МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

3

1941

УЧПЕДГИЗ НАРКОМПРОСА РСФСР • МОСКВА

ОТ РЕДАКЦИИ. Редакция настоятельно просит при присылке решений соблюдать следующие правила.

1. Решения задач присылать отдельно от какой бы то ни было другой корреспонденции (рукописи, вопросы к редакции и т. п.).

2. Решения должны быть написаны чисто и разборчиво.

3. Крайне желательно для облегчения проверки чтобы решение каждой задачи было написано на отдельном листке, так, чтобы его можно было отделить от других.

4. Решения, написанные грязно и неразборчиво, редакцией рассматриваться не будут.

5. Задачи для помещения в журнале должны присылаться вместе с решениями.

6. Не принятые к напечатанию задачи уничтожаются, и ни в какую переписку по поводу их редакция не вступает.

СВОДКА ПО № 5 1940 г.

По настоящему номеру обращает на себя внимание большое количество неверных решений сравнительно простых задач. Прежде всего отметим большое количество длиннейших и сложнейших решений таких задач, как № 83, 84, 85, 92, легко поддающихся очень короткому решению. Так, в задаче 84 «доказательство» в целом ряде решений приводилось путем непосредственного деления, причем отыскивался закон составления частного и остатков. Многие эту же задачу решали, представляя корни трехчлена х2+х+-(-1 в тригонометрической форме. Другой характерный факт, обращающий на себя внимание,—это то, что ошибки в решениях в громадном большинстве случаев носят элементарный «ученический» характер. Так, в задаче 90 ошибка заключалась в нахождении только одного корня (2kiz — а или 2Ы — — ß) в силу того, что из равенства sinx — = sina выводилось лишь соотношение; х = = 2пп + о, т. е. делалась ошибка, недопустимая для ученика IX—X классов. Иногда в этой же задаче ответы давались в такой форме: — а; —- ß. В задаче 92 невозможность деления нацело х2Зх5 на 121 при целых значениях х «доказывалась»: 1) тем, что je2+3# + 5 не является квадратом двучлена и потому не может делиться на II2; 2) тем, что трехчлен имеет комплексные корни и равен (х — о)-(х—-ß), где а и ß числа комплексные, а потому ни X — а, ни х — ß не могут делиться на 11 и т. п. Особенно удивляет большое количество решений задачи 99, в которых утверждалось, что при наличии равенства пяти элементов треугольники всегда будут равны. (Кстати в № 1 журнала за 1934 г. есть интересная статья т. Зетель «Об одном замечательном случае неравенства треугольников», детально излагающая этот вопрос.) По задачам № 87, 88 не были найдены все числа, удовлетворяющие условию. По задаче № 47 были даны разнообразные и интересные решения, но нужно признать, что самая формулировка задачи неудачна и неясна. Возможно, что к ней удастся вернуться еще раз. Итоги проверки решений рисуются в следующем виде (в скобках дано число неверных решений); № 81—95(3); № 82-91(4); № 83-61(2); № 84-48(1); № 85—97(3); № 86-30(19); № 87-25(10); № ,88—18(11); № 89-70(7); № 90-58(24); № 91—79 (6); № 92—44(8); № 93-34(0); № 94-60(17); № 95-56(7); № 96—58(2); № 97—19(2); № 98-61(10); № 99—20(31); № 100-70(3).

Л Д. Алапашвили (Тбилиси) 81—85, 90, 91* 94. Л. Александров (Днепропетровск) 81—84» 86, 87, 89, 91—93, 95, 96, 98-100. В. Алмазова (Торбеево) 81-85, 91, 94, 96, 100. Б. Андреев (Омск) 81—96, 98, 100. С. Андреев (Торжок) 81—85, 89—93, 95, 96, 98, 100. О. Аракелян (Кисловодск) 81, 89—91, 94, 100. Е. Афанасьева (Рязань) 85, 91. Г. Ахвердов (Ленинград) 81—93, 96, 98—100. Я. Бабаков (Языково) 81, 85, 94, 95. Я. Барщевский (Сухой Лог) 81—100. Я. Белов (Березо-Балка) 81—85, 89— 92, 96, 100. В. Берестовский (Новоград-Волынск) 81, 82, 85, 89—92, 94, 95, 98. Л. Бубис (Полтава) 81, 82, 96, 100. Я. Буренков (Сещинская шк.) 85, 91. Г. Вайсинштейн (Гайсин) 81, 85, 95. Р. Варшавский (Красная Слобода) 81, 82, 85, 90, 96. Я. Введенский (Георгиевское) 81—98, 100. А. Владимиров (Ялта) 81 — 100. Я. Волок (Житомир) 81, 82, 89—91, 94» 96, 98, 100. В. Волченский (ст. Выселки) 82* 85. Гаврилов (Злынка) 100. Р. Глейзер (Калининдорф) 81—85, 87, 89—96, 98—100. Ф. Годлевский (Кужер) 82, 83, 85, 86, 89, 91, 94, 96* 98. Я. Голайдо (Красная гора) 81—86, 88—92, 94—96, 98—100. Г. Голянд, Д. Красовский* С. Третьяков (ст. Ленинградская) 81, 82, 84, 85, 89—92, 95, 96, 100. С. Городов (Ленинград) 81—94, 96, 98, 100. А. Григорьев (Ереван) 81, 82, 85, 91. Я. Гурский (Калиновка) 81—84, 89, 92, 94, 96. 98. А. Дегтярев {Калининдорф), 81—83, 98, 100. О. Денисюк (Орел) 81—83, 85, 89, 96, 98, 100. Я. Дзигава (Тбилиси) 82, 83, 85, 89—91, 94, 95, 98, 100. Я. Доброгай {Мелитополь) 81—85, 91-93, 98—100. Б. Дудолькевич {Пятигорск) 81—85, 89, 91, 93—96, 98, 100. Я. Жовтун (М.— Локня) 81, 83, 85, 89, 91, 94, 96-100. И.Жуков (ст. Дивизионная) 81—85, 87, 89, 90, 92-98, 100. А. Закорин (Изюм) 85, 89, 91, 94. Д. Захаров (Канат) 81, 82, 95, 98. Л. Зернова (Орел) 81—83, 85, 89—91, 95, 98, 100. Я. Зиндер (Житомир) 81, 82, 85, 94, 95, 98, 100. Я. Зубилин (Нарыш-

Продолжение см. на 2-й стр. обл.

Пролетарии всех стран, соединяйтесь!

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

3

1941

МАЙ - ИЮНЬ ГОД ИЗДАНИЯ ВОСЬМОЙ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА*

Проф. П. С. АЛЕКСАНДРОВ и академик А. Н. КОЛМОГОРОВ

(Москва)

§ 13. ПРОИСХОЖДЕНИЕ ЧИСЕЛ ОТ СЧЕТА. И ИЗМЕРЕНИЯ

Самый простой математической операцией является счет предметов. Чтобы узнать, сколько яблок в корзине или гусей в стаде, их надо сосчитать. В результате счета предметов получаются целые положительные, т. е. натуральные числа.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13...

С натуральных чисел и начинается обучение арифметике; с них начинается и вся наука математика.

Первое новое число, с которым человек знакомится, после того как он привык к обращению с натуральными числами» это число нуль, обозначающее, как мы уже давно знаем, что предметов, которые мы собирались сосчитать, совсем не оказалось; если в корзине не осталось ни одного яблока, то число яблок в корзине равно нулю. Таким образом, число нуль возникает из той же операции счета в несколько расширенном ее понимании.

Однако уже самые простые потребности повседневной жизни заставляют нас не только считать предметы, но и измерять величины. Нам постоянно приходится измерять веса, расстояния, площади, объемы, промежутки времени, словом, величины самых разных родов. Величины каждого рода измеряются при помощи какой-либо определенной величины данного рода, выбранной за единицу измерения. Например, веса измеряют граммами, расстояния — метрами и т. д.

Измерить какую-либо величину значит сравнить ее с единицей измерения.

В результате измерения получается число, показывающее, сколько раз единица измерения укладывается в измеряемой величине. Например, измерить расстояние между двумя станциями железной дороги значит узнать, сколько в этом расстоянии укладывается километров; измерить объем кадки значит узнать, сколько в ней умещается литров и т. д. Если между двумя станциями 12 км. если в кадке 63 — л, то в результате измерения получились числа 12 и 63-^-. Числа, получающиеся в результате измерения величин, могут быть не только целыми: в результате измерения могут получаться как целые, так и дробные числа. Таким образом, счет предметов приводит нас только к целым числам, а измерение величин — как к целым, так и к дробным.

Далее, измерение направленных величин (длины направленных отрезков, промежутков времени, скоростей и т. д.) привело нас еще в первой части алгебры к необходимости ввести отрицательные числа.

Мы вспомнили сейчас три последовательных обобщения понятия числа:

* Статья представляет собою главу из 2-й части учебника алгебры, подготавливаемого авторами к печати. Редакция просит отзывы и замечания по данной статье направлять в редакцию.

1) к первоначальному запасу натуральных чисел присоединяется число нуль;

2) рядом с целыми числами появляются дробные числа;

3) вводятся отрицательные числа.

В результате этих трех пополнений запаса чисел сначала числом нуль, потом дробными числами и, наконец, отрицательными числами (целыми и дробными) мы получили совокупность всех рациональных чисел. Рациональные числа составляют тот числовой запас, которым мы пользовались на протяжении всей первой части курса алгебры.

Сейчас мы стоим перед новым шагом в расширении понятия числа: перед введением так называемых иррациональных чисел. Так же, как и переход от целых чисел к дробным, необходимость введения иррациональных чисел возникает из задачи измерения величин.

Основной вопрос, который стоит перед нами, таков: всякое ли измерение приводит к рациональным числам или существуют такие величины, которые при данной единице измерения не выражаются никаким целым или дробным (т. е. рациональным) числом?

§ 14. ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ

Рассмотрим ближе операцию измерения величин, при этом остановимся только на измерении длин отрезков. Все, что будет сказано относительно измерения длин, можно было бы повторить и об измерении величин какого угодно другого рода.

Мы ограничимся на первое время вплоть до начала § 17 только измерением положительно направленных отрезков и, значит, и числа будем рассматривать только положительные.

Выберем за единицу измерения длину какого-либо определенного отрезка PQ. Будем измерять при помощи выбранной единицы длины какой-либо отрезок AB. При этом могут встретиться три различные случая:

1. Отрезок PQ укладывается на отрезке AB целое число раз, положим m раз, без всякого остатка. В этом случае длина отрезка AB выражается целым числом т.

Например, на чертеже 1 отрезок PQ уложился на отрезке AB ровно три раза, и, следовательно, длина отрезка AB выражается числом 3.

2. Если отрезок PQ не укладывается целое число раз на отрезке AB без остатка, то длину отрезка AB нельзя выразить (при выбранной единице длины) никаким целым числом. Тогда естественно спросить себя, нельзя ли найти такую дробную долю отрезка PQ, например:--- — или вообще — долю отрезка PQ, которая уложилась бы на отрезке AB некоторое целое число раз без остатка. Предположим, что это возможно: — -я доля отрезка PQ укладывается на отрезке AB ровно m раз. В этом случае длина отрезка AB выразится дробным числом — . Например, на чертеже 2 одна треть отрезка PQ укладывается на отрезке AB ровно 16 раз, и, следовательно, длина отрезка AB выражается числом — = 5 — .

3. Мы увидим в следующем параграфе, что, кроме двух описанных случаев, возможен еще третий. Именно, может случиться, что на какое бы число п равных частей мы ни делили отрезок PQ, при укладывании ~й доли отрезка PQ вдоль по отрезку AB всегда будет получаться остаток. В этом случае длину отрезка AB (при выбранной единице измерения) нельзя выразить никаким целым и никаким дробным числом.

В первых двух из описанных выше трех случаев существует такой отрезок, который укладывается целое число раз без остатка как в отрезке PQ, так и в отрезке AB. В первом случае за такой отрезок можно взять сам отрезок PQ: он укладывается на самом себе ровно один раз без остатка, а на отрезке AB — какое-то целое число m раз без остатка, Во втором случае за такой отрезок можно взять ~ю долю отрезка PQ, которая укладывается на отрезке PQ ровно п раз без остатка, а на отрезке AB ровно m раз без остатка.

Черт. 1

Черт. 2

Определение. Любой отрезок ху, который укладывается целое число раз без остатка как на отрезке PQ, так и на отрезке AB, называется общей мерой отрезков PQ и AB.

Например, на чертеже 3 общей мерой отрезков PQ и AB является отрезок ху, который укладывается три раза на отрезке PQ и два раза на отрезке AB. Пользуясь понятием общей меры, можно по-новому сформулировать то, что было выше сказано об измерении отрезков.

I. Если у отрезков PQ и AB имеется общая мера ху, которая укладывается в отрезке PQ ровно п раз, а в отрезке AB ровно m раз и если длина отрезка PQ принята за единицу измерения, то длина отрезка AB выражается числом m

Например, на чертеже 3 при длине PQ, принятой за единицу измерения, длина AB выражается числом —.

Подобно этому на чертеже 4 общая мера ху укладывается ча отрезке PQ ровно один раз, а на отрезке AB три раза, поэтому, при длине PQ, выбранной за единицу измерения, длина AB выражается числом — = о.

II. Если же у отрезков PQ и AB нет общей меры и длина отрезка PQ принята за единицу измерения, то длина отрезка AB не может быть выражена никаким рациональным числом.

Дадим еще одно определение.

Определение. Два отрезка называются соизмеримыми, если они имеют общую меру. Если же для двух отрезков не существует никакой общей меры, то они называются несоизмеримыми.

Из сказанного ранее ясно, что:

если два отрезка соизмеримы и длина одного из них принята за единицу измерения, то длина другого выражается рациональным числом.

Если два отрезка несоизмеримы и длина одного из них принята за единицу измерения, то длина другого не может быть выражена никаким рациональным числом.

§ 15. СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕСОИЗМЕРИМЫХ ОТРЕЗКОВ

В этом параграфе мы докажем, что действительно существуют отрезки не соизмеримые между собой. Для этого достаточно показать какой-либо один пример двух отрезков, не соизмеримых между собой.

Теорема. Диагональ квадрата не соизмерима с его стороной.

Чтобы доказать эту теорему, докажем сначала такую лемму.

Лемма. Не существует такого рационального числа, квадрат которого равен двум.

Предположим, вопреки утверждению леммы, что существует рациональное число л;, для которого

Так как

и для любого числа большего 2 квадрат его и подавно больше 2, то число х не может быть целым*.

Допустим теперь, что число х дробное. Каждое дробное число можно записать в виде несократимой дроби:

где т и п натуральные числа, не имеющие общих простых множителей. Если числа m и п не имеют общих простых множителей, то и их квадраты т2 и п2 не имеют общих простых множителей**.

Черт. 3

Черт. 4

* Как было оговорено, мы рассматриваем здесь только положительные числа х. Что наша лемма верна и в случае любых рациональных чисел X (положительных, отрицательных, или равных нулю), будет видно из результатов § 32.

** Это предложение в курсе арифметики не было строго доказано. Доказательство его было бы довольно длинно. Дадим поэтому совершенно строгое доказательство нашей леммы, не опирающееся ни на какие предложения, отчетливое доказательство которых учащимся не известно. Докажем сначала:

Квадрат нечетного натурального числа нечетен.

Рассмотрим для этого какое-либо нечетное число п. При делении п на 2 получим в част-

Значит, из несократимости дроби — вытекает несократимость дроби —2. Тем не менее дробь — = х- должна равняться целому числу 2. Мы получили противоречие. Это противоречие доказывает, что сделанное нами допущение об существовании рационального числа je, удовлетворяющего равенству л;2 = 2, неверно: таких чисел не существует.

Перейдем теперь к доказательству сформулированной ранее теоремы. Рассмотрим квадрат ABCD и построим на его диагонали АС квадрат ACEF. Легко доказать, что квадрат ACEF по площади вдвое больше основного квадрата ABCD. В самом деле, четыре прямоугольных треугольника DAC, DCE, DEF, DFA (черт. 1) равны между собою. Так как треугольник DAC составляет половину квадрата ABCD, то квадрат ACEF, составленный из четырех таких половин, по площади вдвое больше квадрата ABCD.

Допустим теперь, вопреки утверждению теоремы, что сторона квадрата ABCD и его диагональ АС имеют общую меру ху. Пусть тогда эта общая мера укладывается в отрезке AB ровно п раз, а в отрезке АС ровно m раз. Ясно, что весь квадрат ABCD может быть разбит на п2 маленьких квадратиков со стороной равной ху (черт. 2). Ясно также, что квадрат ACEF разбивается на m2 маленьких квадратиков со стороной равной тому же самому отрезку ху (черт. 3). Так как квадрат ACEF по площади вдвое больше квадрата A BCD, то должно выполняться равенство:

Обозначая — через X, мы получим:

Таким образом, квадрат рационального числа х=— оказывается равным двум, это же невозможно в силу доказанной ранее леммы. Получилось противоречие. Это противоречие доказывает, что сделанное нами допущение о существовании общей меры у стороны квадрата AB и его диагонали АС неверно.

Тем самым наша теорема доказана: сторона и диагональ квадрата не могут иметь общей меры, т. е. несоизмеримы.

§ 16. ДЕСЯТИЧНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ

Мы убедились в предыдущем параграфе, что существуют такие отрезки, длина которых при заданной единице измерения не может быть выражена никаким рациональным числом. Однако из повседневной жизни всем известно, что на практике длину любого отрезка с полным успехом выражают тем или иным целым, или дробным, т. е. рациональным числом. Объясняется это тем, что практические измерения никогда не бывают совершенно точными, а всегда лишь приближенными. Для того же, что-

ном какое-то целое число q и в остатке 1. Значит:

п = 2?+1.

Поэтому

Обозначив 2q(q+\) через р, получим

Из последней формулы видно, что при делении п2 на 2 получается в частном целое число р и в остатке 1. Значит п2 действительно нечетно.

Вернемся теперь к числу х, квадрат которого должен равняться 2. Представим х в виде несократимой дроби х~ —, так как

(1)

Из последнего равенства видно, что т1 делится на 2, т. е. четно. Значит, и m есть число четное (иначе его квадрат был нечетен), т. е. его можно представить в виде

m = 2г, (2)

где г — некоторое целое число. Из (1) и (2) вытекает

Из последнего равенства видно, что л2 должно быть числом четным. Следовательно, и п есть число четное. Но если и m и л четны, то дробь — сократима, что противоречит сделанному допущению. Полученное противоречие показывает, что рациональных чисел, X квадрат которых равен двум, не существует.

бы выражать длины отрезков приближенно, вполне достаточно пользоваться рациональными числами, при этом можно даже употреблять не всевозможные рациональные числа, а только десятичные дроби с тем или иным конечным числом знаков. Так и поступают обычно на практике.

Рассмотрим подробно на примерах процесс приближенного десятичного измерения отрезков с точностью до единицы измерения, до 0,1 этой единицы, до 0,01 единицы, до 0,001 единицы и т. д.

Пусть за единицу измерения выбрана длина отрезка PQ. Будем измерять длину отрезка AB. Если отрезок PQ укладывается на отрезке AB целое число раз без всякого остатка, то это целое число и выражает длину отрезка AB при выбранной единице измерения. Рассмотрим более сложные примеры.

Пример 1. Пусть отрезок AB равен 3 — отрезка PQ. Так как 3 — = 3,4375, то десятичное измерение отрезка AB будет происходить следующим образом (черт. 1 ).

Сначала откладываем вдоль по отрезку АВ, начиная от точки Л, отрезок PQ столько раз, сколько он там уложится. Окажется, что отрезок PQ укладывается на отрезке AB три раза, после чего получается остаток, длина которого меньше PQ. Значит, отрезок АВ0 длины 3 короче отрезка AB, а отрезок ABl длины 4 длиннее отрезка AB. Говорят, что число 3 является приближенным значением длины отрезка AB с точностью до единицы по недостатку, а число 4 — приближенным значением той же длины с точностью до единицы по избытку.

Разделим отрезок PQ на десять равных частей и будем откладывать 0,1 отрезка PQ вдоль по отрезку оставшемуся после откладывания целого отрезка PQ, начиная от точки В0 (черт. 2); 0,1 отрезка PQ уложится в этом остатке четыре раза. При этом вновь получится остаток ВХВ, длина которого меньше одной десятой доли отрезка PQ. Значит, отрезок АВХ длины 3, 4 короче отрезка AB, а отрезок АВ^ длины 3,5 длиннее отрезка AB. Поэтому считают, что число 3,4 является приближенным значением длины AB с точностью до 0,1 по недостатку, а число 3,5—приближенным значением той же длины с точностью до 0,1 по избытку.

Разделим теперь отрезок PQ на сто равных частей и будем откладывать 0,01 отрезка PQ вдоль по отрезку ВХВ, оставшемуся после откладывания десятых долей, 0,01 отрезка PQ уложится в этом остатке три раза. Таким образом, получаем новые приближенные значения длины отрезка AB:

длина AB = 3,43 с точностью до 0,01 по недостатку,

длина Л£ = 3,44 с точностью до 0,01 по избытку.

Далее, в остатке, получившемся после откладывания сотых долей, уложится семь тысячных долей отрезка PQ, поэтому длина АВ = 3,437 с точностью до 0,001 по недостатку, длина АВ = 3,438 с точностью до 0,001 по избытку.

Наконец, в остатке, получающемся после откладывания тысячных долей, укладывается ровно пять десятитысячных долей отрезка PQ. На этом процесс измерения заканчивается: длина отрезка AB равна точно 3,4375.

Пример 2. Пусть отрезок AB равен одной трети отрезка PQ. Деля единицу на три, получаем бесконечную десятичную периодическую дробь:

Теперь заранее ясно, что длину отрезка AB нельзя будет с полной точностью выразить конечной десятичной дробью. Так как отрезок AB меньше отрезка PQ, то целиком отрезок PQ не уложится на отрезке AB ни одного раза. 0,1 отрезка PQ уложится на отрезке AB три раза. На получившемся после откладывания десятых долей остатке уложится три сотых доли отрезка PQ\ на получившемся после этого остатке уложится три тысячных доли отрезка PQ и т. д. (черт. 3). Таким образом, процесс десятичного измерения отрезка AB никогда не закончится. В виде приближенных значений длины отрезка AB с недостатком будут последовательно получаться такие десятичные дроби:

Черт. 1

Черт. 2

0,3 при измерении с точностью до 0,1 0,33 » » 0,01

0,333 » » 0,001

0,3333 » » 0,0001

0,33333 » » 0,00001

В качестве приближенных значений с избытком для той же длины получаются такие приближенные значения:

0,4 при измерении с точностью до 0,1

0,34 » » 0,01

0,334 » » 0,001

0,3334 » » 0,0001

0,33334 » » 0,00001

Мы видим, что при десятичном измерении отрезка последовательные приближенные по недостатку получаются каждое следующее из предыдущего приписыванием справа одного десятичного знака. Поэтому более коротко говорят, что в результате измерения отрезка получается бесконечная десятичная дробь.

0,33333333333333333333...

Пример 3. Пусть отрезок AB равен диагонали квадрата, построенного на отрезке PQ. В предыдущем параграфе мы доказали, что длина отрезка AB (при длине отрезка PQ, выбранной за единицу) не может быть точно выражена никаким рациональным числом, а значит, в частности, и никакой конечной десятичной дробью. Таким образом, мы уже заранее можем предвидеть, что процесс десятичного измерения отрезка AB не может закончиться, а будет, подобно предыдущему примеру, продолжаться бесконечно.

Начнется этот процесс так (черт. 4). Целый отрезок PQ укладывается на отрезке AB один раз. На получающемся после этого остатке 0,1 отрезка PQ укладывается четыре раза, при этом получается остаток, на котором 0,01 отрезка укладывается один раз, при этом вновь получается остаток, на котором 0,001 отрезка PQ помещается четыре раза. Таким образом, в виде последовательных приближений с недостатком получаются следующие десятичные дроби:

1.4 с точностью до 0,1 1,41 » » 0,01

1,414 » » 0,001

Продолжая дальше измерение нашего отрезка AB, можно было бы получить и дальнейшие приближенные значения по недостатку:

1,4142 с точностью до 0,0001 1,41421 » » 0,00001

1,414214 » » 0,000001

Как и в предыдущем примерз, процесс десятичного измерения отрезков приводит нас к бесконечной десятичной дроби 1,414214...

Что касается приближенных значений с избытком, то их можно получить, прибавляя к каждому из данных выше приближенных значений с недостатком по единице последнего разряда. В разбираемом сейчас примере получится:

1,5 с точностью до 0,1 1,42 » » 0,01

1,415 » » 0,001

Подведем теперь итог тому, что можно вывести из разобранных примеров:

Какое бы ни был отрезок AB, измеряя его при помощи отрезка PQ, длина которого принята за единицу, мы получаем или целое число, или конечную десятичную дробь, или бесконечную десятичную дробь. Целое число получается, если отрезок PQ укладывается на отрезке AB целое число раз без остатка.

Во всех остальных случаях в результате измерения получается конечная или бесконечная десятичная дробь. Целая часть этой дроби показывает, сколько раз отрезок PQ целиком укладывается в отрезке AB. Первый знак после запятой указывает, сколько раз в остатке, получившемся после откладывания целого отрезка PQ, укладывается десятая доля отрезка PQ; второй знак после запятой показывает, сколько раз в остатке, получившемся после откладывания десятых долей отрезка PQ, укладывается сотая доля отрезка PQ и т. д.

Если десятичная дробь, получившаяся в результате измерения отрезка AB,

Черт. 3

Черт. 4

конечна, то обозначаемое этой дробью число выражает точно длину отрезка.

Как в случае конечной, так и в случае бесконечной дроби, оставляя в ней только первые к знаков после запятой (и отбросив следующие), мы получаем приближенное значение длины отрезка AB с точностью до единицы /е-го разряда по недостатку. Прибавив к этому приближенному значению по недостатку единицу (к-го) разряда, мы получаем приближенное значение длины отрезка с точностью до единицы того же к- го разряда, но теперь уже по избытку.

Разность между этими двумя приближенными значениями (по избытку и по недостатку) равна единице к-го разряда.

§ 17. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА

Как известно, приписывая к десятичной дроби справа то или иное количество нулей, мы не меняем ее значения. Будем теперь считать, что присоединение к десятичной дроби справа от ее значащих цифр бесконечной последовательности нулей, тоже не меняет ее значения. Это позволит нам все конечные десятичные дроби заменять бесконечными. Например, вместо

0,002407

мы будем писать

0,002407000000000000...,

где многоточие обозначает, что последовательность нулей продолжается бесконечно. Точно так же целые числа можно записывать в виде бесконечных десятичных дробей, у которых все знаки после запятой суть нули. Например, вместо 200400

мы будем писать

200400,000000000000000...

Теперь мы можем сказать просто:

В результате десятичного измерения любого отрезка AB при помощи какого-либо отрезка PQ, длина которого принята за единицу, всегда получается бесконечная десятичная дробь. Целая часть этой дроби показывает, сколько раз отрезок PQ целиком укладывается в отрезке AB. Первый знак после запятой показывает, сколько раз в остатке, получившемся после откладывания целого отрезка PQ, укладывается десятая доля этого отрезка и т. д.

При этом, если на каком-либо шаге десятичного измерения остатка вовсе не осталось, то, начиная с соответствующего разряда, десятичная дробь состоит сплошь из нулей.

При измерении двух равных отрезков одной и той же единицей получаются одинаковые бесконечные десятичные дроби. В самом деле, при десятичном измерении двух равных отрезков с точностью до единицы, до 0,1, до 0,01, до 0,001 и т. д. мы, очевидно, будем все время получать в обоих случаях одни и те же приближенные значения по недостатку; выписывая же последовательные десятичные знаки этих приближенных значений один за другим, мы и получим, как сказано в предыдущем параграфе, интересующую нас бесконечную десятичную дробь.

Обратно, если два отрезка AB и А1В1 не равны, то бесконечные десятичные дроби, получающиеся при десятичном измерении этих отрезков, одной и той же единицей PQ, непременно разойдутся в каком-либо десятичном знаке.

В самом деле, если отрезки AB и А1В1 не равны, то при достаточно большой точности измерения приближенные значения их длин должны сделаться различными, а это и значит, что получающиеся при их измерении десятичные дроби разойдутся в каком-либо десятичном знаке*.

Возникает вопрос, могут в результате измерения отрезков получаться какие угодно бесконечные десятичные дроби или нет?

Оказывается, что при десятичном измерении отрезков никогда не может получиться бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места, стоят одни девятки.

Чтобы понять, почему это так, рассмотрим в виде примера бесконечную десятичную дробь 1,239999999999.., Если бы эта дробь получилась в результате десятичного измерения какого-либо отрезка AB, то при этом измерении в качестве приближенных значений длины отрезка AB с недостатком с точностью до 0,01, до 0,001, до 0,0001, до 0,00001 и т. д. получились бы числа:

1,23; 1,239; 1,2399; 1,23999 и т. д., а в качестве приближенных значений с избытком числа:

1,24; 1,240; 1,2400; 1,24000 и т. д., т. е. все время одно и тоже число 1,24. В этом случае длина отрезка просто в

* Чтобы сделать это рассуждение вполне строгим было бы необходимо опереться на так называемую аксиому Эвдокса.

точности равна 1,24*, и в результате его измерения, в действительности, должна была получиться бесконечная десятичная дробь

1,24000000000...

Заметим еще, что бесконечная десятичная дробь

0,000000000000...

выражает число нуль и не может получиться при измерении отрезка AB, если требовать, чтобы точки А и В были отличны друг от друга.

Никаких других ограничений относительно характера бесконечных десятичных дробей, получающихся при измерении отрезков, не существует: любая бесконечная десятичная дробь, кроме 0,000000... и тех дробей, у которых все десятичные знаки, начиная с некоторого, суть девятки, может получиться в результате десятичного измерения какого-либо отрезка. Если мы хотим, чтобы длину любого отрезка можно было выразить с полной точностью каким-либо числом, то мы должны принять следующий общий принцип:

Каждая бесконечная десятичная дробь, за исключением тех, у которых все десятичные знаки, начиная с некоторого, суть девятки, выражает некоторое число, при этом две такие дроби, различающиеся хотя бы одним десятичным знаком, выражают различные числа.

Все числа, которые могут быть выражены указанным выше образом, кроме нуля^ называются положительными вещественными числами.

В следующем параграфе мы узнаем, что существуют еще отрицательные вещественные числа. Число нуль, положительные вещественные числа и отрицательные вещественные числа вместе называются просто вещественными числами.

Среди вещественных чисел имеется много чисел известных нам ранее:

1) если в бесконечной десятичной дроби справа от запятой стоят одни нули, то она выражает одно из давно известных нам целых чисел;

2) из арифметики известно, что всякое дробное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью.

Бесконечная десятичная дробь называется периодической, если, начиная с некоторого разряда, в ней неизменно повторяются одна или несколько цифр в одной и той же последовательности. Таковы, например, бесконечные десятичные дроби:

Все целые числа и конечные десятичные дроби можно записать, как уже говорилось, в виде бесконечной десятичной дроби, в которой, начиная с некоторого места, все десятичные знаки суть нули. Такие бесконечные десятичные дроби следует рассматривать как периодические с нулем в периоде. Таковы, например, дроби:

Принимая во внимание последнее замечание, мы можем сказать:

Все положительные рациональные числа (безразлично, целые или дробные) записываются в виде бесконечных периодических десятичных дробей. Обратно, всякая периодическая бесконечная десятичная дробь выражает некоторое рациональное число.

Мы видим, таким образом, что непериодические бесконечные десятичные дроби не могут выражать собою рациональные числа. Следовательно, непериодические десятичные дроби выражают новые, неизвестные нам ранее числа. Эти новые числа называются иррациональными числами.

Можно, значит, сказать, что положительные вещественные числа распадаются на два сорта: рациональные и иррациональные. В следующем параграфе мы познакомимся с тем, что отрицательные вещественрые числа тоже бывают рациональными и иррациональными. Что касается числа нуль, то оно является вещественным рациональным числом, которое не положительно и не отрицательно.

С введением иррациональных чисел становится возможным утверждать:

каковы бы ни были отрезки AB и PQ, длина отрезка AB, при длине отрезка PQ, принятой за единицу меры, выражается вещественным числом (рациональным или иррациональным). Пока (до следующего параграфа) мы подразумеваем при этом только положительно направленные

* Чтобы строго доказать это утверждение, пришлось бы опираться на аксиому Эвдокса, о которой говорилось в предыдущем примечании.

отрезки и положительные вещественные числа.

Например, если сторона квадрата принята за единицу измерения, то длина его диагонали равна иррациональному числу, выражающемуся бесконечной десятичной дробью, которая начинается так:

1,414214...

Мы увидим в следующей главе, что это число обозначается знаком ]/2.

Приведем еще пример иррационального числа: если принять диаметр окружности за единицу длины, то длина самой окружности окажется равной некоторому определенному числу, обозначаемому греческой буквой 7г. Число это иррационально и выражается бесконечной десятичной дробью, которая начинается так:

гс = 3,141592 653589 323846 264338 327950 288...

В обоих примерах мы выписали только начальные знаки бесконечных десятичных дробей (в первом случае шесть знаков после запятой, а во втором тридцать три), так как выписать бесконечную десятичную дробь целиком невозможно. Так как в обоих примерах взяты иррациональные числа, то относительно расположения дальнейших, ненаписанных знаков мы во всяком случае можем утверждать, что это расположение не будет периодическим (ни с каким хотя бы и с очень длинным периодом).

Мы занимались выше только измерением длин. То же самое можно было бы повторить относительно измерения всякого другого рода величин, например, площадей или объемов.

Здесь тоже для точного выражения площади или объема той или иной фигуры во многих случаях недостаточно одних рациональных чисел. Например, если площадь квадрата ABCD (черт. 1) выбрана за единицу измерения площадей, то площадь вписанного в этот квадрат круга не может быть выражена никаким рациональным числом; она выражается иррациональным числом

Замечание 1. Обратимся еще раз к бесконечным десятичным дробям, состоящим, начиная с некоторого места, из одних девяток. Рассмотрим для примера дробь

1,239999999...

Выше уже говорилось, что эта дробь не может возникнуть при десятичном измерении отрезков.

Теперь мы должны указать, что тем не менее этой дроби приписывается вполне определенный смысл: ее считают просто другой записью числа 1,24, которое мы условились выше записывать в виде бесконечной десятичной дроби:

1,24000000000...

Точно так же считают, что

0.9999999... = 1,0000000... 21,3409999999... = 21,341000000... 0,0009989999... = 0,0009990000000...

и т. д. Мы видим, что бесконечные десятичные дроби, состоящие, начиная с некоторого места, из одних девяток, излишни, так как каждое выражаемое ими число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби еще и другим способом. Если же такие дроби исключить из рассмотрения, то каждое положительное вещественное число разлагается в бесконечную десятичную дробь одним единственным способом: как уже говорилось, две бесконечные десятичные дроби, отличающиеся хотя бы в одном знаке, из которых ни одна не кончается сплошной бесконечной последовательностью девяток, всегда выражают два различных числа.

Замечание 2. Пользуясь тем, что непериодические бесконечные десятичные дроби не могут выражать рациональные числа, можно построить много примеров иррациональных чисел. Например, бесконечная дробь 0,10100100010000100000100000010000000100 которая состоит из единиц, разделенных последовательно одним, двумя, тремя, четырьмя и т. д. нулями, не периодична и поэтому выражает некоторое иррациональное число.

§ 18. ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА. СОВОКУПНОСТЬ ВСЕХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ

В предыдущих параграфах мы рассмотрели только измерение положительно направленных отрезков. Освободимся теперь от этого ограничения. Рассмотрим прямую, на которой какое-либо направление (например, направление слева направо на черт. 1) выбрано за положительное. Выбрав единицу измерения PQ, мы сможем выразить длину любого положительно направленного отрезка каким-либо положительным вещественным числом. Что касается отрицательно направленных отрезков, то из первой части алгебры нам уже известно, что для выражения алгебраической длины таких отрезков употребляются отрицательные числа. При этом длиной отрицательно направленного отрезка AB (черт. 1) считается отрицательное число, противоположное положительному числу, выражающему длину положительно направленного отрезка ВА. Поэтому, как это и было уже сделано в первой ча-

Черт. 1

сти в применении к рациональным числам, естественно установить следующее:

Каждому положительному вещественному числу соответствует свое особое, противоположное ему, отрицательное вещественное число.

Для того чтобы обозначить число противоположное какому-либо данному числу, перед обозначением этого данного числа ставится знак минус (—). Например:

— 7г = —3,14159...

обозначает число противоположное числу

1г = 3,Н159...

Число же противоположное к

— 7г = — 3,14159...

равняется

(—*)= —(—3,14159. ..) = *:=* = 3,14159...

Отрицательные числа, противоположные к рациональным положительным, сами считаются рациональными, отрицательные же числа, противоположные иррациональным положительным, сами считаются иррациональными.

Все положительные и отрицательные вещественные числа (как рациональные, так и иррациональные) вместе с числом нуль (которое, как известно, рационально) образуют тот запас вещественных чисел, которым мы и будем пользоваться в дальнейшем. Начиная с этого места, буквы в нашем курсе алгебры будут, вообще говоря, обозначать произвольные вещественные числа. Если же в каком-либо рассуждении под буквами надо будет понимать только рациональные, или только целые, или только положительные числа, то это будет специально оговариваться.

Замечание. Вещественные числа называются еще иногда действительными числами.

Так же, как в случае рациональных чисел, определяется абсолютная величина любого вещественного числа.

Абсолютной величиной положительного числа называется само это число. Абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему положительное число.

Например:

Абсолютной величиной числа нуль попрежнему считается само число нуль.

§ 19. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ

Выберем на какой-либо прямой положительное направление и точку О за начало абсцисс (черт. 1).

Выберем, далее, какую-либо определенную единицу длины PQ. Тогда, как мы видели в первой части, любое рациональное число X можно изобразить определенной точкой X нашей прямой. Для этого от точки О откладывается отрезок ОХ, алгебраическая длина которого равна числу х; полученная точка X и считается геометрическим изображением числа х, само же число х называется абсциссой точки X. Теперь, после введения иррациональных вещественных чисел, естественно распространить эти определения на случай произвольных вещественных чисел (безразлично, рациональных или иррациональных).

Таким образом, мы видим, что каждому вещественному числу х соответствует своя определенная точка X на нашей прямой.

Естественно возникает вопрос: является ли, обратно, каждая точка прямой изображением какого-либо вещественного числа, или, иначе говоря, каждая ли точка прямой имеет определенную абсциссу?

Если ограничиваться одними рациональными числами, то ответ на этот вопрос отрицательный: если отрезок ОХ несоизмерим с единицей длины, то его длина не выражается никаким рациональным числом, и, следовательно, точка X не является изображением никакого рационального числа.

Но после того как мы расширили понятие числа введением иррациональных чисел, ответ на наш вопрос стал положительным: мы знаем, что длина всякого отрезка выражается либо рациональным, либо иррациональным числом, поэтому, если X совершенно произвольная точка пря-

Черт. 1

Черт. 1

мой, то она является изображением того числа, рационального или иррационального, которое выражает длину отрезка.

Как и в случае одних рациональных чисел, так и в случае всех вещественных чисел положительные числа располагаются вправо, а отрицательные влево от начала О. Два противоположных числа х и —х изображаются в виде точек, симметрично расположенных на прямой относительно точки О.

Определение. Прямая линия, на которой определенная точка выбрана за начало абсцисс, определенное направление выбрано за положительное, определенный отрезок выбран за единицу длины, и вследствие этого каждой точке поставлено в соответствие определенное вещественное число — абсцисса этой точки, называется числовой прямой.

Замечание. Соответствие между точками числовой прямой и вещественными числами, которое мы сейчас рассмотрели, обладает такими свойствами: каждой точке соответствует одно единственное вполне определенное число и, обратно, каждое число соответствует при этом одной единственной вполне определенной точке. Такого рода соответствия между двумя совокупностями (множествами) предметов называются в математике взаимно однозначными соответствиями.

§ 20. СМЫСЛ НЕРАВЕНСТВ ДЛЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ

Что значит, что одно число а больше или меньше другого числа Ь, было определено в первой части только для случая рациональных чисел а и Ь. Теперь нам предстоит определить смысл выражений «больше» и «меньше» для случая произвольных вещественных чисел а и Ь.

В случае двух положительных вещественных чисел а и b мы установим такое правило.

Пусть два положительных вещественных числа а и b представлены в виде бесконечных десятичных дробей (причем, как было выше указано, исключаются из рассмотрения бесконечные десятичные дроби, которые состоят, начиная с некоторого места у из одних девяток). Тогда:

1) числа а и b считаются равными, если у них совпадают как целые части, так и все десятичные знаки вправо от запятой;

2) если целые части чисел а и b различны, то то из них, у которого целая часть больше, считается большим, а то, у которого целая часть меньше, считается меньшим, независимо от того, каковы у них дробные части;

3) если целые части чисел а и b одинаковы, то для того чтобы определить, которое из них больше, надо найти первый после запятой (считая слева направо) десятичный знак, который у этих чисел различен. То из чисел а и b, у которого этот знак больше, считается большим, а то, у которого этот знак меньше, считается меньшим, независимо от того, каковы их дальнейшие десятичные знаки.

Например:

16,9... < 17,0... 0,998... < 1,002... 7,8934597... < 7,8934600... 0,00100100... > 0,00100010...

В применении к конечным десятичным дробям установленное сейчас правило хорошо известно из арифметики. В применении к рациональным числам, выражающимся бесконечными периодическими дробями, оно тоже вполне согласуется с другими способами сравнения рациональных чисел по величине. Например, разлагая дроби 43 и бесконечную десятичную дробь при помощи деления, получим:

В соответствии с нашим правилом

0,271... > 0,270

независимо от того, каковы дальнейшие знаки каждой из этих бесконечных десятичных дробей. Следовательно:

что можно проверить и другими способами.

Что же касается сравнения по величине иррациональных чисел между собой и иррациональных чисел с рациональными, то для этих случаев наше правило следует рассматривать как определение того, как в этих случаях следует понимать выражения «больше» и «меньше». Целесообразность этих определений основана на следующем: если принять эти определения, то всегда при измерении двух однородных величин одной и той же единицей число, выражающее большую величину, будет больше, а число, выражающее меньшую величину,— меньше.

После того как смысл неравенств между положительными вещественными числами определен, остается только условиться, что для любых вещественных чисел сохраняются следующие правила, принятые в первой части алгебры для рациональных чисел;

1. Всякое положительное число больше нуля и больше всякого отрицательного числа.

2. Нуль меньше всех положительных чисел и больше всех отрицательных чисел.

3. Всякое отрицательное число меньше нуля и меньше всех положительных чисел.

4. Из двух отрицательных чисел то больше, у которого абсолютная величина меньше, и то меньше, у которого абсолютная величина больше.

Например:

— 10,341... < +0,001...

— 7,8... > —7,9...

— 0,0456... < —0,0455...

Неравенства между вещественными числами имеют тот же самый простой геометрический смысл, как и в случае рациональных чисел: при перемещении точки X по числовой прямой в положительную сторону ее абсцисса х увеличивается, а при перемещении в отрицательную сторону — уменьшается.

Заметим, наконец, что для неравенств между вещественными числами сохраняются первые два основные свойства неравенств, установленные в § 2:

1) Если а^>Ь, то Ь<^а и, обратно, если Ь<^ау то а^>Ь.

2) Если а^> b и Ь^>с, то а^>с.

Мы говорим сейчас только о первых двух основных свойствах неравенств, так как третье и четвертое основные свойства неравенств связаны с действиями сложения и умножения, а мы еще ничего не сказали о том, что значит сложить или умножить два вещественные числа в том случае, когда одно из них или оба иррациональны. К этому мы сейчас и перейдем.

§ 21. СЛОЖЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ

Нам хорошо известно, что значит сложить два рациональных числа. Если же из двух вещественных чисел одно или оба иррациональны, то мы не знаем пока, что значит сложить эти два числа между собой. Нам предстоит сейчас дать определение того, что следует понимать под суммой двух произвольных вещественных чисел.

Рассмотрим в виде примера какие-либо два вещественных числа:

(в нашем примере число тс иррационально, а число рационально, ничего не изменилось бы, если бы мы взяли оба числа иррациональными. Будем складывать последовательные десятичные приближения чисел тс и ~ по недостатку:

Сложим, с другой стороны, последовательные десятичные приближения тех же двух чисел по избытку:

Естественно считать, что сумма гс+~ должна быть больше всех вычисленных нами сумм приближенных значений тс и ^- по недостатку и меньше всех сумм приближенных значений тех же чисел по избытку. Иначе говоря, естественно допустить, что

Эту последовательность неравенств можно было бы продолжать бесконечно. Можно строго доказать, что существует одно единственное вещественное число.

удовлетворяющее всем неравенствам этой бесконечной последовательности. Это-то число 3,47492... и называется по определению суммой тс + у .

Делим теперь общее определение суммы двух вещественных чисел: х' и х":

Если оба числа х' их" рациональны, то сумма х'+х" определяется так, как это известно из арифметики и первой части алгебры.

Если же одно из чисел х' и х", или они оба иррациональны, то суммой х'+х" называется такое число, которое больше всевозможных сумм а' +а" рациональных чисел а' и а", удовлетворяющих неравенствам:

и меньше всевозможных сумм b' +Ь" рациональных чисел Ь' и Ь", удовлетворяющих неравенствам: b'^>x, Ь"^>х".

Мы видим, что для того чтобы определить сумму двух иррациональных чисел или сумму иррационального числа с рациональным, нам приходится пользоваться уже готовым определением суммы рациональных чисел. Заметим, кроме того, что наше определение суммы двух иррациональных чисел (или иррационального числа с рациональным) не указывает прямо, как найти эту сумму. Вместо того чтобы прямо указать число х' +х", мы ограничились тем, что указали некоторые определенные свойства, которыми должно обладать это число. Такие определения называются в математике неявными определения ни. Из самого определения не видно непосредственно, существует ли число X' +х", обладающее требуемыми свойствами, и имеется только одно такое число или несколько, поэтому важно заметить, что может быть строго доказана такая теорема:

Каковы бы ни были два вещественных числа х' и х", всегда существует одно единственное вещественное число |, которое больше всех возможных сумм а' +а" рациональных чисел а' и а", удовлетворяющих неравенствам:

и меньше всех возможных сумм Ь' + Ь" рациональных чисел Ъ' и Ь", удовлетворяющих неравенствам:

Мы не даем здесь доказательства этой теоремы.

Число %, существование которого утверждается в этой теореме, и является "суммой X' +jc". В случае, когда одно из чисел х' и х" или они оба иррациональны, равенство

вытекает непосредственно из определения суммы.

В случае рациональных чисел х' и jc" это равенство тоже верно, но уже не в силу определения, так в этом случае сумма х' + х" была определена ранее другим способом.

§ 22. УМНОЖЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ

Что значит перемножить два рациональные числа, нам известно. В этом параграфе мы дадим определение произведения двух вещественных чисел для того случая, когда одно из них или они оба иррациональны.

Ограничимся сначала случаем положительных множителей. Рассмотрим в виде примера два положительные вещественные числа:

а= 1,7320...

Ь= 1,4142... Будем перемножать последовательные десятичные приближения чисел а и Ь по недостатку:

Перемножим, с другой стороны, последовательные десятичные приближения чисел а и Ь по избытку:

Естественно считать, что произведение а>Ь должно быть больше всех вычисленных нами произведений приближенных значений а и b по недостатку и меньше всех произведений приближенных значений чисел а и b по избытку. Иначе говоря, естественно допустить, что

Эту последовательность неравенств можно продолжать бесконечно. Можно строго доказать, что существует одно единственное вещественное число

2,449...,

удовлетворяющее всем неравенствам этой бесконечной последовательности. Это-то число 2,449 ... и называется по определению произведением ab.

Дадим теперь общее определение произведения двух положительных вещественных чисел X1 и х".

Если оба числа х' и х" рациональны, то произведение х'х" определяется так, как это известно из арифметики.

Если одно из чисел х' и х" или они оба иррациональны, то произведением х'х" называется такое число, которое больше всех возможных произведений а'а" положительных рациональных чисел а' и а", удовлетворяющих неравенствам:

а'<х', о"<х",

и меньше всевозможных произведений b'b" рациональных чисел Ь' и о", удовлетворяющих неравенствам:

/>'>*', &">*".

Так же, как и в случае сложения, можно доказать такую теорему:

Каковы бы ни были два положительных вещественных числа х' и х", всегда существует одно единственное такое число, которое больше всех возможных произведений а'а" положительных рациональных чисел а1 и а", удовлетворяющих неравенствам:

а'<х', а" <х" и меньше всех воз ножных произведений Ъ'Ь" рациональных чисел Ь' и Ь", удовлетворяю' щих неравенства и:

Ь'>х'у Ь">х".

Число, существование которого утверждается в этой теореме, и является произведением х'х" чисел х' и х".

Пока мы определили только произведение положительных вещественных чисел. Произведение любых вещественных чисел, положительных, отрицательных, или равных нулю,, определяется правилом, которое нам уже ранее было хорошо известно для случая рациональных чисел:

Произведение двух множителей а и Ь равно:+\а\'\Ь\, если оба множителя положительны или оба множителя отрицательны*,

— если один из множителей

положителен, а другой отрицателен;

нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Так как абсолютная величина вещественного числа не равного нулю всегда положительна, то это правило вместе с данным выше определением произведения положительных вещественных чисел позволяет перемножать произвольные вещественные числа.

§ 28. ВЫЧИТАНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ

Для произвольных вещественных чисел принимают те же самые определения разности и частного, которые нам известны из арифметики и первой части алгебры для случая рациональных чисел:

Разностью двух вещественных чисел а и b называется такое число, которое при сложении с b дает а.

Частным двух вещественных чисел а м b называется такое число, которое при умножении на b дает а.

§ 24. СВОЙСТВА ЧЕТЫРЕХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ЧИСЛАМИ. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММЫ РАЗНОСТИ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО ЛЮБЫХ ДВУХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ

Для сложения и умножения вещественных чисел сохраняются основные свойства этих действий, известные в случае рациональных чисел:

1. а +Ь = Ь+а {закон переместительности сложения)

2. (а + Ь) + с = а + (b с) (закон сочетательности сложения)

3. а +0 = а {основное свойство нуля)

4. а-Ь = Ь-а {закон переместительности умножения)

5. {а- Ь)-с = а - {Ь-с) {закон сочетательности умножения)

6. а • 1 = а {основное свойство единицы)

7. (a+b)-c =а-с+Ь-с (закон распределительности умножения)

8. Для любых двух вещественных чисел а и b существует одно единственное вещественное число X, удовлетворяющее равенству b -f - X = а (закон возможности и однозначности вычитания).

9. Для любых двух вещественных чисел а и b ф О существует одно единственное вещественное число у, удовлетворяющее равенству Ьу = а (закон возможности и однозначности деления).

То, что все эти свойства сложения и вычитания остаются справедливыми в случае произвольных вещественных чисел, может быть строго доказано. Мы не приводим здесь этих доказательств.

Сохраняются, естественно, и все следствия основных свойств сложения и умножения, относящиеся как к самим этим действиям, так и к обратным действиям вычитания и деления. Например, попрежнему для того чтобы вычесть число а, достаточно прибавить противоположное число —а и т. д.

Заметим, в частности, что действия сложения, вычитания и умножения остаются попрежнему во всех случаях возможными и однозначными: в результате сложения, вычитания или умножения двух вещественных чисел всегда получается вполне

определенное вещественное же число. Что касается деления, то оно попрежнему возможно и однозначно при единственном условии, что делитель не равен нулю. Деление же нуля нд нуль попрежнему неопределенно (дает в результате любое число), а деление числа, отличного от нуля, на нуль невозможно. Как и прежде, мы вообще не будем рассматривать деление на нуль.

Сохраняются для любых вещественных чисел и все четыре основные свойства неравенств (см. § 2 гл. I) и все следствия из них. На этих свойствах неравенств основаны собранные в § 6—12 главы I правила приближенных вычислений.

Следовательно, все установленные в этих параграфах правила приближенных вычислений и оценки ошибок при приближенных вычислениях применимы к вычислениям с любыми вещественными числами (безразлично, рациональными или иррациональными), поэтому при практических вычислениях, требующих ограниченной точности, никаких особых правил для действий над иррациональными числами не требуется.

Сложение, вычитание, умножение и деление произвольных вещественных чисел употребляется при решении тех же задач, что и в случае рациональных чисел. Например, чтобы найти длину суммы двух отрезков, складывают числа, выражающие длины каждого из этих отрезков. Чтобы вычислить площадь прямоугольника, перемножают длины его сторон и т. д.

§ 25. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОТКРЫТИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Существование несоизмеримых отрезков было известно еще древне-греческим математикам. В частности, открытие несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной приписывается Пифагору (VI в. до нашей эры). Греческие математики считали, однако, что отношение двух несоизмеримых отрезков не может быть выражено никаким числом. Таким образом, иррациональные числа остались им неизвестными. В силу этого в древне-греческой математике возможности применения алгебры к геометрии были очень ограничены. Например, им была известна теорема Пифагора, утверждающая, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах, однако записать эту теорему в виде равенства между числами, выражающими длины гипотенузы и катетов, они не могли, так как уже в простейшем случае, в котором длина обоих катетов равна единице, длина диагонали не может быть выражена никаким рациональным числом, а никаких других чисел, кроме рациональных, греческие математики не признавали. Поэтому все те геометрические задачи, которые теперь решаются при помощи алгебраических вычислений, основанных на теореме Пифагора, греческим математикам приходилось решать при помощи значительно более сложных чисто геометрических рассуждений. В этом направлении они достигли большого искусства.

С полной смелостью производили алгебраические вычисления с иррациональными числами индусские и арабские математики. Таким образом, следует считать, что употребление иррациональных чисел было введено в математику индусскими математиками (расцвет индусской математики относится к V—XII векам нашей эры). Однако никакой теории иррациональных чисел индусы и арабы не создали.

Западно-европейская математика восприняла употребление иррациональных чисел от арабов. Ясное понимание происхождения иррациональных чисел из измерения величин и геометрическое изображение действительных чисел точками числовой прямой вполне установились в XVII в. благодаря работам Декарта, Ньютона и других математиков этой эпохи. Строгая же математическая теория иррациональных чисел с отчетливым их определением и выводом их основных свойств была создана лишь в XIX в. Дедекиндом, Кантором и Вейерштрассом.

БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

С. И. НОВОСЕЛОВ (Москва)

В настоящей статье мы предполагаем остановиться на понятии бесконечного предела и его геометрической интерпретации.

Рассмотрим функцию — для значений аргумента х, близких к точке О. Придавая аргументу частные значения, мы видим, что чем ближе значение х к нулю, тем больше значение у; так, если х = — , то у = 4, если X = — , то у = 10 000; если х = —, то у=ЮХ2. Поставим вопрос, может ли значение у быть как угодно большим, если значение X достаточно близко к нулю. Возьмем какое-нибудь положительное число, например 100 и спросим себя: может ли значение у быть большим 100, если значение х достаточно близко к нулю. Будем изображать значения аргумента и функции при помощи точек на двух параллельных прямых (черт. 1).

Пользуясь этой интерпретацией, данную постановку вопроса можно сформулировать следующим образом: как близким к точке О должно быть начало стрелки, чтобы ее конец отстоял от точки (на нижней прямой) на расстояние большее 100? Для этого необходимо и достаточно чтобы выполнялось неравенство:

что будет справедливо при условии

откуда IX|<~. Следовательно, как только начало стрелки отстоит от точки О (на верхней прямой) на расстояние меньшее ~, так ее конец отстоит от точки О (на нижней прямой) на расстояние большее 100. Совершенно ясно, что аналогичные рассуждения можно провести, взяв не 100, а какое-нибудь другое число, так, например легко убедиться что:

Вообще, если N— некоторое наперед заданное положительное число. В этом смысле мы и говорим, что значения функции -j могут быть как угодно большими, если значение х достаточно близко к точке О. Для обозначения описанного свойства функции ^ в окрестности точки О употребляют символическую запись:

Символ оо не следует рассматривать как число или как значение данной функции в точке О. Если положить х = 0, то выражение -1 теряет смысл, ибо делить на нуль нельзя.

Говорить, что функция ^2 при X = 0 «обращается в бесконечность», а также писать равенство

в средней школе недопустимо и вот по каким причинам: как это устанавливается в теоретической арифметике, невозможно дополнить множество действительных чисел новым «числом» оо, большим любого действительного числа и таким, чтобы сохранились все свойства неравенств и действий над действительными числами. Несобственные (бесконечно удаленные) элементы вводятся в математику по определению. Так, например, в аналитической геометрии на плоскости рассматривают бесконечно удаленную прямую, а в теории аналитических функций — бесконечно удаленную точку. Однако ясно, что не имеет смысла ставить вопрос о том: существует ли «на самом деле» на плоскости бесконечно удаленная прямая или бесконечно удаленная точка, ибо в аналитической геометрии и в теории функций бесконечно удаленные элементы вводятся путем различных определений. Такая постановка вопроса недоступна учащимся средней школы; она представляет затруднения даже для студентов. Неосторожное же обращение с символом оо может принести большой вред. С одной стороны, пытаясь рассматривать этот символ как число, как «значение» функции, а с другой — видя, что это «число» не подчиняется обычным арифметическим действиям, учащиеся весьма часто впадают в вредные заблуждения, не имеющие ничего общего с правильной научной точкой зрения. Всем известно, какую борьбу в высшей школе приходится иногда выдерживать с понятием бесконечности, принесенным из средней школы. Всевозможные «операции» с бесконечностью, как-то: деление на нуль, деление на бесконечность, или «бесконечные корни» уравнений должны быть решительно изъяты из преподавания в средней школе. Учитель должен критически подходить к некоторым старым.

Черт. 1

руководствам, не стоящим на достаточно высоком научном уровне (например «Курс алгебры» Маракуева).

Обратимся к рассмотрению дальнейших примеров. Возьмем функцию у = — и рассмотрим ее для значений х, близких к точке О. Эта функция отличается от рассмотренной выше тем, что при одинаковых значениях аргумента их значения одинаковы по абсолютной величине, но противоположны по знаку (черт. 2). Это показывает, что при значениях аргумента, достаточно близких к нулю, значения функции могут быть как угодно большими по абсолютной величине, но отрицательными. Так, например, неравенство

будет выполняться при любых значениях х9 удовлетворяющих неравенству l^'^j^*

Значит, конец стрелки будет отстоять от точки О (на нижней прямой) влево на расстояние, большее 100, как только начало стрелки отстоит от точки О на расстояние меньшее —. Как легко убедиться, что:

Вообще, если

где N любое, наперед заданное, положительное число. В этом смысле и понимается утверждение, что значения функции — ~ могут быть отрицательными, как угодно большими по абсолютной величине, при значениях аргумента, достаточно близких к нулю. Для обозначения описанного свойства функции употребляется символическая запись:

или:

Теперь рассмотрим функцию —при значениях аргумента, близких к нулю. Легко видеть, что значение v может быть как угодно большим по абсолютной величине, если значение аргумента достаточно близко к нулю. Так, неравенство

выполняется для любого значения jc, по абсолютной величине меньшего чем —. Значит, конец стрелки отстоит от точки О (на нижней прямой) на расстояние больше чем 100, если начало стрелки отстоит от точки О (на верхней прямой) на расстояние меньше чем . Однако в отличие от рассмотренных выше примеров, концы стрелок не располагаются по одну сторону от точки О. Именно, если х<0 то и у<С.0, а потому стрелка, исходящая из точки, лежащей влево от точки О, должна оканчиваться на отрицательной части нижней прямой, а стрелки, исходящие из точек, лежащих вправо от точки О, оканчиваются на положительной части нижней прямой (черт. 3). Разумеется, что вместо числа 100 можно взять любое положительное число TV и, подобно предыдущему, обнаружить, что неравенство | у | > N выполняется, коль скоро |дс[<^2_, только теперь значения у будут положительными или отрицательными в зависимости от того, что дс>0, или *<0. Весьма часто пишут:

Однако мы не считаем целесообразной такую запись по следующим соображениям. Запись:

обычно означает, что значения функции f(x) могут быть как угодно большими положительными при значениях аргумента достаточно близких к а. Запись:

обычно означает, что значения f(x) могут быть отрицательными, как угодно большими по абсолютной величине. В нашем случае значения функции у = ~ при значениях х, достаточно близких к точке О, могут быть как угодно большими по абсолютной величине и положительными и отрицательными, а потому мы не считаем запись:

целесообразной. В рассматриваемом случае

Черт. 2

Черт. 3

вполне правильной является следующая запись:

Желая показать, что значения у положительны и могут быть как угодно большими, если X положительно и достаточно близко к точке О, можно писать:

но с непременным указанием, что х > 0. Можно, например, писать так:

На чертеже 4 изображены графики функции

эти графики наглядно показывают различие особенностей рассматриваемых функций вблизи точки О.

Точно так же мы считаем крайне неудачной весьма распространенную запись:

Правильной мы считаем следующую запись:

а также:

Запись же tg— = 00 мы считаем совершенно недопустимой, ибо прямому углу не соответствует никакого значения тангенса, а такая запись, как мы уже говорили, может навести учащихся на неправильные ее толкования.

Теперь рассмотрим следующий пример функции, определенной на множестве всех действительных чисел, отличных от нуля, следующим законом соответствия:

Расстояние точки у от точки О (на нижней прямой) равно

Точно так же, как и в предыдущем примере, конец стрелки может располагаться как угодно далеко от точки О (на нижней прямой) если начало стрелки достаточно близко к точке О (на верхней прямой), однако теперь стрелки, исходящие из рациональных точек (а такие точки имеются как угодно близко и справа и слева от точки О), оканчиваются на положительной части нижней прямой, стрелки же, исходящие из иррациональных точек (которые также имеются как угодно близко и справа и слева от точки О), оканчиваются на отрицательной части нижней прямой (черт. 5).

Если бы мы попытались построить график данной функции, то для всякой точки с рациональной абсциссой хфО соответствующая ей точка графика должна быть изображена на гиперболе у = —9 ибо в этом случае f(x) = ~« Всякая точка графика с иррациональной абсциссой должна находиться на гиперболе у—— —-, ибо в этом случае f(x) =--. Приведенный нами чертеж 6 дает только лишь весьма грубое представление об «истинном» графике данной функции, так как мы не в состоянии построить на каждой из гипербол бесконечное множество точек так, чтобы на любом как угодно малом участке имелись бы как «точки» так и «пустые места». «Точка», наносимая чертежным инструментом, есть на самом деле некоторый круг, и при достаточном продолжении процесса построения графика эти круги будут сливаться.

Мы должны подчеркнуть, что особенность рассмотренной нами функции вблизи точки О

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

отлична от особенностей функции

вблизи той же точки. Для функции, рассмотренной в последнем примере, можно написать:

Однако неправильно (с принятой нами точки зрения) было бы писать

Теперь введем следующее определение: функция f(x) имеет в точке а бесконечный предел равный оо, если значения функции f(x) могут быть как угодно большими при значениях аргумента, достаточно близких к а.

При этом подразумевается, что точный смысл выражений «как угодно большой», «достаточно близкий», разъяснено учащимся на достаточном количестве примеров, подобных рассмотренным выше.

Точное определение, принятое в математическом анализе, формулируется следующим образом.

Функция f(x) в точке а имеет бесконечный предел равный оо, если при любой наперед заданном положительном числе N существует такое число â > 0, что неравенство

f(x)>N

выполняется для любого значения аргумента не равного а и удовлетворяющего условию: \х — а I <£.

Точно так же скажем, что функция f(x) в точке а имеет бесконечный предел равный — оо, если ее значения могут быть отрицательными, как угодно большими по абсолютной величине при значениях аргумента достаточно близких к а.

В точной формулировке, принятой в современном анализе, это означает, что неравенство /(*)< — N (где N>0 любое наперед заданное число) выполняется для любого значения аргумента хфа, удовлетворяющего неравенствам |je — я|<# (где ô>0 число определяющееся заданием —N).

Так, для рассмотренных выше примеров имеем: функция ~ в точке О имеет бесконечный предел равный оо; функция — в точке О имеет бесконечный предел равный — оо; функция — не имеет в точке О бесконечного предела; функция, рассмотренная в последнем примере, также не имеет бесконечного предела в О. Но во всех четырех примерах абсолютная величина каждой из функций имеет в точке О бесконечный предел, равный оо.

Если при рассмотрении значений аргумента, близких к данной точке а, ограничиваться лишь значениями аргумента, большими а (или меньшими а), то можно говорить о бесконечном пределе справа (или слева) в данной точке. Так, например, функция tgx не имеет в точке — бесконечного предела, но имеет бесконечный предел справа, равный — оо, и бесконечный предел слева, равный оо.

Мы затрудняемся ответить на вопрос, целесообразно ли в средней школе вводить термин «бесконечный предел». Полагаем, что вполне допустимо ограничиться рассмотрением частных примеров, на которых и выясняется возможность того, что значения функции могут быть как угодно большими по абсолютной величине для значений аргумента достаточно близких к данной точке. При этом на тех же примерах выясняется точный смысл утверждений «сколь угодно большой» и «сколь угодно большой по абсолютной величине» и вводится соответствующая символика. Если вводить термин «бесконечный предел», то следует со всей отчетливостью разъяснить, что бесконечный предел не следует смешивать с обычным пределом, напротив, если существует бесконечный предел функции в некоторой точке а, то данная функция не имеет предела в этой точке. Существование предела и бесконечного предела функции в данной точке исключают друг друга. Вводить понятие «бесконечно большой величины» мы не считаем целесообразным.

Выше мы рассмотрели примеры различных функций, для которых в данной точке существовал бесконечный предел абсолютной величины, при этом каждая из рассмотренных нами функций в самой данной точке не имела никакого значения. На соответствующих чертежах из точки О не исходило никакой стрелки. Однако не следует думать, что и в общем случае, если функция имеет бесконечный предел в данной точке а, то она не определена в самой точке а. Достаточно рассмотреть следующий простой пример: функция fix), определенная на множестве всех действительных чисел следующим законом соответствия:

имеет бесконечный предел в точке 1, но вместе с тем ее значение в самой точке 1 равно нулю, так как по самому определению функции fix) мы имеем f(1) — 0; концы стрелок, для которых начало достаточно близко к точке 1, располагаются как угодно далеко вправо на нижней прямой, однако стрелка, исходящая из самой точки 1, оканчивается на нижней прямой точке О (черт. 7); на чертеже 8 изображен график этой функции.

Теперь сделаем следующее замечание. Если известно, что в любой близости от точки а существуют такие значения аргумента, при которых абсолютная величина данной функции может иметь как угодно большие значения, то отсюда еще нельзя заключить, что

* Разумеется, что можно было бы условиться писать lim f{x) = во всех тех случаях когда lim \f(x) I = оо. Мы сказали выше, что мы считаем такую запись нецелесообразной, таким образом, здесь идет речь не о невозможности, а лишь о нецелесообразности этой записи.

существует бесконечный предел |/С*)| равный оо. Рассмотрим кривую, изображенную на чертеже 9. Какой бы малый отрезок на оси ОХ, заключающий точку О, мы ни взяли, на этом отрезке существуют такие точки, что соответствующая точка кривой лежит на гиперболе у = ~, а также такие точки, что соответствующая точка кривой лежит на гиперболе у =— —. Соответствующая функция при значениях аргумента, достаточно близких к нулю, может принимать как угодно большие по абсолютной величине значения, но она в любой близости от точки О может принимать, например, значение равное нулю или, вообще, равное любому заданному действительному числу. В данном случае I/O0I не имеет бесконечного предела в точке О, ибо для существования бесконечного предела |/(д:)| надо, чтобы значения функции были большими, чем наперед заданное число, при всех, без исключения, значениях аргумента, отличных от нуля и достаточно близких к нулю. Изображенная на чертеже кривая есть график функции, заданной формулой^ = — sin — на множестве всех действительных чисел, отличных от нуля. На чертеже 10 изображен график функции, определенной на множестве всех действительных чисел следующим законом соответствия:

Эта функция в точке 2 не имеет ни бесконечного, ни обычного предела.

Эта функция имеет бесконечный предел справа, равный оо:

и предел слева, равный 1:

Теперь остановимся на рассмотрении еще одного вида бесконечных пределов, имеющих большое значение в школьной практике. Пусть q некоторое число большее 1; рассмотрим последовательность:

эту последовательность можно рассматривать как функцию целочисленного аргумента п, определенную на множестве всех целых положительных чисел (черт. 11 д = 2). Представляется «очевидным», что значения qn могут быть как угодно большими при достаточно больших значениях аргумента п. Возьмем какое-нибудь число, например 100, и постараемся ответить на вопрос, как велико должно быть значение п для того, чтобы значение qn было больше чем 100. Иначе говоря, мы ставим вопрос, как далеко должно отстоять начало стрелки вправо от точки О (на верхней прямой) чтобы ее конец отстоял от точки О (на нижней прямой) на расстояние большее чем 100 (вправо). Чтобы ответить на поставленный вопрос будем рассуждать следующим образом:

Черт. 7

Черт. 8

Черт. 9

Черт. 10

Черт. 11

из равенства: имеем:

так как ?>1, то получим и подавно:

Теперь становится очевидным, что достаточно

но взять п большим, чем-ч » чтобы иметь

Так например для последовательности

q = 3, а потому при п > 50, наверное, будем иметь:

Вместо числа 100 мы можем задать любое положительное число N, тогда при всех значениях п больших

наверное, будем иметь:

В этом смысле и надо понимать утверждение, что значения дп могут быть как угодно большими при достаточно больших значениях п. Для обозначения этого свойства данной последовательности мы употребляем запись:

Рассмотрим функцию, заданную формулой:

Если представить у в виде

становится ясным, что значения у могут быть как угодно большими при достаточно больших положительных значениях аргумента X. Возьмем какое-либо число, например 1 000, поставим вопрос, как велико должно быть значение х для того, чтобы значение^ было больше чем 1 000. Так как при всех положительных значениях х имеет место неравенство то

Из этого неравенства становится очевидным, что если х> 1000, то и подавно у > 1000. Вообще, если N>0 любое наперед заданное число, то неравенство

наверное, имеет место при всех значениях аргумента, больших N. В соответствии с полученным результатом мы пишем:

Весьма полезным примером, который следует рассматривать с учащимися старших классов, мы считаем доказательство следующего свойства степенной функции хп (где п—натуральное число): значения хп могут быть как угодно большими при достаточно больших положительных значениях аргумента X. Будем предполагать значения х большими 1, имеем:

Отбрасывая все слагаемые, начиная с третьего, мы получим неравенство:

(Если учащимся еще не известна формула бинома Ньютона, можно ограничиться рассмотрением функций X2 и X3.) Если мы зададим какое-либо число iV>0, то неравенство хп > N будет иметь место, если 1 + п (х —1) > > N; последнее же неравенство выполняется при любом значении х большем чем

Так, в частности:

В соответствии с полученными результатами мы пишем:

Рассмотрим теперь функцию у = —х— ~ при достаточно больших по абсолютной величине отрицательных значениях х.

Если X < 0, то оба слагаемые — х и--^ положительны, и мы имеем: У> — X. Из этого неравенства ясно, что

Вообще

В соответствии с этими результатами мы говорим, что значения у могут быть как угодно большими при достаточно больших по абсолютной величине отрицательных значениях х. Конец стрелки может располагаться на положительной части нижней прямой как угодно далеко от точки О, если ее начало расположено достаточно далеко от точки О на отрицательной части верхней прямой (черт. 12). В этом случае мы пишем:

Принято говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, равный оо при неограниченно возрастающих значениях аргумен-

Черт. 12

та, если ее значения могут быть как угодно большими при достаточно больших значениях аргумента:

Точная формулировка этого определения такова: при любом наперед заданном числе N>0 существует такое число р, что неравенство f (х)> N выполняется при любом значении аргумента, большем р, х^> р.

Аналогично говорят, что / (х) имеет бесконечный предел, равный оо при неограниченно возрастающих по абсолютной величине отрицательных значениях аргумента, если значения f (х) могут быть как угодно большими при достаточно больших по абсолютной величине отрицательных значениях аргумента:

В этом случае при любом наперед заданном числе ÎV>0 может быть найдено такое число р>0, что неравенство f (х)> N выполняется при любых значениях х меньших — р.

Предлагаем читателю самостоятельно сформулировать определения для бесконечных пределов:

В заключение приведем пример последовательности:

можно утверждать, что

но было бы неверно писать:

СТРАНИЧКА ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО СЛОВАРЯ

С. В. ФИЛИЧЕВ (Москва)

Аксиома (от греческого слова αξ ίωμα) — истина, положение, вследствие своей ясности, принимаемое без доказательства. Термин «аксиома» впервые встречается у философа Аристотеля.

В настоящее время систематическое изложение какой-нибудь математической дисциплины обычно начинается с установления аксиом, из которых строятся все дальнейшие выводы этой науки строго логически, путем умозаключений.

Аксиомы в некоторой степени заменяют определения основных понятий той или другой математической науки. К системе аксиом математической дисциплины предъявляется основное требование, чтобы эта система не заключала в себе противоречий, т. е. чтобы следствия какой-либо аксиомы не находились в противоречии с остальными аксиомами системы.

Отмечают аксиомы общематематические, относящиеся ко всяким величинам: 1) целое больше своей части, 2) две величины, порознь равные третьей, равны между собой и т. д. Кроме того, каждая математическая дисциплина имеет свою систему аксиом.

Смотрите, например, систему аксиом в «Началах» Эвклида или современную систему аксиом элементарной геометрии, предложенную немецким математиком Гильбертом (Гильберт — «Основания геометрии», 1923).

С системой аксиом Гильберта кратко можно познакомиться и по геометрии А. П. Киселева, ч. 2, 1940.

Математические аксиомы, как и основные положения естествознания, приобретены человеком путем наблюдения и опыта, т. е. аксиомы в окончательном итоге заимствованы из действительного мира и служат его отражением.

Взаимные точки. Точки А и В, взятые на радиусе ОС и на его продолжении, называются взаимными, если имеет место соотношение ОА-ОВ = ОС2. Сама же окружность называется управляющей окружностью.

Представим равенство ОА-ОВ = ОС2 в виде пропорции

составим производную пропорцию

откуда

т. е. взаимные точки А, В и концы диаметра С, D — четыре гармонические точки.

Гармонические точки. Четыре точки М, А, N,B, лежащие на одной прямой, называются гармонически расположенными, если длины MB, MA и MN находятся в отношении

Говорят, что две точки M и N делят данный отрезок AB внутренним и внешним образом в одинаковом отношении (гармонически), если

Пример гармонического деления из элементарной геометрии: биссектрисы внешнего и внутреннего углов при вершине С треугольника ABC делят гармонически противоположную сторону AB.

Задача Аполония: построить окружность касающуюся трех данных окружностей.

Задача Потенота: даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой; определить положение точки М, из которой отрезки CA и СЗ видны под данными углами а и ß.

Потенот (Pothenot, 1660—1732) — французский математик.

Квадрант (от лат. quadrantis — четвертая часть) — плоский сектор, составляющий четвертую часть круга. Двумя взаимно перпендикулярными диаметрами круг разделяется на 4 равные квадранта. Квадранты считаются по направлению, обратному движению часовой стрелки.

Конгруентность (от лат. congruentis—совпадающий)— совмещаемость при наложении. Две фигуры будут конгруентными, если одну из них можно переместить без нарушения формы и размеров в пространстве так, чтобы она полностью совпала со второй, например, если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники конгруентны. Точно так же два куба с равными ребрами, два шара одинакового радиуса конгруентны.

Лемма (от греч. λημμα — прибыль, предыдущее предложение)—теорема, которая вводится в науку для доказательства более важной в теоретическом или практическом отношении теоремы, например, в элементарной геометрии перед изложением признаков подобия треугольников доказывается лемма: «Прямая, проведенная параллельно одной из сторон треугольника, отсекает треугольник, подобный данному».

Лобачевский Н. И. (1793—1856) — гениальный русский математик. Учился в Казанской гимназии, был профессором математики Казанского университета и потом ректором того же университета. В области математики работал главным образом по основаниям геометрии. Главнейшие его работы по геометрии: 1) «О началах геометрии», 2) «Воображаемая геометрия», 3) «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных линий» и др. Геометрические работы Лобачевского изданы в 1883—1886 гг. под названием: «Полное собрание сочинений по геометрии Лобачевского».

Лобачевский создал так называемую неевклидову геометрию, не зависимую от V постулата Эвклида о параллельных линиях. Этой геометрией Лобачевский первый доказал логическую независимость аксиомы о параллельных линиях от других аксиом, лежащих в основании геометрии. Лобачевский показал, что все старания математиков, начиная с древнейших времен, вывести V постулат Эвклида о параллельных линиях как следствие из других истин бесполезны. В этом состоит главное научное значение работ Лобачевского.

Неевклидова геометрия. Систематическое изложение элементарной геометрии основывается на некотором числе не подлежащих доказательству предложений — постулатов, аксиом и определений. V постулат, или XI аксиома Эвклида (через точку можно в плоскости провести только одну прямую, параллельную данной прямой), лучшие математики более двух тысяч лет пытались доказать на основании других постулатов и аксиом Эвклида.

В начале XIX в. почти одновременно Лобачевский, Больяй и Гаусс установили, что подобное доказательство невозможно.

Лобачевский доказал независимость V постулата Эвклида от остальных постулатов и аксиом «Начал» и заменил его другим: «Через всякую точку вне прямой в плоскости можно провести больше чем одну прямую, не встречающую данную».

Взяв этот новый постулат и все остальные аксиомы и постулаты Эвклида, Лобачевский построил новую геометрическую систему, не похожую на геометрию Эвклида и не имеющую в себе внутренних противоречий. Геометрию Лобачевского называют Неевклидовой, или гиперболической, геометрией. Сумма углов в геометрии Лобачевского меньше двух прямых. В середине XIX в. немецкий математик Риман (1826—1866), заменив V постулат Эвклида другим («Через всякую точку вне прямой нельзя провести ни одной параллельной») и изменив несколько некоторые аксиомы Эвклида, построил вторую Неевклидову геометрию, которая называется геометрией Римана, или эллиптической. В геометрии Римана сумма углов треугольника больше двух прямых.

Неевклидовы геометрии имеют большое значение в развитии взглядов на основы геометрии. В последнее время неевклидовы геометрии нашли применение в вопросах теоретической физики.

Эвклидова геометрия проще всех других и более удобна в своих приложениях.

Полный четырехсторонник — фигура, состоящая из 4 прямых (сторон): AF, BE, DE, DF, из которых никакие три не проходят через одну точку, и из 6 вершин, точек пересечения попарно сторон: Л, В, С, D, Е, F.

Прямые, соединяющие противоположные вершины, называют диагоналями полного

четырехсторонника, а точки их пересечения — диагональными точками.

Полный четырехугольник — фигура, состоящая из 4 точек (вершин), не лежащих по 3 на одной прямой: А, В, С, D и из 6 сторон (прямые, а не отрезки), соединяющих вершины попарно всеми способами: AB, CD, BDt AC, AD и ВС. К, L и M — дополнительные вершины, или диагональные точки. Прямые, соединяющие диагональные точки, называют диагоналями KL>KM и ML—диагонали.

На каждой стороне полного четырехугольника имеем гармоническую группу точек, образованную парой вершин (A, D), диагональной точкой (М) и точкой пересечения (Е) этой стороны с диагональю, проходящей через две другие диагональные точки.

Поляра и полюс. Если через точку А, взятую в плоскости круга (О), провести произвольную секущую, пересекающую окружность в точках M и N, то геометрическое место точек Р9 гармонически сопряженных с точкой А относительно точек M u N, есть прямая линия, которая называется полярой точки А относительно окружности, а точка А — полюсом этой прямой.

Поляра точки А перпендикулярна к прямой, соединяющей эту точку с центром О окружности, и пересекает эту прямую в некоторой точке Н, точка H лежит по ту же сторону от центра, как и точка А, и определяется равенством OA-ОН = R2, где R — радиус окружности.

Поляра пересекает окружность или не пересекает, смотря по тому, лежит ли полюс вне или внутри окружности.

Если точка А лежит вне окружности, то полярой этой точки служит хорда (TT1), соединяющая точки прикосновения касательных, проходящих через эту точку.

Постулат (от лат. postulare — требовать) — утверждение, принимаемое без доказательства. В математике под постулатами разумеют положения, которые не могут быть доказаны и которые не могут быть опровергнуты. Они принимаются без доказательства в силу теоретической или практической необходимости как необходимое средство для расширения познания.

С понятием о постулате математики встречаются уже в «Началах» Эвклида. В изданиях «Начал» смешивают понятие о постулате с понятием об аксиоме.

В издании Гейберга и Менге «Начал» Эвклида приведены следующие постулаты:

«I. Нужно потребовать, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

II. И чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжить неопределенно.

III. И чтобы из любого центра можно было описать окружности любым радиусом.

IV. И чтобы все прямые углы были равны.

V. И чтобы всякий раз, как прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых».

В оксфордском издании «Начал» V постулат отнесен к аксиомам, и потому он часто называется XI аксиомой Эвклида.

В настоящее время под аксиомами разумеют недоказуемые положения, относящиеся ко всем наукам. Постулаты же представляют собой чисто геометрические утверждения, необходимые для понимания дальнейших выводов. По педагогическим соображениям иногда для понимания дальнейшего изучения какого-нибудь раздела математики постулируют положения доказуемые, но существующее доказательство пока сложно, выходит за пределы понимания изучающего этот раздел.

Например, из практических систем обучения логарифмам наиболее простой и быстро ведущей к цели будет, когда прямо постулируется положение, что логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей, и отсюда выводятся правила логарифмирования. Это, между прочим, делается во французских школах.

Прямые Чевы. Прямыми Чевы, или чевианами, называются прямые, исходящие из вершин треугольника и пересекающиеся в одной точке.

Чева (Ceva)—итальянский математик конца XVII и начала XVIII в.

Про чевианы имеет место следующая теорема Чевы: «Если прямые, соединяющие какую-нибудь точку с вершинами треугольника ABC, пересекают его стороны AB, ВС, CA соответственно в точках С1, А1, ВК то

Из обратной теоремы Чевы, как следствие, легко доказывается, что биссектрисы внутренних углов треугольника, медианы и высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Радиан — центральный угол, длина дуги которого равна радиусу. Радиан — единица

радиальной меры углов. В высшей математике применяется главным образом радиальная мера углов, так как она придает формулам более простой вид. Между радианами и практическими единицами углов (градусами, минутами и секундами) имеют место следующие соотношения:

Наименование «радиан» обычно опускается:

Радикальная ось. Геометрическое место точек, имеющих одну и ту же степень относительно двух данных окружностей, есть прямая, перпендикулярная к линии центров. Эта прямая называется радикальной осью двух окружностей. Другими словами, радикальная ось двух окружностей представляет собой геометрическое место точек, из которых касательные к данным окружностям равны между собой.

Если одна из двух окружностей имеет радиус, равный нулю, т. е. обращается в свой центр, то геометрическое место точек, степень которых относительно данной окружности равна квадрату их расстояния до данной точки, есть прямая линия, перпендикулярная к прямой, соединяющей данную точку с центром окружности. Эту прямую так же называют радикальной осью окружности и точки. Две концентрические окружности не имеют радикальной оси.

Если две окружности пересекаются, то радикальной осью служит прямая, соединяющая точки пересечения.

Степень точки. Степенью точки А относительно окружности называется произведение отрезков какой-либо секущей, выходящей из этой точки, считая отрезки от точки А до точек пересечения с окружностью. Если точка А — вне круга, то это произведение равно квадрату касательной, проведенной через эту точку, и берется со знаком+: АВ-АС = = AT2; если же точка А лежит внутри круга, то степень точки равна квадрату половины хорды, делящейся в этой точке пополам, взятому со знаком —. Степень точки А относительно окружности с центром О равна разности квадратов расстояния OA и радиуса.

Трансверсаль (от лат. transversus — попереклежащий или идущий) — любая прямая, пересекающая стороны треугольника. Про трансверсали имеет место следующая теорема Менелая: «Если стороны треугольника ABC или их продолжения пересекаются с одной и той же прямой в точках д, Ь, с, то между отрезками, определенными таким образом на сторонах, имеем соотношение

Обратной теоремой Менелая пользуются, когда требуется доказать, что три точки лежат на одной прямой, например, основания биссектрис внешних углов при вершинах треугольника лежат на одной прямой, или середины трех диагоналей полного четырехсторонника лежат на одной прямой и т. д.

Эвклид (или Евклид) — знаменитый греческий математик, о жизни которого известно лишь, что его научная деятельность протекала в III в. до н. э. в Александрии (Египет). Его сочинение Στοιχεία— «Начала» или «Елементы» представляет собой первое систематизированное логическое изложение основ геометрии, отчасти арифметики и алгебры (в геометрической форме).

«Начала» Эвклида состоят из 13 книг. I книга излагает основы планиметрии и оканчивается теоремой Пифагора. II книга содержит геометрическое доказательство алгебраических тождеств (алгебра древних). III и IV книги посвящены учению о круге, о правильных вписанных и описанных многоугольниках. В V книге изложено учение об отношениях и пропорциях. VI книга посвящена подобию фигур, пропорциональности линий. Книги VII, VIII и IX излагают теорию чисел (арифметику древних). В книге X дана теория иррациональных чисел. Последние книги посвящены стереометрии.

«Начала» изложены в следующем плане: в начале каждой книги даются определения тех понятий, которые встречаются в дальнейшем изложении, потом следуют постулаты и аксиомы, и, наконец, идут теоремы с доказательством, причем в изложении вычислительный момент отсутствует. По стилю изложения «Начала» Эвклида не учебное руководство, а научный трактат, давший обозрение состояния науки в III веке до н. э.

«Начала» показывают, что греческая геометрия в III веке до н. э. достигла высокого теоретического уровня развития, имела многочисленные практические приложения, из потребностей которых она и выросла.

«Начала» дошли до нас во многих списках, древнейший из которых относится к IX в. (888).

«Начала» переведены на большую часть существующих языков (не менее 500 изданий).

Лучшие издания Эвклида: 1) Гейберга и Менге—«Euclidis opera omnia», ediderunt I. L. Heiberg et A. H. Menge (1883-1888); 2) The thirteen Books of Euclid's Elements, translated by T. L. Heath, v. I—III, 2 ed., Cambridge, 1926 (лучший перевод).

На русском языке последний перевод:

М. Е. Ващенко — Захарченко «Начала Евклида с пояснительным введением и толкованиями» (без VII, VIII и IX книг), 1880, Киев.

В настоящее время подготовляется новое издание Эвклида.

ТЕРМИНОЛОГИЧЕСКИЙ СЛОВАРЬ

И. Н. ШЕВЧЕНКО (Москва)

Д

Дедукция, лат. deductio — отведение, проведение, уведение; от deducere — выводить.

Дека, греч. δέχα (deka) — десять.

Входит в состав следующих слов: декаметр, декалитр, декаграмм, декабрь, декада.

Делийская (делосская) задача. Одна из знаменитых задач древности, задача удвоения куба. Наименование происходит от названия острова Делоса. Небольшой остров на Эгейском море, один из Цикладских островов. Существует предание, что на вопрос жителей Делоса, как прекратить свирепствовавший на острове мор, оракул ответил: «Удвойте жертвенник» (последний имел форму куба). По другой версии моровая язва произошла в Афинах и даже указывается год этого события (430 до р. х.).

Дельтоид, греч., состоит из двух слов: дельта — название четвертой буквы греческого алфавита (Δ) и сущ. είδος (eidos) — вид, наружность; букв, знач.— сходный с дельтой. P.c.— дельта (реки).

Детерминант, лат. глаг. determino, неопр. наклон, determinare — ограничивать, определять. Букв, знач.— определитель.

Деци, лат. decern — десять. Входит в состав следующих слов: дециметр, децилитр, дециграмм, децимальный.

Диагональ, греч., состоит из предл. διά (dia) — через и γωνία (gonia) — угол; букв, знач.— проходящая через угол.

Диаграмма, греч. διάγραμμα (diagramma) — очертание, рисунок, чертеж.

Диаметр, греч. διάμετρος (diametros) — поперечник. В качестве математического термина употребляется в европейских языках.

Диоптры, греч. διόπτρα (dioptra) — все, сквозь что можно видеть. Состоит из διά (dia) — через, сквозь и οπτεύω (opteva) — вижу, гляжу.

Директриса, лат. от глаг. dirigo — неопр. н. dirigere — ставить прямо, направлять; букв, знач.— направляющая.

Дискриминант, лат. глаг. discrimino,— неопр. н. discriminate — разбирать, различать.

Дистрибутивный, лат. distributio — разделение; букв, знач.—распределительный.

Диференциал, лат. differens, род. пад.— differentis — различие, разность; от глаг. differo — различаться; differentia — разность.

Додекаэдр, греч., состоит из двух слов: δώδεχα (dodeka) двенадцать и έδρα (hedra) — основание; букв, знач.—двенадцатигранник. См. слово «эксаэдр».

Ε

Евклидова геометрия, часть геометрии установленная еще в древние времена. Ее обычно связывают с именем александрийского геометра Евклида (III в. до р. х.), написавшего трактат Ετοιχεια («Начала» или «Элементы»), который представляет собою энциклопедию геометрических знаний той эпохи. Евклидовой геометрии противопоставляются в настоящее время различные системы неевклидовых геометрий (Лобачевского, Римана).

Error fundamentalis, лат. error — ошибка, заблуждение; fundamentalis — основной от лат. fundamentum — основание. Буквальное значение—ошибка основная.

То же самое, что πρώτου ψεδδο;. См. это выражение «Experimentum crucis», лат. experimentum — проба, опыт; crucis от crux, род. пад. crucis — крест.

Обычно это выражение понимают так: решающий вопрос опыта.

Термин этот употребляется в следующих случаях. Пусть имеется несколько вероятных гипотез, из которых необходимо избрать одну в качестве истинной. Нахождение такого факта, который был бы в согласии с одной гипотезой и противоречил бы остальным, и называется experimentum crucis.

Extremum, лат., превосходная степень от exter — внешний наружный; extremum — крайнее, последнее.

Англ. exterior — внешний, наружный.

Нем. Extremität — оконечность;

Фр. extérieur и externe — внешний, наружный.

Зенит. Это слово произошло от искажения арабского sécint — путь, прямая дорога. Арабы не пользовались этим словом для обозначения точки небесного свода, лежащей над головой наблюдателя, и только европейцы стали вкладывать в это слово его теперешний смысл.

Зенона парадокс, так называется известный парадокс об Ахиллесе, который не может догнать черепахи. Название происходит от имени философа Зенона (V в. до p. X.). С именем Зенона связываются еще и другие парадоксы, которые иногда называются апориями Зенона.

Золотое деление. Так иногда называют деление отрезка в крайнем и среднем отношении. На латинском языке это деление называется aurea sectio. Задача деления отрезка в указанном отношении была известна Евклиду и пифагорейцам. Интерес к ней пробудился в эпоху Возрождения. В 1509 г. появилась книга Луки Пачиоли «Divina Proportione». Наконец, уже в 1854 г. проф. Адольф Цейзинг написал книгу «Neue Lehre von den Proportionen...», в которой рассматривает «золотое деление» как основной морфологический закон в природе и искусстве. Помимо указанных, существует еще ряд работ, посвященных этому вопросу. Термин «золотое деление» не употреблялся ни в древности, ни в средние века. В математике «золотым» (правилом) называли тройное правило, а к рассматриваемому нами геометрическому факту это название не применяли. В средине же XIX в. в популярной литературе стали употреблять термин «золотое деление». Это совпадает примерно с тем временем, когда интересующее нас деление стали рассматривать как важнейший принцип эстетики, применительно к архитектуре, скульптуре и живописи.

И

Изогональный, греч., состоит из двух слов: Ισος (isos) равный и γωνία (gonia) — угол; букв, знач.—равноугольный

Изоморфный, греч., состоит из двух слов: Ισος (isos) равный и μορφή (morphe) — наружность, внешность, образ.

Изопериметрической, греч., состоит из двух слов: Ισος (isos) равный и περίμετρν (perimetron) — окружность.

Икосаэдр, греч., состоит из двух слов: έίχοσι (eikosi) двадцать и έδρα (hedra) — основание; букв. знач. двадцатигранник.

Инвариант, от лат. in —отрицание и прич. varians, род. пад. variantis — изменяющий. Букв, знач.— неизменяющий.

"Инверсия, лат. inversio — переворачивание, перестановка.

Индекс, лат. index — показатель, указатель, титул, надпись.

Индукция, лат. inductio — введение, доказывание примерами; от глаг. induco, неопр. наклон, inducere — вводить, приводить, наводить.

Интеграл, лат. integer—неповрежденный, полный, целый.

Интервал, лат. intervallum — промежуток, расстояние.

Интерполирование (интерполяция), лат. глаг. interpolo, неопр. наклон, interpolare — подделывать, подновлять.

Слово это первоначально обозначало подделку рукописи, т. е. введение в рукописный документ одного или нескольких слов, не находившихся в подлиннике.

Интерпретация, лат. interpretatio — толкование, объяснение.

Интуиция, лат. глаг. intueri — смотреть на что-нибудь. Букв. знач.— созерцание.

Иррациональный, лат., состоит из неотделимого предлога ir, который в соединении с прилагательными и причастиями обозначает отрицание (не, без) и прил. rationalus — счетный, умственный. Букв, знач.— неразумный, неисчислимый.

Итерация, лат. iteratio — повторение.

К

Кавальери принцип. Название происходит от собственного имени Франческо Бонавентура Кавальери (Cavalieri, 1598 — 1647), итальянский математик и астроном.

Калькуляция, лат. глаг. calculo, неопр. наклон, calculare — считать. У римлян calculus обозначало камешек, употреблявшийся или для игры или для счета.

Канонический, греч. κανονικός (kanonikos)— совершенно правильный, составленный по правилам, от слова χανών (kanon). Букв. знач. — палка, в переносном смысле обозначает предписание, правило.

Кардана Формула. Формула для решения уравнений 3-й степени. Название происходит от собственного имени Girolamo Cardano (1501 — 1576), итальянский математик, философ и медик.

Примечание. Эта формула была найдена итальянским математиком Николо Тартальей (1500—1557), но обнародована была в 1545 г. Карданом.

Кардиоида, греч., состоит из двух слов: καρδία (kardia) — сердце и είδος (eidos)—вид, наружность. Букв, знач.— сердцевидная, похожая на сердце.

Примечание. В медицине имеется аппарат «кардиограф», вычерчивающий кривую сердечных сокращений.

Катет, греч. χάθετος (kathetos) — опущенный, перпендикуляр, отвес. Р. с. катетометр — прибор для измерения вертикальных расстояний.

Квадрант, лат. quadrans, род. пад. quadrantis,— четвертая часть.

Квадрат, лат. quadratus — четыреугольные от глаг. quadro — делаю четыреугольным.

Квадратура круга, наименование одной из знаменитых задач древности. Задача заключается в том, чтобы построить квадрат, равновеликий данному кругу.

Квадриллион, фр. quadrillon. Изображается единицей с 15-ю нулями. В основе лежит лат. quatuor — четыре. В различных государствах это слово относится к разным числительным.

Кватернион от лат. quaterni — по четыре. Букв, знач.— четырехчленные числа.

Термин введен Вильямом Ровэном Гамильтоном (1805—1865). Английский математик.

Quod erat demonstrandum, лат., в переводе на русский язык значит: что требовалось доказать. (Quod — что; demonstro — доказываю). Это выражение (Q, е, d) встречается в некоторых учебниках (например в «Элементах геометрии» Филипса и Фишера) в качестве заключительной фразы каждой теоремы.

Кило, греч. XUioi (chilioi) — тысяча.

Классификация, фр. classification — разделение на классы (от лат. слов: classis — разряд, класс и facio — делаю).

Кологарифм, состоит из «ко» и «логарифм». Частица «ко» представляет собою первый слог лат. слова complementum — дополнение. См. слово логарифм. Букв. знач.— логарифм дополнения.

Комбинаторика, лат. ars combinatoria — искусство сочетания предметов.

Коммутативный, лат. commuto, неопр. наклон, commutare— переменять, изменять. Букв, знач.— переместительный.

Комплексный, лат. complexus — обхватывание, обнимание, соединение.

Компонент, лат. componens, род. пад. componentis,— слагающий, составляющий.

Конгруентный, лат. congruens — согласный, сообразный, род. пад. congruentis, от глаг. congruo — сходиться, согласоваться.

Коноид, греч. χωνοειδής (konoeides) — кеглеобразный, конический.

Константа, лат. constans, род. пад. constants,— постоянный, неизменный (прич. от глаг. consto — твердо стою). Букв. знач.— постоянная.

Контур, фр. contour — очертание, очерк.

Конус, греч. χώνος (konos) — кегля, конус, верхушка шлема. В лат. яз. тоже имеется аналогичное слово conus — кегля, конус.

Конфокальный, лат., составилось из предл. con — с, со (измененное сит и focus — место, где разводится огонь, очаг. См. слово фокус.

Конформный, от лат. глаг. conformo, неопр. наклон, conformare — сообщить стройный вид, надлежащую форму, устроить, образовать.

Англ. to conform — сообразовать.

Φρ. conformité — сходство, сообразность; conforme — сообразный, сходный, соответственный.

Конхоида, греч., состоит из двух слов: χογχών (konchon) раковина и είδοσ (eidos) — вид, наружность.

Существует лат. concha—раковина.

Концентрический, лат., состоит из предл. cum —с и centrum — центр. В данном случае предл. cum перешел в con.

Координата, лат., состоит из предл. cum — с и глаг. ordino, неопр. наклон, ordinäre — приводить в порядок, определять (предл. cum здесь перешел в со). Нем. Koordinate— координата (матем. термин).

Корпус, лат. corpus — тело.

Косеканс, лат., произошло от сокращения complément! secans; complementum — дополнение, secans — секущий. Букв, знач.— секанс дополнения.

Косинус, лат., образовалось так же, как и косеканс, т. е. из слов complementi sinus; complementum — дополнение, sinus — впадина, углубление. См. это слово. Букв, знач.— синус дополнения.

Котангенс, лат., образовалось так же, как косеканс и косинус, т. е. из слов complementi tangens; complementum — дополнение и tangens — касающийся. См. это слово. Букв, знач.— тангенс дополнения.

Кофункция, лат., составилось из «ко» и «функция». Слог «ко» представляет собою первые две буквы слова complementum — дополнение.

Таким образом, этот термин получился так же, как и косеканс, косинус, котангенс и кологарифм. См. слово функция.

Коэфициент, ново-лат. coefficiens, образовалось из предл. cum — с (в соединении со словами, начинающимися с гласной буквы, переходит в «со») и efficiens, род. пад. efficientis,— производящий, составляющий причину чего-нибудь. Букв, знач.—содействующий.

Критерий, греч. χριτήριον (kriterion) — средство для решения; признак, по которому можно верно судить. Англ. criterion — правило, признак. Фр. critérium — правило, признак; critique — критический.

Куб, греч. χόβος (kybos) — куб, игральная кость. В качестве математического термина встречается в европейских языках.

Л

Лемма, греч. λήμμα (lemma) — допущение, предыдущее предложение.

Лемниската, греч. λημνίσχς (lemniskos) — шерстяная повязка, лента. Лат. lemniscata — ленточная.

Лимес, лат. limes, род. пад. limitis — черта разграничения, рубеж, граница.

Литр, греч. λίτρα (litra) — мера веса (в Сицилии обозначало серебряную монету).

Логарифк, греч., состоит из двух слов: λόγος (logos) — имеет несколько значений, а именно: слово, речь, учение, разум, основание, отношение; и αριθμός (arithmos) — число, счет, номер. Этот термин ввел в науку Джон Непер (1550—1517). Мотивы введения такого слова точно неизвестны. Приведу предположения, которые на этот счет существуют. При этом нужно иметь в виду, что как слово logos, так и слово arithmos имеют много различных значений; этим и объясняется разница в истолкованиях нашего термина. Слово logos в математике, обычно употребляется со значением «отношение». По крайней мере, Евклид в V книге «Начал» для обозначения отношения пользуется этим словом. Возможно, что и Непер вкладывал в это слово такой смысл, но он мог мыслить его и с иным значением, так как его отделяют от Евклида 19 веков.

В сочинении «Marifici logarithmorum Canonis Constructio» («Построение чудесного канона логарифмов»), которое считается первым по времени (хотя вышло после смерти Непера), автор употребил слово логарифм только в заголовке. В тексте же он этим словом не пользуется, а употребляет для логарифмов термин «numeri artificiales», поэтому можно предполагать, что первоначально Непер не думал пользоваться этим словом в качестве термина, может быть, не считая его пригодным для этой цели. Выражение же на обложке могло иметь другой смысл, например, такой: построение чудесного канона действий над числами (logos — действие, операция). Согласно другому толкованию, слово logos именно нужно понимать как отношение, а термин «логарифм» передавать так: «число отношения», или, еще яснее: «порядковый номер отношения». Это значит следующее. Возьмем кратную прогрессию для простоты такую: 1, 2 4, 8, 16, 32, 64, 123... Знаменатель этой прогрессии ((отношение» последующего члена к предшествующему) равен 2. Значит, прогрессию можно переписать так: 1.2Э, 1.2\ 1.22, 1.2е, 1.2', 1.25, 1.36, 1.27... В этой строке знаменатель занумерован показателями: 0, 1, 2..., которые и являются логарифмами. Непер брал другую прогрессию. Он разыскал для промежутка между единицей и двумя ряд из ста чисел, находящихся в равных отношениях. Таким образом, между 1 и 2 он ставил 100 средних геометрических, но от этого дело не меняется. Выражение «число отношения» («λογού άρι&μός numerus rationis») могло иметь несколько иной смысл, корни которого нужно искать в математике древних. В V книге «Начал» Евклида среди определений встречаются следующие: «Когда три величины пропорциональны, то говорят, что первая к третьей имеет двойное отношение («διπλαιίων λόγος») первой ко второй (1:2 = 2:4). Если четыре величины непрерывно пропорциональны, то говорят, что первая к четвертой имеет тройное отношение («τριπλασίων λόγος») первой ко второй (1: 2 = 2: 4 = 4: 8)». Этот способ выражения со временем стали применять к таким парам отношений, из которых одно получается из другого путем возвышения первого в некоторую степень. Например, отношение 8 к 27 называли тройным отношением 2 к 3. Слова «двойной», «тройной», «учетверенный» и т. д. происходят, конечно, от числительных: 2, 3, 4 и т. д., которые являются показателями степени. Значит, в теории отношений показатель степени рассматривали как число, указывающее «порядок» отношения. С этим значением показатель степени мог попасть и в теорию логарифмов. Существует еще такое мнение, что всякий показатель степени можно рассматривать как «отношение» количества множителей степени к количеству таких же множителей возвышаемого числа. Например, в равенстве

показатель

представляет собою отношение количества множителей числа 8 (двоек) к количеству таких же множителей числа 4. Зна-

чит, показатель (логарифм) можно рассматривать как число-отношение.

Наконец, есть еще одно очень простое толкование слова логарифм. Согласно обычному определению логарифмом числа N при основании а называется показатель степени, в которую нужно возвести я, чтобы получить N. Слово логарифм и выражает именно эту мысль. Если слово logos обозначает «основание», а слово arithmos — «показатель», то слово логарифм значит просто «показатель основания».

Логарифмы Гаусса, см. «Гауссовы логарифмы».

Логика, греч. λογιχός (logikos) — касающийся слова; λογιχή (logike) — касающийся разума, наука о мышлении.

Локон Аньези, кривая линия. Название происходит от собственного имени. Мария-Гаетана Аньези (Agnesi 1718—1799), итальянка, родилась в Милане, занимала кафедру математики в Болонье.

Лудольфово число — число π (выражающее отношение окружности к диаметру), вычисленное с 34 десятичными знаками. Название происходит от имени голландского математика Лудольфа ван Пейлена (1539—1610).

M

Магический квадрат, так назывались известные еще в глубокой древности квадраты, разграфленные на клетки. Сумма чисел, помещенных в любом ряду клеток (горизонтальном, вертикальном, по диагонали) должна равняться какому-нибудь постоянному числу. Слово магический греч.— μαγιχός (magikos) — волшебный, колдовской.

Максимум, лат. maximum—наибольшее; превосходная степень от прил. magnus — большой.

Мантисса, лат. mantisa (или mantissa) — прибавок, придаток.

Первоначально этим словом обозначали дробные знаки любой десятичной дроби. С таким употреблением этого термина мы встречаемся, например, в алгебре Джона Валлиса (1616—1708). Впервые Леонард Эйлер (1707—1783), в книге «Введение в анализ» (1748) воспользовался им специально для обозначения десятичных знаков логарифма. С этим значением термин употребляется и до настоящего времени. Лишь Гаусс (о нем см. Гауссовы логарифмы) в своих работах по теории чисел (Disquisitiones Arithmeticae) снова воспользовался этим словом для обозначения десятичных знаков, получающихся при обращении простой дроби в десятичную.

Масштаб, нем. masstab — шест для измерения, мера, мерило, масштаб.

Математика, греч. μάθημα (mathema), род. пад. μαθήματος (mathematos), — знание, познание, наука; μαθηματικός (mathematikos) — способный или прилежный к учению, математический.

Медиана, лат. médius — средний. Букв, знач.— средняя линия.

Мензула, лат. mensula — столик, уменьшительное от mensa — стол.

Мета, греч. предлог μετά (meta), имеющий несколько значений: с, вместе, между, посредством, после, против. В соединении с другими словами обозначает нахождение за, изменение, противоположность. Наиболее известны слова: метагеометрия, метафизика, метаматематика.

Метагеометрия, греч., состоит из слов: μετά (meta) после, через и геометрия, см. это слово. Так называется геометрия многих (более чем трех) измерений.

Метаматематика, греч., состоит из слов: мета и математика, см. эти слова.

Так назвал Д. Гильберт часть математики, не подлежащую формализированию. Предмет математики составляет доказательство непротиворечивости аксиом. См. Гильбертова система аксиом.

Метод, греч. μέθοδος (methodos) — образ изложения; составлено из слов: μετά (meta) — с, посредством и οδός (nodos) — путь дорога.

Метрический, греч. μετρητικός (metretikos) — относящийся к ме£е, от глаг. μετρείν (metrein) измерять. Букв. знач.— измерительный.

Мециево отношение. Выражение числа π в виде дроби —.

Название происходит от собственного имени—Адриан Антониец (1527—1607), носивший кличку Меция, как уроженец города Меца.

Это выражение числа π удобно в мнемоническом отношении (легко запоминается).

Микрон, греч. μίχρος (mikros) — малый.

Милли, лат. mille — тысяча.

Входит в состав следующих слов: милли грамм, миллиметр, миллион. Встречается во многих иностранных языках.

Миллиард, фр- milliard — тысяча миллионов; то же, что биллион.

Минимум, лат. minimum — наименьшее, превосходная степень от parvus — малый.

Минус, лат. minus — меньше, сравнительная степень от parum — мало.

Англ. minus —без, минус, отрицательный.

Минута, лат. minutus — весьма малый, от глаг. minuo — разбивать на мелкие части. Первоначально первые подразделения градуса назывались: partes, minutae primae, что значит— части малые первые. См. секунда.

Мирна, греч. μυρίος (myrios) — бесчисленный, бесконечный; μύριοι (myrioi) — десять тысяч. Слово это является иногда приставкой, служащей для обозначения меры, которая в 10 000 раз больше основной, например, мириаметр = 10 000 метров, а также мириаграмм, мириалитр, мириада.

Модуль, лат. modulus — мера.

Мольвейде формулы — так называются тригонометрические формулы:

и т. д.,

опубликованные в 1808 г. немецким математиком и астрономом Mollweide (1774—1825). Эти формулы были известны в XVIII в. до Мольвейде. Помимо формул прямолинейной тригонометрии, Мольвейде опубликовал некоторые формулы сферической тригонометрии. Об этом см. Ф. Клейн — «Элементарная математика с точки зрения высшей», т. I.

Монотонность, греч., состоит из двух слов: μόνος (monos) один и τόνος (tonos) — тон, ударение в стихе.

Муавра формула

(cos x + i sin x)m = cos mx + i sin mx.

Название происходит от собственного имени. Abraham de Moivre (1667—1754) — французский математик.

Мультипликативный, от лат. multiplicatio — умножение, multiplicare — умножать, увеличивать.

Р. с— мультипликатор, мультипликация.

Англ. multiplicand — множимое; multiplication — умножение; увеличение; multiplier — множитель.

Нем. Multiplikand:—множимое число;

Multiplikation — умножение; multiplizieren — умножать.

Фр. multiplicande — множимое; multiplicateur — множитель; multiplication — умножение; multiplier — умножать.

Примечание. В арифметике Л. Магницкого употребляется термин «мултипликацио». Например, на листе 11 имеется заголовок: «Мултипликацио, еже есть умножение».

H

Неперовы логарифмы, так называют натуральные логарифмы, т. е. логарифмы при основании £ = 2,71828... Они введены в науку Джоном Снеделем в 1619 г. Название происходит от собственного имени. Джон Непер (John Napier) шотландский математик (1550— 1617) является создателем логарифмов. Его открытия изложены в двух книгах: «Mirifici logarithmorum Canonis Descriptio» (вышла в 1614 г.) и «Mirifici Logarithmorum Canonis constructio» (вышла в 1619 г., уже после смерти автора).

Сам Непер пользовался основанием е~1.

См. Аналогия Непера.

Нивелирование, фр.. niveler — выравнивать. Нем. nivelliren — выравнивать, нивелировать.

Никомаха Арифметика. Руководство по арифметике, созданное греческим математиком Никомахом из Геразы около 100 года. В оригинале это сочинение называется «Εισαγωγή αριθμητ'.χή», по-латыни «Introductio Arithmetica» — «Введение в арифметику». Здесь имеется первая таблица умножения, называемая Пифагоровой. Никомах, Диофант (см.) и Эратосфен (см.) являются замечательными творцами греческой арифметики.

Номография, греч., состоит из двух слов: νόμος (nomos) — закон и γράφω (grapho) — пишу, изображаю.

Нониус, название происходит от собственного имени португальского математика Педро Нониуса (1492—1577).

Нормаль, от лат. norma — угломер; мера, правило, образец; normalis — сделанный но угломеру; normalis angulus — прямой угол.

Нуль, лат. nullus — никакой. Букв, знач.— ничто.

Нумерация, лат. numeratio — считание, счет.

Ньютона Бином. Название происходит от собственного имени. Исаак Ньютон — великий английский математик (1642—1727), один из творцов диференциального исчисления. Прославился открытием закона всемирного тяготения в физике. Важнейшие его сочинения: «Математические начала естественной философии», «Всеобщая арифметика» («Arithmetica universalis») и «Methodus fluxionum».

О

Овал, от лат. ovum —яйцо. Букв, знач.— яйцевидный.

Октант, лат. octans — восьмая часть. См. слово октаэдр.

Октаэдр, греч., состоит из двух слов: οχτώ (okto) восемь и έδρα (hedra) — основание. Букв, знач.— восьмигранник.

Орбита, лат. orbita — колея. От слова orbis — круг, окружность, колесо.

Ордината, лат. ordinatus — правильный, приведенный в порядок; ordinatim — по порядку.

Термин ордината следует рассматривать в связи с названиями других координат (абсцисса и аппликата). Эти три слова встречаются в математике очень давно, но первоначально они не были терминами, предназначенными для обозначения координат. Абсцисса обозначала отрезок, ордината — упорядоченная, аппликата — приложенная. Но они часто фигурировали при изложении геометрических вопросов и стали, так сказать, необходимыми элементами математического текста. Выражение «ordinatim applicatae» («в порядке расположенные») встречается прежде всего у римских переводчиков трактата Аполлония «О конических сечениях». Этими словами называли ряд параллельно расположенных отрезков, например ряд хорд, перпендикулярных к одному диаметру. Выражение это потом постоянно употреблялось римскими землемерами, а уже значительно позже оно встречается у Кеплера и Декарта. Но самое замечательное употребление этих слов встречается в книге римского математика Stephanus de Angel is («Miscellaneum hyperbolicum et parabolicum», 1659 г.), где они поставлены рядом, входя в состав одной и той же фразы. Вот часть этой фразы: «...pars extra parabolen sit ad partem diametri abscissam ab ordinatim applicata versus verticem...» («...отрезок вне параболы относился бы к отрезку диаметра, отсекаемому ординатой по направлению к вершине...»). Мы видим, что употребленные здесь слова со временем стали обозначать первую, вторую и третью координаты точки.

Ортогональный, греч., состоит из двух слов: ορθός (orthos) — прямой, правильный и γωνία (gonia)— угол. Букв, знач.—прямоугольный.

Ортоцентр, греч., состоит из двух слов: ορθός (orthos) прямой, правильный и χέντρον (kentron) — средоточие, центр.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

ДРЕВНЕЙШИЙ ВЫВОД ФОРМУЛЫ СИНУСА ПОЛОВИННОГО УГЛА

Проф. И. Я. ДЕПМАН (Ленинград)

«Предложение. Дан полукруг АСВ с центром О, диаметром AB и хордой АС. Дели дугу ВС в точке D пополам и проведи прямые BD и DC. Сделай АН равным АС.

Я утверждаю: ОВ-ВН = BD2.

Доказательство:

1) Д CD А = Д HD А,

2) Д BHD с* д BD О,

3) HB : BD = BD: DO,

4) BD2 = HBDO = HB-ВО».

Приведенное предложение и его доказательство представляют записанное в современных символах 14-е предложение недавно найденного арабского перевода, сделанного Табитом ибн Курра (836—901), сборника предложений Архимеда, открытого немецким арабистом-математиком Карлом Шоем (1877— 1925). Об этом см. «Математика в школе» № 6 за 1940 г.

Доказательство теоремы не вызывает почти никаких разъяснений: равенство треугольников CDA и HAD очевидно (две равные стороны, заключающие равные по построению углы), подобие треугольников BDH и BOD следует из того, что эти треугольники равнобедренные и имеют общий угол при основании.

Теорема, на первый взгляд, не представляет ничего особенно интересного, и современный читатель не сразу улавливает ту ее сущность, которую читатель времен Архимеда, очевидно, видел сразу и из-за которой Архимед включил ее в свой сборник.

Известно, что роль функции синус вплоть до нового времени играла хорда, и древний читатель видел в каждой хорде некоторую функцию соответственного центрального угла, по-нашему говоря, двойной синус половины соответственного центрального угла.

Обозначим угол BOD через а и примем радиус круга за единицу. Тогда:

ВН = В А — АС = 2 — 2 cos а = 2 (1 — cos а).

В этих обозначениях заключение теоремы пишется так:

Очевидно, это соотношение в символах хордной тригонометрии и видел в заключении теоремы читатель третьего века до нашей эры.

Теорема представляет большой исторический интерес. Принято думать, что начала греческой тригонометрии принадлежат Гиппарху (середина II в. до нашей эры) и что до некоторой степени законченную форму они приняли лишь у Птоломея (II в. нашей эры). Оказывается, что они имелись значительно ранее, как видим, уже у Архимеда, т. е. за сто лет до Гиппарха. Кроме того, считалось, что только арабы отделили тригонометрию от астрономии в самостоятельную науку. Однако уже Архимед трактует вопросы тригонометрии независимо от астрономии.

Сделаем кстати еще и другое историческое замечание, относящееся к Архимеду. Формулу площади треугольника по трем сторонам:

в учебниках обычно называют героновой.

Даты жизни Герона очень неопределенны: разные авторы дают сроки от сотого года до нашей эры и до трехсотого года нашей эры. Наиболее приемлемым считается отнести Герона к I в. нашей эры (Найгебауэр, Арчибальд).

Известно, что арабские математики, притом самые авторитетные, называют формулу Герона архимедовой. Абуль Вафа (940—998) сообщает о двух известных ему доказательствах Архимеда для этой формулы. Это утверждает и упомянутый немецкий арабист-математик Карл Шой на основании арабской рукописи в коллекции Терстона, хранящейся в Оксфорде (Письмо Шоя к Иоганнесу Тропфке от 16/1Х 1925). Точно так же Аль-Бируни, афганский математик из города Газны (973—1048), в своем сочинении 1036 г. утверждает принадлежность Архимеду «геро-

новой» формулы, как и способа вычисления трех высот треугольника по трем сторонам.

Известно, что Табит ибн Курра, Абуль Вафа и Аль-Бируни знали греческий язык и имели на руках греческие рукописи, которые, до сих пор не обнаружены, поэтому эти сообщения сами по себе заслуживают доверия.

В сочинении Архимеда, найденном Шоем, эти утверждения находят косвенное подтверждение. Правда, самой формулы среди предложений найденного собрания нет, но среди них есть несколько предложений о прямоугольном треугольнике, в которых систематически результаты выражаются через произведения разностей р — а, р — Ь, р — с и р. Создается впечатление, что общей идеей доказательства ряда собранных в этом сборнике предложений как раз является этот методический прием.

Несколько последних предложений сборника являются как бы оторванными от первых, связанных и идейной и методической общностью. Весьма правдоподобно, что после тринадцатого предложения, которое дает для площади прямоугольного треугольника два выражения:

следовала формула Герона — Архимеда, являясь естественным заключением и в идейном и методическом отношении этой группы теорем.

По словам Табит ибн Курра рукопись Архимеда, которой он пользовался, была в очень плохом состоянии, поэтому возможность потери части теорем вполне вероятна. Табит ибн Курра является первым переводчиком Архимеда на арабский язык; только через его перевод мы имеем «Леммы» Архимеда, поэтому его заявлению о принадлежности Архимеду «героновой» формулы нужно придать значение.

Итак, формулу о площади треугольника есть все основания называть формулой Архимеда.

* Эти формулы для площади прямоугольного треугольника, очевидно, правильны. Если обозначить катеты через а и Ь, то

гипотенуза с

полупериметр:

откуда имеем:

Архимед, впрочем, получает эти выражения площади прямоугольного треугольника другим общим способом рассуждения, применяемым им в нескольких предложениях. Вообще собрание предложений Архимеда представляет, несомненно, методический интерес, а его теоремы просятся в современный сборник упражнений.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОТ ПРОТИВНОГО И АКСИОМА ТАТАРИНОВА

В. МИНКОВСКИЙ (г. Энгельс н/В)

Уже в начале XIX в. растущие требования логики и педагогические соображения вызвали настойчивые поиски простых и однородных методов доказательства для учебной книги. Одним из главных недостатков общепринятой системы геометрии считали употребление в ней доказательств от противного. В этих доказательствах, как известно, заключаем о справедливости некоторого положения, предварительно показав, что если не допустим этого, то будем приведены к какому-нибудь противоречию. Подобные же доказательства, как говорит русский математик Татаринов, «оставляют в уме учащихся некоторое недоумение, хотя в них нет ни малейшей погрешности»*. Известный французский ученый Лакруа считал, что хотя доказательства от противного способны убедить наш ум, но они не способны его просветить. Французские математики Николле и Рено указывали, что использование способа приведения к нелепости в так называемых случаях несоизмеримости приводит к мозаичности доказательств. В одном и том же предложении доказывают сперва прямым способом равенство двух соизмеримых отношений, а потом, в случае несоизмеримых отношений, отклоняются от первоначально взятого прямого пути и употребляют «неудобопонятные суждения»**. По мнению большинства авторов, доказательства от противного можно оставить только там, где в самом предмете больше признаков со стороны отрицания, чем утверждения.

Однако доказательств от противного не избегли ни Даламбер, ни Бертран, ни Лежандр, ни Лакруа. Первый указывает, что в случае несоизмеримости прямые доказательства не могут быть использованы. Это происходит потому, объясняет он, что в понятие несоизмеримости входит в неявном виде идея бесконечности, которая всегда представляется нам только в форме отрица-

* Татаринов — «Начальные основания геометрии». СПБ, 1842, стр. 18.

** Николле и Рено — «Курс математики для морских учебных заведений». Геометрия. Перев. с франц. СПБ, 1833. Перевод сделан учителем Морского кадетского корпуса П. Шишкиным.

ния конечного. Бертран более часто пользуется методом приведения к нелепости, чем Даламбер: он использует этот метод не только при переходе от соизмеримых к несоизмеримым, но и в вопросах определения площади круга и поверхностей цилиндра и конуса. Сам Лежандр, геометрия которого занимает второе место по распространенности в мире, неоднократно обвинялся в слишком частом пользовании доказательствами от противного. Наконец, Лакруа, получивший общее признание как первоклассный методист, во всех изданиях своей геометрии, в свое время принятой французским правительством в качестве руководства для лицеев и средних учебных заведений, при переходе от соизмеримых к несоизмеримым пользуется методом приведения к абсурду.

Мы приведем образец подобного типа рассуждения. Взяв хотя бы «Начальные основания геометрии» Лежандра*, рассмотрим доказательство одной из теорем, требующей, согласно описанной системе изложения, разграничения случаев соизмеримости и несоизмеримости.

Теорема. Два прямоугольника одинаковой высоты относятся как их основания.

Опуская доказательство теоремы для случая соизмеримых отношений, воспроизводим доказательство Лежандра для случая несоизмеримых отношений (черт. 1).

Итак, требуется доказать, что существует пропорция: ABCD : AEFD = AB : АЕ, где AB и АЕ несоизмеримы.

Если эта пропорция не имеет места, то изменим ее четвертый член так, чтобы равенство было восстановлено. В соответствии со сказанным положим, что (1) ABCD : AEFD= = AB : АО у где АО Ф АЕ**. Предположим для определенности, что АО > АЕ. Разделим AB на столь большое число равных частей, чтобы одна из точек деления / попала между точками Е и О. Восставим из точки / перпендикуляр 1К> Так как отрезки AB и AI соизмеримы, то имеем пропорцию (2): ABCD : A1KD = AB-AU но из (1) и (2) через деление получим AIKD : AEFD = AI : АО, что невозможно, так как AI < АО, AIKD > AEFD.

Возражения, которые выставлялись против доказательств от противного в случаях несоизмеримости, заставляли искать новых путей, свободных от специфических недостатков, присущих этому приему доказательства. Взоры математиков обращались в сторону тех новых методов и идей, которые

уже успели обогатить науку целой серией новых завоеваний.

Ключ освобождения от метода приведения к нелепости увидели в теории пределов. На желательность ее использования в геометрии во всех случаях перехода от конечного к бесконечному указал Лакруа. Целый ряд последующих авторов осуществил в той или иной степени в своих учебниках его пожелания. Так, в геометрии весьма распространенного «Полного курса чистой математики», написанного французским автором Франкером*, при переходе от соизмеримых к несоизмеримым используется метод пределов. Его применение основано здесь на следующем предложении: если А + а = В + ß, где А и В — постоянные, a а и ß— переменные, одновременно неограниченно убывающие, то А = В и a = ß.

С помощью того же метода французские математики Николле и Рено избегают самой необходимости разграничения случаев соизмеримости и несоизмеримости, достигая обобщенной трактовки доказательств соответствующих геометрических истин. Общий принцип, на котором авторы базируют применение теории пределов, гласит: «Два соизмеримые или несоизмеримые отношения равны, когда, производя над каждым из них действие общего наибольшего делителя, получаем последовательные частные, происходящие от первого, относительно равными последовательным частным, происходящим от второго, имеет ли действие конец, или не имеет оного»**.

Против употребления теории пределов было резко выставлено новое возражение, именно то, что «теория пределов принадлежит к теории функций и потому в геометрии употреблять ее несвойственно»***.

Итак, предположенный путь избежать доказательства от противного в так называемых случаях несоизмеримости не удовлетворял математиков. Естественно, что подобная ситуация способствовала развитию попыток отыскать иное решение проблемы.

Над осуществлением этой мысли более десятка лет трудился ныне забытый русский математик Татаринов. О нем мы знаем очень мало. Он, как это видно из заглавного листа его геометрии, «полевой инженер — подполковник».

«Не будучи математиком по званию»****, он посвятил весь свой досуг размышлениям над принципиальными вопросами любимой

Черт. 1

* См. «Начальные основания геометрии», Перев. с франц. М. Сахарова. СПБ, 1819.

** Здесь постулируется существование такого отрезка АО, который исправляет пропорцию. Если от этого постулата отказаться, то все доказательство рухнет.

* Русский перевод со 2-го французского издания выполнен Христиани, Крюковым и Болотовым (СПБ, 1827) и с 4-го французского издания — неизвестным переводчиком (СПБ, 1838).

** Николле и Рено — «Курс математики», стр. 17—18.

*** Татаринов —«Начальные основания геометрии». СПБ, 1842.

Кстати заметим, что Лежандр еще в первом издании своей геометрии утверждал, что метод пределов нельзя считать подходящим для изложения начал науки (Elements de géométrie». Paris, 1794. Предисловие).

**** Татаринов — «Взгляд на математику, основанную на философии». СПБ, 1836, стр. 4. Здесь автор желает дать «истинную теорию диференциального исчисления».

науки. Результаты этих размышлений оформлены в двух печатных трудах: «Начальные основания геометрии» и «Взгляд на математику, основанную на философии».

Остановимся на характеристике общих взглядов Татаринова на математические науки, представляющих известный интерес.

Татаринов определяет математику как науку о пространстве и времени, мотивируя это определение тем, что «пространство без времени никакого значения не имеет; они соприсущи, а отдельное существует только в нашем воображении»*. «Время и пространство не суть формы нашего представления, но формы действительного существования вещей»**. Татаринов указывает на то, что геометрическая система Эвклида есть результат логической обработки того научного материала, который накопился к его времени. Но геометрия не закончила своего развития созданием «Начал»: она продолжала и продолжает развиваться дальше. Отсюда автор делает вывод, что задачи развития науки требуют преодоления слепого преклонения перед авторитетами. Развивая эту мысль, Татаринов заявляет: «Мне кажется, что одной из причин несовершенства геометрии было излишнее уважение к Эвклиду»***.

Особое значение Татаринов придает математическому изучению бесконечного. Он считает, что «до тех пор, пока математика довольствуется одним конечным, она не может быть удовлетворительна»****.

Небезынтересны и методические воззрения Татаринова.

Татаринов считает, что для изучения систематического курса геометрии необходим хотя бы небольшой курс пропедевтики. Сам автор строит свой курс так, чтобы «юноша от обыкновенных предметов или обстоятельств общежития, принадлежащих к области геометрии, мог перейти постепенно в эту науку»*****. Начинающему следует дать предварительную, посильную ему ориентировку в характере и объеме предполагаемого к изучению курса, чтобы дальнейшая работа представлялась в форме развития предложенной к изучению схемы.

В преподавании геометрии следует использовать идею движения «для объяснения происхождения всех геометрических предметов»******.

Известное внимание критики было привлечено выходом в свет «Начальных оснований геометрии» Татаринова. В рецензии, помещенной в «Библиотеке для чтения» за 1843 г., работа Татаринова, и сам автор были подвергнуты издевательскому глумлению за попытку сказать что-то новое в такой области, как элементарная геометрия. Эта критика по своему характеру невольно напоминает пасквиль против великого математика Н. И. Лобачевского, обнародованный в 1834 г. в качестве рецензии в номере 41 булгаринского «Сына отечества». Сопоставление названных рецензий позволяет установить несомненную однородность их стиля и слога, а в отдельных местах чуть ли не текстуальное совпадение. Все это приводит к весьма вероятной гипотезе, что они принадлежат перу одного и того же автора, пожелавшего в обоих случаях остаться неизвестным.

Серьезному и тщательному разбору эта книга была подвергнута академиком П. Фусом* и В. Буняковским** в связи с рассмотрением сочинений, могущих претендовать на соискание демидовской награды***. Рецензенты признали «руководство геометрии г. Татаринова вполне достойным поощрительной премии»**** в настоящем виде и полной демидовской премии в случае его исправления, согласно сделанным ими указаниям.

Следует сказать, что демидовские премии, существовавшие с 1831 г. по 1865 г., присуждались ежегодно за отличнейшие сочинения по любой отрасли наук, которыми в течение предшествующего года обогатилась русская литература.

Остановимся на характеристике рассматриваемого нами вопроса в «Начальных основаниях геометрии» Татаринова.

Татаринов начинает с утверждения, что доказательства новых геометров в случаях несоизмеримости потому идут по способу приведения к нелепости, что в качестве их основы положена негативная аксиома. Она гласит: если одна из величин не может быть ни более, ни менее другой, то они равны. Татаринов взамен этой аксиомы предлагает ей эквивалентную, но позитивную: если одна

* Татаринов — «Начальные основания геометрии», стр. 7.

** Татаринов — «Взгляд на математику...», стр. 5.

*** «Начальные основания геометрии», стр. 5.

**** «Взгляд на математику...», стр. 9.

***** «Начальные основания геометрии», стр. 6.

****** Там же, стр. 8.

* Фус Павел Николаевич (1797—1855) — воспитанник Санкт-петербургской Академии наук. В 1818 г. он был избран адъюнктом академии, в 1823 г. был назначен экстраординарным академиком, а в 1826 г.— непременным секретарем академии и ординарным академиком. Центр тяжести литературно-научной деятельности П. Фуса падает на работы по библиографии сочинений Л. Эйлера и на критические разборы представляемых в академию сочинений. Он составлял ежегодные отчеты о деятельности академии, а с 1832 г.—отчеты о присуждении демидовских премий. Напечатанные академией рецензии П. Фуса составлены им, за исключением одной, совместно с В. Буняковским.

** Буняковский Виктор Яковлевич (1804— 1889) слушал в Париже лекции таких корифеев науки, как Лежандр, Пауссон, Коши. В 1828 г. был избран адъюнктом, а в 1864 г.— вице-президентом Академии наук. Большинство научных работ Буняковского относится к теории чисел, теории вероятностей с приложением к статистике и интегральному исчислению. Преподавательская деятельность Буняковского протекала в военно-морских учебных заведениях и в Петербургском университете. Его перу принадлежит также курс элементарной математики и словарь русской математической терминологии (вышел только первый том).

*** Общий отчет о двенадцатом присуждении демидовских наград. СПБ, 1843.

**** Там же, стр. 118.

величина более всех меньших и менее всех больших другой величины, то они равны между собой.

Аксиома Татаринова не привлекла к себе должного внимания. Признание ее полезности русскими академиками П. Фусом и В. Буняковским не встретило поддержки. Между тем, названные академики в своем разборе писали: «Во всех местах геометрии, предполагающих понятие о несоизмеримости, г. Татаринов заменил довод противоречия следующею, равносильною ему, аксиомою: если одна величина более всех меньших и менее всех больших другой величины, то они равны между собой. Выражая аксиому в этом виде, автор имеет то преимущество, что употребляет положительное умствование вместо отрицательного, при этом случае г. Татаринов нападает с жаром на теорию пределов и старается показать, что, ежели определение предела лишить обаяния слов, то оно не будет заключать в себе ничего особенного. Но мы заметим на это, что тут и не должно искать ничего особенного, точно так же, как и в приведенной сейчас аксиоме автора, которая при всем том остается однакож весьма полезным предложением»*.

Татаринов спешит оправдать преимущество своей аксиомы на практике. Он дает ей употребление во всех тех случаях, в которых сталкивается с идеей несоизмеримости. Таким образом, он ее употребляет в лонгиметрии, планиметрии и стереометрии. Для того, чтобы дать конкретное представление о самом типе доказательств Татаринова, мы приведем доказательство одной из теорем его геометрии.

Теорема. Прямоугольники ABCD и AEFD, имеющие одинаковую высоту АР относятся, как основания Aß:Aß (черт. 2)

Доказав теорему для случая соизмеримых отношений, Татаринов переходит к случаю несоизмеримых отношений.

Если АЕ и AB несоизмеримы, то пусть

пл. AEFD : пл. ABCD =АЕ : х, где х ^ AB*. (1)

Продолжим линию AB до некоторой точки К. Далее, разделим АЕ на равные части, меньшие ВК- Тогда при наложении этих частей по всей AB одна из точек деления / упадет между В и К- Восставим из этой точки перпендикуляр IH. Так как линии АЕ и AI соизмеримы, то на основании доказанного пл. AEFDiun. AI HD = АЕ: AL (2)

Из (1) и (2) через деление получаем: пл. AIHD : пл. ABCD = А1:х. Но пл. ABCD < <пл. Л/ЯД а потому линия х<СА1, и подавно < АК.

Также докажется, что х меньше всякой другой линии, большей AB и, с другой стороны, больше всякой другой линии, меньшей AB. А раз так, то, согласно аксиоме Татаринова, X = AB, что и требуется доказать.

Черт. 2

* Там же, стр. 115 и сл.

* См. замечание на лежандрово доказательство этой теоремы.

О ПОДГОТОВКЕ К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ

ПРИКЛАДНЫЕ ВОПРОСЫ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

П. Я. ДОРФ (Москва)

I. ВВЕДЕНИЕ

В № 207 газеты «Правда» от 27 июля 1940 г. помещена заметка В. Болдырева, учителя НСШ села М.-Валяевки Терновского района Пензенской области. Учитель рассказывает, как однажды секретарь парторганизации возмущенно спросил его:

— Чему у вас учат в семилетке?

— А что?

— Да попробовал я, было, дать вашему семикласснику вычислить площадь земельного участка, а он не может.

Затем учитель приводит распространенное ошибочное объяснение, которое он дал недоумевающему партийцу. По словам учителя, виною этого — только программа, которая помещает площади геометрических фигур в VIII классе, и окончившие семилетку формул для вычисления площадей не изучают.

В действительности, вывод названных формул распадается на два этапа: 1) знакомство с формулами площадей различных фигур при рациональных линейных размерах; 2) вывод и обобщение этих формул на область иррациональных чисел. Первый этап для простейших фигур вполне посилен учащимся V класса, где эти вопросы и рекомендуется ставить в разделе «Геометрические сведения».

Практические работы на земле и решение задач на составление уравнений в VI и VII классах углубляют знания формул площадей и приучают учащихся связывать буквенную символику с жизненным материалом. Поэтому, учащийся VII класса М. Валяевской школы должен был бы уметь подсчитать площадь земельного участка, и производственник-партиец справедливо удивлялся неподготовленности наших школьников.

Другое дело — обобщение формул. Если иррациональные числа проходятся в VIII классе, то распространение формул площадей на иррационально выраженные отрезки естественно изучать в курсе VIII класса.

Такое построение курса не создает никаких противоречий между запросами практической жизни и теоретическими предпосылками математики в школе: каждому из этих дел — свое время и место.

Следовательно, ненормальностью в описанном случае было отсутствие в школьной работе вопросов прикладного характера, в данном случае в курсе арифметики.

Подобное явление (как массовое) отмечают также работники профессиональных школ (ФЗУ) и других звеньев производственного обучения (техминимум, техникумы и др.).

Необходимо разработать содержание и методы включения прикладных задач в обычный курс математики с тем, чтобы привить учащимся навыки и умения прилагать школьные сведения к решению практических вопросов.

Интересно отметить, что включение практики в теорию необычайно благотворно влияет на усвоение математических дисциплин: при таком подходе повышается интерес к теории, оживляется ее изучение.

Затронутый вопрос имеет свою историю. Так, в старой дореволюционной школе господствовала полная оторванность преподавания математики от условий действительности. Отсюда рождалась беспомощность даже знающих учащихся, ибо они не узнавали в объектах производства своей практики того, чему обучались. Они не умели вести приближенные вычисления, не применяли быстрых приемов их с помощью инструментов, таблиц, не умели читать чертежи и т. п.

Затем, назовем противоположный уклон, связанный с пропагандой теории «отмирания школы». Он характеризуется стремлением изгнать теорию из школы, стремлением целиком отдать математику в «услужение» специальным дисциплинам. В профтехнических школах дело дошло даже до замены математики, как школьной дисциплины, уроками под названием: «Математические расчеты». Вся несуразица названных установок выявилась довольно скоро, ибо бессистемные сведения не создавали запаса знаний и навыков, из которых можно было черпать приемы для решения тех или иных проблем. Усвоение отдельных приемов решения некоторых конкретных задач не могло покрыть все случаи, которые могут встретиться в дальнейшем, а необходимого развития от учения без системы, разумеется, не получалось. Постановление ЦК партии о школе в 1932 г. покончило с горе-опытами по внедрению математических расчетов вместо математики.

II. МЕСТО ПРИКЛАДНЫХ ВОПРОСОВ

Современная методика преподавания для правильного решения вопроса о связи теории с практикой обращается к положению В. И. Ленина о сущности познания: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике—таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности» (Ленин, Философские тетради, стр. 166).

В приложении к школьному обучению этого тезис осуществится предъявлением к содержанию урока трех основных требований: 1) при постановке новой темы обращаться к примерам жизненного характера; 2) затем вести последовательное развитие материала темы; 3) приложить теоретические выводы к практическим задачам.

Проиллюстрируем высказанные положения следующим примером.

Пусть изучается тема «Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике и круге». Прежде всего, необходимо новый материал поставить в связь с пройденными темами, для нашего случая — с подобием треугольников. Очевидно, вопрос сведется к распространению общих случаев подобия на треугольники, образованные высотой, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу. Но, кроме этого, чрезвычайно полезно в период вводной беседы привести пример конкретной задачи, например: определить диаметр нового шкива, если имеется лишь сегмент его — осколок разбитого шкива. В данный момент этот вопрос о шкиве не может быть разрешен, ибо для этого необходим фактический запас знаний, к овладению которыми приступают учащиеся.

После этого проводится теоретическое изучение содержания темы, делаются обоснованные выводы, усваиваются необходимые навыки в решении специально подобранных упражнений и задач.

Наконец, в заключение работы необходимо решить поставленную во введении к теме задачу о шкиве и решить ряд других прикладных задач.

Такое построение курса хорошо увязывается с программным требованием повторения курса, ибо решение прикладных задач — лучший метод углубления и повторения материала.

В результате получается: постановка темы, исходящая из конкретной задачи, систематическое изучение теории с применением последовательно подобранных упражнений (из учебников, задачников) и, наконец, работа по привитию навыка прилагать свои знания к практике.

III. ОСНОВНЫЕ ЧЕРТЫ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ

Характерными признаками прикладных вопросов (задач) в школьном курсе следует считать:

a) специфичность содержания, которое должно быть либо ученикам знакомо, либо легко может быть выяснено. Его трудности не должны отвлекать значительной доли внимания учащихся;

b) особая форма задания: в задаче могут быть лишние данные — надо уметь их отбросить; задача может быть неопределенной — надо уметь добыть недостающие данные; задание дано не текстом, а чертежом и т. п ;

c) характерность числовых данных, требующих учета их точности и приближенных вычислений для отыскания результата;

d) требование производства вычислений усовершенствованными методами: применение таблиц О'Рурка и др., счетов, логарифмической линейки.

Перечисленные особенности затрудняют обращение к таким задачам в момент разбора и усвоения математического материала темы, поэтому здесь нужны задачи и примеры из учебника и задачника. В них учащийся также не должен встречать фактов, противоречащих современным условиям, но их построение, система и числовой аппарат подчинены требованиям вызвать у учащегося необходимый круг отвлеченных представлений и понятий, а также создать навыки для производства вычислений над отвлеченными числами и построения произвольных фигур. Как гимнастическое упражнение может быть подготовительным к реальному движению, так и отвлеченные упражнения в решении задач «на бассейны, движение, встречи...» имеют свой смысл, ибо они имеют собирательный, типовой характер.

Таким образом, сопоставление указанных выше вопросов и задач приводит нас к следующим выводам.

В момент систематического изучения того или иного математического раздела упражнения ведутся главным образом на специально подобранных в задачниках вопросах. Они естественны по содержанию, удобно расположены, строго отредактированы, числовые данные в них методически подобраны. К задачам имеются ответы.

К вопросам прикладного характера надо подходить с знанием и элементарными навыками по соответствующим разделам математики.

В них углубляются знания математики и приобретаются умения прилагать их на практике. Ответов у таких задач нет.

Отсюда естественно стремление отвести основное место прикладным задачам в заключительной части работы над темой.

Содержание прикладных задач в курсе математики черпается главным образом из смежных предметов: химии, физики, астрономии, черчения, а также из общих вопросов техники, работ на земле, экономики и быта. Попутно некоторые вопросы практического характера возникают в связи с оборудованием самого преподавания математики, например, вопросы, связанные с конструкцией измерительных инструментов, чертежных принадлежностей и приборов.

IV. АНАЛИЗ УЧЕБНЫХ ПОСОБИЙ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ

Уже применение на уроках обычного торгового метра должно вызвать ряд ассоциаций. На нем можно подвести учащихся от линеек — школьных моделей к государственному эталону, научить анализировать разметку инструментов, т. е. определять цену делений и способ штриховых и цифровых обозначений. Попутно, под углом зрения точности инструмента, выясняются: причины использования твердых пород дерева для

таких эталонов, смысл металлического оформления концов, необходимость сохранять метр в сухом месте и в лежачем положении, запрещение употреблять его в качестве чертежной линейки и для других посторонних целей. Учащиеся самостоятельно могут определить точность инструмента.

Ряд применений дробей и начал алгебры дают переносные измерительные инструменты: штанген-циркуль, микрометр. Анализ их разметок послужит иллюстративным материалом при изучении теории. Так, вывод формулы точности штангеля обобщит наблюдения над дробями в разметке нониуса:

Пусть цена одного деления масштабной линейки — Му нониуса — N, точность прибора— T=M — N. Тогда

M (я — l) = Nn,

где п — число делений нониуса, отсюда

Таким образом, изучение распространенного в производственной практике измерительного инструмента приводит к анализу сущности дробных чисел, обобщению их в буквенной форме и к применению на практике тождественных преобразований алгебраических выражений. Здесь учащийся знакомится с процессом, когда частная индукция (наблюдение десятичного нониуса) приводит к выводу общей формулы, по которой решается вопрос о точности любого штанген-циркуля и верниера*.

Более детальное знакомство с инструментами полезнее провести во внеурочном практикуме измерений.

Берутся несложные, небольшие детали (болты, гайки, валики и т. п., которые легко можно получить в утильцехе любого производства) и промеряются. Данные и результаты заносятся в некоторые схемы, пользование которыми само по себе поучительно.

В другой схеме размер «на глаз» заменяется размером по масштабной линейке, вводится размер по штанген-циркулю (или микрометру) и снова определяется среднее отклонение.

Основной общей идеей привлечения этих приборов в школу является стремление выявить математическую сущность в системах единиц измерения и способах разметок инструментов, а также ознакомить учащихся с приемами пользования измерительными инструментами.

Программа по черчению для средней школы на 50% является приложением элементарной математики к чертежной практике. (Остается только пожалеть, что преподаватели этих обоих предметов не используют всех возможностей увязать свои дисциплины.) Приведем простейшие примеры такой связи.

Пусть требуется провести перпендикуляр через данную точку к данной прямой (начало курса VI класса).

Угольник прикладывается гипотенузой к прямой, а к одному из катетов его приложена линейка (фиг. А).

Если теперь повернуть угольник около вершины прямого угла до совпадения линейки с другим катетом (фиг. В), то гипотенуза примет направление, перпендикулярное данной прямой. Перемещая угольник по линейке до прохождения гипотенузы через заданную точку, получим возможность выполнить искомое построение.

Подобные динамические построения — полезное упражнение для развития геометрического мышления, причем поводом к упражнению послужил общепринятый прием чертежников строить перпендикуляр по обе стороны прямой.

Пример второй. С классной линейкой и угольником (или индивидуальными инструментами этого вида) можно провести полезную учебную работу. Дело в том, что всякий такой прибор нуждается в проверке правильности ребер и точности углов. Для первой по всей длине линейки проводится отрезок прямой, затем линейка поворачивается около короткой оси симметрии, прикладывается к двум точкам прямой, и снова чертится прямая. Совпадение отрезков укажет на правильность линейки. Обоснование такого способа предлагается самим учащимся.

Затем в линейке проверяется наличие двусторонности, т. е. условия равноправности ребер при черчении по ним. Проводят два отрезка по обоим ребрам, поворачивают линейку около длинной оси симметрии и снова чертят две прямых. Если прямые совпадают— линейка правильна.

Точность прямого угла в чертежном треугольнике проверяется также поворотом инструмента. Проводится отрезок прямой по линейке, затем к линейке катетом прикладывается испытуемый угольник, а по второму катету строится перпендикуляр. Затем угольник поворачивают на другую сторону его плоскости, оставляя на линейке тот же катет и через прежнюю точку проводят перпендикуляр по второму катету. Совпадение отрезков прямых укажет правильность инструмента.

Подобные задачи с пользой заменят при повторении пройденного некоторое количество задач из учебника.

* Верниер — дополнительная шкала на круговых шкалах, основанная на принципе нониуса.

V. АНАЛИЗ ИНСТРУМЕНТОВ И МЕХАНИЗМОВ

Значительный интерес представляет анализ конструкций и способов применения некоторых производственных инструментов.

В практике столяра часто встречается необходимость соединить две деревянные детали под определенным углом. Для разметки соответствующих срезов употребляется так называемая «малка». Две планки соединены шарниром; ребра их выверены и могут служить в качестве линеек для прочерчивания отрезков прямых. С помощью транспортира планки устанавливаются под определенным углом: одна вдоль обрабатываемого материала, а по второй планке прочерчивается требуемое направление.

Иллюстративная методическая ценность малки на первых уроках по геометрии очевидна; учителю придется лишь познакомиться с практикой применения прибора.

Укажем еще ряд инструментов с несложным техническим содержанием и ясно выраженной математической сущностью.

Рейсмус. При различных обработках дерева приходится намечать параллельные прямые. Для этого на приборе (см.

фиг.) устанавливается на определенном расстоянии игла, которой прочерчивается прямая, параллельная краю изделия.

Центроискатель. На стр. 40 показано укрепление на токарном станке обрабатываемого изделия: между двумя остриями («центрами») зажимается обтачиваемая деталь так, чтобы вершины зажимов приходились как раз в центрах детали, при ином расположении вращающаяся деталь будет «бить» по резцу, т. е. неравномерно приближаться к нему и удаляться от него. Для наметки центра на торце детали употребляется весьма простое приспособление — центроискатель.

Угол, образованный двумя планками, надевается на деталь так, что он становится описанным углом (составлен двумя касательными). В вершине его на месте биссектрисы жестко закреплена третья планка.

Прибор дважды прикладывается к детали, по биссектрисе проводятся отрезки прямых через предполагаемый центр. Работа с центроискателем — пример на приложение ряда геометрических положений: свойство биссектрисы, точка пересечения биссектрис — общая точка двух геометрических мест, свойство описанного угла.

Для создания большей демонстративности (после выяснения основных принципов прибора) самая практика пользования центроискателем показывается на нескольких (трех) картонных кругах, либо на кругах, начерченных на доске (разного диаметра). В последнем случае, кроме обычного способа определения положения центра через две хорды и перпендикуляры в их серединах, показательно применение для этой цели чертежного треугольника. Для этого достаточно прямой угол сделать вписанным и отметить два положения диаметра.

Угольник для проверки сферической поверхности. Модель состоит из стеклянной полусферы (например колпак от электроплафона) и металлического угольника. Если поверхность модели действительно представляет сферу, то во всякой точке ее контрольный угольник расположится так: вершина будет на поверхности, а катеты пересекут границы полусферы — большую окружность.

Процесс демонстрации проводится следующим образом: указывается на модели, как можно простым перемещением вершины угольника по поверхности установить правильность сферической поверхности. Учащимся предлагается обосновать способ Проверки.

Пропорциональный циркуль (делительный). Конструкция циркуля, назначение его и методика использования общеизвестны. Необходимо лишь проследить, чтобы на ножке циркуля были намечены основные штрихи делений, например: 1:1, 1:2, 1 :3 2:3, 3:4. Стопорный винт, установленный на одно из заданных отношений, дает между остриями ножек циркуля отрезки, находящиеся в том же отношении.

Основная ценность прибора состоит в предложении учащимся задачи на применение подобия треугольников в некоторой конструкций.

Поперечный масштаб. При работе с мензулой и при других элементарных работах, а также при черчении употребляется так называемый поперечный масштаб. Шкала такого масштаба позволяет откладывать целые единицы, десятые доли их и сотые доли.

Принцип разметки масштаба опирается, как известно, на подобие треугольников, полученных параллельными сечениями.

Значение прибора заключается в применении подобия треугольников и пропорциональности отрезков к построению шкалы точных измерений.

Пантограф (школьный) — прибор для механического увеличения (или уменьшения) размеров некоторого чертежа (рисунка) в заданное число раз.

Прибор для определения площади треугольника. Прибор состоит из целлулоидовой линейки (в крайнем случае можно воспользоваться деревянной), на которой размечена миллиметровая шкала и у которой по всей длине одинаковая ширина. Измеряемый треугольник накладывается на линейку так, что одна вершина его приходится на нуле шкалы, а другая совпадает с одной из точек ребра линейки, противоположного шкале. Через третью вершину следует провести прямую, параллельную основанию треугольника до пересечения со шкалой. Искомый треугольник ABC равновелик Л ABCi, у которого известно основание Ас, (отметка шкалы) и высота (ширина линейки).

Характер прибора предусматривает индивидуальное лабораторное использование его, поэтому желательно иметь 3—5 таких линеек на класс. Учащиеся чертят произвольные треугольники в тетрадях и затем определяют их площади в описанном порядке. При наличии одной линейки работу придется провести во внеурочное время. Самый анализ прибора учитель проводит с учениками по эскизу, сделанному на доске.

Все вопросы геометрии, лежащие в основе прибора, учащиеся разбирают и усваивают.

Системы жестких и мягких передач. В курс планиметрии входит трудный вопрос об относительном положении окружностей. Если в заключение работы над темой ввести рассмотрение конструкций жестких и мягких передач, то содержание темы будет усвоено с большим интересом и глубиной.

Модели зарисовываются и описываются в тетради. Тем же целям служат модели по стереометрии.

Цилиндрический валик в центрах токарного станка.

На модели показан случай совпадения двух прямых в пространстве: линия центров и ось изделия.

Коническая зубчатая передача. Правильная работа зубчатого конического зацепления зависит, в частности, от правильного пересечения осей зубчаток (иллюстрация пересечения двух прямых в пространстве).

Цилиндрическая зубчатая передача. Модель иллюстрирует параллельность прямых в пространстве. Сюда же можно отнести вопрос: почему иногда соскакивает велосипедная цепь?

Червячная передача. На такой передаче демонстрируются скрещивающиеся прямые: оси червяка и зубчатого колеса.

Поверка плоскостей (плит). Поверка плоскостей производится прикладыванием к ним в различных направлениях образцовой линейки. Если зазоров (просветов) при этом нет — плоскость правильная. Для учащихся же в этом приеме — повод восстановить представление о связи прямой с плоскостью. Более точный способ такой проверки — прикладывание испытуемой плиты к образцовой, которая покрыта суриком. Если исследуемая плоскость правильная, она ровно покроется краской; нет — неровности окраски укажут неровности поверхности (пример: золотниковая коробка).

Сами нормативные (образцовые) плоскости проверяются не на одной контрольной плите, а на двух. Действительно, такой процесс можно оправдать.

Пусть плоскость А — испытуемая, В—образцовая.

Если образцовая плоскость В имеет, например, выпуклость, а испытуемая А — такую же вогнутость, то при наложении они дадут ровную покрытость плоскости А краской.

При проверке плоскости А на двух нормативных В и С такая случайность исключена.

Решение подобных вопросов строительной практики, электротехники и других специальностей значительно углубляет знания учеников, воспитывает в них чувство большей ответственности за школьные знания, и

освобождает учащихся от беспомощности при столкновении с задачами производства.

VI. ЗАДАЧИ ТЕХНИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ

Покажем теперь на отдельных примерах задач с техническим содержанием характерные особенности их.

Из арифметики:

№ 1 (Сборник школы Ford'a). Заполнить таблицу;

D

2.23

2.9

1.64

А

0.34

0.50

Задача имеет геометрический конструктивный сюжет, для разрешения которого достаточно элементарных сведений начальной школы. Условие предложено чертежом так, как это бывает в заданиях по производству. Учителю, может быть, придется лишь пояснить, что на чертеже дана фигура прокладки, выкройки, шаблона и т. п. При решении задачи необходимо проявить элемент догадки, чтобы суметь сопоставить размеры А н D, пользуясь свойством окружности и данным 1,38.

Решение задачи надо дать сперва в общем виде, формулой == 1,38—^ , а затем уже найти искомые 5 частных случаев (заданных в виде таблицы!) и обратить внимание на вопросы точности подсчета. № 2 (Ford'a). Рассчитать данные таблицы:

А

7,56

С

2,57

5,64

№ 3 (Ford'a). Определить размер N, при R = = 1 25

№ 4 (Корницкий). Вычислить площадь листа конькового железа.

Предлагаемая задача типична рядом вычислительных моментов.

№ 5 Шаг винта.

Ценность задачи в приложении простых дробей к производственному вопросу.

№ 6. За три прохода резца снята стружка.

Определить толщину снятого металла.

Приведенные образцы являются задачами с несложным техническим содержанием, но с явно выраженной математической зависимостью. К задаче может быть приложен чертеж, диапозитив, модель полного оборудования, детали которого подверглись математической обработке. Этими путями происходит

ознакомление с техникой, с практикой под углом зрения количественных соотношений. Назовем еще несколько тем для прикладных задач по арифметике.

Проценты — коэфициент полезного действия (к. п. д.), уклон, конусность.

Промилли — проба металлов.

Пропорциональные зависимости — расчет рабочей силы, сцепления, простые машины и т. п.

Приведем технические моменты, которые могут быть учтены на уроках алгебры, геометрии и тригонометрии.

На стр. 38 показан пример тождественных преобразований на формулах точности штанген-циркуля. Некоторый иллюстративный интерес может представить решение следующей задачи: «Требуется составить формулу площади показанного участка» (черт.).

Равнозначность различных вариантов формул послужит поводом для рассуждений о тождественности.

Значительный круг прикладных вопросов возникает в практике вычислений. Назовем некоторые из них:

Вычисление по таблицам. Интерполирование. Построение функциональных шкал. Построение простейших номограмм.

Графический метод: чтение графиков (наглядное изображение форм зависимости), определение данных по графику.

Примеры на приложение в технике уравнений, таблиц, логарифмов, комбинаторики и других разделов.

Помимо геометрического содержания, затронутого выше, назовем ряд деталей машин, которые просты по конструкции, по применению и интересны по форме: контрольный цилиндрик (фиг. а); плитки Иогансона (фиг. b); шаблон «Ласточкин хвост» (фиг. с).

Примеры симметрии: конусная пробка, гайка, зубчатка, фасонные детали и др.

Задачи на построение также можно связывать с реальными фактами:

1) отыскание места на железной дороге для станции, равноудаленной от двух деревень;

2) задача о месте корабля (по 3 точкам);

3) задача о минированном участке.

Наибольшее количество практических задач можно подобрать по тригонометрии. Для этого достаточно использовать общепринятые задачи на определение расстояния, высоты, конусности.

Если несколько специальные вопросы металлообрабатывающей промышленности, показанные нами, дают достаточное количество поводов к решению прикладных задач, то их появится еще больше, если затронуть общеизвестные примеры из области работ на земле, военного, строительного дела и электротехники.

Наиболее близкими для учащихся жизненными вопросами следует признать тематику школьных курсов физики и химии, откуда и надлежит черпать основной набор прикладных задач.

Сложность проблемы приложения математики, многообразие примеров диктуют нам необходимость сформулировать некоторые выводы.

1. При изучении курса математики в средней школе следует включить в круг вопросов и задач сюжеты технического, экономического характера и др.

2. В школе сообщается строгая система математических знаний, а прикладные вопросы черпаются из различных областей по принципу: несложное техническое содержание с явно выраженной математической сущностью.

3. В результате методической работы школы, районного кабинета очертится некоторый минимум основных вопросов жизненных иллюстраций к курсу математики, который постепенно будет углубляться, совершенствоваться.

«ТЫСЯЧНАЯ» И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДАЛЬНОСТИ

Ф. Д. КУЗИН (Сталино)

На каждом приборе, назначенном для измерения углов, есть угломерный круг. Приборы, употребляемые в военном деле (главным образом артиллерии): панорама, стереотруба, буссоль, компас и др., имеют угломерный круг, на котором нанесена шкала с так называемыми делениями угломера, или «тысячными». Обычно величина углов выражается в градусах, минутах и секундах. В военном же деле за единицу измерения углов служит единица — деление угломера, или «тысячная», равная—î— полного угла. 100 делений угломера дают одно большое деление.

Таким образом, полный угол имеет 60 больших делений угломера, пишется 60-00. Развернутый угол — 30-00, прямой — 15-00.

Так, как 360° соответствуют 60-00 или 6 000 делений угломера, то 1° = 16,6 (6) = 16,7 делений угломера, а 1 деление угломера =

Пример 1. Определить, скольким делениям угломера («тысячным») равен угол 9°54'?

9°54' = 9-60' + 54'= 594'; 594:3,6 = 165 «тысячных», или 1-65.

Пример 2. Командир батареи заметил пулемет вправо от дерева на 1-80 (180 «тысячных»).

Скольким градусам и минутам соответствует этот угол?

З',6-180 = 648'= 10°48'.

Введение в употребление этих единиц оправдывается удобством применения их для решения ряда задач, встречающихся в военном деле. Удобство заключается в том, что против угла в 1 деление угломера лежит дуга, равная—!— радиуса (приблизительно). 1 000

А это дает возможность быстро в уме решать целый ряд задач, встречающихся в военной обстановке.

Выведем основное соотношение.

Длина окружности 2nR. Обозначив дугу, соответствующую 1 делению угломера, через Дг, имеем:

(А)

поэтому малое деление угломера и называется еще «тысячной». Точнее будет: Дг = —?—R. Обычно # —дальность, на которую рассматривают предмет, обозначают через D. При некоторых расчетах, где нужна большая точность, берут

В практике принимают дугу Дг за хорду. Величину можно приближенно определить еще, зная длину предмета (линейную величину) / и угол, под которым видим предмет (угловую величину) а.

(Б)

Из (А) и (Б) имеем:

Это равенство и дает возможность решать целый ряд задач. Так, если нам известна линейная величина предмета и мы измерили его угловую величину, то D определяется за формулою:

(I)

т. е. дальность равняется отношению линейной величины предмета к его угловой величине, умноженной н а 1 000.

Высоты некоторых наиболее часто встречаемых предметов приводятся в таблицах и заучиваются напамять.

Таблица 1

ЛИНЕЙНЫЕ РАЗМЕРЫ НЕКОТОРЫХ ПРЕДМЕТОВ

Наименование Размеры

(в метрах)

Рост человека......... 1,7

Высота всадника........ 2,3

Длина запряжки парной повозки 7

Высота железнодорожного вагона 3,5

Высота железнодорожной будки 4

Высота телеграфного столба . . 6

Расстояние между телеграфными столбами . . ........ 50

Высота легкого танка . .. . 2

Пример 3. Всадник виден с наблюдательного пункта под углом 0-05. Определить расстояние, на котором он находится от Htz (наблюдательного пункта).

а = 0-05, I — 2,3 м (из таблицы);

Зная дальность предмета и угловую величину его, можно легко найти его линейные размеры. Из той же формулы 1 имеем: / = 0,00Ш.а,

т. е. линейная величина предмета равна 0,001 дальности, умноженной на угловую величину его.

Пример 4. Снаряд разорвался вправо от цели. Определить отклонение разрыва от цели в метрах, если разрыв отклонился на 0-12. Стрельба ведется на дальность 5 000 м. D = 5 000 м, а = 0-12, I — ?

Z = 0,001-5000-12 = 60 м. Наконец, угловая величина предмета определяется из той же формулы I:

т. е. угловая величина предмета равна отношению линейной величины его к 0,001 D.

Пример 5. Чтобы поражение при разрыве шрапнели было наибольшее, надо, чтобы высота разрыва соответствовала дальности стрельбы и типу орудий. Для дальности 4 000 м наивыгоднейшая высота разрыза равна 20 м для 76-мм пушки. Определить высоту разрывов в делениях угломера.

II

Как видно из предыдущего, при решении задач наиболее часто приходится измерять угловую величину предметов или расстояний. Для точного измерения употребляют приборы. Когда нет угломерных приборов или надо определить, хотя бы и неточно, но быстро, величину угла, употребляют «подручные» предметы: пальцы руки, ладонь, карандаш, спичечную коробку и пр. Для этого нужно только заранее определить и знать их «цену» в делениях угломера. Зная цену этих предметов в «тысячных», сравнивают их с предметами, угловая величина которых определяется. Так, например, человек находится от нас на таком расстоянии, что круглый карандаш закрывает его. Известно, что круглый карандаш, помещенный у вытянутой руки, мы видим под углом в 12 делений угломера. Значит, угловая величина человека равна 0-12.

Как определяется цена в «тысячных» подручных предметов?

Можно определить цену «тысячных» какого-либо предмета при помощи измерительных приборов. Для этого выбирают два таких предмета на местности, чтобы наш предмет «вмещался» между ними. Каждый угломерный прибор имеет либо угломерный круг, либо сетку в «тысячных». При помощи угломерных приборов и измеряют угол между местными предметами. При отсутствии угломерных приборов, можно определить цену предмета в делениях угломера вычислением. Для этого надо измерить расстояние от предмета (помещенного в вытянутой руке) до глаза и толщину (длину) его. Например: расстояние от карандаша к глазу равно 60 см, толщина карандаша 0,7 см. Подставив формулу (III) имеем:

Держим предмет в вытянутой руке для того, чтобы при всех измерениях положение предмета было по возможности одинаковым.

Для сравнения примерная цена предметов в «тысячных» приведена в таблице.

Таблица II

ПРИМЕРНАЯ ВЕЛИЧИНА НЕКОТОРЫХ ПРЕДМЕТОВ

в «тысячных»

Название Угловая величина в «тысячных»

Ладонь руки . . ......

1-20

Средний, указательный и безымянный пальцы . . .

0-30

Большой палец.......

0-40

Спичечная коробка длина . » » ширина » » толщина

0-90 0-60 0-30

Карандаш круглый (толщина)

0-12

Карандаш граненый ....

0-10

3-копеечная или 20-копеечная монета (диаметр) . .

0-40

Спичка по длине ......

0-75

Спичка по толщине ....

0-03

Так длина вытянутой руки, размеры пальцев и т. д. у разных людей может быть различна, то цена подручных предметов должна быть определена каждым человеком в отдельности.

Чтобы при применении этого способа для определения дальности не сделать большой ошибки, надо: 1) по возможности точнее измерять угол и 2) выбирать такой местный предмет, чтобы его линейный размер, которым пользуются для определения расстояний, занимал приблизительно перпендикулярное положение к линии наблюдения.

Каждый человек с нормальным зрением при настойчивой тренировке может добиться нужной точности в определении расстояний. Так, в зависимости от натренированности можно добиться определения неизвестных величин за 10—15 сек. с ошибкой не более 10—12% от определяемой величины.

Задачи

1. Отдельное здание высотой 20 м видно под углом 0-05. На каком расстоянии находится это здание?

2. Высота леса 10 м. Лес виден под углом 0-30.

Определить расстояние между лесом и наблюдателем.

3. Мост, расположенный от наблюдателя на расстоянии 4 000 м, виден под углом 0-12. Определить длину моста.

4. На расстоянии 1 800 м фабричная труба видна под углом 0-20. Определить высоту трубы.

5. Определить длину колонны войск, двигающейся перпендикулярно линии наблюдения, на расстоянии 800 м. Колонна видна под углом 0-40.

6. Высота разрыва бризантной гранаты, при которой получается наилучшее поражение, заключена в пределах от 5 до 20 м соответственно для дальностей стрельбы от 1,5 до 6 км.

Определить границы высот разрывов в делениях угломера.

7. Расстояние от глаза до спичечной коробки, которую держат в вытянутой руке 60 см (в среднем). Размеры спичечной коробки 5,4 X 3,6 X 1,8 мм. Определить размеры спичечной коробки в делениях угломера.

8. Какая длина окопа, если около него видно человека под углом 0-05? Окоп видно наблюдателю под углом 0-40.

КАКИМ ДОЛЖЕН БЫТЬ ЧЕРТЕЖ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ ГЕОМЕТРИИ

Г. ВЛАДИМИРСКИЙ (Москва)

Теоретические сведения и практические навыки, получаемые учащимися при изучении геометрии в школе, необходимы большинству из них либо в предстоящем им изучении целого ряда технических дисциплин в высшей школе, либо в их работе на производстве. Понимание чертежа, способность представить по данному чертежу изображаемую фигуру, уменье изобразить данную фигуру на чертеже необходимы в большей или меньшей степени как квалифицированному рабочему и мастеру, так и инженеру-конструктору, изобретателю и строителю, поэтому одной из основных задач преподавания геометрии является сообщение учащемуся знаний и навыков в такой форме, которая способствовала бы развитию пространственного воображения и конструктивных способностей учащихся и сближению геометрии с теми дисциплинами, к пониманию которых она готовит.

Основным условием, удовлетворяющим поставленному требованию, является наглядность преподавания геометрии как мера, обогащающая пространственный опыт учащихся, расширяющая их практический кругозор в области геометрии и сопоставляющая теоретические вопросы геометрии с их реальным осуществлением. В этом смысле каждый чертеж, сопровождающий доказательство теоремы или решение задачи, является наглядным пособием и должен отвечать целому ряду методических требований для того, чтобы использование его действительно способствовало повышению производительности педагогического процесса.

Преподаватель геометрии всегда сопровождает изложение курса чертежами, выполняемыми мелом на классной доске. Изображение геометрической фигуры на доске представляет трудности как внешнего характера — технические, так и по существу, в связи с содержанием рассматриваемого геометрического вопроса.

С внешней стороны чертеж всякой фигуры содержит в себе различного рода условности, понимание которых возможно только при наличии дополнительных к чертежу пояснений. Эти условности имеются как в любом чертеже, встречающемся в курсе геометрии, так и во всяком техническом чертеже, к какой бы дисциплине его содержание ни относилось. Ясно, что в целях рационализации эти условности должны быть приведены к определенному единообразию по всем дисциплинам, прибегающим в изложении курса к графическим иллюстрациям. Такое единообразие в технических дисциплинах в настоящее время в значительной степени достигнуто выработкой целого ряда стандартов, условных знаков, условного вида линий и т. д. Очевидно, что в геометрии, как математической основе этих дисциплин, необходимо следовать тем же общепринятым правилам условного изображения фигур. К этим установленным общим правилам следует прибавить ряд условностей, имеющих педагогическое значение и точно так же единообразных на всем протяжении курса.

Преподаватель, делающий чертеж на доске перед аудиторией учащихся, безусловно, должен быть знаком с элементами технического черчения и основами начертательной геометрии. Кроме того, он должен выработать в себе особые навыки черчения мелом на доске: чертить нужно от руки, без вспомогательных приборов, для чего нужно развить в себе путем упражнений твердость руки и верный глазомер. Лишь задачи на построение и дуги окружностей нужно делать с помощью циркуля и линейки.

Особенное внимание следует обратить на вычерчивание пространственных фигур. Понимание стереометрических чертежей весьма трудно дается учащимся вследствие сугубой их условности: на чертеже искажаются величины углов, длины отрезков, пересекаются между собой линии, в действительности не имеющие общих точек, и т. п. Многие учащиеся с слабо развитым пространственным воображением весьма долгое время не в состоянии преодолеть эти трудности и ограничиваются лишь механическим воспроизведением по учебнику или с классной доски наиболее употребительных фигур, оставаясь совершенно беспомощными при необходимости изобразить на чертеже условия какой-нибудь новой для них задачи. Преподаватель должен с первых же шагов изучения геометрии попутно с изображением фигур сообщать учащимся элементы графической грамоты и строго следить за технической доброкачественностью своих собственных чертежей на доске.

При изучении стереометрии для учебных чертежей следует пользоваться фронтальной проекцией фигур, как наиболее простой по выполнению и содержащей наименьшее число условных правил построения.

Основные принципы фронтального косоугольного проектирования сводятся к следующему:

а) проекция прямолинейного отрезка, параллельного плоскости проекций, сохраняет размеры и направление проектируемого отрезка независимо от расстояния последнего от плоскости проекций;

б) проекция прямолинейного отрезка, направленного перпендикулярно к плоскости проекций, изображается в виде отрезка, направленного под углом в 45° к прямой, принятой за горизонтальную, причем длина этой проекции уменьшается вдвое сравнительно с длиной проектируемого отрезка (черт. 1);

в) при изображении круглых тел, круги, лежащие в плоскостях, не параллельных плоскости проекций, изображаются в виде эллипсов. Если плоскость круга расположена горизонтально, то обычно в учебниках гео-

Черт. 1

метрии большую ось эллипса располагают в направлении, принятом на чертеже за горизонтальное. Такое построение является отступлением от принципа фронтального косоугольного проектирования, но принимается как наиболее простое и не противоречащее наглядности изображения (черт. 2).

Этих трех правил совершенно достаточно, чтобы построить любую из встречающихся в учебной практике фигур.

К правилам построения следует присоединить еще несколько условных правил оформления чертежа, определяющих вид линий различного назначения:

а) все части фигуры, данные по условию теоремы или задачи, должны изображаться линиями наибольшей толщины, подходящей к размерам чертежа;

б) все вспомогательные линии, проводимые при развитии доказательства теоремы или решении задачи, а также линии размерные и выносные берутся по толщине в — и менее линий основного контура;

в) линии осевые изображаются штрих-пунктиром в — толщины основной линии;

г) в пространственных фигурах невидимые части изображаются штриховыми линиями; толщина их берется вдвое меньше сплошных линий соответствующего назначения;

д) для изображения плоских сечений пространственных фигур употребляется параллельная штриховка сплошными линиями; линии штриховки берутся в —толщины основных линий. В плоских фигурах для выделения некоторых частей фигуры также может быть употреблена штриховка;

е) в курсе геометрии для указания равенства между собой двух отрезков можно перечеркивать их одинаковым числом штрихов. Равенство углов можно отмечать перечеркиванием их одинаковым числом дуг.

Таковы основные правила изображения фигур в техническом черчении, и этих же правил мы должны строго придерживаться и в курсе геометрии. Нужно сказать, что учебник геометрии Киселева не соблюдает этих правил во всех изданиях до 1939 г. Достаточно перелистать две-три страницы этого учебника, чтобы увидеть, что на помещенных там чертежах не делается различия между основными частями фигуры и вспомогательными и между вспомогательными и невидимыми контурами фигуры. Только начиная с издания 1939 г. автором настоящей статьи по поручению Учпедгиза чертежи учебника геометрии Киселева приведены в соответствие с современными требованиями графики.

Необходимо заметить, что, кроме изложенных правил, следует всегда помнить о наиболее удачном расположении частей изображаемой фигуры. Чтобы чертеж был легко понят учащимися, преподаватель должен тщательно обдумывать его, настойчиво отыскивая наиболее наглядный вид фигуры.

Рассмотрим приложение изложенных правил к построению чертежей для некоторых задач, взятых из задачника Рыбкина.

1. «В равнобедренном треугольнике основание и высота содержат по 4 см. Данная точка находится на расстоянии 6 см от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Найти это расстояние» (Рыбкин, ч. 2, § 1, № 20).

Для наглядности должна быть изображена плоскость, в которой лежит данный треугольник (черт. 3); основание и высота должны быть проведены параллельно краям этой плоскости, изображающей прямоугольник; тогда величина прямого угла между основанием и высотой будет графически обоснована, а длина высоты BD так же, как и расстояние МО, изобразятся на чертеже без искажения, в то время как длина АС сократится вдвое (черт. 3).

2. В треугольнике ABC угол С — прямой; CD — перпендикуляр к плоскости этого треугольника. Точка D соединена с А и В. Определить площадь треугольника ADB, если дано: CA = 3 дм, ВС = 2 дм и CD = 1 дм» (Рыбкин, ч. 2, § 1, № 23).

Изображаем плоскость, в которой лежит треугольник ABC (черт. 4); катеты треугольника располагаем параллельно краям плоскости, помещая вершину С так, чтобы определяемая площадь треугольника ADB не заслонялась другими частями фигуры.

3. «На одной грани двугранного угла даны две точки А и В; из них опущены перпендикуляры на другую грань: АС = 1 дм и BD = 2 дм и на ребро: АЕ = 3 дм и BF. Найти BF» (Рыбкин, ч. 2, § 4, № 1).

На чертеже 5 ясно видны прямые углы при вершинах С и D, в то время как в иллюстрации, данной в задачнике, направление

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

отрезков АС и BD неопределенно и графически ничем не обосновано.

4. «В правильной четырехугольной пирамиде провести плоскость через сторону основания перпендикулярно к противоположной боковой грани. Сторона основания а = 30 см, а высота пирамиды h = 20 см. Определить площадь полученного сечениям (Рыбкин, ч. 2, § 4, № 19).

При построении пирамиды (черт. 6) следует выдержать соотношение размеров высоты и стороны основания пирамиды. Из четырех возможных направлений сечения данное на чертеже наиболее наглядно, так как прямой линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и боковой гранью не искажается.

5. «Каждое ребро правильной треугольной призмы а — Ъм. Через сторону основания и середину оси проведена плоскость. Найти площадь сечения» (Рыбкин, ч. 2, § 7, № 25).

Следует обратить внимание на построение основания данной призмы, представляющего равносторонний треугольник. Проведя сторону ВС (черт. 7), нужно из середины ее провести прямую под углом в 45° к ВС и отметить на ней точку А на расстоянии, приблизительно равном 0,9 половины стороны ВС (так как высота равностороннего треугольника равна 0,86 его стороны); затем, взяв на этой высоте точку О на расстоянии — ее длины (считая от ВС), провести из этой точки высоту 00, призмы.

Мы рассмотрели на ряде примеров применение основных правил изображения геометрических фигур. Правила эти, как элементы графической орфографии, безусловно, обязательны для преподавателя при его объяснениях у доски с мелом в руках. Эти основы графической культуры преподаватель должен прививать и учащимся, развивая в них вкус и стремление к чертежу, в котором не только общий вид, но и каждая линия своим направлением, видом, толщиной отчетливо говорит о свойствах и взаимном расположении частей фигуры. Так как далеко не всякий преподаватель геометрии имеет хорошие навыки в черчении и досуг к скорейшему их приобретению, то полезно иметь в математическом кабинете школы ряд показательных стенных чертежей, которые в соответствующих местах курса можно демонстрировать в классе в дополнение к классному чертежу преподавателя, как хорошие образцы для подражания.

Рассмотрим теперь вопрос о содержании чертежа и методике его доведения до учащихся.

Всякий чертеж по своему содержанию изображает в условном виде какую-нибудь геометрическую фигуру, свойства которой надлежит исследовать или демонстрировать.

По своему назначению чертеж может играть двоякую роль: или он сопровождает теоретический вопрос курса (теорему) как некоторый объект, содержащий в себе изучаемые свойства, или он связан с некоторой практической задачей, условия которой он собой иллюстрирует.

При составлении чертежа для первой из указанных целей, т. е. для иллюстрации теоремы, нужно иметь в виду, что всякая теорема представляет собой предложение,, имеющее обобщающий и потому, в большей или меньшей степени, абстрактный характер. В то же время чертеж, сопровождающий теорему, всегда несет в себе конкретные, случайно выбранные данные, соответствующие общим условиям теоремы, и является одним из частных случаев рассматриваемого в теореме общего вопроса. Для того, чтобы этот частный случай, представленный чертежем, не скрадывал обобщающего значения теоремы, не направлял внимания учащихся на частные пути исследования и не сужал значения изучаемого вопроса, необходимо при выборе чертежа, иллюстрирующего теорему, подбирать нужную фигуру так, чтобы она представляла наиболее общий вид фигур рассматриваемого рода.

Несоблюдение этого требования к чертежу довольно часто встречается в педагогической практике и, к сожалению, допускается даже в учебниках и должно расцениваться как методическая ошибка.

Можно указать на целый ряд моментов, где следует предъявлять указанное требование. Начнем с признаков равенства треугольников. Нужно отчетливо довести до сознания учащихся, что эти признаки распространяются на все виды треугольников, поэтому необходимо следить за тем, чтобы на сопровождающих теоремы

Черт. 5

Черт. 6

Черт. 7

чертежах треугольники не были ни равносторонними, ни равнобедренными. Лишь в том случае, когда все три стороны и, следовательно, все три угла треугольника ясно различаются между собой по величине, учащийся правильно поймет не всегда легко усваиваемое выражение «соответственно равны», которое часто воспринимается учащимися чисто формально и связывается не с величиной элементов, а с их обозначением одноименными буквами с разными индексами. Легко проверить, начертив два равнобедренных треугольника и употребив для их обозначения разные буквы, что мы не сумеем отчетливо назвать соответственно равные стороны, так как ответ может быть двойственным; вследствие этого двойственным окажется и весь путь доказательства теорем о равенстве треугольников, чего не может быть на самом деле для всякой пары треугольников, упоминаемых в тексте теоремы.

Выбор разносторонних треугольников для предупреждения неправильных обобщений необходим и для целого ряда других теорем, в числе которых можно упомянуть теорему о внешнем угле треугольника, теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника, лемму, предшествующую теоремам о подобии и ряд других.

В силу аналогичных соображений для теоремы о пропорциональных отрезках на сторонах угла нельзя выбирать направление параллельных секущих под прямым углом к биссектрисе данного угла и самый угол нельзя брать близким по величине к 60°.

Наконец, надлежащий выбор подобных треугольников и вместе с тем отсутствие однообразия в обозначении их буквами весьма облегчат учащимся усвоение понятия сходственных сторон и научат находить их не по буквам, а по их связи с углами треугольников.

Следует заметить, что высказанные требования относительно вида фигур и обозначения их буквами являются необходимыми главным образом при первом знакомстве с каждым отделом курса, так как они создают наиболее благоприятные условия для правильного усвоения основной мысли рассматриваемого вопроса. Одновременно с этим учащийся должен осваиваться и с той идеей, что к правильным выводам всегда можно прийти при правильном использовании условий теоремы, надлежащем применении известных ранее геометрических положений и при логически последовательных рассуждениях, независимо от выбора вида чертежа и употребления букв. Известное единообразие в выборе букв, их повторение с употреблением индексов на определенной ступени развития учащихся уже не опасны с точки зрения подмены усвоения вопроса его механическим запоминанием.

Если при доказательстве теоремы чертеж должен обобщать возможно большее число фигур изучаемого вида, то при решении задач к чертежу следует предъявлять противоположные требования; он должен возможно более соответствовать тому частному случаю, который рассматривается в задаче. При наличии некоторого запаса теоретических сведений и освоении методов решения поставленный в задаче вопрос понимается учащимися тем лучше и разрешается ими тем легче, чем точнее соответствуют части чертежа данным условиям задачи; поэтому задачи на построение, особенно основные, преподаватель должен делать на доске не от руки, а при помощи циркуля и линейки, по всем правилам построения. В задачах вычислительного характера чертежи делаются от руки, но с возможно более точным соблюдением данных в задаче относительных размеров. Обычно разбор задачи после ее прочтения следует начинать с построения чертежа. Очень часто все данные не могут быть учтены сразу, и в процессе построения в чертеже обнаруживается несогласованность с условием. Все такие неправильности должны быть уточнены так, чтобы к решению задачи было приступлено только после получения вполне удовлетворительного, в смысле соответствия данным задачи, чертежа.

Можно указать на целый ряд примеров, когда невнимание к относительным размерам частей фигуры при построении чертежа значительно затрудняет решение задачи.

1. «В трапеции ABCD (AD — большее основание) большая диагональ АС перпендикулярна к стороне CD и делит угол BAD пополам; CD А = 60°; периметр трапеции равен 2 м. Определить CD» (Рыбкин, ч. 1, § 5, № 64).

Если начертить трапецию как-нибудь, условно принимая углы соответствующими данным в задаче, то несоблюдение относительных размеров может совершенно заслонить правильный путь решения задачи. Между тем, если начать с угла ADC (черт. 8) и построить его по возможности равным 60° (что совсем не трудно сделать от руки), затем провести через точку С диагональ CÀJLCD и к углу DAC пристроить равный ему угол CAB, то трапеция окажется равнобедренной, что сейчас же натолкнет на правильный путь решения задачи.

2. «В треугольнике ABC проведена прямая BD так, что i_BDC=l_ASC. На стороне АС получаются отрезки AD = 7 с.ч и DC =

Черт. 8

Черт. 9

= 9 см. Определить сторону ВС и отношение BD : ВА (Рыбкин, ч. 1, § 9, № 18).

Построив какой-нибудь треугольник ABC, мы замечаем, что проведение прямой BD под углом BDC, равным углу ABC, вообще не всегда возможно, не говоря уже о том, чтобы одновременно с этим осуществлялось деление стороны АС в отношении AD :DC = = 7:9. Руководствоваться же неправильным чертежом при решении этой задачи весьма затруднительно. Но можно легко выполнить условия задачи, если начать построение (черт. 9) со стороны АС, поставить точку D на— часть влево от середины и провести DB под любым углом к АС; тогда точку В не трудно будет найти на-глаз на этой прямой, руководствуясь требованием, чтобы 2, ABC = /_ BDC. При правильном чертеже подобие треугольников ABC и BDC и сходственные стороны этих треугольников обнаруживаются очень легко.

В некоторых случаях, чтобы дать возможность учащемуся глубже вникнуть в конструкцию фигуры и научить его правильным приемам использования чертежа, полезно сначала сделать не вполне правильный набросок фигуры и затем из противоречий с данными условиями наметить правильный прием построения, после чего переделать фигуру вполне, согласно с условиями задачи.

3. «В трапеции ABCD (где ВС || AD) с диагональю BD углы ABD и BCD равны. Дано ВС =\0 г*, DC = 15 см и BD — 20 см. Определить AB и AD» (Рыбкин, ч. 1, §9, N° 25).

Строим произвольную трапецию ABCD (черт. 10) и, отмечая на чертеже углы ABD и BCD, которые должны быть равны, изменяем положение стороны AB, направляя ее из точки В так, чтобы равенство указанных углов было в достаточной степени очевидно.

При построении чертежа на доске, наряду с правильным содержанием его, немаловажную роль играет последовательность, в которой возникают перед глазами учащихся отдельные его части. Чертеж, как общее правило, должен возникать перед учащимися в логической последовательности, сопутствуя в своем развитии развитию мыслей, излагаемых в доказательстве теоремы или при решении задачи. На доске прежде всего изображается геометрическое содержание условия и заключения теоремы и затем, по мере того как преподаватель развивает доказательство высказанного предложения, он пополняет чертеж соответственно необходимыми частями. Такой же порядок в выполнении чертежа, кстати сказать, преподаватель должен требовать и от учащихся при их ответах у доски.

При решении задач порядок должен быть, конечно, аналогичным, но подчеркивать это не приходится, так как он выполняется обычно сам собой.

Иногда, при слабой восприимчивости аудитории, полезно бывает выделить некоторые части фигуры и вычертить их отдельно в дополнение к общему чертежу, помогая учащимся этим приемом разобраться в деталях той части, на которую обращается их внимание. Такой прием иногда бывает необходим в начале курса планиметрии и очень часто неизбежен в курсе стереометрии. Как на примеры, можно указать на следующие случаи.

При выводе третьего признака равенства треугольников, рассматривая образовавшиеся после приложения друг к другу данных треугольников два равнобедренные треугольника АВВ2 и СВВ2, можно отделить их друг от друга на особом чертеже, не показывая при этом прямой АС, как отвлекающей внимание учащихся (черт. 11).

При рассмотрении свойства диагоналей прямоугольника весьма полезно наряду с обычной штриховкой также пользоваться отделением рассматриваемых двух треугольников (черт. 12), так как положение двух фигур на одной и той же части плоскости, встречающееся учащимся в данной теореме впервые, часто вызывает затруднения в понимании чертежа.

Также неплохо разделить на части фигуру при прохождении теоремы, выражающей

Черт. 10

Черт. 11

Черт. 12

Черт. 13

пропорциональную зависимость между элементами прямоугольного треугольника, дополняя основной чертеж к каждой части этой теоремы двумя добавочными треугольниками (черт. 13).

Этим приемом можно воспользоваться и при доказательстве теоремы о двух перпендикулярах, выделяя каждую пару треугольников, например, AOD и AxOD, в которых одновременное условное изображение прямых углов при вершине О в виде тупого и острого часто приводит в недоумение учащихся и затрудняет усвоение теоремы (черт. 14).

Наконец, при рассмотрении многогранников— призм и пирамид — для исследования какого-нибудь элемента боковой грани или основания нужно давать отдельно вид этой грани или основания в плоскости чертежа и, сделав на этом чертеже необходимое исследование, вносить полученные результаты на основной чертеж. Такой прием очень полезен при решении задач: помимо облегчения самого решения задачи и предупреждения ошибочных суждений об относительных размерах сторон и углов изображенных на чертеже фигур, этот прием помогает развитию пространственного воображения и конструктивных способностей учащихся.

Пример. «В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равное b образует с основанием угол в 30°. Найти сторону основания» (Рыбкин, ч. II, § 2, № 4).

Начертив пирамиду по данным условиям задачи (черт. 15), преподаватель дает дополнительно вид основания сверху. Из дополнительного чертежа учащимся ясно видно, что искомую сторону а можно выразить через радиус круга OA, а последний легко по основному чертежу выразить через b из треугольника AOS.

Черт. 14

Черт. 15

О ЧИСЛЕ π

Наиболее употребительное при вычислениях значение π — это 3,14. Это значение учащиеся запоминают хорошо. Но при более точных вычислениях требуется брать число тс с большим числом десятичных знаков, которые обычно учащиеся совершенно не помнят и потому прибегают к справочнику.

В старых изданиях геометрии Киселева приводилось легко запоминаемое двустишие, которое давало возможность быстро написать значение π с точностью до 10 десятичных знаков. Вот это двустишие:

Кто и шутя и скоро пожелаетъ Пи узнать число, уж знаетъ,

записывая последовательно число букв в каждом слове, получим

π = 3,1415926526.

При новой орфографии наличие на концах двух слов твердых знаков является помехой в его использовании нашими учащимися.

Доц. Альтшулер (Гомель) предлагает следующее двустишие, которое также дает значение тс с точностью до 10 десятичных знаков.

Учи и знай в числе известном За цифрой цифру без ошибки.

Это, очень удачное двустишие имеет лишь один недостаток — отсутствие рифмы, которая, конечно, еще больше облегчает запоминание. Возможно, что среди педагогов и учащихся найдутся желающие испытать свои силы в сочинении рифмованного двустишия.

В редакцию поступило также несколько четырехстрочных стихов, дающих значение тс до 30 десятичных знаков, но все их нельзя признать удачными. Да и по существу нет никакой надобности запоминать такое количество цифр.

К ПРИЕМНЫМ ИСПЫТАНИЯМ В ВУЗЫ

НЕДОРАБОТКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

Л. Н. ГРАЦИАНСКАЯ-ДОРОШКЕВИЧ (Наркомпрос РСФСР)

1

Приемные испытания, проведенные в вузах осенью 1940 г., знакомят нас с результатами работы школ по математике, вскрывая и хорошее и плохое как в знаниях учащихся, так и в методике работы педагога.

Анализ итогов приемных испытаний указывает на качественное улучшение знаний окончивших в прошлом году. Было не мало отличных и хороших ответов экзаменующихся. Многие умело ориентировались в различных областях математики и сдали экзамен на «отлично» и «хорошо». Следует отметить некоторый сдвиг у окончивших среднюю школу в уменье составлять уравнения по условиям задачи. Письменные работы в общем выполнены лучше, чем в предыдущие годы. Наблюдается у ряда экзаменующихся хорошая запись, толковые решения и объяснения.

Проведенные испытания показали, что поступающие, в общем, обладают удовлетворительной математической подготовкой. Особенно это обнаруживается при сравнении результатов испытаний по математике текущего года с минувшим.

В подтверждение высказанной мысли рассмотрим итоги приемных испытаний в Уральском индустриальном институте им. Кирова.

В целом, в 1940 г. сравнительно с прошлым наблюдался рост процента поступления в вузы (приблизительно на 8%—10%).

2

Учитывая целый ряд приведенных положительных моментов в приемных испытаниях в вузы в 1940 г., нельзя не заметить и немалых недоделок школ. Недоделки эти необходимо изучить, учесть и наметить пути к их изжитию.

Прежде всего необходимо отметить ряд фактов несоответствия отметок, полученных на экзаменах в вузы с отметками в школьных аттестатах.

В Московском архитектурном институте было проведено сопоставление этих отметок.

Подверглись сравнению 176 человек и результаты в процентах получились следующие:

понизили школьную отметку . . 50,5%;

оставили без перемены.....40,4%;

повысили............ 9,1%

Из понизивших отметку более половины снизили ее более чем на одну ступень (например «посредственно» вместо «отлично», «неудовлетворительно» (плохо) вместо «хорошо» и «отлично» и т. п.).

От многих вузов поступают сведения о том, что часть отличников, поступающих из школ без испытаний, в вузе получают неудовлетворительные оценки, а часть из них в процессе работы отсеивается из вузов по неуспеваемости.

Ивановский государственный педагогический институт обращает внимание на такой ненормальный факт, как получение неудовлетворительной оценки поступающими Куликовой Л. Ф., Терентьевой Е. Н. и Кузьмичевой 3. Ф. Все они окончили Пищовскую среднюю школу № 3 в прошлом учебном году и имели по математике в аттестате «отлично».

Был отмечен аналогичный случай в Московском государственном университете на геолого-почвенном факультете. Окончившая Новогиреевскую десятилетку Куликова 3. И. имела в школьном аттестате по математике отметку «отлично». На экзамене обнаружила полное незнание математики и не могла ответить на самые простые вопросы; получила оценку «плохо».

На расхождение в оценках в школе и при поступлении в вуз указывает целый ряд вузов (МГУ, Свердловский Государственный университет, Московский химико-технологический институт им. Менделеева, Московский институт инженеров ж.-д. транспорта им. Сталина и др.).

Необходимо повысить ответственность школы за выдаваемый ею аттестат, чтобы не повторялись случаи, когда в аттестате стоит по всем математическим дисциплинам удовлетворительная, подчас и хорошая оценка, а экзаменующиеся обнаруживают незнание элементарных вопросов математики.

3

Основной вопрос, который интересует нас при рассмотрении итогов приемных испытаний, состоит в следующем: соответствует ли уровень знаний учащихся тем требованиям, которые предъявляет высшая школа, и обеспечивает ли школа-десятилетка возможность для учащегося, сдавшего выпускные испытания в июне, выдержать приемные испытания в августе?

С этой точки зрения приходится отметить в отношении сравнительно значительной части учащихся, что школа не сумела дать им достаточно твердые знания, не сумела привить достаточно прочные навыки в области математики, которые удовлетворяли бы требованиям высшей школы.

Главным недостатком являлось недостаточное знание теории. Это сказалось на испытаниях, где ряд товарищей, зная формулы, не могли их выводить, зная теоремы, не могли их доказать, а некоторые считали доказательством проверку формулы на каком-нибудь частном примере. У некоторых отмечено слабое знание основ математики: часто отвечали на более сложные вопросы и путались в элементарных.

Вторым крупным недочетом является формальный характер знаний, отмечаемый многими вузами. Формулы, правила, теоремы заучены, но знание их недейственно, пассивно. Нет уменья приложить эти знания к данной конкретной задаче, в той или иной степени отступающей от «типовой». Отсюда характерный факт: если опрос ведется привычным школьным шаблоном, то ответы даются более или менее удачные; однако малейшее отступление от трафарета пугает экзаменующихся и часто ставит их втупик. Например, если дается уравнение: lgx + +lgtf = 0 (как в стабильном задачнике), отвечающий решает его легко, но если то же уравнение давалось в виде: \gx = — \g а, то уравнение оставалось нерешенным.

Или: без труда потенцируют выражение:

Но стоит это выражение записать в виде:

и большинство экзаменующихся при потенцировании допускает грубые ошибки

Аналогично

вычисляется без ошибок, но вычисление выражения

представляет почти неодолимые трудности.

В Московском институте инженеров ж.-д. транспорта экзаменующийся т. Большун, окончивший 179-ю школу Свердловского района Москвы, решая задачу по алгебре, не мог логически притти к определенному решению, поэтому он подобрал семь различных вариантов решения, но полагая, очевидно, что это уже слишком много, он зачеркнул седьмой, как раз единственный правильный вариант, а шесть остальных сдал преподавателю.

4

Укажем теперь на недочеты по отдельным разделам математики. Эти недочеты особенно рельефно сказались на выполнении письменных работ, к рассмотрению которых мы сейчас и переходим.

Письменные работы были проведены отдельно по алгебре, отдельно по геометрии и тригонометрии.

В письменных работах нередко встречается арифметический пример с обыкновенными и десятичными дробями, ставящий целью проверить знание арифметики.

В письменную работу по алгебре были включены 4, в иных институтах — 3 вопроса: 1) пример на преобразования, 2) задача на составление уравнений, 3) логарифмическое или показательное уравнение и 4) пример на решение неравенства или системы неравенств.

По геометрии: задачи из планиметрии, задачи на комбинацию различных тел, задачи на вычисление поверхностей, объемов многогранников и тел вращения.

В письменную работу по геометрии включались тригонометрические уравнения, тождества и примеры для приведения к виду, удобному для логарифмирования.

Проверка письменной работы по алгебре показала, что примерно 25% экзаменующихся сделали ту или иную ошибку в арифметических вычислениях, и около 20% экзаменующихся при решении примеров с обыкновенными и десятичными дробями не знали порядка действий.

Основной недостаток в подготовке по арифметике заключается в отсутствии навыков в числовых расчетах. Вычисления, как правило, ведутся медленно, неуверенно. Кроме того, при вычислениях применяются приемы, затрудняющие выкладки и увеличивающие шансы ошибок.

1. При сложении смешанных чисел последние предварительно обращаются в неправильные дроби, затем приводятся к общему знаменателю, складываются, после чего из результата снова выделяется целая часть, например:

2. При выполнении совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями экзаменующиеся иногда обнаруживают незнание того факта, что не всякая обыкновенная дробь обращается в десятичную конечную, и все операции производят над десятичными дробями, не получая поэтому точного результата, например:

3. При выполнении действий над обыкновенными дробями не производятся необхо-

Необходимо отметить слабые навыки в решении и, особенно, в составлении уравнений. Часто не могут решить уравнение, неизвестная величина в которых обозначена не буквами х и у, а иными буквами, встречающимися в физике, механике и других дисциплинах.

Иногда же алгебраические уравнения решают удовлетворительно, но не могут ответить на вопрос, что такое уравнение, что называется корнем уравнения и что значит «решить уравнение». Плохо решают систему квадратных уравнений, не пользуются искусственными приемами решения, а ограничиваются лишь способом подстановки.

Теория квадратных уравнений многими забыта или совершенно им неизвестна, не знают вывода разложения квадратного трехчлена на множители по его корням, вывода теоремы Виета.

димые сокращения, что приводит к большим членам дроби и влечет за собой ошибки.

4. При приведении к общему знаменателю берется не наименьшее кратное знаменателей, а их произведение, хотя бы они и не были взаимно простыми.

После приведения дробей к общему знаменателю последний иногда отбрасывался так же, как если бы это имело место в равенствах.

Кроме недостатков в технике вычислений, наблюдались у многих пробелы в усвоении следующих вопросов:

1. Вычисление процентов, в особенности, когда числа и проценты заданы в виде десятичных дробей, например: 0,03<>/о от 0,78 и т. п.

2. Деление пропорционально заданным числам, например разделить 500 на три части так, чтобы I : II = 2 : 3; I : III = 3 : 5.

3. Не всеми достаточно хорошо усвоены вопросы, относящиеся к делимости чисел: понятие о простых числах, о взаимно-простых числах, об общем наибольшем делителе.

4. Большинство поступающих затруднялось доказать правило обращения периодических дробей в обыкновенные.

5. Из отдела «Пропорциональные величины» плохо знают о среднем арифметическом, среднем геометрическом, производных пропорциях и т. п.

5

Экзаменующиеся в вузы алгебру знают лучше, чем арифметику, но и здесь можно отметить ряд недочетов.

Ярко вырисовывается неуменье производить комбинированные действия над отрицательными числами. В действиях с алгебраическими дробями не всегда хорошо раскладывают на множители, а подчас сокращают не множители, а слагаемые. Например, в работе Стрельниковой B.C. (окончила среднюю ж.-д. школу № 51 в Тамбове), экзаменовавшейся в Московский институт инженеров ж.-д. транспорта им. Сталина, находим такое сокращение:

В уравнениях часто производились сокращения на множители, содержащие неизвестные.

Очень примитивно экзаменующиеся проводят анализ корней. Нередки в письменных работах записи: «Этот корень не годится», или «Отрицательного значения быть не может», или просто: «Не подходит». В то же время при решении не определено: 1) при каких значениях параметров и при каких соотношениях между ними задача имеет смысл? 2) Каково должно быть решение (положительное, отрицательное, нулевое), чтобы оно удовлетворяло условиям задачи? 3) Какой из корней уравнения удовлетворяет этим условиям и почему? Не умеют решать неравенства первой степени и квадратные, а ведь это так нужно для изучения анализа.

Всеми без исключения институтами отмечается слабое формальное знание теории логарифмов; правила знают, формулы пишут, но объяснить правило, вывести формулу многие затрудняются.

При решении логарифмических уравнений делались самые разнообразные ошибки, в основе которых обычно лежало незнание и непонимание, что называется логарифмом числа. Так, например, некоторые в пояснении писали: «Выносим знак логарифма за скобку» (Московский химико-технический институт им. Менделеева).

Плохо знают некоторые из поступающих зависимость между числом, логарифмом и основанием логарифма. Не умеют производить операций с логарифмами при основании, не равном 10.

Остановимся на наиболее характерных ошибках в решениях логарифмических уравнений.

Сдавая испытания в Московский институт инженеров ж.-д. транспорта им. Сталина, т. Пономарева (окончила среднюю школу № 14 Сталинграда) показательное уравнение решает так:

При поступлении в Вологодский государственный педагогический институт им. Молотова Сахарова К. (окончила Никифоровскую среднюю школу Вологодской обл.) решает:

В этом же институте трое поступающих:

1) Куканова Т. А., окончившая X класс Тотемской средней школы Вологодской обл.,

2) Дюрагина А. А., окончившая 2 курса Молотовского педагогического рабфака, 3) Фи-

липпова M. H., окончившая педучилище в Устюжне, решают одинаково пример:

В Московском институте инженеров ж.-д. транспорта Сыромятникова Н. А. (ср. шк. № 1, г. Уральск, Зап. Казахской области) решает логарифмическое уравнение так:

отсюда:

После этого делает проверку решения:

При решении задач на составление уравнений особенно резко выделяется неуменье учащихся логически мыслить, рассуждать.

Так при решении задачи следующего содержания: «При постройке железной дороги две артели землекопов должны были вынуть 1 300 куб. м грунта. Первая артель, работая больше, чем вторая на 2 дня, вынула 700 куб. м грунта. Определить, сколько кубических метров грунта вынимает за день каждая артель, если вторая вынимает в день на 20 куб. м больше первой?» Сальмова А. Ф. (окончила 50-ю школу Тулы) рассуждает так: «I и II артели работали х дней, но первая работала на 2 дня больше: jc-f 2 и вынула 700 куб. м тт за все рабочие дни -;-; II артель вынимала в день на 20 куб. м больше, чем I, следовательно, --4- 20 куб. м\ всего дней две артели работали х(х+2) (??)». И составляется уравнение:

При составлении уравнений по условиям задачи в рассуждениях иногда доходят до совершенно странных мыслей. Запись обозначений искомых величин делается обычно с полной небрежностью: наименования в большинстве случаев опускаются. Вместо того чтобы сказать: «Первая труба наполняет бассейн в х часов, а вторая — в jc+15 часов», говорят: «Обозначим первую трубу через Х, а вторую через х+15».

Решив квадратное уравнение, составленное по условиям задачи, т. е. вычислив и д*2, экзаменующиеся не дают ответа на вопрос задачи, хотя бы не все корни были приемлемы. Между тем, этот чаще других повторяющийся промах — не простая небрежность, а серьезный недостаток, говорящий об отсутствии у учащихся навыка осмыслить добытый числовой результат с точки зрения данной задачи.

У многих поступающих отмечено непонимание метода полной индукции. Формула

доказывается для п = 3 или п = 4 и утверждается, что «значит, это верно и для любого л».

Не мало институтов (Индустриальный институт им. Куйбышева (г. Куйбышев), Московский институт инженеров связи, Харьковский мединститут и др.) обращает внимание на плохое оформление письменных работ. Небрежность и неряшливость в письменных работах, к сожалению, встречаются часто. Средние школы далеко недостаточно обращают внимание на культуру выполнения работ.

6

Нельзя считать удовлетворительной подготовку в решении геометрических задач на вычисление поверхностей, объемов многогранников и тел вращения. Здесь часто встречаются следующие ошибки: неуменье построить линейный угол двугранного угла, угол между прямой и плоскостью.

Так же обстоит дело с построением высоты в призме и пирамиде. Очень часто встречается такой факт, когда в пирамиде, у которой одно ребро перпендикулярно к основанию, проводят высоту в центр основания, если основание правильная фигура, и в любую точку основания при неправильной фигуре.

Часть поступающих, умея решать задачи по стереометрии, не умеют решать задачи планиметрического содержания.

Общим недостатком экзаменующихся является неуменье вести логическое рассуждение. Внешняя сторона доказательства бывает усвоена довольно твердо, т. е. все, что нужно для доказательства, написано точно, однако провести доказательства без изъянов удается немногим.

Чрезвычайно слабо развито у оканчивающих среднюю школу пространственное воображение.

Раздел «Плоскость и прямая», основные представления и понятия, относящиеся к взаимному положению прямых в пространстве, усвоены в громадном большинстве случаев неудовлетворительно.

К задаче (Московский институт инженеров ж.-д. транспорта): «В равнобедренном треугольнике с основанием равным 4 см и высотой равной 6 см, на боковой стороне, как на диаметре, описана окружность, точки пересечения ее с основанием и боковой стороной соединены прямой. Определить площадь получившегося четырехугольника, вписанного в полукруг» Колесникова Н. Г. (Воронеж, школа № 1 Ю.-В. ж. д.) сделала 12 чертежей, причем все чертежи сделаны очень небрежно; окружность чертилась от руки, поэтому на одних чертежах она пересекала основание вправо от его середины, на других — влево, на третьих — посредине. Но экзаменующейся и в голову не приходило предварительно решить вопрос, где должна окружность пересечь основание.

Дальше без всякого доказательства утверждается, что четырехугольник получается в виде трапеции. У некоторых экзаменующихся обращают на себя внимание плохие чертежи. Например, при черчении четырехугольной пирамиды боковые ребра принимают вид дуг.

7

Все институты отмечают, что по тригонометрии у экзаменующихся знания значительно лучше, чем по алгебре и геометрии. Но и здесь встречаются еще недоделки.

Формулы знает большинство, но применять их к преобразованиям умеют не все. Хромает решение тригонометрических уравнений вследствие отсутствия привычки искать простейший способ решения и неуменья дать общий вид корня тригонометрического уравнения.

В некоторых вузах поступающие тригонометрические формулы знали довольно хорошо и умели доказывать тригонометрические тождества, но затруднялись ответить на вопрос, что называется синусом, косинусом и т. д., не умели построить угол по данной тригонометрической функции; не все понимали радианное измерение углов; часто затруднялись привести к виду, удобному для логарифмирования, выражения, состоящие из 3 и большего числа, слагаемых. Например: sin (5х+у) + sin (3* + 30 + sin %х- Недостаточно отчетлива у многих картина изменения тригонометрических функций в зависимости от изменения угла.

Многим была не ясна причина наличия двойного знака в формулах:

и никто не мог объяснить, почему в формуле

не нужен в правой части двойной знак.

Можно было бы еще не мало указать недоделок в знаниях по математике поступающих в вузы, но важно остановить внимание на наиболее характерных массовых ошибках, чтобы при достаточном внимании к ним со стороны педагогов и учеников можно было изжить их в ближайшем будущем.

8

Анализ текстов письменных работ по математике, предложенных на выпускных испытаниях в десятых классах Москвы весной 1940 г., и текстов письменных работ на приемных испытаниях в вузы осенью 1940 г. проявляет известное расхождение требований школы и вуза.

Подтверждаем это положение примерами.

Работа по алгебре на испытаниях десятых классов средних школ Москвы 29 мая 1940 г.

Вариант 10.

1. Из города А в город В, отстоящий от А на d км, отправился пешеход. Спустя час вслед за ним по той же дороге отправился со скоростью на а км в час большей первого другой пешеход, который успел догнать первого и возвратиться в Л в то время, в какое первый пешеход успел только притти в город В, Сколько километров в час проходил первый пешеход?

Исследовать решение, принимая я>0.

2. Написать 5-й член разложения бинома

если известно, что коэфициент 3-го члена этого разложения равен 28.

3. Решить неравенство:

Московский архитектурный институт Работа по алгебре. Август 1940 г.

1. Найти два числа, если известно, что разность между частными от деления первого числа на 3, а второго на 5 равна 6; если первое число разделить на второе, то в частном получится пятая часть второго числа, а в остатке 4.

2. Упростить выражение:

3. Решить уравнение:

Здесь мы еще не видим особого расхождения в степени трудности между обоими заданиями.

Но встречаются, особенно в Московском авиационном институте им. Серго Орджоникидзе («МАИ») задания большей трудности и особенно отдельные примеры на логарифмические уравнения.

Задание №19 (МАИ, 1940 г).

1. Вычислить:

2. Упростить:

3. Решить уравнение:

4. Найти непрерывную геометрическую пропорцию зная, что сумма крайних ее членов на единицу больше произведения средних, а коэфициент пропорциональности равен-—.

Кроме этого довольно сложного варианта (а такой трудности приблизительно все ва-

рианты МАИ), приведем еще два примера логарифмических уравнений из текстов письменных работ МАИ.

3. Решить систему уравнений:

Приведенных примеров достаточно, чтобы судить о завышенной трудности текстов письменных работ по алгебре, предлагаемых осенью 1940 г. на приемных испытаниях в Московский авиационный институт.

Сравним тексты письменных работ по геометрии.

Работа по геометрии на испытаниях десятых классов средних школ Москвы. 3 июня 1940 г.

Вариант 1.

На общем основании построены два прямых конуса один внутри другого так, что их вершины находятся друг от друга на расстоянии а.

Определить объем, ограниченный коническими поверхностями обоих конусов, если угол при вершине осевого сечения большего конуса равен a, a меньшого конуса равен ße

Работа по геометрии и тригонометрии в Московском архитектурном институте. Август 1940 г.

1. В правильную 4-угольную пирамиду со стороною основания а и высотою H вписан куб так, что основание его лежит в плоскости основания пирамиды, а четыре из вершин его лежат на боковых ребрах пирамиды. Найти объем куба.

2. Проверить тождество:

3. Решить уравнение.

Как видно, степень трудности этого задания приближается к заданию десятых классов на весенних испытаниях.

Наряду с этим рассмотрим довольно сложное задание МАИ по геометрии.

Вариант 24.

1. Из точки, лежащей на окружности, проведены две хорды по разные стороны от центра. Хорды стягивают дуги в 90э и 120 \ Найти отношение площадей, на которые разделится хордами круг.

2. Каждый из плоских углов трехгранного угла равен а = 63Ч8'52". Найти угол наклона ребра этого трехгранного угла к его грани.

3. Вычислить без таблиц:

4. Решить уравнение:

Некоторые вузы, например Московский геолого-разведочный институт им. Орджоникидзе, дали в письменных работах по алгебре комбинированные задачи, которые давно осуждены методикой математики как задачи с формальным уклоном, проверяющие технику вычислений, а не глубину знаний и математическое развитие. Например: «первый член арифметической прогрессии равен 8, а разность прогрессии 1,5. Определить число членов этой прогрессии, если сумма их равна тому члену бинома Ньютона ((/ а +1/я-1)5» который не зависит от а».

В текстах по алгебре есть задачи, очень редко встречающиеся в курсе средней школы. Например в Московском областном педагогическом институте была предложена задача:

«В каменноугольной копи работают две паровые машины. Одна из них подняла 2 520 кг угля из шахты глубиной в 160 м, другая в такой же промежуток времени подняла 2 100 кг угля из шахты глубиной в 180 м. Обе машины вместе имеют мощность в 186 лош. сил.

Определить мощность каждой машины в отдельности».

Все изложенное выше заставляет предъявить к средней школе следующие требования в области подготовки по математике.

1. Перестроить прохождение материала в X классе с тем, чтобы ввести повторение всего курса математики и, в частности, арифметики. В X классе желательно повторить арифметику с научно-теоретической точки зрения и побольше практиковаться в вычислениях.

2. Максимально уделить внимание изучению теории, приучая учащихся пользоваться учебником и требуя сознательного доказательства теорем и выводов формул.

3. Обратить внимание на развитие у учащихся техники вычислений.

Чрезвычайно важно для практики приучать уже в младших классах к приближенному счету в уме, заменяя заданные числа округленными, что ценно не только для уменья выполнять приближенные расчеты, но и для проверки результатов более точных расчетов.

4. Прививать ученикам самоконтроль, т. е. уменье сознательно и критически относиться к полученному при решении задач результату, подвергая его самостоятельно соответствующей проверке.

5. Развивать у учащихся пространственные представления.

6. Широко информировать учащихся IX и X классов о требованиях и программах для поступления в вузы в начале учебного года, чтобы они могли в течение всего года или двух лет готовиться по этим программам к экзамену в вузы.

7. Для того чтобы учащиеся могли самостоятельно развивать навыки в решении задач, было бы весьма желательно использовать богатый материал задач, предлагающихся ежегодно на приемных испытаниях в вузы. На таком материале учащиеся могут научиться решать задачи и приобрести навыки, которых не имеется у некоторых из окончивших среднюю школу.

ТРЕБОВАНИЯ К СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Ю. А. ВОСКРЕСЕНСКИЙ

Костромской текстильный институт

Нередко можно слышать от преподавателей высшей школы сетования на недостаточную математическую подготовку абитуриентов, обнаруживаемую ими на приемных испытаниях. С другой стороны, со стороны преподавателей средней школы, да и самих студентов нередки обвинения в завышенных требованиях, предъявляемых на приемных испытаниях по математике; задаются вопросы, выходящие за рамки программы средней школы, даются нарочито «головоломные» задачи, по степени трудности превосходящие возможности средней школы, задачи, не находящие и в вузе применения и т. п.

Это все говорит за то, что вопрос о границах требований, предъявляемых к поступающему в вуз, должен быть в возможной степени уточнен.

Задача этой заметки — дать хотя бы краткий перечень тех действительно элементарных знаний и навыков, которыми бесспорно должен владеть каждый оканчивающий среднюю школу, которые в то же время настоятельно требуются от студента в вузе и в которых все же, как показывает мой опыт, поступающие в вуз обнаруживают большие пробелы.

По алгебре

1. Необходимо добиваться четкого и сознательного решения примеров на нахождение числовых значений алгебраических выражений типа:

(2*3 — Зх2 + 4х — 7)эс==_2=? и т. п.,

обратив особое внимание на всевозможные комбинации со знаком минус.

2. Очень часто нам приходится иметь дело с разложением трехчлена на множители, а поэтому для выпускника средней школы не должно быть каких-либо затруднений при решении примеров типа:

3. Для нас важно, чтобы учащиеся могли выделить полный квадрат в выражениях вида:

4. Некоторые трудности встречаются при решении примеров на выделение целой части из алгебраической дроби, например:

Возможно, что эти затруднения объясняются «давностью» (VI класс) прохождения раздела «деление многочлена на многочлен», но факт остается фактом.

5. Гораздо большие трудности встречаются, если предложить разделить:

и попросить написать общий п-ый член частного.

6. Эта «символика» затрудняет учащихся в более сложных случаях (в теории рядов) при написании общего члена в разложениях типа:

7. Попутно отмечаю, что не все средние школы знакомят своих питомцев с понятием «факториал», а поэтому есть основания рекомендовать при прохождении раздела «комбинаторика» уделить внимание упражнениям типа:

8. Приходится отметить недоработку учащимися теории степеней, и корней и такой, как говорят, ходовой у нас пример —возвести в квадрат:

частенько решается неуверенно, если не неверно. Весьма полезны упражнения на решения уравнений типа:

9. На наше предложение «освободиться от иррациональности в числителе» обычно следует ответ, что таких примеров они в средней школе не делали. Взять, к примеру, вывод уравнения асимптот гиперболы, где приходится иметь дело с выражением вида:

10. Надо разъяснить учащимся, что способ введения вспомогательных неизвестных не усложняет, а облегчает во многих случаях решение систем уравнений со многими неизвестными. Целесообразно прорешать и освоить метод решения систем следующего типа:

Между прочим, в приведенных примерах (б) и (в) для некоторых учащихся чуть ли не «Америкой» кажется утверждение, что ему дано именно три уравнения с тремя неизвестными.

11. Средняя школа должна дать учащимся не только формальные знания теоретического порядка о нахождении модуля перехода

от одной системы логарифмов к другой, но и на конкретных примерах типа:

найти:

или

научить учащихся осуществлять переход от десятичной системы к натуральной. Общепринятые символы «lg» и «In» также должны четко различаться учащимися.

12. Почему-то большие затруднения встречаются при потенцировании выражений вида:

13. Не всегда дается уверенно и правильно ответ из соотношений вида:

14. Неужели нельзя добиться такого положения, чтобы окончивший среднюю школу:

а) четко понимал разницу в выражениях вида:

б) умел безошибочно и сознательно написать общий вид четного или нечетного числа

в) смог бы вынести «необщего» множителя за скобку, например:

г) понимал, что в выражении:

можно все знаменатели разделить на 2;

д) написал бы все три значения корня в уравнении:

X3 = 8 и т. д.

По геометрии

1. Большую роль в смысле приучения учащихся к тщательному выполнению чертежей должны сыграть задачи на построение и так называемые задачи на доказательства, которые, в свою очередь, имеют первостепенное значение для закрепления и показа применения тех или иных, подчас формально зазубренных теорем, а во втузе в достаточной степени облегчают усвоение курса аналитической геометрии.

2. Попутно мне хочется отметить еще раз важность тщательного выполнения чертежей при построении графиков различных функций вида:

у = kx + Ь,

у = ах2 + Ьх + с,

У — а*,

а также графиков тригонометрических функций.

3. Очень часто приходится ссылаться на теорему об углах с параллельными и перпендикулярными сторонами.

Учащиеся теряются при нахождении этих углов на чертеже. Таких задач с комбинацией вышеназванных углов каждый преподаватель может подобрать бесчисленное множество.

4. Неужели окончивший среднюю школу должен затрудняться в разрешении такого вопроса: «В четыреугольнике два прямых угла, сколько приходится на долю двух остальных?»

5. Я уже не намерен перечислять те хорошие задачи на многогранники и круглые тела, при решении которых в достаточной степени закрепляются все заученные теоремы и которые имеют большое значение для развития пространственного воображения.

6. Немного странно, что ни в программе по геометрии, ни в программе по тригонометрии не сказано о так называемых «телах вращения». Эти замечательные по своему содержанию и методам решения задачи в лучшей степени удовлетворяют всем целям, поставленным перед геометрией и указанным в объяснительной записке к программе по тригонометрии

Только что упомянутые выше задачи на тела вращения при соответствующем их подборе в значительной степени помогают повторению и закреплению всех пройденных формул и соотношений тригонометрии, которые встречаются на каждом шагу при изучении высшей математики, теоретической механики и других дисциплин.

В то же время мне хочется остановиться хотя бы на таких разделах, безошибочное и четкое знание которых имеет непосредственное отношение к высшей математике, а именно:

1) необходимо уметь строить углы по данному значению тригонометрических функций, причем особое внимание обратить на случай, когда дано значение тангенса угла;

2) не должно быть каких-либо отговорок в незнании значений тр. функ. для углов 30°, 45° и 60°;

3) необходимо четко осуществлять переход от градусного измерения угла к радианному и обратно;

4) в первые же дни пребывания студента во втузе он на занятиях по аналитической геометрии применяет формулу:

5) весьма печально, что выпускник средней школы, зная формулу

теряется, если выпишешь, что:

6) известные формулы о преобразовании сумм тригонометрических функций в произведения, взятые в обратном порядке, т. е. при заданном произведении написать соответствующую алгебраическую сумму (что требуется в интегральном исчислении) также нечетко прорабатываются в средней школе;

7) опять-таки в официальной программе по тригонометрии ничего не сказано о формулах, выражающих тригонометрические функции через тангенс половинного угла, в то время как нам они необходимы хотя бы при освоении техники интегрирования.

Вышеприведенные примеры далеко не исчерпывают затрагиваемого в настоящей статье вопроса и их можно бы было приумножить. Но я ограничился лишь теми, которые, по моему мнению, являются как бы ведущими и отвечающими поставленной мною в статье цели.

ЗА ГРАНИЦЕЙ

МАТЕМАТИКА В США И ВОЙНА

Проф. И. Я. ДЕПМАН (Ленинград)

Военная математика, т. е. математика, приспособленная к военным нуждам страны, существует со времени возникновения самой математики. Такая математика имелась уже в Вавилоне, у народа, создавшего ранее всех других древних народов высокую математику, ставшую нам известной благодаря открытиям последних двадцати лет, главным образом в результате трудов профессора Отто Нейгебауэра (австрийца, профессора в Геттингене, в Копенгагене, ныне в Америке в Броуновском университете) и французского академика Тюро-Данжена (F. Thureau-Dangin). В числе очень большого количества исследований проф. Нейгебауэра по вавилонской математике есть одна, посвященная специально вавилонской военной математике (Н. Waschow und О. Neugebauer, Babylonische Belagerungsrechnungen).

Математика, применяемая в военном деле, имелась даже у римлян, относившихся, по словам Цицерона, к математике не только без какого-либо интереса, а скорее с пренебрежением и поэтому не имеющих никаких заслуг в математике. Покойный академик А. А. Марков на лекции в Петербургском университете в начале нынешнего столетия, когда его слушал пишущий настоящие строки, обмолвился крылатым словом: римляне сделали в математике единственно то, что убили Архимеда. Однако, известно, что математика в применении к военному делу существовала и в Риме и была, повидимому, единственной терпимой там математикой.

Последние, дошедшие до нас американские журналы за 1940 г. сообщают о предпринимаемых в Америке шагах по приспособлению преподавания математики в американской средней и высшей школе к лозунгу «Будь готов к войне» и по направлению исследовательской работы в математике на вопросы, относящиеся к той или иной области, связанной с вопросами подготовки страны к войне.

Объединенный съезд Американского математического общества и Американской математической ассоциации*, происходивший от 9 до 12 сентября 1940 г., принял, по предложению комиссии «Будь готов к войне», возглавляемой профессором Марстоном Морзе, следующие постановления:

1. Все более способные ученики школ второй ступени должны проходить максимум математики, возможный в данном учебном заведении. Для многих школ этого рода необходимы дополнения к существующим программам; учебные заведения должны быть в состоянии дать оканчивающим школу достаточную математическую квалификацию, чтобы они могли быть использованы для военных нужд страны.

2. Колледжи и университеты должны произвести пересмотр своих общих курсов математики и дополнить их предметами, которые необходимы для подготовки студентов в области основ механики, теории вероятностей, топографии, навигации и других существенных областей военного образования.

3. Специальные и высшие курсы математики должны быть дополнены курсами прикладной математики — динамики, гидродинамики, теории упругости, аэронавтики, баллистики, статистики и т. д. Необходимо стремиться к тому, чтобы кончающие такую школу студенты имели высшую квалификацию в одной или нескольких областях прикладной математики.

Это постановление является первым шагом к реализации задач военной комиссии, ставящей себе цель — направить исследовательскую работу в области математики по желательному руслу.

Съезд выбрал соответственные подкомиссии, возглавляемые видными математиками (Джексон, Стоун, Гарт) и, кроме того, назначил главных консультантов по вопросам математической исследовательской работы в следующих специальных областях:

по вопросам баллистики — проф. фон Неймана;

по вопросам аэронавтики—проф. Бейтмена; по механическим и электрическим средствам вычисления — проф. Норберта Винеар;

* Американское математическое общество, отпраздновавшее недавно пятидесятилетие своего существования, объединяет более 2 000 американских научных работников в области математических наук. Существующая рядом с математическим обществом Американская математическая ассоциация объединила также свыше 2 000 членов, причастных к математике, но в большинстве своем не являющихся научными работниками — специалистами в области математики: инженеров, преподавателей, любителей математики и т. д. Преподаватели математики, кроме того, объединяются еще в свою профессиональную организацию.

по вопросам военной индустрии — доктора Торнтон Фрай* из Беляевской телефонной лаборатории;

по теории вероятностей и статистике — проф. Уилкс из Принстонского университета;

по криптоанализу — проф. Энгстрем из Нейльского университета.

Для наших читателей, наверно, мало понятна последняя в списке область применения математики; на ней мы и хотим остановиться в настоящей статье.

Криптоанализ — это расшифровка тайнописей, т. е. деятельность, значение которой во время военных действий всем совершенно ясна. Необходимо отметить, что история математики знает ряд случаев, когда в этой деятельности отличались весьма известные математики. Расшифровкой тайнописей занимался Лейбниц, исключительно прозорливым криптографом (Cryptographe extraordinairement sagace—говорит Морис Д'Окань) был отец современной алгебры Франсуа Виет (1540—1603), оказавший Генриху Наваррскому (впоследствии королю Генриху IV) чрезвычайные услуги расшифрованием таких секретных депеш испанцев и итальянцев, которые не поддались искусству профессиональных специалистов этого дела. В другой области проявил те же способности английский математик и физик Томас Юнг (1773— 1829), расшифровавший египетские иероглифы значительно ранее, чем это удалось Шамполиону, которому обычно приписывается эта заслуга. Самые поразительные же способности по расшифровке тайнописей проявил английский же математик Джон Валлис (1616—1703), который, несомненно, был самым опытным чтецом самых потаенных криптограмм всех времен и всех народов. Биографы Джона Валлиса обычно указывают, что Валлис при всем разнообразии своей деятельности, научной, практической и политической, всю жизнь занимался криптографией, будучи одним из самых опытных расшифрователей тайнописей. Однако эти общие биографии Валлиса не дают представления ни о размахе его интереса к криптографии, которой он уделял большое внимание в течение шестидесяти лет, ни о заслугах перед государством, которые он оказывал именно этой стороной своей деятельности, ни о знаках почета и проявлениях зависти к нему, вызванных этой деятельностью. Криптографической деятельности Джона Валлиса посвятил специальное исследование известный американский историк математики профессор Давид Евгений Смит, нашедший в Британском музее в Лондоне неизвестную до того переписку Валлиса с друзьями, затрагивающую именно эту сторону деятельности многостороннего ученого**.

Валлис учился в Эммануильском колледже в Кембридже, готовясь к медицинской деятельности. Получив в 1677 г. степень баккалавра и тремя годами позже — степень магистра, он однако делается капелланом (1642) у вдовствующей леди Вер (Lady Vere). В это время леди принесли перехваченное шифрованное письмо о захвате Чистера (Chichester), имевшем место 27 декабря 1642 г. Двух часов было Валлису достаточно, чтобы расшифровать написанное тайнописью письмо. Это событие было началом криптографической деятельности Валлиса, обеспечившей молодому медику-духовнику быстрое продвижение по лестнице общественной иерархии. В награду за эту деятельность Валлис уже в 1643 г. получает приход Св. Гаврилла в Лондоне, а в 1647 г. — другой лучший приход Св. Мартина там же. Ни Савилиановская профессура геометрии в Оксфорде (1649), ни должность начальника университетских архивов, ни пост королевского духовника (1660) не прерывали деятельности Валлиса по тайнописи, и в этой области он пользовался такою известностью, что граф Ноттингамский вербует его на службу королю Уильяму III в качестве специалиста-дешифровщика. Лейбниц, занимавшийся также, и не безуспешно, этой деятельностью, не раз делал попытки узнать у Валлиса метод его работы, но Валлис отклонял все обещаемые ему за это блага. Только своего сына Джона (баккалавра Тринити-колледжа в Оксфорде (1669), позднее адвоката) и внука сэра Уильяма Бленкоу (Sir William Blencow) Валлис посвятил в свои методы работы по расшифровке тайнописей, однако оба эти ученика знаменитого дешифровщика и математика ни в какой области деятельности не достигли высоты своего учителя. Получив в 1700 г. пенсию за оказанные правительству услуги и за обучение внука своему искусству, Валлис домогается через влиятельных лиц пенсии и для этого молодого человека.

При этом Валлис рассказывает, что ганноверский двор через Лейбница предлагает ему при любых поставленных им, Валлисом, условиях обучить нескольких молодых людей искусству расшифровки, но что он, Валлис, который для собственного интереса хотя и оказывал услуги по этой линии ганноверскому двору, не считает без разрешения своего государя возможным сообщить свое искусство иноземному правительству. Из остальной части напечатанной проф. Смитом переписки Валлиса видно, что он получил от ганноверского правительства, правда, после долгой переписки, ценный подарок и неоднократно жаловался высокопоставленным английским лицам на скудное вознаграждение его чрезвычайно больших трудов по расшифровке политических депеш, оказавшихся для правительства исключительно ценными. Среди этих документов он несколько раз упоминает о документе польского правительства, адресованном французскому королю, расшифровка которого предупредила английское правительство о предпринятых Францией в Польше махинациях.

Советская молодежь увлекается кроссвордами, печатающимися в популярных журналах. Нужно дать этому интересу молодежи, воспользуясь примером Америки, более осмысленное направление.

* Автор переведенной на русский язык книги по теории вероятностей и ее применениям.

** John Wallis as a Cryptographer, by Professor David Eugene Smith, 1917.

«МАТЕМАТИЧЕСКАЯ АТМОСФЕРА» В ШКОЛЕ

(Из заграничного опыта)

Л. БАРАНОВСКАЯ (Москва)

В школе часто приходится встречаться с тем фактом, что некоторые учащиеся особенно не любят математики. В лучшем случае они добросовестно выполняют "задания, не проявляя должного интереса к самой дисциплине.

Одним же из основных факторов, способствующих усвоению предмета, является интерес к нему.

«Интерес учащихся к работе» — залог успеха», говорит Snader*. Это положение «можно считать педагогической аксиомой**». Однако внедрение «аксиомы» в преподавание различных дисциплин вообще и математики, в частности, нельзя считать в настоящее время полностью осуществленным.

Еще Дистервег в «Правилах преподавания» писал: «Старайся сделать преподавание увлекательным (интересным)». Но как это сделать — в педагогической литературе почти нет конкретных указаний. Предварительно необходимо установить некоторые основные положения.

1. Интерес к математике надо пробуждать и поддерживать, начиная с первоначальной стадии обучения. Если у учащихся этот интерес не развит, то пробуждать его в старших классах будет значительно труднее.

2. Учащимся должны быть ясны цели каждой школьной математической дисциплины.

Вопрос «зачем?» наиболее часто задается детьми. Однако уже при изучении арифметики на этот вопрос дети часто или вовсе не получают ответа или ответ для них недостаточно конкретен. В старших классах учащиеся обычно получают еще менее ясный ответ. Не видя цели своей работы, ученики охладевают к математике. Необходимо вести преподавание так, чтобы учащимся ясна была цель прохождения каждого отдела математики.

3. Приобретенные учащимися знания должны сопровождаться практическим их применением.

Еще лучше, если необходимость изучения того или другого отдела будет вытекать из практической задачи.

В обыденной жизни, чтобы привлечь внимание к какому-нибудь факту, явлению, создается специфическая атмосфера, насыщенная этим фактом, явлением.

С этой целью вывешиваются соответствующие лозунги, плакаты, устраиваются выставки, издаются газеты, журналы, посвященные этому вопросу.

Естественно возникает вопрос: не будет ли целесообразным ввести этот метод и в педагогическую практику?

Чтобы сосредоточить внимание учащихся на математике в целом или на каком-нибудь ее отделе, заинтересовать их, может быть, следует поступать аналогично, т. е. создавать, «математическую атмосферу»? В этом именно направлении имеется интересный опыт американской школы, с которым мы и хотим познакомить читателя.

Самый термин «математическая атмосфера» впервые был введен Кее в статье «А Mathematical Athmosphere», напечатанной в журнале «The Mathematical Teacher».

Сосредоточение внимания на математике созданием соответствующей «математической атмосферы» вызывает интерес к этой дисциплине, который усилится, когда учащиеся сами включатся в работу. «Математическую атмосферу» можно создавать самыми разнообразными способами.

Класс можно украшать портретами математиков, которые разрабатывали изучаемый отдел, рисунками, картинами, гравюрами, относящимися к жизни математиков. Можно вывешивать чертежи, таблицы формул «которые фиксируют внимание и позволяют охватить одним взглядом длинную теорию»*.

Например, при изучении длины окружности можно украсить стены, как это было сделано на парижской выставке 1937 г. в павильоне Математической секции Дворца открытий, «числом % с 707 десятичными знаками, танцующими сумасшедшую сарабинду вокруг залы»**. Конечно для школы можно взять десятичных знаков значительно меньше.

Стены класса следует украсить лозунгами, например: «Как и все другие науки, математика возникла из потребностей человека...» (Энгельс — «Анти-Дюринг», стр. 33, изд. 1938 г.).

«Математика — это наука о величинах...» (Энгельс — «Диалектика природы», стр. 8).

«Для... материалистического понимания природы требуется знакомство с математикой и естественными науками» (Энгельс — «Диалектика природы», стр. 212) «Понятие числа и фигуры взяты исключительно из реального мира» (Энгельс — «Анти-Дюринг», стр. 32, изд. 1938 г.).

Большую роль могут сыграть плакаты, которые указывают на практическое применение математики. Целый ряд интересных плакатов описывает Кее например:

1) плакат, на котором изображена химическая посуда, написаны формулы различных химических реакций. Внизу надпись: «Химия зависит от математики»;

2) нарисованы строящийся дом и план его. Надпись гласит: «Математика помогает составлять план»;

3) небоскреб и надпись: «Математика делает возможной его постройку»;

* Snader — «Индивидуализация обучения в алгебре». «The Mathematical Teacher», 1937 г., № 4, стр. 174.

** Ривес —«О воспитании социалистического отношения к труду». «Советская педагогика», 1940 г., № 2, стр. 24.

* Lagout — «Panorama de l'ulgèbre étendu au calcul des insinément petits».

** «Les cartes postales de la section des Mathématiques du Balais de la Découverte». «L'enseignement scientisique», № 122—124 1940 г.

4) легковой автомобиль, его чертеж и подпись: «Повозка, которую помогает строить математика»;

5) изображен астроном, наблюдающий звезды с помощью рефрактора, и подписано: «Астрономы пользуются математикой для вычисления расстояний»;

6) под изображением паровоза, идущего по рельсам, подпись: «Математика разрешает проблему транспорта»;

7) геодезисты производят измерение на земле, а рядом изображена географическая карта. Надпись: «Математика помогает нам уточнять картину»;

8) изображен пассажирский самолет с пилотом и пассажирами. Надпись такова: «Жизнь многих людей зависит от математики»;

9) рисунок гидростанции на Ниагаре и подпись: «Математика взнуздала Ниагару».

Принятый внеочередной четвертой сессией Верховного Совета СССР закон о всеобщей воинской обязанности ввел в среднюю школу начальную и допризывную военную подготовку.

Необходимо в школе подчеркивать то значение, которое имеет математика в военном деле. Можно для этого воспользоваться некоторыми плакатами, о которых говорит Кее.

1) изображены орудие, траектория полета снаряда и дана подпись: «Человек, который стреляет, не видит цели,— математика помогает находить ее»;

2) подводная лодка с надписью: «Математика помогает движению подводной лодки»;

3) изображены самолеты всех типов и надпись; «Авиация—- математики»;

4) изображены орудия, пулеметы, кавалерия, танки и внизу надпись: «Математика помогает защищать родину»;

5) изображены пароход, рулевой в рубке и надпись: «Математика употребляется в навигации».

Вообще, эту тему можно вариировать бесконечно и создавать целый ряд плакатов. Не следует пренебрегать плакатами, указывающими на применение математики в жизни. Такие плакаты тоже даны Кее.

1) изображена сцена завтрака, где ребенок ест с гримасой слишком пересоленный им суп, и надпись: «Соблюдай пропорцию!»;

2) девочка, делает абажур в виде усеченных конуса или шестиугольной пирамиды. На плакате надпись: «Математика дома»;

3) девочка играет на рояле. Надпись: «Гармония зависит от математики».

Кее советует не пренебрегать и чисто агитационными плакатами.

На таблице написано 1/~264821 и дана подпись «Стой! Умеешь ли ты извлекать корни?»

На другом плакате изображен мальчик, который карабкается по лестнице, где на каждой ступени написаны проценты: 1070, 2070 и т. д. Надпись гласит: «Можешь ли ты достигнуть вершин арифметики?»

Конечно, не обязательно создавать вышеуказанные плакаты,— следует только использовать эту идею, приспособив ее к условиям данной школы.

Кто же в школе будет создавать «математическую атмосферу?» Этим должны заняться члены школьного математического кружка под руководством преподавателя. О принципах организации кружка и методики его работы много говорилось на страницах журнала «Математика в школе»*, поэтому я на этом не останавливаюсь. Математический кружок, объединив сначала наиболее активных учащихся, распространит свое влияние на широкие круги школы и вовлечет основную массу детей в сферу математики. Круг действия кружка обширен и разнообразен. Работа в нем может удовлетворить широкие запросы учащихся.

Одна группа может заняться изготовлением математических пособий. Модели геометрических тел, подвижные модели и пособия, иллюстрирующие доказательства теорем, или же решение каких-нибудь геометрических задач (особенно по стереометрии), простейшие измерительные приборы — будут развивать конструктивные способности учащихся.

Другая группа примет участие в изготовлении математических таблиц, лозунгов, чертежей. Художники могут рисовать плакаты, портреты математиков и картины, относящиеся к жизни последних. Они будут составлять альбомы или настенные таблицы по отдельным темам:

а) по истории математики (например, по истории цифр у различных народов и т. д.), б) математика в технике, в) в обыденной жизни, г) в сельском хозяйстве, д) в музыке, е) в искусстве, ж) в литературе.

Можно составлять альбомы или плакаты по более узким темам, например; а) золотое сечение в искусстве, б) симметрия в природе, в) обманы зрения, г) треугольники и их применение в технике и жизни, д) параллельные линии в жизни и технике**.

В старших классах можно создать альбом, в котором сравниваются естественные формы с геометрическими, которые они напоминают. Образцом может послужить вторая серия открытых писем: «Жизнь и геометрия», изданных в 1937 г. на Парижской выставке. Ее составил Monod — Herzin***. На открытом письме изображались одновременно: 1) геодезические линии и японские корзиночные изделия; 2) правильный многогранник и морской моллюск; 3) цепная линия и драпировка платья; 4) линия провеса и головка бедренной кости; 5) винтовая линия (коническая) и раковина; 6) спиральная поверхность и рог жвачных животных; 7) спираль Архимеда и глазок на крыльях павлина; 8) логарифмическая спираль и аммониты (ископаемые раковины) и т. п.

Интересный альбом можно составить на тему «Математические фигуры в орнаментах». В него можно включить и так называемые орнаментальные кривые, которые отличаются своей красотой (из третьей серии открытых писем, изданных на Парижской выставке 1937 г.).

* «Математика в школе», 1940 г., № 3, 4.

** Плакаты по темам д, е были даны Богородской образцовой школой на выставку в Академии коммунистического воспитания им. Крупской в 1934 г.

*** «Les cartes postales de la section des Mathématiques du Palais de la Découverte». «L'enseignement scientisique» № 122—124 1940 г.

Математический кружок может организовывать математические вечера, проводить викторины, составлять математические шарады, вводить математические развлечения и игры. Органом математического кружка должна явиться стенная газета. В ней, кроме исторического и научного материала, должен быть отдел развлечений с занимательными задачами, парадоксами, ребусами и кроссвордами.

Математический кружок может провести анкету среди учащихся о том, когда и как они применяют математику в своей жизни или работе. Полученные выводы опубликовываются в газете. Такая анкета была проведена в одной из американских школ* и дала очень интересные ответы. Один из учащихся пользовался геометрией, чтобы найти центр круга при изготовлении компаса, другой — при конструировании змея, третий вычислял количество кирпичей, необходимое для постройки кирпичной стены, четвертый — количество мяса по живому весу быка, пятый — пользовался математикой при покупке продуктов и т. д. Такая анкета поможет учащимся осмыслить тот факт, что, незаметно для них самих, они постоянно пользуются математикой. Преподавателю следует проводить экскурсии по математике, на которых учащиеся лишний раз убедятся, что свои знания могут применять и при простейших измерениях на местности**. В математическом кружке полезно научить пользоваться счетными приборами и машинами. Члены кружка могут быть застрельщиками привития ученикам навыков правильной самостоятельной работы по математике. Преподаватель, использовав статью Покровской «Привитие учащимся навыка к самостоятельной работе на уроках математики»*, поможет учащимся организовать правильно свою самостоятельную работу и пропагандировать ее в школе путем плакатов, иллюстрирующих отдельные этапы самостоятельной работы.

От самостоятельной работы учащиеся могут перейти и к научно-исследовательской работе.

Собирание сведений о народных способах вычислений и измерений, народном землемерии, задачах и загадках — задача вполне доступная для школьников. Потом можно показать и простейшие способы обработки этого материала**. Опыт некоторых школ показал, что олимпиады внутришкольные, городские и районные сильно повышают интерес к математике и дают стимул для самостоятельной работы учеников.

Большинству преподавателей не только знакомы все вышеуказанные виды работ по математике, но многие применяют их. Однако последовательно весь комплекс математических работ в целом, начиная от чисто агитационных плакатов до обработки результатов исследовательской работы, ни в одной школе еще не был проведен в жизнь.

В действительности только он один может создать плодотворную «математическую атмосферу», которая фиксирует внимание учеников на математике. Она дает возможность каждому из них выбрать себе по вкусу ту область математических знаний, в которой он может проявить свои творческие силы. Она искоренит равнодушие и нелюбовь к математике, которые иногда встречаются у учеников.

* «School Science and Mathematics». № 345, Yannary, 1940 г. Edith. «Youth Speaks for Mathematics».

** «Математика в школе», 1940 г., № 4. «Внеклассная работа по математике» Федорович, стр. 50.

* «Математика в школе», 1940 г., № 4, стр. 42.

** Щербина — «Опыт программы для собирания народных математических сведений», изд. Полтавского статистического комитета. Никифоров — «Этнография в школе». Гиз, 1926, стр. 110—112.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

ОБЗОР НОВЫХ КНИГ

С. И. НОВОСЕЛОВ (Москва)

В. А. Кречмар — «Задачи по алгебре». Пособие для учителей средней школы. Учпедгиз, Ленинградское отделение, 1940, 105 стр., ц. в перепл. 1 р. 30 к.

Основная задача преподавания математики в школе — научить сознательно владеть методами элементарной математики и развить умение самостоятельно применять полученные теоретические знания к решению различных вопросов. Для достижения этой цели учитель должен в полной мере владеть методами решения не только тех задач, которые рассчитаны на применение ограниченного числа готовых формул и шаблонных приемов, но и задач, требующих умения сознательно пользоваться известным теоретическим материалом. Эти задачи должны служить развитию сообразительности в поисках приемов, кратчайшим путем ведущих к цели, а также «искусственных» приемов в тех случаях, когда «обычный» путь не ведет к цели.

Книга Кречмара и преследует цель — дать учителю необходимый запас задач указанного типа. Имея в виду ограничиться лишь самым основным материалом, автор в небольшой по объему книге дает минимальный запас избранных задач по алгебре, знание которых совершенно необходимо учителю средней школы. Все задачи снабжены подробными решениями.

В задачнике содержатся упражнения по следующим разделам: тождественные преобразования, уравнения и системы уравнений, иррациональные уравнения, логарифмы, логарифмические и показательные уравнения, элементы комбинаторики, неравенства и уравнения высших степеней. Как отмечает автор в предисловии, при подборе материала он исходил из необходимости обратить внимание на принципиально важные вопросы, имеющие отношение к преподаванию элементарной алгебры и слабо освещенные в существующей учебной литературе.

В каждом разделе даны весьма краткие теоретические разъяснения, необходимые для сознательного решения соответствующих задач. Наличие теоретических разъяснений и подробных решений позволяет рассматривать книгу Кречмара как пособие по изучению методов решения алгебраических задач. В целом подбор материала следует признать удачным.

В большинстве старых руководств алгебраические преобразования выполняются формально, без исследования того основного вопроса, при каких условиях они справедливы.

Приведем известный пример: весьма часто пишут = а (речь идет об арифметическом корне), совершенно не замечая, что это равенство верно лишь при условии а^О. Если же а — любое действительное число, то следует писать или:

Как большое достоинство книги следует отметить, что автор обращает значительное внимание на выяснение тех условий, при которых справедливы преобразования, выполняемые при решении задачи. С этой целью или производятся соответствующие исследования в процессе решения задачи или вводятся надлежащие ограничения в само условие.

Подбор задач, рекомендуемых автором, рассчитан на повышение уровня математического развития учащихся; многие из этих задач имеют значительный принципиальный интерес.

Значительное количество упражнений как по своей постановке вопроса, так и по методам решения рассчитано на то, чтобы дать учащимся подготовку к восприятию высшей математики. Как недостаток книги Кречмара следует отметить отсутствие упражнений по ряду разделов, представляющих интерес в элементарной алгебре. Так, например, совершенно отсутствуют упражнения на прогрессии, суммирование арифметических рядов, нет примеров элементарного суммирования бесконечных рядов, в отделе, посвященном комбинаторике, отсутствуют задачи на доказательство тождеств; было бы полезно дать большее число примеров на доказательство замечательных неравенств.- Параграф, посвященный логарифмическим и показательным уравнениям, несколько менее обработан, чем прочий материал.

Рассуждения на стр. 58 о том, будет ли корнем уравнения число, при котором числитель и знаменатель уравнения вида

обращаются в нуль, крайне неясны, а, между тем, недостаточно отчетливое понимание этого вопроса ведет нередко к грубым ошибкам, и здесь следовало бы со всей отчетливостью и полнотой дать необходимые разъяснения.

В целом книга написана на высоком идейном уровне, отдельные ее недостатки легко

исправимы. Задачник Кречмара может быть использован учителем при подборе упражнений как для занятий в классе, так и для работы математических кружков.

Бонавентура Кавальери —«Геометрия», т. I. Перевод со вступительной статьей и комментариями С.Я.Лурье. Государственное издательство технико-теоретической литературы. Серия «Классики естествознания», 1940, 412 стр., ц. в перепл. 15 р. 50 к.

Книга содержит перевод I тома труда Кавальери, знаменитого геометра XVII в.— «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного» с приложением «Опыта IV» из книги Кавальери «Шесть геометрических опытов». Книге Кавальери предшествует статья переводчика С. Я. Лурье — «Математический эпос Кавальери».

Имя Кавальери широко известно учителям и учащимся средней школы благодаря знаменитому принципу Кавальери, о котором обычно идет речь при выводе формулы объема пирамиды. Как известно, строгое обоснование принципа Кавальери выходит за рамки элементарной математики; оно требует применения интегрального исчисления. Конечно, в средней школе можно и совершенно не упоминать принципа Кавальери; если же учитель считает нужным о нем говорить, то следует это делать с большой осторожностью, чтобы благодаря отсутствию обоснования не оставить у учащихся чувства неудовлетворенности. Разумеется, что лучшим пособием, способствующим правильному пониманию принципа Кавальери, являются труды самого Кавальери. Однако чтение книги Кавальери без надлежащих комментариев представляет значительные трудности для современного читателя по следующим причинам.

Во-первых, математике нашего времени чужд типичный для античной математики ход рассуждений, основанный на методах геометрической алгебры.

Во-вторых, терминология и обозначения, употреблявшиеся в XVII в., значительно отличаются от современных. Современному математику, привыкшему к точности в употреблении терминов, может доставить затруднение отсутствие отчетливости в научной терминологии XVII в. Так, например, термин «фигура» означает и геометрическое тело и объем, т. е. число. Слово «линия» имеет троякий смысл: линия, прямая линия и отрезок прямой.

В-третьих, некоторые рассуждения не являются строгими и убедительными и, с точки зрения современного математика, могут быть квалифицированы как научные ошибки. Это и понятно, ибо математиками XVII в. далеко не было осознано все то, что ясно теперь. Так, например, утверждение, что процесс уменьшения некоторой величины должен когда-либо закончиться, с нашей точки зрения, было бы грубо ошибочным.

Вводная статья С. Я. Лурье и принадлежащий ему же комментарий, приложенный в конце книги, и ставят своей задачей дать современному читателю необходимые разъяснения для правильного понимания книги Кавальери.

В вводной статье освещаются исторические корни учения о неделимых, отношение современников Кавальери к его учению и дается критический разбор основных идей Кавальери с точки зрения современных научных концепций. В этой же статье содержатся краткие биографические сведения. В комментарии, приложенном в конце книги, даны разъяснения к отдельным местам текста.

Книга Кавальери может служить хорошим пособием для лиц, интересующихся историей математики. Хотя для чтения книги и не требуется специальной подготовки, однако предполагается, что читатель является математически достаточно развитым. Учащимся средней школы, интересующимся математикой, книга может быть рекомендована для чтения лишь под непосредственным руководством со стороны учителя.

Б. А. Тулинов и Я. Ф. Чекмарев — «Теоретическая арифметика». Учебное пособие для педагогических училищ. Учпедгиз, 1940, 199 стр., ц. в перепл. 2 р. 45 к.

Книга Б. А. Тулинова и Я. Ф. Чекмарева является учебником по теоретической арифметике для педагогических училищ. Книга содержит следующие основные разделы: четыре действия с натуральными числами, делимость чисел, дробные числа, теория отношений и пропорций и ее приложения. Изложению перечисленных вопросов предпосылается введение, в котором авторы останавливаются на основных понятиях арифметики (множество, мощность множества, число, натуральный ряд) и формулируют основные свойства натурального ряда (аксиомы Пеано).

В книге Тулинова и Чекмарева рассматриваются в подробном изложении основные вопросы обыкновенной, школьной арифметики. Отправным пунктом служат основные свойства натурального ряда чисел, затем вводятся определения арифметических действий. Установленные в общем виде свойства действий применяются в конце первого отдела к обоснованию правил арифметических действий над систематическими числами. В следующем отделе, посвященном теории делимости, авторы рассматривают вопросы о разложении чисел на простые множители, об общем наибольшем делителе и наименьшем кратном; при этом, вполне естественно, уделяется достаточное внимание обоснованию известных из элементарной арифметики признаков делимости чисел и уясняется общий принцип получения этих признаков. В следующем разделе авторы переходят к обоснованию теории дробных чисел. Понятия: «равно», «больше», «меньше» применительно к дробям, а также действиям над дробными числами вводятся по определению. Отправляясь от этих определений и теории натуральных чисел, строится вся теория дробных чисел. Такое построение вполне соответствует современной научной точке зрения. Следует отметить, что в последней главе, посвященной учению об отношениях и пропорциях, авторы не ограничиваются изложением самой теории, но в отдельном приложении рассматривают в общем виде (на буквах) методы решения арифметических задач. Это приложение представляет значительный интерес для учителей.

В целом книга изложена в научном отношении вполне корректно. Все рассуждения ведутся в общем виде, на буквах; числовые примеры употребляются для иллюстрации

теории. К числу достоинств книги как учебника следует отнести компактность изложения. Авторы, не вдаваясь в излишние детали, достаточно отчетливо и в меру сжато излагают основные вопросы теории.

Приступая к изложению действий над натуральными числами, авторы определяют действие сложения, основываясь на конкретном смысле операции объединения в одно множество элементов двух данных множеств, не имеющих общих элементов. Затем авторы вводят индуктивное определение Грассмана и, основываясь на нем, изучают свойства действий. Это может дезориентировать читателя. Знакомство с индуктивной теорией Грассмана весьма желательно для учителя, однако обоснование арифметических действий, с точки зрения операции над множествами, ближе к школьной арифметике, а потому в учебнике, предназначенном для будущего учителя, ему должно быть отдано предпочтение перед теорией Грассмана.

Нам представляется, что в пособии для учителей, в главе, посвященной теории дробных чисел, недостаточно ограничиться, как это делают авторы, формальным изложением определений, теорем и правил, но необходимо остановиться на конкретном смысле принятых определений и пояснить, почему именно эти определения целесообразны.

В главе, посвященной десятичным дробям, отсутствует, формулировка правила обращения периодических дробей в простые.

Книгу Тулинова и Чекмарева следует рассматривать не только как учебник для педагогических училищ,— она является ценным пособием для учителя в его повседневной работе и в работе над повышением своей квалификации. Потребность в книге, содержащей краткое и достаточно строгое изложение арифметики с рассмотрением свойств действий и теорем в общем виде (на буквах), весьма значительна. Книга Тулинова и Чекмарева может быть рекомендована ученикам старших классов, интересующимся математикой, а также лицам, готовящимся к сдаче экзаменов в высшие учебные заведения. Задачи, которыми можно пользоваться при изучении теоретической арифметики по книге Тулинова и Чекмарева, читатель найдет в задачнике Я. Ф. Чекмарева и С. В. Филичева «Сборник арифметических задач». Учпедгиз, 1939 (см. приложение I).

П. Г. Дзык — Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел. Пособие для учителей средней школы. Издание третье, под редакцией В. И. Милинского. Учпедгиз, 1940, 46 стр., цена 1 рубль.

В задачнике П. Г. Дзыка собрано значительное количество стереометрических задач на вычисление. Книга содержит задачи на комбинации многогранников и круглых тел (шар, цилиндр, конус) с прямыми, многогранниками и плоскостями. Задачи, в большинстве повышенной трудности, подобраны с тем расчетом, чтобы развить у учащихся пространственное представление. Книга снабжена ответами и указаниями к решению задач. При этом, указания даются общие, касающиеся целой группы задач, и к некоторым отдельным задачам. Развитие пространственного представления у учащихся — одна из основных задач школьного курса стереометрии, поэтому совершенно недостаточно ограничиваться только такими задачами, которые для своего решения требуют лишь подстановки в заученные формулы готовых числовых данных. Удачный подбор задач, требующих для своего решения геометрических соображений, задач, рассчитанных на понимание предмета и умение сознательно пользоваться известными учащимся геометрическими фактами, позволяет считать книгу Дзыка весьма ценным пособием для учителей средней школы. Задачник Дзыка может быть использован учителем при подборе интересных и содержательных задач для решения в классе и школьных кружках.

К ВОПРОСУ О ПОРЯДКЕ ДЕЙСТВИЙ

(в порядке обсуждения)

А. БАРСУКОВ (Москва)

1

Выход в свет нового учебника по алгебре, написанного крупными советскими учеными*, является, несомненно, далеко незаурядным событием в истории советской школы и советского учебника и не может не встретить самого сочувственного и благожелательного отношения со стороны нашего учительства и всей математической общественности.

В течение ряда лет наш учитель, особенно провинциальный (а таковых подавляющее большинство), имел перед собою единственное руководство по элементарной алгебре в лице стабильного учебника. Изданные ранее учебники давно разошлись, да они в подавляющем большинстве уже значительно устарели.

Такое положение, да еще при крайнем недостатке методической литературы, приводит к тому, что молодой, сравнительно малоопытный учитель привыкает смотреть на стабильный учебник, как на непреложный авторитет. Изложение учебника, его формулировки представляются ему единственно правильными и возможными за отсутствием объектов для сравнения; он не видит недочетов стабильного учебника (которые, конечно, есть), он сживается с определенными формулировками, с определенной формой изложения, что не может не отражаться на качестве преподавания и не явиться задерживающим моментом в деле повышения педагогического мастерства педагога.

* П. С. Александров и А. Н. Колмогоров —- «Алгебра», пособие лля средних школ, часть первая. М. Учпедгиз, 1939, 190 стр., ц. 1 р. 50 к.

Уже только с этой точки зрения новое пособие по алгебре вносит свежую, благотворную струю в работу школы, в педагогическую практику учителя-математика.

Если же присоединить к изложенному высокий научный уровень нового учебника, живой, часто приближающийся к разговорному язык его, доступность (за некоторыми исключениями) изложения, то становится понятным то теплое отношение, какое встретило, в основном, эту книгу наше учительство.

Что касается требований, в первую очередь методических, какие могут быть предъявлены к данному пособию как к руководству для учащихся, то с этой точки зрения громадный интерес представляет опыт группы учителей, ведущих в 1940/41 г. преподавание по новому учебнику.

Вообще книга, имеющая своей целью замену стабильного учебника, должна быть подвергнута детальному, кропотливому анализу со всех сторон, со всех точек зрения, чтобы заранее, до введения ее в школьный обиход в массовом масштабе, в ней были устранены все, хотя бы и очень мелкие, недочеты. Такой анализ должен быть дан и на страницах настоящего журнала.

Настоящая статья ни в коей мере не пытается осуществить эту задачу. Цель статьи — поставить в связи с выходом нового учебника на обсуждение математической общественности один вопрос, достаточно актуальный для школы, но не разрешенный до сих пор. Именно с появлением нового учебника по алгебре этот вопрос приобрел особую остроту, внес немалое смятение в учительские ряды, а потому требует быстрейшего, авторитетного и окончательного разрешения. Мы имеем в виду вопрос о порядке действий в арифметике и алгебре.

2

На стр. 9 нового учебника читаем:

«Во всякой записи действий над числами, в которой нет скобок, сначала производят возвышение в степень, потом умножение, потом деление (курсив наш. — А. Б.) и в последнюю очередь сложение и вычитание».

Вот взятая нами в курсив часть цитируемой фразы и внесла немалую сумятицу в среду педагогов, а частью уже и учащихся (там, где они обучаются по новому учебнику, и там, где преподаватель безоговорочно принял даваемую здесь установку и начал «переучивать» учеников).

Дело в том, что на всем протяжении курса начальной школы и при прохождении арифметики в V классе учащимся твердо и неуклонно преподается правило, что умножение и деление, как действия одной ступени (так же, как и сложение и вычитание), совершаются в порядке записи.

Конкретно, на числах, разница двух этих правил заключается в том, что с точки зрения принятой в школе формулировки будет правильным равенство:

48:6-4 = 32.

С точки зрения авторов учебника это равенство неверно, а верным будет равенство:

Разница, как видим, довольно «ощутительная».

Оставляя пока в стороне вопрос о большей «правильности» той или иной формулировки (об этом ниже), мы прежде всего поставим вопрос о том, правильно ли поступили авторы, давая без всяких оговорок это новое для школы правило о порядке действий.

Мы со всей убежденностью полагаем, что это было сделано неправильно. В самом деле, с одной стороны, вся советская учебная и методическая литература по арифметике и алгебре в один голос четко провозглашает «равноправность» умножения и деления, т. е. выполнение этих действий в порядке записи (с правом производить перестановку их, от чего результат не меняется). Приведем несколько примеров из наиболее распространенных учебников и учебных пособий.

1. А. П. Киселев — «Арифметика», под ред. проф. А. Я. Хинчина, стр. 46.

«Если в выражении, не имеющем скобок, указаны действия только одной ступени, то они производятся в том порядке, в каком написаны (слева направо)». И далее приводится пример:

400:4-5:2 = 250.

(С точки зрения проф. П. С. Александрова и проф. А. Н. Колмогорова здесь должно получиться 10.)*

2. Е. С. Березанская — «Методика арифметики», стр. 92:

«Если выражение, данное для вычисления, содержит только действия одной и той же ступени (первой или второй), то эти действия должны быть выполнены в той последовательности, в какой они записаны». И далее, пример:

16:4-2 = 8.

3. А. П. Киселев — «Алгебра», стр. 6: «Относительно порядка, в котором надо производить действия, указанные в алгебраическом выражении, условились: сначала производить действия высшего порядка, т. е. возвышение в степень и извлечение корня, затем умножение и деление и, наконец, сложение и вычитание».

Хотя здесь прямо не говорится об отношении между умножением и делением, но из текста ясно, что оно таково же, как между сложением и вычитанием или возвышением в степень и извлечением корня.

4. С. С. Бронштейн — «Методика алгебры».

Автор говорит об обеих формулировках, но добавляет: «Было бы естественно по аналогии со сложением и вычитанием условиться в производстве действий в порядке записи».

5. Б. А. Тулинов и Я. Ф. Чекмарев — «Теоретическая арифметика», учебное пособие для педагогических училищ.

В этой вышедшей в 1940 г. книге проводится та же линия, что и у цитированных выше авторов, причем доказывается теорема о коммутативности ряда умножений и делений (стр. 37):

* Аналогичная формулировка была и в предыдущем стабильном учебнике арифметики Попова.

(С точки зрения авторов нового учебника левая часть здесь равна — , а правая г- .)

Повторяем, речь идет здесь не о «правильности» той или иной формулировки и здесь не может быть поставлен вопрос о большем или меньшем авторитете того или иного автора. Речь идет о том, что в советской учебной литературе до сих пор общепринятым является правило, расходящееся с правилом, даваемым в новом учебнике.

Речь идет о том, что учащиеся начальной и средней школы, учителя, работающие в этих школах, учащиеся педагогических учебных заведений, готовящиеся к работе в школе,— вся эта многомиллионная масса детей и взрослых изучала определенное правило, применяет его в своей повседневной практике, и игнорировать этот факт, по нашему убеждению, авторы рассматриваемого учебника не имели права.

С другой стороны, нельзя было не учитывать и того, что имена авторов, крупных советских ученых, достаточно известны советскому учительству, пользуются среди него большой популярностью и авторитетом. Поэтому учителя (по крайней мере, в значительной их части), ознакомившиеся с новым учебником, не могли посмотреть на обсуждаемое здесь положение как на личную точку зрения авторов, которую учитель может принять или не принять. Несомненно, что многие учителя восприняли это положение как ломку прежнего, укоренившегося в учебной литературе и практике правила, как сигнал к «переучиванию» в новом направлении как самого себя, так и своих учеников. Приведем в доказательство этого хотя бы один, но достаточно крупный и показательный факт. Педкабинет одной крупной железной дороги уже составил для рассылки по школам проект специального «разъяснения», в котором указывает на «неправильность» принятого до сих пор порядка действий и рекомендует немедленно «выправить» это.

(Надеемся, что до разрешения этого вопроса в авторитетных инстанциях проект этот не будет разослан— об этом мы специально писали в педкабинет.)

Понятно, какую сумятицу в детские умы внесла бы такая ломка уже приобретенного определенного навыка.

Мы думаем, что и это обстоятельство должно было быть учтено авторами нового учебника*.

Значит ли, однако, все изложенное выше, что авторы должны были, учитывая фактическое положение вещей, просто отказаться от своей точки зрения и дать общепринятую формулировку? Конечно, нет! Авторы имели полное право давать и отстаивать ту формулировку, которую они признают более целесообразной, но при этом должно было быть оговорено, что такова именно точка зрения авторов, что эта точка зрения разделяется не всеми математиками, что в советской школьной практике принята как раз другая точка зрения. Тогда бы учитель не воспринял новое правило как единственно правильное, обязательное для математики и математиков, а «Киселев врет».

Могут возразить, что в учебнике должна проводиться лишь одна определенная точка зрения, чтобы не дезориентировать учащихся. Но в том-то и дело, что данный учебник, выпущенный пока пробным тиражом, адресован главным образом учителю на предмет суждения о нем и создания из него стабильного учебника уже для массового пользования.

3

Перейдем теперь к вопросу о «правильности» того или иного порядка действий. Именно в этой плоскости часто и ставится вопрос в спорах о том, какой порядок действий следует предпочесть. Однако мы считаем постановку вопроса в такой форме неверной.

Мы полагаем, что здесь речь идет и может итти не в плоскости «правильности» того или иного порядка действий с точки зрения математической теории, а в плоскости вопроса о большей целесообразности. И в учебниках и в учебных пособиях обычно указывается на условность принятого правила, на то, что оно является результатом, некоторого соглашения. Соглашение иного рода внесло бы некоторые изменения в порядок записи, в правила употребления скобок и только.

В этой плоскости и должен дискутироваться и решаться вопрос.

Мы считаем, что с этой точки зрения следует высказаться за порядок действий, до настоящего времени практиковавшийся в нашей школе. К такому заключению принуждают нас следующие (основные) мотивы.

1. Действия первой (сложение и вычитание) и третьей (возведение в степень и извлечение корня) ступени являются, так сказать, равноправными, совершаются в порядке записи. Какие теоретические или практические мотивы заставляют делать исключение для действий второй ступени?

2. С методической стороны принятый в школе порядок действий ценен тем, что дает ученику простое, понятное правило, удобное для запоминания и единое для действий всех трех ступеней. Внесение исключения для действий второй ступени ненужно усложняет правило и затрудняет его запоминание учащимися.

3. Обычное и излюбленное возражение против принятого у нас порядка действий заключается в «разрыве» между арифметикой и алгеброй. «В алгебре — при делении, например, 6а2Ь на dab и ученики и учитель не делят делимое на 3, а затем умножают результат на а и b, а просто делят 6а2Ь на произведение 2ab, что совершенно законно» (мы к этому присоединяемся безоговорочно). Но, говорят сторонники другого порядка действий, стоит заменить буквы числами как выступает на сцену арифметика с ее правилом о порядке действий, и результат получается совершенно неожиданный.

Мы считаем, что это возражение есть плод недоразумения.

* Отметим и такие, пока единичные, факты: в одной и той же школе один из параллельных классов обучается «по Киселеву», другой, «по Александрову и Колмогорову:». И вот два ученика из этих классов жарко спорят: чему равно выражение: 12:3 • 4, шестнадцати или единице?

Ведь всякому ясно, что при делении 6а*Ь на ЪаЬ мы делим одночлен на одночлен, т. е. произведение на произведение. Не наша вина, а вина буквенной символики в том, что мы не можем ни делимое, ни делитель изобразить одним числом или буквой. И когда ставится вопрос о нахождении численной величины приведенного выше выражения (допустим, при а = 5, 6 = 4), то это только значит, что надо найти при данных значениях букв численную величину делимого (600), делителя (60) и произвести над ними указанное действие. Если весь этот процесс должен быть показан в арифметической интерпретации, то это легко осуществляется:

6а2Ь: ЪаЬ = (6 . 52. 4): (3 • 5 • 4) = 600: 60 = 10.

Никакого, ни малейшего противоречия между алгеброй и арифметикой здесь и найти нельзя*.

4. В свете нашей концепции — рассмотрения данного вопроса с точки зрения целесообразности— приобретает немалое значение и аргумент, выдвинутый нами в предыдущей главе.

В самом деле, какие особые теоретического порядка аргументы можно выдвинуть в защиту новой формулировки? Их нет! Тогда выступает и практическая сторона вопроса: стоит ли в силу недостаточно обоснованных аргументов «перекраивать мозги» буквально миллионов людей? Стоит ли исключительно из еще не принятого условного соглашения пересматривать и «исправлять» всю существующую учебную литературу. Ведь в каждом задачнике для I—IV классов придется зачеркивать, например, такие задания:

15:3- 2,

так как с новой (для нашей школы) точки зрения в результате должно получиться дробное число (а с прежней точки зрения это выражение равно 10).

Наше глубокое убеждение: «игра не стоит свеч». Мы не видим аргументов, которые могли бы оправдать такую ломку.

Еще и еще раз подчеркиваем, что обсуждаемый в данной статье вопрос связан с учебником проф. Александрова и Колмогорова только потому, что этот учебник заострил, сделал животрепещущим, поставил в порядок сегодняшнего дня вопрос, тщетно до сих пор обсуждавшийся в педагогической среде и не получавший разрешения.

Мы уделили этой теме большое внимание и место в журнале только потому, что этот вопрос — чисто практический — глубоко задевает каждого учителя.

Мы считаем, что этот вопрос должен быть разрешен Наркомпросом в ту или иную сторону, разрешен немедленно, до начала учебного года.

Мы полагаем, что в первую очередь должна высказаться математическая секция Научно-методического совета Наркомпроса. Затем Наркомпрос должен дать определенную директиву на места и покончить с неопределенностью в этом вопросе.

4

И совсем уже попутно коснемся еще одного нововведения авторов нового учебника, которое до сих пор не имело места в нашей учебной литературе и школьной практике и которое мы также не можем признать целесообразным, хотя бы уже с методической точки зрения.

На стр. 7 учебника читаем:

«Знак ^ обозначает не меньше. Если одно число не меньше другого, то оно или больше или равно этому другому числу. Например:

В обоих случаях можно писать:

Наконец знак ^ обозначает не больше. Если одно число не больше другого, то оно или меньше или равно этому другому числу. Например:

в обоих случаях можно писать:

Мы в школьной практике настойчиво внушаем учащимся ту истину, что для любых двух вещественных чисел непременно верно одно, но и только одно, из соотношений:

и это положение применяем на протяжении всего курса (например при решении числовых неравенств и пр.).

Мы говорим, что когда речь идет о числах неопределенных, выраженных буквами и ничем не обусловленных, то мы можем писать:

или, при определенных условиях:

Но как только место букв заступают числа, то во всех случаях остается только один знак. Символика авторов нового учебника расходится с этой установкой.

Мы полагаем, что ученика VI класса трудно убедить в целесообразности этой символики. Для них положение, что «пять меньше или равно семи», несомненно, покажется по меньшей мере странным.

Далее, если, с точки зрения авторов, совершенно законны и правильны оба следую-

* В предисловии к книге авторы говорят: «Рекомендуемый в § 3 порядок действий в одном случае отличается от указываемого в учебниках арифметики... Мы считаем, что соответствующее изменение должно быть сделано и в учебниках арифметики». Отсюда, кик будто бы, можно заключить, что в алгебре рекомендуемый авторами порядок является общепринятым. Как мы видели, в стабильном учебнике алгебры (а также в наиболее распространенных дореволюционных учебниках Давыдова, Малинина и Буренина) этот порядок совпадает с принятым в арифметике.

* См. также статью тех же авторов в настоящем журнале № 2 1941 г., стр. 4.

щие выражения:

1000^1000 и 1000 < 1000,

то совершенно законно будет и соединение этих неравенств, после чего получим:

Нецелесообразность (по крайней мере) такого выражения едва ли может подвергаться сомнению. (Отметим, что оно не встречается и в новом учебнике.)

А главное, принятая авторами символика не вносит никаких теоретических или практических улучшений или упрощений в дальнейшее изложение курса.

Наконец, для терминов «не больше» и «не меньше» достаточно проникли в практику соответственно символы и которые не вызывают никаких возражений с точки зрения логики;

Совершенно понятно, что все изложенные соображения не только не снижают, но просто не затрагивают научного уровня книги. В обоих случаях, как мы это старались показать, речь идет о большей или меньшей целесообразности того или иного условного соглашения.

НОВЫЕ КНИГИ ПО МАТЕМАТИКЕ

В. А. НЕВСКИЙ (Москва)

I. НАУЧНАЯ ЛИТЕРАТУРА И УЧЕБНИКИ

Афанасьев Б. С, доц.—Унификация изображений и обозначений эпюрных построений по начертательной геометрии. (Новочеркасский индустриальный институт им. Серго Орджоникидзе.) Новочеркасск, 1940, 8 стр., с черт., 200 экз.

Содержание: I. Общие указания. II. Проектирование точки, прямой и плоскости. III. Методы начертательной геометрии (метод вращения, метод совмещения, метод замены плоскостей проекций). IV. Пересечение тел прямой, плоскостью и между собою. V. Проектирование винтовой линии и поверхности.

Бюшгенс С. С.— Диференциальная геометрия. Утвержд. ВКВШ в качестве учебника для гос. университетов. М.—Л., Гостехтеоретиздат, 1940, 300 стр., ц. в перепл. 9 руб., 10 000 экз.

«Ставя себе задачей дать учебник по диференциальной геометрии для студентов III семестра математического факультета университетов, я стремился,— говорит автор,— к наиболее доступному изложению, лишь постепенно усложняющемуся по мере продвижения вперед». По своему содержанию учебник несколько выходит за пределы существующей программы курса.

Георгиев Л. Г.— Сборник арифметических задач для самообразования учителя. (Ленинградский обл. институт усовершенствования учителей.) Л., 1940, 98 стр., ц. 3 руб., 3 000 экз.

«Назначение книги в том, чтобы быть пособием для учителя, самостоятельно занимающегося арифметикой с целью расширения и углубления своих знаний и навыков главным образом в решении задач». Книга содержит 588 арифметических задач различной степени трудности.

Гурвиц Л. Е.— Хозяйственные вычисления. Сокращенный курс. 2-е исправ. издание. (ЦУНХУ Госплана СССР, Управление подготовки кадров счетных работников. Московский межобластной учебный комбинат. Сектор заочного обучения.) М., Бланкоиздательство, 1940, 200 стр., ц. 8 р. 50 к., 3 130 экз.

Содержание: Дроби. Метрическая система мер. Вычисления площадей и объемов. Рационализация вычислительной техники. Счетные таблицы. Конторские счеты. Арифмометр. Отношения и пропорции. Вычисления средних величин. Вычисления процентов. Товарные вычисления.

Делоне Б. Н. и Фаддеев Д. К.— Теория иррациональностей третьей степени. (Труды математического института им. В. А. Стеклова, XI) М.—Л., изд. Академии наук СССР, 1940, 340 стр., ц. 30 руб., 1 000 экз.

«До сих пор в математической литературе не существовало монографии по теории кубических иррациональностей. Данная книга заполнила этот пробел».

Ежегодник диссертаций 1937 г. Год издания 2-й. М., изд. Всесоюзной книжной палаты, 1940, 172 стр., ц. в перепл. 20 руб., 2 500 экз.

На стр. 3—8 указаны диссертации, представленные в 1937 г. во всех научных учреждениях СССР по математике и физике.

Каменев В. И., проф.— Курс начертательной геометрии. Метод ортогональных проекций, ч. I. М., Издательский сектор Всесоюзной пром. академии им. И. В. Сталина. 1940, 164 стр., 1 000 экз.

Автор поставил своей задачей изложить курс начертательной геометрии с наибольшей простотой и ясностью и тем самым сделать его доступным для слушателей, обладающих пониженной предварительной подготовкой, не снижая при этом его теоретической углубленности.

Основные темы курса пояснены многочисленными чертежами и специальными моделями из бумаги: в отдельной папке к курсу приложены 116 отд. листов чертежей, брошюра «Рисунки моделей» (16 стр.) и 15 закроек для моделей.

Лазарев К. С.— Курс теоретической арифметики, ч. I. (Вологодский гос. педагогический институт им. В. М. Молотова.) Вологда, 1940, 44 стр., ц. 3 р. 25 к., 1 500 экз.

Содержание: I. Основные положения о делимости чисел. II. Признаки делимости чисел.

III. Общий наибольший делитель. Алгорифм Евклида. Общее наименьшее кратное.

Смирнов В. И., проф.— Курс высшей математики. Утвержд. ВКВШ в качестве учебника для физико-математических факультетов университетов, а также для технических вузов с повышенной программой. Л.— М., Гостехиздат, 1940, 10000 экз.;т. I, изд. 10-е, 408стр., ц. в перепл. 11 р. 50 к.; т. II, изд. 8-е, 528 стр., ц. в перепл. 14 руб.

Шереметевский В. П.— Очерки по истории математики. М., Учпедгиз, 1940, 180 стр., ц. в перепл. 3 р. 25 к., 20 000 экз. (Библиотека учителя.)

Содержание: Первые элементы науки в древней Греции (VI и V вв. до н. э.). Период систематизации научного материала (IV в. до и. э.). Первые успехи количественного изучения явлений природы. Упадок античной науки. Восточная математика индусов и арабов. Период усвоения Европою античной и восточной науки (XII—XVвв.). Самостоятельные приобретения европейской науки в эпоху возрождения (XV—XVI вв.). Успехи механического объяснения мировых процессов в XVII в. Арифметика и алгебра XVII в. Аналитическая геометрия Декарта. Очерк развития анализа бесконечно малых в XVII в. Книга перепечатана с издания К<26 г.

Школьник А. Г.— Двучленные уравнения и задача деления круга. М., Учпедгиз, 1940, 68 стр., ц. 65 коп., 5 000 экз.

Вопрос о возможности деления окружности циркулем и линейкой на равные части дан в книге в вполне научном изложении, но достаточно общедоступным языком, в частности без применения теории групп.

II. МЕТОДИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА,

Иванов И. Г.— Опыт изготовления наглядных пособий и использования их на уроках стереометрии. Свердловск, Обл. институт усовершенствования учителей, 1940, 17 стр., ц. 1 рубль, 500 экз.

В книжке даны указания по изготовлению пособий по стереометрии из проволоки, фанеры, картона и стекла (из педагогического опыта автора).

Карханин И. А. — Решение геометрических задач на построение в VI—VII классах средней школы. Чернигов, Обл. институт усовершенствования учителей, 1940, 60 стр., беспл., в перепл., 1 000 экз.

В книге даны указания по решению задач на построение по разделам: «Параллельные прямые», «Параллелограммы и трапеции» и др., взятых из учебника геометрии А. Киселева.

Методический сборник по математике. Для учителей V—VI классов неполной средней и средней школы. Л., Обл. институт усовершенствования учителей, 1940, 102 стр., ц. 3 руб., 2 000 экз.

В книге помещены 3 статьи: 1) «Основные типы арифметических задач и методы их решения». 2) «Первая тема систематического курса геометрии». 3) «Целые одночлены и многочлены и разложение на множители».

Мрочек В. Р., проф.—Краткое руководство к вычислениям при помощи нормальной логарифмической линейки «Спяр». М.— Л., Гизместпром, 1940, 12 стр., 200 000 экз.

Книжка дает ряд практических указаний и примеров работы с логарифмической линейкой.

Пильман С. (методист НКП БССР).— Составление уравнений по условиям задач. Минск, Гизбел, 1940, 16 стр., ц. 40 коп., 5 000 экз.

«Предлагаемая работа намечает пути, как можно на алгебраическом материале в VII классе повторить арифметику и одновременно подготовить учащихся к важному вопросу программы этого класса — составлению уравнений по условиям задач».

Проспект учебных приборов и моделей для технических учебных заведений и рабочего образования. Математика и черчение. Л., Техучпособие — ВКВШ при СНК СССР, 1940, 34 стр., беспл., 300 экз.

В проспекте указано 36 учебных пособий по математике и 4 пособия по черчению.

Устный счет, рационализация вычислений и решение задач в общем в и д е. (Сборник статей.) Под ред. С. А. Умрейко. (Управление средней школы НКП БССР.) Минск, Гизбел, 1940, 68 стр., ц. 1 р. 20 к., 3 000 экз.

В сборнике помещены 4 статьи: 1. Устный счет и рационализация вычислений. 2. Устные вычисления и преобразования на уроках математики в средней школе. 3. Устные вычисления и преобразования на уроках алгебры, геометрии и тригонометрии. 4. Решение задач в общем виде в старших классах средней школы.

Хинчин А. Я.— Основные понятия математики и математические определения в средней школе. М., Учпедгиз, 1940, 52 стр., ц. 50 коп., 20 000 экз. (Библиотека учителя.)

Книга имеет своей целью помочь учителю «разобраться — для некоторых важнейших математических понятий — в вопросе о том, в какой мере и какими путями изучение их в средней школе может быть приведено в соответствие с их трактовкой, принятой в современной науке». Книга имеет три основные раздела: I. Понятие числа в средней школе. (Нуль. Дроби. Отрицательные числа. Рациональные числа. Иррациональные числа. Комплексные числа.) II. Понятие предела в средней школе. (Исторический очерк. Концепция предела в школе. Методические замечания.) III. Понятие функциональной зависимости в средней школе.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ в № 6 1940 г.

101.

Решить уравнение:

(1)

1. Перемножив первый множитель с четвертым, а второй с третьим, получим:

(2)

Обозначим:

(3)

Тогда из (2):

Подстановка в (3) дает:

(4) (5)

Решив кв. уравнения (4) и (5), найдем:

2. Сделав подстановку:

х- 1 = у; X =у + 1, по перемножении получим:

или: Отсюда:

Остальное ясно.

3. Можно было, перемножив множители левой части и перенеся в нее единицу из правой, разложить левую часть на два трехчленных множителя, но это путь более длинный.

102.

Решить уравнения:

(1)

(2)

зная, что они имеют один общий корень.

1. Если два многочлена имеют общий корень, то этот корень должен иметь и их общий наибольший делитель. Найдя последний обычным способом последовательного деления, получим:

О. H. D. = 2x + 3.

Его корень:

Следовательно, этот корень имеет и данные уравнения. Разделив оба уравнения (согласно теореме Безу) на х~\-~ (или, что то же, на 2х + 3), получим:

2. Умножив первое уравнение на 2 и вычтя из него второе, получим уравнение:

(3)

которое в числе своих корней имеет и общий корень данных уравнений. Но (3) имеет корни:

Легко видеть, что хА не является общим корнем уравнений (1) и (2), так как при подстановке его все члены (1) и (2), кроме последнего, делятся на 10, что невозможно. Итак, общий корень будет-— — . Далее по предидущему.

103.

Дан ДЛОС со своими сторонами a, b и с. Вычислить радиус круга, вписанного в треугольник, образованный перпендикулярами к сторонам данного треугольника, проведенными через его вершины.

Так как к каждой стороне данного треугольника АБС можно провести три перпендикуляра, проходящих через вершины треугольника, то общее число треугольников, удовлетворяющих условию задачи, равно 27. Четыре из них, образованные тремя высотами треугольника или тремя перпендикулярами, проходящими через одну вершину, вырождаются в точку, и радиус вписанного в каждой из них круга равен нулю. Все остальные треугольники, как легко показать, подобны

данному треугольнику ЛЯС (черт. 1), и среди них имеются равные треугольники, а именно:

(I) (II) (III) (IV) (V) (VI) (VII)

Треугольники AZB-CU AJBjChi A:ßAC« не имеют себе равных.

Обозначим через г радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, через г,, rs, r4» r.v re> ri — соответственно радиус окружности,, вписанной в один из треугольников групп (I), (II), (III), (IV), (V), (VI), (VII); радиусы окружностей, вписанных в окружности А9вцр19 Л,В3С5, Л5В,С3, обозначим соответственно через г8, гд, г10.

Стороны этих треугольников обозначим буквами а, Ь, с с соответствующими индексами.

Из рассмотрения прямоугольных треугольников ВААА, ВСС2, АССА находим коэфициенты подобия треугольников AABCS> Л3б4С, ABjCA по отношению к данному треугольнику ABC:

Далее:

откуда:

Теперь: отсюда:

Далее:

Поэтому

Замечание. Многие из решавших задачу не поняли ее содержания. Некоторые находили радиус круга, вписанного в треугольник, вершинами которого служат основания высот; другие — радиус круга, вписанного в треугольник, стороны которого равны высотам данного треугольника. Большинство решивших задачу рассматривали только один случай из 27 возможных. Полное решение задачи прислал только один т. Шебаршин М. (Медвежегорск).

104.

Решить систему уравнений:

(1) (2)

1. Положим:

(3)

тогда (1) и (2) примут вид:

или:

(4) (5)

Разделив (5) на (4), получим:

Подставив значения / в (4) найдем:

Подстановка в (3) дает:

Комбинируя знаки х и у, получим 4 решения.

2. Беря за скобку в (1) получим:

Делим (7) на (6):

Отсюда:

(8)

После подстановки в (2), получим:

и далее по подстановке в (8): У = ±8.

105.

Решить систему уравнений:

(1)

(2)

и соответственно:

Приведем наиболее короткое решение. Из (1) имеем:

Отсюда:

(4)

(5)

Уравнения (4) и (2) дают:

Уравнения (5) и (2) дают:

106.

При каких рациональных значениях х выражение у = \/гх2 — X+ 1 будет иметь рациональные значения?

1. Положим:

(1)

тогда:

(2)

Из (2) видим, что при всяком рациональном значении t ^не равном, —2)' х получает тоже рациональное значение. Следовательно, рационально будет и х +tt т. е. (1).

2. Положим:

тогда:

При всяком рациональном значении t (не равном 1) значения ху а следовательно, и 1 + tx, т. е. |/ X2 — X + 1,будут рациональны.

Легко видеть, что выражения (2) и (4) будут давать одни и те же значения для х, но, вообще говоря, при различных значениях t и /1# Действительно, дав во (2) t произвольное рациональное значение и вычислив х, подставим значение последнего в (4). Решив полученное уравнение относительно tx найдем соответствующие значения tv дающие то же значение для х, что и в (2).

107.

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на части, равные х и у.

Определить площадь треугольника.

По условию задачи и свойству касательных (черт. 1):

Положим: тогда:

Искомая площадь 5 треугольника равна:

(3)

(1)

Но по теореме Пифагора:

Подставив в (1), получим:

Замечание. Редакция получила очень большое число верных решений, но зо многих случаях предложенные решения были крайне громоздкими.

108.

Доказать тождество:

(4)

(3)

(7)

(6)

1. Преобразуем правую часть:

т. е. пришли к выражению в левой части.

2. Еще проще применить подстановку:

Тогда левая часть примет вид:

правая часть:

что и доказывает тождество.

109.

Из верхних вершин квадрата на его основание опущены две наклонные, причем сумма проекций этих наклонных на основание равна диагонали квадрата. Найти зависимость между углами, образованными каждой из наклонных с соответствующей боковой стороной квадрата.

Пусть а ир — углы, образованные наклонными с соответствующими боковыми сторонами квадрата (черт. 1) и а — сторона квадрата. Проекции НА и FD наклонных и диагональ АС квадрата будут равны соответственно:

По условию:

110.

Решить систему уравнений:

Данные уравнения можно представить в следующем виде:

(1) (2) (3)

Сложим эти уравнения, беря за скобки первый множитель. Получим:

отсюда:

(4)

Тогда (1), (2) и (3) примут вид:

(5)

(б) (7)

Сложив (5), (б), (7) попарно и разделив результаты на 2, получим окончательно:

Это — наиболее короткое и простое решение. Большинство из присланные решений отличается невероятной длиннотой.

111.

Упростить выражение:

В задаче допущена опечатка (перед вторым членом стоял знак минус), которая, однако, всеми решавшими была исправлена.

1. Преобразуем подкоренное выражение:

Тогда данное выражение примет вид:

2. Предыдущий способ требует некоторой догадки в выборе подходящей группировки членов в подкоренном выражении. Можно дать аналитическое решение (никем из приславших решения дано не было), последовательно приводящее к искомому выражению.

Чтобы из подкоренного выражения извлекся кубичный корень, оно должно быть кубом некоторого выражения. Попробуем представить его в виде куба разности (так как один из членов отрицателен) двух членов:

Отсюда, имеем:

или:

(1) (2) (3)

Разделив (2) на (3), получим:

Подстановка из (4) в (1) дает:

и из (4):

Итак, подкоренное выражение равно:

112.

Упростить выражение

1. Преобразуем подкоренное выражение

Отсюда, данное выражение равно:

2. Применим тот же способ, что и в предыдущей задаче. Так как в подкоренном выражении более трех членов, то попробуем представить его в виде суммы трех радикалов:

Отсюда:

(Так как правая часть симметрична относительно х, у> 2, то безразлично, какие радикалы правой и левой части мы приравняем друг другу.)

После упрощений:

(1)

(2)

(3) (4)

Разделив (3) на (2), получим:

(5)

Умножив (5) на (4):

(Понятно, что берем только положительные значения.)

Тогда из (5): и из (1)

Подкоренное выражение принимает вид:

113.

Упростить (привести к логарифмическому виду) выражение:

(1)

Наиболее короткое решение: заменяет sec и esc через cos и sin.

114.

Доказать, что при целых значениях х и у численное значение выражения:

(1)

делится на 216. Разложим (1) на множители:

(2) (3)

Итак:

(А)

Так как 216 = 2333, то покажем сначала, что (4) делится на 23 — 8.

Действительно, при х четном х2 делится на 4 и X2 4-2 делится на 2.

При X нечетном оно может иметь лишь вид 4k+ \; в обоих случаях один из множителей произведения (х-j-1) (де — 1) делится на 4, другой на 2.

Покажем теперь, что (4) делится на 3\

При любом целом у один и только один из множителей: v(y + 2) и 0> — 2) делится на 3.

При jc = 3fc множитель х2 делится на 9.

При X — 3£ ± 1 один из множителей: (де — 1 ) и(*+1) непременно делится на 3. Кроме того, в обоих случаях (х2+2) делится на 3, так как

(4)

Итак, при любых целых значениях х и у выражение (4), а следовательно, и (1) делится на 2'.33=216.

115.

Сумма цифр трехзначного числа 7. Доказать, что необходимое и достаточное условие делимости этого числа на 7 — одинаковость цифр десятков и единиц.

1. Докажем необходимость указанного условия. Обозначим цифры десятков и единиц через X и у. Тогда по условию число сотен равно 7 — х — у. Данное число примет вид:

(1)

Для того, чтобы N делилось на 7 необходимо, чтобы х—у делилось на 7. Но так как по условию х<7 и j/<7, то это может быть лишь при X—у = 0, т. е. при х—у.

2. Докажем достаточность условия. Пусть

тогда:

что и доказывает предложение.

116.

Построить треугольник по b и с, зная что А = 2В.

Пусть ABC— искомый треугольник: АС = Ь, АВ-=с, А = 2В.

Продолжим В А на отрезок AD = Ь. В равнобедренном треугольнике CAD /_D — £_C и каждый из них равен половине внешнего угла ВАС, т. е. равен углу В. Следовательно, Z^D—^B и треугольник BCD также равнобедренный.

Отсюда построение: на прямой откладываем отрезки AB — с и AD = Ь. Из середины Е отрезка BD восставляем перпендикуляр ЕС и засекаем его из точки А как из центра дугой радиуса Ь; точка С пересечения есть третья вершина искомого треугольника ABC.

Чтобы задача имела решение, необходимо и достаточно, чтобы было

Итак, должно быть 26>|с — Ь\. Это неравенство заведомо выполняется, если Ь^с, тогда оно принимает вид 2b^b — с, или: ô-f с>0. Если же 6<с, то неравенство принимает вид2£>с— Ь, или 36> с. Так как из Ь^с следует 3&>с, то оба случая можно объединить: задача имеет решение при условии ?>Ь > с.

Второй способ решения. Из подобия треугольников ACD и CBD (оба равнобедренные с равными углами при основании) следует:

AD : DC — ВС : BD, или: b : а = а : (с + Ь). Следовательно, сторона а есть среднее геометрическое двух отрезков b и с+Ь. Построив его, остается построить треугольник ABC по трем сторонам.

Третий способ решения. Проведем CF II AB и BF под углом ABF, равным углу А, к стороне AB.

В равнобедренной трапеции ABFC АС -= BF == Ь. Кроме того, £ FCB = £ СВА = = FBC; следовательно, треугольник BFC равнобедренный wCF~BF—b.

Построение сводится к построению трапеции ABFC по четырем сторонам.

117.

Решить уравнение

(1)

Во втором члене допущена досадная опечатка, которая крайне усложнила (приводит к полному уравнению 4-й степени) сравнительно простую задачу: коэфициент при х был напечатан 17. Многие из приславших решение эту поправку внесли, другие просто пропустили задачу, поэтому из конкурса она исключается. Дадим решение задачи в исправленном виде.

Перенесем все члены в левую часть и разложим на множители подкоренные выражения:

(2)

отсюда:

получаем:

Возводим в квадрат:

Проверка показывает, что оба последних корня данному уравнению не удовлетворяют. (Они оба удовлетворяют уравнению:

118.

Решить систему уравнений:

(1) (2)

Сделаем подстановку.

(3)

Данные уравнения примут вид:

(4) (5)

Умножив (5) на 3 и сложив с (4), получим:

Отсюда;

(6)

где а — любой из трех кубичных корней из единицы. Уравнение (5) можно представить в виде:

ио (и+ t0 = 330, что после подстановки из (6) дает:

(7)

Решаем систему уравнений (6) и (7):

(8)

Подстановка из (8) в (3) дает:

Так как о может иметь три различных значения

то получаем всего шесть решений (для хиу одновременно надо брать одно и то же значение ^т).

119.

Построить треугольник по двум сторонам, зная, что сумма соответствующих им высот равна третьей высоте.

Пусть я, Ь9 с — стороны, и л„ hz, я3 — соответствующие высоты искомого треугольника. Тогда:

где S — площадь треугольника. Отсюда:

и, по условию: или:

отсюда:

Если а и Ь — данные стороны, то третья сторона строится как четвертая пропорциональная к отрезкам а + Ь, а, Ьу и по трем сторонам а, Ь, с строится треугольник.

120.

Решить уравнение:

(1)

По известным формулам имеем:

(2) (3)

(Легко, конечно, вывести эти соотношения и непосредственно, преобразовывая sin3^ = = sin (2х + х) и т. д.) По подстановке в (1), получим:

(4)

Так как cosx^O (иначе было бы х~ = 360° л ±90°, а из (3) и (1) вытекало бы, что одновременно и sin Ъх = 0, т. е. х = 60° л), то можем (4) разделить на cos3*:

(5)

но

В (5) примет вид:

или:

отсюда:

В большинстве случаев давались более сложные решения.

ЗАДАЧИ

41. Упростить, не прибегая к алгорифму Евклида, дробь:

42. Найти дробь, меньшую единицы, зная, что если из ее числителя вычесть 12, а к знаменателю прибавить 7, то полученная дробь будет вчетверо меньше дроби, которая получится, если к числителю искомой дроби прибавить 7, а из знаменателя вычесть 12.

43. Решить уравнение:

Найти геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению:

44. Дана дробь:

где а и Ь — числа взаимнопростые.

При каком условии члены дроби могут иметь общих делителей. Найти эти делители.

Определить а и Ь, если дробь равна —.

45. Доказать, не прибегая к делению, что многочлен:

делится на многочлен:

46. Определить углы треугольника, зная, что их тангенсы пропорциональны трем данным числам: а, ß, у.

47. Найти четырехзначные числа abed, в которых все четыре цифры различны и, кроме того, a+b = c+d; cd = 2ab—1.

48. Доказать, что при целом неотрицательном п число 2п~^2-Зп +5п — 4 делится на 25.

49. Решить в целых положительных числах уравнение:

И. Кастровицкий (Слуцк)

50. Решить в целых положительных числах уравнение:

И. Кастровицкий

51. Вычислить сумму ряда:

И. Кастровицкий

52. Доказать тождество:

В. Голубев (Кувшиново)

53. Точки Аи Ви С, — основания высот треугольника ABC, опущенных соответственно на стороны ВС, CA и AB. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из точки А, на высоты ВВХ, СС, и на стороны AB, CA, все четыре лежат на одной прямой.

О. А. Аракелян (Кисловодск)

54. Построить треугольник ABC, зная его угол А, медиану та и его площадь.

М. Шебаршин (Медвежегорск)

55. На стороне AB правильного треугольника ABC взята точка D и проведены DE \\ АС (точка Е на стороне ВС), CF || AB (точка F на стороне АС) и FG \\ ВС (точка G на стороне AB). При каком положении точки D на стороне AB площадь трапеции DEFG будет наибольшей?

Обобщить задачу.

Л. М. Лоповик (Млинок)

56. На плоскости через вершины А, В, С треугольника ABC проведены соответственно три прямые: DE, EF, ED, образующие треугольник DEF так, что |_ ACD = |_ ВАЕ = = \_CBF = у. Определить значение угла <р, при котором площадь треугольника DEF будет наибольшей.

М. Шебаршин (Медвежегорск)

57. Вписать в данную окружность трапецию, зная ее высоту и сумму или разность оснований.

(Заимствована)

58. В плоскости дан треугольник ABC. Плоскость повернута сначала на угол А вокруг точки А, затем на угол В вокруг точки В, наконец, на угол С вокруг точки С, после чего треугольник ABC занял положение A1BiCK Доказать, что треугольник ABC может быть переведен в положение А131С1 одним поворотом плоскости. Найти положение центра этого поворота и его угол.

( Заимствована)

59. Дан угол и вне его точка. Провести через эту точку секущую так, чтобы сумма двух отрезков, определяемых этой секущей на сторонах угла (считая от вершин), равнялась бы данной длине.

А. Фетисов (Москва)

60. В окружности дана хорда AB и ее середина М. Через эту точку« проведены еще две произвольные хорды PQ и P*QK Отрезки PQi и PiQ пересекают хорду AB в точках С и D. Доказать, что АС = BD.

А. Фетисов

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

Проф. П. С. Александров и академик А. Н. Колмогоров — Иррациональные числа —- 1

С. Н. Новоселов — Бесконечные пределы -— 16

С. В. Филичев — Страничка из математического словаря- 22

И. Н. Шевченко — Терминологический словарь - 26

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

Проф. И. Я. Депман — Древнейший вывод формулы синуса половинного угла----31

B. Минковский — Доказательство от противного и аксиома Татаринова ---32

О ПОДГОТОВКЕ К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ

П. Я. Дорф — Прикладные вопросы на уроках математики в средней школе -_ 36

Ф. Д. Кузин — «Тысячная» и ее применения .для определения дальности -. 43

Г. Владимирский — Каким должен быть чертеж преподавателя геометрии-- 45

О числе Tz -.- 50

К ПРИЕМНЫМ ИСПЫТАНИЯМ В ВУЗЫ

Л. Н. Грацианская-Дорошкевич — Недоработки средней школы по математике-——---- 51

Ю. А. Воскресенский — Требования к средней школе--, 57

ЗА ГРАНИЦЕЙ

Проф. И. Я. Депман — Математика в США и война______59

Л. Барановская — «Математическая атмосфера» в школе--61

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

C. И. Новоселов — Обзор новых книг-----64

A. Барсуков — К вопросу о порядке действий--66

B. А. Невский — Новые книги по математике---, 70

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 6 1940 г._____ 72

Задачи------—- 79

Сводка по № 5 1940 г.--2 стр. обл.

кино) 81-85, 89—91, 94, 95, 98, 100. Л. Иванов (Ипатово) 81, 82,85, 89, 91, 94, 95, 99, 100. Б. Кашин (с. Средний Убукун) 81, 82, 84, 85, 89, 91, 92, 94, 96, 98, 100. М. Кекелия (Бандза) 81-90, 92—98, 100. И. Киреев (Торбеево) 81, 82, 85, 89, 92, 94, 95, 98. М. Клейнер (Житомир) 81, 82, 84, 85, 98. И. Клейнман (Кривой Рог) 81, 82, 85. В. Клименко (Замостъе) 85, 89, 94. М. Климов (Дорогобуж) 81, 82, 84—86, 91, 93, 94, 96, 100. Б. Кобылин (Галич) 81—96, 98—100. К. Когос (Петрозаводск) 81, 82, 85, 91. Л. Козлов (с. Завьялово) 81, 85, 90, 100. С. Колесник (Харьков) 81—100. Г. Копылов (Днепродзержинск) 81—87, 91—93, 95, 96, 100. С Корнишкин (с. Турка) 81—89, 91—98, 100. Г. Корчагин (Устъкулом) 81—98, 100. Г. Костава (Кутаиси) 82, 85, 90, 92. А. Костовский (Мелитополь) 81, 83, 85, 91—94, 96, 98, 100. B. Крылков (Екатериновка) 81—83, 85, 95, 100. И. Кугай {Новоград-Волынск) 91, 95, 100. Ф. Кузнецов (?) 81, 82, 89, 91. М. Кулакова (с. Пречистое) 89, 91, 100. И. Курашев (ст. Юдино) 85, 90, 91. Я. Лановлюк (Каменка-Шевченковская) 81-83, 85, 89—92, 94, 95, 100. Лебедев (Обоянь) 81—83, 85, 86, 89, 95-98, 100. AI. Левин (Таганрог) 81—93, 95-98, 100. Я. Лифшиц (Гомель) 82, 85, 89. А. Логашов (Павловка) 81—93, 95—100. Я. Любочский (Старая Русса) 81-85, 89-92, 94, 98, 100. Р. Лядская (Синельниково) 81, 85, 91, 94. C. Макишан, П. Прус (Туничевский р.) 83, 94. 7*. Маджавидзе (Зестафони) 81—83, 85, 89—91, 94, 95, 98, 100. Я. Манукян (Ереван) 82, 85, 89—91, 94—96, 10Э. Е. Марчевская (Харьков) 83, 84, 87, 91, 93, 97, 98. Л. Меркулов (п. Билимбой) 81—86, 90—93. М. Месяц (Житомир) 81—87, 89—91, 93—96, 98, 99, 100. Метелицына (Михайлов) 81, 82, 85, 86, 91, 94, 96. Г. Миллер (Обердорф) 81, 82, 84, 96. Г Мискарян (Кировабад) 81—85, 87—91, 93, 95—98, 100. Ш. Михелович (Рига) 81—86, 89—93, 95—98. М. Мкртичян (Майкоп) 81, 82, 85, 90, 91, 94. Л, Могильницкий (Гайсин) 81—86, 89—100. О. Невгомонная (Ст. Деражня) 81, 82, 85, 91, 92, 96, 98. Д. Ойгенштейн (Черновицы) 81—86, 89—91, 94—98, 100. Л. Медведев (Панфилово) 81—84, 91, 95, 96, 98, 100. Б. Пеньковский (Казань) 81, 82, 85, 89, 91, 96, 98, 100. Я. Перевертев (Любимовская ср. шк.) 81, 85, 89, 91. Я. Пискленов (с. Марки) 82, 89, 95, 96. М. Подольский (Евпатория) 81, 82, 85, 91, 92, 99, 100. Я. Постников (Рязань) 81—83, 85, 86, 89—91, 94, 95, 98, 100. Р. Реннерт (Новогрудок) 81—86, 90, 91, 93-95, 98-100. Ф. Рыжков (?) 81—83, 85, 84, 90, 94. В. Саннинский (Сорочинск) 81-83, 85, 91, 94, 96, 100. Сеник (Калуга) 82, 85, 90, 91, 94. Д. Сенькин (Могилев) 82, 85, 91, Л. Синяков (Екимовичи) 81—83, 85, 89, 94, 95, 98, 100. Р. Срода (Астрахань) 89—91. Я. Сурин (Незнаево) 81-83, 85, 89—91, 94, 96, 100. Л. Твалавадзе (Сантредский р.) 85. Я. Титов (Казань) 81—96, 98, 100. М. Товстонов (ст. Корсун) 85. Б. Трипальский (Киев) 81, 83, 92, 100. Г. Троицкая (Орел) 83, 85, 89, 98. Л. Тунин (Калининдорф) 81, 83, 85-87, 98, 95, 96, 98, 100. Е. Ушомирский (Новоград-Волынск) 81, 82, 84, 85, 89—91, 94—96, 98, 100. В. Федоров (Березово) 81—85, 89-94, 96, 98. Фишер (Константиновка) 81, 82, 85, 89, 90, 92, 94, 96, 100. К. Филонов (Дорогобуж) 81—85, 89—100. Л. Хайруллин (Мензелинск) 82, 85, 90, 100. X. Хамзин (Стерлитамак) 81-87, 89—96, 98—100. С. Хафизов (Каракашлы) 81, 82, 94, 95. Е. Хвастовский (Сталинград) 81—85, 89, £0, 92—96, 98. Р. Чиракадзе (Кутаиси) 98. Я. Чучко (Орджоникидзе) 81, 82, 85, 87—92, 95, 96, 100. Л. Шафраненко (Лебедин) 81—85, 87—91, 94-96, 98. М. Шебаршин (Медвежегорск) 81—100. Э. Ясиновый (Березо-Балка) 81—85, 89—92, 94, 95, 99, 100. М. Юсупов (ст. Лукоянов) 81, 85, 89, 91, 95.

Отв. редактор А. Н. Барсуков

Адрес редакции. Москва, Орликов пер., 8, Учпедгиз, Периодсектор, журн. «Матем. в школе» А38113. Год издания восьмой Цена 1 р. 50 к.

Подп. к печ. 16/IV 1941 г. 5 п. л. 10,25 уч.-изд. л. Тир. 42 800 Зак. 313

18-я типография треста «Полиграфкнига», Москва, Шубинский пер., д. 10.