МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

1

1941

УЧПЕДГИЗ НАРКОМПРОСА РСФСР-МОСКВА

Пролетарии всех стран, соединяйтесь!

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

1

1941

ЯНВАРЬ-ФЕВРАЛЬ

год издания восьмой

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОПРЕДЕЛЕНИЯХ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Проф. А. Я. ХИНЧИН (Москва, Государственный институт школ)

ВВЕДЕНИЕ

Вопрос о характере, задачах и особенностях определения понятий в школьном курсе математики на каждом шагу встает по различным конкретным поводам в письмах и выступлениях учителей и нередко дебатируется в нашей методической печати. Это понятно и естественно: с одной стороны, каждый учитель по опыту знает, какое значение для выработки правильных научных установок имеет целесообразно построенное определение; с другой стороны, одно и то же понятие сплошь и рядом совершенно различно определяется в различных учебных и методических руководствах. Легко понять, что вопрос о том, какое из предлагаемых определений является наиболее обоснованным научно и наиболее эффективным методически, волнует учителя, будит его научную и педагогическую мысль, заставляет обращаться за разъяснениями, а часто и побуждает к высказыванию (иногда даже к настойчивой пропаганде) своей собственной точки зрения.

Совершенно ясно, что все возникающие по отдельным конкретным поводам вопросы и дискуссии, связанные с определением математических понятий в школьном преподавании, могут получить успешное разрешение только при том условии, что от беспочвенных споров по поводу определения тех или иных отдельных понятий мы перейдем к общей постановке этой большой научно-методической задачи и выработаем основные принципы построения математических определений в школе. Пока этого не сделано, любая дискуссия по поводу какого угодно отдельного понятия, останется беспочвенной; можно ли, в самом деле, выбрать наиболее целесообразное определение того или другого понятия, если мы не знаем, если мы не договорились о том, какие черты, свойства и особенности выбираемого определения должны заставить нас предпочесть его другим? Не будет ли это похоже на то, как если бы двое судей стали спорить о выборе правильного решения по возникшему конкретному делу, не зная законов своей страны.

Уже беглое знакомство с характером запросов и высказываний учительства по поводу отдельных математических определений с исчерпывающей убедительностью показывает, что по основным возникающим здесь принципиальным вопросам мы имеем такой разнобой мнений и точек зрения, при котором нет ни малейшей возможности договориться по какому-либо конкретному вопросу, ибо всякая дискуссия останется бесплодной до тех пор, покуда спорящие исходят из различных основных принципов. Если один для эффективности определения считает решающим моментом его соответствие с современными научными воззрениями, другой—его близость к практике, третий — его наглядность, четвертый — его широту, пятый — его сходство с определениями аналогичных понятий и т. д., то, конечно, в вопросе о выборе наиболее целесообразного определения никакого единодушия ожидать нельзя.

Но изучение высказываний учительства приводит и к таким заключениям, которые

ведут еще дальше. Оно со всей определенностью показывает, что вопрос о самой сущности определения, о том, что значит определить понятие, не имеет еще полной ясности. Здесь господствуют многоразличные смешения: полноценное научное определение очень часто подменяется ни к чему не обязывающим описанием или даже просто указанием на роль и значение «определяемого» понятия в той или другой практической деятельности («число есть результат счета или измерения»). Очень часто бывает, что из двух конкурирующих «определений» одно действительно определяет, понятие, в то время как другое даже не претендует на такую роль, являясь лишь скромным поясняющим описанием; ясно, что два таких «определения» никак не могут вступить в конкуренцию, ибо, задачи, которые они себе ставят, совершенно различны, а между тем как часто у нас ломаются копья именно в подобных случаях, чтобы доказать предпочтительность одного из таких «определений» перед другим!

Совершенно ясно, что прежде чем выбрать наиболее эффективную систему определений, прежде даже чем устанавливать общие принципы такого выбора, необходимо с полной отчетливостью договориться о том, что такое математическое определение. Необходимо установить абсолютно точные признаки, позволяющие отличить определение от более или менее полного описания, с возможной ясностью исследовать роль определений и описаний в школьном преподавании и выяснить, какие методические последствия должно повлечь собою логическое различие между понятиями действительно определяемыми и понятиями, при введении которых мы ограничиваемся описанием.

Именно этим предварительным целям посвящено настоящее небольшое исследование.

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЙ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ НАУКЕ

В «Арифметике» Киселева издания 1938 г. вычитание определяется как действие, состоящее в том, что от одного числа отнимается столько единиц, сколько их содержится в другом данном числе. В предшествующих изданиях того же курса вычитание определялось как действие, состоящее в отыскании одного из слагаемых по данным сумме и второму слагаемому. Это изменение вызвало оживленную дискуссию среди методистов и учительства, в частности, очень многие нашли введенное А. П. Киселевым изменение нецелесообразным и высказались за сохранение старого определения. Мотивировка, там, где она имелась, бывала различной, но чаще всего сторонники старого определения указывали на желательность сохранения аналогии с определением деления (отыскание одного из сомножителей по данным произведению и другому сомножителю); напротив, приверженцами нового определения указывалось, что здесь сохраняется аналогия с определением сложения. В этой дискуссии ни разу, однако, не было замечено, что спор идет вовсе не между двумя логически равноправными претендентами. В то время как в прежних изданиях учебника имелось подлинно научное определение, ибо здесь понятие вычитания целиком редуцировалось к уже известным, ранее определенным понятиям (слагаемое, сумма),— изменение, внесенное в издании 1938 г., означало полный и принципиальный отказ от всякого определения понятия вычитания и замену определения поясняющим описанием: ибо когда говорится «вычесть, значит, отнять», то это означает замену термина «вычитание» термином «отнимание», который, может быть, звучит несколько привычнее для математически не искушенного уха, но логическое определение которого, очевидно, нисколько не проще определения термина «вычитание». Таким образом, в издании 1938 г. автор совершенно сознательно признает нецелесообразным давать ученикам какое бы то ни было определение действия вычитания и рекомендует при введении этого понятия ограничиться не претендующим ни на какую определяющую ценность поясняющим описанием (подобно тому, как в отношении сложения это делалось и во всех прежних изданиях). Вопрос о том, насколько это нововведение методически целесообразно, нас в данный момент интересовать не должен; нам важно было только установить, что в дискуссии, возникшей по этому вопросу, самая альтернатива ставилась в большинстве случаев неправильно: надо было говорить не о том, какое из двух якобы конкурирующих определений лучше, а о том, целесообразно ли в курсе элементарной арифметики определять понятие вычитания, или же следует при введении этого понятия ограничиться пояснительным апеллирующим к привычным терминам описанием. Эта правильная постановка вопроса, если бы она была сделана, без всякого сомнения значительно повысила бы продуктивность дискуссии.

В письмах учителей часто подвергается резкой критике и «определение» сложения:

анализируя это «определение», авторы писем указывают, что оно является тавтологическим и ничего в сущности не определяет; некоторые из этих товарищей рекомендуют вовсе отказаться от попытки определить сложение и признать его первичным, неопределимым понятием. Всем этим критикам надо ответить, что они с воодушевлением и сарказмом ломятся в открытую дверь. Все их критические замечания совершенно правильны, но дело в том, что стабильный учебник (да и вообще любой курс элементарной арифметики) никогда и не пытался определять понятие сложения; это было бы по отношению к возрастному составу учащихся совершенно безнадежной задачей, как это ясно любому методисту. То, что эти критики принимают за определение и в качестве такового подвергают суровому осуждению, на самом деле по мысли автора является, конечно, только непритязательным описанием, имеющим целью облегчить усвоение нового понятия; можно признавать его удачным или неудачным методически, но не имеет никакого смысла подвергать анализу и критической оценке его логическую ценность, ибо оно никаких притязаний на такого рода ценность не имеет.

Мы привели эти примеры для того, чтобы показать, как недостаточно ясное понимание основных черт и особенностей математического определения способно привести к недоразумениям и беспочвенным, а потому и бесплодным дискуссиям. Далеко не всякая фраза, произнесенная в целях пояснения вновь вводимого понятия, может претендовать на роль определения этого понятия, и недоучет этой истины часто является источником недоразумений.

Определением нового понятия может быть признана (и фактически признается в науке) только такая формулировка, которая без остатка редуцирует новое понятие к уже знакомым понятиям той же научной области. Когда мы говорим, что абсолютно простым называется число, имеющее два делителя, то это — определение, ибо здесь новое понятие нацело сводится к понятиям той же научной области, определенным уже ранее. Подобным же образом, когда мы говорим, что деление есть отыскание одного из сомножителей по данным произведению и другому сомножителю, то мы даем подлинное определение соответствующего арифметического действия.

Если же при введении нового понятия, мы в целях его пояснения полностью или хотя бы частично апеллируем не к ранее введенным понятиям той же научной области, а к представлениям, заимствованным из житейского опыта, из других наук, из той или иной практической деятельности, то такое поясняющее описание при всей его педагогической ценности никак не может быть названо определением. Когда мы говорим, что угол есть мера взаимного наклона двух прямых, то это очень ценное в педагогическом отношении пояснение, но, конечно, никакого определения здесь нет, уже потому, что термин «наклон», к которому мы хотим свести новое понятие, нигде и никак в предшествующем изложении не определен. Когда мы говорим, что «число есть результат счета или измерения», то эта фраза очень хорошо указывает основные применения понятия числа в человеческой практике, но, конечно, никак не может быть принята за определение понятия числа, так как счет и измерение никак не могут рассматриваться в качестве арифметических понятий, определяемых и вводимых ранее понятия числа.

При построении и при изложении всякой математической (а строго говоря, и всякой другой) науки мы неукоснительно требуем, чтобы каждое новое вводимое понятие было определяемо в вышеуказанном точном смысле. С понятиями, которым такого определения не дано, математическая наука по самой сущности своей работать не может. Это обстоятельство, как известно, приводит к одной характерной трудности. Всякая наука имеет свое начало, свои первые, основные понятия, введением которых начинается ее изложение. Как могут быть определены эти понятия, если определением мы назвали редукцию к уже ранее введенным понятиям той же научной области?

Допустим, что мы излагаем геометрию и в качестве первого простейшего понятия избираем понятие точки — простейшего геометрического образа. Можем ли мы определить это понятие? Очевидно, что не можем, так как это—первое понятие в данной науке, никаких предшествующих понятий нет, а потому и редуцировать к ним понятие точки мы не можем. Совершенно ясно, что с подобным положением вещей мы неизбежно должны встретиться при построении любой математической науки.

Хорошо известно, как современная математическая наука выходит из этого затруднения. В начале каждой научной области вводится группа из небольшого числа пер-

вичных, неопределенных понятий. Явно указывается, что эти первичные понятия не могут и не должны быть определяемы, вместе с тем, категорически требуется, чтобы после перечисления первичных неопределимых понятий всякое вводимое в дальнейшем новое понятие уже подвергалось точному определению, т. е. полному сведению либо к первичным, либо к другим ранее определенным понятиям.

Однако, если первичные понятия не определяются, то это не значит, что с них не взыскивается ничего, кроме их названий. Между этими первичными понятиями устанавливаются закономерные, обязательные во всех случаях взаимоотношения. Список этих взаимоотношений обязательно полностью приводится одновременно с введением первичных понятий; эти взаимоотношения первичных понятий составляют собою аксиомы или первичные, недоказуемые истины данной научной области. Подобно тому, как после составления списка первичных понятий всякое новое вводимое понятие обязательно подлежит точному определению, так и после установления списка аксиом всякая новая утверждаемая истина подлежит точному доказательству, т. е. логическому сведению к аксиомам или ранее доказанным истинам. Таким образом, первичные понятия не определяются, но при введении их перечисляются имеющиеся между ними формальные взаимоотношения, являющиеся аксиомами данной научной области.

Чтобы пояснить сказанное, приведем в качестве примера одну из наиболее распространенных систем первичных элементов арифметики натуральных чисел (систему Пеано).

Первичные понятия

1. Число (натуральное).

2. Единица.

3. Следующее число.

Аксиомы

1. Единица есть число.

2. За каждым числом есть единственное следующее число.

3. Единица не следует ни за каким числом.

4. (Принцип полной индукции). Если какое-нибудь утверждение верно для единицы и если всякий раз, когда оно верно для какого-нибудь числа, оно верно и для следующего числа,— то это утверждение верно для любого числа.

Развитие науки показало, что действительно на базе этого запаса первичных понятий и первичных истин может быть построено все здание арифметики; все вновь вводимые понятия (в частности, понятия арифметических операций) точно определяются, все утверждаемые истины (в частности, все законы арифметических операций) строго доказываются (т.е. становятся теоремами).

Для нас во всем этом важен сейчас тот момент, который обычно недостаточно подчеркивают при изложении идей аксиоматического метода: в основе всякой математической дисциплины лежит несколько первичных понятий, не определяемых, но по отношению к которым с самого начала дается список имеющихся между ними формальных взаимоотношений: этот список составляет собою систему аксиом данной научной области; после того как перечислены все первичные понятия, всякое вновь вводимое понятие обязательно подлежит точному определению.

Сделаем еще одно последнее замечание. В системе первичных элементов геометрии, предложенной Гильбертом и пользующейся наибольшим признанием в современной науке, в качестве первичных понятий принимается точка, прямая линия и плоскость, но имеется большое число предлагавшихся другими авторами систем первичных элементов геометрии,— систем, в которых в роли первичных фигурируют совсем другие понятия. Если, положим в такой системе среди первичных понятий отсутствует понятие плоскости, то в данной системе это понятие становится уже не первичным, т. е. подлежит определению. Вообще список первичных понятий данной научной области отнюдь не определяется однозначно содержанием этой области, но может быть, с формальной точки зрения, произвольно выбираем приблизительно к той или другой системе изложения. Понятие, которое в одном изложении было первичным и потому неопределимым,— в данной системе при другой системе изложения может стать подлежащим и доступным определению. Таким образом, определимость или неопределимость понятия не есть объективное его свойство, вытекающее из его содержания, но целиком зависит от принятой системы изложения.

§ 2. О ВВЕДЕНИИ НОВЫХ ПОНЯТИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Если, как мы это видели, сама наука принципиально не в состоянии определить всех своих понятий, то совершенно ясно, что подобного требования нельзя предъявлять и к школьному курсу. Как бы мы этот курс ни строили, если только мы не хотим обманывать наших учеников, мы вынуждены будем оставить известную часть вводимых нами понятий без определений. Это должно стать исходным пунктом и непременной предпосылкой всех дальнейших исследований, связанных с поставленной нами задачей.

Вместе с тем ясно, что основные вопросы, которые встают перед школьным преподаванием после принятия этой предпосылки, заключаются в следующем:

1. Какие понятия в школьном курсе математики надлежит определять и какие оставлять без определений (мы видели, что этот вопрос уже в пределах самой науки допускает различные решения)?

2. В случае, когда мы отказываемся от определения какого-либо понятия, чем, какого рода поясняющими описаниями это определение следует заменить в ходе педагогического процесса?

3. Следует ли обращать внимание учащихся на различие между определением и описанием понятия, и если да, то когда, в какой мере и какими средствами?

К краткому рассмотрению этих трех вопросов мы теперь и обращаемся.

Как мы видели выше, обязательным требованием логического построения всякой математической дисциплины является сведение числа неопределимых понятий (и числа аксиом) к минимуму. Это означает, что ни одно из первичных понятий не должно допускать определения с помощью других первичных понятий, иначе говоря, это означает, что всякое понятие, которое может быть определено, вместе с тем и должно быть определено, а не может быть причисляемо к неопределимым понятиям.

Можем ли и должны ли мы придерживаться этого требования в построении школьного курса? Мы полагаем, что по этому вопросу не может быть двух мнений, ибо, если бы мы захотели, например, в курсе арифметики IV—V классов определять все понятия, логически допускающие определение, то мы должны были бы определять сложение и умножение (а также, заметим вскользь, доказывать их свойства) с помощью метода полной индукции детям в возрасте 11—12 лет. Фактически аксиоматическое построение любой научной области, будучи исторически всегда заключительным, а не начальным моментом в развитии данной дисциплины, недоступно не только школьнику, но и студенту первых годов обучения: оно требует такого уровня формально логической культуры, который в лучшем случае доступен кончающему студенту-математику.

Таким образом, не может подлежать сомнению, что число математических понятий, которые вводятся без определения, в школьном курсе должно быть значительно большим, чем при формальном построении данной дисциплины. Так, например, ясно, что понятие суммы (натуральных чисел), которое при формальном построении арифметики обычно определяется, в рамках школьного курса не должно быть определяемо. По каким же признакам надлежит судить, должно ли то или другое понятие подвергаться определению в пределах школьного курса?

Чтобы придать обсуждению этого вопроса большую конкретность, мы продискутируем его на удобном для этой цели примере.

Выше мы видели, что понятие вычитания одни методисты в элементарном курсе предпочитают определять (сводя его к понятию суммы и слагаемых, введенным ранее), другие же рекомендуют оставлять его без определения (как выше было выяснено, фразами вроде «вычесть значит отнять» и т. п. действие вычитания, конечно, никак не определяется). Вопрос этот действительно является спорным; мы здесь собираемся не решать его, а только разобраться в том, какими аргументами располагают представители той или другой точки зрения.

Те, кто настаивают на определении вычитания, опираются примерно на следующую аргументацию:

1. Определение понятия вычитания достаточно просто для того, чтобы ученик IV—V классов мог без затруднения его усвоить.

2. Определяя вычитание через сложение мы тем самым сразу устанавливаем взаимную связь между этими двумя действиями — связь, для раскрытия которой при ином способе подхода к вычитанию пришлось бы затрачивать специальные усилия.

3. Так как деление обычно определяется через умножение и так как связь сложения с вычитанием имеет те же формальные черты, что и связь умножения с делением,

то было бы методологически непоследовательно поступать по отношению к вычитанию иначе, чем мы поступаем по отношению к делению.

Все три приведенных аргумента являются вполне обоснованными. Напротив, совершенно ошибочной следует признать очень часто раздающуюся аргументацию примерно следующего содержания: «Определяя вычитание через сложение, мы сводим его к уже знакомым понятиям; определяя же вычитание как «отнятие», мы сводим его к понятию, которое так же ново, как оно само, и нигде еще не было определено».

Не говоря уже о том, что здесь в качестве второго «определения» цитируется простое пояснительное описание, которое, конечно, никому не придет в голову выставлять как определение;—такая аргументация исходит из явно неприемлемой установки, будто конкуренция между определением и описанием должна разрешаться в пользу определения всякий раз, когда такое определение возможно.

Аргументируя так, мы на том же самом основании обязаны были бы требовать определения и для сложения, и вообще для любого понятия, не причисленного к первичным при формально логическом построении данной дисциплины.

С другой стороны, представители противоположной точки зрения указывают на следующее:

1. Тот реальный процесс, формальным отображением которого в арифметике служит понятие вычитания, настолько знаком каждому ребенку из повседневного опыта, что педагогически нецелесообразно знакомить детей с действием вычитания в отрыве от этих его реальных корней.

2. Вполне эффективным приемом введения понятия вычитания на базе соответствующего ему реального процесса является установление равнозначности термина «вычесть» с термином «отнять», хорошо знакомым детям из повседневной жизни.

3. Разумеется, то, что здесь предлагается, не может называться определением вычитания; однако число понятий, которые мы по необходимости вводим в школьном курсе математики без определений, настолько велико, что увеличение или уменьшение его на единицу не может играть существенной роли.

4. Что касается до связи вычитания со сложением, то эта связь, несомненно, должна быть установлена полностью после того, как учащиеся на примерах и описательных пояснениях уже ознакомились с вычитанием.

Надо признать, что и эта аргументация является безукоризненно убедительной. Как уже было указано, в наши задачи отнюдь не входит решение изложенного спора: мы хотим извлечь из рассмотренного примера только те общие мотивы, которые в отдельных случаях могут заставить нас при первом введении нового понятия предпочесть определение описанию или наоборот. Вот основные из этих мотивов.

1. При введении каждого нового понятия необходимо, прежде всего, исследовать, допускает ли оно определение через ранее введенные понятия. Если определение дано быть не может, то, разумеется, данное понятие мы должны признать первичным (неопределимым), отказаться от всяких попыток его определения и искать надлежащей педагогической замены этого определения.

2. Если определение нового понятия логически возможно, то следует рассмотреть вопрос о том, в какой мере оно допустимо с педагогической стороны, т. е. доступно ли оно сознанию учащихся данного возраста. Само собою понятно, что эту доступность мы должны оценивать не формально, а по существу: речь идет не о том, способен ли учащийся формально заучить, запомнить данное определение, а о том, в какой мере данная логическая формулировка способна стимулировать в данном возрасте правильные представления о понятии, его реальной сущности, его связи с другими понятиями, с жизнью, с практикой. Если определение (в силу ли чрезвычайной отвлеченности или чрезмерной сложности или других причин) таково, что эффективности в указанном смысле от него ожидать не приходится, то это говорит всегда в пользу отказа от этого определения и замены его каким-либо педагогическим эквивалентом.

3. Если, как это часто бывает, связанный с новым математическим понятием предмет или образ хорошо знаком учащимся из повседневного опыта (сложение, вычитание, угол, прямая линия, круг), то это является всегда аргументом в пользу того, чтобы при первой встрече с данным понятием апеллировать именно к этим его связям с реальностью, а не к формальному определению.

4. Напротив, если в строении данной научной области основную роль играют логические связи вводимого понятия с ранее определенными понятиями и если

формальное определение данного понятия эти связи с достаточной ясностью и простотою раскрывают, то это говорит в пользу того, чтобы уже при первом знакомстве с этим понятием давать его формальное определение.

5. В случаях, когда мы имеем две или более параллельно идущих группы понятий, формальные связи которых представляют значительную аналогию (сложение и вычитание, умножение и деление), желательно в целях стройности и систематичности изложения вводить одинаковый подход к этим группам понятий, т. е. либо во всех группах строить изложение на формальных определениях, либо во всех группах отказываться от этих определений.

6. Следует отметить, что формальное определение и поясняющее, апеллирующее к реальным связям и наглядным представлениям описание понятия, вообще говоря, не исключают друг друга; напротив, в случаях, когда понятие вводится на базе формального определения, это не освобождает нас, как правило, от того, чтобы немедленно после установления такого определения указывать его реальное значение, всесторонне освещать те наглядные образы, те жизненные и практические моменты, абстрактным отображением которых оно призвано служить. Во многих случаях вопрос идет только о том, что должно предшествовать — формальное определение или наглядно-практическое описание. Не надо, однако, думать, будто эти соображения могут лишить проблему ее большого педагогического веса: известно, какое подчас решающее значение для усвоения того или иного понятия имеет именно обстановка и характер первой встречи с этим понятием. Уже в зрелом возрасте у человека при упоминании того или другого термина почти всегда всплывают ассоциации, связанные именно с этим характером первичной встречи. Весь стиль, вся эффективность, практическая действенность понятия, как правило, существенно зависят от того, в какой обстановке, в каком окружении оно впервые вошло в наше сознание.

Перейдем теперь к вопросу о том, как в школьном курсе следует вводить понятия, которые вследствие логических или педагогических причин не могут быть формально определяемы. Прежде всего ясно, что в этом отношении школьное преподавание никак не может следовать тому пути, по которому идет наука. Как мы видели, в науке при введении первичных (неопределимых) понятий эквивалентом определения являются указания всех взаимосвязей этих первичных понятий между собою, задаваемое в виде списка аксиом. Но эта определяющая функция аксиом, бесспорно, является одним из наиболее трудно усвояемых моментов для всех, впервые знакомящихся с методом логического обоснования математических дисциплин. Не может быть и речи о том, чтобы в пределах школьного курса делать попытки каких-либо указаний в этом направлении; максимум наших пожеланий по отношению к школьному курсу может быть то, чтобы роль определения и роль аксиомы, в отдельности взятых, были в его пределах отчетливо доведены до сознания учащихся. Случаи же, когда аксиома служит заменой определения, по своей логической сложности, безусловно, выходят за пределы возможностей школьного курса.

Совершенно ясно, что там, где новое понятие по тем или другим причинам вводится без определения, мы в школьном преподавании должны искать не формального, а реального педагогического эквивалента этому недостающему определению. Не формальные, а реальные связи нового понятия с другими понятиями, и не только понятиями, но и реальными жизненными предметами и явлениями, должны доставлять материал для тех поясняющих описаний, которые призваны заменить собою определение.

Ясно, что понятие натурального числа не может быть определено в курсе элементарной арифметики. Мы никогда и не определяем его. Но мы говорим, что число есть единица или собрание единиц, и это — хорошее поясняющее описание, потому, что в нем понятие числа связывается с понятием единицы (тоже, конечно, неопределимым) с помощью такого жизненно-понятного всякому ребенку термина, как «собрание». Мы говорим также, что число есть результат счета, и это — также хорошее поясняющее описание: хотя в нем о сущности числа не говорится ни слова, но оно прямо указывает ребенку на ту хорошо знакомую ему из повседневного опыта практическую операцию, зрелым плодом которой всегда является число. Такого рода поясняющие описания имеют, конечно, большой педагогический эффект. Они сразу позволяют новому понятию занять в сознании учащегося правильное место в ряду других понятий и приучают школьника ассоциировать это понятие с теми образами, предметами и явлениями

реальной жизни, с которыми оно действительно связано своими корнями.

Понятие угла в элементарной геометрии, очевидно, не может быть определено. И вот вместо определения мы даем поясняющее указание: «Угол есть мера взаимного наклона двух прямых». Что такое наклон и как его измерять — эти вопросы никогда до этого момента формально не рассматривались в курсе, и, тем не менее, наше указание, несомненно, имеет высокую педагогическую действенность: оно одновременно связывает с понятием угла простое и ясное наглядное представление и описывает одну из важнейших практических функций этого понятия, — функцию, ценность которой вполне доступна детскому сознанию. Мы говорим также, что угол есть часть плоскости, заключенная между двумя полупрямыми, выходящими из одной точки. Это новое поясняющее описание также ассоциирует понятие угла с простым наглядным представлением, здесь подчеркивается другой момент, другая особенность нового понятия: всякий угол делит точки плоскости на два класса — те, которые лежат внутри угла, и те, которые расположены вне его.

Приведенные примеры учат нас следующему. Поясняющие описания, которые призваны заменить собою определение нового понятия, всегда должны апеллировать к чему-то такому, что занимает уже прочное место в сознании учащегося. Это могут быть либо ранее прочно и действенно усвоенные понятия той же науки, либо знакомые учащемуся наглядные представления, либо известные ему из повседневного опыта жизненные явления или практические процессы. Устанавливая, без всякой претензии на логическую редукцию, те или другие связи вновь вводимого понятия с такими крепко усвоенными ингредиентами детского сознания, мы достигаем того, что в дальнейшем, при упоминании этого понятия, в сознании учащихся встают правильные ассоциации, помогающие безошибочно оперировать с ним. Понятно, что такая роль поясняющих описаний делает их чрезвычайно ответственным моментом преподавания. Поясняющее описание не обязано, конечно, вскрывать всей полноты смысла нового понятия (иначе оно было бы определением); оно может ограничиться указанием на те или другие моменты этого смысла; но мы должны со всей тщательностью избегать такого положения вещей, когда поясняющее описание в угоду большой «доходчивости» искажает смысл понятия, ибо такое искажение, сколь бы безобидным оно ни казалось, в дальнейшем неизбежно приведет к прямым логическим ошибкам. Достаточно вспомнить тот с трудом искоренимый вред, который приносит (к сожалению, довольно распространенное) упрощенчество в трактовке основных понятий анализа бесконечно малых.

Нам остается рассмотреть вопрос о том, в какой мере логическому различию между определениями и поясняющими описаниями должно соответствовать методическое различие в обращении с этими двумя приемами введения новых понятий и в чем должно состоять это методическое различие. Мы склонны придавать этому вопросу большое значение, так как, по нашему представлению, в этом отношении у нас делается не мало ошибочного и вредного.

В письмах учителей мы очень часто встречаем вопросы, подобные следующим: «Какое определение угла правильно — как меры наклона и т. д. или как части плоскости и т. д.?» «Какое определение числа более научно — как результата счета или измерения, или как того свойства множества, которое остается после отвлечения от природы и порядка элементов?» Обилие вопросов подобного рода, отрадным образом свидетельствуя о наличии в нашем учительстве живого интереса к математическому определению как проблеме методики, вместе с тем с определенностью показывает, что во многих случаях у самих учителей нет еще полной ясности в том, как ставится эта проблема.

Те вопросы, которые мы привели выше, и все подобные им, конечно, основаны на недоразумении. Прежде всего, ни одно из конкурирующих по мысли вопрошающего «определений» не есть определение: все это — поясняющие описания, имеющие целью вскрыть тот или другой момент нового понятия. Отсюда вытекает, что если одно из них «правильно», или «научно», т. е. не искажает смысла понятия, то вовсе не обязательно, чтобы другое было «менее правильным», или «менее научным». Они вовсе не противоречат друг другу и даже не конкурируют друг с другом, а, напротив, как мы видели выше, весьма полезным образом дополняют друг друга.

Из этого неправильного понимания логической ситуации вытекают, естественно, и методические ошибки. Сюда относится прежде всего весьма распространенный у

нас обычай заставлять учащихся заучивать наизусть такие «определения», которые на самом деле вовсе определениями не являются. Когда нам пришлось увидать сорок письменных работ, каждая из которых начиналась вопросом: «Что есть отношение?», за которым следовал один и тот же зазубренный ответ: «Отношение есть результат сравнения и т. д.», то мы должны признаться, что восприняли это как надругательство над мыслящим человеком в ребенке; ибо приведенное «определение» отношения есть, конечно, никак не определение, а лишь громоздкая многословная попытка поясняющего описания, заучивать которую наизусть есть очевидная нелепость.

Недавно проф. С. А. Яновская рассказывала нам про одного мальчика хорошего ученика, возмущавшегося тем, что ему снизили отметку за неумение ответить на вопрос: «Что такое дробь?» Мальчик этот возмущенно говорил: «Я понимаю, для чего нужно уметь умножать и делить дроби; но скажите мне, где применяется определение дроби?» Мы должны признаться, что мы целиком на стороне этого ученика, ибо то «определение» дроби, которое может дать курс элементарной арифметики, в лучшем случае способно служить полезным поясняющим описанием. Если ученик воспользовался этим описанием, чтобы быстрее и лучше овладеть аппаратом дробей, то это все, чего от него можно ожидать. Требование же, чтобы это описание учащиеся заучивали наизусть, нельзя назвать иначе как методической нелепостью.

Если мы иногда требуем, чтобы подлинные определения заучивались учениками дословно, то это имеет свои веские методические основания. Логическое определение есть формула, из которой нельзя выкинуть и к которой нельзя добавить ни одного слова, не искажая ее смысла, поэтому, требуя от учеников дословного запоминания таких определений, мы воспитываем в них именно то бережное отношение к такому определению, какого оно заслуживает в силу своей логической природы. Полезно, полагали бы мы, показывать лаже ученикам на примерах, как немедленно искажается смысл определяемого понятия, если в его определении мы изменим хотя бы одно слово; такого рода примеры заставят учащихся понимать, что дословное заучивание определений является актом высокой логической культуры, а не схоластической зубрежкой.

Но какой смысл может иметь заучивание наизусть таких фраз, которые имеют своею целью пояснить новое понятие путем апелляции к привычным представлениям учащихся? Не говоря уже о том, что таких поясняющих описаний для одного и того же понятия может быть дано несколько (и чем больше, тем лучше) и что следовательно, выбирая одно из них для дословного заучивания, мы наводим учащихся на неверную мысль, будто это выбранное нами пояснение чем-то принципиально логически выделяется среди других,— не говоря уже обо всем этом, необходимо учесть, что в каждом таком поясняющем описании мы можем, не уменьшая его методической действенности и не искажая смысла поясняемого понятия, весьма многими способами варьировать его текст. Совершенно ясно, что при этих условиях дословное заучивание таких пояснений означало бы безосновательную фиксацию более или менее случайного текста. Такая фиксация может иметь и фактически имеет целый ряд вредных последствий. Главное из них заключается в том, что внимание и усилия учащихся направляются, в первую очередь, на формальные моменты заучиваемого пояснения, между тем как по своей логической природе и своему методическому назначению это пояснение таково, что формальные моменты играют в нем весьма подчиненную роль. Реальные же связи, направленные на практическую действенность, при таком заучивании естественно отодвигаются на второй план и часто совершенно утрачиваются, между тем как в них-то и заключается, конечно, вся цель пояснения. Если ученик, о котором мы говорили выше, в свое время хорошо использовал данные ему пояснения понятия дроби, если он в совершенстве овладел аппаратом дробей, чувствует его реальные связи и разбирается в его практических применениях, то для какой же цели будем мы требовать от него дословного запоминания той или другой сообщенной ему в свое время поясняющей фразы? Ведь это не определение, каждое слово которого имеет незаменимый ничем логический вес, чрезвычайно важный для последующих формальных рассуждений. Это — непритязательное поясняющее описание, которым ни для каких формальных выводов мы никогда не сможем воспользоваться, роль которого после усвоения данного раздела полностью исчерпана и дословное заучивание которого мы должны поэтому рассматривать как вредную, иска-

жающую истинное положение вещей, схоластическую нелепость.

На основе подробно рассмотренного нами специального вопроса о дословном заучивании мы ясно видим теперь те методические различия, которые должны иметь место между введением новых понятий посредством определений и посредством поясняющих описаний. Добавим еще, что во избежание смешений мы считали бы полезным, чтобы описания, которые не являются определениями, в учебниках не подчеркивались, не выделялись никаким особым шрифтом и чтобы там, где это желательно, введение нового понятия сопровождалось не одним, а несколькими такими пояснениями. Совсем необязательно, чтобы автор учебника должен был делать выбор между фразами: «Угол есть мера наклона и т. д.» и «Угол есть часть плоскости и т. д.». Будет лучше всего, если он приведет в пояснение новому понятию обе указанные картины, конечно, в надлежащем контексте и не выделяя ни одной из них в качестве основоположного догмата.

Заметим, наконец, что рекомендуемое нами тщательное методическое разграничение между определениями и простыми описаниями будет иметь еще и тот важный эффект, что с ранних лет приучит детей предъявлять к определениям те строгие логические требования, которые по отношению к ним являются обязательными, а не валить в одну кучу под именем «определений» все безответственные фразы, произносимые по поводу вновь вводимых понятий. Этим будет устранен один из тяжелых дефектов логической культуры, распространенных в наше время среди оканчивающих среднюю школу,—дефект, злокачественные последствия которого тяготеют подчас над учащимися на всем протяжении высшей школы, а в отдельных случаях даже и за ее пределами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Вопрос о наиболее целесообразной форме введения того или другого математического понятия в курс средней школы есть одна из наиболее ответственных задач математической методики. Как мы уже говорили в начале настоящей статьи, именно потому, прежде чем начинать дискуссию по поводу отдельных понятий, мы должны со всею отчетливостью уяснить себе общие принципы, лежащие в основе всех конкретных проблем в этой области. Но еще прежде уяснения этих принципов необходимо точно договориться по вопросу о том, что такое математическое определение, какова его роль в школьном курсе, чем и как оно может быть заменено там, где введение его логически невозможно или методически нецелесообразно.

Наша статья посвящена именно этому последнему кругу вопросов. Ни для одного конкретного понятия в ней вопрос о наиболее действенном способе его введения не только не разрешен, но и не поставлен нами во всей полноте. Но это и не было нашей целью. Мы ставили себе только одну задачу, по возможности внести ясность в ту обстановку, в которой должны ставиться и решаться такие задачи. До сих пор мы имели здесь много путаницы, спорящие говорили на разных языках, одни и те же термины употребляли в различных значениях, не понимая ни друг друга, ни высказываний третьих лиц. Дискуссия при таких условиях не могла быть плодотворной. В настоящей статье мы собрали несколько замечаний, которые нам кажутся совершенно бесспорными, может быть, даже в известной мере банальными и единственная задача которых — подвести более или менее прочный фундамент под всякую будущую дискуссию и тем самым дать этой дискуссии некоторую гарантию продуктивности. Мы хотели бы надеяться, что наш скромный труд в этом отношении не останется бесплодным.

СИМВОЛЫ БЕСКОНЕЧНОСТИ +∞, –∞

Проф. В. С. ФЕДОРОВ (Иваново)

1. Прежде всего следует иметь в виду, что в математике не самим символам бесконечности придают определенный смысл, но тем немногим типичным формулам и рассуждениям, в которых эти символы появляются, поэтому придется рассмотреть по порядку все основные такие формулы и рассуждения с тем, чтобы в дальнейшем употреблять каждую такую формулу и каждое такое рассуждение только в том смысле, который ей придается.

БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОМЕЖУТКИ

II. 1. Мы скажем, что переменная х изменяется в промежутке

0<*<+со, (1)

если X может принимать всевозможные положительные значения и не может принимать иных значений.

Например: пусть х = \g а, где а изменяется в промежутке 0 а < — (например, а есть один из острых углов переменного прямоугольного треугольника, для которого отношение катетов может иметь любое значение). Ясно, что х изменяется в промежутке. (1)

2. Мы скажем, что переменная х изменяется в промежутке

— оо<л:<<0,

если X может принимать всевозможные отрицательные значения и не может принимать иных значений.

3. Мы скажем, что переменная х изменяется в промежутке

— оо <#<С+ °°»

если X может принимать всевозможные действительные значения.

Например, x = tgaf где а изменяется в промежутке

и т. д.

БЕСКОНЕЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ

III. Прежде чем объяснять, в каких случаях говорят, что некоторая функция f(x) принимает положительное бесконечное значение (или, выражаясь иначе, обращается в + оо) при некотором значении х = с, что и выражают также условной формулой: f(c) = -\~ со, необходимо остановиться на разъяснении того, что значит, вообще, определить функцию f(x) в каком-нибудь промежутке изменения ее аргумента, например:

aO<ô. (2)

Это значит дать правило, позволяющее для каждого числа х, удовлетворяющего неравенствам (2), определить какое-нибудь соответствующее этому значению х число у, которое мы назовем соответствующим значением функции.

Мы скажем, что два правила определяют одну и ту же функцию в промежутке (2), если оба эти правила относят к одному и тому же значению х, произвольно взятому в промежутке (2), одно и то же число у, (т. е. соответствующее значение функции). Если назвать графиком функции / (х) геометрическое место точек (ху у) (т. е. совокупность всех точек с координатами х и у), где у—fix) (например, х — абсцисса, у — ордината точки), то мы скажем, что две функции совпадают или равны друг другу в промежутке (2), если совпадают их графики, построенные для всех значений X в этом промежутке и относительно одной и той же системы координат. Заметим, что в таком же смысле мы будем говорить об определении функции f(x) на любом множестве значений х, например, для всех целых положительных значений ху для всех значений х в промежутке с<х<&и т. д. Обращаем также внимание читателей, что мы называем функцией f(x) такую функцию, которую обычно называют однозначной функцией переменной X (так называемых многозначных функций мы совсем не будем рассматривать).

Заметим далее, что иногда говорят о задании функции в совершенно другом смысле, а именно: f(x) приравнивается данному аналитическому выражению, например, дается, что

(3)

для всех тех значений переменной х, для которых данное выражение имеет смысл и получает действительные значения. Совокупность таких значений х называется областью существования функции /(*).

Чтобы найти область существования функции, определяемой равенством (3), заме-

чаем, что выражение правой части этого равенства теряет смысл, если, во 1)2#-[-1=0 и, во 2), если 1 — х2 = 0, так как невозможно деление на нуль и не существует десятичного логарифма нуля. Далее lg(l—х2) имеет действительные значения, если х2<\, т. е. на промежутке — 1 < х < 1. Исключая из этого промежутка значение х —--т получим область существования функции/(л“), которая, таким образом, состоит из двух промежутков: —1 <х <--;---<\v<l.

Вспомним также о геометрических определениях тригонометрических функций. Переходим к примерам.

Согласно основному определению функции tg X мы можем определить эту функцию для всех значений х такого промежутка, как, например,

а при дополнительном условии tg 0 = 0 и для всех значений х промежутка 0^л:< —; но это определение делается бессмысленным для X = —. Мы видим, что, исходя из заранее заданной (своим выражением, например) функции, мы не для всяких значений аргумента можем ее, вообще говоря, определить. Но ничто не мешает ввести для каких-нибудь целей некоторую функцию переменного ху которая в промежутке О ^ X < — совпадает с tg х, а для х =— имеет значение, равное, например, 1. Данное сейчас правило вычисления этой функции, которую обозначим хотя бы ф (х), позволяет ее определить во всем промежутке:

(4)

На вопрос: как возможна такая функция? мы имеем вполне удовлетворительный ответ в самом правиле, определяющем значения этой функции для всех значений х промежутка (4). Конечно, мы не можем сказать, что эта функция есть tg х, но ничего противоречивого в данном нами определении функции ф (х) не содержится.

График этой функции состоит из части тангенсоиды и из точки M

(черт, 1).

Далее, на обычный вопрос: а как найти значение этой функции ф (jc) для значений X вне промежутка (4), например, для л;=тс? мы должны ответить, что этот вопрос лишен смысла, поскольку в самом определении функции ф(л;) говорится только о промежутке (4). Это все равно, как если бы мы сказали: пусть А обозначает некоторое положительное число в данной задаче, а нас бы спросили: а почему мы не можем считать А отрицательным? Далее, ничто не препятствует нам определить в промежутке

(5)

функцию, которую назовем ср (х) и которая обладает свойствами:

(график этой функции изображен на черт. 2). Мы имеем пример функции, определенной во всем промежутке (5), т. е. имеющей одно определенное конечное значение для каждого значения xt удовлетворяющего неравенствам (5), и которая имеет при подходящих значениях х какие угодно большие положительные значения.

С другой стороны, рассмотрим функцию tg2*. Эта функция определена для всех значений х промежутка (5), кроме значения X = — , и график ее для этих значений X отличается от графика функции ф (л:) отсутствием точки M

IV. Дадим теперь следующие важные определения.

1. Мы скажем, что функция f(x) стремится к положительной бесконечности, когда X стремится к некоторому числу с слева, если эта функция обладает следующим свойством: какое бы, как угодно большое положительное число N мы не задали,

Черт. 1

Черт. 2

найдется число xv меньшее, чем число с, и такое, что имеем f(x)*>N для всех значений х в промежутке х1<С.х<с. Указанное свойство функции/(jc) условились выражать следующими условными формулами:

(6)

или:

(7)

Мы называем эти формулы условными, так как, во 1), символ +oo не обозначает какого-нибудь числа, и, во 2), выражение с — 0 нельзя понимать буквально, как разность чисел: с и нуля, ибо с — 0 = с. Следует эти формулы (6) и (7) брать целиком, т. е. придавать определенный, нами указанный смысл всей формуле (6) и всей формуле (7), т. е. вся формула (7), например, представляет из себя некоторый новый математический символ, так что бессмысленно спрашивать: что такое +oo в этой формуле? Что такое с—О? Примеры графиков таких функций мы имеем на черт. 1 и 2, а также на черт. 3 (на черт. 2—левая ветвь).

Заметим, что в определении 1 ничего не говорится о существовании /(с): это значение функции может существовать, а может и не существовать.

Например, функции ф (х) и ig2 х (см. § 3) стремятся к положительной бесконечности, когда

и для обеих этих функций число xi находится для любого заданного числа N из уравнения:

причем хх есть такой корень этого уравнения, который меньше чем — и положителен.

2. Аналогично определяется то свойство функции, которое выражают словами: «/(#) стремится к положительной бесконечности, когда X стремится к некоторому числу с справа», и которое записывают условной формулой:

только в этом случае рассматриваются значения х, большие числа с; в частности, хг>с (черт. 2 — правая ветвь).

Например, функции ср (х) и tg2;c(§3) обладают свойствами:

но не существует значения tg2 х для 3. Условные формулы вида:

(9)

имеют следующий смысл: полагая F(x) = —f(x)9 мы имеем F (с—0)=+oo в случае (8) и F(£ + 0)= + œ в случае (9). Например, tg^- + oj= — оо (мы пишем —0, вместо с—-0, если £ = 0, и пишем +0, вместо с+0, если £ = 0).

4. Если имеем: / (с — 0)=+оо и /(£ + 0) = +оо и если не существует значения функции f(x) для х = с, тогда скажем, что f(x) равняется положительной бесконечности (принимает значение +oo, обращается в +оо) для х = с и напишем:*

/(<;) =-fœ. (10)

5. Если /(с — 0) = — оо и также f(c+0) = — со и если не существует значения функции f(x) для X = с, тогда пишем:

— оо. (11)

В случаях (10) и (11) скажем, что f(x) имеет (или: принимает) бесконечное значение определенного знака для х = с.

6. Если абсолютная величина функции f(x) обращается в + оо для х = с, но сама функция не обладает ни свойством (10), ни свойством (11), т. е. f(x) имеет и положительные и отрицательные значения для некоторых значений х, как угодно близких к числу с, тогда скажем, что функция f(x) обращается в бесконечность неопределенного знака для х =с.

Черт. 3

* Т. е. условились приписывать функциям (тригонометрическим, рациональным и некоторым иным) значение 4*°° для X = с в этих случаях [аналогичное замечание и в случае (11)].

Иногда пишут в этих случаях как, впрочем и в случаях (10) и (11):

(12)

Но иногда символ оо употребляют в смысле +оо, так что формулу (12) считают равносильной формуле (10).

V. Однако читатель никоим образом не должен думать, что функциям приписываются бесконечные значения только в случаях, указанных в приведенных определениях. Он не должен во всех случаях, т. е. для всех функций, пользоваться таким рассуждением: если написана, например, формула (10), то отсюда следует что

(13)

Такого следствия иногда нельзя сделать—см. далее § 8. Заметим, здесь, что мы в наших определениях выставляли условия (13), как достаточные (если значения f(c) не существует) для того, чтобы приписать f(x) положительное бесконечное значение для х — с, но нигде не говорили о необходимости этих условий (аналогично для (11)). Следует впрочем иметь в виду, что для функций одного аргумента, обычно встречающихся в курсах механики и физики, например, рациональных и тригонометрических, формулу (10) употребляют в том смысле, что имеют место свойства (13) и значения Де) не существует (конечно, последнее условие всегда необходимо, т. е., если f(c) существует, как конечное, то о формуле (10) и речи быть не может,— аналогично в случае (11).

VI. Сейчас отметим некоторые очевидные свойства f(x) в случаях (10) и (11), предполагая, что эта функция обладает свойствами (13) в случае (10) и аналогичными свойствами в случае (11).

1) Если две функции обладают обе свойством (Ю), или обе свойством (11), то их сумма и произведение обладают свойством (10) (соответственно, (11) для суммы). Эту теорему выражают следующими условными формулами:

(14) (15)

2) Аналогичный смысл имеют формулы:

(16)

3) Функция, равная /(*) + F(x), где f(x) обладает свойством (10), a F(x) принимает конечное значение для х = с и остается ограниченной (т. е. меньшей по абсолютной величине некоторой постоянной) в каком-нибудь промежутке, внутри которого находится значение с, такая функция f(x) + F(x) также обладает свойством (10).

Обозначая F (с) через А, выражаем эту теорему такой формулой:

(17)

где А — какое угодно число.

Однако не следует думать, что формулу (17) можно понимать в том смысле, что сумма функции, обладающей свойством (13), и всякой функции, имеющей конечное значение для х = с (и, хотя бы, еще конечной для всех значений х вблизи х = с), что такая сумма также обладает всегда свойством (13). В самом деле, рассмотрим сумму (см. § 3):

Имеем tg2 — = + оо, — ф — | = —1, однако вся сумма, равная нулю для 0^ ^л: < — и для — < X =^7г, не обладает, очевидно, свойствами (13) и не имеет никакого значения ни конечного, ни бесконечного для X = — , если требовать условий (13) для того, чтобы иметь свойство (10) (в случае несуществования /(с)). 4) Аналогичный смысл имеют формулы:

(18)

и аналогичное замечание следует сделать.

VII. Замечание: если ^(лг) — положительна, то при всякой функции f(x), для которой f(c) =+oo, вся сумма f(x)++F(x) обладает свойством (10), т. е. в этом случае формула (17) справедлива и в таком широком смысле. Если же мы хотим всегда пользоваться формулой (17), т. е. для всякой F(x)t понимая эту формулу как символическое выражение свойства суммы f(x) + F(x) обращаться при X = с в+оо всякий раз, когда /(с) = + оо и F(c) = А, то придется приписывать функции положительное бесконечное значение и в тех случаях, когда функция не обладает свойствами (13)

(см. § 8, где некоторые такие случаи приводятся).

Аналогичные замечания можно сделать для формул (18).

5) Рассматривая произведение F(х) -f(x) и полагая, что F(c) = А, f(c) = +oo, или /(с) = — оо, напишем следующие символические формулы:

А .(-4-оо) = 4-оо, если Л>0, (19)*

Л-(+оо) = —оо, если Л<0, (20)

А-(— оо) = — оо, » Л>0, (21)

Л.(— оо) = + оо, » Л<0. (22)

Если понимать формулу (19), например, как выражение такого свойства произведения F(x)-f(x), что оно принимает положительное бесконечное значение для х = с всякий раз, когда F(c) = Л>0, f(c) = + оо, то опять придется приписывать функции значение + оо и в тех случаях, когда свойства (13) не имеют места (см. § 8). В самом деле, если положить:

(см. § 3), то произведение F(x)-tg2x не обладает свойствами (13) для с= —, ибо

(и не существует значения этого произведения для х = — , поскольку tg2 х не имеет значения, в собственном смысле этого слова, для х = — .

Итак, мы видим, сколько беспокойств причинило нам присоединение к известным тригонометрическим функциям этой новой функции ф(л:), график которой отличается от графика функции tg2 х для 0 < х <[ тс только одной лишней точкой (см. черт. 2).

VIII. Приведем примеры иных условий (нежели тех, о которых мы говорили в § 4), при соблюдении которых мы приписываем некоторым функциям бесконечные значения при конечном значении аргумента. Пусть f(x) обозначает производную функции Ф(лг). Мы скажем, что /(^) = +оо, если разностное отношение

(23)

рассматриваемое как функция переменной А, обращается в + оо при h = О согласно определению § 4, т. е. если /?(А)->4~°° при Л->0, причем знак h — произвольный. Заметим, что может получиться: f(c — — 0) = + оо, f(c+ 0) = +оо, а может этого и не быть (см. ниже простой пример). Совершенно аналогично определяются условия, при которых полагают f(c) = — оо или приписывают этой функции f(x) бесконечное значение неопределенного знака для х = с.

Замечание. Конечно, говоря о разностном отношении (23), мы предполагаем, что значения Ф(с) и Ф(с-\~к) — конечны при каком угодно достаточно малом h.

Рассмотрим пример: возьмем функцию Ф(л:), определенную в промежутке 0< < X <[2 такими условиями: Ф(лг) = 0 для о<*<1; Ф(1) = 1; Ф(х) = 2 для 1<ix<2. Очевидно, имеем /(l) = +°°. хотя f(x) — 0 для О <С X <С 1 и для [<х<2, т. е. возможна функция, которая обращается в +со при одном значении ее аргумента (внутри промежутка изменения аргумента) и которая равна нулю при всех прочих значениях аргумента (в этом промежутке). Такой функции, ясно, не может быть, если требовать соблюдения условий (13).

Формулу +oo+ (+ оо) = оо для этих функций f(x) понимаем, как символическую запись теоремы: если каждая из функций Ф^х) и Ф2(*) имеет производную, равную +oo для х = с, то и сумма этих функций имеет для х = с производную, равную +оо. Аналогичный смысл имеет формула : — оо + (— оо) — — оо. Формулу (+оо) • (+ со) = +00 понимаем в следующем смысле: если /±(х) и f2(x) — производные некоторых функций, причем эти производные обращаются в + со для х = с> то мы приписываем произведению fx(x) • f2{x) значение +оо для х = с, так как, исследуя это произведение, мы изучаем выражение

* Если положить Ф(лг) = F(x)-f(x) и понимать свойство (10) как иное выражение свойств (13) при условии несуществования конечного значения /(с) (и аналогично для то формула (19) имеет место при таком достаточном условии: F(x)>a>0 в промежутках вида: /?<*<с, с<х<<7, где а, р и q — постоянные (аналогичные условия—для формул (20)—(22)).

при А-»0, где Фх(х) и Ф2(х)— те функции, производными которых являются, естественно, ft (х) и /2 (х). Точно также символическую формулу: A .(+оо) = + 00 для всякого положительного числа А, мы понимаем как условную запись теоремы:

если Rx (h) =

при

+ оо при /г-*0, тогда /?х (h) -R2(h) -> + 00 при h->0 (как известно, символическая формула: ^у-^ + со при А->0 означает, что у есть положительная бесконечно большая величина при бесконечно малом h).

IX. Итак, для каждой функции (вернее, для всех функций некоторого семейства функций, например, для всех рациональных функций, для всех тригонометрических функций и т. д.) устанавливаются свои признаки, зная которые мы и можем написать в некоторых случаях формулу вида: /(с)= + оо и т. п. Возьмем, например, семейство всевозможных дробных рациональных функций.

Если, положим, сказано, что f(x) есть рациональная функция вида:

(24)

то это значит, что мы условились вычислять значения f(x) по формуле (24) для всех тех значений х, для которых правая часть этой формулы имеет смысл (т. е. исключаются значения х, обращающие знаменатель дроби в нуль,— для таких значений х рациональная функция не имеет никакого значения, не является определенной).

Предполагаем, что числитель и знаменатель не имеют общих корней.

Если X = с есть корень или, как принято говорить, нуль знаменателя, то значения f(c) не существует и в то же время легко доказать, что, согласно определениям § 4, имеем: или /(с) = + оо (таково значение л: = 0 для дроби (24), или f(c) = —00, или f(x) обращается в бесконечность неопределенного знака для х = с (таково значение х= \ для дроби (24). Построим теперь рациональную функцию

(25)

(меняем местами числитель и знаменатель дроби (24).

Согласно условию, функция F (х) определена для всех таких значений х, которые не обращают в нуль знаменатель дроби (25), так что существуют значения: F (0) = 0, F (1) = 0, т. е. F (х) равняется нулю для тех значений х, для которых / (х) обращается в оо и наоборот. С другой стороны, для тех значений х, при которых обе дроби (24) и (25) существуют, имеем:

В этом смысле и употребляют символическую формулу:

X. В заключение отметим, какие действия считаются лишенными (и по очень серьезным мотивам) всякого смысла.

1) Деление любого числа или символов + оо и оо на нуль.

2) + со— со; —оо + оо; 0.(±со);

(±оо).0;

и аналогичные, как, например, 0°,со°, 1 .

Заметим, что употребление таких бессмысленных выражений в теории пределов лишено всякого основания. Дело в том, что применение теорем теории пределов и самое определение никогда не приводят к выражениям вида 1) и 2)—такие выражения не должны собственно появляться при правильном понимании теорем о пределах. Мы хотим сказать, что, разыскивая, например, предел произведения бесконечно малой величины на бесконечно большую, мы не должны писать в ответе бессмысленного выражений О-оо, но должны дать ответы на вопросы: 1) Существует предел или нет? 2) Если существует, то какому числу равняется? 3) Если не существует предела, то будет ли указанное произведение бесконечно большой величиной или нет? Вот и все.

Ограничимся рассмотрением выражения

+ 00 — co+oo. (26)

Если считать такое выражение обозначением значения F (с) (конечного или бесконечного) такой функции F(x), которая равна ft (х) —/2 (х) +/3 (х), где fx (с) = + °о, /2(£) = + оо, /8 (<?)= +со то, в зависимости рт вида слагаемых функций, мы можем получить:

1) /г(с) = + °° (например, если f^x) —

2) F (с) = — оо (например, если ft (х) =/,(*). AW —3/iW).

3) Z7 (л:) не обращается в бесконечность для jc = £.

Например:

(Л — какое угодно число). Эти функции обращаются все в +oo для х=0, но имеем — для х неравного нулю — F (х) = х+А. Согласно определению рациональных функций (см. § 9), мы считаем существующим значение F (0), которое равно А. Если будем искать так называемое «истинное значение» выражения (26), как lim [Д (х) — /2 (х) + /3 (х)] при х с, где fx (х) -> + оо,/2 (х) -» -f оо, /з (*) 4--|~оо для jc-^c, то мы ничего не можем сказать об этом «истинном значении», если не знаем /р /2, /3 (этого предела может и не существовать совсем). Поэтому-то и считают выражение (26) лишенным само по себе всякого смысла.

СИМВОЛ БЕСКОНЕЧНОСТИ В ЭЛЕМЕНТАРНОЕ АЛГЕБРЕ

XI. Приведем теперь известный пример из курса элементарной алгебры. Исследуем решение уравнения первой степени с одним неизвестным, давая этому уравнению вид:

(27)

Совершенно очевидно, что если буквы рид обозначают одно и то же число, а буквы а и b обозначают различные числа, то равенство (27) невозможно ни при каком значении je. Если же буквы рид обозначают одно и то же число, а также буквы а и b обозначают одно и то же число, то равенство (27) справедливо при каких угодно значениях х. Вот и все, что можно сказать в этих случаях.

Рассмотрим теперь следующую задачу математического анализа: пусть р и а — переменные величины и притом функции одной и той же переменной t, cub — постоянные (т. е. q сохраняет одно и то же значение для всех рассматриваемых в данной задаче значений переменной t, и таким же свойством обладает величина Ь). Полагаем

и составляем уравнение:

(28)

Положим, что для рассматриваемых значений переменной t функция f(t) не принимает значения д.

В этом случае из уравнения (28) для всех таких значений переменной t выводим:

(29)

т. е. X оказывается некоторой определенной функцией переменной ty причем, конечно, X может быть и постоянной, т. е. X может иметь одно и то же значение при всех рассматриваемых значениях t. В самом деле, если взять, например, f(t) = g cost, F(t) = bcost и считать g не равным нулю, тогда

(мы не берем таких значений t, для которых cos/=l). Предположим, что последний случай не имеет места, так что х — переменная (функция от t).

Рассматриваем, ради наглядности х как абсциссу точки пересечения двух прямых: одной неподвижной постоянной: у = qx+b, а другой подвижной переменной: у = f(t)x + F(t) (на черт. 4 прямая РМ — неподвижная, прямая QM — подвижная).

Заметим, что исключенный нами случай (когда X — постоянная) соответствует тому случаю, когда подвижная прямая проходит при всех своих положениях через одну и ту же точку неподвижной прямой. Мы же будем предполагать, что при изменении t точка M перемещается по неподвижной прямой. Пусть далее функции f(t) и F(t) — такие, что f(t)->q, когда t стремится к некоторому числу Л, a F (t) при этом не стремится к b (мы исключаем, конечно, само число А, когда говорим о допускаемых нами значениях переменной t, но предполагаем, что t неограниченно приближается к А).

Как показывает уравнение (29), при таком процессе изменения переменной / и при таких функциях /(/) и F (t) величина X является переменной бесконечной большой величиной, что мы условно записываем следующей формулой:

Черт. 4

Подвижная прямая перемещается так, что она стремится сделаться параллельной неподвижной прямой. Этим мы хотим сказать только то, что угловой коэфициент подвижной прямой имеет своим пределом угловой коэфициент неподвижной прямой.

Точка пересечения подвижной прямой с неподвижной прямой неограниченно удаляется от начала координат, когда t->A.

Результат этого и аналогичных исследований условились выражать так: если в уравнении (27) p = q, но а неравное, тогда X = оо.

Конечно, сказанную фразу нельзя понимать буквально.

выводы

XII. 1. Когда в некоторой задаче встречается условная формула такого, например, вида:

/(C) = +œ, (10)

когда пользуются при рассуждениях формулами (14) — (22), например, равенством:

когда говорят, что, решая уравнение, получаем бесконечное значение неизвестной и т. д., вообще, когда в формулах или в рассуждениях встречаются символы бесконечности,— тогда необходимо во всех таких случаях установить истинный смысл этих формул и рассуждений применительно как раз к тем функциям и к тем уравнениям, которые исследуются, выясняя точно, при каких условиях приписывают данной функции бесконечные значения, т. е. какое именно свойство данной функции выражает формула вида (10) и т. д. Иначе символы бесконечности останутся для читателя пустыми знаками, приносящими скорее вред, нежели пользу.

2. Польза и значение допускаемых условных формул, содержащих символы бесконечности, заключается в том, что с помощью символов бесконечности удается заменять некоторые длинные рассуждения одним кратким выводом и давать иногда одну общую и краткую формулировку многим, по существу различным теоремам и определениям.

ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА

С. НОВОСЕЛОВ (Москва)

Пусть А есть некоторая точка, расположенная на числовой прямой. Мы говорим, что точка M расположена ближе к точке Л, чем точка N, если расстояние AM меньше расстояния AN (черт. 1). Как известно, каждая точка числовой прямой изображает некоторое действительное число и обратно — каждое действительное число изображается некоторой точкой прямой. Пусть а и m два данные действительные числа и пусть А и M соответствующие точки числовой прямой. Расстояние между точками А и M измеряется абсолютной величиной разности между числами а и т:

Это, естественно, наводит на мысль перенести понятия «ближе» и «дальше» в область чисел. Мы говорим, что число m ближе к числу я, чем число /г, если абсолютная величина разности m — а меньше абсолютной величины разности п — а:

На числовой прямой точка M будет расположена ближе к точке Л, чем точка N, соответствующая числу п. Так, например, мы можем сказать, что число — расположено ближе к числу 1, чем число 2, ибо имеет место неравенство:

Геометрическая терминология настолько проникла в арифметику, что вместо слова «число» зачастую употребляют слово точка. Так, например, вместо «число 1» говорят: «точка 1», вместо «значение функции х2 при значении аргумента 2» говорят: «значение функции х2 в точке 2». Эта терминология весьма удобна тем, что с арифметическими соотношениями она связывает наглядный геометрический образ, однако, читатель должен твердо помнить, что в дальнейшем под словом «точка» следует понимать число, а геометрическая точка на числовой прямой есть лишь только изображение этого числа.

Чтобы подойти к понятию предела, обратимся к простому примеру. Рассмотрим функцию у = — ху определенную на множестве всех действительных чисел. Для наглядности будем изображать значения аргумента точками на прямой и значения функции — точками на параллельной прямой; точку, изображающую значение аргумента, будем соединять

Черт. 1

стрелкой с точкой, изображающей значение функции (об этой интерпретации см. нашу статью в журнале «Математика в школе», 1940 г., № 6).

Будем теперь рассматривать значения аргумента «близкие» к 1. Математическая интуиция подсказывает, что чем ближе значение X к 1, тем ближе должно быть к —1 значение у (черт. 2). Более того, значение у может быть «как угодно близким» к точке—1, лишь бы только значение х «было достаточно близким к точсе 1». Теперь попытаемся ответить на вопрос: какой же точный смысл следует вкладывать в это последнее утверждение? Возьмем какое-нибудь положительное число, например Поставим следующий вопрос: как близко к 1 должно быть значение аргумента л, чтобы значение у отличалось от—1 меньше чем на — - В нашей геометрической интерпретации этот вопрос можно сформулировать следующим образом: как близким к точке 1 должно быть начало стрелки, чтобы ее конец отстоял от точки — 1 на расстояние, меньшее ^ 7 Будем рассуждать следующим образом: произвольному значению аргумента х соответствует точка у = — X. Расстояние этой точки до точки — 1 равно:

(1)

Из полученного результата ясно, что неравенство:

будет выполнено, коль скоро

Иначе говоря, как только начало стрелки находится от точки 1 на расстояние, меньшее -3—, так конец отстоит от точки—1 на расстояние, меньшее

Совершенно ясно, что вместо можно было бы взять какое-нибудь другое положительное число и поставить вопрос о том, как близким должно быть начало стрелки к точке 1, чтобы ее конец отстоял от точки —1 на расстояние, меньшее чем это число. Так, равенства (1) показывают, что

Вообще, если

где £ какое-либо наперед заданное положительное число. В этом смысле и надо понимать, что значение у может быть как угодно близким к—1, если только значение х достаточно близко к 1. Мы скажем, что—1 есть предел функции у = — х в точке 1.

Рассмотрим другой пример. Возьмем функцию у = 2х, определенную на множестве всех действительных чисел. Представляется «очевидным», что значение у может быть как угодно близким к 4, если значение х достаточно близко к числу 2 (черт. 3). Расстояние конца стрелки от точки 4 равно

(2)

Расстояние точки х от точки 2 равно | х — 2 |. Возьмем теперь какое-либо положительное число, например —— Равенства (2) показывают, что расстояние точки у от точки 4 меньше

если только расстояние точки х от точки 2 меньше

Из того же равенства (2) ясно, что расстояние конца стрелки от точки 4 меньше чем

если только расстояние точки х от точки

меньше

Черт. 2

Черт. 3

И так далее Вообще, если мы возьмем какое-либо положительное число £> О, расстояние точки у от точки 4 будет меньше е:

если только расстояние точки х от точки 2 меньше — :

В этом смысле и надо понимать, что у может быть как угодно близким к точке 4, если значение х достаточно близко к числу 2; или что число 4 есть предел функции у = 2хв точке 2.

Переходим к рассмотрению следующего примера. Пусть х любое действительное число. Рассмотрим функцию у = sin х (для вычисления значения у надо определить синус дуги, радианная мера которой равна х). Будем рассматривать значения je, близкие к нулю. Чтобы ответить на вопрос, каковы значения функции y = sinAr, выведем одно простое неравенство. Пусть х радианная мера дуги AB, (черт. 4). Будем предполагать пока, что 0 < X < -Д. Из чертежа 4 мы видим, что площ. Д АОВ < площ. сект. АОВ. Но площ. Д АОВ = — г2 sin Х, площ сект. АОВ = -i- г2х (где г —радиус круга), следовательно, sin x<jc (3)

при условии

Неравенство (3) имеет место и подавно, если — < Х, ибо в том случае 1 <— < X, тогда как sinjc^l. Для отрицательных значений X будем иметь: | sin х | < \х |. (4) Итак, сопоставляя все сказанное, мы видим, что неравенство:

(4)

имеет место при всех значениях х, отличных от нуля. В самой точке х = 0 имеет место равенство sin х = х. Неравенство (4) показывает, что конец стрелки (исходящей иj любой точки, отличной от начала координат) для функции V = sin х всегда расположен ближе к точке v = О, чем начало стрелки к точке Jt = 0 (черт. 5). Для того, чтобы расстояние точки у = sin X от точки у = 0 было меньше, чем заданное положительное число,

например достаточно выполнение неравенства:

иначе говоря, достаточно, чтобы точка х была расположена к точке О на расстоянии, меньшем —. Далее, неравенство (4) показывает, что если

то и подавно

(мы предполагаем, что х ф 0).

Вообще, если |jt|<e, то и подавно |у|<г Значит, точка у может быть как угодно близкой к точке 0, если х достаточно близко к точке 0, т. е. 0 есть предел функции у = sin х в точке 0.

Рассмотрим еще один пример. Возьмем функцию у = X2. Будем рассматривать значения X близкие к точке х = 3. Ограничимся значениями х, заключенными в некотором промежутке, содержащем точку х = 3. Возьмем, например, промежуток (2, 4), 2<х<4. В этом предположении будем иметь (черт. 6):

(5)

(ибо по условию 2<jc<4). Возьмем какое-либо положительное число, например —— ; неравенство (5) показывает, что если I X — 3 |<-I—, то и подавно имеет место неравенство:

иначе говоря, достаточно, чтобы начало стрелки отстояло от точки 3 меньше чем на расстояние, равное -i— для того, чтобы ее конец отстоял от точки 9 на расстояние, меньшее чем —— Ясно, что точка у = х2 может располагаться как угодно близко к точке 9, если только точка х достаточно близка к точке 3.

На этих простых примерах мы выяснили точный смысл утверждения: «Значение данной функции может быть как угодно близким к данному числу». Теперь можно сформулировать такое общее определение: Функция имеет предел в точке а, равный /, если ее значения как угодно близки к числу / при условии, что значение аргумента достаточно близко к числу а. Это определение полезно пояснить при помощи чертежа (см. черт. 7). Мы находим, что данное выше определение понятия предела

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

Черт. 7

является более ясным, чем обычно принятое в школе определение. В обычном определении предела, как правило, употребляются термины: «бесконечно малая величина», «х стремится к о», «переменное стремится к пределу» и т. д. Все эти понятия крайне неясны, расплывчаты и способны навести учащихся на ложный путь, если им не дать точного определения; попытка же дать им точное определение при помощи надлежащих неравенств будет совершенно недоступна для учащихся. Кроме того, заметим,что часто употребляющееся выражение «предел независимого переменного» или «независимое переменное стремится к пределу» не имеет никакого точного смысла; можно говорить о пределе функции или последовательности, аргументу же функции можно приписывать любое числовое значение, принадлежащее области определения данное функции, и ни о каком его «пределе» говорить не имеет смысла.

Можно возразить, что в сформулированном выше определении еще остается неясность, так как в нем участвуют понятия «сколь угодно близко» и «достаточно близко», не получающие исчерпывающего определения. Однако, ряд примеров, приведенных выше, и должен уяснить учащимся истинный смысл этих утверждений. Мы уверены, что после внимательного рассмотрения такого рода простейших примеров в сознании учащихся останется совершенно отчетливое понимание идеи предела.

Теперь до определения понятия предела, принятого в современном анализе, остается сделать лишь один шаг. Когда мы говорим, что значение функции f(x) может быть как угодно близким к /, это значит, что каким бы малым ни было наперед заданное число е<0, имеет место неравенство:

в предположении, что х достаточно близко к а: (X ф а),

т. е.

где £>0 — некоторое число, определенное заданием е. Мы сформулируем определение предела функции в точке, принятое современной математикой

Число / называется пределом функции f(x) в точке а, если при любом наперед заданном числе е>0 можно найти такое число à > 0, что неравенство: \f(x) — / |< г, выполняется при любом значении аргумента хфа, удовлетворяющем неравенству

Мы не считаем целесообразным в средней школе делать этот последний шаг и переходить к сформулированному выше определению. Это определение требует от учащихся значительно более высокого уровня математического развития, чем тот, на котором находятся ученики школы: оно не сразу дается даже учащимся высшей школы. Таким образом, мы считаем, что, хотя и не представляется возможным сделать завершающего шага, все же путем рассмотрения конкретных примеров учащихся можно подвести к правильному пониманию предела, а последний завершающий шаг будет сделан в высшей школе.

Мы полагаем, что главное внимание следует уделить разъяснению идеи предела, не жалея времени на рассмотрение необходимых примеров со всеми подробностями. Мы полагаем, что понятие «бесконечно малого» вводить не следует ни в средней ни в высшей школе,— это устаревшее понятие способно только лишь внести путаницу*.

Не следует преувеличивать значения теорем о действиях над пределами. Дать полное обоснование действий над пределами в средней школе не представляется возможным. Допустим, что мы доказали традиционные теоремы о пределе суммы, произведения и частного, но одних этих теорем недостаточно, чтобы обосновать переход к пределу под знаком корня или логарифма или синуса и т. д. Полное рассмотрение этого вопроса связано с учением о непрерывных функциях, что далеко выходит за рамки программы средней школы. Можно дать перечисление основных правил действий над пределами и даже для пояснения метода рассуждений доказать одну какую-нибудь теорему, например, о пределе суммы, но, повторяем, не следует облекать все это в форму какой-то «специальной теории». Возьмем хотя бы теорему о пределе суммы. Чтобы дать понятие о методе соответствующего доказательства будем рассуждать примерно так. Пусть имеется сумма f(x) + <р (х). Первое слагаемое имеет предел равный /,а второе m в точке а. Возьмем какое-нибудь число, например - , и рассмотрим сумму 1+т. Может ли сумма f(x)+~гЧ(х) отличаться от 1+т меньше чем на е, если значение х достаточно близко к а? Составим разность:

и возьмем ее по абсолютной величине; тогда имеем:

Будем рассматривать значения аргумента достаточно близкое к я, именно такие, что каждая из разностей f(x) — l и ср (х) — т по абсолютной величине меньше чем -А- , тогда

значит, сумма f(x)+y(x) может отличаться от / + m меньше чем на —!— при значениях х, достаточно близких к а. Совершенно ясно,

* Автор настоящей статьи знает, что высказанная точка зрения относительно понятия бесконечно малого разделяется не всеми. По затронутому вопросу желательно развернуть дискуссию. Автор.

что вместо можно взять любые числа:

или в общем виде е, а потому сумма f(x)+y(x) может отличаться от 1+т как угодно мало, если х достаточно близко к а. Значит:

Этим можно ограничиться. Никаких теорем о «бесконечно малых» доказывать мы не считаем» целесообразным.

Недопустимо тратить время на «доказательство» теорем подобных нижеследующей: «Если две переменные величины при всех своих изменениях остаются равными, то равны и пределы их». Насколько мы можем понять, по сути дела здесь речь идет о двух функциях, заданных на одном и том же множестве значений аргумента с одним и тем же законом соответствия, но тогда здесь не две, а одна функция и утверждение теоремы становится курьезно тривиальным. Однако облеченное в наукообразную форму какой-то особой теоремы это утверждение способно лишь ставить учащимся искусственные препятствия в понимании простых вещей.

Нецелесообразно тратить время на излюбленное противопоставление «постоянного» и «переменного». Функция определяется множеством значений аргумента и законом соответствия. В частности, каждому значению аргумента можно поставить в соответствие одно и то же число, тогда мы говорим, что функция постоянна. Например математическое выражение:

ставит любому действительному числу х в соответствие одно и то же число 1. Это есть функция вполне равноправная со всеми другими функциями. Предел этой функции в каждой точке равен одному и тому же числу 1.

Учитель всегда должен иметь в виду, что не следует смешивать предел функции в данной точке с ее значением в этой точке. Возьмем, например, функцию, заданную формулой:

Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел, отличных от нуля, так как если положить X = 0, то данное выражение потеряет смысл. Если хфО, то дробь можно сократить, и тогда мы получим:

Значения f(x) как угодно мало отличаются от нуля, если значение достаточно близко к нулю, значит:

Однако в точке 0 функция — не имеет никакого значения. Концы стрелок, начало которых близко к точке О, также близки к точке О, однако из самой точки О не исходит никакой стрелки (черт. 8).

Вот другой пример. Пусть функция F (х) определена на множестве всех действительных чисел следующим законом соответствия:

Как и в прежнем примере, конец стрелки может как угодно близко отстоять от точки О, если ее начало достаточно близко к точке X = 0, однако стрелка, выходящая из точки X = 0, направляется не в точку у = 0, а в точку у = 1 (черт. 9). В данном примере мы имеем lim F (х) = 0, тогда как F (0) = 1.

Учитель должен иметь в виду простейшие примеры функций, не имеющих предела в данной точке. Рассмотрим, например, функцию, заданную на множестве всех действительных чисел, отличных от нуля, при помощи следующего математического выражения:

Как легко видеть, имеем (черт. 10):

Все стрелки, начинающиеся на положительной части оси ОХ, оканчиваются в точке у = 1, а все стрелки, начинающиеся на отрицательной части оси ОХ, — в точке у = — 1. В точке 0 данная функция предела не имеет, ибо в любой близости от точки 0 есть стрелки, оканчивающиеся как в точке у = 1, так

и в точке

если

не существует.

Другой пример дает функция, определенная на множестве всех действительных чисел законом соответствия (функция Дирихле):

Пусть а — любое число; как угодно близко к точке а располагаются как рациональные, так и иррациональные точки. Стрелки, исходящие из рациональных точек, оканчиваются в точке у=1| а из иррациональных — в

Черт. 8 Черт. 9

Черт. 10

* Эту функцию нельзя отождествлять с функцией ср (х) = X, определенной на множестве всех действительных чисел. Функция f(x) не определена в точке О, тогда как <Р (О) = 0.

точке у =— 1 (черт. 11). Поэтому ни в какой точке а не существует предела lim f(x).

Кроме рассмотренных пределов, весьма важную роль играют пределы «при неограниченно возрастающих значениях аргумента». Рассмотрим, например, функцию, заданную формулой:

Ясно, что при «больших» значениях х значение у близко к 1. Так, например, если х= 100, то у =1,01, если je = 1 000, то у = 1,001 и т. д. Возьмем какое-нибудь число, например,

и спросим себя, как велико должно быть значение х, чтобы соответствующее значение функции отличалось от числа 1 меньше чем

Иначе говоря, как далеко от точки О вправо должно быть начало стрелки, чтобы ее конец отстоял от точки 1 на расстояние, меньшее-!- (черт. 12). Расстояние точки у от точки 1 равно

(где х>0).

Из полученного равенства ясно, что

Из тех же равенств ясно, что

Вообще

Мы скажем, что значения данной функции как угодно близки к 1 при достаточно больших значениях х или что предел данной функции равен 1 при неограниченном возрастании х:

Рассмотрим другой пример. Возьмем геометрическую прогрессию 1, —, — 2 4 2п Возьмем п первых членов этой прогрессии и образуем сумму:

(6)

Сумма sn определяется заданием целого положительного числа л, и поэтому ее можно рассматривать как функцию аргумента л, определенную на множестве всех целых положительных чисел. В нашем случае стрелки могут исходить лишь из точек числовой прямой, изображающих целые положительные числа (черт. 13). Выражение (6), естественно, наводит на мысль, что значение sn при достаточно большом п может быть как угодно близким к числу 2. Возьмем абсолютную величину разности между числами sn и 2:

Спросим себя, как велико должно быть значение п для того, чтобы расстояние точки sn от точки 2 было меньше, чем наперед заданное число, например: —. Для этого мы должны иметь неравенство _L<JL или

(7)

В данном случае, когда задано число — , ясно, что неравенство (7) будет иметь место, если п >б, так 27= 128 > 100. Чтобы иметь возможность провести рассуждения в общем виде, примем во внимание следующие элементарные соотношения. Суммируя геометрическую прогрессию получим:

откуда:

Черт. 11

Черт. 12

Черт. 13

В первой части последнего равенства имеется п слагаемых, причем каждое из них, начиная с третьего, больше числа 2, поэтому при л>2 будем иметь:

откуда

а следовательно,

(8)

Неравенство (8) показывает, что, для того чтобы имело место неравенство \sn—21 < ——, достаточно взять /г > 500; чтобы имело место неравенство | sn — 2 | < —, достаточно взять 10е

Вообще, чтобы имело место неравенство

достаточно взять

Отсюда мы видим, что sn может как угодно мало отличаться от числа 2 при достаточно больших значениях я, поэтому говорят, что предел sn есть число 2'

Предел lim sn, как известно, называется (по определению) суммой геометрической прогрессии:

Рассмотрим еще один пример, касающийся представления действительных чисел при помощи десятичных дробей. Возьмем, например число 7t. Число я может быть представлено в виде бесконечной десятичной дроби:

Это означает, что имеют место неравенства:

(9)

Образуем последовательность чисел. sQ = 3; s, = 3,1; s2 = 3,14; s3=3,141 ... и т. д. sn получается путем сохранения п десятичных знаков в представлении числа тс с помощью десятичной дроби. В силу неравенств (9) имеем:

(10)

Поступим так же как в предыдущем примере: из соотношения

Находим:

Приняв во внимание последнее неравенство и неравенство (10) получим:

Пусть теперь е>0 любое наперед заданное число. Для того, чтобы выполнялось неравенство:

(11)

достаточно, чтобы было справедливо неравенство:

откуда

Значит, достаточно взять п большим, чем

чтобы иметь неравенство (11), поэтому при достаточно больших значениях п значение sn может быть как угодно близким к числу тс, т. е.

НАГЛЯДНОСТЬ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

РОЛЬ ОПЫТА ПРИ ПРЕПОДАВАНИИ ГЕОМЕТРИИ

П. РЫБАКОВ (ИВАНОВО)

При преподавании геометрии следует широко привлекать опыт, широко пользоваться наглядными пособиями для иллюстрации курса. Опыт может иметь место перед доказательством теоремы (предварительный опыт), одновременно с доказательством и после доказательства теоремы.

О ПРЕДВАРИТЕЛЬНОМ ОПЫТЕ

Постановка опыта перед доказательством теоремы имеет своей целью подвести учащегося к некоторым предположениям. Здесь цель опыта — воспитание у учащихся наблюдательности, способности подмечать те или иные соотношения, связи между элементами фигуры. Приведем примеры такого предварительного опыта. Пусть содержанием урока служит изучение свойств диагоналей ромба. Используем прекрасную модель ромба с раздвижными диагоналями, сконструированную проф. Сиговым. При изменении углов ромба диагонали ромба, видимо, остаются взаимно перпендикулярными. На этом опыте преподаватель предлагает ученикам подметить свойство диагоналей ромба, после чего дается логическое доказательство теоремы.

Теореме о сумме внутренних углов треугольника можно предпослать следующий простой опыт. Каждому ученику предлагается построить какой-либо треугольник и найти сумму внутренних углов треугольника, измерив каждый из углов треугольника с помощью транспортира. Подводя итоги этому опыту, получим, что у каждого из учеников сумма углов треугольника оказалась равной 180° или почти 180°. Относя эти отклонения к возможной неточности измерения, класс приходит к предположению, что сумма углов треугольника равна 180° (или 2d). Затем дается логическое доказательство теоремы, убеждающее учеников в правильности этого предположения. Подводя итоги опыта, необходимо подчеркивать, что простое рассмотрение единичных явлений не дает еще нам права делать обобщения, так, например, тот факт, что сумма внутренних углов каждого из 30 треугольников оказалась равной 2d, еще не служит бесспорным утверждением положения, что сумма внутренних углов любого треугольника равна 2d. Некоторые из методистов высказывают мнение, что предварительный опыт мешает логическому доказательству, что ученики на опыте убедятся в правильности рассматриваемого геометрического предположения и дальнейшее логическое доказательство кажется уже им ненужным, надуманным. Это мнение неверно, оно вытекает из неправильного мнения об опыте, из неправильно поставленного предварительного опыта. Предварительный опыт, подводящий к известным предложениям на основе наблюдения единичных явлений, должен вызвать интерес к подтверждению этого предположения путем строгого доказательства, дающего твердую уверенность в том, что высказываемое предположение является общим свойством всех фигур рассматриваемого типа.

К большинству геометрических предложений трудно подобрать такой предварительный «наводящий» опыт; при разборе ряда геометрических предложений следует перед доказательством дать опыт, разъясняющий смысл зачитываемого геометрического предложения. Преподаватель зачитывает теорему и путем наглядных пособий или чертежа разъясняет смысл самой теоремы, после чего уже дается логическое доказательство. Для примера возьмем теорему о внешнем угле треугольника. Ученикам дано определение внешнего угла, затем зачитывается сама теорема: «Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла его, не смежного с ним». Строим три треугольника и сравниваем в каждом из них внешний угол BCD с внутренними углами А и В. В каждом из рассмотренных случаев внешний угол BCD больше любого из несмежных с ним внутренних углов треугольника. Затем, когда ученикам стала понятна сущность рассматриваемой теоремы, мы доказываем, что для всякого треугольника любой из внешних углов больше каждого не смежного с ним внутреннего угла треугольника. Цель этого небольшого предварительного опыта — разъяснить самое содержание теоремы, фиксировать внимание учащегося на рассматриваемых связях. Доказывая теорему, ученик должен отчетливо представлять, между какими именно элементами фигуры устанавливается связь данной теоремой. Отметим, что и сам выбор чертежа для доказательства теоремы не вполне безразличен. Из приведенных чертежей треугольника для доказательства теоремы о внешнем угле тре-

Черт. 1

угольника лучше выбрать третий, где не так заметна разница между величиной внешнего угла и величиной каждого из сравниваемых с ним внутренних углов. При доказательстве теоремы вообще лучше избегать таких чертежей, в которых особо резко бросается в глаза различие между сравниваемыми элементами. Так, в нашем примере выбор первого или второго чертежа, где доказывается, что тупой или прямой угол BCD больше каждого из острых углов (А и В), нам представляется неудачным. Точно так же нам кажется неудачным при доказательстве предложения о том, что из данной точки (М) на данную прямую (AB) можно опустить только один перпендикуляр (MC), пользоваться чертежом 2 (доказывать, что \_CDM — острый).

К сожалению, в подавляющем большинстве учебников это пожелание не выполняется. (Это пожелание, конечно, не является существенным, но все же более удачный чертеж принесет известную пользу.) Отметим, что в одном курсе, а именно в курсе элементарной геометрии Вржесневского (изд. 1912 г.), проявлено много внимания к выбору чертежа; так Вржесневский при доказательстве теоремы о внешнем угле треугольника берет острый внешний угол; при доказательстве последней приведенной теоремы Вржесневский строит следующий чертеж (черт. 3).

Возьмем еще один пример предварительного «разъясняющего» опыта. Объясняя смысл теоремы о двух перпендикулярах, преподаватель с помощью прямоугольного треугольника и спицы показывает, что при пересечении прямой с плоскостью всегда можно в этой плоскости через точку встречи прямой с плоскостью провести прямую, перпендикулярную данной прямой. Затем преподаватель ставит спицу так, чтобы она была перпендикулярна двум каким-либо прямым этой плоскости, проходящим через точку встречи спицы с плоскостью, и показывает, что при таком положении спица будет перпендикулярна к любой прямой данной плоскости (этот опыт подробно разобран в учебнике Астряба). Теперь, когда ученикам разъяснен смысл теоремы, дается ее логическое доказательство.

Конечно, для значительного числа предложений геометрии совсем нельзя поставить предварительного опыта, или же опыт неприемлем по своей сложности, к числу таких теорем относятся, например, теоремы о квадрате стороны треугольника, теорема о поверхности шара и т. д.

ОБ ОПЫТЕ, СОПРОВОЖДАЮЩЕМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ

В ряде случаев полезно сопровождать постановкой опыта, иллюстрацией на моделях само доказательство (логическое) теоремы. Так, например, доказательство теоремы о равновеликости параллелограма и прямоугольника можно сопровождать моделью, поясняющей чертеж, даваемый при доказательстве теоремы.

Полезно сопровождать иллюстрацией на моделях доказательство ряда теорем стереометрии, например, теорему о равновеликих призмах полезно сопровождать моделью наклонной призмы, рассеченной плоскостью, перпендикулярной к ее боковым ребрам; теорему об объеме пирамиды полезно сопровождать моделью треугольной призмы, разделенной двумя плоскостями на три равновеликие пирамиды. Здесь задача иллюстрации — облегчить понимание чертежа, способствовать лучшему пространственному воображению тех построений, которыми сопровождается доказательство.

О ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОМ ОПЫТЕ

Пусть ученики поняли формулировку теоремы, пусть они поняли само доказательство теоремы, все же нельзя считать, что теорема полностью усвоена учениками до тех пор, пока они не почувствуют значения теоремы для разбора ряда вопросов геометрии, для раскрытия геометрических связей. Понимание значения теоремы устанавливается рядом контрольных вопросов и иллюстраций на простейших моделях. Пусть разобрана теорема о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью. Само доказательство очень несложное, но тем не менее преподаватель не может еще считать, что теорема учениками усвоена, что они отчетливо уяснили, какие связи установлены этой теоремой без ряда контрольных вопросов. Сюда относятся вопросы о пересечении плоскостью тел с параллельными плоскостями, прежде всего о пересечении плоскостью куба или параллелепипеда. Приводим примерный перечень вопросов.

1. Какую фигуру получим при пересечении параллелепипеда плоскостью, если секущая плоскость пересечет следующие грани: а) все боковые грани? б) левую боковую, правую боковую, нижнюю и верхнюю грани? в) верхнюю, нижнюю, переднюю и левую боковую грани? г) 4 боковых грани и верхнюю грань? д) все грани? е) переднюю, левую и верхнюю грани?

Каждое сечение иллюстрировать на соответствующей модели параллелепипеда и на чертеже (полезно иметь в математическом

Черт. 2 Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5

кабинете наборы деревянных кубов и параллелепипедов с различными плоскими сечениями).

2. Какие фигуры можем получить, пересекая параллелепипед (или куб) плоскостью?

3. Показать на данной сплошной модели куба, как надо провести секущую плоскость, чтобы в сечении получить треугольник, равнобокую трапецию, ромб, пятиугольник, шестиугольник.

4. Можно ли получить при пересечении куба плоскостью прямоугольный треугольник? правильный пятиугольник? правильный шестиугольник?

5. Объяснить, почему, рассекая куб плоскостью, нельзя получить в сечении прямоугольный треугольник и правильный пятиугольник.

6. Показать на деревянной модели куба, как должна пройти секущая плоскость, чтобы получить в сечении правильный шестиугольник.

Подобные упражнения закрепляют у учеников понимание разобранной теоремы (о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью), повышают интерес к данной теореме, развивают пространственное воображение.

Отдел «прямые и плоскости в пространстве» относится к числу наиболее сложных во всем курсе элементарной математики. При прохождении этого отдела необходимо учесть все то, что может служить к лучшему усвоению этого курса; преподавателю следует несколько изменить самый порядок проработки отдельных вопросов стереометрии для того, чтобы иметь возможность широкой иллюстрации на моделях отдельных теорем этого отдела. Так, следует в самом начале курса стереометрии показать куб, определяя его, хотя бы как тело, гранями которого служат квадраты. В дальнейшем, куб, как наглядное пособие, будет использован уже для иллюстрации теоремы о двух перпендикулярах, для разбора вопросов, связанных с перпендикулярностью прямой и плоскости. После определения параллельных плоскостей вполне естественно дать определение параллелепипеда. Раннее введение понятия пирамиды позволит поставить ряд вопросов об угле, образуемом прямой с плоскостью и о двугранных углах. Это раннее введение понятия о некоторых видах многогранников не исключает необходимости в дальнейшем при изучении многогранников вновь подробно разобрать свойства многогранников.

Без широкой иллюстрации на моделях важнейший отдел курса стереометрии «прямые и плоскости в пространстве» не будет усвоен. Удовлетворительное доказательство учениками теорем этого отдела еще не служит показателем, усвоен ли учениками этот отдел. Отчетливое понимание вопросов стереометрии может быть достигнуто лишь при отчетливом представлении рассматриваемых пространственных связей, а для этого необходимо возможно шире привлекать наглядные пособия, систематически вести работу с моделями стереометрических тел.

НАГЛЯДНОСТЬ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

Математический кабинет

В. РЕПЬЕВ (г. Горький)

„От живого созерцания к абстрактно ну мышлению и. от него к практике — таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности".

(В. И. ЛЕНИН, IX Ленинский сборник, стр. 165—166).

„Начало познания безусловно всегда исходит от ощущений (ибо ничего не существует в познании, чего раньше не было бы в ощущении); поэтому и обучение следовало бы начинать не с словесного толкования о вещах, но с предметного наблюдения над ними“.

(КОМЕНСКИЙ — „Великая дидактика“).

Советская педагогика учит, что наглядность в педагогическом процессе заключается в том, что учитель использует непосредственное восприятие учащимися предметов, их моделей и изображений, что на базе этих восприятий, последующих представлений и совершается переход к понятиям, к абстрактному мышлению. В согласии с этим под наглядностью в обучении математике будем понимать использование в педагогическом процессе непосредственного восприятия учащимися предметов, моделей и их изображений, способствующее лучшему усвоению математических понятий, предложений и переходу к абстрактному мышлению.

Если математика есть наука, имеющая своим предметом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, если основным методом этой науки является абстракция, т. е. отвлечение пространственных форм и количественных отношений от их конкретного вещественного содержания,— то эти методологические установки совершенно четко определяют отношение советской методики математики к наглядности обучения: пространственные формы и количественные отношения действительного мира или их разнообразные заместители (модели, изображения) надлежит использовать при обучении математике в начальной я средней школе. Таким образом, с точки зрения предмета и метода математики наглядность является необходимым элементом, существенным приемом обучения математическим предметам, приемом, позволяющим осознать математические понятия, предложения и подняться на высоты абстрактного математического мышления.

Интересно взглянуть на роль и значение наглядности при обучении математике с точки зрения современного учения о психологии мышления. Это учение в интересующем нас разрезе утверждает, что «мышление в понятиях укоренено в наглядном чувственном содержании», что «оно с ним связано и не может быть вовсе от него оторвано», что юно «не исчерпывается только наглядным чувственным содержанием; не отрываясь от «его, оно выходит за его пределы»*. Итак, психология учит, что для мышления в понятиях, с каким мы имеем дело в математике, необходимо чувственное восприятие. Всякое наблюдение учащимися единичных математических фактов, всякий опыт, измерение — все это дает для математического мышления необходимые чувственные восприятия. Таким образом, наглядность при обучении математике является необходимым и существенным фактором для последующей организации мышления в понятиях: это мышление будет несовершенно и убого, если оно не будет опираться на целесообразно используемую наглядность. Итак, психология мышления прекрасно подтверждает необходимость использования наглядности в обучении математическим предметам.

С точки зрения задач коммунистического воспитания необходимо обратить внимание еще на одну сторону значения наглядности в обучении математике. Целесообразно подобранные и используемые наглядные пособия в известной мере полнее и глубже вскрывают перед учащимися взаимосвязь теории и практики. Счетные приборы, геодезические инструменты или их модели, чертежные и измерительные приборы и многие другие наглядные пособия дают хорошие примеры использования математики в практике; они подчеркивают и развитие ее из разрешения практических проблем; они являются одним из приводных ремней, связывающих математические предметы с удовлетворением практических потребностей общества, а в связи с этим полнее и глубже вскрывается политехническая значимость математического образования.

Развитые выше соображения определяют основное значение наглядного обучения математике, но, конечно, далеко не исчерпывают этого значения. Наглядное обучение представляет психологически сложный и многогранный процесс: в нем, как правило, имеется интерес, связанный с появлением на уроке вещи или модели; в нем восприятие сопровождается вниманием, при этом непроизвольное внимание часто играет очень видную роль; в нем процесс восприятия должен быть не случайным, хаотичным, а целесообразно направленным; в нем в иных случаях (при лабораторных работах) выявляется высокая активность учащихся класса, требующая волевого напряжения; в нем вслед за восприятием сейчас же всплывают представления, вызывающие соответствующие ассоциации, а в дальнейшей обработке представлений последует обобщение, абстрагирование, понятие, математическое предложение, часто при этом играет роль воображение.

Эта психологическая многогранность наглядного обучения позволяет утверждать, что оно имеет разностороннюю педагогическую и методическую ценность, которую вдумчивый советский учитель использует в интересах коммунистического воспитания молодого поколения.

Обратимся теперь к методической и учебной литературе по математике. В ней можно проследить три точки зрения на использование наглядности в обучении математике.

Первая точка зрения сводится к отрицанию наглядности или такому ее истолкованию, что значение ее сводится к нулю. Наиболее видным представителем этой точки зрения является профессор Симон*. При первоначальном ознакомлении с высказываниями проф. Симона о наглядности можно прийти к мысли, что он является горячим сторонником наглядности. Например, один из абзацев своей книги он называет: «Важное значение наглядного представления» (речь идет о преподавании арифметики)**. Однако он понимает наглядность совершенно не так, как определено в начале этой главы. Он пишет: «Я имею здесь в виду преимущественно внутреннее наглядное представление (интуицию),— я назвал бы его логическим, которое непосредственно дается сознанием...»***. В нашем понимании наглядность характеризуется непосредственным восприятием вещей, а представление — воспроизведенный образ вещи. Симон же говорит о «внутреннем наглядном представлении», которое «непосредственно дается сознанием». Здесь явно выступает антинаучное идеалистическое учение об априорности математических идей, и оно накладывает свою губительную печать на решение методических проблем. Итак, наглядность в понимании проф. Симона совершенно не то, что под наглядностью разумеет основоположник принципа наглядного обучения Ян-Амос Коменский (1592—1670) и что под наглядностью понимает советская педагогика. Точка зрения Симона равносильна отрицанию наглядного обучения в области математики.

В другом месте своей книги проф. Симон говорит: «Особенно в стереометрии не рекомендуется приучать к моделям, ученики должны в уме представлять себе происходящее в пространстве. Пол, доска, несколько палок — этого должно быть достаточно. Подлинной целью стереометрии является развитие внутренней способности наглядного представления, а модели идут в разрез с этим; затем модели отказываются служить именно тогда, когда ученики в них нуждаются»****.

Цитата показывает, что проф. Симон занимает непоследовательную позицию по вопросу о наглядности: он не возражает против использования пола, доски и палок, но, очевидно, что применение наглядности он резко ограничивает, не понимая или не желая понять ее значение.

Суждения о наглядности, родственные взглядам Симона, иногда встречаются и среди учителей русской средней школы. Очевидно,

* Проф. С. А.Рубинштейн—«Основы психологии», Учпедгиз, 1935 (стр. 311).

* Проф. М. Симон — «Дидактика и методика математики», перевод с немецкого, изд. 3-е Госиздат, 1922.

** Та же книга, стр. 70.

*** Та же книга, стр. 70.

**** Та же книга, стр. 244.

что такая трактовка проблемы о наглядности обучения математике, такое решение этой проблемы является совершенно неприемлемым для советской методики математики: оно покоится на антинаучном понимании предмета и метода математики и полном незнании психологии мышления и обучения.

Вторая точка зрения сводится к стремлению каждое математическое понятие, каждое правило и теорему предварять демонстрацией, проверять наблюдениями, опытами и измерениями. Если в обучении арифметике и алгебре сущность этих математических дисциплин накладывает ограничения на такое использование наглядности, то при обучении геометрии и тригонометрии эта точка зрения получает максимальную возможность применения*.

Если математика в своих основах, в своем первоначальном развитии является наукой опытной, если она отражает пространственные формы и количественные отношения действительного мира, то в современном своем состоянии она выступает как наука сугубо абстрактная, с явным преобладанием дедуктивного метода, стремящаяся свести значение опыта к минимуму. А один из принципов коммунистического воспитания требует, чтобы в основе воспитательнообразовательной системы школы лежали основы наук, и математика как школьный предмет должна являться основой математической науки. Но очевидно, что рассматриваемая вторая точка зрения на наглядность искажает самую сущность математики, уничтожает основной принцип, что школьная математика должна быть основой математической науки. Эти соображения заставляют признать и второй взгляд на использование наглядности при обучении математике неприемлемым для советской школы.

Третья точка зрения в основном развита в начале этой главы и сводится к следующим положениям.

а) Обучение математике непременно следует начинать с живого созерцания, с предметного наблюдения, с непосредственного восприятия вещей, моделей или их изображений. Наблюдение, опыт, непосредственное измерение должны являться исходным этапом обучения.

б) От восприятия, от живого созерцания мышление учащихся направляется путем абстракции к математическому понятию, к аксиоме, к закону или теореме.

в) На первых порах обучения в младших классах школы, наглядность, наблюдение, эксперимент, непосредственное измерение часто являются обоснованием математических предложений; индукция служит ведущим методом обучения. Так, например, изучается наглядная геометрия в I—V классах.

г) Но изучение математических предметов не может удовлетвориться только наглядным обучением: с развитием учащихся, с обогащением их мышления представлениями, понятиями наглядное обучение идет к затуханию, а на смену ему, опираясь на него, выступает мышление в понятиях; на этой стадии обучения с особой силой выступает логическое обоснование, абстрактное мышление.

д) Однако затухание наглядного обучения идет не монотонно. В старших классах изучаются отделы математики, которые сугубо нуждаются в наглядности; к таким отделам относится начало стереометрии, и здесь использование наглядности значительно усиливается.

е) В систематическом курсе математики наглядность может способствовать уяснению сущности вопроса, уяснению доказательства, может помочь создать необходимую конкретную базу для мышления, но она ни в каком случае не должна подменять логическое обоснование: в этом курсе логическое доказательство играет ведущую роль.

ж) По мере перехода учащихся в старшие классы школы логическое обоснование математических предложений занимает все более и более самостоятельное, непосредственно не связанное с наглядной подготовкой положение. Однако от целесообразного использования наглядности нельзя отказаться и в старших классах школы: предметное восприятие нередко и здесь может оказать существенную поддержку абстрактному мышлению.

з) Учитель должен проявлять большую чуткость и значительный такт в использовании наглядности в обучении математике: он должен применять наглядность, пока есть в этом потребность, и исключить ее из педаго-

Рис. 1

Уголок математического кабинета

* Примером воплощения этой точки зрения в русской учебной литературе является книга проф. А. М. Астряб «Курс опытной геометрии. Индуктивно-лабораторный метод изложения», Госиздат, 1926. Каждая теорема в этом курсе излагается по следующему плану: формулировка теоремы, опыт, подтверждающий ее, и затем доказательство.

гического процесса, как только минует надобность в ней. Учитель должен помнить, что ненужное применение наглядности может принести не пользу, а вред: оно будет тормозить развитие абстрактного математического мышления учащихся.

и) До сих пор речь шла о том виде наглядности, которая ведет от предметного наблюдения к абстрактному мышлению, но в обучении будут встречаться и другие этапы, ведущие от абстрактного мышления к практике. На этих этапах наглядность получает новое значение: она направлена на приложение математики, на показ ее практической ценности.

Развитие положения об использовании наглядности в обучении математики является единственно приемлемым, ибо оно является применением марксистско-ленинской теории познания объективной реальности, ибо оно опирается на научную психологию мышления в понятиях, ибо оно гармонируют с научной трактовкой предмета и метода математики.

Чтобы обеспечить наглядность в преподавании матем!тики, каждая школа должна иметь математический кабинет. Математический кабинет — специально отведенная и оборудованная комната, предназначенная прежде всего для хранения инвентаря, обеспечивающего наглядность в обучении математики. Кроме этой основной цели, кабинет может служить школьным математическим музеем, в котором хранятся интересные и полезные ученические работы. В известной мере математический кабинет может выполнять и роль мастерской по изготовлению пособий учителем или под его руководством учащимися.

Основные разделы математического кабинета таковы: 1) счетные приборы и машины; 2) пособия для изучения метрологии; 3) чертежные приборы и инструменты; 4) геодезические инструменты и модели их; 5) некоторые технические приборы; 6) разнообразные модели; 7) таблицы; 8) портреты великих математиков; 9) инструменты и материалы для моделирования; 10) архив ученических работ. Не исключается возможность иметь при кабинете библиотеку, в состав которой полезно включить учебники по математике, литературу по оборудованию кабинета и книжки для внеклассного чтения по математике. Конечно, приведенное подразделение инвентаря не является его строгой классификацией; оно имеет служебное значение, дающее ук!зание на основные направления в оснащении кабинета и позволяющее удобнее обозреть его содержание.

I. СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ И МАШИНЫ

В этом разделе кабинета полезно иметь широко распространенные приборы и машины как для точных, так и для приближенных вычислений. Перечислим основные из них:

1) русские счеты: большие — для демонстраций в классе и малые (20—40 штук) — для самостоятельной работы учащихся;

2) дробные счеты для демонстраций;

3) логарифмические линейки: большие демонстрационные и малые 25 сч (20—40 шт.) для индивидуальной работы учащихся;

4) арифмометры*;

5) модель для быстрого вычисления процентов.

II. ПОСОБИЯ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ МЕТРОЛОГИИ

В этот раздел следует включить все приборы, которые употребляются на производстве и в быту, для измерений в метрической системе мер и весов, а равно и некоторые модели этих мер. Перечислим основное:

1) метры с разнообразными подразделениями (на четвертые доли, дециметры, сантиметры);

2) дециметры с подразделениями на сантиметры и миллиметры;

3) образцы квадратных мер (кв. см, кв. дм, скелет из планок кв. м);

4) образцы кубических мер (куб. см, куб. дм из жести, скелет куб. м из планок, складной);

5) образцы мер для измерения жидкостей (литр с его подразделениями, применяющимися в торговом деле);

6) весы с торговым разновесом;

7) лабораторные весы с малым разновесом;

8) шкала с английскими дюймами**.

III. ЧЕРТЕЖНЫЕ ПРИБОРЫ И ИНСТРУМЕНТЫ

1) Чертежные приборы для работы на классной доске: линейки, треугольники, циркули, транспортиры;

2) чертежные приборы для работы учащихся в тетрадях: линейки в 20— 30 см с миллиметровыми делениями, треугольники, транспортиры, циркули или циркульные ножки, надевающиеся на карандаши;

3) набор чертежных инструментов, применяемых в техническом черчении: готовальни, рейсшины, большой металлический транспортир с поперечным масштабом, лекала для вычерчивания кривых, трафареты цифр и алфавита.

IV. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ИЛИ ЗЕМЛЕМЕРНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ И МОДЕЛИ

В настоящее время геодезия дает простые, важные и интересные применения на прак-

Рис. 2

Большие русские, дробные и малые счеты

* Подробное описание можно найти в книге Ф. Клейна «Элементарная математика с точки зрения высшей», т. 1, Огиз, 1935 (стр. 46—54).

** Английский дюйм до сих пор находит широкое применение в производстве (в частности, в импортном оборудовании).

тике геометрии, тригонометрии и других математических дисциплин. Такую ситуацию целесообразно использовать в процессе обучения, а с этой целью следует приобрести для кабинета основные геодезические инструменты или их модели. Приведем их список:

1) десяти- или двадцатиметровые рулетки;

2) вехи длиною в Р/г—2 м с флажками;

3) мензула — доска квадратной формы на треножном штативе, визирная линейка с диоптрами на концах и миллиметровыми делениями на ребре. Мензула служит для съемки планов и является геодезическим прибором, который можно использовать в школе;

4) палки для глазомерной съемки с трехгранными масштабными линейками и компасами (используются в военном деле для быстрых глазомерных съемок);

5) угломеры для измерения углов на местности в горизонтальной плоскости (технические названия — астролябия, теодолит);

6) эклиметры для измерения углов на местности в вертикальной плоскости;

7) различные виды высотомеров;

8) эккеры различных конструкций*.

V. НЕКОТОРЫЕ ТЕХНИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ

1) Пропорциональный и делительный циркули;

2) поперечные масштабы;

3) пантограф (прибор для увеличения или уменьшения планов и карт);

4) планиметр (прибор для измерения площадей фигур по их планам).

VI. МОДЕЛИ

Уже в предыдущем изложении неоднократно упоминались различные модели приборов и инструментов, которые полезно привлекать в процессе обучения. Они по преимуществу предназначены для демонстрации приложений математики. В этом разделе займемся по преимуществу моделями, предназначенными для выяснения сущности отдельных математических предложений. Естественно, что громадное большинство их будет относиться к геометрии.

Если программы определяют основной стержень системы изложения предмета, то при изложении отдельных глав учитель имеет возможность проявить значительную инициативу и творчество. Система изложения материала учителем определяет и оснащение этого изложения наглядными пособиями. Однако это ни в какой мере не снимает вопроса о моделях, а побуждает рассмотреть его разностороннее, чтобы дать в распоря-

Рис. 3

Группа геодезических приборов школьного типа: угломер, мензула с визирной линейкой и компасом, восьмигранный эккер и вехи,,

Рис. 4

Самодельные высотомеры и эклиметр.

Рис. 5

Самодельные эккеры

Рис. 6

Самодельный пантограф

Рис. 7

Диаметрометры: I) внутренний, II) внешний

* Учебный геодезический инвентарь довольно хорошего качества производится мастерскими учебных пособий г. Кирова.

жение преподавателя все возможности применения наглядности, где это необходимо.

По способу использования на уроке модели можно подразделить на два вида: демонстрационные и лабораторные. Конечно, такое подразделение весьма условно: в конкретных условиях одну и ту же модель можно использовать и для демонстраций, и для лабораторных работ. Однако при оборудовании кабинета такое подразделение необходимо иметь в виду: модели для демонстраций должны быть таких размеров, чтобы было обеспечено удобное наблюдение за ними с любого ученического места в классной комнате, но демонстрационных моделей для кабинета надо иметь небольшое количество (1—3 экземпляра); модели для лабораторных работ должны быть небольших размеров, удобны для работы над ними на парте, но кабинет приобретает их в большом количестве из расчета одна модель на 1—2 учащихся класса (20—40 экз.).

Одни модели обеспечивают демонстрацию небольшого числа предложений и задач, другие позволяют демонстрировать весьма значительное число их. В силу этого модели подразделяются на два вида: 1) модели, предназначенные для обслуживания одной-двух теорем; 2) модели конструктивного типа, которые обслуживают большое количество теорем и задач. Конечно, модели конструктивного типа имеют значительные преимущества: они, как правило, динамичнее, относительно портативнее, удобнее для хранения и дешевле, поэтому эти модели заслуживают предпочтения перед первым видом моделей. Однако и за моделями первого вида сохраняется значительная роль в педагогическом процессе и главным образом там, где модели-конструкции оказываются не в состоянии обслужить процесс обучения. Мало того, модели первого вида благодаря своей простоте часто бывают более удобны для лабораторных работ.

Остановимся прежде всего на моделях конструктивного вида.

а) При изучении стереометрии большую помощь может оказать модель, состоящая из деревянной дощечки, сделанной из мягкого дерева (осина, липа) размером примерно 20 X 15 см (размер толщины роли не играет), набора тонких металлических спиц с заостренными концами длиною примерно в 15, 10, 7^, Ъсм (по пяти спиц), 2—3 картонных плоскостей и нескольких небольших пробковых шариков. Такой прибор позволяет обеспечить демонстрацией очень большое число теорем начала стереометрии, ряда теорем главы о многогранниках и значительное число задач по стереометрии. Если кабинет математики будет располагать 15—20 такими приборами, то их уместно использовать как лабораторные пособия при доказательстве теорем и решении задач. Если такой прибор сделать больших размеров, если доску заменить доской, оклеенной пробкой, а спицы приготовить из различных цветных металлов или окрасить в различные яркие цвета, то прибор может быть полезным демонстрационным пособием.

б) Полезным наглядным демонстрационным пособием может служить «универсальная модель круга»* Берется доска 5 мм фанеры размером примерно 80 X S0 см. Лицевая сторона доски оклеивается миллиметровой бумагой с темной сеткой. На ней тушью вычерчивается окружность, внешний диаметр которой 60 см; «ширина линии» 2 мм. Окружность разделена на градусы; через каждые 10 градусов поставлены числа: 0°, 10°, 20° и т. д., через каждые 5 градусов по окружности набиты гвоздики без шляпок (сапожные шпильки), выдающиеся над доской на 3 мм. К доске прилагаются резиновые шнурки толщиною в 1,5 мм. В крайнем случае можно использовать обыкновенную резину шириной в 4—5 мм, употребляемую в швейном деле. Такую обмотанную резину надо выкрасить красными, фиолетовыми или зелеными чернилами. В центре круга, внутри и вне его вбиваются также гвоздики. Чтобы доска не коробилась, ее можно нашить на деревянную рамку (обвязка сзади). Очевидно, что такая модель легко может быть приготовлена в школе с помощью учащихся или заказана столяру.

Модель с достаточным педагогическим эффектом позволяет демонстрировать предложения об углах, связанных с кругом (вписанные, с вершиной внутри круга и др.), правильные вписанные многогранники, обобщение понятия угла в тригонометрии, тригонометрические линии и их измерение в зависимости от изменений угла. (Начальный и дополнительный диаметры, начальную и дополнительную касательные показывают с помощью натянутых шнурков.)

в) Стереометрический ящик служит для конструирования геометрических фигур при изучении стереометрии. Он используется как демонстрационное наглядное пособие. Прибор состоит из ящика, в нижней половине которого хранятся металлические стержни, которые являются моделями отрезков прямых, пластелиновые шарики, служащие моделями точек, пластинки с буквами латинского алфавита и две деревянные пластины для построения сечений плоскостей. Крышка этой половины ящика покрыта пластелином и служит основанием для втыкания стержней.

Рис. 8

Универсальная модель круга и группа подвижных шарнирных моделей из деревянных планок

* П. А. Карасев — «Учебно-наглядные пособия по математике и методика работы с ними в средней школе», 1933.

Верхняя половина ящика имеет в своих стенках прорезы, по которым перемещаются две металлические сетчатые плоскости. Эти плоскости могут быть закреплены при помощи стопорных винтов на любой высоте параллельно или наклонно к основанию.

Такой прибор может оказать значительную помощь при изучении взаимного положения прямых и плоскостей в пространстве, многогранников, а также при решении задач из этих глав.

г) Универсальный набор для конструирования моделей планиметрии П. Карасева и К. Гамбургер состоит из демонстрационной доски и набора деталей*. Демонстрационная доска делается из листа 5 мм фанеры размером 75 X 70 см с обвязкой сзади. С передней части доски пришивается планка; она служит подставкой для моделей. Доска окрашивается белой эмалевой краской и разлиновывается на квадраты 5X5 см светло-голубой краской. В вершинах квадратов просверлены перпендикулярно к плоскости доски отверстия диаметром в 2 мм. Сверху к обвязке привинчены два ушка для подвешивания доски.

Детали следующие: а) полоски из фанеры или картона, выкрашенные эмалевой краской одного цвета (красного, зеленого); посреди каждой полоски, начиная с 5 мм от конца, параллельно ее краям идет ряд отверстий на расстоянии 5 см между центрами; диаметр отверстия 2 мм; б) штифты (гвоздики) из железной проволоки диаметром 2 мм; в) резиновые шнуры одинарные, с петлями на концах, и связанные концами (кольцами); д) детали площадей, сделанные из картона или фанеры, выкрашенные эмалевой краской в красный, зеленый, синий цвета; число этих деталей: квадратов 10Х10 см — 8 штук; равнобедренных прямоугольных треугольников с катетом в 10 см — 8 шт.; прямоугольников \0У(5 см — 8 шт.; прямоугольных треугольников с основанием 5 см и высотой 10 см — 8 штук; большой квадрат 11,2X11,2 слс—1; малый квадрат 5X5 см — 1; е) модели углов делаются из того же материала, что и детали площадей; каждая поверхность угла выкрашена в свой цвет; длина стороны 10 см; граница внутренней части — неправильная рваная линия; число этих деталей: 3 угла по 30° 2 угла по 45°, 2 — по 60°, 2 — по 90°, 2 — по 120°.

Полоски служат моделями отрезков. На них можно показать образование угла, действия над углами, смежные и вертикальные углы, построение треугольников по основным элементам, параллельные прямые, четырехугольники и др. Модели площадей позволяют продемонстрировать теоремы о площадях фигур, предложить в наглядной форме задачи на площади.

Количество моделей, предназначенных для демонстраций отдельных теорем или задач, очень велико; нет возможности дать хотя бы краткое описание значительной части их, поэтому приходится ограничиться указанием основных типов таких моделей*.

в) В наглядной геометрии, а отчасти и в систематическом курсе могут быть продуктивно использованы многие картонные модели планиметрических фигур. К их числу относятся: набор моделей отдельных фигур; наборы для демонстраций равенства и равновеликости фигур, для экспериментального обоснования правил вычисления площадей треугольника, параллелограма, трапеции, круга; модели демонстрации предложений о сумме углов треугольника, о сумме острых углов прямоугольного треугольника; модели для демонстрации теоремы Пифагора и др. Особенность этих моделей в том, что они легко могут быть изготовлены силами учащихся в школе или дома в значительном количестве, а потому могут использоваться для лабораторных.

б) В мастерских те же модели могут быть изготовлены из 5 мм фанеры или из тонких дощечек. В этой серии особый интерес представляет модель для эмпирического обоснования правила вычисления площади круга. Она состоит из круга, разрезанного на 12—16 секторов; одна половина их прикрепляется по дуге окружности к металлической пла-

Рис. 9

Универсальный набор Карасева я Гамбургер для конструирования моделей планиметрических фигур: демонстрационная доска и виды деталей

Рис. 10

Подвижные модели из отрезков чертежной бумаги: а) смежные углы, 6) проекция отрезка на ось

* П. А. Карасев — «Учебно-наглядные пособия по математике и методике работы с ними в школе».

* Наиболее богатые в СССР коллекции моделей находятся в Ленинградском институте усовершенствования учителей (Фонтанка, 10).

стинке, другая половина — к другой такой же пластинке. Это позволяет легко составить из секторов как круг, так и фигуру, равновеликую кругу и по форме близкую к параллелограму.

в) В продаже имеются модели фигур из деревянных планок на шарнирах с раздвижными сторонами: угол, треугольник, четырехугольник, четырехугольник с диагоналями и др. Достоинством этих моделей является то, что они позволяют демонстрировать изменения фигур. Однако модели из деревянных планок грубоваты; значительно лучше аналогичные модели, сделанные из тонких металлических прутьев.

д) Стекло — замечательный материал для стереометрических моделей. Главное достоинство стеклянных моделей заключается в том, что они позволяют наблюдать линии и плоскости внутри тела, а проникнуть внутрь геометрического тела в процессе обучения бывает во многих случаях очень важно. Эти модели изготовляются в мастерских, но многие из них могут быть сделаны внутри школы силами учащихся. Вот перечень ряда стеклянных моделей: параллелепипеды с диагоналями и диагональными сечениями; призмы с высотами и диагональными сечениями; пирамиды с высотами, апофемами и диагональными сечениями; модель для леммы о равновеликости треугольных пирамид («чертова лестница»); вписанные многогранники — октаэдр в куб, треугольная призма в треугольную пирамиду, тетраедр в шар; усеченные пирамиды с высотами, апофемами, с радиусами вписанных в основания и описанных около оснований окружностей; усеченные конусы с высотами и образующими; шар, вписанный в пирамиду; модели для изучения взаимного положения прямых и плоскостей в пространстве и др.

е) Целлулоид является прекрасным материалом для фабричного производства стереометрических и других моделей. Целлулоид полупрозрачен, а это позволяет наблюдать разнообразные плоскости, построенные внутри тел, что очень ценно. Целлулоид может быть окрашен в различные цвета: это придает моделям многие положительные качества. Он легок, достаточно прочен, что делает модели удобными при использовании. Из целлулоида можно изготовить все те модели, которые выполняются из стекла. С помощью целлулоидных линеек и пластинок можно приготовить самодельные планиметрические модели.

За границей целлулоидные модели начали изготовлять более четверти века назад. К сожалению, в СССР производство их до сих пор не налажено, а бесспорно, что этим моделям принадлежит видное будущее.

ж) В наглядном курсе геометрии правила для вычисления объемов тел устанавливаются экспериментально. С этой целью могут быть успешно использованы тела из жести, которые можно заполнять водой. Например, для выяснения правила вычисления объема пирамиды служат призма и пирамида с одинаковыми основаниями и высотами; троекратное переливание воды из наполненной пирамиды в призму позволяет экспериментально установить, что объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. К этому же виду моделей относятся так называемые тела Архимеда: цилиндр, конус и шар; эти тела изготовляются так, что диаметр шара, диаметры оснований цилиндра и конуса и их высоты равны.

Рис. 11

Модель секущей в круге. Заменив полоску А полоской В, получим модель для изучения свойств пересекающихся внутри круга хорд

Рис. 12

Модель для числового выражения стороны треугольника, лежащей против прямого, острого и тупого угла

Рис. 13

Группа моделей из стекла, изготовленная учащимися

Рис. 14 Группа нитяных моделей

з) Изящны нитяные модели геометрических тел. Картонные пластинки служат их основаниями, а боковые ребра, образующие, высоты и другие линии натягиваются из цветных шелковинок. Призмы, пирамиды, усеченные пирамиды, цилиндры, конусы, усеченные конусы со всеми интересными линиями и плоскостями могут успешно демонстрироваться на таких моделях. Нитяные модели имеются в продаже и могут быть при некоторой настойчивости изготовлены в школе.

и) В наглядном и отчасти в систематическом курсе геометрии могут оказаться полезными модели разверток поверхностей геометрических тел из картона. Такие модели имеются в продаже и могут быть изготовлены в школе из чертежной бумаги или тонкого картона.

к) В наших школах наиболее широко распространены деревянные модели геометрических тел. Эти модели не имеют многих тех преимуществ, какие свойственны стеклянным, целлулоидным и нитяным моделям, однако некоторые из них все же являются незаменимыми. К числу таких моделей относится, например, шар, разрезанный на секторы, сегменты и слои, а также модели пересечения тел.

Достоинством деревянных моделей является их прочность, а это значит, что они удобны для лабораторных работ. Кроме того, они дешевле других таких же моделей, поэтому в кабинете уместно иметь модели геометрических тел малых размеров из дерева для лабораторных занятий.

л) Полезным пособием являются модели стереометрические, тригонометрические и отчасти планиметрические из проволоки, металлических стержней и жести. Достоинство таких стереометрических моделей в том, что они позволяют наблюдать отрезки, углы и другие фигуры внутри тела. Многие модели рассматриваемого вида могут быть изготовлены в школе с помощью учащихся.

м) За последние годы кинофильмы завоевывают себе прочное место в школе как одно из полезных и увлекательных учебных пособий. По некоторым предметам, особенно по естествознанию, имеется большое число учебных кинофильм. Обучение математике в этом деле явно отстает, что, конечно, отчасти объясняется особенностями математики как науки и как учебного предмета. В фонде узкопленочных учебных кинофильм имеются следующие математические или родственные им фильмы. 1) изменение тригонометрических функций, 2) круговые функции, 3) прямая и обратная пропорциональность, 4) план и масштаб, 5) глазомерная съемка. Очевидно, что особое значение математические кинофильмы имеют в тех вопросах, где надо показать изменение величин или форм, изменение величин, находящихся в функциональной зависимости.

VII. СТЕННЫЕ ТАБЛИЦЫ

Цели использования таблицы при обучении математике в основном сводятся к следующим: одни таблицы могут являться справочниками, другие — могут оказать помощь при запоминании правил и формул, третьи — могут быть использованы как наглядные пособия. Конечно, найдутся таблицы, которые будут преследовать не одну из перечисленных целей, а несколько. Тематика стенных таблиц очень разнообразна:

Перечислим основные группы их: 1) таблицы по метрической системе мер; 2) таблицы для устного счета; 3) таблицы правил и формул по всем предметам; 4) графики всех элементарных функций; 5) многокрасочные стереометрические таблицы для иллюстрации предложений, требующих значительного пространственного воображения; 6) таблицы-схемы отдельных приемов доказательств, классификаций, планов решений; 7) таблицы, иллюстрирующие исторические справки о развитии отдельных вопросов математики.

Использовать таблицы в процессе обучения надо с большим тактом. Таблицы справочного характера могут быть вывешены в классе сравнительно на длительное время. Например, таблица значений тригонометрических функций для углов в 30°, 45°, 60° может быть вывешена на стене, когда вычисляются эти значения; она может находиться в классе

Рис. 15

Выкройка правильного восьмигранника

Рис. 16

Выкройка правильного двадцатигранника

Рис. 17

Выкройка правильного двенадцатигранника

Рис. 18

Модели из проволоки и жести, изготовленные силами учащихся

длительное время, пока учащиеся постепенно не запомнят значений этих функций. Таблицы правил и формул появляются в классе на том уроке, когда обосновывается правило или формула. Появление новой хорошо оформленной таблицы вызывает интерес и внимание учащихся и способствует запоминанию. Но формулы и правила надо запомнить в 2— 4 дня, поэтому и таблица находится в классе только такой период времени; дальнейшее ее пребывание в классной комнате может оказаться вредным для процессов обучения. Например, таблица формул зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же угла вывешивается в классной комнате, когда приступлено к обоснованию этих формул; она висит в течение тех уроков, когда дается обоснование им, а затем, когда наступает необходимость предъявить учащимся требование, чтобы они их запомнили, таблица убирается. Наконец, таблицы, иллюстрирующие предложения или задачи, используются только в течение одного-двух уроков. Например, когда изучается график функции y = sinх, преподаватель покажет, как график строится, но вычерченная на доске синусоида будет далеко несовершенной, поэтому уместно показать учащимся таблицу с чертежом синусоиды, исполненную более совершенными чертежными инструментами, дающую фигуру, близкую к идеальной синусоиде. Такая таблица используется на 1—2 уроках, когда речь идет о синусоиде, когда выполняются упражнения, связанные с ее изучением.

При изготовлении таблицы в школе надо добиваться, чтобы они были выполнены четким, легко читаемым, строго выдержанным шрифтом, были хорошо оформлены, привлекали внимание учащихся. Полезно таблицы изготовлять одного и того же формата и размера (например, ~ листа чертежной бумаги): это позволит с большим успехом использовать их при разнообразных отчетных выставках.

VIII. ПОРТРЕТЫ ВЕЛИКИХ МАТЕМАТИКОВ

В кабинете надо иметь портреты основоположников диалектического материализма, которые являются вместе с тем и основоположниками научной методологии математики,— Маркса, Энгельса, Ленина и Сталина.

Далее кабинет должен иметь портреты великих математиков, имена которых встречаются в школьных курсах, а именно: Евклида, Архимеда, Виета, Декарта, Кавальери, Ньютона, Лейбница, Лобачевского, Монжа, Гаусов.

Полезно иметь портреты и других знаменитых математиков, имена которых могут встретиться учащимся во время внеклассных занятий: Лапласа, Ферма, Эйлера, Вейерштрасса, Дедекинда, Г. Кантора, Коши, Чебышева, Пуанкаре, Гильберта и др.

Каждый портрет надо снабдить краткими биографическими справками и указанием основных работ.

IX. ИНСТРУМЕНТЫ И МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Перечень минимально необходимого инструментария, а также и материалов для моделирования определяется теми задачами, которые на данном отрезке времени ставит учитель в деле оборудования кабинета.

X. АРХИВ УЧЕНИЧЕСКИХ РАБОТ

В кабинете уместно хранить модели, таблицы и чертежи, изготовляемые учащимися в порядке домашней или классной работы, лучшие ученические тетради, письменные работы учащихся на испытаниях, материалы, характеризующие внеурочные занятия по математике (стенные газеты и листки, дневники кружковой работы, отчеты кружков) и т. д.

Одни ученические работы могут быть использованы как наглядные пособия, другие — как образцы работ, третьи— как материал для отчетов, выставок.

Каковы же пути приобретения инвентаря для математического кабинета?

В первую очередь необходимо использовать все возможности по закупке инвентаря в магазинах учебно-наглядных пособий. Однако наш рынок не всегда и не во всех случаях может удовлетворить запросы школы, поэтому приходится иметь в виду и другие пути приобретения математического инвентаря.

а) Иногда возможно использовать ученические работы, которые они выполняют на уроке фронтально или индивидуально.

б) Иногда можно в целях оборудования кабинета давать фронтальные домашние поручения учащимся класса. Темы таких поручений учителю следует тщательно и всесторонне продумать; поручения должны быть посильны для учащихся.

в) Среди учащихся всегда найдутся отдельные ученики, которые проявляют особый интерес и склонность к конструкторским занятиям, мастеря дома те или другие предметы. Учителю полезно учесть этих детей и использовать их, давая им индивидуальные домашние поручения по изготовлению приборов, моделей, чертежей.

г) Значительную помощь в оборудовании математического кабинета могут оказать математические кружки. Они организуются под разнообразными названиями — модельно-математический кружок, кружок юных математиков, кружок по оборудованию математического кабинета. Для начала работы кружка учителю не следует увлекаться большим количеством его членов: достаточно привлечь 8— 10 учащихся. В занятия кружка полезно ввести несколько видов работы: по картону, по стеклу, по жести и др.*.

д) Возможно оборудование кабинета пополнять путем заказов выполнения тех или других пособий находящимся в районе школы кустарным мастерским и отдельным кустарям.

е) Для оборудования кабинета возможно использовать различные виды помощи, которые оказывает школе население (субботники, школьные декады). Чтобы рационально использовать родителей в интересах математического кабинета, учителю следует учесть профессии родителей. В оборудование кабинета втягиваются те родители, которые могут принести помощь; при поручении им работы учитываются их профессиональные интересы, умения и навыки.

* Смотрите статью В. Репьева-«Модельно-математический кружок в школе» в журн. «Физика, химия, математика и техника в советской школе» № 2 за 1931 г.

НАГЛЯДНОСТЬ В ПРЕПОДАВАНИИ СТЕРЕОМЕТРИИ

Г. МИХАЙЛОВ (Выкса)

1

Коренной недостаток в школьном обучении —недостаточно сознательное и прочное усвоение основ наук — далеко еще не изжит нашей школой. Это положение особенно относится к области математического образования учащихся и, в частности, к разделу развития пространственных представлений у них, что очень четко показано в статье Т. Пескова «Пространственные представления учащихся в средней школе», помещенной в № 1 журн. «Математика в школе» за 1939 г.

Указанный пробел в математическом образовании воспитанников средней школы всегда объясняемся недостаточным оборудованием школы наглядными пособиями. Но этот недостаток оборудования не может быть ликвидирован в короткий срок, так как выпуск наглядных пособий пока весьма ограничен. Автору не случалось видеть ни в одной из провинциальных школ стереометрического ящика, описание которого дано в том же номере журн. «Математика в школе». Изданные в 1938 г. Учпедгизом альбомы стереоскопических чертежей Г. А. Владимирского выпущены столь ограниченным тиражом, что количества поступивших в провинциальные районы экземпляров нехватило даже для учителей старших классов школ города, к тому же стоимость этих альбомов (16 руб. комплект), рассчитанных на индивидуальное пользование, слишком высока, чтобы рядовая школа могла обеспечить ими всех учащихся старших классов.

Все эти обстоятельства заставляют школу искать другие пути ликвидации отмеченного недостатка. Единственным путем пока является максимальное использование творческой инициативы преподавателей школы.

После поисков в этой области в течение ряда лет мне удалось в истекшем учебном году осуществить поставленную задачу: не проводить ни одного урока по стереометрии в IX классе без наглядных пособий и обеспечить ими наиболее трудные места в курсе стереометрии X класса.

2

Начало изучения курса стереометрии особенно требует конкретизации преподносимых учащимся геометрических образов ввиду новизны их и опасности чрезвычайной сухости и догматичности преподавания, какие неизбежны при наличии только куска мела в руках преподавателя.

Разрешение этой задачи мною проведено путем:

1) применения весьма простой модели, позволяющей иллюстрирован почти все теоремы и задачи, относящиеся к вопросам положения прямых и плоскости в пространстве и

2) построения стенных стереоскопических таблиц (анаглифов) для иллюстрации теорем и задач, касающихся более сложных вопросов.

Для пользования таблицами я выписал для каждого ученика стереоочки, состоящие из красного и синего светофильтров, каковые мне выслала Стереофабрика Учпедгиза по очень недорогой цене (около 30 коп. за штуку с пересылкой).

На первых шагах изучения стереометрии я считаю необходимым применение модели и только позже перехожу к пользованию стереометрическими таблицами, так как рассматривание их облегчается наличием элементарного развития пространственных представлений. Пользование таблицами без предварительной подготовки не дает должного эффекта у слаборазвитых учеников.

Построенная мною стереометрическая модель (рис. 1) состоит из основной доски с размерами: 40x50X2 с ч, набора из 10 проволочных стоек при ней длиной от 10 см до 50 см, толщиной 5 мм, 4 деревянных колышков, набора резиновых нитей различной толщины и окраски и набора проволочных колец, надевающихся на стойки и колышки.

По всей основной доске проделаны отверстия на расстоянии около 8 см одно от другого. Для облегчения веса доска изготовлена из двух листов фанеры с проложенными между ними деревянными планками в тех местах, где просверлены отверстия.

Проволочные стойки различной длины изображают на модели перпендикуляры к плоскости. Эти стойки вставляются с трением в отверстия основной доски. На каждой стойке на расстоянии 2 см от нижнего конца и на 0,5 см от верхнего конца напаяны колечки а (черт. 2). Деревянные колышки, с круглыми головками, вставляемые так же

Черт. 1

Черт. 2

с трением в отверстия доски (черт. 2Ь) изображают точки на плоскости.

На верхние и нижние концы проволочных стоек надеваются колечки с, снабженные еще тремя колечками d. Для удержания колечек с на концах стоек и служат напаянные на стойки колечки а.

Все прямые, кроме перпендикуляров к плоскости, изображаются резиновыми нитями различной толщины и цвета. Нити снабжены по концам проволочными крючками (черт. 2е\ которыми они и зацепляются за колечки d на стойках или колышках.

Описанная модель позволяет иллюстрировать все вопросы, касающиеся взаимного расположения плоскости и прямых по одну сторону от нее. Сборка и разборка модели чрезвычайно проста, отнимает мало времени и посильна каждому ученику.

Применение в модели резиновых нитей значительно удобнее, чем применение проволок, так как резина позволяет в широких границах менять ее длину и концы нитей легко прикрепляются крючками к любой точке. При изучении призм и пирамид мною применяются проволочные каркасы этих тел, содержащие только ребра их. В каждой вершине помещаются колечки, между которыми могут быть натянуты резиновые нити для показа диагоналей, сечений и т. п. Выпускаемые мастерскими наглядных пособий проволочные каркасы геометрических тел обычно стараются снабдить их всевозможными добавочными линиями, которые, будучи ненужными в данный момент, только загромождают модель и рассеивают внимание учащихся.

3

Для иллюстрации более сложных задач стереометрии, где описанная модель и каркасы тел являются недостаточными, и при изучении систем сферических координат в астрономии мною применяются стенные стереометрические таблицы размером около 70 X 80 см. Построение таблиц основано на принципе бинокулярности зрения. Изображение модели дается двойным чертежом: синими линиями — вид ее для левого глаза и красными линиями— вид ее для правого глаза. Таблица рассматривается учениками через двухцветные стереоочки, имеющие для левого глаза красный светофильтр, для правого глаза — синий светофильтр, чем и достигается иллюзия рельефа изображенной на чертеже модели.

Техника расчета и построения таблиц несложна и вполне доступна для каждого преподавателя математики, владеющего элементарными навыками в черчении.

Расчет для построения таблиц основан на следующем: необходимо предварительно дать размеры и наиболее выгодное положение изображаемого объекта, определить пространственные координаты его главнейших точек и координаты обоих глаз относительно произвольно выбранных координатных плоскостей. При рассматривании обоими глазами / и г какой-либо точки в пространстве Л, она проектируется на плоскость XOZ для правого глаза в точку аи для левого глаза — в точку а* (черт. 3). Для нанесения точек я, и а2 на чертеж, представляющий собой плоскость XOZ, необходимо определить их координаты X и Z.

Координаты точки а, определяем как координаты точки пересечения луча, проходящего через точки г (xuyuzt) и А(д:0, у0,z0), с плоскостью XOZ и координаты точки а2, как точки пересечения луча, проходящего через точки I (х2, у2, z2) и А (х0, y0t zc) с той же плоскостью XOZ. Уравнение луча зрения для правого глаза г будет:

или:

(1)

где

(2)

Черт. 3

Уравнение плоскости XOZ

By = 0. (3)

Для определения координат точки а, (XXZX) решаем совместно уравнения (1) и (3). Положив:

находим:

или:

(4)

(В дальнейшем величины mt и pt называю «смещениями» точек.)

Из уравнений: у = у0 + nt и By = 0 находим:

у = 0 и y0 + nt = 0f

откуда:

или:

(5)

Подставив найденную величину t (5) в равенство (4), получаем координаты точки ах (Л„ Z,).

Практически расчет и построение проводятся следующим образом: задав размеры изображаемого тела и выбрав наивыгоднейшее его положение, вычерчиваем его проек-

ции в уменьшенном масштабе на миллиметровой бумаге. Наметив главные точки тела, определяющие его форму, находим их координаты. Для тел простой формы координаты его точек могут быть с достаточной точностью определены путем непосредственного измерения положения их на эпюре, или, при желании получить более точное построение, координаты этих точек могут быть вычислены методами аналитической геометрии.

Положение глаз наблюдателя выбираем против центра изображаемого тела на расстоянии от плоскости XOZ, равном расстоянию середины класса от стены, на которой помещаются таблицы. Расстояние между центрами глаз принимаем равным 60 мм.

Путем ряда опытов мною установлено, что наиболее выгодно помещать изображаемый предмет так, чтобы ближайшая к наблюдателю точка его была удалена от плоскости XOZ не более чем на принятого в расчете расстояния от этой плоскости до глаз наблюдателя.

Производство расчета удобнее вести расположив весь ход его в виде приведенной здесь таблицы.

РАСЧЕТ ЧЕРТЕЖА ОКТАЭДРА

В этой таблице приведен пример расчета для построения октаэдра (черт. 4). Координаты глаз в этом примере взяты: г (310,5000, 300) и I (250, 5000, 300) (координаты измерены в миллиметрах).

В графе 1 таблицы помечаются обозначения точек тела; в графах 2—4 — координаты этих точек; в графе 5—разность абсцисс правого глаза дг, и данной точки х0: т= х1 — хь; в графе 6 то же для аппликат:

в графе 7

величину / беру с отрицательным знаком, чтобы не повторять его в каждой строке таблицы; в графах 8 и 9 — величины «смещений» mt и pt (см. выше — равенство 4) с их знаками: в графах 10 и 11 — абсциссы Хг и аппликаты Zx искомых проекций точек для правого глаза на плоскости чертежа. Расчет для левого глаза (синие линии) сводится только к отысканию «смещений» в абсциссах х, так как «смещения» для аппликат z будут одинаковы для обоих глаз, ибо оба глаза находятся на одинаковой высоте; поэтому величины Z2 в графе 15 имеют те же значения, что и“ Z, в графе 11.

Техника расчета весьма несложна при пользовании логарифмической линейкой, точность расчета «смещений» mt и pt достаточна до 1 мм.

Для нанесения на чертеж координат X и Z вдоль вертикального края листа прикрепляется полоска миллиметровой бумаги, по которой отсчитываются аппликаты Z\ абсциссы X отсчитываются по рейсшине, перемещаемой параллельно горизонтальному краю листа.

Линии чертежа должны быть достаточной ширины (около 5 мм), чтобы они были отчетливо видны из любой точки класса. Для проведения их мною применяются цветные

Черт. 41

1 Сплошными линиями показаны красные линии чертежа, пунктирными линиями показаны синие линии.

карандаши, красный и синий, причем цвета карандашей необходимо подобрать к имеющимся стереоочкам, так, чтобы получалось наиболее полное исчезание проведенной карандашом линии при рассматривании ее через очковый фильтр соответствующей окраски.

Видные линии изображаемой модели прочерчиваются более густой краской, невидные линии окрашиваются слабее, что дает иллюзию просвечивания невидных линий сквозь рассматриваемое тело.

При обозначении точек чертежа буквами необходимо последние также показывать двумя цветами со смещениями их, равными смещениям соответствующих точек. Чтобы буквы получались при этом строго одинаковой формы и размера, для написания их удобно применять готовые трафареты. «Нормографы», применяемые чертежниками для надписей чертежей, или же подобные трафареты легко изготовить самому, вырезывая их из фотографической негативной пленки.

Значительно большие трудности встречаются при вычерчивании круглых тел, контуры которых на проекциях содержат эллипсы. Для вычерчивания последних необходимо определить положение и размеры осей и вычислить координаты центра и вершин эллипса. Для точного вычерчивания эллипсов необходимо применять эллипсограф. Простейший вид эллипсографа, доступный изготовлению своими средствами, показан на рисунке 5. Он состоит: 1) из деревянного угольника, длина сторон которого должна быть не меньше суммы полуосей эллипсов наибольшего размера, какие могут встретиться на чертежах выбранного формата; 2) чертежной линейки с масштабом, длина которой равна длине стороны угольника. На одном конце линейки, против нулевого деления ее, закреплен неподвижный штифт я. Вдоль линейки сделан прорез, по которому перемещаются штифт b и карандаш с. Последние могут быть закреплены винтом с гайкой в любом месте на прорезе линейки. Чтобы карандаш давал равномерный нажим на бумагу и не рвал ее, он соединен со своим винтом при помощи пружинки d.

Описанный эллипсограф позволяет вычерчивать четверть эллипса. Наметив на чертеже центр эллипса и его вершины, укрепляем угольник на чертеже так, чтобы вершина прямого угла лежала в центре эллипса, а стороны угла проходили через вершины эллипса. Устанавливаем на линейке карандаш с и штифт b так, чтобы расстояния ас и be были соответственно равны малой и большой полуосям эллипса, и перемещаем линейку так, чтобы штифты а и b скользили по сторонам неподвижного угольника, при этом карандаш с опишет четверть эллипса.

Если школа располагает средствами, то при небольшой затрате можно изготовить несколько более сложный эллипсограф, дающий возможность вычерчивать в один прием полный эллипс. Описание устройства такого эллипсографа можно найти, например, в курсе «Математики для инженеров» проф. Г. М. Фихтенгольца, ч. 1.

С помощью эллипсографа возможно изобразить шар, показав его 12 меридианами. Выработав один раз способ изображения шара, в дальнейшем не трудно копировать его для чертежей, показывающих тела, вписанные в шар и описанные около него.

Применение мною описанных пособий в истекшем учебном году показало ценность их для развития пространственного мышления учащихся и эффективность затраты сил и времени на изготовление этих пособий.

Черт. 5

КОНСТРУКТОР ПО ПЛАНИМЕТРИИ

В. КРОТОВ (Петушки, Московской области)

Значение наглядности в преподавании каждого предмета и, в частности, преподавании математики общеизвестно, и по этому вопросу можно, не повторяться. Приходится лишь сказать, что наглядные пособия по планиметрии в продаже встречаются, к сожалению, очень редко (особенно это следует сказать о нашей глубокой провинции). Кроме того, выпущенные пособия чаще всего применимы для иллюстрации одного или небольшой группы вопросов или теорем, если не считать непрочного картонного набора по планиметрии. Естественно, что при таком неудовлетворительном положении с наглядными пособиями по геометрии учителям самим приходится изворачиваться и изготовлять самодельные приборы в качестве наглядных пособий. С одной стороны, нужно

оградить учителей от излишней траты времени, разрядив существующий «голод» на наглядные пособия и по планиметрии и по стереометрии, с другой — всячески поощрять инициативу учителей по созданию наглядных пособий, причем Наркомпросу нужно было бы тщательнее разобраться в созданных приборах—«самоделках», отобрав и доработав ценные из этих самоделок для массового производства и продажи. Это было бы одним из нужных мероприятий, так как пора бы уже круто повернуть дело с наглядностью по математике, насытив рынок наглядными пособиями должным образом.

Одной из попыток создать прибор, который я стал применять на своих уроках по геометрии в VI—VII классах и рекомендую-

применять и другим преподавателям, является конструктор по планиметрии.

Задачи, которые были поставлены перед созданием этого конструктора, таковы:

1) применение его должно быть настолько просто, чтобы можно было быстро составлять в классе на виду у учащихся нужные фигуры лишь с незначительным расходом времени, который с лихвой перекрывался бы выразительностью освещения вопроса, ясным и четким усвоением его;

2) изготовление прибора должно быть настолько легко, дешево и почти без применения дефицитных материалов (в том числе винтиков и гаек), чтобы он был доступен любой школе, работающей в любой местности СССР и в любых условиях;

3) прибор должен быть настолько универсален, чтобы мог быть использован для иллюстрации доказательства любой теоремы курса планиметрии;

4) прибор должен быть негромоздок и портативен.

Перейдем к описанию самого конструктора и его применения.

Конструктор по планиметрии состоит из деревянных планок с закругленными концами шириною в 2—3 см, длиною в 50, 45, 40, 35, 30, 25 см — по 6 планок каждого из указанных размеров, в 20, 15, 10 см — по 4 планки и в 26 и 435 см — по три планки, всего 54 планки. Количество их можно уменьшить и до 30 за счет средних и мелких размеров. Каждая планка имеет на концах и в середине по одному просверленному отверстию диаметром 2 мм. Кроме того, половина количества всех планок имеет просверленные отверстия через каждый сантиметр, причем длина планок считается между двумя крайними отверстиями. Все планки окрашены с одной стороны в белый цвет или просто отполированы лаком, а с другой — каждая из планок каждого размера окрашена в какой-либо один цвет (из трех или четырех красок), чтобы достигнуть при иллюстрации большей наглядности, когда, например, в двух фигурах одному и тому же размеру планок будет соответствовать свой цвет.

Из этих планок можно составлять прямолинейные, плоские фигуры разных размеров (иногда надставляя планки), скрепляя планки шпильками из проволоки (лучше из монтажной или простой мягкой проволоки, в крайнем случае из канцелярских скрепок) и вставляя шпильки в отверстия планок. Для образования углов и отметок равных углов накладываются небольшие дуги (разных цветов), вырезанные из фанеры (см. вставку 1).

Применение этого конструктора можно проиллюстрировать на конкретных примерах нескольких уроков, проведенных в VI и VII классах.

I. ИЗ ЛЮБЫХ ЛИ ОТРЕЗКОВ ПРЯМОЙ МОЖНО СОСТАВИТЬ ТРЕУГОЛЬНИК?

1) На этот вопрос обычно получаем от учеников утвердительный ответ или же правильный, но неуверенный.

2) После получения ответов от учеников (вернее предположении) вызвать трех учеников и, раздав каждому по три разноцветных планки (различие цветов соответствует различию длин отрезков), поручаем им попробовать составить треугольники на виду у всего класса. Планки надо подобрать заранее так, чтобы треугольник составился только у одного.

3) Тогда приступить к разбору причин — соотношению длин планок у каждого, после чего окажется, что у первого, у которого не получилось треугольника, самая длинная планка (сторона) длиннее суммы двух других, а у второго самая длинная равна сумме двух других, у третьего, которому удалось составить треугольник, самая длинная планка (сторона) оказалась короче суммы двух других.

4) Огласив и записав эти результаты на доске, добытые из нашего опыта, постараемся обобщить их в виде правила, когда можно, а когда нельзя составить треугольник: «Треугольник составить можно, если самая длинная сторона короче суммы двух других сторон (планок), а если эта сумма меньше или равна самой длинной стороне, то треугольник составить нельзя».

5) Тут же нужно сделать оговорку, что это правило, добытое нами из практики (примеры с планками), возможно, верно не всегда, что у нас этот вывод получился от случайно так подобранных планок, что сама планка все же не настоящая геометрическая линия и что поэтому нашу практику, опыт надо проверить и теоретически, и сейчас же приступить к доказательству теоремы.

Само доказательство можно провести так:

1) подвесив на доску составленный треугольник, ставим против каждой его вершины буквы на доске мелом А,В,С и записываем: дано: Л ЛВС; тр. док. АС>АВ + ВС.

2) Берем планку, равную ВС и окрашенную в тот же цвет, и надеваем концом на шпильку В, придав положение, чтобы она была продолжением AB. Второй конец планки обозначим через D.

3) Между В и D надеваем планку.

4) В доказательстве на доске записываем Д CBD — равнобедренный (почему?), так как ВС = BD.

5) (Что отсюда следует? Пишем BCD = ^BDC.

6) Пишем l_BCD< ACD (почему?).

7) Следовательно, и / ACD.

8) Отогнув шпильку С, накидываем освобожденный конец планки на шпильку D, получим из планок Д ACD.

9) Пишем: так как ^ D < £ ЛСД то AC<AD (почему?).

10) Заменим AD суммой планок AD и BD и запишем:

AD = AB + BD.

11) Откинутую временно планку снова надеваем на шпильку С и пишем:

AD = AB + BC(почему?), так как BD = ВС.

Теорема доказана, правило, полученное нами из опыта, проверено теоретически и оказалось верным.

12) Снимаем с доски модель и заставляем повторить доказательство уже по чертежу без модели.

II. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ПЕРВОМУ ПРИЗНАКУ

1) Составляем разносторонний треугольник из трех разноцветных планок и, подвесив

его на доску, ставим на ней против каждой из вершин буквы А, В; С и пишем: Дано:

Д ABC.

2) Затем, взяв планку такой же длины и цвета, как и ЛС, и другую, как AB— для наглядности, приложив их поочередно к соответствующим планкам треугольника ABC, говорим: «Составим другой ДЛ^С, такой, чтобы у него было две таких же стороны, как АС и AB», и скрепляем два конца их шпилькой, а на доске пишем под заголовком: дано: А АгВхСх; АС = Л,С,; AB = AtBx.

3) Теперь, по условию теоремы, между планками АХС\ и АХВХ мы обязаны взять угол, равный углу Л; для этого совмещаем планку АхСг с планкою ЛС, а планку АХВХ вращаем вокруг шпильки Л до совпадения АХВХ с AB, чем достигаем равенства углов Ах и Л.

На доске пишем: £ Л = Л,.

4) Так как о третьей стороне треугольника А^ВХСХ из условия теоремы нам ничего неизвестно, то пока зацепляем за шпильки В\ и Ci резинку, ничего не говоря о ее длине.

5) Затем второй треугольник АХВХСХ из двух планок и резинки подвешиваем на доску, проставляя на ней против вершин буквы: Аи Ви Сх и приписывая в строке «дано» и Д АХВХСХ, затем: «тр. док. Д ABC = АХВХС^

6) После этого приступаем к доказательству путем наложения второго треугольника на первый, совместив шпильку Л, с Л.

7) Направляем планку Л,С, по ЛС, предварительно спросив, совпадает ли шпилька (точка) Ci с С и почему.

8) Поворачивая планку АХВХ вокруг шпильки Ai и растягивая эту резинку BtCu задаем вопросы:

а) должна ли планка АХВХ пойти по планке (стороне) AB и почему?

б) совпадает ли шпилька (точка) Вх с В н почему?

9) По мере приближения к совмещению углов Л, и Л — полезно обратить внимание на то обстоятельство, что и планка АХВХ и резинка ВХСХ стремятся одновременно совместиться соответственно с планками AB и ВС.

10) Получив совмещение трех вершин треугольников и, в частности, точек Вх и Сх и В и С, оттянув резинку, а потом отпустив, показываем, что между двумя точками можно провести только одну прямую, следовательно, третьи стороны обоих треугольников как бы сливаются в одну. (Заменяем теперь резинку третьей планкой такой же, как и в Д ABC.)

11) Снимаем треугольники с доски и заменяем чертежами, вызвав одного из учащихся для повторения доказательства по чертежу.

III. МОЖНО ЛИ ОПИСАТЬ ОКРУЖНОСТЬ ВОКРУГ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА?

1) Этот вопрос целесообразно ставить после предварительного получения четкого ответа на вопрос, что окружность, и притом, единственную, можно описать вокруг любого треугольника.

2) Затем можно поставить новый для учащихся вопрос, выявив предварительно их мнение или, вернее, предположение по поводу возможности описать окружность вокруг четырехугольника. Обычно этот вопрос вы зывает разноречивые мнения и заинтересовывает учащихся, чем следует сейчас же воспользоваться, прибегнув до доказательства к опыту с моделью четырехугольника.

3) Взяв 4 планки (2 из них подлиннее), составляем из них ломаную, скрепив пока тремя шпильками.

4) За среднюю шпильку подвешиваем планки к доске, на которой предварительно начерчена окружность.

5) Затем в порядке последовательно задаваемых вопросов и получения на них ответов уясняется, что через три вершины четырехугольника (например скрепленные шпильками) нам удается провести окружность, но только лишь одну.

6) Сейчас же приступаем к реализации этого положения (пункта 5-го), опуская на заготовленную на доске окружность точки Л, В и С — вершины нашей модели четырехугольника и проставляя на доске буквы л, в, с.

7) Шпилькой скрепляем свободные концы двух планок, образуя тем самым четырехугольник.

8) 4-я вершина (D) оказывается у нас на доске не на окружности, а других окружностей мы подобрать не можем, чтобы постараться включить и 4-ю вершину на линию окружности (через первые три вершины Л, В и С можно провести лишь одну окружность). Получаем вывод, что вокруг такого четырехугольника, который у нас подвешен на доске, нельзя описать окружность.

9) Тогда, вынув шпильку D, попытаемся подобрать такой четырехугольник (не сбивая Л, В, С), чтобы четвертая вершина (D) оказалась на нашей окружности, для чего (пальцем) доводим вершину D до окружности и говорим, что вокруг такого четырехугольника можно описать окружность.

10) Ставится вопрос, не найдется ли еще других четырехугольников, кроме полученного, которые были бы тоже вписанными; в это время пальцем перемещать точку D по окружности, показывая все новые и новые вписанные четырехугольники, попутно обратив внимание на полученные частные случаи: равнобедренную трапецию, прямоугольник. Вывод: описать окружность можно вокруг четырехугольника, но, как оказалось, не всякого. Тут же следует обратить внимание и на то, что, несмотря на перемещение вершины D, угол остается постоянным по величине (почему?), остается постоянным и угол В.

11) Нельзя ли из нашего опыта уловить правило, которое давало бы возможность заранее сказать, можно или нельзя описать окружность вокруг данного четырехугольника; вокруг каких четырехугольников можно описать окружность, а вокруг каких нельзя?

12) После поставленного так вопроса повторяем еще раз перемещение точки D по окружности, опять обратив внимание, что, несмотря на изменение вида вписанных четырехугольников, углы В и D в нашей окружности остаются по величине теми же. Интересно выяснить, нет ли между ними какой-либо связи, например, какова их сумма.

13) Тут нужен дополнительный прибор, представляющий смежные углы с вращающейся вокруг шпильки общей стороной. Составить его можно из длинной планки

в середину которой помещаем 3-ю планку, вращающуюся на шпильке Л.

14) Этим измерителем поочередно измеряем противоположные углы D и В, убеждаясь, что в сумме они составляют 2d. Так же измеряем сумму двух других противоположных углов, получив тоже 2d. Это измерение можно повторить и на другом вписанном четырехугольнике, а также на четырехугольнике, у которого вершина D не на окружности, где сумма противоположных углов уже не = 2d.

15) Отсюда мы делаем обобщение наших опытов в виде правила, по которому описать окружность можно только вокруг таких четырехугольников, у которых сумма противоположных углов = 2d.

16) Рассуждаем далее: возможно, что мы случайно натолкнулись на такие четырехугольники, к которым применимо это правило, что мы не проверили углы у других четырехугольников, а их бесчисленное множество, что среди них, возможно, нашлись бы и такие, к которым наше правило и не применимо; наконец, может быть нас просто подводит наше зрение: на модели мы не улавливаем, может быть, небольших отклонений от нашего правила, поэтому наш опыт должен быть проверен не только практически, но и теоретически.

17) Снимаем четырехугольник с доски и, заменив чертежом, приступаем к доказательству теоремы о сумме противоположных углов вписанного четырехугольника.

Можно было бы привести еще ряд ярких примеров применения конструктора (признаки параллельности прямых, теорема о трех высотах треугольника и т. п.), но, полагаем, и приведенных достаточно, чтобы видеть, можно сказать, универсальную применимость его на всем протяжении изучения курса планиметрии.

Нет надобности особенно писать о целесообразности применения его в III и IV классах, ибо это вполне очевидно.

О самой технике применения конструктора по планиметрии следует сказать, что такое техническое неудобство, портящее до некоторой степени впечатление, как подвешивание модели на доску на шнурках, можно было бы устранить небольшой доской из фанеры и покрытой черным лаком с заранее помещенными крючками или просверленными отверстиями.

Скрепление планок шпильками из проволоки, вместо дефицитных винтиков и гаек (которые все же требуют больше времени на свинчивание, чем загибание мягких шпилек), все же требует предварительного тренирования.

Преподаватель должен перед уроком обязательно все заранее продумать и подготовить, чтобы на уроке не получилось никакого затора.

Из рассмотрения приведенных примеров становится ясным, что сам преподаватель должен обдумать, в порядке подготовки к уроку, как нагляднее и, если можно так выразиться, убедительнее применить конструктор, а в этом — успех дела. Например, доказательство равенства треугольников по любому из трех признаков можно было бы проиллюстрировать путем составления двух равных треугольников, а потом сразу, наложив один на другой, заявить: видите, треугольники совпали, значит, они равны. Но такой подход был бы неудачен, ибо он не расчленял бы, не анализировал всего процесса совмещения треугольников, и теорема останется неразъясненной во всех ее деталях.

Следующий, весьма существенный вопрос: как не допустить подмены доказательства иллюстрацией модели, избежать вреднейшего упрощенчества? Для этого надо обязательно сочетать показ, опыт на модели с самим доказательством примерно в той форме, как описано выше.

В приведенных примерах идем от опыта, практики к доказательству, от частного к общему, от конкретного к абстрактному. Можно ли делать и наоборот? Можно, но учитывая возрастные особенности учащихся, их общий уровень. Вполне допустимо при наличии соответствующих условий дать сначала теоретическое доказательство теоремы и затем проиллюстрировать ее на приборе.

О ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ПЕРВЫХ ТЕОРЕМ ГЕОМЕТРИИ

Э. КОЛАКОВСКАЯ (Павлово-Посад)

реподавание систематического курса геометрии для учащихся вначале представляет определенную трудность.

Прежде всего мне кажется, что

наложение надо начать не с равных фигур, а, наоборот, неравных, и практикуемые преподавателями вырезывание и наклеивание фигур не должно быть основным. Ученик обязательно должен суметь отвлечь этот треугольник от тетради, доски и т. п., мысленно его переносить и ясно представлять, какое положение займет накладываемый треугольник.

Почему не следует исходить из равных фигур?

Пусть хотя бы ведется доказательство равенства треугольников, имеющих по 2 соответственно равных стороны и по соответственно равному углу, заключенному между этими сторонами. Когда равные основания этих треугольников мысленно или на самом деле будут совмещены, то 2 треугольника совпадут, и ученику расчленить, почему произошло это совпадение, очень трудно, особенно если наложение проводится наглядно. Треугольники совпали, — значит, равны. Конечно, более сильные ученики дают себе отчет, что равная боковая сторона не может не пойти по соответственно равной ей боковой стороне другого треугольника, так как направление ее связано углом и т. д., но более слабые ученики или стараются угадать («стороны равные», «углы равные») или механически запомнить ход рассуждений; в последнем случае получается внешнее благополучие, а настоящего понимания часто нет, и преподавателю очень трудно разобраться, понимают ли ход рассуждения ученики; настоящую проверку можно провести на неравных фигурах.

Подходя к доказательству этих теорем, я провожу подготовительную работу. Чтобы не затрачивать много времени в классе, которое приходится крайне экономить, я даю в качестве домашней работы построить ряд треугольников (черт. 1):

1) треугольник с основанием в 4 см, боковой стороной в 3 см и углом между ними 60°,

2) треугольник; основание 4 см, боковая сторона 3 см и угол между ними 33°,

3) треугольник; основание 4 см, боковая сторона 2 см и угол между ними 60°,

4) треугольник; основание 4 см, боковая сторона 3 см и угол между ними 60°.

Треугольники нумеруются I, II, III, IV.

На следующем уроке я предлагаю открыть всем учащимся тетради с построенными треугольниками, обхожу класс, чтобы проверить, выполнена ли домашняя работа и как она выполнена. Фиксирую их внимание на треугольниках I и II. «Мы пока будем говорить только о них. Представьте, что мы вырезали треугольник II, и накладываем его на треугольник I так, чтобы основания совпали*. Можно ли этого достигнуть?» «Можно, так как основания равны». «Так вот хорошенько подумайте, постарайтесь ясно представить, что наш треугольник наложен уже на первый и основания их совпали. Не будем сдвигать треугольник II, и вот, как вы себе представляете, боковые стороны, имеющие по 3 см, совпали?» Я этот вопрос задаю многим учащимся, и все заявляли, что эти стороны не совпадут, ответы были уверенные. «А не кажется ли это странным, ведь боковые стороны одинаковые, содержат обе по 3 см, а они не совпали?—Ну, так что же, а углы-то ведь неравные, потому они не только не совпадут, но не пойдут одна по другой. Сторона треугольника II пойдет внутри треугольника I».

Некоторые учащиеся по собственной инициативе вырезают из бумаги треугольник равный второму и торжествующе показывают, что это так, как они и представляли. Предлагаю желающим дома вырезать и принести в класс, но некоторые уже не находят это нужным: они и так достаточно ясно представляют процесс наложения.

Задаю вопрос. «Если основания двух треугольников при наложении совпали, от чего» зависит, как пойдет боковая сторона?» «Направление стороны зависит от величины угла»,— отвечают несколько учащихся.

Сопоставляем треугольники I и II. Опять мысленно накладываем треугольник III на треугольник I, чтобы их основания совпали. Задаю вопрос:

«Как теперь пойдет боковая сторона в 2 см?» Ответ: «Она пойдет по боковой стороне треугольника I, так как углы равны».

Вопрос: «А ведь боковые стороны неравны, как же они могут совпасть?» Ответ: «Они и не совпадают, а только идут одна по другой, а конец стороны треугольника II ближе, чем конец стороны треугольника I».

Еще раз задаю вопрос:

«Если основания двух треугольников при наложении совпали, от чего зависит, как пойдет боковая сторона?» Следующий вопрос: «А когда боковая сторона одного треугольника пошла по боковой стороне другого, от чего зависит, куда упадет конец этой стороны?» Учащиеся дают полный ответ.

Черт. 1

* Вопреки мнению автора, мы полагаем, что очень неплохо, по крайней мере для первого (а лучше и для второго) признака равенства воспользоваться именно вырезанными (в порядке домашнего задания) треугольниками. При этом целесообразно одному из двух рядом сидящих учеников поручите приготовить треугольники I и II, а другому — III и IV. Ред.

Переходим к треугольнику IV и мысленно накладываем его на треугольник I, чтобы основания их совпали.

Ученик четко рассказал, что боковая сторона в 3 см треугольника IV обязательно пойдет по боковой стороне треугольника I, так как углы равны, и конец ее совместится с концом боковой стороны треугольника I, так как эти стороны равны, значит, и третьи стороны совместятся, так как концы их совпали (при объяснении последнего положения он немного задумался).

Дальше я им сказала, что хотя нам и не было известно о равенстве всех элементов треугольников I и IV, но мы сумели доказать, что эти треугольники равны; оказывается, что нет нужды знать обязательно о равенстве всех элементов треугольников, чтобы утверждать равенство самих треугольников; можно по некоторым признакам судить о равенстве треугольников, подобно тому, как, не производя деления, по признакам делимости можно судить, делится ли число на 2, 4, 3, 9, 5 и т. д. Так же как в арифметике мы выводили признаки делимости и дальше пользовались ими, попробуем разобрать признаки равенства треугольников, а это для дальнейшего курса геометрии чрезвычайно важно, так как большинство фигур можно сводить в конце концов к треугольникам. А сведения из геометрии чрезвычайно важны для физики и для всей техники.

«Вот мы с вами убедились, что 2 треугольника с основаниями по 4 см, боковыми сторонами по 3 см и углу между ними в 60° равны. Конечно, это частный случай, попробуем доказать, что вообще 2 треугольника, имеющие по соответственно равному углу между соответственно равными сторонами, равны, причем совершенно неважно, будут ли эти 2 треугольника вырезаны и мы сможем их на самом деле наложить один на другой, или хотя бы один был начерчен у нас в классе на доске, а другой — у ученика в Сибири, или у техника в Кузбассе. Нам нет необходимости каждый раз их накладывать, если мы докажем равенство для всякой пары треугольников с перечисленными данными. «Теперь я уже не указываю, ни чему равна сторона, ни величину угла, а просто беру произвольный треугольник». (Черчу его на доске.) Теперь построим другой треугольник, у которого основание было бы такое, как у первого треугольника. Обозначаем его AxBlt ставим на сторонах AB и АХВХ по одной черточке, как мы с вами условились каждый раз на чертеже отмечать равные величины. Пристраиваем к стороне АХВХ в точке Аи угол равный £А% и на второй стороне этого угла отложим сторону АХСХ, равную стороне АС Точку d соединяем с точкой Вх. Отмечаем на чертеже равные элементы и выписываем данные и что надо доказать (черт. 2).

Доказательство этой теоремы после такого разбора идет гладко, и учащиеся понимают последовательность рассуждений, приводящих к утверждению совпадения треугольников.

Черт. 2.

НАГЛЯДНЫЕ ПОСОБИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

Л. НИКОЛЬСКИЙ (Москва, 63-я школа)

Преподавая в течение двадцати лет, я многократно на собственном опыте убеждался, что в тех случаях, когда преподаватель имел возможность применить хотя какое-нибудь наглядное пособие при проработке темы, то обычно она быстрее, легче и прочнее усваивалась, а сам урок проходил с большим интересом и при полной активности всего класса. Особое значение наглядные пособия приобретают для учащихся того возраста (VI класс), когда детский ум может понять сущность известной геометрической истины, но не в состоянии связать ее строго логическим путем — путем доказательства — с ранее известными истинами. Здесь приходится прибегать к убеждению при помощи наглядности.

Переходя к описанию сконструированного мною набора наглядных пособий пока по разделу геометрии «Параллельные прямые»*, я прежде всего должен отметить, что 1) в основу всех моих конструкций, иллюстрирующих равенство углов, принят метод наложения; 2) для каждой теоремы — отдельная конструкция и 3) в основу каждой конструкции положен принцип простоты. Описание наглядных пособий.

Рис. 1

Конструкция собранном виде

Рис. 2 Составные части конструкции

Конструкция 1-я иллюстрирует свойства углов, получаемых при пересечении двух параллельных прямых третьей.

* В конструктировании описанных ниже пособий мне оказал помощь Центральный научно-исследовательский институт политехнического образования.

Рис. 3 Конструкция в действие

Рис. 4 Конструкция жесткая

Рис. 5

Движок с прорезью

Рис. 6 Конструкция в действии

Рис. 7 Конструкция в действии

Рис. 8

Конструкция острого угла жесткая с шайбой

Рис. 9 Острый угол с прорезью

Рис. 10

Конструкция в действии (исходное положение)

Рис. 11

Конструкция в действии (окончательное положение)

Рис. 12

Конструкция тупого угла жесткая

Рис. 13 Угол с прорезью

Рис. 14

Конструкция в действии (исходное положение)

Рис. 15

Конструкция в действии (окончательное положение)

Рис. 16

Конструкция тупого угла жесткая

Рис. 17

Конструкция острого угла с прорезью

Рис. 18

Конструкция в действии (исходное положение)

Конструкция 2-я иллюстрирует те же свойства углов при двух параллельных и секущей, но отличается от 1-й конструкции тем,что представляет жесткую модель с «движком». Последний дает возможность показать наложением равенство между собой внутренних накрестлежащих углов, а также равенство внешних накрестлежащих углов. Это достигается путем поворота «движка» около оси (рис. 6). Равенство соответственных углов и свойство внутренних односторонних или внешних односторонних доказывается путем перемещения «движка» снизу вверх или обратно (рис. 7).

Конструкция 3-я дает возможность показать равенство острых углов с соответственно параллельными сторонами (рис. 8, 11).

Конструкция 4-я иллюстрирует равенство тупых углов с соответственно параллельными сторонами (рис. 12—15).

Конструкция 5-я иллюстрирует свойства углов с соответственно параллельными сторонами, когда один из углов острый, а другой тупой (рис. 16—19).

Рис. 19

Конструкция в действии (окончательное положение)

Рис. 20

Конструкция острого угла с прорезью на одной стороне

Рис. 21

Конструкция острого угла с прорезями на двух сторонах его

Рис. 22

Конструкция в действии (исходное положение)

Рис. 23

Конструкция в действии (окончательное положение)

Рис. 24

Конструкция тупого угла жесткая

Рис. 25

Конструкция тупого угла с движком на стороне AB и с прорезью на стороне ВС

Рис. 26

Конструкция в действии (исходное положение)

Рис. 27

Конструкция в действии (окончательное положение)

Рис. 28

Конструкция острого угла с прорезью в верхней части одной из сторон

Рис. 29

Конструкция тупого угла жесткая

Рис. 30

Конструкция в действии (Исходное положение)

Рис. 31

Конструкция в действии (окончательное положение)

Конструкция 6-я иллюстрирует равенство острых углов с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 20—23).

Конструкция 7-я иллюстрирует равенство тупых углов с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 24—27).

Конструкция 8-я иллюстрирует свойство углов с соответственно перпендикулярными сторонами, когда один из углов острый, а другой тупой (рис. 28—31).

К изложенному я считаю необходимым добавить, что изготовление сконструированных мною наглядных пособий по своей простоте и дешевизне доступно любой школе. Действительно, чтобы изготовить эти модели, достаточно иметь под руками кусок фанеры, шайбочки из конструктора или даже кнопки, шурупы — это материал. Из инструментов —

садовый нож или сапожный, молоток и кусочек наждачной бумаги. Изготовить эти пособия под руководством педагога могут и учащиеся, что, кроме пользы, ничего не принесет. Предельное удешевление стоимости этих пособий может быть достигнуто организацией фабричного их производства.

САМОДЕЛЬНЫЕ МОДЕЛИ НА УРОКАХ СТЕРЕОМЕТРИИ

Ф. ЯНОВСКИЙ (Уфа)

Школьной стереометрии делают справедливый упрек, что она недостаточно развивает пространственные представления ученика: частенько ученик не в силах вызвать в своем представлении нужный геометрический образ и дать соответствующий чертеж, а вследствие этого не может и решить задачу. Применение набора Острейко могло бы устранить этот недочет. Но для этого надо, во-первых, достать набор Острейко в таком количестве, чтобы дать его в руки каждому ученику, а этого не может сделать ни одна школа.

А развивать пространственные представления ученика надо: они необходимы не только для стереометрии, но и для других целей. Они же являются существенным элементом технического творчества. Выход из такого положения надо искать в применении самодельных моделей. Самодельные модели, изготовляемые учениками, обеспечат возможность лабораторных занятий не только в школе, но и дома. Особенно подчеркиваю: и дома. Только при этом условии преподаватель может задать учащимся проработать любую теорему, любую задачу лабораторно. Это возможно, если модели будут изготовляться из дешевого материала, имеющегося под рукою в неограниченном количестве, и если на основном приборе можно будет делать разнообразнейшие построения.

На основании своего опыта предлагаю такой прибор. Он представляет две параллельные плоскости, как это мы видим в наборе Острейко. Размер плоскости 10 X 12 см. Расстояние между плоскостями 8 см. Для перпендикуляров можно пользоваться или тонкими палочками или вязальными спицами, продевая их через обе плоскости. Наклонные линии изобразятся нитками. Понадобится еще шило для проделывания отверстий в плоскостях, иголка и нитки. Надписи можно делать на самом дереве, а потом стирать их, а можно время от времени оклеивать плоскости белой бумагой.

С таким прибором можно проработать любую теорему и любую задачу прямолинейной стереометрии и кое-что из стереометрии круглых тел. Главной частью прибора являются параллельные плоскости. Как их получить? Верхнюю и нижнюю плоскости сделать из фанеры, а боковые— из тонкой доски. Надо, чтобы каждая школа заготовила их в нужном количестве. Для этого понадобится немного материала и один день работы столяра. Школа продает приборы ученикам, а по окончании года покупает их для продажи другим ученикам. Исколотые отверстиями плоскости не теряют своей цены, наоборот: с готовыми отверстиями легче работать преемнику. В случае аварии с прибором его можно временно заменить спичечной коробкой. Конечно, это будет миниатюрно, но мои ученики охотно пользовались спичечными коробками.

Поясню применение прибора на задачах из Рыбкина. § 1, № 23 В ДЛЯС \_С прямой; CD— перпендикуляр к плоскости этого треугольника. Точка D соединена с Л и В. Определить площадь Д АВС, если дано CA = 3 дм, ВС = 2 дм и CD, = 1 дм. На верхней плоскости прибора чертим ДЛС#. Перпендикуляр CD изобразим спицей, проткнутой через обе плоскости, а наклонные AD и BD изобразятся посредством ниток. § 3, № 72. Плоскости M и Я параллельны. Из точек А и В плоскости M проведены к плоскости Р наклонные: АС = 37 му BD = 125 м. Проекция наклонной АС на одну из плоскостей равна 12 м. Чему равна проекция наклонной BD.

Делаем такое построение. Перпендикуляры ЛЛ, и #о,изобразим спицами, проткнутыми через обе плоскости. Нитки изобразят нам наклонные ЛС и BD, а СЛ, и DBX начертим на нижней плоскости.

Если заданы две пирамиды, сложенные основаниями, то их общее основание построим на верхней плоскости, одну пирамиду — тоже на верхней плоскости, а вторую — между плоскостями.

Если дана усеченная пирамида, то ее основания изобразим на плоскостях, а прочие линии — между плоскостями.

Очень нужно еще одно самодельное пособие: подвижный двугранный угол, сделанный из двух книжных корок. Изменяя его наклон, можно на нем проработать ряд теорем и задач начала стереометрии. Поясню применение его на задаче № 93 из § 4 задачника Рыбкина.

Отрезок AB опирается своими концами на грани прямого двугранного угла PMNQ. Основания отрезка одинаково удалены от ребра MN двугранного угла. Определить отношение углов, под какими отрезок наклонен к граням.

Протыкая спицей корки нашего угла, получаем отрезок AB. Остальное чертим.

Конечно, лабораторная проработка задач не упраздняет их обычного решения в тетради.

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

ИЗ ОПЫТА ПРЕПОДАВАНИЯ

Г. КУДРЕВАТОВ (г. Фергана)

Одной из существенных задач преподавателя математики в школе является задача развития математического мышления, инициативы и творчества учащиеся. К сожалению, многие преподаватели совершенно не обращают на это внимания и не только не развивают самостоятельность мышления, способность мыслить творчески у учащихся, но убивают эту творческую мысль в зародыше. Приведу пример. Однажды ко мне обратился ученик с вопросом, можно ли доказать теорему об измерении угла с вершиной вне круга таким путем (черт. 1):

Проводим ем\\ас. Получим вм = ае и /jdem = ^асе. /_dem измеряется ^тр как вписанный. Но dm = вм — bd, или dm = — ае — bd. Значит, /_dem измеряется ае — bd ---. Тогда, равный ему £ асе измеряется---, что и требовалось доказать.

Получив утвердительный ответ, ученик, обрадованный и довольный, рассказал мне, что этот же вопрос он предлагал своему преподавателю после объяснения теоремы по учебнику, но получил резкий ответ: «Я обясняю вам по учебнику. В учебнике правильно, а потому прошу вас учить по учебнику, не выдумывая своего».

Мне кажется, что преподаватель должен радоваться, когда его ученики делятся с ним своими «маленькими открытиями», поощрять таких учеников и ставить их в пример другим, а не отнимать у них возможность самостоятельно мыслить.

Доказательство ученика, приведенное выше, было впоследствии развито. Этим же методом оказалось возможным доказать следующую теорему об измерении угла с вершиной внутри круга. Доказательство ясно из чертежа 2.

Тот же метод доказательства удалось применить к случаю острого угла, образованного касательной и хордой (черт. 3). Что касается тупого угла, то здесь приходится исходить из уже выведенной формулы для острого угла и вывести формулу для тупого как смежного с первым (чертеж 4).

Для учеников VII класса, в котором проходятся эти теоремы,— это целая исследовательская работа, внушающая им мысль, что и они могут что-то сделать вполне самостоятельно.

Чтобы приучить учащихся самостоятельно, творчески мыслить, преподаватель должен иметь в запасе как можно больше способов доказательства той или иной теоремы. Тогда он может пользоваться одним из них при объяснении, предлагая самим учащимся разобрать материал по учебнику, или он может предложить учащимся самим найти другой способ доказательства или вывод формулы, дав объяснение по учебнику.

Я, например, объяснив вывод формулы для высоты правильного вписанного треугольника по учебнику, предлагаю им подумать, как можно вывести эту формулу, опираясь не на теорему Пифагора, а на зависимость между сторонами (черт. 5). Получаем соотношение (2х)2 + а2 — 4а* и т. д.) и диагоналями параллелограма. А формулу Герона считаю целесообразным выводить на уроке, например, так, как показывает т. Семенов*, задавая учащимся на дом проработать материал по учебнику самостоятельно.

Среди учащихся часто бывают одаренные математическими способностями. Иногда приходится поражаться хорошей и глубокой работе мысли у некоторых учащихся. У меня, например, на уроке один вдруг подметил, что в последовательном ряде чисел квадрат каждого числа равен квадрату предыдущего числа, сложенному с суммой этих чисел, т. е. а2 = Ь2 + (а + Ь), где Ь есть любое число натурального ряда и а — следующее за ним число этого ряда. Этот ученик отметил, что такую формулу можно применять для составления таблиц квадратов натуральных чисел. Пусть эта формула общеизвестная, но для ученика это все-таки самостоятельное открытие. Оно показывает, что ученик иногда глубоко вдумывается в то, что изучает, и долг учителя — всемерно поощрять творческие искания и исследовательские порывы учащейся молодежи.

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5

* См. «Математика в школе» № 3 за 1939 г.

О ПОДГОТОВКЕ К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ

ПРАКТИЧЕСКИЕ НАВЫКИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Л. Н. ГРАЦИАНСКАЯ и А. С. ПЧЕЛКО (Наркомпрос РСФСР)

зучение математики с первых же уроков приобретает живой интерес для учеников, если учащиеся почти на каждом шагу убеждаются, что математические знания с успехом применимы к разрешению многочисленных и разнообразных задач в действительной жизни — в быту, технике, сельском хозяйстве. Ученик должен чувствовать, что математика дает ему применимые в жизни сведения, вооружает его могущественным орудием познания действительности.

Математические задачи и упражнения, которыми обычно занимаются в школе, недостаточны для того, чтобы помочь ученикам свободно применять знания для практических целей.

Ученик, выполняя упражнение по книге, мало упражняется в приложении формальных математических отношений к конкретным объектам. Мысль ученика, особенно ученика старших классов, работает в мире абстрактных понятий и утрачивает связь с той реальной действительностью, от которой эти образы абстрагированы. При недооценке решения практических вопросов в школе получается то, что математические сведения связываются у некоторых учащихся не с реальными объектами, а лишь с определенными страницами учебника.

Все это накладывает отпечаток книжности на знания учащихся и порождает формализм этих знаний, который продолжает оставаться одним из главнейших недостатков преподавания математики в средней школе. Несомненно, что одной из причин формализма является недостаток в курсе математики вопросов конструктивного характера и отсутствие в преподавании математики вопросов, связывающих школьную математику с практикой социалистического строительства.

Темы для реальных задач могут черпаться из самых разнообразных областей: из житейского обихода, из элементарной техники, из географии, естествознания, физики. Опасение, что такого рода упражнения будут отвлекать внимание учащихся от чисто математической стороны вопроса и даже затемнять ее, неправильно. Все дело в соблюдении должной меры, в известном педагогическом такте. Разве жизненное содержание арифметических задач затемняет количественные отношения, какие ими иллюстрируются в задачах?

Кроме того, реальное направление в выборе задач вовсе не исключает формальных упражнений. Последние лишь пополняются задачами с конкретным содержанием.

Усиление внимания к практическим навыкам ни в коей мере не может и не должно ослаблять борьбу за теорию, за развитие у учащихся абстрактного математического мышления, вообще за высокий образовательный уровень всего преподавания математики. Но введение практических работ, в которых теория сочетается с практикой, в которых изученные правила, теоремы, сформулированные математические положения и выводы находят практическое применение, укрепит математические знания ученика, внесет в них большую ясность и создаст во всей работе ученика определенную целенаправленность. Одним из условий успешной работы по созданию практических навыков является хорошее — достаточно полное и глубокое — выполнение программы: образование твердых вычислительных навыков, усвоение учащимися различных способов и приемов решения задач, методов доказательства теорем, различных алгебраических формул и преобразований. Только на основе хорошей работы по выполнению программы должны создаваться практические навыки. При этом нужно стремиться ставить преподавание математики так, чтобы практические навыки не были только приложением к теоретическому курсу математики, его дополнением.

Теория и практика должны взаимно переплетаться между собою: теоретические задачи должны иллюстрироваться реальным применением их, а реальные задачи — выдвигать теоретические вопросы.

Практические работы, связанные с преподаванием математики, должны проходить через весь курс средней школы. Практические навыки надо создавать, начиная с I класса. Уже в младших классах (I—IV) при прохождении арифметики нужно уделять должное внимание тем практическим навыкам, которые требуются программой.

В первом классе таких навыков достаточно много: здесь учащиеся знакомятся с различными мерами, знание которых требуется на каждом шагу в практической жизни — мерами длины (метр и сантиметр), веса (килограмм), вместимости (литр), времени (сутки, неделя, час), с монетами — 1 коп., 2 коп., 3 коп., 5 коп., 10 коп., 15 коп., 20 коп., 1 руб. Выполнению этой части программы надо придать практический, действенный характер. Ученик должен не только получить

вполне конкретное, наглядное и, разумеется, точное представление об этих мерах, но он должен получить и первоначальные навыки обращения с этими мерами, их применения на практике, т. е. ученик должен поупражняться в измерении метром, а затем и сантиметром, во взвешивании килограммом, в определении вместимости различных сосудов при помощи литра, в размене денег и покупке, пользуясь различными монетами, в определении времени, пользуясь часами (циферблатом).

Во втором классе эти же навыки развиваются и уточняются. Здесь продолжаются упражнения в измерениях; дети получают наглядное представление о километре, учатся измерять расстояние шагами, определять расстояние на глазомер, а затем проверять свой глазомер непосредственным измерением, определяют среднюю длину своего шага.

Продолжаются упражнения и во взвешивании с использованием не только килограмма, но и грамма, с которым они впервые знакомятся во II классе. Дети в это время должны знать свой рост, свои вес, а также средний вес и рост своих товарищей. Во II классе у детей сильно расширяются знания о мерах времени: здесь они знакомятся с такими единицами времени, как год, месяц, число месяцев в году, число дней в каждом месяце, сутки, час, минута. И эти знания должны быть действенными. «Какое сегодня число?» «Какой месяц сейчас идет, какой месяц прошел, какой следующий месяц?» «Сколько минут приходится итти до школы?» «За сколько минут можно пройти километр? пробежать километр?» «Какое расстояние может пройти за час человек? пробежать лошадь?» Все эти и подобные им вопросы постоянно должны ставиться ученикам, а ученики должны учиться правильно отвечать на них, ибо это те вопросы, с которыми на каждом шагу сталкивается как ребенок, так и, в особенности, взрослый.

В третьем классе круг практических навыков значительно расширяется. В этом классе приобретаются уже более сложные навыки, требующие специальных упражнений. Здесь учащиеся знакомятся с квадратными мерами, с мерами земельных площадок (аром, гектаром), с вычислениями площадей. Благодаря этому область измерений сразу и значительно расширяется. Ученики измеряют площадь класса, коридора, своего жилого помещения, измеряют и вычисляют небольшие площади — стола, окна, парты и пр.

В связи с знакомством с углами и прямоугольными фигурами (квадратом и прямоугольником) дети производят ряд измерительных работ на местности: провешивают прямые линии, учатся строить на местности прямой угол, пользуясь эккером, проверяют прямые углы своего пришкольного участка, школьного огорода, гряд, крокетной площадки, вычисляют их площади.

Другая категория практических навыков у учащихся III класса создается в связи с о счетом, с вычислениями. Здесь продолжается тренировка в устном счете, который имеет огромное практическое значение. Здесь же дети обучаются вычислениям на торговых счетах. Они знакомятся с приемами сложения и вычитания на счетах и проводят первые упражнения в этих действиях. Важно, чтобы эти упражнения проводились не только с отвлеченными числами, но и с составными именованными числами и, в первую очередь, с рублями и копенками, ибо в жизни счеты служат главным образом для денежных расчетов.

Благодаря тому, что учащиеся в третьем классе значительно расширяют свои знания о мерах (здесь они знакомятся с тонной, центнером — из мер веса, с дициметром и миллиметром — из мер длины) и изучают действия над составными именованными числами, получается возможность решать задачи практического, жизненного характера, особенно из области сельского хозяйства на темы: о посевах, об урожаях, о запасах и расходах кормов для скота, о расходах горючего на обработку полей и т. д. Ученик знакомится со счетами и производит вычисления на них.

В четвертом классе учащиеся знакомятся с двумя геометрическими темами кубом и прямоугольным параллелепипедом, обучаются вычислению объемов этих тел. В связи с этим ставится ряд практических работ по измерениям: учащиеся вычисляют объем своего класса, объем коридора, объем своего жилого помещения (домашнее задание), а также находят по заданию учителя объемы более мелких тел — ящика, коробки, пенала и т. д. Объемы некоторых тел учащиеся вычисляют приближенно, пользуясь приближенными линейными измерениями. Всем этим работам нужно придавать характер практической и притом самостоятельной работы. Например, учитель дает ученику задание найти объем принесенной в класс коробки, причем вооружает ученика только сантиметровой лентой. Ученик должен уметь самостоятельно проделать такую работу: измерить длину, ширину и глубину коробки, полученные числа записать, затем выразить их в одинаковых мерах, перемножить и, если нужно, в результате произвести превращение.

Наряду с этим в четвертом классе расширяются и закрепляются навыки измерительных работ на местности, полученные в III классе. Осенью и весной учащиеся упражняются в провешивании прямых линий, в разбивке прямого угла, в разбивке участка прямоугольной формы заданного размера, пользуясь эккером, в измерении и вычислении площади данного земельного участка прямоугольной формы (пришкольного участка, огорода и т. д.).

Когда учащиеся познакомятся с процентами, им дается ряд задач практического характера, в которых требуется найти несколько процентов от данного числа (выраженного пока в круглых сотнях): определить доход с известного вклада по сберегательной книжке, определить доход с облигаций займа, процент успеваемости учащихся в школе, процент посещаемости школы и т. п.

При решении задач следует оттенять близкую детям практическую сторону вопросов. Например, во второй четверти ученики четвертого класса обучаются решению трех типов задач на время. В связи с этим пусть каждый из них определит, сколько полных лет, месяцев и дней прожил он, его отец, мать. Подобного рода задания оживляют работу, делают ее более интересной для учащихся.

В этом классе продолжается решение задач, содержанием которых являются расчеты, связанные с сельским хозяйством: с посевами и обработкой полей, с получением и утилизацией урожаев, с животноводством в колхозе и т. п.

В пятом классе заканчивается весь курс арифметики, и немало внимания приходится уделить учителю как теоретической части работы, так и практической для того, чтобы учащиеся приобрели в школе прочные знания, хорошие счетные навыки, уменье решать задачи с реальным содержанием и уменье производить разнообразные измерительные работы.

При прохождении темы «Проценты» учащиеся могут ознакомиться с различными участками народного хозяйства. Если школа сельская, то необходимо определить процентное распределение земли колхоза по засеву различными культурами, процентное выполнение колхозом своего производственного плана и т. д.

В городской школе темы «Проценты» и «Пропорциональное деление» можно насытить живым материалом из жизни шефствующей организации, где можно вычислить процент выполнения производственного плана завода, фабрики или учреждения на день и годового плана, а также качественное выполнение плана.

Различные стороны жизни колхоза, фабрики, завода, учреждения дадут учащимся материал для графического изображения роста и количественного содержания производства в виде графика или диаграммы.

Во всех этих расчетах необходимо приучить ученика к обязательному пользованию счетами.

На счетах ученики должны уметь производить сложение и вычитание многозначных чисел, метрических составных именованных чисел, десятичных дробей.

Полезно познакомить учащихся с элементарными правилами ведения колхозного счетоводства и отчетности. Как в селе, так и в городе полезно решать с учащимися задачи, в которых определяется расход горючего при работе трактора, автомашины и т. п.

Задачи по арифметике пятого класса дают возможность повторить с учениками, измерение площади прямоугольных участков земли и объемы помещений, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда. Практически это можно провести при измерении земельных участков и кубатуры какого-либо складочного помещения.

На местности большой интерес у учеников вызывают измерительные работы. Можно определить расстояние между двумя доступными точками, отделенными друг от друга препятствиями (пруд, речка) при помощи эккера (рис. 1), измерить глубину оврага или высоту холма при помощи реек и уровня или ватерпаса (рис. 2) и т. п.

В шестом классе при прохождении темы «Сокращенные формулы умножения» следует научить учащихся применять эти формулы к арифметическим вычислениям.

Шестой класс по своей программе дает учащимся обширный геометрический материал и новые возможности применения математики в вопросах как городского, так и сельского хозяйства. При помощи эккера учащиеся намечают на местности прямые углы и прямоугольные участки земли. При помощи астролябии производят измерение на местности острых и тупых углов. Измерение углов на местности может быть выполнено при помощи компаса или накола булавок на планшетку (горизонтальную дощечку) соответственно вершинам и направлениям сторон измеряемых углов.

Тема «Треугольник» дает учащимся практические навыки для съемки планов с треугольных участков земли или многоугольных участков путем проведения диагоналей или вспомогательных линий внутри участка.

При съемке планов с участков земли необходимо напомнить учащимся, что называется числовым и линейным масштабами. Следует показать учащимся, как по плану и масштабу можно вычислить действительные размеры площадей участка. Тема «Параллельные линии» должна дать учащимся практическое уменье планировать на огороде грядки, в саду дорожки по параллельным нитям, натянутым на вбитых в землю колышках.

С учащимися шестого класса небезынтересно будет измерить на местности ширину озера построением равнобедренного прямоугольного треугольника (рис. 3).

В седьмом классе учащиеся должны уметь применять пропорции и процентные вычисления к задачам по химии (определение процентного состава вещества, процентное содержание растворов, смешение растворов разной концентрации, расчеты по формулам).

Преподавателям математики надо особенное внимание обратить на то, как научить учащихся находить любой член формулы через остальные члены, в частности, при

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

решении задач по физике. Например, определить длину проводника из формулы

где S — удельное сопротивление, / — длина проводника, s — площадь поперечного сечения.

В восьмых классах представляется возможность усовершенствовать счетные навыки учащихся при прохождении темы «Степени и корни». Необходимо настаивать на том, чтобы числовые преобразования при возведениях в степень и действиях с корнями ученики в максимальной мере выполняли устно.

Вместо вычислений на бумаге квадратов и кубов многозначных чисел ученик восьмого класса должен совершенно свободно пользоваться таблицей произведений, квадратов и кубов, причем в технике пользования ими он не должен ощущать никаких затруднений.

Программа этого класса дает богатый материал для ознакомления с графиками движения, в частности, с графиком движения поезда. Полезно будет учащимся научиться разбираться в железнодорожных графиках, уметь их строить и читать.

Решая задачи с материалом из физики, следует произвести расчет силы, необходимой для поднятия груза по наклонной плоскости при помощи блока. Эти задачи можно заимствовать из задачника по физике.

Тема «Подобие фигур» открывает широкие возможности для измерительных работ на местности: 1) измерение высоты дома, дерева, фабричной трубы, телеграфного столба; 2) при помощи астролябии построение подобных треугольников, определение расстояния до недоступной точки (рис. 4).

Усвоение учащимися тригонометрических формул прямоугольного треугольника дает возможность преподавателю математики организовать на местности весьма интересные измерения ширины реки или оврага, высоты дерева, строений и пр. (рис. 6, 7).

Кроме того, учащиеся восьмого класса должны в достаточной мере овладеть техникой мензульной съемки земельных участков.

При помощи мензулы на основе подобия многоугольников представляется возможным производить съемку планов с земельных участков, имеющих очертание многоугольника (рис. 8).

В девятом классе особенное внимание нужно уделять счетной работе учеников на логарифмической линейке. Кроме знакомства со шкалой и производством действий необходимо преподавание математики поставить в девятом и десятых классах так, чтобы учащиеся привыкли к линейке и чувствовали потребность в ней для рационализации работы и экономии времени. С линейкой учителю надо сжиться, надо, чтобы линейка вошла в быт учителя, чтобы вместо вычислений на бумаге учитель вычислял на линейке. Тогда и у учеников линейка будет неотъемлемым и любимым прибором для экономного счета.

Проводя оформление пришкольного участка, ученики девятого класса могут разбить клумбы в виде пятиугольной звезды, квадрата, правильного треугольника или шестиугольника. Знание формул длины окружности и площади круга обеспечивает для учащихся практические навыки по измерению длины окружностей и площадей основания цилиндрических силосных башен, цветочных клумб, длин окружностей колес различных сельскохозяйственных машин, поперечных сечений деревьев, уменье экономно врезать дно в бочку. У плотников можно познакомиться с приемом, как, не срезая дерева, можно определить его толщину: надо веревкой измерить обхват дерева, веревку сложить втрое, и получится толщина дерева.

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Чтобы без лишней порчи досок вырезать дно для бочки, бондарь советует веревочкой измерить бочку у дна, взять третью часть длины, и такой ширины нужна доска, чтобы вырезать целое дно.

В девятом классе интересно учащимся показать практическое применение тригонометрических функций, например определить угол подъема улицы или железной дороги, пользуясь понятием синуса и натуральными таблицами.

I. Определить угол подъема улицы или дороги, пользуясь понятием синуса и натуральными таблицами.

Подъем участка дороги измеряют отношением высоты h к длине I дороги между этими двумя точками (черт. 1).

Таким образом, величину подъема можно выразить синусом угла а наклона дороги к горизонту: наклон

i = sin а = j..

Чтобы определить наклон /, поступают следующим образом. Провешивают вешками по склону горы прямую.

В самой высокой точке £*, фиксированной вешками, ставят вертикально рейку АЕ с делениями на сантиметры, немного ниже по склону ставят нивелир так, чтобы линейка его, к какой прикреплены диоптры, была горизонтальной (черт. 2).

Через диоптры отсчитывают на рейке АЕ. Затем, не переставляя нивелира, переставляют рейку вниз по склону в точку F и опять ставят ее вертикально и отсчитывают по ней с помощью диоптра. Разность отсчетов по рейке в точках F и Е покажет поднятие точки Е над точкой F.

Затем рейку в точке F поворачивают на 180° так, чтобы деления на ней были повернуты вниз по склону; переносят нивелир ниже по склону и отсчитывают по рейке. Перенеся рейку в точку К, вновь отсчитывают. Разность двух последних отсчетов даст поднятие точки F над точкой К. Таким же образом проводим нивелирование до конца склона. Суммируя поднятие точек, получим поднятие h самой высокой точки над самой низкой. Длину склона / измеряем непосредственно рулеткой в направлении поставленных вешек. Взяв отношение h к /, получим sin угла подъема. Пользуясь таблицами натуральных величин, определим угол подъема.

II. Определить угол поворота дороги, улицы или рельсового пути.

Углом поворота дороги или рельсового пути называется угол DOA = at который образуют направления дороги до поворота и после него, тупой угол, на который повернулась ось дороги (черт. 3).

Чтобы определить угол а, поступаем так.

Провешиваем посредине дороги прямые AB и CD.

В точке О эти прямые пересеклись, вбиваем здесь вешку. Если есть астролябия, то угол поворота обыкновенно измеряют, поставив астролябию в точке О и отсчитав этот угол на астролябии. Но можно высчитать величину угла поворота а и иным способом. На оси AB выбираем точку К так, чтобы восстановленный из этой точки к оси AB перпендикуляр пересекся с осью CD в рамках дороги. Затем следует измерить катеты LK и OK образованного прямоугольного треугольника.

Найдя отношение катета LK к катету ОК, получим tg угла LOK- Пользуясь натуральными тригонометрическими таблицами, не трудно определить угол LOK. Так как полученный угол LOK есть дополнение до 180° с углом искомым, то угол поворота « = 180° — Z LOK.

Интересно проверить задачу двумя указанными способами и результаты их сравнить между собой.

В десятом классе при повторении всего программного материала можно вспомнить некоторые работы, проведенные в этом классе и на местности в предыдущих классах.

Для обеспечения максимальной эффективности работ на местности учитель должен хорошо: 1) выяснить для себя задачу той или иной работы; 2) провести подготовительную работу по содержанию самой работы; 3) лично провести измерение; 4) тщательно подобрать оборудование, необходимое для измерения; 5) наметить, на какие звенья распределить учащихся во время работы и какие задания получит во время работы каждое звено; 6) наметить план записи результатов работы в дневник или журнал.

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

ПРАКТИЧЕСКИЕ НАВЫКИ В СВЯЗИ С ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ В V—X КЛАССАХ ШКОЛЫ

Н. НИКИТИН

Государственный институт школ

№ 6 журнала «Математика в школе» за 1939 г. была напечатана, в порядке обсуждения, наша статья, в которой мы проводили мысль о том, что к практической деятельности необходимо готовить учащихся не путем создания различных уклонов, а в процессе изучения каждой учебной дисциплины с первого до десятого класса, борясь с формализмом в преподавании.

В связи с этим указывалось на необходимость повышения качества преподавания теоретического материала, на необходимость изжития формализма в преподавании математики. Это может быть достигнуто, если учащиеся прежде всего будут систематически пользоваться математическими знаниями в самой математике при решении разнообразных задач, будут решать задачи из смежных дисциплин, где большое применение имеет математика (физика, химия, военное дело) и, наконец, если будут применять знания к решению практических жизненных задач.

В данное время уже нет возражений против именно такого понимания постановки преподавания математики в связи с выполнением задачи, поставленной перед школой товарищем Молотовым.

Целый ряд передовых учителей уже приступил к организации преподавания математики на этих началах.

В № 4—5 журнала «Математика в школе» напечатана статья С. Чуканцова. Учителя Больше-Вяземского района Московской области еще в начале учебного года составили конкретный план работы по установлению связи преподавания математики с практикой, то же самое наблюдается в целом ряде других школ.

26 августа 1940 г. издан приказ Наркомпроса РСФСР «О мероприятиях по улучшению работы сельской школы», который, вскрывая недочеты в работе школы, особо подчеркивает, что школа «плохо знакомит учащихся... с вопросами колхозного учета, измерительными работами на земле и т. д.». Наряду с этим в том же приказе ставится перед школой целый ряд новых задач, и, в частности, по линии преподавания математики имеется совершенно определенное указание: «В преподавании математики обеспечить элементарное ознакомление учащихся с приемами измерения площадей и объемов, обеспечить умение пользоваться счетами, решать задачи на материале колхозного учета и колхозного счетоводства».

Таким образом, перед школой стоит задача, к выполнению которой необходимо приступить немедленно. Наибольшие затруднения у учителя возникают именно по линии организации практических работ, так как школа за последние годы этому вопросу не уделяла никакого внимания.

Ниже мы помещаем примерный перечень тех практических работ, которые без особого труда могли бы быть выполнены в каждой школе. Эти практические работы могут быть выполнены не только в сельской школе, но и в любой городской школе, вопрос о перестройке работы которой является своевременным и нужным в той же мере, как и сельской*.

V КЛАСС

1. Беглый устный счет с целыми числами в пределе 1 000, знание некоторых частных приемов (округление, перестановка слагаемых и сомножителей, умножение на круглые десятки, сотни, умножение на 5, 25, 15 на 11, на 9, на 99, использование сочетательного свойства при умножении и делении). Устный счет с простейшими обыкновенными и десятичными дробями; простейшие устные вычисления с процентами.

2. Умение производить на торговых счетах сложение и вычитание многозначных чисел, метрических составных именованных чисел, десятичных дробей.

3. Умение составить по числовым данным таблицу для вычисления процентов (для своего класса, для колхоза, завода...) и умение пользоваться таблицами для вычисления процентов.

4. Умение подсчитать приходо-расходную ведомость, составить несложную смету, хозяйственный расчет (подсчет семян, урожая, расход кормов, стоимость небольшой постройки).

5. Умение пользоваться измерительными приборами: сантиметровой рулеткой, линейкой, мерной ценою, кронциркулем, нутромером, угольником, эккером.

6. Умение определить расстояние шагами (путем приближенного перевода числа шагов в метры); умение определить расстояние на глаз. Шагомерная съемка.

7. Умение по плану и масштабу вычислить действительные размеры участка.

8. Умение производить необходимые измерения и вычислять площади прямолинейных, фигур, а также поверхности и объемы тел, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда, куба, призмы, цилиндра, пирамиды, конуса. Разбивка поля на участки. Построение многогранников (призма, пирамида) и тел вращения (цилиндр, конус) по их разверткам.

9. Умение строить диаграммы: линейные, прямоугольные и круговые.

Целый ряд указанных выше практических навыков не являются чем-либо новым для школы. Например, устным счетом учащиеся должны владеть уже по одному тому, что в программе I—IV классов на этот счет имеются совершенно определенные указания. Вся беда заключается в том, что в V классе

* Примечание. Вопрос о практических работах в связи с преподаванием арифметики в I—IV классах напечатан в № 8 журнала «Начальная школа» за 1940 г.

и в последующих устному счету уделяется слишком мало внимания, поэтому учащиеся не только не закрепляют ранее полученных знаний, не только не усваивают новых вычислительных приемов, а чаще всего забывают и то немногое, что получают в младших классах. Совершенно не упражняются учащиеся в устных вычислениях с дробными числами, с процентами. Между тем, в практической жизни нам чаще всего приходится производить вычисления в уме; идя в магазин за покупками, мы никогда не берем с собой бумагу и карандаш для производства подсчетов.

Упражнения на торговых (конторских) счетах также имеют большое практическое значение. В каждом учреждении, где производится учет тех или иных ценностей, обязательно имеются счеты. Для начала в школе можно было бы ограничиться сложением и вычитанием целых, десятичных дробей и метрических именованных чисел, однако не трудно было бы в дальнейшем научить учащихся и некоторым приемам умножения и деления, а также вычислению процентов.

В связи с изучением процентов, которые, кстати сказать, являются слабым местом в работе школы, рекомендуются работы по составлению таблиц, а также указывается на необходимость ознакомления учащихся с процентными таблицами. Это имеет большое практическое значение и вместе с тем способствует как осмысливанию, так и закреплению знаний учащихся в области вычисления процентов. Приведем несколько упражнений этого рода. Материалом для упражнений могут быть данные из жизни, близкой и понятной учащимся.

В повседневной работе часто классу приходится подсчитывать и выражать те или иные данные по отношению к числу учащихся своего класса: посещаемость, успеваемость, участие в кружках и т. д. Вместо того чтобы каждый раз производить вычисления, было бы разумно составить соответствующую таблицу. Пусть в классе имеется 42 ученика. Таблица (с точностью до 0,1%) будет иметь такой вид:

Предположим надо выяснить, сколько процентов составляют 36 учеников.

Также легко сразу выразить любое количество учащихся в процентах по отношению ко всему классу. Само составление таблицы, для которой необходимо вычисление процентов для чисел от 1 до 9, а затем для 10—40 учащихся, является прекрасным упражнением для усвоения техники вычисления процентов. Здесь учащиеся попутно знакомятся и с приближенными вычислениями и с округлением чисел. Практическая полезность таблицы для учащихся несомненна.

Приведем еще пример. Предположим, колхоз должен вспахать и засеять весной 856 га пашни. В процессе работы является необходимым выяснить, сколько гектаров вспахано на тот или иной срок, сколько засеяно той или иной культурой, сколько вспахано трактором, сколько лошадьми и т. д. Эти данные также бывает нужно выразить в процентах. Полезно опять-таки составить таблицу. Она будет иметь такой вид.

Положим, надо определить сколько процентов по отношению ко всей пашне (856 га) составят 286 га. По таблице это находится быстро и легко

Само собою разумеется, что после таких упражнений (которые полезны и сами по себе) учащийся быстро и легко будет справляться с процентными таблицами.

Элементарные работы по составлению и подсчету приходо-расходных ведомостей знакомят учащихся с основами ведения учета и счетоводства. Здесь нет необходимости входить в детали счетоводства, не нужно знакомить учащихся с такими понятиями, как баланс, актив, пассив, сальдо и т. д., важно, чтобы учащиеся усвоили основы, чтобы потом быстро и без особого труда они могли ориентироваться в конкретной практической обстановке.

Умение определять расстояния шагами имеет также большое практическое значение.

Каждый ученик должен знать длину своего шага, что должно определяться путем соответствующих практических работ.

Полезно каждому ученику составить для себя таблицу (у разных учеников данные будут различны).

Если он прошел 1 235 шагов, это легко перевести, пользуясь таблицей, в метры, легко сделать также в уме.

Измерение расстояний шагами учащиеся с большим успехом могут выполнять в летнее каникулярное время, во время прогулок, различных экскурсий, детских походов, игр.

Особо стоит вопрос о вычислении площадей прямолинейных участков, объемов тел. Учащиеся в III и IV классах ознакомились с приемами вычисления площадей прямоугольника и квадрата, а также с вычислением объема прямоугольного параллелепипеда и куба. Однако, в практике чаще всего приходится вычислять площади фигур, отличных от прямоугольника и квадрата, вычислять объемы тет, отличных от прямоугольного параллелепипеда и куба. В программе по математике вычисление площадей поставлено в VIII классе, а вычисление поверхностей объемов тел только в X классе. Таким образом, учащиеся, оканчивающие неполную среднюю школу, оказываются совершенно неподготовленными для чрезвычайно важных, особенно в сельском хозяйстве, практических работ.

Правда, в объяснительной записке к программам по математике сделано указание о решении задач геометрического содержания, в частности, указаны и задачи на вычисление длины окружности и площади круга; в сборнике задач и упражнений для V класса также имеется ряд задач геометрического содержания, однако это нельзя считать достаточным, если иметь в виду совершенную необходимость реализации указанного выше приказа Наркомпроса от 26 августа 1940 г. Очевидно, необходимо познакомить учащихся с некоторыми дополнительными формулами, например, с формулой для вычисления площади треугольника, правильных многоугольников, для вычисления объема призмы, цилиндра, пирамиды и конуса. Знание этих формул значительно облегчит и работу по решению различных задач на удельный вес в курсе физики VI класса. Ознакомление учащихся с указанными выше формулами не следует усложнять: они должны быть даны в готовом виде с последующим пояснением и конкретизацией формул на наглядном материале. Например, площадь треугольника может быть показана таким образом. Учащиеся знают из курса III и IV классов, как вычисляется площадь прямоугольника. Если мы любую точку верхнего основания прямоугольника соединим с концами нижнего основания, мы получим треугольник. Легко наглядно усмотреть, что площадь его составляет половину площади данного прямоугольника (черт. 1). площадь прямоугольника равна произведению основания на высоту, отсюда площадь треугольника будет равна половине этого произведения, т. е. Рассмотрение ряда таких примеров, упражнения в вырезывании, наложении конкретизируют данную формулу, покажут учащимся ее справедливость. Площадь прямоугольного треугольника будет рассматриваться как некоторый частный случай, где за основание и высоту принимаются два катета треугольника. Что же касается вычисления площади тупоугольного треугольника, то здесь для V класса можно ограничиться тем случаем, когда за основание принимается большая сторона, не осложняя работы опусканием высоты на меньшую сторону, так как этот случай опускания высоты затрудняет учащихся. Практически при вычислении площадей прямоугольных фигур всегда можно обойтись без этого случая, опуская высоту на большую сторону (черт. 2).

Формулы объемов пирамиды и конуса могут быть конкретизированы путем сравнения объемов призмы и пирамиды, цилиндра и конуса при равных основаниях и высотах. (черт. 3).

Если мы будем пересыпать песок из пирамиды в призму, то надо будет для заполнения призмы три раза пересыпать песок из заполненной пирамиды, т. е. объем пирамиды составляет объема призмы, как и сказано в формуле. То же самое относится и к объему конуса. Следует особо подчеркнуть, что здесь нельзя принимать опыт за доказательство, он лишь конкретизирует содержание формулы, оправдывает ее смысл для учащегося. Тут же следует сказать учащимся, что в старших классах они эти формулы выведут, докажут строго математически.

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

Вся работа по вычислению площадей и объемов в V классе должна проводиться в полном контакте с изучением арифметики; здесь наглядная геометрия дает лишь своеобразный материал для решения задач.

VI КЛАСС

1. Умение пользоваться алгебраическими выражениями, формулами, применять формулы сокращенного умножения к арифметическим вычислениям.

2. Умение пользоваться транспортиром, отвесом, уровнем, эккером, астролябией.

3. Провешивание прямых на местности. Горизонтальные и вертикальные направления прямых. Измерение и построение углов на местности. Построение параллельных линий. Построение прямоугольных и косоугольных треугольников на местности. Применение треугольника на практике (как фигуры жесткой).

4. Умение определять расстояние до неприступной точки (на основании равенства треугольников), определение высоты дерева, ширины реки.

5. Умение находить вес тела по его размерам и удельному весу.

Учащиеся VI класса, кроме практических работ, имеющих непосредственное отношение к программе по математике для этого класса, должны выполнять работы, указанные и для V класса. Это положение имеет особое значение для работы в текущем учебном году, так как учащиеся, перешедшие в VI класс, не проводили в минувшем учебном году тех практических работ, которые указаны для V класса.

Особо здесь следует обратить внимание на вычисление объемов тел в связи с их удельным весом. Разнообразные прямые и обратные задачи могут быть здесь непосредственно связаны с изучением алгебраических выражений, формул, с вычислением числовой величины алгебраического выражения, нахождением заданного члена в формуле на основании свойств действий. Приведем несколько таких задач.

1. Вычислить вес полосы железа длиною в 6,4 ж, шириною в 0,06 м и толщиною в 0,5 сч, если удельный вес железа примем = 7,5.

X = abed, где а = длине прямоугольного параллелепипеда, Ь — ширине, с— высоте (толщине), a d— удельный вес. Если все три измерения данного параллелепипеда выразим в сантиметрах, то получим: а = 640 с и, é = 6 сч, с = 0,5 см. В результате получим: X = 640 . 6 . 0,5. 7,5 = 14 400 г = 14,4 кг.

Могут быть решены и обратные задачи, когда по весу и трем измерениям находится удельный вес:

14 400 = 640.6.0,5.

или по двум измерениям и удельному весу находится третье измерение параллелепипеда:

14400 = а. 6.0,5.7,5 и т. д.

2. Вычислить вес цилиндрического стального вала, если его длина равна 2,4 ч, радиус основания равен 0,075 м, а удельный вес стали равен 7,8.

В этом случае будем иметь:

X = tzr2 .H.d; если буквам дадим из условия задачи соответствующие им числовые значения, то получим:

X = 3,14. (7,5)2.240.7,8 (г).

Обратные задачи будут также уместны, за исключением отыскания радиуса основания, так как здесь уже требуется извлечение квадратного корня.

Решение хотя бы небольшого числа такого рода задач в связи с изучением алгебраического выражения сделает преподавание алгебры менее формальным; буквенная символика в глазах учащихся приобретет смысл, а попутно будут восстановлены в памяти некоторые геометрические формулы и проделаны практические задачи. Особенно будет ценно, если данные будут взяты из действительности, например, взяты измерения кирпича, бидона, затем по справочнику найдены числа, выражающие удельный вес кирпича, керосина и т. д.

Работы геометрического порядка здесь непосредственно связаны с программным материалом и не могут вызвать особых затруднений. В отдельных случаях придется просто обратить внимание учащихся на использование некоторых свойств фигур на практике. Например, в связи с тем, что треугольник есть жесткая фигура и форма его определяется, в частности, тремя сторонами, треугольные конструкции очень часто применяются в самых разнообразных областях строительного дела: стропила мостов, перекрытий, устройство кронштейнов, так называемых раскосин при устройстве ворот, калиток и т. д. (черт. 4).

В связи с прохождением темы «Окружность» желательно дать учащимся понятие об азимуте и румбе.

VII КЛАСС

1. Умение пользоваться таблицами квадратов и кубов чисел при извлечении корня.

2. Умение выразить любую букву в данной формуле через остальные, в частности, в применении к формулам физики.

3. Уметь применять пропорции и процентные вычисления к задачам по химии (определение процентного состава данного вещества, определение количества вещества по данным процентам: процентное содержание растворов, смешение растворов разной концентрации, расчеты по формулам).

4. Построение на местности прямоугольника, квадрата, параллелограмма, ромба, трапеции. Проверка прямоугольника на основании свойства диагонали.

В VII классе учащиеся могут с большей легкостью выполнять также и те практические работы, которые указаны для V и VI классов. В частности, нахождение неизвестного

Черт. 4

члена в формуле выполняется на основании свойств уравнений; становится возможным то, что нельзя было выполнить в предшествующих классах, например, в VII классе уже возможно определить радиус цилиндрического вала в задаче, данной для VI класса, так как учащийся уже сумеет извлечь квадратный корень из числа 56, 25, выражающего r2.

В связи с прохождением темы «Окружность» желательно дать учащимся понятие об азимуте и румбе.

Таким образом, при перестройке работы и некоторых совершенно незначительных добавлениях в области наглядной геометрии учащиеся, оканчивающие семилетнюю школу, будут в состоянии выполнить целый ряд работ, с одной стороны, оживляющих преподавание математики, поднимающих интерес к ней, и с другой — способствующих некоторой подготовке учащихся к практической деятельности.

VIII КЛАСС

1. Уметь начертить график движения поезда, а также умение разбираться в железнодорожных графиках.

2. Умение пользоваться графиком параболы для возведения чисел в квадрат и для извлечения из числа квадратного корня. Графическое решение уравнений первой и второй степени.

3. Умение начертить план земельного участка и вычислить его площадь. Умение по плану вычислить его действительные размеры и площадь. Деление площади земельного участка на участки заданной величины (как равные, так и неравные). Мензульная съемка земельного участка.

4. Умение пользоваться поперечным масштабом, делительным циркулем, палеткой.

5. Умение определить расстояние до неприступной точки с помощью подобия треугольников и при помощи тригонометрии (острого угла).

6. Умение пользоваться транспортиром и астролябией для определения угла наклона. Определение высоты недоступного предмета.

7. Расчет силы, необходимой для поднятия груза по наклонной плоскости при помощи блока.

IX КЛАСС

1. Умение пользоваться логарифмической линейкой (умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня).

X КЛАСС

1. Умение вычислять площади и вычислять расстояния с применением тригонометрии.

2. Умение производить необходимые измерения и вычислять объемы тел, имеющих форму куба, параллелепипеда, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара.

3. Умение пользоваться теодолитом.

В программе VIII—X классов имеется целый ряд разделов, которые дают широкую возможность для разнообразных практических работ; такими разделами являются: пропорциональные отрезки и подобие фигур, длина окружности и площадь круга, учение о многогранниках и круглых телах, решение треугольников в курсе тригонометрии. И в дореволюционной русской школе и в буржуазных школах запада имеется некоторый опыт постановки работ, имеющих практическое значение. Так, например, соответствующий раздел мы имеем в классической книге элементарной геометрии Адамара. В советской школе вопрос о практических работах в связи с изучением математики также занимал преподавателей. Однако здесь не всегда правильно ставилась эта работа. Практика в период, предшествующий постановлению ЦК ВКП(б) о школе, почти вытеснила теорию. В данное время сугубо подчеркивается значение теории, значение системы в изучении математики. В указанном выше приказе Наркомпроса от 26/V1II 1940 г. совершенно определенно указано: «Все перечисленные выше практические занятия и экскурсии должны проводиться в связи с изучением биологии, химии, физики, математики и черчения, не нарушая систематичности программы.

Таким образом, основной задачей школы является, прежде всего, полноценное усвоение программного материала. Практика должна завершать процесс обучения, помогая усвоению и закреплению теории и в то же время подготовляя учащихся к будущей практической деятельности.

Для старших классов хотелось бы здесь отметить ряд работ, имеющих значение в том отношении, что они могут возбудить в учащихся новые мысли, новые идеи, пробудить интерес к дальнейшим, более углубленным занятиям по математике.

Укажем в числе этих работ хотя бы работы, связанные с минимумом и максимумом.

Пусть учащиеся в связи с изучением многогранников получают, например, такую задачу:

«Дан лист железа, размером в кв. метр. Требуется из него сделать сосуд в виде прямоугольного параллелепипеда (без крышки). При какой высоте объем этого сосуда будет наибольший?» Задача совершенно практическая (черт. 5). На первом этапе разрешения поставленной задачи учащиеся могут воспользоваться таблицей.

Черт. 5

Таким образом устанавливается, что объем сосуда будет зависеть от высоты. Естественно перейти к аналитическому выражению этой

функциональной зависимости; она будет выражена следующей формулой:

Если мы перейдем к графику этой функции (которую построим обычным образом по точкам), то получим более наглядное истолкование зависимости, выполненной нами сначала в табличной форме (черт. 6).

Для учащихся будет совершенной новостью, что здесь есть какие-то особые точки, что при сравнительно меньшей поверхности в некоторых случаях может получиться больший объем.

Зародившийся интерес, возникшие в этом случае мысли могут быть удовлетворены в порядке кружковых занятий, где учащиеся могут познакомиться с основными идеями классического анализа: понятием о производной, о диференцировании, об экстремумах.

Нередко преподаватель ставит вопрос: где же взягь время для выполнения практических работ и как организационно должна строиться эта работа? Само собою разумеется, что ни о каких дополнительных часах в учебном плане здесь не может быть речи. Время должно быть найдено за счет улучшения качества преподавания математики. Здесь имеются у нас значительные резервы: часть времени — за счет часов, указанных на повторение материала. Работы, требующие выхода в поле, конечно, должны быть запланированы на осень и весну; прочие же работы, не требующие экскурсий, могут и должны выполняться в обычной классной обстановке.

В процессе работы, возможно, возникнет повышенный интерес к практическим работам, тогда естественно будет организовать особые кружки: кружки юных топографов-геодезистов, кружки по выработке конструкций и изготовлению наглядных пособий, по изучению счетных приборов, по изучению и составлению номограмм и др.

Само собой разумеется, что не все указанные выше работы могут быть проведены немедленно; на первое время можно было бы взять лишь некоторые из них, учитывая конкретные условия работы и степень оборудования школы.

По мере накопления опыта, постепенного накопления навыков учащихся, по мере перехода из класса в класс, число работ может постепенно увеличиваться.

Черт. 6

ОТКЛИКИ НА СТАТЬИ

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ ФОРМУЛ ОБЩЕГО ВИДА УГЛОВ

А. ГОРСКИЙ (Великие Луки)

При решении тригонометрических уравнений следует формулы общего вида углов приводить к простейшему виду. Первое время это несколько затрудняет учащихся. Однако, вопрос о преобразовании этих формул не представляет тех больших трудностей, на которые указывает т. Падучев в своей статье*.

Дело в том, что методика преобразования формул общего вида углов, по-моему, проста, и требует лишь твердого знания общего вида четного и нечетного числа (для первого 2п и для второго 2/î+l)- А для объединения двух-трех формул в одну учащимся достаточно знать, что это объединение возможно в том случае, когда в ряде наименьший по абсолютной величине угол является общим делителем для остальных углов. Этого вполне достаточно для того, чтобы ученик быстро и легко мог упрощать формулы или объединять несколько формул в одну, поэтому выделять особые часы для подготовки к этому учащихся и теоретически обосновывать эти простые преобразования на основе изучения специфики формул общего вида углов как некоей арифметической прогрессии я считаю совершенно нецелесообразным.

Обратимся к примерам. Возьмем те решения тригонометрических уравнений, которые приведены в ст. Падучева.

1) Задача № 64, § 11, дает решения:

В первой формуле решения 36° можно вынести за скобку. Тогда получим:

Так как An ± 1 всегда число нечетное, можем записать:

* См. журнал «Математика в школе» № 2 1939 г.

Откуда

получаем ответ, совпадающий с ответом задачника Рыбкина.

Точно так же преобразуем и вторую формулу:

Объединение этих формул в одну невозможно, так как 36 не есть делитель 60. 2) Задача №65, §11.

Решения:

Первая формула максимально проста, преобразуем вторую:

Откуда

что также соответствует ответу задачника.

3) Пусть л:, = 180°. л+120° и Хй = 180°-л+ 30°.

Так как 120° делится на 30°, эти две формулы можно объединить в одну, причем в окончательной формуле должен быть наименьший угол, равный 30°. Сначала преобразуем первую формулу:

Вторую же формулу преобразуем так:

Так как множитель 2/z+ 1 в первой формуле есть число нечетное, à во второй 2п — множитель четный, объединяем обе формулы в одну:

X = 90° .л + 30°, где п любое целое число натурального ряда.

4) Пусть хх =180°. п + 140°,

Так как 140° и 80° делятся на 20°, формулы можно объединить в одну.

И первой формулы имеем:

Из второй формулы имеем:

Третью формулу представляем так:

Множители Зл, Зл-fl и Злг +2 есть числа натурального ряда, поэтому данные три формулы о уединяем в одну: X = 60°/i + 20°, где п любое целое число.

5) Пусть решения тригонометрического уравнения будут:

Так как 60° делятся на 30°, можно две формулы объединить в одну. Имеем:

Так как 2п число четное, а 2п — 1 нечетное число, можно записать: X = 90°-/х + 30°, или: 30° (Зя + 1), где п любое целое число.

6) В уравнении tg Ъх = sin 6х (№46, §14) получаем решения:

Первая формула максимально проста. Преобразуем вторую и третью формулы так:

Множители 8п + 1 и 8л + 3- числа нечетные при любом значении л, поэтому их можно заменить множителем 2п + 1. Следовательно, вторую и третью формулы можно объединить в одну. Получим:

что и соответствует ответу задачника.

Полагаю, что этих примеров достаточно, чтобы убедиться, что упрощение и объединение формул общего Еида углов сводится к простейшим тождественным преобразованиям и при достаточном внимании к этому со стороны преподавателя учащиеся быстро и легко овладевают искусством этих преобразований.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

ОБЗОР НОВЫХ КНИГ

С. НОВОСЕЛОВ (Москва)

И. М. Гуль. Сборник геометрических задач. Планиметрия (дополнение к стабильному задачнику Н. Рыбкина). Пособие для учителей. Учпедгиз, 1940, 32 стр., ц. 45 коп.

Задачник И. М. Гуль принадлежит к числу сборников задач, выпускаемых Учпедгизом в качестве дополнения к стабильным учебникам Рыб сина и Шапошникова и Вальцова. Эти дополнительные сборники выпускаются как пособия для учителя; их назначение — дать преподавателям запас:

1) задач, необходимых для закрепления и повторения пройденного материала;

2) задач на те разделы, которые недостаточно полно представлены в стабильных задачниках;

3) задач более повышенной трудности, отличающихся от шаблонных методами решения и требующих от учащихся некоторой сообразительности.

Работа по составлению сборника, удовлетворяющего перечисленным требованиям, выполнена автором И. М. Гуль, с нашей точки зрения, вполне удачно. Книга содержит 345 задач на разные отделы планиметрии. Среди этих задач имеется значительное число задач на доказательство и построение, что является весьма существенным, так как количество задач этого типа в стабильном задачнике Рыбкина недостаточно. Задачи подобраны с тем расчетом, чтобы развить у учащихся умение сознательно подходить к решению поставленных вопросов. Многие из этих вопросов крайне просты как по самой их постановке, так и по методу решения. Приведем такие примеры.

«Найти точку, сумма расстояний которой до четырех вершин данного выпуклого четырехугольника была бы наименьшей из всех возможных»; «Можно ли треугольник разрезать на два равносторонних треугольника?» Весь материал книги подобран с тем расчетом, чтобы способствовать повышению уровня математического развития учащихся. Большинство задач снабжены ответами и указаниями.

Л. Г. Шнирельман. Простые числа. Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1940, 60 стр., ц. 1 р. 25 к. Брошюра «Простые числа», принадлежащая перу выдающегося ученого Л. Г. Шнирельмана (1905—1938), рассчитана на читателя, владеющего элементарной математикой в объеме школьного курса. В ней рассмотрены следующие вопросы: разложение целых чисел на множители, алгоритм Эвклида, элементы теории сравнений, целые комплексные числа, представление целого числа в виде суммы четырех квадратов, оценки для числа простых чисел, не превосходящих данного числа и асимптотические формулы Мартенса. Весь основной материал книги вполне доступен читателю, владеющему элементарной математикой; лишь в последних четырех параграфах автор пользуется понятиями сходящегося и расходящегося ряда, и в последнем параграфе используются методы математического анализа. Книга Шнирельмана может служить введением в основные идеи современной теории чисел. Весь материал изложен весьма отчетливо, хотя и несколько сжато. Книга читается с большим интересом. В первую очередь книгу Шнирельмана можно рекомендовать учителям, занимающимся повышением своей квалификации, а также учащимся педагогических и учительских институтов. Много интересного материала можно использовать для занятий школьных математических кружков. Мы полагаем, что учащиеся, интересующиеся математикой, смогут под руководством учителя познакомиться в кружках с такими интересными вопросами, как делимость в области целых комплексных чисел и алгоритм Эвклида, доказательство бесконечности множества простых чисел, малая теорема Ферма и ее применение и т. д.

В. Н. Комаров. Высшая математика. Часть 2. Пособие для нематематических факультетов педвузов. Учпедгиз, Ленинградское отделение, 1934, 390 стр., ц. в перепл. 6 р. 20 к.

Вторая часть книги Комарова содержит изложение следующих вопросов: элементы аналитической геометрии в пространстве, функции нескольких аргументов, исследование плоских кривых, элементы теории комплексных чисел, интегрирование функций одного аргумента, элементы теории рядов и элементы теории обыкновенных диференциальных уравнений. Стиль изложения, принятый автором в первой части его книги, в основном сохранен и во второй части. Книга написана доступно и живо, автор старается дать правильную, соответствующую современному состоянию науки, трактовку основных вопросов математического анализа. Разумеется, в учебнике, рассчитанном на студентов нематематических факультетов, автор вынужден сообщать ряд фактов без доказательства, но автор всегда предупреждает об этом и тщательно избегает вводить читателя в заблуждение всякого рода нестрогими «доказательствами». Благодаря тому, что основное внимание обращено не на рецептуру, а на идейное содержание предмета, книга Комарова представляет интерес и для учителей-математиков; ее можно рекомендовать в качестве пособия студентам

учительских институтов, а также лицам, начинающим изучать математический анализ. К числу основных недостатков книги следует отнести чрезмерную растянутость некоторых глав и параграфов, что привело к излишнему увеличению ооъема книги. Так, например, глава III, посвященная изучению плоских кривых, перегружена материалом, совершенно неуместным в кратком учебнике (обобщение полярных координат), расположение кривой относительно нормали и т. д. Но, с другой стороны, в книге нет понятия кривизны и пространственных кривых. Излишне растянута глава о несобственных интегралах. Формула Тейлора помещена слишком поздно в отделе, посвященном рядам, благодаря чему не выяснена ее роль в исследовании локальных свойств функции, а также в исследовании кривой в окрестности данной точки. Автор много говорит об интегральных суммах, но в книге нет достаточно отчетливого разъяснения, в каком смысле надо понимать выражение «предел интегральных сумм», ведь это есть новое понятие, отличное от известных понятий предела функции и последовательности. В целом книгу Комарова можно считать хорошим пособием для лиц, начинающих изучать математической анализ.

Р. О. Кузьмин и Д. К. Фаддеев. Алгебра и арифметика комплексных чисел. Пособие для учителей средней школы. Учпедгиз, 1939, 185 стр., ц. в перепл. 2 р. 30 к.

Книга Кузьмина и Фаддеева разделяется на две части: алгебра комплексных чисел и арифметика комплексных чисел. Первая часть содержит изложение следующих вопросов: комплексные числа и действия над ними, многочлен и теорема о непрерывности многочлена, доказательство основной теоремы высшей алгебры, теорем о разложении многочлена на множители и о кратных корнях, двучленные уравнения и построение правильных многоугольников, решение уравнений 3-й и 4-й степеней, показательная функция и логарифм. Вторая часть книги посвящена рассмотрению следующих вопросов: целые числа Гаусса, вопрос о делимости в области целых чисел Гаусса, числа, связанные с кубическим корнем из единицы, дискретные кольца комплексных чисел. Мы полагаем, что подбор материала в первой части книги не является удачным для книги, предназначенной в качестве пособия для учителей. Много внимания авторы уделяют материалу, входящему в курс высшей алгебры. Такие вопросы, как равномерная непрерывность полинома, теорема существования корня, теорема Безу, формулы Виета, формула Тейлора, читатель найдет в любом курсе высшей алгебры, а потому вряд ли целесообразно в книге, предназначенной в качестве пособия для учителя, дублировать соответствующие разделы вузовского учебника. Мы не считаем целесообразным уделять много места, как это делают авторы, формулам решения уравнений 3-й и 4-й степени: ведь важен факт возможности решить уравнения 3-й и 4-й степеней в радикалах, а не сами формулы, имеющие весьма незначительную практическую ценность. Вместе с этим, целый ряд вопросов, имеющих для учителя средней школы значительно больший интерес, остался в стороне, например, авторы не касаются вопроса о толковании комплексного числа, как оператора поворота и растяжения на плоскости. Далее, представляло бы интерес рассмотреть значительно большее число примеров разной степени трудности на доказательство тождеств и неравенств и их геометрическую интерпретацию. Книга не свободна от дефектов, имеющих источником небрежность и недоработанность. Так, на стр. 11 комплексное число рассматривается как сумма действительного и мнимого числа, а на стр. 12 даются определения арифметическим действиям. Вопросу о включении множества действительных чисел в множество комплексных чисел не уделено достаточно внимания. Рассуждения параграфа 3, касающиеся изменения аргумента при обходе по замкнутому контуру, неубедительны. В небольшой главе, посвященной кватернионам, совершенно не уделяется внимания геометрической интерпретации. Несмотря на отмеченные недостатки, учитель сможет найти в первой части много интересного и полезного материала как для работы над повышением своей квалификации, так и для занятий школьных математических кружков. В целом книга написана на надлежащем научном уровне. Ряд замечаний и отдельных мест представляют значительный интерес и имеют принципиальную важность. К числу таких мест можно отнести § 2 о возможности разных видов алгебры, петит на стр. 23—24 о распространенной ошибке при «доказательстве» геометрического изображения числа /, на стр. 33 замечание об определении умножения и т. д. Материал второй части книги представляется нам имеющим большой интерес для учителя средней школы. Теория делимости в дискретных кольцах комплексных чисел и приложения к основным вопросам теории чисел,— все эти вопросы, связанные с построением арифметики, отличной от обыкновенной, имеют большое принципиальное значение. Здесь с новой точки зрения получают освещение вопросы обычной арифметики о делимости, о простых числах и о разложении чисел на простые множители. Нам представляется, что было бы более важным эту вторую часть расширить за счет первой. В целом книга написана вполне доступным, хорошим языком.

НОВЫЕ КНИГИ ПО МАТЕМАТИКЕ

В. НЕВСКИЙ (Москва)

I. УЧЕБНИКИ ДЛЯ ВУЗОВ

Амбарцумян, Г. А. и Егудин, Д. И. Конспект лекций по теории вероятностей. (Ленинградский финансово-экономический институт). Л., Изд. института, 1940, 86 стр., тираж 350 экз.

Боженко, А. С. Приближенные вычисления. Краткое пособие для технических расчетов. (Ленинградский электротехнический институт инженеров сигнализации и связи НКПС). Л., Изд. института, 1940, 52 стр., ц. в перепл. 4 р., тираж 1 000 экз.

«Книга имеет своей целью показать, как надо оперировать с приближенными данными в отличие от арифметики точных чисел, а также показать, как оценивается погрешность полученных результатов».

Вентцель, М. К., проф. Сферическая тригонометрия.

Краткий курс УУЗ ГУГК при СНК СССР. Допущено в качестве учебного пособия для геодезических вузов, топографических техникумов и училищ. М., Геодезиздат, 1940, 80 стр., с черт, ц. 5 р., тираж 2 000 экз.

Книга дает круг сведений «в объеме строго необходимом и минимально достаточном для последующего прохождения и усвоения курсов астрономии и геодезии».

Виноградов, И. М. Основы теории чисел. 3-е, переработ, изд., утвзржд. ВКВШ при СНК СССР в качестве учебника для физико-математических факультетов университетов. М.—Л., Гостехтеоретиздат, 1940, 112 стр., ц. в перепл. 3 р., тираж 10 000 экз.

В книге дается систематическое изложение основ теории чисел в объеме общего университетского курса. Хотя автор ограничивается классическими элементами дисциплины, однако значительное количество задач вводит читателя также в круг некоторых более новых идей в области теории чисел.

Глаголев, А.А., проф. Аналитическая геометрия. М., изд. Всесоюзного заочного института советской торговли. 1940, 108 стр., с черт., тираж 2 000 экз. Учебник, составленный по программе экономических вузов. Материал разбит на 6 заданий, расположенных в той последовательности, которая является наиболее целесообразной для заочного обучения.

Звягинцев, Н. А., доц. Обыкновенные диференциальные уравнения. М. Изд. всесоюзной промакадемии им. Сталина, 1940, 276 стр., тираж 300 экз. Курс разделен на две части: ч. I —обыкновенные диференциальные уравнения первого порядка и ч. II — уравнения второго порядка.

Канторович, Л. В., проф. Определенные интегралы и ряды Фурье. Составлено по записям лекций. Л., изд. Ленинградского гос. университета. 1940, 264 стр., ц. в перепл. 17 р. 50 к., тираж 1 000 экз.

Обработка части курса лекций, читанных по анализу на II курсе математико-механического факультета ЛГУ в 1938/39 г.

Клименко, И. И. Курс диференциального и интегрального исчислений. М.— Л., Военмориздат, 1940, 280 стр., с черт., ц. в перепл. 4 р. 75 к.

Пособие по высшей математике для военно-морских училищ.

Лузин, Н. Н., акад. Теория функций действительного переменного. Общая часть. Учебное пособие для педвузов. М., Учпедгиз, 1940, 304 стр., с черт, и схем., ц. в перепл. 5 р., тираж 5 000 экз.

Целью своей книги автор ставит «решение только чисто педагогической проблемы преподавания начал теории функций» будущим учителям средних школ. Книга имеет следующие главы:

I. Множество и мощность. II. Множества точек. III. Теория пределов. IV. Функция и непрерывность. V. Непрерывные кривые. VI. Аналитическое изображение непрерывных функций.

В особых приложениях даны: I. Теория иррациональных чисел и II. Классификация Бэра.

Попов., И. Г., проф., и Mаслов, И. Ф., проф. Геометрическое черчение. Сборник геометрических построений (текст). Под общей ред. проф. И. Г. Попова. М., Оборонгиз 1940, 180 стр., ц. в перепл. (с прилож. таблиц) 10 р., тираж 15 000 экз.

Приложение. Таблицы (№ 1—50). 25 стр. Учебное пособие по курсу геометрического черчения для авиационных техникумов и вузов.

Привалов, И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. Изд. 6-е перераб. и дополн. Допущено ВКВШ при СНК СССР в качестве учебника для физико-математических факультетов гос. университетов и педагогических институтов. М.—Л., Гостехтеоретиздат, 1940, 408 стр., с черт., ц. в перепл. 11 р. 75 к., тираж 5 000 экз.

Существенным отличием этого издания от предыдущих является включение отдельной

главы (XI), посвященной изложению элементов теории эллиптических функций.

Трофимов, В. Г. Основные сведения по теории вероятностей. Под ред. Г. И. Блинова. М., 1940, 72 стр., с граф., тираж 1 000 экз. (Военная академия механизации и моторизации РККА им. Сталина).

Краткое изложение теории вероятностей (в 20 главах^ с иллюстрациями из области артиллерии.

Шаманский, Л. И. Геометрия недр. Иркутск. Обл. изд-во, 1940, 64 стр. текста и 16 отд. л. черт., тираж 300 экз. (Иркутский горно-металлургический институт.)

Сборник задач по горной геометрии с методическими указаниями по решению задач. В отличие от существующих руководств особенно подробно изложен способ изогипс.

II. УЧЕБНИКИ ДЛЯ ШКОЛ ВЗРОСЛЫХ И СПЕЦКУРСОВ

Богуцкий, Р. И., и Задунайский, А. М. Задачи и упражнения по алгебре. Для X класса школ взрослых. (Теория соединений и бином Ньютона.) Под ред. 3. Я. Квасниковой. Л., 1940, 18 стр., ц. 1 р. 25 к., тираж 1 500 экз. (Ленинградский гор. отдел народ, образов. Метод, кабинет средних школ взрослых. В помощь учителю. Вып. 2.)

Пушкин, М. К. Хозяйственные вычисления. Изд. 2-е, перераб. и дополн. Под. ред. проф. Г. А. Попперек. М., изд. Всесоюзного комбината кооперативного заочного обучения, 1940, 150 стр., тираж 3 000 экз. (Центросоюз СССР и РСФСР).

Для 2-го издания книга подверглась значительной переработке, особенно гл. I («Метрическая система мер») и гл. VI («Товарные вычисления»).

Хмелев, Н. Курс математики и хозяйственных вычислений. Для заочного обучения колхозных счетоводов (составл. при участии А. Е. Королькова). Под общей ред. В. П. Левинского. М., 1940, 120 стр., с илл. Тираж 15 000 экз. (Наркомзем СССР. Всесоюзные заочные учетные курсы.)

Шнайдерман, А. Я. Конспект по элементарной математике (алгебра). Ташкент, 1940, 160 стр., ц. 3 р., тираж 5 000 экз.

Он же. Конспект по элементарной математике (тригонометрия). Ташкент, 1940, 136 стр., ц. 3 р., тираж 1 100 экз.

Он же. Сборник формул по элементарной и высшей математике. Ташкент, 1940,248 стр., с черт., ц. в перепл. 5 р., тираж 1 100 экз.

Три пособия для подготовки в военные академии и вузы и для самообразования, выпущенные в свет отделом общеобразовательной и курсовой работы окружного Дома Красной Армии Средне-Азиатского военного округа.

III. НАУЧНО-ПОПУЛЯРНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ

Зетель, С. И. Новая геометрия треугольника. М., Учпедгиз, 1940, 96 стр., с черт., ц. в перепл. 1 р. 50 к., тираж 10 000 экз.

Книга имеет своей целью дать учителю средней школы, студентам педвузов и более подготовленным учащимся старших классов средней школы основные сведения по так называемой «Новой геометрии треугольника» — отрасли математики, созданной за последние 30—40 лет.

Шнирельман, Л. Г. Простые числа. М,— Л., Гостехиздат, 1940, 60 стр., ц. 1 р. 25 к., тираж 5 000 экз.

«Настоящая брошюра может служить введением в ту часть математики, которая занимается изучением свойств целых чисел и носит название теории чисел. В брошюре затронуты только те свойства целых чисел, которые связаны с разложением их на простые множители».

Брошюра доступна для более подготовленных учащихся последних классов средней школы.

VI. МЕТОДИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ СРЕДНИХ ШКОЛ

Беркович, А. К. Целая рациональная функция и алгебраические уравнения в курсе X класса средней школы. Одесса, 1940, 16 стр., тираж 1 000 экз., на украинском языке. (Одесской обл. институт усовершенствования учителей.)

Гуль, И. М. Сборник геометрических задач. Планиметрия. (“Дополнение к стабильному задачнику Н. Рыбкина.) Пособие для учителей. М. Учпедгиз, 1940, 32 стр., ц. 45 к., тираж 50 000 экз.

В книге даны задачи: 1) для закрепления пройденного и 2) более трудные задачи на построение и доказательства для развития конструктивных способностей учащихся.

Домашние задания по математике. Материал в помощь докладчикам августовского совещания учителей 1940 г. (Состав. Теплов.) Ташкент, Изд. Наркомпроса УзССР, 1940, 12 стр., ц. 20 к., тираж 1 500 экз.— на русском языке и 4 000 экз.—на узбекском языке.

К проверочным испытаниям (методические указания). Вып. I. Математика. Физика. Алма-Ата, Казгосиздат, 1940, 32 стр., тираж 3 000 экз. (Управление средних школ НКП Казах. ССР.)

Кречмар В. А. Задачи по алгебре. Пособие для учителей средней школы. Л., Учпедгиз, 1940, 106 стр., ц. в перепл. 1 р. 30 к., тираж 10 000 экз-

Книга преследует две цели: показать образцы решения алгебраических задач и сообщить минимум теоретических сведений, необходимых для сознательного решения задач. Автор останавливает свое внимание исключительно на принципиальных вопросах (неравенства, иррациональные уравнения, комбинаторика и т. д.), в той или иной мере входящих в школьную программу и слабо освещенных в существующей учебной литературе.

Материалы к августовским учительским совещаниям. (Управление средних школ НКП Казах. ССР.) Алма-Ата, Казгосиздат, 1940, тираж 3 000 экз.

Вып. III. Математика, 16 стр., цена не указ.

Вып. V. Алгебра. Геометрия. 28 стр., ц, 85 к.

Методика решения задач на построение в средней школе. (Украинский научно-исследовательский институт педагогики.) Под ред. проф. А. М. Астряба и проф. О. С. Смогоржевского. Утвержд. НКП УССР. Киев, 1940, 268 стр., ц. в перепл. 3 р. 55 к., тираж 10 200 экз., на украинском языке.

Книга состоит из двух частей: I. Теория геометрических построений (6 глав различных авторов) и П. Методика решения задач на построение (4 главы).

Нормы оценки успеваемости учащихся по математике. V—VII классы. М., изд. НКП РСФСР, 1940, 18 стр., ц. 20 к., тираж 75 000 экз.

Нормы разработаны научно-исследовательским институтом школ и утверждены коллегией Наркомпроса РСФСР.

Нормы оценок знаний по математике (проект). Киев. Украинский н.-и. институт педагогики. 1940, 28 стр., ц. 25 к., тираж 20 070 экз., на украинском языке.

Севастьянов П. Я. Тригонометрия в русской дореволюционной средней школе. («Известия Воронежского Гос. педагогического института», 1940, т. VI, вып. 4, стр. 39-57).

В работе дан очерк программ и методов преподавания тригонометрии в средней школе с XVIII столетия по начало XX в. (по отдельным периодам).

Таланов Н. А. Решение сложных и типовых арифметических задач в V классе. Ростов-на-Дону Ростведиздат, 1940, 56 стр., ц. 1 р. 80 к., тираж 2 030 экз. (Ростовский обл. институт усовершенствования учителей.)

Шмуленсон, Л. М. К теории соединений и биному Ньютона. (Винницкий обл. институт усовершенствования учителей. Обмен педагогическим опытом). Винница, 1940, 20 стр., тираж 500 экз.

Штейнберг, А. И. Методическое пособие по черчению. VIII класс. Харьков. Обл. институт усовершенствования учителей, 1940, 116 стр., с черт., бесплатно, тираж 500 экз, (обмен педагогическим опытом).

Планирование программного материала. Планы и указания по работам на I—IV четверти года.

VII. Методическая литература по заочным учебным заведениям и школам взрослых.

Корольков, А. Как готовиться по математике. (Методическое пособие для начальников контор связи.) М., Всесоюзный комбинат заочного обучения работников связи. 1940, 32 стр., бесплатно, тираж 3 000 экз.

В книжке даны организационно-методические указания по подготовке к приемным испытаниям по элементарной математике при зачислении на заочные курсы повышения квалификации работников связи и приведено 70 примерных задач, даваемых на испытаниях, с ответами на них.

Методические указания студентам первого курса, готовящимся к сдаче экзаменов по высшей математике, начертательной геометрии, химии, физике. (Всесоюзный заочный индустриальный институт.) М., 1940, 73 стр., тираж 600 экз.

Указания по высшей математике и начертательной геометрии даны на стр. 6—51.

Сборник учебно-методических материалов по техническому обучению рабочих. (Методические разработки по математике.) Ростов-на-Дону, Ростведиздат, 1940. 136 стр., тираж 365 экз. (Ростовский-на-Дону институт технического обучения рабочих.)

В книге дано 6 примерных разработок по элементарной математике для курсов мастеров социалистического труда и приведены (в начале книги) контрольные задачи, предлагаемые при приеме на курсы.

Цхакая, С. Основные вопросы преподавания математики в средней школе взрослых, часть I. Арифметика и алгебра. Тбилиси, 1940, 106 стр., бесплатно, тираж 500 экз. (НКП Грузинской ССР. Республиканский педагогический кабинет неполной средней и средней школ взрослых.)

Содержание: I. Введение. Общие принципы работы. II. Арифметика. III. Алгебра

VIII. НАГЛЯДНЫЕ УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

Войтов, А. Основные сведения о логарифмической линейке. Свердловск. Изд. Свердловского ж.-д. техникума, 1940, 10 стр., бесплатно, тираж 200 экз.

Карасев, П. А. Модель теоремы Пифагора. Л., Техучпособие, 1940, 4 стр., ц. 15 к., тираж 8 000 экз. (Серия практических руководств к учебно-наглядным пособиям № 45).

Стальков, Г. А. и Эменов, В. Л. Таблицы «Измерение площадей и объемов». Наглядное учебное пособие для начальных школ (2 таблицы). Художн. Г. Н. Дивов. М., Учпедгиз, 1940, 108Х69с,*, Ч- 4 р. 50 к., тираж 50 000 экз.

К таблицам приложено «Методическое пособие для учителя» (8 стр.).

Эменов, В. Л. Таблица мер. Наглядное учебное пособие для начальной школы. М., Учпедгиз, 1940, 67 X 105 см, ц. 1 р., тираж 25 000 экз.

Учебные наглядные пособия. Каталог-справочник. (НКП РСФСР «Главснабпрос».) М., 1940, 120 стр., бесплатно, тираж 60 000 экз.

В III отделе каталога указаны наглядные пособия по математике и черчению.

IX. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАЗВЛЕЧЕНИЯ

Блох Г. Головоломки-перестановки. (Математическая «игра в 15».) М., изд-во «Сотрудник», 1940, 14 стр., с черт., ц. 2 р., тираж 20 000 экз.

10 задач о подводной лодке. Л., Дом занимательной науки, 1940, 17 стр., с илл. и черт., ц. 35 к., тираж 100 000 экз.

10 занимательных задач., М., изд-во «Правда», 1940, 16 стр., с илл. и черт., ц. 30 к., тираж 10 000 экз. («Пионерской правде» — 15 лет.)

Перельман, Я. И. Алгебра на клетчатой бумаге. Л., Дом занимательной науки, 1940, 16 стр., с черт., ц. 40 к., тираж 10 000 экз.

Он же. Арифметические ребусы. Л., Дом занимательной науки, 1940, 20 стр., с илл., ц. 40 к., тираж 200 000 экз.

Он же. Дважды два — пять! Математические софизмы. Л., Дом занимательной науки, 1940,16 стр., с черт., ц. 40 к., тираж 50 000 экз.

Трехзначные логарифмы. Л., Дом занимательной науки, 1940, 4 стр., ц. 30 к., тираж 100 000 экз.

X. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ

Асатиани, Л. Г. Быстрое процентирование, деление и умножение любых чисел на счетах. Таблица к счетам. Тбилиси. Изд-во «Техника да шрома», 1940, 8 стр., ц. 1 р. 50 к., тираж 80 000 экз.

Нейшуллер, Л. Я. Таблицы для вычисления дирекционных углов = аг ctgA^j и расстояний (s = ]/~(àx2) + (A v)2). M.—Л., Гостехиздат, 1940, 228 стр., ц. в яерепл. 12 р., тираж 4000 экз.

Пятизначные таблицы логарифмов. Составл. по заказу Артиллерийского управления Красной Армии. (Обработка М. Я. Кичигина). М.— Л., изд. Академии наук СССР, 1940, 196 стр., ц. в перепл. 11 р. 50 к., тираж 5 000 экз.

Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических функций. Днепропетровск. Управление землеустройства Днепропетровского облзо. 1940, 22 стр., ц. в перепл. 4 р. 50 к., тираж 875 экз.

Субботин, М. Ф. Многозначные таблицы логарифмов. М.—Л., изд. Академии наук СССР, 1940, 44 стр., ц. 3 р., тираж 1 000 экз. (Отделение технических наук Академии наук СССР.)

Содержание. Предисловие (история многозначных логарифмических таблиц). I. Вычисления логарифмов (способы вычисления). II. Таблицы. Таблицы умножения двузначных чисел на двузначные числа, изд. 4-е, М. Контора расчетных изданий БИЗ ЦУНХУ Госплана СССР, 19ч0, 112 стр., ц. в перепл. 85 к., тираж 25 030 экз.

Xохлов, А. И. Карманные математические таблицы. Пятизначные. М.— Л., Гостехиздат, 1940, 208 стр., ц. в перепл. 4 р., тираж 35 000 экз. В книге даны таблицы логарифмов чисел, натуральных значений тригонометрических функций и их логарифмов и таблицы для определения некоторых других, наиболее часто встречающихся при вычислениях величин.

Хренов, Л. С. Таблицы тригонометрических функций. (Четырехзначные: sin, cos, tg, ctg, sec, cosec.)

Воронеж, изд. Воронежского гос. педагогического института. 1940, 58 стр., ц. в перепл. 5 р., тираж 2 120 экз.

Чудов, А. А. Таблицы умножения трехзначных чисел на трехзначные числа. М., Контора расчетных изданий бланкоиздательства, 1940, 454 стр., ц. в перепл. 22 р., тираж 5 000 экз.

ЗАДАЧИ

АРАБСКАЯ ЗАДАЧА

Г. ФИЛИЧКИН (Ядрин, Чувашской АССР)

1. В конце X в. на арабском языке вышла анонимная рукопись. В ней содержалась задача: «Найти три числа, квадраты которых составляют арифметическую прогрессию».

Задача эта в XIII в. была предложена величайшему математику средневековья Леонардо Пизанскому. Профессор А. В. Васильев в своем замечательном историческом очерке о целом числе говорит, что «при решении этой задачи Леонардо исходил из теоремы, по которой каждое квадратное число есть сумма последовательных нечетных чисел, и из остроумно выведенных им формул для суммирования четных и нечетных квадратов».

В письмах Региомонтана, сохранившихся в Нюренбергской библиотеке, имеются два типа арабской задачи. Первая из них требует «найти три квадрата, составляющих арифметическую прогрессию так, чтобы меньшее из них было больше 20 000». Вторая: «Найти три числа, которых сумма равна 216 и квадраты которых составляют арифметическую прогрессию».

Первая из этих задач проста, интереса не представляет. Вторая задача содержательна.

2. Решим арабскую задачу в общем виде. Пусть X, у, z— искомые целые числа, тогда по условию:

Положим в этом уравнении

Тогда, допустив, что m ф 2л,--получим:

Опустив знаменатели и заменив для простоты m через п +k, получим общее решение этой задачи:

Пример:

3. Найдем три наименьших числа, которые удовлетворяют задаче Региомонтана. По условиям задачи 5 = 216. Уравнение:

Решим относительно п, получим:

Так как п и k — числа целые, то необходимо, чтобы Zk2 + 216 = а2 = квадрату целого числа.

Будем отыскивать числа, которые удовлетворяют последнему соотношению:

поэтому необходимо

Положим а2 = — р, тогда:

поэтому необходимо

поэтому необходимо рх = 2р2*

Соотношение — 6 р2 k2 + §р\ —1=0 рассмотрим как уравнение и решим его относительно k2, получим:

Так как k2 — число целое, то необходимо, чтобы 3/>2 + 1 = Я2 = квадрату целого числа.

Решая уравнение Пелля: 3/?^ + 1 = q2, мы определим значения р2 и q, а следовательно, определим и значения искомых чисел: х; у; г.

Одно решение уравнения Ър* -f 1 = q2 очевидно, это /?2 = ±1; Я = ±2. Отсюда:

Но k = 6k2, поэтому

Подставляя каждое из этих значений в соотношении

находим:

есть симметрическая фор-

мула относительно п и следовательно, должны существовать еще два решения:

Из этих десяти решении два решения нужно отбросить:

k = п = 6 и k = п = — 6, так как m=f=2n и пфк. Остальные восемь решений могут служить для нахождения х% V, z. Подставляя в основные формулы п = 30; k = — 6, получим:

л: = —1224; у = 936; z = 504.

Легко показать, что эта задача в области натуральных чисел неразрешима.

4. Вглядываясь в общее решение арабской задачи:

не трудно заметить, что искомые числа не что иное, как сумма катетов, гипотенуза и разность катетов прямоугольного целочисленною треугольника. Действительно:

Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на сумме катетов, на столько больше квадрата, построенного на гипотенузе, на сколько последний больше квадрата, построенного на разности катетов.

Это предложение и теорема Пифагора между собой равнозначимы.

Трудно предположить, чтобы это соотношение не было хорошо известно Леонардо и Региомонтану. Удивительно только, почему они этим соотношением не хотели воспользоваться при решении своих задач?!

5. Существуют ли три натуральных числа, кубы которых составляют арифметическую прогрессию?

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 4 за 1940 г.*

61.

Решить систему уравнений:

(1)

(2)

Имеем:

(1)

(2)

(3)

б)

(2) (3)

Подстановка в (1) дает:

После упрощений:

Решив это уравнение относительно лгу, найдем (3).

Сопоставив каждое из уравнений (3) с (2) и решив обычным путем полученные системы, найдем:

62.

Выписаны подряд натуральные числа:

1234.... 9101112....

Найти цифру, стоящую на 206778-м месте. Легко составить следующую таблицу:

Числа Число таких Число

чисел цифр

Однозначные (1—9) 9 9

Двузначные (10—90) 90 180

Трехзначные (100—999) 900 2 700

Четырехзначные (1 000—9 999) 9 000 36 000

Пятизначные (10 000—99 999) 90 000 450 000

Из таблицы заключаем, что искомая цифра должна входить в состав пятизначного числа. (Можно, но более длинно, вывести это и аналитически.) Далее:

* К моменту сдачи настоящего номера в типографию решений по № 4, в связи с поздним его выходом из печати, получено еще незначительное количество, поэтому сводка решений по № 4 будет дана в № 2.

Значит, искомая цифра в ряду пятизначных чисел стоит на 167 889-м месте.

Определим порядковый номер этого числа в ряду пятизначных чисел:

167 889 = 5.33 577 + 4. Итак, искомое число является 33 578-м пятизначным числом, и в нем искомая цифра стоит на 4-м месте. Так как

1-е пятизначное число: 10 000 2-е » » 10 000+1

3-е » » 10 000 + 2

33548-ое » » 10 000 + 33 577,

то искомое число равно 43 577. В нем четвертая цифра 7, которая и является искомой.

63.

Построить окружность, равноудаленную от четырех точек плоскости. Найти число решений.

Рассмотрим возможные случаи. 1. Все четыре точки лежат на одной прямой. Очевидно, задача имеет решение лишь при условии что AB = CD. Центром окружности может быть любая точка перпендикуляра в ЛД проведенного через середину ВС. Действительно, пусть АЕ = а; BE = Ь; ОЕ = d) AM = BN. Тогда:

По сложении получим:

но

и мы имеем для радиуса выражение:

которое легко построить.

Итак, в этом случае имеем бесчисленное множество решений.

2. Три точки лежат на одной прямой.

Через две точки из лежащих на прямой, например, А и В и четвертую D проводим окружность. Точку С соединяем с О. Делим ЕС пополам в точке F. Окружность с центром О и радиусом OF и будет искомой.

Беря вместо А \\ В точки А и С, В и С, получим еще два решения.

Если четвертая точка окажется внутри первой окружности, то построение аналогично.

3. Никакие три точки не лежат на одной прямой.

Через любые три точки проводим окружность. Если четвертая точка не лежит на этой окружности, то построение аналогично предыдущему. Комбинируя всеми способами тройки точек, получим решение Съп = 4.

Но можно получить еще решения другим способом построения.

Восстанавливаем перпендикуляры к AB и CD в их середине. Из точки их пересечения проводим окружности радиусами OB и ОС Отрезок FE делим пополам в точке М. Из центра О радиусом ОМ проводим искомую окружность.

Беря отрезки ВС и AD, аналогичным построением находим вторую окружность. Если в четырехугольнике ABCD две стороны параллельны, то получим только одну окружность, беря пару непараллельных сторон. Если четырехугольник — параллелограм, то последний способ не дает решений.

4. Однако, если четырехугольник является равнобедренной трапецией, то, как и в первом случае, получим бесчисленное множество решений. Центром искомой окружности может служить любая точка общего перпендикуляра к ВС и AD, проведенные через их середины. Действительно, пусть

Тогда:

По сложение но

Отсюда:

Легко видеть, что случай 1 является частным случаем данного.

Аналогично докажем, что в случае прямоугольника имеем бесчисленное множество решений. Центры искомых окружностей лежат на осях симметрии, проведенных через середины параллельных сторон.

5. Наконец, если данный четырехугольник вообще вписуем, т. е. все 4 точки лежат на одной окружности, то любая окружность, с ней концентрическая, удовлетворяет условию. Это относится и к равнобедренной трапеции и к прямоугольнику, которые, как мы видели в п. 4, имеют еще свои решения.

В большинстве присланных решений рассмотрены лишь некоторые частные случаи, главным образом третий из приведенных здесь. Неверные решения выдвигали обязательное требование, чтобы AJ$XC и D лежали на одной окружности. 64.

Найти геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных прямых равна заданному числу.

Пусть AB и CD — заданные прямые и искомая точка. На перпендикуляре MB отложим MK=MD. Тогда по условию: ВКравна данной величине т. Проведем KN \\ AB. Очевидно, что любая точка биссектрисы угла KND удовлетворяет условию. Следовательно, она и является искомым геометрическим местом.

Если MF> MB, то MF— MB = m, и мы получим вторую прямую, удовлетворяющую условию задачи.

Если данные прямые параллельны и расстояние между ними больше данного числа я, то построение ясно из чертежа 2 (два решения).

Если расстояние между параллельными равно данному числу а, то условию удовлетворяет любая точка плоскости, находящаяся вне полосы, ограниченной данными прямыми. Если же это расстояние меньше а, задача невозможна.

65.

Что больше 1003000 или 300? В таком виде задача совершенно тривиальна. Легко видеть, что

так как, каждый из трехсот множителей, равных 10010, в левой части больше любого множителя в правой части.

Дело в том, что задача была неправильно переписана —в показателе написан лишний нуль. Любопытно, что в целом ряде присланных решений задачи и в данном ее виде она занимает от двух до пяти страниц. 66.

Построить треугольник по трем данным точкам О,, 02, 03, которые получаются из центра описанной окружности симметричным отражением его относительно сторон.

Допустим, что ДЛ£С искомый (0„02, 03— данные точки).

В четырехугольнике АО^ВО диагонали взаимно перпендикулярны и делят друг друга пополам. Следовательно, АОгВО — ромб, сторона которого равна R.

Так же докажем, что аос02 — ромб, сторона которого равна R.

Отсюда имеем:

Oß И 02С и 03Я = 02С = R.

Следовательно, фигура Ozbc02 — параллелограм, и, значит, ВС H 0302 и ВС = Ол02 (1). Совершенно аналогично докажем, что

AB H 020, и AB = 02Ои АС II 030, и АС = 030,.

Итак, Д ABC = Д Ох020^. Теперь легко выполнить построение.

а) Находим радиус R и центр О окружности, проведенной через данные точки

Ou ot, ot.

б) Из точек Ou 02 и 03 радиусом, равным /?„ делаем засечки и находим вершины Л, В и С искомого треугольника.

67.

Сколько существует целых чисел от 1 до 10 000, для которых 2х— х2 не делится на 7.

1. Исключим из значений х от 1 до 10 000 те, при которых данное выражение делится на 7. Подсчитаем последние случаи.

Для того, чтобы 2х — X2 делилось на 4 необходимо, чтобы 2х и X2 при делении на 7 давали равные остатки. Легко проверить, что остатки от деления 2х на 7, начиная от дс=1, будут итти в такой последовательности:

2 4 1 2 4 1 2 4 1.

Остатки же от деления х2 на 7 будут:

1 4 2 2 4 1 0

и далее, в том же порядке.

Итак, первые остатки повторяются через 3, а вторые через 7. Значит, через каждые 21 значение х оба остатка будут повторяться, т. е., например, при х = 22 оба остатка будут те же, что и при х = 0, при х = 23 те же, что и при X = 2, и т. д.

Следовательно, достаточно будет подсчитать, при скольких значениях х в пределах 1^jc^21 2х и X2 будут давать равные остатки. Составим таблицу:

Равные остатки получаются при х = 2, 4, 5, 6, 10, 15 всего шесть значений. Так как 10000 = 21.476-[-4, то чисел, делящихся на 7 будет 6. 476 = 2 856 да еще два числа при де = 21.476+ 2 и при л: = 21.476+ 4. Всего 2 858 чисел. Отсюда чисел, не делящихся на 7, будет:

2 858 = 7142.

Некоторые поняли задачу так, что от 1 до 10 000 изменяется не xt а само выражение 2х — X2 (правда, таких случаев было лишь два). Очевидно, нужно было дать более точную формулировку, например, так: «Сколько существует целых чисел х...» 68.

Доказать, что при всякой системе счисления Б>4 четырехзначное число

является точным квадратом. Преобразуем данное выражение:

Предложение доказано. Здесь у N записано в десятичной системе. При основании В оно запишется так:

и следовательно:

69.

Прямоугольник ABCD со сторонами а и Ь вращается около стороны ВС = а. На стороне CD взяты точки M и N и соединены с А. Как выбрать точки M и N так, чтобы получившиеся три части прямоугольника при вращении дали равные объемы?

Положим CN = X. Тогда

(1)

(2)

По условию:

После упрощений имеем:

Так как по условию х^С.0, то

X = DM = 0,

т. е. точка M совпадет с D. Понятно, что так и должно быть, так как объем конуса ABC равен объема цилиндра ABCD, имеющего те же основание и высоту.

Далее, найдем объем усеченного конуса ABC M (СМ=у).

По условию: Отсюда:

(3)

Из (3) заключаем, что точка M делит CD = Ь в среднем и крайнем отношении (СМ — больший отрезок). Задача вполне элементарна.

70.

Прямоугольник ABCD со сторонами а и Ь вращается около стороны AD — a. Из вершины А опущен перпендикуляр АР на диагональ BD. Найти объем тела, полученного от вращения треугольника APD.

Имеем:

(1)

Остается определить РН. Для треугольника ABD имеем

Отсюда:

Из подобных треугольников ABD и APD берем отношение высот:

Отсюда:

(2)

Подстановка из (2) в (1) дает окончательно:

В тексте задачи были пропущены слова: «на диагональ BD)). Хотя во всех присланных решениях вследствие простоты задачи текст восстановлен правильно, все же задача из конкурса исключается.

71.

На сторонах четырехугольника ABCD взяты точки А\ В1, С1, D1 так, что они делят все стороны в одном и том же отношении:

(1)

Найти отношение площадей AiB1C1D1 и ABCD.

Составляя из (1) производные пропорции, будем иметь:

или:

(2)

или:

(3)

Отношение площадей треугольников AAXDX и ABD, как имеющих по равному углу А, будет равно:

(4)

Совершенно аналогично получим:

(5)

Из (4) и (5), пользуясь свойством равных отношений, можем написать:

(6)

Обозначив площадь ABCD через S, а площадь А*В*С*0* через S1, из (6) будем иметь:

(7)

Отсюда:

Эта изящная задача получила еще решение с помощью тригонометрии, которое и приводим.

Считаем выведенными соотношение (2), (3) и аналогичные им, т. е.

(8) (9)

сохранив прежние обозначения, будем иметь:

(10)

Площади, заключенные в скобки, найдем по формуле 5 =-, найдя значение каждой стороны из (8) и (9) (т. е. и т. д.).

(11)

Не трудно видеть, что каждая из сумм, заключенных в малые скобки, дает величину площади ABCD, т. е. .S. Тогда подстановка из (11) в (10) дает:

Отсюда:

72.

Построить прямоугольный треугольник па данным та и тс (с — гипотенуза).

1. Пусть АСВ — искомый треугольник. В треугольнике AOD:

Следовательно, ДЛО£ мы сможем построить по трем сторонам.

Построив его, из D, как из центра, проведем окружность радиусом AD. Продолжим AD и OD до пересечения с окружностью. Получим искомые точки В и С.

2. На та = АД как на диаметре,строим полуокружность. Делим AD в отношении 2:1 в точке Е. Радиусом, равным тСУ из точки Е проводим дугу, пересекающую полуокружность в некоторой точке С. Продолжаем CD и откладываем DB = CD. Треугольник AGB — искомый:

3. Дадим еще построение с применением алгебраического метода. Из треугольника АСЫ имеем:

(1)

Из треугольника АСВ

или, так как AB = 2тс:

(2)

Вычтя (1) из (2), получим:

(3)

Построив отрезок СЕ из (3), сможем построить £\АСЕ по катету и гипотенузе. Остальное ясно.

73.

Построить треугольник по данным г, ha и h^. 1. Имеем:

2s = haa = hbb = 2rp. (1)

Построим отрезки а\ Ь1 и р\ удовлетворяющие равенствам:

где m — произвольный отрезок. (Все три построения легко выполняются, как нахождение четвертой пропорциональной.) Тогда будем иметь:

Следовательно:

Отсюда построение:

1. Строим отрезки а1, Ь\ рх.

2. Строим С1 = 2/?! — а1 — Ь\

3. Строим Д (а1, Ь\ с1).

4. Проводим высоту Л1/)1 и на ней (или ее продолжении) откладываем AD — ha.

5. Через точку D проводим параллельную СгВх до пересечения с боковыми сторонами.

2. Можно дать аналогичное построение, не вводя произвольного отрезка т.

Из (1) легко получим:

(2)

Вычтя во (2) из членов третьего отношения члены (1) и (2), получим:

Отсюда построение: а) находим отрезок

б) строим треугольник по трем сторонам:

в) производим построения, аналогичные 4 и 5 предыдущего решения.

3. Почти все присланные решения давали второй вариант. Только тт. В. Саннинский и М. Шебаршин воспользовались формулой:

Отсюда определяется hc:

Построив отрезок hc (для построения удобнее предыдущей формуле придать вид:

заданную задачу сведем к известной задаче: построить треугольник по трем высотам.

74.

Решить уравнение:

(1)

Введем обозначения:

(2)

Тогда:

(3) (4)

По возведении (3) в квадрат получим:

(5)

По возведении (5) в квадрат:

(6)

Приняв во внимание (4) из (6), получим:

Решив полученное квадратное уравнение относительно uv, найдем:

что вместе с (3) дает две системы уравнений:

откуда:

//, =6; t/j = 2, или: и2 = 2; v2 — 6.

Подстановка обоих решений в (2) дает:

лг, = 4; лг2 = 1 284.

б) и + v — 8; = 116.

Система дает мнимые решения, не удовлетворяющие данному уравнению.

75.

Решить уравнение:

Умножив на х~ху получим:

или, положив Xх =у:

(1)

Так как 1 + 139 = 32 + 108, то у, = 1. Разделив (1) на у — 1, найдем:

Отсюда: Итак:

и, следовательно:

В некоторых решениях давался еще четвертый корень дг4 = 0. Как известно, 0° является неопределенным выражением. Так как во втором члене уравнения было пропущено основание х, то, несмотря на правильность всех присланных решений, задача из конкурса исключается.

76.

Доказать, что

при /1>0 делится на 41.

Таковы все присланные до сих пор решения. Все они применяют формулу разложения бинома. Можно дать более короткое и изящное решение:

Выражение в первой скобке делится на 49 — 8 = 41. Положение доказано.

77.

Даны две окружности с радиусом R и r. Их общие внутренние касательные взаимно перпендикулярны. Найти площадь треугольника, образованного этими касательными и общей внешней касательной.

1. По условию Д/ШС прямоугольный. Окружности О и Ох вневписанные по отношению к нему. Отсюда, по известным формулам:

(1)

Покажем, что СЕ = DB. Действительно: NB = СМ (как внутренние касательные), н»

NB = BD + R + r и MC = CE + R + r.

Отсюда:

BD = СЕ. (2)

Теперь из (1) имеем:

По вычитании:

3)

С другой стороны:

b — с = АС — AB = R-\~ ЕС — г — BD, или, приняв во внимание (2):

b — c = R — r. (4)

Подставив из (4) в (3), получим:

Откуда:

2. Соединив центры с точками касания внешней касательной и обозначив j/POE = — легко заметить, что Z. DOiQ = 90° — «. Тогда будем иметь:

78.

Доказать, что общее наименьшее кратное чисел 1, 2, 3... 2л равно общему наименьшему кратному чисел л + 1, л + 2,... 2л. Пусть

О.Н.К.[1, 2, 3... 2п]=М. (1)

О. Н. К [л + 1, п + 2 ... 2/1] = /V. (2)

Число Ai является кратным каждому из чисел 1, 2, 3... 2л; следовательно, оно кратно каждому из чисел л+1, л + 2,... 2л, а значит, кратно и их общему наименьшему кратному N:

M = mN. (1)

По условию N кратно каждому из чисел л + 1, л+ 2,... 2л. Но так как

то N кратно и любому из чисел 1, 2, 3,... л, т. е. TV кратно любому из чисел 1, 2, 3... л (л + 1),... 2л, а значит, кратно и их О. Н. Д., т. е. М.

N = пМ. (2)

Из (1) и (2) имеем m = л = 1; M = N.

Возьмем какое-либо число. Положительное число k^.n и добавим его к числам второго ряда. Изменится ли от этого, О. H.K = N? Так как в ряду чисел л+1 л + 2... 2л есть число 2k ^2п и N должно делиться на 2k, то, очевидно, прибавление к ряду (2) числа к не изменяет величины О. Н. Д., а так как k — произвольное число л, то, следовательно, если мы прибавим к ряду (2) все числа от 1 до л, то О. Н. Д. останется тот же, т. е. M = N.

Краткое «доказательство», приведенное в некоторых решениях: раз ряд 1, 2, 3... 2л включает в себе все числа ряда л + 1,л + -f 2,... 2л, то и О. Н. Д. первого ряда равен О. Н. Д. второго — явно логически несостоятельно.

79.

Найти целое число х такое, что сумма

1 + 2 + 3 + ...4-х

является трехзначным числом, все цифры которого одинаковы. Имеем по условию:

(1)

Определим границы для х. Из (1) имеем:

Давая у наименьшее и наибольшее из возможных значений, получим:

или Итак:

(2)

Из (1) имеем

Следовательно, один из множителей числителя должен делиться на 37.

Тогда из (2)

Отсюда:

k = 1; X == 37; х+1 = 38; у — не целое число; б) х+ 1 = 37k. Из (2) получаем снова k= 1 X = 36; X + 1 = 37; у = 6; s = 666.

Итак, имеем одно решение: х = 36.

2. Из квадратного уравнения (1) находим х

Путем проб устанавливаем, что под знаком корня точный квадрат получается лишь при у = 6 (>'^9). Вследствие большого количества проб, это решение нельзя признать удачным. Вместо нахождения равенств (2) можно было бы рассуждать так: положим, что X + 1 > 37. Тогда наименьшее значение для X (дг+ 1) будет:

Но наибольшее возможное значение для X (х + 1) равно 222-9 = 1 998. Следовательно,

Х+К37.

80.

В равнобедренную трапецию, основания которой —2а и 2Ь, вписана окружность. Вычислить:

а) радиус вписанной окружности;

б) длину прямой, соединяющей между собой точки касания боковых сторон трапеции с окружностью.

1) В треугольнике

Отсюда:

2) Так как Отсюда:

Вариант решения первой части задачи: соединим О с А и В. Треугольник АОВ прямоугольный (£0 = 0); ОЕ _L AB. Тогда имеем:

ЗАДАЧИ

1. Квадрат со стороной а равновелик прямоугольнику со сторонами m и а (т < п).

Найти численную величину отношения —, если периметр квадрата составляет — периметра прямоугольника.

2. Найти целое положительное число, не являющееся точной восьмой степенью и имеющее 9 делителей. При делении этого числа на 312 в частном получается простое двузначное число и в остатке 1.

3. Доказать, что, если три числа ху у, z составляют геометрическую прогрессию, то

4. Найти три положительных числа, составляющих геометрическую прогрессию, если известна их сумма и сумма их квадратов. Исследовать решение.

5. Составить квадратное уравнение, имеющее своими корнями:

где хх и jc2 - корни уравнения Определить, при каком условии полученное уравнение имеет равные корни.

6. Составить квадратное уравнение, имеющее корни:

где де, и х2 — корни уравнения ах2+Ьх+-т- с = 0. Определить, при каком условии полученное уравнение имеет противоположные корни.

7. Найти четырехзначное число, являющееся точным квадратом, если его две первые цифры одинаковы и две последние цифры одинаковы.

8. Сумма квадратов трех чисел равна 29 645. Если каждое из них разделить на их О. Н. Д., то произведение полученных частных равно 2 280. Найти эти числа.

9. Середины сторон правильного 6-угольника со стороной а соединены последовательно прямыми. Середины сторон полученного 6-угольника опять соединены и т. д. Определить площадь л-го 6-угольника.

М. Беневольский (Ленинград)

10. В правильном 6-угольнике со стороной а каждая из сторон разделена (идя в одном направлении) в отношении m : п, и точки деления соединены последовательно прямыми. Определить стороны второго 6-угольника.

М. Беневольский

11. Основания биссектрис треугольника ABC со сторонами а, Ъ, с соединены прямыми. Найти отношение площади каждого из четырех полученных треугольников к площади данного.

М. Беневольский

12. Дана окружность радиуса R. Построить квадрат так, чтобы одна из его сторон касалась окружности, а две остальные вершины лежали на окружности. Вычислить сторону квадрата.

Ф. Брижак (Краснодар)

13. Решить уравнение:

A. Бутомо (Саратов)

14. В круг радиуса R вписан правильный /1-угольник. Произвольная точка M окружности соединена прямыми со всеми вершинами многоугольника. Найти сумму квадратов и сумму четвертых степеней полученных хорд.

А. Бутомо

15. Построить вписанный треугольник, если на окружности даны три точки пересечения продолжений высот треугольника с окружностью.

Р. Годованик (Одесса)

16. Найти трехзначные числа, любая степень которых оказывается теми же тремя цифрами (и в том же порядке).

Р. Годованик

17. Определить площадь трапеции по площадям двух треугольников, образованных диагоналями и прилежащих к основаниям трапеции.

Р. Годованик

18. Найти два положительных числа, кратные четырем, разность куоов которых равна четырехзначному числу, кратному 91.

B. Морев (Ленинград)

19. Решить уравнение:

Н. Николаев (Хабаровск)

20. Решить уравнение:

При каких значениях а уравнение имеет смысл?

И. Николаев

ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ*

1. а) Упростить:

б) Двое рабочих кончили вместе работу в 12 часов.

Если бы сначала первый сделал половину этой работы, а затем другой — остальную ее часть, то они употребили бы вместе 25 часов. Во сколько часов каждый отдельно мог бы кончить эту работу?

в) Решить уравнение:

г) Показатель одного бинома на 3 больше показателя другого. Определить эти показатели, если сумма биноминальных коэфициентов в обоих разложениях вместе равна 144.

2. а) Упростить:

б) Вылетев одновременно, дирижабль и самолет летят навстречу друг другу. К моменту встречи дирижабль прошел на 100 км меньше самолета; на место отлета самолета приходит через 3 часа после встречи. Самолет прибывает на аэродром дирижабля через 1 ч. 20 м. после встречи. Найти расстояние между аэродромами и скорости самолета и дирижабля.

в) Решить уравнение:

г) Вычислить:

3. а) Упростить:

б) Две колхозницы принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, чем другая; продав яйца по разной цене, обе выпучили одинаковые суммы. Если бы первая продала столько яиц, сколько вторая, то она выручила бы 36 руб.: если бы вторая продала столько яиц, сколько первая, то она выручила бы 16 руб. Сколько яиц было у каждой?

в) Вычислить дг, если

г) Корни квадратного уравнения

ах2 + Ьх + с = 0

равны хх и лу, составить новое квадратное уравнение, корни которого:

1) вдвое больше корней данного,

2) обратны корням данного.

4. а) Упростить:

б) Двое рабочих вместе выполняют некоторую работу в 2 ч. 55 м. Если они будут работать порознь, то одному понадобится на выполнение той же работы на 2 часа больше, чем другому. Сколько времени нужно каждому рабочему на выполнение этой работы отдельно?

в) Решить уравнение:

* Задачи за № 1—6 давались на вузовских испытаниях в Ленинграде. Печатая их как материал для упражнений, редакция, однако, считает, что задачи под рубрикой а слишком сложны.

г) В уравнении Ъхг + kx + 1 = 0 определить k таким образом, чтобы разность его корней равнялась единице.

5. а) Упростить:

б) Два самолета вылетают навстречу друг другу из городов А и Ву расстояние между которыми 560 км. Через час полета они встретились и, не останавливаясь, продолжали путь. Первый прибыл в город В на 35 мин. раньше, чем второй прибыл в город Л. Найти скорости самолетов.

в) Решить уравнение

г) Найти сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2.

6. а) Упростить:

б) Два лица выходят одновременно навстречу друг другу из мест А и В. При встрече оказывается, что первый прошел на 6 км больше второго. Продолжая движение, первый приходит в В через 4 часа, а второй в А через 9 часов после встречи. Найти расстояние от А до В.

в) Решить уравнение

г) Корни квадратного уравнения

равны хх и дг2; составить новое квадратное уравнение, корни которого были бы

7. В прямоугольный треугольник с катетами д = 21 и Ь = 28 вписана полуокружность так, что центр ее лежит на гипотенузе, а катеты касаются полуокружности. Определить радиус полуокружности и расстояния центра от вершин треугольника.

8. Дана полуокружность радиуса г. Найти на полуокружности точку М, чтобы сумма расстояний от нее до концов диаметра равнялась тг

9. Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной а. Боковые грани— равнобедренные треугольники. Высота пирамиды— 2а. 1) Определить полную поверхность и объем пирамиды. 2) Определить радиус вписанного шара.

10. В плоскости Р дана окружность радиуса R. В конце А диаметра AB составлен перпендикуляр AC — 2R к плоскости Р. Пусть M некоторая точка на окружности. 1) Доказать, что СМ JL ВМ. 2) Определить положение точки М, чтобы объем пирамиды САВМ был наибольшим.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

научно-популярный отдел

Проф. А. Я. Хинчин — О математических определениях в средней школе .-- 1

Проф. В. С. Федоров — Символы бесконечности -f00, —со- 11

С. Новоселов — Понятие предела .-- 18

наглядность в преподавании математики

П. Рыбаков — Роль опыта при преподавании геометрии- 25

В. Репьев — Наглядность при обучении математике .- 27

Г. Михайлов — Наглядность в преподавании стереометрии- 37

B. Кротов — Конструктор по планиметрии - 40

Э. Колаковская — О доказательстве первых теорем геометрии- 44

Л. Никольский — Наглядные пособия по ма?ематике-- 45

Ф. Яновский — Самодельные модели на уроках стереометрии- 48

Г. Кудреватов — Из опыта преподавания - 49

О подготовке к практической работе

Л. Н. Грацианская и А. С. Пчелко — Практические навыки на уроках математики - 50

Н. Никитин — Практические навыки в связи с изучением математики в V—X классах школы .-- 55

отклики на статьи

A. Горский — О преобразовании формул общего вида углов 60

критика и библиография

C. Новоселов — Обзор новых книг---- 62

B. Невский — Новые книги по математике - 64

задачи

Г. Филичкин — Арабская задача- 68

Решения задач, помещенных в №4 за 1940 г.- 69

Задачи - 77

Задачи для учащихся-. 78

Отв. редактор А. Н. Барсуков

Адрес редакции: Москва, Орликов пер., 3. Учпедгиз, журнал «Математика в школе» А32568 Год издания восьмой. Цена 1 р. 50 к.

Подписано к печати 20/XII 1940 г. 5 печ. л. 10,7 уч.-изд. л. B 1 п. л. 96 000 зн. Тир. 42.400 Зак. 1557

18-я тип. треста «Полиграфкнига», Москва, Шубинский пер., 10.