МАТЕМАТИКА ШКОЛЕ

3

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКВА 1946

СОДЕРЖАНИЕ

Научно популярный отдел Стр.

Н. Ф. Четверухин. Позиционные задачи в курсе стереометрии......... 1

В. Н. Молодший. Пафнутий Львович Чебышев............... 13

Методика

В. М- Брадис. Формализм в школьном курсе математики и борьба с ним. ... 17

И. Л. Гибш. О формализме в преподавании математики............. 23

П. М. Рыбаков. Наглядные пособия по математике и работа с ними...... 33

Из опыта

B. Л. Голубев. Устный счет в средней школе................. 41

Н. И. Кашин. О решении неравенств второй степени и исследовании квадратного трехчлена ............................ 45

И. Гольденблат. Опыт решения геометрических задач на построение...... 47

Критика и библиография

Д. С. Гончаров. К вопросу о новом учебнике геометрии............ 49

C. И. Новоселов. Обзор новых книг...................... 52

Хроника

Пятидесятилетие П. С. Александрова.............,....... 55

Задачи

Решения задач................................ 56

Задачи.......................... 64

№ Главлита А 06753 Заказ № 3465 Тираж 20 000 экз.

Редакционная коллегия: Ответственный редактор А. И. Барсуков, Зам. ответственного редактора С. И. Новоселов Члены редакционной коллегии проф. Н. Ф. Четверухин и проф. В. В. Немыцкий Техн. редактор В. П. Рожин

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, б, Учпедгиз Министерства просвещения РСФСР

Подписано к печати 28/1Х 1946 г. Печ. листов 4. Учетно-изд. л. 6,45 Печ. зн. в 1 п. л. 72000. Цена 4 руб. 50 коп.

Типография Ms 2 Управления издательств и полиграфии Ленгорисполкома

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 3 1946

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В КУРСЕ СТЕРЕОМЕТРИИ

Проф. Н. Ф. ЧЕТВЕРУХИН (Москва)

§ 1, Построение сечений фигур плоскостями

1. В предыдущей статье1 мы рассмотрели вопрос о применении проекционного чертежа в курсе стереометрии. При этом была выяснена возможность на вполне простом и наглядном чертеже изображать элементы (точки, прямые и плоскости) пространства и решать позиционные задачи, относящиеся к этим элементам. Теоретически ясно, что позиционные задачи разрешимы на таких чертежах, так как последние являются одной из форм „полных“ изображений.2

Напомнив сущность того метода изображений (метод внутреннего проектирования), который был положен в основу построения проекционных чертежей в упомянутой выше статье. Каждая точка пространства считается заданной, если на чертеже даны 1) проекция самой точки, 2) проекция „основания“ этой точки. Напомним, что „основанием“ какой-нибудь точки А называется проекция ее Ал на „основную плоскость“ (которая выбирается произвольно; по определенному но также произвольно выбранному) направлению. Так, например, на черт. 1 каждая из точек пространства изображена своей проекцией и проекцией своего основания. (См. точки (Л, Ах)\ (5, Вг)9...1л др. на черт. 1). Причем имеем: ААг || II ВВХ В ССХ\\...

В этой же статье были рассмотрены основные позиционные задачи и показаны приемы их решения на проекционных чертежах.

Для дальнейшего целесообразно рассмотреть здесь одну из таких задач, именно:

Задача.—Плоскость ABC дана на чертеже тремя своими точками (А, Ах), (В, BJ, (С, Сг). Дана также „проектирующая прямая р своим основанием Р,. Требуется построить точку пересечения X плоскости ABC с прямой р (черт. 1).

Черт. 1.

Решение задачи основано на том принципе, что для искомой точки X

1 „Стереометрические задачи на проекционном чертеже“ — журн. „Математика в школе“ № 2, 1946 г.

2 Н. Четверухин. Чертежи пространств. фигур в курсе геометрии. Учпедгиз, 1946, стр. 50.

известно ее основание Xv которое, очевидно, совпадает с основанием проектирующей Pv Замечая, что 4 точки Л, В, С и X должны лежать в одной плоскости, можем свести задачу к отысканию точки M пересечения прямых ВС и АХ. Основание этой точки легко построить, именно: Мг = ВхСг X АгРг

После этого, проводя проектирующую М1М^А1А9 находим точку M (М = ВСХМгЩ Наконец, точку X строим как точку пересечения проектирующей р с прямой AM (X=pY,AM).

Так находится точка пересечения плоскости, проходящей через 3 данные точки А, В, С, с произвольной проектирующей р.

2. Построение, проведенное в предшествующей задаче, мы положим в основу общего принципа построения сечений на проекционных чертежах. Суть этого принципа заключается в том, что сечение какой-либо фигуры плоскостью для полного изображения (а мы будем иметь дело только с полными изображениями фигур, обеспечивая этим определенность задачи) можно задавать тремя точками и искать на какой-либо проектирующей четвертую точку. При этом следует целесообразно выбрать основную плоскость и направление проектирующих.

Пример 1. Дано изображение четырехугольной . призмы ABCD. Требуется срезать ее плоскостью, проходящей через точки А, В и С на ребрах призмы (черт. 2).

Черт. 2

Достаточно выбрать основание призмы в качестве основной плоскости, а ребра призмы в качестве проектирующих, чтобы свести задачу к рассмотренной выше. В самом деле, для изображения всего сечения надо построить его точку на ребре призмы, проходящем через Д, т. е. найти точку пересечения плоскости ABC с проектирующей DYD. Решение задачи, показанное на черт. 2, совершенно аналогично построению, выполненному выше (черт. 1), и понятно без дополнительных объяснений (точке X на черт. 1 соответствует точка D на черт. 2).

Пример 2. На гранях призмы (ABCD, .A1ß1C1D1) даны толки К, Ly M. Требуется построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точки К, L, M (черт. 3).

Черт, 3

Применяя указанный выше принцип, находим основания точек К, L, М. Для этого проводим ККг II LL\ || ММ1 \\ АА1 (считая ребро призмы направлением проектирования). Далее находим точки нашего сечения на ребрах призмы. Предположим, что требуется сделать это для ребра В\В. Тогда мы имеем плоскость, заданную точками K,L,M (сечение) и проектирующую ВВг. Решение задачи было проведено на черт. 1, В нашем случае (черт. 3) оно определяет на ребре ВВ1 точку В*. Соединяя последнюю с точками /Си/,, получаем две стороны многоугольника — сечения. Отрезок прямой А*М дает третью, а отрезок D*C* — четвертую стороны сечения. Таким образом сечение призмы построено.

Пример 3. Срезать шестиугольную призму (ABCDEF, AxBiCxDxExF^ плоскостью ABC (черт. 4).

Для построения точек сечения на ребрах призмы поступаем как в предъ-

Черт. 4

идущих случаях (для каждого ребра в отдельности). Так, точку D(DX) находим при помощи точки Мл пересечения диагоналей А1С1 иБаД. Точку Е (Ех) находим при помощи точек Nt пересечения диагоналей BXDX и C1EV Точку Е(Ег) — при помощи точки Рх пересечения диагоналей А1С1 и BXFX.

Пример 4. Треугольную призму (ABC, АХВХС^ усечь плоскостью, для которой даны. 1) след S — на плоскости АхВхСц основания призмы и 2) точка В* — на ребре ВВХ призмы (черт. 5).

Черт. 5

Выберем дополнительно к точке В* еще две точки, определяющие плоскость сечения на ее следе, именно: MX = SXBXCX и Л/j =5X^1^1.

Эти точки лежат соответственно на сторонах В*С* и 5*4* искомого сечения, как это видно по проекциям В1С1 и ВХАХ сторон на основной плоскости. Поэтому, проводя МХВ* и определим на ребрах призмы искомые точки Л* и С* сечения.

Пример 5. Дано изображение параллелепипеда [ABCD, AXBXCXQX). Построить сечение его плоскостью, проходящей через точки X, Y и Z, данные на гранях параллелепипеда (на черт. 6).

Черт. 6

Примем плоскость AXBXCXDX за основную плоскость и выберем направление проектирования, параллельное ребрам ААг II ВВХ параллелепипеда. Тогда точки XXYX и ZX^Z будут служить основаниями данных точек X, Y и Z. Найдем точку В*, в которой плоскость сечения (XYZ) пересекает ребро ВВ^ параллелепипеда. Применяя уже описан ный выше прием, строим точку Мх = — XXY\ y^ZiBv которая является основа нием точки M на прямой ХУ\ Найдя точку M— XY X МХМ, соединяем ее с точкой Z s Zv Тогда получим искомую точку В* = ВЛВ X ZM. Теперь найти линию сечения уже не трудно. Проводим В*Х и B*Y, находим вершины Р, Q, R и V нашего сечения. Далее, очевидно, должны иметь: PV \\ RS и QR || II VT. Таким образом все вершины сечения PQRSTV найдены.

Пример 6. На чертеже изображен трехгранный угол OXYZ. На каждой его грани задана точка (А — на YOZ, В — на ZOX; С—на XOYI Требуется построить следы плоскости, проходящей через точки А, В, С (черт. 7).

Черт. 7

Принимая направление проектирования параллельным оси Oz, построим основания данных точек на плоскости Оху. Получим точки А19 В1 и Сх 5 С. Найдем точку пересечения плоскости ABC с осью Cte. Основание Ъх искомой точки Z должно совпадать с началом О. Диагонали четырехугольника AlB1ClZ1 оснований пересекаются в точке Мг. Проводя МгМ II Oz. найдем точку M на прямой AB. Следовательно, прямая СМ является оригиналом для С1М1. Отсюда заключаем, что: Z = Oz X СМ. Затем остается Z соединить с А и В и полученные вершины X я У треугольника следов между собою.

3. Метод изображения точек пространства, который применялся нами до настоящего времени, может быть обобщен в том отношении, что параллельное проектирование на основную плоскость заменяется центральным проектированием. Обозначим через S произвольную точку пространства, выбранную нами в качестве центра проекций. Основную плоскость будем впредь обозначать буквой о. Тогда каждая точка пространства изобразится на чертеже не только своей проекцией А, но также и своим „основанием“ Аг, которое является проекцией точки из центра на плоскость оснований (черт. 8).

Черт. 8

Таким образом предлагаемый метод изображения предполагает, помимо той проекции, которая служит собственно для построения чертежа, еще некоторое предварительное проектирование из центра S на плоскость з. Последнее можно назвать „внутренним проектированием“ в отличие от „внешнего проектирования“, применяемого затем для получения чертежа на плоскости изображений. Метод „внутреннего проектирования“, как мы уже видели и будем иметь возможность видеть далее, может служить для решения позиционных задач на полных изображениях. При центральном проектировании основная задача, рассмотренная нами в п. 1, получит несколько иной вид, но по существу решение ее остается прежним. Задача будет теперь выглядеть так (черт. 9).

Черт. 9

Точки (A, Aj), (В9 Вг) и (С, Сг) определяют плоскость. Требуется найти (построить на чертеже) точку X встречи плоскости ABC с данной проектирующей SPV

Так как основание Ху точки X должно совпадать с точкой Pv то можем построить точку Мх пересечения диагоналей четырехугольника А1В1С1Х1 и по ней найти точку M для четырехугольника-оригинала АВСХ. Наконец, проведя прямую AM до пересечения с проектирующей SPl9 находим искомую точку X (черт. 9).

Пример 7. Усечь пирамиду SAJixCiP-fii плоскостью АВС9 проходящей через данные точки Л, В и С на ребрах пирамиды (черт. 10).

Черт. 10

Основаниями данных точек А, В и С служат вершины А19 В19 С, основания пирамиды. Применяя решение предыдущей задачи к случаю проектирующей

SDlf найдем на последней точку D, принадлежащую нашему сечению. Затем аналогичным образом построим точку Е пересечения плоскости сечения BCD с проектирующей SEV Таким образом сечение будет полностью построено (черт. 10).

Пример 8. Усечь трехгранную пирамиду SAXB\CX плоскостью, проходящей через данные точки L и M на гранях пирамиды и точку N—на плоскости ее основания (черт. 11).

Черт. 11

Основаниями данных точек Lt M и Л/ служат соответственно точки L1M1 и Nl а N (черт. 11). Применяя указанный выше принцип к плоскости LMN и проектирующей БВЪ находим на последней точку сечения В. Для этого достаточно найти точку пересечения Р, диагоналей четырехугольника Ь^МуЫф^ а затем и точку Р пересечения диагоналей четырехугольника-оригинала LMNB. Наконец, находим точку В = ==Л'РХ551. Следами сечения служат отрезки B(L)A, В (M) С и АС.

Пример 9. Дано изображение конуса. Построить линию сечения его плоскостью, проходящей через данные (на поверхности конуса) точки А, В и С (черт. 12).

Если примем вершину конуса S за центр внутреннего проектирования, то проектирующие линии для точек, лежащих на конусе, будут совпадать с образующими. Для точки А ее основанием явится точка А19 для точки В — точка Bl9 а для точки С — точка Сг. Поэтому задача построения на какой-либо образующей точки линии сечения решается совершенно так же, как показано на черт. 9. В частности, на изображении конуса (черт. 12) показано построение точек сечения („точек видимости“) на контурных образующих SP1SQV

При этом для построения „точки видимости“ Р, т. е. точки, разделяющей линию сечения на части видимую и скрытую, был использован четырехугольник A^CjPj. Находим точку Мх = =А1С1 X ВХРХ и проектируем ее (из S) на оригинал АС. Получаем точку М. Наконец, проводим прямую ВМ и находим „точку видимости“ Р = SPxy,BM. Аналогичным образом построена вторая „точка видимости“ Q, лежащая на контурной (очерковой) образующей SQt. Такое построение может быть применено к каждой образующей. Поэтому можно получить сколько угодно точек кривой сечения. Заметим, что эта кривая касается контурных образующих в „точках видимости“ Р и Q. В самом деле, кривая должна быть расположена по одну сторону от контурной образующей. Часть кривой PABQ видима; вторая часть кривой PCQ невидима и показана на чертеже пунктирной линией.

4. Рассмотрим еще несколько примеров на оба способа внутреннего проектирования.

Пример 10. Дано изображение цилиндра. Построить сечение его плоскостью, проходящей через точки А, В, С на поверхности цилиндра (черт. 13).

В этом примере естественно принять направление проектирования параллельным образующим цилиндра. Тогда точки Аг, ВА и Сг явятся основаниями данных точек А, В, С. Для построения „точки видимости“ на контурной образующей воспользуемся основанием АЛВхСЛРг четырехугольника АВСР, вписанного в

Черт. 12

Черт. 13

искомое сечение. Точка Мг пересечения диагоналей А1С1 и ВгРх позволит определить на прямой АС точку M пересечения диагоналей четырехугольника оригинала.

Именно, М = АСХМгМ. Затем проводим диагональ ВМ, которая пересекает контурную образующую РХР в искомой точке Р. В этой точке линия сечения касается контурной образующей и переходит с видимой части цилиндра на скрытую.

Чтобы найти линию сечения на плоскости верхнего основания цилиндра, найдем точки пересечения прямых АС и PB с плоскостью верхнего основания. Прямая АС лежит в проектирующей плоскости AiC^Afi^ пересекающей верхнее основание цилиндра по линии Л2С2, поэтому она встречает верхнее основание цилиндра в точке Х = = А2С2 ХАС. Аналогичным образом находим, что прямая PB встречает то же основание в точке У = Р2В2У^РВ. Следовательно, плоскость сечения пересекает плоскость верхнего основания по линии ХУ. Это позволяет изобразить линию сечения полностью (она состоит из дуги кривой FBAPCD и отрезка DF).

Пример 11. Изображена призма A^fi^ß^C^ стоящая на плоскости оснований. Даны также точки Р(РХ), Q(Qi) и r = rv Требуется построить сечение призмы плоскости pqr (черт. 14).

Чтобы найти точку пересечения плоскости pqr с ребром bJb^ призмы, применим четырехугольник оснований p1q1r1bv диагонали которого пересекаются в точке Lv по точке Ьг находим ее оригинал L на прямой PQ. Следовательно, прямая RL пересекает ребро BYBt в искомой точке В. Для построения точек Л и С на ребрах АгА2 и 0102, воспользуемся соответственно четырехугольниками PiQi^iA и ^iQi^iQ-Построение выполняется при помощи диагональных точек М(Мг) и N(NJ и видно из чертежа (нерт. 14).

Пример 12. Даны изображения пирамиды SKiLiM1N1 и трех точек A (Ai), В (Вг)9 С(Сг). Построить сечение пирамиды плоскостью ABC (черт. 15).

Черт. 14

Черт. 15

В этом примере проектирование на основную плоскость, которой служит плоскость КгЬхМ^ъ производится из точки S. Для определения точек пересечения плоскости ABC с ребрами пи-

рамиды применяем тот же прием. Так, четырехугольник A1BlClL1 с диагональной точкой Р, позволяет определить точку L сечения на ребре SLV Четырехугольник BXCXKXLX с диагональной точкой Qx позволяет построить точку К на ребре SKX. По четырехугольнику BXCXLXNX с диагональной точкой Rx можем построить точку N на ребре SNV Наконец, для построения точки M на ребре SMX воспользуемся четырехугольником BxClNlMl с диагональной точкой ТХх

Таким образом сечение KLMN найдено.

5. После того, как „способ внутреннего проектирования“ достаточно освещен на примерах, можно сделать некоторые общие выводы.

Покажем, что тем же способом может быть построено на изображении сечение произвольного многогранника. Потребуем только, чтобы изображение многогранника было полным, а следовательно, чтобы задача была определенной.

Изображение многогранника сводится, очевидно, к изображению его сетки (вершин и ребер многогранника). Поэтому, если мы построим на изображении точки пересечения плоскости сечения с ребрами многогранника, то задача будет разрешена, ибо эти точки явятся вершинами многоугольника сечения.

Пусть на черт. 16 имеем изображение какого-либо ребра HQ многогранника, а плоскость сечения определена тремя данными точками Л, В и С. Выбрав подходящим образом основную плоскость и центр проектирования, мы спроектируем на эту плоскость данные точки Л, ß, С, Р, Q и получим их основания Av Ви Clt Ри Qv Найдем точку пересечения плоскости ABC с проектирующей SP. Применяя все тот же принцип, находим на плоскости оснований точку Мг пересечения прямых АХРХ и ВХСХ. Оригиналом этой точки является точка Мх на прямой ВС. Проводя линию AM, находим искомую точку пересечения P* = AMXSP.

Совершенно аналогичным образом построим точку пересечения плоскости ABC и проектирующей SQ. Тогда прямая P*Q* является линией пересечения плоскости ABC с плоскостью SPQ (проектирующей ребро PQ), а точка X=PQXP*Q*— искомой вершиной сечения на ребре PQ. Применяя тот же метод к другим ребрам изображения многогранника, найдем линию (многоугольник) сечения.

§ 2. Другие позиционные задачи

1. Рассмотрим другие примеры позиционных задач на построение, которые вполне естественно возникают на проекционных чертежах, обычно применяющихся в школьном курсе стереометрии.

Пример 13. Дано изображение пирамиды. Построить линию пересечения двух ее несмежных граней.

Пусть, например, для изображенной на черт. 17 пирамиды SABCDE требуется построить линию пересечения граней SAB и SCD. Пользуясь следами этих граней на плоскости основания пирамиды, находим точку их пересечения:

X = ABXCD.

Тогда, очевидно, линия SX является искомой.

Черт. 16

Черт. 17

Пример 14. Дано изображение пирамиды SABCD и отрезка PQ, лежащего в грани SBC. Требуется построить точки пересечения прямой PQ: 1) с плоскостью оснований ABCD и 2) с плоскостью грани SAD (черт. 18).

Черт. 18

Для решения первого вопроса надо найти точку пересечения прямой PQ со следом ВС плоскость грани SBC, в которой лежит отрезок PQ. Продолжая отрезки ВС и PQ, находим искомую точку: X = BCXPQ.

Второй вопрос решается аналогичным образом. Строим линию пересечения плоскостей граней SAD и SBC, как это сделано в предыдущем примере. Получаем: SM = SADXSBC.

Прямая PQ лежит в одной плоскости с прямой SM, поэтому получим точку пересечения: Y = PQX SM, которая, очевидно, и является искомой точкой пересечения прямой PQ с плоскостью грани SAD.

Пример 15. Имеем изображение усеченной треугольной призмы (ABC, АхВхСу). Найти линию пересечения плоскости верхнего основания с плоскостью нижнего (черт. 19).

Черт. 19

Вопрос легко решается, так как для каждой из сторон верхнего основания можем найти ее след на плоскости ABC нижнего основания. Например, имеем Х = ВСхВхСх, Y = ABXAlBv Тогда, очевидно, прямая ХУ есть искомая линия пересечения плоскостей верхнего и нижнего оснований.

Черт. 20

Пример 16. Дано изображение пирамиды S А ВС и прямой PQ, пересекающей пирамиду в точках Р и Q (черт. 20). Построить точку пересечения прямой PQ с плоскостью основания пирамиды.

Метод решения задач, в которых требуется найти точку пересечения данной прямой с данной плоскостью, заключается в следующем: через данную прямую проводим вспомогательную плоскость и строим линию ее пересечения с данной плоскостью. Тогда точка пересечения построенной прямой с данной и есть искомая. Так, на черт. 20 вспомогательную плоскость проводим через точки S, Р и Q. Она пересекает пирамиду по треугольнику SDE. Прямая DE пересекается с данной прямой PQ в точке X. Эта точка лежит на прямой PQ и на плоскости ABC. Следовательно, она является искомой.

Пример 17. На черт. 21 имеем изображение усеченной призмы (ABC, AiB\Cù и прямой PQ, определяемой точками Р и Q на поверхности призмы. Требуется построить точку встречи прямой PQ с плоскостью основания (АХВХС{) призмы

Для точки Q проводим проектирующую QQl II ААХ и находим основание Qx этой точки. Чтобы определить основание точки Р, проводим через Р и ребро ССХ проектирующую плоскость, которая пересекает верхнюю грань призмы по линии CD, а основание ее—по линии CXDX Следовательно, линия РРХ является

Черт. 21

проектирующей для точки Р, а точка Рг — ее основанием. Прямая PQ лежит в проектирующей плоскости PPXQQX Поэтому она пересекает след PXQX этой плоскости в искомой точке X.

Пример 18. Дано изображение параллелепипеда (ABCD, Aß^DJ, а также прямой, проходящей через данные на поверхности параллелепипеда точки Р и Q (черт. 22). Требуется построить точки пересечения прямой PQ с плоскостью основания и плоскостью грани CDDXCV

Подобно предыдущему находим основания Рх и Q1 точек Р и Q. Для точки Q проводим проектирующую плоскость AQAXQX. Тогда проектирующие РРг и QQX определяют проектирующую плоскость, след которой P\QX пересекает прямую PQ в искомой точке X. Грань CDDXCX та же проектирующая плоскость пересекает по проектирующей линии УХУ. Отсюда находим вторую из искомых точек У = Y^y^PQ.

Пример 19. На изображении имеем треугольную пирамиду SABC и проектирующую плоскость, определяемую точками РРХ и QQj (черт. 23). Построить линию пересечения плоскости PQPiQi с пирамидой.

Черт. 22

Черт. 23

Так как проектирующие имеют направление РР1э то для вершины S должно быть задано основание S1(SS1 \\ РРг), без чего изображение не было бы полным. Дальнейший ход решения таков.

Линию KLM сечения плоскостью PQP^Qï пирамиды S ABC находим по точкам К и Af, в которых след PXQX пересекает основание пирамиды, и точке Ly которая лежит на линии LXL пересечения проектирующих плоскостей PQPXQX и SS,B.

L,L = пл. PQPXQX X пл. SSß.

Тогда: L=LL1XSB.

Таким образом сечение KLM построено.

Пример 20. Имеем изображение пирамиды SABC и прямой, определяемой точками Р(Pj) и Q, ЕЕ <3(черт. 24). Построить точки встречи данной прямой с пирамидой.

Черт. 24

Решение этой задачи можно свести к предыдущей. Именно, проводим проектирующую плоскость через данную прямую PQ и строим линию KLM сечения пирамиды этой плоскостью. Тогда прямая PQ пересекает линию сечения KLM в искомых точках X и У. В самом деле, последние лежат на прямой PQ и на пирамиде SABC.

Пример 21. Дано изображение двух прямых призм, стоящих на основной плоскости (черт. 25). Требуется построить их линию пересечения. После этого показать лишь видимые части обеих пересекающихся фигур.

Черт. 25

Линия пересечения двух многогранников является пространственной ломаной, состоящей из одной или нескольких замкнутых частей. Сторонами такой многоугольной линии пересечения являются отрезки, по которым пересекаются грани одного многогранника с гранями второго; вершинами же этой линии пересечения являются точки пересечения ребер каждого из данных многогранников с гранями другого многогранника. Если имеем две смежные вершины линии пересечения, то это означает, что они лежат на одной и той же стороне; следовательно, обе вершины лежат в одной грани первого многогранника и в одной грани второго многогранника. Отсюда можем сделать следующий практически полезный вывод: если на изображении построены вершины линии пересечения двух многогранников, то стороны ее получим, соединяя пары вершин, лежащих в одной грани первого и в одной грани второго многогранника.

В рассматриваемом примере (черт. 25) линия пересечения обеих призм строится весьма просто, так как боковые грани призмы можно считать лежащими в проектирующих плоскостях, а основания призм: нижние — в основной плоскости, в верхние — в плоскостях уровня. Поэтому, отметив точки пересечения Аг и Сг нижних оснований призм, строим АгА H PJP и СХС H РХР. Далее строим AB H А1В1 и CD \\ СгОг и т. д.

Пример 22. Дано изображение прямоугольного параллелепипеда (ABCD, AJi^C^Dx). Сделать в нем призматическую выемку, форма которой определяется линией B2PQRB3 (черт. 26).

Черт. 26

Решение видно из чертежа:

Пример 23. Дано изображение треугольной призмы (ABC, A&CJ и трехугольной пирамиды SPQR (черт. 27). Требуется построить линию пересечения данных многогранников.

Черт. 27

Следует отметить, что изображение явится полным лишь в том случае, если в какой-либо системе „внутреннего проектирования“ будут заданы основания всех точек. Проще всего принять параллельное проектирование по направлению ААХ. Тогда нужно только задать основание Sx вершины S (причем || II ААХ). После этого изображение стало полным и можно построить искомую линию пересечения.

В данном случае проще всего построить точки пересечения ребер пирамиды гранями призмы (вершины линий пересечения) и затем, применяя указанный выше принцип соединения вершин, найти стороны линии пересечения. Так треугольники оснований обеих фигур пересекаются в 6 точках: D, F, G, К, L, М. Ребра SP и SQ пересекают призму в точках Т, Е и V, М. Построение этих точек не представляет никаких трудностей, так как основано на ранее рассмотренных элементарных задачах (построение точки пересечения данной прямой с проектирующей плоскостью или плоскостью уровня). Так имеем:

Аналогичным образом находятся остальные вершины линии пересечения. Пользуясь принципом соединения вершин, получим отдельные части этой линии: DEF, GHK, MOVTNL (черт. 27)

§ 3. Изображение линейчатых поверхностей 2-го порядка

Изображение линейчатых поверхностей 2-го порядка сводится к позиционным задачам, рассмотренным в предыдущих параграфах.

1. Линейчатый параболоид

Эту поверхность можно определить следующим образом (черт. 28). Пусть АС и BD две скрещивающиеся прямые, пересекающие основную плоскость о в точках А и В. Предположим, что прямая CD параллельна основной плоскости, т. е. является линией уровня. Представим себе, что линия уровня, пересекающая данные прямые АС и BD, перемещается в пространстве, например, удаляясь от основной плоскости. При этом она проходит положения AB; KxK^L^Lù CD. Движущаяся линия уровня называется образующей. Поверхность, которую она описывает, называют линейчатым параболоидом. Прямые АС и BD, которые пересекает движущаяся прямая (образующая), называются направляющими. Основная плоскость а является в данном случае плоскостью параллелизма, так как образующая в любом положении параллельна плоскости о.

Убедимся в том, что на чертеже можно произвольно задать фигуру ABCD, причем получим полное изображение. В самом деле, предположим, что фигура ABCD задана произвольно. Покажем, что для всех ее элементов легко построить их проекции (основания) на основную плоскость. Примем линию DB за направление проектирования, тогда точка В окажется основанием точки D. Так как далее, по условию, DC || пл. о, то прямая BF, параллельная DC, является основанием прямой DC. Наконец, проводим прямую CF || DB. Точка F пересечения прямых BF и CF есть, очевидно, основание точки С. Таким образом требуемое доказано. Изображение является полным. Нетрудно для любой точки Кх направляющей АС построить соответствующее положение образующей КгК2. В самом деле, прямая КгК2 является линией уровня, поэтому она должна лежать в плоскости уровня, проходящей через Кх. Если проведем прямую ККг H AF, а затем прямую КК2 II FB, то обе эти прямые, очевидно, лежат в той же плоскости уровня, поэтому К% есть искомая точка, и образующая КгК2 построена. Аналогичным образом можем построить образующую в каждой точке направляющей АС (черт. 28).

То же построение может быть получено несколько иначе (черт. 29 и 29а). Соединим точки В и С. Тогда данная фигура (пространственный четырехугольник) ABCD разбивается на два треугольника: ABC и BCD. Пусть требуется провести образующую параболоида через точку Kv Строим КгК\\ И AB и затем KKt \\ CD. Ясно, что все

Черт. 28

Черт 29

Черт. 29а

три точки Кг, К и К2 лежат в одной плоскости уровня. Следовательно, прямая КгК2 есть образующая параболоида.

Заметим, что в случае, когда направляющие пересекаются, линейчатая поверхность обращается в плоскость. Этим объясняется название „косая плоскость“, которое часто дают линейчатому параболоиду в технической литературе.

2. Линейчатый гиперболоид.

Представим себе теперь 3 направляющих X, у, z (черт. 30), произвольно расположенных (скрещивающихся) в пространстве. Прямая, пересекающая все 3 направляющие, называется образующей. Если образующая перемещается в пространстве (все время пересекая 3 направляющих), то она описывает линейчатую поверхность, которая называется линейчатым гиперболоидом.

Наше изображение является полным, если на нем заданы 3 направляющие X, у, z и 2 образующие с точками, в которых они пересекают направляющие (точки А, В, Р и С, D, Q на черт. 30). В самом деле, 4 точки ABCD образуют тетраэдр, причем данные образующие являются его ребрами. Две из направляющих (X и у) также являются ребрами этого тетраэдра, а третья направляющая (z) определяется точками Р и Q на данных образующих.

Покажем, как для любой точки X направляющей х можно построить (на черт. 30) соответствующую образующую. Для решения задачи надо, очевидно, найти точку Z, в которой плоскость, проходящая через точку X и прямую у, пересекает прямую z. Упомянутая плоскость (л:, у) пересекает грани ACD и АСВ тетраэдра ABCD по прямым XD и ХВ. Если рассмотрим вспомогательную плоскость (С, z), проходящую через прямую z и точку С, то она пересекает те же грани тетраэдра по линиям CQ и СР. Отсюда заключаем, что прямая DM (причем D= XD^CQ и M = ХВ X CP) является линией пересечения плоскостей (X, у) и (С, z), а точка Z = MD X z — точкой пересечения плоскости (X, у) с прямой z. Наконец, прямая XZ, пересекающая все три направляющие, является искомой образующей.

Интересно отметить следующее свойство в прямых X, CD, у, AB, z, XY (черт. 30). Если рассмотрим шестисторонник, образованный этими прямыми в указаном порядке, то его вершинами явятся точки: X, С, D, В, Р, Z. Следовательно, противоположными будут вершины X я В, С и Р, D и Z. Как видим, 3 прямые, соединяющие пары противоположных вершин (ХВ, CP и DZ), пересекаются в одной точке М.

Черт. 30

ПАФНУТИЙ ЛЬВОВИЧ ЧЕБЫШЕВ

Доц. В. МОЛОДШИЙ (Москва)

П. Л. Чебышев

Сто двадцать пять лет назад, 26 мая 1821 г., в селе Окатове Калужской губ. родился Пафнутий Львович Чебышев, один из величайших математиков и прикладных механиков XIX столетия, основоположник самостоятельной русской математической школы и русской науки о механизмах.

Первоначальное воспитание и образование, до поступления в Московский университет, он получил дома. Одним из учителей Чебышева был педагог Погорельский, автор известного учебника по алгебре. Об „Алгебре“ Погорельского Чебышев впоследствии говорил, что на русском языке она лучшая, так как „самая краткая“.

В детские годы Чебышев заинтересовался механизмами и механическими игрушками и полюбил мастерить их собственными руками. На уроках геометрии он заметил связь между этой наукой и своими игрушками и с особым усердием принялся за ее изучение.

В университет Чебышев поступил в 1837 г. При переходе с 1-го на 2-й курс он написал работу „О вычислении корней уравнений“, за которую получил серебряную медаль.

Своим усердием и успехом Чебышев обратил на себя внимание известного профессора университета Н. Д. Брашмана.

Брашман начал дополнительно заниматься с Чебышевым, советовал ему посвятить себя математике. К своему учителю Чебышев сохранил навсегда глубочайшее уважение; до самой своей смерти он берег, как некую святыню, фотографический портрет Брашмана.1

Через пять лет по окончании университета Чебышев защитил в Московском университете магистерскую диссертацию на тему „Опыт элементарного анализа теории вероятностей“. Через три года в Петербургском университете последовала защита докторской диссертации на тему „Теория сравнений“.

В 1853 г. Чебышев был избран в адъюнкты, а в 1859 г.—в ординарные академики Академии Наук.

Профессорская деятельность Чебышева протекала преимущественно в Петербургском университете и продолжалась ровно 35 лет, с 1847 г. по 1882 г. В 1882 г. Чебышев прекратил чтение лекций и всецело отдался исследовательской работе.

В 1852 г. Чебышев был в заграничной командировке с целью осмотра фабрик, заводов и изучения практической механики. Он беседовал с многими знаменитыми учеными различных европейских стран, посещал заседания ученых обществ. Эта командировка сыграла большую роль в направлении и характере творческой деятельности Чебышева.

С 1856 г по 1873 г. Чебышев был членом Ученого Комитета при Главном Управлении училищ (впоследствии переименованном в Ученый Комитет Министерства Народного Просвещения). С 1873 г. до конца жизни он был почетным членом этого комитета.

Исключительные достижения Чебышева в области математики и прикладной механики принесли ему еще при жизни славу одного из величайших ученых мира. Он был избран членом нескольких заграничных академий — французской, итальянской, Английского Королевского Общества и др. Состоял почетным членом многих русских и заграничных уни-

1 П. Л. Чебышев. Сочинения, т. 11, стр. 11.

верситетов и ученых обществ. За свои модели механизмов Чебышев получил дипломы на двух международных выставках — в Филадельфии и Чикаго.

Чебышев умер в Петербурге 8 декабря 1894 г,; погребен в селе Окатове.

Сочинения Чебышева изданы Академией Наук под редакцией академиков А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, в двух томах, на двух языках — русском и французском.

* * *

Научные интересы Чебышева охватывали почти все основные отделы математики. Он работал в теории чисел и в теории вероятностей, решил ряд сложных проблем интегрального исчисления, занимался вопросами интерполирования непрерывными дробями.

Математические исследования Чебышева являются выдающимися не только по их результатам, но также по глубине и изяществу новых методов, с помощью которых эти результаты были получены.

Для Чебышева характерно также стремление получить результаты минимумом наипростейших средств.

Главные результаты Чебышева в теории чисел относятся к вопросу о распределении простых чисел в ряде натуральных чисел.

Эта проблема —до настоящего времени полностью не решенная — имеет многовековую давность. Еще Евклид доказал, что множество простых чисел бесконечно. Впоследствии эмпирически установили, что простые числа распределены в ряде натуральных чисел неравномерно. Например, число простых чисел в первом миллионе равно 78499, во втором — 70433. Но точного закона распределения простых чисел установить не удалось.

Бертран высказал предположение, что между двумя натуральными числами х и 2х— 2(х > 3) содержится простое число. Лежандр и другие математики на основании эмпирических данных пытались установить приближенные формулы, дающие выражение числа простых чисел, не превосходящих данного числа х.

Чебышев доказал правильность предположения Бертрана. Тем самым было установлено первое значительное предложение, относящееся к закону распределения простых чисел во всем ряде натуральных чисел.

Далее Чебышев доказал, что если к(х) — функция, выражающая число простых чисел, меньших jc, то

причем, если при х -> со предел отношения

существует, то он должен быть равен единице.1 Следовательно, для достаточно больших значений х приближенно

„Эти работы, — указывает акад. С. Н. Бернштейн, — сразу выдвинули Чебышева в глазах всего мира в ряды величайших математиков современности“. И это естественно: Лобачевский решил многовековую проблему параллельных; Чебышев поставил на научную базу и получил первые фундаментальные результаты в столь же древней, а может быть, и еще более трудной, проблеме простых чисел.

Исследования Чебышева в области теории вероятностей относятся в первую очередь к основным ее положениям — к закону больших чисел и предельной теореме для сумм независимых случайных величин. Точная формулировка и строго математическое доказательство этих теорем, в достаточно широких предположениях, является делом Чебышева.

Чебышев развил теорию наилучшего приближения функций и общую теорию ортогональных полиномов (полиномов Чебышева), играющих важную роль в современном математическом анализе и его приложениях.

В работах Чебышева по математическому анализу одно из главных мест занимают также исследования, посвященные интегрированию в элементарных функциях иррациональных функций. Здесь он значительно развил результаты, полученные до него Абелем.

Отличительной чертой научного творчества Чебышева являлась его напра-

1 Существование предела впоследствии доказали Адамар и Валле-Пуссен.

вленность на удовлетворение запросов практики. Создать технику, отвечающую наивыгоднейшему использованию сил природы, развить математические методы, обеспечивающие достижение этой цели, — такова основная идея Чебышева, которую он настойчиво проводил в жизнь и подчеркивал в своих выступлениях.1

В речи о географических картах Чебышев говорил: „Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает, сами науки развиваются под влиянием ее; она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах давно известных. Если теория много выигрывает от новых применений старой методы или от новых развитии ее, то она еще более приобретает открытием новых метод, и в этом случае наука находит себе верного руководителя в практике.

Практическая деятельность человека представляет чрезвычайное разнообразие, и для удовлетворения всех ее требований, разумеется, недостает науке многих и различных метод. Но из них особенную важность имеют те, которые необходимы для решения различных видоизменений одной и той же задачи, общей для всей практической деятельности человека: как располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды?“

Практические вопросы, связанные с построением наивыгоднейших механизмов, черчением географических карт, кройкой платьев, даже сапожным делом, — все это интересовало Чебышева, давало ему основание к обобщающим идеям, находящим выражение в новых математических теориях. Развитие этих теорий позволяло решить не только исходные задачи, но и стимулировало дальнейшее расширение практики.

Чебышев особо усердно занимался теорией так называемых параллелограмов — механизмов, служащих в частности для передачи работы пара. От рационального построения этих механизмов зависят экономия в топливе и прочность машин. Именно эти исследования привели Чебышева к новой, чрезвычайно плодотворной математической теории — теории функций наименее уклоняющихся от нуля.

Исследования Чебышева по механизмам получили у него материальное воплощение: он построил много моделей различных механизмов. Они хранятся в Академии Наук СССР.

Чебышева справедливо считают учителем русских математиков, основоположником самостоятельных русских математических школ. Этим русская наука обязана не только гению Чебышева, но и его изумительному педагогическому дарованию и такту.

Одной из незабвенных заслуг Чебышева было то, что он своими работами и указаниями в ученых беседах наводил своих учеников на плодотворные темы для собственных изысканий и обращал их внимание на такие вопросы, изучение которых всегда приводило к более или менее ценным результатам. Например, он предложил своему ближайшему ученику (впоследствии академику) Ляпунову вопрос, относящийся к исследованию формы однородной жидкой массы, вращающейся вокруг оси. Над этим вопросом Ляпунов работал всю жизнь и получил классические результаты, значительно превосходящие всё, что в этом направлении было сделано знаменитым французским математиком А. Пуанкаре.

Но не только ближайшие ученики могли рассчитывать на драгоценное внимание Чебышева. Раз в неделю двери его кабинета были открыты для всякого, имеющего что-нибудь сообщить о собственных занятиях и получить от него указания, и редко кто от него уходил, не унося с собою новых мыслей и поощрения к дальнейшей работе.

Лекции Чебышева по различным разделам математики пользовались широкой популярностью.

„Курсы его, — пишет акад. Ляпунов, — не были обширными, и при изложении их он заботился не столько о количестве сообщаемого материала, сколько о выяснении принципиальных сторон трактуемых вопросов. Отличаясь живым и увлекательным изложением, лекции его сопровождались множеством интересных замечаний относительно

1 Отчет Чебышева о путешествии за границу (Сочинения, т. II-й) и его речи о черчении географических карт (Сочинения, т. 1-й).

значения и важности тех или других вопросов или научных методов. Замечания эти высказывались иногда мимоходом по поводу какого-нибудь конкретного случая, но всегда глубоко западали в умы его слушателей. Вследствие этого лекции его имели высокое развивающее значение, и слушатели его после каждой лекции выносили нечто существенно новое в смысле большей широты взглядов и новизны точек зрения“.

* * *

Память о великом русском математике Пафнутии Львовиче Чебышеве свято хранится в широких кругах Советского Союза. Идеи его развивают и по сей день многочисленные русские школы математиков и прикладных механиков.

В декабре 1944 г. Совнарком СССР издал постановление „О мероприятиях по увековечению памяти академика П. Л. Чебышева в связи с 50-летием со дня его смерти“.

Совнарком СССР постановил:

1. Одобрить решение АН СССР об издании полного собрания сочинений акад. П. Л. Чебышева.

2. Установить две премии имени акад. П. Л. Чебышева в размере 20000 руб. каждая, присуждаемые каждые три года за лучшую работу в области математики и за лучшую работу в области теории механизмов и машин.

3. Установить несколько стипендий им. акад. П. Л. Чебышева для аспирантов и докторантов в Московском и Ленинградском университетах и в Математическом институте АН СССР им. Стеклова.

4. Установить перед зданием Ленинградского университета бронзовый бюст акад. П. Л. Чебышева.

МEТОДИКА

ФОРМАЛИЗМ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ И БОРЬБА С НИМ

Проф. БРАДИС В. М. (Калинин)

Формализм в знаниях учащихся, этот основной и все еще не изжитый порок школьной работы, можно охарактеризовать как наличие некоторых внешних признаков знаний при отсутствии подлинных знаний, вооружающих человека на борьбу за достижение определенных, относящихся к данной области науки практических целей. Основные особенности формального знания: 1) отрыв формы от содержания, 2) отрыв теории от практики, 3) преобладание памяти над пониманием, 4) господство трафарета, шаблона. Формальные знания — это мертвые, не действенные, бесполезные знания.

Задачей настоящей статьи является выяснение конкретных форм проявления формализма в знаниях учащихся по математике и тех недочетов в работе учителя, при которых становятся возможными эти проявления. Зная эти конкретные формы проявления, легко наметить и меры к их устранению.

Овладеть каким-либо разделом математической науки значит: а) приобрести знание соответствующей терминологии, б) приобрести знание установленных в этом разделе науки фактов, в) приобрести, далее, знание связей, существующих между этими отдельными фактами, т. е. знание той научной системы, в какую входят все эти факты, г) приобрести, наконец, навыки в практическом применении всех этих знаний. Рассмотрим последовательно все эти четыре стороны вопроса

Формальное знание математической терминологии есть одно из самых распространенных проявлений формализма в деле изучения математики: учащийся произносит слова, точного смысла которых не понимает. Как часто, например, учащийся, уверенно употребляющий термин „геометрическое место точек“, утверждаем, что геометрическое место точек есть биссектриса угла, а учащийся, считающий себя понимающим термины „рациональное число“, „иррациональное число“, говорит, что иррациональное число — это корень. А взять такие термины, как „вертикальная прямая“, „горизонтальная прямая“—правильное понимание этих по существу географических, но постоянно применяемых в математике терминов встречается лишь в виде редкого исключения

Абсолютно необходимо добиваться того, чтобы каждый учащийся знал точный смысл каждого употребляемого им термина, чтобы он испытывал беспокойство, тревогу, произнося слово ему непонятное или не вполне понятное. Знание соответствующего определения необходимо, но его одного еще недостаточно: нужно еще наличие ясных, конкретных представлений. Учащийся, зная определение, должен уметь приводить на него примеры, т. е. указывать объекты, ему удовлетворяющие, и контрпримеры (противоречащие примеры), т. е. объекты сходные, но в силу той или иной причины этому определению не удовлетворяющие. Вводя каждый новый термин, необходимо, кроме краткого и ясного определения, приводить ряд примеров, по возможности наглядных, ярких, запоминающихся, и добиваться того, чтобы учащиеся сами умели находить такие примеры. Очень полезно рассмотреть несколько вариантов определения одного и того же термина, выясняя их достоинства и недостатки Например, определяя взаимно простые целые числа как такие, у которых нет других общих делителей, кроме 1, хорошо, после

рассмотрения ряда примеров и контрпримеров, выяснить возможность другого определения, равносильного первому: два целых числа называются взаимно простыми тогда, и только тогда, когда их общий наибольший делитель равен 1. Термин нельзя считать вполне усвоенным, если учащийся не в состоянии применить соответствующее определение в частных случаях, представляющих те или иные особенности. Так, учащийся должен уметь правильно ответить на вопрос, являются ли числа 0 и 5 взаимно простыми (5 делится только на 1 и 5, 0 делится на любое число; общий наибольший делитель 0 и 5 равен 5; эти два числа не взаимно просты). На вопрос о высотах прямоугольного треугольника учащийся должен уметь найти все три высоты, из которых две являются катетами. Рассмотрение таких частных случаев применения всякого термина весьма способствует ясности его усвоения.

Заботясь о ясном понимании учащимися каждого специального термина, учитель, однако, не должен забывать, что не всем таким терминам даются определения. В каждой математической науке имеется так называемые основные понятия, содержание которых раскрывается не через определения, а через те аксиомы, в которых говорится об этих понятиях. Например, в геометрии было бы ошибкой давать определения таким понятиям, как точка, прямая, плоскость. Здесь следует обеспечить лишь знание тех свойств этих геометрических образов, какие выражены в аксиомах, а также наличие наглядных представлений, основанных на рассмотрении окружающих нас предметов и специальных моделей. Так, наглядный, хотя и далеко не точный образ точки дает острие иглы, образ прямой — туго натянутая тонкая нить и т. д.

Правильное понимание специальных терминов невозможно без понимания связей между ними, без понимания их взаимной зависимости. Во-первых, надо понимать, противополагается ли одно понятие другому, или одно представляет собой частный случай другого, подчинено ему. Так, понятие рационального числа противополагается понятию иррационального числа, но понятие действительного числа не противополагается понятиям рационального и иррационального числа, а объединяет их и исчерпывается ими: всякое рациональное, как и всякое иррациональное, число является в то же время действительным числом, всякое действительное число является в то же время рациональным или иррациональным. Во-вторых, важно понимать, что в определении каждого нового термина мы вправе пользоваться лишь ранее определенными терминами и основными понятиями и не можем пользоваться терминами, смысл которых устанавливается лишь в дальнейшем, иначе мы впадем в логическую ошибку, известную под названием „порочного круга“, в определениях. Такую ошибку допускает, например, учащийся, определяющий взаимно перпендикулярные линии как такие, которые, пересекаясь, образуют прямой угол, и утверждающий, что прямым называется угол между всякими двумя взаимно перпендикулярными прямыми.

Приучать учащихся к точному и сознательному употреблению терминов есть, несомненно, одна из важнейших воспитательных задач, которые призвана разрешить школьная математика, но которой она часто не разрешает из-за формальной постановки ее изучения.

Изучение математической терминологии идет параллельно с изучением математических фактов, т. е. истин, выраженных в аксиомах и теоремах. Самый текст математического предложения (теоремы или аксиомы) нередко усваивается и воспроизводится только по памяти, без понимания: учащийся не разбирается, где условие теоремы, сколько их, где ее заключение; не понимает, верна ли обратная теорема, т. е. являются ли эти условия только достаточными для сделанного заключения, или одновременно и необходимыми, т. е. такими, без которых заключение теряет силу; не умеет привести примеров конкретных случаев, когда теорема имеет место, и контрпримеров (противоречащих примеров), когда она в силу нарушения того или другого из указанных в ней условий перестает быть верной. Как бы точно и бойко учащийся ни воспроизводил напечатанный в учебнике текст теоремы, его знание этой теоремы является при наличии таких недостатков только формальным. Рассмотрение ряда примеров и контрпримеров, выяснение значения отдельных условий, упоминаемых или подразуме-

ваемых в тексте теоремы, поиски различных правильных вариантов доказательства, равносильных тому, какой приведен в учебнике, выяснение того, имеют ли место теоремы обратная и противоположная,— вот некоторые пути, ведущие к подлинному, а не формальному усвоению математических истин.

Прекрасным средством изжития формализма в деле усвоения новых математических истин является такая постановка дела, при которой учащиеся сами открывают эти истины в процессе решения целесообразно подобранных задач. Например, перед тем уроком геометрии в VII классе, на котором предполагается рассмотреть теорему об ортоцентре треугольника, учащимся можно предложить начертить дома несколько треугольников разного вида (остро-,тупо- и прямоугольных), провести в каждом все три высоты и посмотреть, как они пересекаются. Придя на очередной урок, учитель застанет оживленный разговор о том, что у всех получился один и тот же замечательный результат: все три высоты прошли через одну или почти через одну точку. Дело подлинного, а не формального только усвоения теоремы об ортоцентре будет таким образом весьма облегчено, да и самое доказательство теоремы будет воспринято как окончательное разрешение тех сомнений, какие оставляет наблюдение: действительно ли три высоты проходят точно через одну точку? Всегда ли так бывает? Аналогичную работу можно провести буквально по каждой теореме; разница только в количестве указаний, какими должно сопровождаться предварительное задание. Новые математические истины не являются при такой постановке дела чем-то неожиданным и несвязанным: учащийся сам открывает их в более или менее законченной форме.

Знание доказательства теоремы нередко бывает тоже чисто формальным, основанным исключительно на работе памяти, а потому очень непрочным и совершенно бесполезным для развития мышления. Характерным для такого знания является буквальное воспроизведение всех деталей чертежа и рассуждения, приведенного в учебнике. Стоит только изменить обозначение или дать иное, но тоже удовлетворяющее условиям теоремы, расположение фигуры на чертеже, и учащийся теряется: им усвоена только внешняя сторона, внешняя форма рассуждения, но не его суть. Совершенно необходимо требовать, чтобы учащийся умел провести доказательство при других обозначениях, при другом расположении фигуры на чертеже, чем в учебнике. Очень полезно расчленение всего рассуждения на отдельные последовательные его этапы (с приведением обоснования каждого этапа), а также выявление основной его идеи, его „ключа“. Установить и запомнить такой „ключ“ доказательства значит существенно облегчить сознательное и прочное его усвоение. Если учащийся, например, запомнил, что доказательство теоремы об ортоцентре треугольника основано на построении вспомогательного треугольника, стороны которого проходят через вершины данного треугольника параллельно противоположным его сторонам, то нетрудно воспроизвести и все доказательство — при условии, конечно, что учащийся вообще умеет разбираться в доказательствах, а не формально их заучивает.

Формализм в деле изучения математических фактов проявляется иногда в том, что учащийся, твердо зная некоторое обшее предложение, затрудняется применить его в конкретном частном случае, представляющем некоторые особенности. Вот типичный пример: ученик толково рассказал об измерении отрезков, приведя определение общей меры и изложив алгоритм Эвклида, но стал в тупик, когда ему предложили указать общую меру двух равных отрезков. Этот ученик находился целиком во власти схемы, дающей решение вопроса для неравных отрезков; эта схема не нужна в случае равных отрезков, но она заслонила существо вопроса, решающегося особенно просто в этом частном случае.

Никакой раздел науки не представляет собой собрания отдельных, несвязанных друг с другом истин: это всегда некоторая их система. В математической науке эта связанность в содержании каждого ее раздела проявляется особенно отчетливо, и далеко не полноценным является такое знание, при котором учащийся владеет, более или менее отчетливо, отдельными входящими в этот раздел науки истинами, но не усвоил той

системы, какую они собой представляют, не овладел теми связями, какие существуют между ними; это тоже одно из проявлений формализма в деле изучения математики. Знакомясь с новой теоремой, учащийся должен отдавать себе ясный отчет в том, на каких ранее установленных аксиомах и теоремах основано ее доказательство, должен понимать, что недопустимы ссылки на предложения, которые доказываются лишь в дальнейшем („порочный круг“ в доказательстве). Особенно важно и в то же время нетрудно разобраться в связях между любой данной („прямой“) теоремой и теоремами, ей обратной и ей противоположной, а также ей обратно-противоположной. Надо понимать, что теоремы обратная и противоположная не всегда истинны; что теорема данная и теорема, ей обратно-противоположная, выражают один и тот же факт в разной форме (утвердительной и отрицательной), а потому теорема обратно-противоположная в особом доказательстве не нуждается; что таково же отношение между теоремами обратной и противоположной, а потому, если доказана обратная теорема, то противоположную доказывать не надо. При наличии в теореме нескольких условий надо уметь найти все обратные, меняя по очереди все условия теоремы с ее заключением, и выяснить, какие из них истинны. Например, для теоремы: „прямая, проходящая через центр окружности перпендикулярно к ее хорде, делит эту хорду пополам“ существуют две обратных теоремы, и обе истинны: 1) „прямая, проходящая через центр окружности и через середину хорды, перпендикулярна к этой хорде“; 2) „прямая, перпендикулярная к хорде и проходящая через ее середину, проходит через центр окружности“ (последнее утверждение перестает быть верным, если выйти за пределы планиметрии). Для теоремы: „если данный четырехугольник есть трапеция и если прямая проходит через середины двух боковых ее сторон, то эта прямая параллельна каждому из ее оснований “можно сформулировать несколько обратных, среди которых будут и истинные, и ложные. Например, утверждение: „если данный четырехугольник есть трапеция и если прямая, расположенная в его плоскости, параллельна каждому из ее оснований, то эта прямая проходит через середины двух боковых ее сторон“, очевидно, ложно, в то время как утверждение: „если прямая, проходящая через середины двух противоположных сторон плоского четырехугольника, параллельна хотя бы одной из двух остальных его сторон, то этот четырехугольник есть трапеция“ может быть доказано.

Работу по изучению той системы, какую представляет собой данный раздел программы, особенно важно и полезно вести при повторении этого раздела, но и при первом знакомстве с новым материалом необходимо давать его в некоторой системе и добиваться понимания и усвоения ее учащимися.

При правильном ходе изучения того или иного раздела программы параллельно с изучением теоретической стороны идет и овладение навыками в его практических приложениях в виде решения разнообразных примеров и задач. Здесь формализм проявляется двояко: иногда практика вовсе отсутствует, иногда имеется, но в отрыве от теории. Как часто, например, слышим от учителя, что недостаток времени не позволил ему научить учащихся решать задачи на тот или иной раздел геометрии, особенно на построение! Бывают и такие случаи, когда учитель показывает готовые решения нескольких задач, и ученики учат эти решения. Задачи эти становятся просто придатком теории. Работает только память, и никакого навыка в самостоятельном решении новых вопросов учащиеся не получают. При изучении арифметики и алгебры нередко имеет место наличие практики, оторванной от теории: не обеспечив усвоение теоретической стороны, учитель спешит перейти к задачам, дает готовые, зачастую непонятные учащимся правила, иногда добивается уверенного решения ими примеров и задач определенного типа. Однако в этих случаях учащиеся совершенно беспомощны, встречаясь с вопросами, хотя и нетрудными, но иного типа, и составляют себе извращенное представление о предмете. Так, один толковый ученик VII класса, хорошо овладевший тождественными алгебраическими преобразованиями, говорил, что алгебра, в отличие от геометрии, вовсе не наука, а что-то вроде игры, которая ведется по определенным раз навсегда

установленным правилам, подобно футболу или шахматам; получение ответа, совпадающего с указанным в задачнике, означает выигрыш, который премируется хорошим баллом. Одна ученица заявила, что может решить любую задачу на квадратные уравнения (из задачника) и все понимает, кроме одного: „почему квадратное уравнение всегда равно нулю?“. Здесь формализм в приобретении навыка выразился просто в непонимании постановки вопроса, разрешаемого по установленному шаблону, и надо признать, что это явление весьма распространенное. Если спросить, как узнать, правильно ли решена данная система уравнений, то обычно находятся учащиеся, не знающие другого способа проверки, кроме заглядывания в готовые ответы, приведенные в задачнике, а среди лиц, знающих, что здесь нужна подстановка найденных корней в данные уравнения, постоянно находятся такие, которые утверждают, что достаточно сделать подстановку лишь в одно из уравнений системы: если оно удовлетворяется, система решена верно.

Ограничение определёнными, шаблонными и обычно весьма немногочисленными типами задач есть тоже одно из проявлений формализма в деле приобретения математических навыков. Как часто слышишь на экзамене: „Эту задачу решить не могу, не знаю даже, как за нее взяться; ведь таких задач в школе мы не решали!“ Учителю математики нельзя забывать, что приобретение навыка в решении математических задач преследует и воспитательные цели, далеко выходящие за рамки самой математики: воспитывает сообразительность, находчивость, умение свести сложную проблему к ряду более простых, умение мобилизовать весь свой запас сведений и выбрать из них те, которые здесь полезны, умение критически проверять и обосновывать свои догадки. Ограничение немногими шаблонными типами задач превращает обучение математике в натаскивание, которое не развивает, а скорее притупляет способность.

Рассмотрение вопроса о формализме в навыках закончим указанием на переоценку внешней формы, в которой повинны некоторые учителя, требующие, чтобы запись решения сразу велась в полном порядке и сопровождалась письменными пояснениями. Очень часто запись решения бывает у учащихся неряшлива, бессистемна, и с этим недостатком надо вести постоянную и решительную борьбу. Но нельзя требовать, чтобы решение сразу отливалось в определенную, вполне упорядоченную форму, и тем более, чтобы оно сразу сопровождалось письменными пояснениями: такое требование всегда сковывает инициативу, ухудшает шансы на счастливую догадку. Надо различать начальную стадию решения задачи — поиски пути и первые попытки движения по нему, и последнюю, заключительную его стадию — надлежащее оформление найденного решения, когда уместно требовать и полного порядка в записи, и письменных пояснений. Конечно, надо вести борьбу и за аккуратный черновик, но здесь надо соблюдать разумную меру.

От проявлений формализма в математических знаниях и навыках учащихся перейдем к его проявлениям в работе самого учителя. Эти проявления можно разбить на три группы.

Во-первых, теоретически возможно, что в математических знаниях и навыках самого учителя имеют место такие же проявления формализма, как рассмотренные выше проявления формализма в математических знаниях и навыках учащихся. Здесь единственное средство борьбы — работа учителя над повышением своей квалификации.

Во-вторых, учитель, сам лично свободный от этого рода недочетов, но терпимо относящийся к рассмотренным проявлениям формализма у учащихся, не бьющий тревогу по поводу каждого такого проявления, не мобилизующий учащихся на преодоление и предупреждение их, тоже повинен в формализме, и даже в большей степени, чем недостаточно квалифицированный учитель. Тот творит зло, сам того не ведая, этот же видит зло, но не борется с ним и тем самым ему содействует.

В-третьих, в методах преподавания, применяемых учителем, могут быть моменты, непосредственно ведущие к формальному лишь усвоению предлагаемого материала. Рассмотрим несколько характерных примеров.

Объяснение нового материала может быть совершенно формальным из-за своего несоответствия уровню подго-

товки и развития учащихся, которые этого объяснения не понимают. „Я обязан объяснить то-то и то-то и я объясняю, а поймут меня учащиеся или не поймут, это уже их дело, а не мое“,—если не говорит, то думает такой учитель. Иногда он успокаивает себя (и других) тем, что практические навыки, вытекающие из этого недоступного учащимся объяснения, они все же усваивают (формально, без понимания). Так обстоит дело, например (за редкими исключениями), с извлечением квадратного корня из многозначных чисел. Учитель объясняет происхождение известного правила, показывает его применение на примерах и удовлетворяется тем, что учащиеся приобретают соответствующий навык. Обычное объяснение, приведенное в учебнике, учащиеся не усваивают, учитель это знает и не решается даже вернуться к нему, не решается спросить его с учащихся ни на уроке, ни тем более на экзамене, а хочет поискать более „доходчивого“ объяснения (а такие существуют — например, через геометрическое истолкование). Формальное изучение этого правила сказывается в грубых ошибках, какие учащиеся допускают при его применении (например, разбивают подкоренное число на грани не от знака дробности, а от первой или последней его цифры).

Формальным может быть и опрос учащихся. Так бывает, если учитель довольствуется более или менее бойко произнесенными учеником фразами, более или менее точно воспроизводящими учебник, не проверяя, кроется ли за этими фразами ясно понимаемое содержание, не ставит дополнительных вопросов, уточняющих ответ, не требует приведения примеров (найденных самим отвечающим, а не взятых из учебника или из объснений учителя).

Формальной может быть (и, к сожалению, часто бывает) и проверка письменных работ учащихся, как классных, так и домашних. Работа как будто проверена, имеются пометки, оценка, подпись учителя, а ряд ошибок оставлен без указания и исправления. Нечего и говорить, какой громадный вред приносит такая небрежность в работе учителя: исправление ошибок, допускаемых учащимися, есть, быть может, важнейшая функция учителя. Проверка во что бы то ни стало должна быть полноценной. Лучше проверять реже и не сплошь все сделанное учащимися, а при недостатке времени — выборочно, но по-настоящему.

Присматриваясь к практике выставления оценок, и здесь видишь нередко случаи формального отношения к делу. Учащийся удачно ответил в начале четверти по материалу одного очередного задания, получил отметку 5; больше его не спрашивали; контрольной работы, единственной на протяжении четверти, он не писал, и учитель ставит ему 4 за четверть. Разве эта оценка обоснована? Разве она мобилизует учащегося на дальнейшую серьезную самостоятельную работу?

Либерализм в оценках у нас как будто изживается, но все же встречается еще очень часто. А это тоже особое, и весьма нехорошее, проявление формализма: благополучие по форме, провал работы учителя по существу. Реже встречается, но все же встречается, противоположная ошибка учителя: формальная строгость при недостатке внимания к существу дела. Такое положение имеет место, когда из-за отдельных случайных ошибок, допущенных в работе, она признается неудовлетворительной, несмотря на общий высокий уровень математической культуры, о котором свидетельствует работа в целом. Снижать оценку за такие ошибки надо, так как с ними надо решительно бороться, но здесь, как и везде, должна быть разумная мера.

Отметим еще формальный подход учителя к дозировке заданий на дом, который иногда имеет место, особенно при повторении. Бывает, что учитель, не давая себе труда выделить основное в материале, подлежащем повторению, помочь учащимся овладеть системой, в какой изложен этот материал, показать им, как найти „ключ“ к каждому подлежащему запоминанию доказательству, ограничивается тем, что дает им просто определенное число страниц по учебнику, непомерно большое для того времени, какое учащиеся могут на него потратить. То же самое получается при задании под ряд нескольких десятков задач, среди которых много однотипных. Учащиеся или вовсе не выполняют таких чрезмерно больших заданий, весьма гру-

доемких и мало полезных, либо выполняют их кое-как. Повторять надо в первую очередь основное, осторожно и умело это основное выделяя и показывая, как все второстепенное из этого основного получается без особой затраты труда на запоминание этого второстепенного.

Проявления формализма бесконечно разнообразны, и настоящая статья, конечно, не претендует на исчерпывающий разбор всех возможных его случаев.

Ограничиваясь рассмотренными важнейшими его проявлениями, отметим в заключение, что есть два главных средства борьбы с формализмом в знаниях учащихся по математике: во-первых, максимальное внимание ко всякого рода практическим применениям приобретенных знаний и, во-вторых, всемерное поощрение творческой инициативы учащихся, развитие этой инициативы, борьба с зубрёжкой, со слепым следованием данным готовым образцам.

О ФОРМАЛИЗМЕ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

И. А. ГИБШ (Москва)

В последние годы в связи с изучением недостатков нашей средней школы, препятствующих ей достичь необходимых результатов, был выдвинут вопрос о формализме при преподавании различных дисциплин. В большой мере формальные методы нашли себе место в преподавании математики. При наличии этих методов учащийся заучивает ряд фактов и их доказательств, неоднократно просто запоминая ход рассуждения и последовательность, в которой оно слагается из своих элементов.

Многие преподаватели считают, что такое умение передать материал может рассматриваться как признак достаточно твердого его усвоения, свидетельствующий о наличии у учащихся необходимых теоретических знаний.

Между тем наша советская школа должна стремиться создать из учащихся самостоятельно мыслящих, инициативных, обладающих элементарными навыками творчества, людей. Но для того, чтобы создать, воспитать таких людей, вся система обучения должна быть основана на том принципе, что знание приобретается с помощью глубокого усвоения предмета, выражающегося во всестороннем понимании материала и, главное, в умении самостоятельно строить, развивать теорию и прилагать ее к решению задач и практических вопросов.

Достижение этих целей безусловно выполнимо и зависит от предварительной вдумчивой работы преподавателя.

В основу такого углубленного преподавания могут быть положены следующие принципы:

I. Изложение главы начинается с постановки вопроса. Постановка вопроса служит кратким введением, вступлением в главу, устанавливает связь с предыдущим материалом, выясняет основную цель темы, задачу, которую предстоит решить. Это введение открывает перед аудиторией перспективу, пробуждает интерес к решению вопроса и нередко намечает общие пути его решения.

Пример 1. Тема „Метрические соотношения в треугольнике“ впервые ставит и решает вопрос об аналитическом (в противоположность графическому) нахождении одних элементов треугольника по другим данным его элементам. Ряд фактов, свидетельствующих о наличии функциональной зависимости между элементами треугольника (признаки равенства треугольников), заменяется фактами, выражающими эту функциональную зависимость аналитически.

II. Изложение темы должно облекаться в форму, вызывающую интерес к способу решения вопроса и заставляющую учащегося следить за изложением с активным вниманием и принимать участие в последовательном развитии теории. Этим требованиям удовлетворяет больше всего аналитическая форма рассуждения, состоящая в нахождении решения вопроса путем перехода от иско-

мых соотношений к данным. Анализ содействует тому, что учащийся как бы присутствует при рождении доказательства, которое в силу этого представляется ему естественным и с необходимостью вытекающим из условия теоремы. При этом часть аудитории, нашедшая правильное решение вопроса, испытывает удовлетворение: состояние напряженности мысли, заинтересованность слушателей разрешается, доставляя им подлинную радость успешно завершившихся исканий, радость творчества.

Пример 2. Доказательство теоремы о средней линии трапеции легко „открывается“ учащимися при указании о целесообразности использования теоремы о средней линии треугольника.

Пример 3. При разыскивании уравнений, связывающих стороны прямоугольного треугольника, плодотворна мысль о том, что для решения задачи необходимо сделать эти стороны линейными элементами подобных треугольников. Возникает вопрос, с помощью какой трансверсали можно этого достигнуть. Легкое исследование приводит к выводу, что именно перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, разделяет треугольник на два подобных треугольника.

Пример 4. При доказательстве признака перпендикулярности прямой к плоскости анализ приводит к системе тех пар треугольников, равенство которых влечет за собою заключение теоремы.

III. Для того чтобы сделать содержание темы более глубоким и широким и вместе с тем более живым, необходимо не ограничиваться изолированным изложением факта и его доказательства, а рассмотреть факт как элемент, звено некоторого математического явления, вскрыть сущность и развернуть картину всего явления, установить связь между элементами явления. Нередко этой цели хорошо служит метод сравнения, сопоставления, выявления сходства и различия.

В этой области инициативе и творчеству преподавателя открывается особенно широкий простор. Удачное удовлетворение указанным требованиям в большой мере зависит от научного кругозора преподавателя и от его умения устанавливать связь, сопоставлять, видеть сходство и различие.

Пример 5. В теме „Окружность“ учащиеся впервые знакомятся со свойствами замкнутой выпуклой кривой линии. Эти свойства глубже выявятся при сравнении их со свойствами прямой линии: 1) незамкнутость прямой и замкнутость окружности (перемещаясь из точки А замкнутой линии в другую ее точку В и продолжая двигаться в том же направлении, вновь возвращаемся в точку Л); 2) две полуплоскости в случае прямой и внутренняя и внешняя области в случае окружности; 3) параллельности двух прямых соответствует расположение прямой или окружности внутри или вне другой (в обоих случаях каждый из образов не имеет ни одной общей точки с другим и весь располагается в одной из областей, определяемых другим); 4) две прямые совпадают при наличии у них двух общих точек; две окружности совпадают при наличии у них трех общих точек (теорема); 5) пересечение в случае двух прямых и в случае прямой и окружности или двух окружностей имеет различный смысл (только одна общая точка и только две общие точки), но в обоих случаях обозначает переход из одной области в другую (связь замкнутости окружности с наличием двух точек пересечения); 6) в случае двух прямых наличие единственной общей точки не называется касанием; но при определении касательной, как предельного положения секущей, касание имеет место и для прямых: оно равносильно совпадению. Для установления возможных положений прямой и окружности и двух окружностей необходимо опираться на основное свойство окружности, как геометрического места; поэтому те же выводы нельзя было бы отнести к какому-либо другому замкнутому контуру — например, к правильному многоугольнику.

Пример 6. В теме „Обобщение понятия о степени“ введение степеней с нулевым, отрицательным и дробным показателями сперва оправдывается необходимостью сохранить возможность применения правил действий над степенями при любых значениях показателей, но затем необходимо выяснить учащимся, что, несмотря на различие понятий о степени с натуральным, отрицательным и дробным показателем, они имеют между

собою глубокую внутреннюю связь, выражающуюся в сохранении их основных свойств: 1) при положительном показателе степень положительного числа меньшего (большего) 1 есть число меньшее (большее) 1; при отрицательном показателе имеет место обратное; 2) сохраняется монотонность степени. После введения понятия о степени с иррациональным показателем приобретается возможность определить на всей вещественной оси показательную функцию и построить для нее непрерывный график, иллюстрирующий существующее между установленными понятиями единство.

IV. При изложении вопроса необходимо выявить идейную сущность его, т. е. те понятия, идеи и методы, которые составляют основное, принципиальное содержание вопроса и совокупность которых определяет фундамент математики. Невыделение этих основных элементов характеризует собою поверхностное, неглубокое, формальное изложение, которое не будет иметь необходимых результатов, не будет содействовать приобретению подлинных знаний, добытых человеком путем напряженной деятельности ума и приобретаемых также путем глубокого размышления, постоянных усилий ума, систематического умственного труда.

Пример 7. Тема „Прямые и плоскости в пространстве“ позволяет поставить перед учащимися 9-го класса, имеющими уже немалое математическое развитие, вопросы: 1) об аксиоматике стереометрии; 2) о системе независимых условий теоремы и строгом доказательстве ее (в процессе которого используется каждое данное условие и не используется ни одно условие, не включенное в систему данных); 3) об определении соотношения (параллельности, перпендикулярности) между геометрическими образами и признак этого соотношения.

Примере. Тема „Иррациональные числа“ органически связана с идеей несоизмеримости величин и с идеей измерения, получающей здесь свое развитие и завершение.

Пример 9. Тема „Составление уравнений“ должна быть построена на том, что между искомыми и данными величинами задачи существует функциональная зависимость, аналитическое выражение которой приводит к уравнению.

V. Изложение должно быть научным, т. е. должно соответствовать состоянию и трактовке вопроса в науке и быть научно оформленным. Научное доказательство, безошибочное логическое рассуждение содействуют подлинному пониманию вопроса и дают удовлетворение; ненаучное же доказательство, т. е. доказательство нестрогое, недостаточно обоснованное, приучает неглубоко, некритически относиться к рассуждению, принимать за доказанное то, что не обосновано, легко соглашаться, внешне, формально усваивать материал. Поэтому ни в каком случае нельзя выдавать за доказательство рассуждение, таковым не являющееся. Факты, не поддающиеся на данном этапе доказательству, должны быть приняты без доказательства.

При научном изложении приобретают особенное значение логические элементы рассуждения, имеющие большую образовательную ценность. К логическим элементам относятся: деление класса на подклассы; определения и аксиомы; дедукция и индукция; виды теорем и связь между ними; необходимые и достаточные условия; метод доказательства от противного; анализ и синтез. Нельзя считать усвоившим теорию математики того, кто не в состоянии правильно произвести логическое деление класса, выделить виды из рода, отличить видовые признаки от родовых, сформулировать общее содержание прямой и обратной теоремы в виде необходимого и достаточного условия, отличить признак от определения, научное определение от описания и т. п.

VI. Рассматривая математику как науку о количественных соотношениях, существующих между объектами материального мира, и о формах этих объектов, преподаватель должен стремиться осветить тему с этой именно точки зрения, выявляя всю практическую ценность науки и ее роль в деле освоения и покорения природы.

Пример 10. Немалый труд, затраченный учащимся на изучение теории и практики извлечения квадратного корня, принесет ему удовлетворение, если он узнает, что эта операция часто бывает необходима человеку для реше-

ния практических вопросов. Поэтому раньше, чем приступить к изложению нелегкой теории извлечения корня, целесообразно привести ряд живых и полезных задач, решаемых с помощью извлечения корня. Тогда и самая теория и упражнения в извлечении квадратных корней с помощью таблиц, графиков и линейки получают оправдание и воспримутся легче и охотнее.

Пример 11. Тема „Логарифмы“ иллюстрирует, как решена была проблема сложных вычислений, что значительно содействовало успехам астрономии и мореплавания и открытию новых законов природы.

Пример 12. Все аксиомы Евклидовой геометрии представляют собою формулировку пространственных свойств окружающего нас материального мира.

VII. Не только в целях оживления преподавания, но и для повышения его образовательной ценности необходимо вводить в преподавание исторический элемент.

VIII. Изучаемые понятия и факты (соотношения, связи), составляющие содержание темы, подвергаются всестороннему рассмотрению с помощью постановки перед учащимися ряда целесообразно составленных вопросов. В этих вопросах должна быть выявлена основная сущность понятий и фактов, так что умение правильно ответить на них в большой мере может свидетельствовать о действительном усвоении материала.

Пример 13. По теме „Делимость целых чисел“ могут быть заданы вопросы:

1. Представляют ли собою равенства: 1) 42 = 5-8 + 2, 2) 50 = 8-5 + 10, 3)80 = 8 • 9 + 8 запись результата, полученного при делении 1) числа 42 на 5 или 8, 2) числа 50 на 8 или 80 на 8 или 9.

2*. Какое частное и какой остаток дает число

1.2.3-4.5- 6 - 7 - 8-9 - 10+1

при делении на 5.

3*. Разложить число

1 • 2- 3- 4- 5- 6 - 7- 8 - 9 - 10 - 11 •12-13 14- 15

на простые множители.

4*. На какое число достаточно умножить число 72, чтобы получить: 1) полный квадрат, 2) полный куб?

5*. Разложить число 360 всеми возможными способами на два взаимно простых множителя.

6. Может ли наибольший общий делитель двух чисел: 1) быть равным их разности, 2) превосходить их разность?

Пример 14. Вопросы по теме „Дроби*:

1. Можно ли дробь -—выразить в 15-х, 30-х, 45-х, 60-х, 100-х долях?

2. Сравнить по весу тела в ~ кг, 0,53 кг и 0, 54 кг.

3. На сколько километров расстояние в 2jO меньше расстояния в 4-^-км?

Какую часть второго расстояния составляет первое? Какими действиями решаются эти задачи? Почему?

4. Какие два основных типа задач решаются путем вычитания? Почему именно вычитанием?

5. Какие два основных типа задач решаются путем деления: 1) целых чисел, 2) дробных чисел? Почему именно делением? Какая существует связь между первыми и вторыми задачами? (Ответ: в обоих случаях в одной из них ищется множимое, в другой — множитель).

Пример 15. Вопросы по теме „Пропорциональные величины“.

1. Находятся ли в пропорциональной зависимости величины: 1) возраст и рост (или вес) ребенка; 2) груз и длина пружины; 3) время и температура (или давление) воздуха; 4) время и температура нагреваемого тела; 5) приращение времени и приращение температуры нагреваемого тела?

2. На каком свойстве пропорциональных величин основано решение задач на пропорциональные величины: 1) способом приведения к единице, 2) способом пропорции?

3. Если величина А находится в зависимости от нескольких величин В, С, D, то какой смысл имеет утверждение, что величина А находится в пропорциональной зависимости от величины В?

Пример 16. Вопросы по курсу геометрии VI класса:

1. Сколько острых внешних углов может иметь треугольник?

* Звездочкой отмечены вопросы, заимствованные из журнала „Вестник опытной физики и элементарной математики“ и принадлежащие А. И. Гольденбергу.

2. Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый многоугольник?

3. Доказать, что, если два угла и биссектриса, проведенная из вершины третьего угла, одного треугольника соответственно равны двум углам и биссектрисе, проведенной из вершины третьего угла, другого треугольника, то эти треугольники равны.

4. Провести доказательство теоремы об углах с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами, соединяя вершины углов вспомогательной прямой.

5. Построить угол двух данных прямых, точка пересечения которых лежит за пределами чертежа (недоступна).

6. Начертить многоугольник, углы которого были бы соответственно равны углам данного многоугольника.

7. Из точки А проведены лучи АН и АЕУ соответственно параллельные сторонам угла BCD. Найти угол ЕАН, зная, что он больше угла BCD на 20°.

Пример 17. По теме „Свойства и признаки параллелограма“ могут быть заданы вопросы:

1. Можно ли построить параллелограм: 1) из четырех попарно неравных отрезков, 2) из двух равных и двух неравных отрезков, 3) из четырех попарно равных отрезков?

2. Сколько параллелограмов можно построить в последнем случае?

Определяется ли параллелограм:

1) двумя смежными сторонами его; 2) его стороной и двумя прилежащими к ней углами; 3) его двумя диагоналями; 4) одной диагональю и двумя углами, заключенными между диагоналями: 5) одной диагональю и двумя углами, на которые она делит угол параллелограма (идея независимости элементов). Сколькими и какими элементами определяется параллелограм?

3. Указать условия: 1) достаточные, 2) необходимые для того, чтобы четырехугольник был параллелограмом.

4. Достаточно ли равенство: 1) одной пары, 2) обеих пар противоположных углов четырехугольника для того, чтобы он был параллелограмом?

5. Внутри какого параллелограма существует точка, равноотстоящая: 1) от всех его вершин, 2) от всех его сторон?

6. Для того, чтобы параллелограм был ромбом, достаточно ли, чтобы одна на его диагоналей служила биссектрисой одного из его углов?

Пример 18. Вопросы по теме „Окружность“:

1. Сколько имеется на плоскости точек, находящихся на данном расстоянии: 1) от данной точки Л, 2) от двух данных точек А и В?

2. Сколько может быть проведено окружностей, касающихся данной прямой в данной ее точке? Где расположены центры этих окружностей?

3. Сколько может быть проведено окружностей, касающихся обеих сторон данного угла? Где расположены центры этих окружностей?

4. При каком условии можно провести окружность, касающуюся двух данных параллельных прямых в двух данных точках А и В, соответственно принадлежащих этим прямым?

Пример 19. Вопросы по теме „Измерение углов дугами“:

1. Построить (с помощью циркуля, линейки и транспортира): 1) вписанный угол, равный 50°; 2) угол, вершина которого расположена: а) внутри круга, б) вне круга и равный 50°

2. В каких пределах изменяется значение угла, под которым хорда, стягивающая дугу в 50°, видна из точек, расположенных: 1) внутри круга, 2) на окружности, 3) вне круга?

3. Найти угол, под которым окружность радиуса, имеющего длину 10 см, видна из точки, отстоящей от центра на расстоянии 20 см.

Пример 20. Вопросы по теме „Вписанные и описанные четырехугольники“:

1. При каком условии на плоскости существует точка, равноотстоящая: 1) от четырех точек этой плоскости, 2) от четырех сторон выпуклого четырехугольника, лежащего в этой плоскости?

2. Привести примеры четырехугольников, около которых можно описать и в которые в то же время можно вписать окружность.

3. При каком условии центр окружности, описанной около выпуклого четырехугольника, расположен: 1) на одной из его сторон. 2) внутри него, 3) вне его?

4. Можно ли около выпуклого четырехугольника описать окружность?

Пример 21. Вопросы по теме „Измерение отрезков (величин)“:

1. Имеют ли отрезки Л ==4,7 см и В=8,3 см общую меру? Какую именно?

2. Отрезок А — — отрезка В. Найти наибольшую общую меру этих отрезков.

3. Отрезок А =— отрезка В. Каким числом выразится результат десятичного измерения отрезка А отрезком В?

4. Тот же вопрос по отношению к отрезкам А и В, связанным равенствами:

Л =- В и Л=- В.

5. В каком случае результат измерения отрезка выражается рациональным и в каком случае иррациональным числом? Почему?

Пример 22. Вопросы по теме „Подобие треугольников и многоугольников“.

1. Вытекает ли из соответственного равенства углов двух одноименных многоугольников пропорциональность их сторон? Имеет ли место обратная зависимость? Какой случай представляет собой исключение?

2. Подобны ли два треугольника, если высота и биссектриса, проведенные из одной и той же вершины в одном треугольнике, пропорциональны высоте и биссектрисе, проведенным из соответственной вершины в другом треугольнике?

3. В чем состоит связь между первым и третьим признаками подобия треугольников?

4. Исследовать, при каких условиях 1) высота, 2) биссектриса, 3) медиана, проведенная из вершины треугольника, делит его на два подобных треугольника.

5. Могут ли быть подобными две фигуры, образованные кривыми линиями? Какой смысл имеет подобие этих фигур? Можно ли в этом новом смысле понимать подобие многоугольников?

Пример 23. Вопросы по теме „Метрические соотношения между элементами треугольника“:

1. Сколькими и какими элементами определяется: а) треугольник, б) прямоугольный треугольник, в) равнобедренный треугольник, г) равносторонний треугольник, д) прямоугольный равнобедренный треугольник?

2. Сколькими и какими независимыми уравнениями связаны стороны прямоугольного треугольника, его высота, опущенная на гипотенузу, и проекции катетов на гипотенузу? Какие выводные уравнения могут быть получены из уравнений этой системы?

3. Какой арифметический смысл имеет среднее пропорциональное двух данных чисел? Какой геометрический смысл имеет отрезок, представляющий собою средний пропорциональный двух данных отрезков?

4. Доказать, что, если высота, опущенная из вершины Л треугольника ABC на сторону ВС, есть средний пропорциональный отрезок между отрезками, на которые она делит эту сторону, то угол Л — прямой.

5. Сторонами прямоугольника служат:

1) проекции катетов на гипотенузу;

2) гипотенуза и проекция катета на гипотенузу. Как перекроить эти прямоугольники в равновеликие квадраты?

6. Почему существует уравнение, связывающее между собою три стороны прямоугольного треугольника (теорема Пифагора), но не существует (и не может существовать) уравнение, связывающее между собою три стороны произвольного треугольника (без введения еще одного линейного элемента)?

7. Построить треугольник: 1) по сторонам а и Ъ и проекции а'ь стороны а на сторону Ь\ 2) по стороне а и проекциям а!ь и а!с стороны а на стороны b и с.

8. Определяется ли треугольник одной его стороной и проекциями двух других сторон на данную сторону? Определяется ли этими элементами прямоугольный треугольник? (Случай зависимости элементов.)

Пример 24. Вопросы по теме „Правильные многоугольники“:

1. Вытекает ли из равенства всех сторон многоугольника равенство всех его углов? Имеет ли место обратная зависимость? Какой случай представляет собою исключение?

2. Имеет ли центр неправильный многоугольник? Может ли иметь неправильный многоугольник: 1) центр описанной окружности, 2) центр вписанной окружности?

3. Для какого многоугольника: 1) равенство всех его сторон влечет за со-

бою наличие вписанной окружности, 2) равенство всех его углов — наличие описанной окружности?

4. Четырехугольник определяется 5 независимыми элементами его (например, 4 сторонами и 1 углом; 3 сторонами и 2 углами; 2 сторонами и 3 углами); правильный же четырехугольник определяется 1 стороной. Чем это объясняется?

5. В чем состоит условие, достаточное для того, чтобы существовала точка, равноотстоящая от п данных точек плоскости?

Пример 25. Вопросы по теме „Прямые и плоскости в пространстве“:

1. Могут ли две плоскости иметь: 1) только одну, 2) только две, 3) только три общие точки?

2. Сколько можно провести через данную точку: 1) прямых, параллельных данной плоскости; 2) плоскостей, параллельных данной прямой; 3) прямых, параллельных данной прямой; 4) плоскостей, перпендикулярных к данной плоскости?

3. Если прямая а плоскости а параллельна плоскости ß, то будут ли плоскости а и р параллельны? Если две параллельные прямые а и b плоскости а параллельны плоскости ß, то будут ли плоскости а и р параллельны?

4. Если прямая а перпендикулярна к плоскости а, то такой угол она образует с прямой Ъ9 принадлежащей или параллельной плоскости а?

5. Должны ли быть параллельными две непересекающиеся прямые? Должна ли прямая, непараллельная данной прямой, ее пересечь?

6. Можно ли в двух непараллельных плоскостях провести прямые, взаимно параллельные?

7. Если а и Ь—скрещивающиеся прямые, то сколько существует плоскостей, проходящих через прямую а и: 1) пересекающих прямую Ь9 2) параллельных прямой Ь?

8. Если а и Ь—скрещивающиеся прямые, то сколько существует пар плоскостей, соответственно проходящих через эти прямые и параллельных между собою?

9. Сколько существует прямых, пересекающих две данные прямые под прямым углом?

10. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы угол А'О'В, представляющий собою проекцию прямого угла АОВ на плоскость, был также прямым углом.

11. Найти геометрическое место точек пространства, равноудаленных: 1) от двух данных точек, 2) от трех данных точек, 3) от точек данной окружности.

12. Сколько существует плоскостей, равноудаленных от четырех точек, не лежащих в одной и той же плоскости?

Пример 26. Вопросы по теме „Пирамида“:

1. Боковые ребра пирамиды равны между собою. В какую точку основания проектируется ее вершина, если ее основанием служит: 1) треугольник, 2) прямоугольник, 3) правильный многоугольник?

2. Боковые ребра пирамиды, основанием которой служит прямоугольный треугольник, равны между собою. Какой особенностью отличается одна из граней пирамиды?

3. В какую точку основания проектируется вершина пирамиды, если ее боковые ребра равно наклонены к основанию?

4. В какую точку основания премируется вершина пирамиды, если она равно удалена от всех сторон основания?

5. В какую точку основания проектируется вершина пирамиды, если ее боковые грани равно наклонены к основанию?

6. Боковые ребра пирамиды, основанием которой служит параллелограм, равны между собою. Какой именно параллелограм служит основанием пирамиды?

7. Вершина пирамиды проектируется в центр окружности: 1) описанной около ее основания, 2) вписанной в ее основание. Какой вывод можно сделать относительно: 1) боковых ребер, 2) боковых граней пирамиды?

8. В какую точку проектируется вершина пирамиды, у которой: 1) два смежные боковые ребра равны, 2) два смежные боковые ребра равно наклонены к основанию? Установить, что каждое из этих двух соотношений влечет за собою другое.

9. В какую точку проектируется вершина пирамиды, если: 1) две смежные боковые грани равно наклонены к осно-

ванию; 2) вершина равно отстоит от двух смежных сторон основания; 3) боковое ребро пирамиды равно наклонено к двум пересекаемым им смежным ребрам основания? Установить, что каждое из этих трех соотношений влечет за собою два другие.

10. Вершина четырехугольной пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей основания, которым служит: 1) параллелограм, 2) ромб, 3) прямоугольник, 4) равнобочная трапеция. Какой вывод можно сделать в каждом из этих случаев?

11. Каждая из двух смежных боковых граней пирамиды перпендикулярна к основанию. Какой вывод можно сдедать в этом случае?

12. Боковые ребра SA, SB, SC треугольной пирамиды SABC попарно перпендикулярны. Какой угол образует каждое из них с любым лучом, проведенным из вершины 5 пирамиды в плоскости противоположной грани?

13. Определяется ли треугольная пирамида: 1) ее основанием, боковой гранью и углом между ними; 2) ее основанием и 3 боковыми ребрами; 3) 6 ребрами?

14. В треугольной пирамиде даны: 1) плоский угол одной из граней; 2) двугранный угол между двумя гранями; 3) плоский угол одной из граней и двугранный угол между гранями. Сколькими ребрами определяется треугольная пирамида в каждом из этих случаев?

15. Плоскостью, параллельной основанию пирамиды, отсечена от нее подобная ей пирамида. В каком отношении находятся боковые поверхности, полные поверхности и объемы данной и отсеченной пирамиды?

Пример 27. Вопросы по теме „Прогрессии“:

1. Какую функцию: 1) разности d арифметической прогрессии, 2) числа п ее членов представляет собою ее п-й член?

2.* Какую последовательность образуют числа, выражающие суммы углов треугольника, четырехугольника, пятиугольника и т. д.?

3.* Могут ли: 1) углы вписанного в окружность четырехугольника, 2) длины сторон описанного около окружности четырехугольника образовать арифметическую прогрессию?

4.* Какую последовательность образуют суммы соответственных членов нескольких данных арифметических прогрессий?

5. В чем состоит условие, необходимое и достаточное для того, чтобы 3 числа составляли 3 последовательных члена арифметической прогрессии?

6.* Может ли сумма конечного числа членов арифметической прогрессии быть равной нулю?

7.* Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять:

1) арифметическую прогрессию, 2) геометрическую прогрессию?

8.* Какой функцией: 1) знаменателя q, 2) числа п членов геометрической прогрессии является ее п-й член?

9.* Какую последовательность образуют числа, обратные членам геометрической прогрессии?

10.* Какую последовательность образуют произведения соответственных членов нескольких данных геометрических прогрессий?

11. В чем состоит условие, необходимое и достаточное для того, чтобы 3 числа представляли собою 3 последовательных члена геометрической прогрессии?

12.* Может ли сумма конечного числа членов геометрической прогрессии быть равной нулю?

13.* Могут ли 3 числа а, Ъ, с быть одновременно последовательными членами арифметической и геометрической прогрессии?

14.* Как расположены отрицательные члены в арифметической и геометрической прогрессии?

Пример 28. Вопросы по теме „Свойства показательной и логарифмической функции“:

1. Представляют ли собою степени числа, большие или меньшие, чем 1.

2. Какое заключение можно сделать: 1) относительно показателя а, если

* Звездочкой отмечены вопросы, заимствованные из книги Валецкого —„Вопросы элементарной математики“ (Госиздат. Москва—Ленинград, 1926).

2) относительно положительного основания а, если а = g; а =2,7?

3. Которая из двух степеней больше:

(Г - О* - ©4>

4. Какое заключение можно сделать:

1) относительно показателей аир, если

(!)“<(!/=

2) относительно положительного основания а, если

а8<а8; а б>а5 ?

5. Какой знак имеют логарифмы:

lg224,3; lg0.50,45; lg0>85,82?

6. Какое заключение можно сделать:

1) относительно логарифмируемого числа Ь, если

lg5* = —0,56; lg0,2&=l,25 ?

2) относительно основания логарифмов а,

если

lga5 = 0,3; lge0f8=4?

7. Который из двух логарифмов больше:

lg50,8 или lg60,9; lgr03l,5 или lg0f8l,7 ?

8. Какое заключение можно сделать

1) относительно логарифмируемых чи сел b и с, если

2) относительно основания логарифмов а, если

lge2>3<lgel,2; lga0,7>lga0,4?

Пример 29. Вопросы по теме „Соединения“:

1. Среди всех перестановок из m элементов сколько имеется таких, которые начинаются: 1) с элемента а; 2) с определенной перестановки abc; 3) с какой-либо перестановки элементов а, Ь, с?

2. Среди всех перестановок из m элементов сколько имеется таких, в которых: 1) элемент а занимает 3-е место;

2) элементы а, Ь, с занимают соответственно 3-е, 5-е и 8-е места; 3) элементы а, Ь9 с в каком-либо порядке занимают 3-е, 5-е и 8-е места; 4) элементы а, Ь, с в каком-либо порядке занимают первые 3 места, а элементы g, h в каком-либо порядке занимают последние 2 места?

3. Среди всех сочетаний из m элементов по п в каждом сколько имеется таких, которые содержат: 1) элемент а, 2) элементы а, Ь, с?

4. Среди размещений из m элементов по п сколько имеется таких, которые начинаются: 1) с элемента а; 2) с перестановки abc; 3) с какой-либо перестановки элементов а, о, с?

5. Среди размещений из m элементов по п сколько имеется таких, в которых: 1) элемент а занимает 3-е место; 2) элементы а, Ь9 с занимают соответственно 3-е, 5-е и 8-е места; 3) элементы а, Ь, с занимают в каком-либо порядке 3-е, 5-е и 8-е места; 4) элементы а, Ь, с в каком-либо порядке занимают первые 3 места, а элементы g, h в каком-либо порядке занимают последние 2 места?

6. Среди размещений из m элементов по п сколько имеется таких, которые содержат: 1) элемент а: 2) элементы а, Ь?

7. Как истолковать (вывести по соображению) равенства:

Пример 30. Задачи и вопросы по теме „Комплексные числа“: 1. Верны ли равенства:

2.* Написать два комплексных числа, обладающих тем свойством, что: 1) их сумма, 2) их произведение, 3) их сумма и произведение—действительные числа.

3.* Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы комплексное число а-\-Ы было равно: 1) своему сопряженному числу, 2) числу, обратному по отношению к сопряженному.

4.* Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы произведение двух комплексных чисел a-\-bi

и c-\-di было: 1) действительным числом, 2) чисто мнимым числом.

5.* Тот же вопрос относительно частного двух комплексных чисел.

6.* Может ли натуральная степень комплексного числа быть: 1) действительным числом, 2) чисто мнимым числом? Обосновать.

7. Составить квадратное уравнение с действительными коэфициентами, имеющее одним из корней выражение:

8. Разложить на множители трехчлен

х2— Ых — 6.

9. Разделить многочлен

х*— ixi_ 2ixz+ л:2+ Зх- i

на многочлен x*-{-x-\~L

10. Найти сумму тех членов разложения (л; + *)7, которые не содержат L

11. Найти числовое значение многочлена •

zl+iz*— (1 + 2i) 22+ Зг +1 + 3/

при z = 2-f-3J.

Указание: можно воспользоваться схемой Гернера.

12. Найти значение выражения

Указание. Выразить подкоренное выражение через сумму и произведение букв X и у.

13. Доказать, что сумма

равна либо ± 2, либо 0.

Указание. Рассмотреть случаи: n=2k и n = 2k-\-l.

Пример 31. Вопросы по теме „Исследование уравнений первой степени“.

1. Доказать, что уравнение ах=Ь при афО имеет единственный корень.

2. Написать уравнение первой степени с одной неизвестной: 1) имеющее бесчисленное множество корней, 2) не имеющее ни одного корня.

3. Имеет ли уравнение 0 • х = i: 1) действительные корни, 2) мнимые корни?

4. Какую числовую область составляют все корни уравнения 0-л; = 0?

5. При каких значениях переменной X двучлен ах~\-Ь обращается в нуль?

6. При всяких ли значениях букв а и b буквенный корень — уравнения ах = Ь обращается в числовой корень соответствующего числового уравнения?

7. При каких значениях букв а и b равенство ах = Ь есть тождество по отношению к переменной х? При каком условии равенство = т есть тождество по отношению к х?

8. Сколько решений имеет одно уравние ах -\-Ьу = с с двумя неизвестными X и у в случае, если: 1) афО и Ьф0\ 2)аф0, Ь = 0 или а = 0, ЬфО; 3) а = 0, 0 = 0, сфО; 4) а = 0, Ь = 0, с=0?

В чем состоит существенное отличие случая 1) от случая 4)?

9. При каких значениях букв а, Ь, с равенство ах-\-Ьу = с есть тождество по отношению к х и у?

10. Какую систему представляет собою система уравнений

ах + by = с, ahx -f- bhy = ch, (I)

где афО или ЬфО?

Рассмотреть случаи: 1) h ф 0, 2) h = 0. Чем случай 2) отличается от случая 1)? Как найти решения системы (I)? По какому признаку можно судить, что система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными есть система типа (I).

11. Какую систему представляет собою система уравнений

ах + by = с, ahx -j- bhy = ck> где афО

или ЬфО, сфО и k^h? (II)

Рассмотреть случаи:

\)hф0i 1гф0; 2)hф0, k = 0; 3) h=0t k — 0.

В чем состоит существенное отличие случаев 1) и 2) от случая 3)?

* Звездочкой отмечены вопросы, заимствованные из книги Валецкого.

12. Сколько решений имеет каждое из уравнений системы

2х — Зу = 5, 2х — Зу = 8?

Имеют ли эти уравнения общие решения? Почему?

13. Написать уравнение первой степени с двумя неизвестными, которое вместе с уравнением 2х—Зу = 5 составляло бы систему: 1) неопределенную, 2) противоречивую.

IX. Особенно вредное влияние оказала ржавчина формализма на область упражнений, имеющих целью привитие учащимся необходимых навыков и умений. Если стандартность в изложении теории объясняется желанием преподавателя придерживаться учебника или неумением найти лучшее изложение, то в области упражнений трафарет не имеет этого оправдания; в этой области возможно и весьма желательно разнообразие методов, разыскание наилучших из них, легче и быстрее ведущих к цели, варьирование и комбинирование их.

Все это достигается путем постоянной и непрерывной работы над совершенствованием методов решения примеров и задач и изучения литературы.

НАГЛЯДНЫЕ ПОСОБИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ И РАБОТА С НИМИ

П. М. РЫБАКОВ (Иваново)

I. Наглядные пособия по планиметрии

Наглядные пособия по геометрии нужны: 1) для облегчения усвоения учениками курса геометрии; 2) для развития их пространственного воображения; 3) для иллюстрации практического применения геометрии (знакомство с измерительными приборами и со схемами некоторых рабочих инструментов) и 4) для избежания сложных построений, отнимающих в обычных условиях бесполезно много времени.

Лучшим наглядным пособием по планиметрии является чертеж, выполняемый самим преподавателем на классной доске, так как при этом перед учениками постепенно создается изучаемая геометрическая плоская фигура, и в этой именно постепенности ее созидания и заключается ценность выполняемого в классе чертежа. Создавая планиметрический чертеж, учитель останавливается на отдельных деталях чертежа, дает классу относительно этих деталей необходимые разъяснении,

Мы пережили годы крайнего увлечения наглядными пособиями, когда педагоги стремились дать наглядное пособие чуть ли не к каждой теореме планиметрии; было создано значительное число пособий сомнительной методической ценности. Крайнее увлечение готовыми наглядными пособиями служит подчас даже помехой в деле развития пространственного воображения учеников. Возьму, в качестве примера, выпущенные одно время наглядные пособия для иллюстрации доказательства георемы о признаках равенства треугольников. Пособия эти представляют собой три пары .равных“ между собой деревянных треугольников. Велика ли польза от накладывания Друг на друга этих треугольников'?» Не достаточно ли ограничиться логическим доказательством этих теорем, сопровождая доказательство чертежом, так как доказательства эти вполне доступны пониманию учащихся?

Число наглядных пособий, сопровождающих преподавание планиметрии, незначительно. Сюда прежде всего я отношу чертеж правильных описанных около данной окружности и вписанных в данную окружность 3-угольника, 6-угольника и 12-угольника. Размеры листа чертежа: 100 см X X 100 см. Одноименные «-угольники вычерчиваются тушью одного цвета. Этот заранее подготовленный, хорошо выполненный чертеж сэкономит учителю время при объяснении теоремы о пределах периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при безграничном удвоении числа их сторон. Помимо экономии времени, применение этого хорошо выполненного чертежа дает выигрыш в наглядности.

Далее, мы считаем полезным иметь в кабинете чертежи большого формата: правильных 5-угольника, 6-угольника, 8-угольника и 10-угольника. Выполнение этих чертежей следует поручить ученикам, любителям черчения.

Из наглядных пособий по планиметрии следует особо остановиться на раздвижных моделях четырехугольников, сконструированных проф. Сиговым. Особенно ценны модели параллелограма и ромба с раздвижными диагоналями (черт. 1).

Черт. 1

Пользуясь этими моделями, учитель может поставить в классе опыт, иллюстрирующий некоторые свойства рассматриваемых 4-угольников. Учитель берет, например, модель ромба с раз-

движными диагоналями и, изменяя углы ромба, предлагает ученикам подметить свойства диагоналей ромба. Когда автор ставил в классе этот опыт, многие из учеников подмечали и правильно формулировали предположение о том, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны, а некоторые из учеников указывали также и на то, что диагонали ромба делят углы ромба пополам.

Подвижные модели Сигова особенно ценны тем, что при крайне незначительной трате времени позволяют поставить опыт, ярко иллюстрирующий свойства изучаемой фигуры. Удачно поставленный опыт приводит ученика к созданию научной догадки, гипотезы. Учитель объясняет, что это пока еще только догадка, только предположение, надо строго доказать, что этими свойствами обладают диагонали не только данного, но и всякого ромба. Учитель пользуется случаем разъяснить ученикам, что наблюдения единичных явлений позволяют сделать только научную догадку, но отнюдь не дают права сделать тот или иной вывод, и что выдвигаемая гипотеза приобретает научную силу, считается истиной, лишь после строгого доказательства.

Для чертежных работ в классе и для иллюстрации практических применений планиметрии необходимо иметь в математическом кабинете чертежные и измерительные приборы. Вот их примерный перечень: 1) рулетка 10-метровая; 2) рулетка металлическая (в 1 м); 3) складной метр; 4) эккер; 5) школьная астролябия; 6) мензула; 7) компас; 8) высотомер; 9) набор Перельмана .Математика на вольном воздухе“; 10) водяной уровень; 11) кронциркуль; 12) нутромер; 13) штангенциркуль; 14) микрометр; 15) штатив (для установки астролябии или эккера); 16) отвес; 17) чертежная доска; 18) рейсшина; 19) готовальня; 20) чертежные линейка и угольник; 21) классная линейка; 22) классный угольник; 23) классный транспортир; 24) классный циркуль; 25) классный пропорциональный циркуль.

Кроме того, полезно иметь прибор из стекла или целлулоида для приближенного измерения площадей вычерченных на классной доске криволинейных контуров. Стекло графится на квадратики, и ученик приближенно определяет площадь вычерченной на классной доске замкнутой криволинейной фигуры, накладывая этот прибор на последнюю.

В математическом кабинете надо иметь большую классную доску (размером 4,5 л*Х1»2 м). Слева третья часть этой доски графится на клетки. Размеры каждой клетки 4 см X 4 см.

При разборе отдельных геометрических предложений учитель показывает практическое применение приборов. Так, например, при рассмотрении свойств углов, образуемых при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, учитель показывает построение параллельных прямых с помощью рейсшины (на чертежной доске), с помощью угольника и линейки и с помощью циркуля и линейки. При изучении раздела о подобных многоугольниках учитель объясняет сущность мензульной съемки и съемки с помощью школьной астролябии. Непосредственную работу с этими измерительными приборами следует провести во внеклассное время в порядке кружковой работы.

С первых же дней занятий по геометрии учитель должен настойчиво требовать от учеников аккуратного выполнения всех графических работ (сопровождающих доказательство теорем и решение задач). Следует устраивать периодические выставки работ по геометрическому черчению, лучшие работы накапливать в кабинете (создание альбомов лучших работ по геометрическому черчению). Лучшим чертежникам следует предложить исполнить для кабинета ряд чертежей большого формата, которые будут использованы как наглядные пособия (например, чертежи правильных многоугольников и т. п.).

II. Прямые и плоскости в пространстве

1. В стереометрии чертеж дает изображение пространственной фигуры в искаженном виде. Поэтому учитель должен одновременно показывать геометрическое тело и давать его чертеж, постепенно приучая учеников читать и грамотно выполнять стереометрические чертежи. Требуя от учеников внимательного отношения к выполнению чертежных работ при изучении планиметрии, учитель при преподавании курса стереометрии должен проявлять еще большую требовательность в части выполнения графических работ.

Мы считаем необходимым начинать изучение стереометрии с элементарного ознакомления с простейшими многогранниками: кубом и пирамидой. Куб, например, можно определить как шестигранник, гранями которого служат квадраты. Ознакомление учеников с этими многогранниками оживит изучение раздела .Прямые и плоскости в пространстве“ и даст материал для упражнений.

Простейшие тела вращения понадобятся учителю уже при ознакомлении учеников с понятием плоскости. Нельзя говорить о плоскости, не сравнивая ее с другими поверхностями. Следует особо выделить из кривых поверхностей „линейчатые“. К сравнению с кривыми поверхностями нас обязывает само определение плоскости: „плоская поверхность (или просто плоскость) есть та, в которой лежит прямая, проходящая через две ее произвольные точки“. Учитель должен добиваться точных определений и четких формулировок, подчеркивая каждый раз допущенные учениками ошибки в определениях, показывая наглядно, к чему эти ошибки приводят. Пусть ученик пропустил при определении плоскости слово „произвольные“. Тут же учитель должен показать на моделях, что этому неполному определению удовлетворяют не только плоская, но и другие поверхности (цилиндрическая, коническая). Для иллюстрации плоских и линейчатых поверхностей рекомендуем следующую модель (изготовленную по заказу автора). Проволочная модель ABCD A\B\D\ покоится на деревянном основании Р (черт. 2).

Черт. 2

Прямая DDi скрещивается с прямыми АА\ и СВХ. Эту систему окутываем рядами нитей. Мы получим „плоскости“ АА\Вф и СВгВ и кривые поверхности (линейчатые) AA\D\0\ и DD\ ВХС.

Изучение основных предложений стереометрии и решение стереометрических задач должно сопровождаться грамотным чертежом.

С первых же занятий по стереометрии учитель, познакомив учеников с кубом, показывает им основы косоугольной проекции Кавальери.

Строим куб в системе XYZ. По оси ОХ и OZ ребра куба изображаются без искажения (1 :1). по оси OY ребро изображается в масштабе 1 :2, причем прямой угол изображен углом в 135* (черт. 3). Познакомив учеников с принципами косоугольной проекции Кавальери, учитель предлагает ряд упражнений на построение проекций многоугольников в плоскости XOY (в горизонтальной плоскости).

Примеры подобных упражнений: Построить в плоскости XOY проекции.

1) квадрата со стороной 5 см, 2) прямоугольника со сторонами 4 см и 6 см, 3) ромба, диагонали которого равны 5 см и 4 см. 4) равнобедренного тр-ка, основание которого равно 4 см и боковая сторона равна 6 см, 5) параллелограма, стороны которого равны 5 см и острый угол равен 60° 6) правильного 6-угольника со стороной 4 см.

Затем учитель дает ряд упражнений на вычисление истинного размера сторон треугольников по данной их проекции в плоскости XOY (по их горизонтальной проекции).

Подобными упражнениями предваряется изучение раздела .Прямые и плоскости в пространстве* для того, чтобы с первых же занятий по стереометрии приучить учеников понимать проекцию, научить читать и выполнять чертеж.

Основные трудности для учеников при изучении стереометрии заключаются в непонимании чертежа, поэтому графическим работам учитель должен уделять большое внимание. Постепенно добиваясь от учеников хорошего, грамотного выполнения и понимания чертежа, учитель получит возможность все менее и менее прибегать к показу моделей, перенося центр тяжести на чертеж, делая его основным наглядным пособием при изучении стереометрии.

2. Перпендикулярность в пространстве. Для иллюстрации доказательства теоремы о двух перпендикулярах пользуемся следующей моделью (черт. 4),

Черт. 3

Черт. 4

„Плоскость Р9 делается из тонкой фанеры, а линии АОАъ AB, Аф, AD, AXD, АС и А}С из проволоки. Отрезки OB, OD и ОС начерчены на поверхности Р. Модель свободно покоится на деревянной подставке M (с которой ее всегда можно снять).

Преподаватель одновременно показывает эту модель и выполняет на классной доске ее чертеж. Ученики выполняют чертежи в своих тетрадях, постепенно привыкая узнавать по чертежам изучаемые пространственные фигуры.

Автор иногда применял другое доказательство теоремы о двух перпендикулярах (помещено в учебнике Глаголева), сопровождая это доказательство демонстрацией модели, изображенной на черт. 5.

Черт. 5

Модель эта имеет некоторые удобства потому что все построения выполняются по одну сторону плоскости. Перпендикуляр АО и наклонные к плоскости, проведенные из точки А, сделаны из проволоки. Для наглядности треугольники ABD и AB^D) сделаны из жести, окрашенной в синий цвет, причем углы В и Вх отмечены другой краской. Точно так же сделаны из жести, окрашенной в желтый цвет, треугольники AOD и AODv

Доказав теорему, учитель применяет ее для рассмотрения некоторых свойств куба. Ученики устанавливают, на основании доказанной теоремы, предложение о перпендикулярности ребра куба к тем его граням, с которыми оно имеет одну общую точку.

После доказательства теоремы о двух перпендикулярах разбирается задача: восставить перпендикуляр к плоскости в точке А, лежащей на данной плоскости. Учитель выполняет чертеж и одновременно демонстрирует решение на мо-

дели (черт. 6). . Плоскость Ми —поверхность доски, .плоскость Р' сделана из жести (или из стекла). Все необходимые линии вычерчены на доске и жести (или стекле) краской различных цветов.

Черт. 6

Доказательство теоремы о перпендикуляре и наклонных, проведенных к данной плоскости из одной точки, сопровождается показом модели, изображенной на черт. 7. На поверхности доски вычерчиваются окружность и отрезки OB, ОС и OD.

Черт. 7

Доказательство теоремы о трех перпендикулярах сопровождается демонстрацией модели, изображенной на черт. 8

Черт. 8

Наконец, при разборе темы о перпендикулярности в пространстве демонстрируется модель, изображенная на черт 9. Плоскость определяется как геометрическое место прямых, проверенных через точку О прямой OA и перпендикулярных к последней. К стержню OA прикрепляется нитью прямоугольный треугольник М, сделанный из фанеры.

Черт. 9

3. Параллельность в пространстве. При прохождении темы „Параллельность в пространстве“ рекомендуем демонстрирование моделей, изображенных на чертежах 10, 11, 12 и 13.

Черт. 10

Черт. 11

Черт. 12

Черт. 13

С большой пользой при изучении теорем о параллельности в пространстве может быть использован куб. Прежде всего, в целях контроля, в какой мере усвоены учениками теоремы этой темы, следует предложить ученикам ряд вопросов о взаимном положении ребер и граней куба, требуя, чтобы каждый ответ сопровождался ссылкой на ту или иную теорему этой темы. Вот перечень этих вопросов:

1) Дан куб ABCD AtBtCiDy Каково взаимное положение ребер ААЬ ВВЬ ССг и DD1 (ребер AB, АХВЪ CD и CxDb или ребер AD, AXDV ВС и £iCj)? (черт. 14).

Черт. 14

2) Каково взаимное положение противоположных граней куба (например, граней ААлВф и DDjCjC)?

3) Каково взаимное положение ребра АА{ и грани ВВ^С (или грани DDiQCj?

4) Какую фигуру получим в сечении, рассекая куб плоскостью, проходящей через одно из его ребер, например, через ребро АА\7

5) Какие фигуры можем получить в сечении куба, рассекая последний пучком плоскостей, проходящих через диагональ ÀtCi грани куба? При разборе этих вопросов демонстрируются чертеж и большая модель куба.

Большую ценность для развития пространственного воображения имеют вопросы о том, какие можно получить (в сечении) плоские фигуры, рассекая куб плоскостью. Вот перечень этих вопросов:

I. Пересекаем куб плоскостью. Какие треугольники можно получить в сечении? Можно ли получить в сечении равносторонний треугольник, тупоугольный треугольник, прямоугольный треугольник? (Объяснить, почему невозможно получить в сечении тупоугольный и прямоугольный треугольник). Рассечь куб плоскостью так, чтобы получить в сечении наибольший равносторонний треугольник и выразить его сторону через ребро а куба.

II. Какие четыреугольники можно получить, рассекая куб плоскостью. (Объяснить, почему в сечении можно получить только трапецию или параллелограм). Показать на модели сплошного зачерненного деревянного куба, как надо рассечь куб плоскостью, чтобы получить в сечении четырехугольник заданного вида, например, равнобедренную трапецию или ромб и т. п.

III. Каким свойством обладают пятиугольники, которые можно получить в сечении куба, рассекая его плоскостью.

IV. Как провести секущую плоскость, чтобы получить в сечении 6-угольник? Каким свойством обладают стороны полученного 6-угольника? Как провести секущую плоскость, чтобы получить в сечении правильный шестиугольник? Выразить сторону этого правильного 6-угольника через ребро а куба.

Разбор всех этих вопросов сопровождается показом сечений на большой зачерненной модели куба и показом набора кубов (ребро которых равно 10 см), рассекаемых плоскостью, причем в сечении имеем: I) равносторонний треугольник наибольшей площади; 2) прямоугольник наибольшей площади, диагональное сечение; 3) прямоугольник, одной из сторон которого служит одно из ребер куба; 4) параллелограм (произвольный); 5) ромб, сторона которого равна S^LJ? ; 6) трапецию (с неравными боковыми сторонами); 7) равнобедренную трапецию, большим основанием которой служит диагональ одной из граней куба; 8) пятиугольник; 9) шестиугольник (произвольный) и 10) шестиугольник правильный.

При проведении этой работы рекомендуем дать нескольким ученикам индивидуальные задания (10—15 заданий) на построение плоских сечений куба. В классе устраивается выставка этих чертежей. Из них составляется особый альбом „Плоские сечения куба“, который хранится в математическом кабинете и в дальнейшем служит как наглядное пособие и как материал для задач. В целях лучшего усвоения учениками принципов косоугольной проекции Кавальери, учитель, имея такой альбом чертежей, дает каждому ученику отдельный чертеж и предлагает вычислить площадь плоского сечения куба. Для выполнения этой работы ученик должен по данному чертежу восстановить истинные размеры сечения и затем уже вычислить площадь последнего,

4. Угол прямой с плоскостью. Разбор теоремы об угле прямой с плоскостью сопровождается демонстрацией модели, изображенной на черт. 15. Перпендикуляр AB и наклонные АО и АС. сделаны из проволоки. На поверхности Р вычерчена окружность радиусом, равным ОВ.

К стержню AB прикреплен с помощью нити жестяной треугольник М, один из углов которого равен углу АОВ.

Учитель показывает, что угол АОВ, образуемый данной наклонной АО с ее проекцией OB на плоскость Р, меньше любого угла, образ\емого наклонной АО с любой прямой ОС, лежащей в плоскости Р и проходящей через точку О наклонной. Доказательство этой теоремы сопровождается чертежом и демонстрацией модели.

Эта модель может быть использована затем для решения следующей (устной) задачи: „Дан угол АОВ, образуемый прямой АО с плоскостью Р (например, этот угол равен 70°). Показать, в каких границах заключаются углы, образуемые этой наклонной с любыми прямыми, лежащими в плоскости Р и проходяшими через точку О наклон ой АО“

Далее, опять возвращаясь к модели куба (проволочной), учитель предлагает вычислить угол, образуемый диагональю куба с одной из его граней (пользуясь таблицей натуральных тригонометрических функций).

Учитель дает ученику, вызванному к классной доске, модель пирамиды и предлагает, выполнив все необходимые измерения (линейные), найти угол, образуемый одним из боковых ребер пирамиды с плоскостью ее основания (с помощью тригонометрических таблиц). Наконец, учитель демонстрирует модель пирамиды с боковыми ребрами, одинаково наклоненными к плоскости основания (черт. 16), разбирает свойства этой пирамиды и предлагает вычислить угол, образуемый любым из боковых ребер этой пирамиды с плоскостью ее основания.

Черт. 15

Черт. 16

5. Двугранные углы. Когда ученики ознакомятся с понятием двугранного угла и его измерением с помощью линейного угла, следует использовать во время классных занятий приборы для измерения двугранных углов. Рекомендуем два прибора: во-первых, простой „плотничий малочник“ (или .малку“) и, во-вторых, прибор, изображенный на черт. 17 (сконструирован автором). Прибор этот состоит из доски Р и фанеры (или жести) Q. „Плоскость Q“ может вращаться около оси AB. К доске Р сбоку прикреплен деревянный транспортир М, на котором нанесены деления через каждые 5°. В делениях этих сделаны отверстия, через которые можно просунуть стерженек для закрепления „плоскости Q“. С помощью этого прибора ученики измеряют двугранные углы. Для упражнений по измерению двугранных углов учитель использует сплошные зачерненные деревянные модели призм и пирамид. Прежде всего предлагается ученику начертить мелом на модели линейный угол, служащий мерой рассматриваемого двугранного угла, затем „на-глаз" определить размеры этого угла в градусах и, наконец, измерить угол с помощью прибора. Полезно вообще в течение всего курса геометрии практиковать глазомерное определение линейных размеров и углов с последующей проверкой с помощью измерительных приборов. Эти упражнения имеют значение не только для развития хорошего „глазомера“, но также и для лучшего усвоения самих геометрических форм. Упражнения эти ценны в деле развития пространственного воображения.

Учитель разбирает свойства пирамиды, боковые грани которой одинаково, наклонены к плоскости основания, демонстрирует при этом модель, изображенную на черт. 18, и предлагает ученику вычислить угол, образуемый одной из боковых граней с плоскостью основания.

Черт. 17

Черт. 18

6. Перпендикулярные плоскости. Доказательство теоремы „Плоскость Q, проходящая через прямую AB, перпендикулярную к данной плоскости Р, перпендикулярна к плоскости Ря сопровождается демонстрацией модели, изображенной на черт. 19. К стержню AB, перпендикулярному к плоскости Р, прикреплен лист жести Q. Стержень AB может вращаться около своей оси, и вместе с ним вращается „плоскость 0е. все

время оставаясь перпендикулярной к плоскости Р. Помимо демонстраций применения теорем стереометрии на моделях, учитель там, где это представляется возможным, должен приводить примеры, обращаясь к окружающим предметам. Здесь полезна постановка учителем вопроса, подобного следующему: „Поверхность открываемой двери при любом ее положении остается перпендикулярной к поверхности пола. Объясните, почему это так?“

Для иллюстрации применения теоремы учитель опять возвращается к модели куба. Учитель задает ученику вопрос: „Каково взаимное положение плоскости основания куба и любой плоскости, проходящей через боковое ребро куба?“ Ответ должен обосновываться на точной формулировке указанной выше теоремы. Ответ сопровождается показом 2-й и 3-й моделей из набора плоских сечений куба. Полезно продемонстрировать модель 4-угольной пирамиды SABCD (черт. 20), вершина которой проектируется в точку О пересечения диагоналей основания. Ученику задается вопрос о взаимном положении плоскости основания и любой из диагональных плоскостей пирамиды.

Черт. 19

Черт. 20

Замечание: учитель, хорошо практикуя демонстрации модели стереометрических фигур, должен каждый раз требовать ответа, строго обоснованного на соответствующих теоремах стереометрии, и быть особо взыскательным в требованиях четкой формулировки ответа. Это необходимо для лучшего усвоения учениками курса стереометрии, для развития логического мышления, для развития речи.

Рекомендуем задать пару „устных задач“ (без применения моделей, но с возможной последующей их демонстрацией): 1) „Основанием треугольной пирамиды S ABC служит равносторонний треугольник. Высота пирамиды равна высоте основания. Ребро SA перпендикулярно к плоскости основания. Вычислить углы, образуемые каждой из боковых граней с плоскостью основания“ и 2) „Основанием треугольной пирамиды SABC служит равносторонний треугольник ABC. Ребро SA перпендикулярно к плоскости основания. Высота боковой грани BSC в два раза больше высоты основания. Найти величину углов, образуемых каждой из боковых граней с плоскостью основания“. Ученик, вызванный к доске, записывает условие задачи, устно („в уме“) производит вычисление требуемых углов и записывает на доске ответы, после чего выполняет на доске чертеж заданной пирамиды. Одна из важнейших задач при демонстрации моделей состоит в том, чтобы ученик, читая текст задачи, рисовал в своем воображении соответствующую модель. Поэтому мы и рекомендуем практиковать подобные простые „устные“ задачи, что при решении их тренируется пространственное воображение ученика.

7. Площадь проекции фигуры на плоскость. Сконструированный автором прибор изображен на черт. 21. Прибор этот состоит из двух фанерных досок Р и Q, укрепленных на 4 стойках К. Около оси AB может вращаться треугольник ABC. На поверхности Р начерчен ЬАВС', соответствующий горизонтальному положению треугольника ABC. В плоскости Q под треугольником ABC расположен равный ему треугольник А\ВХС\. К боковым ребрам АС и ВС и к вершине С прикреплены на нитях свинцовые шарики L. В горизонтальных треугольниках ABC' и AiBiC'^ в „плоскостях“ Р и Q сделаны прорезы, параллельные высоте CD треугольника ABC. Через эти прорезы свободно проходят нити. При различных положениях треугольника ABC нити эти, натягиваемые шариками Z,, дают контуры треугольника, служащего проекцией треугольника ABC на плоскость Р или на плоскость Q.

8. Скрещивающиеся прямые. Многим ученикам бывает трудно представить себе самую возможность построения общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым и тем более трудно представить „единственность“ этого перпендикуляра. Пользу приносит демонстрация следующей модели (черт. 22). AB и CD — две пря-

Черт. 21

мые, не лежащие в одной плоскости, через прямую AB проводим плоскость Q, параллельную прямой CD, и через прямую CD проводим плоскость Р, параллельную прямой AB (построения ZM ii CD и FGwAB). Очевидно, пл. РЦпл. Q. Через прямую AB проводим плоскость Af, перпендикулярную плоскости Р, и через прямую CD проводим плоскость R, перпендикулярную плоскости Q. Прямая 00\, по которой пересекаются плоскости M н R, будет искомой прямой: ООх±АВ и OOx±CD. „Плоскость“ Р делается из фанеры, „плоскости“ Q, M и R — из стекла.

Ученикам становится наглядным существование и единственность общего перпендикуляра. Далее ученики видят, что на прямых AB и CD существует единственная пара точек О и 0lt расстояние между которыми является кратчайшим. После разбора теоремы учитель обращается к окружающим предметам (например, предлагается ученикам найти общий перпендикуляр к двум „прямым“, намеченным на стенах п полу, и т. п.).

Черт. 22

9. Многогранные углы. Ознакомление учеников со свойствами плоских углов многогранного угла сопровождается демонстрацией разверток боковой поверхности пирамид. Эти развертки дают яркую иллюстрацию основных предложений о плоских углах: 1) „любой плоский угол многогранного угла меньше суммы остальных плоских углов этого многогранного угла“ и 2) „сумма плоских углов многогранного угла меньше 4 прямых углов*

Кроме разверток боковой поверхности пирамид (черт. 23 а и б), рекомендуем показать фигуру SABCD, сгибаемую по линиям SB и SC (черт. 23 с), у которой

Z ASB > Z. BSC + Z.CSD.

Учитель показывает, что при таком соотношении плоских углов многогранный угол построить невозможно.

В методической литературе встречались возражения против подобных наглядных демонстраций перед доказательством теоремы. Возражения эти исходили из мнения, что ученики, убежденные путем наглядной иллюстрации в справедливости рассматриваемой теоремы, сочтут ее логическое доказательство лишним. Мы категорически возражаем против подобного рода соображений. Накопление единичных фактов приводит к научной догадке, к гипотезе, придя к которой, ученики тут же знакомятся со строгим доказательством, превращающим догадку в научную истину. Практика подобной работы с учениками показала, с каким живым интересом ждут логического доказательства этих гипотез. Одна „наглядность“ их уже не удовлетворяет, но при помощи этой предварительной работы по наглядному показу рассматриваемых соотношений между элементами геометрической фигуры ученики отчетливо уясняют смысл нового геометрического предложения, что всегда способствует лучшему усвоению самого доказательства.

(Продолжение следует)

Черт. 23 — а, б, с

ИЗ ОПЫТА

УСТНЫЙ СЧЕТ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

В. А. ГОЛУБЕВ (Кувшиново)

1. Из ряда недочётов в знаниях учащимися средней школы арифметики особенно обращают, на себя внимание слабые навыки в устном счёте. Можно отметить как массовое явление, что учащиеся плохо и очень неохотно считают устно. Большинство учащихся даже вычисления в пределе сотни, даже деление на 2 предпочитает выполнять письменно.

Каковы причины плохого устного счета учащихся?

В I и II классах начальной школы ученики достаточно упражняются в устном счёте; они знакомятся далее с некоторыми приёмами беглого счёта: округлением, умножением на 5, на 25 и т. п. Причины слабого устного счёта, очевидно, в том, что, начиная с III класса, письменные вычисления совершенно вытесняют устный счёт Учителя забывают о том, что они должны упражнять учеников в устном счёте на всех годах обучения, что они должны придерживаться правила: то, что ученик обязан уметь сосчитать устно, то не должен при ответе у доски вычислять письменно (например все действия в пределе 100). Учителя не только не сообщают новых приёмов устного счёта, но и не проверяют знания учениками пройденных уже приёмов, не упражняют в них учеников. Некоторые же учителя сами не знают приёмов устного счёта и не любят считать устно.

Цель настоящей статьи дать некоторые указания по вопросу и методике устного счёта в V — X классах школы и познакомить учащихся с важнейшими приёмами устного счёта.

2. В V классе с начала учебного года учитель математики должен проверить знания учеников по устному счёту, уделив для этого по 5—10 мин. в начале первых уроков. Затем при прохождении законов действий особенно уместно применить их к устному счёту с целыми числами, позднее — с дробями. Нужно несколько десятиминуток употребить на решение примеров вроде следующих (закон переместительный):

Ещё подробнее нужно остановиться на приёме округления и его обосновании. Примеры:

Обоснование:

Обоснование — закон распределительный умножения: (а — Ь) - с = ас — be.

В задачнике по арифметике Березанской (стр. 13, 17, 21, изд. 1938 г.) имеется несколько примеров на целые числа для устного счёта. Их нужно обязательно прорешать по 5-6 примеров в начале уроков, добавив к ним ряд аналогичных. Там же имеются примеры на умножение и деление на 25, 125, 75 и 11.

Обоснование приёмов умножения на эти числа видно из следующих примеров:

Из последнего примера видно, что при умножении двузначного числа на 11 нужно в результате между цифрами множимого написать их сумму. Если эта сумма больше 10, то из 10 десятков получится лишняя сотня:

84X11 = 924.

Здесь 8+4 = 12; следовательно, сотен будет не 8, а 9.

3. Школьная практика показывает, что подобные упражнения заинтересовывают учащихся, и скоро может возникнуть вопрос об организации математического кружка. На нём можно ознакомиться с приёмами умножения многозначных чисел на 11, на 111 и на 37.

Примеры:

6253X11 =68 783.

Крайние цифры произведения соответственно равны крайним цифрам множимого; цифры же десятков, сотен и тысяч соответственно равны суммам: 3 + 5 = 8; 5 + 2 = 7; 2 + 6 = 8. Всё это легко объяснить при умножении столбцом.

46752 X 11 =514272

Так как

то здесь 2 + 5 = 7 — пишем 7 десятков; далее 7+5 = 12 — пишем 2 сотни, а к сумме 6 + 7 = 13 присоединяем 1 (тысячу) и т. д.

34X111 =3774.

Две средние цифры результата равны сумме цифр множимого.

42Х Ш1 =46662 и т. п.

Умножение на 37 заменяем умножением на 111 и делением результата на 3, так как

Пример:

4. На действия с простыми дробями в V классе имеется много примеров для устного счёта в задачнике Березанской, и их можно целиком использовать. Нужно добиться при этом, чтобы учащиеся без затруднений могли устно оперировать с дробями, у которых числитель и знаменатель не более 100. Ученики должны быстро и безошибочно решать устно примеры вроде следующих:

Нужно остановиться на приёме округления с дробями. При этом учителю необходимо составить ряд примеров на округление, так как в задачниках их нет.

Примеры:

5. Примеров на устный счёт с десятичными дробями и процентами в задачнике Березанской не имеется. Однако учителю нетрудно самому составить такие примеры на все пройденные при-

ёмы устного счёта, используя для этого примеры на целые числа. Например:

36X25 = 900.

Отсюда:

3,6X2,5 = 9; 36°/0 от 25 руб. составляют 9 руб. и т. п.

Если учитель даст для устного реше ния достаточное число подобных примеров, систематически подобранных, то он добьётся того, что учеников не будет затруднять запятая в изображении десятичных дробей при выполнении действий над ними.

Методика проведения устного счёта на уроке примерно такова. Учитель говорит вслух пример, или чётко пишет его на доске, или же показывает на приготовленной заранее таблице числа для выполнения какого-либо действия. Ученики, устно нашедшие результат, подымают руки. Учитель спрашивает ответ у нескольких учеников, предупредив заранее, что нужно немедленно опускать руку тем ученикам, у которых результат совпадает с результатом, сказанным только-что каким-либо учеником.

6. В следующих классах при обучении алгебре и геометрии учитель должен систематически давать примеры и задачи, при решении которых применялись бы и углублялись приёмы устного счёта. К сожалению, в школьном задачнике алгебры имеется мало примеров для этого, особенно на дроби.

В VI классе при нахождении числовой величины алгебраического выражения, при тождественных преобразованиях алгебраических выражений нужно дать больше примеров с дробями — простыми, десятичными и периодическими, для закрепления курса дробей, пройденного в V классе. При этом в вычислениях требовать неукоснительно применения устного счёта везде, где это требование не выходит за пределы приёмов, изученных учащимися.

При прохождении формул сокращённого умножения нужно не только использовать упражнения для устного счёта по формулам, данным в задачнике Шапошникова и Вальцова (1, гл. II, § 10), но и дать достаточное количество упражнений на дроби.

Примеры:

7. На кружковых занятиях в VI классе, после ознакомления учащихся с умножением многочленов, можно пройти следующий, интересный для учащихся, приём умножения, который я объясню на примере:

42X48=2016.

Десятки и единицы произведения получаются от умножения единиц сомножителей (2X8= 16); сотни — от умножения числа десятков одного множителя на число десятков другого множителя, увеличенное на единицу (4X5 = 20).

Этот приём применяется в случае равенства числа десятков сомножителей, когда сумма единиц их равна 10. Алгебраическое обоснование этого приёма следующее.

Пусть а — число десятков в обоих сомножителях, b — число единиц в одном, с — число единиц в другом, причём £ + £=10. Данные числа изобразятся так: 10а+ & и 10а + с. Тогда:

Но Ь-\-с=10 по условию. Следовательно, после замены получим:

Это доказательство доступно для учеников VI класса.

Задача: Найти 26% от 24 руб. 24X0,26 = 6,24 руб.

Этот приём применим к смешанным числам, у которых целая часть одинакова, а дробные в сумме дают единицу.

Примеры:

Обоснование: пусть сомножители содержат по а целых единиц, а дробная часть одного из них —, другого —, причем т~\~п = Ь. Тогда имеем:

Далее:

Можно познакомить учащихся на занятиях математического кружка с другим приёмом умножения. Он применим в случае равенства единиц множителей, когда сумма их десятков равна 10.

Пример:

63 X 43 = 2709.

Если прибавить к произведению числа десятков множителей число единиц одного из них, то получим число сотен произведения; число десятков и единиц результата равно произведению единиц данных чисел.

Доказательство для этого приёма также доступно учащимся VI класса.

Пусть число десятков 1-го множителя равно а, число десятков 2-го равно b (и а-|-о=Ю), число единиц в обоих равно с.

Тогда:

что и показывает правильность приёма.

Примеры:

Задача. Найти 46°/0 от 66 руб. 66X0,46 = 30,36 руб.

8. Наконец, на занятиях кружка VI — VII классов полезно изучить и затем всегда применять общий приём умножения двузначных и, может быть, даже трёхзначных чисел без записи промежуточных произведений (индусский способ, способ „молнии“), как близкий к устному счёту и очень увлекающий учеников.

Примеры:

Единиц 2 X 6=12, пишем 2, десяток прибавляем к десяткам; десятков 6 X 6 + 2 ХЗ -f 1 = 43, пишем 3; сотен 6X3 = 18, прибавляем 4, итого 22. Единиц 12, пишем 2; десятков 4X6 + 2X5 + 1 = = 35; пишем 5; сотен 3X6 + 4X5 + 2X1 + + 3=43, пишем 3; тысяч 3X5 + 4X1+4 = 23, пишем 3; десятков тысяч 3X1+2 = 5. 9.

Если в VIII — X классах при вычислениях на классной доске учитель будет всячески поощрять учеников, применяющих индусский способ умножения и другие приёмы устного счёта, пройденные раньше, то культура вычислений учащихся заметно улучшится. Так, уже с VII класса необходимо требовать, чтобы ученик при вычислении длины катета а по теореме Пифагора в удобных случаях применял формулу сокращённого умножения:

Примеры:

На занятиях кружка можно показать применение той же формулы для возведения в квадрат чисел на основании следующего тождества:

Примеры:

10. Я указал лишь на важнейшие приёмы устного счёта, которые нетрудно проработать в каждой средней школе и которые интересуют учащихся. Я не остановился на применении к устному счёту свойств периодов дробей (например, на умножении на 142 857), на определении двузначного квадратного и кубического корня из точных квадратов и кубов по их окончаниям. Всё это может дать богатый материал для занятий математического кружка, для вечеров занимательной математики. Материал этот можно найти в следующих книгах:

1. Мартель. Приемы устного счёта.

2. Игнатьев. В царстве смекалки (3 книги).

3. Лямин. Физико-математическая хрестоматия.

4. Перельман. Занимательная арифметика.

5. Перельман. Занимательная алгебра.

6. Арене. Математические игры.

7. Ланков. Устный счёт.

8. Шуберт. Математические развлечения и игры.

9. Радемахер и Теплиц. Числа и фигуры.

О РЕШЕНИИ НЕРАВЕНСТВ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ И ИССЛЕДОВАНИИ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА*

Н. И. КАШИН (Новозыбков)

Во втором полугодии в X классе по алгебре должны быть пройдены темы: исследование квадратного трехчлена и решение неравенств 2-й степени с одним неизвестным. Как показывают опыт и наблюдения, эти темы не пользуются нужным вниманием со стороны учителей и в той или иной степени ими игнорируются. Это объясняется тем, что в учебнике Киселева по данным вопросам совершенно не имеется нужного материала, а в задачнике Шапошникова и Вальцова — соответствующих задач и упражнений.

Данное в настоящей статье изложение этих тем, проверенное на опыте, дает достаточно полное освещение вопроса при небольшой затрате времени

Начнем с исследования квадратного трехчлена. Перед прохождением этой темы необходимо восстановить в памяти учащихся разложение квадратного трехчлена на множители, зная корни соответствующего квадратного уравнения.

Рассмотрим известное учащимся равенство ах2-]- Ъх + с = а(х — хг) (х —х2), где а, Ь, с — действительные числа, причем а — не нуль, а л: и х2—корни (действительные или комплексные) уравнения ах2 4- Ъх -f- с = 0. Необходимо подчеркнуть, что это равенство является тождеством, т. е. что оно справедливо

* Редакция помещает настоящую статью, учитывая отсутствие в учебнике Киселева материала по теме „Неравенства второй степени“.

при всех значениях х. Его желательно проиллюстрировать на примерах типов

Поставим себе задачей изучить изменение знака трехчлена ах2-{-.Ьх-\-с в зависимости от изменения х. Так как трехчлен тождественно равен произведению а (х — хх)(х — х2)у то его знак проще определить по знаку этого произведения. Поскольку знак а нам известен (и а не нуль), то знак трехчлена будет зависеть от знака (л: — хг) (х — х2).

Известно, что хг и xf, как корни квадратного уравнения, могут быть: 1) действительными и различными, 2) действительными и равными и 3) мнимыми (причем обязательно сопряженными).

В первом случае для определенности положим, что х1 < х2. При х = хх и при х = х2 трехчлен равен нулю, при всех остальных значениях он имеет определенный знак. При X, меньшем хг (а следовательно, и х2), оба множителя х — — хг и X — х2 отрицательны, и знак трехчлена совпадает со знаком а. При значениях х, больших х2 (а следовательно и хх\ оба множителя положительны, и опять знак трехчлена совпадает со знаком а. Если же х принимает значения, промежуточные между хг и х2, т. е. если хг < х < х2У то множитель X — хг будет положителен, а множитель X — х2 отрицателен, а следовательно, знак трехчлена будет противоположен знаку а. Таким образом: если трехчлен ах2\-Ьх-\-с имеет действительные различные корни хг и х2, то при а положительном он равен нулю при х — хх и х = х2, отрицателен для все* значений X в интервале между корнями и положителен для всех значений х вне этого интервала. Аналогичный вывод можно сделать и для а < о

Во втором случае, когда хх = х2, трехчлен принимает вид а(х — хх)2. Так как (л: — хг)2 при всех значениях х, за исключением x = xlt положителен, то знак трехчлена ах2-\- bx-\-c совпадает со знаком а при всех значениях х, кроме x = xv когда он обращается в нуль.

В третьем случае, когда хх и х2 мнимые сопряженные числа, произведение (х — хх)(х — х2)2 следует преобразовать в удобную для исследования форму, а именно: обозначим хх через р-\--\-qi, где р и q— действительные числа, a i—мнимая единица; х2 по сопряженности следует обозначить р — qi\ тогда: (X — хг) (X — х2) = (X — р - qi) (X — р + -г ÇÎ) = .(-* — P)ÎJrq2- Полученное выражение положительно при всех без исключения значениях х, так как q не нуль. Следовательно, трехчлен ах2-\--\-bx-\-c в случае мнимых корней сохраняет знак, совпадающий со знаком а при всех (без исключения) значениях X.

Полученные выводы следует закрепить исследованием достаточного числа трехчленов. Если позволит время, желательно дать геометрическую интерпретацию всех трех случаев, для чего следует несколько подробнее, чем полагается по курсу VIII класса, разобрать график функции у = ах2 -\- Ьх-\-с и обратить внимание учащихся, что функция у = ах2 -f- bx -[- с на плоскости выражает параболу с осью, параллельной оси ординат. При положительном а ветви параболы направлены вверх, при отрицательном — вниз. В случае действительных различных корней парабола пересекает ось абсцисс в двух различных точках, в случае кратных корней — касается этой оси и в случае мнимых корней — совсем не пересекает ее. Чертежи следует сделать так, чтобы они запечатлелись в памяти учащихся.

Результаты исследований квадратного трехчлена позволяют легко решать любые неравенства 2-й степени. Например, применяя их, легко сообразить, что неравенство X2 — Ъх -(- 4 > 0 имеет решением все значения ху за исключением значений от 1 до 4 (включая и границы); неравенство д:2 + 5л: + б<0 имеет решением значения х от — 3 до — 2 (не включая границы); неравенство х2-\-х-\-\>0 справедливо при всех значениях х, а неравенство л:2-{-2л: + -|-2<0 не имеет решений совершенно. Таких примеров может придумать сам учитель в достаточном количестве.

Кроме того, результаты исследования квадратного трехчлена удобно применить и к решению более сложных неравенств, например, к неравенствам типа:

Ход рассуждения здесь такой: дробь положительна только тогда, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки; трехчлен в числителе положителен при всех значениях х, за исключением значений от 4 до 5 (включая границы); трехчлен в знаменателе положителен при всех значениях х, за исключением значений от 1 до 3 (включая границы); числитель отрицателен при значениях х от 4 до 5; знаменатель отрицателен при значениях х от 1 до 3. Следовательно, дробь положительна при всех значениях х, за исключением значений между 1 и 3 и 4 и 5 (включая те и другие границы).

Обычно такие неравенства решают при помощи систем неравенств 1-й степени, что и громоздко и идет за счет ясности решения.

Примеры указанного типа можно осложнить введением „пересекающихся интервалов“, т. е. взять случаи, когда интервалы между корнями числителя и знаменателя имеют общую часть.

Например, неравенство

имеет решением все значения х от 1 до 2 и от 3 до 6, так как только в этих интервалах числитель и знаменатель дроби имеют разные знаки. Можно, конечно, вводить и трехчлены с мнимыми корнями.

ОПЫТ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ

И. ГОЛЬДЕНБЛАТ (Одесса)

Ознакомив учащихся с циркулем и линейкой, объяснив им, как этими инструментами пользоваться при решении задач, я направляю их внимание на чтение чертежей. Учащиеся должны научиться находить зависимости между различными элементами рассматриваемого чертежа и делать на основании этого выводы, содействующие нахождению способов решения задачи на построение; всего этого можно достигнуть в процессе решения задач.

Самое серьезное внимание я обращаю на уменье учащихся данную задачу сводить к другим задачам, решенным ранее. Здесь необходима большая серьезная работа Допустим, что ученику дана задача: „Построить ромб по высоте и диагонали“. Рассмотрев внимательно сделанный им чертеж, ученик приходит к заключению, что предложенную задачу легко решить, если предварительно решить другую задачу: .Построить прямоугольный треугольник по данному катету и гипотенузе“. Но ведь эта последняя задача решена была учеником ранее; значит, для решения данной задачи ему остается лишь свести ее к задаче, ранее решенной. Или при решении, например, задачи: „Построить треугольник по трем медианам“, учащийся сводит ее к задаче: „Построить треугольник по двум данным сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне“. Решив последнюю, ученик переходит к решению данной.

Решению задач на построение более сложного характера, требующих со стороны учащихся не только находчивости, но иногда и изобретательности, предшествует весьма серьезная работа.

Работа эта заключается в том, что учащиеся должны достаточное время упражняться в решении несложных задач на построение, которые имеют ценность как задачи подготовительного характера. Я подбираю задачи, требующие одних и тех же способов решения, в отдельные группы с все более усложненными условиями. Решив одну основную задачу в классе, учащиеся получают остальные задачи той же группы в виде задания на дом или для решения их во время урока в классе, но обязательно самостоятельно. Ниже привожу несколько образцов групп задач, решаемых учащимися самостоятельно после решения в классе под руководстом учителя основных задач каждой из этих групп.

VI класс

I группа. В классе решена была основная задача: Построить треугольник по двум сторонам и углу, заключенному между ними. После приведенной задачи учащиеся самостоятельно решают примерно следующие задачи: 1) построить равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при вершине, 2) построить прямоугольный треугольник по двум катетам.

II группа. Основная задача: Построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам. Задачи для самостоятельного решения: 1) построить равнобедренный треугольник по основанию и прилежащему углу, 2) построить прямоугольный треугольник по катету и прилежащему острому углу, 3) построить равнобедренный треугольник по высоте н углу при вершине.

III группа. Основная задача: Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу. Задачи для самостоятельного решения: 1) построить равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при основании 2) построить равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при вершине.

IV группа. Основная задача: Построить треугольник по трем сторонам. Задача для самостоятельного решения: построить равнобедренный треугольник по основанию и боковой стороне,

V группа. Основная задача : Построить прямоугольный треугольник по катету п гипотенузе. Задачи для самостоятельного решения:

1) построить равнобедренный треугольник по высоте и боковой стороне, 2) построить равнобедренный треугольник по основанию и перпендикуляру. опущенному с конца основания на боковую сторону.

VII класс

I группа. Основная задача: Построить треугольник по трем сторонам (решена была в VI классе;. Задачи для самостоятельного решения I) построить ромб по стороне и диагонали,

2) построить параллелограм по двум неравным сторонам и диагонали, 3) построить параллелограм по стороне и двум диагоналям.

II группа. Основная задача: Построить прямоугольный треугольник по двум катетам (решена в VI классе). Задачи для самостоятельного решения: I) построить ромб по двум диагоналям, 2 построить прямоугольник по двум неравным сторонам.

III группа. Основная задача: Построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе (решена в VI классе). Задачи для самостоятельного решения I) построить параллелограм по основанию, высоте и диагонали, 2) построить ромб по высоте и диагонали, 3) построить равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте, опущенной на нее, 4) построить треугольник по основанию, высоте и боковой стороне.

IV группа. Основная задача: Построить прямоугольный треугольник по катету и прилежащему острому углу (решена в VI классе;. Задача для самостоятельного решения: построить ромб по углу и диагонали, проходящей через вершину этого угла.

V группа. Основная задача: Построить прямоугольный треугольник по данному острому углу и противолежащему катету. Задачи для самостоятельного решения. I) построить равнобедренный треугольник по углу при вершине и основанию, 2) построить равнобедренный треугольник по углу при основании и высоте, опущенной на боковую сторону, 3) построить равносторонний треугольник по его высоте, 4) построить треугольник по основанию, высоте и углу при основании, 5) построить треугольник по углу и двум высотам опущенным на стороны этого угла.

VI группа. Основная задача: Построить треугольник по двум сторонам и углу, заключенному между ними (решена в VI классе). Задачи для самостоятельного решения: I) построить параллелограм по двум диагоналям и углу между ними, 2) построить прямоугольник по диагонали и углу между диагоналями.

VII группа. Основная задача: Построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам (решена в VI классе). Задача для самостоятельного решения: построить квадрат по данной диагонали.

Приведенные группы задач являются образцами тех задач, которые учителя математики должны подбирать для самостоятельной работы учащихся. Некоторые из приведенных задач могут быть отнесены к различным группам.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

К ВОПРОСУ О НОВОМ УЧЕБНИКЕ ГЕОМЕТРИИ

Д. С. ГОНЧАРОВ (Одесса)

1. Паспорт книги. Перед нами книга: Н. А. Глаголев. Элементарная геометрия. Часть 1. Планиметрия для VI - VIII классов семилетней и средней школы. Государственное учебно-педагогическое издательство. Москва. 1944.

Страниц в книге 240, чертежей 278. Цена без переплета 2 р. 25 к. Тираж 20 000 экз. Редактор А. Н. Барсуков.

2. Содержание книги. Книга состоит из предисловия, введения и восьми глав, имеющих такие названия: прямая линия (§§ 1—56), треугольник (§§ 57—109), четырехугольники и многоугольники (§§ 110-129), окружность (§§ 130- 159), измерение отрезков (§§ 160 183), подобное преобразование фигур 184 205), числовое соотношение между элементами фигур (§§ 206—247), измерение площадей (§§ 248- 261).

Разумеется, простой перечень глав и их названий не может полностью передать содержание книги и ее характерные особенности. Поэтому займемся этим несколько подробнее.

Начнем с предисловия. Предисловие в книгах, особенно выходящих первым изданием, есть раскрытие основного замысла, основной идеи произведения. Что же мы находим в предисловии рассматриваемой книги? К чему стремился автор? Зачем понадобилась еще одна книга по элементарному курсу геометрии?

Нам в высшей степени приятно видеть на ниве народного образования выдающихся ученых нашей страны. Когда на учебниках по математике для средней школы мы встречаем имена Александрова и Колмогорова (Алгебра), Берманта и Люстерника (Тригонометрия), Глаголева (Геометрия), то мы должны отметить это обстоятельство, как заслуживающее особого внимания на пути развития учебника по математике в русской средней школе, независимо от удачи или неудачи данного пробного учебника. В особенности это относится к области преподавания математики, где, с одной стороны, встречаются „изделия“ примитивных и малоосведомленных авторов, не имеющих надлежащего кругозора, с другой стороны, слышатся вздохи сожаления о „непревзойденных качествах“ старых учебников, которые уже сыграли свою роль, и где, наконец, не редкость встретить совершенно недопустимое пренебрежительное отношение к какой-то .низшей математике* со стороны некоторых высокомерных специалистов.

3. Пять особенностей книги. Итак, займемся предисловием. Чем рассматриваемая книга отличается от написанных до сих пор учебников геометрии? Приведем слова самого автора книги—Н. А. Глаголева.

а) В этой книге „Изменена по сравнению с прежними учебниками научная трактовка основных вопросов курса. Так, значительно полнее, чем в прежних учебниках, изложены вопросы симметрии осевой и центральной. Они выделены в особые подразделения в главах, снабжены от дельными упражнениями и в дальнейшем используются при доказательстве теорем“.

б) В этой книге „По-новому изложен вопрос об измерении отрезков и о несоизмеримых вели чинах, причем опущен алгоритм Эвклида нахождения общей меры двух отрезков, как устаревший и не имеющий в настоящее время ни теоретического, ни практического значения. По той же причине опущена геометрическая теория пропорций. Вопрос об измерении длин отрезков, как и все вопросы измерения, изложен в соответствии с современными научными взглядами на измерение величин. Подобие фигур изложено как некоторое геометрическое преобразование, изменяющее размеры фигуры без изменения ее формы“.

в) В этой книге „По новому изложен вопрос об измерении площадей. Вся теория измерения площадей строится на современной основе в постановке, данной Гильбертом и Шуром“.

Что касается методических особенностей, то автором книги приняты следующие установки:

г) .Значительно усилена роль геометрических построений, которые вводятся с самого начала курса и сопровождают все изложение предмета от начала до конца. До главы о равенстве треугольников построения выполняются при помощи трех инструментов—циркуля, линейки и треугольника“.

д) Имеются в книге изменения в традиционном порядке изложения отдельных вопросов. Так, например, теория параллельных прямых изложена раньше свойств треугольников, как это уже делалось в некоторых прежних учебниках (Герхер, Глаголев и др.).

Это придает изложению большую стройность и освобождает от необходимости давать отдельные доказательства теорем о треугольниках (теорема о внешнем угле, некоторые теоремы о равенстве треугольников и др.).

Что можно сказать по поводу этих пяти особенностей книги? Нам думается, что эти пять особенностей делают книгу интересной и привлекательной для преподавателя. Элементы нового в старом всегда возбуждают интерес и внимание. Но не в этом только дело.

Мы знаем, что не раз ставился вопрос о том, что надо обновить курс математики в средней школе, что надо этот курс подать в свете современных математических воззрений и т. д. Однако мало выдвинуть лозунг—главное этот лозунг воплотить в жизнь, показать, как это получается на деле.

Вот здесь нам кажется особенно заслуживающим внимания, когда за это дело берется не малоопытный новичок, но солидный ученый, с большим педагогическим опытом. Ухо и глаз преподавателя, любящего свое дело, внимательно и пытливо следят за каждым движением, за каждым словом авторитетного ученого. Для такого преподавателя интересно и важно не только то, что сказано в строках, но и то, что сказано между строк.

Авторитет крупного ученого велик. „Я тоже так думал,—признавался нам один преподаватель,—и я даже так говорил и делал; но я что-то... боялся, как-то сомневался... Но я прочел у Лузина. Лузин тоже так говорит. Мне стало легче. Раз Лузин так говорит, то я теперь не сомневаюсь. Я тоже могу так говорить“.

Ищущий преподаватель следит и за новым и за старым: он интересуется, что говорили когда-то, что сейчас говорят.

Вот еще почему так важно видеть книгу Н. А. Глаголева „Элементарная геометрия“.

4. О симметрии. „Всуе законы писать, ежели оные не исполнять“. „Да, да,—говорят,— это нужно“, но не делают идею симметрии орудием исследования в дальнейшем, не пользуются этой идеей там, где она естественно могла бы быть приложена. В книге Н. А. Глаголева учению о симметрии посвящен ряд параграфов (§§ 43—52) главы первой, где изучается симметрия фигур относительно оси; несколько параграфов (§§ 104 — 109) главы второй, в которых изучается симметрия геометрических фигур относительно центра, и три параграфа (§§ 131,158, 159) главы четвертой, в которых рассматривается метод симметрии применительно к задачам на построение. О деталях отдельных формулировок и т.д. мы сейчас говорить не будем, так как это потребовало бы значительного времени и места.

5. Измерение отрезков и площадей. Перейдем к вопросу об измерении величин: отрезков и площадей. Эти вопросы изложены по-новому. Опущен алгоритм Эвклида, „как устаревший и не имеющий ни теоретического, ни практического интереса“. Не будем оспаривать мнение автора. Мы знаем также книжечку Лебега „Об измерении величин“, но с точки зрения педагогической как-то трудно с легким сердцем отказаться от алгоритма Эвклида и вовсе не познакомить учащихся с этой ясной, простой, последовательной и отчеканенной идеей. В этом—своеобразная красота и громадное образовательное воздействие на юный математический ум.

Нам представляется, что в новом учебнике по геометрии один—два параграфа, хотя бы петитом, должно уделить этому вопросу, тем более, что в арифметике прибегают к алгоритму Эвклида, и вообще в теории чисел в (высшей) алгебре и в ряде других вопросов алгоритм Эвклида едва ли утратил значение.

Что касается вопроса об измерении площадей, то центральным пунктом в изложении этого вопроса в учебнике Н. А. Глаголева следует считать теорему: „Если в двух прямоугольниках произведение двух смежных сторон равно произведению двух смежных сторон другого, то эти прямоугольники равносоставлены“.

Однако вопрос об измерении площадей не такой простой для преподавателя математики. Ведь этот вопрос в одном только учебнике А. Киселева претерпел трехкратное (а может быть, и многократное) изменение. Мы позволим себе поставить невольно возникающий вопрос: имеет ли изложение Н. А. Глаголева явные преимущества с научной и методической точки зрения перед другими изложениями этой темы, которые корректны и с научной и педагогической точки зрения? Об этом надо подумать.

6. Подобие фигур. В книге Н. А. Глаголева подобие фигур изложено в главе шестой, которая носит название: „Подобное преобразование фигур“. Уже само название главы указывает, что вопрос о подобии трактуется не так, как он трактуется в старом учебнике, а по-новому, именно—как некоторое геометрическое преобразование. Однако, как бы ни излагалось подобие, оно должно опираться на учение об измерении и отношении отрезков. Поэтому отметим то основное, что имеется в главе пятой под названием „Измерение отрезков* и что служит фундаментом для главы шестой. Содержание главы пятой следующее: аксиома Архимеда, измерение отрезков, основные законы измерения отрезков; приближенная длина отрезков, соизмеримые и несоизмеримые отрезки, отношение двух отрезков, пропорции, свойства пропорции. Наконец, что важно для нас, излагаются свойства параллельных прямых, пересекающих две другие прямые; доказываются четыре теоремы о пропорциональных отрезках (§§ 169—172).

Глава о подобном преобразовании фигур начинается с изложения общего приема подобного преобразования. Даются определения подобного преобразования и перспективно-подобных фигур. Затем рассматривается подобное преобразование отрезка, построение перспективно-подобных треугольников и многоугольников с внешним и внутренним центрами подобия. Наконец, дается определение подобных фигур в таких выражениях: „Если подобным преобразованием одной из двух данных фигур можно получить фигуру, равную другой, то данные фигуры называются подобными“. После этого излагаются четыре (вместо обычных трех) признака подобия треугольников. Конечно, доказательства теперь имеют другой характер, чем существующие в нашей школьной практике. Точно так же рассматривается и с новой точки зрения вопрос о подобных многоугольниках. Заканчивается эта глава отделом о подобии окружностей, описанием пантографа и приложением метода подобия к решению геометрических задач на построение.

Сопоставляя изложение „подобия фигур“ в учебнике А. Киселева и в новом учебнике. Н. А. Глаголева, отметим следующее. Центральным местом в учебнике А. Киселева является лемма подобия; она в эмбриональном состоянии содержит все учение о подобии фигур и пропорциональных отрезках; опорными рабочими теоремами являются три признака подобия треугольников общего вида и признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. Все остальное легко выводится на основании этих признаков подобия. Таким образом достигается определенная экономия мышления: надо знать

пять рабочих теорем—все остальное прилет само собой

Что же является центральным и основным, что также в эмбриональном состоянии содержит все учение о подобии в новом учебнике Н. Глаголева? Таким эмбрионом является понятие о подобном преобразовании и о перспективно-подобных фигурах. Из этих понятий путем геометрических построений и логических выводов получается все остальное учение. Однако не надо забывать, что эти два понятия нуждаются в четырех (может быть, и меньше) теоремах о свойствах параллельных прямых, пересекающих две другие прямые (§$ 169- 172). Из этого сопоставления видно, что совокупность основных понятий и основных предложений у обоих авторов (А. Киселева и Н. Глаголева) содержит примерно одинаковое число предложений с точки зрения численности и предъявляет одинаковые требования к памяти учащегося. Но есть свои преимущества у каждой из этих систем и есть, может быть, и недостатки. С научной точки зрения и та и другая схемы безупречны; однако одна схема (у А. Киселева) идет от древних геометров другая схема (у Н. Глаголева) идет от новых геометров (XIX века). В этом можно усмотреть достоинства и недостатки. Так, можно, например, считать, что старая схема четка, выдержана испытана на протяжении тысячелетий, или, наоборот что она неподвижна, статична, суховата, формальна. О новой схеме можно говорить, что она современна, свежа, что она подчеркивает текучесть геометрических образов в их видоизменениях, или. наоборот, можно говорить, что она еще слишком молода, что она еще не испытана на практике в средней школе, что творцы новой геометрии писали не для начинающих (между прочим и Эвклид писал не для начинающих) и т. д. Каждая схема, будь она только безупречна с научной точки зрения, найдет, думается, и своих сторонников, и своих противников. В методическом отношении каждая схема может быть преподнесена опытным и, будем говорить откровенно, талантливым преподавателем в школьном изложении самым лучшим образом. Дело только в сопротивляемости и инертности, симпатиях и антипатиях, увлечении и индиферентности преподавателя. Надо чтобы преподаватель сам жил определенной идеей, и он найдет пути к ее передаче своим ученикам. Должно только отметить что старое изложение не закрывает пути к изложению нового. Строя курс по Эвклидовой схеме, мы можем самым прекрасным образом перейти к вопросам новой геометрии с ее фундаментальными идеями преобразования геометрических фигур, в частности, к вопросам перспективно-подобных фигур.1

7. Исторические сведения. В книге приводятся исторические сведения, что очень отрадно видеть, так как ценность подобного рода сведений для учащихся не подлежит никакому сомнению они оживляют и возбуждают интерес к изучаемому предмету, расширяют кругозор учащихся, относя отдельные эпизоды к общеисторическому пути развития культуры.

Так, например, в книге находим сведения о происхождении геометрии (§ 2), о Н. И. Лобачевском (§ 39), об Архимеде (§ 160. подстрочное замечание на стр. 136), о теореме Пифагора (§ 215), пифагоровых числах, о геореме Ферма, замечание о жизни и деятельности Понселе (стр. 169). Однако этих сведений маловато. Очень хотелось бы в последующих изданиях найти больше таких сведений.

8. Повторительные вопросы. В отдельных случаях к разделам приведены повторительные вопросы, касающиеся теоретического материала. Для иллюстрации характера повторительных вопросов приведем примеры:

а) Глава первая. II. Углы между прямыми.

1. Что называется углом?

2. Какие углы называются прилежащими?

3. Как определить, какой из двух углов больше? и т. д.

б) Глава первая. V, Расширенные понятия о теореме

1, В чем разница между простой теоремой и сложной?

2. Что такое теорема, обратная данной? и т. д.

Такие вопросы для проверки и повторения пройденного раздела можно только приветствовать. Однако приходится выразить сожаление, что в дальнейших главах подобных повторительных вопросов нет, так как такие вопросы дают учащемуся средства для самопроверки, фиксируют его внимание на существенных моментах курса, которым, может быть, он не придавал особого значения при чтении. Да и для преподавателя наличие таких вопросов в книге является определенным методическим подспорьем. Бывают случаи,— и опытные преподаватели это знают,— что можно ученикам целый урок рассказывать, пояснять, а спросить учащегося как будто не о чем.

Для закрепления пройденного теоретического материала и приложения его на практике (в решении, допустим, задач) автор снабдил книгу достаточным количеством упражнений по всем главам и разделам. Здесь имеются и задачи на вычисление, и задачи на построение, и задачи на доказательство. Все это надо считать положительным качеством книги: математическая книга, в особенности учебного типа, должна быть снабжена примерами и задачами для упражнений.

Мы не можем сейчас входить в разбор предложенных задач и упражнений по существу, по их характеру, по их качеству, доступности и т. д.

9 Некоторые детали. Мы сейчас умышленно не затрагиваем целого ряда других вопросов в связи с просмотром книги Н. А. Глаголева, как. например 1) о задачах на построение, 2) об элементах тригонометрии, 3) об элементах формальной логики, 4) о языке и формулировках и т. д. Для того, чтобы обо всем этом высказаться, понадобилось бы встряхнуть весь курс методики математики и далеко выйти за пределы журнальной статьи. Отметим сейчас только некоторые детали.

Вызывают недоумение некоторые ссылки. Например

1) На стр. 138 имеется ссылка ($ 213): „Можно косвенным путем убедиться, что такие случаи (существование “несоизмеримых отрезков) встречаются довольно часто“. Но в § 213 нет ни одного примера этого рода. В § 213 излагается обычным образом теорема о перпендикуляре, опущенном из вершины прямого угла на гипотенузу, и только.

2) На той же стр. 138, внизу в подстрочном примечании сказано: „Смотри дополнение 1 в

1 Интересно было бы по этому поводу обменяться мнениями на страницах педагогической печати.

конце книги“. Однако в конце книги никакого дополнения 1 не имеется. Встречаются в книге опечатки. Например:

1) стр. 3, строка 4 снизу напечатано „Гельхер“ вместо „Герхер“.

2) Стр. 4 строка 14 сверху напечатано: „Solomon“ вместо „Salmon“.

3) Стр. 144, на черт. 188 пропущена буква D—точка пересечения прямой BF с прямой, проходящей через точку С параллельно EF.

Выход книги из печати надо приветствовать как стимулирующее начало для педагогических и методических размышлений в области постановки преподавания геометрии в свете современных научных воззрений. За новые идеи надо не только агитировать, но надо их пропагандировать, внушать, распространять, раскрывать, разъяснять, сделать их привычными, близкими, обиходными. Это не так легко: надо победить привычку, инертность, консерватизм, рутину. Однако одновременно с этим надо проявлять определенную осторожность и осмотрительность; поэтому вышедшая книга требует тщательного обсуждения по отдельным вопросам с целью более точной „подгонки“ к типу массового учебника для средней школы. В связи с этим следует произвести широкий просмотр книги Н. А. Глаголева „Элементарная геометрия“ на учительских конференциях, объединениях, институтах усовершенствования учителей и т. д. (Кстати, такой просмотр,— правда, недостаточно полный, — уже имел место в Одессе при Городском методическом кабинете на заседаниях секции математиков).

Наконец, желательно на страницах педагоги ческой периодической печати и в трудах (сборниках) научно-исследовательских учреждений педагогического типа (например, Академия педагогических наук — Москва, Украинский научно-исследовательский институт педагогики — Киев, и др.) открыть обмен мнениями о новом учебнике по геометрии.

ОБЗОР НОВЫХ КНИГ

С. И. НОВОСЕЛОВ (Москва)

Н. В. Ефимов. Высшая геометрия. Учебное пособие для университетов и педагогических институтов. Гостехиздат, 1945. Стр. 487. Цена в перепл. 17 р.

Книга проф. Н. В. Ефимова состоит из двух частей: часть первая — „Основания геометрии“ и часть вторая-„Проективная геометрия“. Принятый автором порядок изложения является весьма удачным, так как он позволяет во второй части пользоваться аксиоматическим методом, чем достигаются максимальная ясность и строгость в построении проективной геометрии.

Остановимся более подробно на первой части, так как именно она, по нашему мнению, представляет наибольший интерес для учителей средней школы.

Невозможно успешно вести в школе преподавание геометрии, не имея ясного представления о современном научном обосновании предмета. К сожалению, до настоящего времени еще встречается то печальное явление, когда учащиеся выносят из средней школы совершенно неправильные, антинаучные понятия о геометрических аксиомах как об „истинах, не требующих доказательства“; настоящий же смысл системы аксиом, как списания взаимоотношений, в которых мыслятся находящимися геометрические объекты (точки, прямые, плоскости), остается невыясненным. Это описание принципиально необходимо, так как, если мыслить геометрические объекты никак не связанными между собой, то не представится возможным вывести какие-либо следствия, и все геометрические понятия станут бессодержательными.

Первая глава книги Н. В. Ефимова посвящена краткому историческому обзору исследований но основаниям геометрии, начиная от Евклида н кончая Лобачевским и Гильбертом. Проследив исторический процесс развития этих исследований, автор подводит читателя к современной постановке вопроса об обосновании геометрии. Последующие главы — II, III и IV посвящены современным исследованиям по основаниям геометрии. В гл. II рассматриваются сами аксиомы с вытекающими из них следствиями, в гл. III излагается неевклидова теория параллельных и в гл. IV проводится исследование аксиом элементарной геометрии. Автору удалось весьма отчетливо выделить руководящие идеи аксиоматического построения геометрии. Ярко и рельефно выступают основные, принципиально важные моменты. Весь материал представляется как нечто целое, направляемое единой руководящей идеей. Живой и хороший язык автора облегчает понимание глубоких идей, лежащих в основе современного аксиоматического метода в математике Знакомство с современной постановкой вопроса об исследовании системы аксиом (непротиворечивость, независимость, полнота) имеет огромное значение в отношении повышения уровня математического развития учительства. Для чтения I—IV глав не требуется специальной подготовки, однако читателю придется преодолеть ряд трудностей, связанных с требованием некоторой привычки к абстрактному мышлению и с необходимостью отказаться от пользования наглядными представлениями. Серьезного внимания потребует изучение арифметических моделей геометрических систем. Однако можно смело утверждать, что польза, которую принесет изучение оснований геометрии, во много раз окупит затраченный труд.

Пятая глава книги посвящена аналитическим методам в основаниях геометрии. По своему идейному содержанию эта глава представляет большой интерес: в ней изложены основы метрической геометрии, дается понятие о внутренней геометрии поверхности, излагаются основы современных топологических принципов. Гл. V напечатана петитом, для ее чтения необходимо знание математического анализа и основ ди-

ференциальной геометрии в объеме курса педагогического института.

Вторая часть книги „Проективная геометрия“ носит более специальный характер. Изложение начинается с аксиоматического обоснования проективной геометрии, после чего рассматриваются образы первого и второго порядков. Значительный интерес представляет заключительная глава „Теоретико-групповые принципы геометрии“, в которой изложены идущие от Клейна воззрения на геометрию с точки зрения идеи группы преобразований

Богатая по содержанию книга Н. В. Ефимова является ценным пособием для педагогических институтов. Следует заметить, что книга составлена из нескольких разнородных частей, представляющих интерес каждая сама по себе; первые четыре главы первой части, V глава первой части и вторая часть не составляют одного целого, хотя на протяжении всего изложения видно стремление автора выделить единые руководящие идеи. Получившаяся перегрузка книги материалом создаст некоторые трудности при пользовании ею как учебником

Н. П. Тарасов. Курс высшей математики для техникумов. Издание четвертое. Учебник для техникумов. Гостехиздат, 1945. Стр. 270. Цена б р. 50 к.

Книга Н. П. Тарасова составлена по программе техникумов; однако, несмотря на специальное назначение, она представляет интерес для широкого круга читателей. Построенная применительно к элементарной и краткой программе, книга содержит лишь самый основной, необходимый материал. Благодаря простоте и доступности изложения курс Н. П. Тарасова представляет интерес для лиц, желающих познакомиться с основными понятиями высшей математики. Мы полагаем, что книга вполне доступна для учащихся старших классов средней школы и может быть рекомендована ученикам, интересующимся математикой, а также для занятий в школьных кружках.

Книга состоит из следующих трех частей: „Начала аналитической геометрии на плоскости“, „Элементы диференциального исчисления“, „Элементы интегрального исчисления“. В качестве дополнения даны две главы посвященные полярным координатам и геометрическим приложениям анализа. В первой части даются краткие сведения о методе координат, рассматриваются основные задачи на прямую линию и изучается форма кривых второго порядка по их каноническим уравнениям. Во второй части излагаются основы теории пределов, правила диференцирования и исследование функций посредством производной (возрастание и убывание, минимум и максимум). В третьей части излагаются основные правила интегрирования, и рассматриваются применения определенного интеграла к решению ряда геометрических и физических задач. По каждому разделу дан набор упражнений. В тексте рассмотрены образцы решения примеров, а также различных математических и прикладных задач.

Хороший язык книги, доступное и ясное изложение следует считать большим достоинством курса Н. П. Тарасова. Дать элементарное и достаточно корректное изложение основ высшей математики — трудная методическая задача, с которой автор справился вполне удачно.

Мы остановимся на некоторых принципиальных установках, принятых автором. Мы полагаем, что основы высшей математики, даже в пределах весьма элементарного курса, с успехом могут быть изложены, не прибегая к понятию бесконечно-малой величины. По этому вопросу нет единого мнения, и мы отнюдь не намерены ставить автору упрек в том, что он придерживается противоположной точки зрения. Однако мы считаем, что неумеренное пользование концепциями бесконечно-малой, времени, переменной и т. п. может дать и дает отрицательные результаты. Совершенно бесспорно, что в кратком курсе невозможно дать доказательства ряда фундаментальных теорем анализа. Так, например, попытка доказать теорему существования интеграла от непрерывной функции явно была бы обречена на неудачу. Здесь и приходят на выручку универсальное переменное и бесконечно-малые. Наивные представления о бесконечно-малых, которыми можно „пренебрегать“, вырабатывают своеобразное инфинитезимальное мышление, характерное для математики до средины прошлого столетия. Пользуясь инфинитезимальными концепциями и прибегая ко всякого рода „нестрогим“ рассуждениям, легко создать иллюзию математического доказательства там, где на самом деле нет никакого доказательства. „Нестрогие доказательства“ приучают начинающего к необоснованным суждениям и тем самым играют отрицательную роль в формировании математического мышления. Мы полагаем, что там, где не представляется возможным дать доказательство, лучше дать соответствующую теорему без доказательства, выяснив ее смысл. От этого книга только бы выиграла в краткости, корректности и ясности изложения.

В. Немыцкий, M Слудская и А. Черкасов. Курс математического анализа. Под общей редакцией проф. В. Немыцкого. Учебник для физико-математических факультетов университетов и педвузов.

Том I. Издание второе. Стр. 364. Цена 14 р. Том II Стр. 404. Цена 15 р. Гостехиздат, 1944.

Книга содержит материал, предусмотренный программой физико-математических факультетов университетов. Первый том содержит следующие разделы: теория действительного числа, теория пределов, числовые ряды, диференциальное и интегральное исчисление функций одного аргумента. Второй том — следующие разделы: функциональные ряды (включая степенные и тригонометрические ряды), диференциальное и интегральное исчисление функций многих аргументов.

Рассматриваемый курс является одним из наиболее обстоятельных учебников по математическому анализу. Изложение ведется на высоком теоретическом уровне, с использованием важнейших понятий современной математики, каковыми являются понятия многомерного пространства, окрестности, отображения. Написанный в духе идей современной математики, курс является весьма ценным руководством для студентов университетов и педагогических институтов. Отказ авторов следовать тенденции к формальному изложению, свойственному многим классическим курсам, делает книгу интересной для учителя, желающего познакомиться с основными понятиями современной математики. В книге отражен ряд исследований, относящихся к последнему времени. От читателя не требуется специальной подготовки, однако предпо-

лагается достаточно высокий уровень математического развития.

Весь текст книги набран одним мелким шрифтом. и это создает трудности в пользовании ею как учебником. Второстепенные вопросы нередко связанные с гонкими рассуждениями, не выделяются из безусловно необходимого учебного материала, и это затруднит начинающему читателю ориентировку к достаточно солидной по объему книге. Следует отметить, что ряд вопросов изложен громоздко и. как нам представляется обременен излишними подробностями. Так, например, изучение расположенного поля не имеет непосредственного отношения к анализу; общее определение понятия предела для любой многозначной функции трудно для понимания начинающему читателю, тем 6олее, что это используется потом, лишь в интегральном исчислении; теория экстремумов функций многих аргументов изложена на наш взгляд с излишними усложнениями.

В целом книгу следует признать одним из лучших учебников по курсу анализа. Ее выход в свет отвечает насущной потребности в строгом и современном учебнике, и бесспорно ей суждено сыграть почетную роль в деле повышения идейного уровня преподавания в университетах и педвузах.

ХРОНИКА

ПЯТИДЕСЯТИЛЕТИЕ П. С. АЛЕКСАНДРОВА

7/V 1946 г. Московское математическое общество совместно с Московским Государственным университетом и Математическим институтом Академии Наук чествовали на торжественном заседании Павла Сергеевича Александрова — президент Математического общества, профессора Московского университета, члена-корреспондента Академии Наук и действительного члена Академии педагогических наук—в связи с пятидесятилетием со дня его рождения.

П. С. Александров широко известен в научном мире у нас и за границей как одни из крупнейших представителей топологии, ученый, которому эта наука в значительной степени обязана своим современным состоянием.

Свою научную деятельность Павел Сергеевич начал незадолго до революции в Московском университете, в блестящей теоретико-множественной школе Н. Н. Лузина начал с замечательного открытия аналитических множеств, теория которых затем глубоко и плодотворно разрабатывалась трудами Суслина и Н. Н. Лузина. К топологии П. С. Александров был привлечен в середине двадцатых годов своим другом П. С. Урысоном. С тех пор Павел Сергеевич неизменно отдает этой науке свои исключительные способности и огромный темперамент ученого-пропагандиста новых идей. Предвоенным итогом его научной деятельности является первый том капитального сочинения по топологии (совместно с Э. Хопором) и обширная „Комбинаторная топология“ печатающаяся в Государственном технико теоретическом издательстве. Не прекращая интенсивной научной работы в годы войны, П. С. Александров был удостоен в 1943 г. Сталинской премии первой степени за свои исследования в области так называемых законов двойственности (в топологии).

П. С. широко известен как первоклассный педагог высшей школы, отдающий также много сил и времени учительству и средней школе. Большой популярностью у нас пользуются его „Введение в теорию функций действительного переменного“1 (совместное А. Н. Колмогоровым). „Основные понятия теории групп“. „Элементарная алгебра“ (совместно с А. Н. Колмогоровым) и др. книги. Как один из крупнейших деятелей в области математического просвещения, П.С. Александров был избран в 1945 г. в действительные члены Академии педагогических наук РСФСР.

Уже много лет подряд П. С. Александров возглавляет деятельность одного из старейших и крупнейших математических обществ мира — Московского математического общества. Общеизвестно, что наряду с серьезной научной работой Общество это ведет большую и систематическую работу по популяризации математики среди молодежи. Наиболее значительным ее выражением являются ставшие традиционными Московские математические олимпиады.

На чествовании П. С. присутствовали члены Московского математического общества, ректор Московского университета проф. И. С. Галкин, профессора и преподаватели вузов Москвы, многочисленные его ученики. Один за другим оглашаются приветствия, зачитываются адреса и приветственные телеграммы научных организаций, научных и общественных деятелей.

С живым, остроумным и вместе с тем глубоко прочувствованным ответом на приветствия выступает юбиляр, встречаемый длительными аплодисментами собравшихся. Вторая часть торжественного заседания была посвящена докладам чл.-корр. АН СССР Л. С. Понтрягина, акад. А. Н, Колмогорова и проф. В. В. Степанова. Докладчики подробно охарактеризовали различные стороны научной и педагогической деятельности юбиляра.

На ближайшем после юбилея заседании Математического общества П. С. был единогласно избран почетным членом Общества.

А. М.

1 Готовится четвертое переработанное и дополненное издание.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 4 1941 г.

61

Сумма четырех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 1. Сумма кубов этих же чисел равна 0,1. Найти эти числа.

Обозначив первый член искомой прогрессии через X, а разность через у, будем иметь по условию:

(1) (2)

Из (I) имеем:

(3)

Второе уравнение, соединив отдельно крайние и средние члены и применив известную формулу для суммы кубов, представим в таком виде:

Сделав замену из (3), после простых преобразований, получим:

2x1 -f бху + 12у2 = 0,2. (4)

Уравнение (3) по возведении в квадрат дает:

4х* + 12ху + 9^2= 0,25. (5)

Удвоив обе части уравнения (4) и вычтя (5), получим

у*== 0,01.

Отсюда; у = ±0,1.

Теперь из (3) подстановкой у = з=.0,\ найдем: X = 0,1 и X = 0,4.

Искомая прогрессия:

0,1; 0,2; 0,3; 0,4 или 0,4; 0,3; 0,2; 0,1.

62.

Доказать (не пользуясь формулой Кардано), что при действительных корнях уравнения х*-\-рх + q == 0 коэфициент р<0.

Для корней данного уравнения имеем соотношения

^1+^2+л:3=0, (1)

*Л+ ***8+ *8*1= Л (2)

Возведя в квадрат (1), получим:

Или, приняв во внимание (2):

(3)

Но при действительных значениях хх, х2, х% выражение в левой части (3) есть положительное. Следовательно, должна быть положительна и левая часть, т. е. должно быть

р<0.

3

Обратить периодическую дробь 0,637637..., изображенную в девятиричной системе, в обыкновенную дробь, изображенную в десятиричной системе, и проверить полученный результат обращением его в периодическую дробь, изображенную по девятиричной системе.

Применив известное правило обращения чистой периодической дроби в обыкновенную, легко показать, пользуясь формулой предела суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, что при любом основании счисления а правило это остается тем же, что и в десятиричной системе, только в знаменателе вместо девяток будут цифры (а—1): получим

Переводя на десятиричную систему найдем:

Для проверки мы можем произвести деление 5 на 7 сразу в девятиричной системе (помня, что приписывая к отстатку 0, мы увеличиваем его в 9 раз, т. е. обращаем в 9-ю, в 81-ю и т. д. долю). Получим:

Третий остаток дал первоначальное число 5. Значит, дальше цифры будут повторяться в том же порядке, и мы получили данную в условии бесконечную периодическую дробь.

Доказать, что всякое число ту не делящееся ни на одно из чисел 2, 3 и 5% есть всегда делитель числа вида 1111. 11.

Если m — число простое (по условию не 2 л не 5),то согласно малой теореме Ферма:

10™-1— 1 (1)

делится на т. Выражение же (1) можно представить так:

Но так как по условию m ф 3, то для делимости 10т—1— 1 на m необходимо, чтобы второй множитель 111 . . 11 делился на т.

Гак же решается вопрос и в том случае, если m— число составное, только вместо m — 1 показателем придется взять ? (m) — число чисел, меньших m и взаимно простых с ним (теорема Эйлера). Например, для m = 77 будет <р = 60 и, следовательно, 1060— 1 = 9-111 . . 11, т.е.

111 . . .11 делится на 77#

65.

Решить уравнение:

Приведем один из способов Попробуем представить левую часть в виде произведения двух квадратных трехчленов, взяв 1 и 2-й коэфициенты равными 1 и - 1 (на что указывают коэфициенты при X4 и Xs данного уравнения) и обозначив неизвестные пока свободные члены через тип. Будем иметь

X*— 2х*+х — а-{х*- Jt-f т)(х*—х f л) = 0 (1) или:

х±— 2х*~\- X — а = X*— 2*3+ -\-(т-\-п-\-\) х* - (т-\-п) х + тп. (2)

Сравнивая коэфициенты при одинаковых степенях X. найдем:

m 4- п = — 1, тп = — а. (3)

Отсюда легко найдем:

(4)

(или наоборот, что безразлично). Подставив найденные значения m и п в (1) и решив два квадратных уравнения, найдем все 4 корня данного уравнения:

66.

(1)

(2)

1. Возведя (2) в шестую степень и сделав замену (1). получим:

Отсюда 1) х = 0 и из (2) у == а Ъу=0 . . х=а

Если же X Ф О и у Ф О, то равен нулю третий множитель. Деля обе части на х2у* приведем уравнение к виду:

(3)

Решаем это уравнение обычным приемом для возвратных уравнений. Полагаем;

Делая подстановку, получим:

Решив его, найдем

(4)

Но

Отсюда

или, принимая во внимание (2) и (4),

откуда:

(5)

Из (2) и (5) получаем квадратное уравнение:

решив которое, найдем:

Решить систему уравнении:

Получаем 4 решения:

Всего, таким образом, имеем 6 решений.

2. Преобразуем уравнение (1)

или

Из (2) имеем:

Делая подстановку, получим:

Отсюда находим ху. Остальное понятно. 67.

Числа натурального ряда от I до 36 расположены в порядке возрастания в виде квадратной таблицы. Обводят кружком произвольное число и зачеркивают строку и столбец, на пересечении которых оно стоит. В оставшейся таблице снова повторяют ту же операцию и т. д., пока не исчерпают всей таблицы.

Найти сумму чисел, обведенных кружком. Обобщить на случай чисел от 1 до №.

Составим таблицу;

Замечаем, что число, стоящее на пересечении /и-й строки и /1-го столбца, равно:

Так как из каждой строки и из каждого столбца мы берем по одному, и только по одному числу, то в искомой сумме тип должны получить все значения от 1 до 6 (в каком сочетании, для нас безразлично в силу переместительности слагаемых).

Следовательно:

Обобщая на случай чисел от 1 до &2, найдем:

При k = 6 получаем 111.

68.

Решить уравнение:

xjz (100 — и) = 1000м (и — 1),

где х, V, г, и — однозначные числа.

Представив уравнение в раскрытом виде:

(\00х -f- Юу -h z) (100 — и) = 1000« (и — 1), (2)

замечаем, что после перемножения в левой части все члены, кроме последнего — zu, имеют множителем 10. Но правая часть делится на 10, следовательно, и zu должна делиться на 10. А так как z и и числа однозначные, то одно из них должно быть равно 5, а другое — четным числом (не больше 8).

1) Пусть и — 5. Подстановка в (2) дает:

nOOjc-f 10y-j-2) • 95 = 1000 .5-4,

что невозможно, так как правая часть не делится на 95.

2) z — 5. Подставив в (2), получим:

5(20дг + 2у+ 1)(100 — н)= 1000 к (и — 1), (3)

или:

(20л: 4 2у -f-1) (100 — и) = 200 и (и — 1) (4)

В левой части первый множитель —число нечетное. Следовательно, 100 = и должно делиться на 8 (так как на 8 делится правая часть). Имеем

100 — и — St

Отсюда:

II» 100 — St. Итак, имеем неравенства:

1 < 100 — 8t < 8,

решив которые, найдем:

и получаем для t единственное значение t = 12. Значит,

Н= 100 — 8 -12=4.

Подставив и = 4 в (4), по сокращении получим: 10* +у = 12.

Отсюда;

69.

(2)

Так как -у несократимая дробь, то должно быть:

(4)

где k — натуральное число. Подставив значение yz из (4) в (3), получим:

/ал -+ z = 10 k.

Отсюда

г= *(10-7*), (5)

Тогда из (4) найдем:

(6)

Но z—натуральное число. Следовательно. Ik—1 должно делиться на k, что возможно только при k = \. Подставив это значение к в (4) и (5), получим систему;

(7) (8)

Из (7) заключаем что z может быть равно I, 2, 3, о. Но из всех этил значений только z — Z дает в (8> для л целое число. Итак:

2г 3: у = 2; х = L

2. Задача решается гораздо короче, если воспользоваться непрерывными дробями. В самом деле, представив обе части равенства {2) в виде непрерывной дроби, найдем:

Отсюда непосредственно следует (в силу единственности представления числа в виде непрерывной дроби), что jc=1: у = 2; 2 = 3.

70

Решить уравнение

х*-\ рх + О=:0, (1)

если

- 27 {q + 1) (2)

Из (2) находим:

что после подстановки в (I) дает:

(3)

Для упрощения выкладок положим -г- —-1 = /я. Тогда

И уравнение (3) примет вид:

или

Отсюда:

Приравняв нулю второй множитель, найдем:

что после подстановки дает

Можно было и непосредственно разложить на множители левую часть уравнения (3).

Решить в целых положительных числах уравнение:

yz(7x - 1U) + 7 {л + z) — 10 »= й (1)

1. Раскрыв скобки, представим уравнение в таком виде

ixyz — lOyz + 7* + lz — lu = 0,

или

7 (лгу* -f x + 0) = I0(j«-fi).

Откуда

71.

(1)

По извлечении квадратного корня получим:

(2) (3) (4)

Комбинируя знаки в правой части, получим 8 различных систем уравнений. Возьмем какую-либо одну из них, выбрав, например, всюду знак -f. Сложив (2) с (3), получим:

Отсюда:

или

откуда

Получили два уравнения:

Аналогично, сложив (2) с (3), получим уравнения:

V7= Vx+a + b. (7)

Vy=—Vx—u-tb. (8)

Наконец, сложив все три уравнения (2), (3) и (4), получим:

а Ух 4- Ь\Гу + сХ7 = 0. (9)

Комбинируя (5) и (6) с (7) и (8) и присоединив к каждой комбинации (9), получим 4 легко решаемых системы, именно: 1) Берем (5), (7) и (9). Подстановка из (5) и (7) в (9) дает

аУ~+Ъ у/х+_аЪ+№+ с\/х-ас—с2=0. (а + Ъ+ с)\х =ас+с*—аЬ—Ь\ (10)

Преобразуем правую часть:

ас + с2—ab — № = ас -f- be + с2 — ab — b2 — be— = c(a + b + c)-b(a +b + c)=(c — b)(a -t-b + c).

Подставив в (10), по сокращении получим Ух= с—Ь.

Отсюда

X = (с - Ь)\

Подстановка в (5) и (7) дает:

yfz = с—Ь — а— с=—(Ь ^а); z = (a -f Ь)г\ Y у = с—Ь + а +Ь=с -fa; у = (а4- с)2

Совершенно таким же путем решаем системы: 2) (6), (7) и (9); 3) (5), (8) и (9) и 4) (6), (8) и (9). В итоге получим следующие 4 системы значений неизвестных:

Мы рассмотрели только одну из 8 систем уравнений (2), (3), (4). Но легко видеть, что рассмотрение остальных систем новых решений не даст. Действительно, возьмем, например, уравнение (2) со знаком минус. В итоге мы должны будем в полученных уже решениях заменить с на—с. Но от этого только решение перейдет в 3 и обратно, а решение 2 в 4 и обратно. Точно также не меняет решений и всякая другая комбинация знаков при a, b и е. Итак, имеем всего 4 решения.

73.

Решить уравнение:

9x3-6=13 л.

Имеем:

Две коалиции А и В ведут войну между собою. Нейтральные п государств находятся в нерешительности, причем известно, что р из них наверное не присоединятся к коалиции А, а другие k наверное не присоединятся к коалиции В. Сколько новых положений может оказаться в этой воине в зависимости от дальнейшего поведения п нейтральных государств?

Каждое из р государств, которое по условию не присоединяется к коалиции А, может либо остаться нейтральным либо присоединиться к коалиции В. Комбинируя эти две возможности каждого из них с двумя такими же возможностями остальных, получим 2р различных положений.

Аналогично для k государств, которые не присоединятся к коалиции В, получим 2* различных положений.

Для каждого из остальных п — р — k нейтральных государств возможны три положения: 1) остаться нейтральным; 2) присоединиться к коалиции Л; 3) присоединиться к коалиции В. Комбинируя эти три положения каждого из них. получим Зп~р—к различных положений.

Наконец, комбинируя 2р различных положения первой группы государств с 2к различных положений второй и с 2>п~р—к различных положений третьей, получим всего 2Р • 2к • Зп—р—к= —2рЛ-к Зп—Р~к различных положений.

Но в число всех этих положений входит и возможность для всех государств остаться нейтральными, т. е. существующее положение. Следовательно, в зависимости от позиции каждого из нейтральных государств возможное число новых положений равно 2р+к • sn—p-k— 1.

72.

Решить систему уравнений:

Приравнивая нулю каждый множитель, получим:

74.

Для какого треугольника отношение

достигает минимума?

Как известно, имеют место равенства:

где а, р, 1 — углы данного треугольника. Итак, мы должны найти минимум выражения:

при условии:

Докажем прежде всего соотношение:

Действительно, ввиду того, что

имеем:

откуда

Окончательно:

Обозначим для сокращения:

и будем искать минимум выражения при условии

Имеем тождественно:

причем равенство получится, очевидно, только при условии

к = у = Z.

Отсюда получим:

или

и окончательно:

Равенство будет только при условии

х=у= z.

Итак, минимум выражения

равен 1 и реализуется при условии:

а так как углы —,— и — все острые, то отсюда следует:

или

т. е. искомый треугольник является равносторонним.

75.

На отрезке MN, соединяющем основания внутренних биссектрис AM и BN треугольника ABC, взята произвольная точка Р, из которой опущены перпендикуляры PD, РЕ, РЕ соответственно на стороны ВС, CA и AB треугольника. Доказать, что PF=PD+PE (черт. 1)

Черт. 1

Произведем гомотетию треугольника ABC в треугольник А'В'С так, чтобы прямая В'О прошла через точку Р, причем за центр гомотетии примем точку V Тогда точка M преобра-

зуется в точку Р. Прямые NB и А'Р будут в силу гомотетии биссектрисами иА'В'С РЬ = PQ, так как точка Р принадлежит биссектрисе z. А', Четыреугольник BKB'L является ромбом, поэтому HD = QF так как оба отрезка дают ширину двух равных полос, образующих ромб. Итак, W ==PQ + или заменяя_РС на РЕ и QF на PD, получим: PF = PD -f- РЕ.

76.

Треугольник PMN образован основаниями внутренних биссектрис в a ABC. Доказать что aPMN прямо угольный, если один из углов в ьАВС равен 120° (черт. 2)

Черт. 2

Пусть угол при точке С в а ABC будет равен 120°, Введем обозначение ВС = а, CA — b, ABj==c, АР=х, BP = у, CP = z. MC = m, ЛШ = л.

По свойству биссектрисы внутреннего угла имеем:

далее из

следовательно:

откуда:

или: т. е. или

откуда:

Заметим далее, что

кроме того:

Теперь мы имеем, что в a PCB-

т. е.

откуда следует, что РМ есть биссектриса в Z.CPB

Точно так же:

откуда таким же путем убедимся, что PN есть биссектриса £АРС. Итак PN и РМ суть биссектрисы двух смежных углов. Поэтому PNJlPM

77.

Если в треугольнике один из углов равен 60°, то основания трех биссектрис внешних углов этого треугольника лежат на одной и той же прямой.

Условие задачи сформулировано неправильно: основания трех биссектрис внешних углов произвольного треугольника лежат на одной и той же прямой, докажем это предложение

При доказательстве будем опираться на теорему Менелая: Если на сторонах ВС, CA и AB треугольника ЛВС взяты соответственно точки X, У и Z, причем выполняется условие:

то точки Л, У и Z лежат на одной и той же прямой. Обозначим X основание биссектрисы угла А

По свойству биссектрис получим:

(где а. Ь, с

обозначают, как всегда, длины сторон ВС. CA, AB в a ABC).

Почленным перемножением этих равенств получим:

следовательно, наши точки лежат на одной и той же прямой.

78.

Косоугольный треугольник разрезать на три части так, чтобы из них можно было сложить два треугольника, подобных данному (черт. 3).

Черт. 3

Черт. 4

Пусть ABC—данный косоугольный треугольник. Пусть В—наибольший из углов этого треугольника. Строим при вершине В угол ABD, равный углу АСВ. Тогда aABDzzaÄBC в силу равенства двух углов. Далее при той же вершине В строим угол СВЕ, равный углу ВАС. Тогда будем иметь аВСЕж a ABC по равенству двух углов. Таким образом данный дABC разрезан на три части: a ABE, a BED и aBDC. Из двух частей: аАВЕ и a BED получается aABD, подобный данному. Из двух других частей: aBDC и aBDE получается а ВЕС. также подобный данному

Задача имеет решение только для остроугольного и притом не равностороннего треугольника.

79.

Прямоугольный параллелепипед с ребрами в 8 см, 8 см и 27 см разрезать на 4 части, из которых можно бы было сложить куб (черт. 4).

Данный параллелепипед разрезаем на две равные ступенчатые фигуры, как показано на чертеже, причем высота ступени равна 9 см, а ширина — 4 см. Из них складываем новый параллелепипед с ребрами 12,8 и 18 см. Полученный параллелепипед вновь разрезаем таким же образом в перпендикулярном к предыдущему направлению опять на два ступенчатых тела, причем высота ступеньки равна b см, а ширина—4 см. Из этих двух ступенчатых тел складываем куб, как показано на чертеже. Каждое из новых ступенчатых тел состоит из двух частей, так что всего мы получили четыре части, благодаря наличию двух сечений в двух взаимно-перпендикулярных направлениях.

80.

Дан круг радиуса R. В плоскости этого круга начертить семь кругов, каждый радиуса — так, чтобы каждая точка данного круга принадлежала, по крайней мере, одному из семи кругов (черт. 5).

Вписываем в данный круг правильный шестиугольник и на каждой стороне его, как на диаметре, строим круг с радиусом —— (так как сторона 6-угольника равна R). Каждый из этих кругов пересекает радиусы данного круга посередине. Если теперь построить седьмой круг концентрически с данным, то получим искомую систему кругов, частично перекрывающих друг друга и полностью покрывающих данный круг.

Черт. 5

ЗАДАЧИ

41. Найти числа, оканчивающиеся цифрой 3 и обладающие тем свойством, что, если эту цифру 3 переставить в начало числа, то новое число будет в 3 раза больше первоначального.

42. Найти предел выражения:

43. Доказать неравенство:

при а > 1, b > 1, с > 1.

44. Доказать соотношение:

где D — диаметр круга, ап и Ъп — стороны правильного вписанного и описанного л-угольника.

45. Доказать, что для четырехугольника, который одновременно может быть вписан в окружность и описан около окружности, справедливо соотношение:

где R н г —радиусы описанной и вписанной окружностей, a d — расстояние между их центрами.

46. Представить произведение

(а2 + 1) (62 + 1) (£2+1)

в виде суммы двух квадратов.

47. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и биссектрисе острого угла.

48. Решить уравнение

49. Решить систему уравнений:

50. Решить уравнение:

51. Показать, что

если только а и b одновременно не равны нулю.

52. Решить уравнение

53. Доказать, что во всяком треугольнике диаметр вписанной окружности не превышает радиуса описанной окружности.

54. Четыре плоскости, пересекаясь между собою, образуют произвольный тетраэдр. Указать, сколько существует сфер, касающихся ко всем этим четырем плоскостям, и дать метод их построения.

55. Даны прямая i и вне ее две точки А и В. Найти на прямой / такую точку М, чтобы угол, образуемый лучом MA с прямой /, был вдвое больше угла, образуемого лучом MB с той же прямой /.

56. Дана окружность, центр которой неизвестен. Определить этот центр, пользуясь при построении одним только циркулем.

57. Построить четырехугольник вписуемый в окружность, если даны его четыре стороны.

58. Даны три точки, не лежащие на одной и той же прямой. Принимая их за центры, провести три окружности, которые были бы взаимно ортогональны (ортогональными называются кривые, касательные к которым, проведенные в точке пересечения, взаимно-перпендикулярны).

59. Доказать, что во всяком выпуклом многограннике есть, по крайней мере, или одна треугольная грань, или один трехгранный угол.

60. В геометрии Киселева призма определяется как многогранник, у которого две грани — равные многоугольники со взаимно-параллельны ми сторонами, а остальные грани — параллелограмы.

Привести пример многогранника, удовлетворяющего этому определению и не являющегося призмой.

Задачи для учащихся

1. Даны три точки, не лежащие на одной и той же прямой. Принимая их за центры, построить три окружности, которые касались бы друг друга.

2. Даны четыре точки, из которых никакие 3 не лежат на одной и той же прямой. Провести через них 4 прямые так, чтобы они своим пересечением образовали квадрат.

3. Построить произвольный пятиугольник по серединам пяти его сторон.

4. Через точку, данную вне угла, провести прямую так, чтобы она отсекла от угла треугольник данного периметра.

5. Построить куб по его диагонали.

6. Доказать, если а, р, т — углы треугольники,

7. Чему равно выражение

8. Решить систему

9. Решить уравнение

10. Произведение четырех последовательных целых чисел равно 3024. Найти эти числа.