МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

1

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКВА 1947

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 1 1947

ЯНВАРЬ—ФЕВРАЛЬ

О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ1

Проф. А. И. МАРКУШЕВИЧ (Москва)

1. В сложном комплексе вопросов формирования работника любой профессии вопрос о литературе по его специальности играет чрезвычайно важную, если не решающую роль. В своей чисто деловой, конкретной форме (а только в такой форме вопрос этот имеет право на внимание) он требует выяснения следующих обстоятельств:

а) каков объем и характер уже имеющейся литературы;

б) каковы ее пробелы;

в) какими путями и в какой последовательности должны восполняться эти пробелы.

Мы далеки от мысли дать здесь исчерпывающие ответы на поставленные вопросы. Наша задача скромнее — подчеркнуть принципиально важные моменты и сделать несколько конкретных предложений, которые, по нашей мысли, должны осуществляться издательствами при участии АПН. Естественно, что мы останавливаемся при этом лишь на литературе по нашей специальности—математике, хотя и полагаем, что ряд предложений, mutatis mutandis, применим к литературе и по другим дисциплинам.

2. Во всем дальнейшем мы исходим из убеждения, что подготовка специалиста не заканчивается вместе с окончанием им высшего учебного заведения. Составители учебных планов и программ для вузов нередко забывают об этом. Иначе трудно объяснить перегруженность учебных планов и программ всем тем, что вообще следовало бы знать специалисту. А сколько еще остается обойденных вопросов, не нашедших себе места в программах, и даже целых дисциплин, не вошедших в учебный план! Возражая тем из профессоров и преподавателей втузов, которые полагают, что они готовят „не инженеров-учеников“, а „готовых“ инженеров, которых можно было бы прямо со школьной скамьи послать на завод в любой цех или в любое конструкторское бюро на соответственную самостоятельную должность, покойный А. Н. Крылов, сам крупнейший инженер, педагог и ученый, говорил: „Достижимо ли это? Я прямо скажу: нет, не достижимо, ибо это противоречит афоризму Козьмы Пруткова и равносильно желанию „объять необъятное“.

Никакая школа не может давать готового инженера, руководителя цеха или самостоятельного конструктора, но она обязана дать основные познания, основные принципы, некоторые основные навыки и, кроме знания, еще и умение прилагать знания к делу; тогда сама заводская практика будет для него непрерывной в течение всей его жизни

1 В основу настоящей статьи положен доклад, прочитанный на январской сессии Академии педагогических наук РСФСР.

школой, в которой он не впадет в рутину, а с каждым годом будет совершенствоваться и станет инженером — руководителем производства или истинным конструктором-новатором в своем деле“.

Мы полагаем, что суть этих слов полностью применима и к делу подготовки учителя. Мы за широко и разносторонне образованного учителя, умеющего смотреть на свой предмет с „высшей точки зрения“, т. е. с точки зрения современной науки, знакомого с выходами в смежные дисциплины, хорошо знающего историю развития своей науки. Но мы не согласны с тем, чтобы вся сумма этих требований, в их полном объеме, предъявлялась к выпускнику педвуза, к учителю-ученику (перефразируя слова А. Н. Крылова). Такая точка зрения выдвигает самообразование на одно из первых мест в процессе формирования учителя. Эта же точка зрения позволяет значительно шире и глубже подойти к вопросу о специальной литературе для него. Ведь если формирование специалиста есть непрерывный процесс, продолжающийся не четыре только года, но десятилетия, то процесс этот может иметь свой план, пусть пока неписаный, далеко раздвигающий рамки официальных планов, и свои „учебники и учебные пособия“, исчисляемые сотнями, не скованные программными и экзаменационными требованиями. Вот о таких-то „учебниках и учебных пособиях“ в широком смысле мы и намерены здесь говорить.

3. Литературу по специальности для учителя средней школы нельзя ограничивать пределами какой-либо особо создаваемой для него серии. Специальные серии, библиотечки и библиотеки учителя создаются и должны создаваться. Но они не что иное, как ручьи, вливающиеся в русло отечественной специальной литературы, обогащающие ее, но не наполняющие. Между тем потребности учителя средней школы в литературе по своему предмету столь широки и многообразны, что для их удовлетворения необходимо все богатство этой литературы. Конечно, монографии, трактаты и журналы, рассчитанные на специалиста, научно работающего в определенной области современной математики, как правило, не найдут себе места на полках библиотеки учителя. Но с этой существенной оговоркой, вся русская математическая литература, непрерывно и своевременно пополняемая переводами лучших заграничных новинок, а в качестве дальнейшего пожелания и сами заграничные новинки,—все это должно быть в поле зрения учителя математики. Для того чтобы облегчить ему пользование названными богатствами, необходимо подготовить и выпустить в свет путеводитель по математической литературе для учителя средней школы.

Путеводитель должен давать обзор русской литературы по математике и методике ее преподавания как современной, так и наиболее актуальной из ранее издававшейся, включая и дореволюционную литературу. Обзор этот должен вестись по основным разделам (общие вопросы, литература по элементарной математике, включая учебники и учебные пособия, литература по методике преподавания, математические развлечения и игры, история математики и биографии знаменитых математиков, алгебра и теория чисел, анализ, геометрия, теория вероятностей и математическая статистика, таблицы и справочники) и включать в себя подробные аннотации всех важнейших книг, брошюр и журналов, а также отдельных наиболее замечательных журнальных статей. Как правило, здесь должно рассматриваться все лучшее в своем роде, но совершенно необходимо также помещать подробный критический разбор некоторых неудачных, устаревших или неприемлемых для нас сочинений, имеющих хождение среди части учительства. По нашему мнению, этот путеводитель мог бы включать в себя также критические аннотации наиболее значительных и интересных для учителя произведений зарубежной литературы, еще не переведенных на русский язык. Предварительный просмотр литературы показывает, что путеводитель мог бы ограничиться обзором 400—500 книг, брошюр и статей. Примерный объем его 15—20 авторских листов. Задачу составления такого путеводителя следует взять на себя Академии педагогических наук, а в ней—Институту педагогического образования.

4. Указанный путеводитель, удовлетворяя своему прямому назначению, ока-

жет при этом и немаловажную косвенную услугу. Именно он поможет выявить пробелы нашей литературы, напомнит о книгах, незаслуженно забытых и ждущих переизданий, обратит внимание на зарубежные сочинения, достойные перевода на русский язык. Таким образом, смотр того, что уже имеется, должен будет содействовать составлению пятилетнего плана изданий в области математической литературы (включая методическую литературу). Эта работа по составлению плана должна вестись параллельно первой тем же Институтом педагогического образования. Не предполагая здесь излагать такой план, хотя бы в схематическом виде, мы остановимся лишь на некоторых предложениях.

Одним из важнейших, хотя и весьма нелегких дел, представляется нам создание авторитетного „Математического словаря“. Если оставить в стороне некоторые книжки и брошюры, составленные без должной компетенции и не выдерживающие поэтому серьезной критики, то на русском языке можно упомянуть лишь совершенно устаревший и к тому же оставшийся незавершенным словарь акад. В. Я. Буняковского. Первый том этого сочинения под названием „Лексикон чистой и прикладной математики“ вышел в 1839 г. Он включал французские математические термины от А до D, переведенные на русский язык и подробно истолкованные. В бумагах покойного академика найдены материалы на буквы от Е до L включительно, но они так и остались неразработанными. Для нашего времени, когда уже давно сложилась богатейшая русская научная терминология, попытка Буняковского имеет лишь исторический интерес. Не следует забывать, однако, что его работа немало способствовала выработке отечественной математической терминологии.

В нашем предложении мы имеем в виду создание двухтомного словаря, объемом в 120—150 авторских листов, охватывающего около 2000 терминов (включая имена знаменитых математиков), расположенных в алфавитном порядке. Словарь должен давать ясные, отчетливые, доступные и вместе с тем высоко научные характеристики основных математических теорий, идей и методов, объяснения терминов, а также биографические сведения о крупнейших математиках, ученых и преподавателях, как умерших, так и ныне живущих. Статьи и заметки должны сопровождаться основными библиографическими указаниями. В случае наличия различных толкований того или иного термина или различных оценок определенного приема (чисто математического или методического) словарь должен, как правило, рекомендовать определенное толкование или прием в качестве наилучшего, с соответствующей мотивировкой. Таким образом, издание это должно быть не только справочным, но и нормативным.

Работа над подобным словарем сложна и ответственна. Но она будет осуществляться не на пустом месте. Здесь можно отчасти использовать материалы и опыт (как положительный, так и отрицательный), накопленный в работе над разделами математики в Большой, Малой и Краткой советских энциклопедиях, а также в „Физическом словаре“ и „Технической энциклопедии“. За подготовку этого капитального издания берется Государственное издательство технико-теоретической литературы. Пока разработан подробный словник. Для руководства изданием приглашается акад. А. Н. Колмогоров.

5. Столь же важным и не менее трудным делом является создание „Энциклопедии элементарной математики“. Мы имеем в виду здесь обширное сочинение, рассчитанное на 5—6 томов, листов по 40 в каждом, дающее в руки учителю исчерпывающее, систематическое и построенное на современной научной основе изложение элементарной математики, включая ее важнейшие приложения, историю и методику преподавания. Трудность подобного начинание вряд ли возможно переоценить. Сочинения такого рода подготовляются в течение многих лет трудами людей, целиком отдающих себя этому делу. V нас пользовалось большим успехом переводное сочинение Вебера и Велльштейна „Энциклопедия элементарной математики“. В известном издательстве „Mathesis“, имеющем большие заслуги в русском книжном деле, оно появлялось несколько раз (правда, не полностью—два тома из трех). Попытку переиздать его сделал в середине двадцатых годов Госиздат (вышел первый

выпуск первого тома). При всех своих научных и литературных достоинствах сочинение Вебера и Велльштейна вряд ли оправдывает название „Энциклопедии элементарной математики“. Оно мало пригодно для наведения справок как по характеру изложения, так и по объему охватываемого материала. Первый том, принадлежащий перу Вебера, дает более или менее равномерно основной материал из арифметики, алгебры и анализа, далекий, впрочем, от исчерпывающей полноты, даже с точки зрения преподавания в начале двадцатого века, когда книга впервые появилась. Во втором томе, посвященном геометрии, написан ном Велльштейном и Якобсталем, выбор материала в значительной мере подчинен субъективным вкусам авторов. Вся книга в целом к нашему времени устарела, а попытка модернизации ее, предпринятая в 20-х годах в Германии (Эпштейном), лишь утяжелила книгу и отодвинула ее от запросов учителя и школы. Вот почему мы считаем, что на этой книге следует теперь поставить крест. При работе над новой „Энциклопедией элементарной математики“ можно будет иметь в виду более свежую итальянскую энциклопедию элементарной математики, рассчитанную на 3 тома (6 больших книг).

В нашем распоряжении находятся два тома, посвященные арифметике, алгебре и анализу (I том) и геометрии (II том). Третий том должен быть посвящен прикладной математике, истории и вопросам преподавания. Энциклопедия эта, строго говоря, является энциклопедией всего того, что необходимо знать учителю математики в своей специальности, так что ее можно было бы охарактеризовать как энциклопедию „педвузовской“ математики. Именно такую книгу мы и имеем в виду создать у нас. Впрочем, мы хотели бы ее сделать более доступной, снабдить основные предложения подробными доказательствами (в итальянской энциклопедии доказательства иногда только намечены, иногда опускаются вовсе). Разумеется, что имея в виду математический материал итальянской энциклопедии, нужно будет вытравлять из нее дух итальянского национализма, выраженный в этом сочинении довольно явственно, а также реакционную философию ее авторов. Ставя на очередь вопрос об издании нашей „Энциклопедии элементарной математики“, мы должны признаться, что не имеем пока в виду определенного коллектива ученых-авторов, которые взялись бы за этот труд. Быть может, работа над „Математическим словарем“ поможет выделить такой коллектив.

6. Почетное место на полках библиотеки учителя должны занимать комплекты математических журналов. Начиная с этого года, Учпедгиз возобновил издание „Математики в школе“, журнала преимущественно методического, весьма ценимого нашими учителями. Но наряду с ним необходим по крайней мере еще один журнал, который мы условно назовем „Журналом элементарной математики“. Прообразами такого журнала у нас в дореволюционной литературе могут служить, с одной стороны, журнал „Физико-математические науки в их настоящем и прошедшем“, издававшийся с 1885 г. в Москве В. В. Бобыниным, с другой—„Вестник опытной физики и элементарной математики“, выходивший с 1886 г. в Киеве, а с конца 1891 г.—в Одессе. В советское время можно было бы указать непериодические сборники под названием „Математическое просвещение“ (общим числом 14), издававшиеся ОНТИ.

Программа журнала, некоторым образом суммирующая программы указанных изданий, мыслится нами в следующем виде:

а) статьи и обзоры, знакомящие в доступной форме с основными идеями и результатами современной математики и ее приложениями к естественным наукам и технике;

б) статьи по истории математики, биографии знаменитых математиков, избранные места из классических произведений математической литературы, снабженные комментариями;

в) математика и теория познания диалектического материализма;

г) специальные вопросы элементарной математики и пограничные с ними вопросы высшей математики;

д) статьи по методике преподавания математики, преподавание за рубежом;

е) критика и библиография;

ж) задачи и темы для кружков;

з) хроника и personalia (деятельность академий, ученых обществ, съездов и отдельных лиц, имеющая значение для математических наук и их преподавания; юбилеи; некрологи);

и) консультация (ответы на письма читателей).

Именно такой журнал мог бы осуществлять живую и гибкую связь между преподавателем математики средней школы и современной научно-педагогической мыслью.

К сожалению надо заметить, что небольшие работы по вопросам элементарной математики и смежным с ней вопросам, имеющие характер журнальных статей, как правило, негде помещать. Они не подходят для таких журналов, как „Доклады Академии наук“, „Математический сборник“, „Известия Академии наук“ (серия математическая) и др., рассчитанных на „высокую“ науку. Но для этих работ нет места и в „Математике в школе“, помещающей, за отдельными исключениями, лишь статьи и заметки методического содержания. Мне известен совсем свежий случай, когда один из наших провинциальных преподавателей средней школы, занимающийся самостоятельными исследованиями в области низшей теории чисел, не смог найти место для своих заметок ни в научных, ни в методических журналах. А сколько еще преподавателей педвузов и — пока в меньшем числе — учителей средней школы имеют на руках интересные и оригинальные результаты, которые негде поместить из-за отсутствия у нас журнала, посвященного элементарной математике!

7. Конечно, в библиотеке учителя должны быть превосходно представлены учебники и учебные пособия по элементарной математике. Здесь хотелось бы видеть возможно больше разнообразных как оригинальных, так и переводных книг, по-разному решающих вопросы отбора учебного материала и его разработки. Я не останавливаюсь здесь на. весьма богатой прежней, главным образом дореволюционной, литературе, давно отошедшей в разряд библиографических редкостей и в значительной мере устаревшей. Кое-что, но в очень недостаточной степени, было у нас издано и в недавнее время.

Назову из оригинальных книг, не претендовавших на то, чтобы сразу уже стать стабильными учебниками: „Алгебру“ Александрова и Колмогорова, „Тригонометрию“ Берманта и Люстерника, „Геометрию“ Глаголева, а из переводных: „Геометрию“ Адамара, „Алгебраический задачник“ Обера и Папелье. Все это очень и очень мало и по числу названий, и по тиражам, и по количеству изданий. „Алгебра“ Александрова и Колмогорова, „Тригонометрия“ Берманта и Люстерника вышли до войны в одном издании, первая — в 10000, вторая — в 5000 экземпляров. Они не дошли до основной массы учительства, осев на полках любителей книги в больших городах, прежде всего в Москве и Ленинграде. Все же эти книги вызвали большой и заслуженный интерес и критику, отчасти несправедливую, отчасти ценную и полезную, которую авторы должны учесть во втором издании. Оно обязательно должно последовать в тираже не меньше 25 000, а лучше —в 50000 экземпляров. Этим должен заняться Учпедгиз. Не могу пройти мимо одного принципиально важного вопроса, связанного с учебниками для средней школы. Авторы названных оригинальных книг—профессора высшей школы, активно работающие в различных разделах математической науки и, вследствие занятости, не преподающие в средней школе. В связи с этим мне приходилось выслушивать от некоторых лиц нарекания, суть которых можно было бы резюмировать так: „не за свое дело, мол, берутся профессора, когда пишут учебники для средней школы“. В виде примера приведу выводы одного рецензента по поводу „Геометрии“ проф. М. Я. Выгодского, написанной для ремесленных и железнодорожных училищ и, по мнению рецензента, негодной:

„Многие книги и для общеобразовательных школ пишутся лицами, плохо знающими школу, для которой пишется учебник. Создалась традиция часто привлекать в авторский коллектив не тех, кто знает школу и болеет за нее, кто выносил ее десятками лет на своих плечах.

Прошлый опыт показывает, что лучшие учебники средней школы выходили из-под пера преподавателей гимназии, как Малинина, Буренина, Егорова, Киселева, Рыбкина, Александрова, Вальцова, Извольского, Лебединцева и др.“

С концепцией, здесь выраженной, мы не можем согласиться, хотя она и может показаться на первый взгляд убедительной. Ближайшее же рассмотрение вопроса показывает, что эта кон-

цепция, противопоставляющая преподавателей средней школы, в качестве авторов учебников, работникам высшей школы, извращает фактическое положение вещей. Чтобы избежать неправильных толкований и сразу же поставить точку над /, мы формулируем и постараемся вкратце обосновать следующий, впрочем, почти очевидный, тезис: „создание хорошего учебника для средней школы (по крайней мере, в области математики) непременно предполагает и труд ученого-математика, живущего идеями современной науки и преданного интересам математического просвещения в своей стране, и труд опытного, образованного и вдумчивого преподавателя средней школы“.

В этой формулировке речь идет не о той форме коллективной работы, которая внешне выражается двумя именами, стоящими на титульном листе одной и той же книги (хотя и это возможно), но о более свободной форме сотрудничества. Позволяю себе привести несколько примеров, относящихся к истории учебника математики для средней школы во Франции и в России. У французов можно назвать прежде всего „Геометрию“, написанную знаменитым математиком Лежандром и выпущенную впервые в 1794 г. Эта книга выдержала в одной только Франции более сотни изданий в качестве учебника для средней школы и послужила образцом для многих, прекрасных для своего времени, руководств, составленных в разных странах преподавателями средних школ. Из других французских учебников, написанных первоклассными учеными, я назову „Алгебру“ Бертрана, „Тригонометрию“ Серре и, в более позднее время, -учебники Жюля Таннери, Бореля, Адамара и др. Все это — книги, прямой косвенно влиявшие и на преподавание в русской школе. У нас учебники для средней школы — притом учебники, превосходные во всех отношениях, — писали Эйлер, Лобачевский (алгебра которого служила впоследствии учебным пособием в Японии), академики Остроградский и Сомов, профессора Бугаев, Давидов, Граве, Глазенап и многие другие.

На основании анализа истории создания учебников для средней школы процесс возникновения хорошего учебники представляется схематически в следующем виде (конечно, нет правил без исключения).

Ученый, обладающий современным научным мировоззрением, двигающий науку вперед, постигающий ее дух, потребности и перспективы, отбирает материал для элементарного преподавания, располагает его в определенной последовательности и указывает, как именно следует его трактовать. Так создается оригинальная и интересная книга, определяющая нередко на целые десятилетия характер учебного руководства. К сожалению, такая книга, за отдельными счастливыми исключениями, бывает недостаточно приспособленной для школы и не всегда учитывает моменты психологического характера, играющие в учебнике тем более важную роль, чем моложе его потребитель. Вот тут-то и наступает очередь для просвещенного, опытного, любящего и знающего свое дело учителя. Поддаваясь научному обаянию книги (или книг), он критически преодолевает ее методические недостатки и пишет более или менее оригинальный с методической стороны учебник, дающий последнее, лучшее приближение к практике, к школе.

Именно поэтому столь неестественно и мало плодотворно, когда ученый пытается приспособлять старый учебник хорошего педагога к новым условиям. Он не сможет преодолеть несовершенство научного скелета этой книги, бывшего превосходным несколько десятилетий назад. Теперь научную основу книги нужно создавать целиком заново. Что же касается методических достижений прежнего автора-педагога, то они, может быть, и остаются еще актуальными, но как раз от них и следов не найдешь в результате переделки. Вот в каком аспекте, разумеется, не претендующем на какую-либо оригинальность, представляется нам вопрос работы над учебником для средней школы. Если это так, а мы убеждены в том, что это так, то следует всячески расширять круг авторов учебников, привлекая и поощряя и опытных, хорошо подготовленных и талантливых учителей и творчески работающих над современной математикой ученых.

8. К разделу учебников и учебных пособий, составляющих так сказать „методическое ядро“ библиотеки учителя, должна непосредственно примы-

кать отсутствующая в настоящее время серия классических произведений учебной литературы по элементарной математике. Мы подчеркиваем специальный характер этой серии. Речь идет не о классических научных произведениях, а о классических учебниках. Видеть на русском языке учебники, определявшие развитие методической мысли на многие десятилетия, знакомиться с тем, что мастера науки и педагогического искусства отбирали в разное время для элементарного преподавания, и как они справлялись с теми или иными методическими трудностями,— представляется чрезвычайно полезным и поучительным. Мы указали бы для такой серии, например, извлечения из учебника математики Раме (Рамуса), „Универсальную арифметику“ Ньютона (единственное сочинение великого автора, до сих пор не переведенное на русский язык), извлечения из „Elementa, Matheseos“ Хр. Вольфа, „Алгебру“ и „Геометрию“ Клеро, „Алгебру“ Эйлера, „Геометрию“ Лежандра, лекции по арифметике и алгебре Лагранжа, „Алгебру“ Лобачевского, „Алгебру“ Бертрана, „Тригонометрию“ Серре и др. К перечисленным книгам можно было бы добавить „Арифметику“ Магницкого как книгу, представляющую особый интерес для истории русского просвещения.

9. Методический раздел библиотеки учителя математики должен, конечно, помимо учебников и учебных пособий по элементарной математике, содержать и специальные работы по различным вопросам методики преподавания математики. Большой и разнообразный материал по вопросам методики дает журнал „Математика в школе“. Однако, наряду со специальными статьями, посвященными отдельным вопросам методики, необходимы и обобщающие и подводящие итоги обстоятельные сочинения по методике. Иностранные работы, в частности, многочисленные американские издания последних лет, проникнутые чуждыми для советских людей установками и идеями, не могут быть использованы у нас, по крайней мере в основной своей массе. Среди наших учителей имеют хождение и сейчас давно уже изданные переводные книги Юнга и Симона. Обе они в значительной мере устарели, и если первая („Как преподавать математику“ Юнга) содержит еще некоторый ценный фактический материал и методические указания, обобщающие большой педагогический опыт, то вторая (Симон) построена, за редкими исключениями, на общих псевдофилософских рассуждениях, не имеющих никакой ценности для советского учителя. Общие руководства по методике преподавания должны создаваться для советского учителя деятелями советской школы!

То же положение, по нашему убеждению, справедливо и в отношении к специализированным руководствам по методике арифметики, алгебры, геометрии, а также по отдельным вопросам методики преподавания этих дисциплин. Несколько оригинальных книг по методике математики вышли из печати в последнее время (Барсуков, Пчелко и др). Но всего этого абсолютно недостаточно. Необходимо практиковать издание небольших монографий по специальным вопросам методики математики. Несколько таких монографий готовит к изданию Академия педагогических наук РСФСР («Арифметические упражнения в средней школе и функциональная зависимость“ В. Л. Гончарова, „Отрицательные числа“ И. В. Арнольда, „Исторические иллюстрации на уроках математики“ Б. В. Гнеденко и др.). Следует пожелать, чтобы они скорее дошли до учителя.

10. В специальной библиотеке учителя математики почетное место должно принадлежать также произведениям классиков математики, хрестоматиям по истории математики, сочинениям по истории науки, биографиям виднейших ученых. Немало книг, сюда относящихся, уже имеется на русском языке. Мы назовем прежде всего обширную библиотеку классиков физико-математических наук, издаваемую Государственным издательством технико-теоретической литературы. Здесь на очереди стоит выход из печати первого тома полного собрания сочинений Н. И. Лобачевского (все издание задумано в шести томах). К печати готовится издание „Начал“ Евклида в новом переводе Д. Д. Мордухай-Болтовского и „Оснований геометрии“ Д. Гильберта (в переводе И С. Градштейна, под редакцией П. К. Рашевского).

Из сочинений классиков, интересных для преподавателя и поэтому заслуживающих того, чтобы их включить в из-

дательские планы на будущее время, мы назовем еще „Книги о шаре и цилиндре“ Архимеда, не переиздававшиеся у нас с 1823 г., сборник классических работ о квадратуре круга, составленный Рудио, а также избранные труды так называемых „арабских“ математиков, к числу которых относятся: знаменитый уроженец нашего Хорезма—Магомет Ибн Муса Альховарезми, знаменитый поэт-математик Омар-иль-Хаям. Из более близких к нам по времени произведений мы назвали бы эйлеровские „Письма к Принцессе“, извлечения из которых дали бы в руки преподавателю математики и физики блестящие образцы популяризации основ науки (правда, науки XVIII в.) крупнейшим ее мастером.

Неплохой хрестоматией по истории математики является книга Вилейтнера, уже дважды издававшаяся у нас. Ее следовало бы переиздать вновь. Однако она почти не отражает развития науки начиная с конца XVII в. В этом отношении полезно было бы организовать работу над книгой, аналогичной американской хрестоматии, составленной известным историком-математиком Давидом Смитом. Она носит название „Книга источников по истории математики“ и заключает в себе комментированные отрывки из произведений классиков математики, определявших развитие науки в течение последних столетий (до 1900 г.). В нее, между прочим, входят два отрывка из Чебышева и один из Лобачевского. Подобного рода книга представит весьма ценное дополнение или, лучше сказать, продолжение хрестоматии Вилейтнера.

Из сочинений по истории математики лучшей остается пока переводная работа Цейтена. К сожалению, и в ней изложение доведено только до конца XVII в. В качестве продолжения этой книги Государственное издательство технико-теоретической литературы готовит к печати „Историю математики от Декарта до середины девятнадцатого века“ Вилейтнера, содержащую в сравнительно небольшом объеме огромный фактический материал, а также „Очерки по истории русской математики“ Б. В. Гнеденко, доводящие изложение до нашего времени. Подготовляется к печати обширный труд по истории русской математики (до середины XIX в.) А. П. Юшкевича. В качестве пожелания на будущее мы предложили бы поставить в план перевод и издание фундаментальной „Истории элементарной математики“ Тропфке, незаменимой в качестве обстоятельнейшего справочника, позволяющего выяснить, что, когда, от кого и в каком именно виде появилось в математике и какие изменения потом претерпевало. Впрочем, перевод должен сопровождаться критической переработкой текста в целях вытравления националистических пристрастий, столь свойственных произведениям немецкой научной литературы.

К книгам по истории математики непосредственно примыкают монографии, посвященные жизни и творчеству классиков науки. Здесь, кроме отдельных выпусков известной серии „Жизнь замечательных людей“, следует назвать замечательные издания Академии наук СССР, посвященные Архимеду, Эйлеру, Лагранжу, Ньютону, Галилею, Лобачевскому, а также С. В. Ковалевской и А. Н. Крылову. Упомянем еще о большом сборнике „Люди русской науки“, печатающемся в ГТТИ и содержащем более ста очерков, посвященных различным замечательным представителям русской науки1 и техники.

11. Одно из первых мест в библиотеке учителя должно быть предоставлено серии книг, излагающих систематически и в доступной форме основные идеи и факты современной математической науки. Книги эти будут помогать учителю освежать в памяти дисциплины, изучавшиеся в вузе, находить новые точки зрения на материал уже знакомый, сближать идеи и факты, казавшиеся не связанными между собой, и обнаруживать различие в том, что казалось однородным, узнавать новые факты и новые идеи — словом, повышать научную квалификацию учителя. Книги такого рода, разумеется, стареют быстрее всего. Поэтому здесь мы можем указать только ряд книг, вышедших за последнее десятилетие. Сюда относятся: „Теория групп“ Александрова, „Восемь лекций по математическому анализу“ А. Я. Хинчина (печатается новое издание), „Алгебра и арифметика комплексных чисел“ Р. О. Кузьмина и

1 За исключением представителей гуманитарных наук.

Д. К. Фадеева, „Геодезические линии“ и „Выпуклые тела“ Л. А. Люстерника, „Преобразование многогранников“ В. Ф. Кагана (готовится новое издание) и др.

К названным книгам следует добавить новые, готовящиеся к печати в Государственном издательстве технико-теоретической литературы. Из них мы назовем здесь: „Основы теории вероятностей“ А. Я. Хинчина и Б. В. Гнеденко. Эта серия должна всячески расширяться, обогащаясь новыми изданиями, а также переизданиями книг, отсутствующих на книжном рынке.

12. Мы уже говорили, что в нашу задачу здесь не входит ни детальный просмотр уже имеющейся литературы, ни полная разработка плана новых изданий. Вот, однако, несколько разделов библиотеки учителя математики, на которых мы хотели бы еще задержать внимание читателя:

а) задачники, содержащие богатый, не стесненный программными требованиями, запас задач по элементарной математике. Мы назовем здесь задачники по алгебре Кречмара (большой,издания 1937 г. и малый —1940 г.), задачник по алгебре Обера и Папелье (1941 г.“), задачник по геометрии Делоне и Житомирского (1935 г.) и др. Эти книги необходимо переиздать, а также пополнить новыми, в том числе и переводными сборниками задач. Но в одну из первых очередей следует издать обстоятельный сборник задач с решениями, составленный на ценнейшем материале ставших традиционными московских математических олимпиад. Такого рода сборник уже составляется для Государственного издательства технико-теоретической литературы коллективом молодых научных работников и студентов— деятелей московских олимпиад. Упомяну еще о входящем в план того же издательства любопытном, составленном С. И. Зетелем, сборнике задач на максимум и минимум из области элементарной математики и физики, решаемых элементарными средствами;

б) книги для работы в школьных кружках и для внеклассного чтения школьников. Все эти книги, рассчитанные на читателя-школьника, должны быть хорошо знакомы учителю. Здесь мы имеем на русском языке довольно значительное число названий брошюр и книг как оригинальных, так и переводных. К сожалению, книг этих нет на книжном рынке, так что нужда в их переиздании, по крайней мере лучших из них, большая.

В настоящее время вышла из печати новым изданием „Живая математика“ Я. И. Перельмана (тираж—75000 экз.), готовится к переизданию „Числа и фигуры“ Радемахера и Теплица (одна из лучших книг этого рода). Государственное издательство технико-теоретической литературы готовит к печати также остроумную книжку польского математика Штейнгауза „Математический калейдоскоп“.

В качестве некоторой роскоши на будущее мы бы предложили, помимо переиздания различных книг и брошюр, выходивших ранее, перевод и издание двухтомного труда Аренса „Математические развлечения“.

Но самым нужным в этом разделе нам представляется осуществление пожелания, высказанного еще на Первом всероссийском съезде преподавателей математики (1911 — 12 гг.), о составлении и издании математической хрестоматии для внеклассного чтения учащихся средней школы. Вышедшая более 30 лет назад и оставшаяся незаконченной „Математическая хрестоматия“ Е. И. Игнатьева, а также „Физико-математическая хрестоматия“ Лямина не могут рассматриваться как решение поставленной задачи, по крайней мере в свете современных требований. Мы полагаем, что необходимо составить две хрестоматии, представляющие каждая законченное целое: одну— для семилетней (V—VII классы) и другую для десятилетней школы (VIII—X классы). Материал в них следует располагать по годам обучения, применительно к программам, не производя, однако, дальнейшего дробления материала по дисциплинам. В хрестоматии следует включать: сведения из истории науки, биографии математиков, отрывки из произведений классиков, математические новеллы и шутки, краткие очерки, выводящие за пределы программы, иные изложения или иные доказательства для отдельных вопросов школьного курса, софизмы, парадоксы, задачи, игры, развлечения и т. д. и т. п. Составление такого пособия под силу только коллективу авторов. Нам кажется, что организацию такого коллек-

тива и руководство всей работой должен взять на себя Институт методов обучения Академии педагогических наук РСФСР;

в) книги для учителя математики, из которых он мог бы познакомиться с различными приложениями математики к вопросам физики и техники. Таких книг, которые не требовали бы от читателя больших сведений из этих областей а также из самой математики и в то же время давали бы представление о настоящих, существенных приложениях этой науки, к сожалению, очень немного. Отчасти здесь можно использовать, например, превосходные сочинения А. Н. Крылова .Приближенные вычисления“ и „Некоторые уравнения математической физики“. Упомянем еще о вышедшей в Государственном издательстве технико-теоретической литературы переводной книге Кармана и Био „Математические методы в инженерном деле“, являющейся первым выпуском „Физико-математической библиотеки инженера“. За ней последуют, в той же библиотеке, оригинальные книги „Конформные отображения“ М. А. Лаврентьева, „Интегральные уравнения“ С. Г. Михлина и др.

Все названные нами книги написаны для инженеров и не имеют в виду непосредственно интересы учителя. Мы считаем, однако, что для учителя математики, закладывающего в средней школе, наряду с учителем физики, фундамент будущего образования инженера, не только полезно, но даже и необходимо включить в план своего образования серьезное знакомство с тем, какие методы математики и каким образом постоянно применяются в современной передовой технике;

г) книги для учителя математики, дающие обобщенное, философское представление о предмете и методе современной математики и о ее месте среди других наук. Здесь дело обстоит совсем плохо. Книга Кольмана „Предмет и метод современной математики“ написана без знания дела, содержит много неверных утверждений, не дает правильной перспективы, да и в деталях может только запутать читателя. Ее нельзя рекомендовать. Схему книги, которую хотелось бы видеть написанной, даст интересная и глубокая статья „Математика“ А. Н. Колмогорова в БСЭ.

Государственное издательство готовит к печати выполненный под редакцией В. Л. Гончарова перевод весьма содержательной новой книги Р. Куранта „Что такое математика?“. Это объемистое, интересно написанное сочинение в основном удачно решает чрезвычайно трудную задачу — ввести читателя, обладающего лишь минимальными сведениями, в круг идей и методов современной математики. Все же следует отметить, что книга эта во многом отражает взгляды и научные интересы Куранта, носящие субъективный характер, и, конечно, далека от того, чтобы последовательно проводить точку зрения диалектического материализма.

Здесь же следует упомянуть и о книгах по теоретической (или, как иногда говорят, математической) логике. Государственное технико-теоретическое издательство заказало одному из крупнейших наших специалистов в этой области П. С. Новикову „Курс теоретической логики“. Но, пожалуй, наряду с такой серьезной и оригинальной книгой, следовало бы дать более доступную переводную книгу польского математика Тарского. Она интересна для учителя математики, в частности, тем, что, изложив основы логики, автор применяет их к построению основ арифметики.

Мы совсем не коснулись некоторых чрезвычайно важных разделов, например справочников, таблиц, учебников и учебных пособий по дисциплинам физико-математического цикла педвузовского или университетского курса и т. д. Но мы считаем, что уже затронутые здесь вопросы представляют достаточный интерес и значение и требуют для своего разрешения большой систематической работы соответствующих звеньев Академии педагогических наук РСФСР, работы авторов-ученых и педагогов, работы издательств. Пусть работа эта относится лишь к одному участку обширного фронта нашей культуры. Участок этот чрезвычайно важен, и результаты не замедлят сказаться в дальнейшем росте нашего учителя и его воспитанников.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В ЕГО РАЗВИТИИ

Доц. В. Н. МОЛОДШИЙ (Москва)1

„Познание есть вечное, бесконечное приближение мышления к объекта. Отражение природы в мысли человека надо понимать не „мертво“, не „абстрактно“, ие без движения, не без противоречий, а в вечном процессе движения, возникновения противоречий и разрешения их“.

(Ленин)

„Принципы правильны лишь постольку, поскольку они согласуются с природой и историей“.

(Энгельс)

1. Предисловие

Возникновение современной математики—науки о количественных отношениях и пространственных формах реального мира во всей их общности — было подготовлено развитием точного знания и философии в XVI —XVIII вв.

Осознание ее содержания, следовательно, и осознание соответствующих ей методов обоснования и дальнейшего развития, явилось делом творческих усилий математиков XIX столетия: причину этого надо искать в своеобразии новых фактов, в изобилии открытых в этом столетии.

Новых своеобразных фактов было открыто много, но три сыграли решающую роль. Я имею в виду открытие геометрической интерпретации комплексных чисел, развитие неевклидовых геометрий и теории множеств.

Значение истории понятия комплексного числа не уступает истории неевклидовых геометрий. Чтобы лучше понять предмет исследований и формы обоснования современной геометрии, целесообразно изучить историю неевклидовых геометрий. Чтобы лучше понять содержание и формы обоснования арифметики, целесообразно изучить историю комплексного числа.

Цель этой статьи — изложить историю понятия комплексного числа и выяснить влияние его развития на формирование современного понимания содержания и форм обоснования учения о числе2.

Надеюсь, что как сама тема, так и такая ее постановка для учителей будут небезынтересны. Теория комплексных чисел входит в курс алгебры средней школы, и весьма желательно, чтобы изложение теории комплексных чисел сопровождалось соответствующими историческими пояснениями. Целесообразно также сделать вопросы истории и теории комплексных чисел предметом обсуждения на математических кружках.

1 Доклад, прочитанный на семинаре по истории математики в Московском государственном институте усовершенствования учителей в 1946/47 учебном году.

2 В первой части этот вопрос рассматривается в прекрасной статье М. Я. Выгодского „Понятие числа в его развитии“ (журн. „Естествознание и марксизм“ № 2 за 1929 г.) Хотя с некоторыми выводами автора согласиться трудно, общее исследование диалектики развития понятия числа проведено им совершенно отчетливо и верно.

2. Введение

Вопрос о возможности решить арифметическую или алгебраическую задачу имеет относительный смысл.

Причина этого проста: в некоторых областях чисел обратные операции — вычитание, деление и извлечение корня — не всегда выполнимы.

Когда задача сформулирована относительно какой-либо области чисел, а решение ее связано хотя бы с одной обратной операцией, то в этой области чисел задача может оказаться неразрешимой. Вычитание 5 из 2 в области натуральных чисел невыполнимо; следовательно, уравнение д: + 5 = 2 в области натуральных чисел неразрешимо. Деление 13 на 4 невыполнимо не только в области натуральных, но и в области положительных и отрицательных целых чисел; значит, в этих областях чисел уравнение 4х = 13 неразрешимо. Результат извлечения квадратного корня из 2 не может быть выражен точно никаким рациональным числом; поэтому для решения уравнения х2 = 2 область рациональных чисел недостаточна. Квадрат любого положительного и отрицательного действительного числа есть число положительное; следовательно, в области действительных чисел уравнение х2 = — 1 неразрешимо.

Когда современный математик встречает подобные факты, перед ним обыкновенно открываются две, логически равноправные, возможности: он может не выходить за границы исходной области чисел и поэтому должен объявить задачу неразрешимой; он может выйти за эти границы, перейти к более широкой области чисел, в которой задача станет разрешимой.

В практике приложений математики выбор предопределяется содержанием задач. Распределить 11 рабочих на 6 новостроек поровну невозможно. Уравнение 6х = 11 для данного случая, имеющее смысл только в целых числах, естественно считать неразрешимым. Но если это уравнение служит выражением задачи— разделить 11 метров ткани на 6 человек поровну, нет разумных оснований становиться на первый путь. Предпочтительнее раздробить „неделимый“ метр на части, фактически перейти к рациональным числам и сделать задачу разрешимой. Так же поступают, когда речь идет о делении земельных участков, мер веса и т. п.

Теория служит обоснованию общих приемов решения задач, годных для всех их возможных содержательных истолкований. Теорию интересуют и границы возможностей, т. е. вопросы об условиях разрешимости и неразрешимости задач. „Наше стремление к познанию,—писал Д. Гильберт — удовлетворено только тогда, если нам удается полное решение задачи... или если нами ясно осознана причина невозможности удачи и, следовательно, вместе с тем необходимость неудачи“1. Поэтому арифметика и алгебра снимают эти противоположные возможности, указывают, в каких областях чисел арифметические задачи и алгебраические уравнения разрешимы и в каких нет.

Все это просто, естественно, и каждому математику представляется почти самоочевидным. Но то, что нам кажется простым и самоочевидным, раньше чаще всего было не просто и не очевидно.

Когда свободно говорят об указанных возможностях, порой, того не осознавая, базируются на данных многовековой практики математических исследований. Мы знаем натуральные, положительные и отрицательные целые, рациональные, действительные и комплексные числа; знаем, что каждая следующая область чисел есть расширение предшествующей. Поэтому мы можем говорить о переходе к расширенной области чисел, как о чем-то возможном и всегда выполнимом.

Все это позволяет нам правильно поставить и ответить на вопрос о реальных возможностях, имеющих место при решении арифметических задач и алгебраических уравнений.

Раньше люди этого не знали, да и не могли знать: их опыт и кругозор были исторически ограничены. Много веков потребовалось человечеству, чтобы достаточно расширить понятие числа и осознать эти общие, теперь руководящие принципы. И в этом сложном, порой замысловатом процессе решающую роль сыграло развитие понятия комплексного числа.

1 Д. Гильберт, Основания геометрии. 1923, стр. 104.

3. Основные этапы развития понятия комплексного числа

Комплексные числа были открыты позже, чем натуральные, положительные дробные и иррациональные числа. Люди должны были знать не только операцию извлечения корня, но и отрицательные числа как объекты арифметических действий.

Математики древнего Вавилона умели решать средствами риторической алгебры1 квадратные уравнения. С помощью таблиц кубов и квадратов натуральных чисел они решали некоторые кубические уравнения. Следовательно, явно или неявно, но операция извлечения корня им была известна. Отрицательных чисел они не знали; решаемые ими уравнения имели положительные действительные корни2.

Древние греки занимались только положительными целыми, дробными и иррациональными числами. Для этих чисел они развили логически строгое геометрическое обоснование, изложение которого дано в „Началах“ Евклида. Соответственно этому древние греки исследовали квадратные уравнения, имеющие только положительные, действительные корни; „диоризмы“, т. е. ограничивающие условия, которые в геометрической алгебре накладывались ими на решения задач, помогали обойтись не только без комплексных, но даже и без отрицательных чисел3.

Предпосылки к понятию отрицательного числа встречаются у величайшего арифметика древности Диофанта (III в. н. э.). При вычислении произведений вида (а — 1 ) (а — 2) он указывает правило знаков: минус на минус дает плюс. Отдельно взятые отрицательные числа для него не существуют. Комплексных чисел Диофант не знал4.

Индусские математики Ариабхатта? Брамагупта и Бхаскара Ачариа (XII в. н. э.) рассматривали отрицательные числа, как имеющие самостоятельное существование5. Некоторые из них трактовали отрицательные и положительные числа как долг и имущество. Им были известны двузначность квадратного корня и правила действий над отрицательными числами6.

Индусы встретились и с операцией извлечения квадратного корня из отрицательных чисел. Поскольку отрицательные числа не могут быть квадратами чисел, они заключили, что квадратные корни из отрицательных чисел не существуют.

До эпохи Возрождения с комплексными числами если и встречались, то только как с конечными результатами решения некоторых квадратных уравнений. Отсутствие конкретного истолкования комплексных чисел вынуждало, а указанное обстоятельство позволяло объявить их ложными, а соответствующие квадратные уравнения — не имеющими решений.

Таким образом, можно сказать, что до эпохи Возрождения понятие действительного положительного кисла выступает как общее понятие числа; не только комплексные, но даже и отрицательные числа рассматриваются как ложные, фиктивные7.

Эпоха Возрождения поставила новые задачи, которые заставили математиков отказаться от полного игнорирования комплексных чисел и приступить к эмпирическому изучению их свойств: математики старались выяснить, как надо оперировать с комплексными числами, чтобы результаты, выраженные в действительных числах, были правильными.

В 1545 г. была опубликована классическая работа Кардано: „Artis magnae, sive de Regulis Algebraicis Uber unus“.

Сочинение Кардано имело основной задачей обоснование общих приемов решений уравнений третьей и четвертой степеней, незадолго до этого открытых Ферро, Тарталья и Феррари.

1 Риторическая, т. е. не использующая символики.

2 См. М. Я. Выгодский, Арифметика и алгебра в древнем мире. М„ 1941.

3 См. Г. Г. Цейтен, История математики в древности и в средние века. ГТТИ, М. - Л., 1932, стр. 42-48.

4 А. В. Васильев, Введение в анализ. Казань, 1908, стр. 51.

5 Там же.

6 См. 81 примечание А. П. Юшкевича к „Геометрии“ Р. Декарта, М.— Л., 1938, стр. 228.

7 Взгляды некоторых индусских математиков на отрицательные числа не являются характерными, так как они не были общепризнаны.

Если кубическое уравнение приведено к виду1

то

где

причем должно быть:

Когда (“f“)2 + (f“)3 > °» то уравнение имеет один действительный и два сопряженных комплексных корня2. Например, уравнение

для которого

имеет корни: 4, — 2 + *у/3, —2 — /у/3.

Когда ^)2+ (/з)8= ^ то уравнение имеет три действительных корня, причем два из них равны между собой.

Так, уравнение

л:» — 12л: + 16 = 0,

для которого

имеет корни: 2, 2 и —4.

В первом случае комплексные числа, не будучи подкоренными выражениями it и V, появляются в окончательном результате, поэтому Кардано мог поступить так, как поступали и до него: объявить уравнение имеющим один корень.

Второй случай приводит к благоприятному результату: все его корни — числа действительные3.

Кардано по пути предшественников не пошел. Причиной этому было следующее обстоятельство.

Когда ^ + \^~У <0, то уравнение имеет три действительных корня.

Этот случай, однако, характеризуется одной особенностью, с которой до XVI в. не встречались.

Уравнение

X* — 21 л; ~{- 20 — 0

имеет три действительных корня: 1, 4, —5, в чем легко убедиться простой подстановкой. Но

следовательно, согласно общей формуле

Комплексное, т. е. „ложное“, число оказывается здесь не результатом, а промежуточным членом в вычислениях, которые от реального уравнения приводят к реальным результатам.

Кардано, видимо, подобные уравнения знал, пытался применить к ним общую формулу, столкнулся с трудностью и понял, что полное игнорирование комплексных чисел стало невозможным.

Объяснить причину этого явления Кардано не смог. Но зато он указал, что при некоторых условиях комплексные числа могут быть рассматриваемы как решения квадратных уравнений.

1 Путем элементарных преобразований всякое уравнение ахв + Ьхг + сх + d = 0 может быть приведено к указанному виду. См. любой курс высшей алгебры

2 См. Г. М. Шапиро, Высшая алгебра. Учпедгиз. 1938, стр. 145-156.

3 Я не касаюсь того, что корни могут быть числами отрицательными, т. е. для времени Кардано сомнительными.

Он решает задачу — разделить 10 на два слагаемых, произведение которых равно 40,—и приводит ее к уравнению

Определив его корни:

Кардано указывает, что если оперировать с этими числами как с обычными двучленами и считать J~\S у/_15 = —15, то требования задачи будут удовлетворены.

Кардано называл комплексные числа „софистическими“. В его устах подобное наименование естественно. Отказаться от комплексных чисел нельзя — таково указание практики решения алгебраических уравнений. Принять — тоже нельзя; их реальный смысл неизвестен, свойства — парадоксальны. Действительно, соотношение У—15 V—15 = —15 не укладывается в обычное, справедливое для положительных чисел, правило перемножения корней: \/ä \fb = \/~äb.

Бомбелли („Algebra“, 1572 г.) продолжил изучение свойств комплексных чисел и объяснил то, что осталось загадкой для Кардано. Он утверждал, что в последнем случае решения уравнения третьей степени радикалы и и v представляют собою сопряженные комплексные числа, благодаря чему общая формула дает действительные числа.

Пример, на котором Бомбелли иллюстрировал свое утверждение, таков:

Согласно формуле Кардано

Это выражение, говорит Бомбелли, не имеет никакого смысла. Но если извлечь корень кубический из обоих радикалов, то получим для первого ytv у - 3 , а для второго ~Y—2 У — 3 ; их сумма 9, что дает для л значение, равное 31.

Извлечение кубического корня из комплексного числа Бомбелли осуществлял посредством соотношения

с последующим возведением обеих частей равенства в куб2.

Решение уравнений третьей и четвертой степеней было первым большим достижением математики нового времени. Оно не только поставило на очередь вопрос о решении уравнения пятой степени, но и направило математическую мысль на формулировку и решение общих проблем, относящихся к целым алгебраическим уравнениям я-й степени. Математики занялись изучением вопроса о существовании и числе корней целого алгебраического уравнения п-й степени и о соотношениях между его корнями и коэфициентами. Попытки решить эти проблемы неизбежно, помимо воли и желания математиков, расширяли область приложений комплексных чисел, стимулировали дальнейшее изучение их свойств.

В 1629 г. Жирар3 впервые формулировал утверждение, что всякое целое алгебраическое уравнение я-й степени имеет п корней. Доказать эту теорему ему не удалось: ее строгое доказательство принадлежит Гауссу. Для нас, однако, важно другое: Жирар указывал, что для придания этому утверждению общности, надо учитывать не только действительные, но и комплексные корни.

Точно так же Жирар понимал, что для вывода формул, выражающих зависи-

1 J. F Montucla, Histoire des mathématiques, t I, стр. 599.

2 См. Кеджори, История математики, 2-е изд., 1917. Примеч. переводчика.

3 A. Girard, Invention nouvelle en algèbre, 1629. О Жираре см. также 92-е примечание А. П. Юшкевича к „Геометрии“ Декарта.

мость между корнями и коэфициентами алгебраического уравнения, необходимо ничем не ограниченное использование комплексных чисел.

„Могут спросить, — писал Жирар,— к чему эти невозможные решения? Я отвечаю: для трех вещей—для справедливости общего правила, так как других решений нет и ради пользы“.

В третьей книге своей „Геометрии“ Декарт изучает свойства целых алгебраических уравнений. Он использует комплексные числа, называя их воображаемыми (imaginaire)1.

В XVII в. комплексные числа нашли применение и в аналитической геометрии.

В упомянутой уже третьей книге своей „Геометрии“ Декарт решает задачу, связанную с нахождением координат точек пересечения окружности с параболой. Рассмотрев все возможные случаи их взаимного расположения, он заключает, что, когда „окружность не пересекает и не касается параболы ни в одной точке, то это означает, что уравнение не имеет ни истинных, ни ложных (т. е. отрицательных —В. М.) корней и что все они воображаемые“2. В аналитической геометрии комплексные числа не имеют реального истолкования (точек пересечения нет). Но они полезны, так как указывают на определенное, фактически имеющее место, расположение двух линий.

В XVIII в. комплексные числа проникают в практику исследований и в области математического анализа.

Рассматривая приемы интегрирования рациональных функций в связи с разложением их на простейшие дроби, Лейбниц пришел к выражению некоторых интегралов в виде логарифмов от комплексных чисел.

Рассмотрим на простом примере, как можно получить подобное выражение интеграла.

Для функции j-qr х2 справедливо такое разложение на простейшие дроби:

Следовательно,

С другой стороны,

Значит,

Полагая х=0, найдем С=Си откуда

Полученное соотношение в некотором смысле напоминает то, что мы имеем в формуле Кардано в случае (у)2 + <0; и здесь и там формула от „лишенных“ содержания комплексных чисел имеет реальное, т. е. выражаемое в действительных числах, содержание.

Формулы указанного вида естественно поставили вопрос о природе логарифмов от комплексных и отрицательных чисел3. Этот вопрос вызвал большой спор между Лейбницем и И. Бернулли4. Лейбниц утверждал, что логарифмы отрицательных чисел существуют и все являются комплексными числами. Бернулли, напротив, пытался доказать, что они действительны, причем

Решить этот спор, и притом в пользу Лейбница, удалось только Эйлеру в 1749 г.

К началу XVIII столетия относится и открытие Муавром (без строгого доказательства) его известной формулы

(cos cp-f/sin ср)м «а cos/г cp+Zsin/i-f,

где п — целое положительное число.

1 Ренэ Декарт, Геометрия. М. — Л, 1938, стр. 85.

2 Там же, стр 98.

3 Mоntucla, Histoire des mathématique t. III, стр. 284, и А. И. Маркушевич, Элементы теории аналитических функций. Учпедгиз, 1944, §§ 5, 6 и 7.

4 Этот спор отражен в их переписке, относящейся к 1712—1713 гг. См. А. И. Маркушевич, Элементы теории аналитических функций.

Начало систематического использования и выяснение фундаментальной роли комплексных чисел в математическом анализе связано преимущественно с именем Л. Эйлера1. Эйлер ввел знак i в 1777 г. Он открыл основное соотношение, связывающее показательную и тригонометрические функции:

е* = cos хх.

Эта формула и помогла Эйлеру окончательно разобрать вопрос о природе логарифмов отрицательных, а заодно и комплексных чисел2.

Эйлеру принадлежит и первое определение функции комплексного переменного: „Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств“. В другом месте Эйлер делает специальное примечание: „Не будет изъято ни одного значения, какое функция могла бы принять, поскольку переменное количество будет принимать также и мнимые значения“.

В дальнейшем понятие комплексного числа и функции комплексного переменного находят применение при решении самых разнообразных вопросов математического анализа и его приложений: вычислении некоторых определенных интегралов, интегрировании диференциальных уравнений, в задаче о построении географических карт и т. п.

Коши пошел еще дальше: ему принадлежит разработка основ теории функций комплексного переменного, теории, осознание фундаментального значения которой не заставило себя долго ждать3.

К первой четверти XIX в. понятия комплексного числа и функции комплексного переменного получили широкое развитие. В практике многочисленных исследований математики изучили все основные свойства комплексных чисел и сделали их одним из сильнейших рабочих инструментов алгебры, аналитической геометрии и математического анализа.

В письме к итальянскому математику Лорньа Лагранж писал4: „Одним из важнейших шагов, сделанных анализом за последние годы, я считаю то, что его не затрудняют больше мнимые величины и что вычисления с ними производятся совершенно так же, как с действительными величинами“.

Несмотря на исключительные успехи, которыми математика была обязана комплексным числам, отношение к ним, однако, было более чем настороженным. Только положительные и в лучшем случае отрицательные действительные числа рассматривались математиками как истинные, существующие; комплексным числам в этом было отказано.

Коренная причина этого ясна: математики не знали реального истолкования арифметики комплексных чисел; для них они были „тенями без тел“.

„Истинные и ложные (т. е. положительные и отрицательные— В. М.) корни какого-нибудь уравнения,—писал Скоутен,—всегда действительны, или же существуют, т. е. обозначают какую-либо величину или же нехватку величины; но воображаемые (т. е. комплексные— В. М.) не таковы“5.

Многовековая практика перехода от целых чисел к положительным рациональным и от них к положительным действительным числам показывала математикам, что каждая расширенная область чисел сохраняет основные свойства чисел расширяемой области. Любые два числа этих областей чисел могли быть связаны одним, и только одним, из знаков: >,=,<. Они подчинялись законам ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности. Для них было верно тождество

\/а Yb = Vab и т. п.

Освященные традициями столетий, свойства положительных действительных чисел стали выступать в сознании математиков и философов как свойства

1 Л. Эйлер, Введение в анализ бесконечно малых. М.—Л., 1936.

2 О природе логарифмов отрицательных и комплексных чисел см. А. В. Васильев. Введение в анализ. Вып. II. Казань, 1908, стр. 196.

3 Ф. Клейн. Лекции о развитии математики в XIX столетии, ОНТИ, 1937, стр. 120—121.

4 Письмо относится к 1777 г.

5 Цитирую по 92-му примечанию А. П. Юшкевича к „Геометрии“ Р. Декарта.

любых чисел и величин1. Почти каждый учебник по математике начинался с таких „определений“: „Математика есть наука о количестве (или величинах), а количество есть то, что может быть больше или меньше“. Авторы капитальных философских трактатов рассматривали способность становиться больше или меньше как характерный, необходимый атрибут количества2.

Все, обладавшее этими свойствами, считалось истинным, не обладавшее — ложным; ни о какой проверке выполнимости основных свойств не было и речи. „Обоснование“ воображаемых чисел сводилось к формальному подведению этих чисел под отношения и операции, справедливые для чисел действительных.

Свойства комплексных чисел частично отличаются от соответствующих свойств чисел действительных; поэтому попытки „вложить“ комплексные числа в установившуюся схему общего понятия числа приводили к парадоксам, к отрицанию истинности арифметики комплексных чисел.

По этому вопросу наиболее полно свои мысли изложил Л. Эйлер.

На первых страницах своих „Оснований алгебры“3 Эйлер пишет, что „математика есть наука о количествах“, а количество есть то, „что увеличиться или уменьшиться может“.

Подходя с этой точки зрения к комплексным числам, Эйлер вынужден поставить их вне области содержательных математических понятий.

Комплексные числа, указывает Эйлер, не могут быть причислены ни к положительным, ни к отрицательным числам, причем они не нули. Но все большее нуля изображается положительными числами, меньшее нуля — числами отрицательными. Следовательно, комплексные числа, как не отвечающие природе количества, не обладают реальным содержанием, „существуют только в нашем воображении“.

Попытки Л. Эйлера полностью подвести комплексные числа под свойства положительных действительных чисел привели его к ошибочному заключению. Допустив, что правило

]/а Vb=V~äb,

справедливое только для положительных а и Ь, верно во всех случаях, Эйлер получил

v/(- “Х- Ь) =

откуда следовало, что произведение двух чисто мнимых чисел есть число положительное4.

Интересно отметить, что эта ошибка Эйлера не была принята всеми математиками, благодаря чему возник большой спор, какое из соотношений

является правильным.

„Милостивый государь и уважаемый коллега, — писал И. Бернулли5 сыну Эйлера, —- возник горячий спор по поводу утверждения г. Вашего знаменитого отца, сделанного им в I томе его Алгебры, где он утверждает, что

Риккати, Безу и другие поддерживают обратное мнение, а именно, что

Ваш отец крайне меня обяжет, если соблаговолит прислать мне по этому поводу несколько строк, либо доказательство, a priori, либо, если таковое, как я полагаю, невозможно дать, то доказательство a posteriori при помощи некоторых примеров, из которых ясно бы следовало, что у/ -—а • V—Ь должно быть равно -f- Vab“6.

1 Безоговорочная, порой бессознательно проводимая экстраполяция свойств и законов известной области объектов на область объектов изучаемых практиковалась не только в математике XVI—XVIII столетий. То, что Энгельс называет метафизикой XVII—XVIII столетий, имеет своим методологическим стержнем как раз эту экстраполяцию.

2 См., например, Гегель, Сочинения, т. V, стр. 199. Соцэкгиз. М., 1937.

3 Л.Эйлер, Основания алгебры, СПБ, 1812; первое издание вышло в 1768—69 гг.

4 Ошибку Эйлера, слово в слово, повторяет Н. Фусс в своих „Начальных основаниях чистой математики“, ч. 1, 1823.

5 Сын известного математика Иоанна Бернулли.

6 „Ученая корреспонденция Академии наук XVIII в. (1766—1782)“, М.—Л. 1937.

Выступая против Эйлера, Безу рассуждал так: когда неизвестно, как получен квадрат а2, то надо брать \/а2 с обоими знаками + и—. Но если мы знаем, что а2 получен из — а помножением самого на себя, то надо положить у/ а2 ж* — а; следовательно, yj — ayj — а = — а, откуда ясно, что Y — а \/ — b = Vä \fb \/~^Т= - \[äb1

Ни рассуждения Эйлера, ни рассуждения Безу не являются строгими: сперва надо было бы сказать, что понимается под произведением комплексных чисел, после чего стал бы ясен и смысл выражения у — а |/ — Ь.

Объявив комплексные числа ложными, Эйлер, однако, старается оправдать их использование. Следуя Ньютону, он считает, что комплексные числа, как результаты решения задачи, удостоверяют невозможность ее решения. В качестве примера он ссылается на задачу: разложить 12 на два слагаемых, произведение коих 40. „Решая сей вопрос по обыкновенным правилам, — пишет Эйлер,— найдем, что искомые части суть 6 4-1/ — 4 и 6 — \/ — 4; но как эти числа суть мнимые, то из сего самого надлежит заключить, что нет возможности разрешить оный вопрос“.

Конечно, подобное оправдание правильно только в предположении, что действительные числа суть единственно возможные числа; в области векторов, расположенных на плоскости, не только задача, но и ее решение могут получить вполне реальное истолкование.

После Эйлера математики, хотя и не повторяли его ошибок (расширившаяся практика приложений комплексных чисел научила правильному с ними обращению), но попрежнему смотрели на них, как на бессодержательные, но полезные символы, которые помогают переходить от реальных посылок к реальным следствиям и служат обобщению теорем. Эта точка зрения получила даже некоторое расширение: под понятие „бессодержательных“ символов стали подводить отрицательные числа, бесконечно малые величины и т. п.

„В анализе, — писал Коши,—называют символическим выражением или символом всякую комбинацию алгебраических знаков, которая сама по себе ничего не означает или которой приписывают значение, отличное от того, какое она должна иметь естественно. Точно так же называют символическими равенствами все такие, которые, взятые буквально и интерпретируемые согласно общеустановленным соглашениям, не точны или не имеют смысла, но из которых можно вывести точные результаты, видоизменяя и перемещая, по определенным правилам, либо сами эти равенства, либо символы, которые они содержат. Употребление этих символов или этих равенств служит часто средством упростить вычисления и написать в сокращенной форме достаточно сложные по видимости результаты. Среди символических выражений или равенств, рассмотрение которых имеет некоторое значение в анализе, нужно особо выделить те, которые были названы мнимыми“2.

В алгебре, указывает Л. Карно, „вводят в вычисления чисто мнимые понятия, фиктивные сущности, которые не могут ни существовать, ни даже быть понятыми и которые, однако, не теряют от этого своей полезности. Их употребляют вспомогательным образом как термины сравнения для облегчения составления истинных количеств, связь между которыми желают получить, и затем их исключают посредством преобразований, представляющих собой, так сказать, чисто механическую работу“3. Этими „фиктивными сущностями“ являются не только мнимые, но и отрицательные числа.

Наш гениальный математик Николай Иванович Лобачевский также назвал

1 Лакруа, Основания алгебры, пер. с франц. М. 1838. Впоследствии это „объяснение“ приводилось во многих русских учебниках алгебры XIX в.

2 Caushy, Analyse algébrique. 1821, стр. 173; см. также Ганкель, Теория комплексных числовых систем Казань, 1912, стр 23—24 Впоследствии Коши вынужден был изменить точку зрения на комплексные числа и воспроизвести их геометрическую интерпретацию, следуя пути Весселя и Арганда.

3 Л. Карно, Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых. ГТТИ, 1933, стр. 218.

комплексные числа воображаемыми, считал необходимым использовать их „ради пользы“1. Но его понимание слова „воображаемый“ было иным, чем у Эйлера, Коши и Л. Карно.

Эйлер, Коши и Л. Карно утверждали, что в математике существуют понятия и символы, которым в действительном мире ничто не соответствует; они объединяли такие понятия и символы словом „воображаемые“.

Лобачевский называет „воображаемыми“ не только комплексные числа, но и символы оо и а0, реальный смысл которых он раскрывает. Называя свою геометрию „воображаемой“, Лобачевский ставит вопрос о ее реальном истолковании, ищет это истолкование2. Поэтому правильнее думать, что Лобачевский называл воображаемым все то, для чего реальное истолкование существует, но пока нам не известно, или, хоть и известно, но не укладывается в рамки обычных представлений.

Итак, начиная от работ Кардано до начала XIX в. общее понятие числа расширяется, раздваивается на противоположности; с одной стороны, оно выступает как число, допускающее реальное истолкование, с другой — как число воображаемое, в представлении большинства математиков реального истолкования не имеющее. Числа первого рода обладают необходимым свойством всякого количества—быть больше или меньше,— законы действий над ними наглядны и сомнений не вызывают. Свойства вторых — парадоксальны, законы действий — необъяснимы. В первую группу входят положительные, а у некоторых авторов и отрицательные числа; во второй неизменно присутствуют числа комплексные. Числа второй группы — рабочий инструмент изучения свойств первых; их не признают, только терпят ради пользы.

Почему бессодержательные, в действительном мире ничего не отражающие, символы могут быть инструментом математических исследований и приводят к правильным результатам?

На этот вопрос никто ответить не мог. Ссылки на полезность не столько объясняли, сколько извиняли методы математиков, оправдывали существующее положение вещей.

Нужно ли обосновывать понятие реального числа? Если нужно, то как его обосновать? Этот вопрос не обсуждался. Реальные числа „сомнений не вызывали“, и в этом состояло их обоснование3.

Понятие числа в XVIII в. в сравнении с понятием числа у древних греков обладало большим объемом, но значительно уступало ему в логическом овладении содержанием, т. е. в теоретическом обосновании.

Раскрытие реальной сущности комплексных чисел явилось делом математиков первой половины XIX столетия.

Еще в XVII столетии известный математик Валлис4, а впоследствии и Кюн5 пытались геометрически изобразить комплексные числа. Но раскрыть геометрический смысл операций над комплексными числами они не смогли.

Полное геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними впервые дал датский землемер Гаспар Вессель6.

Мы лучше поймем замысел Весселя, если сначала обратимся к основным положениям, которые он развил в предисловии к своей работе.

Вессель указывает, что арифметика должна изучать различного рода величины. Ее цель — соответственно природе величин так определить действия над заменяющими их числами, чтобы действия над числами выражали изменения величин, которые могут иметь место в действительности.

Обычная арифметика—арифметика положительных и отрицательных чисел — достигает цели в отношении величин абсолютных (т. е. положительных) и

1 Н. И. Лобачевский, Алгебра, или вычисление конечных. Казань, 1834, стр. VI к 239-240.

2 В. Ф Каган, Лобачевский. Изд. АН СССР, 1944, стр. 168-169, 224—229.

3 См., например, как Эйлер в своей „Алгебре“ „обосновывает“ понятие иррационального числа.

4 Wallis. Algebra. Opera math. II, 1693.

5 Kühn, Meditationes de quantitatibus imaginaris construendis et radicibus imaginariis exhibendis. Напечатано в Отчетах С.-Птб. Академии за 1750—1751 гг. (Comm. Ac. Petr. 1750/51 (1753 ).

6 J. Wessel, Om Directions analytiske Betegning, 1799. Представлена в датскую Академию. Переиздана на французском языке в 1897 г. под названием „Essai sur la représentation analytique de la direction“.

расположенных в прямом и противоположном направлениях.

Но имеются и другие геометрические величины изменения которых, в сравнении с изменениями обычных величин, более разнообразны — это, например, направленные отрезки (векторы)1, расположенные на плоскости. Выразить изменения направленных отрезков с помощью обычной арифметики невозможно. Но было бы ошибкой думать, что по этой причине аналитическое представление направленных отрезков и их изменений невозможно вообще. Подобное мнение общепринято, но оно ошибочно.

В качестве основной своей задачи Вессель указывает следующее:

1) найти единое аналитическое выражение, способное выразить как длину, так и направление каждого направленного отрезка, расположенного на плоскости, в зависимости от двух данных направленных отрезков;

2) так определить операции над этими аналитическими выражениями, чтобы они были способны выражать изменения, которым могут подвергаться длины и направления отрезков.

Решив эту задачу, подчеркивает Вессель, нетрудно будет понять не только реальную природу мнимых чисел и действий над ними, но и почему мнимые числа приводят подчас к реальным (т. е. выраженным в действительных числах) результатам.

Существенно отметить, что Вессель вплотную подошел к пониманию задачи обоснования арифметики комплексных чисел как задачи расширения понятия числа. Он указывает, что определения действий над комплексными числами не должны противоречить определениям действий над обычными числами. Направленные отрезки, расположенные на прямой, в которой лежит единичный отрезок -f-1, в своих изменениях могут быть охарактеризованы средствами как обычной арифметики, так и средствами арифметики комплексных чисел. Следовательно, для этих отрезков результаты действий, согласно правилам обеих арифметик, должны совпадать.

Посмотрим теперь, как Вессель решает поставленную перед собой задачу.

Единичные векторы +1, —— È Вессель представляет так, как их представляют и теперь,—лежащими на осях X и у (черт. 1)2

Черт. 1

Соответственно этому каждое комплексное число

z = X - j- iy

Вессель изображает вектором z, начало которого совпадает с началом координат, а конец имеет координаты (х9 у) (черт. 2).

Черт. 2

1 Слово „вектор“ Вессель не употреблял, оно было введено в науку позже, кажется, Гамильтоном, См. Д. Дж. Стройк, Очерк истории диференциальной геометрии до XX столетия. ОГИЗ, М.—Л. 1941.

2 Единичные векторы -f / и — i Вессель обозначает символами -\~ Е и — Е, В дальнейшем, после определения операций, это помогает Весселю лучше объяснить природу „воображаемого“ числа L

Поскольку комплексные числа выступают едиными характеристиками длин ft направлений векторов, Вессель говорит только о равенстве и неравенстве комплексных чисел. Отношения >, < как нецелесообразные для направленных отрезков для комплексных чисел им не устанавливаются.

Суммой комплексных чисел z1 и гг Вессель называет комплексное число 2, соответствующее диагонали z параллелограма, построенного на слагаемых векторах zi и z2 (черт. 3).

Черт. 3

Применяя это определение к нескольким слагаемым, он доказывает, что сумма не зависит от порядка слагаемых.

Произведением комплексных чисел гх и z2 Вессель, по определению, называл комплексное число z, которое соответствует вектору г4 получающемуся из вектора z2, так же как вектор zl получается из вектора -f-1.

Черт. 4

Применив определение произведения к единичным векторам, Вессель раскрыл реальный смысл равенства i2=—1 и правила знаков. Действительно, согласно этому определению:

Таким образом, I оказывается числом, соответствующим единичному вектору Е.

На этой базе Вессель ввел тригонометрическое представление комплексного числа

z = р (cos ср -f /sin <p)

и, пользуясь им, показал выполнимость основных законов, которым подчиняется произведение комплексных чисел. В частности, он показал, что, если комплексные числа представлены в алгебраической форме, то (а + Ы) {с -f di) = ас — bd -f- {ad -f be) i, т. е. что их можно перемножать как многочлены, заменяя в результате i2 на — 1.

Вессель обобщил формулу Муавра на случай дробного показателя степени:

где

(cos ср—|—rsin ср)п имеет п различных значений:

Не останавливаясь на различных приложениях комплексных чисел — им Вессель уделил немало внимания,— отмечу, что в конце мемуара Вессель делает попытку (до конца он ее не довел) подойти к алгебраическому отображению отношений и связей, в которых могут выступать векторы в пространстве. В этом вопросе он является непосредственно предшественником Гамильтона.

Вскоре после Весселя с геометрическим обоснованием теории комплексных чисел выступил французский математик Арганд1.

В течение тридцати примерно лет идеи Весселя и Арганда оставались в тени2. Только после аналогичных исследований Гаусса большинство математиков признало арифметику комплексных чисел полноправной математической теорией3.

Причину этого факта надо, повидимому, усмотреть в следующем.

Гаусс и Коши были наиболее авторитетными математиками первой половины XIX столетия. Выступление Гаусса не могло остаться без внимания. Блестящая форма изложения, соединяющая в себе точность и доступность, доказательство основной теоремы алгебры, базирующееся на теории комплексных чисел4,— все это способствовало изменению взглядов математиков на природу комплексных чисел5.

Особенно хорошо Гаусс разъяснил цель арифметики как всеобщей науки: „Математик,—указывает Гаусс,— всегда мыслит отвлечением от свойств предметов и от содержания их отношений-, его дело только перечисление предметов и сравнение их отношений“6.

Если существуют предметы какой угодно природы, формы отношений и связей которых отражены в арифметике новых чисел (отрицательных, комплексных и т. п.), эта арифметика так же истинна, как истинна арифметика положительных чисел.

Работы Весселя, Арганда и Гаусса явились исходным пунктом крутой ломки старых представлений о природе числа, помогли математикам осознать необходимость новых принципов обоснования и развития понятия числа.

Вессель, Арганд и Гаусс открыли геометрическую интерпретацию арифметики комплексных (следовательно, и отрицательных) чисел; не только комплексные числа, но и отношения и операции над ними получили реальное истолкование.

Тем самым по существу было доказано, что арифметика комплексных чисел так же истинна, как истинна и арифметика положительных кисел.

Комплексное число оказалось обобщением предшествующих видов чисел, единым понятием числа. При Ь—0 комплексное число а-\-Ы есть число действительное, „реальное“, при а—О, а-\-Ы есть число чисто мнимое—„воображаемое“. Таким образом комплексное число сняло эти противоположности.

Стало ясным, что вопрос о возможности решить ту или иную арифметическую или алгебраическую задачу имеет не абсолютный, а относительный смысл и сводится к вопросу о соответственном расширении понятия числа.

Ближайшим следствием этих открытий было преодоление парадоксов, связанных с понятием комплексного числа.

Невозможность связать a-\-bizc-\-di с помощью знаков отношений > или < получила истолкование как нецелесообразность введения таких отношений для векторов.

Вызывающее сомнение тождество \J~-^ä \/—b=-]/ab (а>0, Ь>0) явилось выражением того перехода от векторов у/— а и у/— b к вектору —\[ab> который, по определению, является их произведением. Тождество \la \Jb = \/ab оказалось справедливым только для положительных чисел.

Утверждение — задача невозможна, если ее решение выражается в комплексных числах —приобрело относительный смысл: задача неразрешима в области действительных чисел, но разрешима в области комплексных чисел.

Например, решение задачи Кардано (см. выше) показывает, что вектор + Ю

1 Аrgand, Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires, 1806. Отдавая должное этому прекрасному творению Арганда, надо отметить, что в строгости оно уступает работе Весселя.

2 Работа Весселя стала известна широким кругам математиков только в конце XIX столетия, когда ее „открыли“ и переиздали на французском языке. До этого основоположником геометрического толкования комплексных чисел считали Арганда. См., например, Ганкель, Теория комплексных числовых систем, стр. 102.

3 Наиболее полно взгляды Гаусса на природу комплексных чисел изложены им в мемуаре „Theoria residuorum biquadraticorum“ (1831) и в его реферате об этом мемуаре.

4 Уравнение А0хп-\- +... -\-Ап= О имеет п действительных или комплексных корней.

5 Отдельные выдержки из сочинений Гаусса о комплексных числах см. в книге А. В. Васильева „Введение в анализ“, вып. II, Казань, 1908, стр. 180.

6 Курсив мой— В. М.

является суммой векторов 5-fV—15 и 5_(/—15, произведение которых равно 40. Но каковы бы ни были два вектора, расположенные на оси X, удовлетворять условию задачи они не могут: следовательно, в области действительных чисел задача Кардано неразрешима.

Наконец, выяснилось, почему операции над комплексными числами могут порой приводить к результатам, выражаемым в действительных числах. Результирующий вектор, полученный вследствие арифметических операций над данными векторами, может оказаться расположенным на оси X.

Традиционное разделение общего понятия числа на реальные и воображаемые числа потеряло смысл. Все числа — положительные, отрицательные и комплексные — оказались реальными, т. е. отражающими формы отношений и связей разнообразных областей действительных предметов. Все известные области чисел выступили не как сосуществующие, а как этапы в реальном обобщении понятия числа, завершением которого в известном смысле является комплексное число. Полезность „воображаемых“ чисел, которую не могли объяснить, но на которую ссылались для их оправдания, оказалась следствием реальности этих чисел.

Практиковавшееся ранее формальное подведение новых чисел под свойства и законы чисел известных оказалось незаконным. Парадоксальность (т. е. невозможность выполнить целиком подведение) выступила как показатель существования чего-то принципиально нового, более богатого содержанием; перед нею нужно было не отступать, а преодолевать ее, раскрывать ее реальное содержание. Только формальное противоречие, как было, так и осталось достаточным показателем ложности любого математического понятия и теории.

Оказалось, что требование обоснования „реальных“ чисел не лишено оснований, так как только обоснование способно выяснить границы их возможных приложений, необходимость и путь дальнейшего расширения понятия числа.

Стало ясным, что, поскольку арифметика любых чисел есть наука, изучающая только формы отношений и связей объектов, то для ее обоснования достаточно выделить в качестве определений основные ее понятия и законы и показать их осуществимость на объектах какой угодно природы. После этого все содержание арифметики должно быть следствием логического развития ее посылок, так как только логическое развитие обеспечивает всеобщность выводов.

Идеал логического обоснования и развития математики был выдвинут древними греками; они ему следовали в геометрическом истолковании арифметики положительных чисел. Таким образом, задача обоснования числа в известном смысле вернулась к исходному пункту своего развития. Но о простом воспроизведении идеала древних греков не может быть и речи: что у древних греков было реализацией гениальной догадки, то стало принципом обоснования и развития понятия числа, осознанным на глубоком изучении его природы.

Может быть, лучшим показателем превосходства математики XIX в. послужит тот факт, что новые принципы обоснования учения о числе в скором времени нашли широкое применение. Гамильтон и Грассман развили теорию кватернионов и гиперкомплексных чисел и тем самым еще дальше расширили понятие числа1. Им же принадлежит интерпретация арифметики комплексных чисел с помощью пар (а, Ь) действительных чисел.

„Со времени Лобачевского,— писал А. Пуанкаре,— математическая мысль подверглась глубокой эволюции не только в геометрии, но и в арифметике, и в анализе. Понятие числа сделалось более ясным и точным; в то же время оно подвергалось разнообразным обобщениям. Наиболее ценным из этих обобщений для анализа является введение мнимых чисел, без которых современные математики не могли бы обойтись; но на этом уже не остановились и в науку введены другие обобщения числа или, как говорят, другие категории комплексных чисел.

Операции арифметики, со своей стороны, были подвергнуты критике, и

1 Исторические сведения, а также и изложение теории кватернионов и гиперкомплексных чисел читатель может найти в указанных выше книгах Ганкеля и Васильева, а также в книге Арнольда „Теоретическая арифметика“, Учпедгиз, 1938.

кватернионы Гамильтона дали нам пример операции, представляющей почти полную аналогию с умножением, которую можно назвать тем же именем и которая, однако, некоммутативна: произведение изменяется при перестановке множителей. Здесь в арифметике мы имеем революцию, совершенно подобную той, которую Лобачевский произвел в геометрии“1.

4. Замечание об особенностях развития понятия комплексного числа

История показывает, что возникновение и развитие понятия числа стимулировалось различными причинами.

Понятие натурального числа возникло в процессе счета дискретных, т. е. обособленных друг от друга, предметов.

Понятия о положительных дробных, а затем и иррациональных числах возникли тогда, когда практика поставила задачи, связанные с измерением непрерывных величин: расстояний, площадей, объемов, весов, времени и т. п.

Существование пересчитываемых и измеряемых объектов сомнений не вызывало,— люди их видели и знали. Соответствующие свойства объектов подсказывали людям, как развить понятие числа: оно возникало как отражение количественных свойств областей объектов. Поэтому истинность понятий натурального и положительного дробного чисел была вне сомнения. Когда древние греки обнаружили, что арифметическое обоснование иррациональных чисел связано с большими трудностями2, они разработали геометрическую алгебру и теорию пропорций, т. е. по существу не объявили иррациональные числа ложными, а дали им геометрическое истолкование.

Путь развития комплексных (и отрицательных) чисел был иным. Они возникли как лишенные содержания результаты решения некоторых уравнений: какие реальные количественные отношения отражаются в понятии комплексного числа — этого никто не знал. Затем комплексные числа стали промежуточным звеном в вычислениях, относящихся к положительным числам, и, наконец, получили реальное истолкование.

Во всех случаях практика, подобно солнцу, освещала объекты и вызывала к жизни их тени — абстрактное понятие числа. Но в первом случае люди видели тела и по ним судили о свойствах их теней; для них тени были подлинным отражением. Во втором случае люди видели причудливые тени теней, но не видели вызывающие их тела. Тени без тел, понятия без прообразов, „выродок мира идей, почти двойственное существо, находящееся между бытием и небытием“ (Лейбниц),— вот чем были комплексные числа до XIX столетия.

Своеобразие развития понятия комплексного числа долгое время давало основание философам и математикам-идеалистам утверждать, что комплексные числа являются свободным творением чистого мышления, которым в действительности ничего не соответствует.

Работы Весселя и Арганда показали ложность идеалистических выводов. Но, сняв мистический покров с арифметики комплексных чисел, Вессель и Арганд создали базу для более важного заключения, имеющего актуальное значение для творчества математиков. Они доказали, что в математике познание может идти к новому не только прямым, обычным путем, но и обходным путем, так, как шло развитие понятия комплексного числа.

Грассман и Гамильтон в учении о числе) Лобачевский, Больяи, Бельтрами, Клейн и Пуанкаре в геометрии показали, что такой путь движения к истине может быть использован сознательно. С одной, однако, оговоркой: формально развиваемая теория должна в конце концов получить реальное истолкование.

1 Анри Пуанкаре, Отчет о работах Д. Гильберта. См. „Основания геометрии“ Гильберта, 1923, стр. 106.

2 Арифметическое обоснование арифметики действительных чисел предполагает идею бесконечного множества; последняя древнегреческим философам и математикам казалась парадоксальной, противоречивой (Зенон и др.).

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЕ В РОССИИ XVII—XIX вв.

Проф. А. П. ЮШКЕВИЧ (Москва)

Русская математика вступила на путь самостоятельного научного творчества в двадцатые годы прошлого столетия. К этому времени относятся исключительные по идейной глубине и смелому новаторству геометрические исследования Н. И. Лобачевского и первые открытия в области анализа М. В. Остроградского. Во второй половине XIX в. П. Л. Чебышев своими замечательными трудами по теории вероятностей, теории чисел и теории приближения функций полиномами положил начало русской математической школе. Во главе ее стояли, кроме самого Чебышева, крупнейшие ученые, как, например, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. Многочисленной эта школа, впрочем, не была. В конце XIX и начале XX вв. стали понемногу возникать небольшие группы математиков, разрабатывавших и другие направления математической мысли: теорию диференциальных уравнений, геометрию, алгебру, теорию функций действительного переменного.

Подлинный расцвет математического творчества в нашей стране наступил, однако, лишь после Великой Октябрьской социалистической революции. Успехи, достигнутые советскими математиками за немногие годы, прошедшие с 1917 г., были немыслимы в других общественных условиях. Эти успехи явились одним из результатов превращения нашей родины из „отсталой страны в передовую, из аграрной в индустриальную“ (И. В. Сталин). Повсеместное расширение сети средних и высших школ, создание многочисленных научных институтов, выпуск огромной научной и учебной литературы, в сочетании с творческими устремлениями нашей учащейся молодежи и наших ученых, выдвинули советскую математику на одно из самых передовых мест во всем мире.

Вместе с тем успехи многонациональной советской математики были связаны с предшествующим развитием русской математической культуры. Скромная, почти неприметная работа безыменных авторов математических рукописей XVII в. явилась предпосылкой для создания первого русского печатного руководства по математике — энциклопедической „Арифметики“ Л. Ф. Магницкого. Возникшие при Петре 1 военно-технические школы явились первыми центрами распространения математического образования. Основание в 1725 г. Академии наук в Петербурге дало первый толчок усвоению у нас математических открытий Декарта, Лейбница и Ньютона. Благодаря постепенному повышению уровня преподавания в учебных заведениях Академии наук, а затем в сухопутных и морских военных школах, благодаря созданию учебной литературы сперва по элементарной, а затем и по высшей математике, — русская математика в XVIII в. прошла большой идейный путь и приблизилась к уровню передовой науки в начале XIX в. Научно-просветительная работа, проведенная Л. Эйлером и его учениками или преемниками: С. К. Котельниковым, С. Я. Румовским, Н. К. Кургановым, С. Е. Гурьевым и другими, в немалой мере подготовила почву для школьных реформ конца XVIII и начала XIX вв. и для открытия, начиная с 1804 г., первых физико-математических факуль-

тетов, из которых и вышли вскоре Лобачевский, Остроградский и Чебышев.

1. Математические знания в допетровской Руси

1. Первые памятники русской математики. Математическая культура и математическое творчество в нашей стране прошли через несколько этапов. Первый из них пришелся на эпоху процветания и упадка „империи Рюриковичей“— на IX—XII века. К сожалению, математические памятники этого времени почти не сохранились. Возможна лишь самая общая характеристика уровня математических знаний этих времен.

Народы средневековой Западной Европы обязаны были своим первым просвещением и грамотностью остаткам латинской культуры, сохранившимся после крушения Римского государства. Киевская Русь, как известно, приобщилась к античному наследию через посредство Византии. Греко-византийские влияния отразились и на русской математике. Конечно, ни государство, ни частное хозяйство Киевской Руси не предъявляли к математике больших требований. Тонкая иконопись и храмостроительство не предполагали обязательно теоретической подготовки мастеров. Зодчий или живописец мог творить, используя технические традиции ремесла и правила, накопленные чисто опытным путем. Не требовали сколько-нибудь сложных вычислений ни скромные по размеру тогдашние торговые операции, ни собиравшиеся княжескими чиновниками подати. Несколько более серьезны были запросы церкви, которой нужны были таблицы праздничных дней. Несомненно было также появление интереса к науке в более культурной прослойке населения. Мы знаем, например, что при Владимире Святославиче (978 — 1015) дети приближенных к нему людей по желанию великого князя проходили „учение книжное“; мы знаем об устройстве школы в Новгороде при Ярославе Мудром (умер в 1054 г.), который „прииде к Новугороду собра от старост и поповых детей триста учити книгам“; мы знаем и о появлении книжных собраний у князей и в монастырях. В верхушке русского общества XI—XII вв. пробуждалось внимание к религиозно-философским вопросам, к истории, к естествознанию. В образованном кругу читались рукописные переводы и переделки популярных в ту эпоху естественно-научных сочинений. В этих рукописях наряду с чисто богословскими размышлениями и толкованиями сообщались естественно-научные сведения и среди них — астрономические, оперировавшие отчасти математическими понятиями. Здесь можно было прочитать о различии между длительностью солнечного и лунного года, о 19-летнем цикле повторения лунных фаз, о так называемом „великом индикте“ —532-летнем периоде повторения скользящих церковных праздников, о размерах диаметра и окружности земли и т. д. Русский читатель, интересовавшийся такой литературой, должен был обладать некоторой степенью математической образованности. Имелись и прямые „числолюбцы“, как выражался новгородский монах XII в. Кирик, к деятельности которого мы еще обратимся.

Основой арифметики служат нумерация и цифры. В то время как западноевропейские народы переняли в средние века римскую нумерацию, русские получили несколько переработанную древнегреческую, так называемую ионийскую нумерацию, изображавшую числа с помощью букв алфавита и их комбинаций, над которыми ставилась отличительная черта. Ионийская нумерация появилась в Греции не позднее VI в. до н. э. и перешла в Византию. Когда основоположник славянской письменности Кирилл (827—869) составил, по подобию греческого, первый славянский алфавит, он использовал для нумерации ту же алфавитную систему. Числа от 1 до 9, затем десятки и сотни обозначались в ней следующими по порядку славянскими буквами, с некоторыми, впрочем, исключениями. Для двух взята была буква „веди“, а не „буки“, ибо в греческом языке не было отдельных звуков „б“ и „в“, и за а следует ß. „Фита“, стоящая в конце славянского алфавита, означала девять, как греческая „тэта“. Наконец, „червь“ для девяноста был взят вместо архаического знака „коппа“, в живом греческом алфавите не имевшегося. Таким образом, таблица единиц, десятков и сотен имела вид:

Тысячи обозначались, как и у греков, проставлением слева внизу от буквы штриха. Для записи составных чисел писали подряд знаки, выражавшие числа тысяч, сотен, десятков и единиц. Позднее появились особые названия и обозначения для высших десятичных разрядов,—тем (тьма = 10000), легионов (100000), леодров (1000000).

Алфавитная нумерация сохранилась на Руси до времен Петра. Она, несомненно, уступала индусско-арабской, основанной на принципе поместного значения и пользования нулем. Но в XI в. с позиционной системой в Европе вообще почти не были знакомы. Лишь с XII в. новая система счета стала проникать в Европу. Долгое время она оставалась известной немногим ученым и окончательно вытеснила римскую нумерацию из обихода не ранее XV в. При известном навыке вычисления с помощью алфавитной системы счета не очень сложны; производить выкладки с помощью римских цифр во всяком случае не легче.

Одной из важных задач того времени, немало содействовавших распространению интереса к математике, было, как упоминалось, составление церковного календаря. Крупные деятели христианской церкви неоднократно посвящали труды и время вычислению пасхалий. Уже английский клирик Беда, прозванный Достопочтенным (672—735), считал нужным обучать в церковных школах астрономии и арифметике, чтобы разбросанные по разным уголкам Европы священнослужители могли сами правильно назначать праздничные дни. Пасхалии была посвящена обширная литература.

Были предложены также некоторые правила, позволявшие малограмотным священникам производить нужные подсчеты на пальцах. Следует помнить, что календарь и святцы имели значение и для календарного распределения земледельческих работ.

Согласно старинным церковным правилам пасха должна праздноваться в первое воскресенье вслед за полнолунием, наступающим после дня весеннего равноденствия — 21 марта — или приходящимся на этот день. Для вычисления фаз луны пользовались 19-летним циклом Метона — периодом времени, по истечении которого фазы луны пробегают всякий раз одни и те же числа юлианского календаря. Для определения дней мартовских воскресений исходили из того, что в году, предшествующем началу христианской эры, воскресеньями были 7, 14, 21, 28 марта и что по истечении простого года числа марта месяца, на которые приходятся воскресенья, отступают на единицу, а по истечении високосного — на две единицы. В силу этого повторение некоторой последовательности чисел марта месяца, на которые падают воскресенья, происходит каждые 28 лет. Понятно, что повторение полной последовательности календарных сроков первого дня пасхи происходит за период в 19 • 28, т. е. 532 года, так наз. великий круг или великий индикт. Более точные вычисления показывают, что метонов цикл не вполне совпадает с периодом лунных фаз, ибо 19 лет превосходят 235 лунных месяцев на некоторую долю суток, и примерно каждые 310 лет полнолуние, вычисленное по циклу Метона, отстает от астрономического на один день. Вычисление дня пасхи можно привести к решению в целых числах неопределенных уравнений первой степени. Упрощением решения этой любопытной задачи занимался, между прочим, Гаусс, опубликовавший без доказательства найденные им удобные правила в „Monatliche Cor-

respondenz“ Цаха за 1802 г. (т. II). Ей посвятил несколько параграфов своей „Алгебры или вычисления конечных“ (§ 120-127, 1834 г.) Н. И. Лобачевский. И еще в 1870 г. Н. Я. Сонин, будущий академик, опубликовал в V томе Математического сборника Московского математического общества перевод подробной статьи Г. Кинкелина „Вычисление христианской Пасхи“1.

Наиболее интересный математический документ рассматриваемой эпохи и был посвящен вопросам хронологии, в частности — церковному календарю. Это „Кирика диакона и доместика Новгородского Антониева монастыря учение, им же ведати человеку числа всех лет“2. Кирик родился в 1108 г., а написал свое сочинение в 1134 г. Как видно из того увлечения, с которым он производил разнообразные, лишенные практического значения подсчеты, он сам принадлежал к упоминаемым им „числолюбцам“. Сообщая, например, что при писании рукописи ему было 26 лет, он заодно указывает, что это составляет 312 месяцев, или 9500 дней «без 3 дней или еще столько-то часов (в рукописи число искажено). Он подсчитывает также число месяцев, протекших от сотворения мира, считая год составления труда за 6644-й, затем число недель, число дней, равное 24 неведиям (сотням тысяч) и 6721 (число десятков тысяч — два — пропущено было, очевидно, позднейшим переписчиком) и даже число дневных часов, которое при 12 часах в дне он находит равным 200 неведиям и 90 неведиям и 1 неведию 652 часам (два десятка тысяч пропущены и здесь).

Несколько разделов работы Кирика посвящены пасхалии. Он находит остаток от деления числа лет, истекших от начала мира, на 28 и пишет: „изошло от Адама 237 солнечных кругов и последнего круга идет восьмое лето им-же Пасху я обрел сего лета 6644“. Потом он устанавливает, что к 6664 г. „есть от Адама лунных кругов до сюду полчетверта ста без единого (т. е. 349 — А. Ю.), а последнего круга идет 13 лето, имже и Пасху я обрел сего лета 6644“. Далее указывается, что „великих кругов“ по 532 года минуло 12 и идет 260-й год 13-го круга. В заключение Кирик резюмирует все найденные им для 6644 г. сведения, — день пасхи 22 марта, продолжительность Петрова поста, сообщает, что вновь 22 марта пасха наступит через 248 лет и пр.

Мы не станем задерживаться на других хронологических выкладках, свидетельствующих о большой любознательности автора, вроде вычисления промежутков времени между различными событиями библейской, античной, церковной и русской истории. Приведенное достаточно характеризует новгородского дьякона, свободно оперировавшего очень большими числами (до десяти миллионов), как выдающегося арифметика своего времени, который не уступал в вычислительном умении западноевропейским собратьям. Любопытны меры времени Кирика. Он именно вводил „дробные часы“, под которыми понимает пятые, двадцать пятые и т. п. доли часа, называемые им вторыми, третьими и т. д. часами. Доходит автор до седьмых часов, добавляя: „больше сего не бывает, то есть не рождаются от седмых дробных, которых в дне будет 937500“. Не знаю, где еще и с каким намерением применялось в ту эпоху пятеричное деление часа.

Указания Кирика относительно способа производства вычислений крайне скупы. Подсчитывая число дней от сотворения мира, он, например, говорит: „считай первое по 300 и по 60 и по 5 в лете и когда совокупишь все то число, сочти опять сколько есть дней високосных и приложиши ко всем дням, и таким образом можешь верно счесть их“. Можно думать, что при умножении единицы каждого разряда обоих сомножителей перемножались по отдельности, после чего полученные произведения складывались. Возможно, что для деления 6664, скажем, на 28, просто составлялись последовательные кратные 28, из которых бралось ближайшее по недостатку к делимому. Такой прием был в ходу в Византии. Иные правила сформулированы были Кириком (или переданы позднейшим переписчиком) недостаточно аккуратно. Так, определяя

1 Л. В. Черепнин, Русская хронология. M., 1944.

2 „Чтения в Обществе истории и древностей Российских“, 1847, № 6 и В. В. Бобынин — „Состояние математических знаний в России до XVI в.“ (Журн. министерства народного просвещения, 1884 г., апрель).

число часов в 6644 годах, он коротко советует найти число часов в неделе, потом в месяце и в годе. Но результат Кирик приводит верный. Конечно, такие выкладки, приводившие к сотням „неведий“, были в те времена делом трудным и доступным очень немногим. Недаром Кирик заканчивал раздел, посвященный только что упомянутому вычислению, назиданием: „по малу бо созидается град и велий бывает; тако и ведание по малу на много приходит“.

Мы не можем с уверенностью датировать время появления другого раннего памятника русской математической культуры — некоторых статей из древнейшего судебного сборника „Русской Правды“. Это статьи о приплоде от скота или пчел и о его стоимости, о прибытке от высева некоторых злаков и т. п. Они встречаются в рукописях, входящих в так называемую Софийскую летопись. Наиболее ранние известные списки ее относятся к началу второй половины XV в. В более древних списках „Русской Правды“, восходящих к концу XIII в., эти статьи не встречаются, но восходят они, вероятно, к весьма давним временам. По содержанию своему упомянутые статьи резко отличаются от других, чисто юридических и связанных с вопросами о пене за различные преступления. Они являются несомненной вставкой позднейших переписчиков, вставкой, источник которой еще не обнаружен. Эти статьи любопытны в том отношении, что общей математической их основой является вычисление членов геометрической прогрессии со знаменателем 21.

Так, в одной статье подсчитывается потомство от 22 овец за 12 лет и его стоимость. Потомство это исчисляется в 90112 овец и столько же баранов (в другом тексте—90111 баранов). При стоимости овцы в 6 ногат и барана в 10 резан (50 резан == 20 ногат = 1 гривне) стоимость потомства определяется в 45055 гривен и 40 резан. Считая стоимость руна в один резан, автор статьи переводит; стоимость всех 360446 рун (считая число баранов в 90111) в 7208 гривен и 46 резан. Нетрудно разглядеть, что подсчет этой статьи основан на допущении, что каждая овца за год приносит по овце и по барану и что в течение 12 лет все потомство доживает. Речь идет таким образом о вычислении членов геометрической прогрессии. Через год овец должно стать 44, через два — 88, через 12 лет—90112. В других статьях мы встречаемся с вариациями на ту же тему. Понимание их иногда несколько затрудняется неточностями, допущенными при переписке. Числовые ряды эти, в основном составленные без учета реальных природных данных,— особенно в статьях о свиньях, — являлись, в сущности, математическими упражнениями неизвестных нам „числолюбцев“.

В XII в. на Руси имелись хорошие арифметики, вроде Кирика, но вместе с тем математические навыки и знания были достоянием отдельных немногих людей. Даже переписчики рукописей, люди сравнительно высокого образования, нередко считали плохо и не придавали значения точности выкладок. На это указывают многочисленные пропуски и ошибки в различных рукописях той эпохи. С такими же просчетами и ошибками в записях можно встретиться и в западноевропейских рукописях того времени.

Так, в X—XII вв. появились первые ростки русской математики. И в Западной Европе и в Киевской Руси начиналось общее культурное пробуждение. В это время на Западе начинают знакомиться с математикой арабоязычных народов, возникает борьба за внедрение позиционной системы, появляются математические переводы с арабского и латинского. Около 1202 г. пизанский купец Леонардо пишет знаменитый арифметико-алгебраический труд „Liber abaci“. России, в которой почва была уже подготовлена, благодаря связям с Византией, казалось, предстояло принять широкое участие в общем культурном движении Европы. Исторические судьбы нашего государства сложились, однако, иначе. Во второй четверти XIII в. на Россию опустилось тяжелое монгольское иго, и движение ее по пути культурного прогресса было задержано надолго.

2. Математические рукописи XVII в. Еще до падения татарского ига (т. е. до разгрома войск Золотой Орды Дмитрием Донским в 1380 г.) пагубное вли-

1 „Русская Правда“, т. I. Тексты, Под ред. Б. Д. Грекова. М. — Л. 1940, стр. 352—378.

яние его стало постепенно слабеть, хотя оно и продолжало тормозить развитие Русского государства. В XV в. все более и более крепнет экономическое и политическое могущество Москвы и Новгорода. В XVI—XVII вв. основным центром России становится Москва и заметно возрастает русская городская культура. Серьезное государственное значение приобретают межевание земель и податные сборы, крепнут торговые связи внутри страны и с иными государствами, а наряду с этим и вследствие этого несколько повышается интерес к практической арифметике и геометрии. Землемерные и коммерческие задачи оказали длительное и глубокое влияние на развитие и распространение математики повсюду в мире, в том числе и у нас. Вновь стала предъявлять свои задачи календарного характера церковь; так, в конце XV и начале XVI вв. новгородское духовенство занялось продолжением пасхальных таблиц, ранее доведенных до 1492 г. Скромные на первых порах, все возраставшие впоследствии запросы к математике возникают и в других сферах общественной жизни. К числу их относятся архитектура и особенно военное дело. Недавние исследования по истории русской иконописи и гражданского и военного зодчества отмечают выдающееся значение для них определенных пропорций. Организация более или менее регулярного войска повлекла за собой первые попытки создания военной литературы. Так, еще по распоряжению царя Василия Шуйского в 1606 г. приступили к переводу с немецкого и латыни „Воинской книги“; перевод этот был затем дополнен в 1620 г. при Михаиле Федоровиче. А военная литература предполагала у читателя или сообщала ему некоторые арифметические и геометрические знания1.

В тонкой прослойке образованных людей усиливался интерес к знанию. На первых порах преобладание получили старинные традиции. Русское общество опять обратилось к византийской учености, чему немало содействовало духовенство. Но наряду с этими традиционными связями и понемногу оттесняя их на задний план,, намечалось и крепло сближение с западноевропейской культурой. Московские правительства, правда, с большими колебаниями и в малом объеме, начинают использовать западную технику; при Московском дворе переводятся различные естественно-научные сочинения, появляются первые глобусы, дворцовый театр, аптека и т. п.

Математических документов от той эпохи сохранилось немного, и не все они изучены. О XVI столетии мы знаем лишь некоторые частные подробности. Известно, например, что при Иване Грозном, в 1556 г., в связи с земельными переписями, составлен был землемерный наказ, за которым последовали: другие аналогичные сочинения, более поздние из которых, относящиеся к XVII в., дошли до наших дней. В одной космографической рукописи XVI в., составленной на Литовской Руси, упоминались премудрый „Клидас“, т. е. Евклид, и „Федосей“ и сообщались кое-какие сведения о круге. В 1625 г. с английского переведена была до сих пор не изученная книга по геометрии. Более подробные сведения имеются лишь о старорусской системе геометрических, денежных, весовых мер2.

Математические рукописи XVII в. сохранились в довольно значительном количестве. Часть из них была изучена покойным профессором МГУ В. В. Бобыниным3. Бобынин разделял их на три группы. К первой он отнес рукописи, посвященные отдельно арифметике или же отдельно геометрии. Вторую составляют сочинения энциклопедического характера, содержавшие сведения по арифметике, геометрии, астрономии, хронологии, пасхалии, товароведению. К третьей группе можно отнести так называемые „азбуковники“ - сборники общеобразовательного характера, содержавшие краткие, сведения по грамматике, математике, географии и т. п. Мы остановимся подробнее на арифметических рукописях. Все они довольно сходны;

1 Т. И. Райнов, Наука в России XI-—XVII веков М.—Л., 1940, стр. 288 и след.

2 Л. В. Черепнин, Русская метрология М. 1944.

3 В. В. Бобынин, Очерки истории развития физико-математических знаний в России XVII столетия. Вып. I. М., 1886. Одна арифметическая рукопись издана в „Памятниках Древней письменности“ О-ва любителей древней письменности (т. XLI1I, СПБ, 1879).

многие разделы совпадают даже дословно. Размер их колеблется от 150 до 200 с лишним страниц в четвертку; число задач в них значительно больше сотни. На протяжении XVII столетия можно заметить лишь незначительную эволюцию содержания арифметических рукописей. В более ранних сочинениях имеется больше примеров с отвлеченными числами и меньше с именованными; в них, наряду с арабскими цифрами, употребляется — особенно в задачах с именованными числами — церковнославянская нумерация, которая в позднейших рукописях полностью отсутствует. Не останавливаясь на каком-либо одном из этих сочинений, я дам их общую характеристику. Историческое значение их было очень велико, а содержание не лишено интереса и для современного педагога.

Арифметическая рукопись начиналась предисловием. Арифметика называлась пятой среди наук, составлявших классическую в средние века семерку „свободных искусств“ (тривиум: грамматика, риторика, диалектика; квадривиум: арифметика, геометрия, астрономия, музыка). Автор особенно подчеркивал полезность арифметики. Про нее говорилось: „Сия мудрость есть изыскана древними философами остропаримого разума, нарицается арифметика, сиречь — счетная — арифмос по-гречески счет толкуется. Без сея мудрости ни один философ, ни доктор не может быти. По сей мудрости гости по государствам торгуют и во всяких товарах и в торгах силу знают, и во всяких весах и мерах, в земном верстании, и в морском течении“.

Далее читатель знакомился с арабской нумерацией. За этим следовали таблицы сложения и умножения, которые рекомендовалось знать наизусть, разъяснялось, как производить умножение и деление (последнее — несколькими способами), приводились небольшие таблицы степеней 2 и 3. Проверка сложения, умножения и деления осуществлялась с помощью числа 9, проверка вычитания — с помощью сложения. После этого автор учил „счету костьми“, подобию римского абака. Для этого применялась доска, разграфленная мелом на продольные полосы, соответствующие десятичным разрядам. Кроме того, проводились одна или несколько перпендикулярных к первым линиям прямых, для отметки в получающихся прямоугольниках результатов промежуточных действий (например, частных произведений единиц отдельных разрядов). Единицы отдельных разрядов изображались костяшками, положенными на продольные линии. Любопытно, что в этом способе счета сохранилось еще влияние пятеричной системы: если число единиц разряда равнялось или было больше 5, то одна кость помещалась между двумя соседними продольными линиями и приобретала значение 5 единиц соответствующего разряда (остальные помещались на самой линии). Для землемерных расчетов, „сошной клади“, проводилось еще несколько продольных и поперечных линий, в которых кости выражали употребительные доли тогдашней меры площади „сохи“ / —, ——, —\

К статье о счете костьми примыкал „указ о дощаном счете“ — прообразе современных русских счетов.

Большое место отводилось таблицам московских, антверпенских, венецианских, нюрнбергских и иных весов и мер. Я отмечу лишь, что в мерах времени сохранялось известное еще во времена Кирика деление „большого часа“ на пятеричные доли, до „часцов седьмых малых дробных“. Впрочем, наряду с этим, указывались „немецкие“ меры времени: „час 60 минютен, минютен 60 секунден, секунден 60 теркис“. Здесь же приводились примеры с переводом одних систем мер в другие, с переводом больших мер в меньшие и обратно.

Разделы, посвященные счету, заканчивались статьями о дробях. Рукопись при этом содержала прямое указание на западноевропейское происхождение излагаемых сведений: „буди ти ведомо,— писал ее автор,—как ся пишут доли в цыфирном счете по немецким землям, в латине и во французской земли“. Действиям над дробями предшествовало при этом неожиданным для современной методики образом „вынимание дробовое“ — определение части или частей данной дроби. Несколько далее (между статьями о сложении и вычитании дробей) автор пояснял значение этого „вынимания дробового“: „Как некоторой

человек имеет у себя пятеро детей. Да имеет под собою четверть двора, и как тот человек умер, так у него та четверть двора осталась пятерым детям; то есть по пятине чети двора“. Введение долей дроби перед описанием действий над дробями не было специфической особенностью русских арифметических сочинений. Например, этот же прием встречается у немецких авторов того времени. В результате уже при сложении дробей рассматривалось и сложение долей дробей. Излагались действия над дробями, очень подробно. Например, статья о сложении дробей состояла из десяти „строк“, в которых разбирались случаи сложения: 1) правильных дробей с одинаковыми знаменателями; 2) простых правильных дробей с разными знаменателями, именно г/2 с lL\ 3) более сложных правильных дробей с разными знаменателями; 4) смешанного числа с правильной дробью; 5) смешанного числа со смешанным; 6) части дроби с дробью; 7) части дроби с частью дроби; 8—9) выраженной смешанным числом частью дроби или же смешанного числа с другой дробью; 10) выраженной смешанным числом частью смешанного числа с частью дроби.

Все статьи не содержали определений и доказательств. Пояснения были исключениями, — одно такое пояснение я привел выше. Другим примером может служить краткое объяснение сложения Va и „буди ж ти ведомо сице: возьми число 6; что-ж половина изо 6, то-есть 3. Что ж есть треть изо 6, то-есть 2. Сложи ж половину с третью станет 5 шестин“. Почти исключительно в виде предписаний излагались последующие разделы рукописей, посвященные решению задач.

Задачи в рукописях разбирались довольно разнообразные,—на пропорциональное деление имущества, на учет тары, на смеси, на оплату компаньонов и приказчиков, на раздел прибылей, изредка на проценты и т. п. Предметами их часто служат отечественные и заграничные товары: кожи, воск, изюм, материи, мыле, вина и т. д. Задачи группировались в статьи, причем иногда основой группировки служила не общность математического содержания, но общность предмета, о котором шла речь в задаче. Большое число задач подходило под рубрику тройного правила и его вариантов — обратного тройного правила, пятерного правила и др. В средние века и далеко за их пределами, вплоть до XIX в., тройное правило занимало в курсах арифметики центральное место. Все европейские арифметики XV—XVIII вв. концентрировали внимание учащегося именно на нем. Его иногда даже излагали в стихах. Англичанин Бэкер в 1562 г. писал: „Тройное правило — главное, наиболее полезное и превосходное правило во всей арифметике. Ибо все другие правила нуждаются в нем, оно же обходится без всяких других; по каковой причине, как говорят, и назвали его философы золотым правилом“. Такие же похвалы расточали тройному правилу и сочинители русских рукописей: „Та строка, тройная, писал автор, похвальная и лучшая строка изо всех иных строк. Философы ее зовут золотою строкою“. Разъяснялось правило в предписании очень коротко: „строка эта ставится в три перечня (числа — А. Ю.), рожает собою четвертой перечень. Поставит первый перечень, а другим перечнем третий умножает, и что родится во умножении, то первым перечнем делит и оттуды выходит четвертой перечень. Смотри: восемь; цена им, или добыли, или потеряли, или дали, или дадут, или заняли, или платили 12. Что дадут, или платят, или что ни есть десять? И ты умножай 12 с 10, придет i 20; то дели-ж на 8; придет 15“. Действие располагалось по схеме:

После этих скупых пояснений автор переходил к задачам. При этом отдельно разбирались задачи на тройное правило в целых и в дробях, в отвлеченных и именованных числах. Далее решались многочисленные задачи коммерческого содержания. Вот одна типичная задача:

„Гость купил 8664 овчины, а сторговал 100 овчин по 172 рубля; да и продал те овчины, ино ему сходилося со 100 овчин по 8 овчин прибыли. Ино сколько тот гость за овчины денег пла-

тил и что у овчин принял денег, сочти ми.

Станет денег за овчины платил 129 рублев 32 алтына, а принял у овчин 10 рублев 13 алтын с деньгою да 9/25 деньги (деньга — полкопейки. А. Ю.). А считай сице. Постави на строку да молви: 100 он чин даст 1*/г рубля, что даст 8664 овчины. Умножи 8664 с l1/*, придет 12996; 12996 дели на i00, придет 1 -9 96/100 рублев; и ты остатки переведи в ноугородки (копейки.—А. Ю), как 96 умножи со 100; придет 9600. Дели-ж те 9600 опять на 100; придет 96 ноугородок. Те ноугородки сведи в алтыны, дели на 3, потому что по 3 ноугородки походит в алтыне; ино придет 32 алтына. Столько он платил за все овчины и всего станет 129 рублев 32 алтына. Да опять молви: 100 овчин даст им прибыли 8 овчин, что даст 8664 овчин; придет 6933/25 овчин. Да молви: 100 овчин даст 1*/2 рубля, что даст 6938/?б. Считай на строку: все перечни перевести в свои доли 3/2 да пв?*/*л; и ты преже умножи 100 с 2, придет 200; да опять умножи 200 с 25, придет 5000, тем делити будет. Да умножи 17328 с 3-мя, придет 51984; тот перечень на дел постави: дели-ж на 5000, придет 103984,5ооо Рублев. Разведи-ж остатки в ноугородки, как 1984 умножи со 100, придет 3984/50. Ино всего станет у овчин 10 рублев 13 алтын да 19Д>5 деньги“.

При внимательном чтении этого текста видно, что отсутствие общих разъяснений метода решения задачи отчасти искупалось детальным описанием хода выкладок. Впрочем, среди задач на тройное правило имелись и такие, которые прямо по этому правилу решены быть не могут. Такова задача о том, во сколько дней выпьет кадь кваса жена, если вместе с мужем они ее выпивают за 10 дней, а один муж может выпить кадь за 14 дней,—задача типа старинных задач на бассейны с трубами. В рукописи давался только рецепт: из 14 вычесть 10 и определить, что даст 14, если 4 дает 10. Ответ, именно 35 дней, верен. Но для читателя рукописи внутренний механизм решения оставался скрытым.

Очень видное место в рукописи занимало также правило ложного положения; „статья фалшивая или збойливая“. В старой математике различались два вида этого правила. Правило одного ложного положения применялось к задачам, выражающимся по-современному линейным уравнением: ах = Ь. Если взять для пробы X = х1 и положить ахг = Ьи то истинное значение х найдется по тройному правилу из пропорции = ~ . Для задачи, выражаемой нами уравнением ах-\-с = Ь, пропорциональности между X и х19 с одной стороны, b и ах1~\-с = Ьх — с другой, не будет. В этих случаях применялось правило двух ложных положений, которое попало в Европу от арабов и пользовалось популярностью ряд столетий. Если употреблять отрицательные числа, то определение неизвестного в уравнении ах-\-с = Ь по правилу двух ложных положений производится следующим образом. Неизвестному придаются два произвольные значения хг и х2> тогда при ахг ^c = bl и ах2 -\-с = Ь2 будет -—=----J =---------, т. е. ошибки принятых для X значений пропорциональны погрешностям левых сторон уравнений; само искомое значение х — *£ïzz£êx . Правило дает точное решение для уравнения первой степени и применимо к определенным системам линейных уравнений с несколькими неизвестными. Популярность его объяснялась тем, что оно позволяет механически находить точное решение линейной задачи с одним неизвестным, не требуя при этом предварительного составления уравнения. В линейных задачах с несколькими неизвестными оно употребляется также довольно легко. Впоследствии это правило стали применять для приближенного вычисления корней уравнений и для интерполирования. Его можно встретить и ныне в любом курсе высшей алгебры или приближенных вычислений. Из элементарной математики оно выпало в начале XIX в. Разъяснить его без алгебраических приемов сложно, а при знании алгебры, которая в XIX в. была включена в школьные программы, оно для решения линейных задач ненужно. Но в XV—XVIII вв. regula falsorum positionum сообщалось в большинстве евро-

пейских арифметик, стававших его даже выше тройного правила, как более сильное.

Старинная арифметика не знала отрицательных чисел и поэтому должна была отдельно рассматривать случай, когда bl9 Ь2 оба больше или меньше, чем Ь9 т. е. когда, по-нашему, ошибки du d2 одного знака, и случай, когда одно из чисел bv b2 больше b, а другое— меньше, т. е. когда ошибки dv d2 разных знаков. В первом случае, как легко видеть, нужно производить вычитания, а во втором — сложения1. Для обозначения этих случаев наши авторы применяли символику, распространенную в немецких учебниках, именно — ставили перед ошибкой знак +, если bl > Ь9 и знак —, если b > bv Они указывали также, что в случае одинаковых знаков при погрешностях нужно составлять делимое и делитель путем вычитания, а в случае разных — путем сложения. Я приведу образец линейной задачи с двумя неизвестными (в рукописях решались также задачи с 3 и 4 неизвестными). „Два гостя хотят двор купити, как Петр да Иван. И рече Петр ко Ивану: дай ты мне, Иван, -/3 из твоих денег, сколько них с тобою есть. И яз один за тот двор деньги заплачу все. А Иван к Петру рече: дай ты мне, Петр, из твоих денег ино яз один за двор деньги заплачу. А двору цена 38 рублев. Ино, сколько с которым гостем в то время денег было, сочти ми“. Автор полагает сперва, что Петр имеет 24 рубля, тогда, согласно первому условию, Иван должен был бы иметь 21 руб. (т. е. */а его денег дадут 38—24). Но, согласно второму условию, получается, что 3/4 петровых денег да деньги Ивана составят 39 р., т. е. на 1 р. больше, чем стоит двор. Допущение, что Петр имеет 20 р., при котором Иван должен был бы иметь 27 р., дает по второму условию 42 р., т. е. на 4 р. больше, чем нужно. После этого денежная наличность Петра вычисляется по схеме

т. е. равна -= 25—, а наличность Ивана будет —---—=19. Если бы мы выразили условия задачи уравнениями х-\--~у=38, 3> + ~ -к =38, то прием решения передали бы так: значения у, полученные при ложных положениях из первого уравнении, подставляются во второе, и получившееся уравнение с одним неизвестным решается по фальшивому правилу.

В конце рукописи имелись также задачи на вычисление пасхалий и небольшое число задач развлекательного содержания: на неопределенные системы первой степени, на определение времени встречи путников, идущих навстречу друг другу или друг за другом с различными скоростями.

Таким образом, русские арифметические рукописи XVII в. представляли собой сочинения по практической арифметике. Они должны были сообщить навыки в решении разнообразных задач, главным образом коммерческого характера. Центральное место занимали тройное и фальшивое правила. Теоретические сведения не сообщались, а пояснений было крайне немного. Не вводилось явно даже понятие об отношении и пропорции. Метод изложения в этих рукописях можно было бы подвергнуть вполне обоснованной, с современной точки зрения, критике. Совершенно неудачно было включение в задачи на тройное правило задачи о муже и жене. Незачем было, как это делалось, решать ряд задач по правилу двух ложных положений; лишним было обилие „статей“, обладавших по существу однородным математическим содержанием. И, главное, непедагогичным было отсутствие разъяснений вводимых понятий и правил действий. В. В. Бобынин занял по отношению к изученным им рукописям позицию такого сурового критика. Из всех статей, писал он, „ни одна не обнаруживает в такой степени низкого состояния интел-

1 Ср. у А. Такэ в „Arithmeticae theoria et praxis“ (1656). „Если ошибки подобны, первая гипотеза умножается на ошибку второй, вторая гипотеза на ошибку первой, и разность произведений делится на разность ошибки. Если ошибки разнородные, то сумма произведений делится на сумму ошибок“ (изд. 1704, стр. 430).

лектуальных средств, находящихся в распоряжении наших арифметиков XVII столетия и более ранних времен“, как статья о тройном правиле. Бобынин видел это и в расточаемых правилу похвалах, и в способе его изложения, и в расчленении его на отдельные правила для целых и дробей, для отвлеченных и именованных чисел. Он далее писал: „при отсутствии ясного представления о сущности предмета и о том общем, что скрывается под видимым разнообразием частных случаев, сознательное употребление приведенного выше определения простого тройного правила или скорее шаблона решения последнего было для наших арифметиков в XVII столетии немыслимо“ и применялось оно „без всякого участия мышления“1. Недостатки изложения в рукописях несомненны. И вместе с тем с оценкой В. В Бобынина согласиться нельзя. Во-первых, он явно недооценивал „интеллектуальные средства“ русских арифметиков XVII в. Во-вторых, он судил о рукописях не с исторической точки зрения.

Прежде всего не может быть сомнения в том, что авторы наших рукописей понимали смысл простого тройного правила. Каковы бы ни были дефекты и сжатость изложения, они, как свидетельствует приведенный ранее отрывок, попытались изложить его сущность в довольно общем виде, хотя и на элементарном примере. В применении к обыденным задачам на определение стоимости m предметов по известной стоимости п таких же предметов тройное правило было весьма нетрудно понять и менее опытным вычислителям, чем авторы рукописей. Конечно, было бы лучше явно сформулировать понятия об отношении и пропорциональности, но ведь ими можно пользоваться и в неявной форме. А более сложные задачи на тройное правило (например задачи о прибыли при продаже овчин и т. п.) сознательно разбивались, как это ясно из подробных решений, на ряд четко расчлененных этапов. Предлагаемый авторами рукописей путь учения был долгий, трудный; в нем было много рутины и шаблона, он плохо развивал математическое мышление и слишком много отводил на долю механического заучивания. Но все же в нем имелись и элементы рассуждений, а не одно лишь заучивание правил наизусть, хотя последнее и преобладало. Возможно также, что при обучении добавлялись кое-какие устные пояснения. Сказанному отнюдь не противоречит ни причисление по традиции к статье о тройном правиле задачи типа задач на бассейны, ни, надо полагать, механическое использование авторами рукописей фальшивого правила, основания которого значительно сложнее, чем у прямого и обратного тройных правил.

Далее, при оценке наших рукописей следует иметь в виду состояние аналогичной западноевропейской литературы. Нет спора о том, что в Западной Европе XVII в. математика далеко опередила русскую. Но наиболее принципиальные отмеченные недостатки разбираемых рукописей, в том числе и догматизм изложения, были присущи почти всей тогдашней „практической“ литературе по математике. Арифметика в Европе возрождалась как наука купцов, строителей, горных техников, артиллеристов, чиновников и мастеровых. Эти люди не были знакомы со строгим стилем античных классиков, да и не испытывали в нем нужды. Они интересовались математикой лишь как орудием в решении сравнительно простых задач повседневного рабочего обихода. Практические деятели искали в первую очередь предписаний и правил действий. И даже когда научная математика стала добиваться одного успеха за другим, когда в XVII в. стали выходить серьезные курсы арифметики Такэ, Валлиса, Дешаля,— долго еще сохранялся спрос на руководства, содержавшие лишь правила, поясненные многочисленными задачами.

В этих условиях понятна классификация задач по статьям, помогавшая читателю сразу найти рецепт решения нужной задачи. У Фаульгабера, например, в его известном „Arithmetischer Wegweyser“ (1-е изд. 1614 г.), переиздававшемся по крайней мере 150 лет. мы найдем под особыми рубриками задачи на тару, на переводы одних мер в другие, на правило товарищества, на оплату компаньонов и приказчиков, на подсчет прибылей и убытков, на обмен товаров, на определение стоимости слитков и проч.,—словом, примерно те

1 В. В. Бобынин, Цит. соч , стр. 67 и 68.

же статьи, что в наших арифметических рукописях. Вместе с тем понятно стремление дать правила, годные для очень широкого круга задач, а в связи с этим, скажем, применение правила двух ложных положений к задачам, которые можно решить и без него. Тот же Фаульгабер решает с помощью двух ложных положений задачу, которую мы выразили бы уравнением

Наша арифметическая литература XVII в. входила как составной элемент в общеевропейскую литературу по практической арифметике и разделяла ее характерные черты. И Фаульгабер, и популярный французский автор Н. Баррем и др. также сообщали одни правила и задачи.

Реакция против механического заучивания нарастала еще весьма медленно и в XVII в. захватила лишь очень незначительные круги учителей и учащихся. Кстати замечу, что порицаемое Бобыниным разделение тройного правила на правила для целых и дробей, для отвлеченных и именованных чисел также являлось общей чертой европейских практических арифметик. Тот же Фаульгабер сперва излагает действия над целыми числами и тройное правило для них. За этим следует более трудный отдел „алгоритма или учения о дробях“, и в нем снова излагается тройное правило для дробей, причем участвующие в задаче числа сперва переводятся в целые умножением на общий знаменатель. Столь же понятным в тогдашних условиях было выделение тройного правила для именованных чисел, где требовалось предварительное приведение величин к общим мерам. Да и мы бы в этом случае дали учащемуся соответствующее указание,— только не выделяя этот совет как особое правило.

Во всяком случае, каковы бы ни были личные познания составителей рассматриваемых рукописей, сочинения их по типу совпадали с теми, которые были в ходу и в Западной Европе. И ясно, что основными источниками при составлении русских арифметических рукописей служили общеевропейские учебники. Точно установить, какие именно книги при этом были использованы,—дело труднее. Впрочем, в таком исследовании нет особенной необходимости, ибо все европейские книги этого рода—и немецкие, и английские, и французские—были очень сходны по содержанию и приемам изложения. Но если нет сомнения в близости наших первых арифметических рукописей к иностранным руководствам, то столь же несомненно, что авторы рукописей не просто переводили заграничные книги. Наши рукописи являлись плодом стараний приспособить текст к русским условиям. К числу таких видоизменений можно отнести добавление статьи о счете костьми и о дощаном счете, переработку отделов о весах и мерах, перевод почти всех мер в задачах в московские. В наших рукописях не встречается также задач, решаемых по правилу одного ложного положения. Быть может, русские арифметики считали лишним излагать его при наличии более сильного правила двух положений?

Математическая терминология в XVIIв. лишь начинала создаваться. Число вообще часто называлось перечень, нуль—он (название буквы „О“), оник, дроби — долями; — —... звались пятина, седьмина и т. п., а скажем---- двенадцать тринадцатых жеребев. Вместо „сумма“ говорили „исподний большой перечень“ (сумма подписывалась под слагаемыми-„перечнями“), вместо, уменьшаемое“ и „вычитаемое“ —„заемный“ и „платежный“ перечень. Вместо „множимое“ писали „верхняя строка, которую умножаешь“; делимое, делитель и частное именовались „большой перечень“, „деловой перечень“, „жеребейный перечень“, а остаток назывался „остаточной долей“,— слово же „остатки“ означало разность. Числитель дроби называли „верхним числом“, знаменатель — „нижним“. Как видно, иные термины брались из торговой речи. Появлялись и некоторые иностранные слова, часть которых укоренилась. В разнообразных рукописях имеются, например, такие заголовки статей: „нюмерасия или считание словесем и начертание числом цыфирным“, „адитсие или считание“, „сюстряксие по-русски вынимание или считание“, „мюлтипликасие или умно-

жение числу всякому“: наконец, „статья дивизие или деловая или расчетная“. В немецких учебниках латинские названия арифметических действий встречались очень часто, но в несколько измененной форме: „Numerirn“, „Addirn“, „Multipliern“ и т. п. Быть может, авторы русских рукописей имели дело также и с латинскими книгами?

В то время как русские арифметические руководства мало отличались от аналогичных ходовых сочинений в Западной Европе, наши геометрические рукописи значительно уступали современным им иностранным „практическим геометриям“. Сообщаемые в ранних геометрических рукописях XVII в. правила измерения прямолинейных фигур нередко способны давать весьма грубые приближения. Правда, в приводимых примерах погрешности обычно не очень велики, и, быть может, сами авторы руководств применяли такие неточные правила лишь в случаях, когда они дают сравнительно малые погрешности. Более поздние рукописи сообщают точные правила для определения площадей прямоугольного треугольника и прямоугольной трапеции. Правила эти носят более землемерный, чем геометрический характер. Косоугольную трапецию рекомендовалось разделить высотами на прямоугольник и прямоугольные треугольники. В косоугольном треугольнике проводили параллель основанию и опускали высоты из вершины на эту параллель и из концов параллели на основание. Площадь прямоугольного четырехугольника находилась по неточному правилу,— как произведение полусумм противолежащих сторон. Для измерения круга различные рукописи давали рецепты весьма различной степени точности. В одном случае за квадрат, равновеликий кругу, брался квадрат с периметром, равным окружности. Это правило, восходящее к старинному представлению, будто фигуры с равным периметром имеют равную площадь, давало относительную погрешность более 25°/о, хотя автор рукописи уверял, что при этом „единую сажень не потеряешь“. Наряду с этим длина окружности получалась умножением диаметра на 22/7. Встречаются также задачи на пропорциональное деление поместий, на определение высоты недоступного предмета с помощью палки и т. п. Авторы рукописей определяли также объем прямоугольного параллелепипеда и сферы (наше ä = 3) и объемы бочек, причем бочка считалась равновеликой цилиндру с той же высотой и с диаметром основания

где dlf d^ d2 — диаметры доньев и „пуза“ бочки.

В позднейших рукописях к планиметрическим задачам примыкало „учение деления радиксом геометрическим“, т. е. извлечение квадратного корня, а к стереометрическим — извлечение кубического корня. Примеры с извлечением корней даже в самых поздних рукописях не свободны от ошибок, но все же изложенный в них материал говорит о некотором движении вперед и в этой области. В целом, однако, повторяю, геометрические рукописи XVII в. были гораздо менее содержательны и менее точно составлены, чем западноевропейские „практические геометрии“1. Впрочем, возможно, что до нас не дошли какие-либо более удачно составленные сочинения.

Подведем итоги. В XVI—XVII вв. наметился некоторый подъем русской математической культуры. Пробуждался интерес к прикладной арифметике и геометрии, появлялись отдельные любители этих наук, распространялась рукописная литература.

В этом столетии, для нас бывшем веком первых и редких уроков практической арифметики и геометрии, Декарт придал современный вид алгебре и вместе с Ферма создал аналитическую геометрию, Ньютон и Лейбниц открыли диференциальное и интегральное исчисления. Практическая математика в Западной Европе находила довольно широкое применение в работе геодезистов, военных инженеров, строителей, мореплавателей, и. т. д. Западная Европа располагала немногочисленной, правда, технической и военной интеллигенцией. Масса народа оставалась еще долгое время далекой от простой грамотности, но в крупных

1 В. В. Бобынин, Очерки истории развития физико-математических знаний в России. XVII столетие. Вып. II. М, 1893.

государствах существовало несколько специальных военных и технических школ. В России скромные математические знания оставались уделом узкого круга частных лиц. Государственных шк л не было, печатной литературы по математике не существовало. Лишь в 1682 г. в Москве вышла первая печатная книга по математике „Книга считания удобного“ — простые таблицы умножения до 100 на 100, записанные в славянской нумерации. Уже раздавались, правда, голоса о необходимости обучения торговых людей счету. Но правительства московских царей XVII в. с их робким и неприязненным отношением к светской науке Запада, с их частными и нерешительными заимствованиями, ничего не сделали для распространения в России технической и математической культуры. Духовенство сопротивлялось внедрению светской науки. В надгробном слове Петру I Феофан Прокопович не очень сгущал краски, восклицая: „Тая прежде были мы? Не ведаю, во всем государстве был ли хотя один цирклик, а прочего орудия и имен не слыхано: а есть ли бы где некое явилося арифметическое или геометрическое действие, то тогда волшебством нарицано“. Чтобы активизировать огромные возможности русского народа, чтобы выдвинуть Русское государство на военно-хозяйственный уровень современных ему великих держав, чтобы поставить с этой целью образование и математику на службу стране — необходим был мощный толчок. Этот толчок был дан в начале XVIII в., в петровскую эпоху.

(Продолжение следует)

ОТ РЕДАКЦИИ

В целях облегчения проверки присылаемых решений задач, редакция настоятельно просит соблюдать следующие условия.

1. В одном конверте посылать решения только по одному номеру журнала.

2. Решение каждой задачи давать на отдельном листке. с разборчивой подписью.

3. На отдельном листке дать перечень №№ присылаемых решений и адрес

4. Никаких вопросов к редакции вместе с решениями не посылать (решения просматриваются значительно позже их получения и ответ на запрос соответственно задержится или даже потеряет смысл).

Редакция

МЕТОДИКА

ТРЕБОВАНИЯ К ПИСЬМЕННЫМ РАБОТАМ ПО МАТЕМАТИКЕ

Ю. О. ГУРВИЦ и С. В. ФИЛИЧЕВ (Москва)

В инструкции об экзаменах на аттестат зрелости и выпускных экзаменах за курс начальной и семилетней школы указано, что экзаменующиеся должны обнаружить на письменных экзаменах по математике уменье решать задачи с подробным объяснением и обоснованием плана решения, твердые навыки в рациональном и правильном производстве вычислений и преобразований.

Действительно, только при наличии исчерпывающих письменных объяснений хода решения задачи и обоснования выбора действий можно выявить качество усвоения учащимся программного материала.

Ясно, что уменье решать задачи с должным объяснением само собой не приходит. Этому уменью надо учить учащихся.

Методика арифметики частично освещает вопрос о подробном объяснении хода решения арифметических задач, а в методиках по алгебре и геометрии этому вопросу уделяется недостаточное внимание.

Цель настоящей статьи—на конкретных задачах показать, как примерно должны быть оформлены письменные работы по математике в VII и X классах, чтобы они, по возможности, полно удовлетворяли требованиям инструкции Министерства просвещения об экзаменах Вопросы же методики обучения учащихся умению составлять письменное объяснение к решению задач не затрагиваются.

Ниже приведены примеры решения задач с объяснением по алгебре и геометрии Нужно иметь в виду, что формы объяснения решения могут быть самыми разнообразными, и в этой области не надо давать обязательных канонов, не надо стеснять инициативу как учителя, так и учащегося.

Образцы записи решения задач по алгебре и геометрии явились результатом просмотра значительного числа работ учащихся за последние 2 года.

1. Письменные работы по алгебре

В письменные работы по алгебре (с арифметикой) и на выпускных экзаменах в VII классах и на экзаменах на аттестат зрелости непременною частью входит текстовая задача.

Формы записи объяснения решения задачи по алгебре могут быть разнообразными, но при всем их разнообразии должны иметь место следующие моменты:

1) установление функциональной зависимости между величинами данной задачи и определение, какую из неизвестных величин обозначить буквой гха (или какой-либо иной);

2) перевод условия задачи на язык алгебры и обоснование составления уравнения;

3) решение уравнения;

4) исследование (это в X классе);

5) запись ответа на вопрос задачи в словесной форме.

В процессе текущей работы необходимо приучать учащихся оформлять свои работы в соответствии с данными указаниями. Вместе с тем желательно, чтобы учащиеся проводили проверку решения по условию задачи.

Покажем сперва на примерах образцы объяснения к решению задач на составление уравнений первой степени с одним неизвестным (VII класс).

Рассмотрим задачу, предложенную на выпускных экзаменах в VII классе в 1945/46 учебном году:

На одной складе-—185 m угля, на другом—237 т. Первый склад стал расходовать ежедневно по 15 m угля, а второй —по 18 m угля. Через сколько дней на втором складе будет угля в полтора раза больше, чем на первом?

Решение. Если обозначим искомое число дней через х, тогда за х дней с первого склада было израсходовано \Ъх m угля, так как ежедневно склад расходовал по 15 т.

Со второго склада за х дней было израсходовано 18а: m угля, так как ежедневно второй склад расходовал по 18 т.

Теперь можем обозначить, сколько угля осталось на каждом складе через X дней расходования. Будем иметь в тоннах: на первом складе осталось 185—15х, а на втором 237— 18х.

По условию задачи через х дней на втором складе угля стало в полтора раза больше, чем на первом. Следовательно, если остаток угля на первом складе увеличить в полтора раза, то он будет равен остатку на втором складе, и мы получим:

Решаем полученное уравнение, для чего приводим его сперва к нормальному виду:

Проверим полученное решение.

Первый склад за 9 дней израсходовал 15-9 = 135 (т)у второй за 9 дней 18-9 = 162 (т). Тогда на первом складе осталось 185— 135 = 50 (т), на втором 237 — 162 = 75 (т), т. е. на втором складе в полтора раза (75 :50= 1 -~) больше, чем на первом, что и указано в условии задачи; следовательно, решение правильное.

Ответ: через 9 дней на втором складе будет угля в полтора раза больше, чем на первом.

Рассмотрим еще задачу по алгебре, предложенную на выпускных экзаменах в VII классе в 1945/46 учебном году для экстернов:

Пароход, двигаясь по течению реки, прошел расстояние между городами в 12 час; возвращаясь обратно, он прошел тот же путь в 16 час. 48 мин.

Скорость парохода в стоячей воде 12 км в час. Найти скорость течения реки и расстояние между городами.

Решение. В задаче даны скорость парохода в час в стоячей воде, время движения его по течению и против течения. Требуется найти скорость течения реки и расстояние между городами.

Скорость парохода по течению равна сумме двух скоростей: скорости парохода в стоячей воде и скорости течения реки, а скорость парохода против течения равна разности этих скоростей.

16 час. 48 мин. == 16 — час. = 16 — часа.

Зная скорость парохода в стоячей воде 12 км в час и обозначив скорость течения реки в час (в километрах) через X, будем иметь:

Так как пароход прошел одно и то же расстояние по течению и против течения, то имеем уравнение:

(12 + х)- 12 = (12-х). 16-.

Чтобы решить полученное уравнение, необходимо предварительно его привести к нормальному виду. Имеем:

Скорость течения реки 2 км в час, тогда скорость парохода по течению будет (12 + 2) км, т. е. 14 км, а расстояние между городами 14-12=168 (км).

Проверим полученное решение.

Если скорость парохода в стоячей воде 12 км в час, а скорость течения реки 2 км в час, то скорость парохода по течению будет 14 км в час, а против течения—10 км в час. Расстояние в 168 км по течению пароход пройдет в 12 час. (168: 14), а против течения—в 164/5 часа (168:10), что согласуется с условием задачи; следовательно, решение правильное.

Ответ: скорость течения реки равна 2 км в час, а расстояние между городами равно 168 км.

Приводим образцы объяснения к решению задач на составление уравнений второй степени с одним неизвестным (X класс).

Задача № 1 (предложенная для экзамена на аттестат зрелости в 1945/46 учебном году):

На обработку одной детали рабочий А затрачивает на п мин. меньше рабочего В. Сколько деталей обработает каждый из них за t часов работы, если А обработает за это время на m деталей больше, чем В?

Решение. Положим, что рабочий В обрабатывает за t час. х деталей, тогда рабочий А обрабатывает за это же время (х -+- т) деталей, так как в условии задачи сказано, что А обработает за это время на m деталей больше, чем В.

Рабочий А на обработку одной детали тратит мин., а рабочий В тратит на обработку одной детали мин. По условию задачи на обработку одной детали рабочий А затрачивает на п минут меньше рабочего В; следовательно, число больше числа —-,— на п, и мы можем написать уравнение:

Решим полученное уравнение, предварительно приведя его к нормальному виду:

откуда

Исследуем полученные решения:

1) по смыслу задачи: т>0, я>0, £>0, и искомое X должно быть положительным;

2) оба корня хг и л“2 числа действительные, так как дискриминант тъг&-\-+ 240 mnt есть число положительное.

3) исследуем знаки корней хг и л2. По теореме Виета произведение корней Xi'Xt—-----, т. е. равно отрицательному числу и, следовательно, корни имеют разные знаки.

Действительно,

так как

и потому подкоренное число

Имеем

Числитель и знаменатель этой дроби положительны и, следовательно, хг > 0. Корень Xi удовлетворяет условию задачи.

Так как л^^О, то согласно теореме Виета д:2<0 и не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: рабочий В за t часов обрабатывает--—^ —- деталей, а

рабочий А за это же время обрабатывает деталей.

Проверка решения задачи. Если рабочий В за t часов обрабатывавает —---— - деталей, то на обработку одной детали он тратит - мин., а рабочий A тратит —___--мин.

Разность

что соответствует условию задачи. Задача решена правильно.

Задача № 2.

Два путешественника вышли одновременно навстречу один другому из пунктов M и N. Когда они встретились, то оказалось, что первый путешественник прошел на m км больше, чем второй. Затем каждый из них, сохраняя свою скорость, отправился дальше, после чего первый прибыл в пункт В через р часов после встречи, а второй прибыл в пункт А через q часов после встречи. Найти расстояние между пунктами M и N.

Решение. Положим расстояние между пунктами M и N будет х км, а точка встречи R. Тогда

MR-\-RN = x

и по условию

MR — RN = m.

Отсюда MR = -~ - — расстояние, пройденное первым путешественником до встречи. RN = - ~ т — расстояние, пройденное вторым путешественником до встречи.

Скорость первого путешественника будет х~~т км в час, а скорость второго путешественника будет--км в час.

Расстояние MR = ^^km первый путешественник прошел за

а расстояние RN =^—^ км второй путешественник прошел за (х “ т-— — часов.

Так как путешественники шли до встречи одинаковое число часов, то

Решим полученное уравнение. Так как уравнение имеет вид пропорции, то

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Получим:

Откуда

Исследуем полученные решения.

1) По смыслу задачи: т>0, р>0, ?>0, я->0, р <<7 и д;>т.

2) Оба корня хг и х2 числа действительные и положительные, так как р < q и /я > 0, следовательно, *> О и х2 > 0.

3) Дробь > 1} а дробь

в силу того, что р<д

и потому хх>т, а ;с2</;:.

Следовательно, решению задачи удовлетворяет лишь xv

Ответ: расстояние между пунктами M и N равно

Проверка решения задачи: первый путешественник до встречи прошел километров:

а второй

Скорость первого путешественника в час в километрах будет а второго

До встречи первый путешественник шел часов:

а второй

Получилось одинаковое число часов; следовательно, задача решена правильно.

Задача № 3.

Через два крана неодинакового сечения ванна при совместном действии кранов наполняется в m часов. Если бы половину ванны наполнить через один кран, а другую половину — через другой, то для наполнения ванны потребовалось бы t час. Во сколько часов наполняется ванна через каждый кран отдельно?

Решение. Примем объем (емкость) ванны за единицу, пусть первый кран наполняет всю ванну за х час, тогда половину ванны первый кран наполнит за у час- Второй кран наполнит половину ванны за ft— ~) часа> а всю ванну за (2t — х) час. Первый кран в 1 час наполняет-- часть ванны, а второй кран в 1 час наполняет 2t — x часть ванны-Первый и второй краны вместе в 1 час наполняют: — часть ванны, а в m часов всю ванну, т. е. 2t--x ) ,/Was=I-

В полученном уравнении х Ф 2t. Решаем уравнение

или

Исследуем полученные решения:

1) По смыслу задачи Атг>0> t>0, л > О, t>m, х^>т и х Ф 2t.

2) Оба корня будут действительны, если tz>2mt или £>2/л. Действительные корни будут одинакового знака (2mt>0) и оба положительны, так как по теореме Виета

xl-f-x2 = 2t, a 2t>0.

3) Так как оба корня будут действительными при условии t> 2т, то положим сперва, что t = 2m, тогда

хх = X, = t.

При t>2m имеем

Действительно,

Возведем левую и правую части последнего неравенства в квадрат:

Пришли к очевидному неравенству.

Таким образом, оба корня хг не пригодны для ответа. Если один кран наполнит ванну через хх час, то другой наполнит ванну через 2t — хг=х2 час.

Решение хх = х2 = t не пригодно для ответа, так как краны, по условию задачи, неодинакового сечения.

Ответ: при t>2m один из кранов наполняет всю ванну за t-\~ \ft* — 2mt час, а другой за t —^ t2 — 2mt час

Проверка: за t-\-\J Р—2mt час. первый кран наполняет всю ванну, следовательно, в 1 час наполняется часть ванны.

Через второй кран в 1 час наполняется часть ванны.

Обе трубы в 1 час наполняют — — часть ванны. Следовательно, задача решена правильно.

В письменную работу по алгебре для экзамена на аттестат зрелости входит обычно и пример на бином Ньютона.

Рассмотрим задачу на бином Ньютона, предложенную для экзамена на аттестат зрелости в 1945/46 учебном году.

В разложении бинома

определить член, содержащий букву а в третьей степени, если сумма биномиальных коэфициентов членов, стоящих на нечетных местах в разложении бинома, равна 2048.

Решение. Заменим в членах бинома корни дробными показателями степеней Тогда данный бином примет вид:

Найдем сначала показатель степени данного бинома. Так как сумма всех биномиальных коэфициентов равна 2п и сумма биномиальных коэфициентов четного порядка равна сумме биномиальных коэфициентов нечетного порядка, то имеем:

(при равенстве степеней и оснований, не равных нулю или единице, должны быть равны и показатели степени)

Пользуясь формулой общего члена разложения бинома, имеем:

По условию задачи искомый член содержит букву а в третьей степени, следовательно:

Если а не равно нулю или единице, то

Найдем теперь искомый член разложения бинома

Ответ: в разложении бинома восьмой член содержит букву а в третьей степени и равен — 264а367.

Рассмотрим решение задачи на неравенство, предложенной для экзамена на аттестат зрелости в 1945/46 учебном году.

Решить неравенство:

Решение. Сначала приведем данное неравенство к нормальному виду:

Коэфициент при х2 — число положительное, дискриминант

следовательно, корни данного трехчлена действительные и неравные:

Значения х больше большего или меньше меньшего корня.

Если будем в наше выражение

вместо X подставлять любое число, меньшее — — (например — 4, — 5 и т. д.) или большее--(например —- , —~, 1 и т. д.), то мы будем получать положительные значения.

Ответ: неравенство

имеет место при ху>--у- или при

Примечание. Данное квадратное неравенство можно решить и иным способом. После приведения неравенства к нормальному виду оно принимает следующий вид:

Корни трехчлена 4л:2-f-16,*-f 7 суть:

Следовательно, данное неравенство можно представить так:

Это неравенство удовлетворяется, когда одновременно:

Таким образом, имеем:

значение должно быть больше большого корня.

т. е. значение х должно быть меньше меньшего корня. Итак, данное неравенство верно, если

Ниже приводим несколько задач для упражнения на составление буквенных квадратных уравнений с одним неизвестным, учитывая, что в школьном задачнике таковых недостаточно. Большинство этих задач предлагалось на испытаниях в X классах школ г. Москвы в 1938—41 гг.

Задачи.

1. Двое рабочих, работая вместе, могут окончить некоторую работу в m час Во сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить ту же работу, если известно, что второй должен работать на 12 час больше первого?

2. Три экскаватора производят работу. Если эту работу будет выполнять один первый, то кончит работу на а дней позже, чем все вместе. Если же эту работу будет выполнять второй, то он кончит ее на b дней позже, чем все вместе, а если третий, то ему потребуется времени в с раз больше, чем при работе всех экскаваторов вместе. Во сколько дней выполняет работу каждый из них в отдельности?

3. А выполняет некоторую работу в срок, на а дней больший, чем В, и на b дней больший, чем С.

А и В, работая вместе выполняют эту работу в срок, равный сроку С. Определить время, в которое каждый выполняет эту работу отдельно.

4. Две молотилки обмолачивают весь хлеб в а дней. Если бы первая молотилка обмолотила половину всего хлеба, а затем вторая — остальную часть, они бы проработали b дней. Во сколько дней каждая из них в отдельности могла бы окончить эту работу?

5. Два грузовика одновременно выезжают с одного и того же склада в пункт, отстоящий от него на а км. Один идет со скоростью, большей на m км в час, чем другой, и приходит к месту назначения на п час раньше. С какой скоростью идет каждый грузовик?

6. Моторная лодка, обладающая скоростью в а км в час, прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно, не останавливаясь, за m час. Расстояние между пунктами s км. Узнать скорость течения реки.

7 Два самолета одновременно вылетают навстречу друг другу из городов А и В, расстояние между которыми s км. Через час полета они встретились и, не останавливаясь, продолжали путь. Первый прибыл в город В на m мин. раньше, чем второй прибыл в город Л. Найти скорость самолетов.

8 Из двух станций, расстояние между которыми s км% были отправлены навстречу друг другу два поезда с расчетом, что они встретятся на половине пути. Определить скорость в час каждого поезда, если первый из них вышел на один час раньше второго со скоростью, на а лги в час меньшей, чем скорость второго поезда.

9 Двое рабочих наняты на один и тот же срок работы, но при разной оплате. Первый работал на а дней меньше срока и получил b рублей, а второй проработал на а дней больше срока и получил с рублей. Если бы первый работал столько дней, сколько второй, а второй — столько дней, сколько первый, то они получили бы поровну. Определить срок работы.

10. Из сосуда, вмещающего а л и наполненного спиртом отлили некоторую часть и вместо спирта сосуд долили водой; потом опять отлили такую же часть смеси и снова сосуд долили водой, после чего в сосуде осталось спирта b л.

По скольку литров жидкости отливали каждый раз?

11. Бассейн, содержащий а л воды, имеет два крана: через первый он наполняется, а через второй он опоражнивается на m мин. скорее, чем первый кран наполняет бассейн. Однажды, когда бассейн до половины был наполнен водой, открыли оба крана одновременно. Через п мин. после этого бассейн опорожнился. Через сколько минут первый кран наполнит бассейн, а второй кран опорожнит наполненный бассейн, действуя отдельно?

12. Две бригады рабочих заработали по одинаковому числу рублей. В первой бригаде было на а рабочих меньше, чем во второй, вследствие чего каждому рабочему второй бригады досталось b рублями меньше, чем каждому рабочему первой бригады. Число рублей, заработанных каждой бригадой, на с больше числа рабочих в обеих бригадах вместе. Сколько было рабочих в каждой бригаде?

13. Из двух пунктов А и В выехали одновременно два связиста к месту С. Первый доехал в С через а мин., а второй, чтобы попасть в С одновременно с первым, должен проезжать каждый километр на с минут скорее первого, так как расстояние от В до С на b км больше расстояния от А до С. Определить расстояние от А до С.

14. Из двух городов, расстояние между которыми равно а км, двигаются равномерно и навстречу друг другу два поезда. Первый поезд начал двигаться с часами позже, чем второй, и они встретились на середине пути; кроме того, известно, что первый поезд проходит каждый час на b км более, чем второй. Сколько км проходит каждый поезд в час?

2. Письменные работы по геометрии

Письменная экзаменационная работа по геометрии на аттестат зрелости должна показать умение учащегося решать задачи, наличие у него четких пространственных представлений, умение дать правильный чертеж рассматриваемой в задаче геометрической фигуры, находить зависимости между элементами фигуры, обосновать эти зависимости исчерпывающими ссылками на аксиомы и теоремы, дать в сжатой и четкой форме объяснения, необходимые по ходу решения задачи, расположить решение и вычисления в определенной системе, наконец, записать подробный ответ на вопрос задачи.

Приступая к выполнению своей работы, учащийся в первую очередь обязан записать на своем экзаменационном листе аккуратно и чисто, грамотно и хорошим, четким почерком условие задачи, а затем сделать правильный чертеж той пространственной фигуры, о которой идет речь в задаче, руководствуясь условиями задачи, заданными в общем виде.

Выполнив чертеж в карандаше и проставив на нем требуемые обозначения, учащийся должен в краткой и четкой форме пояснить, как выполнен им чертеж, и отметить на нем заданные условиями задачи величины отдельных элементов: сторон, ребер высот, углов и т. д.

Если в условии задачи дано построить сечение, то построение его должно быть объяснено и вместе с тем должно быть объяснено со ссылками на теоремы, какую плоскую фигуру представляет собою сечение. Если, наконец, в условии задачи речь идет об углах наклона ребер, апофем, граней, сечений к плоскости основания фигуры или об иных углах, кроме упомянутых выше (например об углах, образованных диагональю прямоугольного параллелепипеда с боковыми гранями) — необходимо в каждом отдельном случае дать исчерпывающее объяснение построения угла или углов, заданных условиями задачи.

В отдельных случаях необходимо в целях показа, как расположены друг относительно друга элементы фигуры, и выяснения, какова зависимость между ними, дать вспомогательные чертежи отдельных частей фигуры.

Вычертив требуемую условиями задачи пространственную фигуру, учащийся обязан записать, пользуясь чертежом, то, что дано в задаче, и то, что требуется определить. Затем учащийся приступает к решению задачи в общем виде, при этом он в первую очередь должен записать формулу, с помощью которой дается ответ на вопрос задачи. После этого учащийся определяет из условий задачи те величины, которые надлежит подставить в формулу решения, чтобы получить требуемый ответ.

Так, если по условию задачи требуется найти полную поверхность правильной четырехугольной пирамиды,

учащийся должен записать следующую формулу решения задачи:

где Р—периметр основания, h — апофема пирамиды, а — сторона основания — квадрата.

При нахождении отдельных величин — отрезков, двухгранных и линейных углов, радиуса вписанной или описанной окружности, радиуса вписанного или описанного шара и т. п. учащийся обязан исчерпывающей записью пояснить, из рассмотрения каких фигур и на основании каких теорем им записана та или иная зависимость между данными и искомыми величинами.

Когда задача решена в общем виде и полученный ответ, содержащий тригонометрические функции, приведен (если это возможно) к виду, удобному для логарифмирования, учащийся подставляет в полученную формулу решения числовые значения данных величин и находит с помощью таблиц логарифмов числовой ответ задачи.

В конце работы учащийся обязан выписать в общем виде ответ на вопрос задачи, а также числовое его значение.

Понятно, что учащийся обязан подать свою работу хорошо оформленной: чисто и четко переписанной, без помарок, без грамматических ошибок.

Ниже приводятся примерные решения нескольких задач.

Задача № 1.

В прямоугольном параллелепипеде диагональ основания равна d и составляет угол си с большей стороной основания. Через эту сторону и противоположную ей сторону верхнего основания проведена плоскость, которая наклонена к плоскости нижнего основания под углом ß. Определить боковую поверхность параллелепипеда.

Вычислить эту поверхность, если известно, что d — 54,75 см, а = 18*32' и ^ЗЗ0!^.

I, Выполнение чертежа данной пространственной фигуры.

Вычерчиваем прямоугольный параллелепипед АСХ, его основания ABCD и A}BXCXDX— прямоугольники. Боковые ребра равны, ААХ = ВВХ = CCl = DDï, и перпендикулярны к плоскости основания. АСХ — прямоугольный параллелепипед, (черт. 1).

Черт. 1

Согласно условию задачи, через большую сторону AD нижнего основания и противоположную ей сторону В1С1 верхнего основания проведена плоскость; эта плоскость пересекает две боковые грани AAxBß и DDXCXC параллелепипеда по прямым АВХ и DCX — диагоналям граней и наклонена к плоскости нижнего основания под углом ß. Отметим на чертеже линейный угол двугранного угла, образуемого плоскостью сечения с плоскостью нижнего основания.

Сторона AD нижнего основания — ребро рассматриваемого двугранного угла, сторона AB±AD, так как AB и AD — смежные стороны прямоугольника, вместе с тем AB служит проекцией наклонной АВХч а потому АВг J_ AD на основании теоремы о трех перпендикулярах; следовательно, /^В^АВ—искомый линейный угол рассматриваемого двугранного угла; согласно условию задачи этот линейный угол равен р.

II. Условия и данные задачи. Дано:

АСг—прямоугольный параллелепипед;

ABCD — прямоугольник; BD — диагональ основания, BD = d и /_BDA = a; AXBXCXD — сечение; Z.BXAB = $.

Определить 5бок пар.да

III. Решение задачи в общем виде.

Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту параллелепипеда

^бок. пар-да = РН (1),

где Р—периметр основания и //—высота параллелепипеда.

1) Находим Р—периметр прямоугольника ABCD;

Из где £А = 90°, имеем:

(2)

2) Находим H = ВВХ—высоту параллелепипеда.

Из ДABBV где ^# = 90°, имеем:

==4ßtgß==dsinatgß (3)

3) Находим 5бок пар.да

Подставляя (2) и (3) в (1), получим:

IV. Вычисление боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, если rf = 54,75 см, сс=18°32' и ß=33°18'.

V. Ответ: Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда S6oK.nap_M = 2 \j2d2 sin a tg ß cos (45° — a) = 1585 см\

Задача № 2.

Основанием четырехугольной пирамиды служит квадрат; две боковые грани этой пирамиды перпендикулярны к плоскости ее основания; две другие ее боковые грани образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, каждый из которых равен а. Высота пирамиды равна А.

Определить ее боковую поверхность и вычислить ее, если известно, что h = 24,15 дм и а = 53*46'.

I. Выполнение чертежа данной пространственной фигуры.

Вычерчиваем четырехугольную пирамиду SABCD, ее основание ABCD— квадрат. Две боковые грани SBA и SBC — пирамиды — по условию задачи перпендикулярны к плоскости основания; они пересекаются по прямой SB (черт. 2). SB перпендикулярна к плоскости основания и является высотой пирамиды; по условию задачи, jBS=A. Две другие боковые грани пирамиды SAD и SDC образуют с плоскостью основания равные двугранные углы и каждый из них равен a Эти двугранные углы — SADC и SCDA] величина a каждого двугранного угла определяется величиной a его линейного угла. Для двугранного угла SADC линейным углом служит £SAB. Действительно, ABJ_AD (стороны квадрата), а SA — наклонная, проекция которой AB ±,AD, а потому SA JL AD (теорема о трех перпендикулярах).

Итак, SA±AD и AB±AD\ следовательно, /_SAB — линейный угол двугранного угла SADC и / SAB = a. Для двугранного угла SCDA линейным углом является / SCB.

Действительно, BC±CD и SC±DC, так как проекция ВС наклонной SC перпендикулярна к CD.

Итак, 2ш -~ линейный угол двугранного угла SCDA и равен а.

II. Условия и данные задачи.

Дано:

SABLD — пирамида; ABCD — квадрат. Грани SBA и SBC перпендикулярны к плоскости основания.

Черт. 2

Высота SB = h, £SAB=a. и £ SCB = cc

Определить 5б0К пир

III. Решение в общем виде. Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей боковых ее граней.

(1)

Находим площади боковых граней. I) Д SBA = Д SBC — треугольники прямоугольные; АВ = ВС как стороны квадрата, и катет SB — общий.

но

следовательно,

(2)

2) Д SAD = Д SCD — треугольники прямоугольные (SA J_ Л£> и SC _L CD), AD— DC как стороны квадрата, и гипотенуза SD — общая.

следовательно,

(3)

3) Подставляя (2) и (3) в (1) и принимая во внимание, что Д5ЯД =/\SBC и Д SAD tam Д SCD, получим:

IV. Вычисление боковой поверхности пирамиды, если известно, что Л=24,15 дм и а = 53°46'.

V. Ответ: боковая поверхность пирамиды

Задача № 3.

В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида. Вычислить объем пирамиды, если ее ребро наклонено к плоскости основания под углом а.

I. Выполнение чертежа данной пространственной фигуры.

В шар вписана правильная треугольная пирамида (черт. 3). Высота SOx пирамиды лежит на диаметре SE шара, Основание пирамиды — треугольник ABC лежит в плоскости малого круга, перпендикулярного к диаметру SE шард,

Черт. 3

Диаметр малого круга AD JL SE, диаметру шара. Чтобы получить в малом круге правильный вписанный треугольник, делим радиус OxD пополам и проводим через середину M радиуса OxD ВС Л AD, ВС—сторона правильного треугольника; концы В а С этой стороны соединяем с концом А диаметра AD; Д ABC — правильный треугольник — основание пирамиды. Соединив вершины Af В и С треугольника с концом 5 диаметра SE шара, получим искомую правильную треугольную пирамиду SABC,

ее высота SOx проектируется в центр Ох окружности, описанной около Д ABC. £ SАОх—угол наклона ребра SA к плоскости основания и равен а.

II. Условия и данные задачи.

Дано: Радиус шара = R; SABC — правильная вписанная треугольная пирамида.

SA — ребро; / SA Ох = а. Определить объем V пирамиды

III. Решение в общем виде. Объем V пирамиды равен одной трети произведения площади основания пирамиды на высоту.

(1)

где So™.— площадь основания пирамиды и Я—высота пирамиды.

1) Находим Sow. пирамиды. Площадь правильного треугольника ABC:

Обозначим АОх — радиус малого круга буквой г, тогда ВС = г\/3 и AM — — г, следовательно,

(2)

Но г не дано; г определяется из &SAOx. Чтобы определить из этого треугольника г = AOv определим сперва SA — ребро пирамиды.

2) Находим SA. Чтобы найти SA, сделаем дополнительное построение ; соединим вершину А с концом Е диаметра шара SE, получим ^SAE. Д5А£— прямоугольный; 2. А = 90°, как угол вписанный, опирающийся на диаметр, Z.SEA вписанный и опирается на дугу SA, но w SA = ^ SD и равна по условию 2а; следовательно, 2L = а-

Из &SEA:

SA = SE sin 0L — 2R sin а.

3) Находим АОх=г. Из &ASOx, /.Ox—9Q°9 получим: AOx~ SA cos a

или

АОх= r= 2R sin a cos a = R sin 2a (3)

4) Находим Я—высоту пирамиды. Из &SAOt:

H = SO,= SA sin a = 2R sin2 a. (4)

5) Находим Vnup. Подставляя (3) в (2), получим

Подставляя (4) и (5) в (1) получим:

IV. Ответ: объем пирамиды, вписанной в шар,

Приведенные пояснения решения некоторых задач и обоснования зависимостей между данными и искомыми являются примерными и отнюдь не трафаретами, которым надлежит слепо следовать.

Разбор задач имеет целью обратить внимание учителя на необходимость научить учащихся выполнять свои письменные работы по геометрии с объяснениями; эти объяснения дают достаточный материал для суждения о знаниях учащихся и их умении правильно обосновать каждое действие. Понятно, что и при устных ответах учитель обязан требовать от учащихся исчерпывающих объяснений выполняемого ими построения геометрической фигуры и четкого обоснования каждого шага при решении задачи. Желательно, чтобы задачи, задаваемые на дом, решались с краткими пояснениями. Задачи с подробными объяснениями надлежит давать и на контрольных работах, при этом на решение необходимо отвести достаточное время.

Большое внимание учитель должен уделить на внешнее оформление учащимися своих работ; небрежное оформление работы должно повлечь за собою снижение ее оценки.

Следует признать, что многие учащиеся не умеют решать задачи по геометрии с объяснениями. Этому их надо научить. Полезно начать работу с небольших и несложных заданий, которые усложняются по мере приобретения учащимися навыка давать объяснения, требуемые ходом решения задач.

Ниже приводятся примеры несложных задач, решения которых должны помочь учащимся постепенно приобрести навык

в решении геометрических задач с объяснениями.

Задачи.

1) В правильной треугольной призме проведено сечение, проходящее через одну из сторон нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания.

Определить площадь сечения, если сторона основания равна а и плоскость сечения наклонена к плоскости основания под углом а.

2) В правильной треугольной пирамиде проведено сечение через одну из сторон основания перпендикулярно к противолежащему ребру. Определить площадь сечения, если сторона основания равна а и боковое ребро составляет с плоскостью основания угол а.

3) В треугольной пирамиде, основание которой прямоугольный равнобедренный треугольник, две грани, проходящие через катеты, перпендикулярны к плоскости основания, а третья составляет с плоскостью основания угол в 45°. Определить боковую поверхность пирамиды, если плоскость основания равна Q.

4) В конус, радиус основания которого г, вписана треугольная пирамида так, что вершина ее совпадает с вершиной, а плоскость основания — с плоскостью основания конуса. Определить объем пирамиды, если в ее основании лежит прямоугольный треугольник с углом а и все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, равным а.

5) В правильной четырехугольной пирамиде через сторону основания проведено сечение, перпендикулярное к противоположной грани. Определить площадь сечения, если сторона основания равна а и боковая грань составляет с плоскостью основания угол а.

6) В четырехугольной пирамиде в основании ромб со стороною а и острым углом а. Высота пирамиды проходит через одну из вершин основания. Определить углы наклона граней к плоскости основания, если высота пирамиды равна Н.

7) Равны ли между собою углы, образуемые диагональю куба с плоскостью основания и боковыми гранями?

8) В основании прямой призмы лежит прямоугольник. Определить боковую поверхность и объем призмы, если диагональ призмы равна m и составляет с боковыми гранями соответственно углы a и ß.

9) Через две образующие конуса проведена плоскость, отсекающая в основании дугу в 120°. Определить площадь сечения, если радиус основания конуса равен г и плоскость сечения составляет с высотою конуса угол а.

10) В конус, высота которого Н, вписана правильная треугольная пирамида, боковая грань которой составляет с плоскостью основания угол а. Определить боковую поверхность и объем пирамиды и конуса.

11) В конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом а, вписан шар радиуса г. Определить боковую и полную поверхность и объем конуса.

12) На общем основании построены два прямых конуса один внутри другого так, что их вершины находятся друг от друга на расстоянии а.

Определить объем, ограниченный коническими поверхностями обоих конусов, если угол при вершине осевого сечения большего конуса равен a, a меньшего конуса равен ß.

13) В шар радиуса R вписана правильная четырехугольная пирамида, ребро которой наклонено к плоскости основания под углом а. Определить объем пирамиды.

14) В конус с радиусом основания г и углом а между образующей и плоскостью основания вписана прямая треугольная призма с равными ребрами так, что ее основание лежит в плоскости основания конуса. Определить объем призмы.

15) Прямоугольный треугольник вращается около гипотенузы, как оси. Сумма гипотенузы и катета равна m, а угол между ними равен а. Определить объем тела вращения.

Приведенными задачами перечень их не ограничивается. Необходимо широко использовать сборники задач Н. Рыбкина по стереометрии и тригонометрии.

О ПРИЕМНЫХ ИСПЫТАНИЯХ ПО МАТЕМАТИКЕ НА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОМ И ФИЗИЧЕСКОМ ФАКУЛЬТЕТАХ МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА в 1946 г.

П. С. МОДЕНОВ (Москва)

В настоящей статье дан список задач по математике, которые были предложены в нынешнем 1946/47 учебном году поступающим на механико-математический и физический факультеты Московского ордена Ленина государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Письменные испытания по математике проводились в два приема: работа „А“ (см. ниже) содержала задачи по алгебре (и арифметике): работа „Г“ (см. ниже) содержала задачи по геометрии и тригонометрии.

Преподавателям старших классов средней школы можно использовать приводимые ниже задачи для проведения письменных контрольных работ.

После перечисления задач, в конце настоящей статьи, дан ряд замечаний, относящихся к наиболее распространенным ошибкам общего характера, допущенным абитуриентами (физического факультета).

А-1

1. Производительность завода А составляет 40,96°/0 производительности завода В. Число годового процента прироста продукции на заводе А на 30 больше числа годового процента прироста продукции на заводе В.

Каков годовой процент прироста продукции на заводе А, если за четвертый год работы завод А даст то же количество продукции, что и завод В?

2. Упростить выражение:

если

3. Решить уравнение:

где обозначает число сочетаний из п элементов по т.

А-2

1. Непромытый „золотой песок“ содержит k°/0 чистого золота. После каждой промывки „золотого песка“ отходит р°/0 содержащихся в нем примесей и теряется <7°/о от имеющегося в песке золота. Сколько следует произвести промывок, чтобы число процентов содержания чистого золота в „золотом песке“ было не меньше г?

2. Упростить выражение:

если

3. Решить систему уравнений:

А-3

1. Находящийся под постоянным давлением газ, в количестве а ж3, последовательно пропускают через п фильтров, каждый из которых поглощает р°/0 общего объема примесей, содержащихся в газе (поступающем в рассматриваемый фильтр). Затем газ поступает в резервуар, где находится Ьмь (отнесенного к тому же давлению) газа, содержащего д°/о (по объему) примесей.

Какой процент примесей (по объему) допустим для газа до его очистки, если число процентов примесей в газовой смеси в резервуаре не должно превышать г?

2. Упростить выражение:

если причем:

3. Решить уравнение:

где

А-4

1. Средний годовой процент прироста народонаселения из года в год остается постоянным. Если бы годовой процент прироста увеличился на то через п лет численность населения была бы в два раза больше, чем при нормальных условиях. Определить годовой процент прироста населения.

2. Упростить выражение:

если

3. Решить уравнение:

А-5

1. В резервуар, содержащий А литров воды, сначала через одну трубу вливают а л р-процентного (по объему) раствора спирта, а затем, после перемешивания, через другую трубу выливают равное количество (т. е. а л.) образующейся смеси. Сколько раз нужно повторить эту операцию, чтобы в резервуаре получился раствор спирта крепостью не менее q°l0 (по объему)?

2. Упростить выражение:

если причем:

3. Решить уравнение:

А-6

1. Пусть slf 52, sz суммы соответственно пх первых членов, я, первых членов и щ первых членов некоторой арифметической прогрессии. Показать, что:

2. Упростить выражение:

где

в двух случаях:

3. Решить уравнение:

А-7

1. В геометрической прогрессии даны;

Найти ат и ап.

2. Упростить выражение:

если

причем:

3. Решить систему уравнений:

А-8

1. Один из корней уравнения

л;8 — 6x2-fajc — 6 = 0,

коэфициент а которого неизвестен, равен 3. Найти два других корня этого уравнения.

2. Упростить выражение:

если причем

3. Решить систему уравнений:

1. Доказать, что уравнение;

где а и b действительные числа, не равные нулю одновременно, имеют лишь действительные корни.

2. Найти величину выражения:

при

если

3. Решить систему уравнений:

Г-1

1. Боковые ребра треугольной пирамиды имеют одинаковую длину, равную /. Из трех плоских углов, образованных при вершине пирамиды этими ребрами, два равны a, a третий равен ß. Найти объем пирамиды.

2. Определить площадь равнобедренного треугольника, зная площади: sx— вписанного и s% — описанного около него кругов.

3. Решить уравнение:

Г-2

1. Через одно из ребер правильного тетраэдра проведена плоскость, наклоненная под углом а к противоположному (т. е. не пересекающемуся с данным ребром) ребру. Определить площадь полученного сечения тетраэдра, если ребро тетраэдра равно а.

2. Зная углы треугольника, определить угол между медианой и высотой, проведенными из вершины какого-нибудь угла.

3. Решить уравнение:

sin (rccosx) = cos (я sin л).

Г-3

1. В параллелепипеде все его грани суть равные ромбы со сторонами а и острыми углами а. Определить объем этого параллелепипеда.

2. Через точку, лежащую внутри круга радиуса R, проведены две взаимно-перпендикулярные хорды, расстояния

которых от центра круга равны а и Ь. Определить площадь части круга, ограниченной этими хордами и наименьшей дугой этой окружности, соединяющей их концы.

3. Упростить выражение:

sin2a -f- sin2ß + sin2? — 2cosacosßcos]f,

если

« + P+T—*. Г-4

1. Секущая плоскость делит боковые ребра треугольной пирамиды в отношениях (считая от вершины):

В каком отношении эта плоскость разделит объем пирамиды?

2. Две окружности радиусов R и г соприкасаются внешним образом. Определить радиус окружности, касающейся этих окружностей и их общей внешней касательной.

3. Доказать, что:

tg20°.tg40o.tg60o-tg80°= 3. Г-5

1. Ребро правильного тетраэдра равно а. Определить радиус шара, поверхность которого касается всех ребер тетраэдра.

2. Внутри угла 60° расположена точка на расстояниях а и b от его сторон. Найти расстояние от этой точки до вершины данного угла.

3. Решить систему уравнений:

tg*+tgj>=l. Г-6

1. Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости его основания под углами а и ß. Найти угол между этими диагоналями.

2. Три окружности радиусов Rlt R2 и Rs касаются внешне попарно друг друга. Найти радиус окружности, проходящей через точки касания.

3. Решить уравнение:

Г-7

1. Плоский угол при вершине правильной л-угольной пирамиды равен а. Определить двугранный угол между двумя смежными боковыми гранями.

2. Расстояние между центрами двух расположенных в одной плоскости кругов радиуса R равно d. Определить площадь части второго круга, лежащей вне площади первого круга.

3. Решить уравнение:

Г-8

1. Площади параллельных сечений шара, расположенных по одну сторону от его центра, равны А и В, а расстояние между этими сечениями равно d. Определить площадь сечения шара, параллельного сечениям А и В и делящего пополам расстояние между ними.

2. Сторона правильного треугольника равна а. Из центра его радиусом описана окружность. Определить площадь части треугольника, лежащей вне этой окружности.

3. Решить уравнение:

Г-9

1. Угол при вершине осевого сечения прямого кругового конуса равен a, a радиус основания конуса равен R. Найти радиус такой сферы с центром в вершине конуса, которая делила бы объем конуса пополам.

2. Определить площадь треугольника, если даны а и &—длины его сторон и t — длина биссектрисы угла между этими сторонами.

3. Решить уравнение:

sec X = 4sin х + 6cosx. *

Из ошибок, допущенных абитуриентами, в первую очередь следует остановиться на ошибке, связанной с понятием арифметического значения корня четной степени (в частности, корня квадратного) из положительного числа Ошибка за-

ключалась по существу в том, что большинство писали:

вместо

Так, например, в задаче 2, А-3 при упрощении данного выражения встречается ]/(т2—л2)2; это число равно п2—m2 (а не /л2—л2), ибо по условию а > /гг.

Аналогичная ошибка была допущена в задачах 2, А-4; 2, А-6; 2, А-8 и 2, А-9. Более того, многие абитуриенты пытались „доказать“, что арифметическое значение \J{mz—n2)2 при п> m равно т2—пл, т. е. оно равно отрицательному числу?!

Повидимому, в школе следует больше обращать внимание на эти вопросы; их можно затронуть и в тригонометрии. Например: упростить выражение

если а принимает значения:

Решение:

Далее: если и, значит,

а если то

и значит,

Такие примеры можно, конечно, разнообразить.

Вызывали трудности стереометрические задачи, как, например, задача 1 вариантов Г-5 и Г-4.

Некоторыми абитуриентами были даны верные и изящные решения этих задач, которые я приведу здесь.

Задача 1, Г-4. Решение (вариант 1-й): разделим только одну сторону SC в отношении ~f т. е.

SDiDC^m^t^ (черт. 1).

Черт. 1

Тогда расстояния от точек 5 и D до основания будут относиться как , а, значит, объем пирамиды DABC будет равен —-J—, где v объем данной пирамиды. Объем пирамиды SABD будет равен m]V . Ясно, что если мы разделим не одно ребро, а все три, то объем верхней части будет равен:

а нижней:

Отношение же этих объемов равно:

Вариант 2-й. Решение по существу не отличалось от приведенного, только за основания пирамид SABD и SABC выбирались треугольники SBD и SBC, площади которых относятся как —

Попытки решить задачу сразу в том виде, как она дана, ни к чему хорошему не приводили.

Задача 1, Г-5. Остроумная идея решения этой задачи заключалась в том, что всякий правильный тетраэдр можно „вложить“ в куб, т. е. поместить так относительно куба, что все его ребра будут диагоналями граней куба! Далее вопрос сводится к отысканию радиуса шара, вписанного в этот куб. Следует отметить, что ряд абитуриентов доказали и единственность этого построения, т. е. доказали, что существует только

один шар, поверхность которого касается всех ребер тетраэдра (черт. 2).

Черт. 2

Затруднения при решении стереометрических задач я нахожу вполне естественными, ибо задачи эти достаточно сложны, однако следует, повидимому, в школе уделять этому разделу больше времени.

Трудность вызывали и задачи, „на проценты“: сложные проценты смешивались с простыми; не всегда правильно составлялись требуемые соотношения.

Наконец, следует отметить, что не всегда производился анализ полученных результатов, например: в задаче 3? А-6 не проверялись найденные решения выводного уравнения, в задаче 2, Г-4 не отмечалось, что задача имеет не одно решение (черт. 3) и т. д.

Черт. 3

Таким образом, в техническом отношении к абитуриентам в целом предъявлять претензий нельзя: большинство умело производило выкладки, не смущаясь и не путаясь в сложных преобразованиях, но в принципиальном отношении подготовка школьников по математике оставляет еще желать лучшего: надо изжить формализм знаний, научить учащихся не только „знать“ определения основных понятий, но и уметь ими пользоваться (например большинство знает, что называется арифметическим значением корня четной степени из положительного числа, но при этом пишут: \/а2 = а).

И на экзаменах по физике часто абитуриенты проявляли беспомощность в приложениях хорошо известных им разделов элементарной математики.

Устные экзамены подтвердили то, о чем сказано выше: вопросы технического порядка почти ни у кого не вызывали трудностей, а вопросы на понимание основных определений многих ставили втупик.

Например, на вопрос: можно ли доказать, что при аФО, а°=1? следовал часто ответ: „можно", и приводилось такое „доказательство":

„Если аФО, то-~=1; с другой стороны, вычитая показатели, получим: — = а1-1=а°: значит, а°=1в; несостоятельность этого рассуждения общеизвестна.

Вопрос: найти все х, удовлетворяющие неравенству: -^-<1.

Ответы (их было довольно много): х>1. Ясно, что любое число, большее 1, служит решением данного неравенства, однако эти значения х не являются всеми решениями данного неравенства, так как ему удовлетворяют все отрицательные числа.

Значительные трудности вызывали вопросы, связанные с исследованием системы линейных уравнений (например: что называется решением системы? какая система называется определенной? неопределенной? совместной? несовместной? что значит—решить систему? исследовать систему? и т. д.).

Еще хуже обстояло дело с ответами на вопросы: при каком условии система линейных уравнений будет определенной? вывод этого условия; при каком условии она будет неопределенной? вывод этих условий, и т. д.

На вопрос: является ли совокупность уравнений:

х+у + 1=0, х+у+1-0

системой, следовал (иногда) ответ: „нет,—это одно и то же уравнение, 2 раза написанное, это не система“.

Слабо обстоит еще дело с обратными тригонометрическими функциями.

В отдельных случаях еще было допущено деление на 0, применение символа оо как числа (вещи абсолютно недопустимые).

Большие затруднения вызвали вопросы такого рода: при каких значениях X выражения У хг— 1, lg sin х, и т. д.—имеют смысл, т. е. будут определенными действительными числами? Вопросы подобного рода, мне кажется, совершенно необходимо и задавать и решать в школе, так как совершенно недопустимо, чтобы школьник не видел за аналитическим выражением элементарной функции область ее определения. Какова цена символу lgsinx, если учащийся не сможет ответить, что это выражение имеет смысл для х, удовлетворяющих неравенствам: 0<лг<>, —2*<л;< — я, 2тг<л;<3гс, — 4тс<л< — Зтг, 4ir<x<5îc,здесь и кроется опасность формального восприятия выражения, а это крайне нежелательно.

Я коснулся в основном недостатков в подготовке школьников в этом году и высказал некоторые пожелания относительно улучшения преподавания математики. Среди отдельных работ и ответов были блестящие образцы, и преподаватели математики соответствующих школ могут заслуженно гордиться своими питомцами. Это, в первую очередь, Внучкова Г. А. (школа № 15, Москва) — единственная из всех абитуриентов физфака, выдержавшая все приемные испытания отлично, а также Аваткова А. Е. (школа № 528, Москва), Леднев И. А. (Владимирское педучилище), Комолова Н. П. (школа № 369, Москва), Филимонов (школа № 135, Москва), Колонина Г. Г. (школа № 1, Москва), Ермолаева Н. В. (школа № 650, Москва), Иванова Р. П. (школа № 634, Москва), Белый В. К. (школа № 5, г. Егорьевск), Беляков В. С (школа №315, Москва), Моргунова П. И. (школа № 183, Москва), Бахтадзе А. (школа № 110, Москва) и некоторые другие.

Председатель экзаменационной комиссии по математике Физического факультета МГУ, кандидат физико-математических наук

П. С Моденов

АНАЛОГИЯ В ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ПРОЦЕССЕ

(На математическом материале)

Д. М. МАЕРГОЙЗ (Киев)

Длительные наблюдения над математическими заблуждениями и ошибками учащихся убедили меня в том, что огромное количество этих ошибок следует объяснить неверными умозаключениями по аналогии. Рассмотрим конкретные примеры.

Ошибки по алгебре. Известно, что наиболее распространенной массовой типичной ошибкой учащихся при операциях над алгебраическими дробями является „сокращение слагаемых“.

Решая пример типа у^ге » учащиеся обычно откидывают с в числителе и знаменателе и пишут: £q-£ = f- • Эта ошибка упорно повторяется в контрольных работах учащихся на протяжении многих лет. Ее постоянно отмечают наши методисты.

Стойкость и распространенность данной ошибки отмечали и зарубежные методисты1.

Основную причину исключительной стойкости приведенной ошибки следует, по нашему мнению, искать в допущении (хотя бы и смутном) учащимися ошибочного умозаключения по аналогии с сокращением на общий множитель. Возникновению данного ошибочного умозаключения, повидимому, способствует

1 Проф. М. Симон, Дидактика и методика математики, 3-е изд. стр. 241. Перевод И. В. Яшунского, Петроград, 1922.

сходная формулировка законов изменения суммы и произведения:

„От увеличения одного слагаемого на несколько единиц сумма увеличивается на столько же единиц. От увеличения одного сомножителя в несколько раз произведение увеличивается в столько же раз.“

На протяжении многих лет школьного обучения учащиеся замечают немало других сходных свойств действий сложения и умножения. Действие сложения подчиняется законам переместительному и сочетательному; этим же законам подчиняется действие умножения. Сохранение этих сходных свойств действий сложения и умножения подчеркивается учащимся на каждом этапе расширения понятия о числе (при введении дробных чисел, отрицательных, иррациональных и т. д.). Неудивительно, что впоследствии учащиеся ошибочно полагают, что эти действия имеют сходные свойства и во многих других случаях. Замечая многократно, что от умножения числителя и знаменателя дроби на одно и то же число величина дроби не изменяется (основное свойство дроби), учащиеся, естественно, делают заключение, что величина дроби также не изменится и от прибавления к числителю и знаменателю дроби одного и того же числа. Этим, повидимому, и объясняется, с точки зрения учащихся, правомерность сокращения слагаемых в обоих членах дроби.

Вполне аналогична природа другой типичной массовой ошибки учащихся при извлечении квадратного корня из суммы. Ошибка типа \Лх2 + *2 = я почти столь же распространена, как и ошибка

Упражняясь многократно в преобразованиях типа Va2 Ь2= ab, учащиеся, естественно, считают: то, что верно по отношению к умножению, должно быть верно и по отношению к сложению, ведь между этими действиями давно замечено ими много сходных свойств.

М. Зарецкий и П. Платонов в статье: „О знаниях учащихся средней школы“1, между прочим, приводят такую ошибку: Окончивший московскую школу пишет:

(* —У) (X +у) + V~(x+y)(x—y) = 20.

Возвысив в квадрат, он получает:

(х2 - у2) (х* -\-у2) + (х2 —у2) = 400.

Стоит только внимательно присмотреться к этому ошибочному решению, чтобы легко установить диагноз ошибки2. Учащиеся многократно применяли теорему: чтобы возвысить произведение в степень, достаточно в эту степень возвысить каждый из компонентов. Эта теорема верна также и для частного. Поэтому автор ошибки, вероятно, считал, что по аналогии эта теорема должна иметь место и в случае возвышения в степень суммы или разности.

Ложной аналогией следует объяснить и такую ошибку. При решении примера —гп---го H--гт общим знаменателем нередко берется (a-j-6).

Корень данной ошибки, вероятно, в аналогии со случаем:

Представляет интерес и такое ошибочное решение одного из студентов Киевского учительского института:

Беседа со студентом подтвердила наше предположение о том, что в данном случае причина3 допущенной ошибки коренится в ложной аналогии со случаем

1 Журн. „Советская педагогика“ № 1, 1940.

2 Авторы статьи на анализе этой ошибки не останавливались.

3 Обычно при анализе ошибок педагоги и методисты останавливаются только на том, почему учащийся не смог решить пример. На этот вопрос всегда легко ответить. Например, в данном случае студент не решил примера из-за того, что не представил числитель как разность кубов. Гораздо труднее другой вопрос: какое заблуждение побудило его сделать данную ошибку ? Этим вопросом почти никто не занимается.

Если в предыдущих примерах имел место „отрицательный перенос“ свойств мультипликативного характера на ситуацию аддитивного характера, то в данном примере мы наблюдаем уже обратное явление.

Явление ложного умозаключения по аналогии мы наблюдали во многих других случаях, не имеющих уже никакого отношения к смешению свойств умножения и сложения.

Представляет определенный интерес один случай, приведенный в статье П. Шеварева „К вопросу о природе алгебраических навыков“1. На вопрос: сколько единиц в а десятках и b единицах?— шесть из двенадцати опрошенных учеников ответили: ab; три: а-\-Ь и один: а-дцать*&. В последнем ответе особенно ярко проявилось умозаключение по аналогии с 35—„три-дцать-пять4<; но весьма вероятно, что причина ошибочного ответа первых шести учеников также коренится в аналогии, хотя ее характер уже иной2.

Ошибки по арифметике. Ложными аналогиями объясняются и очень многие типичные ошибки учащихся по арифметике. Ошибочные умозаключения учащихся по аналогии (пусть и не вполне развернутые в их сознании) особенно рельефно проявляются при переходе от целых чисел к дробным. Стоит вспомнить хотя бы об известных массовых заблуждениях учащихся V классов, связанных с отождествлением умножения с увеличением (деления с уменьшением) по аналогии с целыми числами.

Подтверждение нашей мысли можно найти в интересных исследованиях Н. А. Менчинской в области психологии обучения арифметике. „Абсолютное значение цифры служило для детей прямым показателем величины числа, а в области дробей нечто иное, — чем больше число, стоящее в знаменателе дроби, тем меньше само число“3.

„В большом количестве случаев мы встречались с утверждением, что 70/90 больше 3/2 потому, что сами цифры больше“.

В другой статье, посвященной психологии решения арифметических задач. Н. А. Менчинская отмечает: „Наличие некоторого внешнего сходства новой задачи со старыми мешает ученикам усмотреть внутреннее различие между ними, что приводит к применению в этих случаях привычных приемов решения без всякого изменения“4.

Любопытен случай, приведенный Менчинской (в цитированной выше статье). „Учащийся при решении примера 96:16 = 10 допускает ошибку, в основе которой лежит ошибочное умозаключение по аналогии 96:16 = 10, потому что 90:10=9 и 6:6 = 1; 9 + 1 = 10. В приведенном примере мы имеем перенесение в операцию деления приемов, употреблявшихся при сложении и вычитании чисел. Это ошибочное умозаключение возникло из привычного оперирования в отдельности десятками и единицами при сложении и вычитании чисел и делении их на однозначное число“5.

По нашему мнению, корень общераспространенной ошибки 5-0=5 в аналогии со случаями: 5 + 0 = 5, 5 — 0 = 5.

Ложные аналогии лежат в основе массовых заблуждений учащихся при решении задач на проценты. Например, учащиеся, как правило, ошибочно полагают, что на сколько процентов 40 больше 32, на столько же процентов и 32 меньше 40 (по аналогии с разностным сравнением на 8 единиц). Такова природа и других массовых заблуждений: „цена товара не изменится, если ее сначала увеличить на 20°/*, а затем снизить на 20°/оа; „на сколько процентов сокращается время изготовления детали, на

1 Статья помещена в сб. .Ученые записки Государственного научно-исследовательского ин-та психологии", 1941, т. II, стр. 165.

2 .я-дцать-б'—аналогия языковая, а не математическая. Ответ, собственно, правильный. Это не ошибка, а лингвистический курьез. Ответ ab допущен, повидимому, по аналогии чисто зрительного, фигурного характера:

3 Журн. „Советская педагогика“, № 11, стр. 115, 1938.

4 Журн. „Советская педагогика“, № 1,стр. 107, 1940.

5 Хотя данный случай, приведенный Н. А. Менчинской (см. журн. .Советская педагогика“, № 11. 1938), редко встречается в школьной практике, тем не менее он представляет большой интерес, так как убедительно свидетельствует о наличии ложной аналогии даже в таких редких, патологических случаях.

столько же процентов должна увеличиться производительность труда“1. Подтверждение нашей мысли можно также найти в высказываниях Э. Л. Торндайка: „Когда ребенок говорит или пишет, что 4—г“4“— а“> т0 его вводит в заблуждение привычка, образовавшаяся при сложении целых чисел и при сложении видимых предметов. В таких случаях нет никакого психологического извращения или дьявольского навождеиия. Наоборот, всякий ребенок будет склонен ответить, что ^- + -4“==_8 ' если этому не будет мешать посторонняя сила“2.

Ошибки по геометрии и тригонометрии. Замечая наличие многих аналогий между перпендикулярностью и параллельностью прямых на плоскости и в пространстве, учащиеся обычно переносят эти аналогии на такие ситуации, где они неверны. Именно этим следует объяснить распространенные ошибочные ответы учащихся старших классов средней школы: „В данной точке на прямой в пространстве можно восставить только один перпендикуляр к ней“; „Две прямые в пространстве, перпендикулярные к одной и той же третьей прямой, всегда между собой параллельны“; „Две плоскости, перпендикулярные к одной и той же третьей плоскости, всегда между собой параллельны“ и т. п.

Любопытен и такой случай. Студентка Т. наивно считала, что и в тупоугольном треугольнике сторона, лежащая против угла в 30°, равна половине наибольшей стороны. Беседа с ней подтвердила наше предположение, что причина данного заблуждения — в аналогии с прямоугольным треугольником. Ложной аналогией объясняется природа многих типичных ошибок учащихся по тригонометрии. Сошлемся хотя бы на ошибку: sin За = 3 since, Учащимся многократно подчеркивается на уроках, что в первой четверти с возрастанием угла возрастает и значение синуса. Повидимому, вследствие этого у многих учащихся создается ложная аналогия с законом прямой пропорциональной зависимости, считая, что с увеличением угла в 3 раза значение синуса также увеличивается в 3 раза.

Неправомерно утверждать, что ошибочные умозаключения по аналогии допускают только дети или взрослые с недостаточно развитым интеллектом.

В истории наук можно найти немало фактов, свидетельствующих об ошибочных умозаключениях по аналогии, допущенных даже некоторыми крупными учеными. Достаточно вспомнить хотя бы о бесцеремонном обращении с бесконечными рядами (в XVIII ст.) как с конечными суммами.

Мы показали, что источником многих ошибок учащихся в различных разделах математики является ошибочное умозаключение по аналогии. Но было бы абсолютно неверным заключение, что роль аналогии в процессе преподавания и в науке — только отрицательная.

Наоборот, история цивилизации изобилует фактами, подтверждающими исключительно положительную роль аналогии. Как замечает Минто3, „счастливые догадки так называемой „природной проницательности“ часто основываются на аналогии“.

Множество научных открытий, по свидетельству самих ученых, внушены были им заключением по аналогии. Например открытие Эрштедтом действия электрического тока на магнит, открытие Ампером действия одного тока на другой в соленоидах и т. п.

Общее сходство холмов близ Балларата в Австралии с холмами в Калифорнии, в которых было найдено золото, внушило мысль искать золото у Балларата, и это ожидание блестяще оправдалось на деле. Знаменитое умозаключение Ньютона, что алмаз горюч, является образцом умозаключения по аналогии. Сравнивая тела относительно их плотности и светопреломляющей способности, Ньютон заметил, что горючие тела преломляют свет сильнее других, одинаковых с ними по плотности. Заметив исключительно сильную преломляющую способность алмаза, Ньютон заключил, что алмаз горюч, и вывод был затем подтвержден опытом. Но, как потом заметил Брюстер, если бы Ньютон

1 Последнее заблуждение мы наблюдали нередко даже у людей с законченным высшим образованием и с довольно развитым интеллектом.

2 Э. Л. Торндайк. Новые методы преподавания арифметики, изд. „Работник просвещения“. М. 1930, стр. 182

3 В. Минто, Дедуктивная и индуктивная логика. М. 1898.

знал о светопреломляющей способности минералов „гринокита“ и „октоэдрита“ и распространил бы свое заключение и на них, то он бы впал в ошибку.

Блестящее открытие Эйлера, устанавливающее связь между показательной и тригонометрическими функциями в комплексной области, было внушено ему смелым умозаключением по аналогии.

Исключительно велика положительная роль аналогии и в педагогическом процессе.

Приведем несколько примеров из области преподавания математики. Целесообразность введения нового определения в математике удается довести до сознания учащихся, как правило, на ряде хорошо подобранных аналогий. Стоит хотя бы вспомнить введение в V классе определения умножения (и деления) на дробь.

Наши лучшие отечественные методисты (Лебединцев, Гольденберг) настойчиво рекомендовали при обучении дробям применять соответствующие аналогии. Например, при проработке в школе преобразования смешанного числа в неправильную дробь и обратно очень полезно использовать аналогию с раздроблением мер и их превращением. Из личного многолетнего педагогического опыта можно было бы привести немало примеров, подтверждающих значительный педагогический эффект от применения соответствующих аналогий при разъяснении того или иного нового, трудного материала.

Студентам 1-го курса не было понятно, почему из соотношения sin*<x<tgx

следует

Сначала я мотивировал перемену знака неравенства известным свойством частного (чем меньше делитель, тем больше частное при одном и том же делимом). Это разъяснение мало возымело действия. Когда же я прибегнул к аналогии, мол, из того, что 3<4<5 следует 60/3 > 60/4 > 60/5 (20> 15> 12), вся аудитория сразу ожила.

Можно возразить, что в данном случае я прибегнул только к конкретизации. Мы считаем, что в данном случае конкретизация по сути сводится к установлению аналогии между конкретным числовым примером и более сложным. Сопоставляя соотношения

студенты усматривают непосредственно такие сходные черты:

1) числитель (делимое) у всех дробей в обоих примерах одинаков;

2) знаменатели идут в порядке возрастания в обоих примерах.

В числовом примере необходимость перемены знака неравенства очевидна 20>15>12, поэтому, умозаключая по аналогии, студенты легко восприняли потом переход от соотношения

sinx<x<tgx к соотношению

По нашему мнению, причина первоначального затруднения студентов заключалась не в том, что они не усвоили закона изменения частного (чем меньше делитель, тем больше частное при неизменном делимом), а в смутном, ошибочном умозаключении по аналогии со случаем: если все члены неравенства разделить на одно и то же (положительное) число, то знак неравенства не меняется. Поэтому, повидимому, ошибочно считали по аналогии, что если одно и то же число разделить последовательно на все члены неравенства, то и в этом случае знак неравенства не должен меняться.

Таким образом, конкретизация на числовом примере в данном случае свелась к вышибанию клина клином т. е. к вытеснению аналогии „мешающей“ аналогией „помогающей“.

Общеизвестно, что трудности усвоения начал алгебры учащимися удается преодолеть благодаря систематическому применению соответствующих аналогий с арифметическим материалом.

Наконец, общепризнанные положения дидактики о переходе от известного к неизвестному, от близкого к далекому, от простого к сложному, от старого к новому и т, п. покоятся, собственно говоря, на установлении соответствующих аналогий (умело подобранных) между близким и далеким, старым и новым, известным и неизвестным, простым и сложным и т. п.

Нам кажется, что именно вследствие постоянного и многократного применения нами аналогии в педагогическом процессе, мы невольно прививаем учащимся привычку умозаключать по аналогии. И потому не приходится удивляться столь распространенным среди учащихся случаям ошибочного умозаключения по аналогии.

Главный источник заблуждений в применении аналогии состоит в том, что умозаключающий не обращает внимания на те свойства предметов, которыми они отличаются друг от друга. Между тем, по нашим наблюдениям, в школьной практике обычно достаточно внимания уделяется установлению тех или иных сходных свойств (предметов, явлений), и крайне редко имеет место подчеркивание отличительных свойств.

Выводы

1. Роль аналогии в преподавании математики исключительно велика. При умелом ее применении педагогический эффект бывает довольно значительный.

2. Но постоянное применение аналогии в педагогическом процессе таит в себе большую опасность привития учащимся склонности к пользованию ложными аналогиями.

3. Этой склонностью объясняется допущение учащимися огромного количества ошибок по различным разделам математики, связанных с неверными умозаключениями по аналогии.

4. Исключительно большое значение в педагогическом процессе приобретает своевременное предупреждение учащихся против возможных ложных аналогий.

5. Надо непрестанно подчеркивать учащимся, что основанием всякого заключения по аналогии служит ожидание нового сходства между предметами, вызванное сходством между ними, раньше замеченным. Между сходными в каком-либо отношении объектами может даже вовсе не оказаться никакого дальнейшего сходства, а может быть оно и есть, да идет не в том направлении, в каком мы его ждем.

6. Излагая учебный материал учащимся, следует беспрестанно делать упор на его специфику, прививая систематически способность к установлению различий, и даже там, где надо находить сходство, должно не упускать и отличий. „Чтобы не потеряться в бесконечном, ты должен различать, а потом уже связывать“ (Гете).

7. Преграждению ложных путей следует уделять особенное внимание в преподавании математики, для чего необходимо беспрестанно следить внимательнейшим образом за состоянием ума изучающего математику, предвидеть возникновение в нем иллюзий и заблуждений и предупреждать о них.

ХРОНИКА

ДЕВЯТАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ В МОСКВЕ

А. И. ФЕТИСОВ (Москва)

В апреле 1946 г. в стенах Московского государственного университета им. M В. Ломоносова была проведена девятая по счету математическая олимпиада школьников.

Возникшая по инициативе Московского математического общества и получившая поддержку со стороны Московского университета и Московского городского отдела народного образования, математическая олимпиада, начиная с 1935 г., привлекает в стены университета массу юных любителей математики. Только в годы Великой Отечественной войны—1942, 1943 и 1944-й—проведение олимпиады было прервано условиями военного времени. С 1945 же года вновь было восстановлено это в высшей степени важное культурное мероприятие. Как уже сказано, в текущем году проходила девятая по счету математическая олимпиада, так что у инициаторов и руководителей олимпиады имеется уже достаточный опыт и богатый статистический материал, чтобы судить о результатах и культурно-просветительном значении этого мероприятия.

По мысли инициаторов олимпиады, она должна была, с одной стороны, выявить наиболее способных и интересующихся математикой учащихся, а с другой — привлечь внимание широких масс школьной молодежи и учительства к важнейшим проблемам, методам и приемам современной математики. Кроме того, имелось в виду хотя бы частично показать: над чем работает наша отечественная математическая мысль, каковы ее достижения, какие задачи стоят перед ней в настоящее время. Для достижения этих целей организаторами олимпиады проводился ряд мероприятий.

Прежде всего в период, предшествующий олимпиаде, для учащихся был прочитан ряд лекций крупнейшими представителями математической науки на различные математические темы. Лекции эти всегда привлекали большое количество слушателей, неизменно вызывали большой интерес среди учащихся что проявлялось в огромном количестве вопросов, задаваемых лектору аудиторией.

Такие лекции были прочитаны: действ, членом АН СССР Колмогоровым А. Н.; президентом Московского математического общества, членом-корреспонд. АН СССР Александровым П. С. лауреатом Сталинской премии проф. Люстерником Л. А., членом-корреспонд. АПН РСФСР Маркушевичем А. И,, членом-корреспонд. АН СССР Делоне Б. Н., проф. Дубновым Я. С, проф. Ефимовым Н. В., проф. Ефремовичем В. А. и др.

Помимо учащихся, на лекциях всегда можно было видеть учителей московских школ, которые из этих лекций очень много получили для повышения своей квалификации.

Далее, для подготовки к олимпиаде по школам были разосланы тренировочные задачи. Самый подбор их немало способствовал расширению математического кругозора учащихся, так как хотя по степени трудности они и не превышали способностей среднего ученика, но нетривиальное содержание большинства из них заставляло учащихся выйти за рамки обычных идей и приемов школьной математики. Тренировочные задачи всегда вызывали большой интерес учащихся. В дни, предшествующие олимпиаде, в коридорах университета, в аудиториях и даже на площадках лестницы всегда можно было видеть группы школьников, горячо обсуждающих решение той или другой задачи.

Тематика задач, дававшихся на самих олимпиадах, еще более расширяла те идеи, которые были положены в основу подбора тренировочных задач: целью этих задач было прежде всего выявить умение школьника математически рассуждать и делать правильные выводы.

Необходимо, наконец, заметить, что, помимо всего этого, при университете с начала учебного года работали математические кружки, на которых школьники под руководством лучших студентов и аспирантов упражнялись в решении задач и знакомились с важнейшими идеями и принципами современной математики.

Какова же результаты математических олимпиад, проведенных за эти годы?

Сейчас уже вполне уверенно можно сказать, что олимпиады принесли огромную пользу в деле повышения нашей математической культуры. Совершенно исключительна роль олимпиад в деле отбора лучших математиков. Это видно из того, что весьма значительное большинство аспирантов Института математики Московского государственного университета впервые было отмечено на олимпиадах. Некоторые победители олимпиад защитили прекрасные диссертации по математике. Наконец, перу математиков, отличившихся на олимпиадах, принадлежит более 40 опубликованных научных работ.

Для многих школьников их победа на олимпиаде определила и характер их будущей научной и общественной деятельности.

В текущем году, как и всегда, в организации олимпиады вместе с Московским математическим обществом приняли участие Московский университет и Московский городской отдел народного образования. Оргкомитет олимпиады возглавлял секретарь Московского математического общества - Гальперн С А„ в состав оргкомитета вошли: проф. Бахвалов С. В., проф. Дубнов Я. С, проф. Люстерник Л. А., ст. научн. сотрудник АПН—Фетисов А. И., аспиранты и студенты тт.. Лунц, Кронрод, Яглом, Копейкина, Хургин, Брудно, Фомин, Дынкин и др.

Олимпиада состояла из двух туров, проводимых раздельно для VII—VIII (младших) классов и IX X (старших) классов.

В каждом туре предлагалось по 5 задач, для решения которых отводилось 4 часа. Участники 1-го тура, решившие не менее двух задач, допускались к участию во 2-м туре.

Задачи 2-го тура были достаточно серьезны, и оргкомитет счел возможным решение некоторые из них специально отметить. Приводим таблицу результатов олимпиады:

Писало работы

Подало работы

Допущ. ко 2-му туру

Писало работы в 2-м туре

Подано работ во 2-м туре

Успешно провело 2-й тур

1-я премия

2-я премия

3-я премия

Похв. отзыв

по VII— VIII кл.

417

402

182

207

186

54

4

7

9

24

по IX— X кл.

409

396

173

237

215

120

3

4

18

33

Всего

826

798

355

444

401

174

7

11

27

57

Из этой таблицы мы можем прежде всего констатировать, что интерес к олимпиаде достаточно велик. Это выражается большим числом участников—826 чел., которое уже приближается к рекордной цифре 1941 г., когда число участников первого тура достигло 950 чел.

Во всяком случае, число участников в настоящем году было настолько велико, что их с трудом удалось разместить во всех аудиториях нового здания университета. Приведенные цифры показывают, что общин результат олимпиады был вполне хорошим: из числа участников 1-го тура во 2-й тур перешло около 43%, а из числа участников 2-го тура успешно прошли его около 39%.

Нужно отметить, что во 2-м туре одно решение было неожиданным даже для членов оргкомитета. Именно: во второй задаче для старших классов нужно было показать, что в ряду Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,.., существует число, оканчивающееся четырьмя нулями Одному из участников улалось доказать не только это, но и установить, Что первое из таких чисел стоит на 7501-м месте. Были и другие интересные и оригинальные работы.

После каждого тура производился подробный разбор предложенных задач.

Как при подборе, так и при разборе задач большую помощь оргкомитету оказал акад. А. Н. Колмогоров, лично проведший разбор задач старших классов во 2-м гуре.

Заключительное заседание оргкомитета с участниками олимпиады, на котором участников и победителей приветствовали представители ректора университета. Московского математического общества, Мосгороно, аспиранты и студенты университета — бывшие победители олимпиад — и на котором были розданы премии и похвальные грамоты победителям, явилось подлинным праздником юных люби «елей математики.

Будем надеяться, что успех IX математической олимпиады привлечет к себе еще большее внимание школьников, учителей и советской общественности вообще и будущая математическая олимпиада привлечет еще большее число участников.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

ОБЗОР НОВЫХ КНИГ

С. И. НОВОСЕЛОВ (Москва)

А. Г. Курош. Курс высшей алгебры. Учебник для государственных университетов и педагогических институтов. Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1946, стр. 314. Цена в переплете 10 руб. 59 коп.

Книга проф А. Г. Куроша содержит материал, предусмотренный программой основного курса высшей алгебры, который проходится на 1-м курсе физико-математических факультетов университетов и педагогических институтов. Вся книга состоит из десяти глав, в которых, в соответствии с программой, изложены следующие разделы: комплексные числа, детерминанты, системы линейных уравнений, элементы теории матриц и квадратичных форм, теория многочленов.

Чтобы наилучшим образом уяснить задачу, которая была поставлена автором, приведем его слова, сказанные в предисловии.

„В курс высшей алгебры включается тот материал, без владения которым будущий математик, механик, физик и астроном не мог бы продолжать своего образования, и поэтому программа курса является в основном стабильной. Отсюда не следует, однако, что допустим идейный разрыв между алгеброй1 и курсом высшей алгебры и что можно оставлять курс высшей алгебры на уровне алгебраических идей девятнадцатого века, а затем переучивать студентов в курсе „современной“ алгебры“.

Несколько ниже автор говорит: „Я стремился, по возможности не выходя за рамки обычной программы, избежать указанного выше отрыва от современной алгебраической науки“.

Указанная установка и определила характер изложения, принятый авторам на протяжении всей книги. Те основные понятия и методы, с которыми оперирует современная наука и знакомство с которыми стало обязательным для всякого образованного математика, показаны автором ь действии как орудие исследования, чем и выявляется их принципиальное значение. Органическое проникновение в учебник идей современной науки вызвало необходимость с первых же страниц познакомить учащегося с такими основными понятиями алгебры, как кольцо, поле, изоморфизм. Полагаем, что это не должно вызвать затруднений со стороны читателя. В самом деле, в школьном курсе элементарной алгебры учащийся встречается и фактически оперирует с числовыми полями и кольцами. Так, элементарная алгебра изучает поле рациональных чисел, поле действительных чисел и поле комплексных чисел, хотя современный термин „поле“ в учебной литературе средней школы и не употребляется. Поэтому представляется естественным освещение с более высокой точки зрения ряда основных понятий, знакомых учащемуся из курса элементарной математики.

Следует отметить, что автор вполне правильно избегает излишнего нагромождения деталей, ограничиваясь в основном рамками программы. Все вводимые автором понятия получают в той или иной мере применение, и таким образом учебник не обременен такими понятиями, которые остаются неиспользованными.

Книга написана хорошим, выразительным языком. Однако следует иметь в виду, что изучение основного курса алгебры на базе современных научных воззрений все же потребует от учащегося некоторой привычки к абстрактному мышлению и, таким образом, начинающему читателю придется приложить известные усилия, чтобы в должной мере овладеть излагаемым материалом.

Мы полагаем, что автором не везде использованы геометрические интерпретации, которые значительно облегчили бы для начинающего читателя работу над книгой. Так, например, наглядная иллюстрация теорем о векторных л-мерных пространствах для случаев п = 2 и п = 3 (плоскость и обычное пространство) сделала бы более ощутимой и прозрачной общую теорию.

Книга проф. А Г. Куроша не только превосходный учебник для высшей школы — она является одновременно весьма ценным пособием для учителя средней школы. Творческая работа учителя над повышением идейного уровня преподавания в школе немыслима в отрыве от современных научных воззрений; в этой работе книга проф. Куроша окажет читателю существенную помощь.

Проф. А. К Власов. Курс высшей математики. Изд. 4-е, исправленное; учебное пособие для высших учебных заведений. Государственное издательство технико-теоретической литературы,

Том 1. Аналитическая геометрия. Диференциальное и интегральное исчисления (часть первая), Стр. 504. Цена в перепл. 14 руб.

1 Речь идет об алгебре как о науке (примечание наше—С. Н.).

Том II. Элементы высшей алгебры. Диференциальное и интегральное исчисления (часть вторая). Стр. 531. Цена в перепл. 15 руб.

Двухтомный курс проф. Власова содержит элементы аналитической геометрии, диференциальное и интегральное исчисления функций одного и многих аргументов, элементы высшей алгебры, теорию рядов, элементы диференциальной геометрии (приложение анализа к геометрии) и основы теории диференциальных уравнений

Курс проф. Власова, изданный впервые в 1914 г., вполне заслуженно получил широкую известность. Благодаря выдающимся педагогическим достоинствам, живому и неформальному изложению, книга в течение долгого времени пользовалась любовью со стороны студентов различных учебных заведений. Однако учебник проф. Власова, написанный на идейном уровне, характерном для учебной литературы прошлого столетия, в настоящее время настолько устарел, что его переиздание в первоначальном виде не представилось возможным. В предыдущем и настоящем изданиях книга была подвергнута значительной переработке с целью сделать ее пригодной в качестве учебного пособия для вузов. В предисловии „От издательства“ отмечается, что в настоящем, 4-м издании Гостехиздата книга предназначается главным образом для студентов высших технических учебных заведений и может служить также учебным пособием для учительских институтов. Мы не будем входить в оценку книги как пособия для высших технических учебных заведений, а рассмотрим ее с точки зрения пригодности как пособия для учителей и студентов учительских и педагогических институтов.

К пособиям для педагогических учебных заведений следует предъявить высокие требования, так как от теоретической подготовки учителя зависит и качество его преподавания в школе. Курс высшей математики, хотя бы и весьма краткий, имеет огромное значение в деле формирования математического мышления будущего учителя. Мы полагаем, что в свете этих требований книгу проф. Власова нельзя считать удовлетворительной- Никакая переработка учебника, стоящего на устаревших идейных позициях в основных принципиально важных вопросах, не может поднять этот учебник до уровня элементарных требований настоящего времени. Такой учебник, хотя бы в свое время он и был превосходным, теперь может представлять лишь исторический интерес. Всякая попытка модернизировать и „освежить“ текст, как правило, приводит лишь к досадным неувязкам, а переработка всего текста является задачей более трудной, чем создание новой книги.

В подтверждение сказанного мы приведем ряд примеров (мы берем лишь небольшое число характерных примеров) из настоящего издания книги Власова. В книге в изобилии встречаются рассуждения, основанные на туманных представлениях о переменной величине, „последовательно“ принимающей ряд значений, о „непрерывном изменении“ аргумента и т. п., но нигде не дана точная и отчетливая формулировка определения предела функции в данной точке. Учение о порядках бесконечно малых в архаичном изложении автора создает неправильное впечатление о возможности всегда сравнивать две бесконечно малые величины. Основываясь на наивных, ошибочных рассуждениях о порядках бесконечно малых, „доказывается“ (т. II, стр 249) абсурдное утверждение о необращении в нуль (ни в какой точке) детерминанта Якоби при взаимно однозначном отображении двух областей. Вывод аналитического признака возрастания и убывания функции (т. 1, стр. 321) не удовлетворяет элементарным требованиям в отношении научной строгости. Не всегда формулируются все условия, при которых верно то или другое утверждение. Так, для вывода формулы длины дуги в виде интеграла недостаточно потребовать лишь существования производной, при выводе формулы Тэйлора используется условие существования производных не только в данной точке, но и в ее окрестности. Поверхностное исследование достаточного условия экстремума функций двух аргументов (т. II, стр. 173—174) не вяжется с рассуждениями на стр. 178, в которых показано, что для существования экстремума в данной точке недостаточно, чтобы функция имела экстремум во всех направлениях, исходящих изданной точки. Такие архаизмы, как косоугольные координаты или бесконечно удаленные элементы в евклидовой плоскости, только лишь засоряют книгу ненужным материалом. Утверждение, что задачу высшей алгебры составляет решение уравнений высших степеней или, например, рассуждение (т. 1, стр. 24), что элементарная математика разделяет величины на известные и неизвестные, тогда как высшая математика разделяет величины на постоянные и переменные, звучат в настоящее время как курьез. И вот, наряду с неточностями, с рассуждениями, опирающимися на наивные представления, в книгу включены доказательства таких фундаментальных теорем математического анализа, как, например, теорема Кантора о равномерной непрерывности. Чтобы осознать самую постановку вопроса, от учащегося требуется значительное математическое развитие и предельная отчетливость мышления, иначе все строгие логические построения могут служить лишь материалом для формального заучивания текста.

Итак, мы полагаем, что, несмотря на значительнее педагогические достоинства изложения, книга проф. Власова не может быть рекомендована ни для педагогических и учительских институтов, ни как пособие в работе учителя над повышением уровня своей научной квалификации. За последнее время издано достаточное количество более современных руководств по высшей математике, и переиздание курса проф. Власова не представляется необходимым, тем более, что эта книга не ориентирована на какую-либо определенную программу

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ в № 3 1946 г.

41

Найти числа, оканчивающиеся цифрой 3 и обладающие тем свойством, что, если эту цифру 3 переставить в начало числа, то новое число будет в 3 раза больше первоначального.

Решение. Задача решается аналогично задаче 4, помещенной в № 1 журнала. Приведем все три решения.

1. Данное число оканчивается цифрой 3. Следовательно, утроенное данное число оканчивается цифрой 9. Но так как утроенное данное число получилось от переноса из конца данного числа тройки, то, значит, цифра 9 является второй цифрой данного числа, и оно имеет вид юОя + 93. По умножении этого числа на 3 получим на конце 79. Следовательно, цифра 7, являясь второй от конца цифрой утроенного числа, должна быть в то же время третьей от конца в данном числе. Таким же путем найдем 4-ю, 5-ю и т. д. цифры. Вычисление располагается так:

(1)

Начинаем умножение с единиц: 3-3 = 9. Полученную цифру 9 подписываем перед цифрой 3. Умножаем десятки: 9*3 27, Подписываем цифру 7 перед цифрой 9, а 2 запоминаем. Умножаем 7 на 3 и прибавляем 2. Полученную цифру 3 пишем впереди, а число 2 запоминаем. Так продолжаем до тех пор. пока цифры множимого не начнут повторяться в том же порядке. Полученное 28-значное число является наименьшим, удовлетворяющим условию задачи. Повторив цифры в том же порядке еще 1, 2, 3. раза получим 56-значное, 84-значное и т. д. числа, тоже дающие решение задачи.

2. Обозначим искомое число через х. Когда зачеркнем в нем последнюю цифру, то оставшееся число будет равно ^ . Поставив цифру 3 вначале, мы прибавим к числу ~jq число 3 • 10w, где m пока неизвестное число, равное числу цифр в числе —^—, или, что то же, на 1 меньшее числа цифр в данном числе. По условию имеем;

Отсюда:,

(2)

Отсюда решение: пишем цифру 3 с неопределенным количеством нулей и делим это число на 29, приписывая к остатку каждый раз нуль до тех пор, пока в остатке не получится 3.

3. Воспользуемся малой теоремой Ферма. Выражение (2) представим так:

Z(\Om + 1~\)=29x.

Так как 29 —- число простое, то по теореме Ферма число 1028—1 должно делиться на 29. Следовательно, мы можем положить m + 1 = 28. Теперь для получения числа х нужно лишь разделить на 29 число:

3 • 1028 — з « 29 999 999 999 999 9У9 999 999 999 997 42

Найти предел выражения:

-А—-^---при х + 0.

Решение. Данное выражение можно представить в виде

Отсюда, принимая во внимание, что предел м sin a tg а каждого из выражении —— и при а 0 равен 1, найдем, что предел данного выражения равен —2щ

43

Доказать неравенство:

(a-f I) 1) (а + с) (b + c)>\ßabc

при а> 1. &> 1, с> 1.

Решение. Приняв во внимание, что среднее арифметическое двух чисел всегда не менее (а при неравных числах всегда более) их среднего геометрического, мы можем написать:

Перемножив эти неравенства и умножив обе части полученного неравенства на 16, получим требуемое.

44

Доказать соотношение

где D—диаметр круга, ап и Ьп — стороны правильного вписанного и описанного п-угольников.

Решение. По известной формуле а2п выражается через ап так:

(1)

Вычислим Ь2п> применив формулу:

(2)

Заменив в ней п на 2я, подставим вместо выражение (I). Получим:

или по умножении числителя и знаменателя на

(3).

С другой стороны, преобразуя данное в условии выражение для ft^t* получим:

Равенство выражений (3) и (4) и доказывает предложенное соотношение.

Доказать, что для четырехугольника, который одновременно может быть вписан в окружность и описан около окружности, имеет место соотношение:

45

где г и R — радиусы вписанной и описанной окружностей, a d—расстояние между их центрами.

Решение. Пусть О и Ох центры описанной и вписанной окружностей. OOx~d (черт 1).

Черт. 1

Проведем диагональ BD и перпендикулярный к ней диаметр NNX описанной окружности. Проведем, наконец, хорды AN и NXC. Тогда:

1) Хорда AN делит £А пополам Действительно диаметр NNX, как перпендикулярный к хорде BD. делит стягиваемую ею дугу BND пополам: w BN = ^ ND. Но половинами этих дуг измеряются углы BAN и NAD. Следовательно. AN — биссектриса угла Л.

2. Совершенно аналогично докажем, что NXC— биссектриса угла С.

3. Хорды AN и NtC, как биссектрисы углов Л и С, проходят через центр Ох вписанной окружности.

4. Проведем диаметр POOxQ описанной окружности, проходящий через точку Ог (на чертеже не показан). Тогда по свойству хорд и диаметра, пересекающихся в одной точке, будем иметь:

РОх • OxQ=AOx - OxN; РОх - С^СНОМ • СОх (1)

Но POx=R + d и OxQ=R-a\

Следовательно, из (I) получим:

5. OO^—d является медианой стороны NNX в треугольнике NOxNx. Воспользовавшись известной формулой для вычисления медианы по сторонам:

получим.

Заменив OxN и OiNx из (2), найдем:

(4)

6. Из треугольника 0\МА находим:

и аналогично:

подставив в (4), по умножении обеих частей на получим:

(5)

Но sin 9“ = sin--о-= cos Т » следовательно,

и мы имеем окончательно:

(6)

Нетрудно показать, что соотношение (6) равносильно с заданным равенством. Действительно, равенство (6) можно представить в виде:

Отсюда, деля обе части на получим:

46

Представить произведение

в виде суммы двух квадратов.

Решение. Применим два раза известное тождество:

(1)

взяв в скобки для определенности верхние знаки. Положим

m = а; л — 1; р = Ь\ q = 1.

Получим:

(а*+ 1)(&2 4-1) = (ab — 1)~ + (a -f bf. (2)

Умножим теперь обе части (2) на с2-f- 1, положив в (1)

m = ab —1; п = а -\- Ъ\ р=с; q=\.

Получим

или:

Комбинируя при обоих умножениях знаки в (1), получаем еще 3 решения:

Второе решение. Представив каждый двучлен в виде произведения двух комплексных множителей, будем иметь:

Но

Перемножив эти два сопряженных комплексных числа, получим:

47

Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и биссектрисе острого угла.

Решение. Пусть треугольник АСВ— искомый (черт. 2). Тогда имеем:

Черт. 2

(1)

Отсюда

или:

Решаем уравнение (2):

Так как угол А острый, то cos А > 0 и пригоден только положительный корень. Следовательно имеем:

Таким образом построение катета b сводится к ряду последовательных элементарных построений: 1) р = 2с\ 2; 2) q » Vm- + р- : 3) r=m +q

Построив CA = b, из конца С восставляем перпендикуляр к b и на нем из точки А радиусом, равным с, засекаем вершину В.

Возможно и чисто геометрическое решение задачи, но придется производить более сложные построения (в частности, воспользоваться геометрическим местом середин равных хорд в окружности.)

48

Решить уравнение:

Решение. Уравнение можно представить в таком виде:

В правой части имеется множитель х—1. Посмотрим, не имеется ли этот множитель и в левой части. Действительно, при х = 1 левая часть обращается в нуль и, значит, делится на X — 1.

Произведя деление, получим:

Отсюда:

или

Приравнивая нулю первый множитель, получим х=\.

Что касается второго множителя, то для того чтобы \/х — 1 был действительным числом, должно бытьл:>1. Но тогда оба слагаемых, а, следовательно, и сумма больше нуля, в уравнение X-\-2у х- 1=0 действительных корней иметь не может.

49

Решить систему уравнений:

(1)

(2) (3)

Решение. Данная система отличается тем. что не поддается простому решению, которое обычно допускают системы такого типа. Наиболее коротким будет, пожалуй, следующее.

Сложив почленно все три уравнения, получим:

ах + Ьг = 0,

Откуда:

• ---J- (4)

Это значение s подставим в (1) и (2). Будем иметь:

(5) (6)

Чтобы исключить у, определим его из уравнений (5) и (6) и приравняем полученные результаты. Получим:

(7)

Отсюда сразу получаем хг = 0, откуда из (4) найдем гх = 0 и подстановкой х = 0t z = 0 в(1) получим Vi = 0. Предполагая теперь x=fc0, сократим (7) на х и после обычных упрощении получим:

(8)

Решив квадратное уравнение (8). найдем х2 и хг, а затем из (4) z2 и z3, и из (1) или (2) уг и у3.

50

Решить уравнение:

(1)

Решение. Замечая, что первый, второй и четвертый члены представляют собой квадрат двучлена, перепишем уравнение в таком де:

(je« — Зх)* + (jc3 - Зл) — 1 = 0. (2)

Положив:

хЗ — Зх=у, (3)

получим квадратное уравнение:

решив которое, найдем:

Остается решить два уравнения 3-й степени:

(4)

(5)

Решим их путем разложения каждого на множители. Для этого, замечая, что

преобразуем уравнение (4) так:

или:

Разложив сумму первых двух членов по формуле для суммы кубов и вынеся за скобки

получим:

Отсюда, приравняв нулю каждый из множителей, найдем:

или, после упрощений:

Аналогично решается и уравнение (5). Получим:

Второе решение. Гораздо проще и короче уравнения (4) и (5) решаются с помощью тригонометрии. Действительно, замечая, что

положим X = 2cos ф. Подстановка в (4) и (5) по сокращении на 2, дает:

Но по известной формуле:

4cos3 <р — 3cos ф = cos3 <р,

и мы имеем окончательно:

cos3 <р = cos 72° и cos3 <р = cos 144*

Отсюда легко находятся значения <р, а затем X = 2cos <р.

51

Показать, что,

5а2_бя&-Ь5£2>0,

если только а и Ь одновременно не равны нулю.

Решение. Данное выражение можно представить в таком виде:

2 (а* + 62) + з (д _ ьу.

Если а и Ь одновременно не равны нулю, то при любых действительных значениях а и Ь все слагаемые не могут одновременно обратиться в нуль, а так как они являются квадратами действительных чисел, то сумма будет всегда положительной.

52

Решить уравнение:

(1)

Решение. В левой части сумма квадратов двух выражений. Сделаем левую часть полным квадратом, прибавив к обеим частям удвоенное произведение этих выражений. Получим:

или:

Положив

(2)

получим квадратное уравнение, решив которое найдем:

(3)

(4)

Отсюда легко находим:

53

Доказать, что во всяком треугольнике диаметр вписанной окружности не превышает радиуса описанной окружности.

Черт. 3

Решение. Пусть А ВС — данный треугольник, О — центр описанной, О' — центр вписанной окружности. AM и CN— биссектрисы А и £ С, причем M — середина w ВС, N — середина AB. Заметим, что МО' = MC, так как АМО'С — равнобедренный; действительно:

(знак ==г заменяет слово «измеряется-). Но СМС='^МВ и kjAN — kjBN, поэтому 2тМО/С=/тМСО'. Обозначая R и г радиусы описанной и вписанной окружностей, расстояние между центрами ÖÖ' = d и замечая, что ОМ = = OA = Rt получим, прилагая к àMOA и секущей ОО' теорему Стюарта:

Следовательно:

(как хорда окружности, стягивающая дугу, равную а). С другой стороны, из прямоугольного треугольника О*А = г: sin ~.

Итак:

Окончательно,

или:

Так как

При d = 0 центры вписанного и описанного кругов совпадают, и треугольник будет равносторонним. В этом случае R — 2г.

54.

Четыре плоскости, пересекаясь между собою образуют произвольный тетраэдр. Указать сколько существует сфер, касающихся ко всем этим четырем плоскостям, и дать метод их построения.

Решение. Пусть плоскости аь а& а3, о4, пересекаясь образуют тетраэдр. Назовем А\ч А2, Л3, Л4 вершины этого тетраэдра, противоположные соответственно плоскостям аь ?2» аз. а4- Центры искомых сфер как равноудаленные от данных плоскостей должны лежать на плоскостях, равноделящих двугранные углы между данными плоскостями (так наз. биссекторные плоскости). Заметим, что для каждой пары плоскостей таких биссекторных плоскостей будет две, причем между собой они будут взаимно-перпендикулярны. Назовем биссекторную плоскость между плоскостями ар и aq символом ßpc. Тогда внутри тетраэдра получим плоскости р1Я, ß13, ß14, 023, Р24' ßs4-

Соответственно вне тетраэдра пройдут плоскости ß'i„ ^'13, ß',4, р'м, ß,24, ß's4-

Таким образом, плоскость $pQ содержит все точки, равноудаленные от ар и аг Отсюда следует, что линия пересечения fa и fa содержит все точки, равноудаленные от и °8» поэтому через эту же прямую пройдет и плоскость ß.^. Если плоскость р14 пересечет эту прямую в точке О, то эта точка будет равно удалена от oj, 02, э3 и о4 и, следовательно, будет центром первой внутренней касательной сферы. Через нее пройдут и плоскости [*24 и рз4. Не пересечься эти плоскости не могут, так как каждая из них имеет с другой общую точку —одну из вершин тетраэдра.

Черт. 4

Линии их пересечения также не могут слиться в одну прямую, так как эти линии проходят через точки .4j, Л2, Л3 и Л4, не лежащие на одной и той же прямой. Итак, все шесть внутренних биссекторных плоскостей определяют единственный центр.

Внешние биссекторные плоскости, проходя через шесть ребер тетраэдра, образуют своим пересечением некоторый шестигранник, ограниченный шестью четырехугольниками. При правильном тетраэдре этот шестигранник будет кубом. Плоскости ß'13 и ß'i4, имея общую точку Л2, имеют и общую прямую — геометрическое место точек, равноудаленных от ah а3, а4. через которую поэтому пройдет плоскость ß34. Обозначая Oj — точку пересечения этой прямой с плоскостью ß'i2 (т. е. вершину шестигранника), убедимся, что через эту же точку пройдут и плоскости рм и ß2s.

Итак, мы получили еще центр 0А — точку пересечения плоскостей: ß'12, р'13э p'l4, ß23, £24, Рз4» Аналогично получим точки:

02 пересечения В'*, ß'12, ß13, ß14, ß34;

03 • ß'34, ß'23' ß'l3» ßl2» ßl4»

04 • ß'l4. ß 24» ß'84» ß23» ßl3» ßl2-

Заметим, что точки Оь 02, 03, 04 служат вершинами полученного шестигранника, другими вершинами которого служат точки: А\ч А2, Az, А^ причем существование точек Oh 02, 03, 04 обусловлено тем, что точки АЬА2, А& А4 всегда существуют и не лежат в одной плоскости.

Возьмем, наконец, плоскости В'12 и ß'14; линия их пересечения одинаково отстоит от аг, а2 и а4; поэтому через нее же проходит и плоскость ß24. Обозначим О' точку пересечения этой прямой с плоскостью ß'34. Тогда мы вновь получим точку, равноудаленную от оц, <х2, а3 и а4, через которую должны также пройти и плоскости ß'23 и ß13.

Итак, мы имеем еще точку

0[ пересечения ß13, ß24, ß'12, ß'8«f 8'23, ß'14 и также:

0[ . ßl2» ßs4» К L & К И

0[ . Рц, ß23» ß'l3»» fâ* ß'l* ß'34-

Однако необходимо заметить, что этих трех центров может и не получиться, если противоположные грани полученного шестигранника окажутся параллельными.

Этот именно случай имеет место для правильного тетраэдра, для которого, как легко убедиться, точки Of Оз построить нельзя.

Таким образом, в общем случае существует восемь сфер, касательных к данным четырем плоскостям.

Заметим, наконец, что такой точки, в которой бы пересекались пять внешних и одна внутреняя биссекторная плоскость или пять внутренних и одна внешняя, существовать не может, так как уже пересечение трех внутренних плоскостей определяет точку О, через которую должны пройти и остальные внутренние плоскости.

55

Дана прямая I и вне ее две точки А и В. Найти на прямой I такую точку М, чтобы угол, образуемый лучом MA с прямой /, был вдвое больше угла, образуемого лучом MB с той же прямой /.

Черт. 5

Решение. Допустим, что задача решена и М — искомая точка. Проведя биссектрису в большем углу, увидим, что, в силу равенства вертикальных углов, ее продолжение будет симметрично с MB по отношению к /. Поэтому точка В\ симметричная с В, лежит на этом продолжении. С другой стороны, точка А*, симметричная с А по отношению к биссектрисе,, лежит на прямой /. По свойству симметрии/ имеем: ABf = А'В'. Это и определяет построение: находим точку В'; радиусом В'А из центра В' проводим окружность, пересекающую / в точке А'. Далее засечками находим точку Р, равноудаленную от Л и А'. Биссектриса PB' пересечет / в искомой точке М.

Предлагаем читателю исследовать случай, когда А и В лежат по разные стороны от /.

56

Дана окружность, центр которой неизвестен. Определить этот центр, пользуясь для построения только одним циркулем.

Решение. Из произвольной точки M на данной окружности, как из центра, опишем произвольным радиусом окружность, которая пересечет данную в точках Р и Р'. Далее тем же радиусом, при помощи засечек, определяем точку N9 симметричную M по отношению к РР'. Потом из центра N радиусом NM опишем дугу, которая пересечет вспомогательную окружность в точках Q и Qf. Принимая эти точки за центры, радиусом QM = Q'M опишем дуги, пересечение которых дает центр искомой окружности.

Доказательство. Обозначим точку пересечения наших дуг О', а искомый центр окружности — О. bMP'N cv> ДЛЮ/3', так как оба равнобедренные и имеют общий угол. Поэтому:

ОМ : МР'=МР> : MN;

следовательно, 0М=МРП .

С другой стороны, на тех же основаниях: bMNQvo aMO'Q, следовательно, О'M : MQ = MQ : MN.

Поэтому: О'M = J£QL ; но MQ = MP' MN

значит. О'M — ОМ.

Черт, 6

57

Построить четырехугольник, вписуемый в окружность, если даны четыре его стороны.

Решение. Пусть ABCD — искомый четырехугольник, о, Ь% су d — его стороны. Продолжим ВС за точку С и при D на стороне CD построим угол, равный £ADB% причем сторона его пересечет продолжение ВС в точке М.

àMCD оо kABDy так как £МСО =/_BAD (как внешний угол вписанного четырехугольника и ICD M » £ADB по построению. _ = JL ; следовательно, СМ = —, т. е. длину СМ, а значит — и точку M можно построить.

Далее = —. Это и определяет возможность построения:

Отложим отрезок ВС — b и, определив длину СМ, получим точку М. Для определения точки D замечаем, что отношение ее расстояний от В и M нам известно, оно равно —. Кроме того, от точки С точка D отстоит на данное расстояние с. Поэтому для определения D строим геометрическое место точек, отношение расстояний которых от двух данных точек нам известно (окружность Аполлония), и потом засечкой из точки С определяем на этой окружности точку D. Итак, мы получили точки Ву С и D. Точку А уже легко найти, зная АВ = а и AD = d.

Черт. 7

58

Даны три точки, не лежащие на одной и той же прямой. Принимая их за центры, провести три окружности, которые были бы взаимно ортогональны.

Решение. Положим, что мы при центрах Oi, 02, О, осуществили бы нужное построение. Так как касательные, выходящие из точки Oâ к окружностям Oi и 02, в силу условия ортогональности, равны, то степень точки по отношению к обеим окружностям одинакова, поэтому 03 лежит на общей хорде (радикальной оси) окружностей О, и 02. А так как общая хорда перпендикулярна к линии центров, то мы видим, что эти общие хорды совпадают с высотами дО^Оз. Этим и определяется построение.

Строим aOi0303 и проводим его высоты. В силу ортогональности, радиусы окружностей, проведенные в точки их пересечения, взаимноперпендикулярны. Поэтому, чтобы найти точку пересечения, строим на Oj02, как на диаметре, полуокружность. Пересечение ее с высотой дает искомую точку Р3 пересечения окружностей.

Черт. 8

59

Доказать, что во всяком выпуклом многограннике есть, по крайней мере, или одна треугольная грань, или один трехгранный угол.

Решение. Допустим обратное: положим, что существует многогранник, у которого нет ни одной треугольной грани и ни одного трехгранного угла. Обозначим число его граней — F, число

ребер — А, число вершин — Л По теореме Эйлера имеем:

Допуская, что все грани содержат четыре или более сторон, подсчитаем число ребер по граням и получим:

(делим на 2, потому что каждое ребро прилегает к двум граням). Отсюда

Подсчитаем число ребер по вершинам и получим:

(каждое ребро связывает две вершины). Поэтому

Заменяя в формуле Эйлера F и Р неменьшими величинами — , получим:

Полученное противоречие показывает, что многоугольник указанного типа осуществить невозможно.

60

В геометрии Киселева призма определяется как многогранник, у которого две грани — равные многоугольники со взаимно-параллельными сторонами, а остальные грани параллелограмы.

Черт. 9

Привести пример многогранника, удовлетворяющего этому определению ее и не являющегося призмой.

Решение. Построим на каждой грани куба извне равные между собою правильные четырехугольные пирамиды. Высоту этих пирамид возьмем такую, чтобы грани пирамид, находящихся на соседних гранях куба, составляли продолжение одна другой.

В результате мы получим тело, ограниченное двенадцатью равными ромбами — так наз. ромбический додекаэдр.

Легко убедиться, что этот многогранник вполне удовлетворяет определению призмы, данному в стабильном учебнике, но в то же время не является призмой.

ЗАДАЧИ

1. Два вкладчика вложили одинаковые суммы в одну и ту же сберкассу (по простым процентам). Первый по истечении 8 месяцев получил вместе с процентной суммой 893 руб. 20 коп. Второй по истечении 15 месяцев получил 913 руб. 50 коп. Какая сумма была вложена каждым вкладчиком и по каким процентам? Решить задачу алгебраически и арифметически.

2. Вычислить с точностью до ~ (с недостатком) квадратный корень из числа 1.60333.... Определить, какие дроби (несократимые) с знаменателем 100 имеют тот же квадратный корень (конечно, вычисленный с той же точностью — до 1).

3. Решить уравнение:

4. Площадь прямоугольника выражается числом, равным учетверенному числу, выражающему сумму длин основания, высоты и диагонали того же прямоугольника. Определить его основание и высоту.

5. Найти числа, составляющие арифметическую прогрессию, зная, что 1) сумма первых четырех членов равна 261, 2) сумма последних четырех членов равна 110; 3) сумма всех членов равна 187.

6. Найти дробь —, равную —сумма членов которой (а-\-Ь) равна кубу некоторого простого числа.

7. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и медиане одного из катетов.

8. Найти целое число M содержащее простыми множителями только 2, 5 и 7, зная, чю: 1) 5Л имеет на 8 делителей больше, чем N; 2) 7N — на 12 делителей больше, чем N; 3) SN имеет на 18 делителей больше, чем N.

9. Число N, разложенное на простые множители, имеет вид axbycz. 1) Если N разделить на а, то новое число будет иметь на 30 делителей меньше, чем N; 2) если N разделить на Ь, то новое число будет иметь на 35 делителей меньше, чем N\ 3) если N разделить на с, то новое число будет иметь на 42 делителя меньше, чем N. Определить х< у и г.

10. Числа X и у связаны соотношением:

jç2y = 2 у/х . 1) вычислить yt если je3 = 4; 2) вычислить X, если у2 = 8.

11. Двузначное число обладает следующими свойствами. Если к удвоенному и к утроенному этому числу прибавить по 1, то в обоих случаях получится точный квадрат. Найти это число.

12. Возраст ребенка, увеличенный на 3 года, даст точный квадрат. Этот же возраст, уменьшенный на 3 года, дает как раз квадратный корень из упомянутого квадрата. Определить возраст ребенка. (Допускаются арифметические и алгебраические способы решения.)

13. Решить систему уравнений:

14. Решить уравнение:

15. Решить уравнение:

16. Доказать, что в арифметической прогрессии, члены которой целые числа и разность — число нечетное, сумма любых последовательных четырех членов не может быть точным квадратом.

17. Доказать, что в треугольнике, у которого разность углов при основании равна прямому углу, биссектриса внутреннего угла при вершине равна биссектрисе внешнего угла.

С. И. Зетель (Москва)

18. Решить уравнение:

V*2 sinSx = 4cos2a\

19. На прямой даны три точки: Л, В и С (В лежит между Л и С). На отрезках AB и ВС по одну сторону от прямой построены равносторонние треугольники АВСу и BCAV Точки M и N— середины отрезков ААА и СС\. Доказать, что &BMN— равносторонний (задача из 1-го тура 9-й московской математической олимпиады для VII—VIII классов),

20. В пространстве даны две пересекающиеся плоскости M и N. На линии их пересечения дана точка Л. Доказать, что из всех прямых, лежащих в плоскости M и проходящих через точку Л, наибольший угол с плоскостью N образует та, которая перпендикулярна к линии пересечения плоскостей M и N (задача из 1-го тура той же олимпиады для IX—X классов).

ОТ РЕДАКЦИИ

В связи с многочисленными запросами, поступившими от читателей, сообщаем, что никаких заказов по выписке книг редакция журнала не принимает.

СОДЕРЖАНИЕ

А И. Маркушевич. —- О математической литературе для учителя средней школы . . 1

НАУЧНО ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

B. И. Молодший — Понятие комплексного числа в его развитии........ 11

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

А. П. Юшкевич — Математика и ее преподавание в России XVII—XIX вв . . 26

МЕТОДИКА

Ю. О. Гурвиц и С. В. Филичев — Требования к письменным работам по математике . .................... ........40

П. С. Моденов — О приемных испытаниях по математике на механико-математическом и физическом факультетах Московского Государственного университета в 1946 г............... ............. 54

Д М. Маергойз — Аналогия в педагогическом процессе............ 60

ХРОНИКА

А. И. Фетисов — Девятая математическая олимпиада школьников в Москве. . 66

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

C. И. Новоселов - Обзор новых книг..................... 68

ЗАДАЧИ

Решения задач................................ 70

Задачи................................ ... 78

№ Главлита А 01144. Заказ № 5143. Тираж 20000 экз.

Редакционная коллегия:

Отв. редактор А. Н. Барсуков. Зам. отв. редактора С. И. Новоселов.

Члены редакционной коллегии: Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий, А. П. Садиков, Н. Ф. Четверухин. Техн. редактор В. П. Рожин.

Адрес редакции: Москва. Чистые пруды, 6. Учпедгиз Министерства просвещения РСФСР

Подписано к печати 10/11 1947 г. Печ. л. 5. Учетно-изд. л. 7,47. Печ. зн. в 1 п. л. 72000. Цена 4 р. 50 к.

Типография № 2 Управления издательств и полиграфии Ленгорисполкома.