МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

5-6

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКВА 1946

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 5 — 6 1946

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

НАУЧНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА АЛГЕБРЫ

Действительный член Академии педагогических наук П. С. АЛЕКСАНДРОВ

Продолжение

IV. Алгебраические выражения. Функции. Уравнения.

1. Буквенные выражения как функций входящих в них переменных.

Пусть нам дано какое-нибудь алгебраическое выражение, например, л:2 + -\-рх ~(- q. В нем буквы обозначают числа. При этом, однако, можно заранее условиться, что, например, рис обозначают некоторые постоянные числа, т. е. такие, которые при рассмотрении данного выражения имеют лишь одно (хотя и не сказано, какое именно) значение, тогда как буква х в данном выражении является символом любого вещественного числа. Если принять это условие, то выражение x2-\-px-\-q изображает некоторую функцию от одного переменного xf но эта функция станет вполне определенной (т. е. можно будет фактически вычислить её значение для любого заданного значения независимого переменного х) лишь после того, как будет известно, какие именно численные значения имеют постоянные р и q. ß этом смысле надо понимать выражение „буквы р и q обозначают числовые параметры, определяющие функцию одного независимого переменного х2 -f px-\-q*.

Мы в этом параграфе будем рассматривать лишь рациональные алгебраические выражения, т. е. такие, в которых над входящими в них буквами производятся лишь действия сложения, вычитания, умножения и деления. При этом, если в рациональное выражение действие деления не входит, то это выражение называется целым.

Целое рациональное выражение имеет смысл для всех без исключения числовых значений входящих в него букв. Если же данное рациональное выражение не является целым (в этом случае его иногда называют „дробным“), то оно имеет смысл для всех числовых значений входящих в него букв, при которых не приходится делить на нуль.

Например, выражение —— имеет смысл для любой системы вещественных значений букв х9 у, кроме системы х=0, у=0, а выражение имеет смысл для любой системы значений X, у, для которой выполнены оба условия: уфX, уф — X.

После того, как указано, какие из букв, входящих в данное алгебраическое выражение изображают постоянные числа, а какие — переменные, само алгебраическое выражение делается записью функции, вообще говоря, от нескольких переменных, имеющих своей областью существования множество

всех систем значений этих переменных, при которых данное алгебраическое выражение имеет смысл. При этом мы раз и навсегда исключаем из нашего рассмотрения выражения, не имеющие смысла ни при какой системе числовых значений входящих в них букв. Примерами таких выражений могут служить:

Одна и та же функция может изображаться несколькимиразличными алгебраическими выражениями. Например, выражения (х-\~у) (х — у) и х2—у2 различны, но являются записями одной и той же функции от двух переменных X и у. Вопрос о взаимоотношении понятий „функция“ и „алгебраическое выражение“ так же, как и тесно связанный с ним вопрос о тождественных преобразованиях алгебраических выражений, принадлежит к числу тех вопросов, в которых преподавателю необходимо особенно тщательно разобраться.

2. Тождественное равенство двух различных выражений.

Вернемся к понятию рационального алгебраического выражения Под алгебраическим выражением мы понимаем самую совокупность символов, из которых оно состоит, т. е. цифр, букв и знаков действий. Два такие выражения тождественны (или одинаковы, или совпадают между собою), если они состоят из тех же символов в том же их расположении, т. е. попросту говоря, ничем не отличаются друг от друга. Таким образом, выражения а-\-Ь и b-\-a, а также выражения 3 и 2+1 различны между собою.

Два целые рациональные выражения называются тождественно равными, если при всех численных значениях входящих в них букв они равны между собою (т. е. выражают одно и то же число)1.

В случае дробных рациональных выражений вопрос осложняется тем, что при некоторых численных значениях букв выражение может не иметь смысла. Поэтому приходится называть два дробные рациональные выражения тождественно равными, если их числовые значения равны при всех значениях букв, при которых оба выражения имеют смысл.

Например, из двух выражений-— и х-\-у первое имеет смысл для всех значений х и у, неравных между собою, а второе — при всех вообще значениях X и у. Таким образом, „значения х и у, при которых оба выражения имеют смысл“, это всевозможные системы двух неравных между собою чисел х, у. Для всех таких значений

(1)

так что наши выражения тождественно равны между собою.

3. Общее понятие функции. Функции от п переменных.

Посмотрим теперь, что представляет собою тождественное равенство двух выражений с точки зрения функций, записью которых являются данные выражения. Для этого подробно разберемся в самом понятии функции.

Если мы имеем два множества2 X и У, состоящие из каких-либо элементов, обозначаемых нами соответственно через X и у, и если каждому элементу X поставлен в соответствие некоторый вполне определенный элемент у = f(x), то мы говорим, что имеем функцию /, определенную на множестве X и принимающую значения, принадлежащие множеству У. Таким образом, в понятие входят:

во-первых, область существования функции, т. е. множество X; элементы этого множества называются значениями независимого неременного х,

во вторых, закон, который каждому значению независимого переменного (т. е. каждому элементу х множества X)

1 Строго говоря, это определение имеет смысл лишь если указан тот числовой запас, из которого берутся эти .численные значения букв*. Однако можно доказать (рассуждениями, аналогичными приведенным в § 5), что два целые выражения, равные при всех рациональных численных значениях входящих в эти выражения букв, будут равны не только при всех вещественных, ни и при всех комплексных значениях этих букв.

2 Я применяю здесь простейшие понятия теории мнoжеств; с ними можно подробно познакомиться в (5] гл. I или в [1] — Прибавление.

ставит в соответствие некоторый определенный элемент множества У.

Примеры: 1) Пусть Хестъ множество всех рациональных или всех действительных чисел. Каждому х ставим в соответствие его абсолютную величину. Получаем функцию:

y=f(x) = I X I ;

график ее изображен на черт. 1.

Черт. 1

2) Множество X есть множество всех положительных рациональных или множество всех положительных вещественных чисел. Значение f(x) функции / определим как наибольшее неотрицательное целое число, содержащееся в числе X. График таким образом определенной функции изображен на черт. 2.

Черт. 2

3) Множество X состоит из всех действительных чисел, отрезка -l^jc<l'. Функция у = f(x) определена как положительный квадратный корень из 1— X2. Ее график есть полуокружность хЦ-у*—\, у^О.

4) Множество X имеет своими элементами всевозможные пары (хи х2) вещественных чисел, т. е. на геометрическом языке, всевозможные точки х = =z(xiyx2) плоскости; числа хх и х2 суть координаты точки х. Всякая функция, имеющая множество X своею областью существования, называется функцией двух действительных переменных хих2, определенной на всей плоскости {х1,х2}. Если бы мы взяли в качестве множества X не совокупность всех пар хи х2> а только некоторое множество таких пар (т. е. некоторое множество M на плоскости), то получили бы функцию двух переменных, определенную на плоском множестве М. Например, функция

есть функция двух переменных х, у, областью существования которой является множество всех точек плоскости, не лежащих ни на одной из двух прямых У = X, у =— X.

Обобщением понятия функции двух переменных является понятие функции f(xx..'.9 хп) от п переменных. Каждую систему значений Xi..., хп этих переменных мы рассматриваем как точку п-мерного пространства1; таким образом, областью существования функции от п переменных является некоторое множество точек ^-мерного пространства.

4. Многочлены и целые рациональные функции.

Простейшими алгебраическими выражениями от п переменных являются целые одночлены от п переменных, т. е. выражения вида ах? ...хрпп, где коэфициент а есть постоянное число, а показатели ри--*>Рп суть неотрицательные целые числа (при этом, конечно, х?=1). Сумма всех показателей рг... рЛ называется степенью одночлена. Функция, записывающаяся в виде одночлена от п переменных, определена этой записью во всем я-мерном пространстве. При этом одночлен нулевой степени изображает функцию, принимающую во всех точках (л^,..., хп) одно и то же значение а. Такая функция называется константой (постоянной). Особое место занимает случай а=0: одночлен, коэфициент которого равен нулю, имеет неопределенную степень и называется нулевым одночленом.

Сумма конечного числа одночленов от п переменных называется многочленом от п переменных, слагаемые этой

1 Об n-мерном пространстве см., например, [7].

суммы называются членами многочлена. Если среди членов данного многочлена имеется (ненулевой; член степени т, но нет члена степени большей, чем т, то многочлен называется многочленом т-й степени. Например, общий вид многочлена второй степени от двух переменных есть

Р(*> y) = anX2+ai2xy + alsx + a22y*-\-

где хоть один из трех старших коэфициентов аи, а12, агч отличен от н)ля. Общий вид многочлена т-й степени от одного переменного есть

а^т +а1хт~1 <W + ат,

причем а0фО.

Функция от п переменных, изображаемая многочленом т-й степени, имеет своей областью существования все л-мерное пространство и называется целой рациональной функцией т-и степени от п переменных1.

Замечание 1. Необходимо подчеркнуть, что одночлен от п переменных является частным случаем многочлена от п переменных; поэтому к числу целых рациональных функций принадлежат, в частности, и все функции, которые могут быть записаны в виде одночленов, значит, и все константы.

Замечание 2. Каждая целая рациональная функция от п переменных хЛ... хп может быть единственным образом записана в нормальном виде. Для получения этого нормального вида надо:

1°. В каждом члене многочлена, выражающего данную функцию, написать входящие в него переменные множители в одном и том же порядке, например, в порядке х* хР*_____xf*.

2°. Сделать приведение подобных членов (т. е. таких, которые, если отличаются друг от друга, то только коэфициентом).

3°. После этого расположить все члены многочлена по убывающим степеням букв в так называемом словарном порядке. Это значит: член ахр* хр... хрп должен предшествовать члену bxf> xf....XJnm9 если Pi>qv или, если Pi**=ql9 но /?2>с72, вообще, если первое из чисел pk, неравное соответствующему qkt больше этого qk.

5. Целые рациональные выражения и целые рациональные функции.

Какое бы сложное целое рациональное выражение, содержащее п переменных, нам ни было дано, совершая указанные в этом выражении действия, каждое из которых преобразует данное выражение в тождественно равное ему, мы в конце концов превратим данное целое выражение в многочлен от п (или меньшего числа) переменных. Итак, каждое целое алгебраическое выражение тождественно равно некоторому многочлену, и, значит, каждая функция от п переменных, могущая быть записанной в виде целого алгебраического выражения от этих переменных, есть целая рациональная функция.

Основное содержание „действий над целыми алгебраическими выражениями“ и заключается в указании правил, следуя которым, можно всякое целое алгебраическое выражение превратить в многочлен, т. е. функцию, записанную в виде целого алгебраического выражения, привести к ее простейшему нормальному виду — к виду нормально записанного многочлена.

По самому содержанию понятия „функции* две функции fx и f% тождественны между собою (или „совпадают“), если они имеют ту же область существования X и если для каждого значения X своего „независимого переменного“ (т. е. для каждого элемента х множества X) они принимают одно и то же значение y=fx (•*). Если две функции записываются одним и тем же многочленом, то такие две функции, очевидно, тождественны между собою. Так как все целые рациональные функции от п переменных имеют одну и ту же область существования (а именно, все /t-мерное пространство), то из данного выше определения тождественного равенства двух целых выражений непосредственно следует: два целых рациональных выражения тогда, и только тогда, тождественно равны между собою, когда они являются записями одной и той же функции. Докажем, что изображения двух тождественных функций в виде нормально записанных

1 Часто многочленом от п переменных называют самое целую рациональную функцию (а не только записывающее ее выражение),

многочленов не только тождественно равны, но и просто тождественны между собою.

Доказательство этого предложения просто вычитанием соответствующих функций и изображающих их многочленов приводится к доказательству следующего утверждения:

Нормально записанный многочлен Р(хи .. .хп) от п переменных, не тождественный нулю (т. е. содержащий хотя бы один член с отличным от нуля коэфициентом), не может быть тождественно (т. е. для любых численных значений переменных хи х2... хп) равен нулю.

Для п-=1 это утверждение вытекает из известной теоремы о том, что многочлен т-й степени от одного переменного не может иметь более m корней.

Докажем теперь утверждение для многочленов от п переменных xv... хп, предполагая его доказанным для всех многочленов от п—1 переменных. Запишем данный многочлен в виде

(2) р0х? +... +Рт_1х1 +рт

где р0,... рт суть нормально записанные многочлены от п— 1 переменных х2,..., хп*

Многочлен (2) тождественно равен нулю. Поэтому, каковы бы ни были численные значения, приданные переменным х2... хп, многочлен (2), превратившийся при произвольном, но фиксированном выборе этих численных значений в многочлен от одного переменного хъ тождественно равен нулю; следовательно, коэфициенты р0, ри .. .рт этого многочлена суть нули. Итак, многочлены р0, р1%..., рт от п—1 переменных х29... хп тождественно равны нулю; так как эти многочлены нормально записаны, то они в силу нашего индукционного предположения просто суть нули. А отсюда легко следует, что и первоначальный многочлен Р(хи Ръ ••• •*/.) не содержит ни одного члена с отличным от нуля коэфициентом.

Подведем итог всему сказанному: два целых рациональных выражения тождественно равны тогда, и только тогда, когда изображаемые ими функции тождественны. Две целые рациональные функции тождественны тогда, и только тогда, когда тождественны их изображения в виде нормально записанных многочленов (их „нормальные представления“).

6. Тождественные преобразования дробных рациональных выражений. Постановка вопроса.

Наша задача — обобщить только что сформулированный результат на случай любых рациональных выражений, т. е. доказать, что тождественное равенство двух рациональных выражений означает не что иное, как тождество тех функций, записью которых эти выражения являются. Однако при принятых нами до сих пор определениях это утверждение (доказанное нами для целых выражений) может оказаться неверным для дробных. Так, например, выражения XJ_V и х-{-у тождественно равны, между тем функции от двух переменных, изображаемые этими выражениями по точному смыслу принятых нами определений не являются тождественными, так как имеют разные области существования: для функции, определяемой выражением х-\-у, областью существования является вся плоскость, а для функции, определяемой выражением х ~у > область существования есть множество всех точек плоскости, не лежащих на прямой у = х. Тем не менее, теорема окажется верной, если надлежащим образом изменить определение области существования функции, записанной данным рациональным выражением.

Решение этой задачи потребует введения ряда вспомогательных понятий как чисто алгебраических, так и относящихся к математическому анализу.

7. Окрестности точек л-мерного пространств а. Непрерывность функций от л переменных.

Окрестностью точки (х°, у0) на плоскости назовем любой квадрат со сторонами, параллельными осям координат, имющий эту точку своим центром, причем под квадратом будем в данном случае понимать открытый квадрат, т. е. множество всех точек, лежащих внутри данного квадрата. Если сторона

данного квадрата есть 28, то точки, лежащие внутри этого квадрата, суть все точки (х, у), координаты которых удовлетворяют неравенствам |л:° — х | <8, \у°— у <8. Эти точки и образуют окрестность, точнее, 8 — окрестность точки (х°, _у°). Точно так же 8 — окрестностью точки (л:0, у0, z°) трехмерного пространства называется открытый куб с центром в точке (х°, у°9 z°), с длиной ребра 8, стороны которого параллельны координатным плоскостям. Другими словами, 8 — окрестность точки у0, z°) есть множество всех точек (х, у, z), удовлетворяющих условиям \х°— х\ < 8, [у0—у\<Ь$ |z° —z\<8. Аналогично 8 — окрестностью точки {х\9 х\9..., х°п) в я-мерном пространстве называется множество всех точек (хи х2,..., хп), удовлетворяющих условиям |х10п — хх\< <8, \х«-х2\ <8, .... I х»п-хп \ <8. Пусть в я-мерном пространстве дано какое-нибудь бесконечное множество точек X. Мы говорим, что точка х° ~ (л:? , xjv • • - х°п ), принадлежащая или нет множеству Х9 есть предельная точка для множества X, если любая окрестность точки х° содержит бесконечно много точек множества X. Множество, состоящее из всех точек множества X и из всех предельных точек множества X, обозначается через X и называется замыканием множества X. Легко видеть: для того, чтобы точка х° входила в замыкание множества Х9 необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность точек множества X, сходящаяся1 к точке X. Если каждая точка л-мерного пространства является предельной точкой множества Х9 т. е. если замыкание множества X совпадает со всем пространством, то множество X называется всюду плотным (в я-мерном пространстве). Все эти понятия, в частности, конечно, справедливы для случая л=1, когда n-мерное пространство превращается в обыкновенную числовую прямую. В этом случае они подробно изучены в [5], главы II, III, V.

Пусть дана функция f(xl9xt9 ... хп ) от п переменных. Обозначим через X ее область существования. Пусть х° = (х°х> х\9 ... х°п) есть точка, принадлежащая к замыканию множества X. Мы говорим, что при приближении к точке х° функция f стремится к пределу Ь9 если, каково бы ни было положительное число е, найдётся такое положительное число 8, что для всех точек х = (х1$... хп) множества X, попавших в 8 — окрестность точки х, выполняется неравенство | b—f(xv ... 9хп) | <е.

Замечание. Из этого определения легко следует, что функция / при приближении к данной точке х° не может стремиться более, чем к одному пределу.

Функция f(xlt хг..., хп) называется непрерывной в точке х° = (х19..., хп), принадлежащей к области существования X функции /, если при приближении к точке х° функция f стремится к пределу, равному значению функции f в точке х°. Функция называется непрерывной в точке х9 не принадлежащей области существования X функции, но являющейся предельной точкой для множества X, если при приближении к точке л:0 функция стремится к некоторому пределу.

Например, функция / (х)=^- с областью существования, состоящей из всех отличных от нуля действительных чисел, непрерывна во всех точках своей области существования, но при приближении к точке нуль не стремится ни к какому пределу, следовательно, не является непрерывной (т. е. является разрывной) в этой точке. Функция, определенная выражением х ~у, имеет своей областью существования множество всех точек л:, у плоскости, для которых^ фх, и во всех точках своей области существования равна 1. Очевидно, при приближении к любой точке плоскости, хотя бы и лежащей на прямой у=х9 наша функция стремится к пределу 1, и, следовательно, непрерывна в каждой точке плоскости. Последнее утверждение верно также и для функции, определенной выражением : имея своей областью существования иножество

1 Последовательность точек хх% х2----хп.... сходится к точке дг, если каждая окрестность точки X содержит все точки последовательности, начиная с некоторой. Эквивалентное определение получим, если определим расстояние р (дг, у) двух точек X = {хъ...хп) и у=(Уъ..* уп) по формуле

и потребуем, чтобы числовая последовательность р(х, хп) сходилась к нулю. Среди точек последовательности могут быть и совпадающие.

всех точек плоскости, не лежащих на прямой у = х, эта функция при приближении к любой точке (л:0, у0) стремится к пределу х°-\-у°. Что же касается функции, определенной выражением х^+у2 9 то эта функция имеет своей областью существования множество всех точек плоскости, кроме точки 0 = (0,0,1 и непрерывна в каждой точке своей области существования. Но точка 0 точкой непрерывности нашей функции не является, так как при приближении к этой точке наша функция не стремится ни к какому пределу: в любой окрестности точки 0 имеются, например, как точки (лежащие на прямой у = х), в которых функция принимает значение 1, так и точки, (лежащие на прямой у = 10 х), в которых функция принимает значение 101 , и т. д.

Пусть функция f (х, х2...9 хп) непрерывна во всех точках своей области существования X. Назовем естественным продолжением области существования функции f множество X, состоящее из всех точек множества X и из всех тех предельных точек множества X, в которых функция непрерывна. Без большого труда можно доказать: функция /, равная в каждой точке множества X пределу, к которому стремится функция / при приближении к этой точке, непрерывна во всех точках множества X и (в силу непрерывности функции в каждой точке X), принимает в каждой точке X то же значение, что и f. Функция Х9 однозначно определенная функцией / и имеющая множество X своей областью существования, называется естественным продолжением (или продолжением по непрерывности) функции /.

Одним из основных свойств непрерывных функций является следующее:

Теорема 4. Пусть функция f(xx..., хп) непрерывна в каждой точке х=(хх..., хп) своей области существования X. Пусть А есть некоторое подмножество X и х° — точка множества X предельная для множества А. Пусть В есть множество вещественных чисел, содержащее все числа, являющиеся значениями функции в точках множества А. Тогда значение функции f в точке х° содержится в множестве В.

Доказательство. Пустьу° =f(x°) не содержится в В. Тогда существует окрестность Г точки у0, не содержащая ни одной точки множества В. С другой стороны, в силу непрерывности функции / в точке х°, существует окрестность H точки х° такая, что все лежащие в этой окрестности точки X, а значит и все лежащие в ней точки А отображаются посредством / в точки, лежащие в Г. Так как в H заведомо имеются точки А (т. к. у0—предельная точка для Л), то в Г имеются точки, принадлежащие к В вопреки нашему предположению. Теорема этим доказана.

Из только что доказанного вытекает

Теорема 2. Пусть уг (хи х9 ,.,хп) и Л 6*1 >«*!•••» хп) две функции от п переменных, совпадающие во всех точках некоторого множества А, всюду плотного в n-мерном пространстве и являющегося подмножеством области существования каждой из функций fx и /2. Пусть функции /, и /2 непрерывны в каждой точке области существования. Тогда, если одна из этих функций, например, fîf стремится при приближении к некоторой точке а к пределу Ь, то и другая функция /2 стремится при приближении к точке а к тому же пределу Ь.

Доказательство. Надо доказать: какова бы ни была е—окрестность Г точки b (на числовой прямой), можно подобрать такую окрестность H точки а (в /г-мерном пространстве),что все точки области существования Х2 Функции /2, попавшие в эту окрестность, отображаются посредством функции /2 в Г. Для этого возьмем какое-нибудь положительное е'<е и такую окрестность H точки а, чтобы все попавшие в эту окрестность точки множества Хх области существования функции/, отображались посредством fx в в' — окрестность Г' точки Ь. В частности, все лежащие в H точки А отобразятся тогда посредством fu а, следовательно, и посредством /2, совпадающей с/г на А, в точки Г'. Так как А—всюду плотно, то каждая точка H есть предельная точка для множества лежащих в //точек Л, а потому, в силу теоремы 1, значение функции /2 в каждой лежащей в H точке ее области существования принадлежит к Г\ значит и подавно к Г', и т. д.

Из теоремы 2 непосредственно следует результат:

Теорема 3. Пусть даны две функции fi и /2, непрерывные и совпадающие между собою во всех точках некоторого всюду плотного множества А (являющегося подмножеством области существования каждой из этих функций). Тогда совпадают как естественные продолжения областей существования этих функций, так и, естественные продолжения самих этих функций.

В § 10 мы докажем, что функции, определенные двумя какими-нибудь тождественно равными между собою рациональными выражениями, находятся в условиях только что сформулированной теоремы; именно мы докажем в § 10 следующее предложение.

Теорема 4. Всякая функция, определенная рациональным выражением от п-переменных, во-первых, имеет своею областью существования множество, всюду плотное в n-мерном пространстве, во-вторых, непрерывна во всех точках своей области существования. Функции, определенные двумя тождественно равными рациональными выражениями от п переменных, совпадают между собою во всех точках некоторого всюду плотного в п-мерном пространстве множества.

Из теорем 3 и 4 непосредственно следует наш основной результат:

Теорема 5. Функции, определенные двумя тождественно равными выражениями, имеют одно и то же естественное продолжение.

Теперь мы выводим следующее.

Основное определение. Функцией, естественно определенной данным рациональным выражением от п-переменных, называем естественное продолжение функции, определяемой данным выражением „наивно“ (т. е. в тех точках, в которых само это выражение имеет смысл).

В дальнейшем под функцией, определяемой данным рациональным выражением, мы всегда будем понимать функцию естественно определяемую этим выражением. При таком словоупотреблении из теоремы 5 следует:

Теорема 6. Два рациональные выражения тогда, и только тогда, тождественно равны, когда тождественны определяемые ими функции. Например, тождественно-равные выражения —=:~- и — t определяют одну и ту же функцию, именно, целую рациональную функцию f(x,y) = x+y.

8. Тождества и уравнения.

Возьмем какое-нибудь равенство, т. е. запись, состоящую из двух алгебраических выражений (как всегда, мы ограничиваемся рациональными алгебраическими выражениями), соединенных знаком равенства. Примерами равенств могут служить 10 = 7 + 3, 5=2, х2-\-у2= = а2, X2—у* = (х-\-у) (х—у), х=х-{-3 и т. д.

Как показывают эти примеры, равенства иногда могут содержать лишь явно заданные числа, а иногда могут содержать и буквы, под которыми мы, как всегда, понимаем любые числа1 под единственным условием, чтобы при подстановке этих численных значений каждая из частей равенства имела смысл, т. е. не содержала в себе невыполнимого действия (каковым в области рациональных выражений является лишь действие деления на нуль). Если равенство не содержит букв, а только явно выписанные числа, то могут быть два, и только два, случая: либо это равенство верно (например, 10=3-(-7), либо оно неверно (например, 5=2). Если же равенство содержит буквы, то оно всегда выделяет из множества всех возможных систем числовых значений2 этих букв подмножество S тех возможных систем, при которых полученное подстановкой этих числовых значений числовое равенство будет верным. Подмножество S

а) либо совпадает с множеством всех возможных систем, как, например, в случае равенства х2—у*=(х-\-у) (х—у) или *Z.y = 1 — тогда равенство называется тождеством;

1 См., впрочем, замечание в конце этого параграфа.

2 Под возможной системой числовых значений мы понимаем такую систему числовых значений букв, входящих в данное равенство, при которой каждая из частей этого равенства имеет смысл. См., однако, § 16, где объем понятия „возможная система“ немного расширяется.

б) либо является так наз. „собственным“ подмножеством множества всех возможных систем, т. е., с одной стороны, не пусто (содержит, по крайней мере, один элемент), а с другой — не совпадает с множеством всех возможных систем, таково, например, равенство х2-\-у2 = а2; равенства этого рода по преимуществу называются уравнениями (относительно тех букв, которые считаются переменными); например, в равенстве х2-\-у2 = а2 можно все буквы считать переменными, а можно, например, а считать постоянным; тогда полученное равенство выделит подмножество тех пар чисел х, у, которые при данном постоянном а будут делать это равенство верным; если а =0, то (среди пар вещественных чисел) это будет лишь пара (0,0); если же а Ф 0, то пяры чисел, удовлетворяющие равенству х2-{-у2=а2 изображаются точками окружности радиуса а с центром в начале координат: наше равенство есть уравнение этой окружности;

в) либо, наконец, является пустым, т. е. не содержащим ни одного элемента. Пример: х — х-\-3\ в этом случае равенство (или уравнение) называется невозможным или „несовместным“ (с истиной).

Замечание. До сих пор мы принимаем за числовой запас, лежащий в основе всех наших построений, поле всех вещественных чисел. Однако за пределами уравнений первой степени сколько-нибудь стройное построение алгебры, как учения об уравнении, возможно лишь на почве привлечения комплексных чисел. Все рассуждения этого параграфа остаются в силе, если под числами понимать произвольные комплексные числа. Конечно, содержание наших конкретных выводов при этом изменится: например, если при вещественных х и у существует лишь единственная пара х, у, удовлетворяющая уравнению JC2-f-V2 = 0, а именно, пара л:=0, у=0, то при комплексных значениях х и у таких пар имеется бесконечно много, а именно, все пары вида (х, ix)9 где х—любое комплексное число. Между прочим, геометрическим языком в математике широко продолжают пользоваться и при систематическом употреблении комплексных чисел. Так, например, множество всех пар (х9 у), где X и у суть комплексные числа, продолжают называть (комплексной) плоскостью, а сами пары (х, у)— ее точками; совокупность комплексных точек (х, у)9 удовлетворяющих уравнению вида ах-\-Ьу = с, называется прямой, при этом прямая эта называется действительной, если коэфициенты а, Ь9 с суть вещественные числа или получаются из вещественных чисел ä\ Ь\ с' умножением их на один и тот же комплексный множитель ХфО.

9. Системы уравнений. Алгебраические многообразия.

Все сказанное нами об одном равенстве остается в силе и для системы равенств. Ограничимся наиболее важным случаем системы нескольких уравнений относительно одних и тех же переменных хъ х2,.. хп. Для простоты предположим, что каждое из наших уравнений есть уравнение в собственном смысле слова (т. е. подпадает под случай б); это значит, что оно, будучи, с одной стороны, возможным равенством, с другой, не является тождеством.

Каждая система числовых значений (х\9 х°2,..., xty, превращающая все уравнения нашей системы в верные числовые равенства, называется решением данной системы уравнений1.

Множество всех решений данной системы уравнений может быть бесконечным (т. е. состоять из бесконечного числа решений) так и конечным, в частности, и пустым. В каждом последнем случае система уравнений называется несовместной. Каждое решение (л^, х2,...9хп) рассматривается как точка в л-мерном пространстве, так что все множество решений данной системы уравнений относительно п переменных является некоторым множеством точек п мерного (действительного или комплексного) пространства. Две системы уравнений называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений, т. е. если каждое решение одной системы является и решением другой.

Замечание 1. Должно быть оговорено, находимся ли мы в вещественной или комплексной области, т. е. рассматриваем ли мы лишь одни вещественные решения, или же все комплексные реше-

1 Объем понятия „решение уравнений“ будет несколько расширен в § 16.

ния. Системы уравнений, эквивалентные в вещественной области, могут не оказаться таковыми в комплексной. Так, например, в вещественной области система уравнений

/* + 3=3 \у + 3 = 3

эквивалентна системе, состоящей из единственного уравнения

(обе системы имеют единственное вещественное решение 0,0). В комплексной области эти две системы не эквивалентны: первая попрежнему имеет единственное решение (0,0), тогда как вторая имеет, как мы видели, бесконечное множество решений (л:, ix) при любом комплексном х. Кроме того, всем, конечно, хорошо известно, что система, даже состоящая из одного уравнения (степени не ниже второй), может, имея решение в комплексной области, не иметь его в вещественной. Например, уравнение л2+ 1 =0 в действительной области не имеет решения, а в комплексной имеет ровно два решения х = i н X——U Уравнение хг-\-у*= ——1 в действительной области не имеет ни одного решения, а в комплексной имеет их бесконечно много.

Замечание 2. Любые две несовместные системы уравнений эквивалентны между собою, т. к. множество решений каждой из этих систем есть пустое множество.

Замечание 3. Множество всех решений данной системы уравнений является пересечением, т. е. общей частью множества решений каждого из уравнений, составляющих эту систему.

Алгебраическим уравнением тй степени с п переменными (или „неизвестными“) хъ х2,... ,хп называется всякое уравнение вида

(/) Р (хь дг»...,*„) = <),

где левая часть Р(хъ х2,..., хп) есть многочлен т-й степени от этих переменных.

Замечание 4. Незначительное обобщение понятия алгебраического уравнения получим, если будем рассматривать всякое уравнение вида

Р (хъ хь..., хп) - Р2 (хи х2%. . . , Хп),

где левая и правая части являются произвольными целыми выражениями относительно переменных х1% х2,..., хп ; уравнения этого вида, очевидно, эквивалентны алгебраическим уравнениям в собственном смысле слова и приводятся к ним посредством действий сложения, вычитания и умножения.

Определение. Алгебраическим многообразием в данном п~ мер ном пространстве, называется любое множество точек этого пространства, которое является множеством всех решений некоторой системы алгебраических решений от п переменных.

Замечание 5. Всякое алгебраическое многообразие есть замкнутое множество, т. е. содержит все свои предельные точки.

Замечание 6. При помощи теории алгебраических функций можно доказать следующую теорему: если дано алгебраическое многообразие М, расположенное в /1-мерном пространстве, то определяются число г и п аналитических функций1.

от г переменных tv...9 tr, представляющих это многообразие „в параметрической форме“, т. е. так, что все точки (xv ... хп ) нашего многообразия и только точки этого многообразия можно получить, задавая систему значений переменных (tu..., tr) в пределах заданной для них области существования и беря соответствующие значения функций х\ =/i (^i> • • » tr \ • • 1 хп ~fn • • • » ^г )•

Число г при этом определено однозначно; оно называется числом измерений многообразия.

Например, если дано многообразие — -{- -=1 (эллипс) на плоскости, то его можно представить в параметрическом виде так:

X = a cost X — b sin U

где за область существования вспомогательного переменного t можно взять

1 Функция /(ft,..., tr) называется аналитической в данной области г-мерного пространства, если она в некоторой окрестности каждой точки (ф t°r) этой области может быть представлена как сумма своего ряда Тэйлора.

отрезок 0 < t < 2îc. Число измерений этого многообразия есть единица; эллипс есть кривая. В частности, для окружности получим X ==а cos t, y=asint. Для шаровой поверхности получим параметрическое представление X = rsin t2 • cos t2f y = rein tx • sin t2; г = rcos th Здесь число измерений г равно двум. Мы дальше (§ 17) подробнее рассмотрим случай /1-мерного линейного многообразия, т. е. многообразия, определяемого некоторой системой уравнений первой степени с п— неизвестными.

10. Доказательство теоремы 4 параграфа 7.

Во всяком учебнике анализа доказывается, что сумма, разность, произведение и частное двух непрерывных функций суть непрерывные функции (в случае частного, конечно, предполагается, что рассматриваются лишь точки, в которых делитель не обращается в нуль). Отсюда сразу следует, что всякая функция, естественно определяемая каким-либо рациональным выражением от п переменных, непрерывна в каждой точке своей естественной области существования.

Рассмотрим ближе эту область существования. Она состоит из всех точек л-мерного пространства, за исключением, быть может, тех точек, в которых обращается в нуль какой-либо из многочленов, входящих в данное рациональное выражение R(xl9. .., хп) в качестве знаменателя. Таким образом, множество точек, не входящих в область существования функции (.наивно“), определенной данным рациональным выражением R(xu ..., хп), лежит на конечном числе алгебраических многообразий. Докажем, что дополнительное множество, т. е. множество тех точек, в которых наше выражение имеет смысл (и следовательно, изображает непрерывную функцию), всюду плотно. Для этого достаточно доказать следующее утверждение?

Пусть дано конечное число многочленов от п переменные Рг(х19.. ., хя), ЛС*ь..., хп),Рт(хи..., хп), ни один из которых не равен нулю тождественно. Тогда множество точек (xlt..., хп) пространства R1, в которых для любого и- = 1,2,..., m имеем

(1) (я,,..., хп)Ф0

всюду плотно в R*.

Докажем эту теорему методом полной индукции. Для я=1 она очевидна, так как множество всех решений каждого уравнения Р^(х) = 0 конечно. Предположим, что наша теорема доказана для п— 1 и докажем ее для п. Надо доказать:

Какова бы ни была точка (£ь..., £я) пространства R* и каково бы ни было положительное число е, можно в е — окрестности Г точки (£ь ..., £Л) найти точку (л* . . . , х%), для которой Р^л*..., х%)Ф0 при |v-=*l, 2,..., т. Для доказательства последнего утверждения расположим многочлен Р (jclf. хп) по убывающим степеням буквы хп, т. е. перепишем его в виде

(2) (*,.....*а) - А>(хг,... ,xn_t) х?+

_,<Л-----*л-1) X п+А^ (хь.. .^я^1)|

где коэфициенты А£ (хи.... хп-г ),

Afav • • • хп-0> • - • А£(хи . .., xn_J суть многочлены от п — 1 переменных xv .. xn__v причем старший коэфициент A{J(JCj,хп_г) заведомо не равен тождественно нулю.

Обозначим через Не — окрестность точки (Çlf..., in^) в пространстве Я*1““1, т. е. множество всех таких точек (хи.., Xn-J, что

Ui — £il<e> kl <е> •••• — 6rn.l .<*

Так как наша теорема предположена верной для п—1, то в H можно найти точку (л^,..., х°п _,), не являющуюся решением ни одного из уравнений Agfjc»...-, хп-г) = 0 для р. = 1, 2,..., т. Итак, имеем

(3) |*?-е,|<е,... JjÄ-ä —V-ïK*

(4) А&х»9...,х°я_х)ф0(прн [1 = 1.2.,., m)

Полагая теперь для k =0,1,..., видим, что ни один из многочленов от одного переменного хЛ А*х*£ -f -.., + +^ - Р^хД ..., л*Ц, хп\ |i = 1,2,. m, не равен тождественно нулю (так как его старший коэфициент есть число, отличное от нуля). Поэтому многочлен этот обращается в нуль лишь для конечного числа значений хп = x*v jcJ, . • х^

Возьмем же число х°п отличным от всех чисел х\, Х$9.}“.9 л^, F* =1,2,m и, кроме того, удовлетворяющим неравенству \х°п — |я|<е.

Точка (jcj, ...,.х£) есть искомая: она лежит в Г, и для нее Р^С^... '.л£) ФО, каково бы ни было ^ = 1,2,..., т. Наше утверждение доказано.

Пусть теперь даны тождественно равные рациональные выражения R{ (xvx2. хп) и R2(xv х2,..., хл). Рассмотрим то конечное число алгебраических многообразий, на которых лежат все точки, в которых хотя бы одно из данных двух рациональных выражений не имеет смысла. Точки, не принадлежащие ни к одному из этих алгебраических многообразий, образуют всюду плотное множество, и на этом всюду плотном множестве оба выражения имеют смысл и, следовательно, принимают одни и те же численные значения. Теорема 4 § 7 этим полностью доказана.

11. Транзитивность тождественного равенства двух рациональных выражений.

Теперь, после того как доказаны все утверждения § 7, мы имеем, в частности, право пользоваться даваемым теоремой 6 этого § определением тождественного равенства двух рациональных выражений: два рациональных выражения тождественно равны, если тождественны определяемые ими функции. Лишь из этого определения следует предложение: если рациональное выражение

Rx(xl9..., хп) тождественно равно рациональному выражению R2(xlf. .., хп)9 а

R2(xl9.. 9хп) тождественно равно рациональному выражению RB(xv . .., хп)9 то

Ri(xv... , хп) тождественно равно выражению Rz(xv .. ., хп). Это предложение выражает свойство транзитивности (переходности) тождественного равенства рациональных выражений. Как известно, свойство транзитивности составляет одну из трех так наз. аксиом равенства (две других аксиомы суть аксиомы рефлексивности: а = а и симметрии: если а = Ьу то Ь = а).

Важность аксиом равенства вытекает, в частности, из того, что всякое отношение равенства, вводимое нами в то или иное множество математических объектов и удовлетворяющее трем аксиомам равенства, позволяет разбить это множество на классы „равных между собою объектов“ (например, в нашем случае мы можем разбить все множество рациональных выражений на классы тождественно равных между собою выражений; каждый такой класс определит нам одну единственную функцию). Ввиду важности и естественности трех аксиом равенства, преподаватель должен быть готов к вопросам со стороны учащихся о том, как же обстоит дело с этими аксиомами в применении к понятию тождественного равенства двух рациональных выражений. Дав очевидный положительный ответ на этот вопрос в частном случае целых рациональных выражений, преподаватель, конечно, не сможет изложить в классе всю теорию, развитую нами в предыдущем параграфе, и будет вынужден ограничиться указанием, что аксиомы равенства выполнены и в случае тождественного равенства любых не непременно целых рациональных выражений, но что доказательство того, что эти аксиомы выполнены, выходит за пределы курса элементарной алгебры, 12. Рациональные функции Если в данном рациональном выражении, зависящем от п переменных, последовательно производить указанные в нем действия, то в конце концов оно преобразуется к виду

Р(хъ..., хп)

где Р(хи ...,хп)п Q(xvхп) суть многочлены от п (или меньшего числа) переменных. Такие выражения называются рациональными дробями от данного числа переменных.

Функции, определенные1 рациональными дробями от п переменных, называются рациональными функциями.

На основании предыдущего мы можем то же определение формулировать так. Рациональные функции от п переменных—это функции, определенные рациональными выражениями от п переменных.

Замечание. Вопрос, от скольких именно переменных зависит данное

1 При этом еще раз подчеркиваем, что, в соответствии с раз навсегда принятым нами в § 7 словоупотреблении, мы имеем в виду функцию, естественно определенную данной рациональной дробью.

рациональное выражение, до некоторой степени зависит от нашего произвола: подобно тому, как постоянную мы можем рассматривать как функцию от любого числа переменных, так и всякую функцию от п переменных мы можем рассматривать и как функцию от любого большего числа переменных, сохраняющую постоянное значение при изменении этих дополнительных переменных. Например, функцию f(x) = x2 мы прежде всего считаем функцией одного переменного X. Однако мы можем рассматривать и функцию

f(x, у) = *2

от двух переменных х и у — ее геометрическое изображение есть цилиндрическая поверхность, образующие которой параллельны оси оу9 а направляющая есть парабола z = x2, лежащая в плоскости у = 0.

13. Нормальный вид рациональной функции; сокращение дробей.

Мы видели, что всякая целая рациональная функция от п переменных однозначно выражается в виде нормально записанного многочлена от этих переменных. Аналогично, нормальное изображение возможно, и притом единственным образом также и для любой (не непременно целой) рациональной функции. Мы уже обращали внимание читателя на то, что основное содержание „действий над целыми выражениями“ заключается в приведении любого целого выражения к его нормальному виду; точно также основное содержание действий над дробными выражениями заключается в приведении любого рационального выражения к виду алгебраической дроби

Q(xl9 хъ..., хп).

Наконец, основное содержание и смысл тех преобразований, которые называются „сокращением алгебраических дробей“, заключаются в том, чтобы выражение, уже приведенное к виду рациональной дроби (1), привести к нормальному виду несократимой дроби. В отличие от приведения всякого рационального выражения к виду рациональной дроби (1), сокращение дроби (1)

в случае, когда число переменных больше 1, уже не производится автоматически, а осуществляется в элементарной алгебре теми или иными искусственными приемами разложения на множители обоих многочленов Р(х19..., хп) и Q(xlt.. хп) в целях нахождения множителей, общих этим многочленам. Прежде чем говорить об этом случае для любого п9 полное исследование которого выходит, к сожалению, за пределы этой статьи, мы займемся случаем л=1, легко доводимым до конца.

14. Деление многочлена на многочлен „с остатком“. Алгоритм Эвклида. Сокращение дроби вида

Рациональные функции от данного числа переменных образуют поле, целые рациональные — лишь кольцо. Это справедливо для любого данного числа переменных п9 в частности, и для п=1. Поэтому, если даны две целые рациональные функции Ri(xu .. ,хя)иЦ2(хг,.. хп)9 из которых вторая не равна тождественно нулю, то существует вполне определенная рациональная функция

являющаяся частным от деления Rt на /?2. В том специальном случае, когда /?j и R2 являются целыми, их частное, вообще говоря, целой рациональной функцией не является. Наряду с операцией деления, определенной для любых (в частности, и для целых) рациональных функций как элементов, поля всех рациональных функций данного числа переменных, существует еще своеобразное действие „деления с оссатком“, определенное в кольце всех целых рациональных функций от одного переменного, и которое к любым двум целым рациональным функциям Рх(х) и Р^х)9 из которых Р2(х) не равно тождественно нулю, однозначно строит целые рациональные функции Q{x) и S(x}9 удовлетворяющие условиям:

1. S(x) есть либо нуль, либо имеет степень, меньшую степени Р2(х);

2. Имеет место тождество

Функции Q{x) и S(x)9 однозначно определенные этими условиями, называются

частным и остатком при делении Pi(x) на Р2(х). Из этого определения следует, что действие деления с остатком позволяет найти функцию в том случае, если она — целая. Однако существенно подчеркнуть, что действие деления с остатком представляет собою действие определенное, и притом однозначное, для любых целых функций Рг(х) и Р2(х) одного переменного, подчиненных единственному условию, что Р2(х) не есть тождественно нуль. Основное значение действия деления с остатком заключается в том, что оно приводит к алгоритму т. наз. последовательного деления, или алгоритму Эвклида, определенному схемой:

и позволяющему после конечного числа шагов найти общий наибольший делитель двух заданных целых рациональных функций Рг(х) и Р2(х); этим общим наибольшим делителем является, с точностью до постоянного множителя, целая рациональная функция Sr+i(x), на которой обрывается процесс последовательного деления (то, что процесс должен оборваться после конечного числа „последовательных делений“ на остатке, равном нулю, вытекает из того, что каждый раз степень остатка, не равного нулю, строго меньше степени делителя).

Общий наибольший делитель D(x) двух многочленов А(х) и В(х) с точностью до постоянного множителя однозначно определяется совокупностью двух следующих требований:

а) D(x) является общим делителем обоих многочленов А(х) и В(х) (т. е. А(х) В(х) частные —— и —— являются целыми D(x) D(x) функциями).

б) Если d(x) есть какой-нибудь общий делитель обоих многочленов А(х) и В(х)9 то d(x) является непременно делителем и многочлена Щх) (т. е. частное есть целая функция).

Для достижения того, чтобы общий наибольший делитель был определен вполне однозначно (а не только с точностью до постоянного множителя), требуют еще, чтобы его старший коэфициент был равен 1. Пусть теперь рациональная функция f(x) записана в виде рациональной дроби

и пусть D(x) есть общий наибольший делитель многочленов А(х) и В(х). Тогда A(x) = D (х) А , (х), B(x) = D (х) Bp)

причем дробь справа является несократимой. Если потребовать, чтобы старший коэфиииент у В(х) был 1, то представление (1) для данной рациональной функции f(x) — единственное. Это и есть нормальный вид рациональной функции от одного переменного1.

15. Общий слу чай сокращения дробей и представления рациональной функции от п переменных в нормальном виде.

Сокращение общей рациональной дроби вида

/4*1,.'.-.'. Хп) Q(xl9..., хп)

сводится к задаче разложения на множители многочлена от п переменных. Решение этой задачи требует отчетливой формулировки понятия неприводимого многочлена. Многочлен Р(хи. .., хл), не являющийся константой, называется неприводимым, если не удовлетворяет никакому тождеству вида (I) Р(хх...., хп)Рх (хи ..., хп)Р2{х19 ..хА в котором оба многочлена Р19 Р2 имеют степень > 0 (т. е. не являются константами).

Следует с самого начала заметить: если мы говорим о неприводимости

1 Существенно отметить, что сокращение дроби — требуя лишь нахождения общего наибольшего делителя многочленов А(х) и В(х), осуществляется вполне автоматически, одними лишь „рациональными“ операциями (включая „деление с остатком“), и не требует ни разложения на множители многочленов А(х) и В(х\ ни тем более решения каких-либо алгебраических уравнений.

Подробности о вопросах, изложенных в этом §, см. [6] гл. XV.

многочлена, то должно быть указано то поле, в котором многочлен неприводим: многочлен P(xl9..., хп) неприводим в поле рациональных чисел, если разложение вида (1) невозможно в предположении, что Рг и Р2 — многочлены с рациональными коэфициентами (многочленами, неприводимыми в поле рациональных чисел, являются, например, X2—2, X2 — Зу2). Многочлен Р неприводим в поле вещественных чисел, если разложение вида (1) невозможно в предположении, что Рг и Р2 — многочлены с вещественными коэфициентами1; многочлен Р— неприводим в поле комплексных чисел, если разложение вида (1) невозможно даже в предположении, что Рг и Р2 суть многочлены с комплексными коэфициентами. Если многочлен Р неприводим в поле комплексных чисел, то он неприводим и в поле вещественных чисел. Но многочлен может быть неприводим в поле вещественных чисел, будучи приводим в поле комплексных. Так, например, многочлен х2-\-1 неприводим в поле вещественных чисел, но в поле комплексных чисел может быть представлен в виде (x-{-i)-(x — ï); многочлен х2-\-у2 также неприводим в поле вещественных чисел, а в поле комплексных представляется в виде (л: -f iy)-(x — iy).

Важнейшим следствием основной теоремы высшей алгебры является тот факт, что в поле комплексных чисел всякий многочлен от одного переменного разлагается на линейные множители вида (х—а), где а — корень многочлена; в поле вещественных чисел всякий многочлен Р(х) степени выше второй приводим, а именно, разлагается на линейные множители вида (х — а), где а—вещественный корень данного многочлена, и на трехчлены второй степени вида

х>+рх + д= [х-(c + dl)] [дг-(с-<//)] = = (х — ср + d*

соответствующие парам сопряженных комплексных корней. Что касается многочленов от многих переменных, то ограничимся следующими указаниями: (см. [6], гл. XVI):

1. Разложимость на линейные множители, вообще говоря, не имеет места.

2. Каждый многочлен от п переменных однозначно разлагается на неприводимые множители.

Из второго утверждения следует, что каждая дробь вида

- V ï»—î_ тождественно равна некоторой несократимой дроби.

Итак, всякая рациональная функция от п переменных может быть (и притом в существенном лишь единственным образом) представлена в нормальном виде — в виде несократимой рациональной дроби.

16. Некоторые замечания о так наз. „дробных уравнениях“.

Как мы знаем, под алгебраическим уравнением с п переменными (или неизвестными) понимаются лишь уравнения вида

(1) Р(хь..., хп) = 0,

где Р (х19..., хп) есть многочлен от этих п переменных. Однако в задачах часто встречаются уравнения более общего вида, а именно, вида

(2) ... ï Хп) = /?2С*1» • • хп),

где /?! и /?2 суть произвольные рациональные выражения от данных переменных. Об этих уравнениях мы хотим здесь сказать несколько слов. Прежде всего, без нарушения общности мы можем ограничиться лишь уравнением вида:

(3) R(xK...9 дгя)=Д

где R есть рациональное выражение от переменных xlt..., хп: к этому виду всякое уравнение вида (2) приводится простым перенесением всех его членов в одну сторону.

В § 3 мы определили решение уравнений как всякую возможную систему числовых значений входящих в него переменных, обращающую данное уравнение в верное числовое равенство2. По точному смыслу этого определения, пара чисел х = 0, у = 0 не является решением уравнения

1 Неприводимые в поле рациональных чисел многочлены л:3—2, х2—3yJ приводимы в поле вещественных чисел : х2 — 2 = (х +л/ 2)(х — \/~2~),

2 „Возможную систему“ значений переменных мы определили в § 8 как такую, при которой обе части уравнения имеют смысл.

так как эта пара числовых значений, делая левую часть нашего уравнения бессмысленной, не является „возможной“ системой значений переменных. Функциональная точка зрения, на которую мы последовательно встали в этой статье, заставляет нас внести в определение решения уравнений небольшое изменение. Мы сформулируем его лишь в применении к уравнениям вида (3). Левая часть этого уравнения определяет некоторую функцию от п переменных, которую будем обозначать также через R(xl9..., хп). ^Возможной“ системой значений переменных будем теперь считать всякую систему значений этих переменных, для которых функция R(xl9..., хп) определена (другими словами, которая входит в естественную область существования этой функции). Возможная система значений переменных является решением уравнения 3, если значение функции R(xv ..., хп) для этой системы значений переменных равно нулю. В смысле этого нового определения система х = 09 у = 0 является решением уравнения (4). Заметим, что для алгебраических уравнений новое определение решения совпадает со старым, так как любая система значений переменных, -*ьхп является для уравнения вида (1) возможной системой значений и в старом и в новом смысле.

Докажем теперь следующее положение:

Теорема. Веяное уравнение с одним неизвестным вида

(5) R(x) = 0,

где Rix) есть рациональное выражение от одного переменного х9 эквивалентно некоторому алгебраическому уравнению Р(х:) — 0.

Для доказательства рассмотрим рациональную функцию, выражаемую левой частью уравнения (5), и записываем ее в виде несократимой рациональной дроби:

R{X) В(х)

Имеем тождественно

Л (x) = Oq(x — at) . . . (дг — <хп) А(х)

Так как дробь несократима, то ни одно ob не равно ни одному ß^- и, следовательно, числа av..., %п и только они являются решением уравнения R(x) = 0, которое, таким образом, эквивалентно алгебраическому уравнению.

(6) А(х) = 0.

Замечание 1. Из только что приведенных рассуждений следует, что для нахождения алгебраического уравнения (6), эквивалентного данному „дробному“ уравнению (5), надо только привести функцию, выражаемую левой частью уравнения (5), к виду несократимой дроби (что, как мы знаем, делается одними рациональными операциями вполне однозначно). Числитель этой дроби и представит собою левую часть искомого алгебраического уравнения. Если при этом окажется, что многочлен А{х) — нулевой степени, то это значит, что уравнение (5) несовместно (например, уравнение JL = 0 несовместно).

Замечание 2. В случае уравнений с двумя или большим числом неизвестных теорема, аналогичная только что доказанной, перестает быть верной: уравнение вида

Щхъ-.,* *я) = о

при п^> 1 может не быть эквивалентным никакому алгебраическому уравнению. Так, например, уравнение

(7) ^=0

не эквивалентно никакому алгебраическому уравнению. В самом деле, решениями этого уравнения являются все пары чисел (ху у), в которых либо х = 0, но у Ф 0, наоборот, х Ф 0, но у = 0. Пара х = 09 у = 0 решением нашего уравнения не является, так как функция ^ - имеет точку (0,0) точкой разрыва и не может быть в этой точке определена с сохранением непрерывности. Таким образом, точка (0,0), являясь предельной точкой для множества всех решений уравнения (7), сама этому множеству не принадлежит: множество всех решений уравнения (7) незамкнуто, а поэтому, не являясь алгебраическим многообразием, не может быть множеством всех решений никакого алгебраического уравнения и никакой системы алгебраических уравнений.

17. Линейные уравнения и линейные многообразия.

Пусть дана система из m линейных уравнений с п неизвестными.

(1)

Множество решений (хи . - ,хп ) такой системы называется линейным многообразием.

Основным понятием, управляющим всей теорией, является понятие ранга таблицы или матрицы коэфициентов.

(2)

Ранг этой таблицы определяется как наибольшее такое число г, что в таблице можно найти детерминант г-го порядка.

(3)

отличный от нуля.

То же число г может быть определено как наибольшее число линейно независимых строк, а также как наибольшее число линейно-независимых столбцов таблицы1. Отсюда следует, что г<яи г < т.

Наряду с данной таблицей (2) рассматривается еще и так наз. расширенная таблица.

(4)

Оказывается:

Для того, чтобы система уравнений (1) была совместна (т. е. чтобы множество ее решений не было пустым), необходимо и достаточно, чтобы ранг таблицы (2) равнялся рангу расширенной таблицы (4). В частности, однородная система

всегда совместна, так как во всяком случае имеет „тривиальное“ решение хг = 0, . , хп = 0.

2) Всякая совместная система (1) эквивалентна подсистеме, состоящей из г уравнений; всякая несовместная система эквивалентна подсистеме,состоящей из >г+1 уравнений. Так как г<п, то всякая совместная система уравнений первой степени эквивалентна системе, в которой число уравнений не превосходит число неизвестных. Эквивалентную совместной системе (1) подсистему из г уравнений можно получить следующим образом. Если обозначения выбраны так, что детерминант

(5)

то система первых г уравнений из числа данных m эквивалентна всей системе 1.

3) В том весьма частном случае, когда т = п = г и следовательно многообразие всех решений состоит из одного единственного решения (х°х • • • х°п), определяемого по так наз. правилу Крамера:

где * есть детерминант, полученный из А заменой k-ro столбца столбцом

4) Однако к этому, как сказано, весьма частному случаю сводится и общий случай нахождения множества всех решений любой совместной системы (1): предполагая эту систему уже замененной эквивалентной подсистемой

(6)

при (5')

1 См., например [7], § 6 или [6], гл. IV-

переписываем (6) в виде

Так как условие (51) выполнено, то, давая неизвестным

совершенно произвольные значения, мы для остальных неизвестных xv .. . . ,хг получим значения, однозначно определенные из (б1) по правилу Крамера, причем решения эти имеют вид

(7)

Эту запись получим, применив к (б1) правило Крамера, разложив стоящий в числителе формулы Крамера детерминант по элементам столбца, содержащего правые части (б1), и сделав затем приведение подобных членов. Другими словами, переходя к обозначениям § 9, замечание 6, мы получим все линейное многообразие, определенное системой 1 в виде:

(8)

где tl9 . . . 9tn-r принимают всевозможные числовые значения; отсюда видно, что число измерений этого многообразия есть п—г. Формулы (8) и выражают результат всей теории линейных уравнений.

Линейное многообразие одного измерения в л-мерном пространстве называется прямой, а двумерное линейное многообразие — плоскостью. Нульмерное линейное многообразие содержит лишь одну точку. В случае я=3 эта терминология совпадает с элементарной геометрической.

Примеры: 1. л=1. Система уравнений с одним неизвестным:

г = и означает, что все уравнения имеют вид

О • ж = Ьк, где k =- 1, . . ,m

Система совместна, если все bk суть нули и в этом случае выражает тождество 0-л: = 0, которому удовлетворяют все точки одномерного пространства (числовой прямой). Система несовместна, если хоть одно Ьк ф 0.

г=\ означает, что, по крайней мере, одно ак отлично от нуля. Пусть, например, а2 ф 0. Условие совместности: любой детерминант вида: акЬНк =ahbk — akbh равен нулю. В этом случае любое уравнение акх^=Ьи получается умножением обеих частей уравнения ах х = Ьх на множитель^' и в частности, если ак = 0, то и bk = 0f так что соответствующее уравнение опять превращается в тождество 0-х = 0.

Решение всей системы есть х=— * Если же хоть один детерминант Ф 0,

\UkUk\

то уже подсистема, состоящая из двух уравнений а х== ь , несовместна и, значит, эквивалентна всей системе.

2. п = 2. Имеем систему:

(9)

Случай г = 0 означает, что все ак и все Ьк равны нулю; система (9) только тогда совместна, когда все ск — 0: в этом случае имеем систему тождеств, и все точки плоскости (х, у) суть решения нашей системы. Случай г=1 означает, что не все коэфициенты аь Ьк суть нули, но в то же время равны нулю все детерминанты а* Kh . Если при этом хотя бы один детерминант вида а Г отличен от нуля, то уже подсистема, состоящая из Л-го и k-TO уравнений несовместна (и эквивалентна всей системе). Если, в частности, среди наших уравнений хотя бы одно имеет вид 0-х-\-0-у = = ск, где ск Ф 0, то оно несовместно (и эквивалентно всей системе). Если же каждое из уравнений (9), взятое отдельно, совместно, но среди этих уравнений имеются такие, в которых ак = Ьк = 09

то непременно и ск=0; такие уравнения являются тождествами и могут быть выкинуты без изменения множества всех решений систем.

Итак, остается случай, когда для любого k хотя бы один из двух коэфициентов ак9 Ьк отличен от нуля. Каждое такое уравнение акх-\~Ьку = ск9 рассматриваемое отдельно, имеет множеством своих решений все точки некоторой прямой (на плоскости х, у). Условие а* ^£ =0 означает, что прямые, определяемые уравнениями ак х = Ьк у = ск и ah x-{-bh y — ch9 либо совпадают (в случае ah ch = 0), либо параллельны. Если система (9) совместна,то все прямые, определяемые уравнениями этой системы, совпадают между собою и вся система эквивалентна любому из составляющих ее уравнений. Если же система несовместна, то среди прямых, определяемых уравнениями, составляющими эту систему, имеется хотя бы одна пара различных и при этом параллельных между собою прямых. Случай г = 2 означает, что хотя бы один из детерминантов вида °£ * отличен от нуля. Пусть это будет аг £ Тогда система, состоящая из двух уравнений ах х-\-Ьху=сх и а2 х-{-Ь2 у = с29 имеет единственное решение (х°9 у0) — две прямые, определяемые этими уравнениями, пересекаются в точке (х°9 у0). Совместность этой системы означает, что все остальные прямые, определяемые уравнениями нашей системы, переходят через ту же точку (х°9 у0). Как мы знаем, это геометрическое положение вещей определяется аналитическим требованием, чтобы ранг расширенной таблицы был тоже равен двум, т. е. чтобы все детерминанты вида

(10)

равнялись нулю. Но равенство нулю детерминанта (10) при р= \ ,q = 2 означает, что система уравнений

будучи системой ранга < 2, имеет многообразие решений числа измерении > 1,

т. е. имеет решения, отличные от точки (0; 0; 0). Пусть (Xjiv) такое решение. Утверждаю, что v ф 0. В самом деле, в противном случае было бы

что противоречит предположению, что система

(11)

имеет единственное решение1. Итак, доказано, что v=£0. Но тогда уравнение акх-\-Ьку = ск является линейной комбинацией уравнений (10), а именно получается почленным умножением этих уравнений соответственно на—- — и — — и последующим сложением. Это имеет место для любого k: любое уравнение системы (9) является следствием подсистемы (10).

Пусть теперь система (9) несовместна. Тогда хотя бы одна из прямых ак * + -{-Ьку = ск, k>3. Например, прямая а3х-\-Ь8у = сй не проходит через точку (л;0, у0). В этом случае уже система трех уравнений

несовместна, и, значит, эквивалентна всей системе (9), а детерминант

непременно отличен от нуля.

V. Заключительные замечания.

Некоторые выводы методического характера были сделаны попутно при изложении различных затронутых в этой статье вопросов. Прибавим к ним еще следующие:

1. Важно, чтобы преподавание школьного курса алгебры, именно вследствие некоторой пестроты содержания этого курса, группировалось вокруг несколь-

1 Так, если, например, X ф 0, то ах = & а2, bi = — b2% С\ с2: если \х Ф 0, то это значит, что прямые (11) совпадают, если же ц = 0, то было бы ах = Ьх = сх = 0 и система (11) опять-таки не могла бы иметь единственного решения.

ких, осознанных преподавателем основных тем. Таковыми, на мой взгляд, являются: постепенное расширение числового запаса, алгебраические выражения и их тождественные преобразования, уравнения и системы уравнения первой степени, квадратные уравнения, приближенные в частности, логарифмические вычисления, основные, изучаемые з курсе, элементарные функции одного переменного—линейная и вообще целые функции высших степеней, дробно линейная функция, функция Yx, показательная и логарифмическая функция.

2. Важно, чтобы учащиеся понимали смысл преподаваемых им приемов алгебраической техники. Например, понимали, что смысл сложных преобразований рациональных выражений заключается в приведении их к нормальному виду рациональной дроби, которая, в свою очередь, приводится к несократимому виду (одна из основных задач разложения на множители и заключается в том, чтобы дать удобные приемы этого приведения).

3. Сознательность усвоения курса очень выигрывает от установления связи между различными его главами. Например, связь между арифметической и алгебраической прогрессией, с одной стороны, числами и их логарифмами, с другой; связь понятий предела и непрерывности функций, с одной стороны, и приближенными вычислениями с другой; уравнения первой степени с двумя переменными и прямые на плоскости и т. д.

4. По крайней мере, в сознании преподающего должна иметься правильная перспектива на то, что в курсе алгебры является основным содержанием, а что дополнениями к нему. Предыдущее изложение было посвящено именно тому, что я считаю в курсе алгебры основным. Я поэтому сознательно не касался, например, иррациональных выражений и их тождественных преобразований. Насколько четкой является основная задача тождественных преобразований рациональных выражений, настолько трудно сформулировать аналогичную задачу в применении к иррациональным выражениям: никакого „нормального вида“, к которому можно привести всякое иррациональное выражение, вообще не существует; поэтому речь может идти лишь о придании данному иррациональному выражению возможно более простого вида, и задача эта решается, так сказать, от случая к случаю. Вопрос об иррациональном выражении как функции содержащихся в нем переменных гораздо сложнее, чем аналогичный вопрос в применении к рациональным выражениям, хотя бы в силу того, что его решение требует понятия многозначной функции и выхода в область комплексных чисел, которые, конечно, могут лишь увенчивать курс школьной алгебры, а отнюдь не являются повседневным орудием этого курса. Еще более сложен и неопределенен вопрос об иррациональных уравнениях, где по существу дело может идти лишь об отдельных примерах, — так же, как в случае простейших трансцендентных уравнений — показательных и логарифмических. Учащимся должна быть ясна простая познавательная схема: системы уравнений первой степени решаются всегда и исчерпывающим образом, и при этом с помощью одних лишь первых четырех действий. Решение квадратного уравнения требует уже не только рациональных, но и комплексных чисел. Решение же систем квадратных уравнений приводится к уравнениям высших степеней, и поэтому средствами школьного курса может даваться лишь в отдельных частных случаях. Учащемуся можно сообщить, что в пределах комплексных чисел решается и любое уравнение п-й степени с одним неизвестным: можно с любой точностью вычислить корни уравнений, если даны числовые значения его коэфициентов. Однако общей формулы для решения уравнений степени выше четвертой вообще не существует. Что же касается показательных и логарифмических уравнений, то общие методы решения таких уравнений даются лишь в анализе в теории аналитических функций, и методы эти совсем не похожи на то, чем мы занимаемся в элементарной алгебре.

5. Я считаю очень важным, чтобы учащиеся усвоили взгляд на уравнение, как на равенство, выражающее зависимость между тем или иным числом переменных и постоянных количеств, а вовсе не полагали, что всякое уравнение „по-настоящему должно иметь лишь одно решение“. Учащиеся должны понимать, что рассмотрение, например,

одного уравнения с двумя переменными нисколько не менее содержательное дело, чем решение одного уравнения с одним неизвестным. Должны они освоиться и с множеством всех решений данного уравнения или систем уравнений, и с тем, что вполне может случиться, что этих решений вовсе и нет (случай несовместных уравнений).

6. Наконец, важно усвоить связь между уравнениями и функциями и понять, как из той зависимости, которой данное уравнение связывает, например, два переменных, получить выражение одного из этих переменных через другое. На практике именно это обыкновенно и приходится делать. Геометрический язык во всех подобных вопросах кажется мне совершенно необходимым: во всей теории уравнений, а это, по существу, значит, во всей алгебре, он позволяет трудным идеям придать непосредственно ясный, осязаемый для учащихся смысл.

МЕТОДИКА

УЧЕНИЕ О ФУНКЦИЯХ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

С. И. НОВОСЕЛОВ (Москва)

Вряд ли нужно говорить, что понятие функции является одним из основных понятий современной науки. Оно дает возможность изучать физические величины в их взаимосвязи, а потому мы не ошибемся, сказав, что без него в настоящее время немыслимо изучение математики, физики, техники и естествознания. Это обстоятельство поставило и перед средней школой проблему введения учения о функциях в курс элементарной математики. Вопрос об изучении понятия функции в курсе средней школы не нов. Этот вопрос подвергался оживленному обсуждению с конца прошлого столетия и не утратил своей актуальности до настоящего времени.

Большинство современных методистов считает, что понятие функциональной зависимости должно рассматриваться как одно из основных понятий школьного курса. Более того, существует точка зрения, согласно которой идея функциональной зависимости должна стать руководящей нитью в построении всего школьного курса, начиная от младших и кончая старшими классами. Известным математиком Ф. Клейном (1849—1925) было выдвинуто предложение о реформе преподавания математики. Согласно точке зрения Клейна основной задачей обучения математики является развитие у учащегося „функционального мышления“, т. е. способности рассматривать изучающиеся в математике величины как переменные, находящиеся во взаимосвязи. Однако неумеренное увлечение этими идеями может привести к печальным последствиям.

Имели место попытки ввести понятие функции вместе с его графической интерпретацией на ранних стадиях обучения математике (примером может служить книга Лебединцева „руководство алгебры“). При таком построении курса понятие о функции, выделенное (в младших классах) в самостоятельную тему, представляет значительные трудности для учащегося, по состоянию своего математического развития еще не подготовленного к его восприятию (в виде самостоятельной темы). Огромная затрата времени на выяснение самого понятия функции и на вычерчивание графиков простейших линейных и квадратичных функций ставит в стесненное положение другие разделы курса. Нередко авторы соответствующих руководств были вынуждены опустить ряд разделов уже установившегося по содержанию и по объему курса элементарной математики, что привело к изданию неполноценных учебников и пособий.

Идея функциональной зависимости, как имеющая соприкосновеннее различными разделами курса элементарной математики, является весьма плодотворной. Однако стремление поставить все преподавание математики на службу развитию функционального мышления, чтобы все прочие разделы школьного курса оказались в подчиненном положении по отношению к учению о функциях, есть не прогрессивная, а односторонняя, крайняя точка зрения. Как всякая крайность, в сложном педагогическом процессе она не Может дать положительных результатов.

В школьном курсе математики должен найти отражение и получить самостоятельное развитие целый ряд и других понятий, имеющих большое значение в современной науке. К числу основных вопросов школьного курса (кроме учения о функциях) относятся учение о числе, учение об измерении величин, учение об алгебраических операциях, понятие о преобразовании, понятие об аксиоматическом методе, учение об

уравнениях, развитие логического мышления учащихся. Разумеется, что основные ведущие идеи школьного курса не вляются изолированными друг от друга, ко нет никакого основания давать развитие какой-либо одной из этих идей за счет других. Нельзя умалять также роль техники выполнения тождественных преобразований. Конечно, эти преобразования нелепо рассматривать как самоцель. Однако всем известны печальные последствия, имеющие причиной отсутствие твердых технических навыков лиц, оканчивающих школу. Кроме того, нельзя отрицать педагогическую роль тождественных преобразований как средства развития комбинаторных способностей учащихся.

Итак, мы полагаем, что важнейшие идеи курса элементарной математики должны получать самостоятельное развитие. Учение о функциях может и должно действенно способствовать этому развитию. Поле естественного применения идеи функциональной зависимости весьма широко, и нет необходимости в искусственном придумывании ее приложений.

Нужна ли коренная реформа школьных программ, чтобы учение о функциях заняло подобающее место в курсе элементарной математики? Мы полагаем, что такая реформа не нужна. Школьный курс математики (по крайней мере, на ближайшее время) можно считать сложившимся как по объему, так и по содержанию. Внедрение понятий современной науки может быть достигнуто не за счет ломки программы, а за счет поднятия на должную идейную высоту самого преподавания.

Согласно ныне действующей школьной программе учение о функциях выделено в специальную тему „Функции и графики“, изучаемую во 2-м полугодии в VIII классе. При изучении математики в IX и X классах учащиеся знакомятся со степенной, показательной, логарифмической и тригонометрическими функциями и их графиками. Таким образом, понятие функции получает дальнейшее развитие по мере обогащения запаса знакомых учащемуся элементарных функций. Может показаться, что при таком построении программы внедрение в школу идеи функциональной зависимости возможно лишь, начиная со старших классов. Нам представляется, что это далеко не так. Мы уверены в возможности проведения идеи функциональной зависимости через весь педагогический процесс от V до X класса так, чтобы учение о функциях ни в коей мере не развивалось за счет других разделов элементарной математики, а, напротив, помогало сознательному усвоению прочих разделов курса.

Понятие соответствия, лежащее в основе определения понятия функции, доступно учащимся V класса. В самом деле, ведь говорят же в V классе, что количеству купленного товара соответствует его стоимость, что количеству рабочих соответствует выполненная ими работа, что времени, в течение которого происходило движение, соответствует пройденный путь. Из конкретного смысла задачи учащимся ясно, какие числовые значения для рассматриваемой величины являются допустимыми. Так, например, если речь идет о числе рабочих, то учащимся без особых разъяснений понятно, что это число должно быть целым. Таким образом, уже в V классе мы фактически говорим о соответствии значений двух величин при данной совокупности их допустимых значений, но в этом и заключается понятие функциональной зависимости. Термин „функция“ на данной ступени математического развития не вводится и не должен вводиться. Изучение изменения результатов действий в зависимости от компонентов также основано на рассмотрении соответствия, связывающего численные значения компонентов с численным значением результата действия.

Мы полагаем, что к обычной методике арифметики в V классе вряд ли можно прибавить что-нибудь новое. Ограничимся лишь одним замечанием. Мы полагаем, что буквенную символику следует вводить, начиная с V класса (этот вопрос не нов). Разумеется, что в V классе делать это следует весьма умеренно. Однако мы не видим препятствий к тому, чтобы записывать на буквах известные свойства арифметических действий и основные правила, или, например, записать (на буквах) выражение площади прямоугольника при данных длинах его сторон. Здесь весьма ясно выступает соответствие числен-

ного значения буквенного выражения в зависимости от значений входящих в него букв. Мы уже не говорим о том, что введение буквенной символики в V классе сделает более безболезненным и естественным переход от арифметики к алгебре.

Если понятие соответствия оказывается доступным ученикам V класса, то тем более нет никаких оснований отказываться от него в VI и VII классах. Мы полагаем, что общее определение понятия функции в VI и VII классах является преждевременным. Однако отсутствие общего определения не служит препятствием к посильному исследованию простейших свойств элементарных функций. Напротив, это исследование, проводимое планомерно на протяжении всего педагогического процесса, может, по нашему мнению, оказывать существенную помощь в изучении программного материала.

Программа по алгебре предусматривает прохождение в VI классе следующих основных разделов: „Буквенные выражения“, „Относительные числа“ и „Целые одночлены и многочлены“. Напряженность программы VI класса, вызванная обилием нового для учащихся материала, известна каждому учителю. Введение в программу еще новых понятий лишь отвлекло бы учащихся от серьезного изучения указанных весьма важных тем и создало бы недопустимую для данного возраста перегрузку. Частично пожертвовать тождественными преобразованиями (как предлагают некоторые методисты), по нашему мнению, также не представляется возможным.

Во-первых, в VI (а также и в VII) классе закладываются основы тех навыков, от которых во многом зависит успех всей дальнейшей работы.

Во-вторых, сознательное выполнение преобразований требует постоянного применения основных законов действий. Умение обосновывать каждый шаг с точки зрения этих основных законов есть естественное требование, которое следует предъявлять к учащимся. Отсюда понятно, что изучение тождественных преобразований имеет более важное принципиальное значение, чем только лишь приобретение технических навыков.

Уже при изучении первой темы VI класса „Буквенные выражения“ мы неизбежно оперируем с идеей соответствия (т. е. фактически с функциями), ибо каждой данной системе числовых значений букв соответствует численное значение алгебраического выражения. Задача учителя заключается в том, чтобы это соответствие поставить в поле зрения учащихся. Здесь следует рекомендовать:

Во-первых, вычислять значения одного и того же выражения при различных системах числовых значений входящих в него букв. Так, например, в задачнике предлагается найти значение выражения a3-f- 2а2—5а -f- б при а «2. Можно, решив эту задачу, найти значения данного выражения, например, при а=1, а=0. Учащиеся сразу же увидят, что соответствующие значения получаются, вообще говоря, различными.

Во-вторых, следует уделить должное внимание составлению алгебраических выражений из условия задачи при различных числовых данных (подробнее см. книгу А. Н. Барсукова „Уравнения первой степени в средней школе“).

В-третьих, следует проводить исследование алгебраических выражений в зависимости от входящих в него букв. Здесь фактически мы имеем дело с исследованием функций, заданных при помощи формул. Отождествление функции и аналитического выражения, как известно, есть глубоко ошибочная точка зрения, однако аналитическое выражение есть весьма важный аппарат, служащий для практического задания функций. По этой причине исследование элементарных математических выражений и изображаемых ими функций является одной из первостепенных задач школьного курса. Наиболее важной формой работы с учащимися в этом направлении мы считаем устные упражнения. К сожалению, многими учителями под устным опросом учащихся мыслится повторение заученных определений, теорем и правил. От ученика нередко требуется дословное воспроизведение зазубренных фраз, но не обращается внимание на усвоение сущности вопроса. Разумеется, мы не отрицаем необходимости запоминания наизусть ряда основных формул и предложений, однако это запоминание становится бесцельным без овладения методом предмета, без умения самосто-

ятельно мыслить. Поэтому мы полагаем, что наряду с чисто повторительными вопросами должны ставиться вопросы, требующие от учащихся понимания сущности пройденного теоретического материала. Эти вопросы должны быть краткими, ясными по своей постановке и вместе с тем требующими от ученика сознательного усвоения теорем, умения сознательно оперировать с известными ему математическими фактами. Такого рода упражнения должны показать учащимся, что дословное зазубривание параграфов учебника, без достаточного их понимания, никак не может способствовать успешному прохождению предмета. Наконец, эти упражнения должны оживить уроки математики, заинтересовать учащихся, заставить их полюбить предмет. Упражнения, о которых идет речь, должны отнимать на уроке весьма незначительное время, но зато практиковаться систематически, от урока к уроку; лишь при этом условии они могут оказаться действительно эффективными. (Подробнее наша точка зрения на устные упражнения изложена в статье, опубликованной в сб. „Математика в школе“ за 1943 г., „Устные упражнения на уроках алгебры и тригонометрии“.)

Даже на первых уроках алгебры путем устной беседы нетрудно установить характер изменения простейших выражений в зависимости от значений входящих в них букв. Возьмем, например, выражение х2; чем больше значение X, тем больше значение х2 (можно, например, положить последовательно х = 0, 1, 2, 3,...). Если взять выражение ~, то нетрудно заметить его уменьшение при увеличении х.

В качестве упражнений можно, например, рекомендовать следующие вопросы:

Какое из выражений l-f-л; или l-f2x имеет большее значение при данном X (отрицательные числа учащимся еще не известны)? Аналогичный вопрос может быть поставлен относительно выражений а — х и а — 2х\ а-\-х и а — X] X и х^—; nun2 (где /г—целое число); X и X2 (где л:—правильная дробь) и т. п.

Какое из чисел больше: 1 или \-\-х9 и здесь же ставится вопрос: какое из чисел 1 или -г\— является большим?

Изучение алгебраических выражений в зависимости от значений содержащихся в них букв становится более интересным и многообразным при прохождении относительных чисел. Вот ряд вопросов, простых по своей постановке, но вместе с тем важных в деле повышения уровня математического развития учащихся.

Можно ли сказать, что выражение—л: всегда имеет отрицательное значение? Ответ отрицательный, так как это зависит от знака числа х. Можно предложить учащимся взять, например, такие числовые значения: х*=*1,— 1, 2,-2 и т. д.

Пусть х-отрицательное число; можно ли сказать, что значение выражения 2х больше, чем х? Если учащийся хорошо понял, что чем больше абсолютная величина отрицательного числа, тем оно меньше, то он не затруднится в ответе, что в данном случае х больше, чем 2х.

После этого можно поставить такой вопрос: при каких значениях х имеем 2х >х, 2х<х и возможно ли при каком-либо значении х равенство 2х = х?

Изменяется ли значение выражения X2, если знак числа х изменить на обратный, не меняя его абсолютной величины (положить, например, х = ±\у =t 2,.. . )? Получив ответ, можно поставить тот же вопрос относительно выражений х\ 1+х*$ а-х2, у~, 1-МЧ-*4-

Может ли сумма а-\-х быть меньшей, чем разность а — х?

Может ли выражение l-f-л;2 быть меньшим 1? Каково наименьшее возможное его значение? В связи с последним вопросом может быть поставлен следующий вопрос: может ли выражение —-— быть большим 1, каково наибольшее его значение?

При прохождении деления относительных чисел говорится о невозможности деления на нуль. В связи с этим можно уже в VI классе ставить вопросы, связанные с нахождением области определения функций, заданных посредством простейших дробных выражений. Эти

вопросы можно формулировать, например, в следующем виде: При каком значении х выражение — теряет смысл? Получив ответ, следует здесь же поставить аналогичный вопрос относительно, например, таких выражений: -9 -9-»

В дальнейшем при изучении в VI классе раздела „Одночлены и многочлены“ продолжается исследование алгебраических выражений в зависимости от значений входящих в них букв. Мы полагаем, что следует ставить те же вопросы, какие ставились ранее, но с постепенным усложнением. Так, например, можно поставить вопрос: изменятся ли значения многочленов 1 + х\ 1 + jc»-f 2л4, 1 + х2+ *4+ Xе и вообще многочлена, содержащего лишь четные степени х, при изменении знака X? Далее, как изменится значение выражений л:3, хь, хг-{-хь, 2х-{-х*— — хь и вообще многочлена, содержащего лишь нечетные степени х, при изменении знака х?

Правильно ли утверждение, что выражение X2 положительно при всех значениях X? Здесь необходимо выяснить, что для данного выражения, кроме положительных значений, возможно нулевое значение. Аналогичный вопрос следует поставить относительно, например, таких выражений: х2+х4, л:2+х4-{-1, jc24-y, (х-а)2, х2+2.

В связи с последним вопросом можно поставить такой вопрос: каково наименьшее значение для каждого из выражений: 14-х2, \+х2-\-х\ 2+х2+у*у (х—а)2-\-Ь и т. п.

Полезно сопоставить значения выражений x2J\-y2 и X2— у2. Первое выражение не может иметь отрицательных значений, тогда как значения второго будут отрицательные при условии, что X по абсолютной величине меньше у.

Подобного рода вопросы без труда могут быть составлены учителем в достаточном количестве применительно к тем выражениям, которые встречаются при решении алгебраических примеров и задач.

На уроках алгебры в VII классе следует продолжать исследование алгебраических выражений. Изучение алгебраических дробей позволяет поставить применительно к дробным выражениям вопросы, характер которых уже известен учащимся. В первую очередь полезно ставить вопросы о том, при каких значениях букв данное дробное выражение имеет смысл и при каких не имеет смысла. Например, можно взять такие выражения —: i—

Подобного рода вопросы следует ставить при преобразовании дробных выражений. Так, например, полезно выяснить, что преобразование выражения -------(см. задачник Шапошникова и Вальцова, ч. 1, гл. IV, стр. 33) имеет смысл лишь при условии, что каждая из входящих в него дробей имеет смысл, это приводит к условию аф±1.

Как изменится каждое из следующих выражений, если изменить знак х:

и т. п.?

Увеличивается или уменьшается значение выражения - при увеличении абсолютной величины х?

Изменится ли (и как) значение выражения--—, если удвоить каждое из значений х и у? Аналогичный вопрос может быть поставлен относительно, например, таких выражений — , х2-\-уг,

Выражение-^1--дробное, может ли его значение при некотором численном значении х быть целым числом? Легко выяснить, что при х = 1 значение данного выражения будет равно 3, а затем предложить учащимся подобрать другие такие значения х, при которых данное выражение имеет целочисленное значение (например, х = — 1). Полезно выяснить, что значения дробного выраже-

ния «rj- будут целыми числами, если

В связи с изучением пропорций следует отметить, что при положительном коэфициенте пропорциональности при увеличении одной величины увеличивается и другая. В случае же отрицательного коэфициента пропорциональности с увеличением одной величины другая уменьшается.

При решении уравнений в VII классе, кроме постановки вопроса в обычной форме: например, „решить уравнение 2л:-f-1 = X — 2“, желательно ставить тот же вопрос в такой „функциональной* форме: „при каких значениях х выражения 2х-\-\ и х — 2 имеют одинаковое значение?“

Аналогичное замечание относится к решению простейших неравенств; наряду, например, с вопросом: „решить неравенство х—1>0а желательна и такая постановка того же вопроса: „определить, при каких значениях х выражение X — 1 положительно?“

Приведенные здесь в качестве образца примеры показывают, что для фактического исследования ряда свойств простейших функций вовсе не требуется введения в VI и VII классах общего определения понятия функции. При изложенной методике функциональная точка зрения не вклинивается как нечто, взятое из иного круга идей, не отвлекает учащихся от прохождения основного материала и не требует для своего осуществления никаких реформ. Напротив, элементарное исследование тех алгебраических выражений, с которыми оперируют учащиеся, представляется нам вполне естественным. Это исследование призвано помогать сознательному усвоению соответствующих разделов курса и способствовать повышению уровня математического развития учащихся. В самом деле, при изучении алгебры подчеркивается, что под буквами, содержащимися в математическом выражении, следует понимать числа, тогда как на деле нередко ограничиваются лишь выполнением формальных алгебраических преобразований и не рассматривают „поведение“ математического выражения в зависимости от числовых значений входящих в него букв. Это одна из причин противоестественного превращения школьной математики в какое-то „особое буквенное исчисление“, далеко стоящее от современной науки.

Мы должны еще раз подчеркнуть, что пропедевтика учения о функциях может быть плодотворной лишь при методически правильном к ней подходе. Ни в коей мере недопустимо вопросы, о которых мы говорили выше, ставить концентрированно. Эти вопросы должны ставиться постепенно, систематически, хотя бы по одному или по два в урок. Один и тот же вопрос можно неоднократно предлагать учащимся, но всякий раз с некоторым, хотя бы незначительным, видоизменением с тем расчетом, чтобы не впасть в механическое заучивание готовых ответов. Полезно в процессе выполнения алгебраических преобразований останавливать внимание учащихся на свойствах преобразуемых выражений, а также на условиях, при которых само преобразование имеет смысл.

Упражнения на исследование алгебраических выражений получают в VIII классе дальнейшее развитие в связи с изучением иррациональных выражений. По этому разделу программы характер упражнений и методика их проведения остаются прежними. Теперь приобретает весьма важное значение исследование, при каких условиях значение данного алгебраического выражения является действительным. Так как комплексные числа учащимся еще неизвестны, то на данной ступени математического развития извлечение корня четной степени из отрицательного числа следует рассматривать как невыполнимую операцию. С этой точки зрения выражение V лГ следует рассматривать как не имеющее смысла рри отрицательных значениях X.

Приведем примеры вопросов, относящихся к теории иррациональных выражений.

При всех ли значениях х выражение V — X имеет смысл?

Аналогичный вопрос может быть поставлен относительно выражений 1 ,

Следует сопоставить выражения \J х и —— и выяснить, что первое имеет смысл, если X > О, тогда как второе — если X > 0, так как для второго значение 0 должно исключить.

Постепенно можно переходить к более сложным выражениям, как, например:

Разумеется, что последние примеры можно отнести на более позднее время, если это встретит затруднения и потребует излишнего расхода времени.

Мы считаем необходимым обратить особое внимание учащихся, что равенство у“~х* = х (речь идет об арифметическом значении корня) справедливо лишь при неотрицательных значениях х. Если же значение х может быть отрицательным, то \Гл-2~ равен абсолютной величине х. Полезно предварительно вычислить значения yj~)fl~при х = — 2, х=—3 и т. д.

Полезно обратить внимание учащихся, что частные значения иррациональных выражений могут быть рациональными числами. Уже в простейшем примере \J~x~ имеем: значение иррационального выражения \ГлГ рационально, если, например, х = 0, 1, 4,j,9,yH т. д.

Можно предложить учащимся подобрать такие значения х, при которых значения, например, таких выражений у/ х* + 9 , v/TT7, пГТг рациональны.

В связи с изучением в VIII классе последующей темы „Квадратные уравнения“ весьма важным является исследование квадратного трехчлена и его преобразование путем выделения полного квадрата. Приведем примеры простейших упражнений.

Имеет ли трехчлен л:2—х-\-1 наименьшее значение и каково это значение? Выделяя полный квадрат, получим: X——j + —. Теперь ответ на поставленный вопрос не представляет затруднений. Наименьшее значение трехчлена есть — при х= — .

После выделения полного квадрата становится ясным ряд свойств данного трехчлена. Например, значения трехчлена при любом X положительны, дробь jfi^x + X » а также корень Y~2^x+i имеют смысл при любом действительном значении х. Подобного рода вопросы можно ставить применительно к трехчленам с различными численными значениями коэфициентов.

Разложение квадратного трехчлена на действительные множители (когда оно возможно) позволяет дать ответ на ряд вопросов. Так, например, из равенства X2 — 5х -f 6 = (х — 1) (х — 3) вытекает, что если значение х содержится между числами 2 и 3, то значение трехчлена отрицательно, ибо скобки имеют противоположные знаки. При X > 3 оба множителя положительны, при х < 2 оба множителя отрицательны, а потому значение трехчлена положительно. При х=2 и х — 3 трехчлен обращается в нуль.

Отсюда ясно, что дробь---теряет смысл при х = 2 и х — 3, а корень V*- — 5х + б не имеет смысла, если 2 < X < 3. Могут возразить, что подобного рода вопросы относятся к теме „Неравенства“ вХ классе. Мы не считаем это возражение серьезным. Исследование трехчленов на частных примерах весьма полезно и никаких принципиальных затруднений в VIII классе не встречает.

Все, что было сказано выше,относится к пропедевтике учения о функциях. В VIII классе учащиеся должны познакомиться с общим определением понятия функции в теме 9Функции и графики“. Мы считаем, что современное определение понятия функции как соответствия приемлемо для средней школы в следующей редакции.

Величина у есть функция от х, если каждому допустимому численному значению х соответствует некоторое вполне определенное численное значение у.

Примеры, которыми можно иллюстрировать эту формулировку, по сути дела уже известны учащимся. В каче-

стве первых примеров можно взять какие-либо из неоднократно встречавшихся простых выражений, например:

и т. п. Некоторые из этих примеров можно предпослать общей формулировке. Следует рассмотреть примеры зависимости физических величин.

Вопрос об области определения функции, как о множестве всех допустимых значений аргумента, в общем виде на данной ступени математического развития (в VIII классе) вряд ли может быть рассмотрен. Однако из рассмотрения конкретных примеров вполне возможно выяснить смысл понятия „допустимое значение аргумента“. Так, например, выражение ——- теряет смысл при х=\, поэтому для функции у = -г1 j в качестве допустимых значений аргумента х возможно рассматривать любое значение X, отличное от 1. Однако с самого начала необходимо тщательно избегать смешения принципиально различных понятий „функция“ и „математическое выражение“. Подробно об этом будет сказано ниже, теперь же мы ограничимся тремя простыми примерами, пригодными в VIII классе.

1. Пусть X — количество купленных чернильниц по цене k коп. за штуку. Количеству купленных чернильниц соответствует уплаченная за них сумма денег у, следовательно,^ есть функция от X. Закон соответствия выражается формулой прямой пропорциональности y = kx. Для данной функции по самому смыслу задачи допустимым является любое целое положительное значение X, однако выражение kxt взятое безотносительно, само по себе имеет смысл при любом значении х.

2. Как известно, изображение функции при помощи формул, содержащих некоторые вполне определенные математические операции, не является обязательным. Для ученика VIII класса вполне убедительным может быть хотя бы следующий пример. Пусть а и b— длины двух сторон треугольника, а х — величина угла,заключенного между ними. При данных а и b длина у противолежащей стороны определяется значением х, а потому у есть функция от х, хотя для учащихся VIII класса (еще не знакомых с тригонометрией) не представляется возможным задать закон соответствия при помощи формулы. Допустимыми значениями для х являются произвольные значения от 0 до 180°.

3. Пусть хф0 рациональное число, представим его в виде несократимой дроби д: = -^ с положительным знаменателем. Обозначим через у значение знаменателя у = д. Так, например, если л:= *-,j/=2; если х = — 0,75, т. е. X =-, то у = 4; если х = 3, т. е. х = —, то У = 1. Так как каждому допустимому значению х соответствует единственное значение у, то у есть функция от X. Допустимыми значениями для X являются произвольные, отличные от нуля, рациональные значения.

Следует категорически возражать против нелепого, но, к сожалению, распространенного утверждения, что „функции бывают трех родов, заданные либо формулой, либо таблицей, либо графиком“. О функции можно говорить всегда, когда налицо имеется соответствие значений, независимо от способа задания этого соответствия. Три упомянутые способа задания функции являются наиболее часто встречающимися в приложениях, но не больше, и по меньшей мере странно все функции подводить под эти три рубрики.

Концепция понятия функции должна подвергаться дальнейшему развитию и уточнению в связи с изучением математики в IX и X классах. Программный материал этих классов дает богатый запас многообразных примеров. Постепенное совершенствование концепции понятия функции по мере повышения уровня математического развития учащихся может быть доведено до уровня современных научных воззрений. В IX и X классах ученик встретится с теорией тригонометрических, показательной, логарифмической и обратных тригонометрических функций. Формулы общего члена и суммы прогрессии дают выражения общего члена и суммы как функций от числа членов. Для иллюстрации понятия функции могут быть использованы формулы объемов и поверх-

ностей геометрических тел Здесь мы встретимся с простейшими функциями многих аргументов. Так, например, объем цилиндра v = Kr*h есть функция двух аргументов г и А, ибо любой допустимой системе значений г и А соответствует значение v. Из геометрических соображений ясно, что допустимой является любая система положительных чисел г и А. Все эти вопросы позволяют вполне естественно возвратиться еще и еще раз к определению понятия функции как соответствия. Постепенно перед учащимися выясняется понятие области определения функции как множества всех допустимых значений аргумента. При этом совершенно не важно, в каком именно месте курса это понятие получит свое окончательное завершение. Мы считаем вполне приемлемыми соответствующие разъяснения, например, в такой редакции:

„Объем шара есть функция величины его радиуса/?. Здесь допустимым является любое положительное значение /?, а множество всех допустимых значений R есть множество всех положительных чисел“.

Совершенно аналогично можно рассмотреть и ряд других примеров. Можно взять сумму п членов данной прогрессии или функцию п. Здесь множеством допустимых значений для п является множество всех натуральных чисел. Множество всех допустимых значений аргумента, как известно, и называется областью определения функции. Мы полагаем, что вопрос о том, следует ли вводить термин „область определения функции“ в средней школе или нет, не имеет принципиального значения. Важно выяснить сущность дела, вопрос же о введении нового термина является второстепенным.

Мы не можем не согласиться с точкой зрения, высказываемой передовыми представителями педагогической мысли, что уже в средней школе следует приводить примеры функций, заданных описанием закона соответствия вне зависимости от формулы, а также функций, заданных разными формулами в разных промежутках. Назначение этих примеров заключается в том, чтобы не допускать возникновения ложной мысли, заключающейся в отождествлении функции с аналитическим выражением (формулой). На этот момент следует обратить серьезное внимание, так как в старых учебниках, а также среди наиболее отсталой части учительства еще сильны традиции, в силу которых величина у считается функцией от х, когда у выражается через х при помощи некоторой „единой формулы“. Что же следует понимать под функцией, заданной аналитическим выражением (формулой)?

Под аналитическим выражением Р(х) мы подразумеваем совокупность тех операций, которые следует произвести в определенном порядке над численным значением аргумента, чтобы получить соответствующее значение данного выражения Р(х).

Как видно, понятие аналитического выражения получает лишь тогда определенный смысл, когда будет точно указано, какие именно математические операции рассматриваются как допустимые. Так, например, если принять в качестве допустимых лишь действия сложения, вычитания, умножения и деления, то операция извлечения корня не является изобразимой при помощи формулы. Если теперь мы условимся операцию извлечения корня присоединить к числу допустимых и ввести для нее специальный символ , то класс функций, изобразимых формулой, расширяется. Теперь становятся аналитически изобразимыми иррациональные (явные) функции, которые ранее не были изобразимыми. Совершенно аналогично обстоит дело с введением тригонометрических операций. Вообще, пусть мы встретились с рассмотрением некоторой функции, закон соответствия которой не выражается через операции, принятые нами в качестве допустимых, тогда мы можем расширить класс допустимых операций, присоединив к нему данную операцию, и ввести для нее специальное обозначение. С этого момента данная функция перестает быть аналитически неизобразимой. Этими рассуждениями совершенно ясно обнаруживается относительность понятия функции, изобразимой формулой, ибо функций, абсолютно неизобразимых формулой, не существует. Учащимся средней школы известны математические операции, изучающиеся в элементарной математике, а потому под формулой само собой под-

разумевается выражение, содержащее именно эти операции. Теперь становится ясной вся безилейность и антинаучность могущего возникнуть у учащихся представления о функции как о выражении, содержащем лишь те математические операции, которые известны из элементарной математики.

Итак, мы считаем совершенно необходимым в курсе средней школы знакомить учащихся с функциями, заданными различными формулами в разных промежутках, а также с функциями, заданными непосредственным описанием закона соответствия. Известным примером может служить функция Дирихле

1 (если X рациональное число] О (если X иррациональное число)

Теперь естественно попытаться ответить на вопрос: как практически претворить в жизнь высказанную точку зрения? Этот чрезвычайно важный вопрос практически совершенно не разработан, и поэтому мы сможем высказать лишь нашу личную точку зрения, основанную на наших наблюдениях. В VIII классе в качестве самых первых примеров для иллюстрации понятия функции могут быть взяты примеры функций, заданных формулой. Непосредственный переход к таким примерам, как функция Дирихле, представляется нам несколько резким, а потому этот переход следует попытаться сделать постепенно.

Следующий пример вполне доступен пониманию учащихся. Поезд проходит расстояние между пунктами А и В в течение 9 час. В течение первых 3 час поезд движется со скоростью 50 км в час, затем в течение 2 час. стой г в пункте С, а затем движется к пункту В со скоростью 60 км в час. Пусть X — время, а у— величина пройденного пути. Каждому допустимому значению X, 0 < X < 9, соответствует вполне определенное значение у, таким образом, наличие функциональной зависимости является вполне очевидным.

В нашем примере величина пути у выразится в зависимости от времени х следующим образом:

Мы получили функцию, заданную различными формулами в различных промежутках.

Наш личный опыт показывает, что не представляет никаких затруднений рассмотрение функции У=^-' Учащиеся легко усваивают, что закон соответствия может быть записан различными выражениями в разных промежутках, а именно

Построение графика в виде разрывной линии состоящей из двух полупрямых (черт. 1), обычно вызывает живой интерес со стороны учащихся.

Рассмотрим оси координат и построим окружность радиуса равного 1 с центром в начале координат. Любому действительному числу X соответствует точка на оси абсцисс, изображающая это число. Проведем через эту точку параллель оси OY и обозначим через у число общих точек этой параллели с окружностью (черт. 2).

Черт. 2

Закон соответствия между х и у может быть записан следующим образом:

0 (если X < — 1, параллель не пересекает окружность)

1 (если х= — 1, параллель касается окружности)

2 (если —1 <х<1, параллель пересекает окружность в двух точках)

1 (если х=1, параллель касается окружности) 0 (если х>1, параллель не пересекает окружности.

График этой функции построен на черт. 3

Черт. 3

При рассмотрении функции Дирихле или, например, функции, заданной законом соответствия, мы встречаемся со следующей педагогической трудностью: в этих примерах закон соответствия не вытекает из рассмотрения конкретных условий какой-либо задачи или примера, и приходится объяснять, что этот закон устанавливается нами по произволу, путем соглашения считать у=1, если х рациональное, и у = 0, если X иррациональное число (для функции Дирихле). Наши наблюдения показывают, что именно в этом и заключается вся методическая трудность. Эту трудность мы не считаем непреодолимой, но мы склонны думать, что рассмотрение подобных примеров в VIII классе является преждевременным. По программе IX и X классов учение о функциях не значится как самостоятельная тема, однако в этих классах неизбежно придется возвратиться к понятию функции в связи с изучением тригонометрических, показательной, логарифмической и обратных тригонометрических функций. Здесь и будет уместным повторить основное определение, восстановить в памяти уже известные примеры, вводить в рассмотрение новые примеры и постепенно довести учащихся до современного понимания идеи функции.

Изучение тригонометрических функций имеет самостоятельное значение в курсе тригонометрии. Было бы неверно сказать, что цель курса тригонометрии заключается в решении треугольников. В тригонометрии учащиеся знакомятся с простейшими периодическими функциями, и это имеет не меньшую принципиальную важность, чем решение треугольников. Как в математике, так, и в ее приложениях существенно рассматривать тригонометрические функции от числового аргумента. Обычно аргумент тригонометрической функции рассматривается как число, выражающее радианную меру соответствующей дуги. Нельзя мириться с тем положением, что учащиеся нередко этого не осознают. Ярким примером может служить, что, на такой вопрос: „что означает sin20?“ нередко приходится слышать ответ: „этого не может быть“.

Существует точка зрения, согласно которой тригонометрию не следует изучать в школе как самостоятельный предмет. Выдвигается предложение отнести решение треугольников в геометрию, а гониометрию — в алгебру. При этом учение о тригонометрических функциях объединяется с учением об элементарных трансцендентных функциях, рассматриваемых в алгебре. Таким образом намечается в курсе алгебры единая тема, в которой изучаются элементарные трансцендентные функции. Мы полагаем, что было бы нецелесообразно принять это предложение. Правильно, что тригонометрию нельзя рассматривать как самостоятельную научную дисциплину, но ведь речь идет о тригонометрии, как о самостоятельном учебном предмете. Следует заметить, во-первых, что методы рассуждений в алгебре и тригонометрии различны, и от предлагаемого смешения не выиграет ни тот ни другой предмет; во вторых, стать сразу на функциональную точку зрения с самого начала изучения тригонометрии по меньшей мере рискованно. Так же, как и при изучении алгебры, функциональная точка зрения должна проводиться постепенно.

Мы считаем необходимым в X классе дать завершающий обзор всех тех элементарных функций, с которыми учащиеся познакомились как в алгебре, так и в тригонометрии. После усвоения обеих дисциплин такой обзор развернет стройную картину всей теории элементарных функций.

Построение графиков тригонометрических функций, связанное с исследованием их свойств, дает богатый материал для упражнений. Наблюдения показывают, что у учащихся с первого же мо-

мента может возникнуть следующее недоумение.

„Как же строить график y = sinx, если мы не знаем, как откладывать угол на оси ОХ“? Здесь и необходимо разъяснить еще раз, что х мы будем рассматривать как число, как радианную меру соответствующего угла. При такой трактовке аргумента тригонометрической функции вовсе нет необходимости при построении графиков брать различные масштабы на осях координат, как это, по причинам, нам не понятным, рекомендуется в некоторых изданиях учебника Рыбкина. Научной ошибки здесь нет, но разумно спросить: почему же при построении графиков прочих функций вдоль осей координат берется одна и та же единица масштаба?

Весьма важно, чтобы учащиеся умели на графиках иллюстрировать такие основные свойства, как периодичность, как нечетность синуса и тангенса: sin (— х) = —sin (х) и tg (— х) = — tg X, как четность косинуса:

cos (— х) — cos X.

Необходимо показать промежутки оси абсцисс, соответствующие четвертям тригонометрического круга (или квадрантам, если не пользоваться кругом). Графики следует наносить, сообразуясь с возрастанием и убыванием тригонометрических функций в соответствующих четвертях. В некоторых старых руководствах (например, Шмулевич „Прямолинейная тригонометрия“), не находящихся на должной научной высоте, высказываются, например, такие утверждения: „из графика видно, что при увеличении угла от 0 до 90° синус его растет от 0 до 1“. С подобного рода трактовкой вопроса необходимо вести решительную борьбу в школе, как с логически порочной, ибо на самом деле как раз наоборот: график чертится на основе известного свойства возрастания синуса в первой четверти.

Теперь скажем несколько слов о построении графиков функций. В основу построения графиков функций следует положить не построение кривой „по точкам“, а исследование свойств данной функции. В самом деле, кривая содержит бесконечное множество точек, и выполнить фактически построение их всех не представляется возможным.

Если же не учитывать свойства данной функции, то можно впасть в грубую ошибку. При построении графиков функции, заданной формулой, необходимо установить область ее определения, а затем, исходя из свойств данной функции, сделать набросок кривой. Этот набросок следует уточнять, находя отдельные точки кривой путем непосредственных вычислений. Следует использовать также имеющиеся в распоряжении учащихся математические таблицы.

Если видеть в построении графика по точкам самоцель, то это построение превращается в скучнейшее бессмысленное занятие. Ученик вправе недоумевать: зачем же нужно наносить точки на миллиметровку или клетчатую бумагу и проводить через них линию, зачем нужно графически решать систему уравнений 1-й степени, если проще решать ее известными алгебраическими приемами? Ученик должен знать, как отразятся на графике известные ему свойства функции, и обратно: какие заключения о свойстве функции можно сделать, имея начерченным ее график. В этом весь смысл данного вопроса. Вывод ясен: свойства функции должны быть учитываемы как основной момент построения графиков, начиная с самых первоначальных примерив функций у = kxy у — х2, y = kx-\-b. Так, например, ученик знает, что большему положительному числу X соответствует большее значение х2; отсюда ясно, что при перемещении вправо точки х по положительной части оси абсцисс соответствующая точка параболы у — х2 должна „подниматься вверх“. При построении графиков квадратных трехчленов необходимо предварительно выяснить, имеет ли данный трехчлен действительные корни;это позволит определить точки пересечения соответствующей параболы с осью абсцисс. Наконец, при помощи выделения полного квадрата можно определить минимум (или максимум) трехчлена и построить вершину параболы.

В официальной программе предусмотрено построение графиков функций y = kx-\-b, y = ax2 + bx-\-c9 у = ах, y = \gax, а также основных тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Мы считаем, что нельзя ограничиться перечисленными функ-

циями. Мы полагаем, что как обязательны й минимум должны быть построены графики следующих функций:^ = хп при различных рациональных значениях п

Примеры функций, заданных разными формулами в разных промежутках, необходимо иллюстрировать соответствующими графиками Было бы неправильным все эти графики строить именно в VIII классе при изучении темы „Функции и графики“. Построение графиков должно стать привычным способом изображения функции, и им следует овладевать постепенно. Так, например, графики функций хп при различных значениях п естественно строить по мере изучения темы „обобщение понятия показателя степени“.

Если учащиеся приобрели надлежащие навыки в исследовании математических выражений и функций, то построение графиков не должно встретить больших трудностей. Построение различных кривых обычно выбывает живой интерес со стороны учащихся, и, как мы полагаем, здесь имеется богатый материал для домашних заданий. Как показывает наблюдение, среди учащихся старших классов нередко возникает оживленная дискуссия по поводу домашних заданий на построение графиков. Такого рода домашние задания полезно практиковать систематически, в особенности в X классе, как имеющие большое значение в деле повышения уровня математического развития. Примеры для домашних заданий должны подбираться с постепенными видоизменениями и усложнением уже известных примеров. Так, после пост pot ния указанных выше графиков можно давать на дом соответственно следующие кривые:

(выделить в знаменателе полный квадрат),

Вот примеры более сложных упражнений:

Нетрудно построить график биквадратного трехчлена. Положим, например, у = х* — 2x2-f-3. Выделяя полный квадрат, получим у = (х2 — 1)2 + 2. В силу симметрии кривой относительно оси OY (у не меняется при изменении знака л:), достаточно построить график, считая X > 0. Как легко видеть, у имеет наименьшее значение^ = 2 прил=1, отсюда становится ясным характер кривой (черт. 4). Нетрудно построить график выделяя полный квадрат, получим у = 1 — (J^ — 1 у, откуда наибольшее значение у=\ при х — \. График представлен на черт. 5.

Вот интересный пример, который можно привести ь связи с изучением неравенств. Легко показать, что при данном произведении двух положительных чисел X и у у их сумма имеет наименьшее значение, если х = у. Пусть ху = а2, тогда при х=у = а значение суммы х-\-у равно 2а; надо доказать, что при хфу имеем х-\~у > 2а. В самом

Черт. 4

деле, если хФу, то (х—у)2>0, или, что то же, X2 — 2ху -\-у2 > 0t откуда х2-\-2ху -\-у2 > 4ху; следовательно, (х-\-у)2 > 4а2 и X -т- у > 2а.

Черт. 5

Построим теперь график функции у = х-\-^. Так как при изменении знака X знак у меняется на обратный, то кривая симметрична относительно начала координат. Построим график при условии X > 0. Произведение слагаемых X и-г постоянно: х • — = 1. Наименьшее значение суммы будет при х = 1 .

Принимая во внимание, что у неограниченно возрастает при х—► () и при X—>оо, получим кривую, изображенную на черт. 6. Здесь полезно заметить, что при больших по абсолютной величине значениях х значение у будет близко к X, в силу малости второго слагаемого. Следовательно, при х—►ос точки кривой будут приближаться к прямой у =х.

Кроме геометрического изображения функции при помощи графиков, можно рассматривать интерпретацию, пользующуюся двумя параллельными прямыми и стрелками. Эта интерпретация во многих случаях оказывается весьма удобной, например, для иллюстрации перехода к обратной функции или при изучении понятия предела. В средней школе этой интерпретацией следует пользоваться умеренно. Практически можно рекомендовать в ряде примеров вместо таблицы частных значений функции составлять схему соответствия. С педагогической точки зрения это нисколько не труднее. Так, например, вместо таблицы значений функции у = 2х можно составить изображенную на черт. 7 схему.

Черт. 6

Черт. 7

Интерпретация при помощи схемы соответствия дает возможность затронуть в средней школе весьма важную идею современной математики, идею отображения. Пусть у есть функция от X. Данной точке х на верхней прямой соответствует точкам на нижней прямой. Будем говорить, что точка х отображается в точку у или что точка у есть образ точки х (черт. 8). Всякое множество точек (принадлежащее области определения данной функции) на верхней прямой переходит (отображается) в некоторое множество точек на нижней прямой Так, например, функция у = 2х переводит (отображает) отрезок AB, лежащий на верхней прямой, в отрезок А1В1, лежащий на нижней прямой, вдвое больший по длине и одинаково направленный с AB. Здесь мы имеем преобразование растяжения. Функция у = — X изменяет направление отрезка,

Черт. 8

не меняя его длины. Функция у — х2 отображает отрезок 1<л:<2 на отрезок 1<>><4 (черт. 9). При этом, выражаясь образно, искажение масштаба в разных местах различное. Та же функция отобразит отрезок —Кх <1 на дважды покрытый отрезок 0<у <1 (черт. 10). Применение отображений с различным искажением масштаба известно учащимся хотя бы на примере географических карт. Здесь дело обстоит сложнее, ибо при составлении карт отображается одна поверхность (сфера) на другую поверхность (плоскость), но сама идея отображения остается той же. Рассмотрение отображений при помощи элементарных функций дает богатейший материал для кружковых занятий.

Все сказанное относительно различия понятий функции и формулы отнюдь не умаляет значения исследования функций, заданных при помощи математических выражений. Элементарные функции являются весьма частным видом функций, и основной задачей учения о функциях в курсе элементарной математики есть изучение именно этого частного вида. Работа по исследованию математических выражений, проделанная начиная от VI до VIII класса, естественным образом должна продолжаться в IX и X классах.

Отыскание области определения функций, заданных при помощи формул (когда допустимые значения аргумента заранее не указываются), попрежнему остается одной из важнейших задач. В тех случаях, где это возможно выполнить элементарно, следует проводить исследование на возрастание и убывание и на отыскание наибольших и наименьших значений элементарных функций. Методика работы в IX и X классах остается прежней. Мы полагаем, что в IX и X классах устный опрос попрежнему остается одной из основных форм работы. Упражнения, которые можно рекомендовать учащимся IX и X классов, весьма многообразны. Ниже мы приводим образцы такого рода упражнений. Руководствуясь этими образцами, учитель без труда сможет подобрать, в случае надобности, какое угодно количество аналогичных примеров.

В IX классе следует первое время, пока еще не накопился новый материал, продолжать исследование простейших алгебраических функций. Для повторения следует прежде всего воспроизвести в памяти учащихся вопросы, уже задававшиеся ранее. Теперь можно употреблять термины „функция“ и „аргумент“ и соответствующие вопросы предлагать, например, в такой форме:

Какие значения аргумента являются допустимыми для каждой из функций, заданных формулой:

Черт. 9

При каком значении аргумента функция 1+(1—ХУ имеет наименьшее значение? Имеет ли эта функция наибольшее значение?

Возрастает или убывает функция у = —X. Аналогичные вопросы можно поставить относительно функций

По мере ознакомления учащихся с показательной, логарифмической и тригонометрическими функциями можно предлагать, например, такие вопросы:

1. Какие значения аргумента являются допустимыми для функций:

(в последних 3 примерах можно принять для простоты, что X — радианная мера острого угла),

у = y/sin х% у = lg sin ж, y = \g cos X

(в последних 3 примерах будем считать, что 0<jc<2tt),

у = arc sin 2х, у = arc sin ^ , У — агс sin — f

у = arc tg 2л- и т. п.

2. Определить наибольшее (или наименьшее) значение следующих функций:

3. Как изменится значение каждой из следующих функций, если изменить знак аргумента:

4. Что можно сказать о возрастании и убывании следующих функции:

У = 1 — y/jc, .у = 1 — sin л (для каждой четверти отдельно),

y=*lgsinx, .у = Ig cos л: (в 1-й четверти),

5. Какой период имеют следующие функции:

б. Относительно функций многих аргументов можно предлагать следующие простейшие вопросы:

Изменится ли значение каждой из следующих функций, если переставить местами х и у:

Как изменится значение каждой из следующих функций, если х заменить на kx и у заменить на ky:

Заметим, что вопросы, подобные приведенным, имеют большое значение для сознательного повторения пройденного материала. Покажем это на примере следующего вопроса: какие значения являются допустимыми для аргумента функции, заданной формулой y=lgsinх?

Для простоты положим, что X берется в пределах первой окружности 0<л:<2тс.

Во-первых, учащийся должен вспомнить, что логарифм имеет смысл лишь при условии, что выражение, находящееся под знаком логарифма, положительно.

Во-вторых, надо вспомнить, в каких четвертях значение синуса положительно.

В-третьих, учащийся должен уметь записать при помощи неравенств, что X есть величина дуги, лежащей в I или во II четвертях.

В-четвертых, следует выяснить, почему невозможно равенство крайним значениям (т. е. О и т:). Здесь мы вспоминаем, что число 0 не имеет логарифма.

Теперь скажем несколько слов о понятии функции в связи с изучением уравнений. Уравнение f(x) = <р ix) можно трактовать как условие, при котором функции f(x) и <f(x) имеют одинаковое

значение. Для уяснения этой постановки вопроса можно учащимся предлагать, например, такие вопросы: при каких значениях трехчлен х2 — х — 4 принимает значение, равное числу 5; или при каком X значение функции ^ равно — ? Решение задач на составление уравнений дает возможность рассмотреть большое число примеров на применение понятия функциональной зависимости. Рассмотрим следующую совершенно элементарную задачу.

В двух сосудах количество воды соответственно равно а и Ь. В первый сосуд поступает вода со скоростью m литров, а во второй — со скоростью п литров в минуту. Через сколько времени в обоих сосудах будет одинаковое количество воды?

Ясно, что каждому моменту времени X соответствует объем воды в данном сосуде, значит, объем есть функция времени. В данном примере эти функции для первого и второго сосудов соответственно выражаются следующими формулами: v1==a-{-mxt vt = b-\-nx. Согласно условию задачи мы ищем значение х, при котором эти функции имеют одинаковое значение, что приводит к уравнению:

а -\-тх = b -f- пх.

В рассмотренном примере функциональная трактовка составления уравнения весьма естественна. Однако отсюда вовсе не следует, что эту трактовку надо навязывать во всех задачах на составление уравнений. Решение задач на составление уравнений не должно находиться в подчиненном положении по отношению к учению о функциях.

Идея геометрического истолкования решения системы уравнений как отыскания точек пересечения двух графиков весьма проста и без труда усваивается учащимися. Представляет интерес для учащихся толкование решения уравнения как отыскания точек пересечения двух кривых ysszf(x) и y=<ï(x). Простейшие примеры приведены в учебнике алгебры Киселева. Мы не считаем правильным подробно останавливаться в средней школе на использовании графических методов с целью приближенных вычислений (например, приближенного решения уравнений). В курсе средней школы в этом не ощущается потребности. Построение графиков в школе должно быть поставлено на службу исследованию и интерпретации свойств элементарных функций. Применение графических методов к приближенным вычислениям без труда может быть усвоено, если в этом возникнет потребность.

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

В. К. МАТЫШУК (Архангельск)

Глава об обратных тригонометрических функциях (иначе называемых аркфункциями) является одним из весьма трудных для преподавания разделов элементарной математики. Причины затруднений следующие: 1) понятие обратной функции; 2) многозначные функции и 3) символика. К этому надо прибавить отсутствие в программах точно очерченного и достаточно подробно указанного круга вопросов, подлежащих усвоению учащимися, а также отсутствие в учебной литературе удовлетворительного изложения этой темы. Следует отметить также и отсутствие соответствующих методических разработок для учителя. По этим причинам приходится на практике наблюдать следующие факты: 1) самый разнообразный объем материала, прорабатываемый учителями в десятом классе, и 2) учащиеся десятого класса на экзаменах при наличии формальных знаний обнаруживают непонимание сущности и природы аркфункций.

Задачей настоящей статьи является дать учителю достаточно исчерпывающую методическую разработку темы об обратных тригонометрических функциях.

I

Тему, посвященную обратным тригонометрическим функциям, надо начать с понятия обратной функции Учащиеся X класса уже знакомы с обратными функциями; с ними приходилось много раз встречаться в разное время. Следовательно, эти сведения надо теперь напомнить. Рекомендуем начать с рассмотрения какой нибудь конкретной задачи, взятой из физики или механики. Можно воспользоваться формулой для пути, проходимого материальной точкой при свободном падении в безвоздушной среде:

Эта формула связывает между собой аргумент — время и функцию — расстояние. Учитель подчеркивает, что задается время, ищется соответствующее расстояние. Затем учитель предлагает решить обратную задачу: „За какой промежуток времени тяжелая материальная точка, свободно падающая в пустоте, пройдет расстояние 200 м?и

Составляется уравнение

и затем оно решается обычным путем. Из формулы (I) можно получить новую формулу

позволяющую все подобные задачи решать непосредственно. Формулы (1) и (2) представляют собой выражение одной и той же зависимости между физическими величинами, но только та величина, которая в одной из формул рассматривается как аргумент, в другой рассматривается как функция.

После рассмотрения этого примера преподаватель переходит к функциям, известным учащимся из математики. Взяв в качестве примера какую-нибудь линейную функцию, например:

(3)... у=2х—3,

преподаватель предлагает решить это уравнение относительно х\ получается:

(4) ... х= у.У + ~| •

Здесь мы рассматриваем у как аргумент, а X как функцию.

Функции (3) и 4) обратны друг другу. Совершенно аналогично поступаем и с другими, известными учащимся функциями, а именно:

у = х\ У = ах,

x = ±iVy; X = \ogay.

Полезно показать расположение графиков прямой и обратной функций на чертеже. При этом надлежит сперва доказать, что если для данной точки А {хУу) мы поменяем местами х и у, то получившаяся точка А (у,х) будет симметрична первой относительно биссектрисы координатного угла. Таковы, например, точки Л (2,4) и Л (4,2), В (—1,3) и В (О,— 1) и т. д.

Следовательно, график кривой у= ± у/х получится из графика кривой у = X2 путем перегибания чертежа по биссектрисе координатного угла. То же самое можно сказать и про графики кривых у = 2х и y = \og2x.

II

В качестве вступления к изложению темы об обратных тригонометрических функциях надлежит подробно остановиться на решении простейших тригонометрических уравнений, иначе говоря, вывести формулы для дуг, по заданным значениям тригонометрических функций. Мы рекомендуем начинать с рассмотрения тангенса. Берем числовое уравнение, например:

(5) ... tgx= V3~

и предлагаем учащимся найти те значения X. т. е. угла, при которых тангенс равен ^/з“. Учащиеся выписывают несколько последовательных значений х как положительных, так и отрицательных. Получается такой ряд чисел:

(6)..., - 480°,- 300°,— 120°, 60°, 240°, 420°, 600°, 780°...

Учитель обращает внимание учащихся на следующие факты:

1) Получившийся ряд бесконечен. Таким образом, уравнение (5) имеет бесконечное количество решений.

2) Этот ряд представляет собой арифметическую прогрессию, разность которой 180°.

Последнее обстоятельство позволяет составить формулу, охватывающую все корни данного уравнения. Учащимся надо показать, что за первый член этой прогрессии можно взять любой, например, 60°, 240, —120 и т. п.

Получившиеся формулы

дг = /г . 180°-f 60е je = л • 180°+-240° х=*п • leO'-^O0

при произвольных целочисленных значениях п выражают одно и то же, т. е. дадут все без исключения члены одного и того же ряда (6). За первый член этой прогрессии, или, как мы будем говорить дальше, за глазное значение угла в случае тангенса принимается наименьший по абсолютному значению (положительный или отрицательный) член прогрессии, т. е. в данном случае:

ж = л. 180°+ 60е.

В качестве другого примера рассмотрим случай с отрицательным значением тангенса, например:

tgx = — 1.

Повторяя все сказанное выше, мы приходим к формуле:

X = п • 180е— 45%

представляющей общий вид углов, для которых тангенс равен —1. В заключение дается общее правило: если

tgx = a

и а есть главное значение угла, то общий вид углов определяется формулой

Х = п • я + а.

Общий вид углов для котангенса устанавливается таким же образом. Берутся два примера, сперва с положительным значением функции, затем с отрицательным, например:

Весь ход изложения такой же, как и в случае тангенса. Разница будет заключаться только в выборе главного значения, в случае котангенса за главное значение угла (по причинам, которые будут указаны учащимся в дальнейшем) принимается наименьший положительный угол. Таким образом, в предложенных нами примерах имеем следующие формулы:

X = л. 180°4- 60° и х*=п . 180°+ 135°

(сравнить с примером на тангенс). В заключение дается такое правило: если

ctg X = а

и л есть главное значение угла, то общий вид углов определяется формулой

Х — п* «-(-а

В случае косинуса все значения углов укладываются в две прогрессии, а не в одну. Начинаем с частного примера:

cos X = -L

Ставится требование: выписать те значения угла, для которых косинус равен половине. Появляется ряд чисел ... —1020°, —660е, —300°, 60°, 420°, 780°, 1140°...

представляющий собой арифметическую прогрессию, разность которой 360°. Но косинус угла равен половине и при л:=30и°. Соответственно этому выписывается вторая арифметическая прогрессия:

... —780°, —420°, —60°, 300, 660°, 1020е, ...

Теперь остается написать общие члены этих прогрессий. За главное значение угла в случае косинуса принимается наименьший положительный угол среди членов арифметических прогрессий. В рассматриваемом примере таким углом будет 60°, и мы имеем две формулы

хх=п -360°+-60°, х2= п. 360*— 60°.

Обе эти формулы записываются в одну

X = п . 360° de 60,

охватывающую обе арифметические прогрессии. Здесь п любое целое число (положительное, отрицательное или нуль).

В качестве второго примера возьмем отрицательное значение косинуса, например:

Здесь за главное значение угла следует взять угол в 150°.

Аналогично получаем две формулы, собранные в одну

лг=л. 360°±150°.

Таким образом, если

cos X = а

и а есть главное значение угла, то

Х = 2ш ± а.

Переходим к рассмотрению синуса. Начинаем с рассмотрения частных примеров, например:

sin X =—. 2

Значения х, удовлетворяющие этому равенству, представляют две арифметические прогрессии

.. -1050°, -690°, —330°, 30е, 390% 750°, 1110°,... ... —930°, 570°, 210% 150°, 510°, 870е, 1230°,...

Соответственно этому получим две формулы решений:

хг = п . 360°+ 30°; х2= п - 360°+ 150°.

Эти две формулы подвергаются следующим преобразованиям:

*!= 2л - 180°+ 30°; лг2= 2я . 180°+ 180°— 30°« = (2л-|-1) 180°-30°.

Числа вида 2п и 2л+ 1 (т. е. все четные и все нечетные числа) образуют всю совокупность целых чисел, и в формулы вместо них можно подставить одну какую-нибудь букву, например, ту обозначающую любое целое число. Таким образом, последние две формулы перепишутся в одну:

х = т- 180°+ (—1)т. 30*.

Само собой разумеется, что нужно заставить учащихся проверить вычислением справедливость этой формулы. Она должна дать две полученные выше арифметические прогрессии.

За главное значение угла в случае синуса принимается наименьший п о абсолютному значению угол из всевозможных значений угла, имеющих данный синус. В примере таким углом будет —45°, и все значения х, содержащиеся в формуле

X = п . 180°+ (—1)п (—45°).

Итак, если

sin X — а

и <р — главное значение угла, то X = п • п + (—1)п« <р

III

Установление понятия об обратных тригонометрических функциях производится на основании рассмотренных частных примеров. Пусть, например, дано

(7) sinx=-^—.

Учитель подчеркивает, что в предложенном примере задается значение синуса и требуется найти угол. Таким образом, аргументом является синус, а угол функцией. Эта функция, обратная по отношению к синусу, обозначается символом

(8) у=Атс sinx

Знак Arc есть сокращение латинского слова arcus — дуга. Следовательно, последнее равенство читается так: „дуга (угол), синус которой равен хи. Выражение (8) есть лишь другая форма записи утверждения

X = sin .у.

Возвращаясь к рассмотренному выше примеру (7), мы можем его сформулировать иначе: Найти Arc sin—-—, т. е.

мы имеем

Так как мы нашли, что

Дадим теперь образцы типичных примеров, подлежащих решению учащимися с целью усвоения и закрепления дальнейшего материала.

Пример 1-й: Найти Решение:

Пример 2-й: Найти Решение

Пример 3-й: Найти cosArctgl

Решение: Обозначим:

Тогда

Пример 4-й: Найти sin Arc sin хи

Решение: В силу самого определения Arc sin л: имеем sin (Arc sin х) = х.

Этот пример нуждается в растолковании. Задача требует найти синус такой дуги, синус которой есть х. Это и будет X.

Здесь мы имеем полную аналогию с примерами:

IV

Обратные тригонометрические функции многозначны.

При каждом значении аргумента обратные тригонометрические функции имеют бесчисленное множество значений, составляющих одну или две арифметические прогрессии.

Многозначность обратных тригонометрических функций хорошо показать на чертеже, воспользовавшись принципом симметричности относительно биссектрисы координатного угла прямой и обратной функций. На черт. 1 показаны графики функций sinx и Arc sin л:.

Черт. 1

Мы видели выше, что для того, чтобы иметь возможность написать формулу, охватывающую собою все значения, обратной тригонометрической функции, надо выбрать одно значение этой функции за главное.

Пусть мы имеем функцию

у = Arc sinx.

Аргументом этой функции является синус. Возьмем тригонометрический круг радиуса /?=1 (черт. 2). Тогда аргументом будет ВС = х,а функцией угол АОВ, т. е. у = / АОВ. Само собой разумеется, что функцией будет не только угол АОВ, но и вообще у = АОВ-\-2т и у /_ АОВ“-\-2пк.

Черт. 2

Аргумент X может принимать не всякое числовое значение. Он должен заключаться в пределах (9)... _1<дг+<1.

Опустим из точки В на диаметр MN перпендикуляр BD. Тогда OD = BC — x. Пусть теперь точка D перемещается по диаметру MN от крайней точки M до крайней точки N. Это будет значить, что X принимает все значения от —1 до +1 соответственно неравенствам (9). Точка В будет перемещаться по окружности, и соответственно этому будут вращаться подвижный радиус OB и угол АОВ, т. е. у будет изменяться от —— до +—. Условимся рассматривать только эти значения у, т. е. значения функции^, заключенные в границах

Значения у, удовлетворяющие условию (10), и суть те главные значения угла, о которых речь шла выше. Эти значения принято обозначать символом: у = arc sin X.

Таким образом, для х и у мы имеем такие границы их изменения

Связь между функцией Arc sin х и функцией arc sin л: такова:

Arc sin X == лтс -f- (— 1)лагс sin x.

Если бы мы для arc sin* взяли первую и вторую четверти, то функция arc sin*, во-первых, была бы неоднозначна (ВС = “ѓ иу= 1АОВ; у= /_ АОВп), и, во-вторых, мы бы не могли брать отрицательных значений х.

Рассмотрим функцию

у = arc cos je.

Возьмем тригонометрический круг радиуса R=\ (черт. 3). Здесь аргументом является отрезок ОС = х, и функцией у угол АОВ и вообще угол у -\-2nn и —у-\-2пъ. Аргумент х может изменяться лишь в границах

-l<jt<-r-l.

Этому изменению соответствует перемещение точки С по диаметру AfА от точки А' до точки А. Соответственно этому перемещению уголку будет изменяться, убывая от тг до 0. Условившись рассматривать только эти значения, мы можем написать, что у заключено в границах

0 < _у < тс.

Значения у, принадлежащие этой области, и суть те главные значения угла, о которых речь шла выше. Эти значения принято обозначать символом:

у — arc cos x.

Таким образом, для х и у мы имеем здесь следующие границы:

Возьмем тригонометрический круг и линию тангенса MN (черт. 4). Тогда

Черт. 3

Черт. 4

аргументом функции j/ = ArctgA: будет отрезок AB = х,а функцией у угол АОВ, и вообще все углы, получающиеся из последнего путем прибавления т. Как известно.тангенс принимает все действительные значения от— оодо-f-oo, т. е. — оо оо.

Если точка В соответственно этому неравенству будет передвигаться по прямой MN, то соответствующий ей луч OB будет перемещаться так, что угол АОВ, т. е. у, будет меняться от —до+“2

Условившись рассматривать только эти значения, имеем:

-1<у<+1

Значения у, определяемые последними неравенствами, и суть те значения угла, которые мы выше называли главными.

Их обозначают символом у = arc tg X

Таким образом, мы имеем

— оо < X < -f- оо

-|<arc tg*<+-2-

Связь между функциями Arc tg х и arctgx выражается формулой: Arc tg X = п • « + arc tg л:.

Наконец, нам осталось рассмотреть функцию

у «= Are ctg X

Возьмем тригонометрический круг (черт. 5).

Черт, 5.

Здесь аргументом является отрезок СВ на линии котангенса MN, так что СВ = х, функцией у угол ЛОВ. Как известно, котангенс изменяется в границах от —оо до + оо, т. е.

— оо < X < СО.

Если мы вообразим себе, что х меняется в этих границах, то соответственно этому точка В будет перемещаться по прямой MN. Связанный с ней луч OB будет описывать угол АОВ, меняющийся от тс до нуля, т. е. у определяется в данном случае границами тс > у > 0.

Это те главные значения угла, о которых речь шла выше. Они обозначаются символом

у = arc ctg X.

В некоторых учебниках главное значение функции Are ctg л: определяется так же, как и в случае функции Arctgx

-^<arc ctgx<|.

т. е. в первой и четвертой четвертях. Неверного здесь ничего нет, но это очень неудобно, так как, во-первых, здесь нет монотонного изменения функции arc ctgx, а во-вторых, функция испытывает разрыв при X = 0. Между тем при принятых нами границах для функции arc ctg х ничего этого нет, и учащемуся легко проследить ход изменения функции, когда х меняется от — с/одо + оо. Таким образом, целесообразно принять здесь следующие границы изменения функции:

-^ooO<-f 00, ic>arc ctg jc> 0.

Связь между функциями Are ctg х и arc ctg л: выражается формулой: Are ctg X = п • и -f- arc ctg х.

Учащиеся обладают теперь минимумом теоретических сведений, дающих им возможность решать большое количество примеров на обратные тригонометрические функции, во всяком случае все примеры, приведенные в задачнике Рыбкина. Задача учителя заключается в том, чтобы научить учащихся решать эти примеры методами обычной тригонометрии, не прибегая к помощи специальных формул. Дело в том, что формулы, связывающие между собой аркфункций, громоздки и часто могут быть использованы лишь в узких границах значений аргумента, причем и эти границы в каждом отдельном случае надо знать. Применение самих формул носит всегда чисто механический характер, и учащийся может ими пользоваться лишь постольку, поскольку он их помнит. Поэтому в крайнем случае даже можно согласиться с тем, чтобы ограничить обязательный минимум знаний учащихся тем, что до сих пор было изложено. Таким образом, установив понятие о главных значениях аркфункций, полезно эти понятия закрепить и углубить выполнением достаточного количества упражнений-примеров, решаемых обычными тригонометрическими методами. Дадим разработку нескольких примеров.

Пример 1-й: Найти sin 2 aresin 0,6.

Решение: Обозначаем aresin 0,Ь = а. Следовательно, нужно найти

sin 2 а шт 2 Sin а • COS а.

Мы имеем:

sin а = 0,6.

затем

COS а «=• |/ 1 — 0,62 = ОД

При выполнении последнего действия надо добиваться у учащегося объяснения, почему в данном случае берется положительное значение корня. Окончательно имеем

sin 2 вез 2 .0,6 0,8 = 0,96.

Пример 2-й: Решить уравнение

arc cos— = 2 arc tg (x — 1)

(задачник Рыбкина, § 15, № 35).

Решение: Если углы равны, то равны и косинусы этих углов:

Положим,

т. е.

отсюда

(Обратить внимание, как и в предыдущем случае, на знак радикала). Таким образом, мы приходим к уравнению

корни которого суть

Эти корни надо обязательно проверить. В рассматриваемом случае проверка корня х1 — 0 приводит к равенству

arc cos 0 = 2 arc tg(—1),

которое неверно, так как здесь мы имеем слева ~* а справа 2 • у). Второй корень х2 =—V 2 также приводит к неверному равенству

так как слева мы имеем (угол II четверти), а справа отрицательный^ угол. Проверка третьего корня хъ = ^2 приводит к верному равенству

или

Итак, предложенное уравнение имеет одно решение: x = föt

VI

Перейдем теперь к рассмотрению других вопросов, относящихся к теорий обратных тригонометрических функций, которые могут быть изложены в средней школе. Мы их разобьем на две группы. В первую группу мы отнесем вопросы, которые при нормальных условиях обязательны для усвоения учащимися. Во вторую группу отнесем вопросы, рекомендуемые к прохождению в средней школе лишь при благоприятных условиях.

Первая группа вопросов. Обычно вывод формул, относящихся к теории аркфункций,производится только аналитически, т. е. путем формального преобразования соответствующих выражений. Благодаря этому учащиеся усваивают аркфункций тоже лишь формально. Даже на такой простой вопрос, неизменно задаваемый нами на выпускных испытаниях: что является аргументом функции arc sin л:, где на чертеже находится эта функция, не всегда дается правильный ответ. На первый вопрос обычно отвечают: что аргументом функции arc sin л; является sin х%, а на второй вопрос вообще никак не отвечают. Между тем выводы формул могут быть сделаны также и геометрическим путем. Геометрический способ вывода этих формул существенно конкретизирует в представлении учащихся сущность аркфункций. Ниже мы будем все формулы выводить как аналитически, так и геометрически.

Изменение знака аргумента аркфункций. Докажем, что

arc sin (— х) в — arc sin xj

Аналитическое доказательство : Обозначим

arc Sin(— X) = a;

имеем

Так как а потому

Таким образом,

Геометрическое доказательство (черт. 6). На чертеже, где изображена окружность радиуса R—Ï, имеем:

СВ = х; СВ' = —х

Черт. 6

^ АОВ = arc sin х; £ АОВ' = arc sin (-х) а ВОС = л В'ОС.

Следовательно,

arc sin (— х) = — arc sin х.

Докажем, что

arc cos (—х) = тс — arc cos х.

Аналитическое доказательств о :

arc cos (— х) = а.

Имеем

COS а = — Ху — COS а = А', COSi тс — а) = X.

Имеем 0 <а <тс, a потому 0 < тс — а < я и следовательно,

к — а «= arc COS X а = тс arc cos л* arc cos(— х) = тс — arc cos х.

Геометрическое доказательство (черт. 7):

Черт. 7

Совершенно аналогично доказывается, что

arc tg (— jr) = — arc tg x arc ctg (— x) = к — arc ctg x

Докажем теперь справедливость тождества

причем сперва будем считать, что х > 0.

Аналитическое доказательство. Возьмем синус угла

Приняв во внимание, что

получим

Вторая формула доказывается таким же образом.

Геометрическое доказательство:

1) для суммы arc sin x -f- arc cos x (черт, 8, R = I):

Черт. 8

Отсюда

arc sin *-f-arc cos x = у

В случае отрицательного аргумента имеем:

Последний вывод может быть сделан и геометрическим путем.

2) В случае функции arctgx имеем (черт. 9; R = 1):

Черт. 9

Этот вывод может быть распространен и на отрицательные значения аргумента.

Вторая группа вопросов. Во второй группе вопросов устанавливается взаимная зависимость между каждыми двумя аркфункциями, а также даются формулы для сумм этих функций.

Рассмотрим в качестве примера вывод формул, связывающих функцию arc sin x с функциями arc cos xt arctgx и arc ctg x.

Аналитический вывод: будем считать, что х>0.

имеем:

Отсюда

и аналогично

(Спросить у учащихся про знак радикала.) Окончательно имеем

Применение этих формул требует осторожности. Равенство

справедливо только при неотрицательном значении аргумента. Равенство

справедливо при любых значениях х9 в границах: —1 <х<1.

Геометрический вывод (черт, 10). На чертеже мы имеем:

R = 1, ВС = х\ £ АОВ = arc sin л:.

Черт. 10.

Из прямоугольного треугольника СОВ следует, что ОС = |/ \ _ хК

Но ОС есть аргумент для / АОВ, если этот последний рассматривать как арккосинус

Затем Д AOD оо д ВОС. Отсюда

или

Следовательно,

Но AD есть аргумент для угла АОВ, если последний рассматривать как арктангенс. Отсюда:

Мы не будем выводить остальных формул, так как все делается здесь по шаблону, да и вряд ли есть необходимость, чтобы учащийся знал все эти формулы. Достаточно будет также показать ему на большом количестве примеров, решенных } же раньше обычными средствами тригонометрии, применение этих нескольких выведенных формул.

Формулу преобразования arc sin X -f- arc s\ny и другие аналогичные в средней школе не стоит рассматривать,так как они сложны, а некоторые из них требуют видоизменения в зависимости от величины суммы слагаемых.

VII

Итак, мы рассмотрели тему о аркфункциях с точки зрения преподавания ее в средней школе, причем мы определили минимум тех сведений, которые должны быть даны в школе при неблагоприятных условиях и при благоприятной обстановке.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ И ИХ ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ РОЛЬ

В. Л. МИНКОВСКИЙ (г. Шадринск)

Основные понятия и краткие исторические сведения

„Доказательство“, направленное на формально логическое установление абсурдного положения, носит название софизма. Раскрыть софизм — это значит указать ошибку в рассуждении, с помощью которой была создана внешняя видимость доказательства. Осознание ошибки обычно достигается противопоставлением ложному рассуждению истинного.

В основном математические софизмы строятся на неверном словоупотреблении, на неточности формулировок, очень часто на забвении условий применимости теорем, на скрытом выполнении запрещенных действий, на незаконных обобщениях, особенно при переходе от конечного числа объектов к бесконечному, и на маскировке ошибочных рассуждений или постулатов с помощью геометрической „очевидности“.

Обычно принято распределять математические софизмы по тем предметам, к которым относится содержание софистической „истины“. Этой чисто внешней классификации естественно противопоставляется методическая, основанная на объединении софизмов по общности характера допускаемых в них ошибок. С указанной точки зрения известный софизм „Сумма оснований любой трапеции равна нулю“, как основанный на делении нуля на нуль, следует считать не геометрическим, а алгебраическим. Подобная методическая классификация вполне себя оправдывает в практике преподавательской работы, так как она систематизирует разнообразный математический материал, относящийся к уяснению определенного вида ошибки.

Математический софизм тем более совершенен, чем более тонкого характера проводимая в нем логическая ошибка, чем менее она предупреждена обычным школьным изложением предмета и чем искуснее она замаскирована неточностями внешнего выражения. С целью маскировки усложняют завязку софизма, т. е. формулируют такое положение, в процессе доказательства которого приходится использовать несколько истинных математических утверждений, способствующих отвлечению усилий ищущих ошибку на ложный путь. В некоторых софизмах достижению подобного отвлечения удачно содействует оптическая иллюзия.

Само слово софизм (sôphisma) греческого происхождения и в переводе означает хитроумную выдумку, ухищрение или головоломку.

Одним из ярких представителей софистики является Зенон Элейский, живший в V в. (495—435) до н. э. Диоген Лаэрций свидетельствует, что Зенон обладал необыкновенным даром красноречия, написал произведения, выявляющие его исключительный ум и глубокую ученость, и приобрел известность в философии и политике. Свидетельство Диогена существенно подкрепляется тем фактом, что наибольшее число исключительно остроумных софизмов дошло до нас от Зенона.

Зенон был талантливым противником теории бесконечной делимости континуумов. Свои скептические взгляды он подкреплял так называемыми апагогическими доказательствами, т. е. методом приведения к абсурду.

„Есть четыре рассуждения Зенона о движении („дихотомия“, „Ахиллес и черепаха“, „стрела“ и „ристалище“— В. УН),—говорит Аристотель,— доставляющие большие затруднения тем, которые хотят их разрешить“1. „Второе,— продолжает Аристотель,—так называемый Ахиллес. Оно заключается в том, что существо, более медленное в беге, никогда не будет настигнуто самым быстрым, ибо преследующему необходимо раньше придти в место, откуда уже двинулось убегающее, так что более медленное всегда имеет некоторое преимущество“2.

Математической основой приведенного софизма является интуитивное отождествление суммы бесконечного множества членов с бесконечно большой величиной, хотя на самом деле речь идет лишь о сумме бесконечно убы-

1 Аристотель, Физика. Пер. В. П. Карпова. М. 1939, стр. 119.

2 Там же.

вающей геометрической прогрессии l + ±+(±Y+(±\> + .„9 равной дроби где п указывает, во сколько раз Ахиллес двигается быстрее черепахи.

В истории развития науки математические софизмы играли существенную роль: они способствовали усилению требований содержательного анализа и строгого доказательства и приводили к длительному отказу от использования тех понятий и методов, которые не были еще доступны для строгой логической обработки. Отсюда понятен рано возникший интерес к изучению и систематизации заведомо ложных доказательств. До нас дошли свидетельства, что первый сборник таких ошибочных рассуждений в области геометрии был составлен еще в III в. до н. э. автором „Начал“ Эвклидом из Александрии1.

В России литература, посвященная математическим софизмам, начинает издаваться с последней четверти XIX в. В 1883 г. глава известного петербургского книгоиздательства Ф. Павленков, выпуская перевод „Математических развлечений“ Э. Люкаса, писал: „Желание выпустить ее (книгу Люкаса.- В. М.) в свет возможно скорее заставило меня на первых порах ограничиться простым ее переводом, хотя я и сознавал, что она выиграла бы от прибавления к ней нескольких новых отделов, каковы, например: кастеты, различного рода конкретные геометрические задачи, так называемые „японские фокусы“ (высвобождение колец из замкнутых проволочных фигур), наглядные несообразности в тенях и особенно математические парадоксы с точными на вид доказательствами таких абсурдов, как 2=3, часть более всего целого, ломаная линия короче прямой, возможность двух перпендикуляров в одной плоскости к одной и той же линии и т. д.2 Далее издатель указывал, что составление книги математических софизмов будет в ближайшее время осуществлено переводчиком книги Люкаса, бывшим учителем математики Екатеринбургской гимназии, В. И. Обреимовым. Одновременно переводчик и издатель обращались с просьбой к читателям присылать материалы для проектируемых дополнений, в особенности по части математических парадоксов, не имеющих на русском языке ни одного сборника, но повсеместно распространенных между юными математиками, которых они всегда живо интересуют3.

В 1884 г. книга Обреимова, представляющая довольно полный сборник разнообразных математических софизмов, увидела свет. При составлении своей книги автор использовал материалы о математических ошибках журналов Жерона и Лиувилля и брошюры И. Виола „Математические софизмы“ (18 упражнений). Русский перевод 2-го издания (Вена, 1865 г.) брошюры Виола, сделанный неким А. Н., был издан в конце 1883 г. типографией Московского университета. В 1889 г. появилось новое издание книги Обреимова.

Значительное усиление педагогического интереса к математическим софизмам наблюдается в России в начале 2-го десятилетия XX в. в связи с т. н. реформистским движением в области преподавания математики и Всероссийскими съездами учителей. К этому периоду относится издание книг А. А. Лямина „Математические парадоксы и интересные задачи“ (М., 1911), Н. Аменицкого „Математические развлечения и любопытные приемы мышления“ (М., 1912), М. С. Лянченкова „Математическая хрестоматия“ (СПБ., 1912), переводов книг Шуберта ,Математические развлечения и игры“ (Одесса, 1911), Фурре „Геометрические головоломки“ (Одесса, 1912) и других

В настоящее время, когда обращено особое внимание на изыскание путей воспитания логического мышления учащихся и достигнуто принципиальное разрешение вопроса о включении логики в школьный курс обучения, наблюдается повышенный интерес преподавателей математики к материалу математических софизмов, как к наиболее им близкой категории логических ошибок.

1 Ф. Кэджори, История элементарной математики. Одесса, 1910, стр. 79.

2 Э. Люкас Математические развлечения, Пер. с фр. В. И. Обреимова. СПБ., 1883. От издателя.

3 Там же.

О целях введения софизмов в школьное преподавание математики

Начнем с обзора мнений, высказанных по этому вопросу в нашей методической литературе последних лет.

„Желая повысить интерес учащихся к математике, вызвать активное отношение к работе и внести некоторое разнообразие в программный материал, я, —рассказывает А. К. Харчева,—приступила с ноября 1934 г. к использованию математических софизмов в школьной практике“1.

„Вначале,—сообщает П. П. Кузнецов,—надо было заинтересовать учащихся математикой, и кружок начал свою работу с занимательных задач, софизмов, парадоксов, как, например: „2X2=100“; „2X2=5“; „всякая хорда равна диаметру“; „расстояние от земли до солнца равно 1 м.“; „сумма оснований трапеции равна нулю“; „из точки вне прямой можно опустить на эту прямую два перпендикуляра“; „длины всех окружностей равны“; „в окружности могут быть два центра“ и мн. др.“2

В приведенных высказываниях о целях введения софизмов в школьный курс математики на первый план выдвигаются второстепенные черты. Основная же цель введения софизмов в школу, заключающаяся в приобщении к критическому мышлению, к умению не только воспроизводить определенные логические схемы, определенные мыслительные процессы, но и критически осмысливать каждый этап рассуждения в соответствии с усвоенными принципами математической логики и вычислительной практики, не формулируется.

Математические софизмы заставляют особенно внимательно, с большой настороженностью прочитывать их тексты, тщательно следить за наличием должной точности в формулировках и записях, за соблюдением всех условий применимости теорем, за отсутствием незаконных обобщений, запрещенных действий, ссылок на кажущиеся свойства фигур и вспомогательных построений. Все эти моменты ценны в методическом отношении, так как они направлены на содержательное усвоение предмета, противопоставляемое формальному, для которого „характерно неправомерное доминирование в сознании и памяти учащихся привычного внешнего (словесного, символического или образного) выражения математического факта над содержанием этого факта“3.

Прочность же усвоения математического факта значительно повышается внесением элемента эмоции в восприятие, вызываемой абсурдным утверждением формулировки софизма.

Математические софизмы, предлагаемые вниманию учащихся, должны, как правило, использоваться не для предупреждения ошибок, а для проверки степени сознательности усвоения и закрепления определенного материала. На этом положении базируется практика работы наших лучших учителей математики, использующих в некотором объеме материал софизмов на заключительном этапе упражнений по разделу и при повторении.

Ошибки же учащихся педагог предупреждает путем всестороннего рассмотрения изучаемых понятий в классе. Хорошее знание самим педагогом материала математических софизмов способствует лучшему достижению этой цели.

В арсенале задач вдумчивого педагога находят себе должное место вопросы:

1. Определить смысл знака V (V обозначает один из символов <,>,=) в соотношении 2а V а, положив а равным:

я) lg у, б) lgcosa, где 0 <а < 90°, и сделать обобщение.

2. Когда— равно единице?

3. Из равенства (а — Ь)2 = (т — п)г можно ли заключить, что а — Ь~т — п?

4. При всех ли значениях х и у имеет место формула:

1 В. М. Брадис и А. К. Харчева, Ошибки в математических рассуждениях М. 1938, стр. 136.

2 Ст. .6 лет работы математического кружка“ в журн. „Математика в школе“ за 1940 г. № 4, стр. “58.

3 А. Я. Хинчин, О формализме в школьном преподавании математики. „Советская педагогика“, №№ 11—12. 1944, стр. 22.

5. При каких значениях х теряют смысл выражения:

Американский психолог Э. Л. Торндайк считает, что подобная работа педагога со своими учениками ценнее работы по изучению математических софизмов, и на этом основании советует, хотя и не без расплывчатых оговорок, исключить их из школьного преподавания математики1. Хотя точка зрения Торндайка нами воспринимается как выражение односторонней крайности, однако считаем нужным подчеркнуть, что при введении математических софизмов в школу надо быть весьма осторожным. Дело в том, что при первом изучении того или иного раздела математики у ребенка, не имеющего надежной опоры в логике, нет и основательных знаний: он овладевает только первоначальными наглядными понятиями. При таком состоянии познаний и развития ученика для него часто оказывается недоступным раскрытие софизма, хотя бы хорошо и тщательно объясненного. Всякий же не осознанный до конца софизм опасен, потому что внушает смущение и сомнение в пользовании усвоенными основами предмета, а „нет ничего опаснее долгого пребывания в уме темной мысли: от нее всегда останется некоторый след даже после того, как она выяснится“2. К осторожному введению софизмов призывает и факт неполной доказательности школьного курса математики (наличие выводов, установленных методом неполной индукции, „геометрических доказательств“ аналитических утверждений в тригонометрии и т. п.), и то, что для некоторых умов (даже философских!) язык логики бессилен нейтрализовать действие, производимое созерцанием чертежа. История математических знаний и литературы предоставляет нам многочисленные примеры, свидетельствующие, как жертвой непреднамеренно ложных выводов в силу исторической ограниченности или недосмотра делались великие мужи науки.

Примерная программа школьных кружков по изучению ошибок в математических рассуждениях

Сборники математических софизмов, которых выпущено сравнительно много, требуют от педагога умения критически отнестись к их содержанию и выбрать материал, ценный для школы. Сравнительно удачную попытку осуществления такого подбора материала, связанного с учебным и ориентированного на кружковую работу с хорошо успевающими учащимися данного года обучения, предлагает Л. В. Федорович в своей интересной статье „Внеклассная работа по математике“3.

Приводим предлагаемую Л. В. Федорович примерную программу изучения ошибок в математических рассуждениях, которую, в интересах краткости и удобства изучения вопроса, мы несколько искусственно отрываем от связанного с ним теоретического и исторического материала и в скобках указываем соответствующие страницы книги Брадиса и Харчевой „Ошибки в математических рассуждениях“ (М., 1938):

VI класс: 1. Исторические сведения о софизмах. 2. Раскрытие софизма» 1=2*. 3. „Прямой угол равен острому“. 4. „Из точки на прямую можно опустить 2 перпендикуляра“ (81). 5. „Всякое число равно удвоенной своей величине“ (18). 6. „Любые два числа равны друг другу“ (19).

VII класс: 1. Деление нуля на нуль (21). 2. „Внешний угол треугольника равен внутреннему с ним не смежному“ (76).

VIII класс: 1. „64 кв. см =65 кв. см“ (74) 2. „Окружность имеет 2 центра“ (77). 3. „Произвольное число а равно 1“ (22). 4. Чему равен корень квадратный из числа а2? (27).

IX класс: 1. Всегда ли а°=1? (62). 2. „Во всякой окружности есть хорда, не проходящая через центр, но равная диаметру“ (73). 3. „Две окружности разного диаметра имеют одну и ту же

1 Э. Л. Торндайк, Вопросы преподавания алгебры. М., 1934, стр. 79 - 80.

2 Этот вывод сделан французским ученым Дюгамелем на основании почти полувековою опыта преподавания математики и высказан в предисловии (стp. II) к его работе „Приложение методов умозрительных наук к науке о числах“. СПБ, 1877.

3 Журнал .Математика в школе“, 1940, № 4, стр. 46—48. См. также изложение доклада Л. Федорович на эту тему в „Материалах совещания преподавателей математики средней школы“. М.,1935, стр. 134-138.

длину“ (92). 4. „Ахиллес и черепаха“ (69). 5. „Сумма бесконечного числа нулей есть единица“ (63). 6. „Длина полуокружности равна диаметру“. 7. „Объемлемая равна объемлющей“ (83). 8. Осторожнее с бесконечно большими значениями (120).

X класс: „Мнимая и действительная отрицательная единица равны“ (38).

Исходя из убеждения, что компетентное решение вопроса о принципах отбора материала для школы может быть найдено лишь на основе экспериментальной проверки и широкого обсуждения усилиями многих методистов и преподавателей, мы переходим к изложению наших соображений.

1. Целесообразно использовать иллюстрацию ошибок в математических рассуждениях для таких вопросов, самая сущность которых требует указания, какие преобразования или действия производить незаконно. В качестве простого примера подобного вопроса назовем тройное правило, которое легко усваивается учениками и вызывает у них стремление к широкому его применению. Однако, как известно, правило это далеко не всегда действует, и для решения многих задач надо обладать некоторыми специальными сведениями. „Но получается,— пишет Оливер Лодж,— такое впечатление, что целые поколения учителей по молчаливому соглашению отвергли все эти задачи без разбора и исключили их совсем из арифметического рассмотрения“1. Между тем эти задачи должны найти себе место в курсе арифметики для правильного установления области приме нимости простой пропорции.

Приводим несколько примеров, которые часто называют каверзными или софистическими:

№ 1. „Двое пошли— пять гвоздей нашли. Четверо пойдут — много ли найдут?“ (А. Б. Ланков, Математика в трудовой школе. М., 1925, стр. 66)

№ 2. „Если 2 петуха могут разбудить одного человека, то сколько могут разбудить 6 петухов?“ (Лодж, Легкая математика, стр. 109).

№ 3. „Если верблюд может выдержать ношу в 5 центнеров в течение 6 часов, то в течение какого времени он может выдержать ношу в 10 тонн?“ (Там же).

Дальнейшие примеры смотреть в книге Брадиса и Харчевой „Ошибки в математических рассуждениях“.

2. Следует включить в приведенную программу ценные в методическом отношении софизмы, связанные с рассмотрением приближенных вычислений, хорошо и оригинально представленные В. М. Брадисом в книге „Ошибки в математических рассуждениях“.

3. В литературе нам не приходилось встречать софизмов, ориентирующихся на пространственные представления учащихся. Желая восполнить этот пробел, мы предлагали своим учащимся стереометрические варианты некоторых софизмов.

Пример: ,,Прямой угол равен тупому“.

Пусть имеем четырехугольник ABCD (черт. 1), у которого сторона DA образует со стороной AB прямой угол и равна стороне ВС9 образующей с AB тупой угол. Строя этот четырехугольник, примем во внимание правила изображения на плоскости чертежа плоских фигур, расположенных в горизонтальной плоскости.

Черт. 1

Восставим из середины стороны AB перпендикуляр к плоскости основания, а из середины стороны DC перпендикуляр к этой прямой, пересекающий перпендикуляр к AB в некоторой точке S. Соединим эту точку с точками А, В9 С и D.

Из прямой теоремы о трех перпендикулярах (прямая, перпендикулярная к проекции наклонной, перпендикулярна к самой наклонной) легко усмотреть, что AD± SA. На основании же теоремы о двух перпендикулярах заключаем о перпендикулярности AD к плоскости

1 „Легкая математика“ М., 1909, стр. 109.

SAB. Плоскость SAD как проходящая через AD перпендикулярна к плоскости SAB, а потому двугранный угол при ребре SA — прямой.

Из равенства треугольников SAD и SBC имеем: l_SAD=[_SBC. Применяя обратную теорему о трех перпендикулярах и теорему о двух перпендикулярах, утверждаем, что ВС перпендикулярна к плоскости SBA, и, следовательно, плоскость SBC перпендикулярна к плоскости SBA, откуда двугранный угол SB — прямой.

Итак, трехгранные углы SDAE и SCBE равны, как имеющие по равному двугранному углу (SA и SB), заключенному между двумя соответственно равными и одинаково расположенными плоскими углами ([_SAD = l_SBC и L.SAB = = L-SBA.) Но в равных многогранных углах соответственные плоские углы равны, а потому \_DAB=- |_Л£С, т. е. прямой угол равен тупому, что и требовалось доказать.

Разъяснение. При использованном построении l\DSC является равнобедренным, что приводит к противоречию, так как при. равенстве наклонных SD и SC их проекции DE и СЕ оказываются неравными, что видно из рассмотрения &UAE и l\CBE-(AE = EB, AD = BC, но DE<C СЕ, так как/Л</5). Отсюда вывод, что прямые SF и SE не могут иметь общей точки.

Примечание. Наличие ошибки легко устанавливается в процессе доказательства плохо скрытым противоречием с условием теоремы. Однако отыскание причины ее возникновения затрудняет учащихся, склонных разыскивать ошибку в формулировке и применении важнейших теорем.

4. При раскрытии некоторых видов математических софизмов для лучшего уяснения допущенной логической ошибки весьма полезно представление их в силлогистической форме и сопоставление с аналогичными ложными умозаключениями, относящимися к объектам так называемой повседневной жизни.

Конкретизируем это положение на примере.

Квадраты равных чисел равны

Близнецы — родные.

Квадраты чисел а и b равны

Брат и сестра родные

Вывод: а = b

Вывод: Брат и сестра - близнецы.

Указание на ошибку: числа а и b могут быть и неравными.

Указание на ошибку: брат и сестра могут и не быть близнецами

Обращаем внимание читателей, что при построении примера для сопоставления обычно допускается логическая ошибка.

Птица — животное.

Два равных числа имеют равные квадраты.

Лошадь — животное. Следовательно: лошадь есть птица

Эти два числа имеют равные квадраты. Следовательно: эти два числа равны1

Здесь упускается из внимания, что для ,,этих двух чисел“ не исключено соотношение равенства, в то время как возможность включения лошади в число представителей пернатого мира исключена.

5. Следует исключить из программы софизм IX, 2 (1=0; римская цифра означает класс, арабская — номер занятия. См. ст. тов. Федорович). В формулировке этого „софизма“ отсутствует элемент софистики, так как нет основания утверждать, что 0Х°°есть 0: перед нами символическое изображение произведения бесконечно малой величины на величину бесконечно большую.

6. Вызывает возражение использование задачи IX. 4. Ее неверное решение основано на допущении ошибок, совершить которые не придет в голову ни одному ученику, если последнего мало-мальски сносно учат (см., например, § 55 курса тригонометрии А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника). Для правильного же решения поставленной задачи, заключающейся в нахождении предела отношения двух бесконечно больших величин

ученик средней школы должен использовать отсутствующие у него знания:

Ilm (cos а) =* cos (lima) и Hm sina ^ a-+Q а 0 а-*0

7. Исключительно ценен по своему идейно-образовательному значению софизм VIII, 3, основанный на существовании порога точности чувственных восприятий. Однако ограничение вопроса рассмотрением одного частного случая (.,64—65“) не вполне достигает цели. Обобщенная трактовка этого софизма,

1 Е. И. Игнатьев. В царстве смекалки, Кн. 2-я. СПБ., 1909, стр. 141.

привлекающая теорию непрерывных дробей, изложена Игнатьевым1. Методическая обработка этого вопроса для кружковых занятий учащихся VIII—X классов, предполагающая предварительное ознакомление с софизмом „64=65“, изложена ниже.

Рассмотрим 3 чертежа, изображающие фигуры, составленные из одних и тех же кусков, а именно: двух равных трапеций и двух равных треугольников (черт. 2, 3 и 4).

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

Обозначив площадь каждой фигуры буквой 5 с соответствующим индексом, запишем следующие очевидные равенств:

Установим условие, при котором будет справедливо равенство:

Sl=S2=S3 (1)

Для этого найдем разности:

Итак, соотношение (1) будет иметь место при выполнении равенства х2— ху - у2 = 0(2). Решим это уравнение относительно х:

Произведя выбор знака, определим отношение х к у:

Соотношение (3) указывает, что х и у— несоизмеримые отрезки, т. е. по крайней мере один из них выражается иррациональным числом. Отсюда приходим к мысли, что если взять числа х и у рациональными, в частности целыми, но такими, чтобы их отношение подходило к величине дроби-^—с определенной степенью точности, то при переложении частей фигуры восприятие различия в направлениях отрезков, используемых для составления прямой, останется за порогом возможностей нашего зрения.

Прежде всего обратим внимание на свойство функции F(x,y) =х2 — ху— у2) выражающееся в том, что F{xly) — — — F(x-{-ytx). В самом деле,

Установленная закономерность позволяет указать такие последовательные

1 Е. И. Игнатьев, В царстве смекалки. Кн. 2-я, СПБ, 1909, стр. 163—167.

целочисленные значения аргумента, которые не меняют абсолютной величины значения функции.

Таблица содержит последовательные пары целых неотрицательных значений x и у% для которых абсолютные величины разностей (S2 —SJ, (S, — Sx) и (S3 —S2) равны единице.

Закон ее составления весьма прост:

fï+imXh ** + t—^+Л. где /= 1, 2, 3,...

Для достижения должной иллюзии при перекладывании фигур следует брать значения таблицы, начиная с шестой строки. Беря за х и у соответственно 5 и 3, получаем приближение к иррациональной дроби , разнящееся в сотых долях единицы, беря 21 и 13 — в тысячных и далее со все возрастающей степенью точности.

ОБ ИЗМЕНЕНИИ ПРОГРАММЫ ПО АРИФМЕТИКЕ В V КЛАССЕ СЕМИЛЕТНЕЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

С. В. ФИЛИЧЕВ (Москва)

В связи с сокращением программы по арифметике в начальной школе Управление начальных и средних школ Министерства просвещения РСФСР указало руководствоваться на 1946/47 учебный год в V классе по арифметике следующей программой:

I. Повторение (20 часов). Повторяются; четыре действия с многозначными числами, законы действий, скобки и порядок действий. Повторение сопровождается решением задач (в том числе и типовых).

II. Делимость чисел (22 часа). Признаки делимости на 10, 2, 5, 100, 4, 25, 9, 3. Числа простые и составные. Разложение чисел на простые множители. Числа взаимно простые. Наибольший общий делитель; нахождение его способом разложения на простые множители. Наименьшее общее кратное, нахождение его способом разложения на простые множители.

III. Образование и преобразование дробей (18 часов). Обыкновенная дробь. Дробь правильная и неправильная. Исключение целого числа из неправильной дроби. Обращение целого или смешанного числа в неправильную дробь. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей по величине.

IV. Сложение и вычитание обыкновенных дробей и смешанных чисел (15 часов). Сложение дробных чисел. Свойства суммы дробных чисел. Вычитание дробных чисел. Изменение разности дробных чисел.

V. Умножение и деление обыкновенных дробей (65 часов). Умножение дроби на целое число. Нахождение дроби числа. Умножение целого числа, дроби и смешанного числа на дробь. Деление дроби на целое число. Нахождение числа па данной его дроби. Деление на дробь целого числа, дроби и смешанного числа. Числа взаимно обратные. Основные свойства умножения дробных чисел. Изменение частного с изменением данных дробных чисел. Отношение двух чисел. Замена отношения дробных чисел отношением целых чисел.

VI. Десятичные дроби (60 часов). Десятичная дробь, ее знаменатель Сокращение десятичной дроби и приведе-

ние десятичных дробей к общему знаменателю. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. Четыре действия над десятичными дробями. Запись десятичной дроби в виде обыкновенной. Обращение обыкновенной дроби в десятичную (конечную и бесконечную). Понятие о периодической дроби. Округление данных и результатов действий.

Программу следует приветствовать. Только на прохождение процентов, пропорционального деления и т. д. в VI классе в 1947/48 учебном году желательно выделить не 1 час в неделю, а два.

Изучение арифметики — длительный процесс, требующий сознательного усвоения теории и приобретения навыков. На все это отводилось впоследние годы лишь пять лет. Пяти лет было мало, в особенности, когда пятый класс был перегружен учебным материалом по арифметике. Перегрузка арифметического материала в V классе была одной из причин не совсем удовлетворительной постановки преподавания арифметики в средней школе.

Занимаясь же арифметикой в течение шести лет и систематически повторяя ее в старших классах, школа имеет все данные выпускать учащихся с должной арифметической грамотностью.

На что надо обратить внимание теперь в первую очередь при изучении арифметики в V классе?

Основное содержание программы V класса по арифметике—обыкновенные и десятичные дроби. Учащихся V класса необходимо научить сознательно, быстро и наиболее рационально производить действия с целыми и дробными числами и уменью применять знания к решению задач.

Арифметика в V классе начинается с повторения целых чисел. На повторение арифметики целых чисел рекомендуется примерно не менее 20 часов. Это повторение должно систематизировать знания учащихся.

При повторении целых чисел надо остановиться на следующих разделах:

1. Нумерация многозначных чисел. Необходимо дать ученикам представление о величине миллиона, миллиарда и триллиона на конкретных примерах.

Учащиеся должны отчетливо знать: какие цифры называются значащими; значение цифры изменяется в зависимости от места, которое она занимает; счетные единицы объединяются в классы, в которые входят по три разряда; число, записанное одной цифрой, называется однозначным и т. д. Полезно дать понятие о других системах счисления.

2. Сложение и вычитание многозначных чисел. При повторении письменного вычитания остановиться на тех случаях, когда в уменьшаемом встречаются нули. При повторении сложения в первую очередь необходимо привести в ясность основные свойства сложения. Учащиеся должны сознательно пользоваться переместительным и сочетательным законами сложения.

Зависимость между слагаемыми и суммой, изменение суммы, зависимость между уменьшаемым, вычитаемым и разностью, изменение разности и т. д. повторяются на решении задач и примеров (в особенности с „х“).

3. Умножение и деление многозначных чисел. При повторении письменного умножения и деления многозначных чисел следует остановиться: на умножении на число с нулями в середине; на умножении, когда оба сомножителя оканчиваются нулями; на делении с нулями в частном; на делении с остатком без нулей и с нулями в частном. На примерах довести до ясного понимания переместительный, сочетательный и распределительный законы умножения. Учащиеся должны уметь пользоваться на практике законами умножения.

Зависимость между сомножителями и произведением, изменение произведения, зависимость между делимым, делителем и частным, изменение частного повторяются на конкретных примерах.

4. Порядок действий. Скобки. Повторение целых чисел заканчивается сообщением сведений об общепринятом порядке выполнения действий и об условиях употребления скобок.

Около половины всего времени, отведенного в школе на изучение арифметики, должно быть посвящено решению арифметических задач.

Общеобразовательное значение арифметики и заключается в умении решать

арифметические задачи, в том числе и типовые, решаемые особыми приемами. При решении арифметических задач развивается математическое мышление учащихся, их сообразительность и т. д.

При повторении целых чисел необходимо проверить, умеют ли учащиеся решать простые задачи, выясняющие понимание зависимости между величинами и правильное применение каждого арифметического действия. При решении составных задач учащиеся должны уметь самостоятельно составлять план решения задачи, правильно, без вычислительных ошибок записать решение. При решении составных задач следует чаще пользоваться аналитико-синтетическим приемом. Учащийся должен вполне самостоятельно давать связное изложение всего хода решения: „чтобы решить данную задачу, узнаем сначала____; потом узнаем..., затем узнаем... и т. д.“.

Запись решения ведется также с объяснением.

Формы записи решения задачи могут быть различные. Изредка целесообразно практиковать письменное объяснение решаемой задачи и проверку решения. В план повторения решения задач по разделу целых чисел из типовых задач можно взять:

I. Примеры с »ха9 задачи на зависимость между элементами действий и изменение результата действий от изменения данных (из задачника Березанской №№ 89, 90, 102, 331, 344 и др.).

II. Задачи на вычисление среднего арифметического. Сюда относятся и задачи на смешение и сплавы первого рода (из задачника Березанской №№ 375, 376, 377, 378 и др.).

III. Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности (№№ 402, 403, 404 и др.).

IV. Задачи на нахождение двух чисел по их отношению и сумме или разности (№№ 421, 423, 428, 436, 441 и др.).

V. Задачи на пропорциональное деление (№№ 418, 419, 443 и др.).

VI. Задачи, в которых для отыскания неизвестной величины необходимо предварительно найти разность данных величин; задачи на исключение неизвестного при помощи вычитания; задачи на уравнивание данных, на замену данных и смешение второго рода (№№ 454, 455, 458, 464, 467, 469, 475, 476 и др.;.

По тематике задачи должны быть различного содержания, и в частности на движение (№№ 210,389, 390 и др.), совместную работу, бассейны (№№ 208, 209, 250, 344 и др.), смешение (№№ 478, 379, 380 и др.) и т. п.

При изучении обыкновенных и десятичных дробей указанные типы снова решаются, но только с дробными данными.

При изучении обыкновенных и десятичных дробей уделяется большое внимание технике производства действий с дробными числами.

При выработке навыков в производстве действий над обыкновенными и десятичными дробями необходимо уделять должное внимание и теории.

При производстве действий над дробями учащиеся встречаются со множеством правил. Необходимо, чтобы все эти правила были осознаны учащимися, а не заучены формально, механически.

Во-первых, ученики должны отчетливо понимать смысл умножения и деления на дробь, понимать и твердо знать, что при умножении числа на правильную дробь в результате получается число, меньшее множимого, а при делении числа на правильную дробь в результате получается число, большее делимого. Правила действий с десятичными дробями должны обстоятельно объясняться.

При решении задач выясняются и приемы их решения: метод приведения к единице, метод отношений, метод замены, метод исключения неизвестного и др.

К концу учебного года учащиеся V класса должны уметь мотивированно и логически стройно объяснять ход решения задачи и каждого действия. Например, при решении задачи: „Три тракториста вспахали поле, первый вспахал Vu всего поля, второй в 272 раза больше, чем первый, а остальные 12,5 га вспахал третий. Сколько всего гектаров вспахали трактористы?“ ученик составляет примерный план решения в такой форме: „Чтобы решить данную задачу, узнаем сначала, какую часть поля вспахал второй тракторист; потом узнаем, какую часть поля вспахали первый и второй трактористы вместе;

затем узнаем, какую часть поля вспахал третий и т. д.“

При записи решения учащийся объясняет: „Чтобы узнать, какую часть поля вспахал второй тракторист, надо все поле принять за единицу, а затем вычислить — X 2г/2. так как первый тракторист вспахал — единицы, а второй в 2112 раза больше. Чтобы умножить дробь на смешанное число, обращаем смешанное число в неправильную дробь и т. д.а.

Для выработки у учащихся твердых вычислительных навыков в действиях над обыкновенными и десятичными дробями, необходимо решить достаточное число примеров в несколько действий, в том числе содержащих „х“.

Решение примеров следует сопровождать правильным расположением записей, объяснением порядка действий и самого вычисления,

Так, решая пример:

учащийся сперва рассказывает порядок действий: „Чтобы вычислить результат в данном примере, сначала найдем частное чисел 8- и 5, от полученного частного отнимем произведение чисел у и потом найдем произведение чисел 7 - и б- и к произведению прибавим i—. Разность, полученную в числителе, разделим на сумму, полученную в знаменателе. Вычисления сопровождаются объяснением: „Чтобы разделить 8- на 5, надо смешанное число 8- обратить в неправильную дробь 25/3 и разделить ее на целое число и т. д.

Для усвоения законов действий и следствий из них полезно, чтобы учащиеся при решении примеров иногда давали объяснение хода решения:

1) 7^-i--|«s 7-^. „Чтобы сложить 7- + - достаточно к - прибавить - и полученный результат сложить с 7, так как 7 есть сумма чисел 7 и - ,а чтобы прибавить к сумме какое-нибудь число, достаточно его прибавить к одному из слагаемых и т. д.“

2) 9-: 3 = 3 — ; 9- есть сумма чисел 9 и ~, а чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, достаточно разделить каждое слагаемое на это число и т. д.“ При выработке вычислительной техники с десятичными дробями необходимо обратить внимание на культуру записи, в частности, при делении на десятичную дробь требовать от учащихся промежуточной записи, в которой делитель выступает, как целое число, например, 4,875:0,25 = 487,2:25 = и т. д. При изучении десятичных дробей надо обратить внимание на действия с именованным числами, записанными десятичной дробью. Учащиеся должны выработать навык пользоваться при решении задач простыми именованными числами, записанными десятичной дробью.

При совместных действиях с обыкновенными и десятичными дробями необходимо добиваться, чтобы учащиеся:

а) к замене обыкновенных дробей десятичными прибегали только в том случае, если все обыкновенные дроби в данном примере могуг быть заменены конечными десятичными дробями:

б) к замене обыкновенных дробей десятичными прибегали в тех случаях, когда десятичные дроби легко угадываются и не имеют большого числа знаков после запятой:

в) к замене десятичных дробей обыкновенными прибегали только в тех слу-

чаях, когда десятичная дробь может быть после сокращения заменена достаточно простой обыкновенной дробью:

и т. д.

Не целесообразно!

г) в случае умножения или деления дробей различного вида выполняли действия приемами умножения и деления обыкновенных дробей, заменяя при этом деление умножением на обратное число:

Изучение обыкновенных дробей оканчивается знакомством с понятием об отношении двух чисел. Это понятие необходимо закрепить решением задач, которых в школьном задачнике достаточно.

В IV классе учащиеся получили понятие о проценте. В V классе это понятие повторяется и углубляется.

В разделе обыкновенных дробей при нахождении дроби данного числа разбирается задача нахождения процентов данного числа, при нахождении неизвестного числа по данной величине его дроби разбирается задача нахождения числа по данным его процентам. При изучении отношения двух чисел разбирается задача нахождения процентного отношения двух чисел. Задачи на проценты берутся простейшие, в одно действие.

Учащиеся должны иметь твердые навыки не только в письменных вычислениях, но и устных. В пределе первой сотни все вычисления должны быть устными. Учащиеся должны знать, что всякое действие устно можно выполнить несколькими способами, причем вычисление с большими числами (в пределах 1000, главным образом) целесообразнее всего делать при помощи так называемых неосновных приемов (округление и т. п.).

Пункт программы в разделе десятичных дробей „Округление данных и результатов действий“ обыкновенно за неимением времени опускался. Да и в объяснительной записке к программе ничего нет поясняющего, как понимать этот пункт программы. Теперь, по-моему, этот пункт программы можно реализовать в следующем объеме: Понятие о приближенных числах. Правило сложения или вычитания приближенных чисел, оканчивающихся различными разрядами. Число верных цифр произведения и частного1.

Кроме обычных арифметических задач, учащиеся V класса должны уметь решать и так называемые типовые задачи, для решения которых нужно уметь применять особые приемы. Все эти задачи решаются по соображению, никакое разучивание типов не должно иметь места. При решении задач в первую очередь надо добиваться, чтобы учащиеся осознали идею пропорциональности величин. В расположении задач необходимо соблюдать строгую систему, начиная обучение решению задач каждого типа с простейших и постепенно переходя к более сложным и трудным. Первые задачи для ознакомления с каким-нибудь типом следует брать с малыми числами и с простым содержанием для устного их решения. К самостоятельному отысканию приема решения задач какого-нибудь типа следует вести учащихся через анализ, рассуждение.

В дополнение к школьному задачнику можно пользоваться задачником по арифметике для педучилищ2.

1 Об этом см. специальную статью в № 1 журнала за 1947 год.

2 Филичев С. В., Чекмарев Я. Ф. Сборник арифметических задач для педучилищ, 4-е издание 1946 г., Учпедгиз.

ИЗ ОПЫТА

ЗАКОН О ПЯТИЛЕТНЕМ ПЛАНЕ НА УРОКАХ АРИФМЕТИКИ

Л. Г. КРУПОВЕЦКИЙ (Туринск, Свердловской обл.)

Предлагаемые в настоящей статье задачи по арифметике составлены на основе материалов нового послевоенного плана восстановления и развития народного хозяйства СССР на 1946— 1950 гг.

Грандиозные задачи, поставленные этим планом великих работ перед советским народом, диктуют необходимость для советского учителя, как и для всякого гражданина нашей страны, глубокого изучения закона о новом пятилетнем плане с тем, чтобы напряженным и самоотверженным трудом своим способствовать его осуществлению.

Богатейший материал закона о пятилетнем плане открывает перед советским учителем широкий простор для творческой деятельности на любом участке его педагогической работы. Глубоко изучить самому этот замечательный документ нашей эпохи и потом передавать его основные, наиболее яркие моменты любознательной массе учащейся молодежи — вот почетная обязанность и святой долг каждого учителя, вот к какой цели должен быть направлен весь опыт его работы.

Особенно благодарный материал дают числовые данные плана учителю математики, и в частности арифметики. Богатые, разнообразные показатели плана новой пятилетки в сопоставлении с показателями предшествующих периодов дают возможность учителю составлять разного рода задачи из современной жизни (какие, кстати сказать, отсутствуют в школьном учебнике), которые учащимися воспринимаются с живейшим интересом. Таким образом, попутно с привитием математических навыков в памяти учащихся будут закреплены наиболее яркие показатели новой пятилетки.

Настоящая статья имеет двоякую цель: с одной стороны, облегчить труд учителя по подбору и составлению задач по материалам плана, для чего ниже приведен ряд разнообразных задач почти по всем разделам арифметики, а с другой стороны, дать некоторые методические указания, как учителю использовать материалы пятилетки для самостоятельного составления задач, беря приведенные ниже задачи как примеры для своей работы.

Необходимо, однако, тут же оговориться, что для многих учителей, особенно молодых, не имеющих еще достаточного опыта и умения, самостоятельное составление задач по печатным материалам представляет иногда значительные трудности. Поэтому мы и сочли целесообразным поместить в этой статье достаточное количество готовых задач, чтобы учитель не чувствовал в них недостатка при проведении занятий на основе материалов пятилетнего плана.

Внимательно ознакомившись с приведенными ниже задачами и основательно проработав их с учащимися, учитель может уже с большей уверенностью приступить к составлению подобных задач самостоятельно. Для этого ему необходимо прежде всего глубоко изучить основные источники—Закон о пятилетнем плане восстановления и развития народного хозяйства СССР на 1946— 1950 гг. и доклад по этому вопросу председателя Госплана СССР товарища Н. А. Вознесенского на первой сессии Верховного Совета СССР.

В качестве дополнительного материала учителем должны быть использованы отчеты о работе первой сессии Верховного Совета СССР, руководящие статьи и разные другие материалы по вопросам новой пятилетки, опубликованные в центральных газетах („Правда“, „Известия“, „Комсомольская правда“, „Труд“ и др.) за период март—май 1946 г. и в журналах „Большевик“, „Пропагандист“, .Партийное строительство“, „Спутник агитатора“ и др. за тот же период.

Для сопоставления показателей нового пятилетнего плана с показателями предшествующих периодов необходимо использовать следующие ценные источники:

Речь товарища И. В. Сталина на предвыборном собрании избирателей Сталинского избирательного округа гор. Москвы 9 февраля 1946 года;

Отчетный доклад товарища И. В. Сталина на XVIII съезде партии о работе ЦК ВКП(б).

Доклад товарища В. М. Молотова на XVIII съезде ВКП(б).

Резолюции XVIII съезда ВКП(б).

При самостоятельном составлении задач учителем желательно привлечь, в частности, числовые данные по той республике, в которой находится его школа, приведенные как в тексте самого закона о пятилетнем плане, так и отчетах о сессиях Верховного Совета отдельных республик.

Для самостоятельного составления задач можем дать еще следующие методические указания:

1. Изложение условия задачи не должно быть слишком громоздким. Оно должно быть кратким, сжатым и ясно выражающим суть задачи. Вопрос задачи должен быть четко и понятно сформулирован.

2. Числовой материал для задач следует брать из тех областей народного хозяйства или отдельных отраслей его, которые по содержанию доступны для понимания учащихся средней школы. В случае, если задача будет составлена на более сложную тему, мало известную учащимся (нап-

ример, о капиталовложениях, о мощности электростанций и т. п.), то при проработке материала на занятиях придется давать дополнительные пояснения.

3. Для составления задач следует брать только тот материал, который поддается математическому сравнению и сопоставлению, причем для большей точности надо сличать материал по нескольким источникам и, в случае кажущегося расхождения (бывают данные предварительные, плановые, отчетные, частичные и т. д.), доискиваться причины расхождения и установить точную, окончательную цифру требуемого показателя.

4. При составлении той или иной задачи следует испытать разные способы и окончательно применить тот вид или тип задач, который дает наибольшую точность, не допуская в окончательном результате расхождений с официальными данными не только в единицах, но даже в долях единицы. Но полученный результат может быть округлен для большей легкости запоминания.

5. В целях большей яркости сопоставления и более прочной фиксации в памяти учащихся основных показателей вполне допустимо уже при составлении задачи округление многозначных цифр. (Округление оговорить в скобках). В этих случаях материал легче оформляется в виде задачи, так как облегчаются вычисления.

6. Так как задачи эти должны быть использованы, главным образом, как материал для повторения, то лучше всего составлять их на совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями, применяя все правила действий с этими дробями (четыре действия, обращение обыкновенных дробей в десятичные и обратно, увеличение и уменьшение числа на столько-то единиц и во столько-то раз и т. п.).

7. При составлении задач на нахождение дроби данного числа и на нахождение неизвестного числа по данной величине его дроби следует брать те цифровые данные, которые при обработке дают сократимые и небольшие дроби, так как большие дроби затрудняют учащихся в работе и недостаточно показательны.

8. Для составления задач на процентные вычисления следует пользоваться только теми показателями, которые дают заметный рост или заметное сокращение; в противном случае лучше вычислять, на сколько число увеличилось или уменьшилось путем обыкновенных действий, не прибегая к процентным расчетам.

9. Если для разработки взято несколько чисел, из коих каждое число составляет часть от всего целого (например, производство разного вида сельскохозяйственных машин по отношению к общему их выпуску), то при процентных расчетах все целое число принимается за 100%, а каждое отдельное число вычисляется в процентах к общему итогу.

10. При сопоставлении данных за несколько периодов один из них, самый первый период (например, первая пятилетка по отношению к последующим пятилеткам, самый первый год по отношению к последующим годам и т. п.) принимается в задачах на процентные расчеты за 100°/о, а показатели остальных периодов сравниваются с показателем первого периода, принятого за 100%, или же каждый показатель сопоставляется с предшествующим периодом.

11. При составлении задач на построение графиков или диаграмм рост того или другого явления за ряд лет можно изображать графиком или прямоугольной диаграммой. При этом удобнее всего сначала большие числа округлить, а если это дробные числа, то выразить их целыми числами. Если же данные числа представляют собой части одного целого, то их следует показать наглядно круговой диаграммой, причем числа эти лучше всего предварительно вычислить в процентах по отношению ко всему целому числу, а потом построить диаграмму.

Примерами того, как следует использовать материалы новой пятилетки для составления задач, служат, как было указано, составленные нами задачи, которые мы расположили в следующей последовательности:

I. Задачи на обыкновенные и десятичные дроби.

II. Задачи на нахождение дроби данного числа и на нахождение неизвестного числа по данной величине его дроби.

III. Задачи на процентные расчеты:

1. Нахождение процентов от числа.

2. Нахождение числа по данному его проценту.

3. Нахождение процентного отношения.

IV. Графики и диаграммы.

V. Смешанные задачи (для повторения).

При составлении задач мы строго придерживались текста источников, не отступая от принятых в них числовых приближений в математических вычислениях.

Материалы для этой статьи взяты нами из источников, рекомендованных выше учителю для самостоятельного составления задач, а также нз разных изданий Госплана СССР, содержащих статистические данные о нашем социалистическом строительстве за предыдущие периоды.

I. Задачи на обыкновенные и десятичные дроби

1. Народный доход СССР в 1932 г. выразился в 45,5 млрд. руб.; в 1937 г. он был на 50,8 млрд. руб. больше 1932 г. и на 32 млрд. руб. меньше дохода 1940 г. Определить размер народного дохода для 1950 г., если по сравнению с 1940 г. он возрастет на 48,7 млрд. руб.

Ответ: 177 млрд. руб.

2. В дореволюционной России (в 1913 г.) общая выплавка чугуна и стали составляла вместе 8,45 млн. /и, что в 5,31 раза меньше производства этих металлов, намеченного по плану на 1950 г. Сколько всего чугуна и стали будет выплавлено в 1950 г. (с точностью до 0,1 млн.)?

Ответ: 44,9 млн. т

3. Число автомобилей, выпущенных в 1913 г., составляло 8,9 тыс. штук а в конце нового пятилетия, в 1950 г., будет произведено автомобилей в 56V5 раза больше. Определить производство автомобилей в 1950 г. (в целых тысячах).

Ответ: 500 тыс.

4. В 1913 г. в России было добыто угля 29,1 млн. т, а в 1940 г. добыча угля была на 136,9 млн. т больше добычи 1913 г. и на 84 млн. т меньше, чем по плану на 1950 г. Определить добычу угля в НПО г. и в 1950 г. и вычислить, во сколько раз добыча угля за эти годы больше по сравнению с 1913 г.

Ответ: 166 млн. т; 250 млн m В 5,7 раза; в 8,6 раза.

5. До революции (в 1914 г.) в России во всех общеобразовательных школах было 8,1 млн. учащихся. В 1950 г. количество учащихся только в начальных, семилетних и средних школах будет больше на 23,7 млн. человек. Определить количество учащихся в этих школах в 1950 г. и вычислить, во сколько раз их будет больше против 1914 г. (с точностью до единицы),

Ответ: 31,8 млн. чел., в 4 раза.

6. Рост производства некоторых товаров домашнего и культурного обихода характеризуется такими данными:

Название товаров

1940 г.

1950 г.

Во сколько раз увеличится сравнительно с 1940 г.

В тысячах штук

Радиоприемники

207

925

?

Патефоны . . .

314

1000

?

Велосипеды . .

228

1050

?

Часы......

2581

7400

?

Заполнить таблицу.

Ответ: 4,5; 3,2; 4,6; 2,9

7. В 1950 г. в нашей стране будет произведено 2,4 млн. т сахару, что на —j- млн- т больше, чем в 1940 г., и на 1053 тыс. т больше, чем в 1913 г. Во сколько раз больше будет произведено сахару в 1950 г. по сравнению с 1940 г. и 1913 г.?

Ответ: в 1,12 раза; в 1,78 раза.

II. Задачи на нахождение дроби данного числа и на нахождение неизвестного числа по данной величине его дроби

8. Народный доход СССР в 1950 г. составит 177 млрд. руб., а народный доход России в 1913 г. равнялся -gg- этой суммы. Определить народный доход России в 1913 г.

Ответ: 21 млрд. руб.

9. В последний год новой пятилетки производство грузовых автомобилей будет доведено до 428 тыс. штук, что составляет -J25 всего количества автомобилей, которые будут выпущены в 1950 г. Определить общее производство автомобилей в 1950 г.

Ответ: 500 тыс.

10. Поголовье крупного рогатого скота в колхозах в конце второй пятилетки (1937 г.) равнялось 14,8 млн. голов, что составляет -у- числа крупного рогатого скота, намеченного к концу новой пятилетки (1950 г.) Определить количество крупного рогатого скота в колхозах в 1950 г.

Ответ: 25,9 млн. голов.

11. Добыча железной руды до революции (в 1913 г.) выразилась в 9,2 млн. т, что составляет 0,.3 добычи железной руды по плану на 1950 г. Сколько будет добыто железной руды в 1950 г.?

Ответ: 40 млн. т

12. Число мест (единовременного пребывания) в санаториях и домах отдыха будет доведено к концу послевоенной пятилетки, в 1950 г., до 450000 человек, причем число мест в домах отдыха составляет -g~ числа мест в санаториях.

Определить в отдельности число мест в санаториях и в домах отдыха в 1950 г.

Ответ. 200 000 чел.; 250 000 чел.

13. В 1950 г. больше всего нефти будет добыто по Азербайджанской ССР —17 млн. т и по РСФСР —14,5 млн. т, а остальные всей добычи нефти приходятся на все прочие республики Советского Союза. Определить общую добычу нефти по всем республикам Советского Союза в 1950 г.

Ответ: 35,4 млн. т

14. В 1950 г. в нашей стране будет выплавлено чугуна на г больше количества чугуна, выплавленного в 1940 г. Сколько будет произведено чугуна в 1950 г., если в 1940 г. было выплавлено 15 млн. тl

Ответ: 19,5 млн. т

III. Задачи на процентные расчеты

1. Нахождение процентов от числа

15. Годовой сбор зерна в 1940 г. составлял 119 млн. т, а в 1950 г. зерна должно быть собрано больше на 1%. Определить годовой сбор зерна в 1950 г. (с точностью до 1 млн. т).

Ответ: 127 млн. т

16 В 1940 г. было выплавлено чугуна 15 млн. т и стали 18,3 млн /и. В 1^0 г. по плану намечен рост производства чугуна на 30*» и стали на 38,8°, о. Сколько чугуна и стали будет произведено в 1950 г.?

Ответ: 19,5 млн. т\ 25,4 млн. т

17. В предвоенный 1940 г. народный доход СССР выразился в сумме 128,3 млрд. руб., а в 1950 г. народный доход превысит довоенный уровень на 38%. Определить с точностью до 1 млрд. руб. народный доход в 1950 г.

Ответ: 177 млрд. руб.

18. До революции (в 1913 г.) было 106 тыс. общеобразовательных школ, а в 1950 г. число таких школ будет больше на 82'7П. Вычислить в целых тысячах число школ в 1950 г.

Ответ: 193 тыс.

19. В 1950 г. будет выработано 4686 млн. м хлопчатобумажных тканей. В 1932 г. выпуск этих тканей был ниже выпуска 1950 г. на 42,5°,о, а в 1937 г. выпуск был выше 1932 г. на 28*7а. Вычислить в целых миллионах м выработку тканей в 1932 г. и в 1937 г.

Ответ: 2694 млн. м\ 3448 млн. м

2. Нахождение числа по данному его проценту

20. Во второй пятилетке было восстановлено и вновь построено 4500 промышленных предприятий, что составляет 76,27% числа предприятий, которые должны быть восстановлены и вновь построены за годы новой пятилетки. Сколько будет восстановлено и вновь построено промышленных предприятий в новой пятилетке?

Ответ: 5900 предприятий.

21. В 1950 г. будет всего произведено промышленной продукции на сумму 205 млрд руб., что дает рост промышленности по сравнению с предвоенным 1940 г. на 48%, а по сравнению с 1937 г. на 114,7о/0. Определить производство промышленной продукции в 1940 г. и в 1937 г. (с точностью до 0,1 млрд. руб.)

Ответ: 138,5 млрд. руб., 95,5 млрд. руб.

22. Поставка тракторов для сельского хозяйства (в условных 15-сильных тракторах) составит за новое пятилетие 750 тыс тракторов, что превышает на 46,5° 0 число тракторов во второй пятилетке. Сколько поставлено было тракторов во второй пятилетке (вычислить в целых тысячах)?

Ответ: 512 тыс. тракторов-

23. Производство кожаной и резиновой обуви в 1950 г. выразится в 328,6 млн. пар., причем резиновая обувь по отношению к кожаной составляет 36,9%. Сколько будет выработано в 1950 г. кожаной и резиновой обуви в отдельности (с точностью до 0,1 млн. пар)?

Ответ: 240 млн. пар; 88.6 млн. пар.

24. Средняя урожайность зерна во второй пятилетке равнялась 9,1 ц с одного гектара, что на 23°/оВыше средней урожайности зерна до революции (1909—-1913 гг.) и на 21% ниже предусмотренной урожайности в конце 1950 г. Определить средний урожай зерна с одного гектара до революции и на конец 1950 г.

Ответ: 7,4 ц; 12 ц

25. Поставка сельскохозяйственных машин для сельского хозяйства за пятилетие 1946—1950 гг. выразится (в неизменных ценах 1926/27 гг.) в 4,5 млрд. руб., что на 137% выше поставок таких машин во второй пятилетке. На какую сумму было поставлено сельскохозяйственных машин во второй пятилетке? (Вычислить с точностью до 0,1 млрд. руб.)

Ответ: 1,9 млрд. руб.

3. Нахождение процентного отношения

26. За годы нового пятилетия предстоит восстановить 3200 крупных промышленных предприятий (заводов, фабрик, шахт и рудников) и заново построить 2700 таких же предприятий. Определить в процентах количество восстанавливаемых и новых предприятий в новом пятилетии.

Ответ: 54,2%; 45,8%.

27. Рост производства чугуна, стали, угля и нефти в- новом пятилетии характеризуется такими данными:

1913 г.

1940 г.

1950 г.

Производство 1950 г. в %

В млн. т

к 1913 г.

к 1940 г.

Чугун .... Сталь .... Уголь . . . Нефть ....

4,2 4,2 29,0 9,0

15,0 18,3 166,0 31,0

19,5 25,4 250 0 35,4

? ?

? ?

? ? ? ?

Заполнить таблицу.

Ответ (в о/о к 1913 г.): 464; 605; 862; 393; (в о/0 к 1940 г.): 130; 139; 150; 114.

28. В 1950 г. будет произведено хлопчатобумажных тканей 4686 млн. л, шерстяных тканей — 159,4 млн. м и шелковых тканей —141 млн. м. Определить выпуск каждого рода тканей в процентах к общему их выпуску.

Ответ: 94<>/0; 3,20/0; 2,8о/0.

29. Рост поголовья скота в колхозах к концу новой пятилетки (в 1950г.) сравнительное 1937г. характеризуется такими данными:

Виды скота

1937 г

1950 г.

1950 г. в % к 1937 г.

в млн голов

Крупный рогатый скот.....

?

25,9

175

Овцы и козы . .

22,7

?

300

Свиньи .....

6,3

11.1

?

Заполнить таблицу.

Ответ: 14,9 млн.; 68,1 млн., 176.2%

30. Определить рост народного дохода в СССР (в неизменных ценах 1926/27 гг.) в процентах к 1913 г. по следующим данным:

Годы

Народный доход в млрд. руб.

В о/0 к 1913 г.

1913

21,0

?

1932

45,5

?

1937

96,3

?

1940

12h ,3

?

19о0

177,0

?

Заполнить таблицу.

Ответ: (в % к 1913 г.): 100; 216,7;

458,6; 611,0 8*2,9.

31. Производство сахара в 1950 г. будет доведено до 2400 тыс m (или 24 млн. ц), которое по союзным республикам распределяется следующим образом:

Производство в млн, ц

В о/о к общему итогу

По РСФСР .....

4,63

?

» Украинской ССР . .

16,37

?

„ всем прочим республикам ........

3,0

?

Итого . . .

24,0

100,0

Заполнить таблицу.

Ответ: 19,30/0; 68,2<>/0; 12,5о/0

32. Увеличение валовой продукции технических культур в 1950 г. сравнительно с 1913 г. характеризуется такими данными (в млн. т):

Технические культуры

1913 г.

1950 г.

Продукция 1950 г. в % к 1913 г.

Сахарная свекла . .

10,9

26

?

Хлопок (сырец) . .

?

3,1

419

Лен (волокно) . . ,

?

0,8

242

Подсолнечник . . .

0,74

?

500

Заполнить таблицу.

Ответ: 2390/0; 0,74 млн. щ 0,33 млн. т; 3,7 млн. т

IV. Графики и диаграммы

33. Построить график роста народного дохода в СССР по таким данным (в млрд. руб., в ценах 1926/27 гг.).

1913 г.

1925 г.

1929 г.

1932 г.

1937 г.

1940 г.

1950 г.

21,0

16,8

28,9

45,5

96,3

128.3

177,0

34. Составить график роста всей промышленности по следующим данным (в млрд. руб., в ценах 1926/27 гг.):

1913 г.

1917 г.

1929 г.

1933 г.

1937 г.!

1940 г.

1950 г.

16,2

11,6

25,7

45,7

90,2

138,5

205,0

35. Составить прямоугольную диаграмму роста валовой продукции сельского хозяйства по следующим данным, приняв производство сельского хозяйства в 1932 г. за 100°/о:

1932 г. (первая пятилетка) .... 100%

1937 г. (вторая пятилетка) . . . 153%

1940 г. (третья пятилетка) . 177%

1950 г. (послевоенная пятилетка) . 225%

36. Составить две прямоугольные диаграммы выпуска тракторов и комбайнов по следующим данным (в тысячах штук)

I пятилетка

II пятилетка

Новая пятилетка

Выпуск тракторов (в пересчете на 15-сильные) . .

Выпуск комбайнов ......

160 13,6

512 123,5

720 174,3

37. Вычислить в процентах и составить круговую диаграмму распределения всех посевных площадей по республикам Советского Союза в 1950 г. по следующим данным:

Вся посевная площадь (в млн. га)

Во/о к итогу

По РСФСР .....

» Украинской ССР . „ Белорусской ССР . , Казахской ССР . » прочим 12 республикам........

99,4 30,5 5,3 7,3

16,0

? ?

? ?

?

Итого

158,5

100,00/0

Заполнить таблицу.

Ответ; 62,70/о; 19,20/0; 3,40/0; 4,6%; 10,Ю/в

V. Смешанные задачи (для повторения)

38. В 1913 г. производство бумаги составляло 197 тыс. т. В 1940 г. было выработано бумаги в 4,12 раза больше, чем в 1913 г., а в 1950 г. будет выпущено бумаги в 1,65 раза больше сравнительно с 1940 г. Определить производство бумаги в 1940 г. и в 1950 г. (в целых тысячах тонн).

Ответ: 812 тыс. т.; 1340 тыс. т

39. Заполнить приведенную ниже сравнительную таблицу увеличения выпуска некоторых основных продуктов потребления. (Выпуск продукции округлить в целых числах, а увеличение—с точностью до 0,1);

40. Из общего числа автомобилей, намеченных к выпуску в 1950 г., составляют легковые автомобили вместе с автобусами, а остальные 428 тыс. штук представляют собой грузовые автомобили. Сколько всего автомобилей будет произведено в 1950 году?

Ответ 500 тыс.

41. В 1940 г. было выплавлено 15 млн. т чугуна, что составляет -щ от размера производства чугуна в 1950 году. Сколько чугуна будет выплавлено в 1950 г.?

Ответ: 19,5 млн. т

42. Накануне войны в вузах нашей страны обучалось 585 тыс. человек, а в 1950 г. число учащихся в вузах возрастет на 15,2%. Определить в целых тысячах число студентов в вузах в 1950 году.

Ответ: 674 тыс.

43. Расходы на культурно-бытовое обслуживание трудящихся СССР составляли в 1940 году 41 млрд. руб., а в 1950 г. намечено израсходовать 106 млрд руб. На сколько процентов больше будет израсходовано для этой цели в 1950 г.?

Ответ: На 158,5%.

44. Построить график роста выплавки чугуна и стали в нашей стране по следующим данным (в млн. т):

1913 г.

1920 г.

1927/28 гг.

1932 г.

1937 г.

1940 г.

1950 г.

Чугун.......

Сталь .......

4,2 4,2

0,1 0,2

3,3 4,2

6,2 5.9

14,5 17,7

15,0 18,3

19,5 25,4

45. Составить прямоугольную диаграмму роста производства металлорежущих станков по следующим данным (в тыс. штук).

1928 г.

1932 г.

1937 г.

1940 г.

1950 г.

1,8

15,0

36,0

50,0

74,0

46. Составить три круговых диаграммы, показывающие изменения в структуре посевных площадей в нашей стране, по приведенным ниже в таблице данным (в процентах к общей посевной площади):

Посевные площади по культурам

1913 г.

1940 г.

1950 г.

Зерновые .......

Технические ......

Общебахчевые и картофель Кормовые ......

89,9 4,3 3,6

2,2

73,5 7,8 6,7

12,0

66,8 7,4 7,9

17,9

Всего . . .

100,0

100,0

100,0

1 Можно также дать 77%.

ХРОНИКА

Работа кафедры математики Московского городского института усовершенствования учителей за 1945/46 учебный год

Особенности работы 1945/46 учебного года

1945/46 учебный год отличается от предшествующих лет тем, что победоносно закончилась Великая Отечественная война, и создались благоприятные условия для развертывания работы кафедры и для более широкого вовлечения в сферу влияния кафедры учителей-математиков г. Москвы.

Всероссийское совещание по народному образованию особо подчеркнуло настоятельную необходимость скорейшего улучшения дела повышения квалификации учителей, причем совещание обратило внимание на необходимость перехода от случайных, эпизодических мероприятий к систематической, строго диференцированной, плановой работе, на сочетание вопросов общеобразовательной и педагогической подготовки учителя с оказанием ему повседневной помощи в текущей учебно-воспитательной работе.

Указания Всероссийского совещания укрепили точку зрения кафедры на характер работы, так как вся предшествующая работа кафедры велась именно в этом направлении. Совещание дало возможность более уверенно развертывать работу в 1945/46 учебном году.

Содержание работы кафедры

Учитывая необходимость диференцированного подхода к различным категориям учителей-математиков г. Москвы, вместе с тем опираясь на опыт предшествующих лет и пожелания учителей, кафедра в 1945/46 учебном году проводила следующие мероприятия.

Годичные курсы

а) Занятия на годичных курсах для учителей V—VII классов проводились систематически раз в неделю. Программа этих курсов определялась содержанием работы учителей в V—VII классах и имела своей задачей осветить программные вопросы с современной научной точки зрения и, вместе с тем, вооружить учителей методикой преподавания и умением решать разнообразные задачи применительно к программе по математике для этих классов. Годичные курсы для V— VII классов работали в составе 4 групп: 3 группы работали по утрам в среду, с 9 до 2 час. (6 академических часов), и одна группа вечером по вторникам, с 6 час. до 9 час. 15 мин. Учебный план курсов состоял из 250 академических часов. На курсах изучались следующие предметы: основы марксизма-ленинизма, педагогика и педагогическая психология, арифметика, алгебра, геометрия, методика математики. Во втором полугодии в учебный план было включено черчение, чтобы учителя-математики могли преподавать и черчение в тех классах, где они преподают математику.

б) Занятия на годичных курсах для учителей VIII—X классов также проводились систематически раз в неделю, в те же дни и часы, как и курсы для учителей V—VII классов. Программа этих курсов определялась содержанием работы, учителя в VIII-Х классах средней школы, имела своей задачей осветить с современной научной точки зрения программные вопросы этих классов и вместе с тем вооружить учителя методикой преподавания и умением решать задачи по алгебре, геометрии и тригонометрии применительно к программе старших классов. Годичные курсы для учителей VIII—X классов работали в составе 3 групп: две группы работали утром, а одна группа вечером.

В то время как курсы для учителей V—VII классов проводились уже в 1943/44 и в 1944/45 учебных годах, курсы для учителей VIII—X классов в текущем году проводились впервые. Однако и они встретили весьма положительное отношение со стороны учительства г. Москвы. Среди слушателей курсов имелись не только начинающие и рядовые учителя г. Москвы, но и квалифицированные, опытные учителя и районные методисты.

Следует отметить рост числа слушателей курсов за годы 1943-46. В то время как в 1943/44 учебном году кафедра смогла организовать только две группы с охватом учителей в 35—40 чел., в 1944/45 учебном году уже было 3 группы в составе 60—70 человек, а в истекшем 1945/46 учебном году кафедра имела на курсах 7 групп с охватом учителей в 298 человек, что составляет примерно 20 H всех учителей-математиков г. Москвы.

Семинары-практикумы

Помимо годичных курсов, кафедра организовала практикумы и семинары по отдельным вопросам программы средней школы: теория пределов, тригонометрические уравнения, задачи на построение в стереометрии, исследование уравнений,, внеклассная работа по математике и др. Семинары эти, рассчитанные на 2—3 занятия, ставили своей задачей помочь тем учителям, которые не имеют возможности посещать годичные курсы,, а нуждаются в помощи при изучении отдельных тем программы по математике или хотят поделиться опытом своей работы и получить оценку этого опыта. Семинары собирали различное количество слушателей — от 5—6 до 20—25 человек. Особенно много лиц прошло через семинар по внеклассной работе, который закончился очень содержательной и интересной конференцией, собравшей несколько сот учеников и несколько

десятков учителей. На конференции передовые школы Москвы, члены семинара, делились опытом по организации внеклассной работы. Учит ля. участники конференции и семинара, высказали настойчивое пожелание организовать семинар по внеклассной работе и в будущем, 1946/47 учебном году.

Эпизодические цикловые лекции

Эпизодические цикловые лекции по примеру прошлых лет проводились систематически раз в неделю, по пятницам, с 6 час. 30 мин. вечера до 9 час. Они имели своей задачей ответить на вопросы наиболее квалифицированных и передовых учителей г. Москвы. На цикловых лекциях освещались вопросы, рассчитанные на расширение научного кругозора учителя. Здесь ставился цикл лекций академика Н. Н. Лузина (основные вопросы анализа, имеющие отношение к программе школы), члена-корреспондента АПН проф. В. Л. Гончарова (пропедевтика функциональной зависимости в курсе- средней школы), члена-корреспондента АПН проф. Н. Ф. Четверухина (изображение пространственных форм на плоскости с помощью проекционного чертежа), члена-корреспондента АПН проф. А. И. Маркушевича (логарифмы отрицательных чисел, числовые последовательности, делимость расположенных многочленов), доктора математических наук проф. Я. С. Дубнова (о преподавании геометрии в средней школе) и др.

Обобщение опыта работы учителей г. Москвы

В связи с общеинститутской научно-практической конференцией кафедра выявила интересный материал, отражающий опыт работы московского учительства по линии организации самостоятельной работы учащихся. Материал при помощи кафедры был обработан учителями и заслушан на расширенных заседаниях кафедры в сентябре — октябре. Таких заседаний было проведено 5. Кроме членов кафедры, на расширенных заседаниях присутствовало весьма значительное количество учителей (на некоторых заседаниях число их было более 100). Доклады обсуждались участниками заседаний, были застенографированы и в настоящее время могут быть предложены для ознакомления лицам, посещающим кабинет математики. Были прочитаны следующие доклады:

1. Учит. Покровская — Развитие мышления учащихся на уроках математики.

2. Учит. Александровский — Самостоятельное решение задач по стереометрии.

3. Учит. Кадникова — Самостоятельная работа по решению задач в старших классах.

4. Учит. Зотикова — Самостоятельная работа учащихся VI—VII классов при решении геометрических задач.

5. Учит. Перловская — Внеклассная работа как средство развития самостоятельности у учащихся,

6. Учит. Федорович и Кикчеева — Геометрический чертеж в курсе стереометрии как средство для развития пространственного воображения и мышления учащихся.

7. Учит. Карпович — Развитие активного внимания учащихся как средство развития самостоятельности.

В марте была проведена научно-практическая конференция, на которой были заслушаны доклады зав. кафедрой H. Н. Никитина и учителей Смарагдова (шк. № 195) и Сурикова (шк. № 126) о самостоятельной работе учащихся.

Индивидуальные консультации

Для учителей, нуждающихся в консультации по текущим вопросам школьной работы, в кабинете математики были организованы ежедневные консультации, которые по особому расписанию проводились членами кафедры. Индивидуальных консультаций проведено свыше 2000.

Консультациями пользовались не только учителя г. Москвы, но и иногородние учителя, а также научные сотрудники институтов усовершенствования, педагогических и учительских институтов.

По вопросам, интересующим значительное число лиц, в кабинете математики имеются соответствующие методические документы.

Помощь другим кафедрам института

Кафедра математики обеспечивала своими силами мероприятия других кафедр института, именно, кафедру начальной школы, педагогики, в части, касающейся математики (лекции по методике математики для директоров школ, методистов, инспекторов и т. д.).

Библиографическая работа

В связи с тем, что некоторые учителя ведут самостоятельную работу индивидуально и нуждаются в указаниях библиографического порядка, кабинет математики приступил к составлению библиографической картотеки. В первую очередь было намечено составить полную библиографию статей, помещенных в журнале .Математика в школе*. В настоящее время эта работа закончена. Картотека составлена в двух экземплярах: систематическая картотека и по отдельным темам. Кроме того, составлена картотека изданий по вопросам преподавания математики, вышедших в период 1918-46 гг.

Оборудование школы

Огромную роль в деле успешного преподавания математики играет разумное использование наглядности. В состав кабинета математики включен специальный сотрудник по вопросам оборудования школ по математике, который приступает к созданию списков примерного оборудования кабинета математики для средней школы.

Заключение

Таков в общих чертах итог работы за 1945/46 учебный год.

При организации работы на 1946/47 учебный год, исходя из практики предыдущих лет и учитывая задачи школы в связи с развитием науки и выполнением Государственного пятилетнего плана, что вызывает необходимость коренного улучшения работы советской школы, кафедра, помимо ранее проводимых мероприятий, ставит задачей усиление внимания к вопросам организации индивидуальной самостоятельной работы каждого учителя математики г. Москвы. С этой целью особое внимание предполагается уделить вопросам индивидуальной консультации.

Заведующий кафедрой математики М. Г. И. У. У.

Н. Никитин

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

ОБЗОР НОВЫХ КНИГ

С. И. НОВОСЕЛОВ (Москва)

Акад. Н. Н. Лузин, Диференциальное исчисление. Стр. 451. Цена в перепл. 19 руб. Интегральное исчисление. Стр. 379. Государственное издательство „Советская наука“, 1946. Цена в перепл. 17 руб.

Настоящий учебник предназначается для учащихся высших технических учебных заведений и является переработкой известного, выдержавшего многочисленные издания учебника В. Гренвилля и Н. Н. Лузина. В настоящем издании, в соответствии с программой втузов, книга дополнена новыми главами: „Комплексные числа, переменные, функции“, „Криволинейные интегралы“, „Ряды Фурье“ и „Основы векторного анализа и его применение в теории пространственных кривых“ (последняя глава дана в виде дополнения к I тому). Кроме того, весь текст подвергся автором переработке, редактированию и дополнению. Так, например, введено понятие равномерной сходимости рядов, расширено изложение теории степенных рядов. Расположение материала приведено в соответствие с программой.

Значение книги акад. Н. Н. Лузина не ограничивается ее ролью как учебника для высшей технической школы. Предыдущими изданиями книги Гренвилля и Лузина охотно пользовались студенты учительских институтов, учителя, студенты-заочники. В настоящем издании автор акад. Лузин сохранил все те свойства книги, которые завоевали ей широкую известность. К числу больших достоинств книги следует отнести стремление автора довести до сознания учащихся сущность предмета, заставить читателя понять, а не механически выучить математические факты. Блестящий стиль, образность и выразительность языка, свойственные автору, делают изложение интересным и увлекательным. Весьма удачны и методически безукоризненно подобраны упражнения, которые даются по всей книге применительно к каждому ее параграфу.

Программа втузов по объему и идейному содержанию существенно отличается от программы педагогических, а также и учительских институтов. По указанной причине учебник, предназначенный для технической школы, не может служить учебником для педагогических учебных заведений. Однако отмеченные выше выдающиеся достоинства книги акад. Лузина делают возможным использование ее в качестве пособия для учительских, а отчасти и для педагогических институтов. В особенности книга ценна для первоначального ознакомления с различными разделами анализа. Мы считаем необходимым отметить лишь следующее. В соответствии с педагогическими воззрениями автора, в основу изложения математического анализа положено понятие переменной величины, изменяющейся во времени. Это одна из причин, вызвавших чрезмерное увеличение объема введения в анализ. Изложение математического анализа на основе понятий времени и переменной величины неприемлемо для учительских и педагогических институтов; такое изложение не соответствовало бы ни современным тенденциям развития математической мысли, ни духу программ педагогических учебных заведений. Отмеченное обстоятельство следует иметь в виду при пользовании книгой акад. Н. Н. Лузина.

А. Я. Хинчин, Восемь лекций по математическому анализу. Гостехиздат, 1943, стр. 216. Цена 9 руб.

Книга проф. А. Я- Хинчина предназначается автором для лиц, желающих познакомиться с основными идеями и методами современного анализа. Потребность в такой книге весьма значительна, так как бурное развитие математики за последние десятилетия влило новое идейное содержание в большинство математических дисциплин. С точки зрения новых идей подверглись критическому пересмотру прежние концепции. Этот пересмотр отразился и на учебной литературе: современные курсы математического анализа резко отличаются от курсов, бывших в употреблении 20—30 лет назад. Многие из учителей изучали математический анализ либо по старым, либо по сокращенным руководствам и в настоящее время ощущают потребность в обновлении и расширении своих знаний. Современные университетские курсы анализа было бы крайне трудно рекомендовать в качестве книг для первого чтения. Новые постановки ряда вопросов слишком резко заставят читателя отрешиться от привычного хода рассуждений. Тонкие и сложные логические конструкции нередко загораживают конечную цель и не позволяют с первого взгляда увидеть принципиальную значимость многих основных положений.

Автор поставил своей целью в настоящей книге дать изложение основных принципиально важных вопросов математического анализа, оттенить ведущие идеи и показать их взаимную связь. „Автор ставит своей задачей, - говорит в предисловии проф. Хинчин,—дать общий, но зато возможно доступный и запоминающийся очерк основных идей, понятий и методов математического анализа — такой очерк, который легко читался и усваивался бы всяким, кто знаком хотя бы с самым упрощенным изложением этого предмета, и который после такого усвоения уже позволил бы читателю

сознательно и самостоятельно изучить во всех деталях любой отдел и любую главу этого предмета“. Таково, по словам автора, назначение книги.

В книге рассматриваются следующие вопросы: континуум, пределы, функции, ряды, производная, интеграл, разложение функций в ряды и диференциальные уравнения. Таким образом, в книге не дается систематическое изложение анализа, а берутся лишь избранные его разделы. Изложение в научном отношении безукоризненно строгое. Что касается задачи, поставленной перед собой автором, то эту задачу можно считать отчасти решенной. В силу принятых автором установок, было бы естественно ожидать, что доказательства в том стиле, как они даются в курсах анализа, будут сокращены до минимума. Ведь эти доказательства можно без труда прочитать в современных учебниках после того, как будут выяснены идейное содержание и значение доказываемых предложений. Однако в книге мы встречаем в большом количестве достаточно сложные доказательства в изложении, характерном для университетских курсов. Так, например, принцип индукции для арифметического континуума не только не вносит упрощений, а скорее усложняет доказательства ряда основных теорем. Ярким примером может служить доказательство теоремы о существовании верхней (нижней) грани.

Автор нередко ограничивается заявлением о важности того или иного математического предложения, а далее приводит его доказательство. В чем же заключается важность данного предложения остается невыясненным. Позволим себе привести несколько примеров.

Автор отмечает, что „класс функций с ограниченной вариацией играет весьма заметную роль в анализе и его приложениях“, далее следует доказательство теоремы о представлении функции с ограниченной вариацией в виде разности двух монотонных функций. Но читатель вправе спросить, какую роль играют в анализе и в приложениях функции с ограниченной вариацией? Аналогичный вопрос читатель может задать относительно второй теоремы о среднем значении в интегральном исчислении: автор только отмечает, что она является значительно более точным аналитическим инструментом.

Автор справедливо замечает, что .приближенное представление функций в виде многочленов является одним из важнейших орудий исследования этих функций и оперирования над ними“, далее на шести страницах следует сравнительно не элементарное доказательство знаменитой теоремы Вейерштрасса о разложении функции непрерывной на сегменте, в равномерно сходящийся ряд полиномов. Читатель, осиливший доказательство, вправе спросить, как же применяется это важнейшее орудие к исследованию функций?

По степени трудности изложения книга проф. Хинчина вряд ли будет легко доступна читателю, знакомому лишь с упрощенным изложением анализа. Книга может быть рекомендована как полезное пособие для ассистентов и преподавателей учительских и педагогических институтов, работающих над повышением собственной квалификации. Книга будет полезна и для студентов университетов и пединститутов как вспомогательное пособие при изучении существующих современных учебников.

Д. К. Фадеев и И. С. Соминский, Сборник задач по высшей алгебре. Учебное пособие для университетов и педагогических институтов. Гостехиздат, 1945, стр. 304, цена в перепл. 9 р.

Задачник Д. К. Фадеева и И. С. Соминского предназначен в качестве пособия по основному курсу высшей алгебры, который изучается на младших курсах физико-математических факультетов университетов и педагогических институтов. Книга содержит примеры и задачи по следующим разделам: комплексные числа, вычисление детерминантов, системы линейных уравнений, полиномы и рациональные функции от одной переменной, симметрические функции, матрицы и квадратичные формы. По всем указанным разделам в книге содержится обширный материал в виде большого количества упражнений различной степени трудности, начиная от тренировочных примеров, предназначенных для выработки вычислительных навыков, и кончая серьезными задачами на доказательство, требующими от учащегося умения самостоятельно применять алгебраические методы.

Следует отметить, что подбор материала выполнен авторами в соответствии с современным изложением высшей алгебры. Вся книга распадается на три части: в первой даны условия задач, во второй—указания к более трудным задачам, а также к задачам, требующим сообразительности и применения „искусственных приемов“, в третьей части даны ответы ко всем задачам, а также полные решения ряда задач.

Задачник Д. К. Фадеева и И. С. Соминского, составленный на высоком идейном уровне, восполнит пробел в учебной литературе, вызванный отсутствием на книжном рынке специального задачника по высшей алгебре.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 2 за 1946 г.

№ 211

Заполнить клетки разграфленного квадрата числами так у чтобы их произведения во всех строках во всех столбцах и в обеих диагоналях были одинаковы (то-есть составить образчик магического квадрата с постоянным произведением и указать способ составления таких квадратов).

Любой магический квадрат с постоянной суммой легко превратить в магический квадрат с постоянным произведением, если сделать числа первого квадрата показателями степени при одном и том же произвольном основании. Например, из квадрата с постоянной суммой:

можно получить следующий квадрат с постоянным произведением;

Действительно:

№22

Квадрат целого числа оканчивается тремя одинаковыми цифрами. Какими?

1. Прежде всего заметим, что любое целое число вида 10* где л>1, удовлетворяет условию задачи, так как его квадрат оканчивается тремя одинаковыми цифрами — нулями. Этот случай, как тривиальный, исключаем из рассмотрения.

2. Квадраты всех остальных чисел, как показывает таблица умножения, могут оканчиваться лишь на

1, 4, 5, б, 9.

Следовательно, подлежат испытанию только целые числа вида

1000m+111; 1000т+ 444; 1000т+ 555; lüOOm + бЬО; 1000т+ 99У.

3. Чтобы установить, какие из них могут представлять собою целые квадраты, воспользуемся проверкой при помощи „четверки“. Известно, что квадрат целого числа при делении на 4 дает в остатке либо нуль, либо единицу. Действительно:

(2л)2=4л2; (2л -f 1)3=4л(л + 1) + 1.

4. Будем теперь делить на 4 приведенные выше числа. Для этого (по известному признаку делимости на \) достаточно разделить числа, составленные последними двумя цифрами, то-есть

11, 44, 55, 66, 99.

Получаем соответственно остатки: 3, 0, 3, 2, 3.

Отсюда сразу заключаем (согласно п. 3), что наше квадратное число может оканчиваться только тремя четверками.

Этим решение исчерпывается: задача не ставит вопроса о нахождении всего числа, (Примерами таких чисел могут служить:

382=1444; 4622 = 213 444; 538а=289 444; 9622=925444; 1038*= 1 077 444 и т. д.)

№ 23

Некоторое расстояние было промерено дважды. Результат первого измерения 1502 м, второго — 149$ м. Какова истинная величина промеренного расстояния?

Очень частый ответ, что истинная длина равна среднему арифметическому результатов обоих измерений, ошибочен: это наиболее вероятная, а не истинная длина. Установить истинную длину по данным задачи невозможно — таков правильный ответ.

№ 24

По какой системе счисления нужно написать число 75, чтобы при делении на 5 (написанное по той же системе) оно давало в остатке 3?

Такой системы счисления быть не может: делимость числа не зависит от того, в какой системе

1 В задачах 21—25 приводятся решения, данные самим Я. И. Перельманом — автором этих задач.

оно изображено. Действительно, если какое-либо число реальных предметов может быть разложено на 5 равных кучек, то это свойство числа не зависит от того или иного способа его изображения. Другими словами, при делении 75 на 5, в какой бы системе они ни были изображены, в остатке должен получиться нуль.

№ 25

Имеются два яйца одинаковой формы, но различной величины. Требуется, не разбивая яиц, определить приближенно вес их скорлупы. Какие измерения, взвешивания и вычисления нужно для этого выполнить? Толщину скорлупы обоих яиц можно считать одинаковой.

Измеряем длину большой оси каждого яйца: получаем dx и d2. Искомые веса скорлупы обозначим через хну. Вес скорлупы пропорционален ее поверхности, т. е. квадрату ее линейных размеров. Поэтому, считая толщину скорлупы обоих яиц одинаковой, составляем пропорцию:

x:p~#i:*t (1)

Взвешиваем яйца: получаем рх и р2. Вес содержимого яйца можно считать пропорциональным его объему, т. е. кубу его линейных размеров. Отсюда имеем пропорцию:

(2)

Имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными, откуда легко находим:

№ 26

Может ли точный целый корень 17-й степени из двадцатитрехзначного числа оканчиваться на 5?

Десятичный логарифм 23-значного числа лежит между 22 и 23. Следовательно, логарифм корня 17-й степени из этого числа лежит между 3 и 5. т. е. между 1,294 и 1,353.

Но

lg15=l,176; Ig25=l,398

Значит, искомый корень больше 15, но меньше* 25, т. е. не может оканчиваться на 5.

№ 27

Одна из цифр многозначного числа (но не последняя) нуль. Для того чтобы разделить это числи на 9, достаточно зачеркнуть этот нуль.

I. На каком месте должна стоять эта цифра нуль?

II. Доказать: чтобы частное от деления искомого числа на 9 (первое частное) снова разделить на 9, достаточно зачеркнуть в нем первую цифру (слева).

III. Найти все числа, удовлетворяющие условиям задачи.

1. Пусть искомое число содержит п цифр. Тогда его можно изобразить в виде:

N=at . 10я-1 4-*2- 10л~2 + ös- 10л-* +

+ • • +ал-1 ' 10 + *л (1)

(понятно, что ах Ф 0).

Разделив его на 9, т. е. на 10—1 по обычному правилу деления многочленов, получим:

(2)

Допустим, что а2=£0. Тогда, по условию, должна равняться нулю одна из цифр низшего разряда, и, по условию же, зачеркнув этот нуль, мы должны получить частное от деления числа на 9. Но это частное будет иметь вид (из (I)),

(3)

Сравнивая (3) с (2), мы убеждаемся, что должно быть

а\ + Д2=я2, если а\ +02 + лз< Ю« Или же а\ + a2«h*

если ах + Ä2 + аг>\0. Но оба эти соотношения невозможны, так как ах не может быть ни нулем, ни отрицательным числом. Следовательно, должно быть а2 = 0, т. е. нуль должен стоять на втором месте (слева).

II. Учитывая результат п. I, находим из (2), что .первое частное“ должно иметь вид:

(4)

С другой стороны, из (1) очевидно, что зачеркивание нуля на втором месте слева (т. е. а^) равносильно снижению на один разряд первой цифры alf т. е. вычитанию а1 • К)““1 и прибавлению аг • К)п~~2. Следовательно, имеем:

(5)

Чтобы получить „второе частное“, разделим (5) на 9.

(6)

Сравнивая (6) с (4), сразу видим, что для получения „второго частного“ нам достаточно было зачеркнуть в (4) первый член, т. е. зачеркнуть в „первом частном“ первую цифру. Положение II доказано.

III. Из равенства (5) определяем N. Находим:

Из условия задачи следует, что л>2. 1.° Пусть п=3. Тогда

Так как N — число целое, a ûj- число однозначное, то ах может быть лишь 4 или 8. Но при <xj=8 получается число, оканчивающееся на нуль, что противоречит условию. Итак, в,=4. Отсюда #х=405.

2° Пусть л=4. Тогда:

Здесь cl\ может быть только 2 или 6 (при а, равном 4 и 8, получаем числа, оканчивающиеся нулем). Получаем соответственно:

#2=2025; #3=6075*

З.в Пусть л=5. Тогда:

#=81 • 125 - at.

Здесь ах может быть только нечетным числом. Полагая #1=1, 3, 5, 7, получим соответственно:

А^=Ю 125; ЛГ5=30 375; iV6=50625; #7=70 875,

Значение ах—9 не берем, так как в этом случае первая цифра 9 при делении на 9 не сохраняется (в частном получится 1).

Наконец, при л>5 будут получаться только числа, оканчивающиеся нулем.

Итак, существуют лишь найденные 7 чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Эту крайне интересную и изящную задачу прислали В. и С, Синакевичи (Ленинград). Они же указывают на интересное обобщение, которое допускает эта задача. Оказывается, что изложенными свойствами обладают числа, написанные в любой системе счисления, если они удовлетворяют условиям задачи. Общий вид таких чисел будет:

где—k — основание системы счисления. Так, указывают авторы, при £=8 единственное число, удовлетворяющее условию задачи, будет 3008 Действительно :

3048:7=348; 348:7=4.

№ 28

Решить в целых числах уравнение:

(1)

Для того, чтобы левая часть была целым числом, необходимо, чтобы каждое из подкоренных выражений было точным квадратом целого числа. Следовательно, можем положить:

x+Uy=z*. (2)

Подставляя это выражение в (1), можем положить:

x+Uz=u\ (3)

и далее, соответственно:

JC-fllü=*2, (4)

и наконец:

x+\lv =уР. (5)

и, v, — целые положительные числа или нули).

Докажем, что y=z=u—v: а) Допустим, что y>z. Тогда:

x + \\y>x + \\z,

и из (2) и (3) имеем

z > и.

Тогда из (3) и (4) получим: и > v,

и, наконец, из (4) и (5)

V >у.

Итак, мы получили:

y>z>u>v>yy

что невозможно.

Совершенно аналогичным способом докажем, что не может быть ну <z, так как тогда было бы:

y<z<u<v<y.

Итак, у — z. А тогда из (3) и (4) получим

y—z—u—v,

и уравнение (5) напишется в виде

\1у=у2.

Отсюда

х±у(у-1\). (6)

Равенство (6) и дает все целые решения, если давать у любые целые неотрицательные значения. Например, будем иметь

№ 29

Доказать, что при любом целом п>4 числа п? — Зп не может быть точным квадратом.

1. Положим

п{п — 3) = а\ (1)

Если n = k2t то из (1) и л— 3 должно быть точным квадратом. Но этого не может быть, так как при л>4 разность между k2 и ближайшим меньшим квадратом будет уже больше трех.

Если л не есть точный квадрат, то он должен иметь общие множители с л— 3. Таким общим множителем может быть только 3 (так как п — — (л — 3) = 3). Положим, л = 3/п. Тогда

п (л — 3) = 9т (т — 1) = а?.

Следовательно, m (m — 1) должно быть точным квадратом. Но этого не может быть, так как

(т— \у<т (т— 1)</и2,

т. е. m {m — 1) заключено между двумя последовательными квадратами.

2. Более короткое решение: неравенство

(л — 2у<п* — 3п< (л —I)2

(легко доказываемое для л>4) сразу доказывает и требуемое положение.

№ 30

Решить уравнение

дб__ i7jc4_i2jc3-f 33дг2 + 4дг—1 =0.

Несмотря на кажущуюся простоту, уравнение с трудом поддается элементарному решению. Так как множители свободного члена 1 и —1 не являются корнями уравнения, то, значит, выделить множитель первой степени с рациональными коэфициентами мы не сможем. Попробуем поэтому выделить множитель второй степени. Обычный способ разложения на множители способом группировки дал бы результат лишь после многих неудачных попыток. Воспользуемся методом неопределенных коэфициентов. Именно, положим:

лс« _ i7jt4 _ 12лгЗ +33*2 + 4*— 1 — — (х^ + ах — 1)(лг*-т Ьх*+сл' + ах+\). (1)

(Попытка взять свободный член с плюсом в первом множителе не привела бы к результатам). Перемножив многочлены в первой части, получим:

х* + (а + Ь)хЬ + (аЬ-\-с— 1)д^ +

+ (ас + d — b) лгз + (ad с + 1) х* +

+ (a-d)x- 1. (2)

Сравнивая коэфициенты при одинаковых степенях (2) и левой части первого, получим систему уравнений:

а + 6 = 0; (3)

ab + c — 1 = — 17; (4)

ac-\-d—b — —Yl\ (5)

ad — с+1 = 33; (6)

a — d=4. (7)

из (3) имеем а ш* — Ь. Делая подстановку в остальные уравнения, будем иметь:

4-е = --16; (8)

— bc+d — 6 = — 12; (9) _ bd— с = 32; (10)

— b — d = 4. (11)

Сложим (8) и (10):

— b* — bd= 16 или —b (b + d)=\6.

Приняв во внимание (11), находим: b » 4.

Теперь имеем:

а = -Ь = — 4.

Из (8):

С = £2 — 16 = 0,

И из (11)

d=—b — 4 = -S.

Итак, имеем два уравнения:

х*-4х — 1=0; (12)

л:* + 4*з — 8* + 1 = 0. (13)

Первое из них сразу дает:

Для решения второго преобразуем его в биквадратное с помощью подстановки: х — у— 1. Получим:

— 6>2 + б = 0.

Отсюда найдем

и, следовательно:

№ 31

или:

По условию это равенство справедливо при любом п. Следовательно, должно быть: у—4\ 7х — v=10, т. е. *=7. Искомая прогрессия:

7; 11; 15; 19... № 32

В семизначном числе, имеющем 108 делителей, первая цифра (слева) /, вторая 0. Это же число, уменьшенное в 12 раз, имеет 70 делителей, а увеличенное в 18 раз —160 делителей. Найти это число.

Обозначив искомое число через N, будем иметь по условию:

1000000<ЛГ<1 100000. (1)

Причем:

N имеет 108 делителей.

имеет 70 делителей.

Пусть

//=2Л3»Ж,

где M включает все остальные множители. Обозначив число делителей M через р, будем иметь

(а+\)(Ь+\) />=108; (2)

(а --1)6/7=70; (3)

(а + 2) (6 + 3) /7=160. (4)

Отсюда:

Решаем эту систему обычным способом. После упрощений получим:

19л6 = 35д + 896 + 35: (5)

9я6 = 21а + 306+42. (6)

Умножим (5) на 9, а (6) на 19 и, вычтя первое из второго, после сокращения найдем:

4а— 116 + 23 = 0.

Отсюда:

(7)

Найти арифметическую прогрессию, сумма п членов которой равна п {2п-\-5) Обозначив первый член через *, разность через у, получим равенство

Подставив в (6), получим квадратное уравнение:

11^ — 62* + 35 = 0,

решив которое, найдем Ьх = 5, Ъ2 = —.Очевидно, второй корень не годится. Итак, b = 5. Подстановкой в (7) найдем: а = 8. Подставив найденные значения а и b в любое из равенств (2),(3), (4), найдем р 2.

Следовательно, число ЛГ имеет всего два делителя. Это значит, что оно является простым шелом. Итак, имеем

N = 28 • 35 . M = 62 208 M. (8)

Подстановка в (1) дает:

1 000 000 < 62 208 M < 1 100 000.

Отсюда

16 < M < 17,7. Следовательно, M = 17. Подставив в (8), найдем ЛГ= 1057 536.

№ 33

Решить уравнение:

cotg3 x -f - cosec3 л: = 3. Обозначим coigx=y; тогда cosec x r= 2: y/j _j_v2 Будем иметь:

Преобразовываем уравнение (1)

Имеем два квадратных уравнения. Первое:

дает

Второе уравнение дает для у мнимые корни.

Итак:

По вычислении получим:

cotg хг = 0,8723; cotg х2 = — 1,8723.

Отсюда:

^=48° 54° + 180°л; Ло=151° 53' -f IMP*

Поверка (по таблицам натуральных значений) показывает, что оба корня удовлетворяют данному уравнению.

№ 34

ADB, который, как легко вычислить, равен 1571f2°. В треугольнике ADB нам известны: AB — данная гипотенуза, BD — данная разность отрезков и £ADB. Отсюда построение.

Строим aADB по двум сторонам и углу против большей из них (угол ADB легко построить, так как он равен 180° — “Ту- При вершине В и стороне BD строим £CBD=£DBA и из вершины А опускаем перпендикуляр АС на вторую сторону этого угла Полученный л А СВ — искомый. Решение единственное и возможно всегда при условии BD < AD.

Черт. 1

№ 35

Построить треугольник по основанию а, углу А и радиусу гс вневписанного круга.

1 ) Известно, что СЕ—СР=р (черт. 2). Напомним вывод: АЕ = AD и В F — BD; 2р=СА + AD +

Черт. 2

Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и разности двух отрезков, соединяющих центр вписанного в этот треугольник круга с вершинами его острых углов.

Соединив центр вписанного круга О с вершинами острых углов А И В, получим 21 АОВ= 135° (так как OA и OB — биссектрисы). Отложив OD—OA (черт. 1) на OB (если 0£>ОЛ), получим угол

Отсюда СЕ—р. Следовательно:

2) Если бы мы знали AD, то в треугольнике ABC нам были бы известны: сторона а, противолежащий угол А и разность двух других сторон. Такой треугольник легко построить (Напомним: отложив АМ=АВ на АС, получим треугольник СМ В, в котором известны: сторона СВ—а, сторона СМ~Ъ — си угол СМВ=90°-f-- , лежащий против большей из них.)

3) Так как £ А дан, то известен и ^ ЕЛ#= = 180° — ^ А. Но тогда мы можем в этот угол вписать окружность данным радиусом гс. Этим самым находим отрезок AD.

Таким образом, мы имеем все данные для построения искомого треугольника.

№ 36

Построить треугольник по сумме двух сторон Ь-\-с, разности углов В —С и радиусу ге вневписанного круга.

Пусть д ABC — искомый (черт. 3). Проведем ОЕ±ВС. Тогда:

СЕ—р и ВЕ=^р — а

(см. предыдущую задачу).

Черт. 3

Отложим ED—BE—P — а. Тогда :

т. е. отрезок CD —данный.

Проведем из D касательную к вневписанной окружности до пересечения в Ах с продолжением CA. Тогда:

ED = DF и а ВОЕ = д EOD = д DOF, т. е. Z ABD = Z BDF или Z ЛВС = FDtf = ^ £. Из AC/^D имеем

£A1 = £AiDH-£C = /mB-£C,

т. е. угол при вершине j4j — данный. Треугольник CA]D мы можем, таким образом, построить по данным: стороне Ь-\-су противолежащему углу В — С и радиусу гс вписанного круга. Построив этот треугольник, откладываем ЕВ = ED и из В проводим касательную ВА. Треугольник А ВС — искомый.

Можно показать, что условием возможности построения (т. е., по существу, возможности построения д AVCD) будет

№ 37

В треугольнике ABC проведены: DE К ВС FG I! АС и H J Q AB так, что в шестиугольник DEFGHJ можно вписать круг. Доказать, что из отрезков DE,FG и HJ всегда можно построить треугольник. (Черт. 4).

Черт. 4

Очевидно, что круг, вписанный в шестиугольник DEFGHJ, есть в то же время круг, вписанный в данный треугольник ABC, радиус которого

Из параллельности отрезка DE стороне ВС треугольника следует, что д ADE оо д АСВ, а отсюда, из пропорциональности сходственных сторон сходственным высотам, имеем:

Отсюда:

(1)

Аналогично получим:

(2)

Без ущерба для общности можем положить DE<FG<HJ

Тогда для доказательства положения задачи достаточно доказать, что DE + FG^HJ. Имеем:

Но с > а — b и с2 > (а — Ь)\ Следовательно,

№ 38

Доказать, чnо если sin х -f- sin v = 2sin (x -f-_y) и х-\-уф 2kx, то

Данное в задаче условие можно представить в таком виде:

Отсюда или

т. е. x гу = 2ku, что противоречит условию или же:

Отсюда

и по разделении на

№ 39

Доказать тождество:

Преобразуем левую часть:

№ 40

Черт. 5

Пусть искомая секущая пересекает окружность радиуса R в точках А и В и окружность радиуса г в точках С и D Обозначим половину каждого из полученных равных отрезков через x. Тогда:

АВ= ВС= CD = 2х.

Опустив из О и Oi перпендикуляры ОМ и ON на секущую и проведя 0\Р || AD, найдем:

(1)

Из Л OPOi имеем:

Отсюда после упрощений:

Отбросив решение х = 0, найдем:

или

Таким образом по данным R и г отрезок х мы сможем построить. Теперь задача решается легко, хотя бы так: строим прямоугольный треугольник ОРО\ по гипотенузе О Ох = R + г и катету 0\Р — = 4*. Продолжаем ОР и откладываем OAf — = V#2 - х\

Проводим из Oi радиус, параллельный ОМ, и откладываем ON—^/r* — jc2.

Точки M и N определяют положение секущей. Условие возможности решения:

16 Rr - (R -f-r)a >0. т. е.

К двум внешне касающимся окружностям провести секущую так, чтобы окружности отсекли на ней три равных отрезка. (Черт. 5).

ЗАДАЧИ

81- Решить уравнение:

C0S3& sinSS cos X ' sin X 9

где $ — данный, a x — искомый угол.

82. Решить уравнение:

2 arctg x + arctg -y =it.

831. Найти четыре целых положительных числа af Ь, с, d таких, что а, Ь, с образуют геометрическую, Ь, с, d — арифметическую прогрессию и с + ûf=44.

84. Доказать, что уравнение je3 — Зу2=17 не имеет решений в целых числах.

85. Дано 2/7 +1 последовательных целых чисел. Доказать, что за одним исключением сумма и разность произведений р первых и р последних чисел делятся на р (р +1). Определить условие, при котором теорема не имеет места.

86. Доказать, что если 2п+1=р* где р — простое число, то k есть степень числа 2.

87. Дано, что число

апЬп (д^_|_у2«)

делится на ху (а2 + Ь1) — ab (л;2 +J>a). Доказать, что и число хпуп (а^ + б2*) делится на тот же делитель (a, b9 x, у — натуральные числа).

88. Доказать, что при всяком целом значении п число

п (л*— 1) (я* — 5л + 2б)

делится на 120.

89. Существует ли такой треугольник, в котором как стороны, так и углы составляют арифметическую прогрессию?

90. Доказать, что уравнение

Jt* +3/7*+1=0

не может иметь рациональных корней при р целом и не равном нулю.

91. Некто N родился в XIX веке. В 1901 г. сумма цифр числа лет, прожитых им, равнялась сумме цифр года его рождения. В каком году родился iV?

92. Некто N жил в XIX веке. Суммы цифр года его рождения и смерти одинаковы. Число прожитых им лет начинается цифрой 8. Определить год рождения M

93. Решить уравнение:

(хп + ап) (V“xn - Зу/вп-)2__ 8а>п=0.

94. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD. BE, CF внутренних углов, а через середины биссектрис проведены перпендикуляры MMi \_AD\ NNï±BE\ РРг J_ CF (M, Aft. N, Ж P. Px соответственно на Л С AB, AB, ВС, ВС, АС). Доказать, что площадь д MNP = площади а М^Р^площади aDEF.

95. Внутри треугольника ABC через вершины В и С провести секущие BD (D на АС) и СЕ (Е на AB), пересекающиеся в точке F так, чтобы около четырехугольника AEFD можно было описать и в него можно вписать окружность. 96. Нужно было скроить из материи шар, Пришлось представить себе поверхность шара разделенной на „п“ полосок ОАОхВ (см черт. I), заключенных между двумя полумеридианами OAOi9 ОВО\, и считать, что эту полоску можно совместить с плоскостью. Следовательно, при достаточно малом AB полоску ОАО\В можно считать -у частью поверхности полуцилиндра.

Отсюда новый способ вычисления поверхности и объема шара. Действительно: при AB = Ль л2,..., ля,..., если äj.ä2,. .., лп,... -*0., а п -+ оо, поверхность шара является пределом, к которому стремится сумма п поверхностей ОАОхВ, т. е.

Черт. 1

Выразим поверхность ОАОф, принимая ее за часть поверхности полуцилиндра (см. черт. 2 и черт. 3 — в развернутом виде)

Черт. 2 Черт. 3 Черт. 4

1 Задачи 82—86 взяты из „The american Mathematical monthly“, 1945.

но при AB, взятом по экватору

следовательно

На самом деле поверхность шара 4izR*. В чем же ошибка?

С. Андреев (Горький) 97. За объем шара можно принять предел, к которому стремится сумма объемов ОАОхВС, ограниченная полукругами ОАО\С и ОВО]С и поверхностью ОАОхВ% которую при достаточно малом AB можно принять за часть поверхности цилиндра, т. е.

Выразим объем ОАО\ВС, принимая его за часть объема цилиндра. Voao.bc есть половина объема полуцилиндра DEABFK^ следовательно:

Тогда

На самом деле

В чем ошибка?

С. Андреев (Горький)

98. Если в треугольной пирамиде один из плоских углов при вершине — прямой, а высота пирамиды проходит через точку пересечения высот основания, то и прочие плоские углы при вершине — прямые. Доказать.

99. Из данной точки на окружности опустить перпендикуляр на диаметр при помощи лишь одной линейки (центр окружности неизвестен).

100. Доказать, что не существует выпуклого многогранника, имеющего семь ребер.

ОТ РЕДАКЦИИ:

В № 2 журнала „Математика в школе“ за 1946 г. в статье проф. Н. Ф. Четверухина „Стереометрические задачи на проекционном чертеже“ по техническим причинам допущена неточность в расположении чертежей 17-21. В соответствии с указанием в тексте на каждом чертеже большая сторона параллелограмма должна быть наклонена к горизонтальной линии под утлом в 7—10°.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Научно-популярный отдел П. С. Александров — Научное содержание школьного курса алгебры..... \

Методика

С. И. Новоселов — Учение о функциях в средней школе.......... 22

В. К. Матышук — Методика преподавания обратных тригонометрических функций в средней школе...... . . ... ....... 38

B. Л. Минковский — Математические софизмы и их педагогическая роль ... 49

C. В. Филичев — Об изменении программы по арифметике в V классе семилетней и средней школы........................... 56

Из опыта

Л. Г. Круповецкий — Закон о пятилетнем плане на уроках арифметики .... 61

Хроника

Работа кафедры математики Московского городского института усовершенствования учителей за 1945—46 учебный год................. 67

Критика и библиография С. И. Новоселов — Обзор новых книг .................... 69

Задачи

Решение задач............................... 71

Задачи.................................... 73

№ Главлита А 02705. Заказ № 4255 Тираж 20 000 экз.

Редакционная коллегия: Ответственный редактор А. Н. Барсуков Зам. ответственного редактора С. И. Новоселов Члены редакционной коллегии: проф. Н. Ф. Четверухин и проф. В. В. Немыцкий Техн. редактор В. /7. Рожин

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды 6, Учпедгиз Министерства просвещения РСФСР

Подписано к печати 9/1 1947 г. Печ. листов 5. Учетно-изд. л. 8,02 Печ. зн. в 1 п. л. 72 000-Цена 9 руб. _

Тип. Л* 2 Управления издательств и полиграфии Ленгорисполкома