МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

2

1940

УЧПЕДГИЗ НАРКОМПРОСА РСФСР-МОСКВА

Пролетарии всех стран, соединяйтесь!

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

2

1940

МАРТ -АПРЕЛЬ

Год издания седьмой

УПРАВЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

МЕТОДИКА

МЕТОДИКА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ

(В порядке обсуждения)

Проф. Д. МОРДУХАЙ-БОЛТОВСКИЙ (Ростов-на-Дону)

§ 1. ТРИ РОДА ГЕОМЕТРИИ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Формально логическая геометрия типа Гильберта совершенно снимает проблему об определениях.

Гильберт* не определяет точки, прямой и плоскости. Он только выставляет постулаты, которым эти объекты удовлетворяют, и выводит из них систему теорем, которые остаются в силе, если взять вместо точки, прямой и плоскости — псевдоточку, псевдопрямую и псевдоплоскость, т, е. взять объекты, которые во всем отличаются от точки, прямой, плоскости, кроме того, о чем говорят эти постулаты.

Делались попытки, например Галстедом** насадить такую формально-логическую геометрию в школе, но учитывая характер детского ума, можно наверняка предсказать, что такие опыты не будут никогда иметь успеха.

На геометрию возможны три точки зрения. В первой геометрия — это только система формально-логических выводов. Такова геометрия Гильберта. Во второй — это учение о пространстве. Это геометрия Лейбница*** и других математиков-рационалистов конца XVII в. и первой половины XVIII в. Наконец, третья — это Эвклидова точка зрения, на которой главным образом и стоит школьный учебник геометрии.

В ней геометрия изучает геометрические формы и фигуры совершенно так же, как зоология изучает различные виды животных, а ботаника — растений.

Но здесь не следует быть слишком односторонним. Нет сомнения, что в некоторой мере приходится и в школьной геометрии затрагивать и первый и второй тип геометрии. Во-первых, учащийся должен ясно сознавать ту логическую сеть, в которую укладывается геометрия, например, понимать, почему приходится дважды говорить о внешнем угле: сперва доказывать, что внешний угол больше внутреннего с ним не смежного, затем доказывать, что он равен сумме таких углов.

Затем, хотя и в меньшей мере, приходится затрагивать и свойства пространства. Так называемая форономическая геометрия (основанная на движении) довольно глубоко внедряется в эти свойства.

Но основным содержанием школьной геометрии всегда будет изучение геометрических форм.

Никогда школьная геометрия не будет в состоянии обойтись без определений.

Никогда школьная геометрия не перестанет быть реальной наукой, в которой отражается реальная действительность, с каковой детский ум соединен неразрывными связями.

* Гильберт — «Основания геометрии».

** Halsted — «Géométrie rationelle».

*** Leibniz — «Mathem». Schriften».

§ 2. ДЕТСКИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Что в школьной геометрии должны быть определения — в этом не может быть сомнения.

Но более того — многими методистами ясно сознается методическое значение проблемы об определениях. Следует упомянуть о прекрасной книге Шоттена*, в настоящее время распроданной и, к сожалению, не переведенной на русский язык. Читатель найдет там богатый и интересный материал, относящийся к методике определений.

Но вот о чем следует подумать методисту. Каково должно быть школьное определение?

Так как школьники — дети, то и определение должно быть, правда, не детским, но близким к детскому уму, таким, которое легче всего могло бы быть им воспринято.

Обратимся к ребенку. Первым вопросом, предлагаемым ребенком является: «Для чего это?»

Такой же и первый его ответ на вопрос, что такое ложка?—«Это то, чем едят». Это определение характерно для маленьких детей.

В этом определении указываются не характерные признаки, отличающие данный предмет от других, а только то, чем он действует на лицо, его воспринимающее.

Такие определения, имеющие в виду только цели, назовем целевыми.

Было бы неправильно видеть целевые определения только у детей. Когда Эвклид в XI книге своих «Начал» определяет шар, как тело, описываемое полуокружностью, вращающейся около неподвижного диаметра, и затем дает определение оси шара как этого неподвижного диаметра и центра шара как центра этой вращающейся полуокружности, то он дает целевое определение в указываемом сейчас смысле. Ось — это диаметр окружности, которая производит шар.

На следующей стадии развития интеллекта является вопрос: почему? и за ним каузальное (причинное) определение.

За детским определением: «Ложка —то, чем едят», следует определение, относящееся к уже более позднему возрасту, это то, что так-то получается. «Что такое огонь?» «Это то, что получается, если зажечь свечу», и т. д.

К таким определениям относятся геометреческие определения, называемые генетическими, в которых указываются те операции, с помощью которых получается определенный геометрический объект.

Это, конечно, не обязательно движение.

Это может быть абстрактно мыслимое построение, определяемое только рядом постулатов.

Примером может служить молчаливое определение четырех гармонических точек с помощью четыреугольника Штаудта.

Только на третьей высшей ступени мы имеем описания, как определения.

Можно сказать, что наука начинается только там, где выше чем «для чего» и «почему», начинает ставиться «что это такое?».

Но при этом в описаниях сперва все признаки являются равноправными.

Ум неразвитой не различает существенные признаки от несущественных,— он берет их все, берет все, что запечатлевается в памяти. Ребенок, рисуя своего отца, считает бородавку на его лице не менее важным признаком, чем его усы и даже нос.

Дальнейшей стадией является описание систематическое, по определенной схеме, установка определенной иерархии в признаках вещей.

Все такие определения менее всего являются номинальными, т. е. словесными.

Ни ребенок, ни дикарь не сочиняют названий и глубочайшее заблуждение приписывать языку искусственное происхождение. Скорее слова вызываются бессознательным подражанием звуков, связанных с определенными вещами и действиями.

Не следует смешивать определения, начинающиеся со слов: «называют» «называется», с начинающимися со слов: «я называю» .

В первом случае мы имеем описание предмета, для которого уже существует словесное обозначение, во втором же мы, намечая признаки, по которым предмет может быть узнан, сами создаем ему словесное обозначение.

§ 3. ЭВКЛИДОВЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Англичане обучают геометрии «по Эвклиду». (Хотя, впрочем, их Эвклид не является вполне настоящим, античным Эвклидом.) За такой подход к изучению геометрии, ставящий учителя в стороне от той вековой работы, с помощью которой Эвклид подвергся методической пере-

* Schotten — «Inhalt und Methode des Planimetri».

работке, говорит биогенетический закон, по которому ребенок должен в своем развитии проходить все те стадии, которые проходило человечество в своем историческом развитии. Я не буду разбирать тонкий вопрос о значении этого закона в педагогике. Но я уверен, что большинство методистов не будут слепо следовать ему, что обучение по Эвклиду им представляется продвижением по более тяжелому пути, когда существуют более короткие и более легкие.

Но, с другой стороны, верно и то, что в иных случаях мы действительно должны вести ребенка по пути наших предков и что из Эвклида можно взять в этом направлении рад правильных указаний.

В частности, школьное определение должно быть Эвклидовым, т. е. описательным.

Некоторые математики, например Ламберт и Кестнер, совершенно неправильно относят эвклидовы определения к номинальным.

Я предлагаю читателю внимательно без предубеждения прочесть эвклидовы определения, начиная с первого и кончая последним, и хорошо их продумать.

Следует прежде всего обратить внимание на то, что в определениях 10, 11, 13, 24, 27, 30 1-й книги стоит «есть», а «называется» (причем не «я называю») только в 9, 10, 16, 34.

Уже это одно говорит за то. что мы здесь имеем не номинальные определения, а определения-описания, каковыми и являются все античные определения, но при этом, правда, иногда смешанные с генетическими.

Следует особое внимание обратить на определения, которые являются описаниями безотносительно к выводам. Таковы: точка— то, что не имеет частей, линия— то, что не имеет ширины. 3-е определение: границы линии—точки (вернее: где прекращается линия — точки).

Здесь не дается название и не исследуется сущность границы.

Вместе с тем это вовсе не второе определение точки, которая уже определена. Это просто констатирование геометрического факта: в концах линии—точки.

Четвертое определение имеет явно выраженный описательный характер.

Прямая — линия, которая равно лежит в точках, на ней расположенных.

Для точки обычно берут третье эвклидово определение, рассматривая точки как границы линий.

Это определение, конечно, имеет существенный недостаток. Оно говорит не то, что такое точка, а то, чем может быть точка, так как точка внутри отрезка не является границей, пока мы не разделим этого отрезка на два.

Я сейчас не берусь разыскать лучшее определение точки, но утверждаю, что такие определения необходимы; с помощью их приводится в действие абстрагирующая мысль.

Выявляя характерные признаки геометрических объектов, эвклидовы определения носят иногда вполне аксиоматический характер и могут быть формулированы, как аксиомы высшей степени очевидности.

Так, в первой аксиоме третьей книги «Начал» устанавливается равенство кругов при равных радиусах, что в некоторых учебниках XVII в. выставляется как аксиома.

§ 4. АРИСТОТЕЛЕВСКИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Аристотель и еще больше схоластики систематизируют античные описательные определения.

Они определяют с помощью родового понятия и специфических видовых признаков. Таковы определения зоологии и ботаники, которые создают систему соподчиненных видов (виды, роды, семейства, классы, отряды, типы), выделяя вид из рода с помощью характерных видовых признаков.

Мы не будем подробно говорить о рамических учебниках XVI и XVII вв., в которых производится переработка определений «Начал» Эвклида в схоластическо-аристотелевском направлении или вернее, в особом полусхоластическом направлении, причем строились таблицы диахотомного типа, в которых род всегда содержал только два вида.

Но мы должны отметить, что некоторые проблемы Рамуса об определениях, поставленные им как проблемы научно-философские, в настоящее время имеют актуальное значение, как проблемы чисто методические.

Согласно определениям Эвклида (30, 31, 32, 33) квадрат не есть прямоугольник (в последнем прилежащие стороны не равны между собой), квадрат тоже и не ромб (в последнем углы не прямые), прямоугольник не ромбоид (по нашему параллелограм), так как в ромбоиде углы не прямые.

Согласно идеям Рамуса такие два вида А и не А должны включаться в стоящий над ними род, и если прямоугольник не параллелограм, то следует поставить над ними какое-то общее понятие, их обоих объемлющее.

Но опыт показывает, что точка зрения Эвклида, в которой например, ромб противополагается квадрату, легче усваивается, чем та, на которую старается, идя по пути Рамуса, встать наш учебник, включая квадрат в общее понятие ромба. Здесь чувствуется необходимость какого-то корректива. Если термин «ромб» оставить за родом, оба вида и квадрат и ромб не прямоугольный должны быть определенно выявлены и означены краткими, более удобными терминами.

Вот еще другая проблема Рамуса. Это — об определении параллельных. Он защищает определение Позидония параллельных как прямых равноотстоящих, считая, что эвклидово определение как прямых не пересекающихся не согласуется с общим понятием параллельности, которое мыслится как для пары прямых, так и для пары кривых линий.

Но здесь мы уже ничего не можем взять от Рамуса. Мы должны скорей заглушить такое общее понятие, чем дать ему рост, так как оно создает действительно психологические затруднения при проведении затем обычного эвклидова определения параллельных, прямо неизбежного при логическом построении теории параллельных.

Но выдвижение общего понятия центра фигуры, под которое центр круга подходит, как вид, подрод, имеет и в настоящее время методическое значение. Многие методисты очень рано вводят в геометрию понятия о симметрии, в частности, о центре симметрии.

§ 5. ГЕНЕТИЧЕСКИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Разделение определений на два класса — номинальные и реальные — принадлежит еще Аристотелю. Но начиная с XVII в. с так называемой порт-роялевской логики, реальные определения всегда понимаются как генетические, т. е, говорящие о происхождении.

Мы выше выдвинули эвклидово описательное определение как наиболее соответствующее детскому возрасту. Можно было бы, основываясь на том, что каузальные определения являются еще более близкими детскому уму, выдвинуть генетическое определение, как еще более подходящее.

Но с этим нельзя согласиться. И вот почему. Геометрические фигуры мы сперва видим или, вернее, получаем из видимого путем абстрагирования, а затем уже их производим. То, как получается огонь, ребенка больше интересует, чем сам огонь. Но что в квадрате стороны и углы равны, это ребенок видит раньше, чем узнает, как получить квадрат.

То же следует сказать и о круге.

Из генетических определений выделяются форономические, связанные с применением движения к изучению геометрии. Они представляются имеющими преимущество наглядности.

Но большинство из них должно быть отвергнуто.

Во всех этих определениях выдвигается эксперимент, дающий объект, уже известный по другим признакам, хотя и в смутной форме.

В иных случаях такой эксперимент является очень сложным. Таким сложным экспериментом пользуется Мере при определении параллельных прямых: прямые параллельные — те, которые накладываются друг на друга при движении плоскости по плоскости, так что прямая скользит по прямой.

В других случаях эксперимент гораздо проще. Но даже и в этих случаях определение носит вымученный характер, создается разлад между тем смутным донаучным понятием, который имеет учащийся, и тем, которое дается таким экспериментом.

По Эвклиду угол — это наклонение двух прямых, в форономической геометрии угол — это мера вращения или отклонения направлений в различные положения.

Но угол на потолке комнаты дается вовсе не вращением, а непосредственно воспринимается зрением учащегося.

Следует указать на то, как получается угол, а его характерные признаки совершенно так же, как определяя снотворный мак (Papaver simmiferum), мы должны говорить не о его культуре, но о том, каковы его цветы и плоды, отмечая его род (Papaver), его семейство, его класс и т. д.

С этой точки зрения Бертрановское* определение угла, как не определенной части плоскости, ограниченной двумя пересекающимися прямыми, является более подходящим, чем эвклидово.

Оно имеет еще одно важное преиму-

* Bertrand Devellopement nouveau de la partie él em. des Mathématiques.

щество: под него подходит так называемый развернутый угол в 180°, который не подходит под эвклидово определение угла, так как между прямыми, образующими такой угол, уже нет наклонения, а также и к выгнутому углу, большему 180°.

Следует еще отметить особый тип определений, который не вполне подводится под понятие генетического определения. Эти определения — скорее наблюдения, чем эксперименты. Такие определения можно назвать субъективно-форономическими в отличие от объективно-форономических, о которых мы говорили выше.

В этих определениях больше наблюдается, чем экспериментируется. Так, прямая определяется как линия, которая при некотором положении (которое следует искать) представляется нам как точка.

Нет сомнения, что этот тип определений еще хуже. Он предполагает создание совершенно особых условий наблюдения (которые приходится искать); то, что наблюдается, является для учащегося уже своего рода «открытием».

Но между тем для плоскости обычно дается определение, облекаемое в форму такого субъективно-форономического определения: предлагается наложить прямую на две точки плоскости, наблюдать наложение на плоскость и остальных точек прямой. Правда, этому определению можно дать другую форму, в которой оно явится определением с помощью постулата.

Тогда будем иметь определение совершенно того же типа, как определение прямой— ее определяемостью двумя точками. С методической точки зрения с такими определениями, отступающими от описательного характера, едва ли можно примириться.

Но еще хуже объективно-форономическое определение плоскости Крелля как поверхности, полученной от движения прямой, проходящей через неподвижную точку и пересекающей неподвижную прямую.

Остается определить плоскость однородностью ее в различных ее частях (изогенностью) аналогично тому, как Эвклид определяет прямую.

§ 6. ЛЕЙБНИЦИАНСКИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В самом начале статьи мы уже упомянули, что в школьную геометрию вливается, хотя и в небольшой дозе, и вторая геометрия как учение о пространстве. Она вливается через некоторые, правда, обычно остающиеся логически не действующими определения.

Таково определение прямой.

Мы уже упоминали об эвклидовом определении прямой. В несколько темной формулировке Эвклид имеет в виду изогенность прямой, т. е., что прямая здесь, как там, что во всех точках она одинакова.

Это свойство изогенности, т. е. сохранения своих свойств независимо от места, присуще и всему пространству, которое являлось предметом науки до построения общей теории относительности.

Но Лейбниц определяет ту же прямую ее гомогенностью. По Лейбницу прямая — это линия, часть которой подобна целой.

Гомогенность пространства, состоящая в том, что оно таково же в малом, что в большом,— характерное свойство эвклидова пространства в противоположность неэвклидову, являющемуся изогенным, но не гомогенным.

Отметим еще определение Л. Бертрана, по которому прямая является линией, делящей плоскость на изогенные части, т. е. находящиеся к прямой в совершенно одинаковом отношении. Здесь следует отметить, что определения Лейбница и Л. Бертрана вовсе не являются логически не действующими, но используются ими для выводов теорем.

К этой категории принадлежит и аристотелевско-лейбницианское определение подобных фигур как имеющих ту же форму, но различные размеры.

Должны ли мы в школе пользоваться таким определением? Я думаю, что в некоторой мере и они являются неизбежными.

Прямую следует определять. Приходится выбирать одно из приведенных выше определений. Определение Лейбница имеет два крупных недостатка. Соответствующее определение для плоскости, во-первых, требует пополнения: подобными являются части, ограниченные подобными линиями, во-вторых, оно не распространяется на плоскость Лобачевского.

Определение самого Эвклида — точка то, что не имеет частей, вовсе не так плохо, как это обычно думают.

Недостаток его тот, который указывается многими методистами: он говорит не о том, что представляет из себя точка, что заключается в понятии точки, а только о том, чего нет в точке.

Что же касается до подобия, то мне

представляется наиболее верным путь, идущий от аристотелевого-лейбницианского определения с пояснением его соответствующими образами и через выявление в форме особой аксиомы равенства углов и пропорциональности соответственных отрезков.

§ 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ТЕОРЕМА

Вообще лучше возводить определеннее аксиому, чем, наоборот, возводить аксиому или теорему в определение.

В главе «измерение круга» существует три подхода:

1) в первом обе теоремы и о длине окружности и о площади круга доказываются;

2) во втором то, что длина окружности есть предел периметра вписанного в круг правильного многоугольника при увеличении числа сторон, возводится в определение;

3) возводится в определение и то, что площадь круга представляет предел площади вписанного правильного многоугольника.

Но второй и в особенности третий подход методически неприемлемы.

Школьная геометрия должна считаться с тем понятием длины окружности, а тем более площади круга, который учащийся имеет еще до приступления к изучению геометрии. Нельзя просто накрыть это понятие другим, да еще связанным с таким абстрактным, трудно усвояемым понятием, как предел.

§ 8. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

Параллельные прямые дают самую интересную методическую проблему об определении.

В начале изучения геометрии приходится мириться с логически не действующими определениями и с определениями, построенными на общих, не поддающихся полной математизации понятиях, каковы, например, гомогенность и изогенность, о которых мы выше говорили.

К такого рода определениям относится и одно время бывшее к большом употреблении определение параллельных как прямых одного направления.

Конечно, существует доматематическое понятие о направлении, но оно еще не поддается математизированию и не вкладывается в аппарат логической геометрии, т. е. такой, которая старается по возможности итти путем чисто логических выводов.

Такая перетасовка возведением направления в первичное понятие, а параллелизма в производное (в то время как дело обстоит как раз наоборот) совершенно выводит геометрию из рамок логической геометрии «Начал» Эвклида, по образцу которой мы строим наш учебник.

Мы уже упоминали об определении параллельных Позидония, защищаемого Рамусом, как прямых равноотстоящих.

Такое определение требует оправдания, т. е. доказательства положения, что геометрическое место точек, равноудаленных от прямой, представляет тоже прямую, что, как известно, уже не имеет места на плоскости Лобачевского.

Это определение совершенно затемняет аксиоматическую конструкцию геометрии, оно оказывается в зависимости от аксиомы, которая затушевывается и обходится молчанием, в то время как выявляются аксиомы более высокой степени очевидности.

§ 9. ЛОГИКА СИСТЕМЫ

Рамус, Арно и Бертран, а в настоящее время и Извольский* ставят в связи с проблемой об определениях еще серьезную методическую проблему о том, что можно назвать логикой построения, дающей систему, определяющую место каждому положению. Выбор положений и порядок не должен определяться только одними логическими связями между ними, а некоторыми общими принципами, которые должны быть раньше намечены вместе с постулатами, лежащими в основе доказательств этих положений.

Рамический принцип, ведущий от общего к частному, создает часто затруднения при строго логическом развертывании геометрии.

Ведь линию вообще можно изучать только с помощью прямой. Поэтому применение этого принципа очень узко, оно возможно лишь вначале, при установке понятий, определения которых основываются на определениях более общих понятий.

Больше дает принцип Арнольда, ведущий от более простого к более сложному. Согласно этому принципу многие учебники лежандрова типа помещают теорию параллельных раньше равенства треугольников, затушевывая аксиоматическую конструкцию геометрии. При этом учебники, находящиеся больше под влиянием Арно, чем Лежандра, идут гораздо

* Извольский — «Методика геометрии».

дальше. Они говорят о теоремах, по существу представляющих теоремы о равенстве треугольников, не давая определения треугольнику и откладывая его до главы о взаимоотношении трех прямых (которой предшествует изучение пары прямых или угла и параллельных).

Можно указать один пример, когда приходится итти по пути, указываемому арнольдианским принципом. Если вместо аристотелево-лейбницианского определения подобия берется обычное определение, то приходится начинать с треугольников, определяя подобие или равенством углов или равенством углов с пропорциональностью сторон, смотря по тому, разрешаем или не разрешаем себе пользоваться избыточными признаками в определении.

Уже затем должно перейти к многоугольникам и к кривым.

Но представляется еще более правильным начинать с самого простого — с подобия ряда (конечного) точек на прямой, определяя его пропорциональностью соответственных отрезков.

Следует еще упомянуть и о принципе аналогонов, ведущем от теорем, относящихся к планиметрическим объектам к теоремам, относящимся к стереометрическим.

При этом следует иметь в виду, что прямой на плоскости в пространстве соответствует как прямая, так и плоскость. Этот принцип в определениях следует, по-возможности, выдерживать. Если для угла на плоскости берется эвклидово определение, т. е. углом считается наклонение прямых, то и двугранный угол следует считать наклонением двух пересекающихся плоскостей.

Если же берется Бертранов угол, то и двугранный угол следует считать неопределенной частью пространства, ограниченной двумя пересекающимися плоскостями.

Здесь мы опять наталкиваемся на преимущество бертрановского определения, которое легко прилагается и к трехгранному углу, в то время как эвклидово определение не налаживается (наклонений будет не одно, а три).

В иных случаях встречается очень серьезное затруднение в проведении принципа аналогонов.

Определяя длину окружности как предел периметра вписанного правильного многоугольника, мы не можем дать такое же определение для поверхности шара, заменяя правильный многоугольник правильным многогранником. Ведь существует только 5 правильных многогранников, и нет такого процесса, который давал бы ряд правильных многогранников с возрастающим числом сторон. Здесь единственный выход—отказ от этого определения и возведение в аксиому положения, что поверхность шара является пределом поверхности, описываемой правильным многоугольником, вписанным в полуокружность, образующую вращением шар.

§ 10. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ПЕДАГОГИКИ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Обращаясь к истории методики математики, интересно проследить отношение к определению в различное время с точки зрения основных направлений в педагогике.

Это может иметь не только историческое, но и актуальное значение, так как цели, которые ставились этими направлениями, все в некоторой мере, хотя не в прежнем одностороннем виде, признаются и современной методикой.

При односторонне-объективной педагогике, выдвигающей материальный принцип образования как приобретения знаний, которая является главным образом педагогикой памяти в полном согласии с характером схоластического и полусхоластического направлений, определение получает первенствующее значение.

При этом оно больше всего является делом памяти. Учебник геометрии главным образом представляет собрание определений, которые ученикам даются в вполне готовом виде, так что учащийся только должен их выучить.

Нет сомнения, что и теперь, когда мы отошли от односторонне-субъективной точки зрения, мы все-таки должны развивать методику приобретения знаний.

При этом определение не должно терять своего значения.

Учащийся прежде всего должен знать то, к чему относится весь длинный ряд доказательств.

Он должен знать геометрические определения.

С точки зрения односторонне-субъективной педагогики, выдвигающей формально-воспитательный принцип развития способностей, определение отодвигается уже на второй план. На первом месте стоит задача и затем само доказательство, обращающееся тоже в задачу. Это направление больше всего связывается с именем Ома.

При этом втором направлении развивается эвристический метод, который распространяется и на определение.

Предлагается определение строить самому

учащемуся. Ученик упражняется не только в мышлении, но и в выражении того, что он мыслит, в словах.

Выставляя, уже без крайностей односторонне-субъективной педагогики, в числе целей и цель развития способностей учащегося, следует обратить внимание на то, что определение может служить для развития иных операций, чем силлогистическая (т. е. вывода), а именно способности анализа содержания понятий, систематизации путем подведения вида под род и т.д.

В заключение следует отметить, что мы сейчас идем не только в направлении увеличения суммы знаний или развития способностей,—мы сейчас считаем не менее важным, чем объем знаний, и навыки, приобретенные упражнениями, — идейное-содержание.

Мы стремимся к тому, чтобы мысль ученика постепенно росла с эволюцией идей, которые даются в различных последовательных ступенях, берутся сперва интуицией, а затем подвергаются логической обработке. В иных случаях идея не дается явно (например, идея группы преобразований в известном учебнике Бореля-Штекеля*). Мысль ученика только приготовляется к восприятию этой идеи на более высокой степени развития.

При этой точке зрения методическая проблема об определениях значительно осложняется, так как не все элементы, которыми должен мыслить учащийся, подвергаются определению.

Перед учеником развертывается ряд понятий, находящихся на различных стадиях логической обработки, начиная с тех, которые воспринимаются только глазом, и кончая теми, содержание которых уже вполне вскрыто и облечено полностью в строго математическую форму.

* Борель-Штекель —«Геометрия», изд. Матезис.

РАВНОСИЛЬНОСТЬ УРАВНЕНИЙ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ

В. СИНАКЕВИЧ (Ленинград)

С научной точки зрения решению уравнений должны предшествовать вопрос об их равносильности и доказательство соответствующих теорем. Практически же, при занятиях в школе, нельзя говорить учащимся о приобретении или потере корней, когда они еще не умеют решать хотя бы уравнений первой степени.

Теоремы о равносильности уравнений обыкновенно с большм трудом уясняются учащимися. Но даже и после того, как они их поняли и как будто бы усвоили, они забывают их применять в каждом конкретном случае. Впрочем, не только учащиеся, не только рядовые учителя, но даже и авторы задачников часто забывают о возможности появления посторонних корней.

Например, в первой части «Сборника алгебраических задач» Шапошникова и Вальцова (стабильного) из восьми дробных уравнений (глава VIII) два (№ 49 и 51)* имеют посторонние корни, а между тем они указаны в ответах. Встречаются такие оплошности и в других задачниках, например, у Тузова, Кондратьева и др.

Но, с другой стороны, откладывать надолго вопрос об эквивалентности, например, до решения иррациональных уравнений, тоже нецелесообразно. В этом случае у учащихся получается такое представление, что только при решении иррациональных уравнений могут получаться посторонние корни, и поэтому необходимо проверять найденные ответы.

Я считаю, что к рассматриваемому вопросу следует подойти после того, как учащиеся уже умеют решать уравнения и системы уравнений первой степени. Впрочем, решение уравнений вида — H--— = с следует отложить до того времени, когда уже будет пройдена теооема об умножении обеих частей уравнения и о возможности в этом случае появления посторонних корней.

Начинать рассмотрение вопроса о равносильности необходимо не с вывода теорем, а с конкретных примеров.

Если учащимся предложить решить, например, такое уравнение:

то они сейчас же говорят, что прежде всего надо раскрыть скобки. Можно предоставить им сделать это, чтобы они убедились, что в данном примере раскрытие скобок не упрощает, а, наоборот, осложняет задачу.

После этого необходимо поставить вопрос: при каком условии произведение двух (или нескольких) сомножителей может равняться нулю. Но задать вопрос и услышать ответ на него, хотя бы и правильный,— этого мало. Надо убедиться, понимают ли все учащиеся, что равенство нулю одного из сомножителей, безразлично какого,— необходимое и достаточное условие того, чтобы произведение равнялось нулю*.

После этого уже без особых затруднений решаются такие уравнения:

При решении примеров такого рода учащиеся впервые встречаются с уравнениями, имеющими не один, а несколько корней. Обыкновенно кто-нибудь даже высказывает удивление по этому поводу. Придравшись, так сказать, к случаю, можно показать, что, взяв произведение любого числа переменных сомножителей, можно получить уравнение, имеющее любое число корней. Можно даже предложить самим учащимся составить уравнение, имеющее заданные корни.

Возьмем теперь уравнение такого типа:

Оно иногда вызывает приблизительно такого рода диалог между учителем и кем-нибудь из учащихся.

Ученик. Этого не может быть!

Учитель. Почему?

Ученик. Как же это может быть, чтобы одно и то же число Ос —1) дало равные произведения при умножении на 25 и на 3?

Учитель. А нет ли такого числа, от умножения которого на любое число получается один и тот же результат?

Далее выясняется, что такое число есть —

* В последних изданиях эти ответы исправлены.

* Случай, когда один из остальных множителей становится бесконечно-большим, на данной стадии не рассматривается.

нуль, что данное уравнение может удовлетворяться только при х=\.

Полезно предложить уравнение вида ах=Ьх, которое сначала тоже вызывает некоторое недоумение со стороны учащихся.

Далее учащиеся уже вполне самостоятельно решают такою рода уравнения:

Возьмем уравнение:

Очевидно, оно имеет единственный корень: х = 7.

Умножим обе части уравнения, например, на (х — 1). Получим новое уравнение:

Оно так же, как и данное, удовлетворяется при х = 7 (проверка). Но, кроме того, оно еще имеет и другой корень jt = l, который не является корнем данного уравнения. Умножая уравнение 9* например на (х + 2), мы вводим еще новый («посторонний») корень X = — 2, обращающий в нуль ту функцию, на которую были умножены обе части уравнения, и т. д.

Умножим обе части данного уравнения 9 на какое-нибудь постоянное число (не равное нулю), например на 4. Получим уравнение:

которое, очевидно, новых корней не имеет.

Теперь уже можно дать определение: два уравнения называются равносильными (эквивалентными), если все корни первого являются корнями второго и, наоборот, все корни второго являются корнями первого.

Следовательно, уравнение 9) и 9**) равносильны. Уравнение же 9*) не равносильно уравнениям 9) и 9**).

Возникает вопрос (его часто задают сами учащиеся): для чего же множить на что бы то ни было обе части уравнения, заменяя простое уравнение более сложным?

Приходится напомнить, что при решении дробных уравнений обе части множат на общий знаменатель, чтобы привести уравнение к целому виду. В этом случае, следовательно, можно ввести посторонний корень.

Но необходимо указать, что вопрос осложняется тем, что при умножении обеих частей целого уравнения на какую-нибудь функцию искомого переменного мы обязательно вводим посторонний корень (если эта функция вообще имеет корень). При приведении же дробного уравнения к целому виду мы иногда вводим, а иногда и не вводим посторонних корней. Указать на это учащимся необходимо, но выяснить причину, почему в этом случае иногда появляются, а иногда не появляются посторонние корни, на данной ступени еще преждевременно.

Итак, можно формулировать теорему, вернее, две теоремы:

1. Если обе части уравнения умножить на любое постоянное число, не равное нулю, то получим уравнение, равносильное данному.

2. Если обе части уравнения умножить на какую-нибудь функцию искомого переменного, то можем получить уравнение не равносильное данному; могут получиться посторонние корни, обращающие в нуль ту функцию, на которую были умножены обе части данного уравнения.

Учащиеся, решая дробное уравнение, не должны забывать проверить, не обращают ли полученные ответы в нуль тот общий знаменатель, на который было умножено данное уравнение. Если какой-нибудь из ответов служит корнем общего знаменателя, то этот ответ следует отбросить как посторонний. Теоретически рассуждая, он, правда, может удовлетворять в сравнительно редких случаях и данному уравнению, но проделывать детальное исследование вопроса на этой ступени весьма затруднительно.

После всего разобранного вопрос о делении обеих частей уравнения решается уже просто.

Например, уравнение

имеет очевидный корень: х = 5. Если же это уравнение разделить на (х — 5), то получим новое уравнение: 5х =15, которое уже этого корня не имеет, т. е. получим уравнение не равносильное данному. Происходит это оттого, что в обеих частях уравнения пропал множитель, который при определенных условиях обращался в нуль.

Ясно, что при делении обеих частей уравнения на какое-нибудь постоянное число (не равное нулю) мы никакого корня потерять не можем.

Здесь опять-таки необходимо указать, что не всегда деление уравнения хотя бы и на функцию от неизвестного ведет к потере корня. Если бы разделили уравнение 10), например, на (х — 4), то мы никакого корня не потеряли бы, так как данное уравнение не имеет корня, равного 4, а следовательно, оно и потерять его не может. Но подробно останавливаться на этом вопросе было бы на данной ступени нецелесообразно. Остается только формулировать теорему, аналогичную предыдущей.

Уравнения, которые сокращаются на какую-нибудь функцию от неизвестного, можно решать двумя способами. Первый: не деля уравнения, привести правую часть к нулю, взять общий множитель за скобку и затем приравнять каждый сомножитель нулю. Но можно поступить и проще: разделить обе части уравнения на общий множитель и выписать потерянный корень. Последний способ скорее приводит к цели.

Нетрудно, наконец, показать на примерах, что прибавление (или вычитание) к обеим частям уравнения одного и того же постоянного числа или функции искомого переменного приводит к уравнению, равносильному данному. Вопрос о прибавлении функции, теряющей смысл (обращающейся в бесконечность) затрагивать, конечно, не следует. Не следует также касаться и вопроса о бесконечно больших корнях. К нему необходимо будет обращаться впоследствии, в особенности при решении тригонометрических уравнений.

Прежде чем переходить к решению квадратных уравнений, надо снова вернуться к уравнениям, левая часть которых уже раз-

ложена на множители, а правая равна нулю.

Очевидно, что если левую часть любого приведенного к нулю уравнения мы сможем разложить на множители первой степени относительно аргумента, то само решение уже не представит никаких затруднений.

Можно предлагать учащимся решать уравнения не только второй, но и высших степеней с числовыми или буквенными коэфициентами, лишь бы они могли разложить левую часть на множители первой степени. Это, кстати, послужит удобным поводом для повторения разложения многочленов на множители.

Привожу несколько примеров такого рода:

Переходя уже специально к решению уравнение второй степени, начать следует с уравнений наиболее простого типа, а именно:

Их учащиеся смогут решать без всякой помощи со стороны учителя. Необходимо только напомнить, почему нельзя упростить данное уравнение, сократив его на х.

Чтобы учащиеся привыкли осторожно относиться к решению уравнении и к найденным ответам, следует постоянно обращаться к таким уравнениям, которые имеют посторонние корни, переплетая их с обыкновенными уравнениями, не имеющими посторонних корней.

Привожу несколько примеров, приводящихся к виду ах2 + Ьх — 0:

Что касается решения уравнений вида ах2+с = 0, то в учебниках алгебры свободный член переносится в правую часть уравнения и т. д. Я же считаю, что с методической точки зрения гораздо целесообразнее решать уравнение путем разложения на множители левой части. Этот способ дает единство метода решения многих уравнений, рассматриваемых в элементарной математике, в частности, решения двучленных уравнений.

Решим, например, обычным способом уравнение X2 — 1=0.

Отсюда X2 = 1.

Существует два числа, квадраты которых равны единице: +1 и — 1. Следовательно, * = ±1.

Предложим учащимся решить уравнение: X* - 1 = 0.

Они, конечно, будут рассуждать таким образом. Данное уравнение приводится к виду je3 = 1. Существует только одно число, куб которого равен единице. Следовательно, данное уравнение имеет только один корень: X = 1. Не придет же им в голову, что существуют еще два сравнительно сложных комплексных числа, кубы которых тоже равны (+ 1). Но в таком случае у учащихся может возникнуть вопрос: а может быть, существуют такие комплексные числа, квадраты которых равны (Ч- 1).

Если же решать уравнения разложением левой части на множители, то такого вопроса не возникнет. И, кроме того, учащиеся вполне самостоятельно приходят к выводу, что всякая целая алгебраическая функция п-й степени должна иметь п корней, хотя бы в тех случаях, когда они могут ее разложить на линейные множители.

Прежде, чем выводить общую формулу для решения искомых квадратных уравнений вида ах2 -f с = 0, следует рассмотреть все частные случаи на числовых примерах, а затем уже обобщить их на буквенное уравнение в общем виде.

Решить уравнения:

Такие уравнения учащиеся решают без всяких затруднений, разлагая левую часть как разность квадратов и затем приравнивая нулю каждый из сомножителей. Здесь можно показать и более короткую запись двух полученных ответов. Вместо того чтобы писать хх = + 2 и х2 = — 2, пишут: х = Н- 2.

Далее переходим к несколько более сложным уравнениям того же вида:

Такое уравнение сначала некоторых учащихся (наиболее слабых) ставит втупик, так как «нет такого числа, квадрат которого равнялся бы 5». Приходится вспомнить, что называется корнем, что такое иррациональное число и что всякое число можно рассматривать как квадрат корня квадратного из этого числа. После этого учащиеся уже без труда раскладывают левую часть данного уравнения на множители:

и затем пишут ответ:

Чтобы решить уравнения:

достаточно только разделить обе части их на коэфициент при квадрате аргумента.

Переходим, наконец, к наиболее сложным уравнениям рассматриваемого вида, левая часть которых представляет сумму двух квадратов.

Чтобы не создавать здесь сразу двух трудностей, лучше, чтобы к этому времени учащиеся уже имели понятие о мнимом числе как

таком, квадрат которого — число отрицательное.

Поэтому левую часть данного уравнения они смогут преобразовать таким образом:

Отсюда:

Когда учащиеся уже научились решать неполные уравнения вида ах2 + с = О для всякого рода частных значений коэфициентов, можно вывести общую формулу для их решения, при этом они должны уметь исследовать такое уравнение, т. е. они должны знать, что оно имеет два корня, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку, должны знать, что такие уравнения имеют вещественные корни, если числа а и с имеют разные знаки; если же а и с — одинаковых знаков, то уравнение имеет мнимые корни.

Предлагая решать более сложные уравнения такого типа, полезно опять дать 2-3 уравнения, имеющие посторонние корни. К таким относится, например, уравнение № 12 из 2-й части задачника Шапошникова и Вальцова (стабильного). Хотя авторы дают два ответа: X = ± а*, но на самом деле корень х = а — посторонний, так что данное уравнение имеет только один корень: х = — а.

Можно предложить, например, уравнение:

После его упрощения получается уравнение третьей степени:

Разложив на множители левую часть, получим три ответа:

Из них корнем данного уравнения является только один: х =— 3. Остальные — посторонние, так как они обращают в нуль функцию хъ — 4jc -Ь 3, на которую были умножены обе части данного уравнения.

Это уравнение тоже приводится к уравнению третьей степени: д:3 — х — 0, которое имеет три корня: хА = О, л*2 = 1, хг = — 1. Но первые два из них посторонние для данного уравнения. Таким образом уравнение 30) имеет только один корень: х = — 1.

Ответ X = 2.

Переходим, наконец, к решению полных приведенных уравнений.

Начать следует с таких, левая часть которых представляет полный квадрат.

При решении такого уравнения по готовой формуле получается явно один корень, и, в сущности, непонятно, почему говорят, что оно имеет два, хотя бы и равных, корня.

Между тем способ разложения левой части на линейные множители непосредственно приводит к выводу, что и в данном случае необходимо считать, что мы имеем два равных корня.

Пример. Решить уравнение:

Решение. Уравнение это непосредственно преобразуется в такое: (х — б)2 = 0 или:

Таким образом, левая часть разлагается на два равных множителя. Поэтому вполне естественно считать, что и данное уравнение имеет не один, а два равных корня.

При прохождении главы о разложении многочленов на множители учащиеся уже должны были познакомиться с разложением на множители квадратного трехчлена путем разложения среднего члена на два слагаемых, поэтому учащихся не должно затруднять решение таких полных (в особенности приведенных) квадратных уравнений, которые имеют рациональные корни.

Решив несколько таких примеров, надо предложить уравнение, левую часть которого учащиеся уже не смогут разложить знакомым им способом, т. е. такое, которое имеет иррациональные корни.

Пример. Решить уравнение:

Не обращая пока внимания на свободный член, будем рассматривать х2 как квадрат какого-то числа,—6* — как удвоенное произведение этого же числа на какое-то второе. Тогда не трудно сообразить, что этим вторым является число 3, а, следовательно, квадрат его равен 9. Прибавляя и отнимая в левой части по 9, приведем данное уравнение к виду.

или:

Дальнейшее решение уже не представляет затруднений.

Такого рода примеров необходимо проделать достаточное количество, чтобы учащиеся хорошо усвоили новый для них способ разложения на линейные множители квадратного трехчлена, при этом сначала надо брать четные коэфициенты при аргументе в первой степени, а затем уже нечетные. Следует взять несколько примеров и с комплексными корнями.

Полезно применять этот способ, между прочим, и к таким трехчленам, которые можно разложить и прежним, уже ранее знакомым учащимся способом, чтобы показать, что второй способ (способ выделения полного квадрата) применим ко всяким квадратным трехчленам.

После такого рода упражнений вывод формулы для решения уравнений вида

уже не представит затруднений. Учащиеся самостоятельно ее выводят.

* См. сноску на стр. 1.

Что касается формулы для решения неприведенного уравнения, то ее можно было бы вывести тоже путем выделения полного квадрата, но проще воспользоваться уже знакомой формулой для приведенного уравнения.

Хотя учащиеся уже могут решить любое квадратное уравнение, пользуясь готовой формулой, тем не менее их следует приучать к тому, чтобы они не всегда поступали по определенному шаблону. Надо, чтобы они применяли в каждом отдельном случае тот прием, который быстрее ведет к цели.

Например, приводимые ниже уравнения, безусловно, проще решаются разложением левой части на множители, чем по формуле:

Следующие три уравнения, заимствованные из стабильного задачника Шапошникова и Вальцова, тоже лучше не решать по формуле:

Уравнения (из того же задачника):

было бы, конечно, совершенно нецелесообразно решать, раскрывая предварительно скобки.

Уравнения с целыми не очень большими корнями учащиеся должны решать в уме или, разлагая левые части на множители (разложением среднего члена на слагаемые) или, еще проще, пользуясь теоремой Виета, когда они с ней познакомятся.

Учащиеся обычно любят шаблон. Поэтому при решении даже таких уравнений, как 42) х2 — 7*4- 12 = 0 43) х* — 5х + 6 = 0 и т. п., они сейчас же начинают применять формулу. Следует их отучать от этого, настаивая на том, чтобы сразу писали ответ, подбирая в уме корни по их произведению и сумме.

Как я уже говорил несколько раз, решение уравнений надо все время пересыпать такими, при решении которых получаются посторонние корни. Так как такие уравнения сравнительно редко встречаются в наиболее распространенных задачниках, то привожу еще несколько примеров.

Приводится к уравнению: Ответ: х = 0.

которое проще решить разложением на множителей левой части. Ответ. х = — Ь.

Далее привожу 5 примеров из «Сборника алгебраических задач» К. Тузова. (Отдел «Разные задачи»).

К вопросу о равносильности уравнений еще не раз, конечно, придется возвращаться при дальнейшем прохождении курса алгебры и в особенности тригонометрии. Я в этой своей статье имел целью дать только, так сказать, пропедевтику этого вопроса. Самое важное здесь то, чтобы учащиеся почти с самого начала изучения уравнений не ограничивались чисто формальным, механическим решением их, но приучались к осторожному, вдумчивому отношению как к самому процессу решения, так и к полученным ответам.

НЕРАВЕНСТВА II СТЕПЕНИ*

В. КРОЛЕВЕЦ (Чернигов)

I. В математической литературе методика неравенств II степени разработана далеко недостаточно. В то время как неравенства I степени можно встретить в каждом курсе алгебры, во многих журнальных статьях неравенствам II степени уделяется слишком мало места. Однако неравенства II степени, особенно так называемые «условные неравенства», имеют чрезвычайно важное применение при решении целого ряда вопросов математики, главным образом при исследовании задач, сводящихся к уравнениям II степени.

Настоящая статья имеет своей целью изложить теорию «условных неравенств» II степени в таком объеме, в каком их следовало бы, по нашему мнению, изучать в средней школе.

II. Решить неравенство II степени значит указать, при каких действительных значениях X оно будет справедливо.

Целое квадратное неравенство может быть двух типов:

но, умножив неравенство ах2 + Ъх + с <0 на —1, мы приведем его к виду: ах2 + Ьх-{-с>0. Следовательно, достаточно рассмотреть решение неравенства ах2 + Ьх + с > 0.

Решение последнего неравенства начнем с рассмотрения дискриминанта Ь2 — 4дс; тут могут иметь место три случая.

1-й случай. Ь2 — 4ас<0. В этом случае корни трехчлена ак2 + Ьх + с будут мнимые. Легко показать, что в этом случае трехчлен при всех действительных значениях х будет сохранять знак а (коэфициента при х2). Действительно, пусть корни трехчлена будут:

Выражение, стоящее в квадратных скобках, при всех действительных значениях х положительно, следовательно, знак трехчлена совпадает со знаком а. Вследствие этого неравенство ах2 + Ьх с > 0 при б2 — 4ас < 0, и л>0 удовлетворяется всеми действительными значениями х; оно не удовлетворяется никакими значениями х при д<0. Для неравенства ах2 + Ьх + с < 0 мы будем иметь прямо противоположные результаты. Полученный результат можно легко интерпретировать геометрически. Рассматривая х как абсциссы, а у = ах2 + Ьх -f с как ординаты точек кривой, мы можем изобразить функциональную зависимость у от х в виде кривой (параболы) (черт. 1 и 2).

В случае Ь2 — 4ас<0 и я>0 график функции у = ах2 -f Ьхс разместится над осью x, следовательно, при всех значениях х значения трехчлена (у) положительны. При Ь2 — 4яс<0 и а<0 график функций у = ах2 + Ьх + с будет размещен под осью х — оЬ. Следовательно, трехчлен (у) при всех X будет отрицпелен. 2-й случай. Ь2 — Аас — 0. В этом случае корни трехчлена равны

Трехчлен ах2 + Ьх + с можно представить в виде a (jc — а)2, откуда видно, что при всех действительных значениях х, не равных—2а t знак трехчлена совпадает со знаком а. Следовательно, при Ь2 —4ас^. = 0 и а> 0 трехчлен положителен п ри всех действительных значениях хФ ——; ^ 2а он отрицателен для всех значений хФ—~7^$ если а<0. Геоме-

Черт. 1 Черт. 2

Черт. 3

* Редакцией получен ряд писем от учителей с просьбой дать элементарное изложение этой темы ввиду ее отсутствия в стабильном учебнике.

трически полученные результаты можно представить в виде двух парабол, касающихся оси X в точке х = —— (черт. 3).

Мы видим, что при а > 0 парабола направлена вверх, следовательно, все значения трехчлена (у) положительны, кроме значения х = — —, когда трехчлен обращается в нуль.

Вторая параб'. ia иллюстрирует случай, когда а<0.

3-й случай. Ь2 — Аас > 0. Корни трехчлена в этом случае действительные и неравные. Пусть корни будут xt и х2 и пусть Х\ <хг2. Тогда: ах2 4- Ьх + с = а (х — xt)(x—x2).

а) Пусть X < xt тогда: х — хл < 0, х — — *2<0, следовательно, произведение их положительно и знак трехчлена совпадает со знаком я,

б) Пусть Хх<х<х2, тогда: jc — Xi>0, х—х2<0, следовательно, произведение их отрицательно и знак трехчлена противоположен знаку а.

в) Пусть jc>a*2, тогда: х—*,>0, х — л*2>0, знак трехчлена совпадает со знаком а.

Следовательно, неравенство ах2 + bx -f + с>0 при я>0 удовлетворяется всеми действительными значениями x<C.xt и jc>a:2 и при я<0 удовлетворяется всеми действительными значениями из интервала Х\< х < х2. Для неравенства ах2 + 6* + с <0 результаты будут прямо противоположны.

Рассмотренный случай геометрически можно интерпретировать в виде двух парабол, пересекающих ось хх в двух точках х = хх И X = х2.

При а > 0 парабола направлена ветвями вверх, при а < 0 — направлена ветвями вниз (черт. 4, 5).

Чертежи показывают, что при а>0 ординаты точек параболы положительны вне интервала (лгь х2) и отрицательны в интервале (jcj лг^. Для случая я<0 результаты прямо противоположны.

Изложенное можно кратко представить в виде нижеприведенной таблицы.

Заметим, что геометрическая иллюстрация существенно необходима, ибо она поясняет решение неравенства с предельною ясностью.

II. Изложенное выше приводит нас к простому способу решения целых неравенств II степени.

Правило: чтобы решить целое неравенство П степени, надо определить дискриминант и знак а, после чего воспользоваться для установления границ значений х приведенной выше таблицей.

Решение неравенства

Дискриминант

д>0

я<0

Ь2 — Лас < 0

Неравенство удовлетворяется всяким действительным значениям X

Нет действительных значений X, удовлетворяющих неравенству.

Ь2 — 4ас=0

Неравенство удовлетворяется всяким действительным значениям X кроме b

Нет действительных значений X, удовлетворяющих неравенству.

Ь2 — 4ас > 0

Неравенство удовлетворяет всякое действительное значение

Неравенство удовлетворяет всякое действительное значение х из интервала

Однако целесообразно ли механизировать решение неравенств, сводя весь процесс решения к пользованию готовой таблицей? По нашему мнению, нецелесообразно, ибо это может повести к тому, что учащиеся будут решать неравенства, не понимая сути решения.

Значительно полезнее приучить учащихся решать неравенства тем методом, каким получена таблица, а не пользоваться самой таблицей. Это тем более полезно, что метод разложения на линейные множители и исследование знаков множителей является методом универсальным, пригодным не только для целых квадратных неравенств, но и для неравенств дробных и для неравенств высших степеней.

Сказанное, однако, никоим образом не означает, что учащиеся не обязаны знать результатов предыдущих исследований. Зависимость между знаком трехчлена и знаком а для все! случаев должна быть усвоена учащимися и они обязаны знать ее напамять, ибо она (зависимость) чрезвычайно важна для решения ряда практических вопросов.

III. Примеры решений целых квадратных неравенств.

1. Решить неравенство: х2 + 4jc -f 4 > 0. Перепишем неравенство в виде (х + 2)2> 0. Отсюда видно, что это неравенство будет справедливо для всех значений хф — 2.

2. Решить неравенство: Ъх2 — 10л: -f 3 > 0. Перепишем неравенство в виде:

а) *>3; 1-й множитель > 0; 2-й множитель > 0; произведение >0

Черт. 4 Черт. 5

б) — <jc<3; 1-й множитель <0; 2-й множитель > 0; произведение < 0.

в) X <—; 1-й множитель <0; 2-й множитель < 0; произведение > 0.

Вывод: неравенство справедливо при *>3 их<.

3. Решить неравенство: х2 + 2х + 10 >0.

В данном случае корни мнимы: = — 1 + + 3/; л:2 = — 1 — 3/.

Следовательно, неравенство можно переписать в виде:

Вывод: неравенство справедливо при всех действительных значениях х.

Примечание 1-е. Для облегчения исследования необходимо подчеркнуть учащимся, что линейный множитель меняет знак лишь один раз. Следовательно, если мы в процессе изменения х получаем значение множителя 0, то в дальнейшем знак множителя будет противоположен тому, который был до того значения х, при котором множитель обратился в нуль.

Примечание 2-е. Знак трехчлена определяется по таблице как знак произведения множителей.

IV. Дробные неравенства. Дробными неравенствами называются неравенства, имеющие неизвестное в знаменателе. С учащимися следует рассмотреть лишь те дробные неравенства, которые после упрощений могут быть сведены к виду _^0, где Р и Q—* двучлены не выше I степени. Дальнейшее решение неравенства сводится к решению системы неравенств.

В случае — > 0 система неравенств:

В случае — < 0 система неравенств:

или;

Совокупность этих систем и дает решение данного неравенства. Особо следует остановиться на обязательности приведения дробных неравенств к виду — s 0, где в правой части стоит нуль. Если при этом неравенство содержит несколько знаменателей, то лишь в исключительных случаях можно уничтожить знаменатели, умножив все члены неравенств

на наименьшее кратное этих знаменателей. Это возможно лишь в том случае, если наименьшее кратное будет безусловно положительным числом.

Примером распространенной ошибки может служить «решение» нижеприведенного неравенства.

Пример: решить неравенство:

Умножая обе части неравенства на х—10» получим неравенство:

Решение явно неверное, не удовлетворяющее данному неравенству.

Общий и самый удобный прием решения дробных неравенств состоит в том, что переносят все члены в одну сторону и приводят их к общему знаменателю, приводя, таким образом, данное неравенство к виду:

Примечание. Если почему-либо желательно избавиться от знаменателя, то можно заменить неравенство неравенством PQ^O, т. е. умножить обе части предыдущего неравенства на явно положительную величину Q2.

Пример решения дробного неравенства.

Решить неравенство:

Перенеся все члены в левую сторону и приведя их к общему знаменателю, получим неравенство:

Это неравенство распадается на следующие системы:

откуда. X Решение:

откуда: Решение:

Следовательно, решениями нашего неравенства являются те значения х. которые расположены вне интервала

Изучением указанного материала и приходится ограничиться, имея в виду ограниченность времени, отведенного на изучение неравенств II степени в средней школе.

ИЗ ОПЫТА

О СОСТАВЛЕНИИ УРАВНЕНИЙ ИЗ УСЛОВИЙ ЗАДАЧ

Е. БЕРЕЗАНСКАЯ

Институт школ Наркомпроса РСФСР

В настоящем номере журнала предлагаются вниманию преподавателей математики несколько статей по одному и тому же вопросу: «Методика обучения составлению уравнений».

Авторы всех этих статей излагают свои соображения и свой личный опыт в деле обучения учеников решению задач методом составления уравнения, что является одной из труднейших методических проблем в нашей школе. До сих пор еще при поступлении в вузы ученики, окончившие среднюю школу, не показывают хорошего уменья и достаточного навыка в овладении методом составления уравнений при решении задач.

В имеющихся учебниках и методических руководствах по алгебре, рассматриваемый вопрос разработан крайне слабо; в них даются лишь общие дидактические указания. В 1934—1936 гг. в журнале «Математика и физика в средней школе» были помещены статьи ряда преподавателей, дающих ценные методические указания по тому или иному вопросу, связанному с обучением составлению уравнений. В редакцию журнала «Математики» поступило много откликов на эти статьи и, безусловно, своевременным является в настоящее время, в 1940 г., помещение в порядке обмена опытом еще ряда статей педагогов-практиков, освещающих различные вопросы общей проблемы — методики обучения составлению уравнений.

Большинство авторов, присылающих в редакцию журнала свои соображения о методике обучения составлению уравнений, в первую очередь стремятся выяснить, в чем основные затруднения учеников в этом вопросе, и с этой целью они расчленяют процесс составления уравнения для решения задачи, расчленяют его различно и тем самым дополняют друг друга. Последовательность рассуждений при составлении уравнения требует от учеников прежде всего умения ответить на вопросы простых арифметических задач, требует уменья читать алгебраические формулы, понимать их и записывать при помощи алгебраических выражений основные функциональные зависимости между величинами — данными и искомыми. Эти зависимости могут быть чисто математическими, в частности, такими, в которых требуется выразить зависимость между неравными выражениями с помощью знака равенства; это могут быть зависимости, относящиеся к другим, отличным от математики областям знания или практики, те зависимости, которые отличают одну задачу от другой, как говорят, по их «содержанию» (задачи «на движение», «на смешение», «на денежные расчеты» и т. п.).

Для успешного обучения решению задач методом составления уравнений необходимо также уметь преобразовывать алгебраические формулы и выражать любой элемент формулы через остальные.

Эта подготовительная работа должна проводиться в V и VI классах средней школы (отчасти она имеет место даже и в начальных классах); об этом надо заботиться при решении с учащимися арифметических задач, вообще при изучении арифметики, а также первых вопросов курса алгебры. Многие отмечают, что одним из затруднений при составлении уравнений является неуменье учеников рассуждать аналитически и синтетически, но и к этому следует приучать их еще в младших классах школы путем составления плана решения задачи обоими методами, путем постоянной проверки получаемых решений; необходимо приучать учащихся составлять как числовые, так и буквенные (в V и VI классах) формулы решения арифметических задач, а приступая к решению задач методом составления уравнений, надо сопоставить этот новый для учеников прием решения задач с арифметическим, который им известен. Об этом следует заботиться и при решении геометрических задач. Все эти навыки, о которых говорят педагоги как о необходимых для успешного изучения темы «составление уравнений», отсутствие которых тормозит работу, создаются постепенно. Никогда они не должны уходить из поля зрения учителя, и в VII классе, уже в процессе обучения составлению уравнений, должны даваться ученикам соответствующие вышеуказанные упражнения в порядке их повторения и закрепления.

В помещенных ниже статьях преподаватель математики найдет некоторые образцы систематически подобранных предварительных упражнений, которые могут быть использованы и в VI классе при изучении первой темы «Алгебраические выражения» для проведения математической диктовки и чтения математических формул, для составления общих формул решения задач; аналогичные

упражнения целесообразно проводить с учениками в порядке повторения, приступая к обучению составления уравнений и в процессе его.

При обучении решению задач на составление уравнения неизбежно ставится вопрос о последовательности в их подборе; большинство преподавателей в своей практической работе стремится разбить задачи на типы: одни располагают их по степени нарастания трудности в методе решения, в сложности составляемого уравнения, другие группируют задачи, «по содержанию», по характеру той функциональной зависимости, которая имеет место в условии данной задачи; в большинстве же случаев чередуются и те и другие приемы, как это видно и по статьям, помещенным в данном номере журнала. Подготовляясь к уроку, давая для решения ученикам задачи, учитель должен проанализировать, какие моменты, какие трудности придется при этом преодолеть ученику с этих обеих точек зрения:

а) придется ли ему составить уравнение вида: ах — m — bcx или вида: а (х — b) — m — — ап(х — с), или какого-либо другого;

б) о какой зависимости величин придется ему при этом думать — будет ли это зависимость между путем, скоростью и временем или между числом оборотов колеса, длиной его окружности и пройденным путем и т. п.

Много ценных методических указаний делается авторами статей также и по вопросу о последовательности хода рассуждений при составлении уравнений, начиная с выбора неизвестных и с их обозначения.

Надо считать крайне целесообразным предложение решать некоторые задачи двукратно, обозначая через х каждый раз иную искомую величину. При этом обращается внимание учеников на то, что благодаря удачному выбору неизвестной во многих случаях облегчается решение задачи, но ответ на вопрос задачи от этого не изменяется. Полезно также задачи, предлагаемые для решения с двумя неизвестными, иногда решать с одной неизвестной, что требует и закрепляет навык в преобразовании алгебраических выражений. И как всегда при решении задач, крайне желательно, решая задачу методом составления уравнений, делать проверку правильности ее решения. (Ученики часто проверяют правильность решения уравнения, не думая о том, что самое уравнение могло быть неправильно составлено.)

Одним из труднейших моментов во всей рассматриваемой работе является «составление уравнения» — получения уравнения в ходе рассуждений. По этому вопросу имеются также существенные предложения, проверенные на опыте.

Трудность работы заключается в установлении, какие величины, находящиеся во взаимной зависимости согласно условию задачи, могут быть приравнены друг другу.

Нередко в простейших задачах после перевода текста задачи на математический язык, составления по условиям задачи алгебраических выражений при помощи неизвестной (х) и данных в задаче чисел, за исключением одного из них, легко получают выражение, которое приравнивают исключенному числу. Некоторые авторы, пытаясь дать единые указания к составлению уравнения, предлагают всегда временно исключать одну величину из условия задачи, попытаться выразить ее через остальные данные и искомую, а затем полученное выражение приравнять исключенной величине, при этом часто получаются крайне громоздкие выражения. В большинстве же случаев при решении сложных задач целесообразно подходить к составлению уравнений иным путем, путем приравнивания друг другу полученных (при помощи X и числовых данных условия задачи) алгебраических выражений. В помещенных ниже статьях имеются образцы объяснения ученикам этого процесса, приравнивания двух выражений при помощи «взвешивания» их.

При обучении составлению уравнений все останавливаются на вопросе о форме записи как условия задачи, так и хода рассуждений, придавая этому очень большое значение как средству, облегчающему ход рассуждений, способствующему большей его последовательности, причем здесь имеются различные предложения, и обычная запись рассуждений по вопросам (как при решении арифметических задач), и запись в виде таблиц (последнее особенно широко практикуется преподавателями математики, что надо считать правильным), и др.

Желая шире осветить накопленный опыт в разрешении данной трудной методической проблемы, редакция помещает ряд статей, посвященных этому вопросу. Но, считаясь с объемом журнала все статьи пришлось дать в более или менее сокращенном виде.

О СОСТАВЛЕНИИ УРАВНЕНИЙ ИЗ УСЛОВИЙ ЗАДАЧ

С. ПЕТРОВ (Ярославль)

Серьезное внимание, уделенное в последние годы вопросу о составлении уравнений из условий задачи, несомненно, дало соответствующие положительные результаты. Можно с уверенностью говорить, что ценные указания методистов дают преподавателю математики полную возможность значительно улучшить проработку этой темы. Совершенно конкретные указания, предложения и детальные разработки, имеющиеся в методиках алгебры, в статьях тт. Н. Островского, Маеггойза, Брауна, Германова, Рачко, Змиевой (см. журнал «Математика и физика в школе» за 1934—1936 гг.) дают много даже весьма опытному преподавателю. И тем не менее сделанное — только начало того, что нужно сделать и что, несомненно, будет сделано.

В настоящей статье мы высказываем несколько методических соображений, которые, думается, тоже можно использовать преподавателю, ставящему цель научить учащихся составлять уравнения из условий задачи.

При разрешении вопроса о методе составления уравнения следует помнить, что разрешение сложной проблемы надлежит сводить к разрешению нескольких более простых проблем. Весьма важно также:

1) дать учащимся несложную, но четкую схему, которою он мог бы пользоваться при составлении уравнения (не делая этой схемы единственно обязательной);

2) создать у учащегося убеждение, что при наличии необходимых и достаточных данных в условии задачи всегда возможно составить в большинстве случаев несколько уравнений для разыскания неизвестного;

3) дать обильный и соответствующий развитию учащегося материал для упражнений в составлении уравнений;

4) расширить взгляд учащегося на значение уравнения в математике.

В основу метода составления уравнения положим прием, хорошо известный всем преподавателям, обычно ими и практикуемый: правую (иногда левую, что не имеет существенного значения) часть уравнения составляет одно из чисел, входящих в условие задачи.

Проиллюстрируем вышеизложенное на нескольких конкретных задачах.

Пример 1

Возьмем задачу из учебника А. Киселева «Алгебра», ч. 1, изд. 1937 г., изменив несколько редакцию и числовые данные:

«Купили на 20 рублей толстых и тонких тетрадей, всего 60 штук. Цена толстой тетради — 80 коп., тонкой — 10 коп. Найти, в отдельности, число купленных толстых и тонких тетрадей».

Напомним учащимся, что

1) весь текст задачи, включая требование (вопрос), будем называть «условием» задачи; 2) каждое число из условия — «данным».

Согласимся производить в дальнейшем все выкладки в копейках.

Запишем нашу задачу краткое таком виде:

«2 000 коп. — »—60 тетр.—» — 80 коп.

— » — 10 коп.

Требование (вопрос) задачи держим в уме.

Исчерпывающе усваиваем содержание задачи по этой краткой записи. Укрепляем учащихся в мысли: нельзя составлять уравнение, не освоив условий задачи.

Искомое число толстых тетрадей обозначим через X.

Присоединим это обозначение к сделанной записи условия.

На классной доске и в тетрадях учащихся будет записано:

« — 2 000 коп. — » — 60 тетр. — » — 80 коп.

— » —10 коп.

Число толстых тетрадей— х. Делим классную доску вертикальной чертой на 2 части. Говорим классу:

«Части (половины) уравнения соединяются знаком равенства.

Постановкой знака равенства и начнем написание уравнения:

Правая и левая часть должны содержать одно и то же значение одной и той же величины, только различно выраженное.

Перед нами два требования: 1) написать правую часть уравнения и 2) написать левую часть уравнения.

Обращаем особо серьезное внимание учащихся на то, что 1) перед нами не одно, а именно два требования, что 2) второе требование выполним только по выполнении первого требования.

Для написания правой части поступаем так: исключаем, на время составления уравнения, одно из данных условий задачи, например 2 000 (закрываем его бумагой) и помещаем его справа от знака равенства. Имеем:

В правой части — стоимость всех тетрадей. Левая часть уравнения должна в себе содержать тоже стоимость всех тетрадей. Из оставшихся чисел: 60, 80, 10, х составим выражение стоимости всех тетрадей. Полученное выражение поставим слева от знака равенства. Уравнение составлено.

Вся запись на классной доске и в тетрадях учащихся примет такой вид:

«2 000 коп.--» — 60 тетр. — »—80 коп.» — » — 10 коп.

Число толстых тетрадей — х.

1) Стоимость толстых тетрадей 80 х;

2) Число тонких тетрадей 60 — х;

3) Стоимость тонких тетрадей 10(60 — х)\

4) Стоимость всех тетрадей . . . . 80 х + + Ю (60—*) • 80*+ 10 (60 — .к) = 2000 (1)

Строчки 1), 2), 3), 4) пишем на левой половине доски, уравнение (1) —на правой.

Уравнение (1) решаем, получаем: х = 20.

Находим число тонких тетрадей. По условию задачи проверяем правильность ответа.

Выделяем с учащимися следующие моменты работы в связи с составлением уравнения (1):

1. Краткая запись и усвоение условия задачи.

2. Обозначение одного из искомых чисел буквой.

3. Написание знака равенства для составляемого уравнения.

4. Написание правой части уравнения внесением в нее одного из данных из условия задачи.

5. Составление алгебраических выражений для получения левой части уравнения.

6. Написание левой части уравнения слева от знака равенства.

При содействии преподавателя и при активном участии класса отдельные учащиеся у классной доски, работая вышеизложенным методом, составляют уравнения:

(2) (3) (4)

Здесь мы полагаем уместным обратить внимание преподавателей на следующее: для успешного составления уравнения ученик должен уметь делать заключения от известного к неизвестному и, обратно, от неизвестного к известному, т. е. должен уметь пользоваться синтезом и анализом, хотя бы в таком виде.

I. Примеры синтетических суждений:

а) толстая тетрадь стоит 80 коп.; толстых тетрадей купили х штук;

Отсюда:

стоимость толстых тетрадей — 80л*;

б) стоимость толстых тетрадей — 80л:; стоимость тонких тетрадей — 10(60 — л:);

Отсюда:

стоимость всех тетрадей — 80 х + + 10 (60 —л:);

в) стоимость тонких тетрадей — 2 000 — — 80л:;

Число тонких тетрадей — 60 — х; Отсюда:

цена одной тонкой тетради —

II. Примеры аналитических суждений: а) Чтобы знать стоимость всех тетрадей, нужно знать, например:

1) стоимость всех толстых тетрадей и

2) стоимость всех тонких тетрадей;

б) чтобы знать цену одной тонкой тетради, надо знать, например:

1) стоимость всех тонких тетрадей и

2) число тонких тетрадей;

в) чтобы знать число тонких тетрадей надо знать, например:

1) стоимость всех тонких тетрадей и

2) цену одной тонкой тетради.

Этими формами мышления учащиеся должны в основном овладеть в процессе решения задач на уроках арифметики. (По данному вопросу см., например, методики арифметики Ф. И. Егорова, Е. С. Березанской.)

Далее: при содействии преподавателя из составленных уравнений тождественными преобразованиями учащиеся получают уравнения:

(5) (6) (7)

Сопоставляя последние три уравнения с первыми четырьмя, учащиеся устанавливают, что правые части уравнений 5, 6 и 7 несколько сложнее, чем правые части в первых четырех уравнениях; зато их левые части проще. Попутно разбираем с классом, что выражают собою левая и правая части каждого уравнения.

Охватывая сделанное, видим, что для получения ответа на вопрос задачи мы имеем уже семь различных уравнений.

При задании на дом необходимо указывать учащимся совершенно точно, какие числа должны составлять правую часть уравнений подлежащих составлению.

Решение составленных уравнений явится хорошим упражнением по технике решения.

Пример 2. Шапошников и Вальцов. Сборник алгебраических задач, ч. 1, изд. 1938 г., гл. VIII, № 87.

«Окружность заднего колеса экипажа в 2 раза больше окружности переднего; если бы окружность заднего колеса уменьшить на 2 дм, а переднего — увеличить на 4 дм, то на расстоянии 1 200 м заднее колесо сделало бы на 20 оборотов меньше переднего. Найти окружность обоих колес».

Эта задача в смысле составления уравнений из ее условия, труднее предшествующей. Разбирается она с целью указания некоторых методологических особенностей, не имевших места в первом примере.

Вычисления будем производить в дециметрах.

Длину окружности переднего колеса обозначим через X.

Сделаем запись:

— » — 2 раза — » — 2 дм — » — 4 дм — » — 1 200 дм — » — 20 обор.

Длина окружности переднего колеса (в дм)..................X

Измененные длины окружностей будем называть:

условная окружность переднего колеса и условная окружность заднего колеса.

В соответствии с этим:

условное число оборотов переднего колеса и условное число оборотов заднего колеса.

В правую часть составляемого уравнения поставим 20 оборотов.

Предварительную работу по левой части уравнения можно оформить так:

1) Условная длина окружности переднего колеса х +4.

2) Условное число оборотов переднего колеса

3) Действительная длина окружности заднего колеса 2х.

4) Условная длина окружности заднего колеса 2л: — 2.

5) Условное число оборотов заднего колеса

6) Разница между условным числом оборотов переднего и заднего колеса —- —

Получаем уравнение:

(1)

Поставим перед собой цель — написать еще несколько уравнений из условия данной задачи. Возьмем в правую часть уравнения, например, число 1 200 (путь в дециметрах, пройденный экипажем). Средний ученик едва ли составит левую часть; трудно это будет и для сильных учеников. В этом случае можно предложить следующее:

Решим уравнение (1) относительно числа 1 200.

С этой целью предварительно вынесем 1 200 за скобку. Получаем уравнение:

(2)

Вспомним мысли Ньютона, высказанные им в связи с составлением уравнения из условия задачи (цитирую по книжке В. И. Лебедева «Кто изобрел алгебру», изд. 1919 г., стр. 159,:

«Вы видите отсюда, что для решения вопросов, которые относятся к числам или отвлеченным отношениям величин, требуется только перевести задачу с родного языка на язык алгебраический». Согласимся относительно следующего: В примере 1-м мы имели, например такие алгебраические выражения: 80 л:; 60 — х\ 10 (60 — л:). Эти алгебраические выражения мы формулировали на нашем родном языке так: стоимость толстых тетрадей; число тонких тетрадей; стоимость тонких тетрадей.

Будем в дальнейшем этот процесс называть переводом алгебраических выражений на родной язык.

Теперь выполним с классом весьма важную работу: переведем алгебраические выражения, входящие в состав левой части уравнения (2), на родной язык, начиная с простейших и переходя постепенно к более сложным:

1) X + 4 условная длина окружности переднего колеса;

3) 2л: — 2 условная длина окружности заднего колеса;

2)

- часть условного оборота переднего колеса, приходящаяся на 1 дм пути экипажа;

4)

часть условного оборота заднего колеса, приходящаяся на 1 дм пути экипажа;

5)

разница между числом условных оборотов переднего и заднего колеса, приходящихся на 1 дм пути;

6)

— длина пути экипажа (в дециметрах).

Все вышеприведенные алгебраические выражения, подготовляющие написание левой части уравнения, могли быть получены и непосредственно из условия задачи.

Обращаем внимание учащихся на метод получения уравнения (2): оно получено из уравнения (1), а не непосредственно из условия задачи.

Будем говорить:

1) уравнение получено прямым методом, если оно получено непосредственно из условия задачи;

2) уравнение получено косвенным методом, если оно получено из ранее составленного уравнения.

Применяя коленный и прямой метод, составляем с учащимися уравнения:

(3)

(4)

(5)*

Необходимо обратить внимание учащихся на существенную разницу значения числа 2 в правой части уравнений (4) и (5).

Данная задача дает убедительную иллюстрацию известной мысли, что выбор для

* Редакция полагает, что здесь, как и в последующих примерах достаточно ограничиться менее сложными из вариантов.

правой части уравнения того или иного данного из условия задачи весьма существенно влияет на трудность составления алгебраического выражения для левой части (см. статью И. К. Брауна в журнале «Математика и физика в школе» № 5 1936 г.)

Пример 3 (одна из задач, предлагавшихся на испытании в X классе средних школ Ярославля).

«Из колхоза в город вышел колхозник; через — часа за ним вышел второй, догнал первого и тут же повернул обратно. Найти скорость первого колхозника, если скорость второго — 4 км в час. Расстояние между колхозом и городом 10 — км. Второй колхозник вернулся в колхоз в тот самый момент, когда первый пришел в город».

Искомую скорость первого колхозника (в километрах в час) обозначим через х.

Запишем кратко условие задачи с присоединением обозначения искомого:

— »--- час. — » — 4 км — » — 10 "X" км.

Скорость первого (в километрах в час). Составление уравнения, несомненно, затруднит учащихся.

Необходима иллюстрация. Дадим таковую:

Пусть: А — положение колхоза; В — положение города; С — положение первого колхозника через — часа после его выхода из колхоза; D— положение колхозников в момент, когда второй колхозник догнал первого.

Найдем положение точек С и D на отрезке AB:

CD = DB, ибо: 1) из точек А и С колхозники выходят одновременно;

2) пока первый делает расстояние CD, второй проходит расстояние AD;

3) на движение от D до Л второй затрачивает то же время, что и на движение от А до D;

4) следовательно, на движение от D до В первый затрачивает то же время, что и на движение от С до D;

5) отсюда: CD = DB. Далее устанавливаем (по чертежу), что путь, пройденный вторым колхозником, равен AD + DA = AB + AC = 10^- + — .

После этих разъяснений учащиеся прямым методом составляют уравнения:

(1)

(2)

Исключение из условия задачи числа 10 i с тем, чтобы оно составляло правую часть третьего уравнения, очень затруднит учащихся в написании ими левой части.

Применим косвенный метод составления уравнения, для чего решим, например, уравнение (1) относительно 10 — :

(а) (б)

(3)

Алгебраические выражения, входящие в левую часть уравнения (3), переводим на родной язык:

---время (в часах), затрачиваемое первым колхозником на прохождение 1 км;

---время (в часах), затрачиваемое вторым колхозником на прохождение 1 км;

----разница во времени (в часах) затрачиваемом первым и вторым колхозником на прохождение 1 км;

— —время (в часах), необходимо второму колхознику для прохождения пути АС;

4---разница во времени, которая получилась бы, если бы каждый колхозник сделал путь в 10-^- км.

— путь, равный 10— км,

При переводе некоторых алгебраических выражений на родной язык могут встретиться затруднения; в этом случае полезно проследить получение истолковываемого выражения; например, в уравнении (а) имеются выражения:

— время, затрачиваемое первым колхозником на прохождение 10 — км.

— время, затрачиваемое вторым колхозником на прохождение 10-^- км.

При вынесении числа 10-^- за скобку числитель каждой из этих дробей делится на 10-^-. Имеем ключ к истолкованию выражений:

Ученики время от времени могут ставить преподавателя в необходимость перевода алгебраических выражений на родной язык, поскольку мы встаем на путь составления из условия задачи возможно большего числа уравнений. Дадим еще один пример подобной работы. С целью получить еще уравнение, ученики могут взять уравнение (2) и решить его относительно числа 10—,

Получат уравнение, например, в таком виде:

(4)

С целью подготовки учащихся к переводу левой части уравнения (4) на родной язык можно порекомендовать запись в такой последовательности:

(2) (а)

(б)

Детальный анализ и перевод на родной язык алгебраических выражений левых и правых частей уравнений (2), (а), (б), (в), (г) и (д) приведет к таким слозесным выражениям по уравнению (4):

— на сколько больше (в километрах) проходит второй колхозник в то время, в течение которого первый делает 1 км пути;

— на сколько больше (в километрах) прошел бы второй колхозник в то время, в течение которого первый прошел путь от колхоза до города, т. е. 10 — км.

Решая задачи, хотя бы Шапошникова и Вальцова, учащиеся будут иметь случаи довольно нелегкого перевода алгебраических выражений на родной язык. Но овладеть этим процессом необходимо.

Теперь кратко остановимся на одном варианте, который в отдельных случаях значительно упрощает составление уравнений: поставим в правую часть уравнения число Ю-^-, но не будем его исключать из числа данных условия задачи, используем его при составлении левой части уравнения.

Без особых затруднений прямым методом получается уравнение:

(5)

Этот метод составления уравнений будем называть дополнительным.

Составление возможно большего числа уравнений из условия одной и той же задачи стимулирует работу учащегося и очень помогает развитию его исследовательских способностей.

Пример 4 (Шапошников и Вальцов - Сб. алгебраических задач, ч. 1, 1938, гл. VI, № 437).

«Несколько рабочих получили 120 руб.

(в;

(г) (Д)

(4)

если бы их было четырьмя меньше, то каждый из них получил бы втрое больше. Сколько было рабочих?*

—»— 120 руб. —»— 4 раб. —»— 3 раза

Искомое число рабочих—х.

Согласимся относительно следующих выражений:

1) де — действительное число рабочих;

2) X — 4 — условное число рабочих;

3) —--действительный заработок одного рабочего;

4)

- условный заработок одного рабочего.

Исключая из условия задачи для правой части уравнения число 3, получаем:

(1)

(Условный заработок одного рабочего больше его действительного заработка в 3 раза.) Беря в правую часть число 4, имеем:

(2)

Действительное число рабочих больше условного числа рабочих на 4 человека.)

Возможно, что некоторые учащиеся предложат и такое уравнение:

(3)

К этому уравнению ученики могут подойти различно; решая уравнение (1) относительно числа 4 или рассуждая примерно следующим образом:

1) условный заработок одного рабочего втрое больше действительного; следовательно,

2) действительное число рабочих втрое больше условного, или, что то же:

3) условное число рабочих составляет только треть действительного числа рабочих, т. е. оно равно —;

4) а так как действительное число рабочих на 4 человека больше условного числа рабоих, то:

Решение всех этих уравнений даст, конечно, один и тот же ответ:

х = 6.

Сопоставление уравнения (3) с уравнениями (1) и (2) приведет учащихся к заключению: число 120 (заработок всех рабочих) для получения ответа на вопрос задачи не необходимо.

Предложим учащимся взять в правую часть составляемого уравнения число 120, исключив его на время составления уравнения из числа данных.

Для составления левой части в распоряжении учащихся останутся числа: 4, 3 и х. Составить левую часть учащиеся не смогут;

они не смогут получить в левой части алгебраическое выражение для конкретного заработка в 120 руб.

Мы не ставим перед учащимися проблемы установления критериев, по которым можно было бы судить, не является ли то или иное данное в условии задачи лишним данным. Но думается, что не бесполезно будет проделать работу, подобную вышеприведенной, если к тому представятся подходящие обстоятельства. По данной задаче необходимо разъяснить учащимся, что число 120, именно как 120, может быть из условия задачи исключено; но тут же надо добавить, что, исключая 120, необходимо оговорить в условии задачи, что заработок действительного и условного числа рабочих один и тот же.

Полезно, наконец, обратить внимание учащихся и на тот факт, что число 120 совершенно выпадает из уравнений (1) и (2) в результате тождественных преобразований и выразить это число через остальные числа нельзя.

Пример 5.

Вернемся к рассмотренной нами задаче о толстых и тонких тетрадях. Предложим учащимся решить относительно х, без выполнения арифметических действий, какое-нибудь из составленных ими семи уравнений. Получат:

Правая часть полученного уравнения показывает, какие арифметические действия и над какими числами надо выполнить для получения ответа на вопрос задачи. Мы имеем формулу арифметического решения данной задачи.

В младших классах средней школы на уроках арифметики эту задачу решают примерно так:

Предположим, что все купленные тетради были тонкие.

1) Узнаем, сколько пришлось бы заплатить за 60 тонких тетрадей.

10-60= 600; 600 коп.= 6 руб.

2) На сколько больше заплатили за тетради на самом деле?

20 —6 = 14; 14 руб.

3) На сколько дороже стоила толстая тетрадь сравнительно с тонкой?

80— 10 = 70; 70 коп.

4) Сколько толстых тетрадей купили?

1 400:70 — 20; 20 толстых тетрадей и т. д.

Нахождение решения («предположим, что...») и постановка вопросов требует значительно большего умственного напряжения, лучшего владения речью, чем составление, например, первого уравнения. Нет оснований утверждать, что средний ученик первых классов без помощи учителя сможет решить эту задачу.

В итоге работы с классом обращаем внимание учащихся на следующий факт: решая относительно неизвестного составленное из условия задачи уравнение, мы получаем в правой части план арифметического решения данной задачи.

В качестве итогов и заключения к вышеизложенному материалу предлагаем тезисы, которые могли бы быть использованы преподавателем и учащимися при составлении уравнений из условия задачи:

1. До составления уравнения:

а) полезно кратко записать условие задачи, сделав, в необходимых случаях, соответствующее преобразование условия;

б) необходимо полное освоение учащимися условия и отдельных числовых данных задачи.

2. Собственно «составление уравнения» сводится к трем основным моментам:

1) обозначение искомого числа буквой;

2) составление одной части (половины) уравнения;

3) составление второй его части.

3. Помним, что левая и правая части уравнения выражают одно и то же значение одной и той же величины.

4. В правую (или левую) часть уравнения берем:

а) или одно из чисел, данных з условии задачи,

б) или — алгебраическое выражение, составленное, из данных чисел и искомого числа.

В обоих случаях имеем прямой метод составления уравнения — непосредственно из условия задачи.

5. а) Число, взятое из условия задачи я используемое как правая (или левая) часть уравнения, исключается из условия задачи на время составления этого уравнения (основной метод составления уравнения);

б) в отдельных случаях бывает полезно этого исключения и не делать (дополнительный метод составления уравнения).

6. По написании правой (или левой) части уравнения составляется алгебраическое выражение для левой (или правой) части.

7. Из условия одной и той же задачи составляем возможно большее число уравнений.

8. В случае затруднения при составлении уравнения с тем или иным данным числом из условия задачи в правой части уравнения используем ранее составленное уравнение, а именно: решаем таковое относительно данного, вносимого в правую часть нового уравнения (косвенный метод составления уравнения: уравнение получается из ранее составленного уравнения).

9. Как правило, ученик должен уметь переводить на родной язык все алгебраические выражения, входящие в состав левой и правой части каждого составленного им уравнения.

Практика по переводу алгебраических выражений на родной язык должна быть введена в систему.

10. Пользуемся, в особенности в задачах на движение, геометрической интерпретацией.

11. При составлении уравнений подчеркиваем перед учащимися некоторые приемы, используемые в отдельных случаях (преобразование условия задачи, выражение той или иной величины в одинаковых единицах меры и т. д.).

12. Как можно раньше начинаем пользоваться термином «уравнение», как можно больше применяем уравнение к решению задач, в частности, используем уравнение при разыскании арифметических способов решения задач.

МЕТОДИКА СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

П. СЕРДОБОЛЬСКИЙ (Москва)

Вопрос о составлении уравнений только в последние годы начал освещаться методической литературой, да и то только в журнальных статьях. (Журнал «Математика и физика в школе» с 1934 по 1937 г.) Основные курсы методики почти не касаются этой темы, ограничиваясь лишь общими дидактическими указаниями. Между тем трудность усвоения этой темы требует особо углубленной методической проработки ее.

Задачи на составление уравнений приводятся к уравнению обычно лишь после введения ряда обозначений, предварительных расчетов, составления формул и их преобразований. Отсутствие навыков по всем этим операциям все авторы относят за счет слабости проработки предыдущего курса алгебры. Я считаю такую постановку вопроса неправильной. В раздел буквенной символики составление формул входит только пропедевтически, в порядке предварительного ознакомления. Ни техника составления формул и их преобразований, ни смысл самих формул еще не доступны учащимся на этой ступени грамотности.

Лишь при составлении уравнения формула получает особый смысл и значимость, ясные и понятные для любого ученика. Углубленная проработка составления формул в теме составления уравнение необходима.

При составлении уравнений, кроме формул, учащегося еще затрудняет видимость свободы выбора неизвестного. В предыдущих разделах алгебры все действия и их порядок были строго регламентированы. А теперь, повидимому, он может делать все, что хочет, выбрать любую величину за неизвестную, составить формулы, какие хочет, уравнять их, как хочет и т. д. Начинающий еще не видит конечной цели всех этих преобразований, не сознает тех ограничений, которые

накладывает на свободу выбора эта цель, и потому бесцельно блуждает по условиям задачи и путается. Методика составления уравнений должна дать преподавателю способы кратчайшим путем планировать работу учащегося, придать всем его начинаниям целеустремленность, т. е. выработать общий план темы.

Здесь нужно сделать оговорку. Некоторые задачи приводятся к составлению уравнения очень просто — методом перевода условий задачи с родного языка на язык буквенной символики. Если бы в какой-либо задаче учащемуся показалось проще применить этот метод, то он так и должен делать. Настаивать в этом случае на выполнении всех разделов общего плана было бы простым формализмом, бесцельным и ненужным.

Всякое уравнение, как известно, выражает зависимость между некоторыми величинами или их частными значениями. Всех видов функциональной зависимости бесчисленное множество, следовательно, и типов задач на составление уравнений — неограниченное число. Задача методики — выявить при этом многообразии методы, общие для всего многообразия, диференцировать вопрос о составлении уравнения так, чтобы каждая часть имела свои конкретные, строго ограниченные цели, ясные и доступные каждому начинающему. Соединение этих частей в одно целое даст общий план составления уравнений. В соответствии с планом необходимо установить надлежащую форму записей, подчеркивающую и усиливающую этот план.

Удобнее всего провести такую диференцировку на примерах.

I. ЗАДАЧА С ТИПИЧНЫМ РЕШЕНИЕМ

«Куплено мануфактуры двух сортов, всего 35 м, на сумму 235 руб., по 8 руб. и по 5 руб. за 1 м. Сколько мануфактуры куплено каждого сорта?»

Решение. Обозначим количество купленной мануфактуры первого сорта через х. Тогда второго сорта было куплено (35 — х) v. За весь первый сорт заплачено 8 х руб. За весь второй сорт заплачено 5 (35—х) руб. За всю покупку заплачено 8 х -f 5 (35 — х) руб., что, по условиям задачи, составляло 235 руб. Следовательно:

8jc-f 5(35 — х) = 235.

Гораздо удобнее все эти записи расположить в форме таблицы. В задаче участвуют три величины: 1) количество (длина), 2) цена за 1 м и 3) стоимость. Каждая величина имеет два значения — одно для первого сорта и другое для второго сорта. Отсюда таблица:

Сорт

Количество

Цена

Сумма

I сорт

X метров

8 руб.

8х руб.

II сорт

(35—х) метров

5 руб.

5 (35-*) руб.

Но вся покупка, т. е. общая стоимость обоих сортов вместе, составляла 235 рублей, т. е.

Таким образом, здесь ясно, что процесс составления уравнения разбивается на 4 этапа:

1. Выбор величин, участвующих в задаче.

2. Введение обозначений для одной из неизвестных величин и выбор числовых данных для известных величин по условиям задачи.

3. Составление формул* для другой неизвестной величины на основании функциональной зависимости между данными величинами, не касаясь условий задачи.

4. Уравнивание полученных формул условиям задачи.

II. ЗАДАЧИ С УПРОЩЕННЫМ РЕШЕНИЕМ

«За часы, цепочку и брелок заплачено 142,5 руб. Сколько стоит каждая вещь, если цепочка дороже брелока на 7,5 руб., а часы дороже цепочки в 4 раза?»

Решение. Обозначим стоимость брелока через X руб. Тогда цепочка стоит (х -f 7,5) руб. Часы стоят дороже цепочки в 4 раза, т. е. 4(х + 7,5) руб. Но вся покупка стоит 142,5 руб., следовательно:

х + (х + 7,5) + 4 (X + 7,5)= 142,5. Запись таблицей: В задаче участвует одна величина — стоимость и она имеет три значения. Отсюда таблица: Стоимость Брелок X руб. Цепочка (х + 7,5) » Часы 4 (X -f 7,5) » По условиям задачи X -f (je 4- 7,5) -f 4 (X -f 7,5) = 142,5. В этих задачах отсутствует третий раздел типового плана, т. е. составление формул для второй величины. Имеющиеся в задаче функциональные зависимости или условия задачи использованы непосредственно для составления уравнения.

III. ЗАДАЧИ С УСЛОЖНЕННЫМ РЕШЕНИЕМ

«За 10 кг сахару и за 3 кг чаю заплачено 156 руб. Если бы цена чая возросла на 25%, а сахара на 10%, то за ту же покупку заплатили бы на 33,6 руб. дороже. Найти цену сахара и чая».

Решение. Обозначим цену чая через X руб. Тогда за 3 кг чаю заплатят Зх руб. Следовательно, весь сахар будет стоить (156 — Зх) руб., а цена сахара будет равна -jq- руб. за 1 кг. Новая цена чая на 25% дороже прежней:

За 3 кг чаю по новой цене заплатят;

Новая цена сахара на 10% дороже первоначальной:

* Здесь и дальше формулой называется алгебраическое выражение, определяющее значение одной величины через другие.

За 10 кг сахара по новой цене заплатят:

Вся новая покупка, т. е. стоимость сахара и чая вместе, будет на 33,6 руб. дороже первой, т. е. будет равна (156 + 33,6) руб. Следовательно,

Запись таблицей. В задаче участвуют три величины: количество (вес), цена и стоимость. Каждая величина имеет по два значения— для сахара и для чая для обеих покупок. Следовательно:

Таблица для 1-й покупки

(Заполняется таблица так: сначала вся 1-я строка (для чая), потом 1-я и 3-я колонки 2-й строки (для сахара), и после всего составляется формула для цены сахара.)

Условия задачи не дают зависимости между полученными формулами и данными. Следовательно, из 1-й таблицы еще нельзя составить уравнения. Но в задаче имеется дополнительное условие о второй покупке, которое дает возможность составить вторую таблицу. В этой второй таблице количество остается без изменения, цена возрастает, а для стоимости нужно составить новые формулы.

Таблица для 2-й покупки

По условиям задачи общая стоимость возросла на 33,6 руб.:

В этой задаче первая таблица не привела сразу к составлению уравнения, и поэтому нришлось весь процесс дублировать в новой таблице.

Таким образом, типичное составление уравнения (1-я задача) можно признать общим с двумя оговорками:

1) для задач с упрощенным решением в общем плане опускается 3-й раздел и условия задачи используются непосредственно для составления уравнения между обозначениями неизвестных и данными задачи;

2) для задач с усложненным решением план составления уравнения расширяется путем дублирования таблицы.

Примечание. Разумеется, эти выводы делаются не из четырех примеров.

К форме записей нужно предъявить требование, чтобы запись облегчала усвоение, подчеркивала и закрепляла план и его подразделения. С этой точки зрения обычная форма записи последовательными вопросами, общепринятая в школьной практике, не выдерживает критики: разделы плана в ней затушевываются, целевая установка завуалировывается, и составление уравнения становится трудноуловимой задачей.

Запись таблицей, наоборот, заостряет все разделы плана, стимулирует строго последовательное его применение и подчеркивает единство плана для всех задач. Запись таблицей сама планирует деятельность учащегося при составлении уравнения, поэтому запись таблицей нужно признать более предпочтительной и рекомендовать ее для повседневной практики.

Только после твердого усвоения общего плана и последовательности применения его разделов может применяться первая форма записи.

РАЗДЕЛ II ПЛАНА

Обозначение неизвестных Для уравнений 1-й степени и их систем все обозначения неизвестных можно свести к четырем основным вариантам.

Первый тип

Обозначение одной единственной неизвестной, или случай равных неизвестных.

Второй тип

Обозначение неизвестных по заданной сумме их Л. Неизвестные обозначаются: х и А — х.

К этому типу относятся варианты заданий: а) Сумма двух чисел равна А.

б) В двух корзинах находится вместе А яблок.

в) Разделить число Л на 2 неравные части.

г) Периметр параллелограма = Р, обозначить стороны.

д) Смежные углы.

е) Общий путь двух тел при встречном движении. И т. д.

Третий тип

Обозначение неизвестных по заданной их разности.

Неизвестные обозначаются: х и х + А. К этому типу обозначений относятся задания:

а) Разность двух чисел равна Л.

б) Одно число больше или меньше другого на Л единиц.

в) Разность двух чисел равна Л.

г) Понятия: дороже или дешевле; длиннее или короче и т. д. на Л единиц.

д) Первоначальное расстояние между движущимися телами, когда одно тело догоняет другое, равно разности пройденных путей. И т. д.

Четвертый тип

Обозначение неизвестных по заданному их отношению.

Примерные задания а) Одно число больше или меньше другого в Л раз. Обозначения: х и Ах, или -д и х.

б) Первое число составляет часть второго. Обозначение: — х.

в) Отношение неизвестных равно Л, где А выражено числом целым, простой или десятичной дробью или дано в форме отношения двух (а:Ь) или нескольких (а:Ь:с и т. д.) чисел.

Обозначения ах и Ьх или ах, Ьх и сх и т. д.

При обозначении неизвестных в задачах этого типа нужно рекомендовать введение вспомогательной неизвестной.

Нельзя считать вопрос обозначения неизвестных простым и очевидным. На первых порах у учащихся здесь возникает очень много затруднений.

Очень хорошие результаты приносит двукратное составление уравнения для одной и той же задачи при разных обозначениях. Например, в первый раз взять сумму неизвестных для обозначения их, а для уравнивания — разность их, а потом наоборот, разность использовать для обозначения неизвестных, а сумму для уравнивания. Точно так же полезно поступать в задачах, содержащих сумму и отношение, разность и отношение. На таких упражнениях обычно и выясняется преимущество введения вспомогательного неизвестного в задачах, где дается отношение неизвестных.

IV РАЗДЕЛ ПЛАНА. УРАВНИВАНИЕ ФОРМУЛ

Параллельно с обозначением неизвестных на тех же задачах, прорабатывается вопрос об уравнивании формул. На первых порах процесс уравнивания производится учащимися по соображению (или по наводящим вопросам преподавателя) без заострения внимания учащихся на этом процессе. К концу проработки вопроса не трудно систематизировать весь накопленный учениками опыт и дать развернутый план этого этапа составления уравнений.

1) Не равны ли алгебраические выражения?

2) Которое из них больше?

3) Насколько больше? или: во сколько раз больше? (какую часть составляет?)

4) Не известна ли их сумма?

5) Не известно ли их отношение?

6) Не известна ли какая-либо другая более сложная зависимость между этими выражениями?

1) Надо записать их равенство.

3) Для того, чтобы их уравнять, надо к меньшему прибавить или от большего отнять разность.

Для того, чтобы их уравнять, нужно большее разделить или меньшее умножить на их отношение.

4) Надо сумму этих алгебраических выражений приравнять известному числу.

5) Надо написать это отношение.

6) Эта зависимость используется для уравнения выражений

Если по всем вопросам приходится дать отрицательный ответ, то имеющаяся таблица не дает основания для составления уравнения. В этом случае нужно искать дополнительные условия в задаче для составления дополнительной таблицы или признать составление уравнения невозможным. Само собой разумеется, что вопрос о составлении добавочной таблицы выясняется и прорабатывается значительно позднее. Точно так же позднее прорабатывается и вопрос о более сложной зависимости.

Закрепление этого плана анализа формул можно проводить, как и раньше, на задачах с упрощенным решением.

Иллюстрирую все сказанное несколькими примерами.

Пример 1. «Число 35 разделено на две неравные части. Если к большей из них прибавить 11, а от меньшей отнять 6, то отношение полученных чисел будет равно 4. Найти эти части».

Решение первое (устно, в порядке составления таблицы): в задаче участвуют три величины — первоначальные части, добавленное число и измененные части. Значит, три столбца. Все величины имеют по два значения, по одному для каждой части. Значит, две строчки. Для обозначения неизвестных воспользуемся их суммой —35.

Первоначальные части

Добавлено

Измененные части

Большая часть

X

+ п

Х+ 11

Меньшая часть

(35-х)

(35 — х) -6

Отношение полученных чисел равно 4, т. е.

Решение второе. Отношение измененных частей равно 4, т. е. 4:1.

Обозначим измененные части по их отношению: X и Ах. Для того, чтобы от измененных чисел вернуться к первоначальным, нужно добавление взять с обратными знаками.

Отсюда таблица:

Измененные части

Добавление

Первоначальные части

Большая часть Ах

— 11

Ах—U

Меньшая часть х

+ б

X + 6

Но все число, т. е. сумма обеих частей, равна 35. Значит,

Во втором случае уравнение получилось с целыми членами, что удобнее для решения.

Оба рассмотренные этапа (2-й и 4-й) вместе составляют фундамент всей темы составления уравнений. Проработка этих разделов поэтому должна вестись особо тщательно при непрерывном контроле преподавателя.

ВЫБОР ВЕЛИЧИН И СОСТАВЛЕНИЕ ФОРМУЛ (1-й и 3-й ЭТАПЫ)

1-й и 3-й разделы плана составления уравнений тесно между собой связаны, и потому изучение их во всяком случае должно проходить параллельно. Основная задача преподавателя в этом разделе работы определяется как систематическое изучение видов функциональной зависимости величин. Непосредственной целью преподавания является сообщение твердых навыков составления уравнений для некоторых наиболее распространенных видов функций. Изучение каждого вида начинается с беседы, в которой преподаватель напоминает формулу зависимости и величины, участвующие в ней, а в алгебраических законах напоминает и вывод формулы (например: формула процентов или формула буквенного изображения чисел и т. п.). В формулах геометрии, физики, механики и других дисциплин желательно сохранить для величин условные буквенные обозначения, принятые в этих дисциплинах. Охватить все виды функциональных зависимостей невозможно, да и не требуется. Обычно навыки по составлению уравнений складываются прочно уже после просмотра ограниченного числа видов функциональных зависимостей. Все дело в прочном усвоении плана использования закона функциональной зависимости для составления уравнения. Эти навыки, приобретенные на основных видах функций, помогают учащимся самим, без помощи преподавателя, ориентироваться и в новых видах функциональной зависимости и правильно использовать их для составления уравнений.

Огромную роль в этом процессе играет табличная форма записи составления уравнения. Таблица дает твердый план и целевую установку маленькой исследовательской работе учащегося, она направляет ход его мысли, поэтому преподаватель вправе требовать от учащегося обязательной табличной записи составления уравнения на всем протяжении проработки 1-го и 3-го разделов плана.

Главные навыки, которые учащийся должен получить при проработке этой части темы, заключаются в следующем:

1. Четко указать величины, участвующие в задаче.

2. Четко указать функциональную зависимость между ними.

3. Уметь наиболее рациональным путем использовать формулу функциональной зависимости для определения любой величины, входящей в формулу, какая требуется по ходу решения задачи.

По этим требованиям и проводится контроль усвоения материала.

Примерный порядок изучения видов функциональной зависимости можно дать такой.

I. Деление с остатком

Перечень величин

Зависимость между ними

a) Делимое.

b) Делитель.

c) Частное.

d) Остаток.

Делимое равно делителю, умноженному на частное и плюс остаток. Или другие формулы:

Функциональная зависимость в задачах этого типа чаще всего используется для составления уравнения, т. е. для уравнивания алгебраических выражений.

II. Задачи на коммерческие расчеты

Перечень величин

Функциональная зависимость

a) Количество.

b) Цена.

c) Стоимость.

Стоимость равна цене, умноженной на количество. Отсюда получаются и все другие формулы.

Функциональная зависимость здесь обычно используется для составления формул, а уравнивание производится на основании других условий задачи.

III. Задачи на равномерное движение

Перечень величин

Законы функциональной зависимости

a) Скорость — V.

b) время — /.

c) Путь — 5.

Путь равен скорости, умноженной на время. s — v t.

Кроме того, нужно напомнить учащимся, что при встречном движении двух тел, первоначальное расстояние равно сумме путей, а если одно тело догоняет другое, то первоначальное расстояние равно разности путей. Первая зависимость используется для составления формул, а последние две для составления уравнения.

IV. Проценты

Перечень величин

Функциональная зависимость

a) Сумма денег—Л.

b) Процентная такса — ру0.

c) (Доход или убыток) — Р.

d) Наращенная сумма — В.

Доход

Зависимость I. Р= .

Зависимость II. Наращенная сумма:

Первая зависимость обычно используется для составления формул, а вторая—чаще всего для составления уравнения.

V. Расчеты работы и запасов

Перечень величин

Зависимость между величинами

a) Размер работы (запасов).

b) Время.

c) Норма производительности (потребления).

I. Норма равна размеру работы (запасов), деленному на время

II. Общая норма всего коллектива равна алгебраической сумме норм всех индивидов.

VI. Задачи на буквенное изображение чисел

Величины

Зависимость между величинами

a) Число десятков.

b) Число единиц.

c) Все число.

Все число равно цифре десятков, умноженной на 10 и плюс число единиц:

с = 10а -f b.

VII. Задачи на рычаги

Величины

Зависимость между ними

a) Силы — Р и Q.

b) Плечи — рид.

c) Момент силы — М.

Момент силы, т. е. произведение силы на ее плечо, в случае равновесия рычага есть величина постоянная для обеих сил:

Pp = Q.q.

В физике этот же закон дается в форме обратной пропорциональности между силами и их расстояниями от точки опоры. Конечно, функциональная зависимость должна быть дана в форме, знакомой учащемуся.

VIII. Задачи на удельный вес

Величины

Зависимость

a) Вес — Р или Q.

b) Объем — v.

c) Удельный вес — d.

Вес равен удельному весу, умноженному на объем:

P=vd

IX. Задачи на вращательное движение

Величины

Зависимость

a) Число оборотов в минуту —п.

b) Длина окружности — с.

c) Путь — S.

d) Время — t.

Путь равен числу оборотов в минуту, умноженному на длину окружности и на время (в минутах): s — cat

И так далее. Задачи геометрического содержания вместо таблиц можно оформлять рисунками. Перечень величин и формула зависимости между ними учащимся в геометрических задачах общеизвестны, и записывать их не приходится. В остальных же задачах лучше эту запись проводить.

Введение добавочных условий, как уже говорилось раньше, приводит к задачам g усложненным решением. Естественно, что первая таблица в этом случае не дает возможности составить уравнение.

В этом случае приходится составлять вторую таблицу. Начинать заполнение второй таблицы нужно с установления связи ее с первой путем постановки вопроса: какие величины во второй таблице сохраняют те же значения, что и в первой? Начинать заполнение второй таблицы нужно с заполнения столбцов именно этих величин.

Задачи с усложненным решением значительно легче приводятся к системе уравнений. Решение их составлением одного уравнения может преследовать только одну цель— развить у учащегося максимум навыков в составлении формул и их преобразований для любой из величин, входящих в эту формулу. Цель очень ценная, но, к сожалению, редко для нее удается выделить достаточно времени. Приведу пример.

«Пароход прошел по течению 120 км и против течения 40 км без остановки в 8,5 час. В другой раз, при тех же скоростях, он прошел по течению 160 км и против течения 48 км в 13 час. Определить скорость парохода в стоячей воде и скорость течения».

Решение. Таблица первая. Участвуют 3 величины-—скорость, время и путь. Каждая имеет 2 значения, а скорость — 4 значения. Обозначения сделаем для вспомогательной величины—скорость по течению. Путь известен. Время движения по течению найдем по формуле t = —, а время движения против течения по заданной сумме (8,5 часа). Скорость против течения найдется по формуле V = ~ .

Никакой зависимости между полученными формулами не указано, но имеется добавочное условие о втором движении. Оно дает вторую таблицу. Величины те же. Скорости сохраняют прежнее значение. Путь известен. Время движения в обоих направлениях определим по формуле: г — —.

После вычисления скорости по течению и против течения основные искомые задачи, 1. е. скорость течения и скорость парохода в стоячей воде, найдутся дополнительным вычислением по формулам:

Скорость течения:

Скорость парохода:

Составление системы уравнений не требует никаких дополнительных проработок. Каждое уравнение составляется отдельно и потому требует отдельной таблицы. Следовательно, число таблиц равно числу неизвестных. Для примера приведу к системе уравнений предыдущую задачу.

Для обозначения в качестве неизвестных возьмем скорость течения и скорость парохода в стоячей воде, т. е. основные вопросы задачи. Путь известен в обоих направлениях в обеих поездках. Формулы составим дли времени.

Таблица для 1-й поездки

Таблица для 2-й поездки

В практике, вообще говора, легче приводить задачи к системам уравнений. В конце работы это нужно разъяснить учащимся и продемонстрировать на нескольких примерах, предоставив им в дальнейшем полную свободу выбора.

Составление уравнений с буквенными коэфициентами и квадратных уравнений и их систем никаких дополнительных объяснений не требует.

Центральным пунктом всей методики составления уравнений нужно считать стремление изложить тему систематически, последовательными этапами. Такой метод изложения значительно упрощает тему для учащихся и помогает прочности усвоения. Табличная форма записи в этой методике играет только служебную роль, хотя и очень значительную, так как она выражает общий план темы.

По общему отзыву преподавателей эта форма записи, даже независимо от общей методики изучения темы, дает учащимся значительное облегчение в работе своей планирующей ролью.

МЕТОДИЧЕСКИЕ СООБРАЖЕНИЯ К ПРАКТИКЕ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПО УСЛОВИЮ ЗАДАЧ (МЕТОД ВЗВЕШИВАНИЯ)

И. МАКАРЕВИЧ (с. Чебаки Красноярского края)

Обыкновенно принято придерживаться при составлении уравнении по условию задач такого приблизительно плана (схемы): 1. Выбор неизвестной величины и ее обозначение какой-нибудь буквой, обыкновенно х. 2. Обозначение остальных неизвестных при помощи этой неизвестной и известных. 3. Составление уравнения. 4» Решение его. 5. Проверка решения и его исследование.

Если пункты 1, 2, 4, 5 можно считать методически проанализированными, то методика п. 3 сводится на сегодня, по крайней мере, к общим указаниям вроде: «Соединить по условию задачи равные выражения знаком равенства», или: «Опираясь на зависимость между данными и неизвестными, составить уравнение» и т. п., что не оказывает никакой помощи начинающему преподавателю, а тем более учащемуся.

По этому пункту, т. е. по составлению самого уравнения, я хочу высказать в этой статье свои практические соображения и отзыв самих учащихся, продемонстрировав сказанное на ряде примеров.

Во-первых, я обратил внимание учащихся на то, что сам процесс составления уравнения по условию задач похож на взвешивание или сравнивание на весах двух количеств одной из имеющихся в условии задачи величин до тех пор, пока не наступит равновесие, причем подчеркнул, что основной момент в работе будет заключаться в поисках этой величины и в подборе после этого взвешиваемых ее количеств. Во-вторых, при взвешивании могут иметь место такие случаи: 1) оба количества равны между собой, т. е. равновесие весов налицо; 2) одно количество больше (меньше) другого на некоторое число; 3) одно количество больше (меньше) другого в несколько раз, т. е. в обоих случаях равновесие условное. На эти 3 случая необходимо при вдумчивом знакомстве с условием задачи обратить внимание, так как они, скрываясь в выражениях «равно, получится, составляет, выручено, осталось, было бы столько-то, окажется столько-то, всего столько-то, в сумме дают столько-то, будет на столько-то больше (меньше) или во столько-то раз больше (меньше), через столько-то часов (минут) раньше (позже), на столько-то дороже (дешевле)» и других, подобных им, служат обыкновенно первыми предвестниками и показателями того, какую величину в данной задаче придется взвешивать. Дальше было указано, что могут попадаться задачи с явным указанием в условии на взвешиваемую величину, с менее и более скрытым (иносказанным) и, наконец, с совсем замаскированным намеком на нее, где требуется уже более глубокая вдумчивость и кое-какая смекалка. В такой последовательности и по такому принципу составлялись уравнения, и демонстрировалось на них сказанное.

Итак, после медленного даже неоднократного зачитывания и вдумчивого осмысления условия задачи называлась и обозначалась основная неизвестная величина задачи и перечислялись данные, причем неизвестная считалась за данную. Затем ставился вопрос перед классом о вскрытии величины, какую придется взвешивать в данной задаче. После решения этого, по моему мнению, самого основного вопроса начинался процесс взвешивания — составления уравнения с соответственной фиксацией всего этого процесса на доске и в тетрадях. Покажем это на нескольких примерах.

377. «Разделить число 88 на такие две части, чтобы частные отделения первой части на 5, а второй на 6 были равны».

Если обозначить первую часть через х, то вторая будет равна 88 — х. Из слов условия «...чтобы частные были равны» следует, что нужно взвесить частные. Следовательно, запишем:

1-е частное 2-е частное

375. «Часы, цепочка и брелок стоят вместе 72 руб. Брелок дороже цепочки в два раза, а часы дороже брелока в три раза. Что стоят часы, цепочка и брелок в отдельности?»

Здесь придется указать учащимся, что при выборе неизвестной в подобных случаях удобнее наименьшую величину, т. е. стоимость цепочки, принять за х, а остальные величины выразить через нее. Из слов «...стоят вместе 72 руб.» заключаем, что придется на правую чашку весов положить 72 руб., а на левую — стоимость отдельных вещей, что и записываем:

стоимость вещей общая стоимость X + 2х + 6jc = 72

419. «Из резервуара вылита сначала половина всей бывшей в нем воды и-L гл, потом половина остатка и -i. гл, наконец, еще половина остатка и -i. гл\ после этого в резервуаре осталось 6 гл. Сколько было воды вначале?

Пусть в резервуаре было вначале х гл воды. Что же здесь взвешивать? Ответ. Остаток воды после отливания с 6 гл, о чем в условии сказано ясно («осталось»). Следовательно, запишем:

процесс отливания остаток

Приведем примеры на «больше — меньше, раньше — позже, дешевле—дороже» и т. п.

384. «Одно из неизвестных двух чисел больше другого на 5. Если разделить меньшее число на 4, а большее на 3, то первое частное будет на 4 меньше второго. Найти оба числа».

Если меньшее число де, то большее х + 5. Что будем здесь класть на весы? Ответ. Частные, так как в условии говорится, что одно меньше другого на 4. Условие их равновесия? Ответ. (К левой чашке прибавить 4, так как она на 4 легче, или из правой снять 4, так как она на 4 тяжелее. Запишем:

1-е частное и 2-е частное

390. «Метр материи подешевел на 60 коп., вследствие чего 19 м материи по новой цене стоят на 4 руб. дешевле, чем 18 м этой же материи по старой цене. Определить цену материи до снижения».

Пусть цена материи до ее снижения была X руб. за метр. А после снижения какая будет она? Ответ: (х — 0,6 руб.). Из каких слов сделаем вывод, что придется взвешивать? Ответ «...19 м после снижения цены стоят дешевле, чем 18 м до снижения. Следовательно, придется взвешивать стоимость покупок. Условие равновесия? Ответ. На левую чашку прибавить 4 руб. или с правой снять 4 руб. Итак, запишем:

Стоимость после и до снижения цены 19 (X - 0,6) = 18* — 4.

Для того чтобы дать учащимся наглядное доказательство того, что алгебра имеет практическое применение и в других отраслях науки и что с решением задач при помощи составления уравнения придется встречаться им в геометрии и в физике, необходимо дать несколько примеров решения задач и из этих областей.

441. «Ледяная глыба плавает в морской воде, причем объем ее надводной части равен 2 000 ж8. Как приблизительно велики объем всей глыбы и ее вес, если удельный вес морской воды равен 1,03, а удельный вес льда 0,9?»

Здесь необходимо вспомнить закон Архимеда. Пусть объем всей ледяной глыбы будет X куб. метров, объем ее подводной части будет (х — 2 000) м3. Что приходится здесь взвешивать?» Ответ. Вес вытесненной глыбой морской воды и вес ледяной глыбы. Следовательно, запишем так: вес воды и вес льда (х- 2 000) 1,03= 0,9jc.

Кроме задач с числовыми данными, следует решить и несколько задач с буквенными данными. Таким образом, при прохождении этой темы главное внимание надо обратить на самый процесс составления уравнения.

Для эффективного применения указанного метода составления уравнения или какого-либо другого необходима одна из основных предпосылок — хорошая подготовка учащихся, в частности, в данном случае подготовка в умении выражать на языке алгебры зависимость между двумя величинами. Хотя учащиеся с составлением алгебраических выражений знакомятся еще в VI классе, но обыкновенно они это легко забывают, и на первых же уроках составления уравнений по условию задач преподаватель наталкивается на серьезное препятствие — отсутствие у учащихся тренировки и навыка в умении составлять алгебраические выражения. Для того чтобы избежать указанного препятствия, тренировку учащихся в составлении алгебраических выражений нужно начать раньше изучения темы «Уравнения», т. е. с начала первой четверти в VII классе, и на каждом уроке алгебры следует прорабатывать по 1—2 вопросам из такой приблизительно серии вопросов (смотри ниже), что даст возможность преподавателю, а главное самим учащимся при прохождении темы «Уравнения» меньше останавливаться на подробностях анализа задачи и больше внимания уделять на составление самого уравнения и большего их количества.

Вопросы могут быть подобраны, конечно, различные, но я придерживался приблизительно таких:

1. У двух товарищей денег поровну, причем у 1-го 5; (х + 7)... рублей. Сколько денег у второго?

2. У меня с ним 8; х\ {х + 3) и т. п. тетрадей, а у него 2; х; — ... штук. Сколько тетрадей у меня?

3. У него 7; х\ (х — 3)... перьев, а у тебя на 3; х\ (х+1)... штук больше (меньше). Сколько перьев у тебя?

4. То же, но «во столько-то раз больше (меньше)».

5. 5 кг сахара стоит х руб. Сколько стоит 1; 3; х\ (х — 2)... килограммов?

Здесь следует вообще повторить зависимость между стоимостью товара, его ценой и количеством.

6. Путь, пройденный пешеходом в х часов, равен 30; (де — 1); — ... километров. Какова была его скорость?

Здесь вспомнить зависимость между элементами равномерного движения.

7. Сколько оборотов сделает колесо, имеющее окружность х\ 2,5; (х — 3)... метров на расстоянии 56; х\ (х 4-8)... метров?

Повторить вообще зависимость между пройденным расстоянием, окружностью и количеством оборотов колеса.

8. Каждый из учащихся получил по 10 тетрадей и еще осталось (нехватило) 7; х\ (2х — 3)... штук. Сколько было всех тетрадей?

9. Число X больше другого на 2\х\ (3 — х); — и т. п. Найти другое число, их сумму, разность, произведение и частное (их отношение).

10. Сколько было рабочих, если каждый получил из общего заработка в 480; х; (х + 4)... руб. по 15; х\ (X — 8)... рублей?

Повторить зависимость между количеством рабочих, их общим заработком и общей поденщиной.

11. Какая производительность молотилки, если 2; де; (х — 5)... молотилок обмолачивают в день 180; де; (2х + 19)... копен?

12. Сколько тонн каменного угля добыто, если добыча увеличилась на 35°/# по сравнению с предыдущей добычей в 1 000; де... тонн? Сколько стоит 9; де; (2х + 7)... метров материи, если 1 м ценою в 10; х ... руб. подешевел на 5; де; ... процентов?

13. Сколько лет будет вам через 2; де; \Х + 7); — года и сколько вам было столько же лет назад?

14. Написать двухзначное число с цифрами 2; 7; де; у\ 3х и число с переставленными цифрами.

15. Делитель х\ 7; (де — 1)... частное 3; де; — и т. п., остаток 2; 4; 8... Определить делимое.

Повторить и другие вопросы на зависимость между компонентами и результатами действий.

16. Перо дешевле резинки на 3; де; — ...коп., а карандаш дороже пера в 5; х; (де + 6)... раз. Что стоит каждая вещь в отдельности при цене резинки в 2; х... копеек?

17. Если трактор вспахал поле в 2; х ... дней, то какую часть работы он сделает в 5; х; (х-4) А... дней?

18. Как записать равновесие 2 бутылей с х и (де + И) литрами воды, зная, что после перелития из 1-й бутыли во 2-ю 5; х\ —; (2—jc) ... литров, в обеих бутылях оказалось поровну, на 2; X ... литра больше (меньше); в 5; де... раз больше (меньше), чем во второй?

19. Отношение двух чисел равно -—. Как выразить их сумму, разность, произведение, частное при помощи буквы х и что можно понимать в таком случае под де?

20. Сумма (разность, произведение, частное) 2 чисел равна 6. Найти их среднее арифметическое (геометрическое), если одно из них равно 2; де...

Поняв сущность составления алгебраических выражений и уравнений с одним неизвестным, учащиеся смогут уже без особых трудностей составлять системы уравнений и квадратные уравнения по условию задач. В первый раз пришлось мне применить метод взвешивания (я его так называю) в прошлом году в VIII классе, ликвидируя получившуюся там из-за болезни преподавателя недоработку по алгебре за 7-й год обучения. Введя в процесс составления уравнений по условию задач понятие весов и взвешивания, я почувствовал, что дал учащимся какую-то установку, какой-то толчок к плановой работе мысли, и не зря заявил один из них: «Мы эту тему раньше как-то не могли понять, а теперь знаем, как и за что зацепиться при составлении уравнений по условию задач».

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ I СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

(Опыт методической разработки)

А. ЛЕБЕДЕВ (Кувшиново)

итература по методике алгебры за последние 3—4 года обогатилась целым рядом статей, в которых освещаются подходы и методы составления уравнений из условия задач (журнал «Математика и физика в школе» за 1934, 1935 и 1936 гг.). В этих статьях имеются не только общие указания о составлении уравнений, но делаются попытки практической разработки этого вопроса. Нам кажется, что на основе этого материала можно уже вплотную подойти к обмену опытом своей работы на страницах журнала по обучению составления уравнения по условиям задачи. Такой обмен опытом может повысить в значительной степени эффект работы преподавателя математики в деле обучения учащихся составлению уравнений. Опыт такой работы и предлагается ниже вниманию преподавателей.

В своей методической разработке я исходил из того положения, что тщательный подбор учебного материала и сообщение его учащимся в определенной системе играют решающую роль, поэтому подбору задач на состояние уравнений и расположению их в порядке трудности, насколько это возможно, мною в методической разработке уделено большое внимание, тем более, что в стабильном задачнике Шапошникова и Вальцова задачи на составление уравнений расположены без всякой системы: трудные задачи помещены рядом с простыми, конкретные — с отвлеченными и т. д.

Предлагаемая методическая разработка состоит из двух основных разделов:

I. Подготовительные упражнения.

II. Составление уравнений: а) первый концентр; б) исследование решений; в) второй концентр.

I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ

В начале изучения алгебры в VI классе при прохождении буквенных выражений мною отводится достаточно времени на составление буквенных выражений и общих формул решения задач. Эта работа распадается на три момента: 1) решение задач арифметическим способом и составление общих формул их решения на числах и на буквах; 2) составление общих формул решения задач с буквенными данными с последующим вычислением ответов по данным значениям букв; 3) составление и чтение буквенных выражений. В процессе этих упражнений учащиеся приобретают навыки переводить условие задач на язык математических символов и оперировать с буквами, как с числами. Приступая к задачам на составление уравнений, я останавливаюсь на составлении только таких буквенных выражений, с которыми учащимся придется иметь дело при составлении уравнений, при этом я поступаю так: сначала намечаю задачи, которые мы должны решать, а потом уже, в зависимости от характера задач, подбираю из задачников или составляю сам примеры на составление буквенных выражений. Этим достигается тесная связь подготовительных упражнений с составлением уравнений.

Примеры для подготовительных упражнений

1. Дано число д. Увеличьте его в три раза. Запишите полученное число. Уменьшите полученное число на 8. Запишите и прочитайте, что получилось. Запишите, что полученное число равно удвоенному числу а, половине а и числу о, увеличенному на 2.

2. Даны числа а и Ь. а) Написать их сумму. Написать число, которое в 5 раз больше суммы а и Ъ, Написать разность чисел а и Ь. Сумму а и Ь уменьшить в 2 раза. Прочитайте полученное выражение. Как оно называется? (Среднее арифметическое чисел а и Ь.)

б) Написать число, которое в 2 раза больше Ь\ на 2 больше Ь. Написать сумму всех трех чисел.

3. Сумма двух чисел равна 40; одно из них X. Обозначьте 2-е слагаемое. Увеличьте первое слагаемое в 4 раза, а второе в 3 раза и обозначьте сумму полученных чисел.

4. Одно число Х, а второе в 2 раза больше. Обозначьте второе число. Напишите число, которое на 10 меньше первого, и число, которое на столько же больше второго. Запишите, что эти числа равны, что первое число в 3 раза больше второго.

5. Два отрезка относятся между собою как 2:3. Как вы это понимаете? Обозначим неизвестную нам часть через х. Как тогда обозначится длина первого отрезка? второго? Обозначьте сумму этих двух отрезков, их разность.

6. Дано число а. Найти — этого числа, — и

Уменьшить число а на 15. Написать сумму чисел: а, ^ а и а —15.

7. Сумма двух чисел 30, большее из них равно X. Обозначьте меньшее число. Разделите первое число на 3, а второе на 4 и найдите, на сколько первое частное больше второго.

8. Записать, сколько единиц содержит число, состоящее из а десятков. Записать, сколько единиц содержит число, состоящее из а десятков и b единиц. Записать, сколько единиц содержит число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Этих подготовительных упражнений вполне достаточно для успешного решения задач 1-го концентра. Если учащиеся будут затрудняться в составлении буквенных выражений и формул, то учитель может найти достаточный выбор таких упражнений в задачниках по алгебре Шапошникова и Вальцова и Лебединцева. Наконец, ряд таких упражнений преподаватель может составить сам, исходя из тех затруднений, какие имеются у учащихся. Отводить отдельные часы для подготовительных упражнений не следует Я провожу их попутно с решением уравнений, уделяя на это 10—15 минут в начале урока. Иногда при решении сложных задач приходится проделать несколько примеров на составление буквенных выражений тут же на уроке перед решением той или иной задачи.

II. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Первый концентр. Выше мною было указано, что для успеха дела необходимо производить тщательный подбор задач на составление уравнений. При подборе задач я руководствовался следующими соображениями:

1. Вначале задачи для составления уравнений надо брать несложные, с конкретным содержанием, но такие, которые трудно или даже невозможно решить арифметически. Решение таких задач, как показывает опыт, пробуждает интерес у учащихся к составлению уравнений, а тем самым и к изучению алгебры.

2. Задачи необходимо располагать по степени трудности, переходя постепенно от задач с простейшей зависимостью между величинами к задачам, где эта зависимость постепенно усложняется. Само собой разумеется, что расположение задач по степени трудности— дело довольно сложное, но стремиться к этому необходимо.

3. В первом концентре необходимо ограничиться простыми задачами и решать по нескольку задач на один и тот же тип, отнюдь не злоупотребляя этим, чтобы не получилось «натаскивания». Пользуясь только стабильным задачником, трудно подобрать несколько задач одного и того же типа, так как у Шапошникова и Вальцова однотипных задач очень мало, а на некоторые типы совсем нет задач. Для устранения этого пробела ниже я даю несколько задач, заимствованных мною из других задачников, и к каждому типу указываю соответствующие номера задач из стабильного задачника.

При решении задач на составление уравнений я избегаю сложных, надуманных записей. Записи должны фиксировать и упорядочивать лишь то, что в действительности приходится проделывать при составлении уравнений.

После этих предварительных замечаний перейдем к рассмотрению решения задач.

Задача 1. «а) Я задумал число. Если увеличить его втрое и к полученному числу

прибавить 5, то получится 29. Какое число я задумал?»

Задача решается. Решение ее записывается на классной доске и в тетрадях. Ученики убеждаются, что эта задача решается обыкновенным арифметическим способом.

а) «Я задумал число. Если увеличить его в 5 раз и от полученного числа отнять 18, то получится удвоенное задуманное число. Какое число я задумал?»

Условие задачи повторяется. Иногда полезно для закрепления условия после связного повторения задачи выяснить содержание ее по вопросам. Когда условие задачи усвоено, учащимся предлагается решить ее. Учащиеся затрудняются. Учитель приходит на помощь и указывает, что эту задачу мы решим с помощью составления уравнения.

Дальше ход рассуждений примерно таков: что нам нужно найти в этой задаче? (Задуманное число.) Обозначим неизвестное нам задуманное число буквой х. Что сначала нужно сделать с задуманным числом? (Увеличить в 5 раз.) Сколько получится (5х). Что дальше нужно сделать с полученным числом? (Отнять 18.) Какое получится число? (5*—18.) Чему равно это число по условию задачи? (Удвоенному задуманному числу или 2х.)

Итак, мы можем написать, что Ъх — 18 = 2х и т. д. В результате этих рассуждений на классной доске и в тетрадях учеников должна быть сделана такая запись:

1. Обозначение неизвестных величин (искомых и вспомогательных).

X — неизвестное задуманное число. (Подчеркнуть.)

5х — число, полученное после увеличения в 5 раз.

Бх — 18 — число полученное после вычитания 18.

II. Составление уравнения Бх— 18 = 2х.

III. Решение уравнения

5х — 2х= 18; Ъх = 18; х= 6.

IV. Проверка решения и запись ответа на вопрос задачи.

Проверка: 6-5 = 30; 30 — 18=12; 12 = 2-6.

Ответ: Задуманное число равно 6.

Примечание. При решении первых задач необходимо четко установить эти 4 стадии в решении задач на составление уравнений.

Шапошников и Вальцов, ч. 1, гл. VI, № 434.

Задача 2. «Три трубы наполняют бак вместимостью в 600 литров. Вторая труба дает на 100 литров больше, чем первая, а третья — в 3 раза больше, чем первая труба. Сколько литров дает каждая труба?»

Обращается внимание учащихся, что при решении этой задачи и сходных с нею удобнее за основную неизвестную принять меньшую величину, т. е. число литров, которое дает первая труба.

Ход решения. Что нам нужно узнать в этой задаче? (Сколько литров дает каждая труба?) Обозначим число литров, которое дает первая труба, через х. Сколько литров дает вторая труба? (х + 100.) Сколько литров дает третья труба? (Зх.) Сколько литров дают все три трубы вместе? (х + (х + 100) + + Sx.) Какому числу равна эта сумма по условию задачи? (600 л). Ученик записывает X + (X + 100) + Ъх = 600 и т. д.

Запись решения задачи

1. Обозначение неизвестных величин (искомых и вспомогательных):

X — столько литров дает 1-я труба. jc+100— » » » 2-я труба.

3jc— » » » 3-я труба.

X + (х + 100) + Ъх — столько литров дают все три трубы вместе.

II. Составление уравнения:

X + (X + 100) + Ъх = 600.

III. Решение уравнения:

X + X + 100 + 3* = 600 Ъх + 100 = 600 5х = 500 х= 100

* + 100 = 100 4- 100 = 200 Ъх = 3-100 = 300.

IV. Проверка решения и запись ответа на вопрос задачи.

Проверка: 100 + 100 = 200; 100-3 = 300; 100 + 200 + 300 = 600.

Ответ: Первая труба дает 100 литров.

2-я » » 200 литров. 3-я » » 300 литров.

Шапошников, № 373, 423, 431.

После решения двух-трех задач преподаватель обращает внимание учащихся, что при решении задач с помощью уравнений надо рассуждать так же, как и при решении задач арифметическим способом, а с неизвестными числами оперировать, как с арифметическими. Уловив это, учащиеся начинают самостоятельно справляться с решением несложных задач. Дальнейшая забота учителя должна сводиться к тому, чтобы научить учащихся самостоятельно решать задачи. Чем больше будет предоставлено учащимся самостоятельности в работе и чем больше учитель проявит педагогического такта в ведении урока, тем скорее учащиеся научатся решать задачи.

Привожу остальные задачи в том порядке, в каком они должны прорабатываться, с указанием к каждому типу номеров задач из стабильного задачника.

3. «В древнем китайском сборнике задач имеется задача такого содержания: «В клетке сидят фазаны и кролики; у всех у них 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов».

(Шапошников, № 397.)

4. «Две артели рабочих состоят вместе из 40 человек. Если из первой перейдет во вторую 6 человек, то во второй будет в 3 раза больше, чем в первой. Сколько человек в каждой артели?»

(Шапошников, № 386, 392, 393, 396.)

5. «Длина и ширина прямоугольника относятся между собою как 5:3, а периметр его равен 96 см. Найти ширину и длину прямоугольника».

(Шапошников, № 376, 379, 425.)

При решении задач, в которых дается отношение двух или нескольких чисел, удобнее обозначать через х вспомогательную вели-

чину — неизвестную нам общую часть. Пояснить это учащимся можно на примере отношения двух отрезков.

X — общая часть отрезков.

№ 376, 379 и 425 можно решать различными способами.

6. «Шапошников, № 400, 401, 452. Решение этих задач полезно иллюстрировать чертежом.

7. «Разделить число 200 на два слагаемых так, чтобы при делении большего числа на меньшее в частном получилось Зив остатке 20».

(Шапошников, № 382, 383.)

Перед решением задач этого типа полезно повторить зависимость между делимым, делителем, частным и остатком, сопровождая повторение записью зависимости решением примеров на числах и на буквах.

8. «Один аэроплан находится на высоте 150 ж, а другой на высоте 50 м; в каждую минуту первый спускается на 15 м, а второй поднимается на 10 м. Через сколько минут они будут на одинаковой высоте и на какой именно?»

(Шапошников, № 433.)

9. «На фабрике работают мужчины, женщины и подростки — всего 380 человек. Число женщин составляет — числа мужчин, а число подростков на 40 меньше числа женщин. Определить число мужчин, женщин и подростков в отдельности».

(Шапошников, № 435.)

10) Шапошников, № 456, 457.

11) Шапошников, № 469, 470.

12) Шапошников, № 377, 380, 384, 385, 432.

13) Шапошников, N° 415, 416.

14) Шапошников, № 402, 403.

Приведенные мною задачи охватывают лишь главнейшие типы. Тщательная проработка их даст учащимся необходимые навыки для решения более сложных задач, которые я отношу ко второму концентру.

Исследование полученных решений

Перед тем как переходить к задачам второго концентра, необходимо познакомить учащихся с исследованием полученных решений. Исследование решений проводится мною на подобранных для этой цели задачах, которые я беру из методики алгебры Чистякова (стр. 99—100, примеры 5, 6, 7, 8 и 9), учебников алгебры Киселева, ч. 2, и Лебединцева, ч. 1, куда я и отсылаю читателей.

Второй концентр задач на составление уравнений

Ход рассуждений при решении задач второго концентра остается прежний, но система расположения задач и помощь преподавателя здесь уже отодвигаются на второй план, а на первое место выдвигается творческая деятельность учащихся. Для решения во вторую очередь можно рекомендовать следующие задачи: Шапошников, № 388, 398, 390, 391, 463, 404, 405, 406, 409, 412, 417, 418, 420, 429, 422, 444, 437, 440, 451, 460, 389, 421.

СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ В VII КЛАССЕ

Н. КОЗЬМИН (г. Балашов)

§ 1. Для выяснения особенностей алгебраического метода решения задач, его отличия от арифметического сравним оба решения какой-либо задачи.

№ 371.* «Два лица имеют вместе 38 руб., причем у первого шестью рублями больше, чем у второго. Сколько денег у каждого?»

Арифметическое решение

1. Сколько денег было бы у них вместе, если бы у первого было столько же денег, сколько у второго?

38 руб. —6 руб. = 32 руб.

2. Сколько денег было у второго?

32 руб.: 2 = 16 руб. 8. Сколько денег было у первого? 16 руб. + 6 руб. = 22 руб.

Алгебраическое решение Уравнение для решения задачи:

Откуда:

Мы видим, что оба решения содержат по существу одни и те же действия, причем для алгебраического метода роль условия играет исходное уравнение, представляющее собою, как известно, алгебраическую запись условия задачи или, точнее, количественных соотношений условия. Характерно, что для решения написанного уравнения безразлично, что обозначено через х — число ли рублей, метров и т. п., какие конкретные величины обозначены коэфициентами. Зная уравнение и не зная условия, мы не можем восстановить условия по уравнению. Это значит, что ори

* Все задачи взяты ив задачника Шапошникова и Вальцова, ч. 1. 1934.

алгебраической записи количественных соотношений условия мы отвлекаемся от их конкретного содержания, как не существенного для их изучения. Именно в этом отличие алгебраического метода от арифметического и его значение: решение задачи сводится к перефразировке ее условия на алгебраический язык, решение же самого уравнения проходит, по существу, автоматически, по определенным правилам алгебры. Для алгебраического метода степень получаемого уравнения не имеет существенного значения; для арифметического же задачи, приводящие к уравнениям второй степени, решаются с большим трудом.

Возвращаясь к решению взятой задачи, поставим вопрос: о чем говорит совпадение действий решения и в арифметическом и в алгебраическом методах? Вспомним, что решение уравнения представляет собою цепь преобразований данного уравнения в другие, эквивалентные ему, но все более и более простые по структуре. И так как числовые данные исходного уравнения определены конкретным содержанием условия задачи, то каждое промежуточное, получаемое при решении уравнение соответствует какому-то видоизменению условия задачи. При арифметическом решении мы, по существу, решаем уравнение данной задачи. Отсюда видно, насколько алгебраический метод облегчает решение задачи по сравнению с арифметическим. Отсюда вытекает также прием нахождения арифметического решения задачи в том случае, когда оно затрудняет преподавателя: решить задачу алгебраически и перевести это решение на язык задачи.

Пример № 397. «За 30 метров сукна двух сортов заплачено всего 512 руб. Метр первого сорта стоит 18 руб., а метр второго— 16 руб. Сколько куплено метров того и другого сорта?»

Уравнение для решения задачи:

18х + 16 (30-*) = 512.

Его решение:

(18— 16) X = 512— 16-30.

Выясняем смысл коэфициентов: разность 18 руб. —16 руб. есть разница цен обоих сортов; произведение (18 — 16) х руб. есть разница цен на х метрах; произведение (16-30 руб.) выражает ту сумму, которая была бы заплачена, если бы все 30 метров были вторым сортом; разность 512—16-30 есть излишек истраченной суммы 512 руб. по сравнению с 16 руб. 30, вызванный наличием первого сорта. Отсюда легко вытекает арифметическое решение задачи.

§ 2. Мы можем теперь остановиться на тех затруднениях, которые создаются для учащихся при решении задач уравнением, связанных с особенностями алгебраического метода: выделение количественных соотношений в условии задачи и их алгебраическая запись.

Для преодоления первого затруднения большое значение имеет хороший навык арифметического решения задач. Как и всякая задача, арифметическая задача приучает выделять и оперировать соотношениями, данными в условии. Естественно, что, начиная составление уравнений со знакомых из арифметики задач, ученик будет чувствовать себя увереннее, и его внимание будет концентрироваться на второй стороне алгебраического метода — алгебраической записи.

Однако не верна и та крайность в этом вопросе, когда на алгебраический метод смотрят как на простое продолжение арифметического метода й трудности проработки этой темы объясняют исключительно недостаточностью арифметической подготовки учащихся. Поэтому, безусловно, нельзя согласиться с такими методическими установками, пытающимися свести алгебраическое решение к арифметическому, как их предлагает преподаватель Гельфанд: «Решай задачу, как в арифметике, пользуйся при этом и х» (совещание преподавателей математики, Москва, 1935), или преподаватель Островский: «Разбивай условие задачи на две арифметических задачи с новым, общим для обеих задач вопросом, пользуясь при этом X как буквенным значением одного из данных условия» («Физика и математика в средней школе», 1934 г., № 3).

Это станет еще нагляднее, если вспомним, что часто даже преподаватель, легко решая задачу алгебраически, затрудняется в ее арифметическом решении, ибо арифметическое решение, как мы видели, требует индивидуальных для каждой задачи преобразований ее условия, отпадающих в алгебраическом решении.

Попутно коснемся вопроса: знакомить ли учащихся с алгебраическим методом решения задач до седьмого класса, в котором он прорабатывается специальной темой? Уже в арифметике пятого класса уместно перебросить мостик между обоими методами на задачах, представляющих собою устную формулировку примеров. Например, № 191 стабильного задачника Березанской 1935 г.: «Какое число надо разделить на 27, чтобы получить в частном 15?» Для учеников будет понятной запись условия этой задачи в виде равенства х : 27 = 15, являющейся в сущности алгебраической записью условия. Решение этих простых уравнений будет опираться на свойства арифметических действий. Что же касается собственно задач, вроде приведенной выше № 371 (которая дана в задачнике Березанской под № 247), то в арифметике мы будем развивать навыки именно арифметического решения их.

В шестом классе в алгебраических и особенно в геометрических задачах нам также представится возможность знакомить учеников с обозначением искомой величины буквой х, вводя этим элементы алгебраического метода.

§ 3. Переходя ко второй стороне алгебраического метода — алгебраической записи — отметим, что затруднения учащихся будут сказываться: 1) в последовательности рассуждения для составления уравнения, 2) в алгебраической записи связи каждого числового данного с искомыми величинами, 3) в постановке знака равенства.

Затруднения ученика в последовательности рассуждений для составления уравнения проявляются в том, что 1) ученик не знает, с чего начинать рассуждение; 2) ученику мешает обилие числовых данных, и он не знает, в каком порядке использовать их. Учитывая это, мы будем начинать проработку темы с простых задач с 2—3 числовыми данными,

притом тех задач, которые уже решались в арифметическом курсе. На этих простых задачах ученик освоится, привыкнет к алгебраическому методу, почувствует его посильным для себя. На этих же задачах мы дадим ученику формулировку плана составления уравнения: обозначения неизвестного (одного из неизвестных) через х (выражение второго неизвестного через х), записи с помощью х условия задачи.

Формулировка самого плана составления уравнения будет зависеть от того, от каких задач и как. методически, мы подходим к проработке темы.

Нужно заметить, что «план» составления уравнения будет иметь довольно общий характер, что он не дает ученику таких конкретных указаний к действию, как, например, правило деления многочленов. Это, конечно, зависит от того, что нам желательно охватить этим планом возможно большую группу задач. Легко получить большую конкретность плана, формулируя его для узкого типа задач, но наличие различных планов для различных типов задач и элемент механичности их применения также нежелательны в педагогическом отношении. Эта недостаточная конкретность даваемой ученику формулировки плана составления уравнения обязывает нас к наибольшей систематичности при переходе от одной задачи к другой, от одного типа к другому. Самую формулировку плана составления уравнения желательно дополнить некоторой схемой записи при составлении уравнения. Например, в задачах с двумя объектами в условии удобна такая запись: № 397 (§ 1)

«метров цена заплачено

Для того чтобы ученик не терялся в обилии числовых данных, можно выработать навык фиксировать внимание поочередно только на одном числовом данном, ставя вопрос, можно ли сейчас использовать это числовое данное? Можно практиковать в отдельных задачах вычерчивание использованных данных в записанном на доске условии.

§ 3. Затруднения ученика в алгебраической записи связи каждого числового данного с искомыми величинами проявятся в: 1) нахождении этой связи, 2) в умении использовать алгебраическую символику для ее записи.

Затруднения ученика в нахождении связи числовых данных с искомыми величинами мы можем несколько уменьшить рассмотрением, хотя бы в простейшей форме, той функциональной связи, которая имеется в задаче, приучая ученика в таких случаях пытаться ввести величины, функционально связанные с числовым данным задачи, например, в задаче, в которой говорится о времени встречи поездов, мы можем поставить вопрос: что мы могли бы узнать, зная скорость и время движения поезда? (Путь, пройденный этим поездом.) В задаче, б которой говорится о бассейне, мы можем поставить вопрос: что мы могли бы узнать, зная время наполнения бассейна трубой? (Быстроту наполнения бассейна, т. е. какая часть бассейна наполняется каждый час.) и т. п. Постановку вопросов можно видоизменять.

Затруднения ученика в умении пользоваться алгебраической символикой вызываются отсутствием достаточных навыков чтения и записи алгебраических выражений. В этих случаях можно ставить до формулировки задачи предварительные упражнения, например: «Запиши число а вдвое большее Ь», «число а на 12% большее числа £», и т. п., причем надо выбирать те соотношения, о которых будет говориться в условии задачи. Конечно, мы должны помнить о том, что работа в этом направлении должна начинаться с первых же уроков алгебры, ибо навыки чтения и записи алгебраических выражений уже сами по себе говорят об алгебраической грамотности.

Одно из затруднений ученика при составлении уравнения—постановка знака равенства. Необходимость появления знака равенства при алгебраической записи условия задачи (другими словами, тот факт, что алгебраическая запись условия приводит именно к уравнению) говорит о том, что условно задачи распадается на две относительно самостоятельные части. Облегчить разделение условия — вот наша задача в этом случае.

Мы можем или же сразу, до введения буквы X и алгебраической записи нужных выражений через xt разбивать условие задачи на две части, определяя этим структуру будущего уравнения и подчиняя этой структуре будущего уравнения весь процесс алгебраической записи условия, или же мы можем заняться сначала алгебраической записью числовых данных условия, не беспокоясь пока о характере будущего уравнения, не задумываясь о том, где появится знак равенства — и затем, если при использовании последнего числового данного не появилось знака равенства, искать его между двумя из уже написанных алгебраических выражений.

В первом случае мы имеем аналитический метод рассуждения, во втором — синтетический. Синтетический метод рассуждения обычно проще для составления уравнения, ибо легче поочередно фиксировать внимание лишь на одном из числовых данных и в получаемых алгебраических выражениях увидеть связь частей условия, чем искать ее во всем условии целиком, что часто равносильно нахождению отправной идеи арифметического решения и поэтому требует больше, чем это непосредственно требуется алгебраическим методом.

Однако было бы педагогически неправильно пренебречь каким-либо из этих приемов как синтетическим, так и аналитическим, вырабатывающим умение охватить целиком весь живой комплекс конкретных данных условия и сообщающий всей работе целенаправленность (вообще свойственную аналитическому методу). Это было бы тем более неправильно, что эти методы находятся в диалектическом единстве.

Заметим еще, что удачно выбранная схема записи условия или составления уравнения облегчит и разделение условия и, значит, составление уравнения.

К ВОПРОСУ МЕТОДИКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

А. ГОРСКИЙ (Великие Луки)

Решение задач на составление уравнений является одним из наиболее трудных вопросов в курсе средней школы, при этом наибольшие трудности для учащихся представляют задачи, из условия которых требуется составить одно уравнение с одним неизвестным первой или второй степени.

В настоящей статье я имею в виду ознакомить товарищей по работе с тем опытом, который я имею по методике решения задач на составление уравнений.

Методика преподавания того или иного раздела программы вытекает из специфики темы и учета необходимых предварительных знаний и навыков.

В чем же особенность темы «Решение задач на составление уравнений?» — Особенность эта заключается в следующем.

При решении арифметических задач и задач на вычисление по геометрии учащиеся приобретают некоторый навык в анализировании задачи, умеют постепенно переходить от известной величины к величинам данным и, дойдя до основного звена шаг за шагом, затем подходят к определению искомой величины. При решении задач на составление уравнений ход рассуждения строится уже в ином плане: мы допускаем, что искомая величина определена и обозначаем ее алгебраическим символом (обычно через х). Затем устанавливаем зависимости между данными и искомой величиной, в результате составляем или непосредственно уравнение или получаем его из некоторого неравенства, которое вытекает из сопоставления величин, приведенных в задаче.

Таким образом, особенностью данной темы является ход рассуждений, отличный от применяемого учащимися при решении арифметических задач. На первый взгляд может показаться, что построение анализа значительно сложнее, чем установление зависимостей между величинами, данными в задаче. Однако это оказывается справедливым только в отношении некоторых зависимостей.

Задачи на составление уравнений чаще всего дают два ряда зависимостей, из которых затем составляется третий, приводящий к уравнению, и учащимся наиболее трудно дается умение эти два ряда зависимостей объединить в один.

Для преодоления трудностей в установлении зависимостей между величинами, данными в задаче, а также между данными и искомой величиной, необходима длительная работа не только по решению арифметических задач, а в VI классе — задач геометрических, на вычисление, но работа и по привитию навыков в проверке решения задач и составлении общих формул решения арифметических задач в VI классе. К сожалению, проверка решения задач не всегда практикуется в школе, тогда как ее надо практиковать уже в младших классах и особое внимание этому уделять в V классе, когда учащиеся начинают решать более сложные задачи. Дело в том, что часто учащиеся решают задачу наугад, так сказать ощупью и, не сознавая отчетливо зависимостей между величинами, вполне удовлетворяются правильным ответом; проверка решения облегчает им осознать эти зависимости и, следовательно, способствует развитию их математического мышления. Но так как эта проверка имеет целью также подготовить учащихся к умению составлять в будущем уравнения, необходимо проверку производить составлением равенства, т. е. в результате ряда арифметических действий над величинами, данными в задаче, мы должны получить в обеих частях равенства те величины, которые по условию задачи должны быть равны.

Пусть дана задача:* «Окружность скакового поля 2 400 м. По этой окружности скачут по одному и тому же направлению две лошади, начавшие свое движение одновременно, но из прямо противоположных точек окружности. Наблюдавший за первой лошадью отметил, что за 1 ~ мин. она пробежала 420 м, а наблюдавший за второй лошадью отметил, что за 1 м. 15 с. она пробежала 450 м. Сколько окружностей по скаковому полю должна пробежать вторая лошадь, чтобы догнать первую?»

Решение Скорость бега 1-й лошади

Скорость бега 2-й лошади

2-я лошадь в минуту пробегает на 360 — — 280 = 80 м больше, чем 1-я лошадь. Расстояние между ними в момент начала бега — 1 200 м. Следовательно, 2-я лошадь догонит первую через 1 200:80 = 15 мин. Расстояние, которое пробежит 2-я лошадь, равно 360-15 =

* Задача № 1145. Сборник арифметических задач Березанской, изд. 1938 г.

в= 5 400 м. Число окружностей, которые должна пробежать 2-я лошадь, равно

Проверка

Время пробега обеих лошадей должно поэтому быть равно:

Произведя указанные действия в левой и правой частях равенства, получим: 15=15, т. е. каждая лошадь бежала 15 мин.; задача решена правильно.

Проверку решения этой задачи можно было сделать и так:

1) Определим расстояние, которое сделала 2-я лошадь: 24С0-2 — = 5400 м.

2) Определим расстояние, которое сделала 1-я лошадь (она на ~ окружности сделала меньше): 2 400-1 —= 4 200 м.

3) Узнаем, на сколько метров 2-я лошадь пробежала больше первой: 5 400 — 4 200 = 1 200 м. Это число метров равно ~ окружности, следовательно, задача решена правильно.

Однако такая проверка решения не будет в должной степени подготовительной работой к составлению уравнений.

Установление зависимостей между данными и искомой величиной при решении задач на составление уравнений затрудняет учащихся также потому, что эта зависимость выражается введением алгебраического символа для обозначения искомой величины (х), поэтому уже в VI классе безусловно необходимым является привитие учащимся навыков выражать различные величины и зависимости между ними в общем виде, обозначая эти величины буквами. В стабильном задачнике Шапошникова и Вальцова, ч. 1, имеются такие задачи («§ 8. Общие формулы решения арифметических задач»).

Упражнения в проверке решения задач (в V классе) и составление общих формул решения арифметических задач (в VI классе) имеют большое образовательное значение и в то же время облегчают в дальнейшем учащимся составление уравнения из условия задачи.

Помимо этого, перед решением задач на составление уравнений необходима предварительная тренировочная работа на переход от неравенств- к равенствам, так как по условию задачи зависимость между данными и искомой величиной выражается часто неравенством. Полезно предварительно поупражнять учащихся в решении таких примеров:

1) 5 больше 3 на 2. Составьте равенство. Учащиеся должны дать несколько вариантов решения: 5 — 3 = 2; 5 — 2 = 3; 5 = 3 + 2; 3 +-+ 2 = 5.

2) 12 меньше 18 на б. Составьте оавенство. Варианты решения: 12 + 6 = 18; 18 — 6=12; 12 = 18 —6; 18= 12 + 6.

3) 20 больше 5 в 4 раза. Составьте равенство. Варианты решения: 20 :5 = 4; 20 :4 = 5: 20 = 5-4- 5-4 = 20.

4) 36 меньше 72 в 2 раза. Составьте равенство. Варианты решения: 36-2 = 72; 36 = = 72:2; 72:2 = 36.

Аналогичные упражнения затем решаем с введением одной буквы и, наконец, в общем виде. Например:

I. а больше 5 на 3. Составьте равенство. Варианты решения: д = 5 + 3; а — 3 = 5; а — -5 = 3.

II. Составьте равенства, если:

Наличие навыка в переходе от неравных величин к равным, когда дается зависимость между неравными величинами, в значительной степени облегчает учащимся составление уравнения, причем учащиеся убеждаются в том, что уравнение появляется не в результате каких-то искусственных преобразований, а как логический вывод из их рассуждения.

Задача*: «Расстояние между станциями 96 км. Скорый поезд проходит это расстояние на 40 минут быстрее почтового, средняя скорость которого на 12 км в час меньше средней скорости скорого поезда. Найти скорость обоих поездов».

Решение

Допустим, что средняя скорость скорого поезда х км/ч; тогда средняя скорость почтового поезда будет (х — 12) км/ч. Скорый поезд пройдет 96 км за — час, а почтовый поезд за-— час.

По условию

Следовательно,

* Задача № 97 (дублер). Сборник алгебраических задач Шапошникова и Вальцова, ч. 1.

Решаем полученное уравнение:

Второй корень X = — 36 не удовлетворяет условию задачи, следовательно, средняя скорость скорого поезда 48 км/ч, а почтового поезда 36 км/ч.

Вопрос о большой трудности для учащихся составления уравнений из условия задачи в значительной степени потеряет свою остроту, если к этой работе мы будем постепенно подготовлять учащихся: в IV и V классах — путем проверки решения задач составлением равенств; в VI классе — решением арифметических задач в общем виде, а в VII классе — путем предварительных упражнений на переход от неравенств к равенствам, облегчающий учащимся понимание смысла различных зависимостей между величинами.

О СОСТАВЛЕНИИ УРАВНЕНИЙ

О. ДИРЕКЧИЯНЦ

Несмотря на то, что в последние годы о составлении уравнений написано много журнальных статей, вопрос этот попрежнему остается открытым и требует разрешения. Это объясняется тем, что почти все авторы задаются целью дать теорию составления уравнений.

Но ведь главная трудность не в отсутствии теории, а в неумении учеников правильно записать, что одно число на столько-то больше или меньше другого, что число а больше числа b на столько-то процентов или во столько-то раз и т.д.— ученики не умеют выражать зависимость между величинами при помощи алгебраических формул.

Чтобы научить учащихся составлять уравнения, нужно так спланировать работу, чтобы ученик шаг за шагом усваивал все необходимые правила и приемы. Основная проблема заключается здесь в правильном подборе учебного материала (т. е. задач) и доступном для учащихся изложении.

Вот в этом и нужно помочь преподавателю математики, главным образом, начинающему: нужно составить примерный план проработки темы, способы решения типичных задач, необходимые разъяснения, образцы записей и т. д.

Из всех статей, помещенных в журнале «Физика и математика в школе» за 1934—1936 гг., особого внимания заслуживает статья И. К. Браун, напечатанная в № 5 журнала за 1936 г. Автор правильно поставил основной вопрос методики составления уравнений и ответил на него: он дал примерный план проработки вопроса с указанием номеров всех задач, которые должны быть решены. Этот план есть, несомненно, шаг вперед по сравнению с стандартным задачником, но он не вполне приемлем, так как, во-первых, подбор задач не совсем удачен, а во-вторых, нужен не подбор задач по Шапошникову и Вальцову, а систематическое изучение тех приемов, которыми приходится пользоваться при составлении уравнений.

Многие опытные, высококвалифицированные преподаватели математики могли бы дать много ценных указаний по этому вопросу. Собрав и систематизировав весь этот материал, можно составить именно такое пособие, какое нам нужно.

ОБЩИЕ ПРАВИЛА.

Как только ученики познакомились со способами решения простейших уравнений типа ах — b, a + x = b и т. д., нужно им показать, как легко решаются при помощи уравнений арифметические задачи, иногда очень сложные. Только после этого можно переходить к развитию техники в решении упражнений: практика показывает, что при этом условии учащиеся гораздо больше интересуются уравнениями и лучше их решают.

Закончив решение линейных уравнений с одним неизвестным, преподаватель снова переходит к их составлению и еще раз на нескольких задачах показывает, насколько легче решать задачи при помощи уравнений.

Для начала можно решить хотя бы такую задачу: «Найти два числа, сумма которых 105, зная, что -г одного числа равны восьмой части другого».

Показав, как сложно и трудно решается эта задача арифметически, преподаватель составляет уравнение:

и предлагает его решить. Получается х = 25. Значит, одно число равно 25, другое — 80.

А как мы решаем эту задачу без уравнения? Мы рассуждаем так: первое число во столько раз меньше второго, во сколько больше одной восьмой, т. е. в 3 — раза

Считая, что первое число содержит одну часть, а второе 3—• таких же частей, складываем эти части, делим 105 на 4 — и т. д.

Учащиеся видят, насколько алгебраическое решение легче. После этого можно решить, например, такую задачу: На 850 руб. куплено 11 м сукна двух сортов, по 75 руб. и по 80 руб. за метр; сколько куплено каждого сорта?»

Так решает преподаватель с классом несколько задач, обращая в каждой из них внимание учащихся на разницу между алгебраическим и арифметическим решением и подбирая такие задачи, которые при помощи уравнения решаются легче.

После этого ставится вопрос: как же можно составить уравнение по условию задачи? Учащиеся знакомятся с замечательной мыслью Ньютона о том, что «составить уравнение, значит, перевести условие задачи с обыкновенного разговорного языка на язык алгебры».

Для пояснения этой мысли поступаем так же, как Ньютон в своей «Universal Ariphmetick», т. е. составляем несколько уравнений в следующей форме (см. таблицу).

Если преподаватель считает более целесообразным дать уравнения с одним неизвестным, можно первые две задачи заменить другими. Здесь помещены уравнения с двумя неизвестными только для того, чтобы нагляднее показать, как переводится на язык алгебры каждая строчка условия задачи. Для лучшего усвоения преподаватель может добавить в таблице еще несколько задач.

Из этих примеров можно вывести общие правила составления уравнений с одним неизвестным.

1. Нужно выбрать одно из неизвестных чисел, содержащихся в условии задач и, и обозначить его через де или другую букву. Удачный выбор этого неизвестного имеет большое значение; нужно его выбрать так, чтобы уравнение получилось как можно проще (об этом будет сказано дальше)*.

2. Обозначив одно из неизвестных чисел, выразить остальные неизвестные через ту же букву, пользуясь теми данными, которые содержатся в условии задачи. Например, в первой задаче, обозначив первое неизвестное через де, получаем для второго 105 — X.

3. Когда все неизвестные выражены через одну и ту же букву и использованы все данные условия, кроме одного, нужно эту последнюю зависимость (которая содержится в неиспользованной части условия задачи) выразить при помощи равенства, и получится уравнение.

С. С. Бронштейн говорит**, что в задачах на составление уравнений в первую очередь решается вопрос, какие две величины равны друг другу. Это не всегда верно, так как в условии некоторых задач нет равных величин. Например, в задаче III (в таблице) говорится о двух величинах, не равных между собой, из которых одна была в 4 раза больше другой, а потом стала в 7 раз больше. Можно, конечно, утверждать, что в этой задаче есть равные величины, так как 7 (де — 50) равно Ах — 50; но в условии задачи нет величины 7 (де — 50), а есть де —50.

Таким образом формулировка С. С. Бронштейна не всегда применима. Более удачной была бы такая формулировка: составляется равенство, которое показывает, что две величины или равны между собой или находятся в данном отношении.

Как бы ни формулировать общее правило составления уравнений, мы не охватим всего того разнообразия приемов, которое встречается при решении задач. Необходимо эти способы рассмотреть отдельно. Но нужно прежде покончить с теми вопросами, которые касаются всех задач на составление уравнений.

Иногда при составлении уравнения приходится пользоваться такими величинами, которые в условии задачи совсем не упоминаются, но подразумеваются, так как должны быть хорошо известны учащимся. Решим задачу: «Найти смежные углы, из которых один в полтора раза больше другого. Так как сумма смежных углов равна 180° (хотя в условии задачи ничего об этом не сказано), составляем уравнение так:

х+ 1,5* = 180.

Для того чтобы уравнение было составлено правильно, нужно чтобы все данные в условии задачи числа и зависимости между числами были использованы и притом только по одному разу;

* В большинстве случаев (но не всегда) через х обозначается одно из искомых чисел.

** «Методика алгебры» изд. 1935 г., стр. 111.

если это требование будет нарушено, получится не уравнение, а тождество.

Решим задачу: «Найти два числа, сумма которых равна я, разность — Ь». Если одно число обозначим через х, другое будет я — х. Получим уравнение: х — (а — х) = Ъ. Если же мы напишем х + (а — х) = я, получится X — X = а — я, или 0 = 0, т. е. тождество. Здесь ошибка заключается в том, что сумма (я) при составлении равенства использована дважды, а разность (Ь) ни разу.

Когда задача решена, нужно полученное решение проверить не путем подстановки в уравнение, а непосредственно по условию задачи, так как может случиться, что уравнение составлено неверно, а решено верно. Например, решив последнюю задачу таблицы (стр. 2), мы получим, что X = 1000, т. е. одно из искомых чисел равно 100, другое 400. Если в уравнение

4х -50 = 7 (х— 50)

подставить 100 вместо х, получим тождество 350 = 350. Это покажет, что уравнение решено верно. А верно ли оно было составлено?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно посмотреть, удовлетворяют ли полученные ответы условию задачи, т. е. будет ли одно число в 4 раза больше другого, а если каждое уменьшить на 50, станет ли одно в 7 раз больше другого. Так как 400:100 = 4, а (400 — 50) :(100 — 50) = 7, делаем вывод, что задача решена верно. Так же нужно проверять решение каждой задачи.

После этих общих замечаний переходим к решению отдельных типов задач. Но перед этим необходимо проверить, хорошо ли умеют ученики переводить с разговорного языка на язык алгебры и обратно. Эти навыки должны быть выработаны в самом начале изучения алгебры при составлении алгебраических выражений и формул (см. Шапошников и Вальцов «Сборник алгебраических задач», ч. 1, стр. 3—7 и 13—15).

Если учащиеся в свое время недостаточно проработали эти вопросы, нужно отвести 2—3 урока на упражнения в составлении и чтении алгебраических выражений и формул, и только после этого переходить к систематическому решению задач при помощи уравнений.

УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДИМЫЕ К ВИДУ ах = b

Задача 1. «Найти число,— которого равны 90».

Задача 2. «В библиотеке 8240 книг, из которых русских в 5 раз больше, а немецких вдвое больше, чем французских. Сколько книг на каждом языке?

Задача 3. «Хао, половина хао, треть хао и четверть хао равно 125. Найти хао».

Такая задача была найдена в папирусе Ахмеса, написанном около 4 000 лет назад в Египте. Хао значит куча, т. е. неизвестное число.

Решение. Пусть хао равно х; тогда половина хао будет , треть хао--- , а четверть хао

Получим:

откуда X = 60. Для проверки найдем:

Преподаватель должен рассказать, как решалась эта задача в то время, когда был написан папирус. Этот способ называется правилом ложного положения. Предположим, что хао равно 12. Тогда половина хао будет 6, треть хао — 4, четверть хао-—3, а все вместе 12 + 6 + 4 + 3 = 25. Получилось в 5 раз меньше, чем нужно; значит, хао равно не 12, а в 5 раз больше, т. е. 60.

Учащиеся при этом еще раз увидят, насколько применение уравнений облегчает решение задач.

Задача 4. Найти три числа, отношение которых равно 8: 9:10, а сумма 540.

Решение. В этой задаче ни одно из искомых чисел не следует обозначать через х. Пусть неизвестная буква обозначает общий наибольший делитель этих чисел; значит, искомые числа будут 8х, 9х и 10х. Получим уравнение (без дробей):

8х + 9л: + 10* = 540.

Когда учащиеся усвоили способ составления таких уравнений, остается решить для закрепления еще несколько задач такого же типа.

Можно решить известную задачу о гусях, о надписи на могиле Диофанта, о числе учеников Пифагора, задачи с общественно-политическим или научным содержанием и др.

Задача 5. «Расстояния Марса, Земли и Меркурия от Солнца относятся, как 8:5:2, а сумма этих расстояний 450 м км. Определить расстояние каждой планеты от Солнца».

Задача 6. «Тираж всех газет СССР увеличился с 1928 по 1934 г. на 29,7 млн. экземпляров. Найти тиражи этих двух годов по их отношению: 8:35.

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ЧИСЛАМИ

Задача 7. «В одном складе было вдвое больше муки, чем в другом. Из первого склада увезли 750 кг, а во второй привезли еще 850 кг и тогда в них стало муки поровну. Сколько было в каждом складе?»

Решение. Для большей наглядности составим таблицу:

Склады

Сколько килограммов муки было в начале?

Сколько прибавилось или убавилось?

Сколько стало?

Первый

— 750

2ж— 750

Второй

X

+ 850

X +850

Так как в результате стало муки поровну пишем:

откуда X = 1 600; следовательно, 2х = 3 200. Значит, в первом складе 3 200 кг, а во втором — 1 600 кг. Для проверки из 3 200 вычтем 750, а к 1 600 прибавим 850 — результаты получатся равные.

Решив еще 2—3 таких задачи, переходим к более сложным задачам, решаемым почти таким же способом.

Задача 8. «В одном ящике 55 кг крупы, в другом 63; из второго ящика взяли вдвое больше, чем из первого, и тогда в нем осталось на 5 кг меньше, чем в первом. Сколько взяли из каждого ящика?

Решение. Считая, что из первого ящика взяли л: кг, а из второго 2х, составим таблицу.

Ящики

Сколько было крупы вначале? (в кг)

Сколько взяли?

Сколько осталось?

Первый

55

X

55 — X

Второй

63

63 — 2х

Если бы количества крупы, оставшиеся в обоих ящиках, были равны, можно было бы поставить между ними знак равенства, и получилось бы 55 — X = 63 — 2х. Но мы знаем, что эти количества не равны и что второе меньше первого на 5 кг.

Если бы мы эти два ящика с остатками крупы поставили на чашки весов, чашка с первым ящиком перетянула бы, и для равновесия пришлось бы поставить на другую чашку гирю весом в 5 ко.

Итак, на левой чашке 55—х кг крупы, а на правой 63 — 2х кг крупы и гиря в 5 кг. Так как весы находятся в равновесии, делаем вывод, что 55 — X равно 63 — 2х + 5.

Пишем уравнение 55 — л: = 63— 2х + 5, из которого получаем х = 13, Решение и проверку доводим до конца.

Решив еще несколько таких задач при помощи весов, переходим к другим задачам, в которых весы не применимы, но способ решения ничем не отличается.

Задача 9. «В одном классе вдвое больше учеников, чем в другом. Если из первого класса перевести во второй 10 человек, в первом станет на 3 больше, чем во втором. Сколько учеников в каждом классе?»

В задачах 8 и 9 мы записывали раньше (в таблице) числа, из которых одно больше другого в несколько раз (т. е. известно их кратное отношение), например, X и 2х, а при составлении уравнения мы уже записывали, что одно число больше другого на несколько единиц, например на 5 кг или на 3 человека.

Разобрав с учащимися и закрепив на достаточном количестве задач эти правила, переходим к уравнениям типа ах+Ь = m {çx+d) составляемым при помощи кратного отношения.

Задача 10. «В 1925 г. в Англии ежемесячно плавилось в 5 раз больше чугуна, чем в СССР. В следующие 7 лет выплавка в СССР увеличилась приблизительно на 500 тыс. /я, а в Англии уменьшилась на 200 тыс. /я, и в 1932 г. в СССР плавилось вдвое больше, чем в Англии. Найти среднемесячную выплавку Англии и СССР в 1925 г.».

1925 г.

Изменения

1932 г.

СССР

5

+ 5С0

X + 500

Англия

Ъх

— 200

Ъх - 200

Имеем уравнение: 2 (5л: — 200) = *+ 500.

Решая это уравнение, получим л:=100, т. е. месячная выплавка СССР в 1925 г. была равна 100 тыс. т. Выплавка Англии — 500 тыс. т.

Проверка. В 1932 г. в СССР было 100 + 500 или 600 m, а в Англии 500 — 200 или 300 т. Действительно, выплавка СССР вдвое больше выплавки Англии. Задача решена верно.

Кроме задач, разобранных в этой главе, необходимо решить, по крайней мере, около десятка других задач такого же типа.

Нужно помнить, что при составлении уравнений вопрос об отношении является одним из основных, обязательно добиться полного его усвоения всеми учащимися, и только тогда переходить к другим типам задач. При проработке задач на отношения ни в коем случае не следует экономить время, так как лишний час, затраченный здесь, дает возможность сэкономить несколько часов при решении задач другого типа.

Во всех задачах с кратными отношениями двух чисел получается уравнение вида:

где а и Ь — любые положительные или отрицательные числа. Если же первое отношение разностное, а второе кратное, получится:

Наконец, если первое отношение кратное, а второе разностное, получится уравнение:

ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТЕЙ

В предыдущих задачах рассматривалась зависимость между разными числами. Теперь переходим к задачам, в которых встречаются части одного и того же числа.

Задача 11. «Рабочий истратил сперва пятую часть полученных денег, а затем семь восьмых остатка. Тогда у него осталось 60 руб. Сколько денег он получил?»

Задача 12 (Ньютона). «Имея некоторый капитал, купец израсходовал в первый год 100 ливров, а затем получил доход, от которого остаток его денег увеличился на одну треть; во второй год он тоже израсходовал 100 ливров, а остаток опять увеличил на одну треть; в третий год тоже израсходовал 100 лив-

ров и увеличил остаток на одну треть. Оказалось, что за эти 3 года он стал вдвое богаче. Определить первоначальный капитал.

Решение Ньютона. Обозначив первоначальный капитал в ливрах через х, вычтем 100 и прибавим одну треть остатка» получим капитал в конце первого года (см. таблицу). Так же вычислим капиталы в конце второго и третьего года.

Годы

Капитал в начале года

После израсходования 100 ливров

Капитал в конце года

Так как последний капитал

вдвое больше первоначального, составляем уравнение:

Проверка. В первый год израсходовано 100 ливров, а к оставшимся 1 380 ливрам прибавлена треть, т. е. 460 ливров; получилось 1 840 ливров. Во второй год такими же действиями получаем 2 320 ливров (1 840 —

Третий год:

Так как получилось число, вдвое большее первоначального, задача решена верно.

Во всех этих задачах главное внимание нужно обратить на правильное вычисление частей, помня, что часть числа получается путем умножения на соответствующую дробь.

В более сложных задачах (например задача Ньютона) до составления уравнения делаются предварительные вычисления (таблица), и, таким образом, решение очень сложной, на первый взгляд, задачи получается простое и наглядное.

На это правило нужно решить 5—10 задач.

ПРОЦЕНТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Несмотря на то, что процентам уделяется много времени при изучении арифметики, процентные вычисления и в курсе алгебры требуют большого внимания как вопрос громадной практической важности.

Особенное внимание здесь нужно обратить на тех учащихся, которые недостаточно усвоили решение задач на проценты при изучении арифметики. Но и лучшие ученики быстро забывают правила процентных вычислений и часто их путают. Поэтому задач на проценты нужно решить как можно больше.

Прежде чем приступить к решению задач, нужно вспомнить правила процентных вычислений.

Если обозначить число, содержащее 100%. через д, число процентов — /?, а число, содержащее р процентов, через Ь, имеем следующую зависимость:

Задача 13. «Выплавка чугуна в СССР составила в 1932 г. 585 тыс. /я, на 30% больше, чем в 1928 г. Определить выплавку 1928 г.»

Задача 14. «На ткацкой фабрике две бригады выработали в первый месяц 800 000 м полотна; в следующий месяц первая бригада увеличила производительность труда на 6%, а вторая на 8%, и они выработали вместе 854 000 м. Найти выработку каждой бригады».

Решение. Обозначим, продукцию первой бригады в первый месяц в метрах через х9 второй — 800 000 — X. Во второй месяц первая бригада увеличила выработку на 6%, или

В таблице показана выработка каждой бригады за каждый месяц.

Бригады

Выработка в первый месяц

Рост

Выработка во второй месяц

Составляем общую выработку за второй месяц и приравниваем 854 000; получим уравнение:

откуда

X = 500 000. Выработка первой бригады 500 000 м, второй — 300 000 м.

Проверка. Первая бригада увеличила продукцию на 30 000 м, вторая — на 24 000 м. Выработано во второй месяц: 800 000 м + + 30 000 м + 24 000 м = 854 000 м.

Если в задаче 13 уравнение составляется очень легко, то задача 14 значительно труднее. Между этими двумя задачами следует решить несколько задач средней трудности.

ДРУГИЕ ТИПЫ ЗАДАЧ

Проработав все правила, изложенные в предыдущих главах, и решив около 50 задач, учащиеся уже должны уметь решать большую часть задач, в которых приходится составлять уравнение с одним неизвестным. Это станет понятным, если принять во внимание, что в большинстве задач встречается сумма нескольких чисел и различные отношения между ними или их частями, в частности, процентные отношения.

Чтобы научиться решать и остальные задачи, необходимо познакомиться еще с некоторыми приемами.

Задача 15. «Одна бригада может выкосить луг в 20 часов, другая — в 30 часов. Во сколько часов выполнят эту работу обе бригады, работая вместе?»

Решение. Первая бригада выполняет в день одну двадцатую всей работы, вторая — тридцатую. Если обе бригады выполнят всю работу в X часов, то в один час получится -i- всей работы. Получим уравнение.

Задача 16. «Пароход прошел расстояние между двумя городами по течению в 6 часов, а обратно в 10 часов. Найти скорость течения, если скорость парохода в стоячей воде — 12 км в час.»

Решение. Обозначим через х км скорость течения в час. Тогда скорость парохода по течению будет 12 + х км, а против течения 12 — де км.

Направление движения

Время

Скорость (в км)

Расстояние

По течению Против течения

6 час. 10 »

12+ X

12 — X

6(12 + *) 10(12 — *)

Так как в обоих случаях пароход прошел одно и то же расстояние, получим уравнение:

6(12 + х) = 10(12 ——.де).

Задача 17. «В клетке находятся фазаны и кролики; всего у них 35 голов и 94 ноги. Сколько фазанов и сколько кроликов?»

Решение. Очевидно, всех животных 35, т. е. столько же, сколько голов. Если число фазанов обозначим через х, то кроликов будет 35 — X. У фазанов число ног — 2jc, у кроликов — 4(35—-.де).Всего ног2х+ 4(35—i)=94, откуда де = 23. В клетке 23 фазана и 12 кроликов.

Эта задача помещена в китайской арифметике, составленной за 2 600 лет до нашей эры и изданной математиком Цзинь-Киу-Чау около 1250 года до н. э.

Задач а № 18. «Куплено на 75 руб. учебников алгебры и 50 задачников; учебник стоит в 4 раза дороже задачника. Сколько купили учебников и сколько задачников?»

В курсе арифметики обе последние задачи решаются предположением.

Задачи 15—18 можно считать типичными: в первой нам приходится вычислять время, необходимое на выполнение определенной работы; во второй — равномерное движение; третья и четвертая — обычные задачи на предположение. Следует решить еще несколько таких же задач и десятка два по геометрии, физике (определение удельного веса, средней температуры и т. д.) и др.

В общей сложности получится около сотни задач на составление уравнений первой степени с одним неизвестным. Если весь этот материал серьезно проработать, у учащихся будет достаточный опыт и, следовательно, хорошая подготовка для составления систем уравнений, которые в большинстве случаев составляются значительно легче, чем одно уравнение с одним неизвестным. Нужно еще раз повторить, что решающее значение для усвоения всей этой темы имеет качество проработки задач на отношения и проценты. Каждому преподавателю математики известно, что большая часть затруднений учащихся связана с этими вопросами.

К ВОПРОСУ О МЕТОДИКЕ ОБУЧЕНИЯ СОСТАВЛЕНИЮ УРАВНЕНИЙ

И. АЛЬТШУЛЕР (Гомель)

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1. В целях лучшего овладения учащимися техникой составления уравнений необходимо расположить задачи по нескольким основным типам в зависимости от их тематики.

2. Задачи данного типа надо решать в порядке нарастающей трудности, причем необходима предварительная работа, направленная к ознакомлению учащихся с теми арифметическими понятиями и идеями, которые легли в основу задач данного типа.

3. Составление буквенных уравнений должно переплетаться с составлением численных уравнений.

4. При решении задач алгебраическим способом желательно, в большей или меньшей степени, стимулировать решение и арифметическим способом, кроме того, желательно выполнение проверки полученных решений задач.

5. Уравнения составляются либо с одним, либо с двумя неизвестными, в меру удобства, в зависимости от характера задачи.

6. В конце отводится несколько добавочных часов на составление уравнений с тремя неизвестными (разных типов).

7. Необходимо обращать внимание на форму записи как условия задачи, так и ее решения. Табличная форма, графическая иллюстрация и другие приемы, делающие условие задачи и сопутствующие рассуждения удобными для обозрения, весьма целесообразны.

Здесь я предлагаю вниманию читателя примерную схему расположения задач на составление уравнений (главным образом 1 степени с одним и двумя неизвестными) по основным типам с указанием методов их проработки.

ТИП I. ЗАДАЧИ БЕЗ КОНКРЕТНЫХ УСЛОВИЙ

1. Предварительные упражнения заключаются в прочном усвоении понятий: «больше на...», «меньше на...», «больше в ... раз», «меньше в ... раз». Полезно дать учащимся следующую схему для заполнения (см. схему).

Учащиеся должны поставить в первой строке знак минус между 8 и 6 и знак равенства между б и 2, или знак равенства между 8 и 6 и знак плюс между б и 2. Аналогично — в остальных строках.

2. Простейшие упражнения в составлении уравнений. Имеются в виду задачи следующего рода: к какому числу следует прибавить 1 —, чтобы получить 3 ? На какое число следует умножить 3—, чтобы получить 14? На сколько следует умножить число я, чтобы получить число Ы Найти число, которое при увеличении на 6 ~ дает тот же результат, что и при умножении на 7 — . Найти число, четверть которого на 5 меньше третьей его доли. Если к неизвестному числу прибавить число, которое больше его в m раз, то получится число а; найти это число. Найти такое число, что если от него отнимем 5, остаток умножим на 7 и к результату прибавим 1, то получим 22. Какое число следует прибавить к делимому 820 и к делителю 37, чтобы в частном получить 10? Если неизвестное число разделить на а, то получится в частном 9, а в остатке г; найти неизвестное... и т. п.

3. Нахождение двух (или нескольких) чисел. Сюда относятся задачи вроде следующих: Найти 2 числа, сумма которых 100 (или а), а разность 28 (или Ь). Найти 2 числа, сумма которых 100, причем первое в 4 раза больше второго. Найти 2 числа по следующим условиям: их сумма равна 100; если большее из них разделить на меньшее, то в частном получится 4, а в остат-

Схема

Расставьте необходимые знаки действий и знак равенства между буквами и числами

ке 5. Вот примерная запись условия и решения последней задачи:

Искомое уравнение

Решив уравнение, получим:

Проверка.

При делении 81 на 19 в частном получается 4, в остатке 5.

К типу I относятся задачи в «Сборнике алгебраических задач» Шапошникова и Вальцова (ч. 1, изд. 1936 г.) № 376—385.

ТИП II. ПРОЦЕНТЫ

1. Предварительные упражнения состоят в повторении (из арифметики) основных задач на проценты (нахождение процента данного числа, нахождение числа по его проценту, нахождение процентного отношения) и в выводе основных соотношений:

где а — первоначальная сумма, Л —наращенная сумма, 1—процентные деньги,/? — процентная такса, / — время.

2. Решаются задачи из Шапошникова и Вальцова: № 402, 403 и 421. Этого мало, и учителю приходится самому подбирать задачи этого типа.

ТИП III. ЗАДАЧИ НА СМЕШЕНИЕ

1. Предварительные упражнения. Разбирают (на числах и на буквах) задачи, в которых даны количества и цены смешиваемых товаров и требуется определить цену смеси, а также задачи, в которых даны количества двух смешиваемых товаров, цена одного из них и общая стоимость («Правило смешения 1-го рода»).

2. Решают задачи, в которых даны цены двух смешиваемых товаров, общее их количество и цена смеси (или общая стоимость) и требуется узнать количество каждого сорта в отдельности («Правило смешений 2-го рода»). К типу III относятся, например, задачи из «Сборника задач» Шапошникова и Вальцова № 388, 397, 398.

Сюда же относится и следующая задача: «Разменять 27 руб. на 10-копеечные и 20-копеечные монеты так, чтобы всех монет было 170».

3. Решают задачи на пробу, крепость спирта и удельный вес. Задачи физического характера должны быть не трудными по своему физическому содержанию. Задачи на вычисление температуры смеси (Шапошников № 464) необходимо начать с вывода этой формулы.

Задача. В воду калориметра температуры t° погружено тело температуры масса воды— m, масса тела—тх\ удельная теплоемкость тела — с. Определить температуру смеси Q.

Условие

Масса Удельная теплоемк.

Температура

Вода .

. . m 1

t Температура смеси Q

Тело .

. . mt с

tx (пусть lt > t)

Составление уравнения

Вода поглотила тЛ (Q — t) калорий. Тело потеряло тлс (tx — Q) калорий. Искомое уравнение: m (Q — t) = mlc(tl = Q).

ТИП IV. ДВИЖЕНИЕ

1. Предварительно выясняется зависимость s = vt, откуда t = — равномерного движения. (Последнюю формулу можно писать и означает величину, обратную скорости, т. е. продолжительность прохождения единицы длины. Так, если за 5 часов пройдено 200 километров, то на 1 километр затрачено — = — часа.

2. Рассмотрим в качестве легкого примера следующую задачу (Шапошников, № 400). «С двух станций железной дороги, находящихся на расстоянии 76 — км, выходят одновременно 2 поезда и идут по одному направлению со скоростями 31 — км и 18— км в час, причем первый идет за вторым. Когда первый поезд догонит второй?» Условие

Составление уравнения

Скорость (в км/час.)

время (в час.)

расстояние (в километрах)

Уравнение

III. После решения задач аналогичной трудности можно перейти и к следующей задаче (Шапошников, № 476): «Пешеход должен пройти некоторое расстояние с тем, чтобы прибыть на место не позже назначенного времени. Пройдя в час 3 километра, он рассчитал, что опоздает на 20 минут, если будет продолжать путь с той же скоростью, с какой шел до сих пор, а потому ускоряет ход на — км в час и приоывает на место за 40 ми-

нут до срока. Какое расстояние должен был пройти пешеход?»

IV. Задачи на движение по течению и против течения необходимо также начать с арифметического введения.

Пусть о —скорость парохода в стоячей воде, t/, — скорость течения, s — определенное расстояние. Как велика скорость парохода по течению? против течения? Сколько времени употребит пароход на проезд туда и обратно? Затем нетрудно будет составить уравнение задачи № 491 («Пароход прошел в 11 часов» ... и т. д.).

ТИП V. ИЗМЕНЕНИЕ ЧЛЕНОВ ДРОБИ (ОТНОШЕНИЯ)

1. Предварительные упражнения. Надо проследить за равномерным изменением числителя и знаменателя дроби как правильной, так и неправильной, последовательно увеличивая (или уменьшая) их на одно и то же число. Возьмем, например, дробь —. Станем увеличивать числитель и знаменатель этой дроби на единицу:

Сделаем то же самое с неправильной дробью, например с

При таком изменении разность членов дроби остается неизменной, отношение же их, т. е. значение дроби, меняется: у правильной дроби увеличивается, у неправильной уменьшается (как известно, это отношение стремится к 1).

2. Решают задачи: а) К числителю и знаменателю дроби — прибавлено одно и то же число, после чего дробь по сокращении обратилась в . Найти это число. Ь) К числителю и знаменателю дроби — прибавлено одно и то же число, после чего дробь обратилась в —. Найти это число.

Арифметическое решение задачи следующее. Знаменатель постоянно превышает числитель на 12; в последний момент он больше его в 2 раза, т. е. числитель составляет 1 «пай», а знаменатель 2 «пая». Отсюда

1 «пай» = 12; 2 «пая» =24, дробь = ~ и т. д.

В «Сборнике» Шапошникова и Вальцова к этому типу относятся задачи № 431 и 433.

3. К этому же типу относятся и задачи на возраст отца и сына (№ 394, 395). Разность возрастов постоянна, а отношение с годами уменьшается (как у неправильной дроби). Арифметическое решение аналогично предыдущему; его можно иллюстрировать и графически.

ТИП VI. ОБРАТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

1. Предварительные упражнения. Решают следующие задачи:

а) Один рабочий выполняет задание за б часов, другой —за 3 часа. За сколько времени они могут выполнить задание, работая вместе?

Обозначим размер задания через v, тогда

или, сократив на v, имеем

Вспомогательная величина v не нужна — принимают задание за единицу.

b) Та же задача, но с другими числовыми данными.

c) Через одну трубу бассейн наполняется за 4 часа, через другую полный бассейн может быть опорожнен за 6 часов. Во сколько времени пустой бассейн наполнится, если открыть обе трубы?

d) Сюда же относится и следующая задача. Один поезд при равномерном движении может пройти расстояние от А до В в 80 минут, а другой — в 120 минут. Первый вышел из Л, второй одновременно - из ß, и едут они навстречу друг другу. Когда и где они встретятся?

2. После этого решают задачи на составление уравнений из «Сборника» Шапошникова и Вальцова № 404, 405, 405.

ТИП VII. ЧИСЛА И ЦИФРЫ

1. Предварительные упражнения, а) Возьмем какое-нибудь число, например 823. Его цифры суть 8, 2, 3. Оно содержит 8-100 + 2-10-f 3 единицы. Сумма его цифр 8 +2 + 3 = 13.

Число, написанное теми же цифрами, но расположенными в обратном порядке, содержит 3-100 + 2-10 + 8 единиц (для краткости обычно называют такое число — «обращенное число»). Оно меньше первоначального на 823 — 328 = 495.

b) Возьмем какое-нибудь двузначное число, например, 36. Его цифры 3 и 6. Сумма его цифр = 9. Число содержит 3-10-f 6 единиц. «Обращенное» число содержит 6-10 4-3 единицы. «Обращенное» число больше данного на 63 — 36 = 27. Данное число составляет — = — «обращенного». 63 7

c) Пусть цифры двузначного числа х (десятки) и у (единицы). Число содержит 10х + у единиц. Сумма его цифр равна х -f у. «Обращенное» число равно 10у + х. Сумма чисел данного и «обращенного» 11 (х + у); их разность 9 (х — у). Отсюда вывод: сумма всякого двузначного числа и «обращенного» числа в 11 раз больше суммы его цифр, а разность этих чисел в 9 раз больше (по абсолютной величине) разности цифр*.

2. После этого решают следующую задачу (№ 484): «Сумма цифр двузначного числа равна 9; если цифры этого числа переставить, то полученное число составит — первоначального; найти это число».

Составление уравнения

* У трехзначных чисел эта разность в 99 раз больше разности цифр сотен и единиц.

цифра де с.

цифра един.

число

Искомое число X

У

10х + у

«Обращенное» число у

X

10у + х

Арифметическое решение следующее. Сумма чисел искомого и «обращенного» в 11 раз больше суммы его цифр, т. е. 99; их отношение, очевидно, равно 7:4. Следовательно, искомое число

Проверка:

ТИП VIII. СМЕШАННЫЙ ОТДЕЛ

Проработав задачи вышеуказанных типов, можно перейти к изучению задач смешанного характера. Но и здесь задачам, представляющим ту или иную трудность, то или иное своеобразие, необходимо предпослать арифметическую проработку. Возьмем для примера следующую задачу: «В два чана налита вода. Чтобы в обоих было поровну, нужно перелить из первого во второй столько, сколько там было, потом из второго в первый столько, сколько в первом осталось, и, наконец, из первого во второй столько, сколько во втором осталось. Тогда в каждом чане окажется по 64 л. Сколько в них было сначала?» (Шапошников, № 487).

Эта задача трудна для учащихся, если к ней соответствующим образом не подготовить, но она становится чрезвычайно легкой после предварительной проработки (на задачах) основных вопросов приблизительно в следующем порядке.

а) В два чана налита вода; в одном 90 л, в другом 30 л. Из первого перелили во второй столько, сколько во втором было. Сколько оказалось в каждом?

Ь) В два чана налита вода, в одном 75 л, в другом — 45 л. Из первого во второй перелили столько, сколько во втором было, затем из второго перелили в первый столько, сколько в первом осталось. Сколько оказалось в каждом?

После двух переливаний в каждом осталось по 60 л.

с) В двух чанах налита вода, в одном 55 л, в другом 25 л. Из первого перелили во второй столько, сколько там было, потом из второго в первый столько, сколько в первом осталось, затем из первого во второй столько, сколько во втором осталось. Сколько оказалось в каждом чане?

После трех перелизаний в каждом оказалось по 40 л.

d) После этого решают задачу № 487.

Составление уравнений

После 1-го переливания: После 2-го переливания:

После 3-го переливания:

Надо указать, что арифметическое решение этой задачи легче алгебраического. Каждое перелизание удваивает содержание жидкости в том сосуде, куда ее переливают. Начнем с конца

После 3-го переливания После 2-го переливания После 1-го переливания Первоначально

СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПО УСЛОВИЮ ЗАДАЧ

Г. ЖУРАХОВСКИЙ (г. Новошахтинск)

Обучая составлению уравнений по условию задачи, я советую учащемуся после того, как он прочитает условие задачи:

1) уяснить себе, что является в данной задаче объектом наблюдения и сколько этих объектов;

2) сколько раз производились наблюдения;

3) какие величины следует рассмотреть для решения задачи, в каких единицах следует измерить эти величины и какова зависимость между этими величинами;

4) составить форму отчетности;

5) заполнить эту форму отчетности;

6) составить уравнение на основании зависимости, существующей между величинами одного наименования.

Для пояснения возьму задачу № 467 из первой части сборника Шапошникова и Вальцова:

«В двух сосудах имеются две различных жидкости. Если взять первой жидкости 10,8 г, а второй —4,8 г, то удельный вес смеси будет 1,56. Если же взять жидкостей поровну, то удельный вес будет 1,44. Определить удельный вес каждой жидкости».

1. Объектов наблюдения в данной задаче три, а именно: «первая жидкость», «вторая жидкость» и «смесь».

2. Наблюдения произведены два раза, а именно: при первом наблюдении «первая» и «вторая» жидкости были взяты в количествах 10,8 г и 4,8 г, а при втором наблюдении те же жидкости были взяты в равных по весу количествах.

3. Для решения задачи, кроме двух величин, рассматриваемых в условии задачи, т. е. веса и удельного веса, следует ввести в рассмотрение еще третью величину — объем каждой жидкости. Измерять эти величины будем соответственно в г, г/см* и см3. Первая из этих величин равна произведению двух других.

4. Форма отчетности в соответствии со всем изложенным в пунктах I, II, III должна иметь следующий вид:

1-е наблюдение

2-е наблюдение

1-я жидкость

2-я жидкость

Смесь

1-я жидкость

2-я жидкость

Смесь

5. Я советую ученикам заполнять форму отчетности по вопросам.

Первый вопрос — вопрос, предлагаемый задачей, т. е. чему равен удельны;! вес каждой из трех жидкостей?. Предположим, что удельный вес первой жидкости равен X г/см3, второй —у г/см3: удельный вес смеси в первом наблюдении —1,56 г/см3 и во втором наблюдений—1,44 г/см3. Вторая сторона формы отчетности заполнена.

Второй вопрос. Чему равен вес каждой жидкости? В первом наблюдении вес первой жидкости 10,8 г, во втором — 4,8 г; вес смеси в задаче не указан, но он должен быть равен сумме весов первой и второй жидкости, т. е. 10,8 г + 4,8 = 15,6 г. Во втором наблюдении веса первой и второй жидкости не указаны, сказано лишь, что эти жидкости взяты в равных количествах. Поэтому предположим, что первой и второй взято по 1 грамм, в таком случае вес смеси будет равен / 4- 1 = 21 граммов.

Первая сторона формы отчетности заполнена.

Третий вопрос. Чему равен объем каждой жидкости? Так как объем тела равен частному от деления веса тела на удельный вес, то заполнение третьей строки формы отчетности производится в буквальном смысле слова механически.

1-е наблюдение

2-е наблюдение

1-я жидкость

2-я жидкость

Смесь

1-я жидкость

2-я жидкость

Смесь

6. Для составления уравнения я советую ученикам искать зависимость между величинами той строки, которая была заполнена в последнюю очередь, в данном случае между объемами трех жидкостей. Очевидно, объем полученной «смеси» равен сумме объемов «первой» и «второй» жидкости. Поэтому, из первого наблюдения получаем уравнение:

Из второго наблюдения получаем уравнение:

или (/ не равно нулю):

Для дальнейшего пояснения моего метода возьму задачу № 91 из главы VIII первой части Шапошникова и Вальцова:

«Два лица идут навстречу один другому из двух мест А и В. При встрече оказывается, что первый приходит в В через 4 часа, а второй — в А — через 9 ч^с. после встречи. Как велико расстояние от А до В?»

1. Объектами наблюдения в данной задаче являются два пешехода: «первый» — вышедший из А и «второй» — вышедший из В.

2. Наблюдения производились два раза, а именно: 1) до встречи пешеходов в точке С и 2) после этой встречи.

3. Рассмотреть следует три величины: путь в километрах, пройденный каждым пешеходом, скорость в километрах/часах каждого пешехода и время в час, проведенное в пути каждым пешеходом. Первая из этих величин равна произведению двух других.

4. Форма отчетности очевидна.

5. Заполнение формы отчетности можно произвести сначала для 2-го наблюдения.

Первый вопрос. Какое расстояние прошел после встречи каждый пешеход? Из чертежа видим, что первый прошел расстояние СВ, а второй — ЛС. Предположим, что искомое расстояние между Л и В равно х километров, в таком случае:

ЛС -f С В = X.

С другой стороны, из условия задачи видим, что АС больше СВ на б км, поэтому АС-СВ = б. Отсюда найдем:

Второй вопрос. Во сколько часов первый пешеход прошел расстояние СВ, а второй пешеход — расстояние ЛС? По условию задачи соответственные промежутки времени равны 4 час. и 9 час.

Третий вопрос. Чему равна скорость каждого пешехода? Так как скорость равна частному от деления пройденного пути на соответствующий промежуток времени, то вторая строка в форме отчетности для второго наблюдения заполняется механически.

Теперь заполним форму отчетности для 1-го наблюдения.

Первый вопрос. Какое расстояние прошел до встречи каждый пешеход? Уже найдено, что первый прошел ЛС =-км, - ^п> б а второй С В =-км.

Второй вопрос. С какой скоростью шел до встречи каждый пешеход? Очевидно, с той же скоростью, с какой они шли после встречи, т. е. первый — со скоростью —-— км/час и второй — со скоростью - км,'час.

Третий вопрос. Сколько часов шел до встречи каждый пешеход? Так как время равно пройденному пути, деленному на скорость, то заполнение третьей строки формы отчетности для 1-го наблюдения производится механически.

1-е наблюдение

2 е наблюдение

1-й пешеход

2-й пешеход

1-й пешеход

2-й пешеход

6. Для составления уравнения следует искать зависимость между величинами 3-й строки 1-го наблюдения, занесенными в форму отчетности в последнюю очередь. Зависимость ясна: так как пешеходы вышли одновременно, то до встречи они провели в пути равные промежутки времени, т. е.

или (после извлечения квадратного корня из обеих частей уравнения): 2 (х + 6) = = ±3(jc —6).

Размер статьи не позволяет рассмотреть еще несколько задач, поэтому в качестве последней иллюстрации моего метода возьму задачу № 111 из сборника Шапошникова и Вальцова, ч. 2, гл. XV.

«В сосуде имеется 50 л 80-процентного спирта. Сколько литров чистого спирта будет еще в сосуде, если из него 20 раз отливать по 1 л жидкости и каждый раз добавлять по 1 л воды?»

Для решения задачи введем в рассмотрение следующие три величины: 1) количество литров чистого спирта, остающегося в сосудах после каждого очередного отливания 1 л жидкости; 2) относительное содержание чистого спирта в жидкости после каждого очередного добавления 1 л воды. Если, например, после k — 1-го добавления 1 л воды получилась жидкость, крепость которой рав-

Черт. 1

Черт. 2

на Р%, то относительное содержание чистого спирта в такой жидкости равно —. Конечно, это есть величина отвлеченная, потому что истинное ее наименование

3) количество жидкости в сосуде после каждого очередного отливания 1 л жидкости и добавления 1 л воды.

Так как первая величина изменяется после каждого очередного отливания 1 л жидкости, а вторая величина изменяется после каждого очередного добавления 1 л воды, и третья величина изменяется, как после очередного отливания 1 л жидкости, так и после очередного добавления 1 л воды, то отсюда вытекает необходимость измерять каждую из трех названных величин два раза между каждыми двумя последовательными отливаниями 1 л жидкости, а именно: первый раз до разбавления жидкости литром воды и второй раз после этого разбавления. При такой системе наблюдений первая из величин (с наименованием литров чистого спирта) каждый раз будет равна произведению двух других величин, имеющих наименования:

В таком случае относительное содержание чистого спирта в этой жидкости равно —, а количество литров чистого спирта найдется простым умножением

т. е. это количество равно

Первый столбик формы отчетности заполнен.

Переходим к заполнению второго столбика. Так как после разбавления водой количество чистого спирта в жидкости не изменяется, то во втором столбике в первой строке проставляем ту же величину

что и в первом столбике.

Чтобы найти относительное содержание чистого спирта в жидкости, достаточно разделить на Л, получим

Если мы назовем упомянутые два наблюдения частными и условимся говорить, что каждые два последовательные частные наблюдения составляют одно полное наблюдение, то можно будет сказать, что задача требует определить количество чистого спирта, оставшегося в жидкости после 20 полных наблюдений.

Конечно, нет надобности последовательно находить эти количества после 1-го, 2-го и т. д. наблюдений. Достаточно найти ^акон, по которому происходит изменение этих количеств, а для этого достаточно просмотреть два последовательные полные наблюдения к и (к+ 1).

Составим для этих двух наблюдений форму отчетности. Заполнить форму отчетности можно по общему способу трех вопросов. Но проще будет сразу заполнить третью строку на основании того соображения, что количество жидкости в сосуде после каждого отливания равно 49 л, а после каждого разбавления водой равно 50 л, или, решая задачу в общем виде, скажем, что после каждого отливания а литров жидкости в сосуде остается А — а литров жидкости, а после каждого добавления а литров воды в сосуде оказывается А литров жидкости.

После заполнения третьей строки заполним форму отчетности в порядке частных наблюдений, а именно: предположим, что после к отливания л жидкости в сосуде осталось А — а литров Ро/0.ной жидкости.

Второй столбик заполнен.

Переходим к заполнению третьего столбика. Так как после к + 1 отливания а литров жидкости относительное содержание чистого спирта в жидкости не изменяется, то в третьем столбике во второй строке проставляем ту же величину - • — , что и во втором столбике. Чтобы найти количество чистого спирта, достаточно перемножить А — а и - • —, получится z--. — Третий столбик заполнен.

Переходим к заполнению четвертого столбика. Согласно соображениям, высказанным при заполнении второго столбика, проставляем в четвертом столбике в первой строке ту же величину -— • —, ' что и в

к наблюдение

(к + 1) наблюдение

до разбавления водой

после разбавления водой

до разбавления водой

после разбавления водой

третьем столбике. После этого относительное содержание чистого спирта находим делением -—• на А, получится

Четвертый столбик заполнен.

Сравнивая количества чистого спирта в двух последовательных полных наблюдениях, видим, что они изменяются по закону геометрической прогрессии, знаменатель которой равен —-- . Вопросу задачи удовлетворяет 20-й член этой прогрессии, равный в общем виде ап = axqn~x, т. е. в данном случае

Чтобы найти первый член прогрессии, достаточно в первом столбике формы отчетности в выражении (А—а) — заменить через 49 и —через0,8. Получится öt0 = 49X X 0,8-0,98" = 40-0,9820л чистого спирта.

Закон изменения количества в сосуде чистого спирта можно найти несравненно проще следующим образом.

Обозначим через количество чистого спирта, остающееся в сосуде после к отливания а литров жидкости до разбавления водой, и через относительное содержание чистого спирта в жидкости после к разбавления водой, тогда форма отчетности примет вид:

к наблюдение

(к + 1) наблюдение

до разбавления водой

после разбавления водой

до разбавления водой

после разбавления водой

л чистого спирта

mk

л чистого спирта л жидкости

Pk

л жидкости

А- а

А

А -а

А

Так как mk + , = — а), тк = PkA, то, разделив первое уравнение на второе, получим искомый закон:

Форма отчетности оказывает поистине неоценимые услуги в тех случаях, когда желают решить составлением одного уравнения с одним неизвестным такую задачу, которая может быть несравненно легче решена составлением системы двух уравнений с двумя неизвестными. К числу таких задач относится уже рассмотренная задача № 467 из части 1 сборника Шапошникова и Вальцова, гл. VI. Если требуется эту же задачу решить составлением одного уравнения с одним неизвестным, то выгодно руководствоваться следующими правилами:

1) заполнить форму отчетности для 1-го наблюдения по столбикам, а для 2-го наблюдения— по строкам,

2) при заполнении формы отчетности для 1-го наблюдения выгодно: а) проставить сначала данные величины, а затем уже проставлять искомые и другие неизвестные; б) закончив заполнение предыдущего столбика, начать заполнение последующего столбика с той строки, которой закончили заполнение предыдущего столбика.

Проделаем это на самом деле.

Заполняем форму отчетности для 1-го наблюдения. Для этого согласно правилу 2, проставим данные: вес первой жидкости 10,8 г, вес второй жидкости 4,8 г; вес смеси, равный 10,8 + 4,8 = 15,6 г, удельный вес смеси 1,56 г/см* и объем смеси, равный 15,6 г .1,56 г/см1 = 10 см3. Теперь, согласно правилу 1, заполнение формы отчетности производим по столбикам. Начнем, хотя бы, с первого столбика.

Предположим, что удельный вес первой жидкости равен х г/сч3. В таком случае объем этой жидкости равен

Первый столбик заполнен.

Переходим к заполнению второго столбика. Согласно правилу 26 задаемся вопросом: чему равен объем второй жидкости? Так как объем смеси равен 10 см3, то объем второй жидкости равен объему смеси (10 см3)

минус объем первой жидкости

равен

Остается найти удельный вес второй жидкости, для чего достаточно 4,8 г разделить на

получится

Второй столбик заполнен.

Остается заполнить форму отчетности для 2-го наблюдения. Согласно правилу 1, заполнение проводим по строкам, т. е. по способу трех вопросов.

Первый вопрос. Чему равен удельный вес каждой жидкости? Мы нашли в 1-м наблюдении, что удельный вес первой жидкости равен Х, удельный вес второй жидкости равен -• Удельный вес смеси равен по условию задачи 1,44.

Второй вопрос. Чему равен вес каждой жидкости? I г, 2 / г.

Третий вопрос. Чему равен объем каждой жидкости? Для ответа на третий вопрос достаточно произвести простое деление соответственных величин.

Уравнение составляется на основании того соображения, что объем смеси равен сумме объемов первых двух жидкостей. Разделив обе части уравнения на /, получим уравнение в виде:

1-е наблюдение

2-е наблюдение

1-я жидкость

2-я жидкость

Смесь

1-я жидкость

2-я жидкость

Смесь

Приведенных примеров достаточно, чтобы отметить наиболее характерные особенности моего метода:

1. Весьма существенную роль играет выбор величин, необходимых для решения задачи. Во всех вышерассмотренных задачах я всегда выбирал такие три величины, из которых одна равна произведению двух других. Благодаря такому выбору процесс решения задачи в известной мере механизируется. В самом деле: когда в процессе решения две из этих величин будут уже найдены, то третья находится путем механического умножения или деления, вне всякой зависимости от условия задачи. Громадное большинство «сложных» задач сборника Шапошникова и Вальцова (ч. 1 и 2) допускает именно такой выбор величин.

2. Большое значение имеет форма отчетности. Представляя собою графическое, так сказать, воплощение всех соображений, высказанных в пунктах 1, 2 и 3 (объекты наблюдения, число наблюдений и величины, необходимые для решения задачи), форма отчетности дает учащемуся план решения задачи. При этом графа, содержащая наименование величин, оказывает учащемуся неоценимые услуги: а) она подсказывает ему те вопросы, какие он должен ставить себе в процессе решения; б) она указывает ему, в каких единицах он обязан выразить те или иные величины, и этим предохраняет его от известных общераспространенных в среде учащихся досадных ошибок; в) она подсказывает ему, какое действие (умножение или деление) он должен произвести, чтобы после заполнения двух строк формы отчетности найти величины оставшейся незаполненной третьей строки. Во всех вышерассмотренных задачах я намеренно подчеркивал характернейшую особенность формы отчетности, состоящую в том, что для составления уравнения необходимо и достаточно найти зависимость между величинами одного наименования, занесенными в форму отчетности в последнюю очередь, в ответ на «третий вопрос».

3. Между моим методом и методом, применяемым в школах преподавателями математики, существует глубокая, принципиального характера, разница, которую я выясню на решении задачи № 89 из сборника Шапошникова и Вальцова, ч. 1, глава VIII.

«Конный вестовой, выезжающий из места Л, должен поспеть в место В через 5 часов. В то же время другой вестовой выезжает из места С и, чтобы поспеть в В в одно время с первым, должен проезжать каждый километр на 1 ~ мин. скорее, чем первый. Расстояние от С до В на 20 км больше растояния от А до В. Определить последнее».

Любой преподаватель математики решит эту задачу так:

Предположим, что искомое расстояние АВ = = X км, тогда ВС = х -f 20 км. Так как каждое из этих расстояний пройдено вестовым за 5 час, то каждый километр пути AB пройден вестовым за время в х раз меньшее, а каждый километр пути ВС пройден вестовым за время в х -f 20 раз меньшее, т. е., «первый» вестовой проезжает 1 км в а «второй» вестовой проезжает 1 км

По условию задачи второй промежуток времени на 1 — мин., или на ^g- час, короче первого, отсюда составляется уравнение:

Согласно со сделанными рассуждениями в этом уравнении:

1) X, X + 20, а следовательно, и величина 20 являются величинами отвлеченными.

2) Величина -г£- имеет наименование «часов».

Черт. 3

Решаю теперь задачу своим методом

1-й вестовой

2-й вестовой

час.

5

5

час 1км

5

X

5

лг+20

км

X

х+20

Наименование «час» исключается из уравнения, получается

Уравнение получается того же вида:

но в этом уравнении величина 20 имеет наименование «километров», а величина имеет наименование «часов в километре».

Разница с тем уравнением, какое получают преподаватели математики, весьма существенно-принципиального характера. Мне кажется, что прав я, и что преподаватели математики неправильно поступают, когда: 1) выхолащивают из физической величины ее физическое содержание и превращают ее из конкретной физической величины (20 км) в отвлеченную математическую фикцию, 2) придают величине — час/км, которая есть не что иное, как величина, обратная скорости 48 км/час, совершенно не соответствующее ей наименование времени. Спутать величину — час/км с — час, на мои взгляд, столь же непростительно, как непростительно путать скорость 48 км/час с длиною 48 км.

3) В уравнении, полученном преподавателями математики, величина х является величиной отвлеченной. В моем же уравнении величина х удовлетворяет тем требованиям, которые предъявляет физик к корням уравнения: наименование искомой величины определяется наименованиями других входящих в уравнение величин. Восстановим при каждой известной величине ее наименование, получим

откуда xt=60 км, х2= — 80 км, т. е. в моем уравнении х есть физическая величина с наименованием «километров».

Вот почему свой метод я называю «физическим» методом. Сказанное мною по поводу настоящей задачи положительно применимо к любой задаче. Преподаватели математики просто не признают величин, имеющих дробное наименование. Если, например, требуется решить задачу: «Во сколько часов пройдет 20 км пешеход, идущий со скоростью 5 км/час?», то преподаватели математики вместо физического решения (20 км : 5 км/час = 4 часа) рассуждают так:

В один час пешеход проходит 5 км. Чтобы пройти 20 км, ему потребуется не один час, а во столько раз большее время, во сколько раз 20 км больше 5 км. Разделим 20 км на 5 км, получим 4. Итак, пешеходу требуется не один час, а в 4 раза большее время. Умножим 1 час на 4, получится 4 часа. При этом: 1) физический смысл величин искажен, скорость 5 км/час превратилась в длину 5 км, 2) вместо одного действия (20 км: 5 км/час = 4 часам) произведено два действия:

Такие рассуждения уместны в IV и V классах средней школы, но уже перестают быть позволительными с того момента, когда на уроках физики учащиеся познакомятся с удельным весом, имеющим дробное наименование «граммов в кубическом сантиметре». Вместо того чтобы разъяснить учащимся смысл таких наименований на конкретных примерах, например, цена сахара в единицах рублей в килограмме, цена сукна в единицах рублей в метрах, преподаватели математики упорно не желают на своих уроках пользоваться даже таким простым физическим понятием как скорость. Мой метод решения «сложных» задач есть резкий протест против несогласованности преподавателей математики с преподавателями физики в вопросе решения задач.

РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ МЕТОДОМ ПОДОБИЯ

(Из опыта работы в средней школе № 9 Саратова)

Н. УШАКОВ (Саратов)

Метод подобия является одним из основных методов решения геометрических задач на построение, поэтому ему должно быть уделено серьезное внимание на уроках геометрии в VIII классе. Исходя из количества часов, отведенных на геометрию в VIII классе, и учитывая объем программного материала в этом классе на решение задач методом подобия, можно отвести специально часов 5—6. Так как понятие о тригонометрических функциях необходимо преподавателю физики в первой половине второй четверти, то вслед за главой о подобии треугольников и многоугольников надо пройти пропедевтику тригонометрии, а затем заняться решением задач методом подобия.

1-й урок. Основной задачей первого урока надо поставить — выяснение ученикам самой сущности метода подобия, проведя это выяснение на каком-либо несложном частном примере. Задается ученикам ряд вопросов:

1. Сколько может быть треугольников с соответственно равными углами?

2. Какие это будут треугольники?

3. Что у них общего? (Форма этих треугольников?)

4. Чем они отличаются друг от друга? (Их размерами.)

5. Возьмите произвольный треугольник и постройте треугольник, подобный первому, взяв за центр подобия одну из вершин первого треугольника. Сделайте то же самое, взяв за центр подобия какую-либо точку внутри треугольника; вне треугольника.

6. Постройте треугольник по углу и отношению сторон, заключающих этот угол: m : п.

Примечание. Здесь т и п могут быть даны как определенной величины отрезки, а могут быть и числами.

В первом случае построение идет следующим образом:

Дано:

На сторонах данного угла откладываем данные отрезки и полученные точки В и С соединяем прямой линией.

Во втором случае, когда дано: — = -г-, выбираем определенной длины отрезок за единицу и на одной стороне данного угла откладываем его 2 раза, а на другой 3 раза и концы последних отрезков соединяем прямой.

Затем следуют опять вопросы, подобные ранее поставленным:

1. Сколько треугольников можно построить по этим данным?

2. Постройте несколько их.

3. Что это будут за треугольники?

4. Чем они похожи друг на друга?

5. Чем они отличаются друг от друга?

6. Какими же элементами характеризуется форма фигуры?

Вывод. Элементами, определяющими форму геометрической фигуры, будут углы и отношения линейных элементов.

Кроме того, форма фигуры указывается еще и самим названием этой фигуры: прямоугольник, ромб, квадрат и т. д., но, кроме формы, каждая геометрическая фигура может иметь еще и размеры.

Назовите две геометрические фигуры, одинаковые по форме, но разные по размеру.

Чем могут характеризоваться размеры геометрической фигуры?

Элементами, определяющими размеры геометрической фигуры, будут длина высоты, длины сторон и т. д.

Итак, элементами, определяющими форму фигуры, будут углы, отношения линейных элементов, термины: прямоугольник — ромб и т. д., а элементами, определяющими размер фигуры, будут длины линейных элементов этой фигуры.

Зная первые, мы находим целую группу фигур, подобных друг другу, а зная вторые, мы из этой группы фигур выбираем уже определенную, именно ту, которая нам нужна.

Решается задача.

«Построить треугольник, зная угол С, отношение сторон, заключающих этот угол, а : b = 3:5, и высоту треугольника пЕ».

Где здесь элементы, характеризующие форму искомого треугольника? (Угол С и отношение сторон.)

А где элементы, характеризующие размер?

В этом и заключается анализ условия этой задачи, именно в расчленении этой задачи на две задачи, более простых, чем данная.

Первая — по углу С и отношению сторон, заключающих этот угол, построить какой-либо треугольник. Этот треугольник будет подобен искомому. А затем по данной высо-

Черт. 1

Черт. 2

те hE построить другой треугольник, подобный уже построенному, или иначе: из всего бесчисленного количества треугольников, подобных построенному, выбрать один с высотой hE.

Решение первой задачи. Строим угол, равный данному, и на одной стороне откладываем 3 каких-либо произвольных, но равных между собой отрезка, а на другой — 5 таких же отрезков. Точки В и С соединяем прямой. Постройте еще треугольники по этим данным. Как их легче всего построить? (Провести прямые, параллельные ВС.) Почему все эти треугольники будут подобны? Как же из них выбрать такой, чтобы высота у него была равна hE. Это можно сделать различными способами:

1. В построенном треугольнике ABC строим высоту BD и на ней, начиная от точки В, откладываем отрезок ВМ, равный hE; затем через точку M проводим линию, параллельную основанию треугольника, до пересечения с продолжением сторон AB и ВС.

Треугольник АХВСХ будет искомый.

2. Данный отрезок hE откладываем на BD, начиная от точки D вверх; затем через точку N проводим прямые, параллельные сторонам AB и ВС, до пересечения с продолжением основания.

Треугольник Л,МС, будет искомый.

3. В какой либо точке основания треугольника восставляем перпендикуляр и на нем откладываем hE. Затем, через конец полученного отрезка проводим прямую, параллельную основанию, до пересечения со стороной AB или же с продолжением ее в точке М. Наконец, из точки M проводим прямую MN до пересечения с основанием треугольника или же с продолжением этого основания.

Треугольник AMN будет искомый.

Доказательство правильности решения задачи очевидно.

Исследование во всех случаях построения весьма просто и показывает, что данная задача всегда возможна и имеет единственное решение. Таким же образом решается еще задача:

«Построить треугольник по отношению сторон: а:Ь:с=у>.

Примечание. В целях экономии времени проводить прямые, параллельные данной, можно при помощи угольника и линейки.

Домашнее задание: решить несколько задач, подобных решенным в классе. Например: «а) Построить треугольник по углу А, отношению сторон: ~ — — и hc.

б) «Построить треугольник по отношению сторон: а: Ь:с = т:п:р и hc».

в) «Построить треугольник по углам А и В и /1с».

2-й урок. Решить с подробным анализом, построением и доказательством, как и на первом уроке, следующие задачи:

1. «Построить треугольник по углам А и В и медиане, проведенной к стороне с (тс)».

2. «Построить треугольник по отношению сторон а : b : с = m : п : р и медиане, проведенной к стороне а (та)».

3. «Построить треугольник по отношению сторон а:Ь = т:п углу С и биссектрисе угла Л».

Домашнее задание. Решить следующие задачи:

1. «Построить треугольник по отношению сторон с : b в m : л, углу Л и биссектрисе угла С».

2. «Построить треугольник по отношению сторон a: b :с = m : п:р и медиане к стороне b (mb)».

3. «Построить треугольник по углам Л и В и биссектрисе угла С».

3-й урок. Построение равнобедренных и прямоугольных треугольников.

Выяснив, что для построения равнобедренного и прямоугольного треугольника необходимо меньшее число данных элементов, чем для произвольного вида треугольника надо перейти к решению следующих задач.

Равнобедренный треугольник

1. «Построить равнобедренный треугольник по отношению: а.Ь — т.п и медиане боковой стороны».

Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

Черт. 7

2. «Построить равнобедренный треугольник по углу при вершине и биссектрисе этого угла».

Прямоугольный треугольник

1. «Построить прямоугольный треугольник по острому углу Л и медиане катета а».

2. «Построить прямоугольный треугольник по отношению катета к гипотенузе: а : с = = т:п и высоте, проведенной из вершины прямого угла. Если останется время, то хорошо бы решить задачу: «Построить треугольник по данному углу Л, отношению сторон, заключающих этот угол: Ь:с = т:п и радиусу вписанного круга».

Указание. Провести биссектрису угла и в какой-либо точке стороны АС восстановить перпендикуляр длиной равной г. Через вершину этого перпендикуляра провести прямую, параллельную ЛС, и затем прямую, параллельную ВС и касательную к кругу радиуса г.

Домашнее задание. Построить прямоугольный треугольник:

1) по острому углу В и его биссектрисе;

2) по отношению катетов: а:Ь = т:п и медианы к гипотенузе

Построить равнобедренный треугольник:

1) по отношению основания к высоте: а\Ь,= = т: п и медиане основания (та\

2) по углу при основании и биссектрисе угла прл вершине.

4-й урок. Данный урок надо отвести решению задач на построение прямоугольников, параллелограмов, ромбов и трапеции.

Например: Построить прямоугольник по отношению сторон: а:Ь = т:п и диагонали.

Выяснить, что элементами, характеризующими форму искомой фигуры,являются термин «прямоугольник» и отношение сторон этого прямоугольника, а элементами, определяющими размер,— длина данной диагонали.

Построение идет следующем образом. На сторонах прямого угла откладываем отрезки m и п и строим прямоугольник. Затем на его диагонали откладываем данную диагональ АС и строим искомый прямоугольник.

Построить параллелограм по стороне, отношению диагоналей ал :d2=m: п и углу между этими диагоналями. Оставшееся время надо отвести на решение следующих задач.

3. «Построить треугольник по трем высотам».

(Указание: см. учебник

геометрии Киселева, стр. 127, № 41).

4. «Построить треугольник по двум углам Л и С и периметру».

Указание: По углам Л и С строим произвольный треугольник ABC.

Откладываем ЛЛ, = AB и СВХ = СВ и от точки Л, откладываем отрезок, равный данному периметру, отрезок АХМ.

Соединяем точки В и Виа из точки M проводим прямую MN, параллельную ВгВ, затем из точки N—прямые, параллельные AB н ВС. Получаем треугольник A2NB2) который и будет искомым.

Домашнее задание. 1. Построить ромб по отношению диагоналей и стороне.

2. Построить прямоугольник по стороне и отношению другой стороны к диагонали.

3. Построить трапецию по одной диагонали и данным отношениям сторон.

5-й у р о к. Надо порешать задачи на вписанные в треугольник прямоугольник и квадрат. Например:

1. «В треугольник вписать прямоугольник с отношением сторон а: Ь = т: л».

Элементами, характеризующими форму искомой фигуры, служат слово «прямоугольник» и данное отношение сторон а : Ь, а элементами, определяющими размер искомого прямоугольника, служат размеры данного треугольника.

Решение задачи см. учебник геометрии Гурвица.

2. «В сектор вписать квадрат».

3. «В сегмент вписать прямоугольник с отношением сторон а: Ь = т: л».

Домашнее задание. 1. Вписать в треугольник ромб так, чтобы одна сторона лежала на основании треугольника, а две другие вершины — на сторонах. (Решение см. учебник геометрии Киселева.)

2. В треугольник вписать квадрат.

6-й урок. 1. Разобрать задачу № 3 из учебника геометрии Киселева, стр. 107 (в тексте опечатка: «надо от точки С»): «Дан угол и внутри его точка С. На стороне СВ найти точку M, равностоящую от CA и точки С».

2. Построить треугольник по данному углу, высоте, выходящей из вершины данного угла и отношению отрезков, на которые высотой делится сторона.

3. Доказать методом подобия свойство медиан треугольника.

Домашнее задание. 1. Разобрать по учебнику Киселева задачу № 2, стр. 106. («В данный угол вписать окружность, проходящую через данную точку М».)

2) Около окружности описать ромб, диагонали которого имели бы данное отношение.

Литература:

1. Браун — Задачи на построение. (Журнал «Математика в школе» № 4 за 1936 г.)

2. Фурсенко — Лексико-графическое изложение конструктивных задач геометрии треугольника, (журнал «Математика в школе» № 5 и 6 за 1937 г.)

3. Берг —Приемы решения геометрических задач на построение.

4. Александров — Методы решения геометрических задач на построение.

Черт. 8

Черт. 9

ЗАДАЧИ С КОНКРЕТНЫМ СОДЕРЖАНИЕМ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

С. ЧУКАНЦОВ («Орловские дворики»)

В данной статье я хочу показать несколько примеров решения задач с конкретным содержанием на уроках математики со студентами Карачижско-Крыловского лесотехнического техникума Брянского района в 1938/39 учебном году.

В январе 1939 г. в печати были опубликованы тезисы доклада В. Молотова на XVIII съезде ВКП(б) («Третий пятилетний план развития народного хозяйства СССР»). С большим энтузиазмом студенты и преподаватели нашего техникума взялись за изучение тезисов докладов на XVIII съезде ВКП(б).

Совершенно естественно было и мне, как преподавателю математики, включить в программу как основного курса, так и кружковых занятий ряд задач, конкретизирующих и разъясняющих отдельные места тезисов.

Так, например, в первом разделе 2-го пункта тезисов доклада В. Молотова на XVIII съезде ВКП(б) «Третий пятилетний план развития народного хозяйства СССР» говорится:

«Среднегодовые темпы прироста продукции промышленности во второй пятилетке составляли 17,1 процента против намеченных по плану 16,5 процента».

Разъяснить учащимся, что составляют эти 17,1% для отдельных отраслей нашей промышленности, по-моему,— прямая обязанность каждого преподавателя математики.

Конкретно это можно показать на примере любой отрасли нашей промышленности. Возьмем, предположим, тракторную промышленность (которой, кстати сказать, в дореволюционной России вовсе не было) и посмотрим, что составляют в ней эти 17,1%.

Для этого решим с учащимися такую задачу:

Задача № 1. «Рабочие нашей тракторной промышленности во второй пятилетке ежегодно давали прирост продукции больше предыдущего года на 17,1 о/0 вместо намеченного по плану второй пятилетки прироста в 16,5%. В 1936 г. они произвели 116 054 трактора. Сколько тракторов сделали рабочие тракторной промышленности в 1937 г. и на сколько они перевыполнили свой производственный план в этом же году в процентах и в единицах продукции?»

Решив эту задачу с учащимися, мы увидели:

1) что в 1937 г. было произведено 135 899 тракторов;

2) что рабочие тракторной промышленности во второй пятилетке ежегодно перевыполняли свою производственную программу на 0,6%;

3) что в единицах продукции эта скромная цифра 0,6% составляет 696 тракторов, т. е. мы увидели, что, перевыполняя ежегодно свой производственный план на 0,6%, рабочие тракторной промышленности дали социалистическому сельскому хозяйству в 1937 г. сверх плана 696 тракторов.

Для сопоставления роста социалистической промышленности и капиталистической решили такую задачу.

Задача № 2. «Возьмем два завода: наш советский и завод какой-нибудь капиталистической страны, условно дававшие в 1937 г. одинаковую продукцию, например 1000 автомобилей за год. Сколько автомобиле.! произвел бы каждый из таких заводов в 1938 г., если известно, что в 1938 г. заводы социалистической промышленности дали в среднем прирост промышленной продукции на 12%, а заводы капиталистических стран — уменьшение на 13,5%».

Решение задачи показывает, что 1) на советском заводе было бы произведено в 1938 г. — = 1 120 автомобилей; 2) на заводе в капиталистической стране было бы произведено только

Поставим теперь такой вопрос: 3) во сколько раз такой завод социалистической промышленности произвел бы в 1938 г. больше автомобилей, чем такой же по размерам завод капиталистической страны?

Ответ на этот вопрос показывает, что советский завод уже в 1938 г. произвел бы, в таком случае, продукции в 1,3 раза больше (1 120:865 = 1,3), чем завод капиталистической страны, еще год назад производивший столько же автомобилей, сколько производил и наш советский завод. И так из года в год.

Или еще пример.

В разделе IV пункта 1-го тезисов доклада товарища Молотова указывается, что в третьей пятилетке намечается «к). Усиление жилищного строительства в городах и рабочих поселках с вводом в действие за третью пятилетку 35 миллионов квадратных метров новой жилой площади».

Что такое 35 миллионов квадратных метров новой жилой площади?

Поймут ли дети, какая это колоссальная программа строительства?

(Да и каждый ли взрослый достаточно ли отчетливо представляет себе всю грандиозность жилищного строительства, намечаемого

партией, в тезисах товарища Молотова в третьей пятилетке?)

Я уверен, что если детям не оказать помощи в этом вопросе, то они не поймут, что скрывается за этой простой цифрой 35 миллионов квадратных метров новой жилой площади.

Но предложим детям решить такую задачу (в V классе я бы предложил ее, как и многие другие арифметические задачи с конкретным содержанием на одном из уроков по арифметике, а в техникуме мы решали ее на одном из занятий математического кружка):

Задача № 3. «Сколько рабочих будет обеспечено новыми квартирами, построенными в третьей пятилетке, если считать по 8 кв. метров жилплощади в среднем на одного человека?»

(Остальные данные вспоминают учащиеся сами, так как все студенты техникума к этому времени тезисы доклада товарища Молотова изучили.)

Простой подсчет показывает, что новой жилплощадью в третьей пятилетке будут обеспечены 4 375 000 человек. Правда, цифра эта для детей будет не более понятна, чем первая, но продолжим наши расчеты далее, дополнив задачу следующими данными и вопросами:

«В городе Брянске и его поселках около 90 тысяч жителей. Какова приблизительно его жилая площадь, если считать, что на каждого человека приходится в среднем 8 квадратных метров жилплощади?

Ответ на вопрос дает нам 720 000 квадратных метров.

Поставим теперь такой вопрос: «Во сколько раз жилплощадь, предполагаемая к строительству в третьей пятилетке, более жилплощади Брянска и его поселков?»

Разделив 4 375 000 на 720 000 получаем приблизительно 48,6, а округляя до целых, получим 49, т е. получаем, что в третьей пятилетке будет построено домов под квартиры для рабочих и их семей в 49 раз больше, чем имеется жилых домов в Брянске.

Теперь 35 миллионов квадратных метров новой жилплощади, указанные в тезисах доклада товарища Молотова, воплотились в глазах детей во вполне конкретный образ: 49 новых городов, таких, как Брянск вместе с его поселками,— вот что такое 35 миллионов квадратных метров новой жилплощади!

Десять новых городов, больших городов, будут ежегодно строиться в третьей пятилетке под квартиры для рабочих!

Признаться, меня самого этот вывод поразил своей грандиозностью.

Наконец, отдельные моменты тезисов доклада товарища Молотова могли быть недостаточно поняты отдельными учащимися.

Возьмем пример. В тезисах доклада товарища Молотова мы читаем:

«По сравнению с 1932 годом — с последним годом первой пятилетки — продукция промышленности в 1937 году выросла на 120 процентов при задании по второму пятилетнему плану в 114 процентов прироста. Среднегодовые темпы прироста продукции промышленности во второй пятилетке составляли 17,1 процента против намеченных по плану 16,5 процента».

Отдельным учащимся может показаться, что здесь имеется арифметическая ошибка, так как 120% : 5 = 24%, а не 17,1%*.

Дело преподавателя математики разъяснить, что прирост промышленной продукции происходит не по простым, а по сложным процентам, разъяснить и помочь учащимся (а иногда и не только учащимся) произвести соответствующий расчет.

Поэтому полезно будет решить с учащимися IX класса в теме «Сложные проценты», например, такую задачу:

Задача № 5. «По сравнению с 1932 годом— с последним годом первой пятилетки — продукция промышленности в 1937 году выросла на 120%. Определить средний ежегодный процент прироста продукции промышленности во второй пятилетке».

Решив задачу, получим Р=17, 1%.**

С учащимися, еще не изучавшими сложные проценты; эту задачу можно решить простым насчитыванием пять раз 17,1% на 100%, в X классе эту задачу хорошо решить в порядке повторения сложных процентов.

Напечатанные в газетах материалы XVIII съезда Всесоюзной Коммунистической партии (большевиков) дали нам новый богатый материал для решения задач с конкретным содержанием. Например, при прохождении темы «Функции и их графики» каждый из учащихся 1-го курса построил график объема промышленной продукции в процентах к 1929 году в СССР и в одной из капиталистических стран по данным доклада товарища Сталина. Один график был составлен для СССР и всех шести капиталистических стран, приведенных товарищем Сталиным в его отчетном докладе на XVIII съезде ВКП(б) о работе ЦК ВКП(б).

Составив график большого размера и повесив его в математическом кабинете, мы получили прекрасный график, иллюстрирующий кризисное положение капиталистических стран за последние 10 лет и гигантское движение промышленного подъема в СССР за этот же период.*** Этот график и сейчас висит в классе.

Как же может преподаватель математики обойти подобного рода вопросы на своих уроках!

Решите с учащимися ряд подобных задач с конкретным содержанием, и вы увидите, с каким интересом, с какой любовью решают они эти задачи, как они будут горды тем, что умеют применять математику не только к решению задач из задачника Березанской или Шапошникова и Вальцова, но к решению конкретных задач, задач, взятых из жизни.

Конечно, никакие лукавые мудрствования со стороны преподавателя здесь не допустимы ни в какой мере. Наоборот только конкретное, живое, реальное может и должно быть даваемо в задачах с конкретным содержанием.

В дни, когда вся страна скорбела о гибели великого летчика нашего времени Валерия Чкалова, студенты первого курса нашего техни-

* Вопрос, который, как показывают наблюдения, иногда затрудняет и некоторых преподавателей.

** Заметим, что точность четырехзначных таблиц Брадиса для решения этой задачи недостаточна.

*** Будучи в Красной армии, я использовал этот график на политзанятиях с красноармейцами. Комиссар батальона Овсянкин дал ему высокую оценку.

Черт. 10

кума заканчивали проработку темы «Приближенные вычисления» и решали арифметические задачи с приближенными данными, округляя ответы в соответствии с точностью данных в условии задачи. И я счел вполне целесообразным в этот момент на одном из уроков математики зачитать учащимся следующую маленькую выдержку из статьи В. Молокова «Летчик-богатырь» в «Комсомольской Правде».

«Валерий Чкалов впервые в истории проложил воздушную дорогу из Москвы в Соединенные штаты Америки через Северный полюс. За 63 часа 25 минут его самолет прошел около 12 000 километров воздушного пути».

Кроме того, коротко сказал учащимся, что французские летчики Кодос и Росси в августе 1933 года совершили перелет по маршруту Нью-Йорк — Рейяк (Сирия), пролетев за 70 часов 9 174 км. До 1936 года, т. е. до перелета т. Чкалова, их перелет считался мировым рекордом дальности.

«Давайте сравним эти два перелета»,—сказал я им. И у нас получилась хорошая и интересная задача с конкретным содержанием к теме «Приближенные вычисления».

Вопросы к задаче ставили сами учащиеся.

Решение этой задачи показало нам, что 1) Советские летчики, под руководством летчика-богатыря Валерия Чкалова пролетели без посадки почти на 3 000 км больше, чем пролетели Кодос и Росси; 2) что летели они при этом полете со скоростью в среднем на 58 км большей, чем Кодос и Росси и в 3) что в процентах это составляет превышение: по дальности на 31%, а по скорости самолета—на 44%.

Мне, как преподавателю, оставалось только напомнить учащимся, что этими цифрами еще далеко не исчерпывается вся смелость, мужество и отвага советских летчиков и их умение владеть самолетовождением в труднейших условиях полета перед летчиками капиталистических стран, точно так же, как не полностью еще характеризуют эти цифры и превосходство нашей техники над техникой капиталистических стран, так как трасса Героев Советского Союза Чкалова, Байдукова и Белякова была куда труднее, чем трасса перелета французских летчиков, чего не скрывает даже и капиталистическая пресса. Так, например, лондонская газета, «Де ли Экспресс» в своей передовой, посвященной перелету советских летчиков, писала:

«Арктический летчик должен быть героем. Нужно крепкое сердце, чтобы лететь через Атлантику или Тихий океан. Но если вы упадете в море, смерть наступит быстро. Полеты (же.—С.Ч) над полярными льдами допускают успешную посадку там, но одновременно влекут и медленную смерть от голода. Завтра этого уже не будет. Советский Союз строит для поддержки своих самолетов цепь радиостанций, портов и поселков на крыше мира. Советский Союз осуществляет самое замечательное завоевание столетия...»*

Один ученик после решения задачи спросил: «Почему т. Молоков говорит, что самолет Чкалова прошел 12 000 км, а в передовой «Правды» указывается что Чкалов, Байдуков и Беляков пролетели только свыше 10 тыс км.

Пришлось разъяснить учащимся,какая разница между расстоянием между двумя пунктами земного шара воздушного пути и расстоянием между теми же пунктами по прямой. В. Молоков, как летчик, естественно, не мог не учитывать и те 2 000 км, пути которые самолету Чкалова пришлось пройти в воздухе (почти без продвижения вперед) для того, чтобы выйти из грозовой тучи, которую они встретили у реки Мекензи, при этом, я демонстрировал карту перелета**, по которой, пользуясь градусной сеткой и вспомнив, что 1 метр = ——7—— Парижского меридиана, измерили расстояние между Москвой и г. Портланд по прямой и по маршруту перелета. Так, решая простую арифметическую задачу, я напомнил и разъяснил учащимся, каков был великий летчик нашего времени Валерий Павлович Чкалов, в то же время дал и конкретный пример, показывающий необходимость применения приближенных вычислений при решении задач.

Или еще пример — из геометрии. 5 декабря 1938 г. в «Правде» (№ 335) сообщалось, что 5 декабря воздухоплаватели А. Фомин и Б. Полосухин в 11 часов 16 минут утра на

* См. «Сталинская трасса», стр. 104.

** В качестве карты для демонстрации перелета я использовал приложение к детскому журналу «Мурзилка». Будучи довольно красиво выполнено, оно в то же время вполне удовлетворило нас и в смысле точности, так как отсутствие масштаба вполне возмещается наличием градусной сетки на карте.

субстратостате «СССР ВР-77» при безоблачном небе поднялись на высоту 9 150 м, где пробыли около 25 минут, а 7 декабря студенты первого курса нашего техникума, изучавшие в это время тему «Пропорциональные отрезки в круге», решали задачу о том, как далеко был виден горизонт с субстратостата «СССР ВР-77» во время его наивысшего подъема.

Аналогичная задача о том, как далеко можно видеть с вершины горы Эльбрус из задачника Рыбкина (№ 32, § 11) была дана учащимся на дом для самостоятельной проработки.

Хорошо, скажут некоторые преподаватели, но как быть, если в IX классе нет приближенных вычислений, а есть прогрессии?

Тогда, очевидно, в IX классе на уроке математики решать этой задачи не придется, ибо никакая искусственность в задаче с конкретным содержанием недопустима. Основным требованием ко всякой задаче с конкретным содержанием должно быть требование, чтобы вопрос задачи представлял собою естественно возникающий у ученика вопрос по отношению к реальным, взятым из жизни конкретным данным.* Никакая маскировка этих, полученных из жизни, конкретных данных членами геометрической прогрессии или чем бы там ни было еще, никакое искусственное создание вопроса по отношению к тому, что уже известно в жизни, в задаче с конкретным содержанием, по-моему, совершенно недопустимы.

Интересную задачу с конкретным содержанием но не подходящую к прорабатываемой теме по способу решения и не относящуюся к повторению, лучше решить в математическом или физико-математическом кружке, который каждый преподаватель математики (вместе с преподавателем физики) должен заботливо и любовно культивировать у себя в школе**. На уроке же при прохождении прогрессий в IX классе можно было решить с учащимися такую задачу.

Задача № 7. «В 1937 году у нас было произведено 200 000 автомобилей. По плану третьей пятилетки в 1942 году намечено произвести 400 000 автомобилей. Сколько автомобилей будет произведено за всю третью пятилетку, если считать условно, что среднее ежегодное увеличение количества производящихся автомобилей будет постоянным?»

Это простая и интересная задача на арифметическую прогрессию. Если же изменить условное предположение в вопросе задачи, то получим задачу на геометрическую прогрессию уже большей трудности.

Чтобы иметь задачи с конкретным содержанием для решения их с учащимися, чтобы сделать свои уроки насыщенными современностью, чтобы составлять интересные и вполне доступные пониманию детей задачи,— учитель должен не только тщательно готовиться к каждому уроку, но и должен быть всегда в курсе текущих событий, систематически читать газеты (в том числе, и обязательно, и ту газету, которую читают учащиеся*), вдумчиво относиться к цифровому хматериалу в них, а иногда просто накапливать этот цифровой материал. Еще лучше, если задачи составляются на основе материала уже известного детям и совместно с ними.

У некоторых читателей может сложиться мнение, что задача, например, о полете т. Чкалова у меня появилась на уроке случайно, экспромтом: в процессе урока возникла мысль, и я тут же воплотил ее в задачу и предложил учащимся. Нет, это не так просто. Не скрою — для учащихся это могло показаться именно так, но для меня эта задача была задачей заранее обдуманной и решенной; не случайно также оказались у меня на уроке и газета и карта. Идея же о задаче у меня возникла еще при чтении газеты. Данные же о полете Кодоса и Росси мною были выписаны в мой справочник еще задолго перед этим, при чтении книги «Сталинская трасса».

Ко всему этому мне хотелось бы добавить еще вот что. Я все время говорил о задачах с конкретным содержанием на уроке математики. Но мне кажется, что такие задачи могут и должны быть решаемы не только на уроках математики. Та или иная задача с конкретным содержанием часто может быть решена, и должна быть решена, на том уроке и в той теме, где она произведет большее впечатление на учащегося, где она поможет учащемуся яснее понять и глубже прочувствовать изучаемую тему, где учащийся глубже поймет и самое содержание и смысл решаемой задачи.

Урок не только математики, но и физики, географии, биологии, химии часто будет воспринят учащимися с гораздо большим интересом благодаря тому, что на уроке будет решена соответствующая задача с конкретным содержанием из данной темы, вполне доступная их пониманию. Особенно ценно, если в этой работе имеется полный контакт у преподавателя математики с преподавателем социально-экономических дисциплин. Преподаватель не только математики, но и физики, и географии, и биологии, и химии не должен отказываться от того, чтобы иногда подкрепить основную идею урока тем или иным небольшим арифметическим расчетом, или решением той или иной несложной задачи с конкретным содержанием. И совершенно неправильно поступают те учителя, которые из-за боязни «впасть в комплекс» вообще «каменной стеной» отгораживают свой предмет от всех остальных предметов и на всякий, даже очень простой вопрос ученика из области, связанной с другой дисциплиной, всегда дают один и тот же однообразный ответ: «Спросите у преподавателя соответствующего предмета».

В заключение мне хочется напомнить, что в начале учебного года «Правда» в своей передовой статье «Учиться хорошо, — учиться отлично» указывала:

«Железная дисциплина учебного труда должна пронизать всю жизнь советской школы. А путь к такой дисциплине — идейно-по-

* Направляющая роль учителя здесь отнюдь не отрицается.

** В своей практике я часто предлагаю учащимся на занятиях математического кружка арифметические задачи с конкретным содержанием. Решаются они учащимися с большим интересом; в то же время арифметические задачи с конкретным содержанием являются прекрасным материалом для повторения арифметики.

* В этом отношении я не представляю себе преподавателя неполной средней школы, не читающего систематически газету «Пионерская правда».

литическое воспитание учащихся, теснейшая связь всего преподавания, всего воспитания с героической, творческой, радостной жизнью нашей страны, с борьбой трудящихся всего мира за торжество коммунизма». Эти слова должны стать руководством к действию для каждого преподавателя, в том числе и для преподавателя математики.

ТРЕТИЙ ГОД РАБОТЫ СЕКЦИИ МАТЕМАТИКОВ ПРИ ОДЕССКОМ ГОРОДСКОМ И ОБЛАСТНОМ МЕТОДИЧЕСКОМ КАБИНЕТЕ

Д. ГОНЧАРОВ (Одесса)

I

Третий год работы секции математиков при Одесском городском и областном методическом кабинете охватывает период деятельности секции в 1939 астрономическом году, т. е. второе полугодие 1938/39 учебного года и первое полугодие 1939/40 учебного года*. За истекший год состоялось 39 заседаний, посвященных ряду научно-методических вопросов. Заседания происходили регулярно раз в шестидневку (по первым дням шестидневки, от 8—10 час. веч.). Посещаемость заседаний в среднем — 25 —30 человек.

II

Во втором полугодии 1938/39 учебного года (январь — июнь 1939 г.) были заслушаны следующие доклады:

85. «Формула Снеллиуса» (Р. Г. Годованик).

86. «Теория измерения отрезков» (С. А. Абрамов).

87. «Исследование уравнений» (В. Г. Рубинштейн).

88 — 89. «Анализ проекта программ по математике» (проф. К. М. Щербина).

90. «Замечание к проекту программ по математике» (Казанецкий, Фрайберг, Гродская, Витал, С. Л. Срулевич, Гридин, проф. К. М. Щербина).

91. «Теорема Гульдена» (С. Л. Срулевич).

92. «Математические кружки в школе» (С. Л. Срулевич).

93. «Теорема Еезу и следствия из нее» (В. Г. Рубинштейн).

94. «Ошибки учащихся по арифметике» (М. А. Шварцман).

95. Стенограмма урока по алгебре в VIIIклассе 98-й средней школы Одессы у преп. Г. Л. Срулевича на тему «Теорема Виета».

96. Совещание преподавателей высшей и средней школы по вопросу подготовленности учащихся средней школы по математике.

97. «Программы испытаний по математике»

(V класс — Каменецкий; VI класс — Фрайберг; II класс — Кипнис; X класс — Рубинштейн).

98—99. «Образцы тем письменных работ для испытаний по математике в средней школе» (V класс — Фридман, Овсянников, Рубинштейн; VI класс — Бунякин, Срулевич, Рубинштейн; VII класс — Кильштейн, Недин, Рубинштейн; VIII класс —Витал, Срулевич, Рубинштейн).

100—101. «Билеты для переводных испытаний по математике в средней школе» (Г. Л. Срулевич, Криницкая, Файнгут, Гершенгорн, Витал).

102. «Тезисы доклада проф. А. Я. Хинчина о задачах математической общественности в области преподавания математики в средней школе в третьей пятилетке» (Д. С. Гончаров).

103. «Целые комплексные числа» (Д. М. Котелянский).

104. «О преподавании математики в средней школе и об учебниках по тригонометрии для средних школ» (проф. Л. А. Люстерник, Москва).

105. «Отчет о работе секции за 1938/39 учебный год.» (Д. С. Гончаров). «Тематика августовских учительских конференций по подготовке к 1939/40 учебному году».

III

В первом полугодии 1939/40 учебного года (сентябрь — декабрь 1939 г.) были заслушаны следующие доклады:

106. «План работы секции математиков на первое полугодие 1939/40 учебного года» (Д. С. Гончаров).

107. «Теория пределов и ее приложение в курсе математики средней школы» (А. Е. Омельянович).

108. «Опыт преподавания иррациональных чисел в средней школе» (Т. Литинский).

109. «Примеры применения наглядности в геометрии» (А. Л. Витал).

110. «Элементарные способы решения задач на максимум и минимум» (Р. Г. Годованик).

111. «О дополнениях формул общего вида углов, необходимых для получения форм ответов задачника Рыбкина на тригонометрические уравнения» (И. А. Скрылев).

112. «Построение систематического курса тригонометрии с точки зрения метода координат» (Д. С. Гончаров).

* О деятельности секции в 1937 и 1938 гг. см. журнал «Математика в школе» за 1938 г., 3, и 1939 г., № 3.

113. «Формы ответов на тригонометрические уравнения из сборника Рыбкина» (И. А. Скрылев).

114. 1) «Деление окружности на равные части при помощи одного циркуля» (Р. Г. Годованик).

2) «О решении некоторых показательных уравнений».

115. «Цели домашних заданий по математике» (Г. С. Томашпольский).

116. «Выяснение значения и роли отрицательных чисел в курсе математики средних школ» (И. Д. Дуб).

117. «О признаках делимости на любое число» (И. Ш. Лернер).

118. «Критерии и нормы оценок по математике для средней школы по проекту, разработанному Киевским научно-исследовательским институтом педагогики» (В. Г. Рубинштейн).

119. Совместное заседание секции математиков и секции физиков по вопросу о приближенных вычислениях в средней школе.

120. «Элементарные способы исследования эллипса, гиперболы и параболы» (Р. Г. Годованик).

121. «Элементы гармонического анализа в курсе тригонометрии средней школы» (Д. С. Гончаров).

122—123. «Арифметика на уроках математики в VI-X классах» (проф. К. М. Щербина)

IV

В заключение отметим, что ряд докладов, которые, по мнению секции, заслуживали особенного внимания, направлен в педагогические журналы: «Математика в школе», «Комуністична освіта». Некоторые из них уже опубликованы в указанных журналах; другие, надеемся, будут напечатаны в ближайшее время. Это пока единственный способ, при помощи которого мы можем поделиться нашим опытом с иногородними преподавателями математики. Три доклада удалось, в небольшом количестве экземпляров, напечатать на ротаторе и разослать в районные центры Одесской области в помощь руководителям секций математиков районных центров.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

СТО ЛЕТ НАЗАД

Историко-библиографический очерк русской математики

В. МОРЕВ (Ленинград)

овременное состояние математики в СССР подробно охарактеризовано в сборнике «Математика и естествознание», изданном в 1938 г. Академией наук. Обзоры работ, сделанных в СССР за 20 лет, дали: П. С. Александров— по геометрии и топологии, А. Н. Колмогоров— по теории вероятностей, Б. И. Сегал — по теории чисел, Н. Г. Чеботарев — по алгебре и др. В каждом из них отмечаются глубокие исследования молодых научных работников, подчеркиваются статьи, имеющие большую научную ценность. В целом рисуется расцвет советской математики, ставящей ее на уровень мировой науки. Истекший 1938 год подтверждает это. Он снова выдвигает имена новых молодых исследователей, дает свыше 300 научных работ, иногда глубокой ценности, вплоть до решения двухсотлетней задачи Гольдбаха акад. И. М. Виноградовым.

И этот очевидный расцвет кажется нам в порядке вещей: когда учится вся страна,— многомиллионный народ естественно должен выделять таланты.

Однако если оглянуться и посмотреть, чем была русская математика сотню лет назад, то современный расцвет действительно покажется изумительным.

Вот говорящие за себя цифры.

В 1834 г. в Московском учебном округе на 8 793 тыс. жителей было учащихся 14,604. т. е. обучался 1 из 600; в 1837 г. по ведомству министерства народного просвещения во всей России числилось учащихся 95565 человек (на 3 760 больше, чем в предыдущем — подчеркивается в отчете министерства). Учебных заведений, включая низшие, считалось 1866 (на 69 больше предыдущего года). Весьма любопытно число студентов в университетах:

Название университета

Годы

1835

1836

1837

С.-Петербургский . .

285

299

385

Московский.....

419

441

611

Дерптский ......

567

536

563

Харьковский .....

342

333

315

Казанский ......

252

192

170

Киевский .......

120

203

263

Главный педагогический институт . . .

146

145

141

Шесть университетов имели в 1837 г. всего 2 307 слушателей. (Во Франции в 1839 г. считалось 1 460 высших учебных заведений с 64 949 студентами. Всего же учебных заведений было до 40 тыс. с 3 млн. учащихся, как сообщается в «Литературных прибавлениях к «Русскому инвалиду», 1839 г., стр. 358). На математические (тогда — философские) факультеты в те времена падало наименьшее число студентов, и поэтому весьма нередки были случаи, когда профессор читал один-на-один со своим слушателем.

Математика, по преимуществу прикладная, была лучше поставлена в морских и военных учебных заведениях, но таковых тоже было наперечет.

Правда, появлялись и тогда талантливые и даже гениальные ученые-одиночки, двигавшие вперед науку и старавшиеся продвинуть ее в более широкие круги общества. Но условия того времени — мрачной эпохи Николая I — приводили к тому, что их научные труды не получали признания, а сводились на-нет.

Еще в самом начале тридцатых годов ректор Казанского университета Н. И. Лобачевский (1798—1856) закончил печатание ряда статей «О началах геометрии». В них он показал, что, отвергая недоказуемый постулат Евклида о параллельных прямых, возможно логически построить геометрию иного порядка. Но глубокого философского значения его построений современники его, не исключая акад. Буняковского и Остроградского, не сумели оценить. Сначала недоуменно молчали, а в 1834 г. анонимный автор под инициалами «С. С.» поместил в «Сыне Отечества» нижеследующую пасквильную рецензию, характеризующую отношение к непонятному новому. «Многие из первоклассных наших математиков читали, думали и ничего не поняли... Для чего же писать, да еще и печатать такие нелепые фантазии? На этот вопрос отвечать трудно. Как можно подумать, чтобы г. Лобачевский, орд. проф. математики, написал с какою-либо серьезною целью книгу, которая не много бы принесла чести и последнему приходскому учителю? Если не ученость, то, по крайней мере, здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой Геометрии нередко недостает и последнего. Соображая все сие, с большою вероятностью заключаю, что истинная цель, с которой г. Лобачевский сочинил и издал свою Геометрию, есть просто шутка или, лучше сказать, сатира на ученых сочинителей настоящего времени. За сим уже с уверенностью полагаю, что безумная страсть писать каким-то странным и невразумительным образом и безрассудное желание открывать новое при талантах, едва достаточных для того, чтобы надлежащим образом постигать старое, суть два недостатка, которые автор в своем сочинении намерен был изобразить как нельзя лучше. Хвала г. Лобачевскому, принявшему на себя труд обличить, с одной стороны, наглость и бесстыдство ложных новоизобретателей, а с другой — простодушное невежество почитателей их новоизобретений».

Так надутое невежество отзывалось о том, что было выше его понимания. Лобачевский ответил на этот выпад развитием своих идей в статье «Воображаемая Геометрия», о которой последовал в «Библиотеке для чтения» отзыв, показывающий несмелое непонимание: «В «Зап. Казан, унив.» находится сочинение, очень хорошо написанное, о воображаемой геометрии г. проф. Лобачевского». И никаких пояснений. На ряд же следующих статей «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» Лобачевский никаких откликов в печати не получил. Так встретила русская ученость произведение, открывшее путь в область неэвклидовой геометрии.

В 1837 г. исследования Лобачевского печатались в «Crelles Journal», а в 1840 г. вышли отдельным изданием на немецком языке и заслужили внимание Гаусса.

В 1833 г. в Ревеле, на более культурной окраине, начал издаваться первый в России «Учебный математический журнал». Учитель Ревельской гимназии доктор философских наук Карл Генрих Купфер (1789—1838) решил знакомить учительство с методическими новинками заграницы, а также дать школе ряд задач и упражнений по алгебре, геометрии и тригонометрии, которых, вообще говоря, на русском языке еще не было. Извещение о подписке появилось в «Северной Пчеле», 1832 г., № 286. Журнал издавался в течение полутора лет, вышло всего 4 номера. И на этом издание кончилось, так как ни сотрудников, ни подписчиков не оказалось. Статьи и задачи составлялись единолично Купфером, а число «особ и учреждений, подписавшихся на сей журнал», перечень которых печатался в нем, к марту 1834 г. достигло максимум 281. Конечно, на такое издание не могло хватить у Купфера ни сил, ни средств. Купфер перевелся в Ришельевский лицей в Одессу, где вскоре простудился и, прохворав год, скончался 11 января 1838 г.

В конце 1836 г. акад. М. В. Остроградский (1801—1861), уже завоевавший себе европейскую известность своим «Курсом Небесной Механики», начал чтение публичного цикла лекций по математическому анализу, вскоре частично изданных под названием «Лекции алгебраического и трансцендентного анализа, читанные в Морском Кадетском корпусе акад. Остроградским».

История лекций рассказана в предисловии этой книги и повторяется в рецензии «Библиотеки для чтения». Приводим здесь сокращенную выписку из этой последней. «В прошлом году по просьбе нескольких любителе:! математики г. Остроградский решил читать частный курс математического анализа. Это была настоящая эпоха для всех, занимающихся точными науками. На лекции записалось 60 лиц. (Число необычайное, которого едва ли когда-либо достигал кто из славных геометров в самом Париже.) Среди слушателей преобладали моряки и инженеры; были также академики, товарищи знаменитого лектора, и все с восторгом слушали его блестящие импровизации, чтения начались 16 октября 1836 г. и продолжались всю зиму, по два раза в неделю. Два слушателя — корпуса корабельных инженеров капитан ст. Бурачек и лейтенант Сем. Зеленый — взяли на себя тяжелый труд составления лекций по спешным записям. В ночь после лекций они приводили записи в порядок, сравнивали их

причем в случае недоумений пользовались указаниями лектора, и, таким образом, составилась книга, которая составит памятник в истории математического преподавания в России». Быстрота работы была действительно рекордна. Перед новым годом закончился первый цикл лекций, а 7 января уже получилось разрешение цензуры для их печатания.

Печатание, правда, несколько задержалось, но все же книга к июлю 1837 г. уже вышла из печати.

Часть 1 содержала теорию решения алгебраических уравнений, а ч. 2 — теорию алгебраических функций и теорию чисел. Обе были снабжены восторженными предисловиями об успехах русской математики и математики вообще, которая «пронижет в будущем все науки». Предисловия эти были настолько многословны, что в хвалебных отзывах печати о книге отмечалась их неуместная длиннота и болтливость («Библиотека для чтения»). Кроме того, нарекания возбудили и те изменения и дополнения, которые внесены были издателями в лекции. О них упоминает сам Остроградский в одной из записок, представленных Академии («Note sur différents sujets»...). В своем курсе Остроградский ознакомил слушателей с открытиями в теории алгебраических уравнении Лагранжа, Коши, Штурма, Гаусса, Абеля и др. «Книга послужила в дальнейшем весьма полезным руководством для изучающих высшую алгебру. Приемы и взгляды Остроградского,— говорит его биограф И. Сомов, — перешли в сочинения других русских математиков: Брашмана, Яниша, Сомова».

Остроградский продолжал свои лекции, перейдя к диференциальному и интегральному исчислениям. Бурачек и Зеленый уже объявляли о подписке на следующий том. Однако продолжения издания не последовало. Причина та, что продажа вышедшего тома и подписка на будущий далеко не оправдали ожиданий. Книга расходилась медленно, несмотря на то, что она «содержит более нового и полезного, нежели все другие, писанные об этом предмете на русском языке», как отзывалась о ней печать («Литературные прибавления к Русскому Инвалиду», 1837 г.). Полный курс лекций Остроградского так и остался ненапечатанным. Выдержки из последующих лекций печатались С. Бурачком в основанном им журнале «Маяк современного просвещения и образования» (1840). Там же с торжеством сообщалось об «Ошибке Коши, отмеченной Остроградским в решении уравнения <о' (*) = 0"». В 1839 г. Остроградский начал было издание руководства по диференциальному исчислению для морского кадетского корпуса, но прекратил его на 9-м печатном листе. Затем Беренс по лекциям Остроградского составил и издал «Курс диференциального исчисления», читанный в Николаевском инженерном училище», но то уже были чисто учебные курсы, значительно отличавшиеся от широко поставленных публичных чтений. Не лишне отметить, что лекции Остроградского явились культурным почином для целого ряда такого же рода публичных курсов, предвозвестников эпохи сороковых годов, охотно посещавшихся, вошедших в моду. «Отечественные Записки» в обзоре за 1838 г. пишут: «Для любознательных людей всех состояний средства к приобретению сведений положительных легко и удобно с года на год увеличиваются. В С.-Петербурге читают публичные лекции: Остроградский — высшей математики, Гесс— химии, Нечаев — физики, Дорн — санскритского языка и др. В технологическом институте— безденежные уроки: Максимович — физики, Ястржембский — механики. В Москве: Перевощиков — астрономии, Павлов — сельского хозяйства».

В сороковые годы тот же С. Зеленый, впоследствии адмирал, в том же зале Морского кадетского корпуса собирал уже тысячную толпу слушателей на своих лекциях популярной астрономии. Наконец, еще одно неудавшееся начинание.

27 марта 1837 г. в газетах появилась статья-проспект «Об издании Лексикона Чистой и Прикладной Математики» акад. В. Я. Буняковского (1804—1889). В ней он говорит: «Посвятив несколько лет составлению Лексикона и окончив большую часть его, я решился приступить к изданию. При составлении я имел три цели: 1. Обогащение русской математической номенклатуры. 2. Составление для любителей математики, уже несколько знакомых с нею, такой книги, в которой они могли бы почерпнуть сведения о всех важнейших теориях как старых, так и новейших. 3. Доставление нашим молодым любителям точных наук, мало знакомым с французским языком, возможности читать и понимать французские книги». И далее выясняет методы, при помощи которых он эти цели осуществляет в своем «Лексиконе». «Если бы я отсрочил издание, — говорит он затем, — то конечно успел бы представить его в виде более полном и ближе соответствующем его назначению; но ревность, с какою начали теперь заниматься у нас математическими науками, увлекла меня и убедила в необходимости подобного сочинения в настоящее время, и я решился издать свой труд, хотя в виде более несовершенном, но зато раньше. Опыт покажет, ошибся ли я?» «Лексикон» стал выходить тетрадями, по пяти листов в каждой, по тетради через шесть недель. За том в 10 тетрадей назначена была подписная цена 20 руб. ассигнациями.

По существу это был франко-русский лексикон. В порядке французского алфавита давались французские термины, затем перевод их на русский язык, часто в новых словообразованиях, если не было соответствующих русских. Наиболее удачные из них вошли потом в практику математического языка. Далее следовали пояснения, исторические сведения и указания источников, преимущественно французских, где можно получить подробную разработку данного вопроса. Пояснения нередко были большими математическими статьями размером до 10 страниц.

О выходе каждого выпуска «Лексикона» печатались сведения в журналах и газетах и появлялись статьи вначале хвалебные, а потом и со скептическим отношением. «Лексикон» сравнивался с таковым же французским изданием «Dictionaire des sciences Matématiques sous la direction de Monferrier» (Paris, 1835). Указывались преимущества «Лекси-

кона»: его большая полнота и ясность изложения. Особенно часто откликалась на выход тетрадей «Лексикона» «Северная Пчела». Здесь стали поговаривать, что словарная форма не дает полной связности изложения предмета, что при бедноте русской математической литературы было бы полезнее, если бы акад. Буняковский дал систематический курс математики. Наконец, проскользнул недоуменный вопрос, будет ли продолжаться издание: ведь подписчиков всего только 36 человек? (Автор заметки, зайдя подписаться, получил квитанцию под этим номером.)

Да, акад. Буняковский ошибся, увлекшись энтузиазмом некоторых слушателей лекций Остроградского, быть может, тех же Бурачка и Зеленого. Тех молодых любителей точных наук, для которых он поспешил с изданием своего труда, оказалось очень и очень незначительное количество. Однако издание продолжалось. Том I, от А до Д был закончен и остался как столетний монумент — «Лексикон Чистой и Прикладной Математики, составленный имп. Академии Наук экстраординарным Академиком и Доктором Наук Парижской Академии В. Я. Буняковским. СПБ, 1839, Шмуцтитул: «Памяти Ньютона, Эйлера и Лагранжа сей слабый труд с благоговением посвящает сочинитель». Но второго тома уже не последовало, так как, очевидно, и продажа отпечатанного тома шла не бойко и не окупала издания, выпущенного на добротной бумаге, с четким, широким шрифтом. О малом спросе видно из рецензии «Отечественных Записок». «Сколько приятно,— пишут они,— говорить с читателями о таких произведениях, как «Лексикон» г. Буняковского, столько же неприятно видеть холодность, с какою принимает его публика».

Широкая публика тех времен нуждалась в книгах совершенно другого рода. Когда 1-го июля 1839 г. последовал указ о закреплении твердой цены бумажных денег-ассигнаций — в 3 р. 50 к. за один серебряный рубль, за полугодие сразу появилось с полдюжины разных «Карманных книжек для скорейшего расчета ассигнаций на серебро и обратно». Бойкие авторы Карпович, Крюков, Поднебесный и пр. пекли такие таблицы, которые находили большой спрос, а некоторые переиздавались за израсходованием своего тысячного тиража. Видимо, они удовлетворяли насущным потребностям широких дворянских кругов.

В обозрении литературы за 1838 г. в «Отечественных Записках» говорится, что «никогда еще не было такой обильной жатвы в математической литературе, как за этот год». Это безусловная правда: в предыдущие годы книг и статей по математике было меньше. Но подсчет за 1838 г. показывает, что книг, включая переиздания и переводы и учебники арифметики, было издано всего 21, а статей научно-математического содержания только 15. Таков был «расцвет» русской математики сто лет назад.

ШКОЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА И МАТЕМАТИКА

В. ЗЯБЛИЦКИЙ (Калинин)

реди многих условий, способствующих лучшему усвоению и сознательному пониманию учащимися математики, необходимо в первую очередь выделить интерес, с которым ведется учителем изложение нового материала, и интерес, с которым учащиеся этот материал воспринимают.

В этих целях в занятиях по математике учителя очень часто прибегают к наглядности, стараясь применить на уроках различные иллюстрации, чертежи, графики, диаграммы, рисунки, планы, карты, модели, таблицы, схемы, диапозитивы, учебные кинофильмы и многое другое.

Однако ограничиваться одной только наглядностью было бы далеко недостаточно. Необходимо в дополнение к этому обеспечить и интересное содержание материала. Это сможет осуществить как сам учитель в своем увлекательном рассказе-объяснении, так и специально подобранная дополнительная литература по математике.

Чтение такой дополнительной математической литературы, в первую очередь, должна организовать школьная ученическая библиотека, проявив в этом вопросе необходимую настойчивость и большую творческую инициативу.

Прежде всего библиотека должна будет позаботиться о том, чтобы в ее распоряжении действительно были книги для дополнительного чтения по математике. Сделать это библиотека сможет, если будет обеспечено живейшее участие в этом вопросе самих учителей, преподающих математику. Последние должны будут дать библиотеке подробные списки дополнительной литературы и помочь библиотеке приобрести эти книги.

Далее библиотека и учитель через школьный математический кружок должны будут научить учащихся читать математическую книгу. Этому очень поможет непосредственная работа учащихся в математическом кружке, помогут образцы в этом отношении со стороны учителя и самих товарищей школьников*

Наконец, надо сделать так, чтобы до учащихся дошли сведения об имеющей-

* В. Репьев — «Как учить читать математическую книгу». Обстоятельная статья в журнале «Математика и физика в средней школе», № 6 1935 г., стр. 53—60 В статье даются указания о наиболее распространенных книгах для внеклассного чтения по математике.

ся в библиотеке литературе, здесь библиотека сможет полностью развернуть свою полезную и интересную работу по пропаганде среди школьников хорошей математической книги.

В помещении школьной библиотеки на видном месте должна быть устроена витрина, на которой вывешиваются рекомендательные списки математических книг для дополнительного чтения. Эти списки периодически дополняются и изменяются. Время от времени в списки заносятся новые журналы, отдельные журнальные статьи и заметки.

Здесь же в витрине выделяется список кииг-новинок, причем желательно отдельные книги или выставить целиком, или показать титульные листы этих книг. (Это можно сделать через копию-рисунок данной книги но первой лицевой стороне ее.)

Среди различных экспонатов витрины большим вниманием должны пользовался рецензии и отзывы на отдельные книги, брошюры, журнальные статьи и пр.; желательно, чтобы, кроме печатных рецензии, заимствованных из различных журналов и газет, были и отзывы самих учителей и учащихся. Можно даже организовать на витрине отдельное место для таких рецензии под названием «Наши отзывы и пожелания». В связи с этим придется провести большую подготовительную работу по сбору этих пожеланий и предложений.

Для того чтобы учащиеся сами пожелали прочитать ту или иную книгу, надо рассказать об этих книгах учащимся, даже частично и показать их через удачно выбранную и хорошо оформленную серию специальных выдержек из наиболее интересного материала данной книги. Эти выдержки могут быть в виде отрывков из статей, парой-двумя интересных задач, математических загадок, ребусов, головоломок и т. п.

Очень полезно, если в библиотеке будет вывешен систематизированный по классам и по разделам математики (арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия) список учебной литературы и учебных дополнительных пособий как стабильных, принятых в данном классе и школе, так и других авторов. Этим самым достигается возможность выбора литературы при изучении и детском «исследовании» программных вопросов и новых проблем, возникающих в связи с изучением основного программного материала.

Как минимум среди книг для дополнительного чтения по математике в библиотеке должны быть известные книги из серии «Занимательной математики» Я. И. Перельмана, книги Игнатьева «В царстве смекалки», книги о приближенных вычислениях В. М. Брадиса, интересные книги Литцмана, А. М. Воронца, Лямина, Теммердинга, Дернова и Коваль «Игра цифр» и многие друдие. К этому необходимо добавить и книги по истории математики Цейтена, Кэджори, Лебедева, Беллюстина, Г. Н. Попова и др. Из журналов и газет следует назвать следующие; «Пионер», «Знание-сила», «Пионерская правда», «Затейник» и др., имея в виду их отделы: «В часы досуга» и «Математические головоломки». Для учащихся старших классов можно рекомендовать журнал «Математика в школе», особенно по разделу «Задачи», книги из школьной серии по номографии, теории вероятности, устному счету, элементам анализа и аналитической геометрии, графическим представлениям, прикладной математике и др.

Школьная библиотека должна и может сделать многое для того, чтобы ученики действительно были частыми посетителями библиотеки и ее активными читателями математических книг.

Возможности, таким образом, у школы большие, желание у учащихся читать интересную математическую книгу огромное, — остается только самим учителям и работникам библиотеки проявить необходимую инициативу и по-деловому выполнить одну из ответственнейших задач, стоящих перед школьной библиотекой.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 5 за 1939 г.

В виду запоздания выхода № 5 к моменту сдачи в типографию настоящего номера редакцией было получено еще очень мало решений. Поэтому сводка решений и варианты некоторых из них будут даны в следующем номере.

81.

Доказать для треугольника неравенство:

Для любых положительных at b и с имеют место неравенства

или, по раскрытии скобок: Сложив эти неравенства, получим:

Перенеся второй член вправо, разделив обе части на abc и, заменив а + Ь + с = 2р, получим требуемое неравенство. Случай равенства имеет место при а = b = с — \.

82.

Решить систему уравнений

(1)

(2) (3)

Сделаем замену:

(4)

Данные уравнения примут вид:

(5) (6) (7)

Из (5) и (7) определяем v и t и подставляем (6):

(8) (9)

Уравнение (9) преобразовываем:

Отсюда:

(10)

Подстановка в (8) дает:

(11)

Наконец, подставив найденные пары значений v и t (3) и (4) и решив полученные элементарные системы, найдем все возможные решения данной системы. Они будут:

83.

Доказать, что число

700 + 210+ 15с — N (1)

делится на 105, если а, Ьу с — остатки от деления целого числа соответственно на 3,5 и 7.

1. Данное выражение можно представить в следующих трех видах:

69а + 21 b + 15с — (N — а), (2)

70а + 20& + 15с — (N — Ь), (3)

70а + 216 + Uc — (N — c). (4)

По условию N — а делится на 3, N— b — на 5 и N — с — на 7. Значит, и все выражение (2) делится на 3, (3) делится на 5, (4) на 7. Следовательно, данное выражение (1) делится на 3, 5 и 7, т. е. делится на их произведение 3.5-7 = 105.

2. Еще проще задача решается так. По условию:

N = 3т + а,

iV = 5/z+6, (5)

N = 7р + с,

где т, п, р — целые числа. Заменив в (1) а, 6 и с их выражениями из (5), получим:

что и доказывает делимость данного выражения на 105.

84.

Решить уравнение:

(1)

Сделаем замену

Получим:

(2)

По освобождении от знаменателя, найдем:

(3)

Делаем замену:

Получим:

или: отсюда:

Проверка показывает, что корень удовлетворяет данному уравнению

85.

Решить уравнение:

Заменив cos2* через 1 — sin2je, получим:

Заменив sin х = z, раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим:

или:

отсюда:

86.

Решить уравнение:

(1)

Положим:

(2)

По возведении в квадрат последнего равенства, найдем:

(3)

Делая подстановку в (1) из (2) и (3), получим:

По упрощении:

или:

Итак, имеем:

Отсюда:

Как видим, задачи №№ 84, 85, 86 решаются по существу одним методом — заменой переменных и приведением к биному.

87.

Требуется пересечь куб плоскостью так, чтобы в сечении получился правильный /z-угольник. Показать для каких значений п задача возможна.

Так как куб имеет б граней, то в сечении может получиться фигура самое большее с шестью сторонами. Следовательно, надо рассмотреть случаи: п = 3, 4, 5, 6.

1. п = 3. Проведя плоскость через вершины, например Л, Q и С (или А, N и С, или М, В и D и т. п.), получим очевидно правильный треугольник AQC, так как его сторонами являются диагонали граней куба. Легко видеть, что всякая плоскость, параллельная AQC или, что тоже, перпендикулярная к диагонали куба ND (или к любой другой его диагонали) даст в сечении тоже правильный треугольник.

2. N=4. Очевидно, что всякая плоскость, проведенная через любое ребро куба перпендикулярно к этому ребру, дает в сечении квадрат, равный грани куба.

3. N = 5. Для получения правильного пятиугольника секущая плоскость должна пересечь пять из шести граней куба. Но эти грани попарно параллельны. Следовательно, в сечении должна получиться фигура, имеющая параллельные стороны,чего в правильном пятиугольнике быть не может. Значит, правильного пятиугольника получить сечением куба плоскостью невозможно.

Проведя секущую плоскость через точки Аи ЛГ„ Nv Р„ Ct и Д- середины ребер AM, MN, NP, PC, CDylDA, мы получим, как легко показать, правильный шестиугольник. Отметим, что в то время как в случаях п = 3,4 мы могли провести бесчисленное множество сечений, удовлетворяющих требованиям задачи, здесь мы всего имеем 4 таких плоскости.

88.

Решить уравнение:

(1)

Так как 6 552 = З3-(3е—1), то данное уравнение можно представить в виде:

или:

(2)

1. Будем искать целые значения для х. Так как правая часть не делится на 3, то при целом X необходимо, чтобы было одновременно:

(3)

Черт. 1

Черт. 2

(4)

Из (3) находим: хх = 2, х2 = — 1; из (4) ж = 2. Общий корень, удовлетворяющий и уравнению (1), будет х = 2. 2) Пусть теперь ^ > 2. Тогда:

(5) (б)

Перемножив (5) и (6), получим:

что противоречит (2).

3. Точно так же покажем, что при х < 2 левая часть уравнения (2) будет меньше правой.

Итак, имеем одно решение х = 2.

89.

Доказать соотношения:

(1)

(2)

Для доказательства достаточно воспользоваться формулой для перехода от одной системы логарифмов к другой:

(3)

1) Положив в (3) а = 10; N = 2, 3,... 8; b = = 3,4,... 9; получим:

(4)

Перемножив равенства (4) и сократив на

получим (1).

2) Аналогично предыдущему, получаем следующие тождества:

(5)

По перемножении (5) и сокращении получим (2).

90.

Построить равносторонний треугольник, вершины которого лежали бы на трех данных параллельных прямых.

Предположим, что задача решена и треугольник ABC — искомый, т. е. AB = ВС = = АС = а.

Через вершину А проведем DE — перпендикуляр к данным прямым. Угол DAB обозначим через X. Очевидно, определив его, мы сумеем построить и искомый треугольник.

Обозначим DA = р и АЕ = q. Из треугольников ADB и АЕС имеем:

(1)

но

Произведя замену в (1) и деля первое на второе, получим:

(2)

Из этого уравнения и определим дг.

(3)

Выражение (3) мы легко можем построить, а следовательно, и построить угол х. Проводим перпендикуляр DAE к данным прямым. От точки D откладываем (вправо или влево) отрезок:

DN = DA + 2АЕ = p + 2q.

От той же точки D откладываем на перпендикуляре отрезок DF, равный р^Ъ. (Очевидно, это будет сторона треугольника, вписанного в окружность радиуса р. Поэтому мы можем, например, из точки А описать полуокружность радиусом AD и отложить на ней две хорды, равные AD. Хорда DM и будет искомым отрезком, который и отложим на DE, в данном случае продолжив последний). Точку F соединим с N. Очевидно:

т. е.

От точки А проведем AB || FN и от точки В радиусом AB делаем засечку на третьей из данных параллельных прямых; получим третью вершину искомого треугольника.

91.

По данным центрам квадратов, вне построенных на сторонах треугольника, построить самый треугольник.

Пусть ABC — искомый треугольник; Аи Вх и С, — данные центры вне построенных квадратов.

Проведем AD и BE. Тогда треугольник ACD = треугольнику ВСЕ (по двум сторонам и углу между ними). Отсюда:

AD = BE. Кроме того, как легко видеть,

Черт. 3

(Для совмещения треугольников придется сторону ВС повернуть вокруг точки С на 90°). Точку М, середину стороны AB, соединим с Л, и В1т

Из треугольников ABD и ЕАВ имеем:

а также

(как средние линии треугольников ABD и ЕАВ).

Отсюда:

Итак, треугольник АЛВХМ — прямоугольный, равнобедренный, гипотенуза которого АХВХ дана. Такой треугольник мы сможем построить (например, на АХВХ, как на диаметре, строим полуокружность — в ту же сторону, где лежит точка С, и из центра восстанавливаем перпендикуляр к диаметру Л, Вх до пересечения с окружностью в точке М) и, следовательно, найдем середину M стороны AB. Точно так же найдем середины сторон ВС. и ЛС. Приходим к известной задаче: построить треугольник по данным серединам его сторон.

92.

Доказать, что при неравных и положительных а, Ь, с имеет место неравенство:

Проведем решение методом, который облегчит решение более общей задачи 99. Обозначим:

(1)

Возьмем известное неравенство:

(2)

(при афЬ) и вычтем (2) из (О;

(3)

Положим:

(4)

Получим:

отсюда:

(5)

Так как s2>2, то s3>3, если выражение положительно. Это условие удовлетворяется в следующих двух случаях:

I. г>0ид —с>0, т. е. 6>с и а>с, или:

(6)

II. г < 0 и а — с < 0, т. е. b < с и а < с, или:

(7)

Итак, требуемое неравенство справедливо в тех случаях, когда из двух последних дробей одна меньше, а другая больше единицы. III. Предположим теперь, что

Тогда, как легко показать, непременно должно быть -г < 1. Действительно, допустим, что -у > 1. Тогда имеем:

отсюда:

а>а,

что невозможно.

Итак, в данном случае у<1- Но тогда, переставив последний член выражения (1) первым, будем иметь

Очевидно, что величина sz от перестановки слагаемых не изменилась. Но мы пришли, таким образом, к случаю II, для которого справедливость данного неравенства доказана.

IV. Предположим, наконец, что

Но тогда непременно должно быть -т->1.

(Доказательство аналогично предыдущему). Сделав опять третий член первым, придем к случаю 1.

93.

Определить объем тела, полученного от вращения сегмента вокруг диаметра, параллельного его хорде. Указать особенность этого объема.

Обозначим длину хорды через 2k, а радиус данной окружности через R. Объем полученного тела вращения найдем как разность между объемом шара и суммой объемов цилиндра и двух шаровых сегментов. Имеем

Черт. 4

(1)

но

тогда:

(2)

Далее:

Но здесь: отсюда:

(3)

Итак, имеем для искомого объема:

что после упрощении дает:

(4)

т. е. объем полученного тела вращения равен объему шара, диаметр которого равен данной хорде.

Таким образом, особенность этого объема та, что он не зависит от радиуса шара, а только от длины хорды, как это и показывает формула (4).

94.

Доказать, что сумма квадратов биномиальных коэфициентов разложения бинома (а + 4- Ь)п равна среднему коэфициенту разложения (а -[- Ь)2П (п — целое положительное число).

Таким образом, требуется доказать, что:

(1)

В разложении бинома (1 + х)2П средний член будет иметь вид

(2)

Но разложение того же бинома мы можем получить так:

(3)

Возведя в квадрат и собрав все члены, содержащие хп, мы, очевидно, должны получить (2).

1. Пусть п — число нечетное. Тогда сумма в (3) содержит четное число членов, и мы получим члены с хп, как удвоенные произведения членов, равноотстоящих от начала и конца. Коэфициентом при хп тогда будет сумма:

(4)

Но по известной формуле

дает:

(5)

Сравнивая (5) и (2), мы, очевидно, получим (1).

II. Для п четного будем иметь аналогичное доказательство с той разницей, что там сумма, возводимая в квадрат, имеет нечетное число членов и средний член придется взять в квадрате.

95.

Решить систему уравнений:

(1) (2) (3)

Исследуем прежде всего нулевые решения. (Полагаем, конечно, что а, Ъ и с ^= 0.)

I. Пусть X = 0. Тогда из (1) имеем:

z —- у = 0; z = у.

Итак, имеем систему решений:

X = 0; у = z = любому числу.

Аналогично, будем иметь:

v = 0; X = z = любому числу. z = 0; X = у = любому числу.

В частности, будем иметь решение: X = у = z = 0.

II. Пусть х=у = 0. Тогда возможно только z = 0, что мы уже имели.

III. Пусть теперь х, у и гфО. Перемножив данные уравнения, получим:

(4)

Возведем данные уравнения в квадрат:

(5) (6) (7)

Разделим (4) последовательно на (5), (6) и (7).

Так как случаи нулевых значений неизвестных мы уже разобрали и положили теперь, что х, у и z ф 0, то последние уравнения можно сократить соответственно на z, у и X. Получим систему:

Или:

(8) (9) (10)

Сложим попарно уравнения: (8) и (9); (8) и (10); (8) и (11):

Решив эту элементарную систему, найдем:

96.

Решить систему уравнений:

(1)

(2)

Положим:

(3)

тогда

(4)

Делая замену в (1) и (2), получим:

или:

(5) (6)

Извлекая квадратный корень из (5) и (6) и комбинируя знаки, получим следующие 4 системы:

Решив эти системы, найдем:

Подстановка этих значений в (3) дает:

Проверка показывает, что данным уравнениям удовлетворяют только две первые пары решений.

97.

Через данную точку Л провести прямую, образующую равные углы с тремя данными прямыми (не лежащими в одной плоскости).

Пусть Л, ВС, DE и FG — данные точка и прямые.

1) Построение. Через точку А проведем прямые ЛС, II ВС; АЕ, || DE и ДО, || FG.

2) Восставим перпендикуляр АН к пло-

скости С,Л£, и проведем биссектрису АК угла СХАЕХ.

3) Через АН и АК проведем плоскость Р.

4) Восставим перпендикуляр AJ к плоскости EAAGX и проведем биссектрису AL угла EtAGv

5) Проведем плоскость Q через AJ и AL. Пересечение плоскости Р и Q и дает искомую прямую.

Доказательство. Плоскость Р есть геометрическое место прямых, одинаково наклоненных к прямым ЛС, и ÀEU а следовательно, и к прямым ВС и DE. Докажем это по отно-

Черт. 6

Черт. 7

тению к полученной нами прямой AM (можно было взять любую прямую, проходящую через А и лежащую в плоскости Р).

1. Отложим (черт. 2) AN = AR. Отрезок NR пересечет биссектоису АК в некоторой точке S, причем NS = SP (треугольник RAN— равнобедренный, AS — биссектриса угла при вершине).

2. Восставим из точки 5 перпендикуляр к плоскости CtAEv Очевидно, он будет лежать в плоскости Р и, следовательно, пересечет AM в некоторой точке Т.

3. Соединим Т с N и R. Тогда треугольник ATN = треугольнику ATR (по трем сторонам) и, следовательно, £ ТАСХ = ТАЕи т. е. прямая AM одинаково наклонена к прямым Ad и АЕХ или, что то же,— к ВС и DE.

4. Аналогично докажем (по отношению к плоскости Q), что AM одинаково наклонена к АЕХ и AGit или, что то же, к DE и FG. Следовательно, AM одинаково наклонена ко всем трем данным прямым.

В частности, если все три прямые параллельны, то задача становится неопределенной.

98.

Найти системы целых положительных чисел, удовлетворяющих уравнению:

Положим:

(1)

Тогда по известной формуле будем иметь.

(2)

Делая снова подстановку из (1) после упрощений найдем:

или:

(3)

Так как х, у и z одинаково входят в (3), то возможно для целых и положительных значений Ху у и z сделать 4 предположения. I. X, у и z все равны между собою. II. Два из них равны, а третий больше каждого из первых.

III. Два из них равны, а третий меньше каждого из первых.

IV. Все три числа различны. Рассмотрим все эти случаи. I. Пусть X — у = z. Тогда уравнение (3) даст

или: отсюда

Все три корня не являются целыми, положительными числами. Решений в этом случае нет.

II. Пусть х>у\ х> z и у — z. Уравнение (3) дает:

отсюда

(4)

Так как по предположению

то, сделав такую замену в (4), мы неравенство усилим. Будем иметь:

или:

Решив это неравенство, найдем, что оно справедливо лишь при значениях xf у, заключенных между корнями соответствующего квадратного уравнения, т. е. между

Так как по условию у должен быть, кроме того, целым и положительным, то у может быть равен лишь 2,3. (Случай, когда xt у или Z = 1, исключается, так как в этом случае уже одно из слагаемых в данном уравнении равно 1.

Подстановка этих значений в (3) только при y = z = 3 дает целое значение для xt именно X = 7.

Итак, в этом случае имеем одно решение: X = 7; у = z = 3.

Понятно, что комбинируя Ху у и z, получим еще две системы решений.

III. Пусть х=у и x>z.

Уравнение (3) примет вид:

Отбросив в правой части 1 и заменив в левой z через X (jc> z\ получим неравенство:

или:

(5)

Так как х > 2, то в неравенстве (5) z может быть равен только 2 или 3. Подстановка этих значений в (3) не дает для х рациональных решений.

IV. Пусть jt>_y>z.

Отбросив в (3) единицу и заменив xzt yz% V, z соответственно большими величинами ху, хуу х% Ху получим:

Аналогично предыдущему испытываем дли z значения 2 и 3. a) z = 2. Уравнение (3) примет вид:

отсюда

Аналогично предыдущему находим, что при х>у последнее может принимать лишь значения 3, 4, 5, 6. Подстановка их в (3) дает: при у = 5 X = 8 » У = 4 X = 13. Итак, в этом случае имеем две системы решений:

(Опять возможны перестановки.)

б) z = 3. Аналогично предыдущему убедимся, что в этом случае уравнение (1) не имеет решений.

Итак, всего имеем следующие три системы решений (не считая перестановок):

99.

Доказать, что для п положительных и неравных чисел аи а2> а3... an_v ап имеет место неравенство:

(1)

После задачи 92 настоящая задача легко решается методом полной индукции. Допустим, что неравенство (1) справедливо. Докажем, что оно будет справедливо и для п -f 1, т. е. будет иметь место:

(2)

Вычтем (1) из (2):

(3)

Положим:

(4)

Подстановка в (3) дает:

или:

(5)

Приняв во внимание (1) заключаем, что

если

что может быть в случаях:

Итак, если из двух последних дробей одна меньше, а другая больше единицы, то теорема для этих случаев доказана.

Предположим теперь, что две последние дроби обе или больше или меньше единицы.

Покажем прежде всего, что все дроби не могут быть одновременно больше или меньше единицы. Действительно, в первом случае будем иметь:

откуда:

Во втором случае

откуда :

В обоих случаях приходим к абсурду.

Но в таком случае всегда в данном ряду дробей можно найти две рядом стоящих дроби, из которых одна больше, а другая меньше единицы. Путем циклических перестановок, не изменяя величины суммы мы всегда можем ее расположить так, чтобы эти две дроби стояли последними. (При этом, понятно, остается неизменным то соотношение, что числитель каждой следующей дроби равен знаменателю предыдущей, а знаменатель последней дроби числителю первой.) Но тогда для sn±x применим один из уже рассмотренных случаев— I или II. Теорема, таким образом, доказана полностью*.

100.

Доказать, что если

(1)

где xv х9у .. .хп — положительные числа, то

Воспользуемся известным положением, что если мы имеем:

то произведение

имеет наибольшее значение при

I. Пусть теперь в (1) имеем

Тогда (1) примет вид:

отсюда

II. Пусть не все х% равны между собою. Тогда, положив

(2)

и заменив в (1) все x-t через ху будем иметь (согласно приведенному в начале положению):

отсюда

или, после перестановки из (2):

* Отметим, что используя одно известное неравенство можно дать очень простое и краткое решение этой задачи. Оно будет приведено в следующем номере.

ЗАДАЧИ

21.

В выпуклом четырехугольнике диагонали образуют со сторонами восемь углов. Обозначим их последовательно через а,, а2 ... а§. Доказать, что

22.

Показать, что одно из квадратных уравнений

непременно имеет действительные корни, если коэфициенты их связаны соотношением:

23.

Решить уравнение:

24.

Решить уравнение:

25.

Решить в целых числах систему уравнений:

26.

Найти общий вид многочлена, произведение которого на х2—1 содержит лишь два члена.

27.

Решить уравнение

28.

Решить в целых числах уравнение:

29.

По данным расстояниям оснований биссектрис внутренних углов треугольника от его сторон вычислить его стороны и площадь.

30.*

Решить уравнения

31.

Доказать, что

32.

Даны три точки А, В, С.

Через А провести прямую так, чтобы сумма расстояний до этой прямой от точек В и С была заданной.

33.

Решить уравнение

34.

Доказать, что во всяком треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.

35.

Разложить на целые рациональные множители выражение:

36.

Даны 2 многочлена от переменной с целыми коэфициентами. Произведение их есть многочлен с четными коэфициентами, не все из которых делятся на 4.

Доказать, что в одном из перемноженных многочленов все коэфициенты четные, а в другом имеется хотя бы один нечетный.

37.

Даны 2 точки А и В и окружность.

Найти на окружности точку а\ чтобы прямые Ах и Вх отсекли от окружности хорду CD параллельную заданной прямой MN.

38.

Найти остаток от деления на 7 числа:

39.

На какое самое большее число частей можно разбить пространство пятью сферами?

40.

Найти выражение для наименьшего значения x, при котором в целых числах решается следующая цепь уравнений

М. Шебаршин (Медвежегорск)

* Задачи № 30—39 являются задачами, данными на V Московской математической олимпиаде, первые 5 на первом туре, остальные на втором (шестой задачей второго тура была напечатанная в № 2 журнала за 1939 год задача 31. Ее решение дано в № 5). Читателям, несомненно, интересно ознакомиться с характером и содержанием задач, предлагавшихся на московских олимпиадах, прошедших с громадным успехом.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

МЕТОДИКА

Проф. В. Мордухай-Болтовский — Методика геометрических определений 1

В. Синакевич — Равносильность уравнений и решение уравнений второй степени- 9

B. Кролевец—Неравенства второй степени- 14

ИЗ ОПЫТА

Е. Березанская — О составлении уравнений из условий задач- 17

C. Петров — О составлении уравнений из условий задач- 19

П Сердобольский — Методика составления уравнений - 25

И. Макаревич—Методические соображения к практике составления уравнений по условию задач--- 32

A. Лебедев — Решение задач на составление уравнений I степени с одним неизвестным--— 34

Н. Козьмин — Составление уравнений с одним неизвестным в VII классе--37

А- Горский —К вопросу методики решения задач на составление уравнений--40

О. Дирекчиянц — О составлении уравнений- 42

И. Альтшулер — К вопросу о методике обучения составления уравнений --48

Г. Жураховский — Составление уравнений по условию задачи--------- 52

Н. Ушаков—Решение геометрических задач на построение методом подобия---58

С. Чуканцов — Задачи с конкретным содержанием на уроках математики--- 61

Д. Гончаров — Третий год работы секции математиков при Одесском городском и областном методическом кабинете - 65

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

B. Морев — Сто лет назад---66

В. Зяблицкий — Школьная библиотека и математика- 69

ЗАДАЧИ

Решение задач, помещенных в № 5 за 1939 г.--71

Задачи--—----79

К СВЕДЕНИЮ ПОДПИСЧИКОВ

По всем вопросам подпаски — перемена адреса, неполучение журналов и т. д.— просим обращаться по месту сдачи подписки в предприятия связи. В случае неразрешения вопроса на месте следует обращаться в Бюро претензий предприятий связи. Издательство и редакция журнала подписки на журнал не принимают и не экспедируют его. Этим всецело ведают органы связи.

При обнаружении дефекта в номере журнала просим прислать его для обмена по адресу:Москва, Орликов пер., 3, Отдел периодических изданий Учпедгиза

Издательство

Отв. редактор А. Н. Барсуков Техред. Е. М. Зеф

Зав. редакцией М. М. Гуревич

Адрес редакции: Москва, Орликов пер. 3. Учпедгиз, Периодсектор, журн. «Матем. в школе».

Уполномоч. Главлита РСФСР № А—25770. Сдано в произв. 9/П 1910 г. Форм. 70ХЮ81/1в. Учгиз. 513.

Поап. к печ. 28,111 1940 г. 5 п. л. 12 уч-авт. л. 93 000 зн. Тир. 44 500. Зак. 184.

18-я типография треста «Полиграфкнига», Москва, Шубинский пер., д. 10.