МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

4

1941

УЧПЕДГИЗ НАРКОМПРОСА РСФСР • МОСКВА

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

Проф- Д. Д. Мордухай-Болтовской— Основы арифметики в середине XVIII в.......................... 1

И. С. Плужников —О некоторых недоразумениях, связанных с употреблением радикала..................... 6

С. В. Филичев — Страничка из математического словаря..... 13

И. Н. Шевченко — Терминологический словарь..... 17

МЕТОДИКА

М. С. Бернштейн — Задачи на доказательство в курсе геометрии 19

И. М. Кипнис — Геометрические задачи, требующие составления тригонометрических уравнений................ 31

Л. Н. Грацианская-Дорошкевич — К приемным испытаниям в вузы 38

ПРАКТИЧЕСКИЕ НАВЫКИ

A. Могильницкий — Некоторые применения математики в артиллерии .............................. 46

Г. А. Михайлов — Простые измерительные приборы....... 49

ХРОНИКА

Д. Гончаров — Четвертый год работы секции математиков при Одесском городском методическом кабинете......... 52

Н. Пукалова — Математическая выставка на августовской конференции............................ 53

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Р. Бончковский — Пробный учебник по тригонометрии..... 55

С. И. Новоселов — Обзор новых книг.............. 63

B. А. Невский — Новые книги по математике........... 65

ЗАДАЧИ

В. Голубев — По поводу задачи № 16............... 67

Решения задач, помещенных в № 1 1941 г............. 68

Задачи для преподавателей.................... 79

Задачи для учащихся............... . . . 80

Сводка по № 6 1940 г....................... 80

Отв. редактор А. Н. Барсуков

Адрес редакции: Москва, Орликов пер., 3, Учпедгиз, жури. «Матем. в школе»

А ЗЬ7&3 Год издания восьмой Цена 1 р. 50 к.

Поди, к печ. 7/VÎ 1941 г. 5 п. л. 11,66 уч.-изд. л. Тир. 38 700 Зак. 565

18-я типография треста «Полиграфкнига», Москва, Шубинский пер., д. 10.

Пролетарии всех стран, соединяйтесь!

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

1941

ИЮЛЬ -АВГУСТ

ГОД ИЗДАНИЯ ВОСЬМОЙ

УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНЫХ И СРЕДНИХ ШКОЛ НАРКОМПРОСА РСФСР

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ОСНОВЫ АРИФМЕТИКИ В СЕРЕДИНЕ XVIII в.

Проф. Д. Д. МОРДУХАЙ-БОЛТОВСКОЙ (Ростов-на-Дону)

§ 1. НАУКА БУДУЩЕГО

Методика наука более будущего, чем настоящего.

Методика средней школы в настоящее время находится в младенческом состоянии. В настоящее время это только ряд методических замечаний, относящихся к материалу среднешкольного преподавания, при этом в большой мере чисто дидактического характера. Только в будущем вырисовываются очертания науки, о которой можно высказать следующее суждение, представляющееся в атмосфере недоверия к методике весьма парадоксальным: наука эта будет богаче своим содержанием, чем наука диссертаций и мемуаров. Ведь она будет решать аксиоматически-психологическую проблему. Она будет давать доказательства, исходя только из тех предпосылок, которые доступны тем, кому даются эти доказательства.

Вместо одной окристаллизованной истины научного мемуара, она будет искать многообразие тех истин или, пожалуй, лучше сказать, истин не вполне раскрытых, тех истин, которые требуют различные возрасты и различные концентры преподавания.

История математики будет теснейшим образом переплетаться с методикой. Исторический и методический эволюционные ряды будут порой сходиться, порой расходиться. Мы не будем учить детей по Эвклиду, как это делают англичане. Развитие ребенка не является, конечно, как это утверждали так называемые «педологи» сокращенным повторением истории наших предков, но история будет учить методиста ставить методические проблемы.

§ 2. ИСТОРИЯ МЕТОДИКИ МАТЕМАТИКИ

История методики математики, т. е. история математики в ее нижнем течении, не только у нас, но и за границей бедна. Если история математики как история открытия научных истин относилась к наукам низшего сорта, а может быть, и совсем не считалась наукой-, и такие научные работники, как В. В. Бобынин, сходили в могилу без ученой степени, то история методики являлась уже настолько незначительным делом, что и в математических журналах, задававшихся методическими целями, статьи по этому предмету являлись пасынками в сравнении с заметками по элементарной математике или узкодидактическими статьями, а между тем для учителя это будет всегда и интересным и поучительным прошлым.

Следует несколько выйти из своей научной лаборатории, хоть немножко сделаться учителем, чтобы понять, что все методическое настоящее — это коралловые острова, это результат незаметной работы незаметных полипов.

Я сейчас хочу обратить внимание на прошлое теоретической арифметики.

Это прошлое, прежде всего, указывает на то, что ребенка раньше не понимали, что в него всегда проектировали мысли взрослого.

Мы теперь обходимся без той теоретической арифметики, которую вызубривал несчастный ребенок XVIII в. Мы

не стараемся в первую очередь,как это делали еще в XVIII в., вложить в голову ребенка определения аксиомы и доказательства по образцу эвклидовых «Начал», или, вернее, рациональной философии Вольфа. Поколениями вырабатывался тот особенный язык, на котором мы теперь говорим с детьми, далекий от эвклидовского.

§ 8. МЕТОДИКА XVIII в.

Я вовсе не намерен дать систематическую историю теоретической арифметики, начиная с 7, 8, 9-й книг «Начал» Эвклида. Я дам только одну страничку из этой истории, а именно ознакомлю с основами арифметики, главным образом первой половины XVIII в.

Аксиоматическое обоснование арифметики и алгебры первой половины XVIII в. шло по направлению Лейбница, который считал возможным обоснование всей математики только с помощью определений и двух чисто логических законов: тождества и противоречия, сливая с последним закон исключенного третьего.

Истинными аксиомами, по его мнению и по мнению его верного ученика и методиста Христиана Вольфа, являются только тождественные положения.

Вольфианские учебники, из которых родились наши учебники конца XVIII и начала XIX вв. стараются убедить учащихся в различных математических истинах сведением их к такого рода бессодержательным предпосылкам.

Все это, конечно, от нас очень далеко.

§ 4. АКТУАЛЬНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ В ШКОЛЕ

Но есть один момент в лейбницианской системе мышления, который должен обратить на себя внимание и современного методиста.

Это привхождение в лейбницианские определения актуальной бесконечности.

Таково лейбницианско-вольфианское определение подобных фигур, как таких, в которых нет признаков, которыми бы они отличались, причем Лейбниц делает прибавку «без соприсутствия чего-либо третьего», что в ущерб определению отбрасывается Вольфом.

Такое определение, конечно, предполагает актуальную бесконечность проверок, которые фактически не могут быть произведены.

Таково и определение равенства, перешедшее тоже от Лейбница к Вольфу.

Тождество не определяется, а равенство определяется с помощью тождества. Два количества, в частности, два числа a, b признавались равными, если всякая операция Л (а) давала тот же результат по подстановке в вместо о.

В теоретической и практической арифметике Дм. Аничкова*, учебнике ясно выраженного вольфианского типа, это определение превращено в 3-ю аксиому: «Равные количества имеют между собой взаимное сношение, т. е. одна на месте другой может поставлена быть».

Что такого рода определения и сейчас могут иметь методическое значение следует из того, что, например, связанная с первым определением аксиома Вольфа, что «одинаковые операции произведенные над подобными фигурами дают подобные фигуры», дает возможность сразу утверждать, что и медианы, и высоты, и биссектрисы в подобных треугольниках относятся, как соответственные стороны.

Что же касается до второго определения, то в нем, прежде всего, следует усмотреть подчеркнутую в нем разницу тождества и равенства.

Равные абстрактные числа, конечно, тождественны, но едва ли следует учащемуся это подчеркивать, так как учащийся всегда будет мыслить конкретными числами, которые будут равны, но не тождественны.

Равенство же будет всегда мыслиться по Лейбницу, т. е. в смысле общности всех признаков данных объектов или только фигурирующих в операциях, которые над этими объектами производятся.

Две суммы денег: 4 пятака и 2 гривенника равны, хотя это и не те же деньги, равны потому, что при всех торговых сделках два гривенника можно заменить четырьмя пятаками.

§ 5. МЕТОДИКА И ЗАКОНЫ АРИФМЕТИКИ

Законы арифметики математикам XVIII в. представлялись очевидными истинами, т. е. аксиомами, вроде аксиом первой книги «Начал», но, тем не менее, они доказывались.

Это очень характерная черта позднейшей рационалистической мысли — вера в доказуемость всего, даже очевидного, из логических аксиом и определений.

* Аничков — «Арифметика». М., 1786, стр. 17.

Стремление доказывать очевидное — это очень характерно для первой половины XVIII в.

Этим эпоха отличается от конца XVIII и начала XIX вв., когда математика оказывалась без аксиом или с ничтожным их числом, как элементы Лежандра, вследствие того, что тогда твердо верили, что все основные предпосылки математики извлекаются из опыта: о том, что прекрасно видно, не следует распространяться.

Отношение к законам арифметики меняется со временем. О них очень много говорят Вольфианские учебники, Лакруа в начале XIX в. о них ничего не говорит.

Но современные учебники не пропускают их без внимания. Формально-аксиоматическое настроение в науке кладет свое отражение и в начало преподавания арифметики, но это отражение проходит через призму тех методических приемов, которые с таким трудом вырабатывались в течение двух столетий.

В настоящее время мы уже не стоим на точке зрения вольфианских учебников.

Мы не можем стать и на точку зрения эмпириков, воспитанных энциклопедией Дидро*. Мы, во всяком случае, должны учеников подводить к логической конструкции математики, причем совершенно независимо от того, какое происхождение имеют ее основные истины. Мы никогда не должны вместе с тем упускать педагогические цели преподавания математики, которая не только дает знания, но и учит абстрактно мыслить.

Мы не разделяем наивной веры Лейбница.

И если бы Лейбниц был прав, то мы никогда не протянули бы так далеко аксиоматическое исследование.

Мы, действительно, говорим о законах арифметики, даем систему аксиом и часть их доказываем, но не стремимся к тому, чтобы они были независимы, и, более того, даже к тому, чтобы была соблюдена их полнота. Мы оставляем часть под порогом сознания.

§ 6. КОММУТАТИВНОСТЬ П АССОЦИАТИВНОСТЬ

Отметим еще, что среди аксиом XVIII в. фигурируют далеко не все те, которые мы в настоящее время выставляем.

Для нас кажется в высокой степени странным, что в систему этих аксиом не входят те, которые относятся к коммутативности и ассоциативности.

Отсутствие закона коммутативности для равенства объясняется тем, что равенство мыслилось как отношение, в которое не входило понятие порядка.

Но и в настоящее время, не будучи в состоянии в школе вполне встать на точку зрения чисто формальной математики (как Гильберт)*, мы обходим эту аксиому, при этом понятие равенства, связанное с такого рода аксиомой и опасно для учащегося, так как аксиома эта, как лишенная внутреннего содержания, только путает мысль учащегося.

Но иное дело — закон коммутативности и ассоциативности сложения и умножения.

Для мысли учащегося множитель и множимое должны иметь различный конкретный смысл.

Закон коммутативный имеет вполне конкретное содержание: 7 рабочих, получая по 8 рублей в день, получат ту же зарплату, что 8 рабочих, получая по 7 рублей.

Затем, зарплата получается та же, будет ли выдаваться она сразу за первую и вторую работу, а затем отдельно за третью или же сперва за первую, а затем сразу за вторую и третью.

Интересно здесь отметить, что Эвклид доказывает закон коммутативный в 16-м положении 7-й книги, вольфианская же школа не идет за Эвклидом.

§ 7. ПЕРВЫЕ ДВЕ ЭВКЛИДОВЫ АКСИОМЫ

Но вольфианские учебники старательно доказывают первую Эвклидову аксиому: «Величины, равные порознь третьей, равны между собой», что символически может быть выражено так:

a = C'b = c-D -a = b,

или так:

а = с-с= b-э -а = Ь.

Эта аксиома утверждает свойство транзитивности равенства.

Чтобы быть кратким, мы выразим тоже в символической форме весь ход вольфианского доказательства.

Обозначая через а \ b замену а на Ь, мы будем иметь:

* Encyclopédie méthodique des arts et des metiers.

* Гильберт — «Основания геометрии».

Теперь расшифруем это так:

Если Ь равно с, то, согласно уже самому определению равенства, во всех операциях и зависимостях можно заменить с на Ь.

Пусть а равно су тогда замена дает как раз а — Ь.

Совершенно так же доказывается вторая Эвклидова аксиома:

a = b, c = d-D-a+c=b+d.

Доказательство развивается так:

с — d, fl-f c = ö-f co-fl-f c = ß-f

Таким же образом получается и b + d = = a+d, откуда в силу доказанного выше положения:

a+c = b+d.

§ 8. ЧАСТЬ И ЦЕЛОЕ

Вольф идет гораздо дальше, он доказывает даже 9-ю Эвклидову аксиому: часть меньше целого.

Его доказательство особенно характерно для этой эпохи. В настоящее время мы не станем доказывать не только эту истину, но и истины предыдущего параграфа. Более того, мы обычно оставляем эти истины под порогом сознания.

Чтобы лучше ознакомить с конструкцией вольфианского доказательства, мы и здесь употребим символику, которой сам Вольф, конечно, не пользуется.

Мы будем обозначать через b часть Ь. Тогда öEE# будет означать, что ö есть часть b, а а — Ь будет означать, что а равно части b (иначе говоря меньше Ь).

Доказательство ведется так:

а — а, Ь-э -а = Ь-э-а<С.Ь.

Расшифровывается это так: а равно с, но а есть часть Ь, поэтому можно сказать, что а часть Ь. Значит, а меньше Ь.

Здесь очень характерно употребление аксиом математического тождества.

Следовало подробно развить доказательство: а то же самое, что а, а потому, если на место а ставить опять а во всех операциях и зависимостях, то будет всегда получаться тот же результат, а потому а равно а.

Это положение Аничковым возводится во вторую аксиому: «Количество само себе равно».

По поводу этого доказательства возникает методический вопрос об употреблении такого тождественного положения: а = а.

Оно, конечно, неизбежно при формально логическом построении математики.

Для школы такое положение является неприемлемым. Положение «о равно а» поскольку мыслится конкретное содержание, совершенно теряет смысл. Равенство можно мыслить только между различными величинами, величину нельзя сравнивать с самой собой.

Доказывается также и 4-я Эвклидова аксиома, что

Схема доказательств следующая:

Расшифровать схему не трудно.

§ 9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УМНОЖЕНИЯ

Понятие иррационального числа в это время еще не вполне образовалось, на его месте стояло Эвклидово отношение величин, не всегда выражаемое через число.

Очень интересно отметить, что отношение и пропорция являлись тогда основными понятиями, с помощью которых определялось умножение и деление как целых, так и дробных чисел.

Если а : Ь = с : d, то при

В настоящее время мы умножение всегда определяем с помощью сложения.

«Помножить, говорят современные методисты, данное число на другое, значит данное число повторить слагаемым столько раз, сколько единиц в другом данном числе».

Но даже в учебниках XIX в. умножение определялось иначе, как нахождение числа, которое содержало бы множимое столько раз, сколько множитель содержит единицу.

Следует отметить, что в XVIII и начале XIX в. слова отношение не было, вместо него стояло содержание.

Приведенное нами определение символически переводилось так:

ob:a = b: 1.

Недостаток современного определения по сравнению со старым тот, что старое го-

дилось для всяких чисел, а новое только для целых, и мы для дробей дали другое определение, конечно, чувствуя себя очень скверно при употреблении термина умножен и е.

§ 10. ДИСТРИБУТИВНЫЙ ЗАКОН

Очень интересно, как Карстен* выводит закон дистрибутивный (для всех чисел) из свойств пропорции:

Конечно, эта манера доказательства резко отличается от той, которую мы даем в школе, рассматривая умножение как повторное сложение и заменяя (а + b) е через

и суммируя a и b по столбцам.

Понятно, что наш вывод уже не годится, когда е дробное, а тем более иррациональное.

Что же касается до вывода Карстена, то он постулирует основные положения 5-й книги «Начал» Эвклида, которые тогда выводятся чисто геометрически и принимаются за очевидные истины, если не все, то частично. Но степень очевидности их в настоящее время представляется ниже, чем степень очевидности положений, которые доказываются с их помощью.

§ 11. ЛОМАНЫЕ ЧИСЛА

Приоритет отношения перед дробью или ломаным числом, как правило, выдерживается во всех учебниках XVIII в.

Понятие отношения а : b всегда отличалось от понятия дроби хотя уже Ньютон объявляет число отношением.

Но Лакруа* уже говорит, что «отношение есть число целое или дробное, показывающее, сколько раз одно из чисел содержит другое».

Правило умножения дроби на дробь поясняется следующим образом.

откуда на основании теории пропорций, которая развивается по образцу 5-й книги «Начал»:

(a.c):{b-d) = b.g:l,

и, наконец, отсюда уже выводится, что

История изучения дробей в XVIII в. ставит перед нами методическую проблему, и притом весьма актуальную, о правильной установке понятия отношения и дроби.

Различение отношения и дроби, приводимое методистами XVIII в. с методической точки зрения является правильным, хотя, с точки зрения формальной математики, имеющей дело только с формальными операциями, является совершенно несущественным.

В то время как отношение является результатом сравнения, дробь — результат действия над целыми числами. Когда пишут:

а : Ь = с: d,

то в собственном смысле здесь равенства нет, а есть только подобие в эвклидовом смысле, и Эвклид говорит в 8-м определении 5-йкниги «Начал»: «Пропорциональность есть подобие отношений», между тем, как дроби — и — равны.

Хотя подход к дробям через пропорции для нас является чуждым, но и здесь между методическими заблуждениями мы можем высмотреть и методическую правду**.

* Karsten — Mathesis theoretica elementaris. Rostock, 1760, § 15 и 17.

* Лакруа — «Арифметика».

** Отметим, что в вопросе о понятии отношения двух чисел редакция является сторонником точки зрения, проводимой проф. А. Я. Хинчиным (см. его статью в № 2 журнала за 1941 г.)

О НЕКОТОРЫХ НЕДОРАЗУМЕНИЯХ, СВЯЗАННЫХ С УПОТРЕБЛЕНИЕМ РАДИКАЛА

И. С. ПЛУЖНИКОВ (Москва)

§ 1. Известно, что отдел алгебры «Действия с радикалами» представляет большие трудности для преподавания и с трудом усваивается учащимися. В преобразованиях с радикалами встречается, кажется, наибольшее количество ошибок, и не только у учеников слабых, но подчас и у сильных, в чем постоянно приходится убеждаться преподавателям высшей школы. Дело в том, что педагогические трудности этого отдела зависят не только от его содержания и, так сказать, идейной сущности, но и от той путаницы и отсутствия необходимой четкости в вопросе об употреблении радикалов, которыми страдает учебная литература. Естественно, что такое положение дела в математической литературе является источником многих недоразумений и невольных ошибок, которые обычно не ставятся в вину учащимся средней школы и нередко не замечаются даже преподавателями, но которые в серьезных вопросах, несомненно, не могут игнорироваться. В высшей школе на первом же курсе из года в год неизменно приходится встречаться с некоторыми типичными ошибками, обнаруживающими неумение правильно пользоваться радикалом, правильно производить действия над радикалами. Правда, ошибки, о которых я говорю, встречаются в вопросах довольно тонких, но зато делаются поголовно всеми, окончившими среднюю школу. Цель настоящей статьи — фиксировать внимание преподавателей средней школы на вопросе о правильном употреблении радикала и тем самым способствовать искоренению тех ошибок, о которых будет итти речь ниже и которые стали столь привычными, что о них не принято говорить в средней школе. Начну с рассмотрения примеров.

§ 2. Пусть требуется исследовать на возрастание и убывание функцию у = arc cos —».

Заметим, что речь идет о главной ветви арккосинуса. Прежде всего легко видеть, что эта функция существует в интервале -со<;с<-^. для решения вопроса о возрастании и убывании функции образуем первую производную и упростим ее, причем необходимые алгебраические преобразования выполним так, как их обычно выполняют окончившие среднюю школу. Получим:

Легко видеть, что у1 существует в интервале — оо < л: <--/ при х =-- первая производная у1 обращается в оо). Так как *<(), то у1 < 0 во всей области своего существования, т. е. взятая функция должна быть убывающей на всем интервале своего существования.

Непосредственное же изучение данной функции показывает следующее: при х —оо дробь —|р- 1» оставаясь меньше +1 и у-*-0, оставаясь все время больше нуля; при х---дробь —!— = — 1 и у = тс. Таким образом, аргумент заданной обратной круговой функции ^т. е. выражение х X 1^ изменяется непрерывно от +1 до — 1 при непрерывном изменении х от —оо до — — : при этом сама функция (как это известно из свойства арккосинуса) изменяется монотонно от 0 до те, следовательно, возрастает. График этой функции имеет такой вид (черт. 1):

Функция без всякого сомнения возрастающая, а первая производная показала ее убывающей. В чем же причина парадокса?

Оставляя пока этот вопрос без ответа, перехожу к рассмотрению второго примера.

§ 3. Требуется исследовать на возрастание и убывание функции у = arc sec х.

Черт. I

Черт. 2

Как и в предыдущем примере, речь здесь идет о главной ветви обратной круговой функции. График этой функции хорошо известен; вот он (черт. 2).

Видим, что функция существует в интервалах — оо<х^—1 и 4"1^-*< + °°. и в обоих этих интервалах функция возрастающая. Применим теперь для исследования возрастания функции первую производную, которую образуем от arc sec де по Валле-Пуссену*:

Первая производная (У) существует в тех же интервалах, как и заданная функция (только при х=±т1 первая производная ^1 обращается в оо).

Рассматривая первую производную, видим, что при изменении х от — оо до — 1 первая производная у1 < 0, следовательно, функция в этом интервале должна убывать, тогда как на самом деле она возрастает. Опять получили парадокс.

§ 4. Возьмем теперь пример из области элементарной алгебры. Пусть требуется избавиться от иррациональности в знаменателе следующей дроби:

Преобразовываем обычным способом (записываем преобразование подробно):

Преобразования сделаны, повидимому, правильно. Но сравнивая заданную дробь с полученным результатом, видим, что в то время как заданная дробь отрицательна (так как 1—]/з <о), полученный результат положителен (так как — 1 > о). В чем причина этого парадокса?

§ 5. Рассмотрим еще пример. Пусть требуется найти

Непосредственная подстановка предельного значения аргумента дает неопределенность вида оо — оо, которую и раскрываем обычным в таких случаях приемом:

Между тем, непосредственное изучение заданного выражения приводит нас к выводу, что при любом х>0 имеем:

а при любом дс<0 имеем:

следовательно, заданное выражение при х-*- — оо не может стремиться к +1. В чем же дело?

§ 6. Рассмотренные парадоксальные случаи и много подобных им оказываются возможными только потому, что до настоящего времени в математической учебной литературе и в педагогической практике не все благополучно с употреблением радикала.

Прежде всего, точный смысл знака радикала в школьном преподавании не указывается с достаточной четкостью, во всяком случае символ у~ употребляется не в одном смысле. Так при решении квадратного уравнения X2 = а всегда пишут х = + и всякий преподаватель сочтет за ошибку запись решения в виде: х = ]/а . Этим самым, следовательно, признается, что знак у обозначает единственное значение квадратного корня, так называемое «арифметическое» значение корня, которое определяется как «положительное значение корня из положительного числа» (см. Киселев — «Алгебра»; Маракуев — «Алгебра»; Бронштейн — «Методика алгебры»).

С другой стороны, считается правильным и такое равенство:

Здесь знак радикала в левой части обозначает уже все значения корня, в то время

* Шарль-Жан-де-ла - Валле-Пуссен — «Курс анализа бесконечно малых». Перевод с франц. под ред. Фихтенгольца, т. I, стр. 87

как тот же знак в правой части обозначает «арифметический» корень.

Радикал применяется также и в такой записи:

Здесь, очевидно, радикал опять обозначает единственное значение корня, но это значение уже не будет «арифметическим» (т. е. положительным из положительного числа).

Наконец, некоторые авторы знаком радикала без предшествующих знаков + или — обозначают любое из всех значений корня. Так, например, в учебнике алгебры Маракуева мы находим по поводу известного софизма:

следующее разъяснение (кстати сказать, совершенно неправильное): «Когда мы знаем происхождение подкоренного количества в формуле \^х2, т. е. знаем, получилось ли х2 от умножения (+•*)(+•*) или от умножения (—х) (—х), то корень следует брать с одним знаком: в первом случае с +, во втором с —» (Маракуев, стр. 410; Маракуев это правило приписывает Безу).

Подобное объяснение можно встретить не только у Маракуева. Приведенная цитата с полной очевидностью показывает, что здесь знак радикала употребляется для обозначения хотя и одного, но не обязательно арифметического значения корня (если даже корень и может иметь арифметическое значение).

Короче: здесь радикал употребляется для обозначения любого из всех значений корня (хотя произвол выбора этого единственного из всех значений корня и оправдывается теми или иными соображениями).

Разнообразие в употреблении знака радикала и отсутствие в этом отношении четкой договоренности вносит в дело большую путаницу.

Было бы целесообразно все значения корня из данного числа обозначать каким-либо другим знаком в отличие от знака Y~, который нужно оставить для обозначения только одного (но не любого, а вполне определенного во всех случаях) значения корня.

Но какое одно значение из всех возможных значений корня от данного числа должен обозначать символ Y~ï Здесь речь идет о выделении, так сказать, «главного значения корня» (по аналогии с главным значением обратной тригонометрической функции). «Главное значение корня» не следует отождествлять с «арифметическим» значением корня, хотя для корня четной степени из положительного числа «арифметическое» значение корня естественно считать «главным значением этого корня. В настоящее время приходится мириться с отсутствием особого знака для обозначения совокупности всех значений корня л-ой степени из данного числа. При этом нужно добиться от учащихся полного понимания следующих положений:

1. Знак радикала употребляется сейчас в двух различных смыслах: для обозначения совокупности всех значений корня л-ой степени из данного числа и, чаше, для обозначения только одного главного значения корня л-ой степени из данного числа.

2. Если среди значений корня имеется одно вещественное, то это вещественное значение корня принимается за главное; если же вещественных значений корня два, то в качестве главного значения берется положительный корень*.

Обозначая символом Y~ только «главное значение» корня, мы должны писать:

J/4 = 2; \/Г(—2)2 = 2:

точно так же, как пишем:

§ 7. Но чему в таком случае будет равняться

Здесь мы уже должны принять во внимание область изменения переменного х. Если по характеру вопроса х может принимать только положительные значения, то, конечно, можно писать Ух2 = х; но если х может быть и положительным_и отрицательным, то тогда нужно писать: У х2 = \ х \**.

Так же, очевидно, следует писать во всех случаях, когда знак переменного х не известен. Отсюда понятно, что не следует писать:

а нужно писать

Теперь станет понятным, в чем причина парадокса, с которым мы встретились в первом и во втором из разобранных примеров. Упрощение производных в этих примерах мы должны были бы сделать так.

1-й пример

Теперь У > 0 во всей области своего существования, следовательно, заданная функция Ly= arc cos —^—1 действительно оказывается возрастающей на всем интервале своего существования.

* Главное значение корня из любого комплексного числа есть то значение, которое имеет среди всех значений наименьший аргумент.

** Знак I 1 , как известно, есть знак абсолютной величины.

2-й пример

Теперь во всей области своего существования У > 0, следовательно, функция всюду возрастает, как и нужно. Легко избегнуть парадокса и в четвертом примере, если делать его так:

Из разбора этих трех примеров ясно, что никаких парадоксов в них не возникло бы, если бы окончившие среднюю школу умели правильно пользоваться радикалом. Этому, к сожалению, ни преподаватели, ни учебники их не научают. Вот немногие примеры, число которых можно было бы значительно увеличить.

В «Алгебре» Маракуева (стр. 127—128) читаем такие строки:

«Заметим, что в предстоящем нам изложении преобразования корней мы будем рассматривать только так называемые арифметические величины корня, т.е. как подкоренное количество, так и самые корни будем брать положительные. Поэтому, если требуется извлечь кв. корень из (а — Ь)2, то не должно полагать j/(a — b)2 = ± (а — Ь), но приписывать ему только одно положительное значение: а — Ь. Точно так же: ]А"Ь а)г = только + a, a ]/^(— а)2 только— а».

Приведенная цитата достаточно свидетельствует о той путанице в вопросе об употреблении радикала, которая царит в таком популярнейшем из старых учебников алгебры как учебник Маракуева.

Да и в современных учебниках и задачниках дело не лучше. В «Сборнике алгебраических задач» Шапошникова и Вальцева (изд. 1933 г., ч. 2, гл. IX) под № 47 и 53 даны следующие примеры и в конце задачника ответы к ним:

(вместо того, чтобы написать:

В известном дореволюционном «Сборнике алгебраических задач» Бем, Волкова, Струве (изд. 1915 г., ч. 2, стр. 61) встречаем известное правило:

причем ничего не говорится о знаке числа а.

Этим же правилом, повидимому, пользуются во всех школах и в наше время, ничего не оговаривая относительно знака числа а.

§ 8. В связи с этим правилом уместно остановиться на вопросе о преобразовании радикальных выражений.

Правило, о котором упомянуто в конце § 7, обычно широко применяют, не обращая внимания на знак числа а и не учитывая того обстоятельства, что правила преобразования радикальных выражений доказаны лишь для арифметических корней и могут применяться в других случаях лишь после особого исследования или по специальному условию (как, например:

Записывая \х2 = х, очевидно, предполагают, что при любом значении х действие извлечения корня и действие возведения в степень взаимно уничтожаются, иначе говоря, порядок действий возведения в степень и извлечения корня (с одним и тем же показателем) можно менять. Это было бы справедливо, если бы во всех случаях была справедлива теорема «Корень из степени равен той же степени из корня»:

Тогда, независимо от знака х, действительно можно было бы писать:

(согласно определению действия извлечения корня: «Извлечь корень л-ой степени из данного числа значит найти такое число, которое, будучи возведено в л-ую степень, дает подкоренное количество»). Но тогда был бы неразрешим известный парадокс:

а указанная выше попытка Маракуева разрешить этот софизм есть по существу не что иное, как вторичное, обратное, применение той же теоремы, на что мы здесь не имеем права, хотя результат в конце концов получается верный, так как две сделанные ошибки взаимно компенсируются. Вот как можно представить парадокс с объяснениями Маракуева в цепи выкладок:

Нужно, однако, иметь в виду, что указанная теорема и более общая теорема («корень из произведения равен произведению корней») оказываются верными для любых чисел только на Римановой многолистной поверхности*, а не на обыкновенной плоскости

* См., например, о Римановой поверхности в курсе Привалова «Введение в теорию функций комплексного переменного», изд. 1935 г., стр. 120.

комплексного, переменного (где эти теоремы верны только для действительных положительных чисел), а также при умножении положительных чисел на отрицательные.

Разберем примеры, пользуясь тригонометрической формой комплексного числа.

Так, если

(Берется главное значение корня.) В то же время:

следовательно, "j/z2 ф {\fz )2,если мы остаемся в обыкновенной плоскости комплексного переменного. Если же берем Риманову многолистную поверхность, то имеем:

но

следовательно,

Вот почему нужно писать так:

но не следует писать:

по в то же время можно писать:

а также можно писать:

Таким образом,

в чем можно убедиться, пользуясь опять тригонометрической формой комплексного числа.

§ 9. Теперь легко понять причину ошибки, обнаруженной при решении примера, данного в § 4. В этом примере мы подвели под корень отрицательное число (l— ), возведя его в квадрат и тем самым превратив в число положительное и в то же время уничтожив автоматически знак — перед корнем. Здесь произошла та же ошибка, как и в нижеследующем примере.

Пусть требуется преобразовать выражение — 2|/з, вводя рациональный множитель под радикал. Очевидно, нужно написать:

но нельзя писать:

Указанные теоремы сохраняют свою силу для действительных положительных чисел потому, что аргумент этих чисел равен О, следовательно, при умножении, делении и сложении аргументов данных положительных чисел аргумент результата остается равным нулю и результаты всех действий остаются на одной и той же числовой прямой.

Если же будем производить действия над отрицательными числами, то теоремы теряют свою силу:

Причина ошибки, которую мы делаем, действуя, как показано во втором случае, видна в следующих подробных (анализирующих) выкладках:

(так можно, по определению корня) = У (— 2)2 • у 3 (так нельзя, так как действия возведения в степень и извлечения корня нельзя менять местами, если заданное число отрицательное!) = • "|/"з =

(результат неверен вследствие сделанной один раз и указанной ошибки).

Правильные же выкладки в подробном (анализирующем) изложении выглядят для рассматриваемого случая так:

Аналогичный анализ примера, рассмотренного в § 4, показывает, что здесь ошибка произошла вследствие забвения того, что правила преобразования радикальных выражений доказаны лишь для арифметических корней и могут применяться в других случаях лишь после особого исследования.

В этой задаче следовало действовать так:

Теперь результат получился правильный.

А как быть в том случае, когда под корень вводится буквенный множитель, который по смыслу задачи может получать отрицательные значения?

Например, требуется преобразовать (введением множителя под радикал) следующее выражение: х~у7Г. Пусть при этом известно, что а>0 Тогда очевидно при jc>0 имеем X |/я > 0, а при х < 0 имеем х ]/ а <0. Поэтому нужно писать так:

Тогда и обратно: если

то можно записать заданную функцию и так:

Получим прежнее выражение.

Не следует пугаться, что одно выражение после преобразования превращается в два выражения: на таких сравнительно простых и естественных случаях нужно в наше время и учащихся средней школы подготовить к мысли, что функция может задаваться аналитически не только при помощи одной, но иногда и при помощи нескольких формул. Впрочем, в этом случае все же можно было бы обойтись и одной формулой, если записать так:

или так:

Теперь данный в § 5 и разъясненный уже в § 7 пример может быть решен и так:

§ 10. В заключение разберем еще два примера, где правильное применение радикала (с использованием знака абсолютной величины) позволяет полнее и глубже изучить заданную функцию во всей области ее существования.

Пусть имеем: у = arc sin ]/l —х2 (берется как и прежде, лишь главная ветвь обратной круговой функции). Функция эта существует в интервале —1<; ж:+1 и в этом интервале всюду непрерывна.

Найдем первую производную:

т. е.

Чем объяснить два значения производной? По определению понятия «арксинус» имеем

откуда: откуда:

или:

или: т. е.

Но так как у = arc sin у 1 — х29 как главная ветвь арксинуса, берется в интервале от — — до + —, а в этом интервале косинус всюду положителен, то | cos j> | = cos у, поэтому имеем:

Значит, заданная функция в этом новом своем виде определяется уже не одной, а двумя формулами.

Вот график этой функции (черт. 3):

Здесь видно, что действительно на участке, (—1 ... 0) производная положительна, а на участке (0...+ 1) — производная отрицательна.

§ 11. Пусть теперь дана функция:

Найдем ее первую производную:

Чем объяснить двойственность значений^1?

Объяснить это можно так: пользуясь определением понятия «арксинус», на основании условия имеем:

откуда:

(1)

(2)

Черт. 4

Так как у, как главное значение арксинуса, не должен по абсолютной величине превышать —, то для получения значений функции (которая является однозначной) приходится пользоваться либо одной, либо другой из написанных формул, давая k соответствующее значение.

Тогда построится следующая таблица значений функции (ограничимся только положительными значениями для х, но будем иметь в виду, что функция определена для любых значений х в интервале — оо----(- ос).

Вот график этой функции (черт. 4):

В интервалах

В интервалах

§ 12. Разобранных примеров, мне кажется, вполне достаточно, чтобы согласиться со следующими утверждениями:

1) необходимо внести в учебную математическую литературу полную ясность и четкость относительно употребления радикала и действий над радикальными выражениями;

2) в практике преподавания этого отдела необходимо учесть сделанные здесь замечания и устранить все встречающиеся до сих пор двусмысленности и ошибки.

СТРАНИЧКА ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО СЛОВАРЯ

С. В. ФИЛИЧЕВ (Москва)

Алгебраическая форма. Однородные многочлены часто называются алгебраическими формами, например, ах2 + Ьху + су2 есть форма второй степени с двумя переменными X и у (бинарная квадратичная форма).

Анализ Диофанта — неопределенный анализ, решение неопределенных уравнений в целых числах. Неопределенный анализ занимается отысканием рациональных корней системы уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных.

Архимед (287—212 до н. э.) — величайший математик древней Греции. Архимед родился в Сиракузах, не раз путешествовал по Египту и был в дружеских отношениях с александрийскими учеными, в частности, с Эратосфеном. Погиб при взятии Сиракуз римлянами. Архимед работал во всех областях математики и механики и везде сделал замечательные открытия. К сожалению, не все из его творений дошли до нас.

По арифметике Архимед написал трактат «Псаммит» — исчисление песчинок, в котором дал способ получения как угодно большого натурального числа.

Большинство трактатов, дошедших до нас, посвящены геометрии и механике.

В геометрии Архимед открыл, что поверхность и объем шара соответственно составляют 2/з полной поверхности и объема цилиндра, описанного около шара; установил соотношение между объемами цилиндра, шара и конуса — 3: 2 :1, если площади оснований цилиндра и конуса равны площади большого круга шара, а высоты их равны диаметру шара. В трактате об измерении круга дал приближенное значение для отношения длины окружности к диаметру (22/7). В трактате о квадратуре параболы дал впервые суммирование бесконечного ряда. В трактатах «О спиралях» и «О коноидах и сфероидах» встречаемся с настоящим интегрированием. В области механики Архимед является творцом статики твердых и жидких тел (трактаты о равновесии плоских фигур, о плавающих телах).

Безу (Bezout) — французский математик (1730—1783). Безу работал главным образом в области высшей алгебры. С его именем связаны многие теоремы алгебры о свойствах многочленов и, в частности, теорема о делении целого рационального многочлена на двучлен первой степени вида х±_а. Безу установил общие методы решения системы алгебраических уравнений и дал общие методы последовательного исключения неизвестных в системе алгебраических уравнений каких угодно степеней.

Бернулли — знаменитое в истории математики семейство (родом из Голландии), давшее ряд выдающихся математиков.

1. Яков Бернулли (1654—1705), профессор математики Базельского университета, является одним из основоположников анализа бесконечно малых. Своими работами положил начало комбинаторике.

В трактате по теории вероятностей «Ars conjectandi» изложил основной закон ее, так называемый «закон больших чисел». Много занимался бесконечными рядами. В частности, он дал прием вычисления сумм вида 1л-|-+ 2п+ Зл +... +тп при помощи чисел, названных потом Бернуллиевыми числами.

2. Иван Бернулли (1667—1748), брат Я. Бернулли, работал главным образом в области анализа бесконечно малых. Он составил первое руководство по анализу бесконечно малых, ввел знак интеграла, вместе с братом является основателем вариационного исчисления.

3. Даниил Бернулли (1700—1782), сын И. Бернулли, был членом Петербургской академии наук, работал больше всего по гидродинамике.

Бинарная система счисления — система счисления, в которой за основание принято число два. Для записи чисел по этой (двоичной) системе достаточно цифр 1 и 0. По двоичной системе число пять изобразится так: 101, число двенадцать изобразится так: 1 100 и т. д.

Эта система для практических целей неудобна, так как дает для чисел запись очень длинную в сравнении, например, с десятичной системой счисления. В теоретических же исследованиях двоичная система счисления оказывается во многих случаях наиболее целесообразной, например, в теории чисел нередко пользуются бинарной системой счисления.

Бригг (Briggs), Генри (1556—1630) — английский математик, друг Непера. Бригг высоко ценил изобретение Непером таблиц логарифмов. Но убедившись в практических недостатках Неперовой системы, предложил для основания логарифмов число 10. Логарифмы с основанием 10, которые теперь главным образом в вычислительной практике и употребляются, были вычислены впервые Бриггом. В 1617 г. Бригг дал первый образец своей новой системы (логарифмы чисел первой тысячи с 8 знаками), а в 1624 г. дал 14-значные таблицы логарифмов чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000 с пояснениями их составления («Arithmetica logarithmica», London). Бригг же составил таблицы логарифмов синусов, тангенсов и секансов.

Бюрги (1552—1632) — швейцарец, один из изобретателей логарифмов. Логарифмы были изобретены независимо друг от друга Непером и Бюрги, но Непер опубликовал свои таблицы в 1614 г., тогда как Бюрги только в 1620 г. (в Праге, на немецком языке). Таблицы Бюрги вышли под заглавием: «Arithmetische und Geometrische Progresse-Tabulen...» (арифметические и геометрические таблицы прогрессий).

Бюрги считается вторым изобретателем логарифмов. Для теории логарифмов Бюрги дал меньше, чем Непер. Таблицы Бюрги составлены очень тщательно. Они представляют собой сопоставление членов арифметической прогрессии с членами геометрической. Применение, которое можно было дать этой таблице, основано на связи между действиями над членами обеих прогрессий (сложению в арифметических прогрессиях соответствует умножение в геометрических,

вычитанию — в арифметических прогрессиях — деление в геометрических).

Виет (Viète), или Виета,Франсуа(1540—1603), французский математик. Будучи юристом, Виет всю жизнь занимался математикой.

В своих произведениях Виет ведет вычисления в десятичных дробях, отделяя десятичные знаки от целого числа вертикальной чертой. Виет много занимался решением геометрических задач алгебраическим путем. Он считается творцом алгебраической символики. В своем трактате «Isagoge in artem analyticam» (1591) ввел в употребление буквы для обозначения величины вообще, при этом известные величины обозначал согласными буквами, а неизвестные — гласными.

Виет в своих произведениях дал правила сложения и вычитания многочленов, правила умножения и деления одночленов, умножения многочленов. Он умел упрощать уравнения путем введения вспомогательного неизвестного и знал зависимости между корнями и коэфициентами уравнения.

Виет показал, что решение всякой задачи, приводящей к кубичному уравнению или уравнению 4-й степени может быть приведено к построению двух средне-пропорциональных или сведено к трисекции угла.

Слабое место алгебры Виеты — отсутствие отрицательных чисел.

Геометрические построения (геометрография) — раздел элементарной геометрии, посвященный графическому воспроизведению тех или иных точек и фигур по определенным заданиям.

В этом разделе обыкновенно излагаются методы решения геометрических задач на построение, вопросы о неразрешимости некоторых задач, например, обосновывается, что циркулем и линейкой невозможно произвольный данный угол разделить на три равные части, невозможно построить квадрат, равновеликий данному кругу, и т. д. У древних греков геометрические построения являлись только теоретическими проблемами, и они признавали для геометрических построений только два инструмента: циркуль и линейку (имели дело только с прямыми линиями и окружностями). От них остались три неразрешенные знаменитые задачи: 1) задача об удвоении куба, 2) задача о трисекции угла, 3) квадратура круга.

В XIX в. установлено, что циркулем и линейкой могут быть построены только такие отрезки, которые выражаются в зависимости от данных рационально или с помощью корней квадратного уравнения.

На русском языке по геометрографии имеется:

1) И. Александров — «Методы решения геометрических задач на построение».

2) Н. Ф. Четверухин — «Методы геометрических построений», 1938.

3) А. Адлер — «Теория геометрических построений», 1940.

Геометрические преобразования устанавливают соответствия между элементами двух различных геометрических образов или между элементами одной и той же фигуры. Геометрически преобразовать фигуру F — это значит привести ей в соответствие фигуру F' таким образом, чтобы различным элементам фигуры F соответствовали определенные элементы фигуры F' и обратно.

Геометрические преобразования будут точечными, если точкам фигуры F будут соответствовать точки фигуры F'. Примером точечных преобразований будут: гомотетия, инверсия и т. д. Инверсия, например, преобразует всякую окружность (F), проходящую через центр инверсии, в прямую (F'). Геометрические преобразования играют большую роль в геометрии. Фигуру Ft свойства которой нам известны, возможно подбором соответствующего преобразования привести в фигуру F\ свойства которой мало известны, и, преобразуя фигуру F, мы из очевидного свойства ее получим не столь очевидные свойства фигуры F'. В этом и заключается цель геометрических преобразований.

Золотое сечение (деление данного отрезка в крайнем и среднем отношении) — такое деление отрезка на две неравные части, чтобы большая часть была средней пропорциональной между всем отрезком и меньшей его частью, т. е. а : х = х: (а — х), где а — данный отрезок, х — наибольшая его часть. Для определения х достаточно решить квадратное уравнение: х2+ах— а2 = 0. Найдено, что большая часть составляет приблизительно 62%» а меньшая — 38% всего данного отрезка.

Квадратура круга — знаменитая задача древности на построение, заключающаяся в том, чтобы построить с помощью циркуля и линейки квадрат, равновеликий данному кругу. Несмотря на кажущуюся простоту условия, задача о квадратуре круга не была решена в течение двух тысяч лет.

Если площадь круга с радиусом R обозначим через tlR2, а площадь квадрата со стороной X обозначим через х2, то задача сведется к построению отрезка х по формуле x = R]/n. Лишь в XIX в. (1882) Линдеман доказал трансцендентность числа тс и,отсюда, невозможность построения отрезка х = с помощью циркуля и линейки.

Эта задача разрешима, если пользоваться кроме циркуля и линейки, другими инструментами, необходимыми для вычерчивания некоторых трансцендентных кривых (квадратриссы, синусоиды и т. д.), с помощью которых решается задача о квадратуре круга.

Практически пользуются приближенными построениями.

Магницкий Л. Ф. (1669—1739) —русский математик, автор первого печатного учебника по математике в России, выпущенного в Москве в 1703 г. Книга Магницкого большого формата, напечатана на славянском языке под названием «Арифметика, сиречь наука числительная. С разных диалектов на славянский язык переведенная и воедино собрана и на две книги разделена». Книга богата по содержанию. Наряду с подробным изложением правил арифметики, вопросов прикладной арифметики, элементов алгебры и геометрии в ней помещены правила тригонометрии, сведения по астрономии, геодезии и навигации. Книга Магницкого сыграла в свое время большую роль в распространении математических знаний в России. Между прочим по этой книге учился М. Ломоносов.

Л. Ф. Магницкий учился в Славяно-греко-латинской академии в Москве и с 1701 г. до смерти преподавал математику в московской

школе математических и навигационных наук*.

Моавр, или Муавр (de Moivre) де Абрагам (1667—1754) — французский математик, эмигрировавший в Лондон, где и прожил большую часть своей жизни. Был в дружеских отношениях с Ньютоном. Моавр работал в области рядов и теории вероятностей. По теории вероятностей он между прочим доказал теорему Лапласа. В теории комплексных чисел вывел правила возведения в степень и извлечения корней /1-й степени для комплексных чисел :

Непер (Nepair, или Napier), Джон (1550— 1617)—знаменитый шотландский математик, открывший логарифмы, изложенные в главном его труде (1614) «Mirifici logarithmorum canonis descriptio...» («Описание удивительной таблицы логарифмов...»). Непер в молодости путешествовал по Германии, Франции и Италии. Потом все время жил в Шотландии, занимался богословием и математикой. По математике занимался больше всего тригонометрией, нашел четыре пропорции, связывающие стороны и углы сферического треугольника. Но обессмертил себя Непер открытием логарифмов, упрощающих арифметические вычисления.

Непер вместе с Бюрги является главным основоположником учения о логарифмах. В своих таблицах Непер излагает свойства логарифмов, дал описание таблиц, их употребление и примеры.

При построении своих таблиц Непер исходил из сравнения двух прогрессий — арифметической и геометрической, причем члены арифметической прогрессии назвал логарифмами, которым в геометрической прогрессии соответствовали определенные числа. Таблицы Непера имели целью получение логарифмов не натуральных чисел, а тригонометрических величин. Но по его таблицам, кроме нахождения логарифмов синусов, косинусов, тангенсов, можно было находить логарифмы и натуральных чисел.

Только после деления членов обеих прогрессий Неперовых таблиц на 107 мы получим «Логарифмы» и их «числа» в нашем теперешнем смысле при основании JL (е = 2,71828...).

Паскаль (Pascal), Блез (1623—1662) — знаменитый французский математик, физик и философ. Его отец Этьенн Паскаль был математиком-любителем и занимался больше всего кривыми линиями (улитка Паскаля). Паскаль Б. 16 лет написал сочинение «Рассуждение о конических сечениях», в котором, между прочим высказал одну из важнейших теорем проективной геометрии: точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в коническое сечение, лежат на одной прямой. Ряд работ Паскаль Б.

посвятил арифметическим рядам и биномиальным коэфициентам. В своем «Traité du triangle arithmétique» он дал так называемый «Паскалев треугольник» — фигуру, в которой коэфициенты разложения (а + Ь)п для различных η расположены в виде треугольника. В 1642 г. Паскаль изобрел первую счетную машину для 4 арифметических действий. Вместе с Ферма является основателем теории вероятностей. Паскаль работал и в области исчисления бесконечно малых. По физике занимался барометрическим давлением и гидростатикой.

Риторическая алгебра — словесная алгебра, не употребляющая никакой символики. Алгебра древних греков, средневековых математиков и арабов была алгеброй риторической: все числа в примерах, задачах выписывались словами, а не цифрами.

Ромбоэдр — параллелепипед, у которого все грани — ромбы.

Сравнение. Если числа а и Ь (положительные или отрицательные) дают одинаковые остатки при делении их на третье положительное число р, то говорят, что α сравнимо с b по модулю р. По предложению Гаусса сравнение обозначается так: а = b (mod ρ). Сравнение, другими словами, выражает делимость разности а—b на число ρ и может быть заменено равносильным ему равенством а = b + kp, где k — целое число.

Сравнения имеют большое сходство с равенствами. Сравнения по одному и тому же модулю можно почленно складывать, вычитать и перемножать. Сравнения можно почленно делить на одно и то же число, взаимно простое с модулем, и т. д.

Сравнение вида ах = b (mod ρ) будет сравнением первой степени; при условии (а,р)=\ это сравнение имеет одно и только одно решение. Если ρ простое число и а не делится на /?, то αΡ—χ = 1 (mod ρ) (теорема Фермата, выражающая делимость числа аР~~х — 1 на простое число ρ при условии, что а не делится на /?, например, 25-1 — 1 делится на 5).

Тела Архимеда. Шар радиуса R, равносторонний цилиндр, радиус основания которого R, а высота 2R, и конус, радиус основания которого R, высота 2R, называются телами Архимеда.

Одно из свойств этих тел: объем цилиндра равен сумме объемов шара и конуса.

Триада Менехма — название конических кривых (эллипса, параболы и гиперболы). Такое название этим кривым дал Эратосфен в честь греческого геометра Менехма (IV в. до н. э.), так как последнему приписывается открытие конических сечений.

Тригонометрия (от греч. τριγωνον— треугольник и μέτρειν — измерять) — часть геометрии, изучающая соотношения между сторонами и углами плоских и сферических треугольников и изучающая решение треугольников. Название не совсем удачно, так как в тригонометрии не измеряют, а вычисляют треугольники.

Тригонометрия называется прямолинейной, если она изучает треугольники, образованные на плоскости прямыми линиями, и сферической, если изучает треугольники, образованные на сфере дугами больших кругов.

В нашей средней школе изучается лишь прямолинейная тригонометрия, которая для

* Подробнее о Л. Ф. Магницком см. 5 журнала за 1940 год.

установления связи между углами треугольника пользуется особыми тригонометрическими функциями угла: синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом, секансом и косекансом. Прямолинейная тригонометрия обычно распадается на три отдела:

1) гониометрия — учение о тригонометрических функциях и их свойствах; сюда же относят и вопрос о решении тригонометрических уравнений;

2) учение о составлении тригонометрических таблиц; 3) решение треугольников (приложение тригонометрических функций к решению треугольников).

Исторически тригонометрия возникла до н. э. в связи с потребностью решения конкретных задач по астрономии. Впервые самое слово «тригонометрия» встречается в заглавии книги Питискуса «Trigonometria slve de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus» (1595). С этого времени это название вошло во всеобщее употребление. В создании тригонометрии принимали участие греки, индусы и арабы. В Западной Европе успехами своими тригонометрия обязана трудам Виеты, И. Бернулли, Моавра, Ламберта, Эйлера. В современный, знакомый нам вид привел тригонометрию Эйлер (1707—1783).

Трисекция угла — знаменитая задача древних греков о делении любого угла на три равные части. Частный случай этой задачи о делении прямого угла на три равные части с помощью циркуля и линейки был ими решен,а общий случай не поддавался решению. Тогда некоторые из геометров, например, Менехм (IV в. до н. э.), предложили особые приборы для трисекции угла, а другие решили эту зада* чу с помощью сложных кривых (квадратриссы, конхоиды и т. д.). Архимед, в частности, решил эту задачу с помощью конических сечений. Виета (XVI в.) один из первых математиков показал, что задача о трисекции угла не может быть решена с помощью циркуля и линейки, так как решение ее сводится к решению уравнения третьей степени (4*3 — Ъх + а, где sin 3 а = a, sin а = х), a корни кубического уравнения не могут быть построены с помощью циркуля и линейки.

Ферма (Fermât) Пьер (1601—1665) — знаменитый французский математик. Будучи юристом по образованию и профессии, занимался в часы досуга вопросами теории чисел, геометрии, алгебры, теории вероятностей и т. д. Ферма не заботился об опубликовании полученных им замечательных результатов. Большая часть открытий Ферма известна из сохранившейся переписки его с лучшими математиками того времени (Паскалем, Декартом, Валлисом и т. д.). Некоторые открытия Ферма из теории чисел дошли до нас в форме записей на полях арифметики Диофанта, принадлежавшей ему.

В своих записях и письмах Ферма не давал указаний на методы, которыми он пользовался при решении задач или доказательстве открытых им теорем. Впоследствии большинство из этих теорем были вполне строго доказаны Эйлером, Коши и другими математиками. Одна же из теорем, известная под названием «великая теорема Ферма»: уравнение хп+У1 =* zn неразрешимо в целых числах при л>2, не доказана в общем виде до сих пор. Наибольшей известностью пользуются работы Ферма по теории чисел. В геометрии он один из первых разработал метод координат, а своим методом отыскания максимума и минимума является предшественником изобретателей диференциального исчисления. Своими работами Ферма оказал большое влияние на дальнейшее развитие математики в XVII, XVIII и XIX вв.

Эйлер (Euler), Леонард (1707—1783) — гениальный математик. Родился в Базеле, ученик Ивана Бернулли. С 1727 г. по 1741 г. работал при Петербургской академии сначала профессором физики, а потом занимал кафедру математики.

В 1741 г. переехал работать в Берлинскую академию, где проработал ровно 25 лет. В 1766 г. вернулся в Петербург в качестве члена Академии наук и работал в Петербурге до самой смерти. В Петербурге Эйлер лишился зрения (1768). Но несмотря на это, он продолжал продуктивно работать в области математики, диктуя свои работы сыну и ученикам. Литературное наследство Эйлера составляет десятки томов.

Эйлер работал во всех областях математики и ее приложений, везде он оставил своими работами глубокий след, то и дело встречаешь: формула Эйлера, теорема Эйлера, способ Эйлера, интеграл Эйлера и т.д. Только благодаря авторитету Эйлера привилось обозначение отношения длины окружности к диаметру буквой îc, а в тригонометрии привились обозначения sin xt cos х и т. д. Эйлер, между прочим, ввел обозначение предела при неограниченно возрастающем буквой е.

Все работы Эйлера отличаются глубиной математической мысли; он внес простоту и ясность в изложении сложнейших математических вопросов. Его изложение всегда сопровождается поясняющими примерами, в которых вычисления доведены до конца.

Эпюр (фр. épure) — плоский чертеж, произведенный по правилам начертательной геометрии. В начертательной геометрии изучаемое тело обычно проектируется на две взаимно перпендикулярные плоскости, из которых одна потом поворачивается на 90° вокруг линии пересечения плоскостей. Тогда обе проекции расположатся в одной плоскости. Полученное изображение будет эпюром.

ТЕРМИНОЛОГИЧЕСКИЙ СЛОВАРЬ

И. Н. ШЕВЧЕНКО (Москва)

П

Пангеометрия, греч., состоит из двух слов: πας (pas), род. пад. παντός (pantos) — весь, всякий, целый и геометрия, см. это слово.

Так назвал Н. И. Лобачевский одно из своих сочинений. Полное его название: Pangeometrie ou precis de géométrie fondée sur une théorie generale et rigoureuse des paralleles (1856).

Пантограф, греч., состоит из двух слов: πάς (pas) и γράφω (grapho) — пишу.

Паппа теорема. (В каждом коническом сечении отношение произведения расстояний любой точки кривой от двух противоположных сторон вписанного в нее четыреугольника к произведению расстояний той же точки от двух других сторон есть величина постоянная.) Название происходит от собственного имени. Греческий математик Папп (Паппус) александрийский жил в IV в. От него осталось сочинение «Математические коллекции» или «Математическое собрание». (Ευναγωγα». μαθημ,ατιχαι). Здесь он собрал открытия своих знаменитых предшественников и изложил свои собственные. Декарт считал его одним из самых замечательных геометров древности.

Парабола, греч. παραβολή (parabole) — сравнение; от этого слова произошли заимствованные лат. слова: parabole — подобие, parabola притча, т. е. рассказ, основанный на сравнении. В европейских языках встречается и в качестве математического термина, т. е. для обозначения кривой и со значением аллегории.

Термин «парабола» нужно рассматривать в связи с названиями других конических сечений (эллипса и гиперболы). Архимед пользовался еще старыми названиями этих кривых, т. е. сечение прямоугольного конуса, сечение тупоугольного конуса и сечение остроугольного конуса. Эти названия связаны с исследованиями Менехма, который для получения параболы, гиперболы и эллипса пересекал плоскостью, перпендикулярной к образующей, три различных конуса (прямоугольный, тупоугольный и остроугольный — см. триада Менехма). Правда, одно сочинение Архимеда называется «Квадратура параболы», но историки принимают этот заголовок за позднейшую интерполяцию. Современные названия конических сечений введены Аполлонием (см. Аполлониева окружность). Некоторые авторы полагают, что новые названия лишь более кратко выражают идею, вложенную в старые названия. В самом деле, для получения эллипса (elleipsis — недостаток) нужно было пересечь плоскостью конус, у которого угол при вершине меньше прямого; для получения параболы (parabole — сравнение) нужно было взять конус, у которого угол при вершине между образующими равен прямому, и для получения гиперболы (hyperbole — избыток) нужно было взять конус с углом большим прямого. Аполлоний отказался от трех конусов и получал все три кривые, пересекая один конус различно расположенными плоскостями.

Согласно другому толкованию, названия кривых второго порядка выражают те свойства их, которые особенно легко наблюдать, если написать их уравнения относительно вершины. Уравнение параболы в этом случае имеет вид: у2 = 2рх. Значит, можно сказать, что квадрат, построенный на ординате какой-нибудь точки параболы, равновелик прямоугольнику, построенному на удвоенном параметре кривой и на абсциссе взятой точки. Если мы возьмем соответствующие уравнения для эллипса и гиперболы (у^ = 2пх— qx-x\ у2 = 2рх+qx-x), то увидим, что и здесь квадрат, построенный на ординате, равен прямоугольнику, построенному на удвоенном параметре и абсциссе, но в первом случае уменьшенному на некоторую величину (недостаток), а во втором случае увеличенному на ту же самую величину (избыток). Иными словами, уп^янутый квадрат в одном случае меньше прямоугольника (имеет недостаток), в другом случае больше прямоугольника (имеет избыток).

Параболоид, греч., состоит из двух слов: παραβολή (parabole) сравнение и είδος (eidos) — вид, наружность. См. парабола.

Параллелепипед, греч., состоит из двух слов: παράλληλος (parallelos) — идущий рядом и έπίπεδον (epipedon) — плоскость, поверхность.

Параллелограм, греч., состоит из двух слов: παράλληλος (parallelos) — идущий рядом и γραμμή (gramme) линия.

Параллельный, греч., παράλληλος (parallelos)— идущий рядом.

Это слово перешло во многие европейские языки.

Параметр, греч., παραμετρέω (parametreo) — измеряю одну вещь другою, сравниваю. В качестве математического термина встречается во многих европейских языках.

Partes proportionales, лат. pars, род. пад. partis — часть, proportio — соразмерность. Слова эти поставлены в именительном пад. множественного числа.

Букв, знач.— части пропорциональные.

Пента, от греч. πέντε (pente) — пять (числительное). Входит в состав многих заимствованных слов: пентаэдр и др.

Периметр, греч., состоит из двух слов: περί (peri) — около, вокруг и μετρείν (metrein) — измерять.

Букв, знач.— окружность.

Период, греч. περίοδος (periodos)— обход, круговое обращение. Происходит от слов περί (peri) около, вокруг и οδός (nodos) — дорога, путь.

Периферия, греч. περιφέρεια (periphereia) — окружность, округление. Состоит из слов περί (peri) — около, вокруг и φέρω (phero) несу.

Перпендикуляр, лат. perpendiculum — отвес, от глаг. perpendere взвешивать.

Перспектива, лат. от глагола perspicere — видеть сквозь, проникнуть взором что-либо.

Пирамида, греч. πυραμίς род. пад. πυραμίδος (pyramis, pyramidos) — пирамида. Существует мнение, что это слово заимствовано у египтян.

Планиметрия, состоит из двух слов: лат. planus — ровный, плоский и греч. μετρείν (metrein) — измерять.

Плюс, лат. plus — больше, сравнительная степень от multum — много.

Полигон, греч., состоит из двух слов: πολύς (polys) многий, многочисленный и γωνία (gonia) — угол.

Букв, знач.—многоугольник.

Полином, греч., состоит из двух слов: πολύς (polvs) многий, многочисленный и νομός (nomos) — часть, доля.

Полиэдр, греч. состоит из двух слов: πολύς (polys) — многий, многочисленный и έδρα (hedra) — основание.

Букв. знач. многогранник.

Постулат, лат. postulatum — требование, от глаг. postulare требовать, просить.

Потенциальный, от лат. potentia — сила, влияние, власть, способность.

От слова potentia происходит нем. Potenz — степень в математическом смысле. Диофант обозначал квадрат неизвестного словом δύναμις (dynamis) сила, способность, могущество, значение. На лат. язык этот термин перевели словом potentia, отсюда и возникло употребление этого слова при возвышении в степень. См. слово потенцирование.

Потенцирование, от нем. potenzieren — возводить в степень. В основе лежит корень лат. potentia — способность, сила.

Призма, греч. πρίσμα (prisma) — отпиленный кусок; от глаг. πρίω (prio) — распиливаю.

Призматоид, греч. состоит из двух слов: πρίσμα(prisma) отпиленный кусоки ε!δος(eidos)— вид, наружность.

Букв, знач.— сходный с призмой по виду.

Прим происходит от сокращения лат. слова primum — первое (primus — первый).

Часто употребляется для названия индекса при буквах, например, ах (читают а прим).

Проблема, греч. πρόβλημα (problema) — то, что выставляется вперед; утверждение, выставляемое или для доказательства, или для опровержения.

Прогрессия, лат. progressio — движение вперед.

Проекция, лат. projectio — бросание вперед, от глаг. projicere — выбрасывать, бросать.

Пропорциональность, лат. proportio — со размерность; от слов pro — сообразно с чем и portio — часть, доля.

Процент, лат. pro cento — за сто.

Это выражение нужно понимать так: глубокая древность не знала иных процентов, кроме коммерческих. Для римлянина, положим, эпохи цезарей, выражения пятипроцентный раствор или процент смертности были бы непонятны; он понимал под процентами деньги, которые платит должник заимодавцу «за каждую сотню» рублей. Отсюда и произошло название процент, т. е. плата за сотню.

Псаммит, греч. ψαμμίτης— песчаный (psammites). Название одного из сочинений Архимеда (287—212 г. до P. X.). Псаммит содержит решение вопроса о числе песчинок, если бы они наполняли вселенную.

Псевдосфера, греч., состоит из двух слов: ψεύδος (pseudos) ложь, вымысэл и σφαίρα (sphaira) — шар.

Пунктир, от лат. punctum — точка, момент, мгновение.

Ρ

Радиальный, фр. radial — лучистый, лучевой.

Радиан, фр. radiant — испускающий лучи, лучеобразный.

Радикал происходит от латинского слова radix — корень; род. пад. radicis.

Радиус, лат. radius — палочка, спица, радиус. Слово radius — в англ. и фр. языке употребляется как анатомический термин (лучевая кость).

Рациональный, лат. ratio, разум,

Regula falsi; полное название: régula falsi simplicis positionis; буквальный перевод: правило ложного простого положения.

Так назывался «метод ложного положения», применявшийся в средние века и состоявший в замене неизвестного произвольным числом.

Резольвент, лат. глаг. resolvo — неопр. наклон, resolvere — разрешать, развязывать.

Результант от лат. resultare — отпрыгивать назад, отдаваться, отражаться.

Рекуррентный, лат. recurrens, род. пад. recurrentis — возвратный.

Ромб, греч. ρόμβος (rhombos) — кубарь.

Ромбоэдр, греч., состоит из двух слов: (rhombos)—кубарь и έδρα (hedra) — основание.

МЕТОДИКА

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

М. С. БЕРНШТЕЙН (Москва)

Если в отношении вооружения наших учащихся знаниями наша школа добилась за последнее время значительных успехов, то в отношении развития их самостоятельного мышления во многих случаях дело обстоит у нас не совсем удовлетворительно, а без этого и знания учащихся не могут быть ни систематическими, ни глубокими, ни прочными, ибо качество знаний теснейшим образом связано и взаимно обусловливается качеством самостоятельной мыслительной деятельности учащихся.

Испокон веков математика рассматривалась как дисциплина, которая, наряду с родным языком, лучше всего обеспечивает эту двуединую образовательную и воспитательную задачу, как дисциплина, одновременно обеспечивающая и вооружение учащихся системой полезных теоретических и практических знаний, и развитие строго логического научного мышления.

Однако уж давно прошло то время, когда думали, что преподавание математики обеспечивает глубокие знания и развитие математического мышления, так сказать, автоматически.

Слушая, в частности, механические «попугайные доказательства» некоторых наших учащихся, зазубренные ими прямо по учебнику Киселева, невольно приходишь к убеждению, что нередко, благодаря неправильной постановке преподавания геометрии, эти учащиеся скорее разучиваются логически доказательно мыслить. Отсюда низкое качество их знаний по геометрии, о котором так часто приходится нам слышать от преподавателей вузов, равно как и от людей, которые наблюдают практическую беспомощность многих наших учащихся на производстве и в быту.

Главной причиной такого неудовлетворительного состояния математических и, в частности геометрических, знаний наших учащихся, безусловно, является недооценка роли и значения этой воспитательной стороны нашей учебной работы, недостаточное наше внимание к развитию самостоятельного доказательного мышления наших учащихся. Чтобы овладеть математикой, а тем более, чтобы выжать из изучения этой дисциплины максимум того, что она может дать для умственного развития учащихся, необходимо, чтобы учащиеся глубоко ее понимали и осмысливали. Путем заучивания можно выучить сколько угодно математических правил и законов, но нельзя научиться решать задачи; путем зазубривания можно, в частности, выучить сколько угодно доказательств теорем, но таким путем нельзя научиться самостоятельно доказывать новые теоремы, нельзя овладеть методом логического доказательства — этим мощным орудием научного познания действительности.

«Чтобы изучение математики принесло ученику пользу,— говорит французский математик Адамар,— и не требовало бы от него чрезмерных усилий и привело к правильному представлению о геометрии, надо, чтобы ученик твердо знал, что мало понимать предлагаемые ему рассуждения,— он должен в той или иной мере научиться самостоятельно строить на основании изученного новые умозаключения, находить доказательства теорем и решать задачи»*.

К сожалению, и методическая наша литература не уделяет этой стороне преподавания должного внимания.

В последующих страницах я хочу поэтому попытаться ответить на вопрос о том, как научить учащихся самостоятельно доказывать теоремы и решать задачи на доказательство.

Повседневное наблюдение, равно как и целый ряд экспериментальных исследований, показывает, что изучение того или иного материала протекает легче, быстрее и закрепляется прочнее, когда учащийся знает, зачем и для чего он учит. Поэтому, первым условием успешного овладения учащимися методом доказательства является постепенное раскрытие и глубокое осознание ими значения и назначения этого метода познания действительности. Как известно, сущность этого метода, в отличие от эмпирического наблюдения или экспериментального исследования, заключается в том, что, исходя из некоторых положений, правильность которых установлена, выводят при помощи рассуждения и системы умозаключений правильность все новых и новых положений и фактов, ранее неизвестных.

Первое применение этого метода должно поэтому быть сделано не мимоходом и в известной степени внезапно, как это обычно происходит у нас на уроке, когда мы переходим к теореме о биссектрисе равнобедренного треугольника, а должно быть особенно

* К. Адамар — «Элементарная геометрия», ч. 1. Учпедгиз, 1936, гл. «О методах, применяемых в геометрии».

и неоднократно подчеркнуто учителем. Сопоставляя этот метод познания с простым суждением «на-глаз» или с методом эмпирического измерения, следует подчеркнуть, что лишь в результате логического доказательства мы достигаем достоверности наших положений, причем сделанное нами таким путем открытие носит более или менее общий характер и распространяется на целую группу геометрических объектов; другими словами, таким путем мы устанавливаем некоторый закон, а не только тот или иной эмпирический факт.

Ценность каждой доказанной теоремы не только в том, что мы узнаем при ее помощи те или другие пространственные соотношения геометрических фигур, а главным образом в том, что доказанная теорема становится ключом к открытию новых бесчисленных геометрических фактов и соотношений. Надо, чтобы учащиеся поняли, что всякая доказанная теорема может быть немедленно использована для доказательства новых теорем, для дальнейших геометрических открытий. Но чтобы теорема стала таким орудием добывания научных истин, она предварительно должна сама быть доказана. Надо, чтобы учащиеся знали, что в настоящее время существует бесчисленное количество геометрических теорем, что формулировка новых теорем продолжается и по сей день и будет постоянно продолжаться; что многие теоремы они могут сами сформулировать, в частности, что многие из задач на доказательства, которые они будут решать, могут быть сформулированы в виде теорем. Надо, чтобы ученик понимал, что чем больше он будет знать теорем, чем больше он сам докажет теорем, тем лучше будет вооружен для самостоятельных исканий в области геометрии и для практической деятельности. Вместе с тем ученик должен знать,что «передоказать» все существующие теоремы и невозможно, и не необходимо, что главное — это овладеть методом и приемами самостоятельного доказательства настолько, чтобы быть способным и уметь доказать новые теоремы, которые могут встретиться в дальнейшем. Убедить учащихся в значении и полезности уменья самостоятельно доказывать теоремы сравнительно не трудно. Гораздо труднее этому их научить, еще труднее добиться овладения ими методом доказательств. Решение этой последней задачи требует детально продуманной и тщательно проводимой системы методических приемов, обеспечивающих постепенные и посильные упражнения учащихся в сознательном пользовании этим методом доказательства. Как правильно указывают авторы новейшего американского учебника по геометрии Снел и Крауфард*, «занятия по доказательной геометрии идут впоследствии значительно быстрей и с большим пониманием, когда основные понятия прорабатываются со всей необходимой тщательностью. Не следует опасаться, если значительная часть первого семестра потрачена на постепенное и прочное усвоение геометрических основ».

Учитель геометрии должен постоянно помнить, что ничто так не убивает интерес учащихся, как трудности, которые он не в силах преодолеть, и что ничто, наоборот, не вызы-

* Snell and Crawford — «Clear Thinking — an Approach Through Plane Geometry». 1938.

вает в нем большего энтузиазма, чем сознание того, что он научается делать то, что ему нужно и хочется делать.

Самым лучшим учителем здесь является практика, в данном случае — практика учащихся в самостоятельном доказательстве геометрических положений, начиная с самых элементарных, при помощи аксиом, на готовых чертежах, с постепенным переводом их на все более высокие ступени сложности, к доказательствам, где требуется одна или несколько вспомогательных построений.

Вот несколько иллюстраций таких элементарных задач на доказательства, применяемых мною и другими педагогами нашей школы с первых же уроков преподавания геометрии в шестых классах. (Первые 29 чертежей).

Частая ошибка, допускаемая учащимися при доказательствах, заключается в неправильном пользовании ими положением о том, что «соответствующие части равных фигур равны между собой». С одной стороны, учащиеся пытаются нередко ссылаться на равенство отрезков, углов, дуг и т. д. раньше, чем они доказали, что эти отрезки, углы или дуги являются соответствующими частями равных фигур. Но еще чаще приходится констатировать, что затруднения учащихся при доказательствах или решении задач воз-

никают именно потому, что они «забывают» или не умеют пользоваться этим важным оружием геометрического доказательства.

Весьма полезно наряду с вышеприведенными задачами предусмотреть в своем плане уроков специальные задания, требующие применения этого оружия.

Приведем для примера несколько таких задач из различных разделов и из курса различных классов (черт, под № 30—55).

Мы сознательно остановились на элементарных задачах на доказательство, основанных на аксиомах, определениях и на первых теоремах. Одна из основных ошибок, часто допускаемых недостаточно опытными учителями при начальном преподавании геометрии, заключается в том, что они не добиваются ясного, точного и простого усвоения учащимися основных элементов, на которых построено все дальнейшее преподавание. Часто учащиеся лишь поверхностно усваивают первые определения и основные положения и, не получив необходимой практики в пользовании ими, быстро забывают и часто путают их. Это крайне затрудняет дальнейшее усвоение.

Эти элементарные задания имеют своей целью наполнить основные определения, аксиомы и теоремы конкретным геометрическим содержанием, постепенно приучить, а

главное, приохотить учащихся к решению геометрических задач на доказательство, убеждая их на посильных для них заданиях, что они могут при желании овладеть этим основным орудием научного познания, что, пользуясь им, они могут самостоятельно установить существующие соотношения и закономерности.

На первых порах необходимо и целесообразно давать эти задания на заготовленных учителем чертежах, ибо перевести условия геометрической задачи на графический язык часто бывает слишком трудно, а нередко и непосильно для значительной части учащихся.

Еще труднее бывает учащимся перевести условие задачи на язык геометрической символики, т. е., пользуясь заготовленным по условию задачи чертежом, записать кратко при помощи принятых в геометрии обозначений, что дано и что требуется доказать. Здесь мы по существу имеем такое же положение, как при составлении уравнений по условиям задач в алгебре.

При решении алгебраических задач каждый педагог уделяет много сил и внимания тому, чтобы научить учащихся «перевести условие задачи на алгебраический язык». В геометрии же мы этой стороне дела уделяем крайне мало внимания; между тем можно категорически утверждать, что эта сторона вопроса играет в геометрии не меньшую, а пожалуй, даже большую роль, чем в алгебре. Правильно сделать чертеж и грамотно, лаконично и ясно перевести условие на язык геометрических обозначений по чертежу часто означает большую половину работы и нередко непосредственно ведет к решению задачи.

Особенно тщательным должен быть сделан переход к первому доказательству теоремы. Здесь учащимся должны даваться следующие основные указания:

1. Каждую теорему надо читать медленно и внимательно, продумывая при этом значение каждого слова.

Например: «В равнобедренном треугольнике биссектриса является также и медианой и высотой». Здесь прежде всего надо отдать себе отчет в том, что такое «равнобедренный треугольник», что такое «биссектриса», «медиана», «высота».

2. В теореме следует четко различать то, что дано, от того, что требуется доказать. Обычно теорема формулируется в виде: «если—...то». За словом если следуют те условия, которые считаются данными, за словом «то» — что должно из этих данных следовать. Необходимо неустанно указывать учащимся, что справедливость данных в условии положений не нуждается в дальнейших доказательствах, что доказывать следует только справедливость заключения. В случае, когда теорема не представлена в форме «если... то», весьма полезно для учащихся бывает предварительно переформулировать ее в эту форму.

3. Переходя к доказательству теоремы, необходимо прежде всего сделать чертеж, т. е. перевести условие на графический язык. Чертеж должен соответствовать условию теоремы. Чтобы фигура соответствовала условиям, необходимо,

чтобы она обладала теми свойствами, которые указаны в условии и только этими свойствами. Несоблюдение условий нередко делает невозможным и затруднительным доказать справедливость заключения, или же, наоборот, если начерченная фигура обладает лишними свойствами, не указанными в условии, доказательство приобретает характер более частной или более общей закономерности, чем предусмотрено в условии. Соответствие условию предполагает также более или менее точное соблюдение относительных размеров отдельных частей фигуры. Очень полезно с первых же шагов приучать учащихся пользоваться масштабом при черчении на доске и в тетради. На первых порах учащиеся должны пользоваться при вычерчивании фигуры линейкой, циркулем и транспортиром, в дальнейшем, однако, следует их приучать делать аккуратные чертежи от руки.

4. Затем следует обозначить соответствующие части фигуры буквами и записать тут же около чертежа условие задачи на языке геометрических обозначений.

5. Проверить по чертежу и по геометрической записи, все ли данные условия учтены и использованы.

Так, например, выше приведенную теорему можно оформить в следующем виде:

Черт. 56

6. Отделить условие чертой, и записать под ней заключение тоже при помощи принятых обозначений.

Вопросительные знаки, стоящие после каждой записи заключения, означают, что это положение еще нужно доказать. Некоторое время, потраченное на закрепление навыка такого оформления доказываемой теоремы, как показывает опыт, вполне себя окупает в дальнейшем, ибо это дает большую экономию при самом доказательстве, как всякая хорошая заготовка материалов обеспечивает продуктивную работу над ним.

Выполнив чертеж и сделав запись, можно приступить к завершающей части, к самому доказательству. Но чтобы эта главная часть не носила характера простых проб и ошибок, не производилась на ощупь, необходимо наметить план доказательства.

Вообще говоря, имеются два пути доказательства. Одни часто называют эти методы дедуктивным и индуктивным, другие — аналитическим и синтетическим. Эти названия не совсем точны: дедукция и индукция, равно, как анализ и синтез, неразрывно связаны в каждом акте рассуждения и взаимно переплетаются. Конечно, в одних случаях может преобладать анализ, в других — синтез.

Я предпочитаю различать эти два пути по следующему важному и понятному для учащихся признаку: можно при доказательстве отправляться или от того, что дано, или от того, что требуется доказать.

Проиллюстрируем это на примерах.

Предположим, что нам надо доказать теорему: «Диагональ делит параллелограм на два равных треугольника».

Чертим ABCD — параллелограм

Черт. 57

Доказательство (отправляясь от того, что дано). Что значит, что ABCD — параллелограм?

— Это значит: 1) что AB || CD, AD || ВС.

А что значит, что BD — диагональ? Это значит, что BD соединяет две вершины параллелограма, т. е. пересекает каждую из 4 сторон параллелограма в какой-либо точке, поэтому мы можем BD рассматривать как секущую по отношению к каждой паре параллельных. При пересечении параллельных секущей, соответственные и внутренние накрестлежащие углы, равны, значит

Таким образом, в треугольниках ABD и BDC сторона BD является общей, а потому равной самой себе, и два прилегающих к этой стороне угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника. На этом основании мы можем заключить, что /\ABD = /\iBDC. Теорема доказана.

Но мы могли повести свое рассуждение с обратного конца: нам надо доказать, что Д ABD = Д BDC. Что мы знаем про эти треугольники? Во-первых, мы знаем, что в каждый из них входит сторона BD. Что же нам еще нужно для того, чтобы доказать, что эти два треугольника равны?

Для этого, как известно, мы можем воспользоваться одним из трех признаков равенства треугольников, т. е. доказать одно из следующих трех положений:

1) два прилегающие к стороне BD угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника;

2) какая-либо сторона одного треугольника и угол, заключенный между этой стороной и стороной BD у одного треугольника, равны стороне и углу, заключенному между ней и BD другого треугольника;

3) остальные две стороны одного треугольника соответственно равны остальным двум сторонам другого треугольника.

Обращаясь к условию теоремы, т. е. к тому, что нам дано, мы легко убеждаемся, что мы можем доказать любой из этих трех признаков, а именно:

Поскольку ABCD— параллелограм, постольку ^. 1 = Z 4 и Z. 2 = Z 3. Отсюда Л ABD = = A BCD (по 1-му признаку).

Поскольку ABCD— параллелограм, AB \\ CD, поэтому 2. 2 = L 3 и AB = CD, значит, Д ABD = ABCD (по 2-му признаку).

Наконец, поскольку ABCD — параллелограм, AB = CD и AD = BC, потому £\ABD = = /\BCD (по 3-му признаку).

К сожалению, в нашей практике мы слишком часто пользуемся первым и очень мало вторым путем доказательства. Объясняется это, в первую очередь, дедуктивным построением геометрии у самого Евклида и в наших учебниках, ограниченностью времени и известной довлеющей еще над нами традицией.

Это часто ведет к тому, что вместо того чтобы стимулировать учащихся к самостоятельным поискам доказательств, мы им преподносим готовые доказательства, начинающиеся со слов: «Для этого проводим...», «Предположим, что задача уже решена...» и т. д. Этим самым мы выхолащиваем самую важную часть всякого доказательства: осознанное искание и действительное открытие этого доказательства.

Если мы хотим требовать от учащихся, чтобы каждый логический шаг в их доказательстве был мотивирован и обоснован, а именно этого мы должны от них требовать, то нам самим необходимо при доказательствах и построениях мотивировать и обосновывать каждый шаг. Между тем часто приходится выслушивать со стороны наиболее вдумчивых учащихся замечание: «Но откуда же было догадаться, что именно таким образом надо доказывать или решать задачу?».

Совершенно очевидно, что какой бы путь доказательства мы бы ни избрали, нам необходимо значительно усилить элементы анализа по существу вопроса. С этой точки зрения обратный путь «от заключения к условию», бесспорно, имеет с точки зрения и возможности учащихся, одно важное преимущество: в заключении всегда сформулировано что требуется доказать, и это, несомненно, дает уже и известное направление поискам доказательства.

Проиллюстрируем это опять-таки на примере:

Предположим требуется доказать, что «Сумма углов треугольника равна двум прямым».

Дан, значит, произвольный треугольник, и требуется доказать, что сумма его углов равна 2 прямым, или 180°.

Конечно, можно «доказать» справедливость заключения, отправляясь от того, что дано, т. е. от самих углов треугольника. Скажем, отрезав все три угла сложить их вместе, или построить угол равный сумме трех углов, или обернуть треугольник вокруг трех его вершин. Но эти доказательства будут чисто эмпирическими.

Другое дело, когда мы начинаем свое доказательство с заключения: «Нам надо доказать, что сумма углов треугольника равняется 2 прямым». Тут сейчас же перед нами встает вопрос: «Что значит 2 прямых угла? Какие углы равны двум прямым?

Вспоминаем: 1) углы, исходящие из одной точки и расположенные по одну сторону прямой, составляют в сумме развернутый угол, т. е. угол в 180°;

2) два смежных угла в сумме равны 180°;

3) внутренние односторонние углы при параллельных в сумме дают 180°;

4) один прямой да еще один прямой дают в сумме 2 прямых, или 180°.

Попробуем воспользоваться каждым из этих 4 положений для доказательства нашей теоремы.

1. Образуем из углов треугольника развернутый угол.

Черт. 58

Проведем прямую MN через любую вершину треугольника (скажем, В); мы получим развернутый угол, в состав которого входит один из углов треугольника. Таким образом, доказательство было бы возможно, если бы нам удалось доказать, что остальные два угла в сумме равны сумме двух остальных углов Л "и С. Произвольно проведенная нами прямая не дает нам этой возможности.

Тогда перед нами встает вопрос: а нельзя ли провести прямую так, чтобы между углами, которые она образует со сторонами треугольника, и остальными углами треугольника была бы какая-нибудь связь?

Вспоминаем прямую теорему о параллельных. Изменяем направление MN так, чтобы она стала параллельной противолежащей /_ В стороне АС. Тут мы сразу замечаем, что действительно мы получили /.3 = ^1 и /. 4 = Z. 2 как накрестлежащие при параллельных. Тем самым мы получили первое доказательство теоремы.

Черт. 59

Можно для закрепления предложить учащимся провести эту параллельную прямую через другую или третью вершину треугольника. Результат получится тот же.

2. Как мы видели, существуют и другие углы равные 2 прямым, например, два смежных угла в сумме = 180°.

Воспользуемся этим положением: строим у любой вершины треугольника смежный с ним угол путем продолжения одной из его сторон.

Черт. 60

На основании положения о смежных углах мы можем написать, что

Значит, если бы нам удалось доказать, что 2 A + В = IßCT), теорема была бы доказана. Опять-таки нам на помощь приходит теорема об углах при параллельных: проводим через вершину С прямую СЕ, параллельную AB. 1 = / А как соответственные при параллельных, /.2= £В как накрестлежащие при параллельных. Теорема снова доказана.

3, Попытаемся воспользоваться свойством внутренних односторонних углов при параллельных.

Через произвольную вершину треугольника (скажем, в данном случае через А) проводим AD, параллельную ВС.

^DAC+ £АСВ^= 180°, как внутренние односторонние при параллельных.

Но £ DAC состоит из 2 CAB и / BAD, а этот последний (2 BAD) равен 2 В, как накрестлежащий при параллельных прямых. А так как равные величины могут заменить друг друга, то вместо DAC мы можем взять равную ему сумму углов CAB + ABC. Если к этой сумме прибавить еще £ АСВ, то получим, что £А + LB+ Z С = 180°-

4. Мы можем, наконец, доказать эту теорему и при помощи 4-го положения: 2 прямых— это прямой угол + прямой угол.

Для этого мы около вершин двух произвольных углов треугольника восстанавливаем по перпендикуляру: AD и ЕС— перпендикуляры к АС (черт. 62). Чтоб доказать нашу теорему, нам остается лишь доказать, что В равен сумме двух дополнительных углов, т. е., что 2, В = 2, DAB + /_ ВСЕ. Здесь опять-таки нам на помощь приходит свойство углов при параллельных: из вершины В опускаем перпендикуляр на AC. BF будет параллельным к нашим перпендикулярам AD и ЕС, /_ DAB= = £ABF и £тВСЕ= £FBC, как накрестлежащие при параллельных прямых. Таким образом, и этот четвертый способ дает возможность доказать нашу теорему.

Достоинство такого, преимущественно аналитического, пути доказательства теорем совершенно очевидно: он делает действительно осмысленным каждое звено в цепи логических рассуждений, тем самым убивает в самом корне основную болезнь в обычном усвоении геометрии: механическое воспроизведение готовых, неизвестно откуда возникших способов доказательств. Во-вторых, он конкретно показывает учащимся, что к доказательству каждой теоремы можно и должно подходить с разных концов, пользуясь различными исходными положениями. На опыте такого разнообразия доказательств можно поставить перед учащимися вопрос о сравнительной оценке каждого способа доказательства, степени его соответствия критерию экономии сил, простоты и изящества, тем самым поставив перед ними существенный вопрос о качестве доказательства, совершенно игнорируемый при шаблонном преподавании геометрии.

Аналитический способ доказательства позволяет, наконец, поставить перед учащимися со всей убедительностью и увлекательностью вопрос о самостоятельных поисках ими новых доказательств. Дав им в руки испытанное орудие анализа вопроса по существу и показав им на ряде примеров, что теоремы действительно допускают различные способы доказательства, нам становится значительно легче воспитать в них естественную потребность в самостоятельных поисках новых доказательств.

Еще в прошлом столетии немецкий математик Кэрр очень удачно сформулировал эту мысль: «Лучше одну теорему разобрать десятью способами, чем десять теорем одним способом». Это указание Кэрра, к сожалению, не реализуется преподавателями математики еще и в настоящее время.

Надо сказать, что мы зачастую не только ограничиваемся одним доказательством теоремы, но умудряемся к тому же выбрать менее понятное и менее изящное.

Так, например, малоудачными являются приведенные в учебнике доказательства теоремы об измерении углов дугами. Эти доказательства, в частности, затрудняют весьма полезное в этом случае обобщение всех частных теорем одной теоремой, согласно, которой «любой угол измеряется алгебраической полусуммой дуг, заключенных между его сторонами и между их продолжениями»* (черт. 63-67).

Имеются более удачные доказательства теоремы об углах с взаимно перпендикуляр-

Черт. 61

Черт. 62

* Едва ли целесообразно усложнять вопрос об измерении центральных углов заменой одной дуги полусуммой двух, тем более считаем нецелесообразным только в интересах обобщения (и притом единственного во всем курсе) вводить понятие об отрицательной (направленной) дуге. Ценность предлагаемых здесь автором доказательств теорем об измерении углов мы видим, прежде всего, в их большей простоте по сравнению с доказательством в стабильном учебнике, а главное, в единстве метода, поэтому мы данную последовательность теорем предпочли бы изложи1Ь в таком примерно порядке: (даем сокращенную запись)

ными или взаимно параллельными сторонами, о внешнем угле треугольника, о замечательных точках в треугольнике, о параллельных, пересекающих стороны угла, о пропорциональных соотношениях в треугольнике и круге, теоремы Пифагора (алгебраические и геометрические доказательства) и т. д. Но дело не столько в облегчении доказательства отдельных теорем, сколько в самом стиле и характере преподавания.

Нет конечно ни возможности, да и никакой необходимости, каждую теорему доказывать различными способами или обязательно придумывать доказательства отличные от тех, которые приводятся в учебнике.

На первых порах в шестом классе я не только пользуюсь доказательствами, приводимыми в учебнике, но нередко трачу специальное время на то, чтобы на уроке прочитать доказательство прямо по учебнику. Ведь нельзя забывать, что книжный материал учебника геометрии резко отличается от обычного материала других учебников и совершенно необходимо приучить учащихся пользоваться этим учебником геометрии и другой математической литературой. Но уже и в шестом классе исподволь показываю учащимся доказательства, отличные от приводимых в учебнике.

На первых порах мы такого рода новые доказательства подробно записываем в тетрадь. В седьмом же и восьмом классе я стараюсь при изложении нового материала на уроке привлекать, где это возможно, оригинальные доказательства, поручая сильным учащимся самостоятельно разобраться в доказательстве, приведенном в учебнике. Сильные учащиеся охотно и легко справляются с этим заданием, средние же ученики имеют возможность при своем ответе пользоваться любым из проработанных на уроке и дома доказательством.

Главное, чтобы на уроках геометрии билась живая творческая мысль учащихся, чтобы каждая теорема или положение освещались бы не изолированно и однообразно, а были бы осмыслены во всех их связях и опосредствованиях.

Чтобы учащиеся эффективно пользовались всем этим богатством разнообразных способов доказательств теорем и решения задач, необходимо все эти способы как-то систематизировать, а главное, привести в «рабочее состояние». Для этой цели современные заграничные авторы рекомендуют учащимся составить то, что одни из них образно называют «геометрическим инструментальным ящиком», или «связкой геометрических ключей», или, как более прозаически другие говорят, геометрический инвентарь.

Этот инвентарь, составленный обычно в виде записной книжки учащихся, а иногда оформленный в виде больших таблиц, вывешенных в школьных математических кабинетах наряду с записью аксиом, определений и формул, содержит систематизированный перечень доказательств, часто употребляемых при решении задач.

Вот примерный перечень, составленный мною на основании ряда новейших американских и английских учебников.

1. Установить равенство отрезков можно, доказав:

а) что при наложении они совпадают всеми своими точками;

б) что они являются соответствующими сторонами равных фигур;

в) что они являются сторонами треугольника, лежащими против равных углов;

г) что они являются сторонами правильного многоугольника;

д) что они являются наклонными, отсекающими равные отрезки от основания перпендикуляра;

е) что они являются параллельными прямым, заключенным между параллельными;

ж) что они являются радиусами одной и той же или равных окружностей;

з) что они образованы при взаимном пересечении диагоналей параллелограма;

и) что они являются отрезками стороны угла, полученными в результате пересечения ее параллельными прямыми, при условии если эти параллельные делят вторую сторону угла на равные части;

к) что они являются хордами одной и той же или равных окружностей и что каждая из них стягивает одинаковые дуги;

л) что они являются частями хорды, разделенной перпендикулярным к ней радиусом или диаметром;

м) что они являются хордами одной и той же или равных окружностей, одинаково отстоящими от центра;

н) что они являются двумя касательными, исходящими из одной и той же точки;

о) что они являются расстояниями какой-либо точки биссектрисы до сторон угла;

п) что они являются расстояниями какой-либо точки, лежащей на серединном перпендикуляре до каких-либо точек основания, равно удаленных от основания перпендикуляра;

р) что они являются расстояниями каких-либо точек одной параллельной прямой от другой параллельной прямой.

2. Установить равенство углов можно, доказав:

а) что каждый из них равен прямому или каждый равен развернутому;

б) что каждый из них составляет с каким-либо одним и тем же третьим углом или с равными углами 90 или 180°, т. е. что они являются дополнительными, или пополнительными, углами к одному и тому же углу или к равным углам;

в) что они взаимно вертикальны;

г) что они являются соответственными углами равных фигур;

д) что они лежат против равных сторон одного и того же треугольника;

е) что они являются углами правильного многоугольника;

ж) что они являются соответственными, или внутренними, или внешними накрестлежащими углами при параллельных;

з) что их стороны взаимно параллельны и идут в том же или в обратном направлении;

и) что их стороны взаимно перпендикулярны и идут в том же или обратном направлении;

к) что они являются углами треугольников, у которых суммы двух остальных углов равны;

л) что они являются противоположными углами параллелограма;

м) что они являются углами одного и того же наименования (центральными, вписанными с вершиной внутри или вне круга), опирающимися на одну и ту же или на равные дуги одной и той же или равных окружностей;

н) что они образованы в результате проведения биссектрисы.

3. Установить, что прямые параллельны между собой, можно, доказав:

а) что обе прямые перпендикулярны к третьей прямой;

б) что при пересечении их третьей, образуемые соответственные внутренние и внешние накрестлежащие углы равны, а внутренние или внешние односторонние в сумме составляют 2d;

в) что каждая из них порознь параллельна третьей прямой;

г) что они являются противоположными сторонами параллелограма;

д) что одна из них является основанием треугольника или трапеции, а другая соединяет середины боковых сторон треугольника или трапеции;

е) что они делят каждую сторону угла на равные или пропорциональные части;

ж) что они делятся пучком прямых на пропорциональные части;

з) что дуги, заключенные между этими прямыми, равны.

4. Установить, что две прямые взаимно перпендикулярны, можно, доказав:

а) что они образуют два равных смежных угла;

б) что прямая, параллельная одной из прямых, перпендикулярна к другой из них;

в) что одна из прямых является кратчайшим расстоянием какой-либо точки от другой прямой;

г) что они являются сторонами треугольника, когда сумма углов треугольника, не заключенных между этими прямыми, составляет 90°;

д) что они являются сторонами прямоугольника или квадрата;

е) что они являются диагоналями ромба или квадрата;

ж) что одна из них является основанием, а другая биссектрисой противоположного угла равнобедренного треугольника;

з) что одна из них является хордой, а другая диаметром или радиусом, проходящим через середину этой хорды;

и) что они являются сторонами вписанного угла, опирающегося на диаметр (на полуокружность);

к) что одна из них является касательной, а другая — радиусом или диаметром, проведенным к точке касания;

л) что одна из них является линией центров двух касающихся окружностей, а другая—общей хордой этих окружностей;

м) что они являются сторонами описанного угла, точки касания которого делят окружность в отношении 1:3.

Таким же образом составляются перечни признаков равенства треугольников, подобия фигур, формулы метрических соотношений в треугольнике и в круге, формулы вычисления площадей и т. д.

Так, например, для установления того, что четырехугольник является параллелограмом, можно воспользоваться одним из следующих способов:

Доказать:

а) что противоположные стороны параллельны;

б) что противоположные стороны равны;

в) что противоположные углы равны;

г) что две стороны равны и параллельны;

д) что диагонали, пересекаясь, делятся пополам.

Само собой понятно, что эти инвентарные записи не даются учащимся в готовом виде, а составляются самими учащимися в про-

цессе прохождения новых теорем. Некоторые авторы учебника после каждого самостоятельного раздела лишь напоминают учащимся о необходимости пополнить свой «инструментальный ящик».

Наличие такого геометрического инвентаря само по себе не гарантирует учащимся легкого и быстрого решения любой задачи на доказательство, но умелое систематическое пользование им значительно облегчает решение более сложных задач, где путь доказательства не виден сразу, а должен быть отыскан.

Внимательное и вдумчивое сличение условия задачи с соответствующим разделом «инвентаря» позволяет сразу отбросить ряд неподходящих направлений поисков. Полнота же перечня зачастую дает толчок мысли, вызывает в ней проблески, которые спонтанно не возникали в голове. Кроме того, этот инвентарь нередко толкает мысль на новые дополнительные доказательства.

Возьмем для иллюстрации следующую задачу.

Черт. 68

«Дано: A BCD и AECF — параллелограмы, у которых АС — общая диагональ. Доказать, что BEDF—тоже параллелограм».

Обращаемся к приведенному выше перечню способов доказательства параллелограма.

Способы: а, в и г могли бы быть применены лишь в том случае, если бы нам было известно что-нибудь об углах, образуемых сторонами фигуры BEDF. Но так как эта фигура образована посредством простого последовательного соединения четырех свободных вершин обоих параллелограмов, то, очевидно, что мы об углах, образуемых этими «соединяющими», ничего не знаем, поэтому способы а, в и г само собой отпадают. Наше внимание обращается на способ б, т. е. пробуем доказать, что противоположные стороны BEDF равны между собой.

Начинаем, скажем, с пары BF и ED. Замечаем, что они являются сторонами ДДАЯ/7 и EDC. Значит, необходимо доказать, что эти треугольники равны. А что мы знаем об этих треугольниках?— AB = CD и AF — = ЕС. Остается доказать, что углы, заключенные между каждой из этих пар равных сторон, равны. Это не представляет никакого труда, так как BAF = /_ ECD как углы с соответственно параллельными сторонами, направленными в обратную сторону.

Для доказательства равенства /JSAF и /_ ECD можно также воспользоваться диагональю АС:

/_ ВАС = ACD, как накрестлежащие при параллельных AB и CD

/mFAC=£ACE, как накрестлежащие при параллельных AF и ЕС.

Сложив почленно оба равенства, получаем £ BAF = 2, ECD.

Таким же образом доказываем равенство сторон BE и FD. Обычно этим доказательством и ограничиваются.

Но наш перечень содержит еще пятый способ (д), что диагонали, пересекаясь, делятся пополам.

И стоит нам только вспомнить об этом способе доказательства и бросить взгляд на чертеж, как требуемое доказательство как бы само «просится в руки».

На самом деле. Что собой представляют диагонали нашей фигуры BEDF? С одной стороны — это DB; т. е. вторая диагональ параллелограма ABCD, а с другой — это EF, т. е. вторая диагональ параллелограма AECF.

Поскольку у обоих наших параллелограмов АС общая диагональ, диагонали BEDF, пересекаясь с АС, пересекаются и между собой, и точки их пересечения деляг каждую из этих диагоналей пополам. Это, безусловно, более простое и более изящное доказательство.

Действенное значение «геометрического инвентаря» можно проиллюстрировать и на анализе следующей задачи на доказательство.

«Доказать, что линии, соединяющие последовательно середины сторон квадрата, также образуют квадрат».

Черт. 69

Что значит доказать, что EFQH квадрат? Это значит доказать, что все его четыре стороны равны и что углы его прямые.

Так обычно и поступают. Равенство сторон доказывают при помощи положения: «Соответствующие части равных фигур равны между собой», а именно устанавливают равенство треугольников АЕН, EBF, FCG и GDH по двум катетам, и затем путем вычисления доказывают, что углы 1, 2, 3, 4 являются прямыми, так как вместе с прилегающими к каждому из этих углов острыми углами они составляют развернутый угол, а сумма каждой пары острых углов равна 90°.

Если же и в данном случае вспомнить (об этом и напоминает «инвентарь!») о свойстве диагоналей, то можно сразу получить еще два других доказательства.

1) Если соединить вершины четырехугольника EFGH, то эти линии как соединяющие попарно середины, квадрата ABCD будут взаимно перпендикулярны и равны.

Перпендикулярность диагоналей есть характерная особенность ромба, а что речь в данном случае идет не просто о ромбе, а о квадрате, легко доказать, сложив любую пару прилегающих острых углов треугольников, образованных в EFGH диагоналями. Треугольники эти прямоугольные и равнобедренные, значит, каждый острый угол равен 45°.

2) Но можно еще эффектнее использовать свойства диагоналей, если провести диагонали квадрата ABCD. По отношению к

диагонали АС линии EF и GH будут средними линиями треугольников ABC и ADC, поэтому они будут параллельны АС и равняться ее половине. Таким же образом линии ЕН и FG будут параллельны BD и равняться ее половине. А так как АС ± BD, то и параллельные им линии EF и GH будут перпендикулярны к линиям ЕН и FG. Таким образом, при этом способе мы сразу устанавливаем и равенство, и взаимную перпендикулярность сторон EFGH. Это доказательство опять-таки является и более простым, и более изящным.

Начиная с работы американской исследовательницы Марии Калкиис о «математическом мышлении» и кончая работой известного английского математика В. Броуна такие качества, как «хорошая память», «память на определения и положения», «память на правила и уменья пользоваться ими» считаются весьма существенными в успешном усвоении геометрии.

«Геометрический инвентарь» и должен в первую очередь служить для учащихся такого рода памяткой, освобождая их силы для умелого пользования известными им геометрическими положениями. Как показывает опыт преподавания, умелое пользование положениями — это нечто большее, чем простое их запоминание и воспроизведение. Как правильно указывает английский ученый Бэрт в своем исследовании «Развитие математического мышления у школьников», «решение логической проблемы зависит от чего-то большего, чем от простого запоминания данных. Эти данные должны еще быть «схвачены» {grasped) как единое целое с пониманием взаимной зависимости каждой части от остального. «Развитие мышления — это рост числа, разнообразия, оригинальности и компактности связей, которые ум ученика может воспринять и интегрировать в единое целое».

Геометрический инвентарь значительно облегчает учащимся процесс анализа задачи на доказательство, освобождая силы его ума на синтетическую, созидательную работу, решающую успех дела.

Само собой понятно, что и при наличии такой рабочей памятки, работа по геометрии может принять чисто механический характер, когда учащиеся просто начинают вслепую пробовать каждое из положений для решения каждой задачи. Необходимо с самого начала приучать учащихся к сознательному пользованию этой памяткой. И с этой точки зрения в начальной стадии работы мотивированное доказательство учащимися неприменимости того или иного положения бывает так же полезно, как и правильный выбор пригодных в каждом отдельном случае положений.

Очень существенным приемом привития учащимся глубокого понимания геометрических теорем и сравнительного свободного оперирования ими является постоянное стимулирование, руководство и помощь учащимся в их попытках самостоятельно переводить установленные ими в простеньких задачах соотношения и закономерности в обычную форму геометрической теоремы, т. е. в самостоятельной формулировке новых теорем.

Конечно, не каждая из решаемых задач на доказательство может и должна быть сформулирована в теорему, но многие из них представляют не только посильный и интересный материал для упражнений математического мышления учащихся, но также и ценный фактический геометрический материал, который может получить в дальнейшем различное применение.

Так, например, на основании задачи № 5, из приведенных выше, учащиеся могут вывести теорему:

«Внешние углы ^3 и /4 при основании равнобедренного треугольника равны».

Задачу № 6 можно сформулировать так: «Перпендикуляр, проведенный к биссектрисе угла через его вершину, образует равные углы со сторонами угла».

Задача № 31 означает, что: «линии, соединяющие середину основания равнобедренного треугольника с серединами боковых сторон, равны между собой».

Задача № 34. «Перпендикуляры, опущенные из середины основания равнобедренного треугольника на боковые стороны, равны».

Задача № 35 дает такую же закономерность в отношении высот, опущенных из вершин углов основания на боковые стороны равнобедренного треугольника.

Таким же образом могут быть сформулированы в теоремы задачи: №№ 38, 40, 41, 42, 43, 44 и 45 включительно.

Самостоятельная формулировка учащимися прямых и обратных теорем, равно как формулировка задач в виде теоремы, не только облегчает дальнейший процесс преобразования теорем для целей доказательства справедливости содержащихся в них заключений, но представляет значительную самодовлеющую ценность с точки зрения развития логического мышления учащихся, в частности, приучая их к точному, ясному и логическому выражению своих мыслей, приучая их к строгости научного языка.

Вот почему необходимо и полезно приучать учащихся к самостоятельной формулировке теорем не только на первой стадии, до их перехода к решению доказательств теорем и решению задач, данных в словесной формулировке, но и на всем протяжении курса геометрии, наглядно показывая им, как на основе частных случаев бывает возможно устанавливать общие геометрические закономерности. Только таким образом можно добиться правильного сочетания индуктивного и дедуктивного мышления, органически переплетающихся во всяком процессе научного рассуждения.

Само собой понятно, что настоящая статья не исчерпывает в полной мере вопросов, связанных с методикой обучения самостоятельному доказательству теорем.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЛИ, ТРЕБУЮЩИЕ СОСТАВЛЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

(Из опыта 79-й школы Киева)

И. М. КИПНИС (Киев)

ромадное значение задач, требующих применения тригонометрии к геометрии, очевидно. Методика этих задач отчасти уже затрагивалась на страницах журнала «Математика в школе» (см. № 1 за 1940 г.).

По своей тематике задачи на приложение тригонометрии к геометрии могут быть разбиты на четыре группы. К первой группе следует отнести те задачи, в которых искомой величиной является какой-либо линейный элемент рассматриваемой геометрической фигуры. Таковы, например, задачи, требующие вычисления радиуса описанного или вписанного шаров.

Вторую группу составляют задачи, где искомыми служат поверхности и объемы тел. К этой группе относятся, между прочим, почти все задачи на «Тела вращения».

К третьей группе должны быть отнесены задачи на вычисление площадей сечений. Четвертую группу образуют задачи, требующие вычисления угла.

Несомненно, что чрезмерное увлечение задачами одного из перечисленных видов за счет других подлежит осуждению как методическая ошибка. Однако учителя нередко концентрируют большую часть своего внимания и учебного времени на вычислении поверхностей и объемов, несравненно меньше времени уделяют задачам на сечения, а задачи, требующие вычисления угла, решают еще реже; иногда эта важная группа задач почти совершенно исчезает из поля зрения учащих и учащихся.

Впрочем, пренебрежение к этим задачам характерно также для стабильного задачника по тригонометрии и для тематики испытаний. В стабильном задачнике задачи на определение угла представлены крайне неравномерно, неполно и совершенно бессистемно; на испытаниях как на выпускных по окончании средней школы, так и на приемных при вступлении в вузы предлагают преимущественно задачи на вычисление поверхностей и объемов.

Столь односторонний подход к выбору задач на приложение тригонометрии к геометрии, безусловно, подлежит суровой критике.

Педагогическая ценность задач, требующих вычисления угла, определяется не только тем, что они, подобно задачам первых трех групп, содействуют лучшему усвоению геометрии, а также тригонометрических преобразований и применения тригонометрии к решению обобщенных задач геометрии; их специфическое значение, обычно недооцениваемое, заключается в том, что эти задачи, приводя к составлению тригонометрических уравнений (порой весьма сложных) и требуя их решения с наблюдением ограничений, налагаемых на эти решения геометрическими свойствами рассматриваемой фигуры, могут в немалой мере оживить и углубить проработку темы «Тригонометрические уравнения».

Ограничить, как это нередко делают, изучение раздела о тригонометрических уравнениях только решением примеров тригонометрических уравнений, неизвестно откуда появившихся и для какой практической цели предназначенных, значит — омертвить эту интереснейшую и важную тему, придать ей облик некоего «пустоцвета» и свести ее изучение к «набиванию руки» в преодолевании более или менее замысловатых примеров. Ведь не секрет, что весьма многие учащиеся, идя по линии наименьшего сопротивления, в лучшем случае усваивают одну лишь технику решения тригонометрических уравнений, иногда увлекая за собою и преподавателя (конечно, малоопытного) на этот ложный путь.

Совершенно ясно, что в рабочий план проработки темы «Тригонометрические уравнения» должно быть включено, в порядке органического дополнения (а не замены) к обычным примерам этих уравнений, достаточное количество задач на вычисление угла. Эти задачи должны быть не случайны и разрозненны, а специально подобраны и систематизированы соответственно типам тех тригонометрических уравнений, к которым они приводят; при их систематизации должна быть принята во внимание также и степень трудности составления и решения этих уравнений.

Включение такого комплекса задач не только содействовало бы лучшему усвоению навыков в решении тригонометрических уравнений, но, что для нас особенно ценно, научило бы применять эти уравнения к ближайшей к тригонометрии области — геометрии.

Весьма существенно и то, что упомянутые выше ограничения, налагаемые геометрическими свойствами фигуры на выбор решения тригонометрического уравнения, не могут не стимулировать понимания процесса решения, в значительной мере суживая роль слепых ремесленнических навыков.

Наконец, несколько методических соображений, касающихся не только задач на вычисление угла, но и любых других задач, требующих приложения тригонометрии к геометрии.

Следует привить учащимся умение и стремление решать эти задачи не только при тех или иных числовых данных, но и в обобщенном виде с обязательным исследованием полученных, таким образом, обобщенных ответов. Результаты исследования должны, по возможности, подвергаться геометрической проверке.

Необходимо почаще давать учащимся еще и такого характера задание: на основании тригонометрической формулы решения обобщенной задачи подобрать для последней такие числовые данные, которые допускали бы ее решение одними геометрическими методами, и это геометрическое решение выполнить.

Иллюстрируем вышесказанное конкретным примером. В стабильном задачнике по тригонометрии находим следующую задачу (§ 22—№ 13):

«Поперечное сечение конуса, проходящее через центр описанного шара, делит объем конуса пополам. Определить наклон образующей к основанию» (черт. 1).

I. Обобщение задачи. Полагая, что объем конуса в m раз больше объема той его части, которая заключена между поперечным сечением и вершиной конуса, составим тригонометрическое уравнение относительно искомого угла. Получим:

(1)

После упрощений получим

(2)

Следовательно,

(3)

II. Исследование решения. Искомый угол как угол при основании равнобедренного треугольника должен быть острым. Отсюда получаем:

(4)

III. Геометрическая проверка результатов исследования (см. черт. 1):

поэтому

Следовательно,

Из подобия /\ABD и МВО имеем

но

и поэтому

IV. Решение данного числового примера. Если поперечное сечение делит объем конуса пополам, то это означает, что m = 2.

При m = 2 задача возможна, так как 2 <8. Подставим в формулу (3) вместо m его значение и получим:

V. Частные случаи, допускающие геометрическое решение. Потребуем, чтобы X = 60° и, следовательно, sin х =•

Из формулы (2) получим

Отсюда:

Решим геометрически следующий частный вариант задачи: «Объем конуса составляет -5- объема той его части, которая заключена между его вершиной и поперечным сечением, проходящим через центр описанного шара. Определить угол между образующей конуса и основанием».

На основании рассуждений, изложенных в пункте III, имеем:

В данном случае

Поэтому

Отсюда легко вывести, что ВАО = 30° и, следовательно, /_ BAD = 60°.

Не подлежит сомнению, что при систематическом соблюдении вышеуказанных методических принципов учащиеся четко усвоят связь между геометрией и тригонометрией, научатся сознательно применять одну к другой. Был бы, безусловно, ликвидирован тот разрыв между геометрией и тригонометрией, который часто наблюдается у учащихся и принимает иногда довольно курьезные формы.

Ниже привожу ряд образцов задач, требующих расчета угла. Они систематизированы соответственно типам тригонометрических уравнений и трудности составления последних.

Подбор и обработка этих задач оказались довольно хлопотливым и трудоемким делом.

Некоторые из этих задач взяты (иногда со значительными изменениями) из стабильного задачника по тригонометрии. В отношении тех стабильных задач, которые не подвергались изменениям, я ограничивался только указанием параграфа и номера (по изд. 1936 г.).

Прорабатывать эти задачи рекомендуется в том порядке, в котором они расположены.

Черт. 1

Значительная часть тех задач, которые приводят к простейшим тригонометрическим уравнениям (типа sin х = I, cos х = /, tg х = I, ctgx = l), должна быть решена в I четверти в связи с темой «Решение прямоугольных треугольников»; остальными задачами следует воспользоваться при прохождении тригонометрических уравнений и, частично, при повторении, т. е. в IV четверти.

В заключение привожу список источников, которые в той или иной мере были использованы при подборе задач.

1. Рыбкин — Стабильный задачник по тригонометрии.

2. Рыбкин — Задачи по геометрии, треб, применения тригонометрии.

3. Кобелева и Киселевич — Посібник з тригонометрії (на укр. яз., Киев, 1939).

4. Сорокин — Задачник по геометрии.

5. Андре — Задачник по тригонометрии.

6. Века — Задачник по тригонометрии,

7. Злотчанский — Задачник по тригонометрии.

8. Тер-С тепанов — Задачи, треб, применения тригонометрии к геометрии.

9. Русинковский — Сборник задач (на укр. языке).

10. Минин — Геометр, задачи.

I. Задачи, приводящие к простейшим тригонометрическим уравнениям

№ 1. Каждая из непараллельных сторон равнобочной трапеции равна меньшему основанию. Большее основание относится к меньшему, как т:п. Определить углы трапеции. Решение исследовать.

Ответ.

задача возможна только при

№ 2. Стороны AB и АС треугольника ABC соответственно равны с и b, а площадь треугольника равна S. Определить угол Л. Решение исследовать.

Ответ.

задача возможна только при

№ 3. Площадь четырехугольника ABCD равна 5, а его диагонали АС и BD соответственно равны р и q. Определить углы между диагоналями.

Ответ.

Решить из § 16 стабильного задачника следующие номера: 17,3,8,11, 6,4,9,10,15,14.

Сверх того, задачи 3, 8 и 11 § 16 перефразировать так, чтобы в них шла речь о пирамидах, и соответственно изложить их решения.

№ 4. Дан трехгранный угол SABC, в котором плоские углы CSA = CSB = а, а плоский угол AS3 = ß. Определить угол наклона ребра SC к плоскости грани ASB.

Ответ.

Решить из § 17 стабильного задачника следующие №: 14, 2, 3, 5, 11, 12.

№ 5. Ребра параллелепипеда, исходящие из общей вершины, соответственно равны a, b и с. Ребра а и b взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них по углу, равному а. Определить угол наклона ребра с к плоскости ребер а и Ь. Решение исследовать.

Ответ, sin X = \/Г— cos 2а; задача возможна лишь при 45°<а<135°.

Решить из § 19 стабильного задачника задачу № 4.

№ 6. Через сторону основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая две боковые грани по прямым, угол между которыми равен а. Определить угол между этой плоскостью и основанием призмы.

Ответ.

№ 7. Через сторону основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, которая в сечении с призмой дает треугольник, периметр которого в п раз больше периметра основания призмы. Найти угол между секущей плоскостью и основанием.

Ответ.

Задача возможна при п > 1.

Решить из § 19 стабильного задачника № 2 и 5.

В связи с теоремой о площади проекции фигуры на плоскость решить следующие задачи из стабильного задачника: § 18 — № 7; § 19 —№ 24 и 4.

№ 8. В правильной четырехугольной призме через середины двух последовательных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и наклоненная к основанию так, что ее площадь равна 5. Сторона основания = а. Определить 1) угол между сечением и основанием; 2) углы многоугольника, полученного в сечении.

Ответы.

Черт. 2

где у означает L. АЕС (черт. 2); все углы сечения выражаются через у, а именно: L ВАВ = L ЛВС = 180°-у; {_ AED = = L ^CD = 2у; |_ ££>С = 180° - 2j>. № 9. Через середины двух смежных сторон основания и вершину правильной четырехугольной пирамиды проведена плоскость. Найти угол наклона этой плоскости к основанию, зная, что плоский угол при вершине пирамиды равен а.

Ответ.

Решить из стабильного задачника задачу № 13 § 17. Рекомендуется эту задачу обобщить (полагая отношение стороны основания к высоте пирамиды равным — ] и исследовать обобщенное решение. В результате исследования получим, что

задача возможна лишь при

Очевидно, что числовые данные задачи № 13 § 17 удовлетворяют этому неравенству, так как

Решить из стабильного задачника № 10 § 17.

№ 10. В правильной /г-угольной пирамиде отношение высоты к стороне основания равно т. Определить двугранный угол, образованный боковой гранью с основанием.

Ответ.

Сравнить № 10 с задачей № 6 § 17 стабильного задачника, являющейся частным случаем первой = и Решить ее как по общей формуле, так и упрощенным, свойственным только ей способом.

Решить из стабильного задачника задачу № 12 § 19.

Ответ.

№ 11. В правильной /г-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен а. Опреде~ лить угол между боковыми гранями.

Ответ.

№ 12. Высота правильной треугольной пирамиды SABC равна радиусу окружности, описанной около основания. Через вершину А основания проведена плоскость, параллельная стороне ВС основания и перпендикулярная боковой грани BSC. Определить угол между этой плоскостью и основанием.

№ 13. В предыдущей задаче заменить перпендикулярность сечения пирамиды к ее боковой грани другим условием, а именно: предположить, что это сечение делит объем пирамиды, считая от вершины 5 в отношении m : ги

Решить из стабильного задачника следующие задачи: § 17 — № 15, § 19 — № 38, § 20 — № 1, 10, 24.

№ 14. Внутри конуса, у которого угол при вершине осевого сечения равен а, находится другой конус, имеющий с первым общее основание; боковая поверхность внутреннего конуса есть средняя арифметическая между площадью основания и боковой поверхностью внешнего конуса. Определить угол между высотой и образующей внутреннего конуса.

Ответ:

№ 15. В усеченную правильную четырехугольную пирамиду вписан усеченный конус. Отношение стороны большего основа ния пирамиды к стороне ее меньшего основания равно —. Определить наклон боковой грани пирамиды к ее большему основанию.

Ответ.

№ 16. В конус вписан шар. Линия касания шара к боковой поверхности конуса делит последнюю в отношении т.п. Определить угол между образующей конуса и его основанием. Исследовать.

Ответ.

Решить из стабильного задачника следующие номера: § 22 — № 17, 18, 28.

№ 17. Около шара описан прямой параллелепипед, объем которого в m раз больше объема шара. Определить углы в основании параллелепипеда. Исследовать решение.

Ответ.

задача возможна только при

.Основание — либо ромб, либо квадрат. При m =

основание — квадрат.

II. Задачи, приводящие к тригонометрическим уравнениям вида sin (ах + Ь) =с, где

№ 18. В прямоугольном треугольнике ABC катет ВС относится к катету ЛС, как —. Какой угол образует с катетом AB прямая»

соединяющая вершину В прямого угла с точкой Е гипотенузы, если ВЕ = ВС? Исследовать решение.

Ответ.

Решить из стабильного задачника задачу № 16 § 19 и исследовать ее решение.

Ответ. Задача возможна при условии,

№ 19. Поверхность шара, вписанного в конус, равновелика площади основания конуса. Определить угол при вершине осевого сечения конуса.

Ответ.

Полезно обобщить задачу, после чего ее исследовать.

№ 19а Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с его основанием угол а. Боковая поверхность этого параллелепипеда равна S. Определить углы между диагональю основания и его сторонами.

Ответ.

III. Задачи, приводящие к тригонометрическим уравнениям, представляющим собою равенство двух одноименных функций

В качестве примера приведем следующую задачу:

№ 20. Основанием пирамиды является квадрат. Двугранные углы при ее основании относятся между собою, как 1 :2:4:2. Определить эти углы.

Ответ. Задача приводит к уравнению: sin Ах = sin 2х, где х означает наименьший из искомых углов.

IV. Задачи, приводящие к тригонометрическим уравнениям типа алгебраических относительно тригонометрических функций одного аргумента.

Решить из стабильного задачника задачу № 24 § 16.

ЛЬ 21. В треугольнике ABC стороны AB и АС соответственно равны 6 см и 5 см. Вычислить угол Д, если площадь треугольника ABC на 1 см2 больше площади квадрата, сторона которого равна расстоянию от вершины В до стороны АС. Геометрически объяснить двойственность решения.

Ответ.

Решить из стабильного задачника № 15 § 19.

Полученное решение исследовать и дать геометрическую интерпретацию двойственности этого решения.

Решить задачу № 25 из § 23 стабильного задачника.

№ 22. (Обобщение задачи № 25 § 23 стабильного задачника.)

Через точку А окружности проведены хорда АС и диаметр AB. Отношение объема тела, образованного вращением фигуры АСтВ (ограниченной прямыми AB и АС и дугою ВтС) около диаметра AB к объему, полученному от вращения кругового сегмента АпС, ограниченного хордой АС и дугою АпС, вокруг той же оси, равно р. Определить угол между АС и AB.

Ответ.

Решить № 15 из § 22 стабильного задачника.

№ 23. Объем сферического сегмента в п раз больше объема вписанного в него шара. Определить величину дуги в осевом сечении этого сегмента.

Ответ.

№ 24. Кривая поверхность шарового пояса, основания которого равны между собою, равновелика сумме площадей оснований. Определить дуги в осевом сечении шарового пояса.

Ответ.

№ 25. Шаровой пояс и цилиндр имеют общие основания, а отношение объема пояса к объему цилиндра равно т. Определить величину дуги в осевом сечении пояса.

Ответ.

№ 26. Отношение кривой поверхности шарового сегмента к боковой поверхности конуса, имеющего вершину на поверхности шара, а основание — общее с основанием сегмента, равно т. Определить угол между образующей конуса и его осью. Исследовать. Разобрать 2 случая: 1) конус расположен вне сегмента, 2) конус вписан в сегмент.

Ответы.

В первом случае задача возможна при всяком /я>0; во втором — только при т>1.

№ 27. Перпендикуляр, опущенный из центра основания конуса на какую-либо из его образующих, вращается около оси конуса.

Часть конуса, заключенная между его вершиной и поверхностью вращения этого перпендикуляра, составляет ^ часть объема конуса. Определить угол между образующей конуса и его основанием. Ответ.

Решить № 13 из § 22 стабильного задачника.

№ 28. (Обобщение № 13 § 22 стаб. зад.)

Поперечное сечение конуса, делящее его объем так, что часть между сечением и вершиной конуса составляет — всего объема этого конуса, проходит через центр описанного шара. Вычислить наклон образующей конуса к его основанию. Решение исследовать. (В этой задаче особенно ценна также и геометрическая проверка результатов исследования.)

Ответ.

Задача возможна только при /я<8.

№ 29. Из точки Л, взятой вне круга, проведены секущая ABD, проходящая через центр, и касательная АС. Поверхность вращения фигуры АБС, ограниченной прямыми AB, АС и дугой В и С, вокруг секущей ABD в п раз больше сферической поверхности шарового сектора, образованного вращением кругового сектора ВОС вокруг той же оси. Определить угол DAC между секущей и касательной. Решение исследовать.

Ответ.

Задача возможна только при л>2.

№ 30. Центры шаров, описанного около правильной четыреугольной пирамиды и вписанного в нее, совпадают. Определить плоский угол при вершине.

Ответ.

№ 31. В пирамиде, о которой идет речь в предыдущей задаче, вычислить угол между смежными боковыми гранями и также двугранный угол при основании (см. зад. № 12 из § 19 стаб. задачника и зад. № 11 (не стабильную).

V. Задачи, приводящие к тригонометрическим уравнениям вида asinx -|- Ь cos х = с.

№ 32. В прямоугольном треугольнике отношение суммы катетов к гипотенузе равно т. Определить острые углы.

Ответ, sinX+cosх = ш, где х — один из острых углов.

№ 33. То же — для разности катетов.

№ 34. В равнобедренной трапеции каждая из боковых сторон равна меньшему основанию, а отношение большего основания к высоте трапеции равно т. Определить углы трапеции. Исследовать

Ответ.

где X означает угол при большем основании. Задача возможна только при т>1. Проверить геометрически этот результат.

№ 35. Через сторону ВС основания правильной треугольной призмы ABCAß^C^ проведена плоскость, проходящая через вершину Л1 второго основания. Найти угол между этой плоскостью и основанием призмы, для каждого из следующих трех случаев:

1) Отношение боковой поверхности призмы к полной поверхности отсеченной от нее треугольной пирамиды АХАВС равно т;

2) отношение боковой поверхности призмы к полной поверхности четырехугольной пирамиды AiBCBiCi равно т;

3) Отношение полной поверхности четырехугольной пирамиды АгВСВхСл к полной поверхности треугольной пирамиды АгАВС равно т. Полученные решения исследовать.

Ответы.

Задача возможна только при 0<т<2.

Задача возможна только при 0 < m < 1,2.

Задача возможна лишь при 0 < m < 1 —.

№ 36. Пирамида имеет своим основанием ромб. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания и образуют между собою острый угол, и две другие равно наклонены к основанию. Определить угол наклона между этими гранями и основанием, если боковая поверхность пирамиды в m раз больше площади основания. Исследовать.

Ответ.

VI. Задачи, приводящие к тригонометрическим: уравнениям вида алгебраических относительно тригонометрических функций разных аргументов.

№ 37. В четырехугольнике ABCD дано, что — = 2; _ BAD : \_CDA : L_ ABC =1:2:3; расстояния от середины стороны ВС до AD вдвое меньше расстояния от вершины А до ВС. Определить углы четырехугольника ABCD.

Ответ.

где X обозначает L BAD.

Решить задачу № 19 из § 16 стабильного задачника.

Ответ.

№ 38. В равнобедренном треугольнике отношение одной из равных сторон к расстоянию от вершины угла при основании до центра вписанной окружности равно ~. Определить углы треугольника.

№ 39. Определить центральный угол осевого сечения сферического сектора 1-го рода (т. е. не имеющего полости), если объемы его сферической и конической частей равны между собой.

Ответ.

№ 40. Решить ту же задачу в обобщенном виде, полагая, что отношение этих объемов = m-а.

№ 41. Из вершины конуса, как из центра, описана сферическая поверхность, касательная к основанию конуса. Часть конуса, заключенная между его вершиной и этой поверхностью, составляет — часть объема конуса. Определить угол при вершине осевого сечения конуса. Исследовать.

Ответ.

Решить и исследовать задачу № 12 из §22 стабильного задачника.

Ответ. Задача приводит к уравнению

Задача возможна только при m ^2.

Решить задачу № 11 § 22 стабильного задачника. Приводит к уравнению

№ 42. Площадь осевого сечения конуса относится к его полной поверхности, как m : п. Определить угол между образующей и основанием конуса. Исследовать.

Ответ.

Задача возможна только при —< —.

№ 43. Определить двугранный угол при основании правильной пирамиды, если центр вписанного шара делит ее высоту в среднем и крайнем отношениях.

Ответ.

№ 44. Определить двугранный угол при основании правильной четырехугольной пирамиды, если радиус шара, описанного около нее, в m раз больше радиуса вписанного шара. Исследовать.

Ответ.

Задача возможна только при m ^1 + 1^2.

№ 45. Круговой сектор, центральный угол которого = а, вращается около диаметра, проходящего вне его. Объем полученного сферического сектора составляет— объема шара того же радиуса. Определить меньший из углов, образованных диаметром с крайними радиусами кругового сектора (а < 180°). Исследовать.

Ответ.

Задача возможна при условии, что

№ 46. Определить угол между боковым ребром и основанием правильной треугольной пирамиды, если дано, что этот угол

меньше линейного угла наклона боковой грани к основанию на а. Исследовать.

Ответ.

Задача возможна только при

проверить это геометрически.

Указание к выводу решений. Преобразовав уравнение к виду

составить производную пропорцию

отсюда, заменив tg их выражениями через sin и cos, получим:

VII. Задачи, приводящие в простейшим системам тригонометрических уравнений

№ 47. В четырехугольнике ABCD AB = = ВС = a; AD = b; CD = с; CD±AD. Определить углы X и у наклона стороны AD к сторонам AB и ВС.

Ответ.

Ответ.

где ß — двугранный угол между боковыми гранями. (О его вычислении см. зад. № 11.)

К ПРИЕМНЫМ ИСПЫТАНИЯМ В ВУЗЫ

Л. Н. ГРАЦИАНСКАЯ-ДОРОШКЕВИЧ (Москва, Наркомпрос РСФСР)

время, необходимое второму пешеходу, чтобы догнать первого время движения второго.

связи со статьей «Недоработки средней школы по математике», напечатанной в № 3 журнала, многими читателями было выражено пожелание, чтобы были даны решения задач, приведенных в статье. Здесь и приводятся решения большинства задач из статьи, а также дается небольшой набор задач (с сокращенными и незаконченными решениями, имея в виду преподавателя, или только с ответами), дававшихся в ряде вузов и втузов.

НА ИСПЫТАНИЯХ ДЕСЯТЫХ КЛАССОВ СРЕДНИХ ШКОЛ МОСКВЫ 1940 г.

Задача. Из города А в город Б, отстоящий от А на d км, отправился пешеход. Спустя час вслед за ним по той же дороге отправился со скоростью, на а км в час большей первого, другой пешеход, который успел догнать первого и возвратиться в Л в то время, в какое первый пешеход успел только прийти в город В. Сколько километров в час проходил первый пешеход?

Исследовать решение, принимая а > 0.

Решение:

По условию имеем:

Исследование: по условию задачи

Решить задачу № 22 из § 21 стабильного задачника.

№ 48. (Обобщение задачи № 22 § 21.)

Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен а. Через боковое ребро проведена плоскость, делящая объем пирамиды в отношении т: п. На какие части эта плоскость делит двугранный между боковыми гранями?

Отсюда:

не пригоден для ответа на вопрос задачи.

пригоден для ответа, так как

Московский архитектурный институт. Август 1940 г.

1. Задача. Найти два числа, если известно, что разность между частными от деления первого числа на 3, а второго на 5 равна 6; если первое число разделить на второе, то в частном получится пятая часть второго числа, а в остатке 4.

Решение:

Обозначим первое число ху второе—j>.

По условию 1)

При делении с остатком частное всегда подразумеваем целым, поэтому второй корень не удовлетворяет условию задачи.

2. Упростить выражение:

Решение:

3. Решить уравнение:

Решение:

Корень де = — 1 посторонний корень, так как обращает обе дроби левой части уравнения в — •

Задание 19 (МАИ 1940.) Упростить:

Решение:

3. Решить уравнение:

Решение:

Оба корня удовлетворяют уравнению.

4. Найти непрерывную геометрическую пропорцию, зная, что сумма крайних ее членов на единицу больше произведения средних, а коэфициент пропорциональности равен —.

Решение:

(1)

(2)

Из (1)

(3) (4)

Подставляем из (3) и (4) во (2):

1. Решить уравнение:

Обе части уравнения разделим на

или, что то же, умножим на

2. Решить систему уравнений

Решение:

Подставляя во второе уравнение:

Корни Х\ = 34; Ух = 30 посторонние.

Работа по геометрии на испытаниях десятых классов средних школ Москвы 3 июня 1940 г.

Вариант 1. На общем основании построены два прямых конуса: один внутри другого так, что их вершины находятся друг от друга на расстоянии а.

Определить объем, ограниченный коническими поверхностями обоих конусов, если угол при вершине осевого сечения большего конуса равен a, a меньшего конуса равен ß.

Вычислить при:

Решение:

Из Д SOB имеем:

(1)

Из ASCB:

(2)

Подстановка из (2) в (1) дает:

Черт. 1

Работа по геометрии и тригонометрии в Московском архитектурном институте, август 1940 г.

1. В правильную четырехугольную пирамиду со стороною основания а и высотою H вписан куб так, что основание его лежит в плоскости основания пирамиды, а четыре из вершин его лежат на боковых ребрах пирамиды. Найти объем куба.

Черт. 2

Решение:

Черт. 3

2. Проверить тождество:

Решение:

3. Решить уравнение:

Решение:

Задание МАИ по геометрии. Вариант 24. 1. Из точки, лежащей на окружности, проведены две хорды по разные стороны от центра. Хорды стягивают дуги в 90° и 120°. Найти отношение площадей, на которые разделится хордами круг.

Черт. 4

2. Каждый из плоских углов трехгранного угла равен а = 63°48'52". Найти угол наклона ребра этого трехгранного угла к его противоположной грани.

Решение:

3. Вычислить без таблиц: если

Решение:

4. Решить уравнение:

Сокращаем на sin 2jc. Однако возможно, что sin2je = 0; 2* = 180°-£; x1 = <àu°-k\

Делим на cos5jc; при этом, однако, возможно, что cos Ъх = 0:

ЗАДАЧИ, ДАВАВШИЕСЯ В РАЗНЫХ ВУЗАХ И ВТУЗАХ

АЛГЕБРА

Упростить выражения: 1.

* В целях экономии места заданное выражение кратко обозначается через М.

Решить уравнения:

Решить системы уравнений:

ГЕОМЕТРИЯ

1. Около круга радиуса г описана прямоугольная трапеция, наименьшая из сторон которой равна ^г. Определить площадь трапеции. Ответ: 4,5 г2.

2. Внешняя касательная двух кругов радиусов 5 см и 2 см в 1 раза больше их внутренней касательной. Определить расстояние между центрами этих кругов. Ответ: 9 см.

3. Ромб, у которого большая диагональ, равная 2d, составляет со стороной угол а, вращается около оси, проходящей через вершину острого угла параллельно другой диагонали. Определить объем тела вращения. Ответ: And3 tg а.

4. В сферический сектор, радиус которого R = 6 см, вписан шар радиуса г = 2,0256 см. Вычислить угол в осевом сечении данного сектора. Ответ:

5. В правильной треугольной призме помещены три шара радиуса г. Каждый шар касается двух соседних шаров, двух боковых граней и обоих оснований. Определить объем призмы. Ответ: v = 4r3(3+

6. Боковая поверхность цилиндра развертывается в квадрат со стороною а. Вычислить объем этого цилиндра.

7. В шар радиуса а вписан цилиндр, боковая поверхность которого равна — поверхности шара. Найти объем цилиндра. Ответ: 5 = Ana2.

8. Диагональ большей из боковых граней прямоугольного параллелепипеда образует с плоскостью основания угол ß. Вычислить отношение объемов частей параллелепипеда, полученных при пересечении его плоскостью, проходящей через меньшую сторону основания под углом а к его плоскости (a<ß).

Ответ:

9. На ребре двугранного угла <р дана точка Л, через которую проведена в одной из граней прямая, образующая с ребром угол а. На этой прямой дана точка М, расстояние которой до другой грани равно h. Определить длину проекции отрезка AM на вторую грань двугранного угла. Ответ:

10. Двугранный угол при боковом ребре правильной шестиугольной пирамиды равен «р. Определить плоский угол при вершине пирамиды. Ответ:

11. Определить ребро куба, вписанного в конус, образующая которого равна / и наклонена к плоскости основания под углом а.

12. Параллелепипед имеет в основании ромб со стороною а и острым углом а. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом ß, причем одно из них выходит из вершины острого угла основания и имеет свой конец на перпендикуляре, восставленном к плоскости основания в точке пересечения диагоналей основания. Определить объем параллелепипеда и углы наклона боковых граней к плоскости основания.

ТРИГОНОМЕТРИЯ

Доказать тождества:

* в тождествах 10, 11 и 12 задаются конечно только первая и последняя части.

ПРАКТИЧЕСКИЕ НАВЫКИ

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В АРТИЛЛЕРИИ

А. МОГИЛЬНИЦКИЙ (г. Гайсин)

Много наших учащихся после окончания школы идут в армию. Многие из них станут хорошими летчиками, танкистами, артиллеристами. Наша школа, выполняя указания XVIII съезда ВКП(б) о практической подготовке, должна дать учащимся также необходимую военную подготовку. Многие думают, что дело военной подготовки учащихся возложено только на военрука школы. Мне кажется, что преподаватели математики могут оказать немалую услугу нашим будущим воинам, рассказав им о тех применениях математики, с которыми придется встретиться в армии. Такие сведения покажут еще раз учащимся, какое большое практическое значение имеет математика.

В настоящей статье я хочу рассказать о некоторых применениях математики в артиллерии.

Я поставил своей задачей собрать и сконцентрировать в небольшой статье материал, который очень нужен каждому артиллеристу и, в особенности, такой материал, где видна важность и необходимость математических знаний.

В книге «Артиллерия» (отв. редактор майор В. Внуков) написано: «Артиллеристу она (математика.— А. М.) нужна буквально на каждом шагу......артиллерист должен отлично знать и арифметику, и геометрию, и тригонометрию, и алгебру, и, отчасти, аналитическую геометрию. Этими науками артиллеристу надо овладеть так хорошо, чтобы даже в бою, под огнем неприятеля он не ошибался в расчетах, уверенно и спокойно применяя нужные формулы.

Для полного же понимания теории стрельбы и науки о полете снаряда — баллистики — надо знать всю высшую математику.

Быть хорошим артиллеристом — это значит обязательно быть хорошим математиком».

Мои доклады на собраниях математического кружка «О применениях математики в артиллерии» всегда заинтересовывали учащихся и встречали отклик и одобрение со стороны командиров-артиллеристов, с которыми я провожу занятия по математике.

ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ В АРТИЛЛЕРИИ

Всем, даже начинающим изучать геометрию, известно, что углы измеряются в градусах, минутах и секундах. Но такое измерение для артиллеристов неудобно. В артиллерии существует другая единица измерения углов.

Разделим окружность на 6 000 равных частей. - часть окружности и центральный угол, отвечающий части окружности, называется «тысячной» (значение слова объясним дальше), или «делением угломера».

Для удобства чтения величину угла, измеренного в «делениях угломера», записывают, отделяя две цифры справа черточкой. Так, например, величину угла, имеющего 185 «делений угломера», записывают: 1—85, величину угла в 5 делений записывают: 0—05, в 1280 делений —12—80. Очень легко установить зависимость между «делениями угломера» и градусами (см. таблицу 1)

Таблица 1

Градусное измерение

«Деления угломера»

360

60-00

270

45-00

180

30-00

90

15-00

60

10-00

45

7—50

30

5—00

6

1-00

1

, 2

0-16-

3

3'36"

0-01

Измеряются углы в артиллерии специальными приборами: шкалы этих приборов приспособлены к измерению углов в делениях угломера.

Кто знаком с военным биноклем, тот в поле зрения видел сетку с делениями: это и есть деления угломера (рис. 1).

Одно большое деление сетки равно десяти, а малое — пяти делениям угломера.

Но для приближенного измерения углов можно обойтись и без приборов. Наша ладонь и пальцы, спичечная коробка могут стать угломерными приборами, если знать сколько в них заключается делений угломера, или, как говорят артиллеристы, знать «цену» их. Так, ширина ладони вытянутой руки равна примерно 1—20 делениям угломера, ши-

Рис. 1

рина пальца примерно — 0—30 (рис. 2). Угловая величина сторон спичечной коробки стандартного размера 0—90, 0—60 и 0—30, чертежного карандаша 0—12 по диаметру и 2—20 по длине (рис. 3).

Остановимся еще в этом параграфе на определении значений синусов углов, измеренных в делениях угломера, что очень важно для артиллерии (см. § 5).

Для этого составим таблицу с переводом величин углов, измеренных в делениях угломера в градусы, а затем значения синусов возьмем из таблиц натуральных значений тригонометрических функций (табл. 2).

Таблица 2

«Деления угломера»

Градусы

Значение синуса с точн. до 0,01

Значение синуса, которым пользуются в артиллерии

1-00 2-00 3—00 4-00 5-00 6-00 7-00 8-00 9-00 10-00 11-00 12-00 13-00 14-00 15-00

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90

0,10 0,21 0,31 0,41 0,50 0,59 0,67 0,74 0,81 0,87 0,91 0,95 0,98 0,99 1,00

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,8 0,9 1.0 1,0 1,0 1.0 1,0

Из приведенной таблицы видно, что значения синусов углов очень легко запомнить.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДАЛЬНОСТИ

Для артиллериста очень большое значение имеет определение дальности. Простейшими способами определения дальности являются: глазомерный и по угловой величине предметов.

Всем известно свойство глаза различать предметы, начиная только с некоторого определенного расстояния; зная, с какого расстояния какой предмет различается глазом человека, можно примерно судить о расстоянии к данному предмету. Человек, готовящий себя к военной деятельности (да и не только к военной), должен постоянно тренировать свой глаз, определяя разные расстояния. Кроме того, следует запомнить, какие предметы и с какого расстояния различает глаз человека. Приведем соответствующую табличку (табл. 3).

Таблица 3

Предметы

С какого расстояния видны (км)

Колокольни и заводские трубы ............

Отдельные деревья ....

Отдельные дома ......

Окна в домах........

Отдельные деревья в лесу . . Верстовые столбы......

16—20 9 5 4 2 1

Более точно можно определить дальность по угловой величине предмета. Разберем этот способ.

Выше мы указывали, что в артиллерии окружность делится на 6 000 равных частей.

Обозначим длину —— части окружности через Д2 и определим Дг. Так как длина окружности равна 2nR. то /\z=-. Если же представить себе окружность, проведенную радиусом, равным некоторой дальности Z), то

Подставляя вместо тс его значение 3,14, получим:

Для разных практических вычислений величину — округляют и считают:

Поэтому деления угломера и названы тысячными.

Теперь представим себе, что нам известна линейная величина I некоторого предмета и также известен угол п (в делениях угломера), под которым наблюдается этот предмет. Тогда:

(1)

Когда помнишь размеры часто встречающихся предметов, то легко по этому способу определить расстояние до предмета.

Приведем линейные размеры некоторых предметов (табл. 4).

Приведем пример определения дальности по указанному способу. Пусть расстояние между двумя телеграфными столбами видно под углом 0—80. Тогда, учитывая расстояние между столбами I = 50 м, получим расстояние от данного места до столба:

Рис. 2 Рис. 3

Таблица 4

Название предметов

Линейные размеры в метрах

Стрелок с колена.....

1

Пеший, стоя.......

1,7

Верховой .........

2,3

Телеграфный столб . . . .

6

Расстояние между столбами телеграфной линии

50

Железнодорожный вагон .

4,2

Следует только помнить, что наблюдаемый предмет должен быть расположен перпендикулярно к линии наблюдения.

На основании формулы (1) можно решать и другие задачи, имеющие практическое значение.

Пример 1. Дальность стрельбы 4 000 м. На сколько метров в сторону переместится снаряд, если канал ствола повернуть на 0—25?

Пример 2. Окоп находится на расстоянии 2 500 л* от орудия. Снаряд упал у края окопа. На сколько нужно повернуть канал ствола, чтобы снаряды падали в середину окопа, если длина окопа 50 м?

ПОДГОТОВКА ДАННЫХ ДЛЯ ОТКРЫТИЯ ОГНЯ

Очень часто приходится вести стрельбу по такой цели, которая с батареи не видна. Как тогда направить орудие в цель?

В таких случаях командир располагает свой наблюдательный пункт (Я/7) в стороне от батареи (О) так, чтобы с этого пункта была видна цель Щ).

Введем термины и обозначения, которые применяются в артиллерии (рис. 4 и 5).

Дальность от наблюдаемого пункта до цели обозначим через Дк; дальность от основного орудия (О) до цели (Ц) — Дб. Расстояние от наблюдательного пункта (К) до основного орудия называется базой (Б).

Опустим перпендикуляр на линию наблюдения КЦ. Полученный отрезок называется отходом (d), а отрезок АО — смещением (с). Угол АКО обозначим буквой а.

Для всех дальнейших расчетов необходимо знать величину базы. Величину базы определяют либо непосредственным измерением на местности, либо расчетом, либо по карте. Определить базу расчетом можно так: от орудия, видимого с точки (К), выставляют веху в направлении, перпендикулярном к базе. Расстояние от орудия до вехи сообщается телефоном командиру, который находит угловую величину этого расстояния и по формуле (1) определяет расстояние OK, т. е. базу.

С наблюдательного пункта определяем расстояние до цели Дк либо глазомерно, либо по карте. Определенная дальность Дк должна быть трансформирована для орудия в дальность Дб.Иа. практике принимают, что ОЦ — = КЦ+АК (рис. 4), или ОЦ = КЦ — АК (рис. 5). В принятых обозначениях:

(2)

требуется определить отход d. Так как угол а командиру известен (он определяется с помощью артиллерийских угломерных приборов), то из прямоугольного треугольника АКО следует:

а потому

(3)

Подставив это значение в формулу (2), получим:

(4)

Примеры: 1. Определить Дб, если база равна 1 000 м, Дк = Ъ 000 м, угол а = 8—90 и известно, что батарея — сзади наблюдательного пункта.

Следовательно:

Дб = 3 000 + 600 = 3 600 м.

2. Определить Дб, если батарея — спереди наблюдательного пункта, Дк = 4 000 м, база = 700 м и угол а — 3—00.

3. База = 800 м, угол а = 7—00, Дк = 4 200 м. Определить Дб, если батарея сзади НП.

Рис. 4 Рис. 5

Рис. 6

* Можно было бы определить отход по формуле rf = £cosa, но как видно из таблицы (2), удобнее пользоваться значениями синусов, которые легко запомнить.

Зная дальность Дб, артиллеристы устанавливают определенный прицел на орудии. Но нужно еще знать, куда направить орудие.

Направление орудия в цель производится с помощью угломерных приборов. Один из артиллерийских угломерных приборов есть буссоль. Артиллерийская буссоль —это большой компас, укрепленный на треноге. Деления на окружности буссоли наносятся в «тысячных». Такая буссоль имеется и на наблюдательном пункте, и на огневой позиции. На наблюдательном пункте командир направляет буссоль так, чтобы диаметр, на одном конце которого стоит цифра 30, а на другом 0, был направлен по линии наблюдения KU, цифрой 0 к цели. Тогда против северного конца стрелки читаем: «буссоль цели».

Пусть, например, командир определил буссоль цели 52—00. Если на огневой позиции поставить буссоль 52—00 и расположить ствол орудия по направлению диаметра буссоли 30—0, то ствол орудия при этом будет направлен параллельно линии «командир —цель» (рис. 6). Следовательно, перед открытием огня необходимо повернуть батарею в сторону наблюдательного пункта на угол ДОЦ. Этот угол называется «поправкой на смещение» и обозначается ПС. Ясно, что угол ДОС равен углу ОЦК, как внутренние накрестлежащие при параллельных ОД KU и секущей ОЦ.

Как же определить поправку на смещение?

И снова придется призвать на помощь математику, которая и даст необходимые формулы.

Из прямоугольного треугольника АОК следует:

Если в формуле

положим Д= Дб, то угол п и будет поправкой на смещение и потому

(5)

Пример. Определить кС, если Дк 3 000 и, а = 6—20, база = 800 м и батарея — сзади H тс. Находим отход по формуле (3):

d = 800 • sin (15-00—6 -20) = 800 • sin 8 - 80 =* = 800-0,8- 640 м.

Тогда Дб = 3 000 + 640 = 3 640 м. Следовательно,

После определения Дб (а следовательно, и прицела) и окончательной буссоли (с учетом тсС) командир может подавать команду для открытия огня.

В настоящей статье поданы самые необходимые и самые простые применения математики в артиллерии. Для того же чтобы понимать более сложные работы артиллериста, необходимо знать еще многие отделы математики и притом не только элементарной математики.

Если преподаватель расскажет учащимся хотя бы о тех применениях математики в артиллерии, о которых говорилось в настоящей статье, то и это будет очень полезной работой: с одной стороны, учащиеся будут знакомы с основными работами наших артиллеристов, с другой — учащиеся еще раз убедятся в необходимости глубокого изучения математики.

Литература.

1. Артиллерия — отв. редактор майор В. Внуков. Воениздат НКО СССР, 1938.

2. Ф. Я. Винарский и Б. И. Пех — Пособие по стрельбе артиллерии для младших лейтенантов. Воениздат НКО СССР, 1940.

3. Учебник по стрельбе артиллерии. Курс артиллерийских школ РККА, ч. 1. Под общей ред. В. Дьяконова. Воениздат НКО СССР, 1936.

ПРОСТЫЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ

Г. А. МИХАЙЛОВ (г. Выкса)

Неотложная необходимость привития практических навыков учащимся в процессе изучения ими математики и осуществление основного требования педагогики — конкретизации сообщаемых учащимся знаний — заставляют школу усиленно работать над поисками объектов, на которых возможно было бы осуществить выполнение указанных задач. В этом отношении не мало сделано педагогической печатью: большое количество статей в журнале «Математика в школе» и специальные брошюры Научно-исследовательского института школ дают много ценных указаний по этому вопросу. В настоящее время перед школами стоит задача срочного пополнения школьных математических кабинетов простейшими наглядными пособиями, главным образом измерительными приборами собственного изготовления, так как ожидать их приобретения через торгующие организации это значит отложить разрешение поставленной задачи на продолжительное время.

В указанных выше печатных материалах перечисляются некоторые необходимые приборы, требующие фабричного изготовления их. Такие приборы не могут скоро попасть в школы ввиду ограниченности их выпуска, а иногда и вследствие высокой их стоимости.

К числу таких приборов принадлежит планиметр — прибор, крайне необходимый для привития учащимся практических навыков в определении площадей, ограниченных произвольным контуром. Наиболее распространенный тип этих приборов — планиметр Амслера — школы едва ли смогут приобрести, но этот дорогой и довольно сложный прибор может быть заменен весьма простым, но мало известным в школах

планиметром Притца, или, так называемым планиметром-топориком.

Планиметр-топорик представляет собой скобу (черт. 1), сделанную из железной или стальной проволоки диаметром 4—5 мм.

На одном конце скобы делается острие а, которым обводится контур измеряемой площади, другой конец b расплющен и заточен острием — «топориком». Лезвие топорика должно лежать в плоскости всей скобы, т.е. направлено к острию а.

Лезвие b должно быть слегка изогнутой формы и заточено настолько остро, чтобы оно под действием веса скобы немного врезалось в бумагу и тем самым обеспечивало бы движение конца b только вдоль направления лезвия и не позволяло бы этому концу сдвигаться вбок по отношению к направлению лезвия.

Измерение площадей этим планиметром производится следующим образом: 1) на-глаз отыскивается центр тяжести О данной фигуры; 2) острие а помещается в этом центре тяжести, а лезвие b — в произвольной точке на свободном поле плана или чертежа; легким нажимом на лезвие отмечается точка M — след первоначального положения лезвия на бумаге; 3) острие а переводится по прямой OA, направление которой к контуру фигуры может быть взято произвольно, затем обводится по всему контуру до точки А и вновь возвращается по прямой АО к центру О (черт. 2).

При описанном способе движения острия а лезвие b опишет некоторую ломаную линию MNPQT. По возвращении острия а в точку О вновь нажимом на лезвие отмечаем след конечного положения его, точку Т. Измерив масштабной линейкой расстояние МТ, которое обозначим q, и умножив q на длину планиметра р, равную расстоянию между острием а и серединой лезвия b (черт. 1), получим искомую площадь фигуры: S=pq.

Теория планиметра показывает, что при указанном способе обвода контура для определения площади, ограниченной им, необходимо знать длину дуги МТ, имеющей центр в точке О, которую обозначим через I, длину планиметра р и площади фигур: LPK, лежащей на внутренней стороне дуги, MNK и LQT, лежащих на внешней стороне дуги. Если площади этих криволинейных треугольников обозначим соответственно через Еи Е2 и Ev тогда искомая площадь будет:

5 = Ip + Et-(Et + E9)9 (1)

но можно доказать, что если точка О совпадает с центром тяжести фигуры, то Et —(Е2 + 4-£3) = 0, тогда формула (1) принимает простой вид:

S = lp.

Если же дуга МТ будет заключать в себе менее 20°, то с очень малой погрешностью ее можно заменить хордой МТ = q, и в этом случае получаем указанную выше формулу для определения площади: 5 = pq.

Полная теория этого планиметра сложна для учащихся средней школы*, поэтому вывод формулы для определения площади можно дать учащимся опытным путем. Для этого необходимо заготовить несколько планиметров различной длины, например: 100мм, 150мм, 200мм, 250 мм 300 мм, взять простую геометрическую фигуру, площадь которой и положение центра тяжести точно известны (например, квадрат, круг) и, подобрав 2—3 планиметра подходящей длины так, чтобы расстояние МТ не получалось слишком малым, трудным для точного измерения и в то же время, чтобы дуга МТ содержала не более 20°, производим обвод контура указанным способом поочередно всеми выбранными планиметрами, после чего легко показать учащимся зависимость между полученными величинами р, q и S.

Степень точности результата измерения площади зависит от близости взятой начальной точки О к центру тяжести площади. Так как при неправильных контурах трудно определить на-глаз точное положение центра тяжести, то измерение может дать неточный результат. Но полученную ошибку можно исключить повторным обмером площади, при котором острие переводим от точки О к контуру в диаметрально противоположном направлении и обвод контура производим в направлении, обратном первоначальному. В этом случае ошибки измерения при первом и втором обводе будут взаимно противоположными, и истинную величину площади получим, взяв среднее арифметическое площадей, полученных при обоих обмерах.

Наконец, неточности измерений могут быть результатом неточного обвода острия по контуру и недостаточной остроты лезвия, позволяющей ему сдвигаться вбок.

Работа с этим планиметром представляет большую ценность при изучении площадей в курсе геометрии в VIII и IX классах средней школы.

Второй, предлагаемый мною простейший прибор— диаметрометр-угольник— также дает возможность решать ряд интересных задач. Назначение его—определение диаметров окружностей и дуг, положение центра которых неизвестно.

Диаметрометр (черт. 3) представляет собой деревянный угольник с прямым углом. Длина одной стороны его, AB, должна быть точно известной, а на второй стороне уголь-

Черт. 1

Черт. 2

* Изложение теории планиметров, в том числе и планиметра Притца, дано в книге H.A. Крылова «Лекции о приближенных вычислениях». Изд. Академии наук СССР, 1935.

ника ВС нанесен масштаб с делениями на см и мм. При кустарном изготовлении такого угольника единственная трудность встретится в нанесении делений на стороне угольника ВС. Эту трудность легко обойти, если не наносить деления, а наклеить на сторону ВС ученическую чертежную линейку с делениями, поместив ее так, чтобы нулевое деление шкалы приходилось в точке В.

Измерение диаметров дуг или цилиндров производится следующим образом: прикладываем к измеряемому цилиндру угольник так, чтобы плоскость его была перпендикулярна к оси цилиндра и чтобы угольник точкой А упирался в поверхность цилиндра, а линейка АС касалась его. Замечаем, на каком делении шкалы приходится точка касания К. Обозначив длину AB через а и ВК через /, находим диаметр МК по формуле:

Вывод этой формулы вполне доступен для учащихся VIII класса.

Для измерения диаметров различных тел желательно иметь набор угольников различных размеров.

По указанной выше формуле данным угольником можно определить диаметр d при условии, если d^2a. В случае, если d<2a обе стороны угольника будут касаться поверхности цилиндра, тогда d = 21.

При изучении графиков функций следует вычертить графики для определения диаметров к каждому из имеющихся угольников и параллельно с вычислением диаметра по формуле желательно проводить и нахождение его по графику, вычерченному для данного угольника (черт. 4).

Помимо привития навыков к графическому методу решения задач, построение графика к каждому угольнику представляет еще интерес и в том отношении, что на различных участках этот график показывает два вида функциональной зависимости между I и d. При 1<Са имеем прямую пропорциональность: d = 21, и график на этом участке имеет вид прямой; при /> а зависимость выражается функцией второй степени: d = a+- и график имеет вид дуги параболы, вершина которой находится в точке А(о, а).

Третий прибор, необходимый на уроках математики для привития практических навыков в измерениях, — нониус. Нониус является важнейшей частью точных измерительных приборов.

Школьная модель нониуса (черт. 5) имеется во многих школьных физических кабинетах, так как она в большом количестве выпускалась мастерскими наглядных пособий. В этой модели на шкале AB нанесены сантиметровые деления; вдоль шкалы по прорезу может передвигаться нониус Р, на переднем краю которого, скользящем по шкале AB, нанесены 10 делений по 0,9 см каждое. При крайнем положении нониуса у упора С нулевые деления нониуса и шкалы AB совпадают. Измеряемый предмет закладывается между упором С и нониусом Р. По шкале AB отсчитываем число целых сантиметров, входящих в длину измеряемого предмета, а на шкале нониуса находим первое деление, совпадающее с каким-либо делением шкалы AB; номер совпадающего деления нониуса показывает число десятых долей сантиметра, содержащихся в измеряемой длине сверх отсчитанного числа целых сантиметров.

Нониус является обязательной деталью широко применяемого в производстве измерительного прибора— штангенциркуля. Применение нониуса в штангенциркуле позволяет производить последним измерения длин с точностью до 0,01 мм. Штангенциркуль необходимо включить в оборудование математических и физических кабинетов, чтобы после практики с моделью нониуса научить учащихся производству точных измерений с помощью штангенциркуля.

Наконец, нониус применяется в астролябиях и теодолитах.

Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5

ХРОНИКА

ЧЕТВЕРТЫЙ ГОД РАБОТЫ СЕКЦИИ МАТЕМАТИКОВ ПРИ ОДЕССКОМ ГОРОДСКОМ МЕТОДИЧЕСКОМ КАБИНЕТЕ

Д. ГОНЧАРОВ (Одесса)

стественное желание, присущее всякому преподавателю, искренне любящему свое дело,— стремиться к повышению качества своей работы путем усовершенствования своей квалификации и своего методического мастерства,— является очень сильным побуждением к общению и обмену опытом с товарищами по работе.

Четырехлетняя деятельность секции преподавателей математики при Одесском городском методическом кабинете могла бы проиллюстрировать это положение, не вызывающее, собственно говоря, никаких сомнений, целым рядом примеров. Уже одно то, что на протяжении 4 лет регулярно еженедельно происходят заседания секции, является подтверждением высказанного выше, при этом следует отметить, что здесь важным является не только чтение или слушание доклада, но очень часто весьма существенным является то общение и тот обмен опытом, который происходит, так сказать, в кулуарах— в беседах друг с другом до доклада и после доклада.

В настоящей заметке описывается работа секции преподавателей математики за 1940 г. (второе полугодие 1939/40 учебного года и первое полугодие 1940/41 учебного года). Деятельность секции за 1937—1939 гг. описана в журнале «Математика в школе» за 1938—1940 гг.

Заседания секции происходили раз в шестидневку во втором полугодии 1939/41 учебного года и раз в неделю в первом полугодии 1940/41 учебного года по первым дням недели от 8—11 час. вечера. Средняя посещаемость заседаний около 30 человек.

За 1940 г. состоялось 38 заседаний, посвященных различным научным, методическим и организационным вопросам.

Во втором полугодии 1939/40 учебного года были заслушаны следующие доклады:

124.— «Некоторые вопросы теории уравнений в средней школе» (А. К. Беркович и Д. О. Гончаров).

125. — «Модуль перехода (логарифмы)» (И. И. Матвиенко).

126.— «Коллективное чтение статьи В. Ермольева «Коммунистическое воспитание на уроках математики» (см. журнал «Математика в школе» за 1939 г. № 5).

127.— «О геометриях на шаре» (О. В. Радунский).

128.— «Методика проведения упражнений по закреплению материала на уроках математики» (С. М. Бердичевский).

129.— «Исследование уравнений в средней школе» (А. Г. Окунь).

130.— «Об одном слабом месте в преподавании логарифмов (приближенные вычисления)» (проф. К. М. Щербина).

131.— «Практическая подготовка учащихся средней школы» (Л. И. Швед). «Доказательство монотонности функций в промежутке 0...— (Н. Я. Гиршик)*.

132.— «Дедукция и дедуктивное построение геометрии» (И. Д. Дуб).

133. — «Исследование квадратного трехчлена» (И. А. Скрылев).

134,— «Геодезические работы в курсе математики средней школы» (И. Г. Молчанов).

135.— «Сечение Дедекинда» (3. Гырдымова, учен. X класса средней школы № 23).

136. — «Обратные тригонометрические функции» (И. А. Скрылев).

137.— «Программы испытаний по математике» (В. Г. Рубинштейн).

138.— «Современное состояние геометрии;: (проф. А. П. Норден, Москва).

139.— «Испытания в VI классе по алгебре» (Найдич и Гродская).

140.— «Народная математика и ее отношение к школе» (проф. К. М. Щербина).

141.— «Виды домашних заданий по математике» (Г. С. Томашпольский).

142.— «Математические миниатюры (из записной книжки преподавателя математики)» (Р. Г. Годованик).

143.— «О некоторых свойствах показательной функции в комплексной области» (Д. О. Гончаров).

144.— «Итоги V математической олимпиады, проведенной Одесским государственным университетом совместно с Горнаробразом в 1939/40 учебном году среди учащихся одесских средних школ» (Г. С. Томашпольский).

145.— «Наблюдения и предварительные итоги испытаний по математике за текущий учебный год» (В. Г. Рубинштейн).

* См. статью Р. Г. Годованика «Формула Снелиуса» в журн. «Математика в школе» № 2 за 1939 г.

В первом полугодии 1940/41 учебного года были заслушаны следующие доклады:

146.— «План работы секции математиков на I полугодие 1940/41 учебного года» (Д. О. Гончаров).

147.— «О десятичных дробях» (В. Н. Барановский).

148.— «Разбор открытого урока преподавателя 23-й средней школы В. Г. Рубинштейна на тему «Произведение биномов, у которых первые члены одинаковы».

149.— «Сечения многогранников и методика их построения» (С. М. Бердичевский).

150.— «Разбор открытого урока преподавателя 118-й средней школы М. О. Порторескула на тему: «Относительные числа».

151.— «Разбор открытого урока преподавателя 102-й средней школы М. И. Матвиенко на тему «Расширение понятия о числе».

152 и 153.— «Элементы логики в школьном курсе математики» (проф. К. М. Щербина).

154 и 155.— «Обоснование теории измерения площадей и объемов» (И. Д. Дуб).

157.— «Разбор открытого урока преподавателя 99-й средней школы М. Г. Литинского на тему «Биссектриса внутреннего угла треугольника».

158.— «Несколько замечаний о преподавании геометрии» (М. А. Шварцман).

«По страницам журналов и сборников:

а) Леонтий Магницкий,

б) Н. И. Лобачевский,

в) академик С. Н. Беренштейн (60-летие со дня рождения)» (Д. С. Гончаров).

159.— «О затруднениях при решении арифметических задач» (Д. С. Гончаров).

160.— «Восприятие пространства» (проф. Д. Г. Элькин).

161.— «Подготовка к январским учительским совещаниям» (распределение докладов и содокладов).

В заключение отметим, что открытые уроки вызвали особый интерес; так, например, на некоторых открытых уроках присутствовало свыше 20 человек преподавателей математики. Все открытые уроки были застенографированы. Стенограммы хранятся в методическом кабинете. Высказывались пожелания о проведении еще ряда открытых уроков.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ВЫСТАВКА НА АВГУСТОВСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ

(К предстоящим августовским совещаниям учителей)

Н. ПУКАЛОВА (Харьков)

В основу своей работы кабинет математики Харьковского городского методического кабинета, нынешнего Института усовершенствования учителей, положил изучение лучшего опыта мастеров педагогического дела и перенесение этого опыта в широкие массы учительства.

Удачным методом показа и пропаганды этого опыта явилась организация выставки на августовской учительской конференции.

Выставка имела такие разделы:

1. Расширение понятия о числе

Были даны разработки тем: нумерация целых чисел, устный счет на уроках математики, таблица подобранных примеров на все 4 действия с целыми числами. Относительные числа в их развитии и действия с ними. Иррациональные числа, история развития иррациональных чисел; действия с ними.

Комплексные числа. История развития комплексных чисел, алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа, переход от одной формы к другой.

2. Задачи, исследование задач

Этот раздел начинался с классификации по типам задач по арифметике в задачнике Березанской.

Дана полная теория исследования корней уравнений и образцы исследования задач.

Даны образцы записей при решении задач на пропорциональное деление. Составление уравнений по условию задач.

Исследование квадратных неравенств. Модуль перехода от одной системы логарифмов к другой.

3. Культура математических записей и вычислений

Доказательство теорем, оформление, запись.

Решение задач на вычисление и доказательство.

Задачи на доказательство в VI—VII классах. Решение задач на построение в VI—X классах.

Стенограммы лекций, читанных в горметодкабинете.

4. Повторение арифметики на уроках математики

Разработана методика повторения арифметики на уроках математики VI—X классов. Дана методика, схема и план повторения.

5. Наглядность преподавания в математике

Даны графики функций, изготовленные учениками, учителями.

Тригонометрия в таблицах.

Модели задач (исключительны по своему оформлению). Кроме того, демонстрировался прибор для построения задач по стереометрии.

6. Тригонометрия в системе координат

Изображен опыт преподавания тригонометрии в системе координат.

7. Кружковая работа и детское творчество

Представлены:

1. Тематика кружка с подбором соответствующей литературы.

2. Вечера математических развлечении.

3. Газеты, альбомы.

4. Доклады учеников-членов кружка.

8. Кинофикация на уроках математики

Был представлен опыт 88-й школы «Использование кинофильмов на уроках математики». На выставке демонстрировался кинофильм: I. Прямая и обратная пропорциональность.

II. Обратные круговые функции.

Кинофильм сопровождался объяснением преподавателя 88-й школы т. Рачинской.

Был дан перечень кинофильмов, которые могут быть использованы на уроках математики.

9. Исторический отдел

Была дана галлерея портретов известных математиков. К каждому портрету дана краткая биография и описание научных работ.

Оформление выставки. Выставка оформлялась на больших листах. К каждой теме прилагались тетради учеников, которые отражали действительное прохождение освещаемого материала.

Проведение показа выставки. При кабинете математики был организован актив, из него был выделен выставочный комитет.

Члены выставочного комитета давали объяснения по материалам выставки.

По просьбе учителей эта выставка будет носить постоянный характер и постепенно будет пополняться новыми методразработками и показом лучших образцов работы мастеров педагогического дела.

Выставка была сначала организована в 30-й школе Харькова, где была проведена конференция математиков, а теперь перенесена в Институт усовершенствования учителей.

Сейчас эта выставка уже пополнена новыми материалами.

ОТ РЕДАКЦИИ.

В № 2 в напечатанных письменных работах по алгебре для десятых классов задача № 1 варианта 7 имела в оригинале опечатку. Следует

В № 2 журнала в статье «Преступная небрежность» был приведен факт рассылки Чувашнаркомпросом для испытаний в десятых классах неразрешимых задач. Народный Комиссариат Чувашской АССР сообщил, что «факты, указанные в статье, действительно имели место в 1938/39 учебным году, но этот недостаток в последующие годы устранен».

Редакция вполне признает неправильность того, что ею не был указан год испытаний, на которых имел место описанный факт.

От редакции. В связи со все возрастающим количеством присылаемых решений и сложностью их проверки и регистрации редакция настоятельно просит всех присылающих решения строго соблюдать следующие условия.

1. Решение каждой задачи должно быть написано на отдельном листке и подписано автором с указанием его местожительства.

2. К решениям следует приложить на отдельном листке перечень номеров решенных задач и адрес автора.

3. Статьи, всякого рода запросы, задачи для помещения в журнале и пр. должны присылаться отдельно от решений.

4. Решение должно быть написано чисто и разборчиво. (Требование, особенно плохо соблюдаемое большинством читателей.)

5. Срок присылки решений 50 дней, считая со дня получения соответствующего номера журнала.

Редакция предупреждает, что решения, не удовлетворяющие перечисленным условиям, не будут рассматриваться.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

ПРОБНЫЙ УЧЕБНИК ПО ТРИГОНОМЕТРИИ

(Обзор рецензий)

Р. БОНЧКОВСКИЙ

Зав. редакцией математики и физики Учпедгиза

1

Осенью 1940 г. Учпедгиз выпустил новый учебник тригонометрии* для ознакомления с ним широких кругов преподавателей математики и научных работников. Этот учебник подготовлялся издательством с целью заменить существующий учебник тригонометрии Рыбкина, так как, по общему мнению, последний крайне плох и не удовлетворяет требованиям, которые надлежит предъявлять к учебнику. Однако издательство считало необходимым подвергнуть новый учебник широкой предварительной проверке; с этой целью первое издание было выпущено сравнительно небольшим тиражом.

Издательство и редакция журнала «Математика в школе» получили значительное количество отзывов на новый учебник как от отдельных лиц, так и от некоторых организаций (педагогических институтов, институтов усовершенствования учителей и т. д.). В «Учительской газете» появилась рецензия на новый учебник. Московский институт усовершенствования учителей организовал двукратное обсуждение учебника при участии учителей, работающих по нему. Учебник, несомненно, привлек внимание общественности и в общем вызвал к себе благоприятное отношение, хотя были отдельные лица, встретившие его с опаской и даже враждебно.

Нельзя не отметить, что значительная часть полученных отзывов отличалась большой обстоятельностью; некоторые из них по объему превышали 20 страниц, написанных на машинке. В них отмечались серьезные достоинства книги, а также указывались различные ее недостатки. Полученный материал позволяет дать оценку книги и решить ее дальнейшую судьбу.

Чтобы дать представление об общей оценке, которую получила книга, приведу выдержки из некоторых рецензий:

«Учебник прекрасно задуман...». «Книга, безусловно, с большой пользой для дела может заменить существующий стабильный учебник, если кое-что переработать, значительно усилить отдел тригонометрических уравнений и дать задачник, соответствующий ее идейному уровню» (Брусиловский).

«Учебник заслуживает внимания и может стать стабильным учебником» (Кацнельсон).

«Я работал по этому учебнику в восьмом классе. Он очень понравился...». «В десятом классе я проработал обратные тригонометрические функции с большим успехом. Вообще учебник очень понравился многим. Он хорошо читается, очень ясно написан с точки зрения стиля и изложения, и после тех переработок, которые авторы проделают, и с соответствующими дополнениями, мне кажется, этот учебник нужно по возможности скорее продвигать и перейти уже к этому учебнику» (Левинсон).

Имеются и более осторожные высказывания: «Считаю, что курс девятого класса в учебнике Берманта и Люстерника не нуждается в исправлениях, сокращениях и добавлениях. Иначе обстоит дело в той половине курса, которая касается программы десятого класса...». «Даже после объяснений учителя курс десятого класса является для ученика... трудным и не совсем понятным» (Зубков).

Встречаются и прямые противники учебника:

«Следует думать, что эту книгу не только в качестве стабильного учебника, но и вообще лучше не пускать в школу» (Крогиус).

Учительница Покровская, работавшая по учебнику в школе, в противоположность Левинсону, пришла к выводу, что учебник слишком труден для учеников.

Просмотр рецензий показывает, что рецензенты, дающие прямо противоположную общую оценку книге, нередко указывают одни и те же недостатки, но если одни находят их легко устранимыми, другие считают их органическими, не поддающимися исправлению.

Подобная разноголосица в значительной степени объясняется тем, что за последние 8 лет не было издано ни одного нового учебника тригонометрии. Авторам прихо-

* А. Ф. Бермант и Л. А. Люстерник — «Тригонометрия», Учпедгиз, 1940, 184 стр. 5000 экз., ц. 1 р. 35 к.

лилось решать многие вопросы заново, не опираясь на общее мнение; рецензенты нередко высказывали свою личную точку зрения, не основанную на широком общественном изучении различных возможных вариантов учебника. Но разногласия еще более объясняются наличием нескольких методических течений в школе, которые не сможет примирить ни один учебник.

2

Остановлюсь на наиболее серьезных недостатках, указанных рецензентами:

«Издательство подчеркивает и говорит как о достоинстве учебника о том, что функциональная точка зрения нашла в нем сильное отражение. Но это указание явно неверно». «Никоим образом про такое изложение, которое проведено в учебнике, нельзя сказать, что в нем функциональная точка зрения нашла сильное отражение» (Крогиус).

«Функциональная точка зрения находит себе место, лишь начиная со второй трети книги» (Андреев).

«Авторы стремятся провести какое-то непонятное различение между тригонометрической функцией и тригонометрической величиной...». «Они на семидесяти первых страницах пользуются только термином «тригонометрическая величина» и затем только позволяют себе употребить слово «функция». А учащемуся придется переучиваться: отвыкать от одного термина, к которому они прочно привыкли на значительной части курса, и привыкать к другому. Авторы едва ли учитывают, как это трудно» (Крогиус).

«Введение понятия «тригонометрическая величина угла» представляется нам неправильным» (Таннатар).

«Несколько спорным является вопрос о разделении на два концентра изложения тригонометрических величин любого угла и тригонометрических функций. Такое разделение, правильное с принципиально научной и методической точек зрения, возможно, столкнется с недостатком времени и неясностью в выборе момента для практических применений» (Брусиловский).

«Совещание считает совершенно излишним то длительное разграничение между понятиями «тригонометрическая величина» и «тригонометрическая функция», которое имеет место в учебнике» (Калининский пединститут).

Полное единство мнений по этому вопросу свидетельствует о том, что предложенное авторами разграничение понятий: «тригонометрическая функция» и «тригонометрическая величина» — неудачно. Только один голос поддержал предложение авторов:

«Надо, безусловно, приветствовать четкое разделение понятий: «тригонометрические величины» и «тригонометрические функции» (Ровенский областной институт усовершенствования учителей).

Как отмечает П. П. Андреев, неудачен самый термин «тригонометрическая величина угла», хотя в старых учебниках тригонометрии он и встречался: «совершенно очевидно, что в двух фразах «величина угла» и «тригонометрическая величина угла» слово «величина» имеет два различных смысла».

«Встречаемые учащимися в учебнике на протяжении 70 страниц фразы: «величина угла», «тригонометрическая величина угла», «тригонометрическая величина sin а...» внесут еще большую путаницу в несложившиеся еще у него (ученика.— Р. Б.) представления».

Однако, несмотря на указанный недочет, огромное большинство рецензентов не разделяет приведенного выше мнения т. Крогиуса и находит, что функциональная точка зрения характерна для учебника, т. е. высказывается в том же смысле, как и редакция Учпедгиза в аннотации к учебнику.

«Учебник Берманта и Люстерника не только дает понятие о функциональных зависимостях, лежащих в основе всего изложения, но он имеет целью подготовить учащихся к глубокому пониманию этих зависимостей и такому пониманию, которое дает для учащихся вполне безболезненный переход от школьной математики к учению о переменных величинах в высшей школе. Этой цели авторы достигают, используя целый ряд разнообразных средств...».

«В §46 вводятся расширенные понятия о тригонометрических функциях, которые не встречаются ни в одном из прежних учебников и, однако, чрезвычайно важны... «Понятие о функции вводится авторами не случайно, а проводится в строгой системе, причем изложение носит достаточно глубокий для средней школы характер, отличается строгостью терминологии и, главное, дает обобщающие понятия, что, в свою очередь, развивает у учащихся способность к обобщениям, т. е. способность к научному мышлению. В этом, пожалуй, главное преимущество рассматриваемого учебника перед всеми прежними учебниками» (Болгарский).

«Новый учебник выгодно отличается тем, что он постепенно дает учащимся широкое понимание тригонометрических функций» («Учительская газета»).

Перехожу к замечаниям по отдельным главам.

3

Первая глава учебника посвящена рассмотрению тригонометрических величин острого угла; она занимает 25 страниц. Здесь вводится синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла как отношения сторон прямоугольного треугольника; даются аналогичные определения секанса и косеканса, и формулы:

но в дальнейшем на всем протяжении книги последние две функции вовсе не рассматриваются. В этой же главе рассматриваются функции дополнительного угла, вводятся основные соотношения между тригонометрическими величинами одного угла; даются примеры вычислений одних тригонометрических величин угла, если известны другие тригонометрические величины того же угла, вводится понятие о тригонометрическом тождестве, о зависимых друг от друга тождествах. Разъясняется смысл задачи на доказательство тождества; разъясняется задача об упрощении тригонометрических выраже-

нии; рассматривается отыскание тригонометрической величины данного угла построением и обратная задача — построение угла по данной тригонометрической величине; дается понятие о составлении таблицы тригонометрических величин и разъясняется работа с нею. Наконец, с помощью этой таблицы решаются прямоугольные треугольники.

Таким образом, в первой главе рассматриваются все вопросы программы восьмого класса в довольно широком аспекте.

На совещании в Калининском пединституте «высказывалась даже мысль, что авторы учебника недостаточно смело, не до конца порвали с традицией, начав изложение курса с рассмотрения тригонометрических величин острых углов из соотношений элементов в прямоугольных треугольниках. Предлагалось построить более стройную систему изложения материала, начиная с рассмотрения тригонометрических функций, гониометрии и переходя затем к рассмотрению соотношений элементов в прямоугольных и, в дальнейшем, в косоугольных треугольниках. Но участники совещания не поддержали этого предложения. Отмечая наличие некоторой нестройности в системе изложения материала в учебнике, они считают методически неправильным начинать изложение курса тригонометрии с рассмотрения гониометрии. Педагогический опыт ряда столетий показывает, что изложение материала следует начинать именно с рассмотрения тригонометрических величин острых углов».

Таким образом, Калининский институт находит правильным выделение первой главы, содержащей программный материал восьмого класса. Но некоторые рецензенты находят, что в нее включено слишком много материала.

Например, т. Загребельский пишет: «Слишком много отведено места тригонометрическим функциям острого угла». По мнению т. Крогиуса, «изучение этой главы не может быть осуществлено в отведенные 10 часов; не может быть, конечно, и в 20 часов».

По мнению многих рецензентов уже в этой главе может быть дано понятие о функции и, в частности, о тригонометрических функциях.

Определения тригонометрических функций, например, такое определение синуса: «Синусом острого угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе», Калининский пединститут находит неудачными, «поскольку у угла нет ни катетов, ни гипотенузы».

По поводу почти полного исключения из учебника функций секанс и косеканс высказаны две противоположные точки зрения:

«Совещание считает, что функции sec* и cosecjc встречаются реже других тригонометрических функций, но все же встречаются в математической литературе, а потому им следует уделить несколько больше внимания. Следует рассмотреть часто встречающиеся соотношения (например, 1 + tg2 д: = = sec2 je), содержащие эти функции, рассмотреть графики этих функций, дать определения и графики обратных им функций» (Калининский пединститут).

«Ненужное загромождение курса изучением функций секанса и косеканса не имеет здесь места» (Кацнельсон).

«В учебнике сознательно игнорируются секанс и косеканс, как понятия, вышедшие из употребления в научной литературе. Это сделано целесообразно, так как употребление этих величин потребовало бы введения новых формул, связывающих их с другими величинами, заставило бы включить в учебник вопросы об их изменении, графическом представлении и пр., что излишне загромоздило бы текст учебника» (Болгарский).

«Они (авторы — Р. Б.) справедливо считают совершенно излишним самостоятельное изучение функций секанса и косеканса» («Учительская газета»).

По поводу рассмотрения в первой главе основных соотношений между тригонометрическими функциями было сделано два замечания: здесь предполагается известной теорема Пифагора, чего, принимая во внимание программу, предполагать нельзя (Крогиус); основные Соотношения выводятся дважды, сначала для функций острого угла, а затем для общего случая, — получается излишнее повторение (Кацнельсон).

Тов. Кацнельсон полагает, что вся первая глава должна быть переработана: «Совершенно неудачно составлена первая глава и начало третьей в смысле порядка расположения материала. В введении надо указать первоначальную цель тригонометрии; отсюда, естественно содержание § 15 в начале книги. В первой главе нужно рассмотреть изменение каждой из тригонометрических функций острого угла в связи с изменением угла. Содержание же § 9—11 (соотношения между тригонометрическими величинами,— Р. Б.) можно перенести в третью главу» (третья глава посвящена рассмотрению тригонометрических величин острого угла. — Р. Б.).

4

Вторая глава книги содержит обобщение понятия об угле. Здесь вводится понятие об угле, большем полного оборота, об измерении углов полными оборотами, о градусном и радианном измерении углов и дуг, рассмотрен переход от радианной меры к градусной и обратно, рассмотрено построение углов, больших 360q. Далее рассматриваются направленные отрезки (термин «вектор» не вводится), направленные углы и дуги, проекции и две теоремы о проекциях: о проекции отрезков, образующих с осью равные углы, и о проекции замыкающей.

Эта глава вызвала только одно замечание принципиального характера: Калининский пединститут считал, что можно добиться большей последовательности, если второй раздел учебника «посвятить рассмотрению соотношений элементов в косоугольных треугольниках и тригонометрических функций углов, не превышающих 180°, а также решению косоугольных треугольников. Тем самым первые два раздела учебника ознакомят учащихся с решением первой простейшей задачи тригонометрии — с учением о треугольниках. Третий раздел учебника может быть посвящен изучению тригономе-

трических функций любого угла, гониометрии. Таким образом, в начальных главах курса должно быть дано все, что нужно для решения геометрических задач, а основную часть курса следует посвятить изучению гониометрии».

При обсуждении рецензий в Московском институте усовершенствования учителей предложение Калининского пединститута не было поддержано.

Из более частных замечаний, отметим замечание т. Кацнельсон: «С радианным измерением углов (дуг) можно познакомить ученика немного другим путем: раньше установить новую единицу измерения (радиан. — Р. Б.)... а затем уже выяснить, что радианная мера центрального угла численно равна отношению его дуги к радиусу. Такое изложение более понятно ученику».

Тов. Болгарский с удовлетворением отмечает, что «введенное во второй главе радианное измерение углов фигурирует во всем дальнейшем изложении учебника». «В учебнике Берманта и Люстерника на радианном измерении даже базируется расширение понятия о тригонометрических функциях в сторону функций отвлеченного аргумента».

Почти все рецензенты с удовлетворением отмечают то, что в учебнике тригонометрические функции вводятся и определяются в терминах теории проекций:

«Совещание приветствует усиление идейной стороны курса, отказ от рассмотрения тригонометрических линий, введение основных понятий при помощи проекций, усиление роли рассмотрения понятий произвольных углов и дуг» (Калининский пединститут).

Однако раздел второй главы, посвященный рассмотрению свойств проекций, вызвал ряд нареканий: «В § 25 о направленных отрезках материал изложен крайне сжато и не иллюстрируется чертежом» (Андреев). Касаясь того же параграфа, т. Крогиус также указывает на необходимость чертежа, иллюстрирующего текст, и на некоторую неясность самого текста. Некоторые считают полезным введение термина «вектор» (Морозкин; Ровенский институт усовершенствования учителей). Однако, это пожелание при его обсуждение не встретило особого сочувствия. В этом же разделе т. Кацнельсон отмечает легко устранимый промах: авторы не сказали, что угол между осью и направленным отрезком отсчитывается от оси. По мнению Калининского пединститута, в параграф, посвященный проекциям, следует ввести теорему Шаля.

5

Третья глава содержит определения тригонометрических величин любого угла; в ней доказываются основные соотношения, связывающие функции одного и того же (произвольного) угла; вводятся формулы приведения: дается построение тригонометрических величин любого угла; рассматривается приведение тригонометрических величин к острому углу; разъясняется использование таблиц для отыскания тригонометрических величин любого угла.

Ровенский институт усовершенствования учителей полагает, что определение тригонометрических величин любого угла было бы доступнее для учащихся, если бы авторы воспользовались знакомством учащихся с прямоугольными декартовыми координатами из курса восьмого класса. Однако большая часть рецензентов считает правильным определение тригонометрических величин с помощью проекций. Тов. Кацнельсон высказывает лишь сомнение в целесообразности порядка изложения в §§ 29, 33 и 37, в которых все тригонометрические величины рассматриваются одновременно. «Даже слабый ученик хорошо усвоит этот материал, если придерживаться строгой постепенности в изложении; порядок же, при котором все тригонометрические функции и соотношения между ними рассматриваются одновременно, не создает экономии времени, а только затрудняет ученика» (Кацнельсон).

Касаясь формул приведения, т. Брусиловский находит, что «важнейшие в теории и приложениях формулы:

нельзя давать как промежуточные». Он пишет: «Я бы легко приветствовал исключение мнемонического правила и всех формул (формул приведения. — Я. Б.), кроме следующих:

«Хотя вывод формул приведения, начиная с угла 90°+ а» удобнее (при помощи проекций), все же необходимо ранее дать формулы приведения для угла 90 — а» (Брусиловский).

Неудачную формулировку мнемонического правила приведения отмечают очень многие: «Недостаточно ясное и неудобное для запоминания правило» (Болгарский); «выучить и запомнить правило невозможно» (Крогиус).

По мнению т. Кованько, авторы в этой главе слишком формально оперируют с отрицательными углами.

В четвертой главе вводится понятие о переменных и постоянных величинах, понятия о функции, даются определения тригонометрических функций, устанавливается периодичность этих функций, строятся их графики, и по графикам изучается ход изменения тригонометрических функций.

Эта глава не вызвала никаких серьезных возражений. «Очень хорошо написана четвертая глава» (Кованько). «Авторы весьма ясно вводят понятие функции вообще и тригонометрические функции как функции произвольного абстрактного числа, которое может обозначать длину, время, температуру и т. д.» (Ровенский институт усовершенствования учителей).

Тов. Брусиловский замечает, что авторы, определив четные и нечетные функции, не указывают, что функция может не быть ни четной, ни нечетной, как например, функция sin X -j- cos X. Тов. Тайбинский считает, что в книге при построении графиков функций недостаточно строго выдержано соотношение

между масштабами на осях абсцисс и ординат.

В § 51 авторы пишут: «При любом х мы имеем cos х = sin Çx + -^Л. Следовательно, вместо значения косинуса можно взять значение синуса, увеличив аргумент на — .

Итак, графиком функции y = cos;c служит та же синусоида, но передвинутая на — налево».

Тов. Крогиус находит, что «Ученик поймет это только после обстоятельных пояснений». Тов. Брусиловский и Морозкин считают необходимым говорить об ассимптотическом приближении тангенсоиды к прямой, параллельной оси OY. Тов. Крогиус находит, что авторы уделяют недостаточно много внимания простым вопросам исследования функциональной зависимости, так, например, авторы нигде ничего не говорят о характере возрастания или убывания функций (ускоренном или замедленном).

Параграф об изменении tgx и ctg je Калининский пединститут относит к числу удачно изложенных, хотя отдельные участники совещания в этом институте еще подробнее, еще полнее предлагают развить этот материал. Тов. Болгарский отмечает: «Хорошо и то, что в учебнике подчеркнуто, что tg 90° и т. д. не существует, и тем достигается понимание условности записей, содержащих оо».

6

В пятой главе дается вывод формул для функций суммы и разности аргументов, функций двойного и половинного аргументов; даются выражения всех тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента; показывается, как можно составить таблицу тригонометрических функций с помощью полученных в этой главе формул. В следующем разделе пятой главы рассматривается преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и обратно — суммы в произведение (приведение к виду, удобному для логарифмирования), преобразования с помощью вспомогательного угла и выражение степеней синуса и косинуса через синусы и косинусы кратных аргументов. В третьем разделе той же главы рассматриваются приближенные равенства для тригонометрических функций, в частности, приближения тригонометрических функций многочленами. Эти приближенные равенства тут же используются для составления таблицы тригонометрических функций. В последнем разделе главы вводится тригонометрическая форма комплексного числа, выводится формула Моавра, и с ее помощью получаются выражения синуса и косинуса кратного угла.

Рецензенты резко расходятся в оценке первого раздела пятой главы (формулы сложения и вычитания): «К числу удачно изложенных следует отнести также параграф, посвященный выводу формул сложения и вычитания для косинуса» (Калининский пединститут). По поводу того же параграфа т. Крогиус пишет: «Необходимо было очень обдумать, как сделать его доступным ученикам. Авторы же, повидимому, думали только о том, как бы изложить его покороче. Вывод изложен чрезвычайно схематично» Эти две цитаты показывают, как трудно (и, пожалуй, невозможно) удовлетворить всем вкусам!

Как положительное явление отмечается наличие специального параграфа, посвященного выражению тригонометрических функций через функции половинного аргумента (Болгарский), наличие параграфов, посвященных преобразованиям произведения тригонометрических функций в сумму и преобразованиям с помощью вспомогательного угла, выражению степеней синуса и косинуса через синусы и косинусы кратных аргументов, приближенным равенствам для тригонометрических функций, применению комплексных чисел, введению формул Моавра и следствий из нее (Калининский пединститут).

К недостаткам относят слишком мелкие чертежи, особенно черт. 50, 51, в которых трудно разобраться (Кованько, Крогиус, Болгарский, Калининский пединститут), неудачное объяснение двойственности знаков у ig— в формуле 107, слишком лаконичную формулировку некоторых предложений, например, «сумма синусов...» на стр. 95, неудачное определение приближенного значения (Брусиловский). Калининский пединститут отмечает, что авторы должны были, говоря о тригонометрических тождествах, оговаривать те случаи, когда эти тождества теряют смысл (когда знаменатель хотя бы одного из членов равен нулю). Тождеств такого рода много в пятой главе.

Тов. Брусиловский полагает, что часть материала, включенного в раздел «приближенные равенства», можно опустить.

§ 71 («Формула Моавра») по мнению тт. Кованько и Болгарского можно дать петитом как выходящий за рамки программы. Тов. Крогиус недоволен разделом «Применение комплексных чисел», считая, что это «какой-то отрывок».

7

В шестой главе рассматриваются некоторые применения тригонометрических функций. В первом разделе главы вводятся основные зависимости между элементами треугольника; второй раздел посвящен гармоническим колебаниям — одному из применений тригонометрии к физике.

Тов. Кованько положительно оценивает эту главу, отмечая оригинальность выводов. Большие разногласия возникают между рецензентами по поводу того, в каком порядке давать основные системы зависимостей между элементами треугольника. В учебнике сначала введены соотношения вида с b cos a ++ a cos ß, затем из них получена теорема синусов, наконец, из теоремы синусов получена теорема косинусов. Первая система соотношений выведена геометрически; вторая и третья — аналитически и лишь затем им дано геометрическое истолкование. По мнению т. Брусиловского, «в школе, безусловно, предпочтут раньше дать вторую систему (теорему синусов). Такой порядок надо дать и в книге, показав затем, как из этой систе-

мы можно получить первую (по книге). Именно при таком порядке можно, пожалуй, сохранить и вывод третьей системы (§ 77), которую, вообще говоря, удобнее получить путем симметрических преобразований уравнений первой системы». С другой стороны, т. Андреев считает, что «с методической точки зрения было бы правильней...» «наряду с независимыми геометрическими доказательствами систем соотношений между элементами треугольника» показать, «как из одной системы соотношений вытекают другие». В книге сделано как раз наоборот. В результате для второй основной системы зависимостей получился более громоздкий вывод, чем обычно» (Болгарский). «Так поступать в школе нецелесообразно» (Крогиус).

Тов. Тайбинский, на основе опыта школ Казани, считает, что отделять изучение зависимостей между элементами треугольника от решения треугольников нерационально, и находит возможным «считать более целесообразным совместное рассмотрение отдельных зависимостей с самыми основными случаями решения треугольников».

Тов. Брусиловский и Крогиус сделали некоторые частные замечания: т. Брусиловский находит некоторую непоследовательность в расположении материала на стр. 119—120. На стр. 119 авторы, упрощая формулы тангенсов половинных углов треугольника, пользуются теоремой Герона; на стр. 120 они дают доказательство теоремы Герона. Однако замечание т. Брусиловского нельзя считать бесспорным, так как теорема Герона известна учащимся из геометрии, и на стр. 120 дается лишь другой вариант (тригонометрический) ее доказательства. Тов. Крогиус указывает, что геометрическое доказательство формулы синуса суммы двух аргументов на стр. 121 дано в неуклюжей форме.

Раздел «Гармонические колебания» встречен всеми очень сочувственно:

«Очень рад, что авторы признают необходимым дать физические приложения теории тригонометрических функций (колебательный процесс)» (Брусиловский).

«Можно приветствовать внесение в курс тригонометрии изложения гармонических колебаний» (Кацнельсон).

Но по поводу § 84 («Сложение простых гармонических колебаний») т. Крогиус замечает, что задача о сложении гармонических колебаний недостаточно ясно поставлена.

8

Глава седьмая посвящена решению треугольников. В ней рассмотрены четыре основных случая решения треугольника по таблицам натуральных значений тригонометрических функций; приведены две задачи на решение треугольника в случае задания неосновных элементов; дано описание таблиц логарифмов тригонометрических величин и рассмотрено решение треугольников (в основных случаях) с помощью этих таблиц. Наконец, в двух небольших параграфах дается представление об измерении линий и углов на местности и о триангуляции.

Многие рецензенты считают эту главу недостаточно полной. Высказывались голоса за включение в главу нескольких образцов задач на решение четырехугольников, за введение раздела, в котором описывалась бы логарифмическая линейка и приемы работы с нею (Ровенский институт усовершенствования учителей), за включение ряда конкретных задач из области геометрии, в частности, стереометрии, механики, техники с подробными решениями (Ровенский институт усовершенствования учителей, Калининский пединститут), за включение описания какого-либо землемерного (угломерного) прибора.

Некоторые рецензенты находили неудобным пользоваться в учебнике греческими буквами для обозначения углов и предлагали заменить их латинскими.

Тов. Кацнельсон указала, что пример, приведенный на стр. 132, может быть проще решен с помощью теоремы косинусов. По мнению т. Тайбинского, исследование решения треугольника в том случае, когда даны две стороны и угол против одной из них, лучше сначала провести геометрически, а уж потом аналитически. Тов. Брусиловский указывает, что в решении задачи на стр. 152 целесообразнее сначала вычислить — , тем же способом, каким вычислены другие углы, а затем воспользоваться формулой a-|-ß-r-7 = = 180° как контрольной.

Серьезные нападки вызвал §97 о триангуляции: «Положителен факт рассмотрения в учебнике вопроса о триангуляции, но совершенно недопустима манера изложения этого вопроса. У учащихся может сложиться совершенно неверное представление об излишнем проведении вычислений и решений треугольников для определения расстояний на местности тогда, когда их можно непосредственно измерить. Нужно подробно разъяснить учащимся, что техника измерения углов дает более точные результаты, чем измерение длин, что триангуляция дает определенные преимущества, хотя и усложняет съемку планов и карт местности (с последним едва ли можно согласиться. — Р. Б.). Необходимо при этом упомянуть, что именно этим методом пользовались французские ученые при определении величины метра, может быть, приложить карту съемок, как это сделано у Серре» (Калининский пединститут).

9

Наиболее суровой критике подверглась последняя, восьмая, глава книги. В этой главе даны определения обратных тригонометрических величин, рассмотрена их многозначность, разъяснено, как по таблицам тригонометрических функций можно отыскать значение обратной тригонометрической величины. В следующем разделе введено понятие об обратных функциях, далее рассмотрены функции arc sin х, arc cos х, arctg*, arc ctg де и введено понятие о главном значении обратной тригонометрической функции. Далее рассмотрены некоторые преобразования обратных тригонометрических функций. Последний раздел главы, занимающий 7 страниц, посвящен тригонометрическим уравнениям. В этом разделе после кратких общих замечаний дан ряд подробно разобранных примеров на решение уравнений.

По поводу объема материала в разделе «Обратные тригонометрические функции» имеются две прямо противоположные точки зрения:

«Обратным тригонометрическим функциям отведено гораздо больше места и внимания. Едва ли это хорошо. Обратные тригонометрические функции встречаются не очень часто, причем уж совсем редко приходится пользоваться формулами для преобразования двух обратно-тригонометрических функций... последние формулы почти во всей русской учебной литературе или совсем не изложены, или изложены с существенными ошибками. Нельзя рассчитывать на то, что широкие массы учительства этим владеют. Поэтому целесообразно совсем не вводить этих формул...» (Крогиус).

Нельзя не считать, что эта аргументация говорит скорее в пользу авторов учебника.

«Совещание считает, что вопросы: «обратные тригонометрические функции» и «решение тригонометрических уравнений изложены слишком сжато, развиты недостаточно» (Калининский пединститут).

Более того, Калининский пединститут считает вообще ошибочным выделение обратных тригонометрических функций в особый раздел:

«Совещание считает совершенно недопустимым разрыв, имеющий место в учебнике, между изучением тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции следует рассматривать или параллельно с рассмотрением тригонометрических функций (как это сделано у Серре), или непосредственно за ними. При этом необходимо, по крайней мере вначале, пользоваться чертежами тригонометрической окружности с указанием дуг, соответствующих заданному значению тригонометрических функций. В противном случае у учащихся не будет конкретных представлений, связанных с обратными тригонометрическими функциями».

Раздельное рассмотрение обратных тригонометрических величин и обратных тригонометрических функций всеми рецензентами было отвергнуто.

Сильные нападки вызвал раздел «Тригонометрические уравнения».

«Исключительно кратко и без всякой системы изложен раздел о тригонометрических уравнениях» (Андреев).

«Отдел тригонометрических уравнений изложен очень схематично; даны образцы решения отдельных уравнений, но нет никаких обобщающих выводов, что совсем снижает методическую и научную ценность этого отдела. Этот отдел желательно переработать заново» (Болгарский).

«Тригонометрические уравнения изложены сжато, отсутствует классификация по типам, не дается графического решения тригонометрических уравнений» (Тайбинский).

«Важной теме курса, тригонометрическим уравнениям отводится всего 5 страниц. Вовсе не рассматриваются уравнения вида f(x)<?(x) = Q и '-^ = 0 и связанные с решением этих уравнений вопросы исключения посторонних корней» (Таннатар).

«Этот раздел следует развить больше» (Ушаков).

О том же говорят Брусиловский, Загребельский, Кацнельсон, Калининский пединститут, Ровенский институт усовершенствования учителей.

10

Остановлюсь еще на добавлениях, предлагаемых рецензентами. Почти все требуют введения параграфа, в котором давался бы исторический очерк тригонометрии (Калининский пединститут, «Учительская газета», Кацнельсон и др.). Было предложение ввести параграф о максимумах и минимумах (Гончаров).

Несмотря на значительное число замечаний, касающихся тех или других недостатков учебника, большинство рецензентов расценивало его появление как положительное явление и считало, что после ликвидации выявленных недостатков книга сможет служить школьным учебником.

«Испробованные на практике, исправленные и дополненные по указаниям педагогов, методистов и научных работников, новые учебники могут стать пособиями, вполне удовлетворяющими школу» («Учительская газета»).

«По моему мнению, необходимо сделать соответствующие дополнения, и тогда учебник тригонометрии Д. Берманта и Л. Люстерника занял бы выдающееся положение среди учебников, предназначенных для средней школы» (Зубков).

«Считаем, что учебник Берманта и Люстерника после внесения соответствующих корректив годен для использования его в школе вместо устарелого уже учебника Рыбкина» (Ровенский институт усовершенствования учителей).

Калининский пединститут отмечает положительные стороны учебника и в целом его одобряет; он отмечает следующие его достоинства:

«1) Простое, ясное изложение материала. 2) Простота доказательств (например, формул сложения и вычитания для косинуса).

3) Повышение идейной стороны курса, освещение курса тригонометрии с современной точки зрения.

4) Введение ряда вопросов, не рассматривавшихся раньше в курсе тригонометрии (применение тригонометрии к изучению гармонических колебаний, к изучению комплексных чисел и целый ряд других).

В целом совещание дает положительную оценку учебнику, считая, что после устранения указанных недочетов он будет лучше существующего стабильного учебника тригонометрии» (Калининский пединститут).

«Учебник по своей сущности стоит значительно выше существовавших до него учебников тригонометрии, предназначенных для средней школы. Он удовлетворит потребностям средней школы в условиях переживаемой нами эпохи, если в нем будет устранен ряд отдельных, указанных выше недочетов» (Болгарский).

Лишь очень немногие рецензенты не одобрили учебника в целом (Крогиус, Таннатар).

11

На основе полученных рецензий авторы учебника составили план его переработки. Замечания рецензентов и план переработки были поставлены Учпедгизом на обсуждение в Московском институте усовершенствования учителей на широком совещании с участием учителей, работавших по учебнику. Совещание одобрило план переработки, внеся в него небольшие поправки. План переработки состоял в следующем.

I. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

1. Тщательно литературно отработать весь текст в соответствии с указаниями учителей, учеников и рецензентов с целью сделать любое место книги вполне доступным среднему ученику.

2. Изменить разбивку материала по параграфам с тем, чтобы по возможности один параграф соответствовал одному заданию.

3. Переделать некоторые чертежи для достижения наибольшей наглядности.

4. Добавить краткий исторический очерк возникновения и развития тригонометрии.

5. Максимально сократить размеры учебника за счет: а) исключения ряда второстепенных вопросов; б) переноса дополнительного материала в мелкий шрифт; в) более компактного изложения некоторых доказательств; г) литературной шлифовки.

II. ОСНОВНЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ

1. Длительное разграничение понятий «тригонометрическая величина» и «тригонометрическая функция» ликвидировать. Об общем понятии функции будет сказано в первой главе, причем в первой и второй главах, посвященных геометрическим вопросам, до формул сложения, синус, косинус и т. д. рассматриваются как функции угла в градусной мере.

2. Материал второй главы распределить между тремя главами.

3. Понятие радианной меры перенести, в связи с программой по геометрии, в начало третьей (по новой нумерации) главы, в которой изучаются с функциональной точки зрения тригонометрические функции, как функции сначала угла в радианной мере, а затем отвлеченного аргумента. К этой же главе будет отнесено понятие о гармоническом колебании и о его графике.

4. Четвертая глава будет содержать основной материал бывшей пятой главы, т. е. формулы сложения и их прямые следствия.

В качестве иллюстрации здесь дается лишь параграф о сложении простых гармонических колебаний. Остальной материал частью исключается (§ 66), а частью выделяется в отдельную небольшую дополнительную главу (пятую) о построении таблиц.

5. Глава шестая, из которой изъяты гармонические колебания, будет называться «Элементы теории треугольника», при этом вывод основных соотношений будет дан геометрически, а затем мелким шрифтом будет приведен алгебраический вывод одних систем зависимостей от других.

6. Во второй (по новой нумерации) главе будет значительно упрощен вопрос о приведении к острому углу и изменена формулировка главных правил.

7. В главе о решении треугольников исключаются примеры решения с помощью натуральных таблиц. Будет переработан параграф о практическом применении тригонометрии.

8. В последней главе исключается понятие обратных тригонометрических величин и сразу вводится понятие обратных тригонометрических функций.

9. Теоремы о проекциях из второй и третьей глав будут упрощены, и каждая будет отнесена к тому материалу, где она используется.

10. Будет введен в последнюю главу метод алгебраизации тригонометрических уравнений путем выражения функций через тангенс половинного угла.

На основе этого плана авторы переработали учебник. Переработанная рукопись в настоящее время изучается в Учпедгизе. Возможно, что уже осенью 1941 г. учебник будет выпущен вторым изданием.

Редакция математики и физики Учпедгиза считает, что выпуск новых учебников пробными изданиями более чем оправдал себя. Он позволил выявить все недостатки учебника до выпуска его массовым тиражом. Он позволил выявить желания и мнения широких кругов учительства и научных работников. Метод пробных изданий дает возможность издательству подготовить для школы хорошо проверенную книгу.

В заключение позволю себе от имени редакции математики и физики Учпедгиза искренно поблагодарить тех лиц и те организации, которые приняли участие в рецензировании и обсуждении пробного учебника тригонометрии Берманта и Люстерника и тем помогли редакции в подготовке книги.

Редакция надеется, что и другие пробные учебники, а также и все другие книги, выпускаемые ею, будут встречены столь же внимательной и вдумчивой критикой.

ОБЗОР НОВЫХ КНИГ*

С. И. НОВОСЕЛОВ (Москва)

Л. А. ЛЮСТЕРНИК — «Геодезические линии. Кратчайшие линии на поверхности». Издание второе, Гостехиздат, 1940, 50 стр., ц. 1 р. 25 к.

Брошюра проф. Л. А. Люстерника «Геодезические линии» рассчитана на читателя, владеющего элементарной математикой в объеме обычного школьного курса. В небольшой по объему работе автор дает понятие об основных свойствах линий кратчайшего расстояния на поверхностях. Сначала рассматривается задача нахождения линий кратчайшего расстояния, соединяющих две точки, лежащие на многогранной поверхности (в частности, на поверхности призмы и пирамиды), затем автор переходит к случаю простейших поверхностей, могущих быть развернутыми на плоскость (цилиндр и конус), и к поверхности шара, наконец, сообщаются элементарные сведения о геодезических линиях на произвольной поверхности, имеющей в каждой точке касательную плоскость. Книга заканчивается рассмотрением изопериметрической задачи, т. е. задачи о нахождении замкнутой кривой наименьшей длины, ограничивающей площадь данной величины. Кроме перечисленных вопросов, автор сообщает элементарные сведения о плоских и пространственных кривых. Эти сведения необходимы для понимания основной темы о геодезических линиях.

Основные понятия геометрии, каковыми являются касательная, кривизна, соприкасающаяся окружность, соприкасающаяся плоскость, главная нормаль кривой, нормаль к поверхности и т. д., являются весьма простыми и интуитивно ясными, однако строгое обоснование соответствующих предельных переходов требует применения методов математического анализа, что было бы недоступно лицам, знакомым лишь с элементарной математикой. Кроме того, для начинающего читателя аппарат математического анализа способен затемнить геометрическую сущность этих основных понятий. Не имея возможности в пределах популярной брошюры пользоваться методами анализа, автор дает описание указанных выше основных геометрических понятий, прибегая к наглядному геометрическому представлению и к геометрической интуиции. Мы считаем это описание весьма ценным для начинающего читателя, ибо правильные геометрические представления будут полезны при дальнейшем изучении математики. Естественно, что в ряде случаев рассуждения не претендуют на математическую строгость; такие рассуждения ни в какой мере нельзя рассматривать как доказательства, их можно назвать объяснениями того, почему естественно ожидать того или иного результата. Рекомендуя книгу Л. А. Люстерника ученикам старших классов, учитель должен иметь в виду отмеченное обстоятельство и давать учащимся необходимые разъяснения. Сам автор также делает соответствующие примечания в тех местах, где рассуждения не являются вполне строгими.

Задачи, которых касается автор, получают полное свое решение в вариационном исчислении; нам представляется, что было бы полезно остановиться на трудности вариационных задач, связанной с доказательством существования экстремума (т. е. минимума и максимума). Можно было бы привести ряд совершенно элементарных примеров, когда минимум или максимум не существует.

Книгу проф. Люстерника можно рекомендовать для занятий школьных математических кружков; в ней содержится много материала, полезного для молодежи, интересующейся математикой. Книга написана живо и доступно.

Дополнительный сборник алгебраических задач, часть первая. С. П. Алексахин, Е. Б. Кауфман и К. С. Сычугова. Пособие для учителей VI и VII классов неполной средней школы. 60 стр., ц. 75 коп.; часть вторая. Б. И. Бляшов и В. Г. Чичигин. Пособие для учителей VIII, IX и X классов средней школы. 75 стр., ц. 1 рубль. Под редакцией проф. М. К. Гребенча. Учпедгиз, 1940.

Дополнительный сборник алгебраических задач составлен применительно к стабильному задачнику по алгебре Шапошникова и Вальцова. Общеизвестным дефектом стабильного задачника является недостаточное количество задач по многим разделам. По некоторым же разделам, как, например, «комплексные числа», «теорема Безу», можно считать, что стабильный задачник не содержит сколько-нибудь серьезных упражнений.

Авторами дополнительного сборника была поставлена следующая задача: дать к каждой главе и к каждому параграфу стабильного задачника дополнительный набор упражнений. Таким образом, этот сборник нельзя рассматривать как книгу, имеющую самостоятельное значение, поскольку он строго ориентирован на задачник Шапошникова и Вальцова и ставит перед собой скромную цель дополнить последний недостающим материалом. Исходя из этой установки, авторами в основном сохранены как стиль, так и идейный уровень задачника Шапошникова и Вальцова. При наборе примеров и задач авторами преимущественно был использован материал старого издания задачника Шапошникова и Вальцова, не вошедший в стабильный задачник.

В подборе упражнений авторы не всегда стремятся дать примеры и задачи большей трудности по сравнению со стабильным задачником. Нередко авторы приводят дополнительные упражнения не большей трудности, чем упражнения соответствующих разделов стабильного задачника. Их назначение — увеличить количество и дать большее разнообразие задач данной степени трудности.

Итак, в качестве достоинства дополнительного сборника следует отметить:

* В связи с поступающими многочисленными запросами редакция предупреждает читателей, что никаких просьб и поручений по приобретению книг, рецензируемых или вообще упоминаемых в журнале, редакция принимать на себя не может.

1) наличие дополнительного количества упражнений по разделам, слабо представленным в стабильном задачнике;

2) наличие некоторого количества более трудных задач;

3) увеличено количество упражнений и число типов примеров и задач. Это облегчает учителю подбор задач для классной работы, домашних заданий и контрольных работ.

В качестве недостатка книги, явившегося неизбежным следствием принятой авторами установки, следует отметить, что в научном и идейном отношении она в большинстве своих разделов не находится на большей высоте, чем далеко несовершенный и значительно устаревший задачник Шапошникова и Вальцова. Многие недостатки последнего оказались автоматически перенесенными и на дополнительный сборник. Разумеется, что последнее замечание нельзя отнести ко всем, без исключения, разделам сборника. Так, например, в отделах, посвященных неравенствам, комбинаторике, прогрессиям и уравнениям высших степеней, можно найти значительное количество интересных упражнений, которые рассчитаны не только на приобретение учащимися формальных навыков в вычислениях, но и на сознательное применение теории.

Следует отметить, что авторами не было обращено должного внимания на исправление терминологических дефектов. На страницах сборника можно встретить, например, такие архаичные выражения, как: «соизмеримое количество», «буквенное количество» и т. п. Подобными выражениями не следует пользоваться в школьной практике, а потому и подавно они не должны появляться во вновь выпускаемых книгах.

В. П. ШЕРЕМЕТЕВСКИЙ — «Очерки по истории математики». Серия «Библиотека учителя». Учпедгиз, 1940, 177 стр., ц. в перепл. 3 р. 25 к.

Книга Шереметевского является переизданием в виде отдельной книги очерка по истории математики, написанного Шереметевским и помещенного в книгу Г. Лоренца «Элементы высшей математики».

В своем очерке автор останавливается на основных этапах развития математики, начиная от периода древнеэллинской культуры и кончая началом XX столетия. Весьма краткий по объему очерк не может претендовать на полноту, поэтому автор останавливается лишь на наиболее важных этапах развития математики. Главной задачей автора является проследить ход развития математической мысли на протяжении многих столетий, а потому перечисление фактов и указание дат, естественно, поставлено автором на второй план. В характеристике деятельности отдельных ученых автор останавливается лишь на таких центральных фигурах, как Пифагор, Эвклид, Диофант, Тарталья, Кардано, Непер, Декарт, Ньютон, Лейбниц, Эйлер. Стремясь дать широкую картину развития математики в связи с общим развитием культуры, автор нередко делает отступления в сторону с целью дать характеристику общей тенденции научной мысли, характерной для того или иного периода.

Книга Шереметевского в основном доступна читателю, владеющему школьным курсом элементарной математики. Для чтения параграфов, посвященных последнему периоду, начиная с Декарта, Лейбница и Ньютона, от читателя предполагается знакомство с основными идеями аналитической геометрии и математического анализа. В расчете на широкий круг читателей автор вполне естественно более подробно излагает историю элементарной математики. Для лучшей иллюстрации методов и характера изложения математики, свойственных различным периодам, автор нередко в качестве образца приводит цитаты из наиболее выдающихся произведений. Учитывая, что подробное изложение идей современной математики было бы недоступно начинающему читателю, автор, касаясь периода конца XVIII и начала XX столетий, останавливается лишь в весьма кратких чертах на характеристике самых основных направлений работы математической мысли. Книга Шереметевского написана живым выразительным языком и читается с большим интересом. Книга снабжена подстрочными примечаниями и кратким предисловием редактора А. П. Юшкевича.

Книгу Шереметевского можно настоятельно рекомендовать вниманию учителей как ценное и весьма интересное пособие по истории математики. Книга может быть также использована учителем для занятий школьных математических кружков.

НОВЫЕ КНИГИ ПО МАТЕМАТИКЕ

В. А. НЕВСКИЙ (Москва)

I. НАУЧНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Адлер А,— Теория геометрических построений. Перев. с немецк. проф. Г. М. Фихтенгольца. С приложением статьи проф. С. О. Шатуновского «Геометрические задачи и их решение с помощью циркуля и линейки». Изд. 3-е. Л., Учпедгиз, Ленинградское отделение, 1940, 232 стр., с черт., ц. в перепл. 5 руб., 5 000 экз.

«Появление настоящей книги вызвано желанием представить в связном изложении и с некоторой полнотой интересные и особенно увлекательные для начинающего методы и теории решения задач на построение. При этом не предполагается никаких более или менее подробных сведений из высшей математики» (из предисловия автора).

Вышедшая в свет в оригинале в 1906 г., а на русском языке (в 1-м издании) в 1910 г. книга пользуется заслуженной известностью по широте и ясности изложения теории задач на построение.

Гельфанд М. — Периодические дроби. Утвержд. НКП УССР. (Украинский научно-исследовательский институт педагогики. Киев, изд-во «Радян, школа», 1941, 96 стр.), ц. в перепл. 1 р. 40 к., 10 000 экз., на украинском языке.

В книге изложена теория периодических дробей и даны некоторые методические указания о работе с периодическими дробями в средней школе.

Голубев В. В.— Лекции по аналитической теории диференциальных уравнений. М.—Л., Гостехиздат., 1941, 398 стр., с черт., ц. в перепл. 8 р. 25 к., 4 000 экз.

«В настоящей книге изложено с некоторыми дополнениями содержание лекций, читанных автором в течение ряда лет студентам и аспирантам МГУ.

Дополнительный сборник алгебраических задач. Под ред. проф. М. К. Гребенча. Утвержд. НКП РСФСР. М., Учпедгиз, 1940. Часть первая. С. П. Алексахин, Е. Б. Кауфман и К. С. Сычугова. Пособие для учителей VI и VII классов неполной средней и средней школ. 60 стр., ц. 75 коп., 50 000 экз.; часть вторая. Б. И. Бляшов и В. Г. Чичигин. Пособие для учителей VIII, IX и X классов средней школы. 76 стр., ц. 1 рубль, 25 000 экз.

Сборник задач является дополнением к стабильному задачнику Шапошникова и Вальцова. В него вошли задачи из прежних изданий данного задачника (свыше 50»/о). а также из ряда других русских и заграничных задачников.

Известия Ростовского государственного педагогического института. Том X. Ростов-на-Дону, 1940.

Книга содержит в себе 15 статей: По поводу 40-летия научной, педагогической и общественной деятельности проф. Д. М. Мордухай-Болтовского. Геометрия как наука о пространстве. Методический коллоквиум при кафедре математики Ростовского пединститута. Математические ошибки в науке и в школе. О размерностях физических величин в преподавании физики. Периоды тригонометрических функций. Методы решения тригонометрических уравнений. Периодические дроби и их место в школе. Основные теоремы теории трансверсалей на плоскости Лобачевского. Некоторые проблемы динамики материальной точки в неэвклидовом пространстве. О несобственных треугольниках на сфере (плоскости Римана). Плоская задача об однородном намагничении тела заданной формы. Об одном свойстве двояким образом гомологичных тетраедров. Пример одевания поверхности плоской тканью при условии, что нити налагаются на кривые постоянной геодезической кривизны. Аналитическое доказательство одного обобщения теоремы Паскаля.

Креер Л. И., проф. — Сборник упражнений по диференциальным уравнениям. Под ред. проф. В. В. Степанова. М., Учпедгиз, 1940, 160 стр., с черт., ц. в перепл. 3 руб., 5 000 экз.

Одновременно книга вышла в Киеве на украинском языке (утвержд. НКП УССР в качестве пособия для физико-математических факультетов пединститутов) в тираже 4 600 экз.

«Главная отличительная черта этой книги состоит в том, что автор ставит своей целью научить студентов решать задачи, которые непосредственно не подходят под шаблонные типы, рассматриваемые в теоретическом курсе» (от редакции).

Курс высшей математики. Часть первая. Состав. Н. А. Глаголев, И. А. Звягинцев, Г. Б. Иоффе и др. М., Изд. Всесоюзной пром. академии им. И. В. Сталина, 1940, XLV + 436 стр., с черт., 450 экз.

Книга составлена применительно к программе Промышленных академий.

Ляпин С Е.—Диференциальная геометрия в пространстве (курс лекций). Л., Высшее военно-морское инженерное ордена Ленина училище им. Дзержинского. 1940, 82 стр., с черт., цена и тираж не указаны.

Книга имеет три главы: I. Диференцирование векторов. II. Кривые в пространстве. III. Теория поверхностей.

Петерсен Ю. — Методы и теории решения геометрических задач на построение. Приведено больше 400 задач. Утвержд. НКП УССР. Киев, изд-во «Радян, школа», 1940, 84 стр., с черт., ц. в перепл. 1 р. 65 к., 10 200 экз., на украинском языке.

Перевод с датского (Копенгаген, 1879).

Романовский Б. В. — Дополнительный сборник задач по стереометрии. Пособие для учителей. М., Учпедгиз, 1940,32 стр., ц. 30 коп., 25 000 экз.

В книге помещено 306 задач, дополняющих стабильный задачник по геометрии Рыбкина. Расположение задач соответствует порядку изложения материала в стабильном учебнике геометрии Киселева.

II. МЕТОДИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА.

Материалы 1-й научно-педагогической конференции учителей Ленинградской области. Под ред. Е. Я. Голанта и И. В. Владимирова. (Ленинградский областной институт усовершенствования учителей). Л., 1940, 160 стр., с илл., ц. 3 р. 75 к., 3 000 экз.

В числе 23 докладов, помещенных в сборнике и заслушанных 26—28 марта 1940 г. на конференции, имеется 4 доклада по вопросам преподавания математики: сознательное усвоение знаний по математике. Самостоятельная работа учащихся по геометрии. Закрепление знаний по арифметике. Внимание на уроках математики в средней школе.

Из опыта передовых учителей V—X классов. Сборник статей. (Архангельский институт усовершенствования учителей.) Архангельское областное государственное издательство, 1940,72 стр., ц. 1 р. 10 к., 5 000 экз.

В сборнике 2 статьи посвящены вопросам преподавания математики: «Решение типовых задач» и «Решение задач по алгебре в VII классе».

Из опыта преподавания математики в начальной и средней школе. Сборник статей. Ответ, ред. Д. В. Сенчуков. (Воронежский институт усовершенствования учителей. Опыт передовых учителей Воронежской области, вып. III.) Воронежское областное книгоиздательство, 1941, 26 стр., ц. 1 рубль, 1 000 экз.

Две статьи сборника говорят о преподавании математики в средней школе: «Как я готовлюсь к урокам по математике» (в X классе) и «Внеклассная работа по математике».

Наумов А. А. — О технике решения тригонометрических уравнений. Алма-Ата, Казгосиздат, 1940, 36 стр., ц. 1 р. 70 к., 3 000 экз. (Материалы к январским учительским совещаниям управления нач. и средн. школы Наркомпроса Казахской ССР).

Из опыта Петропавловской средней школы № 2.

Материалы к январским учительским совещаниям. Сборник № 12, Математика. (Управление нач. и средн. школы Наркомпроса Казахской ССР.) Алма-Ата, Казгосиздат, 1940, 44 стр., ц. 1 р. 65 к., 3 000 экз.

Сборник содержит 4 статьи: Геометрия в VII классе. Составление уравнений по условиям задач. Решение задач на построение в VIII и IX классах. Исследование уравнений I степени (в X классе).

Методы повышения успеваемости в школе.

Труды I Всероссийской научно-педагогической конференции учителей РСФСР, ч. 1, Допущено НКП РСФСР. (Гос. научно-исследовательский институт школ НКП РСФСР.) М., Учпедгиз, 1940, 248 стр., ц. в перепл. 4 р. 50 к., 25 000 экз.

Шесть последних статей (докладов) сборника освещают опыт преподавания математики в средней школе: Как я добиваюсь высокого качества урока и прочного усвоения учащимися учебного материала. Как я стремлюсь дать учащимся прочные знания по математике. Приемы устного опроса на уроках математики как средство активизации интереса и внимания учащихся на уроке. Самостоятельная работа учащихся в классе и дома. Как я обучаю учащихся самостоятельно работать. Об опыте лучших учителей математики.

Об улучшении преподавания математики в средней школе. Сборник статей. (Гос. научно-исследовательский институт школ НКП РСФСР. В помощь учителю, № 20.) М., 1941, 60 стр., с черт., ц. 2 р. 30 к., 1 500 экз.

В сборнике помещены 3 статьи: Арифметика в V классе (Е. С. Березанская). Алгебра в VI и VII классах (В. Г. Прочухаев). Геометрия в VI и VII классах (Е. Д. Загоскина и A. И. Фетисов).

Преподавание математики в школе и подготовка учащихся к практической работе. Сборник статей. (Гос. научно-исследовательский институт школ.) М., изд. Наркомпроса РСФСР, 1941, 48 стр., ц. 55 к., 15 000 экз.

В сборнике даны 3 статьи. Практические навыки в связи с преподаванием арифметики в I—IV классах школы (Г. Б. Поляк). Практические навыки в связи с изучением математики в V—X класах школы (Н. Н. Никитин). Геодезические работы в средней школе (Я. С Герценштейн).

В конце сборника помещены аннотации к книгам по вопросу о землемерных работах в школе (за 1889—1936 гг.).

Сборник кафедры педагогики Одесского государственного универиситета, т. I, Одесса, 1940.

В числе других статей сборника помещены 2 статьи по вопросам преподавания математики: Домашние задания по математике в старших классах средней школы (стр. 73—85). К вопросу с тождественных преобразованиях в курсе тригонометрии средней школы (стр. 87-100).

Труды I научно-педагогической конференции учителей Ленинграда. Март, 1940. Под ред. О. Ф. Маланюка, B. К. Петрова, Е. Н. Петровой и Л. Е. Раскина. Л., Ленинградский городской институт усовершенствования учителей, 1940, 418 стр., с черт., ц. в перепл. 25 руб., 1 000 экз. В третьей части книги помещено 12 докладов учителей математики V—X классов средней школы Ленинграда,

ЗАДАЧИ

ПО ПОВОДУ ЗАДАЧИ № 16

(№ 1 журнала «Математика в школе» 1941 г.)

В. ГОЛУБЕВ (Кувшиново)

1. Следующее интересное предложение служит обобщением этой задачи. «Существуют два (или одно) /и-значных числа, любая целая степень которых оканчивается теми же m цифрами, написанными в том же порядке. Сумма этих чисел равна 10т+1».

Докажем это предложение для квадратов. Имеем два однозначных числа: 52 = 25 и б2 = 36, обладающих вышеуказанным свойством. (Числа на 1 и на 0 мы не будем рассматривать, так как уже при т = 2 нет числа на 1 и на 0, обладающих требуемым свойством.)

При m = 2 мы получаем, что для десятков числа (10*-[-5) должно быть х = 2, так как

Получаем число 25; 252 = 625. Вообще, пусть /я-значное число:

будет таким, что

Тогда, для m -J- 1-значного числа N =

имеем:

Но 2/1 — число, состоящее из круглых десятков, следовательно, число 102тд:2+ \0т-2пх, есть число с m -4-1 нулями на конце.

Поэтому, если х = а0, то N будет также обладать требуемым свойством.

Получаем рекуррентную формулу для определения старшей цифры m + 1-значного числа по /rc+1-й цифре п2 квадрата /я-значного числа. В случае а0 = 0 /гс-(-1-значное число, оканчивающееся на 5 и обладающее требуемым свойством, отсутствует. Но в этом случае для m + 2-значного числа первой цифрой будет m + 2-я цифра числа л2.

Согласно вышеизложенному, получаем следующие числа: 625; 90 625; 890 625; 2 890 625; 12 890 625 и т. д. Действительно, 6252 = 390 625; 90 6252 = 8 212 890 625 и т. д.

Пусть /я-значное число п обладает вышеуказанным свойством. Тогда для числа л, = = 10т —/г+1 имеем:

Так как п2 имеет последние m цифр те же, что и число п, мы получаем, что

т. е. число п также обладает вышеуказанным свойством.

Согласно этому мы получаем другой ряд чисел*: 76; 376; 9 376; 109 376 и т. д. Действительно, 762 = 5 776; 3762 = 14 1 376; 9 3762 = = 87 909 376 и т. д. 1 787 1 09 3762 = = 5 193 759 921 787109 376.

Докажем теперь методом совершенной индукции наше предложение для /г-й степени.

Тогда для kn имеем

Предложение доказано полностью.

2. Данное предложение справедливо и для чисел, написанных в любой системе счисления, если только основанием системы счисления не является простое число или целая степень простого числа. Так, при основании 6 имеем:

При а = 12 имеем:

Действительно, при а составном (а = тп) мы имеем k такое, что 1 < k < а и k2=k + aq; или k- (k — 1) делится на а, что возможно, например, если k делится на /и, k — 1 делится на п.

Итак, однозначные числа, обладающие данным свойством, в этом случае имеются, многозначные же мы получаем по определенному рекуррентному правилу.

Так, при а = 15 = 3-5 имеем: б2 = 36 = 26,5. (Здесь k = 6 делится на 3, k — 1 — 5.)

* Вычитанием: 101 — 25 = 76; 1 001 — 625 — 376 и т. п.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 1 1941 г.

I.

Квадрат со стороной а равновелик прямоугольнику со сторонами тип (/и<л). Найти численную величину отношения —, если периметр квадрата составляет — периметра прямоугольника.

По условию имеем:

(1)

Отсюда:

(2)

Следовательно, тип являются корнями уравнения:

Решив его, найдем:

Так как /я < я, то m = х2; п = хх. Тогда будем иметь:

В ряде решений дан ответ: —, т. е. не учтено условие, данное в задаче (/я<л).

2.

Найти целое положительное число, не являющееся точной восьмой степенью и имеющее 9 делителей. При делении этого числа на 312 в частном получается простое двузначное число и в остатке 1.

Пусть искомое число

где а, b, с... — простые делители числа х Известно, что число всех делителей числа х выражаются формулой (которую легко вывести элементарным путем):

Так как по условию Л^ = 9, то возможны лишь 2 случая: 1. а-}-1=9. Но тогда а = 8, и число X = а8, что противоречит условию. Остается единственный возможный случай. 2. а + 1 = 3; ß + 1 = 3. Тогда:

(1)

Обозначим частное от деления х на 312 через ?. По условию,

11<9<ЭТ, (2)

причем q — число простое. Будем иметь:

(3)

Множители ab+l и ab — 1 одинаковой четности (так как их разность 2) и один из них должен делиться на 13, а другой на q. Случай делимости одного из них на 13? исключается, так как тогда он будет, по меньшей мере, равен 13?, а другой множитель будет 312? пл равен -2-= 24, и разность между ними будет:

13? - 24 > 13-10 —24 > 2.

Следовательно, один из четных множителей будет 2?, 4?, 6? или 12?, а другой соответственно: 156, 78, 52, 26.

Так как разность множителей в (3) равна 2, то должно быть:

Задаче может удовлетворять лишь ? = 79 (по условию ? число простое)

Может удовлетворять задаче ? = 19.

Случаи 3 и 4 не дают решений, так как для ? получаются значения, меньшие 10.

Итак, испытываем ? = 79 и ? = 19.

Число 157 — простое и, следовательно, не дает решения.

Число 77 удовлетворяет задаче. Следовательно:

3.

Доказать, что если три числа х, у, z составляют геометрическую прогрессию, то:

(1)

1. Если ? — знаменатель прогрессии, то:

(2)

Тогда имеем:

(3)

С другой стороны:

(4)

Из (3) и (4) вытекает (1).

2. Имеем:

(5) (6)

Подставив из (6) в (5), получим требуемое равенство.

4.

Найти три положительных числа, составляющих геометрическую прогрессию, если известна их сумма и сумма их квадратов.

Пусть: x+y+z= я, (1)

(2)

Воспользовавшись равенством, доказанным в предыдущей задаче, получим:

Отсюда:

(3)

Вычтя (3) из (1), будем иметь

(4)

Тогда из (1) получим

(5)

С другой стороны:

(6)

Следовательно, х и z являются корнями уравнения:

(7)

Отсюда:

Одно из найденных значений и берем за х, другое за у.

Исследование. По условию а>0. Из (2) следует, что &>0. Из (4) следует, что должно быть а2>Ь. Корни уравнения (7) будут положительными (так как сумма и произведение их положительны). Найдем дискриминант уравнения (7). Он равен:

Но

Сделав подстановку, получим:

(8)

Так как а2>Ь, то дискриминант будет положительным при условии, если 36 — а2 > О,

Итак, условием получения решения задачи будет:

где Х\ и х2 — корни уравнения: ах2+Ъх++ с = 0. Определить, при каком условии полученное уравнение имеет равные корни.

Обозначив корни искомого уравнения через Ух и у2, по условию имеем:

Далее:

Итак, искомое уравнение будет:

Для. равенства корней необходимо, чтобы дискриминант уравнения был равен нулю т. е.

Условие будет выполнено, если:

1. Ь2 — 4ас = 0. Отсюда хх = хг. Очевидно, что тогда и ух = yt.

2. а — с = 0; а = с. Отсюда хххг = 1. Действительно, в этом случае:

В ряде решений давалось лишь какое-либо одно условие равенства корней.

5.

Составить уравнение, имеющее своими корнями:

6.

Составить квадратное уравнение, имеющее корни:

Определить, при каком условии полученное уравнение имеет противоположные корни.

Как и в предыдущем случае, можно выразить У\+у2 и yxyz через коэфициенты данного уравнения, в результате чего получим:

Но можно решить вопрос короче. По условию: Отсюда:

Точно так же:

Таким образом, искомое уравнение мы получим, заменив в данном х через Будем иметь:

или:

По раскрытии скобок и приведении подобных членов будем иметь:

Уравнение будет иметь противоположные корни, если коэффициент при у равен нулю, т. е.

Действительно, в этом случае хххг = 1, и мы имеем:

Совершенно неожиданно оказалось, что некоторые из приславших решение путают противоположные числа: а и — а с взаимнообратными числами а и~.

7.

Найти четырехзначное число, являющееся точным квадратом, если его две первые цифры одинаковы и две последние цифры одинаковы.

Пусть искомое число М = т2. По условию M — число четырехзначное, т. е.

Отсюда:

По условию число M имеет вид ааЬЬ. Следовательно, оно кратно 11, а так как M является квадратом, то оно кратно 121. Итак:

т. е. m может быть равно 33,44, ... 99.

Вместо того чтобы испытать все эти числа, можно провести следующие рассуждения.

Последние две цифры искомого числа одинаковы. Отсюда:

1) Последняя цифра числа m не может быть 5, так как квадрат числа, оканчивающегося на 5, всегда имеет цифру десятков 2.

2) Последняя цифра не может быть 1 или 9, так как квадраты таких чисел имеют на месте десятков четную цифру, т. е. не равную 1 или 9.

3) Последняя цифра не может быть 4 или 6, так как квадраты таких чисел оканчиваются на 6 и 4, а цифра десятков нечетная:

4) Остается одна возможная цифра 8, удовлетворяющая условию. Действительно.

8.

Сумма квадратов трех чисел равна 29645. Если каждое из них разделить на их О. H. D., то произведение полученных частных равно 2280. Найти эти числа.

Обозначив О. H. D. искомых чисел х, у, z через D, будем иметь:

(1)

где я, b и с не имеют общего делителя. Отсюда:

(2)

Значит, хг+уг+г% имеет делителем D*. Разлагаем 29645 на первоначальные множители:

Следовательно, D2 может равняться 7*, II2 или 772.

Последний случай исключаем, так как разделив (2) на D2 = 772, получим:

но 5 не разлагается на сумму трех целых квадратов. Итак, или:

или:

По условию:

(3)

Следовательно, одно из чисел а, Ь, с, например, а должно быть равно или кратно 19. Но уже при а =19 имеем а2 = 361 > 245. Отсюда случай D = 11 тоже отпадает. Остается случай:

Одно из чисел а, Ь, с должно равняться 19, так как уже при а = 2-19 = 38 будем иметь а2 = 1 444> 605. Пусть а = 19. Тогда:

(4)

Из (4) видно, что большее из чисел b и с не может превосходить 15 (так как 162 = 256> > 244).

Пусть Ь= 15. Тогда из (3) с = 8, и будем иметь

Остается один возможный случай д = 2-5 = = 10 и 6 = 2-2-3=12, действительно удовлетворяющий задаче, так как

Итак:

я = 19; 6 = 10; с = 12; D = 7 и искомые числа:

*=133; у = 70; г = 84.

Середины сторон правильного шестиугольника со стороной а соединены последовательно прямыми. Середины сторон полученного шестиугольника опять соединены и т. д. Определить площадь л-го шестиугольника.

1) Докажем сначала, что полученный второй шестиугольник — правильный. Равнобедренные треугольники РАМ, MBN, и т. д. равны между собою по боковым сторонам и углу между ними. Отсюда:

PM = MN =... (1)

Каждый из углов при основании равнобедренных треугольников РАМ, MBN... равен

Отсюда углы при вершинах Р, М, N... второго шестиугольника равны каждый:

L Р = L M =(_ N = ... =180° - 2-30° = 120°.(2)

Равенства (1) и (2) и доказывают предложение.

То же рассуждение можно повторить и по отношению к каждому из последующих 6-угольников. Следовательно, все они будут правильными.

2. Определим сторону л-го 6-угольника.

Из треугольника ABC выводим, что MN =(как средняя линия). Но АС — сторона правильного вписанного треугольника и равна Отсюда:

или, обозначив сторону второго 6-угольника через а2:

То же рассуждение можем применить по отношению к каждому последующему 6-угольнику. Итак:

где k = 2, 3, 4... п. Получим ряд равенств:

Перемножив их и сократив на получим:

(5)

3. Определим, наконец, площадь иго 6-угольника. Она равна сумме площади шести равных правильных треугольников со стороной ап, т. е.

Можно было бы сразу определить отношение площадей второго и данного 6-угольников и, составив ряд равенств, подобный (4),

сразу найти площадь л-го шестиугольника. Мы имели бы:

Отсюда:

И далее

По перемножении и сокращении на S2 53... получим:

10.

В правильном шестиугольнике со стороной а каждая из сторон разделена (идя в одном направлении) в отношении т:п и точки деления соединены последовательно прямыми. Определить стороны второго шестиугольника.

1. Аналогично предыдущей задаче докажем что второй шестиугольник правильный.

Здесь:

Отсюда:

M следовательно:

PM = MN = ... (1)

Далее, имеем:

(2)

Из (1) и (2) и следует предложение. 2. Из треугольника РАМ имеем:

или:

и окончательно:

п.

Основания биссектрис треугольника ABC со сторонами а, Ь, с соединены прямыми. Найти отношение площади каждого из четырех полученных треугольников к площади данного.

1) По свойству биссектрисы имеем:

(1)

Беря производные пропорции, получим:

(2)

Аналогично получим:

(4)

2. Обозначив площадь треугольника ABC через 5 и применяя теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, найдем:

(5)

Аналогично получим:

(6)

Не трудно видеть, что (6) можно было получить из (5) круговой подстановкой. Сложим (5) и (6).

(7)

Найдем, наконец:

(8)

После очевидных преобразований из (8) получим:

(9)

12.

Дана окружность радиуса /?. Построить квадрат так, чтобы одна из его сторон касалась окружности, а две остальные вершины лежали на окружности. Вычислить сторону квадрата.

1. Анализ. Пусть ABCD — искомый квадрат. На стороне ВС строим квадрат, описанный около данной окружности. Так как диаметр KL — ось симметрии обоих квадратов, то диагонали прямоугольников MNKL и ABKR составляют одну прямую. Отсюда построение.

2. Построение. Описываем квадрат около данной окружности. Середину k одной из его сторон соединяем с противоположными вершинами M и Q. Полученные точки А и D пересечения КМ и KQ с окружностью соединяем прямой и из них же опускаем перпендикуляры на NP. Доказательство не представляет затруднений. Решение всегда возможно и единственное.

3. Найдем сторону х квадрата ABCD. Из треугольника MNK, где MN — 2R и NK= R» имеем:

(1)

По свойству касательной ML и секущей МК;

или:

(2)

Тогда:

(3)

или: отсюда:

Наконец, из треугольника АВК:

2. Можно итти обратным путем: сначала» вычислить сторону искомого квадрата, а затем построить его. Обозначив сторону через X, будем иметь в треугольнике АКО:

Тогда:

Построение не представляет затруднений.

13.

Решить уравнение:

(1)

Разложив трехчлены, получим:

(2)

По возвышении в квадрат:

Отсюда:

После обычных упрощений получим:

(3)

Оба корня этого уравнения: 7 и 6 — удовлетворяют и данному уравнению.

14.

В круг радиуса Я вписан правильный л-угольник. Произвольная точка M окружности соединена прямыми со всеми вершинами многоугольника. Найти сумму квадратов и сумму четвертых степеней полученных хорд.

1) Обозначим w МАг = а. Тогда длины хорд будут:

(1)

Искомая сумма S2 будет равна:

(2)

Воспользуемся формулой:

и произведем замену в (2). Приняв во внимание, что

(подробных вычислений не приводим, так как они, во-первых, довольно просты, во-вторых были даны в статье т. Яглома в № 4 1938 г.), окончательно будем иметь:

(3)

Все присланные решения идут этим путем. Лишь решение т. Шебаршина дает другой способ. Приведем это решение.

Пусть АВ = ВС =... = FG = GA = a;

АМ = х1; ВМ = х2; СМ = х3; DM = x4; ЕМ = х5; FM = хь и т. д. L A MB = L ВМС — ...= L FMG = ос, как опирающиеся на равные хорды.

Следовательно, L АМО — па — а, где п — число сторон многоугольника. Но па = 180°, а потому

L AMG = 180°—а.

Заметим, что а = 2R sin а и из треугольников АМВ, ВМС... FMG и AMG определим сторону а. Получим:

Заменяя cos (180° — а) через —cos а и складывая, получим:

Здесь S2—искомая сумма квадратов хорд.

Итак:

или:

откуда S2= 2 nR2.

2) Вычисление суммы четвертых степеней «S4 можно провести тем же путем, как и вычисление S2. Имеем:

Давая здесь <р значения и сложив результаты, найдем:

По предыдущему, второй член правой части равен нулю. Для вычисления последней суммы, воспользуемся формулой:

Повторяя тот же процесс, что и при нахождении S2 найдем:

И окончательно:

15.

Построить вписанный треугольник, если на окружности даны три точки пересечения продолжений высот треугольника с окружностью.

Пусть ДЛЯС — искомый, ЛЛ„ BBt и СС, высоты. Имеем:

L 1 + L В = 90°; L 2 + L В = 90°. Отсюда:

L 1 = L 2 и w ВА, = w£Ci. (1)

Совершенно аналогично получим;

w ЛС, = w АВг; w САг = w С В,. (2)

Таким образом вершины Л, ß, С искомого треугольника делят пополам дуги AtBtt ВЛС\ и С,Л„ концы которых А{ВХ и Ci даны по условию.

Построение очевидно.

Такое решение с небольшими вариантами было дано всеми, в том числе и автором задачи.

Лишь только трое подвергнули задачу детальному исследованию и дали полное ее решение,

Из присланных решений приведем полностью решение М. Шебаршина (Медвежегорск).

(См. черт.) Пусть M,NyP— точки пересечений высот (или их продолжений) Д ABC с описанной около него окружностью.

Имеем:

т. е.

Отсюда:

^ AM = ^ AM, т. е. вершина Л лежит на пересечении с окружностью биссектрисы ОР угла Р треугольника MNP.

Аналогично находим положение вершин Б и С, и ДЛВС построен. Однако это далеко не все: проведя биссектрисы Nßi и МСг внешних углов Д MNP, найдем еще A ÀBjÇu удовлетворяющий условиям задачи. Чтобы в этом убедиться, надо доказать, что ВгЫ 1 АС* и CtM±ABt.

Так как |_ CNB1 = l ВМСх = 90°, то CB1 = BC1 = 2R, т. е. ВХСХЦВС и В,С, = ВС.

Имеем еще: \_ BCN = 90° — [_ £; следовательно, i BCN = j_ ßtCH, а так как #C || £А, то yld || CN, но BtN±CN, следовательно BXN J_ ЛС1.

Очевидно, эти рассуждения можно повторить по отношению к CtM.

Аналогично можно построить еще по треугольнику около вершин В и С, т. е. всего 4 треугольника: ДЛ£С; AAB.Cû ДВВ£2 и ДССА.

Итак, в общем виде, задача допускает построение 4 треугольников.

Частные случаи будут получаться тогда, когда мы не сможем получить одной из точек Ви СА и С2, т. е. когда «внешние» биссектрисы Д MNP не пересекут окружности. Это будет иметь место в том случае, если одна или все прямые BtNt С2Р, СХМ будут касательными. Но, например, РС2 будет касательной в том случае, если АР будет диаметром, NP будет равна MP. Число возможных треугольников от этого не уменьшится: точка С2 совпадет с точкой Р и будет иметь место Д СХСР = Д ВХВР.

Если MN = MP = NP, то легко видеть, что искомыми будут треугольники ABC, AMN, BNP и CMP.

Если точки M и N совпадают, то Д ABC — прямоугольный.

16.

Найти трехзначные числа, любая степень которых оканчивается теми же тремя цифрами (и в том же порядке).

Приведем наиболее короткое решение. Пусть п — искомое число. По условию п2 оканчивается теми же тремя цифрами. Следовательно, разность п2 — п оканчивается тремя нулями. Но так как nk — п всегда делится на п2 — л, то в данном случае и nk — п тоже должна оканчиваться тремя нулями, т. е. пк при любом (целом положительном) k оканчивается теми же тремя цифрами, что и ri).

Итак для решения задачи достаточно найти все числа, квадрат которых оканчивается теми же тремя цифрами.

Как уже показано п2 — п = п (п — 1) должно делиться на 1 000. Так как п и п — 1 —числа взаимно простые то одно из них должно делиться на 8, другое на 125, будучи нечетным. Трехзначные числа, удовлетворяющие последнему условию, будут: 125, 375, 625, 875.

Но 124, 126, 374, 626, 874, 876 не делятся на 8, делятся же только 376 и 624. Итак» искомые числа 376 и 625.

В задаче была явная опечатка («оказывается» вместо «оканчивается»). Подавляющее большинство правильно поняли задачу. Но некоторые искали число, любая степень которого равнялась бы самому числу. Совершенно ясно, что кроме единицы никакое число такому условию удовлетворять не может. Ошибочные решения давали один ответ вместо двух.

17.

Определить площадь трапеции по площадям двух треугольников, образованных диагоналями и прилежащих к основаниям трапеции.

Обозначим:

Будем иметь:

(1)

Но:

Определим

Из подобия треугольников AOD и БОС имеем:

(2)

(3) (4)

Подставив из (4) в (3), получим:

(5)

следовательно:

(6)

Подстановка в (1) дает:

(7)

что и дает ответ на задачу.

18.

Найти два положительных числа, кратные четырем, разность кубов которых равна четырехзначному числу, кратному 91.

Обозначим искомые числа: 4х и 4у С*>у). По условию имеем:

(1)

При fc> 1 правая часть будет иметь больше четырех цифр, что противоречит условию. Итак, k = 1. и из (1) получим:

(2)

Так как оба множителя левой части — целые положительные числа и притом х —у <х2 + +xy+y2, то возможны два случая:

Но в первом случае:

Следовательно, этот случай отпадает. Во втором случае:

По условию у положительно. Итак:

Искомые числа:

ух ^24; 4_у = 20.

19.

Решить уравнение:

Перемножим множители равноотстоящие от концов:

(1)

Произведем подстановку:

(2)

Получим:

(3)

Разложим левую часть (3) на множители:

Отсюда:

(4)

(5)

Подставив из (4) и (5) в (2), получим три уравнения:

решив которые, найдем:

Так как преобразования не могли ввести посторонних корней, то без проверки очевидно, что все шесть корней удовлетворяют данному уравнению.

20.

Решить уравнение:

При каких значениях а уравнение имеет смысл? Обозначим:

(1)

Тогда:

(2)

Воспользуемся тождеством (которое легко проверить):

(3)

(Тождество легко получается, если разложить (a+bf по формуле бинома и сгруппировать члены, равноотстоящие от концов многочлена.)

Положив в (3) а = sin2 <р; b = cos2 <р, получим:

или:

(4)

Положим:

(5)

Тогда из (4):

(6)

Решив уравнение (б) найдем:

(7)

Умножив обе части (7) на 4, получим:

(8)

Корень

как больший единицы отбрасываем. (Понятно, что мы считаем 1^5(1+4я) вещественным числом, так как а >0 ках сумма четных степеней двух чисел.) Итак, имеем, приняв во внимание (1):

(9)

Отсюда:

и окончательно:

Для того, чтобы уравнение имело смысл необходимо:

Отсюда:

Решив это двойное неравенство относительно а, найдем:

ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ

61. Сумма четырех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 1. Сумма их кубов равна 0,1. Найти эти числа.

И. Кацман (Житомир)

62. Доказать (не пользуясь формулой Кардана), что при вещественных корнях уравнения X3 + рх + q = 0 коэфициент /?<0.

И. Кацман

63. Обратить периодическую дробь 0д,637637..., изображенную в девятиричной системе, в обыкновенную дробь, изображенную по десятиричной системе и проверить полученный результат обращением его в периодическую дробь, изображенную по девятиричной системе.

Б. Костриц (Ленинград)

64. Доказать, что всякое число, не делящееся ни на одно из чисел 2, 3 и 5, есть всегда делитель числа вида 111—1.

Б. Костриц

65. Решить уравнение:

Н. Николаев (Хабаровск)

66. Решить систему уравнений:

Н. Николаев

67. Числа натурального ряда от 1 до 36 расположены в порядке возрастания в виде квадратной таблицы. Обводят кружком про извольное число и зачеркивают строку и столбец, на пересечении которых оно стоит. В оставшейся таблице снова повторяют ту же операцию и т. д., пока не исчерпают всей таблицы.

Найти сумму чисел, обведенных кружком. Обобщить на случай чисел от 1 до л2.

Ю. Соколовский (Москва)

68. Решить уравнение:

где X, у, z, и — однозначные числа.

М. Шебаршин (Медвежегорск)

69. Решить в целых положительных числах уравнение:

70. Решить уравнение:

если

71. Две коалиции Л и В ведут войну между собою. Нейтральные п государств находятся в нерешительности, причем известно, что р из них наверно не присоединятся к коалиции Л, а другие к наверно не присоединятся к коалиции В. Сколько новых положений может оказаться в этой войне в зависимости от дальнейшего поведения п нейтральных государств?

72. Решить систему уравнений:

73- Решить уравнение:

74- Для какого треугольника отношение

достигает минимума?

75- На отрезке MN, соединяющем основания внутренних биссектрис AM и BN треугольника ABC, взята произвольная точка /;, из которой опущены перпендикуляры PD, РЕ, PF соответственно на стороны ВС, CA и AB треугольника. Доказать, что

PF = PD + РЕ.

А. П. Хейн (Москва)

76. Треугольник DEF образован основаниями внутренних биссектрис треугольника ABC. Доказать, что треугольник DEF прямоугольный, если один из углов треугольника ABC равен 120э.

М. Шебаршин (Медвежьегорск)

77. Если в треугольнике один из углов равен 60J, то основания трех биссектрис внешних углов этого треугольника лежат на одной прямой. Доказать.

М. Шебаршин (Медвежьегорск)

78. Косоугольный треугольник разрезать на три части так, чтобы из них можно было сложить два треугольника, подобных данному.

Б. Боголюбов (Ульяновск)

79- Прямоугольный параллелепипед с ребрами в 8 см, 8 см и 27 см разрезать на четыре части, из которых можно было бы сложить куб.

Р. Н. Бончковский (Москва)

80. Дан круг радиуса R. В плоскости этого круга начертить семь кругов, каждый радиуса —, так, чтобы каждая точка данного круга принадлежала по крайней мере одному из этих семи кругов.

Р. Н. Бончковский (Москва)

ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ*

1. Доказать справедливость следующих тождеств:

3. Решить уравнения:

4, В шаре, радиус которого R = 2 дм, высверлено вдоль его диаметра цилиндрического вида отверстие. Найти объем оставшейся части шара, если радиус цилиндра г = _L#. (Ответ: 2 дм3),

Гайлевичус И. (Каунас),

5. Вычислить площадь заштрихованной части круга, если радиус круга равен г.

Томашевич

(г. Алитус)

6. Определить стороны треугольника, если одна из его сторон равна а и, кроме того, его стороны а, Ь, си высота ha образуют геометрическую прогрессию

Голубев В. (Кувшиново)

* Решений в редакцию присылать не следует. Для проверки правильности решений даются ответы.

7. Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию; его площадь равна — площади равностороннего треугольника с тем же периметром. Найти отношение сторон данного треугольника

(Ответ: 3:5 :7)

Голубев В. (Кувшиново)

8. Доказать, что проекции любой точки окружности на стороны вписанного в эту окружность треугольника, лежат на одной прямой (прямая Симсона).

Костриц Б. (Ленинград)

9- Пересечь плоскостью выпуклый четырехгранный угол так, чтобы в сечении получился параллелограм.

Б. Костриц (Ленинград)

10. Следующие тригонометрические выражения привести к виду, удобному для логарифмирования:

И. Гайлевичус (Каунас)

СВОДКА ПО № 6

Отличительным свойством решений по этому номеру является громадное количество неверных решений, несмотря на то, что задачи в подавляющей части очень легкие. Наиболее частая ошибка — потеря корней и притом только в одном случае (из трех) — мнимых. Перечислим основные ошибки. В № 101 давались неверные ответы в результате неправильных вычислений. В № 102 находился лишь общий корень двух уравнений, а самые уравнения не решались. Иногда, наоборот, оба уравнения решались независимо друг от друга, что не совпадает с требованием условия задачи. Полных решений задачи № 103 почти никто не дал. Решившие ограничивались рассмотрением одного из возможных случаев. Такие решения все же засчитывались.

В № 104 давались 2 решения вместо четырех. Во многих случаях давался такой ответ: х = ±1; у — +8 без пояснений, берутся ли здесь любые знаки или только одновременно нижние или верхние. Такие решения засчитывались.

В № 105 давались два, реже три решения вместо четырех.

В № 106 давался многими ответ: х = 0 и х= 1 — задача ими была не понята.

Простая задача № 107 получила много недопустимо громоздких и длинных решений. Впредь подобные решения засчитываться не будут.

В № 110 давались только положительные решения.

В № 115 доказывалась только необходимость условия.

В № 118 пропускались комплексные корни.

В № 120 при правильном большею частью ходе решения делались ошибки при преобразованиях.

Даем сводку количества верных и неверных (в скобках) решений. № 101—86(7); № 102— 99(12);№ 103 — 44(22); №104-86(39); № 105 — 88 (37); № 106 — 24 (41); № 107 — 110 (5) № 108—115 (0); N2 109 — 70 (3); N2 110 97(18); N2 111—57(2); № 112 — 75(1); N2 113-116 (5); № 114 — 53 (4); № 115 — 59 (28); № 116-58 (12); № 118 — 26 (92) N2 119—59(4); № 120—66 (17).

По техническим причинам в приводимом ниже списке алфавитный порядок фамилий не соблюден.

Л. Александров (Днепропетровск) 101—103, 107—109, 111—116, 118—120. А. Алексеев (Зарайск) 102, 104, 107, 108, 113, И. Алексеев (Орловка) 101-103, 107-110, 112, 115. А. Антоненко (Красноград) 102, 108, 109, 113. Е. Алмазова (Торбеево) 101 — 103, 107, 108, 110—115. О. Аракелян (Кисловодск) 107, 108, 110, 113, 116. Б. Андреев (Омск) 101, 102, 104, 105, 107—110, 113, 114, 116, 120. П. Бабанов (Языково) 102, 105, 107-111, 114, 120. С. Андреев (Торжок) 101, 102, 106-116, 118, 119, Й. Белов (Березо-Балка) 102, 105, 107, 108. 111—113, 115, 116, 119, 120. Г. Ахвердов (Разлив) 104-108, 112-115. 118-120. Г. Битер и Э. Прислер (Коломыя) 101, 102, 104, 105, 107, 108, 113, 115. И. Барщевский (Сухой Лог) 111—120. С. Бернштейн (Вороново) 105, 107, 110, 113. М. Борохович (Молотовка) 101, 110, С. Болдырев (Киров) 120. В. Берестовский (Новоград-Волынск) 101—104,107—113. Г. Бондаренко (Саша) 101, 102, 104, 107, 108, 110-112, 115. С. Бернштейн (Воронково) 103, 104, 112, 114, 119. И. Бригадин (Черепаново) 108. К. Брехов (Москва) 101-105, 107—113, 118. Л. Бубис (Полтава) 104, 105, 108, 110. И. Бурешов (?) 101, 108, 110, 113, 120. Я. Волок (Житомир) 101-105, 107—110, 112—114, 116, 120. А. Бутенко (Сорочинск) 113. Г. Голянд, Д. Красовский, С. Третьяков (ст. Ленинградская) 102, 104, 105, 107-110, 113-116, 118, 120. Вайсинштейн (Гайсин) 101, 102, 104, 107—110, 113, 117. С. Городов (Ленинград) 101, 102, 104, 105, 107—109, 111-116, 119, И. Гондиса (Житомир) 102, 105, 107, 108, 110. 113. И. Гурский (ст. Пиков) 101, 102, 104, 105, 107-109,111—113, 115, 116, 118, 119. Р. Варшавский (Кр. Слобода) 104, 105, 110, 113, 114. Я. Жовтун (М. Локня) 101, 102, 104, 107—113, 120. Н. Введенский (Георгиевское) 101— 116, 119, 120. И. Жуков (Ст. Дивизионная) 101, 102, 104, 106—116, 119, 120. А. Вернигор (Красная Гора) 101, 104, 107-109, 111, 112.

(Продолжение сводки см. на 3-й стр. обложки).

Д. Захаров (Канаш) 102, 104, 107, 108, 111-113, 116, 120. Г. Винокур (Калининдорф) 101, 106, 107, 111, 112, 116. Л. Иванов (Торопец) 101—104, 106-112, 114-116, 118 — 120. Л. Владимиров (Ялта) 111—120. М. Иванов (Тула) 116, 119. М. Владиславлев (Калинин) 101—105, 107, 108, 110, 112, 113, 115, 116, 118, 120, А. Кердиваренко (Березо-Балка) 101, 102, 104, 106, 108—113. В. Гильц (Ханты-Маноийск. 104, 105, 107, 108, 110, 113-116, 119, 120) П. Китайгородский (Москва) 101 — 103, 105, 107, 110—114, 117, 120. А. Гинесин (Ленинград) 102-108, 110, 112—115, 120. К. Ковалев (Краснодар) 104, 108. Ф. Годлевский (Кужер) 101, 102, 107, 108, 110, 113. Корнишкин (Турки) 101—105, 107, 115,118—120. И. Голайдо (Красная Гора) 101—105, 107-109, 111-113, 115, 116, 119, 120. Ф. Кузнецов (?) 107—109, 113, 120. Л. Гольдман (Свердловск) 107. В. Лимонов (Старожилово) 101, 102, 104, 107, 108, 110, 111, 113—115. Л. Грекулова (Куйбышев) 102, 104, 105, 107, 108, 110, 113, 115. Л. Медведев (Панфилово) 104, 107—114, 119. Л. Григорян (Ереван) 101, 104, 105, 107, 113, 120. Л. Мирхайдаров (Мензелинск) 101, 102, 110, 112. Т. Дегтерева (?) 102, 103, 105, 107, 108, 110-115, 119, 120. Дегтярь (Калининдорф) 101, 103—105, 107, 108, 110—115, 119. Я. Дзигава (Тбилиси) 101, 103, 105, 107, 110, 113, 115, 116, 118. Я. Доброгай (Мелитополь) 101, 102, 104—108, 110, 112, 113, 115. В. Дмитревский (Ленинград) 101, 102, 104, 105, 107; 108, 112-114, 116, 119, 120. Б. Дудолькевич (Пятигорск) 104, 107, 108, 113, 120. Л. Запорин (Изюм) 101, 102, 107—110, 113. И. Зиндер (Житомир) 101, 102, 106—108, 112, 113, 116, 120. Я. Зубилин (Нарышкино) 101—105, 107—113. Л. Иванов (Ипатово) 102, 104, 105, 108, 110, 115, И. Кацман (Житомир) 102, 104, 105, 108, 110, 115. М. Кекелия (Бандза) 101—105, 108, 111—117, 119, 120. Я. Кириллов (Ярославль) 101, 102, 104, 107-109, 113, 117, М. Климов (Дорогобуж) 102, 104, 105, 107-110, 112, 114—116, 119. М. Клейнер (Житомир) 104, 108, 111. И. Клейнман (Кривой рог) 105, 108, 113, 120. Б. Кобылин (Галич) 101-117, 114, 120. С. Колесник (Харьков) 101, 102, 104, 105, 107, 108, 110—116, 119, 120. Г. Копылов (Днепродержинск) 101-105, 107, 108, 110, 113, 115, 116, 119. Г. Корчагин (Усть-Кулом) 101—105, 107—116, 118, 119. Л. Костовский (Мелитополь) 101—104, 107—110, 112—116, 119. Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Глазово) 101—105, 107—116, 120. В. Корталевич (Хоново) 116, 119. И. Кугай (Новоград-Волынск) 105, 107, 113, 116. Лебедев (Обоянь) 102, 107, 112, 113, 116, 118, 119. Ю. Лепешкин (Кузнецк) 113, В. Линис (Елгава — Латвия) 101, 102, 105, 108—116, 118—120. И. Лифшиц (Гомель) 102, 104, 105, 107, 108, 110, 113, 117, 120. Л. Логашов (Павловка) 101—103, 105, 107—109, 111—114, 116, 117, 119, 120. Я. Луконин (Кемерово) 101, 102, 106—108, 110, 112. Я. Любочский (Ст. Русса) 102, 104-106, 108, 113-115. М. Метелицына (В. Михайлов) 101, 102, 104, 105, 107, 108, 110, 113, 114, 117, 120. Лядская (Синельниково) 105, 113. М. Мкртичян (Майкоп) 102, 107, 108, 110-113. М. Макаров (ст. Филоново) 105, 108. Б. Пеньковский Казань) 101, 102, 104-108, 110, 113-116, 120. Л. Манукян (Ереван) 102, 107—111, 113, 115, 116, 119. И. Повзнер (Москва) 102, 104, 105, 107—110, 113. Е. Марчевская (Харьков) 111, 112, 114, 120. Г. Подвальный (Калининдорф) 101, 102, 104, 105, 107—110, 112-114, 116, 119, 120. Б. Мельман (Глуск) 102, 104, 105, 107, 108, 110, 113, 119, 120. П. Постников (Рязань) 102, 105, 107—113, 117, 119, 120. Л. Меркулов (Билимбой) 101—105, 107, 110, 112—116, 118-120. Я. Прус (Макишин) 104, 107, 110, 113. M. Ромоданов (Музыковка) 108, 118. М. Родомысельский (Киев) 101, 102, 104, 105,107-110, 113, 114. С. Рябоконев (Евданово) 104, 105, 108; 109, 113. С. Садиков (Баку) 101, 104, 110, 113. М. Месяц (Житомир) 101—120. Л. Табак (Воровичи) 108—110, 112. Г. Мискарян (Кировабад) 101, 102, 104, 105, 107-117, 119, 120. М. Томилов (Городище) 101, 102, 104, 105, 108, 113. В. Михельсон (Воронеж) 102. Л. Тунин (Калининдорф) 101—103, 105, 107 —109, 111—114, 119. Л. Могильницкий (Гайсин), 101-105, 107-117, 119, 120. В. Ураевский (Кузнецк) 107, 109, 118. Я. Мхитаиов (Махачкала) 101—103, 115, 116, 119, 120. Я. Усачев (Ново-Корсунская) 101, 103, 105—110, 113. С. Погосян (Ереван) 104, 111-113, 118. В. Примост (Одесса) 101—103, 106, 107, 109, 111—117, 119. Ушанов (Чистяково) 101, 103, 107—110, 113, 114, 120. Е. Пушрев (Пенза) 101, 105, 107-109, 112, 113, 118. В. Федоров (Березово) 101-103, 105, 107-114,116,117, 119, 120. Я. Фришман (Вологда) 101, 102, 105, 107-110, 113, 115, 116, 119, 120. Р. Реннерт (Новогрудок) 101—105, 107—110, 112, 113, 118—120. Л. Хайруллин (Мензелинск) 102, 105, 107, ПО, 112, 113, 116, 119, 120. 8. Саннинский (Сорочинск) 101—105, 107, 108, 110, 112, 113, 115, 116, 118-120. Ф. Чекалин (Скопин) 101, 105, 107, 108, 110. Я. Сергачев (Рузаевка) 101, 102, 104, 105, 109, 113, 115, 120. М. Шебаршин (Медвежегорск) 101—120. Б. Симонович (?) 101—107, 109—116, 119, 120. Э. Ясиновый (Березо-Балка) 101, 102, 104, 105, 107—116, 119. Я. Смирнов (Ленинград) 102, 108, 113. Л. Сорокин (Старое-Грязное) 104, 105, 107—113, 116, 119. М. Сорокин (Загорск) 101-105, 107—110, 113, 115, 116, 119. М. Спектор (Житомир) 102, 104, 105, 107, 108, 110, 113, 115. Р. Срода (Астрахань) 104, 107, 108, 113, 120. Л. Табахович (Мариамполь) 102, 105, 107, 113, 116, 118, 119. Л. Твалавадзе (Баши) 102, 104, 105, 108, 110, 113, 118, 120. Я. Титов (Казань) 101, 102, 104-116, 119, 120. Е, Тачошевич (Алитус) 102, 104, 108, 120. Л. Хайруллин (Мензелинск) 101, 115. С Хафизов (Каракашлинск) 105, 107—110, 113, 119. Е. Хвастовский (Сталинград) 101, 102, 106— 116, 118-120. Я. Хичов (Суна) 107, 110, 116. Я. Чижиков (Краснослободск) 101, 108, 113. Я. Чучко (Орджоникидзе) 101, 102, 105, 107—114, 116, 119, 120. В. Шалупенко (Куйбышев) 101—105, 107, 108, 110, 113, 116, 119, 120. Л. Шафаренко (Лебедин) 101—103, 106—110, 112, 113, 115, 118, 120. Л. Шварцбург (Иркутск) 102, 105, 107-109, 111—113, 115, 120. Я. Шкарупа (Ростов-на-Дону) 104, 107, 108, 110, К. Яржемский (Горький) 101, 102, 104, 107— 110, 113. А Яцына (Мелитополь) 101—103. 105-107.