МАТЕМАТИКА ШКОЛЕ

4

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКВА 1946

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 4 1946

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

НАУЧНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА АЛГЕБРЫ

П. С. АЛЕКСАНДРОВ

действительный член Академии педагогических наук

Вместо предисловия

Задача этой статьи — помочь преподавателю математики в средней школе создать себе непротиворечащую современной математической науке перспективу на содержание курса школьной алгебры, объединить отдельные главы школьного курса общими направляющими идеями, а главное, привлечь внимание преподавателя к вопросам, совершенно просто и естественно возникающим при преподавании курса алгебры, но вовсе не столь просто решающимся (таков, например, вопрос о тождественных преобразованиях — один из центральных в курсе школьной алгебры). Изложение этой статьи должно быть совершенно доступно всякому преподавателю средней школы: все понятия, которыми я пользуюсь и которые выходят за пределы школьного курса, вполне общеизвестны, точно определены, а доказательства, хотя и сжаты, но, как я надеюсь, не содержат логических пробелов, а большего и нельзя требовать, когда речь идет о материи, по существу элементарной.

Если читателю что-нибудь покажется трудным в вопросах, касающихся непрерывности функций от нескольких переменных, то пусть он воспримет это как сигнал, требующий освежения его познаний в области анализа и начатков теории функций действительного переменного; все, что я об этих вещах пишу, опирается лишь на знания и навыки, которые читатель должен был приобрести в педвузовском курсе математики.

В последней главе я конспективным образом напоминаю основные факты из теории систем уравнений первой степени и разбираю их на совершенно элементарных примерах. Делаю это потому, что до сих пор теория систем линейных уравнений, как она изучается в так наз. „высшей“ алгебре, совершенно оторвана от того, как преподаются системы линейных уравнений в школе, и отрыв этот, к сожалению, существует не только в преподавании, но и в психологии, а очень часто — и в самих познаниях учителя, не всегда умеющего и для себя проложить мост между „элементарным“ и „высшим“. Я искренно хотел бы помочь нашему учителю математики в расширении его научного кругозора как раз в тех вопросах, которые наиболее тесно связаны с его повседневным преподаванием, и был бы очень счастлив,

если бы мои усилия хоть в малой мере содействовали разрешению этой большой и давно назревшей задачи.

Ссылки на литературу обозначены в тексте цифрами в квадратных скобках.

ЛИТЕРАТУРА

[1]. П. С. Александров. Введение в теорию групп.

[2]. И. В. Арнольд, Теория чисел.

[3] П.С. Александров и А. Н. Колмогоров. Алгебра, ч. I. для средних школ.

[4]. П. С. Александров и А. Н. Колмогоров. Приближённые вычисления и иррациональные числа — ст. из журн. .Математика в школе“ 1941 г. № 2—3.

[5]. П. С. Александров и А. Н. Колмогоров. Введение в теорию функций действительного переменного.

[6]. М. Бохер. Введение в высшую алгебру, перевод под редакцией проф. А. Г. Куроша.

|7].Шрейер и Шпернер. Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении.

I. СТРУКТУРА КУРСА ЭЛЕМЕНТАРНОЙ АЛГЕБРЫ

Своими начальными главами школьная алгебра примыкает к арифметике: и здесь и там предметом изучения служат действия над числами, однако, арифметика в первую очередь учит действиям над явно заданными числами и в своих простейших задачах восходит от заданных чисел путем производства более или менее длинного ряда действий к их результату — искомому числу (путь прямой или синтетический). В противоположность этому, в основной задаче алгебры — в решении уравнений, из условий задачи, в результате производства таких-то действий над искомым, неизвестным числом, получается какое-то заданное известное число, и именно из этих данных искомое число надо найти путем обратным или аналитическим. Из этого следует: а) необходимость записывать действия над неизвестными числами, которые приходится обозначать буквами; б) необходимость знать основные свойства арифметических действий, остающиеся одними и теми же независимо от того, производятся ли они над известными или неизвестными числами; в) необходимость иметь раз навсегда установленные правила преобразования одного буквенного выражения в другое, равное ему при всех численных значениях входящих в него букв, т. е. правила тождественных преобразований. Однако, помня, что буквы в алгебраических формулах обозначают числа, мы, развивая формальные правила алгебраических действии, естественно сталкиваемся с требованием, направленным уже к нашему числовому запасу— с требованием выполнимости, в пределах этого числового запаса, всех четырех элементарных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Это требование вместе с аналогичным требованием по отношению к более сложному действию извлечения корня и повело к постепенному расширению той области чисел, в которой развертываются алгебраические действия. Для арифметики исходной числовой областью является область всех натуральных, т. е. целых и положительных чисел. В ней всегда выполнимы действия сложения и умножения, а обратные действия — вычитание и деление — не всегда выполнимы. Происходящее еще в рамках арифметики первое расширение числовой области— введение дробных чисел — обеспечивает в полученной таким образом области всех положительных рациональных чисел неограниченную возможность деления. Следующий шаг—- обеспечение возможности вычитания — оказывается как исторически, так и методически значительно более трудным и осуществляется введением сначала нуля, а затем всех отрицательных чисел. Полученная числовая область, называемая полем всех рациональных чисел (она состоит из числа нуль и из всех положительных и отрицательных, как целых, так и дробных чисел), допускает осуществление всех четырех действий, ограниченное лишь одним исключением: невозможностью деления на нуль. Это единственное исключение не снимается ни при каком дальнейшем расширении понятия числа: его снятие несовместимо с основными свойствами или „аксиомами“ алгебраических действий (см. гл. III, § 1).

Техника вычислений с буквенными выражениями (т. е. правила тождественных преобразований), с одной стороны, а с другой—доведение числовой области до поля всех рациональных чисел (т. е. в основном — введение отрицательных чисел) и составляет содержание первого отдела курса элементар-

ной алгебры. Второй отдел составляет учение об уравнениях первой степени. Он открывается „теорией пропорций“, с которой естественно связывается подробное исследование простейшей функции—линейной функции одного переменного.

Изучению квадратных уравнений предшествуют:

а) расширение понятия буквенного алгебраического выражения: теперь наряду с рациональными выражениями рассматриваются иррациональные и изучаются некоторые правила их тождественных преобразований;

б) введение иррациональных чисел и доведение числовой области до поля всех вещественных чисел.

Теория квадратных уравнений ведет к последнему расширению понятия числа — к полю всех комплексных чисел. Весь этот материал, пополненный еще простейшими уравнениями высших степеней, образует третий отдел курса. Эти три отдела составляют в своем роде законченное целое — начальную часть науки „алгебра“.

Параллельно происходит и постепенное овладевание понятием функции: я уже говорил, что линейная функция одного переменного непосредственно сопутствует изучению простой пропорциональной зависимости. Тут же дается и график линейной функции (геометрическое изображение чисел знакомо учащимся еще с момента введения отрицательных чисел). Достаточно углубленное изучение функций у = ах2 -f- Ьх + с и ее графика сопровождает главу о квадратных уравнениях (тут же дается геометрическое истолкование случаев действительных различных, совпадающих и мнимых корней квадратного уравнения как случаев того или иного расположения параболы у = ах2 -\-bx-\-c относительно прямой _у = 0).

Развитие собственно алгебраической теории представлено в последующих частях курса главным образом кругом вопросов, связанных с так называемой теоремой Безу. В остальном дальнейшие главы школьного курса алгебры единого характера не имеют. Однако от умения преподающего зависит как нахождение объединяющих моментов, так и выделение вопросов принципиального характера. Так например, естественно в отделе о показательной и логарифма ческой функциях вернуться к арифметической и геометрической прогрессиям. Весь этот отдел по существу вообще гораздо содержательнее и интереснее, чем обычно его излагают в школе. Прежде всего в нем учащиеся впервые сталкиваются с трансцендентными функциями, и это обстоятельство можно с пользою и интересом подчеркнуть, особенно, если перед этим была найдена возможность хотя бы некоторого ознакомления не только с целыми рациональными функциями первых двух степеней, но и с дробнолинейной, а может быть — и с простейшими иррациональными алгебраическими функциями и, конечно, с их графиками. Далее логарифмические вычисления естественно приводят к приближенным вычислениям вообще, с которыми учащиеся еще ранее должны были познакомиться в связи с извлечением корня и действиями над иррациональными числами. Между тем именно приближенные вычисления представляют собой наиболее естественный путь к овладению понятием непрерывности функции, тем более, что тут же. по соседству, в связи с бесконечными геометрическими прогрессиями находит свое естественное место и понятие предела, правда, не непрерывной функции, а числовой последовательности.

Пестрота программы второй части курса алгебры сама по себе не составляет беды: следует помнить, что школьный курс алгебры имеет своей задачей не только познакомить учащегося с начатками собственно алгебры (это ознакомление происходит в первых трех отделах курса), но в не меньшей степени ввести его в мир простейших основных общематематических понятий о числе, о пределе, о функции, ее непрерывности, ее геометрическом изображении и т. д. Однако для того, чтобы этот разнообразный материал не превратился в бессмысленный калейдоскоп ничем не связанных между собою понятий, необходимо, во-первых, чтобы он преподавался на большом конкретном материале задач, примеров и различных приложений к геометрии, механике, физике и т. п., и, во-вторых, чтобы он освещался небольшим числом действительно хорошо продуманных преподавателем общих точек зрения, соответствующих современному состоянию математических знаний.

II. ИСТОРИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КУРСА ЭЛЕМЕНТАРНОЙ АЛГЕБРЫ

Отдельные алгебраические задачи, приводящиеся к уравнениям второй и даже третьей степени, умели решать еще в глубокой древности в Вавилоне, около 2000 лет до н. э. Однако задачи эти решались кустарным способом, при помощи специально составленных для каждой такой задачи таблиц, в которых, говоря современным языком, давались значения функции („левой части уравнения“) для последовательных значений аргумента и определялось значение аргумента, соответствующее заданному значению функции, что и давало решение уравнения. Естественно, что никакие общие методы не могли быть найдены в эпоху, когда основные усилия математической мысли были еще направлены на такие вопросы, как действия с дробями, когда не были открыты ни десятичная система счисления, ни отрицательные числа. Тем более вызывает удивление сила мысли, проявленная при решении отдельных задач.

Центральное место в греческой математике занимала, как известно, геометрия. Для всей античной математики типична геометризация алгебраических и арифметических задач. Например, формула

(a-f ô)* = a»+2aô-+ b*

записывается у Эвклида в геометрических терминах. Методы геометрической алгебры применяются Эвклидом как для построения помощью циркуля и линейки сложных иррациональных выражений, естественно содержащих лишь квадратные корни, так и для общего решения квадратных уравнений.

Однако не менее важным, чем осуществленный ко времени Эвклида прогресс в решении задач (пусть своебразным методом геометрического построения), является и достигнутое к тому времени познание в направлении основных свойств множества чисел. Так, к этому времени (IIIв. до н. э.) математика:

а) владеет вполне отчетливым пониманием бесконечности множества всех натуральных, даже всех простых чисел;

б) свободно производит все действия над положительными рациональными числами; в) в эвклидовой теории отношений получает поразительный по своей силе суррогат иррациональных чисел;

г) несколько десятилетий спустя — благодаря несравнимому гению Архимеда (около 287—212 гг. до н. э.)—вплотную подходит к основным идеям не только теории пределов, но и интегрального исчисления.

Рассматривая греческую математику в целом, мы не можем не поражаться неравномерности развития отдельных ее частей: весь блеск греческой геометрии, вся глубина открытий Архимеда развивались в обстановке, когда все еще не существовало ни сколько-нибудь разработанной теории алгебраических действий, ни теории уравнений первой степени, ни даже теории отрицательных чисел. Эти пробелы греческая наука восполняет —и то не совсем до конца — лишь много столетий спустя в трудах Диофанта (вторая половина третьего века нашей эры). В „Арифметике“ Диофанта мы находим основные правила решения уравнений первой степени (перенесение членов с одной стороны на другую), по существу пользование отрицательными —„отнимаемыми“—числами, которые, однако, появляются лишь в качестве промежуточных звеньев при решении уравнений и самостоятельного существования еще не имеют: решения уравнений должны еще непременно быть положительными.

Окончательное введение отрицательных чисел составляет уже заслугу индусских математиков, из которых назовем: Äryabhatta (род. в 476 г.), Brahmagupta (род. в 598 г.), Bhâskara (род. в 1114 г.).

Второй заслугой индусов, не менее важной, чем первая, является введение десятичной системы нумерации и доведение техники математических вычислений до уровня гораздо более высокого, чем все, что им в этом отношении предшествовало.

Арабы (Омар Альхаями, 1040—1124) умеют геометрически решать уравнения 3-й степени при помощи конических сечений; кроме того (но в настоящей статье нас это не интересует) — они вводят тригонометрические функции и устанавливают их основные свойства. В остальном арабы выступают, главным образом, как хранители и комментаторы матемаматического наследия греков и индусов. Эту их историческую роль не следует недооценивать: неизвестно, сколько времени и сил понадобилось бы на вторичное открытие математических фактов, из-

вествых древним, если бы арабы не пронесли их через темную ночь европейского средневековья.

На западно-европейской почве математические, в частности алгебраические, идеи возрождаются в сочинениях Леонарда Фибоначчи (начало тринадцатого века), посвященных арифметике (в том числе и коммерческой) и алгебре,—уравнения первых двух степеней, иррациональные выражения, отдельные уравнения третьей степени.

Полное решение уравнений третьей степени было получено лишь в XVI в. Ферро, Тарталья и Кардано. В этом же веке учеником Кардано Феррари было дано и решение уравнений четвертой степени. Если уравнения первой степени не требуют для своего решения ничего, кроме первых четырех действий, то квадратные уравнения решаются в радикалах: формула, позволяющая найти корни квадратного уравнения, если даны его коэфициенты, как известно, содержит радикал второй степени. Аналогичная формула Кардано для решения ураввения третьей степени1 содержит, кроме того, радикалы третьей степени и имеет то неудобство, что иногда и для действительных корней уравнения дает запись в мнимом (или „существенно комплексном“, т. е. содержащем мнимую единицу) виде. Этот случай, имеющий место, например, при решении по формуле Кардано уравнения Xs— \5х — 4=0, известен под названием casus irreducibilis. Он-то и был открыт Кардано (сама же формула, носящая имя Кардано, была ранее его известна и Ферро и Тарталья). Общее уравнение степени выше четвертой уже не решается в радикалах: при л > 5 не существует формулы, содержащей, кроме знаков первых четырех действий, лишь знак радикала и позволяющей по коэфициентам данного уравнения найти его корни (так, как это позволяет сделать формула квадратного уравнения, или, для уравнений третьей степени, формула Кардано).

Мы видели, что уже Кардано пользуется при решении уравнений комплексными числами. Однако в это время, и еще много времени спустя, этим числам еще не приписывается никакая математическая реальность, и допускаются они лишь в виде промежуточных этапов вычисления. Окончательный результат, выражающийся невещественным комплексным числом, считается несуществующим. Дальнейшее большое продвижение в учении об уравнениях высших степеней ведет в сторону доказательства основной теоремы высшей алгебры, утверждающей, что каждое алгебраическое уравнение имеет хотя бы один корень (не непременно вещественный). В этом направлении существенно продвинулся французский ученый Жирар (первая половина XVIII в.), который, не доказывая основной теоремы, владеет ее следствием: общее число корней данного уравнения равно (с учетом кратности этих корней) степени уравнения. Жирару предшествует Вьет (Viète, 1540—1603; также француз), развивший современное буквенное исчисление и доказавший свои знаменитые формулы, выражающие коэфициенты уравнения через его корни. Саму же основную теорему о существовании корня доказали Даламбер (не вполне строго в 1746 г.) и окончательно Гаусс (в 1799 г.). Это открытие, с которого надо считать возникновение высшей алгебры, требовало не только полного овладения понятием комплексного числа, но и пониманием достаточно глубоких свойств непрерывных функций комплексного переменного, которое возникло вследствие стремительного развития в восемнадцатом веке математического анализа (Ньютон. Лейбниц, Бернулли, Даламбер, Эйлер, Лагранж). До этих пор можно было говорить об алгебре, как о единой науке, теперь научное развитие алгебры происходит в рамках так называемой высшей алгебры, оказывающей на школьный предмет алгебры лишь более или менее косвенное влияние.

Элементарная алгебра так, как она сложилась к середине XVIII в., изложе-

1 Всякое уравнение третьей степени может быть приведено к виду je3Я = Ф тогда х определяется по формуле

Это и есть формула Кардано [1]. (Цифры в квадратных скобках означают ссылки на библиографию).

на в знаменитом руководстве Эйлера, о котором и скажем несколько слов в заключение этого исторического очерка.

Свою книгу по элементарной алгебре Эйлер написал в старости, находясь на вершине своей славы, в Петербурге. Как известно, в русской столице Эйлер провел несколько весьма плодотворных десятилетий своей жизни, состоя все время академиком Российской Академии Наук. Обстоятельства написания „Алгебры“ Эйлера весьма примечательны. Будучи в это время уже совершенно слепым, Эйлер диктовал свою книгу одному юноше, привезенному им из-за границы для помощи как в научных, так и в житейских делах. Молодой человек этот не имел никакого математического образования, и Эйлер, диктуя ему свою книгу, в то же время добивался (и с полным успехом), чтобы он понимал ее содержание. Так как юноша никакими особыми математическими способностями не обладал, то таким образом Эйлер проверял доступность своего изложения. И действительно, с этой стороны книга Эйлера не оставляет желать ничего лучшего. Алгебра излагается в ней одновременно с арифметикой. Начиная с элементарнейших арифметических понятий, Эйлер очень быстро переходит к мастерскому введению отрицательных чисел и действий над ними, давая образец изложения, которое с точки зрения его понятности невозможно превзойти и сейчас. Далее вводятся понятия делимости и простого числа, и только после этого —дроби. Весьма отчетливое изложение здесь прерывается, однако, туманными рассуждениями о бесконечности, приводящими великого автора к бессмысленному с современной точки зрения утверждению, что вдвое больше, чем—. Так как знакомство с книгой Эйлера и сейчас может быть горячо рекомендовано всякому преподавателю математики, то о таких содержащихся в ней несообразностях нужно особо предупредить. Однако их не так много. За дробями следует и учение о степенях и корнях; сначала разбираются квадратные и кубические корни, а далее вводится общее понятие степени, включая отрицательные и дробные показатели. Очень рано вводятся и логарифмы; тут же, в первой части книги читатель найдет и изложение формулы бинома Ньютона, представляющее методический интерес и в настоящее время. Первый том заканчивается прогрессиями и сложными процентами. Первая часть второго тома посвящена уравнениям первых четырех степеней. Изложение сопровождается огромным числом примеров и задач и представляет большой интерес и для современного преподавателя. Вторая часть —неопределенный анализ—в сущности занимается различными вопросами теории чисел, и нашим преподавателем средней школы может быть использована лишь в небольшой степени. С чисто исторической стороны особенно интересно отметить введение комплексных чисел (естественно в связи с извлечением квадратных корней из отрицательных чисел). Для понимания всех трудностей, которые представляло овладение ими даже для величайших математиков восемнадцатого века, поучительно, как Эйлер, несколько раз повторяя, что комплексные числа „невозможны и существуют лишь в нашем воображении“ (так как они ни больше, ни меньше нуля и не равны нулю), в то же время подчеркивает, что эти числа и важны и интересны.

„Алгебра“ Эйлера явилась прототипом всех последующих учебников элементарной алгебры, пожалуй, в неменьшей степени, чем „Начала“ Эвклида были прототипом учебников элементарной геометрии. В современной математике противополагают алгебру анализу и теории функций, считая, что алгебра отличается от анализа тем, что оперирует лишь с „конечными“ действиями и не знает понятия предела. С этой точкой зрения преподавателю необходимо ознакомиться и в ней разобраться, если он хочет отдать себе отчет в логической и философской структуре современной математики в целом. Однако я не думаю, чтобы в самом школьном преподавании точка зрения противоположения алгебры и анализа могла найти сколько-нибудь значительное отражение: школьный курс алгебры фактически является, и должен быть введением и в алгебру, и в анализ, и никакие соображения „чистоты алгебраического метода“ не представляются мне в средней школе уместными. Возможно более широкое привлечение, с одной стороны, геометрической наглядности, а с дру-

той—понятия функции (конечно, не в ущерб овладению техникой алгебраического вычисления) может только оживить преподавание и сделать его более доступным. Геометризация в изложении алгебры должна находить свое осуществление не только в систематическом пользовании графиками изучаемых функций (многочленов низших степеней от одного переменного, функции —и вообще дробно-линейной функции, показательной и логарифмической, а также простейших иррациональных алгебраических функций), но в систематическом употреблении геометрических представлений при решении систем уравнений с двумя, а может быть, и с тремя неизвестными. Для этого надо овладеть той богатой содержанием (а следовательно, и трудностями для усвоения) мыслью, что уравнение ах-\-Ьу = с есть уравнение прямой на плоскости, откуда уже легко выводится, что решить систему уравнений ах-\-Ьу=^с и a'x-\-bry —с' значит найти точку пересечения прямых, выражаемых этими уравнениями. Преодоление этой единственной трудности дает столь убедительную и вместе увлекательную картину и столь полное понимание вопросов, связанных с совместностью, независимостью, эквивалентностью уравнений (особенно если ее удастся распространить и на случай уравнений с тремя неизвестными, т. е. на случай плоскостей в пространстве), что жалеть усилия на овладение этим моментом изложения, по-моему, не приходится, даже если бы для этого пришлось пожертвовать другими пунктами программы (например, показательными и логарифмическими уравнениями). Речь идет о том, чтобы преподавание элементарной алгебры отразило простейшую из всех идей высшей математики — а именно основную идею аналитической геометрии об уравнениях простейших геометрических образов — прямых и плоскостей.

III ЧИСЛО В КУРСЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ АЛГЕБРЫ

1. Определение кольца, группы, поля.

Множество всех целых чисел, состоящее из всех положительных, из всех отрицательных чисел и из числа нуль, является, с точки зрения современной алгебры, примером так называемого кольца. Кольцом называется множество R, в котором определены два действия - сложение и умножение, удовлетворяющие следующим условиям.

1. Аксиомы сложения

1. Аксиома выполнимости: для всяких двух элементов а и b множества R существует определенный элемент с множества /?, называемый суммой элементов а и Ь:

c = a + b. (1)

2. Аксиома сочетательности (ассоциативности): для любых трех элементов a, b и с имеем:

(a + b) + c = a + (b + c). (2)

3. Аксиома коммутативности: для любых двух элементов au b имеем:

a-^b = b-{-a. (3)

4. Аксиома обратного действия: для любых двух элементов а и b существует единственный элемент ху удовлетворяющий условию:

a + x = b. (4j)

или, что в силу коммутативности то же самое, условию

х + а~Ь. (42)

Замечание к аксиоме 4. Аксиома 4, очевидно, выражает существование и единственность решения уравнений (4Х), (42) для любых а и Ь. В частности, уравнение а + х = а имеет в силу этой аксиомы единственное решение, называемое нулевым элементом или нулем данного кольца.1

1 Это определение нуля только кажущимся образом зависит от выбора элемента а. Докажем, в самом деле, положение: Если 0а есть корень уравнения а х = а, то этот же элемент 0а является и корнем уравнения b-\-x^b при любом элементе b кольца /?.

В самом деле, обозначим через d единственный, в силу аксиомы 42 корень уравнения х-\-а s b. Тогда имеем rf-f a=b, или, заменяя в этом равенстве а через а -\-0а, d + (a -{- 0а) — Ь. В силу ассоциативности сложения это равенство можно переписать в виде: (d -\- a) -f- 0а = Ь% т. е. в виде b -f 0л = by ч. т. д.

Элемент х, удовлетворяющий уравнению а-{-х = Ь, называется разностью между элементами b и а и обозначается через * — а. В частности, элемент 0 — а обозначается через — а и называется элементом, противоположным элементу а.

II. Аксиомы умножения

1. Аксиома выполнимости: для всяких двух элементов а и b существует определенный элемент с, называемый произведением элементов а и Ь:

c=*ab.

2. Аксиома ассоциативности: для всяких трех элементов a, b и с имеем:

(ab)c = а(Ьс).

3. Аксиома коммутативности:

для всяких двух элементов a ub имеем:

ab = ba.

Наконец, аксиома, связывающая действия сложения и умножения:

4. Аксиома дистрибутивности: для любых трех элементов a, b и с имеем:

(а -f- Ь)с = ас-\- be.

Кольцо называется полем (или алгебраическим телом), если, кроме перечисленных аксиом, в нем выполнена еще:

5. Аксиома обратного действия для умножения. Для любых двух элементов а и Ь, из которых а отлично от нуля, существует единственный элемент х, удовлетворяющий условию ах=Ь. Эта аксиома выражает требование однозначной разрешимости всякого уравнения вида ах = Ь, где афО. Решение этого уравнения называется частным от деления элемента b на элемент а и обозначается через — . В частности, элемент — всегда один и тот же, каково а бы ни было а -ф 0; он называется единичным элементом1 поля и обозначается обычно просто через 1.

Замечание к аксиомам 1— 4 — определение группы. Совокупность аксиом 1—4 выражает собою то, что множество R вместе с определенной в нем операцией сложения является коммутативной группой; аксиома 3 и выражает собою требование коммутативности. Если отказаться от этой аксиомы, получим систему аксиом любой (не непременно коммутативной) группы: группой называется множество элементов, в котором определено действие, названное нами здесь сложением, и удовлетворяющее аксиомам 1, 2, 4. При этом, формулируя аксиому 4, надо отдельно потребовать разрешимость каждого из уравнений (4г) и (42), так как без условия коммутативности левые части этих уравнений могут и не совпадать [1].

В кольцах, кроме действий сложения и умножения, оказывается неограниченно и однозначно выполнимым и действие вычитания, обратное сложению; в полях однозначно выполнимо и действие деления любого элемента b на любой отличный от нуля элемент а. Докажем, что без того, чтобы вступить в противоречие с остальными аксиомами поля, действие деления на нуль определить нельзя. Докажем, другими словами, что не существует поля, в котором деление на нуль было бы однозначно определено. В самом деле, из аксиомы дистрибутивности прежде всего следует,, что при любых а и с имеем (а-(-О)с-= ас-\-0с. С другой стороны, а + 0 = =а значит (а+0)с=ас. Итак, ас=ас-\-0с, т. е. для любого с имеем 0с = 0: произведение любого элемента поля на нуль есть нуль. Поэтому если бы ^- = с9 т. е. если бы существовал корень с уравнения 0х = а, то непременно было бы а = 0. Итак, при афО никакой элемент поля не может служить частным . Если же а = 0, то любой элемент X является корнем уравнения CU=a и, следовательно, может быть принят за частное так что в этом случае однозначного деления опять-таки не получается. Итак, в случае а ф 0 частное а:0 определить вообще нельзя, если же а = 0, то с равным правом всякий элемент поля может быть принят за частное ^ (что делает определение частного в этом случае бессодержательным).

1 Независимость единичного элемента — от специального выбора элемента а Ф 0 доказывается совершенно так же, как аналогичное утверждение для нулевого элемента.

2. Кольцо всех чисел.

Если нам дано множество каких-нибудь объектов, например, чисел, и в нем определены действия, называемые сложением и умножением, то вопрос о том, является ли данное множество, рассматриваемое вместе с этими определенными в нем действиями, кольцом или полем, решается проверкою, действительно ли указанные действия удовлетворяют соответствующим аксиомам. Посмотрим, как обстоит в этом отношении дело с самым важным и самым элементарным кольцом — с кольцом всех целых чисел. Заметим с самого начала: никакого определения того, что такое представляют собою натуральные (т. е. целые и положительные) числа, мы давать не будем: всякое определение сводит определенный предмет к каким-то более простым предметам, считающимся уже известными. Этот процесс сведения не может продолжаться бесконечно и должен когда-нибудь упереться в предметы, которые мы считаем данными нам и не нуждающимися ни в каком определении, ни в каком сведении к более простым и доступным предметам. К таким простейшим математическим понятиям и относятся целые положительные числа. Многие свойства этих чисел также признаются очевидными и не подлежащими доказательству. Однако чтобы наши рассуждения о натуральных числах не растекались в полную неопределенность, надо раз на всегда перечислить такие-то определенные их свойства, с тем, чтобы остальные свойства уже доказывать. Вот такой перечень свойств натуральных чисел, достаточный для того, чтобы все остальные свойства этих чисел были логическими следствиями свойств, входящих в этот перечень, и называется системой аксиом натурального ряда. Пеано был первым математиком, предложившим систему аксиом натурального ряда [2]. Пользуясь такой системой аксиом, можно строго определить действия с натуральными числами и доказать их основные свойства [2).

Чтобы от натуральных чисел перейти ко всем целым, надо ввести число нуль и отрицательные целые числа. По этому поводу надо раз навсегда сделать следующее замечание. В математике не существует никакого общего определения числа, из которого различные частные виды чисел (отрицательные, иррациональные и т. д.) получались бы той или иной спецификацией, т. е. указанием дополнительных свойств, выделяющих интересующие нас числа из всех вообще чисел. Поясним сказанное примером. Мы знаем, что треугольником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Имея общее определение треугольника, мы вполне содержательным образом говорим, что треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны. Мы получили определение равнобедренных треугольников, имея сначала общее определение треугольника и выделяя затем из класса треугольников подкласс равнобедренных помощью дополнительного условия: равенства двух сторон. При определении различных классов чисел ничего подобного не происходит, общее понятие числа вовсе не предшествует логически тем частным классам чисел (натуральные, целые, рациональные, вещественные, комплексные), которыми постепенно обогащалась математика, а является логической суммой этих классов; общее определение числа получается в результате последовательного расширения понятия числа, отправляясь от натуральных чисел.

В настоящий момент нас интересует первый шаг этого процесса расширения, именно — введение отрицательных чисел.1 Оно проще всего осуществится, если, наряду с имеющимися у нас положительными числами и нулем, мы каждому положительному числу а застав-

1 На введении нуля мы сейчас останавливаться не будем: по существу понятие нуля едва ли труднее понятия положительного целого числа -— недаром Эйлер, отступая от принятой в настоящее время терминологии, называл натуральными все положительные целые числа и число нуль; если же считать данными лишь положительные числа, то нуль можно формально ввести совершенно аналогично тому, как мы несколькими строками ниже вводим отрицательные числа. Заметим еще, что следующие рассуждения остаются дословно теми же, считаем ли данными все неотрицательные целые, или все неотрицательные рациональные, или все неотрицательные вещественные числа. Речь идет лишь о том, чтобы каждому положительному числу однозначно поставить в соответствие отрицательное с тою же абсолютной величиной и затем для пополненного таким образом запаса чисел определить арифметические действия, считая, что для положительных чисел целых, рациональных, вещественных эти действия уже определены.

ляем соответствовать некоторый новый, никак далее не определяемый предмет—а, который называется „отрицательным числом с абсолютной величиной а“. При этом эти новые, никак не определенные, „отрицательные“ числа мы считаем равными тогда, и только тогда, когда равны их абсолютные величины, и, кроме того, считаем их отличными как от числа нуль, так и от всех положительных чисел. Положительное число а я отрицательное—а с абсолютной величиной а называются взаимно-противоположными. Если условиться писать

— (—а) = а,

то на знак минус, поставленный перед числом (положительным или отрицательным), можно смотреть как на знак перехода к числу, противоположному данному.

Введенные, но никак не определенные нами отрицательные числа делаются полноправными новыми числами, как скоро мы определим для них правила действий. Это делается по общеизвестным правилам:

а) Если даны два отрицательных числа а и 6 с абсолютными величинами \а\ и |&!, то их сумма а-\-Ь определяется как отрицательное число с абсолютной величиной |a|-J-|ô|.

б) Если а и b два числа разных знаков (т. е одно— положительное, а другое— отрицательное) и если, положим, я|>1Н то их сумма равна, по определению: нулю, если |a| = |ô|; положительному числу |а| — \ъ\ъ если |а!>|&| и а положительно; отрицательному числу — (|а|—|6|), ес.7ш |а|>|*| и а отрицательно.

Наконец, и для отрицательных а по определению полагаем p-\-Q = a. Можно доказать, пользуясь этими определениями и уже доказанными свойствами действий для натуральных чисел, что определенное нами сложение удовлетворяет всем аксиомам 1—4 кольца.

Умножение определяется легко: абсолютная величина произведения равна, по определению, произведению абсолютных величин множителей, а знак произведения (т. е. является ли оно положительным или отрицательным) определяется по обычному правилу знаков. Теперь легко проверяются и остальные аксиомы кольца, и, таким образом, устанавливается, что совокупность всех чисел действительно есть кольцо.

3. Некоторые методические выводы.

Во-первых, „определение“ отрицательного числа при школьном преподавании должно ограничиться выяснением того конкретного смысла, который связан с их употреблением: долг и прибыль, „мороз“ и „тепло“, движение в одну и в другую сторону по данной прямой и т. д. Выбор той или иной из этих конкретных интерпретаций должен быть, конечно, предоставлен преподавателю; если желать, чтобы учащиеся хорошо поняли суть дела, то необходимо, конечно, разобрать несколько различных интерпретаций.

Во-вторых, правила действий над отрицательными числами должны быть введены как таковые, однако с тщательным выяснением их конкретного содержания, приводящим к пониманию естественности и целесообразности введения именно таких, а не других правил. Вот как поступает, например, Эйлер при введении правила умножения. Раз 5-3= 15, то естественно, что (—5)-3 = =—15, так как если у меня 5 руб. долга, то втрое больше будет 15 руб. долга. Но надо умножить также —5 на —3. Иллюстрировать это на прибыли и долге уже нельзя. Но желая, тем не менее, определить, сколько будет —5—3, естественно исходить из того, что абсолютная величина этого произведения должна быть попрежнему 15. Что же касается знака, то вспомним, что —5*3 = = —15. Естественно при умножении —5 на —3 знак взять противоположный тому, который мы брали при умножении того же множимого на 3, отсюда (—5)*(—3)= 15. После такого (или какого-нибудь другого) пояснения формулируется правило умножения, и на разборе многочисленных примеров показываются свойства всех установленных для отрицательных чисел действий, так что учащиеся видят, какую стройную картину образует совокупность этих свойств.

Третье методическое замечание: бессмысленно вводить наряду с положительными и отрицательными числами и числом нуль еще какие-то „числа без знака“. В соответствии с этим никаких „относительных чисел“ школьное преподавание математики знать не

должно, как не знает их математическая наука.

4. Поле рациональных чисел. Положительные дробные числа вводятся в начальном курсе арифметики. Методические трудности логического порядка здесь не возникают: Сима потребность в определении дробных чисел как нового (сравнительно с натуральными числами) рода чисел психологически отсутствует, так как учащиеся уже из опыта повседневной жизни привыкли к пользованию дробными числами. Что касается действий, то в настоящей статье уместно лишь напомнить, что с научной стороны здесь положение такое же, как и в случае отрицательных чисел: правила действий над дробными числами выражают собою определения этих действий и поэтому не доказываются.

Замечание. Необходимо обратить внимание на часто встречающееся смешение понятий дробного числа и его записи в виде той или иной дроби: одно и то же число, например, число — может быть записано бесконечным числом различных способов в виде дробей: —9 —9 —9 —..., а также в виде 3—, в виде 3,5 или 3,50 и т. д.; все это различные записи одного и того же числа, называемого „семь вторых“.

После того, как мы владеем числом нуль и всеми положительными рациональными числами, мы пополняем этот числовой запас отрицательными числами точно так же, как делали это в случае целых чисел. Таким образом получается поле всех рациональных чисел, которое и является числовым запасом первой части курса элементарной алгебры (до уравнений первой степени включительно).

5. Иррациональные числа впервые появляются в школьном курсе по поводу квадратных корней. Однако следует иметь в виду весьма часто возникающее у учащихся ошибочное впечатление, что иррациональные числа это и есть „корни“ (в том случае, конечно, когда они не извлекаются).

Введение иррациональных чисел, конечно, один из самых трудных моментов школьного курса. Здесь прежде всего снова надо иметь в виду, что никакого определения иррациональных чисел путем указания признака, выделяющего их из „всех вообще чисел“, не может быть дано. Наиболее удобным я считаю введение иррациональных чисел посредством бесконечных десятичных дробей, например, по следующей схеме. С одной стороны, напоминается, что каждой бесконечной периодической дроби ставится в соответствие некоторое вполне определенное рациональное число. С другой стороны, анализируется, что именно происходит при извлечении хотя бы квадратного корня из числа, из которого корень „нацело“ не извлекается: если брать все время приближенные значения „по недостатку“, то происходит построение бесконечной последовательности конечных десятичных дробей; при этом на числовых примерах производится оценка погрешностей, даваемых первыми звеньями этой последовательности. После того, как учащиеся приводятся к тому, что получаемые конечные десятичные дроби естественно рассматривать как „отрезки“ одной и той же бесконечной десятичной дроби, сообщается, что эта бесконечная десятичная дробь всегда непериодическая. Следующее рассуждение может служить пояснением: если бы, например, при извлечении квадратного корня из двух получилась бы бесконечная периодическая дробь, которой, как известно учащимся, соответствует некоторое рациональное г, то считая, что полученная периодическая дробь, сводной стороны, выражает искомый /2, а с другой — рациональное число г, мы должны были бы признать, что г2 = 2, что противоречит тому, что никакое рациональное число не дает в квадрате 2. После этого естественно прийти к убеждению, что бесконечные непериодические дроби выражают некоторые новые числа, отличные от рациональных и называемые поэтому „иррациональными“. Для того, чтобы учащиеся освоились с этими новыми числами, и особенно — с действиями над ними, необходимо все преподавание этого отдела вести с тесной связи с приближенными вычислениями [4].

Как я уже говорил, необходимо довести до сознания учащихся, что не все иррациональные числа могут быть получены извлечением корней из рациональных чисел, или даже в виде сколько угодно сложных „иррациональных“

выражений, содержащих лишь рациональные числа и, кроме четырех элементарных действий, еще действие извлечения корня. После решения квадратных уравнений можно при хорошем составе учащихся в данном классе, или во всяком случае в кружках особенно интересующихся математикой школьников, указать на то, что уравнения высших степеней, начиная с пятой, вообще говоря, уже не решаются в радикалах, т. е. для таких уравнений нельзя написать формулы, аналогичной формуле квадратного уравнения, которая позволила бы найти по коэфициентам уравнения его корни, лишь производя действия сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня. В связи с этим можно дать общее понятие алгебраического числа как числа, удовлетворяющего некоторому алгебраическому уравнению вида

о0х* + а1х*-1+...+ая_1х + ая**0 (1)

с рациональными коэфициентами а0, а19. •. ,ап. Естественно при этом сказать несколько слов о существовании неалгебраических или трансцендентных чисел, примерами которых могут служить 2 вообще р где рис рациональны, и корень из q нацело не извлекается. Трансцендентными числами являются и десятичные логарифмы чисел, не являющихся рациональными степенями 10, т. е., в частности, логарифмы целых чисел, кроме чисел вида 10* при целом п > 0. Эти последние факты тем более заинтересуют учащихся, что доказаны они лишь совсем недавно советским математиком А. О. Гельфондом. Доказанная немногим более полвека тому назад транцендентность числа тс при этом также упоминается. Говоря о транцендентных и алгебраических числах, преподаватель подчеркивает, что алгебраические числа суть корни уравнений (1) с рациональными коэфициентами; обычен вопрос: „Как же тс транцендентно, ведь оно удовлетворяет уравнению х — тс = 0“?

6. Комплексные числа вводятся в самом конце курса элементарной алгебры, хотя фактически знакомство с ними появляется, по крайней мере у лучших учеников, значительно раньше — вместе с квадратными уравнениями.

Один из возможных методических путей введения комплексных чисел таков. Прежде всего напоминаем, что множество вещественных чисел находится во взаимно-однозначном соответствии с множеством всех точек прямой. После этого ставим вопрос о создании такого числового запаса, который находился бы в достаточно естественном взаимнооднозначном соответствии с множеством всех точек плоскости. Эта геометрическая постановка вопроса естественно заставляет искать решение на пути объявления пар вещественных чисел новыми, „составными“ (или комплексными“) числами. Для этих чисел сейчас же вводятся действия сложения, вычитания и умножения на вещественное число, а также устанавливается, что вещественные числа являются частным случаем комплексных. Следует с само го же начала предотвратить ошибочное противопоставление комплексных чисел вещественным. После этого вводятся полярные координаты и тригонометрическая форма комплексного числа в которой особенно естественно определяется действие умножения („модули перемножаются, а амплитуды складываются“). Отсюда впервые получается и равенство г2 = — 1. Затем правило умножения переводится на язык обыкновенной записи комплексных чисел („в декартовых координатах“), причем в конце концов обнаруживается, что все действия можно производить по ранее установленным правилам действий с буквенными выражениями, заменяя лишь каждый раз i2 через — 1. Этот путь изложения теории комплексных чисел я применял в своей педагогичеческой практике и результатами оставался доволен.

Так же, как рациональные, а затем вещественные числа, комплексные числа образуют поле. В отличие от поля вещественных чисел, поле комплексных чисел не может быть упорядочено, т. е. между комплексными числами нельзя установить отношения „больше“ (или „меньше“) так, чтобы сохранились все свойства неравенств, имеющие место в поле вещественных чисел. Зато поле комплексных чисел имеет перед полем вещественных чисел преимущество алгебраической замкнутости: всякое уравнение

aQx? + alx“-l + ... + an_lx + an — Q

с любыми комплексными коэфициента ми имеет (комплексный) корень.

(Продолжение следует.)

ИСТОРИЧЕСКОЕ РАЗВИТИЕ И СОВРЕМЕННАЯ НАУЧНАЯ ТРАКТОВКА ПОНЯТИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

В. СЕВБО (г. Мукачево, Закарпатской обл., УССР)

В настоящей статье мы имеем целью кратко, в схематической форме, осветить вопрос об историческом развитии и современном содержании математического понятия функциональной зависимости.

Некоторые интуитивные представления о переменных величинах существовали даже у древних греков. Однако в эпоху средневековья эти представления были утрачены. И лишь в XVI столетии, с появлением буквенной символики, в математику вносится идея изменения, поскольку под каждой буквой можно понимать различные значения величины.

Первые, более или менее оформленные, представления о переменных величинах появляются в начале XVII столетия, в связи с изучением геометрических вопросов (Ферма, Декарт).

Именно Декарт в 1637 г. впервые выдвигает наглядно- геометрическую идею совместного изменения двух величин, рассматривая изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы.

Ньютон в 1671 г. также придерживается наглядного представления о переменной величине, исходя из идеи течения, отнесенного ко времени. „Я буду называть, — пишет он, — флюэнтами, или текущими величинами, величины, которые я рассматриваю как постепенно и неопределенно возрастающие“...

Само слово „функция“ (tunctio — исполнение, совершение) появляется впервые у Лейбница в 1694 г. опять-таки в наглядно-геометрическом понимании как отрезка, изменяющегося по определенному закону.

Вообще в XVII столетии имели место чисто геометрические представления о функции и примитивная концепция непрерывности функции, опирающаяся на образ кривой, не имеющей разрывов (связанность точек кривой).

XVIII столетие ознаменовалось переходом от интуитивно-геометрического представления о функции к аналитическому определению ее. Этот переход связан с именем Ивана Бернулли, у которого „функцией переменной величины называется количество, составленное каким угодно способом из этой переменной и постоянных“ (1718 г.).

Ученик Ивана Бернулли, знаменитый Леонард Эйлер, уточняет определение функции, говоря, что „функция переменной величины есть аналитическое выражение, составленное каким-нибудь способом из этой переменной величины и из чисел, либо постоянных величин“ („Введение в анализ,“ 1748 г.). С этого времени начинает развиваться аналитический взгляд на функцию, характерный для всего XVIII столетия. Формальный аппарат аналитического выражения начинает играть основную роль в определении каждой функциональной зависимости. И когда возникла надобность в изучении функций, графически заданных какими угодно кривыми, то относительно них выдвигался на первый план вопрос о возможности аналитического выражения их с помощью формулы (Даламбер, Эйлер, Лагранж, Д. Бернулли, Фурье).1 Даже понятие непрерывности, вообще строго не определявшееся тогда, связывалось с возможностью выразить функцию единым аналитическим выражением.

Дальнейшее развитие математики в первой половине XIX века ознаменовалось критическими исследованиями Гаусса, Коши, Дирихле, Римана и др. в области основных математических понятий и начал анализа бесконечно малых. В частности, Коши в 1823 г. вводит понятие о пределе переменной величины и точно формулирует современную концепцию непрерывности функции.

В свете этих критических исследований стало ясным, что формально аналитическое определение функции не может вполне удовлетворять требованиям современной науки, поскольку оно ограничивает задание функции лишь немногими известными нам аналитическими операциями и поэтому не может охва-

1 Мы имеем в виду знаменитую проблему тригонометрических рядов Фурье.

тить более сложных проблем современной математики и естествознания.

В связи с этим математика XIX столетия переходит к более обобщенному определению функции, данному впервые французским математиком Дирихле в 1837 г.: пу есть функция переменной х на отрезке а<л:<&, если всякому значению X на этом отрезке соответствует совершенно определенное значение у, причем безразлично, каким способом установлено это соответствие“.

Аналитическое выражение функции становится необязательным. Достаточно того, чтобы задание каждого значения л так или иначе определяло соответствующее ему значение ^. Например, так называемая функция Дирихле ср (х) определяется просто тем, что она равна нулю при всех иррациональных значениях х и равна 1 при всех рациональных х. Попытки отыскания аналитического выражения для функции Дирихле приводят к сложной формуле, которая никак не может помочь изучению свойств этой функции. Между тем сама функция существует и играет не последнюю роль в научных исследованиях.

Последним этапом на пути развития понятия о функции явилось дальнейшее обобщение этого понятия, основанное на теории множеств.

Появившись в конце XIX столетия, теория множеств постепенно выдвигается на первый план в математических исследованиях. Характерным для нее является распространение математических рассуждений и операций на новые обобщенные объекты, для которых становится необязательным иметь числовую, либо вообще количественную природу. Примерами нечисловых множеств могут служить: множество точек определенной геометрической линии, либо множество геометрических фигур определенной формы и пр.

С точки зрения теории множеств понятие функции одного аргумента связывается с соответствием между элементами двух множеств.

Если каждому элементу х одного множества X поставлен в соответствие совершенно определенный элемент у другого множества К, причем так, что каждый элемент у этого второго множества Y оказывается поставленным в соответствие по крайней мере одному элементу х множества X, то говорят, что имеем отображение множества X на множество У, или имеем функцию

У=/ (*),

аргумент которой „пробегает“ множество X, а значения функции составляют множество У1.

Из этой формулировки делается ясным, что в современной математической теории рассматривают функции, определенные для совокупности значений х, которые могут не заполнять интервала или отрезка а<х<Ь, упоминавшегося в определении Дирихле.

Например, функция-факториал

/(/1) = я!

ладана для дискретного множества целых положительных значений аргумента п.

Этим самым снимается последнее ограничение, касающееся непрерывности области изменения аргумента.

В такой новейшей концепции идея функциональной зависимости охватывает наиболее общие проблемы современной науки В частности, в геометрии она включает в себя общую идею геометрических преобразований, в которой имеем, по существу, соответствие двух множеств, составленных из чисто геометрических объектов, например, соответствие точек взаимно-симметричных фигур относительно данной оси, либо соответствие точек геометрических фигур с данным коэфициентом подобия и пр.

Для современного понимания функциональной зависимости характерны следующие три момента. Раньше всего должна быть определена совокупность или область (множество) значений аргумента, которую принято называть „областью определения функции“.

С теоретической точки зрения не может быть никаких общих ограничений, касающихся структуры области определения функции.

Так, в вышеприведенном примере функции-факториала:

f(n) = nf

областью определения функции служит дискретное множество всех целых по-

1 П. С. Александров. Введение в теорию групп, Учпедгиз, 1939.

ложительных чисел, а в случае функции

f(x) = \OgaX

— непрерывное множество всех действительных положительных чисел. Возможен случай, когда областью определения функции служит конечное количество натуральных чисел. Укажем хотя бы на пример функции f(x), определенной тем, что она равна квадрату атомного веса химического элемента с порядковым номером х. Для аргумента X этой функции возможны лишь несколько десятков целых положительных значений (начиная от единицы), а именно столько значений, сколько существует химических элементов.

Второй и наиболее важный момент в определении функциональной зависимости, это — соответствие между двумя совокупностями (множествами) значений аргумента и функции. Закон соответствия может быть установлен разными путями. Нередко этот закон выражается аналитической формулой, показывающей, какие аналитические операции и в каком порядке следует выполнить над значением аргумента для получения соответствующего ему значения функции. Такая формула необязательно должна быть единой, применяемой для всей области значений аргумента. Например, можно рассматривать функцию у, определенную в области всех действительных значений аргумента X с помошью таких двух формул:

Каждая из этих формул дает способ вычисления функции в определенной части области значений аргумента.

Однако вовсе необязательно, чтобы функция вообще определялась какими бы то ни было аналитическими формулами. Ф\нкция может существовать и в том случае, когда для нее не представляется возможным найти аналитическое выражение. Поэтому в современной математике считают функцию заданной, если указан какой угодно способ вычисления ее значения для каждого значения аргумента. Такой способ может состоять даже в простых указаниях словами, либо с помощью таблицы Рассмотрим для примера функцию f(x), принимающую значение -f-I для всех положительных значений аргумента X и — 1 для всех отрицательных значений х% и равную нулю при * = 0.

Эта функция, употребляемая иногда в высшей алгебре, часто встречается в исследованиях Кронекера по теории чисел; она обозначена Кронекером с помощью символа sgn* (signum—знак). Для нее можно найти и аналитическое выражение (даже несколько выражений), если применить операцию перехода к пределу. Так, например,

В самом деле, из этой формулы сразу же видно, что при л: = 0 будет: sgnjc=0-

Если же иметь в виду лишь положительные значения корня и представить формулу в виде:

то нетрудно увидеть, что при х>0 будем иметь: sgnx = -f-l, а при х<0 будет sgnx = —-1.

Возможность аналитического выражения функции не всегда может послужить лучшему изучению свойств и природы самой функции. Аналитическое выражение функции остается иногда в роли формальной символической записи, способной лишь на то, чтобы „радовать глаз любителя аналитических выражений во что бы то ни стало“ (А. Я. Хинчин).1

Возьмем, например, функцию Дирихле f(x). Ее также можно несколькими способами выразить аналитически с помощью формулы, например:

1 „Математика в школе“, № 5, 1939, стр. 6.

Действительно, при рациональном значении аргумента, например, х = (р, q — положительные целые числа) и при возрастании целого значения п до ri^q величина п\х непременно станет целым числом, и тогда будем иметь:

sin (nhx)= 0; следовательно, и <р(л:) = 0.

Если же аргумент х примет иррациональное значение, то nix никак не сможет стать целым числом; следовательно, всегда будет: sin2(n\Kx)>Qt отсюда »(*)-!.

Черт. 1.

Однако ничего большего рассмотренная формула не дает, кроме представления функции Дирихле в чрезвычайно оригинальной и сложной форме, не дающей возможности исследовать и изучить характерные свойства этой функции. Вот почему современная математика снимает с формулы тот ореол универсального средства задания и изучения функции, которым она была окружена, начиная с XVIII столетия.

Теперь в математике рассматривают и такие функции, задание которых выполняется непосредственным геометрическим построением. Так, например, построим, равносторонний треугольник на отрезке длины 1, служащем областью значений аргумента (черт. 1). Наше построение определяет функциональное соответствие между длинами х отрезков (O^an^I), отложенных вдоль основания треугольника, и длинами у перпендикуляров, восставленных из концов этих отрезков до пересечения с одной из боковых сторон.

Аналитически выразить это соответствие можно следующими двумя формулами1:

С принципиальной стороны определение нашей функции двумя последними формулами не имеет никаких особенных преимуществ перед упомянутым выше построением равностороннего треугольника. Более того, геометрическое построение может служить иногда источником более широкого понимания функциональной зависимости, а именно, распространения ее на нечисловые объекты, какими являются, например, геометрические точки. В этом случае предыдущее построение равностороннего треугольника можно понимать как определение функционального соответствия между точками (а не числами) основания этого треугольника и точками его боковых сторон.

Черт. 2

Чтобы иметь более интересный (в геометрическом отношении) случай функционального соответствия между точками, рассмотрим геометрическое соответствие между точками двух фигур, симметричных относительно данной оси (черт. 2). Совокупность (множество) точек (элементов) заданной фигуры X служит областью значений аргумента, а данная ось <н' и алгоритм симметрич-

1 Александров и Колмогоров. Введение в теорию функций действительного переменного ГТТИ, 1933, стр. 132.

ного преобразования точек (геометрическое правило построения точек, симметричных относительно оси) выполняют роль способа определения функции. Значениями (элементами) самой функции будут точки у, симметричные с точками X фигуры X относительно данной оси оз', а совокупность всех таких точек у составляет в целом новую фигуру К, симметричную с данной фигурой X относительно оси со'.

Как видим, чисто геометрическое соотношение между точками двух симметричных фигур можно понимать как определенную форму функциональной зависимости, которую можно было бы символически обозначить так:

у = о{х),

если под символом о понимать алгоритм симметричного преобразования точек относительно данной оси оз'.

Из этого примера становится ясным, насколько широкое содержание приобретает иногда момент соответствия в определении общего понятия функциональной зависимости. Отсюда очевидно, что способ задания функции может принимать самые разнообразные формы, часто выходящие за пределы так называемых аналитических форм, связанных с разными видами вычислений.

В связи с этим символ / в общей записи функций

у=/(*>

играет роль условного обозначения закона соответствия между значениями аргумента и функции. Этот символ / мы называем „характеристикой“ данной функции. Так, в обозначении Лагранжа: так называемой функции „антье икс“

у = Е(х)

под характеристикой Е понимаем установление соответствия между каждым действительным значением х и наибольшим целым числом Ь(х), содержащимся в X.

В частности, в случае аналитического выражения функции под символом / подразумеваем самое аналитическое выражение, служащее для вычисления значений функции.

Третий момент, отмеченный в общей формулировке понятия функциональной зависимости, — это требование однозначности функции. Каждому элементу (значению) х аргумента должен соответствовать совершенно определенный, т. е. единственный элемент (значение) у функции.

Согласно этому требованию, мы рассматриваем выражение

У = ± \Пс~

лишь как объединенную сокращенную запись двух различных функций: У~\рГ и у = — J х. Точно так же символ

у = Aresin X

следует понимать как сокращенное обозначение бесконечного множества функций, получаемых при разных целых значениях параметра п из формулы:

у = т+(—1)п- aresin ху

где aresin л: есть так называемое „главное значение“ арксинуса.

Требование однозначности приводит к необходимости введения главных значений аркусов, представляющих собой однозначные функции

Введение понятия многозначной функции для функций действительного переменного не является целесообразным.

В самом деле, в случае многозначной функции становится расплывчатой и теряется самая идея соответствия, лежащая в основе современного понятия о функции.

МЕТОДИКА

О МЕТОДАХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА В ПРЕПОДАВАНИИ ГЕОМЕТРИИ

Г. А. ВЛАДИМИРСКИЙ (Москва)

В предлагаемой статье изложены результаты экспериментальной работы, проведенной автором вместе с Е. Н. Меллер— старшим научным сотрудником Лаборатории педагогической психологии при Московском Городском Педагогическом институте. Эта работа имела характер совместного психологического и педагогического исследования; выводы этого исследования автор настоящей статьи положил в основу излагаемых ниже предложений.

В методической литературе имеются многочисленные указания на то, что практика преподавания геометрии в школе в недостаточной степени достигает одной из основных задач преподавания геометрии — развития геометрических представлений и логического мышления в области геометрических понятий.

Запас геометрических представлений учащихся весьма ограничен; возникающие в воображении учащихся геометрические образы обладают инертностью и неподатливостью к каким-либо конструктивным видоизменениям.

Изучаемый геометрический материал не обобщается и не приводится в умах учащихся в ясно осознанную систему понятий. Нередко можно обнаружить у учащихся неправильные, незакономерно расширенные или слишком узкие геометрические понятия и представления.

Учащиеся не научаются применять приобретенные знания на новом материале. При доказательстве теорем весьма часто наблюдается связанность определенным видом чертежа: ученик не может изложить ход доказательства, если заданный для иллюстрации чертеж не представляет точной копии чертежа учебника. Решение задач представляет затруднения на протяжении всего курса геометрии.

Для устранения перечисленных недостатков, являющихся проявлением формализма в знаниях учащихся, методика преподавания геометрии предлагает ряд различных мер; в числе их большая роль отводится наглядным пособиям и, в частности, применению наиболее доступного наглядного материала, — чертежа.

Мы считаем однако, что методика использования чертежа в преподавании геометрии разработана недостаточно. Не освещено в полной мере значение чертежа, как вспомогательного методического средства; отсутствует планомерная система приемов применения чертежа в процессе преподавания.

Наша экспериментальная работа позволила выяснить с психологической стороны роль чертежа в развитии пространственных представлений и логического мышления учащихся. На основе полученных выводов мы разработали систему упражнений, построенных на графическом материале и сопровождающих изучение курса геометрии. Основная цель этих упражнений состоит в том, чтобы содействовать формированию правильных понятий и развитию геометрического мышления учащихся.

Покажем на некоторых образцах, взятых применительно к курсу VI класса, как следует составлять и использовать такие упражнения.

Необходимо признать, что практика преподавания курса геометрии в VI классе весьма мало способствует развитию правильных геометрических представлений и понятий. Изложение курса в учебнике отличается абстрактностью и

вследствие этого в значительной своей части не соответствует возрасту и общему развитию учащихся. При отсутствии в учебном плане младших классов наглядного пропедевтического курса геометрии, в учебнике средней школы недостает иллюстративного материала. Всякое новое геометрическое соотношение, устанавливаемое какой-нибудь теоремой, иллюстрируется в учебнике в большинстве случаев только одним чертежом. Несмотря на это, учитель не всегда заботится о том, чтобы учащиеся получали в дополнение к учебнику достаточный по своему многообразию запас конкретных геометрических образов, на основе которых могли бы сформироваться правильные обобщенные геометрические представления.

В результате такой методической несогласованности, в знаниях учащихся обнаруживаются дефекты, обусловленные неправильно сложившимися (незакономерно расширенными или слишком узкими) геометрическими понятиями.

Так например, мы установили из наблюдений, что у учеников VI класса не всегда правильно складывается понятие внешнего угла треугольника (Киселев—1 ч., §44). Нередко можно получить неточный ответ на предложение построить и показать все внешние углы треугольника: ученики строят только три угла (как на чертеже в учебнике) или включают в число внешних углов и углы вертикальные к внутренним углам треугольника; мы встретили случаи, когда внешним углом треугольника считался всякий угол, составленный вне треугольника из его стороны и какой-нибудь прямой, ее пересекающей.

Нередко усвоение теорем оказывается неполноценным вследствие отсутствия у учащихся отчетливых пространственных представлений, связанных с перенесением фигур в новое место плоскости. Такую операцию приходится делать (мысленно), например, при доказательстве теорем о равенстве треугольников или теоремы о треугольниках с двумя соответственно равными сторонами. У некоторых учеников этот мысленный процесс перенесения фигуры подменяется механическим воспроизведением на память чертежа по книге (черт. 1 и 2. Киселев—1 ч., §42, черт. 47; §52, черт. 57).

Проверить осознанность действий ученика в указанных случаях очень легко, задав, например, при доказательстве равенства треугольников по третьему признаку расположение фигур, показанное на черт. 3 и предложив: 1) приложить для доказательства треугольник ABC к треугольнику DEF стороной АС и 2) обозначить вершины перенесенного треугольника теми же буквами (Л, В, С).

Черт. 1.

Чтобы развивать восприятие пространственных соотношений, подготовлять учащихся к наиболее эффективному усвоению теорем и способствовать формированию правильных геометрических понятий, мы считаем целесообразным в процессе изучения теорем предлагать учащимся специально подобранные упражнения. В качестве примерных образцов мы приводим несколько упражнений к трем теоремам курса VI класса. Эти упражнения взяты из серии упражнений,

Черт. 2.

Черт. 3.

разработанных и испытанных нами в процессе нашего экспериментального исследования.

Упражнения к теореме о внешнем угле треугольника

1. „Изобразите на бумаге (на доске) произвольный треугольник и начертите все его внешние углы. Укажите равные внешние углы и объясните, почему они равны“.

2. .Начертите треугольник, который имеет тупые внешние углы (сколько их?); прямые внешние углы (сколько их?); острые внешние углы (сколько их?). Дайте определение внешнего угла треугольника“.

Черт. 4.

3. „На заданном чертеже (черт. 4) отметьте все внешние углы треугольника ABC. Можно ли отметить угол FBC? угол ВСЕ?

Почему каждый из неотмеченных вами углов нельзя назвать внешним углом треугольника ABC?

Начертите все недостающие внешние углы этого треугольника“.

Черт. 5.

4. „На данном чертеже (черт. 5) назовите треугольники, для которых отмеченный угол является внешним“.

5. „На изображенной фигуре (черт. 6) укажите углы, каждый из которых является внешним для нескольких треугольников, входящих в фигуру“.

6. „В данной фигуре (черт. 7) назовите треугольники, для которых можно найти больше одного внешнего угла“.

7. „В треугольнике АБС проведена произвольная прямая AD (черт 8). Как доказать, что / BDA > / DAC?\

Черт. 6.

Заметим, что последнее упражнение можно давать только после ознакомления со свойством внешнего угла, в то время как остальные упражнения вполне уместны до проработки теоремы, для освоения самого определения внешнего угла треугольника.

Черт. 7.

Черт. 8.

К теореме о равенстве треугольников по третьему признаку

1. Для перемещения плоской фигуры из одного места плоскости в другое можно применять следующие способы.

а) Поступательное движение. Все точки фигуры перемешаются по прямолинейным, параллельным и равным между собой путям (черт. 9). Фигура перемещается из положения АХВХСХ в положение А2В2СЪ не выходя из плоскости чертежа.

Черт. 9.

б) Вращательное движение. Все точки фигуры движутся вокруг общего центра О по дугам, которым соответствуют равные центральные углы (черт. 10). Фигура перемещается из положения АгВ1С1 в положение А2В2С2, не выходя из плоскости чертежа.

Черт. 10.

в) Поворот вокруг оси. Все точки фигуры движутся по дугам окружностей, центры которых расположены на оси вращения MN (черт. 11). Фигура Д^С, перемещается вне плоскости чертежа и падает в положение А*В2С2 обратной стороной своей плоскости.

г) Сложное движение. Плоскую фигуру всегда можно переместить из одного места плоскости в другое, применяя последовательно один, два или все три указанные способы перемещения. На черт. 12 изображены начальное и конечное положения треугольника, перемещенного из положения А1В1С1 в положение А4В4С4 при помощи последовательного применения: 1) попорота (А2В2С2)9 2) поступательного движения (Л3Я3С3) и 3) вращения (А4В4С4).

2. На черт. 13 изображены два треугольника с соответственно равными сторонами. Переместите (мысленно) один из треугольников в плоскости чертежа и приложите его к другому так, чтобы совпадали равные стороны AB и DE. Начертите полученную фигуру.

Черт. 11.

Черт. 12.

Черт. 13.

3. Приложите те же треугольники друг к другу теми же сторонами, перевернув (мысленно) один из треугольников обратной стороной листа, на котором он начерчен. Начертите полученную фигуру.

4. Проведите в каждом из полученных четырёхугольников диагональ, соединяющую две несовпадающие вершины треугольников.

Рассмотрите тот из четырехугольников, который диагональ разделила на два равнобедренных треугольника. Как нужно, прикладывая треугольники друг к другу, расположить равные стороны и вершины равных углов, чтобы получился четырехугольник, состоящий из двух равнобедренных треугольников.

Черт. 14

Черт. 15.

5. Составьте и начертите такие же четырёхугольники как только что полученный, прикладывая треугольники ABC и DEF другими попарно равными сторонами.

6. Рассмотрите черт. 14 и 15 и объясните, почему нельзя получить такие же четырехугольники, прикладывая треугольники ABC и А1В1С1 сторонами АС и AiC*!? Начертите фигуры, которые получаются в этих случаях.

Образуются ли на черт. 14 равнобедренные треугольники? Как получить на черт. 15 равнобедренные треугольники, проведя вспомогательную линию?

Следует заметить, что малоразвитым ученикам полезно проделать предложенные упражнения, пользуясь бумажными моделями треугольников Наш опыт показывает, что после этих упражнений операция прикладывания треугольников приобретает реальное пространственное содержание, и цель этого прикладывания в процессе доказательства осмысливается; вместе с тем теряет значение ограничительное указание учебника (Киселев — стр. 25) о необходимости „прикладывать треугольники друг к другу так, чтобы общая сторона их АхСг была наибольшей из сторон“.

После усвоения всех случаев равенства треугольников учащимся следует предложить упражнение на узнавание признаков, устанавливающих равенство двух треугольников.

7. В каждой паре изображенных треугольников (черт. 16) отмечены черточками и дугами соответственно равные элементы (стороны, углы).

Укажите треугольники, которые по признакам равенства можно считать равными.

Черт. 16

Упражнения к теореме о треугольниках с двумя соответственно равными сторонами

При изучении этой теоремы следует предварительно показать учащимся, как может видоизменяться форма треугольника, в котором заданы неизменными только два элемента — в нашем случае две стороны. На модели и на чертеже можно дать представление о неограниченном многообразии треугольников, имеющих указанный общий признак. При этом интересно показать такое многообразие, прообразовывая один треугольник в другой посредством вращения около вершины треугольника одной из заданных сторон. Такое преобразование наглядно показывает, во-первых, изменение третьей стороны

в связи с изменением противоположного угла и, во вторых, закономерности в расположении несовмещенных вершин треугольников рассматриваемого типа. При доказательстве теоремы многие ученики не осознают этой закономерности и строят чертеж, слепо следуя образцу учебника.

Упражнения.

1. На черт. 17 показано, как может изменяться вид треугольника, если в нем заданы неизменными только два элемента—две стороны.

Какой путь описывает подвижная вершина треугольника при его изменении?

Можно ли по данным двум сторонам построить прямоугольный треугольник? При каких вершинах может образоваться прямой угол? Может ли треугольник быть равнобедренным? Какая из данных сторон может служить основанием равнобедренного треугольника?

2. Начертите произвольный треугольник с разными по длине сторонами; отметьте две стороны, как неизменные по длине.

Черт. 17.

Деформируя треугольник указанным выше способом, найдите два таких последовательных его видоизменения, чтобы контур одного треугольника лежал целиком внутри другого. Начертите эти треугольники.

Какова сравнительная длина подвижной и неподвижной (неизменных) сторон в полученных треугольниках? Какова величина углов (по сравнению с прямым) при подвижной вершине этих треугольников?

После усвоения теоремы можно предложить следующие упражнения.

3. Отмеченные на черт. 18 одинаковым числом черточек и дуг элементы шести изображенных треугольников равны между собой. Покажите треугольники, в которых неотмеченные стороны должны быть равны между собой. Покажите треугольники, в которых одна из неотмеченных сторон должна быть больше другой.

Черт. 18.

4. На черт. 19 дано:

ВС = DC; / ВСЕ< / DCE.

1) Рассмотрите треугольники BCF и DCF. На каком основании можно утверждать, что BF<FD?

2) Рассмотрите треугольники АСЕ и DCE. Можно ли утверждать,что AE<ED7

5. На черт. 20 дано. BD - АС.

На основании какой теоремы можно утверждать, что CD > AB?

Черт. 19.

Мы уже указывали на один из недостатков в знаниях учащихся,— на так называемую связанность чертежом учебника при доказательстве теорем. Если ученик не усматривает логической связи между структурой фигуры и планом доказательства, то для того, чтобы закончить доказательство теоремы, он стремится связать каким нибудь внешним образом ход рассуждений с необходимыми построениями. При некоторых частных изменениях в структуре чертежа такие случайные связи могут на-

рушиться, и ученик оказывается не в состоянии доказать теорему.

Черт. 20.

Приведем типичный пример из материалов нашего исследования.

Ученику задано доказать теорему о внешнем угле треугольника на чертеже, отличающемся от привычного по учебнику (черт. 21). Для доказательства ученик провел медиану DK, помня (как он пояснил), что „медиана проводится вправо“.

Чтобы предупредить или разбить подобную связанность чертежом-трафаретом, обычно рекомендуется варьировать чертёж при повторном доказательстве теоремы. Эта вполне обыкновенная и эффективная мера требует некоторого уточнения со стороны методического подбора вариантов чертежа по степени их трудности. Основываясь на наших наблюдениях, мы предлагаем для внесения определенности в конструктивные усложнения чертежа придерживаться следующих положений.

1. Каждый вариант чертежа, сопровождающего теорему, должен обусловливать некоторые изменения в той фигуре, которая получается в результате дополнительных построений, необходимых для доказательства.

2. В качестве основных изменений, сравнительно с книжным образцом, нужно принять по степени возрастающей трудности два типа изменений: 1) изменение положения фигуры и 2) изменение формы фигуры.

Черт. 21

3. Каждое из этих изменений указанной выше фигуры должно обусловливаться выбором варианта той фигуры, которая иллюстрирует условие теоремы и, если нужно, дополнительными указаниями.

4. Если условие содержит две однородные фигуры (например, два треугольника), то по степени возрастающей трудности следует различать: а) вариант, в котором обе заданные фигуры содержат однородные изменения, и 6) вариант, в котором изменения в задаваемых фигурах разнородны.

Помещенная ниже таблица (черт. 22) иллюстрирует изложенные положения.

Черт. 22

Таким образом, видоизменение черте» жа при доказательстве теорем создает условия для развития навыков самостоятельного мышления и вместе с тем служит способом проверки сознательного, не механического, усвоения теорем.

Однако, упражнения в доказательстве на измененном чертеже не должны препятствовать тому, чтобы в представлении ученика для каждой теоремы сохранялся определенный, устойчивый пространственный образ, служащий опорной наглядной схемой определенных геометрических соотношений. Вместе с тем такой устойчивый чертеж может послужить наглядной схемой плана доказательства теоремы, если учащиеся будут видеть логическую связь между ходом рассуждений и соответствующими построениями на чертеже. В этом им должен помочь учитель, проанализировав законченный после объяснений чертеж и подчеркнув целенаправленность всех вспомогательных построений и их связь с конечной задачей доказательства. В результате такого анализа учащиеся должны быть приведены к общей словесной формулировке принципа построений, подчиненных плану доказательства.

Требования к редакционной и стилистической стороне этих формулировок всецело зависят от степени общего развития учащихся; формулировки должны быть посильны и удобопонятны для учащихся. Они должны завершать ознакомление с теоремой.

Покажем на примерах возможный характер таких формулировок.

1. К теореме о равенстве треугольников по третьему признаку.

„Заданные треугольники нужно приложить друг к другу равными сторонами так, чтобы образовался четырёхугольник, который можно разделить диагональю на два равнобедренных треугольника.

Тогда, пользуясь получившимися на чертеже двумя равнобедренными треугольниками, можно доказать, что заданные треугольники имеют по одному равному углу, и убедиться в равенстве данных треугольников по первому признаку“.

2. К теореме о внешнем угле треугольника.

„Внешний угол треугольника нужно сравнивать с тем из внутренних углов, вершина которого лежит на стороне внешнего угла.

В треугольнике нужно провести ту медиану, продолжение которой лежит внутри внешнего угла. Конец продолженной (удвоенной) медианы нужно соединить с вершиной внешнего угла.

Тогда образуются два равных вспомогательных треугольника: один из них содержит выбранный внутренний угол треугольника, а другой — равную ему часть внешнего угла“.

Такого рода упражнения в анализе чертежа, как схематического наглядного плана доказательства теоремы, полезны на протяжении всего курса и должны заслуживать особого внимания при усвоении трудных теорем со сложными вспомогательными построениями и рассуждениями.

Сделаем краткое сопоставление предлагаемых нами методов использования чертежа при изучении курса геометрии в той связи и последовательности, в которой они должны применяться в практике преподавания.

Перед изложением каждой новой теоремы преподавателю нужно прежде всего установить, какие новые геометрические понятия должны получить учащиеся в результате усвоения теоремы и на каких приобретенных ранее понятиях и представлениях основано усвоение нового материала.

В соответствии с этим нужно составить ряд упражнений, подготавливающих учеников к восприятию новых пространственных соотношений и дающих им некоторый запас конкретных геометрических образов, как базу для образования новых обобщенных представлений.

После доказательства теоремы на классной доске в той форме, как это сделано в учебнике, преподаватель должен позаботиться о том, чтобы учащиеся поняли план доказательства и в связи с ним смысл выполненных вспомогательных построений. Для этого служат упражнения в усвоении принципа построения чертежа, которые должны научить учащихся видеть в чертеже логически обоснованную графическую схему плана доказательства.

Дальнейшее повторное доказательство теоремы при опросе учеников нужно

проводить не только на книжном, но и на измененных чертежах. Такие упражнения содействуют освобождению учеников от тормозящего влияния чертежа-трафарета и от усвоения теоремы как некоторого частного случая. Вместе с тем варьирование чертежа является необходимой предпосылкой для образования обобщенных представлений и понятий.

Наконец, для закрепления полученных новых представлений и понятий и для проверки их правильности необходимо дать несколько заключительных упражнений, в которых учащиеся должны применить полученные знания на новом геометрическом материале.

Опираясь на описанные образцы упражнений, сформулируем принципы, положенные в основу предлагаемой нами системы упражнений к курсу геометрии.

1. Система упражнений преследует две цели: а) она развивает пространственные представления и б) способствует образованию геометрических понятий.

2. Система упражнений построена на графическом материале; выполнение заданий заключается: 1) в узнавании фигур и их свойств, 2) в реконструкции фигур с внесением элемента движения и 3) в узнавании и объяснении изученных геометрических соотношений на новом геометрическом материале.

3. Система упражнений направляет на активную выработку представлений и понятий. Наглядный графический материал упражнений является не только иллюстративным средством, но заключает в себе конструктивный элемент и в связи с текстовой частью задания представляет материал для логического анализа и геометрических обобщений. В то время, как чисто иллюстративный материал освобождает учащихся от трудностей в создании новых представлений, конструктивный элемент и элемент анализа в наших упражнениях побуждает к преодолению этих трудностей.

Мы считаем, что упражнения, удовлетворяющие изложенным требованиям, должны обогащать запас геометрических представлений, формировать правильные геометрические понятия и способствовать накоплению геометрического опыта. Этот геометрический опыт, по мере накопления, дает возможность непосредственно охватывать все более сложные геометрические соотношения и обусловливает ускорение процессов геометрического мышления.

В заключение скажем несколько слов о формах проведения упражнений в практике школьного преподавания и в связи с этим выясним возможности включения упражнений в бюджет рабочего времени, уделяемого на изучение курса геометрии.

Мы считаем, что некоторое место для упражнений можно выделить на уроках за счет сокращения времени, расходуемого на опрос различных правил, определений, формулировок и т. п. Такого рода опрос довольно часто практикуется учителями. Несомненно, одна ко, что по ответам на такие вопросы можно судить только о формальных знаниях отвечающего и о его памяти и прилежании, но не о понимании геометрической сущности излагаемых положений. В то же время наши упражнения приводят учеников к таким же словесным определениям и формулировкам понятий путем логической переработки конкретного учебного материала. Многие из наших упражнений на столько просты, что могут быть задаваемы в виде „летучих вопросов“ при опросе у доски или с места.

Часть упражнений, а именно — доказательство теорем на измененном чертеже, может естественно войти в обиход урока, если систематически задавать ученикам для домашней подготовки теорем заранее разработанные образцы чертежей-вариантов. В такой форме этот тип упражнений не представит лишнего слагаемого в бюджете времени уроков и вместе с тем увеличит гарантию проверки знаний учащихся по существу вопроса, а не по формальным признакам.

Наконец, мы считаем возможным найти для наших упражнений некоторую долю и во внеурочном времени, уделяемом на проработку курса геометрии. Мы полагаем, что упражнения предлагаемого нами типа с успехом можно задавать на дом за счет исключения части геометрических задач на вычисление. Многие из этих задач (Рыбкин — 1 ч., §§ 1 — 4, 5—7 и др.) являются по существу несложными арифметическими задачами на разностное и кратное отношения; их формально геометрическое содержание лишь в слабой степени не-

сет в себе конструктивный элемент. Можно с уверенностью отрицать какую-либо роль таких задач в развитии геометрических представлений, логического мышления в области геометрических понятий и в привитии навыков приложения геометрических знаний к практическим вопросам. Поэтому мы считаем возможным, не отрицая значения вычислительных задач в курсе геометрии, заменить часть указанных задач упражнениями предлагаемого нами типа.

В большинстве наших задач условие задается в графической форме. Это обязывает учителя, для сбережения времени при задавании упражнений ученикам, заранее приготовлять чертежи упражнений. Такие чертежи могут быть двух типов: в виде таблиц крупного масштаба и в виде небольших карточек. Таблицы можно использовать в тех случаях, когда учитель намерен привлечь к решению внимание всего класса, например, при опросе учеников у доски, при задавании летучих вопросов, а также при задавании упражнений на дом; словесное условие таких упражнений учитель должен читать во всеуслышание, так как текст условия на таблице не может быть виден всем ученикам. Чертежи на карточках с сопроводительным текстом можно раздавать ученикам для индивидуального решения. В обоих случаях чертежи упражнений вместе с текстом должны быть перенесены учениками в тетради, предназначенные для выполнения этих упражнений.

Ради краткости изложения при описании нашей системы упражнений мы дали образцы только к трем теоремам курса VI класса. Несомненно, что подобные упражнения уместны и в других классах к другим разделам курса геометрии. Мы надеемся, что каждый преподаватель, близко интересующийся успехами своих учеников, изучающий их ошибки и затруднения, найдет в нашей статье полезные для себя указания и сумеет применить изложенные нами принципы к составлению подходящих упражнений в соответствующих случаях.

УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ КАК МЕТОД РАБОТЫ

Е. Н. ФИЛОМАТИТСКАЯ (Ростов)

I

Почти все преподаватели, работающие в начальной школе и в V классах средней школы, считают необходимым проводить устные упражнения по математике на каждом уроке. Совсем иное отношение к устным упражнениям мы встречаем у большинства преподавателей VI —X классов. Часть из них считает устные упражнения ненужными, излишними в процессе работы, часть считает трудным проведение устных упражнений из-за „недостатка времени“, из-за отсутствия соответствующих сборников задач, из-за трудности самой организации работы и т. п.

Несмотря на большое число часов, отводимое на математику, часто слышатся жалобы учителей, что нехватает времени для хорошего усвоения программного материала учащимися.

Отчего же происходит такое явление?

Одной из причин этого является не насыщенность материалом урока: часть времени на уроке тратится напрасно, не все учащиеся заняты работой, работа выполняется учащимися механически, не сознательно, с излишней затратой времени.

Пример: в V классе дается упражнение на вычисление с обыкновенными и десятичными дробями. (Задачник Березанской, № 1641.)

Учащиеся на доске и в тетрадях решали так:

Каждое действие выписывалось отдельно, при чем к доске вызывались один за другим 8 учащихся. На решение этого примера таким способом ушло 35 минут, т. е. большая часть урока. Этот же самый пример в другом классе у другого преподавателя был сделан в 9 минут2). Но организация работы была иная. Преподаватель заставил учащихся часть работы выполнить устно, без записи, к чему учащиеся были приучены во время вычислений с обыкновенными дробями. Учащиеся 1, 2, 4 и 6-е действия произвели в уме и получили следующую запись:

дальнейшие вычисления были записаны так:

Другой пример: в IX классе в главе „Логарифмы“ вывели основные тождества, законы логарифмирования и соотношение

logba.logab=l.

Нужно проверить, хорошо ли усвоили учащиеся выведенные зависимости и умеют ли применять полученные знания к решению разных вопросов. Организовать работу можно так: преподаватель читает и пишет один пример за другим на доске; учащиеся ничего не записывают, а решают примеры устно. Ответы учащихся преподаватель записывает на доске.

Если учащиеся хорошо усвоили соотношение logba • logab = 1, то решение этих 6 примеров займет не больше 2 минут. В то же самое время учащиеся повторяют, как найти число, обратное данному.

Дальше, немного усложняя работу учащихся, можно дать для устного решения примеры, в которых нужно применить не только соотношение logba= lQg b , но и законы логарифмирования.

1. Дано log35 = £, определить Iog315; ответ (Учащийся, решая этот пример, рассуждает примерно так: „15 есть произведение 3 и 5. Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей. Логарифм основания равен 1, следовательно, log3l5 = 1 + ba.)

2. Дано log63 = c, определить log315;

1) Такое расположение записи вычислений правильно дается учащимся в 1-й четверти V класса. При дальнейшей работе запись вычислений следует сократить и изменить.

2) Наблюдения проводились в одной и той же школе в один и тот же день - в январе 1941 г. (Ленинград, 9-я школа Куйбышевского района).

Если учащиеся хорошо знают законы логарифмирования, то решение этих 6 примеров занимает не больше 3—5 минут. Затем можно дать учащимся примеры для письменного решения. При выполнении этого задания надо требовать от учащихся применения тех знаний и навыков, которые они получили при устном решении предыдущих примеров. Для письменных упражнений можно дать такие примеры: log153 = ô, определить log1525. Учащийся в уме должен установить план работы и затем решение может записывать так:

Если учащиеся к письменным упражнениям подготовлены устными упражнениями, то эти письменные упражнения не затрудняют учащихся и выполняются ими в IV2 —2 минуты. Совсем иная картина получается, если предварительных устных упражнений не было. Учащийся не может в уме наметить план работы. Поиски плана делаются письменно иногда совсем нецелесообразно. Получаются неряшливые записи, да и времени тратится и много, и напрасно.

Приведенные примеры использования устных упражнений на уроках в V и IX классах показывают, что, требуя от учащихся выполнения части работы устно, мы не только более рационально используем каждую минуту урока, но, кроме того, еще заставляем учащихся перед началом вычислений составить план всей работы.

Пользуясь систематически устными упражнениями, мы в большей степени, чем при письменных упражнениях, сосредоточиваем внимание учащихся на работе, воспитывая тем самым внимание. Например, в X классе решаются задачи на тела вращения. Каждый раз учащемуся нужно для решения задачи установить вид полученного тела вращения и вычислить или площадь поверхности, или объем полученного тела.

Для устного решения можно дать такие задачи:

1) Прямоугольник со сторонами а и b вращается сначала около стороны а, затем около стороны Ь. Сравнить площади боковых поверхностей полученных тел вращения. Учащийся должен представить, что от вращения получаются два цилиндра, площади боковых поверхностей которых равны.

Затем преподаватель, оставляя те же данные, изменяет вопрос задачи: 2) найти отношение площадей оснований. Учащиеся дают ответ: отношение площадей оснований равно Ь2:аК

Далее преподаватель, оставляя те же данные в задаче, может изменить вопрос задачи и так: 3) сравнить объемы полученных тел вращения. Учащиеся, ре-пая устно, дают ответ: объемы тел относятся, как Ь:а. При решении таких задач учащийся каждый раз должен сосредоточить внимание на вопросе задачи, выбрать соответствующие формулы для вычислений и сделать правильное заключение.

Рассмотрим еще пример из курса тригонометрии IX класса. После вывода теоремы сложения для устных упражнений можно дать следующие примеры:

1. Вычислить наиболее простым путем

sin 30° • cos 60°+ cos 30°. sin 60°.

Если этот пример дать для письменного решения, то большая часть учащихся будет подставлять значения тригонометрических функций углов 30° и 60°. Стоит учащемуся только „увидеть“, что записана формула синуса суммы углов 30° и 60°, как он сразу получит sin 90°, т. е. единицу. При устном решении этого примера учащиеся ищут более короткий и правильный путь.

В этом как раз и заключается одна из чрезвычайно важных сторон устных упражнений, делающих их незаменимым средством обучения. Учащийся невольно бережет свои усилия при устных вычислениях, поэтому он стремится найти более короткие, более простые пути

решения задачи; он привыкает, приступая к задаче, к тому, что надо обдумать, какой метод решения задачи окажется наиболее экономным, наиболее целесообразным. Следующий пример можно дать такой:

2) cos 3,57 . cos 0,43 +sin 3,57 • sin 0,43.

Часто после записи такого примера на доске учащиеся недоумевают: что же делать? Если направить учащихся на правильный путь решения, указав, что углы даны в радианном измерении, то они „увидят“, что записана формула косинуса разности двух углов. Тогда быстро получат ответ:

cos (3,57 — 0,43) = cos 3,14 ^ — 1.

Дальше можно дать такие упражнения:

3) Определить sin (а — ß), если а и р острые углы и sin а = —, sin ß=—-e

4) Определить sin (а — (3), если sin а = —, sinß =—и а—угол 1-й четверти, a ß—угол 2-й четверти и т. п.

Просмотрев приведенные примеры для IX и X классов, можно сделать следующие выводы: целесообразно подобранные примеры для устных упражнений способствуют воспитанию внимания учащихся, увеличивая тем самым интерес к работе, а следовательно, улучшают качество ее.

Устные упражнения подготовляют учащихся к более трудным, более сложным письменным упражнениям.

Устные упражнения развивают смекалку, способствуют развитию комбинаторных способностей.

II

Введя устные упражнения, как метод работы по математике, практикуя их систематически на каждом уроке, выполняя часть работы письменных упражнений в уме, мы тем самым сможем дать значительно больше упражнений. Учащиеся несравненно чаще возвращаются к одним и тем же вопросам, рассматривают эти вопросы с разных точек зрения.

Часто учащиеся привыкают видеть математическую формулу только в таком виде, какою она была выведена на уроке или дана в учебнике. Если же эта формула написана по-иному, то часто учащиеся теряются и не узнают известного. Рассмотрим примеры.

В VI классе учащиеся обычно быстро и хорошо усваивают формулу квадрата суммы двух чисел: (a -f- b)2 = a2-\-2ab-\-b2. Но если дать эту же формулу, написанную так, что правая часть равенства поставлена на место левой, а левая—на место правой, то учащиеся не „узнают“ этой формулы.

Для лучшего, сознательного, прочного усвоения формул квадрата суммы двух чисел и квадрата разности двух чисел можно давать такие устные упражнения:

1. Чему равен квадрат суммы чисел а и х? Ответ: (а + xf = a22ах-f- х2.

2. Чему равен (2Ô+1)2? Ответ:

3. Скажите правую часть равенства (ô_2)2 =

4. Скажите правую часть равенства

допишите.

6. Прочитайте, что записано:

а2 + 6а + 9 = (а + 3)2.

Чем пользовались при записи этого равенства?

7. Справедливо ли равенство X2 + 4х —4 = (X — 2)* при всех значениях X?

Как изменить левую часть равенства, чтобы оно било справедливо при всех значениях х?

8. Скажите правую часть равенства

9. Как быстрее найти числовое значение выражения при л* =5, подставляя значение m в правую или в левую часть равенства?

10. хг-\-2х..., что следует прибавить к этому двучлену, чтобы получить (х + \у?

11. X2 -\- X..., что следует прибавить к этому двучлену, чтобы получить квадрат суммы двух чисел?

Если на каждом уроке давать 6—8 примеров для устных упражнений такого характера, то мы достигнем хороших результатов в сознательном усвоении указанных формул.

Эти же упражнения подготавливают учащихся к разложению на множители при помощи формул сокращенного умножения.

В VIII классе возвращаемся к последним упражнениям для вывода формулы корней квадратного уравнения.

III

Применяя устные упражнения систематически, мы чаще спрашиваем учащихся, чаще проверяем, как понято пройденное. Например: в VIII классе изучили отношение отрезков. Можно дать следующие устные упражнения на этот раздел:

1. Наибольшая общая мера двух отрезков 8 см, отношение отрезков равно

Определить длину каждого отрезка.

2. Наибольшая общая мера двух отрезков 7 см, отношение отрезков равно 0,3. Определить длину каждого отрезка.

3. Наибольшая общая мера двух отрезков 3 см, отношение отрезков равно 0,4. Определить длину каждого отрезка.

При решении третьего примера иногда дают неверный ответ: 12 см и 30 см. Просим сравнить с данными в задаче — выходит, что решение дано неправильное. В чем же ошибка?

Ошибка в том, что для вычисления длины отрезков пользовались сократимой дробью -j^- • а следовало взять несократимую дробь -j-- Если это сделать, то получим правильный ответ: 6 см и 15 см.

V.

Для того, чтобы устные упражнения достигали своей цели, чтобы они составляли неотъемлемую часть всей школьной работы по математике, а не являлись бы только эпизодом в работе, необходимо продуманно, хорошо организовать всю работу по математике, включая в нее и устные упражнения.

Один из вопросов, который задают преподаватели, желающие ввести в свою работу устные упражнения, это — когда давать устные упражнение: в начале урока, в конце или в середине? В зависимости от цели и содержания урока на нем может быть больше или меньше устных упражнений, и они могут быть помещены в разных частях урока. Так, если урок идет по изучению нового материала, то часть устных упражнений может быть поставлена в начале урока, когда учащиеся на отдельных легких примерах наблюдают частные случаи осуществления какого-либо общего математического положения и приходят в восприятию новой теоремы. В конце такого урока могут быть даны устные упражнения на проверку, понят ли новый материал.

Если урок посвящен повторению, углублению и запоминанию положений, полученных на прошлых уроках, то устные упражнения могут перемежаться с письменными в течение всего урока.

Если же урок посвящен обозрению пройденного целого раздела, то устные упражнения могут являться основой такого урока.

Не следует только .отбывать повинность“ по устным упражнениям, отводя на них в начале или в конце урока по 5—7 минут, а затем совершенно забывать о них.

Приходилось наблюдать такую глубоко ошибочную работу. Идет решение неравенств первой степени. В начале урока даются устные упражнения — решить неравенства:

5 — X > 7; 2х — 5 > 3; 3U—1)<6; 2(5-;с)<4.

Не все учащиеся решали эти неравенства устно, но те, которые решали, делали это быстро и правильно.

Затем были даны упражнения для письменного решения: решить неравенство 2(х — 3) — 1 < 5.

Учащийся, вызванной к доске, решал его так: „Перенесем — i в правую часть с противоположным знаком, получим 2{х — 3) < 5-f- 1; сделаем приведение подобных членов, получим 2(х — 3) < 6. Разделим обе части неравенства на 2, получим X — 3 < 3. Перенесем — 3 в правую часть, получим х<6/

Преподаватель ни разу не предложил учащемуся часть преобразований сде-

лать в уме, но зачем же в начале урока он давал устные упражнения?

Ясно, что при такой работе устные упражнения не принесут той пользы, которую они могут дать. Такая организация работы уничтожает почти все значение устных упражнений: они останутся ничтожными по значению, почти бесполезными в работе данного класса. Необходимо требовать, чтобы та часть работы, которую учащиеся могут выполнить устно, и выполнялась ими устно. Если учащийся при решении письменного примера или задачи не умеет выполнить часть работы в уме, то ему следует снизить оценку.

Правильное построение устных упражнений требует большой продуманности и планирования урока и тщательного подбора упражнений.

Другой вопрос, который часто ставится, это вопрос о том, как давать устные упражнения.

Только ли говорить вопрос, ничего не записывая на доске, и требовать от учащегося устного ответа, не записывая его на доске, или читать и записывать упражнения на лоске, а от учащегося требовать устного ответа, не записывая его на доске?

Или, наконец, требуя от учащегося устного ответа, записывать его на доске?

На эти вопросы опять-таки нельзя ответить однообразно. Организация работы зависит от самых различных причин; она зависит от цели и содержания данного урока, от развития и навыков учащихся, от характера вопросов, от того, ожидаются ли более или менее одинаковые или же очень различные ответы, и т. д.

Например: дано определение логарифма и запись действия логарифмирования. Нужно научить учащихся правильно читать запись действия логарифмирования и правильно ее понимать. Работа на данном уроке над устными упражнениями может быть организована так: преподаватель сам пишет на доске, а учащимся предлагает прочитать что записано. Например: log6 36 = 2. Вызванный учащийся читает: „Логарифм 36 при основании 6 равен 2а. После такого чтения учащегося преподаватель просит прочитать это логарифмическое равенство, как показательное. Учащийся читает: „Шесть в квадрате равняется тридцати шести“.

Когда учащиеся привыкли к чтению записанных логарифмических равенств, нужно научить их отыскивать логарифм по заданным основанию логарифмов и логарифмируемому числу. Преподаватель молча записывает пример на доске и предлагает прочитать и вычислить; например: \ogx 25 и т. д.

Затем нужно, чтобы учащийся сам умел записать логарифмическое равенство под диктовку. Тогда работа может быть организована так: преподаватель читает вопрос, но сам ничего не пишет; учащиеся записывают заданный вопрос формулой, а вычисление производят устно. Например: чему равен логарифм 64 при основании 4? и т. п.

Иногда мы знаем, что учащиеся будут давать разнообразные ответы. Например, предлагая вычислить f-g-j 3 : (0,001 )3> мы получаем ответы 51200Э, 2000, 20,80 и т. д. В таком случае эти ответы полезно выписать на доске и спросить ошибочно решившего учащегося, как делал. Это уяснит учащимся как правильный путь решения, так и сущность сделанной ошибки. Понятно, что в открытии ошибки должен участвовать класс.

Иногда работа по геометрии над решением задач может быть организована так: вывешивается плакат, на котором, например, дано решение задачи на доказательство. Учащиеся по плакату рассказывают решение. Или вывешивается плакат, на котором дано исследование решения задачи на построение. Учащиеся по плакату рассказывают, какие могут быть случаи построения, сколько, при каких условиях задача не имеет решений и т. д.

Очень важной частью работы над устными упражнениями является учет работы учащихся. Приходится иногда наблюдать следующее: учитель проводит устные упражнения, но решают их только отдельные учащиеся, а не весь класс. Как учесть, работает учащийся или только присутствует на уроке?

Чтобы усилить интерес к устным упражнениям, некоторые преподаватели в конце их дают более трудный при-

мер с таким условием: кто первый решит и решит верно, получит оценку „5“. Но эта мера не дает большого эффекта. Примеры на „5“ решают только отличные учащиеся, а нужно требовать, чтобы все учащиеся решали устные упражнения, и, если в течение всего урока один и тот же учащийся не решил ни одного примера устно, ему ставится оценка „2“.

НАГЛЯДНЫЕ ПОСОБИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ И РАБОТА С НИМИ

П. М. РЫБАКОВ (Иваново)

(Продолжение. Начало см. в № 3.)

III. МНОГОГРАННИКИ

1. Желательные пособия. При изучении раздела .Многогранники“ в математическом кабинете могут быть использованы следующие пособия:

а) Набор сплошных геометрических тел, сделанных из фанеры и зачерненных для того, чтобы можно было делать на них дополнительные построения мелом. Высота каждого тела 20—25 см.

В набор входят: 1) куб; 2) прямоугольный параллелепипед; 3) прямой параллелепипед; 4) наклонный параллелепипед; 5) правильная треугольная призма; 6) наклонная треугольная призма; 7) наклонная 4-угольная призма; 8) правильная 6-угольная призма; 9) правильная треугольная пирамида; 10) правильная 4-угольная пирамида; 11) правильная 6-угольная пирамида; 12) треугольная пирамида, одно из боковых ребер которой перпендикулярно к плоскости основания; 13) неправильная 3-угольная усеченная пирамида и 14) правильная 4-угольная усеченная пирамида (этот набор сплошных зачерненных моделей геометрических тел может быть, конечно, видоизменен. Здесь приведен тот набор, которым пользовался автор).

Черт. 24.

б) Набор из 14 стеклянных моделей геометрических тел. Нитями из крученого шелка показаны диагонали параллелепипедов и высоты пирамид. Набор этот имеется в продаже.

в) Набор из 10 кубов, рассеченных плоскостью (см. гл. II., § 3).

г) Три раздвижных модели Сигова: 1) 3-угольная призма; 2) куб и 3) параллелепипед.

д) Наклонная 4-угольная призма, рассеченная плоскостью, перпендикулярной к ее боковым ребрам.

е) Набор из 9 геометрических тел, сделанных из проволоки и крученого шелка и утвержденных на деревянном основании.

В этот набор (использованный автором в практической работе) входят: 1) наклонный параллелепипед с 4 диагоналями (черт. 24); 2) прямой параллелепипед с 4 диагоналями (черт. 25); 3) прямоугольный параллелепипед с одной диагональю (черт. 26); 4) 4-угольная пирамида (черт. 20); 5) правильная треугольная пирамида; 6) правильная 4-угольная пирамида; 7) 3-угольная пирамида, боковые ребра которой одинаково наклонены к плоскости основания (черт. 16); 8) 3-угольная пирамида, боковые грани которой одинаково наклонены к плоскости основания (черт. 18); 9) неправильная 4-угольная пирамида, рассеченная плоскостью, параллельной плоскости основания (см. ниже черт. 28).

ж) Прямой параллелепипед (сплошной), превращаемый в прямоугольный.

з) Наклонный параллелепипед (сплошной), рассекаемый плоскостью, перпендикулярной к его боковым ребрам.

Черт. 25.

и) Модели для демонстраций, сопровождающих доказательство теорем об объеме пирамиды (черт. 34 и 35).

к) Модель для иллюстрации принципа Кавальери.

л) Модель для демонстраций, сопровождающих разбор теоремы об объеме пирамиды, как пределе суммы объемов прямых призм (черт. 34).

м) Набор из 5 правильных многогранников.

н) Набор разверток многогранников.

о) Модель для демонстрации „существования* подобных многогранников.

Черт. 26.

п) Набор из 3 моделей для демонстрации построения плоскости, проходящей через три данных точки, лежащих на ребрах многогранника.

р) 6 чертежей для показа различных приемов построения плоскости, пересекающей данную 4-угольную призму или 4-угольную пирамиду (эти чертежи большого формата, выполняются учениками по индивидуальным заданиям).

Черт. 27.

с) Альбомы чертежей многогранников: 1) параллелепипеды; 2) призмы; 3) пирамиды; 4) усеченные пирамиды (чертежи выполняются учениками).

т) 2 альбома плоских сечений: 1) призм; 2) пирамид (чертежи выполняются учениками).

2. Параллелепипед., Учитель сопровождает определения различных видов параллелепипеда демонстрациями соответствующих моделей. Затем переходит к систематическому разбору свойств параллелепипеда, сопровождая свои объяснения показом на модели и ссылаясь на соответствующие предложения раздела „Прямые и плоскости в пространстве“.

Широко привлекая демонстрацию моделей (проволочных), учитель может легко добиться от учеников ответа на вопросы о ряде свойств параллелепипеда (например, о пересечении его диагоналей в одной точке и т. п.).

Черт 28.

Необходима подчеркнуть значение теоремы о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда для определения длины отрезка в пространстве. На черт. 27 показана специальная модель для вычисления длины отрезка в пространстве.

На проволочную ломаную линию АВСМ (AB _L ВС; СМ ± AB, и СМ 1 ВС) надевается ящик из стекла, при чем размеры ящика соответственно равны AB, ВС и СМ. Ученики наглядно убеждаются в справедливости формулы:

AM'“ = AB2 + ßC2 + СМ\

Затем учитель дает ученикам ряд упражнений на определение длины отрезка в пространстве. Вот примеры подобных упражнений:

1) Учитель отмечает на гранях сплошной зачерненной модели прямоугольного параллелепипеда две точки, вызывает ученика и предлагает ему найти расстояние между этими точками. Все гри необходимых измерения ученик выполняет с помощью чертежной (мерной) линейки.

2) Учитель предлагает найти расстояние между двумя точками, одна из которых взята на поверхности стены, другая — на поверхности пола.

Подобные упражнения, наполненные конкретным содержанием, прочно запоминаются учениками.

3. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания.

Разбор теоремы о свойствах сечения пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания, сопровождается показом модели, изображенной на черт. 28. Сечение Аф\Сфл делается из жести, боковые ребра и высота пирамиды — из проволоки.

4. Альбомы чертежей. При изучении раздела „Многогранники“ учитель настойчиво должен требовать от учеников самого серьезного отношения к чертежу: каждый ученик должен грамотно строить чертеж и уверенно .читать“ его. При изучении различных тем учения о многогранниках ученикам даются задачи на выполнение чертежей многогранников. Размеры чертежа в лист ученической тетради.

Приводим примеры подобных заданий (разумеется, что числовые данные можно разнообразить).

1°. Задачи на построение параллелепипеда

1) Начертить прямоугольный параллелепипед, размеры которого равны 4 си, 5 см и 6 см.

2) Начертить прямой параллелепипед, если высота его Л = 7 см, а основанием служит ромб, диагонали которого т = 4слил = 5 см.

3) Начертить прямой параллелепипед, высота которого h = 5 см, а основанием служит параллелограм, стороны которого а — 4 см и b = 5 см и острый угол а = 60°.

4) Начертить параллелепипед ABCDAxBxC^Db основанием которого служит прямоугольник ABCD; AD = б см; AB = 4 см; ААХ = 4,5 см; AiD ± плоек. ABCD.

5) Начертить параллелепипед ABCDAxBxCiDi основанием которого служит ромб; АС = 6 см; AD = 4 см: АХС = 5 см; А\С ± плоек. ABCD.

2°. Задачи на построение призм

1) Построить правильную призму: а) треугольную, высота которой Л = 5 см и сторона основания а — 4 см;

6) 4-угольную, высота которой h « 4,5 см и сторона основания а = 3,5 см;

в) 5-угольную, высота которой h s 6 см и сторона основания а = 3,5 см.

2) Построить 3-угольную призму АВСА^ВХСЬ если, а) AB = ВС = 4 см; ^В=90°; ААХ 1_плоск. ABC; ААХ - 6 см;

б) AB = ВС » 6 см: АС — 4 см: АХС j_ плоек. ABC; А^С = 4 см.

3) Построить 4-угольную призму ABCD АгВхС^ъ если: а) AB — CD = 4 си; Л£ Ii ВС; /Ш = 6 си: ВС = 2 си: Л^Х плоек.- ABCD; АА} = 5 см:

б) ЛО И ВС; /_А = 90°; ЛО = 6 си; ВС = 3 си; ЛВ = 4 с*/; ЛАС1 плоек. ABCD; АгС = 5 сл.

3°. Задачи на построение пирамид

1) Начертить правильную пирамиду; а) треугольную, если высота ее h = 6 см и сторона основания а = 4 сл<;

б) 4-угольную, если высота ее h = 7 си и сторона основания а—Ъ см;

в) 6-угольную, если высота ее h = 6 си и сторона основания а = 4,5 см ;

2) Начертить 3-угольную пирамиду S ABC если:

а) ЛЯ = ВС = 5 си; ,/В - 90°; BS = 6 си; BS _l плоек. ЛВС;

б) ЛВ = 3 си; ВС =4 см; £В = 90°; 5Л -= SB = SC = 6 си;

в) ЛВ= 3 см; ВС = 4 си; АС = 5 си; высота пирамиды h — 4,5 си; боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания.

3) Начертить 4-угольную пирамиду SABCD, если:

а) ABCD — прямоугольник; AB —А см; ВС = *=6 си; SCj_ плоек. ЛВС/); SC = ô см;

б) ABCD- ромб; ЛС-4,5 си; BD = 4 си; О — точка пересечения диагоналей ромба ABCD; SO± плоек. ABCD; SO = 5 сл.

в) ЛВС/) — трапеция; ЛВ = CD = 4 си; ЛЛ — s 5 си; ВС = 3 см; О — точка пересечения диагоналей; SO± плоек. ЛВС/); SO = 4,5 сл.

4°. Задачи на построение усеченной пирамиды

1) Начертить правильную усеченную пирамиду:

а) 3-угольную, если стороны ее оснований а = 6 см и #1 = 3 си и высота пирамиды h = = 4 си;

б) 4-угольную, если стороны ее оснований (7 = 5 си и.ßj «в 2 CJK и высота пирамиды Л = = 3,5 см.

2) Начертить 4-угольную усеченную пирамиду, если высота ее h = 4 си и основаниями служат прямоугольники: стороны нижнего основания а = = 6 си и в = 4 си; одна из сторон верхнего основания ал = 4 сл.

Мы считаем достаточным, чтобы каждый из учеников выполнил в своей тетради 4—6 чертежей (1—2 чертежа на каждую из тем). В дальнейшем ученик должен сопровождать решение по стереометрии задач, помещенных в задачнике Рыбкина, выполнением чертежей в соответствии с указаниями в тексте задачи. Лучшие чертежники выполняют индивидуальные задания, из которых составляются альбомы чертежей. Альбомы используются двояко. Во-первых, чертежи эти выступают как наглядные пособия. При прохождении темы устраивается выставка чертежей. Во-вторых, эти чертежи используются как материал для задач. Один и тот же чертеж может быть использован для нескольких задач. Тексты этих задач приготовляются учителем на отдельных карточках. Приводим несколько задач к одному и тому же черт. 29:

1) найти углы, составляемые боковыми ребрами пирамиды с плоскостью основания;

2) найти двугранные углы, составляемые боковыми гранями с плоскостью основания;

3) найти поверхность и объем пирамиды.

5. Плоские сечения многогранников. Для построения плоских сечений призм и пирамид пользуемся 3 способами;

Черт. 29.

1) способом построения диагональных сечений,

2) способом нахождения линии пересечения секущей плоскости с плоскостью основания и

3) способом дополнения призмы (или пирамиды до треугольной).

Первый способ показан на модели, изображенной на черт. 30.

Черт. 30.

Модель сделана из проволоки. Сечение KLMN обозначено несколькими рядами нитей. Точка N определяется как точка пересечения ребра SD с прямой, проходящей через точки L и 0\.

Второй и третий способы показаны на моделях, изображенных на черт. 31 и 32.

Кроме этих 3 моделей, следует иметь в кабинете 6 чертежей (большого формата) плоских сечений призм и пирамид, причем на 3 чертежах изображены вышеприведенные 3 модели (изготовляются учениками). По ознакомлении учеников с приемами плоских сечений многогранников учитель предлагает на дом ряд упражнений на построение плоских сечений.

Черт. 31.

Приводим примеры подобных упражнений: 1) Построить 4-угольную прямую призму ABCDA^B^D^ высота которой h — 5 см, а основанием служит 4-угольник ABCD; AB =з «= ВС = б см; Z.C - 90°; CD « AD = 4 см.

Построить плоское сечение, проходящее через точки К, L и М, лежащие на боковых ребрах ААЪ ВВХ н ССХ; АК =4 см; БЛ = 3 см; СМ =» / см.

2) Построить 4-угольную пирамиду S ABCD, если высота пирамиды SO = 6 см; О — точка пересечения диагоналей основания ABCD; ABCD — прямоугольник; AB =* 5 см; ВС = 4 см. Построить плоское сечение, проходящее через точки К, L и М, лежащие на боковых ребрах, если AK:KS = 4:\; BL:LS= 1:1 и CM:MS=> = 1:3.

6. Поверхность и объем параллелепипеда и призмы. При разборе теорем об объеме параллелепипеда используются две модели: 1) модель прямоугольного параллелепипеда, рассеченного плоскостью, проходящей через одно из его ребер. Комбинируя обе части параллелепипеда, мы сперва образуем прямой параллелепипед, основанием которого служит параллелограм, а затем составляем прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник, т. е. прямоугольный параллелепипед, и 2) модель прямого параллелепипеда, разрезанного плоскостью, пересекающей 4 боковых его ребра Комбинируя обе части этого параллелепипеда, мы сперва составляем наклонный параллелепипед и затем равновеликий с ним прямой параллелепипед.

Черт. 32.

При разборе теорем о поверхности и объеме призмы пользуемся сделанной из фанеры 4-угольной или 5-угольной прямой призмой, разрезанной наклонной плоскостью, пересекающей все боковые ребра призмы.

7. Объем пирамиды. Исходя из различных способов вывода формулы объема пирамиды, приводим несколько конструкций моделей. На черт. 33 изображена модель для демонстрации построения п „выходящих“ и п—1 „входящих“ призм.

На деревянной подставке устанавливаются две равные пирамиды, сделанные из проволоки. Все „входящие“ и „выходящие“ призмы также делаются из проволоки, боковая поверхность призм окутывается цветными нитями. В целях придания модели большей прочности можно левую пирамиду сделать из фанеры и все „выходящие“ призмы из проволоки, окутываемой шелковым шнуром; правую же пирамиду — из проволоки, а „входящие“ призмы из фанеры, окрашенной под цвет шелкового шнура, окутывающего .выходящие“ призмы.

Ученики видят, что сумма t\ объемов „выходящих“ призм больше объема v пирамиды, а

сумма z2 объемов „входящих“ призм меньше объема у пирамиды

*1 > V > z7

причем:

h

где Q — площадь основания и h — высота пирамиды.

Черт. 33.

Далее учитель объясняет, что при п ©о (г, —z2 > о и lim z} —um z2 = v.

Модель, изображенная на черт. 34, служит отличным пособием при выводе формулы объема пирамиды как предела суммы .входящих* призм (с использованием формулы суммы квадратов натурального ряда чисел).

Ребра пирамиды сделаны из проволоки, .входящие“ призмы — из дерева. Модель отличается наглядностью.

Черт. 34.

При разборе теоремы об объеме треугольной пирамиды преподаватель пользуется моделью треугольной призмы, разбиваемой двумя секущими плоскостями на три равновеликих пирамиды (черт. 35)

В целях наглядной демонстрации принципа Кавальери автор применял набор из 20 пар дощечек. Толщина каждой дощечки 0,5 см. I группа дощечек состоит из прямоугольных дощечек, длина и ширина которых: )) 10 см и 15 см; 2) 9,5 см и 14, 25 см\ 3) 9 см и 13,5 см ..; 20) 1 см и 1,5 см.

II группа состоит из треугольных дощечек с соотношением сторон: 4:3:5; размеры катетов соответственно равны: 1) 20 см и 15 см; 2) 19 см и 14, 25 см; 3) 18 см и 13,5 см...; 20) 2 см и 1,5 см.

Черт. 35,

В качестве материала для упражнений по вычислению объема пирамид помимо задач, помещенных в задачнике, следует также использовать альбомы чертежей и модели пирамид, имеющиеся в математическом кабинете. Особое внимание следует уделить точному определению усеченной пирамиды. Ученики иногда принимают за усеченную пирамиду призматоиды или иные многогранники, не являющиеся усеченными пирамидами.

Так, ученики подчас готовы признать усеченной пирамидой многогранники ABCD АуВ\С\Оъ полученные путем пересечения многогранников ABCDMN и ABCDHL плоскостью, параллельной плоскости основания (см. черт. 36 и 37).

Черт. 36.

Необходимо отметить следующие 4 момента: 1) подобие двух граней оснований; 2) параллельность их сходственных сторон; 3) боковые грани суть трапеции; 4) положение параллельных сторон этих трапеций.

Имея в своем распоряжении хорошо организованный математический кабинет, учитель показывает на моделях, к чему может привести недостаточный учет всех признаков при определении

усеченной пирамиды. Многогранники ABCD A\B}C\Dy изображенные на черт 36 и 37, удовлетворяют приведенным выше признакам 2), 3) и 4), но не удовлетворяют признаку 1). Многогранник АВСОА\В\С<\Р\АфъСъРъ изображенный на черт. 38, не удовлетворяет 4) признаку.

Черт. 37.

Полезны также следующие упражнения: учитель дает ученику модель усеченной пирамиды или многогранника, наподобие изображенного на черт 36, и предлагает установить, является ли этот многогранник усеченной пирамидой.

Черт. 38.

Аналогичную работу учитель проводит с чертежом.

8. Подобные многогранники. Для демонстрации „существования“ подобных многогранников учитель может использовать модель, изображенную на черт. 39.

9. Правильные многогранники. В кабинете следует иметь набор из 5 правильных многогранников и чертежи (большого формата) правильных 8-гранника, 12-гранника и 20-гранника.

Черт. 39.

IV. Цилиндр, конус и шар

1. Цилиндр. При прохождении этой темы рекомендуем следующие наглядные пособия: 1) прямой круговой цилиндр (сплошной), рассеченный наклонной плоскостью; 2) наклонный круговой цилиндр, рассеченный плоскостью, перпендикулярной к его образующей; 3) прямой круговой цилиндр, рассеченный 2 плоскостями (осевое сечение и сечение, параллельное оси цилиндра); 4) модель „эллипс, как проекция круга“; 5) модель „цилиндр, как тело вращения“; 6) чертеж: „прямой круговой цилиндр“, 7) развертка цилиндра и 8) большой зачерненный деревянный цилиндр. Пользуясь моделями I) и 2), учитель имеет возможность показать наклонный круговой цилиндр, прямой эллиптический цилиндр и наклонный эллиптический цилиндр.

Черт. 40.

При изучении цилиндра ученики встречаются с новой фигурой эллипсом. В порядке кружковых занятий учитель дает определение эллипса, как проекции круга. Это определение сопровождается показом модели, изображенной на черт. 40. На плоскости Р установлена рама Я, к которой прикреплен круг вращающийся около оси AB. К нему прикреплен ряд цветных нитей натянутых грузом Эти нити проходят через прорезы на круге, нарисованном на поверхности Р При различных углах, образуемых плоскостью круга О с плоскостью Р на последней с помощью нитей обрисовываются контуры различных эллипсов.

На черт. 41 дано изображение модели для демонстрации прямого кругового цилиндра, как тела вращения. Прямоугольник О ABC, сделанный из жести, вращается около стержня.

2. Конус. При прохождении этой темы рекомендуем следующие наглядные пособия: 1) большой деревянный зачерненный конус (прямой круговой), 2) наклонный круговой конус; 3) конус, рассеченный 4 плоскостями (в сечении — круг, эллипс, парабола и гипербола); 4) конус, рассеченный плоскостью, проходящей через его ось; 5) модель „конус, как тело вращения“ (черт. 42); 6) модель для демонстрации теоремы об объеме конуса, как пределе суммы объемов цилиндров (делается подобно модели, изображенной на черт. 34); 7) развертка прямого кругового конуса; 8) развертка усеченного конуса; 9) чертеж „прямой круговой конус“; 10) чертеж „усеченный конус“.

Черт. 41.

Черт. 42.

Кроме этих моделей, рекомендуем для кружковых занятий модель .гиперболическое сечение конической поверхности“. Модель эта изображена черт. 43. На подставке Р помещается основание одного кругового прямого конуса. Другой симметричный ему конус укрепляется на особой раме так, чтобы вершины этих конусов совпали и ось одного служила продолжением оси другого. Оба конуса рассечены „плоскостью М, сделанной из жести. Плоскость M и часть конуса могут быть сняты. На „плоскости М“ вычерчиваются дуги гиперболы, ось гиперболы и асимптоты.

3. Шар. Изучение этой темы сопровождается демонстрацией моделей: 1) правильная ломаная линия, вращающаяся около оси (черт. 44); 2) шар, „как тело вращения“ (черт. 45); 3) плоские сечения шара; 4) модель для демонстрации большого и малого кругов сечения (черт. 46); 5) большой зачерненный деревянный шар.

На черт. 46 изображена модель для демонстрации больших и малых кругов сечения. Шар обозначается тремя большими кругами, сделанными

Черт. 43.

Черт. 44

из проволоки. Плоскости этих кругов взаимно перпендикулярны.

„Шар“ покоится на подушке M и укреплен рамой К.

Черт. 45.

Черт. 46.

Для практических занятий применяется большой деревянный шар (диаметр 25 см), зачерненный для пометок мелом.

V. НАГЛЯДНЫЕ ПОСОБИЯ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ

Относительно роли и значения наглядных пособий по тригонометрии мы придерживаемся того же взгляда, который высказывали относительно наглядных пособий по планиметрии: лучшим наглядным пособием служит чертеж, выполняемый учителем на классной доске. За последние два десятилетия создан ряд пособий по тригонометрии: приборы .тригонометрический круг“ и .тригонометра ряд таблиц (тригонометрические функции углов 30°, 45° и 60°, знаки тригонометрических функций углов всех четвертей; таблица формул основных зависимостей между тригонометрическими функциями одного и того же угла; тригонометрические функции суммы и разности двух углов и т. п.), графики тригонометрических функций, ряд схем (схема решения прямоугольных треугольников, схема решения косоугольных треугольников), ряд чертежей, показывающих применение тригонометрии к решению задач физики и технических задач („наклонная плоскость“, „параллелограм сил“, „кривошипно-шатунный механизм“ и т. п.).

Кабинет математики немного проиграет, если откажется от приобретения большинства этих пособий, в значительной своей части представляющих увеличенную копию схем, чертежей и таблиц, помещенных в учебнике, имеющемся на руках у ученика.

Черт. 47.

Сравнительно большое распространение получил прибор „тригонометрический круг“ (черт. 47). С помощью этого прибора дается наглядное объяснение тригонометрических линий и изменения тригонометрических функций угла.

Свешивающийся проволочный отрезок МЫ встречается в точке Е с прямой OA] ME служит линией синуса угла АОМ; отрезок NE — лишний, он вредит наглядности и мешает отчетливо видеть линию синуса. Проще и нагляднее, когда учитель показывает тригонометрические линии на классной доске и затем занимается тщательным разбором изменения каждой из тригонометрических функций.

Черт. 48.

Так, например, изучение изменения синуса сопровождается показом на черт. 48 и иллюстрируется цифровыми данными, взятыми из тригонометрических таблиц.

Учитель должен возможно более широко использовать измерительные приборы (линейку, циркуль, транспортир) и тригонометрические таблицы. Пусть, например, учитель дал определение синуса острого угла (как отношения противолежащего катета к гипотенузе). Учитель предлагает ученику построить с помощью транспортира несколько углов (например, углов в 20°,30°, 45° и 60°), затем с помощью угольника и линейки выполнить все необходимые построения и вычислить синусы этих углов.

Черт. 49.

При объяснении градусного и радианного измерения углов с успехом может быть применен прибор, изображенный на черт. 49.

На листе фанеры начерчена окружность. С внешней стороны эта окружность разделена на градусы, с внутренней стороны — на радианы (с точностью до 0,1 радиана). Вокруг точки О ходит стрелка OB. Угол АОВ измеряется дугой AB, которая измерена в градусах и в радианной мере. Ученик видит, как один и тот же угол измеряется в градусной и в радианной мере, и получает представление о переводе (грубом) градусной меры в радианную и обратно.

Помимо вышеуказанной модели, рекомендуем еще один прибор, основным назначением которого служит непосредственно вычисление радианной меры угла путем нахождения отношения длины дуги к длине радиуса. На доске (черт. 50) вычерчена четверть круга радиусом, равным 50 см. Дуга окружности разделена на градусы. Для большей наглядности дуга окружности окрашена в два цвета — черный и красный (через каждые 5°).

По дуге AB сделана прорезь, в которую вставлена металлическая мерная полоса длиной 78,5 см с делениями на сантиметры и миллиметры. Эта мерная полоса почти целиком входит в прорезь, немного приподнята над поверхностью доски так, что можно видеть, какова длина дуги АС. Концы мерной полосы прикреплены с помощью цилиндров к тонким стерженькам А и В. Вокруг точки О ходит стрелка ОС. Ученик, строя угол по заданной ему градусной мере, смотрит, какова длина дуги, и длину дуги делит на длину радиуса (т.е. на 50). Прибор этот ценен тем, что ученик, пользуясь им, практически находит радианную меру угла путем непосредственных измерений длин дуги и радиуса и нахождения их отношения Ça == ^ ^ , и тем, что с помощью его дается довольно точный перевод градусной меры в радианную.

В кабинете следует иметь 3 чертежа большого формата: 1) графики функций:.у= slnjc яу = cos х; 2) графики функций: у = tg х и у = ctg х и 3) графики функций у = secх иу = cosecх.

Черт. 50.

Для показа приложений тригонометрии к решению простейших задач техники представляет интерес развертка винтовой цилиндрической нарезки (черт. 51). К цилиндру прикреплен треугольник, сделанный из ярко выкрашенной материи. Один из катетов его равен высоте цилиндра, а другой длине окружности. Эта модель позволяет дать развертку цилиндрического винта,

Черт. 51.

VI. ПОСОБИЯ ПО АЛГЕБРЕ

Вполне естественно, что по курсу алгебры список предметов кабинетного оборудования незначителен.

Были сконструированы прибор „плюс-минус“, модели, были выпущены на рынок демонстрационная классная логарифмическая линейка, таблицы формул решения уравнений 1-й и 2-й степени, графики некоторых функций и чертежи: „графическое решение уравнений 1-й степени“ и „графическое решение уравнений 2-й степени“. Из этих пособий мы считаем необходимым иметь для математического кабинета классную логарифмическую линейку и графики простейших функций.

Модель 9(а 4- b)z* может быть с успехом использована при ознакомлении учеников с понятием подобных членов. Модель эта представляет собой картонный куб, ребро которого равно (a -f- b), распадающийся на два куба, ребра которых равны а и Ь, 6 прямоугольных параллелепипеда, объем каждого из которых равен а?Ь, и 3 прямоугольных параллелепипеда, объем каждого из которых равен ab-.

На одной из граней каждого тела обозначен его объем. Учитель, имея 3—4 таких модели, может дать наглядное пояснение приведению подобных членов. Алгебраические одночлены принимают телесный вид.

Ученикам предлагаются примеры;

1) а*Ь+ а*Ь + аЧ = За2Ь,

2) 2а*Ь + ЗаЬ* + аЧ — 2ab2 = За2Ь + а№

с иллюстрацией решения на моделях (черт. 52).

Черт. 52.

VII. МОДЕЛИ И РАБОТА С НИМИ

Модели могут быть использованы при объяснении нового теоретического материала и при решении задач. При объяснении новых теоретических вопросов модель может быть показана до трактовки нового геометрического предложения, демонстрация модели может сопровождать само доказательство и, наконец, модель может быть использована для иллюстрации применений только что доказанного предложения.

Учитель с помощью модели разъясняет смысл нового геометрического предложения, стремится довести учеников до полного, вполне отчетливого понимания теоремы Покажем это на следующем примере. Учитель показывает, что если наклонная прямая пересекает данную плоскость, то в этой плоскости всегда можно провести через точку пересечения одну прямую, перпендикулярную к данной прямой. Это положение учитель иллюстрирует, прикладывая к классной доске чертежный классный прямоугольный треугольник так, чтобы один из его катетов лежал на поверхности доски. Затем учитель, приложив прямоугольный треугольник одним катетом к классной доске и начертив на последней CD (черт. 53) начинает вращать треугольник ABC около катета АС до тех пор, пока катет СВ не займет положения СВЬ при котором CBl±_CD. Теперь СВХ±СА и CBX1_CD, т. е. данная прямая BiCt пересекающая плоскость Р, перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости Р и проходящим через точку С пересечения данной прямой с плоскостью. Покажем теперь, что это прямая В\С перпендикулярна к любой прямой СЕ, лежащей в плоскости Р. Поняв смысл теоремы, ученики переходят к строгому ее доказательству.

В некоторых случаях, обычно довольно трудных для понимания учащихся, бывает полезно при изложении новой теоремы показать на моделях „существование“ приведенных в теореме соотношений.

Черт. 53,

Так, например, следует показать существование общего перпендикуляра к двум прямым, не лежащим в одной плоскости (гл. II, п. 8).

Модели математического кабинета могут быть применены в процессе самого доказательства многих теорем стереометрии. Доказывая, например, теорему о двух перпендикулярах, учитель дает стереометрический чертеж и одновременно показывает соответствующую модель.

Наблюдая одновременно стереометрическую модель и ее чертеж, ученики быстрее усваивают чтение чертежа.

Черт. 54.

Модели могут быть использованы после доказательства теоремы для показа применений последней.

Одна и та же модель может быть многократно использована для показа применения ряда теорем. Так, например, модель куба может быть использована для показа применения значительного числа теорем раздела „Прямые и плоскости в пространстве“. Приведем ряд примеров;

1) Разобрана теорема о двух перпендикулярах,—иллюстрация на кубе: боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания.

2) Иллюстрация теоремы о 3 перпендикулярах: ВО±АС следовательно, и BxOlAC (черт. 54).

3) Иллюстрация теоремы о перпендикуляре и наклонных: е1£<Л#1;£,Л=£1С, так как АВ=ВС; ß,0<ß^. так как ВО<АВ.

4) Иллюстрация теоремы: две прямых, перпендикулярных к одной и той же плоскости, параллельны между собой: АХА и С«С перпендикулярны плоскости, ABCD, следовательно, ААХ Ц QC и т. д.

Как показано выше, модели могут быть широко использованы, как материал для задач.

Несколько слов о самом оформлении модели. Модель должна быть сделана аккуратно, должна „глаз радовать“; она должна быть красочна, отдельные ее элементы (ребра, грани) должны быть выкрашены в яркие цвета. Если модель своей оригинальной конструкцией, или просто своим хорошим видом, привлекает внимание учеников, то ученики скорее уловят и прочнее запомнят те зависимости между элементами геометрической фигуры, на которых учитель будет фиксировать внимание учеников Так, например, отлично воспринималась учениками модель, иллюстрирующая определение объема пирамиды как предел суммы объемов „входящих“ призм (черт. 34). Точно так же отлично воспринималась учениками модель, служащая для иллюстрации формулы определения расстояния между двумя точками в пространстве (черт. 27). Модель запоминалась учениками, и они уверенно определяли затем расстояния между любыми точками, взятыми на гранях прямоугольного параллелепипеда.

Черт. 55.

Так, например, ученики с интересом решали следующую задачу. Ученикам давалась на руки модель правильной 4-угольной пирамиды (черт. 55) и предлагалось найти расстояние от средины M стороны AD до средины xV апофемы SE.

Решение задач на моделях всегда возбуждает интерес у учащихся; при решении этих задач следует следить за тем, чтобы ученик выполнял минимум измерений. Тематика этих задач весьма разнообразна.

VIII. Таблицы, схемы, чертежи. Внеклассная работа учеников

Кроме таблиц, схем и чертежей, в математическом кабинете должны быть портреты великих математиков.

Математический кабинет должен обладать некоторым запасом чертежной и миллиметровой бумаги и чертежными принадлежностями. Чертежи, используемые в качестве наглядных пособий, изготовляются самими учащимися. Чертежи эти наклеиваются на картон, а некоторые из них вставляются в особую рамку, сделанную из фанеры и покрытую лаком.

Чертежи, выполненные учащимися в порядке индивидуальных заданий размером в лист, используются для составления тематических альбомов. Остановимся немного на организации выставок-витрин. На отдельных листах фанеры (или картона) прикрепляются чертежи, относящиеся к заданной теме. Каждый лист фанеры (или картона) имеет свой тематический заголовок: 1) параллелепипеды; 2) призмы; 3) правильные пирамиды; 4) пирамиды (неправильные); 5) усеченные пирамиды; 6) плоские сечения призм; 7) плоские сечения пирамид и т. д.

На листе фанеры над каждым чертежом помещается или наименование изображенного на чертеже геометрического тела, или те данные, на основании которых выполнен чертеж (черт. 56).

Такие чертежи вывешиваются в кабинете (или в классе) на время прохождения соответствующей темы.

Черт. 56.

Именно эта своевременность и краткосрочность появления таких витрин и вызывают к последним повышенный интерес со стороны учащихся. Ученики рассматривают чертежи и проверяют, насколько правильно сами они выполняли подобные построения в своих рабочих тетрадях.

IX. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Наглядные пособия (модели, чертежи, приборы) имеют большое значение для лучшего усвоения курса учениками, для развития их пространственного воображения; применение наглядных пособий вносит оживление в преподавание геометрии, повышает интерес учеников к математике. Поэтому учитель должен систематически, из года в год, работать над созданием математического кабинета над пополнением кабинета моделями, чертежами и приборами. Необходимо в средней школе отводить под математический кабинет специальное помещение; нужно это и для развертывания работы кабинета и в целях сохранения самих пособий.

В части конструирования наглядных пособий сделано еще немного. Большую работу в этом направлении выполнили проф. Сигов, Перельман и др. Значительное число наглядных пособий, описание которых дано выше, сконструировано автором. Пособия эти проверены на практической работе. В области конструирования наглядных пособий предстоит еще большая интересная работа. Другой основной вопрос—об использовании наглядных пособий, о методике работы с наглядными пособиями. Автор дал ряд примеров применения наглядных пособий при преподавании различных разделов элементарной математики, привел ряд соображений об использовании кабинетного оборудования. Здесь предстоит обширнейшая работа, нужна организация специальных семинаров с учителями математики, необходимо широкое освещение вопросов работы с наглядными пособиями на методических конференциях, в литературе по методике математики. Тщательно продуманная и хорошо организованная работа по организации и использованию математического кабинета имеет исключительное значение для улучшения постановки преподавания геометрии в средней школе.

ИЗ ОПЫТА

К ВОПРОСУ О ВЫЧИСЛЕНИИ ПРОМИЛЛЕЙ

Л. КРУПОВЕЦКИЙ (г. Туринск)

При прохождении в школе процентных вычислений молодой учитель математики наталкивается на один, хотя и небольшой, вопрос, но ставящий иногда его и учащихся в некоторое затруднение, именно — вопрос о промиллях (говорят промилль или промилле). Дело в том что в „Сборнике задач по арифметике“ Е. С. Березанской в разделе VII „Проценты“ имеется ряд задач на вычисление промиллей (задачи №№ 1932, 1933, 1938 -примеры 17, 18, 19 и № 1970 — примеры 5 и 6), между тем, как в теоретических пособиях для средней школы никаких объяснений, как вычислять промилли, и вообще, что такое промилль, не дается. Учителя (по нашим наблюдениям) большей частью обходят эту тему и оставляют подобного рода задачи нерешенными, но иногда любознательные учащиеся сами наталкиваются на эти задачи, обращаются за разъяснением к учителю, и тогда происходит досадная заминка.

Чтобы дать возможность молодому учителю ориентироваться в теме о промиллях, мы в настоящей статье даем краткие методические указания, как проводить работу по вычислению промиллей с учащимися в школе. Прохождению этой темы нет необходимости уделять специальные часы, а надо вести работу попутно с изучением процентных вычислений.

Приступая к вычислению промиллей, следует прежде всего объяснить учащимся, что вся разница в вычислениях процентов и промиллей состоит в том, что в процентных вычислениях нам приходится умножать или делить числа на 100, а в вычислениях промиллей — на 1000. Это вытекает из того, что процентом называется сотая часть числа, а промиллем тысячная его часть.

Промилль обозначается знаком о/од. Таким образом, промилль составляет одну десятую часть процента и, исходя из этого, легко проценты выразить в промиллях, увеличив число процентов в Ю раз (перенести запятую на один знак вправо). Например: 0(5о/0 =* 50/™; 0,07<>/о = OJO/W 48,5°/о = «=4850/^

Если же, наоборот, приходится промилли заменить процентами, то следует число промиллей уменьшить в 10 раз (перенести запятую на один знак влево). Например: 3°/о0 = 0,3°/о; 0,20/00=0,020/0; 12,5о/оо - 1,250/0.

Далее следует ознакомить учащихся с приемами выражения десятичных дробей в промиллях и, обратно, промиллей в десятичных дробях. Чтобы выразить десятичную дробь в промиллях нужно данную десятичную дробь умножить на 1000 (перенести запятую вправо на три знака) и приписать справа знак о/^. Например: 0,001 - 10/00; 0,0005 = 0,50/00; 0,01 = 10Vce; 0,15 = 150о/оо; 0,0075 = 7,5%q.

Чтобы данное число промиллей выразить десятичной дробью, нужно число промиллей разделить на 1000 (перенести запятую влево на три знака) и написать результат без обозначения знака промилля. Например: 5°/оо = 0,005; 2,5°/оо = — 0,0025; 100о/оо = 0,1; 4000/оо«0,4.

Если требуется выразить в промиллях обыкновенную дробь, то ее необходимо предварительно превратить в десятичную, а затем выразить в промиллях. Например:

Переходя далее к решению задач на вычисление промиллей, следует подчеркнуть, что они решаются теми же приемами, как и задачи на проценты, с той только разницей, что при вычислении процентов приходится числа умножать или делить на 100, а при вычислении промиллей надо умножать или делить на 1000. При этом, подобно задачам на проценты, задачи на промилли разбиваются на три основных типа.

1-й тип задач. Нахождение промиллей от числа

Чтобы найти несколько промиллей от числа, надо это число разделить на 1000 (т. е. найти 1%о) и полученное частное умножить на данное число промиллей.

Задача 1. Найти 2,50/qp от 9600.

Решение. Сначала найдем 10/qq от 9600, для чего делим это число на 1000, затем результат умножаем на 2,5. Имеем:

9600:1000 = 9,6; 9,6 X 2,5 - 24.

Можно эти действия объединить:

Таким образом, 2,5о/оо от 9600 равно 24.

2-й тип задач. Нахождение числа по его промиллям

Чтобы найти неизвестное число по данным промиллям, надо данное в задаче число разделить на число промиллей, которое оно составляет (т. е. найти 1 о/оо искомого числа), и полученный результат умножить на 1000.

Задача 2. Найти неизвестное число, если 2,50/00 его равны 24.

Решение. Сначала найдем 1%о неизвестного числа, для чего разделим 24 на 2,5; затем результат умножаем на 1000. Имеем:

24 :2,5 - 9,6; 9,6 X 1000 = 9600.

Искомое число равно 9600.

Объединив указанные действия в одной формуле, имеем:

3-й тип задач. Выражение одного числа в промиллях от другого числа

Чтобы узнать, сколько промиллей одно число составляет от другого числа, надо число, которое мы хотим выразить в промиллях, умножить на 1000 и полученное произведение разделить на другое число.

Задача 3. Сколько промиллей составляет число 24 от 9600?

Решение. Умножив число 24 на 1000 и разделив затем полученное произведение на 9600, имеем:

24Х ЮОО = 24000; 24000 :9600 = 2,5.

Таким образом находим, что число 24 составляет 2,50/00 от 9600.

Указанные действия целесообразно объединить в одной формуле:

При прохождении в школе темы на вычисление промиллей можно указать, что промилли применяются преимущественно в статистике, где исчисляется, например, количество умерших, родившихся, грамотных и т. п. на каждые 1000 человек. Промилли применяются также при измерении растворов слабой концентрации и в некоторых других случаях.

КАК ПРАКТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИТЬ ВЕЛИЧИНУ ДУГИ ДАННОЙ ОКРУЖНОСТИ ИЛИ ДАННОГО УГЛА, ПРИ ПОМОЩИ ЦИРКУЛЯ

З. РУПЕЙКА (Каунас)

Две точки А и В, взятые на данной окружности, если только они не лежат на концах диаметра, делят ее на две неравные дуги AB. Ясно, что если известна величина меньшей из этих двух дуг, то отыскание величины большей не представит никаких затруднений. Поэтому из двух дуг данной окружности, которые определяются двумя взятыми на ней точками А и В, искомой дугой можно считать меньшую

Ответ можем выразить или в градусах

(1)

или в радианах:

Ясно, что если будет найдено число/f, то тем самым будет возможно определить и величину искомой дуги AB. Так как из двух неравных дуг AB данной окружности мы условились искомой дугой считать меньшую, то число п всегда должно быть большим числа 2. В зависимости от числа л, т. е. будет ли оно рациональным или иррациональным целым или дробным числом, приходится разобрать три случая:

I. Число п целое, т. е. хорда AB является стороною правильного многоугольника, вписанного в данную окружность.

Этот случай из-за своей простоты не представляет интереса.

II. Число п дробное. Допустим, что задача уже решена, и найдено, что данная дуга AB равна t°. Следовательно,

В данном случае число п можно выразить при помощи двух натуральных чисел р и q в виде несократимой дроби:

(2)

Число, обратное числу п, показывает, какую часть окружности составляет наша дуга AB. Единицею измерения в данном случае может быть —— , а сколько таких единиц заключается в нашей дуге AB, показывает число q. Подставив значение (2) в (1), получаем:

Если теперь на данной окружности от исходной точки А в одном и том же направлении при помощи циркуля будем откладывать хорду AB р раз, то придем опять к исходной точке А. Для того, чтобы хорду AB могли бы отложить р раз, мы должны обойти по окружности q раз. Это ясно, потому что, отложив на данной окружности хорду AB р раз, мы обойдем дугу равную:

Теперь решение задачи является очевидным. Желая узнать величину дуги AB данной окружности, достаточно от начальной точки А на данной окружности откладывать при помощи циркуля хорду AB до тех пор, пока ножка циркуля опять не совпадет с исходною точкою А. Откладывая хорды, мы должны считать, сколько раз за это время будет обойдена окружность и сколько

раз будет отложена хорда. Допустим, что окружность будет обойдена q раз и за это время хорда AB будет отложена р раз. Умножив 360° (или 2п) на первое (т. е. q) и разделив полученное произведение на второе число (т. е. р). будет найдена величина искомой дуги AB, выраженная в градусах (или радианах).

III. Число п иррациональное.

Этот случай имеет лишь теоретическое, но не практическое значение. А теоретически легко доказать, что и в данном случае величину дуги AB данной окружности можно с любою технически возможной степенью точности установить тем же самым способом, как и во втором случае.

Из изложенного ясно, что и в первом случае (т. е. когда п целое) способ определения величины дуги AB ничем не отличается от изложенного во втором случае.

Итак, изложенный здесь способ во втором случае показывает, как при помощи только циркуля может быть практически определена величина любой дуги меньшей половины данной окружности.

Умея при помощи циркуля определить величину любой дуги, тем же самым способом мы можем определить и величину любого угла, предварительно сделав его центральным.

ЗА РУБЕЖОМ

АМЕРИКАНСКОЕ ОБЩЕСТВО РЕВНИТЕЛЕЙ ИНЖЕНЕРНОГО ОБРАЗОВАНИЯ О ЗНАЧЕНИИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ

Проф. И. Я. ДЕПМАН (Ленинград)

Американское общество ревнителей инженерного образования на собрании своем 24—28 июня 1940 г. в Барклее приняло следующее постановление:

„В разных частях страны проявляются тенденции недооценивать значение курсов математики, преподаваемых в высшей школе для повторения и углубления сведений по элементарной математике, вынесенных учащимися из средней школы. Эти тенденции, повидимому, не учитывают того обстоятельства, что эти курсы существенно важны для дальнейшего прохождения курса студентами научных и инженерных специальностей и что университеты не понижают и не могут понижать требований при прохождении математики, равно как при прохождении специально научных и инженерных дисциплин на указанных специальностях. Более того, в переживаемое страной время было бы крайней опасностью для самозащиты нации, опасностью, равнозначащей самоубийству, не давать инженерам наивысшей возможности для них теоретической подготовки.

Члены математической конференции Общества ревнителей инженерного образования позволяют себе настойчиво заявить что не должно быть никакого снижения в требованиях по математической подготовке в средней школе всех тех учащихся, которые выбирают себе научную иди инженерную карьеру. Те же члены в особенности подчеркивают, что является крайне существенным, чтобы программа математики старших четырех классов, начиная с подготовительной для колледжей алгебры девятого года обучения, была вполне усвоена всеми способными учащимися школы. Члены конференции заявляют, что это требование не может быт снижаемо ни в каком случае, равно как не могут быть послаблены требования по усвоению учащимися тригонометрии и стереометрии.

Эта резолюция не означает, что прохождение подготовительных курсов элементарной математики должно требоваться в университетах от всех студентов. Но Общество ревнителей инженерного образования Соединенных Штатов подчеркивает весьма категорически важность того факта, чтобы все существенные математические курсы имелись в университетах для тех, кто для избранной ими специальности не имеет достаточной математической подготовки по средней школе. Общество полагает, что для эффективности этих курсов они должны начинаться с материала алгебры девятого года обучения, то-есть с первого года последней четырехлетней ступени средней школы“.

УРОВЕНЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ У КОНЧАЮЩИХ АМЕРИКАНСКУЮ СРЕДНЮЮ ШКОЛУ

Проф. И. Я. ДЕПМАН (Ленинград)

Комиссия по тестам Совета по народному образованию Соединенных Штатов Американской математической ассоциации в течение ряда лет занималась выработкой тестов по математике для первого и второго года обучения в колледжах. Комиссия, состоящая из известных педагогов и преподавателей, выработала ряд тестов, разослала их по колледжам, где они и были использованы. Орган математической ассоциации „The American Mathematical Monthly“ (т. 47, № 5) печатает подробный отчет о работе Комиссии тестов и делает разные выводы по вопросу о тестах. Для советского преподавателя математики далеко не все это убедительно и интересно, но несомненный интерес представляют статистические данные о результатах проведения этих тестов, как дающие представление об уровне знаний по математике в американских колледжах в последние из минувших лет.

Колледжам в 1935-1937 гг. были разосланы сотни вопросов по математике. Преподаватели выбирали из них кажущиеся им более подхо-

дящими, использовали их на испытаниях и проверках и присылали сведения о результатах в Комиссию по тестам. Рассылка вопросов делалась под лозунгом „Дать преподавателю возможность сравнить результаты своей работы с работой других преподавателей и с нормальными требованиями“, так как разосланные вопросы, выработанные авторитетным учреждением, могли считаться до известной степени требованиями, которые можно и должно предъявлять преподаванию математики в первый год обучения в колледжах. Вот результаты, приведенные в отчете, Комиссии: указаны задача, общее число N учащихся, которые решали задачу; число правильных решений R и процент правильных решений D=c—— Номер перед задачей означает номер данной задачи в общем списке вопросов, разосланных Комиссией:

Тригонометрия

23. Дано уравнение cos х = — — * угол ж лежит между 180° и 270°; sin X -4- cotg X наити »ecx + tgx и упростить результат ........

30. Вычислить значение выражения

36. Выразить sin (-156°) через функции положительного острого угла..............

76. Какая тригонометрическая функция угла А равняется выражению

Алгебра

120. Если log А=т log В = п, то log AB2—.....

23. Какие из следующих равенств являются тождествами. Указать номером ............

46. Чему равен коэффициент если число 2 есть корень уравнения 5л:3-£лг3+4=0.......

60. Сумма корней квадратного уравнения есть — и их произведение — Найти корни этого уравнения ...... ...

75. Написать первые четыре члена выражения (2дг8—у*)* и упростить их...........

Аналитическая геометрия на плоскости

5. Вершины треугольника — А (0,0) В (д,0), С (&, с). Найти координаты середин сторон АС и ВС

22. Определить, какая кривая имеет своим уравнением л3 -j- 3j# — —x—y=Q .........

38. Найти уравнение геометрического места точки, движущейся таким образом, что расстояние ее от начала координат вдвое больше расстояния ее от линии jt = 4.......... . . .

50. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых х-т-У + 1= 0их — 2_у— —3=0 и параллельной к прямой 2х— j/=0 ..........

86. Найти уравнение параболы, вершиной которой является точка (2,5), а директриссой ось абсцисс

Диференциальное и интегральное исчисление

1. Найти

2. Найти

7. Найти

8. Найти

33. Найти значения х, в которых касательные к кривым у=х2 и у = х* параллельны. ......

Эти вопросы предлагались учащимся не на экзаменах при переходе с первого курса колледжа на второй, а в течение первого года обучения в колледже при разных проверках. Комиссия тестов выработала вопросы для экзамена за целый курс колледжа, а потом также тест за два первых курса, но эти тесты на практике не применялись в виду крайней пестроты колледжей как по программе, так и по условиям приема учащихся.

Картина, рисуемая приведенными статистическими данными, очень мало утешительна, а в отдельных случаях прямо катастрофически печальна. Задачи эти, как указано выше, предлагались

не на общей проверке, на которой атмосфера часто возбужденная, а в нормальной обстановке. Неизвестно, сколько времени предоставлялось учащимся для решения задач; вероятно, что они решали только один пример за время, в которое нужно было решить несколько задач, так как статистические данные касаются не теста в целом, а каждой задачи в отдельности. Наконец, нужно отметить, что тесты эти проводились в колледжах, которые, несмотря на все их разнообразие, все же представляют надстройку над средней школой, имеющей в общем тринадцать лет обучения. Если при таких обстоятельствах только 44°/п всех подвергшихся проверке учащихся могли выполнить самое элементарное логарифмирование (задача по алгебре № 120), то положение нужно, несомненно, признать буквально катастрофическим, тем более, что тесты были не официальны и не обязательны, почему весьма вероятно, что немало худших результатов не попало в сводку.

Как видим, результаты тестов по элементарной математике (наиболее трудный предмет — геометрия — притом отсутствует) значительно хуже, чем результаты тестов по элементам высшей математики. Таким образом уже в первый год по выходе из средней школы элементарная математика забыта в катастрофических размерах: основные понятия логарифмирования помнят 44°/о, а основные понятия тригонометрии только 21°/о (задача 23 по тригонометрии) подвергнувшихся проверке учащихся Это обстоятельство показывает, насколько непрочно усваиваются математические знания в американской школе и объясняет факт, о котором мы сообщаем в предыдущей заметке: Общество ревнителей инженерного образования Соединенных Штатов вынуждено поднять свой голос за улучшение математической подготовки в средней школе Америка и за обеспечение студентов первого курса в университетах и технологических институтах возможностью повторить и углубить свои знания по элементарной математике.

Представляло бы интерес предложить примеры американских тестов в советской школе ученикам X класса. Просьба к читателям журн. „Математика в школе“ сообщить редакции результаты таких проверок с указанием, сколько примеров и на какой срок было предложено учащимся. Результаты эти могли бы дать некоторые данные для сравнения состояния усвоения математики в нашей средней школе и в средней школе самой передовой капиталистической страны.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

ОПЫТ РАБОТЫ В VIII КЛАССЕ ПО УЧЕБНИКУ ГЕОМЕТРИИ Н. А. ГЛАГОЛЕВА*

Т. Н. РЯДНОВА (преподаватель школы № 131, г. Москвы)

Новый учебник геометрии был введен в нашей школе в одном из VIII классов. Ученики начали заниматься по этой книге с пятой главы, т. е с вопроса об измерении отрезков. Наш опыт преподавания по новому учебнику протекал в не вполне благоприятной обстановке: среди года я пропустила 5 недель учебных занятий (по болезни), которые были замещены только частично; вследствие этого в конце года времени было в обрез, чтобы закончить все темы программы VIII класса. Пришлось выпустить, во-первых, все, что отнесено к курсу IX класса (правильные многоугольники и длина окружности), во-вторых, то, что выходило из рамок существующей программы VIII класса (степень точки относительно круга и радикальные оси). Это, конечно, жаль, так как желательно при проверке на практике нового учебника точно следовать за изложением автора. Итак, по новому учебнику VIII класс прошел четыре темы: гл. V — измерение отрезков, гл. VI — подобное преобразование фигур (кроме IV и V — мелкий шрифт), гл. VII —числовые соотношения между элементами фигур (кроме IV, V и VI), гл. VIII — измерение площадей (кроме отд. IV). Изложение каждой из этих тем имеет некоторые особенности по сравнению с учебником Киселева.

I тема: Измерение отрезков

1) Содержание темы базируется на очень ясно и вместе с тем кратко изложенной аксиоме Архимеда. Непосредственно из аксиомы вытекают те различные „случаи“, которые могут встретиться при измерении одного отрезка другим, принятым за единицу измерения. Жаль, что очень существенный вывод: „любой отрезок можно измерять с помощью любой единицы измерения“ дан только в сноске.

Понятие о соизмеримости и несоизмеримости отрезков связано не с понятием общей меры, трудно усваиваемым учащимися, а с идеей рационального и иррационального числа, с которой учащиеся познакомились на уроках алгебры. По моим наблюдениям, если только преподаватель добился хорошего понимания рационального и иррационального числа, то такое изложение данного материала на уроках геометрии является для учашихся только уточнением знакомых идей и усваивается легче (и, я бы сказала, правильнее). При обычном изложении взаимоотношений между понятиями иррациональности чисел и несоизмеримости отрезков мешает привходящее понятие общей меры.

Некоторые преподаватели возражают против такого определения несоизмеримости, говоря, что при этом учащихся нельзя убедить в существовании несоизмеримых отрезков Но это недоразумение В обычном курсе доказывается существование несоизмеримых отрезков при помощи известной теоремы о диагонали квадрата. Та же самая идея проводится в курсе алгебры при выяснении необходимости введения иррациональных чисел и теми же средствами: существует диагональ квадрата и не существует рационального числа, выражающего его длину. Эта длина может быть выражена только новым (иррациональным) числом. Следовательно, на уроке геометрии остается напомнить учащимся вывод, сделанный на уроке алгебры, и формулировать его иначе: существуют несоизмеримые отрезки. Что касается более широкого показа существования несоизмеримых отрезков, то это при всяком методе изложения откладывается до знакомства учащихся с теоремой Пифагора. В отделе 1-м гл. V (общие положения об измерении отрезков) не все изложено достаточно престо, и некоторые положения вызывают затруднения; это относится в особенности к § 165. „Переход от одной единицы измерения к другой“.

Несмотря на внешне конкретный характер доказательства теоремы: „длина отрезка при новой единице измерения равна его длине при старой единице, умноженной на длину старой единицы, измеренной новой единицей“, значительная часть класса не была в состоянии воспроизвести это доказательство. Пришлось рассмотреть конкретный пример:: „Положим, что, измерив отрезок Л метром, мы получили А = 3,5 м\ как найти, какое получится число, если тот же отрезок А измерить сантиметром? Измерим метр сантиметром: 1 л£=100 см. Следовательно, 3,5 м — (3,5 - 100) см = 350 смя. Надо сказать, что я тоже не сразу нашла эту дошедшую до учениц форму объяснения. Что же касается данного в книге доказательства, что оно до конца осталось недоступным большинству класса, что выяснилось при повторении в конце года.

Изложение учения о пропорциональных отрезках на пересекающихся прямых очень ясно и в то же время кратко Формулировки легко запоминаются. Очень хороша, например, теорема § 171: „Если в треугольнике провести прямую, пересекающую боковые стороны и параллельную основанию, то отношение основания к отрезку секущей, лежащему внутри треугольника, равно отношению всей боковой стороны к ее отрезку, не прилежащему к основанию“. Эта формулировка предохраняет учащихся от обычной ошибки — берут отрезок, прилежащей к основанию. В моем очень не сильном классе только

* От редакции. Настоящая статья помещается в порядке обсуждения учебников, изданных пробным тиражом.

один раз была при решении задач сделана эта ошибка. Особенностью главы об измерении отрезков является введение понятия гармонической группы точек. Оно интересует учащихся и педагогически хорошо тем, что, во-первых, вводит некоторые обобщения (внутреннее и внешнее деление отрезка, связь с этой точки зрения равноделящих смежных внутреннего и внешнего углов треугольника), во-вторых, заставляет при построении четвертой гармонической к трем данным точкам глубже продумывать расположение пропорциональных отрезков. И то и другое содействует развитию геометрического мышления учащихся.

Есть разница в расположении материала по сравнению с учебником Киселева. Теоремы о пропорциональных отрезках на сторонах угла даны в учебнике Киселева после учения о подобии. Мне кажется, что изучение теорем о пропорциональных отрезках до подобия больше способствует геометрическому развитию учащихся, так как учение о подобии треугольников как бы механизирует весь вопрос, а это всегда вредно, если наступает слишком рано.

Глава V „Измерение отрезков“ сопровождается упражнениями, разделенными на четыре отдела: А — доказательство теорем (задачи на доказательство^ Б — геометрические места точек, В — задачи на построение; Г —задачи на вычисление (6 -f? + 23 и — всего 47 номеров). Задач в разделах А, Б и В достаточно; есть задачи несложные и более трудные (к некоторым даны указания). Что касается задач на вычисление, то они довольно однообразны, мало задач на биссектрису угла треугольника.

Но недостатка в количестве не чувствовалось, так как в руках учениц был и сборник Рыбкина.

II тема: Подобное преобразование фигур

Уже самое название главы говорит о принципиально иной постановке вопроса о подобии сравнительно с учебником Киселева.

В начале ставится задача преобразования фигуры так, чтобы изменились размеры ее без изменения формы; указывается построение перспективно-подобных фигур; выводятся свойства их соответственных углов и отрезков. Затем уже дается определение подобных фигур; „если подобным преобразованием одной из данных фигур можно получить фигуру, равную другой, то данные фигуры называются подобными“. Из этого определения следует, что подобные фигуры обладают свойствами переспективно-подобных фигур — равенством соответственных углов и пропорциональностью сходственных сторон. Соответственно изменяются доказательства теорем о признаках подобия.

Проф. Глаголев дает 4, а не 3 признака подобия; четвертый признак связан с 4-м признаком равенства треугольников. Так как мои ученицы не знали 4-го признака равенства, то я не могла им дать и 4-й признак подобия Я не нахожу, чтобы эти четвертые признаки были нововведением, дающим что-либо важное для геометрического развития учащихся или для их уменья решать задачи.

Я приветствую идею автора нового учебника— дать учение о подобии, как о геометрическом преобразовании фигур.

В прежних учебниках определение подобных фигур давалось формально, здесь же геометрический подход — построение с ясно поставленной целью — делает все учение о подобии стройным, вытекающим из существенного, а не из формального определения. Наблюдения над моими ученицами показывают, что самое понятие подобия усваивается лучше и конкретнее. Когда мне пришлось вместо 4-го признака подобия ввести доказательство вытекающего из него признака подобия прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету), то это никого не затруднило: ученицы сами его провели. Решение задач методом подобия затрудняло учениц меньше, чем бывало у меня раньше: это вытекает из лучшего понимания сути вопроса.

Упражнения к гл. VI даны только по разделам: А — задачи на доказательство теорем и Б - задачи на построение (11+29 — всего 40 задач); задач на вычисление совсем нет, но без них тоже нельзя обойтись. Задачник Рыбкина и тут выручал, так как в нем имеется большой выбор таких задач. Задачи в учебнике попадаются и трудные, по крайней мере для моих учениц, решавших ранее главным образом задачи на вычисление и частично на построение.

В прошлом учебном году на геометрические построения обращалось гораздо больше внимания, чем раньше, все же этого мало, чтобы решать трудные задачи, вроде задачи № 11.

III тема—Числовые соотношения между элементами фигур

Первый раздел — тригонометрия — дополнен, сравнительно с традиционным курсом, некоторыми соотношениями между элементами косоугольного треугольника (теорема синусов и теорема косинусов для остроугольного треугольника). Я пропустила эти параграфы и не только по недостатку времени, а и потому, что не вижу, для какой цели нужны в VIII классе эти знания, теоретически не доведенные до конца, недопускающие полного обобщения и тем противоречащие общей тенденции нового учебника. Практически они не нужны, так как и в учебнике нет ни одной задачи, для решения которой понадобилась бы теорема косинусов или синусов. Образцом проводимой автором тенденции к обобщению геометрических вопросов является разработка отдела: „Пропорциональные линии в круге“, начиная с первой теоремы и кончая теоремами о радикальных осях. Я не прошла со своим классом теорем о радикальных осях исключительно по недостатку времени; это было жаль, так как такие обобщения обогащают геометрическое воображение учащихся, содействуя их математическому развитию. Глубокое понимание этой темы помогает и при решении задач.

В упражнениях к гл. VII даны задачи: А — на доказательство, Б — на построение, В — на вычисление (2+17 + 29 — всего 58 номеров). В задачах на доказательство дана теорема Чевы с решением. Так же, как в предыдущих главах, часть задач трудна, задачи на вычисление недостаточно разнообразны.

IV тема — Измерение площадей

Эта тема тоже изложена не традиционно. Все учение об измерении площадей многоугольников основана на понятии о равносоставленных многоугольниках и на двух теоремах: о равносоставленных параллелограмах и о равносоставлен-

ных прямоугольниках. Доказательства обеих теорем довольно сложны, но ученицы VIII класса с ними справляются и справлялись бы еще лучше, если бы изложение 2-й теоремы было яснее разделено на логические части, а ссылки на предшествующие теоремы были конкретизированы хотя бы указанием параграфов. Все, что сказано после слов: „Теорема доказана“ до „Примечания“, излишне, так как здесь говорится о частном случае.

Начало изложения темы мне кажется лучше, чем обычное; оно сосредоточивает внимание учащихся на тех самых частях плоскости, размер которых должен быть определен искомым числом.

Вывод формул основан на той же идее равносоставленности. Следовало бы объяснить подробнее измерение площади прямоугольника, а не только ссылаться на арифметику; там была интуиция, здесь выводу основной формулы должно быть уделено больешее внимание.

Есть еще замечания по поводу § 252, в котором выводятся формулы для вычисления площади различных многоугольников: 1) нет выражения площади ромба, для которого нельзя ограничиться формулой площади параллелограма; 2) следует дать формулу площади описанного многоугольника; 3) исключив тригонометрические зависимости между элементами остроугольного треугольника, надо, конечно, исключить весь § 253, кроме формулы Герона.-—Здесь очень хорошо видно, что давать все эти зависимости преждевременно: известная формула S = ~ bcsiriA сформулирована без всяких оговорок; но ведь угол А может оказаться тупым и тогда формула не годится (нежелательное ограничение, требующее в каждом случае применения формулы знания величины угла).

В дальнейшем обращено большое внимание на преобразование многоугольников в равновеликие фигуры, причем в задаче преобразования прямоугольника в равновеликий квадрат использовано построение, приводимое в учебнике Киселева при доказательстве (геометрическом) теоремы Пифагора.

Для самой же теоремы Пифагора приведено известное доказательство с двумя равными квадратами. Следовало бы сблизить два чертежа (что я и сделала при проработке теоремы с моими восьмиклассницами); тогда нагляднее становится их связь (черт. 1).

В упражнениях к гл. VIII много задач на построение равновеликих фигур, что очень хорошо; некоторые более сложные сопровождены указаниями. Недостаточное разнообразие задач на вычисление компенсируется, как и в других разделах, задачником Рыбкина.

Выводы. Проработав в не сильном VIII классе по новому учебнику геометрии проф. Н. А. Глаголева, я пришла к убеждению, что по сравнению с учебником Киселева он обладает рядом преимуществ. Прежде всего это—ориентировка на современные научные воззрения (учение об измерении отрезков: учение об измерении площадей). Является вопрос: удалось ли автору изложить материал доходчиво до юных учащихся, другими словами, построен ли учебник методически правильно?

Для учащихся, до VIII класса изучавших геометрию, так сказать, качественную, всегда несколько труден переход к геометрии измерения. Во всех без исключения традиционных учебниках вопрос об измерении отрезков, лежащий в основе всей части геометрии, говорящей о количественных соотношениях между элементами геометрических фигур, как бы заслоняется формальным учением об общей мере. Усвоение самой идеи общей меры всегда вызывает затруднение; вторая трудность для учащихся — понять связь этой общей меры с измерением одного отрезка другим, с выражением длины отрезка — рациональными и иррациональными числами. Конечно, главная трудность кроется в сложности самого вопроса, тесно связанного с идеей иррационального числа, и ее избежать нельзя. Но в изложении нового учебника сразу поставлена главная цель и ясно даны все логические этапы развития темы. Тесная связь с соответствующим отделом курса алгебры способствует более глубокому продумыванию трудных вопросов, лучшему пониманию не только идеи измерения в геометрии, но и идеи иррационального числа, получение которого не обязательно связано с радикалами. Так же методически правильно построена в учебнике тема „Измерение площадей“. И здесь внимание сразу сосредоточено на главном: с первого шага выдвинута идея равносоставленности; выводы формул основаны на той же идее.

К преимуществам учебника относятся еще частые обобщения вопросов; я уже отмечала эту его особенность. Примеры: 1) теоремы о пропорциональных отрезках на пересекающихся прямых (§§ 169—171); 2) гармоническая группа точек (§§ 176—178 и учение о равноделящих углов треугольника); 3) подобие фигур, вытекающее из построения перспективно-подобных фигур (§§ 184-190); 4) пропорциональные линии в круге (§§ 222—228); 5) измерение площадей многоугольников. Каждая из этих тем имеет центральную идею, связывающую ее в одно целое, благодаря логичности изложения и часто удачным формулировкам ведущих теорем (§§ 160, 169, 171, 180, 213, 217, 218, 222).

Учебник обладает, конечно, и недостатками, но не принципиального характера; некоторые из них (не все) были отмечены выше.

В общем я нахожу, что введение учебника проф. Н. А. Глаголева в VIII класс школы содействовало бы поднятию уровня математической культуры нашей школы.

Черт. 1.

ОБЗОР НОВЫХ КНИГ

С. И. НОВОСЕЛОВ (Москва)

М. Я. Выгодский. Арифметика и алгебра в древнем мире. Гостехиздат, 1941. Стр. 252, цена 8 руб.

Книга известного специалиста по истории математики проф. М. Я. Выгодского содержит следующие три раздела: „Арифметика древних египтян“, „Вавилонская арифметика и алгебра“ и „Арифметика древних греков“. Как указано в предисловии, автор предназначает книгу для широкого круга читателей, в особенности же для препо1авателей математики средней школы. От читателя не требуется никакой специальной подготовки, вполне достаточно знания элементарной математики в пределах школьного курса. Однако, следует отметить, что по степени трудности материала и характеру изложения книга М. Я. Выгодского потребует от читателя серьезного внимания. Имея в виду познакомить читателя с фактическим материалом по первоисточникам, автор приводит многочисленные цитаты из всех важнейших дошедших до нас документов. Приводимые цитаты сопровождаются основательным их разбором. Таким образом, читатель получит возможность обстоятельно познакомиться с вычислительными приемами, применявшимися в древнем мире, а также с характером решавшихся математических задач. Одновременно выясняются трудности, возникающие при попытках восстановить и математические методы, применявшиеся математиками и вычислителями древнего мира. Автор дает критический разбор различных точек зрения, которых придерживаются современные исследователи, и вместе с тем высказывает гипотезы, являющиеся, по его мнению, наиболее вероятными.

Книга М. Я. Выгодского содержит весьма обширный материал и представляет значительный интерес для лиц, изучающих историю математики. Отдельные главы могут быть использованы для занятий школьных математических кружков.

А. П. Киселев. Алгебра. Учебник для педагогических училищ. В переработке и с дополнениями А. Н. Барсукова. Учпедгиз. 1946, стр. 160, цена в перепл. 3 р. 25 к.

Настоящая книга является частью учебника алгебры Киселева для средней школы. В ней заключены те главы курса элементарной алгебры, которые входят в программу педагогических училищ. Книга состоит из следующих четырех отделов: „Степени и корни“ (включая учение об иррациональных числах и о преобразовании иррациональных выражений), „Квадратные уравнения“, „Пределы“ и „Функции и их графики“.

Весь материал подвергся основательной переработке, выполненной А. Н. Барсуковым. Ряд глав и параграфов написан заново. Так, вновь написаны раздел „Пределы“ и главы „Составление квадратных уравнений' и „Извлечение квадратного корня из чисел“. Отдельные параграфы также подверглись тщательному редактированию и дополнению.

Автору переработки в основном удалось сохранить стиль учебника Киселева и вместе с тем значительно повысить научный уровень и улучшить методические достоинства книги. Совершенно правильно, что понятие об иррациональном числе вводится раньше извлечения квадратного корня и связывается с задачей об измерении отрезков. При таком изложении избегаются две грубые, но распространенные ошибки.

Во-первых, учащиеся не получат неправильного представления об иррациональном числе как о корне из рационального числа, если этот корень „не извлекается“.

Во-вторых, о существовании корня из числа, не являющегося точным квадратом, нельзя говорить прежде, чем будет расширено множество рациональных чисел путем введения чисел иррациональных. Изучение извлечения корня прежде, чем дано понятие об иррациональном числе, невольно приводит учащегося к грубой логической ошибке, связанной с наивным представлением о квадратном корне как о чём-то существующем само по себе.

Мы считаем, что значительную методическую ценность представляют следующие дополнения, принадлежащие А. Н. Барсукову: 1) глава о составлении квадратных уравнений с подробным разбором основных правил и примеров решения задач и с образцами соответствующих записей; 2) параграф, посвященный применению основных алгебраических формул к выполнению устных вычислений; 3) глава об извлечении квадратного корня из чисел.

Глава „Пределы“ написана доступно и сопровождается большим числом удачно подобранных примеров. Мы считаем совершенно правильным отказ от доказательства теорем о пределах. В средней школе важно уяснить сущность понятия предела, но дать строгое обоснование теории не представляется возможным ни при каких условиях. При такой правильной, на наш взгляд, постановке вопроса, параграфы (помещенные в книге, следуя программе), посвященные понятию о бесконечно малой величине, теряют всякий смысл и лишь засоряют книгу ненужным материалом. Наконец, в средней школе, в интересах приложений к геометрии, важно дать понятие предела числовой последовательности. Поэтому мы считаем, что глава о пределах только бы выиграла в краткости и идейности изложения, если бы автор переработки отказался от попытки дать общее определение понятия предела переменной величины, ограничившись рассмотрением предела числовой последовательности.

Отмеченные выше методические достоинства переработки, выполненной А. Н. Барсуковым, делают книгу интересной и для учителей средней школы.

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 1 за 1946 год

От редакции. К,моменту сдачи настоящего номера в набор № 1 журнала еще не вышел из печати. В связи с этим здесь публикуются лишь редакционные решения.

1.

Найти все трехзначные числа N=xyz, удовлетворяющие одному из следующих условий:

1. X — z и число N делится на 3 и на 5

2. х = гичисло N делится на 3 и на\\;

3. Число N является точным квадратом и делится на 3 и на 5.

1. N делится на 5, следовательно, z может быть только 0 или 5. Но так как X = £, то z может быть только 5 {при z = x = Ö получилось бы двузначное число). Итак, X = z = 5. Число 5у5 делится на 3. Следовательно, сумма цифр, т. е. 5-f-j/-f~5» должна делиться на 3, что может быть только при V = 2,5,8. Итак, условию 1 удовлетворяют числа: 525, 555, 585.

2. N = xyz = xyx делится на 11. Следовательно, X—у 4- х = 2х—у должно делиться на 11. Наименьшее возможное значение 2х—у равно — 7 (при х==1 и j/ = 9), наибольшее равно 18 (при ^=9 и =0). Между—7 и 18 только 0 и 11 делятся на 11. Исследуем оба случая, а) 2х — у = 0; У = 2х; N = хух = Шх-\- 10 - 2лг-|-л:= 121лг. Число N делится на 3 только при х = 3 (значения л;=6,9 не годятся, так как тогда у — 2х>9). Итак, второму условию удовлетворяет число 363.

б) 2х—у = 1\; у = 2х — 11. Так как О <у < 9, то X может быть равен лишь 6,7,8, 9. Тогда у соответственно будет равен 1,3,5,7. Из получившихся чисел: 616,737,858 и 979 только 858 делится на 3 и, следовательно, удовлетворяет условию 2.

3. Число N является точным квадратом и делится на 3 и 5. Следовательно, оно делится и на З2 и на 52, а значит, делится на З2 • 52 = 225. Итак, N=22bm~. Трехзначное число получится только при т=\ и m = 2. Получаем числа: 225 и 900.

2.

Даны дроби: -щ-, ^2д , Найти наибольшую дробь—такую, что при делении на нее данных дробей частные будут целые числа.

Обозначим искомую дробь через у, предположив ее несократимой. Данные дроби по сокращении можем записать так:

Частные от деления этих дробей на-~ будут:

или

которые все по условию должны быть целыми числами. Отсюда из первой дроби следует, что 4 должно делиться на а (так как а и b взаимно простые). Следовательно, а может быть равно лишь 1, 2 или 4.

С другой стороны, из первой дроби следует, что b должно делиться на 3 и 5, из второй — на 3 и 7, из третьей —на 5 и 7. Значит, b должно делиться на 3,5 и 7, т. е. иметь вид: Ь =» 3 • 5 • 7т, где m — целое число.

Итак, искомая дробь у имеет вид:

Очевидно, наибольшее значение дробь у будет иметь при а = 4 и m = 1. Итак, искомая дробь -у =-jQg-3.

Найти все четырехзначные числа N = ху zu — такие, что сумма цифр s числа и произведение цифр р удовлетворяют соотношениям

Af=100s+/?; р = xzu.

Напишем данные соотношения в раскрытом виде:

/7=100.*-f 10z + и (1)

.V = lOOO.v + КЮу+10г+и —100(*+ -f у + z + и) + 100* + 1 Oz + и (2)

Из (2) по упрощении получаем:

8x = z-\-u (3)

Так как z и и не больше 9, то 8х < 18, т. е. X равен 1 или 2.

а) д: = 2. Тогда из (3) имеем:

z + a=16 (4)

и так как z < 9 и и < 9, то левая часть равенства (4) может иметь лишь вид: 7 + 9; 8 + 8; 9 + 7.

С другой стороны, при X = 2 произведение цифр р должно быть чётным числом. Но p — xzu\ значит, и должно быть чётным числом. Итак, имеем одну возможную комбинацию: z = 8 и и = 8.

Отсюда:

/7=~^7г==Ю0.2 + 10 8+10-8 = 288.

С другой стороны: р = х.у • z . и = 2 •у 8.8 = 128у. Следовательно, имеем:

128у = 288; У=^

число не целое. Значит, при х =2 задача не имеет решений.

б) х=1. Тогда 2+и = 8.

Но в таком случае сумма цифр числа p = xzu равна ,* + г + й = 1 +8 = 9.

Следовательно, р делится на 9. С другой стороны, /7=1 -y-z-u и так как z и и одновременно не могут делиться на 3 (так как их сумма 8 не делится на 3), то z. и не делится на 9, и, значит, у должно делиться, по крайней мере, на 3, т. е. у равно 3, или 6, или 9. Из системы уравнений:

р=у . z . ti= \zu= 100 + 102:+ и, z + и = 8

исключим и. Получим:

j/z(8-z) = 100 + IO2 + 8 — г. 8yz —yz2 — 108 — 9z = 0, yZ% _ (8у _ 9) z +108 = 0. (5)

При у = 3 и 6 дискриминант уравнения (5):

(8у - 9)2 - 432j/ < 0.

Остается испытать у = 9. Имеем из (5)

9z2 —63z+108 = 0, z2 — 7z + 12 = 0.

Отсюда: 2 = 3 и z = 4, Соответственно: и = 5 и и = 4. Итак, имеем окончательно два числа, удовлетворяющие условию задачи:

N=1935 и N=1944. 4.

Найти целое число, оканчивающееся цифрой 2, и такое, что если цифру 2 переставить из конца в начало, то новое число будет в 2 раза более первоначального.

Дадим несколько решений этой интересной задачи.

1. Данное число оканчивается цифрой 2. Следовательно, удвоенное данное число оканчивается цифрой 4. Но это удвоенное число получается из данного, если мы перенесем 2 из конца в начало, т. е. когда вторая от конца цифра стала последней. Значит, вторая цифра от конца в данном числе равна 4 и число имеет вид: 100а+42. При удвоении мы получим на конце 84. Следовательно, третья цифра от конца в данном числе равна 8. Точно так же найдем, что четвертая цифра равна 6, пятая 3 (6-2=12 да 1 получилась от умножения 8 на 2).

Весь процесс изобразится так:

(1)

Начинаем умножение с последней цифры 2 и каждую полученную цифру подписываем в множимом впереди ранее написанных. Продолжаем так до тех пор, пока цифры не начнут повторяться в том же порядке. В итоге получилось восемнадцатизначное число, удовлетворяющее условию задачи. Заметим, что это число наименьшее, но не единственное: если мы повторим все это число еще один, два и т. д. раз, то получим 36-, 54-, 72-значное и т. д. числа, также удовлетворяющие условию задачи.

2. Обозначим искомое число через х. Без последней цифры это число будет равно -1jq—> а когда число 2 поставим в начало, оно (число) примет вид 2 . 10т-\—где m — пока неизвестное число, на единицу меньшее числа цифр в данном числе. По условию имеем:

2- I0w + ^=p. = 2*.

Отсюда:

2. 10w + 1— 2=19*. (2)

Теперь легко из (1) найти искомое число X. Нужно лишь число, записанное двойкой с неопределенным количеством нулей, делить на 19 до тех пор, пока в остатке не получится 2. Предоставляем читателям убедиться, что получится то же число, которое является множимым в выражении (1).

3. Можно заранее определить и число т9 если воспользоваться известной из теории чисел малой теоремой Ферма. Выражение (2) можно представить так:

2 (КГ*1 — 1)= 19*. (3)

Для делимости левой части на 19 необходимо и достаточно, чтобы 10w+1 — 1 делилось на 19. Но 19 — число простое, а по теореме Ферма при р простом ар~х— 1 всегда делится на р(если а не делится на р). Следовательно, в данном случае мы можем положить /гг -f-1 = 18 и m =17. Остается для получения искомого числа разделить на 19 число: 2 - 1018- 2 = 1 999 999 999 999 999 998, Получим то же число, что и ранее.

5.

Найти натуральные числа N, обладающие тем свойством, что сумма цифр числа N8 равна самому числу N.

Предположим, что искомое число N имеет п цифр. Тогда число № имеет не более Зп цифр. Его можно изобразить так:

Сумма цифр этого числа по условию равна N, т. е.

Из (2) следует, что сумма цифр числа Л/3 не более 9 • Зп = 27л (так как каждая а*<9). Значит,

N<27n. (3)

Вычтя (2) из (1), получим:

(4)

Правая часть (4) делится на 9. Следовательно, и левая часть должна делиться на 9:

N*-N=N(N+\)(N — 1) = 9А. (5)

Итак, имеем для Л^два условия (3)и (5). Согласно условию (3) будем иметь:

при At = 1 Л/< 27 „ п = 2 N<54 , я = 3 Л7<81 и т. д.

Очевидно, значения /1 = 3,4...не годятся, так как при этих значениях сумма цифр числа N* меньше N (при п=3> число N трехзначное, а сумма цифр <81 и т. д.). Остается рассмотреть случай п = 1 и п — 2.

1. п=1. Число N—однозначное. Из (5) заключаем, что или N, или 7V+1 равно 9.

ЛГ=9; iV3=729; 7 + 2 + 9^=9. ,У+1=9; ЛГ = 8;Л^ = 512; 5 + 1+2=8-

Итак, N==8 удовлетворяет условию задачи.

2. /1 = 2. Число— двузначное. Из (5) заключаем, что одно из чисел N, N + 1, или N—1 должно делиться на 9 (заметим, что из трех последовательных натуральных чисел никакие два не могут одновременно делиться на 3).

Имеем следующие возможные случаи:

N = 9p) N=18, 27, 36, 45, 54 1 =9/?; N=17, 26, 35, 44, 53 iV— 1 = 9/7; N=19, 28, 37, 46.

(Напомним, что по (3) N<54.)

Непосредственные испытания показывают, что условию задачи удовлетворяют лишь числа 17, 18, 26 и 27. Итак, всего имеем 5 решений: 8, 17, 18, 26, 27. Мы не принимали во внимание так называемые тривиальные решения: N = 0 и N = 1.

6.

Доказать тождество:

S=l -2+2 -5 + 3-8 + ... + Л(Зл-1) = = л2 (л+1).

Представим общий член ряда k (3k—1) в виде ЗА2 — к и будем давать к значения 1, 2, 3, ..., п. Получим

(2)

Сложив почленно (2), в левой части, очевидно, получим данный ряд, а в правой:

Но, как известно,

Следовательно, имеем

7.

(3) (4)

относительно х и у. Найдем:

(6)

Так как х и у должны быть целыми числами, то подкоренные выражения в (о) и (6) должны быть точными квадратами. Следовательно, мы можем положить:

2500 + k = c2 (7)

l_4& = ô2 (8)

Умножив (7) на 4 и сложив с (8), получим:

10001 = 4с2 + Ь* или, положив 2с = а:

10001 =а2 + &2,

или

Таким образом, остается найти все пары чисел а и Ь, квадраты которых дали бы в сумме 10001. Эти пары легко найдутся, если использовать достаточно известные теоремы теории чисел. Именно — известно, что простые числа вида 4д+1(а таковыми и являются 73 и 137) разлагаются единственным образом на сумму двух квадратов. В данном случае легко находим:

Найти числа, удовлетворяющие условию, что квадрат числа, образованного двумя последними цифрами, сложенный с квадратом числа, стоящего перед ним, дает в сумме искомое число.

Обозначим число сотен искомого числа через X, а число, образованное двумя последними цифрами, через у. По условию имеем:

\Q0x-{-y = x2+y2 (1)

Отсюда:

х2- I00x=y-y2 = k, (2)

где k— пока неизвестное целое число. Решим уравнения:

Теперь применим известное тождество:

(а2 + ß2) (Т2 + 82) = (ат ± р8), + (рт _ а8)2.

Положив в нем а = 8, ß = 3, у =11 и 8 = 4, получим:

т. е.

1001 = 1002 + I2 — 762 + 65*.

Учитывая, что а должно быть четным числом, находим:

а=100 &= 1 с = 50, а= 76 6 = 65 с = 38.

Из (5) и (6) находим: X = 50 =t с; лА = 100; х2 = 0; *3 = 88;

xé= 12; ^ = ---,^ = 1; j/2 = 0;

.Уз = 33.

Искомые числа будут:

10000; 10001; 8833; 1233.

Задачу можно решить элементарно, не прибегая к теории чисел, но решение будет гораздо более длинным.

8.

Решить уравнение:

Преобразуем левую часть:

Отсюда

где а — один из трех кубичных корней из единицы.

9.

Определить, при каких значениях коэфициентов а и b многочлен х^ + ахъ-\--{-Ьх1 — 8л:+ 4 является точным квадратом.

Приравняв данный многочлен выражению (х2-{- тх -j- /г)2, где тип пока не определены, будем иметь:

Отсюда:

Последовательно находим:

Имеем два решения:

10.

Решить уравнение:

Положим:

/4—Зл:2=г. (1)

Откуда:

3*?= 4 - ». (2)

После подстановки получим:

Решив последнее уравнение, найдем:

Подставив найденные корни в (2), получим:

Корни х1 и х2 оказываются посторонними, остальные все удовлетворяют данному уравнению.

11.

Доказать, что при любых целых значениях X и у выражения х_^у и —r-j-— могут быть представлены в виде t2-{-3u2, где t и и— целые.

1. Пусть X и у оба четные или оба нечетные. Тогда:

Аналогично получим:

2. Пусть л — нечетное, а у — четное. Тогда :

3. При X четном и у нечетном, аналогично предыдущему, получим:

12.

Упростить выражение

По раскрытии скобок получим:

Сгруппировав соответствующим образом члены этого выражения, найдем:

Итак, данное выражение равно 7, т. е. не зависит от а.

13.

Упростить выражение

Преобразуем сумму двух первых членов, применив к ней формулу для суммы кубов:

Прибавив к полученному выражению последний член

найдем:

Итак, данное выражение равно 1.

14.

Решить уравнение:

Определить значения а, при которых уравнение имеет действительные корни.

Положив

s\n2x=y\ cos2x = z, (1)

данное уравнение можно записать так:

Г + г5=а, (2)

причем:

y + z=l. (3)

Преобразуем уравнение (2):

или, принимая во внимание (3):

y*z*-yz(y*+z*)+(y*-\-z*)=*a. (4) Возведя в квадрат (3^, получим:

y2-\-z2= \-2yz. (5)

Определим j/4+24, возведя в квадрат (5):

(6)

Подставив из (5) и (6) в (4), после обычных упрощений получим:

(7)

но

и подстановка в (7) дает:

или

(8)

Откуда:

(9)

Для вещественных корней необходимо перед внутренним радикалом взять знак минус и, кроме того, должно быть

(10)

(11)

Из (11) получаем:

25 ^20 + 80а ^ 100,

~^a<h (12)

Из (10):

Таким образом, неравенства (12) являются необходимым и достаточным условием действительности корней.

15.

Показать, что если tg (ß —ос) =

то

Определив из данного уравнения k, найдем:

откуда и получаем требуемое равенство.

16.

Доказать для треугольника соотношение:

S2=^r.ra.rb.rc>

где S— площадь треугольна а, а r>ra>rfcrv ~~ Р&диусы вписанного и вневписанных кругов.

Воспользуемся известными формулами

Будем иметь:

17.

В данный круг вписать треугольник так, чтобы две его стороны проходили через две данные точки (обе внутри или обе вне круга), из которых третья сторона была бы видна под одинаковыми углами.

Пусть треугольник ABC (черт. 1) искомый, причем N и Р — данные две точки. Так как /_CNB= ICPB, то точки N и Р лежат на дуге сегмента, построенного на отрезке СВ и вмещающего угол CNB. Другими словами, четыре точки С, Л7, Р, В лежат на одной окружности, т. е. четырехугольник CNPB вписуемый. Следовательно,

Черт. 1

Отсюда следует, что £ANP=*£ В.

С другой стороны, проведя через точку А касательную AD к окружности, найдем, что / DAN измеряется половиной той же дуги АС, что и вписанный угол В. Отсюда: £DAN=£B=£ANP и, следовательно, касательная AD \\ NP. Отсюда вытекает построение. Соединив данные точки N и Р, проводим касательную к окружности, параллельную NP. Получим вершину А. Из этой точки проводим хорды через N и Р; концы этих хорд С и В дают две остальные вершины искомого треугольника.

Касательная, проведенная через другой конец А' диаметра АО, даст второе решение.

18.

Дана окружность и два радиуса ОМ и ON. Провести секущую ABCD так, чтобы AB :ВС: CD = 1 :2:3, где А и D — точки пересечения секущей с окружностью, а В и С — с данными радиусами.

Пусть AD — искомая хорда (черт. 2), ОМ и ON — данные радиусы. Следовательно:

AB:BC:CD= \ :2:3.

Отсюда:

AB + BC = AC = CD,

т. е. хорда AD \_ОМ и параллельна касательной МРЩ проведенной через конец радиуса МО. Тогда имеем: PQ:QM = AB:BC=l:2.

Отсюда построение-.через конец одного из данных радиусов проводим касательную до пересечения с продолженным вторым радиусом в точке Q. На продолжении этой касательной откладываем PQ = -я- QM. Из точки А пересечения РО с окружностью проводим хорду AD II РМ или, что то же, перпендикулярную ОМ. Эта хорда и будет искомой.

Проводя касательную через конец второго данного радиуса, получим второе решение.

19.

Внутри прямоугольного треугольника ABC (А—вершина прямого угла) дана точка О, служащая вершиной равновеликих треугольников О AB, О АС, ОВС. Доказать, что

ОВ2+ОС2=5 0А2.

Опустив на катеты перпендикуляры ОМ и ON, из треугольников СМО и BNO имеем (черт. 3): OB2 = ON2 + NB2 и ОС2=ОМ>-\-МС*,

что по сложении дает:

OB2+OC2=OM2+ON2+NB2-{-MC2. (1)

По условию

S A OA 5=3 3 SACBA.

И так как эти треугольники имеют одно и то же основание CA, то высота

Черт. 2.

Отсюда:

NB = AB — AN~ ~АВ= 20М. (2)

Аналогично найдем, что

MC=20N. (3)

Черт. 3.

Подстановка из (2) и (3) в (1) дает: OB2-\-OC2=5(OM2+ON-).

Но из треугольника AON имеем: OM2-\-ON2=AN2-\-ON2=OA2.

Отсюда:

ОВ2-\-ОС2=50А2. 20.

Найти геометрическое место центров окружностей, вписанных в прямоугольные треугольники, имеющие общую гипотенузу.

Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов А и В (черт. 4).

Черт. 4.

Следовательно:

lOAB=\ ZA\ZÖBA=-\ IB.

Но /Я+/Л=90°. Отсюда: /ОЛ5+/ОЯА=45°, /ЯОА=180°— /_ОАВ— ^ОВА = = 180° —45° =135°. Следовательно, центры вписанных окружностей все лежат на дуге сегмента, построенного на AB и вмещающего угол в 135°. Эта дуга и является искомым геометрическим местом.

ЗАДАЧИ

61. Доказать, что

делятся на

62. Доказать равенство:

63. Показать, что при п кратном 3 будем иметь

64. Решить уравнение:

65. Решить уравнение:

66. Показать, что при п чётном

67. Доказать, что

68. Найти число, содержащее только множители 2 и 3 и обладающее тем свойством, что число всех делителей его куба в 7 раз больше числа всех делителей самого числа.

69. Решить систему уравнений:

70. Показать, что если А + В + С = 90°, то

tgA + \gB+ tg*Ç> 1.

71. Найти рациональные числа, сумма которых равнялась бы сумме их квадратов.

72. Найти рациональные числа, сумма которых равнялась бы сумме их кубов.

73. Найти два числа, зная их разность (66) и общее наименьшее кратное (360).

74. Определить в целых числах стороны треугольника, периметр и площадь которого выражаются одним и тем же целым числом.

75. Построены: 4-угольник, 5-угольник, 6-угольник и т. д. Число диагоналей во всех многоугольниках 800. Сколько построено многоугольников?

76. Определить сторону равностороннего треугольника, если расстояния некоторой внутренней его точки от вершин равны а> b и с.

77. Четырехугольник пересечен окружностью так, что на всех четырех его сторонах получились равные хорды. Доказать, что суммы противоположных сторон четырехугольника равны.

78. Определить стороны целочисленного прямоугольного треугольника, зная, что сумма гипотенузы и одного из катетов на 12 больше другого катета.

79. В шар радиуса R вписан правильный тетраэдр, в него—шар; в этот шар — снова тетраэдр и т. д. Найти предел суммы поверхностей и объемов (отдельно): 1) всех шаров, 2) всех тетраэдров.

80. Отрезок ВС=а движется своими концами по сторонам угла А; найти геометрическое место центров окружностей, описанных около треугольника ABC.

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

П. С. Александров. Научное содержание школьного курса алгебры........1

B. Севбо. Историческое развитие и современная научная трактовка понятия функциональной зависимости ............................13

МЕТОДИКА

Г. А. Владимирский. О методах использования чертежа в преподавании геометрии 18

Е. И. Филоматитская. Устные упражнения по математике как метод работы . . 27

П. М. Рыбаков. Наглядные пособия по математике и работа с ними....... 33

ИЗ ОПЫТА

Л. Круповецкий. К вопросу о вычислении промиллей ..............45

3. Рупейка. Как практически определить величину дуги данной окружности или данного угла при помощи циркуля.......................46

ЗА РУБЕЖОМ

Проф. И. Я. Депман. Американское общество ревнителей инженерного образования о значении элементарной математики.....................48

Проф. И. Я- Депман. Уровень математических знаний у кончающих американскую среднюю школу................................4S

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Т. И. Ряднова. Опыт работы в VIII классе по учебнику геометрии Н. А, Глаголева 51

C. И. Новосёлов, Обзор новых книг....................... 54

ЗАДАЧИ

Решения задач..................................55

Задачи...................................... 63

№ Главлита A 0G757 Заказ № 3758 Тираж 20 000 экз.

Редакционная коллегия: Ответственный редактор А. Н. Барсуков Зам. ответственного редактора С. И. Новосёлов Члены редакционной коллегии: проф. Н. Ф. Четверухин и проф. В. В. Немыцкий Техн. редактор В. П. Рожин

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды 6, Учпедгиз Министерства просвещения РСФСР

Подписано к печати 10/Х 1946 г.

Печ. листов 4. Учётно-изд. л. 6,61 _Цена 4 р. 50 к.

Печ. зн. в 1 п. л. 72 0Ü0.

Тип. № 2 Управления издательств и полиграфии Ленгорисполкома