МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

2

1941

УЧПЕДГИЗ НАРКОМПРОСА РСФСР-МОСКВА

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

Проф. П. С. Александров и акад. А. Н. Колмогоров — Свойства неравенств и понятие о приближенных вычислениях ... .1

Проф. А. Я. Хинчин — О понятии отношения двух чисел..... 13

С. В. Филичев — Страничка из математического словаря ..... 15

И. Н. Шевченко — Терминологический словарь......... 17

МЕТОДИКА

3. Костина — Признаки равенства треугольников в связи с методом наложения.................,...... 21

О ПОДГОТОВКЕ К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ

Проф. М. Знаменский — Работы на местности в средней школе в связи с курсами геометрии и тригонометрии........28

Я. Герценштейн — Геодезические работы в средней школе .... 30

И. Кирнарский — Рациональные приемы быстрого умножения и деления........................... 39

К ВЕСЕННИМ ИСПЫТАНИЯМ

Преступная небрежность..................... 53

Л. Берман — Счет неполной средней школе........... 54

П. Дрига — Недочеты в^знаниях по тригонометрии у оканчивающих среднюю школу.................... 55

Письменные работы в десятых классах на выпускных испытаниях . 57

ЗА ГРАНИЦЕЙ

М. С. Бернштейн — «Новейшие достижения в преподавании геометрии» . . . ......................... 60

ХРОНИКА

Проф. И. К. Андронов — А. П. Киселев ............ 68

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

С. И. Новоселов — Обзор новых книг.......... . . 71

ЗАДАЧИ

Решение задач, помещенных в № 5 за 1940 г......... 72

Задачи............................. 78

Сводка по № 4 1940 г....................... 79

Итоги конкурса за 1939 г.................... 80

Отв. редактор А. И. Барсуков

Адрес редакции: Москва, Орликов пег., 3, Учпедгиз, жури. «Матем. в школе*.

А35196. Год издания восьмой Цена 1 р. 50 ь.

Подл, к печ. 28 Ii 1941 г. 5 п. л. 9,74 уч.-изд. л. Тир. 42 800 Зак. 43

18-я типография треста «Полиграфкнига», Москва, Шубинский пер., д, 10

Пролетарии всех стран, соединяйтесь!

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

2

1941

март -апрель

год издания восьмой

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

СВОЙСТВА НЕРАВЕНСТВ И ПОНЯТИЕ О ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ*.

Проф. П. С. АЛЕКСАНДРОВ, академик А. Н. КОЛМОГОРОВ (Москва)

§ 1. НЕРАВЕНСТВА

Два алгебраические выражения, соединенные одним из знаков > (больше) или < (меньше), называются неравенством. Таким образом, каждое неравенство состоит из двух частей — левой и правой — и знака неравенства (> или <) между ними. Например, в неравенстве

-2<-1

левая часть — 2, а правая—1.

Если обе части неравенства содержат только определенные числа, то неравенство может быть только верным или неверным. Например, неравенство

— 11 <— 10

верно, если же в нем заменить —11 через —9, или через —10, то получилось бы неверное неравенство.

Если неравенство содержит буквы, то может случиться, что при одних значениях этих букв оно верно, а при других неверно. Например, неравенство

ö<a2

при 0 = 2 верно, а при а = — неверно.

Неравенства, верные при любых значениях входящих в них букв, называются тождественными неравенствами. Таково, например, неравенство

0+1 >ö.

В следующем параграфе мы установим четыре основные свойства неравенств.

Доказательство этих основных свойств неравенств можно проводить двумя способами — геометрическим или чисто алгебраическим. В первом Случае приходится опираться на геометрический смысл неравенств: а> Ьу если точка с абсциссой а лежит в положительную сторону от точки с абсциссой b и а<Ь, если точка с абсциссой а лежит в отрицательном направлении от точки с абсциссой Ь.

Во втором случае исходят из алгебраического определения смысла знаков > и <:

а>Ь в том и только в том случае, если разность а — b положительна; а<СЬ в том и только в том случае, если разность а — b отрицательна.

§ 2. ЧЕТЫРЕ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕРАВЕНСТВ

I. Если то и, обратно,

если £<я, то я>£.

Иначе говоря, а> b обозначает то же самое, что и Ь<Са. Геометрически этот факт очевиден, так как оба неравенства а>Ь и Ь<а выражают одно и то же геометрическое обстоятельство: точка с абсциссой а лежит в положительную сторону от точки с абсциссой Ь.

Чисто алгебраическое доказательство проводится следующим образом. Неравенство а>Ь обозначает, что разность а — b положительна. В этом случае разность

Ь-а = ^-{1 — Ь)

отрицательна, а это и значит, что b < а. Обратно, если 6 < я, то разность b — а отрицательна, в этом случае разность

a — b = —(b — а)

положительна, а это и значит, что а > Ь. Таким образом, действительно из а>Ь вытекает b < а и, обратно, из b < а вытекает а> Ь.

* Статья представляет собою главу из 2-й части учебника алгебры, подготавливаемого авторами к печати. Редакция просит отзывы и замечания по данной статье направлять в редакцию.

II. Если a>ô и ô>c, то a>c.

Геометрически это свойство неравенств очевидно: неравенства а> b и Ь> с обозначают, что на числовой прямой точка с абсциссой а лежит в положительную сторону от точки с абсциссой b, а эта последняя — в положительную сторону от точки с абсциссой с; ясно, что в этом случае точка с абсциссой а лежит в положительную сторону от точки с абсциссой с, а это и значит, что а>с (черт. 1).

Чисто алгебраическое доказательство тоже очень просто: если а> b и 6>с, то разности: а — b и b — с положительны, следовательно, и сумма этих двух разностей: (а—Ь) + (Ь — с) = а — с должна быть положительна, а это и значит, что а > с, что и требовалось доказать.

Очевидно, второе свойство неравенств можно записать также и так: если с < b и b<la, то с<а.

III. Каково бы ни было число Ь, если

а>а\ то а+Ь>ах +Ь.

Доказательство. По условию а>а1. Это значит, что разность а— а1 положительна. Следовательно, положительна также и разность

(a + b) — (al+b) = a — а\

Положительность же разности

(a + b) — (cfi + b)

и обозначает, что

Например:

из 2>1 вытекает: 2-[-3 ]>1+3, т. е.

5>4; из —2> —3 вытекает:

(_2) +4>(-3) + 4, т. е. +2>+1;

из —7>—9 вытекает:

(—7) -f (—10) > X—9)+(-10), т. е. -17>-19.

Можно третье свойство неравенств высказать и так: если а1 < а, то а1 ++ b <[ a + b. Например: из — 9 < — 7 вытекает —9+3<— 7 + 3,

т. е. —6<—4.

Словами третье свойство неравенств выражают так: если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то неравенство не нарушится.

VI. Если а>а! и ô>0, то аЬ>алЪ. Если а>ах и ô<0, то ab<alb.

Например, при положительном множителе Ь = 3 имеем:

из 4>2вытекает: 4-3>2-3, т. е. 12 > 6; из —2 > —4 вытекает

(—2).3>(—4)-3, т. е. — б> —12.

При отрицательном же множителе Ь = —3 получим:

из 4>2 вытекает 4-(—3)< 2 •(—3), т. е. —12 <— 6;

из — 2>—4 вытекает

(-2)+3)<(-4).(-3), т. е. -f 6<+12.

Для доказательства четвертого свойства неравенств рассмотрим отдельно случай, когда Ь>0 и случай, когда Ь<0.

1 ) Допустим сначала, что b>Q и а>ах. Последнее неравенство обозначает, что а — а*>0.

Рассмотрим разность

ab — alb = (a — al)-b.

Число (а — аг)-Ь как произведение положительной разности а — а1 на положительное число b положительно. Следовательно, положительна и разность ab — alb, т. е.

ab>alb,

что и требовалось доказать.

2) Допустим теперь, что Ь< 0 и а >аЧ В этом случае попрежнему:

а — ^Х), ab — a>b = (а — а1) Ь.

Число (а — а1) Ь, как произведение положительной разности а — а1 на отрицательное число b отрицательно. Следовательно, отрицательна и разность ab — axb, т. е.

ab<Ca1bt что и требовалось доказать.

Словами четвертое основное свойство неравенств можно высказать так: если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то неравенство не нарушится. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Замечание 1. В формулировке четвертого свойства ничего не сказано о случае £ = 0. Случай этот не представляет интереса, так как при b = 0 неизбежно ab = a}b

Замечание 2. Четвертое свойство неравенств в применении к пропорциональной зависимости

у = kx

обозначает следующее: если у изменяется пропорционально х, то в случае положительного коэфициента пропорциональности k при увеличении х увеличивается и у, в случае же отрицательного коэфициента пропорциональности k, когда х увеличивается, у уменьшается.

Замечание 3. Для случая положительных чисел установленные в этом параграфе свойства неравенств известны из арифметики Третье свойство в арифметике формулируется так: при увеличении одного из слагаемых сумма увеличивается. Первая часть четвертого свойства в арифметике формулируется так: при увеличении одного из множителей произведение увеличивается. Мы видели, что это правило, справедливое для положительных чисел (которые только и рассматриваются в арифметике), перестает быть верным, если не ограничиваться одними положительными числами. Полностью четвертое свойство неравенств может быть выражено так: произведение двух множителей при увеличении одного из них увеличивается, если другой множитель положителен, и уменьшается, если другой множитель отрицателен.

§ 8. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ НЕРАВЕНСТВ

Так как вычесть какое-либо число — то же самое, что прибавить противоположное число, то из третьего основного свойства вытекает:

Следствие 1. Если из обеих частей неравенства вычесть одно и то же число, то неравенство не нарушится. Иначе говоря, из неравенства

вытекает, каково бы ни было число ft, неравенство:

a—b>ax — b.

Например:

из 3>1 вытекает 3—2 > 1—2, т. е. 1>-1:

из —12<—11 вытекает —12—4<< — — 11—4, т. е. —16< —15.

Следствие 2, Если а>ах и b>bl> то

ö-f *>aV-f ft1.

В самом деле, из неравенства а>ау вытекает (в силу третьего основного свойства) неравенство

a + b>a1 + b, (1)

а из неравенства b>bl (в силу того же третьего свойства) вытекает неравенство

а}+Ь>а}+Ь*. (2)

Из двух неравенств (1) и (2) вытекает (по второму основному свойству) неравенство

а+Ь>о* + Ь\

что и требовалось доказать.

О двух неравенствах говорят, что они одинакового смысла, если в них обоих стоит один и тот же знак (или в обоих знак <[, или в обоих знак Содержание следствия 2 можно выразить так: неравенства одинакового смысла можно складывать почленно (левую часть с левой, а правую часть с правой). Например:

В силу четвертого основного свойства при умножении обеих частей неравенства на—1 знак неравенства изменяется на противоположный (число —1 отрицательно!). Умножить какое-либо число на—1, это значит переменить у него знак. Таким образом мы доказали:

Следствие 3. Если у обеих частей неравенства изменить знак на противоположный, то и знак самого неравенства изменится на противоположный:

если а> Ь, то — а < — ft.

Например:

из 5/>3 вытекает—5<—3; из — 1 < +2 вытекает +1 > —2.

Посмотрим теперь, что получится, если обе части какого-либо неравенства разделить на одно и то же число. Как известно, деление на какое-либо число равносильно умножению на обратное число.

Число обратное положительному положительно, а обратное отрицательному— отрицательно. Значит, деление обеих частей неравенства на положительное число можно заменить умножением их на положительное же число, а деление на отрицательное число — умножением на отрицательное же число. Поэтому имеем такое следствие:

Следствие 4. Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то неравенство не нарушится. Если обе наста неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Например:

Следствие 5. Неравенства одинакового смысла с положительными частями можно перемножать почленно. Например:

Для доказательства предположим, что в неравенствах

все четыре числа ö, о1, Ь и Ь1 положительны. Тогда, по четвертому основному свойству неравенств, имеем

откуда (по второму основному свойству)

аЬ>ахЬ1,

что и требовалось доказать.

Следствие 6. Если числа а и Ъ положительны, то из а>Ь вытекает, что

и вообще ап>Ьп при любом натуральном показателе п.

Это следствие выводится из предыдущего последовательным перемножением неравенства a>ö на самого себя.

§ 4. НЕРАВЕНСТВА, СОЕДИНЕННЫЕ С РАВЕНСТВОМ

Мы знаем, что для любых двух чисел а и b справедливо одно из трех утверждений:

или а больше b (a>b), или а равно b (a = b)y или а меньше b (a<b).

Если хотят сказать только то, что из этих трех утверждений верно которое-либо из первых двух, а третье заведомо неверно, то пишут:

а^Ь.

Запись а > b можно прочесть словами так: «а не меньше Ь», или так

«а больше, или равно Ь».

Оба эти выражения обозначают в точности одно и то же. Таким образом а^Ь можно писать как в том случае, когда а>Ь, так и в том случае когда а = Ь. Например, все следующие записи правильны: 1 001 ^ 1 002, 1000=^1000, 4 + 3<8, 4 +3<7,—8=^—7, (—1)2^1.

Точно так же запись: а^Ь обозначает «а не больше Ô», или (что то же самое) «а меньше или равно Ь».

Для обращения со знаками ^ и ^нет необходимости устанавливать особые правила. Все, что о них можно сказать, сводится к свойствам равенств и неравенств. Разбирая различные возможные здесь случаи, легко убедиться, например, что из а^Ь и Ь^с вытекает а^с, из а>Ь и Ь^с вытекает а>с,

из а^а1 вытекает a -f - b У? a1 + b, каково бы ни было число Ь,

из а^а1 и b^b1 вытекает

а + Ь^аг+Ь\ из а^а1 и b> Ь1 вытекает

a+b>ai + b1.

§ 5. ОЦЕНКА АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СУММЫ

Теорема. Каковы бы ни были числа а и Ь, справедливо неравенство:

(1)

Доказательство. Для доказательства теоремы надо вспомнить определение суммы двух чисел любого знака и рассмотреть несколько отдельных случаев.

а) Если числа а и b одинакового знака (оба положительны, или оба отрицательны), то абсолютная величина суммы а+Ь равна сумме абсолютных величин слагаемых:

б) То же самое равенство справедливо и в том случае, когда одно из слагаемых (или оба) равно нулю:

Мы видим, что во всех этих случаях неравенство (1) выполняется.

в) Остается случай, в котором одно из чисел а и b положительно, а другое отрицательно. В этом случае абсолютная ве-

личина суммы a + b равна разности абсолютных величин слагаемых, т. е. или

или

Разность двух положительных чисел | а \ и J b I всегда меньше их суммы. Значит, в разбираемом сейчас случае

т. е. неравенство (1) тоже выполнено.

Следствие 1. Каковы бы на были числа а и Ь,

В самом деле, разность а—b можно рассматривать как сумму a + (— b). К этой сумме можно применить доказанную теорему:

Следствие 2. Абсолютная величина суммы любого числа слагаемых не превосходит суммы абсолютных величин этих слагаемых, т. е. каковы бы ни были числа av а2, ...,яп, справедливо неравенство

§ 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЧИСЛА. ПОГРЕШНОСТЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ

Часто в вычислениях числа заменяют их приближенными значениями. Например, в вычислениях, не требующих слишком большой точности, число

X= 1,278931 заменяют его приближенным значением: 0 = 1,27,

или, что точнее, приближенным значением 0=1,28.

Разность между точным числом и его приближенным значением называется погрешностью этого приближенного значения. Например, если за приближенное значение числа х = 1,278931 принято 0=1,27, то погрешность равна

х-а = 0,008931.

Если же за приближенное значение того же числа х взять ^ = 1,28, то погрешность будет равна

х—Ь = — 0,001069.

Чтобы оценить точность приближенного значения, рассматривают абсолютную величину погрешности. Так, в нашем примере приближенное значение Ь= 1,28 считают более точным, чем а =1,27, так как абсолютная величина погрешности в первом случае меньше, чем во втором:

Число а называют приближенным значением числа х с точностью до h, если абсолютная величина погрешности X — а не превышает h, т. е. если

Например, оба приближенные значения ö=l,27 и &=1,28 можно считать приближенными значениями числа х= 1,278931 с точностью до 0,01, так как

Число b = 1,28 является для х = 1,278931 также и приближенным значением с точностью до 0,005, так как

Этого нельзя было бы сказать относительно числа ö=1,27, так как

Заметим, что в случае h < Ъ\ каждое приближенное значение с точностью до h является и приближенным значением с точностью до h1. Например, если про число а известно, что оно является приближенным значением числа X с точностью до 0,0005, то то же самое число а можно считать и приближенным значением х с точностью до 0,001, или до 0,005 и т. д. Заметим, наконец, что само число X является своим собственным приближенным значением при любой степени точности. Если, например, сказано, что х приближенно с точностью до 0,01 равно 3,17, то этим не исключается возможность, что в действительности X в точности равно 3,17.

§ 7. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ С НЕДОСТАТКОМ И С ИЗБЫТКОМ

Приближенным значением с недостатком какого-либо числа х называется любое число а, которое меньше х; приближенным значением с избытком числа х называется любое число а, которое больше X. Например, из процесса деления

видно, что

Таким образом, любое из чисел

12; 12,6; 12,67; 12,670; 12,6701

можно считать приближенным значением с недостатком для дроби

а любое число из чисел

13; 12,7; 12,68; 12,671; 12,6702, приближенным значением той же дроби с избытком.

Теорема. Если для какого либо числа х дано приближенное значение с недостатком а и приближенное значение с избытком Ь, то погрешность каждого из них по абсолютной величине меньше разности между ними, т. е.

Доказательство. Очевидно (х — а) + (Ь — х) = b — а. Так как здесь оба слагаемых и сумма положительны, то

X — a<db — a, b — x<b — а.

Заметим теперь, что для положительной разности X — а

а для отрицательной разности х — b Поэтому

что и доказывает теорему. Например, из

вытекает, что

т. е. числа 12,6 и 12,7 являются для дроби -приближенными значениями с точностью до 0,1. Подобно этому, легко убедиться, что 12,67 и 12,68 являются для той же дроби приближенными значениями с точностью до 0,01 ит. д.

Дальнейшие примеры.

1) Если известно, что

то как

так и

являются приближенными значениями числа у с точностью до

а так как

, то во всяком случае и с точностью до

2) Если известно, что

—0,00430 < X < — 0,00429,

то как а = — 0,00430, так и b =— 0,00429 являются приближенными значениями числа X с точностью до 0,00001, т. е.

§ 8. ПРИБЛИЖЕННОЕ СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ

Если слагаемые известны только приближенно, то и сумму можно найти только приближенно. Чтобы оценить точность приближенного значения суммы, вычисляют для суммы не одно, а два приближенных значения: одно с недостатком, а другое с избытком. Тогда будет известно, между какими пределами заключается точное значение суммы. Для этой цели пользуются тем, что, складывая приближенные значения слагаемых, взятые с недостатком, получают приближенное значение суммы тоже с недостатком, а складывая приближенные значения слагаемых с избытком, получают приближенное значение суммы тоже с избытком.

В самом деле, пусть

Почленным сложением неравенств получаем:

Пусть, например, известно, что

Требуется вычислить приближенно сумму х+хх и оценить точность полученного результата. Из установленного правила вытекает, что

или:

Так как

то оба найденные приближенные значения суммы (34,65 и 34,75) будут приближенными значениями с точностью до 0,1.

То же самое правило применимо и в случае, когда некоторые из слагаемых отрицательны. Например, из

вытекает, что

Можно не рассматривать отдельно приближенное вычитание, так как вычитание всегда можно заменить сложением, при этом надо помнить, что при перемене знака у какого-либо числа и его приближенных значений по недостатку и по избытку приближенное значение по недостатку превращается в приближенное значение по избытку и наоборот. Например, из

12,75<х< 12,80 вытекает, что

—12,80 <— X <—12,75.

Легко установить также следующее правило: вычитая из приближенного значения уменьшаемого по недостатку приближенное значение вычитаемого по избытку, получают приближенное значение разности по недостатку; вычитая из приближенного значения уменьшаемого по избытку приближенное значение вычитаемого по недостатку, получают приближенное значение разности по избытку. В самом деле, если

то из последнего неравенства вытекает, что

и, следовательно, по правилу сложения неравенств

§ 9. ПРИБЛИЖЕННОЕ УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ

Для случая умножения положительных чисел справедливо такое правило:

Если все множители и их приближенные значения положительны, то в результате перемножения приближенных значений множителей с недостатком получается приближенное значение произведения с недостатком, а в результате перемножения приближенных значений множителей с избытком получается приближенное значение произведения тоже с избытком.

Справедливость этого правила вытекает из того, что в случае положительных множителей произведение увеличивается при увеличении каждого из множителей.

Например, если известно, что 1,4237 <х< 1,4238, 0,6012<О<0,6012, то, по установленному сейчас правилу, 1,4237 - 0,6012 < X -у < 1,4238 • 0,6012,

или (после выполнения указанных умножений):

0,85592844 < ху < 0,85613094.

Замечание. Разность между найденными в предыдущем примере приближенными значениями по избытку и по недостатку для произведения ху равна 0,85613094 —0,85592844 = 0,00020250,

следовательно, для каждого из этих двух приближенных значений произведения ху может быть гарантирована лишь точность до 0,00020250, т. е. несколько меньше, чем до 0,0002. Поэтому нет большого смысла указывать эти приближенные значения со слишком большим числом десятичных знаков; целесообразнее сохранить в каждом из них не более четырех знаков после запятой. При этом надо помнить, что для того, чтобы получить из приближенного значения по недостатку вновь приближенное значение по недостатку же, можно его уменьшить (но нельзя увеличить), а для того, чтобы из приближенного значения по избытку получить заведомо приближенное значение по избытку же, можно его увеличить (но нельзя уменьшить).

Поступая таким образом в нашем примере, получим

Каждое из приближенных значений 0,8559 и 0,8562 произведения ху верно с точностью до

0,8562 — 0,8559 = 0,0003.

При делении положительных чисел пользуются таким правилом:

если делимое и делитель и их приближенные значения положительны, то в результате деления приближенного значения делимого с недостатком на приближенное значение делителя с избытком получается приближенное значение частного с недостатком, а в результате деления приближенного значения делимого с избытком на приближенное значение делителя с недостатком получается приближенное значение частного с избытком.

Справедливость этого правила вытекает из того, что в случае положительных делимого и делителя частное при увеличении делимого увеличивается, а при увеличении делителя уменьшается.

Например, если известно, что

то, по нашему правилу:

Производя указанные деления, получаем:

Вычислять эти два частные с большей точностью не имеет смысла, так как уже в третьем знаке они расходятся. Беря первое из них с недостатком, а второе с избытком, мы видим, что

Таким образом, частное х:у удается определить с точностью до

0,618 — 0,612 = 0,006.

§ 10. ДРУГОЙ СПОСОБ УЧЕТА ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

В двух предыдущих параграфах для оценки точности результата действий с приближенными значениями чисел мы вычисляли два приближенных значения этого результата: одно с недостатком, а другое с избытком. Такой способ, теоретически вполне удовлетворительный, требует больших лишних вычислений. Существуют более удобные на практике способы оценки погрешностей при приближенных вычислениях. Ими мы сейчас и займемся. Допустим, что вычисляя сумму

мы заменили слагаемые через их приближенные значения ах, а2, . .. , ап. Спрашивается, какова погрешность, получающаяся от замены точной суммы приближенной суммой:

Обозначим через

погрешности слагаемых. Тогда

Мы видим, что погрешность суммы равна сумме погрешностей слагаемых.

Если нас интересует только абсолютная величина погрешности, то, замечая, что

мы можем сказать: абсолютная величина погрешности суммы не превосходит суммы абсолютных величин погрешностей слагаемых.

Установленные сейчас правила относятся к любым алгебраическим суммам, независимо от того, будут их члены положительны или отрицательны. Поэтому для оценки погрешности при вычитании не требуется новых правил. Следует заметить, что при перемене знака у какого-либо числа и его приближенного значения абсолютная величина погрешности не изменяется. Если, например, мы вычислили, что с точностью до 0,001 дробь -\r ~ равняется +0,037, то мы можем быть уверены, что с той же самой точностью--- равняется —0,037.

Пусть, например, требуется вычислить с точностью до 0,005 сумму:

В силу сказанного выше ясно, что для этого достаточно вычислить каждое слагаемое с точностью до 0,001 и полученные

приближенные значения слагаемых сложить. В самом деле, если погрешности:

пяти слагаемых xv х2, лг3, х4, х5 не превзойдут по абсолютной величине каждая 0,001, то погрешность д1 +Д2 +Дз + д4 + д5 суммы #i+*2+*3 + *4 + *5

будет удовлетворять неравенству:

Чтобы определить каждое из слагаемых нашей суммы с точностью до 0,001, достаточно остановиться при делении на третьем знаке после запятой:

Разность между суммой

и искомой точной суммой не превышает 0,005. Таким образом, поставленная задача решена: с возможно меньшими вычислениями искомая сумма найдена с заданной степенью точности.

Так же, как это было сделано для суммы, можно алгебраически записать зависимость погрешности результата от погрешности данных и в более сложных случаях. Однако часто для этого оказывается удобным воспользоваться новым понятием относительной погрешности, которым мы и займемся в следующем параграфе.

§ 11. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ

Пусть при измерении расстояния между двумя городами и при измерении длины дома получилась одинаковая погрешность в 1 м. Погрешность по абсолютной величине в обоих случаях одинакова. Тем не менее, всякий скажет, что первое измерение (расстояния между двумя городами) произведено с очень большой и практически вполне достаточной точностью, а второе измерение (длины дома) очень неточно и для большинства практических целей не пригодно. В действительности нас обычно интересуют не абсолютные размеры погрешности, а ее отношение к самой измеряемой величине. Например, если расстояние между двумя городами равно 100 км, то погрешность в 1 м составляет всего одну стотысячную долю этого расстояния. Если же длина дома равна 20 м, то погрешность в 1 м составляет уже одну двадцатую измеряемой длины.

Обычно сравнивают абсолютную величину погрешности х — а не с абсолютной величиной самого точного числа х (которое обычно нам неизвестно), а с абсолютной величиной приближенного значения а, при этом пользуются таким определением:

Отношение абсолютной величины погрешности к абсолютной величине приближенного числа называется относительной погрешностью.

Например, при замене точного числа 104,381 приближенным значением 104,4 абсолютная величина погрешности равна

а относительная погрешность равна

Приведем здесь некоторые основные свойства относительной погрешности:

I. При сложении положительных чисел относительная погрешность су и мы не превосходит наибольшей из относительных погрешностей слагаемых.

Доказательство. Обозначим через аи att...,an приближенные значения слагаемых хх, x2,...txn и через Д, = х, — аи Д2 = х2 — att..., >±п = хп — ап, соответствующие погрешности. Пусть наибольшая из относительных погрешностей —равняется h.

Тогда

или:

Из этих неравенств вытекает, что

или

Последнее неравенство и выражает, что относительная погрешность суммы не превосходит h (ср. § 10).

В отличие от сложения при вычитании, даже в случае действий с положительными числами, относительная погрешность результата может оказаться в очень много раз больше относительных погрешностей данных. Например, заменяя числа 2,7825 и 2,7705 их округленными значениями 2,78 и 2,77, мы вводим в каждом случае относительную погрешность, меньшую 0,001. Заменяя же разность

разностью

мы получаем относительную погрешность, равную

При умножении и делении на практике пользуются такими правилами:

II. Относительная погрешность произведения не превосходит суммы относительных погрешностей множителей.

III. Относительная погрешность частного не превосходит суммы относительных погрешностей делимого и делителя.

Оба эти правила, в действительности, не вполне точны, а верны только приближенно.

Рассмотрим сначала умножение. Пусть при вычислении произведения ху множители х и у заменены их приближенными значениями а и Ь. Обозначим соответствующие погрешности через

Тогда:

и погрешность произведения равняется:

Относительная же погрешность произведения равняется:

1 <х I

В полученной сумме — есть не что 1*1

иное, как относительная погрешность первого множителя, а —— относительная погрешность второго множителя. Если обе эти погрешности малы, то их произведение

еще значительно меньше. Поэтому,

в случае малых относительных погрешностей (а этот случай и имеет место при сколько-либо точных измерениях и вычислениях), третий член нашей суммы

отбрасывают. Таким образом, получается, что относительная погрешность произведения не превосходит (приближенно) суммы относительных погрешностей множителей.

Прежде чем обратиться к обоснованию правила III, рассмотрим такой вопрос: если известно приближенное значение а числа х\ то естественно за приближенное значение обратного числа — принять —. Спрашивается, какова совершаемая при этом относительная погрешность.

По определению эта относительная погрешность равна

Так как | х \ приблизительно равняется | а „ то мы можем без большой неточности заменить в полученном выражении \х \ через

Получится-

а это есть не что иное, как относительная погрешность приближенного значения а для числа X. Итак, если х приблизительно равняется а, то относительная погрешность

при замене ^ через ^- приблизительно равна относительной погрешности при замене X через а.

Так как деление на любое число х можно заменить умножением на обратное число то правило III становится теперь простым следствием правила II.

§ 12. ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Пусть какое-либо число записано по десятичной системе счисления. Первую слева цифру в этой записи, которая отлична от нуля, называют первой значащей цифрой числа, следующую за ней вправо цифру (хотя бы она и была нулем) — второй значащей цифрой и т. д. Например, в числе

— 0,0000000190375

первая значащая цифра есть 1, вторая — 9, третья — 0 и т. д. При практических вычислениях, требующих ограниченной точности, бесцельно выписывать числа с чрезмерно большим количеством значащих цифр. Обычно при таких вычислениях в каждом числе сохраняют только какое-либо определенное количество значащих цифр, например, четыре, а все следующие заменяют нулями, если они стоят влево от запятой, и просто отбрасывают, если они находятся вправо от запятой. Напри-

мер, при вычислениях с четырьмя знаками числа:

записывают в виде:

При таком округлении чисел погрешность не превосходит по абсолютной величине одной единицы последнего сохраненного разряда. Например, если в числе

отбросить все цифры, начиная с пятой значащей цифры, то погрешность округленного числа

будет по абсолютной величине не больше 0,1.

Рассмотрим теперь, какова относительная погрешность, получающаяся при округлении чисел. Абсолютная величина самого числа не может быть меньше одной единицы первого значащего разряда. Единица второго значащего разряда в десять раз меньше, чем единица первого значащего разряда. Поэтому, сохраняя в числе первые две значащих цифры и отбрасывая следующие, мы допустим относительную погрешность, не превышающую одной десятой.

Подобным же образом при сохранении первых трех значащих цифр и отбрасывании следующих относительная ошибка не превзойдет одной сотой и т. д. Вообще, получаем такую таблицу:

Число сохраненных значащих цифр

Верхняя грань относительной ошибки

две

0,1

три

0,01

четыре

0,001

пять

0,0001

шесть

0,00001

Целесообразно в том случае, если первая слева из отбрасываемых цифр больше четырех, увеличивать последнюю сохраняемую цифру на единицу. Например, округляя число 0,0457893 с сохранением четырех значащих цифр, целесообразно писать 0,04579, а не 0,04578. Точно так же, округляя число 19,998701 с сохранением четырех значащих цифр, лучше взять 20,00, чем 19,99. При соблюдении этого правила верхняя грань возможной относительной ошибки уменьшается вдвое. Например, при определении по этому правилу с сохранением четырех знаков относительная ошибка не может превзойти 0,005.

Большинство технических расчетов вполне достаточно вести с сохранением четырех значащих цифр, или, как говорят: «с точностью до четырех знаков». Иногда ограничиваются и точностью до трех знаков.

Делать расчеты с большим числом знаков имеет смысл только в том случае, если сами исходные данные известны с очень большой точностью. Например, в астрономии точность наблюдений столь велика, что и расчеты часто приходится делать с семью знаками.

Говорят, что какая-либо цифра данного приближенного значения числа точная, если погрешность не превосходит по абсолютной величине единицы соответствующего разряда*. При округлении чисел при помощи отбрасывания лишних знаков последняя сохраненная цифра всегда бывает точной. Однако, например, при сложении округленных значений нескольких слагаемых последняя цифра суммы может уже оказаться неточной. Например:

При вычислениях с четырьмя знаками получим приближение

Здесь последнюю цифру приближенной суммы уже нельзя назвать точной, так как погрешность 0,00125 превосходит 0,001. Тем не менее, просто выбросить эту последнюю цифру суммы было бы невыгодно, так как сшибка в ней не велика. Такие цифры называют сомнительными и в вычислениях удерживают. Если вести сложные вычисления с каким-либо определенным числом знаков, то последняя цифра в результате может часто оказаться уже очень значительно отличающейся от правильной. Поэтому, если

* Не следует понимать это определение так, что точная цифра приближенного значения должна в самом деле совпадать с цифрой соответствующего разряда в точном числе. Например, если считать 1 000 за приближенное значение 999,87, то все четыре цифры приближенного значения точны

результат требуется, например, с точностью до четырех знаков, то вычисления ведут на пять знаков. Вообще, сколько-либо сложные вычисления ведут с числом знаков на единицу большим, чем число верных знаков, ожидаемых в результате.

Укажем теперь, как следует делать отдельные действия при вычислениях с данным числом знаков. Так как действия с отрицательными числами при их фактическом выполнении сводятся к действию с положительными числами, мы будем иметь далее в виду только положительные числа.

При сложении наибольшее слагаемое берется с требующимся числом значащих цифр, а во всех остальных слагаемых сохраняются только те разряды, которые сохранены в наибольшем слагаемом. После вычисления суммы в ней сохраняется требующееся количество значащих цифр. Например, сложение

производится при вычислениях с четырьмя знаками так:

и результат округляется до четырех знаков:

17,83

Четвертое слагаемое мы просто выкинули, так как в нем все нужные знаки — нули.

При вычитании необходимо иметь в уменьшаемом и вычитаемом столько знаков, чтобы разность получилась с требующимся числом знаков. Например, чтобы вычислить разность

с четырьмя знаками, необходимо в уменьшаемом и вычитаемом сохранить по восьми знаков:

В подобных случаях и все предшествующие вычисления, из которых получились уменьшаемое и вычитаемое, приходится вести с большим числом знаков (в нашем случае с восемью знаками).

При умножении в произведении следует сохранять лишь то количество значащих цифр, с которым ведут все вычисления. Например, в произзедении

при вычислениях на четыре знака сохраняются лишь первые четыре знака:

Существуют способы, позволяющие определить приближенное произведение со значительно меньшим количеством вычислений (не вычисляя совершенно напрасно цифр произведения, которые все равно будут потом отброшены). Здесь мы не будем останавливаться на этих способах.

При делении действие продолжают до тех пор, пока не получат требующегося числа значащих цифр в частном.

По окончании всех вычислений в результате отбрасывают взятую в запас лишнюю цифру по сравнению с требующейся точностью.

Изложенные правила не дают возможности с полной строгостью оценить ошибку результата. Обычно, после отбрасывания одной запасной цифры ошибка не бывает больше одной-двух единиц последнего сохраненного разряда (если, конечно, сами исходные данные вычислений не содержали в себе больших погрешностей). Если желательно совершенно строгое определение пределов возможной погрешности результата, то следует руководиться правилами, изложенными в § 8—11.

Замечание. Пpu вычислениях с каким-либо определенным числом знаков к числам, имеющим меньшее, чем требуется, количество значащих цифр, принято приписывать справа надлежащее количество нулей. Например, при вычислениях с четырьмя знаками числа:

записываются в виде:

О ПОНЯТИИ ОТНОШЕНИЯ ДВУХ ЧИСЕЛ*

ПРОФ. А. Я. ХИНЧИН

(Москва, Государственный институт школ)

Вопрос об определении понятия отношения в школьном курсе арифметики в последние годы вызывает в учительской среде много споров, в особенности с тех пор, как автор настоящей статьи в своей переработке известного курса Киселева, решительно порвав со старыми, более или менее пространными определениями, взял на себя смелость просто отождествить понятие отношения с понятием частного. Огромное количество откликов, вызванных этим шагом и в большинстве своем возражающих против него, несомненно, показывает, что в этом вопросе нет не только единодушия, но даже и полной ясности.

Чтобы достигнуть, по крайней мере» этой ясности, необходимо, прежде всего, отдать себе отчет в том, что школьная арифметика не есть математическая дисциплина в подлинном смысле этого слова. Если бы она была тем, что мы называем арифметикой в пределах математики, т. е. учением о числах и действиях над ними, то никакого спора не могло бы и возникнуть, ибо в области «отвлеченных» чисел (которыми только и занимается математически понимаемая арифметика) вряд ли кто-нибудь станет искать различия между отношением и частным; для тех, кто настаивает на необходимости этого различия, оно возникает там, где действия ведутся над именованными числами. Но математика вообще не знает понятия именованного числа; это понятие является порождением той физико-математической пропедевтики, которую на самом деле представляет собою школьная арифметика. Именно поэтому вопрос об определении понятия отношения, поскольку он вызывает дискуссию, не есть вопрос математический.

Большинство товарищей, возражающих против отождествления понятий отношения и частного, соглашается с тем, что всякое отношение есть частное, но указывает вместе с тем, что не всякое частное есть отношение, при этом по традиции говорится о «двух видах деления»: «по содержанию» и «на равные части». Только в первом случае говорят: частное есть отношение. Так, если мы хотим узнать, во сколько раз 10 кг превосходит 2 кг, то этот вопрос решается делением «по содержанию», и потому полученное частное есть отношение. Если же мы требуем разделить 10 кг на 5 равных частей, то эта задача решается делением «на равные части», и полученное частное отношением назвать нельзя. В частности, отсюда следует, что отношение всегда является числом отвлеченным.

Иначе говоря, с этой точки зрения частное является отношением тогда и только тогда, если делимое и делитель числа либо отвлеченные, либо однородные именованные.

Выясним прежде всего, что вся эта концепция лежит вне математики. Математика знает только одно единое деление. «Два вида деления» — это просто два типа конкретных, практических задач, решаемых одним и тем же действием — делением. Поэтому разделение всевозможных частных на два типа — являющиеся и не являющиеся отношениями — ничего общего с математикой не имеет и опять-таки должно быть отнесено за счет того физико-математического конгломерата, какой представляет собою наша школьная арифметика. Не математическая природа частного, а его смысловое значение в данной задаче решает, с этой точки зрения, вопрос о том, следует ли его называть отношением.

Таким образом, вопрос встает лишь о том, какое из двух определений понятия отношения следует предпочесть в школьном курсе арифметики — ограниченное, о котором только что мы говорили, или то более широкое, которое введено в последних изданиях курса Киселева и согласно которому всякое частное является отношением. Прибавим для ясности, что все другие встречающиеся «определения» (например «отношение есть результат сравнения» и т. д.) на самом деле вовсе определениями не являются, а дают лишь попытки описать роль и значение понятия отношения в приложениях. Большая часть этих описаний страдает многословием и неточностью выражений, вследствие чего помещение их в учебнике, а тем более, требование дословного их запоминания может принести только вред и служит ярким образцом той схоластичности, которой до сих пор еще, к сожалению, проникнуто в значительной степени преподавание математики в нашей школе; мы не

* В порядке обсуждения.

говорим уже о том, что большинство этих «определений» совершенно не доступно пониманию учащихся данного возраста и потому может быть подвергнуто зазубриванию, но не усвоению*.

При решении вопроса о том, которое из двух толкований термина «отношение» следует предпочесть — ограниченное или широкое, сторонники ограниченного определения часто ссылаются на древних, в частности, на Евклида. Может быть, незачем итти так далеко; в целом ряде гораздо более близких нам и даже современных теорий, особенно геометрических, термин «отношение» фигурирует именно в этом ограниченном смысле (например, отношение двух отрезков). Однако все это — теории, предметом (или, по крайней мере, первичным предметом) которых не является учение о числе—арифметика. Для античной математики вообще характерно, что в составляющем ее здании число не является первичным элементом, а возникает именно как «результат сравнения» конкретных величин («именованных» чисел), к которым и относится целый ряд математических понятий, в частности, понятие отношения.

В нашу эпоху, характерной чертой которой является «арифметизация» математики, т. е. придание понятию числа роли первичного элемента, дело обстоит иначе. Арифметические операции мы производим только над отвлеченными числами, и с этим актом абстракции, уничтожающим множество неясностей и недомолвок, мы знакомим наших детей очень рано (уже в учебнике Киселева, например, эта тенденция проведена с большой последовательностью). Именно поэтому современный математик или физик, имея перед собою выражение -7-, в подавляющем большинстве случаев совершенно независимо от имеющихся наименований (т. е. от конкретного истолкования чисел а и b в данной задаче) назовет его «отношением» а к Ь. «Ведь говорит же большинство физиков без всяких колебаний, что скорость равномерного движения есть отношение пройденного пути к протекшему времени**.

Что такое широкое понимание термина «отношение» характерно для современной науки, в этом не может быть никакого сомнения. Вопрос может стоять лишь о том, насколько это понимание возможно и целесообразно в школьном преподавании.

Наше желание — по мере возможности придать в школьном обучении каждому термину то значение, которое ему свойственно в современной науке, понятно и не нуждается в оправданиях. Здесь никакие ссылки на античные традиции не могут служить возражением, — и так уже слишком долго мы ориентируем наши школьные курсы математики на античные образцы, игнорируя весь прогресс науки — совершенно нетерпимое положение, давно уже преодоленное в других дисциплинах (физика, химия, биология). Единственное, что подчас мешает придать тому или другому понятию в школьном курсе его современно-научное толкование,—это трудность этого толкования, заставляющая искать путей к упрощению. В случаях же (в математике весьма нередких), когда научная концепция понятия проще и яснее традиционной — школьной, не может быть никакого оправдания для сохранения последней.

Ссылкой на традиции можно ведь (и, пожалуй, даже с большим основанием) защищать «ять» и «фиту»: однако, наша орфография с ними давно расправилась. Иногда диву даешься, сколько этих «ятей» сохранилось еще в школьной математике и какое отчаянное сопротивление вызывает борьба с ними!

Как же обстоит дело в нашем случае? Именно благодаря тому обстоятельству, что школьная арифметика уже отвоевала одну из важнейших позиций научной арифметики — производить действия только над отвлеченными числами, мы не можем встретить никаких затруднений, отождествляя, как это делает в подавляющем большинстве случаев современная наука, термин «отношение» с термином «частное». Вопрос о том, следует ли выражение

называть отношением, возникнуть не может, ибо само записанное действие не мо-

* См. по этому вопросу статью проф. Хинчина «О математических определениях в средней школе». «Математика в школе» № 1 1941 г.

** Строго говоря, это и подобные ему выражения имеют, конечно, кроме своего первичного, простейшего смысла (численное значение скорости равно отношению численных значений пути и времени) еще другой, более глубокий смысл для физики. Фактически для физики здесь происходит деление не только чисел, но и наименований, т. е., говоря языком физики, размерностей. Эта своеобразная арифметика размерностей, составляющая собою неотъемлемые элементы курса физики, может, однако, здесь быть оставлена без внимания, так как в пределах курса школьной арифметики она, безусловно, не может найти себе места.

жет встретиться. Может случиться, что мы встретим запись

(как это принято, например, в учебнике Киселева). Эта запись означает, что искомое число килограммов равно отношению числа 20 к числу 5. Такое истолкование этой записи со всех точек зрения совершенно безупречно. Если угодно говорить об отношении конкретных величин (например отрезков), то следует прямо определять его как отношение численных значений этих величин. Все становится тогда ясным до конца, и не возникает никакой надобности во введении нового, нематематического и потому не допускающего безупречного арифметического применения понимания термина «отношение». Таким образом, замена ограниченного толкования понятия «отношение» более широким (всякое частное есть отношение), с одной стороны, приближает школьную терминологию к современно-научной, а с другой стороны, несомненно, упрощает ее.

Вот из каких простых соображений мы и предложили расширенное понимание термина «отношение» при переработке «Курса арифметики А. П. Киселева».

СТРАНИЧКА ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО СЛОВАРЯ*

С. В. ФИЛИЧЕВ (Москва)

Агебраические числа — это числа, служащие корнями уравнения вида ахп + агхп~1 ...++ ап-\+ = 0, где л — положительное целое число, л, аи . . . , ап — рациональные числа и афО.

Алгебраические числа (действительные и комплексные) представляют собой числовое поле (корпус), т. е. сумма, разность, произведение, частное (деление на нуль исключается) всегда представляют собой алгебраические же числа.

Алгорифм — слово, происходящее от имени арабского математика IX в. Альхваризми (Мохаммед бен Муза аль-Ховарезми), в сочинении которого даны правила производства арифметических действий. Алгорифм соответствует русскому слову «обозначение». Теперь в понятие алгорифм вкладывают определенное математическое правило, указывающее приемы нахождения некоторого результата, не прибегая при этом ни к каким испытаниям в каждом частном случае, при этом правило не дает общего выражения (формулы) для результата. Например, говорят: алгорифм нахождения общего наибольшего делителя двух чисел последовательным делением, алгорифм десятичных дробей и т. д. Между прочим, нахождение общего наибольшего делителя путем разложения чисел на простые множители не будет алгорифмом, так как при разложении чисел на простые множители будет ряд испытаний о годности того или другого множителя. В настоящее время под алгорифмом разумеют всякий арифметический или алгебраический процесс, который выполняется по строго определенным правилам. Какая-нибудь задача будет решена, если для ее решения установлен определенный алгорифм.

Арифметика (от греческого -οφι3μ«ι — число и άριθμηπχή — наука о числах) — первая составная часть математики, изучающая числа, обыкновенно выраженные цифрами по десятичной системе счисления, и действия над ними. В настоящее время к арифметике относят учение о рациональном числе (числа натуральные, отрицательные и дробные), об иррациональном, комплексном и т. д. К арифметике же относят и комбинаторику (см. «Энциклопедию математических наук» на немецком или французском языках). К школьной, элементарной арифметике относят обычно: 1) натуральные числа и действия с ними, 2) дробные числа и действия с ними, 3) приложение целых и дробных чисел к практическим надобностям (действия с именованными числами, решение задач на пропорциональные величины, процентные вычисления и т. д.).

Первыми историческими математиками, излагавшими арифметику как науку, были греки: Эвклид (306—283 до н. э.), Никомах (I в. н. э.), Диофант (325-409).

Первая русская арифметика появилась в конце XVI в. Первой арифметикой, введшей арабские цифры в России, была арифметика Л. Магницкого (1703).

Биллион (от фр. слова billion) то же, что миллиард (от фр. слова milliard) — у нас и у французов число, равное 1 000 миллионов (109), а у немцев и англичан — число, равное 1 000 000 миллионов (1012).

Град —новая мера углов, введенная во Франции. Окружность делится не на 360, а на 400 равных частей, называемых градами, другими словами, прямой угол делится на 100 градов. Сотую часть града называют

* В названном разделе редакция журнала будет давать краткие объяснения терминов, понятий элементарной математики, краткие биографические сведения об известных математиках и пр

десятичной минутой, а сотую часть десятичной минуты называют десятичной секундой.

Один град составляет- или — градуса, или 54\ Один градус составляет -, или — града.

' — значок десятичной минуты, “ — значок десятичной секунды, G — значок града.

Инверсия (от латинского inversio — переворачивание): 1) нарушение нормального порядка двух элементов в перестановках. Известно, что из η различных между собой элементов можно составить Рп = 1. 2. 3... п — п\ различных перестановок. Порядок элементов в одной из них, выбранной произвольно, принимается за нормальный, например, если элементы обозначены одной буквой а с индексами, то нормальный порядок элементов будет тот, в котором индексы идут в порядке натурального ряда чисел: аха2ага^аьаь (п = 6). В перестановке из этих 6 элементов а2ахаьалаАал элементы я, и ö2, ах и аь образуют инверсии.

2) Инверсия в геометрии — особое преобразование точек плоскости или пространства. Пусть, например, имеем окружность с центром (О) и радиусом (R) и пусть M какая-нибудь точка плоскости. Точка Λί', соответствующая точке M по инверсии относительно окружности (О), определяется следующими условиями: 1° — М1 лежит на прямой ОМ; 2° — произведение ОМОМх = R2. Окружность (О) называется основной окружностью инверсии; центр О этой окружности называется центром инверсии, а постоянная величина /?2, равная квадрату радиуса окружности инверсии, — степенью инверсии. Инверсия преобразует каждую точку плоскости в точку той же плоскости. При R= 1 имеем: ОМОМ' = 1, или ОМ1 =----, т. е. расстояния от центра инверсии до инверсно-соответственных точек обратно пропорциональны, отсюда вместо слова «инверсия» говорят: «преобразование обратных радиусов». Понятие об инверсии применяется при решении геометрических задач на построение, например: 1) «Даны три окружности О,, 02 и 03, имеющие общую точку S. Построить окружность, касающуюся трех данных».

2) «Даны две окружности с центрами О, и 02, которые касаются в точке А. Приняв точку А за центр инверсии, построить фигуры, обратные данным окружностям».

Каноническая форма (греч. χανονιχόσ— составленный по правилам, нормальный) — форма принятая за образец, обычная, простейшая, например, говорят: 1) каноническая форма разложения составного числа на сомножители: 360 = 23·32·5; 2) каноническая форма трехчлена второй степени, в которую он может быть приведен и в которой ясно обнаруживаются его свойства:

3) канонические уравнения кривых 2-го порядка.

(эллипса);

(гиперболы).

Mножество — понятие первоначальное и не поддается логическому определению. Вместо слова «множество» употребляются слова: совокупность, многообразие, класс, комплекс, ансамбль.

Приведем примеры, разъясняющие смысл слова «множество»:

1) можно говорить о множестве жителей какого-нибудь города,

2) о множестве книг библиотеки школы,

3) о множестве всех прямых, проходящих через данную точку на плоскости или в пространстве,

4) о множестве натуральных, алгебраических чисел и т. д.

Рациональные треугольники: 1) прямоугольные, стороны которых выражаются целыми числами, например: 3, 4 и 5; 7, 24 и 25; 20, 21 и 29 и т. д. 2) косоугольные, стороны которых и площадь выражаются целыми числами, например: 13, 14, 15 и 84; 29, 25, 6 и 60 и т. д.

Решето Эратосфена — способ составления таблицы простых чисел, не превосходящих данного целого числа N, предложенный Эратосфеном (276—196 до н. э.). Этот способ состоит в следующем. Выписываются числа натурального ряда 1, 2, 3.. . N. Первое простое число будет 2. Потом вычеркивают из таблицы все числа, кратные 2, кроме самого 2. Первое из оставшихся чисел будет 3, оно простое. Далее вычеркивают из таблицы все числа, кратные 3, кроме самого 3, и т. д. Получим таблицу простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11...

Эратосфен писал числа на дощечке, покрытой воском, и так как он прокалывал дырочки над числами, которые делятся на 2, 3, 5,..., то дощечка уподоблялась решету, сквозь которое как бы просеивались числа кратные 2,3,5... Отсюда название способа —фешето Эратосфена.

Совершенные числа — это числа, которые равны сумме всех своих делителей, кроме самого себя, например, 6 есть число совершенное, так как сумма его делителей 1+2 + 3 — 6, число 28 — совершенное, так как 1 4- 2 + 4 + 7 + 14 = 28, точно так же 496, 8128, 33550 336 и т. д. Числа совершенные—все они числа четные. Неизвестно, существует ли хоть одно нечетное совершенное число. Все четные совершенные числа получаются по формуле Гаусса: N=2n (2n¥ï — 1) при тех натуральных значениях п, для которых (2n+l— 1) — число простое.

Содружественные (дружественные) числа— такие числа, у которых сумма делителей одного числа равна другому числу и наоборот, например, сумма делителей числа 220 равна 284 (1 + 2 + 4 f 5 + 10+ 11 +20 + 22 + 44 + 55+ 110 = 284), а сумма делителей числа 284 равна 220 (1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220), следовательно, числа 220 и 284 —содружественные числа. Точно так же числа 18 416 и 17 296 содруже-

ственные. Содружественных чисел существует бесконечное множество.

Трансцендентные числа (немец, transzendent и латинское transcendens—переходящий, переступающий, высший, превосходный)— такие числа, которые не могут быть получены при помощи алгебраического неприводимого уравнения вида ахп + я,лп ++ --Ып^Х + ап = 0, где я, а„ а2... аП9 рациональные числа, и — целое положительное число. Другими словами, трансцендентные числа не могут быть корнями алгебраического уравнения с рациональными коэфициентами. Термин «трансцендентный» введен Лейбницем (1646-1716). В 1873 г. Эрмит (Hermite) доказал трансцендентность числа е, а, в 1882 г. Линдеман (Lindemann) доказал трансцендентность числа тс.

Факториал (лат. factor — делитель, производитель), иначе — факультет — произведение последовательных чисел натурального ряда 1.2.3... п. Это произведение обозначается символом п!ч который читается так: и —факториал (факультет). Символом п\ пользуются главным образом в комбинаторике и при разложении функций в ряды.

Чебышев, П. Л. (1821—1894) — знаменитый русский математик, основатель «петербургской математической школы». Работал главным образом в области теории чисел, и его книга «Теория сравнений» представляет первое на русском языке систематическое изложение теории чисел. Чебышев всегда ставил и разрешал чисто математические задачи в связи с запросами практики.

Числа близнецы — пары простых чисел, отличающиеся друг от друга на 2, например, 11 и 13, 29 и 31, 107 и 109 и т. д.

Эратосфен (276—196 до н. э.) —греческий математик, астроном и географ, друг Архимеда. Эратосфен пытался определить размеры земного шара, занимался простыми и многоугольными (фигурными) числами.

ТЕРМИНОЛОГИЧЕСКИЙ СЛОВАРЬ*

И. Н. ШЕВЧЕНКО (Москва)

Предлагаемый здесь маленький терминологический словарь содержит до 200 слов. Я включил в него термины, встречающиеся в традиционных учебниках математики.

Здесь нельзя найти некоторых терминов, попадающихся в более высоких областях математики или в очень обширных курсах. Я ориентировался на учебный курс математики, потому что преследовал педагогические цели.

В словарь вошли только термины иностранного происхождения и термины, получившиеся из собственных имен, а не вообще математические термины. Это и понятно. Я не ставил себе задачи написать словарь определений,— я хотел только предложить словарь иностранных корней, лежащих в основе математических терминов. Лишь в редких случаях, когда того требовали обстоятельства, я даю не только корни, но и некоторые дополнительные объяснения к терминам. Стремление выполнить именно эту задачу, т. е. предложить словарь корней, а не определений, отразилось, в частности, на характере преподнесения в словаре сложных терминов. Среди сложных терминов встречается много таких, которые состоят из имени прилагательного и существительного, причем из двух этих слов только одно иностранного происхождения, а другое русское. Таковыми являются, например, следующие термины: иррациональное число, абсолютная величина, дистрибутивный закон, горизонтальная прямая и ряд других. Во всех этих случаях нас интересуют только корни имен прилагательных, а не существительных. В силу этого в словаре предлагаются не сами эти термины, а только имена прилагательные, входящие в состав подобных терминов. Такие прилагательные даются в словаре отдельно от тех существительных, с которыми они могут встречаться, и приводятся они всегда в мужском роде.

В словаре над каждым словом поставлено ударение, соответственно русскому произношению этого слова, а не соответственно произношению того языка, из которого это слово заимствовано. Замечу, кстати, что эти два ударения не всегда совпадают.

Слова греческого происхождения написаны сначала по-гречески, а затем рядом в квадратных скобках дается их латинское написание.

Если корень имени существительного можно определить только по родительному падежу, то я, давая сначала именительный падеж слов, привожу затем рядом и родительный падеж.

Для глаголов я указываю две формы: настоящее время и неопределенное наклонение.

Для каждого термина я, по возможности, старался давать его буквальный перевод или буквальное значение (букв, знач.), хотя это иногда трудно сделать. Проф. П. И. Карузин в своем словаре анатомических терминов,

* В редакцию поступают многочисленные письма читателей с просьбой объяснить происхождение и дать буквальный перевод того или иного математич. термина. Неоднократно также высказывалось пожелание, чтобы такое объяснение наиболее употребительных в элементарной математике терминов было помещено на страницах журнала. Идя навстречу этим пожеланиям, редакция и помещает настоящий терминологический словарь (имея в виду закончить его в течение 1941 г.). Он представляет собою извлечение из словаря, составленного И. Н. Шевченко и приложенного к большой исследовательской его работе «О математической терминологии в школе».

указывая на эту трудность, говорит: «многие термины положительно не поддаются переводу и могут быть заменены только описательными выражениями».

Указывая иностранное слово, от которого произошел данный термин, я не старался придерживаться единообразия в том смысле, что не искал для всех терминов их глагольной основы. Иногда я даю глагол, иногда имя существительное, а иногда прилагательное. Чаще всего я брал то иностранное слово, которое по звучанию ближе всего подходит к данному термину. Например, для слова аксиома я указываю греческое имя существительное, хотя можно было бы указать и глагол.

Некоторые корни объясняются в словаре несколько раз, если они входят в состав различных слов; например корень метр встречается в словах: параметр, планиметрия и др. Чтобы не отсылать читателя от одного слова к другому, я решил лучше повторить объяснение.

Для лиц, совершенно не знакомых с греческим языком, считаю полезным изложить следующие сведения. Если греческое слово начинается с гласной буквы, то над этой буквой ставится знак так называемого «придыхания» (,). Придыхание бывает двух родов: густое (произносится, как русское х, чуть слышно) и тонкое — в произношении незаметно. Между прочим, начальные ρ (ро) —согласная и υ (ипсилон) всегда имеют густое придыхание. Вот почему большое количество греческих слов, начинающихся с буквы о, по-русски произносятся так, как будто бы они начинаются с буквы г. Например: гидра, гипноз, гимн, гипербола, гипотеза, гипотенуза и т. д. При написании греческих слов латинскими буквами густое придыхание обычно передается буквой Л, например, υποθεσίς — hypothesis. В греческой азбуке некоторые буквы имеют два начертания. Буква 5 (эс) изображается или σ, или ς (читается сигма). Первая из них пишется в начале и в середине слов, а вторая — в конце слов. Буква о имеет два начертания: о (омикрон) и ω (омега). Правил употребления этих букв указать нельзя, кроме одного, что греческие глаголы в первом лице настоящего времени оканчиваются на ω, например: ύποτσινω — растягиваю. Буква Τ имеет два изображения: 3 (тэта) и τ (тау). При написании слов латинскими буквами первая из них передается как th.

Последнее замечание относится к произношению греческих слов. Существует два способа чтения или произношения греческих слов. Одно из этих произношений называется эразмовским (от имени Эразма Роттердамского, 1466—1536), другое—рейхлиновским (от имени немецкого гуманиста Иоанна Рейхлина, 1455—1522). Упоминание об этих двух произношениях никак нельзя рассматривать как попытку сообщить о маловажных тонкостях древнегреческого языка. Все дело в том, что одни греческие слова у нас принято произносить по первому произношению, а другие — по второму. Например, слово демократ (δημόχρατοζ) мы читаем по эразмовскому произношению, а слово стихия (στοιχεΐον) — по рейхлиновскому. Существуют слова, которые мы читаем двумя способами и даже по-разному их понимаем, в зависимости от того, как произносим. Например, слово σχήμα мы читаем либо схема, либо схима и вкладываем в них разный смысл. Как именно произносили свои слова древние греки, от которых мы восприняли их язык, точно неизвестно. Существует мнение, что их произношение было близко к эразмовскому, хотя это мнение многими авторитетами отрицается. В отношении же рейхлиновского произношения разногласий нет; это то произношение, которое сохранилось у новых греков. Отмеченная разница произношения сводится к следующему.

Буква Эразмовское Рейхлиновское

В словаре встречаются следующие сокращения:

араб. арабское

англ. английское

букв. знач. буквальное значение

глаг. глагол

греч. греческое

лат. латинское

нем. немецкое

неопр. н. неопределенное наклонение

отр. отрицание

предл. предлог

прил. прилагательное

прич. причастие

род. пад, родительный падеж

см. смотри

ср. сравни

сущ. существительное

фр. французское

р. с. родственные слова

Α.

Абак, греч. ά'βαξ (abax) — доска, стол, шахматная доска, счетная доска.

У римлян abacus — доска, разделенная на несколько четыреугольников; счетная доска; шашечная доска.

Абсолютный, лат. глаг. absolvo, неопр. н. absolvere — развязывать, освобождать; букв, знач.— безусловный (противополагается относительному).

Абстракция, лат. глаг. abstraho, неопр. н. abstrahere — отвлекать, отнимать; trahere — влечь, тащить, букв. знач.— отвлечение.

Абсурд, лат. absurdus — неблагозвучный, противный, нелепый; букв, знач.— нелепость.

Абсцисса, лат. abscissus — отрезанный, отделенный; букв. знач. — отрезок.

Аддитивный, лат. additio — прибавление.

Примечание. В «Арифметике» Л. Магницкого часто употребляется термин «аддицио». Например, на 4-м листе имеется заголовок: «Аддицио, или сложение».

Азимут, араб, assumut — мн. число от samt — путь.

Арабское происхождение этого слова подтверждают такие энциклопедии, как: Der Grosse Brockhaus и Encyclopaedia Britannica.

Аксиома, греч. αξίωμα (axioma) — достоинство, уважение.

Аксонометрия, греч. αξον (axon) — ось; и μετρείν (metrein) — измерять.

Слово metrein входит в состав очень многих физико-математических и технических терминов, например: геометрия, планиметрия, термометр, гониометрия, стереометрия, барометр и т. д.

Алгебра, араб, aljebr — восстановление.

Слово это встречается в сочинении арабского математика Мухаммед-ибн-Муса-Алхваризми, написанном в 820 г. Это слово обозначает действие, выполняемое при решении уравнений и состоящее в том, что для уничтожения отрицательного члена в уравнении прибавляют к обеим частям положительное число, равное этому члену по абсолютной величине.

Алгорифм (algorithmus). Происхождение этого слова точно неизвестно. По этому поводу существуют различные предположения. Приводим одно из вероятных. Предполагается, что слово алгорифм произошло путем искажения прозвища арабского математика IX в. Алхваризми (полное его имя Мухаммед-ибн -Муса-Алхваризми). Между прочим, он написал руководство по арифметике, где изложил правила выполнения арифметических действий, совокупность которых по его имени называли «алгоризм». Не исключена возможность смешения этого слова с греческим αριθμός—число. В XII в. английский монах-путешественник Ателард из Бата (Bath —город в южной Англии), первый переводчик Евклида на латинский язык, перевел с арабского на латинский и упомянутое сочинение Алхваризми. Этот перевод начинается словами: «Dixit (сказал) Algorithmi. Средневековые авторы часто употребляли слово алгорифм в заголовках своих сочинений. Между прочим, Джон Галифакс (именуемые иначе Sacrobosco, ум. в 1256 г.), преподаватель математики и астрономии в Париже, написал сочинение по математике, которое сокращенно называлось «Алгорифм».(Полный его заголовок: «Tractatus de arte numerandi»).

В Энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона (1890 г.) происхождение этого термина объясняется иначе. Указывается, что он происходит от арабского Аль-Горетм, что значит корень.

Амплитуда, лат. amplitudo — обширность, широта (amplus — обширный, огромный).

Как термин встречается с общим начертанием (amplitude) и значением в английском, немецком и французском языках.

Анализ, греч. άνάλυσις (analysis) — решение, разложение; от глаг. άναΑύειν (analyein) — разрешать, развязывать, разлагать; букв, знач.— разложение.

Антилогарифм, греч., состоит из предл. αντί (anti) вместо, против и слово «логарифм», см. это слово. Предл. anti входит в состав многих слов, например: антикритика, антиномия, антиморальный, антипатия, антитезис, антипод и т. д.

Апофема (апотема), греч., состоит из предл. από (аро) — от, с, из и сущ. θέμα (thema) — положенное, поставленное.

Аппликата, лат., applicare — прислонять, прикладывать, располагать.

Ар, лат. area — свободное место, площадь.

Аргумент, лат. argumentum — знак, признак, от глаг. arguo, неопр. н. arguere — показывать, доказывать.

Примечание. Часто встречается слово: аргументация — доказательство.

Арифметика, греч., αριθμητικός (arithmetikos) — относящийся к счету; αριθμός (arithmos) — число.

Примечание. Энциклопедический словарь изд. Брокгауза и Ефрона считает это слово состоящим из arithmos — число и τέχνη (techne) — искусство.

Арифмометр., греч., состоит из двух слов αριθμός (arithmos) — число и μέτρον (metron) — мера, орудие для измерения.

Так называется прибор, служащий для механического выполнения вычислений. Существует несколько систем таких приборов.

Аркус, лат., arcus — лук, дуга, дугообразная линия; букв, знач.—дуга.

Асимптота, греч., ασύμπτωτος (asymptotos) — несовпадающий (состоит из отрицания α (а)— не и прил. σύμπτωτος (symptotos) — совпадающий вместе).

Ассоциативный, лат. глаг. associo, неопр. н. associare — соединять, связывать; букв, знач.—сочетательный.

Астролябия, греч., состоит из двух слов: άστρον (astron) — светило и λαμβάνω (1ambano) — беру.

Для обозначения геодезического инструмента употребляется во многих европейских языках: англ.— astrolabe, нем.— Astrolabium, φρ.— abstrolabe. В разное время этим именем обозначались различные инструменты. Гиппарх (II в. до P. X.) называл астролябией прибор, служивший для определения долгот и широт звезд. В средние века астролябией называли глобус, на котором объяснялась Птолемеева система мира. С течением времени сама конструкция прибора постепенно изменялась, например, диоптры были заменены зрительными трубами.

Б.

Базис, греч., βάσις (basis)—основание, подошва.

Б и, лат., приставка, встречающаяся в соединении с другими словами и обозначающая удвоение, например: биквадратный, биполярный, бином, бинокль, бифилярный и др. Отдельно встречается в форме бис: bis,— дважды, два раза. В этой же форме входит в состав слов: биссектриса, и др.

Биквадратный, лат., состоит из двух слов: bis — дважды (с потерей буквы s) и quadratus — четыреугольный (от глаг. quadro— делать четыреугольным). См. слово — «би».

Биллион, фр. billion, происходит от латинского корня bis — дважды. Биллион иначе называют миллиардом; см. это слово.

Бинарный, лат. bini — по два; букв, знач.— двоичный.

Бином, состоит из двух слов: лат. bis — дважды и греч. νομός (nomos) — часть, доля; букв. знач.— состоящий из двух частей.

В энциклопедии Der Grosse Brockhaus указывается иное происхождение этого термина; от выражения: ex binis nominibus — из двух имен.

Биссектриса, лат. bis — дважды и глаг. seco, неопр. накл. secare — рассекать; букв, знач.— делящая на две части.

Буссоль, фр. boussole от итал. bossola — маленькая коробка. В средние века лат. было слово buxula — ящичек.

В.

Вариация, лат., variatio — разнообразность, различие, перемена; букв. знач.— изменение; р. с—вариант, вариировать; англ.— variation — вариация; нем.— variation - вариация; φρ.—varier — разнообразить; variation переменность.

Вектор, лат. vector — несущий, от глаг. vehere — нести.

Вертикальный, лат. verticalis — вершинный, от vertex — вершина (то, что около себя самого вращается).

Визировать, от лат. video, неопр. накл. videre — видеть.

Г.

Гармонический, греч. αρμονία (harmonia) — соединение, согласие, пропорциональность, гармония.

Гексаэдр, см. «эксаэдр».

Гекто, греч. έχατόν (hecaton) — сто.

Это слово входит в состав слов: гектометр, гектолитр, гектар, гектограмм.

Геодезический, от греч. γεωδαισία (geodaisia) — деление, межевание земель: состоит из γεα (gea) — земля и δαίομαι (daiomai) — делить на части.

В математике термин геодезическая линия не значит — относящаяся к геодезии, а имеет строго определенный смысл. Геодезическая линия на поверхности есть такая линия, главные нормали всех точек которой совпадают с нормалями к поверхности.

Геометрия, греч., состоит из двух слов γή (ge) — земля и μετρείν (metrein) — измерять; букв, знач.— землеизмерение.

Гипер, греч. предлог υπέρ (hyper)—над, выше, через. В соединении с другими словами обозначает превышение меры (чрезмерно).

Входит в состав многих слов, например: гипергидроз, гиперемия, гиперметаморфоз, гипертрофия, гиперестезия и др.

Гипербола, греч. υπερβολή (hyperbole) — избыток, преувеличение.

Гиперболоид, греч., состоит из двух слов: υπερβολή (hyperbole) избыток, преувеличение, и είδος (eidos) вид, наружность.

Гипотеза, греч. υποθεσις (hypothesis) — допущение, предположение.

Гипотенуза, греч. οπότβινω (hypoteino) — натягивать; букв, знач.— натянутая.

Голоморфный, греч., состоит из двух слов: όλος (holos) — целый, весь, совершенный и μορφή (morphe) — вид, наружность.

Слово holos входит в состав некоторых терминов: голономный (в механике); голотония (столбняк); голосимфазис (полное срастание костей).

Гомографический, греч., состоит из двух слов: ομός (homos) подобный и γράφω (grapho) — рисую, пишу. Слово homos входит в состав терминов: гомология, гомотетия, а также омонимы (гомонимы). См. слово «график».

Гомология, греч. όμός (homos) — подобный, равный и λόγος (logos) — слово, речь; букв, знач.— однородность, согласование.

Примечание. Слово logos встречается во многих составных словах и обыкновенно переводится слово «наука», например: биология, зоология, психология и др. Англ.— homologous — соответственный; нем.— homolog — соответственный; фр.— homologue — соответственный.

Гомотетия, греч., состоит из двух слов ομός (homos) — подобный, равный и τίθημί (tithemi) — полагаю; букв. знач. подобное расположение. Фр. homothetique — гомотетических

Гониометрия, состоит из двух слов: γωνία (gonia) угол и μετρείν (metrein) — измерять, р. с. гониометр — угломер. Англ. goniometry; нем. goniometrie; фр. goniometrie.

Слово gonia входит в состав слов: полигон, тетрагон. См. слово «изогональный».

Горизонтальный, греч. όριςω(horizo)— граничить, оканчиваться.

Градус, лат. gradus — шаг, ступень.

Грамм, фр. gramme — наименование единицы веса. Происходит от греч. γραμμή (gramme) — линия, черта. Входит в состав многих сложных слов, как обозначающих вес, так и не обозначающих такового: дециграмм, сантиграмм, миллиграмм, килограмм, грамматика, граммофон.

Примечание. Еще в Афинах медицинский вес назывался «грамма».

График, греч. γραφνχός (graphikos) — относящийся к письму или живописи, от глаг. γράφω (grapho) — пишу.

МЕТОДИКА

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ В СВЯЗИ С МЕТОДОМ НАЛОЖЕНИЯ

З. КОСТИНА (Москва)

Признаки равенства треугольников занимают особое положение в курсе школьной геометрии. Во-первых, эти признаки находят применение во всем дальнейшем изложении курса при доказательстве целого ряда теорем (не говоря уже о задачах). Во-вторых, именно при доказательстве этих теорем учащиеся встречаются с новым для них методом доказательства — методом наложения в его полной, законченной форме, причем этот метод тоже находит свое применение и в дальнейшем курсе.

Эти два момента и выдвигают теоремы о признаках равенства треугольников на особое место, требуют особого внимания к ним, требуют как отчетливого усвоения самих теорем, так и полного овладения методом, применяемым при их доказательстве. В настоящей статье я хочу изложить, как можно итти к достижению обеих указанных целей.

Отметим прежде всего, что на данном этапе учащиеся еще не владеют «языком» геометрии, еще не приобрели навыка в построении логической цепи, ведущей к доказательству теоремы. С другой стороны, самый метод доказательства представляет собою комплекс последовательных элементарных процессов. Оба эти обстоятельства выдвигают первое требование — расчленение доказательства, постепенный подход к нему путем последовательных, специально подобранных упражнений, как это и дано в последующем изложении.

Отметим еще некоторые особенности предлагаемого мною изложения темы.

1. Доказательство первого и второго признаков я даю раньше теоремы о равнобедренном треугольнике. Доказательство последней вследствие некоторых новых моментов (выход из плоскости чертежа — перегибание; предположение части процесса — совмещение двух сторон — уже выполненной) является, по моему мнению, последующим этапом в ознакомлении с методом наложения, поэтому я ставлю эту теорему непосредственно перед третьим признаком равенства треугольников, где она находит непосредственное применение.

2. Задачи на доказательство равенства треугольников, решаемые непосредственно после изучения первого и второго признаков, помогут учащимся легче и сознательнее усвоить и запомнить формулировку этих признаков, покажут применение этих признаков, их практическую ценность (особенно, если некоторые из подобных задач будут проведены путем непосредственных измерений на местности).

Перехожу к изложению самой темы, разбивая ее на ряд этапов.

1) Треугольник. Его стороны, вершины, углы. Классификация его по сторонам и углам.

2) Повторение: сравнение отрезков и углов (таблицы I и II).

Тщательно изучить вопрос о наложении отрезков это значит остановиться на трех моментах.

1) Прежде всего, на конкретных предметах (палочки, карандаши и т. п.) мы даем представление о процессе наложения, условившись под словами: «наложим отрезок AB на CD» понимать следующий процесс: «Точку А (или В) наложим на точку С (или D) и отрезок AB направим по CD». 2) Затем устанавливаем на тех же наглядных пособиях, в каком случае мы говорим: «Отрезок AB равен CD» (или: «Отрезок AB>CD» и т. д.). 3) Наконец, останавливаемся на вопросе, с которым чаще всего приходится иметь дело при доказательстве наложением: «AB = CD» (или: Л#> CD и т. д.). Что это значит? Или что произойдет (произошло) при наложении? Подобные упражнения и дает таблица 1.

При проработке этой таблицы (да и следующих) рассуждения проводятся отдельно

Таблица I

для каждого чертежа и, по возможности, однообразно, так как при этом однообразии учащиеся скорее усваивают общность приема и легче овладевают соответствующими оборотами речи.

«Наложим отрезок Л, Вх (CD для черт. 2 и 3) на отрезок AB. Для этого точку Л, (С) совместим с точкой Л; отрезок AxBt (CD) направим по отрезку AB. Тогда:

1) точка Вх упадет в точку В, так как отрезок АХВХ = AB (для черт. 1);

2) точка D упадет между Л и В, так как отрезок CD<Лß (для черт. 2);

3) точка D упадет за точкой В, так как отрезок CD>AB (для черт. 3)».

Что касается чертежа 4, то здесь, вследствие отсутствия данных, возможны три случая («1) точка Вх упадет в точку В, если АХВХ = AB; 2) точка В1 упадет между А и В, если____» и т. д.).

Аналогично проводим упражнения в наложении углов по таблице II.

Таблица II

Примечание. При выполнении чертежей надо стремиться к тому, чтобы равенство или неравенство отрезков или углов трудно было установить «на-глаз» по чертежу и заключение делалось бы исключительно на основании данных записей. Эти чертежи наиболее целесообразно изготовить в виде плакатов, чтобы они заменили чертежи на доске.

3. Подготовительные упражнения к доказательству первого признака равенства треугольников.

В этих упражнениях (таблица III) я имею главной целью подчеркнуть (с иллюстрацией наглядными пособиями) то обстоятельство, что 1) при наложении углов равенство отрезков на сторонах угла не влияет на то, пойдут ли вторые стороны одна по другой;

2) равенство углов не дает еще права заключить о совпадении конечных точек отрезков на сторонах этих углов (кому из преподавателей геометрии не знакомы «доводы» учащихся: «Сторона пойдет по стороне, потому что отрезки равны», или: «Конечные точки отрезков совместятся, так как углы равны»?).

Чертеж 2 таблицы III явно показывает, что EF не пойдет по стороне ВС. Но здесь необходимо указать, что условие задачи допускает возможность других построений, а именно: угол В может быть и равен углу Е

Таблица III

и более его. Для чертежа 3 вопрос становится неопределенным (возможны три случая).

Привожу примерные рассуждения к таблице III (черт. 4, 5 и 6). Начинаем рассуждение следующим образом. Точку В наложим на точку Е и сторону ВА направим по стороне ED. Точка А совместится с точкой Д так как отрезки AB и DE равны, сторона ВС пойдет по EF, так как угол В равен углу Е. Далее, для чертежа 4, где BCnEF — лучи, наше рассуждение заканчивается. Для чертежа 5 необходимо еще добавить, что вопрос о совмещении конечных точек отрезков на второй стороне угла неопределенный, так как нет данных о равенстве отрезков ВС и EF, следовательно, возможны 3 случая. В упражнении 6, в заключение, приходится установить совмещение конечных точек (В и ßt), так как дано, что отрезки AB и AJ$t равны. После этого ставим вопрос (к черт. 6): «Что произойдет (и почему) с отрезками СВ и СхВи которые получатся, если мы соединим точки С и В, С\ и ВХЪ\ и, наконец, устанавливаем, что получили треугольники, что они совместились и, следовательно, равны.

4. Выяснение смысла выражений: «Угол, заключенный между сторонами», «Сторона, прилежащая к у г л у», и т. д.

Формулировка признаков равенства также требует подготовительных упражнений. После того как все учащиеся освоились с выражением: «Угол, заключенный между сторонами» и после повторения упражнений 3, 4 и 5 (табл. III), они проявят большую инициативу, когда мы их поведем к окончательному выводу — к формулировке признаков равенства треугольников.

Можно, впрочем, эти упражнения провести и на первом этапе. (Понятие о треугольнике).

5. Первый признак равенства треугольников.

Переходим теперь к доказательству первого признака равенства треугольников с записью в тетрадях чертежа, условия и заключения.

После проведения доказательства можно на некоторое время к чертежу таблицы присоединить запись примерного хода рассуждения при доказательстве, но снимать его во время урока.

Доказательство:

Наложим Д ABC наДЛДС,.

1) Точку Л наложим на точку Л, и сторону АС направим по Л,С,.

2) Точка С совместится с точкой С„ так как АС = AxCt (по условию).

3) Сторона AB пойдет по стороне Л,5„ так как L А = L Л,.

4) Точка В совместится с точкой Б„ так как AB = АХВХ.

5) Сторона СВ совпадет со стороной СХВЪ так как через 2 точки можно провести только одну прямую.

Д ABC = Д АХВАСХ, потому что эти треугольники совместились при наложении.

6. Подготовительные упражнения к доказательству второго признака равенства треугольников.

Таблица IV дает аналогичный предыдущему подход к доказательству второго признака.

Таблица IV

Примечание. В процессе упражнений в методе наложения необходимо остановиться на том, что для хода доказательства не безразлично, как мы начнем наложение, что наложение лучше начинать с той пары точек (вершин двух фигур), при которых есть равные углы и отрезки, так как в противном

случае может оказаться, что мы не сможем закончить доказательство. Так произойдет при доказательстве первого признака, если мы начнем совмещение с точек С и С, и отрезков СВ и C,ßt.

7. Второй признак равенства треугольников. Делается запись условия и заключения теоремы аналогично записи для первого признака.

8) Построение треугольников:

а) по двум сторонам и углу между ними;

б) по стороне и двум прилежащим к ней углам.

9) Применение признаков равенства треугольников.

Таблицы V — VIII дают ряд задач, определенным образом подобранных (большинство из них взяты из статьи Орлеанса, помещенной в № 5 американского «Ежегодника национального совета преподавателей математики»).

Часть задач может быть решена устно, но вообще я предпочитала бы решение с записью, хотя бы схематической. Лучше с первой же задачи дать образец записи, чтобы у учащегося ярче запечатлелось доказательство, и чтобы, придя домой, он мог лучше его продумать и чтобы мы могли быстрее перенести центр тяжести этой проработки на домашние задания.

Таблица V представляет материал для вступительной беседы и образцы записей. Она содержит 3 задачи, по поводу которых скажу следующее: я сознательно оставляю один и тот же чертеж и даже одни обозначения, так как мне важно, чтобы учащийся понял, что доказательство равенства треугольников в данном случае состоит в том, что мы подбираем равные стороны (предлагаю всегда начинать со сторон) и недостающие для применения первого и второго признаков углы, что доказать равенство треугольников значит применить какой-то признак равенства.

На первом уроке можно дать: 1) подробную запись решения задачи, 2) схематическую — второй (предлагая записи закончить дома), 3) условия третьей задачи (предлагая его, как домашнее задание или как самостоятельное классное).

Таблица V

Далее решаются задачи таблиц VI и VII.

Разнообразие чертежей в этих задачах позволяет нам сделать следующие выводы, дающие ответы на вопросы, на основании каких данных можно говорить о равенстве сторон (отрезков) или углов в том случае, когда нет в условии записей аналогичных записям: AB = CD, или: |_ АОВ = |_ COD:

1) Если мы по чертежу устанавливаем, что треугольники имеют общую сторону, следовательно, у этих треугольников есть по равной стороне (при выяснении, может быть, придется прибегнуть к наглядному пособию,

Таблица VI

Таблица VIIa

Таблица VIIб

раздвигая два приложенных один к другому треугольника).

2) Если в условии имеются указанные ниже данные, можно сделать перевод этих данных на язык геометрии или сделать соответствующий вывод:

а) «точка О — середина AB», следовательно, АО=ОВ;

б) «MN делит К в точке О пополам», следовательно, АО = О ? и СО = OD,

с) «Л/?_|_С*Ъ>, следовательно, есть прямые и значит равные углы.

3) Если по чертежу устанавливаем, что есть углы вертикальные, то можем обозначить их и записать так: Ц. 1 = |_ 2 и т. д.

Наличие плакатов с подобными задачами может значительно сэкономить время и сообщить большую эффективность работе.

При проработке таблиц VI и VII мы указываем, что равенство треугольников можно использовать для доказательства равенства их элементов (сторон и углов), благодаря следующему выводу. «В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны (и ему обратному), а также благодаря тому, что в равных треугольниках равенство двух пар сторон (или двух пар углов) влечет за собой равенство третьей пары сторон (или углов). (На последний вывод можно указать в процессе работы.)

Необходимо требовать, особенно вначале, чтобы учащийся указывал, против какой стороны (или какого угла) лежит данный угол (или сторона), так как отсутствие четкости в этом вопросе не только может отразиться на сознательном решении этих задач, но и далее, на решении задач на подобие треугольников.

Задачи на доказательство равенства треугольников и их элементов, решаемые непосредственно после доказательства первого и второго признаков, дадут учащимся возможность легче и осмысленнее усвоить формулировку этих признаков. Они познакомят учащихся с применением этих признаков, в частности, к измерению на местности, что, безусловно, будет стимулировать повышение интереса к предмету, особенно если будет сопровождаться непосредственными измерениями на практике. Представляя единообразные упражнения, они помогают учащимся быстрее овладеть вопросом.

Особенностью всех указанных в этих таблицах задач является то, что в них даются готовые чертежи и часто символическая запись условия; это важно для указанных мною целей, но не надо забывать о второй задаче — научить учащихся давать свой чертеж по тексту задачи. Этот вопрос также требует более тщательной проработки, чем мы имеем в учебнике Киселева и в задачнике Рыбкина.

10. Свойство углов равнобедренного треугольника. Основным моментом этого опыта является то, что известную теорему о равнобедренном треугольнике я расчленяю и здесь даю только ту ее часть, которая сейчас же найдет свое применение (при доказательстве третьего признака равенства треугольников).

Доказательство теоремы о свойстве углов при основании равнобедренного треугольника, будучи освобождено от совместного доказательства теоремы о биссектрисе, становится очень ясным и доступным пониманию учащихся. Кроме того, при этом мы знакомим учащихся с новым приемом наложения (перевертыванием фигуры), который в курсе геометрии Киселева совсем не затронут, а между тем, может иметь существенное значение при решении задач. Так, например, он дает изящные решения для задач о равенстве биссектрис, высот, медиан, проведенных из вершин равнобедренного треугольника.

Доказательству теоремы и здесь предшествуют подготовительные упражнения (табл. VIII, черт. 1 и 2).

Черт. 1. Перевернем [_ ABC (стороны разных цветов)так, чтобы точка В не изменила положения, а сторона AB (красная) заняла положение ВС (зеленой). Тогда сторона С (зеленая) займет положение AB (красной), так как угол один и тот же, т. е. равен сам себе.

Черт. 2. Доказательство усложняется наличием отрезков на сторонах угла (говорим о совмещении конечных точек), при этом

Таблица VIIc

Таблица VIII

ставим вопрос: что произойдет с отрезком АС, который получится, если соединить точки Л и С (С и Л), какая при этом получится фигура? Эти вопросы приводят нас к формулировке теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника (черт. 3).

Примечание. Можно было бы эту теорему формулировать иначе: во всяком треугольнике против равных сторон лежат равные углы.

11. Третий признак равенства треугольников. О способе вывода этого признака здесь не говорим. Этот вопрос является темой особой статьи.

Таков принятый мною порядок прохождения рассматриваемой темы, помогающий более ясному и прочному усвоению этого раздела. Перечислю вкратце ближайшие этапы дальнейшего прохождения курса.

12. Применение третьего признака равенства треугольников к задачам на построение: а) треугольника, равного данному, Ь) угла, равного данному, с) биссектрисы угла острого, тупого, развернутого, d) перпендикуляра к прямой в данной на ней точке, рассматриваемого как биссектриса развернутого угла.

13. Линии в треугольнике. Построение биссектрис углов треугольника, построение высот треугольника (при помощи чертежного угольника) и медиан.

14. Понятие о симметрии. Задачи:

Построить точку, симметричную данной относительно оси.

Построить отрезок,симметричный данному относительно оси.

Построить треугольник,симметричный данному относительно оси.

15. Упражнения в методе наложения с перегибанием чертежа

а) доказать для указанных выше задач, что симметричные точки, отрезки и треугольники совместятся при перегибании чертежа по оси симметрии,

б) свойство биссектрисы угла при вершине в равнобедренном треугольнике (Киселев пл. III, § 38).

16. Следствие из теоремы о биссектрисе (§ 39) некоторые практические применения этой теоремы и ее следствий (например, устройство ватерпаса, построение на местности перпендикуляра с помощью веревки, деление угла пополам с помощью веревки и т. д.)

17. Задачи на применение теоремы о равенстве биссектрис, медиан и высот, проведенных из вершин при основании равнобедренного треугольника.

О ПОДГОТОВКЕ К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ

РАБОТЫ НА МЕСТНОСТИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ В СВЯЗИ С КУРСАМИ ГЕОМЕТРИИ И ТРИГОНОМЕТРИИ

Проф. М. ЗНАМЕНСКИЙ (Москва, Облпединститпут)

Эти работы, с одной стороны, могут являться исходными моментами для расширения математической теории и, с другой — в качестве приложения изученной теории к решению практических задач на новой базе.

Формы работы могут быть следующие.

1. Ознакомление с инструментом (в классной обстановке).

2. Приемы работы с инструментом (лабораторная работа в классной обстановке).

3. Полевая работа.

4. Обработка материала полевой работы.

5. Решение задач.

Приведенный список имеет в виду систематическое выполнение работ на местности, начиная с первого класса школы. Там, где в предшествующие годы работы не велись, необходимо предварительно выполнить работы предшествующих классов, выбирая из них главные. Главные работы отмечены звездочками.

I КЛАСС

1. Измерение без предварительного провешивания (в пределах численного кругозора учащихся) длины линий, отмеченных на местности естественными границами, например, длины здания, забора, дорожки, грядки и т. п. Параллельно с измерением идут записи в тетрадях получаемых результатов.

2. Измерение на местности длин, отмеченных шнуром, натянутым на двух колышках.

3. Измерение небольших расстояний шагами.

4. Определение длины 10 м в шагах и 10 шагов в метрах.

5. Оценка небольших расстояний на глаз в шагах и в метрах с последующим измерением и определением разницы.

II КЛАСС

1. Изображение измеренных на местности линий на клетчатой бумаге, принимая за единицу длины клетку ученической тетради.

2. Провешивание прямых линий на местности до 100 м длины.

3. Упражнения в измерении расстояний шагами.

4. Упражнения в оценке расстояний на-глаз с последующей проверкой.

III КЛАСС

1. Провешивание и измерение прямых до километра длиною.

2. Построение отрезков прямых, измеренных на местности, на клетчатой бумаге, считая клетку за 2, 5, 10, 20, 25 и 50 м.

3. Провешивание линий под прямым углом при помощи крестообразного эккера.

4.* Построение на местности прямоугольника заданной длины и ширины при помощи эккера (построение ара и гектара).

5.* Построение плана участка в форме прямоугольника по данным измерения в целых метрах при помощи линейки и угольника.

6. Упражнения в глазомере.

IV КЛАСС

1.* Провешивание прямых и измерение их длин.

2. Построение на бумаге плана фигур, состоящих из комбинаций прямоугольников в форме букв г, т, п (по данным измерения).

3. Выдел на местности по заданным размерам фигур, имеющих форму, указанную в предыдущем пункте.

4. Вычисление площади фигур, имеющих форму, указанную в предыдущем пункте, по плану.

5. Упражнение в глазомере.

V КЛАСС

1.* Провешивание прямых и измерение их длин.

2. Построение при помощи эккера прямоугольного треугольника с заданными размерами катетов. Построение плана такого треугольника и вычисление его площади.

3.* Разбивка на местности произвольного треугольника на два прямоугольных треугольника с помощью эккера.

Построение плана этого треугольника и вычисление его площади.

4.* Съемка плана произвольного четырехугольника разбивкой на два треугольника и применение в дальнейшем приема, указанного в предыдущем пункте. Вычисление площади по плану.

5. Упражнение в глазомере.

6. Определение превышения одной точки поверхности земли над другой при помощи планки, рейки и уровня.

VI КЛАСС

1. Определение точки пересечения двух прямых на местности при помощи провешивания.

2. Построение на местности равностороннего треугольника, натягивая на колья три веревки равной длины с петлями (этот же прием для построения угла в 60°).

3. Построение на местности равнобедренного треугольника, натягивая на 2 кола, воткнутых в землю по концам основания треугольника, веревку и оттягивая середину веревки третьим колом.

4. Построение на местности прямого угла провешиванием медианы равностороннего или равнобедренного треугольников, предварительно построенных на местности (этот же прием для построения угла в 30°).

5.* Определение недоступных расстояний провешиванием, пользуясь построением равных треугольников при помощи эккера и без него.

6. Съемка плана несложного участка с 5— 6 сторонами разбивкой его на треугольники и измерением всех сторон полученных треугольников. Построение плана по данным измерения в натуре. Площадь вычисляется измерением на плане высот треугольников и результат округляется по указанию преподавателя на основании правил подсчета цифр.

7.* Съемка эккером плана небольшого участка (с 4—6 сторонами) провешиванием внутренней магистрали и разбиением фигуры на трапеции и прямоугольные треугольники. Вычисление площади участка по данным измерения в натуре.

8. Разбивка на местности при помощи эккера участка по данным разбивки, указанным на плане.

VII КЛАСС

1.* Определение при помощи компаса или буссоли азимута направления на местности.

2. Определение при помощи компаса или буссоли азимута в двух направлениях и угла между ними.

3. Определение на плане точки стояния по направлению на три пункта, отмеченных на плане и на местности.

4.* Съемка плана несложного участка мензулой полярным способом.

5. То же самое на планшете без штатива (визирование по трехгранной линейке) с определением расстояний на-глаз или измерением шагами.

6. Съемка плана несложного участка при помощи компаса или буссоли полярным способом.

7. Определение недоступных расстояний методом засечки на планшете мензулы.

8. Определение недоступных расстояний при помощи измерения базиса и двух углов астролябией или компасом. Графическое получение результата.

9.* Шагомерная съемка маршрута ломаной линии, состоящей из нескольких звеньев, с нанесением засечками отдельных точек вправо и влево от маршрута.

10. Определение высот при помощи высотомера и формы прямоугольной равнобедренного треугольника.

11.* Определение высот предметов измерением угла наклона при помощи эклиметра. Графическое получение результата.

12. Составление профиля местности в определенном направлении при помощи модели нивелира.

VIII КЛАСС

1.* Съемка плана участка мензулой обходом по границам с разверстанием невязки на полученном плане по параллельным линиям. Вычисление площади по плану с выяснением вопроса о надежности цифр, полученных в результате вычисления.

2 Съемка участка школьной астролябией обходом по границам. Накладка плана по исправленным внутренним углам и мерам пограничных линий.

3.* Определение высот приемами, основанными на подобии треугольников.

4.* Определение высот по измеренному углу наклона графически и с помощью таблиц натуральных значений тригонометрических функций.

5. Определение недоступных расстояний приемами, основанными на подобии.

6. Вычисление горизонтального проложения длин, измеренных по наклонам.

7. Составление профиля направления по плану с нанесением горизонталями.

8. Составление плана замкнутого контура методом шагомерной съемки.

IX КЛАСС

1. Съемка плана полигона школьной астролябией с вычислением координат вершин. Вычисление площади полигона по данным измерения.

2.* Решение прямоугольных треугольников на основании измерений на местности и вычисления с помощью таблиц логарифмов.

IX КЛАСС

1.* Определение высоты измерением угла наклона с двух точек и расстояния между этими точками.

2.* Решение косоугольных треугольников на основании измерения на местности и вычисления с помощью таблицы логарифмов.

3. Распространение предыдущего приема на ряд примыкающих треугольников и определение недоступных расстояний при помощи измерения базиса и углов (схема триангуляции).

ОТ РЕДАКЦИИ. В статье т. Герценштейн дано описание минимума геодезических работ, доступных каждой школе. Кроме того, мы даем здесь составленный проф. М. А. Знаменским более широкий список работ на местности, который полностью может быть осуществлен лишь при условии планомерного выполнения их, начиная с первого класса, и при наличии соответствующего оборудования. Некоторые работы, предлагаемые здесь для младших классов, в статье т. Герценштейна вошли в план более старших классов именно потому, что в большинстве школ эти работы в младших классах не производились.

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ РАБОТЫ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Я. ГЕРЦЕНШТЕЙН

(Государственный институт школ Наркомпроса РСФСР)

озяйственное и оборонное значение геодезических работ в школьном курсе геометрии не подлежит сомнению. Можно полагать, что в ближайшем будущем они будут включены в официальную программу.

Пока же учитель, желающий проводить такие занятия со своими учащимися, но не имеющий опыта работы в этом направлении, испытывает затруднения не только в выборе и доставании литературы, но и в определении содержания этих занятий. Последнее обстоятельство усложняется еще и тем, что все классы являются сейчас начинающими, поскольку до этого года в подавляющем большинстве школ геодезические работы не производились.

В рамках журнальной статьи невозможно дать исчерпывающее, методически разработанное систематическое изложение геодезических работ в школьном курсе математики. Мы также не собираемся дать здесь проект соответствующего раздела программы со включением всего того материала, который может иметь место в школьном преподавании. В этой статье читатель найдет только примерный перечень некоторых геодезических работ, которые можно рекомендовать для школы, некоторые методические указания к ним и краткий указатель литературы.

В статье «К вопросу о некоторой практической подготовке учащихся в связи с преподаванием арифметики в I—IV классах школы»* Н. Н. Никитин дает перечень основных землемерных работ в первых четырех классах школы и общие принципиальные установки в этом направлении, поэтому мы здесь ограничимся только V—X классами.

В каждом классе предусмотрены работы подготовительного характера (классные и домашние) и собственно геодезические работы на открытой местности. Последние рассчитаны на два занятия, или, как они здесь именуются, выхода в поле.

Работа в поле должна занять примерно два часа, так что учитель может, оставаясь в поле шесть часов, провести занятия с тремя классами, которые сменяют друг друга. Имеющийся положительный опыт такой работы свидетельствует о том, что при хорошей предварительной подготовке вполне можно уложиться в указанное время.

Экскурсию можно проводить с целым классом. У каждого ученика будет работа, и руководить всеми работающими в поле не более трудно, чем руководить ими в классе. Но мы не решаемся рекомендовать объединение с экскурсиями по другим предметам. Вполне достаточно работы оказывается для учащихся и при одной геодезической экскурсии.

Целесообразно за некоторое время до экскурсии разбить класс на группы по 5—7 человек в каждой.

При приеме работы учитель не должен ограничиться одним ее просмотром. Обязательно надо при этом поставить ученику несколько вопросов контрольного характера. Ученик не просто сдает работу, а отчитывается в ней. Возможны случаи, когда ученик, вручая преподавателю хорошо оформленную и правильно выполненную работу, не в состоянии ответить на самые простые вопросы (почему в работе сделаны такие-то операции именно так, а не иначе, или даже— как технически произведено то или другое измерение). В таких случаях работу, очевидно, нельзя принимать.

На местности нужно следить за тем, чтобы в пределах группы не было «разделения труда», а то окажется, что одни учащиеся будут все время мерить расстояния, другие — в роли «штатных секретарей» и т. п. Необходимо, чтобы каждый участник экскурсии не только понимал постановку задачи и способы ее решения,но и лично принимал участие в выполнении всех этапов работы. Так, например, при съемке полигона астролябией каждый участник экскурсии должен: 1) измерить астролябией (хотя бы один угол), 2) измерить в паре с товарищем (хотя бы) одну сторону.

УСЛОВНЫЕ ЗНАКИ

* См. журнал «Начальная школа», №8, 1940 г.

Не беда, если иной раз придется поручить измерение одного и того же угла (или одной и той же стороны) двум различным ученикам (парам учеников). Такое дублирование даже полезно, так как обеспечивает взаимный контроль над работой.

Если отдельный ученик отсутствовал по болезни во время выхода в поле, ему разрешается выполнить эту работу одному (если по характеру работы это возможно) или же в группе другого класса (даже необязательно одноименного).

Обращаем внимание учителя на то, что нет абсолютно необходимости всю работу закончить в поле, оставив на дом только ее письменное офомление. Наоборот, в тех случаях, когда вычисления несколько сложны или кропотливы, требуют применения таблиц логарифмов и пр. (например, оба выхода в десятом классе; см. дальше), то, как ни заманчиво и ни желательно получение ответа сейчас же на местности, все же можно рекомендовать учителю ограничиться в поле только измерительными работами, всю же камеральную работу перенести на дом. Это тем более допустимо, что на практике землемер обычно делает в поле, только то чего нельзя делать дома.

Можно рекомендовать также экскурсию (с каждым классом) в местный земотдел, еще лучше — в Институт по организации территории или землемерно-землеустроительный техникум (если они есть близко) с целью ознакомления учащихся с настоящими геодезическими инструментами (теодолит, различной конструкции эккеры, эклиметр, вешки, мерная лента, мензула с принадлежностями и пр.), с чертежными и вспомогательными приборами (планиметр и др.), с чертежами, с журнальными вычислениями и делопроизводством.

При всех, без исключения, съемках обязательно следует наносить на бумагу местные предметы, а не ограничиваться получением одного только контура. Таблицу принятых условных знаков для наиболее часто встречающихся местных предметов приводим выше. Учащийся должен удвоить эту таблицу настолько, чтобы он мог воспроизводить эти знаки и свободно узнавать их по готовому плану.

РАЗВИТИЕ ГЛАЗОМЕРА

Практическая ценность умения определять расстояния на-глаз очевидна. Ясно также, что за одно занятие этому не научишь. Для развития глазомера необходимы систематические упражнения. Эти упражнения мы рекомендуем для всех классов. Во время съемок надобно всегда предварительно оценивать каждое расстояние, которое мы непосредственно измеряем или вычисляем. В V же классе мы специально выделили определение расстояний на-глаз (при первом выходе в поле), имея в виду специальный отчет по этой работе.

При глазомерной съемке необходимо учитывать следующие обстоятельства:

1. Ярко освещенные, а также окрашенные в яркие цвета предметы кажутся находящимися на расстоянии ближе истинного.

2. В дождь и в туман все предметы кажутся находящимися на расстоянии большем, чем на самом деле.

ТАБЛИЦА ПРИМЕРНОЙ РАЗЛИЧАЕМОСТИ ПРЕДМЕТОВ НА РАЗЛИЧНЫХ РАССТОЯНИЯХ

Название предмета

Расстояния, с которых они становятся видными

(км)

(м)

1.

Ветряные мельницы . . .

15

_

2.

Деревни и большие дома .

8

3.

Группы отдельных домов

5

4.

Окна в домах, деревья в виде черных полос . . .

4

5.

Трубы на крышах ....

3

6.

Отдельные деревья . . .

2

7.

Километровые столбы . .

1

8.

Стволы деревьев ....

850

9.

Движение ног лошадей .

600

10.

Переплеты рам в окнах .

500

11.

Движение рук......

400

12.

Цветы и части одежды . .

250

13.

Черепицы и доски на крышах ...........

_

200

14. Пуговицы и металлические детали . . . .....

150

15.

Лица людей . . ...

150

16.

Выражение лица.....

100

17.

Глаза ..........

60

18.

Белки глаз.......

20

3. Ночью все предметы, ярко освещенные, кажутся ближе.

4. Предметы кажутся дальше, если между ними и глазом есть промежуточные предметы; наоборот, если промежуточных предметов не имеется, расстояния кажутся меньше. Так, например, в степи или на воде расстояния кажутся меньше истинных.

5. При наблюдении в лежачем положении предметы кажутся ближе, чем они расположены в действительности.

6. Если человек стоит, то он кажется ближе лежащего, хотя бы и находящегося на таком же расстоянии.

7. Группа людей кажется ближе, чем один человек.

8. Человек в защитной одежде, находясь на пахоте, кажется дальше, на снегу — ближе.

СХЕМАТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ В КЛАССЕ

Схематический разбор задач не следует ограничивать одними занятиями на классной доске. Можно, например, много упражнений проделать в классной обстановке, предлагая отдельным ученикам подымать карандаши, которые будут играть роль вешек. Ученики, сидя на своих местах, подымают по предложению учителя (или им вызванного ученика) карандаши, образуя прямую линию, прямолинейную фигуру и пр. Можно рекомендовать такие задания вызванному (не обязательно к доске) ученику:

1. Провешить прямую линию.

2. «Построить» прямой угол (на-глаз).

3. «Построить» (на-глаз) угол в 30 \ 45°, 60°, 150°.

4. Опустить из данной точки перпендикуляр на данную прямую.

5. Восставить из данной точки на прямой перпендикуляр к этой прямой.

6. Построить определенного вида треугольник.

7. Построить три высоты данного треугольника.

8. Построить определенного вида параллелограм.

9. Построить шестиугольник, назвать его диагонали и т. д.

М. А. Знаменский* рекомендует игрушечные модели инструментов и вех, выполненных в одну четверть — одну пятую натуральной величины. Вехи и инструменты укрепляются на небольших крестовинках. Работы с такими моделями могут быть использованы с большим удобством для предварительной подготовки перед выходом в поле.

Ограничиваясь приведенными соображениями общего характера, перейдем теперь к рассмотрению конкретного содержания геодезических работ по отдельным классам.

ПЯТЫЙ КЛАСС

I. Работав классе и дома

Определение площадей прямоугольных (желательно было бы и треугольных) участков на плане; изготовление палетки, пользование ею для определения площадей, ограниченных любыми контурами, на плане; составление таблицы перевода шагов в метры; масштаб шагов; масштабы численный и линейный; схематический разбор задач, намеченных к решению на местности; изготовление отчетов.

II. Работа в поле

Первый выход в поле

Провешивание прямой линии; измерение расстояний на местности; определение длины шага; определение расстояний на-глаз.

Второй выход в поле

Пользование эккером, проверка его на местности, опускание и восстанавливание перпендикуляров, построение на местности ара, гектара:

1. Палетка

Палетка представляет собой прозрачную кальку с нанесенной на ней, обыкновенно, миллиметровой сеткой.

Желая определить по плану площадь, ограниченную каким-либо контуром, кладут на эту площадь палетку и непосредственно подсчитывают число квадратиков, помещающихся внутри фигуры. Сначала обычно подсчитывают число полных квадратиков, а затем уже число неполных, оценивая их на-глаз и соединяя их в полные. Несмотря на всю примитивность такой работы, она все же имеет свою ценность и применяется во многих случаях в землемерной практике. Опыт показал, что при достаточной тренировке можно добиться хороших, в смысле точности, результатов при работе с палеткой.

В продаже имеются палетки, сделанные на роговых и целлулоидных пластинках.

Уместно было бы сказать учащимся о существовании прибора для автоматического определения на плане площадей, ограниченных произвольными контурами (планиметр).

2. Численный масштаб

Численный масштаб, как известно, показывает, какую часть действительной длины линии на местности составляет соответствующая ей линия на карте или плане. Численный масштаб позволяет определять по карте и плану и откладывать на них расстояния в любых мерах (в метрах, саженях, шагах). В этом выгода численного масштаба. Неудобство его состоит в том, что при работе с ним требуются, хотя и несложные, но постоянные вычисления.

Невооруженный глаз обычно не может различить точки, удаленные друг от друга меньше чем на 0,1 мм. Кроме того, ножка циркуля оставляет на бумаге след приблизительно такого диаметра, так что расстояния, меньшие 0,1 мм, мы не можем ни измерить, ни различить.

То расстояние на местности, которое соответствует 0,1 мм на карте (плане), называется предельной точностью масштаба.

Задачи

Определить предельную точность масштабов: 1:25 000; 1:50 000; 1:100 000; 1 :200 030; 1:1 000 000; в 1 см 200 м; в 1 см 100 м.

Выбрать масштаб для плана так, чтоб на нем можно было измерять расстояния с точностью: а) до 1 м; б) до 5 м; в) до 10 м.

Вычертить линейный масштаб для плана, на котором можно было бы измерять расстояния с точностью: а) до 20 м; б) до 1 км.

3. Линейный масштаб

Линейный масштаб — отрезок прямой, разделенный обычно на несколько равных частей и снабженных надписями, которые показывают, каким расстояниям на местности эти части соответствуют.

На чертеже показан линейный масштаб 1 км в 2 см. Следует обратить внимание учащихся на то обстоятельство, что нулевая точка масштаба не совпадает с его левым концом. Пользование линейным масштабом показано на чертеже. Ножки циркуля следует держать ближе к отвесному положению, иначе они будут скользить по бумаге, царапать ее, да и работа будет менее точна. При пользовании линейным масштабом можно обыкновенной бумажной полоской без ущерба заменить циркуль. Это не только методически целесообразно, но и практически вполне приемлемо. В стабильном учебнике геометрии необходимо было бы дать описание линейного масштаба и соответствующие упражнения и задачи. Опыт показывает, что этот вопрос, хотя и очень несложный, все же трудно воспринимается учащимися. Обычно они усваивают его формально и затрудняются в решении простейших примеров на

Черт. 1

* «Беседы до геодезии с учителями», см. указатель литературы.

определение линейного масштаба по численному и обратно, не умеют в практической работе пользоваться линейным масштабом. Необходимо, поэтому, обратить здесь на это внимание, предложив для решения соответствующие задачи.

4. Измерение расстояний шагами

Для определения длины шага учащийся должен отмерить расстояние в 50 м и в 100 м, пройти это расстояние несколько раз, затем пройденное расстояние разделить на число отсчитанных шагов. При счете шагов удобно начинать ходьбу с правой ноги и считать шаги только левой ноги. Полученное число, очевидно, надо удвоить. В порядке отчета каждый учащийся представляет учителю такие (заполненные) таблицы:

Таблица перевода шагов в метры

В армии пользуются шагомером, на циферблате которого стрелки показывают число пройденных шагов или даже готовый ответ в километрах. Изображение шагомера (немного меньше натуральной величины) дано на чертеже. Стрелок на циферблате обычно три. Простой механизм дает возможность регулировки аппарата для индивидуального пользования.

5. Определение расстояний на-глаз

Задачи по определению расстояний на-глаз следует ставить в двух формах: 1) определить на-глаз расстояние до определенной точки; 2) отложить расстояние в данное число метров.

Результат учащиеся представляют в такой таблице:

Особого внимания заслуживают такие дистанции:

1. 25 м f обычные дистанции для стрельбы

2. 50 м \ из револьвера и пистолета.

3. 100 м — расстояние часового и подчаска в полевом сторожевом охранении от полевого караула.

4. 400 м — действительный ружейный огонь одиночного бойца.

5. 700 м— действительный огонь ручных пулеметов.

6. 800 м— предельное расстояние сосредоточенного огня для поражения групповых целей.

7. 2 000 м—прицельная дальность стрельбы.

Учащиеся с интересом соревнуются в определении расстояний на-глаз. Этот интерес надо поддержать. Можно вывешивать таблицы с результатами определения расстояний на-глаз в классах. Можно организовать конкурс на лучшие показания. Конкурсные соревнования провести при втором выходе в поле, объявив о нем до первого выхода.

6. Эккер

Эккер (самодельный) и схема пользования им показана на чертежах.

Можно получить хороший портативный эккер из обыкновенной деревянной штепсельной розетки, если наклеить на нее тщательно начерченный круг с взаимно перпендикулярными диаметрами и в концах этих диаметров воткнуть по булавке. Точность эккера целесообразно проверять в поле, тут же вносить поправки.

Для первого выхода в поле необходим такой инструмент для каждой группы: 1) мерная веревка или рулетка (длиною в 10—20 м); 2) 3—5 вешек; 3) 1 флажок.

Флажок полезен для направления при провешивании прямых линий и измерении расстояний. Идущий сзади (направляющий) держит флажок и дает им впереди идущему такие сигналы по надобности: «Правее!»; «Левее!»; «Так!»

Можно пользоваться флажками для созыва группы и общей сигнализации.

Для второго выхода в поле, кроме указанных инструментов, нужен еще эккер.

ШЕСТОЙ КЛАСС

1. Работа в классе и дома

Понятие о румбе и азимуте; определение румба по азимуту и азимута по румбу; вычисление внутренних углов многоугольника по румбам его сторон; устройство буссоли; схематический разбор задач, намеченных к решению на местности; изготовление отчетов.

Черт. 2

Черт. 3 Черт. 4

II. Работа в поле Первый выход в поле

Определение ширины реки, оврага; определение расстояния до недоступной точки.

Второй выход в поле

Пользование буссолью, буссольная съемка. Нивелирование (определение высоты холма, высоты берега и пр.).

1. Астролябия

Надобно сказать, что на практике обычно не пользуются астролябией как инструментом устарелым. Астролябия осталась главным образом школьным пособием. Для практических целей фабрики их больше не изготовляют. Самодельные астролябии весьма несложны по устройству и пользованию ими. Схема образца приведена на чертеже 5.

2. Азимут

Азимутом данного направления называется, как известно, отсчитываемый по часовой стрелке угол между (направлением «Север») затемненной частью магнитной стрелки буссоли и данным направлением. Азимут, таким образом, отсчитывается от северного конца магнитной стрелки в направлении движения часовой стрелки от 0° до 360°.

Так, например, направления AB, ВС, CD и DE имеют примерно такие азимуты: 210°, 270°, 340° и 50° (черт. 6).

Примечание. В астрономии азимуты отсчитываются от точки «Юг» также в направлении часовой стрелки от 0° до 360°.

3. Румб

Румбы отсчитываются от ближайшего конца магнитной стрелки и изменяются от 0° до 90°. Так, направление AB (см. черт.) имеет румб ЮЗ: 30°, направление ВС имеет румб 3', направление CD — СЗ : 20°.

В качестве полезных упражнений рекомендуем перевод азимутов в румбы и обратно. Например:

1. Какому азимуту соответствуют румбы ЮЗ : 47°30'; СВ : 63°40'; СЗ : 58°07'.

2. Определить румбы, соответствующие азимутам в 183°43'; 226°54'; 46°08'.

3. Заполнить пустые колонки в следующей таблице

Азимут

Румб

1

102°42'

2

СЗ : 28°28'

3

350°26'

4

ЮВ : 16°40'

5

268°56'

6

Ю3:25°20'

Начертить полигон по данным в нижеприведенной таблице. Масштаб взять: в 1 см 100 м; чертеж снабдить установленного образца надписями.

Вычислить (а не измерить) все внутренние углы и найти их сумму.

AB

ЮВ:32°

390 м

ВС

ЮЗ: 43°

320 м

CD

С3:71°

220 м

DE

СЗ : 27°

175м

EF

СВ : 08°

270 м

FA

СВ : 60°

170 м

Можно ограничиться двумя-тремя такими задачами. Числовые данные брать произвольно здесь, конечно, не приходится. Данные, если они не добыты в результате непосредственных измерений, придется подбирать, тщательно проверив их предварительно. Более того, данные, полученные непосредственно измерениями на местности, вполне естественно, тоже придется проверить: почти всегда будет невязка в углах вследствие неточности измерений. Такую невязку следует разверстать по всем углам так, чтобы окончательно сумма углов многоугольника все же дала 2d (п — 2).

Решение приведенной нами задачи дано на прилагаемом чертеже 7.

4. Определение ширины реки, оврага

Задача определения ширины реки или оврага решается на местности построением прямоугольного равнобедренного треугольника (черт.) тогда искомое расстояние равно AB. Вдоль берега реки провешивается прямая, перпендикулярная направлению АС. По этой провешенной прямой направляется ученик, который, визируя все время на Л и на С с помощью равнобедренного прямоугольного чертежного треугольника, не увидит эти точки по направлению гипотенузы и катета. Схема показана на чертеже 8.

Черт. 5

Черт. 6

Черт. 7

Черт. 8

Можно эту задачу решить и другим путем. Для этого мы на направлении, перпендикулярном к ЛС, откладываем два произвольных, но равных отрезка АО и OB. В точке В строим перпендикуляр к AB и на нем находим точку, которая находится на одной прямой с О и С. Ясно, что ВК = АС. Схема показана на прилагаемом чертеже.

Этот способ дает более точный результат, чем первый, но он более громоздок в выполнении, а иногда условия местности делают применение этого способа совершенно невозможным (крутой берег и невозможность построения ВК и т. д.).

5. Нивелирование

Для простейшего нивелирования потребуется:

1) уровень или ватерпас; 2) планка длиною в полтора-два метра (в зависимости от того, через какие расстояния будут делаться промеры); 3) рейка двухметровая (та же планка с нанесенными на ней делениями).

Схема работы показана на чертеже 10. Очевидно, что искомая высота:

СЕДЬМОЙ КЛАСС

I. Работа в классе и дома

Изготовление самодельных эклиметра и астролябии; схематический разбор задач, намеченных к решению на местности; изготовление отчетов.

II. Работа в поле

Первый выход в поле

Пользование эклиметром, определение крутизны ската; определение высоты предмета, к основанию которого можно подойти.

Второй выход в поле

Съемка полигона астролябией.

I. Эклиметр и пользование им

Эклиметр служит для измерения углов на местности в вертикальной плоскости. В качестве простейшего эклиметра может быть использован обыкновенный транспортир, если прикрепить к нему ниточку с грузом, как показано на чертеже 11.

Пользование таким эклиметром (для определения крутизны ската) видно непосредственно из чертежа и основано, как это не трудно усмотреть, на равенстве углов, у которых стороны соответственно перпендикулярны.

Определение высоты предмета (стены, дерева), к основанию которого можно подойти, показано на прилагаемом чертеже 13.

Необходимый инструмент, кроме мерной веревки, — равнобедренный прямоугольный чертежный треугольник. Искомая высота, как видно из чертежа, равна d+й, т. е. расстоянию до предмета, сложенному с высотой глаза наблюдателя (длиной катета чертежного треугольника можно пренебречь).

ВОСЬМОЙ КЛАСС

I. Работа в классе и дома

Изготовление мензулы с принадлежностями; определение площади прямолинейных фигур по их изображению на плане; схематический разбор задач, намеченных к решению на местности; изготовление отчетов.

II. Работа в поле Первый выход в поле

Определение высоты предмета по его тени; определение расстояния до недоступной точки (с помощью подобия треугольников); построение на местности прямого угла по способу гарпедонаптов.

Второй выход в поле Мензульная съемка полигона.

II. Определение высоты предмета по его тени

Если считать лучи, идущие от солнца параллельными, то, очевидно углы а и а, будут равны, но тогда показанные два прямоугольных треугольника подобны, следовательно,

Здесь X — искомая высота; k — высота шеста Ï,—тень от объекта, высоту которого требуется определить; *2 —тень от шеста.

Вычисления упростятся, если взять шест длиной в один метр (£= 1).

Черт. 9

Черт. 10

Черт. 11

Черт. 12 Черт. 13

Черт. 14

2 Определение расстояния до недоступной точки с помощью подобия треугольников

Пусть требуется определить расстояние AB. Задачу можно решить так. Провешивается прямая, перпендикулярная AB, и на ней берутся две произвольные точки С и D. На перпендикуляре к AD в точке D выбирается точка Е так, чтобы она находилась на одной прямой с В и С. Из подобия треугольников ABC и CDE следует, что

Точки С и Д очевидно, можно подобрать так, чтобы не усложнять без надобности вычисления.

3. Мензульная съемка полигона

Ограничимся полярным способом, т. е. ограничимся случаем съемки полигона из точки, находящейся внутри него (на чертеже точка S). Очевидно, точку эту надо выбрать так, чтоб из нее были видны все вершины и чтоб все расстояния этой точки до вершин можно было измерить непосредственно. Остается только установить горизонтально доску (буквальный перевод латинского слова mensula — столик) — мензулу, укрепить на ней бумагу, на которую нанести точку s так, чтобы она пришлась против точки S на местности. Если теперь с помощью линейки (трехгранной) нанести на бумагу прямые линии, направленные от 5 к вершинам полигона, отложить на них от точки s расстояния до соответствующих вершин в каком-нибудь масштабе и, наконец, концы полученных таким образом отрезков соединить отрезками прямых линий, то получим на бумаге многоугольник, подобный многоугольнику на местности, что не трудно показать. Этот способ съемки полигона, не отличаясь большой точностью, все же применяется на практике, так как, будучи графическим, он имеет и свои преимущества.

Показанная на чертеже алидада с диоптрами может быть заменена обычной масштабной трехгранной линейкой, верхнее острое ребро AB которой используется для визирования.

ДЕВЯТЫЙ КЛАСС

I. Работа в классе и дома

Определение длины криволинейного контура помощью вписывания ломаной линии; знакомство с курвиметром и пользование им; схематический разбор задач, намеченных к решению на местности; изготовление отчетов.

II. Работа в поле

Первый выход в поле

Эккерная съемка криволинейного контура.

Второй выход в поле

Определение расстояния до недоступной точки с помощью решения прямоугольного треугольника.

1. Измерение криволинейного контура

Длина криволинейного контура вычисляется по плану (карте) приближенно, помощью вписанной в эту кривую ломаной. Фактически вписывать ломаную не приходится, так как берут раствор циркуля, равный определенной части основания масштаба, и «шагают» вдоль кривой. На чертеже это показано. Раствор циркуля здесь взят в одну пятую часть основания масштаба. Таким образом, один «шаг» в данном случае соответствует 100 м в натуре. Такое расстояние уложилось на прилагаемом чертеже 16 раз. Следовательно, искомая длина AB приблизительно равна 1 600 м.

Ясно, что чем меньше раствор циркуля, тем точнее будет результат.

2. Курвиметр

На практике пользуются инструментом, который называется курвиметром. Существует много конструкций курвиметра, но все они, в конце концов, основаны на принципе замены кривой определенным образом вписанной в нее ломаной. На чертеже 20

Черт. 15

Черт. 16

Черт. 17

Черт. 18

Черт. 19

Черт. 20

изображен распространенный у нас курвиметр с колесиком. Его колесико а соединено зубчатой передачей со стрелкой на циферблате, на котором нанесены деления. Если катить курвиметр его колесиком по карте, то стрелка придет в движение по циферблату. Шкалы на циферблатах разных курвиметров различны. На некоторых стрелка показывает число пройденных сантиметров, на других—число километров измеренной линии для наиболее употребительных масштабов.

Работа с курвиметром очень удобна, ответы получаются значительно быстрее и точнее, чем при работе циркулем. Работы с курвиметром учащиеся выполняют особенно охотно.

В качестве первой работы курвиметром можно задать учащимся проверку его. Для этого измеряют им прямолинейный отрезок в 20 см три раза. Среднее арифметическое не должно дать расхождения большего чем 1 мм.

В магазинах Снабосоавиахима курвиметр стоит около 20 руб.

Эккерная съемка криволинейного контура чрезвычайно проста. Схема работы показана на чертеже 21. MN — криволинейный контур, AB— провешенная вспомогательная прямая.

3. Определение расстояния до недоступной точки с помощью решения прямоугольного треугольника

Для определения расстояния от точки А до недоступной точки В достаточно отложить на направлении, перпендикулярном к AB, произвольной длины отрезок ЛС, а затем измерить угол С. Искомое расстояние AB не трудно определить либо графически (вычертив в определенном масштабе прямоугольный треугольник ABC по катету АС и острому углу С), либо решением прямоугольного треугольника.

ДЕСЯТЫЙ КЛАСС

I. Работа в классе и дома

Схематический разбор задач, намеченных к решению на местности, изготовление отчетов.

II. Работа в поле

Первый выход в поле

Определение высоты предмета, основание которого недоступно, с помощью решения косоугольного треугольника.

Второй выход в поле

Определение расстояния между двумя недоступными точками.

1. Определение высоты предмета, основание которого недоступно, с помощью тригонометрии

Как видно из чертежа, задача сводится к определению высоты На треугольника ABC по стороне его AB и двум углам: CAB и ABC. Искомая высота х — На\ Л, где На — высота треугольника ABC (опущенная из вершины С), h — высота эклиметра. В поле придется сделать три промера:

1) определение длины AB (оно может быть отложено произвольно);

2) измерение (эклиметром) угла а;

3) измерение (эклиметром) угла ß.

2. Определение расстояния между двумя недоступными точками

В поле придется сделать пять измерений а именно:

План решения задачи, очевидно, такой:

1. По стороне CD треугольника CBD и двум углам ф2 и а. + а2) определить сторону BD.

2. По стороне CD треугольника ACD и двум углам (а2 и ßt —|-ß2) определить сторону AD.

3. Зная теперь стороны BD и AD (треугольника ABD) и угол а, между ними, можно определить, наконец, искомое расстояние AB.

Черт. 21

Черт. 42

Черт. 23

Черт. 24

УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ

Адамар Ж. — Элементарная геометрия, ч. II, книга X. Учпедгиз, 1938.

Албычев П. В. — Межевые приборы (из серии «Сам себе мастер», № 47—48), изд. «Работник просвещения», 1928 г.

Албычев П. В. — Юный землемер. Съемки планов и карт простыми приемами и с помощью самодельных инструментов. Библиотека журнала «В мастерской природы» — «Для умелых рук», Л., 52 стр.

Витковский В.— Топография. Изд. 3-е. Военно-топографическое управление, 1928 г.

Владимирский Г. А.—Практические работы по геодезии для ФЗС и ШКМ. Инструктивные карточки. Изд. «Работник Просвещения». М., 1930 (40 карточек).

Воронец А. М.— Простейшие работы по землемерию для сельских школ первой ступени. СИЗ, 1927, 71 стр.

Голицын — Хочу быть топографом. 1936.

Гостев И. — Математика и оборона страны. М., 1930.

Знаменский М. А.— Беседы по геодезии с учителями. Учпедгиз, 1931, 120 стр.

Знаменский М. А,— Землеизмерительным инструменты и работа с ними в средней школе. Учпедгиз, 1933, 39 стр.

Знаменский М. А.— Математика летом 1918 г., 24 стр.

Знаменский М. А. и Попов Н. А.— Введение в геодезию. Пособие для высших педагогических учебных заведений. Учпедгиз, 1934, 134 стр.

Зырянов и Малов — Геодезические инструменты и их простейшие применения. 1931.

Карасев П. А. и Попов П. И.— Элементы простейших измерительных приборов. (Пособие для разработки в школах 1 и II ступени.) Изд. АОНАПО.

Карасев П. А. и Попов П. И.— Сам измеряй и вычисляй. Гиз, 1926.

Карасев П. А.—Работа в школе с миллиметровой бумагой. Гиз, 1927, 37 стр.

Карасев П. А.— Наша деревня. Сборник работ и упражнений по математике на основе исследования и изучения родной деревни. Гиз, 1927, 94 стр.

Кемпинский Г.— Жизненная геометрия. М., 1925.

Кнак П. — Практическая геометрия. 1924.

Козлов Н. И., проф.— Геометрия для сельских школ. Гиз, изд. 2-е, 1927, 207 стр.

Козлов Н. И.—Задачи и упражнения по математике в сельской школе. Л., Гиз, 1925, 190 стр.

Козлов Н. И.—Простейшее землемерие. Гиз, 1923, 90 стр.

Колтановский А. Д.— Общедоступное землемерие. Популярное изложение элементарных геодезических задач, решаемых с помощью только одной веревки или веревки и эккера домашнего приготовления. Изд. 4-е. СПБ, 171 стр.

Крюкович — Практические работы по теме «Подобие фигур».

Лебедев — Как научиться самому измерять землю. 1926.

Мартин П. и Шмидт О.—Геометрия дома, поля и мастерских. Гиз, 1923, 120 стр. Перевод с немецкого В. А. Крогиус.

Маслов А. В. и Юровский Я. И.— Пособие по измерению площадей земельных участков. Сельхозгиз. М., 1936, 139 стр.

Минервин — Математика на экскурсиях. 1927.

Нагибин Ф.— Глазомер на уроках геометрии. Журн. «Математика в школе». 1935, № 4, стр. 72—76.

Орлов П. М. — Как мерить и делить землю. (Пособие для учителей и крестьян.) Гостехиздат, 1927, 76 стр.

Орлов С.— Первые работы по измерению земли (руководство для трудовых школ). Гиз, 1926, 71 стр.

Орлов П. М.—Деление площадей.

Поллинен И.— Элементы военного дела на уроках математики. 1931.

Перельман Я. И.—Практические занятия по геометрии. 1924.

Попов Г. Н.— Как применялась и применяется тригонометрия на практике. Гиз, 1931, 88 стр.

Программы ФЗС 1932 г. Математика.

Рорберг. — Треугольник него применение в жизни.

Румянцев В.— Топография в пионеротряде. Изд. «Молодая гвардия», 1928.

Свенцицкий В.— Военная топография. (Учебник по высшей военной допризывной подготовке.) Изд. 3-е. 1931.

Свенцицкий В.— Военная топография в математике. (Учебно-методическое пособие с 33 чертежами в тексте.) Учпедгиз. 1932, 47 стр.

Свенцицкий В.—Занимательная топография. Гиз. 1929, 55 стр.

Свенцицкий В.—Военно-глазомерная съемка, ее необходимость и способы производства. 1921.

Свенцицкий В. и Бессонов П.— Топография в задачах. Гиз, изд. 2-е, 1928 г., 194 стр.

Свенцицкий В. и Михеев С.— Геометрия в поле. Гиз, 1929, 39 стр.

Скосаревский — Разведка. 1925 г.

Соколовский С.— Методика занятий по топографии в поле. Изд. 2-е, Гиз, 1928, 115 стр.

Соловьев С. М.— Курс низшей геодезии:

Теодори Г.— Военно-топографические разведки. 1927.

Шебалин Д.—Топография (начальные сведения). Военгиз, изд. 4-е, 1940, 79 стр.

Шемянов Н. Н.— Математические экскурсии. Иваново-Вознесенск, 1925, 53 стр.

Шильбах К. и Свенцицкий В.— Военные разведки. 1927, 192 стр.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ БЫСТРОГО УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ

И. КИРНАРСКИЙ (Москва)

Овладение «быстрым счетом», т. е. умением быстро и безошибочно производить устные и письменные вычисления, имеет большое практическое значение, являясь в то же время существенным фактором в деле повышения общего уровня математического развития.

Практическое значение «быстрого счета» заключается в экономии труда и времени, затрачиваемых на производство вычислений, их проверку и исправление. Эта экономия оказывается на практике весьма значительной при производстве массовых расчетов в планово-статистических, сметно-проектных и тому подобных организациях даже в условиях широкого применения разного рода счетных механизмов и приборов (арифмометров, счетов, таблиц и др.). Не меньшее значение имеет «быстрый счет» для индивидуальной работы — при занятиях математикой и решении задач. Умение хорошо считать, сводя вычисления к несложной, быстро и безошибочно выполняемой технической операции, позволяет сосредоточить все внимание на существе задачи. Нередко бывает, что особенности и соотношения задаваемых чисел сами подсказывают владеющему «быстрым счетом» правильные пути решения задачи. Несомненна практическая ценность навыков быстрого счета в любой производственной работе и в быту.

Навыки «быстрого счета», основанные в значительной мере на особых приемах, учитывающих индивидуальные особенности чисел, вырабатывают столь ценное для повышения математической культуры «чувство числа», математическую память и глазомер. Не менее важным, чем быстрое производство вычислений, является достигаемое в результате овладения «быстрым счетом» уменье проверить результат, сразу найти и исправить ошибки, будь то в своих или чужих расчетах.

Отметим здесь, что знаменитый Гаусс, великий «princeps mathematicorum» придавал большое значение «быстрому счету» и сам изумительно считал, прибегая к особым приемам, которые он называл «artificia specialia».

Чтобы научиться хорошо считать, требуется наряду с очень умеренной тренировкой знание основ методики «быстрого счета», т. е. наиболее рациональных приемов счетного процесса.

В настоящей статье излагаются основные приемы рационального умножения и деления. Особенностью излагаемой системы упрощенного умножения является то, что большое количество существующих разрозненных и трудно запоминаемых правил объединено в едином принципе «двустороннего округления».

Почти все предлагаемые здесь приемы быстрого умножения и деления применимы как при устном, так и при письменном счете. Под устным счетом следует понимать нахождение конечного результата без промежуточных вычислений на бумаге, причем окончательный результат не обязательно писать сразу, а можно отыскивать и постепенно, цифра за цифрой, как это имеет место при сложении столбика цифр «глазами» или при умножении «крестиком» (метод Ферроля).

Во многих случаях упрощенные приемы в такой мере облегчают вычисление, что оно может и должно быть выполнено устно. В более сложных случаях требуется частичное выполнение на бумаге промежуточных действий, которое носит обычно вспомогательный характер (полуписьменный счет). Наряду с этим существуют и упрощения чисто технические, предназначенные специально для ускорения письменных вычислений.

А. УМНОЖЕНИЕ

Методы упрощенного умножения можно разбить на 3 основных вида:

1. Элементарные упрощения, основанные на учете особенностей одного из сомножителей.

2. Упрощения, основанные на «двустороннем округлении» обоих сомножителей.

3. Умножение по методу Ферроля.

Раздел 1. Элементарные упрощения с учетом особенностей одного из сомножителей

Эти упрощения основаны на том, что нередко бывает выгодно рассматривать один из сомножителей: 1) как сумму или разность двух чисел, из которых одно является «круглым» числом, либо 2) как частное от деления «круглого» числа на другое небольшое число (а иногда как произведение двух чисел).

Под «круглым» числом понимается прежде всего единица с нулями (абсолютно круглое число), затем любая одна или несколько цифр с нулями в конце. При округлении для упрощения вычислений необходимо стремиться к получению абсолютно круглого числа или же круглого числа с минимальным количеством значащих цифр перед нулями.

Рассмотрим отдельно оба указанные выше случая целесообразной замены сомножителя: 1) суммой — разностью, 2) частным двух чисел.

§ 1. Сомножитель 9 следует рассматривать, как 10—1. Чтобы умножить на 9, проще всего приписать к множимому нуль (или воображать нуль приписанным) и вычесть множимое.

Пример 1. Пример 2.

Условимся, что знак «—», поставленный над одной или несколькими цифрами, означает, что они приписываются к стоящему перед ними числу.

В первом примере мы на 9 умножили 568, во втором — 38478, причем во втором примере мы нуля не приписали, а лишь расположили вычитаемое на один разряд правее.

При некотором навыке можно поступать еще проще и не подписывать множимого под множимым, а производить последовательное вычитание (начиная справа) каждой цифры множимого из правее стоящей цифры. Цифру единиц надо вычесть из нуля (воображаемого приписанным). После того как крайняя левая цифра вычтена из правее ее стоящей цифры, в результат вписывается крайняя левая цифра (либо на единицу меньшая), как если бы из нее вычитался левее стоящий (воображаемый) нуль. Таким образом, следует вообразить при применении способа последовательного вычитания приписанные по обоим концам множимого нули.

В примере 2 следовало бы поступать так: 38478 X 9 = 346302.

Вычитаем 8 из 0, пишем 2, занимаем 1; вычитаем 1 (занятую единицу) плюс 7 из 8, пишем 0; вычитаем 4 из 7, пишем 3; вычитаем 8 из 4, пишем 6, занимаем 1; вычитаем 1+3 из 8, пишем 4; вычитаем 0 из 3, пишем 3.

Помножим 317 на 9.

Вычитаем 7 из 0, пишем 3; вычитаем 1 + 1 из 7, пишем 5; вычитаем 3 из 1, пишем 8; вычитаем 1 (занятую единицу) из 3, пишем 2. Ответ 2853.

Чтобы умножить на 9 в уме, надо из множимого вычесть множимое без крайней правой цифры, увеличенное на единицу, и к результату приписать дополнение до 10 цифры единиц множимого. Так, в первом примере надо из 568 вычесть (56+1) и к полученной в уме разности 511 приписать справа 2 как дополнение до 10 цифры единиц множимого. Устное умножение на 9 облегчается в тех случаях, когда а) цифру десятков множимого составляет 9 (например, 596 X 9 (=)* 596 - 60 = 5364; б) цифра десятков множимого на единицу меньше цифры единиц_, например, 478X9 (=) 478 — 48 = 4302.

По этому же принципу надо множить на 99, 999 ит. д. К множимому приписывается 2 или 3 нуля и вычитается множимое (лучше, конечно, нулей не приписывать, а лишь расположить вычитаемое на 2 или 3 разряда вправо от уменьшаемого, чтобы 2 или 3 цифры как бы «повисли» вправо от множимого).

Пример 1. Пример 2.

Умножение на 99 методом последовательго вычитания производится, как и при ножении на 9, с тем различием, что каждая цифра множимого вычитается не из рядом стоящей вправо цифры, а из стоящей через цифру. Приписанными по обоим концам множимого надо вообразить не по одному, а по два нуля.

Например 7263 X 99 = 719037.

Вычитаем 3 из 0, пишем 7; вычитаем 1 («занятую») + 6 из 0, пишем 3 и т. д.

Устное умножение производится по аналогии с приемом, указанным для умножения на 9. Чтобы умножить в уме на 99, 999, из множимого вычитают множимое без последних двух (или трех) цифр, увеличенное на единицу, и приписывают справа дополнение до 100 (1000) этих двух (трех) цифр множимого.

Например, чтобы умножить в уме 5677 на 999, из 5677 вычитаем (5+1) и к разности 5671 приписываем 323 (дополнение до 1000 числа 677). Ответ 5671323.

Естественно применить указанные методы и для умножения на двухзначные числа, оканчивающиеся на 9. Но, чтобы сделать умножение по этому способу эффективным, важно применить следующее техническое упрощение, заключающееся в том, что само множимое рассматривается как частное произведение от умножения множимого на единицу в любом разряде множителя. Так, например, умножение на 31; 13; 133; 301; 108 выполняется так:

При умножении на двузначное число, оканчивающееся на 9, множимое надо умножить на цифру десятков множителя, увеличенную на единицу, и результат надписать над множимым, как видно из следующих примеров:

Пример 1. Пример 2.

В первом примере 712 умножалось на 39, во втором на 79.

Аналогичными приемами производится умножение на трехзначные и более высокого порядка числа, близкие к абсолютно круглому числу (единица с нулями) или на числа, оканчивающиеся на 99.

Пример 1. Пример 2.

Легко также умножать на 91, если рассматривать 91, как 101 — 10. К множимому,

* Примечание. Условимся применять символ (=) для обозначения промежуточных операций, не дающих окончательного ответа.

умноженному на 100, прибавляется множимое, и из результата вычитается множимое, увеличенное в 10 раз. Так, чтобы умножить на 91 число 58, пишем:

Чтобы умножить трехзначное число, по ступаем так:

Аналогичным образом можно множить на 901 (1001-10).

Значительно упрощается умножение в тех случаях, когда цифры множителя кратны одна другой. Так, чтобы умножить на 842, надо, помножив множимое на 2, умножить полученное частное произведение на 2, и второе частное произведение опять таки помножить на 2. Так же поступают и при умножении на 369 (множат сперва на 3, затем удваивают и утраивают полученное произведение, причем в этом случае все частные произведения располагаются уступами не влево, а вправо). Покажем этот прием на более сложном примере умножения на 4816:

Сперва умножаем на 4, полученное произведение удваиваем (так как 8 вдвое больше 4, и второе произведение также удваиваем), так как 16 вдвое больше 8.

Следует иметь в виду, что необязательно умножать на цифры множителя, идя справа налево, т. е. начиная с цифры единиц множителя. Можно множить (и многими это рекомендуется) в обратном порядке, начиная с цифры высшего разряда множителя.

Применение указанных в этом разделе несложных и понятных приемов при их надлежащем освоении намного ускоряет действие умножения. Важно лишь не сбиваться в расположении частных произведений, что требует известного внимания.

§ 2. В ряде случаев целесообразно рассматривать множитель как частное от деления абсолютно круглого числа на 2, на 4 или на 8. К таким множителям относятся: 5; 25; 125 и все другие числа этого вида (например: 500; 250; 12500, а также десятичные дроби 0,05; 2,5; 12,5; 0,0125 и т. п.).

Вместо умножения на 5 можно, приписав к множимому нуль, разделить его на 2 (приписка нуля может быть «воображаемая»). Практически надо поступать так: если множимое четное, надо разделить его на 2 и приписать к частному нуль. Если множимое нечетное, приписывают к частному (взятому с «недостатком») 5.

Вместо умножения на 25, делят множимое на 4. Если множимое кратно 4, к частному приписываются два нуля. Если остаток от деления множимого на 4 равен 1, приписывают 25; если остаток равен 2, приписывают 50; если он равен 3, приписывают 75.

Вместо умножения на 125, делят множимое на 8. Если множимое кратно 8, к частному приписываются три нуля. Если имеется остаток г, к частному приписывается 125 г.

Пример 1. Пример 2. Пример 3. Пример 4.

Пример 5. Пример 6.

Не трудно понять, что таким же образом производится умножение на числа, кратные 25 и 125, например на 75, 175, 375, 625, 875. Надо лишь множимое сперва еще умножить на частное от деления указанных множителей на 25 или соответственно на 125 (если множимое кратно 4 или 8, то умножение на указанное частное производится в конце вычисления, т. е. после деления на 4 или 8).

Пример 1. Пример 2. Пример 3. Пример 4. Пример 5.

Пример 6.

Пример 7. Пример 8.

Пример 9.

Смысл этого приема легко усвоить, если помнить, что

Этот прием можно использовать и при умножении на числа, близкие к указанным, если множимое кратно 4 или 8, например:

Если множимое — небольшое число, кратное 2, то умножение его на число, кратное 5, производится аналогичным приемом. Множимое делится в уме на 2, множитель в уме удваивается, после чего полученные числа перемножаются.

Как увидим ниже, такого же рода «обратный» процесс применяется при делении на 5, на 25 или 125. Деление заменяется умножением.

Замена умножения делением может применяться и в случаях, когда множителем является число, состоящее из одних единиц, как, например, 11, 111, 1111, 11111.

Вообще говоря, умножение на 11 следует производить устно, способом последовательного сложения, написав в ответе цифру единиц множимого, приписав к ней слева сумму единиц и десятков, далее — сумму десятков и сотен множимого и закончив записью цифры высшего разряда множимого.

Пример 1. 34482 X И = 379302.

Сперва в ответе пишем цифру единиц множимого, то есть 2. Затем складываем цифру единиц и десятков (2 + 8), пишем 0, замечаем 1; к этой единице прибавляем 8 + 4, получаем 13, и т. д. Заканчиваем тем, что выписываем первую слева цифру множимого, то есть 3.

Точно так же находим, что 84596 X 11 = 930556 (последней в ответе оказывается цифра 9, а не 8, так как добавлена «замеченная» единица, оставшаяся от предыдущего сложения). Чтобы понять этот прием, надо вообразить, что к множимому с обоих концов приписано по нулю и все цифры складываются попарно.* Прием, совершенно аналогичный способу «последовательного вычитания» при умножении на 9. Только вместо вычитания каждой цифры множимого из стоящей правее производится сложение обеих цифр.

Не трудно догадаться, что аналогичным способом можно устно умножить на 111: складываются все смежные цифры по-трое, исключая крайние 2 цифры с каждого конца множимого, которые складываются попарно, и исключая первую и последнюю цифру множимого, которые самостоятельно переносятся в ответ. Так, 4329 X Ш = 180519 (пишется в ответе сперва 9, затем влево ставятся цифры, являющиеся результатом следующих действий: 9 + 2; 9 + 2 + 3; 2 + 3 + 4; 3 +4; наконец, ставится 4). Вообразив приписанными с обоих концов множимого по два нуля, надо все цифры последовательно складывать по-трое.

Важно помнить, что 111 = 3-37. Это облегчает часто умножение на 37. Так 18X37 =

Уменье устно умножить на 11 делает весьма простым умножение на 89, на трехзначные числа, оканчивающиеся на 89, и, в особенности, умножение на 989. Так,

Пример Пример

Выше указан был способ умножения на 111 способом последовательного сложения. Однако умножение на 111, и тем более чисел более высокого порядка, состоящих из единиц, можно производить и так: делим множимое на 9, приписываем к частному столько раз остаток, сколько раз единица повторяется во множителе (если множимое кратно 9, приписываются нули), затем вычитаем частное от деления множимого на 9.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Основано это на следующем: пусть задано умножить а на (1 + 10 + 100 + ... + 10л). Представим а в виде 9? +г. Множитель

может быть представлен как

Тогда

что и требовалось доказать.

Еще проще выполняется умножение на число, состоящее из одних троек (333; 3333; 33333 и т. д.). Вместо деления на 9 множимое делится в этом случае на 3.

Весьма интересно и изящно умножение любого двузначного числа, сумма цифр которого равна 10, на любое число, состоящее из одних и тех же цифр. Ответ получается, если а) цифру десятков множимого, увеличенную на единицу, помножить на цифру, повторяющуюся в множителе; б) приписать справа множитель без 2 цифр; в) приписать в конце произведение цифры единиц множимого на повторяющуюся во множителе цифру.

Пример 1. Пример 2.

Пример 3.

Принцип, примененный для умножения на число, состоящее из одних единиц или одних троек, может быть использован и для умножения на многие другие множители. Так, зная, что 143X7=1001, мы, чтобы умножить число на 143, делим его на 7; если оно делится без остатка, приписываем к

частному три нуля, затем складываем результат с частным от деления на 7. Если же множимое не кратно 7, мы дополнительно прибавляем остаток, умноженный на 143.

Пример 1.

Пример 2. Пример 3.

Пример 4.

В заключение этого раздела укажем на случаи, когда целесообразно рассматривать один из сомножителей как произведение 2 чисел. Это выгодно в тех случаях, когда при умножении множимого на одно из этих чисел получаем число, содержащее посредине нуль.

Пример1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Напоминаем здесь, что, как указывалось раньше, всякое число, у которого цифра единиц больше на 1 цифру десятков, при умножении на 9 дает в произведении число, цифра десятков которого равна нулю (см. пример 5).

Раздел II. Метод «двустороннего округления» обоих сомножителей

Приведенные в разделе 1 упрощения имеют сравнительно ограниченный круг применения. Они охватывают в основном лишь те случаи, когда один из сомножителей весьма тесно связан с абсолютно круглым числом, представляя собою 1) сумму или разность такой «круглой» величины и малого однозначного числа, или 2) частное от деления «круглого» числа на определенные числа (на 2; на 4; на 8 и др.).

Дальнейшим развитием системы упрощенного умножения является метод «двустороннего округления», основанный на учете особенностей обоих сомножителей в их взаимной связи и допускающий довольно широкое применение.

Прием заключается в том, что оба сомножителя заменяются другими, получаемыми в результате прибавления к одному и вычитания из другого сомножителя одного и того же небольшого числа, которое условимся называть «округлителем» (k). Эта замена делается с расчетом, чтобы оба новых сомножителя, или хотя бы один из них, стали «круглыми» числами.

Новые сомножители перемножаются, и к их произведению прибавляется или из него вычитается произведение «округлителя» на разность между большим из заданных сомножителей и новым числом, полученным из меньшего сомножителя. Сложение делается тогда, когда «округлитель» был прибавлен к большему из заданных сомножителей; вычитание—в противоположном случае.

Этот прием основан на следующем основном тождестве (№ 1):

Если я<0 — k (т. е. если округлитель прибавлен к меньшему из сомножителей), предыдущее тождество принимает следующий вид:

Метод «двустороннего округления» упрощает умножение в двух случаях.

1. Двустороннее округление выгодно применять к сомножителям, у которых сумма единиц равна 10, так как в этом случае оба сомножителя, после округления (принимая «округлителем» меньшую цифру единиц), будут «круглые».

Если один из сомножителей примем равным ЮЛ + k, то другой, очевидно, может быть представлен в виде \0В — k. После округления новые сомножители будут «круглые»: ЮЛ и 103.

Согласно приведенному выше основному тождеству (№ 1), имеем:

Так, чтобы умножить 78 на 42, надо, применив «округлитель» 2, помножить 80 на 40 и к произведению добавить 2 (78 — 40).

Умножение 72 на 48 выполняется так:

Вычитание здесь делается потому, что в сторону увеличения округлен меньший из сомножителей.

Еще легче выполнить умножение, если один из сомножителей оканчивается на единицу (другой, следовательно, на 9):

Пример 1.

Пример 2.

Этим приемом можно умножать и трехзначные числа на двузначные.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Однако, умножение по этому способу трехзначного на двузначное число труднее умножения двух двузначных, так как, поскольку данный прием понижает количество значащих цифр каждого сомножителя только на одну, приходится множить двузначное число на однозначное и к произведению добавлять или из него вычитать произведение однозначного числа (округлителя) на трехзначное.

Еще труднее помножить два трехзначных числа, поэтому прием двустороннего округления можно рекомендовать здесь лишь тогда, когда один или оба трехзначных сомножителя близки к числу с двумя нулями (к сотням).

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

В основном же, указанный прием чаще всего с наибольшим эффектом применяется для перемножения двузначных чисел, при этом, умножение чрезвычайно облегчается, если цифра десятков у обоих сомножителей одинаковая.

В самом деле, приняв один сомножитель равным 10Л + & и другой равным lOA+ä, и имея k + kx = 10 (k приходим, согласно основному тождеству № 1 к следующему:

Следовательно, умножение делается так: цифра десятков умножается на число, которое больше ее на единицу, и справа приписывается произведение единиц обоих сомножителей (если сомножители оканчиваются на 1 и на 9, приписывается «09»).

Пример 1.

Пример 2. Пример 3. Пример 4. Пример 5. Пример 6. Пример 7.

Этим способом легко перемножить и небольшие трехзначные или близкие к круглым трех- и четырехзначные числа, у которых сумма единиц равна 10, а остальные цифры одинаковы:

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6.

Пример 7.

Пример 8.

2. Из изложенного видно, что умножение тем легче, чем меньше разность между перемножаемыми числами, так как тем легче скорректировать (путем сложения или вычитания) произведение новых сомножителей, чтобы получить искомое произведение заданных чисел.

На этом основан метод упрощенного умножения второй группы случаев, а именно умножение двух чисел, весьма близких к одному и тому же круглому числу, хотя бы сумма цифр единиц у них и не равнялась 10.

Круглое число, к которому близки оба сомножителя, будем называть «базой». Если число больше «базы», разность будем называть «избытком», если меньше — «нехваткой».

Здесь возможны 3 варианта: 1) оба сомножителя больше «базы»; 2) оба меньше ее, 3) один больше, другой меньше.

Умножение производится согласно следующим тождествам, вытекающим из основного (№ 1).

Особенно легко выполняется умножение, если оба сомножителя близки к абсолютно круглому числу, т. е. к единице с нулями. В этом случае поступают так.

Вариант 1. К одному (любому) из сомножителей прибавляют «избыток» другого и справа приписывают произведение «избытков». Приписывают ровно столько цифр, сколько содержится нулей в «базе». Поэтому, если произведение «избытков» содержит меньше цифр, чем имеется в «базе» нулей, недостающее количество заменяется нулями, которые вставляются перед произведением избытков. Если же произведение «избытков» содержит больше цифр, чем имеется в «базе» нулей, первая (слева) цифра этого произведения прибавляется к числу, к которому делается приписка.

Вариант 2. Из одного (любого) сомножителя вычитается «нехватка» второго и справа приписывается произведение «нехваток». В остальном то же, что и в варианте 1.

Вариант 3. Из большего сомножителя вычитается «нехватка» меньшего (или к меньшему прибавляется «избыток» большего, что равносильно), затем справа приписывается столько нулей, сколько их содержится в «базе», и из полученного числа вычитается произведение «избытка» на «нехватку».

Поясним это на примерах (для наглядности в отдельных примерах над сомножителями надписаны избытки и нехватки).

Вариант 1

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Вариант 2

Пример 6.

Пример 7.

Пример 8.

Пример 9.

Пример 10.

Пример 11.

Вариант 3

Пример 12.

Пример 13.

Пример 14.

Пример 15.

Пример 16.

Пример 17.

Особого внимания заслуживают последние 3 примера, в которых «избыток» и «нехватка» равны. При округлении получаются одинаковые сомножители. Вычитанию подвергается опять-таки произведение одинаковых чисел («избытка» на «нехватку»). Иным путем приходим к известному из алгебры тождеству: (а + Ь) (а — Ь) = а2 — Ъ\

Выше приводились правила перемножения 2 чисел, весьма близких к абсолютно круглому числу, т. е. к единице с нулями. Так же перемножаются и числа, близкие к любому круглому числу, содержащему перед нулями возможно меньшее количество значащих цифр. (Легче всего, конечно, если имеется только одна значащая цифра.) В последнем случае один из сомножителей, увеличенный на избыток или уменьшенный на нехватку другого сомножителя, умножается на значащую цифру «базы», после чего приписывается произведение избытков или нехваток (варианты 1 и 2), либо вычитается (после приписки нулей) произведение избытка на нехватку (вариант 3). Встречающиеся здесь 3 варианта совершенно аналогичны приведенным выше.

Вариант 1

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6.

Пример 7.

В последних двух примерах «базой» являлось круглое число с двумя значащими цифрами (250 и 1500).

Вариант 2

Пример 8.

Пример 9.

Пример 10.

Пример 11.

Пример 12.

Иногда умножение может быть выполнено по усмотрению либо с избытками (вариант 1), либо с нехватками (вариант 2), в зависимости от избираемой базы. Так, в последнем примере можно было базой выбрать 30, и умножение приняло бы следующий вид:

По правилам, приведенным для первого и второго вариантов, производится возвышение числа в квадрат.

* Примечание. Цифра 8 заключена в скобки и подлежит замене цифрой 9, так как 11 X 17 = 187, приписать же можно только две цифры (87).

** Примечание. Согласно сказанному ранее, 76-74 («) 7 8 = 5624.

* Умножение 22 на 28 производится, конечно, по правилу, умножения чисел с одинаковым количеством десятков, у которых сумма цифр единиц равна 10.

Вариант 3

Пример 13.

Пример 14.

Пример 15.

Пример 16.

Пример 17.

Раздел III. Метод Ферроля

Изложенные в разделах I и II методы быстрого умножения облегчают в ряде случаев умножение до такой степени, что оно, как правило, может быть сразу выполнено устно, понимая под этим написание ответа без промежуточных письменных действий. Отдельные промежуточные записи частично требуются лишь в особо сложных вычислениях.

В некоторых случаях, указанных в разделе I, письменное оформление действия умножения сохраняется, но процесс вычисления значительно упрощается.

Все же приведенные приемы не могут иметь универсального применения, так как они предъявляют особые требования к свойствам или взаимосвязям сомножителей.

Универсальным методом упрощенного умножения является метод, известный с очень давних пор под названием «умножения крестиком», «молниеносного умножения», но особенно развитый и широко использованный знаменитым калькулятором (вычислителем) Ферролем, применявшим аналогичный метод и для деления.

Умножение по методу Ферроля является по существу устным умножением, так как произведение отыскивается сразу, без промежуточных действий, цифра за цифрой, начиная с цифры низшего разряда (единиц). В этом отношении он сходен со сложением столбца цифр «глазами».

Идею метода Ферроля легко уяснить на примере двухзначных чисел. Имеем:

(10л, + bt) (10а2 + Ьг) = 1000,0, + 10 (я А + М2) + ЪхЬг.

Отсюда видим, что для получения единиц произведения перемножаются единицы сомножителей, для получения десятков — десятки одного на единицы другого и результаты складываются; для получения сотен перемножаются десятки. Все эти действия легко совершаются в уме.

Эффект от применения метода Ферроля должен быть признан совершенно исключительным. Он чрезвычайно ускоряет умножение и, как это ни покажется на первый взгляд странным, в гораздо большей степени гарантирует от ошибок, чем умножение обычным способом, при котором очень часто бывают ошибки не при умножении, а из-за неправильного расположения и складывания частных произведений.

Поясним метод Ферроля на примерах.

Допустим требуется умножить 23 X 41. Имеем

Единицы произведения: 3-1=3. Десятки: 2-1 +3-4= 14.

(четыре пишем в произведении, одну сотню замечаем).

Сотни: 1+2.4 = 9.

Таким образом, получаем сразу ответ: 943. Умножим

Единицы: Десятки: Сотни:

Схема действий следующая:

Нахождение цифры единиц произведения можно изобразить «палочкой» справа: |

Нахождение цифр десятков произведения можно изобразить «крестиком» Х#

Нахождение цифр сотен произведения можно изобразить «палочкой — слева» I

Совершенно аналогично умножение трехзначных чисел легко уясняется из формулы:

Пример:

Получили сразу ответ: 17052.

Схема действия графически изображается

1) Отыскание цифры единиц произведения производится «палочкой» справа. I

2) Отыскание десятков произведения производится «крестиком» справа.

3) Отыскание сотен произведения производится пересеченным крестиком (буквой «Ж»). Ж

4) Отыскание цифр тысяч производится крестиком слева.

5) Отыскание цифр десятков тысяч производится палочкой слева. |

* Примечание. 66-64 (=) 6 7 = 4224.

Действие упрощается, если цифра десятков в одном или обоих сомножителях—нуль, так как умножения на нуль можно не производить.

Пример 1.

Единицы: 6-3=18; десятки 1+6-1 = 7; сотни 4-3 + 2-6 = 24; тысячи 2 + 4-1=6; десятки тысяч 4-2 = 8. Пример 2.

Умножение упрощается также, если в обоих сомножителях в одном и том же разряде цифры одинаковые. Так, например, чтобы умножить 57X37 надо: а) умножить 7X7; б) сложить 5 и 3 и сумму помножить на 7; в) умножить 5X3, ответ: 2109.

Если число цифр в обоих сомножителях не одинаковое, недостающая цифра как бы заменяется нулем.

Пример.

Умножение трехзначного на двухзначное проще перемножения двух трехзначных чисел. Нуль слева к множителю лучше не приписывать, а лишь «воображать».

При умножении четырехзначного на четырехзначное поступают совершенно аналогично.

На первый взгляд, умножение четырехзначного на четырехзначное кажется довольно трудным, но, при очень небольшой тренировке, овладеть этим процессом не трудно. Важно всегда соблюдать один и тот же порядок действий, руководствуясь следующими правилами:

1) всегда умножать цифру множимого на цифру множителя, а не наоборот (множить «сверху вниз»);

2) если для нахождения цифры произведения надо произвести несколько умножений, умножают сперва цифры наиболее высоких разрядов множимого на цифры низших разрядов множителя, затем «переходят» в множимом направо, в множителе—налево, пока не исчерпают все стоящие вправо цифры множимого или все стоящие влево цифры множителя;

3) «замечаемую» цифру (если результат больше 10) лучше всего прибавлять сразу к первому же следующему частному произведению, чтобы не держать ее в памяти;

4) если число цифр в сомножителях разное, большее число принимается множимым (пишется сверху), а на месте недостающих знаков множителя предполагаются нули. Число требуемых перемножений при этом уменьшается, и действие упрощается, как оно упрощается и при наличии нулей в сомножителях.

Предупреждая вопросы, которые легко могут возникнуть у читателей, отвечаем:

1. Есть ли надобность в применении других приемов, если хорошо усвоить метод Ферроля? Целесообразно применять приемы, изложенные в разделах I и II, если в данном конкретном случае они дают явное и очень значительное упрощение. Так, умножение на 25 и 125 всегда выгоднее выполнять делением на 4 или на 8. То же относится к умножению на 11, на 89, на 989, на 91, а также к умножению двузначных (или небольших трехзначных) чисел с одинаковым количеством десятков в сомножителях, если цифры единиц в сумме составляют 10. Конечно, следует применять умножение способом «двустороннего» округления, если два числа очень близки к одному и тому же круглому числу. Полезно применять технические упрощения письменного умножения, если множители содержат в числе цифр единицу, а также при умножении на 9; 99 и т. д.

Что касается других случаев, где требуется для упрощенного умножения приемами, указанными в разделах I и II, повышенная внимательность и находчивость, то, если это дается не легко, предпочтительно обратиться к методу Ферроля. В очень многих случаях, конечно, этот метод вообще явится единственным способом убыстрения умножения.

2. Следует ли итти дальше четырехзначных чисел (в обоих сомножителях) в применении метода Ферроля? Как правило, нецелесообразно, так как перемножение этим способом чисел более высокой значности требует значительного напряжения и от хорошего счетчика, а многим и вообще не дается. Надо помнить, что лишь тот способ вычисления рационален, который не вызывает никакого утомления, если произвести им даже не одно или два, а 5—10 умножений подряд. Но на двух- и трехзначное число легко умножить не только четырехзначное, но пятизначное и, даже, шестизначное число.

ГЛАВА. III. ДЕЛЕНИЕ

Раздел. I. Общие указания

Деление — наиболее трудное из арифметических действий. Технически деление сводится к последовательному умножению делителя на подыскиваемые цифры частного и вычитанию получаемых таким образом произведений из делимого. Трудность деления заключается, однако, не столько в этих операциях умножения и вычитания, сколько в правильном определении цифры частного, что требует счетного «глазомера» и опыта. Сплошь и рядом выбирается то меньшая, то большая, по сравнению с истинной, цифра частного, что приводит к необходимости повторных действий, а иногда и запутывает производящего вычисление.

В огромном большинстве случаев деление

выполняется с остатком. Частное не может быть полностью выражено целым числом, и, если нельзя ограничиться указанием лишь целой части частного (называемого «антье»), к ней прибавляют правильную дробь, числителем которой является остаток от деления, а знаменателем — делитель (эта дробь, конечно, должна быть, если это возможно, сокращена). Если делимое меньше делителя, целой части в частном, конечно, не будет, и частное будет представлять собой правильную дробь.

Однако обыкновенные дроби, за исключением таких, как 112 , 73 и т. п., дают недостаточно наглядное представление о величине, ею изображаемой, особенно если приходится сравнивать несколько дробей, поэтому принято частное показывать в виде десятичной дроби. Некоторым недостатком (на практике несущественным) такого способа изображения частного является невозможность в большинстве случаев достичь абсолютной точности, так как, если делителем (после сокращения) не является число, которое разлагается исключительно на двойки и пятерки, частное от деления не может быть точно выражено никакой десятичной дробью. Обычно задаются определенной степенью точности при делении, либо указывая общее число значащих цифр, которое должно быть в частном, либо указывая количество знаков, которое должно стоять после запятой. С этой точки зрения, а также по ряду других практических соображений, чрезвычайно важно уметь наперед определять, сколько знаков должно находиться в целой части (антье) частного, т. е. находить «порядок» частного. Этот вопрос является одним из самых фундаментальных в теории и практике вычислений, к которому надо отнестись с особым вниманием. Без его усвоения трудно научиться хорошо владеть и счетными приборами (арифмометром, логарифмической линейкой и др.).

Порядком целого или смешанного числа будет число цифр в целом числе или целой части смешанного числа. Так 8; 8,07 — числа порядка 1. 73; 73,956 числа порядка 2 и т. д. Если в десятичной дроби целой части нет, но есть десятые — порядок такой дроби равен нулю, что указывает, что в целой части— нуль знаков. Если в десятичной дроби нет и десятых, т. е. после нуль целых стоит нуль, порядок дроби будет равен минус 1. Вообще десятичная дробь, в которой после нуля целых стоят нули, будет иметь отрицательный порядок, равный количеству нулей после запятой. Почему это так — видно из следующей схемы.

Число Порядок

С каждым уменьшением числа в 10 раз (путем переноса вправо запятой) порядок числа понижается на единицу*.

Частное от деления двух чисел будет иметь порядок, равный; 1) либо разности (алгебраической) порядков делимого и делителя, если первая значащая цифра делимого меньше первой значащей цифры делителя, 2) либо этой разности плюс единица, если первая значащая цифра делимого больше первой значащей цифры делителя. При равенстве первой значащей цифры судят по второй цифре делимого и делителя, при равенстве второй — по третьей и т. д.

Поясним это на примерах:

Хорошо усвоив это правило, мы можем производить деление, только оперируя со значащими цифрами делимого и делителя, не обращая внимания ни на стоящие впереди или позади нули, ни на запятые и учитывая их лишь при определении порядка частного, который повышаем или понижаем до требуемого размера путем соответствующей постановки запятой или приписки нулей.

Если частное должно быть дано с определенной точностью, например до 0,01 (т. е. с 2 знаками после запятой), то, определив порядок частного, легко находим количество цифр, которое должно быть найдено в процессе деления. Так, если порядок частного 5, мы должны найти 7 знаков (чтобы знать, округлять ли последний знак с избытком или недостатком, обычно отыскивается еще один дополнительный «резервный» знак, который потом отбрасывается).

Раздел II. Упрощенные приемы деления

§ 1. Сокращение делимого и делителя

Одним из наиболее эффективных способов упрощения деления является сокращение делимого и делителя, т. е. деление их на их общий наибольший делитель. Очень часто по внешнему виду чисел можно установить их общие делители. Путем последовательного деления на них мы приходим к замене делимого и делителя небольшими числами. Приведем два примера:

Пример 1. 50589:792.

Оба числа кратны 9 (сумма цифр каждого из них кратна 9).

* Примечание. Для знакомых с логарифмами должно быть понятным, что порядок числа всегда на единицу больше мантиссы его логарифма.

Разделив оба числа на 9, получаем: 5621:88.

Делитель явно кратен 11. Легко убеждаемся, что и делимое кратно 11. Разделив на И, получаем:

511: 8 = 63,875.

Пример 2. 1128897:24948.

Сокращаем на 9, получаем:

125433:2772. Сокращаем вновь на 9, получаем:

13937:308. По сокращении на 11, получаем:

1267:28. По сокращении на 7, находим: 181 :4 = 45,25.

Чтобы уметь без труда сократить два числа на их общий наибольший делитель (и для нахождения наименьшего кратного при действиях над простыми дробями), важно знать признаки делимости на возможно большее количество чисел. Мы предполагаем, что* они хорошо известны читателю.

§ 2. Деление на 5; 25; 125 и другие числа

В главе II указывался прием упрощенного умножения на 5; 25; 125 и кратные им числа, заключающийся в делении соответственно на 2, на 4 и 8. Обратно, чтобы разделить на 5; 25; 125, надо делимое умножить соответственно на 2, на 4, на 8 с последующим делением на 10; 100; 1000. Впрочем, порядок частного находится по общему правилу о «порядках» (см. раздел 1 этой главы). Поясним на примерах:

Пример 1. 7154:5 = 1430,8 (множим 7154 на 2, получаем 14308, отделяем запятой последнюю цифру).

Пример 2.0,006422:0,05 = 0,12844 (множим 6422 на 2, получаем 12844; порядок делимого минус 2, порядок делителя минус 1; порядок частного —2 — (— 1) +1 =0).

Пример 3. 2124:25 = 84,96 (множим 2124 на 4 и отделяем 2 последних знака запятой).

Пример 4. 143100:0,0025 = 57240000 (множим 1431 на 4, получаем 5724; порядок делимого 6, порядок делителя минус 2, порядок частного 6 — (—2) =8).

Пример 5. 113212:125 -=905,696 (множим 113212 на 8, получаем: 905696, отделяем последние 3 цифры запятой).

Пример 6. 0,00021131 :12,5 = 0,0000169048 (множим 21131 на 8, получаем 169048; поря-, док делимого — минус 3, порядок делителя-f2; порядок частного: —3 — 2 + 1 = —4.

Чтобы разделить на 75; 375; 625; 875 и другие числа, кратные 25 или 125, множим на 4 или на 8 и полученное произведение делим на частное от деления на 25 или 125 заданных делителей, т. е. на 3, на 5, на 7. Деление часто выгоднее произвести перед умножением.

Пример 1. 13421:75 = 178,95 с точностью до 0,01 (13421 X 4 = 53684; 53684 : 3 = 17894,7).

Пример 2. 684432 :75 = 9125,76 (делим сперва 684432 на 3, получаем 228144;

228144 X 4 = 912 576, отделяем запятой 2 цифры).

Пример 3. 41216:375 = 109,91 с точностью до 0,01 (41216X8 = 329728; 329728 :3 = 109909).

Пример 4. 41121:625 = 65,7936 (41121 множим на 8, получаем 328968; 328968 делим на 5, для чего множим на 2, находим 657936. Следовательно, чтобы разделить на 625, можно сразу умножать на 16 ив результате отделить запятой 4 знака).

Пример 5. 123671:875 = 141,34 с точностью до 0,01 (множим 123671 на 8, получаем 989368; 989368: 7 = 141338).

Пример 8. 147854 :875 = 168,976 (делим 147854 на 7, получаем 21122; 21122X8 = 168976).

Зная, что 1) 1001 :143 = 7, 2) 1001:91 = 11; 3) 1001 :77 = 13, можно вместо деления какого-нибудь числа на 143, умножить его на 7 и из произведения вычесть тысячную часть этого произведения. Аналогичным образом вместо деления на 91 можно множить на 11 и вместо деления на 77 — множить на 13, с последующим вычитанием тысячной части произведения.

Пример 1. 359861 :143 = 2516,51 с точностью до 0,01 (359861 X 7 =2519027; 2519027 — 2519 = 2516,508; отделяем запятой 3 знака и округляем*).

Пример 2. 338156:91 =3716 (338156X XII =3719716; 3719716 — 3719:3715997, отделяем 3 знака и округляем).

Пример 3. 40000:77 = 519,48 с точностью до 0,01 (40000X 13 = 520000; 520000 — 520 = 519480, отделяем 3 знака).

Аналогичным образом вместо деления на 167 умножаем на 3, и из результата вычитаем 2 тысячных доли этого результата.

Вместо деления на 333 умножаем на 3, и прибавляем тысячную долю произведения.

Вместо деления на 667 умножаем на 3 и вычитаем одну двухтысячную часть произведения и т. д.

Читатель, усвоив этот принцип, легко сможет применить его во всех случаях, где использование его является эффективным.

§ 3. Деление на числа, близкие к абсолютно круглому числу

Чтобы разделить на число, близкое к единице с нулями (но несколько меньшее), в делимом справа отделяется чертой столько же знаков, сколько цифр в делителе. После этого часть делимого, стоящая влево от черты, множится на «нехватку» делителя, к произведение подписывается под делимым. Если в произведении часть цифр окажется влево от черты, эту часть множим на нехватку и так поступаем до тех пор, пока произведение целиком уляжется вправо от черты. После этого складываем все числа, не обращая внимания на черту.

Часть суммы, стоящая влево от черты, будет искомое частное; часть суммы, оказавшаяся правее черты, будет остатком, при этом, если, складывая единицы частного,

* Примечание. Легко найти частное с любой степенью точности, вычислив период дроби. Для этого остаток от деления на 143 множится на 7, к произведению прибавляется (в уме) три нуля, и это же произведение вычитается. Так, в нашем примере частное равно 2516 (510489).

пришлось добавить одну или несколько единиц, перешедших («замеченных») от сложения цифр высшего разряда остатка, остаток надо увеличить на нехватку, умноженную на число перешедших единиц.

Пример 1.

Частное 3273, остаток 87 (84 + 3).

Мы умножили 3175 на 3, подписали произведение 9525; потом умножили 95 на 3, подписали произведение 285; затем умножили 2 на 3, подписали 6. Сложив, получили 327384. Так как, складывая десятки (цифры высшего разряда остатка), мы «заметили» единицу, остаток (84) увеличен нами на 3 (3, умноженное на 1).

Пример 2.

Пример 3.

Частное 412534, остаток 3347 (3338 + 9).

Случается, что, разделив на какое-нибудь число, мы должны вновь разделить делимое на число, близкое к прежнему делителю, потому ли, что последний был выбран ошибочно, или по другой причине. Нет необходимости вновь производить деление. Надо лишь, если второй делитель меньше первого, частное от первого деления умножить на разность между обоими делителями, прибавить остаток от первого деления (если он не равен нулю), и сумму разделить на второй делитель. Частное от этого деления, прибавленное к частному от деления на первый делитель, будет искомым частным, остаток же будет искомым остатком.

Пример. 315844 :378 = 835, остаток 214.

Требуется разделить 315844 на 376.

Умножаем 835 на 2 (378 — 376), получаем 1670, прибавляем 214, получаем 1884; делим 1884 на 376, получаем 5, остаток 4.

Следовательно, 315844:376 = 840 (835 + 5), остаток 4.

Если второй делитель больше первого, надо частное от деления на первый делитель умножить на разность между делителями и вычесть остаток. Результат делится на новый делитель, и полученное частное, увеличенное на единицу, вычитается из частного от деления на первый делитель. Остатком же будет разность между новым делителем и остатком от последнего деления.

Пример. 315844 :378 = 835, остаток 214.

Требуется разделить 315844 на 381.

Множим 835 на 3 (381 —378), получаем 2505; вычитаем 214 из 2505, получаем 2291; делим 2291 на 381, находим частное 6, остаток 5; вычитаем 6+1 из 835, находим искомое частное 828, остаток же будет 376 (381 — остаток 5).

Следовательно, 315844:381 = 828, остаток 376.

§ 4. Метод Ферроля

Этот метод, дающий исключительный эффект в применении к умножению, может быть с успехом использован для деления, но применение его в этом случае предъявляет к вычислителю несколько большие требования. Покажем этот прием на нескольких примерах:

Пример 1.

Делим 41 на 7, пишем в частном 5; вычитаем 5-7 из 41, сносим следующую цифру делимого, получаем 66; множим найденную цифру частного на цифру единиц делителя, вычитаем произведение (30) из 66; разность 36 делим на 7, пишем в частном 4 (а не 5, так как потом разность оказалась бы слишком мала); множим 4 на 7, вычитаем произведение 28 из 36; сносим следующую цифру делимого, получаем 85; множим найденную (вторую) цифру частного на цифру единиц делителя; произведение (24) вычитаем из 85; разность 61 делим на 7, пишем в частном 8; множим 8 на 7, произведение 56 вычитаем из 61; сносим последнюю цифру делимого, получаем 59; множим найденную (третью) цифру частного на цифру единиц делителя, вычитаем произведение (48) из 59, получаем остаток от деления 11.

Все деление легко может и должно быть выполнено в уме, без записи промежуточных операций, иначе применение этого способа утрачивает смысл. Как умножение, так и деление по методу Ферроля есть устное действие.

Пример 2.

Делим 6 на 3, пишем в частном 2; множим 2 на цифру сотен делителя, вычитаем произведение (6) из 6; сносим следующую цифру делимого 8; множим найденную цифру частного на цифру десятков делителя, произведение (4) вычитаем из 8; разность (4) делим на 3, пишем в частном 1; сносим следующую цифру делимого (4), получаем 14; множим первую цифру частного на цифру единиц делителя и вторую цифру частного на цифру десятков делителя, складываем оба произведения, сумму (10) вычитаем из 14; разность 4 делим на 3, пишем в частном 1; множим эту единицу на цифру сотен делителя, разность (3) вычитаем из 4; сносим следующую цифру делимого, получаем 15; множим вторую цифру частного на цифру единиц делителя и третью цифру частного на цифру десятков делителя, сумму произведений (6) вычитаем из 15; разность 9 делим на 3, пишем в частном 2 (а не 3); множим 2 на цифру сотен делимого, вычитаем произведение (6) из 9; сносим следующую цифру делимого, получаем 38; множим третью цифру частного на цифру единиц делителя и последнюю цифру частного на цифру десятков делителя, сумму произведений (8) вычитаем из 38; сносим последнюю цифру делимого, получаем 307; вычитаем из нее произведение единиц частного на единицы делителя (8). Получаем остаток от деления 299.

И в этом примере все действия без труда могут быть выполнены в уме. Трудность возникает тогда, когда в процессе вычисления убеждаешься, что в частном записана слишком высокая цифра, вследствие чего получающаяся разность слишком мала (или отрицательна). В этих случаях надо уменьшить на единицу преувеличенную цифру частного, после чего разность, естественно, увеличится. Поясним это на примере:

Избрав второй цифрой частного 7, мы, вычтя 42 из 47 и снеся из делимого 6, получили 56. Между тем, помножив первую цифру частного на цифру единиц делителя и вторую цифру частного на цифру десятков делителя и сложив оба произведения, пришли к числу 61. Вычтя же 61 из 56, получили отрицательную разность (—5). Вследствие этого цифру 7 в частном мы заменили цифрой 6, разность же повысилась с —5 до 62 (—5 + 67). В дальнейшем все идет «нормально».

Ответ: частное 469, остается 47.

Аналогичным образом производится деление методом Ферроля на четырехзначные и большей значности числа.

При известной тренировке можно научиться устно и довольно быстро делить многозначные числа на многозначные. Деление же на двузначные (и даже трехзначные) числа может быть освоено в совершенстве после десятка, другого упражнений.

Раздел III. Проверка деления

Как и другие арифметические действия, деление проверяется:

1) повторным делением, при этом целесообразнее делить делимое не на делитель, а на частное. Результатом деления должен быть делитель, остаток же будет прежний. Такая проверка, однако, отнимает не меньше времени, чем само проверяемое действие;

2) обратным действием. Помножив делитель на частное и прибавив остаток, мы должны получить делимое. Но и такая проверка отнимает много времени;

3) сопоставлением остатков от деления на 9 (или 7) делимого, делителя, частного и остатка. Сумма цифр делителя умножается на сумму цифр частного, добавляется сумма цифр остатка; полученный результат должен быть равен сумме цифр делимого, или иначе: из суммы цифр делимого вычитаем сумму цифр остатка; полученная разность должна быть равна произведению суммы цифр делителя на сумму цифр частного. Если сумма цифр делителя меньше суммы цифр остатка, прибавляем к первой 9, чтобы сделать вычитание возможным.

Поясним это на примере:

716938:814 = 880, остаток 618.

Чтобы проверить правильность деления, сумму цифр делимого (4) множим на сумму цифр частного (7), получаем 28 или, что то же,— 1(2 + 8= 10); прибавляем сумму цифр остатка (6), получаем 7. Сумма цифр делимого также равна 7, что дает основание считать деление выполненным верно.

При дополнительной проверке на 7 находим остаток от деления на 7 делителя (2), остаток от деления на 7 делимого (5) и остаток от деления на 7 остатка (2). Умножаем 2 на 5, прибавляем 2, получаем 12. При делении 12 на 7 получаем остаток 5. Следовательно, и делимое при делении на 7 должно дать остаток 5, что в действительности имеет место.

К дополнительной проверке на 7 обязательно прибегать в том случае, если сумма цифр делимого минус сумма цифр остатка равна 9 и сумма цифр делителя также равна 9. В этом случае, какова бы ни была сумма цифр частного, ее произведение на сумму цифр делителя составит 9. Деление при этой проверке окажется верным, хотя в действительности оно таковым не будет.

Поясним это на примерах:

Пример 1.14294016:3456 = 4126, остаток 0.

Сумма цифр делителя 9. Какова бы ни была сумма цифр частного, ее произведение на сумму цифр делителя составит 9. Сумма цифр делимого также равна 9. Было бы однако неверно сделать из этого заключение,

что деление произведено правильно. В действительности, частное от деления равно не 4126, а 4136. При проверке на 7, убеждаемся в ошибочности деления. В самом деле, остаток от деления 3456 на 7 равен 5, от деления 4126 на 7 равен 3; 5 X 3 = 15, остаток от деления на 7—1.

Между тем, остаток от деления 14294016 на 7 составляет не 1, а 2.

Пример 2. 18640 : 405 = 44, остаток 10.

Сумма цифр делимого 1; сумма цифр остатка—1. Разность —0, или, что то же, 9. Сумма цифр делителя 9, поэтому ее произведение на сумму цифр частного будет 9, каково бы ни было частное.

Нельзя однако сделать вывод, что деление выполнено правильно. Проверка на 7 убеждает нас в обратном. Частное должно быть не 44, а 46. В самом деле, остаток от деления на 7 делимого —6, остаток от деления остатка (10) на 7 равен 3; 6 — 3 = 3. Между тем, произведение остатка от деления на 7 делителя (6) на остаток от деления на 7 частного (2) равно 12, что дает при делении на 1 остаток 5 (а не 3).

Те же приемы проверки применяются и при приближенном делении с заданной точностью.

Пример. 314 :73 = 43,013, с точностью до 0,001, отбрасывается остаток 51 (десятитысячная). При проверке находим: сумма цифр делимого (8) минус сумма цифры остатка (6) равна 2. Произведение суммы цифр делителя (1) на сумму цифр частного (2) также равно 2. При проверке нельзя брать частное, округленное с избытком. Так, в данном примере частное следует округлить с избытком, в результате чего оно составит 43,014. Проверку же следует произвести до округления.

Мы подробно остановились на проверке деления, потому что проверка имеет исключительное значение в практике вычислений.

Необходимо в совершенстве овладеть уменьем очень быстро проверять умножение и деление и применять эту проверку после каждого выполненного действия, ибо одна ошибка в расчетах влечет за собой целый ряд других, обнаружение же и исправление таких ошибок связано с значительным трудом и большой потерей времени.

К ВЕСЕННИМ ИСПЫТАНИЯМ

ПРЕСТУПНАЯ НЕБРЕЖНОСТЬ

Подбор задач по математике для испытаний — дело серьезное и ответственное. Здесь многое должно быть учтено: дает ли задача возможность выявить с возможной полнотой знания учеником теории, умение приложить ее к решению задач? Какова степень трудности задачи? Каковы числовые данные и соответствующие вычисления? Сколько времени примерно потребуется среднему ученику на решение? Допускает ли задача различные варианты решений? Достаточно ли ясен текст задачи?—эти и подобные им вопросы должны быть поставлены в первую очередь при подборе задач, и уже само собой понятно самое элементарное, самое обязательное требование, чтобы задача допускала решение, чтобы в ней не было нелепостей, неграмотных вещей, противоречивых данных, приводящих к абсурду. Отсюда ясно, что преподаватель данного класса или лицо, которому поручено составить задачи для выпускных испытаний в X классе, должны отнестись к подбору экзаменационных задач с величайшим вниманием. Каждая задача должна быть несколько раз решена с учетом всех изложенных выше моментов. Есть ли время для такого строго со всех сторон обдуманного подбора?—Да, безусловно. Ничто не мешает преподавателю, а для десятых классов — гороно и облоно начать эту работу хотя бы и за два, за три и более месяцев до испытаний. Начать надо хотя бы с изучения письменных работ, дававшихся как в данной школе и области, так и в других*. Все возможности для такого неторопливого, обдуманного подбора задач, неоднократного рассмотрения и обсуждения подобранных задач имеются.

Поэтому тем более поражают и возмущают все еще имеющие место случаи абсолютно безответственного, преступно халатного отношения к рассматриваемому вопросу. Приведем примеры.

1. В Чувашской автономной республике письменные работы для десятых классов высылаются Чувашнаркомпросом. Мы не будем здесь подвергать детальному обсуждению эти работы с точки зрения требований, перечисленных выше (хотя и с этой точки зрения работы вызывают ряд замечаний). Отметим лишь два «перла». (Задачи сообщены редакции т. Харитоновым, преподавателем Моргушанской средней школы.)

Задачи по алгебре. «Первый член арифметической прогрессии равен большему, а разность ее меньшему из действительных (?) корней уравнения:

Сколько членов нужно взять, начиная с первого, чтобы их сумма была равна

Не говорим уже о том, что отбирать действительные корни здесь не приходится, так как они все действительны. Главное заключается в том, что приведенное уравнение дает решения:

Выбрав по условию корни

мы никак не можем получить целое положительное решение для л, которое требуется по смыслу задачи. А отсюда вся задача становится неразрешимой.

Это обстоятельство, между прочим, еще и еще раз говорит против так называемых «комбинированных» задач, давно уже осужденных математической общественностью.

Еще «лучше» задача по геометрии: Объем правильной (выделено нами) треугольной пирамиды, высота которой h и (?) образует с боковыми ребрами равные углы a, a два угла основания ß и y (Л = 13,74 ед., а = 37°42“, ß = 73° и г = 43°).

Итак, в равностороннем треугольнике один угол оказался равным 73°, а другой — 43°!

Неудивительно, что, получив такие «задачи», учащиеся десятых классов школ Чувашии оказались сплошь «неподготовленными» и задачу как по алгебре, так и по геометрии «не решил» ни один ученик. (А сколько было затрачено времени, труда и пролито слез!)

2. Лавры Чувашского Наркомпроса как будто бы хочет отвоевать Омский облоно. Последний разослал по педучилищам приводимые ниже «задачи», представляющие собою, по меткому выражению т. Гильц (приславшего задачи в редакцию), преподавателя Остяко-Вогульского педучилища, «не что иное, как безграмотную стряпню». На обеих задачах имеется надпись: «утверждаю (Лазуко)». Знаком ли Лазуко с математикой и читал ли он представленные ему «на утверждение» задачи, мы не знаем, но то, что очень мало знаком с нею составитель задачи, ста-

* См., например, ряд статей по этому вопросу в журнале «Математика в школе» № 3 1937 г., № 3 1938 г., № 3 1939 г.

новится совершенно ясным тотчас же по ознакомлении с текстом задач. Задача № 1. (Утверждаю — Лазуко) «В полушар вписана правильная четырехугольная пирамида. Апофема пирамиды = k. Боковая грань пирамиды наклонена к плоскости основания под углом а. Найти объем части шара, заключенной между боковой поверхностью пирамиды и поверхностью полушара (К = 214,6; « = 31°43)».

Вполне естественно (да это, конечно, имели в виду и составители «задачи»), что учащимися пирамида будет вписана так, что ее основание будет вписано в большой круг шара, т. е. в основание полушара (см. чертеж). Но тогда, как легко видеть, данного значения апофемы вполне достаточно для нахождения и искомого объема и «данного» угла. (Из треугольника АОВ имеем:

причем значение последнего далеко не совпадает с «заданным» в задаче.

Можно было бы подумать, что авторы «задачи» имели в виду другое: вершина пирамиды должна лежать в плоскости основания (но где именно?), а плоскость основания отрезает от полушара сегмент. Но тогда, во-первых, задача должна быть иначе сформулирована, а во-вторых, если мы возьмем простейший случай — вершину поместим в центр полушара О, а высоту направим перпендикулярно к основанию полушара, то и в этом случае получим совершенно неудобоваримые формулы, о чем, конечно, и не помышляли составители. Переходим, однако, к следующей задаче. Задача № 2. (Утверждаю — Лазуко) «В конус вписана правильная четырехугольная пирамида. Апофема пирамиды равна k. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом а. Боковая поверхность пирамиды s. Найти объем конуса.

«При этих данных,— пишет т. Гильц,—был бы понятен один из следующих вопросов: а) нет ли здесь лишних данных? б) согласованы ли числовые значения a, s и ft? Но так как ни один из этих вопросов не стоял в задаче и ответ на второй из них, безусловно, отрицательный, то Эта задача есть лишь игра (недопустимая!) на нервах учащихся во время испытаний».

Нельзя не согласиться с т. Гильц. К сожалению, мы не имеем сведений о результатах таких, с позволения сказать, испытаний, но совершенно ясно, что они должны быть более чем плачевны.

Мы опубликовываем здесь эти возмутительные факты, в первую очередь, для того, чтобы преподаватели-методисты, все лица> которым будет поручен в этом году подбор задач для испытаний, учли эти факты и подошли к делу с должным вниманием и чувством ответственности, чтобы всякая выбранная ими задача была несколько раз проверена и не одним лицом.

СЧЕТ НЕПОЛНОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Л. БЕРМАН (Одесса)

ступительные экзамены в Одесский автомобильный техникум показали, что математическая подготовка закончивших семилетку продолжает оставаться очень низкой. Из 515 человек, державших испытания, 374 человека, или свыше 72%, не выдержали письменного экзамена по математике.

Экзамены позволяют сделать вывод не только о том, что качество математической подготовки в неполной средней школе низкое, но и о том, что школа часто неправильно оценивает знания своих учеников. Среди не выдержавших экзамена имеются не только получившие в школе оценки «посредственно» и «хорошо», но иногда и «отлично».

Итоги экзаменов показывают, на что школа должна обратить внимание, чтобы выправить свои недостатки в этой области.

Экзаменующимся было предложено 6 примеров и задач, для решения которых было отпущено 3 академических часа. Первые работы поступили раньше, чем прошла половина этого времени. Срок для решения, очевидно, достаточный.

Первый пример на действия с арифметическими дробями такого типа:

Свыше 75% экзаменовавшихся не решило его (388 человек из 515).

Подавляющее большинство делало ошибки в порядке действий, выполняя их в той последовательности, в которой они записаны.

Второй пример — на проценты — решила только половина экзаменовавшихся — 261 человек.

Основным недостатком тут является неуменье учащихся на-глаз проверить правильность полученного результата. Не решившим пример на проценты во время устного экзамена давался аналогичный пример. Вот типичная беседа на экзамене:

Экзаминатор. Из 540 руб. потрачено 150 руб. Сколько процентов всей суммы потрачено?

Ученик-, повторив условие, подумав, в конце концов дает такой ответ:

Экзаминатор. 150 руб. меньше всей суммы, следовательно, возможен ли такой ответ?

Ученик. Я сейчас поправлю.

Продолжение беседы уже излишне.

Только 16% экзаменовавшихся решило правильно пример на разложение на простые множители.

Среди ответов много таких:

Большинство догадавшихся вынести общий множитель за скобки остановились на таком ответе:

В следующем примере:

или в аналогичных примерах на действия с дробями повторяются ошибки в порядке действий, неправильно выполняются действия и др. Неправильно решили этот пример свыше 83% экзаменовавшихся.

Еще хуже с задачами. По алгебре была предложена задача на составление уравнений такого типа:

«Сшили 26 пальто и 45 костюмов. На все это пошло 209 м сукна. Известно, что на одно пальто и костюм вместе пошло 5,7 м. Сколько сукна пошло на все пальто и на все костюмы?»

Из 515 экзаменовавшихся только 141 человек (около 28%) решили задачу.

Только 15% экзаменовавшихся решили предложенную но геометрии задачу, несмотря на то, что задача по существу являлась арифметической, как, например, такая:

«Определить в градусах угол, который равен — своего смежного».

Во время устного ответа учащиеся очень плохо справлялись с простыми примерами на пропорциональное деление. Еще хуже обстояло дело с доказательством теорем.

Только 6 человек, или 1,4%, получили отличную оценку и 31 человек, или 6%, — оценку «хорошо».

Такое положение, при котором почти — окончивших семилетку оказываются непригодными для поступления в техникум, явно ненормально. Необходимо мобилизовать внимание преподавателей на ликвидацию этого явления в процессе обучения в школе. Необходимо приблизить содержание выпускных экзаменов в семилетке к тем требованиям, которые предъявляются в техникумах.

НЕДОЧЕТЫ В ЗНАНИЯХ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ У ОКАНЧИВАЮЩИХ СРЕДНЮЮ ШКОЛУ

П. ДРИГА (Харьков)

Преподавание высшей математики в высших технических учебных заведениях, особенно в первый год обучения, встречает ряд значительных затруднений вследствие недостаточного усвоения учащимися в средней школе некоторых разделов из курса элементарной математики, при этом, одни и те же недочеты в знаниях учащихся приходится наблюдать из года в год в течение ряда лет моего преподавания высшей математики в Харьковском механико-машиностроительном институте и других высших учебных заведениях. Желая помочь учителям средних школ изжить эти недочеты и повысить качество подготовки поступающих в высшие технические школы, я хочу поделиться своими наблюдениями.

Наибольшим тормозом в изучении высшей математики, являются дефекты в знаниях тригонометрии.

Конечно, изучение тригонометрии в средней школе представляет значительные трудности. Трудности эти объясняются тем, что конкретные приложения тригонометрия находит только в решении треугольников или в вопросах геометрии и физики, сводящихся к решению треугольников. Тождественные же преобразования тригонометрических выражений не находят конкретных приложений и слабо усваиваются учащимися средней школы. В этом отношении характерно заявление учащихся одной школы, объяснявших незнание тождественных преобразований тригонометрических выражений тем, что преподаватель не объяснил, зачем они нужны.

Абстрактность материала и недостаточная осведомленность о цели его изучения снижает у учащихся интерес к изучению раздела тождественных преобразований тригонометрических выражений, и, в результате, подготовка по тригонометрии оказывается слабой, недостаточной для нормального изучения курса высшей математики в высшей технической школе, тормозящей ее изучение.

Зачем же нужны тождественные преобразования тригонометрических выражений и какие главнейшие недочеты в знаниях по тригонометрии наблюдаются у выпускников средней школы?

Первые формулы тригонометрии, с которыми приходится встречаться изучающему высшую математику, это:

1) Формула тангенса разности двух углов:

при помощи которой вычисляется угол между двумя прямыми линиями на плоскости в аналитической геометрии;

2) выражение функции суммы или разности двух углов через функции этих углов:

применяемые при вычислении пределов; эти формулы, за исключением последней, сравнительно легко вспоминаются или, во всяком случае, после их напоминания восстанавливаются в памяти учащихся; и в дальнейшем они свободно ими пользуются.

Вторая группа формул тригонометрии встречается в интегральном исчислении: это 1) выражение четной степени синуса и косинуса через косинус двойного угла:

2) выражение синуса и косинуса угла через тангенс того же угла:

3) выражение тангенса угла через секанс того же угла tg2 а = sec2 а — 1.

Формул первого и второго типов учащиеся совсем не знают и даже после их рассмотрения и повторных напоминаний плохо их усваивают и делают ошибки в пользовании ими, что же касается формул третьего типа, то распространенной ошибкой учащихся является замена tg2a через 1—sec2 a вместо sec2 a — 1 (не понимают того, что sec2 a ^51). Незнание этих тригонометрических формул сильно тормозит изучение интегрального исчисления и ведет к снижению успеваемости учащегося как по высшей математике, так и по другим техническим дисциплинам.

Третья группа тригонометрических формул встречается также в интегральном исчислении; это выражение произведения синуса на косинус, или косинуса на косинус или синуса на синус различных аргументов через их сумму или разность:

Эту группу формул если и знают некоторые учащиеся, то знают, как преобразование к логарифмируемому виду, и совершенно не умеют преобразовать от произведения к алгебраической сумме, что необходимо для целей интегрирования.

Следует заметить, что выпускники средних школ в большинстве случаев не умеют пользоваться даже известными им формулами, так, например, знают что 1 — cos a = 2 sin2 —, но не знают, как выразить sin2« через косинус двойного угла и т. п., т. е., знают так называемые «прямые» формулы, но не знают им «обратных» и при нетвердом знании «прямых» не в состоянии преобразовать их в «обратные».

Наконец, следует указать на слабое решение учащимися тригонометрических уравнений, неумение найти все их корни в данном интервале изменения аргумента, например, в пределах одного периода или его части; такие затруднения встречаются при решении задач на максимум и минимум.

Большим тормозом в изучении приложения определенных интегралов к решению геометрических задач является незнание учащимися значений тригонометрических функций для некоторых частных, наиболее часто встречающихся значений угла, например:

Следует также отметить, что подавляющее большинство учащихся, выпускников средней школы, не умеют выделить основной интервал изменения аргумента, внутри которого данная тригонометрическая функция принимает все возможные для нее значения без повторений, например, синус угла принимает все возможные для него значения (возрастая) от — 1 до -fl при изменении угла

косинус угла принимает все возможные для него значения (убывая) от +1 до —1 при изменении угла от 0 до л и т. д.; неумение выделить основной интервал мешает изучению обратных круговых функций, выводу их производных и определению пределов определенных интегралов в приложениях их к решению геометрических задач.

Делясь своими наблюдениями, проведенными в течение ряда лет преподавания высшей математики во втузе, я надеюсь помочь преподавателям математики средних школ уточнить цели изучения наиболее абстрактных разделов тригонометрии, добиться более сознательного отношения к ним учащихся и повысить качество математической подготовки выпускников средних школ.

ПИСЬМЕННЫЕ РАБОТЫ В ДЕСЯТЫХ КЛАССАХ НА ВЫПУСКНЫХ ИСПЫТАНИЯХ*

I. АЛГЕБРА

Вариант 1.

№ 1. Сумма коэфициентов 3-го и 4-го членов разложения бинома

равна 4. Найти член, который после упрощения содержит х 4.

№ 2. Поезд был задержан на станции на / часов. Увеличив свою скорость на а километров в час, поезд ликвидировал опоздание на перегоне в п километров.

Какова была скорость поезда до его задержки на станции?

№ 3.

Вариант 2.

№ 1. Найти 4-й член разложения

если коэфициент третьего члена равен 15.

№ 2. С двух аэродромов, расстояние между которыми равно а кму вылетели навстречу друг другу дирижабль и аэроплан.

Аэроплан вылетел на с часов позже дирижабля, двигаясь со скоростью на b км в час быстрее его.

Зная, что встреча их произошла на середине пути, определить скорость в час аэроплана и дирижабля.

№ 3.

Вариант 3.

№ 1. В разложении

найти члены, коэфициенты которых равны числу сочетаний по три.

№ 2. Спортивная площадка имеет форму прямоугольника, ширина которого на а метров меньше его длины. По краям площадки идет дорожка одинаковой ширины в b метров.

Определить длину и ширину спортивной площадки, если ее площадь равна площади, окаймляющей ее дорожки.

№ 3.

Вариант 4.

№ 1. Найти тот член разложения бинома

в котором после всех преобразований а н Ь имеют одинаковые показатели степеней.

№ 2. Из двух станций, расстояние между которыми d км, отправляются навстречу друг Другу два поезда и встречаются на середине пути.

“Определить скорость в час каждого поезда, если первый поезд вышел на а часов позднее второго и со скоростью на b км в час больше, чем скорость второго поезда. № 3.

Вариант 5.

№ 1. Найти Z, зная, что в разложении

разность между 5-м и 3-м членами разложения равняется 300.

№ 2. Две точки А и В, между которыми расстояние равно д?, движутся по разным сторонам прямого угла к его вершине со скоростями, соответственно равными а и Ь.

Точка В достигает вершины t секундами раньше, чем А.

Определить, сколько времени двигалась точка Л?

Упростить формулу решения, приняв b — а. № з. Проверить теорему Виета для уравнения:

Вариант 6.

№ 1. Найти рациональные члены разложения бинома

№ 2. При совместном действии двух кранов ванна наполняется в t минут. Если бы половину ванны наполнить через первый кран, а затем, закрыв первый кран, наполнить другую половину через второй кран, то для наполнения ванны необходимо было бы К минут.

Во сколько минут наполняется ванна через каждый кран отдельно?

№ 3. Проверить теорему Виета для уравнения:

Вариант 7.

№ 1. Найти коэфициент члена разложения бинома

содержащего одинаковые показатели степени X и у после упрощения.

№ 2. Для уборки урожая в колхозе работали два комбайна вместе а дней и сверх того первый комбайн работал еще b дней.

* Здесь мы печатаем письменные работы, дававшиеся в десятых классах школ Москвы в 1940 г.

Сколько времени требуется каждому комбайну отдельно для выполнения этой работы, если второй комбайн может ее выполнить на с дней скорее, чем первый.

Упростить формулу решения, приняв с = Ь.

№ 3.

Вариант 8.

№ 1. Найти член разложения бинома:

содержащий после упрощения а5, если сумма биномальных коэфициентов равна 128.

№ 2. Выполнение некоторой работы поручено двум бригадам. После совместной работы обеих бригад в течение t дней, вторая бригада была переброшена на другую работу, и первой бригаде потребовалось еще а дней для того, чтобы окончить работу.

Сколько дней требовалось каждой бригаде отдельно для выполнения всей работы, если известно, что вторая бригада может ее выполнить Ь днями скорее, чем первая?

Упростить формулу решения, приняв t = b.

№ 3.

Вариант 9.

№ 1. Найти второй член разложения бинома:

если коэфициент 4-го члена разложения относится к коэфициенту 3-го члена, как 4:1.

№ 2. Для наполнения ванны проведены две трубы; первая труба, работая одна, требует для наполнения ванны на t минут больше второй. Чтобы наполнить ванну, сначала открыли одну первую трубу на п минут, а затем обе трубы закончили наполнение ванны в m минут.

Во сколько минут может наполнить ванну каждая труба, работая отдельно?

Упростить формулу решения, приняв t = т.

№ 3.

Вариант 10.

№ 1. Сумма коэфициентов 2-го и 3-го членов разложения

равна 78.

Определить член разложения, не содержащий X.

№ 2. С двух аэродромов вылетают одновременно навстречу друг другу дирижабль и аэроплан. К моменту встречи дирижабль прошел на с км меньше аэроплана.

Остальной путь аэроплан покрывает в а часов, а дирижабль — в b часов.

Найти расстояние между аэродромами и скорость аэроплана и дирижабля.

№ 3.

Вариант 11.

№ 1. Найти член, не зависящий от х, в разложении степени бинома:

если сумма биномиальных коэфициентов членов, стоящих на нечетных местах, равна 512.

№ 2. Два рабочих, из которых второй начинает работать а днями позже первого, могут выполнить некоторую работу в Ь дней.

Если бы эта работа была поручена каждому отдельно, то первому для ее выполнения понадобилось бы с днями больше, чем второму.

Во сколько дней каждый из них отдельно может выполнить работу? Упростить формулу решения приняв с = а. № 3.

Вариант 12.

№ 1. В разложении

найти

член, не содержащий буквы а, если известно, что разность между коэфициентами 3-го и 2-го членов разложения равна 77.

№ 2. Два велосипедиста выезжают одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми d км, и через t часов встречаются. Не останавливаясь, они продолжают путь с прежней скоростью, и первый прибывает в пункт В на m часов скорее, чем второй в пункт А.

Определить скорость каждого велосипедиста. № 3.

II. ГЕОМЕТРИЯ

Вариант №1.

На общем основании построены два прямых конуса один внутри другого так, что их вершины находятся друг от друга на расстоянии а.

Определить объем, ограниченный коническими поверхностями обоих конусов, если угол при вершине осевого сечения большего конуса равен ее, a меньшего конуса равен ß. Вычислить при:

а = 53° 18' ß = 90°, а = 3,252. Вариант №2.

В нижнее основание цилиндра, имеющего боковую поверхность, равную s, вписан правильный пятиугольник, служащий основанием пирамиды, у которой вершина помещается в центре верхнего основания цилиндра, а плоскости боковых граней наклонены к плоскости основания под углом ос.

Определить сторону основания пирамиды. Вычислить при s = 103,7, а = 38°3'.

Вариант №3.

Основание треугольника равно а\ прилежащие к нему углы Риу.

Определить объем тела, полученного вращением треугольника около прямой, проведенной параллельно основанию треугольника (не через вершину) на расстоянии от основания, равном высоте треугольника.

Вычислить при: а = 7,

ß = 53°38', Y = 72° 18'.

Вариант №4.

В конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом а, вписана правильная четырехугольная пирамида, имеющая объем v.

Определить полную поверхность конуса.

Вычислить при а = 38°40', v = 31,56.

Вариант №5.

Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого а и угол при основании а, вращается около прямой, проходящей через вершину треугольника параллельно биссектрисе угла а.

Найти поверхность тела вращения.

Вычислить при а = 21, а = 80°24'.

Вариант №6.

Угол в осевом сечении конуса равен 2а. В конус вписан шар, и через их линию касания проведена плоскость. Найти отношение объемов полученного конуса к данному.

Вычислить при а =17° 12'.

Вариант №7.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и составляет с одной боковой гранью угол а, а с другой угол ß. Определить объем параллелепипеда. Вычислить при: d — 5,525, « = 43° 18', ß = 21°07\

Вариант №8.

Два конуса имеют общее основание и расположены один внутри другого. Образующая большего из них наклонена к плоскости основания под углом а, образующая меньшего — под углом ß. Объем тела, ограниченного боковыми поверхностями этих конусов, равен v.

Определить радиус общего основания конусов.

Вычислить при: а = 74°ЗГ, ß = 61°59', V = 236,3.

Вариант №9.

Основанием прямой призмы АВСАХВХСЛ служит прямоугольный, треугольник ABC с прямым углом при точке С, в котором даны катет а и угол А = а. Через точки А, В1 и С, проведена плоскость, образующая в сечении угол Б«ЛС, равный ß.

Найти объем призмы.

Вычислить при: а = 0,3319, « = 40°32', ß = 24°10'.

Вариант № 10.

Сечение, проведенное через сторону основания правильной 4-угольной усеченной пирамиды перпендикулярно к противолежащей боковой грани, составляет с основанием угол а.

Определить боковую поверхность пирамиды, зная, что сторона большего основания и высота пирамиды равна а.

Вычислить при: а = 4J25, « = 37° 12'.

ЗА ГРАНИЦЕЙ

«НОВЕЙШИЕ ДОСТИЖЕНИЯ В ПРЕПОДАВАНИИ ГЕОМЕТРИИ»

О книге Shibli «Recent Developments In the Teaching of Geometri»

М. С. БЕРНШТЕЙН (Москва)

Преподавание геометрии в средней школе, бесспорно, является наиболее отсталым участком среднего математического образования. Об этом свидетельствует и сравнительно более низкая успеваемость по геометрии, и отрицательное отношение значительной части учащихся к геометрии и, наконец, слабость методики и дидактики преподавания этой дисциплины, наблюдаемая как у нас, так и за границей. Преподавание геометрии, как никакой другой дисциплины в школе, за последние десятилетия подвергалось и продолжает подвергаться и на сегодняшний день суровой и в значительной степени заслуженной критике. Фактические знания о пространственных соотношениях, которые получают учащиеся средней школы, крайне скудны и количественно и качественно. Школьная геометрия очень слабо вооружает учащихся для действенной активной ориентировки во всем богатстве соотношений окружающего их пространства.

Что же касается развития у учащихся строго логического доказательного мышления, которое на протяжении столетий считалось чуть ли не главной задачей и главной заслугой преподавания геометрии, то, как показала принципиальная критика теории формального образования, с одной стороны, и специальные экспериментальные исследования— с другой, эти формалистические упования на школьную геометрию оказались необоснованными и во всяком случае сильно преувеличенными.

Распространенная практика преподавания геометрии не обеспечивает овладевания учащимися методом логического доказательства. Занятия по геометрии обычно мало способствуют улучшению рассудочной деятельности учащихся за пределами геометрии.

В чем причины такого малоудовлетворительного состояния преподавания геометрии в средней школе?

Как бы это ни показалось парадоксальным, одну из главных причин приходится видеть в своеобразном совершенстве «Начал» Евклида, служивших на протяжении восьми веков (первый латинский перевод «Начал» с арабского был сделан в 1120 г. Аделардом) основным «стандартным» учебником сначала в монастырях и университетах, а начиная с 18-го столетия, с появлением учебников Вольфа и Кестнера, основным учебником и средней школы.

«Начала» Евклида, представляющие собой замечательное дедуктивное обобщение научно-философских и теоретических знаний о соотношениях пространства, сложившихся в период расцвета Александрийской школы эпохи Птоломея, были задуманы великим геометром древности как энциклопедия математических знаний, меньше всего рассчитанная на обучение детей.

1. «Начала» Евклида были написаны для вполне зрелых мыслителей.

2. «Начала» изложены в строгой последовательности логических доказательств.

3. «Начала» представляют собой продукт сложнейших абстракций при минимальном пользовании интуицией и конкретным созерцанием.

4. «Начала» представляют своеобразный философский трактат, а вовсе не учебник, о чем, в частности, свидетельствует полное отсутствие упражнений.

5. «Начала» представляют теоретический курс без всякого обращения к практике, без единого конкретного измерения.

6. «Начала» совершенно не пользуются гипотетическими построениями, а, наоборот, предварительно доказывают возможность и правильность того или иного построения, прежде чем пользуются этим построением для доказательства какой-либо новой теоремы.

Казалось бы совершенно очевидным, что «Начала» Евклида являются малоподходящим учебником для учащихся средней школы, для детей 12—16-летнего возраста.

Однако на протяжении столетий именно Евклидовы «Начала», особенно первые шесть книг из тринадцати, лежали в основе школьного преподавания геометрии. Правда, уже такие крупные педагоги, как Песталоцци и Гербарт, пропагандировавшие так называемые «предметные уроки», подчеркивали, что систематическому курсу доказательной геометрии должны предшествовать конкретные наблюдения, манипуляции и вычерчивание разнообразных геометрических фигур и тел.

Знаменитые «Элементы геометрии» Лежандра во Франции, работы Де Моргана в Англии и особенно работы Феликса Клейна в Германии представляют собой крупные вехи на пути приспособления преподавания геометрии к условиям и возможностям учащихся средней школы.

Приспособление преподавания геометрии к условиям и нуждам среднего образования шло в основном в следующих пяти направлениях;

1) подчеркивания и учета психологической стороны вопроса, т. е. учета уровня развития и понимания учащихся средней школы;

2) отбора материала в соответствии с требованиями методики и дидактики обучения;

3) все большего отхода от чисто абстрактной и строго логической последовательности со все большим уклоном в сторону увязки занятий по геометрии, с решением ряда практических задач на пространственные соотношения;

4) постепенного возрастания роли и удельного веса стереометрии и создания единых курсов геометрии, где стереометрический и планометрический материал органически увязан в одно целое;

5) все большего применения арифметики и алгебры при решении геометрических проблем.

Детальному обзору и своеобразному подведению итогов этого процесса приведения преподавания геометрии в соответствие с условиями и потребностями среднего образования, в соответствие с требованиями современной педагогики и методики преподавания посвящена рецензируемая книга американского геометра Шибли «Современные достижения в преподавании геометрии».

Книга Шибли, хотя и содержит краткую историю преподавания геометрии с самых древних времен, в основном посвящена анализу достижений в преподавании этой дисциплины в Х-Х в., главным образом в Соединенных штатах Америки.

Искания в области преподавания геометрии в средней школе, наблюдаемые в США на протяжении последних 40—50 лет, по свидетельству Шибли, являются прямым результатом влияний Меранской системы, связанной, в первую очередь, с именем немецкого математика Феликса Клейна, с «Геометрией движения» французского профессора математики Чарля Мере и «практической геометрией» английского математика Джона Перри.

Проводниками этих новых идей в преподавании геометрии в Америке являлись и являются различные объединения преподавателей математики, начиная с «Комиссии десяти» созданной еще в 1892 г. Всеамериканской педагогической ассоциацией.

Эта «Комиссия десяти» предлагала ввести «вводный» курс «конкретной геометрии», предваряющий систематический курс доказательной геометрии, и подчеркивала особую важность самостоятельного решения учащимися оригинальных задач на доказательство и построение.

Прямым проводником идей Перри явился председатель Американского математического общества профессор Муур. В своей декларации «Об основах математики», опубликованной им в 1903 г., Муур подчеркивал важность практического направления в преподавании, более тесной взаимосвязи всех математических дисциплин, преподаваемых в средней школе.

Вслед за Перри профессор Муур подверг суровой критике схоластическое формальное заучивание готовых теорем и предлагал смелей применять ряд геометрических положений без доказательств, с тем, чтобы основное время и внимание уделять самостоятельному решению оригинальных задач и лабораторным занятиям по опытному изучению свойств и особенностей геометрических объектов.

Выступление Муура вплотную поставило вопрос о пересмотре программы по геометрии, и эта работа была действительно выполнена в 1912 г. «Комиссией пятнадцати», созданной Американской федерацией математики и естественных наук и «Всеамериканским комитетом математических требований», ставшим выразителем стремлений американской педагогической общественности к перестройке преподавания математики и приспособлению его к нуждам и условиям современного среднего образования.

Отчет этого комитета, опубликованный в 1923 г., несомненно, оказал самое глубокое влияние на современное состояние преподавания геометрии в Америке.

После отчета Комитета вопросом реформы преподавания геометрии стала заниматься специальная «Комиссия по геометрии», организованная Всеамериканским советом преподавателей математики. Эта «Комиссия по геометрии» занимается обобщением и пропагандой лучшего опыта преподавания геометрии в американских школах. Начиная с 1932 г. комиссия регулярно публикует свои отчеты в органе совета «Учитель математики»*.

Одним из главных завоеваний сторонников перестройки преподавания геометрии, несомненно, является внедрение в школьную программу пропедевтического курса геометрии, по-разному называемого в разных странах и разными авторами. Говорят о курсе «наглядной», «практической», «конкретной», «жизненной», «опытной» или, даже, «изобретательной» геометрии, но все же наиболее привившимся надо, пожалуй, считать название «интуитивная геометрия».

Так, например, согласно Британской математический ассоциации, преподавание геометрии в английских школах разбивается на следующие пять стадий:

1) экспериментальная стадия для детей до 12 лет. На этой стадии изучение геометрических объектов носит опытный наглядный характер;

2) дедуктивная стадия для детей 12 — 15 лет. На этой стадии интуиция и наглядность переплетаются с дедуктивными положениями и доказательствами, причем многие положения применяются без строго логического доказательства;

3) стадия систематизации для детей 15—17 лет, всецело построенная на строго логической последовательности;

4) изучение современной геометрии и формальной стереометрии и, наконец,

5) теоретическая и обобщающая стадия: «Изучение основ геометрии».

Конкретное содержание первых стадий интуитивной геометрии мы находим в «Программе по математике для начальной школы», составленной в 1925 г. Перси Нуном для показательных школ Лондонского учительского колледжа:

«Второй год обучения. Упражнения по геометрии, связанные с ручным трудом и географией. Составление чертежей ящиков и рамок из бумаги, или картона. Вычерчива-

* Всего было опубликовано три отчета в 1932, 1933 и 1935 гг.

иие простых планов по масштабу. Измерение различных школьных объектов.

Третий год обучения. Упражнения в пользовании циркулем. Вычерчивание колес и других круглых объектов. Рисование, требующее сочетания окружностей и их частей. Определение местонахождения объектов при помощи окружности как геометрического места точки («нахождение клада»).

Четвертый год обучения. Определение площадей правильных и неправильных плоскостей путем повторного наложения квадратной единицы измерения. Вычисление площадей по сторонам; точное черчение прямых, прямых углов, параллельных, перпендикуляров при помощи линейки и наугольника. Прямой, острый и тупой угол.

Пятый год обучения. Измерение углов. Площадь треугольника. Измерение объемов. Сравнение различных объмов. Геодезические наблюдения и вычисления.

Шестой год обучения. Прямые и кривые поверхности. Конус, шар, цилиндр. Углы между плоскостями. Употребление ватерпаса и отвеса. Симметрия плоскостей и тел. Подобие плоскостей и объемных объектов. Черчение плоскостей и тел по масштабу. Отношение отрезков. Пропорциональность сходственных сторон подобных фигур. Отношение окружности к диаметру. Пользование пантографом. Равенство вертикальных углов (наглядным методом). Вывод свойства внешнего угла и суммы углов треугольника. Параллелограмы и параллелепипеды. Построения. Деления отрезков, углов и др.

Седьмой год обучения. Основные тригонометрические функции и таблицы. Задачи на определение высот и расстояний при помощи тригонометрии. Теорема Пифагора (экспериментальным методом). Эллипс как проекция окружности и как сечение цилиндра. Проектирование. Принцип Кавальери для площадей и объемов».

Шибли подчеркивает, что американская школа значительно отстает от английской в отношении удельного веса, внимания и времени, которые уделяются «Интуитивной геометрии». Однако за последние десятилетия «интуитивная геометрия», хотя и не в виде отдельного школьного предмета, а как часть арифметики завоевывает все больше и больше места. Об этом свидетельствует специальный анализ содержания распространенных учебников по математике, проведенный Мак-Кормиком в 1928 г. Если в учебниках арифметики для 7-го и 8-го годов обучения, опубликованных до 1900 г., интуитивно-геометрический материал составлял от 7 до 15%, то в учебниках математики для этих же годов обучения, напечатанных после 1923 г., геометрический материал составляет уже от 15 до 36% текста.

Однако, в отличие от английской школы, «интуитивная геометрия» в американской школе приходится в основном на 7-й и 8-й годы обучения.

Правда, по данным «Комиссии по геометрии» за 1935 г., мнение американских педагогов все больше склоняется к тому, чтобы материал по «интуитивной геометрии» был бы передвинут с 7-го и 8-го годов обучения на 5-й и 6-й годы, с тем, чтобы учащиеся на 7-м и 8-м и, особенно, на 9-м году вплотную подводились к систематическому курсу доказательной геометрии, который согласно американской школьной программе падает на 10-й год обучения.

Подытоживая многостороннюю и многолетнюю дискуссию, ведшуюся в американской математической литературе по вопросу о роли, целях и значении интуитивной геометрии, Шибли выдвигает в пользу такого курса следующие положения:

1. «Интуитивная геометрия» развивает восприятие пространства и пространственное воображение учащихся.

2. Развивает навыки прямого и косвенного измерения.

3. Стимулирует моторную активность, что является одним из основных условий интеллектуального развития.

4. Развивает уменье пользоваться линейкой, циркулем, угольником и транспортиром.

5. Дает известную сумму геометрических знаний, приобретаемых опытным, интуитивным путем.

6. Развивает способность делать правильные умозаключения о некоторых геометрических соотношениях.

7. Развивает способность к обобщению на основе изучения частных явлений и к пользованию принципами, установленными на основании обобщения применительно к новым частным случаям.

8. Развивает навыки опрятности, аккуратности и наблюдательности.

9. Выявляет и укрепляет индивидуальные склонности, формирующиеся впоследствии в известные профессиональные интересы.

10. Кладет необходимую основу для успешного усвоения систематического курса геометрии, равно как и других точных наук.

Надо, однако, со всей серьезностью подчеркнуть опасность превращения занятий по «интуитивной геометрии» в простое эмпирическое манипулирование геометрическими объектами, без серьезного осмысливания тех закономерностей пространственных соотношений, которое доступно уже учащимся последних классов начальной и первых классов средней школы.

«Основной слабостью современного курса «интуитивной геометрии»,— пишет Шибли,— является то, что она дает учащимся мало возможности для рефлексии. Она мало развивает изобретательность и инициативу учащихся и мало удовлетворяет естественную потребность в умственной работе, свойственной учащимся 7-го и 8-го годов обучения.

С другой стороны, все еще существует значительный разрыв между интуитивной геометрией в младших классах и систематическим курсом, падающим на 10-й год обучения.

Для восполнения этого разрыва, а также для непосредственной подготовки учащихся к эффективному прохождению систематического курса геометрии последнее время все чаще практикуется в некоторых американских школах так называемый «вводный» или «переходный» курс геометрии для учащихся 9-го года обучения.

Различные варианты такого рода курса приводятся в 5-м «Ежегоднике всеамерикан-

ского совета учителей математики». Основная особенность этих курсов состоит в том, что на базе конкретных геометрических знаний, полученных учащимися от занятий «интуитивной геометрией», делается попытка постепенного приучения их к пользованию строго логическим доказательством как методом установления общих закономерностей пространственных соотношений геометрических фигур.

Основная задача этого курса: 1) наглядно показать учащимся преимущества научного доказательства, вскрывающего достоверность закономерности перед эмпирическими знаниями, дающими лишь вероятность явления; 2) приучить учащихся к сознательному пользованию логическим доказательством для открытия новых закономерностей путем самостоятельного доказательства расположенных по возрастающей трудности задач.

В этом же ежегоднике напечатана статья Сенфорд, автора книжек по истории математики, рассказывающая об удачном опыте проведения такого «вводного» курса с учащимися 7—8-го годов обучения.

Но такого рода «вводные курсы» все же носят экспериментальный характер и не являются сколько-нибудь распространенными в практике американской школы.

Генеральное решение вопроса о ликвидации разрыва между «интуитивной геометрией» начальных классов и систематическим курсом американские учителя пытаются находить в соответствующей перестройке самого систематического курса, начиная с пересмотра содержания и методов работы по доказательной геометрии и кончая многочисленными вариантами учебников по доказательной геометрии.

Перестройка систематического курса, по свидетельству Шибли, выражается в следующем:

1. Радикально изменилось введение к курсу. В отличие от учебников прошлого столетия, где «введение» представляло собой длинный перечень формальных определений, аксиом и постулатов, которые учащиеся должны были просто заучивать, не понимая как следует их смысла и значения, введение в новейших учебниках по геометрии занимает от 24 до 56 страниц и предназначено к тому, чтобы объяснить учащимся значение и пользу геометрии как науки, чтобы на истории возникновения и развития геометрии наглядно показать учащимся, как геометрия возникла из практических потребностей людей, и как постепенно, путем обобщения эмпирического опыта и научных открытий геометрия стала стройной системой знаний, помогающих людям в технике, архитектуре, искусстве и быту.

Этот показ значения и роли геометрии для цивилизации не только излагается словесно, но и иллюстрируется яркими картинами и рисунками, наглядно показывающими, сколь многообразны и многочисленны области приложения геометрических знаний, начиная с египетских пирамид и кончая современными небоскребами, замками, мостами и туннелями, начиная с примитивной хижины, орудий, одежды и утвари дикаря и кончая современными обтекаемыми автомобилями и самолетами, стадионами и тончайшими коврами и эффектными образцами ультрасовременного формалистического искусства.

Вторая задача «введения» объяснить учащимся и убедить их в преимуществе строго логического научного доказательства над эмпирической фактологией. На ряде примеров показывается недостаточная надежность суждения «на-глаз» и ограниченность всякой индукции пределами вероятности.

После этого шаг за шагом вскрывается природа и механика логического доказательства, его структура и составные элементы и на ряде специально подобранных наглядных примеров, взятых как из области геометрии, так и из других областей знаний, а также из житейской повседневности, учащиеся упражняются в применении строго логического метода доказательства.

Если занятия по «интуитивной геометрии», по мнению американцев, имеют своей главной целью познакомить учащихся с основными геометрическим фактами и навыками пользования геометрическим инструментарием, то занятия по доказательной геометрии, по их мнению, имеют своей основной задачей помочь учащимся овладеть логическим методом доказательства. Именно здесь, несомненно, сказывается методологическая порочность американских геометров.

В первом случае мы имеем полный отрыв практики от теории, голую эмпирическую «геометрию» без всяких научных основ.

В последнем же случае, в систематическом курсе, «теория» все больше отрывается от конкретного геометрического содержания и все больше превращается в своеобразный курс формальной логики, в котором геометрический материал привлекается лишь как удобный и как наиболее «нейтральный» материал для рассуждения. Очень характерными для этой тенденции к логизации занятий по геометрии являются книга Снелла и Кроуфорда — «Ясное мышление — через планиметрию» и «Природа доказательства» Ф о усе та, опубликованная в 13-м «Ежегоднике Всеамериканского совета учителей математики».

В этих книгах геометрический материал отходит на второй план; основной же акцент делается на том, чтобы научить учащихся «ясно логически мыслить».

Все это свидетельствует о том, что единственно правильный методологический принцип: единство теории и практики является неосуществимым для буржуазных ученых.

Однако, при всей односторонности и ограниченности американского «систематического» курса геометрии отдельные методические их приемы и решения отдельных частных проблем, несомненно, представляют интерес.

Сюда, в первую очередь, относится решение вопроса о роли, значении и числе исходных положений, принимаемых без доказательства. Как известно Евклид положил в основу своих «Начал» всего пять постулатов.

Уже Лежандр прибавил к этим пяти еще два постулата, а именно: 1) «что всякий отрезок прямой имеет середину» и 2) «что всякий угол имеет биссектрису». Это дало ему возможность ввести так называемые «гипотетические построения», получившие

впоследствии большое распространение и применение во всех учебниках геометрии для средней школы.

Американские авторы увеличили количество аксиом до 12, а количество постулатов до 13. Американцы отдают себе ясный отчет, что, с логической точки зрения, эти добавочные аксиомы не являются необходимыми, но зато, с педагогической точки зрения, они считаются вполне целесообразными, ибо они значительно освобождают силы и время учителя и учащихся для решения оригинальных задач.

Упомянутая выше «Комиссия 15» пошла еще дальше и рекомендовала в целях упрощения 12 теорем, которые обычно доказывались в учебниках XIX в., применять без строгого доказательства, в том числе: «Из всякой точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр и только один»; «Углы, дополняющие или пополняющие равные углы, равны»; «Радиусы одной и той же или равных окружностей равны»; «Площадь прямоугольника равняется произведению основания на высоту».

Всеамериканский комитет математических требований определил число недоказываемых исходных положений числом 16, а новейшие учебники доводят это число до 20.

Другими словами, принцип логической независимости постулатов приносится американцами в жертву педагогическому принципу: приспособить геометрию к уровню развития учащихся.

Кроме того, Комитет математических требований проделал большую работу по отбору обязательного минимума теорем, знание которых является обязательным для учащихся при получении зачета по этому предмету. При этом отборе комитет руководствовался следующими двумя критериями: 1) теоретической ценностью теоремы и 2) насколько часто она применяется при дальнейших доказательствах.

Составленный комитетом перечень состоит из двух частей: 1) из 52 основных теорем и 19 построений и 2) из подсобных 32 теорем. Многие теоремы, которые раньше доказывались, перенесены в раздел упражнений и прорабатываются как задачи.

Насколько серьезным и радикальным является пересмотр программы, проведенный комитетом, видно из сопоставления, сделанного Шибли, программы комитета и учебника Уэнтвортса, бывшим наиболее популярным в начале нашего столетия в Америке. Оказывается, что из 167 теорем, считавшихся основными у Уэнтвортса, комитет исключил 82.

В том числе Комитетом были исключены теоремы: о смежных и вертикальных углах; о наклонных и перпендикулярах, проведенных из точки, лежащей вне прямой; о параллельности перпендикуляров, проведенных к одной и той же прямой; о сумме внешних углов многоугольника; о пересечении прямой с окружностью; о возможности провести окружность через три точки, не лежащие на одной прямой; о перпендикулярности линии центров к общей хорде двух пересекающихся окружностей; о линии центров касающихся окружностей; о делении дуги пополам; о делении отрезка прямой на равные части; все теоремы о пропорциональности отрезков; об углах с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами; о пропорциональности сходственных высот подобных треугольников; о параллельных прямых, пересекаемых пучком прямых; о вычислении квадрата стороны треугольника, лежащей против острого, прямого или тупого угла; о вычислении медианы и биссектрисы треугольника по трем его сторонам; о соотношении площадей треугольников, имеющих равные высоты или равные основания; о вычислении площади прямоугольника; о соотношении площадей треугольников, имеющих по равному углу; о возможности вписать и описать окружность вокруг любого правильного многоугольника; о подобии правильных одноименных многоугольников; об окружности как о пределе; о соотношении окружностей; о площади круга; о соотношении площадей сегментов; все теоремы об изопериметрах и др.

Кроме перечисленных теорем, Комитетом были исключены из обязательного минимума следующие построения: построить треугольник по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них; построить параллелограм по двум сторонам и углу, заключенному между ними; построить сегмент, вмещающий данный угол; построить 4-й пропорциональный отрезок; золотое сечение; построить квадрат, площадь которого равна сумме или разности площадей двух данных квадратов; построить квадрат, равновеликий данному параллелограму; построить параллелограм, равновеликий данному квадрату, по сумме или разности основания и высоты параллелограма; вписать в окружность правильный десяти- и пятнадцатиугольник и др.

Со своей стороны Комитет математических требований включил, между прочим, следующие новые теоремы и построения, отсутствовавшие у Уэнтвортса.

«Диагональ делит параллелограм на два равных треугольника»; о параллельных, пересекающих стороны угла; о перпендикулярности касательной к радиусу; о вписанных углах, опирающихся на одну и ту же дугу. Площадь круга = кг2 (неформальное доказательство); об углах, образуемых пересечением прямой двух параллельных прямых; о равенстве противоположных углов параллелограма; всякий выпуклый четырехугольник является параллелограмом, если противоположные углы равны и если диагонали делятся взаимно пополам; о четырех замечательных точках треугольника; о дугах и стягивающих их хордах; о вписанном угле, опирающемся на диаметр; о равновеликости треугольников и параллелограмов, имеющих одинаковые основания и высоты. Комитет также включил нахождение центра по данной дуге окружности.

Кроме сокращения количества обязательных теорем Всеамериканский комитет математических требований согласился с позицией Британской математической ассоциации в вопросе о последовательности изложения теорем. Британская математическая ассоциация весьма лаконично сформулировала свою точку зрения по данному вопросу: «Является весьма сомнительным, существует ли вообще какая-то наилучшая последовательность изложения теорем. И если бы такая «наи-

лучшая последовательность» была бы открыта, навряд ли было бы целесообразно навязать ее всем, без исключения, педагогам». Именно этой позицией указанных руководящих математических организаций Великобритании и Америки надо объяснить то разнообразие и даже разнобой, который наблюдается в новейших учебниках по геометрии этих стран. Общепринятым считается, что теоремы целесообразней группировать по их внутренней связи, а не по формально-логической последовательности, установленной Евклидом.

Большие изменения произошли за последние десятилетия в характере и ходе доказательства теорем. Полные и исчерпывающие доказательства теорем, удержавшиеся вплоть до начала нашего столетия во всех популярных учебниках мира, вызывали все больше и больше возражений со стороны передовых учителей. Такого рода исчерпывающие доказательства совершенно подрезают оригинальное мышление учащихся, апеллируя исключительно к их памяти. Но таким путем можно, в лучшем случае, выучить сами доказательства, но нельзя научиться самостоятельно доказывать. Сколько ни заучивать сформулированные готовые доказательства— это не гарантирует умения самостоятельно формулировать новые доказательства.

Время, которое тратится на голое запоминание готовых доказательств, может и должно быть использовано на более творческую и более воспитывающую работу. Отсюда целый ряд попыток изменить ход и характер доказательств, направленных на стимуляцию самостоятельной мысли учащихся.

Одной из наиболее распространенных модификаций доказательств является та, которую американцы называют «неполным», или «направляющим», доказательством. Многие теоремы доказываются лишь частично, и если даже доказательство приводится полностью, то опускаются основания, на которых доказательство построено.

Учащиеся самостоятельно или должны закончить доказательство, или указать его основания. В отдельных случаях учащимся даются лишь некоторые наводящие указания, исходя из которых, они должны сами провести доказательства.

Шибли приводит очень интересную табличку, показывающую, насколько увеличился удельный вес таких незаконченных доказательств в новейших учебниках геометрии.

Восемь учебников, вышедших за период с 1843 по 1899 г., включая учебник Уэнтворта, содержат от 128 до 178 теорем, и все эти теоремы полностью доказываются самим автором.

Впервые ввел «неполные» доказательства Милн (Milne).

Год издания

Автор

Число теорем

Полное доказательство

Неполное доказательство

1899

Милн...................

155

133

22

1901

Шульце-Севенок .............

155

101

54

1910

Стон-Милис.................

141

67

74

1916

Стон-Милис.................

120

43

77

1925

Сеймур ...................

94

9

85

1929

Стон-Малори................

111

66

45

1931

Морган-Бреконридж ............

127

91

36

Тот же Милн, который впервые ввел «неполные» доказательства, всячески настаивал на том, что задача преподавателя заключается в том, чтобы побудить учащихся к самостоятельному открытию геометрических закономерностей и пространственных соотношений.

Поэтому в добавлении к неполным доказательствам он ввел также и другой прием, названный им «развитием доказательства» (Developmental Proof.), или, как впоследствии стали его называть, «открытием доказательства». Прием этот заключается в том, что предварительно, до формулировки теоремы и ее доказательства, перед учеником ставится ряд вопросов, или даже элементарных задач, ответ на которые подводит его вплотную к установлению закономерности, о которой идет речь в теореме. Во многих случаях удается добиться самостоятельной формулировки теоремы самими учащимися.

Учебники Сеймура (1925), Кларка-Отиса (1926) и Стона-Малори (1929) почти целиком построены на этом принципе. Другой автор (Смит) в своем учебнике «Геометрия для начинающих» добивается этой же цели путем соответствующей системы специально подобранных упражнений и задач.

В учебнике Мак-Кормика, вышедшем в 1934 г., почти каждая теорема предваряется так называемой «исследовательской задачей», заставляющей учащегося самостоятельно разобраться в том или другом геометрическом свойстве, после чего автор формулирует это свойство в теорему, доказательство которой уже не представляет обычно большого труда для учащегося.

Значительную помощь учащимся при доказательстве теорем оказывает и то, что ему все время рекомендуется и напоминается, что, прежде чем приступить к доказательству, необходимо наметить себе план этого доказательства; на ряде примеров наглядно показывается, что правильно намеченный план доказательств предопределяет весь ход работы, в первую очередь характер и направление вспомогательных построений.

Большое внимание американскими авторами уделяется самому оформлению теоремы и доказательства ее.

Для иллюстрации приводим оформление теоремы о сумме углов треугольников из учебников Сеймура (1925) и Эвери (1936). Из учебника Сеймура (1925 г.)

152. Сумма углов треугольника равна развернутому углу (черт.).

Дано: Д ABC с его тремя углами а,Ькс. Доказать: /_а + Ц> + ^ с = развернутому углу.

Анализ: 1. Всякая прямая (скажем, t), проведенная через вершину В, образует со сторонами Д углы, дающие в сумме развернутый угол.

2. Сумму каких углов нам надо определить?

3. Какое направление должны мы придать прямой t, чтобы между углами при вершине В и углами Д была бы установлена идентичность?

Доказательство:

Положения Основания

Из учебника Эвери (1936)

«108. Сумма углов треугольника равна двум прямым углам (черт.). Дано: Д ABC.

Доказать: АСВ + £ В = 2 прямым углам.

План: класс — сумма углов = 2 прямым. Известные методы доказательства для этого класса теорем: § 35 в, 95, 96, 106, 107.

Воспользоваться положением: сумма углов, имеющих общую вершину, расположенных по одну сторону прямой — 2 прямым.

Доказательство:

Примечание. Эта теорема имеет много практических применений и используется каждодневно землемерами, инженерами и др.»

Значительное сокращение основных теорем, введение незаконченных доказательств, приучение учащихся к методике и технике доказательства теоремы диктуется не только необходимостью облегчения усвоения геометрии учащимися средней школы, т. е. не только психолого-педагогическими соображениями, но еще больше тем, чтобы привести преподавание этой дисциплины в соответствие с практическими нуждами современного общества, чтобы сделать эту дисциплину как можно более жизненно полезной.

Основным условием такой реформы преподавания геометрии является борьба со схоластикой, с формальным заучиванием готовых положений и доказательств. Для этого необходимо центр тяжести преподавания перенести на самостоятельную творческую мыслительную работу учащихся, на развитие в них духа искательства и пытливости ума путем решения все усложняющихся теоретических и практических задач. Ничто не помогает лучшему достижению этих целей, как тщательно продуманная система самостоятельных упражнений и самых разнообразных задач на доказательство, на построение и на вычисления, в том числе и задач жизненно практического характера. В этом направлении американцами сделано много интересного и весьма поучительного.

Как известно, «Начала» Евклида состоят исключительно из теорем, полностью доказанных самим автором. «Начала» не содержат ни одного упражнения или задачи. Арабы, переведшие «Начала» в IX в., включили несколько численных иллюстраций, но дальше этого и они не пошли. Первые «задачи» по геометрии представляли собою своеобразные головоломки, печатавшиеся в популярных журналах XVIII и XIX столетий, как материал для развлечения. Первый сборник упражнений по геометрии «Геометрические задачи на основе первых шести книг Евклида» были опубликованы Блэндом в 1821 г. Этот сборник содержит 363 задачи с полным их решением в конце книги.

Непосредственно в учебник по геометрии упражнения и задачи были включены английским математиком Симеоном в 1853 г. Значительное количество упражнений было включено в учебник геометрии Годхонтера, напечатанный в Англии в 1862 г. В этом же году в Америке появился учебник Гринлифа, также имевший в качестве приложения около ста упражнений. Однако вплоть до начала XX столетия все эти упражнения

* Номера параграфов указывают номера теорем или аксиом, на основании которых выдвигается каждое из приведенных положений. — краткое обозначение слева «следовательно» (М. Б.)

обычно печатались в виде приложения в конце учебника, их выполнение не являлось обязательным, и они фактически мало привлекали к себе внимания учителей геометрии и учащихся.

На серьезное значение упражнений и задач по геометрии для творческого усвоения ее впервые указала «Комиссия Десяти» в 1893 г. Все дальнейшие общественные и государственные комиссии и организации Америки все с большей силой подчеркивали огромное значение самостоятельной работы учащихся над геометрическими задачами.

Шибли приводит интересную таблицу, показывающую все возрастающий удельный вес этих упражнений в учебниках по геометрии. Если на учебники конца XIX в. в среднем приходится по 264 упражнения, то на учебники первого десятилетия нашего века приходится уже в среднем 776, на учебники двадцатых годов — в среднем 1 258, а в учебниках тридцатых годов упражнения и задачи составляют в среднем 1 700, а учебник Стона-Малори содержит даже 2 156 номеров.

Начиная с 1908 г., по инициативе Математической секции Центральной ассоциации учителей естественных и математических наук, под руководством известного американского математика и методиста Дэвида Смитса, был впервые опубликован сборник из 82-х практических задач по геометрии под названием «Реальные задачи по геометрии», взятых из области астрономии, физики, архитектуры и геодезии.

В 1909 г. такого рода практические задачи впервые появились в учебнике геометрии Стона-Милиса. С тех пор практические задачи стали неотъемлемой частью каждого учебника по геометрии. По подсчетам Шибли, на каждый из 16 учебников, вышедших за период с 1910 по 1929 г., число практических задач колеблется между 70 и 240. Одновременно с практическими задачами по инициативе Математической ассоциации восточных штатов стали применяться задачи на построения, в частности, решаемые при помощи нахождения геометрических мест точек.

Особое значение такого рода задач было подчеркнуто в 1911 г. «Комиссией Пятнадцати» «как способ динамизации геометрии, как способ развития пространственной интуиции, как хорошая иллюстрация функциональной зависимости, как полезный путь подготовки для изучения высшей математики».

Основная особенность новейших учебников заключается в том, что вся эта масса различного рода упражнений и задач распределяется непосредственно по теоремам или по известным группам теорем, объединенных общей идеей. Кроме того, упражнения классифицируются по степени трудности: для средних, сильных и особенно интересующихся геометрией учеников.

Очень много внимания современными авторами уделяется вопросу, как лучше и эффективнее научить учащихся решать задачи, как помочь учащимся овладеть методом решения геометрических задач.

Подводя итоги изучению изменений, происшедших в преподавании геометрии за последние 40 — 50 лет, Шибли подчеркивает следующее:

1. Рутина механического заучивания уступила место «духу самостоятельных открытий», развитию оригинальности и инициативы учащихся.

2. Дедуктивный, синтетический метод преподавания в значительной степени вытеснен индуктивным, аналитическим.

3. Вместо простого изучения отдельных разрозненных геометрических фактов в современном преподавании геометрии все больше побеждает функциональная точка зрения, рассматривающая геометрические явления в их движении, взаимосвязи и взаимообусловленности.

«Все это, — говорит Шибли в заключение своей книги, — должно опровергнуть распространенное мнение о статичности преподавания геометрии. Как раз наоборот! Мало или почти ни одна другая дисциплина средней школы не подвергалась таким значительным изменениям, каким подвергалась за последние 50 лет геометрия. Эти радикальные изменения в одинаковой мере коснулись и содержания, и методов, и цели, и духа преподавания этой дисциплины.»

ХРОНИКА

А. П. КИСЕЛЕВ

Проф. И. К. АНДРОНОВ (Москва)

8 ноября умер старейший математик-педагог нашей родины Андрей Петрович Киселев, скончавшийся на 89-м году жизни.

Имя Андрея Петровича, как автора учебников по математике, известно каждому грамотному гражданину СССР: по его учебникам училось не одно поколение нашей страны. Более полвека назад, в 1884 г., была издана работа «Систематический курс арифметики для средних учебных заведений», преподавателя Воронежского реального училища А. Киселева. Книга в первом же издании получила положительный отзыв в киевском журнале «Элементарная математика», издававшемся профессором В. П. Ермаковым, за умелое повышение теоретического уровня и ясность изложения.

В то время распространенным учебником было «Руководство арифметики» известного педагога-популяризатора физико-математических знаний, директора Московского учительского института А. Ф. Малинина, вышедшая в 1866 г. и ко времени появления работы Андрея Петровича имевшая уже полумиллионный тираж.

Выпускались и многие другие (около 5 десятков) оригинальные и традиционные учебники арифметики, но в жизненном отборе победа осталась за учебником А. П. Киселева, который получил 29 изданий до революции, рекордное число из всех исторически у нас существовавших; к более чем миллионному тиражу надо прибавить еще десять миллионов, отпечатанных за двадцать три года нашего времени.

В 1888 г. выходит «Элементарная алгебра» А. Киселева, ч. 1, и через полгода и часть 2.

В предисловии автор так характеризовал свою книгу:

«Автор предлагаемого курса прежде всего ставил себе целью достигнуть выполнения трех качеств хорошего учебника: точности в формулировке и установлении понятий, простоты в рассуждениях и сжатости в изложении».

Автор поднимает элементарную алгебру на более высокую ступень —от «Универсальной арифметики» Л. Эйлера через «Алгебру» Бурдона к «Алгебре» Н. С. Бертрана и Таннери, в частности, улучшая деталь — развитие понятия числа и степени. В то время распространенными учебниками по алгебре были:

1) «Начальная алгебра» А. Ю. Давидова, известного профессора Московского университета, выпущенная в первом издании 1865 г. и 2) «Руководство алгебры и собрание алгебраических задач» А. Ф. Малинина (1870), имевших ко времени выпуска работы А. П. Киселева не менее Vs миллиона тиража.

Выпускались и многие другие (несколько десятков) руководства по алгебре, но и здесь жизненный отбор остановился на книге А. П. Киселева, которая получила то же рекордное число —29 изданий до революции, т. е. около миллиона экземпляров, которые умножились в наше революционное время до 11 миллионов.

Через четыре года, в 1892 г., выпускается «Элементарная геометрия» с приложением большого количества упражнений и статьи «Главнейшие методы решения геометрических задач на построение»; в ней геометрия поднимается на одну ступень с теории Лежандра через Руше и Комберусс к геометрии Адамара.

Автор несколько уточняет понятие длины, а также площади поверхности, а главное, выдерживает хороший стиль: «ничего лишнего, ничего недостающего», точность формулировки, простота рассуждений, сжатость и ясность изложения.

Труд А. П. Киселева вступил в жизненное соревнование с трудами: 1) «Элементарная геометрия в объеме гимназического курса А. Ю. Давидова, вышедшая в 1864 г., и 2) «Руководство геометрии и собрание геометрических задач для гимназий» А. Ф. Малинина, вышедшая в 1878 г. Победа ускорилась в связи с ранней смертью А. Ю. Давидова, последовавшей в 1885 г., и А. Ф. Малинина, последовавшей в 1888 г. Книга А. П. Киселева имела 26 изданий до революции и громадные тиражи изданий нашего времени. Через год (в 1893 г.) выпускается учебник для седьмого класса реальных училищ «Дополнительные статьи алгебры», в предисловии которого автор пишет: «После многих авторитетных трудов в западной и отечественной научно-педагогической литературе становится, как мы думаем, невозможным излагать способ пределов так, как это делалось прежде в некоторых наших руководствах: теория пределов в настоящее время тесно связывается с теорией несоизмеримых чисел».

Книга получила семь изданий. Дальнейшее ее распространение прекратилось в связи с коренным изменением программы реальных училищ в 1906 г.

Через четыре года (в 1897 г.) выходят: а) «Краткая арифметика» и б) «Краткая алгебра» — для учебных заведений с неполным курсом элементарной математики, соответственно выдержавшие 20 и 15 изданий.

Через пять лет (в 1902 г.) выходит «Элементарная физика для средних учебных заведений со многими упражнениями и задачами в двух выпусках».

Книга выдержала до революции 13 изданий.

Удивительны эрудиция и энциклопедичность знаний физико-математического содержания, и это в XX веке, когда так тонко разветвился физико-математический цикл и углубились методы математических и физических исследований!

Правда, этот опыт А. П. Киселева был менее удачен, чем опыт составления учебников по математике: учебник физики не смог вытеснить основной дореволюционный распространенный учебник известного педагога К. Д. Краевича.

Через шесть лет (в 1908 г.) выпускается учебник «Начальное учение о производных», получивший во втором измененном издании название «Начала диференциального и интегрального исчисления» — учебник, приспособленный к новым программам реальных училищ. Здесь автор пытался соединить научность изложения с простотой и ясностью его. Книга получила до революции семь изданий. Через пять лет (в 1913 г.) выходит брошюра «Графические изображения некоторых функций, рассматриваемых в элементарной алгебре», где автор пытался дать неполный ответ на поставленный вопрос о реформе содержания алгебры, выдвигая на первое место идею функциональной изменяемости.

Андрей Петрович принимал участие и в педагогических журналах, помещая свои статьи и заметки в «Педагогическом сборнике» (бывш. Петербург), «Вестнике опытной физики и элементарной математики» (Одесса) и «Математическом образовании» (Москва). Необходимо отметить, что научно-педагогическое творчество Андрея Петровича протекало в эпоху коренной ломки структуры математики вообще и элементарной в особенности, когда разрушались вековые 1раиицы предметов, классические определения, взгляды на систему аксиом и теорем, когда создавались новые научные методы обоснования учения о расширенных операциях арифметических, алгебраических, аналитических и геометрических, когда арифметика находит свое основание в учении о множествах, из которых выделяется инвариант — натуральное число, логически развивающееся в целое, рациональное, действительное, комплексное и далее; когда алгебра находит свои объекты алгебраических операций в группе, кольце и поле; когда геометрия выдвигает на первое место культуру геометрического образа и его точечных преобразований на основе идеи группы; когда анализ в своих началах уделяет особое внимание структуре множества, на основе последнего — идее- функции, а в ней — идее непрерывности.

На границе XX века находят системы аксиом элементов математики.

На границе XX века поднимается мощный голос инженеров о необходимости изменения содержания школьной математики в связи с ее необходимым приближением к практике.

Поднимается голос педагогов о преодолении формализма в постановке преподавания математики, о такой постановке, при которой коллектив класса был бы захвачен глубоким интересом к предмету.

Раздаются голоса о большой реформе школьного курса математики.

Для разрешения сложнейших вопросов, поставленных историей перед всеми культурными народами, в 1908 г. создалась международная комиссия по реформе математического образования.

В январе 1912 и 1914 гг. происходили многолюдные всероссийские съезды преподавателей математики, на которых выдвигались всевозможные принципы изменения целей, содержания и методов преподавания математики.

Андрей Петрович являлся членом обоих съездов, участвуя в них, правда, не совсем активно. Многим казалось, что А. П. Киселев не желает итти вместе с прогрессивным движением.

Некоторым казалось, что учебники типа А. П. Киселева мешают развитию нового движения; создавалось еще в дореволюционное время среди части преподавателей математики неправильное отношение к трудам Андрея Петровича. Вот почему в первые годы нашей действительности так неактивно привлекался к программному и учебному творчеству А. П. Киселев.

Книги его переиздаются с 1922 г. туго, хотя спрос на них большой.

В 1923 г. выходит интересная его работа «Иррациональные числа, рассматриваемые как бесконечно-непериодические десятичные дроби» и через два года (в 1925 г.) подготовляется книга «Элементы алгебры и анализа», где впервые название школьной алгебры более соответствовало изменившемуся содержанию предмета.

Материал заново переработан с целью повышения теории и одновременно приближения к более целесообразной технике приближенно-ответственного вычисления и табличного, четырехзначного; упрощен и лучше распределен материал курса. Через два года (в 1927 г.) выходит «Элементарная геометрия» с значительным изменением характера прежней одноименной книги. Добавлены новейшие воззрения математиков на основы геометрии, введены основы проекционного черчения, начальное учение о перспективе и косоугольном проектировании, приложено сокращенное синтетическое изложение конических сечений, дано новое изложение учения о длине окружности и площади круга на основе аксиомы непрерывности; учение об объемах изложено двояко: на основе принципа Кавальери и на основе предельных переходов. Сборник задач дополнен собранием геометрических задач прикладного характера.

В это время полным ходом развивалась горе-теоретиками так называемая «теория отмирания школы». В отзывах ГУСа по поводу нового издания (в 1927 г.) и элемен-

тов алгебры и анализа сказано: «Нужен ли нашей школе, в качестве учебника, систематический, академический курс алгебры? Конечно нет». То же относительно нового издания «Элементарной геометрии», где в отзыве ГУСа сказано: «Чтобы оценить труд в целом, необходимо установить, нужен ли вообще систематический и полный курс геометрии нашей школе...

По схеме ГУСа выходит как будто так, что самостоятельный отдельный курс в школе II ступени не нужен, и я бы сказал, что книга Киселева для этой цели вряд ли применима и по большому объему, и по содержанию целого ряда статей, выходящих за рамки современных программных требований». Не обращая внимания на такие, с позволения сказать, рецензии, А. П. Киселев через год (в 1928 г.) выпускает новую работу «Задачи и упражнения к элементам алгебры» как дополнение к теоретическому курсу, и это выполняется на 77-м году его жизни.

В 1934 г. правительство награждает Андрея Петровича орденом Трудового Красного Знамени.

После этого открывается дорога к использованию исключительно ценного опыта Андрея Петровича. Его книги становятся стабильными, выпускаются миллионными тиражами.

Сперва выпускается под редакцией А. Н. Барсукова его учебник алгебры. С большой борьбой (в 1937 г.), вместо неудачных стабильных книг Попова и Гурвица, выходит, под редакцией проф. Н. А. Глаголева, его геометрия, а под редакцией и в переработке проф. А. Я. Хинчина — его арифметика.

Правда, от этих переработок можно было ожидать большего.

В чем же ценность книг А. П. Киселева? Почему спрос на его книги непрерывно возрастал и авторитет его креп?—В том, что Андрей Петрович до последних дней учился, тщательно следил за научной и научно-педагогической литературой как отечественной, так и запада — Франции, Германии, позднее Англии; учился он и у учительских масс, умея выслушивать их и выбирать из их предложений лучшее. Многие из нас помнят, как на заседаниях в Соляном городке (Ленинград) Андрей Петрович заносил в записную книжку отдельные моменты доклада; в том, что он непрерывно совершенствовал свои курсы, часто изменяя и улучшая систему, перерабатывая весь курс или отдельные главы или параграфы, особенно, когда изменялось в науке положение той или иной детали, отделывая ее в нужном направлении, а в технике отделки деталей он был большой мастер.

Своими учебниками он ставил нас в уровень с такими лучшими западно-европейскими книгами, являвшимися и там выдающимся событием, как книги Серре, Бертрана, Руше и Комберусса, Бурле, Греви, Бардея, Литцмана, Смита, Godfrey and Siddons и др.

Сила Андрея Петровича заключалась в его уменье найти меру между созревшим и несозревшим движением, меру между отмирающим старым и нарождающимся новым; меру между практичным и фантастичным; добросовестность в том, что он лишь после тщательного взвешивания отбрасывал или вносил соответствующий материал учебного предмета.

Правда Андрея Петровича заключалась в том, что он знал свои силы и не брался за то большее, к чему не могло хватить их у него.

XX век поставил слишком большой вопрос о коренном революционном изменении структуры школьных курсов математики на основе единства повышенной теории и полнокровной практики.

Ни одна страна не разрешила этого вопроса,—наша страна находится накануне перехода к новой структуре математического учебника. Наследство, оставленное Андреем Петровичем, поможет этому движению.

Трудовая его жизнь не прошла даром; его деятельность оставила глубокий и плодотворный след в учебном деле. Старшее поколение ученых педагогов нашей страны редеет, его густо заполняет новый советский учитель. Почтим же добрым словом память дорогого учителя Андрея Петровича.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

ОБЗОР НОВЫХ КНИГ

С. И. НОВОСЕЛОВ (Москва)

1. И. В. Арнольд — Теория чисел. Пособие для пединститутов. Учпедгиз, 1939, стр. 286, цена в перепл. 4 р. 90 к.

Книга Арнольда предназначена в качестве пособия по курсу «Теория чисел» для педагогических институтов. Книга содержит следующий материал: теория рациональных чисел, делимость чисел и алгоритм Эвклида, элементы теории простых чисел, основные задачи аддитивной теории чисел, теория сравнений, рациональные приближения иррациональных чисел, неопределенные уравнения высших степеней.

В отличие от многих существующих учебников по теории чисел, автор не ограничивается традиционным изложением элементов теории сравнений, но ставит перед собой более широкую задачу — ввести читателя в круг идей современной теории чисел, ознакомить с основными ее проблемами и методами и дать обзор основных результатов, полученных вплоть до последнего времени.

В свете такой постановки вопроса теория сравнений излагается не как самоцель, а лишь как аппарат теории чисел. Разумеется, далеко не все предложения современной теории чисел могут быть доказаны в элементарном курсе. В тех случаях, когда доказательство по степени трудности требует от читателя большей подготовки, чем та, на которую рассчитана книга, автор прибегает к реферативному изложению, сообщая основные факты или без доказательства или относя доказательство в мелкий шрифт.

При этом, по мере возможности, автор старается дать читателю представление о методе соответствующих рассуждений и о тех принципах, на которых построено доказательство. Такое изложение, представляющее основные факты, проблемы и методы теории чисел в их взаимной связи в свете современного состояния науки, способно вызвать интерес читателя к теории чисел. Вместе с тем книга вполне доступна читателю, владеющему математическим анализом в пределах обычного предвузовского курса Для читателя, владеющего лишь элементарной математикой, книга Арнольда малодоступна. Трудность может представить также несколько тяжелый (местами) язык книги. Книга Арнольда, в первую очередь, может быть рекомендована учителям, работающим над повышением своей квалификации. Здесь получают глубокое освещение столь важные для учителя вопросы, как делимость чисел, разложение на простые множители, признаки делимости на данное число, периодические дроби, получающиеся при обращении простых дробей в десятичные, приближенное представление иррациональных чисел при помощи рациональных.

В качестве приложений к книге даны: краткий историко-биографический справочник, задачи и упражнения и числовые таблицы.

2. А. Г. Школьник — Двучленные уравнения и задача деления круга. Учпедгиз, 1940, стр. 68, ц. 65 коп.

Книга А. Г. Школьника ставит своей задачей дать строгое изложение вопроса о делении окружности циркулем и линейкой элементарными методами, без применения теории групп. Как известно, задача о делении круга, с точки зрения алгебры, эквивалентна задаче о решении двучленного уравнения в квадратных радикалах. Теории двучленных уравнений предшествует введение, имеющее целью изложить предварительные сведения о возможности построения данных величин (отрезков) при помощи циркуля и линейки и о делимости чисел и многочленов (алгоритм Эвклида и следствия). Затем автор переходит к теории двучленных уравнений и к вопросу о разрешимости уравнений в квадратных радикалах. При этом необходимые понятия из алгебры, как понятия поля, расширения поля, неприводимой функции, алгебраического элемента, разрешающей цепочки, рассматриваются достаточно подробно, в форме, доступной для читателя, не знакомого с современной алгеброй. Полученные результаты применяются далее к исследованию необходимого условия разрешимости двучленного уравнения в квадратных радикалах. Наконец, автор доказывает (путем построения периодов) достаточность полученных условий и в качестве примеров рассматривает построение правильных 5- и 17-угольников.

Книга, в целом, написана вполне доступно для начинающего читателя. Никакой специальной подготовки, кроме знания элементарной математики, от читателя не требуется. Все понятия из современной алгебры и из теории чисел, которыми пользуется автор, с надлежащей подробностью разъясняются в тексте. Книгу Школьника в первую очередь можно рекомендовать учителям, работающим над повышением своей квалификации. Знакомство как с самим вопросом о делении круга, так и с основными понятиями современной алгебры, использующимися при его решении, представляет значительный интерес для учителя.

Книга может быть рекомендована для чтения (под руководством учителя) достаточно подготовленным ученикам старших классов, интересующимся математикой.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 5 1940 г.

81.

Доказать что при п целом и положительном выражение

делится на 117. 1. Вынесем за скобку 32л+2; получим:

Так как 117 = 9-13 и выражение 25Л — 12Л делится на 25 — 12= 13, то, как видно из (1), данное выражение делится на 9-13= 117. 2. Еще короче: вынесем за скобку 3*:

Выражение в скобках делится на 225 — 108 = 117.

В большинстве присланных, правда, пока еще очень немногих, решений и эта совершенно элементарная задача получила ряд довольно длинных и даже неверных решений.

82.

Найти целые положительные корни уравнения:

Так как 992 = 25-31, то, вынеся за скобку 2Л , получим:

Так как 2*+2— 1 при целом положительном X является целым нечетным числом, то данное уравнение имеет целые положительные решения лишь при условии:

(2)

(3)

Решая (2), получим:

хг = 9; х = ± 3.

Подстановка в (3) показывает, что х = 3 удовлетворяет и этому, а следовательно, и данному уравнению.

Крупным недочетом ряда присланных решений является проверка пригодности корня, найденного из (2) для уравнения (3). Корень jc = 3, полученный при решении (2), мог не удовлетворять уравнению (3), и тогда данное уравнение целых положительных решений не имело бы.

Пусть Л, В, С три натуральных числа, записанных по десятичной системе: А—единицами, число которых 2т, я — единицами, число которых m + 1, С — шестерками, число которых т. Доказать, что число А В + С + 8 — точный квадрат. Числа Л, В, С можно записать так:

Тогда

Так как 10ш + 8 при любом целом положительном m делится на 3 (сумма цифр равна 9), то выражение (1) является квадратом целого числа, ч. т. д.

84.

Доказать, что многочлен

(1)

делится на je2 -|— je + 1.

Для делимости (1) на хъ + х + 1 необходимо и достаточно, чтобы корни уравнения:

(2)

являлись корнями и многочлена (1). Но корни уравнения (2) являются в то же время корнями уравнения:

(3)

т. е. являются кубичными корнями из единицы, именно:

причем а* = ß3 = 1. Подставив а в (1) получим:

Так как а является корнем уравнения (2), то a2 + а + 1 = 0, и, следовательно, а является корнем многочлена (1). Аналогично докажем, что и ß является корнем многочлена (1), а следовательно, этот многочлен делится на

В некоторых решениях а и ß брались в тригонометрической форме, что ненужно усложняло и удлиняло решение.

85.

Решить уравнение:

(1)

По раскрытии скобок и упрощений, получим

(2)

Разложим левую часть на множители:

(3)

Отсюда

Можно было непосредственно убедиться, что х = ±\ удовлетворяют уравнению (2) и затем разделить его на х2— 1.

86.

На основании ВС равнобедренного треугольника ABC найти такую точку х, чтобы

имело наибольшее значение.

Обозначив BD = DC — aw АХ = х, будем иметь:

(1)

Так как

то выражение (1) будет иметь максимум при условии

откуда

(2)

Выражение (2) показывает, что х имеет действительное значение при условии a^h. Двойной знак перед радикалом означает, что точка X может быть взята как вправо, так и влево от точки D.

Рассмотрим теперь случай а < Л. Выражение (1) по раскрытии скобок можем представить в таком виде:

(3)

Так как при Л>д выражение в скобках всегда положительно, то (3) будет иметь наибольшее значение при наименьшем значении вычитаемого, т. е. при

откуда

х = 0.

Значит при Л>а задаче удовлетворяет точка D.

87.

Найти целые положительные числа, равные кубу суммы своих цифр.

1. Легко показать, что искомые числа могут быть самое большее шестизначными. Действительно, пусть

(1)

т. е. число M содержит k цифр. Так как каждая из них может быть равна 9, то сумма цифр числа M может равняться самое большее 9k.

(2)

Так как должно быть по условию «S3 = М, то из (2) и (1) имеем

(3)

Но уже при k = 7 неравенство (3) становится неверным, так как 729 • 73 = 249047— число шестизначное. При дальнейшем увеличении k левая часть умножается все время на 105

а правая на

и т. д., т. е. на

меньшее число. Итак M может быть самое большее шестизначным числом.

2. Сумма цифр шестизначного числа может равняться самое большее 6-9 = 54.

Итак

5^54. (4)

3. Так как число и сумма его цифр при делении на 9 дают одинаковые остатки, то разность M — S, т. е. S3 —S должна делиться на 9, но

S*-S = S(S+\) (5-1). (5)

Если один из множителей правой части (5) делится на 3, то остальные не могут делиться на 3. Следовательно, один из этих множителей должен делиться на 9. Приняв во внимание (4), найдем, что должно быть

Получаем для 5 следующие возможные значения:

S = 8, 9, 10, 17, 18, 19, 26, 27, 28, 35, 36, 37, 44, 45, 46, 53, 54.

Испытанием найдем, что задаче удовлетворяют лишь следующие числа

Можно, или это и делали некоторые из приславших решение, искать числа, удовлетворяющие условию задачи последовательно среди двузначных, трехзначных и т. д. до шестизначных чисел включительно.

Примечание. Если положить 5—1=0, 5=1, то условию можно считать удовлетворяющим и число 1, так как 1 = I3.

88.

Найти целые положительные числа, равные четвертой степени суммы своих цифр.

1. Аналогично предыдущей задаче устанавливаем, что искомое число может быть самое большее восьмизначным.

2. Сумма цифр искомого числа не больше 9 . 8 = 72:

S ^72. (1)

3. Разность

S* — S = S (S3 — \) (2)

должна делиться на 9. Легко убедиться, что «S8 — 1 делится на 9 только в том случае, если 3 является числом вида:

S = 9m+1; 9m + 4; 9т + 7.

Итак имеем для S следующие возможные значения:

1, 4, 7, 9, 10, 13, 17, 18, 19, 22, 25, 27, 28, 31, 34, 36, 37, 40, 43, 45, 46, 49, 52, 54, 55, 58, 61, 63, 64, 67, 70, 72.

Из них условию задачи удовлетворяют лишь следующие числа:

(Можно присоединить еще единицу, так как 1 = I4). Как видим, задачи 87 и 88 громоздки тем, что требуют значительного количества испытаний. При наличии же таблицы кубов и четвертых степеней целых чисел они решаются очень быстро.

88.

Найти объем конуса, радиус основания которого г и объем вдвое больше объема вписанного шара.

Искомый объем:

(1)

Остается определить И. Обозначив радиус вписанного шара через R, по условию будем иметь:

отсюда:

(2)

Подстановка в (1) дает:

(3)

Определим R из подобных треугольников

отсюда:

Беря производную пропорцию, получим:

(4)

Подстановка значения Я из (2) дает:

Отсюда:

(5)

Наконец, после подстановки из (5) в (3), получаем окончательно:

90.

Решить уравнение:

Преобразуем данное равенство:

Пусть

Тогда:

отсюда:

Это — наиболее короткое решение. Все другие решения, в том числе и приславшего

задачу, гораздо сложнее (вводятся новые обозначения, замена переменного и т. п.).

91.

Решить уравнение:

Решаем обычным способом. Обозначим:

(3)

Тогда

(4)

Из (3) имеем:

Подстановка в (4) дает:

(5)

Так как х = 0 и х= + —- не удовлетворяют данному уравнению, то 2хф О и \/\ — 4х2 ф 0. Тогда умножив числитель и знаменатель (5) на 2х \f\ — 4х2, получим:

(б)

При X бесконечно большом данное уравнение теряет смысл. Поэтому из (6) имеем:

Отсюда:

Оба корня удовлетворяют уравнению.

92.

Доказать, что ни при каком целом положительном значении х выражение

не делится на 121. По условию имеем:

где k — натуральное число. Определим отсюда X.

Для того чтобы X было целым числом, необходимо, чтобы 11 (44& — 1) было точным квадратом. Это значит, что 44& — 1 должно делиться на 11, что невозможно при любом целом k. Как видим, требование, чтобы х было положительным, является лишним.

93.

Доказать, что если р — простое число, то при делении С*_х на р в остатке получится (- 1)*.

Совершенно элементарная задача. Числитель является произведением биномов, отличающихся вторыми членами. По известной формуле после перемножения биномов получим многочлен к-й степени относительно р. Следовательно, все его члены, кроме последнего, делятся на р. Последний же член равен:

Мы можем написать:

Левая часть и второй член правой части-целые числа. Следовательно, и первый член правой части должен быть целым числом. Но р число простое и p>è (иначе символ Ср—\ не имеет смысла). Отсюда M должно делиться на k! Итак, остаток от деления Ср_| на р равен:

94.

В ДДБС проведена высота CD. Около треугольников ABC. ADC и BCD описаны окружности радиусов Rt Rx и R2. Найти R по данным Ru Rt и углу С.

Так как треугольники ADC и CDB — прямоугольные, то гипотенузы их АС и СВ являются диаметрами описанных окружностей. Отсюда:

(1)

Далее, имеем:

(2)

Остается определить AB. Из треугольника АСВ имеем:

(3)

Подстановка в (1) дает окончательно:

95.

Одна из сторон треугольника ABC параллельна плоскости Р; углы, прилежащие к этой стороне а и р. Определить углы проекции /\АВС на плоскость Я, если угол между плоскостью треугольника и плоскостью Р равен <?.

Через сторону AB проведем плоскость Q || Р. Очевидно, что проекция данного треугольника на плоскость Р будет равна проекции того же треугольника на плоскость Q, т. е. треугольнику ADB.

Обозначим искомые углы через А, В и Е.

Из треугольников ADE и BDE имеем:

(1)

Из треугольника DEC:

(2)

Из треугольников CAD и CBD:

(3)

Подстановка из (2) и (3) в (1) дает:

(4)

96.

Найти шестизначное число, являющееся точным квадратом; если разбить его на две части по три цифры, то разность полученных трехзначных чисел тоже является точным квадратом. Известно, что одно из этих чисел в 8 раз больше другого.

1. Пусть меньшее из трехзначных чисел будет

(1)

Тогда, по условию, второе трехзначное число будет:

Л' = 800л + 806 + 8с. (2)

Отсюда, непосредственно следует, что а=1. По условию N—M является точным квадратом, т. е.

(3)

Так как разность N — M является тоже трехзначным числом, то из (3) непосредственно заключаем:

(4) (5)

Из (3) видно, что X должно делиться на 7. Отсюда получаем для х единственное значение X = 28. Тогда

7М = х2 = 784; M = 112; N = 896.

Итак, искомое число равно 112896 или 896112. Но последнее не может быть точным квадратом (оканчивается цифрой 2). Следовательно, имеем один ответ: 112896.

97.

В данный треугольник вписать прямоугольники с равными диагоналями (две вершины на основании и две на боковых сторонах). Сколько прямоугольников можно построить для одной и для различных диагоналей?

1. Установим прежде всего, что углы при основании должны быть острыми. Действительно, в случае тупого угла одна из вершин прямоугольника будет лежать на продолжении основания; в случае прямого угла на одной из боковых сторон (катете) будут лежать две вершины прямоугольника, что противоречит условию задачи.

2. Пусть дан прямоугольник ABC и диагонали вписанного прямоугольника I. Отложим на продолжении АС отрезок СЕ = AD (BD _]_ЛС). Через точку D радиусом г — I засекаем на BE точки M и N. Проведем из точки M прямую ML || АС. Прямоугольник KLPQ и будет искомый. Действительно, в прямоугольнике KLOD имеем:

но

Отсюда, четыреугольник KPMD — параллелограм и KP = DM = I.

Проведя через точку N параллель к АС, получим второй прямоугольник, удовлетворяющий условию задачи.

3. Проведя DR ± BE, из прямоугольного треугольника BDE будем иметь BEDR=l = DE-DBf или:

Отсюда заключаем: а) задача не имеет решения, если

в) имеет одно решение, если

е) имеет два решения, если

98.

Вычислить произведение:

Представим данное произведение в виде:

Возьмем логарифм при основании 2:

Правую часть можно представить в следующем виде:

Суммируя каждую строку по формуле для предела суммы бесконечно-убывающей прогрессии, получим ряд чисел:

Наконец, суммируя полученные числа, найдем

отсюда:

99.

Из шести элементов треугольника (три стороны и три угла) пять элементов одного равны пяти элементам другого. Что можно утверждать относительно этих треугольников?

Можно только утверждать, что треугольники подобны (считая равенство частным случаем подобия). Действительно, если дано равенство трех линейных элементов треугольника и двух его углов, то треугольники будут равны. Если же дано равенство двух линейных элементов и трех углов (понятно, что равенство третьих углов является следствием равенства двух первых), то треугольники могут быть и неравны (см. чертеж), но в силу равенства углов, обязательно подобны.

100.

Ученик говорит учителю:

— Я доказал, что в треугольнике все стороны равны.

— В каком?

— Во всяком!

— Докажи!

— Проведем в Д ABC (черт. 1) перпендикуляр к основанию АС через его середину D до пересечения с биссектрисой угла В в точке Е. Из точки Е опустим перпендикуляры ЕМ и EN на стороны AB и СВ. Тогда:

1) Д ADE = Д CDE — по двум катетам.

2) Д ЕМВ = Д ENB — по гипотенузе и острому углу.

3) Д ЕМА — Д ENC — по катету и гипотенузе (последнее вытекает из равенства 1-го). Из равенства 2 и 3 следует, что MB = BN; MA = NC.

По сложении получим AB = ВС.

Аналогично докажем, что ВС = АС. Учитель указал на основную ошибку ученика.

Но последнего это не смутило. Прежде чем дать окончание этого спора, предлагаем сообщить, какую грубую ошибку указал учитель.

Легко показать, что в случае неравенства сторон точка пересечения не может лежать внутри треугольника. Действительно, пусть в треугольнике ABC будет с<я. Тогда по свойству биссектрисы угла в треугольнике

Отсюда следует, что биссектриса BD пересечется с перпендикуляром EF вне треугольника.

Продолжение задачи — в настоящем номере (задача 40).

ЗАДАЧИ*

От редакции. Редакция настоятельно просит при присылке решений соблюдать следующие правила.

1. Решения задач присылать отдельно от какой бы то ни было другой корреспонденции (рукописи, вопросы к редакции и т. п.).

2. Решения должны быть написаны чисто и разборчиво.

3. Крайне желательно для облегчения проверки, чтобы решение каждой задачи было написано на отдельном листке или так, чтобы каждое решение можно было отделить от других.

4. Задачи для помещения в журнале должны присылаться вместе с решениями.

5. Не принятые к напечатанию задачи уничтожаются, и ни в какую переписку по поводу их редакция не вступает.

21. Доказать, что при любом целом л>4 выражение л2 — Ъп не может быть точным квадратом.

Р. Годованик (Дрогобыч, Западная Украина)

22. Решить систему уравнений:

Дать задаче геометрическое истолкование и решить геометрическим путем.

Р. Годованик

23. Найти двузначное число, куб суммы цифр которого равен его квадрату.

И. Гохман (Одесса)

24. Решить уравнение:

А. Могильницкий (Гайсин)

25. Доказать неравенство

для положительных значений а и b

А. Могильницкий

26. Решить систему уравнений

А. Ромоданов (Калинин)

27. Решить уравнение

Т. Ряднова (Москва)

28. Какого вида треугольник ABC, для которого

29. Из равенства:

вывести, что

30. Найти в десятичной системе трехзначное число, которое, будучи написано в девятиричной системе, даст число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

31. Доказать, что при условии:

абсолютная величина одного из (вещественных) чисел а и b больше единицы, а другого меньше единицы.

32. Решить уравнение:

38. Если сумма квадратов двух целых чисел есть точный квадрат, то произведение этих чисел кратно шести. Доказать.

34. Три различных числа », ß и y удовлетворяют соотношениям:

Доказать, что

35. Решить уравнение:

36. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена секущая; другие точки ее пересечения с окружностями—С и D. В точках С и D проведены к окружностям касательные, пересекающиеся в точке Е. Доказать, что точки В, С, D, Е лежат на одной окружности.

Р. Годованик (Дрогобыч, Зап. Украина)

* В настоящем номере «задачами для учащихся» являются задачи, помещенные на стр. 57.

37- Доказать, что во всякий остроугольный треугольник можно вписать* только два треугольника, стороны которых соответственно перпендикулярны сторонам данного треугольника, что эти вписанные треугольники равны и что шесть их вершин лежат на одной окружности.

М. Шебаршин (г. Медвежегорск)

38. Плоскостью пересечен тетраедр (быть может, неправильный) так, что в сечении получился треугольник. Доказать, что площадь этого треугольника меньше площади, по крайней мере, одной из граней тетраедра.

Р. Н. Бончковский (Москва)

39. На трех данных параллельных прямых от трех данных на этих прямых точек А, В, С откладываем (в одном направлении) какие-либо отрезки AL, ВМ, CN, сумма которых равна данному отрезку. Доказать, что все плоскости LMN проходят через одну и ту же точку G.

(Заимствована)

40. После того как учитель указал, что биссектриса угла при вершине и перпендикуляр к основанию в его середине (см. в настоящем номере решение задачи № 100) не могут пересечься внутри треугольника ученик не смутился, а дал доказательство и для этого случая (см. чертеж).

Опустим из точки пересечения перпендикуляры на продолжения AB и СВ и соединим точку О с точками А и С. Тогда имеем:

1)Д ADO = Д £СО (по катету и гипотенузе).

Отсюда

AD = СЕ. (1)

2) Д BDO = Д ВЕО (по катету и общей гипотенузе). Отсюда

BD = BE. (2)

Вычитая (1) из (2), получим: AB = ВС. Указать новую ошибку ученика.

* Так, чтобы вершины вписанного треугольника лежали именно на сторонах данного, а не на их продолжениях (прим. ред.)

СВОДКА ПО № 4-1940 г.

Хотя задачи этого номера в подавляющем большинстве являются совершенно элементарными, количество присланных решений значительно меньше обычного. Возможной причиной является позднее получение журнала, а может быть, именно, элементарность задач. Понятно, что и ошибочных решений получено меньше обычного. Ошибки в большинстве являются довольно обыкновенными: ошибки при решении квадратного уравнения (№ 61, 74), в подсчете цифр (№ 62) и т. п. Имелись, однако, крупные ошибки и в самом ходе решения, вследствие чего, например, для задач 77 и 80 получались невероятно сложные выражения. Как недочет, отметим, что для задачи 63 исследование ограничивалось некоторыми случаями, в разных решениях различными. Между прочим, в подавляющем большинстве решений отмечалось, что задача не имеет решения, если, 4 данные точки лежат на одной прямой. Из напечатанного решения видно, что это утверждение не всегда верно. И совсем уже неверно утверждение, что данные 4 точки должны лежать на одной окружности. Число решений: № 61—38(13); № 62—41 (4); № 63— 21 (8); № 64 - 38 (5); № 65—50 (0); № 66-30 (4); N° 67-10(13); № 68-31(2); № 69-43(4); № 70-30 (6); Ко 71-26 (3); № 72—50 (0); № 73-31 (0); № 74-45 (10); № 75 -44 (3); № 76—44 (0); № 77-23(5); № 78—27(5); № 79—54 (0); № 80-53 (5).

А. Агаев (БССР) 61, 74. Г. Алапашвили (?) 61, 74, 76, 78, 79. А. Александров (Днепропетровск) 61, 62, 64—67, 69, 71—74, 76—80, Е. Алмазова (Торбеево) 61, 65, 69, 70, 72, 74—76, 78—80. Б. Андреев (Омск) 61—63, 65—72, 74—77, 79, 80. С. Андреев (Торжок) 62—66, 69—76, 79. О. Аракелян (Кисловодск) 64, 69, 72, 75, 80. А. Ахвердов (Ленинград) 61—65, 68-70, 72-74. 76, 78, 80. Н. Барщевский (Сухой Лог) 61, 62, 64—80. В. Берестовский (Новоград Волынск) 65, 70, 72, 75, 80. С. Болдырев (Киров) 78, 79. Л. Бубис (Полтава) 65, 70, 72—76, 79. В. Бутенко (Харцызск) 61, 72. Н. Введенский (Георгиевское) 62, 65, 66, 68, 70, 72—80. А. Владимиров (Ялта) 61, 62, 65, 66, 68-80. Я- Волок (Житомир) 61—67, 69, 70, 72, 74—76, 78-80. Я. Голайдо (Красная Гора) 61—64, 66, 68—77, 1% 80. Г. Голянд, Д. Красовский, С. Третьяков (ст. Ленинградская) 62, 64, 65, 66, 68, 69, 71, 72, 75, 76, 78, 79, 80. С. Городов (Ленинград) 61, 62, 65, 69—77, 79, 80. И. Гурский (Калиновка) 65, 68, 69, 72—75, 80. Н. Дзигава (Тбилиси) 61, 64, 65, 69, 72, 75, 77, 79, 80. И. Доброгай (Мелитополь) 64, 72—74, 80. Б. Дудолькевич (Пятигорск) 62, 65, 69, 75, 79. Я. Жовтун (М.-Локня) 61, 62, 64-66, 69, 70, 72—76, 79, 80. А. Жук (Дядьково) 74—76, 79. Д. Захаров (Канаш) 66, 69, 70, 72, 74, 80. Зиндяр (Житомир) 72. Д. Козанчян (Нор-Баязет) 79. Б. Кашин (С. Убукун) 65, 66, 68-77, 79, 80. М. Кекелия (Бандза) 61—65, 68—80. Ф. Клейнман (Бердичев) 65, 69, 74, 78—80. Б. Кобылин (Галич) 61—66, 68—80. С. Колесник (Харьков) 62—66, 68, 70—79, Б. Копылов (Днепродзержинск) 61, 62, 64, 65. 68, 72, 74-76, 79, 80. С. Корнишкин (С. Журки) 61—69, 71—80. Г. Корчагин (Устькулом) 61 —

80. А. Костовский (Мелитополь) 61—66, 68, 69, 71—80. И. Лановлюк (Каменка) 61, 62, 65, 66, 68, 69, 73, 76, 79, 80. Лебедев (Обоянь) 62, 64, 68, 69, 71, 72, 74—77, 79, 80. М. Левин (Таганрог) 61—65, 68—77, 79, 80. И. Лившиц (Гомель) 61, 62, 65, 79. 80. А. Логашов (Колтовское) 62-66, 68, 69, 71—74, 76—80. Н. Любочский (Старая Русса) 63—69, 72, 74—79. П. Манукян (Ереван) 62, 64, 65, 69, 72, 75, 79, 80. Л. Медведев (Калининский район) 61, 64—66, 68—72, 75, 76, 78, 79, 80. М. Месяц (Русская слободка) 61—65, 68—70, 72—74, 76, 79, 80. Г. Мискарян (Кировабад) 61, 62, 64, 65, 68, 72, 74—76, 78—80. А. Могильницкий (Гайсин) 61, 63—66, 68, 70, 72, 74-80. И. Пискленов (С. Морки) 61, 65, 66, 69, 70, 74, 80. М. Подольский (Евпатория) 62—65, 79, 80. П. Постников (Рязань) 61, 62, 64—66, 69—75, 79, 80. Д. Ржевский (Рыбинск) 62, 65, 67-70, 72, 73, 75, 76, 78, 79, Ш В. Саманский (Сорочинск) 61, 64—66, 72-74, 76, 77, 79, 80. М. Сорокин (?) 62, 65, 70, 72, 76, 79, 80. Л Твалавадзе (Ваши) 61, 69, 79. Н. Титов (Казань) 61—66, 68-73, 75, 76, 78—80. В. Тужилкин (М.—Толкай) 61, 62, 64, 65, 68, 69, 74—76, 79—80. А. Тунин (Калининдорф) 61—66, 69, 71, 72, 78-80. В. Федоров (Березово) 62, 64, 66, 69, 72 -76, 79, 80. X. Хамзин (Стерлитамак) 61—80. Е. Хвастовский (Сталинград) 61, 62, 64, 65, 68, 71-76, 79, 80. Л. Черпаков (М.-Локня) 80. И. Чучко (Орджоникидзе) 74—76, 79, 80. М. Шебаршин (Медвежегорск) 61—80. С. Штернберг (Умань) 75, 80. Э. Ясиновый (Березовая Балка) 61, 62, 64, 65, 69, 71, 72, 76, 79, 80.

О КОНКУРСЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ЗА 1939 г.

В виду запоздания выхода номеров журнала, в которых были опубликованы сводки по решению задач за 1939 г., присуждение премий по конкурсу тоже значительно затянулось. По подсчете решений премии присуждены следующим (21) лицам: 1) Н. Барщевский (Сухой Лог) — 117 задач; 2) П. Сергиенко (Запорожье) — 104; 3) А. Владимиров (Ялта)-101; 4) С. Иванов (Торопец) - 101; 5) П. Титов (Тюмень)—100; 6) Л. Маслова (Воронеж) —99; 7) М. Шебаршин (Медвежегорск) — 96; 8) С. Колесник (Харьков) - 89; 9) А. Логашов (Колтовское) — 89; 10) М. Месяц (Житомир)— 89; 11) Н. Введенский (с. Георгиевское)— 87; 12) А, Могильницкий (Гайсин)—87; 13) С. Городов (Ленинград) — 86; 14) Г. Ахвердов (Ленинград) — 83; 15) В. Смирнов (ст. Марьинская) — 80; 16) М. Кекелия (Бандза) —79; 17) С. Андреев (Торжок) —78; 18) Е. Хвастовский (Сталинград) - 78; 19) В. Голубев (Кувшиново) — 76; 20) С. Попов (Тюмень)—74; 21) Г. Ржавский (Фролов) —72.

Опыт показывает, что разница в 1-3 задачи при подсчете вызывается часто в достаточной мере случайными причинами (в том числе иногда незачет задачи самого автора, так как ее решение не дано в числе других, иногда опечатка в сводках и пр.), поэтому редакция распределяет премии несколько более равномерно, чем за предыдущие годы. Именно, в порядке приведенного выше списка высылаются книги на сумму: первым пяти—на 70 руб. каждому, следующим пятина 50 руб., пяти—на 40 руб. и последним шести — на 30 руб. Может быть, более целесообразно было бы вообще равномерное распределение премий между 20—25 лицами, решившими наибольшее число задач? Редакции желательно знать по этому вопросу мнения участников конкурса.

Нельзя не отметить и того, что приведенный список значительно изменился бы (главным образом в отношении порядка фамилий), если учитывать все фактически решенные каждым задачи, даже если бы они вследствие некоторого запоздания не попали в сводку (хотя и получены еще до выхода из печати соответствующего номера журнала с решениями). По этому вопросу также желательно иметь соображения читателей.

ОПЕЧАТКА

На стр. 12 в левой колонке снизу в части тиража обнаружена опечатка.

Следует читать: