МАТЕМАТИКА

В ШКОЛЕ

6

1939

УЧПЕДГИЗ НАРКОМПРОСА РСФСР • МОСКВА

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

Стр.

Проф. А. Я. Хинчин — Всестороннее, реальное образование советской молодежи....................... 1

В. Шарко — Телесные углы................... 8

М. Юкин — О сумме углов многогранника............ 12

B. Шарко — Заполнение пространства правильными многогранниками ........................ .... 14

МЕТОДИКА

Н. Попов — Телесный угод в курсе элементарной геометрии ... 16

Д. Маергойз — Алгебраический метод решения задач на построение . . ........................... 18

Н. Никитин — К вопросу о практической подготовке учащихся . . 26

C. Чуканцов — К вопросу о политическом воспитании учащихся . 28

ИЗ ОПЫТА

М. Петров — О преподавании геометрии в VI классе....... 33

Т. Песков — Аналитический метод на уроках геометрии в средней школе ........................ 39

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

В. Голубев — Об учебниках по математике............ 46

К. Попова — О решении арифметических задач.......... 46

ЗАДАЧИ

Решения задач по № 3 за 1939 г.................. 47

Задачи............................. 62

Содержание журнала Математика в школе» за 1939 г....... 63

Пролетарии всех стран, соединяйтесь!

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

6

1939

НОЯБРЬ ДЕКАБРЬ

Год издания шестой

УПРАВЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

ВСЕСТОРОННЕЕ, РЕАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ СОВЕТСКОЙ МОЛОДЕЖИ

Проф. А. Я. ХИНЧИН (Москва)

О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

Известно, какие большие, многообразные и ответственные задачи возлагают решения XVIII съезда ВКП(б) на нашу среднюю школу. Третья сталинская пятилетка предъявляет высокие требования, в частности, к делу математического образования молодого поколения. Уровень его должен отвечать заданиям новой высшей полосы социалистического строительства.

В данное время массовое математическое образование находится в таком состоянии, которое даже не приближается к желаемому. И это в первую очередь нужно отнести за счет неудовлетворительности, а подчас и порочности программ по всем разделам математики, преподаваемым в начальной и средней школе.

Недавно «Правда» в передовой статье писала: «Не справившись с делом политехнического образования, Наркомпросы вынуждены были отменить так называемое «трудовое обучение». Но, отменив, ничего взамен не дали. Программы наших школ до сих пор еще страдают оторванностью от жизни. Советской же молодежи нужно всестороннее, но реальное образование, ибо школа должна готовить молодежь к труду и обороне советского государства».

Эта глубоко верная оценка особенно верна в отношении программ по математике. Если в той же статье «Правды» приводится пример ученика, знакомого с теорией электронов, но не умеющего справиться с элементарным повреждением электрической проводки в квартире, то ведь в отношении математики дело обстоит еще хуже: здесь ученик не только не имеет достаточных практических навыков, но знания его не охватывают величайших открытий последних трех веков. Наши программы представляют собой мало удачную копию дореволюционных программ и, за редкими исключениями, оставляют научное развитие ученика на уровне XVII столетия. В любой другой науке — физике, химии, биологии — такое положение вещей было бы совершенно немыслимо; только в математике мы почему-то до сих пор миримся с ним.

Самой категорической необходимостью является введение в школьные программы оснований анализа бесконечно малых. За это говорит решительно все. Анализ бесконечно малых, бесспорно, стоит в ряду величайших завоеваний человеческой культуры, подобно эволюционной теории в биологии и молекулярным теориям в физике и химии. Практические приложения его неисчислимы. И если мы хотим довести научно-культурный уровень рабочего и колхозника до уровня работников инженерно-технического труда, то как же мы можем спокойно смотреть на отсутствие в математических школьных программах того, что составляет собой математическую основу всей современной техники? Тем более, что анализу бесконечно малых принадлежит весьма важная роль в деле формирования научного, диалектико-материалистического мировоззрения. Энгельс многократно говорил о том, что диалектика входит в математику вместе с диференциальным и

интегральным исчислениями, и мы, математики, лучше всех знаем, как глубоко верны эти слова.

Все часто повторяемые возражения против введения анализа бесконечно малых в курс средней школы либо основаны на ошибочных предпосылках, либо указывают на препятствия, вполне и без ущерба для школы преодолимые. Неверно, будто восприятие этого раздела представляет для учащихся особые затруднения; те, кто в свое время обучался в реальных училищах, хорошо помнят, что усвоение элементов анализа проходило гораздо легче, чем, например, усвоение многих глав стереометрии, не говоря уже о решении головоломных геометрических задач. Неверно, будто преподавание анализа представит непомерную трудность для нашего учительства: и молодые учителя, и старые кадры учительства при наличии хороших учебников и доброй воли без всякого сомнения успешно справятся с новой задачей. Неверно, наконец, будто десятилетняя школа не может вместить основания анализа в свои и без того перегруженные программы. Действительно, эти программы перегружены, но мы должны внимательно посмотреть, чем они перегружены; среди их материала есть еще много такого, что не имеет ни идейно-мировоззренческого веса, ни практического значения и сохраняется исключительно в силу слепой традиции. Какое идейно-воспитательное значение имеют всякие «особые случаи» решения косоугольных треугольников, всякие «возвратные», «трехчленные» и прочие уравнения, головоломные стереометрические задачи и многое, многое другое? В какое сравнение может итти все это с анализом, бесконечно малых, уже почти триста лет составляющим собой главную идейную основу математической науки и главное математическое орудие естествознания и техники? Без всякого сожаления и без всяких колебаний нужно изгнать из школьных программ все архаизмы, все то, что сохраняется в этих программах только потому, что «отцы и деды» так учились. Если мы букву «ять» изгнали из правописания, то нет никаких оснований давать ей свить себе гнездо в школьной математике...

Конечно, введение в школьный курс элементов анализа бесконечно малых не должно копировать старых реальных училищ, где все преподавание велось в духе и стиле элементарной математики и только в последнем классе в виде механически прицепленного придатка появлялись элементы аналитической геометрии, диференциального и интегрального исчислений. Разумеется, мы хотим и требуем большего. Программы должны быть построены так, чтобы идеи переменной величины и функциональной зависимости, являющиеся прямым математическим выражением основных черт диалектического миропонимания, как можно ранее усваивались учащимися и как можно ранее становились основным стержнем всего школьного курса математики. Элементы анализа не должны быть «приложением», а должны лежать в основном русле программы, составлять ее неотъемлемую, органическую часть, должны быть связаны крепкими нитями со всей основной тематикой этой программы.

Нельзя закрывать себе глаза на то, что создание такой программы есть дело большой трудности и чрезвычайной ответственности — задача, с которой можно справиться только в том случае, если вся научная общественность примет деятельное участие в ее разрешении. Несколько лет назад наша математическая общественность подняла кампанию за внедрение в школьное преподавание математики моментов, развивающих интенсивность и активность научного мышления. Речь тогда шла главным образом о повышении уровня задачного материала. Эта борьба в настоящее время увенчалась уже значительным успехом. Проведение целого ряда математических «олимпиад», пополнение старых задачников новым материалом, издание задачников повышенного типа, привлечение к этому делу внимания учителей — все это привело к тому, что в настоящее время оканчивающая школу молодежь справляется с решением задач значительно лучше, чем это было несколько лет назад.

Сейчас главная задача переместилась. Все мы, работающие в высшей школе, хорошо знаем, что основным недостатком подготовки приходящих к нам из средней школы молодых студентов теперь является уже не слабость математической техники, а недопустимо низкий и непрочный идейный уровень. Даже лучшие наши учителя, умеющие довести у своих учеников технику решения задач до прямой виртуозности, не всегда уделяют достаточно внимания идейному развитию учащихся. Обращение учеников с нулем и бесконечностью таково, что высшей школе приходится начинать с искоренения из умов своих воспитанников антинаучных представлений, привитых им средней школой. Ученик,

блестяще владеющий логарифмическими вычислениями, очень часто не может вычислить 10!* 7 и пытается обратиться к таблицам, т. е. фактически не знает, что такое логарифм. Не так давно один старый учитель на одном из наркомпросовских совещаний так прямо и заявил, что «нам в школе не до идей, нам бы только по-будничному научить детей вычислять и решать задачи». Надо ли говорить о том, что такая позиция для советской школы неприемлема? В нашей стране, где каждый рабочий — сознательный участник производства, не может иметь места буржуазное ограничение задач школьной математики внедрением голой, безыдейной рецептуры, узких, не открывающих никаких научных горизонтов практических навыков. Мы полагаем, что одной из основных забот новой программы должна стать забота именно о повышении идейного уровня учащихся, о расширении их научного кругозора и о том, чтобы преподавание велось в точном согласии с установками современной науки, а не на расстоянии нескольких столетий от них.

Если создание такой программы есть дело не легкое, то бесспорно еще более трудным будет внедрение ее в жизнь. Здесь необходима исключительная осторожность и постепенность. Создание новых учебников и методических руководств, пропаганда и разъяснение новых программ в общей и специальной печати, постепенная переподготовка, методическая и научная, значительной части учительства, существенная перестройка педагогической практики в педвузах — вот далеко не полный перечень тех мероприятий, которые необходимо будет планомерно осуществить частью до введения новых программ, а частью параллельно с их введением. В проведении всех этих мероприятий наша научная математическая общественность обязана взять на себя руководящую роль; в этом она должна видеть одну из своих наиболее ответственных и почетных задач перед советским государством.

Далее следует подробно остановиться на проблеме подготовки учительских кадров, взяв ее во всей широте: университеты, педвузы, педагогические училища, всякого рода курсы, включая и заочное обучение.

Какие бы программы мы ни придумали, какие бы хорошие ни составили учебники и методические руководства,— успех в деле преподавания в конечном счете решает уровень учительства. В этом отношении дело обстоит неблагополучно, и со всей определенностью нужно подчеркнуть, что основной причиной этого неблагополучия является недостаточный научный уровень подавляющего большинства нашего учительства. Нельзя требовать от учителя, чтобы его преподавание велось в согласии со взглядами и установками современной передовой науки, если сам он в этих установках не тверд. Если мы видим организационную беспомощность учителя, его неумение сделать предмет ясным, увлекательным и практически актуальным, то это почти всегда вытекает из недостаточности научного уровня преподавателя, его научной незрелости и несамостоятельности. Если, скажем, порядок изложения каких-нибудь двух глав курса в стабильном учебнике отличается от их порядка в программе, то у нас это рассматривают, как катастрофу, как организационный прорыв; в аварийном порядке изготовляются инструкции, методические документы, часто недоброкачественные вследствие пожарной спешности; раздаются обвинения по адресу составителей программ и авторов учебников. А между тем всякий учитель, умеющий не только излагать по готовым шпаргалкам, но и хоть чуточку научно мыслить, разумеется, с этой пустяковой трудностью справится сам, без всякой посторонней методической помощи.

Надо прямо сказать: мы очень многому учим будущих учителей, в том числе и многому лишнему, но мы не учим их самому главному, что нужно учителю,— умению быть научным организатором и научно-компетентным хозяином педагогического процесса. В последнее время наша печать, в особенности «Учительская газета», уделяет большое внимание педагогическому образованию; на ее страницах ответственные работники Комитета по делам высшей школы и Наркомпроса предлагают целый ряд несомненно полезных и важных мероприятий по упорядочению дела педагогического образования. Но все эти статьи почему-то совершенно обходят его основной недостаток.

Взгляните на любой приказ Комитета высшей школы или Наркомпроса по высшей педагогической школе, оценивающий ее работу и предлагающий мероприятия, направленные к улучшению этой работы. Вы прочтете указания на ошибки в работе дирекции, деканатов и кафедр, вы увидите распоряжения директоров деканам и кафедрам, но вы почти не найдете указаний на дефекты в работе студентов, никогда не найдете распоряжений, адре-

сованных студентам. А часто из такого документа нельзя даже и видеть, что в наших вузах, кроме директоров, деканов и кафедр, имеются еще и студенты.

Это чрезвычайно характерно для всего стиля работы высших учебных заведений. На студента смотрят не как на зрелого и ответственного участника, а лишь как на объект работы, за успехи которого отвечают прежде всего директор, декан и профессор. Если студент плохо учится, то виновника извольте прежде всего искать в директорском кабинете, в деканате, в профессорской комнате: студент же играет роль производственного материала, с которого, конечно, нечего спрашивать!

В своем учебном процессе студент ничего сам не организует. С первого дня учебы до последнего государственного экзамена за него обо всем думают директор, декан и профессор. Шесть часов в день студент отсиживает на лекциях или других обязательных занятиях под руководством преподавателя. Затем он должен «проработать», т. е. повторить услышанное по запискам или узаконенному учебнику. Дальше он должен сдавать экзамены, причем и здесь он устраняется от всякого участия в организации хотя бы внешнего регламента этого дела. Мероприятия администрации педвузов по «стимулированию самостоятельной работы» студентов поистине смехотворны. Вместо того чтобы стимулировать эту самостоятельность, они делают все возможное, чтобы в корне ее задушить.

Когда речь заходит о «самостоятельной работе», то прежде всего говорят о консультациях. Побольше консультаций! Что это значит реально? Реально это значит, что студент, не понявший какой-либо мелочи на лекции или в учебнике, вместо того чтобы самостоятельно разрешить возникшее недоумение, что иногда требует не более десяти минут, приучается немедленно обращаться к преподавателю, чтобы получить готовый ответ. Реально это значит, что студент, которому нужна такая-то теорема, вместо того, чтобы самостоятельно разыскать ее доказательство, пересмотрев три-четыре учебника (все мы знаем, как воспитывают такие розыски), идет к преподавателю и получает законченное указание: книга такая-то, страница такая-то. И это называют мерами к стимулированию самостоятельности!

Допустим, студенты организуют научный кружок,— действительно начинание прекрасное. Но, чтобы «стимулировать самостоятельность», преподаватели должны составить список тем, установить их очередность, указать всю литературу по каждой теме с точностью до страницы да еще консультировать студентов при подготовке к докладам. Словом, начинание, в идее организуемое и проводимое инициативой самого студенчества, всеми мерами приближается к обычному процессу пассивной учебы. Чрезвычайно характерно, что дирекции педвузов информировать их о ходе работы кружков вменяют в обязанность не студентам (например выборным бюро кружков), а заведующим кафедрами, очевидно считая научный кружок рядовым и регламентированным, как все учебные начинания.

Но идут и дальше. Для помощи «самостоятельной работе» студентов, их подчас прикрепляют к отдельным преподавателям, что означает самое неприкрытое репетиторство. Мы знаем случаи, когда студентов-государственников для подготовки к экзаменам пытались поголовно «прикрепить» таким образом к репетиторам, и только энергичное сопротивление научных работников помешало осуществлению этого вреднейшего мероприятия.

Вместе с этим факультативные курсы и семинары, т. е. именно то, что более всего воспитывает самостоятельность, находится в наших педвузах в полном загоне. Бывает, что и профессор охотно взялся бы за чтение факультативного курса, и студенты хотят его слушать, а директор и декан всеми прямыми и косвенными средствами стараются добиться того, чтобы курс не состоялся. В основе этой странной и на первый взгляд непонятной тенденции лежит всегда нелепое беспокойство о том, как бы студенты не увлеклись этой самой наукой в ущерб узаконенной зубрежке.

В результате всех этих и многих подобных им «мероприятий» студент педвуза очень быстро превращается в хорошо знакомое нам существо, целиком, вплоть до последнего государственного экзамена, поглощенное заботой о том, чтобы формально вызубрить положенное от такой-то до такой-то страницы и отбарабанить вызубренное на экзамене. Все мы хорошо знаем эти пресловутые «консультации» перед государственными экзаменами, когда вы не услышите ни одного научного вопроса, но зато вас буквально забросают настоятельными требованиями авторитетно разъяснить о такой-то теореме, «нужно или не нужно ее знать». Нужно ли знать два определения непрерывности функции

или разрешается вызубрить только одно? От встречи с такими государственниками волосы встают дыбом у всякого, кому дорого дело народного образования.

Что можно ожидать от так воспитанного учителя? Как может организовать работу целого класса человек, у которого на протяжении четырех лет обучения старательно и всеми средствами отнимали возможность хоть что-нибудь самостоятельно организовать в своем собственном процессе обучения? И не похоже ли это на то, как если бы школа, готовящая, скажем, инструкторов по плаванию, до выпускного экзамена включительно не позволяла своим воспитанникам спускаться в воду иначе, как на пузырях?

Что же надо сделать, чтобы все это стало иным, чтобы будущий учитель выходил из педвуза научно подкованным и организационно грамотным?

Для этого нужно прежде всего от системы бессмысленного школьнического натаскивания перейти к системе подлинного научного воспитания. Для этого нужно заботиться о расширении научного кругозора, углублении понимания идейных, принципиальных основ науки, а не о формальном заучивании отдельных разрозненных фактов ее. Для этого совершенно необходимо создать в наших педвузах и педагогических училищах подлинную научную атмосферу и культивировать в студентах любовь к своей науке предпочтительно перед погоней за экзаменационными отметками.

Совершенно ясны те организационные мероприятия, которые должны быть предприняты для достижения этих целей. Это прежде всего — значительное уменьшение числа часов, отдаваемых работе под руководством преподавателя, и соответственный перенос центра тяжести на действительно самостоятельную работу студента. Совершенно необязательно, как это у нас принято, каждую теорему, в деталях изложенную в учебнике, во всех подробностях доказывать с кафедры. Лекции должны не повторять и не заменять учебника, а давать принципиальные установки и идейное освещение тому материалу, который студент самостоятельно изучает по книге. Если мы станем на эту точку зрения, то числе лекций по большинству предметов можно будет сократить вдвое, от чего только выиграет уровень преподавания.

Необходимо далее прекратить мелочную опеку над каждым шагом студента, необходимо усвоить взгляд на студента, как на зрелого и в полной мере ответственного работника, за успех работы которого в первую очередь отвечает он сам. Необходимо приучить его к мысли, что кафедра и деканат могут лишь оказывать ему содействие, но что организатором своего времени и своей работы он должен быть сам. Он должен уметь сам находить нужную ему литературу, и, прежде чем итти на консультацию, он должен со всем напряжением сит попытаться самостоятельно разрешить возникшее у него недоумение. Необходимо в корне ликвидировать все попытки организации репетиторства. Необходимо полностью изжить все проявления либерализма при оценке знаний и учесть при этом, что либерализм многолик и изворотлив. Он проявляется отнюдь не только в проставлении слишком высоких отметок. Когда дирекция или деканаты понуждают профессора в течение одного семестра четыре раза переэкзаменовывать одного и того же студента по одному и тому же предмету в расчете взять этого профессора «измором», заставить его, махнув рукой, с отчаяния поставить, наконец, «посредственно», то это еще худшее проявление либерализма, ибо продиктовано оно опасным пороком, известным под именем процентомании.

Необходимо, наконец, широко развить в наших педвузах сеть факультативных курсов, научных семинаров и работающих на основе самостоятельной студенческой инициативы научных кружков. И не следует ограничиваться в этом направлении ни к чему не обязывающими пожеланиями, а уже при определении штатов каждого педвуза учитывать потребность в специальных факультативных курсах и семинарах.

Вот те основные сдвиги в учебном режиме наших педвузов, необходимость которых всем очевидна.

Это — для студентов, для будущих учителей. В чем же нуждается уже работающее учительство, его старые кадры? — Прежде всего в хорошей книге — научной, учебной и методической, и притом в книге доступной, изданной в таком тираже, чтобы она могла действительно дойти до учителя. Литература, способная повысить научную квалификацию учителя, издается у нас в ничтожном количестве, такими тиражами, при которых она фактически недоступна своему естественному читателю. А между тем пора осознать, что эта литература составляет в жизни нашей школы столь же необходимый элемент, как и учебник для учеников. При наших мил-

лионных тиражах учебников не может быть, чтобы не нашлось средств и возможностей для решения этой, в полиграфическом отношении гораздо более скромной задачи. Наркомпрос должен понять, что здесь идет речь не о роскоши, а о хлебе насущном для нашего учительства.

Необходимо также принять меры к тому, чтобы наши учителя периодически проходили краткосрочные курсы повышения научной квалификации. Даже в две-три шестидневки учитель может получить хорошую и действенную научную зарядку, если только мы позаботимся о том, чтобы такого рода курсы были обеспечены рациональным планом и достаточно квалифицированными лекторскими силами. Самое главное здесь в том, чтобы научное освещение не подменивалось, как это часто у нас бывает, сообщением методической рецептуры, методических шпаргалок. Никакие ссылки на то, что, мол, сами учителя хотят этих шпаргалок, не должны приниматься в качестве предлога для такой деградации. В учительстве, как во всякой среде, есть свои передовые и свои отсталые слои, и плестись в хвосте этих отсталых слоев не составляет чести для тех, кто призван руководить учительством и организовать его работу.

Выработка новых программ и подготовка учительских кадров являются, бесспорно, важнейшими из тех задач школьной жизни, над которыми нужно работать. Однако список таких задач, конечно, может и должен быть значительно расширен, и мы теперь в заключение кратко остановимся на тех из них, решение которых нам представляется неотложным.

Научная общественность в ближайшее время должна внимательно рассмотреть работу наших методических научно-исследовательских учреждений, кабинетов и лабораторий, а также методических кафедр педвузов, ознакомиться с их тематикой, их кадрами и методами работы. Рецептура областного или городского кабинета подчас носит для учителя законодательный характер, а у нас есть проверенные сигналы, свидетельствующие о прямой безграмотности этой рецептуры даже в столичных учреждениях. Это не удивительно, так как научно образованных методистов у нас можно пересчитать по пальцам. Подавляющее большинство методических кадров, даже в Москве, до сих пор находится на недопустимо низком научном уровне и воспитывает в учителях педантизм и тот схоластический подход к науке, которым до сих пор так грешит преподавание математики в нашей школе. Но самое худшее в том, что методические кадры совершенно не растут. О воспитании новых методистов никто не заботится, это дело предоставлено полнейшему самотеку. Во всей РСФСР, если мои сведения верны, имеется три аспиранта, готовящихся к научной деятельности в области методики математики! Институт школ составил проект аспирантского минимума, но его никто не хочет утверждать. Комитет по делам высшей школы посылает в Наркомпрос, а тот обратно.

Никто не знает, должны ли за диссертации по методике математики присуждаться степени по педагогическим или математическим наукам. Никто не знает уровня требований, предъявляемых к такого рода диссертациям. Никто не знает, на ком лежит обязанность руководства диссертантами и кому предоставлено право руководить ими. Педвузы от этого открещиваются, а Институту школ не предоставлено права присуждения степеней. В результате опытный и научно мыслящий учитель, задумавший серьезно работать над диссертацией и приехавший в Москву искать помощи и оформления своей работы, претерпевает бесконечные мытарства — отсылается из Комитета по делам высшей школы в Наркомпрос, оттуда в Институт школ, оттуда в педвузы и т. д.— ив конце концов уезжает домой ни с чем. А кадры научно апробированных методистов редеют с каждым днем, никем и никак не пополняясь.

С этим положением срочно необходимо покончить. Научная общественность должна возвысить свой голос и потребовать установления порядка в этом деле. Но этим ее роль ограничиться не может. Она обязана принять непосредственное участие и в деле воспитания методической аспирантуры, ибо если она этого не сделает, то новые методические кадры будут так же беспомощны в научном отношении, как работающие ныне.

Мы полагаем далее, что необходимо со всей серьезностью рассмотреть вопрос о возможности некоторой специализации преподавания в старших классах нашей школы. Этот вопрос уже неоднократно поднимался в нашей центральной печати в связи с известным тезисом доклада товарища Молотова на XVIII съезде партии о необходимости дать школьникам некоторую подготовку к будущей практической деятельности.

Необходимо защитить право передового учителя на здоровый методический эксперимент, оградить такого учителя от педантических придирок директора, методиста, инспектуры, в особенности инспектуры некомпетентной, как это сплошь и рядом у нас бывает. Известны случаи, когда директор и завуч запрещали учителю доказывать теорему не так, как она доказывается в стабильном учебнике. С другой стороны, нередко бывает и так, что сам учитель требует преувеличенной регламентации, которая освободила бы его от необходимости мыслить методически. Есть учителя, требующие, чтобы по некоторым разделам в программе были перечислены все задачи, которые школьники должны уметь решать, чтобы были перечислены не только названия теорем, но и обязательные способы их доказательств. Иной педант-методист с подлинным ужасом говорит о возможности такой катастрофы, что в двух разных школах одну и ту же теорему станут доказывать разными методами. Ясно, что со всеми этими отсталыми, реакционными тенденциями мы должны вести самую решительную борьбу. Человеку в футляре не место в советской школе!

Нужно добиваться, далее, чтобы в четвертых, а по возможности и в третьих классах, в ближайшее время были привлечены к преподаванию учителя-предметники (хотя бы окончившие учительские институты) вместо ныне работающих там универсалистов. Мы все знаем, что давно назревшее обновление программ весьма существенным образом упирается в то, что учителя-неспециалисты не в силах справиться с новыми программами.

И, наконец, мы полагаем, что научная общественность должна поднять вопрос о созыве в течение ближайших 1—2 лет всесоюзного съезда учителей математики. Даже в дореволюционное время учительские съезды играли прогрессивную роль. Не может быть сомнения в том, что в условиях советской школы с ее бурной общественной жизнью всесоюзный съезд советского математического учительства будет событием огромного значения, способным во всех отношениях повысить и стимулировать горячее желание наших учительских масс поднять математическое преподавание в школах до уровня, достойного великих культурных и народнохозяйственных задач третьей сталинской пятилетки.

ТЕЛЕСНЫЕ УГЛЫ

В. ШАРКО (Воронеж)

1. Тетраэдр в стереометрии во многом является аналогом треугольнику (см. Доц. Колмогоров «О тетраэдре» — «Математика в школе» № 3 1937 г.), но, конечно, не во всем. Если бы аналогия шла далеко, то свойству постоянства суммы углов треугольника соответствовало бы свойство постоянства суммы телесных углов тетраэдра, однако этим свойством тетраэдр не обладает.

Прежде чем выяснить это, рассмотрим вкратце, как измеряются телесные углы.

Телесным углом, как известно, называется фигура, образованная всякой конической поверхностью (одной полостью), причем часть пространства, заключенная внутри конуса, считается принадлежащей телесному углу. Всякий многогранный угол есть и телесный угол. Можно условиться и двугранный угол считать телесным (вершина — одна из точек на ребре, само ребро — два образующих луча). Тогда и плоскость (как развернутый двугранный угол) можно считать развернутым телесным углом (вершина — одна из точек плоскости, все образующие лучи лежат в одной плоскости).

По аналогии с измерением плоского угла можно установить, как единицу, прямой телесный угол. Это будет угол, охватывающий одну восьмую часть пространства, разделенного тремя попарноортогональными плоскостями (координатными плоскостями). Измерять этой единицей телесные углы (даже более простого вида — многогранные углы) очень затруднительно. Обычно изменяют телесные углы по способу (предложенному Гадесом), аналогичному радианному измерению плоских углов.

Из вершины телесного угла (черт. 1) произвольным радиусом проводим сферу, пересекающую конус угла по некоторому контуру MN. Тогда за меру телесного угла принимают отношение р^-, где 5 — поверхность части сферы, ограниченная контуром MN, a R — радиус сферы.

Черт. 1

Это отношение обращается в 1 при 5 = R2. Эту единицу будем называть в дальнейшем сферическим радианом и обозначать р2.

Равными телесными углами считаются такие, у которых при одном и том же R площади сферических поверхностей углов равновелики.

Прямой телесный угол (например охуг, черт. 2) содержит —— :/?2=— р2.

Черт. 2

Прямой двугранный угол, принимаемый за телесный (например zyy 'х), содержит

Острый двугранный угол будет меньше тгр2, а тупой — больше гср2, так как сумма смежных двугранных углов составляет два прямых двугранных угла.

Развернутый телесный угол содержит

Телесный угол, охватывающий все пространство, содержит g = 4тгр2.

2. Обратимся теперь к вопросу, будет ли сумма телесных углов тетраэдра его инвариантом, т. е. будет ли сохранять постоянное значение.

Через вершину тетраэдра ABCD (черт. 3) проведем плоскость, параллельную грани BCD и в этой плоскости через точку А проведем ЕН \\ ВК, FK \\ CD, GL || ВС.

Черт. 3

Тогда получим (при обозначении трехгранных углов первая буква обозначает вершину):

В этом нетрудно убедиться. Докажем, например, первое равенство: «4 HAK = -4 BDC9 как углы с параллельными сторонами;

как внутренние накрестлежащие при параллельных.

Трехгранные же углы, составленные из соответственно равных плоских углов, равны.

Так же можно доказать и два остальные равенства.

Мы видим, что три трехгранных угла, лежащие при основании, будучи перенесены к вершине А вместе с четвертым трехгранным углом, находящимся при вершине, не заполнят всего полупространства: сумма всех внутренних телесных углов тетраэдра будет меньше полупространства (как телесного угла) на сумму трех углов: тел. угол ACDHG -f тел. уг. ABCFE+-f тел. уг. ABDKL.

Следовательно сумма внутренних телесных углов тетраэдра <2тс. Эта величина, как оказывается, величина переменная и имеет низшей границей 0, т. е, О < тел. угол А + тел. угол В +тел. угол С-|-тел. угол D <2тг.

Это можно обнаружить хотя бы из следующего рассуждения.

Пусть тетраэдр ABCD (черт. 4) деформируется так, что грань ADB вращается вокруг неподвижного ребра AB, причем вершина D, скользя по неподвижному ребру DC, стремится совпасть с вершиной С (а сама грань ABD с гранью ABC). Тогда тел. угол Л-»0, тел. угол В-+0, а тел. угол С и тел. угол О в сумме ладут двугранный угол с ребром АС, который может быть и острым, и прямым, и тупым, т. е. тел. угол С+тел. угол Dgjir.

Итак, в рассматриваемом случае (а значит и вообще) сумма всех 4 телесных углов тетраэдра может быть Щтс, т. е. величина переменная.

Чтобы найти низшую границу, рассмотрим теперь такую деформацию тетраэдра.

Пусть в том же тетраэдре направления ребер AB, ВС и CD остаются неизменными (нет ни поворота, ни параллельного перенесения). Заставим одновременно вершину D стремиться к совпадению с вершиной С и вершину А к совпадению с вершиной С.

Тогда каждый из телесных углов А и В будет стремиться к 0. Точно так же и сумма телесных углов С и D будет приближаться к нулю (так как грани двугранного угла с ребром DC будут стремиться совпасть).

Значит в этом случае сумма телесных углов тетраэдра0. Итак, низшая граница найдена.

Мы видим, таким образом, что в отношении свойства внутренних углов у треугольника и тетраэдра аналогии нет.

Посмотрим для примера, чему будет равна сумма телесных углов в правильном тетраэдре.

Черт. 4

Так как в правильном тетраэдре все телесные углы равны, то достаточно вычислить один из них.

Для вычисления телесного угла правильного тетраэдра надо в выражении ^ вместо 5 взять площадь сферического треугольника, имеющего вершинами три вершины какой-либо грани тетраэдра (черт. 5), причем центр сферы будет находиться в четвертой вершине тетраэдра (радиусом сферы будет ребро тетраэдра). Эта площадь, как известно, выражается формулой S=(^A++ <4B + *4C — n)R*$ где Л, В, С — углы сферического треугольника, измеренные в радианах. Вычислить эти углы это значит вычислить линейные углы одного из трехгранных углов. А так как в правильном тетраэдре все двугранные углы одинаковы, то вычислим один из них, например линейный угол двугранного угла с ребром ВС у т. е. 2^AED. Проведя

Обозначим ребро тетраэдра через а

тогда / значит,

откуда

Сумма углов нашего сферического треугольника будет равна 6 arc sin —-— , а площадь нашего сферического треугольника будет равна S = (б arc sin --тс)/?2.

Черт. 5

Величина телесного угла выразится:

Сумма же всех внутренних телесных углов правильного тетраэдра дает

3. Если тетраэдр не обладает инвариантностью суммы телесных углов, то является вопрос, нет ли другого многогранника, обладающего постоянством суммы его телесных углов. Оказывается, такой многогранник есть: это трехгранная призма, которая также в некоторых отношениях представляет собой аналог плоского треугольника. В самом деле: плоский треугольник это как бы бесконечно тонкая трехгранная призма.

Докажем, что во всякой трехгранной призме сумма всех внутренних телесных углов* есть величина постоянная, равная 2тг.

Черт. 6

Через ребро AAt призмы АВСА1В1С1 (черт. 6) проведем плоскость AXDEF, параллельную грани ВСВ±С\ и продолжим плоскость грани ABC до пересечения с проведенной плоскостью. Продолжим также плоскости граней АВА^В{ и ACAiCl вверх за ребра AB и АС. Тогда:

В справедливости этих равенств нетрудно убедиться: все они доказываются рас-

* Ниже будет речь и о внешних телесных углах.

смотрением равенства составляющих их плоских углов.

Всматриваясь в чертеж, мы видим, что все 6 трехгранных угла призмы можно заменить 6 телесными углами, имеющими общую вершину в точке Л, лежащими по обе стороны от плоскости грани ЛВС и заполняющими собою полупространство. Эта сумма, а значит, и сумма внутренних телесных углов всякой трехгранной призмы равна 2тср2.

Суммы телесных углов при каждом из оснований вообще не равны между собой.

Легко доказать, что сумма внутренних телесных углов многогранной призмы равна 2тг(а2 — 2) р2, где п число боковых граней.

Внешним телесным углом многогранника (по аналогии с внешним углом многоугольника) можно назвать телесный угол при вершине многогранника, образованный одной из граней многогранного угла и продолжениями остальных его граней.

При каждой вершине призмы можно, таким образом, образовать три внешних телесных угла, и они, вообще, различны по величине.

Черт. 7

Черт. 8

Если при одном из оснований призмы (например при верхнем) у каждой вершины построить одинаковым образом внешние телесные углы, то можно доказать, сумма таких внешних телесных углов будет равна 2тср2 (сферических радианов).

В самом деле. Пусть при верхнем основании призмы построены одинаковым образом внешние телесные углы (например, как показано на черт. 7). Тогда, проведя из произвольной точки О пространства (черт. 8) луч OOi9 параллельный боковым ребрам призмы, а затем, проведя из той точки О лучи, соответственно параллельные ребрам верхнего основания, мы построим трехгранные углы, соответственно равные внешним трехгранным углам а, ß, у, 8 и е. Все построенные при точке О телесные углы, как видим, заполняют собой полупространство и, значит, дают в сумме 2тср2.

Сумма же внешних телесных углов, построенных одинаковым образом при всех вершинах призмы (т. е. при обоих основаниях) даст, очевидно, 4тср2-

Итак, между трехгранной призмой и треугольником (или между всякой призмой и многоугольником) существует полная аналогия относительно углов, если углы многоугольника сопоставлять с телесными углами призмы.

4. В заключение рассмотрим зависимость телесного угла кругового конуса от плоского угла при его вершине, как пример вычисления телесных углов так называемых круглых тел.

Пересечем конус ABCD (черт. 9) сферой с центром в вершине конуса А: получим сферический секторе радиусом AB=R и высотой h. Найдем сферическую поверхность сектора ABCD. Из чертежа видим, что H = /?cos а, где а угол между осью и образующей конуса. Далее, из чертежа: h = R — H = R — RcosoL = R (1—cos а). Сферическая поверхность сектора будет 2itRh = 2kR2 (1—cosa), а телесный угол конуса будет

Черт. 9

сферических радианов (причем a выражено в дуговых радианах).

Если из центра шара (черт. 10) построим конический телесный угол АСВ (назовем его центральным), то телесный угол АСВ, опирающийся на ту же сферическую поверхность, что и телесный

Черт. 10

угол АСВ, можно (по аналогии с углом в окружности) назвать вписанным телесным углом.

Является вопрос, нет ли между этими углами простой зависимости, аналогичной зависимости между вписанными и центральными углами в окружности, опирающимися на одну и ту же дугу. Оказывается, что здесь зависимость более сложная, а именно: вписанный конический телесный угол составляет--часть центрального телесного угла, спирающегося на ту же сферическую поверхность (где ç плоский угол вписанного телесного угла).

В этом легко убедиться, выразив оба телесных угла через их плоские углы при вершине и найдя отношение этих выражений.

Зависимость же между центральным и вписанным телесным углом в том случае, когда оси их конусов не совпадают, значительно сложнее.

О СУММЕ УГЛОВ МНОГОГРАННИКА

М. ЮКИН (Москва)

1. Пусть имеем произвольный выпуклый многогранник, имеющий J граней, R ребер и N вершин, причем числа У, N и R должны удовлетворять уравнению Эйлера: J + iV = /?4"2. Пусть число ребер, примыкающих к каждой грани, будет: г2, /з,...гу причем ri = 2R, так как каждое ребро считается два раза, ибо оно принадлежит двум граням.

Так как в каждой грани лежит столько же вершин, сколько и ребер, то сумма плоских углов в какой-либо грани будет равна 2d (ri — 2), а следовательно, сумма всех плоских углов многогранника будет:

откуда получается I теорема:

Теорема I. Сумма плоских углов произвольного выпуклого многогранника равна 4d(N—2).

Итак, сумма плоских углов многогранника не зависит от числа его граней и ребер и от вида многоугольников, служащих его гранями, а исключительно зависит от числа вершин и равна Ad(N — 2). Эта формула в стереометрии является аналогом формулы суммы углов плоского я-угольника: 2d(n — 2).

2. В противоположность плоским углам двугранные углы не дают постоянной суммы не только при одном и том же числе вершин, но даже при одном и том же числе ребер и граней и при одном и том же типе многоугольников, служащих гранями многогранника; так, например, в тетраэдре все грани треугольники и J = N = 4 и R = 6 во всяком тетраэдре, и все же при деформации тетраэдра сумма его двугранных углов может изменяться. Однако можно получить соотношение между суммой двугранных и суммой телесных (многогранных) углов многогранника. Обозначим величины телесных углов через Еи Е2...Енг, а величины двугранных углов через ах, а2, а3...а^. Пусть из вершины телесного угла, равного Ei9 выходит rt ребер. Опишем сферу радиуса, равного единице, с центром в вершине рассматриваемого телесного угла, тогда наш телесный угол высечет на построенной сфере сферический многоугольник с rt вершинами и столькими же сторонами. Площадь этого сферического многоугольника равна, с одной стороны, отвлеченной мере телесного угла Ei% а с другой — сферическому избытку, т. е. сумме его углов, которые будут равны численно двугранным углам телесного угла, без 2d (rt — 2); следовательно, сумма двугранных углов, выходящих из рассматриваемой вершины, будет равна: Ei^r2d(ri — 2).

Если произведем суммирование этого выражения по всем вершинам, то получим удвоенную сумму всех двугранных углов ал, так как каждый двугранный угол будет входить в сумму два раза, ибо он примыкает к двум вершинам.

Следовательно:

а так как:

(каждое ребро считается дважды — в двух вершинах) и 2 = 2 N, кроме того на основании уравнения Эйлера

получаем следующую теорему:

Теорема II. Разность между удвоенной суммой двугранных углов и суммой телесных углов произвольного односвязного многогранника равна 4d(J— 2).

Эта разность, как мы видим, не зависит от числа вершин и числа ребер, а также от вида многоугольников, служащих гранями многогранника, а зависит исключительно от числа граней.

3. Так как сумма телесных и двугранных углов для многогранника произвольного типа суть переменные величины, то интересно установить их нижние и верхние границы. Сумма телесных углов тетраэдра может изменяться от 0 до 4<2, причем эти границы соответствуют обращению тетраэдра в плоский четырехугольник: первый случай, когда тетраэдр обращается в плоский многоугольник так, что его противоположные ребра стремятся к одной плоскости, и все телесные углы стремятся к нулю, а второй случай, когда вершина тетраэдра неограниченно приближается к основанию, так что угол при нем стремится к развернутому углу, т. е. к 4<2, а остальные телесные углы — к нулю.

А так как сумма двугранных углов

то для тетраэдра будем иметь:

Так как для тетраэдра

/V —3 = 1, 7 — 2 = 2 и R— 3 = 3, то можно также записать:

Покажем, что эти неравенства останутся в силе и для произвольного многогранника. Возьмем /г-угольную пирамиду, т. е. пирамиду с я-угольником в основании

(W = /i+l; /=/г+1)/? = 2л.

Так как основание пирамиды можно разбить диагоналями из одной вершины на п — 2 треугольника, то всю пирамиду можно разбить диагональными плоскостями на л — 2 тетраэдра, таких, что все двугранные и телесные углы их входят в состав двугранных и телесных углов пирамиды, кроме тех двугранных углов, которые примыкают к диагоналям основания и которые в сумме дают 2d(n— 3).

Так как в каждом из тетраэдров сумма телесных углов заключена между 0 и 4d, то сумма телесных углов пирамиды заключена между 0 и Ad (п — 2) или между О и Ad(N — 3), а сумма двугранных углов между

Ad (n — 2)—2d (п — 3)

и

6d (п — 2) — 2d(n — 3), или, что то же, между

2d (n—\) = 2d (J—2)

и

2d(2n— S) = 2d(R — 3).

Следовательно, и для пирамиды справедливы неравенства:

0<2Я£<4</ (N — 3)

и

2d (J — 2)< 2aft < 2d (R — 3).

Нижняя граница для суммы телесных углов очевидна, а из нее вытекает и нижняя граница для суммы двугранных углов произвольного выпуклого многогранника.

Допустим, что указанная верхняя граница справедлива для какого-нибудь выпуклого многогранника, имеющего J граней, N вершин и R ребер, и покажем, что в этом предположении они останутся в силе, если увеличить число вершин на одну или число граней на одну. В самом деле, увеличивать число вершин или гра-

ней можно двумя следующими способами: во-первых, если добавим одну вершину так, что одна из граней заменится пирамидой, при этом добавится п новых двугранных углов, где п число сторон того многоугольника, который заменяется пирамидой; ни один из новых двугранных углов не может быть больше 2d, а потому сумма двугранных углов увеличится не более как на 2dn. Если обозначим через У1, N1 и R1 числа граней, вершин и ребер нового многогранника, то будем иметь:

Л1—ЛГ+1; Jl = J+n— 1; Z?1 = /? + /*,

откуда

и верхний предел суммы двугранных углов будет:

2d(R — 3) +2d(R1 — R) = 2d(R1 — 3),

т. е. выражается прежней формулой.

Во-вторых, можно добавить одну грань, отрезая одну из вершин многогранника, тогда, если в отрезанной вершине сходилось п граней, то добавится грань в виде я-угольника. Если J1, N1 и R1 будут числа граней, вершин и ребер нового многогранника, то

yi = J4-l; № = Ы+п—\;ф = К+п,

откуда

/г = /?1 — R.

При этом добавится п двугранных углов, а сумма двугранных углов не может увеличиться более чем на 2dn или на 2d(R1 — R) и, следовательно, ее верхней границей будет

2d (R — 3)+2d(Rx — R) = 2d (R1 — 3).

Итак, мы видим, что пределы для двугранных, а вследствие установленной в пункте 2 связи и для многогранных углов остаются в силе для любого многогранника, т. е. имеем теорему III.

Теорема III. Сумма телесных углов произвольного выпуклого многогранника может колебаться между 0 и 4d(N — 3). Сумма двугранных углов этого многогранника может колебаться между 2d(J—2) и 2d(R — 3).

4. В каждой грани столько плоских углов, сколько к ней примыкает вершин, а так как число примыкающих к ней вершин равно числу примыкающих к ней ребер, то можно сказать, что число плоских углов, лежащих в одной грани, равно числу ребер, примыкающих к этой грани. Все же число плоских углов будет равно удвоенному числу ребер 2/?, ибо каждое ребро примыкает к двум граням, а потому считается два раза. Число же двугранных углов равно числу ребер, а потому имеем теорему IV.

Теорема IV. Число плоских углов произвольного многогранника равно удвоенному числу его двугранных углов.

ЗАПОЛНЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА ПРАВИЛЬНЫМИ МНОГОГРАННИКАМИ

В. ШАРКО (Воронеж)

ак известно, из всех правильных многоугольников только треугольник, квадрат и шестиугольник обладают тем свойством, что ими можно заполнить плоскость плотно, не оставляя промежутков.

Но так как правильный шестиугольник можно разбить на б равных правильных треугольников, то фактически указанным свойством обладают только два правильных многоугольника: равносторонний треугольник и квадрат.

Интересно, какие из правильных многогранников обладают подобным свойством по отношению к пространству. Конечно, проще всего решить этот вопрос экспериментальным

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

путем: взять набор деревянных (или из иного материала) одинакового размера моделей и, прикладывая модели одна к другой, воочию убедиться, прилегают ли они вплотную друг к другу или нет. Но интересно решить этот ваопрос теоретически. Вопрос о кубе отпадает, так как возможность заполнения пространства одинаковыми кубами не вызывает сомнений.

Что касается остальных из четырех правильных многогранников, то достаточно подвергнуть исследованию только тетраэдр и октаэдр, так как додекаэдр и икосаэдр имеют очень большие телесные углы, и без пользования моделями видно, что они (взятые хотя бы по три) плотно прилегать друг к другу не будут.

Рассмотрим совместно тетраэдр и октаэдр, так как оба их можно построить из частей куба.

Выделяя из куба (черт. 4) правильный тетраэдр ABCD, получим еще 4 прямоугольных тетраэдра ACDQ, ABDN, АВСМ и BCDP. Все эти тетраэдры, как видим, равны между собой. Рассмотрим один из них, например, PBCD (черт. 5). Он образован тремя ребрами куба и тремя диагоналями граней. Телесный угол при вершине Р — прямой, т. е. содержит у сферических радианов. Этот прямоугольный тетраэдр представляет собой часть правильного октаэдра (черт. 6). Значит, сумма внутренних телесных углов правильного октаэдра составляет восемь раз взятую сумму внутренних телесных углов нашего прямоугольного тетраэдра, уменьшенную на 4гс (восемь раз взятый прямой телесный угол).

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

Обозначим сумму внутренних телесных углов правильного тетраэдра через S4, куба — через S6t правильного октаэдра — через S8, а нашего отрезанного от куба прямоугольного тетраэдра — через 5 (без значка). Тогда напишем:

S4+4S = Se, откуда S= \ 4-

Далее, из последнего чертежа имеем: S = 85 — 4гс или, исключая S; S8 = 25в — — 254 — 4«.

Но мы знаем, что 56= 4тс, и что S4 = 24

Подставляя значения Sß и «S4 в выражение для S8, получим 58= 8гс — 48 arc sin —g- + 8я — 4л, или: S8 = 12% — 48 arc sin J-JL.

Так как правильный октаэдр имеет 6 равных между собой телесных углов, то величина одного из них будет: 2% — 8 arc sin —g-. Величина же одного телесного угла правильного тетраэдра = ^ S4 = б arc sin—^ — — гс.

Теперь можно ответить на поставленный вопрос.

Если бы тетраэдрами или октаэдрами можно было плотно заполнить пространство, то около одной точки пространства, где сходились бы плотно прилегающие многогранники, должно было бы прилегать друг к другу целое число многогранников. А тогда величина телесного угла многогранника содержалась бы в 4п целое число раз, чего не получается ни для правильного тетраэдра ни для октаэдра.

Итак, из всех пяти правильных многогранников заполнить пространство вплотную можно только кубами.

Подобного рода исследования, мне кажется, полезно было бы проводить с учащимися старших классов в математическом кружке.

МЕТОДИКА

ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ В КУРСЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н. ПОПОВ (Фергана)

астоящая статья имеет целью указать на один из пробелов в курсе элементарной геометрии, который самым отрицательным образом сказывается на успешном прохождении вузовского курса физики. В статье имеется также в виду разбор вопроса о включении соответствующих дополнений в курс элементарной геометрии.

Если понятие о плоском угле разобрано в стабильном учебнике геометрии достаточно обстоятельно и абитуриент имеет достаточные сведения о градусной и радианной мере углов, то вопрос об единице телесного угла, столь важный для физики, вовсе обойден в школьных программах по математике и в стабильном учебнике. Надо прямо сказать, что в очень многих случаях студент или учащийся старших классов полной средней школы получает первые сведения о телесном угле и об единице телесного угла из примечаний, которые делаются в соответствующих учебниках физики и которые, конечно, не дают полных и систематических сведений. Достаточно вспомнить, например, подобное примечание, сделанное в стабильном учебнике физики Перышкина и Фалеева. Ясно, что такие несистематические и поверхностные знания совершенно недостаточны для успешного прохождения физики. Прежде всего необходимо отметить, что даже в средней школе при прохождении полагающихся по программе вопросов светотехники и фотометрии понятие телесного угла и единица его измерения должны быть использованы. Ясна методическая целесообразность использования этих понятий при объяснении закона обратных квадратов. Что же касается вузовского курса физики, то знание единицы телесного угла и формулы S = vR2 совершенно необходимо при изучении вопросов излучения, относящейся сюда теоремы Кирхгофа, теоремы Гаусса, теоремы о притяжении точки шаровым слоем и шаром; некоторые формальные преобразования, например, формула Планка о распределении энергии в нормальном спектре идеально черного тела, а также и некоторые термины («полусферическое излучение» и т. п.) требуют от учащихся небольших по объему, но систематических сведений о телесном угле и единице его измерения.

Обсудим вопрос об объеме и месте учебного материала о телесном угле, который целесообразно включить в курс элементарной геометрии. Очевидно, что совершенно достаточно дать учащимся определение телесного угла, определение стерадиана и вывод формулы S = w/?2; сведения эти должны быть закреплены соответствующим ассортиментом задач.

Так обстоит дело с объемом включаемого учебного материала. Что же касается распределения этого материала по главам стабильного учебника, то представляется удобным первое понятие о телесном угле дать в главе, посвященной многогранным углам; в этой главе впервые будет употреблен термин «телесный угол». Дальнейшее расширение понятия о телесном угле можно отнести к параграфу, посвященному образованию конической поверхности. Там можно дать учащимся понятия о телесном угле как о фигуре, образованной при движении прямой, постоянно проходящей через неподвижную точку и пересекающей данную линию; прямую следует представлять себе бесконечно продолженной. Неподвижная точка, через которую постоянно проходит движущаяся прямая, называется вершиной телесного угла. Телесный угол, вырезывающий из сферы, центр которой помещен в его вершине, сегмент, называется правильным. Формула S = uR2 должна быть доказана для правильных углов. Доказательство это, естественно, должно быть проведено после выведения формулы поверхности шара и вытекающего из нее следствия об отношении поверхностей шаров. В этом параграфе дается определение единицы телесного угла. Так как для единицы телесного угла в нашей технической литературе установилось название стерадиан, удачное во всех отношениях, то с этим термином следует ознакомить учащихся.

После определения стерадиана следует доказать, что сегментные поверхности пропорциональны квадратам радиусов, если они охватываются одним и тем же телесным углом. Целесообразно это выделить в отдельную теорему. Всему этому предшествует вопрос о сравнении двух или нескольких телесных углов. Для сравнения телесных углов следует сравнивать вырезаемые ими сегментные поверхности на сфере, например, единичного радиуса: телесные углы озг и w2 относятся, как соответствующие сегментные поверхности: S, и 52, т. е. wt : w2 = St : Ss.

При таком изложении будет ясно, что если телесный угол равен w стерадиан, то сегментная поверхность, вырезаемая им на сфере, радиус которой равен /?, будет = vR*.

Итак, 5 = w/?2. Телесный угол, соответствующий поверхности всей сферы, содержит 4«тс стерадиан, телесный угол, охватывающий половину сферы, = 2»тс стерадиан. Последнее замечание дает возможность учащимся понять

появление множителей 4-гс, 2-я и т. п. во многих формулах теоретической физики. Учащиеся должны отдавать себе отчет в том, что все эти выводы доказаны для правильных телесных углов.

Необходимо также обсудить вопрос о характере задач, решение которых должно укрепить теоретические сведения о телесном угле. Задачи эти должны быть включены в стабильный задачник по геометрии. Необходимо обеспечить достаточное количество задач светотехнического характера на закон обратных квадратов. Вопрос о задачах есть предмет особой статьи.

С точки зрения изложенных выше методических соображений включаемый в стабильный учебник по геометрии учебный материал может быть изложен в виде следующих параграфов, не считая первого упоминания о телесном угле, имеющегося в учебнике Гурвица. Параграфы 2, 3, 4, 5 идут после главы о поверхности шара.

1. Коническая поверхность. Так называется поверхность, производимая движением прямой AB (черт. 1), перемещающейся в пространстве так, что она при этом постоянно проходит через неподвижную точку (S) и пересекает данную линию (ABC). Прямая AS называется образующей, линия ABC — направляющей, а 5 — вершиною конической поверхности. В главе о многогранных углах было указано, что многогранный угол иногда называют телесным углом. Подобно многогранному углу, и фигуру, производимую при вращении прямой AS, перемещающейся в пространстве так, что она при этом пересекает данную замкнутую линию, а конец ее остается неподвижным, называют телесным углом; прямую следует представлять себе бесконечно продолженной в направлении от S к А.

Черт. 1

Точка 5 называется вершиной телесного угла (черт. 1).

2. Правильный телесный угол. Телесный угол называется правильным если он вырезает сегмент на поверхности сферы, центр которой находится в вершине телесного угла (черт. 2). Дальнейшие доказательства относятся к правильным телесным углам.

Черт. 2

3. Сравнение телесных углов Два телесных угла равны, если на сферах равного радиуса они вырезают равные поверхности.

Два правильных телесных угла равны, если они могут совместиться всеми своими точками. Телесный угол ojt больше телесного угла Wj, если поверхность Sly вырезываемая телесным углом ^ на сфере радиуса R, больше поверхности, вырезываемой телесным углом Wj на сфере того же самого радиуса R.

Чтобы судить об отношении двух телесных углов и wr надо взять отношение поверхностей S1 и S2t вырезываемых этими телесными углами на поверхности сферы одного и того же радиуса (черт. 3). Итак, (*^:о>г = = St :S2.

Черт. 3

4. Единица телесного угла. Представим себе телесный угол А такой величины, что он на поверхности сферы радиуса 1,

центр которой находится в вершине телесного угла Л, вырезает поверхность, равную единице площади. Ясно, что такой угол и следует принять за единицу телесного угла. Эта единица называется стерадиан.

5. Теорема. Сегментные поверхности S, и S2, охватываемые одним и тем же телесным углом w, пропорциональны квадратам радиусов.

Доказательство (черт. 4). На основании предыдущей теоремы (о поверхности сегмента) можно писать: S4 — 2R1uh1 и S2 — 2R.2nhr Разделив первое равенство на второе, получим = • jp Треугольники АОВ и COD подобны, следовательно, можно написать тг—ъ-

Подставив вместо отношения высот равное ему отношение радиусов в первую пропорцию, получим: с~ = о'тг, или окончательно: •тг = 5ч. Пропорция эта имеет применение в некоторых вопросах физики.

Следствие. Поверхность S2, вырезываемая телесным углом w на с j)epe радиуса R21 равна w#22 (черт. 5). Так как 5, = ю»1 и w 1 то -^г = Тр. откуда 52 = w/?22.

6. Замечание. Так как поверхность шара равна 4тгл?2, то очевидно, что телесный угол, соответствующий всей поверхности сферы, = 4-тс стерадиан, а телесный угол, охватывающий половину сферы, —2-п стерадиан.

Черт. 4

Черт. 5

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ*

Д. МАЕРГОЙЗ (Киев)

III. ВОПРОСЫ ОДНОРОДНОСТИ В ПОСТРОЕНИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

онятие однородности алгебраических выражений почти совсем не освещено в методической литературе. В разделе «Построение алгебраических выражений» необходимо считать эти вопросы самыми трудными. Это в особенности касается вопросов нарушения однородности и ее восстановления, понятия о нулевом, дробном и отрицательном измерении.

Поскольку эти понятия для учеников довольно абстрактны и трудны, не следует с них начинать при ознакомлении учеников с построением алгебраических выражений, как это делают, например, некоторые авторы брошюр, посвященных вопросам приложения алгебры к геометрии.

Дело в том, что ученики, приступая к построению алгебраических выражений, еще не могут осознать необходимости этих новых понятий. Поэтому считаем целесообразным раньше дать ученикам главный материал по построению алгебраических выражений и только потом обратить их внимание на то, что все алгебраические выражения, которые они строили, являются однородными.

Разумеется, что в предложенном нами порядке распределения материала есть некоторое неудобство, так как может случиться, что какой-нибудь ученик спросит, как построить хотя бы такое, например, выражение —а^— . Единственный выход из этого положения, на наш взгляд, такой: просто сказать ученику, что такое выражение строить нельзя, а причина этого будет выяснена

* Печатая продолжение статьи т. Маергойз, редакция имеет в виду прежде всего самого педагога, который должен быть знаком с этим материалом. С учащимися же работа по нему возможна только в кружке, так как в программе средней школы он отсутствует. Материал первой части статьи (в № 5) также значительно шире по объему требований программы.

немного позже, когда их познакомят с некоторыми новыми понятиями.

К необходимости введения понятия однородности, естественно, приводит построение корней квадратных уравнений. Почему для построения корней квадратного уравнения берут уравнение х2— ax + b2 = 0, а не х2 — — ах + b — 0, необходимо объяснить ученикам. Нужно сначала обратить их внимание на то, что буквы a, b и х, входящие в состав квадратного уравнения, мы истолковываем как отрезки, причем первые два отрезка считаем данными, а третий—искомым. Следовательно, первое уравнение можно истолковать так: какой должен быть искомый отрезок Ху чтобы сумма площадей квадратов, построенных на нем и на данном отрезке Ьу равнялась бы площади прямоугольника, построенного на отрезках а и х. Таким образом, первое уравнение мы истолковываем как известную зависимость между площадями. Второе же уравнение х2 — ах -h b = 0 не имеет никакого смысла с этой геометрической точки зрения, так как не может же площадь прямоугольника равняться площади квадрата плюс длина отрезка. Сравнивать можно только однородные величины, площадь с площадью, объем с объемом, вес с весом и т. д.

Вот почему второго уравнения^2 — ах ++ 6 = 0), которое выражало бы невозможное равенство между неоднородными величинами (площадями и отрезками), мы, с точки зрения геометрии, не рассматриваем.

Таким образом, устанавливаем, что левая часть первого квадратного уравнения есть однородное алгебраическое выражение, а левая часть второго квадратного уравнения уже не есть однородное алгебраическое выражение. Отсюда легко переключиться на общее определение понятия однородности в алгебре.

Само определение советуем подать по Бертрану (см. Жозеф Бертран — «Алгебра» ч. 1, изд. Пирожкова 1908 г.) «Измерением или степенью целого одночлена называется сумма показателей букв, из которых он состоит». Так, например, выражение 5а2Ь есть одночлен 3-го измерения, или 3-й степени, а выражение 4ab2cd3 есть уже одночлен 7-го измерения, так как сумма показателей букв a, b, с и d есть 1+24-1+3 = 7.

Если все члены многочлена одного измерения, то такой многочлен называется однородным, а показатель степени -—степенью однородности многочлена.

Например, выражение х2 — ах — Ь2 есть однородный многочлен 2-го измерения, а выражение а3 + Ъа2Ь + Sab2 + b3 — однородный многочлен третьего измерения. Можно при этом ученикам напомнить, что в формулах сокращенного умножения и деления, которые они изучали раньше, встречались однородные алгебраические выражения. Так, например, в формулах (а ± Ь)2 = а2 ± 2ab + Ь2У правая часть есть однородный многочлен второго измерения, а левая часть есть квадрат однородного двучлена 1-го измерения. В формуле (a H- b) (a — b) = а2 — Ь2 правая часть есть однородный многочлен 2-го измерения, а левая часть есть произведение двух однородных многочленов 1-го измерения.

От этих хорошо знакомых ученикам примеров можно переключиться на такие свойства однородных многочленов: произведение однородных многочленов есть тоже однородный многочлен, степень, или измерение, которого равняется сумме степеней однородности его множителей. Частное двух однородных многочленов есть тоже однородный многочлен, степень которого равна разности степеней однородности делимого и делителя. Последнее касается также алгебраической дроби, у которой числитель и знаменатель суть однородные выражения. Так, например, -!—— есть алгебраическая дробь 1-го измерения, так как разность измерений числителя и знаменателя равна единице, а--_есть алгебраическая дробь второго измерения, так как числитель есть алгебраический однородный многочлен 3-го измерения, а знаменатель — 1-го измерения.

Если числитель и знаменатель являются однородными выражениями одного и того же измерения, то такая дробь считается выражением нулевого измерения. Однородные выражения 1-го измерения трактуем геометрически как отрезки (или линии). Однородные выражения второго измерения трактуем как площади. Однородные выражения 3-го измерения трактуем как объемы.

Алгебраические выражения нулевого измерения истолковываем как отношение двух однородных величин (двух отрезков, двух площадей, двух объемов), т. е. как абстрактное число. Поэтому например, букву те нужно считать выражением нулево о измерения (так как она выражает отношение длины окружности к диаметру).

То же самое относится и к тригонометрическим величинам sin*, cos*, tgxf которые нужно считать выражениями нулевого измерения. Следует подчеркнуть ученикам, что не дают геометрической интерпретации таким однородным алгебраическим выражениям, измерения которых больше 3.

Об однородных алгебраических выражениях с отрицательными и дробными измерениями можно дать только понятие на отдельных примерах.

Примером однородного алгебраического выражения, измерение которого отрицательное, может быть дробь ———. Числитель ее — однородный многочлен второго измерения, а знаменатель — однородный многочлен 2-го измерения, поэтому дробь будет однородным алгебраическим выражением, измерение которого равно — 1.

Ясно, что такая дробь не может иметь геометрической интерпретации. Точно так же выражение а2 — Ь2 есть однородное алгебраическое выражение, измерение которого sL. = —.y так как измерение подкоренного выражения равно 2, а показатель корня равен 4. Данное выражение не имеет геометрической интерпретации.

Специальных упражнений на определение измерения подобных однородных алгебраических выражений не следует давать, так как они, во-первых, не имеют геометрической интерпретации, а во-вторых, требуют

некоторых сведений из алгебры, которых ученики в VIII классе еще не имеют.

В IX классе во время изучения темы Обобщение понятия о показателе степени» можно, в порядке закрепления пройденного материала, давать специальные упражнения на определение отрицательных и дробных измерений однородных алгебраических выражений.

В VIII классе, чтобы не уклоняться от темы, нужно давать только такие иррациональные однородные выражения, измерения которых равны 1 и которые истолковываются геометрически как отрезки. Здесь стоит остановиться на том, что все иррациональные алгебраические выражения, которые до сих пор ученики строили, — однородные 1-го измерения. Так, например, выражение \f а4, + Ь* — есть однородное алгебраическое выражение, измерение которого равно единице, так как подкоренное выражение — однородный многочлен 4-го измерения, а показатель корня тоже равен 4. Мы данное выражение построили как отрезок потому, что оно — однородное 1-го измерения. Выражение у а4 Ь* построить нельзя, так как оно не однородно.

Чтобы у учеников не создалось ошибочное мнение о том, что всякое однородное алгебраическое выражение 1-го измерения мы умеем строить как отрезок, необходимо дать такой пример у а3 + bà. Хотя последнее выражение является тоже однородным алгебраическим выражением 1-го измерения, однако его строить циркулем и линейкой нельзя, так как в данном выражении фигурирует кубический радикал.

При этом следует ученикам дать (разумеется, без доказательства) также сведения из теории; иррациональная формула, которая выражает длину отрезка, может быть построена циркулем и линейкой только тогда, если в ее состав входят квадратные корни или такие, показатели которых есть 2п. При этом можно только намекнуть ученикам, что искомые отрезки определяются или как среднегеометрические данных или ранее определенных отрезков или на основании теоремы Пифагора. Соответствующие этим геометрическим фактам формулы, действительно, приводят только к квадратным корням. Одновременно с этим необходимо подчеркнуть ученикам, что всякую рациональную алгебраическую дробь 1-го измерения можно всегда построить циркулем и линейкой как отрезок.

Для этого достаточно рассмотреть сначала алгебраическую однородную дробь 1-го измерения с одночленным знаменателем. Пусть нужно построить такое выражение:

Тогда разбиваем эту дробь на три дроби с одночленными компонентами:

Каждую из полученных дробей мы строить умеем как отрезок, поэтому, обозначив длину этих отрезков через I, m и п, будем иметь окончательно:

х = 1 + m + п.

От данного примера можно перейти к более сложным, где оба компонента — многочлены. Пусть нужно построить выражение:

Разлагаем знаменатель на множители, вынося за скобки ab, и получаем:

Построив многочленное линейное выражение 2с -f r6b -f а, найдем отрезок, длину которого обозначим буквой d. Тогда знаменатель преобразуется в одночлен:

и мы приходим к примеру, аналогичному предыдущему.

Следующим более сложным примером может быть такая алгебраическая однородная дробь 1-го измерения, у которой многочленный знаменатель не разлагается на целые линейные множители.

Например:

Чтобы преобразовать данный знаменатель в одночлен, вынесем в нем за скобки ab.

Тогда 2а2Ь + с3 = ab [2а + —Л . Выражение в скобках, как сумма 2 линейных выражений f 2а H- -il— ) есть тоже отрезок, который строить умеем, а поэтому, построив его и обозначив длину найденного отрезка буквой I, будем иметь: х = —И— , который строить уже умеем. Можно дать общее указание к построению таких сложных алгебраических выражений. Прежде всего следует многочленный однородный знаменатель преобразовать в одночлен того же измерения путем вынесения за скобки линейных множителей. Количество вынесенных линейных множителей должно быть на единицу меньше, чем степень однородности знаменателя.

Если, например, знаменатель есть однородный алгебраический многочлен 6-го измерения, то для преобразования его в одночлен следует вынести за скобки 5 линейных множителей.

Выражение, которое останется в скобках, будет всегда однородным многочленом 1-го измерения, который построить как отрезок всегда можно. Этим самым становится ясной возможность построения циркулем и линейкой всякого рационального однородного алгебраического выражения 1-го измерения.

Действительно, всякий целый рациональный однородный многочлен можно преобразовать вышеупомянутым способом в одночлен того же измерения. Следовательно, всякую рациональную однородную дробь 1-го измерения с многочленными числителем и

знаменателем можно преобразовать в одночленную дробь 1-го измерения. А такую дробь, как известно из предыдущего, можно всегда построить, как отрезок, так как для этого достаточно только последовательно несколько раз применить построение четвертого пропорционального к данным трем отрезкам.

ОДНОРОДНОСТЬ УРАВНЕНИЙ, ПОЛУЧАЕМЫХ ПРИ РЕШЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Решая геометрические вопросы с помощью алгебры, необходимо всегда иметь в виду так называемый закон однородности.

Он заключается в том, что каждое уравнение, составленное на основании зависимости между данными величинами, согласно условию задачи должно быть всегда однородным.

Действительно, сделав чертеж от руки и подметив зависимость между известными и искомыми элементами фигуры, мы выражаем буквами те элементы, которые входят в состав уравнения. При этом, как известно, отрезки выражаются однородными выражениями 1-го измерения, площади и поверхности— однородными выражениями 2-го измерения, а объемы—3-го измерения.

При составлении уравнения мы сравниваем или комбинируем между собою только однородные величины (отрезки с отрезками, площади с площадями, объемы с объемами и т. д.). Поэтому знаки -f, — и = не могут появиться между разнородными величинами. Следовательно, члены уравнения, составленного по условию задачи, обязательно будут однородными.

Однородность составленных уравнений не может нарушиться и во время их решения, так как все возможные действия над однородными величинами всегда приводят к однородным результатам. Поэтому и конечные формулы, полученные для определения неизвестных, должны быть однородными.

Иногда однородное уравнение кажется неоднородным. Так, например, обозначив площадь прямоугольника буквой st а его длину и ширину — буквами а и Ь, получаем равенство: s = ab, которое на первый взгляд кажется неоднородным. Но это случилось только потому, что буква ^ обозначает не отрезок, а площадь, которую сокращенно обозначают одной буквой.

Однородное уравнение может показаться неоднородным и тогда, когда при решении геометрической задачи обозначены буквами числовые коэфициенты, или отношение двух однородных величин. Так, например, если требуется определить сторону квадрата, площадь которого в k раз больше, чем площадь круга данного радиуса г, мы получаем как будто бы неоднородное уравнение: X2 = knR2. Но, в действительности, это уравнение однородно, так как буквами k и те обозначены не отрезки, а абстрактные числа.

При определении степени однородности формулы нужно всегда иметь в виду, что обозначает каждая буква, входящая в состав формулы.

Например, a sin хтег есть двучлен 1-го измерения, так как sin л: и те обозначают абстрактные числа, как отношение двух однородных величин.

СЛУЧАИ НАРУШЕНИЯ ОДНОРОДНОСТИ. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОДНОРОДНОСТИ

Вопросы нарушения однородности геометрических формул и ее восстановления являются самыми трудными.

Изложение этого вопроса в литературе в большинстве случаев мало понятно для большинства учеников, поэтому необходимо провести сначала подготовительную работу, чтобы облегчить ученикам восприятие и уяснение этих трудных для них понятий.

Для этого следует сначала объяснить ученикам некоторые особенности, характеризующие всякую формулу, выражающую один отрезок в зависимости от ряда данных отрезков. Пусть в формуле х = — данные буквы a, b и с выражают в определенных единицах длины размеры 3 данных отрезков, а искомый отрезок х выражается данной формулой, в состав которой входят a, b и с. Изменим единицу длины, которой были измерены данные три отрезка и введем новую единицу длины, которая в известное число раз меньше, чем старая.

Например, пусть старая единица длины 1 дм, а новая — 1 см. Тогда длины данных 3 отрезков будут уже выражаться не через a, b и с, a через 10а, \0Ь и Юс, так как если длина отрезка в старых единицах длины была а дм, то в новых единицах длины она равна 10а см. Сама фигура, в состав которой входят данные и искомые отрезки, от этого не изменится.

Не изменяются также и размеры ее частей, но числовое значение их увеличится в 10 раз.

Рассматривая этот вопрос, в общем случае можем сделать такое заключение: если уменьшить единицу длины в k раз, то все отрезки будут выражаться через ak, bk, ck, а искомый отрезок через kx. Отсюда становится ясным, что всякая формула, выражающая один отрезок в зависимости от ряда данных отрезков, должна иметь такое свойство: если числовые значения букв, входящих в состав формулы, увеличить в одинаковое число раз, то числовое значение всего выражения увеличится в столько же раз. Последнее легко проверить на ряде формул, которые раньше строили.

Для этого обозначим через у числовую величину, принимаемую формулой после замены чисел а, Ь, с числами ak, bk, ck и покажем, что у — kx, где X есть начальное числовое значение длины искомого отрезка.

Аналогично, всякая формула, выражающая площадь в зависимости от длины ряда отрезков, имеет такое свойство: от умножения числовых значений отрезков, входящих в состав формулы, на k умножается числовое значение всего выражения на k2. Такие формулы называются формулами 2-го измерения

Формулы нулевого измерения, выражающие отношение 2-х однородных величин, совсем не изменяют своего числового значения от умножения числовых значений отрезков на число k.

Например

От данных конкретных примеров легко переключиться на обобщение подмеченного свойства для однородного алгебраического выражения л-го измерения. Действительно, пусть имеем однородное алгебраическое выражение п-го измерения, где буквами, входящими в состав данного выражения, обозначены числовые значения данных отрезков, измеренных в определенных единицах длины. От замены единицы длины новою все буквы умножатся на одно и то же число, равное отношению старой единицы длины к новой.

Отсюда делаем вывод: от изменения единицы длины однородные выражения (одночлены или многочлены) не теряют своей однородности. Каждый из них в результате этого изменения получает новый множитель k с показателем степени, равным измерению (или степени однородности) данного одночлена или многочлена. То же самое произойдет, если буквы а, Ь, с, входящие в состав однородных выражений, прямо заменить произведениями ak, bk, ck.

На этом свойстве и базируется такое определение однородности алгебраического выражения: алгебраическое выражение называется однородным /1-го измерения, если от умножения всех букв входящих в его состав на произвольное число k, оно не изменится, а только приобретает множитель, равный kn.

Примеры: выражение —-есть однородное 1-го измерения, так как от замены а и b через ak и bk, все выражение умножится на k. Действительно:

Выражение у abed — -g- есть однородное выражение 2-го измерения, так как

Следовательно, показатель степени k определяет степень однородности данного выражения, этим и пользуются для определения измерения сложного однородного алгебраического выражения.

Отметим, что последнее определение однородности алгебраического выражения почти совпадает с определением однородности функции в курсах математического анализа.

Только после длительной подготовки можно перейти к выяснению случаев нарушения алгебраической однородности геометрических формул и восстановления однородности.

Если при решении геометрического вопроса мы один из данных отрезков, входящих в состав уравнения, примем за единицу длины, т. е. за единицу меры всех иных отрезков, то однородность уравнения и формул будет казаться нарушенной. Это произойдет вследствие того, что данный отрезок а, принятый за единицу меры, будет выражаться уже числом 1, а все степени единицы суть также единицы, и единица не пишется вообще ни множителем, ни делителем.

Следовательно, все степени данной линейной единицы исчезнут там, где они были множителями или делителями. Например, однородная дробь

если принять а = 1, будет иметь вид неоднородной дроби, равной

Разумеется, что теперь нужно уже под буквами b и X понимать числа, выражающие отношения соответствующих им отрезков к новой единице меры (отрезку а). Мы сохраняем старые обозначения ради простоты, отчего геометрическая связь между данными отрезками и искомыми не нарушится. Поскольку, однако, в каждом отдельном случае нам известен отрезок, принятый за единицу меры, то можно восстановить однородность.

Предположим, что при решении какого-нибудь геометрического вопроса, мы определяли отрезок je по 3 данным отрезкам а, b и с и получили неоднородное уравнение X = 2 + — Это произошло потому, что мы отрезок а приняли за единицу меры. Тогда для восстановления однородности этого уравнения рассуждаем так: все члены правой части уравнения должны быть линейными, так как искомая величина дг, по условию, выражает отрезок.

Следовательно, нужно считать, что у первого члена при числе 2 исчезло а в 1-й степени, у 2-го члена исчезло в числителе а2. Только тогда все члены правой части уравнения станут линейными, если введем множитель а в первый член, множитель а2 в числитель 2-го члена. Окончательно будем иметь:

Подобными рассуждениями можно восстановить однородность любого уравнения, с помощью которого решается геометрический вопрос. Следовательно, для восстановления однородности уравнения необходимо:

1. Заменить единицу меры новой, не равной ни одному из данных отрезков. Благодаря этому отрезок, принятый сначала за единицу меры, выразится определенным чис-

лом k, равным отношению предыдущей единицы меры к новой. Одновременно остальные отрезки, которые входят в уравнение, выразятся другими числами. Но буквенные их обозначения останутся прежними, и геометрическая связь, выраженная уравнением, от замены единицы меры, не изменится.

2. Необходимо определить, при каких членах нехватает линейных множителей или делителей и сколько именно, и в каждый член ввести множителем или делителем k в такой степени, чтобы все члены уравнения стали однородными.

Рассмотрим упражнения на восстановление однородности линейных формул, помещенных в стабильном задачнике под № 5 из § 16.

1. X = а2. Для возобновления однородности следует k ввести делителем, тогда будем иметь х — — , которое является однородным 1-го измерения.

2. X = -5.. Так как правая часть есть выражение нулевого измерения, а должна быть первого, то для возобновления однородности следует ввести множитель k. Тогда х = — •

3. X = — . Измерение правой части равно — 1, а должно быть равным 4-1, следовательно, нужно ввести множитель k2, тогда

4. X — У а. Измерение правой части равно — , поэтому нужно ввести множитель , тогда X — У ak.

5. х = аУь. Измерение правой части равно — , поэтому нужно ввести делитель kа, тогда х = - г— .

6. *=- ря--' Измерение знаменателя равно 2, следовательно измерение каждого члена числителя должно быть равным 3. Поэтому вводим в 1-й член числителя множитель k2y во 2-й k2 перед знаком квадратного корня и еще k2 в подкоренное выражение при—1, в 3-й член — &3. Тогда

7. С = 2тг. Так как к есть выражение нулевого измерения, то вводим множитель R и тогда С = 2nR. Это значит, что радиус R был сначала принят за единицу меры.

Отметим, что при решении геометрических задач на построение, если не нужно вычислять длину искомого отрезка по числовым значениям данных отрезков, а нужно только построить искомый отрезок по геометрическим размерам данных отрезков, заданных на чертеже и обозначенных для сокращения только буквами а, Ь, с, вопрос о нарушении однородности уравнения отпадает.

Действительно, никакой необходимости нет тогда в действительном измерении данных отрезков какой-либо линейной единицей вообще и одним из данных отрезков в частности.

Следовательно, в этих случаях незачем говорить о нарушении однородности.

ПОСТРОЕНИЕ ФОРМУЛ, В СОСТАВ КОТОРЫХ ВХОДЯТ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Данными и искомыми величинами в геометрических вопросах могут быть не только отрезки, а и углы. Углы обычно фигурируют в вычислениях не непосредственно, а через их тригонометрические величины sin*, cos*, tg* и т. д. Поэтому, в состав формул, получаемых при решении той или иной геометрической задачи, могут входить также тригонометрические функции данных или искомых углов. Если в результате решения геометрической задачи получим уравнение, в которое входят тригонометрические величины данных углов, а искомая величина есть отрезок, то после определения искомой величины из уравнения мы обязательно получим однородное выражение 1-го измерения, при этом необходимо все время иметь в виду, что при определении измерения однородности полученной формулы следует тригонометрические величины, входящие в состав формулы, считать выражениями нулевого измерения. Следовательно, выражение:

есть однородное 1-го измерения, так как числитель есть однородное выражение 2-го измерения, а знаменатель — 1-го измерения. Построение данного выражения, как и ряда подобных ему однородных формул 1-го измерения, легко сводится к построению формул, в которых фигурируют только одни отрезки. Этого можно достигнуть двумя способами.

1-й способ. Одночлены: a sin a, b cos а, c-tga есть не что иное, как катеты прямоугольных треугольников.

Действительно, a sin a есть катет прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна а, а острый угол, лежащий против этого катета, равен а. Точно так же b cos a есть катет треугольника, у которого гипотенуза равна bt а a — угол, к которому прилегает данный катет; с • tga есть катет треугольника, против которого лежит данный угол a, а второй катет есть данный отрезок с.

Следовательно, все эти одночлены легко можно построить как отрезки, так как все сводится к построению прямоугольных треугольников по данному острому углу и одному линейному элементу (гипотенуза или один из катетов). Построив эти одночлены как отрезки и обозначив их длину через /, тип, имеем:

А такую формулу мы строить уже умеем. Таким образом, простым построением прямоугольных треугольников можно достигнуть исключения тригонометрических величин из данного выражения.

Предположим далее, что нужно построить такую однородную формулу 1-го измерения, у которой показатель тригонометрического множителя больше, чем показатель линейного множителя и наоборот.

В этом случае тоже не трудно достигнуть исключения тригонометрических величин из формулы.

Покажем это хотя бы на таком примере:

Числитель представляем в виде:

где

m sin а = a; b =п tg ß; b tg ß = с. Аналогично поступаем и со знаменателем:

Черт. 1

Следовательно, окончательно имеем:

Получили однородную формулу, в которой уже отсутствуют тригонометрические величины.

Построив вспомогательные отрезки

можно теперь построить и искомый отрезок х.

2-й способ. Исключения тригонометрических величин из данной формулы можно достичь еще иным путем.

Из тригонометрии известно, что всякая тригонометрическая величина может быть представлена в виде отношения двух отрезков. Один из этих отрезков можно взять произвольно как радиус дуги, какой измеряется данный угол.

Второй отрезок определяется целиком величиной данного угла, радиуса и данной тригонометрической величиной. Построив второй отрезок и взяв отношение его к 1-му отрезку (выбранному радиусу), мы можем выразить тригонометрическую величину данного угла дробью нулевого измерения вида Поступая так с каждой тригонометрической величиной, входящей в данную формулу, мы получим окончательно однородное выражение 1-го измерения, составленное из одних только отрезков. Рассмотрим для примера такое выражение:

где даны отрезки я, b, с, d и углы а, ß, у.

Опишем дугу окружности произвольным радиусом OA (черт. 1) и построим при центре О углы а, ß, у и также отрезки ВА9 EF и CD.

Отношения этих отрезков к радиусу OA и выражают sin a, cosy и tgß;

Обозначив длину радиуса О Л, отрезков ВА, OF и CD через г, т, п и р, будем иметь:

Тогда искомый х выразится формулой:

которая является однородной 1-го измерения, так как числитель есть однородный многочлен 6-го измерения, а знаменатель — 5-го измерения.

Как видно из этих примеров, 1-й способ исключения тригонометрических величин более прост, чем второй, так как выражения, получаемые при этом способе, всегда проще.

Неудобство второго способа состоит в том, что при нем всегда повышаются измерения однородности числителя и знаменателя. В предыдущем примере измерения числителя и знаменателя увеличились на 3, а это значительно усложняет полученное окончательное выражение.

При первом способе измерения числителя и знаменателя остаются неизменными. Чтобы избежать чрезмерного увеличения измерения числителя и знаменателя при втором способе, берут иногда для всех тригонометрических величин не общий радиус (как это мы делали в предыдущем примере), а разные радиусы, при этом их подбирают так, чтобы после упрощений полученная окончательная формула была бы как можно проще.

В предыдущем примере выгоднее было бы для sin а и cos f принять за радиус отрезок с, а для tgß — отрезок d. Тогда бы мы получили:

Следовательно, измерения числителя и знаменателя увеличились всего на 1.

Ясно, что эта вариация второго способа исключения тригонометрических величин из формулы делает его еще труднее, так как подбор различных удобных радиусов еще более усложняет его.

В предыдущих упражнениях мы рассматривали углы данными, а только один из отрезков искомым.

При решении геометрических задач иногда бывает, что ^ искомой величиной является угол, который входит в уравнение под знаком одной из тригонометрических функций его. Следовательно, возникает потребность в построении угла по данным значениям его тригонометрической функции.

Эти вопросы детально рассматриваются в курсах тригонометрии, и поэтому мы на них только коротко остановимся.

Пусть sin X = ~, где а, b — данные отрезки, а X — искомый угол. Понятно, что это равенство возможно лишь при а^Ь. Для построения данного угла строим прямоугольный треугольник по гипотенузе равной b и катету, равному данному отрезку а. Угол, лежащий против данного катета я,— искомый. Известно, что одному значению тригонометрической функции соответствует бесчисленное множество углов. Но мы здесь ограничимся только острым положительным углом.

Аналогично строятся cos х = , tgx = — и т. д. Остановимся немного на построении углов по данным формулам, если последние имеют более сложный вид, чем обычно.

Пример 1. sin ле = ~.

Данное выражение нулевого измерения, так как числитель и знаменатель 2-го измерения, поэтому это равенство возможно при ab^.cd. Для построения искомого угла х по четырем данным отрезкам а, Ь, с и d представим дробь ^ как частное ~ : d.

Тогда sin X = -—-, где / = — .

Следовательно, порядок построения искомого угла X такой:

1) Строим четвертый пропорциональный к отрезкам a, b и с и обозначаем длину его через /.

2) Строим прямоугольный треугольник по гипотенузе, равной отрезку dt и катету, равному отрезку /. Угол, который лежит против данного катета,— искомый.

Пример 2. tg* = £ip.

Построив числитель a sin а как отрезок и обозначив длину его через с, имеем: tg х = — .

Порядок построения искомого угла такой:

1) Строим a sin а как катет прямоугольного треугольника по данной гипотенузе, равной а, и данному острому углу а и обозначим длину этого катета через с.

2) Строим прямоугольный треугольник по катетам b и с. Угол, лежащий против катета с — искомый.

Пример 3. ^zY- a1^sina,

Внесем множитель а под знак радикала (аналогично построению ал/~~^\.

Тогда имеем:

Следовательно, порядок построения искомого угла такой:

1) Строим asina = c (см. пример 2).

2) Строим среднее геометрическое отрезков а и с и обозначим длину полученного отрезка через d : |/ ас = d.

3) Строим прямоугольный треугольник по катетам dub; угол, прилежащий к катету d, есть искомый.

Пример 4.

Данный пример отличается от предыдущего незначительными усложнениями, хотя построений будет на 3 больше.

Порядок построения искомого угла такой. Строим:

1) al^cos а = d аналогично примеру 3,

Пример 5.

К данному примеру пока еще нельзя применить те преобразования, которые попадались в предыдущих примерах. Поэтому нужно сначала привести этот пример к известному уже виду путем вынесения знаменателя из-под знака радикала.

Имеем:

Порядок построения ясен из предыдущего.

Пример 6.

Построив разность и сумму отрезков а и b и обозначив их соответственно через cud, получим:

Таким образом, этот пример легко свели к предыдущему.

Пример 7.

Вынесем в числителе и знаменателе множитель с и сократим на него. Тогда:

Можно дать иной, более простой способ построения искомого угла х по формуле:

Этот способ основывается на введении вспомогательных углов. Для этого сначала разделим числитель и знаменатель на ас, тогда получим:

Положив:

имеем:

Следовательно, х = а — ß (мы не учитываем периодичности).

Таким образом, построение искомого угла X сводится только к 3 операциям:

1) Строим угол а по формуле — = tg а.

2) Строим угол В по формуле — = tg ß.

3) Строим разности этих углов а— ß и получаем искомый угол х.

К ВОПРОСУ О ПРАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ

(В порядке обсуждения)

Н. НИКИТИН (Москва)

В связи с задачей, поставленной перед школой председателем Совета народных комиссаров СССР В. М. Молотовым о необходимости хотя бы некоторой практической подготовки учащихся, школа должна в самое ближайшее время разрешить целый ряд вопросов, вытекающих из серьезнейшей задачи, которая перед ней поставлена. Это касается преподавания всех учебных дисциплин. Большую и ответственную работу необходимо проделать и в деле обучения математике, чтобы приблизить ее преподавание к нуждам и запросам практики социалистического строительства нашей страны.

Эта работа может пойти или по линии создания профессиональных уклонов в старших классах или по линии перестройки преподавания в школе от первого до десятого класса.

Остановимся на каждом из этих мероприятий.

I. ВВЕДЕНИЕ УКЛОНОВ В СТАРШИХ КЛАССАХ ШКОЛЫ НЕЛЬЗЯ СЧИТАТЬ ЦЕЛЕСООБРАЗНЫМ

Нельзя считать целесообразным введение профессиональных уклонов в старших классах по целому ряду причин. Остановимся хотя бы на некоторых причинах.

а) Введение уклонов поведет или к расширению учебной сетки и к увеличению нагрузки учащихся, или к уменьшению времени, отводимому на обучение общеобразовательным дисциплинам. И то и другое принесет несомненный вред учащимся: перегрузка учебного плана неблагополучно отразится на здоровье учащихся, а уменьшение времени на общеобразовательные дисциплины снизит качество теоретической подготовки учащихся, снизит их интеллектуальное развитие, что сейчас же неблагоприятно отразится на работе высших учебных заведений, которые, наоборот, с каждым годом предъявляют к школе все более и более повышенные требования. Не может не пострадать и качество самой подготовки от снижения требований к теоретической подготовке учащихся.

б) Школа в данное время не в состоянии развернуть у себя удовлетворительную профессиональную подготовку учащихся по целому ряду причин: многообразие форм практической деятельности, отсутствие необходимого оборудования и пособий, отсутствие подготовленных специалистов для преподавания специальных дисциплин. Эту подготовку с значительно меньшими затратами времени, сил и средств в короткий срок могут выполнить хозяйственные организации по окончании учащимися школы при условии, если школа правильно поставит преподавание учебных дисциплин в самой школе.

в) Учащиеся в школе еще не могут выявить своих стремлений к тому или иному виду практической деятельности, каждый учащийся будет смотреть на профессиональный уклон, как на помеху для подготовки в вуз, в силу чего занятия не будут продуктивными.

г) Будет нарушено единство школы, так как профессиональные уклоны будут затруднять переход учащихся из одной школы в другую, в чем нередко будет необходимость.

д) Получение учащимися в школе узкой профессиональной подготовки лишит возможности включиться в работу в той области, которая может их заинтересовать в более зрелом возрасте, если не удастся попасть в вуз.

е) Каждая школа может дать учащимся очень ограниченный круг специальностей, тогда как жизнь в ее многообразии открывает учащимся двери в самые разнообразные области.

В тех случаях, когда имеется в той или иной местности несколько школ и будет в плановом порядке намечена специализация каждой школы, неизбежно должна последовать перегруппировка учащихся по школам, что не всегда проходит безболезненно.

II. К ПРАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ НЕОБХОДИМО ГОТОВИТЬ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ КАЖДОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ С ПЕРВОГО ДО X КЛАССА, БОРЯСЬ С ФОРМАЛИЗМОМ В ПРЕПОДАВАНИИ

Что для этого следует сделать? В каком направлении должны работать творческая мысль и практика учителя?

Для полноценной подготовки учащихся по математике к дальнейшему продолжению своего образования и для быстрой ориентировки в любой профессиональной деятельности необходимо:

а) Повысить качество усвоения теоретического материала

Только теория дает «ясность перспективы, силу ориентировки, уверенность в работе...» (Сталин).

Ослабление теории неизбежно повлечет за собой и снижение практики; полноценное овладение теорией и связанное с ним высокое интеллектуальное развитие поднимут высоко и качество самой практики.

Отсюда первая и основная задача, вытекающая из задачи, поставленной перед школой т. Молотовым,— всемерно улучшать преподавание самой математики. Плохим практиком будет тот ученик, который не будет владеть приемами выполнения арифметических действий над целыми и дробными числами, который не сумеет вычислить процентов, не будет уметь составить уравнение и разобраться в формуле, не будет знать формул вычисления площадей и объемов и т. д.,— ученик, который будет обладать слабым развитием, у которого будет отсутствовать сообразительность, способность к анализу, к обобщениям, к обоснованию своих суждений, т. е. не будет тех качеств, которые воспитываются и развиваются в процессе высококачественного обучения и усвоения содержания самой математики.

б) Приучить учащихся пользоваться математическими знаниями для решения задач в самоа математике

Первый шаг в направлении развития умения применять свои знания на практике должен получить развитие в самой математике. Как часто ученик знает правила, свойства, приемы, но не умеет ими пользоваться. Ученик знает геометрические теоремы, но не умеет решать задач; знает, как решаются алгебраические уравнения, но проявляет свою беспомощность, когда нужно составить уравнение по заданному условию задачи; знает основные свойства логарифмов, но не умеет вычислить десятичные логарифмы чисел первого десятка, когда даны логарифмы 2, 3, 7 и т. д.

На уроках математики, на самом программном материале ученик должен прежде всего математически и повседневно приучаться применять полученные знания к решению разнообразных задач, где усвоенные знания встают перед учащимися в новых связях, в новых сочетаниях. Здесь у учащегося прежде всего закрепляются знания и развивается творчество, инициатива, сообразительность, которые так нужны в практической деятельности.

в) Приучать учащихся к решению задач из смежных дисциплин, где большое применение имеет математика, физика, химия, военное дело

Очень часто ученик неплохо знает математику, умеет решать математические задачи, но испытывает затруднения при решении задач, содержание которых взято из других дисциплин. Детальное знание учителем математики программного материала смежных дисциплин, контакт с преподавателями этих дисциплин, умелый подбор задач — дает возможность использовать обширный материал, где учащиеся развивают свои способности применить знания в новой области на новом материале, где требуются от учащихся особые навыки и умения.

г) Постепенно приучать учащихся к решению собственно практических задач

Решение практических задач следует вести, учитывая основные отрасли нашего социалистического хозяйства. Задачи должны иметь своим содержанием: данные, связанные с обороной страны, с промышленностью, с сельским хозяйством, строительным делом, транспортом, культурным строительством, с ведением учета и счетоводства, составлением смет и калькуляций, при этом следует по возможности ставить учащегося в такие условия, чтобы он решал задачу не по готовым данным, а сам искал те данные, которые нужны для решения поставленной задачи. Например, учащийся после усвоения формулы для определения площади треугольника:

5 = У>(Р — ") (Р — Ь) (р - с)

получает задание вычислить площадь какого-нибудь земельного участка, где он сам должен разбить его на треугольники и сделать необходимые измерения. Если нельзя выполнить такую работу в натуре, можно и в классной обстановке дать учащемуся на листе бумаги соответствующую фигуру, в которой он должен выделить и измерить необходимые элементы для вычисления всей площади.

То же самое относится к тригонометрии, когда для вычисления элементов треугольника ученик сам должен выделить тот минимум элементов, определив которые он может найти и все остальные.

Следует приучать учащихся к пользованию установленными нормами выработки и расценки на разные строительные работы (малярные, обойные, кровельные, плотничные и другие работы).

Особое внимание следует обратить на развитие навыков учащихся к самостоятельной работе и к пользованию различными измерительными, чертежными, счетными при-

борами, развитие навыков в умении читать и выполнять элементарные чертежи.

Все эти мероприятия, которые требуют от учителя инициативы, изучения новых областей из практической действительности, изучения справочников, собирания различных данных, постановки различных практических работ — дадут в конечном итоге учащимся при высоком интеллектуальном развитии, совершенном владении теорией умение ориентироваться в любой области и быстро, при небольшой помощи, справиться с любой практической деятельностью, не требующей, конечно, специальной высшей квалификации.

Невольно встает вопрос, где взять время для решения практических задач. Здесь нельзя ставить вопрос о каких-то дополнительных часах в учебном плане, время следует искать по линии улучшения качества преподавания математики, полноценного использования каждого урока, резервы в этом направлении у учителя весьма значительные.

Некоторые задачи могут быть разрешены в порядке внеклассных мероприятий, которые уже и теперь организуются лучшими, передовыми учителями.

К ВОПРОСУ О ПОЛИТИЧЕСКОМ ВОСПИТАНИИ УЧАЩИХСЯ

С. ЧУКАНЦОВ (Орловские дворики)

начале четвертой четверти учащиеся девятых классов нашей советской школы приступят на уроках математики к изучению темы «Сложные проценты». В стабильном учебнике алгебры эта тема изложена очень сжато и сухо, а задачи, имеющиеся в отделе «Сложные проценты» стабильного задачника, нисколько не отражают советской действительности (исключение представляют задачи № 270 и 271).

Здесь мне хочется поделиться опытом проработки этой темы в Брянской средней школе им. III Интернационала и в Карачижско-Крыловском лесотехникуме в 1935 — 1938 гг.

Как только мои учащиеся научились пользоваться формулой сложных процентов при решении задач и определять любой из четырех элементов формулы по трем данным, мы приступаем к решению задач с конкретным содержанием.

Первую такую задачу я беру из речи товарища Сталина на совещании передовых комбайнеров и комбайнерок, произнесенную им 1 декабря 1935 г., для чего зачитываю то место из речи, где говорится о 5-^* миллиардов пудов зерна, собранного в 1935 г. и о том, что через 3—4 года нам потребуется 7—8 миллиардов пудов.

Спрашиваю учащихся:

«Каков должен быть средний ежегодный процент прироста производства зерна в нашей стране, чтобы выполнить задачу, поставленную товарищем Сталиным и через три-четыре года добиться урожая в 7—8 миллиардов пудов зерна?».

Задача вызывает большой интерес у учащихся, но скоро некоторые учащиеся начинают задавать такие вопросы:

— А сколько же брать — 7 или 8 миллиардов пудов?

— А какое же значение брать для t : 3 или 4 года?

— Да и урожай 1935 г. более 5у миллиардов пудов, а сколько именно не сказано.

В этих вопросах учащихся видно влияние на них задачника. В задаче, взятой из задачника, все ясно, все определенно, данные точные, ответы получаются «кругленькие» — тут много думать незачем: бери цифры и подставляй в формулу. Это, мне кажется, вредное понятие, которое складывается у учащегося под влиянием книжной учебы. В жизни-то ведь, как правило, получается иначе: данные приближенны, они не даны в готовом виде, а их приходится решающему задачу самому выделять часто из многих других количественных показателей; ответ получается не точный, а приближенный, и решающему задачу приходится также решать вопрос и о том, какие цифры большого дробного ответа заслуживают в нем доверия и какие вовсе не имеют смысла в ответе той или иной конкретной задачи.

Разъясняю учащимся, что цифру более 5,5 миллиардов пудов надо понимать как число точное до двух значащих цифр, данное с недостатком и что в жизни чаще всего приходится иметь дело именно с приближенными данными, выраженными с определенной степенью точности. Так же обстоит дело и с цифрой 7—8 миллиардов. Тут вам предстоит самостоятельно решить вопрос о том, сколько же именно следует взять миллиардов пудэв для решения задачи.

После этого учащиеся единодушно предлагают взять среднее арифметическое между 7 и 8 миллиардами, именно 7,5 миллиарда. Записываем А = 7,5 миллиарда пудов.

По аналогии некоторые учащиеся предлагают и для t взять среднее значение, именно 3,5 года. Но тут приходится напомнить учащимся, что в наших широтах по два урожая в год не собирают, и, следовательно, задачу товарища Сталина можно выполнить в 3 года и в 4 года, но в 3 с половиною года выполнить никак нельзя. Единодушно договариваемся взять 3 года.

После этих разъяснений вызываю одного ученика к доске и записываем сначала условие задачи, а потом и решение ее.

На доске появляется следующая запись:

«Задача № 1. У нас, в Советском Союзе, в 1935 г. было собрано 5,5 миллиарда пудов

зерна, а через три года предполагается собрать 7,5 миллиарда пудов зерна. Каков должен быть средний ежегодный процент прироста производства зерна? Обозначения: а — 5,5 миллиарда пуд. зерна А = 7,5 » » »

t = 3 года Р=?

Решение:

По формуле имеем:

откуда

следовательно

р = 10,890/а.

Ответ на вопрос задачи: чтобы выполнить задачу, поставленную товарищем Сталиным, и через 3 года иметь 7,5 миллиарда пудов зерна, нужно, чтобы наше сельское хозяйство ежегодно имело 11% прироста урожайности зерна».

Решив эту задачу и убедившись, что все учащиеся уяснили как решение задачи, так и самую сущность ее содержания, перехожу к решению следующей задачи.

Обращаюсь ко всему классу:

«Не помнит ли кто-либо из вас, как сейчас выполняется у нас, в Советском Союзе, эта задача, поставленная товарищем Сталиным?»

Среди учащихся всегда находятся такие, которые вспоминают, что им приходилось встречать в газетах, что в 1937 г. у нас собрано 7 миллиардов пудов зерна.

Конечно, полагаться только на память учащихся нельзя, и я, подтверждая правильность сказанного, зачитываю всему классу в газете выдержку из доклада т. Жданова: «Ленинские предначертания воплощены в жизнь», сделанного им 21 января 1938 г. в Большом театре на торжественно-траурном заседании, посвященном 14-й годовщине со дня смерти В. И. Ленина.

Обращаюсь к классу:

«Можно ли на основании данных, приведенных в докладе т. Жданова, определить, какой процент прироста урожайности имело наше сельское хозяйство в 1936—1937 гг.? Учащиеся дружно отвечают:

«Можно».

«Давайте определим, какой средний ежегодный процент прироста урожайности зерна имел место у нас за последние два года?»

Вызываю ученика к доске и решаем задачу. На доске получается такая запись:

«Задача № 2. Определить средний ежегодный процент прироста урожайности зерна у нас, в Советском Союзе, если известно, что в 1935 г. было собрано 5,5 миллиарда пудов зерна, а в 1937 г. было собрано 7 миллиардов пудов зерна».

Обозначения: а — 5,5 миллиарда пуд.

Решение: По формуле имеем:

следовательно:

Произведя вычисление, получим.

следовательно:

р = 12,820/0.

Ответ на вопрос задачи: средний ежегодный процент прироста урожайности зерна колхозных и совхозных полей нашего Советского Союза за последние два года составлял 12,8о/0.

Спрашиваю, на сколько процент фактического прироста урожайности больше процента, намеченного по плану в нашей первой задаче?

— Почти на 2%.

— Если в 1938 г. повышение урожайности колхозных и совхозных полей нашего Советского Союза будет такое же, что было в предыдущие два года, то будет ли тогда в срок выполнена задача, поставленная товарищем Сталиным перед нашим сельским хозяйством?

— Даже будет перевыполнена!

— А никто из вас не знает, как у нас сейчас обстоит дело относительно урожая 1938 г.?

Ученики сейчас же заявляют, что об этом сейчас судить еще рано, можно будет узнать только осенью.

Соглашаюсь с их замечанием, но в то же время разъясняю, что у нас хозяйство плановое и что и колхозы и совхозы ведут свою работу по плану, и сейчас уже колхозники берут обязательства о том, какой они предполагают получить урожай со своих полей.

«Вспомните Марию Демченко! — говорю я им.— Она дала слово товарищу Сталину в 1935 г. собрать с гектара не менее 500 ц свеклы и выполнила это обещание, а теперь уже многие бригады по сахарной свекле дали тысячу и более центнеров с гектара» («СССР и страны капитализма» стр. 61).

А вот смотрите, какие планы намечают колхозники нашего района относительно урожая 1938 г.

Беру свою районную газету «Брянский рабочий» № 23 от 29 января 1938 г. и читаю на 3-й странице выдержку из статьи т. Репникова «Наш опыт борьбы за высокий урожай»:

«В прошлом году наша бригада получила в среднем с гектара ржи 13 центнеров... озимой пшеницы 22 центнера...» и далее, сообщая о тех агрикультурных мероприятиях, которые они проделывают и предполагают проделать для достижения высокого урожая, заявляет:

«В 1938 г. колхозники обязались получить в среднем со всей площади по 15 центнеров ржи, 25 центнеров озимой пшеницы...» и т. д.

Спрашиваю, можно ли на основании этой заметки судить, какой процент прироста урожайности зерна предполагают дать в 1938 г. колхозники колхоза им. Фокина нашего района?

— Можно,— отвечают учащиеся.

— Так вот давайте запишем и решим задачу.

«Задача № 3. В 1937 г. в колхозе им. Фокина Городецкого сельсовета нашего района собрали в среднем с одного гектара 13 центнеров ржи, а озимой пшеницы по 22 центнера с га. В 1938 г. колхозники предполагают собрать с гектара ржи по 15 центнеров, а озимой пшеницы по 25 центнеров.

Определить предполагаемый процент прироста урожайности ржи в колхозе им. Фокина.

Решаем задачу:

Ответ на вопрос задачи. В колхозе им. Фокина повышение урожайности ржи в 1938 г. предполагается на 15,4%».

Спрашиваю учащихся, будет ли выполнена в 1938 г. задача, поставленная товарищем Сталиным колхозниками колхоза им. Фокина нашего района?

— Да, будет. Даже будет перевыполнена.

В одном классе после решения этой задачи один из учеников предложил: «Хорошо бы осенью узнать, как они действительно выполнили эту задачу или нет?»

Я с ним согласился.

Действительно, почему бы осенью от имени математического кружка техникума не написать в колхоз им. Фокина письмо с просьбой сообщить нам, какой они собрали урожай в 1938 г. (если таковых сведений не появится осенью в газете), а потом на одном из заседаний математического кружка решить ряд задач на основе присланного ответа и данных, которые к тому времени будут в газетах. Можно будет потом сообщить колхозникам колхоза им. Фокина результаты своих вычислений, рассказать им, какой средний процент повышения урожайности по Союзу, по другим районам или колхозам нашего района и какой процент получился у них, на каком, следовательно, месте стоят они по повышению урожайности. Мне кажется, это было бы весьма интересное занятие для математического кружка, да и колхозников бы не мало заинтересовало.

Если в школе нет математического кружка, то к этому вопросу можно будет возвратиться в X классе на уроке во время повторения темы «Сложные проценты».

После решения задачи № 3 задаю вопрос всему классу:

— Как вы думаете, подобные темпы роста — это обычные темпы роста сельского хозяйства или это темпы, присущие только социалистическому способу производства?

— Не приходилось ли вам встречать какие-либо сведения о развитии сельского хозяйства, например, в Америке?

Если учащиеся сами затрудняются ответить на этот вопрос, то помогаю им

— Давайте посмотрим, что говорится о развитии сельского хозяйства в Соединенных штатах Америки в книге «СССР и страны капитализма». Читаю:

«Стране крупного капиталистического земледелия — Соединенным штатам Америки — понадобилось 20 лет для того, чтобы поднять сбор зерна на 2 миллиарда пудов (с 4 миллиардов пудов в 1880 г. до 6 миллиардов пудов в 1900 г.)» («СССР и страны капитализма» стр. 61).

Задаю вопрос:

— Можно отсюда определить средний ежегодный процент прироста урожайности зерна в США?

— Давайте определим.

Но вы решите эту задачу самостоятельно, дома. Определите также дома и предполагаемый процент прироста урожайности озимой пшеницы в колхозе им. Фокина по данным в условии задачи № 3. Записываем условие задачи (задача № 4).

На следующем уроке проверяю выполнение домашнего задания.

Сравнивая ответы задачи № 2 — 12,8% и задачи № 4 — 2,0%, устанавливаем, что средний ежегодный процент прироста зерна у нас в Советском Союзе более чем в 6 раз выше, чем он имел место в США.

Обращаю внимание учащихся на то, что годы 1880—1900 были годами наибольшего подъема сельского хозяйства в США, что в другие годы даже и такого процента прироста урожайности сельского хозяйства капиталистические страны не видели, да, пожалуй и не увидят больше. Сейчас сельское хозяйство капиталистических стран стремительно падает вниз, например: «Сбор урожая зерновых продуктов в 1937 г. в Германии на 10% ниже урожая 1936 г. Посевная площадь сократилась на 493 тысячи гектаров» (областная газета «Орловская правда» № 1 от 1 января 1938 г.).

После проверки домашнего задания решаем задачу технического характера на амортизацию машины. Такую задачу можно взять, например, из «Курса математики для индустриальных техникумов» Г. Н. Брусиловского.

«Задача № 5. За машину уплочено 28 000 руб. Определить ее стоимость через 6 лет, если амортизация составляет в год 4% действительной стоимости машины» (См. задачу № 68, стр. 159 вышеуказанной книги Брусиловского, ч. 2).

Разъясняю, что значит амортизация и

обращаю внимание учащихся на то, что стоимость машины здесь не увеличивается, а, наоборот, уменьшается, т. е. в этой задаче мы имеем ежегодно 4% не прироста, а убыли, а следовательно, в формуле сложных процентов р надо брать со знаком минус. И наоборот, если при решении какой-либо задачи для р мы получим отрицательное значение, то это будет указывать на то, что в данной задаче мы имеем дело не с систематическим приростом, а с процессом систематического уменьшения.

Решив задачу на амортизацию, зачитываю учащимся следующую выдержку из книги Анри Барбюса «Сталин».

«Заработная плата? За четыре года, о которых мы здесь говорим, она упала в США на 35 процентов, в Германии на 50 процентов, в Англии на 50 процентов, в Италии с 1929 по 1931 год — от 24 до 45 проц. (разумеется, учитывая покупательную способность денег).

В СССР... (средняя заработная плата промышленного рабочего составляла в 1930 году 991 рубль, а в 1933 —1519 рублей)» (см. Анри Барбюс — «Сталин», стр. 82. «Роман-газета» № 4—5 за 1936 г.).

— Что мы можем определить на основании данных, приведенных в этой книге Анри Барбюсом?

— Средний ежегодный процент уменьшения заработной платы в капиталистических странах и увеличения у нас.

— Правильно. Давайте определим средний ежегодный процент уменьшения заработной платы, например, в Германии, Англии и США и увеличения у нас.

Решая эту задачу, учащиеся обычно считают, что здесь недостаточно данных для решения задачи в отношении процента уменьшения заработной платы в капиталистических странах, так как не указано, какая же именно зарплата была у немецкого рабочего раньше, в 1929 г. и потом, в 1933 г.

Разъясняю, что для решения задачи нам и не нужно знать зарплату германского рабочего, раз мы знаем, что она понизилась на 501,/о. Напоминаю, что при решении задачи № 253 из Шапошникова и Вальцова, ч. 2, гл. XVI, «При каких процентах вклад через 10 лет удвоится?» мы ведь тоже не знали, о каком именно вкладе идет речь, однако задачу решили, так как предполагаемый нами вклад а в процессе решения сократился. Такое же сокращение предполагаемой зарплаты мы будем иметь и здесь.

Записываем условие задачи и решаем ее. «Решение задачи №6

а) Предп. германский рабочий в 1929 г. получал а руб., тогда германский рабочий в 1933 г. получал 0,5а руб., следовательно:

или:

Ответ на вопрос задачи: зарплата германского и английского рабочих ежегодно снижается на 16о/0.

b) Аналогично получаем для США 10%.

c) Определяем средний ежегодный процент повышения заработной платы промышленного рабочего Советского Союза.

Обозначения:

После соответствующих вычислений получаем:

р = 15,Зо/о.

Ответ: зарплата промышленного рабочего Советского Союза ежегодно повышается на 15,Зо/о».

После решения задачи всем классом обобщаем полученный итог: следовательно, в то время, когда в передовых капиталистических странах зарплата рабочего ежегодно уменьшается на 10—16%, у нас, в Советском Союзе, зарплата промышленного рабочего ежегодно увеличивается в среднем на 15о/0.

Напоминаю классу, что ежегодное снижение зарплаты промышленного рабочего характеризует далеко не полностью плачевное состояние рабочего капиталистических стран.

Есть в капиталистических странах еще более страшный бич рабочих, это — безработица. «В Англии за последние 16 лет в среднем каждый седьмой рабочий был безработным, в Соединенных штатах Америки в 1936 г.— каждый шестой, в Германии, в среднем, в 1929—1933 гг. — каждый четвертый»... «Мучительный страх перед завтрашним днем постоянно гнетет рабочего» («СССР и страны капитализма», стр. 14).

Материал местного характера также может и должен быть отражен на уроках математики при прохождении сложных процентов в IX классе.

Вот, например, задача, которую мы решали в классе на уроке в Брянской школе им. III Интернационала:

«Задача № 7. В городе Брянске в 1913 г. было 24 000 жителей, а в 1935 г.— 90 000. В каком году в г. Брянске будет 200 000 жителей, если средний ежегодный процент прироста населения считать постоянным?»

Решение этой задачи показывает, что если количество жителей нашего города будет продолжать расти и далее такими же темпами, то уже в 1948/49 г. в Брянске будет 200 000 жителей.

После решения этой задачи становится понятно, почему Брянский горсовет так много уделяет внимания вопросам жилстроительства, ибо в противном случае быстро растущее население города не будет обеспечено удобной и уютной жилплощадью.

В письменной контрольной работе я опять даю задачи на сложные проценты с конкретным содержанием, взятым из газет и из уже

упоминавшихся книг: 1) «СССР и страны капитализма»; 2) «Наша родина»; 3) «20 лет Советской власти». Статистический сборник ЦУНХУ Госплана СССР.

Эти три книги плюс свежие номера газет дают богатейший материал для составления подобного рода задач с конкретным содержанием, помогающих детям глубоко почувствовать величие социалистического строительства в нашей стране.

На контрольной работе даются задачи в более обработанном виде с таким расчетом, чтобы каждому ученику, решая задачу, пришлось бы определять два каких-нибудь различных элемента из формулы

Примером такой задачи является задача №7, в которой для ее решения приходится определять сначала р, а затем t по трем остальным данным.

Говоря о задачах с конкретным содержанием на уроках математики, нельзя не сказать о том колоссальном интересе, с которым учащиеся решают эти задачи.

Ни одного раза ни один ученик не приходил в класс с невыполненным домашним заданием. Теория вопроса усваивается быстро и глубоко. Уроки проходят живо, интересно, с большим подъемом и с большой активностью всего класса и каждого ученика в отдельности. Сам чувствуешь глубокое удовлетворение в своей работе с детьми.

Чтобы не быть неправильно понятыми, сделаем несколько разъяснений.

1. Говоря о необходимости решения задач с конкретным содержанием на уроках математики, мы этим самым никак не хотим умалять роль стабильного учебника или задачника. Задачи с конкретным содержанием пополняют и углубляют материал стабильного задачника, а не заменяют его. Наоборот, решая задачи с конкретным содержанием после того, когда учащиеся уже научились решать задачи из стабильного задачника, делая иногда ссылки при решении задач с конкретным содержанием на соответствующие задачи стабильного задачника, мы тем самым подчеркиваем необходимость стабильного учебника и задачника, еще больше поднимаем авторитет стабильного задачника в глазах учащихся.

2. Вопрос о времени. Хватит ли времени на подобную проработку темы «Сложные проценты»?

Опыт показывает, что при рациональном использовании каждой минуты отведенного по программе на эту тему бюджета времени (7 часов) вполне достаточно. Уделив 4 часа на теорию вопроса и на решение задач из стабильного задачника, мы оставшиеся три часа посвящаем закреплению навыков и делаем это на задачах с конкретным содержанием.

Контрольную работу мы проводим после проработки показательных и логарифмических уравнений и включаем ее в бюджет времени последних.

3. Приведенные здесь задачи, решаемые мною в теме «Сложные проценты», представляют собой один из возможных вариантов проработки данной темы, направленный на воспитание чувства советского патриотизма у наших детей на уроках математики, вариант, может быть, даже далеко не из лучших.

Каждый преподаватель математики сумеет выполнить эту задачу, может быть, еще лучше, тем более, что материала для составления задач с конкретным содержанием очень много, и он ежедневно пополняется все новыми и новыми данными о героике нашей страны.

4. Несколько необычная форма изложения задач может показаться для некоторых учителей странной. Не следует ли и задачи с конкретным содержанием преподносить в более короткой, обработанной, лаконичной форме, в форме обычных задач стабильного задачника, где нет ни одного лишнего слова и каждая цифра стоит на своем месте?

Мне кажется, что такая «обработка» текста приведенных задач значительно снизила бы их образовательную ценность. Лаконичная форма задачи может, так сказать, скрыть до некоторой степени конкретность задачи, и учащиеся будут решать их с меньшим интересом.

Подлинный же текст газеты или книги побуждает ученика еще раз вспомнить и еще глубже понять и все содержание книги. Но, когда речь идет о таких книгах, как о книге Анри Барбюса «Сталин», о книге «СССР и страны капитализма» или о книге «Наша родина», то такое повторение их и более глубокое понимание имеющихся в них цифровых показателей, а значит, и всего содержания книги, является весьма и весьма желательным.

Наоборот, учащиеся, не читавшие этих книг, завтра же пожелают их прочитать.

ИЗ ОПЫТА

О ПРЕПОДАВАНИИ ГЕОМЕТРИИ В VI КЛАССЕ

М. ПЕТРОВ (Балашиха)

Только в VI классе учащиеся впервые начинают изучать систематический курс геометрии, да и вообще геометрию.

Геометрический материал, вкрапленный в программу по арифметике начальной школы, случаен, разрознен, да и внимания ему со стороны учителей уделяется, как правило, чрезвычайно мало. В V классе геометрия совсем исключена. Вот почему, дойдя до VI класса, учащиеся не приносят с собой ни ясных геометрических образов и понятий, ни навыков в изображении геометрических фигур и пользовании простейшими приборами (линейка, циркуль, транспортир, чертежный треугольник). Отсюда получается то, что геометрический материал VI класса в отведенные программой 78 годовых часов укладывается при крайнем напряжении со стороны преподавателей и учащихся, без достаточно глубокого его изучения и с большими недоделками.

Для надлежащей постановки преподавания геометрии в VI классе (а следовательно и в дальнейших) прежде всего необходимо внимательно пересмотреть геометрический материал в программе начальной школы со стороны его содержания, целевой установки, фиксирования на нем внимания педагога. Настоятельно необходимо также восстановить геометрию в V классе, построив ее программу таким образом, чтобы она давала знания элементарных геометрических образов и понятий, навыки в черчении и обращении с чертежными инструментами. Это значительно облегчило бы работу в VI классе и способствовало надлежащему усвоению курса.

Но пока что перегрузка программы VI класса и трудности ее усвоения, по указанным выше причинам, остаются. Отсюда следует, что преподаватель VI класса должен тщательно продумать и спланировать весь курс в целях достижения наилучших результатов. И прежде всего он должен отдавать себе полный отчет в том, какие цели ставятся перед курсом геометрии в VI классе, какие требования следует предъявить к учащимся, какой минимум знаний и навыков они должны приобрести к концу учебного года.

К сожалению, объяснительная записка Наркомпроса к программе не дает никаких указаний в этом отношении, и каждый преподаватель и методист решает этот важнейший вопрос по-своему.

В настоящей статье я хочу поделиться своим опытом преподавания геометрии в VI классе в истекшем учебном году.

Какие конкретные цели я, как преподаватель, ставил себе на базе программного материала в VI классе по геометрии?

Я их определяю так:

1. Научить учащихся работать с книгой (учебник и задачник).

2. Привить им навыки работы с простейшими чертежными приборами.

3. Научить учащихся давать правильные геометрические определения.

4. Научить их различать аксиомы от теорем, правильно формулировать теоремы, расчленять их на условие и заключение.

5. Научить оформлять доказательства теорем, решение геометрических задач на вычисление, построение и доказательство.

6. Научить «видеть и читать» чертеж.

7. Научить доказывать теоремы и решать несложные задачи на построение (элементарные и основные), вычисление и, несложные, на доказательство (из учебника Киселева, задачника Рыбкина и мною предложенных).

Не имея возможности в настоящей заметке изложить подробно, как мы работали по геометрии в VI классе в целом, я остановлюсь лишь на некоторых основных моментах работы.

1. РАБОТА С КНИГОЙ

Учебник по геометрии и задачник учащиеся VI класса видят перед собой впервые. Поэтому нецелесообразно (и даже вредно) было бы задавать учащимся самостоятельные задания по этим учебникам, не приучив учащихся работать с ними. Учебник Киселева мы получили к тому моменту, когда приступили к изучению углов (до этого мы работали по запискам).

Разобрав (без книги) с учащимися раздел «Понятие об угле, элементы угла, обозначение угла, области угла», сделав соответствующие построения на доске и в тетрадях, обозначив углы одной, тремя буквами, номером, мы приступили к чтению § 13 учебника Киселева.

Чтение велось с соответствующим рассмотрением чертежей в книге, на доске и в тетрадях. (Кстати, черт. № 9, данный для выяснения понятия об угле,— неудовлетворителен: не нужно было в нем проводить пунктирные линии).

Учащийся читает:

— Фигура, образованная двумя лучами (03 и ОА, черт. 9), исходящими из одной точки, называется углом.

Задания учителя.

— Покажите эти лучи в книге, у себя в тетради, на доске (обход между парт).

— Покажите точку, из которой эти лучи выходят.

— Покажите теперь самую фигуру — угол и т. д.

При чтении § 13 пришлось выпустить б строчек 3 го абзаца (со слов: «обычно внутренней областью...»), так как введенное разъяснение областей угла может только сбить с толку учащихся, и весь 4-й (с чертежем 10\ так как он ставит учащегося в противоречие с абзацем 2 (по смыслу 4-го абзаца выходит, что при одной вершине всегда получается не менее 2-х углов, а поэтому, согласно указанию абзаца 2-го, их нельзя никогда обозначать одной буквой, стоящей у вершины).

Все эти изменения текста мною, конечно, делались предварительно, при подготовке к уроку.

Подобные читки учебника в классе на первых порах были часты, а затем проводились в особых случаях. Вообще, не вдаваясь подробно в критику учебника Киселева, отмечу, что он труден и мало доступен для начинающего ученика VI класса, который берется за него, не имея абсолютно никакой подготовки по геометрии.

С задачником Рыбкина учащиеся ознакомились раньше (при изучении свойства прямой).

На первых порах в задачах мы разбирались сообща, и главная роль принадлежала мне.

Вот как, например, мы решали задачу № 4 из § 1.

Сначала читаю я сам:

На отрезке AB и т. д.

Вопросы учителя:

— Как здесь назван отрезок? Какой он длины?

— Смотрите я его построю. Берем масштаб 2 см = 1 м. Поди, N, обозначь его так, как он назван в задаче. Читай дальше, N.

Ученик. От конца А отложена часть АС = 5,1 м.

Учитель. Что сделано на этом отрезке?

Ученик. От точки А отложено 5,1 м.

Учитель. Отложен отрезок длиной в 5,1 м. Откуда он отложен? Поди отложи. Сколько ты сантиметров возьмешь по масштабу и т. д.

После построения выделяем (цветным мелком), что нужно определить.

Решаем ее устно. Чтобы убедиться в правильности решения, измеряем CD (к тому же лишний раз повторяем измерение отрезка).

Много неприятностей (а вследствие этого создавалась задержка) доставляло построение алгебраических выражений, вроде таких: начертить отрезок, равный За + 2Ь и др., так как ученики не понимали еще их смысла. На первых порах, если даже задача на вычисление допускала общее решение, мы все же решали ее и арифметически.

2. РАБОТА С ЧЕРТЕЖНЫМИ ИНСТРУМЕНТАМИ

Прежде всего приходилось вести борьбу с учащимися за остроочиненный карандаш и за то, чтобы он был очинён до урока (чинить карандаши, между прочим, учащиеся не умеют). Некоторые учащиеся, несмотря на мое предупреждение в конце предыдущего урока, что на следующий урок они должны принести такие-то чертежные инструменты, что-нибудь да забывали, а вследствие этого и работа тормозилась, и в работу вносился некоторый беспорядок.

Прежде всего следует отметить, что очень многие ребята совершенно не умеют работать с линейкой: чертят, например, прямую линию не по верхнему, а по нижнему краю линейки («вприглядку»); чтобы начертить вертикальную или наклонную линию, повертывают не тетрадь, чтобы чертить, сидя нормально, а линейку, а вследствие этого неестественно изгибаются. От всего этого приходилось отучать.

Большие трудности для учащихся представляет работа с чертежным треугольником, тем более, когда она требовалась в комбинации с линейкой (перпендикуляры, параллельные линии и т. п.). С проведением перпендикуляра к данной линии при помощи линейки и чертежного треугольника, если линия дана в горизонтальном направлении, ученик после сравнительно небольших усилий справляется. Но каких громадных усилий ему требуется на ту же задачу, если линия дана в ином направлении.

А все это можно было проделать в V классе. Какая бы экономия получилась в VI классе для более серьезных задач!

Умение владеть инструментом и строить правильный чертеж, особенно в VI классе, я считаю важным и потому, что правильный чертеж часто дает правильное направление мышлению учащихся при решении геометрических задач и при доказательстве теорем.

3. ПРАВИЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Относительно определений, даваемых учениками, следует указать следующее: 1) ученики часто дают недостаточные (неполные) определения (например: смежными углами называются такие углы, у которых одна сторона и вершина общие); 2) в основу определения кладут какое-либо свойство фигуры (например: равнобедренным треугольником называется такой треугольник, у которого углы при основании равны между собою); 3) вводят ненужные для определения данные (например: прямоугольным треугольником называется такой треугольник, у которого один угол прямой и 2 острых); 4) искажают название самой определяемой фигуры (например: тупоугольник — вместо тупоугольный треугольник, прямоугольник — вместо прямоугольный треугольник и т. д.).

В первом случае я старался «доказать» неправильность такого определения. Я заставлял хорошенько вдуматься в определение и сказать его вновь. Если он ошибался, то обращался к классу за исправлением. Если все же часть класса недоумевала, в чем же неправильность определения, я показывал его несостоятельность чертежом: ученик говорил мне определение, а я по его словам делал чертеж двух прилежащих, но не смежных углов.

Учитель. Так он говорил, как я начертил?

Смежные ли получились углы? Как нужно исправить чертеж, чтобы углы получились смежные? Как нужно исправить определение, чтобы оно было правильным?

В других подобных случаях я предлагаю ученику после неправильного (неполно) данного определения начертить определяемую фигуру, и если он чертил ее правильно, то

выясняли, какие же признаки этой фигуры достаточно положить в основу определения. Так же я исправлял и неправильные определения, когда в его основу клались хотя и верные, но лишние признаки.

Если же ученик в основу определения клал не признак, а свойство фигуры, то я обычно ссылался на то, что положенное в основу определение мы доказывали, а в определении мы ничего не доказываем.

Когда же название определяемой фигуры грубо искажалось, то мы классом просто поправляли ученика, указывая при этом, что мы, например, говорим о треугольнике, а отсюда и название «тупоугольный треугольник».

4. УСВОЕНИЕ АКСИОМ И ТЕОРЕМ

Аксиомы после их объяснения заучивались учащимися как основные, проверенные опытом и принимаемые без доказательства предложения. Аксиомы брали те, какие указаны в учебнике Киселева. С усвоением же теорем проводилась более сложная работа. Обычно учащиеся очень нескоро разбираются в специфике теорем, чаще всего путая условие с заключением, плохо разбирались в понятиях прямая и обратная теорема (о противоположных теоремах в VI классе я ничего не сообщал). В целях оживления восприятия теоремы я проделывал следующее:

1) где возможно, я «строил» теорему 2) записывая на доске теорему схематически условие начинал со слова «если», отделял от заключения чертой, и начинал последнее со слова «то», так что в словесной формулировке первоначально теорема, примерно, выглядела так: «Если треугольник равнобедренный, то биссектриса угла при его вершине служит одновременно и медианой и высотой», а потом, когда ученики достаточно разберутся в ней, давал и книжную ее формулировку, зачитывая по учебнику. «Строил» же я теорему примерно так. Изучаем теоремы о признаках параллельности прямых. Беру прямую линию, пересекаю ее другой прямой под любым углом. На пересекающей прямой беру точку и при ней строю один из накрестлежащих углов, равный углу при данной прямой. По чертежу уже видно, что новая прямая получилась параллельная данной. Теорема формулируется и схематически записывается.

Поставив вопрос «Почему это так получилось и всегда ли это будет так?», перехожу к доказательству.

Имела место и такая работа. Зачитывалась теорема в книжной формулировке, и учащимся предлагалось выразить ее сложным предложением (с «если» и «то») и указать, где условие и где заключение и что в этой задаче нужно доказать.

6. ОФОРМЛЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ

Доказательство не всех теорем оформлялось, так как при доказательстве некоторых теорем в сущности и оформлять нечего (например теоремы о равенстве треугольников и др.). В этом случае ограничивались лишь схематической записью самой теоремы. Другие же теоремы могут быть красиво и по-

нятно для учащихся оформлены в отношении их доказательства. Иногда, вследствие сложности доказательства, просто необходимо зафиксировать его, особенно, если оно распадается на несколько этапов.

Возьмем, например, теорему о свойстве внешнего угла треугольника.

Черт. 1

Если ^/ BCD — внешний у треугольника ABC, то: 1) / BCD > / Л, 2) 2 BCD > / В.

Доказательство

1. Докажем, что /mBCD> £В.

2. Дел1ем дополнительные построения: ВО = ОС; АО = ОС; точки Е и С соединили прямой.

3. Докажем равенство Д АОВ и /\ЕОС ВО = ОС (по построению)

АО = ОЕ (тоже)

£ 1 = /_ 2 (вертикальные)

Следовательно

/\АОВ = /\ЕОС (по двум сторонам и углу между ними).

4. Следствие из равенства треугольников.

£ 3 = £ В (углы в равных треугольниках против равных сторон).

5. Заключение.

^ 3 часть / BCD, т. е. £ BCD > ^ 3. А потому /_ßCD> и ,/В.

Не всегда (как например, в данном случае) «построение» теоремы, ее доказательство и оформление доказательства удается на одном и том уроке. Как правило, оформление доказательства теоремы я провожу в конце работы. Считаю, что оформление доказательства теорем (особенно трудных) необходимо не только в целях более легкого усвоения его, но и в воспитательных целях (приучает к порядку в действиях, дисциплинирует ребят на работе).

При оформлении решения задач мы, обычно, держались такого порядка: 1) данные задачи (а если требовалось, и чертеж) мы записывали в левой части, для чего страницу делили (вдоль) в отношении 1 :2, начиная с левой стороны, а решение проводили в правой, 2) если при решении задач на вычисление требовался чертеж, то его предлагалось дать в тех (приблизительно) соотношениях, какие даны в задаче.

Вот примеры оформления задач на вычисление (I) и на построение (II),

I

(Из задачника Рыбкина § 2, № 37)

Дано:

Решение

Черт. 2

II

(Из задачника Рыбкина § 3, № 1(2))

Черт. 3

Построить равнобедренный треугольник

Следовательно: AB = AG

Значит Д ABC = равнобедренный.

Задач на доказательство в VI классе мы не оформляли. Их решение проводили по чертежу на доске и доказательство проводили устно.

6. ОРИЕНТИРОВКА В ЧЕРТЕЖАХ

Наряду с тем, что и при доказательстве теорем и при решении задач много внимания уделялось выполнению чертежа и его разбору, я практиковал и такие упражнения: дается чертеж, а рядом запись теоремы; от ученика требовалось по чертежу и записи сформулировать теорему; иногда давались только одни чертежи со значками на их элементах, и требовалось «узнать» теорему. Например: «Скажите по этому чертежу признак равенства треугольников».

В этих же целях фигуры давались в различных положениях и по каким-либо данным требовалось найти равные элементы. Иногда же учащимся предлагалось при решении задач (на вычисление) «придумать» свой чертеж. Получалось разнообразие чертежей и по положению и по обозначениям наименований, в которых потом учащиеся разбирались самостоятельно при решении задачи.

7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Методисты-руководители расходятся в мнении, насколько можно требовать от учащихся VI класса умения самостоятельно доказывать теоремы. В своей практической работе я требовал, чтобы менее сложные теоремы ученики VI класса доказывали вполне самостоятельно (класс и я были только слушателями), более же сложные теоремы (с дополнительными построениями и с несколькими этапами доказательства) требовали моего вмешательства и вмешательства класса и проходили не всегда гладко. Вот почему к доказательству сложных теорем приходилось

Черт. 4

чаще возвращаться, нежели к доказательству более легких. Помимо полного доказательства той или другой теоремы, я практиковал и такие вопросы: Каким способом доказывается эта теорема? Из каких частей складывается ее доказательство? На какие теоремы и аксиомы мы ссылались при ее доказательстве? и т. д.

Первые шаги по доказательству теорем я старался проводить максимально наглядно. Так, например, выяснивши, что сумма пары смежных углов = 2d или 180°, мы измеряли их вновь, проверяли (измерением) и равенство вертикальных углов и т. д., и тем самым учащиеся убеждались, что наши рассуждения верны, а впоследствии приходили к выводу: «Зачем же проверять, если уже мы доказали», т. е., таким образом, практически убеждались в силе доказательств. Когда нужно было ученикам сообщить новый способ доказательства теоремы, я старался максимально использовать наглядные пособия.

В качестве примера возьму тему «Равенство треугольников», которая является центральной в работе VI класса по геометрии.

Эту тему я начинаю, как и все, с понятия о равенстве прямолинейных фигур. На приготовленных заранее бумажных (или фанерных) моделях фигур я демонстрирую перед учащимися равные и неравные фигуры (многоугольники и треугольники).

Из рассмотрения моделей фигур в различных положениях учащиеся делают вывод, что 1) для того, чтобы убедиться в равенстве фигур, необходимо наложить одну фигуру на другую; 2) при наложении нужно фигуру поворачивать в различных направлениях (искать соответственно равные элементы, если они имеются) и после того уже делать заключение о равенстве или неравенстве фигур, 3) равные фигуры всегда имеют все соответственно равные элементы (углы, стороны, а также высоты, медианы и биссектрисы в равных треугольниках).

В последнем случае особенно подчеркивается равенство не вообще элементов равных фигур, а соответственных, а также и то, что только равные фигуры имеют все соответственно равные элементы, а иначе учащиеся очень часто склонны утверждать, что вообще, например, в треугольниках против равных сторон лежат равные углы и наоборот.

Изучение признаков равенства треугольников я начинаю со второго случая, как более легкого при логическом доказательстве.

Вот примерный ход уроков по изучению признаков равенства треугольников одной из самых важных и ответственных тем курса VI класса. Устанавливаю на основе вышеизложенного материала, что равные треугольники должны при наложении совместиться, а следовательно, должны иметь соответственно равные элементы (углы и стороны); наоборот, если треугольники имеют все соответственно равные элементы, то такие треугольники будут равны, т. е. они при наложении совместятся.

Значит, чтобы убедиться в равенстве двух треугольников без наложения, нам необходимо было бы сделать 12 измерений (по 3 стороны и по 3 угла в каждом треугольнике) и сравнить полученные результаты. Есть ли необходимость проделывать все это или же в равенстве треугольников можно убедиться гораздо легче? Делаем экскурс в арифметику. Вспоминаем, что для определения делимости тех или иных чисел на 2, 3 и т. д. мы вовсе не прибегаем к непосредственному делению, а решаем этот вопрос на основании тех или иных признаков для данного числа.

Далее ставится вопрос: по каким же признакам можно судить о равенстве двух треугольников?

Предлагаю учащимся начертить треугольник. Чертеж выполняется и на доске. Выделяем на чертеже три элемента (две стороны и угол между ними). Решаем задачу: построить другой треугольник, у которого были бы три элемента, соответственно равные трем выделенным элементам первого треугольника. Построение проводится тщательно и с подробным объяснением процесса построения. Затем следует разбор: какие элементы из первого треугольника нами были взяты для построения второго треугольника. Далее следует запись на доске и в тетрадях.

Дано:

Черт. 5

Сравнивая (циркулем) стороны ВС и ВхСи а также (транспортиром) углы В и Вх, С и С„ учащиеся убеждаются, что и эти элементы соответственно равны друг другу.

К записям в тетрадях и на доске добавляем (под чертой): треугольник ABC = треугольнику Л,#,С|.

Всегда ли это будет так?

Переходим к наглядному наложению одного треугольника на другой.

На доске прикрепляются два бумажных треугольника (синий и белый). На них отмечаются те же равные элементы, что и на чертеже. Затем снимаю один из треугольников и демонстрирую самый процесс наложения с подробным объяснением.

«Наложим треугольник AßxCx на треугольник ABC так, чтобы вершина Л, совместилась с вершиной Л».

Здесь делается указание, что при совмещении только одной точки с другой фигура на плоскости может принимать различные положения (вращаться около одной точки).

«Направим сторону Л,С, по стороне ЛС».

Здесь делается указание, что при совмещении сторон треугольника фигура на плоскости может иметь лишь два положения — наложение и приложение*.

«Берем положение 1-е и замечаем, что точка d совместилась с точкой С (почему?), сторона Л,#, пошла по стороне AB (почему?), точка Вг совместилась с точкой В (почему?)

* И в первом и во втором случаях накладываемый треугольник может совсем не находиться в плоскости первого. Ред.

и, наконец, сторона ВлС, совместилась со стороной ВС (почему?). Следовательно, треугольник ABC совместился с треугольником Л,Л,С,, т. е. они равны.

Два ученика (сильный и средний) повторили наглядное наложение.

После этого я провел полное доказательство (без вопросов учащимся) теоремы по чертежу, причем учащиеся должны были следить за теми элементами, о которых я упоминал в своем доказательстве, и мысленно элементы одного треугольника переносить на другой.

И, наконец, последний этап работы в классе: доказательство теоремы мною было зачитано в классе, а ученики должны были, следя за текстом, ориентироваться в книжном чертеже.

После всего этого в тетрадях учащиеся под чертежом добавляют: «Доказывается способом наложения».

В качестве домашнего задания учащимся было предложено не только повторить доказательства по книге, но и построить 2 треугольника по двум сторонам и углу между ними, вырезать их и провести на них доказательство их равенства с подробным (устным) рассуждением*.

При доказательстве второго случая признаков равенства треугольников (по стабильному учебнику — 1-й) я ограничился лишь такими моментами: 1) учащиеся начертили треугольник, отметив на нем данные (сторона и два прилежащих к ней угла); 2) по этим данным построили другой треугольник; 3) записали данные.

Самое доказательство (без наглядных пособий) я провел сначала с вопросами учащимся— «почему?», а потом в связной форме по чертежам на доске.

Что же касается 3-го случая равенства треугольника, то он является особенно трудным для учащихся, так как здесь они должны преодолеть сразу три трудности: новый способ доказательства (приложение), косвенное доказательство (сначала доказать равенство углов) и, наконец, введение дополнительного построения при доказательстве теоремы. Поэтому я эту теорему расчленяю на две: сначала доказываю с учащимися такое положение, что «если два треугольника имеют по три соответственно равных стороны, то они имеют и по три соответственно равных угла».

Доказательство этого положения я провожу с учащимися на двух треугольниках, приложенных равными сторонами. Самое же доказательство равенства треугольников по трем сторонам в существенном не отличается от доказательства и стабильного учебника и других учебников геометрии.

В заключение должен указать, что такое изучение признаков равенства треугольников не только перебрасывает мост от опытно-наглядного изучения геометрических фигур к абстрактно-логическому, но оно подготовляет учащихся к решению основных задач на построение, приучает учащихся видеть и читать геометрический чертеж.

Нередко в учебнике мы найдем сдвоенные, строенные теоремы (о свойствах равнобедренного треугольника, о признаках параллельности и др.). В этих случаях я теоремы доказываю по частям и не задаю по книге до тех пор, пока не будет исчерпана вся теорема.

Как известно, некоторые теоремы допускают несколько приемов доказательства. Уже в VI классе я начинаю направлять мысль на «открытия». Так, например, мы убедились, что теорему о сумме углов в треугольнике мы можем доказать не только, как в учебнике, а и другим способом (провести через вершину треугольника линию, параллельную основанию).

В заключение о теоремах я должен сказать следующее: в глазах учащихся теорема приобретает большую значимость тогда, когда они видят ее непосредственное практическое применение. Вот почему я и не сторонник того, чтобы нанизывать непосредственно одну теорему за другой; после каждой теоремы я обычно решаю 2—3 и более задач.

Очень жаль, что в наших учебниках нет (или очень мало) практически-жизненных задач по геометрии, что идет в ущерб заинтересованности учащихся геометрией.

Несколько слов о решении задач на построение.

Решение задач на построение в VI классе приходится начинать с элементарных. Но и в эти задачи я уже начинаю вводить элементы «исследования».

Вот некоторые из них:

1. Из данной точки Л построить луч. Сколько лучей можно построить? (момент исследования).

2. Построить прямую так, чтобы она проходила через данную точку. Сколько их можно построить?

3. Построить прямую линию так, чтобы она проходила через две данные точки. Сколько таких прямых можно построить? (момент исследования). Почему одну? (момент доказательства). И т. д.

В решении задач так же, как и в доказательстве теорем, я стремлюсь направить учащихся по пути «исканий» и «открытий», не довольствуясь тем, что ученик решил данную задачу каким-либо способом (использовав одну теорему). Так, например, если задачу: «через данную точку провести прямую, параллельную данной», ученик решил на основании равенства накрест лежащих углов, то я предлагаю ему (или другому ученику) решить ее, использовав для этого, например, теорему о соответственных углах, или задаю вопрос: «На основании какой другой теоремы можно решить эту задачу?»

И, наконец, несколько слов о наглядных пособиях по геометрии.

Безусловно, наглядные пособия на уроках геометрии в VI классе являются одним из основных моментов оборудования урока. Однако нужно иметь в виду следующее:

1) чрезмерное употребление наглядных пособий может задержать развитие отвлеченного мышления, математического воображения; они могут «избаловать» ученика до того, что ему будет просто «лень думать»; наглядные пособия нужны там, где ученику трудно или непосильно что-либо воспринять отвлеченно;

2) наглядные пособия должны быть просты по конструкции, понятны ученику, убеди-

* Последнее задание (вырезывание и т. д.) считаем уже лишним. Ред.

тельны для него. Я лично очень неохотно пользуюсь такими пособиями как углы, прямолинейные фигуры и пр., сделанные из палочек: во-первых, их часто показывают не на плоскости, а в пространстве (я их стараюсь показывать, приложив к доске), во-вторых, в фигурах из палочек учащиеся не видят «части плоскости». Вот почему в VI классе я предпочитаю пособия, сделанные из фанеры, картона и бумаги.

Многие наглядные пособия (если не все) учитель может приготовить сам, если только у него к этому будет любовь и желание.

В методическом пособии Ю. О. Гурвиц преподаватель может найти много практических указаний по изготовлению и использованию наглядных пособий по геометрии.

Кроме того, существенную помощь в работе по геометрии оказывают и цветные мелки (фиолетовые и розовые), которые легко приготовить самому учителю, пропитав их чернилами.

АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Т. ПЕСКОВ (Уфа)

Одной из основных целей преподавания математики в средней школе считается развитие таких способностей учащихся, как математическое мышление, пространственное воображение и др.

В работе преподавателей математики нередко имеет место недооценка этой цели, естественным последствием чего является недостаточность математического развития учеников, неоднократно отмеченная в нашей педагогической прессе.

Весьма интересна в этом отношении статья доцента Киевского индустриального института Солодовника, напечатанная в № 4 журнала «Высшая школа» за 1938 год. Автор статьи, констатируя слабое развитие пространственного воображения студентов 1 курса, послужившее причиной неуспеваемости 25% студентов по начертательной геометрии, отмечает, что студенты боялись начертательной геометрии больше прочих дисциплин именно потому, что здесь менее всего можно выучить предмет, а требуется умение пространственно мыслить.

На различных совещаниях преподавателей школ и профессоров вузов не раз была подчеркнута слабость математического развития учеников средней школы, являющаяся впоследствии большим тормазом для их дальнейшего обучения.

На первом съезде преподавателей математики в 1911 г. профессор Богомолов отметил в своем докладе, что из всех математических дисциплин геометрия с древнейших времен считалась наиболее пригодной для общего развития человеческого ума. Огромное воспитательное значение геометрии необходимо учитывать при выборе методов преподавания этого предмета. Тот факт, что самым слабым участком в преподавании математики в средней школе является именно геометрия объясняется, по выражению Яна Амоса Коменского, «запутанностью» метода.

Требования, предъявляемые к методам преподавания математики вообще и геометрии в частности, прекрасно формулировал на съезде преподавателей математики в 1935 г. проф. Кавун следующими словами: «Методы преподавания должны быть таковы, чтобы они могли вполне развить творческие способности ученика, математическое мышление и внимание ученика». Одним из методов, удовлетворяющих этим требованиям, Кавун считает аналитический метод.

Возможность применения аналитического метода на уроках геометрии весьма велика, но фактически он применяется в нашей школе в очень скромных масштабах. В преподавании геометрии у нас чрезвычайно сильны традиции, особенно резко выражающиеся в безраздельном почти господстве синтетического метода при доказательстве геометрических теорем. Сущность синтетического метода заключается в том, что при построении рассуждения для доказательства теоремы мы идем от известного к неизвестному, от условия теоремы к заключению. Доказывая теорему синтетическим методом, мы начинаем наше рассуждение с известных уже нам теорем и аксиом, пользуясь которыми приходим к выводу, являющемуся содержанием новой теоремы.

Приведем примеры из учебника геометрии Киселева изд. 1938 г. Теорема. «Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла его, не смежного с этим внешним».

Черт. 1

Например, докажем, что внешний BCD £\АВС больше каждого из внутренних углов А и В, не смежных с этим внешним. Через середину Е стороны ВС проведем медиану АЕ и на ее продолжении отложим отрезок EF = АЕ.

Точка F, очевидно, будет лежать внутри угла BCD. Соединим F с С прямой. Треугольники ABE и EFC (покрытые штрихами) равны, так как при точке Е они имеют по равному углу, заключенному между двумя соответственно равными сторонами. Из равенства их

заключаем, что углы В и ECF, лежащие против равных сторон АЕ и EF, равны. Но угол ECF составляет часть внешнего угла BCD и потому меньше его, следовательно, и угол В меньше угла BCD.

Характерной особенностью синтетического метода, как это видно из приведенного примера, является рассмотрение определенных углов и треугольников, проведение вспомогательных прямых, замена одного выражения другим и т. д. без предварительного выяснения необходимости этих моментов для доказательства.

Ученики пассивно повторяют все действия преподавателя, совершенно не понимая, почему мы берем именно эти треугольники, а не другие, почему проводим вспомогательные линии именно в этом месте, а не в другом, почему заменяем одно выражение другим.

Будучи вынужденными соглашаться с каждым звеном в цепи умозаключений преподавателя, ученики не понимают, почему именно этим путем они должны итти к цели. В своей книге «Как преподавать математику» В. А. Юнг дает исчерпывающую характеристику синтетического метода: «Для руководства, справочной книги, хранилища фактов, эта форма может быть была бы наилучшей и наиболее изящной; может быть, подобное изложение на страницах учебника следует предпочесть какому-либо другому, хотя это вопрос открытый, но совершенно ясно, что это не будет наилучшей формой доказательства при изложении теоремы преподавателем в классе. Она нисколько не проливает света на причины, приводящие каждый рзз именно к этому, а не другому шагу. Изумленного новичка мы ведем тут все далее и далее, причем он соглашается с истинностью каждого из положений, как чего-то данного произвольно, но не видит никакой связи ни между ними самими, ни между ними и доказываемым предложением, поэтому он находит, что свести их в одно — дело затруднительное, и, когда, наконец, неожиданно лицом к лицу сталкивается с главным положением, оно действует на него, как удар. Он видит, что он попал в ловушку прочно и что ему никак не удастся не согласиться с истинностью данного предложения, но в то же время все кажется ему произвольным и таинственным, и он не имеет ни малейшего представления о том, как построить работу так, чтобы открыть это предложение самостоятельно».

В высшей степени отрицательно относится к синтетическому методу автор статьи «Педагогические увлечения» Житомирский (Педагогический сборник № 2 за 1912 г.). «Доказательство теорем ведется таким образом, чтобы оправдать задним числом все немотивированные действия, но все-таки не в смысле необходимости этих действий, а лишь для того, чтобы показать, что эти действия привели не к абсурду, а к истине».

«Теорема очень часто напоминает фокус, относительно которого вы убедились, что он всегда выйдет удачным, но где вы необходимости такой постоянной удачи все-таки не видите.»

Совершенно иначе обстоит дело, если мы пользуемся для доказательства теорем аналитическим методом, т. е. при построении рассуждения идем от неизвестного к известному.

Доказывая аналитическим методом какую-нибудь теорему, мы начинаем наше рассуждение с того вопроса, который нам нужно разрешить, устанавливаем, при каких условиях этот вопрос может быть разрешен, переходим затем к отыскиванию этих условий и, найдя их, решаем вопрос.

Так, например, доказывая теорему о диагоналях параллелограмма, устанавливаем, что теорема была бы доказана, если бы мы доказали равенство треугольников, сторонами которых служат части диагоналей. Затем находим на чертеже такие треугольники, доказываем их равенство и из равенства треугольников делаем необходимый нам вывод.

Точно так же, доказывая теорему об отношении высот подобных треугольников, мы устанавливаем, что необходимым условием решения вопроса является подобие прямоугольных треугольников, сторонами которых служат высоты данных треугольников. Затем находим нужные нам треугольники, доказываем их подобие и делаем необходимое нам заключение. Аналогично поступаем мы при доказательстве теорем о диагоналях прямоугольника, о диагоналях ромба и др.

Нужно заметить, что только в редких случаях можно обнаружить на чертеже то условие, которое нам необходимо для доказательства теоремы. В большинстве случаев это условие приходится создавать путем дополнительного построения.

Так, например, при доказательстве теоремы о секущей и касательной, мы, записав, что нам нужно доказать: MA, MB = MC2, устанавливаем, что произведение двух отрезков может быть равно произведению двух других отрезков в том случае, если эти отрезки пропорциональны, а пропорциональные отрезки мы находим в подобных треугольниках, следовательно, для доказательства теоремы мы должны доказать подобие треугольников, сторонами которых служат отрезки MC, MB и MA; таких треугольников у нас пока нет, поэтому мы должны провести вспомогательные прямые. Ученики сами могут сделать необходимое дополнительное построение.

Рассмотрим еще аналитическое доказательство теоремы о трех перпендикулярах. Приступая к доказательству этой теоремы, преподаватель предлагает ученикам вспомнить теорему о свойствах равнобедренного треугольника и сообщает, что теорема о трех перпендикулярах была бы доказана, если бы отрезок АС был медианой равнобедренного треугольника, основание которого находится на ED, и предлагает ученикам определить, какие вспомогательные линии нужно провести, чтобы получить треугольник, в котором АС была бы медианой. Получив ответ на этот

Черт. 2

вопрос, преподаватель приводит учеников к мысли, что нам нужно доказать равенство отрезков AM и AN, а так как AM и AN являются наклонными, то они могут быть равны, если равны их проекции, поэтому нужно провести проекции, т. е. ВМ и BN и доказать их равенство. После этого доказательство теоремы оформляется синтетически.

Из анализа доказательства последней теоремы видно, что не всегда мы можем найти на чертеже в готовом виде то условие, на основании которого мы делаем окончательный вывод. Так мы установили, что теорема о трех перпендикулярах будет доказана, если АС будет медианой равнобедренного треугольника, и построили треугольник AMN, но для доказательства факта принадлежности этого треугольника к равнобедренным треугольникам требуется еще новое условие, т. е. для осуществления первого основного условия необходимо второе условие. Вторым условием в данном случае является равенство проекций ВМ и BN.

Из разобранных примеров вполне ясно, что при аналитическом методе все действия преподавателя ставятся в понятную для учащихся зависимость от той цели, к которой они идут.

В этом и заключается главное преимущество аналитического метода перед синтетическим. Аналитический метод ценен прежде всего тем, что дает ученикам возможность понять внутренние основы доказательства теорем, а это обстоятельство играет огромную роль в математическом развитии учащихся.

С другой стороны, только при аналитическом построении доказательства возможна творческая работа учащихся, т. е. самостоятельное нахождение ими способов доказательства некоторых теорем.

Такие авторитетные методисты, как Юнг и Кавун, придают огромное значение аналитическому методу, считая его творческим методом. Приведем соответствующие выдержки из книги Юнга «Как преподавать математику». «Уроки геометрии представляют собой исключительно подходящее место для применения аналитического метода. Приверженность Евклида к синтетической форме вызвала ряд упреков по адресу предмета, вполне заслуженных методом его изложения. Этих упреков можно избегнуть, подходя к геометрическим доказательствам так, как если бы мы их сами открывали» (гл. 13).

«Аналитическим методом работник на поприще математики работает, при помощи синтетического метода он представляет добытые им результаты. Что в силу этого аналитический метод должен быть методом классной работы — не подлежит никакому сомнению. При аналитическом методе каждый шаг имеет свои основания, свою цель. Так как учащийся во время работы должен находиться, вообще говоря, в состоянии активном, а не пассивном, так как он должен быть в положении лица, делающего открытие, а не только усваивающего его, то содержание курса математики должно подноситься ему в аналитической форме». Приведенные слова Юнга не оставляют никакого сомнения в том, что Юнг разрешает вопрос об анализе доказательства теорем в категорической форме, подчеркивая необходимость систематического применения аналитического метода.

Сторонником аналитического метода является также известный немецкий методист М. Симон, в книге которого «Дидактика и методика математики в средней школе» имеются указания на то, что еще Аристотель, а впоследствии Гербарт, Магер, Козак считали необходимым, чтобы доказательство раскрывало внутренние основы теоремы.

Профессор Кавун, признавая огромное значение аналитического метода в преподавании геометрии, в то же время ограничивает сферу применения этого метода, полагая, что аналитическим методом нужно пользоваться только при доказательстве важных теорем, заслуживающих внимания, причем Кавун не указывает, какие же теоремы считаются важными.

Такое половинчатое и неопределенное решение вопроса об аналитическом методе дезориентирует преподавателей математики, которые, основываясь на мнении Кавуна, считают, что аналитическим методом можно пользоваться только в редких случаях и фактически очень многие совершенно не применяют его в своей практике.

Автор статьи «Методика и дидактика урока по геометрии», помещенной в № 5 журн. «Математика в школе» за 1937 г. тов. Машков, ссылаясь на профессора Кавуна, еще более ограничивает круг теорем, которые можно доказать аналитическим методом.

Тов. Машков рекомендует доказывать этим методом не все важные теоремы, а только те из «важных» теорем, которые легко поддаются анализу, доступному для учащихся, остальные же теоремы, особенно в VI—VII классах, по мнению тов. Машкова, нужно доказывать синтетическим методом.

Почему мы должны пользоваться главным образом синтетическим методом, особенно в VI—VII классах, этого тов. Машков не объясняет, вследствие чего необходимо вообще разобрать аргументацию сторонников ограниченного применения аналитического метода, в значительной части совпадающую с аргументацией противников этого метода. Эта аргументация сводится к трем основным положениям.

1. Анализ доказательства многих теорем недоступен ученикам, особенно VI — VII классов. 2. Аналитический метод требует много времени. 3. Работая дома, ученики находят в учебнике синтетическое доказательство теорем, поэтому и в классе нужно пользоваться синтетическим методом.

Мнение о недоступности анализа теорем ученикам, особенно в VI — VII классах, ни на чем не основано. Вполне понятно, что

Черт. 3

ученики не могут самостоятельно проводить анализ всех теорем не только в VI —VII классах, но и в старших классах средней школы, но ведь такое требование к ученикам никто и не предъявляет.

Анализ доказательства теорем проводит сам педагог, привлекая учеников к участию в анализе в большей или меньшей степени, в зависимости от характера теоремы. Преподаватель во многих случаях сам сообщает ученикам и условия, необходимые для доказательства, и вытекающие отсюда дополнительные построения. Так, например, при доказательстве теоремы: «Если на одной стороне угла отложить от его вершины несколько равных отрезков и через концы их провести прямые, параллельные между собою, до пересечения с другой стороной угла, то на другой стороне угла отложится столько же равных между собой отрезков» преподаватель сам сообщает, что равенство двух первых отрезков на второй стороне угла было бы доказано, если бы эти отрезки были равны одному и тому же отрезку, а для этого нужно сделать определенное дополнительное построение. Доказав равенство двух первых отрезков, преподаватель распространяет это равенство на третий отрезок и т. д. (черт. 4)

Примечание. Считаем более целесообразным откладывать равные отрезки на стороне AB от вершины угла Л, как это сделано в старых изданиях учебника Киселева и учебниках других авторов.

Точно также, доказывая теорему о третьем признаке равенства треугольников, преподаватель устанавливает, что необходимым условием для доказательства теоремы является наличность равных углов в этих треугольниках и выясняет, какое дополнительное построение нужно сделать для обнаружения таких углов.

В других случаях к анализу привлекаются в большей или меньшей степени ученики, как, например, в разобранных выше теоремах о диагоналях параллелограмма, об отношении высот подобных треугольников.

Такой диференцированный подход к теоремам при проведении анализа делает анализ доказательства любой теоремы вполне доступным ученикам независимо от их возрастного состава.

Мнение о недоступности анализа ученикам нужно признать вредным предрассудком и решительно от него отказаться. Хорошо проводимый при решении арифметических задач анализ вполне понятен даже ученикам V класса и начальной школы, и приходится пожалеть, что анализу при решении арифметических задач уделяется мало внимания, чем, главным образом, и объясняется неуменье учеников самостоятельно решать задачи.

Черт. 4

Мы думаем, что именно в младших классах средней школы особенно нужен анализ доказательства теорем, так как анализ имеет целью наиболее полное понимание доказательства, а всем преподавателям известно, какие затруднения испытывает педагог при объяснении теорем в этих классах, пользуясь исключительно синтетическим методом.

Рассмотрим теперь второй аргумент, выдвигаемый противниками аналитического метода. Многие педагоги, признавая ценность аналитического метода, в то же время не считают целесообразным пользоваться этим методом, опасаясь излишней затраты времени.

Считаем нужным высказать по этому поводу следующие соображения: 1. При синтетическом доказательстве преподаватель по нескольку раз выясняет некоторые отдельные моменты доказательства, так как однократное объяснение недостаточно для понимания доказательства учениками, следовательно, излишняя затрата времени имеет место и при синтетическом методе.

2. Анализ доказательства теорем требует много времени только в первый период его применения. Впоследствии ученики, привыкнув к этому методу и осознав его, очень быстро схватывают его сущность в каждом отдельном случае.

3. Излишняя затрата времени на анализ теорем окупается более быстрым умственным ростом учеников, что дает возможность ускорить в дальнейшем темпы преподавания как при изучении теорем, так и при решении задач, в результате чего в конечном счете мы будем иметь за то же время более значительные результаты.

4. Анализ доказательства теорем во многих случаях проводит сам педагог, вследствие чего затрата времени на анализ уменьшается.

Разберем последнее возражение против аналитического метода. Некоторые преподаватели математики полагают, что классное доказательство теоремы должно быть тождественно тому доказательству, которое ученик находит в учебнике, т. е. должно быть синтетическим.

По этому поводу еще раз приходится вспомнить соображения Юнга, который делает резкое различие между изложением теоремы в учебнике и разработкой этой теоремы в классе. Из учебников мы берем, главным образом, фактическую сторону предмета, что же касается разработки математических положений в доступной для учеников форме, этот вопрос мы должны разрешать в соответствии с педагогикой и методикой математики. Никакой беды не получится, если ученик в классе воспринимает аналитико-синтетическое доказательство, а дома по учебнику прочитает только синтетическое доказательство. Наоборот, в этом случае ученик будет более сознательно усваивать текст учебника.

Резюмируя высказанные выше соображения, мы должны признать все доводы против аналитического метода совершенно неосновательными. Нужно отметить еще, что применение аналитического метода эпизодически, время от времени, как это рекомендуют

Кавун и Машков, не окажет заметного влияния на развитие учеников.

В этом случае, если можно так выразиться, ученики не почувствуют аналитического метода. Аналитический метод даст положительные результаты только при систематическом его применении как при изучении теорем, так и при решении задач.

Отсюда следует, что вопрос об аналитическом методе должен быть разрешен только в смысле максимального использования этого метода на уроках геометрии. Это не означает, что синтетическому методу не будет места при доказательстве теорем. Анализом мы намечаем путь доказательства и обеспечиваем понимание учениками всех действий преподавателя, направленных к доказательству, а синтезом оформляем окончательно доказательство. Таким образом, синтез является естественным дополнением анализа.

Нужно отказаться от весьма распространенного, но совершенно неверного взгляда на аналитический метод, как на метод, применимый к ограниченному числу теорем. От такого взгляда только один шаг до полного игнорирования аналитического метода и даже до прямого нежелания разобраться, как следует, в его сущности.

Нужно понять, что нет такой теоремы, при доказательстве которой нельзя было бы применить в той или иной степени анализ.

Возможность применения анализа ко всем, без исключения, теоремам, разумеется, не означает, что мы должны при доказательстве каждой теоремы проводить анализ. В некоторых случаях, когда действия преподавателя, направленные к доказательству теоремы, понятны ученикам, можно эту ступень доказательства опускать, но во всяком случае при доказательстве большинства теорем нужно пользоваться аналитическим методом в том или ином объеме в зависимости от теоремы.

В методической литературе имеются особые правила для доказательства теорем, так, например, в книге Адамара «Элементарная геометрия», ч. 1, указано два таких правила: 1) в рассуждениях необходимо использовать условие теоремы и даже использовать его, вообще говоря, полностью; 2) необходимо заменить определяемые понятия их определениями.

В целесообразности первого из этих правил не может быть никаких сомнений. Второе правило, являющееся весьма важным, по мнению Адамара, можно пояснить следующими примерами: 1) доказать, что данный четырехугольник есть параллелограм это значит доказать, что у этого четырехугольника противоположные стороны попарно параллельны; 2) доказать, что любая точка, лежащая на биссектрисе угла, одинаково удалена от сторон угла, это значит доказать, что перпендикуляры, опущенные из любой точки на сторону угла, равны между собою.

Этим правилом весьма целесообразно пользоваться, приступая к анализу теорем. Анализ мы начинаем с того положения, которое нам нужно доказать, поэтому чем ближе будет это положение к тому закону, на основании которого оно выводится, тем легче нам найти этот закон. Так, например, доказывая теорему, что четырехугольник, в котором противоположные стороны равны, есть параллелограм, мы заменяем понятие параллелограм его определением и говорим, что нам нужно доказать параллельность линий AB и CD; ВС и AD, а линии бывают параллельны, если равны внутренние накрестлежащие углы, следовательно, нам нужно доказать равенство накрестлежащих углов, а для этого нужно провести диагональ BD.

В докладе Осинского на тему «Направляющие элементы математического исследования», сделанном на II Всероссийском съезде преподавателей математики в 1913 г., указываются еще два правила для доказательства теорем: 1) равенство отрезков и углов доказывается из равенства треугольников, в которые они входят; 2) равенства 2-й степени доказываются из подобных треугольников.

Автор этих правил, придавая большое значение аналитическому методу, отождествляет анализ с преобразованием заключения теорем к такому виду, который позволяет нам найти необходимое основание для вывода, а для преобразования заключения считает полезным пользоваться приведенными выше правилами.

Ценность этих правил отрицать нельзя. При доказательстве некоторых теорем эти правила ускоряют анализ, сразу подсказывая нам условие, на основании которого можно сделать нужный нам вывод. Действительно, доказывая, например, теорему о равенстве диагоналей прямоугольника, мы на основании первого правила рассматриваем два треугольника, сторонами которых служат диагонали прямоугольника.

Первым правилом Осинского мы пользуемся при доказательстве таких теорем, как, например, теоремы о равенстве наклонных, равноудаленных от перпендикуляра, о равенстве отрезков диагоналей параллелограма и др. Вторым правилом Осинского мы пользуемся при анализе теорем о метрических соотношениях в прямоугольном треугольнике, о пропорциональных линиях в круге, об отношении площадей подобных треугольников, об отношении периметров правильных одноименных многоугольников.

Возможность применения одного и того же правила для определения условий, позволяющих сделать необходимый нам вывод, значительно облегчает проведение анализа. В таких случаях масштаб самостоятельной работы учащихся может возрасти вплоть до совершенно самостоятельного доказательства некоторых теорем.

Опыт говорит, что предоставление учащимся максимума самостоятельности в работе дает чрезвычайно хороший результат. Ученики с большим интересом выполняют данную им работу, причем этот интерес повышается с увеличением масштаба самостоятельности.

Самостоятельное оформление учениками доказательства некоторых теорем после пред-

Черт. 5

верительного их анализа вносит большое разнообразие в классную работу, а разнообразие преподавания есть необходимое условие интереса и живости уроков. В качестве приема, вносящего разнообразие в работу, нужно рекомендовать еще объяснение учениками некоторых действий преподавателя, связанных с доказательством теорем, т. е. проводить не предварительный анализ, выясняющий целесообразность последующих действий преподавателя, а последующее объяснение, показывающее необходимость произведенных действий. Приведем примеры.

Теорема: об измерении угла, вершина которого вне круга. Преподаватель, проведя вспомогательную линию, в результате чего получилось два вписанных угла, ставит вопрос: «Подумайте, для чего я провел эту линию?» Ответ: «Для того, чтобы получить вписанные углы». Вопрос: «А для чего нам нужны вписанные углы?» Ответ: «Вписанные углы нам нужны для замены ими данного угла». Вопрос: «Подумайте, как же сделать эту замену?» Доказывая теорему о площади трапеции, преподаватель проводит диагональ и предлагает ученикам объяснить целесообразность ее проведения.

Нужно иметь в виду, что приведенные правила Осинского раскрывают нам условия, необходимые для доказательства только некоторых теорем. Даже в тех случаях, когда теорема сводится к равенству углов или к равенству отрезков, мы не всегда можем воспользоваться этими правилами. Так, например, равенство углов с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами доказывается не из равенства треугольников, а на основании одного из законов транзитивности, именно на основании аксиомы: «Две величины, равные порознь одной и той же третьей, равны между собой».

Теорема о диаметре, перпендикулярном к хорде, сводящаяся, в конечном счете, к равенству отрезков, доказывается тоже не на основании первого правила, а на основании равенства отрезков, концы которых совпадают.

Отсюда вытекает необходимость тщательной подготовки преподавателя к аналитическому доказательству теорем. Преподаватель в каждом отдельном случае должен установить обоснование вывода, являющегося содержанием теоремы, а также определить степень участия учеников в отыскании этого обоснования.

Приведем еще некоторые конкретные примеры аналитического метода.

Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами. Преподаватель: «Нам нужно доказать, что /.l^Z.2- Если бы мы доказали что и /Л и £2 равны одному и тому третьему углу, могли бы мы тогда утверждать, что Z.1 = Z2?» Ответ: «Могли бы». «Почему?» Ответ: «На основании аксиомы: две величины, равные порознь одной и той же третьей, равны между собой». Преподаватель «Давайте подумаем, как построить третий угол, который был бы равен и первому и второму углам, какую вспомогательную линию нужно для этого провести?» Получив ответ, преподаватель делает дополнительное построение и оформляет доказательство.

Первый случай подобия треугольников. Преподаватель: «Мы пока не знаем, подобен ли маленький треугольник АХВХСХ большому треугольнику ABC. А как мы можем получить треугольник, подобный Д ABC, какую вспомогательную теорему мы знаем?» Ответ: «Нужно в Д ABC провести линию, параллельную АС». Преподаватель проводит в Д ABC линию MxNXf как показано на чертеже, и говорит: «Вот мы получили треугольник MXBXNU подобный треугольнику ABC, нельзя ли теперь треугольник MXBN заменить треугольником А^ВХСХ?» Ответ: «Нельзя, так как эти треугольники неравны». Вопрос: «А как нужно провести линию MXNX, выше или ниже, чтобы получить треугольник, равный Д АХВХСХ1» Ответ: «Линию MN нужно провести ниже». Преподаватель: «Для того, чтоб получить треугольник, равный Д АХВХСХ, нужно сторону ВХАХ отложить на стороне BÀ от вершины В и провести из точки M линию, параллельную ЛС». Дальнейшее доказательство проводится по учебнику. Личный опыт говорит нам, что ученики чрезвычайно живо реагируют на вопрос: как нужно провести вспомогательную прямую в Д ABC, чтобы получить треугольник, равный Д АХВХС1% особенно если преподаватель предложит еще провести вспомогательную линию ниже чем следует.

Черт. 6

Черт. 7

Площадь трапеции, 1-й вариант. Дана трапеция ABCD; доказать: площадь ABCD = 1(а+в)А.

Преподаватель: «Напишем формулу, которую нам нужно вывести, в другом виде.

Площадь ABCD = g 0Ä+ 2 efl- Площадь какой фигуры выражается в виде каждого слагаемого?» Ответ: «Площадь треугольника». Преподаватель: «Следовательно, чтобы вывести нужную нам формулу, мы должны трапецию разбить на 2 треугольника, площади которых были бы ^ oh и 2 вК подумайте»

как это сделать?» Ответ: «Нужно провести диагональ BD». Дальнейшее доказательство проводится по учебнику.

Дана трапеция ABCD

площадь ABCD?

2-й вариант. Преподаватель: «Нам нужно узнать, как вычисляется площадь трапеции. Припомните, площади каких фигур вы уже умеете находить?» Ответ: «Мы умеем находить площадь прямоугольника, квадрата, параллелограма, треугольника». Вопрос: «Подумайте, не можем ли мы разбить данную трапецию на такие фигуры, площади которых мы уже умеем вычислять?» Ответ: «Нужно провести диагональ, и трапеция разобьется на два треугольника». Преподаватель проводит диагональ BD, находит площадь двух треугольников, складывает их и предлагает ученикам сформулировать ответ на поставленный вначале вопрос.

Теорема. «Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других плоских углов».

Приступая к анализу этой теоремы, преподаватель устанавливает невозможность сразу доказать неравенство, стоящее в заключении теоремы, и сообщает, что если отнять от обеих частей доказываемого неравенства поровну и доказать, что остаток от левой части будет меньше остатка от правой части, то теорема будет доказана.

Затем делается дополнительное построение, причем предусматривается равенство: SD = SB.

Черт. 8

После этого преподаватель приводит учеников к мысли, что для доказательства неравенства углов DSC и BSC нужно воспользоваться теоремой о двух треугольниках, имеющих по 2 равные стороны, и оформляет доказательство.

Необычайно трудным кажется ученикам так называемое апагогическое доказательство теорем т. е. доказательство способом от противного. Ученики очень часто заучивают порядок доказательства этим способом, но самого доказательства не понимают. Между тем анализ доказательства и в этих случаях, как и всегда, способствует пониманию учениками доказательства теорем способом от противного.

В стабильном учебнике Киселева доказательство способом от противного предлагается в первый раз при изучении обратных теорем о соотношении между сторонами и углами треугольника.

Вторая обратная теорема: «Во всяком треугольнике против большего угла лежит большая сторона». Преподаватель: «Если мы докажем, что сторона AB не равна ВС и не меньше ВС, то останется только одно, именно, что AB больше ВС. Давайте посмотрим сначала, может ли сторона AB равняться стороне ВС. Предположим, что AB = = ВС. Тогда какие должны быть углы А и С?» Ответ: «Если сторона AB равна стороне ВС, то угол А должен быть равен углу С». Вопрос: «А из условия что мы знаем об углах А и С?» Ответ: «По условию угол А равен углу С». Преподаватель: «Значит мы получили неверный вывод, поэтому наше предположение неверно, т. е. сторона AB не может равняться стороне ВС.

Давайте теперь, посмотрим, может ли сторона AB быть меньше стороны ВС. Предположим, что А8<СВС, тогда из двух углов А и С который должен быть больше? Ответ: «Если AB меньше ВС, то угол А будет больше угла С на основании прямой теоремы». Вопрос: «А из условия что вы знаете об углах А и С?» Ответ: «По условию угол С больше угла А».

«Следовательно, мы опять получили неверный вывод, а поэтому и второе наше предположение тоже неверно, т. е. сторона AB не может быть меньше ВС. Выходит, что сторона AB не равна ВС и не меньше ВС, следовательно, она больше ВС».

Запись доказательства

Черт. 9

Приведенных примеров вполне достаточно для уяснения сущности аналитического метода и способов его применения.

Остается только пожелать, чтобы преподаватели математики в средних школах уделяли максимум внимания аналитическому методу, значение которого было подчеркнуто в нескольких докладах на съезде преподавателей математики в 1935 г.

Некоторые педагоги нередко возражают против аналитического метода, утверждая, что они и без анализа доказательств теорем достигают хороших результатов.

Думать так — это значит закрыть себе всякий путь к дальнейшему движению вперед. Наличность более или менее хороших успехов в работе никоим образом не исключает необходимости дальнейшего усовершенствования педагога в своем педагогическом мастерстве.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

ОБ УЧЕБНИКАХ ПО МАТЕМАТИКЕ

В. ГОЛУБЕВ (Кувшиново)

1. Переработанный проф. Н. А. Глаголевым учебник геометрии Киселева необходимо по возможности скорее заменить хотя бы учебником Киселева (изд. 1923 г. или другое) — это мнение многих преподавателей средней школы. Переработка ухудшила учебник и создала целый ряд затруднений при преподавании геометрии. Сухость языка, смешение стилей двух авторов, а главное, несоответствие содержания переработанного учебника программам и стабильным задачникам — все это делает учебник неприемлемым в качестве стабильного. Особенно курс стереометрии 9-го года обучения не удовлетворяет ни учителей, ни учеников, именно: сжатость курса, разбросанность или полное отсутствие некоторых теорем, указанных в программе, и полное несоответствие учебника с расположением разделов задач в задачнике Рыбкина. Так, в учебнике отсутствует один из признаков параллельности прямой с плоскостью, признаки параллельности плоскостей даны в различных отделах (стр. 7 и стр. 13), нет теоремы о проекции фигуры на плоскость и т. п.

2. «Сборник задач и упражнений по арифметике для V класса» Березанской (изд. 1938 г.) лучше предшествующих изданий, так как дает возможность выбрать материал для решения задач и примеров в классе и дома. Но благодаря увеличению объема вдвое увеличилась и цена задачника — до 1 р. 90 к. Между тем, можно бы было ограничиться доброй половиной задач и, особенно, примеров, если произвести выбор и отбросить все ненужные, громоздкие примеры и задачи. Таких примеров, как в № 970, на стр. 97, или № 1648, стр. 161, не следует печатать в задачнике, так как они осуждены уже давно учащими и общественностью. Вот эти примеры:

Стр. 97, № 970, 5):

Стр. 161, № 1648

Нужно экономить бумагу и деньги учеников, расходуемые на покупку учебников, и не вводить подобными примерами в соблазн молодых, неопытных учителей, которые могут затратить дорогое время на уроке, решая подобные примеры.

О РЕШЕНИИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

К. ПОПОВА (Саранск)

Решение задач, как в начальной, так и в средней школе, является слабым местом, поэтому учащиеся не имеют необходимого математического развития, не имеют и соответствующих навыков.

Нередко учителя, недостаточно строго разбираясь в задачах, испытывают весьма большие затруднения в том, как подойти к решению той или другой задачи.

Н. Н. Никитин в книге «Решение арифметических задач в начальной школе» дает все необходимые методические указания, каким образом, при помощи каких приемов учитель должен подойти к решению задач. Особенно полезны и ценны его указания в отношении решения типовых задач, в частности, задач на нахождение 2 или 3 чисел по данной их сумме и кратному отношению и на нахождение 2 или 3 чисел по данной их сумме и разности. Решение таких задач особенно затрудняет учащихся.

Н. Н. Никитин указывает на необходимость решения задач на зависимость между компонентами и результатом действий, значение решения которых многими учителями не учитывается, поэтому они или совсем не решаются, или им уделяется недостаточное внимание.

Весьма ценным является последний раздел — «Составление задач самими учащимися». Лучшие учителя в этом направлении имеют определенный опыт, но необходимо, чтобы все учителя применяли этот метод работы.

Книга Н. Н. Никитина является ценнейшим пособием не только для учителя начальной школы, но и для учителя средней школы. Необходимо переиздать ее с таким расчетом, чтобы она могла быть в руках каждого учителя начальной школы, каждого учителя средней школы.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ в № 3 ЗА 1939 г.

41.

Доказать, что 1 -f 3-* -f 9* делится на 13, если x = Ъш + 1.

Приведем несколько способов этой вполне элементарной задачи.

1. Преобразуем данное выражение:

Разности степеней 21т — 1 и 272т — 1 должны делиться на разность оснований 27 — 1 = 26, следовательно и на 13. Таким образом, каждое слагаемое в правой части, а значит, и их сумма, равная данному выражению, делится на 13.

2. Представим выражение в таком виде: 1 .J. з* + 9* = 1 + 3-27т + 9-272т = 1 + 3(26 + \)т + 9(26 + 1)2т.

По разложении выражений (26 4- 1)т и (26 -h 1)2m по формуле бинома все члены каждого из них, кроме последнего, содержат множителем 26, т. е. делятся на 13. Следовательно мы можем положить:

(26+ \)т = 13 M + 1; (26 + \)2т = 13iV + 1.

Тогда получим: 1 +3* + 9* = 1 + 3 (13 M + 1)+9 (13 1) = = 3-13Af+ 9-13JV + 13,

что и доказывает теорему.

3. Умножим данное выражение на 3*—1. Получим:

(1 4 3* 4- 9х) (3*— 1) = Ззх — 1,

или

(1 + + 32*) (ßx — 1) = 27^— 1.

Правая часть делится при любом целом положении x на 27 — 1 = 26, т. е. и на 13. Но множитель левой части 3х—1 при х = Зт + \ не делится на 13, так как:

33m+1-1 =3.27от— 1 = 3(13Af 4- 1)-1-= = 3-13 M 4-2.

Следовательно, второй множитель, т. е. 1 + 4- 3* + З2-* должен делиться на 13 при

х = 3т 4- 1.

Так же можно показать, что данное выражение делится на 13 и при х = Зт—1.

Некоторые давали доказательство способом от п к п 4- 1. Были даны и слишком сложные и длинные для такой элементарной задачи решения.

42.

При каком условии будет верна запись: 432-12 = 5 084?

1. Произведем умножение по обычному правилу:

Так как третья сумма 8 + 3 = 11 дает единицу следующего разряда, то, очевидно, запись сделана по 11-ричной системе.

2. Обозначим основание системы через х. Запись дает:

(Ах2 + Зх + 2) (x + 2) = 5*3 + Sx + 4.

После перемножения:

и так как

43.

Показать, что если а>6>0, то разность между средним арифметическим и средним геометрическим этих чисел находится между

1. Из неравенства а>6>0 заключаем:

(1)

(Понятно, что везде берется лишь арифметическое значение корня)

Умножаем (1) на Va — V~b~> 0:

(2)

Возводим (2) в квадрат:

(3)

Отсюда:

(4)

т. е. получили требуемые неравенства. 2. Можно итти обратным путем: от задан-

ного неравенства (4) к (3), (2), (1) и далее, произведя деление на знаменатели:

(5)

Но при а> b выражение в скобках левой части меньше двух, а правой больше двух. Следовательно, неравенство (5), а отсюда и (4) справедливо. Варианты этого именно решения даны в задачнике Кречмара и в журнале L'Education mathématique. Были даны и другие варианты решений.

Найти числа а> Ьу с, d, состоящие из четырех различных цифр и удовлетворяющие условиям:

a -f b = с -f d\

cd==2äb — \. (1)

1. Из данных условий:

20а + 2Ь — 1 = Юс 4- d; а + Ь = с + d.

Путем вычитания исключаем d:

19а + b — 1 .= 9с.

Отсюда:

(2)

Так как с — число целое и а^9, Ь^9, то а - ^-î может быть только равно нулю или единице. I. Пусть

Тогда или а — О, Ь=1, или а = 1, b = 0. Но в первом случае мы будем иметь трехзначное число; во втором же из (2) получим с = 2, а по подстановке в первое из данных условий d = — 1.

II. Пусть

(3)

Тогда из (2) имеем:

с = 2а + 1. (4)

Давая я значения 1, 2, 3, 4, из (4) находим с, из (3) è и из данного условия d. Получим следующие числа:

Из них только первое и четвертое (1 937 и 4 691) удовлетворяют условию задачи.

2. Так как cd < 99, то из второго условия имеем:

2 ab — 1<99; 2 об < 100; aü<50. Итак, а £^4. Подставляя а = 1 во (2) сразу найдем: b = 9; с = 3 и т. д

45.

Найти шестизначные числа такие, что если их разбить на три грани по две цифры в каждой, то сумма полученных чисел будет равна корню квадратному из данного числа, написанному в обратном порядке цифр.

1. Представим искомое число в виде:

ЛГ^105а4- 104/?+ 103с+ 102rf-t- 10e+/, (1)

или:

N^WTb -4-Ю2cd + ef. (2)

По условию N — точный квадрат некоторого числа M = xyz;

Wäb + \02cd + ef = xyz2 = M2. (3)

По условию же

ab +c~d+ ~ëf— Тух — P. (4)

Вычтя (4) из (3), получим:

М2 — Р = 9999Ö& + 99 Td= xyz2 — zyx = = xyz2 — xyz + xyz — zyx — = xyz (xyz — l) + (xyz— zyx)y (5)

Но:

xyz —zyx = 100* + 10_y + + z — 1002Г — 10y — * = 99 (X — z). (6)

Из (6) и (5) заключаем, что xyz (xyz — 1) или M (M — 1) должно делиться на 99. Так как M и M — I — числа взаимно простые, то могут представиться четыре случая:

I. M = 99 т>\ II. M — 1 = 99/7; III. M = 9р; М — \ = Пд; IV. M —l\p; M — \^9q. (7)

Исследовав все эти случаи (приняв во внимание, что M — трехзначное число), найдем искомые числа. Самих исследований не приводим, так как в нижеследующем решении мы также приходим к выражениям (7), но поле исследований значительно суживается.

2. Как мы уже получили из равенства (5) следует, что М2 — Р должно делиться на 99. Пусть

Л!8 — P = 99k. (8)

Возведя (4) в квадрат и вычтя из (3), получим:

М2 — Р2 = X yz2 — zyx2 =

= (xyz 4- zyx) (xyz — z~yx\

Из равенства (6) заключаем, что xyz — zyx* a следовательно, и M2 — P2 должно делиться на 99. Пусть:

М2 — Р2 = 991. (9)

Вычтя (9) из (8), найдем:

Р2 — P = 99(k — I),

т.е. выражение Р(Р —1) должно делиться на 99. Приходим опять к четырем возможным случаям:

I. Р = 99/; П. Р — 1 = 99/; III. Р = 9t; Р—1 = 11^; IV. Р = Ш; P-l=9s. (10)

Установим границы, в которых может заключаться Р. Из равенства (4) следует

Р<99 + 99 4- 99.

(Знак равенства исключается, так как при равенстве всех цифр а, Ь... девяти N не является точным квадратом). Приняв еще во внимание, что Р — число трехзначное, получим

297>Р>100. (11)

Исследуем указанные четыре случая. I. Р = 99/; 297 > 99/ > 100.

Получаем единственное значение t = 2, т. е.

Р = 198, M - 891 и N = 8912 - 793 881. П. Р — 1 = 99/; 297 > 99* + 1 > 100.

Опять получим ( = 2, откуда

Р = 199; ЛГ = 991 и N = 9912 = 982081. Ш. Р=9/; Р —1 = 115.

Отсюда:

9/ = 115+ 1.

Решив это неопределенное уравнение обычным способом, найдем:

Отсюда

р = 9/ = 99£ + 45. Подставив в неравенство (11), получим: 297 > 99k + 45 > 100.

Получаем:

1. k = 1; Р = 144; M = 441; N = 4412 = 194481.

2. k = 2; Р = 243; M = 342; TV = 3422 = 116 964. Но 11 + 69 + 64 = 144 ф 243, и значит, это решение не удовлетворяет условию задачи.

IV. Решив уравнение:

Ш -9s = 1,

найдем:

Р = 99/ + 55.

Подставив в (И) и сделав проверку решений, убедимся, что они не удовлетворяют условию задачи.

Таким образом, имеем всего три решения. Впрочем, если отказаться от требования, чтобы Р было трехзначным числом, то можно получить еще три решения, именно:

5402 = 291 600; 29 + 16 + 00 = 45; 5502 = 302 500; 30 + 25 + 00 = 55; 9902 = 980 100; 98 + 01 + 00 = 99.

Задача получила сравнительно немного решений. Ряд из них отличается чрезмерной длиннотой. Так, в некоторых решениях производилось свыше ста испытаний для различных значений х, у и z.

46.

Доказать, что если даны два числа Л и Ft из которых второе делится на 3, и если их приближенное частное, вычисленное с точностью до 0,01, равно точному частному, то и Л также делится на 3.

Совершенно элементарная задача. Пусть

100 В ^ 1U0 " По условию имеем:

Так как В делится, а 100 не делится на 3, то, очевидно, Л должно делиться на 3.

Не трудно видеть, что вместо 3 можно было взять 7, 11, 13... вообще множитель, не содержащийся в 100.

47.

Задача Н. Тартальи (1499—1557). На данном отрезке AB с помощью данного раствора циркуляре равного AB) и линейки построить равносторонний треугольник.

1. Пусть раствор циркуля rf> AB. Продолжим отрезок AB в обе стороны. Данным раствором циркуля из точек Л и В отмечаем АС = BD = d. Из точек же 4 и В проводим окружности радиуса d и на ни:: от точек С и D откладываем СЕ = DF = d (черт. 1). Точку Е соединяем с Л и F с В. Точка пересечения FB с АЕ даст третью вершину искомого треугольника.

2. Откладываем АС — BD = d и на АС и BD строим равносторонние треугольники (черт. 2). Как видим, этот способ по существу не отличается от предыдущего, но требует больше операций (проводятся лишние прямые СЕ и DF).

3. Если d < AD, то построение аналогично. Откладываем AC = BD =d (черт. 3) и проводим окружности, на которых откладываем CE =DF~ = d (или, что то же, строим на АС и BD равносторонние треугольники). Проводим АЕ и BF и продолжаем до их взаимного пересечения.

48.

Задача Шлемильха (1823—1901). Решить кубическое уравнение:

X3 + ах2 + Ьх + с = 0, если корни его составляют:

1) арифметическую прогрессию, 2) геометрическую прогрессию.

Найти условия, которым должны в обоих случаях удовлетворять коэфициенты уравнения.

1. По известным формулам имеем:

Xt + хъ + xz = — а; (1)

ххх% + + ад = Ь\ (2)

= — с. (3)

Если дс,, X. и ж, составляют арифметическую прогрессию, то будем иметь:

(4)

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

Делая подстановку из (4) в (1), получим:

(5)

Для остальных двух корней подстановка из (5) в (4) и (3) дает:

Отсюда легко находим:

Подставив найденные корни в (2), получим:

или:

2а3 + 27с = 9 ab. (6)

Это и есть искомое соотношение между коэфициентами уравнения.

2. Если корни составляют геометрическую прогрессию, то:

Х\ • ~ • -^3

-или:

*Л = ^22- (7)

Подстановка в (3) дает:

х2 = /~ (8)

Подстановка из (8) в (1) и (7) дает:

Отсюда находим

Подстановка найденных корней в (2) даст соотношение между коэфициентами:

или:

49.

Задача Каталана (1814—1894) Из точки А вне окружности провести секущую так, чтобы она разделилась окружностью пополам.

Задача взята из сборника исторических задач Попова (имеется и в сборнике Александрова). Подавляющее большинство дало решение, совпадающее с приведенным у Попова.

1. Пусть АС — искомая секущая D — ее середина (черт. 1). Проведем диаметр СВ и соединим О с D и В с А. Так как OD — средняя линия треугольника ВСА, то она параллельна В А и равна ее половине. Но OD = R. Следовательно, BA = 2R. Отсюда построение. Радиусом, равным 2R, отмечаем на окружности точку В. Проводим диаметр ВС и соединяем А с С. Секущая АС — искомая.

Можно провести анализ и следующим образом (черт. 2). Из середины D искомой секущей восстановим перпендикуляр АС до пересечения с окружностью в точке В. Точку В соединяем с С и Л. Так как CDB = 90°, то CB = 2R, а так как треугольник ABC равнобедренный, то и AB = 2R.

Число решений зависит от расстояния АО. Если ЛО<3/?, то, как легко видеть, окружность, проведенная из А радиусом 2R пересечет данную в двух точках; будем иметь два решения. Если АО = 3R, то окружности будут касательными друг к другу; получим одну секущую, проходящую через О. Если ЛО> 3R, точки пересечения не получится, и задача не имеет решений.

2. Пусть АС искомая секущая. Обозначим AD = DC = X. Проведя секущую АЕ через центр, получим по свойству секущих:

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

Отрезок X легко находится как средняя пропорциональная между у и а + 2R. На АЕ = а + 2R строим полуокружность. Делим AB = а, пополам, и из точки M восставляем перпендикуляр. Тогда:

AN* = АЕ-АМ = (а + 2R)-~ = х\

Проводя радиусом AN окружность, находим точку D (и вторую точку). 3. Проведем касательную AB. Имеем 2Х'Х = AB2; АВ = х У'2. Таким образом, AB является стороной квадрата, вписанного в окружность радиуса je. Отсюда построение. Проходим касательную

AB. На перпендикуляре к AB от точки В откладываем BE = AB. Тогда

Черт. 4

Были даны и другие способы построения, но, как видно и из приведенных, первое решение оказывается наиболее простым по количеству операций.

50.

Найти два числа х и у, не равные нулю, удовлетворяющие условиям:

у = (|/зЧ 1)X2; у2 = (Т/3-1) X.

Вычислить эти два числа с точностью, допускаемой таблицами логарифмов.

1. Данная система уравнений решается просто, хотя бы так. Возводим первое в квадрат и делаем замену у2 во втором; получим:

(|/3 + \)*х< = (УЗ— 1)х. Отсюда (так как лгфО):

(1)

Подставив найденное значение х в первое из данных уравнений

(2)

При пользовании пятизначными таблицами логарифмов найдем, ограничиваясь пятью десятичными знаками:

2. Более точные значения будут: X = 0,461166; у = 0,581028. Ошибка, допущенная в предыдущих вычислениях, не превышает, таким образом, j^.

2. Можно упростить вычисления, введя тригонометрические функции. Из (1) имеем:

(3)

Точно так же найдем:

Вычисления дадут:

Для у получили то же значение, для х — немного более точное. Центральным моментом этой задачи является вычисление по таблицам логарифмов значений х и V. Приходится отметить громадное разнообразие полученных ответов, причем этот разнобой можно только частично приписать тому, что брались для вычисления различные выражения для хну.

(Например,

Приведем несколько найденных значений

Были даны решения, совсем уже далеко отходящие от правильного ответа. Например: X = 0,10828, у = 0,032043 и т. п.

51.

1°. Каким условиям должны удовлетворять члены двух несократимых дробен -у и -j для того, чтобы частное от деления первого на второе было целым.

2°. Даны дроби Jog » Ï89 » • Найти наибольшую дробь -г такую, чтобы частные от деления данных дробей на -g были целыми,

1°. Произведя деление, получим:

(1)

Так как а простое с b и с простое с d, то для того, чтобы выражение (1) было целым необходимо, чтобы а делилось нацело на с, а d на Ь% т. е.:

а = тс; d = pb, (2)

где m и р — целые числа. Данные дроби примут вид:

(3)

Таким образом, числитель делимого должен быть кратным числителя делителя, а знаменатель делителя должен быть кратным знаменателя делимого.

2. Разделив данные дроби на -j, по сокращении получим:

Согласно установленному b 1°, с должно быть делителем чисел 4, 8 и i2, т. е. оно может быть равно:

с = 1, 2, 4.

По 1° же d должно быть кратным чисел 15, 21 и 35, т. е. может быть равно:

d-= 105, 210, 315...

Но дробь -g должна быть наибольшей. Для этого мы должны взять наибольшее значение для с и наименьшее для d. Таким образом, искомая дробь -j = jQg.

Неверные ответы давали для дроби значения у^; и т. д.

52.

Ученик при умножении многозначных чисел частные произведения подписывал одно под другим, не отодвигая на одну цифру влево, начиная от второго. Найти соотношение между полученным неправильным ответом и правильным.

Совершенно ясно, что, подписывая частные произведения одно под другим, ученик все цифры множителя принимал за единицы и умножил данное число на сумму цифр множителя.

Если множимое Mt а множитель 4 = 10^+10*-^^+, . .+10а,+д0, то, обозначив неправильное произведение через N, найдем:

или:

53.

Школьное совещание началось между б и 7 час. вечера, а окончилось между 9 и 10 час. Определить точно, в котором часу началось и кончилось совещание, если минутная и часовая стрелка поменялись за время совещания местами.

1. В начале заседания часовая стрелка была между шестым и седьмым часовым делением, а минутная — между девятым и десятым. Пусть часовая стрелка от 6 час. до начала заседания продвинулась на х (минутных) делений. За это же время минутная стрелка, движущаяся в 12 раз быстрее, продвинулась на \2х делений, причем ушла от девяти часового деления на некоторое число—у делений. Отсюда имеем:

В конце заседания часовая стрелка прошла от девятого часа у делений, а минутная 30-fjc делений. Отсюда:

Черт. 1

Решив систему уравнений, найдем:

Значит, собрание

началось: кончилось:

2. Аналогичными рассуждениями, но введя другие обозначения, получим несколько иную систему уравнений. Примем за единицу путь, проходимый часовой стрелкой в течение часа (т.е. 5 минутных делений). Обозначим через х путь, пройденный от 12 час. часовой стрелкой, а через у — минутной. Из чертежа 2 видно, что x равен 6 плюс путь, пройденный от 6 час. Но этот путь в 12 раз меньше пути, пройденного минутной стрелкой от 12 час, т. е. у. Имеем, таким образом:

Точно так же найдем для конца заседания:

Решив их найдем:

Черт. 2

Второе решение удобнее тем, что дает сразу время начала и конца заседания.

54.

Даны две концентрические окружности такие, что правильный треугольник, вписанный в одну из них, равновелик правильному шестиугольнику, описанному около другого. Вычислить угол, образованный касательными, выходящими из какой-либо точки большей окружности к меньшей.

Обозначим искомый угол через х. Из прямоугольного треугольника АБО имеем:

(1)

Для исключения из (1) R и г найдем соотношение между ними, исходя из условия задачи:

Сторона вписанного в большую окружность треугольника равна R j/З. Его площадь:

Сторона описанного около меньшей окружности шестиугольника равна , а площадь:

По условию:

Отсюда:

Подставив в (1), найдем:

Отсюда:

55.

Доказать, что неделимость целого числа п на 3 есть необходимый и достаточный признак того, что корни уравнения

х2 + 2пх+4п = 0

являются л-ми степенями корней уравнения:

у*+2у,+4 = 0.

1. Приведем сначала решение, данное громадным большинством читателей. Решив данные уравнения, найдем

(1)

(2)

Требуется доказать, что у^ 2=х12ирипфЗк.

Заметим прежде всего, что — 1 + \/ —3 являются комплексными корнями уравнения

Следовательно:

а) Если п = 3k, то

Итак, неделимость п на 3 есть необходимое условие для того, чтобы могла быть

У h 2 = х1,2* б) Пусть n = 3k+L Тогда

в) Пусть Тогда

Итак, если п не делится на три, то всегда у* 2 = х1 2 и достаточность признака доказана.

2. Многие, получив корни (1) и (2), представляли их в тригонометрической форме и, пользуясь формулой Муавра, доказывали теорему.

3. Приведем изящный подход к задаче. Н. Шоластер (г. Фатеж Курской обл.).

Произведем подстановку в обоих уравнениях, положив:

X = 2nz\ у = 2z. (3)

Тогда оба уравнения примут вид:

z*+z+\--=0. (4)

Но корни уравнения (4) являются комплексными корнями уравнения:

23 — 1 = (z — 1) (z*+z+1) = 0.

Дальше рассуждения, аналогичные предыдущим.

56.

Пусть имеем одно решение хи у, уравнения Фермата:

ах*+\=у\ (1)

Найти рекуррентную формулу для вычисления других решений.

Этой интересной и изящной задаче не повезло не в том только, что из присланных 25 решений только два оказались правильными, но в том, что самая задача не была правильно понята, именно, не было правильно понято слово «рекуррентный». Как известно, рекуррентная формула — это такая формула, которая позволяет последовательно вычислить по предшествующим значениям некоторой величины следующее ее значение.

Так, формула для общего члена знаменитого ряда Фибоначчи

является типичным примером рекуррентной формулы. Положив щ = 1 и щ = О, будем последовательно иметь:

иг = 1 + 0 = 1; «3=1 + 1=2; н4 = 2 + 1=3; иБ = 3 + 2 = 5; щ — 5+3 = 8 и т. д.

Как видим, здесь для нахождения ип необходимо знать цл_,и ип_ 2; для нахождения «я—! необходимо знать ип_2 и ип_ъ и т. д.

Другим примером рекуррентной формулы является формула для последовательного вычисления Sn суммы степеней чисел натурального ряда:

Зная, что S0 = l°+2°+. . . +л°=1 + 1 + +• . . . +1 = п, мы можем по этой формуле последовательно вычислить сначала Su затем S2, S3 и т. д.

Между тем подавляющее большинство из приславших решения (кроме нескольких давших просто неверные формулы) или выводили самостоятельно или просто делали ссылку на формулу, данную в статье проф.

Чистякова в № 2 журн. «Математика в школе» 1939 г., именно:

(2)

(Отметим, что многие еще усугубляли ошибку, давая формулы точно в том виде, как они даны в статье, и не замечая, что там они даны для уравнения х2 — 1+ау2, а следовательно, для уравнения (1) х и у нужно в формуле поменять местами). Но это вовсе не рекуррентная формула, так как в ней для вычисления, например, хь, хп и т. д. вовсе не нужно знать хА, хй. . . или *,в, лг,5. . . , а просто положить в формуле п = 5, или п = 17.

Точно так же не являются рекуррентными, например, формулы:

x = xt + bt] y = yi — at,

по которым, зная одно из целых решений (*и Уг) неопределенного уравнения

ах -f by = с,

можно найти все остальные решения, давая t произвольные (но не непременно последовательные) целые значения.

Перейдем теперь к присланным двум правильным решениям.

1. Одно из них, данное А. Владимировым (Ялта), исходит из приведенных выше формул (2), вывод которых он дает (не приводим вывода, отсылая читателей к статье проф. Чистякова):

Положив в ней /1 = 1, будем иметь

Правильность этих формул можно проверить и непосредственно, не исходя из формул (2). Перемножим yt и уп из формулы (3) и (2)

или

(4)

но по формуле (2):

(5)

затем:

(6)

по условию задачи по той же форууле (2)

(7)

Сделав подстановку из (5), (6) и (7) в (4), получим:

(8)

Совершенно аналогичным путем можно получить следующие соотношения:

(9) (10) (11)

Из (10) и (11) по сложении получим:

хп + 1 = **Уп + У\*п- (I)

Точно так же из (8) и (9) по умножении последнего на а найдем:

Уп + 1 = ахххп + ухуп. (II),

Это и есть искомые рекуррентные формулы Зная хи ух и полагая последовательно п = 1, 2, 3 . . . , б/дем получать новые решения данного уравнения (1).

2. Второе решение дано Н. Барщевским (Сухой Лог, Свердловской обл.), применившим способ неопределенных коэфициентов.

Положим:

Хп = Аха-х + Вуп_х\ (2)

Уп = Схп_г + Dyn_i; (3)

где Л, В, С и D пока неизвестны. По условию х„ и уп должны удовлетворять данному уравнению (1). Поэтому имеем:

(4)

Сделав замену в (4), получим:

(5)

Перенеся все члены в левую часть и группируя по степеням хп_х% найдем:

(6)

Чтобы это равенство было справедливым для всякого л, т. е. было тождеством, необходимо положить:

(7) (8)

(9)

Но равенство (9): аВ2 -f 1 = D2 показывает, что В и D являются корнями данного уравнения (1). Следовательно, мы можем положить:

В = х{; D = yu

которые по условию задачи считаем известными. Тогда уравнение (7) примет вид:

аА2+а2х\-С2-,у*=0;

аАг — С2 + а (ах\ —yf) = 0,

и так как

ах\-у\ = -\%

то

аА2 — С2 — а-= 0. (10)

Уравнение (8) примет вид:

аАхх — Сух = 0. (11)

Решив систему (10) и (11) хотя бы способом подстановки, найдем:

А = ух; С = ах,. Подставив найденные значения Л, В, С и D в (2) и (3), получим окончательно:

Уп = ах\хп-\ + УхУп-г. (II')

Как видим, формулы полностью совпадают с приведенными в первом решении.

Заметим, что В. Камендровским (Оренбург), приславшим задачу, искомые формулы были даны несколько в иной форме, именно:

хп = 2хп-\У\ — хп-2\ (III)

Уп = *Уп-\ Ух-Уп-2- (IV)

Путем несложных преобразований можно формулы III и IV привести к формулам Г и IF и наоборот. Следовательно, они тождественны и должны давать одни и те же последовательные значения для хп, уп. Пример. Пусть дано уравнение Ид* + 1 = у2т

Можно легко найти одно решение: хх = 3; ух = 10.

Полагая в формулах F и IF (или в III и IV) /2 = 2, получим

д-2 = 60; у2 = 199.

(В формулах III и IV полагаем: х0 = 0; у0 = 1). Полагая п = 3, найдем:

а-3= 1 197 у, = 3 970 и т. д.

57.

Построить равнобедренную трапецию, равновеликую данному равностороннему треугольнику, одно основание которой разно стороне, а высота — половине стороны данного треугольника.

1. Пусть трапеция ADEC (черт. 1) — искомая. В ней АС = a; DF = -тр Проведем диа-

гонали АЕ и CD. Определим угол « между нижним основанием и диагональю. По условию

(3)

Из треугольника CFD, найдем

Значит:

(4)

Подставив (4) и (2) в (1), получим:

Отсюда: Но тогда:

Отсюда легко вытекает построение. Приводим биссектрисы двух углов данного треугольника (например À и С), откладываем на них по отрезку, равному а, полученные точки соединяем между собой и с вершинами треугольника (А и С). Получаем искомую трапецию. Решение единственное и всегда возможно.

2. Вычислим величину DE верхнего основания трапеции — х. Площадь трапеции:

Площадь треугольника:

По условию:

Отсюда:

Для построения возьмем:

Но ——высота данного треугольника.

Отсюда вытекает построение. Проводим высоту ВМ. На ней от точки M откладываем тр

Через полученную точку N проводим прямую, параллельную АС и на ней по обе стороны от точки N откладываем -у = BN.

Таким способом решало большинство, но построение выполнялось большею частью менее удачным путем: сначала отдельно строилось выражение х = а~^3 — а.

58.

Биссектрисы внешних углов данного треугольника образуют новый треугольник. Вычислить его площадь по периметру данного треугольника и радиусу описанной около него окружности.

Как видно из чертежа, искомая площадь

(1)

Но FA — биссектриса угла АХАВ и FB — биссектриса угла BBV Следовательно, точка F является центром вневписанной окружности с радиусом гс. Этот радиус является и высотой треугольника AFBt опущенной на основание AB. Отсюда:

(2)

Совершенно аналогично:

(3)

Подстановка из (2) и (3) в (1) дает:

(4)

где s — площадь данного треугольника. Но по известным формулам:

После подстановки в (4) получим:

(5)

Дальнейшие преобразования можно произвести различными способами, например, путем приведения всех членов выражения в скобках к общему знаменателю или, несколько короче, так (М. Шебаршин):

Так как — = R, то получим окончательно:

(6)

Можно было, как многие и делали, применить формулы тригонометрии. 2. Формулу (4) представим в таком виде:

(7)

Из формул:

получим:

Подстановка в (7) дает:

Существует формула:

га + гь\ rc — r = 4Д. (9)

Подставив в (8), найдем:

Это — наиболее короткое решение, не формула (9) мало известна.

59.

Даны два сосуда с жидкостью. Из первого половина содержащейся в нем жидкости переливается во второй, затем из второго переливается в первый половина того, что стало во втором.

1. Как распределяется жидкость в сосудах, если такое переливание повторить неограниченное число раз.

2. Как распределится жидкость, если каждый раз переливать не половину, а ~ часть?

Задача получила ряд разнообразных решений, причем некоторые (например т. Шебаршин и др.) очень детально исследовали задачу. Были даны также правильные, но очень, длинные решения. (Число переливаний для вывода закономерности бралось очень большим и пр.) За недостатком места приведем несколько из наиболее коротких решений.

1. Приведем решение П. Сергиенко (Запорожье) в несколько измененном виде.

Обозначим количество воды в обоих сосудах через 5 = За и положим, что в первом сосуде было 2а — а; тогда во втором было а + а, причем а может быть отрицательным.

Проделаем ряд переливаний.

(1)

Нетрудно видеть, что при неограниченном переливании вторые члены выражений (1) стремятся к нулю, а количества жидкости приближаются к пределам 2а и а или

Для общего случая положим 5 = (2п — 1) я, и пусть в первом сосуде будет па —а; тогда во втором будет (п — 1) а + а. Аналогично предыдущему получим:

Получаем, что при неограниченном переливании количества жидкостей стремятся к пределам паи(п — 1)а, или: —-— s и 1 s.

2п — 1 2п — 1

2. Решение т. Н. Шоластер (г. Фатеж Курской обл.)

Обозначим количества жидкостей в сосуде до переливания Л0 и В0. Положим:

/1<90 — (Л — 1)Ло = а. (1)

После первой пары переливаний (из 1-го во 2-й и обратно) будем иметь:

или, приняв во внимание (1):

Для 2-го сосуда:

(2)

После подстановки Ах и Bt во (2), получим:

Совершенно аналогично после третьей пары переливаний найдем:

и т. д.

После k пар переливаний получим:

(3)

В то же время имеем:

(4)

Из (3) и (4) найдем:

Очевидно, в пределе будем иметь:

3. Приведем решение, скорее логического порядка, данное т. Г. Ахвердовым (Ленинград).

При неограниченном числе переливаний количества воды в сосудах приближаются к некоторому стационарному состоянию, когда пара переливаний уже приводит оба сосуда в прежнее состояние. Сделаем переливания

1-й сосуд 2-й сосуд

X у (1)

1-е переливание

(2)

2-е переливание

(3)

По изложенному выше оба сосуда возвращаются в прежнее состояние. Отсюда:

Каждое из этих соотношений дает:

т. е. прежний ответ.

Отметим, что при предположениях т. Ахвердова можно решить задачу еще короче. При стационарном состоянии оба сосуда при каждом переливании лишь меняются местами. Тогда из (1) и (2) сразу получаем:

Кроме аналитического и логического (аналогичного решению т. Ахвердова) т. А. Островский (Москва), приславший задачу, дал также и графическое решение ее.

Давая в задаче сначала частный случай п = 2, редакция имела в виду облегчить переход к общему случаю. Однако некоторых этот частный случай ввел в заблуждение.

Получив в случае п = 2 ответ — s и ~ s, они заключили: раз здесь в одном сосуде вдвое больше, чем в другом, то в общем случае в одном будет в п раз больше, чем в другом. Некоторые же получили, что в обоих сосудах будет поровну.

60.

Пучком параллельных прямых разделить площадь данного четыреугольника на четыре равные части.

Задача так же, как и предыдущая, относится к типу задач повышенной трудности. Она получила всего 16 решений и из них лишь 9 правильных. Приведем почти все из них.

1. Алгебраический способ дают 4 решения.

Проведем одну из диагоналей четыреугольника, например АС, и опустим на нее из вершин В и D перпендикуляры hx и Л2. Тогда площадь «S четыреугольника выразится формулой:

(1)

Поставим себе задачей разделить четыреугольник ABCD на четыре равновеликие части пучком прямых, параллельных диагонали АС.

Предположим для определенности, что hx^ht. (В обратном случае в выведенных ниже формулах Л1 и 1ц лишь меняются местами.)

Будем отсекать от треугольника ACD прямыми, параллельными АС, треугольники, площади которых равнялись бы — S, ~ S, — 5.

Чтобы не повторять рассуждений для всех трех случаев, решим задачу в общем виде.

Требуется от треугольника ACD отсечь прямой MN, параллельной АС, треугольник MND, площадь которого 5 находилась бы к площади четыреугольника «S в отношении -—, т. е.

(2)

Обозначим высоту искомого треугольника через X. Из подобия треугольников CDA и NDM имеем:

(3)

(4)

и из (2) и (1) имеем:

(5)

Подстановка из (4) и (5) в (3) дает:

Отсюда:

(6)

Полагая в формуле (6)

получим:

(7) (8) (9)

Черт. 1

Откладывая на высоте FD от точки D отрезки, равные хх, х2, xt и проведя через полученные точки прямые, параллельные ЛС, получим искомое решение.

Следует рассмотреть некоторые частные случаи.

а) Мы уже предположили, что hx > ht. Если hx = Л2, то формула (8) дает

xz = ht= К (10)

Легко видеть, что в этом случае диагональ АС делит площадь данного четыреугольника пополам, и нам остается только воспользоваться формулой (7) для треугольника ACD и аналогичной формулой:

(11)

для треугольника ABC. б) Если hx = 3hv то формула (9) дает:

хг = 3ht = hx.

В этом случае, как легко видеть, диагональ АС отсекает треугольник ABC, как раз равный — 5. Для решения придется воспользоваться лишь формулами (7) и (8).

б) Если hx < 3hv то формула (9) не годится, так как дает значение хг, большее Л,. В этом случае третья параллель пройдет внугри треугольника ABC, и для ее построения придется воспользоваться формулой (11).

Самое построение отрезков хх, х2, хг совершенно элементарно. Можно все три отрезка получить непосредственно на данном чертеже следующим образом (черт. 2).

Черт. 2

Продолжим высоту Л, за точку F и отложим FK = К + Л2. Разделим KF на 4 равные отрезка: FP = PQ = QR = RK = . На DP,DQ и DR, как на диаметрах, строим полуокружности. До пересечения с ними продолжаем F А. Тогда:

FPx = xx, FQl=xt;> FRt = xv

Действительно, по свойству перпендикуляра к диаметру имеем:

Построение дано для случая Л, >ЗЛ2. Легко видоизменить его для всех приведенных выше частных случаев.

Все присланные четыре решения выводили каждую из формул (7), (8) и (9), рассматривая и частные случаи. Формула (6) показывает, что способ применим к случаю деления четыреугольника на любое число п равновеликих частей.

Решение по этому способу прислали: С. Андреев (Торжок), А. Ахвердов (Ленинград), А. Гуревич (Гомель), А. Могильницкий (Гайсин). Как указывает т. Ахвердов, приведенное решение применимо и к невыпуклому четыреугольнику (черт. 3).

2. Решение М. Месяц. (Житомир) Превратим данный четыреугольник в равновеликую ему трапецию, приняв за одно из оснований сторону АС и не изменив углов А и D. Для этого продолжим стороны AB и CD до их взаимного пересечения в точке Е (черт. 4).

Черт. 3

Черт. 4

Проводим BF (I AD и строим отрезок ЕК средний пропорциональный к отрезкам ЕС и EF (ЕС — диаметр; FK _\_ЕС), т. е. имеем.

EK2 = EC-EF. (1)

На ED откладываем EN = ЕК- Проводим NM !| AD. Трапеция AMND равновелика данному четыреугольнику ABCD.

(2)

(при основаниях ЕС и EF и общей высоте);

(вследствие подобия треугольников). Перемножив (2) и (3), получим

(4)

Но из (1):

EN2 = ЕК9- = ЕС • EF. Отсюда из (4) имеем:

$све — s men. (5)

Отняв от обеих частей равенства (5) ш> 5benp> получим:

smbf= SpNC>

что и доказывает равновеликость ABCD и AMND.

Деление полученной трапеции на 4 равновеликих части можно выполнить следующим образом (автор дает предварительный анализ задачи, мы его опускаем).

На Л£, как на диаметре, строим полуокружность. Из точки Е радиусом ЕМ проводим дугу до пересечения с полуокружностью. Из полученной точки H опускаем на ЕА перпендикуляр HF. Отрезок AF делим на ,4 равные части. Из полученных точек строим перпендикуляры к АЕ до пересечения с полуокружностью. Получаем точки G, К, L. Из точки Е радиусами EG, ЕК, EL проводим дуги до пересечения с АЕ в точках P. Q, R. Наконец, через точки Я, Q, R проводим параллели к AD. Задача решена.

Для доказательства введем обозначения

Из подобия треугольников AED и MEM имеем:

(1)

Черт. 5

Но

(2)

Отсюда.

Беря производную пропорцию, получим:

Точно так же из треугольников MEN и РЕР1 найдем:

но

РЕ2 - EG2 = ЛЕ . ЕИ. Приняв вс внимание (2), получим:

Берем производную пропорцию:

(4)

Перемножив (3) и (4), получим:

(3)

но

AF — 4, HF по построению и из (5) имеем:

5 = 45,. (6)

Совершенно аналогичным путем можно доказать, что

и этим доказывается правильность построения.

Тов. Месяц предусматривает и случай, когда сторона РРХ может выйти за пределы данного четыреугольника. Тогда путем дополнительного построения, которое не приводим, точка Рх переносится на сторону ВС.

К аналогичному решению приходит и т. Введенский. Но он предварительно делит площадь данного четыреугольника пополам и получает треугольник и четырехугольник. Затем делит треугольник (по способу 1-го решения), а четырехугольник сначала преобразует в равновеликую трапецию. Конечно, тогда проще было сразу превратить в трапецию данный четырехугольник, как и сделано в приведенном решении.

3. Приведем в сокращенном виде решение Л. Масловой (Воронеж).

Проведем диагонали и одну из них {BD) разделим на 4 равные части. Тогда могут представиться три случая.

Черт. 6

а) Точка Е пересечения диагоналей лежит в первой четверти диагонали BD (с какого-либо ее конца).

б) Точка Е лежит во второй четверти.

в) Точка Е совпадает с одной из точек деления.

Рассмотрим первый случай (черт. 6).

Из точки деления F проводим FN \\ АС и точку N соединяем с С. Прямая NC отсекает четырехугольник NABC, площадь которого равна -1- SABCD.

Для доказательства проведем ВВХ || АС до пересечения с продолжением AD и соединим Вх с С. Треугольники ABC и АВХС равновелики (общее основание АС и равные высоты).

Следовательно:

(1)

но BXN = — BXD (по свойству параллельных прямых пересекающих стороны угла) и следовательно:

а в силу равенства (1):

Остается треугольник NCD разделить на три равновеликие части прямыми, параллельными NC (см. решение 1-е).

Затем рассматриваются второй и третий случаи. Не трудно видеть, что в этом решении порядок построения как бы обратный построению первого решения.

4. По существу совпадает с первым, но оригинально по построению, решение П. Сергиенко (Запорожье).

Черт. 7

Проведем диагональ АС и опустим на нее высоты Нх и h2. Продолжим стороны AB и ВС и прямой MN, параллельной основанию, отсечем треугольник MBN равновеликий данному четырехугольнику ABCD. Определим для этого высоту BE.

Имеем:

Из подобия треугольников MBN и ABC:

отсюда

Итак, высоту ВЕ, а следовательно, и треугольник MBN мы можем построить. Разделим теперь высоту BE пополам и проведем прямую PQ у АС. Как легко показать

Производим аналогичное построение для треугольника ADC и получим второй треугольник (с вершиной в D), площадь которого равна -у SABCD.

Наконец, в треугольнике MBN (если hx > или во втором (если /г2>/*,) проводим прямую, параллельную основанию и делящую его площадь пополам.

Черт. 8

Недостаток этого решения в том, что не исследованы частные случаи (а, б н в решения 1-го).

В одном из решений было сделано замечание, что выражение «пучок параллельных» может привести к недоразумениям. Редакция никак не могла согласиться с этим, так как этот термин настолько общепринят в геометрии и физике, что нельзя допустить, чтобы математик не был знаком с ним. Однако товарищ оказался прав. Были присланы два решения, в которых, по разделении на соответствующие части диагонали, из точек деления проводились параллели к двум смежным сторонам (черт. 8). Понятно, что такое решение никак нельзя признать правильным. В одном неправильном решении данный четыреугольник превращен в равновеликий треугольник, который и делился на 4 равновеликие части. В двух искомый отрезок выражался через площади, что делало невозможным его построение и т. п.

В следующем номере мы еще раз вернемся к этой задаче, несколько расширив ее.

ЗАДАЧИ

От редакции. Ввиду все увеличивающегося притока решений задач редакция убедительно просит соблюдать следующие правила.

1. Решения задач присылать отдельно от всякой другой корреспонденции и отдельно по каждому номеру журнала. (Присылаемые решения рассматриваются только через 2—3 месяца по напечатании задач, и этот же срок лежат и все присылаемые вместе с решениями замечания, запросы и пр.)

2. Решение писать четко и разборчиво. Особенно четко отделять одну задачу от другой, выделять (кружком или более крупным шрифтом) номер задачи. Номер должен быть тот, под которым задача напечатана.

3. Решение каждой задачи подписывать. Если решения идут не в порядке нумерации, то желательно, чтобы в начале их были перечислены номера присылаемых решений.

4. Срок присылки решений—3 месяца со дня подписания соответствующего номера журнала к печати (эта дата печатается в «выходных данных» в конце журнала или на обложке).

5. Непринятые к напечатанию задачи уничтожаются, и по поводу них редакция в переписку не вступает.

101.

Решить систему:

П. Залгаллер (Москва)

102.

Решить систему:

П. Залгаллер (Москва)

103.

Вычислить часть поверхности шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями и двумя перпендикулярными к ним диаметральными плоскостями.

104.

Доказать, что если в треугольной пирамиде боковые ребра а, Ь, с взаимно перпендикулярны, a h — высота, опущенная из вершины на основание, то

Л-2 = а-2+6-2 + с-2.

И. Чистяков (Москва)

105.

К числу 77 777 приписать справа шесть цифр так, чтобы полученное число представляло точный квадрат.

И. Чистяков (Москва)

106.

Одно из оснований равнобедренной трапеции равно а, другое в 4 раза меньше; середина большего основания соединена с концами меньшего прямыми, пересекающими диагонали трапеции в двух точках. Найти расстояние между этими точками. (Задача была предложена проф. Я. С. Безиковичем на приемных испытаниях в Ленинградский университет.)

С. Городов (Ленинград)

107.

На сторонах AB и АС треугольника ABC взяты соответственно точки D и Е так, что площадь всего треугольника вдвое больше площади ADE; проведена медиана СМ треугольника ABC. Доказать, что прямые DE и СМ встречаются в точке N, для которой удовлетворяется равенство

NM-ND = NE-NC.

108.

Решить в целых числах уравнение

Г. Ахвердов (Ленинград)

109.

Доказать для треугольника, что

M. Шебаршин (Медвежьегорск)

110.

Построить треугольник по данным (а — Ь), (а — с) и углу А.

М. Шебаршин (Медвежьегорск)

т.

В треугольнике АБС провести секущую ху (х на ЛС, у на ВС) так, чтобы

Сх = ху = By.

112.

Найти геометрическое место третьих вершин равносторонних треугольников, имеющих одну вершину в данной точке, а другую на данной окружности.

113.

Найти целые значения р, при которых уравнение

X2 + рх — Зр = О

имеет целые корни.

114.

Решить уравнения

Найти общий метод решения уравнений данного вида.

А. Гольдберг (Ленинград)

115.

Решить систему:

(I)

(II)

z2-xy = C, (III)

полагая:

А>В>С*

*) Обусловленность такая именно, конечно, не обязательна. Можно просто положить, что АфВфС.

Л. Ратис (Пенза)

116.

Найти число в три раза меньшее квадрата суммы его цифр.

117.

В треугольник данной площади s вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а две на боковых сторонах. При каком условии площадь квадрата будет наибольшей?

118.

Найти максимум и минимум дроби-.

Обобщить задачу (EN— целая часть числа N).

И. Чистяков (Москва)

119.

В треугольник вписаны три окружности» так, что каждая касается двух сторон треугольника и вписанной окружности, радиус которой г. Найти величину выражения:

V'Wc + У г (Га + VW** где rfl, />, г с — радиусы окружностей, вписанных соответственно в углы А, В и С.

120.

Доказать, что

где «„ а,... аЛ заключены в пределах от 0е* до 180°."

Н. Шоластер (Фатеж)

УКАЗАТЕЛЬ СТАТЕЙ, ПОМЕЩЕННЫХ В ЖУРНАЛЕ «МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ» за 1939 г.

I. НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

Р. Годованик — Формула Снеллиуса № 2, стр. 37—38.

Ю. Давыдов — 06 одном геометрическом способе решения уравнений высшей степени № 3, стр. 24-25.

Я. Межировский — Возвратные уравнения № 1, стр. 35—43.

Ш. Миневич — Периодические десятичные дроби № 4, стр. 23- 43.

В. Минковский — Исторический обзор развития понятия иррационального числа № 3, стр. 16—23.

Доц. В. Молодший — Энгельс о математике № 1, стр. 6—35.

Доц. В. Молодший — Аксиоматический метод № 5, стр. 11 — 19.

Н. Попов — Телесный угол № 6.

Проф. А. Хинчин — Основные понятия математики в средней школе № 4, стр. 4—22.

Проф. А. Хинчин — Основные понятия математики в средней школе №5, стр. 3—10.

Проф. А. Хинчин — Всестороннее, реальное образование советской молодежи № 6.

Д. Цинзерлинг — Математика у древних египтян № 2, стр. 5—20 и № 3, стр. 3—15.

Проф. И. Чистяков— Решение неопределенных уравнений 2-й степени № 2, стр. 21—37.

В. Шарко — Телесные углы № 6.

» Заполнение пространства правильными многогранниками № 6.

M. Юкин —О сумме углов многогранника № 6.

II. МЕТОДИКА

В. Александров — Решение основных задач на проценты № 2, стр. 45—53.

Р. Алисов — Задачи на квадратные уравнения № 5, стр. 50—52.

В. Антропов — Тождество alog aN= N и его следствия № 4, стр. 61—63.

A. Б. — На разные темы № 5.

B. Барановский — Свойства сочетаний и квадрат Фермата № 2, стр. 38—40.

Е. Березанская, Е. Загоскин, В. Прочухаев — К вопросу об испытаниях по математике № 3, стр. 51—57.

И. Браун — Обратно-тригонометрические функции № 1, стр. 44—60.

C. Бронштейн — Письменные испытания в X классах № 3, стр. 57—58.

В. Голубев — По поводу задач № 24 и 25 № 5, стр. 55.

Д. Гончаров — Второй год работы секции математиков № 3, стр. 67—68.

М. Грабовский и П. Котельников— Расширение понятия о дуге и угле в связи с радианным способом измерения № 4, стр. 57—60.

П. Дорф — Введение иррациональных чи:ел № 3, стр. 61—65.

И. Дуб — Как можно оправдать для начинающих изучать курс геометрии пользование дедукцией № 3, стр. 65—67.

В. Ермольев — Коммунистическое воспитание на уроках математики № 5, стр. 20—39.

Г. Костанди — Одна тригонометрическая схема № 4, стр. 63—64.

Л. Круповецкий — Задачи из современной жизни № 1, стр. 66—70.

Б. Лурье — Тождественные преобразования иррациональных выражений № 3, стр.35— 50.

Д. Маергойз — Алгебраический метод решения задач на построение № 5, стр. 40—49.

Д. Маергойз — Алгебраический метод решения задач на построение № 6.

Н. Никитин — К вопросу о практической подготовке учащихся № 6.

Б. Падучев — Методика исследований преобразований формул общего вида углов № 2, стр. 57—60.

Т. Песков — Аналитический метод в геометрии № 6.

М. Петров — О преподавании геометрии в VI классе № 6.

П. Романовский — К вопросу об испытаниях № 3, стр. 59—59.

К. Рупасов — О дополнениях логарифмов № 2, стр. 61-62.

В. Синакевич — Решение иррациональных уравнений № 1, стр. 60—66.

В. Синакевич — Процентные вычисления в курсе средней школы №2, стр. 41—44.

B. Синакевич — Основные свойства тригонометрических функций № 4, стр. 44— 57.

Проф. А. Хинчин — Введение иррациональных чисел № 3, стр. 32.

А. Ченцов — Признаки делимости на 11 № 2, стр. 54—56.

Проф. М. Черняев — К вопросу о методике иррациональных чисел № 3, стр. 26— 34.

C. Чуканцов — К вопросу о политическом воспитании учащихся, № 6.

Проф. К. Щербина — Устные занятия по математике № 4, стр. 51.

III. ОТКЛИКИ НА СТАТЬИ

А. Барсуков — О формуле Герона № 3, стр. 71—72.

A. Б.— На разные темы № 5.

H. Кулаков — О статье В. Орешкина № 3, стр. 69—71.

М. Семенов — Простой вывод формулы Герона № 3, стр. 72-72.

И. Смирнов — Разложение квадратного трехчлена на множители № 4, стр. 65—66.

IV. КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

И. Альтшулер — О методике математики № 4, стр. 67—68.

B. Голубев — Об учебниках по математике № 6.

Д.Гончаров и А. Витал —В помощь преподавателю математики № 2, стр. 64— 64.

Н. Извольский — К вопросу об учебнике геометрии № 3, стр. 74—74.

В. Маловичко — О новом учебнике арифметики А. Киселева № 4, стр. 69—70.

В. Минковский — Ошибки в математических рассуждениях № 3, стр. 73—74.

А. Могильницкий — Об учебнике стереометрии для средней школы № 2, стр. 63-64.

К. Попова — О решении арифметических задач № 6.

А. Шишкин — О преподавании черчения в средней школе № 1, стр. 71—72.

Отв. редактор Л. Н. Барсуков -. Техредактор Е. М. Зеф

Зав. редакцией М. М. Гуревчч

Адрес редакции: Москва, Орликов пер., 3. Учпедгиз, журнал «Математика в школе»

Уполномоч. Главлита РСФСР № А — 24064. Сдано в производство 9/XI 1939 г. Формат 70><1О8. Учгиз 11743. Подписано к печ. 17/1 1940 г. 4 п. л. 9,5 авт. л. В п. л. 94 ООО зн.. Тир. 38000. Зак. 1500

18-я тип. треста «Полиграфкнига», Москва, Шубинский, пер., 10.

СВОДКА ПО № 3 1939 г.

В настоящем номере наряду, очевидно, с чрезмерно элементарными задачами, как № 42, 51, 52 (хотя все же получившими и дверные решения) некоторые задачи оказанием трудными для подавляющего большинства читателей (№ 45, 56, 58, 59, 60). Сократив еще количество элементарных задач, как не представляющих интереса для большинства, задачи повышенной трудности редакция в количестве 4—5 считает целесообразным помещать в каждом номере, давая по ним более развернутые решения. Основное место будут занимать попрежнему задачи средней трудности.

По № 3 получено решений (в скобках указано число неправильных решений): №41—64 (2); № 42—75 (0); № 43-74 (3); № 44-66 (7); № 45-10 (9); № 46-34 (3); Jfe 47—66 (12); <N- 4S-58 (6); N° 49-77 (3); № 50—61 (15); № 51-58 (9); № 52-48 (3); № 53-55 (6); № 54-70 (8); № 55-45 (2); № 56-2 (23); № 57-71 (2); № 58—29 (6); № 59-17 (11); № 60-10 (6). 3. Акишев (Павлодар) 54—57. Г. Алапашвили (Люксембург) 43, 48, 51. Е. Алмазова (ст. Торбеево) 41—43, 46, 49—52, 54, 55, 58. А. Аляев (ст. Башмаково)'41, 43, 48, 51, 54, 58. С. Андреев (Торжок) 41—44, 47—52, 54, 55, 57, 60. Г. Ахвердов (Ленинград) 41—44, 46—51, 53—55, 57—60. Н. Барщевский (Сухой Лог) 41—59. В. Берестовский (Новоград-Волынск) 57. К. Боборыкин (Гомель) 43, 49, 53, 54. ф. Боровский (Луганск) 51, 52. М. Бочкин (Рогачев) 41—43, 47—50, 55, 57. Л. Бубис (Полтава) 41—44, 47—49, 53, 57. Е. Бугулов (Орджоникидзе) 41, 44, 47—50, 52, 54, 55. Д, Вагнер (Энгельс) 49, 54, 57. Н. Введенский /Георгиевское) 41—51, 53-55, 57—60. М. Виноградов (Астраханка) 41, 43, 44, 47, 49—51, 54, 57. А. Владимиров (Ялта) 41—44, 46—59. А. Ворожцов (Нолинск) 41—44, 49, 50, 55. И. Воронов (В.-Волочек) 42, 43, 47—51, 53, 54, 57. В. Гильц (Остяко-Вогульск) 41—44, 46, 47, 49—52, 57. В. Гиммельфарб (Медвежьегорск) 41—44, 48, 49, 53, 55. Р. Глейзер (Калининдорф) 41—44, 47—55,57, 58. и. Голайдо (Красная гора) 41—44,46—51, 53—55,57, 58. В. Голубев (Кувшиново) 41—49, 51—53, 57. С. Городов (Ленинград) 41—44, 47, 49, 52, 54—55. Я. Гоман (Одесса) 48, 53. А. Гридин (Харьков) 43, 44, 47—50, 52, 55, 57. В. Гусаров и Г. Ломов (?) 41, 42, 47, 48—52, 54, 57. Д. Гуревич (Гомель) 41—55, 57—60. Я. Гурский (Калиновка) 42, 44, 47, 51, 53. В. Гурьянов (Тула) 41-43, 47—49, 51—53, 57. Я. Дзигава (Тбилиси) 54. Н. Доброгай (Мелитополь) 41—44. Б. Дудолькевич (Пятигорск) 42—44, 47—50, 52, 54, 55, 57. Я. Жовтун (Пушкарное) 42—44, 46, 47, 49, 51-54, 57, 60. А. Запорин (Изюм) 49, 54, 57. Д. Захаров (Канаш) 42. А Иванов (Торопец) 41—44, 46—49, 51—55, 57—59. Л. Каган (Минск) 42—44, 46, 48—54, 57. С. Кацнельсон (Одесса) 41, 42. Б. Кашин (Улан-Удэ) 41-44, 49, 50, 53—55, 57, 58. М. Кекелия (Бандза) 41—43, 46—55, 57. М. Клейнер (Житомир) 47-49, 53, 55. Б. Кобылин (Галич) 41-44, 46-55, 57, 58. С. Колесник (Харьков) 41—44, 46, 47—53, 55, 57, 58. Л. Копейкина (?) 41-44,46-48,52-55, 57 -59, Л. Костовский (Мелитополь) 41—44, 46, 47. 49, 54, 57. М. Красинский (Днепропетровск) 48, 49. В. Крикунов (Казань) 41, 44, 49, 50, 54, 57. В. Крылков (Екатериновка) 41, 43, 47 —50, 53, 54, 57. а. Крутиков (?) 41, 43, 44, 46-49, 51, 53—55. Я. Лернер (Одесса) 41—44, 48, 50—55, 57. В. Лимонов (Старожилово) 41—44, 47—52, 54, 57, 58. С. Липилин (Б. Вьясс) 42, 50, 51. Я. Лившиц (Гомель) 42, 43, 50—53. а! Логашов (Саловка) 41—43, 46, 49, 51—55, 57—59. Л. Любомудров (Ленинград) 41, 43, 44^ 47—50, 53, 55, 57. Н. Любочский (Старая Русса) 41—44, 46—55, 57, 58. Лядская (Синельниково) 47—50, 53, 54. Л. Маслова (Воронеж) 41—53, 55, 57—60. М. Месяц (Житомир) 41—44, 46—55, 57—60. Метелицина (Михайлов) 41, 42, 50—52, 54. Н. Милковский (Новозыбков) 47, 48, 57, 58. Г. Мискарян (Кировабад) 42, 44, 46, 47, 49—52, 54, 55, 57. К. Михельсон (Башанта) 42, 44, 47—50, 52, 54, 57. а. Могильницкий (Гайсин) 41—44, 46-55, 57, 60. Н. Могильный (Новостародуб) 43, 47, 49, 54, 57. М. Можаров (Загорск) 41—44, 47—54, 57. М. Мрктичан (Майкоп) 50, 51. ф. Морозюк (Сытковцы) 42-44, 47, 49, 51, 53, 54, 57. Я. Мхитаров (Махач-Кала) 42, 49, 50, 54. а. Никитин (Смоленск) 42, 43, 46, 47, 52—54, 57. Н. Николаев (Ходоровск) 42, 43, 47, 49, 50, 52, 54, 57. Павленко (Градижск) 42—44, 47, 50, 54, 55, 57. Н. Панов (Минск) 42—44, 47—51, 53, 55, 59. Г. Подвальный (Калининдорф) 41, 43, 47, 49—54, 57. Л. Попков (Лодейное поле) 41—44, 47—50, 52, 54. Е. Попов (Головач). 41—44, 47—49, 55. С. Попов (Черкизово) 41—44, 46—54, 57. П. Постников (Рязань) 42, 44, 49, 50, 52—54, 57—59. Я, Пушкарев (?) 43, 44, 51—55, 57. М. Пышный (Быхов) 41, 43, 44, 48, 49, 51, 53, 54, 57. Г. Ржавский (Фролов) 41—55, 57, 58. Д. Салангин (Сангурск) 41—44, 46—53, 55, 57. Д. Сенькин (Могилев) 42, 43, 50, 51, 54. Я. Сергиенко (Запорожье) 41—44, 46—55, 57—60. С. Скирта (Новокиевский Увал) 41, 44, 50, 57. В. Смирнов (Усть-Джегутинск) 41—44, 46—50, 52—55, 57—59. М. Сорокин (Загорск) 42—44, 19 -52, 54, 57. В. Соснов (Н.-Ломов) 41—44, 47, 49, 50, 54. Г. Стась (Корнин) 42, 43. Г. Стороженко (Ейск) 42—44, 48, 50. Б. Тарасов (Кирсанов) 41—44, 47—55, 57, 58. Ю. Телешов (Нижний Тагил) 42, 44, 47, 49, 50, 52, 54, 57, 59. С. Терентьев (Кзыл-Кия) 41, 48, 51, 53, 54, 57. П. Титов (Тюмень) 41-45, 47—51, 53—55, 57, 58. В. Ураевский (Кузнецк) 42, 54. С. Урманичев {Билярский район) 41, 47. И. Усачев (ст. Ново-Корсунская) 46, 49, 54, 57. Д. Усатый (?) 42, 47—49, 52, 54, 57. П. Усачев (Таловка) 49. Г. Хаиржанов (Москва) 41—46. Л. Халабисов (Орша) 42, 44, öl. Е. Хвастовский (Сталинград) 41—44, 47—55, 57, 58. Я. Чучко (Орджоникидзе) 41, 43, 44, 47—-51, 53, 57. М. Шебаршин (Медвежьегорск) 41—55, 57—59. Н. Шоластер (Фатеж) 41-55, 57-59.

Цена 1 p. 25 к.

К СВЕДЕНИЮ ПОДПИСЧИКОВ

По всем вопросам подписки — перемена адреса, неполучение журналов и т. д. — просим обращаться по месту сдачи подписки в Когиз или на почту. В случае неразрешения вопроса на месте следует обращаться в Бюро претензий предприятии связи.

Издательство и редакция подписки на журнал не принимают и не экспедируют его. Этим всецело ведают органы связи.

При обнаружении дефекта в номере журнала просим прислать его для обмена по адресу: Москва, Орликов, 3, Отдел периодических изданий Учпедгиза.

Издательство