МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

1

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКВА 1946

№ Главлита A 10833 Заказ № 2790 Тираж 20000 экз.

Редакционная коллегия: Отв. редактор А. Н. Барсуков, зам. отв. редактора С. И. Новоселов, Члены редакционной коллегии: проф. Н. Ф. Четверухин и проф. В. В. Немыцкий Техн. редактор В. П. Рожин

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз Министерства Просвещения РСФСР

Подписано к печати 14/IX 1946 г.

Печ. листов 4. Учетно-изд. л. 6,3 ______Цена 4 р. 50 к._

Печ. зн. в 1 п. л. 72000.

Типография 2 Управления издательств и полиграфии Ленгорисполкома

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 1 1946

ОТ РЕДАКЦИИ

После четырехлетнего перерыва, вызванного нападением фашистских варваров, возобновляется издание методического журнала „Математика в школе“. Журнал начинает выходить в примечательную эпоху — эпоху великой Сталинской пятилетки, в которой выдающаяся роль отводится советской науке, ставится задача качественного и количественного роста советских научных кадров, высококвалифицированных специалистов во всех областях промышленности и сельского хозяйства.

В выполнении этой задачи существенное значение имеет качество работы нашей средней школы, ибо, как отметил президент Академии Наук СССР тов. С. И. Вавилов, „качество обучения в средней школе в очень большой степени определяет качество будущего студента, а от подготовки студента в университете или в других высших школах зависит квалификация будущих научных работников и аспирантов“.

Таким образом, повышение качества работы школы, т. е., в первую очередь, повышение качества своей педагогической работы является для советского учителя первоочередной государственной задачей. Эта задача может быть выполнена лишь при том непременном условии, если учитель повседневно, систематически работает над повышением своей научной и методической квалификации. „Решающее значение для укрепления средней школы имеет квалификация преподавателей“ („Учит, газ.“ от 27/III 1946 г.).

Оказать конкретную помощь преподавателю математики в его непосредственной педагогической деятельности, с одной стороны, и содействовать общему повышению его методической квалификации с другой — такова основная задача, стоящая перед журналом „Математика в школе“.

Этой основной задачей определяется и программа журнала. Центральное место в ней занимают вопросы методики преподавания математики. Из вопросов общей методики здесь на первое место выдвигается проблема борьбы с формализмом знаний учащихся — проблема, первоочередность и важность которой была четко вскрыта Министерством просвещения на всероссийских учительских совещаниях 1944-45 гг. и в соответствующих директивных указаниях. В тесной связи с этой проблемой стоят вопросы привития учащимся практических навыков, увязывающих изучаемую теорию с жизнью, а также навыков самостоятельной работы с книгой. Должны получить надлежащее освещение и такие вопросы, как наглядность обучения, ее формы и методы применения в зависимости от класса методика повторения и пр.

Наряду с этими вопросами общеметодического характера журнал должен дать более или менее детально разработанную методику преподавания отдельных тем по всем изучаемым в школе математическим дисциплинам. Это, в первую очередь, так называемые „узловые“ темы, составляющие основное содержание предмета, затем темы, представляющие определенные методические трудности для малоопытных учителей. Правда, пожалуй, все эти темы освещались на страницах журнала за 1934-41 гг., а наиболее крупным из них были отведены целые серии статей.

Но, во-первых, журнал за прошлые годы стал почти библиографической редкостью, что крайне затрудняет пользование им. Во-вторых, несомненно, что за истекшие годы неуклонно обогащался опыт учителей и методистов. Популяризация этого опыта, постановка его на обсуждение широких масс учительства составляет одну из задач журнала.

Высокое педагогическое мастерство предполагает наличие соответствующей теоретической базы. Учитель обязан постоянно повышать свой теоретический уровень, обязан быть в курсе идей и достижений современной математики. Научно-популярный отдел журнала имеет в виду оказать посильную помощь и в этом отношении. В отделе будут помещаться статьи троякого рода:

а) Статьи, в доступной форме вводящие учителя в круг идей современной математики, знакомящие его с новейшими течениями в математической науке, с методами математического исследования, наконец, дающие общую, но в достаточной мере конкретную характеристику тех математических дисциплин, которые так бурно развивались во второй половине XIX и особенно в XX веке.

б) Статьи по элементарной математике, имеющие целью расширить и углубить знания учителя элементарного курса математики за пределы школьной программы.

в) Статьи по истории математики.

Способствуя повышению общего математического развития учителя, статьи этого раздела имеют в виду и практическую цель: они могут послужить материалом для внеклассной работы с учащимися (математические кружки, журналы и пр.).

Раздел „За рубежом“ имеет целью в меру поступления соответствующего материала знакомить советского педагога с современными заграничными течениями в области методики преподавания математики, со структурой и содержанием школьного математического курса в странах Западной Европы и Америки.

Раздел „Хроника“ будет помещать краткие сведения о текущей работе математических и педагогических научно-исследовательских учреждений и обществ, методических объединений как в центре, так и на периферии.

Наконец, довольно значительное место в журнале будет уделено разделу „Задачи“, пользовавшемуся большой популярностью в прежние годы издания журнала и привлекшему к нему широкие массы учительского актива.

Такова в общих чертах программа журнала. Само собою разумеется, что задачи, стоящие перед журналом, предназначенным для учителя, могут быть выполнены лишь при условии активного содействия самих учителей. Поэтому редакция призывает учительство к самому широкому участию в работе журнала. Это участие может принимать разнообразные формы. Укажем на некоторые из них.

а) Непосредственное сотрудничество путем присылки статей для помещения в журнале. Статьи могут быть посвящены общеметодическим вопросам или освещать личный опыт автора в преподавании той или иной темы, в применении какого-либо нового методического приема и пр.

б) Отклики на статьи, помещенные в журнале. Общая оценка статьи со стороны ее содержания, критические замечания по поводу ее отдельных положений, дополнения к ней, основанные на личном опыте автора, и т. п.

в) Общие замечания по тематике статей, помещенных в журнале.

Пожелания об освещении на страницах журнала тех или иных теоретических или методических вопросов.

г) Сообщение сведений о методической работе на местах, о различных мероприятиях, направленных к улучшению работы школы, о работе школьных математических кружков, устройстве выставок, олимпиад и пр.

д) Участие в решении задач.

В тесном единении со всем учительством редакция журнала приложит все свои силы к тому, чтобы всемерно содействовать неуклонному повышению качества работы школы и тем самым включиться в работу по осуществлению великого Сталинского пятилетнего плана развития народного хозяйства Советской страны, по созданию светлой и счастливой жизни советского народа.

Редакция

НИЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ ГЛАГОЛЕВ

Проф. М. К. ГРЕБЕНЧА (Москва)

2 июля 1945 г. математическая общественность понесла тяжелую утрату: в этот день скончался профессор Н. А. Глаголев, выдающийся ученый, педагог и крупнейший деятель в области народного образования.

Н. А. Глаголев родился 21 ноября 1888 г. в семье известного преподавателя математики А. Н. Глаголева.

Отец Н. А. Глаголева известен каждому учителю математики своими учебниками геометрии, алгебры и арифметики, являющимися настольными книгами многих учителей и по сей день. А. Н. Глаголев был блестящим педагогом и крупным общественным деятелем передовой интеллигенции, состоял преподавателем средних учебных заведений г. Москвы, преподавателем Московского учительского института и был одним из организаторов Коммерческого института. Все воспитанники Учительского института, питомцы А. Н. Глаголева, сохранили самые светлые воспоминания о своем любимом учителе.

Окончив VI Московскую гимназию в 1907 г., Н. А. Глаголев поступает на физико-математический факультет Московского университета. По выполнении обязательных работ Н. А. Глаголев принимает участие в занятиях семинара под руководством проф. Егорова на тему „Тригонометрические ряды“, в котором делает доклад на тему „Равномерная сходимость тригонометрических рядов и теорема Кантора“.

Кроме того, Н. А. Глаголев принимает участие в семинаре проф. Млодзеевского на тему „Об изгибании поверхностей“.

В студенческом математическом кружке Н. А. Глаголев делает сообщения: „Задача о шарах, касающихся данного шара“, „О геометрических образах — инвариантах преобразования подобия“, „О многоугольниках минимального периметра, вписанных в данный одноименный с ним многоугольник“.

В марте 1911 г. Н. А. Глаголев был уволен из университета за участие „в студенческих беспорядках“ и выслан за пределы Московской губернии. По возвращении в 1912 г. в Москву Н. А. Глаголев получает разрешение держать экстерном государственные экзамены и затем оставляется при университете для подготовки к профессорскому званию.

С 1918 г. начинается плодотворная научная и педагогическая деятельность Н. А. Глаголева. В 1923 г. проф. Егоров пишет: „Я очень ценю дарования Н. А. и полагаю, что мы имеем полное основание ожидать от него много ценного в будущем“. Предсказание проф. Егорова полностью оправдалось.

Научная деятельность Н. А. Глаголева была посвящена геометрии, разнообразным ее отделам.

Наиболее высоких результатов достиг Н. А. Глаголев в проективной геометрии. В ряде своих работ: „Общая задача исчисления плоскостных вурфов“, „Новые приложения плоскостных вурфов“, „Общая проблема проективного исчисления“ Н. А. Глаголев создает новую главу геометрии „Исчисление вурфов“, которая является законченной теорией. Уже эти три работы, по мнению специалистов, дают право на получение степени доктора, каковая была присуждена Н. А. Глаголеву в 1935 г. Следующие работы Н. А. относятся к диференциальной геометрии, где им построено Риманово пространство проективного типа с линейными элементами вида:

где

H. A. Глаголев

Нил Александрович построил и исследовал абсолют пространства. В другой работе Н. А. изучает геодезическое отображение многообразий. Здесь Н. А. дает полное решение одной из основных задач, частное решение которой было дано Дарбу.

Из многочисленных работ Н. А. мы отметим работу, посвященную одному классу прямолинейных конгруенций: обобщение теоремы Польке.

Особенно интересна работа „Об одной концепции аксиом проективной геометрии“, где Н. А. показывает, что система аксиом, принятая Энриквесом и до сих пор лежащая в основе построения проективной геометрии, недостаточна.

Особое место в творчестве Н. А. Глаголева занимает номография.

Н. А. предвидел, какое огромное прикладное значение должна иметь номография в такой технически передовой стране, как СССР.

Для творчества Н. А. характерно то обстоятельство, что он не становится кабинетным ученым, а привлекает к научной работе молодежь. Под руководством Н. А. Глаголева работает семинар по геометрии, где Н. А. ставит проблемы, где обсуждаются новые изыскания, и, таким образом, создается научная школа, питомцы которой по получении ученой степени продолжают развивать геометрию во многих научных центрах СССР.

Семинар по разработке теории номографии становится центром научной мысли, около которого сосредоточились все специалисты, работающие в этой области. Этот центр, названный номографическим бюро, оказал исключительную помощь техническим учреждениям и в особенности оборонным.

Исключительного блеска достигает деятельность Н. А. как профессора.

Его лекции, глубокие по содержанию и блестящие по форме, делают Н. А. с самого начала его педагогической деятельности любимым профессором.

По выражению одного из его бывших слушателей, музыка речи Н. А, звучит в ушах его слушателей еще много лет спустя с непреходящим очарованием.

Читая много лет лекции в Институте народного хозяйства, в МВТУ, Энергетическом институте, Н. А. постепенно сосредоточивает свою педагогическую деятельность в Московском университете и Московском городском педагогическом институте.

Любимыми курсами Н. А. были аналитическая геометрия, проективная геометрия, начертательная геометрия, основания геометрии. В эти курсы он вносил много своего научного творчества; из этих курсов выросли учебники.

Если педагогическая деятельность Н. А. охватывала аудитории университета и института, то по его учебникам проективной и начертательной геометрии обучаются студенты математики всего Союза.

Н. А. посчастливилось „музыку его речи“ перенести и в учебники, которые читаются с наслаждением и неспециалистами по геометрии. Особо нужно отметить учебник Н. А. по „теоретическим основам номографии“, который правильнее назвать трактатом. В „Основах“ не только систематически излагается новая дисциплина, но дается много новых исследований, ряд практических приемов построения номограмм, в силу чего можно с уверенностью сказать, что Н. А. Глаголев поднял номографию на новую, высшую ступень. Достаточно сказать, что когда был поставлен вопрос об организации международного съезда по номографии, то зарубежными учеными

была названа кандидатура Н. А. Глаголева как председателя организационного комитета.

Будучи учителем ряда поколений студентов, Н. А. Глаголев в то же время является и воспитателем большого числа учителей математики. Можно читать блестящие лекции по излагаемому курсу и не видеть перед собой будущих учителей. Н. А. никогда этого не забывал. Сами педагогические приемы при чтении лекций были образцами, которым старались по выходе на преподавательскую работу подражать. Кроме этого, Н. А. часто на лекциях, в особенности в Педагогическом институте, обращал внимание слушателей на методику преподавания наиболее тонких вопросов школьного курса геометрии.

Особенно в этом отношении были интересны лекции по основаниям геометрии, которые Н. А. читал в Педагогическом институте.

Последние годы Н. А. все больше и больше интересуется вопросами подготовки учителей математики. Н. А. отстаивал и проводил в жизнь широкие взгляды на подготовку учителей математики, настаивал на высоком научном уровне подготовки учителей. Н. А. требовал высокой педагогической и методической работы от лекторов в Педагогическом институте. Высказывания Н. А. на ученом совете и на кафедрах говорили о том значении, которое он придавал делу подготовки учителей. Н. А. принимал участие в организации семинаров по элементарной геометрии на IV курсе Педагогического института, где с присущим ему мастерством руководил работой студентов, прививая им вкус к научной работе в области элементарной математики, пропагандируя мысль, что без солидной научной подготовки в области геометрии невозможно стать полноценным преподавателем.

Наконец, уже в год смерти Н. А. выражает желание взять руководство семинаром по методике геометрии в городском Педагогическом институте.

Интерес к подготовке высококвалифицированных учителей математики в средней школе естественно перерастает в изучение постановки преподавания геометрии в школе. Н. А. принимает самое активное участие в выработке новых программ по математике для средней школы. Особенно плодотворной была работа Н. А. в качестве руководителя секции математики Учебно-методического совета Министерства просвещения. Наряду с огромной организационной работой по составлению новых программ Н. А. ведет и очередную работу по рецензированию, обсуждению новых учебников, наглядных пособий.

Как и во всех областях своей деятельности, Н. А. стремится к подъему постановки преподавания математики в школе. Особенно энергично настаивает Н. А, на введении курса наглядной геометрии в программу средней школы. Н. А. признает, что логический курс геометрии, начинающийся с VI класса, не потому затруднителен для учеников, что их общее развитие не позволяет овладеть сущностью доказательств, а потому, что ученики не накопили в своих представлениях геометрических образов. Н. А. утверждал, что нужно добиться, чтобы учащиеся накапливали эти образы в начальной школе, а в V классе считал необходимым введение специальных часов, посвященных преподаванию геометрии, после чего со второго полугодия VI класса можно приступить к изложению систематического курса. Перерабатывая курс геометрии Киселева, Н. А. убеждался в том, что этот учебник устарел, что идейное содержание курса геометрии не может быть повышено без изменения стиля учебника. Поэтому Н. А. с большим увлечением пишет новый учебник геометрии. Этот учебник, по общему мнению научных сил и передового учительства, является ценным вкладом в учебную литературу.

В этом учебнике Н. А. поставил и осуществил ряд назревших проблем в связи с преподаванием геометрии. Прежде всего в ряде вопросов изложение стало ближе к науке, оставаясь доступным пониманию учеников; это прежде всего учение о площадях и объемах. При изложении этих вопросов Н. А. смело идет вперед и строит учение о площадях, пользуясь данными современной науки.

Совершенно по-новому для школьного учебника геометрии Н. А. практикует учение об изменении отрезков и избирает путь наиболее естественный, привлекая понятие действительного числа, отказываясь от всех искусственных построений, неизбежных при всякой попытке строить

учение о пропорциях независимо от понятия числа. Благодаря новой трактовке несоизмеримых отрезков, ряд теорем, доказательство которых различает случай несоизмеримости отрезков, доказывается значительно проще.

Крупным шагом вперед является введение понятия о подобном преобразовании фигур, предваряющее учение о подобии.

Такое изложение несомненно повышает идейную сторону преподавания и делает изучение подобия более осмысленным, вводя в то же время учащихся в круг современных взглядов на геометрию. Н. А. с большим размахом, нежели до сих пор это делалось, пользуется идеей симметрии, видя в ней не только материал, повышающий геометрическое развитие, но и используя ее для доказательств.

Н. А. с большой тщательностью следит за стилем изложения, приспособляясь к возрастным изменениям степени развития ученика. По мере продвижения курса язык учебника делается все более и более строгим, новые понятия вводятся, сообразуясь с ростом восприятия абстрактных образов. Считая, что учебник должен, помимо обязательного материала, содержать и дополнительный, удовлетворяющий пытливости любознательных учеников, Н. А. вводит ряд вопросов внепрограммных: подобие окружностей, степень точки относительно окружности, дополнение об аксиомах геометрии.

Учебник Н. А. Глаголева является ценным советским учебником школьной математики, делающим большой шаг вперед в деле подготовки оканчивающих среднюю школу.

Необходимо заметить, что значительная часть работы по написанию учебника происходила в годы Великой Отечественной войны, когда Н. А. вел большую педагогическую и организационную работу в университете, налаживая занятия на механико-математическом факультете в 1942 г., когда Н. А. принимал исключительно большое участие в вопросах улучшения быта научных работников по линии ЦК профессиональных союзов работников высшей школы.

Обладая большой инициативой, Н. А. умел находить то существенное, важное, что таит в себе большие перспективы. Это относится и к научной деятельности, где он видит ценность номографии не только в научном, а в самом широком государственном ее значении.

Н. А. является инициатором и организатором ценных школьных математических олимпиад, которые вылились теперь в большое культурное мероприятие.

Характеристика деятельности Н. А. будет неполной, если мы не прибавим, что он был верным сыном русского народа в самом высоком смысле этого слова. Он любил русскую историю и хорошо знал ее, любил русскую литературу и русскую природу. С нетерпением ждал он окончательного разгрома недостойного врага, обрушившегося на нашу Родину, и переживал радость победы всем своим большим сердцем, которое перестало биться 2 июля 1945 года.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ЧТО ТАКОЕ ТОПОЛОГИЯ

Проф. А. Д. АЛЕКСАНДРОВ (Ленинград)

Молодая геометрическая дисциплина, называемая топологией, достигшая сейчас широкого развития и проникшая в разнообразные отрасли математических наук, бесспорно заслуживает внимания более широких кругов, чем узкий круг специалистов. И это не только потому, что она оказалась очень важной для приложений и обогатила науку новыми общими идеями, но и потому, что наглядность целого ряда её результатов, элементарность и изящество рассуждений могут привлечь к ней многих любителей наглядной геометрии. Настоящая статья „Что такое топология“ должна служить введением, дающим понятие о предмете топологии и характере её задач.

Чтение этой статьи не предполагает у читателя никаких знаний, выходящих за пределы курса средней школы.

1. От элементарной геометрии к топологии

Круг геометрических фигур и тел, изучаемых в элементарной геометрии, довольно ограничен. В планиметрии приходится встречаться с треугольниками, параллелограмами и другими многоугольниками; из кривых линий в планиметрии изучают окружность, а иногда еще эллипс, гиперболу и параболу. В стереометрии занимаются пирамидами, призмами и другими многогранниками, а из тел с кривыми поверхностями там встречаются только цилиндр, конус, шар, иногда еще эллипсоид. Все эти фигуры и тела или состоят из прямолинейных отрезков, как многоугольники, или из многоугольных плоских кусков, как многогранники, или представляют кривые и поверхности, строящиеся по определенным правилам; так, поверхностью шара называют геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, эллипсом называют геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний которых от двух заданных точек (фокусов эллипса) одна и та же. В эти определения входят понятия об углах, длинах. Теоремы, доказываемые в элементарной геометрии о перечисленных здесь фигурах и телах, относятся почти исключительно к длинам, величинам углов, площадей или объемов. Длина линий, величина углов и т. д. требуют для своего определения измерения,— без сравнения величин в элементарной геометрии нельзя сделать и шагу. Поэтому элементарную геометрию называют также „метрической геометрией“, а те свойства фигур, в описании которых участвуют длины, величины углов, площади, объемы, называют метрическими, т. е. связанными с измерением.

В элементарной геометрии не допускаются искажения фигур, изменяющие расстояния между их точками. При доказательствах некоторых теорем элементарной геометрии мы путем движения накладываем одну фигуру на другую (например, при доказательстве равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними один треугольник накладывается на другой). При этом передвигаемая фигура движется, как твердое тело: расстояния между ее точками не изменяются.

Таким образом, элементарную (метрическую) геометрию можно характеризовать как геометрию твердых тел. Не подлежит сомнению, что геометрия возникла именно из измерений, производив-

шихся над твердыми телами. Это положение знаменитый французский математик Пуанкарэ выразил в изречении:

„Если бы в природе не было твердых тел, то не было бы и геометрии“.

Могло бы показаться, что если отказаться от измерений длин, углов, площадей и объемов, то в геометрии почти нечем будет заниматься. Разве что останутся такие мало интересные теоремы, как, например: две прямые, параллельные одной и той же третьей, параллельны между собой. Однако геометры уже давно заметили, что это не так. С углублением в изучение различных свойств геометрических фигур удалось выяснить, что существует обширная область таких геометрических фактов, которые, являясь далеко нетривиальными, вместе с тем совершенно не связаны с понятиями о длинах и т. п.

Оказалось, что многие свойства плоских геометрических фигур сохраняются при проектировании их из какой-нибудь точки с одной плоскости на другую. При таком проектировании отношения длин, углов и площадей изменяются, но прямые остаются прямыми.

Такие свойства фигур, которые сохраняются при их проектировании и даже при любых преобразованиях, оставляющих прямые линии прямыми, называются проективными в отличие от метрических свойств, связанных с измерением длин и т. п. После того, как в начале прошлого столетия французский геометр Понселе изучил ряд проективных свойств фигур и привел в систему ранее известное, круг вопросов, связанных с проективными свойствами фигур, выделился в особую геометрическую дисциплину — проективную геометрию.

Проективные свойства лежат в природе геометрических фигур глубже, чем свойства метрические, недаром геометры достигли их понимания значительно позже. Но эти свойства вместе с тем являются более общими и более прочно связанными с фигурами, так как они сохраняются не только при движениях, но и при более общих преобразованиях фигур.

Но движение математической мысли вглубь природы геометрических образов не остановилось на этом.

Было замечено, что в целом ряде математических проблем, связанных с геометрией, играют роль еще более глубокие свойства геометрических фигур, связанные с ними еще прочнее. Это такие свойства, в которых не только нет речи об измерении длин и углов, но которые сохраняются при любых искажениях фигур, при том лишь условии, что эти искажения не приводят к разрыву или склеиванию отдельных частей фигуры. Такого рода свойства геометрических фигур называются топологическими, а наука, занимающаяся их изучением, и есть топология.

2. Точное определение предмета топологии

Пусть мы имеем две геометрические фигуры (неважно — на плоскости или в пространстве). Обозначим эти фигуры F1 и F2. Допустим, что тем или иным способом мы сопоставляем каждой точке фигуры jPj точку фигуры F2, и притом так, что каждая точка фигуры F% оказывается сопоставленной с какой-нибудь точкой фигуры Fv Такое сопоставление точек фигуры Рг точкам фигуры F2 называется однозначным отображением фигуры F1 на фигуру F2. Однозначным потому, что каждой точке фигуры F1 сопоставляется только одна точка фигуры Fr Возьмем, например, окружность Fi и отрезок F2, равный ее диаметру (рис. 1). Спроектируем окружность на этот отрезок. Каждой точке окружности соответствует одна точка отрезка. Таким образом, полу чается однозначное отображение окружности Ft на отрезок F2. Здесь, однако, каждой точке отрезка, кроме его концов, соответствуют две точки на окружности. Например, точке А соответствуют В и С.

Рис 1.

Если при отображении фигуры Ft на F2 это обстоятельство не имеет места, т. е. если не только каждой точке фигуры F1 соответствует только одна точка F2, но и обратно — каждой точке фигуры соответствует только одна точка фигуры Fu то говорят, что отображение фигуры Fx на F2 взаимно однозначное.

Условие взаимной однозначности можно выразить и так: отображение Fx на /\j взаимно однозначно, если каждой точке Fx соответствует только одна точка F2 и разным точкам соответствуют разные.1

Если мы отрежем от окружности на рис. 1 верхнюю половину, то наше проектирование даст уже взаимно однозначное отображение нижней полуокружности на отрезок.

На отображение можно смотреть не только как на сопоставление точек одной фигуры точкам другой. Можно мысленно или на самом деле перевести точки одной фигуры в точки другой, превратив тем самым одну фигуру в другую. Такой перевод точек фигуры F1 в точки фигуры F2 называют преобразованием Т7! в F2. Можно, например, сдавить окружность и превратить её в изображенный на рис. 1 отрезок EF.

Вообще говорят, что фигура Рг преобразуется, если её точки принимают какие-то новые положения. Если при этом разные точки принимают разные положения, т. е. если не происходит „склеиваний“ разных точек или целых частей фигуры, то преобразование будет взаимно однозначным: например, преобразование окружности в отрезок не взаимно однозначное, а преобразование полуокружности в отрезок взаимно однозначное.

Преобразование фигуры Fx в фигуру F2 называется непрерывным, если бесконечно близким точкам фигуры Fx соответствуют бесконечно близкие точки фигуры /V Иными словами, если при таком преобразовании не происходит „разрывов“ в фигуре Fv Например, преобразование окружности в отрезок путем сдавливания является непрерывным.

Точный смысл данного определения непрерывности преобразования состоит в следующем. Назовем окрестностью точки А фигуры F ту часть фигуры F, которая состоит из точек, удаленных от А не более, чем на некоторое заданное расстояние. На плоскости окрестностью точки будет описанный вокруг нее кружок. На окружности окрестностью точки будет дуга, между концами которой лежит заданная точка.

Пусть фигура Fx преобразуется в фигуру F2. Пусть Аг — произвольная точка фигуры Fl9 а А2 —* соответствующая ей точка фигуры F2. Если для каждой сколь угодно малой окрестности точки А2 найдется достаточно малая окрестность точки А19 такая, что все её точки переходят при преобразовании в точки, принадлежащие первой окрестности, то преобразование называется непрерывным.

Возьмите листок бумаги, назовите его JFU разорвите его и обе половинки назовите F2. Точки листа примут новые положения. Значит, вы подвергли листок бумаги преобразованию в два листа бумаги F2 (рис. 2). Это преобразование не непрерывное. Для того чтобы убедиться в этом, отметим на линии разрыва точку Av После разрывания она окажется лежащей на одной из половинок F2; это будет точка Л2. Возьмем (около точки А2) окрестность такую, чтобы в нее не попадали точки другой половины листа бумаги. Теперь какую бы малую окрестность точки А1 на целом листе F1 мы ни взяли, половина ее при разрывании попадет на другую половину листа бумаги. Значит, никакая окрестность точки Аг не обладает таким свойством, что ее точки переходят при нашем преобразовании (разрывании) в точки, принадлежащие окрестности А2. Значит, наше преобразование не непрерывное.

Рис. 2.

1 Если разным точкам фигуры F\ соответствуют разные точки фигуры F2, то значит каждой точке Ла фигуры F2 соответствует только одна точка Ai фигуры Fx.

Если бы ей соответствовала еще точка Z?lP то значит—разниц точкам В\ и А\ фигуры Fi соответствовала бы одна точка А2 фигуры F7. А это противоречит условию.

Рассмотрим теперь обратное преобразование, состоящее в склеивании двух половинок листа бумаги F2 в один целый лист Fv Это преобразование уже будет непрерывным. Если точка не лежит на линии склеивания, то ее окрестность будет той же, что и на целом листе. Если же точка лежит на линии склеивания, то ее окрестность на половинке листа перейдет в половину окрестности соответствующей точки на целом листе.

На этом примере мы видим, что преобразование F2 в Fx может быть непрерывным, а преобразование Fx в F2 не непрерывным. Если же как преобразование Fx в F%t так и преобразование Fi в Fx непрерывно, то такое преобразование называется взаимно непрерывным. Преобразование, являющееся одновременно взаимно однозначным и взаимно непрерывным, называется топологическим.

Две фигуры, получающиеся одна из другой путем топологического преобразования, называются гомеоморфными.

Какое-нибудь свойство геометрической фигуры называется топологическим, если оно сохраняется при произвольных топологических преобразованиях этой фигуры.

Топология занимается изучением топологических свойств фигур. Можно было бы сказать, что топология это наука о топологических свойствах геометрических фигур и об их топологических преобразованиях. Но не вдаваясь в подробности, придется заметить, что это определение будет полным только при условии, если значительно расширить простое наглядное представление о геометрической фигуре. Мы пока оставим этот вопрос в стороне и ограничимся рассмотрением таких геометрических фигур, которые доступны наглядному представлению. Под геометрической фигурой вообще можно пока понимать произвольное геометрическое место, или, как говорят математики, множество точек на плоскости или в нашем обычном трехмерном пространстве. Но и такое понятие является слишком общим для нас и неопределенным. Мы собственно будем заниматься фигурами, которые можно составить из конечного, а иногда и из бесконечного числа топологически преобразованных прямолинейных отрезков, или многоугольных кусков плоскости. Окружность или любой овал можно получить, согнув два прямолинейных отрезка и соединив их концами друг с другом. Круг можно получить из многоугольного куска плоскости, растянув его у краев так, чтобы его стороны закруглились, углы исчезли. Поверхность шара можно получить из двух кругов, если, изогнув каждый из них в виде полушария, склеить их друг с другом краями.

В топологии, однако, безразлично — идет ли дело о прямолинейном отрезке или о кривой, получающейся в результате его топологического преобразования. Под отрезком мы будем поэтому понимать любой такой криволинейный отрезок. Точно также под многоугольником можно понимать многоугольник с криволинейными сторонами, получающийся в результате топологического преобразования многоугольника с прямолинейными сторонами. Когда речь будет итти о поверхности шара, то вместо нее можно взять любую поверхность, гомеоморфную шару.

Таким образом, круг фигур, которыми занимается топология, в высшей степени обширен, а теоремы, доказываемые в топологии о геометрических фигурах, обладают большой общностью, потому что они относятся не только к фигурам, построенным по правилам, употребляемым в элементарной геометрии, но к любым фигурам, получающимся в результате их топологических преобразований.

Приведем пример доказательства гомеоморфности двух фигур. Выпуклым называют тело, обладающее тем свойством, что всякий прямолинейный отрезок, соединяющий любые две его точки, целиком лежит в этом теле. Примерами выпуклых тел могут служить шар, эллипсоид, тетраэдр, куб. Замкнутой выпуклой поверхностью называют поверхность выпуклого тела. Докажем, что всякая замкнутая выпуклая поверхность гомеоморфна поверхности шара. Тем самым будет показано, что всякое топологическое свойство шаровой поверхности принадлежит вместе с тем любой замкнутой выпуклой поверхности. Прежде всего докажем, что если внутри выпуклого тела взять произвольную точку О, то всякий луч, проведенный из нее, пересечет поверхность F этого тела

только в одной точке. Так как точка О лежит внутри тела, то вокруг нее можно описать такой маленький шарик С, что он будет сам лежать целиком внутри тела (рис. 3). Проведем из О какой-нибудь луч. Он мог бы пересечь поверхность F во многих точках, или даже местами скользить по поверхности F1. Из всех точек поверхности F, лежащих на луче, мы возьмем самую далекую от О. Пусть это будет точка А. Соединив теперь точку А с точками шарика С, получим конус с вершиной Л. Каждый отрезок, входящий в этот конус, принадлежит телу, так как он соединяет две точки тела: точку А с точкой, лежащей в шарике С. Следовательно, весь конус лежит в теле. А так как отрезок OA лежит внутри этого конуса, то он лежит и внутри нашего выпуклого тела. Таким образом, точка А единственная, в которой луч пересекает поверхность.

Итак, каждый луч, проведенный из О, пересекает F в одной точке. Вместе с тем он пересекает поверхность шарика С тоже только в одной точке. Поэтому если мы сопоставим те точки, которые лежат на одном и том же луче, то получим взаимно однозначное соответствие между точками поверхности F и шарика С. Если перевести точки F в соответствующие точки на С, то получим взаимно однозначное преобразование поверхности F в поверхность шара С.

Это преобразование будет вместе с тем взаимно непрерывным. Для доказательства опишем вокруг прямой ОВВ\ как оси, узкий круговой конус {В и Вг соответственные точки Си поверхности F), Он вырезает на поверхности шара и на F по маленькой окрестности точек ВиВ\ При преобразовании эти окрестности совпадут. Значит, малая окрестность точки В' на F перейдет при преобразовании в малую окрестность точки В на С (как бы мала эта последняя окрестность ни была). Вместе с тем как бы ни была мала окрестность точки В' на F, она при преобразовании покроет некоторую окрестность точки В на С (ту самую, которая вырезается нашим конусом). Это значит, что наше преобразование взаимно непрерывно. Следовательно, мы не только доказали, что любая замкнутая выпуклая поверхность гомеоморфна поверхности шара, но указали вместе с тем топологическое преобразование, переводящее одну из них в другую.

3. Эйлер. Сети кривых

Первые топологические вопросы восходят к Эйлеру1. В 1736 г. он занимался решением „задачи о кенигсбергских мостах“. В городе Кенигсберге было 7 мостов, соединяющих берега и острова на реке Прегель (рис 4). Спрашивается, можно ли, гуляя по городу, пройти все эти 7 мостов, но каждый из них только по одному разу? Эйлер доказал, что это невозможно. Задача эта топологическая, ибо ни форма берегов реки, ни форма мостов, ни длина и сам путь не играют здесь никакой роли. Важно толь-

Рис. 3.

Рис 4.

1 На чертеже проведенный луч встречает поверхность только в одной точке. Доказательство показывает, что если F выпуклая, то иначе не может быть. Однако, пока доказательство не проведено, мы не можем сказать, что будет именно так, а не иначе. A priori луч может пересекать F во многих точках и даже скользить по F. Вместе с тем, если бы мы изобразили такое положение на чертеже, то F пришлось бы взять не выпуклой.

1 Леонард Эйлер (Euler) — знаменитый математик (1707—1783). Работал в Петербурге, где и умер.

ко то, как мосты соединяют берега с островами, и то, что путь прогулки непрерывен (переправляться через реку помимо моста не разрешается). Таким образом, если подвергнуть рис. 4 произвольному топологическому преобразованию, то условия задачи не изменяются.

С аналогичной топологической задачей читатель постоянно встречается: нарисовать данную фигуру, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя белее одного раза одной и той же линии.

Задача о кенигсбергских мостах может быть сведена к этой задаче. Действительно, взяв на берегах и на острове по точке А, В, С и соединив их линиями, проходящими через мосты, убеждаемся в том, что прохождение мостов равносильно прохождению этих линий (рис. 4 а).

Выбор точек Л, В, С произволен, так как произвольные изменения пути на берегах и на острове не влияют на прохождение мостов.

Мы докажем невозможность пройти по всем мостам, проходя каждый по одному разу, если докажем невозможность нарисовать фигуру по рис. 4а одним росчерком, не прочерчивая ни одной линии более одного раза. Для этого мы решим общий вопрос о прочерчивании любой фигуры одним росчерком. Пусть дана некоторая фигура, состоящая из сети линий (например, на рис. 4а), соединяющих данные точки, которые мы назовем узлами. При этом предполагается, что любой узел соединен с любым другим некоторой цепью линий, которые могут проходить также через другие узлы. Назовем узел четным, если в нем сходится четное число линий, и нечетным, если число сходящихся в нем линий нечетное.

Докажем теорему: Если в сети линий все узлы четные, то ее можно прочертить одним росчерком, не зачерчивая ни одной линии более одного раза. Если же есть нечетные узлы, то число таких узлов всегда четное и наименьшее число росчерков, необходимых для зачерчивания фигуры, равно половине числа нечетных узлов (на рис. 4а все 4 узла нечетные, а потому для ее зачерчивания необходимо не менее двух росчерков). Пусть в фигуре нет нечетных узлов. Начнем зачерчивать ее, отправляясь от какого-нибудь узла Л. Проходя через любой узел S, мы зачерчиваем две линии: подходящую к S и выходящую из S. Следовательно, каждый раз число непрочерченных линий уменьшается на 2. Потому мы не сможем продолжать зачерчивание только тогда, когда вернемся в исходный узел А, и из него уже не будет исходить непрочерченных линий. Если при этом осталась какая-нибудь непрочерченная линия, исходящая из какого-нибудь узла В, лежащего на уже прочерченном пути, то мы могли бы изменить наш путь: дойдя до узла В, итти по непрочерченным линиям и, вернувшись в В, итти дальше до А. Отсюда видно, что можно так выбрать путь, чтобы вовсе не осталось незачерченных линий. Следовательно, отправляясь из любого узла Л, можно одним росчерком зачертить всю фигуру.

Допустим теперь, что в фигуре есть нечетные узлы. Назовем „минимальной системой росчерков“ такую совокупность росчерков, зачерчивающих данную фигуру, в которой число необходимых росчерков минимальное. Сколько таких минимальных систем может быть, мы не знаем, но очевидно, что хотя бы одна такая минимальная система существует. Представим себе такую минимальную систему росчерков.

В минимальной системе росчерков не может быть росчерков, имеющих общий конец (или начало; начало и конец росчерка играют одинаковую роль, так как, очевидно, всякий росчерк можно произвести в двух противоположных направлениях: от начала к концу и от „конца“ к „началу“). Иначе можно было бы соединить два таких росчерка в один (дойдя до конца одного, пойти по другому), и наша система росчерков не

Рис. 4а.

была бы минимальной. Поэтому всякий узел может служить концом только одного росчерка (в минимальной системе росчерков). Вместе с тем, проходя через любой узел, мы зачеркиваем две сходящиеся в нем линии. Поэтому, если в четном узле имеется конец одного росчерка, то в нем должен быть конец другого росчерка. Следовательно, четные узлы вообще не могут быть концами росчерков. Итак, концы росчерков имеются только в нечетных узлах и, как мы показали, в каждом узле только по одному концу. Вместе с тем не может быть, чтобы нечетный узел не был концом какого-нибудь росчерка. Действительно, проходя через узел один раз, мы зачерчиваем две сходящиеся в нем линии, а проходя через узел несколько раз, зачертим четное число таких линий. Поэтому нельзя прочертить все линии, сходящиеся в нечетном узле, не прочерчивая ни одной из них дважды и всякий раз проходя через узел. Следовательно, верно, что всякий нечетный узел является концом какого-нибудь росчерка.

Итак, мы показали, что в минимальной системе росчерков концы росчерков имеются только в нечетных узлах и в каждом узле по одному концу росчерка. Это значит, что в минимальной системе росчерков число концов росчерков равно числу нечетных узлов. Но каждый росчерк имеет два конца. Поэтому число нечетных узлов в два раза больше числа росчерков. Иными словами, число нечетных узлов четное, и минимальное число росчерков, необходимое для зачерчивания фигуры, равно половине числа нечетных узлов, что и требовалось доказать.

Эйлер решал и другие топологические задачи, однако, все они скорее любопытны, чем важны. Но в 1752 г. он доказал теорему, которая затем была обобщена другими математиками и вместе с тем оказалась в высшей степени полезной при решении целого ряда задач. Эта теорема будет стоять в центре нашего внимания. В несколько расширенной форме она состоит в следующем.

Пусть на поверхности шара нарисована сеть из m отрезков, не имеющих общих точек, кроме концов. Концы отрезков мы будем называть узлами сети.

Если несколько отрезков имеют общий конец, то он считается за один узел. Пусть в сети имеется к узлов. Сеть отрезков разбивает поверхность шара на несколько областей—таких, что из одной области в другую нельзя перейти, не пересекая отрезков сети. Пусть этих областей имеется всего я. Если сеть такова, что из любого узла сети можно попасть в другой, идя только по отрезкам сети, то число областей плюс число узлов равно числу отрезков плюс 2:

п -j- k = m -|- 2.

Нарисуйте шар и на нем любую сеть отрезков так, чтобы она не распадалась на несколько сетей, а чтобы из одного узла в другой можно было пройти по отрезкам сети, и проверьте эту теорему. Мы показали выше, что любая замкнутая выпуклая поверхность гомеоморфна поверхности шара. Поэтому только что сформулированная теорема Эйлера, поскольку ею устанавливается чисто топологический факт, может быть перенесена на любые замкнутые выпуклые поверхности, в частности на выпуклые многогранники. На всяком выпуклом многограннике ребра его образуют как раз такую сеть отрезков, какая требуется теоремой. Узлами здесь будут вершины, а областями — грани. Поэтому у всякого выпуклого многогранника число граней плюс число вершин равно числу ребер плюс два.

Приведем таблицу, иллюстрирующую этот факт.

Название многогранника

Число граней n

Число ребер m

Число вершин k

n - m + k

Куб .......

6

12

8

2

Октаэдр .....

8

12

6

2

Тетраэдр .....

4

6

4

2

Пирамиды, с р-угольником в основании ...

p+1

2p

p+1

2

Призма, с р-угольником в основании

р+2

2p

2

Бипирамида, доставленная из двух пирамид p-угольными основаниями

3p

p+2

2

4. Листинг. Узлы

Первая попытка систематического исследования некоторых топологических задач была сделана в 1847 г. математиком Листингом. Как он сам указал, его работа возникла под влиянием Гаусса из „анализа отдельных, сюда относящихся случаев, даваемых естественными науками и их приложениями“.1 Самый термин „топология“ был предложен Листингом. Он писал: „Под топологией мы будем понимать учение о законах связности, взаимного положения и следования точек, линий, поверхностей, тел и их частей или их совокупности в пространстве, независимо от отношений мер и величин“. Хотя это определение кажется теперь слишком расплывчатым, тем не менее легко видеть, что оно по существу совпадает с тем, которое было дано выше, ибо „связность, взаимное положение и следование независимо от отношений мер и величин“ сохраняются при топологических преобразованиях.

Среди задач, занимавших Листинга, особенно заслуживает внимания „проблема узлов“, которая, несмотря на простоту своей формулировки и давнее происхождение (как видим, она была поставлена уже почти 100 лет назад), до сих пор не получила полного решения.

Узлом в топологии называют замкнутую пространственную кривую, гомеоморфную окружности, но не могущую быть превращенной в окружность путем непрерывной деформации без разрезываний и склеиваний. Простейший пример узла дан на рис. 5. Возьмите нитку, завяжите ее узлом и скрепите ее концы.

Получится замкнутая кривая. Она гомеоморфна окружности. Действительно, если бы мы не завязали ее, а только скрепили концы, то получили бы замкнутую нить, которую можно растянуть в окружность. У этой окружности были бы все те же различные точки, что и у узла. Значит, соответствие здесь взаимно однозначное. Оно также взаимно непрерывное, потому что у точек, не являвшихся концами нити, окрестности вообще не менялись, а при скреплении концов в обоих случаях, как на узле, так и на окружности, окрестность точки, где произведено скрепление, одинаково составляется из окрестностей концов первоначальной нити. Отношение следования, соседства, связности точек узла и окружности одно и то же. Словом, они гомеоморфны. Тем не менее их нельзя превратить друг в друга, не прибегая к разрезываниям и склеиваниям. Кривая, изображенная на рис. 6, не является узлом, а только перекрученной окружностью, так как ее можно непрерывно, без разрезываний и склеиваний, деформировать в окружность.

Узлы можно завязывать бесконечным числом способов. На рис. 5, 7, 8 вы видите несколько примеров. Узлы считаются различными, если один нельзя превратить в другой, не прибегая к разрезываниям и склеиваниям, или, если угодно, к развязыванию и завязыванию.

Рис 3.

Рис. 6. Рис 7.

Рис. 8.

1 Листинг. Предварительные исследования по топологии.

Возникает задача: даны два узла, узнать — различны они в этом смысле или одинаковы.

Ставится и такая задача, „проблема классификации узлов“: указать правило, по которому можно было бы последовательно находить все более и более сложные узлы, не пропуская ни одного из них и не встречая одного и того же узла более одного раза. При этом, повторяем, различными считаются только такие узлы, которые нельзя превратить друг в друга без разрезываний и склеиваний.

Пример проблемы узлов очень поучителен в следующем отношении. Мы видим, что могут существовать гомеоморфные фигуры, которые тем не менее нельзя превратить друг в друга путем непрерывной последовательности топологических преобразований. Такие фигуры различаются не их внутренними свойствами (порядок, связность, соседство их частей одни и те же), а расположением в пространстве.1 Например, фигуры на рис 9 нельзя превратить одна в другую путем деформации в плоскости, но в пространстве это возможно. Точно так же два зацепленных друг за друга кольца нельзя разъединить, хотя они и гомеоморфны двум разделенным кольцам (рис 10). Из этих примеров мы видим, что топологическое преобразование, переводящее одну фигуру в другую, ей гомеоморфную, не обязательно должно производиться в виде непрерывной деформации. Можно фигуру разрезать на куски и эти куски потом склеивать. Важно только, чтобы после всего этого различные точки остались различными (взаимная однозначность) и бесконечно близкие точки остались бесконечно близкими (взаимная непрерывность; точнее, следовало бы говорить о сколь угодно малых окрестностях). Вообще в понятии преобразования играет роль только начальная фигура и конечный результат, но не являются существенными те конкретные операции, посредством которых этот результат достигается.

Превращая окружность в данный узел, ее можно разрезать в разных местах, деформировать и двигать отдельные части и затем склеивать их. Нужно только следить за тем, чтобы после всего этого разные точки остались разными, близкие — близкими, но неважно, где и как вы резали окружности, как деформировали и двигали ее отдельные части, лишь бы в результате получился данный узел, а не какой-нибудь другой.

Именно потому, что в понятие преобразования не входят конкретные операции, посредством которых оно производится, и не входят промежуточные стадии его, именно поэтому мы особо оговариваем, что узел не может быть превращен в окружность посредством непрерывной последовательности топологических преобразований, т. е. так, чтобы при всех промежуточных стадиях соответствие с исходной кривой было взаимно однозначным и непрерывным.

5. Элементарные поверхности

Основная проблема топологии состоит в том, чтобы уметь для двух данных фигур решить, гомеоморфны они или нет, и вместе с тем, когда возможно, перечислить все негомеоморфные, значит, топологически различные типы фигур. Эта задача в общей ее постановке слишком трудна, и топологи еще очень далеки от ее решения в не слишком простых случаях. Однако, много важного и интересного уже сделано в этом направлении. Мы приведем здесь пример решения этой основной проблемы топологии для замкнутых поверхностей, но не в самом общем виде. Речь будет итти об элементарных замкнутых поверхностях; это значит о таких, кото-

Рис. 9.

Рис. 10.

1 Узлы можно „развязывать“, не разрезая в четырехмерном пространстве.

рые можно осуществить в нашем пространстве посредством склеивания конечного числа многоугольных кусков плоскости. На рис. 11, 12, 13 даны примеры таких поверхностей. Это поверхности шара, кольца (тора), „кренделя“.

Рис. 11.

Рис. 12.

Рис. 13.

Легко усмотреть, что Поверхность тора гомеоморфна поверхности (на рис. 12Ь) шара с одной ручкой. Поверхность кренделя гомеоморфна поверхности шара с двумя ручками (рис. 13 о). Вырезая в поверхности шара пары дырок и приклеивая к краям этих дыр ручки, мы будем получать .тзсе новые и новые поверхности. Число ручек называется родом поверхности и обозначается р. Для шара р=0, для тора р=19 для кренделя р=2.

Можно доказать, во первых, что все эти поверхности топологически различны, т. е. ни одну из них нельзя превратить в другую путем топологического преобразования, что, впрочем, представляется в высшей степени очевидным. Во-вторых, можно доказать, что любая замкнутая поверхность, которую, как мы сказали, можно склеить из конечного числа изогнутых многоугольных кусков плоскости, обязательно гомеоморфна одной из таких поверхностей.

Как получить поверхность шара из двух многоугольных кусков плоскости, мы уже говорили: каждый из них следует согнуть в виде полушария и склеить друг с другом краями. Ясно также, что и шар с дырками можно получить аналогичным способом. Что касается ручки, то ее легко получить из прямоугольника, согнув его в трубку и склеив пару противоположных сторон так, как показано на рис. 14. Таким образом, поверхность с любым числом ручек можно будет склеить из конечного числа изогнутых кусков плоскости.

Рис. 14.

Топологическое различие поверхности шара от любой другой из приведенных здесь поверхностей состоит в том, что любая замкнутая кривая, не пересекающая сама себя (гомеоморфная окружности), разбивает шар на две области, в то время как на всякой другой поверхности есть такие же кривые, не разбивающие эту поверхность. Примером такой кривой может служить окружность, охватывающая ручку.

То, что всякая кривая, гомеоморфная окружности, разбивает шаровую поверхность или плоскость на две части, представляется в высшей степени очевидным. Однако, в понятие о такой кривой вовсе не входит это ее свойство. Это тем более ясно, что на других поверхностях она может не ограничивать никакой области. Поэтому не должно казаться странным, что в 1893 г. французский математик Жордан строго доказал теорему: всякая плоская кривая, гомеоморфная окружности, всегда разбивает плоскость на две и только две области. Эта теорема относится также к поверхности шара. Она поучи-

тельна в том отношении, что показывает, сколь строго относятся математики к тем понятиям, с которыми они оперируют, и сколь мало они доверяются „полной очевидности“. Если не держаться этого правила, то можно было бы доказать много „очевидных“, но неверных теорем. Например, для человека неискушенного может быть ясно, что всякая поверхность имеет две стороны: закрасив одну ее сторону, можно оставить другую незакрашенной. Однако, возьмите полоску бумаги, перекрутите ее на 180° и соедините концы. Получится поверхность, называемая листом Мёбиуса (рис. 15). Она имеет только одну сторону. Муха, ползущая вокруг нее, не пересекая края, вернется к прежнему месту, но с противоположной стороны. Край листа Мёбиуса состоит только из одной кривой. Отправляясь от любой точки края, вы можете обойти все его точки, не покидая его.

Проведем на листе Мёбиуса среднюю линию (она показана на рисунке). Эта линия имеет только одну сторону, а не две, как, например, окружность на плоскости. Идя вдоль нее, отправляясь из точки Л, можно, нигде ее не пересекая, попасть в точку В, лежащую напротив точки А. Поэтому если разрезать лист Мёбиуса по средней линии, то он не распадется на два куска, а превратится в замкнутую ленту, перекрученную на 360° и имеющую уже две стороны. Если эту ленту снова разрезать по средней линии, то получатся две зацепленные друг за друга ленты.

Рекомендуем читателю склеить из полоски бумаги лист Мёбиуса и убедиться на опыте в правильности наших утверждений. Напоминаем, что полоску бумаги следует перекрутить на 180°, т. е. так, чтобы при склеивании совпали углы, лежащие крест-на-крест.

6. О неподвижных точках

Задача о рассмотрении топологически различных замкнутых поверхностей, которой мы коснулись в предыдущем пункте, была решена впервые математиком Риманом з середине прошлого столетия. Решение это, однако, было строго обосновано только в более позднее время. Полезно тут же отметить, что Риман пришел к указанной задаче, отправляясь от вопросов совсем другой отрасли математики.

Однако, несмотря на работы Эйлера, Листинга, Римана и других математиков, топология до конца прошлого столетия находилась по существу в зачаточном состоянии. Отдельные, разрозненно поставленные задачи и уже доказанные теоремы сами по себе не представляли еще стройной системы, пронизанной едиными идеями и методами, и заслуживающей поэтому названия науки. Первый, кто ввел в топологию общие методы и понятия, послужившие основой для большинства дальнейших топологических исследований, был Пуанкарэ1. Поэтому он в большей мере, чем кто бы то ни было другой, заслуживает звания творца современной топологии. Его топологические исследования начались в восьмидесятых годах прошлого столетия. Мы не можем говорить здесь об общих понятиях и методах, введенных в топологию Пуанкарэ. Даже в той части, где они не требуют больших специальных знаний, понимание их довольно трудно. Сейчас остановимся на одном из конкретных результатов, полученных Пуанкарэ.

Представьте себе плоский кусок резины, скажем, кусок футбольной камеры. Он может быть произвольной формы с тем лишь условием, что в нем не должно быть дырок. С точки зрения топологии это означает, что он должен быть гомеоморфным кругу.

Положим наш кусок резины на стол и обведем карандашом его контур с тем, чтобы не забыть, какую точно область на столе он покрывал. Теперь возьмем этот кусок резины, сомнем его как угодно, растянем, сложим и склеим в несколько раз, следя, однако, за тем, чтобы он не разорвался. После этого

Рис. 15.

1 Анри Пуанкарэ (Henri Poincare), француз. (1854—1912), был одним из крупнейших математиков. Помимо топологических исследований, ему принадлежит целый ряд важных работ во многих других областях математики и ее приложении в механике, астрономии и физике.

положим его на прежнее место и придавим к столу так, чтобы он стал плоским. При этом не будем позволять ему принять старую форму, но позаботимся только о том, чтобы он не выходил из пределов контура, указывающего его прежнее положение.

Оказывается, что в результате хотя бы одна точка нашего куска резины попадет в точности на прежнее место, независимо от того, как бы мы ни мяли резину, лишь бы только не резать ее и придавить, не выходя за пределы того места, где она раньше лежала. Как ни изменили бы форму резины, в результате хотя бы одна точка попадёт в точности на свое старое место, т. е. останется неподвижной. Этот замечательный факт, строго математически доказанный Пуанкаре, не имеет ничего общего с механическими свойствами резины, он имеет чисто топологическую причину. Будем говорить, что фигура претерпевает непрерывное преобразование в себя, если, во-первых, в результате преобразования она не выходит из тех пределов, какие она раньше занимала, т. е. каждая ее точка попадает на место какой-нибудь другой ее точки (или остается на прежнем месте), и если, во-вторых, бесконечно близкие точки фигуры остаются бесконечно близкими, т. е. для сколь угодно малой окрестности всякой точки в новом положении найдется такая маленькая окрестность той же точки в прежнем положении, что эта последняя окрестность после преобразования целиком окажется лежащей в первой окрестности. Преобразование это может не быть взаимно однозначным: разные точки могут попадать в одно и то же место (резину можно складывать и склеивать).

Будем еще говорить, что при преобразовании точка фигуры является неподвижной, если она в результате этого преобразования остается на прежнем месте.

Введя эти термины, мы можем формулировать поясненную на примере с куском резины „теорему о неподвижной точке“: При всяком непрерывном преобразовании в себя любой фигуры, гомеоморфной кругу, существует хотя бы одна неподвижная точка.1

Попробуйте проверить это на примерах. То требование, что фигура гомеоморфна кругу, т. е. в ней нет дыр, существенно, так как если взять круглое плоское кольцо, то поворот его вокруг центра, скажем, на 90° будет непрерывным его отображением в себя, но при этом ни одна точка кольца не останется неподвижной.

В пространстве имеет место такая теорема: При всяком непрерывном преобразовании в себя любого тела, гомеоморфного шару, существует хотя бы одна неподвижная точка. Если взять кусок резины без дыр (например, резинку для стирания карандаша) и произвольно смять его так, чтобы он не выходил из своих прежних границ, то в результате хоть одна его точка окажется на прежнем месте.

Рассмотрим еще непрерывные преобразования в себя поверхности шара.

Если отразить поверхность шара в центре, т. е. если поставить всякую ее точку на место диаметрально противоположной, то получим непрерывное преобразование ее в себя. Непрерывность этого преобразования следует из того, что любая окрестность любой точки перейдет при этом в такую же окрестность точки, диаметрально противоположной. Как ясно из самого определения этого преобразования, оно не оставляет на месте ни одной точки поверхности шара. Оно обладает, однако, тем свойством, что его нельзя осуществить путем непрерывной деформации. Если же мы ограничимся такими непрерывными преобразованиями поверхности шара в себя, которые можно осуществить, непрерывно ее деформируя, то оказывается при любом таком преобразовании должна существовать хотя бы одна неподвижная точка. Это относится не только к поверхности шара, но и к любой другой, ей гомеоморфной, например, к выпуклой замкнутой поверхности.

Вообразите себе какое-нибудь выпуклое тело, скажем, яйцо, с натянутой на его поверхности замкнутой резиновой пленкой. Как бы вы ни двигали и ни деформировали эту пленку, не отрывая ее от поверхности тела, в результате всегда хотя бы одна точка ее окажется на прежнем месте.

Приведенные здесь теоремы о непо-

1 Доказательство этой теоремы, принадлежащее Пуанкарэ, см. в книге Гильберта и Кон-Фоссена, стр. 23.

движных точках, как мы говорили, берут свое начало от Пуанкарэ. Они были затем широко обобщены в работах многих топологов. Значение их далеко выходит за пределы топологии. Они служат мощным методом доказательств теорем в других отделах математики, математической физики и механики, которые при поверхностном рассмотрении кажутся не имеющими ничего общего с топологией.

7. Заключение

Оглядываясь на приведенные примеры топологических задач и теорем, можно видеть, что в них действительно отсутствует измерение. Если нам и приходилось прибегать к числам, то речь шла о числе областей, на которые разбивают сеть кривых поверхность шара, о числе „ручек“ у поверхности или о числе неподвижных точек. Эти числа вовсе не выражают результаты сравнения качественно одинаковых величин, в чем как раз и состоит измерение. Топологию можно поэтому характеризовать как науку о качественных свойствах геометрических фигур. Числа, которые в ней встречаются, выражают по существу опять-таки качественные различия, характеризуя взаимное положение и связь частей фигуры, как, например, число „ручек“ у поверхности. Формулы и вычисления, с которыми имеют дело топологи, относятся в большинстве случаев к малым числам, и в них фигурируют только простые арифметические действия.

Качественные, топологические свойства, как мы уже отмечали, связаны с геометрическими фигурами прочнее, нежели количественные. Они являются более основными, и многие количественные, метрические свойства фигур непосредственно зависят от их топологических свойств. Вместе с тем топология прочнее связана с наглядными пространственными представлениями, потому что порядок и связь точек, линий, поверхностей и тел являются более первоначальными в наглядном представлении, чем, например, тригонометрические функции углов. Пространственное представление выступает здесь в своем наиболее чистом виде, очищенное от элементов измерения.

Если бы не существовало твердых тел, то метрическая геометрия не была бы возможна, но топология осталась бы.

ЛИТЕРАТУРА

Александров и Ефремович. О простейших понятиях современной топологии. ОНТИ, 1936. (Это совершенно популярная книжка).

Гильберт и Кон-Фоссен, Наглядная геометрия. ОНТИ, 1936, гл. IV. Топология, (Эту прекрасную книгу следует рекомендовать вниманию каждого геометра. Написана она просто.)

Александров и Ефремович. Очерк основных понятий топологии. ОНТИ, 1936. (Первая глава, посвященная топологической классификации поверхностей, элементарна. Чтение III и IV глав требует сведений из теории групп.)

Радемахер и Теплиц. Числа и фигуры. ОНТИ, 1936. (Здесь топологическим вопросам посвящены очерки 2-й, 11-й, 13-й. В этой книжке в совершенно элементарной и вместе с тем изящной форме рассматривается целый ряд интересных математических результатов. Всякий студент или преподаватель математики должен познакомиться с этой книгой.)

Житомирский, Львовский и Милинский. Задачи по высшей геометрии, ч. 1. ОНТИ, 1935. (Здесь можно найти много интересных топологических задач, формулируемых совершенно наглядно и не требующих для своего решения больших знаний.)

МЕТОД ПОЛНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

Я. С. БЕЗИКОВИЧ (Ленинград)

Среди программных вопросов математики в средней школе неоднократно встречаются функции от целочисленной переменной. Такая функция есть переменная величина, зависящая от другой величины, например п, могущей принимать значения, равные только натуральным числам. Так, если задан первый член геометрической прогрессии ах и ее знаменатель q% то я-й член ап прогрессии определяется формулой:

Написанное выражение для ап представляет функцию от одного целочисленного аргумента п.

Сумма п членов прогрессии при заданных первом члене av разности d и знаменателе q\

сумма одинаковых степеней п натуральных чисел:

p4-22-f ... + /г2; 13 + 23 + ...+/г3;

число перестановок из п элементов Prt— все это функции от одного целочисленного аргумента п.

При заданном m число размещений А% из п элементов по т, число сочетаний С™ из п элементов по m являются функциями от целочисленного аргумента п. При заданном п это функции от целочисленного аргумента т, причем m может принимать значения целых положительных чисел, не превосходящих п. Вообще С™ и А™ функции от двух аргументов, которые могут принимать только значения, равные натуральным целым числам.

При установлении различных свойств функции от целочисленного аргумента очень широко пользуются методом математической индукции.

Для выяснения сущности метода возьмём пример. Пусть требуется доказать, что сумма

(1)

при всяком п равна

(2)

Непосредственной проверкой мы могли бы убедиться, что эта формула остается верной для всех значений п, меньших и равного некоторому выбранному нами целому числу т. Так при я—1 сумма (1) приводится к одному члену 12 = 1, и этот результат получается из формулы (2):

При п = 2 выражение (1) приводится к сумме

p-f 22 = 1 + 4 = 5,

и формула (2) даёт тот же результат. Но на каком бы значении п мы ни остановились, ничто не даёт права на утверждение общей справедливости формулы (2). Можно построить многочлен от п, значения которого совпадают со значениями суммы (1) для всех целых значений п от 1 до /V, а для n = N-\-l уже не совпадают.

Возьмем, например, многочлен

Р9(п)= -Зл3 + 20,5 /г2 —36,5 п + 20(3)

и вычислим значения его при л = 1, 2 и 3. Имеем

Р3(1) = 1; Р3(2) = 5; Р8(3) = 14.

Значения суммы (1) при п — \, 2, 3 соответственно равны

Таким образом, при ft—1, 2 и 3 значения многочлена (3) совпадают со значениями суммы (1). Однако, недопустимой неосторожностью было бы заключить, что многочленом (3) определяются суммы (1) при всяком целом п. Это неверно, ибо, как легко вычислить, при п = 4 значение многочлена равно 10, а сумма (1) при том же п равна

12_^22 + 32 + 42 = 30.

Возьмем многочлен 4.-й степени.

Этот многочлен при л=1, 2, 3, 4 принимает соответственно значения

1; 5; 14 и 30,

совпадающие со значениями суммы (1); но этот многочлен также не определяет

сумм (1), потому что при п = 5 значение многочлена равно 3, а сумма (1) при этом п равна

pa. 2*-|-32 + 42 +5* = 55.

Можно сконструировать многочлен более высокой степени N так, чтобы его значения совпадали со значениями суммы (1) при всех значениях л от 1 до N и расходились при n = N-\-\.

Приведем еще пример, отчетливо поясняющий сказанное.

Рассмотрим функцию

где X принимает последовательно значения

- 20,— 19,— 18,.. . ,— 1, 0, 1, 2,.. . .,20.

Составим таблицу значений функции:

Вычислим разности смежных значений функции, вычитая из последующего предыдущее. Имеем:

Таким образом, величина разности 20 раз подряд оказывается равной

—но, очевидно, было бы ошибкой считать ее всегда равной —, ибо после того, как у приняло значение 0, следующая разность равна —. Если рассматривать функцию

и придавать х значения целых чисел от — 1 000 000 до 1 000 000, то разности для смежных значений функции, получаемых, как в предыдущем, окажутся 1000 000 раз подряд равными (—! 000 000 ) > а затем станут равными

Таким образом, эти примеры показывают, что как бы ни было велико число значений п, на которых мы проверили формулу (2) или какую-нибудь другую, заключений об общности формулы делать нельзя.

На примере суммирования квадратов натуральных чисел покажем, как должны вестись рассуждения для доказательства общности замеченного закона.

Положим, что формула (2), справедливость которой для некоторых значений п мы установили, верна при n = k и докажем, что при таком предположении формула остаётся верной и при лг = /г —f- I. Таким образом, на основании предположения

(4)

требуется же установить, что в таком случае

Имеем

и на основании (3)

Вынося k-\-\ за скобки из выражения правой части, получаем последовательно:

Выражение 2k2-\-7k-{-6 разлагается на множители; в самом деле

2ftS+7Jfe + 6 = (Ä + 2) (2k+ 3)

и, следовательно,

Таким образом, из сделанного предположения относительно справедливости формулы (2) при п = к вытекает справедливость формулы и при n = k+l.

Если же формула верна при п = к + 1, то на основании доказанного она верна и при следующем целочисленном значении п, т. е. при п = к-\-2, а отсюда, на основании доказанного, следует ее справедливость и при n = k-\-§, и т. д.

Сделав предположение, что формула (2) верна для п — кУ мы убеждаемся, что она остается верной при любом, большем, чем ft, целом значении п. Чтобы убедиться, что формула верна для всей последовательности натуральных чисел, достаточно после доказанного установить, что формула верна при fly равном 1 (а это имеет место). Тогда из доказанного следует, что формула верна при п — 2 и при п = 3 и т. д.

Метод, употребленный нами при установлении формулы (2), называется методом полной математической индукции.

Формулируем сущность метода.

При установлении какого-нибудь закона для функции от целочисленного аргумента п:

I) устанавливается этот закон при п=\\

II) предположив справедливость закона при каком-нибудь определенном значении n = k, доказываем, что закон остается в силе и при n = k-\-l.

Нельзя ограничиться одной только второй частью метода. Доказав только распространимость закона на значение п, равное к+1> в предположении справедливости закона для п = ft, мы не имеем права делать общих заключений о законе, так как может оказаться, что ни при каком ft установить этого закона нельзя. Простой пример разъяснит сказанное.

Положим, что

ft>ft + l. (5)

Прибавляя к обеим частям неравенства по 1, имеем

ft + l>ft + 2. (6)

Если бы неравенство (5) имело место при каком-нибудь целом к, то оно имело бы место при всяком целом, большем ft, т. е. всякое последующее число было бы меньше предыдущего. Это, конечно, неверно. Мы только показали переход от k к k-\-1, но нн для какого к справедливость неравенства (5) не была установлена.

Приведем второй пример. Положим, что при некотором целом к произведение

1-2-3.-.(ft— 1) * ft (7)

является иррациональным числом. Умножая это произведение на ife + 1, получаем произведение

1-2 - »..-.(* —1) • k • (ft + 1). (8)

Если произведение (7) иррациональное число, то и произведение (8) иррациональное число, так как оно получается умножением иррационального числа (7) на целое число ft + 1-

Однако, несмотря на то, что переход от к Kft-f-1 устанавливается, нельзя утверждать, что произведение

1 • 2* 3... п

есть число иррациональное при всяком целом п, так как ни при каком п мы этого не установили и установить не можем. Напротив, легко устанавливается, что при всяком п это произведение рационально.

Метод индукции должен стать аппаратом, привычным и совершенно понятным для окончивших среднюю школу. Поэтому усвоение его должно итти не

только по линии изучения теории, но и по линии решения задач. Приведем некоторые из задач, которые могут быть предлагаемы учащимся на применение метода в различных отделах школьного курса математики. 1. Показать, что

I) При л=1 левая часть приводится к одному слагаемому, а именно 1 • 2; правая часть приводится к выражению

Таким образом, рассматриваемая формула верна при п—\.

II) Полагаем, что эта формула верна при /г = А, т. е. что

и докажем, что в таком случае она верна и при n = k-\-\, т. е., что

В самом деле:

Таким образом: I) формула верна при п=\ и II) если формула верна при n=k, то она верна и при n = k-\-\. В таком случае формула верна при всяком целом положительном п, как это следует из общих соображений метода.

Точно так же можно показать, что

и вообще, что

2. Показать, что

I) При п — 1 левая часть приводится к одному слагаемому ——. К этой же дроби приводится и правая часть при п=1, так как

Итак формула верна при л=1. II) Полагаем, что эта формула верна при n = k, т. е. что

и докажем, что в таком случае она верна и при n — k-\-\, т. е. что

В самом деле,

Приводя обе дроби к общему знаменателю, получаем

Раскрыв скобки в числителе и выполнив несложные преобразования, получим:

После подстановки полученного результата в выражение Uk+l и сокращения получаем

Так как формула верна при п = \, то после доказанного она верна при всяком п.

3. Показать, что

I) При п— 1 имеем

Таким образом, при п= 1 закон верен.

II) Полагаем, что закон верен при#=&, т. е. что

и докажем, что в таком случае закон верен и для п = к-\-\. Имеем

Так как

то

Из доказанного следует, что формула

остается верной при всяком я.

4. Показать, что

при всяком целом п.

Применяем метод математической индукции:

Принципиально этого было бы достаточно (как это будет видно из дальнейшего), так как &1д = 1 представляет одну из возможностей закона. Лучше, однако,рассмотреть и п = 2, чтобы закон выявился вполне. Имеем

II) Полагаем, что этот закон верен при n==k, т. е. что

и докажем, что в таком случае он верен и для п = кАг\л т. е. что

Для доказательства заметим, что

и, следовательно,

Так как модуль суммы меньше или равен сумме модулей, то

Модуль произведения

равен произведению модулей:

и, следовательно,

Согласно предположению

Следовательно,

Неравенство верно при п=1, следовательно, оно верно при всяком целом я.

Метод математической индукции может допускать некоторые изменения. Следующий пример представит иллюстрацию одного из возможных изменений

5. Пусть

Отсюда

cos(ft+l)6==2cosft6cose—cos(ft—1)6.

Замечаем, что cos (ft+l)6 выражается через

COSft6 и cos {к— t)ö.

Поэтому доказательство в данном случае проведем так:

I) Устанавливаем, что этот закон верен для двух последовательных значений /г, а именно: п=\ и п=2.

Имеем:

cos6=x—многочлен 1-й степени, cos26=2cos26—1=2;с2— 1 — многочлен 2-й степени.

II) Предполагаем, что доказываемый закон верен при двух последовательных значениях я, например,

n=k—1 и n=k

и докажем, что в таком случае закон верен и при

Таким образом, полагаем, что

a) cos (ft — 1) 9 — многочлен степени ft— 1 от х\ в) cos ft6 — многочлен степени ft от х.

Доказать мы должны, что в таком случае cos (ft + 1)6—многочлен степени ft+1 от X.

На основании формулы:

cos (ft+l)e = 2cosft9cos6—cos (ft—1)6,

Согласно предположению a) cosft9— многочлен степени ft и, следовательно,

2cosft9cos9=2.x;cosft0

представляет многочлен степени ft+1-й. Согласно предположению b) cos —1)8— многочлен степени ft—1-й. Следовательно, cos (£+1)0— многочлен степени ft+1-й.

На основании доказанного можно утверждать, что cos/гб при всяком целом п—многочлен степени п от х, если cosb=x.

При /1=1 и п=2 это верно, а в таком случае это верно и при п=3; при п=2 и п=3 это верно, следовательно, это верно и при я=4 и т. д.

Так же можно показать, что sinQ представляет многочлен степени /г—1 относительно x=cosö. Преобразуем sin (tf+1) 6, имеем

sin (ft+l)9 = sinft9cos9+cosft9sin6.

По формуле для произведения синуса на косинус получим:

Откуда

Таким образом, sin (ft+1) Ô выражается через

sinftô и sin (ft—1)6,

поэтому доказательство проводим так же, как в предыдущем примере.

Для упражнения рекомендуем доказать следующие два интересных тождества:

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

ТРИГОНОМЕТРИЯ У ДРЕВНИХ ГРЕКОВ

И. В. ВАЙНШТОК (Левашово)

I. Введение

История тригонометрии насчитывает несколько тысячелетий. В своем развитии с древнейших времен тригонометрия прошла ряд этапов. Прежде всего интересно отметить, что возникновению прямолинейной тригонометрии предшествовал длинный период преимущественной разработки сферической тригонометрии.

Выделение тригонометрии в особую отрасль математики произошло в более позднюю эпоху Возрождения (отчасти ее самостоятельное значение было осознано арабами во времена, предшествовавшие эпохе Возрождения), когда богатство эмпирически накопленного научного материала и общий подъём научного познания способствовали выработке теоретической системы тригонометрии. В древнем же мире, как на Востоке, так и в античном мире, тригонометрия мыслилась лишь как вспомогательная система вычислительных приёмов на службе астрономии и астрологии.

Астрономия и предшествующая ей псевдонаука астрология, как известно, были развиты уже в древнейшие времена у культурных народов Востока (халдеев, египтян, греков и др.), что было связано с настоятельными хозяйственными потребностями, а также с религиозными представлениями этих народов. Этим обстоятельством определялся прикладной характер тригонометрии.

История тригонометрии распадается на три больших периода:

а) период эмпирического накопления фактов у древнейших культурных народов (египтян, халдеев, греков до Гиппарха);

в) период созревания основных тригонометрических представлений, научной обработки всего накопленного до этого времени материала и обогащения тригонометрии новым содержанием и более совершенными методами исследования (тригонометрия греков, индусов, арабов);

с) период сформирования тригонометрии в самостоятельную дисциплину (новое время — после Региомонтана).

II. Первоначальные сведения древних греков по тригонометрии

Культура Греции имеет свои корни в древнем Египте и Вавилоне. В области математики и астрономии египетские и вавилонские жрецы были первыми учителями греков; оттуда были занесены первые семена науки, которые в Греции нашли благодатную почву.1

В Египте тригонометрические сведения применялись уже в глубокой древности в архитектуре. У египетских архитекторов существовал особый термин „Segt“, который представляет собою некоторую тригонометрическую функцию (cosinus или cotangens). Детальный разбор геометрических задач, имеющих отношение к тригонометрии египтян, приведен в статье Д. Цинзерлинга „Математика у древних египтян“ в журн. „Математика в школе“ за 1939 год, № 3.

На египетское происхождение тригонометрических измерений у греков указывают сведения, дошедшие до нас от

1 Вавилонянам принадлежит деление круга на 360 частей. Вероятно, они подметили, что хорда равна радиусу для дуги, составляющей 1/в часть окружности (60°). От них перешло употребление шестидесятичных долей к грекам и к другим культурным народам.

первых греческих математиков-астрономов.

Так например, Фалес из Милета (624-548 гг. до н. э.), живший долгое время в Египте, измерял по тени пирамиды её высоту. По словам Диогена Лаэрция, он достиг этого, „наблюдая тень пирамиды в тот момент, когда наша (тень) имеет такую же длину, как и мы сами“. Кроме того, Фалес знал, как пользоваться подобием треугольников, ибо только этим путём он мог определить расстояние корабля от гавани Милета. В тесном отношении с тригонометрией в Греции впоследствии выступают измерения тени с помощью гномона,1 который имеет вавилонское происхождение.

Греческий историк Геродот (484— 425 гг. до н. э.) ясно указывает: „Солнечные часы и гномоны, как и разделение дня на 12 часов, греки переняли у вавилонян“.

В Элладе гномон вводится впервые учеником Фалеса—Анаксимандром (611— 545 гг. до н. э.). Это убеждает нас в том, что греки древних времён пошли не намного дальше своих учителей египтян и халдеев. Лишь у астронома Аристарха Самосского (270 л. до н. э.), автора сочинения „О размерах и расстояниях солнца и луныа, мы встречаем самостоятельные попытки определить тригонометрические отношения с помощью вычислений по так называемому методу лунных дистанций.

Этот метод служил ему для определения отношения расстояний луны и солнца от земли. У него впервые выступают тригонометрические отношения, для которых он устанавливает границы:

роны луны. Пусть А — положение солнца, В — положение луны, С — положение наблюдателя (черт. 1). Чтобы была освещена половина луны, надо чтобы лучи солнца падали на неё перпендикулярно прямой ВС. Из треугольника ABC имеем —^- = cosot. Этот способ теоретически правилен, но практически непригоден, так как необходимо точно измерить угол, и трудно определить момент, когда освещена точно одна половина луны.

К более позднему периоду относятся предложения (формулы) для определения площади правильного многоугольника посредством умножения квадрата стороны на определенные данные числа. Эти формулы помещены в сочинении „Об измерении полей“ Герона Александрийского (в I в. после начала н. э.) и заключаются в следующем:

„Если площадь многоугольника из п сторон обозначить через Sn, сторону через /п, то получаем такие числа:

Черт. 1.

Если примем

то

мы получим соответственно тригонометрические выражения этих числовых коэфициентов. Согласно исследованиям Таннери, эти формулы получены примитивными частными приёмами, и не было общего метода для их определения.

Помимо ценных практических и теоретических трудов по механике и землемерию, Герон дал много нового в прямолинейной тригонометрии. Ему принадлежат следующие формулы:

1 Гномон —самый древний астрономический прибор для измерения высоты солнца и направления истинного меридиана.

Герону принадлежит также описание теодолита, улучшенного им и приспособленного к геодезическим работам.

В сочинениях Герона трудно указать, что принадлежит ему самому и что он взял у египтян. В отличие от других греков того времени он не пользуется шестидесятыми долями, это доказывает, что он многое взял прямо от египтян. Тем не менее его труды сыграли крупную роль, так как по ним учились землемерному искусству и другим практическим приложениям геометрии в течение долгого времени.

Таким образом, в древнейший период истории тригонометрии, благодаря наблюдениям и опыту, все больше и больше накоплялись математические знания и вырабатывались первые тригонометрические представления (Египет, Вавилон, Фалес, Аристарх); с другой стороны, появились попытки практических опытных вычислений. Необходимо было обработать имеющиеся факты и привести их в связь с теорией. Эту задачу и взял на себя Гиппарх.

III. Хордовое исчисление у Гиппарха и Птолемея

Гиппарх, отец астрономии, один из самых замечательных людей древности, родился в Никее, в Вифинии. Его деятельность относится к периоду между 160 г. и 125 г. до н. э. Он работал в своем родном городе, затем на острове Родосе, принадлежавшем тогда Египетскому государству, и, наконец, в Александрии. Укажем главнейшие из его трудов и открытий:

a) тщательный каталог, в котором указаны положения 1022 звёзд;

b) открытие явления „прецессии“, т. е. предварения равнодействий (140 г. до н. э.);

c) эксцентрическая теория земли, первая по времени и математически обоснованная;

d) определение положения места на земной поверхности при помощи широты и долготы;

e) составление таблицы хорд, т. е. начала тригонометрии;

f) теория солнечного и лунного движения.

Гиппархом написан „Трактат о хордах дуг круга“ в 12 книгах, не дошедший до нас. В этом труде впервые приведена таблица хорд, ее приложение для решения треугольников, а также основания сферической тригонометрии, необходимой для астрономии.

Вычисленные Гиппархом таблицы хорд дают для каждого а значения хорды AB (черт, 2).

Черт. 2.

Сочинения Гиппарха большей частью вошли в знаменитый „Великий свод астрономии“, переиначенный впоследствии арабами в „Альмагест“ Птолемея.

Клавдий Птолемей — греческий геометр, астроном и физик. Жил в Александрии в 1-й половине II в. до н. э.

В его сочинении „Альмагест“, состоящем из 13 книг, содержится всё, чем имя автора стало знаменитым в астрономии, в том числе всё созданное им по тригонометрии. Вычисление таблицы хорд он настолько упростил, что в одной небольшой IX гл. 1-й книги изложил то, чему его предшественники посвящали обширные труды.

Птолемей делит окружность на 360 и диаметр на 120 частей. Длины хорд выражаются в 60-ричной системе, чтобы избежать дроби. Радиус = 60^, каждое р делится на 60', а затем на 60“. Эти части были названы по-латински partes minutae primae и partes mimitae secundae. Из этих слов произошли наши названия „минута“ и „секунда“. Этот метод шестидесятиричного деления имеет вавилонское происхождение и был известен еще Гиппарху. Но метод вычисления хорд является оригинальным и принадлежит Птолемею.

В основу вычисления хорд всех дуг от 0° до 180° с промежутком в

Птолемей положил четыре основных принципа.

I. Зная величину хорды (как стороны правильного вписанного в окружность многоугольника) и принимая диаметр за 120, можно вычислить длину хорды для дуги дополнительной до полуокружности.

Из геометрии Эвклида были известны выражения сторон правильных 10-, 5-, 6-, 4- и 3-угольников в долях радиуса, откуда получаем:

crd 36° — 37р4'55“; crd 72° = 70р32'32“; crd 60° = 60р; crd 90° Щ 84р51'10“;

crdl20°=103p55'23“.

Если диаметр равен 120, то по теореме Пифагора

а = |/ 1202 — Ь2 (черт. 3).

Черт. 3.

Например:

II. По хордам двух дуг, меньших полуокружности, можно определить хорду разности или суммы этих дуг.

Для доказательства этого предложения Птолемей прибегает к вспомогательной теореме, носящей его имя, но открытой еще Гиппархом:

„Прямоугольник, построенный на диагоналях вписанного в круг четырёхугольника, равен сумме прямоугольников, построенных на противолежащих сторонах“.

Вычисления он производит так:

а) Даны хорды AB и АС, вычислить хорду дуги СВ, равной разности этих дуг (черт. 4). Проведя диаметр AD и разделив его на 120 частей, получаем по теореме Пифагора:

Черт. 4.

для вписанного четырёхугольника ABCD по теореме Птолемея получится:

или

или

откуда

Отсюда определяется crd 12°, как хорда разности 72° и 60°:

crd 12° = crd (72° - 60°) =* 12р32'56“.

b) Даны хорды AB и ВС, найти хорду АС дуги, равной сумме этих дуг (черт.5),

Черт. 5.

предполагая, что не только дуги AB и ВС менее половины окружности, но что такова же и дуга АС (их сумма).

Если проведём диаметры AD и BE, то хорды AB и DE будут равны (т. к. к^АВ = \^DE), и из четырёхугольника BCDE получится

BD • СЕ = ВС • DE-\-+ BE • DC или

откуда определяется АС.

III. Зная хорду какой-либо дуги, можно вычислить хорду половинной дуги.

Дана хорда дуги СВ, найти хорду половины её дуги CD (черт- 6). На диаметре АС откладываем АЕ = АВ9 и пусть DF есть перпендикуляр к АС.

Два треугольника ABD и EAD равны (Л£=Л£, AD общая и /_BAD = £DAC), следовательно, DE = BD = DC и /\DEC—равнобедренный; откуда FC =60 — 120е — ВСК

Черт. 6.

С другой стороны, имеем:

откуда

из этого равенства получается значение для CD.

Отсюда находят, например:

IV. Желая построить таблицу хорд для всех дуг от 0° до 180° с промежутком в 7*°» Птолемей вводит метод интерполирования. С этой целью он сперва доказывает теорему (известную ещё Аристарху), что „частное от деления большей хорды на меньшую меньше частного от деления соответственно стянутых дуг“.

Пусть AB и ВС (черт. 7) дуги одной и той же окружности и дуга ВС больше дуги AB.

Черт. 7.

AB и ВС хорды соответственных дуг, а АС—хорда суммы этих дуг.

Проводим BD биссектрису угла В и хорды DA и DC, опускаем из точки D перпендикуляр DN на АС. Радиусом DE описываем дугу, с одной стороны, до пересечения с AD в точке F и, с другой, до пересечения с DN в точке М. По теореме о биссектрисе угла в треугольнике имеем:

AB :ВС=АЕ :ЕС, но АВ<ВС, следовательно, и АЕ<^ЕС.

Это значит: Л£<АС, Е находится между А и N, отсюда AD>DE>DN. Из этого следует, что F лежит на самой AD, Ж—на продолжении ZW. Тогда сектор /Э/Г/^треугольника DEA и сектор о£7И>треугольника DEN.

Из этих неравенств вытекает:

и отсюда

но

следовательно,

Прибавим к обеим частям неравенства по 1:

Отнимем по единице:

но

и, наконец,

Например:

Сравнивая их, получим:

т. е. искомая хорда дуги в 1° заключена между пределами

Границы, между которыми заключена хорда 1°, не больше одной секунды (1/432 000 диаметра) и приближенно хорда Г = 1Р2'50“ = 1 — стодвадцатой доли диаметра. Отыскав значения хорды 1 — , Птолемей определил хорду -~° и дальнейшим интерполированием вычислял и все другие хорды с промежутком ву , 1°, 1— , 2°, 2- и т. д. до 180° включительно.

Таким образом, была составлена Птолемеем „Таблица хорд круга“— это первые тригонометрические таблицы.

Сравнивая эту таблицу с нашей таблицей синусов, мы убеждаемся, что составленная Птолемеем таблица хорд с промежутками в 30' справедлива для шести десятичных знаков. Само собою разумеется, что терминология и обозначения у Птолемея совершенно отличаются от тех, которые употребляются в современной тригонометрии. Вместо нашего „синуса“ он рассматривает „хорду двойной дуги“.

Так как синус какой-нибудь дуги есть половина хорды двойной дуги, то эта таблица играла ту же роль, какую в наше время играет таблица синусов дуг до 90°, составленная через каждую четверть градуса. Таким образом, можно получить, хотя с помощью довольно утомительных выкладок, все те же результаты, к которым в наше время приводит прямолинейная тригонометрия.

Тригонометрией в древности занимались не ради ее самой, а ради приложения ее к астрономии. Астрономам было особенно важно уметь производить вычисления сферических треугольников, и поэтому сферическая тригонометрия была необходимее и развилась раньше прямолинейной. Так, например, еще Менелай из Александрии (за 100 л. до н. э.) доказал некоторые теоремы сферической тригонометрии, одна из которых носит его имя. Сочинения Менелая, как и Гиппарха, не дошли до нас. У Птолемея изложение сферической тригонометрии является также более полным, чем изложение прямолинейной. Однако, в „Альмагесте“ имеется ряд вычислений плоских треугольников. С помощью применения теоремы Пифагора к вписанному прямоугольному треугольнику определяется хорда двойной дуги. В одном из своих сочинений, в небольшом трактате Птолемей пользовался полухордами (нашими синусами), но вопрос этот им не был разработан.

IV. Тригонометрия греков после Птолемея

Греки позднейших времен восприняли труды Птолемея, но в тригонометрию ничего нового не внесли.

Из его последователей остановимся на комментаторе „Альмагеста“ Феоне Александрийском. Феон Александрийский (355—372 гг. н. э.) производил астрономические наблюдения в Александрии и издавал „Начала“ Эвклида. Его комментарии к „Альмагесту“ ценны лишь историческими примечаниями и внесением большей точности при повторении птолемеевых вычислений.

Подведя итоги в развитии греческой тригонометрии, следует отметить следующие ее характерные черты:

a) Тригонометрия у греков не была самостоятельной наукой, а была вычислительной главой в астрономии и развивалась совместно с последней.

b) Сферическая тригонометрия развивалась быстрее, и ее теоретические основания (Менелай, Птолемей) были разработаны раньше, чем прямолинейной.

c) Греки как чистые математики-геометры тригонометрией не интересовались. Греческие математики имели столь „возвышенное“ представление о достоинстве своей науки (чисто умозрительной и абсолютно строгой), что из своих классических трудов они удаляли все, что не казалось им абсолютно строгим, и с пренебрежением относились ко всяким приближенным вычислениям.

d) Прямолинейная тригонометрия была чужда древним, и в землемерии ее почти не применяли.

e) Не был выработан символический язык в математике и вместо него употреблялись словесные рассуждения.

После разрушения Александрийской академии (в IV в. н. э.), в стенах которой математика и астрономия процветали в течение нескольких веков (300 л. до н. э.—392 г. н. э.), науки пришли в упадок.

Пережившие погром (в 415 г.) ученики последней александрийской „неоплатонической“ школы бежали в Афины: но и Афинская школа закрылась в 529 г. императорским декретом, воспрещавшим языческое обучение.

МЕТОДИКА

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ШКОЛЕ

Проф. В. М. БРАДИС (Калинин)

От учителей математики, особенно начинающих, нередко приходится слышать вопрос: как поставить в школе решение задач на тот или иной отдел программы (на составление уравнений, на геометрические построения, на тригонометрические уравнения и т. д.)? Обобщая то, что приходится отвечать на эти вопросы, естественно рассмотреть, каким требованиям должно удовлетворять решение всякой математической задачи в школе и как обеспечить выполнение этих требований. Настоящая статья является попыткой ответа, хотя бы в самой общей форме, на оба последних вопроса

Но предварительно полезно условиться относительно смысла самого термина „математическая задача“. Оставляя совершенно в стороне большой методологический вопрос о взаимоотношениях между математической теорией и математической практикой, ограничим себя рамками методики преподавания математики в самом тесном смысле слова: что такое „задача“ для школьника, изучившего или изучающего некоторый раздел школьного курса математики? Правильным представляется следующий ответ: „задачей“ следует называть любой математический вопрос, для ответа на который недостаточно простого воспроизведения некоторой части пройденного курса. Если принять это определение, т. е. считать, что термины „задача“ и „упражнение“ равнозначащи, то вопрос, например, о том, как с помощью циркуля и линейки разделить данный отрезок пополам, не является „задачей“ для школьника, изучившего по учебнику раздел „Основные задачи на построение“; вопрос же о том, как, например, доказать, что биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны, является задачей (если этот вопрос не был разобран в теоретической части курса), а именно — задачей на доказательство. Наиболее простые задачи, состоящие в одном лишь применении того или другого установленного в теоретической части курса предложения (правила, формулы, теоремы) к данному частному случаю, будем называть „примерами“ (при этом существенно, чтобы выбор применяемого предложения подсказывался условием задачи и не вызывал затруднений). Все задачи, не сводящиеся к примерам, можно назвать „задачами в собственном смысле слова“. Итак, примеры мы будем рассматривать как простейшие задачи, а не противополагать их задачам.

Бывают задачи, решение которых требует расширения существующей теории, но школьные задачи обычно решаются на основе известных из теоретического курса предложений; вся трудность здесь в надлежащем выборе этих предложений, в комбинировании их, во введении разного рода дополнительных преобразований, дополнительных элементов фигуры, делающих возможным применение тех или иных предложений. Иногда вся трудность задачи сводится к математическому оформлению ее условий, к переводу их, так сказать, на общепринятый математический язык (решение задач на составление уравнений). В то время как решение задач-примеров имеет целью либо содействие лучшему усвоению теории, либо тренировку в технике применения того или иного приема, решение задач в собственном смысле слова имеет целью развитие математического мыш-

ления и является первичной формой творческой исследовательской математической работы. В этом и заключается значение задач в школьном курсе математики.

Задачу можно считать решенной тогда и только тогда, когда найденное решение 1) безошибочно, 2) обосновано, 3) имеет исчерпывающий характер. Эти три требования являются совершенно категорическими; при невыполнении хотя бы одного из них решение или вовсе непригодно (если оно неверно), или неполноценно (если оно верно, но не обосновано или верно и обосновано, но не полно). Кроме этих трех обязательных требований, можно указать еще следующие три необязательных, но желательных: 4) решение задачи должно быть по возможности простым; 5) оно должно быть надлежащим образом оформлено (запись решения); 6) желательно, чтобы был ясен путь, приводящий к решению.

Рассмотрим более подробно каждое из этих шести требований.

1. Безошибочность решения. Прежде всего возникает вопрос, как убедиться, что найденное решение правильно. К сожалению, в глазах большинства школьников единственное средство проверить себя это заглянуть в ответ, данный в конце книги. Конечно, ответы в задачниках — вещь очень полезная, дающая большую экономию времени и сил, и их надо использовать. Необходимо, однако, приучать школьников и к самопроверке: жизнь, ставя задачу, обычно не дает никакого готового ответа на нее, да и в задачниках ответы бывают не всегда. Особенно важно, чтобы школьник сумел с честью выйти из того затруднения, в какое он попадает в случае неверного ответа, указанного в книге (опечатка или ошибка в ответе или в тексте задачи). Надо знакомить учеников с приемами проверки (контрольные формулы, подстановка найденного корня в данное уравнение, проверка решения аккуратным чертежом, повторное вычисление по возможности другим способом и т. д.) и от времени до времени упражнять их в их применении. Весьма полезна предварительная грубо приближенная оценка искомой величины („прикидка“), позволяющая сразу обнаружить неправильность ответа во многих случаях. Приучать к самопроверке следует уже на занятиях по арифметике (во всех классах), где это особенно просто, но применяется она в настоящее время очень редко.

Из-за чего бывают ошибки в решении и как с ними бороться? Наиболее часто — это простые недосмотры, борьба с которыми есть борьба за внимательное, вдумчивое отношение ко всему, что школьник говорит и пишет. Далее идут ошибки в применении различных правил и теорем, обусловленные недостаточным их усвоением; они тем реже, чем лучше изучена теория. Немало встречается ошибок логического характера: прямую теорему смешивают с обратной, не понимают связь прямой теоремы с противоположной, берут частный случай и из него делают неправильный общий вывод и т. д. Анализ допущенных учащимися ошибок, указания на способы их разыскания, исправления, предупреждения — одна из очень видных задач, стоящих перед учителем математики Имеют некоторое значение и меры предупредительного характера — разбор типичных, распространенных ошибок, в частности разбор математических софизмов (ложных доказательств).

Основное значение имеет воспитание чувства ответственности учащихся за полученное ими решение. Достоверность получаемых результатов есть одна из характерных особенностей математики, и надо добиваться, чтобы школьник действительно гарантировал правильность своих утверждений, или, по крайней мере, чтобы он ясно различал то, что безусловно установлено, от того, что является лишь более или менее вероятной догадкой. Когда на приемном экзамене в вуз экзаминатор предлагает выяснить, является ли простым или составным какое-нибудь натуральное число, например, 899, предварительно установив, что экзаменующийся правильно понимает смысл этих терминов, то в 9 случаях из 10, убедившись, что данное число не кратно 2, 3, 5, 7, 11, экзаменующийся утверждает, что оно простое. На вопрос, ручается ли он за правильность этого своего утверждения, обычно получается утвердительный ответ, после чего следует

предложение представить данное число в виде разности 302 — 1, или просто попробовать делить на 29, и заключение, что 899 = 29-31. Как назвать такого рода положение иначе как отсутствием чувства ответственности за свои высказывания?

2. Обоснованность решения. Получить правильное решение задачи еще недостаточно; надо доказать, что оно правильно, так как пока доказательства нет, не может быть и уверенности в том, что оно правильно. А ведь нередко приходится слышать от учеников и даже от учителей: „я задачу решил, но затрудняюсь в доказательстве“. Характерный случай: требуется установить, при каких значениях х трехчлен у = 2л:2 — 8х-\- 8,5 имеет положительное значение. После нескольких пробных подстановок учащийся делает заключение, что у > 0 при любом действительном значении х. На предложение учителя доказать, что это действительно так, ученик выдвигает контрпредложение: нет, докажите вы, что это не так; я знаю, что это вам не удастся. В результате поучительный разговор о том, на ком лежит обязанность привести доказательство: на том, кто высказывает некоторые утверждения, или на том, кто выражает сомнение в их правильности, разговор, который заканчивается признанием необходимости дать доказательство утверждения, что у > 0 при любом X, и разысканием этого доказательства : у= 2х2 — 8л: + 8,5 = 2(л:-2)2 + 0,5>0 5>0. Хорошим доводом в пользу необходимости доказательства было бы в этом случае рассмотрение той же задачи для трехчлена у = 8л:2— 166л: + 861, для которого подсказываемое опытом заключение, что у>0 при любом л:, оказывается неверным, так как у = 8 (х — 10,25) (л: — 10>5), у < 0 для значений х между 10,25 и 10,5, у = 0 при X =10,25 и л:= 10,5.

Доказательство принято выделять в особую часть при решении геометрических задач на построение. Нет никакой надобности требовать такого выделения при решении каждой задачи, но совершенно необходимо как можно чаще ставить вопрос—„почему?“ Ответ может состоять либо в простой, но точной ссылке на то или иное предложение, или в более или менее пространном рассуждении. Решение задачи должно быть не оторванным от теории, а во всех своих частях основываться на ней.

Здесь, однако, необходимо предостеречь от излишней торопливости в требовании обоснования. При поисках решения мысль обычно отливается в четкие формы не сразу; громадное значение имеет здесь интуиция, догадка, пусть иногда неправильная. Четкости надо добиваться при окончательном оформлении рассуждения, считая, что решение не закончено, пока нет соображений, доказывающих правильность каждого его шага.

Обоснованность суждений, сведение их к установленным ранее предложениям (и в конечном счете к аксиомам), является одним из характернейших свойств математической науки. Надо всемерно воспитывать в школьнике привычку искать оснований для своих заключений и притом не только в теории, но и при решении задач.

3. Исчерпывающий характер решения. Если найден один ответ задачи, ее нельзя еще считать решенной: надо найти и все другие ее ответы, если они существуют, или доказать, что их нет; надо рассмотреть все особые случаи, какие могут представиться при решении.

Это требование обычно соблюдается в некоторых, но далеко не во всех разделах школьного курса. Так, имея уравнение третьей степени, например, уравнение X* — 7х + 6 = 0, и установив, что один из его корней есть 1, ученик знает, что для полного решения он обязан еще найти два других корня; он делит левую часть на х— 1 и, приравняв нулю полученное частное, решает квадратное уравнение х2 + х — 6 = 0, дающее эти корни 2 и — 3. Но если дать ему решить систему х-\-у = а-\-Ь, ax-\-by = a2-\-b2, то, получив решение х = а, у=Ь и сделав проверку подстановкой, он считает свое дело законченным. Между тем это решение является единственным лишь при а ф Ъ\ если же а = Ь, то данная система уравнений имеет бесконечное множество решений: x = tt y = 2a—t, где t любое число, так как при а = Ь второе уравнение ах + ау = 2а* есть

простое следствие первого х+у = 2а, система сводится к одному уравнению. Если учитель не решается указывать на необходимость этого маленького исследования, то, задавая эту систему уравнений, он должен указать, что здесь предполагается неравенство а ф Ь. Точно также, упростив дробь х__а > ученик должен знать, что равенство а = X -f- а верно лишь при х ф a, a написав формулу |/а8=а, он должен указать, что она справедлива только при а> 0 и что при а < 0 её надо заменить другой, а именно = — * (Чтобы получить формулу, верную для любого а, можно воспользоваться знаком абсолютного значения: Va2 = \а\). Аналогичные осложнения возникают на каждом шагу при решении геометрических задач на построение. Пусть, например, на данном прямоугольном куске бумаги требуется начертить окружность с центром в данной точке Л, проходящую через другую данную точку В. На неограниченной плоскости задача эта всегда разрешима, но при указанном условии она разрешима лишь тогда, когда AB не превосходит наименьшего из перпендикуляров, опущенных из А на стороны прямоугольника чертежа.

При решении геометрических задач на построение рассмотрение условий существования решения и выяснение числа решений принято выделять в особую заключительную часть, проводимую под названием „исследования“ после анализа, построения, доказательства. Рассмотрение различных случаев, какие могут встретиться при решении уравнений 1 и 2 степени с одним неизвестным и системы 2 и 3 уравнений 1 степени с 2 и 3 неизвестными, производится в X классе при изучении специального раздела программы („исследование уравнений“). В результате учащиеся выносят из школы неправильное представление, что только здесь и надо заниматься исследованием решения. Представляется совершенно необходимым, чтобы учащиеся проводили исследование (т. |е. ставили вопрос о существовании решения, о числе решений, об особых случаях, какие могут представиться) при решении каждой задачи, которая ставится в общем виде. Деление 42:7 исследования не требует, но о делении а на b учащийся должен отчетливо знать, что это действие однозначно выполнимо лишь при b ф 0, а в случае Ь = 0, афО невыполнимо, в случаях же Ь = 0, а = 0 выполнимо, но не однозначно, а бесконечно многозначно.

Отмечу в качестве примеров две задачи, одну для V, другую для X класса, при решении которых учащиеся часто довольствуются получением лишь некоторых, но не всех без исключения ответов, хотя исчерпывающее решение никаких затруднений не представляет. Первая задача состоит в том, чтобы найти все делители данного натурального числа. Обычно для ее решения данное число разлагают на простые множители и, комбинируя их всеми возможными способами, пытаются получить все делители, но это комбинирование ведется беспорядочно, и часть делителей теряется. Здесь можно рекомендовать выписывать делители в порядке возрастания, начиная с 1, причем под каждым писать соответствующий дополнительный делитель (т. е. частное от деления данного числа на взятый делитель). Тогда одновременно получаем два ряда делителей, один начинающийся с 1 (делители идут в порядке возрастания), другой—с самого данного числа (делители идут в порядке убывания), и работа заканчивается, когда эти два ряда встретятся. Пробовать надо все натуральные числа по порядку, причем знание простых делителей позволяет сразу решать, является взятое число делителем или нет (не производя деления). Пусть, например, требуется указать все делители числа 420=22.3-5-7. Поступая, как сказано, получаем следующие числа:

1 2 3 4 5 6 7 10 420 210 140 105 84 70 60 42

12 14 15 20 35 30 28 21,

т. е. всего 12.2 = 24 делителя. Для контроля можно подсчитать число делителей посредством известной теоремы (число имеет всего столько делителей, сколько единиц содержит произведение

показателей в его каноническим разложении, увеличенных каждый на 1); в данном случае

(2+1)-0 + 1) •(! + !)• (1 + 1) = 24.

Вторая задача заключается в решении уравнения tgkx=a, где k — данное натуральное, а — данное действительное число. Пусть, например, Ä=3, а=1. Вот решение, данное одним учеником: tg Зл:= = \,\g3x = tg45c, Зх = 45°, х = 15° (частное решение), л:= 15°+180°-/г (общее решение, п любое целое число, получается из частного решения на основе того соображения, что функция тангенс имеет период 180°). Проверка: Зх = =3(15°+180°. /г) = 45° + 540°/г; tg(45e + + 540° - п) = tg (45° +180° • Зл) = tg45^ = 1.

Ясно, что это решение не полно: из равенства tg3x = tg45° вытекает, что Зл: = = 45°+180° *п (две дуги имеют один и тот же тангенс тогда и только тогда, когда они отличаются одна от другой на любое целое число полуокружностей), а поэтому общее решение есть х = = 15°+60°. п, где п любое целое число. Всякое частное решение, полученное по формуле 15°+180о.л=15о+60°.3/г, содержится в этом общем решении, но обратное неверно; таким образом формула 15°+180°-п дает далеко не все корни.

4. Простота решения. В большинстве случаев можно указать не один, а несколько различных способов решения данной задачи. Отсюда естественно вытекает требование — из нескольких возможных решений указать то, которое скорее и проще других ведет к цели. Особенно ценны так называемые „изящные“ решения, т. е. решения более сложных задач исключительно простыми средствами.

Необходимо обращать внимание учащихся на возможность различных вариантов решения одной и той же задачи, всячески поощрять поиски таких вариантов, заниматься сравнительной их оценкой, останавливаться на лучших. Общие методы решения задач должны стать прочным достоянием учащихся, но наряду с этим должно быть налицо и умение использовать особенности каждой частной задачи, позволяющие решить ее проще. Нередко задача очень упрощается от одного лишь удачного выбора той неизвестной величины, через которую выражаются другие неизвестные. Например, чтобы найти четыре последовательных целых числа, произведение которых а дано, можно обозначить буквой X наименьшее из них, и для решения задачи придется решать уравнение х(л:+ 1)(* + 2)(л; + 3) = а, содержащее после раскрытия скобок х, х2, Xs, X*. Если же обозначить буквой х среднее арифметическое искомых чисел, то получаем уравнение

содержащее только х2 Иногда такое упрощение обеспечивается привлечением какой-нибудь вспомогательной величины, не упоминаемой в условиях задачи; так, например, при решении прямоугольного треугольника по сумме катетов 5 и высоте А, проведенной к гипотенузе, полезно взять площадь этого треугольника; обозначив катеты через X и у, гипотенузу через z, получаем систему трех уравнений x-\-y=s, X2 -\-y2=z2, xy = zh, из которой легко исключаются х и у. На удачном преобразовании данных и искомых основаны некоторые методы решения геометрических задач на построение.

Вот пример задачи, которую ученик IX класса станет решать, используя геометрическую прогрессию, а ученик V класса может решить несравненно проще: из пунктов А и В, отстоящих один от другого на 36 км, навстречу друг другу одновременно выходят два пешехода и двигаются равномерно со скоростью 4 и 5 км\час\ одновременно с ними начинает свое движение велосипедист, который едет с постоянной скоростью 10 км в час от А до встречи со вторым пешеходом, потом обратно до встречи с первым, затем обратно до встречи со вторым и т. д. до тех пор, пока пешеходы не встретятся; требуется узнать, какое расстояние покроет за все это время велосипедист. Задача решается на основе того соображения, что до встречи пешеходов пройдет 36: (4+ 5) =4 часа, а поэтому велосипедист покроет 10-4 = 40 км. Как поучительно сопоставление этих двух решений.

Много вариантов, рассмотрение которых весьма полезно, доставляют уже простейшие арифметические задачи. Так

например, для получения суммы +7— +8—+ 21— можно привести все четыре слагаемых к общему знаменателю 60, а можно взять порознь сумму двух средних слагаемых, равную 16, и сумму двух крайних, равную Зб1/^ вторым способом окончательный результат, равный 51 Vi, получается гораздо проще.

5. Рациональная запись решения. Кроме особенно простых задач, разрешаемых уже без всякой записи, решение задачи требует выполнения разного рода письменных выкладок, иногда чертежа. Существующая в подавляющем большинстве случаев практика такова: учащийся решает задачу „начерно“, записывает выкладки кое-как в беспорядке, столь же небрежно выполняет чертеж; понять что-либо в черновике другому лицу ничего нельзя, да и сам автор разбирается в нем с трудом; затем идет переписка решения „набело“, причем выкладки сопровождаются более или менее пространными пояснениями, часто излишне многословными, чертежи выполняются более аккуратно.

По поводу записи решения можно высказать следующие общие пожелания.

a) Запись решения, где бы она ни производилась, в черновике или набело, должна быть аккуратной; цифры и другие записи должны записываться правильно и четко, строки должны итти параллельно друг другу и краю листа, все неверное и ненужное аккуратно зачеркивается, различные части решения отделяются одна от другой.

b) Следует различать два вида записей: запись краткую, без пояснений, когда фиксируется только то, что не может быть удержано в голове и что нужно для дальнейшего развития решения, и запись более полную—с пояснениями. При краткой записи человек думает о том, как получить и провести решение, при полной - как это решение сохранить для последующего использования, как сделать его понятным для других. Хотя краткая запись есть запись для себя, она, разумеется, должна быть аккуратной и настолько упорядоченной, чтобы по ней можно было восстановить весь ход решения, например, с целью проверки и отыскания допущенной где-то ошибки.

c) Полная запись решения (с пояснениями) требует гораздо большей затраты времени, чем краткая, но она очень полезна и как средство выработки навыка в четком оформлении проводимого рассуждения и как средство контроля сознательности в решении. При занятиях арифметикой обычно требуют от учеников постановки вопроса к каждому выполняемому действию. Это хорошая, но не единственно возможная форма полной записи решения арифметической задачи. При дальнейшем продвижении полную запись с целью экономии времени можно применять все реже и реже, но все же важно от времени до времени к ней возвращаться во всех изучаемых в школе разделах математики.

d) Следует всемерно бороться за такое качество черновика, при котором его переписка набело (в случае краткой записи решения) становилась бы излишней. Это получается само собой, если твердо держаться требования аккуратности всякой записи, и доставляет значительную экономию времени.

ё) Очень полезно указать учащимся несколько продуманных форм краткой и полной записи решения разного рода задач, но было бы ошибкой требовать от них неукоснительно точного соблюдения этих форм: пусть каждый вносит свои усовершенствования в запись, добиваясь полной ясности, удобообозримости, экономии. Чем старше учащийся, тем более самостоятельным он должен быть в выборе формы записи, но требования к упорядоченности всякой записи должны оставаться в силе всегда.

6. Ясность пути, приводящего к решению. Решение задачи иногда бывает весьма искусственным, основанным на особых приемах, хорошо приводящих к цели, но неожиданных, не связанных ни с какой общей теорией. Никакой беды в применении таких приемов нет; можно сказать, что в них то и заключается математическое творчество. Однако учащиеся, знакомясь с такими искусственными решениями, обычно спрашивают: „А как догадаться, что надо применить такой-то пример?“—В связи с этим законным и естественным их интересом можно высказать пожелание, чтобы по возможности освещался путь.

каким автор всякого более или менее искусственного решения пришел к нему. При решении геометрических задач на построение путь, приводящий к построению, выясняется в анализе, когда мы, предполагая задачу решенной, рассматриваем фигуру и устанавливаем связи между данными и искомыми ее элементами. Но подобный же анализ легко осуществим и во многих других случаях. Для примера рассмотрим одну арифметическую задачу.

Некоторое число тетрадей надо раздать поровну всем ученикам класса. Если дать каждому ученику по 4 тетради, то 19 тетрадей останутся лишними, если же по 5, то на двоих нехватит. Сколько было тетрадей и сколько учеников?

Черт. 1.

Представим условия задачи наглядно, изображая каждую тетрадь черточкой, а то, что получает каждый,—прямоугольником, так что число прямоугольников равно числу учеников (черт. 1).

Каждый получает по 4 тетради, 19 тетрадей лишних.

Каждый получает по 5 тетрадей, двоим нехватило.

Сравнение обоих способов раздачи сразу показывает, что учеников, получивших тетради во втором случае, было столько, сколько тетрадей показано правее вертикальной пунктирной черты, т. е. 4 + 44 19 = 27, а всего было 27 + 2 = 29 учеников.

В настоящем случае уже одно только наглядное изображение условия задачи в предположении, что она решена, ясно показывает, каким путем надо итти для получения решения. Эта же идея предположения задачи решенной и анализа соотношений между данными и искомыми лежит и в основе общего метода решения всех более сложных школьных числовых задач — метода составления уравнений; если предположить, что в только что рассмотренной задаче число учеников известно, обозначить его буквой л и подсчитать, сколько всего тетрадей они получают при первом и втором способе раздачи, то придем к уравнению 4х +19 = 5 (х — 2), решение которого нетрудно сделать понятным и для учеников, еще не приступивших к изучению алгебры.

Если математическая теория изучается без практики в решении задач, получаемое знание не прочно и не действенно. Но чтобы эта практика приносила всю ту пользу, какую она может и должна приносить, к решению задач надо предъявлять рассмотренные выше требования. Ученик, привычно и умело их выполняющий, будет не только обладать некоторой суммой математических сведений, но и будет находиться на довольно высокой ступени математической культуры.

ИЗ ОПЫТА

ОРГАНИЗАЦИЯ И МЕТОДИКА ПОВТОРЕНИЯ

СТАЛЬКОВ Г. А. (Москва)

1. Цели и организационные формы повторения

Прочность навыков и знаний учащихся обеспечивается следующими моментами педагогической работы:

а) плановостью и систематичностью построения и изложения учебного материала преподавателем;

б) путем привития учащимся навыков самостоятельной работы;

в) повторением.

В данной статье мы берем на себя задачу осветить последний вопрос, вопрос об организации и методике повторения при изучении курса математики.

О значении повторения для прочного и сознательного усвоения изучаемого материала вполне убедительно говорится в учебниках психологии и педагогики. Мы не будем здесь приводить их аргументы. Отметим лишь, что повторение является наилучшим средством не только для возобновления, освежения в памяти изученного материала, но и его систематизации, обобщения и углубления.

Специфика математики такова, что повторение неизбежно будет иметь место даже вне зависимости от желания преподавателя. В математике, как ни в одной из наук, особенно сильна взаимосвязь материала. Здесь материал расположен в стройную логическую систему. Изучение и понимание последующего невозможно без знания предыдущего. Отсюда неизбежность повторения решительно на каждом уроке даже помимо воли учителя.

Эта зависимость математического материала распространяется взаимно с одной математической дисциплины на другую.

Таким образом повторение на уроках математики уже обеспечено в силу логической взаимосвязи самого материала. Грамотный, методически правильно составленный задачник по математике держит учащихся в курсе всех вопросов предшествующих отделов математики.

При изложении нового материала учитель неизбежно должен повторить ряд вопросов, без чего невозможно будет само это объяснение нового.

Так, прежде чем объяснить учащимся деление десятичной дроби на десятичную, учителю необходимо будет повторить деление десятичной дроби на целое число, изменение величины десятичной дроби от перестановки запятой и т. д.

При выводе формулы корней полного квадратного уравнения приведенного вида необходимо повторить вопрос о решении полных квадратных уравнений путем дополнения левой части до полного квадрата, вспомнить и повторить формулу квадрата суммы двух чисел и т. д. Такое повторение необязательно должно быть проведено перед объяснением нового, иногда оно может происходить уже в самом процессе объяснения нового.

Рассмотренный выше вид повторения вытекает из логической структуры построения программы математики; здесь повторение происходит в связи с изучением того или иного нового материала. Ценность такого повторения несомненна: материал все время освежается, устанавливается связь и преемственность различных вопросов курса.

Но этот вид повторения имеет и свой недостаток: в нем отсутствует система, вопросы для повторения определяются вновь изучаемым материалом, берутся разрозненно из самых разнообразных разделов математики. При таком повторении не весь материал повторяется

и не в той последовательной системе, в которой он изложен в данной математической дисциплине.

Необходимо практиковать и другие виды повторения и прежде всего в течение всего года систематически вести повторение путем выделения специально на это 5-, 10- 15-минуток и даже специальных часов. Здесь повторение будет вестись не всегда в связи с изучаемым новым материалом, но зато оно будет охватывать по порядку весь материал программы разных классов без пропусков.

Такое повторение учителя чаще всего ведут в конце изучения темы, перед проведением учета по данной теме, или в конце четверти, или в конце учебного года. Против организации повторения в эти периоды возражать не приходится, но надо самым решительным образом возражать, если повторение имеет место только в конце четверти и еще хуже — только в конце года.

Повторение должно вестись в течение всего года. Здесь будет уместным указать, что систематическое повторение материала в объеме всей программы не только отвечает целям освежения позабытого материала, но также дает возможность преподавателю выявить, что из пройденной программы недоработано, что усвоено чисто формально, без достаточного понимания; наконец, при таком повторении имеется возможность привести весь изученный материал в систему, есть возможность расширить, углубить этот материал. Поясним это несколькими примерами.

Необходимость доработки того или иного старого материала возникает часто во время объяснения нового, чаще она выявляется во время решения задач, еще резче выступает вопрос о недоработках того или иного материала при повторении. Повторяя в системе тот или иной математический раздел, учитель не особенно задерживается на том материале, который твердо усвоен учащимися и воспроизводится вполне сознательно. Но когда повторение наталкивает учителя на трудный материал, на сильно позабытый, тогда возникает необходимость этот материал доработать. Некоторая, правда, очень небольшая, часть учителей в этом случае сокрушенно констатирует факт незнания старого, „утешает“ себя, что „не я изучал с учениками этот материал“, и идут дальше. Это, конечно, опасный путь. В математике это рано или поздно приводит к катастрофе. Большинство учителей начинает основательно дорабатывать этот материал независимо от того, в каком классе и когда этот материал изучался. Они либо совсем приостанавливают изучение нового материала, если без доработки старого изучение нового невозможно, либо ведут доработку старого параллельно с изучением нового. И тот и другой путь вполне правилен, надо лишь выбрать то, что в данном случае целесообразнее. Приступили, например, учащиеся к действиям с отрицательными логарифмами в искусственной форме, и тут выяснилось, что сильно позабыты действия с отрицательными числами. Придется сделать остановку в изучении логарифмов, основательно повторить и доработать действия с отрицательными числами.

Или учитель ведет систематическое повторение геометрического материала темы VII класса „четырехугольники“. Оказывается, что ученики плохо знают материал VI класса. Полезно будет, не останавливая работы над темой „четырехугольники“, повторить не только формулировки, но и доказательства всех (или основных, как позволяет время) теорем VI класса.

Иногда повторение и доработку можно легко увязать с систематическим изучением новой темы.

Так, например, в VII классе изучается тема об алгебраических дробях. Тема, по словам учителей, очень трудная для учащихся. Трудности ее изучения являются следствием недоработки правил производства действий над обыкновенными дробями в V классе и недоработки тождественных преобразований одночленов в VI классе. Здесь, подбирая соответствующим образом примеры, можно параллельно с изучением новой темы „действия с алгебраическими дробями“ ликвидировать все указанные недоработки V и VI классов.

Изучая три признака подобия треугольников, очень легко повторить три признака равенства треугольников.

Наконец, повторение дает возможность расширить, углубить материал.

Изучение математического материала в течение длительного периода времени небольшими дозами не создает у учащихся представления о математике, как о стройной законченной системе.

Материал, изученный учеником за год, ему представляется как какое-то нагромождение теорем, причем обычно теоремы, изучаемые сегодня, представляются его внутреннему взору как что-то яркое, стоящее перед глазами: теоремы, изученные 3—4 недели назад, уже тонут в какой-то туманной дымке, а изученные в начале года или в прошлом году сплошь и рядом преданы полному забвению. При таких условиях последовательность, взаимосвязь материала учеником не ощущаются. При повторении материала целой темы или ряда тем в конце четверти или в конце года можно уже построить эту работу так, чтобы ученики почувствовали систему расположения материала, смогли бы расширить и углубить его изучение.

Так например, при повторении темы „четырехугольники“ в VII классе можно работу организовать следующим образом. Прежде всего можно расположить повторяемый материал не обязательно в той последовательности, в какой он изучался, а примерно так:

а) Предложить учащимся расположить все виды четырехугольников в такой последовательности, в которой фигуры расположены в порядке перехода от самого общего вида четырехугольника до квадрата, изобразив это расположение чертежом-схемой.

б) Предложить составить определение каждой фигуры через предыдущую.

в) Рассмотреть в этой же последовательности вопрос о том, сколько и какие элементы необходимы для построения каждой из указанных фигур.

г) Установить, почему количество данных для построения каждой фигуры неизменно уменьшается от пяти для четырехугольника в общем случае, до одного —- для квадрата.

д) Рассмотреть свойства фигур и доказать их в той последовательности, в которой эти фигуры расположены в схеме.

е) Установить, что каждая последующая фигура обладает всеми свойствами ранее стоящих фигур.

ж) Рассмотреть новый четырехугольник — дельтоид, не изучавшийся в году.

Дать его определение, указать его место в схеме, установить, какие и сколько элементов необходимо иметь для его построения, вывести его свойства.

Такое повторение имеет значительно большую ценность, чем обычное освежение знаний учащихся. Тема „четырехугольники“ предстанет перед глазами ученика как стройная цепь теорем, каждое определение перестает быть случайным, ученики на ярком примере почувствуют разницу между определением и свойством фигуры, поймут, что свойствами фигуры определяется число элементов, необходимых для ее построения, и расширят материал путем изучения новой фигуры — дельтоида.

Таким же образом можно построить повторение стереометрического материала IX класса, расположив теоремы в стройной последовательности одна за другой, анализируя, как изменятся последовательность и способ доказательства отдельных теорем в зависимости от того, что раньше изучается — параллельность или перпендикулярность прямых и плоскостей, и т. д.

2. Методика повторения

Уже из рассмотренных выше примеров видно, что при повторении самым опасным является шаблон как в смысле способов организации, так и в смысле содержания повторяемого материала.

Рассмотрим те разнообразные способы повторения, которые практикуются нашими лучшими учителями.

а. Повторение старого при опросе учащегося у доски

Прежде всего учителю нужно повести сильную борьбу с укрепившимся у учащихся предрассудком, что учитель имеет право спрашивать только текущий материал и только за этот материал поставить отметку. Наоборот, в интересах прочности знаний учащихся, в интересах каждодневного установления взаимосвязи и взаимозависимости математического материала необходимо систематически при ответах учащихся спрашивать старое.

Допустим, ученик отвечает у доски вывод формулы решения квадратного уравнения. Учитель предлагает ученику рассказать кратко все основное об урав-

нениях, либо начиная с вопроса о линейных уравнениях, либо ограничиваясь квадратными (определение уравнения, теоремы о равносильности уравнений, случаи нарушения равносильности, квадратные уравнения, их общий вид и т. д.)

Или, допустим, ученик отвечает у доски один из признаков подобия треугольников. Полезно иногда проделать здесь такую работу: восстановить ту цепь теорем, на которую опирается доказательство данной теоремы. Ученикам придется вспомнить одну из теорем о равенстве треугольников, лемму о подобии треугольников, теорему о равных отрезках на сторонах угла и т. д.

Иногда можно не слишком отдаляться от рассматриваемого в данный момент материала, но взять достаточно близко отстоящий материал и выяснить его соотношение с рассматриваемым в данный момент.

Допустим, ученики кончили изучение всех трех формул решения полного квадратного уравнения. Полезно проанализировать, обобщить материал следующим образом. Поставить перед учениками вопросы : почему формул решения квадратного уравнения три, нельзя ли обойтись одной лишь формулой, можно ли решать с помощью формулы корней полного квадратного уравнения неполные квадратные уравнения, когда какую из трех формул рациональнее применить и т. д.

б. Повторение старого параллельно с изучением аналогичной новой темы

Выше мы уже приводили один пример того, как при изучении новой темы об алгебраических дробях можно повторить и доработать большой материал курса арифметики V класса и курса алгебры VI класса.

Такие возможности повторения в математике очень широки.

В V классе при изучении темы о десятичных дробях можно параллельно, шаг за шагом повторить все преобразования и все действия с обыкновенными дробями. Установление аналогий и различий в технике производства действий поможет учащимся лучше осознать и новый и старый материал.

В седьмом классе изучение темы о неравенствах очень полезно провести параллельно с поверением предыдущей темы о равенствах. Виды алгебраических выражений, формулы, равенства и неравенства, равенства безусловные (тождества) и условные (уравнения), неравенства условные и безусловные и т. д.

в. Повторение путем решения задач, подобранных в определенной системе

Для закрепления только что изученного материала, а также для повторения учащиеся решают задачи. Задачи должны быть расположены в порядке возрастающей трудности; однако, к сожалению, наши задачники в этом отношении несовершенны, и их использование крайне затруднительно. Поэтому вдумчивый учитель сам проделывает подготовительную работу. Задачи группируются по темам на карточки. На лицевой стороне карточки дан текст задачи, чертеж и решение. На обороте дано указание, на какие теоремы опирается данная задача. Постепенно в картотеку добавляются задачи из других задачников.

Имея такую картотеку задач, учитель может „не вслепую“ задавать на дом задачи, а выбирая их соответствующим образом. Кроме того, наличие такой картотеки даст возможность подобрать серию задач таким образом, что будет повторен не случайный, а заранее намеченный материал.

Вот образчик такой подготовки задач из геометрического задачника Рыбкина.

Задача № 21 из § 10, часть 2-я задачника Рыбкина по геометрии:

„Основанием пирамиды служит правильный шестиугольник со стороной а\ одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания и равно стороне основания. Определить боковую поверхность этой пирамиды“.

1. Так как SA J_ к основанию и SA = ay то треугольники SAB и SAF прямоугольные и равнобедренные. Они равны по равенству двух катетов. Площадь ^каждого из них: ~ а2. Кроме того, SB = SF

2. SC=SE, как наклонные, имеющие равные проекции, и поэтому треугольники SBC и SEF равны по трем сторонам:

Черт. 1.

Площадь тр-ков SBC и SFE по формуле Герона будет равна 5=-^ а^7-

3. AD=2R=2a. Угол Л CD прямой, ибо он опирается на концы диаметра. Треугольник ACD прямоугольный и CDA^CA. Но АС проекция SC, а поэтому по теореме о трех перпендикулярах CDJ_SC и треугольник SCD прямоугольный. Его площадь :~ -2 а • а = а2. Точно так же площадь треугольника SDE = a\

4. Боковая поверхность пирамиды будет:

Оборотная сторона карточки. Использовано:

1. Определение перпендикуляра к плоскости.

2. Равенство прямоугольных треугольников.

3. Формула площади прямоугольного треугольника.

4. Выражение аг через R круга описанного.

5. Теорема о наклонных, имеющих равные проекции.

6. Третий признак равенства треугольников.

7. Формула Герона для площади треугольника.

8. Величина угла, опирающегося на концы диаметра.

9. Теорема о трех перпендикулярах.

Задача трудная

Этот способ повторения широко используется преподавателем Венсаном А. В. во 2-й спецшколе г. Москвы.

г. Круговая тетрадь

В ряде школ ведутся круговые тетради (т. Гусева В. А.— 110-я школа г. Москвы).

В начале года учитель для каждого класса заводит толстую тетрадь, в нее по очереди учащимися класса записываются: объяснения учителя, выполнение домашних заданий, контрольные письменные работы. Таким образом появляется документ, отображающий полную картину работы по математике в классе: содержание изученного материала, систему и методику его изложения, дозировку материала, содержание и объем домашних заданий, сроки, объем и содержание контрольных письменных работ. Значение такой тетради едва ли можно недооценить. Учитель по такой тетради может установить, насколько удачно по объему, содержанию и методу материал преподан учащимся, и на этом основании внести существенные и вполне мотивированные коррективы в план своей работы в следующем году. Молодые учителя могут из этих тетрадей почерпнуть много полезного для своей работы. Администрация школы имеет возможность по существу, а не только формально контролировать работу учителя и ученика.

Ученик, пропустивший несколько занятий, пользуясь круговой тетрадью, сможет быстро восстановить пропущенное и включиться в текущую работу класса. Наконец, особенную ценность эта круговая тетрадь будет иметь во время повторения в конце изучения темы, в конце четверти, в конце года.

д. Повторение с помощью индивидуальных карточек-заданий

В процессе изучения того или иного раздела программы, а в особенности после проведения текущего учета, обнаруживается необходимость доработки и повторения не одного и того же материала у различных учащихся.

Понятно, что наибольший эффект помощь отстающим будет иметь в том случае, если она будет в достаточной мере индивидуальной. Доработка и повторение прежде всего должны оказывать помощь наиболее слабым, наиболее отстающим.

В 313-й школе т. Заозерский Б. Я. в течение ряда лет практикует систему индивидуальных заданий (в виде серии специально разработанных карточек) для доработки отдельными учащимися слабо усвоенных мест, для закрепления и повторения материала.

Чаще всего серия, посвященная тому или иному разделу, состоит из 50 карточек. Эти 50 карточек имеют 10 номеров, а каждый номер имеет пять литер или пять различных цветов. Все 10 номеров заключают в себе по 10 примеров на одну и ту же тему, но примеры каждого следующего номера продолжают материал темы, начатой в предыдущем номере. Таким образом в 10 номерах карточек исчерпывается весь материал темы. В пяти же литерах каждого номера трудность упражнений на один и тот же раздел темы усложняется, доходя до самых трудных упражнений в литере

Вот образец одной такой серии.

№ 1а

№ 16

№ 1в

№ 2а

№ 26

и т. д.

Имея серии таких карточек, преподаватель, после опроса учащихся на любом уроке, после проведения очередной контрольной работы, может дать каждому отдельному ученику для доработки именно ту часть темы, которая им не усвоена и притом на посильных примерах. Давая затем дальнейшие литеры карточек того же номера, учитель заставит ученика довести до нужного уровня знание данной темы. Ученики ведут решение примеров в особой тетради для повторения.

Если учитель ведет у себя тщательную фиксацию того, что именно слабо усвоил ученик в каждой из изученных тем, он может при повторении делать в работе каждого из учащихся упор именно на этот материал.

Тщательный и систематический анализ типовых ошибок учащихся в каждой математической теме дает возможность учителю усовершенствовать систему этих карточек и улучшить подбор примеров и задач в них.

Основным недостатком такой формы повторения материала является то, что в карточках заключается материал лишь для развития технических навыков учащихся. С помощью такой системы можно усовершенствовать лишь формальные знания учащихся. Повторение же теоретического материала при данной системе работы ведется обычным путем задавания по учебнику тех или иных его параграфов. Таким образом повторение теории идет не столь индивидуализированно.

Применение данной системы работы следует рекомендовать параллельно о другими способами повторения.

* Мы не приводим карточек 1 г и 1 д: они содержат более трудные упражнения, в частности с употреблением отрицательных показателей, а вторая из них почти целиком построена на буквенных показателях (как корня, так н подкоренных выражений).

е. Задания для повторения курса математики

В дополнение к обычному домашнему заданию по текущему курсу некоторые учителя (т. Гурвиц Ю. О.— 175 шк.) дают специальные задания для повторения. Задания эти заключают в себе материал из различных математических дисциплин и состоят из примеров и задач.

Понятно, что ученики, выполняя задание, должны повторить соответствующий теоретический материал, практическим приложением которого является данное задание.

Задание пишется на отдельных листках и раздается учащимся. Срок выполнения каждого задания устанавливается 8--10 дней. Выполняются задания учащимися в отдельных тетрадях для повторения и обязательно просматриваются учителем. Кроме того, учитель выделяет на том или другом уроке время для задания учащимся выборочно отдельных вопросов и для разрешения всех затруднений, появлявшихся у учащихся в процессе выполнения заданий.

Задание рассчитано на силы среднего ученика.

Вот образцы нескольких таких заданий для учащихся X классов

Задание № 1

1. Выполнить действия:

2. По прямой AB одновременно начинают двигаться из А и В две точки навстречу друг другу; обе точки движутся равномерно, и первая приходит в В через 8 секунд после того, как точки встретились, а вторая в А через 28 секунд после встречи. Определить скорость движения каждой точки, если расстояние между А и В — 60 м.

3. Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и высоте А, опущенной на гипотенузу.

4. В правильной четырехугольной пирамиде площадь диагонального сечения равна 5, сторона основания а. Найти двугранный угол между основанием и боковой гранью.

5. Доказать справедливость тождества:

Задание № 2

1. Сократить дроби:

2. От деления двузначного числа на произведение его цифр получается частное 2. Если искомое число вычесть из 99, то получится число из тех же цифр, но написанное в обратном порядке. Найти это двузначное число.

3. Задача римского инженера Фронтина (40—103 гг.). В прямоугольный треугольник вписана окружность. Найти ее диаметр, если известна гипотенуза с и сумма катетов а и Ь.

4. Из вершины куба опущены перпендикуляры на одну из его диагоналей. На какие части разделится диагональ куба построенными перпендикулярами?

5. Привести к логарифмическому виду выражение:

Задание № 3

1. Пример на действия с выражениями, имеющими отрицательные и дробные показатели.

2. Показательное уравнение.

3. Задача на нахождение площади равнобокой трапеции (с элементами исследования).

4. Стереометрическая задача.

5. Тригонометрическое тождество.

Мы видим, какой широкий материал повторяется в X классе; здесь учитель ставит гораздо более глубокие цели повторению, чем простое освежение материала к концу года. Солидный харак-

тер заключенных в заданиях упражнений показывает на заботу учителя о глубоких и прочных знаниях и навыках учащихся.

ж. Десятиминутки для повторения

Как видно из только что рассмотренного приема повторения, он имеет некоторый дефект — отсутствие в заданиях вопросов теории. Теория привлекается косвенным путем как неизбежное средство для решения примеров и задач. Чтобы восполнить этот пробел при повторении, тот же тов. Гурвиц в течение всего года практикует проведение пяти-, десяти-, пятнадцатиминутного повторения.

Иногда на этих десятиминутках проверяется выполнение данного ученикам для повторения задания. Иногда же они заполняются устными ответами на вопросы для повторения.

Вот примерные вопросы для пятидесятиминуток повторения темы „Площади“.

1. Что значит измерить площадь какой-либо плоской фигуры?

2. Какими единицами мер измеряется площадь?

3. Чему равна площадь треугольника?

4. Почему в формулу площади треугольника входит множитель j ?

5. Чему равна площадь параллелограма, ромба, квадрата?

6. Чему равна площадь трапеции?

7. Как измерить площадь любого многоугольника?

8. Как выражается площадь ромба через его диагонали?

9. Какой формулой выражается площадь квадрата через его диагональ?

10. Как изменяется площадь треугольника, если увеличить его основание, его высоту в 2 раза?

11. Как изменится площадь квадрата, если уменьшить его диагональ в три раза?

12. Как относятся между собою площади треугольников, имеющих равные основания?

13. Как относятся между собою площади двух подобных треугольников?

14. Какая зависимость существует между сторонами и высотами треугольника?

15. Почему справедливо утверждение, что произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению гипотенузы на перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу?

16. Какой формулой выражается площадь треугольника по трем его сторонам а, Ь, с?

17. Чему равна площадь ромба со стороною а и углом в 30°?

18. Чему равна площадь квадрата, диагональ которого равна 8 см?

19. Чему равна площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, вписанного в круг радиуса 8 см?

20. Чему равна площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 10 см?

21. В треугольнике проведены три средние линии. Чему равна площадь данного треугольника, если площадь треугольника, образованного средними линиями, равна 15 см2?

22. Дан прямоугольник со сторонами в 10 см и 12 см. Что больше—площадь этого прямоугольника или площадь квадрата, периметр которого равен периметру данного прямоугольника?

23. Периметр квадрата 1 м. Чему равна его площадь?

24. Чему равна площадь равностороннего треугольника со стороной а? Как можно эту площадь вычислить?

25. Площадь прямоугольного треугольника равна 18 см1. Чему равна его гипотенуза, если один из катетов равен 6 см?

26. Периметр ромба равен 24 см.. Чему равна его высота, если его площадь равна 24 см2?

Таким образом мы видим, что с помощью приведенных выше примеров учитель:

а) проверяет знания учащимися формул, теорем;

б) устанавливает наличие понимания этих форму I и теорем и умение применить их к решению задач;

в) проверяет умение решать устно несложные конструктивные задачи.

Само собой понятно, что при возникновении необходимости ученику предлагается вывести ту или иную формулу, доказать ту или иную теорему.

И при повторении с помощью указанных выше вопросов характерным

является широкий охват привлекаемого к повторению материала и установка на повышение математического развития учащихся.

з. Методика урока при повторении

Остановимся предварительно на некоторых общих методических вопросах, имеющих огромное значение для правильной организации и методики урока на повторение.

а. В последнее время среди широких масс учительства развертывается движение против формализма знаний учащихся. Пересматривается содержание вопросов при опросе учащихся, пересматривается содержание контрольных письменных работ с точки зрения определения степени сознательности ответа ученика и глубины его знаний. Пересматривается сама методика преподавания в сторону большей активизации учащихся, материал насыщается вопросами практики.

Конечно, обо всем этом должен позаботиться преподаватель в процессе преподавания. Но и при повторении в первую очередь надо ставить задачу проверки степени сознательности ответа учащегося и глубины его знаний.

Для этой цели многие учителя сейчас трудятся над созданием конструктивных вопросов, цель которых определить, не формальным ли является ответ ученика.

Выше мы уже приводили такие вопросы, описывая десятиминутки повторения.

Каждый из таких вопросов требует не только наличия формальных знаний, но полного понимания вопроса, умения проанализировать, обобщить ряд однородных явлений.

Вот несколько образцов таких воросов:

1. Какая из дробей больше — 5/6 или 7/8 и почему?

2. Что значит сократить дробь?

3. Что больше ab или а?

4. Чему равно произведение дроби на ее знаменатель?

5. При делении числа на дробь число уменьшается или увеличивается?

6. Какое число больше а—Ь или Ь—а?

7. Существует ли ряд, который является одновременно и арифметической и геометрической прогрессией?

8. При каких значениях тип будет справедливо равенство

9. Уравнение 5л;2— 7л- = 0 решить по формуле корней полного квадратного уравнения.

10. Можно ли написать такую арифметическую прогрессию с положительными членами, Sn которой равно 125?

11. Могут ли быть подобны прямоугольник и квадрат?

12. Угол одного ромба равен углу другого ромба. Подобны ли эти ромбы?

13. Можно ли построить правильный многоугольник с внешним углом в 135° и почему?

14. Чему равна средняя линия ромба?

15. Когда сегмент можно назвать сектором?

16. Вычислить в уме: lg(tg40° • tg41° • tg42°... tg50°)

17. Чему равно: aresin arc sin 2? sin 2?

18. Что больше sin 2° или sin 2?

19. Можно ли прямоугольный треугльник решить по теореме синусов?

20. Проверить tg (^ + В j£| tg£.

б. Коснемся еще одного общего вопроса методики урока на повторение.

На уроке, посвященном повторению, надо правильно определить роль ученика и роль учителя. К сожалению, на сегодняшний день наиболее распространенной методической ошибкой на уроке математики является очень большая активность учителя при очень малой активности ученика. Превалирует беседа, состоящая из мелких, порой подсказывающих, вопросов. Учитель много говорит, ученики молчат, а порой и слушают без достаточного внимания. Но еще печальнее, когда и при повторении материала опять же главную роль играет учитель, и урок на повторение ничем не отличается от урока на изучение нового материала. Это неправильно. Главное действующее лицо на уроке при повторении материала есть ученик, а не учитель. Ученик отчитывается, учитель проверяет. Это не значит, конечно, что при повторении ни при каких обстоятельствах не может иметь места объяснение учителем того или иного вопроса полностью. Но

это должно иметь место в исключительных случаях. В основном же ученики должны подготовить весь данный им для повторения теоретический и практический материал и на уроке проявить максимум самостоятельности в изложении повторяемого материала. Ниже мы конкретизируем это положение.

в. Перейдем теперь к самому уроку на повторение.

Как видно из всего сказанного, повторение охватывает собой только то, из чего слагается вся сумма навыков и знаний по математике (независимо от класса), а именно:

проверку знания наизусть определений, формул, правил, формулировок теорем; проверку умения вести доказательство теорем, выводить правила и формулы; проверку умения решать примеры и задачи.

Примерная методическая схема построения урока может быть предложена такая (мы имеем в виду такой урок, когда значительная его часть или весь урок посвящены повторению). К доске вызываются два ученика. Им дается продумать для ответа задание, состоящее из вопросов теории или из решения примеров и задач. Ученики у доски вполне самостоятельно подготавливают свой ответ. Объем словесных записей определяется самим учеником, но лучше, если этих записей меньше. Идеалом является самое минимальное количество записей при устном ответе ученика. Никаких вопросов ему в процессе его подготовки задавать не следует. Никакой помощи оказывать также не следует. В случае выбора учеником неправильного пути работы можно ограничиться указанием „неверно“, предоставив самому ученику найти и исправить свою ошибку.

Никаких бесед развертывать здесь не надо, тем более нельзя ставить вопросов вроде таких: .А не думаешь ли ты, что тут тебе следует провести прямую АВ?„ или „Воспользуйся здесь для решения задачи теоремой о трех перпендикулярах“. На уроке повторения подготовка ученика к ответу должна быть абсолютно самостоятельной.

Помощь ученику может быть оказана лишь в процессе его ответа, да и то, как правило, кем-либо из учащихся.

Во время подготовки учащихся у доски к ответу учитель обращается к классу и ведет с ним работу, спрашивая устно формулировки, давая для устного решения задачи, вывод правила, формулы, доказательство теорем и т. п. Как видим, и устные ответы учеников не должны сводиться лишь к проверке знания формулировок, что обычно имеет место на уроках повторения материала1.

Когда учащийся подготовился к ответу, учитель прекращает работу с остальным классом, и начинается устный ответ ученика.

Здесь надо учесть следующие методические положения:

1. Нельзя отменять устный ответ ученика на основе просмотра учителем написанного на доске, как бы подробна ни была эта запись.

2. Ответ ученика должен быть в виде самостоятельного рассказа. Рассказ ученика лучше всего совершенно не перебивать. В крайнем случае учитель может подавать реплики „неправильно, поправьтесь“, „докажите это“, „почему вы думаете, что треугольники подобны?“, „зачем вам нужна прямая?“ и т. п., иначе говоря, эти реплики не должны ничего подсказывать, а лишь требовать от отвечающего полноты мотивировки ответа.

3. Ответ ученика не должен сводиться к чтению написанного на доске, а к рассказу—почему та или иная запись имеется на доске.

В том случае, когда ученик не в состоянии восполнить недостающую мотивировку своего ответа, учитель, обращаясь к классу, предлагает кому-либо из учащихся исправить ошибку, мотивировать утверждение, доказать положение и т. п. Этим достигается активное участие всего класса в ответе одного из учеников у доски.

В конце ответа ученика учитель должен задать вопросы, проверяющие степень сознательности ответа ученика и глубину его знаний. Отсутствие таких вопросов только потому, что ученик „все рассказал сам и не остановился“,

1 Подробней об этом смотрите в статье „Опрос ученика как форма учета навыков и знаний по математике“ в журн. „Математика в школе“ за 1940 год № 1.

часто ведет к высокой оценке чисто формальных знаний, которые могут быть у посредственного ученика, ведущего регулярную работу, или у ученика, обладающего хорошей памятью.

Допустим, ученик изложил вопрос о решении косоугольного треугольника по данным а, Ь и -с. Полезно в конце ответа задать такие примерно вопросы: „Любой ли треугольник можно решить по теореме тангенсов?“; „Нельзя ли обойтись при решении данного треугольника без теоремы тангенсов?“

Ученик вывел тригонометрическую формулу площади треугольника:

Предложить ему такой вопрос: „Если в данном треугольнике угол А = 90°, то какой вид примет эта формула?“

Ученик вывел формулу площади трапеции. Предложить ему вывести ту же формулу, рассматривая трапецию как разность площадей двух треугольников, полученных от пересечения продолжений параллельных сторон трапеции.

Указанные выше конструктивные вопросы являются прекрасным материалом для проверки степени сознательности ответа ученика и глубины его знаний.

Мы уже указывали выше, что надо обеспечить максимальную активность всего класса во время ответа одного учащегося у доски. Вызовы с места отдельных учащихся для исправления или дополнения отвечающего у доски— один из приемов активизации класса.

Не следует вызывать обязательно того, кто поднимает руку, желая отвечать. Вызов должен определяться соображениями учителя. Кроме того, иногда полезно вызывать ученика с места для окончания изложения того или иного вопроса. Без каких-либо дополнительных указаний ученик должен .начать свой ответ у доски точно с того места, на котором был остановлен отвечающий у доски. Это также будет побуждать всех учеников класса внимательно слушать и следить за ответом своего товарища.

Таковы основные методические указания для ведения урока на повторение.

ХРОНИКА

РАБОТА СЕКЦИИ МАТЕМАТИКОВ ПРИ ОДЕССКОМ ГОРОДСКОМ МЕТОДИЧЕСКОМ КАБИНЕТЕ В 1945 г.

Д. С. ГОНЧАРОВ (Одесса)

I.

Нам неоднократно приходилось делиться опытом работы секции математиков при Одесском городском методическом кабинете (см. жури. „Математика в школе“ за 1938, 1939 и 1940 гг.). Тяжелые испытания 1941 г. резко нарушили течение нормальной жизни нашей страны, особенно на территории, которая стала ареной военных действий. Почти два с половиной года (с 16/Х-1941 по 10/IV 1944 г.) г. Одесса находился на оккупированной территории, и два с половиной года не существовало в г. Одессе советской школы и ее методических учреждений и организаций. И только после освобождения города начала налаживаться прерванная войной экономическая и культурная жизнь города. Начала постепенно возрождаться и деятельность секции преподавателей математики при Одесском городском методическом кабинете. В настоящей заметке мы хотим отметить работу секции математиков в 1945 г, когда ее работа стала более или менее регулярной. Как и в прежние годы, заседания секции происходили раз в неделю по понедельникам.

II.

Общение преподавателей имеет огромное значение в отношении обмена опытом и повышения квалификации преподавателей, а значит, и повышения качества преподавания. Значение имеют не только доклады, но и отдельные замечания, прения по докладам, которые часто открывают разнообразие подходов к одному и тому же вопросу, возбуждают мысль и направляют ее на новые педагогические и методические искания. Нам неоднократно приходилось слышать от участников заседаний секции математиков признания в том, что участие в работе секции обогащало их опыт и способствовало росту их методического арсенала. Однако для того, чтобы деятельность секции привлекала и интересовала широкие круги преподавателей математики, следует стараться работу секции сделать разнообразной. Разнообразие работы секции есть одно из условий ее жизненности и привлекательности. Так, например, в прошлые годы (1937—1941) докладчиками на заседаниях секции были и рядовые преподаватели-практики средней школы и выдающиеся методисты-ученые (проф. К. М. Щербина, проф. А. М. Астряб), и начинающие юные математики, талантливые учащиеся нашей средней школы, и крупнейшие ученые-математики, как местные, так и иногородные (проф. М. Г. Крейн, проф. Норден и проф. Люстерник из Москвы). Помимо докладов, секция в прошлом практиковала организацию и обсуждение „открытых уроков“. Имели место и небольшие семинары, например, по изучению логарифмической линейки.

Идя навстречу разнообразным запросам и интересам преподавательских кругов средней школы, секция вела и продолжала вести борьбу с формализмом, рутиной, вербализмом, узким делячеством и грубым утилитаризмом тех преподавателей, которые ищут только рецептурных, стандартных указаний от урока к уроку. Живая мысль, новая идея, творческое искание, стремящееся к проверке, поддержке и одобрению, наряду с практической помощью словом и делом в текущей повседневной работе преподавателя, есть второе из необходимых условий жизненности и целесообразности существования секции.

То немногое, что сделано секцией в 1945 г., следует рассматривать как начальный и первый шаг по пути к возобновлению деятельности секции после тяжких и жестоких потрясений, перенесенных за время военных действий.

III.

В 1945 г. на заседаниях секции математиков при Одесском городском методическом кабинете были заслушаны следующие доклады и сообщения.

1. Г. С. Томашпольский. Проверка знаний по математике.

2. К. Ф. Филиппович. Подготовка к экзаменам.

3. К. Ф. Филиппович. Экзаменационные билеты по математике (для X классов).

4. К. Ф. Филиппович. Инструкция о проведении экзаменов.

5. К. Ф. Филиппович. Отличия в экзаменационных билетах по математике для X классов средней школы РСФСР и УССР.

6. К. Ф. Филиппович. Результаты обследования школ г. Одессы и Одесской области по заданиям Наркомпроса Украины.

7. М. Г. Литинский. Методика повторения.

8. П. П. Примаченко Умножение и деление дробей.

9. В. И. Недзельский. Методика буквенной символики.

10. К. Ф. Филиппович. Анализ успеваемости по математике за 1944—45 учебный год и меры повышения качества обучения.

11. Д. С. Гончаров. Теоретические основания арифметики дробных чисел.

12. В. Г. Рубинштейн. Первые уроки по геометрии.

13. Д. С Гончаров. Историческая справка об умножении отрицательных чисел.

14. А. К. Беркович. Функции и графики в средней школе.

15. В. Г. Рубинштейн. Задачи на построение в VI классе.

16. Д. С. Гончаров. Об элементах геометрических построений.

17. В. Г. Рубинштейн. О преподавании геометрии в V и VI классах.

18. М. Г. Литинский. Алгебраические дроби.

19. В. Г. Рубинштейн. О некоторых вопросах курса алгебры в X классах (исследование уравнений и комбинаторика).

20. В. Г. Рубинштейн. Первые уроки по стереометрии.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

ОБЗОР НОВЫХ КНИГ1

НОВОСЕЛОВ С. И. (Москва)

Н. А. Глаголев. Элементарная геометрия. Часть 1-я. Планиметрия. Для VI—VIII классов семилетней и средней школы. Учпедгиз, 1944, стр. 236, цена 2 р. 25 к.

Часть 2-я. Стереометрия. Для IX—X классов средней школы. Учпедгиз, 1945, стр. 136, цена 1 р. 25 к.

Книга покойного проф. Н. А. Глаголева предназначается в качестве учебника геометрии для семилетней и средней школы. Настоящее 1-е издание учебника выпущено Учпедгизом сравнительно небольшим тиражом (20.000 экз.) для предварительного ознакомления учителей с книгой, чтобы на основании широкого обсуждения определить коррективы, необходимые для последующих изданий.

Перед автором школьного учебника стоит чрезвычайно трудная задача.

С одной стороны, развитие математики как науки должно найти отражение в школьных учебниках и программах. Можно и должно знакомить учащихся с основными идеями современной науки.

С другой стороны, неумеренное увлечение модернизацией школьного курса математики может иметь тяжелые последствия. Экстравагантные идеи, обычно привлекающие лиц, не имеющих непосредственного отношения к повседневному «будничному» педагогическому процессу в школе порождают нередко фантастические требования коренной ломки всей программы и уничтожения традиций, установленных долголетним педагогическим опытом.

Задача составления учебника, отражающего современные научные воззрения и вместе с тем вполне пригодного для практической работы в школе, нашла на наш взгляд в книге Н. А. Глаголева весьма удачное разрешение. Ряд основных вопросов курса геометрии получил в учебнике современное освещение. Так, по-новому излагается вопрос об измерении отрезков; обстоятельно изложено учение о симметрии на плоскости и в пространстве; подобие фигур трактуется как геометрическое преобразование; современное освещение получило учение о площадях. Использование понятия равносоставленности делает более прозрачным все учение о площадях. Интересно и живо написана глава о правильных многогранниках. Понятие группы вращений правильных многогранников дано в отчетливой и доступной для учащихся форме.

Таким образом, изложение предмета поднято в учебнике Н. А. Глаголева на большую идейную высоту по сравнению с принятым в настоящее время учебником Киселева. Вместе с тем книга Глаголева вполне пригодна для изучения геометрии по ныне действующей программе. Безусловно новая трактовка ряда вопросов требует иногда несколько иного расположения материала и местами иных доказательств, однако, основное содержание курса и объем материала остаются прежними. Заметим, что материал, относящийся к понятиям, не входящим в программу (например: радикальная ось, понятие о группе вращений, теорема Эйлера о многогранниках и т. п.) может быть безболезненно опущен учителем, если окажется затруднительным изложить его в рамках существующей сетки часов.

Книга написана хорошим, привычным для учащихся языком. Изложение доступное и вместе с тем достаточно краткое и компактное, не перегруженное излишним материалом. Весь основной, необходимый для запоминания материал достаточно отчетливо выделен в тексте.

Значительное внимание уделяется в учебнике задачам на построение. Методы решения этих задач рассматриваются в органической связи с ходом всего изложения. Книга снабжена большим количеством задач на вычисление, на нахождение геометрических мест, на построение и на доказательство. Особо следует привет-

1 В настоящей я последующих статьях будет дан обзор книг, вышедших начиная с 1941 г.

ствовать наличие задач на построение в пространстве, количество которых в школьном задачнике явно недостаточно.

Мы не считаем учебник Н. А. Глаголева совершенно безукоризненным; мы полагаем, что невозможно было бы требовать от первого издания учебника полного отсутствия известных недоработок. В отдельных местах (правда, редко) встречается стилистически тяжелое изложение, ряд отдельных мест требует уточнения. Так, например, из рассуждений автора непосредственно не следует, что для двух параллельных прямых действительно имеется ось симметрии; сущность метода параллельного перенесения изложена тяжело и неотчетливо; к сожалению, отсутствует пояснение, почему для длины окружности требуется вводить определение. Обещанное в предисловии дополнение, посвященное теории пределов и теории бесконечных десятичных дробей, к сожалению, так и не дано в конце книги. Однако эти дефекты не являются органическими и могут быть устранены при последующем редактировании.

Вполне естественно, что ряд мест учебника является дискуссионным в методическом отношении. Так, например, с одной стороны, представляется естественным рассматривать все четыре признака равенства треугольников, с другой стороны, возникает опасение некоторой трудности этого материала для шестого класса. Вряд ли целесообразно доказывать теорему синусов для остроугольного треугольника, как это сделано в параграфе 212. Мы полагаем, что ответы на эти и подобные вопросы наилучшим образом может дать обращение к школьной практике.

Итак, мы считаем, что в целом книга крупного геометра и педагога Н. А. Глаголева заслуживает высокой оценки. Выход ее в свет есть событие большой важности в жизни нашей школы. Удачное решение автором поставленной перед собой трудной задачи показывает, что ныне действующая программа может служить отправным пунктом в деле должного повышения идейного уровня преподавания математики в школе. Учебник Н. А. Глаголева намечает пути в работе по усовершенствованию школьной программы. В этой книге сказывается присущее автору чувство здравого смысла и глубокого понимания реальных возможностей, в противоположность высказываниям лиц, издалека судящих о педагогическом процессе.

Мы надеемся, что с преждевременной смертью глубокоуважаемого и горячо любимого нашим учительством Нила Александровича не окончат жизнь проводившиеся им идеи.

А. Н. Барсуков. Уравнения первой степени в средней школе. Учпедгиз, 1944 стр. 256, цена 5 р. 25 к,

Книга А. Н. Барсукова рассчитана на массовое учительство, ее задача оказать конкретную методическую помощь учителю в прохождении такой важной программной темы, каковой является учение об уравнениях. Автор исходит из следующих методических установок: изучение темы «Уравнения 1 -й степени», сконцентрированное в VII классе, сопряжено со значительными методическими трудностями:

во-первых, учащиеся должны усвоить элементы теории;

во-вторых, овладеть техникой решения уравнений с числовыми и с буквенными коэффициентами;

в-третьих, научиться решать задачи на составление уравнений.

Такая концентрация учебного материала в сравнительно небольшой промежуток времени методически не может быть оправдана. В качестве выхода из затруднительного положения автор рекомендует ввести пропедевтический курс уравнений в VI и VII классах. Эта установка находится в соответствии с ныне действующей программой, которая предусматривает уже в VI классе решение простейших уравнений, на основании определений и свойств арифметических действий, и примеров на составление уравнений.

Для решения уравнения вида ах-^-Ь=*с не требуется применения общих правил, основанных на учении об эквивалентности уравнений, а вполне достаточно уметь пользоваться зависимостью между компонентами арифметических действий. Постепенно можно усложнять уравнения с тем расчетом, чтобы в результате тождественных преобразований левой части получилось уравнение вида ах-^Ь=с. Здесь имеются широкие возможности связать изучение алгебры с повторением арифметики, связать решение примеров » задач на уравнения с изучением тождественных преобразований в VI .и VII классах, постепенно приучить детей к составлению уравнений из условия задачи. Пропедевтический курс уравнений, тесно связанный с изучаемым текущим материалом, должен способствовать лучшему усвоению буквенной символики, приучить детей видеть под буквой число и тем самым способствовать сознательному, а не формальному изучению курса алгебры в целом. Отсутствие в школьном задачнике примеров и задач, подобранных в надлежащей методической последовательности, ставит известное препятствие к успешному проведению в жизнь пропедевтического курса уравнений 1-й степени. Этот пробел успешно заполняется книгой А. Н. Барсукова. Автором с большим методическим вкусом подобрав обширный материал на составление и решение уравнений в связи с изучением каждой алгебраической темы программы VI и VII классов. Можно смело сказать, что проблема пропедевтического цикла получила в книге А. Н. Барсукова полное методическое решение. Книга А. Н. Барсукова далеко не ограничивается вопросами пропедевтического цикла, в ней подробно и обстоятельно изложены различные точки зрения русских и зарубежных ученых и методистов об уравнениях в школьном курсе и относящихся сюда методических проблемах. Книга содержит большой исторический материал, в котором дан критический обзор всей наиболее важной учебной и методической литературы, вышедшей в течение XVIII, XIX и настоящего столетий.

Задачи на составление уравнений, которые изучаются в основном цикле в VII классе, классифицированы автором по виду соответствующего уравнения. Эта классификация безусловно дает известную методическую ориентировку, однако она не может полностью разрешить методических трудностей, связанных с составлением уравнений. Мы полагаем, что эти трудности неразрешимы систематизацией задач по тому иле иному признаку, ибо конкретные условия задач,.

приводящих к одному и тому же уравнению, могут быть весьма различными, и каждая из них вносит свои собственные специфические моменты, требующие сознательною, а не формального усвоения алгебры.

Книга А. Н. Барсукова является весьма ценным пособием для учителя в его практической деятельности и заслуживает широкой популяризации.

П. Обер и Г. Папелье. Упражнения по элементарной алгебре. Перевод с французского Е. С. Березанской и А. О. Зинголь. Учпедгиз, 1941, стр. 584, цена в перепл. 7 р. 25 к.

Книга является переводом на русский язык известного французского задачника, составленного профессорами Обер и Папелье. Весь сборник состоит из следующих пяти книг: I. Алгебраические вычисления, II. Уравнения первой степени, III. Составление уравнений первой степени, IV. Уравнения второй степени и V. Составление уравнений второй степени.

Задачник Обера и Папелье содержит богатый материал по следующим разделам элементарной алгебры: тождественные преобразования рациональных и иррациональных выражений, делимость многочленов, уравнения первой и второй степени, системы уравнений, иррациональные уравнения, приводящиеся к уравнениям 1-й и 2-й степени, задачи на составление уравнений 1-й и 2-й степени, геометрические задачи (по планиметрии и стереометрии) на составление уравнений. Задачник содержит по каждому разделу упражнения различной степени трудности, начиная от самых простых и кончая достаточно сложными, требующими серьезных знаний, владения предметом и сообразительности. Весь набор упражнений является тщательно продуманным и данным в стройной системе. Каждое упражнение или группа упражнений имеет свое назначение: либо дать необходимые технические навыки, либо показать применение наиболее часто встречающихся «искусственных» преобразований, или дать навыки в проведении исследования примеров и задач (число решений, соответствие корней условию задачи).

Сборник содержит большое количество упражнений (уравнения и неравенства) и задач, требующих нешаблонного исследования. Наличие упражнений, рассчитанных на понимание и сознательное овладение предметом, делает сборник Обера и Папелье весьма ценным пособием для учителей средней школы в борьбе с формализмом в преподавании математики.

Мы полагаем, что книга Обера и Папелье может быть использована учителем:

во-первых, для подбора классных упражнений в дополнение к задачнику Шапошникова и Вальцова, далеко не удовлетворяющему потребностям школы;

во-вторых, для работы школьных математических кружков и для занятий с учениками, интересующимися математикой,

в-третьих, для работы учителя над повышением собственной квалификации.

Вое упражнения снабжены ответами, где даны не только подробные решения, но и соответствующие исследования уравнений и неравенств, могущие служить образцами, как следует вывыполнять эти исследования в курсе элементарной алгебры.

Книгу следует рекомендовать как необходимое пособие студентам учительских и педагогических институтов, готовящимся стать преподавателями математики, а также всем начинающим учителям.

Е. М. Пржевальский. Сборник алгебраических задач повышенной трудности, часть 1-я. Задачи на преобразование выражений и уравнения, изд. 2-е. Учпедгиз, 1941, стр. 330, цена в перепл. 6 р. 85 к.

Настоящая книга является переизданием 1-й части сборника алгебраических задач, составленного известным русским педагогом Е. М. Пржевальским и изданным в 1908 г. под названием «Собрание алгебраических задач для учеников старших классов средних учебных заведений». Сборник задач Пржевальского содержит богатый материал по следующим разделам: тождественные преобразования рациональных и иррациональных выражений, уравнения и системы уравнений различных степеней, иррациональные уравнения. Характер задачника Пржевальского существенным образом отличается от характера рассмотренной выше книги Обера и Папелье. В задачнике Пржевальского почти все упражнения повышенной трудности. Для решения примеров и задач требуются твердые навыки в технике вычислений и алгебраических преобразований. Упражнения рассчитаны на тренировку в умении применять различные комби-нации, подчас искусственные, вносящие упрощение в алгебраические преобразования. Нередко эти комбинации оказываются несколько неожиданными и вычурными. Можно сказать, что основная цель задачника — это обучение мастерству выполнения алгебраических преобразований. При такой общей установке задачника вопросы, связанные с исследованием уравнений и задач, отходят на второй план.

Задачник Пржевальского следует рекомендовать учителю в качестве пособия для повышения собственной квалификации. Книга также может быть с успехом использована для занятий школьных математических кружков. Для учащихся, интересующихся математикой, задачник может быть полезен как развивающий находчивость и сообразительность в поисках наиболее рациональных и изящных путей решения примеров и задач.

НОВЫЕ КНИГИ О НИКОЛАЕ ИВАНОВИЧЕ ЛОБАЧЕВСКОМ

В. Н. МОЛОДШИЙ (Москва)

В 1943 г. исполнилось 150 лет со дня рождения величайшего русского геометра, творца неевклидовой (гиперболической) геометрии — Николая Ивановича Лобачевского.

Эту знаменательную дату нашу ученые отметили новыми исследованиями, посвященными жизни и творчеству Н. И. Лобачевского.

Мы хотим обратить внимание преподавателей математики на две книги:

1. Проф. В. Ф. Каган. Лобачевский, изд. Акад. Наук СССР, 1944.

2. Чл.-кор. Акад. Наук СССР П. С. Александров и акад. А. Н. Колмогоров. Николай Иванович Лобачевский, изд. ОГИЗ, 1943.

В книге В. Ф. Кагана содержатся: подробная биография Н. И. Лобачевского, краткое изложение его работ, в первую очередь геометрических, описание дальнейшего развития идей неевклидовой геометрии и, наконец, основные данные о современном соотношении геометрии с механикой, физикой и космологией.

В изложении В. Ф. Кагана биография Н. И. Лобачевского — не простое перечисление основных дат жизни великого ученого. Автору удалось показать, в каких условиях, под влиянием каких причин, как и до каких пределов Н. И. Лобачевскому удалось развить содержание новой геометрии.

Открыть неевклидову геометрию и довести ее развитие до возможного в то время совершенства мог только гений. Это несомненно, но этого недостаточно!

Надо было иметь смелость отказаться от абсолютизации геометрии Евклида, порвать с многовековыми традициями, выступить против философии Канта. Это мог сделать человек с передовым, материалистическим мировоззрением, человек, для которого материализм был орудием отыскания истины. Надо было иметь волю и решимость довести дело до конца, не оглядываясь в сторону «беотийцев».

Гаусс открыл основные идеи ^неевклидовой геометрии, но при жизни упоминал о них только в частной переписке: он боялся «крика беотийцев». Больяи также открыл основные идеи гиперболической геометрии и обнародовал их. Но равнодушие Гаусса к его открытию, заговор молчания ученых сломили его волю, и он дела до конца не довел.

Надо было быть не только гением, но и революционером в науке. Им то и был Н. И. Лобачевский!

В биографии читатель найдет много интересных фактов, характеризующих Н. И. Лобачевского как выдающегося педагога, общественного деятеля и администратора, человека светлой души и безграничной любви к родине. Н. И. Лобачевский принадлежал к числу тех бескорыстных, возвышенных поборников дела воспитания, которые всегда будут служить примером для наших педагогов.

Свои открытия Н. И. Лобачевский излагал очень кратко, порой почти без доказательств. Чтение его работ сопряжено с большими трудностями. В. Ф. Каган сделал все возможное, чтобы сохранить стиль работы Н. И. Лобачевского и в то же время изложить их содержание в доступной для читателя форме.

Н. И. Лобачевский развил содержание неевклидовой геометрии, но непротиворечивость ее не доказал. Вернее, он близко подошел к этому доказательству, но не завершил его. Математика его времени не имела ясного понимания приемов доказательства непротиворечивости. Работы Лобачевского со всей остротой поставили этот вопрос, но он получил достаточное истолкование только после того, как Бельтрами нашел неполную интерпретацию планиметрии гиперболического пространства. В третьей части своей работы В. Ф. Каган сначала рассказывает, как в трудах Бельтрами, Пуанкарэ и др. была развита идея интерпретации и как, тем самым, была доказана непротиворечивость гиперболической геометрии. Далее следует анализ влияния идей Лобачевского на развитие вопросов обоснования геометрии в целом (Риман, Клейн, С. Ли, Гильберт) и математики во всех ее разветвлениях. Этот раздел заканчивается вполне обоснованным утверждением: «Методы обоснования всякой математической дисциплины— больше того, методы обоснования всякой выводной науки в современной своей постановке — ведут свое начало от замысла, от идей Лобачевского».

В последнем разделе, к сожалению, очень кратком, В. Ф. Каган говорит о той большой роли, какую стали играть идеи неевклидовой геометрий в области механики, физики и космологии.

Книга П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова является сборником, включающим три статьи: 1) Николай Иванович Лобачевский (краткий очерк жизни и деятельности); 2) Что такое неевклидова геометрия? 3) Лобачевский и математическое мышление девятнадцатого века.

Первые две написаны П. С. Александровым, третья — А. Н. Колмогоровым.

В первой статье П. С. Александров, так же как и В. Ф. Каган, рассказывает о Н. И. Лобачевском, как о патриоте нашей родины, блестящем педагоге и общественном деятеле. Автор справедливо указывает, что Лобачевскому принадлежат фундаментальные идеи не только в геометрии, но и в анализе. Общее определение функции, обычно связываемое с именем Дирихле, было впервые сформулировано Н. И. Лобачевским в 1834 г.

Вторая статья ставит задачей с аксиоматической точки зрения выяснить содержание геометрии Лобачевского, показать объективные основания ее выводов. Она начинается с изложения полной системы аксиом геометрии Евклида (по Гильберту) и, соответственно, полной системы аксиом геометрии Лобачевского (так как они отличаются только одной аксиомой — именно аксиомой о параллельных). Далее следует доказательство непротиворечивости геометрии Евклида путем сведения ее основных понятий и аксиом к понятиям арифметики действительных чисел и приводится другая интерпретация геометрии Евклида. На этой базе П. С. Александров описывает две геометрические интерпретации геометрии Лобачевского. Статья заканчивается сравнением геометрии Лобачевского с

эллиптической геометрией Римана, что необходимо для лучшего уяснения вопроса о содержании противопоставления геометрии Лобачевского геометрии Евклида.

Цель, преследуемая автором, достигнута вполне. Строгость, точность, но вместе с тем геометрическая образность всех выводов автора — таковы достоинства этой статьи.

Статья А. Н. Колмогорова отвечает на вопрос: каково значение идеи Лобачевского для дальнейшего развития математики?

Автор характеризует общие тенденции развития и стиль математики XIX столетия и показывает, что одним из самых мощных источников этих идей и нового, стиля явились работы Н. И. Лобачевского.

Статья содержит пять разделов, в которых сжато рассматриваются важнейшие вопросы: непротиворечивость, соотношение между реальным и математическим пространством, геометризация современных методов математики, математика нашего времени, как наука об общих формах связи объектов.

Последний раздел (о предмете и стиле исследований современной математики) вкратце воспроизводит идеи, которые были развиты А. Н. Колмогоровым в его статье «Математика» (напечатана в «Большой Советской Энциклопедии», т. 38).

По своему содержанию статья А. Н. Колмогорова является выводом, обобщающим все то, что изложено в книге В. Ф. Каган и статьях П. С. Александрова.

ЗАДАЧИ

О КОНКУРСЕ НА РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

По примеру прошлых лет с настоящего номера открывается конкурс для преподавателей на решение задач по элементарной математике. Предусматривается подбор задач различной степени трудности, рассчитанный на неодинаковую подготовку читателей.

Задачи частью берутся из русских и иностранных журналов и задачников, частью являются оригинальными.

Читатели приглашаются присылать задачи для помещения в журнале. Если задача не является оригинальной, то обязательно следует указывать, откуда она взята. Непринятые к напечатанию задачи уничтожаются, и по поводу них редакция в переписку не вступает.

Одновременно в журнале будут помещаться более легкие задачи для учащихся. Решения этих задач печататься не будут, и присылать их не следует.

Условия участия в конкурсе

1. Решения задач присылаются отдельно от всякой другой корреспонденции.

2. Решение каждой задачи дается на отдельном листочке и подписывается с указанием местожительства (город, район или область). К решениям прилагается на отдельном листе список №№ присылаемых решений и точный адрес.

3. Решения писать четко и разборчиво. Крупно выделять номер задачи.

4. Первые 15—20 участников конкурса, решившие наибольшее число задач, премируются книгами преимущественно по математике и методике преподавания математики.

5. Участники конкурса могут присылать списки книг, которые они желали бы получить в качестве премий. Редакция по возможности постарается выполнить эти пожелания.

Редакция

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 2 журнала за 1941 г.

От редакции. В последнем, 4-м номере журнала, вышедшем в 1941 г., были даны решения задач, помещенных в № 1 того же года.

Решения задач из 2—4 были получены редакцией уже в значительно меньшем количестве. Однако запросы по поводу этих задач продолжают поступать и до настоящего времени. Поэтому редакция в первых двух номерах журнала предполагает дать краткие решения этих задач, не приводя списка приславших решения (этот список был бы в большой мере случайным). С № 4 будут помещаться решения задач уже 1946 года:

21.

Доказать, что при любом целом л>4 выражение пР—Зп не может быть точным квадратом.

В выражении п?—3п = л (л—3) сомножители л и п—3 могут быть или взаимно простыми или иметь общим множителем число 3 (так как общий множитель чисел л и л—3 должен быть множителем и их разности: л — (л—3) = 3. Разберем оба эти случая.

1. Если л и л—3 числа взаимно простые, то произведение их может быть точным квадратом лишь в том случае, если каждый из них в отдельности является точным квадратом. Следовательно, мы можем положить:

л = а2 и л — 3 =- Ь*,

где а и Ъ положитльные целые числа и а>Ь. Отсюда имеем: а? — е= Щ или а2—Ь2—3 или

(а — Ь) {а + Ь) =3.

Но последнее равенство может иметь место только при условии:

a — b = \; а + Ь = 3,

откуда а = 2, 6=1, л=4.

Но этот случай условием задачи исключается.

2. Если лил — 3 имеют 3 общим множителем, то можем положить: л = За2 и п — 3=- ЗЬ2.

Отсюда:

3а2_ 3 = 36* или a* — 1 = R

При целых я h Ь последнее равенство возможно лишь при а = 1 и 6 = 0, откуда л = 3. Этот случай также исключается условием задачи. Теорема доказана полностью.

22.

Решить систему уравнений:

Дать задаче геометрическое истолкование и решить ее геометрическим путем.

Если взять треугольник со сторонами дг, у, z, то легко заметить, что высоты этого треугольника будут равны соответственно а, Ь, с. Таким образом, вопрос сводится к решению задачи: построить треугольник по трем его высотам. Имеем:

Отсюда:

и

или

(1)

Строим треугольник со сторонами

Из (I) видно, что он подобен искомому. Проведем в нем высоту па к стороне а. Из подобия треугольников получаем:

Отсюда

Или, выразив ha через площадь s, получим:

где 5 —площадь треугольника со сторонами

23.

Найти двузначное число, квадрат которого равен кубу суммы его цифр.

Приведем наиболее короткое решение. По условию имеем:

где X - искомое число, a — сумма его цифр. Умножив обе части на х, получим:

Итак, X — двузначное число, являющееся точным кубом. Таких чисел два: 27 и 64. Испытание дает:

Искомое число 27.

24.

Решить уравнение:

Перепишем уравнение в раскрытом виде и упростим:

Так как левая часть этого уравнения положительна (случай х = 0, откуда у=0, исключаем как тривиальный), то в правой части должно быть

5 — 3лг>0,

что дает для х единственное значение: х = 1.

Подставив это значение в последнее уравнение найдем: у = 8. Проверим:

6-11-18« 1188. 25.

Доказать неравенство

для положительных значений а и Ь.

Воспользуемся известным соотношением между средним арифметическим и средним геометрическим двух чисел X и у

Положим здесь х = ^ф^' У=\!аЪ- Будем иметь

или

Возведя обе части в 4-ю степень и освободившись от знаменателей, получим требуемое неравенство.

26.

Решить систему уравнений:

(1)

Преобразовав левые части и .перевернув* каждое уравнение, получим:

(2)

Обозначив для краткости:

ХУ + У* + Щ = v* (3)

будем иметь:

(4)

Система (4) легко решается относительно

Сложив уравнения (4), получим по сокращении на 2:

(5)

Вычтя из (5) каждое из уравнений (4), найдем:

(6)

Отсюда:

(7)

Подставив значения x,y,z из (7) в (3), получим

откуда:

(8)

Наконец, подставив значение v из (8) в (7), найдем окончательно:

27.

(1)

Изящное решение этого уравнения получается двукратным применением производных пропорций. Именно, воспользовавшись производной пропорцией a__fr = с__^ получим, по сокращении на 2 левой части:

(2)

Разделив обе части на 2 и применив опять тот же прием, найдем:

(3)

Отсюда:

(4)

Разделив (1) на (4) и применив формулу (т ± п) (т* ^ тп + г&) =» /»з ± л3, получим:

Отсюда легко находим

28.

Какого вида треугольник ABC, для которого

(1) (2)

Из отношения (1) получаем:

Отсюда:

(3)

Сравнивая (3) с формулой,

Решить уравнение

находим:

Умножив обе части равенства (2) на 2, мы можем его представить в таком виде:

Следовательно,

Отсюда

cos (А — В) =1; А — В = 0; А =* В =■ €0\

Треугольник равносторонний,

29.

Из равенства

(1)

вывести, что

(2)

Из (1) определим sin <f ; будем иметь

Отсюда, по умножении обеих частей на i, получим:

(3)

Из (1) и (3) сложением и вычитанием получим:

(4)

Возведя равенства (4) в л-ю степень, получим по формуле Муавра

что по сложении дает требуемое равенство (2).

30.

Найти в десятичной системе трехзначное число, которое, будучи написано в девятиричной системе, дает число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Обозначив через х,у, z соответственно число сотен, десятков и единиц искомого числа, будем иметь по условию:

(1)

Отсюда:

(2)

Так как z и х числа целые, то и —щ— должно быть целым числом. А. так как х и у не могут быть больше 9, то возможны лишь два случая:

1) 19.r-f-j/= 80. Равенство возможно лишь при X =у = 4. Тогда из (2) получим z = 5, и искомое число будет 445.

2) 19лг -\-у = 160. Равенство возможно лишь при х=у = 8. Но тогда из (2) для z получаем невозможное значение 10.

Итак, число 445 является единственным удовлетворяющим условию задачи.

31.

Доказать, что при условии

абсолютная величина одного из (вещественных) чисел а и b больше единицы, а другого меньше единицы. Имеем:

Последнее неравенство возможно лишь, если одновременно:

1 > а? и 1< Ь*

или

1<а* и 1 >Ь\ что и доказывает предложение задачи.

32.

Решить уравнение

(1)

Возведя обе части в куб, получим:

(2)

или, приняв во внимание (1):

(3)

Отсюда:

(4)

Находим сразу одно значение х « О, удовлетворяющее данному уравнению. Предполагая теперь х ф О, сокращаем (4) на 2х и получаем:

—= Ь* — je3 * (5)

При ^ = ±а и при je = + b уравнение (5), как и (1), теряет смысл. Исключая эти значения, получим:

ab* — ах* = аЧ — Ьх* или (а — Ъ)х2 = аЬ(Ь — а). (6)

Если а=* Ь, то уравнение (6) становится неопределенным, и данное уравнение (1) обращается в тождество (что легко видеть и непосредственно), т. е. удовлетворяется любыми значениями X. Наконец, при а Ф b имеем:

Для вещественности корней необходимо, чтобы а и b были разных знаков.

33.

Если сумма квадратов двух целых чисел есть точный квадрат, то произведение этих чисел кратно шести. Доказать.

Для решения задачи достаточно показать, что из чисел а и b (предполагаем их взаимно простыми— в противном случае предварительно производим сокращение): 1) одно должно быть четным, а другое нечетным; 2) одно должно быть кратным 3. Доказательства не приводим в силу его элементарности.

34.

Три различных числа а, ß и 7 удовлетворяют соотношениям:

а* + ра + я = о,

ß3+/>ß + ? = 0, (1)

Доказать, что

а% + рз 4- 7з = з арт. (2)

Равенства (1) показывают, что а, ß и 7 являются корнями уравнения:

*з + рх + q = 0.

Но по свойству корней имеем:

« + ß+7 = 0. (3)

Возведя (3) в куб, будем иметь:

или

Отсюда, приняв во внимание (3), получаем соотношение (2).

35.

Решить уравнение

Предполагая 2 \/sin х— 1 Ф 0, освобождаемся от знаменателя.

Будем иметь

или:

Но

Отсюда имеем:

Отсюда получаем:

36.

Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена секущая; другие точки ее пересечения с окружностями С и D. В точках С и D проведены к окружностям касательные, пересекающиеся в точке Е. Доказать, что точки В, С, Д Е лежат на одной окружности.

Для доказательства теоремы достаточно показать, что сумма противоположных углов четырехугольника BCDE равна 180°. Докажем это относительно углов С a D (черт. 1).

Черт. 1.

Следовательно, нужно только доказать, что L ОСВ = LOi DB, а это равенство сводится к следующему: L СОВ = L BOi D (из треугольников СОВ и BO\D). Вписанные углы CAB и BAD дополняют друг друга до 180°. Следовательно, дуги СМВ и BND, на которые они опираются, будучи выражены в градусах, дополняют друг друга до 360е.

Отсюда следует, что дуга CAB, дополняющая дугу СМВ до 360°, содержит столько же градусов, сколько дуга BND. А это значит, что соответствующие центральные углы СОВ и BOiD равны.

37.

Доказать, что во всякий остроугольный треугольник можно вписать только два треугольника, стороны которых соответственно перпендикулярны сторонам данного треугольника, что эти вписанные треугольники равны и что шесть их вершин лежат на одной окружности.

Для построения искомого треугольника в остроугольном а ABC (черт. 2) проведем высоту CP и через точки С и Р проведем соответственно перпендикуляры к сторонам АС и ВС; эти перпендикуляры пересекутся в точке Q. В Л CPQ стороны перпендикулярны сторонам дABC. Беря теперь точку А за центр гомотетии, преобразуем полученный треугольник в д А'ВС, так что точке С соответствует А', точке Р — В', точке Q — С. Полученный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи, так как его вершины лежат на сторонах д ABC, э стороны перпендикулярны к сторонам того же треугольника, будучи соответственно параллельны сторонам ACPQ.

Проведем теперь через А' прямую, параллельную AB. а через С — прямую, параллельную АС. Пусть О — центр полученного параллелограма. Через вершину параллелограма А“, противоположную Л', проведем отрезки А“В“ и А“С“, соответственно равные и параллельные отрезкам А'В' и А'О.

Ввиду того, что у нас получились прямоугольники, будем иметь:

OA « OB“ = ОС = OA“ = OB' mm ОС“.

А отсюда следует что С В“ С“ В' прямоугольник; поэтому С В“ ± В' С' и, значит. В“ лежит на стороне ВС нашего треугольника. В результате мы получили второй треугольник А“ В“ С“, центрально симметричный с Д ABC и также удовлетворяющий условиям задачи. В силу вышеустановленного равенства отрезков окружность с центром О пройдет через все шесть вершин треугольников.

38.

Плоскостью пересечен тетраэдр быть может, неправильный, так что в сечении получается треугольник. Доказать, что площадь этого треугольника меньше, по крайней мере, одной из граней тетраэдра.

Рассмотрим сначала частный случай, когда сечение проходит через одно из ребер основания. Тогда мы получим ДЛВС, À ABE и &ABD (черт. 3) с общим основанием AB. Для сравнения их площадей сравним их высоты, опущенные из С, Е и D на AB. Для этого спроектируем тетраэдр на плоскость, перпендикулярную к AB. Тогда в проекции точки А и В сольются в одну, высоты же треугольников, будучи параллельны к плоскости проекции, спроектируются без изменения их длины. При этом высота сечения будет проходить между высотами граней и поэтому будет меньше, по крайней мере, одной из этих высот. Действительно, если высота сечения не совпадет с перпендикуляром к CD' (тогда доказательство было бы очевидным), то этот перпендикуляр может проходить или внутри или вне угла, образуемого проекциями высот граней. В том и другом случае проекция высоты сечения будет наклонной к С' Е', проекция которой будет меньше проекции по крайней мере одной из наклонных, об, аз\емых проекциями граней. Итак, площадь сечения будет меньше площади, по крайней мере, одной из граней.

Рассмотрим второй случай, когда сечение CPQ проходит через одну из вершин основания С. Проведя вспомогательное сечение ACQ, приведем, этот случай к предыдущему, так как площадь CPQ будет меньше либо площади д CQD, либо площади сечения ACQ, которая в свою очередь меньше либо площади грани ACD, либо ABC, либо обеих одновременно.

Остается, наконец, рассмотреть общий случай когда сечение не проходит ни через одну из вершин основания. Тогда мы через одну из вер-

Черт. 2.

Черт. 3.

шин основания проведем сечение, параллельное данному, выбирая эту вершину так, чтобы сечение прошло внутри тетраэдра. Сравнивая площади этих сечений, легко убедиться, что площадь сечения, более близкого к вершине, будет меньше площади сечения, проходящего через вершину основания, используя для этого или теорему о свойстве параллельного сечения в пирамиде, или просто сравнивая стороны полученных в сечении подобных треугольников.

39.

На трех данных параллельных прямых от трех данных на этих прямых точек Л, В, С откладываем (в одном направлении) какие-либо отрезки AL, В M и CN, сумма которых равна данному отрезку. Доказать, что все плоскости LMN проходят через одну и ту же точку (черт. 4).

Черт. 4.

Назовем длины отрезков AL, ВМ и CN соответственно а, Ь и с и докажем, что расстояние центра тяжести Д ABC от центра тяжести л LMN

постоянно и равно

Пусть Р и Q — центры тяжести Д ABC и Д LMN; обозначим X расстояние PQ. Соединим также середину PC с серединой QN и обозначим длину полученного отрезка у. Тогда из двух трапеций получим

но

Поэтому

или

Итак, если сумма а -\-Ъ + с постоянна, то точка Q неизменна.

40.

Задача 40 требует найти ошибку в доказательстве положения „В любом треугольнике все стороны равны“. Ошибка основана на неправильном чертеже.

ЗАДАЧИ

1. Найти все трехзначные числа N=xyz, удовлетворяющие одному из следующих условий:

1) x=z и число N делится на 3 и на 5.

2) X — z и число N делится на 3 и на 11.

3) Число является точным квадратом и делится на 3 и на 5.

2. Даны дроби: —, _* _. Найти наибольшую дробь, которая при делении на нее данных дробей даст в частном целые числа.

3. Найти все четырехзначные числа N = xyzu, такие, что сумма цифр s числа и произведение цифр р удовлетворяют соотношениям:

N=lOQs+p; р =lczu.

4. Найти целое число, оканчивающееся цифрой 2, и такое, что если цифру 2 переставить из конца в начало, то новое число будет в два раза больше первоначального.

5. Найти натуральные числа ЛГ, обладающие тем свойством, что сумма цифр числа N3 равна самому числу N.

6. Доказать тождество:

7. Найти числа, удовлетворяющие условию, что квадрат числа, образованного двумя последними цифрами, сложенный с квадратом числа, стоящего перед ним, дает в сумме искомое число.

8. Решить уравнение

*3 — 6*2 + 12*— Ю-0.

9. Определить значения коэфициентов а и Ь, при которых многочлен

х* + ахЗ + Ьх*-&х + 4

является точным квадратом.

10. Решить уравнение:

11. Показать, что при любых целых значениях X и у выражения

могут быть представлены в виде: Р + Зи2, где / и и— целые.

12. Упростить выражение:

(Sin о -f COSeC а)2 -f (cos а + sec а)2 — (tg2 а -j- ctg2a).

13. Упростить выражение:

14. Решить уравнение

Определить значения я, при которых уравнение имеет действительные корни.

15. Показать, что если

16. Доказать для треугольника соотношение:

где 5 —площадь треугольника, а г, ra, гь, гс — радиусы вписанного и вневписанных кругов.

17. В данный круг вписать треугольник так, чтобы две его стороны проходили через две данные Точки (обе внутри или обе вне круга), из которых третья сторона была бы видна под одинаковыми углами.

18. Дана окружность и два радиуса ОМ и ON. Провести секущую ABCD так, чтобы AB : ВС : CD = 1:2:3, где А и D— точки пересечения секущей с окружностью, а В и С — с данными радиусами.

19. Внутри прямоугольного треугольника ABC (А — вершина прямого угла) дана точка О, служащая вершиной равновеликих треугольников О AB, О АС и ОВС. Доказать, что

ОВ* + 0& = 50Л2.

20. Найти геометрическое место центров окружностей, вписанных в прямоугольные треугольники имеющие общую гипотенузу.

СОДЕРЖАНИЕ

От редакции ............................... 1

Проф. Гребенча М. К. |Н. А. Глаголев|.................. 3

Научно-популярный отдел

Александров А. Д., проф. Что такое топология. ............ 7

Безикович Я. С. Метод полной математической индукции.........20

Из истории математики

Вайншток И. Б. Тригонометрия у древних греков............. 26

Методика

Брадис В. М., проф. Математические задачи в школе............ 33

Из опыта

Стальков Г. А. Организация и методика повторения............40

Хроника

Гончаров Д. С. Работа секции математиков при Одесском городском методическом кабинете в 1945 г.................... . . . 52

Критика и библиография

Новосёлов С. И. Обзор новых книг...... . . . . ...... 53

Молодший В. Н. Новые книги о Н. И. Лобачевском........... 56

Задачи

О конкурсе на решение задач....................... 57

Решения задач, помещённых в № 2 журнала за 1941 год............ —

Задачи................................... 63