютца, такожде из истинного ли основания могут освидетелствованы быть“. Вторая „противна первой есть, и действует токмо единым обучением, тако о чем первая напреди мыслила, то сия действом являет“. И хотя, говорил автор, практическую геометрию уважают более, но „не может едина без другие добростояти, а кто токмо едину феоретику хвалит, делает токмо благоположенное основание, на немже никогда строится“. Чистого теоретика автор уподобляет „ремесленнику, художествие разумеющу, а не действующу, инженеру же добывающу крепости на бумаге, корабельщику же,, в дому своем на морской маппе (карте—А. Ю.) щасливо во Америку ездяшу“. Но „не много инако и тому служитца будет, иже бы токмо едину практику хотел. Зане он царскую крепость на песке строил бы и под Дунай реку подкоп бы проводил, а на остаток с баварским плотом во Индею ездил бы*. Авторы современных учебников давно отказались от метких доходчивых разъяснений роли излагаемой науки, так же как издательства — от тех изящных гравюр, которые были почти обязательным украшением руководств XVII—XVIII вв.

Впрочем, в предлагаемой книге автор, по его собственным словам, обучал лишь практической геометрии с помощью циркуля и линейки. Рассказав еще о пользе геометрии для черчения карт, фортификации и проч., о происхождении геометрии в Египте из потребностей межевания земельных участков, автор около полусотни страниц отводил определениям и аксиомам. Русскому переводчику предстояла при этом трудная работа, так как приходилось почти заново создавать геометрическую терминологию. Нередко переводчик просто давал латинский термин в русской транскрипции. Первым стояло определение точки: „Пункт есть мнейшая точка, о ней же мыслити возможно, и не может вящше мнейши разделена быти... А ради недовольной остроты очес,—добавлял практичный автор,— делается оная иногда доволно велика“. Определив затем „центрум“—„пункт посреди круга“, пункты касательный и прорезательный, автор переходил к линиям. Все с тем же стремлением к практичности он, вслед за определением, что линия имеет лишь длину без ширины, объясняет, как рисовать прямую, прикладывая, например, к бумаге натянутую крашеную веревку. Такие наглядные дополнения к определениям Евклида, а иногда и переделки последних, уже в XV в. нашли права гражданства в учебной литературе. „Прямая есть длина без ширины,— почти воображаемый путь,— концом которой являются две точки“, писал в XV в, Л. Пачиоли, вставляя от себя слова, набранные разрядкой. Далее раз-

личались линии прямые и кривые, «микста или смешанные“, флексуозы и тортуозы, т. е. витые, или змеиные, по большей части составляемые из круговых дуг; гелика, или шурупные, „оную же невозможно паче изобразити, якоже около круглого дерева, обвив ниткою или шелковинкою“, спиралис, или улитковые, наконец, линии эллиптика, параболика и гиперболика. Углы делились на ректилинеусы, курвилинеусы и миксти1инеусы (составленные прямыми и кривыми); наши вертикальные углы назывались адвертицем ангули и т. п О „плоской суперфиции или наружности“ говорилось, что она лучше всего изображается тенью предметов. Тут же автор делал замечание, что „между ученых есть высокий вопрос, что предел есть всякого корпуса, цвет ли или фигура“. Относительно геометрических тел автор говорил, что они возникают „ежели присно кластися будет едина плоскость на другую, или когда одна вниз тонет, или вверх подымается, или на сторону подвигнется“. Я не могу перечислять все термины книги, но упомяну еще столь характерные для того времени наглядные разъяснения: сфероид это „раздавленный глобус“ и „изображает подлинное яйцо“, конус есть „заостренный каравай“.

За определениями следовали некоторые „общественные знаемности“ („общепринятые допущения“ Евклида, аксиомы) и „обещания или допущения“ (евклидовы требования — постулаты). Формулировки их весьма примечательны. Так, постулат о возможности проведения прямой между двумя точками превращается в чертежное предписание: „Допущается и признается свободно без всякого прекословия, ежели кто имеет прямую линейку, к тому же карандаш, или перо, то может он тем на бумаге из данные точки прямую линею начертить“, для чего линейку следует приложить крепко к бумаге и т. п. Эту линию, пишет далее автор, можно продолжать сколь угодно, „токмо бы места свободного доволно было“. Постулат о параллельных не приводился.

Дальнейший материал был распределен на шесть книг, состоявших из „предлогов“ В 1-й книге речь шла о простейших построениях: угла, равного данному, о делении угла пополам, делении одной или нескольких прямых на любое число равных частей, о проведении касательных к окружности из данной точки. Я отмечу еще 5-ю задачу — о проведении прямой через две точки, которые из-за большого расстояния между ними нельзя соединить линейкой (черт. 3) (проводятся дуги радиусами AD = BD = AC = ВС, большими ~^АВУ затем проводятся из С и D дуги радиусами СЕ = CF = DE = DP и полученные точки А, Е, В, F соединяются линейками), а также 20, 21 — о построении спиралей из полуокружностей, радиусы которых возрастают в арифметической или геометрической прогрессии. Во 2-й книге сообщалось построение основных правильных многоугольников, центра круга с помощью перпендикуляров в серединах двух хорд, веревочное построение эллипса и определение его центра и осей. В задаче 19 дается построение овала „продолговатого циркуля“ на отрезке AB (черт. 4), разделенном на тж равные части точками С, D (из С и D проводятся окружности радиусом АС; из Е и F окружности радиусом FQ). Книги 3—4 отведены были вписанным и описанным около круга фигурам, причем, задача 7-я книги 3 излагала приближенное построение правильного вписанного л-угольника по Ринальдини (1615—1698). Для того, например, чтобы вписать 13-угольник, произвольная проведенная из А прямая АС делится на 13 частей. Через вторую от А точку на АС проводится параллельно ВС прямая EF; на AB строится равносторонний треугольник ABQy прямая GEH отсекает дугу АН, приближенно равную Vis части окружности (это дает погрешность около 1*к%) (черт. 5).

В книге 5-й давалось построение различных пропорциональных величин, а в задаче 13 разъяснялось весьма важное построение данной прямоугольной фигуры в данном масштабе, для чего фигура предварительно делилась на треугольники. В книге 6-й излагались приемы вычерчивания проекции куба на плоскость и построения 5 правильных многогранников из бумаги. Последний раздел был посвящен преобразованию одних плоских фигур в другие, равновеликие, например, треугольника в другой треугольник, с тем же основанием, но иным углом при последнем, или в равносторонний треугольник, или в параллелограм с данным углом при основании. Затем прямоугольник преобразовывался в равновеликий квадрат. В 29-й проблеме давалось преобразование произвольного многоугольника (в примере 5-угольника) в треугольник. Любопытно, что соответствующий чертеж перешел затем в позднейшие русские учебники геометрии — вплоть до курса А. Ю. Давидова. В заключение давалась приближенная квадратура круга (диаметр делится на 14 частей, в конце третьего деления восстанавливается перпендикуляр, большая из хорд, соединяющих конец перпендикуляра с концами диаметра есть сторона искомого квадрата: это соответствует п = 22/7). Особняком стояло разъяснение устройства солнечных часов.

„Приемы циркуля“ не содержали правил вычисления размеров фигур. Этот пробел воспол-

Черт. 3

Черт. 4 Черт. 5

«ила „Геометриа практика“, точное время издания которой неизвестно, но, по всей вероятности, относится к первой четверти XVIII в. Этот учебник состоял из четырех глав, из которых две отведены были решению треугольников и определению недоступных предметов с помощью тригонометрии, третья „планиметрии“, или способам „во всяких планах познавать суперфицию, или дробные меры, из каких стороны их состоят“, а четвертая „штирометрии, яже учит какими способы познавать в корпусах, или телах, как m регулярных, так и во иррегулярных корпуленцию“. В проблеме 1 вводились линии синуса, тангенса и секанса (черт. 6). „В треугольнике называются линей, нижняя в литерах DP, Синус, перпендикулярная, в литерах PC, Тангенс, пересекающая обе оные линей, в литерах DC, Секанс“. На приложенном чертеже видно было, что угол Р при этом — прямой. Ни в какие подробности относительно свойств и взаимоотношений тригонометрических линий автор не входил, но прямо вслед за этими определениями приступал к решению задач. В проблеме 2 по PD = 200 и ^D = 60° определяется „линея тангенса“, т. е. PC. Решение дается в виде рецепта: „написать на тройное правило с левой руки доли линей Синуса, от 30 градусов 50 000 (градиус в таблицах полагался равным 100 000 А. Ю.). Потом меру ведомой линей 200, потом оной же табели доли от 60 градусов 86 602 (т. е. косинус 30°,— А. Ю.) и искать обыкновенным тройным правилом и сыщется оной линей мера 346 204/500“. Затем та же задача решалась при помощи таблиц тангенсов. Далее пояснялось, как пользоваться таблицами логарифмов синуса и тангенса. Среди других задач отмечу еще проблему 9 гл. 2, в которой по данным трем сторонам определяется какая-либо высота, через отрезок основания, ею отсекаемый, т. е. на современном языке, с помощью соотношения а2 -f- Ь2 — 2а пра& = с2. В Z и 4 главах определялись площади треугольников, произвольного четырехугольника (по диагонали и опущенным на нее перпендикулярам), эллипса (по неточной формуле ni—-—\ вместо ъаЬ), кругового сектора и сегмента, объемов правильных многогранников, усеченного конуса и т. и.

Кроме разобранных печатных руководств, в школе того времени были в ходу еще рукописные курсы, представлявшие собой конспекты этих книг, а также лекций учителей. Подобных конспектов сохранилось довольно много. Я скажу о них далее несколько слов.

Черт. 6

А. Преподавание математики в школах петровского времени

В соответствии с назначением созданных при Петре I школ, преподавание математики заняло в них весьма почетное место. Даже в названиях школ получил отражение математический уклон их программ: школа навигацких и математических наук, цыфирные школы. Первостепенное значение математики для подготовки военных моряков и инженеров отмечено было в записке Петра, перечислявшей предметы обучения в Морской академии. „Учить детей: 1) арифметике, 2) геометрии, 3) фехт или приемы ружья, 4) артиллерии, 5) навигации, 6) фортификации, 7) географии) 8) знанию членов корабельного гола (кузова, А. Ю.) и такелажа, 9) рисованию“1.

Наиболее крупной была Навигацкая школа. Первоначальный комплект ее был определен в 500 учащихся от 12 до 17 лет. Она разделялась на „русскую школу“, в которой учили грамоте, „цыфирную“, где проходили арифметику, и высшие классы, где обучались геометрии, тригонометрии, географии, навигации. Сроки обучения были на практике довольно неопределенные. Фархварсон считал нужным отводить арифметике 1 год, геометрии 8 месяцев, плоской и сферической тригонометрии по 3 месяца, а на весь курс обучения 6 лет 9 месяцев; Магницкий предлагал несколько более краткие сроки. Петр приказал отвести для каждой науки особый день и проходить их параллельно; после его смерти стали изучать последовательно арифметику, геометрию, тригонометрию и навигационные науки.

Во многих школах разделения на классы не было, и нередко один учитель одновременно вел занятия с группой в 20—30 юношей, проходивших совершенно различные предметы. Например, в Цыфирной школе в Переяславле Рязанском в 1727 г. из 32 учеников 11 проходили нумерацию, 5 — сложение, 1 — вычитание, 3 — умножение, 5 — деление, 3 — тройные правила, 2 — десятичные дроби, 1 — геометрию, 1 — плоскую тригонометрию.2 Материал преподносился без доказательств, учитель лишь формулировал основные определения и правила да показывал на примерах, как решать задачи. О развитии математического мышления здесь не было еще речи. Ученик должен был знать на память ряд правил и уметь решать задачи, попадающие в сферу действия какого-нибудь из них. Нет нужды критиковать очевидные недостатки таких педагогических приемов. Не следует лишь забывать, что такие же приемы обучения широко практиковались в соответствующей литературе и школе других европейских стран.

О математических знаниях, фактически сообщавшихся ученикам, можно судить отчасти по разобранной нами уже учебной литературе, отчасти по сохранившимся конспектам той эпохи Ряд таких конспектов, наиболее ранние из которых относятся к 1703 г., изучил В. В. Бобынин3. Один экземпляр, относящийся к несколько более позднему времени, вероятно к третьему десятилетию XVIII в., был любезно предоставлен мне проф. H H. Рубцовым. Все эти конспекты довольно сходны. Экземпляр проф. Рубцова представляет собой толстую тетрадь, в которой математике отведено 145 двойных страниц, переплетенную в солидный переплет и снабженную тщательно выполненными чертежами, часть из которых дана на вкладных листах. В арифметической части, явно составленной по Магницкому, конспект доходит до тройных правил включительно. Раздел геометрии открывается рассуждениями о практической и теоретической геометрии из „Приемов циркуля“, за которыми

1 Ф. Веселаго, цит. соч., стр. 47.

2 П. Пекарский, цит. соч., стр. 117.

3 В. В. Бобынин, Очерки развития физико-математических знаний в России, Физико-математические науки в их настоящем и прошедшем, т. 17, 1890.

следуют определения. Аксиомы не приведены. Далее приводятся решения важнейших задач на построение и на измерение фигур. Сравнение этих конспектов между собою и с печатными курсами той эпохи показывает, что преподаватели иногда отходили от основных руководств, часть материала опускали, кое-что добавляли. Несомненно также, что позднейшие конспекты по качеству в среднем выше более ранних. Например, в более ранних конспектах можно встретить в двух соседних задачах на построение квадрата, равновеликого кругу, и круга, равновеликого квадрату, выкладки, соответствующие п ^ 22/7 и я — 32/11. В экземпляре проф. Рубцова второй из названных задач нет. Площадь круга вычисляется в нем и при % = 2'JI7 и при тс = 3,14159. Площадь эллипса вычислена по формуле те V ab V ab , между тем как в „Геометрии практике" давалась неверная формула те(—-—J . В конспектах появляется формула Герона и подробнее, чем в „Геометрии практике* излагается тригонометрия. Мы встречаем в них определение линии синуса, это— „некоторой дуги черта перпендикулярная, веденая от единого места или конца дуги к диаметру, веденому к другому концу той дуги или есть половина хорды сугубой той дуги; даются также определения синуса комплемента, синуса-верзуса (г — г cosa), тангенса и секанса и приводятся теоремы синусов, тангенсов и, для решения треугольника по трем сторонам, теорема, которую мы выразим пропорцией а : (b + с) = (Ь — с) : х (пли у), где а — большая сторона, а х или у—один из отрезков, отсекаемых на ней высотой.

Следует заметить, что обучение в новых школах шло весьма туго. Нелегкой была вся система обучения, недоставало книг, таблиц, инструментов, многие учителя не обладали должной квалификацией, мало разработана была русская научная терминология, с живой речью еще не слившаяся. Одна беда влекла за собой другую: на плохие успехи и нерадивость ученика со стороны начальства следовала весьма острая реакция, ибо тогда в ходу было убеждение, что-

Розга ум вострит, память возбуждает

И волю злую в благу прелагает.

Но кроме трудностей школьного режима, новизны самого дела и недостатков методики преподавания, тяжело отражались на обучении и более общие факторы. Русского барича, избалованного с малых лет приставленными к нему крепостными слугами, спесивого, презиравшего всякий „холопский“ труд, впитавшего с молоком матери отвращение ко всякой „иноземщине“, отпугивала и сама школа, и открывавшаяся за ней перспектива бессрочной службы. Петр I привлекал, правда, в школы детей солдат, мастеровых, торговцев, священников, но и здесь он часто наталкивался на стихийное сопротивление. Торговые люди жаловались, что отнятие детей наносит ущерб торговле, что ребята и так при лавках чему надобно научатся; учащиеся? из духовного звания стремились в духовные школы. Многие цыфирные школы в результате пустовали: ученики разбегались. И все же полное или неполное образование в государственных школах петровского времени получили первые сотни и даже тысячи первых русских инженеров, геодезистов, архитекторов, учителей, моряков, артиллеристов и т. д.1

Военно-технические и морские школы выполнили поставленную перед ними неотложную, но сравнительно узкую цель. Однако ни эти школы, ни первые изданные в связи с их открытием учебники не могли воспитать настоящих ученых, нужду в которых чем далее, тем более осознавали Петр I и его сотрудники. России необходимы были собственные кадры высокообразованных специалистов, собственные профессора, и научные деятели, которые могли бы оказать помощь в исследовании и эксплоатации бесчисленных богатств страны, в подъеме ее на более высокую техническую и экономическую ступень. В конце царствования Петра решено было организовать в Петербурге Академию наук. Открытие Академии, которое произошло всего через несколько месяцев после смерти Петра, в 1725 г., положило начало следующему этапу в развитии русской математической культуры.

1 Об этом см. подробнее у Веселаго, а также у С. В. Рождественского, Очерки по истории систем народного просвещения в России в XVIII—XIX вв., т. 1, СПП, 1912. гл. 1-2..

МЕТОДИКА

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В КУРСЕ АРИФМЕТИКИ V КЛАССА СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

С. В. ФИЛИЧЕВ (Москва)

1. В программе по арифметике средней школы в разделе десятичных дробей имеется пункт: „Округление данных и результатов“.

В последние годы в V классе по этому пункту программы обычно давались учащимся лишь сведения о приближенном частном с недостатком или с избытком.

Из-за перегрузки программы большего материала по приближенным вычислениям преподаватели и не могли пройти. Кроме того, вопрос о месте и, главное, об объеме приближенных вычислений в школьном курсе математики остается еще неразрешенным. В объяснительной записке к программам нет нужных указаний, в каком объеме и в каком классе даются сведения о приближенных вычислениях.

2. В 1946/47 учебном году V классы средней школы работают по сокращенной программе. Часть арифметического материала перенесена в VI класс. Таким образом теперь имеется возможность дать в V классе при изучении десятичных дробей небольшие, но законченные сведения о приближенных вычислениях. В последующие годы обучения на уроках алгебры эти сведения расширяются и углубляются.

Какие же сведения и навыки по приближенным вычислениям возможно дать ученикам V класса?

3. Представление о приближенном значении величины или результата действия учащиеся получают при измерении величин, при делении целых чисел, десятичных дробей и обращении обыкновенной дроби в десятичную.

В V классе при изучении деления десятичной дроби на целое число учащиеся знакомятся с приближенным частным с недостатком или с избытком.

Здесь необходимо обратить внимание учащихся, что в практике приходится иметь дело, главным образом, с приближенными значениями величин, что десятичные дроби и многозначные числа как точные, так и приближенные, часто округляют, отбрасывают одну или несколько последних их цифр.

В связи с получением приближенного частного надо познакомить учащихся практически, на конкретных примерах с правилом округления:

а) если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5 или больше 5, то последняя из оставляемых цифр увеличивается на единицу, например: 6,27 взятое с точностью до половины 0,1 будет 6,3;

б) если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последнюю из оставляемых цифр не изменяют, например: 8,74 с точностью до половины 0,1 будет 8,7.

Для указания того, что какое-нибудь равенство приближенное, употребляется искривленный знак равенства ~. С этим знаком надо познакомить учащихся. Так, в наших примерах 6,27 ss 6,3 (приближенное значение с избытком и с точностью до 0,1); 8,74 ^ 8,7 (приближенное значение с недостатком и с точностью до 0,1).

При изучении вопроса об округлении чисел целесообразно дать понятие о погрешности, как разности между числом и его приближенным значением.

Понятие о погрешности поможет уяснить учащимся, почему в одних случаях при округлении берут приближенное значение с избытком, а в других случаях с недостатком.

Учащиеся должны отчетливо понимать, что числа округляют до 1; 10; 100;

1000;... и до 0,1; 0,01; 0,001 и т.д. Отбрасывая цифры в целом числе, всегда заменяют их нулями.

В результате изучения округления чисел учащиеся приобретают умение выполнять упражнения следующего характера.

1. Округлить до целых сотен, а потом до целых тысяч следующие числа: 23458; 13709; 438 762 и т. д.

2. Округлить до миллионов следующие числа:

149 500000; 1344 678100; 43125439798 и т. д.

3. Округлить следующие числа:

а) с точностью до 1: 0,8; 3,7; 0,379; 1,813 и т. д.

б) с точностью до 0,1: 8,51; 11,395; 0,403 и т. д.

в) с точностью до 0,01: 9,467; 12,784; 0,231 и т. д.1

4. Научившись округлять числа, учащиеся должны отчетливо разбираться в терминологии: „десятичные знаки“, „значащая цифра“, „округление до стольких-то значащих цифр“.

Например, число 5,04 имеет три значащие цифры и два десятичных знака; число 0,0038 имеет две значащие цифры и четыре десятичных знака, 1м = 100 см; число 100 имеет три значащие цифры.

Первой значащей цифрой числа называется первая слева цифра, отличная от нуля, в записи этого числа; второй значащей цифрой будет цифра, следующая за ней, хотя бы она была и нуль и т. д. Например, в числе 0,00308 первая значащая цифра 3, вторая 0, третья 8. Числа: 23; 0,23; 0,0023 имеют по две значащие цифры. Число же десятичных знаков у первого числа 0, у второго 2, а у третьего 4.

Если при измерении или округлении получено приближенное число с нулями в конце дробной части, то этих нулей не должно отбрасывать, так как при отбрасывании результат будет искажен. Точно также приписывание нулей в конце дробной части приближенного числа совершенно недопустимо.

Например, при измерении получено 15,30 My т. е. с точностью 0,01 м\ если же мы возьмем 15,3 м9 то это будет указывать, что измерение произведено с точностью 0,1 м; если же возьмем 15,300 м9 то это будет указывать на результат с точностью до 0,001 м.

Лишь в числе, выражающем точное значение, справа нули можно приписывать или зачеркивать.

5. В V классе при изучении действий над приближенными числами можно разобрать лишь случай, как производить действия, чтобы в результате была наименьшая погрешность.

При сложении и вычитании приближенных чисел рассмотрим пример, когда приближенные данные имеют разное число десятичных знаков.

Пусть требуется сложить три приближенных числа:

Во втором слагаемом нет сотых долей. Следовательно, цифра сотых в сумме будет уже неправильна. Из сотых долей первого и третьего слагаемых получается одна десятая, которая присоединяется к десятым долям.

Само же сложение целесообразно оформлять следующим образом.

Отделить чертой последний разряд, который имеется во всех слагаемых.

Сложение начать с первого разряда направо от черты, результат действия над этим разрядом округляется до десятков и получившиеся десятки присоединяются к следующему разряду влево от черты. Окончательно будем иметь:

В результате цифра десятых долей сомнительна.

После рассмотрения многих примеров учащиеся убеждаются в целесообразности правила: „При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их имеет наименее точное данное, причем менее точным данным считается то, в котором меньше десятичных знаков“.

1 См С. В. Филичев и Я. Ф. Чекмарев. Сборник арифметических задач для педучилищ. 4-е издание, 1946 г.

Приведем два примера на вычитание:

6. При изучении умножения приближенных чисел надо отметить, что количество десятичных знаков никакого значения не имеет для определения числа надежных цифр в произведении. Рассмотрим сперва умножение двух приближенных сомножителей, имеющих поровну значащих цифр. В этом случае в произведении следует сохранить столько значащих цифр, сколько их было в каждом сомножителе.

Пусть требуется помножить два приближенных числа:

В ответе следует оставить 8,8, причем последняя цифра сомнительна.

Действительно, предположим, что данные сомножители 2,6 и 3,4 числа приближенные и что точные числа, которые ими заменяются, имеют еще и сотые доли.

Поставим вместо сотых долей вопросительные знаки и сделаем умножение снова, заменяя также вопросительными знаками все получающиеся неизвестные цифры:

От умножения множимого 2,6? на неизвестную цифру множителя (?) получается первое частное произведение, содержащее три или четыре цифры и т. д.

Видим, что цифра 4 второго частного произведения должна складываться с двумя неизвестными цифрами, а потому сумма будет не 4, а какая-то другая. Цифры следующего разряда 8 и 0 складываются с одной неизвестной цифрой, и поэтому сумма их будет немного отличаться от 8.

Только цифры старших разрядов дадут правильный результат.

Отсюда заключаем, что в произведении следует сохранить лишь первые две цифры и при этом последняя цифра сомнительна.

При умножении двух приближенных чисел, данных с разным числом значащих цифр, в произведении следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет менее точное данное.

Итак, при умножении приближенных чисел надо посмотреть, в каком из обоих сомножителей меньше цифр, не считая нулей перед началом дроби, сосчитать это число цифр и взять в произведении столько же.

Примеры.

7. Правило деления приближенных чисел такое же, как правило умножения: при делении двух приближенных чисел, имеющих одинаковое число значащих цифр, в частном следует сохранять столько значащих цифр, сколько их в каждом из данных; если же делимое и делитель имеют не поровну значащих цифр, то в частном следует сохранять столько значащих цифр, сколько их в менее точном данном, имеющем меньше значащих цифр.

Пример 1. Выполнить действие 4,68: 1,09, где делимое и делитель приближенные числа с тремя значащими цифрами. Имеем, поставив вместо неизвестной четвертой цифры делимого и делителя знак вопроса:

Видим, что все цифры правее вертикальной черты сомнительны и потому

дальнейшее деление продолжать не целесообразно.

Пример 2.

327,3 : 1,3 а 3273 : 13 ~ 251,8... ~ 250.

Что в частном заслуживают доверия лишь две цифры, видно из следующего выполнения деления:

Знаки вопроса поставлены в делимом и делителе вместо неизвестных цифр. Цифры, написанные правее вертикальной черты, сомнительны, и деление дальше продолжать нецелесообразно.

Выше разобраны практические приемы приближенных вычислений, вполне доступные для учащихся V класса. На весь этот материал достаточно уделить 8—10 часов.

В дальнейшем обучении эти сведения углубляются и расширяются. В VI классе, например, можно дать понятие об относительной погрешности.

В VII и VIII классах сведения о приближенных вычислениях расширяются в связи с изучением извлечения квадратного корня из чисел, а в IX классе — при изучении логарифмов.

Более подробно элементарное изложение вопроса о приближенных вычислениях можно найти в следующих книгах и статьях.

1. И. Н. Кавун, Приближенные вычисления.

2. Н. Щетинин, Приближенные вычисления.

3. В. Брадис, Как надо вычислять. Выпуск первый, второй, третий, 1931-34 гг.

4. П. С. Александров и А. Н. Колмогоров, Свойства неравенств и понятие о приближенных вычислениях („Математика в школе“, 1941 г., № 2).

5. М. Л. Франк. Элементарные приближенные вычисления. 1932.

К ВОПРОСУ О ТОЖДЕСТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ

С. И. НОВОСЕЛОВ (Москва)

Нельзя отрицать, что формализм в преподавании математики проявляется наиболее ярко при изучении тождественных преобразований. Нередко учащиеся по заученным правилам бессознательно выполняют операции над буквенными выражениями, не отдавая себе отчета, какова цель этих операций. Получается печальное явление: весь смысл тождественных преобразований усматривается в том, чтобы „сошлось с ответом“, для этого, подчас „вслепую“, выполняется ряд манипуляций по определенным правилам.

В чем же корень зла, в программе или в методике преподавания?

Существует точка зрения, согласно которой сама программа является источником формализма и методика бессильна его устранить. Обычно выдвигаются следующие доводы: тождественным преобразованиям придается преувеличенное значение, на них программой отводится несоразмерно много времени, в течение которого учащихся заставляют выполнять слишком сложные и замысловатые преобразования. Отсюда делается вывод, что эта установка программы и порождает бессмысленную тренировку в преобразованиях ради самих преобразований.

Мы полагаем, что эта точка зрения (она высказывалась и раньше, есть ее сторонники и теперь) является глубоко ошибочной, в ее основе лежит незнание школьной практики. Любому учителю-практику известно, какие тяжелые последствия влекут за собой нетвердые навыки учащихся в тождественных преобразованиях. Так называемые „типовые ошибки“, неизжитые в младших классах, переходят вместе с учащимися в старшие классы и даже в вузы, где они могут сделаться настоящим бичом. Та-

ким образом, выполнение достаточно большого количества упражнений в целях выработки твердых навыков, совершенно необходимо. Что касается степени сложности примеров, то ныне действующий школьный задачник Шапошникова и Вальцова не содержит упражнений, требующих для своего решения каких-либо хитроумных приемов, и дает лишь минимум примеров, необходимых для приобретения твердых навыков. Более того, в школьном задачнике было бы желательно наличие примеров и большей степени трудности.

Итак, мы полагаем, что идти по пути сокращения материала не представляется возможным. Что касается количества часов, то здесь надо сообразоваться с тем, что показывает педагогическая практика. Опыт показывает, что в VI и VII классах, чтобы должным образом усвоить тождественные преобразования, требуется значительное время. Учащиеся не скоро осваиваются с новой для них буквенной символикой, и именно в VI и VII классах закладываются те навыки, которые во многом влияют на успешное обучение математики в дальнейшем.

Без длительных тренировочных упражнений надлежащих навыков невозможно выработать, и одного „понимания идеи“ совершенно недостаточно. Массовая школа не может рассчитывать па учащихся—„вундеркиндов“, выдающихся по степени математической одаренности. Кроме того, мы считаем (об этом будет сказано ниже), что тождественные преобразования нужны не только для выработки вычислительной техники, а имеют немаловажное принципиальное значение. Из сказанного следует, что школьная программа по справедливости отводит значительное количество часов на изучение тождественных преобразований.

Что касается методики преподавания, то именно здесь и надо искать корень зла.

Задачей настоящей статьи является наметить некоторые конкретные методические мероприятия, которые, как мы полагаем, должны способствовать изжитию формализма и вытекающих из него тяжелых последствий.

Прежде всего, учащиеся должны ясно сознавать, что посредством букв в элементарной алгебре обозначаются числа, а отсюда очевидное следствие преобразования буквенных выражений производятся не по каким-то „особым правилам“, а на основании законов арифметических действий. Недостаточно ясное понимание этого и является одним из главных источников формализма в знаниях учащихся. Здесь небезупречна и учебная литература. Так, например, § 38 учебника Киселева ч. 1 простое применение закона распределительности

4а + 0,5а = (4 + 0,5) а = 4,5а

заменяется туманным рассуждением „очевидно, что 4 каких-нибудь числа плюс 0,5 такого же числа составляют 4,5 этого же числа“.

Мы полагаем, что при выполнении тождественных преобразований следует требовать от учащихся умения объяснить каждый шаг с точки зрения законов арифметических действий. Так, если учащийся производит перестановку и группировку членов, то он должен уметь (как устно, так и письменно) объяснить, что здесь применяются законы переместительности и сочетательности сложения, что при вынесении за скобку общего множителя или при раскрытии скобок применяется закон распределительности умножения относительно сложения. Для письменных объяснений весьма удобна следующая форма краткой записи, которую мы покажем на двух несложных примерах. После каждого шага в скобках указываются те законы действий, на основании которых был произведен данный шаг.

Рассмотрим пример на сложение многочленов:

(сочетательность)

(переместительность)

(сочетательность)

(распределительность)

Следующий пример возьмем на разложение многочлена на множители:

(распределительность)

(сочетательность)

(переместительность)

(сочетательность)

(по формулам сокращенного умножения)

(сочетательность).

Разумеется, что вводить в практику подобные записи следует, начиная с самых элементарных примеров из школьного задачника. Таким образом, объяснение требует от учащегося твердого знания законов действий и умения сознательно их применять. Выполнение тождественных преобразований уже не превращается в слепую тренировку в заученных правилах, а приобретает принципиально важное значение, так как здесь учащийся воочию видит, какую важную роль играют законы арифметических действий, по каким принципам строятся алгебраические операции. Кроме того, учащийся легче осознает допущенные им ошибки. Против этого метода обычно имеются следующие возражения: решение примеров с объяснениями потребует большой затраты времени. Надо иметь в виду, что вовсе не следует практиковать решение с объяснением всех без исключения примеров, это было бы совершенно нереальным, однако ученик всегда должен быть готов дать устное и письменное объяснение по первому требованию учителя.

Наряду с подобными решениями с объяснением должна вестись работа и в другом направлении, мы подразумеваем устные упражнения и вычисления „в уме“. Термин „алгебраическое преобразование“ в каждом конкретном случае имеет различное значение, так можно ставить вопрос о преобразовании произведения в сумму, или суммы в произведение, или о представлении рационального выражения в виде отношения двух многочленов. В каждом примере ученик должен ясно представлять, что же именно в данном случае требуется. Когда известна конечная цель, то весьма важно в уме „прикинуть“ план решения и наметить основной путь. Это имеет большое значение в развитии комбинаторных способностей учащихся. Здесь устные упражнения приобретают исключительно важное значение. Подробно наша точка зрения на устные упражнения изложена в нашей статье „Устные упражнения на уроках алгебры и тригонометрии“ в методическом сборнике „Математика в школе“ за 1943 г., поэтому мы остановимся кратко лишь на основных вопросах. Несложные преобразования учащиеся должны уметь выполнять в уме и писать сразу ответ. Опыт показывает, что учащиеся VI классов (разумеется при известной тренировке) легко устно справляются не только с такими примерами, как:

но и с более сложными преобразованиями. Мы полагаем, что при решении примеров следует требовать от учащихся умения выполнять в уме (в пределах возможного) промежуточные вычисления.

Среди многих учителей имеет место преувеличенная любовь к подробным записям, связанным с бесцельным переписыванием при выполнении хотя бы ничтожной вычислительной детали. Это увлечение подробными записями, доведенное до крайностей, нередко выли-

вается в уродливые формы. Так, нам приходилось видеть, когда учитель при разложении многочлена на множители требует, чтобы в окончательном ответе не было степеней неразложимых множителей. С этой целью пишут, например, так:

(а +'&)(а - bf — (а + Ь){а - Ь)(а - Ь).

Вот другой пример: „разложение на множители“ многочлена х — 1 записывается следующим образом:

х- 1 = X — 1.

Хорошим ответом у доски считается, когда ученик безукоризненно выполняет эти бессмысленные (хотя и верные!) преобразования. Такого рода подробные записи ничего общего не имеют с подробными записями при решении примеров с объяснениями. Объяснение служит надежным орудием борьбы с формализмом, тогда как доведенная до крайности бесцельная „писанина“ способна служить лишь насаждению формализма.

Само собой понятно, что учащиеся должны уметь решать примеры с подробными записями, однако во всем надо соблюдать разумную меру. Подробные записи нужны, когда учащиеся еще не освоились с новым материалом. По причинам вполне понятным, на контрольных работах также следует требовать решения примеров с подробными записями. При этом к учащимся различных классов следует предъявлять разные требования. Если, например, вполне естественно от шестиклассника требовать подчеркивания подобных членов, то это требование не имеет смысла предъявлять к десятикласснику.

Упражнения в устном решении примеров, а также в выполнении промежуточных вычислений в уме и упражнения в подробных записях — отнюдь не исключают друг друга. Так, в начальной школе вполне уживаются и устный счет и подробные записи. Умение в уме выполнять промежуточные вычисления даст значительную экономию во времени и позволит увеличить количество упражнений. Мы не говорим уже о том, что устные упражнения обычно вызывают большое оживление, заставляют интенсивно работать весь класс, вносят элемент соревнования.

В практике устных упражнений необходимо иметь в виду следующее методическое указание: по первому требованию учителя учащийся должен уметь на словах объяснить, как он выполнил в уме те или иные промежуточные преобразования.

В заключение рассмотрим два примера на выполнение преобразования в сокращенной записи.

1. Пример на разложение на множители:

При хорошем навыке можно и второе звено опустить.

2. Пример на действия с дробями:

ЧЕРЧЕНИЕ В VI КЛАССЕ

С. Н. АНДРЕЕВ (Горький)

В „Учительской газете“ в номере от 19/ХII 1945 г. была помещена заметка „Об уровне знаний выпускников средней школы“. В этой заметке сообщалось, что на совещании в НКП были приглашены профессора и преподаватели высших школ с тем, чтобы заслушать их мнения о степени и качестве подготовки учащихся средней школы к работе в высшей школе. Между прочим, профессора и преподаватели вузов и втузов высказали свое мнение о подготовке учащихся средней школы в области черчения и рисования. Приведем выдержку из замечаний профессора нефтяного института Назарова, который обратил внимание совещания на крайнюю беспомощность студентов первокурсников в

черчении и рисовании. „Это вина средней школы,— говорит профессор Назаров,— она совершенно неудовлетворительно обучает своих воспитанников элементам черчения и рисования. Речь идет не о художественном совершенстве в рисовании, а о простом уменье вычертить график, сделать схему, правильно написать круг или треугольник“. Проф. Назарова горячо поддержали представители других вузов.

В той же „Учительской газете“ от 6/Ш 46 г. в заметке „Еще раз об уровне знаний выпускников средней школы“ вновь указано было мнение представителей втузов, высказанное на вторичном совещании в НКП. „Представители технических вузов вновь указали на полное отсутствие навыков в области графики. Студенты приходят в вуз, не зная черчения, затрудняются сделать самый несложный рисунок или схему. Черчению и рисованию в школе нужно, наконец, уделить и должное время и должное внимание“.

Не касаясь причин плохой подготовки выпускников средней школы по черчению и рисованию, а также общих мер, которые должны быть приняты, мы должны согласиться с тем неоспоримым положением, что немалая доля вины за плохую подготовку лежит на нас, преподавателях черчения. Нельзя не учитывать факта, что основы графической грамотности закладываются в VI и VII классах, и поэтому на проработку материала по черчению в этих классах нужно обратить особое внимание. К сожалению, приходится наблюдать прямо противоположное положение: во всех руководствах по черчению (Гордон, Евдокимов, Иерусалимский и др.) львиная доля упражнений отнесена к VIII, IX и X классам. Само собой понятно, что учителю черчения очень много приходится подыскивать и самому составлять упражнения для VI и VII классов.

Система последовательных, строго продуманных упражнений, соответствующих программе, составленных в порядке возрастающей трудности, с одной стороны, и неослабное постоянное требование должного качества выполнения работ, наблюдение за учеником и его ростом, проверка работ с указанием ошибок и показ лучших работ — с другой, вот основные меры к поднятию качества постановки преподавания черчения.

В настоящей заметке предлагаются упражнения для VI класса, проверенные мною многолетней практикой; при этом они расположены так, что в них отражается так называемый теоретический материал, т. е. пройденные с учащимися геометрические построения, сообщенные им правила стандартных обозначений и проч.

Анализируя программу по черчению, мы можем выделить следующие ее разделы.

1) Стандартные обозначения.

2) Геометрическое черчение.

3) Техническое рисование,

4) Проекционное черчение.

5) Ознакомление со строительным, землемерным и топографическим черчением.

6) Начала начертательной геометрии.

7) Техническое черчение.

Некоторые из этих разделов входят в программу всех классов, как, например, стандартные обозначения, техническое рисование и др.

В курсе VI класса мы имеем: 1) стандартные обозначения; 2) геометрическое черчение; 3) техническое рисование; и 4) проекционное черчение.

По стандартным обозначениям мы имеем: а) шрифт; б) изготовление форматки; в) типы линий; г) расположение видов на чертеже (фасад, план и профиль); д) осевые, размерные и выносные линии; е) простановка размеров на чертеже и рисунке.

По геометрическому черчению проходится следующий материал: а) параллельные и перпендикулярные линии;

б) проведение окружностей и дуг;

в) деление отрезка пополам и на несколько равных частей; г) построение квадрата и сеть квадратов; д) деление угла пополам; е) деление прямого угла на 3 равные части; ж) построение треугольников; з) построение прямоугольника.

По техническому рисованию: а) прямая линия и деление ее на глаз; б) рисование прямого угла и углов в 30°, 45° и 60°; в) рисование квадрата, прямоугольника, круга и овала; г) рисование куба, прямоугольного параллелепипеда и их комбинаций.

По проекционному черчению: а) проекции прямоугольного параллелепипеда; б) проекции простейших комбинаций параллелепипедов и кубов.

Таково содержание программы VI класса.

Распределение часов.

Вступительная и заключительная беседы — 2

Стандартный шрифт — 4

Геометрическое черчение — 14

Техническое рисование — 9

Проекционное черчение— 5

После вступительной беседы, освоения нормального шрифта и ознакомления с изготовлением форматки учащиеся выполняют следующие работы на заранее изготовленных форматках.

Геометрическое черчение.

Работа № 1. Проведение параллельных и перпендикулярных линий при помощи линейки и треугольника.

Работа № 2. Построение квадрата. Дается такой способ построения, чтобы центр (точка пересечения диагоналей) квадрата совпадал с центром полуформатки, и, значит, в построении должны участвовать и окружность и дуга. В дальнейшем можно показать и другие, более легкие способы построения квадрата. Форматка 144 • 203 делится пополам: в левой части — построение квадрата, в правой — упражнение: группа квадратов, имеющих или общую вершину или общий центр.

Работа № 3. Деление отрезка пополам и на несколько равных частей.

Работа № 4. Орнамент с делением стороны квадрата пополам (черт. 1).

Работы № 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11 (см. черт. 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8) представляют орнаменты, включающие в себя следующие упражнения: 1) построение квадрата в центре полуформатки; 2) разбивка сети квадратов (черт. 2, 4*4; черт. 3, 8-8; черт. 4, 5 • 5; черт. 5, 6-6; черт. 7, 8-8, следовательно, деление стороны квадрата на 4, 8, 5, 6 и 8 равных частей); 3) вычерчивание рисунка орнамента; 4) проверка точности построения (напр. черт. 1 и 5). Нужно проверить, получились ли точные квадраты в центре и маленькие квадратики (черт. 5) и т. д.; 5) расцветка орнамента.

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

Черт. 7

Черт. 8

Начиная с работы № 6, учащиеся делают на одной половине форматки чертеж предполагаемого орнамента, на другой — композицию на предложенную тему, т. е. орнамент с делением стороны квадрата на данное число частей. Учащиеся полностью успевают на уроке сделать предлагаемое построение орнамента и заготовить квадрат с сетью для композиции. Расцветка орнамента производится дома. Цвета должны быть выбраны самим учащимся. Нужно акварель предпочесть цветному карандашу

по следующим соображениям: акварель дает большее количество тонов данного цвета, следовательно, расцветка орнамента может быть богаче и разнообразнее; краска ложится кистью ровнее и лучше, чем карандашом; в практике (в строительном, архитектурном и землемерном черчении) употребляется акварель, тогда как карандаш редко где употребляется. Акварель также нужно предпочесть и штриховке, так как штриховкой карандашом (чертежи в VI классе выполняются в карандаше) труднее достигнуть аккуратности, точности, чистоты, чем рейсфедером, да к тому же штриховка будет употребляться в техническом рисовании и черчении до самого конца обучения в X классе, тогда как работа кистью имеет место лишь в VI, частью в VII и немного в VIII классах.

Работы № 10 и 11 (черт. 7 и 8) представляют орнаменты в квадрате, составленные из окружностей и дуг.

Предлагаемый способ составления композиций по темам облегчает учащимся продумать рисунок орнамента и вообще постепенно вводит их в эту трудную, но важную область работы. После работы № 11 можно предложить учащимся попробовать испытать свои силы и составить композицию в квадрате из дуг и окружностей, частью сделанных от руки.

Работы № 12 и 13 —деление угла пополам и на равные части. Здесь можно предложить орнаменты, составленные из равнобедренного и равностороннего треугольников (см. черт. 9 и 10).

В равнобедренном и равностороннем треугольниках углы делятся пополам. В дальнейшем построении нетрудно разобраться.

Черт. 9

Черт. 10

Работа № 14 (черт. 11). Деление прямого угла на 3 части. В этом орнаменте построение требует особой точности. По этим работам также не мешает учащимся предложить сделать композицию.

На этом заканчивается первая часть геометрического черчения. Учащиеся к этому времени приобретут целый ряд навыков в самых различных элементарных построениях, научатся оформлять чертеж, производить его расцветку, правильно располагать чертеж, а композициями разовьют фантазию, воспитают чувство размерности частей и их расположения.

Теперь можно перейти к техническому рисованию, в задачу которого в VI классе входит уменье составлять рисунок параллелепипеда и его комбинаций.

Техническое рисование производится от руки на заранее приготовленной форматке.

Черт. 11

Работа № 15. Рисование прямых — параллельных, вертикальных и горизонтальных, рисование прямого угла и углов в 30°, 45° и 60°. Все это располагается на одной форматке, которая делится на 4 части двумя взаимно перпендикулярными линиями. Само собою разумеется, что форматка изготовляется по всем правилам, по линейке и циркулю. Работа должна быть произведена от руки. На чертеже 12 указан общий вид форматки работы № 15.

Черт. 12

Работа № 16— рисование квадрата, прямоугольника, круга и овала. Так же, как и в работе 14, форматка делится на 4 части, которые и озаглавливаются: квадрат, прямоугольник, круг, овал. Для того, чтобы квадрат вышел наиболее точным, необходимо разбить его на маленькие квадраты, со стороной примерно 10 мм, так как квадрат большего размера труднее нарисовать, чем малого (черт. 13). При рисовании прямоугольника целесообразно взять его с определенными размерами в произвольных единицах, например, 2 • 3 и также разбить его на квадраты. На чертеже 14 показаны 4 прямоугольника с размерами 2 • 3, 1-3, 1-2, 1-3. Здесь же впервые учащиеся знакомятся с простановкой размеров.

Черт. 13

При рисовании круга рисуется сначала квадрат, а для овала — прямоугольник, и в них вписывается круг и овал (черт 15).

Черт. 14

Черт. 15

Работа № 17 — рисование куба. Этой работой начинается рисование объемных форм. Выбираются наивыгоднейшие положения куба, когда грань его параллельна изобразительной плоскости. Таких положений 4 (см. черт. 16). Учащиеся знакомятся с направлением осей: вертикальная, горизонтальная или фронтальная, боковая, или глубинная, которая идет под углом 45° к горизонту. Оси указываются на рисунке. Как в этой, так и в последующих работах по черчению в класс нужно приносить наглядные пособия, т. е. тот предмет, который изображается на данном уроке.

Работа № 18. Рисование прямоугольного параллелепипеда. Опять выбирается наивыгоднейшее положение изображаемого параллелепипеда, т. е. так, чтобы одна из его граней была параллельна изобразительной плоскости. Необходимо начинать приучать учащихся проставлять размеры на рисунках объемных форм, поэтому выбираем размеры в условных единицах или в сантиметрах — это безразлично. Пусть измерения параллеле-

Черт. 16

пипеда будут: 1, 2 и 3 условных единицы (см. черт. 17).

Еще в предыдущей работе — рисование куба — нужно было учащихся познакомить с сокращением размеров по боковой оси на 50% и с условным направлением освещения: под углом 45° к горизонту сверху — слева. Нужно допускать наравне со штриховкой затененных граней тушевку и даже отмывку сиенной или сепией, ознакомив, конечно, учащихся с правилами тушевки и отмывки. Всего можно нарисовать 24 вида одного и того же параллелепипеда, если грань его ставить параллельно изобразительной плоскости. На форматке помещается всего 5 рисунков, большая часть которых делается в классе. Не нужно воспрещать учащимся изобразить все 24 вида, тем более, что каждый из них без труда может сделать для себя наглядное пособие.

Работа № 19. Из набора комбинаций параллелепипедов, рисунки которых помещены ниже, выбирается одна для составления рисунка. Выбранная модель изображается в нескольких положениях, причем наблюдается правило наибольшей видимости, т. е. чтобы большее число граней попало на рисунок (см. черт. 18, 19, 20 и 21).

Работа № 20 — представляет собою работы с натуры по раздаточному материалу из набора моделей на комбинации параллелепипедов. На двоих учеников дается одна модель. С одной модели нужно составить несколько рисунков.

Рисунки моделей на чертежах 22—41.

Набор моделей изготовить нетрудно в каждой школе. Размер моделей не должен превышать 40—60 мм.

Работа 21 и 22. Столбчатая и секторная диаграммы. Работы по составлению диаграмм отнесены мною к IV чет-

Черт. 17

Черт. 18

Черт. 19

Черт. 20

Черт. 21

Черт. 22

Черт. 23

Черт. 24

Черт. 25

Черт. 26

Черт. 27

Черт. 28

Черт. 29

Черт. 30

Черт. 31

Черт. 32

Черт. 33

Черт. 34

Черт. 35

Черт. 36

Черт. 37

Черт. 38

Черт. 39

Черт. 40

Черт. 41

верти по следующим соображениям: диаграмма должна быть красивой, яркой, красочной; здесь должны быть допущены отступления от стандартной форматки, т. е. возможны украшения в надписях, рамке и проч. Можно дать образцы рамок, например, (черт. 42—47).

Черт. 42, 43 и 44

Черт. 45 и 46

Черт. 47

Кроме того, к этому времени учащиеся приобретут достаточно навыков и знаний, чтобы справиться с этой работой и внести в оформление что-либо свое.

Перед вычерчиванием секторной диаграммы необходимо учащихся познакомить с процентным делением окружности.

Работа № 23. Проекционное черчение. Эта работа представляет собой проекцию прямоугольного параллелепипеда. Учащиеся должны быть ознакомлены с расположением видов на чертеже. Для того чтобы они лучше усвоили и запомнили, необходимо производить запись видов как на этом чертеже, так и на последующих.

На чертеже 48 показана форматка, заготовленная для работы № 23. Каждая работа по проекционному черчению сопровождается наглядным изображе-

нием — рисунком того предмета, проекции которого вычерчиваются.

Работа № 24 и 25. Проекции комбинаций параллелепипедов. Из набора (см. черт. 22—41) выбираются простейшие комбинации и демонстрируются в классе. Желательно дать размеры изображаемой комбинации, чтобы приучать проставлять размеры.

Работа № 26. Проекции комбинации параллелепипедов Самостоятельная работа с натуры по индивидуальным заданиям из набора (черт. 22—41).

Работа № 27. Композиции объемных форм. Если в композициях линейных форм учащиеся находили выход для применения своей фантазии и удовлетворения своих эстетических потребностей, если они научались находить размерность частей и закрепляли навыки геометрических построений, то в объемных композициях они должны развивать восприятие пространства, уметь найти формы соответствующих размеров, уметь их расположить наиболее гармонично и правильно наложить тени тушевкой, штриховкой или отмывкой. Можно допустить и расцветку композиций.

Первая работа производится так: на левой половине форматки учащиеся срисовывают с доски нарисованную учителем композицию. Это будет, так сказать, тема. На правой стороне они должны сами составить композицию. Материалом служат куб и прямоугольный параллелепипед. Ниже на чертежах 49,50, 51 даны примерные композиции объемных форм.

Работа № 28. Самостоятельные композиции объемных форм. Работы по композициям объемных форм не предусмотрены программой. Но их следует проводить, имея в виду необходимость развить восприятие пространства, научить мысленно представлять себе формы, выбрать наиболее гармоничные размеры, стройно расположить части, придать формам некоторое содержание.

Черт. 48

Черт. 49

Черт. 50 и 51

На этом заканчиваются работы учащихся по программе VI класса.

Одним из необходимейших условий улучшения качества работы учащихся является постоянная выставка-витрина лучших работ. Показ этих работ стимулирует усилия учащихся в достижении качества работ, дает примеры и образчики работ, сделанных в согласии со всеми правилами и требованиями.

Я полагаю, что, пройдя изложенную программу и выполнив все описанные работы, учащиеся будут полностью подготовлены к работе в VII классе.

О ПРЕПОДАВАНИИ СТАНДАРТНОГО ШРИФТА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Н. А. МЕДЕЛЯНОВСКИЙ (Москва)

Значительная часть окончившей среднюю школу молодежи поступает во втузы, где сталкивается с первым заданием по курсу черчения — зачетной работой по выполнению стандартного шрифта.

Практика работы с молодыми студентами над выполнением этого задания показывает крайнюю недостаточность получаемой ими в средней школе подготовки по черчению; в частности, умению писать стандартным шрифтом их приходится обучать заново, на что непроизводительно затрачивается значительная часть 1-го семестра.

Действующий общесоюзный стандарт № 7535—39 („шрифты для надписей на чертежах“) дает отправной материал, служащий канвой для преподавателей; однако вопросы конструкции знаков шрифта в ОСТе не освещены, и особенности выполнения того или иного знака толкуются различными преподавателями по-разному.

Такое отсутствие единого понимания характера построения шрифта приводит к искажению учащимися многих знаков и приобретению неправильных навыков, от которых их трудно отучить.

Поскольку только на средней школе должна лежать обязанность обучить учащихся хорошо писать стандартным шрифтом, постольку именно здесь необходимо достичь единства в методах преподавания. Целью настоящей заметки является предложить преподавателям средней школы подсобный при преподавании шрифта материал, основанный на проработке общесоюзного стандарта.

Контрольной работой по овладению шрифтом может служить выполнение учащимися в формате A4 (203 X 288 мм) следующих последовательно расположенных размеров шрифтов:

русский алфавит — размер шрифта 10 мм

» » » » 5 „

латинский шрифт— „ „ 7 „

и ряд слов, написанных размерами 10 и 3,5 мм.

Такой объем задания (черт. 1) достаточен, причем по выполнении этой форматки в карандаше необходимо требовать от учащихся обводки ее тушью. Выполнению этой контрольной работы должны предшествовать подготовительные занятия, проводимые в нижеуказанной последовательности.

1. На вводном занятии необходимо рассказать учащимся о том большом значении, которое придается вопросу четкого и красивого выполнения надписей на чертежах, для обеспечения чего и выпущен общесоюзный стандарт.

Приведение преподавателем ряда примеров небрежного выполнения надписей (например, неясно написанная цифра 3 легко может быть принята за 8, 5 за 6, 1 за 7 и пр.) поможет учащимся понять, что такая „неясность“ приносит огромный вред производству, порождая брак, так как чертежом предусматривается один размер изделия или детали, а прочтен и выполнен другой.

Выполнение требований стандарта обеспечит гармоничное соответствие надписей чертежу как по размерности, так и по толщине штрихов. Надписи, выполненные не в соответствии с этими требованиями, неизбежно приведут к тому, что надписанный чертеж окажется или „слепым“ и трудночитаемым или слишком „жирным“, и надписи „убьют“ хороший чертеж.

2. Требуемый угол наклона шрифта 75° получается с помощью угольников в 45° и 30°, положенных на рейсшину или базируемых на горизонтальной линии, нанесенной на бумаге в нижней части листа бумаги.

Примечание. Совершенно необходимо ознакомить учащихся с практикой пользования рейсшиной, обеспечивающей легкое получение ряда параллельных, горизонтальных или наклонных линий, а также комбинирования рейсшины с угольниками.

Черт. 1

А. Размерные данные

1. Рекомендуемые ОСТом размеры шрифта (20); 14; 10; 7; 5; 3,5; 2,5; (1,5) соответствуют высоте знака в миллиметрах. Взятый в скобки размер 20 применяется очень редко, например, для заголовков таблиц и пр., а самый мелкий размер 1,5 применим для надписей в очень мелких чертежах или для примечаний.

В приведенном ряде размеров шрифта каждый последующий относится к предыдущему, как 2:3 (черт. 2).

2. Ширина нормальной буквы или цифры относится к ее высоте, как 2 :3 (черт. 3).

3. В каждом размере шрифта высота строчной буквы относится к высоте заглавной, как 2 :3 (черт. 4).

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

Черт. 7

Черт. 8

Черт. 9

4. Ненормальные (широкие) буквы русского и латинского шрифтов имеют отношение ширины к высоте 1:1 (черт. 5).

5. Перечень ненормальных (узких) букв и цифр и отношение их ширины к высоте приведены на черт. 6. Римские цифры изображаются: а) без ограничения горизонтальными черточками (X, V, VI) и б) с горизонтальными черточками над цифрой и под нею.

6. Удлиненные хвосты строчных букв доводят их высоту до высоты заглавной буквы данного размера шрифта, за исключением буквы f, высота которой составляет 1х/з высоты заглавной буквы (черт. 7).

7. Расстояние между буквами в слове составляет 1/3 высоты буквы или */, ширины буквы (черт. 8).

8. Необходимы сокращения и даже исключения интервала между некоторыми заглавными буквами (черт. 9).

9. Расстояние между словами должно быть не менее ширины одной буквы, а расстояние между строками должно

быть не менее 1,4 размера шрифта (черт. 9).

10. В слове, выполненном строчными буквами, заглавная буква, начинающая слово, должна быть обведена штрихами той же толщины, что и в строчных буквах (черт. 10).

Черт. 10

11. Толщина линий обводки знаков должна составлять У8 их высоты. Так, для шрифта размером 10 мм толщина обводки составит = 1-^-= 1,25 мм и т. д.

Необходимо, чтобы учащиеся привыкли быстро и безошибочно определять необходимую для разных размеров шрифта толщину обводки и усвоили практическое правило, по которому толщина обводки наиболее крупной надписи данного чертежа должна составлять примерно половину толщины линии видимого контура чертежа. Если, например, толщина контурной линии чертежа 1 мм, то толщина обводки надписи составит 0,5 мм, отсюда — размер шрифта равен 0,5 • 8= = 4 мм, т. е. может быть принят ближайший стандартный размер в 3,5 мм.

Б. Разметка и конструкция букв и цифр

1. Для разметки в карандаше и последующего вычерчивания знаков строится горизонтальная вспомогательная сетка: А) для заглавных букв и цифр (черт. 11 ), Б) для строчных букв (черт. 12).

Черт. 11

Черт. 12

Сетка наносится тонкими линиями достаточно жестким карандашом и вытирается резинкой лишь по полном окончании обработки букв.

Определение длины надписи производится следующим порядком:

а) насчитывается количество содержащихся в надписи нормальных по ширине знаков и умножается на ширину одного такого знака (1-е произведение);

б) умножается количество широких знаков на ширину одного широкого знака (2-е произведение);

в) определяется длина, которую займут узкие знаки (3-е произведение);

г) умножается количество промежутков между знаками на половину ширины нормального знака (4-е произведение);

д) умножается количество промежутков между словами на ширину нормального знака (5-е произведение).

Полученная в итоге сумма произведений дает длину надписи в миллиметрах. Остается скорректировать эту сумму на сокращение интервалов между такими буквами, как Г и А или Л и др., если такие сочетания окажутся в надписи, особенно если надпись выполняется только заглавными буквами.

2. Разметка ширины знаков и промежутков между соседними знаками производится карандашом на той горизонтальной линии сетки, которая является основанием для надписи. Размеры переносятся с масштабной линейки непосредственно карандашом или сносятся циркулем. Еще удобнее нанести размеры 2—3 нормальных ширин букв с промежутками между ними на узкой полоске бумаги и, прикладывая эту полоску к основной линии сетки, сносить на нее размеры букв и промежутков, последовательно перемещая полоску вправо. Ненормальные по ширине буквы размещаются с масштабной линейкой или указанным выше способом.

После того, как закончена разметка, необходимо прочертить тонкими карандашными штрихами под углом в 75° границы контуров будущих знаков (черт. 13).

Черт. 13

3. Далее следует нанесение контуров знаков на подготовленную и размеченную сетку. Особое внимание учащихся должно быть обращено на то, что, чем тщательнее подготовлены сетка и разметка, тем легче выполнение шрифта. Развитый глазомер и красивый почерк не смогут компенсировать небрежность подготовки, и шрифт будет выполнен неудовлетворительно.

4. При проведении дальнейших объяснений преподавателю следует пользоваться крупным плакатом, изготовленным по образцу приведенного в конце настоящей заметки макета.

Знаки стандартного шрифта делятся по начертанию на следующие группы:

а) состоящие только из отрезков прямых линий и без особых затруднений вписываемых в подготовленные на сетке параллелограмы-рамки для отдельных знаков (например, И, П, X, Н, М, № и др.). Ориентирами при проведении наклонных линий в буквах К, Ж и др. и расположении перекладин в буквах Н, Е и др. служат соответствующие линии сетки (средняя линия и граница нижней трети);

б) состоящие из отрезков прямых линий и незначительных скруглений (Л, А, Д, Ч, У). Необходимо заострить внимание учащихся на аналогии в построении ряда знаков, т. е. на том, как, например, из Л получается А и Д, а из Ч —буква У;

в) состоящие из элементов буквы О и из сочетания их с отрезками прямых. На анализе и последовательности начертания . этой буквы как наиболее трудной нужно особо остановиться;

г) состоящие из повторяемой в разных положениях буквы Ь и сочетаний ее с отрезками прямых. Следует отметить, что криволинейные элементы этих букв являются заимствованными из буквы О.

5. Особо тщательной проработки требуют цифры с криволинейными очертаниями, как наиболее трудные в исполнении и поскольку к ним в практике будут предъявлены требования особой четкости начертания. Как по цифрам, так и по буквам нужно показать, в каких случаях и на какую длину проводятся за границу рамки или не дововодятся до границы рамки „хвосты“ знаков, например, в 7, 4, Ц, Д, Ъ, Б, и др.

6. Прежде чем перейти к проработке строения строчных букв, нужно объяснить учащимся что в их практике им придется лишь в редких случаях писать слова, скомпанованные из заглавных букв; в основном эти буквы будут применяться лишь как заглавные в надписях из строчных букв. Таким образом, главной задачей учащихся будет —набить руку в письме строчными буквами и в начертании цифр.

Строчные буквы в подавляющем большинстве характерны своими округлыми очертаниями, т. е. являются производными от буквы О, поэтому и обучение написанию строчных букв должно сводиться к предварительным упражнениям учащихся в написании буквы О и палочек с короткими загнутыми внизу хвостами.

По существу эти упражнения сильно напоминают чистописание, но не следует считать их лишними, так как упражняться будут учащиеся старших классов, которые, как правило, ко времени занятия шрифтом успели испортить себе почерк (если они ранее и были обучены красивому письму) различными „упрощениями“ скорописи. Практика показывает, что восстановление навыков четкого начертания букв в таком возрасте учащихся легко достижимо при весьма незначительной затрате времени на упражнения.

Следует рекомендовать учащимся производить такие упражнения на белой бумаге с нанесенными горизонтальными линиями и с наклонными (под 75°) штрихами, нанесенными редко и служащими ориентирами для соблюдения нужного наклона (черт. 14).

Черт. 14

Показанный на черт. 15 макет следует вычертить на полном листе формата Аг (576 X 814 мм) тушью, с заливкой светлой, например голубой, акварельной краской пустых мест, очерченных двумя тонкими линиями (например криволинейные участки в букве О и др.).

Такой плакат не только облегчит труд преподавателя (как канва для проведения вводных объяснений), но и за-

Черт. 15

ставит учащихся самостоятельно проработать конструкцию шрифта, не обращаясь к преподавателю за мелочными разъяснениями.

Желательно высококачественное выполнение плаката и помещение его в месте, доступном для пользования учащимися. Следует заключить плакат в раму под стекло, а если это невозможно — изготовить его на ватманской бумаге или полуватмане с наклейкой на холст и с заделкой (как в геокартах) вверху и внизу круглых палок.

Общие замечания

Следует рекомендовать выполнение шрифта размером 10 мм 2 тонкими карандашными линиями, промежутки между которыми могут быть затушеваны лишь после просмотра работы преподавателем. Допустимо и проведение линий по угольнику карандашом, графит которого заточен в виде цилиндра с толщиной, соответствующей нужной толщине обводки, и с перпендикулярно к оси цилиндра обрезанным торцем.

Необходимо отметить, что отведенных по программе черчения часов явно недостаточно для того, чтобы добиться требуемых навыков в выполнении стандартного шрифта, поэтому дальнейшее углубление полученных учащимися навыков необходимо проводить на протяжении всего курса черчения.

Этого преподаватель сможет добиться путем постоянных требований от учащихся не только хорошо оформлять надписями все работы, выполняемые по курсу черчения, но и надписывать этим шрифтом все обложки тетрадей, дневников и книг. Кроме того, необходимо широко внедрить выполнение учащимися общественно полезных школьных работ, как-то: переписывание учебных таблиц, расписаний, объявлений, оформление статей в стенгазете и проч.

Обводку шрифта тушью удобнее всего выполнять с помощью трубок соответствующих диаметров. Необходимые для обводки тушью стеклянные трубки легко могут быть изготовлены в школьных химлабораториях. Для этой цели наиболее подходят трубки в 3—4 мм толщиной и с достаточно тонкими (0,5—1 мм) стенками. Для обводки по угольнику удобны трубки с оттянутыми прямыми концами и общей длиной трубки, достаточной для того, чтобы удобно было держать трубку в руке, подобно рейсфедеру, т. е. не короче 7—8 см.

Для надписывания или рисования от руки автором предлагается разработанная им конструкция угловых трубок, вставляемых в обычные чертежные вставочки, как это показано на чертеже 16. Готовые вставочки можно заменить самодельными, например из бамбука. Можно сделать вставочку и из полосы плотной бумаги, туго свернутой в трубку, с проклейкой края полосы.

Работа такими трубками производится так же легко и привычно, как и письмо обычным пером, и не требует особых навыков. Огромным преимуществом таких трубок против применяемых для надписывания обычных перьев или рейсфедеров является получение совершенно ровной по толщине линии при движении трубки в любом направлении. Тушь или чернила такая трубка втягивает сама и расходует ее очень экономно, так что набирать ее приходится в 3—4 раза реже, чем в перья или рейсфедеры. Длина загнутого конца желательна не более 1 см, тушь следует набирать только на эту длину капилляра.

Оттяжка трубок может быть произведена на любом виде не дающего копоти пламени (газовая горелка, спиртовка, паяльная лампа, сухой спирт и др.). Особенно удобной в школьных условиях явится спиртовка. На чертеже 17 изображен момент оттяжки угловой трубки на

Черт. 16

пламени спиртовки, причем в правой руке показана годная трубка, как имеющая достаточно короткий конусный конец. При неудачной оттяжке тонкие концы 2 трубок вводятся в пламя, свариваются в нем, и снова оттягивается правая трубка путем достаточно энергичного движения (рывка) правой рукой.

Оттянутую трубку лучше всего класть для остывания на деревянную дощечку. По охлаждении трубки необходимо немного оплавить в пламени ее толстый конец для того, чтобы уничтожить острые края, мешающие вводить трубку во вставочку.

Далее, обламывают на нужной толщине волосной конец трубочки и рабочий торец зашлифовывают на оселке.

Эту операцию лучше всего производить над вставленной во вставочку трубочкой, т. е. как бы легко „писать“ по оселку. Сломанные трубки можно перешлифовывать на следующий размер.

Можно работать трубками, дающими толщину штриха даже в 0,2 мм; с такими тонкими трубками нужно особо бережно обращаться. В случае засорения или перед набором новой партии туши необходимо выдуть в тряпочку остаток туши, потом набрать в нее воды и снова выдуть. По окончании работы тонкие трубки можно хранить или чисто промытыми и без остатков воды в них, или в рюмке или склянке с водой. Желательно, чтобы каждый из учащихся имел свой набор из 2—3 трубок, если же одни и те же трубки будут выдаваться разным учащимся — необходимо их перед выдачей промыть в любом дезинфецирующем растворе. Насколько качественной получается работа такими трубками, можно видеть по иллюстрирующим эту статью чертежам, так как все они выполнены трубками. Чертеж 1 выполнен с помощью трубок с диаметрами торцов в 1,2, 0,8, 0,6 и 0,35 мм.

Черт. 17

ИЗ ОПЫТА

МОЙ ОПЫТ БОРЬБЫ С ФОРМАЛИЗМОМ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

С. М. ЧУКАНЦОВ (Калуга)

„Формализм в преподавании математики,-говорил профессор Гребенча,—есть преподавание по линии наименьшего сопротивления. Характерная черта формализма — это знание правил, определений, доказательств при отсутствии внутренней связи как между разделами математики, так и между математикой и теми дисциплинами, которые пользуются математическим аппаратом“1.

Мои личные наблюдения и собственный опыт преподавания подтверждают правильность этого высказывания.

В то время, как в одних школах мне приходилось наблюдать хорошие и отличные, вполне осознанные ответы учеников, в других школах, наоборот, ответы учащихся показывали, что изученный ими материал воспринят только внешне, без понимания сути дела, заучен.

Вот пример. В одной школе в VII классе идет урок повторения пройденного материала. Ученик Н. доказывает теорему о том, что дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Быстро выполнив чертеж2, ученик бойко рассказывает: .Перегнем чертеж по диаметру, тогда точка А упадет в точку В, точка С в точку I), и, следовательно, дуги совместятся, а значит, они равны, и отрезки АЕ и BE, а также CF и FD равны“.

Учитель был удовлетворен доказательством, не обратив внимания на то, что при построении ученик провел сначала диаметр, а потом параллельные хорды. Неясно также, почему точка А должна была совпасть с точкой В, если о равенстве отрезков он судит после заключения о равенстве дуг.

Учитель только замечает, что равенство отрезков в теореме доказывать не требуется.

В другом классе эта же теорема учеником доказывалась так же, как и в первом. На поставленный учителем, по моей инициативе, вопрос: почему точка А совпадет с точкой В, последовал ответ: .На основании предыдущей теоремы“.

Учителя это вполне удовлетворило, но мое сомнение в понимании учеником логики доказательства теоремы от этого не уменьшилось. Мне кажется, при неформальном отношении учителя к преподаванию математики последний должен был бы в данном случае прежде всего обратить внимание на выполнение учеником чертежа, а затем поставить ученику ряд вопросов, выясняющих глубину понимания им теоремы, например: как читается предыдущая теорема? Почему точка А не может упасть в точку Вг или £2? Почему дуга АС не может пойти по дуге ВС? и т. п.

Учителем в данном случае упущена одна из основных задач преподавания геометрии в школе — развитие логического мышления учащихся. Зубрежкой теорем и доказательств подменяется в данном случае усвоение учащимися математического метода. Налицо мы имеем привычку учителя получать от ученика одинаковые, хорошо отшлифованные, штампованные ответы и по ним определять знания учащихся, не стараясь узнать, насколько глубоко понимает ученик то, что доказывает.

Некоторые учащиеся вызубривают теоремы, не понимая их содержания, не отличая того, что дано, от того, что требуется доказать. Например, на приемных экзаменах в техникуме, наряду с хорошими и вполне осознанными ответами поступающих, часто приходится слышать и такие, которые хотя и правильны по форме, по существу скрывают за собою непонимание сути дела. При дополнительных вопросах выясняется, что ученик заучил пройденный материал, заучил правила, определения, теоремы и их доказательства, но не понимает их смысла и значимости, не понимает, почему одни моменты определяются, а другие доказываются, т. е. не вникает в существо дела. Так, нередко ученик после подробного и правильного по форме доказательства, например, первого признака равенства треугольников, на вопрос: почему же эти треугольники равны? отвечает: „Да по первому признаку равенства треугольников“.

Приведу еще один интересный случай, имевший место в 1940 г. у меня на уроке геометрии. Не будучи удовлетворен качеством знаний учащимися признаков равенства треугольников, я решил повторить с ними эти признаки (учащиеся были набраны из различных школ). На уроке,

1 Из доклада проф. Гребенчи на 2-й Всероссийской научно-педагогической конференции в 1940 г.

2 Здесь и в дальнейшем чертежи (где они отсутствуют) смотрите по учебнику геометрии Киселева.

приступая к доказательству второго признака, я построил на доске два треугольника и, обращаясь к учащимся, сказал: „Послушайте, что я хочу утверждать относительно этих треугольников, и следите, как я буду доказывать свое утверждение: если в первом треугольнике угол С равен углу Ci, во втором треугольнике (показываю) угол В равен углу В\ и сторона СВ равна С]ВЪ то, утверждаю я, эти треугольники равны между собою, т. е. если бы мы стали их накладывать, то при наложении они обязательно бы совместились... Ясно?“

Один ученик встает и заявляет: „Нет... Вы неправильно прочитали теорему“.

Из последующего диалога выяснилось, что при изложении теоремы я пропустил слово „соответственно“.

— Что же значит это слово „соответственно“, что если его не скажешь, то формулировка теоремы становится неверной?— спросил я.

— А этого мы не знаем, — сказал ученик,— но в учебниках оно есть, и мы в школе всегда так говорили,

Я разъяснил учащимся смысл слова „соответственно“, рассказал, когда и зачем это слово может быть употреблено в общежитии и в формулированной теореме. И как-то по-иному стали учащиеся вслушиваться в даваемые на уроке формулировки теорем и определений, более сознательно стали формулировать дальнейшие теоремы, уделяя больше внимания смыслу, а не букве.

Возникает вопрос: что стоит такое заучивание теоремы, когда ученик даже не понимает смысла всех встречающихся в ней слов?

Можно ли тут говорить о том, что такое преподавание геометрии в школе приучает учащихся к логическому обоснованию своих суждений?

Многое зависит и от характера и качества опроса. После одного из уроков я спросил учащихся, хорошо ли они поняли доказательство теорем?

— Хорошо,—ответили учащиеся хором.

— Значит, завтра будете отвечать урок все на «отлично“?

Класс молчал. Наконец, один ученик заявил: „Это будет зависеть от того, как вы будете завтра спрашивать. Если будете спрашивать так, как нас спрашивали в VII классе, то, конечно, на „отлично“, а если будете спрашивать: .почему? то кто же ответит?“ В различных местах слышу шопот: «правильно!“ Это лишний раз подтверждает то положение, что вопрос „почему?“ очень редко ставится перед учащимися V—VII классов.

Но ведь одна из основных задач преподавания математики, особенно геометрии, в школе и заключается именно в том, чтобы научить учащихся логически правильно мыслить, т. е. уметь делать правильные выводы из данных предпосылок с полным сознанием того, что полученное заключение неизбежно должно иметь место при данных условиях, независимо от нашего желания.

Михаил Иванович Калинин так рассказывал учащимся о значении математики:

„Во-первых, математика дисциплинирует ум, приучает к логическому мышлению. Недаром говорят, что математика — это гимнастика ума. Я не сомневаюсь, что голова у вас ломится от мыслей (смех), но эти мысли надо упорядочить, дисциплинировать, направить, если можно так выразиться, в русло полезной работы. Вот математика и поможет вам справиться с этой задачей“1.

Ответы учащихся VIII и X классов средней школы показывают, что идейная сторона преподавания математики в этих классах стоит, вообще говоря, выше, чем в V и VII классах, но сказать, что здесь все обстоит благополучно, вряд ли можно. Вот некоторые примеры.

Ученица VIII класса Р. доказывает теорему о свойстве биссектрисы внутреннего угла треугольника, но при построении чертежа она сначала продолжает сторону AB, потом проводит прямую СЕ из вершины угла С треугольника и, наконец, проводит биссектрису из вершины угла В. Учитель на такое „построение“ не обращает внимания. А потом обнаруживается, что доказать эту же теорему для другого угла этого же треугольника она не умеет.

А в соседней школе того же города учитель после доказательства теоремы о свойстве биссектрисы внутреннего угла треугольника на другой день спросил своих учащихся и о том, каким свойством обладает биссектриса внешнего угла треугольника.

— Это надо подумать,—ответил ученик Т., вышел к доске и, не волнуясь, совершенно спокойно доказал это свойство, а затем и сформулировал это свойство своими словами.

Еще пример. Ученик В. при доказательстве теоремы о трех перпендикулярах строит чертеж так: сначала проводит перпендикуляр, потом прямую DE, затем проекцию ВС и, наконец, наклонную АС. Точки D и В сразу же соединяет прямыми с точками А и В. Учитель по поводу такого выполнения чертежа никакого замечания не делает. Ученик на доске записывает доказательство, но на вопрос, почему треугольник ADE равнобедренный, ответить не может.

Ученица К. доказывает теорему о признаке перпендикулярности двух плоскостей, но на вопрос: как доказать теорему, если плоскость провести иначе?—ничего ответить не может.

Ученик Н. доказывает теорему о пропорциональности высот сходственным сторонам в подобных треугольниках, но доказать эту же теорему для тупоугольных треугольников не только не может, но даже боится сказать, будут ли в тупоугольных треугольниках высоты пропорциональны сходственным сторонам.

Если в геометрии многие учителя уделяют должное внимание логике и последовательности в доказательствах теорем, то при решении задач даже они часто вовсе не обращают внимания на теоретическое обоснование решения.

Приведу пример. На испытаниях в IX классах в нескольких школах весною 1941 г. мною неоднократно предлагалась для решения учащимся задача № 27 § 1 из „Сборника задач по геометрии“ Рыбкина, ч. II.

На плоскости M даны две параллельные прямые AB и CD, расстояние между которыми равно а. Вне плоскости M дана точка «S, удаленная от AB на Ь и от CD на с. Определить расстояние от точки S до плоскости М, если известно, что

1 М. И. Калинин, Речь на собрании учащихся 8-х, 9-х и 1-0-х классов средних школ Ленинского района г. Москвы 17 апреля 1941 г.

1) a=66, b=c=6b;

2) ö=6, Ь=25 и с=29 (черт. 1).

Все учащиеся быстро строили чертеж для 1-го случая и вычисляли искомое расстояние SK по теореме Пифагора:

да=Ь52—ЗЗ2; SK= =56.

Но на вопрос: Почему вы думаете, что фигура ESF есть треугольник и не может ли расположение прямых быть таким? (черт. 2) Ведь тогда искомое расстояние не будет высотой треугольника,— только некоторые ученики давали правильный ответ, многие же ученики не знали, что отвечать. Они даже и не пытались сослаться на только что ими доказанную теорему о трех перпендикулярах.

И это не случайность. Присутствуя на уроках некоторых учителей, я убедился, что сами учителя редко обосновывают построение чертежа при решении задачи (за исключением задач на построение).

На экзамене ученица Н. доказывала теорему о свойстве высоты, проведенной из вершины прямого угла на гипотенузу. Построив чертеж и обозначив вершину прямого угла треугольника буквой С, она написала доказываемую пропорцию так: BD : AD=AD :DC и „доказала“ ее. В оценке ответа ученицы мы разошлись с учительницей Я высказал мысль, что ответ ученицы неудовлетворителен, учительница же, наоборот, нашла возможным считать его если не отличным, то во всяком случае хорошим на том основании, что ученица уверенно и бойко доказывала теорему и что допущенная ею ошибка объясняется просто опиской или тем, что ее сбили непривычно поставленные в обозначении треугольника буквы: „Ведь поставь она букву А вместо С, как в учебнике, к у вас тогда даже и не было бы основания подозревать ученицу в непонимании доказательства этой теоремы“. Между тем здесь досаднее всего то, что ученица нашла возможным доказывать и „доказала“ неверную пропорцию; это говорит о том, что не только эта теорема, но вообще теоремы о подобии треугольников ею усвоены очень поверхностно.

Почему у нас получаются такие провалы в доказательстве теорем геометрии в несколько новой, мало-мальски измененной обстановке? Мне думается, только потому, что ученик не связывает формулировки теоремы с конкретным содержанием ее. Это результат формализма в преподавании математики, результат отсутствия достаточной конкретности, отсутствия связи изучаемого материала с практикой,

Чем отличается, в глазах ученицы H пропорция BD \AD-AD\DC от пропорции BD:DC** =ЛС:Ш? Только перестановкой букв. Она не представляет того, что если измерить отрезки и вычислить первое и второе отношения во второй пропорции, то мы получим правильное равенство, тогда как в первом случае мы этого не получим. За формулировкой теоремы она не видит конкретного ее содержания. При доказательстве теоремы она иногда говорила, например: „сторона пропорциональна стороне“ (между прочим, так говорили многие учащиеся тех школ, в которых мне приходилось бывать).

Разъяснить ученице Н. ее ошибку можно только опытным путем—путем измерения отрезков, вычисления и сравнения отношений.

„Чтобы понять, нужно эмпирически начать понимание, изучение, от эмпирии подниматься к общему. Чтобы научиться плавать, надо лезть в воду“,—говорил В. И. Ленин в своем конспекте книги Гегеля „Наука и логика“.1

В своем преподавании я и практикую подобные измерения во всех классах, включая и IX и X.

Эти измерения мне нужны не для того, чтобы опытом заменить логическое доказательство теоремы, а прежде всего для того, чтобы довести до сознания ученика смысл того, что мы хотим доказать в теореме, для того, чтобы поднять в глазах учащихся значение теории и еще раз показать ее полное соответствие с практикой.

Эту опытную проверку я провожу для того, чтобы убедить учеников в их ошибке, чтобы разъяснить на этом, что человек, овладевший методом доказательства теорем в геометрии, приходит к правильному выводу путем правильных рассуждений, не прибегая к инструментальной проверке, причем—и это самое главное—он избавлен от неправильных выводов, могущих явиться следствием неточности инструментов или других каких-либо ошибок при измерении.

Но понять преимущество теоретического доказательства перед опытом, сравнить эти два метода ученик может только тогда, когда он и проделал опыт и усвоил теоретическое доказательство.

В своей практике я зачастую делаю опыт, не дожидаясь ошибок со стороны учащихся; другими словами, опыт иногда предшествует доказательству, иногда непосредственно следует за ним. Так, при изучении подобия треугольников я пред-

Черт. 1.

Черт. 2.

1 Ленин, Философские тетради. Стр. 197.

варительно предлагаю учащимся экспериментальным путем установить подобие треугольников на особой карточке, полученной ими от меня. При этом, конечно, сперва устанавливается, какие треугольники считаются подобными. Самостоятельно составляя пропорции и проверяя их, учащийся утверждает или отрицает факт подобия и приучается сознательно относиться к процессу составления пропорций. Чтобы после этого подвести учащихся к необходимости доказательства признаков подобия треугольников, я предлагаю им задачу:

Построить треугольник ABC, сторона ВС которого равна 5 см, а прилегающие к ней углы: /£=30°, ^6=45°. и другой треугольник DEF со стороною EF=]0 см и углами: ^£=30° и

Будут ли треугольники ABC и DEF подобны?

Следует отрицательный ответ, так как .здесь не указано, что сходственные стороны пропорциональны“.

Здесь мне приходится разъяснить, что далеко не всегда можно говорить „нет“ там, где нельзя сразу дать утвердительный ответ; что отрицательный ответ требует доказательства так же, как и утверждение факта (замечу, что это обстоятельство для некоторых учащихся является открытием). Измерением сторон и вычислением соответствующих отношений устанавливаем, что треугольники подобны. Далее разъясняю, что если из двух равных треугольников один подобен третьему, то и другой подобен ему (что в учебнике принимается как обстоятельство само по себе ясное) и лишь после всей этой подготовки приступаю к доказательству леммы, а затем 1-го признака подобия треугольников.

После этого ставлю ряд задач на определение подобия треугольников по первому признаку, например:

1) Биллиардный шар ударом кия послан от точки А в точку В; отразившись от борта MN, он прошел путь ВС. Что можно сказать о полученных треугольниках MAB и NBC?

2) Две параллельные прямые пересечены тремя пересекающимися в одной точке прямыми, что можно сказать о полученных треугольниках?

3) От фабричной трубы AB и от шеста CD, стоящего недалеко от нее, падает тень АЕ и CF. Что можно сказать о треугольниках ABE и CD/7? Будут ли они подобны? Почему?

Затем следует практический вопрос: как можно определить высоту фабричной трубы, использовав свойство пропорциональности сторон в подобных треугольниках?“

Как видите, мотив для выхода в поле на следующем уроке у меня создан.

Затем я перехожу к изучению 2-го и 3-го признаков подобия Их я доказываю без предварительного опыта, но потом все-таки проверяю их на опыте. Так же ставится вопрос и о подобных многоугольниках.

Обычно я всякую новую тему стараюсь начать с конкретной, близкой учащимся и интересной для них задачи, а потом, после изучения теории, обращаюсь к решению задач из задачника и конкретных, жизненно необходимых задач. Например, прежде чем приступить к изучению темы „Пропорциональные отрезки в круге“, я решаю с учащимися задачу на определение радиуса фермы железнодорожного моста. После решения задачи с конкретным содержанием мы доказываем соответствующие теоремы или выводим нужные нам формулы, причем некоторые намеки на путь доказательства теоремы учащиеся схватывают еще при решении задачи.

Затем следует решение задач из задачника, наконец, стараемся сделать выход в поле или в лес для решения конкретной практической задачи на применение изученной теории или приносим в класс какую-нибудь интересную с точки зрения применения изучаемого материала деталь. Такой подход развивает у учащихся любознательность, пытливость и критическое отношение к доказательству, как это видно из следующего примера: некоторые учащиеся и после доказательства теоремы о пропорциональных отрезках в круге заявляют: „А все-таки не верится, что произведение отрезков такой малой хорды может равняться произведению отрезков диаметра“.

Такие вопросы показывают, что мы развили у учащихся наблюдательность, что ученики уже умеют подходить критически к изучаемому ими материалу.

Таким учащимся я отвечаю:

— Проверь и доложи, будут ли данные опыта расходиться с выводами теории.—И ученик, взяв 5-7 различных комбинаций, измерением и вычислением проверяет правильность только что доказанной теоремы.

Тем, кто пытается отрицать полезность подобного рода упражнений, я предложу вспомнить историю развития математики. Мы там увидим, что даже ученые-математики не пренебрегали опытом для первоначального рассмотрения вопроса.

Мне говорят: „Да, это полезно, но при таком подходе к изучению хотя бы даже только некоторых теорем геометрии потребуется много времени“.

Опыт показывает, что это не совсем так. Вначале на это действительно приходится тратить много времени, так как многие наши учащиеся не могут быстро и достаточно точно построить нужный чертеж и произвести требуемые измерения.

В процессе первых занятий по геометрии приходится иногда учить учащихся и геометрическому черчению, учить измерять и вычислять с заданной степенью точности. На это уходит немало времени. Но потом это окупается более сознательным усвоением теории, а последнее освобождает учащегося от зубрежки, к которой приходится прибегать при заучивании теорем и их доказательств без полного конкретного понимания изучаемого материала.

Особого внимания заслуживают темы „Измерение площадей“ и .Измерение объемов“.

Опыт показывает, что у большинства учащихся, оканчивающих неполную среднюю школу, нет вполне отчетливого, конкретного представления о единицах измерения длины, площади, объема, и полагаться на изучение этих вопросов в начальной школе нам, учителям средней школы, не приходится.

Поэтому, приступая к изучению темы „Измерение площадей“, я уделяю большое внимание созданию у учащихся конкретного представления о единицах измерения длины и площади.

Квадратный дециметр у меня учащиеся измеряют непосредственно квадратными сантиметрами. Площадь земли в один гектар мы отмеряем на ровной чистой местности, а затем учащиеся измеряют ее шагами, обходят по периметру, определяют на-глаз величину площади огорода и

сада и сравнивают их с гектаром. В случае большого расхождения проверяем измерением. Я уделяю большое внимание непосредственному измерению площадей фигур, заранее с этой целью начерченных мною на открытках (интересными с этой точки зрения могли бы быть фигуры задачи № 56 § 15 сборника Рыбкина, ч. 1 на определение площадей данных фигур, если бы в задачах не были даны численные значения величин).

Весной и осенью мы обязательно выходим в поле для решения ряда задач на местности.

Аналогично при изучении темы „Измерение объемов“ в стереометрии я придаю большое значение созданию у учащихся конкретных представлений о единицах объема—кубического сантиметра, кубического дециметра, кубического метра—и пониманию соотношений между ними. Количество куб. смв \ куб. дм у меня учащиеся определяют непосредственным измерением, то же с измерением кубического метра кубическими дециметрами. Построив из картона или плотной бумаги изучаемое геометрическое тело, ученик должен определить площадь его поверхности и объем.

Чего я добиваюсь такими систематическими лабораторными работами от учащихся? Отвечу языком учебника психологии под ред. проф. Корнилова: я добиваюсь развития у учащихся „всесторонних привычных установок“.

Авторы учебника приводят пример:

„Ученику дается, например, такая задача: стороны прямоугольника равны 3 и 4 см, найти, чему равна диагональ?“.

Эту задачу можно, вообще говоря, решить двумя способами:

а) путем ряда умозаключений и б) путем прямого измерения диагонали с помощью измерительной линейки. В формулировке задачи не указано, каким способом ее надо решить. И обычно ученик не говорит себе: „Надо решить путем применения известных мне теорем“. Но фактически решение идет именно по этому пути, а мысль о прямом измерении даже не возникает.

У ученика есть, следовательно, „привычная установка“ на решение задачи первым (а не вторым) способом, которая и направляет ход его умственных операций. Она возникает потому, что все предшествующие задачи на вычисление ученик решал путем ряда умозаключений; „подразумевается“, что и эту задачу он должен решать тем же способом. В этом случае привычная установка направляет процесс решения по верному пути1. Но вот наш ученик сошел со школьной скамьи и вошел в жизнь. Жизнь потребует от него самостоятельного измерения значений нужных для решения того или иного вопроса величин, так как в жизненных вопросах эти значения часто, и даже большей частью, не бывают выражены числами, и получить их работник вынужден самостоятельно. Но если у него нет привычной установки самому определять необходимые для решения задачи величины путем измерения, то он с задачей не справится или справится с большим трудом.

Военная практика изобилует примерами именно такого рода. Приведу пример.

Через реку срочно требовалось переправить несколько возов груза в повозках. Под руками, казалось, не было ничего такого, из чего бы можно было сделать мост или плот, если не считать нескольких бревен и пустых железных бочек. И офицер крепко задумался. Но вот подходит другой офицер. Он быстро организует работу по постройке парома из железных бочек и бревен и ... через некоторое время груз на другой стороне реки.

— Как вам помогают ваши знания, полученные вами в средней школе, вот здесь, на войне, в деле скорейшего разгрома врага? — спросил я через несколько дней первого офицера. Офицер подумал и сказал:

— Откровенно говоря, не помогают. Здесь нужна не школьная математика, а находчивость, смекалка.

Я напомнил ему о переправе.

— Какое же отношение имеет пустая бочка к математике, а математика к переправе? — ответил мне офицер. — Ну, физика еще другое дело. Но основное тут, конечно, и не в физике, а в смекалке, как я уже сказал. Просто, он догадался использовать пустые бочки для организации переправы, а я сразу об этом и не подумал.

— Давайте получше рассмотрим эту переправу, — говорю я, — может быть, мы увидим, что тут и математика на нас поработала.

Офицер заинтересовался.

И вот после некоторых простых вычислений мы с ним пришли к заключению, что, опустив в воду 12 бочек и скрепив их в одно целое, мы создадим вполне надежный паром с необходимой нам для перевозки грузоподъемностью.

— Ну, а теперь скажите: можно было браться за устройство парома из бочек с уверенностью в успехе или же работа была начата „на авось“?

Офицер согласился, что после таких расчетов можно было заранее быть вполне уверенным в успехе организуемой переправы.

Многие учителя пытались убедить меня в том, что задача на определение, например, объема непосредственно данной пирамиды, решаемая моими учениками в классе, не может считаться серьезной задачей для учащихся старших классов средней школы, так как для ее решения требуются только очень простые измерения и несложные вычисления, соображать же здесь ученику почти ничего не требуется. Я полагаю, что эти учителя жестоко ошибаются.

Дело в том, что всякая задача, взятая из задачника, представляет собою узко ограниченную проблему. В такой задаче есть все, что необходимо для ее решения, и, с другой стороны, ничего нет лишнего. Данные, и притом лишь те, которые необходимы, выражены числами или буквами, и нет никаких побочных условий, так часто встречающихся в практической задаче, но для решения не нужных. Учащийся, решающий подобную задачу, наперед знает, с какими условиями и данными ему необходимо орудовать: знает, что именно эти, а не другие какие-нибудь условия, и притом все, он должен использовать. Выбирать ему не из чего. В практической же проблеме работник имеет дело с целым рядом условий; одни из них нужны для решения этой проблемы, другие же нет, не говоря уже о том, что численную величину данных он должен определить сам измерением или вычислением. Кроме того, работник самостоятельно должен определить, какие именно данные нужны для решения поставленной перед ним проблемы. С этой точки зрения всякая задача, поставленная перед нами

1 См. „Психология“, под ред. Корнилова, Теплова и Шварца. 1941, стр. 200 и 201.

практической жизнью, представляет собой свои особого рода трудности, лежащие в иной плоскости, чем трудности задачи, взятой из задачника.

Кроме того, последняя почти всегда имеет решение, чего нельзя сказать о практической задаче. Будь, например, в нашем распоряжении вместо 12 бочек только 6, проблема постройки парома оказалась бы неразрешимой. Поэтому можно сказать, что никаким увеличением количества задач, взятых из задачника, нельзя заменить решение практических, жизненных, бытовых проблем.

Спешу оговориться: я нисколько не умаляю роль задачника, но и задачу, взятую из задачника, я стараюсь поставить как проблему, преследующую математическое развитие учащихся, воспитание их математической инициативы. Например, при решении вышеупомянутой задачи (№ 27 § 1 из сборника Рыбкина, ч. 2-я) я не позволю учащимся ограничиться только получением численного ответа, а потребую от них полного геометрического анализа и обоснования решения.

Взаимоотношение опыта и теории выражается и во вполне законном со стороны учащихся желании проверить теорию практикой — законном тем более, что именно в теории они еще не сильны и неопытны. После вывода формулы объема шара и вычисления объема данного шара мы проверяем полученный результат, определяем объем при помощи мензурки. И нужно посмотреть на лица учащихся, чтобы понять, с каким удовольствием они наблюдают за проведением опыта, с какой затаенной тревогой отсчитывают они деления мензурки... Абсолютная тишина в классе. Наконец, радостный возглас: „Правильно!“.

Что же это такое? Недоверие к теории? Нет,— это законное желание учащихся на опыте уверить самих себя в том, что они твердо овладели тем теоретическим багажом, который позволяет им определить объем шара и без мензурки.

Выходы в поле для определения площади данного поля, высоты предмета, объема водохранилища и т. п. — следующий обязательный этап нашей работы по геометрии и тригонометрии.

Не распространяясь, скажу только, что в этих работах я большое значение придаю решению таких практических задач, которые бы заставляли учащихся возвращаться к теории, углубляться в нее и широко ею пользоваться.

Как относятся учащиеся к такому проведению уроков? Я должен сказать, что учащиеся, пришедшие в мои классы из других школ, первое время смотрят на все мои опыты с недоверием как на чудачества, которые попали на урок математики случайно.

Случаи, когда такой ученик, глядя на чертеж треугольника, отношение сторон которого надо вычислить, говорит: .Пусть сторона будет равна 10 см, а угол А = 60°“, на первых уроках геометрии — не редкость. А когда говоришь ему: — Почему же вы сторону берете 10 см, в ней 40 будет. Надо измерить“ — ученик становится втупик и не знает, что делать, хотя перед ним лежит и линейка, и транспортир.

Почему учащиеся удивлены такой постановкой вопроса преподавателем? Мне кажется, что причину таких явлений следует искать в семилетней школе, где учащихся не учат математическому опыту и измерению. И вина здесь не только преподавателей математики — во многом здесь повинны и наши программы, особенно программы V—VII классов.

Программы семилетней школы надо перестроить так, чтобы учащийся, кончая 7 классов, получал на уроках математики законченный, практически необходимый для него цикл знаний и определенные навыки, которые могли бы послужить ему орудием в его повседневном быту.

В самом деле, почему мы в школе учим своих учащихся математике и не учим их применять эту математику на практике?

„Наука, порвавшая связь с практикой, с жизнью, — какая же это наука?“ — говорил товарищ Сталин на Первом всесоюзном совещании стахановцев.

Почему мы думаем, что, например, теорему Пифагора ученик сам не в состоянии изучить, и объясняем ее, а применять эту теорему на практике тот же ученик сумеет научиться и сам?

Применению математики в практике наших учащихся нужно так же учить, как и самой математике, ибо это применение математики не легче изучения самой математики.

Остановлюсь теперь на некоторых вопросах преподавания алгебры.

В алгебре мы часто увлекаемся решением примеров и задач, а сущности математической теории уделяем мало внимания. Один преподаватель X класса мне так и заявил: „Сейчас я делаю упор на то, чтобы научить учащихся решать задачи. Это для них теперь главное, ведь им держать экзамен в вуз ... А теория... Теория это —дело второстепенное“ — и решает задачи. Он взял какой-то дореволюционный задачник для сдающих на аттестат зрелости и решает оттуда замысловатые задачи. А учащиеся удивляются: „Откуда он только такие берет?“ Теории же, если и уделяется внимание, то только для того, чтобы получить нужную формулу. Выводятся, вернее, получаются учителем на доске формулы, а ученики их записывают и запоминают, ибо знают, что это рецепт, который сейчас пригодится для такой задачи, которую предложит учитель и опять-таки скажет: .Такие задачи могут вам предложить на экзамене при поступлении в вуз“.

Так выводится теорема Виета, так выводятся формулы для решения задач на прогрессии, формулы размещений и сочетаний и даже формула бинома Ньютона, хотя в плане и стоит последним пунктом .Разъяснение роли индукции в математике“.

Мне же кажется, что в алгебре недостаточно внимания уделяется индукции. А. Я. Хинчин в своей статье „Роль и характер индукции в математике“ говорит: .. без элемента индукции, т. е. без получения общих заключений на основе частного материала, нет и не может быть научного творчества. Наука начинается там, где мы впервые встречаем обобщение“1.

Зависимость между корнями приведенного квадратного уравнения мои учащиеся сначала подмечают на решении ряда примеров, специально для того подобранных. Затем я записываю на доске уравнения, имеющие такие корни, которое желали бы получить сами учащиеся в результате решения. Затем формулируется теорема Виета. Остается выяснить вопрос: всегда ли так будет?

1 А. Я. Хинчин, Роль и характер индукции в математике, стр. 6.

Вот тут и возникает вопрос о доказательстве теоремы в общем виде.

Чтобы ответить на этот вопрос, мы доказываем теорему для корней приведенного квадратного уравнения, данного в общем виде. К выводу формул прогрессий мы подходим так же, т. е. после предварительного решения частных примеров.

Может быть, ни один отдел алгебры не проникнут формализмом в преподавании так, как учение об отрицательных числах в VI классе. Это обстоятельство приходится считать особенно опасным в виду того, что в VI классе закладываются основные принципы дальнейшего курса алгебры, учащиеся здесь сталкиваются с обобщением понятия о числе и вводят в круг своих знаний новый вид чисел, в дальнейшем находящий широкое приложение.

В печати неоднократно указывалось, что от изучения отрицательных чисел в школе у учащихся часто остается в памяти только одно правило: „плюс на минус дает минус“, „минус на минус дает плюс“, иногда даже без указания действия, к которому это правило относится.

Попытаемся проанализировать те причины, которые заставляют преподавателя относиться формально к изучению этих вопросов в школе. Многие учителя считают, что таких объективных причин две: недостаточно высокий уровень развития учащихся к моменту изучения в школе данной темы и недостаток времени, отведенного на изучение этой глубокой по содержанию темы (20 часов на отрицательные числа в VI классе).

Достаточно ли 20 часов для изучения отрицательных чисел? Достаточно ли подготовлены учащиеся VI класса для восприятия идеи отрицательных чисел?

Мне кажется, что шаблонного ответа, пригодного для всех учителей и для всех школ, здесь дать нельзя. Здесь многое зависит от того, как преподаватель вообще ведет работу. Это зависит от того, насколько формально или неформально велось преподавание математики ранее, в частности, в V классе.

В самом деле, может ли 20 часов (при 3 часах в неделю, это 7 недель, т. е. примерно 1^2 месяца) хватить для изучения отрицательных чисел в VI классе, если учитель раскладывает отдельные темы в курсе математики в отдельные „коробочки“, если он, заканчивая изучение отрицательных чисел, больше к ним не возвращается вплоть до 4-й четверти, когда он начнет формальное повторение всего курса математики? Конечно, нет. Конечно, при таком прохождении отрицательных чисел у учителя нехватит времени; конечно, при такой системе он будет жаловаться на недостаточный уровень развития учащихся.

Основное затруднение здесь заключается не в недостатке часов, а скорее в формальном подходе к изучению отрицательных чисел, в стремлении учителя ограничиться этим строго ограниченным календарным сроком. Однако здесь, по моему мнению, нельзя обойтись без подготовки к этой теме путем предварительного накопления фактического материала и постепенного приобщения учащихся к самой идее отрицательного числа, к понятию направленности величин.

Мне кажется, что предварительную подготовку к изучению отрицательных чисел следует вести уже с IV и V классов.

На решении соответствующим образом подобранных в арифметике задач нужно подготовить учащихся к пониманию цели введения в математику отрицательных чисел, их смысла, т. е. еще здесь, в арифметике, нужно дать возможность понять учащимся идею направленности величин.

Приведем примеры таких задач:

1) У Васи было 7 рублей. Перейдя в V класс, он купил себе у товарища книги: учебник арифметики, который стоит 1 руб. 26 коп., задачник по арифметике — 2 руб., учебник по географии — 1 руб. 80 коп. и учебник истории, который стоит 3 руб. 90 коп. Сколько денег осталось у Васи после покупки этих книг?

Ответ: Он остался должен товарищу 1 руб. 95 коп.

2) Кооператив за два дня — понедельник и вторник—имел 435 рублей прибыли, а за вторник и среду — 550 рублей прибыли. Всего же за эти три дня кооператив получил 1185 рублей прибыли. Сколько рублей прибыли кооператив имел за каждый день в отдельности?

Ответ: В понедельник кооператив имел прибыли 635 рублей, во вторник—200 рублей убытка, в среду — 750 рублей прибыли.

На решении таких задач, разбросанных по различным отделам арифметики, мы не только подготовляем учащихся к сознательному восприятию идеи отрицательных чисел, но и создаем у них необходимую потребность во введении их в повседневный обиход.

Вторая трудность изучения отрицательных чисел детьми заключается в совпадении знака действия и знака числа.

Известно, что в методической литературе были попытки разграничить знаки действия и числа (Агура, Учебник алгебры, Бем, Волков и Струве, Сборник задач и т. д.), с другой стороны, автор методики алгебры С. С. Бронштейн отрицательно относится к этим попыткам, считая, что нет надобности вводить те символы, которые потом будут отвергнуты и в науке не употребляются.

Если подходить к этому вопросу с точки зрения взрослого человека, то это мнение будет правильным. Учитывая же психологию ребенка — ученика VI класса, — вряд ли с этим можно будет согласиться, ибо совершенно ясно, что то, что для нас — взрослых — является излишним, для ребенка может оказаться абсолютно необходимой стадией процесса познания.

Третий пробел, имеющий место в изучении отрицательных чисел, мы видим в следующем:

Как только мы заканчиваем тему „Отрицательные числа“, у нас в дальнейшем ходе нашего преподавания отрицательных чисел ничего не остается, кроме правила знаков, и ничего из этой темы не применяется. В большем ученик не нуждается при нашем преподавании до X класса, и в этом не приходится винить учителей. Этому способствуют наши задачники и учебники. В самом деле, где, в каком разделе алгебры, в решении какой задачи ученику приходится сталкиваться с идеей направленных величин, как только он закончил главу об отрицательных числах? Hигде. Наоборот, учитель, предложивший на испытаниях ученику VII класса такую задачу, где при решении получается отрицательный ответ, и этот отрицательный ответ ученику нужно было истолковать применительно к конкретной действительности (к условию задачи), получил от ОНО порицание за то, что он дает на испытаниях якобы несуразные задачи.

А в результате мы имеем вот что: Ученица IX класса одной из городских школ Е. решает пример № 30 главы XV задачника Шапошникова и Вальцова на арифметическую прогрессию

Дано: d = 1,5; ап -= 45; Sn = 682,5. Найти п и аь Быстро и уверенно ученица решает задачу. Получив для п значения 35 и 26 и для ах минус 6 и 7,5, ученица заявляет:

— Число членов 26, первый член равен 7,5.

— А я что-то вижу — у вас написано: п = 35? — как бы недоумевая, спрашиваю ученицу.

— Да, верно. Для п я получила два значения: п = 35 и п = 26. Но это получилось потому, что для определения п нам пришлось решать квадратное уравнение. Если же мы теперь возьмем для п значение 35, то аг у нас будет отрицательное — минус 6; вот почему я и отбросила это значение л, равное 35.

— Тогда расскажите, почему ах не может быть числом отрицательным?

— Да потому, что а\ — это есть первый член арифметической прогрессии.

Разъясняю ее ошибку. Проверкой устанавливаем, что значения п = 35 и ах = — 6 вполне удовлетворяют условию нашей задачи, и приходим к выводу, что решение задачи: п = 35 и ах — — 6 вполне равноправно решению п = 26 и ах — 7,5.

Нам кажется, что затруднения наших учащихся при решении подобного рода задач не случайны. Эти затруднения являются следствием формализма в преподавании математики, следствием большой абстрактности наших учебников и задачников по математике, результатом отрыва нашего преподавания от практики.

В самом деле, потратив 20 часов на изучение отрицательных чисел в VI классе, ведь мы не решили при этом с учащимися ни одной задачи, в которой отрицательное число или нуль являлись бы искомым значением определяемой величины.

Не решаем мы таких задач в VI классе, как не решаем их и в VII или в VIII классах при решении задач на составление уравнений. Вновь введенных отрицательных чисел мы попросту не применяем впоследствии при решении задач, и если такие числа встретятся где-либо при решении задачи на составление квадратного уравнения, мы отрицательное значение неизвестного отбрасываем, как не соответствующее условию задачи, а то и просто только потому, что оно отрицательное.

В том обилии примеров, которое мы имеем в нашем задачнике по алгебре, мы очень редко встречаем такие примеры, где бы ответом являлось отрицательное число.

Из 369 примеров на решение уравнений в первой части задачника Шапошникова и Вальцова только 13 имеют отрицательные корни. Что же касается задач, то из 193 задач мы не найдем здесь ни одной такой, где бы полученные учащимся в VI классе знания отрицательных чисел пришлось применить или истолковать смысл полученного отрицательного ответа. Больше того, при решении задач на составление квадратных уравнений в задачнике Шапошникова и Вальцова учащимся приходится отбрасывать отрицательное значение неизвестного только потому, что оно... отрицательное, хотя некоторые из задач вполне имеют смысл и при отрицательном значении неизвестного (например задача № 73 главы VIII).

Иначе поступают составители нового учебника по алгебре для неполной средней школы проф. П. С Александров и акад. Колмогоров. В их книге имеются и такие задачи, решение которых приводит к отрицательному ответу. И тут же дается истолкование такого ответа. Нам кажется, что арифметические задачи должны содержать отрицательные числа в равной мере с положительными. В наших задачниках таких задач нет. Их приходится составлять самому учителю. Больше того, нужно не только изучить детей истолковывать смысл отрицательного числа как числа противоположного положительному, но и показать им, что отрицательные числа иногда направляют нашу практику, предсказывают правильный путь решения той или иной задачи.

Пример. Площадь колхозного квадратного поля равна 4 га. Одну сторону этого поля увеличили на 50 м. На сколько метров нужно увеличить другую сторону квадратного поля, чтобы площадь посева увеличить на 0,6 га.

Решение задачи приводит к отрицательному ответу: — 16. Это значит, что другую сторону квадрата надо не увеличить, а уменьшить на 16 м.

Случаи непонимания учащимися отрицательного или нулевого решения не единичны. Мне приходилось наблюдать, как ученик решал задачу и, получив нулевое решение, три раза производил все свои вычисления снова, пытаясь найти в них какую-то ошибку, и даже не пытался проверить совершенно правильно полученное им нулевое решение. Он верил своим вычислениям только тогда, когда их результаты согласовались с его повседневной вычислительной практикой и давали привычные для него ответы. Он не пытается осмыслить этот свой опыт несколько шире, несколько иначе подойти к необычному для него результату и объяснить его с точки зрения широкой математической теории. Вот с этой точки зрения задачи, истолкование которых требует от учащихся математического развития, являются неоценимыми помощниками в деле правильного, неформального изучения теории, и обратно—правильный подход к изучению теории создает средство для уверенного решения таких задач и ясного их понимания (См. по этому вопросу мою статью „Ближе к практике“, журн. „Математика в школе“ № 4 за 1940 год, § 4).

По поводу практики с иррациональными числами приходится сказать почти то же, что было сказано о числах отрицательных. После изучения темы о преобразовании иррациональных выражений мы в задачнике Шапошникова и Вальцова не встречаем задач, в которых данные выражались бы числами иррациональными, или решение которых приводило бы к иррациональному ответу. Это можно сказать как о задачнике по алгебре, так и по геометрии. В итоге — тема, так сказать», „повисает в воздухе“, остается без использования в дальнейших разделах и покрывается тенью забвения.

Учителям в своей работе нужно будет отрешиться от некоторых привычных установок и смелее экспериментировать, глубже изучать психологию ребенка, изучать основы советской педагогики, психологии, методики и дидактики, пользоваться всяким удобным поводом для сближения науки с жизнью. Это наилучший метод борьбы с формализмом знаний, борьбы за сознательное и прочное усвоение основ науки.

ХРОНИКА

Проф. К. М. ЩЕРБИНА

Д. С. ГОНЧАРОВ (Одесса)

В ночь с 29 на 30 августа 1946 г. скончался на 83-м году жизни выдающийся педагог, специалист в области методики математики, пользовавшийся широкой известностью и авторитетом в среде преподавателей математики нескольких поколений, профессор Константин Моисеевич Щербина.

К. М. Щербина родился 1 июля (старого стиля) 1864 г. в городе Прилуках бывшей Полтавской губернии (ныне Черниговской области).

Начальное образование К. М. Щербина получил в прилукской начальной школе и уездном училище; затем окончил прилукскую 6-классную прогимназию, после чего для завершения среднего образования поступил в лубенскую гимназию, которую окончил в 1882 г. с золотой медалью. Высшее образование К. М. получил в Киевском университете, курс которого окончил в 1888 г. со степенью кандидата физико-математических наук, причем кандидатское сочинение написал на тему .Основы символического исчисления“.

По окончании курса в университете К. М. преподавал математику в различных средних учебных заведениях города Киева; кроме того, с 1906 года состоял членом Испытательного комитета по математике при Киевском учебном округе.

Когда в 1906—1907 гг. в Киеве было намечено учреждение Учительского института, то в качестве руководителя этого института была выдвинута кандидатура К. М., который к тому времени уже пользовался вполне заслуженным авторитетом и влиянием в педагогических кругах. После командировки в Москву, Вильно и другие места России, а также заграницу, для изучения постановки педагогического дела, К. М. была поручена в 1909 г. организация Учительского института в Киеве с опытной школой при нем и заведывание этими учебными заведениями, где он нес обязанности директора института в течение 10 лет и преподавал педагогические дисциплины (теорию воспитания и обучения, училищеведение, историю педагогики).

В том же 1909 г. К. М. был избран физико-математическим факультетом Киевских женских курсов преподавателем методики математики. С открытием при Киевском учебном округе в том же 1909 г. Киевских курсов для подготовки преподавателей средней школы К. М. Щербина было поручено ведение занятий на этих курсах, а впоследствии также и исполнение обязанностей декана математического отделения курсов.

Работа в Учительском институте, на Высших женских курсах и на Педагогических курсах продолжалась до 1920 г. В 1920 г. К. М. переехал в Одессу, где в этом же году занял место преподавателя математики на Одесских Фребелевских курсах общества преподавателей, а в октябре того же 1920 г. был избран преподавателем математики в Одесском институте народного образования по факультету Соцвоса (социального воспитания); в 1921 г. ему предоставлена была в Институте народного образования (ИНО) кафедра методики математики на факультете Профобра (профессионального образования). Это место К. М. занимал со званием профессора 1-й группы до 1 октября 1930 г., когда в связи с реорганизацией ИНО назначен был штатным профессором Одесского физико-химико-математического института (ФХМИ), возникшего на базе ИНО, с поручением заведывания кафедрой методики. Кроме того, К. М. вел занятия по математике в Институте социального воспитания (также возникшем на базе ИНО), где работал до июня 1932 г.

После выхода на полную пенсию с 1/VI 1932 г. К. М. продолжал работу в ФХМИ до преобразования его в Одесский государственный университет, где он проводил практические занятия со студентами по методике математики до 1938—1939 учебного года. Таким образом, общий педагогический стаж его 50 лет, а по высшей школе около 30 лет.

Помимо учебной работы, К. М. на протяжении всей своей научно-педагогической деятельности проводил большую организационную работу. Об организации Киевского учительского института мы упомянули выше. Кроме этого, К. М. уделял много времени и труда Киевскому обществу содействия начальному образованию (так называемой народной аудитории) и в качестве члена совета много содействовал его деятельности. Многократно, как до 1917 г. так и после, участвовал в организации курсов для преподавателей различных школ и вел занятия на этих курсах по педагогике и по методике математики. В сентябре 1920 г. К. М. принимал участие в организации Рабочего факультета высшей школы г. Одессы и занял место преподавателя математики на этом факультете, где преподавал до 1 октября 1928 г.

С возникновением курсов повышения квалификации учителей К. М. все время принимал участие в ведении занятий на этих курсах по математике и методике математики. Уже в пре-

клонном возрасте, имея свыше 75 лет, К. М. выезжал в районы Одесской области для докладов учителям начальной и средней школы.

К. М. Щербина состоял членом Физико-математического общества при Киевском университете со времени открытия этого общества, неоднократно выступал с докладами и принимал участие в качестве члена и товарища председателя в его работах; так, он участвовал в выработке проекта учебного плана по математике для средней школы, который отвечал бы современным требованиям математики и педагогики (напечат. в Циркул. Киевского учебного округа, отдельным изданием и в книге К. М. Щербины .Математика в русской средней школе“). С 1925 г. состоял действительным членом Одесской научно-исследовательской кафедры математики, преобразованной с 1 октября 1930 г. в Одесскую филию Украинского научно-исследовательского института математики.

Неоднократно К. М. принимал участие в различных съездах и конференциях специалистов.' Так, например, в 1928 г. К. М. выступал с докладами на Харьковском съезде украинских методистов математики; в апреле 1936 г. делал доклад о педагогической практике по математике на конференции кафедр математики и физики педагогических вузов, в августе того же 1936 г. делал доклад на Киевском съезде преподавателей математики средней школы на тему „Устные упражнения по математике в курсе средней школы“, за что был удостоен премии.

С научно-педагогическими целями К. М. был в заграничных командировках во Франции, Швейцарии, Германии и Австрии в 1897, 1910, 1912, 1913, 1914, 1915 и 1927 гг.

К. М. принимал все время деятельное участие в работах Одесского городского методического кабинета и областного методического кабинета, а впоследствии Одесского института усовершенствования учителей, где неоднократно выступал с докладами по различным вопросам преподавания математики (см. журнал .Математика в школе“ за 1938—1940 гг.), причем многие из этих докладов впоследствии появились в печати.

Перу К. М. принадлежит более 30 печатных трудов. К. М. принимал участие и печатал свои работы в журналах: .Киевские университетские известия“, „Вестник опытной физики и элементарной математики“, .Новый путь“, „Наша школа“, „Коммунистична освгга“, .Математика в школе“, „Советская педагогика“ и в некоторых других изданиях и научных журналах.

Главнейшими работами К. М. являются следующие:

1. „Опыт программы для собирания народных математических сведений“. Изд. Губ. стат. комит., Полтава, 1898 (Относительно этой работы см., между прочим, сборник .Украинский народ в его прошлом и настоящем“ 1916, т. 2, стр. 644.)

2. „Математика в русской средней школе“. Напечатано в .Киевских университетских известиях“, 1908, в .Отчетах Киевского физико-математического общества“ и отдельной книгой, Киев, 1908. Относительно этой работы появились рецензии в „Вестнике опытной физики и элементарной математики“ № 478; в „Педагогическом сборнике“, 1909, № 12; в „Русской школе“, 1909, № 10; в „Библиографическом справочнике по математике“, 1920 и в других изданиях.

3; .О преподавании систематического курса обыкновенных дробей*. Напечатано в „Киевских университетских известиях“ 1911 в „Отчетах Киевского физико-математического общества“ 1911; в „Юбилейном сборнике, посвященном проф. Г. К. Суслову“ и отдельным изданием, Киев, 1911.

4. „Критический обзор программ по математике, выработанных Комиссией при Министерстве Народного Просвещения в 1915 г.“ Напечатано в „Вестнике опытной физики и элементарной математики“, № 658—660 и отдельным изданием, Одесса, 1916, и ряд других.

За последние годы своей жизни К. М. продолжал творческую работу и подготовил к печати ряд работ, среди которых укажем следующие.

1. „Наглядные пособия по математике в средней школе и методика пользования ими“.

2. Методические указания к отделу „Делимость чисел, наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель“.

3. „Слабое место в преподавании логарифмов— погрешности при логарифмических вычислениях“.

4. „Критический обзор программы по методике математики для педвузов, составленной НКП РСФСР“.

5. „Элементы логики в курсе математики средней школы“.

К. М. был чрезвычайно требователен к своим литературным работам и отделывал их с величайшей тщательностью как со стороны содержания, так и со стороны внешней. Всякий, кому приходилось видеть работы К. М. в рукописях, с первого взгляда поражался необычайной их аккуратностью и каллиграфическим выполнением. Те же. кто участвовал с К. М. в коллективных работах или давал свои работы на рецензию или редакцию К. М., знают, что ни одна неудачная фраза, ни одно постороннее слово не ускользали от внимания К. М.

К. М. Щербина очень ценил печатное слово и не раз высказывал мысль, что многое в нашей жизни преходяще, а печатное остается жить.

Основные взгляды К. М. по вопросам преподавания математики изложены в его работе „Математика в русской средней школе. Обзор трудов и мнений по вопросу об улучшении программ математики в средней школе за последние девять лет (1899—1907)“. Киев, 1908.

Эта книга была отмечена С. Бернштейном (ныне академиком) как „книга интересная не только по фактическим материалам, дающим полную картину положения преподавания математики в русской современной средней школе, но и глубоко продуманными взглядами, которые автор предлагает положить в основу будущей школы“.

В 1921/25 учебном году журнал .Наша школа“ (1925 г. № 1—2, стр. 191—192) отметил 35-летний юбилей научно-педагогической деятельности Константина Моисеевича Щербины.

Прошло после этого еще два десятилетия упорной, разнообразной, творческой деятельности К. М. Были воспитаны еще сотни и тысячи учителей, для которых имя К М. стало дорогим, которые поняли, какие великие задачи возлагаются на учителя.

ШКОЛЬНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК ПРИ МОСКОВСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ УНИВЕРСИТЕТЕ им. ЛОМОНОСОВА

В Московском ордена Ленина государственном университете им. Ломоносова, начиная с 1935/1936 учебного года по настоящее время, работает школьный математический кружек.

Предистория. Весной 1935 г. с большим успехом прошла первая в Москве школьная математическая олимпиада. До этого в нескольких московских школах работали кружки, руководимые студентами механико-математического факультета университета. Наряду с этим, при математическом институте Академии наук для школьников читались лекции. К чтению лекций были привлечены крупные ученые — академики и профессора, но эти лекции тем не менее посещались довольно слабо. После того как олимпиада показала большой интерес школьников к математике и, в свою очередь, немало способствовала увеличению этого интереса, стало ясно, что нужно объединить— организационно и территориально— все проводимые мероприятия. Нужно было создать центральный школьный математический кружок. Естественным местом для этого был университет.

Здесь сконцентрированы серьезные научные силы — виднейшие ученые нашей страны, — и в то же время имеется большое количество способных и инициативных студентов-энтузиастов.

Мы уже не говорим об удобном положении университета в центре города.

Организация кружка. Осенью 1935 г. возник университетский школьный математический кружок. Его организаторами были покойный член-корреспондент Академии наук СССР Лев Генрихович Шнирельман, профессор Л. А. Люстерник, доцент (ныне профессор) И. М. Гельфанд, а также студенты-отличники тт. Глезерман и Папуш.

С самого начала работа кружка проходила в двух планах. Два раза в месяц, по выходным дням, профессора университета и института математики Академии наук читали для школьников IX—X классов лекции по различным вопросам элементарной математики. Эти лекции собирали в среднем 200—250 слушателей. К сожалению, приходится констатировать, что преподаватели математики мало посещали эти лекции. Лекции либо не были связаны между собой вовсе, либо в редких случаях объединялись в цикл из двух лекций. Благодаря этому школьник мог понимать любую лекцию, независимо от того, был ли он на предшествующих. И действительно, аудитория от лекции к лекции значительно менялась, и общее число школьников, побывавших хотя бы на одной лекции, оказывалось весьма значительным. Наряду с этим в кружке создавался и свой актив. Каждую неделю 80—100 наиболее интересующихся математикой школьников приходили в университет на занятия секции кружка. Как правило, эти школьники не пропускали ни одной лекции и, помимо работы в секциях, много занимались дома. Были и такие, которые посещали по нескольку секций, как правило это были не лучшие кружковцы.

Организационная структура. Работой кружка руководит бюро кружка из 3—5 студентов или аспирантов с председателем во главе. Бюро формирует секции, договаривается с профессорами о лекциях и проводит информационную и агитационную работу по школам. Руководители секций в подавляющем большинстве (студенты и аспиранты) сами бывшие кружковцы. В организации лекций руководящее участие принимает Московское математическое общество. Самая тяжелая часть работы бюро — это информация школьников. К сожалению, Горпедкабинет ГорОНО, ГорОНО и РайОНО мало помогают кружку в оповещении школьников. Перед каждой лекцией печатаются афиши и извещения. Около 500 афиш рассылается каждый раз по всем школам, где многие из них так и остаются невывешенными. Часть афиш расклеивается на улицах. Кроме того, в каждую школу посылаются извещения — проспекты. Перед началом работы кружка студенты обходят школы и рассказывают преподавателям и школьникам о работе кружка. Для оповещения используются также радио и печать. Несмотря на это, многие школьники лишь перед олимпиадой узнают о существовании кружка.

Лекции. В течение года в кружке читается от 20 до 30 лекций. Каждая лекция продолжается около двух часов. На лекциях излагаются отдельные вопросы математики, доступные школьникам. Перечень названий некоторых лекций лучше всего осветит их тематику.

Построения с помощью одной линейки (проф. Н. А. Глаголев).

Что такое топология (чл.-корр. Акад. наук СССР Л. С. Понтрягин).

Основная теорема алгебры (акад. А. Н. Колмогоров).

Арифметика бесконечного (проф. Н. К. Бари).

Математические методы предсказания погоды (чл.-корр. Акад. наук СССР И. А. Кибель).

Выпуклые фигуры (проф. Л. А. Люстерник).

Геометрия чисел (чл -корр. Академии наук СССР, Л. Г. Шнирельман).

Неевклидова геометрия (проф. Я. С Дубнов).

О многочленах (чл.-корр. Акад. наук СССР, действительный член Академии педагогических наук А. Я. Хинчин).

Комплексные числа (чл.-корр. Академии педагогических наук проф. А. И. Маркушевич).

Простые числа (чл.-корр. Академии наук СССР А. О. Гельфонд).

Алгебраические операции (проф. А. Г. Курош).

Что значит решить задачу (проф. С. А. Яновская).

Почему летает самолет (чл.-корр. Академии наук СССР В. В. Голубев).

Механика движения (проф. H. Н. Бухгольц).

Из более трудных лекций, прошедших с большим успехом, можно отметить такие.

Вывод семи кристаллических систем (чл.-корр. Академии наук СССР Б. Н. Делоне).

Что такое математическая физика (акад. С. Л. Соболев).

Трансфинитные числа — 2 лекции (чл.-кор. Академии наук СССР, действительный член Академии педагогических наук П. С. Александров).

Теория групп и ее приложения к решению уравнения 3-й степени (чл.-корр. Академии наук СССР Л. Г. Шнирельман).

Краткое изложение одной из лекций „О непрерывных дробях“ (проф. Б. И. Сегал) напечатано в № 7 сборника „Математическое про-

свещение“ за 1936 г. и может служить для ознакомления с характером лекции.

Секции. Число секций, работающих одновременно, колеблется от 5 до 10. Каждый год обязательно работают секции геометрии и алгебры. Почти ежегодно устраиваются секции теории чисел, механики, математических этюдов; кроме того, существуют и более специализированные секции: теории множеств, уравнений высших степеней, геометрических построений, теории вероятностей, геометрии круга и т. д. В первые годы основную часть работы секций составляли доклады школьников. Наиболее удачные из них выносились даже на общие воскресные собрания кружка. Вводные доклады делали руководители секций. Школьникам помимо докладов предлагались задачи как на дом, так и для решения на месте. Школьники, справившиеся с задачами, у доски рассказывали их решение.

Опыт т. Шклярского. В 1937/38 учебном году лучшей секцией кружка была секция, руководимая Д. О. Шклярским, погибшим в 1942 г. в партизанском отряде. Работа этой секции значительно отличалась от работы других секций. Опыт этой секции лег в основу всей последующей работы групп школьного кружка. Прежде всего в секции Д. О. Шклярского рассказывал только руководитель. Доклад школьника, знания которого не выходят за рамки рассказываемого им материала, не может не только заменить, но и приблизиться по качеству к рассказу опытного руководителя. Отметим кстати, что руководители секций к каждому докладу готовятся подолгу, используя русскую и иностранную литературу. Отказ от докладов школьников позволил значительно расширить излагаемый на секции материал. В секции Д. О. Шклярского излагались вопросы, которые раньше всегда считались недоступными пониманию школьников (проективная модель неевклидовой геометрии, неразрешимость уравнений 5-й степени в радикалах, трансцендентность 7г и е я т. д.). Самостоятельность школьников однако не пострадала от того, что они перестали делать доклады. Решение задач в секции Шклярского сделалось мощным средством воспитания математической инициативы школьника. Самостоятельные занятия школьника дома состояли теперь не из подготовки к докладу — пассивная форма математического мышления, а из работы над задачами. Наряду с более простыми задачами стали предлагаться проблемы, требующие размышления по нескольку недель и даже по нескольку месяцев. Это, конечно, с лихвой окупило прекращение работы по докладам. Изменение содержания работы секции повлекло и изменение организационных форм. В секциях появились младшие руководители — студенты I—II курса, которые в течение года работали под руководством опытного старшего товарища, помогая ему в подборе и проверке решений задач. К концу года младшие руководители все чаще докладывали сами, с тем, чтобы в следующем году превратиться в самостоятельных руководителей. В результате всех этих перемен число участников секций удвоилось, достигнув 150—200 человек.

Расширение работы кружка. В 1940 г. олимпиада была проведена в два потока: отдельно для VII—VIII и отдельно для IX—X классов. На олимпиаду пришло больше 400 школьников VII—VIII классов. Стало ясно, что необходимо читать лекции для семи- и восьмиклассников и что нужно создать для них отдельные секции. С осени 1940 г. в университете одновременно читаются по 2 лекции — одна для младших и другая для старших школьников. Укажем здесь названия нескольких лекций, читавшихся для школьников VII—VIII классов:

О симметрии (акад. А. Н. Колмогоров).

Простые числа (проф. Б. И. Сегал).

Замечательные кривые (проф. Л. А. Люстерник).

Как изучает математика случайные явления (проф. Б. В. Гнеденко).

Разностные уравнения (чл.-корр. Академии педагогических наук проф. А. И. Маркушевич).

Геометрическая алгебра (проф. А. М. Лопшиц).

С этого же времени в кружке работают отдельные секции для школьников VII—VIII и VIII—X классов. Эти секции обычно не имеют специализированной тематики.

Кружок сегодня. В этом году кружок начинает свою десятую зиму (один год кружок не работал в связи с эвакуацией университета). 6 октября состоялись первые лекции: для IX и X классов чл.-корр. Академии наук СССР проф. Б. Н. Делоне прочел лекцию „Геометрия непрерывных дробей“; для VII—VIII классов проф. А. М. Лопшиц прочел лекцию „Геометрические вычисления“. Эти лекции собрали свыше 500 слушателей.

Работают секции: алгебры (для IX—X классов), геометрии (для IX—X классов), математических этюдов (для IX—X классов), теории чисел (для IX—X классов), общего типа (для VIII—IX классов), геометрии (для VII—VIII классов), общего типа (для VII—VIII классов). В секции записалось свыше 250 человек.

Кружок работает уже 10 лет. Можно подвести некоторые итоги. За это время через секции кружка прошло более 1500 человек. Более 150 из них получили на олимпиадах премии и около 200 — похвальные отзывы. Много кружковцев поступило на механико-математический факультет, где большинство из них училось отлично, целый ряд получал и получает сталинские стипендии. Многие из них теперь уже в аспирантуре. Некоторые из бывших кружковцев успели уже защитить диссертации на степень кандидата физико-математических наук. Свыше сорока научных работ, опубликованных Академией наук С^СР, написаны бывшими кружковцами. Все это говорит о том, что работа кружка— большая и полезная работа.

А С. Кронрод А. М. Яглом И. М. Яглом

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

НОВАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ

В. А. НЕВСКИЙ (Москва)

I ПОЛУГОДИЕ 1946 г.

1. Из истории математики

С. Я. Лурье. Архимед. М. — Л., изд. Академии наук СССР, 1945, 271 стр. с черт, и 15 вкл. л. илл. и карт. Тираж 15000 экз., цена в перепл. 20 р. (Научно-популярная серия. Биографии.)

Живо написанный очерк жизни и научной работы Архимеда на фоне общей истории древней Греции и ее культуры.

Прилож. библиографический указатель (130 назв.).

С. И. Вавилов. Исаак Ньютон. 2-е изд., просмотр, и дополи. М.—Л., изд. Академии наук СССР, 1945,280 стр. с черт, и карт, и 14 вкл. л. илл. порт, и факс. Тираж. 10 000 экз., цена в перепл. 16 р. (Научно-популярная серия. Биографии.)

1-е издание этой книги вышло в свет в самом начале 1943 г. (по поводу 300-летия со дня рождения Ньютона).

Главное внимание обращено в книге на развитие научной работы великого ученого.

Во 2-м издании исправлены некоторые неточности, вкравшиеся в 1-е издание, и сделаны некоторые дополнения на основе новой литературы.

В конце книги дан библиографический указатель (стр. 223—226).

Д. И. Каргин. Гаспар Монж (1746—1818). Биографический очерк. М., изд. Министерства высшего образования СССР, 1946, стр. 9, тираж 1000 экз. Бесплатно.

Краткий очерк жизни и деятельности великого французского математика, основателя начертательной геометрии.

П. С. Александров. Н. И. Лобачевский — великий русский математик. Читано для учащихся средних школ 12 ноября 1945 г. М. „Молодая гвардия“, 1946, стр. 24, в илл., тираж 25 000 экз., цена 1 р. (Ломоносовские чтения.)

Популярный очерк жизни и работы Н. И. Лобачевского; его значение в истории русской культуры и мировой науки; сущность неевклидовой геометрии.

II. Учебные пособия по математике для педучилищ, пединститутов и университетов

А. П. Киселев. Алгебра. Учебник для педагогических училищ. В переработке и с дополн. А. Н. Барсукова. М. — Л., Учпедгиз, 1946, стр. 160, с чертеж., тираж 65 000 экз., цена в папке 3 р. 25 к.

Книга является частью школьного учебника А. П. Киселева, переработанной в соответствии с программой педагогических училищ: добавлен материал, отсутствующий в учебнике Киселева, но требуемый программой; написаны заново некоторые разделы, представляющие трудности для учащихся в прежнем изложении; учебник в известной мере „арифметизирован“, приближен к будущей педагогической работе учащихся педучилищ.

А. П. Киселев. Геометрия. Учебник для педагогических училиш. В переработке и с дополи, проф. Н. А. Глаголева. Утв. НКП РСФСР, М., Учпедгиз, 1945 стр. 108 с чертеж., тираж 100 000 экз., цена в перепл. 2 р. 40 к.

Настоящий учебник геометрии для педагогических училищ представляет собой переработку учебника геометрии Киселева для средней школы, проведенную применительно ко вновь утвержденным программам по геометрии для педагогических училищ.

В. А. Ефремов. Сборник задач по геометрии. Для педагогических училищ. М., Учпедгиз, 1945, стр. 88 с чертеж., тираж 100000 экз., цена в перепл. 2 р.

Сборник содержит около 900 задач: на вычисление (около 700), на доказательство (около 80) и на построение (около 120). Около 15°/о задач предлагается Для устного решения.

Большое число задач требует применения тригонометрии.

Н. П. Тарасов. Курс высшей математики. Для техникумов. (Допущ. ВКВШ при СНК СС6Р.) изд. 4-е., М.—Л., Гостехиздат, 1945, стр. 271 с черт., тираж 50 000 экз., цена 6 р. 50 к.

Книга содержит изложение основ аналитической геометрии и диференциального и интегрального исчислений. Каждая глава сопровождается упражнениями.

Являясь элементарным учебником высшей математики, книга может служить пособием для самообразования.

С.П. Виноградов. Краткий курс высшей математики. Изд. 9-е, переработанное Б. В.

1 Указывается вся вновь выходящая отечественная литература по математике, представляющая интерес для преподавателей математики. Несколько изданий с датой 1945 г. фактически вышли в свет в 1946 г. В дальнейшем такие перечни вновь выходящей литературы по математике будут даваться систематически.

Кутузовым. Утв. НКП РСФСР в качестве учебника для учительских институтов. М., Учпедгиз, 1946, стр. 296 с чертеж., тираж 50000 экз., цена в перепл. 10 р. 80 к.

В настоящем издании „Краткий курс аналитической геометрии и диференциального и интегрального исчислений“ С. П. Виноградова переработан применительно к программе учительских институтов. Опущен материал, не вошедший в программу (кратные интегралы, интерполяция и др.).

Коренным образом переработано введение в анализ, изложение которого в предыдущих изданиях значительно устарело. Также и в других разделах устранены устаревшие концепции.

Ряд глав и параграфов написан заново.

Изменено название книги в соответствии с наименованием этой дисциплины в учебном плане учительских институтов.

А. К. Власов. Курс высшей математики. Изд. 4-е, исправл. Допущ. ВКВШ при СНК СССР в качестве учебн. пособия для высших учебных заведений. М.—Л., Гостехиздат, 1945, тираж 50 000 экз.

Том I. Аналитическая геометрия. Диференциальное и интегральное исчисления. 504 стр. с чертеж. Цена в перепл. 14 р.

Том II. Элементы высшей алгебры. Диференциальное и интегральное исчисления. 531 стр. с чертеж. Цена в перепл. 15 р.

Курс проф. А. К. Власова обладает крупными педагогическими достоинствами. На сравнительно небольшом объеме автор в простой и ясной форме знакомит читателя с основами высшей математики—с аналитической геометрией, диференциальным и интегральным исчислениями и элементами высшей алгебры.

По сравнению с предыдущим изданием книги (М.— Л., Учпедгиз, 1938), настоящее издание в значительной мере переработано (проф. Н. А. Глаголевым, д-ром физ.-мат. наук Д. А. Райковым и др.).

Н. М. Гюнтери Р. О. Кузьмин. Сборник задач по высшей математике. Том I. Допущ. ВКВШ при СНК СССР в качестве учебного пособия для вузов. Изд. 10-е, перераб., М.—Л., Гостехиздат, 1941, стр. 211 с черт., тираж 25000 экз., цена в перепл. 7 р.

В настоящем издании книга существенно переработана. В ряде мест даны общие пояснения к решению задач, иногда даются решения отдельных примеров. Значительно изменено расположение материала.

Формулировка задач сделана более компактной. Вставлено довольно много новых задач, часть задач исключена.

В общем книга сделана более доступной.

О. Н. Цубербиллер. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. Допущ. ВКВШ при СНК СССР в качестве учебника для втузов. Изд. 14-е., М.-Л., Гостехиздат, 1945, стр. 308 с черт., тираж 50 000 экз., цена 8 р. 50 к.

Пособие для студентов первого курса высших учебных заведений, изучающих аналитическую геометрию.

Настоящее издание вышло без изменений по сравнению с 13-м изданием.

Д. К. Фаддеев и И. С. Соминский. Сборник задач по высшей алгебре. Допущ. ВКВШ при СНК СССР в качестве учебн. пособия для университетов и педагогических институтов. М.—Л., Гостехиздат, 1945, стр. 304, тираж 15000 экз., цена в перепл. 9 р.

Предлагаемый сборник задач возник в результате преподавания в Ленинградском гос. университете и Педагогическом институте им Герцена. Сборник предназначен для студентов младших курсов в качестве пособия при изучении основного курса высшей алгебры.

Все примеры и задачи сопровождаются ответами, для части задач приводятся подробные решения.

H. Н. Лузин. Диференциальное исчисление. (Допущено ВКВШ при СНК СССР в качестве учебника для вузов). М. Изд. „Советская наука“, 1946, стр. 451 с чертеж., тираж 50 000 экз., цена в перепл. 19 р.

H. Н. Лузин. Интегральное исчисление. (Допущено ВКВШ при СНК СССР в качестве учебника для втузов.) М. Изд. «Советская наука“, 1946, стр. 379, с чертеж., тираж 50 000 экз., цена в перепл. 17 р.

В основу книги лег учебник известного английского математика Виллияма Грэнвилля, выдержавший у нас 16 изданий с все большими отступлениями от первоначального авторского текста. Согласно программе в книге написаны заново главы о функциях комплексного переменного, криволинейных интегралах, рядах Фурье и приложение (в изложении О. Н. Цубербиллер), посвященное элементам векторного анализа.

А. И. Садов. Теория вероятностей. Под. ред. д-ра математич. наук проф. А. С. Кованько. М.—Л. Военмориздат, 1945, стр. 116 с чертеж., цена в перепл. 11 р. 10 к. Тираж не указан. (Нар. ком. военно-морского флота СССР. Управление военно-морских учебных заведений).

Настоящий курс содержит основные сведения из теории вероятностей и рассчитан на лиц со средним образованием. Все вопросы изложены на базе элементарной математики, за исключением нескольких, требующих знания основ высшей математики.

С. Н. Бернштейн. Теория вероятностей. Изд. 4-е, дополн. (допущ. ВКВШ при СНК СССР в качестве учебного пособия для университетов). М.—Л., Гостехиздат, 1946, стр. 556, тираж 5000 экз., цена в перепл. 18 р. 50 к.

Книга излагает принципы и общие методы теории вероятностей.

III. Монографии и статьи по отдельным вопросам высшей математики

Ученые записки Иркутского гос. педагогического института. Вып. 9. Математика. Физика. Иркутск, 1946, стр. 40, тираж 350 экз., цена не указана.

Имеются 4 статьи по вопросам высшей математики: 1) проф. И. Н. Рукавицын. Некоторые соотношения в ортогональных комплексах сфер (стр. 3—7); 2) доц. А. В. Космаков. Деление отрезка на п равных частей в гиперболической геометрии (стр. 8—13); 3) доц. В. Т. Миронов. О некоторых условиях сходимости дробных интерполяционных формул (стр. 14- 18); 4) доц. В. Васильев. К вопросу об интегрировании систем линейных интегро-диференциальных уравнений (стр. 19—25).

IV. Методика преподавания математики

В помощь учителю. (Институт усовершенствования учителей Кабардинской АССР). Сборник методических статей. Вып. 2. Нальчик, 1945, стр. 180, тираж 2000 экз., цена б р. 30 к.

В этом сборнике имеются 2 статьи по вопросам преподавания математики: 1) статья Д. К. Ульянова „Делимость чисел“ (стр. 97—114) и 2) статья П. Г. Прокопова „Ньютон в средней школе“ (стр. 156—168).

В помощь школе. Методич. бюллетень Наркомпроса и Института усовершенствования учителей Карело-Финской ССР, № 1. Петрозаводск, 1946, стр. 100, тираж 1000 экз., цена 3 р.

В номере имеются две статьи А. Котеловой по вопросам преподавания арифметики: 1) „Наглядность на уроках арифметики в начальной школе“ (стр.60—68) и 2) „Повторение арифметики в VII и X классах- (стр. 69—71).

Наш опыт. Сборник статей педагогов г. Улан-Удэ. Улан-Удэ, Бурят-Монгольское гос. изд., 1945, стр. 101, тираж 2000 экз., цена 5 р. 60 к. (Бурят-Монгольский институт усовершенствования учителей).

В числе других статей в книге помещено 5 статей по вопросам преподавания математики: 1) Т. С. Жбанова. Дробное число или дробь (стр. 35—41); 2) доц. В. Т. Ветров. Проценты (методика преподавания) (стр. 12—51); 3) М. П. Козулина. Устный счет в начальной школе (стр. 77—81); 4) М. П. Хохлова. Сложение и вычитание трехзначных чисел в пределах 1000 (стр. 89—95); 5) доц. В. Т. Ветров. Методика решения арифметических задач в начальной школе (стр. 96—100).

Я. И. Перельман. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. Минск, Союзпечать, 1946, стр. 16, тираж 50 000 экз., цена 1 р.

Наиболее простые способы устного выполнения действий умножения, деления и возвышения в квадрат.

В. Т. Снигирев и Я. Ф. Чекмарев. Методика арифметики. Пособие для педагогических училищ. Изд. 6-е. Утв. НКП РСФСР. М., Учпедгиз, 1946, стр. 368 с илл., тираж 60 000 экз., цена в перепл. 7 р. 25 к.

В настоящем 6-м издании заново переработана глава о решении типовых задач и все содержание приведено в полное соответствие с программой методики арифметики для педучилищ издания 1944 г.

П. А. Ларичев. О письменных работах по математике на аттестат зрелости („Народное образование“, 1946, №№ 1—2, стр. 59—64).

Анализ письменных работ по математике, выполненных учащимися наших средних школ весной 1945 г. во время экзаменов на аттестат зрелости.

М. Ф. Щипова. Работа учителя над усвоением учащимися правильной математической терминологии и фразеологии. „Советская педагогика“, 1946, № 1—2, стр. 94—101.

Из опыта работы в средней школе. Доклад, прочитанный на „Педагогических чтениях“ Академии педагогических наук РСФСР в октябре 1945 г.

V. Пособия для заочников

Программа и методические указания для заочников педагогических институтов. Физико-математический факультет.

Основания геометрии. (Автор методических, указаний Д. И- Перепелкин.) М., Учпедгиз, 1945 стр. 102 с чертеж., тираж 5000 экз., цена 6 р. 20 к. (Управление высшей школы НКП РСФСР. Научно-методический кабинет по заочному обучению учителей.)

Программы и методические указания для заочников педагогических институтов. Физико-математический факультет.

Математический анализ функции многих переменных. (Автор методических указаний С. И. Новоселов.) М., Учпедгиз, 1945, стр. 72 с чертеж., тираж 5000 экз., цена 5 р. (Управление высшей школы НКП РСФСР. Научно-методический кабинет по заочному обучению учителей.)

Программы и методические указания для заочников педагогических и учительских институтов. Физико-математический факультет.

Методика преподавания математики. (Автор методических указаний Н. Г. Зерченинов.) М.—Л., Учпедгиз, 1945, стр. 48, тираж 5000 экз., цена 2 р. 50 к. (Управление высш. школы НКП РСФСР. Научно-методич. кабинет по заочн. обучению учителей.)

Программы и методические указания для заочников университетов и педагогических институтов. Физико-математический факультет. Аналитическая геометрия. (Автор методических указаний С. П. Фиников.) М., Учпедгиз, 1945, стр. 51, тираж ЬООО экз., цена 2 р. 25 к. Управление высшей школы НКП РСФСР. Центральное отделение заочного обучения. Москов. гос. педагогич. ин-та им. Ленина.)

В каждой из указанных 4 книжек предмет разбит на дробные темы и по каждой теме приведена литература (основная и дополнительная).

Разобраны примеры и задачи и даны указания студентам заочникам в помощь при самостоятельной работе.

II ПОЛУГОДИЕ 1946 г.

I. Курсы высшей математики

С. С. Бюшгенс. Аналитическая геометрия. Допущено ВКВШ при СНК СССР в качестве учебника для педагогических институтов. Изд. 4-е, переработанное. М.—Л., Гостехиздат, 1946. Тираж 25000 экз. Часть 1-я, 560 стр., с чертеж. Цена в перепл. 14 р 50 к. Часть 2-я, 318 стр., с чертеж. Цена в перепл. 8 р. 50 к.

Первая часть книги содержит геометрию образов 1-го порядка, вторая—теорию линий и поверхностей 2-го порядка.

В сравнении с 3-м изданием 1939 г., настоящее, 4-е издание значительно переработано (коренным образом перестроена теория линий и поверхностей 2-го порядка).

В книге дано большое количество упражнений и задач, снабженных ответами, а частью и решениями.

H. А. Глаголев. Начертательная геометрия. Допущено ВКВШ при СНК СССР в качестве учебника для физико-математических факультетов государственных университетов и педагогических институтов. Изд. 2-ое, переработанное М. — Л., Гостехиздат, 1946, 171 стр. с чертеж. Тираж 15000 экз. Цена в перепл. 8 руб.

Второе издание книги выходит в значительно переработанном автором и дополненном виде.

H. М. Гюнтер и Р. О. Кузьмин. Сборник зацач по высшей математике. Допущен ВКВШ при СНК СССР в качестве учебного пособия для вузов. Том II. Изд. 10-е, переработанное. М.—Л., Гостехиздат, 1946, 207 стр. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 7 руб.

В предыдущих изданиях авторы книги указывались как ее редакторы.

Том I настоящего издания вышел в свет в начале 1946 г. (с датой 1945 г.)

Вследствие переработки задачник стал более доступным.

А. Г. Курош. Курс высшей алгебры. Допущен ВКВШ при СНК СССР в качестве учебника для государственных университетов и педагогических институтов. М,—Л., Гостехиздат, 1946, 314 стр. с черт. Тираж 25000 экз. Цена в перепл. 10 р. 50 к.

В основу книги лег курс высшей алгебры, читавшийся автором ряд лет в Московском университете.

Основные разделы книги: I. Поля. Комплексные числа. II. Детерминанты. III. Системы линейных уравнений IV. Алгебра метриц. Квадратичные формы. V. Кольцо многочленов над произвольным полем. VI. Многочлены от нескольких неизвестных. VII. Многочлены с числовыми коэфициентами. VIII. Действительные корни многочленов «с действительными коэфициентами.

II. Методическая литература

Б. В. Журавлев. Логическое развитие учащихся. Методическое пособие для учителей с приложением примерных упражнений по курсу математики. Л. Ленгорисполком. 1946. 34 стр. с чертеж. Тираж 1500 экз. Цена 3 руб. (Ленинградский городской институт усовершенствования учителей).

Книжка адресована преподавателям всех предметов начальной и средней школы. Однако помещенные в ней примерные упражнения составлены учителем математики средней школы и вследствие этого насыщены математическим содержанием.

„Известия Академии педагогических наук РСФСР“. Выпуск 4-й. Вопросы методики математики, химии, биологии. (Труды Научно-исследовательского института методов обучения). Изд. Академии педагогических наук. М.—Л, 1946, 203 стр. Тираж 5000 экз. Цена 10 р. 30 к.

По вопросам методики математики в книге помещены 3 статьи:

1) А. Я. Хинчин, О формализме в школьном преподавании математики (стр. 7—20);

2) И. В. Арнольд, Операторное истолкование числа в курсе элементарной математики (стр. 21—36);

3) проф. Н. Ф. Четверухин, Проблема преподавания (стр. 37 — 48).

О повышении качества обучения в V — X классах. О преодолении формализма в учебной работе средней школы. Методические указания (сборник статей). Под ред. Н. Г. Кушкова. Л. Ленгорсовет, 1945, 40 стр. Тираж 3000 экз. Цена 4 руб. Ленинградский городской институт усовершенс вования учителей.

На стр. 15—18 помещена статья И. Я. Депмана „Математика“.

Н. М. Пауткин, проф., Модели геометрических образов с переменными параметрами. Опыт использования моделей в преподавании высшей математики. („Вестник высшей школы“, 1946, № 5-6 стр. 31—33).

Из опыта работы в Казанском политехническом институте. Даны 2 рисунка моделей.

Н. Солнцев. Повторение на уроках математики („Производственное обучение“, 1946, № 8, стр. 16—17).

Из опыта работы ремесленного училища № 3 Тамбовской области.

С. С. Филипповский. Измерение площадей. („Ученые записки Удмуртского государственного педагогического института“, вып. 1; 1946, стр. 122—139).

Краткие сведения из истории учения о площадях в руководствах по геометрии. Современная теория площадей в геометрии. О построении учения о площадях в школьном учебнике геометрии. Учение о площадях в учебнике Н. А. Глаголева.

Проф. Н. Ф. Четверухин. Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии, Утвержд, НКП РСФСР в качестве учебного пособия для преподавателей средней школы. (Научно-исследовательский институт методов обучения Академии педагогических наук РСФСР.) М., Учпедгиз, 1946, 195 стр. с чертеж. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 4 р. 75 к.

Книга содержит следующие главы: I. Проблема изображения пространственных фигур в условиях педагогического процесса. II. Некоторые вопросы геометрической теории проекций. III. О полноте изображений. IV. Параметрическое исчисление неполных изображений. V. Параметрическое исчисление неполных изображений. VI. Услозлые изображения в ортогональной проекции. VII. Практические выводы и примеры.

III. Пособия для заочников педагогических институтов

Программы и методические указания для заочников педагогических институтов. Физико-математический факультет. Математический анализ. (Диференциальные уравнения; автор М. К. Гребенча) М.Учпедгиз, 1946, 51 стр. Типаж 5000 экз. Цена 2 руб. (Управление высшей школы Министерства просвещения РСФСР. Научно-методический кабинет по заочному обучению учителей).

Программы и методические указания для заочников педагогических институтов. Физико-математический факультет. Теория функций действительного и комплексного переменного (автор методических указаний С. И. Новоселов). М., Учпедгиз, 1946, 60 стр. с чертеж. Тираж 3000 экз. Цена 2 р. 40 к. (Управление высшей школы НКП РСФСР. Научно-методический кабинет по заочному обучению учителей).

В методических указаниях для заочников указывается литература по программным темам, даются методические указания по самостоятельной работе заочников рассматриваются образцы решения примеров и задач.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 4 ЗА 1946 г.

№ 61.

Доказать, что

делится на

1-е решение. Обозначим

Требуется доказать, что частное

(1)

является целым многочленом относительно х. Но двучлен

делится на х11 — 1 и хь—1. Следовательно, он делится и на их наименьшее общее кратное, т. е. на

(2)

Значит частное отделения je55 — 1 на выражение (2) есть целый многочлен относительно х. Но это частное как раз и есть выражение (1), т. е.

Положение доказано. 2-е решение.

Сохраняя те же обозначения, найдем

Каждый из двучленов в скобках делится на хъ—1, следовательно, делится и на В. Отсюда Л— В, а, следовательно, и А делится на В.

№ 62.

Доказать равенство:

(1)

Решение. В решениях подобных задач, дававшихся в прежние годы, уже указывалось, что суммирование рядов подобного вида (а также тригонометрических) обычно легко достигается методом математической индукции. Применим и здесь этот способ.

Непосредственно убеждаемся, что при /1 = 1;

при п = 2:

Допустим теперь, что

(2)

Найдем сумму ряда:

Вычтем почленно (1) из (3) (заметим, что выражение (3) имеет на один член больше, и, следовательно, последний член его остается без изменения):

Напишем последний член первым, а в остальных произведем вычитания в скобках. Получим:

или, раскрыв скобки в первом члене:

Итак:

Отсюда:

или, приняв во внимание (2),

Отсюда заключаем, что равенство (1) справедливо при любом (натуральном) п.

№ 63.

Показать, что при п, кратном 3, будем иметь:

Решение. Чрезвычайно быстрое и изящное решение получается путем применения комплексных чисел. Именно, возьмем комплексное количество 1 -f / \/з и возведем его в степень п (п — натуральное число). По формуле Ньютона имеем:

Группируя отдельно действительные и мнимые члены, получим:

(1)

Но при п = 3k имеем:

(2)

Сравнивая (2) с (1), заключаем, что в (1) действительная часть равна ( —2)Л, а мнимая 0, что и доказывает предложенные равенства.

Как уже сказано, решение чрезвычайно просто, но догадаться о применении такого способа при недостаточной тренировке в решении задач с комплексными числами довольно трудно. Некоторым руководящим указанием служит то, что даны одновременно два ряда, причем верхние индексы в них чередуются, как это обычно бывает при возведении в степень комплексных чисел. Напомним хотя бы известный вывод таким же методом формул, выражающих sin пер и cos п <р через степени sin ср и cos <р.

№ 64.

Решить уравнение:

Данное уравнение 3-й степени и потому в элементарной форме может быть решено или путем разложения на множители левой части или при помощи теоремы Безу. Применим оба эти способа.

1-е решение. Раскрыв скобки, получим последовательно:

Вынося за скобки множитель х+1, будем иметь:

Отсюда легко находим:

2-е решение. По раскрытии скобок замечаем, что свободный член уравнения равен —1. Отсюда естественно проверить, не является ли корнем уравнения 1 или —1. Подстановка jcm—1 дает 0, что показывает,что —1 является корнем данного уравнения. Следовательно, по теореме Безу левая часть должна делиться нах+1.

Остальное ясно.

№ 65.

Решить уравнение:

(1)

1-е решение. Согласно обычному способу решения следует прежде всего привести обе функции к одному аргументу. Можно за таковой взять -г-, воспользовавшись формулами для кратных углов:

По этим формулам имеем:

(2)

(3)

Положив для краткости cos = у и сделав подстановку из (2) и (3) в (1), получим

или

Положив здесь у2 = z, придем к уравнению:

(4)

Легко замечаем, что последнему уравнению удовлетворяет z = 1. Отсюда первое решение:

Разделив теперь (4) на z — 1, получим квадратное уравнение:

Откуда найдем:

Но известно, что

(Каждое из этих равенств легко проверить,

X

воспользовавшись формулой cos — =*

Отсюда имеем

и, наконец:

2-е решение. Тот же прием решения может быть значительно упрощен, если привести обе части данного уравнения к аргументу —, а не Для этого преобразуем правую часть по формуле cos1'— =---. Будем иметь:

Умножив обе части данного уравнения, получим:

Отсюда, приводя обе части к аргументу , найдем

или, полагая

Замечая, что у = 1 удовлетворяет уравнению, получим.

Разделив уравнение на у—1< получим квадратное уравнение:

Отсюда

и далее:

Заметим, что оба последних решения можно объединить в одно:

Из сравнения обоих способов видно, какое значение для большей или меньшей сложности решения имеет выбор основного аргумента, к которому приводим остальные. Вообще, как правило, при решении тригонометрических уравнений следует избегать применения формул кратных углов для я>3, так как они приводят к уравнениям высоких степеней.

№ 66.

Показать, что при п четном.

(1)

1-е решение. Учтя замечание к задаче G2, применим метод математической индукции Убеждаемся, что равенство (1) справедливо при п=2 и при л=4. Допустим теперь, что равенство (1) справедливо для какого-либо п. Покажем, что тогда оно будет справедливо и при л+2. Т. е, будем иметь:

(2)

Вычитая почленно (1) из (2), получим:

Но

Следовательно, если верно (1), то верно и (2). Но при п = 2 и п = 4 равенство (1) верно. Отсюда обычный выьод.

2-е решение. В данном случае равенство легко доказывается и другим способом. Именно прибавим к обеим частям (1) одну и ту же сумму

Легко заметить, что в обеих частях получим одно и то же выражение:

что и доказывает требуемое равенство.

№ 67.

Доказать, что

Решение. При a=*b, а также при п=-\ имеем:

Положим теперь, что афЬ и п>1. Применим и здесь метод математической индукции. Убеждаемся, что неравенство имеет место при л=2. Действительно, из очевидного неравенства

(так как (а — &)2>0), получаем

или

Положим теперь, что данное неравенство, которое можно представить в таком виде

(1)

справедливо при некотором п. Докажем, что тогда оно справедливо и при л+1, т. е. что

(2)

Для этого умножим обе части (1) на а-\-Ъ. Будем иметь:

Следовательно, положение будет доказано, если мы докажем, что

Но по сокращении и раскрытии скобок будем иметь:

Но последнее неравенство очевидно справедливо (так как разности а — Ь и ап — Ьп одного знака), что и доказывает требуемое неравенство

№ 68.

Найти число, содержащее только множители 2 и 3 и обладающее тем свойством, что число всех делителей его куба в 7 раз больше делителей самого числа.

Решение. Согласно условию искомое число X имеет вид:

х=2тЗп. (1)

Тогда

хЗ=2*т 33я. (2)

Число всех делителей этих чисел будет

По условию:

(3)

Из (3) следует, что или 3m-f 1 или Зл-f-1 должно делиться на 7.

1. Пусть 3w-f-l = 7f, где г — натуральное число и m = 7к -f а, где я<7. Тогда

Зт+1=21к + 3а+ 1 = lt.

Отсюда заключаем, что За-»-1 должно делиться на 7, что может быть лишь при а=2. Значит m имеет вид

Подставив это выражение в (3), получим:

или

Из (4) определим п. Найдем

Но так как п число целое, то может быть только к = 1. Отсюда

/1 = 3 и m = 7/С + 2 =9.

Искомое число

Jc = 2^. 33 = 13824

2. Так как уравнение (3) симметрично относительно тип, то, очевидно, предположив, что Зп -f- 1 делится на 7, найдем

m = 3 и п = 9. Получим второе решение:

№ 69.

Решить систему уравнений:

(1) (2) (3) (4)

Решение. Понятно, что система решается лишь искусственным приемом, например, так: исключим у, определив его из (1) и подставив в (2), (3) и (4), получим:

или:

(5)

(6) (7)

Заметим, что х не может быть равно нулю так как в этом случае из (1) получаем у=1, и подстановка в (2), (3) и (4) дает несовместную систему:

и - 2; и2 = 5; цЗ=14.

(Так же можно показать, что уФО). Установив это, мы можем разделить (6) и (7) на (5),

получим:

(8) (9)

Итак, имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными, которая после обычных упрощений примет вид:

или

(10) (11)

Положим

(12) (13)

Система примет вид:

(14) (15)

Эта система легко решается подстановкой. Из (14) имеем:

(16)

Подставив из (16) в (15), найдем: л = 4.

Тогда из (16)

m = 3.

Подставив найденные значения m и п в (12) и (13), получим систему

решив которую, найдем

Наконец, подстановка обоих решений в (1) и (2) дает:

В качестве второго приема решения можно было бы дать такое. Умножив (1) на 2, на 5 и на 14, вычтем его соответственно из (2), (3) и (4). Получим систему

Отсюда легко прийти к системе (так как хФО и у Ф 0, как показано выше)

От этих уравнений, составив производные пропорции, придем к системе:

Откуда по сокращении в правой части получим уравнения (8) и (9) первого решения.

№ 70.

Показать, что если A -f- В + С = 90°, то tg*A+tg*B + tg*C>\.

Решение. Если

то

Отсюда

Следовательно, для нашей цели достаточно доказать, что

Но по умножении на два и переносе всех членов в левую часть будем иметь:

или

Но справедливость последнего очевидна. Отсюда следует и заданное неравенство. Знак равенства имеет место при

Л=£ = С=30°. № 71.

Найти рациональные числа, сумма которых равнялась бы сумме их квадратов.

Решение. Условие задачи дает уравнение

которое имеет очевидные решения

Для нахождения остальных решений определим из (1) у в зависимости от х. Получим:

Так как у должно быть рациональным числом, то мы можем положить:

(3)

Отсюда:

Подставив из (3) во (2), получим:

Подставив сюда найденное значение х, получим

Так как уравнение (1) симметрично относительно X и у, то их значения могут меняться местами, и мы имеем, таким образом, следующие системы решений:

где m может принимать любые рациональные значения.

Положив, например, m = -L, будем иметь:

№ 72.

Найти рациональные числа, сумма которых равнялась бы сумме их кубов.

Решение. Решим задачу тем же способом, что и предыдущую. По условию имеем:

Очевидными решениями будут.

где m — любое рациональное число.

Для нахождения остальных решений сократим (1) на X-\-у (что мы можем сделать, так как случай X -\-у — 0 нами уже предусмотрен первым решением из приведенных в таблице), получим уравнение:

*a — ху+у*—1. (2)

Определим из него у:

(3)

Так как у должно быть рациональным числом то мы можем положить:

j/4 — 3*2 = 2 — тх. (4)

Отсюда:

или:

Подставив это значение х в (3), найдем

И здесь следует принять во внимание симметричность уравнения относительно х и у.

№ 73.

Найти два числа, зная их разность (66) и общее наименьшее кратное (360).

Обозначив искомые числа через M и N, à их наибольший общий делитель через d, мы можем написать:

M = xdt N=yd, (1)

где X и у — взаимно простые числа. По условию имеем:

M — N = xd —yd = 66; MN = 360rf,

или

(X — y)d = 66; xyd = 360. (2)

Так как x и у числа взаимно простые, то d является наибольшим общим делителем чисел 56 и 360.

Отсюда

d = 6.

Подставив в (2), получим:

Решив эту систему, найдем: X = 15; у - 4, и, следовательно:

M = 90; iV = 24.

№ 74.

Определить в целых числах стороны треугольника периметр и площадь которого выражаются одним и тем же иелым числом.

Решение. По условию имеем:

V Р(р-а)(Р-Ь)(р-с) = 2р,

или, введя обозначение

Р — а = X, p — b — y; p — c = z, (1)

получим:

xyz = 4(x + у-h 2). (2)

Исследуем уравнение (2). Прежде всего установим, что X, у и z не могут быть равны между собою, так как в этом случае из (2) имеем:

л* = 12дг,

и X не может быть рациональным числом.

Положим теперь, что равны между собою какие-либо два из неизвестных jc, v, z. Допустим, например, что х = у. Тогда из (2) имеем:

Откуда:

При этом, так как z — число целое, должно быть

je2 —4<8лг.

Решив это неравенство, найдем х<9.

Но при лг = 3, 4, 5, б, 7, 8 не получается целых значений а, Ъ и с.

Таким образом, треугольник может быть только разносторонним. Не нарушая общности, мы можем положить:

x>y>z.

Заметим еще, что z не может быть больше 2. Действительно, если z = 3, то у ;> 4, х > 5, и подстановка в (2) дает

5.4.3>4(5 + 4 + 3),

и при больших значениях z неравенство будет только усиливаться.

Отсюда следует, что испытанию подлежат лишь значения

z = 1 и z = 2.

1. Пусть 2 = 1. Из (2) имеем:

Подставив z = 1, получим

Целые значения для х получаются в случаях:

у = 5; X — 24

у = 6; X - 14

у = 8; лг= 9

При больших значениях j/ будет уже лс <дг, что противоречит предположению.

Вычислив из (1) стороны, получаем три треугольника, удовлетворяющих условию задачи

2. Пусть z — 2. Тогда из (2) имеем:

Целые значения для je получаются в случаях:

(при больших у получаем *<0). Получаем еще два треугольника

Итак, имеем всего пять треугольников, удовлетворяющих условиям задачи.

№ 75.

Построены: 4-угольник, 5-угольник, 6-угольник и т. д.

Число диагоналей во всех многоугольниках 800. Сколько построено многоугольников?

Решение. Пусть число многоугольников равно X. Тогда последний многоугольник будет иметь X 4- 3 стороны. Число диагоналей в многоугольнике выражается формулой:

Давая здесь п значения 4, 5, 6,,.., х + 3, получим по условию:

(1)

или

(2)

Но по известным формулам:

Следовательно, уравнение (2) мы можем переписать в виде:

или

После обычных упрощений, получим:

(3)

Преобразуем левую часть:

Итак, имеем:

(X - 15) (jc2 + 2Lt + 320) = 0. (4)

Уравнение (4) дает одно действительное значение для ху именно

№ 76

Определить сторону равностороннего треугольника, если расстояния некоторой внутренней его точки от вершин равны a, b и с.

Решение. Обозначив искомую сторону через лг, данную точку через О и угол ВАО через а, из ЬАОВ найдем:

откуда:

(1)

черт. 1,

Таким же путем из А АОС найдем:

Делая сюда подстановку из (1), получим:

(2)

Возводя (1) и (2) в квадрат и складывая, получаем уравнение

которое после упрощений представится в виде:

(3)

Решив это уравнение, получим:

(в предположении, что а > 6 > с, что не уменьшает общности).

Для действительности корней необходимо:

4bW — (а< — с2)2 > О,

откуда:

2&с>а2__&2__С2 (Ь + с)2>а2 b + c>at

т. е. отрезки a, b и с должны быть заданы такими, чтобы из них можно было построить треугольник.

№ 77

Четырехугольник пересечен окружностью так, что на всех его четырех сторонах получились равные хорды. Доказать, что суммы противоположных сторон четырехугольника равны.

Решение. Задача решается чрезвычайно просто. Так как равные хорды одинаково удалены от центра, то, значит, перпендикуляры, опущенные из него на все 4 стороны, равны.

Следовательно, в четырехугольник можно вписать окружность, а такие четырехугольники, как известно, и обладают свойством, заданным в задаче.

№ 78.

Определить стороны прямоугольного треугольника, зная, что сумма гипотенузы и одного из катетов на 12 больше другого катета.

Пусть X, у и z означают катеты и гипотенузу искомого треугольника. Тогда по условию имеем:

y + z = x+l2, (1)

x*+y* = z*. (2)

Исключив отсюда г, получим:

12*— \2у — ху + 72 = 0 (3)

Определим из (3) х:

(4)

Так как х должно быть числом положительным, то имеем неравенства:

6<Л><12.

Давая у допустимые значения 7, 8, 9, 10, 11, получим следующие решения:

№ 79.

В шар радиуса R вписан правильный тетраэдр, в него—шар; в этот шар—снова тетраэдр и т. д. Найти предел суммы поверхностей и объемов (отдельно): 1) всех шаров, 2) всех тетраэдров.

Решение. 1) Центр правильного тетраэдра находится на его высоте на расстоянии JL ее от основания. Но отрезки этой высоты служат радиусами описанного и вписанного шаров, из которых, следовательно, первый в 3 раза больше второго. Отсюда каждый из построенных шаров имеет радиус, втрое меньший предыдущего. Значит, будем иметь для поверхностей ряд:

и для объемов ряд:

По формуле для предела суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии будем иметь :

2) Обозначив длину ребра первого тетраэдра через а, будем иметь для его поверхности и объема, как легко вычислить:

Выразим сторону а через R. Высота тетраэдра равна (элементарные вычисления опускаем)

С другой стороны, как мы видели выше,

Отсюда находим:

и, следовательно:

Так как ребра вписанных тетраэдров пропорциональны радиусам шаров, то ребро каждого тетраэдра будет втрое меньше предыдущего и мы опять получаем прогрессии со знаменателями — и — , откуда легко найдем:

№ 80.

Отрезок ВС*=*а движется своими концами по сторонам угла А; найти геометрическое место центров окружностей, описанных около треугольника ABC*

Решение. Возьмем какое-либо одно из положений отрезка ВС = и.

Из треугольника ABC имеем:

Так как а и А - данные постоянные величины, то и R=AO является величиной постоянной. Следовательно, геометрическим местом центров будет окружность радиуса R= 2 sin Л описанная из А: как из центра.

ЗАДАЧИ

21. Велосипедист совершил поездку из А в В и обратно. путь состоял из ровных (горизонтальных) участков, подъемов и спусков. На ровных участках он ехал со скоростью 12 км в час, на подъемах S км и на спусках 15 км. Из А в В велосипедист ехал 5 ч., из В в А 4 ч. 39 м. Определить общую длину подъемов и длину спусков, если горизонтальная часть пути составляет 28 км.

Дать арифметическое и алгебраическое решение,

22. Доказать, что если — 1, а, ß,..., X являются корнями уравнения х2п 1 + 1 = 0, то

(1—«)(1—Л)= 1

(п — натуральное число).

И. Танатар (Москва)

23. Точками Е9 F и D каждая из сторон треугольника ABC разделена в отношении т: п.

Найти отношение площади треугольника, образованного прямыми АЕ, BF и CD к площади данного треугольника.

И, Танатар (Москва)

24. В центре квадратного участка земли требуется вырыть котлован цилиндрической формы с радиусом в 4 м. Вырытую землю нужно разбросать ровно по остальной поверхности участка (с той же плотностью). Определить с точностью до 1 см до какой глубины нужно рыть, чтобы котлован получился глубиной в 1,25 м.

25. Найти два числа А и В, зная их сумму 667 и частное от деления их ОНК на ОНД, равное 120.

26. Найти натуральное число N, имеющее нечетное число делителей, зная, что если разделить его на 39, то в частном получится простое число и в остатке 1.

27. Найти все четырехзначные числа, делящиеся на 13, сумма цифр которых равна 13.

И. Танатар (Москва)

28. Велосипедист выехал из А в В и ехал с постоянной скоростью 20 км в час. Когда он проехал 8-—км, его нагнал автомобиль, вышедший из А на 15 мин. позднее и шедший тоже с постоянной скоростью. После того, как велосипедист проехал еще 25 км, он встретил автомобиль, уже возвращавшийся из В, где он стоял полчаса. Найти расстояние между А и В. Решение арифметическое.

29. Показать, что ни в какой арифметической прогрессии с рациональными членами произведение четырех последовательных членов не может быть точным биквадратом.

30. Решить уравнение:

л:*+ 2л:3-|-4*2 + 2jc + 3 = 0.

31. вычислить сумму:

не прибегая к таблицам.

32. Определить угол равнобедренного треугольника, в котором высота вдвое больше биссектрисы угла при основании.

33. Доказать тождество

cos 2а -f- cos 2ß -f- cos 2т -f- cos 25 = =4 (cos а cos ß cos y cos 5 — sin а sin ß sin 7 sin 5)

при условии, что <x-|-ß--|-7-r-& = 0.

34. Доказать, что при неравных а, Ь и с

35. Теорема Марлея.

Все углы треугольника ABC разделены на три равные части прямыми е, е1; т, т1; п, п1. Точки пересечения прямых е1 и т\ тх и п\ п1 и е обозначаем соответственно Р, Q, R. Доказать, что àPQR правильный,

36. Треугольник ABC двигается на плоскости таким образом, что две его стороны AB и ВС все время касаются двух постоянных окружностей. Доказать, что сторона АС треугольника тоже все время касается некоторой окружности.

37. Используя все цифры от 1 до 9, составить три трехзначных числа с наибольшим или наименьшим возможным произведением.

38. Построить треугольник, зная на плоскости положение трех точек, являющихся центрами квадратов, построенных на сторонах треугольника и расположенных вне треугольника.

39. Доказать, что прямые, соединяющие каждую из вершин четырехугольника с центром тяжести треугольника, образованного тремя остальными вершинами, пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 3:1.

40. Из каждой вершины квадрата как из центра проведена окружность радиуса, равного стороне квадрата. Доказать, что фигура, полученная в пересечении четырех кругов, может вращаться внутри правильного треугольника так, что все время каждая из сторон треугольника будет иметь одну общую точку с периметром фигуры.

СОДЕРЖАНИЕ

Научно-популярный отдел

B. В. Немыцкий — Понятие множества в современной математике......» 1

Из истории математики А. П. Юшкевич — Математика и ее преподавание в России XVII—XIX вв. . . . 11

Методика

C. В. Филичев — Приближенные вычисления в курсе арифметики....... 22

С. И. Новоселов — К вопросу о тождественных преобразованиях....... . 25

Сш Н. Андреев Черчение в VI классе .................. 2&

Н. А. Меделяновский — О преподавании стандартного шрифта в средней школе 36

Из опыта

С. М. Чуканцов — Мой опыт борьбы с формализмом в преподавании математики 44-

Хроника

Д. С. Гончаров— J Проф. К. М. Щербина |................. 52

A. С. Кронрод, A.M. Яглом и И. М. Яглом—Школьный математический кружок при Московском государственном университете им. Ломоносова.......54

Критика и библиография

B. А. Невский — Новая литература по математике............... 56

Задачи

Решения задач, помещенных в № 4 за 1946 г.................. 60

Задачи.................................... 70

Главлит № А—02786 Заказ № 5856

Тираж 20000 экз.

Редакционная коллегия: Ответственный редактор А. И. Барсуковг Зам. ответственного редактора С. И. Новоселов

Члены редакционной коллегии: Ю. О. Гурвиц. В. В. Немыцкий. А. П. Садиков. Н. Ф. Четверухин.

Технический редактор В. Н. Сморгонская

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6. Учпедгиз Министерства просвещения РСФСР

Подписано к печати 31/Ш 1947 г. Печ. л. 4,5 Учетно-изд. л. 8,10 Печ. зн. в. 1 п. л. 72 000. Цена 4 р. 50 к.

Типография Ms 2 Управления издательств и полиграфии Ленгорисполкома

ОТ РЕДАКЦИИ

1. В статье М. Зарецкого „Кружок математической смекалки“ (N? 2—1946 г.) неверно указано число 36^б+4^:(2—1) как наибольшее число, которое можно составить из шести первых натуральных чисел при помощи шести алгебраических действий: так числа 56(4+3) и 46^5+3^ больше чем 36(5+4)^

В той же статье на стр. 51 стр. 19 снизу вместо 50 должно быть 502.

2. В № 4 журнала за 1946 г. в статье В. Севбо „Историческое развитие и современная научная трактовка понятия функциональной зависимости" на стр. 14 знаменитый ученый Дирихле ошибочно назван французским математиком. Петер-Густав Лежен-Дирихле (1805-1659) был преемником Гаусса по Геттингенской кафедре (Германия).

3. В № 5—6 в решении задачи № 21 в левых нижних клетках квадратов согласно самому решению вместо 23 и 8 должно быть соответственно 28 и 256.