МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

5

1940

УЧПЕДГИЗ НАРКОМПРОСА РСФСР • МОСКВА

СВОДКА ПО № 1-1940 г.

Наряду с отрадным фактом увеличения числа участников и количества присланных решений по № 1, приходится отметить значительный рост неверных решений, как это видно из приводимой сводки (в скобках указано количество неверных решений): № 1—101 (29); № 28-9 (6); № 3—94 (33); № 4—41 (34); № 5— 45 (4); № 6—56 (18); № 7—14 (41); № 8-61 (3); № 9-96 (4); № 10-71 (2): № 11—27 (35); № 12— 113 (7); № 13-97 (14); № 14-13 (31); № 15— 93 (7); № 16-15 (47); № 17—33 (25); № 18—22 (5); № 19—42 (23); № 20— 14(4).

Особенно выделяются № 7, 11, 16. Отметим наиболее частые ошибки. В № 1 давалось только 2 или 4 решения. В № 3 неверно давался период для X или приводились не все корни. В № 4 в подавляющем большинстве отсутствовала дробь — = —, иногда — = —.

Как и ожидалось, в № 6, по виду простой задаче, делали ошибки даже очень хорошие математики. При этом ошибки делались в различные моменты хода решения — давались самые разнообразные ответы. В № 7 в большинстве случаев отсутствовало решение л: = у =11; z~ 12 (6.11! + 6.11! = 12!), часто давалось только одно решение х = 5, у = 6, z = 7 (мы не считаем решения х = 6, у = 5, z = 7, получаемого из предыдущего в силу симметричности выражения относительно х и у). В № 11 — разнообразные неверные ответы вплоть до комплексных корней. В № 14 — неполное количество решений колебалось от 1 до 13. В № 16 — отсутствовало решение N = =8164, часто еще одно из двух остальных.

В № 17 давался неверный ответ AB = R\f 2 или даже 2R. В № 19 — разнообразные неверные ответы, часто не отвечающие на вопрос задачи. Отметим, что по № 20, ввиду трудности задачи, засчитывались и недостаточно строгие решения (построением). Не засчитывались решения аналитические, приводящие к построению невероятно длинных и сложных формул.

Г. Б. Алапашвили (Тбилиси) 2, 9, 10, 12, 13. Е. Алмазова (Торбеево) 2, 3, 6, 9, 12, 13. С. Андреев (Торжок) 1,2, 4,5,7,9,10, 12,13,15. О. Аракелян (Ханлар) 2, 12, 15. Г. Ахвердов (Ленинград) 2—6, 8—12, 15—17, 19. Б. Байкадамов (Алма-Ата) 2, 12. Я. Барщевский (Сухой-Лог) 1—6, 8—20. В. Берестовский (Новоград-Волынск) 1—3, 9—13, 15, 19. К. Бирюков (Ряжск) 1 —3, 9, 12,13. М. Б ла* годиров (Лихвин) 1, 3, 6, 15. Я. Богуславский (Мурафа) 12. Л. Бубич (Полтава) 1, 3—6, 8—10, 12, 13, 15—17. Я. Буренков (Орловская обл.) 1. Г. Вацсинштейн (Гайсин) 12,15. П. Вакар (Смоленск) 1—3, 5,8—10,12,13,15, 17—20. А. Вантяев (Саратов) 1—3, 6, 9, 10, 12, 13. 19. Р. Варшавский (Красная Слобода) 3, 13. Я. Введенский (Георгиевка) 1, 2,4—20. Г. Векленко (Калачинская) 1, 3, 9, 10, 13, 15. А. Владимиров (Ялта) 1—5, 8—13, 15—17, 19. Я. Волок (Житомир) 1—3,6,9,12,13,15. Я. Воронов (Вышний Волочек) 2, 3, 6, 9, 11—13, 15. И. Воронцов (Прохоровка) 2. С. Воскресенский (Куйбышев) 1—20. Я. Голайдо (Красная Гора) 1-4, 6-10, 12, 13, 15, 17, 19. С. Городов (Ленинград) 1—5, 8—15, 18, 19. Я. Гузенко (Глухое) 2, 3,12, 15. Я. Гурский (Калиновка) 1—4, 6, 8, 9,12, 13. В. Гурьянов (Тула) 1—3, 8—10, 12, 15. Б. Давыдкин (Уфа) 2, 9, 12, 13. 0. Далеф (Тюмень) 3, 4, 8, 9, 12, 13. 15. И. Дзигава (Тбилиси) 1,4,9,12,13. В. Дмитревский (Ленинград) 1-^4, 6, .9, 12, 13, 15. Я. Доброгай (Тульчин) 1—3, 11—14. В. Дуденков (Кузнецк) 2, 3. Б. Дудолькевич (Пятигорск) 1,3,8, 9, 12, 13. Я. Жовтун (М.-Локня) 1. 2, 4—6,8-10,12, 13, 15 А. Жук (Дятьково) 3,6, 9, 12, 13, 15, 19. Л. Заводчиков (с. Шакунья) 2, 10, 12. Р. Злотник (Осиповичи) 2. Я. Зубилин (Нарышкино) 2, 3, 9, 10,12,19. А. Иванов (Ипатово) 1, 2, 8—13, 15, 17. А. Иванов (Торопец) 1, 2, 5—13, 15. Я. Каган (Минск) 1, 12. А. Календжян (Майкоп) 1—3, 9, 10, 12 , 13, 15, 16. Я. Карханин (Чернигов) 3, 9, 15. Б. Кашин (Семенчинский р-н) 1—3, 5, 6, 8—10, 12—15, 18, 19. М. Кекелия (Бандза) 1—4, 7—12, 15. Я. Кириленко (Бориспольский р-н) 12. М. Клейнер (Житомир) 2, 9, 12, Я. Клибанская (Новосибирск) 1, 2, 9, 12, 13, 15. М. Климова (Дорогобуж) 1—4, 8—10, 13, 15, 17, 19.Я. Клоков (Мичуринск) 1. Б.Кобылин (Галич) 1—3, 5, 6, 8—15, 17, 19. С. Колесник (Харьков) 1—3, 5—13, 15—18, 20. Г. Колишев (Б. Белозерка) 1, 2, 12, 13, 15, Г. Копылов (Днепродзержинск) 1—3, 6, 9, 12, 13. В. Коренблюм (Мелитополь) 1, 2, 4,5,8, 9. B. Г. Корчагин (Усть-Кулом) 1—5, 7, 8,10—19. Г. Костава (Кутаиси) 1, 12, 13. Л. Костовский (Мелитополь) 1, 2, 5, 6, 8—10, 12, 13, 15—20. Л. Криницкий (Калач) 1—3, 6, 12, 15. C. Крыглер (Архангельск) 1—3, 6—9, 12. В. Крылков (Екатериновка) 1—3, 9,10, 15, 17. Я. Крылов (?) 1-3, 5, 6, 9,12,13, 15, 19. С.Кулигин (Тагай) 1,3,9,12. А. Левин (Алма-Ата) 1, 3, 12, 13, 15. М. Левин (Таганрог) 1—6,8— 13, 15, 16, 18, 19. Л. Лесько (Винницкая обл.), 13. В. Лимонов (Старожилово) 2, 3, 8, % 12, 13, 15. С. Липилин (Б. Вьяс) 1—3, 5, 9, 10, 13, 15, 19. Л. Логашов (Пенза) 1—6,9, 10,12, 13, 15, 17—20. Л. Луговцов (Витебская обл.), 1, 3, 12, 15. Я. Любочский (Старая Русса) 1—6, 8—10, 12, 13, 15, 17, 19, 20. Лядская (Синельниково) 2, 3, 9, 12, 15. П. Макуха (Алма-Ата) 4—6, 8, 10, 12, 13, 15, 20. Л. Малютин (Горький) 1—6, 8—10, 12—15, 17, 19. Е. Марчевская (Харьков) 5, 6, 8, 9,18. Л. Маслова (Воронеж) 1—6, 8—13, 15, 16. В. Машрус (Одесса) 3, 4, 8—10, 12. Л. Медведев (Панфилово) 5, 6, 8—10, 12, 13. М. Месяц (Житомир) 1—6, 8—13, 15- Метелицына (Михайлов) 1_4, 8, 9, 12, 13, 15, 17, 19. Мильгром (Каменец-Подольск) 1—3,5, 9, 10,12,13,15. Я. Минаков (Мелитополь) 1, 3, 6, 9, 12,13. Л. Миненко (Нальчик) 1. 3—5, 7—9,12,13, 15. Г. Мискарян (Кировабад) 1, 3, 4, 6, 9, 10, 12, 13, 15, 17, 19. М. Мкртичян (Майкоп) 1—3, 5, 9, 12, 15. Л. Могильницкий (Гайсин) 1—6, 8—10, 12, 13, 15—19. Я. Муравец (Куйбышев) 1—3, 12, 13. Я. Мхитаров (Махач-Кала) 1—3, 8— 10, 12, 13, 15. Я. Наливайко (Осиповичи) 2,10, 12, 13, 15. В. Нефедов (Ряжск) 1—4, 6—14. Л. Николаев (Бакал) 1, 3, 6, 8, 9, 12, 15, 18. В. Норин (Молотов) 3, 6, 9, 10, 12, 13, 19.

Пролетарии всех стран, соединяйтесь!

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

5

1940

СЕНТЯБРЬ-ОКТЯБРЬ

ГОД ИЗДАНИЯ СЕДЬМОЙ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗНАНИЯ В МАССЫ

«Раньше мы говорили, что «техника решает все»... Но этого далеко а далеко недостаточно. Чтобы привести технику в движение и использовать ее до дна, нужны люди, овладевшие техникой, нужны кадры, способные освоить и использовать эту технику по всем правилам искусства. Техника без людей, овладевших техникой,— мертва. Техника во главе с людьми, овладевшими техникой, может и должна дать чудеса... Вот почему упор должен быть сделан теперь на людях, на кадрах, на работниках, овладевших техникой. Вот почему старый лозунг — «техника решает все», являющийся отражением уже пройденного периода, когда у нас был голод в области техники,— должен быть теперь заменен новым лозунгом, лозунгом о том, что «кадры решают все». В этом теперь главное».

(СТАЛИН)

1

Победоносное шествие советской страны к коммунизму находит свое непосредственное и яркое выражение в исключительной по своей грандиозности и по своим темпам реконструкции всей советской экономики — советской индустрии и сельского хозяйства—на базе последних достижений современной техники. Третий пятилетний план являет собою величественную картину широкого развертывания всей нашей хозяйственной деятельности, ее технического вооружения, ее механизации до тех крайних пределов, до которых дошла к настоящему моменту современная наука и техника.

Совершенно понятно, что этому гигантскому росту и техническому перевооружению нашей экономики должен сопутствовать и колоссальный рост кадров, осуществляющих выполнение плана третьей пятилетки— рост как количественный, так и особенно качественный. Строительство новых фабрик и заводов, развертывание новых отраслей производства, внедрение самых разнообразных и сложных машин в сельское хозяйство предъявляют все больший и больший спрос на квалифицированную рабочую силу. «Техника без людей, овладевших техникой, — мертва»,— говорит товарищ Сталин. Вот почему лозунг товарища Сталина— «кадры решают все»— приобретает в настоящий момент совершенно исключительное, самое животрепещущее значение. Вот почему одной из очередных задач, поставленных партией и правительством, является доведение культурно-технического уровня рабочих до уровня работников инженерно-технического труда.

2

Эта громадная и сложная задача может быть выполнена в возможно кратчайший срок и наилучшим образом с качественной стороны лишь в том случае, если в ее решении примут участие широкие круги советской общественности.

Царское правительство намеренно держало в темноте и невежестве трудящееся население России. Массовая неграмотность, особенно угнетенных национальностей, являлась характерной чертой царской России.

Советская власть поставила первоочередной задачей ликвидацию этого проклятого наследия капиталистического строя. Ликвидация неграмотности являлась необходимым условием, первой предпосылкой для политического воспитания масс, для их вовлечения в строительство первого в мире социалистического государства, ибо «безграмотный человек вне политики» (Ленин). Советская общественность принимала самое непосредственное участие в решении этой задачи через комсомольские и профсоюзные организации, а также через специально созданную массовую организацию — общество «Долой неграмотность» (ОДН).

Капиталистическое окружение Советского Союза, все растущая угроза нападения на советскую страну, непрерывный рост воору-

жений в капиталистических странах поставили перед Советским Союзом задачу всемерного укрепления боевой мощи нашей страны, грандиозного боевого и технического вооружения нашей Красной Армии и Красного Флота. Эта первостепенной важности задача нашла самый горячий отклик во всей советской стране. В целях непосредственной помощи советскому правительству в осуществлении ее была создана мощная массовая организация «Осоавиахим», широко развернувшая работу по укреплению обороноспособности Советского Союза,

Мы считаем, что широкая по своему охвату и первостепенная по своему значению задача поднятия культурного уровня рабочего класса должна найти самый широкий отклик во всех слоях советской общественности. В осуществлении этой задачи непосредственное организованное участие советской общественности представляется нам совершенно необходимым.

3

В том комплексе знаний, который нужен рабочему для освоения современной техники, для овладения орудиями производства, для сознательного овладения процессом производства, первое место занимает математика. Мы не можем назвать той отрасли производства, где от работника не требовались бы в той или иной степени математические знания. Уже элементарные производственные процессы на предприятии, работа бригадира и звеньевого в колхозе требуют умения быстро производить элементарные арифметические операции, требуют некоторого минимума сведений из геометрии. С усложнением производственного процесса, со все большим и большим внедрением во все отрасли народного хозяйства сложнейших машин, измерительных приборов и пр. эти требования соответственно повышаются, вплоть до необходимости овладения элементами высшей математики.

А отсюда следует, что во всей работе по поднятию культурно-технического уровня трудящихся своей страны математикам-специалистам, в особенности преподавателям математики, принадлежит выдающаяся роль.

Отсюда следует также, что соответственно этой роли советская математическая общественность должна проявить инициативу в деле создания организованной помощи правительству, органам народного просвещения в выполнении этой задачи.

Необходимо неизмеримо более широкое, чем это имеет место сейчас, вовлечение в эту работу всех обладающих математическими знаниями, в первую очередь преподавателей математики, научных работников, затем студентов вузов, техникумов и т. д.

Необходимо, чтобы в целях достижения наилучших результатов работа, проводимая на местах многими преподавателями-математиками, проводимая кустарно, изолированно, получила свое организационное оформление, которое расширило бы рамки этой работы, придало бы ей плановый характер.

Необходимо, чтобы каждый преподаватель, работающий в этой области, чувствовал себя членом огромного коллектива, дружно и планово помогающего советскому правительству в выполнении большой и важной задачи.

Необходимо, чтобы каждый преподаватель мог всегда получить нужную помощь в его работе, методическую и научную консультацию, соответствующую литературу и пр.

Таким образом, самый характер работы, требование ее всемерного количественного и качественного роста выдвигают задачу организационного объединения всех работающих в этой области.

В какие организационные формы может вылиться это объединение?

Ниже мы печатаем статью московского педагога-активиста т. Вугмана, посвященную этому вопросу. В статье выдвигается идея создания «Всесоюзного общества распространения математических знаний» с самым широким охватом математической общественности и с самыми широкими задачами.

Мы, всецело поддерживая эту идею, считаем, однако, что организация общества, его оформление, развертывание его работы потребуют значительного промежутка времени, между тем, нести математические знания в массы нужно теперь же, немедленно.

Для настоящего момента мы полагали бы достаточными следующие организационные мероприятия: 1) составление плана работы по распространению математических знаний органами народного образования на местах, руководство этой работой и учет ее; 2) плановая коллективная работа по единому плану всех преподавателей школы со включением других культурных работников данной местности; включение этой работы в круг вопросов, подлежащих ведению математических школьных комиссий; 3) включение в план работы матема-

тических обществ, методкабинетов и т. п. вопросов, связанных с работой по распространению математических знаний среди взрослого населения (издание учебно-методической и научно-популярной литературы, консультация и т. п.).

Задача органов народного образования— теперь же, немедленно привлечь самые широкие круги математической общественности к работе по распространению математических знаний среди населения, будет ли это непосредственная преподавательская или лекционная работа, методическое руководство, научная консультация, создание учебно-методической литературы, организационная работа и пр.

Мы надеемся, что наш призыв вызовет живейший отклик среди преподавателей математики. Мы ждем от коллективов математиков школ, от математических объединений, от отдельных преподавателей конкретных предложений по вопросу о наилучших организационных формах, о характере работы.

Мы надеемся также на сочувствие этому начинанию со стороны передовых представителей математической науки, Академий наук Союза и союзных республик, Московского Математического общества и других, математических кафедр вузов. Мы надеемся на их непосредственное участие в осуществлении этого начинания и в дальнейшей работе.

«Математические знания в массы!» — вот лозунг, который, по нашему мнению, как нельзя более отвечает требованию момента, как нельзя более вовлекает всю советскую математическую общественность в работу по выполнению третьего пятилетнего плана, в работу по осуществлению великих задач, поставленных перед страной XVIII съездом ВКП(б).

ОБ ОРГАНИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБЩЕСТВЕННОСТИ

Для дальнейшего развития нашей промышленности и сельского хозяйства, для того чтобы догнать и перегнать и в экономическом отношении наиболее развитые капиталистические страны, для еще большего укрепления обороноспособности Советского Союза необходимо мощное развитие технических наук и естествознания с их основой—математикой; вместе с тем для умения обращаться с сложными машинами и точными приборами нужны многие десятки миллионов людей, овладевших методом математического мышления и основами математического аппарата.

Между тем, несмотря на высокое и исключительно быстрое развитие математических исследований, выдвинувших советскую математику на одно из первых мест в мире, распространение математических знаний находится в отсталом и совершенно неудовлетворительном состоянии. Пропаганда математики среди широких масс взрослого населения почти совершенно не ведется ни посредством научно-популярной литературы, ни путем популярных лекций. Преподавание основ математики в начальной и средней школе, являющееся основным видом пропаганды математики среди подрастающего поколения, страдает, как известно, многими серьезными недостатками.

Литература по педагогике математики крайне скудна и отсутствует не только на рынке, но и в большинстве библиотек. Математики-исследователи — за единичными исключениями — оторваны от школы и вопросов преподавания элементарной математики. Все эти факты заставляют бить тревогу и искать выхода из нынешнего положения. Было бы ошибкой рассчитывать на то, что государственные учреждения — Академия Наук или Наркомпрос с Институтом школ—собственными силами поставят надлежащим образом распространение математических знаний. Когда мы стоим перед сложной задачей усовершенствования всего дела распространения математических знаний, то мы считаем, что она может быть разрешена не иначе, как при мобилизации всей нашей математической общественности — научной и педагогической. Необходима поэтому организация тесного и систематического сотрудничества между нашими выдающимися математиками-исследователями, интересующимися средней школой, и многими тысячами преподавателей математики в школах, в техникумах, педагогических училищах, учительских институтах и т. д. Мы считаем, что наилучшей формой такой организации явится Всесоюзное общество распространения математических

знаний. Общество это мыслится нам массовым: членом его может быть каждый преподаватель математики в средней, высшей и начальной школе, студент педагогического института и университета и, наконец, всякое лицо, интересующееся математикой. Общество должно иметь правление в центре и филиалы повсюду, где число членов достигнет некоторого минимума, определяемого уставом. Совет общества, состоящий из представителей крупнейших филиалов, должен собираться не реже раза в год. Общество должно систематически, примерно раз в 3—4 года, созывать всесоюзные съезды по вопросам преподавания и, вообще, распространения математики, а также конференции по отдельным специальным вопросам. Желательно, чтобы общество имело свой орган и свое издательство, а также аппарат устной популяризации и пропаганды математики. Оно должно входить в правительственные органы с тщательно подготовленными, обсужденными и одобренными массой его членов, проектами государственных мероприятий по улучшению преподавания математики. Общество должно устраивать всесоюзные олимпиады школьников и взрослых, обсуждение нынешних пособий по математике, конкурсы на составление новых и т. д.

Зародыши предлагаемой нами организации уже имеются и, как мы слышали, возникают в ряде мест, например в Ростове-на-Дону. Московское Математическое общество частично занимается вопросами распространения математических знаний. Но Московское Математическое общество имеет задачей объединить ученых математиков и только их принимает в свои действительные члены. В результате оно насчитывает, согласно последнему вышедшему отчету (за 1938 г.), только 138 действительных членов и около 50 членов-соревнователей. Кроме того, ясно, что никакое местное общество не может добиться и малой доли тех результатов, какие вполне достижимы для массовой всесоюзной организации, объединяющей все живые силы математического преподавательского фронта.

Мы надеемся, что настоящая постановка на страницах журнала «Математика в школе» вопроса об организации Всесоюзного общества распространения математических знаний вызовет широкий сочувственный отклик и быстро выявит во вполне достаточном числе товарищей, желающих войти в инициативную группу, выработать устав общества и обратиться с соответственным ходатайством в правительственные органы.

И. С. ВУГМАН

Преподаватель математики 658 школы Москвы, научный корреспондент Института Школ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ ТЕЛА АРХИМЕДА

А. НИКОЛЬСКИЙ (Умань)

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВЫВОД

Хотя работа Архимеда о полуправильных телах и не дошла до нас, однако не может быть сомнений в том, что она существовала.

Позднейший александрийский геометр Папп упоминает о ней и даже в кратких словах описывает тела, открытые Архимедом.

После того долгое время никто не занимался этим вопросом, и первым, кто возвратился к этой теме, был Кеплер.

В своем сочинении «О гармонии вселенной»* он достаточно подробно рассматривает эти тела, дает им названия и приводит их изображения.

Эта работа Кеплера, как и другие его ранние работы, насквозь проникнута чисто пифагорейским мистицизмом.

Полуправильные тела, так же как и правильные, интересуют его как проявления «гармонии», правильности во вселенной. Эту «гармонию» он ищет и находит в фигурах, числах, звуках и движениях планет.

Архимед, Папп и Кеплер считали 13 полуправильных тел. Каким же способом было доказано Архимедом, что их существует не более 13?

На это невозможно дать точного ответа, но следует допустить, что Архимеду было известно то соотношение, которое теперь называют формулой Эйлера:

где £, /, k — соответственно означают число вершин, граней и ребер выпуклого многогранника.

Полуправильными телами Архимед назвал выпуклые равноугольные многогранники, ограниченные правильными многоугольниками разных видов.

Как видим, от определения правильных (платоновых) тел это определение отличается тем, что в нем отброшено требование равенства граней и заменено требованием их различия.

Сразу же из определения вытекают некоторые ограничения.

Во-первых, не существует полу правильных тел Архимеда, ограниченных бол ее чем тремя различными видами граней.

В самом деле, вследствие равенства телесных углов в состав каждого из них должны войти по крайней мере по одному разу плоские углы граней каждого вида. Но наименьшие углы имеют правильные треугольник, четыреугольник, пятиугольник и шестиугольник. Однако сумма

60° +90° + 108° -f 120° > 360°.

Во-вторых, не существует полуправильных тел, у которых телесные углы были бы более чем пятигранными.

Действительно, если представить себе телесный угол, составленный из самых малых плоских углов правильных многоугольников двух видов, общее число которых равно шести, то это будет шестигранный угол, составленный из пяти плоских по 60° и одного в 90°.

А между тем, 60°.5+90° >360°.

Следовательно, относительно граней возможны полуправильные тела Архимеда, ограниченные только двумя и тремя различными видами граней.

А телесные углы могут быть только трех-, четырех- и пятигранными, как и у правильных тел.

Полный вывод полуправильных тел Архимеда производится на основании формулы Эйлера и при помощи таких же соображений, как и вывод пяти правильных тел.

Но при полной элементарности этих рассуждений они слишком длинны, чтобы поместиться в данной статье. Желающие

* J. Keppleri — Harmonices mundilibri quinque... 1619. Книга написана тяжеловесной средневековой латынью и читается с трудом.

могут познакомиться с ними, например, у Brückner или у Baltzer или же у Schwering*

Здесь же мы приведем только готовый результат, сведенный в нижеследующую таблицу.

ТАБЛИЦА ЭЛЕМЕНТОВ ЛОЛУ ПРАВИЛЬНЫХ ТЕЛ АРХИМЕДА

В этой таблице а, Ъ и с обозначают вид грани, т. е. число сторон правильного многоугольника, ограничивающего тело; а, ß и у обозначают число плоских углов каждого вида, составляющих всякий телесный угол;

/ — число вершин;

/в> U Д—число: 0-утольных, ô-угольных и С-угольных граней,

/—общее число граней, так что всегда + Д+/«. = /; наконец, k — число всех ребер.

Например, под № 7 показано тело, ограниченное правильными четырех-, шести- и восьмиугольниками. В состав всякого телесного угла его входит по одному плоскому углу каждого вида, т. е. он трехгранный.

Число вершин — / = 48

Число квадратных граней — fa = /4 =• 12

Число шестиугольных граней — Д = = /б = 8

Число восьмиугольных граней — /с =

Общее их число /=26

Число ребер — k = 72

При этом важно заметить, что вывод, сделанный на основании формулы Эйлера, выражающей только необходимое условие, не дает еще нам права сказать, что все эти тела существуют. Но он дает право сказать, что не может существовать иных полуправильных тел Архимеда, кроме тех пятнадцати, которые указаны в таблице. Однако существуют ли эти табличные тела?

Чтобы в том убедиться, необходимо специальное доказательство существования.

Таким доказательством может служить построение.

§ 2 ПОСТРОЕНИЕ

Есть разные способы построения полуправильных тел Архимеда. Мы рассмотрим построение преобразованием пяти правильных тел посредством отсечения их вершин и ребер плоскостями.

Эти построения в большинстве случаев настолько просты, что можно было бы ограничиться при пояснении одним словом «смотри», подписанным под чертежом.

Начнем с тетраэдра. Проводя плоскости на расстоянии — каждого ребра, сходящегося в одной вершине, срезаем угол и получаем тело, ограниченное правильными треугольниками и шестиугольниками (черт. 1, разв. 1а). Подсчитаем его элементы, посмотрим в таблицу и там найдем такое тело под № 2.

* Brückner M., Vielecke u. Vielflache. 1900. Baltzer R., Elemente d. Mathematik. 1875. Schwering К., Handbuch d. Elementarmathematik für Lehrer, 1923.

Черт. 1 Черт, la

При таком же преобразовании октаэдра получаем тело № 5 (черт. 2, разв. 2а),

a из икосаэдра — тело № 6 (черт. 3, разв. За).

Проводя плоскости через середины соответствующих ребер в кубе или октаэдре, получим так называемый кубоктаэдр, по таблице — № 11 (черт. 4, разв. 4а). Из икосаэдра или додекаэдра таким же способом получится тело № 12 (черт. 5, разв. 5а). Эти тела — аналоги.

Если секущие плоскости в кубе провести так, чтобы его квадратные грани преобразовались в правильные восьмиуголь-

Черт. 2 Черт. 2а

Черт. 3 Черт. 4

Черт. За Черт. 4а

Черт. 5

Черт. 5а

Черт. 6 Черт. 7

Черт. 6а Черт. 7а

ники, то получится тело № 3 (черт, 6, разв. 6а). Аналогичным способом из додекаэдра получаем тело № 4 (черт. 7, разв. 7а).

Далее, немного сложнее преобразование посредством отсечения и углов и ребер. Если в кубе (черт. 8) последовательно срезать ребра, имеющие общую вершину (черт. 9, 10, 11), плоскостями, отсекающими на гранях полоски равной ширины, то образуется четыре новых трехгранных угла.

Как видно на черт. 11, три из этих вершин расположены симметрично вокруг четвертой.

Эту последнюю срезаем плоскостью, проведенной через три первых, и получаем равносторонний треугольник в сечении (черт. 12). Повторяя то же самое с другими ребрами и вершинами, получаем по одному треугольнику вместо каждой вершины куба, а между ними на месте ребер куба получаем квадраты (черт. 13). Грани куба также преобразуются в новые меньшие квадраты (черт. 14), так что треугольников будет 8, а квадратов 18. Это тело мы находим в таблице под № 10 (черт. 15, разв. 15а).

Но возникает вопрос, как подобрать секущие плоскости, чтобы получить многогранник, ограниченный правильными многоугольниками ?

Ответ на этот вопрос находим в задаче № 1, § 3.

Таким же самым преобразованием додекаэдра получаем тело, ограниченное правильными треугольниками (20 шт.), квадратами (30 шт.) и пятиугольниками (12 шт.). В таблице № 13 (черт. 16, разв. 16а). Теперь применим к кубу преобразование, очень сходное с предыдущим и показанное на черт. 17—24.

Различие начинается с черт. 21, из которого видно, что срезается не один

Черт. 8-14

Черт. 15

Черт. 15а

Черт. 16

Черт. 16а

Черт. 17-24

из трехгранных углов, а все четыре, и в сечении получается не треугольник, а шестиугольник (правильный). Значит, таких шестиугольников будет восемь, да кроме того, квадратов —двенадцать и восьмиугольников (правильных) — шесть.

В таблице это тело помечено № 7 (черт. 25, разз. 25а).

Но возникает вопрос, как подобрать секущие плоскости, чтобы получить многогранник, ограниченный правильными многоугольниками?

На этот вопрос находим ответ в задаче № 2, § 3. Поступая так же точно с додекаэдром, получим тело, ограниченное квадратами (30 шт.), правильными шестиугольниками (20 шт.) и правильными десятиугольниками (12 шт.).

В таблице оно обозначено № 8 (черт. 26, разв. 26а).

Еще двое аналогов получатся в результате применения одного нового преобразования к кубу и додекаэдру. Применение

Черт. 25

Черт. 25а

Черт. 26

Черт. 26а

Черт. 27

Черт. 28

Черт. 28а

Черт. 29

Черт. 29а

этого преобразования в отношении куба видим на черт. 27.

В результате получаем многогранник, ограниченный шестью (как и у куба) квадратами и тридцатью двумя правильными треугольниками. По таблице — № 14 (черт. 28, разв. 28а).

Из додекаэдра же получится тело, ограниченное двенадцатью (как и у самого додекаэдра) правильными пятиугольниками и восьмидесятью правильными треугольниками. В таблице оно стоит под № 15 (черт. 29, разв. 29а).

Теперь остаются нерассмотренными из числа 15 тел таблицы еще два—№ 1 и № 9.

Первое из них представляет собой прямую призму, ограниченную двумя правильными л-угольниками и я-квадратами (черт. 30, разв. 30а для п = 5), Второе — призматоид, ограниченный двумя правильными я-угольниками и 2я-правильными треугольниками (черт. 31, разв. 31а для п = 5).

Кеплер называет их соответственно архимедовыми призмой и антипризмой. Как Кеплер, так и сам Архимед не включали их в число полуправильных тел вследствие неопределенности этого случая:п— произвольное целое положительное число, не меньшее трех. При п = 3 второе тело дает октаэдр; при п = 4 первое тело дает куб. Второе может быть получено из первого посредством поворота одного из оснований 180° на угол ~ в той же плоскости вокруг его центра с одновременным уменьшением высоты так, чтобы расстояния между соответственными вершинами верхнего и нижнего основания были равны их сторонам.

После всего сказанного можно утверждать, что все 15 тел таблицы действи-

Черт. 30

Черт. 30а

Черт. 31

Черт. 31а

Черт. 32

тельно существуют. Все вместе они изображены на черт. 32.

§ 3 ЗАДАЧИ

Может быть построено очень много элементарных задач различной трудности на полуправильные тела.

Значительное число из них вполне пригодно для школы. Здесь мы рассмотрим только задачи, связанные с содержанием предыдущего параграфа. За недостатком места решения не даются.

№ 1. Для построения тела № 10 в кубе отсекаются ребра плоскостями, им параллельными.

Определить отрезки, отсеченные плоскостью на непараллельных ей ребрах, а также ребро тела № 10 в зависимости от ребра куба а.

Ответ. Обозначим первую искомую величину через л:, вторую—у,

Тогда

№2. Та же самая задача для тела № 7, построенного по способу, указанному на черт. 17—24.

Ответ. При обозначениях предыдущей задачи

№ 3. Построить развертки всех тел, данных на черт. 1—26 и 28—31.

Примечание. Развертки полуправильных тел даны в тексте*. Характерно для них то, что для построения их не требуется никаких выкладок, так как все грани — правильные многоугольники и ребра— равны. Значит, остается подумать лишь об их взаимном размещении, имея ввиду, что все телесные углы должны быть равны. Для построения разверток тел, данных на черт. 9—13 и 18—23, необходимо принять во внимание результаты двух предыдущих задач.

№ 4. Если какое-либо полуправильное тело может быть получено посредством плоских сечений из данного правильного тела, то оно может быть получено (не всегда тем же способом) из другого правильного тела, сопряженного с первым.

Показать для каждого полуправильного тела, как это выполнить.

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ**

Проф. И. И. ЧИСТЯКОВ (Москва)

1

Учащиеся старших классов средней школы нередко обращаются к преподавателям математики с вопросом, как решить уравнение 2*=^=4jc, корень которого * = 4 для них очевиден. На этот вопрос преподаватели обычно дают ответ, что данное уравнение может быть решено только при помощи высшей математики. Между тем мною еще в 1911 г. было показано***, что оно может быть решено и некоторыми элементарными приемами, на которых весьма полезно остановить внимание учащихся. В высшей же школе, при ознакомлении учащихся с основами высшей математики, оно же может дать интересный и полезный материал для приложения приобретенных учащимися начальных сведений из области анализа и аналитической геометрии, поэтому в настоящей заметке я сначала даю элементарные способы для решения данного уравнения, а потом привожу решение и исследование уравнений подобного вида с помощью некоторых основных сведений из высшей математики.

Очевидно, наиболее простым для решения данного уравнения является графический способ. С этой целью мы строим линии, выражаемые уравнениями:

* Для удобства в некоторых случаях даны половины разверток, именно на фиг. За, 7а, 16а, 29а.

В этом случае при изготовлении модели каждая половина делается по одной развертке, половинки склеиваются сначала отдельно, а потом вместе по свободному контуру ребер.

** В редакцию систематически поступают запросы от многих учителей — как решить уравнение 2х — 4*? Печатаемая статья проф. И. И. Чистякова дает подробное освещение этого вопроса. Редакция.

*** «Вестник опытной физики и элементарной математики», XLV сем. № 534.

Абсциссы точек пересечения этих линий и дадут корни данного уравнения. Но первая линия является графикой показательной функции; для построения ее даем X ряд числовых значений и вычисляем соответствующие значения у.

Построив по координатам соответствующие точки и соединив их сплошной линией, получим первую кривую. Вторая линия есть прямая, проходящая через начало координат под углом а к оси абсцисс, причем tg а = 4. Чертеж обнаруживает, что построенные графики пересекаются в двух точках, причем абсцисса одной X = 4, а абсцисса другой заключается между X = = 0,3и л: = 0,4. Таким образом, графический способ обнаруживает, что данное уравнение имеет, кроме корня х = =я 4, еще и другой — нецелое число*. Последнее решение обычно ускользает от внимания решающих данную задачу. Так, в книге А. Лямин «Математические парадоксы и интересные задачи» (М., 1911 г.) автор, пытаясь решить данное уравнение при помощи рассмотрения левой его части, как суммы биномиальных коэфициентов в разложении (1 + 1), причем х принимается целым, приходит к заключению, что данное уравнение имеет корни <к1=4 и jc2=1, из которых второй он отбрасывает как явно непригодный. Но графический способ не дает возможности получить корни уравнения с большей точностью. Поэтому обратимся к алгебраическому решению того же уравнения: 2-г = 4лг (1). Для этого разделим обе части его на ig 2, а затем обе части его прологарифмируем (логарифмы везде десятичные и пятизначные):

что можно представить в виде:

Полагая х lg 2 = t, будем иметь уравнение:

(2)

Обозначим левую часть этого уравнения у и исследуем изменения функции у= t— lg^ при различных числовых значениях t. Так как при отрицательных значениях t логарифм t не имеет действительных значений, то берем получим:

Из этой таблицы усматриваем, что у сначала убывает от бесконечности до некоторого значения, меньшего 1, а потом снова начинает возрастать. Это наименьшее значение у соответствует некоторому значению /, лежащему между £=0,1 и t= 1. Представив рассматриваемую функцию графически, получим кривую LMN (черт. 2).

Чертеж показывает, что вся кривая лежит в первом (нормальном) координатном угле TOY, имеет ось ОУ ассимптотой и обращена выпуклостью к ОТ. Самая нижняя точка M кривой имеет абсциссу OK = / ^ Q,4, прочим абсциссам, большим или меньшим этого предела, соответствуют на кривой две точки например: и S9 имеющие одинаковые ординаты. Так как в рассматриваемом случае у= 1,12345, то уравнение (2) должно иметь два решения относительно tt одно более, а другое менее 1. Эти решения могут быть найдены при помощи логарифмических таблиц; именно мы должны подыскать в таблицах та коз число t и соответствующий ему lg t, чтобы их разность была 1,12345. Это может быть достигнуто способом проб. Так, для нахождения первого корня испытываем

Черт. 1

Черт. 2

* Число это будет трансцендентным.

сначала t=\ и t = 2; пользуясь пятизначными таблицами логарифмов, получим у = 1 и ^ = 2 — 0,30103 = 1,69897, т. е. число большее требуемой разности. Беря t=\t2 и £=1,21, соответственно найдем:

следовательно

Продолжая пробы далее, найдем, что при

А так как

, то получим:

т. е. х1 = 4.

При нахождении второго значения t следует иметь в виду, что оно менее 1 и, следовательно, логарифм его отрицательный.

Путем проб по таблицам найдем, что

Действительно, тогда

Отсюда

Заметим, что способ проб может быть заменен более удобными способами, излагаемыми в теории приближенных вычислений; в частности — методом итерации (последовательных приближений)*.

Возьмем теперь уравнение общего вида

(3)

в котором а и b будем считать положительными. Поступая с ним, как с уравнением (1), получим:

Полагая здесь

будем иметь

(4)

Для суждения о корнях этого уравнения, исследуем функцию y = t—lg/.

Беря от нее первую производную, получим:

где е — основание натуральных логарифмов. Состав производной показывает, что функция у убывает, пока £<lge, достигает минимума при t = \ge, т. е. при tz= 0,43429, и начинает возрастать при />lg£. К тому же заключению можно было бы притти из рассмотрения второй производной функции у. Следовательно минимум у равен:

Этот результат позволяет установить условия возможности и число решений данной задачи, именно: при т> она имеет два решения; при т = одно и при т< — ни одного. Но так как

то те же условия дают следующие признаки для определения числа корней уравнения (3)

2 решения 1 решение

0 решений

Так например, соответствующей подстановкой по этим критериям легко убедиться, что уравнение (1), т. е. 2х = 4л: действительно имеет два решения. Самые корни уравнения (4) могут быть найдены либо способом проб с помощью таблиц логарифмов, либо более усовершенствованными методами приближенных вычислений. Пример.

(5)

Применяя вышеуказанный способ решения, будем иметь

что можно представить в виде:

Полагая

найдем:

(6)

На основании предыдущего заключаем, что уравнение (5), а следовательно и за-

* Приложению этого способа к решению уравнений рассматриваемого вида посвящена статья А. Н. Лодыженского в «Математическом образовании» за 1929 г.

данное (4) имеет два решения. Для нахождения их будем пользоваться пятизначными таблицами логарифмов и методом проб. Находя первый корень, испытываем число t = 2; получим: 2 —lg 2 = 1,69897, т. е. число, большее требуемой разности. Уменьшая его, последовательно найдем:

Следовательно,

Беря / = 1,496, имеем:

При / = 1,4964

m = 1,4964 — 0,175046 = 0,321354.

Наконец, при / = 1,4964,

m = 1,49641 —0,175048= 1,321362.

Таким образом, имеем ^ = 1,49641, а соответствующее ему

Пользуясь логарифмическими таблицами с 7 десятичными знаками, получили бы Xl = 3,136366.

Для нахождения второго значения t0 начнем пробы с / = 0,05; получим mz=

Беря / = 0,054 имеем:

При / = 0,05403, имеем:

Наконец, при / = 0,054035 находим:

т. е. требуемое значение разности. Поэтому /2 = 0,054305 и отсюда

Рассмотрим теперь уравнение: ах = Ьх при Ь<С0. Пусть Ъ = —Ьг; положим еще х = — х1; получим уравнение

Поступая с этим уравнением, как ранее с уравнением (3), будем иметь:

или:

получим уравнение

(7)

Для суждения о корнях этого уравнения, исследуем функцию

y = t+\g t

Давая / различные числовые значения, найдем:

Отсюда видим, что функция у при изменении / от 0 до во непрерывно возрастает от <— °° до -j-СЛ.

На чертеже она может быть представлена графикой MN (чер. 3), которая имеет отрицательную часть ординаты своей ассимптотой, пересекает ось абсцисс ОТ в точке А у причем 0,3 < OA < 0,4, а затем уходит вверх до бесконечности. К тем же заключениям можно прийти и из рассмотрения производной ух — 1 ^р, которая остается положительной при всяком положительном /. Поэтому данному значению m в уравнении (7) всегда соответствует единственное значение /. Численное значение /ив этом случае может быть найдено при помощи логарифмических таблиц. Пример. 2х = — 4лг. (8)

Применяя к этому уравнению изложенный выше прием, положим х = — хг; тогда

Логарифмируя обе части этого уравнения, получим:

Обозначая xt \g2 через / и вычисляя правую часть последнего уравнения, найдем

По таблицам найдем / = 0,064823. Тогда

Черт. 3

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДИКАЛА ∛A ± √B

Г. ШЛЕГЕЛЬ

Вопрос о преобразовании кубического радикала из бинома A±^Vß тесно связан (хотя и может быть рассмотрен совершенно самостоятельно) с решением кубических уравнений. Неудивительно поэтому, что вопрос этот имеет за Собой столь большую давность, восходящую к началу XVI столетия. В это именно время в сообщениях, сделанных Тартальей, Кардано, и в бумагах, оставшихся после смерти Сципиона дель-Ферро (1465—1526), впервые появляется алгебраическое решение уравнения

Особого упоминания заслуживает здесь работа Бомбелли, в которой он пытается найти разгадку так называемого неприводимого случая в решении кубических уравнений. Случай этот, характеризуемый тем, что рациональный корень уравнения выражался через кубические радикалы из мнимых величин (тогда еще в математику не введенных), причинял, как известно, Тарталье и Кардано немало хлопот, сильно подрывая престиж полученной формулы даже в их собственных глазах.

Бомбелли удается выяснить, в чем разгадка неприводимого случая, но своей задачи преобразования радикала он не решает, так как попадает в тот замкнутый круг, о котором речь будет ниже.

Нам неизвестен тот творческий путь, который привел Тарталью к открытию его «общего правила». Любопытно, однако, что Бартолотти, сделавший уже в позднейшие времена (1925 г.) попытку реконструировать этот путь, связывает его с тем именно выводом, какой мы находим у Бомбелли, т. е. опять-таки с тем же самым преобразованием*.

Таковы в главнейших чертах исторические сведения относительно интересующего нас радикала.

Переходя к изложению, сделаем еще несколько замечаний. Настоящая работа ставит своей задачей преобразование выражения |/"А + Т/ В к виду а:±|/ Ь (где все числа рациональные) как такового, т. е. совершенно независимо не только от каких-либо особых случаев в решении кубических уравнений, но и вообще вне всякой связи с теорией этих уравнений; она стремится исследовать возможности такого преобразования, установить простое правило для его выполнения и попутно показать, что извлечение корня третьей степени из комплексного числа при некоторых условиях может быть сделано алгебраическим способом без перехода к тригонометрической форме, что обычно применялось только в отношении квадратного корня.

Обращаемся к изложению.

Известно, что сложный радикал вида

при условии, что разность Л2 — В есть полный квадрат, может быть преобразована в сумму или разность простых радикалов.

Дело сводится в этом случае к решению квадратного уравнения, и преобразование (извлечение квадратного корня из бинома А + "J/В) выполняется по формуле без всяких затруднений.

Если применить тот же прием к радикалу кубическому, т. е. составить уравнения для определения неизвестных величин, то это приведет уже к системе уравнений третьей степени, системе, хотя и разрешимой, но в свою очередь приводящей вопрос к сумме того именно типа радикалов, рассмотрению которых посвящена данная заметка (см. вступление, о попытке Бомбелли).

Приведем эту систему.

Легко видеть, что куб двучлена вида 0±|/"5» где а и Ь — числа рациональные, будет обязательно иметь точно такой же вид; поэтому можно предположить верным следующее равенство:

(I)

где числа В и Ь мы будем пока считать положительными.

После возвышения в куб равенства (1) (берем для простоты только знак плюс) получаем систему

Введем вспомогательное неизвестное, приняв, что У b = ах, откуда Ь = а2х2; тогда система перепишется так:

Определив из каждого уравнения д3 и приравняв полученные выражения, найдем

откуда

(II)

Уравнение (II) решается обычным образом и приводит, как было сказано, к сумме радикалов рассматриваемого типа (формула Кардано).

Можно, однако, подойти к вопросу независимо от теории кубических уравнений. Особенно просто устанавливается условие, «необходимое» для преобразования.

Предположив задачу решенной, напишем

* Г. Г. Цейтен — История математики в XVI и XVII вв.

откуда

что после возвышения в куб дает

(III)*

Равенство III показывает, что условием, «необходимым» для преобразования, является следующее: разность А2— В должна представлять собой полный куб.

Обращаемся к выводу условия «достаточного».

Обозначим рациональный кубический корень из разности А2 — В через т. Равенство III перепишется так:

откуда

(IV)

Равенство (IV) можно истолковать следующим образом:

если существует рациональное я, удовлетворяющее этому равенству,то преобразование выполнимо.

Легко показать, что при целых 2а и Ът (а целыми их всегда можно сделать) выбор а ограничен.

Докажем два положения:

1) при целых 2А и Ът число 2а должно быть тоже целым;

2) число 2а в этом случае есть один из делителей 24.

Для доказательства первого положения допустим противное, т. е. что 2а— не целое число, а некоторая несократимая дробь -~; сделав подстановку в равенстве (IV) и возвысив его в куб, найдем

(V)

Достаточно умножить это равенство на k, чтобы убедиться в его невозможности

В левой части имеем число целое, а в правой — дробь.

Для доказательства второго положения определим из (IV) величину Зле откуда видно, что число 2а (вспомним, что по доказанному оно обязательно целое) должно быть делителем 2А.

Итак, оба положения доказаны и условие достаточное может быть формулировано теперь так:

один из делителей числа 2Л, взятый в качестве величины 2а, должен удовлетворять равенству (IV).

Для вычисления Ь перемножим равенства.

Получим

откуда, обозначив опять рац. кубический корень из А2 — В через т> найдем

До сих пор предполагалось, что числа В и Ь положительны.

Следует заметить, что основное равенство (I) может быть оправдано только в этом предположении. В случае, когда числа эти отрицательны (т. е., когда биномы представляют собой мнимые комплексные числа), совпадение знаков не обязательно.

При отрицательных В и Ь может оказаться, что

Нетрудно видеть, что это обстоятельство, не влияя на сделанные выводы, оставляет открытым вопрос о знаке.

Последний, однако, легко разрешается. Обозначим абсолютную величину числа Ь через Ьх и возвысим в куб биномы:

Найдем, что

Эти равенства ясно показывают, что несовпадение знаков будет иметь место только при условии, что разность

окажется отрицательной. Последнее обстоятельство должно быть учтено в случае отрицательных В и Ь.

Полученные выводы применим к нескольким простым примерам.

Пример 1. Требуется преобразовать радикал

1) Определяем m

(полный куб)

2) Составляем равенство

и подбираем 2а

* Равенство (III) есть неполное кубическое уравнение относительно величины 2а; оно проще уравнения (II); его-то, согласно Цейтену, и получали Бомбелли и Бартолотти.

Удовлетворяет только 2а = 3 приа = -^- . 3) Определяем Ь

Итак,

Пример 2. Требуется преобразовать радикал

Испытание обнаруживает, что на этот раз три делителя, именно 1, 2 и —3 удовлетворяют равенству.

3) Соответствующие Ь будут

Итак, радикал преобразуется следующими тремя способами:

Примечание: Второе и третье значения кубического корня можно, разумеется, получить, умножив первое последовательно на дроби

Пример 3. Преобразовать радикал

Этот радикал следует привести к целым числам.

Удовлетворяет здесь 2а = 2 при а = 1.

Итак,

Для самостоятельной проработки сделанных выводов предлагается несколько примеров.

Преобразовать (если это возможно) следующие радикалы:

* При положительном В удовлетворять может только один делитель.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

ЛЕОНТИЙ ФИЛИППОВИЧ МАГНИЦКИЙ

Проф. И. Я. ДЕПМАН (Ленинград)

31 октября 1739 г. в Москве скончался первый труженик по насаждению в России математических знаний, автор первого оригинального русского руководства по математике—Леонтий Филиппович Магницкий.

Написанный Магницким учебник носит заглавие: «Арифметика, сиречь наука числительная. С разных диалектов на славянский язык преведенная, и во едино собрана, и на две книги разделена. Ныне же повелением... великого государя нашего... Петра Алексеевича... в царствующем великом граде Москве типографским тиснением радиобучения мудролюбивых российских отроков и всякого чина и возраста людей на свет произведена первое в лето от сотворения мира 7211 (1703), месяца януария. Сочинися сия книга чрез труды Леонтия Магницкого».

В России до Магницкого были рукописные математические книги. В 1682 г. выходит в свет и первое русское печатное издание математического содержания «Считание удобное, которым Всякий человек купующий или продающий, зело удобно изыскати может число всякие вещи. А како число вещей и вещам число цены изыскивати, и о том читая в предисловии к читателю, совершенно познаеши».

Под этим длинным заглавием содержится таблица умножения всех чисел до 100 попарно.

Издание это в 1714 г. было переиздано под заглавием: «Книга считания удобного ко употреблению всякому хотящему без труда познати цену или меру какие вещи».

Видя недостаточность единственной московской типографии, Петр в Амстердаме уговорил купца Тессинга завести русскую типографию и выдал ему привилегию печатать... «математические и архитектурные и городостроительные и всякие ратные и художественные книги... от чего бы русские подданные много службы и прибытка могли получити и обучатися во всяких художествах и ведениях».

15 апреля 1699 г. Тессинг выпускает «Краткое и полезное руковедение во аритметыку или обучение и познание всякого счету, в сочтении всяких вещей» Ильи Федоровича Копиевского или Копиевича.

«Краткое руковедение», напечатанное в количестве 3 350 экз, не удовлетворяло запросам русского потребителя и распространения получило.

Стать проводником математических знаний в широкие русские грамотные слои выпало на долю Арифметики Магницкого.

Магницкий, вышедший из низов русского народа, понимал, что нельзя без ущерба для дела сделать резкий скачок к чужеземному. Он пользуется широко терминологией и задачами рукописной славяно-русской математической литературы, приближая свой язык к разговорному русскому, употребляя впервые в печатном тексте одни лишь арабские цифры и черпая содержание своего учебника из европейских учебных книг.

Имея в виду неудачный опыт Копиевского-Тессинга, он подчеркивает, что в его книге

«Разум весь собрал и чин — Природно русский, а не немчин».

В результате всех этих обстоятельств Магницкому удалось создать книгу, которая дольше, чем какой-либо другой русский учебник математики, пользовалась распространением. Несомненно, прав проф. В. В. Бобынин, заявляя:

«Едва ли можно найти в русской физико-математической литературе другое сочинение с таким историческим значением, как Арифметика Магницкого».

О жизни Л. Ф. Магницкого известно очень немного. Родился он 9 июня 1669 г. В. Берх (Жизнеописания первых российских адмиралов, ч. I, СПБ. 1831) рассказывает, что «Петр I, ...беседуя с ним многократно о математических науках, был так восхищен глубокими познаниями его в оных, что называл его магнитом и приказал писаться Магнитским. Какое прозвание имел он до сего времени, то даже ближним его не известно».

Учился Магницкий в Московской славяно-греко-латинской академии между 1685 годом, в котором приехали рекомендованные для академии в качестве профессоров ученые греки братья Лихуды, и 1694 годом, когда Лихуды были устранены из академии вследствие требования иерусалимского патриарха.

Математика в академии не преподавалась, но читалась физика в духе Аристотеля, так как в одном из обвинительных писем против Лихудов патриарх Досифей пишет: «Лихуды забавляются около физики и философии». В этом обвинении слышится отголосок взглядов, благодаря которым ревнитель просвещения боярин Матвеев, отправленный в ссылку в 1676 г., был обвинен в колдовстве, так как

у него найдена была «книга черная — лечебник, в ней же писаны многие статьи цифирью».

Феофан Прокопович в «Слове на похвалу Петра Великого» говорите Не ведаю, во всем государстве был ли хотя один цирклик, а прочего орудия и имен не слыхано; а есть ли бы где некое явилося арифметическое или геометрическое действие, то тогда волшебством нарицано».

Это положение математического образования в России нужно иметь в виду, оценивая заслуги Магницкого.

Самоучка в математике, Магницкий, заявляющий:

«И мню аз яко то имать,

Что сам себя всяк может учить»,

свою книгу приспособил для самостоятельного изучения математики, указывая, что ...«всяк, усердствуя, может ...во всяких случаях недоумения в числах разрешити, насмотряяся приличных заданий в нашем собрании», и «недоумение, каким числительным узлом заплетенное, расплести».

Арифметика Магницкого не осталась только самоучителем: она составляла одно из звеньев преобразований Петра I по насаждению образования в России.

В 1698 г. в Лондоне Петр просит указать ему способного и знающего преподавателя математических и навигационных наук, который согласился бы отправиться в Россию. Такой человек нашелся в лице профессора математики Эбердинского университета Андрея Фархварсона, слывшего на родине хорошим математиком, астрономом и знатоком морских наук.

14 января 1701 г. появился указ Петра: ...«быть математических и навигацких, то есть мореходных хитростно наук учению. Во учителях же тех наук быть Английские земли урожденным: математической—Андрею Фархварсону, навигацкой — Степану Гвыну да рыцарю Грызу; и ведать те науки всяким в снабдении управлением во Оружейной Палате боярину Федору Алексеевичу Головину с товарищи, и тех наук ко учению усмотря избирать добровольно хотящих, иных же паче и сопринуждением; и учинить неимущим во прокормление поденный корм, усмотря арифметике или геометрии; ежели кто сыщется отчасти искусным, по пяти алтын в день, а иным же по гривне и меньше, рассмотрев коегождо искусства учения»...

Для школы была отведена Сухарева башня со всеми ее строениями и землями.

Набрать в школу положенное число — 500 человек — оказалось нелегко. Когда обещанные окончившим школу царские милости не оказали действия, был объявлен принудительный набор дворян, и всякому, открывшему укрывавшегося от службы дворянина, обещалось имение последнего.

Нравы собранных таким способом учащихся были своеобразны; пьянство, драки, кулачные бои были явлением обычным, а один из англичан-учителей, Грейс, был убит при выходе из школы.

Ученики начинали учение с «русской школы», т. е. школы грамоты. В следующем классе — цифирной школе — проходили арифметику.

Ученики из дворянского сословия переходили в высшие классы, где изучали геометрию, тригонометрию и их приложения к геодезии и мореплаванию, навигацию, основы астрономии.

Математико-навигацкая школа находилась в ведении боярина Головина «с товарищи». Из этих «товарищей» главным был Алексей Александрович Курбатов, выдвинувшийся из крепостных Шереметева при Петре своим проектом введения гербовой бумаги. Он и указал через Головина царю, что в Москве есть природнорусский математик Леонтий Магницкий, вполне пригодный быть учителем в школе. Магницкий был назначен преподавателем школы с жалованьем в 90 руб. (в год) и получал, кроме того, на составление своей книги со 2 февраля 1701 г. по 1 января 1702 г. по 5 алтын в день кормовых денег.

Курбатову удалось ослабить в школе роль иностранцев. Отсюда возникли крупные недоразумения между англичанами и Магницким. О них говорит письмо Курбатова к Головину от 1703 г.:

«По 16 июля прибрано и учатся 200 человек. Англичане учат их той науке чиновно, а когда временем и загуляются или, по своему обыкновению, почасту и долго проспят. Имеем, по приказу милости твоей, определенного им помоществователем Леонтия Магницкого, который непрестанно при той школе бывает и всегда имеет тщание не токмо к единому ученикам в науке радению, но и ко иным к добру поведениям, в чем те англичане, видя в школе его управление не последнее, обязали себя к нему, Леонтию, ненавидением, так что уже просил он, Леонтий, от частого их на него гневоимания от школы себе свободности; однако я, ведая, что ему их ради гневоимания от школы свободну быти не доведется, приказал ему о всяких поведениях сказывать до приезда вашей милости мне, и я, предусматривая, что он приносит о порядке совершенном, призвав их в палату и сам к ним ездя почасту, говорю, а дело из них признал я в одном Андрее Фархварсоне, а те два, хотя и навигаторы написаны, только и до Леонтия наукою не дошли».

Роль Магницкого в новооткрытой школе была гораздо большей, чем это можно было бы думать по занимаемой им скромной должности учителя «русской школы». Повидимому, фактически школа держалась на Магницком. В 1715 г. Фархварсон и Гвин были переведены в Петербург в открытую там Морскую Академию, Магницкий же остался в Москве.

Для учеников математико-навигацкой школы и писал свою Арифметику Магницкий. Дальнейшая его учебно-литературная деятельность заключилась в участии в коллективных изданиях преподавателей математико-навигацкой школы: «Таблиц логарифмов, и синусов, тангенсов, секансов к научению мудролюбивых тщателей».

В 1722 г. вышли «Таблиц горизонтальных, северные и южные широты».

Наконец, перу Магницкого принадлежит «Записка Леонтия Магницкого по делу Тверитинова», представляющая интерес для характеристики личности Магницкого.

Арифметика Магницкого была написана прежде всего как учебник для будущих мо-

ряков. Эта целеустановка книги выразилась, с одной стороны, в присоединении к книге третьей части второй книги, носящей заглавие: «О земном общеразмерении и яже к мореплаванию принадлежит» и содержащей основы мореходной астрономии и навигации; с другой стороны, прикладной характер своей книги автор выразил в эмблематическом рисунке, предпосланном началу текста книги. Здесь изображен храм, посреди которого на троне сидит женщина, олицетворяющая мудрость, с большим ключом в правой руке. Над нею на арке написано: «арифметика», а на пяти ступенях, ведущих к трону, в последовательном порядке снизу: счисление, сложение, вычитание, умножение, деление. Портик храма поддерживается восемью колоннами, на которых надписи: геометрия, стереометрия, астрономия, оптика, меркатория, география, фортификация, архитектура. На лицевой стороне пьедестала, в который опираются колонны, написано: «арифметика, что деет: на столпах то все имеет». Сверху над столпами надпись: «тщанием, учением». Очевидно, картинка эта выражает такую мысль автора: к познанию вещей, как теоретическому, так и практическому, можно притти только через арифметику «тщанием и учением» через последовательные ступени: счисление, сложение, вычитание и т. д.

Перед титульной страницей помещен эмблематический рисунок, называемый автором «гербом». Сверху расположен русский государственный герб и под ним в рамке надпись: «Арифметика, политика и логистика». Внизу с левой стороны изображен Пифагор в платье средневекового монаха, с правой-Архимед в чалме и в арабском костюме. Повидимому, автор выражает такую мысль: греческая наука через арабов перешла в средневековые монастыри, и вот теперь русская государственная власть распространяет эту науку среди своих подданных. Пифагор— первый создатель науки чисел и геометрии — изображен с таблицей арабских цифр, циркулем, линейкой, пером, чернильницей. У ног его — знаменитый египетский треугольник со сторонами 3, 4, 5 (отметим кстати, что в тексте книги теорема о сторонах прямоугольного треугольника нигде пифагоровой не называется, хотя автор ею много раз пользуется). У Архимеда у ног пропорциональный циркуль, наугольник, клещи (закон рычага), а на доске запись:

Эта запись представляет правильно выполненное в символах того времени алгебраическое умножение:

Магницкий, как и современные ему европейские алгебраисты, обозначал первую степень неизвестного через R (radix — корень), а квадрат неизвестного — через q (quadratus).

Обоим великим грекам Магницкий отдает должное:

«Оный Архимед и Пифагор... Равно бо водам излияша, Многи науки в мир издаша, Елицы же их восприяша Много си пользу от них взяша».

Далее Магницкий излагает свои взгляды на пользу и значение наук и знакомит будущего своего читателя с содержанием предлагаемого учебника, состоящего из двух книг; в первой содержатся:

«Арифметика обычайная,

В купецких делах случайная»,

необходимая и

«Ремесленникам и художным, Подданным всяким и вельможным».

Далее передается содержание пяти частей этой книги:

...«Сих первая есть о числе целом, Ясно объявлена самым делом».

Ища, какие «приклады ко гражданству потребные» могли бы иллюстрировать учение о целом числе, автор описывает

...«Деньги и весы веков давних Великих царств и доктор славных»...

В дальнейших частях «язно и чинно» изложено учение о дробях

«Зело в науке сей пригодных», а затем учение о тройном правиле.

Четвертая часть книги посвящена изложению правил ложного положения, причем автор

«Сей же части чин ин изысках Зело краток и тут же вписах, Еже отняти труд великий Хотящим разум взять толикий».

Наконец, учение о корнях «Радиксов же всех чин приятный В пятой части есть всем понятный».

Автор перечисляет далее содержание второй высшей части арифметики-логистики*:

«От различных книг и учений И от наук небесных течений Хощу приложить достойных штук... И хотяй быти морской пловец, Навигатор ли или гребец, Да зрит си пользу зде от части... Ныне бо и всяк лучший воин Ону науку знать достоин. И узрев яко в том есть плод мног. Внесох из морских книг что возмог».

Из этого обзора видим, что Арифметика Магницкого есть целая энциклопедия математики и ее приложений XVII в., охватывающая основы алгебры, геометрии, тригонометрии, мореходной астрономии и навигации. Все теоретические разделы сопровождаются практическими приложениями, среди которых мы встречаем все современные главы прикладной арифметики: правила «кумпанств» (товариществ), задачи на вычисление сплавов и смесей, времени, прибылей и убытков, а кроме того, геометрические задачи на военные, строевые и морские темы. При этом автор не устает подчеркивать, что арифметика ценна не только тем, что она решает задачи практической жиши.а тем, что прививает навыки, нужные человеку во всех областах деятельности и «просвещает ум ко приятию множайших наук и высочайших».

«Аще бо кто весть руды меру

Знает и ину по примеру»...

Упорное подчеркивание автором ценности науки станет понятным, если вспомним взгляд на образование большинства его современников, выраженное в словах: «Если кто тебе скажет: знаешь ли ты философию,— ты ему отвечай: еллинских борзостей не текох, ни риторских астроном не читах, ни с мудрыми философы в беседе не бывах,— учусь книги благодатного закона аще бо можно моя грешная душа от греха очистить». Магницкий же утверждает, что без науки человек не отличается от животного, и он восхваляет Петра I за то. что кроме обнозления существовавших школ, «в них же всяких словесных свободных наук есть довольно» ... «повеле же и иных учений свободных училища поставити, в них же высокая учения математическая и навигатская, размерения, мореплавания, крепости градов и иных военных дел повеле распространяти, и всякого чина своего государства добровольно приходящих людей учити, довольствуя их и питая своею государевою казною».

Мировоззрение Магницкого является сочетанием в:ками установившихся русских национальных взглядов с современной ему европейской наукой. Он безоговорочно принимает шаровидность земли и вытекающие из этого взгляда последствия («о круговидности небес и земли есть верительно и известно всем нам по чувству зрения, а паче на мори плавающим: яко никогда же добре знающие

* Подробное изложение этой частя книги Магницкого можно найти я статье автора настоящего очерка в «Морском Сборнике», № 19 за 1940 г.

сия облудно кораблеплавают, и о сем ни едино есть недоумение у всех»).

Щекотливый для правоверного вопрос о положении земли в пространстве автор обходит, говоря, что «о свойственном месте земли аще и различно мудрствуют, ...обаче нам сия их несогласия ничтоже препятствия приносят в науках о них же тщимся и сего ради о месте ее... глаголати оставляем, приемше круговидность земли, такожде и круговидное небес состояние, якоже... солнце же и луны и прочих звезд подобное движение».

Наряду с этим Магницкий стремится, повидимому, доказать, что «природно-русский» разум может итти своими путями, отличными от западных. Он ведет страстную кампанию против аптекарского ученика Дмитрия Тверитинова, который, работая у иностранцев, воспринял от них вольные для московского общества взгляды на библию, толкуя ее согласно разуму. Магницкий обвиняет Тверитинова с таким ожесточением, что расположенный к Магницкому адмирал Апраксин с возмущением спрашивает его, зачем он, «не поп и не архимандрит и не иный архиерей», вмешивается в церковное дело, которое задевало помимо Тверитинова очень высокостоящих людей. Магницкого за эту горячность сочли человеком беспокойным и оставили в Москве, когда его товарищей по школе перевели в Петербург.

Будучи человеком своего века, Магницкий как автор Арифметики опередил этот век весьма далеко. Его учебник оказался руководством всех грамотных русских людей XVIII века.

Величайший гений русского народа Ломоносов пишет, что он охоту к учению получил у Магницкого, арифметику которого он знал наизусть, и называет ее «вратами учености». Не будет преувеличением сказать, что арифметика Магницкого была вратами учености всех образованных русских людей XVIII в.

Современная русская математика ушла далеко от арифметики Магницкого. Может показаться, что нет достаточного основания в наши дни говорить о значении Магницкого. Думающим так, я позволю напомнить рассказ К. А. Тимирязева о посещении им вместе с некоим знаменитым американским дарвинистом домика Дарвина в Кембридже. Встретив там бывшего камердинера Дарвина и получив от того комичную характеристику Дарвина, американец просил разъяснить ему, каким образом удается в Англии получать такой прекрасный густой газон, какой имелся перед домиком Дарвина, в то время как в Америке на газоне трава редкая, совсем не похожая на английскую. Старик камердинер разъяснил, что этой беде американцев легко помочь: надо завести машинку и стричь лет 200—300, после чего газон будет прекрасный...

Значение Магницкого для современной русской математики заключается в том, что он начал ту двухсотлетнюю стрижку побегов русской математики, которая создала тот «газон», на котором стали возможны «собственные невтоны».

Магницкий закончил предисловие своей книги робким желанием:

«И желаем, да будет сей труд Добре пользовать русский весь люд».

В 200-летнюю годовщину смерти Леонтия Филипповича Магницкого не только «русский весь люд», но и вся дружная семья народов Советского Союза с благодарностью вспоминает автора первого оригинального русского учебника математики.

Дадим, наконец, несколько примеров, характеризующих «Арифметику» Магницкого.

Все сочинение охватывает 324 страницы большого формата со 100 гравированными рисунками и разделено по содержанию на две книги: первая включает арифметику-практику, или деятельную, вторая — арифметику-логистику, или арифметику в применении к астрономии и морскому делу.

Магницкий излагает сначала нумерацию: устанавливает разбиение чисел на классы, вводит, повидимому, впервые термины «миллион, биллион и т. д.» и дает название числам до 24-го разряда (квадрильонов), указывая, что практически было бы «бездельно множайших чисел искати», так как этими числами можно «все счисляти,что внутрь неба».

В русской рукописной математической литературе употреблялись числа до 49-го разряда, но терминология была совершенно неустановившаяся: термин «тьма» означал сначала 10 000, затем 1 000 000; таким же образом, в течение времени менялось числовое значение терминов «легион», «леодр» и др. Магницкий, вводя европейскую терминологию в нумерацию, совершает большой шаг вперед. Отметим попутно, что в Англии и Германии, например, термины миллион, биллион и другие стали общим достоянием лишь с самого конца семнадцатого века, т. е. почти в то же самое время, когда Магницкий писал свою книгу.

В изложении арифметики целых чисел Магницкий проявляет себя вдумчивым педагогом, у которого есть чему учиться и современному учителю математики. Например, в главе об умножении он указывает, что «нецыи умножают странным иным некоим образом», располагая действия так:

Такое расположение умножения приписывается знаменитому немецкому автору Адаму Ризе (1492—1559); педагогические преимущества этого способа очевидны.

Для выполнения действия деления, представлявшего большие трудности даже для выдающихся ученых Европы в века, близкие ко времени Магницкого, наш автор дает шесть различных способов, среди них имеются почти совпадающие с современными. Самому Магницкому, повидимому, принадлежит способ, дающий одновременно и проверку действия.

В главе об именованных числах Магницкий дает очерк происхождения разных систем мер, который до настоящего времени не потерял своего интереса, в особенности в вопросах о соотношении разных основных единиц.

Учение о дробях, «зело в науке сей пригодных», у Магницкого носит также почти

современный характер. Магницкий подробнее, чем современные учебники, останавливается на вычислении долей.

Третья часть первой книги дает разные применения арифметики, «ко гражданству потребные». На первом листе здесь стоит учение о тройных правилах (в широком смысле слова), долженствующее воина, овладевшего мечами арифметики-теории, вооружить искусством «чисел всяку дверь отворять» или «недоумение, каким числительным узлом заплетенное расплести».

Магницкий, признавая полезность тройного правила, однако, не разделяет того чрезвычайного возвеличения его, которое имело место в Европе, где говорили, что это есть «наиболее превосходное правило во всей арифметике, так как все правила нуждаются в нем, оно же обходится без всех других и названо философами «золотым правилом» (Кеджори). Он напоминает, что правильное применение даваемых механических правил зависит от решения вопроса, находятся ли рассматриваемые в задаче величины в прямопропорциональной или обратнопропорциональной зависимости, а поэтому он подчеркивает:

А смотри всех паче Разума в задаче. Потому бо знати, Как сие писати.

За тройным правилом следуют всякие другие «правила» практической арифметики — правила «смешения», «кумпанств», расчета прибылей и убытков, времени, снабженные обычно удачными и часто забавными задачами, Очень многие задачи «занимательных арифметик» нашего времени встречаются здесь у Магницкого, особенно же в специальном разделе его книги, озаглавленном: об утешных некиих действах чрез арифметику употребляемых. Стоит опять отметить, что настоящий европейский родоначальник этих занимательных арифметик — книга Гаспара Баше-де-Мезириака (1587 — 1638) «Забавные и веселые задачи» —вышла лишь в 1612 г. Для решения многих «утешных» задач необходимо так называемое правило ложного положения, которое автором и излагается перед этим.

После этого Магницкий в своей «Арифметике» излагает основные правила алгебраических действий, учение о прогрессиях и корнях, применяемых к решению различных вопросов морского и военного дела.

Заключается статья заметкой «о ином чине арифметики, яже децималь или десятная именуется». Здесь Магницкий излагает начала действий над десятичными дробями. Если вспомнить, что десятичные дроби предложил для всеобщего употребления Симон Стевин (1548—1603) в 1585 г., хотя они, как стало известно в самые последние годы, у отдельных авторов имелись и ранее, и если добавить, что до конца XVIII века в Европе в астрономических вычислениях господствовали шестидесятичные дроби, то станет совершенно ясным, в какой мере Магницкий в своей арифметике шел в ногу с тогдашней европейской учебной литературой.

Первая часть второй книги Магницкого — Арифметики-логистики — посвящена дальнейшему изложению алгебры, именно тех вопросов, которые «не всякому общенародному человеку есть потребна, как купцам, экономам, ремесленникам». Изложение и обозначения Магницкого в этом разделе совпадают во многом с таковыми знаменитого отца европейской школьной алгебры Виета (1540 — 1603), книга которого вышла в 1646 г. Однако решения уравнений первой степени Магницкий не дает, квадратные же уравнения решает. Отметим, что Виет алгебру также называл логистикой.

Решая геометрические задачи, пользуясь умением делать алгебраические выкладки, Магницкий приходит к вычислению тригонометрических функций. Он владеет ими вполне, хотя его тригонометрия представляет смесь новой тригонометрии, ведущей свое начало от Региомонтана (1436—1476), с прежней хордной тригонометрией греков.

Наконец, последняя часть книги Магницкого посвящена мореходному делу, в которой он обнаруживает весьма хорошие знания мореходной астрономии. Решая все основные задачи навигации при помощи данных им таблиц, он, между прочим, определяет широту места по наклонению магнитной стрелки, что для того времени является совершенно неожиданным, рассчитывает для разных точек времена приливов и отливов, дает весьма точные координаты разных мест земного шара. Наконец, Магницкий в этой части книги создает русскую морскую терминологию, в значительной своей части сохранившуюся до сих пор.

Петр I выбрал на должность первого преподавателя математических наук человека, никогда в школе не учившегося математике, и поручил ему же, никогда не видавшему моря, составление первого руководства по морской науке.

История полностью оправдала этот смелый выбор, так как Л. Ф. Магницкий обессмертил свое имя в обеих порученных ему областях деятельности.

ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

А. ФЕТИСОВ (Москва)

ГЛАВА II. ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ П ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ

1

D1. Возьмем две взаимно перпендикулярные прямые 2, и 12 (черт. 1) и, приняв их за оси симметрии, преобразуем последовательно по отношению к обеим осям какую-нибудь точку плоскости Л: l\ (А) — Л,; h(Ai)zz Л\ Точки А и Л, называются центрально-симметричными по отношению к точке О пересечения прямых 1\ и 12. При этом точка О называется центром симметрии точек А и А'. Две фигуры, все точки которых попарно центрально-симметричны по отношению к одному и тому же центру, назызаются центрально-симметричными.

Г|. Центр симметрии есть середина отрезка, соединяющего пару центрально-симметричных точек.

I :На черт. 1 имеем: ЛО = Л]0 и Л,О = A'Ö по свойству осевой симметрии. Следовательно, АО = А'О. Обозначим величину угла, образуемого тем же направлением ОЛ„ с осью lt через а, а величину угла, образуемого тем же направлением, с осью /2 через ß. Тогда:

Итак, L АО А' — развернутый, следовательно точки А, О и А лежат на одной прямой и точка О — середина АА\

Непосредственно из доказанной теоремы получаем:

С,. Порядок преобразования точки А по отношению к осям не влияет на результат преобразования: если точку А преобразуем в симметричную по оси 12 в точку А2 (черт. 1), а точку А2 преобразуем в симметричную по оси *„ то полученная в окончательном результате точка совпадает с Л', что легко проверить, повторив для новой точки все предыдущие доказательства.

С£. Доказанная теорема показывает также, что для построения центрально-симметричных фигур нет нужды производить дважды осевую симметрию, а достаточно провести из данной точки к центру отрезок, который потом продолжаем за центр на такую же величину (черт. 2.). Символически преобразование точки Л' в центрально симметричную точку Л' по отношению к центру О мы будем записывать так:

Т2. Обратно, всякую центральную симметрию, определяемую согласно только что указанному построению, только одним своим центром, всегда можно разложить на две осевые симметрии со взаимно перпендикулярными осями, пересекающимися в данном центре, причем направление одной из этих осей можно взять произвольным I : Пусть О (Л)Е А" (черт. 3). Проведем через О произвольную прямую 1А и пусть 1Х (А) = Л,. Так как по условию построения ОЛ, = ОЛ', а по осевой симметрии OA = OAu то ОЛ, == ОЛ' и ось симметрии }2 точек Л' и Л, пройдет через О. Далее h JL *2» как биссектрисы смежных углов. Итак, мы вновь пришли к построению, данному в Г,.

С3. Из самого определения центральной симметрии следует, что единственной двойкой (т. е. преобразующейся в саму себя) точкой преобразования является центр симметрии. С другой стороны, точки всякой прямой, проходящей через центр, преобразуются в точки этой же прямой. Такие прямые мы будем называть двойными прямыми преобразования.

С4 Прямая, проходящая через две центрально-симметричные точки, проходит и через центр симметрии.

Сь. Центрально-симметричные фигуры конгруэнтны и одинаково ориентированы. | : Это есть следствие того, что всякая центральная симметрия разлагается на две осевые, благодаря чему сохраняется конгруэнтность фигур. Каждая из этих осевых симметрий изменяет ориентировку фигур из обратную, поэтому двукратное изменение ориентировки вернет нас к ориентировке первоначальной.

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

Св. Если две пары точек центрально-симметричны, то центрально-симметричны и определяемые ими прямые. |: Если О (Л) ЕЕ = Л'; О (В) = В\ то О (AB) = Л'Я'.

С7. Если две пары прямых центрально-симметричны, то центрально-симметричны и определяемые им точки. | : Если О (я) ЕЕ а'; О (Ь) = Ь\ о (ab) = a'b\

Г3. Две центрально симметричные прямые не имеют общих точек.

I : Положим О (а) = а' (черт. 4). Если бы существовала точка аа'у то _мы имели бы О (аа') = а'а, откуда следует, что аа' — двойная точка преобразования, отличная от О (так как прямые а и а' через О не проходят), что противоречит тому, что О— единственная двойная точка преобразования.

2

£>2. Две прямые, принадлежащие одной и той же плоскости и не имеющие общей точки, называются параллельными.

Параллельность обозначается знаком (I • например на чертеже 4 а \\ а'. Отрезок,соединяющий точки двух параллельных (например AB на черт. 4), называется поперечным отрезком. Точки всех поперечных отрезков, проходящих между двумя данными параллельными, образуют часть плоскости, называемую полосой, причем эти параллельные называются сторонами полосы.

Т4. Через точку, не принадлежащую данной прямой, можно всегда к той прямой провести параллельную.

|: Положим а —данная прямая, Л' — не принадлежащая ей точка (черт. 5). Возьмем на прямой а произвольную точку Л и примем середину ЛЛ' за центр симметрии (точка О). Если О (а) Е а\ то очевидно Л' С а'у а по предыдущей теореме, а' II а.

Приведенное построение содержит некоторую неопределенность, связанную с произвольностью выбора точки Л. Поэтому можно было бы предположить, что каждому положению точки Л будет соответствовать особое положение параллельной а'. Однако практическое выполнение ряда таких построений при данной прямой, приводит к тому, что все параллельные прямые, проведенные к а и проходящие через точку Л', сливаются между собой, что дает нам повод высказать следующую аксиому:

Л, (аксиома параллельности). Через точку, не принадлежащую данной прямой, можно к этой прямой провести одну и только одну параллельную.

С8. Две прямые, параллельные одной и той же третьей, параллельны и между собой.

С9. Прямая пересекающая одну из параллельных, пересекает и другую.

CJ0. Две параллельные прямые центрально-симметричны по отношению к середине любого поперечного отрезка.

I : Пусть а \\ а' (черт. 5), Л С а; А' С а' и О — середина ЛЛ'. Если О (а) = ап, то а" II а и Л' С а", . •. В силу аксиомы:

Z>3. Дается известное определение пар углов, которые получаются от пересечения двух прямых третьей (внутренние и внешние накрестлежащие, внутренние и внешние односторонние, соответственные).

Гв. Если две параллельные прямые пересечь секущей, то: 1°. Накрестлежащие углы равны. 2°. Соответственные углы равны. 3°. Односторонние углы дают в сумме тс.

I : Положим а \\ а' и прямая I пересекает их соответственно в точках Л и Л' (черт. 6). Примем середину ЛЛ' — точку О за центр симметрии, тогд! О (а) = а' (согласно Сц) и, следовательно: |_3=1_6; 1_4=1_5; L 1 = L 8; L2=L7 как центрально - симметричные, что доказывает случай 1° теоремы. Для доказательства случаев 2° и 3° используем свойства вертикальных и смежных углов. 7у (обратная). Если при пересечении двух прямых третьей выполняется одно из следующих условий, то прямые параллельны: 1°. Равенство одной пары накрестлежащих углов. 2°. Равенство одной пары соответственных углов. 3°. Сумма одной пары односторонних углов равна к. ) : Положим |_ = L 6 (черт. 6). Примем опять середину ЛЛ' за центр симметрии и пусть 0(а) = а'\ Тогда угол, центрально-симметричный с |_ 3, должен совпасть с |_0, следовательно а' = а" и а' || а. Случаи 2° и 3°, как и в прямой теореме, легко приводятся к 1°.

С„. Прямая, перпендикулярная одной из параллельных, перпендикулярна и другой.

С,2- Две прямые, перпендикулярные одной и той же третьей, параллельны между собой.

При помощи доказанных теорем легко осуществляется решение конструктивной задачи: через данную точку провести прямую, параллельную данной. Для ее решения можно использовать построение, данное в Т4, тли построение, данное в стабильном учебнике, нти, наконец, воспользоваться построением при помощи чертежного треугольника.

£>4. Поперечный отрезок, перпендикулярный ооеим сторонам полосы, называется ее шириной..

Т%. Ширина полосы везде одинакова.

I : Пусть а \\ Ь (черт. 7). ÄJ и А'В' — две ширины полосы. Проведеч симметраль I точек Л и Л'. 1±а и 1±Ь(Си). В силу того, что AB и AlBt перпендиулярны к пря-, мой а пр точках Л и Л', они симметричны между собой, . •. В симметрична с Ь\ так как этой симметрией прямая Ь преобразуется сама в себя.

С13. Геометрическим местом точек, равноудаленных от данной прямой, служат две

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

прямые, образующие с данной две полосы одинаковой ширины.

db. Согласно ть и предыдущему следствию, середины всех ширин одной и той же полосы принадлежат одной и той же прямой, которая служит симметрально для сторон полосы и называется осью полосы (черт. 8).

7*,. Ось полосы делит пополам всякий поперечный отрезок.

II : Примем точку пересечения О данного поперечного отрезка AB с осью полосы — I (черт. 9) за центр симметрии. Эта точка, будучи серединой ширины MN, будет центром симметрии параллельных а и Ь: О (а) ~ Ь\ отсюда О(А) ==ß, следовательно, OA —Т5Ъ.

Си. Из Г7 следует, что ось полосы есть геометрическое место середин всех поперечных отрезков данной полосы.

7"8. Если поперечные отрезки, пересекающие две различные полосы иод одинаковыми углами, равны между собой, то такие полосы конгруэнтны.

I : Приложим одну полосу к другой так, чтобы концы данных отрезков совпали (черт. 10а). Тогда в силу равенства углов при точке В (|_ 1 = L 2), отрезки ÄB и ВС будут служить продолжением друг друга. Далее,по условию AB = ВС, следовательно средняя прямая есть ось полосы,образуемой двумя другими параллельными, и наши полосы по этому конгруэнтны.

Эту же теорему можно было бы доказать и иначе, приложив полосы, как показано на черт. 10b. Тогда |_ 1 будет симметричен с |_2 по отношению к средней параллельной, а так как AB = #С, то точка Л и С, а вместе с тем и проходящие через них параллельные прямые будут симметричны по отношению к средней параллельной.

Clv Из доказанной теоремы, в частности, следует, что если ширина двух полос одинакова, то полосы конгруэнтны.

7У (обратная). Поперечные отрезки, пересекающие равные полосы под одинаковыми углами, равны между собой

I : Для доказательства достаточно приложить полосы друг к другу, как показано на черт. 10, и обратить внимание на то, что средняя параллельная будет осью новой полосы.

С1в, Если на прямой отложить ряд новых отрезков и через концы их провести параллельные, то эти параллельные на всякой секущей тоже определяют ряд соответственно равных отрезков.

I : Возьмем на прямой I ряд равных отрезков (черт. 11): äb — cd = Kf = через концы которых проведем параллельные прямые: л И Ь H с H d И е H / И ... Эти параллельные при пересечении с секущей v дают соответственно точки: Л', в\ С, D', Е\ F\... По теореме 8 полосы а% Ь; с, d; е% f— конгруэнтны^* . По 7у конгруэнтны отрезки:

Опираясь на это следствие, получаем решение важной конструктивной задачи: данный отрезок разделить на л равных частей.

3

Тг Сумма внутренних углов треугольника равна те.

I : Доказывается обычным приемом: через вершину треугольника внутри одного из внешних углов проводится луч параллельно противоположной стороне и устанавливается, что сумма внутренних углов треугольника равна развернутому углу.

С17. Непосредственными следствиями этой теоремы являются: 1°. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных С ним. 2°. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу.

De. Две параллельные прямые называются сонаправленными, если после преобразования осевой симметрии по отношению к оси полосы направления этих прямых совпадают. В противном случае прямые называются противонаправленными.

Г,0. Два угла, обе стороны которых или одновременно попарно сонаправлены или одновременно попарно противонаправлены, равны. Если же одна пара сторон сонаправлена, а другая противонаправлена, то углы дают в сумме тс.

I : Расположение углов показано для всех трех случаев на черт. 12. Для доказательства используем свойства соответственных, накрест лежащих и односторонних углов.

ти. Углы составленные взаимно перпендикулярными сторонами, равны или в сумме дают тс. I : На черт. 13 a J_ а'; 6J_6\ Пусть и

Черт. 7

Черт. 8

Черт. 9

Черт. 10

Черт. 11

Черт. 12

L а'Ъ1 — острые углы, образуемые соответствующими прямыми

как острые углы прямоугольного треугольника. L^ô + La = = L а'Ь' + L а и \_ab~ = L а'Ь'

Второй случай теоремы получится, если мы будем рассматривать угол, смежный с одним из данных острых углов, а другой угол оставим прежним. Тогда, по свойству смежных углов, получим, что эти углы будут давать в сумме TZ.

TiZ. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 2п.

I : Будем обходить контур многоугольника и продолжать соответствующую сторону многоугольника. Так как многоугольник выпуклый, то это продолжение будет проходить вне многоугольника (черт. 14). Если теперь из произвольной точки провести лучи, сонаправленные со сторонами многоугольника, тогда мы получим около этой точки углы, соответственно равные внешним углам многоугольника. Но полученные углы заполняют плоскости, следовательно сумма их равна 2п.

С,8. Сумма внутренних углов выпуклого н-угольника равна 7:(л— 2).

I : Каждый внешний угол вместе с смежным внутренним дают в сумме тс. Таких пар у нас будет п, следовательно, сумма их всех равна гл. Чтобы получить сумму одних внутренних углов, вычтем отсюда сумму одних внешних углов и получим:

Заметим, что методом совершенной математической индукции эту формулу легко распространить и на любой не выпуклый л-угольник, если только он ограничен одной ломаной линией без самопересечений.

4

D7. Четыреугольник, который определяется пересечением двух полос, называется параллелограм.

7*13. Во всяком параллелограме: 1°. Противоположные стороны равны. 2°. Противоположные углы равны. 3°. Диагонали делят друг друга пополам.

I : Диагональ параллелограма (черт. 15) есть поперечный отрезок одновременно для обеих полос, . •. ее середина есть центр симметрии всей фигуры, что сразу доказывает все три части теоремы.

Тп' (обратная). Четыреугольник будет параллелограмом, если выполняется одно из следующих условий: 1°. Противоположные стороны попарно равны. 2°. Противоположные углы попарно равны. 3°. Две противоположные стороны одновременно равны и параллельны. 4°. Диагонали взаимно делятся пополам.

I : Случай первый доказывается разбиением четыреугольника диагональю на два равных треугольника. В случае 2° мы имеем две пары равных углов, которые дают в сумме 2тс, следовательно, пара неравных углов дает в сумме я, а так как эти углы односторонние, то прямые параллельны. 3° и 4° случаи легко доказываются свойствами центральной симметрии.

D8. Четыреугольник, который определяется пересечением двух взаимно перпендикулярных полос, называется прямоугольник.

Ти. Во всяком прямоугольнике: 1°. Оси полос служат осями симметрии всей фигуры. 2°. Диагонали равны.

|: Если ABCD (черт. 16) — прямоугольник, то AB и CD являются ширинами соответствующей полосы, ось / этой полосы будет симметралью пар А и В, С и D, AD = ВС в силу того, что эти отрезки симметричны по отношению к I.

Тц' (обратная). Если диагонали четыреугольника равны и взаимно делятся пополам, то он — прямоугольник.

I : В силу того, что диагонали взаимно делятся пополам, четыреугольник — параллелограм. С другой стороны, оси данных полос взаимно перпендикулярны, так как служат биссектрисами смежных углов, образованных диагоналями. Следовательно, мы имеем прямоугольник.

D9. Четыреугольник, определяемый пересечением двух равных полос, называется ромб.

7*15. Во всяком ромбе: 1°. Все стороны равны. 2°. Диагонали служат осями симметрии фигуры.

I : Пусть ABCD (черт. 17) — ромб. Aß = ВС в силу того, что они служат поперечными отрезками, пересекающими равные полосы под равными углами. Точка В одинаково удалена от точек Л и С, следовательно лежит на оси симметрии этих точек; это же можно сказать и про точку D. Итак, BD есть симметраль точек Л и С.

Т\ь' (обратная). Четыреугольник будет ромбом, если выполняется одно из следующих условий: 1°. Все стороны равны. 2°. Диагонали взаимно перпендикулярны и делят друг друга пополам.

|: В случае 1° мы имеем, прежде всего, что четыреугольник будет параллелограм.

Черт. 13

Черт. 14

Черт. 15

Черт. 16

Полосы, образующие этот параллелограм, будут равны, так как равны отрезки, пересекающие эти полосы под одним и тем же углом. Случай 2° приводится к случаю 1°, так как стороны четыреугольника все будут равны между собой, как отрезки, симметричные по отношению к диагонали.

Dî0. Четыреугольник, определяемый переселением двух равных и взаимно перпендикулярных полос, называется квадрат (черт. 18). По определению, квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.

ти. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен ее половине (средняя линия треугольника).

|: Проведем через вершину В (черт. 19) прямую, параллельную АС. Тогда отрезок МЫ, соединяя середины двух поперечных отрезков полученной полосы, очевидно, совпадает с ее осью. /. II АС. Проведя еще NF II AB, получим AF = ~FC — Ш = ~ÄF по свойству параллелограма

d\\. Четыреугольник, две стороны которого взаимно параллельны, называется трапецией. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, отрезок, соединяющий середины непараллельных сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Г17. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

|: Положим в четыреугольнике ABCD (черт. 20) AB H CD, M — середина АС, Ы — ce-, редина BD. МЫ проходит через середины поперечных отрезков и, следовательно, совпадает с осью полосы, .*. МЫ i| AB; МЫ \\ CD. Проведем теперь диагональ AD и обозначим через F точку пересечения ее с МЫ. Тогда,

Сложив почленно эти равенства, получим:

Изложенные свойства центральной симметрии и полос находят обширное применение при доказательстве различных предложений и решений конструктивных задач. Приведем несколько примеров.

1) Доказать предложение: медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая удалена на -о- каждой медианы от соответствующей вершины треугольника.

I : Пусть М, Ы vi Р соответственно середины стопой ВС, CA и AB в A ABC (черт. 21). Е—середина СЫ, F — середина ЫА. Проведя ME и РЕ, получим: ME || ВЫ Ц II PF. Проведя еще параллельную этим прямым через вершину А, получим ряд равных полос, которые делят медиану AM на три равные части.

Итак,

2) Аналогичным приемом доказывается следующее предложение: если сторону CD параллелограмма ABCD разделить на п равных частей и первую точку деления соединить с вершиной А, то полученная прямая отсечет на диагонали часть.

I : На черт. 22. CD разделена на 4 равных части. Если на столько же частей разделить и Ав и провести ряд прямых, как показано на чертеже, то мы получим п + 1 полос, которые делят ВС на п + 1 равных частей.

3) Если через противоположные вершины параллелограма провести две пары взаимно параллельных прямых, то получим новый параллелограм, центр которого совпадает с центром первоначального параллелограма (это так называемый закон постоянства центра)

\: Это есть следствие того, что диагонали первоначального параллелограма служат поперечными отрезками для новых полос, ,\ их середина служит центром симметрии этих полос (черт. 23).

Приведем несколько примеров конструктивных задач.

1) Через точку, данную внутри угла, провести прямую так, чтобы полученный отрезок в данной точке делился пополам.

2) Через точку, данную между прямой и окружностью, провести прямую так, чтобы

Черт. 17 Черт. 18

Черт. 19

Черт. 20

Черт. 21

Черт. 22

отрезок между прямой и окружностью разделился в этой точке пополам.

3) Через точку, данную между двумя окружностями, провести прямую так, чтобы отрезок между окружностями делился в этой точке пополам.

При решении каждой из приведенных задач данная точка берется за центр симметрии и преобразуется в центрально симметричную одна из данных линий. На черт. 24 приведено решение третьей задачи.

4) На прямоугольном биллиарде лежит шар. Как толкнуть этот шар, чтобы он после четырехкратного отражения от четырех стенок биллиарда вернулся в свое первоначальное положение. (Указание: шар надо толкнуть параллельно диагонали) (черт. 25).

5) Дан четыреугольник произвольного вида. Предлагается сплошь заполнить всю плоскость четыреугольниками, равными данному.

(Указание: задача решается путем центрального симметричного преобразования данного четыреугольника и каждого из вновь полученных по отношению к середине каждой стороны) (черт. 26).

Черт. 23 Черт. 24

Черт. 25

Черт. 26

ИЗЛОЖЕНИЕ ПЕРВЫХ ГЛАВ СТЕРЕОМЕТРИИ И ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

Е. ЗЕЛЕНИН (Москва)

ГЛАВА I. ПОРЯДОК ИЗЛОЖЕНИЯ КУРСА

§ 1. Общие соображения

Оканчивающие среднюю школу при поступлении в высшую, на приемных испытаниях и далее в процессе работы обнаруживают недостаточные знания в области стереометрии, плохо развитое пространственное воображение и подчас неумение нарисовать отчетливый чертеж.

В связи с этим особенное внимание необходимо уделить вопросам преподавания стереометрии в IX классе. Это следует из тех соображений, что усвоение этой части курса стереометрии предрешает если не усвоение, то во всяком случае качество усвоения курса X класса. Действительно, прямые и плоскости (точнее их части) являются тем основным материалом, при помощи которого строится ряд основных фигур, изучаемых в X классе.

Когда учащийся приступает к стереометрии, то первый вопрос, который естественно возникает у него, это — какое количество общих элементов может быть у двух прямых, или у прямой и плоскости, или у двух плоскостей.

Исходя только из определения плоскости можно решить этот вопрос в отношении прямых и плоскостей, указав следующие три случая их относительного расположения:

1) прямые, лежащие в плоскости,

2) прямые, пересекающие плоскость,

3) прямые, не имеющие с плоскостью общих точек.

Необходимость вывода условий параллельности тех или иных геометрических элементов может быть, с другой стороны, легко выяснена на ряде простых задач. Например, решая задачу на построение: «Найти точку пересечения прямой и плоскости», мы задаем ученикам вопрос: всегда ли прямая и плоскость имеют общую точку? Так, вполне естественно, на простых примерах выясняются возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости.

Затем напрашивается вопрос, как установить, что прямая параллельна плоскости, иными словами, какое наименьшее количество условий необходимо, чтобы быть в этом уверенным и т. д.

Таким образом, мы видим, что вопросы, связанные с параллельным расположением

прямых и плоскостей в пространстве, логически напрашиваются в самом начале стереометрии.

Понятие же перпендикулярности не вытекает так естественно из исследования возможности решения той или другой задачи.

Нельзя просто разделить прямые на перпендикулярные и на неперпендикулярные к плоскости.

Кроме того, выполнение чертежей в первом случае для ученика значительно легче, чем во втором, так как параллельные элементы изображаются в принятых проекциях параллельными элементами, чем подчеркиваются указанные свойства. Плоское изображение пространственных фигур, вообще говоря, искажает перпендикулярность. Уже одно это затрудняет воспроизведение чертежа, а также изучение свойств по заданному чертежу, так как ученик не может увидеть прямой угол на рисунке, он должен уже знать, какой угол является прямым, или догадаться об этом из тех или иных соображений.

Понятие перпендикулярности требует более развитого пространственного воображения. Теоремы, связанные с ним, доказываются при помощи сильно искаженных рисунков: в равных треугольниках равные углы на чертеже не равны и равные стороны тоже не равны, в то же время как отложенные на параллельных прямых равные отрезки в употребляющихся в школьном курсе проекциях равны на чертеже.

Еще одним и очень существенным доводом в пользу желательности изложения параллельности раньше перпендикулярности служит то соображение, что возможность построения параллельных элементов очень просто доказывается сразу, как только к их изучению переходит ученик.

С параллельными прямыми ученик познакомился еще в планиметрии. Вопрос о проведении прямой параллельной плоскости решается в первой же теореме параграфа, посвященного прямым и плоскостям, параллельным между собой (см. ниже, теорема 6). Это же можно сказать и относительно параллельных плоскостей (см. ниже, теорема 10).

Совсем иначе обстоит вопрос с построением плоскости, перпендикулярной к прямой, и прямой, перпендикулярной к плоскости.

В некоторых учебниках совершенно отсутствуют теоремы о том, что через данную точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости, или только одну плоскость, перпендикулярную данной прямой (например учебник Филипс и Фишер11). Но даже в учебнике Адамара1 это сделано не сразу в начале раздела, посвященного прямым и плоскостям, перпендикулярным между собой, а лишь после того, как рассмотрен ряд их свойств.

В учебнике Киселева4, переработанном Н. А. Глаголевым, эти две теоремы совершенно изъяты из изложения курса и даны лишь перед двугранными углами в виде задач на построение.

Кроме того, следует отметить, что вывод, сделанный Н. А. Глаголевым в конце § 35*, не может считаться вполне убедительным.

На стр. 14 —третья строка сверху—читаем:

«Так как в каждой из плоскостей Р и Q через данную точку можно провести лишь одну прямую, перпендикулярную к данной, то задача в обоих случаях имеет одно решение, т.е. через каждую точку в пространстве можно провести лишь одну плоскость, перпендикулярную к данной прямой».

Посмотрим, как же выполнялось построение плоскости, перпендикулярной к данной прямой.

Рассмотрим первый случай.

Через данную прямую были проведены две произвольные плоскости Р и Q. В каждой из этих плоскостей восставляется перпендикуляр к данной прямой. Эти два перпендикуляра определяют плоскость, перпендикулярную к данной прямой. Это, конечно, верно, но откуда можно заключить, что если мы проведем через данную прямую еще какие-либо две произвольные плоскости Р' и Q', отличные от первых, и в них восставим перпендикуляры к данной прямой, то эти перпендикуляры определят плоскость, совпадающую с первой?*

В курсе нигде до этого не было доказано, что все перпендикуляры к прямой в данной ее точке лежат в одной плоскости.

Таким образом, в § 35 доказано лишь то, что через данную точку можно провести плоскость, перпендикулярную данной прямой; но что такая плоскость может быть построена лишь одна, доказанным считать нельзя**.

Кроме этою, легко устранимого недостатка, плохо то, что возможность построения прямой, перпендикулярной к плоскости, и плоскости, перпендикулярной к прямой, выясняется лишь после того, как изучены все основные их свойства.

За недостатком места мы лишены возможности рассмотреть, как изложены перечисленные вопросы в старых изданиях учебни-

* Сделав сходную ошибку, не трудно в планиметрии доказать теорему:

«Через точку Л можно провести только одну прямую Ь, параллельную данной прямой я».

Из точки А опустим перпендикуляр а* на прямую а. Такой перпендикуляр может быть только один. Далее, в точке А восставим к прямой а* перпендикуляр. Во всякой точке прямой можно восставить только один перпендикуляр (Киселев, ч. 1, § 23 — 24).

Этот последний перпендикуляр и будет искомой прямой Ь, так как два перпендикуляра к одной и той же прямой параллельны (Киселев, ч. 1, § 71, стр. 39).

Несмотря на то, что оба построения выполняются единственным образом, остается недоказанным, что нельзя построить прямую Ь\ отличную от Ь и удовлетворяющую условиям теоремы.

Единственность выполнения построения, указанного в доказательстве теоремы, не может служить гарантией единственности самой конструкции. Может быть, каким-либо другим способом можно построить конструкцию, удовлетворяющую условиям теоремы, но отличную от первоначальной.

** Аналогичным недостатком страдают рассуждения § 20, стр. 6.

ка Киселева или других учебниках. Мы смогли бы увидеть там, к каким ухищрениям прибегают авторы (в; издание В, § 260, 265), не желающие отказаться от традиционного положения, но, с другой стороны, чувствующих потребность упростить его, сделать более доступным для учащегося. В некоторых учебниках (3, § 190 — 193, 2, § 2, стр. 11) авторы, желая доказать возможность построения прямой, перпендикулярной к плоскости, или плоскости, перпендикулярной к прямой, ограничиваются доказательством единственности этого построения, оставляя вопрос о возможности построения недоказанным.

Все эти соображения еще раз убеждают нас в том, что изложение стереометрии следует начинать с вопросов, связанных с параллельным расположением прямых и плоскостей, тем более, что доказательство некоторых из упомянутых теорем можно при этом упростить (см. ниже теоремы 15 и 16).

Некоторым возражением против изучения параллельного расположения прямых и плоскостей раньше перпендикулярного может служить почти полное отсутствие задач, относящихся к этому разделу, если с него начинать изложение стереометрии.

Задачи на вычисление при таком изложении, ввиду отсутствия понятия о расстоянии, не могут быть в большом количестве.

Поэтому естественно обратить свое внимание к задачам на построение. Но задачи на построение не собраны и не систематизированы; тем более отсутствует подбор задач, относящийся к параллельным прямым и плоскостям, при условии, что изучение стереометрии начинается именно с этого раздела. До сих пор задачи на построение почти совершенно отсутствуют в школьном курсе. То незначительное количество, которое введено Н. А. Глаголевым4 в последнее издание учебника Киселева, слишком недостаточно.

Ниже предлагается систематический подбор задач на построение, который должен восполнить имеющийся пробел в существующей школьной литературе.

Отсутствие достаточного количества задач на вычисление должно сделать необходимым решение задач на построение. Систематическое же решение задач на построение будет способствовать развитию пространственного воображения гораздо больше, чем решение задач на вычисление, так как в последних, как правило, очень много задач, решение которых сводится к применению теоремы Пифагора. Числовое содержание может отвлекать ученика от самой геометрической конструкции, в то время как в задачах на построение геометрическая конструкция оказывается на первом месте.

Чем же объяснить такой факт, что большинство не только русских, но и иностранных учебников геометрии изложение свойств, связанных с понятием перпендикулярности, ставит в самом начале стереометрии?

Ответ на этот вопрос может быть только один — огромный авторитет, которым пользовались «Начала Евклида» в течение многих веков.

Интересны в этом отношении слова историка Монтюкла:

«Напрасно старались,— говорит Монтюкла,— разные геометры, которым не нравилось расположение Евклида, переменить его порядок. Их бессильные попытки доказали, насколько трудно изменить связь, устроенную этим древним геометром, не ослабляя силы доказательств» 15 (205).

Рассмотрение различных изданий учебника Лежандра 7, 8, 12 показывает, что в первых изданиях имеем почти точное копирование евклидовского порядка предложений, который Лежандр все больше и больше менял в дальнейшем. Все же Лежандр коренным образом не изменил порядка изложения.

Во Франции впервые порядок Евклида подвергся наибольшим изменениям, и во Франции также впервые в программе лицеев и колледжей рассмотрение параллельного расположения прямых и плоскостей было поставлено раньше вопросов, связанных с перпендикулярностью 10 (стр. 9 — 34).

§ 2. Обозначения

Нам кажется своевременным поднять вопрос о введении единой системы обозначений в курсе геометрии.

До сих пор точки, прямые и плоскости обозначаются почти одинаково.

Было бы удобнее:

Точки обозначать заглавными латинскими буквами Л, ß, С, d и т. д.

Прямые малыми — я, Ьу с, d...

Плоскости греческими буквами а, ß, -у, Ъ.

Кроме распространенных символов, отмечающих параллельность ||, перпендикулярность JL и наличие пересечения х . следовало ввести знак указывающий на принадлежность геометрических элементов. Точка А лежит на прямой а

Прямая а лежит на плоскости

Точка А лежит на плоскости

При сокращенной записи доказательств можно пользоваться символом

который заменит слово — следовательно* Запись

можно расшифровать так: из того, что две прямые а и Ь параллельны третьей прямой с, следует, что прямые а и Ь параллельны.

Имеет смысл введение знака отрицания.

Можно записать факт, что точка А не лежит на прямой д, так:

Знак V, поставленный сверху знака принадлежности, отрицает отмеченную принадлежность.

* Символ .*. можно встретить во многих иностранных учебниках элементарной геометрии.

Если а не перпендикулярно b, то это можно записать так:

Употребление перечисленных знаков упростит запись условий, а также и самих доказательств на доске.

Не будет необходимости отмечать словами тот факт, что задана именно плоскость.

Буква « содержит в себе это дополнительное соображение.

Запишем условия теоремы 2 (см. ниже), пользуясь этими обозначениями

В этой теореме известно, что прямые а и Ь параллельны и прямая а пересекает плоскость е. Необходимо доказать, что и вторая прямая Ь тоже пересекает плоскость а.

Аналогичных примеров можно привести очень много. В удобстве подобной записи каждый легко может убедиться, применив ее на практике.

ГЛАВА. II. ИЗЛОЖЕНИЕ КУРСА

Общие соображения

Предлагаемое изложение первых глав стереометрии после перечисления аксиом плоскости и следствий из них (§ 1) излагает несколько теорем, относящихся к прямым, параллельным между собой (§ 2).

Принятый порядок изложения дает возможность угол между скрещивающимися прямыми определить почти в самом начале стереометрии. В учебнике Киселева 4 (изд. 1939 г.) угол между скрещивающимися прямыми определен лишь в § 46, но это можно было сделать без всяких изменений в предшествующих частях курса сразу после § 18.

Наличие понятия скрещивающихся прямых дает возможность ряд доказательств или упростить (см. теоремы 23 (24) о трех перпендикулярах) или сдзлать более общим (см. теоремы 14 — признак перпендикулярности прямой и плоскости).

С другой стороны, скрещивающиеся прямые дают большой материал для упражнений, и поэтому, чем раньше ученик сможет решать задачи, связанные с определением угла между скрещивающимися прямыми, тем лучше.

В § 2 теорема 2 позволила доказательство теоремы 3 (две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой) упростить по сравнению с тем доказательством, которое имеется в учебнике Киселева 4 (§ 13, стр. 6— 7).

Переходя к § 3, следует отметить важность для дальнейшего построения курса и особенно для задач на построение теорема 6.

В § 5 (прямая, перпендикулярная плоскости) некоторые упрощения сделаны в доказательстве теорем 15—16.

Мы нашли более естественным угол между прямой и плоскостью определять в том же разделе курса, в котором говорится о прямых и плоскостях, т. е. в § 5. Чтобы это было возможным, пришлось доказать в § 5 теорему 22 (проекция прямой на плоскость есть прямая).

В программе по стереометрии для IX класса (9, стр. 18) в отдельный параграф 5) выделены теоремы, относящиеся к зависимости между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей. Доказательство этих теорем (теоремы 17, 18, 19, 20) удалось несколько упростить по сравнению с имеющимися в стабильном учебнике (Киселев, § 31, 32, 33, 34, стр. 12—13). Кроме этих четырех теорем следствие 2 к теореме 15 и теорема 30 также выясняют зависимость между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей.

Теоремы 10, 15 и 16, хотя и непосредственно не указанные в программе9, являются очень важным материалом. Нельзя же изучать свойства геометрической конструкции, не будучи уверенным в том, что она может быть построена. В учебнике Киселева (4 § 20, стр. 8, § 35, 36, стр. 13—14) эти теоремы составляют часть соответствующих задач на построение, дефекты которых были указаны выше.

Следует отметить, что объем материала, предлагаемого ниже (глава II), несколько больше, чем в стабильном учебнике. Те теоремы или следствия, которые отсутствуют в стабильном учебнике и могут быть пропущены без ущерба для дальнейшего изучения, отмечены звездочкой.

Автор просит учителей, которые будут при изложении первых глав стереометрии в школе пользоваться предлагаемым ниже материалом, сообщить свои пожелания и замечания.

§ 1. Определения положения плоскости*

Определение. Плоскостью называется поверхность, обладающая тем свойством, что всякая прямая, соединяющая две ее точки, лежит в ней целиком.

(Адамар, § 325, стр. 15)

Аксиома 1. Через всякие три точки пространства проходит плоскость.

(Адамар, § 325, стр. 15)

Теорема 1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит только одна плоскость.

(Док. Адамар, § 326, стр. 15)

Интересно отметить, что аксиома 1 в формулировке Адамара допускает случай, когда три точки лежат на одной прямой, так как аксиома утверждает, что через три любые точки можно провести плоскость. Следовательно, можно провести плоскость и через три точки, лежащие на одной прямой.

Теорема, следующая непосредственно за этой аксиомой, выясняет то взаимное расположение трех точек, при котором плоскость, проведенная через них, будет единственная.

Следствие 1. Прямая и точка вне ее определяют плоскость.

Следствие 2. Две пересекающиеся прямые определяют плоскость.

* Ввиду распространенности учебника Киселева 4 доказательства, заимствованные из него, не приводятся.

Следствие 3. Две параллельные прямые определяют плоскость.

Здесь следует указать ученикам, что определение параллельных, прямых в пространстве содержит условие, что эти прямые лежат в одной плоскости.

Следствие 4. Через данную прямую проходит бесчисленное множество плоскостей.

Здесь следует отметить, что в пространстве из внешней точки на прямую можно опустить только один перпендикуляр, но восстановить из точки, лежащей на прямой, их можно бесчисленное множество.

ф Следствие 5. Если фигура обладает тем свойством, что прямая, соединяющая две ее точки, целиком принадлежит этой фигуре, то данная фигура будет:

или прямой линией,

или плоскостью,

или состоять из всех точек пространства.

(Док. Адамар, § 327, стр. 16) Аксиома 2. Две различные плоскости, имеющие общую точку, имеют общую прямую.

Перед тем как переходить к доказательству дальнейших теорем, необходимо рассмотреть вопрос о том, сколько различных взаимных расположений прямых и плоскостей мы имеем в пространстве, разобрав все нижеперечисленные случаи.

A. Две различные прямые могут быть:

1) пересекающимися,

2) параллельными,

3) скрещивающимися.

B. Прямая и плоскость:

1) прямая может лежать в плоскости,

2) прямая может пересекать плоскость,

3) прямая и плоскость могут быть взаимно параллельны. (Возможность построения прямой параллельной плоскости будет доказана в теореме 5).

C. Две различные плоскости могут:

1) пересекаться по прямой,

2) быть параллельными (возможность построения параллельных плоскостей доказывается в теореме 9).

При наличии времени желательно рассмотреть вопрос о взаимном расположении трех плоскостей (Адамар, § 333, стр. 19). Это было бы полезной подготовкой к изучению многогранных углов.

§ 2. Параллельные прямые

Теорема 2. Плоскость, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и другую.

Пусть прямая а пересекает плоскость а в точке А (черт. 1). Проведем через параллельные прямые а и Ь плоскость р (теорема 1, следствие 3)*. Плоскость ß, имея с плоскостью а общую точку 4, пересекается с ней по некоторой прямой m (аксиома 2).

Прямая m, находясь в плоскости ß и пересекая прямую а, будет пересекать и параллельную ей прямую Ь. Эта точка пересечения В и будет точкой пересечения прямой Ь с плоскостью а.

Теорема 3. Две прямые а и Ъ, параллельные третьей прямой с, параллельны между собой.

Чтобы установить параллельность прямых а и Ь, достаточно показать, что они лежат в одной плоскости и, кроме того, не пересекаются.

Покажем сначала, что прямые а и Ь лежат в одной плоскости.

С этой целью проведем через прямую а и какую-нибудь точку В прямой Ь плоскость а (черт. 2).

Эта плоскость будет содержать также и всю прямую Ь. Действительно, если бы плоскость пересекала прямую о, то она пересекала бы ей параллельную с, а пересекая с, она пересекала бы ей параллельную а\ но мы знаем, что она ее содержит, следовательно, прямые а и Ь лежат в одной плоскости.

Теперь остается показать, что прямые а и Ь не могут пересекаться, т. е. что они параллельны.

Если бы прямые а и Ь имели общую точку, то через нее проходили бы две параллельные к с, что невозможно. Итак, теорема доказана. Теорема 4. Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны.

(Док. Киселев, § 18, стр. 7—8) Определение угла между двумя скрещивающимися прямыми (Киселев, § 46, стр. 18).

Следствие. Если прямая а перпендикулярна к прямой b, то она перпендикулярна ко всякой прямой, параллельной прямой Ь.

Здесь следует указать на то, что под словами «перпендикуляр к прямой» мы будем понимать прямую, не только перпендикулярную к данной прямой, но и пересекающую ее.

Черт. 1

Черт. 2

* Для большей строгости доказательства в этом месте можно отметить то, что плоскость ß заведомо отлична от плоскости «, так как прямая а, лежа в плоскости а, имеет с плоскостью ß только одну общую точку (на черт. 1 точка А). Также почти очевидно, что прямая b не может лежать в плоскости а, так как в этом случае плоскости а и ß, имея общую точку А и прямую b, совпали бы.

§ 3. Прямая и плоскость, параллельные между собой

Теорема 5. Если прямая о, не лежащая в плоскости а, параллельна какой-нибудь прямой я, расположенной в плоскости а, то прямая Ь параллельна плоскости а.

Если бы плоскость а пересекла прямую Ь, то, в силу теоремы 2, она должна была бы пересечь и прямую а, что противоречит условию.

Примечание. Эту теорему можно рассматривать как признак параллельности прямой и плоскости

Теорема 6. Если через точку M плоскости а провести прямую m, параллельную прямой я, которая или параллельна плоскости а или лежит в ней, то прямая m будет лежать в плоскости а.

Если бы прямая m не лежала в плоскости ж, то плоскость а, пересекая ее в точке Af, должна была бы пересечь и прямую а (теорема 2), что противоречит условию.

Теорема 7. Если прямая а параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей « и ß, то она параллельна линии их пересечения т. Через точку M (черт. 3) прямой пересечения плоскостей а и ß проведем прямую m, параллельную а. На основании предшествующей теоремы заключаем, что эта прямая лежит как в плоскости «, так и в плоскости ß, следовательно совпадает с прямой т.

Теорема 8. Если плоскость а проходит через прямую т, параллельную другой плоскости ß, и пересекает плоскость ß, то их линия пересечения параллельна данной прямой.

(Док. Киселев, §11, стр. 6)

§ 4. Параллельные плоскости

Как следствие из определения параллельных плоскостей можно высказать такое предложение:

Плоскость, параллельная другой плоскости, параллельна всем прямым, лежащим в этой плоскости.

Действительно, если бы плоскость имела общую точку С с одной из этих прямых, то эта общая точка принадлежала бы обеим плоскостям.

Обратно, если плоскость параллельна всем прямым, лежащим в другой плоскости (отличной от первой), то она параллельна этой плоскости.

Действительно, если обе плоскости имели бы общую точку, то через эту точку проходили бы прямые, лежащие во второй плоскости и пересекающие первую.

Теорема 9. Если две пересекающиеся прямые а и Ь одной плоскости а соответственно параллельны двум прямым а' и Ь' другой плоскости а', то эти плоскости параллельны.

(Док. Киселев, § 15, стр. 7)

Примечание. Эту теорему можно рассматривать как признак параллельности двух плоскостей.

Следствие. Углы с соответственно параллельными сторонами лежат в параллельных плоскостях.

Теорема 10. Через точку А, находящуюся вне плоскости а, можно провести только одну плоскость ß, параллельную данной.

Проведем в плоскости а две произвольные, но пересекающиеся прямые а и Ь. Далее, через точку А проведем прямые а' и Ь\ соответственно параллельные прямым а и Ь. Прямые а' и У определят плоскость ß || а (теорема 9).

Теперь докажем, что через точку А нельзя провести второй плоскости, параллельной плоскости «.

Допустим, что такая плоскость у проведена, К этой плоскости у должны принадлежать прямые а' и Ь\ так как каждая из них имеет с плоскостью y общую точку А и, кроме того, они соответственно параллельны прямым а и Ь, параллельным плоскости y ( еорема 6).

Мы видим, что плоскость у, имея с плоскостью ß общие две пересекающиеся прямые а и Ь, должна с нею совпадать.

Итак, через любую точку, лежащую вне плоскости а, можно провести единственную плоскость ß, параллельную плоскости «.

Теорема 11. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то их линии пересечения параллельны.

(Док. Киселев, § 16, стр. 7)

Теорема 12. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

(Док. Киселев § 17, стр. 7)

Теорема 13. Три параллельные плоскости отсекают на произвольных секущих пропорциональные отрезки.

Пусть а, ß и у три параллельные плоскости (черт. 4).

Рассмотрим две прямые, пересекающие эти плоскости.

1) Если эти прямые лежат в одной плоскости, то справедливость теоремы вытекает из аналогичной теоремы планиметрии (Киселев, ч. 1, § 54, стр. 30). В этом легко убедиться, рассмотрев на черт. 4 прямые а и с, имеющие общую точку M, а также параллельные прямые Ь и с. В каждом из этих двух случаев плоскости, определяемые парами прямых (а и с, Ь и с), пересекают заданные плоскости по трем | параллельным прямым (теорема 11).

2) Если же прямые не лежат в одной плоскости (см. на черт. 4 прямые а и Ь), то сведем этот случай к предыдущему, проведя из какой-нибудь точки M одной из прямых (например прямой а) прямую (с), параллельную

Черт. 3

второй прямой. Так как отношение отрезков, отсекаемых на прямых а и Ь, равны аналогичному отношению отрезков на прямой с, то» эти отношения равны между собой.

§ 5. Прямая и плоскость, перпендикулярные между собой

Теорема 14. Если прямая т, пересекающаяся с плоскостью а, перпендикулярна к каким-нибудь двум пересекающимся прямым а и b, лежащим в плоскости а, то она перпендикулярна ко всякой третьей прямой с, проведенной в этой плоскости.

1) Сначала рассмотрим случай, когда все три прямые а, Ь и с проходят через точку М, пересечения прямой m с плоскостью *.

(Док. Киселев, § 23, стр. 9)

2) Если прямые а, Ь, с не проходят через точку М, то проводим через нее в плоскости « прямые а', b\ с', соответственно им параллельные.

Прямая m перпендикулярна к прямым а и Ь, поэтому она будет перпендикулярна и к параллельным им прямым а' и b\ a следовательно, на основании доказанного выше, и к прямой с'. Если же прямая m перпендикулярна к прямой с', то она будет перпендикулярна и к параллельной ей прямой с.

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Следствия из определения.

Следствие 1. Прямая а, перпендикулярная к плоскости а, непременно ее пересекает.

Действительно, прямая а, параллельная плоскости « или лежащая в ней, не может быть к ней перпендикулярна, так как в каждом из этих двух случаев можно в плоскости а указать такую прямую, к которой прямая а не будет перпендикулярна.

£г Следствие 2. Прямая а, перпендикулярная к плоскости а, перпендикулярна ко всем прямым, параллельным этой плоскости.

Например, прямая а, перпендикулярная к плоскости а (черт. 5) и пересекающая ее в точке М, перпендикулярна к прямой Ь, параллельной этой плоскости. Действительно, через точку M проходит прямая b'\\b и лежащая в плоскости а (теорема 6). Угол между прямыми а и Ь\ которым измеряется угол между прямыми а и b, будет прямым.

Следствие 3. Плоскость а, перпендикулярная к некоторой прямой, перпендикулярна к всякой прямой, параллельной этой прямой. Действительно, любая прямая плоскости а, будучи перпендикулярна к первой прямой, перпендикулярна и к второй.

^ Следствие 4. Для того, чтобы прямая а была перпендикулярна к плоскости а, достаточно, чтобы она была перпендикулярна к двум прямым b и с, параллельным плоскости а, но не параллельным между собой.

Примечание. Теорему 14 можно рассматривать как признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Определение. Прямая, пересекающая плоскость, ноне перпендикулярная к ней, называется наклонной к этой плоскости. Точка пересечения прямой с плоскостью называется основанием перпендикуляра или наклонной.

Теорема 15. Через всякую точку А пространства можно провести плоскость а, перпендикулярную прямой а, и притом только одну.

Рассмотрим отдельно случаи, когда точка А лежит и когда не лежит на прямой а.

1) Точка А лежит на прямой а.

Проведем через точку А две произвольные плоскости ß и у (черт. 6). В каждой из этих плоскостей восставим в точке А перпендикуляры к прямой а. Пусть это будут прямые b и с.

Эти две пересекающиеся прямые b и с определят плоскость, которая будет перпендикулярна к прямой а в точке А (см. предшествующую теорему).

Допустим теперь, что через точку А можно провести другую плоскость а', тоже перпендикулярную к а.

Эта плоскость «' пересечется с каждой из плоскостей ß и у по некоторой прямой (аксиома 2) Обозначим их У и с' (черт. 6).

Эти две прямые Ь' и с' должны совпадать соответственно с b и с, так как в противном

Черт. 4

Черт. 5

случае в каждой из плоскостей ß и у к прямой а в точке Л можно было бы восставить по два перпендикуляра, что, конечно, невозможно.

Мы видим, что плоскость а' должна проходить через те же две пересекающиеся прямые, что и плоскость а, следовательно плоскость а' совпадает с плоскостью а.

Итак, через точку, лежащую на прямой, можно провести только одну плоскость, перпендикулярную к этой прямой.

2) Точка А не лежит на прямой д. Возьмем на прямой а произвольную точку А. Через нее проведем плоскость а', перпендикулярную прямой а. Такая плоскость может быть только одна (черт. 7).

Теперь через точку А проведем плоскость а II а' (теорема 10). Эта плоскость а будет перпендикулярна к прямой а (следствие 3 из определения прямой, перпендикулярной к плоскости).

Предположим, что через точку А можно провести вторую плоскость ß, также перпендикулярную к прямой а.

Эта плоскость ß должна пересечь прямую а в той же самой точке В, в которой ее пересекает и плоскость а, так как в противном случае из точки А на прямую а было бы опущено два перпендикуляра.

Если же плоскость ß пересекается с прямой а в той же самой точке, что и плоскость а, то обе плоскости должны совпадать, так как мы уже показали (случай 1), что через данную точку, лежащую на прямой, можно провести к прямой лишь одну плоскость, к ней перпендикулярную.

•fr Следствие 1. Bce перпендикуляры к прямой I, восставленные в какой-нибудь ее точке А, лежат в одной плоскости а.

Проведем плоскость а, перпендикулярную к прямой I в точке А (черт. 8). Если предположить, что прямая а перпендикулярна к прямой I и не лежит в плоскости «, то в плоскости ß, определяемой прямыми а и I, в точке А к прямой I будут восставлены два перпендикуляра а и Ь.

& Следствие 2. Прямая а и плоскость а, перпендикулярные к одной и той же прямой/, параллельны.

Через точку пересечения плоскости « и прямой I проведем прямую а\ параллельную прямой а. Она будет перпендикулярна к прямой / и, следовательно, будет лежать в плоскости а.

Итак, прямая а оказывается параллельной а' плоскости а, следовательно, прямая а параллельна плоскости а.

Теорема 16. Через всякую точку Л пространства можно провести перпендикуляр а к плоскости а и при том только один.

В этой теореме мы рассмотрим отдельно два случая, т.е. когда точка А лежит и когда не лежит на плоскости а.

1) Точка А лежит на плоскости а.

Через точку А проведем произвольную прямую т. Затем проведем плоскость ß, перпендикулярную прямой m в точке А (черт. 9). Эта плоскость пересечет плоскость л по некоторой прямой п. В плоскости ß к прямой п восставим в точке А перпендикуляр ß, который и будет искомым перпендикуляром к плоскости а, так как он перпендикулярен к прямым m и /2, лежащим в плоскости а.

Предположим теперь, что кроме прямой а можно провести прямую а', тоже перпендикулярную к плоскости а (черт. 10).

Так как прямые а и а' пересекаются в точке Л, то через них можно провести плоскость ß. Эта плоскость пересечет плоскость а по некоторой прямой /. Прямые а и а? должны совпадать, так как в противном случае в плоскости ß к прямой I в точке А было бы восставлено два перпендикуляра. 2) Точка А не лежит на плоскости а. Через произвольную точку Л' плоскости а проводим прямую а'_]_а (черт. 11). Затем через точку Л проводим прямую а \\ а\ которая и будет искомым перпендикуляром (следствие 3 из

Черт. 6

Черт. 7

Черт. 8

Черт. 9

Черт. 10

определения прямой, перпендикулярной к плоскости).

Теперь предположим, что через точку А можно провести вторую прямую bt отличную от я, тоже перпендикулярную к плоскости а. Так как прямые а и b пересекаются, то через них можно провести плоскость ß. Эта плоскость пересечет плоскость а по некоторой прямой m (черт. 12). Прямые а и b должны совпадать, так как в противном случае из точки А на прямую m было бы опущено два перпендикуляра.

Теорема 17. Плоскость а, перпендикулярная к прямой я, перпендикулярна ко всякой прямой Ь, параллельной прямой а.

Это предложение можно рассматривать как следствие из определения прямой, перпендикулярной к плоскости. Действительно, любая прямая плоскости а, будучи перпендикулярна к прямой я, перпендикулярна и к прямой Ь.

Теорема 18. Две прямые а и Ь, перпендикулярные к одной и той же плоскости а, параллельны.

Это предложение вытекает из теоремы 16. Действительно, если провести через произвольную точку прямой а прямую я', параллельную прямой Ь, то эта прямая совпадет с прямой а.

Теорема 19. Прямая а, перпендикулярная к плоскости а, перпендикулярна ко всякой плоскости ß, параллельной плоскости а.

Это предложение может быть получено как следствие из определения прямой, перпендикулярной к плоскости. Действительно, любая прямая, лежащая в плоскости (3, параллельна плоскости а и потому перпендикулярна прямой а.

Теорема 20. Две плоскости а и /3, перпендикулярные к одной и той же прямой I, параллельны.

Это предложение вытекает из теоремы 15.

Действительно, если через какую-нибудь точку плоскости а провести плоскость а', параллельную плоскости /3, то эта плоскость будет также перпендикулярна к прямой /, а потому совпадет с плоскостью а.

Теорема 21. Если из точки, лежащей вне плоскости, провести к этой плоскости перпендикуляр и различные наклонные, то

1° перпендикуляр короче всякой наклонной;

2° две наклонные, основания которых одинаково удалены от основания перпендикуляра, равны;

3° из двух наклонных длиннее та, основание которой дальше отстоит от основания перпендикуляра.

1°. Из точки О (черт. 13) проведем к плоскости а перпендикуляр ON и наклонную OA. В треугольнике ONA сторона ON катет, а OA гипотенуза, следовательно ON < ОЛ.

2°. Наклонные OA и OB обладают тем свойством, что NA = NB. Прямоугольные треугольники ON А и ONB равны по двум катетам. Следовательно, равны и гипотенузы OA = OB.

3°. Если наклонные OA и ОС обладают тем свойством, что NA < NC, то отложим на NC отрезок NB = NA. Наклонная OB будет равна наклонной OA (2°) и меньше наклонной ОС (Киселев, ч. 1, § 54, стр. 30).

Определение. Расстоянием точки от плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. В силу предыдущей теоремы эта длина есть кратчайший путь от точки до плоскости.

Определение. Прямоугольной (или ортогональной) проекцией какой-нибудь точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного на эту плоскость из данной точки.

В дальнейшем всюду мы будем писать вместо «прямоугольная проекция» сокращенно «проекция».

Определение. Проекцией какой-нибудь линии на плоскость называется геометрическое место проекций всех точек этой линии.

Теорема 22. Проекция прямой на плоскость есть прямая. Построим проекции двух каких-нибудь точек А и В прямой а. Пусть это будут точки Л, и (черт. 14), которые на плоскости а определяют прямую я,.

Д| a перпендикуляра, при помощи которых мы проектировали точки А и В на плоскость а, параллельны друг к другу (теорема 18)*. Следовательно, они определяют некоторую плоскость ß, в которой лежат также прямые я и я,, так как каждая из них имеет с плоскостью ß по паре общих точек.

Чтобы установить справедливость теоремы, нам достаточно показать, что проекция некоторой произвольной точки M прямой я ле-

Черт. 11

Черт. 12

Черт. 13

* Эти рассуждения теряют смысл, когда прямая а перпендикулярна к плоскости а. В этом случае все перпендикуляры, опущенные из точек прямой а на плоскость а, сольются с прямой а (теорема 16, случай 2) и ее проекцией будет точка пересечения с плоскостью а.

жит на прямой av Тогда будет также доказано, что проекция прямой а есть ах.

Для построения проекции точки M надо из этой точки опустить на плоскость а перпендикуляр MMit который будет параллелен прямой ЛЛ,.

Прямые MMt и ААи как параллельные, определяют плоскость, которая совпадает с плоскостью ß, так как имеет с нею три общие точки Л, Л, и М.

Следовательно, перпендикуляр, опущенный из точки М, лежит в плоскости ß и пересечет поэтому плоскость а в некоторой точке Af, прямой av

Теорема 23. Прямая m, проведенная на плоскости а через основание наклонной а перпендикулярно к ее проекции я, перпендикулярна и к самой наклонной.

Из произвольной точки N наклонной а опустим перпендикуляр п на плоскость « (черт. 15).

Этот перпендикуляр пересечет прямую а\ так как последняя является проекцией прямой а. Итак, прямые a, а' и п лежат в одной а той же плоскости ß.

Прямая m перпендикулярна к этой плоскости, так как она перпендикулярна к двум прямым а' и п, лежащим в ней. Следовательно, она перпендикулярна и к прямой а.

Теорема 24. Прямая m, проведенная на плоскости а через основание наклонной а перпендикулярно к ней, перпендикулярна также и к ее проекции а\

Рассматривая чертеж 15, построенный при доказательстве предшествующей теоремы, замечаем, что прямая m перпендикулярна к прямым п и а плоскости Э, следовательно она перпендикулярна и к прямой а', лежащей в плоскости ß.

Теорема 25. Острый угол между наклонной а и ее проекцией на плоскость а есть наименьший из всех острых углов, которые наклонная образует с прямыми, проведенными на плоскости «.

Если проведение на плоскости а прямая m проходит через основание наклонной, то доказательство по Киселеву (§ 48, стр 19). Если же прямая m не проходит через основание наклонной, то предварительно нужно провести прямую т! || m через упомянутую точку.

Определение. Острый угол, который наклонная прямая а образует со своей проекцией а' на плоскость а, называется углом между прямой а и плоскостью а,

& Следствие 1. Угол, который наклонная образует с плоскостью, есть угол дополнительный до 90° к острому углу, образованному этой прямой с перпендикуляром к плоскости.

Следствие 2. Проекция отрезка на плоскость равна длине отрезка, умноженной на косинус угла, образуемого отрезком с плоскостью проекций.

§ 6 Двугранные углы

Определение двугранного угла

Две пересекающиеся плоскости образуют фигуры, называемые двугранными углами.

Так, например, две пересекающиеся плоскости а и ß (черт. 16) образуют четыре двугранных угла. Каждый из них ограничен двумя полуплоскостями и их общей прямой I.

Итак, двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями, ограниченными общей прямой.

Определение линейного угла двугранного угла (Киселев, § 38, стр. 15 или Адамар, § 358, стр. 35).

Следствие. Величина линейного угла зависит только от рассматриваемого двугранного угла, а не от положения его вершины на ребре (Киселев, § 38, стр. 16).

Определение равенства двугранных углов, смежных, вертикальных, прямых двугранных углов (Киселев, § 39, стр. 16).

Теорема 23. 1) Равным двугранным углам соответствуют равные линейные углы.

Черт. 14

Черт. 15

Черт. 16

2) Большему двугранному углу соответствует больший линейный.

(Док. Киселев, § 39, стр. 16) Теорема 27. 1) Равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.

2) Большему линейному углу соответствует больший двугранный угол.

Следствие 1. Прямому двугранному углу соответствует прямой линейный угол и обратно.

Следствие 2. Все прямые двугранные углы равны.

Следствие 3. У прямого двугранного угла сторона линейного угла, лежащая в одной плоскости, является перпендикуляром к другой плоскости.

На черт. 17 прямые а и b образуют линейный угол прямого двугранного угла, а I его ребро. Нетрудно видеть, что прямая а перпендикулярна плоскости ß, так как она перпендикулярна к прямым b и I, лежащим в этой плоскости. С другой стороны, прямая Ь, будучи перпендикулярна к прямым а и I, лежащим в плоскости а, перпендикулярна к ней.

& Теорема 28. Отношение двух двугранных углов равно отношению их линейных углов.

(Адамар, § 362, стр. 38)

Следствие. Если за единицу меры двугранного угла принять двугранный угол, которому соответствует линейный угол, принятый за единицу, то любой двугранный угол будет измеряться тем же числом, что и его линейный угол.

Определение перпендикулярных плоскостей (Киселев, § 42, стр. 17 или Адамар, § 363, стр. 39).

Теорема 29. Если плоскость а проходит через перпендикуляр к плоскости ß, то плоскость а перпендикулярна к плоскости ß.

Если плоскость а проходит через прямую а, перпендикулярную к плоскости ß, то линейный угол лю'ого двугранного угла, образуемого данными плоскостями, прямой (черт. 17).

Примечание. Теорему 29 можно рассматривать как признак перпендикулярности двух плоскостей.

Теорема 30. Перпендикуляр, опущенный из произвольной точки Л плоскости а на плоскость ß, перпендикулярную а, целиком лежит в плоскости а.

Чтобы убедиться в этом, построим линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями а и ß (черт. 18), так, чтобы одна его сторона прошла через точку А. Эта сторона лежит в плоскости а и является перпендикуляром к плоскости ß (следствие 3 к теореме 27).

Но так как из точки на плоскость можно опустить только один перпендикуляр (теорема 16), то таким образам теорему можно считать доказанной.

Теорема 31. Плоскость а и прямая а, перпендикулярные одной плоскости ß, параллельны.

Через некоторую точку плоскости а проведем прямую Ь, перпендикулярную к плоскости ß. Эта прямая b будет лежать в плоскости а и будет параллельна а прямой (теорема 18). Следовательно, плоскость а параллельна прямой а.

Теорема 32. Если две пересекающиеся плоскости а и ß перпендикулярны к третьей плоскости у, то линия пересечения I первых двух плоскостей перпендикулярна третьей.

Действительно, если через какую-нибудь точку А (черт. 19) линии пересечения и плоскостей а и ß проведем перпендикуляр к плоскости y. то этот перпендикуляр, согласно построению предшествующей задачи, будет лежать как в плоскости а, так и в плоскости ß. Следовательно, он сольется с промой I.

Теорема 33. Площадь проекции плоской фигуры на некоторую плоскость равна площади проектируемой фигуры, умноженной на косинус угла между двумя плоскостями.

(Док. Адамар, § 381, стр. 48-49)

§ 7. Трехгранные углы

Три луча a, b и с (черт. 20), выходящие з одной точки S и не расположенные в одной плоскости, образуют три плоских угла ab, be и ca. Каждая пара этих лучей — а с b, b с с и с с а определяют по плоскости. Части этих плоскостей, ограниченные парами лучей и называемые гранями, образуют трехгранный угол (черт. 20).

Полупрямые называются ребрами, а их общая точка

Черт. 17

Черт. 18

Черт. 19

Черт. 20

8 — вершиной трехгранного угла. Углы, заключенные между ребрами, называются плоскими углами трехгранного угла. И, наконец, в трехгранном угле можно рассматривать три двухгранных угла, образованные парами граней.

Можно еще иначе представить себе образование трехгранных углов.

Две пересекающиеся плоскости аир образуют четыре двугранных угла. Если через какую-нибудь точку M линии их пересечения I провести третью плоскость у (черт. 21), не содержащую прямой /, то она разделит каждый из четырех двугранных углов на два трехгранных.

Таким образом, три пересекающиеся в одной точке плоскости образуют восемь трехгранных углов.

Определение. Три плоских угла, не лежащие в одной плоскости, но имеющие общую вершину и попарно общие стороны, образуют фигуру, называемую трехгранным углом.

Теорема 34. Во всяком трехгранном угле любой плоский угол меньше суммы двух других и больше их разности.

(Док. Адамар, § 390 стр. 60 или Киселев, ч. 2, § 50, стр. 20)

Простейшие случаи равенства трехгранных углов

ft Теорема 35. Трехгранные углы равны, если они имеют:

1) по равному двугранному углу, заключенному между двумя соответственно равными и одинаково расположенными плоскими углами,

или

2) по равному плоскому углу, заключенному между двумя соответственно равными и одинаково расположенными двугранными углами.

(Док. Киселев, ч. 2, § 52, стр. 21-22)

§ Т. Многогранные углы

Возьмем плоский многоугольник (например ABCDE, черт. 22) и точку S вне плоскости л, содержащей этот многоугольник. Проведем полупрямые из точки S через все вершины многоугольника.

Каждая пара полупрямых, проходящих через две соседние вершины, определяет плоскость. Мы считаем принадлежащей к изучаемой фигуре ту часть этой плоскости, которая содержится между этими полупрямыми.

Полученная фигура называется многогранным углом.

Точка S — вершина многогранного угла. Лучи, выходящие из нее, — ребра. Части плоскостей, заключенные между парами лучей, проходящими через две соседние вершины,— грани многогранного угла, а углы, определяемые этими парами лучей, — плоские углы многогранного угла.

Каждая пара соседних граней определяет двугранный угол. Таких углов будет столько же, сколько и ребер.

Если многоугольник ABCDE выпуклый, то и построенный при его помощи многогранный угол называется выпуклым.

Определение. Фигура, образованная несколькими плоскими углами, не лежащими в одной плоскости, но имеющими общую вершину и попарно общие стороны, называется многогранным углом.

Многогранный угол называется выпуклым, если он целиком расположен по одну сторону от неограниченно продолженной плоскости любой из его граней, в противном случае он называется вогнутым.

Если выпуклый многогранный угол пересечь плоскостью, не проходящей через вершину и пересекающей все ребра, то в сечении получим выпуклый многоугольник.

В дальнейшем мы будем рассматривать только выпуклые многогранные углы.

Теорема 36. В выпуклом многогранном угле сумма всех плоских углов меньше 4 d.

(Док. Киселев, ч. 2, § 51, стр. 21)

ГЛАВА. III. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

Общие соображения

Во всех задачах на построение предполагается, что мы умеем:

1) провести плоскость через три точки;

2) построить линию пересечения двух данных плоскостей, если она существует;

3) выполнить в произвольно заданной в пространстве плоскости все построения, известные из планиметрии.

Эти предположения носят несколько условный характер, так как практическое осуществление этих операций затруднительно.

Черт. 21

Черт. 22

В некоторых задачах второе из предположений не является необходимым, в них условия сформулированы так, что возможно построение линии пересечения двух плоскостей (например в задаче № 77).

Следует различать построения, которые мыслятся выполнимыми в пространстве, и такие построения, которые сводятся при помощи какого-либо метода начертательной геометрии к построениям на плоскости.

Каждый подходящий для этого метод может установить однозначное соответствие между точками пространства и соответствующими элементами (например, парами точек) плоскости.

После того, как получено такое «изображение», безразлично, рассматривать ли пространственную конструкцию как пространственную или только ее отображение на плоскости.

Таким образом, решение задач на построение в начертательной геометрии коренным образом отличается от тех решений, которые мы будем иметь в дальнейшем.

Методы начертательной геометрии позволяют нам отвлечься от фактической пространственной конструкции, сведя решение к ряду условных, в различных проекциях различных, построений.

Совсем не так обстоит дело в нашем случае.

Здесь отсутствие фактического построения заставляет нас фиксировать свое внимание целиком на геометрической конструкции.

Чертеж лишь поясняет ход мысли и иллюстрирует последовательность построений.

В планиметрии разработаны задачи на ограниченной части плоскости или задачи с недоступными элементами.

Примером простейшей задачи такого типа может служить проведение биссектрисы угла, вершина которого считается недоступной и т. п.

В начертательной геометрии тоже существует ряд задач подобного типа, например— проведение плоскости через точку M и линию пересечения плоскостей аир, если последняя отсутствует на эпюре и многие другие.

Некоторым возражением к перенесению подобных задач в курс стереометрии могло бы служить то соображение, что так как решение задач фактически не выполняется, оно лишь воображается выполнимым, то трудно говорить о недоступных элементах, потому что в воображении все доступно. Если заданы две пересекающиеся плоскости, то считается заданной и их линия пересечения и т. д.

Поэтому в дальнейшем, говоря в задачах о недоступных элементах, мы будем подразумевать не фактическую их недоступность, а лишь то, что решение задачи надо выполнить, не пользуясь теми элементами, которые в условии будут указаны как недоступные.

На чертежах, иллюстрирующих ход решения, мы будем «недоступные» элементы изображать пунктиром.

Ввиду условности решения задач на построение в пространстве, следует оговориться, как мы будем понимать ряд требований, поставленных в некоторых задачах.

Говоря: «найти расстояние», мы понимаем, что надо указать построение отрезка, выражающего требуемое расстояние.

В дальнейшем под перпендикуляром к данной прямой мы будем понимать прямую, которая пересекает ее и образует прямой угол.

Говоря же о прямых перпендикулярных, мы, в общем случае, не будем предполагать, что они пересекаются.

Задачи на нахождение геометрических мест следует решать так: сначала выяснить характер искомого геометрического места, а затем построить его.

Во всех задачах следует не только перечислить те построения, при помощи которых можно считать данную задачу решенной, но и постараться выполнить чертеж, иллюстрирующий решение.

Кроме задач на построение и на отыскание геометрических мест, в предлагаемый ниже набор задач включены также упражнения на доказательства.

§ 1. Определение плоскости

1. Дана прямая а и точка Л вне ее. Через точку А провести прямую Ь, параллельную а.

2. Из точки Л, не лежащей на прямой т9 опустить на эту прямую перпендикуляр.

3. Определить расстояние от точки А до прямой т.

4. В точке Л, взятой на прямой га, восставить к этой прямой перпендикуляр. (Задача неопределенная.)

5. Дана прямая а и точка Л вне ее. Через точку Л провести прямую Ь, пересекающую прямую а под данным углом.

6. Провести прямую га так, чтобы все ее точки находились на данном расстоянии от прямой а. (Задача неопределенная.)

Указание. Через прямую а проводим произвольную плоскость а, в которой и строим искомую прямую га.

7. В плоскости а провести прямую га, пересекающую прямые а и Ь.

Указание. Задача имеет одно вполне определенное решение, если прямые а и Ь пересекают плоскость а в различных точках.

Задача не имеет решения, если хотя бы одна из прямых не пересекает плоскость.

Задача неопределенна, если одна из прямых или обе лежат в плоскости а или если обе прямые встречают плоскость в одной и той же точке.

8. Дана плоскость а и точка Л вне плоскости.

Через точку Л провести прямую га, пересекающую плоскость. (Задача неопределенная.)

9. Через прямую а провести плоскость а так, чтобы прямая Ь, по которой плоскость» пересекается с плоскостью ß, прошла через точку M плоскости.

10. Даны: плоскость а, прямая а и точка М. Провести прямую MNP, которая встречала бы плоскость а и прямую а в точках N п Р так, чтобы MP = PN.

11. Какое геометрическое место образуют прямые, пересекающие пару параллельных прямых?

12. Какое геометрическое место образуют прямые, пересекающие прямую m и проходящие через точку Л, не лежащую на прямой ml

Ответ. Плоскость, определяемую точкой А и прямой т, в которой (за исключением точки А) отсутствует прямая I, проходящая через А параллельно m, так как прямая I хотя и проходит через точку А, но прямой m не пересекает.

13. Прямые я и Ъ имеют общую точ<у М. Какое геометрическое место образуют прямые, пересекающие прямые а и Ы

При этом из прямых, встречающих прямые я и Ь в их общей точке Af, принадлежащими к геометрическому месту считаются только те, которые параллельны какой-либо п ямой, встречающей прямые я и Ь в точках, отличных от М.

14. Даны две прямые я и Ь, имеющие общую точку М.

Какое геометрическое место определяют прямые, пересекающее данные прямые и не проходящие через точку Af?

Ответ. Плоскость, определяемую прямыми я и b, в которой отсутствует точка M, так как ни одна из прямых искомого геометрического места по условию через нее не проходит.

15. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

16. Дана прямая я, точка пересечения которой с плоскостью а «недоступна».

В плоскости а через точку M провести прямую b, пересекающую прямую я.

17. Найти на прямой я точку Л, находящуюся на данном расстоянии d от точки пересечения О прямой b с плоскостью а. Разберите случаи:

1) прямая я лежит в плоскости а,

2) прямая я пересекает плоскость а,

3) прямая а параллельна плоскости «.

18. Найти точку А прямой я, лежащей в плоскости а, находящуюся на данном расстоянии d от точки пересечения О прямой Ъ и плоскости а, если эта точка пересечения О «недоступна».

Решение. Первый способ. Через прямую b проводим произвольную плоскость ß, которая пересечет плоскость а по прямой п. Из произвольной точки N прямой b опускаем перпендикуляр на прямую л.

Основание этого перпендикуляра обозначим N'.

Через точку N в плоскости ß проведем прямую b'у образующую с прямой NN' тот же угол, что и прямая b (черт. 23).

Точка О пересечения прямой b с плоскостью а симметрична точке О' относительно прямой mjji и проходящей через N'. Это нетрудно видеть из равенства треугольников ONN' и O'NN'.

Далее строим прямую я', симметрично расположенную с я относительно т, и окружность с' радиуса d с центром в точке О', которая пересечет прямую я' в двух точках А' и В'.

Точки Л и В прямой я, симметричные точкам А' и В', будут искомыми точками.

Задача имеет два решения, если окружность с пересечет прямую а' в двух точках: одно, если она касается ее, и ни одного, если окружность с' и прямая а' не пересекаются.

Второй способ. Через прямую b проводим произвольную плоскость ß, которая пересечет плоскость а по прямой л. Через произвольную точку N прямой b проводим в плоскости ß прямую л' Il Л и откладываем на ней произвольный отрезок NM, из конца которого проводим МО' II Ь. Четырехугольник — NMO'O параллелограм. На прямой лот точки Р пересечения прямых я и л откладываем отрезок РР' = = 00' и через точку Р' проводим прямую я' H я (черт. 24)

Теперь в плоскости а строим окружность радиуса d с центром в точке О'. Из точек пересечения ее с прямой а' проводим пря-

Черт. 24

Черт. 23

мые, параллельные п, до пересечения с прямой а. Точки пересечения этих прямых с прямой а и будут искомыми точками.

19. Даны две прямые а и Ь, лежащие на плоскости а, и точка M вне этой плоскости.

Через точку M провести прямую m, скрещивающуюся с прямыми а и Ь. (Задача неопределенная.)

20. Через точку M провести прямую «, пересекающую две скрещивающиеся прямые .г и Ь.

21. Провести прямую m, пересекающую три попарно скрещивающиеся прямые a, b и с. (Задача неопределенная.)

Возможна ли задача если две из данных прямых лежат в одной плоскости?

22. Провести плоскость а, содержащую данную окружность. Сколько решений имеет эта задача?

23. Через точку M провести прямую л, которая пересекала бы прямую b и окружность с, не лежащие в одной плоскости.

24. Даны две равные окружности, расположенные соответственно в плоскостях а и ß.

На линии I пересечения плоскостей указать такую точку М, чтобы проведенные из нее к окружности касательные были равны.

Каково должно быть взаимное расположение окружностей, чтобы любая точка прямой I была искомой?

25. Даны две пересекающиеся плоскости а и ß. такие, что их линия пересечения I «недоступна».

Провести плоскость у через точку M и прямую I.

Указание. Через точку M проводим произвольную плоскость которая пересекла бы обе да ные плоскости по некоторым прямым а и Ь. Точка N пересечения этих прямых лежит на линии пересечения плоскостей и потому тоже будет «недоступной». В плоссости à строим прямую MN (планиметрическая задача). Эта прямая принадлежит искомой плоскости у, та с как соединяет точку M с некото ой точкой прямой I.

Выполнив аналогичное построение в другой плоскости проведенной через точку М, получим вторую прямую, принадлежащую плоскости у.

26. Даны две прямые а и Ь. Через каждую из них провести по плоскости так, чтобы линия их пересечения лежала в данной плоскости.

27. Даны две пересекающиеся (по прямой \ плоскости а и ß и прямая а на плоскости Через прямую а провести плоскость у, пересекающую плоскость ß по прямой b так, чтобы угол между прямыми b и I имел данную величину.

Может ли этот угол быть прямым?

28. Доказать, что если некоторое число прямых обладает тем свойством, что любые две из них пересекаются, то или все эти прямые проходят через одну точку или все они лежат в одной плоскости.

29. Доказать, что если некоторое число прямых обладают тем свойством, что любые две лежат в одной плоскости, но все они в одной плоскости не лежат, то все прямые или пересекаются в одной точке или взаимно параллельны.

30. Даны три прямые a, b и с. Доказать, что они лежат в одной плоскости н взаимно параллельны, если любая четвертая прямая, пересекающая прямые а и Ь, пересекает и прямую с.

31. Доказать, что если два треугольника ABG и А'В'С\ не лежащие в одной плоскости, обладают тем свойством, ч о соответствующие стороны попарно пересекаются, т. е.

1) три прямые ЛЛ, ВВ и СО проходят через одну точку или попарно параллельны;

2) три упомянутые точки пересечения пар соответственных сторон лежат на одной прямой.

32. На трех прямых a, b и с попарно взаимно перпендикулярных и проходящих через точку М, отложены равные отрезки

Определить периметр и площадь треугольника ABG.

33. Даны четыре точки А, Б, С и Д не лежащие в одной плоскости, причем

Определить величину суммы углов

34. Даны шесть плоскостей таких, что никакие две не параллельны, никакие три не параллельны одной прямой и, наконец, никакие четыре не проходят через одну и ту же точку.

Определить число прямых и точке пересечения.

Ответ: 15 и 20.

§ 2. Прямые, параллельные между собой

35. Построить угол с вершиной в точке Л, равный углу между двумя скрещивающимися прямыми.

36. Прямая m пересекает одну из двух параллельных прямых под углом в 45°. Какой угол составляет прямая m с другой параллельной и должна ли с ней пересекаться?

37. На прямой а отложены от точки А последовательно два произвольных отрезка AB и ВС.

На прямой а! построен произвольный отрезок А'В'. Найти на прямой а' такую точку (7\ чтобы

Прямые а я а' скрещиваются.

38. В двух пересекающихся плоскостях а и р через данные в этих плоскостях две точки А и В провести прямые а и Ь, принадлежащие соответственно этим плоскостям и параллельные между собой.

39. Даны четыре параллельные прямые, из которых никакие три не лежат в одной плоскости. На трех из них указано по точке. Через эти три точки проведена плоскость.

Найти точку пересечения этой плоскости с четвертой прямой.

40. На трех параллельных прямых a, b и с, не лежащих в одной плоскости и пересекающих плоскость а соответственно в точках Л, В и О, от этих точек отложены отрезки данной величины. Концы этих отрезков Л', W, G' образуют некоторый треугольник.

Построить точки пересечения сторон треугольника А'В'С с плоскостью a, a также прямую пересечения плоскости треугольника A'B'G' с плоскостью а.

Каково взаимное расположение трех точек пересечения сторон треугольника А'В'С с плоскостью а?

Разберите следующие случаи:

A. Все отрезки отложены по одну сторону плоскости.

B. Два отрезка расположены по одну сторону плоскости, а третий по другую.

В каждом из этих случаев выполните построение, если:

1) все отрезки различны;

2) два отрезка одинаковы. (Случай В распадается на два. Выполните построение, отложив равные отрезки сначала по одну сторону плоскости a, a затем по разные);

3) все отрезки одинаковы.

41. Даны четыре точки А, В, С и D, не лежащие в одной плоскости.

Доказать, что в четырехугольнике ABCD прямые, соединяющие середины смежных сторон, образуют параллелограм.

42. Даны четыре точки Л,£,G и Д не лежащие в одной плоскости.

Построить четырехугольник, соединяющий середины сторон четырехугольника ABCD, при условии, что вершины А и С «недоступны».

43. Доказать, что противоположные стороны плоского четырехугольника, вписанного в четырехугольник, вершины которого не лежат в одной плоскости, пересекаются на диагоналях последнего.

44. Доказать, что три прямые, соединяющие середины противоположных сторон и середины диагоналей четырехугольника, пересекаются в одной точке и в ней делятся пополам.

Вершины четырехугольника не лежат в одной плоскости.

45. Доказать, что если стороны одного треугольника соответственно параллельны сторонам другого треугольника, то треугольники подобны, а прямые, соединяющие вершины равных углов этих треугольников, пересекаются в одной точке или взаимно параллельны.

§ 3. Прямые, параллельные плоскости

46. Дана плоскость а и прямая а, ей параллельная.

Через точку А плоскости а провести прямую Ь, параллельную прямой а.

47. Через точку M провести прямую л, параллельную прямой а, лежащей на плоскости а.

48. Какое геометрическое место образуют прямые, пересекающие прямую а и параллельные прямой Ь?

49. Через точку Л, находящуюся вне плоскости а, провести прямую, параллельную данной плоскости. (Задача неопределенная.)

50. Через точку Л, лежащую вне прямой т, провести плоскость а, параллельную прямой т. (Задача неопределенная.)

51. Через две точки Л и В провести плоскость а, параллельную прямой т.

52. Через прямую а провести плоскость а, параллельную прямой Ь.

53. Между прямой а и плоскостью а поместить отрезок AB данной длины d и параллельной прямой Ь.

54. Через точку Л провести плоскость «, параллельную двум прямым а и Ь.

55. Провести прямую т, параллельную прямой а и пересекающую прямую Ь и окружность с.

Указание. Через прямую Ь проводим плоскость «, параллельную прямой а, которая пересечет плоскость ß, в которой лежит окружность (7, по прямой п (черт. 25).

Из точек пересечения прямой п и окружности с проводим прямые m и т\ параллельные прямой а; они и будут искомыми.

56. Через точку А плоскости а провести прямую а, принадлежащую этой плоскости и параллельную плоскости ß.

57. Через точку Л провести прямую m, одновременно параллельную двум пересекающимся плоскостям « и р.

58. В плоскости а провести прямую я, параллельную плоскости ß и пересекающую прямую Ь.

59. Через точку M провести прямую я, пересекающую прямую b и параллельную плоскости а.

60. Через каждую из двух скрещивающихся прямых а и b провести плоскость так, чтобы линия пересечения I двух построенных плоскостей была параллельна прямой с.

61. На двух не параллельных плоскостях взято по точке. Через эти две точки провести плоскость, параллельную общей прямой данных плоскостей.

62. Через прямую а провести плоскость а так, чтобы прямые, по которым она пересечется с плоскостями ß и у, были взаимно параллельны.

63. Через точку А провести прямую л, пересекающую плоскость а и параллельную ей прямую m так, чтобы отрезок прямой а, заключенный между плоскостью а и прямой т, имел данную длину.

64. Провести прямую т, пересекающую две прямые а и b и параллельную третьей прямой с.

65. Провести прямую mt пересекающую две скрещивающиеся прямые а и b и параллельную двум плоскостям а и р.

66. Провести прямую m, пересекающую две прямые а и b и параллельную плоскости а. (Задача неопределенная.)

67. Прямая m перемещается, оставаясь параллельной плоскости а и пересекая две скрещивающиеся прямые а и Ь.

Какое геометрическое место образуют точки, делящие отрезок прямой m, заключенный между прямыми а и Ь:

1) пополам,

2) в данном отношении?

Черт. 25

68. Даны две пересекающиеся плоскости а и ß. Построить линии пересечения данных плоскостей с плоскостью f. Плоскость у проходит через точки Л и В плоскости а и через точку С плоскости ß (два случая).

69. Даны три плоскости а, ß и у, пересекающиеся попарно по прямым a, b и с.

Построить прямые пересечения этих плоскостей плоскостью о. Плоскость # проходит через точки А и В плоскости а и точку С плоскости ß.

§ 4. Плоскости, параллельные между собой

70. Через точку Л, не лежащую на плоскости а, провести плоскость ß, параллельную плоскости а.

71. Через прямую я провести плоскость а, параллельную плоскости ß.

Каково должно быть взаимное расположение прямой я и плоскости ß, чтобы решение задачи было возможным?

72. Какое геометрическое место образуют прямые, проходящие через точку А параллельно плоскости а?

73. Укажите, какое взаимное расположение имеют две плоскости, из которых одна проходит через прямую я параллельно прямой Ь, а вторая параллельна этим же прямым а и b (см. § 3 задачи № 52, 54).

74. Найти прямую, по которой пересекаются плоскости а и ß, причем плоскость а проходит через прямую я и параллельна прямой b, а плоскость ß проходит через прямую b и параллельна прямой я. (Задача или невозможна или неопределенна.)

75. Через точку А провести прямую я, параллельную плоскости а и пересекающую прямую Ь.

76. Даны две параллельные плоскости а и ß. Построить линии пересечения данных плоскостей с плоскостью у. Плоскость 7 проходит через точки А и В плоскости а и через точку С плоскости ß.

77. Через точку M провести прямую я, параллельную плоскости а, так, чтобы отрезок прямой я, заключенный между плоскостями риу, делился в точке M пополам.

78. Между точкой А и плоскостью а поместить отрезок данной длины d параллельно плоскости ß.

79. Через точку А провести прямую /и, параллельную плоскости а и перпендикулярную к прямой п, лежащей в плоскости а.

80. Через точку А провести прямую m, параллельную плоскости о и образующую с прямой п плоскости а данный угол.

81. Какое геометрическое место образуют прямые задачи № 80?

Ответ. Все пространство, за исключением плоскости ос' 11 ос и проходящей через точку А. Из всех точек плоскости а' к искомому геометрическому месту принадлежит лишь точка А.

82. Определить геометрическое место прямых m задачи № 19.

Ответ. Все пространство, за исключением двух плоскостей, определяемых точкой M и прямыми я и b плоскости ах причем точка M принадлежит геометрическому месту.

83. Найти геометрическое место точек, делящих в данном отношении отрезки прямых, соединяющих точку А с точками плоскости а.

84. Отрезок данной длины перемещается так, что его концы скользят по двум параллельным плоскостям.

Определите геометрическое место точек, которое образует данная точка этого отрезка.

85. Найти геометрическое место точек, делящих в данном отношении отрезки прямых, содержащиеся между двумя параллельными плоскостями.

86\ Через точку M провести прямую я, пересекающую прямую b так, чтобы отрезок прямой я, заключенный между параллельными плоскостями а и а', имел данную длину.

87. Через точку M провести прямую я, параллельную плоскости а, чтобы отрезок прямой я, заключенный между параллельными плоскостями ß и ß\ имел данную длину.

88. На трех параллельных прямых а,Ь и с, не лежащих в одной плоскости, указаны соответственно точ;ш Л, В и С.

Через точку N провести плоскость а, пересекающую эти прямые в точках А', В' и С, так, что

89. Из точки M проведены три прямые я, b и с, не лежащие в одной плоскости. Через точку N провести плоскость, отсекающую на этих прямых (считая от точки М):

1) равные отрезки,

2) отрезки, относящиеся, как т:п:р.

90. Даны три прямые я, b и с, проходящие через точку М, и плоскость а, пересекающая все три прямые соответственно в точках Л, В и С.

Найти геометрическое место центров тяжести треугольника, определяемых точками пересечения этих прямых с плоскостями, параллельными плоскости а.

91. Решите задачу № 38 в предположении, что линия пересечения плоскостей а и ß «недоступна».

Указание. Через точку Л проводим плоскость ß' II ß, через точку В плоскость а' II а. Линии пересечения плоскостей « и ß, a также а' и ß будут искомыми.

92. Решите задачу № 57 в предположении, •что линия пересечения плоскостей а и ß «недоступна».

93. Решите задачу № 61 в предположении, что линия пересечения данных плоскостей «недоступна».

94. Через каждую из двух скрещивающихся прямых я и b провести по плоскости так, чтобы эти плоскости были параллельны.

Сколько решений имеет эта задача?

95. Определить геометрическое место точек, делящих в данном отношении отрезки, концы которых находятся на двух скрещивающихся прямых.

96. Доказать, что плоскость, параллельная двум противоположным сторонам четырехугольника, не лежащего в одной плоскости, делит две другие на пропорциональные части.

97. На двух скрещивающихся прямых а и я' отложены соответственно два произвольных отрезка AB и AB'.

Точкой С отрезок AB делится на две части, отношение которых равно отношению т.п.

Разделить отрезок А'В' точкой С в том же отношении.

Указание. Через прямые, соединяющие точки А с А9 и В с В', проводим пару взаимно параллельных плоскостей « и ß. Плоскость у, проходящая через точку С параллельно им, разделит отрезок А'В' в требуемом отношении.

Всегда ли возможно это построение?

98. Провести прямую /я, пересекающую три попарно скрещивающиеся прямые a, b и с так, чтобы отрезки, отсекаемые на ней этими прямыми, имели данное отношение.

99. Решите задачу № 27 в предположении, что прямая «недоступна».

100. Из точек Р провести отрезок прямой данной длины d, оканчивающийся на плоскости « и параллельный плоскости ß.

Указание. Через точку Р проводим плоскость ß' II ß. В плоскости ß' проводим окружность радиуса d с центром в точке Р. Точки пересечения этой окружности с линией пересечения плоскостей р' и а будут служить концами искомого отрезка.

101. Построить отрезок AB данной длины d, параллельный плоскости а, концы которого находятся соответственно на прямых а и Ь.

Разберите следующие случаи:

1) плоскость а параллельна прямой а,

2) плоскость а пересекает обе прямые.

102. Провести прямую С, параллельную плоскости а, пересекающую две скрещивающиеся прямые а и b и перпендикулярную прямой а.

Плоскость « параллельна прямой а.

103. Даны три взаимноперпендикулярные прямые a, b и с, проходящие через точку М.

Через точку N провести плоскость а так, чтобы точки ее пересечения с данными прямыми образовали:

1) равносторонний треугольник,

2) равнобедренный треугольник,

3) прямоугольный треугольник.

Вопрос. Всегда ли задача имеет решение?

104. Даны две плоскости « и ß, линия пересечения которых I «недоступна».

Через точку А провести прямую /я, перпендикулярную I и пересекающую ее. Рассмотрите случаи:

1) точка А лежит на одной из плоскостей,

2) точка А выбрана вне этих плоскостей.

105. Даны четыре плоскости «, «', ß, ß', причем « И a', ß||ß'.

Провести плоскость y так, чтобы в сечении с данными плоскостями получился прямоугольник.

Сколько решений имеет задача?

Может ли искомая плоскость у содержать также произвольную прямую т.

106. Даны пять плоскостей а, а', ß, ß', y, причем а H а', ß И ß'. Через точку M провести прямую /я, параллельную плоскости у, так, чтобы оба отрезка ее, заключенные между параллельными плоскостями, были равны между собой.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВАМ I И II*

1. Адамар Ж.— Элементарная геометрия. Два тома.

2. Гурвиц Ю. и Гангнус Р.— Систематический курс геометрии, т. П. Стереометрия. М. 1935.

3. Давидов А.-— Элементарная геометрия. Изд. 35-е, М.-Л. 1915.

4. Киселев А. — Геометрия, ч. 2. Стереометрия. М. 1939.

5. Киселев А. — Курс элементарной геометрии. М. 1937.

6. Киселев А. — Элементарная геометрия.

A. Издание 25-е, 1915.

B. Издание 2-е, заново переработанное и дополненное, 1923.

C. Издание 11-е, 1931.

7. Лежандр — Начальные основания геометрии. СПб. 1919.

8. Лежандр — Элементарная геометрия. Изд. 2-е, СПб. 1878.

9. Программа средней школы. Математика. 1939.

10. Сборник программ и инструкций по преподаванию математики в Западной Европе. Под ред. проф. Синцова, М. 1914.

11. Филипс и Фишер — Элементы геометрии. СПб. 1913.

12. Legendre A. M.— Elements de Geometrie, 2 ed. Paris an VIII.

13. Mоntucla — Histoire des mathématiques, Paris an VII.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ III

14. Белянкин И. И.— Задачи по стереометрии. Киев 1908.

15. Берг М. Ф. — Приемы решения геометрических задач на построение. 1930.

16. Буцевич А. — Собрание геометрических задач на построение. СПб. 1874.

17. Ващенко-Захарченко М. — Элементарная геометрия. Киев 1883.

18. Глаголев А. Н. — Сборник геометрических задач на построение. М. 1910.

19. Делоне и Житомирский — Задачник по геометрии. М. Л. 1935.

20. Лемэр Г. — Методическое пособие к решению геометрических задач. Задачи на построение. М. 1907.

21. Пржевальский Е. — Сборник геометрических теорем и задач. М. 1869.

22. Романовский Б. — Задачи на построение в стереометрии. М. 1936.

* За недостатком места в список включена не вся литература, использованная автором, а лишь та, на которую в тексте глав I и II имеются ссылки.

О ВЫЧИСЛЕНИИ ЧИСЛА π

Н. ШОЛАСТЕР (г. Фатеж)

Для нахождения приближенных значений числа к при □омощи правильных вписанных и описанных /i-угольников могут служить следующие формулы:

(2)

при этом всегда

(3)

Так как очевидно, что при неограниченном удвоении п

то, следовательно, остается показать, что при этом ип стремится к тс возрастая, a vn — убывая, т. е. для любого п

(4) (5)

Выражая стороны многоугольников через радиус и центральный угол, от неравенств (4) и (5) перейдем соответственно к неравенствам

(б) (7)

где

Первое из этих неравенств преобразуется так:

Последнее неравенство очевидно. Следовательно, неравенства (6) и (4) доказаны.

Неравенство (7) в свою очередь преобразуется следующим образом:

Так как

то последнее неравенство очевидно. Следовательно, неравенства (7) и (5) доказаны. Примеры 1) л = 3

Исключая У'6 из выражений для иг и и3, получим

2) п = б

3) /1= 12

Для достижения такой точности обычным способом пришлось бы вычислять периметры правильных 768-угольников.

Как видно из примеров, формулы (1) и (2) дают очень быструю сходимость и поэтому могут быть применены с успехом в школьной практике.

Эта быстрая сходимость следует из того, что данные формулы можно получить при замене дуг окружности дугами парабол и при вычислении площади полученной таким образом фигуры.

ЕВКЛИДОВО ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

(Методический очерк)

И. АЛЬТШУЛЕР (Гомель)

В программе VIII класса теорема Пифагора встречается дважды: в разделе «Метрические соотношения в треугольнике» и в разделе «Площади многоугольников». Первый раз доказательство теоремы базируется на подобии треугольников и носит арифметический (алгебраический) характер; второй раз она доказывается чисто геометрическим путем, с точки зрения равновеликости фигур. Изложение последнего (евклидова) доказательства в практике учителя обычно страдает следующими недостатками: во-первых, оно создает разрыв между обоими методами доказательств, не вскрывая их внутреннего единства; во-вторых, оно ведется в синтетической форме, что понижает его образовательную ценность. В результате наблюдается, что доказательство Евклида усваивается учащимися с трудом, и учащиеся, «выучившие» его по учебнику, часто оказываются бессильными справиться с той частью доказательства, которая не видна на чертеже и о которой у Киселева сказано лаконически: «совершенно так же докажем...».

Настоящий очерк имеет целью указать способ устранения этих недостатков.

Преподаватель начинает с повторения алгебраического доказательства теоремы. В прямоугольном треугольнике ABC угол С прямой, а и b — катеты, с — гипотенуза, h — высота, рид — проекции катетов (черт. 1). Учащимся известны «малые» теоремы Пифагора, облеченные в следующие алгебраические формулы:

(1)

(2) (3)

Сложив равенства (2) и (3), получают знаменитую теорему Пифагора, выражаемую ра венством: а? + Ь2 = с2. Обращая внимание учащихся на алгебраический характер доказательства, преподаватель сообщает, что в древнейшем математическом памятнике в «Началах» Евклида эта теорема доказывается без алгебры, чисто геометрическим способом. Объясняется это тем, что в то время (за 300 лет до нашей эры) алгебра находилась еще в зачаточном состоянии, господствующую роль в математике играла геометрия, и даже известные в то время алгебраические формулы, например (а + Ь)2 = а2 + 2ab + Ь\ доказывались исключительно при помощи геометрических построений.

То была эпоха геометризации арифметики и алгебры. Преподаватель заявляет, что для того чтобы ознакомиться с этим методом, надо будет снова доказать теорему Пифагора, именно так, как ее доказывал Евклид.

Предварительно разбираются фигуры черт. 2. Учащиеся скоро соображают, что площадь треугольника AED вдвое менее площади прямоугольника ABCD и площадь треугольника NPM вдвое менее площади прямоугольника KLMN.

Затем преподаватель сообщает, что, согласно Евклиду, произведение двух количеств представляет собой площадь прямоугольника со сторонами а и Ь.

Преподаватель. «Рассмотрим еще раз те два равенства, которые, по сложении, приводят к теореме Пифагора. Каков геометрический смысл левой части равенства (2)?»

Ответ. «Площадь квадрата, сторона которого равна а».

Преподаватель. «Пусть кто-нибудь из вас подойдет к классной доске и построит этот квадрат». Догадливый ученик подходит и строит квадрат на катете СВ.

— «А что означает, с геометрической точки зрения, правая часть указанного равенства?»

Ответ. «Площадь прямоугольника, у которого одна сторона равна с (т. е. гипотенузе), а другая— р (т.е. проекции катета а)».

Преподаватель. «Постройте этот прямоугольник».

Под руководством преподавателя учащиеся строят указанный прямоугольник, и на классной доске постепенно возникает черт. 3.

Преподаватель. «Как следует понимать равенство (2) целиком?»

Ответ. «Площадь квадрата BCEF равна площади прямоугольника BKLD».

Преподаватель. «Докажем это равенство чисто геометрически. Обозначьте, ради сокращения речи и записей, площадь квадрата через Sit а площадь прямоугольника

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

через $2. Соедините точки А и Е и сравните площадь А ABE с площадью квадрата».

Ответ. «Площадь /\АВЕ вдвое меньше площади квадрата».

Преподаватель. Чтоб не забыть, запишите это: пл. ABE = — 8\. Теперь соедините точки С и К и сравните площадь треугольника СВК с площадью прямоугольника BKLD».

Ответ. «Площадь треугольника СВК вдвое меньше площади прямоугольника BKLD».

Преподаватель. «Запишем и это,— пл. СВК = ~т #2- Теперь вспомните, что «требуется доказать».

Ответ. «Si = $2».

Преподаватель. «Если будет доказано, что — S\ = — с72, то этим самым будет доказано равенство Si = с72. Что это значит — доказать.что- - £i = — So?» 2 2

Ответ. «Треугольник ABE равновелик треугольнику СВК».

Преподаватель. «Сравните эти треугольники,— нет ли у них равных элементов?»

Ответ. «АВ = ВК и BE = ВС».

Преподаватель. «Значит, две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого. Обратите внимание на углы, заключенные между этими сторонами; из каких частей составлены углы ABE и СВК?»

Ответ. «Эти углы состоят из одинаковых частей, а потому они равны».

Преподаватель. «Сделайте вывод относительно этих треугольников».

Ответ. «Треугольники равны, а потому и равновелики».

Преподаватель. «В таком случае, что можно утверждать относительно площадей квадрата и прямоугольника?»

Ответ. «Они равны».

Преподаватель, «Обратимся теперь к 3-му равенству Ь2 = сд; каков его геометрический смысл?»

Тут происходит аналогичный ход рассуждений, и черт. 3 дополняется и принимает следующий вид (черт. 4), причем с доски стирают прямые АЕ и CK- Продолжая исследование в том же духе, учащиеся под руководством преподавателя приходят к равенству 53 = Sv

Еще один шаг, S2 + S4 = Sx + Ss, и теорем доказана полностью.

На случай, если любознательный ученик поднимает вопрос о геометрической интерпретации равенства h2 = pq, остановлюсь и на этой детали. Из черт. 5 видно, что квадрат / равновелик, с одной стороны, сумме квадратов // и III, с другой, сумме квадрата II и прямоугольника IV; отсюда вытекает, что квадрат Ш, построенный на высоте, равновелик прямоугольнику IV, построенному на отрезках рид.

В заключение можно привести какой-нибудь пример геометризации алгебраических формул в духе Евклида, например, формулы

Черт. 4

Черт. 5

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ АРИФМЕТИКИ

(В порядке обсуждения)

ПРОЦЕНТЫ

Ф. ДЗЮБА (г. Краснодар)

О процентах за последние годы на страницах нашей печати почти ничего не писали. В журнале «Математика в школе» только в приложении к № 6 за 1937 г. были помешены в качестве материалов к январским конференциям краткие указания о решении задач на проценты.

В методике арифметики о процентах обычно говорится путанно или вскользь, как о вопросе маловажном и не заслуживающем серьезного внимания. Повидимому, вследствие такого взгляда определение процента не нашло себе места и среди утвержденных стандартов математических определений, хотя в учебной и методической литературе еще нет единого твердо установившегося определения процента. Существующие же определения процента, будучи или неудовлетворительными или вовсе неправильными, дезориентируют учителя как в правильном понимании процента, так и в методике преподавания их.

О процентах ничего не найдет учитель и в лучших иностранных методиках, переведенных на русский язык, например, в известных руководствах Юнга и Симона. По словам известного американского методиста Ф. Найта, вопрос о процентах плохо разработан и в иностранной методической литературе. В статье «Вопросы методики упражнений» он отмечает, что «в текущей литературе имеется очень мало тщательных исследований методики преподавания процентов». Этот же методист утверждает, что «проценты как часть школьной программы представляет собой почти девственную почву для научного исследования». С этим мнением Ф. Найта нельзя не согласиться, так же как приходится согласиться и с его мнением, что в отношении существующей путаницы в методике преподавания процентов «многое здесь является следствием простой небрежности» и что «серьезные, обладающие примерно одинаковыми способностями работники в области арифметики никак не могут сойтись хотя бы на приблизительном разрешении этого важного вопроса арифметики». Так обстоит дело с процентами на научно-методическом фронте.

Не на должной высоте находится и усвоение процентов в школе. По словам тов. Березанской, «учащиеся нашей школы в большинстве не умеют выполнять процентных расчетов». Такое положение с процентами в школе совершенно нетерпимо. Это неблагополучие особенно остро чувствуется потому, что проценты давно вышли из рамок денежных расчетов. Давно миновало то время, когда проценты излагались в конце учебника только в качестве приложений к денежным расчетам. Теперь проценты заняли прочное место не только в денежных расчетах, но и в науке и в житейской практике. С процентами теперь приходится иметь дело не только в коммерческих расчетах и в народнохозяйственном учете, но и в технике, и в физике, и в химии, и в метеорологии, и в прочих науках. За годы героического выполнения пятилеток проценты получили популярность и среди населения. Слово «процент» прочно вошло в лексикон нашего народа.

Общеизвестно, что между теорией и практикой существует тесная взаимосвязь, что теория не должна отставать от практики. Существующая же теория процентов не удовлетворяет потребностям практики. Ряд принципиальных вопросов о процентах еще не нашел удовлетворительного разрешения в теории. К ним прежде всего относится вопрос об определении процента с математической точки зрения. Этот вопрос настоятельно требует своего неотложного разрешения. Пора положить конец существующей путанице в определении процента.

Чтобы вскрыть корни заблуждений, существующих в нашей учебно-методической литературе о процентах, обратимся прежде всего к истории.

Проценты как определенный доход, получаемый с единицы капитала в течение единицы времени, появились в глубокой древности. Уже в законах Моисея говорится о запрещении взимать проценты. В древней Греции, в частности меняльной лавке при Делийском храме, практиковалось взимание процентов. О процентах неоднократно упоминается и в древне-римском законодательстве, и в законодательстве, относящемся к более поздним временам. Затрагивает вопрос о процентах и Аристотель в своих философских сочинениях, говоря о противоестественности взимания процентов.

О происхождении процентов, в указанном смысле, существует предположение, что первоначально они возникли как особый вид дохода, который получали владельцы за отдачу в пользование плодоносящего имущества, например, домашних животных, фруктовых садов и пр. Позднее начали пускать в оборот и денежные суммы, за пользование которыми также стали взимать плату.

Сначала появился потребительский кредит, а вместе с ним — и проценты; с развитием торговых сношений появился и коммерческий кредит, одним из стимулов которого уже служили проценты. Таким образом, проценты, как доход, появились в связи с займами и получили распространение в результате развития торговых сношений. Доход этот выражался обычно в определенной части имущества (вещей или денежного капитала), взятого в заем, причем эту часть впоследствии начали выражать в сотых долях имущества, пущенного в оборот.

Для нас осталось неизвестным, как производились вычисления процентов в древнем мире. В индусских учебниках, дошедших до нас, уже встречаются примеры вычислений не только простых, но и сложных процентов. Очень много примеров вычислений процентов при коммерческих расчетах встречается в средневековых учебниках. В известной книге «Summa» Луки Пачиоло (1494) изложению процентных расчетов посвящен весь 5-й трактат 9-го раздела. Большое распространение в коммерческом мире имели и специально составленные таблицы для вычисления процентов. Такие таблицы потом были изданы Симоном Стевином (1548—1620) и перестали быть профессиональной тайной, которой они первоначально являлись.

Слово «процент», как известно, латинского происхождения. Но уже в средние века вместо латинского «procento» получило распространение итальянское «percento» или, чаще, «procento». Соответствующий этому термин в коммерческой практике у австрийцев был — «Perzent», у англичан—«per cent». Термин «procent» также часто встречается в коммерческой практике в Германии в XVIII в.

В отличие от печатных документов, где термин «procento» первоначально изображали полностью, в рукописях писали его часто сокращенно — «cto». Это сокращение постепенно превратилось в знак «%», который наряду с полным написанием названия процента, впервые встречается в печатном издании коммерческой арифметики de la Porte'à (Париж, 1685). Постепенно завоевывая себе место, этот знак особенно часто стал появляться в печатных изданиях в начале XIX в. Широкое распространение знака «%» в печатных изданиях привело к тому, что уже в середине XIX в. он получил всеобщее признание, как символ процента. Проценты из коммерческой практики постепенно проникли в различные отрасли техники и знания. Область применения процентов быстро расширилась, охватывая различные науки. Особенно широкое распространение получили проценты у нас после Октябрьской революции.

Определения процента, существовавшие на русском языке в конце XIX и в начале XX вв., можно проследить по энциклопедическим словарям и математической литературе того времени. В энциклопедическом словаре «Брокгауз и Ефрон» проценты рассматриваются с экономической и юридической точки зрения и определяются как особый вид дохода, который имеет вполне конкретное содержание («проценты от сыпучих тел носят название присыпа, а от жидких — прилива»). Энциклопедия «Просвещение», определяя процент тоже, как плату за пользование кредитом или как «доход от капитала с частновладельческой точки зрения», говорит, что «с абсолютно-экономической точки зрения процент, как вид народного дохода, является результатом производства».

Определения процента как математического понятия, эта энциклопедия, как и предыдущая, не дает. Энциклопедия «Гранат» определяет процент тоже, как плату за пользование денежным капиталом в торговом обороте. Но, в отличие от первых двух, в этой энциклопедии сказано: «Процент» (латинское «за сто», сотая доля) обозначается знаком «%».

В математической литературе дореволюционного периода проценты определялись обычно тоже как плата за пользование денежным капиталом в торговом обороте. Примеры этих определений приводит Березанская в своей «Методике арифметики»: «Под процентом понимается то вознаграждение, которое выдают за пользование денежной суммой, взаимообразно взятой на определенный срок» (Арифметика Фербер). «Если кто-нибудь занимает деньги, то он платит за это... эта плата и показывает количество процентов» (Малинин и Буренин). Ясно, что такой взгляд на проценты не мог способствовать выяснению математической сущности их. Правда, подобно энциклопедии «Гранат», некоторые учебники арифметики пытались дать определение процента как математического понятия. Так, в арифметике Киселева, в учебнике, по которому училось несколько поколений, о проценте сказано: «Процентом какого-либо числа называется сотая часть этого числа». Но и это определение не раскрывает в должной мере математической сущности процента.

Влияние литературы дореволюционного периода сказалось и на определении процента в современной литературе. «Малая советская энциклопедия» определяет процент как особый вид прибыли или вознаграждения, и рассматривает его с точки зрения обихода, политической экономии и права. Пытаясь дать определение процента как математического понятия, она говорит: «Процент (латин.— со ста), 1/сотая доля какого-либо числа, обозначается знаком «%)»•

Несмотря на свою очевидную нелепость (каждому школьнику ясно, что — ф 1%, если а ф\) это определение процента, к сожалению, является наиболее распространенным в нашей современной учебной и методической литературе. «Процентом называется сотая часть числа» — так определяется процент в бывшем недавно стабильном учебнике арифметики И. Попова, изданном в количестве 800 тыс. экз. под ред. проф. И. И. Чистякова. Такое же определение процента дают в своих методиках арифметики и многие методисты (Д. Л. Волковский — «Методика арифметики в начальной школе», 1937, 75 000 экз.; М. А. Знаменский, П. А. Карасев, Г. А. Стальков, В. Л. Эменов,—«Методика арифметики», 1937,25 000 экз.). Это определение, хотя и согласовано с определением процента в таком авторитетном издании, как «Малая советская энциклопедия», все же является совершенно неудовлетворительным. Нелепость этого определения настолько очевидна, что не заслуживает того, чтобы подвергать ее дальнейшему разбору.

Весьма большое распространение имеет и определение процента, которое было дано в учебниках Киселева, изданных в дореволюционный период. Это определение осталось без изменения и в новом издании, вышедшем под редакцией проф. Хинчина. «Процентом Какого-либо числа называется сотая часть этого числа» — читаем мы в этом учебнике, Ставшем теперь стабильным для средней школы.

Это определение процента, хотя и имеет свою давность, все же по существу остается неудовлетворительным. Оно представляет собой перефразировку определения процента ссуды. Рассматривая процент в коммерческих расчетах, его, конечно, можно назвать сотой частью ссуды. Но получить определение процента как математического понятия путем механической замены слова «ссуда» на слово «число», безусловно, нельзя. Вместо определения, которое давало бы конкретное представление о проценте, как математическом понятии, и раскрывало бы математическую сущность процента, Киселев в своем учебнике в качестве основного определения процента дал определение процента «какого-либо числа», не указав предварительно, что же он вкладывает, собственно, в понятие «процент». Если в данном определении понимать под процентом число,являющееся сотой частью этого «какого-либо числа» (а его следует только так понимать), то процент, по этому определению представляет собой число такое же неопределенное среди множества чисел, как и само «какое-либо число». Ясно, что такое определение процента не может служить в качестве основного определения. Оно не раскрывает математической сущности процента, не показывает естественного перехода от ранее изученного к новому и не может дать четкого представления о понятии процента. Это определение было бы еще терпимо, если бы оно не было основным. Если бы перед формулировкой: «Процентом какого-либо числа называется сотая часть этого числа» было дано определение процента, как дроби Tqq, то, конечно, по существу возразить против этой формулировки было бы нечего, так как она являлась бы лишь тавтологией: «сотая часть какого-либо числа называется сотая часть этого числа».

Некоторые методисты, повидимому, взяли на себя задачу исправить определение процента, помещенное в учебнике Киселева. К числу этих методистов относятся И. Н. Кавун и Н. С. Попова («Методика преподавания арифметики в начальной школе», 1934, 100 000 экз.) и Березанская («Методика арифметики», 1935,20 000 экз.). В определении процента по Киселеву опустили слова «какого-либо» и формулировка приняла вид: «под процентом числа понимается сотая часть этого числа» (Березанская), или: «один процент числа есть одна сотая часть этого числа» (Кавун и Попова). Эти формулировки, пытаясь в начале объять необъятное, т. е. дать определение процента числа вообще, в конце скромно сводят дело к какому-то неведомому «этому» числу, сотой части которого выпала честь служить процентом числа вообще, т. е. любого числа. Но так как таинственное «это» число остается неуловимым среди множества других чисел, то и его сотая часть, т. е. процент, остается таким же таинственным и неуловимым, как и злополучное «это» число. Эти формулировки являются, так сказать, компромиссными между определением: «Процентом называется сотая часть числа» и определением процента в учебнике Киселева.

Ясно, что из такого «компромисса» ничего удовлетворительного получиться не могло. Новое определение, естественно, заняло среднее место между нелепым и неудовлетворительным определением процента.

Таким образом, в наших наиболее распространенных учебниках и методиках арифметики в настоящее время существуют три определения процента: 1) определение, которое нашло себе место на страницах бывшего стабильного учебника арифметики Попова; 2) определение, которое мы находим в стабильном ныне учебнике арифметики Киселева и 3) определение процента, которое можно назвать компромиссным между первыми двумя определениями. Все эти определения неудовлетворительны ни с научной, ни с методической точки зрения.

К менее распространенным определениям, имеющимся в нашей методической литературе, следует отнести определение, которое дают проценту В. Т. Снигерев и Я. Ф. Чекмарев («Методика арифметики», 1936, 75 000 экз.). «Процент — сотая доля»—так определяют они процент. Это определение мы встречаем уже в энциклопедии «Гранат». К сожалению, авторы упомянутой методики, повидимому, не находят принципиальной разницы, существующей между этим определением процента и теми определениями, которые даны проценту в бывшем стабильном учебнике арифметики И. Попова и в методике арифметики Березанской. Иначе ничем нельзя объяснить того, что один из авторов этой методики В. Т. Снигерев в качестве ответственного редактора учебника арифметики И. Попова и методики арифметики Березанской санкционировал те определения процента, которые даны в этих книгах.

Между тем определение «процент — сотая доля» является наиболее удачным среди существующих в методической и учебной литературе определений процента, хотя оно и наименее распространено.

С математической точки зрения, действительно, процент есть не что иное, как дробь — — это абстрактное, но вполне определенное число.

Процент в математике есть не что иное, как один из способов выражения дробей. Эту же мысль, правда, не в такой категорической форме, можно найти в высказываниях покойного Ж. Таннери, состоявшего профессором Парижского университета и членом французской академии наук, в одном из его знаменитых трудов — в книге «Курс теоретической и практической арифметики», которая написана в конце прошлого века и является одной из лучших книг по арифметике в мировой литературе. Виднейшие педагоги — математики всего мира (Э. Борель, Д. Юнг, Д. Е. Смас и др.), высоко оценили «Курс теоретической и практической арифметики» как с научной, так и с педагогической точки зрения. Последнее издание этой

книги, вышедшее при жизни автора, относится к 1910 г.—год/ смерти Ж. Таннери.

Подробно останавливаясь на способе изображения процентной таксы, Ж. Таннери говорит: «Обыкновенно такса изображается дробью, знаменатель которой есть 100, а числитель целое число, как 1, 2, 3, 4, 5, 6; впрочем числитель может быть и дробным числом, как 3,5, или 4,5 (три с половиной, четыре с половиной). Существует обыкновение сперва выговаривать числитель, а затем прибавлять слово «pour cent», которое иногда даже подразумевается, когда не получается двусмысленность. В письменном изложении вместо того, чтобы употреблять обыкновенное обозначение простых или десятичных дробей, часто пишут числитель и прибавляют справа символ «%», который выговаривается «pour cent». Так, говорят: «такса четыре процента, такса четыре с половиной процента («pour cent») вместо 0,04; 0,0045».

Хотя Ж. Таннери в своей книге и рассматривает проценты в коммерческих расчетах, не затрагивая вопроса о проценте как математическом понятии, все же во второй части приведенной цитаты говорится о процентах как о способе обозначения обыкновенных и десятичных дробей. Способ этот заключается в том, что простые или десятичные дроби выражаются при помощи одного и того же знаменателя 100, причем числитель в этом случае может быть как целым, так и дробным числом. Знаменатель таких дробей изображают символом «%», который пишется справа числителя и выговаривается «процент», почему эти дроби и получили название «проценты».

Подобно тому, как шестидесятеричные дроби содержали класс дробей, который, по выражению Ващенко-Захарченко, «заключает все дроби с знаменателем 60, коих числитель представляется рядом чисел от 1 до 59», проценты также являются особым классом дробей с знаменателем 100, числители которых представляются любыми целыми или дробными числами. Как и в шестидесятеричных дробях преимущественную роль играло не число, избранное для знаменателя, а определенные знаменатели в этих дробях, так и в процентах существенную роль играет не число 100, а выражение дробей в одних и тех же долях. Достоинство это весьма важное. Оно проложило путь шестидесятеричным дробям из седой древности в средние века — от халдеев к грекам и арабам, а от последних в Европу. Благодаря этому достоинству шестидесятеричные дроби «сумели завоевать мировое положение в качестве научного счисления дробей, которое оно уступило лишь в XV и XVI столетиях по P. X. десятичному делению» (И. Тропфке).

Этим же достоинством шестидесятеричных дробей можно объяснить и то, что даже в «XVII в. среди таблиц встречаются таблицы перехода от шестидесятеричных дробей к десятичным» (И. Тропфке).

Шестидесятеричные дроби победоносно прошли через десятки веков, проникли в Александрию, а потом и в Европу, где только в XV—XVI вв. после упорной борьбы уступили свое место десятичным дробям только вследствие того, что десятичные дроби явились более высокой фазой развития дробей и имеют преимущество перед шестидесятеричными дробями, заключающееся в поместном значении цифр.

Причина победоносного шествия шестидесятеричных дробей кроется в качестве их. Она могла пройти свой длинный путь только вследствие своего преимущества перед обыкновенными дробями, заключающемся в особом способе выражать дроби при помощи определенных знаменателей. В XV в. была попытка оснастить шестидесятеричные дроби преимуществом десятичных дробей — поместным значением изображающих их цифр, чтобы дать возможность шестидесятеричным дробям продолжать свой славный путь.

Первый в истории профессор математики Венского университета Иоганн фон Гемунден (ум. в 1442 г.) на лекциях и в своих трудах пользовался шестидесятеричными дробями. Он пытался перенести в изображение шестидесятеричных дробей принцип поместного значения цифр. Но Гемундену не удалось искусственно оживить шестидесятеричные дроби. Если бы эта попытка была удачна, шестидесятеричные дроби не исчезли бы. Попав на благоприятную почву—десятеричную систему счисления, шестидесятеричные дроби под влиянием принципа поместного значения цифр дали росток — десятичные дроби, которые выросли, расцвели, оплодотворились практической деятельностью людей и способствовали развитию дробей, обладающих качеством, которое было и у шестидесятеричных дробей: они произвели дроби, которые носят название процентов. Дроби, выраженные процентами, обладают и преимуществом шестидесятеричных дробей, и принципом поместного значения изображающих их цифр. Задача, которая была не под силу проф. Гемундену, оказалась разрешенной, хотя и не в таком виде, в каком он ее представлял.

Известно, что самое неприятное и затруднительное в действиях с дробями — это операции с знаменателями. Поэтому и стремятся всячески упростить знаменатели, освобождая их от иррациональности, где она есть, выражая их в виде чисел, изображенных единицей с нулями, делая знаменатели одинаковыми у дробей, которые приходится складывать или вычитать. Способ изображения дробей в виде процентов служит той же цели — освободиться от затруднительных операций с знаменателями дробей. Он дает возможность изображать дробь при помощи одного и того же знаменателя, причем этот знаменатель записывается в наиболее простой и удобной форме — в виде символа «%». Этой же цели служил и вавилонский способ изображения дробей при помощи знаменателя 60, 602, 603 и т. д., почему многие ученые в течение тысячелетий и предпочитали пользоваться им. По этой же причине вавилонский способ изображения дробей является более совершенным, чем египетский способ изображения всех дробей при помощи одного и того же числителя 1.

Проценты получили широкое распространение после введения системы десятичных дробей, так как в математике, как в логической схеме, учение о процентах получило развитие благодаря появлению десятичных дробей. Десятичные дроби, которые теперь в математике играют большую роль, появились сравнительно недавно. Первую десятич-

ную дробь записал Виета (1540—1603). Систематическое учение о дробях изложил Симон Стевин в 1585 г., а теорию десятичных дробей обосновал Геригон в 1634 г. Но широкое распространение получили десятичные дроби только в XIX в., после введения десятичной системы мер. В том же столетии начали широко распространяться и проценты, проникнув из области денежных расчетов в науку и технику. Если после введения метрической системы мер «десятичные дроби перешли от ученых к купцам» (Т. Тропфке), то о процентах можно сказать, что они перешли от купцов к ученым. Но перейдя из области денежных расчетов в математику, проценты в ней получили свое дальнейшее развитие.

Шестидесятеричные дроби, получив происхождение от шестидесятеричной системы мер, в математике постепенно потеряли свое конкретное значение. Такое же превращение произошло и с римскими дробями асса, начало которых было заложено в римской системе мер, то же случилось и с процентами, которые получили начало из сложившейся практики взимать плату за отданное в заем имущество и эту плату выражать в сотых долях последнего. Как — в шестидесятеричных дробях первоначально выражала — часть конкретной величины и сама являлась конкретной величиной, так и процент в применении к конкретным величинам имеет конкретное значение и сам является конкретной величиной. Но, как это случилось и с — в шестидесятеричных дробях, процент в математике уже не является — частью конкретной величины или числа вообще, т. е. уже не является числом, полученным в результате деления какого-либо числа на сто, а есть обычная абстрактная дробь •

С процентами произошло то же, что случилось с вавилонскими и римскими дробями — они получили в математике абстрактный характер. Если внешнее отличие процентов от шестидесятеричных дробей заключается лишь в том, что знаменателем первых служит число 100, а вторых —числа 60, 602, 60s и т. д., то качественное различие между этими дробями и процентами большое, так как последние пользуются поместным значением цифр, что ставит проценты качественно несравненно выше шестидесятеричных дробей.

Символ «%», который исторически возник в результате сокращенной записи слова «cto», ради удобства и в целях выражения истинной математической сущности процента, мы должны рассматривать в математике как знаменатель, изображенный условным способом и равный 100; подобно этому и символ «°/00» означает знаменатель 1 000. Такой взгляд на символ «%» не послужит во вред исторической правде. Так поступили с метром, который, как известно, в настоящее время уже не определяется как часть земного меридиана, так как это определение не выражает истинной длины метра, хотя и указывает на историческое происхождение его. Запись нулей в символе «%», который всегда ставится справа от числа, несравненно более удобная, чем запись нулей в соответствующей десятичной дроби, где эти нули всегда ставятся впереди числа, выражающего числитель, и где они тоже особым способом выражают знаменатель десятичной дроби.

Победоносное шествие процентов из области денежных расчетов в науку, а также широкое внедрение процентов в житейскую практику, явилось такой же необходимостью, какой явилась и необходимость счета простых единиц десятками и сотнями. Если счет в области целых чисел вызвал необходимость группового счета, то в области дробных чисел счет долей единицы вызвал такую же необходимость счета группами. Но групповой счет обусловливается существованием основной единицы. Такой основной единицей для группового счета в области дробных чисел и является дробь — f или процент.

Эта основная единица в групповом счете долей единицы играет такую же роль, какую играет и простая единица в области целых чисел.

Что наши учебники не уделяют должного внимания процентам, в этом нет ничего удивительного. История знает подобное отношение и к десятичным дробям. Несмотря на то, что теория десятичных дробей была обоснована уже в первой половине XVII в., руководства XVII и XVIII вв. о десятичных дробях или вовсе не упоминали, или упоминали о них вскользь, или же говорили о десятичных дробях как о десятичных числах, подобно тому, как современные наши учебники и методики говорят о проценте как о сотой части какого-либо числа, понимая под процентом результат деления данного числа на сто, не оттеняя органической связи процентов с дробями.

Трактовать вопрос о процентах как нечто отдельное в арифметике — это значит забыть основное требование диалектики: рассматривать «вещи и понятия в их взаимной связи, в их сцеплении, в их возникновении и уничтожении» (Энгельс), это значит забыть, «что отдельное не существует иначе, как в той связи, которая ведет к общему»,—как говорил Ленин.

Правильный взгляд на проценты в математике внесет ясность и в методику преподавания их в школе. Прежде всего, учащиеся легко запомнят определение процента. Они запомнят определение сознательно и твердо, так как слово процент будет вызывать вполне определенную ассоциацию:——» или 0,01.

Не будет надобности дрессировать учащихся в запоминании набора слов, определяющего процент. Тов. Березанская жалуется в своей методике арифметики, что «учащиеся дают определение, но допускают неточность формулировки, не подчеркивая, что одним процентом числа называется сотая часть этого числа: 1% числа = 0,01 числа». Настойчивость учителя и усердие ученика мало поможет последнему осмыслить и понять содержание такой формулировки и по-

нять смысл такого странного равенства, так оно вообще лишено смысла. А таких равенств тов. Березанская рекомендует давать ученикам «в достаточном числе» и последовательно: 7% = 0,07 числа, 25% = 0,25 числа и т; д. Очевидно, зная из опыта, что и «достаточное число» подобных упражнений мало помогает учащимся уяснить сущность процента, т. Березанская говорит: «Менее подготовленные классы могут заняться этими упражнениями позже». Предоставляя сторонникам господствующего ныне взгляда на проценты расшифровать это «позже», скажем только, что трудности кроются не столько в малой подготовленности класса, сколько в неправильном понимании сущности процента и его определения, которое даже методистов может запутать настолько, что некоторые из них считают правильным такую запись: 35 :2,5 = 350: 250 = 14«/0 (Березанская — «Методика арифметики для педагогических институтов и учителей средней школы», под ред. проф. И. И. Чистякова, ответ, ред. В. Т. Снигерев, стр. 232). Не давая подробного разбора всех методических указаний о процентах в этой методике, скажем только, что учитель, принявший к руководству эти указания, получит больше вреда, чем пользы.

Определение процента, как дроби 0,01, ясно определяет и место процентов в арифметике. Они должны занять место после обращения обыкновенных дробей в десятичные. Рассматривая проценты, как способ выражения дробей, мы должны будем показать переходы от одного способа выражения дробей к другому. Следует указать ученикам, что в арифметике существует три способа выражения дробей.

Переход от десятичной дроби к процентам чрезвычайно прост: процентов содержит данная десятичная дробь столько, сколько содержится в ней сотых долей, ибо 0,01 называется процентом.

Так же прост и переход от обыкновенной дроби к процентам: найти, сколько процентов содержит данная дробь, согласно определению процента, равносильно выражению данной дроби в сотых долях, т. е. обращению ее в десятичную дробь.

Переход от процентного выражения дробей к двум другим способам их выражения также не вызовет трудностей, если учащимся раскрыть действительное математическое содержание символа %» как знаменателя 100, но изображенного особым способом. Любой учащийся, подписав этот знаменатель обычным способом, сумеет перейти от процентного выражения дроби к обыкновенному. Ясно, что изучение процентов следует начинать с упражнений такого рода.

Нахождение процента данного числа или нескольких процентов данного числа, а также нахождение числа по его части и по процентам, выражающим, сколько долей искомого числа она составляет, зависит от того, как учащиеся раньше усвоили нахождение части данного числа и числа по его данной части и дроби, выражающей, сколько долей искомого числа составляет данная часть.

Зная последнее, ученик легко справится и с указанными задачами на проценты. Если ученик легко умеет находить, во сколько раз одно из двух данных чисел более другого или какую часть одно из двух данных чисел составляет от другого, то он легко сумеет выразить это отношение и в процентах, зная переходы от одного способа выражения дробей к другим. При правильном взгляде на проценты методическая сторона их значительно упростится. Отпадет та односторонняя и уродливая форма решения задач на проценты, которую еще широко практикуют в школах, решая эти задачи исключительно при помощи тройного правила или при помощи пропорций. Конечно, полезно научить учеников применять пропорции или тройное правило и к решению задач на проценты. Но учить решать задачи на проценты исключительно при помощи пропорций или при помощи тройного правила «флюсу подобно». Сторонники последнего способа, ратуя за него, вынуждены обычно соглашаться, что они сами в вычислениях этим способом не пользуются. Это красноречиво говорит о практической ценности такого способа. О научной ценности этого способа и говорить не приходится. С методической точки зрения этот способ тоже является неудовлетворительным, так как сторонники его, жалуясь, что ученики плохо находят часть данного числа и число по данной его части и дроби, выражающей, сколько долей искомого числа составляет данная часть, уклоняются от того, чтобы еще вернуться к этим вопросам при прохождении процентов.

Наконец, вопрос, который является камнем преткновения для учеников при решении задач. Обычно ученики производят действия над процентами, не обращая внимания на то, от каких чисел они взяты. Вероятно, многим учителям приходилось решать известную задачу: «Свежий гриб содержит 90% воды, сушеный — 12%. Сколько получится сушеных грибов из 10 кг свежих»? Ученики, как правило, из 90% вычитают 12%, будучи наивно убеждены, что испарилось 78% воды. Они последовательны в своих рассуждениях, если мы определяли проценты, как сотую часть числа или давали записи, рекомендуемые в методике Березанской.

Если ученик будет правильно понимать процент как дробь 0,01, то он легче сумеет понять, что 0,01 веса свежих грибов и 0,01 веса сушеных грибов в весовом отношении не будут равны, так как вес свежих грибов больше, чем вес тех же грибов в сушеном виде. Ученики при прохождении обыкновенных и десятичных дробей накопили достаточно богатый опыт, сравнивая половины различных чисел, четверти, десятые и пр. Ясно, что, сравнивая сотые доли различных чисел, ученики легко дадут правильный ответ.

ЧТО ДОЛЖНО БЫТЬ В ОСНОВЕ ПРОХОЖДЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ?

В. ЕРМОЛЬЕВ (г. Ульяновск)

Вопрос о бесконечных периодических десятичных дробях введен, вернее, восстановлен, в программах арифметики средней школы с 1937/38 учебного года. Вопрос этот входил в программы дореволюционных гимназий и реальных училищ. Упор в разделе бесконечных периодических десятичных дробей делался тогда на «обращение» этих дробей (чистых и смешанных) в обыкновенные, причем предлагалось вводить периодические дроби в задачи по математике в последующих классах (обычно их втискивали даже в письменные и экзаменационные работы по математике выпускных классов средних учебных заведений того времени).

Учеников заставляли при решении задач производить сложные выкладки с обращением периодических дробей в обыкновенные, лишали их введением в задачи периодических дробей возможности вести вычисления с меньшей затратой сил и времени в десятичных дробях. В устных ответах на уроках и на экзаменах ученики должны были «доказывать» искусственным путем (при помощи девятки) вывод правила обращения в обыкновенные дроби периодических дробей чистых и смешанных.

Такое внимание к периодическим дробям вполне отвечало направленности преподавания математики того времени. Требованиям схоластики, формализма, стремлению убить в ученике живую мысль, оторвать его от живой действительности целиком удовлетворяли периодические дроби в этом изложении.

Между тем, они ровно никакого значения не имели (и не имеют), так как на практике нет никакого расчета переводить дроби в обыкновенные,— гораздо выгоднее вести вычисления в десятичных дробях, применяя математически вполне обоснованные приближенные вычисления, используя вычислительные таблицы (таблицы умножения и деления, таблицы логарифмов, таблицы процентов и т. д.) и вычислительные приборы и машины (торговые счеты, арифмометр и пр.).

Об образовательном значении этого вопроса в том его виде, как он проходился в дореволюционной средней школе, тоже много говорить ве приходилось.

И вполне естественным было то, что математическая общественность того времени подняла голос против оставления периодических дробей в курсе средней школы. Голос математической общественности в этом направлении был так силен, что министерство народного просвещения вынуждено было декретировать изъятие из курса гимназий и реальных училищ периодических дробей (вместе с так называемым математическим учетом векселей).

После Октябрьской революции эти дроби не вводили в курс средней школы, и с бесконечными десятичными дробями учащиеся только знакомились мимоходом, внимание их на существовании периодических дробей и их «обращении» в обыкновенные не задерживалось, а взамен этого вводилось первичное знакомство с приближенными вычислениями; так было до сравнительно недавнего времени.

Соответственно этому вопрос о десятичных дробях в программах НКП по математике 1935/36 учебного года был изложен таким образом:

«Выражение десятичной дроби в виде обыкновенной. Обращение обыкновенной дроби в десятичную (конечную и бесконечную)... Округление данных и результатов действий» (см. «Программа средней школы. Математика, Физика, Черчение». 1935 г.).

Имевшее место в 1937 г. внесение четкости в вопрос о понятии об иррациональном числе («Понятие об иррациональном числе как бесконечной десятичной непериодической дроби», см. «Программа средней школы», 1937 г.) само собой потребовало восстановления в программах вопроса о периодических бесконечных десятичных дробях, и, таким образом, они получили образовательное значение, но уж не в масштабе арифметики, а в масштабе математики средней школы в целом.

Введение периодических дробей было сформулировано в программе 1937/38 учебного года следующим образом:

«Выражение десятичной дроби в виде обыкновенной. Обращение обыкновенной дроби в десятичную (конечную и бесконечную)... Округление данных и результатов действий. Бесконечная периодическая дробь».

Вопрос, таким образом, был введен, но содержание его ни в программе, ни в объяснительной записке к ней не развернуто и ограничено лишь совершенно правильным указанием, что «В программу арифметики введено понятие о бесконечных периодичеких дробях, необходимых для последующего изучения иррациональных чисел».

Как видно из этого текста, НКП имел в виду ограничить содержание вопроса только основными понятиями о периодических дробях «для последующего изучения иррациональных чисел».

Программа 1938/39 учебного года несколько расширяет содержание вопроса: здесь уже не просто «бесконечная периодическая дробь», а «периодические дроби чистые и смешанные».

В объяснительной записке к этой программе сказано:

«С 1937/38 учебного года в программу V класса включен вопрос о периодических дробях. Для более точного усвоения периодических дробей надо включать несколько упражнений с ними не только в совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями, но и при решении пропорций, пропорционального деления и т. д.».

Указание о необходимости «для более прочного усвоения периодических дробей» не забрасывать их, а время от времени к ним возвращаться, безусловно, справедливо. Можно бы его еще усилить указанием

на необходимость изредка вводить периодические дроби в алгебраических примерах при прохождении алгебры в шестом и седьмом классах.

В программе НКП совсем нет четкого ответа и на вопрос, как же производить действия над бесконечными десятичными дробями — «обращать» ли их в обыкновенные дроби или брать для них приближенные значения? Косвенное указание на этот вопрос дает, пожалуй, фраза: «Периодические дроби... Округление данных и результатов действий».

Повидимому, составители программы склонялись в сторону предпочтительного пользования приближенными значениями периодических дробей, но прямо этого не сказали.

Такая направленность была бы совершенно правильной, так как она клала бы основу применению в средней школе элементов приближенных вычислений, которым в ней уделяется слишком мало внимания.

Четкости в установках НКП о содержании и методике прохождения бесконечных десятичных дробей нет и в программах на 1939/40 учебный год.

Поэтому позволю себе высказать свои соображения по этому вопросу.

Введение периодических бесконечных десятичных дробей в курс V класса должно преследовать именно цель подготовить учащихся к надлежащему восприятию понятия об иррациональном числе, как это указывалось в объяснительной записке к программам 1937/38 учебного года.

В VIII классе доказывается, что иррациональное число не может быть выражено ни целым, ни дробным числом, что это совершенно новый вид числа. При фактическом извлечении корня из чисел иррациональное число выражается бесконечной десятичной дробью, которая берется при вычислении с тем или иным десятичным приближением.

И вот, если учащиеся не освоили как следует, что в арифметике при делении и при обращении обыкновенных дробей в десятичные получаются либо конечные дроби, либо бесконечные, но при этом обязательно периодические, то у учащихся в VIII классе получается внутренняя неясность: доказывают, что иррациональное число не может быть выражено дробью, а при извлечении корня получают бесконечную дробь, подобно тому, как в арифметике при делении получали бесконечную дробь,— сущность различия учащиеся не улавливают, а учителя внимания учащихся на этом различии не заостряют. И в результате четкости в понятии иррационального числа учащиеся не получают, а это отзывается и на последующих встречах с бесконечными десятичными дробями (число те, логарифмы, значения тригонометрических функций и т. д.).

В целях уточнения я предлагаю следующий порядок прохождения бесконечных периодических десятичных дробей.

В V классе при делении десятичных дробей надо обратить внимание учащихся на случай бесконечного деления и, стало быть, получения бесконечной десятичной дроби. Основанием к выводу будет получение при делении повторяющихся остатков (равноостаточность). Чтобы не создавать сразу трудностей, здесь о периодичности дроби можно не упоминать, если сами учащиеся не отметят этого.

При обращении обыкновенных дробей в десятичные способом дополнительных до разрядной единицы множителей надо оттенить невозможность подбора таких множителей при определенном составе знаменателя дроби, а при обращении обыкновенных дробей в десятичные путем деления установить, что получаются дроби конечные и бесконечные, выявить, что получающиеся при этом бесконечные дроби являются обязательно периодическими, и этот вывод особенно подчеркнуть, разобрав ряд примеров с получением многозначных периодов, отметив получение чистых и смешанных бесконечных периодических дробей.

Разбирая обращение бесконечных периодических дробей в обыкновенные*, указать, что можно бесконечные дроби перевести в обыкновенные, а можно взять приближенные значения, познакомить детей с обращением чистых и смешанных бесконечных дробей в обыкновенные и поупражнять их и в таком обращении и в пользовании приближенными значениями. Здесь снова надо подчеркнуть, что бесконечные периодические десятичные дроби получаются от обращения обыкновенных дробей. На самом обращении периодических дробей в обыкновенные большой упор не делать, во все время работы оттенять получение при делении и при обращении обыкновенных дробей в десятичные либо конечных десятичных дробей либо бесконечных десятичных дробей, но обязательно периодических. Самому учителю надо говорить и требовать от учащихся полных терминов: конечная десятичная дробь, бесконечная десятичная периодическая дробь.

При таком способе разбора периодических дробей преподаватель математики в VIII классе будет иметь прочную опору: учащиеся без особого труда поймут, что при извлечении иррационального корня не может получиться периодическая десятичная дробь,— иначе она могла бы дать по правилам арифметики обыкновенную дробь, равную ей, а по теореме иррациональное число не может выразиться ни целым ни дробным числом. Учащиеся осознают тогда, что иррациональное число отличается от прежде известных им чисел, что оно не может быть выражено ни одним из прежде известных им чисел—ни целым ни дробным, а только может быть выражено новым способом — бесконечной непериодической десятичной дробью.

И в дальнейшем, когда они будут встречаться с непериодической десятичной дробью при выражении отношения длины окружности к диаметру, при логарифмах и т. п., они будут понимать, что в каждом таком случае это будет число, для которого нет образа в арифметических числах.

* См. по этому вопросу статью т. Дуб в настоящем номере. Редакция,

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДРОБИ В КУРСЕ АРИФМЕТИКИ

(В порядке обсуждения вопроса о программах)

И. ДУБ (Одесса)

В курсе арифметики V класса имеется глава «Периодические дроби».

Попробуем разобраться в тех мотивах, которыми можно оправдать эту главу в данном месте. Попытка обратить обыкновенную дробь в десятичную часто кончается неудачей — нет конца делению, которое должно было бы дать искомую десятичную дробь.

Возраст учащегося, его понимание практических требований, математическое развитие легко позволяют убедить учащегося в том, что мы имеем весьма целесообразный выход — заменить данную дробь приближенным значением в форме десятичной дроби — вычисления пойдут значительно быстрее, а точность можно выбрать совершенно достаточную для практических целей.

Что же мы делаем сверх того? Начинаем присматриваться к ряду явлений, имеющих тут место. Математический аппарат, которым располагает ученик V класса, дает возможность весьма поверхностно коснуться явлений, характеризующих материал, с которым мы тут сталкиваемся. По какому методу идет работа? Преподносится правило, в подтверждение приводятся один, два примера.

Этот метод, пожалуй, для V класса единственный — общих соображений пятикласснику привести нельзя: буквенной символикой он не владеет.

Что же должно получиться в результате такого метода изучения сложных вещей? — непозволительная легкость в суждениях, очень поспешные обобщения; качества, с которыми школа должна вести настойчивую борьбу.

Можно возразить, что приводимые общие положения не выдерживаются вообще при прохождении арифметики, да их и выдержать нельзя,—арифметика как предмет первых пяти классов средней школы не может, конечно, изучаться в строго дедуктивной форме.

Отодвигать изучение арифметики, исходя из указанных соображений, совершенно недопустимо — без знания арифметики ориентироваться в окружающем невозможно; прохождение ряда дисциплин (начальные сведения из геометрии, природоведение, география) тоже нуждается в арифметике.

В силу этого нельзя рекомендовать ждать с изучением арифметики.

К главе «Периодические дроби» это положение не относится.

Теорию этих дробей пятиклассник осилить не может; лучшее доказательство дает стабильный учебник арифметики Киселева, который в § 184 (изд. 1938 г.) говорит: «Правила, которые мы укажем, будут обоснованы в ближайших параграфах, здесь же мы приводим лишь несколько предварительных соображений, говорящих в пользу этих правил». Обоснование, которое дается в «ближайших параграфах», совершенно недоступно ученику V класса, и непонятно, для кого предназначено то, что напечатано в этих параграфах.

Учебник указывает, что строгая теория периодических дробей основана на понятии о пределе, а с этим понятием ученику V класса не справиться — положение, которое вряд ли может вызвать возражение. Стоит для этого привести хотя такие места из учебника (§ 185): «Предыдущее изложение обращения периодических дробей в обыкновенные не вполне строго, в нем, между прочим, допускается, что если каждое слагаемое увеличится в несколько раз, то и сумма увеличится во столько же раз. Предложение это, вполне обоснованное для суммы с конечным числом слагаемых, не может быть применено без особого доказательства к суммам с бесконечным числом слагаемых». «Пусть дана бесконечная последовательность чисел аь аъ а3,..., ап. Условимся называть число а пределом этой последовательности, если разность ап — а по абсолютной величине становится как угодно малой для всех достаточно больших /г».

Можно с уверенностью сказать, что V класс совершенно не в состоянии разобраться в таких вещах. Мы классифицируем по известным признакам дроби на чистые периодические и смешанные. Оказывается, что эти признаки не совсем надежны — чистую можем отнести к смешанной. Скажем 0,2323... можно рассматривать и как 0,(23) и как 0,2(32); ничего плохого от этого не произойдет. Но в чем же тут суть дела? Для ученика V класса все это какие-то загадки, парадоксы.

Ученику говорят, что в периодическую дробь обращается такая, в состав знаменателя которой после сокращения входят помимо множителей 2 и 5 еще другие. Напишем ученику дробь 0,24999....; при обращении ее в обыкновенную он получит

Оказывается, опять курьезное обстоятельство: - получается из периодической дроби, правда, своеобразной. Но как во всем этом ориентироваться учащемуся? Думаем, что можно спокойно зафиксировать: теория периодических дробей недоступна ученику V класса.

Если бы мы учили учащихся выполнять действия с периодическими дробями, то следовало бы мириться с теми теоретическими недочетами, которые приходится при этом допускать. Но дело, как мы знаем, обстоит иначе; непосредственно с периодической дробью учащийся действий не выполняет; он обращает периодическую в обыкновенную либо ограничивается приближенным ее значением. Тогда нет основания настаивать на введении в курс арифметики периодических дробей и по соображениям чисто практическим; получается такая картина — кто-то обратил обыкновенную дробь в периодическую, а другой каждый раз по этому результату восстанавливает первоначальную обыкновенную дробь. К чему же эта двойная работа?

ОБ УМНОЖЕНИИ МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Г. КОСТАНДИ (Одесса)

Естественный порядок записи есть, конечно, запись в строку слева направо. Так, мы пишем:

Ничем не могут быть оправданы записи:

Так как сложение и вычитание двузначных чисел следует производить устно, то запись данных в столбец становится целесообразной лишь при переходе к трехзначным числам.

При сложении и вычитании многозначных чисел мы отказываемся от записи данных в строчку и подписываем их одно под другим, помещая одинаковые разряды в одном столбце потому, что действия производятся только с этими одинаковыми разрядами. Удобства такой записи данных при сложении и вычитании оказались настолько велики, что мы, не задумываясь над причинами нарушения естественной записи, перенесли запись многозначных чисел в столбец и на случай умножения. В случае умножения это нарушение естественной записи данных в строчку ничем не оправдывается. Ведь при умножении мы не ограничиваемся разрядами, стоящими в одном вертикальном столбце, а все разряды множимого умножаем на каждый разряд множителя.

При устных вычислениях мы всегда производим действия, начиная с высших разрядов; это — естественный порядок действий.

Переходя от письменного способа сложения и вычитания, которые по известным причинам начинаются с низших разрядов, к умножению многозначных чисел, мы также необдуманно скопировали и порядок действий, начиная с низших разрядов. Если начинать умножение с низших разрядов множимого целесообразно по тем же мотивам, что и при сложении, то, начиная умножение с низших разрядов множителя, мы только нарушили естественный порядок действия, причем это нарушение ничем не оправдывается.

Однако последующая история вопроса отомстила нам за эту необдуманность. Когда возникла потребность в приближенном умножении, то, не желая нарушать своих дурных привычек, мы перевернули задом наперед множитель и пришли к правилу Утрехта, которое и по настоящее время встречается в большинстве курсов приближенных вычислений. Такое переворачивание множителя является совершенно недопустимым. Приближенное умножение многозначных чисел призывает нас к естественной записи многозначных множимого и множителя в одну строку и к естественному порядку производства умножения, начиная с высших разрядов множителя. Но для того чтобы целесообразный в приближенных вычислениях порядок не встречался с необходимостью разрушать глубоко укоренившиеся дурные привычки, необходимо исправить ошибку в начальном преподавании; необходимо отказаться от записи множимого и множителя в один столбец; необходимо отказаться от умножения, начиная с низших разрядов множителя.

Принимая это во внимание, мы получаем такую правильную запись:

Как видно из приведенной записи, мы подписываем низший разряд каждого частного произведения под тем разрядом множителя, на который производится умножение, чем устраняется возможность ошибки в том случае, когда в каком-либо разряде множителя встречается нуль.

Предлагаемая здесь запись и порядок производства действий, конечно, не являются какой-либо новостью. В методической литературе уже давно известны эти записи; однако они фигурируют обыкновенно «среди возможных», «непротиворечивых» или даже среди «искусственных» записей, а в конечном счете методист останавливается на общераспространенных записях, которые мы считаем порочными.

Изложенные выше мотивы, мне кажется, требуют пересмотра этого вопроса. Следует решительно отказаться от глубоко укоренившейся, ничем не оправдываемой привычки. Это необходимо сделать на самых первых шагах обучения арифметике. Ученик не должен никогда видеть множителя, подписанного под множимым, как он не видит делителя подписанным под делимым. Точно так же и относительно порядка умножения; ученик всегда должен начинать умножение с высших разрядов множителя.

Наибольшим затруднением в вопросе о возврате к более естественной записи данных и к более естественному порядку действий при умножении многозначных чисел является привычка самих учителей. Однако эту привычку не так уж трудно побороть, если на то будет искреннее желание, о чем я могу судить по личному опыту.

О ТРУДНОСТИ ДЕЛЕНИЯ И ЕГО УПРОЩЕНИИ

А. ГОРСКИЙ (Великие Луки)

«Трудная вещь — деление», говорит старинная итальянская поговорка. Относительно верной эта поговорка остается и в наше время: деление безусловно дается труднее учащимся, чем сложение, вычитание и даже умножение. Но если деление когда-то представляло действительно чрезвычайно мудреную вещь, то это объяснялось сложнейшей техникой производства этого действия и неразработанностью методики его преподавания. Говорить о том, что в данное время деление — труднейшая вещь, конечно, не приходится: техника производства действия упрощена, методика преподавания разработана. Однако, повторяем, деление все же остается наиболее трудным действием в курсе начальной арифмети ш. В связи с этим возникает мысль о способах упрощения трудностей, с которыми сталкиваются учащиеся при делении. Эта мысль может итти или в направлении упрощения техники производства действия деления или в направлении уточнения методики преподавания. Очевидно сторонники первого направления более активны, так как вопрос об изменении техники производства деления, а следовательно, и введении нового знака снова начинает обсуждаться в печати. Поэтому необходимо более глубоко проанализировать мотивы этого направления, прежде чем категорически отказаться от того приема производства деления, которым пользуются школы.

Изменение техники деления непосредственно связывается с изменением знака деления, и рекомендуется американский способ : (знак деления), частное пишется над делимым.

Прежде всего остановимся на рекомендуемых преимуществах американского способа деления.

1) Делитель ставится на первое место, так как выполнение действия деления начинается с рассмотрения делителя (подсчет цифр в нем). На наш взгляд, этот мотив не является основательным, потому что не рассмотрение делителя решает судьбу результата действия, а порядок и правильность тех вычислительных операций, которые непосредственно производятся над делимым. Как при вычитании и умножении на первом месте стоят уменьшаемое и множимое—компоненты, подвергающиеся количественному изменению, так и при делении на первом месте предпочтительнее ставить делимое.

2) Частное пишется над делимым, чем достигается разрядная связь между ними, а это предупреждает ошибки в пропуске нулей в средине или конце частного. Согласимся пока, что эти наиболее часто встречающиеся ошибки при делении зависят от указанной причины. Но разве невозможна разрядная связь частного с делителем? На первых порах, пока учащиеся еще не овладели полностью техникой производства действия деления, мы всегда рекомендуем частное подписывать под делителем по разрядам. Для этого достаточно, чтобы учащиеся правильно определяли разряд первой цифры частного и писали частное на некотором расстоянии от вертикальной черты.

Пусть требуется 23 625 разделить на 25. При записи делителя учащийся замечает, что тысячи делимого не делятся на 25, следовательно, в частном высшим разрядом будут сотни, которых нет в делителе. Поэтому в делителе ставится точка (место сотен), а правее 25. Найдя первый знак частного (это будут сотни), учащийся пишет его под делительной чертой против точки. Следующие цифры частного займут соответствующие разрядные места делителя. Примеры:

3) При делении десятичных дробей американский способ деления позволяет заранее ставить на надлежащее место запятую в частном, а это гарантирует от часто встречающихся ошибок — неправильной постановки запятой. Прежде всего является весьма спорным целесообразность постановки запятой на пустом месте, когда к делению фактически еще не приступлено. От репетиторских приемов «натаскивания» мы категорически должны отказаться: каждый знак учащийся должен ставить с полным пониманием его необходимости и ставить поэтому только тогда, когда этот знак требуется. Однако горячие сторонники преждевременной постановки запятой при делении десятичных дробей могут применять свой прием и при обычном способе деления. При правильной записи частного по разрядам под делителем место запятой не вызывает особых догадок: очевидно, запятая будет стоять правее единиц делителя (а следовательно, и частного).

Возьмем несколько примеров:

Первый этап:

Второй этап:

Первый этап: Второй этап:

Третий этап:

Первый этап. Второй этап:

Последний пример лишний раз убеждает в нецелесообразности постановки запятой до производства самого деления, так как запятая в частном оказалась ненужной.

Таким образом, преимущества американского способа деления являются мнимыми. Мало того, этот способ деления страдает недостатками, которые несвойственны принятому у нас способу деления: цифры частного далеко отстоят от цифр делителя, и умножение производится сверху вниз, что замедляет работу учащегося.

Но все же действие деления остается наиболее трудным в начальной арифметике. В чем же трудности деления и как эти трудности облегчить учащимся?

Корни этих трудностей мы видим не в знаке деления, а в специфике самого действия. Особенностью деления является: а) производство действия с единиц высшего разряда, а не низшего, как при сложении, вычитании и умножении; б) неразрывная связь его с устным счетом — делением в уме не только на однозначное, но даже на двузначное и многозначное число при нахождении знаков частного.

Эти особенности действия деления неустранимы, поэтому, чтобы обеспечить учащимся твердые навыки в производстве этого действия, надо итти не по линии поисков иных способов деления, а по линии правильной организации работы при обучении делению.

Кратко перечислим те условия, выполнение которых безусловно облегчит работу учителя арифметики:

1) Твердое знание учащимися нумерации (уменье прочесть и написать любое число, указать требуемый класс и разряд числа). Слабым знанием нумерации и объясняются ошибки по пропуску нулей в середине и конце частного. Учителя начальной школы, к сожалению, этому вопросу уделяют мало внимания, расценивая изучение нумерации как занятие чистой теорией, а в результате тратят лишнее время на тренировочные упражнения в делении и в конце концов добиваются механического усвоения правила деления, которое быстро учащимися забывается.

2) Обязательное проведение подготовительных упражнений к делению в пределе любой величины (тренировочные занятия на устное деление с остатком и без остатка на однозначное, двузначное и трехзначное число в пределе 100 и 1000). Наибольшая трудность при делении— это нахождение цифр частного, поэтому устным упражнениям на деление должно быть уделено исключительное внимание. Эти упражнения должны быть построены по строгой системе: а) деление без остатка и с остатком однозначного числа на однозначное; б) то же двузначного числа на однозначное; в) двузначного числа на двузначное (в остатке однозначное и двузначное число); г) трехзначного числа на двузначное и трехзначное число (в остатке однозначное, двузначное и трехзначное число). В наиболее трудных случаях учащимся можно разрешать записывать данные числа и результат. Например, при делении 736 на 248 учащиеся записывают данные числа, найденное частное 2 и остаток 240.

Такие упражнения надлежит практиковать на протяжении всего курса арифметики, т. е. по V класс включительно.

3) Прохождение десятичных дробей начинать только после твердого усвоения учащимися действий с целыми числами, что последними программами Наркомпроса предусмотрено.

В заключение считаем необходимым отметить, что мысль о замене знака деления новым возникла среди учителей, работающих в школе взрослых, где контингент учащихся весьма неоднороден и по подготовке и по возрасту, а программа школы обычно мало считается с этим. Работать в таких школах нелегко, и мы, работники массовых школ, значительно в этом виноваты: надо больше уделять внимания обучению арифметике — как самому предмету, так и методике его преподавания.

ИЗ ОПЫТА

БЛИЖЕ К ПРАКТИКЕ*

С. ЧУКАНЦОВ (Орловские Дворики Брянского района)

7. ПРИУЧАТЬ УЧАЩИХСЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ИЗ СМЕЖНЫХ ДИСЦИПЛИН

Опыт показывает, что часто ученики, неплохо знающие математику и умеющие решать математические задачи, испытывают затруднения при решении задач, содержание которых взято из других дисциплин. Поэтому преподавателю в своей работе следует уделить больше внимания решению задач из физики, химии, естествознания, военного дела и других дисциплин.

«Необходимо, чтобы были перекинуты прочные мосты между математикой и астрономией, физической географией, физикой, химией, обществоведением», — писала Н. К. Крупская в своей статье «Диалектический подход к изучению отдельных дисциплин»**.

Детальное знание учителем математики программного материала смежных дисциплин, контакт в работе с преподавателями этих дисциплин дадут возможность преподавателю математики использовать обширный материал для составления ряда задач, на которых учащиеся будут развивать свои способности применять знания в новой обстановке, к новому материалу. В школах иногда необходимо устраивать объединенные заседания предметных методических комиссий для обсуждения вопросов увязки дисциплин друг с другом. Наркомпросу следовало бы издавать программы не рассыпные, а общей брошюрой, а то у нас преподаватель физики иногда не знает, что к данному времени изучено учащимися по математике, а преподавателю математики неизвестно, какой отдел изучают в данное время учащиеся по физике.

С другой стороны, совершенно необходимо также, чтобы не только на уроках математики решались задачи из других дисциплин, но чтобы и математика в свою очередь применялась бы на уроках этих дисциплин. У нас обычно математика применяется кроме уроков математики еще только на уроках физики и астрономии и очень немного на уроках химии. Но ведь преподаватель каждой дисциплины имеет возможность применить иногда на своем уроке те или иные математические расчеты. Урок не только математики и физики, но и урок истории, биологии, географии и т. д. часто будет воспринят учащимися с гораздо большим интересом и пониманием, если на уроке будут произведены те или иные математические расчеты в подтверждение или для конкретизации основной темы урока.

Например, в V классе на уроке ботаники при определении засоренности посевного материала преподаватель может и должен не только сказать учащимся о том, как определяется засоренность семян, и конкретно проделать этот опыт, но и предложить учащимся произвести соответствующие расчеты, требуя от них при этом самостоятельного выполнения расчетов так же, как бы этого потребовал преподаватель математики на своем уроке. Например, если в навеске семян в 50 г оказалось 1 г сора, то предложить рассчитать, сколько сора будет в посевном материале на 1 га.

Еще интереснее будет, если эту работу провести дальше и подсчитать, сколько семечек сора придется на 1 га и сколько это составит процентов по отношению к количеству полезных семян. Такие небольшие арифметические расчеты явятся довольно сильным агитатором за сортирование семян и в то же время будут приучать наших учащихся широко применять математику в своей практической работе.

Интересную работу провела по моему совету одна преподавательница естествознания в VI классе. При изучении семейства крестоцветных она взяла одно сорное растение — сурепку — и предложила учащимся подсчитать количество плодов на одном растении, а затем количество семян в наибольшем, среднем и наименьшем из плодов и определить число семян, которое дает один куст сорняка растения сурепки за один год.

«Тут мы столкнулись с применением и среднего арифметического, и с цифрами, далеко выходящими за пределы тех, которые вы обычно встречаете в задачниках по математике...»,— рассказывала потом мне эта учительница.

На уроке литературы преподаватель, сообщив дату рождения и смерти того или иного писателя, может предложить учащимся самостоятельно вычислить (устно, конечно), сколько лет жил данный писатель и сколько времени отделяет нас от последнего момента его творчества. Это поможет учащимся быстрее и прочнее запоминать даты*.

* Продолжение, см. № 4.

** Н. К. Крупская — «О преподавании в средних школах взрослых», Учпедгиз, 1939 г., стр. 49.

* На экзамене по химии в нашем техникуме один студент, хорошо рассказавший о периодической системе элементов, на вопрос, «Когда жил Менделеев?», ответил: «Тому назад лет 300!»

Я не говорю уже о преподавателях обществоведения, экономической географии, для которых решение той или иной конкретной задачи, сопоставляющей, предположим, экономическое развитие Советского Союза и капиталистических стран, часто будет давать богатый иллюстративный материал к соответствующей теме урока*.

А как решение таких задач на уроках других дисциплин поднимает в глазах учащихся значение математики и повышает интерес к ней!

8. ПРАКТИКОВАТЬ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С КОНКРЕТНЫМ СОДЕРЖАНИЕМ

ЦК ВКП(б) в своем постановлении от 25 августа 1932 г. «Об учебных программах и режиме в начальной и средней школе» указывал на необходимость использования «...в учебных занятиях (упражнения по русскому языку, математике, обществоведению и т. д., лабораторные работы по физике, химии и естествознанию) материала социалистического строительства, обеспечив тщательный подбор доступного детям материала».

Под задачами с конкретным содержанием мы имеем в виду такие задачи, которые составляются на основе конкретного материала социалистического строительства в нашей стране, материала, взятого из газет, брошюр, на заводе, в колхозе и т. д.

Мы не будем много останавливаться на этом вопросе, так как он получил уже свое освещение в журнале «Математика в школе» в статьях В. Ермольева, «Коммунистическое воспитание на уроках математики в средней школе» в № 5 за 1939 г., стр. 26— 30, Алисова, «Задачи на квадратные уравнения», там же, стр. 50—52, Л. Круповецкого. «Задачи из современной жизни на уроках арифметики» в № 1 за 1939 г. и др. (см. также упомянутые выше две наши статьи).

Здесь нам хочется только сказать несколько слов о тех требованиях, которым должна отвечать всякая задача с конкретным содержанием. Эти основные требования следующие:

1. Задача должна быть вполне понятной и интересной для учащихся; надо чтобы ученики видели, чувствовали, что задача взята из жизни. С этой точки зрения было бы желательно, чтобы соответствующая задача была приурочена к определенному моменту времени.

2. Условие задачи должно быть реально, т.е. должно представлять собой действительно конкретные данные, взятые из газет или других источников, а не искусственно создано, что иногда забывают некоторые учителя.

3. Вопрос задачи должен естественно возникать из ознакомления с теми реальными данными, которые изложены в условии задачи.

4. Решение задачи с конкретным содержанием должно вызвать у учащихся (этому должен помочь учитель) яркое конкретное представление по тому вопросу, о котором говорится в задаче. Ученик должен не только получить правильный ответ, как это обычно делается при решении задач из задачника, но и хорошо осмыслить его. С этой точки зрения часто бывает целесообразно решение двух-трех задач на одну и ту же тему (см., например, задачи №1, 2, 3 и 4 о приросте урожайности зерна в нашей статье в журнале № 6 «Математика в школе» за 1939 г., стр. 28—30).

5. Желательно, чтобы задачи составлялись по материалам, вполне доступным детям (широко использовать «Пионерскую правду»), и по возможности при их участии. Такие задачи уже только одним тем, что они повышают общественно-политический уровень учащихся, играют огромную роль в деле формирования будущего работника социалистической стройки, в деле подготовки его к участию в общественно-политической и хозяйственной жизни своей родины. Но и сверх того, давая богатый фактический материал о хозяйстве советской страны, о ее природных богатствах, о ее технических достижениях, эти задачи имеют, несомненно, и чисто практическое значение. Полученные учеником знания часто послужат путеводной нитью, иногда отправным моментом в его практической работе.

Так, поставленное решение задач с конкретным содержанием помимо большого воспитательного значения будет еще ценно и тем, что приучит наших учащихся разбираться в статистическом материале наших газет и журналов (вспомните, какое большое значение В. И. Ленин придавал изучению статистики! Вспомните, как Н. К. Крупская настаивала на включении элементов статистики в программы средних школ взрослых!).

Совершенно ясно, что вопрос о решении задач с конкретным содержанием не может быть разрешен изданием сборника таких задач, так как основное требование к ним — это актуальность, злободневность их содержания, а следовательно, они должны создаваться на основе свежего материала, и каждый преподаватель должен сам их творить в процессе своей работы, ежегодно обновляя их и создавая новые, наиболее актуальные и злободневные для сегодняшнего дня. Задача методической литературы, очевидно, должна быть в том, чтобы дать общие указания и разъяснения по этому вопросу и дать образцы наиболее ценных задач в применении к различным разделам математики.

Следует, однако, и предостеречь некоторых преподавателей от чрезмерного увлечения задачами с конкретным содержанием в ущерб их качеству. Нужно понять, что если в условии задачи фигурируют цифры, выдуманные учителем, хотя бы по поводу действительно имевшего место того или иного конкретного факта, но не соответствующие действительности, то такая задача является ложной задачей с конкретным содержанием, и ей не должно быть места в школе. Совершенно справедливую критику таких задач дал т. Мостовой в своей статье «О пошлости, воспитательных моментах и действительном воспитании», помещенной в «Учительской газете», № 21 от 11/II 1939 г.

9. БОЛЬШЕ УДЕЛЯТЬ ВНИМАНИЯ РЕШЕНИЮ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ЗАДАЧ

С точки зрения подготовки учащихся в практической работе большое значение имеет

* Подробнее об этом см. наши статьи в журнале «Математика в школе»; «К вопросу о политическом воспитании учащихся», № 6, 1939 г. и «Задачи с конкретным содержанием на уроках математики»,№2,1940 г.

решение производственных задач. Н. К. Крупская в своей статье «Диалектический подход к изучению отдельных дисциплин» писала:

«...продумывая курс математики, надо отдать себе отчет в том, как на каждом этапе надо перекидывать мост между теорией и практикой, отметить, насколько и чем важна математика для разрешения жизненных проблем. Это увязывание теории с практикой особенно важно, чтобы ощутить увлекающую своеобразную поэзию математики, это особо будит инициативу, мысль. Преподаватель математики особенно должен обращать внимание на составление вместе с учащимися жизненных задач, на стимулирование учащихся в этой области»*. Все сказанное выше о решении задач с конкретным содержанием должно относиться и к производственным задачам.

Производственные задачи в стабильных задачниках имеются, но их недостаточно и они неудовлетворительны по качеству. В самом деле, кому в жизни может притти в голову измерять высоту фермы моста и производить ряд сложных вычислений для определения длины пролета фермы? А вот в задаче № 1, § 11 «Сборника задач по геометрии», ч. I Н. Рыбкина делается именно так. Или, возьмем задачу № 17 из § 11 из той же темы «Пропорциональные отрезки в круге» того же задачника (стр. 62). Это прекрасная производственная задача, но дана она в задачнике так, что производственного у нее остается только три слова — «перевод железнодорожного пути». Совсем другое дело, если преподаватель преподнесет ее учащимся в таком виде. Учитель спрашивает учащихся:

— Вы были когда-нибудь на железной дороге? Видели стрелочные переводы? Какую они имеют форму? — и предлагает учащимся нарисовать его (конечно, помогая им в этом, если учащиеся будут затрудняться).

— Давайте определим радиус вот этого закругления железнодорожного пути, — предлагает преподаватель. В ответ естественно последует вопрос:

— А мы данных не знаем, как же мы будем определять?

— Верно, — отвечает учитель, — но мы можем сходить на станцию и измерить то, что нам нужно для решения задачи, но что же мы там будем измерять?

И тут начинается творческая работа мысли учащихся над тем, какую теорему геометрии следует применить для решения задачи и какие элементы жел.-дор. перевода нужно измерить, чтобы определить радиус закругления? После выяснения этих вопросов учитель спрашивает: «Не знает ли кто из учащихся размеры тех элементов стрелочного перевода, которые нужны для решения задачи, чтобы не ходить на жел.-дор. станцию для измерения их?» Находятся учащиеся, которые знают нужные размеры или более-менее точно могут определить их «на-глаз».

Учитель одобрительно отзывается об этой осведомленности учащихся, и тут есть что одобрить. Нужно всячески поощрять осведомленность учащихся во всяких производственных вопросах. А то у нас часто бывает так, что на уроках русского языка учащиеся пишут прекрасные сочинения о том, кем они хотят быть, а в простейших производственных вопросах любимой специальности не разбираются. Ученик мечтает быть инженером-транспортником, а спросите его, какова высота телеграфных столбов, идущих по обе стороны железной дороги, и вы услышите нередко совершенно нелепый ответ, вроде того, что столб имеет высоту метров 15, а семафор — метров 40.

— Какова длина двухосного товарного вагона?— потребовалось нам однажды на уроке для решения задач. Я получил около десятка различных ответов, которые колебались от 2 до 20 метров.

К нам в лесной техникум поступают учащиеся, окончившие НСШ. Это страстные любители леса. Но многие из них при решении задач из лесного хозяйства дают самые нелепые ответы относительно высоты дерева, диаметра ствола и т. п.

А как нужна бывает эта производственная осведомленность иногда в жизни. Так, например, зная более или менее точно размеры предметов, находящихся на стороне противников, наши артиллеристы и другие красноармейцы довольно точно определяют расстояние до цели и обеспечивают тем самым поразительную меткость стрельбы. Спичечная коробка в руках опытного красноармейца часто является прекрасным дальномером.

Но вернемся к нашей задаче. Предположим, ученики определили на-глаз, что ширина колеи равна 1— м, а расстояние от стрелки до крестовины — 40 м (вместо 1,524 м и 42,4 м) можно ли решать задачу? Мне кажется, что можно. Ведь не строим же мы железную дорогу! Нужно только указать учащимся, что это не совсем точно и что, следовательно, и ответ у нас получится только приближенный. Неплохо было бы действительно уточнить решение во время экскурсии на железную дорогу (кстати, эта тема изучается весной, и такая прогулка учащихся с учителями была бы очень полезна).

Если в классе не найдется учащихся, знающих хоть приблизительно нужные размеры, то их сообщает учитель.

Такое решение задачи № 17 произведет на учащихся гораздо большее впечатление, чем обычное ее решение. Такое решение производственных задач приучает учащихся интересоваться производственными вопросами, убеждает их в большой практической ценности теории.

Или еще пример: задача № 72, § 13 «Площади прямолинейных фигур» из того же задачника Рыбкина. Прекраснейшая по теме задача на определение площади поперечного сечения стрелкового окопа, но дана она в таком виде, что от окопа здесь остается одно название. Автор задачника старательно поработал над тем, чтобы освободить ученика от необходимости проявить хоть сколько-нибудь собственную инициативу при ее решении. Он разбил поперечное сечение окопа на трапецию и параллелограм, указал, что надо измерить, и даже сам произвел эти измерения: все предусмотрено и ничего не

* Н. К. Крупская — «О преподавании в школах взрослых», Учпедгиз, 1939 г., стр. 50,

дано лишнего! Теперь ученик, не думая, может подставить готовые данные в известные формулы, и вся самостоятельность ученика в решении задачи сведется только к несложным арифметическим вычислениям над простенькими дробями. Впрочем, оказывается, что и тут автор успел предупредить ученика: он уже произвел эти вычисления и дал их в ответе. В этом стремлении уберечь ученика от ошибок, закрыть ученику доэогу для проявления собственной инициативы под видом оберегания ученика от ошибок автор иногда доходит до курьеза. Так, в задаче № 75 того же параграфа он идет даже на то, что предлагает учащимся вычислить количество материала, потребное только на одну сторону костюма военной маскировки (площадь выкройки)...

Но стоило в задаче № 72 приложить к чертежу масштаб (вместо размеров), а в задаче № 75 поставить вопрос о потребном количестве материала для всего костюма, и уже эти задачи имели бы гораздо больше значения и производственную ценность Они действительно бы подготовляли учащихся к практике. Пусть некоторые из них и ошиблись бы при этом, пусть кто-нибудь из них и определил бы потребное количество материала только на одну сторону костюма, по крайней мере на этой ошибке ученик увидел бы, что для решения производственной задачи недостаточно только одного умения производить арифметические вычисления и знать формулы, увидел бы, что ко всему этому необходимо приложить еще и то, что наши колхозники очень удачно называют «русской смекалкой».

Так как производственных задач в наших задачниках очень мало, а имеющиеся далеко не всегда отвечают элементарным требованиям, предъявленным к производственным задачам, то преподавателю необходимо самому работать над составлением производственных задач. Некоторые интересные указания по этому вопросу преподаватель может найти в статье «Практические задачи на уроках арифметики» в журнале «Школа взрослых», № 8 за 1939 г.

В заключение подчеркнем, что при решении производственных задач следует по возможности ставить учащихся в такие условия, чтобы они сами искали те данные, которые нужны для решения поставленной задачи. Учителю при этом нужно проявить большую находчивость не только в их составлении, но и в методике их преподнесения учащимся.

В заключение одно существенное замечание. Из всего, сказанного выше по вопросу о задачах, из того упора на задачи «из жизни», составленные самим учителем, некоторые читатели могут сделать вывод, что автор настоящей статьи снижает роль стабильного задачника в процессе обучения математике или даже совсем изгоняет его из школы. Такой вывод был бы совершенно неверен и вреден. Стабильный задачник должен оставаться основным пособием, основным источником для тренировки в решении упражнений и задач, в закреплении и применении теории.

К сожалению, наши стабильные задачники в их настоящем виде обладают целым рядом недостатков как с точки зрения подготовки учащихся к будущей практической деятельности, так и с методической (да и образовательной) стороны. Но этот вопрос — уже тема для специальной статьи.

10. РАЗВИВАТЬ ГЛАЗОМЕР, НАУЧИТЬ ПОЛЬЗОВАТЬСЯ СПРАВОЧНИКАМИ, СЧЕТНЫМИ МАШИНАМИ И ИЗМЕРИТЕЛЬНЫМИ ПРИБОРАМИ

С точки зрения подготовки учащихся к практической работе совершенно необходимо развивать у них глазомер*. В этом направлении у многих учащихся дело обстоит очень плохо. Преподаватель Н. Тарновский в «Учительской газете» (№ 8 от 15/1 1939 г.) писал о том, как один ученик при решении задачи по физике пришел к выводу, что «кусок железа величиной со спичечную коробку весит... 9,36 кг». Такой нелепый вывод ученика нельзя объяснить только ошибками в арифметических вычислениях. Это объясняется еще и тем, что наши учащиеся часто не имеют реального конкретного представления о единицах измерений (некоторое исключение, да и то далеко не всегда, представляют только единицы длины). Виной этого является в первую очередь все то же наше порочное преподавание, оторванное от практики. Рабочие, которым приходится в своей практике часто иметь дело с деталями различных размеров, имеют хорошее представление о единицах измерения площадей и объема.

— К вам поступают 50 тысяч ценных деталей, каждая размером со спичечную коробку-малютку. Куда вы их положите? — спросил я у учеников X класса.

— Трудно сказать, у нас при школе нет такого большого сарая, чтобы они уместились, — ответили ученики.

Тот же вопрос, предложенный на курсах инструментальщиков, не поставил рабочих втупик. Рабочий-курсант совершенно уверенно ответил:

— Их можно положить в угол класса. Они займут немного больше места, чем ваш шкаф с книгами.

Надо дать учащимся конкретные представления о единицах измерения площадей и объема и больше уделять внимания развитию у них пространственного представления. В своем преподавании мы обычно разъясняем учащимся, что квадратный метр — это квадрат со стороной в один метр, а сами чертим при этом на доске квадрат со стороной в два-три дециметра. То же с кубом и т. п. Правда, часто при этом учитель показывает кубический дециметр и разъясняет, что объем кубического метра равен тысяче таких объемов; но разве может ученик правильно представить умственно объем, в тысячу раз больший данного, без соответствующей предварительной подготовки? С единицами измерения надо знакомить конкретно. Нужно обязательно иметь в классе набор моделей единиц измерения, в том числе и кубического метра. Нужно также показать учащимся кубический метр дров, тонну угля; нужно, чтобы сами учащиеся обязательно промерили по прямой (и по окружности) километр и протопали бы его несколько раз ногами; нужно показать учащимся гектар (его просто надо вымерить

* См. также по этому вопросу: Ф. Нагибин — «Развитие глазомера на уроках математики» в журнале «Математика в школе», № 4 за 1935 г.

в поле самим учащимся), нужно дать почувствовать минуту времени и т. п.

В целях развития глазомера нужно, чтобы учащийся знал собственный рост и вес и размеры частей своего тела, чтобы он в лесу, например, мог бы довольно точно вырезать палку длиной в один метр, если ему это потребуется. А как часто это действительно требуется в практической работе! С этой же точки зрения полезно, чтобы учащийся знал размеры класса, его объем, площадь классной доски, своей парты, тетради, объем шкафа и т. п. Нужно, чтобы он умел приблизительно ориентироваться в величине того или иного предмета, сравнивая его на-глаз с величиной тех предметов, которые ему хорошо знакомы и размеры которых хорошо известны. Особенно это относится к объемам тел, зданий и т. п.

Нужно также развивать у учащихся «глазомер» и в отношении результатов арифметических действий. Если ученик при умножении 6 — на 4 получает 13 или при делении 6 — на 3 получает 51 (случаи приведены из ответов учащихса на экзамене), то это говорит не только о том, что данный ученик не знает дробей, но также и о том, что ученик не умеет на-глаз прикинуть, сколько же будет в ответе.

Русские счеты имеют широкое применение в практике, но, вот, наши учащиеся не умеют считать на счетах, и мы их этому не учим. Счеты должны войти в быт школьника. Между прочим, на страницах журнала «Математика в школе» каждый год дебатируется вопрос о технике логарифмических вычислений. Но этот вопрос крайне упрощается, если применить счеты при логарифмических вычислениях. Русские счеты вместе с «Четырехзначными математическими таблицами» Брадиса должны войти в повседневный быт школьников — это значительно облегчит им технику сложных и громоздких арифметических вычислений, это очень пригодится им в их будущей практике.

Комбинат школьного технического оборудования производит недорогие ученические счеты торгового типа небольшого размера (26,5 см X 18,5 см). Такие счеты можно носить даже в портфеле. Школам следовало бы иметь комплект таких счет на полный класс. Дома же ученик тоже будет пользоваться счетами, так как трудно себе представить у нас семью, в которой бы не имелись счеты.

Логарифмическая линейка и арифмометр также должны стать предметом школьного изучения (последний, разумеется, с точки зрения пользования им, а не детального изучения его устройства).

Необходимо также научить учащихся пользоваться и простейшими измерительными приборами и инструментами. Ученик должен уметь производить измерение рулеткой, простейшей астролябией, эккером и т. п. Не надо думать, что все эти вещи настолько просты, что им не следует уделять никакого внимания в школе. Всему этому надо учить наших учащихся так же, как учим мы их решать задачи и доказывать теоремы. Строительный рабочий т. Чижов, о котором мы уже говорили, рассказывал: «Рулетку, которую мне дали в руки, я увидел впервые и пользоваться ею не умел. Путал деления, неправильно производил отсчеты».

Наконец, нужно научить учащихся пользоваться различного рода справочниками. Это так необходимо им будет в жизни!.. Большое значение я придаю умению пользоваться таблицами Брадиса, которыми мои учащиеся начинают пользоваться с VII класса и постоянно применяют их до X класса, причем не только на уроках математики, но также и на уроках физики и других дисциплин, где приходится производить вычисления. При этом я договариваюсь с преподавателями других дисциплин о том, какие навыки в пользовании таблицами и к какому сроку будут иметь мои учащиеся и какие требования в отношении пользования таблицами преподаватели могут предъявлять к учащимся отдельных классов (до этого мне приходилось наблюдать, что при производстве сложных вычислений в физике логарифмами не пользуются, так как оказывается, что учащиеся «забыли» принести таблицы логарифмов).

Нужно, однако, заметить, что таблицы Брадиса это все-таки не есть тот справочник, который необходим нашим учащимся в будущей их практической работе, так как это все-таки только таблицы, а не справочник. Нам кажется, что было бы целесообразно дать учащимся в руки справочник типа справочника по элементарной математике, механике и физике, составленный Б. Я. Березовским, И. Н. Веселовским, А. Я. Модестовым и Б. А. Невским под редакцией И. Н. Бронштейна (серия «В помощь стахановцу»), конечно, соответствующим образом его переработав и дополнив включением в него всех таблиц из четырехзначных математических таблиц Брадиса. Такой справочник явился бы весьма ценным пособием для учащихся, начиная с шестого класса и кончая десятым, а также и неотъемлемым спутником в их дальнейшей практической работе, независимо от того, на каком участке социалистического хозяйства им придется работать.

Если в конце справочника включить еще 3—4 листа типа листов вечной записной книжки, то этот справочник станет повседневным «товарищем» наших учащихся как в школе, так и на практической работе.

Наркомпросу и Учпедгизу следовало бы вообще подумать о том, чтобы, оканчивая школу, ученик выходил бы из нее не только с максимальным багажом знаний, но также и с небольшим портфелем книг, необходимых ему в жизни. Тогда бригадир колхоза т. К., о котором я говорил выше, не делал бы тех ошибок, которые он допустил при измерении площадей в колхозе, сумел бы восстановить в памяти изучаемое в школе и догадался бы применить в своей практике и логарифмы, и натуральные тригонометрические функции.

12. НАУЧИТЬ БЫСТРО И ВЫСОКОКАЧЕСТВЕННО РАБОТАТЬ

Невольно возникает вопрос: где взять время для всей этой работы?

На этот вопрос я должен ответить так: в основном там же, где мы берем время для решения задач из задачника.

Конструирование моделей и различных приборов, как и решение некоторых интересных практических задач, можно и должно производить в математическом кружке, который любовно должен культивировать у себя в школе каждый преподаватель математики.

Выход в поле для измерения площади участка земли можно иногда организовать и в виде экскурсии в выходной день. Но ограничиться только этим совершенно нельзя. Нужно договориться раз и навсегда о том, что вопросы приложения математики к решению практических задач должны стать неотъемлемой частью работы преподавателя и учащихся над изучением программного материала, и отсюда исходить. Но тогда она должна быть обязательной для каждого учащегося, чего нельзя сказать, например, о посещении математического кружка или участии в экскурсии. Следовательно, вся основная работа в этом направлении должна быть проделана на уроке, основные задачи, требующие измерений на местности, должны быть проработаны обязательно в учебное время и всеми учащимися, как неотложный элемент математической подготовки. Иная постановка вопроса вызовет и иное отношение некоторых учащихся к этому виду учебной работы, что нежелательно. Следовательно, время для решения практических задач нужно и можно изыскать, повышая качество учебы, борясь за уплотнение каждой минуты урока путем аккуратной подготовки к каждому уроку и тщательного планирования его, увлекая учащихся работой, развивая у них интерес к изучаемому материалу, повседневно держа в поле своего внимания вопросы организации класса, его труда, тем самым повышая эффективность каждого часа, каждой минуты учебы.

Весной, перед испытаниями, наши учащиеся напряженно работают. У нас на учете каждая минута учебного времени. Но надо научиться так же тщательно беречь каждую минуту времени и осенью, в сентябре, в начале учебного года. Надо научить учащихся тому, чтобы они так же интенсивно учились и в начале учебного года.

Вспомним, с чего начали застрельщики всенародного стахановского движения — самого непреодолимого движения современности. Эти люди, выпестованные партией Ленина — Сталина, объявили — каждый на своем участке, в своей области труда — беспощадную войну потерям драгоценного времени, бесполезному расходованию минут и секунд, из которых складываются рабочие часы и дни.

«В самом деле, присмотритесь к товарищам стахановцам,— говорил товарищ Сталин на I Всесоюзном совещании стахановцев.

— Что это за люди? Это, главным образом,— молодые или средних лет рабочие и работницы, люди культурные и технически подкованные, дающие образцы точности и аккуратности в работе, умеющие ценить фактор времени в работе и научившиеся считать время не только минутами, но и секундами»*.

Наши юноши и девушки, окончив школу и придя на производство, в колхоз, в Красную Армию, должны будут включиться в это самое непреодолимое всенародное движение, стать в первые ряды стахановцев, а иногда и быть руководителями стахановского движения на своем участке работы. Но для этого их еще в школе надо приучить к точности и аккуратности в работе, научить ценить фактор времени. «Обязанность каждой школы с малых лет приучать детей к деловитости и организованности, к настойчивости и уменью преодолевать трудности*. Но для этого, во-первых, нужно показать учащимся, что в жизни большое значение имеет не только прочность знаний, но и умение быстро применять их к практике. И это удобнее всего показать опять-таки на решении практических задач. Решая задачу на оборону, учащиеся сами замечают, что тут важна не только точность, но и быстрота.

Во-вторых, преподаватель в первую очередь сам должен быть культурным, научно и педагогически подкованным человеком и повседневно, ежечасно давать образцы точности и аккуратности в работе, уметь ценить фактор времени, чего, к сожалению, еще нельзя сказать о некоторых наших педагогах, и правильно поступает «Учительская газета», что со всей остротой ставит этот вопрос (например, в упомянутой уже статье А. Волостных и в статье Н. Крупенина «Правильно ли вы используете свое вре.мя?» в № 27 от 25/ 1 1940 г.). «Мировоззрение учителя, его поведение, его жизнь, его подход к каждому явлению — так или иначе влияют на всех учеников» (М. И. Калинин)**.

В-третьих, преподаватель, повседневно требуя от учащихся высокого качества учебы, правильного, точного и аккуратного выполнения домашних заданий и классных письменных работ, ни на одну минуту не должен упускать из виду и темпы работы учащихся, быстроту чтения и письма, быстроту выполнения заданий; он должен постоянно уделять внимание организации труда учащихся в классе и дома. Многие психологи утверждают, что быстрое чтение значительно продуктивнее медленного.

К сожалению, быстроте письма учащихся, вообще вопросам организации труда учащихся мы часто не уделяем внимания. Наоборот, под видом индивидуального подхода к каждому ученику мы иногда в темпах своей работы ориентируемся, а значит, ориентируем и весь класс на самого медлительного, неповоротливого ученика, не умеющего организовать правильное использование учебного времени (см. статью Зарецкого «Культура учебы» в «Учительской газете», № 28 от 25/11 1938 г.).

Мне в своей практике приходилось наблюдать учащихся, которые вполне добросовестно относились к учебе, дома все время просиживали над приготовлением домашних уроков и все-таки не успевали по ряду предметов. Внимательное наблюдение за их работой привело меня к выводу, что причиной их неудовлетворительных успехов является неумение достаточно быстро, в ногу с учащимися всего класса, работать в классе, записывать, готовить домашние задания.

Приучая к должным темпам работы в

* См. передовую статью «Ценить фактор времени» газеты «Правда», № 64 от 5 марта 1940 г.

* См. «Воспитывать в школьниках чувство ответственности». Передовая «Учительской газеты», № 53 от 19, IV 1940 г.

** «Речь товарища М. И. Калинина на совещании учителей-отличников», 28/X1I 1938 г.

классе, я обратил особое внимание на организацию подготовки домашних заданий, где у ряда учащихся наблюдались медленные темпы работы. Пришлось поставить вопрос о выполнении домашних заданий учащимися на одном из родительских собраний, сделав упор при этом на вопросах организации самостоятельной работы учащихся, на вопросах экономии времени учащимися, необходимости каждому учащемуся обязательно иметь отдых после школьной учебы и перед сном и т. п. Предварительно в течение двух недель я задавал на дом всем учащимся V классов одну и ту же необычную для арифметики «задачу»: «определить, сколько времени ты работал над выполнением домашнего задания по арифметике?» «Задача» была необязательной, но тех, кто ее решал, я просил отнестись со всей серьезностью к ней и записывать на полях время начала и окончания работы, только точно соответствующее действительности (при этом я показал им запись времени и даты на донесениях и приказах, употребляемую в Красной Армии, что им очень понравилось). Мы договорились, что ученик, вабывший в начале выполнения урока записать время, не должен потом его восстанавливать, а просто не будет в этот день решать этой «задачи» (это необходимо было сделать во избежание неверного заполнения времени). Проверяя затем тетради по арифметике, я составил табличку начала и окончания выполнения учеником урока по арифметике и его продолжительность для большинства учащихся трех пятых классов. Эта табличка показала мне, что в то время как отдельные учащиеся выполняют урок по арифметике за 15—20—30 минут, другие сидят над ним lVi—2 часа. Кроме того, я обнаружил, что описки в решении примеров по арифметике чаще встречаются у тех учащихся, которые выполняют урок по арифметике поздно вечером... Эта табличка дала мне также возможность, имея уже некоторые данные, посетить на дому многих учащихся во время приготовления ими уроков по арифметике, а это для меня было очень ценно: понаблюдать ученика дома за приготовлением домашних уроков, помочь ему правильно организовать приготовление их — долг каждого учителя.

Накопив достаточно фактов, я провел разъяснительную работу среди учащихся и родителей по вопросу о том, как надо готовить дома уроки по математике, как более быстро и продуктивно записывать объяснения в классе и т. д. Показал, как правильно надо сокращать слова, схематически записывать. Пришлось вести борьбу против непроизводительной траты времени учеником на «двойную бухгалтерию»— грязновики и чистовики— и требовать от них, чтобы всякая запись обязательно была бы четкой, аккуратной и произведена была бы быстро, но без лишней торопливости и красиво (в первую очередь и самому пришлось подтянуться в этом отношении). Некоторое время пришлось вести ежедневные консультации в 20—30 минут до начала уроков, на которых приходилось не только помогать готовить уроки, но и разъяснять, как надо готовить уроки, а некоторых пришлось учить и правильной записи цифр.

Оговоримся, что нельзя убыстрять темпы, например, письма за счет красоты почерка, нельзя вообще отрывать вопрос темпов работы ученика от качества его работы. Эти два вопроса внутренне связаны между собой. Сколько времени иногда ученик бьется над решением какого-нибудь примера со скобками, а посмотришь — все его затруднения вызваны только тем, что он небрежно написал шесть, а потом принял ее за восемь; сколько иногда тратит времени ученик на решение того или иного уравнения только потому, что перед одним его членом небрежно записанный знак минус слился с чертой дроби и в дальнейшем решении исчез? Нужно довести до сознания учащихся, что в математике, более чем где-либо, важен именно четкий, аккуратный, красивый почерк, что в жизни это также совершенно необходимо.

После статей В. Падучева («Из практики учительской работы» в журнале «Математика в школе», № 3 за 1938 г. и «Борьба с небрежной записью на уроках математики» в № б за 1935 г.) вряд ли есть надобность много говорить о том, зачем и как это надо делать. Мне хочется только добавить, что для отдельных учащихся этих общих указаний и разъяснений бывает недостаточно и требуется некоторая индивидуальная кропотливая работа с ними, чтобы добиться положительных результатов.

К сожалению, в средней школе этот вопрос обычно обходится всеми учителями. Меня однажды отец одного ученика попросил повлиять на его сына (ученика IX класса), чтобы он не писал каракулями, так что отец разобрать ничего не может. Сам ученик также сознавал необходимость улучшения своего почерка.

Чтобы помочь ему, я обратился по этому поводу к преподавательнице родного языка. «Это не мое дело, — заявила она мне, — обратитесь к преподавателю черчения... раньше ведь они вели в гимназиях чистописание, а ко мне, как к преподавательнице родного языка, это имеет такое же отношение, как и к вам, как к преподавателю математики»...

Я обратился к преподавателю черчения. «Мое дело научить красиво писать, например, плакаты, оформить лозунг, — говорит он, — а почерк ученика — это не мое дело».

Что же мне оставалось делать? Не обращаться же к учителю географии или химии по этому вопросу! И я вынужден был ограничиться тем, что рекомендовал ученику приобрести пропись для II класса и систематически заниматься списыванием, сам же провел несколько занятий в классе по списыванию цифр.

Мало обращают внимания на красоту и четкость почерка и особенно четкость записи цифр и в начальной школе...

А сколько времени непроизводительно тратится учеником на письменное производство таких арифметических вычислений, которые ничего не стоит произвести в уме устно или полуписьменно! Вспомните этот знаменитый угол при делении, без которого иной ученик не может разделить даже 9177 на 7, а эти длинные хвосты десятичных знаков при возведении в степень и умножении десятичных дробей! А как ученик сокращает дробь

Многие из них обязательно

сделают это не иначе, как в пять приемов:

А для того чтобы от 3 отнять lg 24 = 1,3802, обязательно обращают на промокашке или на крышке тетради 3 в десятичные доли. Характерна даже такая мелочь. Если ученику при решении у доски задачи потребовалось перемножить два числа, то он обязательно перепишет их в сторонке (никогда не использует при этом в качестве множимого один больший из множителей, уже написанный на доске), перемножит, а затем сначала сотрет полученный результат, а потом запишет его туда, куда следует по памяти, перепутывая при этом иногда некоторые цифры. То же и при делении.

Вывод наш таков. Нужно освободить ученика от этого «бесцельного бумагомарания и праздного многоделия» (Гольденберг).

Надо приучить учащихся простейшие вычисления производить обязательно в уме, надо научить их пользоваться приемами полуписьменных вычислений, надо выработать привычку обращаться к таблицам при возведении в квадрат, извлечении корня, определении площади круга и т. п., вообще рационально использовать все таблицы хотя бы в пределах четырехзначных математических таблиц Брадиса, научи гь пользоваться счетами, дать основные приемы приближенных вычислений, научить четко и разборчиво писать каждую цифру, знак, букву, — все это немало освободит нам времени для более углубленного изучения теории (а более углубленное изучение теории в свою очередь положительно повлияет на темпы работы ученика), а ученику—для более быстрого приготовления домашних уроков (оставляющего время для дополнительного чтения, для отдыха и игр и т. д.), для более глубокого развития изобретательских и конструкторских способностей его пытливого ума. А все это вместе взятое так пригодится ему в будущей практической работе!

Большое значение в приготовлении домашних уроков (да и при работе в классе) играет также правильная организация рабочего места ученика (если можно так выразиться). Часто ученик, для того чтобы вычислить то или иное выражение при решении задачи, на разыскивание таблиц логарифмов тратит больше времени, чем на самое вычисление.

Мне однажды очень хотелось сфотографировать один пятый класс на уроке. Почти перед каждым учеником на столе лежит ряд книг, линейка, пенал, карандаш, резинка..., а в результате положить на стол ту тетрадь, на которой ученик ведет запись урока так, чтобы удобно было писать — некуда. Очевидно, в начальной школе не были привиты навыки культурной организации рабочего места, а в средней школе мы и вовсе не замечаем этого. Тут полезно вспомнить и нашу хозчасть. Сколько хлопот доставляет учащимся отсутствие в некоторых школах чернил на каждой парте! Ученик вынужден обращаться за чернилами к товарищу на другой стол и даже передавать ручку через товарища для того, чтобы окунуть ее в чернила.

А пишут! Чем иногда наши учащиеся пишут? На это мы редко обращаем внимание.

Ученик, например, пишет новым карандашом, а на другом конце карандаша одет наконечник с перочинным ножом, да еще раскрытый. И получается увесистый рычаг, а не карандаш. Где уж тут до красоты почерка? И учитель «не замечает» этого: «Я математик, — думает он,-не мое это дело». А преподавателя химии это так же мало касается и т. д. А ведь это также очень важный вопрос в деле привития учащимся навыков «культуры учебы».

Чем иногда пишут наши учащиеся? («орудия» письма некоторых учащихся V классов школы им. III Интернационала Брянска, которыми мной не было разрешено пользоваться).

Один ученик V класса вдруг начал писать гусиным пером.

— Почему?— спрашиваю его.

— Так Пушкин, — говорит, — писал.

Но разве позволил бы себе ученик заменить ученическую ручку гусиным пером, если бы он умел ценить фактор времени?

Надо учить ребят правильно организовать свое рабочее место дома и в классе, приучать держать всегда в отличном состоянии «рабочие инструменты» — перо, ручку, карандаш, книгу,— научить сшивать тетрадь, научить сокращать до минимума непроизводительную трату времени. Пусть наш ученик если работает — так быстро, если отдыхает — то культурно.

Вопросы точности и аккуратности работы наших учащихся, вопросы темпов их работы не должны выпадать из нашего поля зрения ни на одну минуту. Это нужно в интересах повышения качества учебы, это нужно в интересах подготовки учащихся к практической работе.

В стране, где бурно развивается стахановское движение, школа не может безучастно относиться к темпам работы ученика. Качество и темпы, темпы и качество,—вот что должен научиться умело сочетать каждый ученик нашей школы во всей своей учебе и работе, вот чему должен научить его учитель в школе.

13. ВОСПИТЫВАТЬ И ПООЩРЯТЬ ЛЮБОВЬ Б ТРУДУ, НАБЛЮДАТЕЛЬНОСТЬ И ПЫТЛИВОСТЬ, НАСТОЙЧИВОСТЬ, УПОРСТВО И ДЕРЗАНИЯ В УЧЕБЕ

Великий воспитатель, товарищ Сталин, сказал: «Помните, товарищи, что только те кадры хороши, которые не боятся трудностей, которые не прячутся от трудностей, а наобо-

рот,—идут навстречу трудностям для того, чтобы преодолеть и ликвидировать их. Только в борьбе с трудностями куются настоящие кадры»*.

Эти указания вождя народов должны явиться для учителя путеводной звездой во всей его учебно-воспитательной работе.

Нужно повседневно воспитывать у наших учащихся непреодолимое рвение к труду, к учебе, упорство в преодолении трудностей, встречающихся в овладении изучаемым материалом; нужно повседневно культивировать у них любознательность, интерес к посильной исследовательской работе, развивать пытливость и дерзание во всяком деле.

«Нужно, чтобы ребята видели конкретно, что действительно труд есть дело чести»,— говорит Михаил Иванович Калинин**.

Нужно, чтобы не только во Дворце пионеров, не только в модельном кружке наши ребята были бы маленькими Эдисонами, но чтобы они были таковыми же и в школе, на уроке. Надо воспитать у учащихся уверенность в себе, в своих силах и способностях. Надо еще на школьной скамье развивать у детей наблюдательность— эту главную черту всякого изобретателя. Надо показать детям, что всякое изобретательство не представляет собой какого-то сверхъестественного чуда, а что часто то или иное изобретение есть просто во-время подмеченная и удачно использованная деталь машины (например, изобретение автоматического парораспределения мальчика Гумфери Поттера), подмеченное и удачно использованное свойство того или иного вещества (например, получение краски из торфа), целесообразное исправление того или иного несовершенства в машине (изобретение Уатта) или же, наоборот, удачное перенесение той или иной более совершенно устроенной детали из одной машины в другую (изобретение автоматической двери для шахты тринадцатилетним пионером Володей Финикштейном), перенесение того или иного способа производства из одной обстановки в другую, на другой участок работы, в другую область производства. «Пионерская правда», журналы «Знание — сила», «Техника — молодежи» описывают много примеров подобного рода.

С другой стороны, надо показать учащимся, что при этом часто требуется большая кропотливая работа, много упорного труда, настойчивости и терпения, требуется большая сила воли, чтобы преодолеть те трудности, которые часто будут встречаться в процессе работы, для того чтобы добиться цели (папанинцы, седовцы), нужна большая, терпеливая, настойчивая учеба и требовательность к себе (Чкалов) и т. п.

Но чтобы воспитать эти лучшие черты большевика-ленинца, нужно уделять всему этому соответствующее внимание в школе, на уроке.

С этой точки зрения преподавателям математики нужно больше уделять внимания самостоятельной работе учащихся, решению сложных задач, задач, рассчитанных на сообразительность, самостоятельному доказательству («переоткрытию») теорем; наконец, нужно практиковать организацию детских докладов и рефератов в математическом кружке, писанние творческих математических сочинений, решение конкурсных задач и т. п. Опыт работы многих учителей в этом направлении показывает, что если учитель уделяет должное внимание развитию детской самодеятельности, то многие учащиеся, как говорит т. И. Ф. Слудская, «откроют в себе дремавшие до того склонности и способности»*. Смотрите, например, какое интересное исследование проделал самостоятельно ученик X класса 56-й школы Киевского ОНО Москвы т. Р. А. Плоткин «О наиболее плотном распределении шаров в пространстве»** или ученик IX класса 114-й средней школы Москвы А. Яглом «Об одном свойстве прямоугольного треугольника», его же «О некоторых свойствах правильного многоугольника»***.

Надо знакомить наших учащихся с марксистской историей развития техники, с теми достижениями, которые мы имеем в области науки и техники в Советском Союзе, уделив особое внимание освещению примеров детской изобретательности и описанию конструкций, авторами которых являются дети.

Нужно больше уделять внимания истории математики в нашем преподавании. В математическом кружке нужно рассказать учащимся, за что награждены орденами советские математики Понтрягин Л. С. (1908 г. рождения), Соболев С. Л. (1908 г. рождения). Нужно настоятельно рекомендовать учащимся чтение книг из серии «Жизнь замечательных людей»... Книгу, например, Штрайха «Софья Ковалевская» учащиеся старших классов средней школы читают с захватывающим интересом, но учитель должен натолкнуть их на это. Нужно, чтобы каждая школьная библиотека имела достаточное количество книг по таким вопросам. К сожалению, у нас слишком мало доступных детям книг, освещающих историю развития физико-математических наук в России. Например, мы не можем порекомендовать прочесть что-либо доступное детям о жизни и деятельности великого русского геометра Н. И. Лобачевского.

Конечно, роль первой скрипки во всей этой работе по праву должен занять преподаватель физики, но и для преподавателя математики тут широкое поле деятельности. Во всяком случае пройти мимо постановления X пленума ЦК ВЛКСМ о проведении в 1943 г. Всесоюзной олимпиады детского творчества преподаватель математики не имеет никакого права, так же как и преподаватель любой другой дисциплины. «Пытливую, талантливую, жизнерадостную массу ребят мы должны организовать и направить так, чтобы во всех областях детской жизни, детского творчества добиться наилучших результатов»,—указывает секретарь ЦК ВЛКСМ т. П. Громов в своем докладе на X пленуме ЦК ВЛКСМ.

С этой точки зрения мне кажется в первую очередь нам следует категорически отка-

* И. Сталин — «Речь в Кремлевском дворце на выпуске академиков Красной Армии» 4 мая 1935 г., стр. 15.

** «Речь на совещании учителей-отличников».

* И. Ф. Слудская — «Опыт ученических сочинений по математике в средней школе» в журнале «Математическое просвещение», вып. 13, 1938 г.

** См. в том же журнале.

*** «Математика в школе», № 3 за 1937 г. и № 4 за 1938 г.

заться от увлечения синтетическим методом доказательства теорем в геометрии, которое мы сейчас имеем в учебниках по геометрии и в практике преподавания почти у всех учителей. Нужно широко открыть дорогу аналитическому методу в преподавании математики.

14. НАУЧИТЬ УЧИТЬСЯ

Совершенно ясно, что самостоятельная работа ученика над учебным материалом, умение ученика учиться играет колоссальное значение в деле подготовки учащихся к практической работе.

ЦК ВКП(б) в своем постановлении об учебных программах и режиме в начальной и средней школе от 25/VIII 1932 г. указал, что «Надо систематически приучать детей к самостоятельной работе, широко практиковать различные задания в меру овладения определенным курсом знаний...».

Навыки самостоятельной работы над книгой, навыки самостоятельной учебы необходимы каждому, окончившему школу, независимо от того, где он будет работать по окончании школы. Ведь техника нашей социалистической промышленности, техника нашего социалистического сельского хозяйства такова, что она непрерывно развивается и совершенствуется, и буквально каждый день мы можем иметь ту или иную вновь изобретенную машину, ту или иную новую продукцию, новый способ ее производства. Но отсюда следует, что как бы мы хорошо не учили наших учащихся в школе, все равно в процессе работы им придется доучиваться, если они не захотят отставать от темпов развития нашей техники. А следовательно, они должны уметь учиться, и школа должна научить их этому. «В настоящее время каждый понимает, что тот, кто не повышает своей политической и деловой квалификации, тот отстает от жизни»,— говорит Н. К. Крупская в своей статье «Изучать опыт самообразовательной работы»*.

Чтобы не затягивать статьи, укажем, что по этому вопросу уже имеется в литературе ряд указаний, например: 1) Репьев, «Как учить читать математическую книгу» в журнале «Математика в школе», № 6 за 1935 г., 2) Ермольев, «Коммунистическое воспитание на уроках математики в средней школе» (раздел «Самостоятельная работа учащихся») в журнале «Математика в школе», № 5 за 1939 г., 3) Германович, «Домашнее задание по математике в VIII и IX классах» в журнале «Советская педагогика», № 6 за 1939 г., стр. 74—86, 4) В. Б. Метропольская, «Самостоятельная работа учащихся над учебником», там же, стр. 87—93, 5) Кекчеев, «В чем секрет отличной учебы?» в журнале «Советское студенчество», № 7 за 1938 г., 6) Петров, «Как Ленин работал с книгой», «Советское студенчество», № 9 за 1938 г. и др., 7) Петров, «Как работал Маркс», «Советское студенчество», № 5 за 1938 г., 8) И. Г. Яшанин, «Самостоятельные работы учащихся на уроках математики» в журнале «Советская педагогика», № 1 за 1940 г., стр. 65—70 и др.

Беда в том, что существуют еще такие учителя, которые считают, что подготовка учащимися уроков дома есть дело сугубо индивидуальное, и учить здесь чему-нибудь, навязывать ученику свои методы работы не приходится...

Нам же кажется как раз наоборот, а именно: что учитель может и должен оказать помощь учащимся в правильной организации подготовки домашних уроков, должен научить этому учащихся. «Надо учить тому, как учить уроки»,— говорится в постановлении 2-й научно-педагогической конференции учителей школ РСФСР (стр. 9). Достаточно указать на такие факты, как практика решения задач и упражнений многими учащимися до повторения и глубокого усвоения теоретического материала, относящегося к данной теме, неумение пользоваться оглавлением и т.п. И совершенно правильно и своевременно ставит вопрос о самостоятельной работе школьников т. Тамарина в своей статье «Проблема самостоятельной работы школьников» говоря, что «Пора уже всерьез поставить вопрос о необходимости воспитания у учеников, начиная с первого класса, культуры умственного труда. Навыки работы с учебником и вообще с книгой, приемы запоминания текста, дат, названий (формул. — С. V.), техника конспектирования, методы самопроверки, специальное развитие зрительной, слуховой и моторной памяти, общий режим и порядок приготовления домашних заданий и т. д.,— все это должно войти в понятие культуры труда школьника. Чем старше класс, тем больше эта культура должна расширяться, усложняться и обогащаться».

«...B разрешении этого вопроса мы ждем помощи и от педагогической науки»* и от журнала «Математика в школе», добавим мы.

15. О ПРОГРАММАХ

Мы все время говорили о том, как преподаватель математики должен перестроить свою работу в интересах некоторой подготовки учащихся к практической работе в пределах существующих программ.

Коротко скажем о том, какие изменения желательны в программах по математике, чтобы наилучшим образом выполнить задачу, поставленную перед школой товарищем Молотовым. В первую очередь мы указали бы на следующее:

1. Тему «Измерение площадей» следует перевести из VIII класса в VII, так как у нас на сегодня все еще значительная часть детей колхозников, идущих на практическую работу в колхоз, имеет только семилетнее среднее образование. Знать же измерение площадей они должны. И если мы не научим их этому в школе, то они вынуждены будут самостоятельно этому научиться в первый же год своей практической работы, и школе будет неудобно перед своими учениками за то, что она выпустила их с таким пробелом в их образовании.

2. Обязательно нужно ввести элементы приближенных вычислений в программу по математике. 4—6 часов на это выделить можно, а затем приближенные вычисления будут уже применяться и закрепляться в практической работе над задачами. Обойти

* Н. К. Крупская — «О преподавании в средних школах взрослых», стр. 95.

* «Учительская газета» № 97 от 13 июля 1939 г.

этот вопрос мы все равно не можем в своей практической работе, и получается, что мы приближенные вычисления применять применяем, а изучать не изучаем.

3. Тему «Об измерениях на местности» следует ввести в программу тригонометрии и геометрии как обязательную.

4. Включить элементы статистики.

Нам кажется, что все, что говорила Н. К. Крупская в своем докладе на Всероссийском методическом совещании школ взрослых 15/XI 1938 г. относительно преподавания статистики в школах взрослых, имеет прямое отношение и к средней школе. «Надо, чтобы изучение статистики было бы включено в программу школ взрослых», — говорила она.

5. И, наконец, совершенно прав проф. А. Хинчин, заявляя, что «Самой категорической необходимостью является введение в школьные программы оснований анализа бесконечно-малых», потому что «анализ бесконечно-малых», бесспорно, стоит в ряду величайших завоеваний человеческой культуры, подобно эволюционной теории в биологии и молекулярным теориям физики и химии. Практические приложения его неисчислимы». Практически осуществить это вполне возможно в десятилетнем курсе обучения. Проходят же в техникумах на 2-м курсе (что соответствует IX классу средней школы) элементы аналитической геометрии и анализа бесконечно-малых. И учащиеся сознательно усваивают этот материал. Все в один голос заявляют, что высшая математика усваивается легче, чем стереометрия.

Я не скажу, что это очень легко. Но ведь в техникуме мы имеем на среднюю математику VIII—X классов и на элементы высшей математики только два года. А средняя школа имеет возможность проходить этот материал за три года. У нас почему-то думают, что для улучшения качества усвоения материала нужно его сократить или растянуть на более длительный срок обучения и только. Это не всегда верно. Большую роль здесь играет качество работы преподавателя и качество учебы учащегося, его большее или меньшее умение учиться с максимальным успехом при наименьшей затрате сил и времени, его заинтересованность предметом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Наши юноши и девушки, учащиеся в средней школе, представляют прекрасную молодежь, инициативную, работоспособную, искренне жаждущую приобрести побольше знаний и навыков. И если, как писала «Правда» в своей передовой от 13 мая 1939 г., «...нередки случаи, когда учащийся, хорошо знакомый с теорией электронов, не знает, как поступить с перегоревшими в квартире пробками», когда он имеет по ботанике «отлично», а не умеет отличить овес от пшеницы*, то в этом виноваты наши программы, наши учебники, мы, преподаватели, наши школы, которые, по выражению той же передовой «Правды», «...ничего не сделали они для той части выпускников, которая пойдет непосредственно на производство и в советские учреждения и которая должна получить в школе хотя бы некоторую подготовку к будущей практической работе» (В. Молотов).

О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ЗРЕНИИ

(Некоторые виды упражнений по геометрии и алгебре)

Б. ЖУРАВЛЕВ (Ленинград)

Одним из наиболее серьезных препятствий к усвоению геометрии является недостаточное развитие у учащихся «геометрического зрения», т. е. умения видеть на чертеже не только то, что «бросается в глаза», но и все то, что на нем вообще есть; позже, в связи с усложнением дальнейших требований, эта способность переходит в то, что называется обычно «пространственным воображением» (по-французски — «voir en l'esрасе») и что так необходимо каждому технику, инженеру, конструктору, математику.

Практические исследования, произведенные мной в направлении изучения этого вопроса, показывают, что необходимый на первое время минимум навыков «геометрического зрения» может быть создан очень быстро в результате надлежащим образом построенных я проводимых в классе упражнений, которые по своему содержанию могут быть связаны с первоначальными понятиями геометрии, проходимыми на первых же уроках. В дальнейшем приводятся в качестве примеров некоторые из моих упражнений, помогающих поставить неискушенные еще взгляды учащихся на «геометрическую точку зрения». Опыт показал, что и для прошедших наполовину курс геометрии (опыты с учащимися VIII класса) такие упражнения приносят большую пользу, в особенности тем, что скоро становятся довольно легким и интересным занятием, уже не вызывающим прежнего замешательства.

В связи с некоторыми упражнениями я считал полезным сообщить вкратце и несложную историю их возникновения.

В старом издании «Сборника геометрических задач на вычисление» Рыбкина (ч. I, 1932 г., стр. 3) имеется под № 4 следующая задача: «На неограниченной прямой взят отрезок AB; на нем отложена часть АС = 9 м; от точки С отложен по направлению к В отрезок CD, который на 21 м длиннее AB. Определить расстояние BD».

Задача эта не вошла в последующее стабильное издание, как и многие другие задачи

* «Новый отряд советской интеллигенции», передовая «Правды» от 13 мая 1939 г.

из числа более сложных. И действительно, однажды мне пришлось убедиться, что вся группа получила правильный ответ на вопрос этой задачи, а объяснить вразумительно ход решения не смог никто. Более того, мне пришлось потратить порядочно времени на объяснение 2 вариантов ее решения*, и все же у меня не было уверенности, что разобранную задачу поняли абсолютно все. Единственным несомненным достижением этого разбора было для меня ясное определение сущности затруднения: учащиеся глядели на чертеж, но за рядом букв на прямой не видели всех тех отрезков, о которых шла речь при разборе задачи. Это натолкнуло меня на составление вспомогательного упражнения, которое очень заинтересовало учащихся и, по их собственному признанию, многому их научило.

Упражнение № 1. Вопрос. Сколько здесь всего отрезков?

Ответ. Здесь всего б отрезков, а именно:

Надо ли указывать, что обычно учащиеся видят здесь только 3 отрезка, которые «бросаются в глаза»?

В X классе такое упражнение послужит очень хорошим и полезным примером для подсчета числа сочетаний из п элементов по 2 и сможет быть решено в общем виде:

Число всех отрезков

Сохраняя тот же характер упражнения, можно применить его к другим геометрическим элементам: дугам, углам, фигурам. Например, для треугольников можно дать:

Упражнение № 2. Вопрос. Сколько здесь всего треугольников? Ответ. Здесь всего б треугольников, а именно:

Внутреннее сходство этого упражнения с предыдущим очевидно (и здесь

Особенно же полезным является сходное упражнение в такой форме.

Упражнение №3. Вопрос. Сколько здесь всего треугольников и каких именно? Ответ. Здесь всего 8 треугольников, а именно:

Это упражнение является хорошей подготовкой для ясного понимания признака равенства треугольников по трем сторонам, который почти всегда доказывается именно на таком традиционном чертеже.

Достаточно хорошо известен афоризм, слишком глубокомысленный для того, чтобы быть только шуткой: «Математика есть искусство называть одно и то же разными именами и разные вещи называть одним и тем же именем». Эта особенность математики отражается и на чертеже. Очень важно показать учащимся, что, глядя на одну и ту же геометрическую фигуру, мы можем мысленно наполнять ее различным содержанием; и очень полезно развить в учащихся уменье изменять по произволу свою точку зрения на данную фигуру.

Простейшим примером будет.

Упражнение № 4. Вопрос. Как можно назвать эту фигуру?

Ответ: 1) луч (или «полупрямая») СМ, 2) «полный» угол (<сЛОЛ), заключающий в себе 360° и графически совпадающий с «нулевым» углом (0°)». Дальнейшим усложнением упражнений этого же типа может служить, например,

Упражнение № 5. Вопрос. Что можно понимать под обозначением Л/4,? Ответ: 1) любую из полуокружностей, 2) диаметр круга.

Вопрос. Как точнее обозначить эти различные геометрические понятия?

* 1-й вариант:

Ответ. 1) ЛЛ, и 2) ЛЛ,. Вопрос. А как обозначить здесь развернутый угол?

Ответ. L АО Ai.

Вопрос. Какая разница в значении букв Л и Л, при обозначении ЛЛ~, и \_АОАх^

Ответ. В ЛЛ, буквы Л и Л, обозначают определенные точки окружности (диаметрально-противоположные), а в < ЛОЛ, буквы Л и Л, обозначают лишь направление, а не определенные точки.

Содержание подобных упражнений может быть очень разнообразным, но смысл их остается один и тот же: развитие остроты геометрического зрения и постепенное вооружение его логическими средствами.

Потребность в таких попутных упражнениях и их несомненный успех побуждают меня искать большего разнообразия в их содержании, располагать их в программном порядке и ставить их в связь с изучаемыми теоремами и решаемыми задачами. При законченном построении систематического ряда таких упражнений сам собой намечается естественный переход от уяснения понятий, связанных с простейшими геометрическими образами, к последующей работе по овладению символической записью и словесным ее изложением, логической безупречностью определений и последовательного рассуждения в доказательствах, — всей совокупностью навыков «отвлеченного мышления». Приходится признать, что развивать это отвлеченное мышление учащихся мы часто беремся не с того конца. Между тем, оно в геометрии начинается с достаточно зоркого «геометрического взгляда» на вещи (фигуры).

Идя по пути обычных задач и упражнений, придерживаясь трафаретной формы в их постановке, мы далеко не используем всех возможностей для развития в учащихся тех способностей, которые мы сами считаем необходимыми. Например, способность понимать и пользоваться сжатой, точной и ясной геометрической записью настолько важна, что следует добиваться безукоризненной символической записи на каждом уроке. Почему бы не дать учащимся упражнение в такой форме.

Упражнение № 6. Дать чертеж и словесную формулировку теоремы:

С первой частью задания (чертежом) учащиеся быстро научатся справляться; поиски словесного выражения будут труднее: сначала учащиеся будут буквально перелагать в слова данную символическую запись («В треугольнике ABC угол Л разделен пополам...» и т. д.) и лишь постепенно будут достигать более высокого уровня («Доказать, что во всяком треугольнике проекции биссектрисы любого угла на стороны, образующие этот угол, равны между собой»).

В моей практике недавно был такой случай. В контрольной работе для VIII класса последним по счету пунктом было задание, аналогичное только что разобранному.

Упражнение №7. Решить задачу, составив предварительно чертеж и словесное условие:

Задание было составлено применительно к условию, взятому из «Методического пособия по планиметрии» Гангнус и Гурвиц (М. 1934, стр. 210):

«Две равные окружности радиуса R пересекаются так, что каждая из них проходит через центр другой. Определить длину их общей хорды».

Один из учащихся, решивших верно задачу, придал ей Такую словесную формулировку: «Определить большую диагональ ромба, если меньшая диагональ равна его стороне». Прочесть такое условие в тетради учащегося было отрадно: мне стало видно, как глубоко разрыхляет такое упражнение почву геометрических представлений школьника. Такой именно — от простого подсчета геометрических элементов на чертеже до глубокого продумывания символической записи— должна быть работа по развитию «геометрического зрения» учащихся.

То, что говорилось о необходимости своевременно развивать у учащихся способность «геометрического зрения», применимо довольно широко и к другой половине курса математики средней школы — к алгебре. Эту отрасль математики многие учащиеся предпочитают геометрии по причине большей легкости применения, довольно однообразного, известных им правил действий и преобразований к данным примерам (поэтому и примеры большинство учащихся предпочитает задачам). Однако и в алгебре некоторые моменты и отдельные вопросы всегда даются с трудом. Если попытаться наметить в курсе алгебры средней школы основную трудность общего характера (т. е. такую, которая не является отдельным куском программы), то придется, пожалуй, назвать уменье подразумевать под написанной буквой по мерэ надобности и удобств то или иное число или буквенное выражение более или менее сложное. А ведь именно эта обобщающая сила символического обозначения является наиболее характерной чертой алгебры вплоть до наиболее современных ее глав; поэтому забота об устранении этих трудностей для школьников является в то же время заботой о лучшем усвоении высшей математики (здесь — алгебры) будущими студентами.

Говоря определеннее, здесь идет речь о коренной причине основных ошибок учащихся VI класса при выполнении всевозможных подстановок или, например, о затруднениях учащихся VII класса, когда они после легкого разложения т2 — п2 = (т + п) (т — п) останавливаются в замешательстве перед разложением

Не останавливаясь на том, что здесь, как и везде, необходима постепенная проработка аналогичных примеров и последовательное введение в действие нарастающих трудностей,

я хочу предложить один вид предварительных упражнений, которых в явном виде не дают известные мне задачники по алгебре.

В применении ко взятому случаю разложения это упражнение будет выглядеть так.

Упражнение №8. Полагая

написать данное выражение

в новых обозначениях.

Решая предварительно такой пример, молчавший ранее у доски учащийся не остановится на своем ответе и, наверное, продолжит свое решение дальше:

Легко предвидеть возражения против кажущейся трудности этой двойной 3 1мены и соображения в защиту более обычной записи

По этому поводу следует отметить, что для учащегося, который затрудняется в решении этого примера, сконструировать выражение в скобках под знаком квадрата без помощи учителя все равно не под силу; ввести наводящий символ лучше, чем пойти по обычному в этих случаях пути записи под диктовку более сильного товарища или подсказки самого учителя; кроме того, упражнение в переходе от одного символа к другому закладывает основы для многих операций последующего курса алгебры и поэтому имеет двойную педагогическую ценность. В классах, хорошо справляющихся с примерами, можно на этом же материале приучить учащихся к наиболее отчетливой записи подстановок, как это будет видно из следующего упражнения.

Упражнение № 98. Полагая 3а2 = m, 2b = л, переписать данное выражение в новых обозначениях:

Полученное выражение переписать в свою очередь в новом виде, полагая

Вопреки кажущейся искусственности этого упражнения приходится сказать, что оно сложилось как нельзя более естественно. В группе отстающих учащихся VIII класса, на дополнительном занятии по действиям с иррациональными выражениями, один ученик пожелал решить пример на деление иррациональных многочленов; этому случаю деления и в классной работе уделяется мало времени; здесь же было особенно важно показать ученику, что он в состоянии решить выбранный пример. Так как в своей основе он сводился к делению суммы кубов, и сознательность решения зависела от того, узнает ученик в делимом сумму кубов, а в делителе— сумму оснований, то необходимость такого наводящего упражнения была для меня совершенно ясна. Запись всего примера имела следующий вид:

Считаю необходимым упомянуть еще об одном виде упражнений по алгебре, которые при всей своей простоте почти не используется учителями. Этот вид упражнений представляет собой полную аналогию с приведенными ранее упражнениями по подсчету общего количества геометрических элементов (ср. упражнения №№ 1, 2, 3) и лишний раз иллюстрирует далеко идущий параллелизм фактов и понятий геометрии и алгебры, пространства и числа.

Мы спрашиваем иногда: «Как назвать такое выражение?», получаем ответ: «Многочлен» и на этом останавливаемся. Между тем, очень важно почаще проверять знания учащихся на точном определении числа членов и получить более определенные ответы: «трехчлен», «шестичлен» и т. д Каждый может убедиться, что подобное уточнение слишком часто бывает нелишним (особенно, например, в буквенных уравнениях). И не только в целях проверки знаний учащихся: в некоторых вопросах, например, при умножении многочленов, быстрый подсчет числа членов перемножаемых выражений имеет большую методическую ценность.

То же самое можно сказать и об определении числа сомножителей в одночлене. Из того, что учащийся правильно относит данное выражение в рубрику одночлена или многочлена, не всегда следует, что он ясно видит структуру данного одночлена. В качестве примера возьмем курс VIII класса: из этого курса учащиеся хуже всего усваивают алгебраические дроби, а особенно сокращение и приведение к общему знаменателю в случае многочленных членов дроби (по крайней мере, в более старших классах особенно

часто встречаются ошибки именно на эти случаи — вплоть до преобразования

путем сокращения на а в

И я решаюсь назвать развитие «алгебраического зрения» целью такого простого упражнения по теме алгебраических дробей:

Упражнение № 10.

Вопросы. Сколько сомножителей в числителе?

Сколько сомножителей в знаменателе? Сколько неразложимых множителей в числителе?

Есть ли общие множители? и т. д.

Думается, что десятка приведенных упражнении по геометрии и алгебре достаточно для того, чтобы иметь понятие об основном принципе их построения. Он остается одним и тем же и его можно короче всего определить как развитие остроты математического зрения.

РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТРИГОНОМЕТРИИ

А. МОГИЛЬНИЦКИЙ (г. Гайсин)

§ 1. В журнале «Математика в школе» № 1 за 1940 г. была напечатана статья т. Голубева «Решение задач по геометрии с применением тригонометрии».

Я целиком разделяю мнение автора относительно трудности и ответственности данной темы для учащихся средней школы.

Автор статьи удачно систематизировал материал для прохождения данной темы, удачно подобрал задачи для каждого урока, хотя для некоторых уроков число намеченных задач является слишком большим. Автор правильно говорит о важности постепенного перехода от задач легких к более трудным, о постепенном преодолевании затруднений, встречающихся при решении задач. Но нельзя согласиться с таким утверждением автора: «Задачи по планиметрии с применением тригонометрии... нужно начать решать тотчас же после решения треугольников, т. е. вначале II четверти 10-года обучения» (подчеркнуто мной — А. М.)

Я начинаю решение геометрических задач с применением тригонометрии не с X класса, а с VIII класса, после прохождения темы «Тригонометрические функции острого угла».

В настоящей статье я и хочу поделиться своим опытом.

§ 2. На прохождение темы «Тригонометрические функции острого угла» можно отвести 8—10 часов.

Не буду подробно останавливаться на методике прохождения теоретического материала, но считаю, что на прохождение его вполне достаточно отвести 4—5 часов.

Я преподаю эту тему примерно в такой последовательности.

1 УРОК

Определение тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике.

Домашнее задание. Найти при помощи чертежа тригонометрические функции углов 30°, 45° и 60°.

2 УРОК

Зависимость тригонометрических функций от величины угла треугольника. Изменение тригонометрических функций при изменении угла от 0° до 90°.

3 УРОК

Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Формулы.

Здесь отмечается важность знания значений тригонометрических функции любого угла.

Домашнее задание. 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза AB — 30 см, а угол В — 50°. Найти катеты. 2. В прямоугольном треугольнике катет АС = 12 см, а угол А = 50°. Найти гипотенузу и второй катет.

4 УРОК

Таблица натуральных значений тригонометрических величин.

После этого я перехожу к решению прямоугольных треугольников. При этом обращаю большое внимание на основательное знание формул соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

5 УРОК

Повторение теории и решение задач на прямоугольные треугольники.

1. В прямоугольном треугольнике АБС:

1) найти катет ВС, если катет АС = 14 м и угол А = 42°30';

2) найти гипотенузу AB, если катет АС = = 3 см и угол А = 25°;

3) найти катет ВС, если катет АС = 14 ле и угол В = 73°22'.

На этом же уроке еще раз отмечаю значение тригонометрии для решения различных практических задач и решаю задачи с физическим содержанием, а также задачи, показывающие применение тригонометрии в военном деле.

2. Вычислить работу на пути 25 м, если сила, равная 10 кб, действует на данный предмет под углом 40°25' к направлению движения.

3. Задача №6 из § б стабильного задачника по тригонометрии.

Домашнее задание. 1. Какую силу нужно приложить, чтобы на пути 100 м работа этой силы была равна 140 кгм, если сила образует угол 30°47' с направлением движения.

2. Какой путь сделает предмет, если сила 17 кг, направленная под углом 18° к направлению движения, совершит работу 300 кгм.

3—4. Задачи № 8, 10 из § 6 стабильного задачника по тригонометрии.

6 УРОК

Решение задач.

1—2. Задачи № 7, 20 (2) из стабильного задачника.

3. Найти периметр прямоугольного треугольника, если один катет равен 5 см, а противоположный ему угол равен 40°.

4. Найти периметр прямоугольника, если диагональ, равная 100 см, образует с меньшей стороной угол 70°.

Домашнее задание. 1. Под каким углом к направлению движения надо приложить силу, равную 2 кб, чтобы на пути 13 м работа данной силы была равна 20 кгм?

2—3. Задачи № 19, 22 из стабильного задачника.

7 и 8 УРОКИ

Практические занятия по тригонометрии.

Не буду здесь останавливаться на важности практических работ по математике вообще; замечу только, что выполнение различных работ на местности будет являться одним из мероприятий, направленных на выполнение указаний товарища Молотова о практической подготовке учащихся.

На одном уроке знакомлю учащихся с приборами, которые применяются для измерения углов на местности (астролябия, эклиметр). Этот урок может быть как классным уроком, так и уроком, проведенным на местности. Следующий урок провожу на местности, где решаю с учениками такие задачи:

1. Определить высоту предмета, если известно расстояние от данного места до основания предмета и угол, под каким видна вершина предмета с данного места.

2. Обратная задача по известной высоте предмета и известному углу, под которым он виден. Определить расстояние до предмета.

9-10 УРОКИ

Если преподаватель располагает временем, то можно уделить еще часа два для решения геометрических задач по курсу геометрии VII класса с применением формул зависимости между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Приведу примеры таких задач,

1. Найти диагонали ромба, если сторона ромба равна 12 см, а один угол равен 31°.

2. Найти боковую сторону равнобедренной трапеции, если основания трапеции равны 18 см и 10 сч и один угол равен 160°.

Задачи № 34—37, 48, 50, 51, 53, 54 из § 6 стабильного задачника по тригонометрии.

Вот эти 8—10 уроков должны явиться прочным основанием для дальнейшего решения геометрических задач с применением тригонометрии.

§ 3. Но если после прохождения изложенной темы до X класса не решать задач с применением тригонометрии, то в X классе снова придется встретиться с теми затруднениями, о которых говорится в статье тов. Голубева. Поэтому в продолжение всей дальнейшей работы нужно систематически решать такие задачи. К сожалению, их почти нет в наших задачниках. Привожу примеры задач,

которые целесообразно решать при прохождении дальнейших отделов программы.

Метрические соотношения в треугольнике

1. В треугольнике АБС определить сторону ВС, если Л£= 12 м, АС=\Ъ м и угол Л = 32°25'.

2. В треугольнике АБС определить сторону ВС,если АВ = 15 с ч,АС = \0см и угол Л= 154°.

3. Стороны параллелограма равны 2 см и 8 см, а один угол параллелограма равен 20°. Найти диагонали параллелограма.

4. В треугольнике основание равно 5 сч и один из углов при основании равен 110°; сторона, лежащая против этого угла, равна 10 см.

Найти третью сторону.

Метрические соотношения в круге

1. Диаметр AB, перпендикулярный к хорде CD, делится ею на две части, равные 20 и 5. Найти величину дуги, стягиваемой хордой.

2. AB — диаметр; ВС—- касательная круга, отрезок АС делится окружностью на две части АК = Ъ и КС = 4. Найти угол CAB.

3. AB — диаметр, касательная ВС = 5,3 см, а угол ВАС = 32°. Найти отрезки AD и DC, на которые секущая АС делится окружностью.

Площади многоугольников

По этому отделу можно найти много задач в сборнике задач по прямолинейной тригонометрии Березовского (отдел «Приложение тригонометрии к геометрии»; в некоторые из этих задач желательно ввести числовые данные.

При отсутствии сборника задач Березовского можно взять задачи № 1—14, 19—23 из статьи Голубева (стр. 39—4) журн. «Математика в школе» № 1, 1940 г.)

Правильные многоугольники

1. Определить длину диагоналей правильного пятиугольника, сторона которого равна 8 см.

2. Определить радиус окружности, описанной около правильного семиугольника, сторона которого равна 10 см.

3. Найти площадь правильного десятиугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 2 см.

4. Найти сторону ап, периметр Р и площадь S правильного л-угольника, вписанного в окружность радиуса /?.

Кроме того, можно решить задачи № 1, 3, 9, из § 15 (а) стабильного задачника по тригонометрии.

Длина окружности и площадь круга

1. Найти длину окружности, если хорда, равная 6 см, стягивает дугу в 28°30'.

2. Найти длину дуги, если хорда, стягивающая дугу, равна 4 см, а дуга имеет 100°.

3. Сколько градусов и минут содержит дуга, если хорда, стягивающая дугу, равна 10 см, а радиус окружности 8 см.

4. Найти длину окружности, если периметр правильного вписанного в нее девятиугольника равен 18 см.

5. Определить площадь круга, если дуга, равная16 см, стягивается хордой, равной 10 см,

6. Определить площадь сегмента, если его дуга содержит о °, а длина хорды А см.

Стабильный задачник § 15 (а) № 17, 18, 19-§ 4. Если преподаватель при прохождении указанных отделов планиметрии будет решать задачи, подобные вышеприведенным (число подобных задач каждый преподаватель может увеличить по своему желанию), то ученики получат твердые навыки в применении формул зависимости между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Решение подобных задач не должно сопровождаться увеличением количества часов на прохождение того или иного раздела программы, оно может итти за счет решения задач без применения тригонометрии.

При изучении стереометрии нужно с самого начала применять формулы тригонометрии.

Стереометрические задачи, решаемые при помощи тригонометрии, можно в достаточном количестве найти в стабильном задачнике Рыбкина, сборнике задач Березовского и др.

Но преподаватель должен тщательно продумать, какие задачи можно решить при прохождении соответствующих глав стереометрии и какие оставить для решения в X классе после окончания теоретического курса тригонометрии. Даю дальше задачи, которые желательно решить при прохождении соответствующих глав стереометрии.

Прямые и плоскости в пространстве

При прохождении данного отдела программы в IX классе можно решить такие задачи.

1. Стабильный задачник по тригонометрии § 16, № 1, 2, 3, 7, 16.

2. Сборник задач по тригонометрии Березовского № 1, 2, 5—7, 14, 17, 18 (стр. 203 и дальше).

При отсутствий сборника задач Березовского можно взять задачи № 1—5,10 из статьи Голубева (стр. 43, журн. «Математика в школе» № 1, 1940)

Двугранные и многогранные углы

1. Стабильный задачник § 17, № 1, 2, 9.

2. Сборник задач Березовского стр. 207 и дальше: № 60, 61.

3. Задачи из статьи Голубева № 14, 15.

§ 5. В программе геометрии для IX класса отсутствует тема «Площадь проекции фигуры на плоскость». Эту тему я прохожу сейчас же после изучения темы «Двугранные углы», а при прохождении темы «Многогранники» даю ученикам теорему о боковой поверхности пирамиды, все грани которой одинаково наклонены к плоскости основания ($бок = --). Целиком справедливо замечает т. Голубев, что «на этот раздел нужно обратить особое внимание, так как его основательная проработка позволит учащимся легко определять боковую поверхность тел во многих случаях». Я считаю, что на этот раздел нужно обратить особое внимание уже в IX классе и решить соответствующие задачи.

1. Найти площадь проекции треугольника на плоскость Му если треугольник образует с плоскостью M угол 30°, а площадь треугольника равна 3 ]/з см.

2. Найти площадь треугольника, если известно, что площадь его проекции на плоскость M равна 2 см* и треугольник образует с плоскостью M угол в 62°43'.

Задачи № 1, 2, 3 из § 18 стабильного задачника.

§ 6. При прохождении разделов «Многогранники» и «Круглые тела» ученики будут в достаточной степени владеть методом решения прямоугольных, а затем и косоугольных треугольников, и поэтому здесь представляется обширный выбор соответствующих задач. Источником задач могут служить различные задачники; кроме стабильного задачника, я пользуюсь еще такими задачниками:

1. Березовский — «Сборник задач по прямолинейной тригонометрии», 1936.

2. Русінковский — Збірник задач з арифметики, алгебри, геометріі і тригонометріі». «Радянська школа», 1937.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

НОВЫЕ КНИГИ ПО МАТЕМАТИКЕ

В. НЕВСКИЙ (Москва)

I. ТЕОРИЯ

Гекке Э.—Лекции по теории алгебраических чисел. Перев. с немецкого Г. И. Ольшанского и Д. А. Райкова. M. Л., Гостехиздат, 1940, 260 стр., ц. в перепл 2 р. 75 к., 4 000 экз.

«Книга имеет своей целью, не предполагая у читателя никаких предварительных сведений из теории чисел, подвести его к пониманию вопросов, стоящих в центре внимания современной теории алгебраических числовых полей». Оригинал книги вышел на немецком языке в 1923 г.

Гончаров В. Л., проф.— Теория вероятностей. М.— Л., Оборонгиз, 1939 (фактически 1940), 428 стр. с черт. ц. в перепл. 11 руб., 5 000 экз.

В книге излагается математическая теория случайных событий и случайных величин и существующих между ними взаимоотношений. Изучению нормального закона ошибок (закона Гауса) уделено особое внимание.

Картан Э.— Интегральные инварианты. Перев. с французского Г. Н. Бермана. Под ред. проф. В. В. Степанова. М.— Л., Гостехиздат, 1940, 216 стр., ц. в перепл. 7 р. 50 к., 3 000 экз.

Курс лекций, читанный на физико-математическом факультете Парижского университета в 1920—1921 гг. Книга излагает прежде всего теорию интегральных инвариантов. Это понятие, введенное Пуанкаре в связи с его механическими исследованиями, в изложении Картана получает значительное упрощение в связи с введением диференциала независимого переменного. Затем в книге дается применение теории интегральных инвариантов к ряду проблем анализа и механики.

Математический сборник. Новая серия. Том. VII (49). Вып. I. Ответ, ред. О. Ю. Шмидт. М., изд. Академии Наук СССР, 1940.208 стр., ц. 9 руб., 3 000 экз.

Сборник содержит 11 статей разных авторов: «О нахождении числа корней алгебраического уравнения, принадлежащих данной области». «О делимости разности степеней целых чисел на степень простого идеала» и др.

Романовский В. И., проф. — О цепных корреляциях. Ташкент, Гос. изд-во научно-технич. и социально-экоиомич. литературы УзССР. 1939 (фактически 1940). 32 стр., ц. 2 руб., 500 экз. (Комитет наук УзССР).

В трактовке проблемы автор придерживается собственных методов, основанных на матричном исчислении и теории простых дискретных цепей А. Маркова.

Сикорский Ю. С— Обыкновенные диференциальные уравнения с приложением их к некоторым техническим задачам. Под ред. проф. С. Г. Михлина М.—Л., Техтеоретиздат, 1940, 156 стр., ц. в перепл. 6 руб., 7 000 экз.

Книга имеет следующие основные разделы: I. Диференциальные уравнения первого порядка. II. Диференциальные уравнения второго и высших порядков. III. Эллиптические функции Бесселя и связанные с ними задачи. IV. Интегрирование систем обыкновенных диференциальных уравнений. V. Приближенные методы интегрирования диференциальных уравнений.

Чеботарев Н. Г. —Теория групп Ли. М.—Л., Техтеоретиздат, 1940, 396 стр., ц. в перепл. 13 руб., 3 000 экз.

«Настоящая книга имеет целью изложить основные результаты, полученные в классической теории непрерывных групп, или как их принято теперь называть, групп Ли. Большая часть книги посвящена теории так называемого «группового ядра», т. е. локальной теории групп Ли». В конце книги даны: библиографический обзор важнейшей литературы и алфавитный указатель литературы предмета (стр. 385—392).

II. МЕТОДИКА

Альбер С. Модуль перехода от одной системы логарифмов к другой (Материалы к январским учительским совещаниям). Житомир. Обл. методический кабинет. 1939. 8 стр. Бесплатно. 350 экз. На украинском языке. Из серии «Обмен педагогическим опытом». В помощь учителям математики в IX классе средней школы.

Астряб А. М., проф. — Первые уроки по алгебре. Киев. Учебно-методический кабинет ГУУЗ НКЛП УССР, 1940. 24 стр. Бесплатно. 450 экз. (Методическая разработка № 3).

В книжке даны пояснения по вопросам оэ алгебраической символике и относительных числах.

Владимирский Г. А.— Альбом стереоскопических фигур к задачнику Рыбкина (ко II части). Изд. 2-е переработ. М., Учпедгиз, 1940, ц. 8 р. 50 к. (Наглядные пособия по стереометрии).

Пособие состоит из 50 отдельных листов стереоскопических фигур (100 фигур), пояснения к ним — в отдельной брошюре в 12 страниц («Указания, как рассматривать чертежи») и 2 светофильтров для рассматривания фигур. Все это заключено в папку.

Компанийц П. А. — Параллелепипеды четырех видов. Л. Ленинградский городской институт усовершенствования учителей, 1940, 20 стр., ц. 1 р. 20 к., 1 100 экз.

В книжке даны классификация параллелепипедов и анализ параллелепипеда как особой четырехугольной призмы.

Кузьмина-Сыромятникова Н. Ф.— Методика арифметики в вспомогательной школе. Учебное пособие для студентов высших педагогических учебных заведений и учителей вспомогательных школ. М., Учпедгиз, 1939, 200 сто. с илл., ц. в перепл. 2 р. 95 к., 3 000 экз. (Научно-практический институт специальных школ и детских домов Наркомпроса РСФСР).

Книга излагает вопросы изучения целых чисел, обыкновенных и десятичных дробей и процентов в условиях вспомогательной школы.

Маергойз Д. М.— Преподавание процентных вычислений в технической школе стахановцев. Киев. Учебно-методический кабинет ГУУЗ НКЛП УССР. 1940, 28 стр. Бесплатно, 450 экз. (Методическая разработка № 4). Инструктивные указания с рядом практических примеров.

Методические материалы по математике (состав. Е. И. Головина). Ташкент. Наркомпрос УзССР, 1940, 38 стр., ц. 1 руб., 2 000 экз. (Школьное управление Наркомпроса УзССР).

К книге помещены следующие материалы: 1) положение о работе районных секций преподавателей математики; 2) план работы январских совещаний районных секций преподавателей математики; 3) примерный производственный план по математике на 2-е полугодие 1939—40 учеб. года (для V—X классов); 4) ведение ученической тетради по математике; 5) методика построения урока по математике (VII класс); 6) примерный план открытого урока по математике в VI классе; 7) об учете знаний учащихся по математике (с приложением проекта: критерии оценок по математике) и 8) методы проведения контрольных работ по математике.

Нормы оценок по математике для I—IV классов начальной школы. Тбилиси. Гос. научно-исследовательский институт начальной и средней школ Наркомпроса Груз. ССР, 1939, 28 стр. Бесплатно. 250 экз. на грузинском языке.

Нормы оценок знаний учащихся по математике (в V—X классах). Проект. Тбилиси. Тот же институт, 1940, 44 стр. с черт. Бесплатно. 350 экз. на грузинском языке.

Нормы оценок успеваемости учащихся по математике в I—VII классах начальной, неполной средней и средней школы. Проект. М., Наркомпрос РСФСР, 1940, 32 стр. Бесплатно. 500 экз. (Гос. научно-исследовательский институт школ Наркомпроса РСФСР).

В проекте намечены нормы оценок по письменным проверочным работам и по устному опросу учащихся (отдельно для I—IV и для V—VII классов).

Перельман Я. И.— Арифметические фокусы. Л. Дом занимательной науки. 1940. 12 стр., ц. 35 к., 100 000 экз.

В брошюре приведены 9 арифметических задач-развлечений для внешкольных занятий учащихся с краткими пояснениями по решению данных задач.

Флоринский Н. М.— Неравенства в курсе средней школы. Методическая разработка. Тбилиси. Гос. Научно-исследовательский институт начальной и средней школ Наркомпроса Груз. ССР. 1939, 64 стр. с черт., ц. 3 руб., 1 000 экз. на грузинском языке.

Харабадзе А.— Дроби в средней школе. (Методическая разработка). Тбилиси. Изд. то же, 1939, 90 стр. с черт., ц. 3 р. 50 к., 1 500 экз. на грузинском языке.

Экзамены по математике в средней школе. Киев. 1940, 36 стр., ц. 35 коп., 16 200 экз. на украинском языке. (Управление школ Наркомпроса УССР).

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 2 1940 г.

21.

В выпуклом четырехугольнике диагонали образуют со сторонами восемь углов. Обозначим их последовательно через «i, а2»«--»а8-Доказать, что:

1. Из треугольников ABC, BCD, CDA, DAB на основании теоремы синусов имеем:

Перемножив полученные равенства и произведя сокращения, получим требуемое соотношение.

2. Из треугольников АОВ, ВОС, COD, DO А по той же теореме синусов получим:

По перемножении опять получим требуемое равенство.

Второй способ доказательства интересен тем, что он позволяет сразу сделать два обобщения:

1. Вместо точки О пересечения диагоналей можно взять любую точку М, не лежащую на стороне четырехугольника.

2. Вместо четырехугольника можно взять многоугольник с любым числом сторон.

Соединив точку M с вершинами многоугольника и написав ряд равенств совершенно аналогично ходу доказательства 2, получим:

(А)

Существует известная теорема Менелая: если треугольник пересечен прямой, которая встречает стороны треугольника (или их продолжения) в точках А', В', С, то произведение трех отрезков, не имеющих общих концов, равно произведению трех остальных отрезков (если принимать во внимание и направление отрезков, то отношение этих произведений будет равно — 1). Обобщением этой теоремы (Карно) является ее распространение на случай л-угольника: «если стороны /1-угольника пересечены прямой, то произведение п отрезков, не имеющих общих концов, равно произведению п остальных отрезков». Как видим, эта теорема является двойственной по отношению к теореме, выражаемой соотношением (А).

22.

Показать, что одно из квадратных уравнений:

непременно имеет действительные корни, если коэфициенты их связаны соотношением:

(1)

1. Допустим противное: оба уравнения не имеют действительных корней. Тогда должно быть:

что по сложении дает

(2)

Произведя в (2) замену из (1\ получим:

что, очевидно, невозможно. Отсюда и следует справедливость утверждения задачи.

23.

Решить уравнение.

(1)

1. Положим:

(2)

Отсюда:

(3)

Из (2) и (3) подставим в (1):

По раскрытии скобок и приведении подобных членов, получим:

т. е. Отсюда:

24.

Решить уравнение:

Уединив радикал и возведя обе части в квадрат, получим:

По раскрытии скобок, переносе всех членов в левую часть и приведения подобных найдем:

Положим:

(3) Тогда:

(4)

Подстановка из (3) и (4) в (2) даст:

По упрощении:

или

Отсюда:

25.

Решить в целых числах систему уравнений:

(2)

Определив из (2) х и подставив в (1), получим:

(3)

Отсюда:

(4)

При целом у выражение z — 3 может равняться лишь +1 и ±5. Соответственно имеем:

26.

Найти общий вид многочлена, произведение которого на х2 — 1 содержит лишь два члена.

1. Обозначим искомый многочлен через М. Так как в произведении M (х2 — 1) должно быть только два члена, то, очевидно, это могут быть только высший и низший члены произведения. Пусть показатель при х в низшем члене равен nt в высшем n+k. По условию имеем:

(1)

Положив в тождестве (1) х = 1 и х = — 1 получим:

(2) (3)

Если k нечетно, то (3) дает b — а = О, вместе со (2) получим а = 0; b = 0, что противоречит условию. Итак, k четно: положим, k = 2т. Тогда из (2) найдем и = —а, и тождество (1) примет вид:

(4)

Деля обе части выражения (4) над:2 —Ь получим:

Это и есть искомый многочлен, в котором: афО; п^О; m > 1.

27.

Решить уравнение:

(1)

Перемножив двучлены, получим:

(2)

Заметив, что во всех числителях и знаменателях фигурирует одно и то же выражение X2 — X, положим:

(3)

Подстановка в (2) дает:

(4)

Из уравнения (4) обычными преобразованиями (освобождение от знаменателей и пр.) можно определить у. Можно, однако, сократить число преобразований. Представим (4) в следующем виде:

Отсюда:

Раскрыв скобки и замечая, что

найдем:

(5)

Из этого уравнения обычным путем найдем у =27. Подстановх I в (5) показывает, что V = 27 не обращает в нуль ни один из знаменателей, следовательно удовлетворяет уравнению. Теперь из (3) имеем:

откуда:

2 8.

Решить в целых числах уравнение

Преобразуем данное уравнение:

Итак, данное уравнение (1) распадается на два,

(2) (3)

Отсюда имеем:

Если п число иррациональное или рациональное с нечетным числителем, то получим:

Пусть a = <*d; Ь — ßtf, где а и ß взаимно простые. Тогда будем иметь:

где t любое целое число (положительное, отрицательное или нуль).

Если же 11 рациональное число с четным числителем, то из (4) получим:

Отсюда, кроме уже полученных решений, будем иметь:

где / — произвольное целое число.

29.

По данным расстояниям оснований биссектрис внутренних углов треугольника от его сторон вычислить его стороны и площадь.

Обозначим расстояния от оснований аь вь С\ биссектрис ааь ввъ ССХ до сторон соответственно через а, ß, у, площадь треугольника ABC через S: Как видно из чертежа, будем иметь:

или

Отсюда:

(1)

Совершенно аналогично получим:

(2) (3)

Решив систему уравнений (1), (2), (3) обычным путем, найдем:

(4) (5) (6) (7)

Вычтя (5) из (1), (6) из (2) и (7) из (3), получим:

(8)

Подставив выражения (4) и (8) в формулу Герона для площади треугольника, получим:

Подставив теперь (9) в (5), (6) и (7), найдем соответственно стороны а, Ь и с.

30.

Решить уравнения:

(1) (2)

(3)

1. Возведем (2) в куб и вычтем из результата удвоенное (1):

Сократив на 3 и разложив выражение в скобках на множители, получим:

(4)

Приняв во внимание (2), найдем:

(5)

Вычтя (3) из (5), получим:

Тогда (2) и (3) дадут:

Решив эту систему обычным способом, найдем:

31.

Доказать, что

Задача, конечно, элементарная, требующая лишь знания основных формул тригонометрии. Но большинство решений приводили левую часть к тригонометрическим функциям угла в 36°^ и подставляли значения sin 36° и cos 36° (иногда подставлялись значения cos 72° = sin 18°). Поскольку знание величин тригонометрических функций углов в 18° и 36° не требуется программой, постольку больший интерес представляют решения, не пользующиеся ими. Например:

32.

Даны три точки Л, В, С. Через Л провести прямую так, чтобы сумма расстояний до этой прямой от точек В и С была заданной. Из многих различных решений приведем наиболее короткие.

1. Предположим, что задача решена и BD + + СЕ = 2а — заданной длине. Опустим из середины ВС перпендикуляр ОН на DE. Тогда OF =

Следовательно, ED является касательной к окружности, проведенной из О радиусом а.Отсюда построение.

Из середины ВС проводим окружность радиусом, равным половине заданной длины. Касательная к этой окружности, проведенная из Л, и будет искомой прямой.

2. Пусть BE + CF = 2а. Продолжив FC на расстояние DF — ВЕ, получим прямоугольный треугольник BDC, в котором известны: гипотенуза ВС и катет DC = 2а. Отсюда построение. На ВС, как на диаметре, строим окружность и от точки С (или В) отсекаем хорду DC = 2а. Из точки Л опускаем перпендикуляр на DC. Он и будет искомой прямой.

33.

Решить уравнение:

(1)

1) Обозначим:

(2)

Из (1) по возведении в квадрат имеем:

(3)

Из (2) и (3):

(4)

Отсюда имеем:

(5)

Подстановка в (3) дает:

(6)

После подстановки в (3):

(8)

Проверкой убеждаемся, что только

удовлетворяет данному уравнению.

34.

Доказать, что во всяком треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.

Был дан ряд вариантов доказательств. Здесь мы дадим доказательство, которое не было дано ни в одном из решений.

Проведем требуемые линии BD, BE и BF из вершины В. Если а = с, то все эти три линии совпадут. Допустим теперь, что а > с. Тогда, очевидно.

Следовательно:

Отсюда следует, что биссектриса BE пойдет правее BD и

т. е. точка Е лежит вправо от D.

По свойству биссектрисы угла треугольника имеем при с <д

т. е. или

а это значит, что основание медианы F лежит вправо от точки Е.

35.

Разложить на целые рациональные множители выражение:

Произведя деление второго множителя числителя на знаменатель, получим окончательно:

2. Можно итти методом группировки, прибавляя и затем отнимая степени а:

36.

Даны два многочлена от переменной с целыми коэфициентами. Произведение их есть многочлен с четными коэфициентами, не все из которых делятся на 4.

Доказать, что в одном из перемноженных многочленов все коэфициенты четные, а в другом имеется хотя бы один нечетный.

а) Предположение, что все коэфициенты в обоих многочленах четны, отпадает, так как в этом случае все коэфициенты произведения делились бы на 4, что противоречит условию.

б) Предположим теперь, что в обоих многочленах имеются члены с нечетными коэфициентами. Возьмем в каждом многочлене члены с нечетными коэфициентами, имеющие наибольший показатель. Пусть это будут ахт в одном из многочленов и Ьхп в другом. Тогда в произведении член с показателем m + п будет иметь непременно нечетный коэфициент. В самом деле, произведение аЬхт-^п имеет нечетный коэфициент. Все же остальные члены с показателем т + п могут получиться лишь от перемножения члена с показателем, большим m (т. е. с четным коэфициентом), на член с показателем, меньшим л, или наоборот. Все эти члены будут, таким образом, иметь четные коэфициенты, и после приведения их вместе с членом аЪхт+п получим, очевидно, член с нечетным коэфициентом, что противоречит условию.

в) Остается одно возможное предположение, что в одном из многочленов все, а в другом не все коэфициенты четные.

38.

Найти остаток от деления на 7 числа:

В большинстве случаев давались следующие варианты решений:

а) 1. Путем непосредственного деления определялись остатки от деления 10', 10*... 10е на 7. Составляется соответствующая таблица.

2. Устанавливалось, что эти остатки дальше периодически повторяются. Отсюда выводилось заключение, что для определения остатка от деления на 7 числа 10* достаточно определить остаток от деления k на 6. Пусть k = 6т + г. Тогда будем иметь тот же остаток, что и 10г, который найдется в таблице.

3. Устанавливается, что все показатели при слагаемых в данной сумме, т. е. 10, 102, 10*... Ю10 при делении на 6 дают в остатке 4.

(7)

Отсюда делается вывод, что каждое слагаемое при делен и на 7 даст тот же остаток, что и 104, т. е. 4 (по таблице).

4. Всех слагаемых десять; сумма остатков 4-10 = 40 = 7-5-1-5. Окончательный остаток 5.

6) 1. Непосредственным делением устанавливалось, что 10е при делении на 7 дает в остатке 1.

2. Показатели всех слагаемых данного числа приводились к виду 6т + 4.

3. Каждое слагаемое представлялось в виде:

4. На основании формулы бинома устанавливалось, что первый множитель правой части выражения (1) при всяком натуральном m дает в остатке 1.

5. Находился остаток 4 от деления 104 на 7, умножался на 10 (число слагаемых) и находился окончательный остаток 5.

в) 1. Устанавливалось, что 1001 = 103 +1 делится на 7. 2. Данное число представлялось в виде

3. По формуле бинома первые множители дают в остатке — 1 или, что то же, 6. Следовательно, каждое слагаемое дает остаток 6.10 = 7-8-1-4, т. е. 4. Остальное ясно.

г) 1. Последовательно применяется формула бинома:

Итак,

Возведем число вида 7k + 4 в 10-ю степень:

Итак, от возвышения числа вида 7k + 4 в 10-ю степень получаем опять число вида Ik + 4.

3. Так как каждое слагаемое данной суммы получается из предыдущего путем возвышения его в 10-ю степень, а первое слагаемое имеет вид 7& + 4, то, очевидно, все последующие слагаемые тоже являются числами вида Ik + 4. Дальше ясно.

Были даны и другие решения иногда очень длинные. Неверные решения давали остаток 3 и 1.

Ввиду крайне малого количества поступивших решений задач № 37, 39 они будут напечатаны в следующем номере.

Редакция

40.

Найти выражение для наименьшего значения де, при котором в целых числах решается следующая цепь уравнений:

Эта изящная и сравнительно легкая задача получила, к сожалению, мало решений и, что еще хуже, большинство решений неправильные (из 25 решений правильных лишь 7). Приведем решение. Данные уравнения можно представить в таком виде:

Взяв первое уравнение, затем произведения первых двух, трех и т. д., придем к следующим уравнениям:

(1)

Отсюда непосредственно заключаем: 1. Для того, чтобы х\9 х\ . . . х%_х были целыми числами, необходимо, чтобы х делился на тп -1- Положим

(2)

2. Для того, чтобы хи x2t... хп __ t были целыми, необходимо, чтобы из правой части уравнений (1) из тесались корни соответственно 2-й,3-й... степени. Для этого х, а следовательно А (так как m и (т -Ь 1) числа взаимно простые) должен делиться на m + 1. Положим:

(3)

3. Показатель при m должен делиться на 2, 3, 4 ... п.

Положим:

(4)

Теперь уравнения (1) примут вид:

(5)

Очевидно, для наименьших значений х, хх хг ... нужно положить с = \. Как уже сказано выше, необходимо, чтобы показатели

при m делились соответственно на 2, 3 ... п.

Это значит:

Другими словами, число а + п должно делиться на 2, 3, 4 ... п. Обозначим общее наименьшее кратное чисел 2, 3, 4 ... л через k. Тогда а + п = k, и мы получаем для X значение:

Подстановка в уравнения (5) дает:

Это и будут наименьшие решения данной системы уравнений.

Большинство неправильных решений давали ответ X = (т + 1) тп ~~ \ т.е. обеспечивали целостность значений правых частей уравнений (1), не учитывая последующего извлечения корня для получения целых значений х2у xz ... хп.

Вторая группа ошибочных решений давала ответ X = ———, т. е. обеспечивала возможность извлечения корня, не учитывая требования задачей целых значений неизвестных. Уже для X давалось дробное значение.

Наконец, третья группа вместо нахождения наименьших целых решений при всяком данном m брала и для m наименьшее значение m = 1 и, естественно, получала для этого частного случая значения х = х1 = х2 = .. „ =*= = хл-1 = 2.

ЗАДАЧИ

81. Доказать, что при п целом и положительном выражение

делится на 117.

82. Найти целые положительные корни уравнения

83. Пусть Л, В, С три натуральных числа, записанных по десятичной системе:

А единицами, число которых 2т, В — единицами, число которых m + 1, С— шестерками, число которых т. Доказать, что число А + В -f С + 8 точный квадрат.

84. Доказать, что многочлен

делится на х2 -f х -f 1.

85. Решить уравнение

88. На основании ВС равнобедренного треугольника ABC найти такую точку х, чтобы

имело наибольшее значение.

87. Найти целые положительные числа, равные кубу суммы своих цифр.

А. Гольдберг (Ленинград)

88. Найти целые положительные числа, равные четвертой степени суммы своих цифр.

А. Гольдберг (Ленинград)

89. Найти объем конуса, радиус основания которого г и объем вдвое больше объема вписанного шара.

С. Городов (Ленинград)

90. Решить уравнение

С. Городов (Ленинград)

91. Решить уравнение

С. Городов (Ленинград)

92. Доказать, что ни при каком целом положительном значении х выражение

не делится на 121.

Г. Ахвердов (Ленинград)

93. Доказать, что если р — простое число, то при делении С* _ t на р в остатке получится (— 1)*.

Г. Ахвердов (Ленинград)

94 В Д АЗС проведена высота CD. Около треугольников ABC, ACD и BCD описаны окружности радиусов R, /?, и R2. Найти R по данным /?,, R2 и углу С.

А. Владимиров (Ялта)

95. Одна из сторон треугольника ABC параллельна плоскости Р\ углы, прилежащие к этой стороне, — аир. Определить углы проекции Д ABC на плоскость Я, если угол между плоскостью треугольника и плоскостью Р равен ср.

А. Владимиров (Ленинград)

96. Найти шестизначное число, являющееся точным квадратом; если разбить его на две части по три цифры, то разность полученных трехзначных чисел тоже является точным квадратом. Известно, что одно из этих чисел в 8 раз больше другого.

М. Кекелия (Бандза, Грузия)

97. В данный треугольник вписать прямоугольники с равными диагоналями (две вершины на основании, две на боковых сторонах). Сколько прямоугольников можно построить для одной и для различных диагоналей?

М. Кекелия

98. Вычислить произведение:

Р. Годованик (Одесса)

99.* Из шести элементов треугольника (три стороны и три угла) пять элементов одного равны пяти элементам другого. Что можно утверждать относительно этих треугольников?

100. Ученик говорит учителю:

— «Я доказал, что в треугольнике все стороны равны».

— «В каком?»

— «Во всяком!»

— «Докажи!»

— «Проведем в ДЛ5С (черт. 1) перпендикуляр к основанию АС через его середину D до пересечения с биссектрисой угла В в точке Е. Из точки Е опустим перпендикуляры ЕМ и EN на стороны AB м СВ. Тогда: \)AADE =/\CDE -по двум катетам, 2) &ЕМВ =&ENB -по гипотенузе и острому углу, 3) Д ЕМА = Д ENC — по катету и гипотенузе (последнее вытекает из равенства 1). Из равенств 2 и 3 следует, что

MB = BN,

MA = NC.

По сложении получим

AB = ВС.

Аналогично докажем, что

ВС = АС.

Учитель указал на основную ошибку ученика. Но последнего это не смутило. Прежде чем дать окончание этого спора, предлагаем сообщить, какую грубую ошибку указал учитель.

Р. Годованик (Одесса).

* Задачи 99 и 100 даются как интересный материал для математического кружка. В №6 журнала будет дана вторая часть задачи № 100. — Ред.

ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ*

10. Решить систему уравнений

при условии, что a+b+c+d = ü.

11. Решить систему уравнений:

12. В арифметической прогрессии

найти сумму

13. В арифметической прогрессии

найти сумму

14. Одна из диагоналей четырехугольника делит его на два равнобедренных прямоугольных треугольника; другая диагональ равна а. Найти первую диагональ, стороны и площадь треугольника.

15. Не прибегая к модулю перехода от одной системы логарифмов к другой, найти

16. Решить уравнение

17. Дана сумма

Определить первое слагаемое и число слагаемых.

18. Дана боковая высота h и медиана m боковой стороны равнобедренного треугольника. В каких границах должна заключаться длина его основания?

19. Может ли плоское сечение куба иметь форму ромба? (Исследовать).

20. В правильной шестиугольной пирамиде 8 (ABCDEF) проведена через диагональ BF плоскость, делящая ребро SD в отношении т.п. (считая от вершины пирамиды). В каком отношении она делит ребра SC и SE?

* Задачи 1—9 см. в № 4 журнала. Задачи 10—14 взяты из задач для студентов-выпускников рабфака при ЛГУ, собранных коллективом преподавателей (сообщил т. Костриц). Задачи 15—20 присланы т. Костриц (Ленинград).

Отв. редактор А. Я. Барсуков Зав. редакцией M. М. Гуревич. Техред Е. М. Зеф

Адрес редакции: Москва, Орликов пер., 3, Учпедгиз, журн. «Матем. в школе».

А31028. Сдано в произ. 9/VI1I 1940 г. Форм. 70X108V/,e Учгиз 580. Подп. к печ. 11/Х 1940 г. 5,5 п. л. _42,25 уч.-изд. л. 96 000 зн. Тир. 44 500 Зак. Ь90

18-я типография треста «Полиграфкнига», Москва, Шубинский пер., д. 10

Б. Пеньковский (Казань) 1, б, 9, 1,0, 12, 13, 15. В. Плотников (Арзамас) 1—3, 5, 6, 8—10, 12, 13, 15—20. П. Постников (Рязань) 1, 3, 6—9 12, 13, 15, 17, 19. Р. Реннерт (Иовогрудок) 2, 6, 8-10, 12, 13, 15, 17—19. Д Ржевский (Рыбинск) 1, 2, 4, 6—10, 12—15, 17. Сеник (Калуга) 1—3, 12, 13, 15. И. Симонов (Омская обл.) 1, 12. В. Смирнов (Орджоникидзевский край) 1, 2, 4—6, 8—10, 12, 13, 15, 17, 19. И. Сурин (Рязанская обл.) 1—3, 5, 6, 8, 9, 12, 15. П. Творуп (Мука) 1, 2. Р. Таварткиладзе (Бакалеши) 13. Ш. Темур (АзССР) 1, 13, 15. Н.Титов (Казань) 1—5, 8—11, 13, 15— 18. Д. Толмачев (Кисловодск) 3,12, ^.Третьяков, Красовский, Голянд (Краснодарский край) 1, 3, 4, 6, 9, 10, 13, 15. Тужилкин (М. Толкай) 1, 3, 6, 9, 10, 12, 13, 19. В. Туровский (Тамбов) 1, 6, 10, 12, 15. Ушанов (Чистяково) 1, 3, 5, 8, 9, 11—13, 15. Б. Ушо чирский (Новоград-Волынск) 1—3, 8—10, 12, 13, 15, 19. В. Федоров (Челябинск) 1—3, 10, 12, 13, 15. А. Хайруллин (Мензелинск) 1—3, 9, 10, 12, 13, 15. Ф. Халилов (Семипалатинск) 1—3, 5, 6, 8, 9, 12, 13. X. Хамзин (Стеллитамак), 1—6,8—10,12—15, 18. П. Хафизов (Ютазинский р-н) 1—3, 10, 13, 15. Е. Хвастовский (Сталинград) 1, 3, 6, 9—11, 13, 15, 17—20. П. Хоменко (Конотоп) 3, 4, 6, 9, 11—13, 15. В. Цхай (Омск) 1,2, 9, 12, 13, 15, 19. И. Чаравуй (Саранск) 1, 3, 5, 9, 10, 12, 13, 15. Чаус (?) 1, 3, 6, 9, 11—13, 15, 17, 19. Ф. Чекалин (Скопин) 2, 3, 9, 10, 12, 13, 15, 19. И. Чучко (Орджоникидзе) 1, 3, 5, 6, 8—13. Н. Шабатин (Барабинск) 5, 9. В. Шалупенко (Куйбышев) 1, 2, 4—6, 8—10, 12, 13, 15, 17-20. А. Шафаренко (Лебедмн) 1, 2, 3, 12, 13, 15. М. Шабаршин (Медвежьегорск) 1—15,17—20. П. Шепель (?) 1, 2, 9, 12, 15. С. Школьник (Одесса) 2—4, 8—10 12, 13, 15. Н. Шоластер (Фатеж) 1—3, 5—15, 17-20. Я. Шор (Москва) 1, 3, 4, 8, 12, 15. Э. Ясиновый (Березо-Балка) 1, 3, 8—10, 12, 13, 15, 17, 19. В. Яцына (Мелитополь) 1—3, 11—12. Л. Яшин (Бугульма) 1—3, 6, 8—10, 12, 13, 15.

СВОДКА по № 2 1940 г.

Акшев Казахстан) 23, 24. Л. Александров (Днепропетровск) 23, 24, 31. И. Барщевский (Сухой Лог) 21—27, 29—36, 40. Г. Ахвердов (Ленинград) 22—31, 33—38. В. Берестовский (Новоград-Волынск) 21, 23, 24, 27, 30, 31. И. Богуславский (Мурафа) 22—42. К. Бирюков (Ряжск) 21—25, 27, 29—30, 34. С. Болдырев (Киров) 23, 26, 34. Л. Бубис (Полтава) 21—25, 27, 29—36. А. Владимиров (Ялта) 21—25, 27—36, 38. Я- Волок (Житомир) 21, 23—26, 28, 30-33, 38. М. Бархударов (Баку) 22—25. 30, 31, 33. С. Воскресенский (Куйбышев) 21—38, 40. Я. Гарбузов (Донбасс) 23—28, 30, 33—35. Г. Глазков (Сталино) 23, 24, 31, 35. Я. Голайдо (Новозыбков) 21—25, 30—34, 38. И. Гурский (Калиновка) 21, 23—25, 33, 35, 38. С. Городов (Ленинград) 21-28, 30, 32—35. Б. Давыдкин (Уфа) 23, 30. Т. Горенштейн (Одесса) 23—25, В. Дмитревский (Ленинград) 21—27, 30—34. Н. Введенский (Георгиевское). (?) Б. Дуделькевич (Пятигорск) 21, 23, 24, 28, 31, 38. Я. Жовтун (М. Локня) 22—28, 30, 31, 34—36, 38. А. Жук (Дятьково) 21, 23, 24, 27, 30, 31, 38. Л. Зернова (Орел) 21, 23, 24, 30—34. А. Иванов (Ипатово) 21—24, 30. А. Иванов (Торопец) 21—32, 34—36, 38. И. Каган (Минск) 23—28, 32, 36, 38. Г. Капралов (Горький) 21-28, 30—32, 38. И. Кастровицкий (Слуцк) 21—23, 25. И. Кацман (Жито чир) 23—25, 31, 33. И. Кашин (Ср. Убукун) 21—25, 27, 30, 31-35, 38. М. Кекелия (Бандза) 21—28, 30—36. М. Клейнер (Житомир) 22—26. Н. Клибанская (Новосибирск) 21, 23—25, 30, 31, 34. М. Климова (Дорогобуж) 21—27, 30, 31, 35. П. Клоков (Мичуринск) 21, 23, 25, 26, 30, 31. Б. Кобылин (Галич) 21—28, 30—36, 38. А. Кованьков (Иваново) 35. Копылов (Днепродзержинск) 21—25, 27, 28, 30, 34. Г. Корчагин (Устькулом) 21—28, 30-36, 38, 40. А. Костовский (Мелитополь) 21—25, 27, 29—36, 39, 40. В. Крылков (Екатериновка) 21, 23, 25, 27, 29—32, 34. И. Крылов (Горький) 21—28, 30—34, 38, 39. С. Кулигин (Тагай) 21, 23, 24. Лебедев (Обоянь) 21, 22, 24, 25,31, 32, 38. М: Левин (Таганрог) 21—34, 36. А. Логашов (Пенза) 21—36, 38. И. Любочский (С. Русса) 21—36, 38. Л. Малюгин (Горький) 21—29, 30—32, 34—36, 38. Г. Мамедов (Баку) S3. Л. Маслова (Воронеж) 21—28, 30-32, 34—36, 38, 40. В. Машрус (Одесса) 21—28, 30—34, 36. Л. Медведев (Панфилово) 21—31, 33—35, 38. М. Месяц (Житомир) 21—38. Метелицына (Михайлов) 21, 23-25, 27, 28, 30, 31, 33, 38. A. Миненко (Нальчик) 21—26, 28—31, 34. Г. Мискарян (Кировобад) 22—28, 30—32, 34, 36. М. Мкртичян (Майкоп) 21, 23, 24, 30, 31, 33. А. Могильницкий (Гайсин) 21—28, 30—36, 38. Г. Олейник (Зеньков) 21, 23, 24, 30. Б. Пеньковский (Казань) 23, 24, 30, 31,35. В. Плотников (?) 21-30, 38, 40. П. Постников (Рязань) 21—27, 30—36, 38. Р. Реннерт (Новогрудок) 21—31, 33—36, 38. Д. Ржевский (Рыбинск) 21—27, 29—34, 36, 40. Г. Саркисьян (Троицкая) 21—26, 28, 31. И. Сергачев (Вольск) 21, 23—25, 28, 30, 36, 38. И. Сурин (Незнамово) 21—31, 33, 34. Ф. Таварткиладзе (Бакилети) 23. П. Творун (Лука) 21, 23—27, 30. Н. Титов (Казань) 21—36, 38. Д. Толмачев (Кисловодск) 23, 24, 31. В. Туровский (Тамбов) 22—24, 31, 38. В. Ураевский (Кузнецк) 22, 27, 29, 31. И. Усачев (Ново-Корсунская) 21, 23—25, 30, 31. Ушанов (Чистяково) 21, 23—28, 30, 31, 33—35, 38. Е. У то мирский (Новоград-Волынск) 21, 23—28, 30, 31, 34. В. Федоров (Березово) 21—28, 30, 31. А. Хайруллин (Мензелинск) 23-26, 29, 31, 33, 34, 38. X. Хамзин (Стерлитамак) 21—36, 38, 40. Е. Хвастовский (Сталинград) 21—35, 37, 38. B. Цхай (Омск) 21-26, 30, 34. Ф. Чекалин (Скопин) 21—23, 26, 30, 31, 35. Л. Шагинян (Ереван) 21, 23—26, 32. В. Шалупенко (Куйбышев) 21—36, 38. А. Шафаренко (Лебедин) 21—28, 30, 31, 33. М. Шебаршин (Медвежьегорск) 21—36, 38, 40. Н. Шоластер (Фатеж) 21—36, 38, 40. Э. Ясиновый (Березобалка) 21-28, 30, 31, 34, 36, 38.

Цена 1 р. 25 к.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

А. Барсуков — Математические знания в массы.......... 1

И, Вугман — Об организации математической общественности ... 3

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

А. Никольский — Полуправильные тела Архимеда........ 5

Проф. И. И. Чистяков — Решение некоторых трансцендентных уравнении............................ 11

Г. Шлегель — Преобразование радикала у- А±:К1В....... 15

КЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

Проф. И. Я. Депман — Леонтий Филиппович Магницкий...... 18

ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ

A. Фетисов — Геометрические преобразования .......... 24

Е. Зеленин — Изложение первых глав стереометрии и задачи на построение......................... 29

Н. Шоластер — О вычислении числа я.............. 47

И. Альтшулер — Евклидово доказательство теоремы Пифагора . . 48

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ АРИФМЕТИКИ

Ф. Дзюба — Проценты...................... 50

B. Ермольев — Что должно быть в основе прохождения периодических дробей ....................... 56

И. Дуб — Периодические дроби в курсе арифметики....... 58

Г. Костанди —Об умножении многозначных чисел........ 59

А. Горский — О трудности деления и его упрощении....... 60

ИЗ ОПЫТА

C. Чуканцов — Ближе к практике................. 62

Б. Журавлев —О математическом зрении........... 72

A. Могильницкий — Решение геометрических задач с применением тригонометрии...................... . 76

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

B. Невский—Новые книги по математике............ 79

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 2 1940 г............. 81

Задачи.............................. 87

Задачи для учащихся....................... 88

Сводка по № 1—1940 г..................2-я стр. обл.

Сводка по № 2—1940 г, ..................3-я стр. обл.