МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

6

1940

УЧПЕДГИЗ НАРКОМПРОСА РСФСР • МОСКВА

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

Проф. В. С. Федоров — Функция................. 1

С. Новоселов — Понятие функции и геометрические интерпретации 3

Проф. В. С. Федоров — Бесконечно малые, бесконечно большие величины и пределы.................... 10

В. Севбо — Фигурные числа и арифметические ряды высших порядков........................... 16

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

Проф. Й. Я. Депман — Недавно найденное сочинение Архимеда 27

Н. Шоластер —О числах вида: = 1+£Ä + $2Ä.........30

ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ

Проф. А. С. Кованько — О видоизменении некоторых выводов, касающихся теории объемов фигур............. 31

A. Фетисов — Геометрические преобразования . ......... 33

B. Падучев — Вписанный и описанный шар............ 37

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

П. Рыбаков — Графическое решение квадратных уравнений при помощи окружности.................... 42

А. Морев —О квадратных уравнениях и квадратных корнях . . . 43

И. Смирнов — К методике решения задач на составление уравнений 45

М. Мельников — Составление квадратных уравнений по условиям

И. Гайлевичус — Наглядность при преподавании математики . V . 51

ИЗ ОПЫТА

Н. Кувыркин — Школьная математическая предметная комиссия 52

Г. Ленгауэр — Зал математических развлечений в Доме занимательной науки.......................... 56

Б. Левитан — О преподавании десятичных дробей......... 60

ЗА ГРАНИЦЕЙ

Проф. И. Я. Депман — Иоганнес Тропфке............. 62

Проф. И. Я. Депман — Новый математический журнал...... 63

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Проф. М. К. Гребенча — О книге Кузьмина и Фадеева «Алгебра и арифметика комплексных чисел»............. 64

С. Новоселов — Обзор новых книг................ 65

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 3 1940 г............. 67

Задачи для учащихся....................... 78

Задачи.............................. 78

Указатель статей, помещенных в журнале «Математика в школе» за 1940 г........................... 79

Сводка по № 3 1940 г...................3 стр. обл.

Отв. редактор А. Н. Барсуков Техредактор Е. М. Зеф

Зав. редакцией М. М. Гуревич

Адрес редакции: Москва, Орликов пер., 3. Учпедгиз, журнал «Математика в школе»

А32951. Сдано в производство 10/Х 1940 г. Формат 70 X Ю8, Учгиз. 1002» Подписано к печ. 27/XI 1940 г. 5 п. л. 10,58 уч.-изд. л. В п. л. 94 000 зн. Тир. 44.500. Зак. 1414

18-я тип. треста «Полиграфкнига», Москва, Шубинский, пер., 10.

Пролетарии всех стран, соединяйтесь!

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

6

1940

ноябрь- декабрь

ГОД ИЗДАНИЯ СЕДЬМОЙ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ФУНКЦИЯ

Проф. В. С. ФЕДОРОВ (Иваново)

В этой заметке я хочу обратить внимание на то, что исследования самых простых задач элементарной геометрии приводят чрезвычайно просто и естественно к понятиям переменной величины, промежутка ее изменения и функции (и не только непрерывной, но и разрывной).

1. Рассмотрим сперва один пример; пусть требуется построить прямоугольный треугольник АСВ, имеющий данный отрезок AB своей гипотенузой. Ясно, что имеется бесконечное множество различных треугольников АСВ.

Обозначим для всякого такого треугольника АСВ длину гипотенузы AB через о, катета АС — через х, катета С В — через у и высоты AD — через z. В силу условий задачи величина а имеет одно и то же значение для всех треугольников АСВ, каждая же из величин х и у может принимать бесконечное множество различных значений (если рассматривать все треугольники АСВ данной задачи):

X может принимать всякое такое значение, которое >0, но<а, т. е. х может равняться любому числу, удовлетворяющему неравенствам: 0<х<а. (1) Равенство х = 0 невозможно, хотя х и может принимать сколь угодно малые значения > 0, а также х может принимать значения, как угодно близкие к а, но невозможно равенство: х = а.

Величины у и z могут принимать все такие значения, которые удовлетворяют неравенствам:

(2) (3)

(очевидно, что в слУчае Х=У)*

причем знаки неравенства < нельзя заменить знаками ^. Значения величин х, у и z, соответствующие одному и тому же треугольнику АСВ, назовем соответствующими друг другу и сделаем вывод:

1. В силу условий нашей задачи («построить треугольник АСВ при одном условии: задана гипотенуза AB») каждая из величин X, у и z может принимать бесконечное множество различных значений. Такие величины называем переменными в данной задаче. Итак, х, у и z — переменные, причем, как говорят, х изменяется в промежутке (1), у—в промежутке (2), z — в промежутке (3). Величина а — постоянная в данной задаче, т. е. имеет одно определенное значение.

2. Каждому значению л: в промежутке (1) соответствует одно определенное значение у (а также -г), так как при заданном значении X получаем задачу о построении прямоугольного треугольника АСВ с данной гипотенузой и с данным катетом АС. Вспомним определение функции: величина у называется в данной задаче функцией (однозначной) от х, определенной в неко-

Черт. 1

тором промежутке изменения х, если каждому значению х в этом промежутке соответствует одно определенное значение величины у. При этом у принимает на всем промежутке изменения переменной или бесконечное множество различных значений (как в задаче с треугольниками АСВ), или же только конечное число различных значений. Понимая под функцией всегда однозначную функцию, если нет оговорок, получим, что в задаче с треугольниками АСВ величины у и z суть функции от ху определенные в промежутке (1).

2. Приведем теперь простой пример такой функции от Х, которая определена для всевозможных действительных значений переменной х и принимает конечное число различных значений, и построим график этой функции. Возьмем на плоскости луч OA и два прямолинейных отрезка: СВ и CD, а также рассмотрим подвижной луч OL у который может иметь всевозможные направления на этой плоскости (черт. 2).

Обозначим через х величину (в радианах) угла, образованного подвижным лучем OL с неподвижным лучем OA.

Через у обозначим число точек пересечения луча OL с неподвижными отрезками СВ и CD. Ясно, что X может принимать всевозможные действительные значения; у может принимать только три значения: О, 1 и 2, причем у есть функция от х, определенная для всех значений х. Построим график этой функции, обозначив через а величину (в радианах) угла ВОС и через ß— величину в радианах угла DOC. Получим чертеж 3 (прямоугольная система координат) или чертеж 4 (полярная система координат: х — угол, у — длина радиуса вектора).

График данной функции на чертеже 3 — типичный график «разрывной ступенчатой функции» и притом периодической с периодом 2тх: для х = 0 имеем у= \ (точка а черт. 3); для 0<*^a имеем у = 2; для a^-K^ß получим у = 1 ; для ß < X < 2 тс получим у = О и для X = 2тс имеем у = 1 (точка b черт. 3).

Для каждого значения х величина у получает одно, строго определенное значение. График этой же функции на чертеже 4 состоит: из точки М(х=0, у = 1 —мы ограничиваемся, конечно, промежутком 0=^x^2 тх); из дуги NP, лишенной точки N, с радиусом ON =2; из дуги QT, лишенной точки Q, с радиусом OQ = l, и из точки О ($<х<2к, У = 0).

3. Легко привести примеры нескольких независимых переменных и функций от таких переменных, исследуя известные задачи элементарной геометрии, например, задачу о построении треугольника АСВ по одной его заданной стороне AB, длину которой обозначим а, и двум прилежащим к этой стороне углам, размеры которых (в радианах) обозначим a и ß (черт. 5).

Рассматривая всевозможные треугольники АСВ с одной и той же заданной стороной AB, получим, очевидно, что а—постоянная величина, a и ß—переменные для этого семейства треугольников АСВ, причем эти переменные изменяются в промежутках: 0<<х<тс, 0<<тг. (4)

Совершенно ясно, что при заданном значении величины а, которое обозначим, например, ту величина ß может принимать все значения в промежутке О <[ ß < тг — m (и, наоборот, при $ = т величина a изменяется в промежутке 0<а<т: — т).

Называем в подобных случаях величины a и р независимыми переменными (это означает, что при всяком заданном значении одной из них другая может изменяться в одном или в нескольких промежутках).

Рассматривая a и ß как прямоугольные координаты точек некоторой плоскости,

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5

мы назовем точку (а, ß),T. е. точку с абсциссой а и с ординатой ß, допустимой точкой, если существует треугольник АСВ с такими углами аир. Легко видеть, что все допустимые точки заполняют внутренность прямоугольного треугольника /COZ, каждый катет которого равен тс (черт. 6).

В самом деле, полагая а = т, где О <С m < тс, мы получим внутри треугольника KOZ также точки с этой абсциссой /я, для которых ß (т. е. ордината) изменяется в промежутке О < ß < т: — m, и задавая ß = mt получим точки, для которых а изменяется в промежутке О < а < тс —т.

Внутренность треугольника и будет областью изменения независимых переменных а и ß.

Каждой точке этой области соответствуют определенные значения углов а и ß для некоторого треугольника АСВ, а потому, называя, например, через х длину стороны ЛС, получим, что величина х, как имеющая одно определенное значение для каждой точки внутри треугольника KOZ, есть функция от независимых переменных а и ß, определенная во всей области изменения этих переменных.

Черт. 6

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ

С. НОВОСЕЛОВ (Москва)

В основе понятия функции лежит идея соответствия. Для уяснения этой идеи обратимся к простейшим примерам.

1°. Пусть X есть число, выражающее длину некоторого отрезка. В силу самого условия X есть число положительное. Рассмотрим квадрат Q, построенный на этом отрезке. Мы можем сказать, что всякому положительному числу х соответствует другое число х2, выражающее площадь квадрата Q.

2°. Пусть во время некоторого физического опыта температура окружающей среды колеблется в пределах от --Л0° до +20°. Каждому значению температуры t, взятому в этом промежутке, —10 =^ t ^ 20 соответствует вполне определенная длина данного стержня.

3°. Пусть X есть радианная мера некоторого угла, X может быть любым действительным числом. Каждому числу х соответствует значение тригонометрического выражения:

это значение есть число 1 — одно и то же, каким бы ни было х.

4°. Количеству купленного товара соответствует уплаченная сумма денег.

Подобного рода примеров различной степени трудности можно привести сколько угодно. При помощи этих примеров мы разъяснили понятие соответствия.

Следующим весьма существенным понятием является понятие числового множества. Обратимся снова к приведенным выше примерам. В примере 1° длина отрезка есть положительное число, поэтому множество всех допустимых значений х есть множество всех положительных чисел. В примере 2°, в силу самого условия, для числа t, измеряющего температуру, возможным является любое значение, заключенное между числами—10 и 20. Значит, множество всех допустимых значений t есть множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенствам:

В примере 3° для х возможно любое действительное значение. Значит множество всех допустимых значений х есть множество всех действительных чисел.

Подмечая то общее, что имеется в рассмотренных нами различных примерах, абстрагируясь от конкретного содержания каждого из этих примеров, мы сформулируем следующее определение:

Если дано некоторое множество действительных чисел и если каждому числу X этого множества поставлено в соответствие определенное число у, то мы скажем, что у есть функция х. Это записывается так:

Так, в приведенных выше примерах площадь квадрата есть функция длины его

стороны; во втором примере длина стержня (в течение данного опыта) есть функция температуры г; в третьем примере значение тригонометрического выражения sin2 х ++cos2JC есть функция радианной меры угла X.

Иногда приходится слышать возражения против такого способа введения понятия функции; эти возражения сводятся к тому, что дать определение понятиям множества и соответствия в средней школе не представляется возможным. Эти возражения не имеют под собой серьезного основания, ибо понятия множества и соответствия являются в математике, по крайней мере, на сегодняшний день, первоначальными понятиями, не поддающимися определению через другие, более простые понятия. Так, например, можно было бы сказать, что множество есть совокупность элементов, собрание элементов, коллекция элементов и т. д., но все это есть лишь замена одного слова другим, ни в коей мере не дающая определения понятия множества. Самое большое, что можно сделать, это разъяснить понятия множества и соответствия на ряде конкретных примеров. Эту, именно, цель и преследовали приведенные выше примеры. Мы не сомневаемся, что примеры, поясняющие идеи множества и соответствия, могут быть при умелом подборе вполне доступны учащимся средней школы (речь идет об учащихся старших, т. е. VIII — X классов).

Возвратимся к понятию функции. Из приведенного выше определения видно, что функция определяется заданием

1°. Множества чисел, назовем это множество множеством значений аргумента;

2°. Закона соответствия, по которому всякому числу этого множества ставится в соответствие значение функции.

Всякое число, принадлежащее заданному числовому множеству, будем называть значением аргумента.

Множество значений аргумента и закон соответствия, определяющие функцию, могут быть весьма разнообразны. Здесь имеется большой выбор примеров как весьма элементарных, так и сравнительно не элементарных. Взятые в надлежащей последовательности эти примеры должны окончательно уяснить учащимся понятие функции. Приведем в качестве образца несколько примеров.

1. Пусть X — положительное число; поставим ему в соответствие объем шара радиуса X. Здесь множество значений аргумента есть множество всех положительных чисел, а закон соответствия выражается известной формулой:

2. Тело падало с некоторой высоты в течение 10 секунд с момента начала опыта. Каждому моменту времени / в пределах 10 секунд падения соответствует пройденный путь. Множество значений аргумента есть множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенствам, 0 =^£=^10, а закон соответствия выражается известной формулой механики:

3. Пусть X — любое действительное число; если X рационально, то поставим ему в соответствие число 1, а если х иррационально— то число 0. Функция, определенная этим законом соответствия на множестве всех действительных чисел, называется функцией Дирихле.

4. Пусть п—любое натуральное число, составим произведение всех натуральных чисел от 1 до n: 1. 2. 3... п. Таким образом, каждому натуральному п соответствует значение этого произведения. Мы получили функцию, определенную на множестве всех натуральных чисел: для ее обозначения, как известно, употребляется символ ni.

5. Пусть X любое действительное число. Возьмем наибольшее целое число у, не превосходящее х.

Так, если х =

Проще будем называть у целой частью X. Итак, каждому действительному числу соответствует его целая часть, и мы имеем функцию, для которой множество значений аргумента есть множество всех действительных чисел.

6. Пусть гфО есть любое рациональное число. Это число можно единственным образом представить в виде несократимой дроби: г = — , где q — целое положительное чис-

ло, а р целое (положительное или отрицательное) число. Всякому рациональному, отличному от нуля, числу г поставим в соответствие знаменатель q. Мы получим функцию, для которой множество значений аргумента есть множество всех рациональных чисел отличных от нуля.

Так, если

Наиболее хорошо изученными операциями являются действия, рассматриваемые в элементарной математике, поэтому вполне естественно стремление на практике — в физике, в технике и в естествознании — выражать законы соответствия, хотя бы приближенно, при помощи формул, содержащих операции, изучаемые в элементарной математике. Но необходимо предостеречь учащихся от ошибки, в которую легко впасть. Эта ошибка имеет источником то, что иногда при изучении функции ограничиваются лишь такими функциями, для которых закон соответствия задается формулой; например, ограничиваются рассмотрением функций:

Это может навести учащихся на неправильную мысль, что функция есть соотношение, задаваемое непременно при помощи формулы. Дело в том, что когда мы говорим о законе соответствия, дающем возможность по значению аргумента определять значение функции, то вовсе не обязательно, чтобы этот закон выражался при помощи формулы, содержащей действия элементарной математики. В математическом анализе известны такие функции, которые не выражаются в элементарных функциях. С этой целью в приведенных выше примерах функций мы и рассмотрели такие функции как функция Дирихле или как целая часть действительного числа. В этих примерах мы дали описание закона соответствия, но совершенно не интересовались тем, может ли этот закон соответствия быть выражен при помощи формулы или нет. Такого рода примеры необходимо приводить учащимся. Наконец, мы считаем полезным давать примеры функций, выраженных разными формулами в различных промежутках. Например, можно определить функцию f(x) на множестве всех действительных чисел следующим законом соответствия:

если X отрицательно, то /(х)=х; если X положительно, то f(x)=x2; если х = 0 то / (х) = 0.

Чтобы избежать впечатления искусственности, можно рассмотреть хотя бы такой пример.

В сосуд объемом 3 л льется вода в течение 10 минут со скоростью 1 Л в минуту. Каждому моменту времени t, где 0^/^10 соответствует объем v жидкости, находящейся в сосуде, поэтому v есть функция г. В течение первых трех минут закон соответствия может быть задан формулой прямой пропорциональности: v = t, но по истечении трех минут сосуд окажется наполненным, вода будет вытекать в том же количестве, в котором она втекает, и объем жидкости в сосуде будет оставаться неизменным. Значит, закон соответствия между v и t таков:

Мы получим функцию, заданную разными формулами в разных промежутках. Рассмотрим еще пример. Всякому действительному числу X соответствует его абсолютная величина \х\; значит, |л:| есть функция х, определенная на множестве всех действительных чисел:

Говоря о функции, мы подчеркнули, что функция определяется заданием множества значений аргумента и законом соответствия. Функции с одинаковым законом соответствия, но с различными множествами значений аргумента следует рассматривать как различные. Пусть, например, f(x)=x2 есть функция, заданная на множестве всех действительных чисел (де — любое действительное число) и пусть ер (je) ===== л:2 есть функция, заданная на множестве всех рациональных чисел (л; — любое рациональное число). Хотя для нахождения значения функции в обоих случаях надо возвести значение аргумента в квадрат, однако эти функции различны, ибо различны их множества значений аргумента. Так, например, /(К^) = = 3, а <р(}/3) не определена никак.

Для наглядного геометрического изображения закона соответствия функции обще-

известным способом является построение графика. Мы остановимся сначала на другом способе. Возьмем две параллельные числовые прямые на некотором расстоянии друг от друга (черт.1). На верхней прямой будем точками изображать значения аргумента, на нижней — значения функции; далее, будем соединять стрелками значения аргумента с соответствующими значениями функции. Таким образом, мы получим наглядное геометрическое изображение закона соответствия данной функции. Разумеется, что в случае, когда множество значений аргумента бесконечно, мы вынуждены ограничиться лишь конечным числом стрелок, взяз их в должном количестве, чтобы получить ясную приближенную картину закона соответствия данной функции. Приведем несколько примеров.

1. На чертеже 2 дано изображение закона соответствия для функции 2х, заданной на множестве всех действительных чисел.

2. На чертеже 3 для функции —заданной на том же множестве.

3. Рассмотрим функцию |*| на множестве всех действительных чисел. Стрелки, исходящие из точек х и —х, сойдутся в одну точку, ибо значение функции в этих точках одно и то же (черт. 4).

4. Если функция постоянна, т. е. каждому значению аргумента соответствует одно и то же число — значение функции, то на чертеже все стрелки сходятся в одну точку, изображающую это число (черт. 5).

5. Рассмотрим функцию, определенную на множестве всех действительных чисел

отличных от нуля, при помощи закона соответствия fix) = . Как легко видеть, при любом л;>0 имеем /(*) = !, если же х << 0, то f(x) = —1. Значит, любая стрелка, исходящая из точки, лежащей правее начала координат, должна окончиться в точке 1, а любая стрелка, исходящая из точки, лежащей левее точки 0, должна окончиться в точке 1 (черт. 6). Из точки 0 не выходит ни одной стрелки.

6. Пусть Дх) есть целая часть х; эта функция была уже рассмотрена нами выше. Если 0 ^ X 1, то f(x) = 0, и все стрелки сходятся в одну точку 0. Если 1 ^х<2, то f(x) = 1, и все стрелки сходятся в одну точку 1. Если — 1 =^х<0, то f(x) =—1, и все стрелки сходятся в одну точку —1 и так далее (черт. 7).

Описанный способ геометрической интерпретации закона соответствия оказывается весьма удобным при исследовании обратных функций. Мы не считаем целесообразным вводить в элементарную математику понятие «многозначной функции». Это понятие, совершенно чуждое теории функций действительного аргумента, способно, по

Черт. 1

Черт. 2.

Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5

Черт, 6

Черт. 7

нашему мнению, внести только путаницу в элементарную математику. Если двум различным значениям аргумента соответствуют всегда два различные значения функции, иначе говоря, равенство /(лг,) = = f(x2) возможно лишь при условии хх = х29 то роли множества значений аргумента и множества значений функций можно обратить. Именно, если значению аргумента X соответствует число уу y=f(x), то теперь обратно числу у поставим в соответствие X. Таким образом, мы приходим к понятию обратной функции. Обратимся к описанной выше геометрической интерпретации закона соответствия функции. Предположим, что в каждой точке нижней прямой может оканчиваться не более одной стрелки; переход к обратной функции геометрически означает, что мы меняем направления стрелок; теперь стрелки будут начинаться в точках нижней прямой и оканчиваться в точках верхней прямой (черт. 8).

Приведем простой пример. Рассмотрим функцию у — х2, определенную на множестве всех действительных чисел. Если хфО, то числа X и —х различны, но X2 и (—л^г^ равны одному и тому же числу у = х29 поэтому в любой точке у>0 оканчиваются две стрелки, и переход к обратной функции, с принятой нами точки зрения, невозможен (черт. 9). Следовательно, функция у = х2, определенная на множестве всех действительных чисел, не имеет обратной функции. Рассмотрим теперь функцию у = х2, определенную на множестве всех неотрицательных чисел, X ^ 0, всякое неотрицательное число у, у^О является квадратом одного единственного неотрицательного числа X — у у. Функция У у и есть искомая обратная функция. Обратимся к чертежу 10. Мы видим, что теперь в каждой точке у ^ 0 оканчивается одна единственная стрелка, ибо стрелки, исходившие из точек отрицательной части верхней прямой, теперь отпали, а потому и сделается возможным переход к обратной функции. Аналогично, для функции у = х2, заданной на множестве всех неположительных чисел, х^Оу обратной функцией является функция х = — у у (черт. 11).

Теперь остановимся на другой геометрической интерпретации закона соответствия функции. Мы имеем в виду построение графиков. Что такое график — является общеизвестным, и мы не будем на этом останавливаться. В стабильных учебниках алгебры и тригонометрии рассматриваются графики таких простейших функций, как:

Кроме этих простейших графиков, мы считаем целесообразным знакомить учащихся с графиками простейших разрывных функций, а также с графиками функций, заданных в различных промежутках разными формулами. Ниже, в качестве образца, мы приводим несколько простых примеров.

1. Функция \х\ изображается двумя полупрямыми — биссектрисами координатного угла, образующими угол —вначале координат (черт. 12).

Черт 8.

Черт. 9

Черт. 10

Черт. 11

2. На чертеже 13 изображен график функции, определенной законом соответствия:

3. Построим график функции, определенной на множестве всех действительных чисел, отличных от нуля законом соответствия:

Этот закон соответствия может быть записан также в виде:

Отсюда становится ясным, что график состоит из двух полупрямых, изображенных на чертеже 14, при этом точка О на графике не соответствует никакой точке.

4. Рассмотрим функцию, определенную законом соответствия:

Графиком этой функции является парабола с вынутой «вершиной» и «поднятой» вверх на расстояние равное 1 (черт. 15).

Подобного рода примеров можно привести весьма большое количество.

Теперь мы скажем несколько слов о функциях, заданных формулой, и о построении их графиков. Возьмем какое-нибудь математическое выражение, Ф(х). При подстановке вместо X некоторого действительного числа возможно, что:

1°. Данное выражение получит некоторое действительное значение;

2.° Данное выражение получит комплексное значение;

3°. Данное выражение потеряет смысл.

Так, например, выражение 1—х при # = 3 получает значение —2. Выражение

при X = 5 имеет комплексное значение, выражение

не имеет смысла при # = 4-1. Выражение \gi0x не имеет смысла при х = —1.

Если дано соотношение у = Ф (х\ где Ф(х) есть некоторое математическое выражение

(например^ = | _| ^2, или^ = arc sin *xj, причем не указано, на каком множестве значений х это соотношение задается, то условились рассматривать у как функцию х> определенную на том множестве значений X, при которых данное математическое выражение имеет действительные значения.

Нахождение этого множества называется установлением области определения функции, заданной формулой у = ф(х). При построении графика функции заданной формулой необходимо прежде всего установить область ее определения, а затем, исходя из свойств данной функции, сделать набросок кривой. Этот набросок может уточняться, в случае необходимости, нахождением отдельных точек, лежащих на кривой. Мы подчеркиваем, что в основу построения графиков следует положить не построение кривой «по точкам», а исследование свойств данной функции. В самом деле, кривая содержит бесчисленное множество точек, поэтому выполнить фактически построение их всех не представляется возможным, и, если не учесть свойства и особенности данной функции, то можно впасть в грубую ошибку. Ниже мы приводим несколько простых примеров на построение графиков функций, заданных формулой.

1, Функция

имеет действительные значения при всех действительных

Черт. 12 Черт 13

Черт. 14

Черт. 15

значениях *. Разделив числитель на знаменатель, получим:

Дробь положительна при всех значениях л:, и наибольшее возможное ее значение есть 1, которое она получает в точке * = 0. Значит, наибольшее значение у есть у=1 (при * = 0). Так как при положительных значениях х дробь убывает, и

то при *>0 данная функция также убывает и

Так как при изменении знака х значение у не меняется, то кривая симметрична относительно оси ординат. Заметим, что кривая пересекает ось абсцисс в точках -4-1. Для уточнения графика можно вычислить значения у при некоторых частных значениях X ^например,

График рассмотренной функции изображен на чертеже 16.

2. Рассмотрим функцию .у = lg sin*. Выражение, находящееся в правой части, только тогда имеет смысл, если выражение, находящееся под знаком логарифма, т. е. sin X, положительно. В промежутке (0, 2тс) имеем sin х > 0, если 0<Csin*<Tc. Ограничимся пока промежутком (0, 2тс). Так как О < sin X < 1 в промежутке (0, тс), то lg(sin*)<0. Наибольшее значение данной функции есть у = 0 в точке х = — .

В промежутке функция sin X возрастает от 0 до 1, значит, lg (sin х) возрастает от как угодно больших по абсолютной величине отрицательных значений до нуля. В промежутке , тс^ функция sin* убывает от 1 до 0, значит, lg (sin*) убывает от нуля до как угодно больших по абсолютной величине отрицательных значений. Промежуток (тс, 2тс) не принадлежит области определения функции. Принимая во внимание, что sin* есть периодическая функция с периодом 2тс, приходим к заключению, что функция lg sin х определена в промежутках

и не определена в промежутках

График данной функции изображен на чертеже 17.

3. Функция lg*2 определена на множестве всех действительных чисел, отличных от нуля; функция 2 1g* определена на множестве всех положительных чисел, поэтому неверно утверждение, что эти две функции тождественны. Равенство

имеет место лишь при положительных значениях *. Графики функций изображены на чертеже 18„

Черт. 16

Черт. 17

Черт. 18

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ, БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ПРЕДЕЛЫ

Проф. В. С. ФЕДОРОВ (Иваново)

На обычно задаваемый вопрос: что же такое бесконечно малые и бесконечно большие величины? нельзя дать одного общего ответа, годного для всех случаев и в то же время достаточно точного. Приходится (как и при объяснении символов бесконечности) постепенно излагать истинный смысл тех типических определений, рассуждений и формул, в которых говорится о бесконечно малых и бесконечно больших. Здесь мы ограничимся изложением самых необходимых (для начального курса математического анализа) определений и рассуждений. Первые задачи на нахождение пределов и на бесконечно малые и бесконечно большие величины основаны на следующих ниже определениях.

I. Пусть функция f(x) обладает тем свойством, что ее абсолютная величина может быть сделана как угодно малой для всех значений переменной х, достаточно близких к некоторому числу а и притом меньших этого числа. Это свойство f(x) выражаем такими словами: f(x) есть бесконечно малая величина при условии, что X стремится (неограниченно приближается) к числу а слева. (Заметим, что рассматриваются здесь и далее только однозначные функции.)

Поясним данное определение простым примером. Пусть х и у— переменные катеты прямоугольного треугольника с постоянной гипотенузой а, причем мы рассматриваем всевозможные прямоугольные треугольники с такой гипотенузой, так что X изменяется в промежутке О <х <Сй, т. е. может равняться любому положительному числу, которое <С.а, но не может иметь значений ^а. Ясно, что yz=z функции от X, определенной на всем промежутке изменения х, т. е. имеющей одно определенное значение (конечное) для каждого значения х его промежутка изменения. Очевидно также, что у может получить сколь угодно малые значения, если X принимает значения, достаточно близкие к числу а. Это свойство переменной у и выражаем такими словами: у есть бесконечно малая величина при условии, что X неограниченно приближается к числу а (оставаясь, конечно, всегда меньше числа я, иначе говоря, приближаясь неограниченно к числу а слева).

Свойство функции быть бесконечно малой, когда X стремится к числу а слева, выражаем формулой:

(1)

где знак заменяет слова «стремится к» или «неограниченно приближается к». Заметим, что пишут также вместо х->а, (х<С.а) такую символическую формулу: х-> а — 0. Функция /(х) предполагается определенной во всяком случае в промежутке p<x<dci, где р — какое-нибудь число < а.

Пример: ySinx->0 при х-»тс(л;<тс), причем значения переменного х берем в промежутке 0 < х < гс. Указанное формулой (1) свойство функции f(x) можно подробнее изложить так:

1) найдется в промежутке р<х<а такое число xv что для всех значений х в промежутке х1<х<С,а получим неравенство:

(2)

2) Найдется далее в промежутке х±<Х<Са такое число х2, что для всех значений х в промежутке х2<х<а будем иметь:

(3)

и т. д. без конца (переходим от 0,01 к 0,001, 0,0001, ...) Вообще, если задать как угодно малое положительное число е, то всегда найдется в промежутке р<Сх<Са такое число л:(е) (зависящее от е), что для всех значений х в промежутке х(е)<х<а будем иметь:

(4)

Так, например, если f(x)=Va—лг, где п — целый положительный, то для всякого е > 0 получим неравенство (4) для 0 < ß — — X <С е2л, т. е. для всех значений х в промежутке а — £2я < X < а. Следовательно, в этом примере можно брать #(s) = а — e2/I.

Черт. 1

Итак, V а — при х->а{х<а). (Мы берем х<а, чтобы f(x) была действительной.)

П. Если функция f(x) обладает свойством, что для всякого как угодно малого положительного числа £ найдется в промежутке а < X <а b (в котором определена функция f(x)), такое число л:(е), чтобы во всем промежутке а < х < л:(е) существовало неравенство (4), тогда называем такую функцию бесконечно малой величиной при ху стремящемся справа к числу а, и выражаем это свойство функции f(x) формулой:

(5)

причем, вместо х->а (х> а) пишут также такую символическую формулу: х->а-^0 (т. е. X стремится к числу а, оставаясь >а).

Замечание. Функция f(x) определена во всяком случае в промежутке а <С. х < Ь, где b—какое-то число > а.

III. Если функция Дх) обладает обоими свойствами (1) и (5) при одном и том же числе а в этих формулах, тогда скажем, что «эта функция есть бесконечно малая величина, когда х->а (без указаний: «слева» или «справа»). Пишем

(6)

Примеры графиков функций на чертежах 2—4 показывают, что возможны случаи, когда у =/(.*)->0 при х->а слева, но эта функция не-»0 при х~>а справа, хотя функция определена и для х>а (черт. 2: при х = а функция имеет «разрыв непрерывности»). Может быть и наоборот (черт. 3): у->0 при х->а справа (но не слева). На черт. 4 у->0 при х->а (с обеих сторон).

Само собой разумеется, что эти примеры далеко не исчерпывают всего многообразия функций, бесконечно малых при х->а (слева, справа или с обеих сторон).

На этих рисунках стрелки указывают направления движений точек по кривым, когда х->а, _у-»0; конечно, возможны и более сложные движения.

Эти движения дают наглядное представление о процессе изменения ординаты текущей точки, когда х->а. Эта текущая ордината и есть бесконечно малая величина при х->а.

В подобных примерах у есть ордината текущей точки такой кривой, которая имеет с осью абсцисс общую точку с абсциссой х = а.

Рассуждая о свойствах бесконечно малых величин (в примерах аналогичных тем, которые указаны на приведенных чертежах), мы, в сущности, рассуждаем о некоторых общих свойствах кривых, проходящих через данную точку оси абсцисс, при этом мы имеем дело с кривыми, которые являются графиками функций однозначных, как всегда мы в этой работе предполагаем, и от одного и того же переменного. Изучая в элементах анализа сумму или отношение двух бесконечно малых величин, мы должны предполагать, что эти две бесконечно малые, которые назовем аир, суть функции от одного и того же переменного х, причем эти функции или обе обладают свойством (1), или обе обладают свойством (5) (что, конечно, не исключает того случая, когда одна из них или обе они обладают свойством (6), причем число а — одно и то же для аир.

Полагаем, ради определенности, что а и ß обладают свойством (1):

(7) (8)

(итак, мы не будем выполнять действий над двумя такими бесконечно малыми, из которых одна->0 при х->а слева (черт. 2), а другая-»0 при х->а справа—черт. 3). Под суммой oc+j$ мы понимаем сумму ординат, а под отношением а : ß— отношение ординат текущих точек соответствующих графиков с одной и той же абсциссой х

Черт. 2 Черт. 3

Черт. 4

(причем х<а и х->а), т. е. двух точек, расположенных на одной и той же прямой, параллельной оси ординат и перемещающейся так, что она стремится к прямой х = а, изображенной пунктиром.

Иногда говорят о таких бесконечно малых аир, что они одновременно стремятся к нулю.

Докажем сейчас, что a+ß-»0 при х->а(х<а).

Мы проведем доказательство, ссылаясь на наши определения бесконечно малых, не ограничиваясь простыми случаями, которые изображены на чертежах 2—5. Заметим сейчас же, что и в случае, изображенном на чертеже 5, движение прямой, параллельной оси ординат и неограничен но приближающейся к прямой х= а, может быть весьма сложным, и мы только напрасно усложним наши очень простые рассуждения, привлекая без всякой надобности понятия времени и движения.

Итак, исходим из данного нами определения смысла формулы (1). Зададим положительное, произвольно малое число е (т. е. наши рассуждения предполагают только то, что е>0, это мы и хотим выразить, говоря о произвольной малости положительного е). Докажем, что из условий (7) и (8) следует существование такого числа х(е)<а, для которого имеем для всех значений л: в промежутке х(е)<х<С.а:

(9)

В самом деле, из условия (7) следует существование такого числа xv для которого имеем |/i(*)|<—*, если только xi<Cx<Ca (ведь \/х(х)\ можно сделать как угодно малым, если а — xt достаточно мало).

Из условия же (8) имеем: найдется такое число х2, что \f2(x)\<C — » если только х2<х<а. Пусть х0 — наибольшее из чисел Xi и х2, так что имеем:

если только

(10)

так как хх<.х0 и *2^л;0.

Отсюда и следует (9) при условии (10), т. е. существует для всякого е>0 число x(z) (за которое можно взять число а:0), что и требовалось доказать.

Если имеем конечное число слагаемых функций fk(x), k = 1,2,... я, которые все обладают свойством (1) для одного и того же числа а, то совершенно так же докажем, что и их сумма обладает этим свойством для того же числа а. Для данного е>>0 и для каждой функции fk(x) найдется такое число xk<a, что получим:

(11)

если только xk<x<ia.

Пусть х0 — наибольшее из чисел xv х2,...Хп. Будем иметь (11), если только х0<х<С^а, так как xk^x0. Затем доказательство заканчивается так же, как и в случае двух слагаемых.

Переходим теперь к определению понятия предела и бесконечно большой величины (прежде чем изучать отношение двух бесконечно малых).

Предварительно введем понятия положительных и отрицательных бесконечно малых.

IV. Величина a=f(x) называется положительной бесконечно малой при х-*а, если эта функция обладает свойством (6) и принимает только положительные значения для всех значений х, не равных числу а и достаточно близких к этому числу. Это свойство функции Дх) выражаем формулой

(12)

На чертеже 4 приведен пример такой функции. Мы не вводим никакого нового числа+0: формула (12) берется вся целиком, выражает то свойство f(x)t которое мы определили, и никакого иного смысла не имеет.

V. Совершенно аналогично определяется свойство величины 0L = f{x) быть отрицательной бесконечно малой при х->а. Пишем ос-»— 0 при х^а.

Впрочем иногда не пишут символов+О и —0. Говоря о знаке бесконечно малой /(*), приходится особенно внимательно различать случаи:

Черт 5.

Заметим, что в случае а = 0 условились говорить: f(x)— бесконечно малая при бесконечно малой величине х, или: f(x) и X одновременно стремятся к нулю. Примеры:

VI. Мы скажем, что величина у, равная F(x), имеет предел А при л:->а, если А есть такая постоянная, что функция, равная разности F (х) —А, есть бесконечно малая при х->а. Это свойство F(x) выражаем формулами вида:

(13)

или: или:

Итак, все эти формулы имеют тот смысл, что у = А + а, где а -> 0 при х -> а (и здесь приходится иногда выделять случаи, когда X стремится к числу а только справа или только слева).

VII. Переменная г называется положительной бесконечно большой при _у-»д, если z есть функция от х, обладающая тем свойством, что величина ей обратная, т. е. — , есть положительная бесконечно малая при х~>а. Это свойство функции выражаем формулой:

(14)

Эту формулу можно, следовательно, заменить формулой:

(15)

и наоборот: из (15) следует (14). Пример:

мы пишем, что

в том смысле, что

(графики этих функций очень ясно показывают суть дела).

VIII. Если z есть такая функция от х, что — есть отрицательная бесконечно малая при х->а, тогда скажем, что z — отрицательная бесконечно большая величина при х->а и напишем:

(16)

Пример: мы пишем, что

так как

IX. Если — есть бесконечно малая при х->а и притом такая, что найдутся значения переменной х, как угодно близкие к числу а и такие, что для одних из них 2>0, а для других 2<С0, тогда называем z бесконечно большой переменного знака (или просто «бесконечно большой») при л;-»а и пишем:

(17)

Замечание: пишут формулу (17) и в случаях (15) и (16), т. е. всегда, когда —->0 при х->а.

Непрерывная кривая не может служить графиком бесконечно большой величины переменного знака. Этим мы хотим сказать, что графиком такой функции не может служить непрерывная кривая на промежутках р<х^а — е и а + 1^х<Ь для произвольно малого положительного s, так как тогда бы нашлись значения л:, как угодно близкие к числу а и для которых z, как функция от х, обращалась бы в нуль, что невозможно для бесконечно большой величины 2, ибо -> 0 при х->а, так что мы предполагаем, что — принимает определенное конечное значение для всякого значения х, достаточно близкого к числу а% кроме, быть может, значения х = а.

Чтобы нагляднее представить себе, при каком свойстве функции от х мы называем эту функцию бесконечно большой при х->а, вспомним подробное объяснение формулы (1), т. е. обратимся к неравенствам (2), (3) и (4). Итак, пусть дано, что 2->оо при х->а* Это означает, что функция f(x), равная—, есть бесконеч-

но малая при х->а, т. е. при неограниченном приближении X к числу а получаем последовательно неравенства (2) и (3) и т. д., без конца, а потому при таком изменении переменной х получаем последовательно: |*|> 10, |*|>100, |г|> > 1 000, |г|> 10 000 и т. д. без конца. Вывод: функция F(x) называется бесконечно большой величиной при х->а, если эта функция обладает таким свойством: как бы велико ни было число п>0, найдется такое значение переменной ху которое обозначим xnj что | F(x) | > п для этого значения хп и для всех значений переменной х, ближе расположенных к числу а, чем хп (значение х = а исключается).

Если, кроме того, F(x)>0 для всех значений переменной х, достаточно близких к числу а (значение х = а исключается), тогда говорят, что F(x)->+oo при х->а (аналогично определяем смысл формулы:

X. Формула:

(18)

означает, что, положив х — — и обозначив через ср(^) функцию /^-^-j, получим:

Аналогичный смысл имеют формулы вида

(19)

равенство (18), если функция f(x) обладает следующими свойствами:

1) эта функция определена в «промежутке»

и т. п.

Можно иначе истолковать смысл формулы (18): мы скажем, что имеет место

где а — какое-нибудь число.

2) Для всякого, как угодно малого, положительного числа £ найдется такое число хе, что имеем

для всех значений переменной х, больших числа хе . Примеры графиков таких функций приведены на чертеже 6 (текущая точка кривой y = f(x) неограниченно приближается к прямой у = А при Х->+ со).

Аналогичные объяснения получает формула (19) и т. п.

ОТНОШЕНИЕ ДВУХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

Задача ставится так: исследовать отношение двух функций одного и того же переменного: х /„ч

(20)

если эти функции или обе обладают свойством (1) или обе обладают свойством (5) (в обоих случаях — для одного и того же числа а), причем предполагаем, что знаменатель не обращается в нуль для значений х, достаточно близких к числу а (и которые мы рассматриваем), так как деление на нуль не имеет смысла.

Особенности отношения таких двух функций следующие: 1) при любой заданной одной из этих функций, например /2 (х), всегда можно подобрать бесконечно малую fi(x), такую, чтобы получить v->0 при х~>а* (возьмем, например, fi(x)=f2(x)(x — а). Можно также подобрать ft (х) такую, чтобы получить у == -f со при X -» а *. Например возьмем:

2) Можно подобрать при любом заданном числе А функцию fx (х) так, чтобы получить у->А при х->а*. Возьмем, например,

3) Наконец, можно подобрать такую функцию ft(x), чтобы отношение (20) не стремилось ни к какому-либо пределу, ни к со, при х->а*.

Для этого достаточно взять

Черт. 6

* X -» а слева (или справа), если fx и ft обладают свойством (1) (или (5)).

4) Если же эти функции ft и /2 неизвестны, тогда ничего нельзя сказать о характере изменения у при х -> а (справа или слева).

В этом смысле и говорят о неопределенности отношения двух бесконечно малых (в начальном курсе анализа).

СЛУЧАЙ ПЕРЕМЕННОГО x, ПРИНИМАЮЩЕГО ТОЛЬКО ЦЕЛЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

Пусть в некоторой задаче исследуется переменная f(n), где п может принимать или всевозможные целые положительные значения или, во всяком случае, некоторое бесконечное множество таких значений (всегда обозначаем в этой статье буквой п такую переменную). Например, п — число сторон правильного многоугольника, вписанного в круг данного радиуса, f(n)— площадь этого многоугольника. В этих задачах формула вида:

выражает следующее свойство функции f(n): для всякого, как угодно малого положительного числа £ найдется такое целое положительное число яе, что имеем \f(n) — Л|<£ для всех допускаемых в задаче значений п, больших числа nt. Если Л = 0, то f{n) называется бесконечно малой при #->оо. Ясно, что выражает формула: /(/г)-»оо при я->оо (и т. п.)

БЕСКОНЕЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Имеем иногда такие задачи, в которых переменная х принимает заданную бесконечную последовательность значений:

(21)

причем в этих задачах говорится о «пределе некоторой функции F(x), когда х пробегает последовательность (21) своих значений». Эта фраза ничего нового (по сравнению с уже изложенным) не представляет.

В самом деле, последовательность (21) задается «формулой ее общего члена», т. е. уравнением вида:

и поэтому

и мы приходим к исследованию предела полученной функции переменного п при п -> сю.

БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ВЕЛИЧИНА, ОБРАЩАЮЩАЯСЯ В НУЛЬ БЕСКОНЕЧНОЕ ЧИСЛО РАЗ ПРИ СВОЕМ ИЗМЕНЕНИИ

Если, например, некоторая функция f(x) стремится к нулю, когда х стремится к какому-нибудь числу а слева, причем f(x) имеет бесконечное число нулей в промежутке р<х<а, тогда говорят, что f(x) есть бесконечно малая величина при х-±а слева, которая обращается в нуль бесконечное число раз при своем изменении (напомним, что нулем функции f(x) называем корень уравнения f(x) = 0). Конечно, мы могли бы рассмотреть и тот случай, когда л;-»я справа (тогда f(x) имеет бесконечное число нулей в промежутке а<х<Ь, или когда х->+со), тогда f(x) имеет бесконечное число нулей левее любой точки оси переменного X.

Замечание. На оси переменного х мы называем направлением «слева направо» положительное направление этой оси.

Следует отметить тот случай, когда некоторая переменная у, равная функции от t (где t — время), стремится к нулю при /->+ оо, обращаясь в нуль бесконечное число раз при своем изменении,— мы имеем явление затухающих колебаний точки на оси у, если переменная у меняет свой знак всякий раз при переходе через нуль. Наконец, отметим и такой случай, когда некоторая переменная, равная функции от л, стремится к нулю при /г->оо, обращаясь в нуль для бесконечной последовательности значений п. Например, возьмем

ФИГУРНЫЕ ЧИСЛА И АРИФМЕТИЧЕСКИЕ РЯДЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

В. СЕВБО (Чернигов)

В нашей литературе почти отсутствует изложение вопросов теории так называемых фигурных чисел и общей теории арифметических рядов высших порядков. Между тем фигурные числа представляют значительный исторический интерес как числа, появившиеся в результате первых попыток исследования свойств различных классов целых чисел.

Начиная от времен Пифагора (V — IV столетия до н. э.) греческие математики уделяют большое внимание изучению простейших фигурных и многоугольных чисел с помощью соответственных геометрических представлений этих чисел. Создалось своеобразное направление так называемой «геометрической арифметики», пытавшейся разрешить проблемы изучения свойств чисел с помощью геометрических образов. Один из виднейших представителей греческой арифметики — Никомах (около 100 г. н. э.) — дает подробную «геометрическую» классификацию чисел и впервые излагает теорию многоугольных чисел. Вслед за ним Диофант (III столетие н. э.) посвятил целую книгу вопросу о многоугольных числах. Даже значительно позднее, в европейской математике XVI —XVIII столетий, фигурные числа продолжали играть заметную роль, особенно в работах Мавролико, Штифеля, Тарталья, Ферма, Паскаля, Я. Бернулли. У последних эти числа были связаны с применениями к появившейся теории вероятностей и к разработке старой задачи о суммировании одинаковых степеней натуральных чисел.

В настоящем очерке различаются собственно фигурные числа и многоугольные числа, имеющие свою отдельную теорию. Изложение теории фигурных чисел опирается на уточненное арифметическое определение их и этим, нам кажется, выгодно отличается от изложения, данного, например, в «Элементарной алгебре» Маракуева (т. I, 1903), где фигурные числа определяются чисто формально, как числа, находящиеся в клетках «треугольника Паскаля».

В порядке естественного обобщения следом за фигурными и многоугольными числами приводится элементарное изложение общей теории арифметических рядов высших порядков, заключаемое применением их к задаче суммирования одинаковых степеней натуральных чисел.

Нам думается, что в этом объеме предлагаемый очерк может служить полезным материалом для кружковых занятий по математике в старших классах средней школы, поскольку его изучение будет способствовать повышению интереса к математике, а также укреплению и углублению знаний учащихся по некоторым вопросам элементарной алгебры (арифметическая прогрессия, соединения, бином Ньютона и пр.).

Большинство выкладок теории основано на применении некоторых дополнительных свойств сочетаний, с которых мы и начнем изложение.

1. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СОЧЕТАНИЙ

Предварительно рассмотрим некоторые свойства сочетаний, которыми воспользуемся в последующих выкладках.

Найдем сумму чисел сочетаний из п элементов по m и по (/7г — 1 ) элементов.

В результате приходим к следующей известной формуле:

(1)

которую можно назвать рекуррентной формулой сочетаний, так как она дает возможность свести случай (п +1) всех данных элементов к более простому случаю п элементов.

Условимся, далее, считать, что

при всяком целом значении п. В таком случае будем иметь также:

Кроме того, условимся считать

Напишем теперь на основании формулы (I) и принятых нами условий следующий рад тождеств:

Сложим почленно все эти тождества и примем во внимание при этом, что член, стоящий в левой части каждого тождества (кроме последнего), взаимно уничтожается с первым членом правой части следующего за ним тождества. Тогда получим очень важную формулу:

(2)

Этой формулой мы неоднократно будем пользоваться в дальнейшем.

2. ПОНЯТИЕ О ФИГУРНЫХ ЧИСЛАХ

Рассмотрим натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4,..., п (3), в котором общему л-му числу можно приписать выражение:

(4)

Суммируя этот ряд с помощью выведенной выше формулы (2), будем иметь:

(5)

т. е. приходим к известному выражению суммы чисел натурального ряда, получаемому также из рассмотрения этого ряда, как арифметической прогрессии.

Используем последнюю формулу (5) для решения следующей задачи: «Шары расположены в виде треугольника так, что первый ряд треугольника состоит из одного шара, второй ряд — из двух шаров, третий — из трех шаров и т. д., вообще, каждый /1-й ряд треугольника состоит из п шаров (рис. 1). Сколько шаров содержится во всем треугольнике?»

Очевидно, количество шаров в треугольнике выразится, по формуле (5), суммой чисел натурального ряда, начиная от единицы и кончая числом п рядов треугольника. Придавая этому числу последовательные значения: 1, 2, 3, 4,..., л, получим соответствующие им количества шаров, содержащихся в треугольнике:

(6)

Полученные числа (6), в связи с приведенной геометрической интерпретацией их как чисел, выражающих количества элементов (шаров) треугольника, называются треугольными числами.

Легко видеть, что общий п~и член ряда треугольных чисел (6) имеет выражение:

(5)

тождественное с выражением суммы п чисел натурального ряда.

Чтобы подсчитать сумму п членов ряда (6) треугольных чисел, снова используем формулу (2). Будем иметь:

(7)

Приведем пример новой задачи, иллюстрирующий процесс подсчета суммы треугольных чисел: «Шары одинаковых размеров сложены штабелем в виде треугольной пирамиды (тетраедра) таким образом, что верхний шар лежит на трех шарах второго слоя, эти последние—на шести шарах третьего слоя и т. д. (рис. 2). Сколько шаров в пирамиде?»

Не трудно видеть, что числа шаров, содержащихся в последовательных слоях пирамиды начиная сверху, составляют ряд (6) треугольных чисел.

1, 3, 6, 10, 15, 21... В таком случае общее количество шаров в пирамиде выражается суммой (7) треугольных чисел. Давая числу п слоев пирамиды последовательные значения 1, 2, 3,... л, получим соответствующие им количества шаров в пирамиде:

(8)

Полученные числа (8), в соответствии с изложенной геометрической интерпретацией их, называются пирамидальными, или, точнее, тетраедрическими числами.

Выражение общего п-го члена ряда тетраедрических чисел

(7)

совпадает с выражением (7) суммы п треугольных чисел.

Предыдущие геометрические иллюстрации дают основание ввести общее понятие фигурных чисел как членов таких последовательных рядов чисел, начиная от ряда единиц, в которых любой п-и член последующего ряда равен сумме первых п членов предыдущего ряда, т. е. рядов:

Чтобы различать принадлежность фигурных чисел к тому или иному ряду, будем приписывать им соответствующий поря-

Рис. 1

Рис. 2

док. Таким образом, числа, принадлежащие ряду единиц:

1. 1, 1, I, b 1...

будем называть фигурными числами нулевого порядка, числа натурального ряда:

1, 2, 3, 4, 5, 6...

назовем фигурными числами первого порядка; треугольные числа

1, 3, 6, 10, 15, 21 ...

— фигурными числами 2-го порядка; тетраедрические числа:

1, 4, 10, 20, 35, 56...

— фигурными числами 3-го порядка и т. д.

3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ФИГУРНЫХ ЧИСЕЛ

Очевидно, для того чтобы составить ряд фигурных чисел каждого данного порядка, достаточно знать общий член этого ряда.

Докажем, что общий я-й член ряда фигурных чисел т-го порядка выражается формулой:

(9)

или:

(9а)

Для доказательства воспользуемся методом совершенной индукции, т. е. будем считать верной формулу общего члена предыдущего ряда фигурных чисел (m — 1)-го порядка:

(10)

и докажем, что при этом условии должна оставаться верной и формула (9) общего члена последующего ряда фигурных чисел т-го порядка.

В самом деле, исходя из определения фигурных чисел, приходим к выводу, что

или, на основании формулы (10):

Отсюда, принимая во внимание свойство сочетаний, выраженное формулой (2), приходим к доказываемой формуле:

(9)

Таким образом, формула (9) общего члена фигурных чисел т-го порядка будет доказана, коль скоро окажется верной такая же формула для фигурных чисел (m —1)-го порядка. Но для фигурных чисел 1, 2, и 3-го порядка эта формула оказалась верной, что легко видеть, рассматривая выведенные нами выше формулы (4), (5) и (7). В таком случае эта же формула будет верна и для фигурных чисел 4-го порядча, а далее и для фигурных чисел 5-го порядка и т. д. Таким образом, формула (9), дающая возможность написать любой л-й член ряда фигурных чисел какого угодно т-го порядка, нами доказана.

Вторым вопросом в изучении фигурных чисел является суммирование членов ряда фигурных чисел каждого данного порядка. Этот вопрос легко разрешается, если принять во внимание, что, согласно определению фигурных чисел, сумма п членов фигурных чисел т-го порядка должна быть равна л-му члену фигурных чисел следующего (т+1)-го порядка, т.ч.е. выражается формулой:

(11)

или

(11а)

Формулами (9а) и (11а) исчерпываются основные положения теории фигурных чисел, поскольку эти формулы целиком разрешают вопрос о вычислении любого члена и суммы членов фигурных чисел какого угодно порядка.

Дополнительно рассмотрим два свойства фигурных чисел. Первое из них, выражаемое формулой:

(12)

состоит в том, что (л+1)-е фигурное число т-го порядка равно (т+1)-му фигурному числу л-го порядка. Иначе говоря, знаки m и л в символе FÄ+1 могут меняться местами.

Действительно, по формуле (9) имеем:

отсюда, из равенства правых частей вытекает:

Второе очень важное свойство фигурных чисел можно записать формулой:

(13)

Это значит, что (л-Н)-е фигурное число т-го порядка равно сумме предыдущего л-го фигурного числа того же т-го порядка и соответствующего (я+1)-го фигурного числа на единицу низшего (m—1)-го порядка.

Свойство это непосредственно вытекает из рассмотренной нами вначале рекуррентной формулы сочетаний (1), которую получаем, раскрывая символы фигурных чисел равенства (13) по формуле (9):

4. АРИФМЕТИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ

С фигурными числами мы встречаемся в знаменитом «арифметическом треугольнике», который был известен уже китайским математикам XI столетия, а затем вновь был найден в XVII столетии Паскалем (1623 — 1662), почему и называется теперь «треугольником Паскаля».

Мы приведем его в том расположении, какое было принято самим Паскалем (см. табл.).

В горизонтальных строках и вертикальных столбцах треугольника Паскаля, перенумерованных, начиная от нуля, мы читаем последовательные фигурные числа соответственного порядка, начиная от нулевого порядка, т. е. от ряда единиц. При таком построении, в клетке, стоящей на пересечении т-й строки и л-го столбца по нумерации Паскаля, мы находим (л+1)-й член ряда фигурных чисел т-го порядка, т. е. Fл+1 , или, что то же самое (т+1)-й член ряда фигурных чисел л-го порядка, т. е. F^_^x (1-е свойство фигурных чисел — формула 12).

Существует очень простое правило построения треугольника Паскаля, состоящее в том, что в каждой клетке его записывается число, равное сумме двух чисел, стоящих в соседних клетках: одной — слева и другой — сверху над данной клеткой. Это правило непосредственно вытекает из рассмотренного выше 2-го свойства фигурных чисел (формула 13):

Треугольник Паскаля служит удобным средством нахождения коэфициентов членов разложения бинома Ньютона. В самом деле, рассмотрим фигурные числа стоящие в треугольнике Паскаля на так называемой «базе», т. е. на диагональной линии, соединяющей первые клетки одинаково занумерованных строки и столбца и идущей слева направо вверх. Легко видеть, что на т-й базе, т. е. на базе, соединяющей первые клетки т-й строки и т-го столбца по нумерации Паскаля, находятся следующие фигурные числа:

(14)

т. е. последовательные коэфициенты членов разложения бинома Ньютона (х+а)т. На этом основано применение треугольника Паскаля к нахождению коэфициентов разложения бинома Ньютона.

Используя рассмотренные выше свойства фигурных чисел, нетрудно вывести основные свойства биномиальных коэфициентов. Докажем, например, что сумма коэфициентов разложения бинома (х+а)т равна 2т.

Для этого возьмем фигурные числа (14), служащие коэфициентами разложения бинома (X + а)т, т. е. лежащие на т-й базе треугольника Паскаля, и представим каждое из них по формуле (13) в виде суммы двух слагаемых (по правилу построения треугольника Паскаля):

Складывая почленно все эти равенства, найдем:

(15)

Это значит, что сумма фигурных чисел, стоящих на т-й базе треугольника Паскаля, равна удвоенной сумме фигурных чисел, стоящих на предыдущей (m—1)-й базе того же треугольника. Иными словами, сумма коэфициентов разложения бинома т-й степени: (х + а)т равна удвоенной сумме коэфициентов разложения бинома (m — 1)-й степени:

(л: 4- ä)m ~ 1. Отсюда, так как для бинома Ьй степени (х+а? сумма коэфициентов разложения равна 2, то для бинома (х + а)2 эта сумма равна 2 • 2 = 22, а для бинома (x+a)3 та же сумма равна 2 • 22 = 28 и т. д.

Таким путем найдем, что сумма биномиальных коэфициентов, соответствующих биному (х + а)т, будет равна 2т.

5. СУММИРОВАНИЕ ОДИНАКОВЫХ СТЕПЕНЕЙ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Из других применений фигурных чисел рассмотрим вычисление суммы одинаковых степеней первых п натуральных чисел. Начнем с вычисления суммы квадратов п первых натуральных чисел. Для этого возьмем формулу ri-ro фигурного, числа 2-го порядка:

откуда будем иметь:

Придавая букве п в этом равенстве ряд последовательных целых значений: 1, 2, 3 .... п и суммируя полученные равенства, будем иметь:

Так как по определению фигурных чисел:

кроме того:

то из предыдущего равенства найдем:

Итак:

(16)

Эта формула носит название формулы Архимеда, так как Архимед (III столетия до н. э.) впервые в своей книге «О спиралях» вычислял сумму квадратов чисел натурального ряда.

Чтобы найти, далее, сумму кубов натуральных чисел, исходим из формулы /z-го фигурного числа 3-го порядка:

откуда:

Придавая здесь букве п последовательные целые значения: 1,2, 3...л и суммируя полученные равенства, будем иметь:

Отсюда, заменяя

найдем:

или, так как

(17)

т. е. сумма кубов л первых натуральных чисел равна квадрату суммы первых степеней этих чисел.

Аналогичным путем, с помощью формул фигурных чисел, можно найти далее сумму четвертых и более высоких степеней чисел натурального ряда.

6. МНОГОУГОЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Остановимся кратко на так называемых «многоугольных числах», стоящих в тесной связи с рассмотренными выше собственно фигурными числами.

Возьмем снова натуральный ряд чисел 1, 2, 3, 4,.../i, представляющий собой арифметическую прогрессию с разностью, равной единице (d = 1).

Как известно из предыдущего, в результате суммирования последовательного количества членов этого ряда мы получаем так называемые треугольные числа: 1, 3, б, 10, 15, 21, иллюстрируемые с помощью треугольника (рис. 3).

Рис. 3

Составим теперь из того же натурального ряда чисел новую арифметическую прогрессию, начинающуюся от единицы и имеющую

разность, равную двум (d = 2), т.е. прогрессию, состоящую из нечетных чисел:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13.

Суммируя последовательные количества членов этой прогрессии, получим ряд чисел:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49...,

т. е. ряд квадратов чисел натурального ряда. Числа этого ряда легко можно иллюстрировать геометрически, как количества элементов, расположенных в виде квадрата (рис. 4),

поэтому их называют квадратными числами.

Если пойдем далее и составим арифметическую прогрессию, начинающуюся от единицы и имеющую разность, равную трем (d = 3)

1, 4, 7, 10, 13, 16...,

то в результате суммирования последовательного количества членов получим ряд чисел:

1, 5, 12, 22, 35, 51...,

иллюстрируемых с помощью пятиугольника (рис. 5) и называемых поэтому пятиугольными числами.

Продолжая аналогичным путем дальше, мы придем к числам шестиугольным, семиугольным и т. д., вообще, к многоугольным числам, иллюстрируемым с помощью соответствующего многоугольника. При этом многоугольники, иллюстрирующие данный ряд чисел, наслаиваются в виде ряда перспективно-подобных фигур с центром подобия в одной из вершин, общей для всех многоугольников (рис. 5).

Таким образом, многоугольными (или полигональными) числами вообще мы будем называть числа, получающиеся при суммировании последовательного количества членов арифметической прогрессии, начинающейся от единицы и имеющей разность прогрессии, равную любому натуральному числу (d=\, 2, 3, 4...).

7. ФОРМУЛЫ МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Рассматривая упомянутые выше примеры многоугольных чисел, легко заметить, что разность арифметической прогрессии, служащей для образования этих чисел, всегда на две единицы меньше по сравнению с количеством сторон соответствующего многоугольника, иллюстрирующего эти числа.

В самом деле, для треугольных чисел эта разность прогрессии равна:

d = 1 = 3 — 2,

для квадратных чисел: d = 2 = 4 — 2, для пятиугольных чисел: d = 3 = 5— 2 и т. д.

Отсюда заключаем, что вообще какие угодно /п-угольные числа получаются в результате суммирования членов арифметической прогрессии, начинающейся от единицы и имеющей разность:

(18)

причем всегда будет m > 2.

В таком случае, соответствующая арифметическая прогрессия, служащая для образования многоугольных чисел, представится в следующем виде:

(19)

где множитель (я — 1) соответствует п-му по порядку члену арифметической прогрессии.

Чтобы получить отсюда какое угодно п-е по порядку многоугольное число, нужно просуммировать п членов этой арифметической прогрессии. В результате будем иметь формулу общего п-го члена ряда /я-угольных чисел:

или, вводя обозначения чисел сочетаний, получим:

(20)

По этой формуле легко можно вычислить любой член ряда каких угодно многоугольных чисел. Например, чтобы найти 6-й член ряда пятиугольных чисел, достаточно подставить в формулу (20) значения:

тогда получим:

Другой вопрос, интересующий нас при изучении многоугольных чисел,— вычисление суммы любого количества п каких угодно многоугольных чисел. Чтобы вывести соответствующую формулу, будем придавать букве п в формуле (20) последовательные значения: 1, 2, 3, 4... п.

Рис. 4

Рис. 5

Получим следующие равенства:

Суммируя почленно эти равенства, будем иметь:

откуда, принимая во внимание, что по формуле (2) суммирования сочетаний, будет:

получим окончательную формулу суммы п первых членов ряда m-угольных чисел:

(21)

Для примера вычислим с помощью этой формулы сумму п первых членов ряда квадратных чисел, иначе говоря, сумму квадратов чисел натурального ряда.

Подставляя в формулу (21) значение: m = 4, будем иметь:

Мы снова получили известную нам формулу Архимеда для суммы квадратов натуральных чисел, выведенную выше с помощью фигурных чисел.

Отметим, что задача суммирования квадратов натуральных чисел может получить свое геометрическое отображение в задаче подсчета шаров, сложенных штабелем в виде правильной пирамиды с квадратным основанием. Это обстоятельство приводит к введению нового вила пирамидальных чисел, соответствующих пирамиде с квадратным основанием. Общий /г-ый член ряда таких пирамидальных чисел получим, подставив m = 4 в предыдущую формулу (21), выведенную выше для суммы членов многоугольных чисел.

8. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ОБ АРИФМЕТИЧЕСКИХ РЯДАХ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Переходим теперь к общему понятию арифметических рядов высших порядков, охватывающему все предыдущие виды числовых рядов.

Пусть нам дан ряд чисел, идущих в некоторой закономерной последовательности:

4, 7, 15, 30, 57, 104, 182, 305, 490...

Составим из него новый ряд чисел, служащих разностями между каждыми двумя последовательными членами данного ряда:

3, 8, 15, 27, 47, 78, 123, 185...

Этот последний ряд по отношению к первому будем называть разностным рядом.

Если таким же путем составить последовательные разности между членами второго ряда, получим ряд:

5, 7, 12, 20, 31, 45, 62... ,

называемый вторым разностным рядом по отношению к первому (основному) ряду.

Аналогичным путем можно составить третий разностный ряд:

2, 5, 8, 11, 14, 17..., и т. д.

В нашем случае четвертый разностный р я д представляет собой последовательность одинаковых чисел:

3, 3, 3, 3, 3 ...

Таким образом, данный нам ряд чисел имеет ту характерную особенность, что по отношению к нему четвертый разностный ряд оказывается составленным из одинаковых чисел. В этом случае данный ряд чисел называется арифметическим рядом четвертого порядка.

Вообще, если по отношению к данному основному ряду т-й разностный ряд оказывается составленным из одинаковых членов, то основной ряд называется арифметическим рядом m -го порядка.

Заметим, что указанное определение относится не только к целым числам, но вообще к каким угодно величинам, могущим иметь также буквенное выражение.

Легко видеть, что введенное нами общее понятие об арифметических рядах высших порядков охватывает, как частный случай, и обыкновенную арифметическую прогрессию, являющуюся арифметическим рядом 1-го порядка. Что касается фигурных чисел, то ряды фигурных чисел также представляют собой частные случаи арифметических рядов высших порядков.

В самом деле, возьмем ряд фигурных чисел т-го порядка:

Так как, согласно вышеупомянутому второму свойству фигурных чисел, имеем:

то разность между двумя последовательными фигурными числами т-го порядка будет:

На этом основании заключаем, что первый разностный ряд по отношению к взятому нами ряду фигурных чисел т-го порядка будет:

т. е. оказывается рядом фигурных чисел (m—1)-го порядка, начинающимся от 2-го члена.

* Здесь имеется в виду принятое нами условие: СJJ1 = 0 при m > п. В данном случае: = 0.

Подобным же образом найдем второй разностный ряд:

Третий разностный ряд:

и т. д. Таким путем найдем, что т-ый разностный ряд:

окажется составленным из фигурных чисел нулевого порядка, т. е. из ряда е 1иниц.

Отсюда заключаем, что ряд фигурных чисел т-го порядка является частным случаем арифметического ряда т-го порядка.

Нетрудно, далее, убедиться, что все виды многоугольных чисел, рассмотренных нами выше, составляют арифметические ряды 2-го порядка, поскольку первыми разностными рядами для них служат обыкновенные арифметические прогрессии, т. е. ряды 1-го порядки, а значит, вторыми разностными рядами будут ряды одинаковых натуральных чисел.

Ниже мы увидим также, что ряды одинаковых степеней последовательных натуральных чисел в свою очередь будут частными случаями арифметических рядов высших порядков.

Таким образом, арифметические ряды высших порядков являются категориями, обобщающими многие известные нам и зачастую достаточно ценные в математике числовые ряды. Отсюда тем более важное значение приобретают вопросы общей теории арифметических рядов высших порядков, к изучению которых мы и приступим.

9. ТЕОРИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ РЯДОВ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пусть нам дан арифметический ряд т-го порядка:

(22)

по отношению к которому последовательные разностные ряды будут:

При этом последний т-ый разностный ряд, согласно определению арифметического ряда т-го порядка, должен состоять из ряда одинаковых членов, т. е.

Так как каждый из последующих разностных рядов является первым разностным рядом по отношению к предыдущему ряду, то все разностные ряды, выписанные для данного ряда т-го порядка, будут представлять собой арифметические ряды соответственно низших порядков. А именно, первый разностный ряд есть арифметический ряд (m — 1)-го порядка; второй — (m —2)-го порядка и т. д. Наконец, (m — 1)-й разностный ряд есть арифметический ряд 1-го порядка, т. е. обыкновенная арифметическая прогрессия, разность которой d=y({p. Формула общего (л+ 1)-го члена этой прогрессии, как известно, будет:

или:

(23)

а формула суммы п членов той же прогрессии будет:

или:

(24)

то он представляет собой арифметический ряд 2-го порядка. Соответствующие формулы общего члена и суммы членов этого ряда найдем, исходя из того, что разности между последовательными членами его должны составить упомянутую выше арифметическую прогрессию, т. е.

Что касается (m — 2)-го разностного ряда:

(25)

Суммируя почленно эти равенства, будем иметь:

откуда, принимая во внимание равенство (24), найдем формулу общего (п -j- 1)-го члена, рассматриваемого (m —2)-го разностного ряда (25):

(26)

Придавая здесь букве п последовательные целые значения: О, 1, 2, 3 ... (и—1) и суммируя полученные равенства, найдем формулу суммы п первых членов того же ряда (25)

или, используя формулу (2) суммирования сочетаний, получим:

(27)

Аналогичным путем, имея в виду, что для (т — 3)-го разностного ряда:

(28)

представляющего собой арифметический ряд третьего порядка, имеют место равенства:

и суммируя эти равенства, получим формулу общего (;z-f 1)-го члена этого ряда (28;:

(29)

А далее, придавая букве п последовательные целые значения: 0,1, 2,3... (п — 1) и почленно складывая полученные равенства, найдем формулу суммы п первых членов того же ряда (28):

(30)

Обобщая, наконец, предыдущие рассуждения и выкладки, придем к предположению, что для данного нам арифметического ряда т-го порядка:

(22)

должна иметь место аналогичная формула общего {п -j- 1)-го члена:

(31)

и формула суммы п первых членов:

(32)

Чтобы доказать эти формулы, снова воспользуемся методом совершенной индукции.

Примем, что аналогичные формулы справедливы для арифметического ряда (т— 1)-го порядка:

(33)

служащего первым разностным рядом по отношению к данному ряду (22).

Иначе говоря, будем считать справедливыми формулы:

(35)

и докажем, что при этих условиях должны оправдываться формулы (31) и (32).

Так как члены ряда (33) служат последовательными разностями между соседними членами данного ряда (22), то:

Складывая почленно эти равенства, будем иметь:

откуда, принимая во внимание формулу (35), которую мы допускаем справедливой, получим доказываемую формулу (31). Из этой же формулы не трудно уже вывести формулу (32). Для этого достаточно выписать формулу (31) для отдельных значений п = 0,1,2,3... (п — 1) и почленно сложить полученные равенства.

Таким образом, общие формулы (31) и (32) для арифметического ряда т-го порядка будут доказаны при условии, если они будут справедливы для арифметического ряда (т—1)-го порядка.

* Здесь имеется в виду, что С™ — О, если туп.

Но эти формулы выше были выведены нами для арифметических рядов 1-го, 2-го и 3-го порядка. Поэтому на основании предыдущего они останутся справедливыми и для арифметического ряда 4-го порядка, затем 5-го порядка и т. д. В результате, формулы (31) и (32) окажутся справедливыми для арифметического ряда любого т-го порядка.

Итак, (п + 1)-й член уп арифметического ряда т-го порядка выражается формулой

(31)

т. е. равен сумме его начального члена и произведений начальных членов всех разностных рядов на число сочетаний из п элементов по числу элементов, равному номеру соответствующего разностного ряда.

Что касается суммы п первых членов арифметического ряда т-го порядка,, то она выражается формулой:

(32)

В обеих формулах коэфициенты:

не зависят от ли различны для отдельных частных случаев рядов одного и того же т-го порядка.

Таким образом, всякий арифметический ряд какого угодно т-го порядка однозначно определяется своим начальным членом у0 и начальными членами

всех его разностных рядов. Поэтому все вычисления, касающиеся того или иного арифметического ряда высшего порядка, необходимо начинать с предварительного определения упомянутых начальных членов.

Для примера вычислим 18-й член арифметического ряда 4-го порядка:

4, 7, 15, 30, 57, 104, 182..., упомянутого в начале предыдущего параграфа.

Чтобы определить начальные члены всех четырех разностных рядов, выписываем эти ряды:

Подставляя затем в формулу (31) найденные начальные члены и п = 17, получим 18-й член:

Так как фигурные числа какого угодно порядка являются арифметическими рядами того же порядка, то рассмотренную теорию арифметических рядов можно применить также к вычислениям с фигурными числами.

Например, чтобы вычислить сумму s первых пятнадцати фигурных чисел 4-го порядка:

1, 5, 15, 35, 70, 126... выписываем соответствующие разностные ряды:

и подставляем найденные начальные члены в формулу (32) суммы членов арифметического ряда; тогда получим:

Кстати, на этом примере убеждаемся, что вычисления с фигурными числами выполняются гораздо проще по формулам, выведенным выше специально для фигурных чисел. Например, для предыдущей суммы первых 15-ти фигурных чисел 4-го порядка будем иметь сразу:

10. СВОЙСТВО МНОГОЧЛЕНА, СВЯЗАННОЕ С ПОНЯТИЕМ АРИФМЕТИЧЕСКИХ РЯДОВ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

В заключение рассмотрим замечательное свойство целого многочлена относительно х, связанное с понятием арифметических рядов высших порядков и выражаемое теоремой:

Если в целый многочлен m - о й степени относительно х:

(36)

подставить вместо х последовательные члены обыкновенной арифметической прогрессии:

то соответственные значения многочлена

составят арифметический ряд т-го порядка.

Чтобы доказать это, составим выражение нашего многочлена (36), получаемое при подстановке в него (х + d) вместо х:

Тогда разность:

* Очевидно, достаточно выписать в первом разностном ряду число членов, равное порядку данного арифметического ряда.

очевидно, представит собой некоторый целый многочлен (m—1)-й степени относительно х. Обозначив его через Q, (х), будем иметь

Заменяя х в этом равенстве последовательно на X + d; х +2d; ^ + 31..ит. д., получим соответственно:

Из этих равенств вытекает, что полученные нами выражения упомянутого многочлена (т — 1)-й степени:

составляют первый разностный ряд по отношению к ряду выражений данного многочлена:

Q(x);Q(x + d);Q(x + 2d);Q(x + Zd). (37)

Аналогичным путем найдем, что разность Q, (х + d) — Qt (х) составит новый многочлен Q2 (х) степени на единицу низшей, т. е. (m—2)-й степени относительно х:

откуда, при последовательной замене х на x + d\ x + 2d получим:

Это значит, что выражения нового многочлена (m — 2)-й степени:

составят второй разностный ряд по отношению к упомянутому ряду (37).

Продолжая таким же образом далее, найдем, что (m — 1)-й разностный ряд по отношению к тому же ряду (37) представит собой ряд выражений многочлена первой степени относительно х:

Если положим, что многочлен Qm_i(;t) будет иметь общее выражение функции первой степени от х, т. е.

где k и b — некоторые постоянные коэфициенты, то упомянутый (m — 1)-й разностный ряд представится в виде арифметической прогрессии:

а т-ый разностный ряд будет состоять из одинаковых членов, равных kd.

В результате приходим к выводу, что при X = а, последовательный ряд значений данного многочлена:

представит собой арифметический ряд т-го порядка, по отношению к которому т-й разностный ряд будет состоять из одинаковых величин, равных kd.

Так как последовательные натуральные числа

0, 1, 2, 3, 4...

составляют обыкновенную арифметическую прогрессию, то из предыдущей теоремы вытекает следствие:

Частные значения целого многочлена т-й степени относительно Х, получаемые при подстановке вместо X последовательных натуральных чисел 0, 1, 2, 3,... составляют арифметический ряд т-го порядка.

Применяя этот результат к частному случаю многочлена:

получим второе следствие:

Ряд т-х степеней последовательных натуральных чисел, начиная от единицы, представляет собой арифметический ряд т-го порядка.

Отсюда вытекает, что всякую сумму одинаковых степеней последовательных натуральных чисел можно вычислить с помощью теории арифметических рядов высших порядков. Например, чтобы вычислить сумму четвертых степеней первых п натуральных чисел, составляющих арифметический ряд 4-го порядка:

1, 16, 81, 256, 625, 1296...

выписываем соответствующие разностные ряды:

Тогда по формуле (32) суммы членов арифметического ряда будем иметь:

(38)

Заметим, кстати, что в то время, как формулы суммы квадратов и кубов натуральных чисел были известны еще древним математикам, формула суммы четвертых степеней этих чисел впервые была найдена лишь в XV столетии арабским математиком Алькаши в несколько ином виде:

Что касается сумм более высоких степеней натуральных чисел, то ими занимались некоторые математики XVII столетия, в частности Ферма. Позднее, в конце XVII столетия, Яков Бернулли в своей книге «Ars conjectandi» показал, как можно при помощи свойств фигурных чисел вывести формулы сумм одинаковых степеней натуральных чисел, и сам выполнил вычисление до 10-й степени включительно.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

НЕДАВНО НАЙДЕННОЕ СОЧИНЕНИЕ АРХИМЕДА

Проф. И. Я. ДЕПМАН (Ленинград)

Архимед, живший в Сиракузах, на острове Сицилии, с 287 по 212 год до нашей эры, является величайшим математиком не только древности, но и всех времен. Для не-математика Архимед является более легендарным героем, чем реальным лицом. О нем известно, что он был величайшим инженером древности, применившим изобретенные машины для защиты родины. Он изобретал машины для бросания камней, он якобы сжигал вражеские корабли при помощи зеркал, что считается многими легендой [хотя французский академик Бюффон (1707—1788) в некотором масштабе (на расстоянии 200 футов) повторил опыт Архимеда], он при помощи рычагов с крючьями опрокидывал вражеские корабли и т. д. Для математика тот же Архимед — реальный человек, гениальный ученый, собрание сочинений которого уже в издании 1807 г. представляет том в 650 страниц большого формата*.

К счастью для культуры, сочинения Архимеда дошли до нас в большем количестве и в лучшем состоянии, чем творения других древних гениев. Кроме того, научное наследство Архимеда увеличивается в большей степени, чем наследство кого бы то ни было из древних творцов.

В 1906 г. датский историк математики проф. И. Л. Гейберг, лучший знаток античной математики, открыл до сего неизвестное сочинение Архимеда: «Послание к Эратосфену о некоторых теоремах механики». Русский перевод его: Проф. И. Гейберг, Новое сочинение Архимеда (с предисловием приват-доцента И. Ю. Тимченко) издан издательством «Матезис», Одесса, 1909 г. Найдено это сочинение было в Константинополе в монастыре в виде палимпсеста, т. е. документа, с которого смыта имевшаяся на нем первоначальная запись и на месте ее написан новый текст. Современная химия имеет средства в свою очередь удалить вторичный текст и восстановить первоначальный. Таким путем находились неоднократно считавшиеся потерянными произведения древних писателей.

Имеется еще другой путь, которым обогащалось наше знание античных авторов. Непосредственно в греческих оригиналах до нас дошли далеко не все имеющиеся у нас произведения греческих математиков. Большую услугу мировой культуре оказали арабские писатели, которые в IX и X вв., когда в Европе никто не интересовался наследством греков, жадно переводили это наследство на арабский язык, с которого несколькими веками позднее эти произведения стали переводиться и на европейские языки.

В Багдаде существовала правительственная переводческая коллегия, значение которой для мировой культуры нельзя достаточно высоко оценить. Неоднократно на протяжении нескольких веков в арабских переводах находились сочинения древних авторов, заглавия которых были известны из упоминаний о них, дошедших до нас в произведениях древности. Однако остается еще целый ряд произведений, не обнаруженных до сих пор. Таким сочинением Архимеда, о котором много раз упоминают различные древние авторы, но которое до последнего времени нам не было известно, является его сочинение о правильном семиугольнике.

Греческие математики умели при помощи циркуля и линейки вписать в окружность правильные треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник и все многоугольники, которые получаются из названных удвоением числа сторон, повторенным какое угодно число раз. Построение правильного семиугольника, очевидно, не удалось, так как вся литература древней геометрии решения этой задачи не содержит.

Случилось это не потому, что древние геометры были недостаточно сведущи. Вопрос о том, какие правильные многоугольники можно построить циркулем и линейкой, был решен только в начале XIX в. Гауссом (1777—1855 г.). Гаусс показал, что правильный /г-угольник, число сторон которого п есть число простое, может быть построен циркулем и линейкой лишь в том случае, если п есть число простое вида 22* + 1, где k — целое положительное или 0.

Составим таблицу чисел вида

(1)

Все эти значения числа п суть числа простые. Первые два случая, т. е. построение правильных треугольника и пятиугольника, были известны греческим геометрам. Построение правильного семнадцатиугольника выполнил впервые Гаусс, и он завещал вырезать на своем могильном камне эту фигуру.

* Oeuvres d'Archimède, traduites littéralement par F. Peyrard, A Paris, chez François Buisson, 1807.

Правильный 257-угольник был построен еще при жизни Гаусса проф. Кенигсбергского университета Ришело (1832 г.), а правильный многоугольник с 65 537 сторонами нашел своего любителя в лице Геттингенского профессора Гермеса, который после десятилетнего изучения построил его в 1894 г.

Естественно возникает вопрос, какие еще правильные многоугольники допускают построение при помощи циркуля и линейки? Теоретически исчерпывающий ответ дан Гауссом: правильные /z-угольники, для которых п — число простое, имеет вид /г = 22^ 1, т. е. получается по нашей схеме (1) при дальнейших значениях k. Но здесь возникает новый вопрос: давая в схеме (1) числу k значение пять, нужно решить вопрос, будет ли полученное число (весьма большое) простым или нет. Например, при k = 5 получаем:

Простое это число или составное?

Решение вопроса, является ли данное число п, когда это п число большое, простым или составным, оказывается трудным. Отметим, что в силу теоремы Гаусса правильный семиугольник не может быть построен циркулем и линейкой, так как 7 хотя число и простое, но не вида 22* + 1. Однако у древних писателей существуют неоднократные указания о том, что у Архимеда было сочинение о правильном семиугольнике.

Эти сообщения весьма интересовали математиков. Можно было сделать два предположения о содержании неизвестного сочинения Архимеда: можно было думать, что Архимед ошибался и строил циркулем и линейкой правильный семиугольник или же что он нашел невозможность такого построения и, быть может, доказывал эту невозможность. Еще Эйлер (1707—1783, великий математик, член Петербургской Академии Наук) сказал, что ошибки великого челозека иногда интереснее его дел, где он не ошибается, поэтому и при первом предположении утерянное сочинение Архимеда вызывало к себе исключительный интерес. При втором предположении Архимед оказался бы предвосхитившим идеи Гаусса, величайшего математика первой половины XIX в.

Умершим в 1925 г. немецким математиком-арабистом Карлом Шоем был среди арабских рукописей IX в. в числе астрономических трактатов найден краткий трактат о правильном семиугольнике, который несомненно и есть долго интересовавшее всех математиков сочинение Архимеда. В 1927 г. друзья умершего К. Шоя издали при поддержке Прусской Академии Наук подготовленную к печати работу Шоя, и, таким образом, среди многих астрономических и тригонометрических трактатов персидского астронома Альбируни (973—1048) стало доступным читателям и сочинение Архимеда. Оно помещено в добавлении к основному содержанию книги — трактату известного арабского переводчика и математика Табит ибн Курра (Tabit ibn Qurra, 826—902), который прямо заявляет, что его трактат является переводом старого весьма поврежденного списка рукописи Архимеда. Если бы этого указания и не было, все равно было бы ясно происхождение трактата: льва узнают по когтям.

Изложим ту часть найденного сочинения Архимеда, которая относится непосредственно к вопросу о семиугольнике. Кроме двух предложений, относящихся непосредственно к этому вопросу, в сборнике Архимеда имеется ряд других теорем, из которых некоторые представляют также чрезвычайный интерес. О них поговорим в особой заметке.

Если бы современному математику предложить решить вопрос о построении правильного семиугольника, он поступил бы обычным путем: предполагая задачу решенной, он стал бы изыскивать, какие соотношения существуют между искомыми, данными и вводимыми вспомогательными величинами и как на основании этих соотношений выполнить построение.

Итак, предположим, что в окружность вписан правильный семиугольник, что ВН (черт. 1) одна из его сторон, и проведены диагонали, исходящие из вершин В и Н. Задача о построении семиугольника будет решена, если будут определены положения точек Л" и Л на диагонали BZ. Имеем:

1) Z BZH=ZHA = /тАНК= /_ZBG, как вписанные углы, опирающиеся на седьмую часть окружности; обозначим этот угол через а

он равен

2) Z ВНК = Z. HBZ = 2*;

3) /_КАН = 2а, как внешний угол треугольника HAZ\

4) /НКА = ВКТ = 4а, так как сумма углов А НКА равна 180°, или 7«, два же других угла, уже определенные, составляют За = 3/7-180°;

5) £рКН = l^AKT' = За, как углы, смежные к углам в 4а;

б)ДШ = ДМГ (общая сторона ВН и соответственно равные углы); поэтому НА = = ВТ, ВА = HT;

7) А В ТА = Д HT А (по трем сторонам);

8) /. HTA = £ВАТ = 2а; KT = К А. Введем обозначения AZ = АН = х\ ВК = KH = z; КА = v.

9) ДЯЯЛ подобен ДHKZ (три угла соответственно равны); отсюда H К : KZ = К А : НК.

(1)

10) ААНК подобен Д АНТ (по трем соответственно равным углам), отсюда

(2)

Вот те условия, каким соответствует деление окружности на 7 равных частей. Если их можно осуществить, то будет решена и поставленная задача.

Получение этих условий очень просто, но нигде не приходилось встречать этого вывода. Архимед этого вывода также не дает и, как кажется, не делает этого по принципиальном соображениям. Греческие геометры никогда не исходили из предположений, осуществи-

Черт. 1

мость которых еще не была доказана. Тот же Архимед все свои рассуждения начинает не с предположений, что рассматриваемая им задача решена, а всегда с того, что уже доказано. Не с какого угодно вписанного многоугольника ведет он свои рассуждения, а с определенного многоугольника, который он умеет вписывать. Для себя Архимед, вероятно, и рассуждал так, как мы делали только что, но этого своего чернового рассуждения ни он и никто из других греческих геометров никогда читателям не показывают. И в данном случае Архимед начинает прямо с построения отрезков, удовлетворяющих только что полученным соотношениям (1) и (2), совершенно не предупреждая читателя, для чего это будет нужно. Читатель с удивлением лишь убеждается, что ничем не мотивированное построение приводит совершенно неожиданно к решению задачи. Вот текст Архимеда, переданный при помощи современных символов.

В квадрате ABCD (черт. 2) со стороной а проведена диагональ ВС и из вершины D секущая DTEZ так, чтобы площадь Д DTC равнялась площади Д AEZ. Вращая секущую вокруг точки D, можно всегда достигнуть такого положения. Если провести прямую KL через точку Т параллельно BD и ввести обозначения ВК = z, КА = у, AZ = х, то для указанного положения наклонной имеют место предложения

(1)

(2)

т. е. как раз те соотношения, которые мы получили выше, и для нас после наших добавочных рассуждений ясно, для чего Архимед все это делает.

Доказательство

Площадь Д DTC = площади AZAE, откуда следует, что

(3) (4)

Из (3) и (4) имеем

(2)

Но DL = ВК = ТК и TL = К А, так как точка Т лежит на биссектрисе угла В, и перпендикуляры из любой точки биссектрисы на стороны угла равны*. Поэтому пропорция примет вид

(1)

Таким образом, найден способ деления отрезка BZ в требуемых отношениях, если только может быть найдено такое направление наклонной DZ, при котором площади треугольников DTC и AEZ будут равны. Установив эту предварительную лемму, Архимед в последнем (17-м) предложении найденного сочинения дает построение правильного семиугольника.

Предполагая, что отрезок BKAZ (черт. 3) со своими делениями взят из предыдущей леммы, построим на BZ треугольник BHZ так, чтобы КИ = KB = z и AH = AZ= =х. Для этого проводим дуги из точек К и А соответственно радиусами ВК = = z и AZ = X. Описав вокруг треугольника BHZ окружность, получим дугу ВН, которая и будет седьмой частью окружности, а угол HZB = <x вписанным углом, опирающимся на седьмую часть окружности.

Доказательство

Проведем вспомогательные прямые HAG, НКЕ, BG, ТА, ZG, GE.

1) / HZB = а;

2) L^\— а> так как AHAZ равнобедренный, следовательно, \jZG равна kjBH\

3) Z b = «;

4) /\АНК подобен /\ZHK, так как угол при вершине К У них общий, а по доказанному в лемме

Из подобия треугольников АНК и ZHK имеем:

Z.H2 = ol и kjEG = kjBH. В четыреугольнике ТВИА:

5) Z.BAH= /JiBT, так как /\ВНК равнобедренный, равно как и Д BHG;

6) Z.BAH=2* (внешний угол Д/ZAZ);

7) Д ВКТ = Д НКА (ВК = НКу и углы, прилежащие к этим сторонам, соответственно равны), откуда

НА = ВТ = X, КТ=КА = у, / ВТ И = 2а.

Наконец, /\КНА подобен Д АНТ, так как у этих треугольников угол //2 = а общий и по второму соотношению, доказанному в лемме,

Из подобия этих треугольников следует

8) z.HTA = z.HAK+2«;

9) z.Hz = Z. В2 = 2а, так как треугольники ВКН и ТКА оба равнобедренные и с равными при вершине углами, почему и углы при

Черт. 2

Черт. 3

* Т. е. перпендикуляр, проведенный из 7 на BD и равный DZ, должен быть равен ТК-Далее, АК = АВ — ВК = KZ — К'Т = TZ. Легко видеть, что эти равенства непосредственно следуют из того, что прямоугольный треугольник ВКТ — равнобедренный.

Примечание редакции.

основании у них равны; в таком случае дуги HZ и BE каждая представляют удвоенную дугу ВН, следовательно, w ВН есть седьмая часть окружности, и правильный семиугольник построен. Но для этого нужно предварительно выполнить деление отрезка BZ на требуемые части, т. е. провести наклонную DZ (черт. 2) так, чтобы треугольники DTG и AEZ были равновелики, другими словами, надо определить положение точки Е.

Архимед не дает никакого указания, как построить точку Е. Конечно, он знает, что циркулем и линейкой ее построить нельзя (задача приводит, как увидим, к кубическому уравнению). При помощи же конических сечений, хорошо известных Архимеду, построение возможно. Такое построение дает арабский математик Ибн-Аль-Хайтам (Ibn Al Haitam, 965—1039), трактат которого на эту тему напечатан в пепеводе Шоя вслед за трактатом Архимеда*.

Суть построения Ибн-Аль-Хайтама в современных символах следующая. Пусть сторона квадрата (черт. 2) обозначена через а, тогда:

y+z = a,z = a — у.

Уравнения Архимеда, определяющие равновеликость рассматриваемых треугольников, можно переписать так:

Исключим из этих уравнений у. Из второго уравнения

подстановка этого значения в первое уравнение дает после преобразований

т. е. кубическое уравнение; построение отрезка X циркулем и линейкой невозможно. Но уравнение а{а — у) = х2 определяет параболу, уравнение (х+у)у = (а— у)2, или, по раскрытии скобок,

ху = а2 — 2ау,

гиперболу, и точка пересечения обеих кривых определяет сторону правильного семиугольника. Все это рассуждение не только целиком было доступно Архимеду, но, более того, вполне в духе решения так называемых невозможных (циркулем и линейкой) задач древности. Совершенно таким же образом решал задачу об удвоении куба Менехм (Menächmus, 350 лет до нашей эры) ученик Платона. Предполагать у Архимеда подобное же решение задачи о правильно вписанном семиугольнике совершенно естественно. Если он не поместил этого решения в свой трактат, то, вероятно, потому что не считал это решение требуемым, т. е. выполненным циркулем и линейкой.

Оба предположения о содержании сочинения Архимеда о семиугольнике оказались неверными. Архимед не делал ошибки при решении задачи, а также не оказался предвосхищающим идей Гаусса, ожидать чего было, конечно, мало вероятно. Он дал в своем, ныне ставшем нам известным, сочинении о семиугольнике четвертую неразрешимую (при помощи циркуля и линейки) задачу древности вдобавок к давно известным задачам об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга. Если вспомнить роль этих задач в истории развития математики, то станет ясным значение вновь открытого сочинения Архимеда, этого нового перла среди ранее известных его сочинений. Гений Архимеда после последнего открытия его сочинения засиял новым, еще более ярким светом.

* Ибн-Аль-Хайтам родом из Басры в Месопотамии; позднее жил в Каире. Выдающийся математик и астроном.

О ЧИСЛАХ ВИДА: Wk = 1 + qk + q2k

Н. ШОЛАСТЕР

(в задаче № 41, помещенной в № 3 за 1939 г. Решение в № 6 1939 г.)

Рассмотрим целые числа:

где q — некоторое определенное целое число, a k —* произвольное целое положительное число. Пусть

Теорема. Всякое число Wk делится без остатка на и при k = 3/z + 1 и k = 3/z -f 2, где я — любое целое положительное число.

Пусть при некотором k = m теорема выполнена, т. е. Wm делится на и. Докажем, что она будет выполнена и при k = m~\-3.

Действительно:

Остается еще показать, что W2 делится на и. Действительно:

Но Wz уже не делится на и, так как

Следовательно, если k = 3/z, то Wk не делится на и.

ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ

О ВИДОИЗМЕНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ВЫВОДОВ, КАСАЮЩИХСЯ ТЕОРИИ ОБЪЕМОВ ФИГУР

Проф. А. С. КОВАНЬКО (Иваново)

§ 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

настоящей статье мы имеем целью видоизменить с точки зрения простоты и строгости изложения теорию объемов и площадей поверхностей некоторых фигур. Сюда относятся пирамида, цилиндр, конус, шар с его частями и усеченная призма. При определении объемов мы стараемся дать такие выводы, которые были бы свободны от перекраивания фигур в равновеликие им фигуры.

Мы не ограничиваемся этими выводами, но и указываем их место и последовательность в курсе элементарной геометрии.

Для полной строгости изложения мы считаем необходимым поместить формулировку наиболее важных положений теории пределов в ее применении к измерению объемов и площадей.

Аксиома непрерывности. Если имеются две бесконечные последовательности чисел at <a2<az<a4 . . . и bt> b2> bz... такие, что все числа первой меньше всех чисел второй и если разность (Ьп — ап) может быть сделана как угодно малой величиной при «п» достаточно большом, тогда существует такое число «с», которое больше всех чисел первой последовательности и меньше всех чисел второй последовательности. Это число с принято называть общим пределом двух последовательностей и записать так:

Отсюда ясно, что разности (Ьп — с) и (с — ап) как угодно малы при «л» достаточно большом.

Для площадей и объемов мы сформулируем определение, опираясь на предложение, доказательства которого мы не приводим.

Лемма. Если фигура Л содержит в себе целиком фигуру В, то ЛЛ^^Ь А больше площади г» объема

Если А содержит в себе Ву то мы это запишем так: А 3 В. Площадь фигуры А мы условимся записывать так | А |.

Определение. Если идет речь о некоторой фигуре сС» и если включить в «С» систему фигур Ах С Аг С Л, С Л4 С . . площади л, объемы которых нам известны, и, наоборот, включить С в систему фигур площади объемы которых нам также известны, тогда

согласно лемме имеем | Bt | > | Вж | > | Вг | >...

и I Аг |< I At |< I Аь |<......, причем все числа | Bt | больше всех чисел | At |. Если окажется, что | Вп | — | Ап | есть величина сколь угодно малая при «п» достаточно большом, то, на основании аксиомы непрерывности, существует общий предел 5 = lim Ап = 1\тВп, который мы и условимся называть площадью С, т. е. величиной | С |.

Из этого определения мы получаем площадь круга помощью площадей вписанных и описанных многоугольников. Аналогично мы определяем объем цилиндра, а также объем конуса после того как нам известен объем призмы и пирамиды.

Остановимся теперь на выводах некоторых объемов.

§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ

а) Объем пирамиды

Лемма. Объемы двух треугольных пирамид с равными высотами относятся между собой как площади их оснований.

Доказательство. Пусть нам даны две пирамиды Л, и А2 с одинаковой высотой h. Поставим их на одну плоскость Р и, разделив общую высоту на «п» равных частей, проведем через точки деления плоскости параллельные плоскости Р. Они рассекут пирамиды Л, и Л2. Тогда площади соответствующих сечений двух пирамид Л, и Л2 будут находиться в том же отношении, как и их основания. Обозначим это отношение через К.

Построив на каждом сечении той и другой пирамиды входящую и выходящую призмы (см. черт. 1), мы, очевидно, получим, что объ-

Черт. 1

емы соответствующих выходящих призм, Л, и Аг находятся в отношении равном К.

Отсюда и отношение суммы объемов входящих призм пирамиды а к сумме объемов--— призм Ло равно К» и это независимо от величины «л».

Следовательно, основываясь на определении объема (см. § 1), мы легко заключаем, что отношение объема Л, к объему Л2 равно К. (Отметим, что здесь мы фактически совершаем переход к пределу при п оо.) Итак, лемма доказана.

Теорема. Объем треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

Доказательство. Пусть S — площадь данной треугольной пирамиды, a h — ее высота. Построим куб ABCDEFGH (см. черт.*2) со стороной равной 2h.

Четыре его диагонали: AG, ЕС, ВН и FD образуют вместе с его ребрами шесть равных четырехугольных пирамид, следовательно, объем каждой равен

Возьмем одну из них ABCDO и диагональной плоскостью BOD разделим ее на две равные треугольные пирамиды. Возьмем одну из них ABDO. Ее объем равен — /г3. У нее такая же высота /г, как и у данной нам пирамиды, а потому, обозначив ее объем через V, мы в силу доказанной леммы должны заключить, что

откуда

Отсюда обычным порядком мы распространяем доказанную теорему на случай любой пирамиды, а затем и на объем конуса. Ь) Объем шара и его частей Возьмем полушарие радиуса R и конус радиуса R и высоты R, положим полушарие и поставим конус на одну плоскость Р. На чертеже 3 мы изображаем эти фигуры в их осевом разрезе.

На расстоянии Л</? от Р проводим плоскость Q II Р. Она отсечет от шара сегмент, осевой разрез которого—АВТ, а от конуса — усеченный конус, осевой разрез которого — A1BlC1Dl. Разделим h на п равных частей и через точки деления проведем ряд параллельных между собой плоскостей, параллельных Р.

Возьмем какую-либо плоскость, отстоящую на расстоянии х от центра нашего шара О или вершины G конуса. В пересечении ее с шаром и конусом она даст круги соответственно радиусов |/R2 — x2 и х. Следовательно, площади этих кругов будут соответственно равны tz(R2 — x2) и tlx2. Следовательно, их сумма постоянна и равна tzR2. Построим теперь на каждом сечении шара и конуса по две системы входящих и выходящих цилиндров (они изображены в разрезе). В силу только что сказанного ясно, что сумма объемов-цилиндра шара с соответствующим входящим цилиндром конуса есть величина постоянная и равная %R2-— .

Следовательно, сумма объемов всех входящих цилиндров, сложенная с суммой объемов всех входящих цилиндров конуса, есть величина постоянная, гавная izR2h, как бы велико ни было «я». Совершая предельный переход при /г->оои используя определение объема, данное в § 1, мы заключаем, что объем шарового сегмента высоты й, сложенный с объемом усеченного конуса высоты h, равен nR2k Пусть V—объем сегмента.

Объем усеченного конуса представится, очевидно, так:

Следовательно,

откуда

В частности, при h = R мы имеем объем полушара V = —kR3, откуда объем шара равен — tzR3. Также легко находим объем шарового сектора и пояса.

с) Объем треугольной усеченной призмы

Пусть нам дана треугольная, усеченная непараллельно основанию, призма ABCDEF. Пусть ее боковые ребра равны соответственно AD — 1и ВС = /2, EF = /2.

Обозначим через 5 площадь ее поперечного ортогонального сечения.

Черт. 3

Вычислим ее объем; проведем сечение GHF параллельно АВЕ9 тогда наша призма разобьется на две части: обыкновенную призму ABHGEF и четырехугольную пирамиду GHCDF. Объем первой равен очевидно lzS.

Объем второй равен — площади GHCD, умноженной на высоту Ff, но площадь

Следовательно, объем GHCDF равен

Следовательно, объем GHCDF =

Отсюда объем V всей нашей усеченной призмы представится так:

или:

Итак объем произвольно усеченной треугольной призмы равен одной трети суммы ее ребер, умноженной на площадь поперечного ортогонального сечения.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ*

А. ФЕТИСОВ (Москва)

III. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ (ТРАНСЛЯЦИЯ)

Если произведем последовательно две осевые симметрии по отношению к двум взаимно-параллельным, то получим преобразование, которое называется параллельным перенесением, или трансляцией.

Г,. При параллельном перенесении все точки плоскости перемещаются в одном и том же направлении и на одну и ту же длину, равную удвоенному расстоянию между осями.

/: На чертеже 1 имеем: /, (Л) = Л,; /2(Л,)Е А\ причем /, // /2. Л Л, 1 /,; Л, Л' _]_ 1Ъ откуда, в силу параллельности прямых /, и 1г следует, что точки Л, Л, и Л' лежат на одной и той же прямой. Если величину расстояния от точки Л до прямой /, назвать ру а от той же точки до прямой /2 нэзвать q, расстояние же между осями обозначить т, то, очевидно, т= p + q.

AAi = 2р\ АХА' = 2q; . •. ЛЛ' = 2р + 2q = 2т.

Из доказанной теоремы мы видим, что параллельное перенесение вполне определяется, если дать величину и направление отрезка на который смещаются все точки плоскости.

D2. Отрезок, на котором установлено определенное направление, называется вектором. Два вектора считаются равными в том и только в том случае, если они одинаковы по длине и по направлению (черт. 2). Вектор мы будем обозначать стрелочкой, помещаемой над обозначением отрезка, причем порядок букв в обозначении должен соответствовать начальной и конечной точке вектора. Например, на чертеже 2 мы имеем:

Итак, мы видим, что трансляция вполне определяется заданием некоторого вектора, дающего ее величину и направление. Если этот вектор будет m и точка Л смещается в Л' (ЛЛ = m), то само преобразование мы будем записывать так:

Т\ (обратная). Всякую трансляцию можно разложить на две осевые симметрии с осями, перпендикулярными к напразлению трансляции, причем расстояние между осями вдвое меньше длины вектора, определяющего трансляцию, и одну из этих осей можно провести произвольно.

/ : Положим, что m (Л)ЕЛ' (черт. 3). Проведем произвольную ось /, _]_ ЛЛ' и пустя ij (Л) = Л,. Проведем

Черт. 1 Черт. 2

Черт. 3

* Продолжение, см. №№ 4 и 5.

теперь симметраль /2 точек Ах и Л' и вновь получим преобразование, рассмотренное нами на чертеже 1, так как lt J_ АА' и /2 _J_ ЛЛ', следовательно, /, // /2.

Cv Так как всякая трансляция эквивалентна двум осевым симметриям, то это преобразование преобраз>ет каждую фигуру в конгруэнтную и одинаково ориентированную (см., например, черт. 4).

С2. Ввиду того, что при трансляции всякая точка плоскости смещается в новое положение, двойных точек преобразования при трансляции нет. С другой стороны, точка всякой прямой, параллельной направлению трансляции, преобразуется в точку той же прямой, поэтому все прямые, параллельные направлению трансляции, преобразуются в самих себя и, следовательно, являются двойными прямыми преобразования.

С3. Две пары точек, взаимных в трансляции, определяют пару взаимных прямых.

/ : Если m (Л) = Л' и "m (В) = В', то

m (AB) = А'В'.

С4. Две пары прямых, взаимных в трансляции, определяют пару взаимных точек.

/ : Если m (а £ a'; m (b) ЕЕ b', то т(аЬ) Е а'Ь'. Т2. Отрезки, соединяющие пары взаимных в трансляции точек, равны и сонаправлены.

/ : Положим тп(А) = Л' и тп(В) = В' (черт. 4).

По определению трансляции имеем ЛЛ' = ВВ', но тогда из параллелограма АА'В'В будем иметь также:

Г2 (обратная). Обратно, если даны две фигуры в одной и той же плоскости, удовлетворяющие условиям: 1°. Каждой точке первой фигуры соответствует одна и только одна точка второй фигуры и обратно. 2°. Векторы, определяемые парами взаимных в этом соответствии точек, равны, — то такие фигуры можно преобразовать одна в другую трансляцией.

/: Пусть фигуры Л£С... и А'В'С удовлетворяют условиям теоремы: AB = А'В', ВС = В'С и т. д. Тогда, по свойству параллелограма, будем иметь также: ЛЛ' = ВВ' = сс = . . . , т. е. точки второй фигуры можно поручить из точек первой фигуры путем трансляции, определяемой хотя бы вектором ЛЛ'.

Г8. Две последовательные трансляции в одной и той же плоскости можно заменить одной трансляцией.

/: Если мы последовательно произведем две трансляции, определяемые векторами m и п (черт. 5), то получим: m (А) = Л', ~п(А') = А";~т(В) = В'; ~п(В') = В". Согласно Г2, мы имеем: AB = ХВ' = А"В", т. е. AB = А"Ьп% а это значит, что первоначальная фигура (Л, В, . . . ) и окончательная фигура (Ап, В",. . . ) удовлетворяют условиям Т2 и, следовательно, преобразуются одна в другую трансляцией.

Д3. Вектор ЛЛ ' (черт. 5), который определяет результат двух трансляций, называется геометрической суммой (или просто суммой) векторов ЛЛ и А'а", определяющих первоначальные трансляции. Как видим, для получения суммы векторов нужно к концу первого вектора присоединить начало второго и взять вектор, идущий от начала первого вектора до конца второго. Полученная операция записывается так: если Л Л = m,

Мы употребляем здесь знак сложения и термин «сумма» по двум причинам: во-первых, только что данное определение суммирования векторов является естественным обобщением правила суммирования отрезков, а, во-вторых, полученная сумма подчиняется тем же законам, каким подчиняется сумма чисел в арифметике:

С5. Векторная сумма подчиняется переместительному и сочетательному законам.

/: Возьмем вектор тп с началом в точке M и прибавим к нему вектор п (черт. 6). Если теперь из того же начала проведем сначала вектор п, а потом прибавим к нему вектор m, то, очевидно, получим параллелограм и конец вектора суммы и в том и в другом случае попадет в одну и ту же точку — конец диагонали этого параллелограма. Итак:

m+n = n+m — закон переместительный. Попутно мы получили правило сложения векторов при помощи параллелограма,—правило, которое широко применяется в механике и физике.

Прибавим теперь к вектору m -4- п вектор р (черт. 7) и получим сумму: \тп -j- п) +р.

Но к той же самой точке мы придем, прибавляя к вектору m вектор ( п + р ), и получим (m-(-w)+ Р = т+У.п+Р)— закон сочетательный.

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

Черт. 7

На примере трансляции мы можем подтвердить основную мысль Ф. Клейна, утверждавшего, что геометрию можно рассматривать как науку, изучающую некоторые группы преобразований.

Z)4. Будем называть группой совокупность элементов а, Ь, с, . . . , обладающую следующими свойствами:

1°. Существует некоторая операция (мы будем говорить «композиция»), которая, будучи произведена ьад двумя элементами группы, дает вновь элемент этой группы. Если эту операцию обозначить звездочкой (*), то мы будем иметь символически:

где я, b и с — элементы данной совокупности.

2°. Эта операция подчиняется сочетательному закону:

3°. В группе присутствует элемент (он называется единицей, или модулем группы), в композиции с которым любой элемент группы дает этот же самый элемент, т. е. остается неизменным. Если модуль группы обозначить буквой е, то будем иметь по определению:

4°. Для каждого элемента а существует элемент, в композиции с которым получается модуль группы. Этот элемент называется обратным элементу а и обозначается я-1.

Итак:

Если, помимо перечисленных четырех свойств, композиция группы обладает еще свойством переместительности, т. е. если:

то группа называется коммутативной или Абелевой (по имени знаменитого норвежского математика Н. Абеля (1802—1829).

Чрезвычайно общее понятие группы является одним из самых фундаментальных понятий современной математики и играет в ней исключительно важную роль.

Опираясь на только что установленные свойства группы, можно показать, что в каждой группе существует только один модуль, что каждому элементу соответствует только один обратный элемент и что для всякой группы (и не коммутативной) имеют место равенства:

Мы не будем здесь останавливаться на этих доказательствах (желающие могут их найти в любом курсе современной алгебры), так как наличие вышеупомянутых свойств модуля и обратного элемента в нашем случае будет непосредственно очевидно.

Довольно простым примером группы нам может послужить совокупность всех четных чисел. Проверим на этой совокупности все свойство группы (композицией будет сложение).

1°. Сумма двух четных чисел есть число четное.

2°. Сумма подчиняется сочетательному закону.

3°. Модулем группы служит число нуль.

4°. Каждому четному числу соответствует равное по абсолютной величине, но обратное по знаку четное число. Сумма таких чисел дает модуль группы —нуль.

Группа будет Абелевой, так как сложение чисел подчиняется переместительному закону. Заметим, что совокупность всех нечетных чисел не образует группы, так как оно не удовлетворяет первому условию: сумма двух нечетных чисел есть число четное.

Если элементами считать трансляции в одной и той же плоскости, а композицией — последовательное применение двух трансляций, то все трансляции образуют группу и, притом, коммутативную.

/ : Посмотрим, удовлетворяют ли трансляции вышеустановленным свойствам группы.

1°. Две последовательные трансляции эквивалентны одной, как это установлено в Г3.

2°. Композиция трансляций подчиняется сочетательному закону, что мы сразу же получим из С5, если будем определять трансляции соответствующими векторами.

3°. Модулем группы служит так называемое тождественное преобразование («покой»), которое получим в том предельном случае, когда оси симметрии, определяющие трансляцию, совпадут между собою. В этом случае всякая точка плоскости после двух преобразований вернется в первоначальное положение, т. е. все точки плоскости будут двойными.

4°. Для каждой трансляции существует обратная трансляция, возвращающая точки плоскости в исходное положение (т. е. приводящая преобразование к покою). Вектор обратной трансляции равен вектору первоначальной трансляции по длине, но направлен в противоположную сторону.

Наконец, из С5 следует также, что композиция трансляций подчиняется переместительному закону, следовательно, группа коммутативна.

Установленные нами свойства трансляции могут быть широко использованы для решения различных геометрических проблем.

Разберем несколько примеров.

1. Между сторонами данного угла поместить отрезок данной длины, параллельный данной прямой.

Решение. Дан угол ab, длина m и направление прямой / (черт. 8). Транслируем прямую Ъ в положение Ь' при помощи вектора m (вектор длины m и расположенный на прямой /). Пусть ab' = В'. Возвращая точку В' в исходное положение — в точку В, мы получим искомый отрезок ВВ', так как ВН' = т.

2. Между прямою и окружностью поместить отрезок данной длины и направления.

Черт. 8

Решение тем же методом, как и в предыдущей задаче: данную прямую переносят в новое положение и находят точки пересечения транслированной прямой с данной окружностью. Можно поступить и иначе: транслировать окружность, руководясь длиной и направлением данного отрезка, и найти точки пересечения транслированной окружности с данной прямой. Это именно и сделано на чертеже 9.

3. Между двумя данными окружностями поместить отрезок данной длины и направления.

Решение такое же, как и в предыдущей задаче. При помощи задачи 3 решаются следующие две задачи:

4. Построить трапецию по четырем сторонам.

5. Построить трапецию по двум основаниям и двум диагоналям.

Решим еще несколько задач.

6. В точках А и £, расположенных по обе стороны реки с параллельными берегами, находятся два селения. В каком месте реки нужно построить мост, чтобы путь между этими селениями был кратчайший?

Решение. Пусть а // Ь — берега реки, А и В — пункты, в которых находятся селения. Имея в виду, что направление моста должно быть перпендикулярно направлению берегов, рассмотрим некоторый путь APQB. В этой ломаной звено PQ есть величина, определяемая шириной данной полосы. Транслируем точку Л в Л' на величину вектора

Путь AA'QB равен пути APQB, так как А А' = PQ и A'Q = AP. Но, очевидно, длина пути AA'QB будет самой короткой, если часть A'QB будет прямолинейной. Проводим прямую А'В; этим определим точку N и, вместе с тем, искомое положение моста (черт. 10).

7. В данном А ABC провести прямую параллельную основанию ВС так, чтобы верхний отрезок одной боковой стороны был равен нижнему отрезку другой боковой стороны.

Решение. Положим, что задача решена и MN—искомая прямая (черт. 11): AM = NC. Транслируем отрезок NC в положение MP. /\АМР равнобедренный, так как NC = MP = AM, поэтому L 1 = L 3. С другой стороны, L 2 = L 3 как внутренние накрестлежащие. Следовательно, L 1 = L 2 и прямая АР — биссектриса [_ А. Этим определяемся точка Р Дальнейшее решение очевидно.

8. Дана прямая / и точки А и В по одну сторону этой прямой. Найти такое положение отрезка MN данной длины m на этой прямой, чтобы путь AMNB был бы кратчайшим.

Решение. Транслируем точку А на длину m параллельно прямой / — в точку А' (черт. 12). Находим точку Л", симметричную с А! по отношению /. Прямая А"В определяет искомую точку N.

9. Построить четыреугольник по четырем сторонам и медиане (отрезок, соединяющий середины противоположных сторон).

Решение. Пусть ABCD — искомый четыреугольник (черт. 13), MN — его медиана. Транслируем CD в положение MD' и AB — в положение MB'. Так как Ш = Ш и Ш? # ШУ, то В' и D' центрально симметричны по отношению к N.

В Д MB'Df нам известны стороны MB' и MD' и медиана MN. Задача привелась к построению треугольника по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне. Для решения этой задачи продолжим MN на ее длину за точку N (черт. 14). M'N = = MN. По свойству центральной симметрии М'В' = = MD и 1\МВ'М' мы можем построить по трем сторонам. Таким образом, мы найдем точки Му N, В' и £У.

Остается найти точки Л, В, С и Р. Точка В находится от N на расстоянии BN, которое известно. От точки В' точка В находится на расстоянии BN = AM, что тоже известно. Поэтому точку В мы можем найти засечками. Аналогично найдем и точку D. Для отыскания точек Л и С транслируем отрезки MB' и MD' в их исходное положение.

10. Построить четыреугольник по четырем сторонам и отрезку, соединяющему середины диагоналей.

Решение аналогично решению предыдущей задачи.

11. Через две точки, данные на окружности, провести две параллельные хорды, сумма которых равнялась бы данной длине.

Черт. 9

Черт. 10

Черт. 11

Черт. 12

Черт. 13

Черт. 14

Решение. На чертеже 15 — Л и Ж данные точки; АС и BD— искомые хорды. Транслируем AD в положение СЕ. Д^С£ —равнобедренный, так как [_ 1 = L 2, |_ 2 = L 3, причем все эти углы известны, так как L 2 опирается на данную дугу —AB.

Основание BE в ДВСЕ равно данной сумме, следовательно, Д ВСЕ можно построить по основанию и двум углам при основании. Этим определится длина ВС и, значит, точку В мы сможем найти засечкой.

12. Построить параллелограм по двум сторонам и углу между диагоналями.

Решение. Положим, что ABCD — искомый параллелограм (черт. 16). Транслируем диагональ AD в положение ВЁ. В Д СВЕ нам известны: основание СЕ, положение точки D на нем, длина BD и L СВЕ9 равный углу между диагоналями. Для отыскания В строим на.СЕ дугу, вмещающую данный угол, и на этой дуге данным расстоянием BD засечкой определяем точку В.

13. Построить треугольник по трем его медианам.

Решение. Пусть Д ABC — искомый, ЛЛ', ВВ\ СС — его медианы (черт. 17), G — их точка пересечения. Транслируем AG в положение CD. Точки G и D центрально симметричны по отношению к В\ поэтому вДС/Xj каждая сторона равна соответствующей медианы, следовательно, этот треугольник мы можем построить по трем сторонам. Получив точки С, D и G, мы получим точку В', затем найдем точку Л и т. д.

14. Через точку пересечения двух окружностей провести секущую так, чтобы сумма полученных хорд равнялась данной длине.

Решение. Пусть ÂB (черт. 18) —искомая секущая. Проводим ОгМ\_АВ и Q2N±AB.

Очевидно, MN = AB. Транслируем ММ в положение Ü2D. В прямоугольном Д0,£>02 нам известна гипотенуза Ох02_и катет 020 = MN. Итак, Д OxD02 мы можем построить по гипотенузе и катету. Получив точку D, определим направление Ü2D и, вместе с тем, направление секущей AB.

Черт. 15

Черт. 16

Черт. 17

Черт. 18

ВПИСАННЫЙ И ОПИСАННЫЙ ШАР

В. ПАДУЧЕВ (Ст. Лиски)

Среди учащихся большие затруднения вызывают задачи на вписанный и описанный шар. Значительная часть этих затруднений относится за счет чертежа, который нужно построить по условию задачи. В методической литературе этот вопрос почти совсем не разработан, поэтому не только ученики, но иногда и преподаватель действует вслепую, не имея перед собой определенной системы.

Стереометрический чертеж — изображение тела в пространстве — обладает той особенностью, что здесь всегда может быть не один, а бесчисленное множество вариантов, из которых надо выбрать наилучший.

Возьмем треугольную прямую призму и изобразим ее тремя способами (черт. 1).

Мы начертили проекцию одной и той же призмы. Разница между этими проекциями только в том, что в первом случае (I) задняя (невидимая) боковая грань дана в натуральную величину, во втором случае (II) нет ни одной грани в натуральной величине, а в третьем случае передняя боковая грань изображена в натуральную величину. Проанализировать эту призму, решить относительно ее тот или иной геометрический вопрос, конечно, можно на каждом из этих чертежей, но легче и нагляднее выбрать тот вариант, который больше подходит к конкретным условиям данной задачи.

Возьмем комбинацию шара с простейшим многогранником: вокруг прямоугольного параллелепипеда описан шар (черт. 2).

Каждый из этих чертежей верен теоретически, но в первой проекции большой круг как бы висит в воздухе, не будучи связан с вершинами параллелепипеда, во втором случае большой круг, проходящий через диагональное сечение, изображается в виде эллипса, а в третьем случае это сечение находится

Черт. 1

в плоскости чертежа, и большой круг проектируется в натуральную величину. Ясно, что этот третий вариант является наиболее наглядным и удобным изображением заданного комбинированного тела.

В задачах на вписанный и описанный шар почти всегда приходится определять ту или иную зависимость между радиусом шара и линейными элементами многогранника. Для нахождения же этой зависимости необходимо произвести соответствующий анализ в отношении одного из больших кругов шара.

Какие же требования мы предъявляем к чертежу в целях его максимального удобства, наглядности и убедительности? Формулировать эти условия нетрудно:

1) большой круг шара во всех случаях (для вписанного или описанного шара — безразлично) должен изображаться в натуральную величину в плоскости чертежа;

2) для описанного шара многогранник (вписанный) следует располагать так, чтобы хотя бы две из его вершин находились на фронтальной проекции окружности большого круга (плоскость чертежа);

3) для вписанного шара многогранник (описанный) должен проектироваться с таким расчетом, чтобы, по крайней мере, одна из апофем многогранника изображалась в плоскости чертежа в натуральную величину и, следовательно, была касательной к проходящей в той же плоскости окружности большого круга.

Выполнение этих минимальных требований гарантирует построение грамотных и удобных для анализа чертежей.

В порядке обмена опытом я предлагаю вниманию читателей ту систему изложения разъяснительного материала, которая много лет практикуется мною в работе со старшими классами. Прежде чем приступить к решению задач этого раздела, ученики должны получить необходимые сведения об условиях и специфических особенностях чертежа для вписанного и описанного шара. Практика показывает, что разъяснение можно ограничить тремя основными видами многогранников: призмой, пирамидой полной и пирамидой усеченной. Каждый из этих многогранников может иметь четное или нечетное число боковых граней, в соответствии с чем он будет иметь в многоугольнике основания четное или нечетное число сторон; поэтому мы будем иметь два основных случая как для вписанного, так и для описанного шара:

1) число боковых граней четное (2/i);

2) число боковых граней нечетное (2л+1).

Изложение начинаем с описанного шара, ограничиваясь для наглядности примерами простейших тел: прямоугольный параллелепипед, правильная четырехугольная пирамида и правильная четырехугольная усеченная пирамида — для «четных» многогранников; правильная треугольная призма и правильная треугольная пирамида (полная и усеченная) — для «нечетных» многогранников. Последовательный анализ в классе всех возможных случаев для этих многогранников способствует полному разъяснению вопроса и дает ученикам ключ к самостоятельному решению самых трудных задач на вписанный и описанный шар.

I. ОПИСАННЫЙ ШАР

А. Многогранник имеет четное (2п) число боковых граней.

1) Призма (прямоугольный параллелепипед — черт. 3)

Чертеж проекции выполняется в такой последовательности. Описываем окружность произвольным радиусом OA и вычерчиваем вписанный прямоугольник ABCD, в котором AB и DC — противолежащие боковые ребра, а ВС и AD—диагонали оснований параллелепипеда. Строим теперь косоугольную («кабинетную») проекцию прямоугольника основания AEDF, проведя EF под углом в 30° к AD и отложив ЕОх = FOt = тг АО. Путем проведения EiF1 \\ EF строим верхнее основание BEACFX и боковые ребра ЕЕХ и FFt.

Из чертежа видно, что прямоугольник ABCD диагонального сечения вписан в окружность большого круга, находящегося в плоскости чертежа, поэтому диагональ прямоугольника диагонального сечения совпадает и равна диаметру шара.

Построение чертежа для всякой другой прямой призмы с четным числом боковых граней производится таким же способом.

2) Пирамида (черт. 4)

После проведения окружности вписываем в нее равнобедренный треугольник ASB по боковой стороне AS, равной боковому ребру пирамиды. Косоугольная проекция квадрата основания вычерчивается так же, как и для призмы, после чего вершины D, В и S соединяются прямыми.

В плоскости чертежа имеем равнобедренный треугольник диагонального сечения, вписанный в окружность большого круга.

3) Усеченная пирамида

В окружность большого круга надо вписать равнобочную трапецию АВВХАХ с боковой стороной, равной боковому ребру усеченной пирамиды. Основаниями трапеции будут диагонали ВВХ и ААХ нижнего и верхнего оснований пирамиды.

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

После вычерчивания косоугольных проекций оснований проводим боковые ребра FE и F^E, пирамиды.

Обобщая разобранные случаи, можно дать такую формулировку:

Для «четных», или «симметричных», вписанных многогранников большой круг описанного шара проходит через диагональное сечение, соответствующее двум диаметрально противоположным ребрам.

Другими словами: большой круг описанного шара проходит через вершины двух диаметрально-симметричных и противолежащих боковых ребер. Замечание. «Четными», или «симметричными», мы для краткости будем называть призмы и пирамиды с четным числом боковых граней.

В. Многогранник имеет нечетное (2п +1) число боковых граней.

1. Правильная призма (треугольная) (черт. 6)

В окружности (большого круга) проводим две параллельных хорды ВСХ и ADX с таким расчетом, чтобы расстояние AB между ними равнялось боковому ребру призмы, а обе хорды были расположены на одинаковом расстоянии от центра.

Откладываем теперь горизонтальный отрезок AD равный высоте основания призмы, строим горизонтальную кабинетную проекцию одного из оснований AFE, затем параллельное ему другое основание и соединяем между собой найденные вершины призмы. Плоскость большого круга определяется боковым ребром AB и пересекающейся с ним (выходит из одной вершины А) высотой AD основания, причем, если призма правильная, плоскость большого круга (т. е. плоскость чертежа) проходит через среднюю высоту CD грани EFX и перпендикулярно к этой грани.

Здесь необходимо обратить внимание учащихся, что в окружность большого круга вписан не прямоугольник ABCD, а вспомогательный прямоугольник ABCtDu у которого основание ВС\ точно равно диаметру малого круга (г = ЛО, = С,02) описанного вокруг треугольника, а высотою прямоугольника является боковое ребро призмы. Из этого легко выводится зависимость радиуса шара (большого круга) от ребер призмы. Обозначив радиус шара и малого круга соответственно через R и г, а ребра призмы через /, на прямоугольного треугольника ABD, получаем:

или:

откуда

2. Правильная пирамида (чеот. 7) В окружности большого круга из верхнего конца S вертикального диаметра строим хорду SA, равную боковому ребру пирамиды, а по другую сторону диаметра проводим пунктиром симметричную хорду SF. В треугольнике ASF находим точку В так, чтобы расстояние SB равнялось апофеме пирамиды, после чего строим обычным способом косоугольную проекцию основания. Плоскость большого круга, т. е. плоскость чертежа, определяется боковым ребром AS и апофемой SB противолежащей ему боковой грани.

Из чертежа видно, что окружность большого круга описана вокруг вспомогательного равнобедренного треугольника ASF, в котором угол а при основании есть угол наклона ребра к плоскости основания.

С помощью угла а радиус шара легко выражается через боковое ребро или высоту пирамиды.

Из треугольника SAF по теореме синусов имеем откуда

Если дана высота (п — 50,) пирамиды, то из прямоугольного треугольника ASO выражаем

после чего получаем:

3. Усеченная пирамида (черт. 8) В окружность большого круга надо вписать вспомогательную равнобочную трапецию ABCXDU у которой боковая сторона (AB) равна боковому ребру усеченной пирамиды, а основания ВС) и ADX соответственно равны диаметрам малых кругов, описанных вокруг верхнего и нижнего оснований пирамиды.

Для правильной пирамиды положение точек С и D определяется путем отложения высот оснований от вершина и Л, после чего строим косоугольные проекции обоих оснований, находим вершины пирамиды и заканчиваем чертеж.

Окружность большого круга описана вокруг вспомогательной равнобочной трапеции (ЛвС,0,), размеры линейных элементов которой указаны выше.

Замечаем, что для правильной пирамиды плоскость большого круга (плоскость чер-

Черт. 5

Черт. 6

Черт. 7

Черт. 8

тежа) проходит через боковое ребро (AB) и апофему (CD) противолежащей ему боковой грани.

Попутно напоминаем учащимся, что окружность может быть описана только вокруг равнобочной трапеции.

Обобщая разобранные случаи, получаем следующее.

Для нечетных (несимметричных) вписанных многогранников большой круг описанного шара проходит через плоскость бокового ребра и апофемы (или средней высоты) противолежащей ему боковой грани.

Большой круг описанного шара является кругом, описанным вокруг вспомогательных фигур—прямоугольника, равнобедренного треугольника или равнобочной трапеции.

II. ВПИСАННЫЙ ШАР

А. Многогранник имеет четное число (2п) боковых граней.

1. Призма (прямоугольный параллелепипед) (черт. 9)

Окружность большого круга, находящегося в плоскости чертежа, помещается внутри описанного вокруг нее квадрата ABCD, сторона которого равна ребру параллелепипеда (куба).

Для построения кабинетной проекции куба проводим через вершины В, С, D и А квадрата наклонные ВгВ2, СХС2, DtD2 и Л,Л, под углом в 30°. 45° или 60° и откладываем на них расстояния ВХВ2, CtC2, Dßt и Л,Л2, равные половине ребра куба.

Большой круг вписанного шара находится в плоскости того сечения (ABCD) призмы, которое проходит через две противолежащих боковых грани по их средним высотам.

Следует напомнить учащимся, что из всех параллелограмов окружность может быть вписана только в ромб. Поэтому шар может быть вписан только в такой параллелепипед, у которого все грани равные между собою ромбы.

Полезно также отметить, при каких условиях может быть вписан шар в правильную /г-угольную призму: высота призмы должна быть равна расстоянию между каждой парой противолежащих граней призмы.

2. Пирамида (черт. 10)

Окружность большого круга шара вписана в равнобедренный треугольник SAB, у которого апофемы пирамиды являются боковыми сторонами, а основание AB равно расстоянию между двумя противолежащими сторонами многоугольника основания.

После построения треугольника ASB, описанного вокруг окружности с центром О, легко заканчиваем чертеж по методу построения косоугольных проекций.

Окружность большого круга помещается таким образом внутри описанного равнобедренного треугольника ASB, плоскость которого проходит через две противолежащих апофемы.

Делаем теперь построение части этого чертежа, соответствующей какой-нибудь одной из боковых граней пирамиды (черт. 11).

Во многих случаях для решения задачи можно ограничиться именно таким чертежом, что значительно упрощает работу.

Радиус вписанного шара легко выражается из прямоугольных треугольников ЛО,0 и ASOi через апофему (/) и угол а:

где

3. Усеченная пирамида (черт. 12) Для учащихся становится совершенно ясным, что окружность большего круга, проходящая в плоскости чертежа, поместится внутри равнобочной трапеции ABCD, основания которой соответственно равны ребрам оснований усеченной пирамиды, а боковая сторона есть апофема боковой грани усеченной пирамиды.

Построение начинаем с окружности большого круга, вписанного в равнобочную трапецию ABCD, после чего заканчиваем чертеж обычным способом.

Необходимо обратить внимание учащихся на свойство описанной вокруг окружности равнобочной трапеции: средняя линия этой трапеции всегда равна боковой ее стороне, что и подтверждается чертежом 13.

Из равнобедренного треугольника АСО имеем: АС = ОС.

Но АС = ~2^В, a GO—-половина средней линии трапеции ABBtAx.

Следовательно: СО = -к AB, или CD = AB, т. е. в равнобочной описанной трапеции боковая сторона равна средней линии.

Черт. 9

Черт. 10 Черт. 11

Черт. 12

Черт. 13

Так как средняя линия равна полусумме оснований, то = Bot + AOt, то есть средняя линия описанной вокруг большого круга трапеции равна сумме апофем оснований усеченной пирамиды.

Другими словами: апофема усеченной пирамиды равна сумме апофем ее оснований.

Из чертежа видно, что радиус вписанного шара легко выражается через угол а наклона боковой грани к плоскости основания и половину средней линии. В прямоугольном треугольнике CON выражаем катет через гипотенузу: R = СО -sin а.

Это дает возможность по данным апофемам (пирамиды и ее оснований) определить радиус вписанного шара.

В. Многогранник имеет нечетное (2п -J- 1) число боковых граней. 1. Призма — черт. 14 Для прямой треугольной призмы, основаниями которой являются правильные треугольники, большой круг вписанного шара, проходящий в плоскости чертежа, очевидно, коснется трех сторон прямоугольника (ABCD) среднего сечения.

Положение большого круга точно определится описанным вокруг него вспомогательным описанным квадратом ABCXDX, сторона которого равна высоте AB призмы.

При сечении шара горизонтальной плоскостью окружность большого круга спроектируется в многоугольники оснований прямой призмы в виде вписанных окружностей. Отсюда делаем вывод: радиус вписанного в прямуюпризму шара равен половине высоты призмы, или радиусу вписанного в многоугольник основания круга.

Проведя окружность большого круга в плоскости чертежа (черт. 14), строим прямоугольник ABCD, стороны которого соответственно равны высоте AB призмы и высоте ВС треугольника основания. Зная величину ребра FjF, строим косоугольную проекцию основания обычным путем и заканчиваем чертеж.

Обращаем внимание учащихся на ту особенность «нечетной» призмы, что шар, будучи касательным к боковой грани EFit не должен касаться противолежащего бокового ребра CD. 2. Пирамида Берем сечение плоскости чертежа, проходящее (черт. 15) через боковое ребро SB и апофему SA противолежащей ему грани. Большой круг будет вписан в равнобедренный вспомогательный треугольник ASB1, боковая сторона которого равна апофеме пирамиды, а угол а при основании есть угол наклона боковой грани к плоскости основания.

Построив теперь косоугольную проекцию площади основания, заканчиваем чертеж.

Зависимость между радиусом шара и апофемой пирамиды будет та же, что и для пирамиды с четным числом боковых граней:

3. Усеченная пирамида Большой круг вписанного шара (черт. 16) будет вписан не в треугольник, а во вспомогательную равнобочную трапецию ABBtAu зависимость между линейными элементами которой указана для аналогичного построения «четной» пирамиды: средняя линия (MN) трапеции=апофеме (AB) усеченной пирамиды.

Начинаем чертеж с большого круга в плоскости чертежа и вспомогательной описанной трапеции ABCDt после чего от точек А и В откладываем в половину натуральной величины расстояния А2Аг и В2Вг и заканчиваем чертеж обычным способом по методу косоугольных проекций.

Предлагаемый цикл вводных разъяснительных упражнений на этом заканчивается.

Подводя итог проведенной работе, следует обратить внимание учащихся на основное различие между «четными» и «нечетными» многогранниками для всех разобранных случаев вписанного и описанного шара: для четных многогранников большой круг определяется вписанным или описанным вокруг него многоугольником (треугольник, ромб или трапеция), построенным из линейных элементов многогранника; для нечетных же многогранников соответствующий многоугольник, которым определяется большой круг, может быть назван вспомогательным, линейные элементы которого определяются путем некоторых вспомогательных построений.

Другими словами: в четных многогранниках большой круг располагается по симметричному сечению в плоскости чертежа, а в нечетных многогранниках такой симметрии быть не может.

Практика показывает, что приведенная по данной системе разъяснительная работа значительно способствует ориентировке учащихся в задачах на вписанный и описанный шар, так как преодолевается основная трудность в построении правильного и грамотного чертежа, а это дает учащимся возможность правильно анализировать и самостоятельно решать задачи.

Черт. 14

Черт. 15

Черт. 16

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ ОКРУЖНОСТИ

П. РЫБАКОВ (Иваново)

В статье М. Шевелева («Математика в школе», 1938 г. № 5—6) были приведены 2 способа (способ Штейнера и один из вариантов способов д'Оканя) графического решения квадратных уравнений при помощи окружности. Эти способы дают возможность находить только действительные корни квадратного уравнения. Приведем еще один способ, позволяющий находить также и комплексные корни квадратных уравнений. Пусть дано уравнение:

Рассмотрим 3 случая:

I. Дано уравнение x2+px+q = О, причем <7<0.

На оси у-ов откладываем отрезок, равный V— q9 для чего откладываем на оси д:-ов влево от начала координат отрезок OA = 1 и вправо от начала координат — отрезок OF = = — q. Принимая AF за диаметр, строим полуокружность, которая пересечет ось у -ов в точке В; OB = V^q.

Затем откладываем отрезок 002 = — ; радиусом, равным 02В, строим полуокружность, пересекающую ось дг-ов в точках М, и М2. Корни уравнения будут равны абсциссам точек iVfj и М2. На самом деле:

На чертеже 2 дано решение уравнения:

Корни уравнения: = — 7,5 и х2 = 1,5. II. Дано уравнение: хг — рх -f q = О, причем

Строим прямоугольник OBOz02, стороны которого OB = Yq и 002= —. Из точки 03 радиусом, равным — , проводим дугу окружности, пересекающую ось jc-ов в точках Л4, и М2. Корни уравнения х2-\~рх ~|- q = О равны абсциссам точек М1 и М2. На самом деле

На чертеже 3 и 4 дано решение уравнений:

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

Корни 1-го уравнения xt = 0,8 и х2=5. Корни 2-го уравнения хх — 6,2 и хг ^ — 0,8.

II. Дано уравнение: х- +рх + q = 0, причем

Применим Гауссово изображение комплексных чисел. Строим OB = Vq. Откладываем на оси х-ов 002 = т" и через точку 02 проводим G//|| ОК. Из центра О радиусом, равным Vq у проводим полуокружность, пересекающую прямую GH в точках С, и С2. Точки С, и С2 соединяем прямыми с точкой О.

Корни уравнения:

На чертеже 5 и 6 дано решение уравнений:

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

О КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ И КВАДРАТНЫХ КОРНЯХ

А. МОРЕВ (Высоково, Ярославской обл.)

аиболее продуктивное и полноценное построение урока по математике требует подготовки класса к тем вопросам, которые впервые ставятся и объясняются на уроке. В № 1 журнала «Математика в школе» за 1938 г. помещена очень ценная и содержательная статья В. Падучева, освещающая подробно процесс предварительной подготовки учеников к уроку. На примере квадратных уравнений автор излагает детальный анализ всей подготовительной работы, необходимой для быстрого, точного и надежного усвоения этого предмета.

Нужно только заметить, что упражнения, рекомендуемые автором, носят до некоторой степени отвлеченный, теоретический характер.

Активность учеников в процессе этих упражнений недостаточно стимулируется, они в большей мере наблюдают, слушают и соображают в уме, чем работают самостоятельно. Возможно, что это вполне уместно, если учесть возраст и развитие учащихся VIII класса. В прежние годы мне приходилось прорабатывать этот вопрос в VII классе неполной средней школы. Там я должен был несколько иначе проводить подготовку учащихся. Прежде всего я не долго задерживался на общих вопросах, таких, как нуль в качестве множителя. Этот предмет занимал немного времени при подготовке к решению неполных квадратных уравнений. Значительно больше времени тратилось на предварительные упражнения для объяснения полных уравнений. Они

сводились к практической работе повторения очень немногих тем из пройденного ранее.

Первая тема — разложение на множители трехчлена по формуле (а ± Ь)2. Начиная с формулы a2J{-2ab+b2 и самых простых примеров этого типа, учащиеся практиковались в этом направлении до тех пор, пока они не оказывались в состоянии быстро и без труда решать примеры типа:

и т. п. Тогда предлагалось сделать разложение

Учеников часто смущало введение разнообразных букв в примеры одного типа, перестановка букв, перемена знака и тому подобные мелочи. Цель упражнений сводилась к тому, чтобы на практических примерах несложного типа не только показать прием разложения , но добиться того, чтобы дети самостоятельно усвоили мысль о разнообразии случаев, к которым можно применить данную формулу (a+6)2.

Далее проводилась практика вычисления формул. Само собой разумеется, что дети были поставлены в известность о том, что они будут изучать полные квадратные уравнения и что все примеры они делают для подготовки. Это возбуждало их интерес и поднимало активность. Повторение формул начиналось с очень простого материала, вроде

для подстановки давались целые числа в различных комбинациях для каждой формулы. Путем постепенного подхода, более или менее быстрого в зависимости от степени развития класса, ученики подходили к выражению

а также и к формулам общего вида.

Далее выяснялась двузначность выражений, содержащих один квадратный радикал, и на этом подготовительная работа заканчивалась.

Объяснение полных уравнений приведенного типа распадалось на две части: анализ способа решения и получение общей формулы. Анализ решения проводился на числовых примерах.

Один или два из числа лучших учеников после этого решали на доске несколько примеров числовых уравнений без формулы. Ученики начинали сами догадываться, сколько нужно прибавить к каждой части уравнения, чтобы в левой части получить точный квадрат. Когда таким образом ход решения усваивался, тогда я говорил, что существует другой, более легкий способ решения приведенных уравнений при помощи общей формулы. Я показывал, как получается эта формула. Благодаря подготовке все действия были для учащихся совершенно ясны и понятны. Времени для вывода формулы требовалось очень мало. Наконец, детям показывался прием практического применения формулы, объяснялось то, почему этот способ решения проще, чем данный раньше. Учащиеся в результате этой работы усваивали квадратные уравнения очень быстро и прочно.

Кстати я хочу поделиться своим опытом по вопросу об извлечении квадратного корня. И здесь я теоретические моменты вводил попутно, например, определение числа цифр корня по числу граней степени давал лишь тогда, когда в этом являлась надобность. Я начинал дело с точных четырехзначных квадратов. Прежде всего составлялась и записывалась табличка, которая не требовала никаких усилий для запоминания:

102 = 100; 202 = 400; 302 = 900; 402= 1 600

и так далее до 1002 = 10 000.

Учащиеся, зная, что данное им число есть точный квадрат, хотя бы 5 184, находили по таблице первую цифру корня. Копень этот должен быть больше 70, так как 702 = 4 900 и меньше 80 в виду того, что 802 = 6 400, данное же число находится между этими числами. На основании этих соображений составлялось уравнение:

или:

Полученное отсюда уравнение

ученики не могли решить, так как о квадратных уравнениях еще не было речи. Чтобы найти выход из затруднения, обращалось внимание на то, что X число однозначное, не больше 9 и поэтому х2 не больше 81. Это соображение давало нам возможность отбросить X2 и решить уравнение приблизительно, а не точно, с тем, чтобы сейчас же проверить найденное решение и установить, насколько оно верно. Если решение окажется неверным, тогда мы сумеем, пользуясь им, сделать необходимую поправку. Уравнение таким образом получает вид: 140* = 284, или х = приблизительно 2. Значит, искомое число = 72. Проверка дает 722 = 5 184, или: (140 4- лг) х = = (140+2) 2 = 284.

Таких примеров давалось ученикам несколько, и когда они усваивали до некоторой степени этот прием, я говорил, что существует более удобный для практики и упрощенный способ решения уравнений такого рода, без X. Далее я излагал общеизвестный алгоритм извлечения квадратного корня и все действия объяснял как упрощение приемов, уже известных ученикам.

Этот способ изложения давал очень хорошие результаты. Распространение найденного приема на большие числа не представляло труда. Легко давалась и практика приближенного вычисления иррациональных корней.

К МЕТОДИКЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

И. СМИРНОВ*

Решая задачи на составление уравнений учащийся подходит к применению технических навыков для математического анализа и решения вопросов научного и производственного порядка; развитию научных приемов такого анализа и решения должна соответствовать и методика раооты учащихся при решении задач. С этой точки зрения ход решения задачи распадается на следующие ступени: 1) установление на основе предварительного разбора условия задачи той величины, количественную характеристику которой выражает каждая часть уравнения; 2) составление уравнения по условиям задачи; 3) решение уравнения; 4) установление ответа на вопрос задачи; 5) проверка решения. Для иллюстрации приводим два примера, взятые из контрольных работ в VIII классе нашей школы.

1-й пример (Шапошников и Вальцов, ч. 1, гл. VIII, № 85). Работа ученицы Сурат.

«Колхоз заготовил для зимнего прокормления крупного рогатого скота 210 m силосованного корма. Но при вступлении в колхоз новых хозяйств число голов скота увеличилось на 10. Вследствие этого, чтобы хватило запасенного корма, пришлось норму корма на голову скота уменьшить на 0,5 т. Сколько тонн силосованного корма предполагалось расходовать на голову скота первоначально?»

Решение

1. Значение каждой части уравнения

Условимся, чтобы каждая часть уравнения выражала норму корма, выдаваемую на голову скота после вступления в колхоз новых хозяйств.

2. Составление уравнения

X (голов) скота было в колхозе до вступления новых хозяйств.

— (тонн) предполагалось расходовать на голову скота первоначально.

X + 10 (голов) скота стало после вступления в колхоз новых хозяйств.

210 , , - ^ ~ (тонн) корма приходилось на голову скота после вступления новых хозяйств (I часть уравнения).

— — 0,5 (тонн) корма приходилась на голову скота после вступления новых хозяйств (II часть уравнения).

3. Решение уравнения

4. Ответ на вопрос задачи Корень уравнения « —70», как отрицательное число, для решения задачи не подходит, следовательно, в колхозе до вступления новых хозяйств было 60 голов скота, а на одну голову предполагалось израсходовать 210 т: 60 = 3,5 m корма.

Ответ: 3,5 т.

5. Проверка

После вступления в колхоз новых хозяйств голов скота стало 60+ 10 = 70, на голову скота стало приходиться 210 : 70 = 3 m корма, меньше, чем предполагалось, на 3,5 m — 3 m = = 0,5 m; это соответствует условию задачи.

2-й пример (Шапошников и Вальцов, ч. 1, гл. VIII, № 98). Работа ученицы Шиловой.

«Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некотирую работу за 12 час. Первый, работая отдельно, мог бы выполнить ту же работу на 10 час. быстрее второго. Во сколько часов мог бы выполнить эту работу каждый из них, работая отдельно?»

Решение

1. Значение каждой части уравнения

Условимся, чтобы каждая часть уравнения выражала часть работы, которую два рабочих, работая вместе, выполняют за 1 час.

2. Составление уравнения

X (час.)—время, в течение которого первый рабочий, работая отдельно, может выполнить всю работу.

— (часть работы) делает первый рабочий за один час.

х-)-10 (час.) — время, в течение которого второй рабочий, работая отдельно, может выполнить всю работу.

~ (часть работы) — делает второй рабочий за один час.

— +- (часть работы) — выполняют оба рабочих за один час (I часть уравнения).

— (часть работы) — выполняют оба рабочих за один час (II часть уравнения).

3. Решение уравнения

4. Ответ на вопрос задачи Корень уравнения «—6», как отрицательный, для ответа не годится. Ответ:

1-й рабочий может выполнить работу за 20 ч а с.

2-й рабочий может выполнить работу за 20+ 10 = 30 час.

5. Проверка

1-й рабочий за один час выполняет

* Учитель 181-й школы Коминтерновского района Москвы.

часть работы, второй выполняет — часть работы, оба вместе за 1 час могут выполнить —4-— =— = ~~ часть работы, а всю работу за 1 'Т^= 12 часов, это соответствует условию задачи.

Как показывают приведенные примеры, первая ступень в ходе решения задачи, обычно в школах отсутствующая, имеет особо важное значение, переводя работу над составлением уравнения из плоскости голой интуиции в плоскость осознанной целеустремленности на основе предварительного разбора задачи, прививая, таким образом, учащимся навыки общего научного подхода к решению поставленного вопроса. Четвертая ступень—установление ответа на вопрос задачи — должна быть хорошо усвоена учащимися в разрезе различения формального математического ответа (корни уравнений) от ответа по существу на поставленный в задаче вопрос, что также имеет большое значение в ходе научного исследования. Наконец, пятая ступень — проверка решения задачи, также нередко опускаемая, является существенной завершающей частью работы, соответствующей заключительной стадии научного исследования — экспериментальной проверке установленной гипотезы.

В заключение укажем, что основная идея приведенной методики решения задач на составление уравнений—связать развитие аналитических математических способностей учащихся, что является воспитательной задачей учителя математики, с воспитанием навыков общих приемов научного исследования, что является существенной задачей всей средней школы, подготавливающей контингенты для вузов и активных сознательных работников нашего социалистического строительства.

СОСТАВЛЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ ПО УСЛОВИЯМ ЗАДАЧИ

М. МЕЛЬНИКОВ (Кинешма)

сли составление уравнений 1-й степени по условиям задачи дается учащимся с большим трудом, то составление квадратных уравнений, как дело еще более сложное, является самым уязвимым местом при прохождении курса математики в средней школе. С одной стороны, перевод словесного текста на язык математических формул требует не только навыков, но и достаточного общего развития, с другой стороны, самые задачи в задачнике размещены так, что, поняв на двух-трех задачах некоторые приемы составления уравнений, учащийся подобных задач больше не встречает, а видит новые и новые по своему характеру задачи, перед которыми становится втупик.

По нашему мнению, преподаватель должен наметить три-четыре типа задач на составление квадратных уравнений, подробно разобрать их и дать учащимся возможность решить достаточное количество задач каждого типа, в некоторых случаях ограничиваясь лишь составлением уравнения, так как при самом решении его обычно не встречается затруднений.

Решение всякой задачи с помощью уравнений распадается на следующие части:

1) обозначив какую-либо из неизвестных величин через х, выражают при помощи х и известных данных величины, имеющиеся в условии задачи;

2) установив, какие из величин, встречающиеся в тексте задачи, могут быть равны и при каких условиях, составляют уравнение;

3) решают полученное уравнение;

4) исследуют полученное решение.

Учащимися должно быть усвоено, что при обозначении величин должно соблюдаться единство наименований мер; так, если в условиях задачи встречаются и метры, и сантиметры, надо брать все в метрах или сантиметрах; если величины выражены в часах и минутах, надо перевести их или в часы или в минуты; в зависимости от этого уравнение примет тот или иной вид. Исследование решения уравнения выясняет, могут ли найденные значения искомой величины служить ответом на вопрос задачи.

Рассмотрим три типа задач на составление квадратных уравнений:

1) задачи на определение числа по зависимости между его элементами;

2) задачи на зависимость между временем, отводимым на работу, и выполненной частью работы;

3) задачи на определение расстояния, скорости или времени движения.

Имея достаточно твердые навыки в составлении уравнений по задачам данных типов, учащиеся без особого труда справятся с задачами иного характера, особенно геометрического.

Приводимые в дальнейшем для упражнений задачи в большинстве своем давались на приемных испытаниях в вузах или на выпускных испытаниях в рабфаках.

I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ПО ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ЕГО ЭЛЕМЕНТАМИ

Задача 1. Сумма цифр двузначного числа равна 5, а квадрат его, сложенный с квадратом обращенного числа, дает 1553. Найти это число.

Обозначим количество десятков в двузначном числе через х, тогда количество единиц, будет 5 — х9 а все искомое двузначное число можно записать, как \0х + (5 — х), или: 9x+5, обращенное же число, т. е. написанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет (5 — х) 10 + или: 50 — 9х.

По второму же условию задачи сумма квадратов искомого двузначного числа и обращенного равна 1 553, т. е. получается уравнение:

или, после упрощении:

откуда:

Искомое число будет 32 или 23; оба ответа удовлетворяют условиям задачи.

При обозначении через х количества единиц, очевидно, получится то же самое уравнение.

Задача 2. Число выражено двумя цифрами, из которых вторая — справа на 4 больше первой. Если это число умножить на сумму его цифр, то получится 208.

Найти это число.

Если количество десятков в искомом числе обозначим через ху то количество единиц будет х+4, все же число выразится, как 10дг + (a:+4), или: 11лс-[-4; сумма цифр этого числа будет х+(х+4), или: 2л: + 4. Умножая число на сумму его цифр, получим уравнение:

или, после упрощений:

откуда:

Второе значение х не удовлетворяет условиям задачи, следовательно, количество десятков в искомом числе будет 2, единиц — будет 6, а все число = 26.

Задача 3. Знаменатель арифметической дроби на 3 больше числителя. Если числитель и знаменатель дроби увеличить на 2, то вся дробь увеличится вдвое. Найти первоначальную дробь.

Обозначив числитель дроби через дг, а знаменатель через JC + 3, получим для некоторой дроби выражение -. Увеличение числителя и знаменателя этой дроби на 2 дает новую дробь —;—. По условию задачи новая дробь вдвое больше первой, следовательно, чтобы получить равенство, надо или данную дробь умножить на 2, или новую дробь разделить на 2, т. е. получаются уравнения:

что, конечно, одно и то же.

Решив полученное уравнение, найдем, что je, = 1, д:2 = —6. Искомая дробь будет —-—, т. е. при хх = 1 это будет -—. Увеличение числителя и знаменателя на 2 дает новую дробь -- , вдвое большую, чем данная.

Второе значение х не удовлетворяет условию задачи.

При обозначении через х знаменателя дроби, числитель будет х — 3, вся дробь —— новая дробь:

уравнение примет вид

СОСТАВИТЬ И РЕШИТЬ УРАВНЕНИЯ ПО СЛЕДУЮЩИМ УСЛОВИЯМ

1. Дробь, числитель которой на 2 меньше знаменателя, будучи сложена с обратной ей дробью, дает в сумме 2 —. Найти эту дробь.

2. Знаменатель арифметической дроби на 5 больше числителя; если к числителю и знаменателю этой дроби прибавить по 2, то полученная дробь будет больше искомой на — .

Найти эту дробь.

3. Число выражено двумя цифрами, сумма которых равна 6. Если цифры переставить и полученное число умножить на прежнее число, то получится 765. Найти это число.

4. Сумма цифр двузначного числа равна 12, а квадрат его, сложенный с квадратом обращенного числа, дает 9 360. Найти это число.

5. Если — искомого числа умножить на — его и к произведению прибавить учетверенное искомое число, то полученная сумма будет больше 36 на столько, на сколько искомое число меньше 36. Найти это число.

6. На какое число надо разделить 354, чтобы частное было на 3 единицы больше, а остаток на 3 единицы меньше делителя?

II. ЗАДАЧИ НА ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ВРЕМЕНЕМ, ОТВОДИМЫМ НА РАБОТУ, И ВЫПОЛНЕННОЙ ЧАСТЬЮ РАБОТЫ

Задача 1. Двое рабочих, работая вместе, могут окончить некоторую работу в 12 дней. Во сколько л ней каждый из них, работая отдельно, может выполнить ту же работу, если известно, ч о второй должен работать на 10 дней больше первого?

Допустим, что первый рабочий в отдельности может выполнить работу в х дней; второму для выполнения той же работы потребуется X + 10 дней.

Обозначим теперь, какую часть работы выполняет каждый из них в один день. Очевидно, что первый, выполняя всю работу в X дней, в один день выполнит —, а второй выполнит

работая же вместе они выполняют в день . Получается уравнение:

или, после упрощений:

откуда:

Ж, = 20, х2=^ — 6.

Второй ответ не годится по условиям задачи; следовательно, первый рабочим выполнит работу в 20 дней, а второй в 30 дней.

При обозначении через х числа дней, необходимых для выполнения работы второму рабочему, число дней первого рабочего будет X —10, и уравнение примет вид:

Решив полученное уравнение, найдем, что X = 30, т. е. второй рабочий выполнит работу в 30 дней, следовательно первый выполнит ее в 20 дней.

Задача 2. Три экскаватора производят работу. Если эту работу будет выполнять один первый, то кончит работу на 10 дней позже, чем все вместе. Если эту же работу будет выполнять второй, то он кончит ее на 20 дней позже, чем все вместе, а если третий, то ему потребуется времени в б раз больше, чем при работе всех экскаваторов вместе. Во сколько времени выполнит работу каждый из них в отдельности?

Любой из имеющихся в условии задачи сроков может быть принят за х, т. е. может быть составлено 4 различных уравнения.

1. Если срок работы первого экскаватора обозначим через х, то для одновременной работы всех экскаваторов потребуется на 10 дней меньше, т. е. х —10; второму экскаватору — на 20 дней больше, чем всем вместе, X — 10 —I— 20, т. е. д: + 10; третьему в 6 раз больше, чем всем вместе, т. е. 6(х—10). В один же день первый экскаватор выполнит

второй выполнит

третий выполнит

все вместе выполнят

, откуда получим уравнение:

Освободившись от дробей и приведя подобные члены, будем иметь:

откуда:

т. е. первый экскаватор может выполнить работу в 20 дней, второй — в 30 дней, третий— в 60 дней, все вместе — в 10 дней.

2. Если через х обозначить срок работы второго экскаватора, то время выполнения работы всеми вместе будет х — 20, первого экскаватора = х — 10, третьего = 6 (х — 20);

в один же день первый выполнит

второй

третий

все вместе

Уравнение примет вид:

Решив его, получим, что х = 30. Время работы первого экскаватора будет 20 дней, второго 30 дней, третьего 60 дней, срок одновременной работы всех вместе = 10 дням.

3. Обозначив через х время работы третьего экскаватора, время работы всех вместе придется обозначить как —, время работы первого

второго

В один час первый выполнит

второй , третий

Уравнение будет

4. Наконец, через х можно обозначить срок одновременной работы всех экскаваторов.

Тогда время первого будет дг+lO, время второго = X + 20, время третьего = 6х. Выполняемая в один день работа для первого экскаватора

для второго

для всех вместе

для третьего

Уравнение:

Как видим, наиболее простое уравнение мы получили в четвертом случае.

Задача 3. В резервуар водопровода проведены три трубы. Первая наполняет его на 1 час скорее, чем вторая, а третья освобождает резервуар в три раза медленнее, чем наполняет первая труба. При одновременной работе всех труб пустой резервуар наполняется в 1 — часа.

В какое время третья труба освобождает от воды наполненный резервуар, если закрыть первые две трубы?

1. Допустим, что третья труба освобождает резервуар в х часов, тогда время наполнения его первой трубой будет втрое меньше, т. е. —, а время наполнения второй трубой = — +1, или —-— . За один час первая труба подает —, вторая подает ——-, через третью трубу вытекает — , в результате же одновременного действия всех труб резервуар за один час наполнится на — (так как весь он наполняется в 1 — часа^ . Получится уравнение:

а после освобождения от дробей и приведения подобных членов:

откуда:

т. е. третья труба освобождает резервуар за 6 часов.

2. При обозначении через х времени наполнения резервуара первой трубой получится уравнение:

или, после упрощений:

откуда:

Время освобождения резервуара третьей трубой равно Ъх, т. е. будет 6 часов.

3. При обозначении через х времени наполнения резервуара второй трубой, получится уравнение:

или: откуда:

Время освобождения резервуара третьей трубой = Здс — 3, т. е. 6 часов.

Составить и решить квадратные уравнения с одним неизвестным последующим условиям

1. Два каменщика, работая вместе, сложили стену в 20 дней. Во сколько дней мог бы выполнить эту работу каждый из них в отдельности, если второму потребуется для этого на 9 дней больше, чем первому?

2. Двое рабочих, работая вместе, выполнят работу в 4 часа 48 минут. Если бы эту же работу им пришлось выполнять отдельно, то первый закончил бы ее на 4 часа скорее второго. Во сколько часов каждый из них в отдельности выполнит работу?

3. Из двух машинисток одна может переписать доклад на 2 часа скорее, чем другая. Во сколько часов каждая может переписать доклад в отдельности, если, работая одновременно, они перепишут его в 2 часа 55 мин.?

4. А может выполнить некоторую работу на 2 часа скорее чем В, а С вдвое дольше, чем В. В какое время каждый из них может выполнить работу, если, работая вместе, они выполнят ее в 2 часа?

5. А выполняет некоторую работу в срок на 5 дней больший, чем В и на 9 дней больший, чем С. А и В, работая вместе, выполнят эту работу в срок, равный сроку С. Определить время, в которое каждый выполнит эту работу отдельно.

6. Две трубы, работая одновременно, наполнят бассейн в 3 часа. Первая из них в отдельности наполняет его на 2 ч. 30 м. скорее, чем вторая. В какое время каждая труба в отдельности может наполнить бассейн?

7. Ванна наполняется водой на 6 минут скорее, чем освобождается от нее. При открытом кране и спускном отверстии ванна наполнилась в 36 минут. В какое время ванна наполнится водою при закрытом спускном отверстии?

8. Две молотилки обмолачивают весь хлеб в 12 дней. Если бы первая молотилка обмолотила половину всего хлеба, а затем вторая— остальную часть, они бы проработали 25 дней. Во сколько дней каждая из них в отдельности могла бы окончить эту работу.

9. Два землекопа, из которых второй начал работать на 1,5 дня позже первого, вырыли ров в 7 дней. Если бы эта работа была поручена каждому отдельно, то первому для выполнения ее понадобилось бы тремя днями больше, чем второму. Во сколько дней каждый из них может вырыть ров?

10. В бассейн проведены три трубы; первая наполняет его 8-ю часами дольше, чем вторая, а вторая требует времени, употребляемого третьей трубой для наполнения бассейна.

Если все трубы действуют разом, то бассейн наполняется в 5 часов. Во сколько часов каждая труба может наполнить бассейн?

III. ЗАДАЧИ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ, СКОРОСТИ ПЛИ ВРЕМЕНИ ДВИЖЕНИЯ

Возьмем следующие условия:

Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из городов А и В; при встрече оказалось, что первый из них прошел на 6 км больше второго; продолжая путь с той же скоростью первый приходит в город

В через 4 — часа, а второй приходит в город А через 8 часов после встречи.

По этим данным могут быть получены ответы на различные вопросы:

1. Найти расстояние между городами.

2. Определить, сколько километров прошел каждый из них до встречи.

3. Определить, сколько километров проходил каждый из них в час.

4. Определить, через сколько часов они встретились.

5. Найти, сколько часов каждый пешеход был в пути.

1. Допустим, что по данным условиям требуется определить расстояние между городами.

Обозначив искомую величину через х, расстояние, пройденное первым пешеходом до встречи, мы должны обозначить -^-+Зэ или —-— , а расстояние, пройденное вторым = —--о , или —-— . После встречи первый пешеход должен пройти тот путь, который пройден вторым, т. е. —-— и скорость его движения будет

второй пешеход после встречи пройдет —-—,

а скорость его будет — : 8 , или —-——.

Первый был в пути (часов) второй был в пути разница же во времени

Получается уравнение:

или, после упрощения: откуда:

2. Если по данным условиям надо определить, сколько километров прошел каждый пешеход до встречи, то через х можно выразить любое из этих расстояний.

Пусть первый пешеход до встречи прошел X км, тогда путь, пройденный вторым, будет X — 6, а расстояние между городами х +х — 6, т. е. 2х — 6.

Первому пешеходу оставалось пройти после встречи X — 6 (км), а второму х (км).

Скорость первого будет

скорость

второго

Первый был в пути

Второй был в пути

Разница во времени 3 — часа. Получается уравнение:

или: откуда:

3. Если по данным условиям требуется найти, сколько километров в час проходил каждый пешеход, то через х можно обозначить скорость первого или второго.

Допустим, что первый пешеход в час проходил X км, тогда после встречи за 4 — часа он прошел 4— X км, а второй за 8 часов прошел на 6 км больше, т. е. 4—л: + б км, и скорость второго будег -.

Расстояние между городами равно 4—jc+

Время, которое первый пешеход затратил на весь путь, будет--; время второго =

а так как время второго на 3— часа больше времени первого пешехода, то получается уравнение:

или, после упрощения:

откуда:

4. Если, наконец, по данным условиям надо узнать, через сколько часов встретились пешеходы, то, обозначая искомую величину через X, время, затраченное первым пешеходом на весь путь, через лг+4—, а время второго пешехода через л:+ 8, найдем, какую часть пути каждый из них проходил за один час.

Очевидно, первый пешеход за 1 час проходил -—, второй проходил ——, а за X часов первый прошел---, второй прошел -, а вместе за х часов они прошли весь путь, т. е. 1. Получается уравнение:

или, после упрощения: откуда:

В этом случае 6 км, на которые первый пешеход до встречи прошел больше, чем второй, для решения не имеют значения, для определения же скорости пешеходов и расстояния между городами они необходимы.

Тем же порядком можно составить уравнения, если надо найти время, затраченное каждым пешеходом на дорогу.

Так как для составления уравнения для решения задачи необязательно именно искомую в задаче величину выражать через х, то возможно составление различных уравнений при решении одной и той же задачи в зависимости от того, какая величина выражена через х.

Кроме того, при одном и том же обозначении величин возможно получение равносильных уравнений.

Необходимо, хотя бы на одном примере, разобрать с учащимися получение различных уравнений по одним и тем же условиям, в зависимости от обозначения величин.

Составить и решить квадратные уравнения с одним неизвестным последующим условиям

1. Два грузовика одновременно выезжают с одного и того же склада в пункт, отстоящий от него на 160 км; один идет со скоростью на 4 км в час большей, чем другой, и приходит к месту назначения на 2 часа раньше. С какой скоростью идет каждый грузовик?

2. Два велосипедиста выезжают одновременно из одного и того же пункта, причем один из них отстает от другого на 2 км в час и потому прибывает в место назначения на 30 минут позже. С какой скоростью ехал каждый велосипедист, если известно, что им надо было проехать 56 км?

3. Расстояние между двумя городами по реке равно 72 км. Пароход прошел это расстояние туда и обратно в 10 часов. Найти скорость парохода, если скорость течения реки равна 3 км в час.

4. Моторная лодка, обладающая скоростью в 20 км в час, прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно, не останавливаясь, за 6 — часов. Расстояние между пунктами 60 км. Узнать скорость течения реки.

5. Из города А в город В, отстоящий от А на 21 км, отправился пешеход; спустя час вслед за ним отправился другой пешеход, проходивший в час больше первого на 4 км; он успел перегнать первого, достигнуть города В и возвратиться в город Л в то время, в какое первый пешеход успел только придти в город В. Сколько километров в час проходил первый пешеход?

6. Расстояние между двумя станциями железной дороги равно 48 ки. Скорый поезд проходит это расстояние на 20 минут скорее, чем пассажирский, так как последний имеет скорость, на 12 км в час меньшую, чем скорый. Определить скорость каждого поезда.

7. Из двух станций, расстояние между которыми 900 км, были отправлены навстречу друг другу два поезда с расчетом, что они встретятся на половине пути. Определить скорость в час каждого поезда, если первый из них вышел на один час раньше второго со скоростью, на 5 км в час меньшей, чем скорость второго поезда.

8. Два самолета одновременно вылетают навстречу друг другу из городов А и В, расстояние между которыми 560 км. Через час полета они встретились и, не останавливаясь, продолжали путь. Первый прибыл в город В на 35 минут скорее, чем второй прибыл в город А. Найти скорости самолетов.

НАГЛЯДНОСТЬ ПРИ ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

И. ГАЛЕВИЧУС (Каунас)

При разборе математических вопросов мы, преподаватели, должны больше считаться, особенно в младших классах, с психологией учащихся, в глазах которых интерес к предмету возрастает, можно сказать, пропорционально степени его наглядности, образности, числу чертежей и рисунков. Этим, кроме того, устанавливается связь математики с черчением и рисованием и развивается эстетическое чувство учащегося. Сам предмет, сопровождаемый иллюстрациями, оживает, вопросы, его касающиеся, лучше запечатлеваются, учащийся постепенно укрепляет в себе склонность к предмету и легче с ним роднится.

С этой точки зрения желательно в школе побольше давать таких задач, которые сопровождались бы изящным чертежом, притом доступным для выполнения его самими учащимися.

В качестве примера можно привести такую задачу: «Найти величину площадей заштрихованных частей квадратов (рис. 1—4), если сторона квадрата равна а см».

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3 Черт. 4

ИЗ ОПЫТА

ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПРЕДМЕТНАЯ КОМИССИЯ

(из опыта работы Ростокинского райпедкабинета Москвы)

Н. КУВЫРКИН

Три года назад для улучшения качества преподавания Наркомпрос РСФСР рекомендовал организовать в каждой средней и неполной средней школе предметные комиссии. Нельзя сказать, чтобы цели и задачи этих комиссий и их организационная структура были достаточно ясны.

Кто должен возглавлять комиссию, руководить ее работой? Этот простой и естественный вопрос на практике решался с большими затруднениями и самым различным образом. В одних школах председатель назначался или избирался из среды учителей математики данной школы; в других комиссии возглавлялись директором школы и завучем; в третьих— устанавливалась сменность (по нескольку раз в год) председателей, избираемых или назначаемых из состава комиссии. Каждый из этих методов разрешения вопроса вызывал возражения. Так, в первом случае говорили о возрождении института «старших» учителей, об опасности перехода к председателям комиссии функций завуча и т. п., второй способ был явно нецелесообразен и нежизненен; третий делал работу комиссии крайне неравномерной в зависимости от организационных способностей и степени авторитета «временного» председателя. В конце концов наиболее целесообразным оказалось назначение председателя директором школы.

Но вопрос о содержании работы предметной комиссии попрежнему был неясен. В большинстве случаев планы работы предметных комиссий были похожи один на другой и все вместе копировали работу районного или городского педагогического кабинета или даже Института усовершенствования учителей. В некоторых случаях, желая избежать копирования, школы становились на путь своеобразных «университетов». Так, например, в 265-й школе учителя математики по «дальности» расстояния до райпедкабинета или до горпедкабинета и по недостатку времени не рассчитывали посещать лекции, доклады и семинары, организуемые в районном или городском масштабе, поэтому они сочли целесообразным наметить ряд теоретических и методических вопросов и приглашать в школу профессоров «с именами». Учителей математики в этой школе было 5. Одна лекция стоила не менее 100 рублей. Дирекция школы легко пошла на эти затраты, одобрив и поддержав инициативу математиков. Но, увы, уже в скором времени у дирекции денег не оказалось, и работа предметной комиссии замерла. В отдельных случаях математические предметные комиссии пытались организовать у себя тематические семинары по решению задач, по доказательству теорем и пр., причем руководителями таких семинаров были обычно наиболее квалифицированные и опытные члены комиссии. Но и такая работа прекращалась в самом начале, не успев развиться. Как правило, во всех школах района предметные комиссии собирались 2—3 раза в год и не оставляли после себя никаких следов. Многие учителя стали смотреть на предметную комиссию, как на лишнюю и ненужную организацию, которая только отнимает время для заседаний и заставляет отбывать своеобразную повинность. Скука, посторонние разговоры во время доклада, отсутствие прений и, как финал, одобрение доклада, были обычным явлением почти каждого заседания.

Наш педагогический кабинет поставил перед собою задачу выяснить причины столь слабой работы предметных комиссий, проанализировать их и наметить ряд мероприятий, которые могли бы изменить положение и сделать предметную комиссию хорошим орудием улучшения качества преподавания и повышения успеваемости учащихся. И вот оказалось, что в содержании работы математических предметных комиссий нет тех стержневых вопросов, которые были бы интересны для всех членов комиссии. Например, когда ставится доклад о решении арифметических задач в V классе или о том, как изучать в том же классе пропорции, проценты и т. п., то учителя VII—X классов скучают, а иногда и не являются на заседание; наоборот, вопросы об уравнениях, логарифмах, о биноме часто совершенно неинтересны, а иногда недоступны для учителей младших классов. В результате, учителя расходятся недовольные, а дирекция школы лишь утешает себя лишним протоколом да возможностью улучшить статистические показатели школьного отчета. На вопрос: «Почему же у вас не работает предметная комиссия?» все учителя стараются доказать, что нет общих, нужных и интересных вопросов, поэтому всякое заседание неприятно и для докладчика, и для слушателей. Часто причиной плохой работы предметной комиссии учителя называют отсутствие времени для работы и даже невозможность выбрать общий, устраивающий всех день и час для заседаний. Так например, 5 учителей математики 611-й школы никак не могли найти Ни одного дня в месяц, чтобы выделить его для предметной комиссии: каждый предлагал такие дни и часы, которые не устраивали остальных.

Во всех остальных случаях, когда предметная комиссия вела какую-то работу, содержание этой работы было малоценным. В планах работы предметных комиссий многих школ района можно найти один и тот же вопрос: «Методика решения арифметических задач», «Методика решения геометрических задач на построение», «Составление уравнений по условию задач» и пр. Это не удивительно, так как городской педагогический кабинет разослал по школам и районам примерную тематику работы предметных комиссий. Еще более характерно то, что вопросы эти одинаковы не только по названию, но одинаковы и по содержанию, ибо каждый докладчик черпает материал из одних и тех же литературных источников. Доклады отличаются один от другого только личными симпатиями докладчика к тому или иному автору, к тому или иному методическому рецепту. Счастливым исключением являются крупицы личного опыта докладчика. И ни в одном докладе не отражается практика данной школы, данного учителя. Нередко, наоборот, бывает так, что хорошие мысли докладчика диаметрально противоположны тому, что он делает в классе, а в классе работа ведется кое-как, успеваемость низкая. В этом сознаются иногда и сами докладчики. Один из таких докладчиков учитель К. на районном совещании учителей заявил примерно так: «Товарищи, я буду говорить, как надо делать, но делаю ли я сам так — не знаю, может быть, делаю, но очень редко». Учитель Г. выступает с содержательными докладами, а за плохую успеваемость учащихся, за низкое качество преподавания его вынуждены были снять с работы в пятых классах и дать III класс.

Если сравнить тематику работы предметных комиссий с тематикой работы районного и городского педагогических кабинетов и Института усовершенствования учителей, то приходится констатировать полную ее идентичность. Но, если последние организации преподносят вполне квалифицированный материал, научно обоснованный, взятый из лучшего опыта, то в предметной комиссии, как правило, преподносится низкопробная, компилятивная, наспех составленная мешанина. Конечно, бывают и хорошие, содержательные доклады, в таком случае их надо делать достоянием всех учителей района, ставить их в районном педагогическом кабинете. Таким образом, получается ненужная кустарщина, без пользы для данной школы, скучная для коллектива математиков в целом. Отсюда неизбежен вывод: надо отказаться от общих, «мировых» вопросов и все внимание приковать к вопросам и нуждам данной школы, данного класса.

4 октября 1939 г. в педагогическом кабинете было созвано районное совещание председателей школьных математических предметных комиссий. На этом совещании был сделан анализ работы комиссий, вскрыты недочеты этой работы и детально обсужден вопрос, чем и как должны заниматься предметные комиссии. Договорились о том, что основой работы предметной комиссии должно быть взаимное изучение опыта преподавания математики каждым учителем и в каждом классе, включая четвертые классы, учителя которых должны входить в состав комиссии. Цели такого изучения были определены следующим образом: 1) лучшие образцы опыта делать достоянием всего коллектива учителей математики; 2) вскрывать недочеты преподавания, коллективно обсуждать их и путем ряда разработанных мероприятий устранять; 3) руководить работой молодых учителей и учителей, впервые работающих в данном классе.

Изучение опыта должно проводиться путем регулярного, систематического взаимного посещения уроков. Результаты посещения должны фиксироваться каждым посещающим в своей тетради, затем анализироваться и в форме конкретных предложений обсуждаться на заседании комиссии. Вполне понятно, что большое внимание должно быть уделено составлению графика таких посещений, причем, в интересах дела вовсе нет надобности фиксировать день и час посещения; достаточно указать, сколько раз за данный промежуток времени каждый учитель должен побывать на уроках данного учителя.

Изучение и последующее обсуждение опыта должно проводиться в двух разрезах: 1) как ведется преподавание математики в целом в данном классе и данным учителем, причем наблюдению и обсуждению подвергаются все стороны урока — от поведения учителя и учащихся в классе до изложения материала учителем и усвоения его учащимися; 2) как проводятся отдельные части урока (проверка дальнейших заданий, опрос, самостоятельная работа, записи, преподнесение нового материала и т. п.) каждым учителем в каждом классе; в этом случае в центре наблюдения должны быть детали данного момента в уроке, причем, конечно, не должны упускаться из виду и другие моменты.

Таким образом, изучение опыта работы в плане предметной комиссии отражается двояко: 1) обсуждение отчета преподавателей о работе в данном классе в целом; 2) обсуждение того или иного вопроса в разрезе всех классов. В первом случае ставятся отчеты всех преподавателей по очереди, причем очередность постановки отчета определяется отнюдь не порядком класса, а исключительно состоянием работы в данном классе, положением данного класса среди других классов по успеваемости. Как правило, б течение учебного года отчет одного и того же преподавателя должен быть поставлен и обсужден не один раз. Постановке отчета обязательно предшествует посещение уроков данного учителя всеми остальными учителями. Только в этом случае обсуждение отчета будет конкретным и полезным. Вторичное обсуждение отчета того же учителя должно иметь в виду проверку выполнения сделанных этому учителю указаний и предложений.

На практике эти положения осуществлялись так. В 267-й школе, где председателем комиссии состоит 3. И. Сосновская, повестка заседания предметной комиссии от 27 октября 1939 г. была такова: 1) сообщение преподавателей К. и Г. о ходе работы в IV и V классах; 2) сообщение т. В. о работе в X классе; 3) анализ посещенных уроков. Перед обсуждением этих отчетов у т. Г. было посещено 3 урока, а у т. К.—5 уроков, у т. В.—1 урок. Это, конечно, мало, но уже и при таком количестве посещений протокол заседания отражает деловое обсуждение отчетов и фиксирует каждому из отчитавшихся товарищей ряд конкретных предложений. 11 ноября того

же года предметная комиссия обсуждала итоги успеваемости за первую четверть и вынесла решение: «Поставить на заседании комиссии отчет о работе т. К. с целью проверки данных ей указаний, посетив предварительно ее уроки».

Еще характерные примеры: учитель 285-й школы т. М. при решении задач в V классе нередко допускала неверные решения и на замечания завуча отвечала примерно так: «Это мой метод; пусть ученики ошибаются, а на следующем уроке я с ними анализирую эти ошибки, и получается хорошо». Свои погрешности т. М. пыталась обосновать принципиальными соображениями, и не каждый завуч мог разгадать истинную природу подобных погрешностей. Предметная комиссия (председатель М. Г. Попова) вмешалась в это дело. Путем посещения уроков т. М. допускавшиеся погрешности были подтверждены, а на ближайшем заседании предметной комиссии ложный метод М. был разоблачен и осужден. Учитель 249-й школы т. 3. на уроках в VI классе, желая сделать их занимательными, вульгаризировал материал и различными сравнениями и неуместными движениями и жестами смешил учеников. Председатель комиссии т. Мельников во-время и вполне правильно раскритиковал «паясничанье» учителя.

Надо сказать, что взаимное посещение уроков прививается туго, и это объясняется наличием некоторой консервативности среди учителей, боязнью критики и самокритики, боязнью испортить личные отношения. Очень часто желание и необходимость посещения уроков вырождались в форму организации так называемых «открытых» уроков с последующим их обсуждением. Это, конечно, неплохо, но и нельзя ограничиваться только «открытыми» уроками, так как они школьной погоды не делают.

Что же касается обсуждения методических вопросов в разрезе всех классов, то такие вопросы в каждой школе могут быть своими. Так, например, в одном из протоколов заседания комиссии 267-й школы после обсуждения успеваемости учащихся по математике выяснилась необходимость «поставить на комиссии вопрос о проверке домашних заданий и методике опроса (с этой целью организовать взаимное посещение уроков)». В таких случаях на заседании комиссии надо ставить доклады 2—3 учителей разных классов, причем сама формулировка вопроса должна исключать трактовку вопроса в академическом стиле и должна примерно быть такой: «Как я помогаю отстающим учащимся», «Как я веду записи на классной доске», «Как я обучаю учащихся доказательству теорем» и т. п. При обсуждении таких докладов, естественно, делаются ссылки на литературные источники, рекомендующие то или иное улучшение. Ясно, что подобная постановка работы требует от каждого учителя затраты определенного количества энергии и времени и ни в коем случае не ограничивается формальным проведением заседаний, зато все члены комиссии объединяются общими интересами, интересами своей школы, повышением качества преподавания и успеваемости учащихся.

Необходимо также, чтобы каждый член предметной комиссии имел определенное и постоянное поручение, выполнение которого обсуждается систематически на заседаниях комиссии. Например, т. А. поручается руководить математическим кружком; т. Б. поручается организовать математические разделы в стенгазетах каждого класса и общешкольной или организовать выпуск математического бюллетеня; т. В. поручается аннотирование учебной и методической литературы; т. Г. — аннотирование журнала «Математика в школе», т. Д.— организация школьного кабинета наглядных пособий и т. п. Выполнение поручения должно обязательно проверяться не только по устным сообщениям данного товарища, но и по фактическим данным. Планы работы предметных комиссий должны включать в себя и эти вопросы. В протоколах 267-й школы и других школ значатся следующие пункты: «Подбор устных упражнений по алгебре для VI класса поручить т. Розентуль; составление библиографического списка статей по отдельным темам (из журнала «Математика в школе» за 1937—1939 гг.) поручить т. Сосновской; составление аннотаций на журнал «Математика в школе» за 1939 г. поручить т. Чоборовской; организацию кружковой работы поручить т. Васильеву».

Очень часто учителей интересуют вопросы общеметодического порядка, касающиеся опроса, ведения тетрадей, домашних работ и пр. В некоторых школах у отдельных учителей имеется хороший опыт в том или другом разделе. В этом случае предметная комиссия намечает для себя опытную работу по одному из разделов. Руководителем работы выделяется тот учитель, который в данном разделе имеет определенные достижения, и под его руководством работа по этому разделу развертывается во всех классах, всеми учителями. Систематическое обсуждение и корректирование такого опыта поможет в дальнейшем перенести его во все школы района или, через печать, сделать достоянием широких учительских масс. Потребность в такой работе огромна, на каждом учительском совещании эти вопросы ставятся, но обычно не находят толкового развернутого решения. То же самое относится к новым вопросам, выдвигаемым жизнью. Одним из таких вопросов является вопрос о привитии учащимся на уроках математики практических жизненных навыков. Пусть предметная комиссия предварительно обсудит конкретные возможности по каждому классу, пусть затем она крупицами собирает и обсуждает лучшее из такого опыта. Тогда вопрос этот скорее перейдет из области беспредметных рассуждений в область конкретных фактов.

Наконец, предметные комиссии должны организовать проверку и обсуждение таких документов, как «Нормы оценок». В связи с этим документом особым вниманием комиссий должны пользоваться темы проверочных письменных работ по каждому классу как четвертных и годовых, так и текущих по отдельным темам. Истекший 1939/40 учебный год показал, что предметные комиссии в школах нашего района сыграли очень большую роль в подготовке документации к испытаниям: билетов и тем для письменных испытаний. Компетентное обсуждение этих документов предметными комиссиями помогло и учителям-составителям, и дирекции школ, устранив многие ненормальности. На-

конец, вниманием предметной комиссии должны пользоваться и вопросы повышения квалификации своих членов. Многие учителя учатся в заочной или вечерней системе педагогического образования. В отдельных случаях эта учеба проходит формально, без необходимого эффекта, в других случаях обучающийся нуждается в помощи. Предметная комиссия должна быть кровно заинтересована в том, чтобы все ее члены возможно скорее получили необходимую квалификацию, поэтому надо включать в планы работ отчеты обучающихся о ходе учебы.

Председатель предметной комиссии должен быть авторитетным руководителем коллектива учителей, он должен быть хорошим организатором и помощником дирекции школы в деле улучшения качества обучения и воспитания учащихся. Он должен быть тесно связан с районным и городским педагогическим кабинетами и Институтом усовершенствования учителей. В истекшем учебном году наш районный педагогический кабинет вел систематическую работу с председателями предметных комиссий, регулярно, не реже двух раз в четверть, собирая их на совещания. На этих совещаниях обсуждался опыт работы предметных комиссий и вопросы организационного характера: о проведении единых полугодовых письменных работ, о методике анализа ошибок, о примерных билетах для испытаний, о примерной тематике письменных работ и пр. Здесь выявлялся и уточнялся опыт работы отдельных школ. В отдельных случаях изменялся организационный характер в работе комиссий. Например, в 297-й школе было мало преподавателей и все они — неопытные. Школа эта находится в одном здании с 276-й школой, где работает тоже мало учителей, но с большим опытом и квалификацией, причем один из них работает и в 297-й школе. Тогда для этих двух школ была организована одна предметная комиссия. Надо сказать, что описанная в данном обзоре работа предметных комиссий еще только развертывается, она еще переживает болезни роста, но путь, избранный районом, будет и в текущем учебном году служить основным путем. В целях популяризации лучшего опыта работы предметной комиссии на августовском районном совещании учителей математики было поставлено сообщение 267-й школы. Председатель предметной комиссии этой школы 3. И. Сосновская сообщила следующее (приводим выдержки из ее сообщения): «Вопрос о преподавании арифметики в IV — V классах занял большое место в работе комиссии. Прежде всего мы условились, что товарищи должны побывать на уроках арифметики. Затем я дала план, по которому преподаватели должны были рассказать о своей работе, а остальные преподаватели — свои впечатления, чтобы тем самым организовать обмен опытом. Нами был проведен тщательный анализ уроков, сделаны выводы и даны указания преподавателям с тем, что в дальнейшем будет проведена проверка, как эти указания будут использованы товарищами... На первом собрании второй четверти мы обсуждали вопрос, чем объяснить слабую успеваемость в нашей школе. Из высказываний всех преподавателей нам удалось установить, что если учащиеся работают недостаточно, то: 1) мы их все-таки плохо контролируем в смысле выполнения домашних заданий; 2) дополнительные занятия, развернутые в школе, не были достаточно эффективны; 3) особенно неудачно проходили письменные проверочные работы... Второе собрание было посвящено проверке домашних заданий. Перед этим собранием я посетила уроки некоторых товарищей, чтобы просмотреть, как же идет проверка домашних заданий. При первом посещении я убедилась в том, что у нас или нет совсем проверки, или она слишком много занимает времени и не достигает цели, так как, просмотрев тетради, я увидела, что у учащихся многое осталось неисправленным. При следующем посещении уже чувствовалась перестройка работы у многих преподавателей... Что я делаю, как председатель? — Я бываю на собраниях в городском и районном педагогических кабинетах. Кроме собраний комиссии, провожу индивидуальные беседы с товарищами о выполнении программы, о письменных работах и их результатах, об опросе, об успеваемости, знакомлюсь с классными журналами. В первом полугодии посетила 21 урок, во втором —19. Я веду записи посещений, анализирую их, готовлюсь к собраниям, сравниваю успеваемость за данное время с прошлым и т. п.».

Выводы, которые напрашиваются сами собой, таковы:

1. Основной и объединяющей целью в работе предметных комиссий должно быть повышение качества преподавания и успеваемости учащихся.

2. Основным методом является изучение опыта работы каждого члена коллектива математиков как в разрезе класса в целом, так и в разрезе отдельных вопросов по всем классам.

3. Содержание работы должно в основном состоять из взаимного посещения и коллективного обсуждения уроков.

4. Помимо этого каждый член коллектива должен выполнять какую-либо постоянную работу по заданию комиссии и отчитываться в этой работе.

5. План работы должен учитывать именно такую целенаправленную работу, которая указана выше, и не должен ориентироваться на разрешение общих академических вопросов.

6. Работа комиссии должна находить свое отражение в соответствующей документации.

ЗАЛ МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАЗВЛЕЧЕНИЙ В ДОМЕ ЗАНИМАТЕЛЬНОЙ НАУКИ*

Г. ЛЕНГАУЭР (Ленинград)

В числе прочих отделов Ленинградского дома занимательной науки долгое время работал отдел занимательной математики. Этот отдел, по мысли автора его Я. И. Перельмана, предназначался скорее для «недругов математики», чем для ее друзей.

Задачей этого отдела было не столько научить математике, сколько возбудить у широких кругов посетителей интерес к математическим знаниям, побудить к изучению математических дисциплин.

Четыре условия, которыми руководствовался автор отдела — элементарность, нешкольный материал, существенность, занимательность, дали возможность подобрать такие экспонаты, которые пользовались неизменным успехом у самых широких кругов посетителей.

Трехлетний опыт работы этого отдела позволил констатировать большой интерес посетителей к занимательной математике, позволил выделить наиболее интересные и доходчивые типы экспонатов этого отдела и установить правильную методику работы в нем. На основе этого опыта явилась возможность и необходимость существенным образом переработать и расширить экспозицию этого отдела и приспособить его к новым методам работы с посетителями, основанным на проявлении наибольшей самодеятельности со стороны последних

Новый, значительно расширенный и измененный отдел занимательной математики, открытый в этом сезоне, носит название «Зала математических развлечений»**.

В задачи Зала математических развлечений отнюдь не входит систематическое изложение основ элементарной математики. Экспонаты зала имеют целью возбудить у самых широких кругов посетителей естественное любопытство, интерес к математическим развлечениям и переключить их в любознательность, в интерес к элементарным математическим знаниям.

Элементарность, существенность и занимательность попрежнему остаются важнейшими условиями, которым должна удовлетворять экспозиция Зала математических развлечений.

Наряду с этим имелось стремление к возможно большей полноте отдела, к разнообразию тем и экспонатов в нем.

Одно из условий, которыми руководствовались при устройстве Зала математических развлечений,— «нешкольный материал» — требует пояснений. То, что в экспозицию Зала в первую очередь привлечен «нешкольный материал», конечно, совсем не означает, что школьник не найдет для себя интересных и полезных экспонатов в Зале математических развлечений. Под словами «нешкольный материал» отнюдь не надо понимать материал, совершенно оторванный от школьного курса математики. Напротив, почти все экспонаты зала так или иначе связаны с этим курсом и могут служить хорошим дополнением или иллюстрацией к нему. Однако тематика экспонатов и их оформление часто далеки от тех, какие школьник привык встречать в школе при изучении математики. Экспонаты зала по-новому и часто с совершенно неожиданной стороны освещают знакомый школьнику учебный материал, углубляют его, представляют в новом разрезе и т. д.

В этом смысле необходимо понимать здесь условие: привлекать в экспозицию зала, в первую очередь, нешкольный материал. Опыт прежнего отдела математики показал, что такого рода материал пользуется успехом среди школьников и педагогов.

Зал математических развлечений рассчитан, главным образом, на самодеятельность посетителей, в противоположность другим отделам Дома занимательной науки, где работа с посетителем проводится обычным экскурсионным порядком. Эта экскурсия построена так, что в каждом отделе посетитель находится строго определенное время.

В Зал математических развлечений группа экскурсантов попадает в конце экскурсии по дому занимательной науки, когда все прочие отделы уже пройдены ею. Это дает возможность посетителю оставаться в зале столько времени, сколько он сам пожелает, в зависимости от большего или меньшего его интереса к экспозиции зала.

Входящую в зал группу встречает экскурсовод, проводящий короткую, десятиминутную осведомительную экскурсию по залу, при этом даются краткие объяснения по нескольким, наиболее интересным экспонатам зала и в общих чертах характеризуются прочие экспонаты. Далее группа знакомится с экспонатами зала в порядке самодеятельности. Все экспонаты снабжены этикетками и надписями, и любой, достаточно инициативный посетитель сможет работать с ними самостоятельно. Зал, в котором все экспонаты можно трогать руками, работать с ними, где много интересных задач и т. п., уже сам по себе достаточно побуждает посетителя к самодеятельности. К этому еще присоединяются усилия экскурсовода-консультанта, который то здесь, то там организует посетителей вокруг отдельных экспонатов, дает указания, отвечает на вопросы и, таким образом, активизирует самодеятельность группы.

Чтобы дать более подробное представление об экспозиции Зала математических развлечений, приводим здесь описание некоторых типичных его экспонатов.

Экспонаты можно объединить в несколько смысловых и тематических групп. Мы начнем описание с группы экспонатов, имеющих целью общее развитие представлений о чи-

* К пятилетию со дня основания Ленинградского дома занимательной науки.

** В экспозицию зала в основном вошли материалы по занимательной математике, собранные в работах Я. И. Перельмана. Подбор материалов для зала и конструкция экспонатов выполнены автором этой статьи. Художественное оформление экспонатов принадлежит ведущему художнику Дома занимательной науки А. Я. Малкову.

слах, развитие счетных навыков, сообразительности и т. п.

Один из этих экспонатов весьма своеобразным способом дает представление о том, как велик миллион. Вот как описывает этот экспонат Я. И. Перельман в своей книге «Занимательная арифметика».

«Ряд зубчатых колес подобран и сцеплен в этом приборе так, что когда рукоятку поворачивают 10 раз, стрелка первого циферблата делает один оборот. Когда рукоятка повернется 100 раз, стрелка этого циферблата обойдет круг 10 раз, и одновременно стрелка соседнего, второго, циферблата сделает один оборот. Чтобы заставить стрелку следующего, третьего, циферблата обернуться один раз, надо сделать рукояткой прибора 1 000 оборотов. После 10 000 оборотов рукоятки обернется один раз стрелка четвертого циферблата и т. д.; наконец, после 1 000 000 оборотов рукоятки обернется однажды последняя, шестая, стрелка.

...Этот прибор действует, на мышечное чувство. Вертя его рукоятку и наблюдая за тем, как медленно движутся стрелки на последних циферблатах, мы непосредственно, своими руками как бы ощущаем вес тех шести нулей, которые сопровождают единицу в изображении миллиона. Ведь, чтобы добраться до шестого нуля, нужно вертеть ручку прибора без отдыха и остановок сплошь в течение одиннадцати суток (считая по одному обороту в секунду)».

Стены зала использованы для помещения на них ряда «числовых диковинок». Сюда относится прежде всего надпись, идущая под потолком в виде фриза по всем четырем стенам зала: знаменитое число тс, вычисленное Шенксом (1873) и содержащее 707 цифр. Вероятно, Дом занимательной науки является единственным местом Союза, где любой посетитель может видеть «самое длинное тс».

Другие «числовые диковинки» включены в виде рельефных цифр в лепной орнамент стен зала. Это числа 2, 5, 9, 12, 13, 365, 999, 1001 и др. Каждое из этих чисел обладает многими любопытными свойствами. Число 2, например, — наименьшее из положительных четных чисел, единственное простое четное число, основание простейшей и, быть может, любопытнейшей «двоичной» системы счисления и т. п. Описание особенностей приведенных чисел, изображенных на стенах зала, дано в одной из специальных витрин. Читателя, заинтересующегося особенностями этих чисел, отсылаем к книжке Я. И. Перельмана «Занимательная арифметика», изд. 7-е, ГОНТИ, 1938, стр. 71-85.

Своеобразным экспонатом являются арифметические ребусы—арифметические задачи, в которых требуется восстановить неизвестные цифры в тех или иных выкладках. Один из таких ребусов, составленный Я. И. Перельманом, приводим здесь для примера:

Точками здесь обозначены недостающие цифры, которые требуется восстановить.

Читатель, после несложных рассуждений, без сомнения найдет ответ к этой задаче. Именно: делимое здесь равно 110768, а делитель — 112. Легко показать при этом, что указанное решение ребуса является единственным.

В Зале математических развлечений арифметические ребусы оформлены в виде небольших деревянных пюпитров. На месте недостающих цифр сделаны круглые углубления-гнезда. Определив в процессе решения какую-либо из недостающих цифр ребуса, посетитель вставляет в соответствующее гнездо деревянную шашку, на которой нарисована нужная цифра. Затем определяется следующая цифра и т. д. — до заполнения всех пустых мест ребуса.

Очень интересен экспонат «Задумай число», основанный на некоторых элементарных правилах алгебры и арифметики. Экспонат оформлен в виде фигуры совы, сидящей на дереве. Вращая рукоятку, посетитель читает надписи, появляющиеся в специальном окошечке и указывающие, какие действия нужно произвести над числом, которое он задумал. В конце появляется надпись, объявляющая посетителю, какое число у него получилось в результате вычислений. «Отгадывание» в этом случае основано на том, что результат выкладок не зависит от задуманного числа, так как последнее исключается в процессе выкладок. Но так как исключение задуманного числа производится незаметно для посетителя, каждый раз различными способами, подчас довольно замысловатыми, то раскрыть секрет этого «автомата-отгадчика» бывает не так просто.

Когда в выкладках участвуют одновременно несколько человек, причем каждый из них задумывает свое число, независимость результата от задуманного числа подчеркивается особенно ярко. Какое бы число ни было задумано — результат у всех один и тот жеГ Этот прием дает возможность экскурсоводу очень доходчиво объяснить, на чем основано действие этого «автомата».

Смысл этого экспоната не только в том, что он облегчает объяснение некоторых элементарных правил арифметики и алгебры. Он побуждает ребят добровольно, охотно и подолгу проделывать важную, но обычно скучную работу — тренировку в устном счете.

Несколько экспонатов зала посвящены различным системам счисления. Один из них, например, имеет вид старой пожелтевшей записи автобиографического характера, текст которой мы здесь воспроизводим*.

«Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте — всего 11 лет — способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалования я получал в месяц всего 200 рублей, из которых i/w приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 рублей в месяц» и т. д.

Странные противоречия в числах этого отрывка объясняются тем, что числа эти написаны в недесятичной системе счисления^

* Задача эта предложена Я- И. Перельманом. См. «Занимательная арифметика», изд. 7-е. ГОНТИ, 1938, стр. 56—57.

Фраза: «Спустя год (после 44 лет), 100-летним молодым человеком...» дает ключ к решению задачи. Так как от прибавления единицы к числу 44 в этой системе получается число 100, то значит, цифра 4 является наибольшей цифрой этой системы. Таким образом, основанием этой системы является число 5. Поэтому число «44» в этой системе 4X5 + 4, т. е. 24; число «100» означает 1 х 5X5, т. е. 25 и т. д. Не трудно, далее, восстановить смысл всей записи: курс университета был окончен 24 лет от роду; женитьба произошла на 25-м году; девушке было при этом 19 лет; семья состояла из 5 детей; месячное жалованье — 50 руб., сестре отдавалось ,/5 жалованья, оставалось, следовательно, 40 руб.

Занимательная загадочность текста этого экспоната служит, таким образом, поводом для беседы о недесятичных системах счисления.

Другой экспонат, относящийся к системам счисления, с виду ничем не отличается от обычных автоматических весов с циферблатом, какие можно встретить сейчас в любом продуктовом магазине. Однако, всматриваясь в их шкалу, посетитель видит, что на ней нанесены не граммы, а... мужские и женские имена, всего 63 имени. Взвешивают на этих весах особые пластинки с написанными на них перечнями имен. Посетитель отбирает те пластинки, на которых имеется его имя. Те же пластинки, на которых имени посетителя нет, ему предлагается положить на весы. Стрелка весов останавливается после этого как раз против имени посетителя, написанного на шкале весов.

Секрет заключается в том, что пластинки имеют различные веса, относящиеся, как числа: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Как известно, пользуясь этими числами, как слагаемыми, можно образовать в сумме любое число от 1 до 63 и притом одним только способом. Например, число 53 может быть получено только как сумма 32+16 + 4 + 1. Никаким другим способом нельзя получить число 53 из перечисленных выше слагаемых. Таким образом, из указанных 6 пластинок можно получить 63 различных их сочетания, каждое из которых обладает различным весом. С этими сочетаниями связаны определенные имена, написанные на пластинках, именно: вес каждого сочетания пластинок соответствует тому имени, которого нет ни на одной из них.

В процессе объяснений по поводу этого экспоната очень удобно дать понятие о простейшей «двоичной» системе счисления, на свойствах которой экспонат основан. Более квалифицированная группа экскурсантов может получить с помощью этого и прочих экспонатов зала довольно ясное представление о системах счисления вообще.

К числу экспонатов, дающих представление о теории вероятности, относится прежде всего широко известный аппарат, называемый «доской Гальтона». Это почти отвесно установленная доска, плоскость которой усеяна большим количеством торчащих гвоздиков, расположенных в шахматном порядке. Сверху из отверстия сыпятся крупинки; ударяясь о гвоздики, они отклоняются случайным образом в разные стороны и падают в маленькие закрома внизу доски. Закрома эти застеклены, так что уровень крупинок в каждом закроме хорошо виден.

Так как вероятность больших отклонений крупинок невелика, то наибольшее число крупинок падает в средние закрома. В крайние закрома крупинок попадает меньше. Вскоре уровни крупинок в закромах образуют контур, близкий к кривой распределения вероятностей Гаусса.

Экспонат этот пользуется большим успехом и служит незаменимым пособием для элементарного объяснения основ теории вероятностей.

Весьма просто от доски Гальтона перейти к различным практическим применениям теории вероятностей, например к рассеиванию артиллерийских снарядов и т. п.

Доходчивость экспоната позволяет демонстрировать его даже детям.

Весы, отгадывающие имя

Задумай число

Интересно замечание одного ребенка, высказанное им своему отцу, по поводу этого экспоната: «Здесь зернышки падают в беспорядке, а ложатся в порядке».

Другой экспонат демонстрирует знаменитую задачу Бюффона с бросанием иглы. Эта задача оригинальным и неожиданным способом приводит к определению числа п. Заключается она в следующем. Иглу определенной длины случайным образом бросают на поверхность, на которой проведены параллельные линии, отстоящие друг от друга на расстояниях вдвое больших, чем длина иглы. Е:ли повторить бросание много раз и подсчитать число случаев, когда игла ложится так, что пересечет одну из параллельных линий, а затем разделить общее число бросаний на число таких случаев, то с большим или меньшим приближением должно получиться число те.

Экспонат Зала математических развлечений ДЗН представляет собою стол, на котором разграфлены параллельные линии. Над столом натянута система сеток, через которые проваливается одновременно 100 иголок, бросаемых поверх этих сеток. Назначение сеток — сделать падение каждой иглы возможно более случайным.

Сбоку экспоната имеются небольшие счеты и тетрадь записей и вычислений. Повторив бросание 5 раз и сосчитывая число случаев, когда иглы пересекают линии, начерченные на столе, посетитель довольно быстро убеждается в справедливости теоретического расчета, который утверждает, что число всех брошенных иголок, разделенное на число пересечений иголок с линиями, дает значение я тем более точное, чем больше совершается бросаний.

Для пяти бросаний, при которых число всех брошенных иголок равно 500, получается значение п с точностью всего лишь около 0,1... В тетрадке, приложенной к экспонату, ведутся записи всех совершаемых бросаний. Суммируя все бросания, совершенные посетителями в течение многих дней, и сообщая новым посетителям полученные числа, экскурсовод может демонстрировать, как уточняется приближение к те по мере увеличения числа бросаний.

Теория этого экспоната достаточно проста. Упрощенное ее изложение вполне доступно посетителям, имеющим хотя бы смутные представления о начатках школьной математики. Для школьников, знакомых с геометрией круга, теория этого экспоната не представляет никаких затруднений.

Следующий экспонат иллюстрирует еще одну задачу по теории вероятностей.

Задачу эту легко уяснить на таком примере: обычно трамвайный, автобусный и прочий билет занумерован числом, состоящим из шести цифр; какова наиболее вероятная сумма цифр номера трамвайного билета, полученного вами сегодня в трамвае? Другими словами, какова наиболее вероятная сумма шести цифр, взятых наудачу? Теоретический расчет показывает, что наиболее вероятная сумма цифр в этом случае равна 27.

Этот результат можно демонстрировать с помощью экспоната, носящего название «Трамвайный билет». Фигура кондуктора держит небольшой деревянный футляр. В футляре, на общей оси, независимо друг от друга, вращаются шесть круглых барабанов, на цилиндрической поверхности которых написаны цифры от 0 до 9. Цифры видны в окошечки, прорезанные в футляре.

Толчками руки посетитель приводит барабаны в быстрое вращение, сообщая каждому из барабанов случайную скорость и даже случайное направление вращения.

Специальным остановочным приспособлением все барабаны могут быть мгновенно остановлены, причем цифры, написанные на барабанах, располагаются точно в окошечках футляра. Посетитель подсчитывает сумму цифр и замечает ее с помощью особого счетного приспособления, имеющегося на экспонате. Повторяя этот опыт несколько раз, посетитель наглядно убеждается, что из шести цифр наиболее часто образуются суммы, близкие к 27.

Теория перестановок иллюстрируется довольно неожиданным экспонатом. С виду это обыкновенный ларец, из числа тех, которые «просто открываются». Однако в этом ларце в самом деле скрыт механизм с секретом. Ларец этот открывается только при определенном расположении особых пластинок различной ширины, вставляемых в замок ларца. Расположение этих пластинок определяется установкой механизма замка, производимой экскурсоводом перед закрыванием ларца каждый раз другим способом. Посетителю предлагается сообщить, каковы все возможные перестановки из четырех пластинок и сколько их. Убеждаясь, ч;о этих перестановок не так уж много, посетитель приобретает желание перепробовать их все для того, чтобы, наткнувшись случайно на нужный порядок пластинок, открыть ларец, тем более, что на ларце имеется надпись, обещающая премию. Открыв ларец, посетитель получает в виде премии одну из имеющихся в нем популярных книжечек по математике.

Интересен экспонат, иллюстрирующий, как быстро растет степень какого-либо числа вместе с ростом показателя степени.

Устройство этого экспоната можно понять из следующего. Представим себе некоторое количество брусков квадратного сечения, например, 10 штук, уложенных вплотную друг к другу так, что их верхние боковые грани образуют одну плоскость. Нарисуем на этой плоскости какой-нибудь портрет. На каждый брусок попадет какая-либо часть лица. На один из брусков попадет, например, нос, на другой — губы и т. д. Нарисуем теперь на остальных трех гранях нашего бруска ту же часть лица, но несколько измененную и притом так, чтоб каждые два соседних бруска можно было прикладывать друг к другу любыми гранями без нарушения непрерывности линии портрета. Комбинируя разные грани разных брусков, мы будем получать все новые и новые портреты, и все они хотя бы одной маленькой деталью будут отличаться от всех предыдущих. Сколько портретов можно получить, комбинируя различным образом 4 грани всего лишь 10 брусков? Когда задают этот вопрос посетителям, получают обычно самые разнообразные ответы. «Сорок», «Бол.ше тысячи», «Много» и т. п. Редко кто из посетителей догадывается, как велико число всех портретов. Именно это число равно 410, т. е. несколько больше одного миллиона!

Беря число брусков, вдвое меньшее, мы получаем всего лишь около тысячи комбинаций и т. д.

Находящийся в зале математических развлечений ДЗН экспонат устроен несколько иначе, чем здесь описано, удобнее в обращении. Однако идея экспоната остается та же — быстрый рост числа при незначительном возрастании показателя степени.

Мы описали лишь несколько экспонатов Зала математических развлечений. Помимо этих экспонатов, в зале имеется большое число разнообразных математических игр, развлечений, задач и т. п. Каждая из них основана на каком-либо положении математики, достаточно элементарном, но и достаточно существенном.

Есть экспонаты, затрагивающие вопросы топологии. Серия экспонатов под общим названием «Геометрия на весах» дает возможность путем взвешивания различных геометрических фигур и тел иллюстрировать разные теоремы геометрии.

Есть экспонаты, которые разными занимательными приемами развивают пространственные представления посетителей, научают читать чертежи и т. п.

Наконец, в специальных витринах помещены наборы различных занимательных математических задач. Задачи эти непрерывно сменяются для того, чтобы посетители могли иметь всегда новый материал. Они подбираются по следующим группам:

1. Задачи, не требующие или почти не требующие математических знаний и основанные на сообразительности и догадке.

2. Задачи, требующие, кроме смекалки, еще и элементарных математических знаний или заставляющие вспомнить эти знания, когда-то полученные в школе.

3. Вопросы и задачи, имеющие целью проверку и уточнение математических знаний школьника. Это, главным образом, неожиданные сопоставления и выводы, иногда парадоксы и т. п. Группа этих задач разбита на три серии, подобранные для разных классов средней школы.

4. Серия для любителей трудных или остроумных математических задач. Эти задачи для своего решения требуют достаточной математической подготовки, однако не выходящей из объема курса средней школы.

5. Задачи для ребят в возрасте 8—12 лет.

6. Задачи-шутки, математические фокусы и развлечения.

Наш далеко не полный очерк о Зале математических развлечений ДЗН все же дает достаточное представление о тех методах, какими пользуется ДЗН для популяризации математических знаний. Хочется закончить его словами Паскаля: «Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным».

О ПРЕПОДАВАНИИ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ

(Из опыта работы)

Б. ЛЕВИТАН (г. Сталино)

зучение десятичных дробей начинается после обыкновенных дробей, т. е. после того, как ученики имеют уже ясное представление и полное понимание дробного числа. Введением к изучению этой темы может служить такое указание преподавателя: «Мы более подробно изучим те дроби, у которых знаменатель 10 или степень числа 10».

Часто ученики дают такое определение: «Десятичной дробью называется дробь без знаменателя». На этом «определении» надо остановиться и объяснить его абсурдность. Во-первых, дробь должна иметь знаменатель, если знаменателя нет, то мы имеем не дробное число, а целое. Затем надо показать, что такие дроби, как Jq , щ > Jqqq » и т- д-» называются десятичными. Вопрос только сводится к форме записи дроби.

На записи десятичной дроби мы расширяем наше понятие о нумерации чисел. При изучении целых чисел мы удалялись от единиц только влево, теперь уже можем удаляться также вправо. Надо приучать учащихся при записи под диктовку к тому, чтобы десятичные знаки записывать только после того, как услышали последний разряд. Я этого добиваюсь таким путем: нужно записать 3,025. Диктую: «три целых» (ученики записывают 3), затем: «двадцать пять» (делаю малую паузу, тем временем некоторые уже записали 25), затем добавляю «тысячных». Несколько раз так проделать, и ученики уже насторожены при письме и обязательно ожидают услышать разряд до того, как запишут.

Чтобы ученики умели быстро читать, мы заучиваем, что одна цифра после запятой — десятые, две — сотые, три — тысячные и т. д.

Надо требовать ясного произношения наименования разряда: «десятых», «сотых», «тысячных» и т. д., ибо часто говорят «десятков» вместо «десятых», «сотен» вместо «сотых» и т. д. В таких случаях выясняем, на каком месте стоят «десятые», а на каком — десятки. Ученики убеждаются в том, что мое требование — ясно произносить наименование разряда — вполне обосновано и справедливо.

При изучении вопросов: сокращение десятичной дроби, приведение к общему знаменателю, обращение смешанного числа в неправильную дробь, сравнение десятичных дробей ученики еще раз убеждаются в том, что десятичные дроби представляют собой частный случай обыкновенных дробей, а так же в том, насколько рационализируются все вычисления благодаря записи этих дробей без знаменателя.

Сравнение дробей провожу на основе поразрядного сравнения. Какая дробь больше: 3,72 или 3,71285? Целых и десятых одинаковое количество, а сотых в первом числе больше, значит оно больше.

Все действия над десятичными дробями я объясняю на основе свойств целых чисел и действий над ними, затем проверяем справед-

ливость правил действий над обыкновенными дробями в применении к десятичным и опять-таки убеждаемся в преимуществах пользования десятичными дробями. Техника сложения и вычитания затруднений не вызывает. Но надо обратить внимание на устный счет. Во многих случаях ученики дают устно правильные ответы, а при записях ошибаются:

На таких примерах надо достаточно упражняться устно, затем с записью в строчку.

Чтобы избежать ошибок при подписывании слагаемых, уменьшаемого и вычитаемого я говорю так: надо подписывать числа одно под другим так, чтобы одинаковые разряды стояли под одинаковыми, т. е. писать так, чтобы все запятые были одна под другой.

Следует приучать писать запятую перед переходом к целым, а не в конце, после вычислений, ибо иногда ученики вовсе забывают записать запятую:

Обязательно решаю почти все примеры и задачи из задачника на меры. Эти задачи помогают осмыслить действия с десятичными дробями и развивают логическое мышление. После изучения сложения и вычитания даю проверочную работу на один час:

1) записать без знаменателей:

2) Найти сумму: 3,025 + 18,12 + 325 + 0,0067.

3) Найти разность: 15,67 — 3,0028.

4) Какая из дробей больше: 15,68 или 15,67325?

5) Обратить в неправильную дробь: 3,028.

Умножение я объясняю, исходя из свойств действий над целыми числами и изменения произведения. В качестве проверки применяем правило умножения обыкновенных дробей.

Надо также дать указание о подписывании множителей. Вовсе не обязательно, чтобы запятые стояли одна под другой, наоборот, это часто даже неудобно:

второй способ записи является более удобным.

При делении надо обратить внимание на то, что нельзя сразу делить любое число, а нужно делить раньше целую часть, затем сносить по одной цифре: 6,3189 Q8 — нельзя сразу делить 63 на 18, а раньше делить 6 целых и записать 0 целых в частном.

Важно решать такие примеры: 0,002:5; 0,0004:20 и т. д. Такие примеры заставляют выполнять действие осмысленно, а не механически.

Надо приучить учеников ставить запятую в частном, как только они заканчивают делить целую часть.

Все время надо обращать внимание на делитель и выяснить, каков он: целое число или дробь.

При делении на дробь, следует раньше зачеркнуть запятую в делителе, затем уже перейти к делимому.

Надо бороться с приемом уравнения нулями делимого и делителя.

Порядок записи при делении таков: 6,19:2,5= 61,9 [25, т. е. запятые переносим в уме. При такой записи видно, какое число дано было первоначально для деления, а также устраняются неудобства в тех случаях, когда надо приписать много нулей к делимому 3,2:0,0002; если писать так: 3,2|0,0002, то нулей негде приписывать.

При делении часто напоминаю: помните, что делитель должен быть целым числом.

Примерная проверочная работа.

1) Найти произведение: 3,025-12,08.

Найти частное чисел: 1) 0,002:20; 2) 3,4:50; 3) 8: 0,02; 4) 3,62 : 0,025.

Как решить тот или иной пример в десятичных дробях или обыкновенных? Здесь требуется большой навык.

Я даю такие указания: 1) учесть число тех и других дробей (предпочтение отдать большему числу); 2) возможность обращения всех обыкновенных дробей в конечные десятичные; 3) часть действий выполнять над десятичными дробями, часть над обыкновенными. Я требую все эти моменты продумать раньше, затем принять решение, в каких дробях вычислять.

Примерная проверочная работа:

2) Смешано три сорта товара: — кг по 6 р. 72 к. за кг; 5 — кг по 3 руб. за кг; 4,1 кг по 2,2 руб. за кг. Сколько стоит 1 кг смеси? (№ 279).

Подробные методические указания имеются в соответствующих пособиях. Я хотел только указать некоторые моменты, на которые я обращаю особое внимание при изучении десятичных дробей, благодаря чему я добиваюсь высокой успеваемости.

ЗА ГРАНИЦЕЙ

ИОГАННЕС ТРОПФКЕ (1866-1939)

Проф. И. Я. ДЕПМАН (Ленинград)

10 ноября 1939 г. в Берлине умер доктор Иоганнес Тропфке.

В лице Тропфке сошел в могилу один из последних историков математики в Европе. Это утверждение станет понятным, если отметить, что в 1919 г. умерли В. В. Бобынин и Журден, в 1920 г.— Мориц Кантор и И. Г. Цейтен, в 1922 г.— Г. Зутер и А. Фаваро, в 1923 г.—Г. Энострем, в 1925 г.— Роуз-Болл и К. Шой, в 1928 г.— Босманс и Гейберг, в 1929 г.— А. В. Васильев, в 1930 г.— Ф. Кеджори, в 1931 г.— Г. Вилейтнер, наконец, в 1939 г. И. Тропфке.

Из биографии И. Тропфке известно лишь то, что он родился в Берлине 14 октября 1866 г., что он состоял преподавателем средних школ, а позднее занимал посты по учебно-административной службе, дослужившись до поста Oberstudiendirektor'a. Докторскую степень он получил в университете в Галле в 1889 г.

Этот скромный учитель средней школы получил всемирную известность созданием лучшего справочника по истории элементарной математики, переведенного на многие языки мира и использованного преподавателями математики во всем мире.

В 1899 г. в приложении к программе реальной гимназии появилась на 37 страницах статья неизвестного до того времени И. Тропфке под заглавием «Где и когда впервые появились основные понятия нашей школьной математики. Очерк 1». Продолжения статьи автор не дал, так как он от своего первоначального плана вскоре перешел к гораздо более широкому. Уже в 1902 г. вышел первый том его большой истории элементарной математики, в 1903 г.— второй. Весь труд на 850 страницах в то время был не только самым большим, но и самым тщательным в области истории элементарной математики. Работа содержала более 3 000 ссылок на источники; самые квалифицированные критики признали, что автор дал ценный и во многом оригинальный труд. В 1921/1923 гг. вышло второе издание труда Тропфке, уже в 7 томах: I — арифметика, II —общая арифметика, III—пропорции и уравнения, IV — геометрия, V — плоская и сферическая тригонометрия, VI— некоторые специальные разделы элементарной математики (прогрессии, сложные проценты, комбинаторика и теория вероятностей, аналитическая геометрия, стереометрия, конические сечения, максима и минима), VII — указатели.

В общем, второе изнгание было более чем в два раза больше первого как в количественном отношении, так и в отношении привлечения научного аппарата: две трети общего числа ссылок на капитальную историю математики Кантора, имевшихся в первом издании, были заменены ссылками на подлинные первоисточники. Уже во время выхода второго издания международная критика признала, что ни одна область знания ни на одном языке не имеет столь обстоятельного и в такол степени основанного на первоисточниках очерка своей истории, как элементарная математика в семитомном труде И. Тропфке. Эта уверенность особенно укреплялась тем обстоятельством, что корректуру читали виднейшие историки математики — Гейнрих Вилейтнер (1874—1931) и педантичнейший в смысле точности, редактор журнала по истории математики «Bibliotheca Mathematica» Густав Энестром (1852—1923).

За второе издание своей книги автор в тридцатых годах получил премию, учрежденную известным математическим издательством Тейбнера — Аккермана в Лейпциге а «Ежегодник объединения немецких математиков» в 1933 г. писал, что книга Тропфке должна находиться в библиотеке каждого преподавателя математики.

Десятью годами позднее, с 1930 г., стало выходить третье издание труда Тропфке. Первые три тома третьего издания (1930 — 1937) показывают, что размеры второго издания вновь увеличились в среднем на 50%, и, таким образом, в результате тридцатилетней работы автора вырос колоссальный по объему обзор истории элементарной математики.

Автор остался верен своей идее — дать историю появления всех понятий и, в особенности, всех терминов и символов элементарной математики. Полноты автор, конечно, не достиг и при колоссально разросшемся объеме своего сочинения.

Тропфке внимательно следил за новостями в области истории математики и вносил их в свою книгу. Но, с другой стороны, автор, например, не был в состоянии даже в третьем издании учесть новые открытия в области вавилонской математики, которые самым основательным образом меняют вкоренившиеся взгляды на происхождение современной

школьной алгебры вплоть до объяснения значения самого термина алгебра (работы С. Гандза, О. Неугебауэра и др.). За рутинность взглядов автора в этом вопросе О. Нейгебауэр весьма основательно упрекает третье издание II тома.

Но какие бы поправки ни внесли будущие исследования в труд Тропфке, для настоящего момента он является самым богатым и все же самым достоверным источником справок по истории элементарной математики. Для интересующегося историей науки и историей культуры, в особенности же для преподавателя математики, труд Тропфке является незаменимым.

На русском языке имеется лишь часть 1 т. I первого издания труда Тропфке (И. Тропфке — «История элементарной математики в систематическом изложении», т. I, ч. 1. Арифметика. Перевод Д. А. Бема и Р. Э. Струве, под ред. И. И. Чистякова. М., 1914). Нашим издательствам необходимо подумать о том, каким путем сделать доступным советскому учителю труд Тропфке.

НОВЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ПРОФ. И. Я. ДЕПМАН (Ленинград)

Новый международный математический журнал под заглавием «Mathematical Reviews» будет издаваться с этого года Броуновским университетом под руководством Американского математического общества и при поддержке ряда ученых и благотворительных организаций.

Рокфеллеровский институт внес университету 49 500 долларов для создания лаборатории микрофильмов, долженствующей обслуживать новый журнал и математический факультет университета. Первым редактором нового международного математического журнала приглашен известный профессор Отто Е. Неугебауэр, прославившийся за последние годы своими капитальными исследованиями по истории математики, главным образом расшифровкой вавилонских математических памятников. Его лекции по истории до-греческой математики имеются в русском переводе: О. Неугебауэр — «Лекции по истории античных математических наук». T. I. До-греческая математика. ОНТИ, 1937.

О. Е. Неугебауэр был профессором Геттингенского университета, откуда он был вынужден переселиться в Копенгаген, а в 1938 г. был приглашен профессором Броуновского университета в Соединенных Штатах Америки. Он состоял редактором такого же международного математического журнала «Zentralblatt für Mathematik», но вышел из состава редакции, когда издатель Шпрингер без ведома редактора вычеркнул из списка соредакторов Леви-Чивита. Вместе с Неугебауэром из редакции «Zentralblatt für Mathematik» вышли: американская группа редакторов — Курант, Веблен и Тамаркин, кроме того Г. Бор и Харди. Из иностранных членов редакции после этого остались лишь француз Жюлия и финн Неванлинна, так что журнал потерял свой международный характер. Конфликт между редактором Неугебауэром и издателем Шпрингером имел началом то, что редакторам было предложено оценивать математические труды разных авторов не только с точки зрения математики.

После потери международного характера журналом «Zentralblatt für Mathematik» и был поднят вопрос о создании нового международного математического органа в Америке.

Журнал ставит себе задачей обозревать все области чистой математики и будет печатать статьи на четырех языках — английском, французском, немецком и итальянском. Он мыслится как справочный центр математических информации для исследователей и преподавателей математики всего мира.

Институт Карнеги назначил для поддержания нового журнала 60 тыс. долларов, Рокфеллеровский институт—12 тыс. долларов, Американское математическое общество и американская математическая ассоциация вносят по 1 000 долларов. Лабораторию микрофильмов предполагается использовать для копирования редких математических документов для Броуновской математической библиотеки. Копиями фильмов редких статей и публикаций журнал предполагает обслуживать математиков всего мира. Фильмы всех статей, которые рассматриваются в журнале, могут быть получены подписчиками от редакции за их счет.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Р. КУЗЬМИН и Д. ФАДЕЕВ «АЛГЕБРА И АРИФМЕТИКА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ»

Проф. М. К. ГРЕБЕНЧА (Москва)

Книга, написанная крупнейшими специалистами нашего Союза по теории чисел, представляет собой монографию, посвященную арифметике и алгебре комплексных чисел, рекомендуемую для чтения учителям и ученикам старших классов.

Первая часть этой книги для учителей, получивших высшее образование в университетах и педагогических институтах, не содержит, исключая главы VII (о кватернионах) ничего нового, так как содержание ее совпадает с соответствующими главами курса высшей алгебры. Для учеников же, интересующихся математикой, излагаемый материал совершенно нов, исключая, быть может, содержания некоторых параграфов, посвященных действиям над комплексными числами.

Ряд вопросов этой части освещен оригинально и прочтется с интересом и учителями, знакомыми с излагаемыми вопросами.

Часть вторая содержит новый материал для учителя, а тем более для учеников. Эта часть весьма интересна уже потому, что она значительно расширяет кругозор учителя распространением понятий, связанных с натуральным числом, на новые объекты.

Вероятно, эта книга будет еще не раз переиздаваться, поэтому хотелось бы, чтобы ряд дефектов, в большинстве случаев методического характера, был в ней исправлен.

Поскольку книга рекомендуется ученикам (а в последнее время в школе ведется большая работа по повышению математической культуры), приходится быть очень внимательным к внешней стороне изложения.

В книге имеется ряд таких недочетов, которые, быть может, и покажутся «придирками», но все же лучше их выправить. Ниже, попутно с замечаниями общего характера, ряд этих дефектов перечислен.

Введение. §6. Авторы, перечисляя основные этапы развития понятия о числе (целые, дробные, отрицательные, комплексные), не упомянули об иррациональных числах.

Глава 1, §2. В очень интересном примере (стр. 10) желательно указать, в каком направлении происходит вращение колеса, иначе решение может оказаться неверным.

§ 3. В самом начале этого параграфа (стр. 11) сказано, что число i названо знаком, для которого «пока определяем только одно действие — возвышение в квадрат», и сейчас же за этими же словами следует: «Произведение вещественного числа b на i будем обозначать Ы или ib — безразлично. Числа Ы называются мнимыми. Сумму вещественного числа а и мнимого b будем писать в одном из видов: а 4- Ы% а + ib, Ы + я, ib + я».

Вторая часть этой выписки противоречит первой, ибо вводится действие умножения на i, равно как и сложение без всякого предупреждения.

§ 4. Следовало бы указать на единственность результата в действии вычитания и деления. Употреблен термин «сопряженное число» без пояснения.

§ 7, стр. 19. Нужно оговориться, что идет речь о форме с целыми коэфициентами.

Глава II, § 1. Термин «представление чисел» не очень удобен, тем более, что далее говорится об изображении чисел (стр. 23). В § 2 ничего не сказано о связи длин отрезков OA и OB с числами х и у.

На стр. 25 сказано об арифметическом и алгебраическом измерении отрезков. Ученикам это не будет понятно. Неверное рассуждение, подобное приведенному на стр. 24, встречается еще в книге Кольмана «Предмет и методы современной математики».

§ 3. Обозначение arg z неупотребительно. «Чтобы полностью определить <р — нехорошо» (стр. 26). «Величина г определена полностью».

§ 4. Не объяснен термин «величина вектора».

§ 6. В примере 1 авторы ссылаются на другой прием решения задачи, называя его остроумным, но не указывают, где с ним можно познакомиться, если нет возможности его привести. Конец § 6 о полиномах Чебышева несколько скомкан, если иметь в виду ученика.

Глава III. § 1—4 для учеников почти недоступны, так как идея непрерывности в курсе средней школы ученикам не сообщается; тем более не следует начинать с непрерывности функций комплексной переменной. Определение непрерывности дано слишком сжато.

Пример не разъясняет сущности непрерывности в точке z, так как по условию |z|^m, a \zt\<mt следовательно, неравенство \z-zA < —-— имеет место не внутри круга, если \z\ = т.

Еще более сжато пояснение равномерной непрерывности, функции. Когда доказывается непрерывность полинома в ограниченной области, то сказано, что д зависит лишь от е, но не от z, в то время как в определении об этом ничего не сказано.

§ 2. Следовало бы оговорить, что коэфициенты полинома — комплексные числа.

§ 4. Следовало бы сказать, что последовательность контуров неограниченная, и точка, им принадлежащая, —единственная.

§ 11. На стр. 60 следовало бы оговорить знак корня при извлечении корней из обеих частей неравенства.

Из того факта, что обе части равенства обращаются в бесконечность при некотором значении аргумента, еще не следует, что это значение есть корень (стр. 61).

Глава IV, § 1. В истории математики неизвестно, что Ферма имел доказательство этого утверждения.

§ 3. Не сказано, о точках пересечения прямой с какой линией идет речь (стр. 67).

Глава V, § 1. На стр. 75 сказано, что алгебраическое решение двухчленного уравнения может быть доведено до конца.

§ 2. Замечание о построении циркулем и линейкой было бы уместно сделать в § 1 главы IV.

§ 5. Лучше было бы сказать, что число мнимых корней зависит от знака дискриминанта (а не величины) (стр. 90). Также лучше придерживаться термина «комплексный корень» (а не «мнимый корень»).

Непонятен смысл выражения «простой множитель» в абзаце о дискриминанте (стр. 93).

Глава VI, § 1. Лемма верна не при любом натуральном л, а при я>1.

При доказательстве существования предела ^1 + сказано, что «числа с такими свойствами должны стремиться к пределу» без всякого пояснения.

§ 2. «Предельное положение вектора» не объяснено.

§ 4. «Складывая, без всякого применения теоремы Пифагора, получаем» (стр. 102) — нехорошо.

§ 5. Подстановку в формулы Эйлера U вместо у следовало бы несколько разъяснить, так как ученикам смысл ее не будет понятен.

§ 6. Важно, то, что sh 3<p непрерывно возрастает; «постоянно возрастая» — менее понятно.

Часть вторая, глава 1. В § 1 авторы забыли включить 0 в совокупность чисел.

«Чем совокупность четных чисел хуже совокупности всех целых чисел? На первый взгляд — ничем» (стр. 126). Эти фразы неудачны.

§ 3. Вторая часть теоремы первой не вытекает из второго свойства общего наибольшего делителя.

В заключение можно высказать следующее предложение: очень трудно в одной книге удовлетворить интересам учителя и ученика. Даже для учителей некоторые вопросы трактуются в очень сжатом виде, не говоря уже об учениках. С другой стороны, содержание первой части для учителя менее интересно, чем второй, ибо с высшей алгеброй учитель знаком в объеме здесь излагаемом, поэтому напрашивается мысль: из этой книги сделать две — одну для учеников, включив в нее, в основном, первую часть, но сделать изложение более доступным; вторую часть сделать содержанием другой книги (для учителей), которую можно было бы несколько расширить (например главой о кватернионах, алгебраических числах и т. п.) в зависимости от издательских возможностей.

ОБЗОР НОВЫХ КНИГ

С. НОВОСЕЛОВ (Москва)

Акад. Н. Н. Лузин. Теория функций действительного переменного. (Общая часть.) Учебное пособие для педвузов. Учпедгиз, 1940 г., 302 стр. Цена 5 руб.

Книга акад. Н. Н. Лузина является пособием по курсу «Теория функций действительного и комплексного переменного», читающемуся на III и IV курсах физико-математических факультетов педагогических институтов; она охватывает дескриптивную часть теории функций действительного переменного: множество и мощность, множества точек, теория пределов, функция и непрерывность, свойства непрерывных функций, непрерывные кривые и аналитическое изображение непрерывных функций. Кроме глав, посвященных рассмотрению перечисленных основных вопросов, в конце книги даны два приложения: «Теория иррациональных чисел» и «Классификация Бэра».

Теория функций действительного переменного является одной из основных в высшей современной математике. Знание основ теории функций необходимо и учителю средней школы, ибо здесь получают глубокое научное обоснование такие вопросы, как учение об элементарных функциях, учение о действительном числе, вопрос об аналитическом изображении функций и т. д. Однако при изучении теории функций встречается следующее затруднение: от читателя требуется привычка к абстрактному мышлению, а существующие учебники и пособия обычно предполагают читателя в этом отношении уже достаточно подготовленным. В книге акад. Н. Н. Лузина мастерски сочетаются предельная ясность и доступность изложения с безукоризненной научной строгостью. Язык книги живой и яркий, оказывает значительную помощь читателю в воспринятии глубоких идей теории функций. Обычно в руководствах по теории функций изложению самой теории функций предшествует обоснование теории действительных чисел. Учитывая, что для начинающего читателя теория иррационального числа может представить затруднения, автор выделяет этот вопрос в отдельное приложение. Таким образом, читатель, на основе известных из элементарной математики свойств действительных чисел, может приступить к изучению самой теории функций, а затем обратиться к обоснованию понятия действительного числа, действий над действительными числами и их свойств.

Следует отметить, что в книге Лузина изложены основные вопросы теории плоских совершенных множеств и кривых Жордана и Пеано; этим вопросам в учебной литературе на русском языке не уделялось должного внимания.

Книга акад. Лузина далеко не полностью охватывает основные вопросы теории функций, так она не содержит теории меры множеств, теории интегрирования, автор не останавливается на таком интересном вопросе, как антиномии теории множеств В целом книга написана с большим математическим вкусом и является ценнейшим вкладом в учебную литературу.

И. Б. Абельсон. Две прогрессии. Издательство Академии наук СССР. Научно-популярная серия «Академия Наук стахановцам». 1938 г. Стр. 163. Цена 4 руб.

Книга Абельсона относится к числу научно-популярных книг по избранным вопросам элементарной математики. Основным содержанием книги является рассмотрение арифметической и геометрической прогрессий, а затем переход к изучению основных свойств логарифма и показательной функции. Расположение материала следующее: сначала рассматриваются отношения и пропорции и основные арифметические задачи на пропорцию, затем арифметическая прогрессия и суммирование квадратов, кубов и фигурных чисел; полученные результаты прилагаются к вычислению площадей ограниченных параболами высших порядков; после этого рассматривается геометрическая прогрессия и наконец показательная функция и логарифм. Как большое достоинство книги необходимо отметить доступность изложения. При рассмотрении перечисленных выше вопросов в их взаимной связи автор прибегает к многочисленным интересным и оригинальным примерам, а также к геометрическим иллюстрациям. Интересная задача—рассмотреть в популярном изложении арифметическую и геометрическую прогрессии и логарифм в их взаимосвязи— решена автором в целом удачно. Наряду с отмеченными достоинствами книга И. Б. Абельсона не лишена значительных недостатков. Нам представляется, что основным источником всех недостатков данной книги является отсутствие точной установки, на какого читателя рассчитана книга. Так например, с одной стороны, автор, рассчитывая на мало подготовленного читателя, заменяет в ряде случаев доказательство наглядной интерпретацией или рассматривает частные случаи с конкретными числовыми данными; с другой стороны, на стр. 65 автор для обоснования формулы суммирования квадратов предлагает воспользоваться методом индукции, не давая нужных разъяснений относительно сущности этого метода. Далее, арифметические выкладки иногда излишне подробны, тогда как рассуждения о бесконечно малых и диференциалах совершенно невразумительны. Непонятно, почему автор придает такое большое значение логарифмической линейке. Следствием отмеченных недостатков явилась некоторая сумбурность изложения. В настоящей статье мы не намерены дискутировать вопрос, насколько серия «Академия наук стахановцам» соответствует своему назначению, мы остановимся лишь на значении книги для средней школы. Книга Абельсона содержит много интересного, подобранного с большим вкусом материала для занятий школьных математических кружков и с этой точки зрения представляет значительный интерес. В ней имеются интересные арифметические задачи, задачи, связанные с понятием вероятности, фигурные числа и их свойства, свойства площади, гиперболы, геометрическое объяснение, как получается ряд для логарифма и т. д. Мы полагаем, что некоторые задачи, а также геометрические интерпретации могут быть использованы учителем и в классной работе.

П. Д. Белоновский. Основы теоретической арифметики. Пособие для физико-математических институтов. Учпедгиз, 1939 г., 176 стр. Цена в перепл. 3 р. 30 к.

Книга Белоновского содержит изложение следующих вопросов теоретической арифметики: понятия множества и натурального числа, отрицательные числа и дроби, делимость чисел (разложение на множители, сравнения, периодические десятичные дроби, конечные непрерывные дроби), иррациональные числа и комплексные числа.

Книгу Белоновского можно отнести к числу тех элементарных пособий, которые не ставят своей целью дать глубокое научное обоснование предмета, но зато быстро вводят читателя в круг идей соответствующей научной дисциплины и сообщают минимум знаний, необходимый для изучения более серьезной литературы. Язык книги очень простой и доступный, изложение в научном отношении достаточно корректное. Все это позволяет считать книгу Белоновского весьма полезной для начинающих. Очень оживляют книгу помещенные в начале каждой главы краткие исторические сведения. Мы полагаем, что в качестве учебника для педагогических институтов по курсу «Теория чисел» книгу Белоновского нельзя признать вполне достаточной (хотя бы в части обоснования арифметики, а также в части, посвященной самой теории чисел), но зато она может служить в качестве основного пособия для учительских институтов при прохождении курса «Элементарная математика». Исходя из этого, можно выразить пожелание, чтобы в последующих изданиях в первую очередь наиболее подробно были представлены разделы, соприкасающиеся с материалом программы средней школы. Так, например, мы полагаем, что вопрос о представлении действительных чисел в виде десятичной дроби должен быть изложен более полно: автор почти не касается обращения периодических дробей в простые, а это очень важно для будущего учителя.

Последний параграф, посвященный гиперкомплексным числам, изложен недостаточно отчетливо.

Книгу Белоновского можно рекомендовать учителям, работающим над повышением своей квалификации; некоторые ее главы можно рекомендовать учащимся старших классов, интересующимся математикой.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 3 1940 г.

41.

Натуральное число а имеет п различных положительных делителей. Найти произведение всех его делителей.

1. Пусть п — четное число. Для любого делителя at имеем целое число = — , которое тоже является делителем я, причем а{а^=а. Таким образом, все делители а распадаются на -у паР» каждая из которых в произведении дает а. Перемножив все эти делители, очевидно, получим:

2. Пусть п — число нечетное (что может быть лишь тогда, когда п является точным квадратом). Тогда один из делителей будет равен \/а. Остальные п — 1 делителей, по предыдущему, составят —-— пар, каждая из которых дает в произведении а. Произведение всех делителей будет равно:

Итак, в обоих возможных случаях искомое произведение равно У а11. Это —наиболее простое и короткое решение. Были даны и очень сложные решения с привлечением известной формулы количества разложений для числа я = я^я а также формулы сочетаний и т. п.

По стороне треугольника я, сумме двух других сторон m и площади S вычислить без помощи тригонометрии радиус описанной окружности.

Подавляющее большинство решений исходило из формулы:

(1)

Остается в формуле (1) выразить неизвестное произведение be через данные величины я, m и 5. Для этого воспользуемся формулой Герона:

Величина Ь+с = тнт известна. Определим b — с. Сделав подстановку b (2) получим:

Отсюда легко находим:

Итак, имеем:

(3) (4)

Вычитая (4) из (3), найдем:

Определив отсюда be и подставив в (1), получим окончательно:

Можно также, как делали некоторые, из формулы (2) путем аналогичных преобразований получить прямо значение be.

43.

В треугольник вписать дзе окружности равного радиуса так, чтобы каждая касалась двух сторон треугольника и второй окружности.

1. Большинство решало задачу аналитическим путем. Наиболее частый вариант его следующий.

Пусть О, и 02 — центры искомых окружностей. Очевидно, они должны лежать на биссектрисах углов Л и С. Точка пересечения этих биссектрис — центр О окружности, вписанной в данный треугольник Обозначив радиус последней через г, а радиусы искомых окружностей через х, определим х. Из подобия треугольников Ot002 пАОС имеем:

или:

Черт. 1

Отсюда определяем х:

(1)

Итак, X находится, как четвертый пропорциональный к известным отрезкам Ьу г и Ь + 2г. Теперь решение сводится к элементарной задаче: вписать в данный угол окружность данного радиуса.

2, Из вариантов этого решения отметим еще решение т. Владимирова с применением известных формул тригонометрии для котангенса половинного угла треугольника

Из треугольников AMOt и CN02 (черт. 1) находим:

(1)

(2)

Далее:

Отсюда:

3. Значительная часть решавших дала решение задачи методом подобия. Анализ чертежа 1 дает, что для решения задачи достаточно вписать в данный треугольник АОС прямоугольник, у которого сторона, лежащая на основании, была бы вдвое более высоты. Построение можно выполнить хотя бы так:

На биссектрисе АО (черт. 2) берем произвольную точку M и строим прямоугольник MNPQ, у которого QP = MN = 2MQ. (Построение очевидно.)

Соединяем точки А и N и продолжаем AN до пересечения с биссектрисой ОС в точке 02. Проводим 020, H АС до пересечения с биссектрисой АО в точке О,. Точки О, и 02 — искомые центры. Действительно, из подобия треугольников АОх02 и AMN, а также A02D и ANP имеем:

(1)

Из (1) и (2):

или:

(3)

Итак, окружности, проведенные из О, и 02 радиусом 02Dy касаются сторон AB и ВС и друг друга (так как 0102 = 202D).

4. Приведем решение т. Воскресенского (им же было дано и первое решение).

Пусть О, и 02 — искомые центры. Проведем ОМ II АС и А02 до пересечения с ОМ в точке М. Из подобия треугольников АОМ и АОх02 имеем:

(1)

(Нетрудно видеть, что ON и ОхЕ — высоты соответственно треугольников АОМ и АОх02, опущенные из вершины А.) Из (1):

(2)

Отсюда простое построение: из точки О проводим ОМ II АС; откладываем ОМ = 2г; соединяем А с M ; точка 02 пересечения AM с биссектрисой СО — один из искомых центров. Остальное очевидно.

5. Наконец, дадим решение т. Гевондян (приславшего задачу), которое не встретилось ни у кого из читателей.

Рассматриваем площадь данного треугольника 5 = — как сумму площадей шести фигур:

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

(2)

Сложив полученные выражения и приравняв их к величине площади всего треугольника —, получим уравнение: из которого и определим де.

Построение х элементарно. Легко показать, что, выразив в последнем равенстве h через г ^например, при помощи формулы: h = ^, придем опять к выражению:

что показывает тождественность этих выражений.

44.

На стороне AB треугольника ABC взята точка D и из нее проведены DE \\ АС и DF H ВС. Определить площадь треугольника CEF, если площади треугольника ADF и BDE соответственно равны St и S2.

Несложная и в различных вариантах достаточно распространенная задача. Из ряда вариантов решений приведем два.

1. {\ADFo»&DBE,

отсюда

(1)

Треугольники ADF и FEC имеют равные высоты, опущенные из вершин D и Е. Следовательно, площади этих треугольников относятся, как соответствующие основания, т. е.

Отсюда:

(2)

Сравнивая (1) и (2), получим:

2. Из тех же треугольников, пользуясь теоремой об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, имеем:

Отсюда:

45.

Если из концов диаметра провести две пересекающиеся хорды, то сумма произведений каждой хорды на ее отрезок от конца диаметра до точки пересечения есть величина постоянная. Доказать.

Легко показать, что угол Е тупой (так как измеряется полусуммой полуокружности и дуги DC). Применяем формулу для квадрата стороны, лежащей против тупого угла.

(1)

Прямоугольные треугольники ADE и ECB подобны; следовательно:

(2)

Тогда из (1) имеем:

(3)

Итак, искомая сумма равна AB2 = AR2, т. е. величина для данного треугольника постоянная, и т. д.

46.

Доказать, что сумма квадратов всех сторон четыреугольника равна сумме квадратов его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Приведем наиболее короткое решение (тт. Барщевский, Кобылин, Могильницкий и др.).

В /SABD отрезок AN — медиана. По известной формуле имеем:

(1)

Аналогично для /\BCD:

(2)

Сложив (1) и (2), получим по сокращении на 2;

(3)

Из ДЛСМ, где MN— медиана, имеем:

Отсюда:

Подстановка из (4) в (3) дает:

ч. т. д.

Б более длинных решениях определялись медианы 6 треугольников (прибавлялись медианы ВМ и DM из треугольников ABC и ACD и еще раз определялась медиана MN из £sßMD), что ненужно удваивало работу.

47.

Вычислить стороны трапеции по радиусам вписанной и описанной окружностей.

Задача оказалась трудной. Именно, вследствие сложности вычислений она получила много неверных ответов.

Сделаем два предварительных замечания.

1. Так как дается радиус описанной окружности, то трапеция равнобедренная.

2. Напомним известное свойство описанной около окружности трапеции. Из чертежа 1 получаем:

СР = СМ, (1) PD = DN (2)

(как касательные, проведенные из одной точки). По сложении имеем:

т. е. боковая сторона равна полусумме оснований.

Перейдем к решению. Обозначим: AD = я; AB = CD = b; ВС —с. По предыдущему, имеем:

(3)

Проведя CE J_ AD (черт. 2) из /SPED имеем:

или:

Но из (3)

После подстановки получим:

(4)

Воспользуемся формулой:

(5)

в применении к треугольнику ABD (черт. 3). (Очевидно R для этого треугольника и для данной трапеции один и тот же.) Здесь:

(6)

(7)

Подстановка из (6) и (7) в (5) дает:

или, приняв во внимание (3):

(8)

Из уравнения (8) выразим b через данные R и r:

(Знак минус перед радикалом отбрасываем.) Итак, имеем:

(9)

Наконец, из системы уравнений (3) и (4):

находим а и с:

(10) (11)

Выражения (9), (10), (11) и дают ответ на вопрос задачи.

48.

В данный квадрат вписать равносторонний треугольник так, чтобы одна из его вершин лежала в данной точке стороны квадрата.

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

1. Дадим, прежде всего, решение приславшего задачу т. Годованик и нескольких читателей.

Пусть N— данная точка и ДМЛ^Р —искомый. Сторону квадрата обозначим через а. Заметим, что:

Отсюда вычитанием получаем:

т. е. £ ANM больше, чем /_ BXPN на 30°.

Построив / ANE = 30° п отложив NE = а, получим /\NEAA = ДМВ,Я (по двум сторонам и углу между ними). Отсюда ME _\_NE.

Отсюда построение: проводим NE под углом 30° к AB, отложим NE == а> восставим перпендикуляр ЕМ к NE. Точка M — вторая вершина искомого треугольника.

2. Решение т. Титова: Пусть MNP — искомый треугольник, М— данная точка. Построим / АМЕ = 60° и отложим ME = MA. Точку Е соединим с Р. Тогда ДМ/Ш = = /\РЕМ, так как

Следовательно, L МЕР = 90°.

Отсюда построение: принимая данную точку M за вершину, строим при стороне AD угол АМЕ = 60°; откладываем ME = MA; в точке Е восстанавливаем перпендикуляр к ME. Точка Р пересечения этого перпендикуляра со стороной квадрата дает вторую вершину треугольника.

3. Решение т. Хвастовского и т. Линис (Латвия). Из данной точки M опускаем перпендикуляр на основание искомого треугольника. В полученных четыреугольниках MEPD и MENA сумма противоположных углов равна 2d, следовательно, около каждого из них можно описать окружность. Отсюда:

(как опирающиеся соответственно на одну и ту же дугу ME).

Отсюда построение. На стороне квадрата AD (на которой лежит данная точка) строим равносторонний треугольник AED. Вершину Е соединяем с M и через Е проводим NP J_EM. Получим две остальных вершины искомого треугольника.

Задача имеет еще ряд различных, довольно остроумных решений, в том числе и алгебраических, но, по большей части, несколько более длинных, чем приведенные.

49.

Решить уравнение:

(1)

Положим:

(2)

(3)

Тогда из (2) и (3) имеем:

и из (1): или:

Возведем (4) в четвертую и вторую степень. Будем иметь:

(6) (7)

Подставив из (7) в (6) и приняв во внимание (5), получим:

что по упрощении даст:

(8)

Отсюда:

(9)

Решив обычным путем систему уравнений (4) и (9), найдем:

Наконец, из (3) получим:

Неверные решения имеют по большей части ошибки в вычислениях, ко есть и нелепые ответы.

50.

Доказать равенство Эрмита:

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

где знак Е (а) обозначает целую часть а (л— натуральное число).

Пусть

(1)

где а — целое число, а < 1; всегда можно найти два числа г и п, удовлетворяющие условию:

(2)

Левую часть данного равенства представим в виде:

Не трудно показать, что каждый член первой строки равен а. Действительно, возьмем наибольшее из чисел первой строки:

Приняв во внимание (1) и (2), получим:

г. е. целая часть каждого из чисел первой строки равна д. Слагаемых в этой строке п — г, следовательно, их сумма равна а (л —г).

Аналогично легко показать, что каждый член второй строки равен а+1. Количество членов равно п — (п — г) = г. Их сумма = (*+!) Г.

Сумма всех членов левой части равна, таким образом:

(3)

Правая часть:

(4)

так как из (2) имеем:

Из (3) и (4) и следует справедливость данного равенства.

51.

Дана двояковыпуклая (образованная двумя пересекающимися сферами неравных радиусов) чечевица. Найти объем чечевицы, если ее толщина (по линии центров) d, а поверхность 5. Пусть

OD = г; 0,С = г,; MD = я; МС = л,.

Объем чечевицы можно рассматривать, как сумму объемов двух сферических сегментов, сложенных своими основаниями. Имеем:

(1)

или:

(3)

Далее, по известному свойству хорды, перпендикулярной к диаметру (или, что то же, перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу) имеем:

Из левой окружности:

Из правой окружности:

Отсюда: Или:

(4)

Из (3) имеем:

Из (4) и (5) легко (сложением и вычитанием) находим:

(6) (7)

Делая подстановку из (6) и (7) в (2) или (1) и принимая во внимание, что

ht + h2 = dt (8)

получим:

и, наконец:

По отзыву многих читателей задача интересная и вполне элементарная, но преобразования несколько утомительны.

52.

Решить систему уравнений

(1) (2)

Исключаем тривиальный случай: х —у — 0. Из (1) имеем:

(3)

Поверхность чечевицы:

(2)

Из (2):

Перемножив (3) и (4) получим:

Отсюда:

(5)

Из (5) определим ^ и подставим в (1):

(6)

(4)

(7)

Аналогично, определив из (5) х и подставив в (2), найдем:

(8)

Так как числители имеют по два знака, а корни 4-й степени по четыре значения, то исследование пригодности всех комбинаций значений х и у, конечно, утомительно.

При других способах решения, данных некоторыми читателями, ряд непригодных значений отбрасываются в процессе решения (самые решения не приводим в силу их длинноты). Для данного же способа проверка корней, как показал, т. Шебаршин, может быть произведена следующим путем.

Решим первое уравнение относительно у и найдем, что

Если теперь

то

Следовательно,

Подставим найденные значения во второе уравнение:

Отсюда:

т. е. получили правильный, исходный, результат.

Итак, если обозначим через хи xv х3> хА четыре значения

то соответственно получим:

Это значение непригодно, так как мы видели, что 2х2уг = 1, а получаем:

Следовательно,

Аналогично случаю 1 убедимся, что ух не удовлетворяет уравнению" 2х*у* = \. Если же

то подстановка во второе уравнение дает:

т. е. получили исходный результат. Если обозначим через х5, х+ x1t xs четыре значения

то соответственно

найдем:

Итак, не считая нулевых решений, система имеет восемь пар корней. Что касается нулевых значений неизвестных, то и их число может быть определено: если найденные значения у из первого уравнения подставить во второе, то мы придем к двум уравнениям (соответственно двум значениям у):

которые дают откуда:

Последнее уравнение дает найденные выше значения для х\ т. е. данная система могла быть решена и этим путем.

53.

Решить систему уравнений:

(1) (2)

Раскроем скобки:

(3) (4)

Сложим (3) и (4):

(5)

Вычтем (3) из (4):

(6)

Умножим (6) на 3 и прибавим к (5). Получим:

Отсюда:

(7)

(где а один из кубичных корней из 1). Выражение (6) перепишем так:

(8)

Подставив из (7) в (8), найдем:

(9)

Обозначив:

(10)

получаем систему:

(11)

(12)

решив которую, найдем,

(13) (14)

Подкоренное выражение можно упростить, приняв во внимание (10):

Тогда (13) и (14) примут вид:

(15) (16)

Здесь R имеет три возможных значения.

Отметим, что, выводя из (8) выражение (9), мы допустили, что

т. е.

2Ь — а ф 0.

Если же 2Ь — д = 0, то из (7) следует, что х + у = 0.

Но тогда из (1) и (2) следует а = 0 и b = Q. В этом случае данная система становится неопределенной, и ее решениями будут: х = п;у = — п, где п — произвольное число.

К решению задачи читатели подходили различными путями, иногда рядом сложных и утомительных преобразований. В результате часто получалось для х и у сложнейшее выражение (например, с длиннейшим иррациональным многочленом в знаменателе) и не делалось никаких попыток к его упрощению.

54.

Решить систему уравнений:

Применив к правым частям формулу тангенса двойного угла, перепишем данные уравнения в таком виде:

(1)

(2)

Подстановка из (2) в (1) дает:

(3)

После упрощений:

(3')

Отсюда:

(4)

и после подстановки (4) в (2):

(5)

Получаем первую систему решений:

X = ш; у = 7ш. Или из (3') имеем:

Решив это биквадратное уравнение относительно ig х9 найдем:

(6)

Подстановка из (6) в (2) после преобразований дает (проще — можно сделать подстановку из (1) в (2) и повторить предыдущие Преобразования):

(7)

В формулах (6) и (7) надо брать одновременно либо верхние, либо нижние знаки.

О решениях этой задачи можно сказать то же, что и по поводу предыдущей.

55.

Найти правильную дробь, зная, что если из ее числителя вычесть 12, а к знаменателю прибавить 7, то получится дробь, в четыре раза меньшая дроби, полученной из данной от прибавления к числителю и вычитания из знаменателя 12.

Решаем задачу обычным способом для подобных неопределенных уравнений. Пусть числитель и знаменатель искомой дроби х и у. Тогда по условию

(1)

По упрощении получим:

Определим отсюда у:

(3)

Так как у — число целое, то х — 20 должно быть делителем числа 608. Чтобы уменьшить число испытаний, учтем, что — должно быть правильной дробью, т. е. х <СУ- Из (2) имеем:

Отсюда: и подавно:

Отсюда, из положительных делителей числа 608 подлежат испытанию лишь: 1, 2, 4, 8, 16. Составим соответствующую таблицу.

Итак, условию удовлетворяют лишь две дроби:

Что касается отрицательных делителей числа 608, то из условия заключаем, что

следовательно, испытанию подлежат лишь —1, —2, —4. Аналогично предыдущему убеждаемся, что все эти случаи не дают решений.

Решением некоторых неравенств можно было бы уменьшить еще число испытаний, но последние так легки, что от их сокращения выигрыша во времени не получится.

Почти все неверные решения давали только одно значение дроби — — .

56.

Число А — 2/я-значное, изображенное одними четверками; число В — m + 1-значное, изображенное одними двойками; число С—т-значное, изображенное одними восьмерками. Показать, что число A + В + С + 7 есть точный квадрат.

Записав числа Л, В и С по десятиричной системе, будем иметь последовательно:

(2)

Так как 2-10m + 7 делится на 3, то Л + В + + C-J-7 есть, таким образом, квадрат целого числа. Легко показать, что

Неприятное впечатление оставляют решения, которые исходят из нескольких частных случаев (/и = 1, 2, 3), подмечают закономерность и обобщают, не давая доказательства.

57.

Доказать тождество

где /, т, п—расстояние центра окружности, описанной около треугольника, соответственно от сторон а> Ь и с.

1. Большинством дано наиболее короткое решение.

Легко видеть, что / А = DOC (черт. 1), так как и тот и другой измеряются половиной дуги ВС. Аналогично:

Из треугольников CDO, АБО и BFO имеем

(1) (2)

(3)

Для углов треугольника имеем известную формулу:

Делая подстановку из (1), (2), (3), получим: или:

(4)

2. Еще короче аналогичное доказательство т. Кобылина, исходящего из формулы:

Из тех же треугольников АЕО, BFO и CDO имеем:

Но, как видно из чертежа:

и к ним применима формула (5). Подстановка в нее из (6) и дает требуемое тождество.

Ряд читателей исходил при доказательстве из теоремы Птоломея для 4-угольника.

Рассмотрим случаи тупоугольного (что сделано немногими) и прямоугольного (что не сделано никем) треугольника.

Пусть угол А — тупой. Тогда

и формула (4) примет вид: или, что то же:

(7)

В случае прямого угла один из перпендикуляров обращается в нуль и соотношение (4) теряет смысл, но остается в силе равносильное, вообще говоря, ему равенство:

(8)

Действительно, в этом случае, например, при А = 40°, имеем:

и подстановка в (8) дает тождество.

Отсюда, между прочим, видно, что равенство (8) является общим для всех трех случаев, если условиться брать со знаком минус длину перпендикуляра, лежащего вне данного треугольника.

58.

Решить систему уравнений:

(1)

(2)

Приведем наиболее короткое ее решение, данное М. Шебаршиным.

Из (1) уравнения по перенесении всех членов в левую часть и возведении в квадрат получим:

(4)

С другой стороны, уравнение (2) по перемножении дает:

(5)

Сложив (4) и (5) получим:

(6)

Уравнение (6) вместе с третьим дает системы:

(7)

(8)

Решив обычным путем системы (7) и (8) и найдя из (1) соответственные значения ху получим 8 систем решений:

Неверные решения опять заключались в неполноте их. Большей частью давались 4, реже 2, а иногда даже одно решение.

59.

Треугольник ABC вращается около биссектрисы AD угла А. Доказать, что поверхности, образуемые при вращении прямыми AB и ЛС, относятся, как объемы тел, полученных от вращения треугольников ABD и ACD.

Из целого ряда доказательств приведем три наиболее простых, переходя от более длинных к более коротким. (А. Владимиров, М. Шебаршин и др.):

Обозначив поверхность через s, имеем:

(1)

По свойству биссектрисы угла треугольника имеем для треугольника CAB:

(2)

Из подобия треугольников BED и CFD:

(3)

Из (3), (2) и (1) имеем:

(4)

Далее:

(5)

(6)

Из (5), (6) н (4):

3. Наиболее короткое решение (Н. Барщевский, Г. Капралов) получим, если воспользуемся известной леммой об объеме тела, полученного от вращения треугольника около оси, лежащей в его плоскости (см. Киселев, ч. 2, § 141).

Согласно этой лемме, имеем непосредственно:

(1)

(2)

Но так как AD — биссектриса угла Л, то DE = DF и из (1) и (2) получаем:

60.

На ребрах прямого трехгранного угла взяты точки Л, В и С так, что треугольник ABC равен некоторому данному треугольнику. Построить отрезки SA, SB и SC (5 — вершина трехгранного угла).

Из чертежа непосредственно выводим (по условию все плоские углы при 5 — прямые):

(1)

(2) (3)

По сложении:

(4)

Вычитая из (4) последовательно (1), (2) и (3), получим

Порядок построения понятен: строим (например, для х):

Как видим, и по вычислениям, и по построению задача вполне элементарна. Но важно то, что только очень немногие указали, что треугольник ABC должен быть остроугольным (в случае тупоугольного треугольника построение невыполнимо). Действительно, как известно, ^ BSC> / Л;>CSA>£mB\ £ ASB> ЦС, т.е. углы А,'В и С — острые.

ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

21. Светящаяся точка находится на расстоянии d от центра шара. Определить величину X освещенной части поверхности шара. Проследить изменение значения х в зависимости от изменения d.

И. Гайлевичус (Каунас)

22. См. задачу на стр. 51 в заметке И. Гайлевичус.

23. Доказать для треугольника равенство;

а2 = (Ь + с)2 sin2 - + (b - с)2 cos2 -.

Е. Банкеш, (Новый Свержень, Барановичской обл.)

24. Вычислить основание и боковую сторону равнобедренного треугольника, если даны: боковая высота h =- и медиана, проведенная к боковой стороне m =-.

Б. Костриц (Ленинград)

25. Определить углы равнобедренного треугольника, в котором центры кругов вписанного и описанного симметричны относительно основания равнобедренного треугольника.

Б. Костриц

26. Доказать, что при любом п выражение

/z3-t-ll/z

делится на 6.

И. Кацман (Житомир)

27. Найти зависимость между д, b и с (исключить X и у) из уравнений.

X +у — а; X2 +у2 = Ь2\ х3 +у3 = с3.

И. Кацман

28. При каких условиях справедливо равенство

Б. Костриц

29. Если

Доказать.

Б. Костриц

30. Найти объем конуса, если известно, что радиус его основания равен г и что объем вписанного шара вдвое меньше объема конуса

С. Городов (Ленинград)

ЗАДАЧИ

101. Решить уравнение:

х(х— \)(х — 2) (х — 3) = 1.

Г. Ахвердов (Ленинград)

102. Решить уравнения:

2х3 + 5х2 — 5jc— 12 = 0, 4х* + 4х2 + х + Ь = 0, зная, что они имеют один общий корень.

Г. Ахвердов

103. Дан /\АВС своими сторонами а, b и с. Вычислить радиус круга, вписанного в треугольник, образованный перпендикулярами к сторонам данного треугольника, проведенными через его вершины.

А. Ананич (Красноярск)

104. Решить систему уравнений:

Е. Банкеш (Новый Свержень, Барановичской обл.)

105. Решить систему уравнений:

Е. Банкеш

106. При каких рациональных значениях X выражение у = Vх2 — х + 1 будет иметь рациональные значения.

А. Владимиров (Ялта)

107. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на части, равные х и у. Определить площадь треугольника.

А. Владимиров

108. Доказать тождество:

Л. Гольдман (Томск)

109. Из верхних вершин квадрата на его основание опущены две наклонные, причем сумма проекций этих наклонных на основание равна диагонали квадрата. Найти зависимость между углами, образованными каждой из наклонных с соответствующей боковой стороной квадрата.

Л. Гольдман

110. Решить систему уравнений:

111. Упростить выражение:

112. Упростить выражение:

113. Упростить (привести к логарифмическому виду) выражение:

114. Доказать, что при целых значениях к и у численное значение выражения:

делится на 216.

115. Сумма цифр трехзначного числа 7. Доказать, что необходимое и достаточное условие делимости этого числа на 7—одинаковость цифр десятков и единиц.

116- Построить треугольник по Ь и с, зная что А = 2В.

117. Решить уравнение:

118. Решить систему уравнений:

119. Построить треугольник по двум сторонам, зная, что сумма соответствующих им высот равна третьей высоте.

120. Решить уравнение:

УКАЗАТЕЛЬ СТАТЕЙ, ПОМЕЩЕННЫХ В ЖУРНАЛЕ «МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ» ЗА 1940 год

ТЕОРИЯ И ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ

Д. Гончаров — Элементы гармонического анализа в курсе тригонометрии, № 3 стр.1—6.

Проф. И.Депман — Л. Ф. Магницкий, № 5, стр. 18—21.

Проф. И. Депман — Недавно найденное сочинение Архимеда, № 6, стр. 27—30.

A. Никольский — Полуправильные тела Архимеда, № 5, стр. 5—11.

С. Новоселов — Геометрическая теория комплексных чисел, №.3, стр. 7—22.

С. Новоселов — Понятие функции, № б, стр.3—10.

B. Морев — Сто лет назад, № 2, стр. 67—69.

В. Севбо—Фигурные числа, № 6, стр. 16—26.

Проф. В. Федоров — Сферические треугольники, № 1, стр. 12—14.

Проф. В. Федоров — Функция, № 6, стр. 1—3.

Проф. В. Федоров — Бесконечно малые, бесконечно большие величины и пределы, № 6 стр. 10—15.

А. Фетисов —О преподавании геометрии в средней школе, № 4, стр. 1—7.

Э. Хилькевич — Геометрия Н. И.Лобачевского, № 1, стр. 1—9.

Проф. И. И. Чистяков — Решение некоторых трансцендентных уравнений, № 5, стр. 11—14.

Е. Шелепин — Об аликвотных дробях, № 1, стр. 9—11.

Г. Шлегель — Преобразование радикала 3,-= VA + ув, № 5, стр. 15-17.

В.Яковлев — Преподавание геометрии и оптические иллюзии, № 3, стр. 23—26.

МЕТОДИКА

А. Алмазова — Математический кружок, № 4, стр. 51—55.

И. Альтшулер — К вопросу о методике обучения составлению уравнений, № 2, стр. 48—51.

И. Альтшулер — Евклидово доказательство теоремы Пифагора, № 5, стр. 48—49.

Е. Березанская—О составлении уравнений из условий задачи, № 2, стр. 17—18.

A. Богданов — Сложные проценты, № 1; стр. 62-63.

Л. Бубис — Работа математического кружка, № 3, стр. 61—61.

И. Вугман — Из опыта кружковой работы в VI—VII классах, № 4, стр. 55—57.

И. Гайлевичус — Наглядность при преподавании математики, № 6, стр. 51.

B. Голубев — Решение задач по геометрии с применением тригонометрии, № 1, стр. 39-44.

Д. Гончаров — Третий год работы секции математиков Одессы, № 2, стр. 65—66.

А. Горский —К вопросу методики решенния задач на составление уравнений, № 2, стр. 40—42.

A. Горский — О трудности деления и его упрощении, № 5, стр. 60—61.

Р. Гутер — Школьный математический кружок в Московском университете, № 3, стр. 56—57.

Ф. Дзюба— Проценты, № 5, стр. 50—55,

О. Дирекчиянц—О составлении уравнений, № 2, стр. 42—47.

П. Дорф — Стереометрический ящик, № 1, стр. 55—62.

И. Дуб — Периодические дроби в курсе арифметики, № 5, стр. 58—58.

П. Евтушенко — Работа математического кружка, № 3, стр. 58—59.

B. Ермольев — Что должно быть в основе прохождения периодических дробей, № 5, стр. 56—57.

Б. Журавлев — О математическом зрении, № 5, стр. 72—76.

Г. Жураховский — Составление уравнений по условию задачи, № 2, стр. 52—57.

М. Зарубин — К вопросу о решении геометрических задач на вычисление, № 1, стр. 64—67.

Е. Зеленин — Исследование уравнений первой степени с одним неизвестным, №№ 1, стр. 15-22.

Е. Зеленин — Изложение первых глав стереометрии и задачи на построение, № 5, стр. 29—46.

Клинцова — О математическом школьном журнале, № 4, стр. 59—61.

Проф. А. С. Кованько—О видоизменении некоторых выводов, касающихся теории объемов фигур, № 6, стр. 31—33.

Н. Козьмин — Составление уравнений с одним неизвестным в VII классе, № 2, стр. 37—39.

Г. Костанди — Об умножении многозначных чисел, № 5, стр. 59—59.

Проф. В. Крогиус — О биноме Ньютона, № 3, стр. 27-29.

В. Кролевец — Неравенства второй степени, № 2, стр. 14—16.

Н. Кувыркин — Школьная математическая предметная комиссия, № 6 стр. 52—55.

П.Кузнецов — Шесть лет работы математического кружка, № 4, стр. 58—59.

А. Лебедев — Решение задач на составление уравнений 1-й степени, № 2, стр. 34—37.

Б. Левитан — О преподавании десятичных дробей, № 6, стр. 60—61.

Г. Ленгауэр — Зал математических развлечений Дома занимательной науки, № 6, стр. 56—60.

Б. Лурье — Относительные числа № 3, стр. 29—37.

П. Макаревич — Методические соображения к практике составления уравнений, № 2, стр. 32—34.

М. Мельников — Составление квадратных уравнений, № 6, стр. 46 51.

И. Мирианашвили — Работа математического кружка, № 3, стр 53—55.

А. Могильницкий — Решение геометрических задач с применением тригонометрии, № 5, стр. 76—78.

Проф. Д. Д. Мордуха й-Б олтовский — Методика геометрических определений, № 2, стр. 1—8.

A. Морев — О квадратных уравнениях, № 6, стр. 43—44.

B. Овчаренко — Математический кружок в школе, № 3, стр. 60—60.

B. Падучев — Вписанный и описанный шар, № 6, стр. 37—41.

Т. Песков — Пространственные представления учащихся средней школы, № 1, стр. 50—55.

C. Петров — О составлении уравнений из условий задач, № 2, стр. 19—24.

Г. Поляк — Опыт систематизации типовых задач, № 4, стр. 22—28.

М. Покровская — Привитие учащимся навыка к самостоятельной работе, № 4, стр. 42—44.

П. Рыбаков — Графическое решение квадратных уравнений, № 6, стр. 42—43.

П. Сердобольский — Методика составления уравнений, № 2, стр. 25—31.

В. Синакевич — Равносильность уравнений и решение уравнений 2-й степени, n2 2, стр. 9—13.

B. Синакевич — К вопросу о прохождении логарифмов в средней школе, № 4, стр. 14-21.

И. Смирнов — Исследование уравнений, № 1,стр. 22-38.

И. Смирнов — К методике решения задач на составление уравнений, № 6, стр. 45—46.

C. Срулевич — Из опыта работы математического кружка, № 3, стр. 57—58.

Г. Стальков — Опрос ученика как форма учета навыков и знаний, № 1, стр. 45—49.

Н. Ушаков — Решение задач на построение методом подобия, № 2, стр. 58—60.

Л. Федорович — Внеклассная работа по математике, № 4, стр. 45—51.

A. Фетисов — Геометрические преобразования, № 4, стр. 7—13; № 5, стр. 24—29; № 6, стр. 33—37.

С. Чуканцов — Задачи с конкретным содержанием, № 2, стр. 61—65.

С. Чуканцов — Ближе к практике, № 4, стр. 29—41; № 5, стр. 62—72.

Н. Шоластер — О вычислении числа тг, № 5, стр. 47—47.

Н. Шоластер —О числах вида ге;Л=1+ + дк+ № 6, стр. 30.

Проф.К. Щербина — Математический кружок в средней школе, № 3, стр. 38—47.

М. Щинова — Теория соединений в средней школе, № 3, стр. 48—52.

III. ХРОНИКА.

Проф. И. Депман —За границей, № 3, стр. 62—64.

Проф. И. Депман — Академик Д. А. Граве (некролог), № 3, стр. 65—66.

Проф. И. Депман — Новый математический журнал, № 6, стр. 63.

Проф. И. Депман — Тропфке, №6, стр. 62-63.

IV. КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Проф. М. Гребенча —О книге Кузьмина и Д. Фадеева «Алгебра и арифметика комплексных чисел», № 6, стр. 64—65.

B. Зяблицкий — Школьная библиотека и математика, № 2, стр. 69—70.

B. Невский — Новые книги по математике, № 3, стр. 67—68; № 5, 79-80.

C. Новоселов — Обзор новых книг, № 6, стр. 65—66.

СВОДКА ПО № 3 1940 г.

По отзыву ряда читателей задачи этого номера проще, чем, например, № 2. Этим и объясняется сравнительно небольшое количество неверных решений по большинству задач. Нужно отметить, что вообще решений по этому номеру поступило меньше обычного, что, очевидно, объясняется летним периодом. Прислано решений (в скобках — чи^ло неверных решений): №41—35(7), №42— 43(4), № 43-42(0), № 44-50(1), № 45-42 (1), № 46-40(0), № 47—32(11), № 48-30(4), № 49 — 21(11), № 50 -23 1), № 51-29(1), № 52—29(15), № 53—34(14), № 54-32(12), Кя 55—27(19), № 56-31(2), № 57—40(0), № 58— 29(26), № 59 -47(0), № 60-37(2).

Обращает на себя внимание неожиданно большое количество неверных решений таких легких задач, как 55 и 58. В первой вместо двух давался один ответ, во второй вместо восьми — четыре, два и даже один. Ошибки в решениях задач § 52,53 и 54 связаны полностью со слабым умением оперировать с радикалами. Ряд решений давали ответы в целую строчку, где в числителе и знаменателе фигурирует целый ряд двойных радикалов, при этом не проявлено никакой попытки к упрощению их как в процессе решения, так и в окончательном результате. В связи с этим в настоящем номере мы даем несколько задач на упрощение радикалов. Отметим, что вычисления в этих задачах (да и других) в ряде решений выполнены так беспорядочно и грязно, что редакция просто не в состоянии была проследить их и проверить их правильность (интересно, требуют ли эти товарищи чистоты и упорядоченности записи от учащихся?). В дальнейшем редакция вынуждена будет просто оставлять без рассмотрения небрежно выполненные ре-пения. Л. Александров (Днепропетровск) 41—48, 54—58, 60. Е. Алчазова (Шербеево) 41, 43—45, 51, 55, 57—59. Г. Ахвердов (Ленинград) 41—45, 48, 50, 55,56,58—60. И. Барвинский (Перекоп) 52. Я. Барщевский (Сухой Лог) 41—60. В. Берестовский (Новоград-Волынск) 42, 44, 47, 51— 54, 58, 59. К. Бирюков (Ряжск) 42, 44, 45, 52-54, 58. Л. Бубис (Полтава) 46, 47, 51. Я. Вакар (Смоленск) 41—60. Я. Введенский (Георгиевка) 41—44, 46—51, 53, 54, 56-60. Л. Владимиров (Ялта) 41—57, 59, 60. С. Воскресенский (Куйбышев) 41—60. И. Голайдо (с. Красная Гора) 41—49, 52, 53 57—60. С. Городов (Ленинград) 41—46, 48—53, 56—60. Я. Гохман (Одесса) 57. Я. Дзигава (Тбилиси) 42, 44, 52, 58—60. В. Дмитревский (Ленинграда 41, 43—49, 51, 59, 60. Б. Дудолькевич (Пятигорск; 42, 44, 46, 57, 59, 60. Я. Жовтун (М Локня) 41 — 46, 48, 49, 51, 52, 54, 56, 57, 59, 60. Л. Жук (Дятьково) 44, 46, 47, 53, 55, 57-59. Г. Капралов (Горький) 41-45, 47, 51, 55—60. М. Кекелия (Бандза) 41—43, 45, 50, 53, 57—60. 0. Клейнман (Бердичев) 53. Б. Кобылин (Галич) 41—60. С. Коле-ник (Харьков) 41—49, 51, 53-60. Г. Корчагин (Устькулом) 41—60. Л. Косанян (Таганрог) 44, 45, 57. Л. Костовский (Мелитополь) 41 — 46, 50, 51, 54, 55, 57— 60. В. Крутовцев (Карели) 42, 45, 47, 59. Я. Крылов (i орький) 41—47, 49,51—54,56,57, 59, 60. С. Кулигин (Тагай) 59, 60. Лебедев (Обоянь) 41,43-46, 50, 53, 55, 59. М. Левин (Таганрог) 42—46, 48, 50, 55-60. В. Линис (Елгава —Латвия) 41-48, 50, 51, 53,55-59. И. Лившиц (Гомель) 44, 54. Я. Любочский (Старая Русса) 41, 43—45. Л. Логашов (Колтовское) 42—47, 49—57, 59. Е. Марчевская (Харьков) 42, 46, 48—52, 55—57. Л. Маслова (Воронеж) 41—48, 50—54, 56-60. В. Маш рус (Одесса) 41, 43, 44, 54. Л. Медведев (Михайловка) 41, 43—48, 51-53, 55-57, 59, 60. М. Месяц (Житомир) 42—48, 50-57, 59, 60, Метелицина (Михайлов) 42, 44, 45, 52—55. 57—59. Г. Мискарян (Кировабад) 41—48, 53, 54, 56, 57, 59, 60. Л. Могильницкий (Гайсин) 41-60. В. Нефедов (Ряжск) 41—49, 51-54,56, 57, 59, 60. Я. Пискленов (Марки) 42—44. В. Плотников (Типелево) 41—49, 51—60. П. Постников (Рязань) 42—48, 52—54, 57—63. Я. Рабинович (Рига — Латвия) 41—43, 56. Д. Ржевский (Рыбинск) 42—48, 50, 53—56, 54, 60. Я. Сергачев (Раменье) 42, 44, 53, 57, 60. Я. Титов (Казань) 42—54,56—60. В. Ураевский (Кузнецк) 46, 54. В. Федоров (Березово) 41 — 46, 52, 59, 60. Е. Хвастовский (Сталинград) 41, 43-46, 48, 51, 54, 56, 57, 59, 60. Ф. Чекалин (Скопин) 44, 46, 53, 54, 59. В. Шалупенко (Куйбышев) 41—47, 49, 51, 52, 54—57, 59, 60. Л. Шафаренко (Лебедин) 55, 59. М. Шебаршин (Медвежьегорск) 41—60. С. Штернберг (Умань) 58. Э. Ясиновый (Березо-Балка) 41— 47, 50, 51, 56-60,

ОТ РЕДАКЦИИ

В статью «Пространственные представления учащихся средней школы», напечатанную в № 1 1940 г., автор, т. Песков, просит внести следующие поправки.

1. На стр, 50, 2-й столбец, строки 5—10 являются концом цитаты из доклада проф. Александрова (на совещании преподавателей математики в 1935 г.), которые при сокращении редакцией статьи оказались как бы принадлежащими автору статьи.

2. В таблице на стр. 50 на вопрос 14-й по недосмотру автора процент верных ответов ошибочно указан 84 вместо 24.

Цена 1 p. 25 коп.

К СВЕДЕНИЮ ПОДПИСЧИКОВ

По всем вопросам подпаска — перемена адреса, неполучение журналов и т. д.— просим обращаться по месту сдачи подписки в предприятия связи. В случав неразрешения вопроса на месте следует обращаться в Бюро претензий предприятии связи. Издательство и редакция журнала подписки на журнал не принимают и не экспедируют его. Этим всецело ведают органы связи.

При обнаружении дефекта в номере журнала просим прислать его для обмена по адресу: Москва, Орликов пер., 3, Отдел периодических изданий Учпедгиза

Издательство