МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

5

1939

УЧПЕДГИЗ НАРКОМПРОСА РСФСР-МОСКВА

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Два мира---------. 1

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

Проф. А. Я. Хинчин — Основные понятия математики в средней школе ,______3

В. Молодший — Аксиоматический метод----11

МЕТОДИКА

В. Ермольев — Коммунистическое воспитание на уроках математики в средней школе---20

Д. Маергойз—Алгебраический метод решения задач на построение 40

ИЗ ОПЫТА

Р. Алисов — Задачи на квадратные уравнения.---50

На разные темы-----------------------52

ЗАДАЧИ

В. Голубев —По поводу задач № 24 и 25----------— 55

Решения задач, помещенных в № 2 за 1939 г-----— 55

Задачи------: 63

Итоги конкурса по решению задач за 1938 г.--—---64

Сводка по № 2 за 1939 г---3-я стр. обл.

Отв. редактор А. Н. Барсуков Техред. Е. М. Зеф

Зав. редакцией Ж. М. Гуревич

Адрес редакции: Москва, Орликов пер , 3. Учпедгиз, Периодсектор, журн. «Матем. в школе».

Уполномоч. Главлита РСФСР № А—21685. Сдано в произв. 14/IX 1939. Форм. 70 X W81/,«. Учгиз 11721. Подп. к печ. 14/XII 1939 г. 4 п. л. 9,5 авт. л. 94 000 зн. Тир. 38 009. Зак. 1135.

18-я тип. треста «Полиграфкнига», Москва, Шубинский пер., 10

Пролетарии всех стран, соединяйтесь!

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

5

1939

СЕНТЯБРЬ, ОКТЯБРЬ

Год издания шестой

УПРАВЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

ДВА МИРА

1

Двадцать пять лет назад две группы империалистических хищников сцепились друг с другом в жестокой схватке, в звериной борьбе за наживу, за господство на мировом рынке, за право грабежа колоний и малых народностей.

Разумеется, прожженные капиталистические политики и их прихвостни из социал-демократии всеми мерами старались скрыть от трудящихся истинные цели войны. Они всеми способами старались обмануть, затемнить сознание рабочего класса, сделать его послушным орудием в их руках, втянуть его в мировую бойню. Они кричали о справедливой войне, о защите отечества, о войне за уничтожение войны, о том, что эта война является последней войной («война войне»), за дальнейший прочный мир между народами и пр.

Только большевики во главе с Лениным и Сталиным разоблачили перед трудящимися массами этот гнусный обман. Большевики открыто говорили о том, что война эта грабительская, что она идет против интересов рабочего класса, что война эта не может быть последней, пока существует капиталистический строй, что прочного, вечного мира между народами можно достигнуть, только сбросив империалистические правительства, только взорвав капиталистический строй, только установив власть самих трудящихся.

Последующие годы целиком и полностью подтвердили прогноз большевистской партии. Разбив одну группу империалистических держав, другая группа немедленно, забыв все «высокие» слова, беззастенчиво приступила к дележу добычи, к грабежу колоний, к распределению «сфер влияния» в малых государствах, о защите «свободы и независимости» которых они еще так недавно кричали.

Сознавая временность и непрочность создавшегося в результате Версальского «мира» положения, обе группы лихорадочно приступили к новым вооружениям, к подготовке новой войны, забыв высокопарные слова о «последней войне».

Особенно хотелось странам Антанты отыграться за счет Советского Союза. Всеми способами они старались разжечь пожар войны между Германией и Советской страной. Провокационный замысел не удался. Последовательная политика мира, проводимая Советским Союзом под мудрым руководством товарища Сталина, получила свое блестящее выражение в пакте о ненападении между Советским Союзом и Германией. А в это же время неумолимая логика событий привела Англию и Францию к новой европейской войне, которая, как и первая, всей своей тяжестью ложится на плечи рабочего класса, и без того задыхающегося в тисках капиталистического гнета, безработицы, политического бесправия.

Первой жертвою этой войны стала Польша. Польские паны, хвастливо кричавшие о своей военной мощи, угрожающе потрясавшие оружием, кричавшие о великой Польше «от моря до моря», были разгромлены в какой-либо десяток дней. Польское правительство позорно бежало, бросив население на произвол судьбы.

Советский Союз, строго соблюдая нейтралитет, не мог в то же время остаться равнодушным к судьбе своих братьев — западных украинцев и белоруссов и протянул им руку братской помощи.

Восторженно встречали трудящиеся Западной Украины и Западной Белоруссии свою освободительницу — славную Красную

Армию. Сбросив с себя панское иго, уничтожив власть капиталистов и помещиков, они единодушно выразили свою непреклонную волю к воссоединению со своими братьями-украинцами и белоруссами Советского Союза. И в настоящее время Западная Украина и Западная Белоруссия вошли в братскую семью народов Советской страны и строят свою новую свободную, счастливую жизнь.

2

Крепя свою военную мощь на случай нападения капиталистических стран, Советский Союз один твердо и последовательно проводил и проводит политику мира, отдавая все силы на дальнейшее упрочение советской власти, на новый и новый подъем нашей хозяйственной мощи, на строительство социализма.

Вся Советская страна, а с ней и все трудящееся человечество радостно встретили двадцать вторую годовщину великой Октябрьской победы.

На основе Великой Сталинской Конституции вся советская страна с громадным воодушевлением готовится к выборам советов депутатов трудящихся, самых демократических органов власти в мире.

Двадцать два года молодая советская республика отстаивала свое право на существование в упорной героической борьбе против внешних и внутренних, явных и тайных врагов.

Двадцать два года коммунистическая партия, ее великие вожди Ленин и Сталин неуклонно вели трудящихся Советской страны в счастливую страну коммунизма.

Каждый новый год приближал нас к этой стране. Каждый год борьбы и строительства вписывал новые победы в историю Советской республики. Каждый год знаменовал собою поднятие на новую высшую ступень в деле осуществления великих задач, поставленных перед трудящимся человечеством его гениальными вождями Марксом, Энгельсом, Лениным и Сталиным.

Победоносное окончание гражданской войны, восстановление разрушенного народного хозяйства, реконструкция его на началах индустриализации и коллективизации, завершение, в основном, построения социализма— вот те великие этапы истории Советской республики, которые вплотную подвели ее к последней, завершающей, грандиознейшей задаче — к построению коммунистического общества.

Истекший год особенно и замечателен тем, что он знаменует собою начало этого нового этапа в жизни и работе нашей страны.

XVIII съезд коммунистической партии в докладах товарища Сталина и товарища Молотова подвел итоги социалистического строительства за последние годы, тех блестящих успехов Советской страны в политической и экономической областях, которые окончательно и бесповоротно превратили нашу страну в страну социалистическую, которые создали прочную базу для постепенного перехода к коммунизму.

Есть ли у нас уверенность, есть ли гарантии, что поставленная партией и правительством великая цель будет достигнута?

Да, безусловно. Порукой тому—конкретный, разработанный в деталях, реальный план третьей пятилетки, принятый XVIII съездом ВКП(б) по докладу т. Молотова — перегнать капиталистические страны также и в экономическом отношении; преодоление пережитков капитализма в сознании людей—эти лозунги, выдвинутые съездом, реальны, достижимы, так как они базируются на росте и темпах роста нашей экономической мощи, так как они базируются на росте и темпах роста советской социалистической культуры.

Порукой тому новое поколение, выросшее в условиях советского строя, те новые люди, которые удивляют мир своими талантами, подвигами, дерзанием, люди труда, науки, искусства.

Порукой тому новые, невиданные методы работы: соцсоревнование, стахановское движение, повышение квалификации, поднятие культурного уровня рабочих до уровня работников инженерно-технического труда.

Порукой тому — единая воля, неразрывная связь трудящихся Советского Союза со своим правительством, со своей партией, со своим вождем.

Воодушевленные этой единой волей, спаянные любовью к своей великой родине, к своей славной коммунистической партии, к своему мудрому вождю товарищу Сталину, в тесной братской дружбе шествуют народы Советской страны навстречу заре коммунизма.

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ*

Проф. А. Я. ХИНЧИН (Москва)

III. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

1

Почти все современные методисты в той или иной степени придерживаются взгляда, согласно которому понятие функциональной зависимости должно стать не только одним из важнейших понятий школьного курса математики, но и тем основным стержнем, проходящим от элементарной арифметики до высших разделов алгебры, геометрии и тригонометрии, вокруг которого группируется все математическое преподавание. Это воззрение может, конечно, повести и к злоупотреблениям; при безоглядочной его реализации есть значительная опасность недооценки других, не менее важных понятий, представлений и методов: понятия числа, основных алгебраических операций, геометрического образа и т. д. Однако при правильном его понимании, при наличии достаточного такта и чувства меры приведенный тезис, несомненно, указывает составителю программы, автору учебника, методисту и педагогу правильный и плодотворный путь.

Почему же понятию функциональной зависимости мы стремимся придать такую исключительную роль, явно выделяющую его из всех других основных математических понятий, с которыми знакомит своих учащихся средняя школа?

Потому, во-первых, что ни одно из других понятий не отражает явлений реальной действительности с такой непосредственностью и с такой конкретностью, как понятие функциональной зависимости, в котором воплощены и подвижность, динамичность реального мира, и взаимная обусловленность реальных величин.

Потому, во-вторых, что это понятие, как ни одно другое, воплощает в себе диалектические черты современного математического мышления; именно оно приучает мыслить величины в их живой изменчивости, а не в искусственно препарированной неподвижности, в их взаимной связи и обусловленности, а не в искусственном отрыве их друг от друга.

Потому, наконец, что понятие функциональной зависимости есть основное понятие всей высшей математики и что качество подготовки оканчивающих среднюю школу к усвоению курса математики в высшей школе в значительной степени измеряется тем, насколько твердо, полно и культурно они свыклись с этим важнейшим понятием.

2

В наших программах учение о функциях выделено в особую тему курса алгебры; редакция этой темы в программе такова, что имеется в виду, несомненно, лишь одна, сравнительно узкая задача: научить школьников графическому изображению функций. Так и следует понимать задачи этой темы. Но это, разумеется, никак не должно означать, что усвоение понятия функциональной зависимости и приобретение навыков функционального мышления может быть ограничено изучением этой специальной темы. Напротив, представление о функциональной зависимости может войти в сознание учащихся, как прочный, привычный и действенный элемент, как орудие математического мышления, при том условии, что к этому представлению они будут систематически приучаться на протяжении всего курса математики, от элементарной арифметики до высших разделов алгебры и тригонометрии. Это не значит, конечно, что общее определение функции следует давать в младших классах или, хотя бы, что самый термин «функция» должен употребляться при каждом удобном случае. Дело совсем не в этом. Пусть учащиеся узнают слово «функция» лишь в старших классах, пусть они лишь на более зрелой ступени развития задумаются впервые над тем, какую роль в познании реального мира играет учение о взаимной зависимости вели-

* Продолжение. См. № 4 журнала за 1939 г.

чин; никаких отчетливо формулированных общих установок и, в особенности, никаких абстрактных определений и никаких специальных терминов не надо на младшей и средней ступенях школьного образования (примерно до VIII-IX классов). Совершенно непринужденно, исподволь, не обременяя детского сознания непосильными ему абстракциями, и в то же время настойчиво, планомерно и повседневно должно вестись формирование навыков функционального мышления. Об этом учитель должен думать на каждом уроке; в любой теме арифметики, алгебры и геометрии найдется материал, направляющий внимание учащихся на ту сторону изучаемого вопроса, которую они позднее осознают как функциональную связь между величинами. Влияние изменений компонент арифметических операций на результат операции; первые буквенные формулы; первые количественные соотношения в геометрии; первое знакомство с уравнениями — все это и многое другое дает неисчерпываемый материал для простых, отнюдь не затрудняющих внимания учащихся вопросов, систематически приучающих думать о том, как меняется одна величина при изменении другой; от скольких и каких именно других величин зависит величина, определяемая данной формулой; сколько и каких именно элементов в треугольнике надо знать, чтобы однозначно определить все его элементы и т. д. Чтобы определить площадь квадрата, достаточно задать один отрезок (сторону или диагональ и т. д.); то же для площади круга; но чтобы определить площадь прямоугольника и треугольника, приходится задавать два отрезка. Для определения рационального числа достаточно задать конечную группу цифр, для определения же иррационального числа их приходится задавать бесконечное множество. Если в конечной десятичной дроби изменить первую цифру после запятой, то величина дроби изменится заметным образом; если же как угодно изменить шестую цифру, то величина дроби почти не изменится. Если одну из сторон треугольника равномерно вращать около вершины, то точка ее пересечения с другой стороной будет перемещаться сначала сравнительно медленно, а потом — с колоссальною скоростью. При увеличении числа сторон правильного многоугольника внутренний угол его растет (сначала быстро, потом все медленнее), а внешний угол убывает. Корень уравнения ах = bt где офо, b ф о убывает, когда а возрастает, и возрастает, когда а убывает (то и другое безгранично). Выражение п1 очень быстро растет при возрастании п; /г3 растет быстрее, чем я2, а 2п растет еще быстрее.

Все эти и бесчисленное множество других подобных элементарных замечаний и вопросов, подкрепленных соответствующими несложными расчетами, если практиковать эти замечания и вопросы систематически, по каждому поводу, имеют целью привести к тому, чтобы в момент, когда общая идея функциональной зависимости должна будет войти в сознание учащихся, это сознание было достаточно подготовлено к предметному и действенному, а не только формальному восприятию нового понятия и связанных с ним представлений и навыков.

Придавая большое значение вышеописанной пропедевтике учения о функциональной зависимости, мы в то же время должны, конечно, заботиться о том, чтобы те разделы школьного курса, которые дают повод для изучения специальных важнейших функций, проходились с надлежащим ударением на функциональный момент вопроса. Совершенно недопустимо, чтобы учащиеся изучали квадратные уравнения без детального овладения поведением трехчлена второй степени как одной из важнейших и простейших функций. Здесь, как и в других случаях, у нас часто, формально понимая требования программы, научают учащихся строить параболу по точкам и этим ограничиваются. График, который по смыслу своему есть наглядное орудие, позволяющее из геометрического образа вычитывать те или другие важнейшие черты изучаемой функциональной зависимости, из средства превращается в самоцель, чем совершенно искажается подлинная методологическая ситуация. Между тем, если учащийся не использует образа параболы для решения вопроса о максимуме или минимуме трехчлена второй степени, для быстрого заключения о характере возрастания и убывания этой функции (о том, где она возрастает, где убывает, где возрастает быстрее и где медленнее и т. п.), о числе и расположении ее корней и т. п., то построение графика становится почти бесцельным занятием, из которого выхолощено все идейное содержание.

В еще большей степени все сказанное относится к изучению логарифмической и показательной функции. Общеизвестно, что учащиеся, безукоризненно владеющие техникой логарифмических вычислений, легко решающие логарифмические и показатель-

ные уравнения, в то же время сплошь и рядом имеют настолько слабое представление о сущности логарифма, что задача «найти без помощи таблиц Ю'*7» вызывает у них принципиальные затруднения; тем более, конечно, им остается недоступным вопрос о функциональной природе логарифма, даже если они занимались вычерчиванием графика этой функции. И здесь мы должны сказать: если учащийся не привык связывать с графиком логарифмической функции таких вопросов, как возрастание логарифма при возрастании числа, быстрота этого возрастания на различных участках числовой прямой, отрицательность логарифмов чисел, меньших единицы, отсутствие логарифмов у нуля и отрицательных чисел, пересечение всех логарифмических кривых в одной точке, как иллюстрация того, что \gal=0 при любом а ф о и т. д.-— то знакомство с графиком логарифмической функции останется для него в значительной степени бесполезным. В этом дефекте нашего школьного преподавания, как ни в одном другом, сказывается один из его основных общих недостатков — гипостазирование формального момента каждой изучаемой темы в ущерб ее идейному содержанию,

В нисколько не меньшей степени все сказанное относится и к изучению (прямых и обратных) тригонометрических функций; и здесь логарифмические вычисления, решение треугольников и тригонометрических уравнений, как правило, подавляют и отодвигают на задний план как раз то, что и с идейной и с практической точки зрения должно было бы стать основным стержнем всей тригонометрии: функциональную природу синуса, косинуса и т. д. И здесь, как правило, в сознании учащихся почти отсутствует твердое представление о периодичности как основной черте тригонометрических функций; знаки этих функций в различных квадрантах, возрастание и убывание их не связываются с их графическими изображениями; почти никому неизвестно, что косинусоида получается простым смещением синусоиды, а кто об этом слышал, не умеет указать соответствующих этой геометрической ситуации аналитических соотношений.

Все указанные факты и много других, аналогичных, весьма тяжелым образом отражаются на качестве подготовки учащихся и ненужным образом осложняют и затрудняют их последующую работу в высшей школе. При таком подходе включение элементов учения о функциональной зависимости в курс средней школы не может достигнуть ни одной из своих целей.

Что же нужно для борьбы с этими недостатками? Ответ на этот вопрос ясно вытекает из всего сказанного. Никакая концентрация внимания и усилий на прохождении специальной темы «Функции и их графики» здесь не поможет. Нужно, во-первых, чтобы все разделы курса математики, предшествующие этой теме (а также, прибавим, и уроки физики и химии) были использованы для систематической, планомерной пропедевтики учения о функциональной зависимости. И нужно, во-вторых, чтобы при изучении разделов курса, связанных со специальными важнейшими функциями, идейная, функциональная сторона вопроса каждый раз становилась тем стержнем, вокруг которого группируется все остальное, а не ютилась на задворках.

Мы полагаем, что все нужные для этой цели указания могут и должны найти себе место и в программах (что не требует обязательного их изменения по содержанию) и в объяснительных записках к ним.

3

Все сказанное до сих пор относилось к роли, месту и удельному весу понятия функциональной зависимости в школьной математике. Теперь мы переходим к самому важному вопросу — о содержании этого понятия.

История понятия функциональной зависимости в математической науке хорошо известна, и нам нет надобности излагать ее здесь в деталях. Различные авторы от Ньютона до наших дней весьма различно формулировали содержание этого понятия. Самой яркой и наиболее важной для нашей цели тенденцией исторического развития понятия функции, несомненно, является постепенно и в борьбе совершавшееся и лишь во второй половине XIX столетия окончательно завершившееся освобождение этого понятия от уз формального аппарата, математической формулы. При первом возникновении понятия функциональной зависимости математическая формула, аналитическое выражение, обнаружило себя как превосходное орудие исследования этого понятия. Доверие к этому орудию было столь велико, формула с такою неизменностью появлялась всюду, где заходила речь о функции, что вскоре, как это часто бывало в математике, утратилась необходимость, а потому и способность проводить различие между математическим понятием и

тем формальным аппаратом, который был призван для анализа и обслуживания этого понятия. Функцию стали отождествлять с аналитическим выражением, и это отождествление было не только фактом научной практики, но отстаивалось, как явно формулированный тезис, многими ведущими математиками. Однако никогда не умирало и противоположное течение, исходившее из более или менее осознанного принципа о необходимости строгого различения между содержательно-определенным математическим понятием и формальным аппаратом, служащим для его внешнего выражения. Как всегда, жизнь оказалась на стороне реальной, а не формальной концепции, и в окончательном итоге победило реальное понимание, запрещающее смешивать функцию с тем аналитическим выражением, которым она изображается. Формальный аппарат, возведенный в ранг, ему не подобающий, из удобного и послушного орудия постепенно обратился в тирана и душителя идеи функциональной зависимости; на известном этапе развития математической науки понятие функции, эволюционируя, не могло уже уложиться в тесные рамки аналитического выражения. Если давно уже было известно, что одно и то же аналитическое выражение может служить для изображения нескольких различных функциональных зависимостей, то теперь появились случаи, когда, обратно, для изображения одной и той же функциональной зависимости приходилось пользоваться несколькими различными аналитическими выражениями, а иногда приходилось пользоваться и такими функциями, для изображения которых трудно было найти аналитическое выражение, и, что самое главное, аналитическое выражение это во многих случаях оказывалось настолько сложным, что его не удавалось использовать для изучения данной функции; приходилось вести исследование другими, не аналитическими методами.

Все эти и многие другие факты заставили, наконец, признать, что искусственное приковывание понятия функциональной зависимости к аналитическому аппарату лимитирует и тормозит естественное и необходимое науке развитие этого понятия; что только полное раскрепощение понятия функции от теснящих ее рамок формулы, аналитического выражения способно дать надлежащий простор для такого развития этого понятия, какого требуют нужды математики и прикладных наук. Это сознание уже в середине прошлого столетия нашло свое выражение в определении понятия функции, которое обычно связывают с именем Дирихле и которое безоговорочно принимается современной наукой. В этом определении нет никакого упоминания об аналитическом выражении; мы имеем дело с функцией всякий раз, когда каждому значению одной величины в некоторой области поставлено в соответствие некоторое определенное значение другой величины, при этом способ, которым задается это соответствие, имеет лишь второстепенное значение, и во всяком случае не оказывает никакого влияния на самый факт функциональной зависимости. Это может быть либо аналитическая формула, либо геометрическое преобразование, либо просто исчерпывающая словесная формулировка и т. д. Так, для известной «функции Дирихле», равной нулю для всех рациональных и единице для всех иррациональных значений аргумента, можно найти аналитическое выражение в терминах обычной математической символики; но от того, что такое выражение найдено, функция Дирихле не становится в большей степени функцией, чем она была до этого, и без этого аналитического выражения она, с точки зрения современных концепций, является полноценной функцией; более того, то сравнительное сложное аналитическое выражение, которое может быть для нее найдено, едва ли сможет хоть чем-нибудь помочь нам при изучении свойств этой функции и останется бесплодным научным созданием, способным лишь радовать глаз любителя «аналитических выражений во что бы то ни стало».

Приняв определение функции, как соответствия, математическая наука сделала из этого все необходимые выводы. Однако в культурно-историческом отношении последовательное, до конца идущее проведение этой реформы оказалось делом не столь уже легким; традиции всего многолетнего предшествующего периода, когда над понятием функции довлела идея формулы, аналитического аппарата, с большим трудом поддавались изжитию; во многих случаях они живы и до сих пор, и сплошь и рядом даже в лучших из современных руководств для высшей школы мы находим явные следы этих традиций.

Понятно, что средняя школа, дальше, чем высшая, стоящая от науки, страдает этим недостатком в значительно большей мере. Фактически все преподавание учения о функциях в средней школе, формально базируясь на современном определении основ-

ных понятий, ведется на таком уровне и в таком стиле, что высшая школа вынуждена начинать свою работу с исправления большого числа неправильных и антинаучных представлений и навыков своих студентов. Гипноз формулы является универсальным злом, настолько вкоренившимся в сознание учащихся, что в высшей школе первые попытки создать правильное представление о функциональной зависимости наталкиваются подчас на ожесточенное сопротивление. Определение функции

неизменно вызывает возражение в том смысле, что это «не одна, а две функции», и стоит большого труда убедить студента, что здесь — одна функция, а не две в силу того самого определения функции, которое он же твердо знает наизусть, вынеся из той же средней школы. Когда впервые знакомишь студентов с функцией Дирихле (которую, кстати сказать, уже давно пора бы показывать учащимся в средней школе), то неизменно встречаешь вопрос: «какая же это функция? как же ее записать?»; предлагаешь записать ее так: j/ = ç (х); тогда студент с возмущением говорит: «Разве это формула?»—он искренне убежден, что его обманывают, и приходится прочитать целую часовую лекцию с историческими экскурсами, чтобы дать понять студентам простую вещь, которой их давным давно должна была бы научить средняя школа: что формула у —у (х) для обозначения функции Дирихле ничем ни принципиально, ни практически не отличается от формулы у = s\xix для обозначения синуса; что не существует функций, принципиально неизобразимых формулами; и что, наконец, вопрос об изображении формулой имеет для идеи функциональной зависимости лишь чисто внешнее и второстепенное значение.

Но может ли и должна ли средняя школа давать учащимся такие представления о функциональной зависимости, которые полностью соответствовали бы современным научным концепциям? Чтобы решить этот вопрос, мы должны исходить из основного принципа, который мы считаем непреложным правилом для решения всех подобного рода вопросов; и в тех случаях, когда современная научная концепция какого-либо понятия слишком сложна для сознания учащихся средней школы, школа может и должна заменить ее другой, упрощенной концепцией, но обязательно идущей в том же направлении, так, чтобы высшая школа могла потом доразвить эту концепцию, ничего однако, из нее не отбрасывая за антинаучность. Именно так обстоит дело с понятием иррационального числа и с понятием предела. Но никогда, ни в одном случае школа не может и не должна заменять принятую в современной науке концепцию такою, которая стояла бы с ней в противоречии, так, чтобы высшая школа принуждена была тратить время и силы на отучивание студентов от тех представлений, с которыми они пришли из средней школы.

В отношении понятия функциональной зависимости мы настаиваем на том, что средняя школа и может и должна не только по форме, но и по существу привить учащимся строго научные представления и навыки. Школа может это сделать потому, что современная научная концепция понятия функции проста, не обременена никаким формализмом и что рецидивы формалистического подхода, которые мы повсеместно наблюдаем, объясняются отнюдь не большей легкостью этого подхода, а исключительно недостаточным научным уровнем и методической косностью составителей учебников и некоторой части методистов и учительства. Школа должна это сделать потому, во-первых, что борьба против формализма в основных научных понятиях есть неотъемлемая задача советской школы, и потому, во-вторых, что только этим путем высшая школа может быть избавлена от печальной необходимости убеждать студентов, что представления, принесенные ими из средней школы, противоречат современным научным воззрениям и потому должны быть изжиты в кратчайший срок.

4

Мы должны перейти теперь к последнему, практически наиболее важному вопросу: что и как должно быть изменено в традиционном преподавании учения о функциональной зависимости для изжития того дефекта, о котором говорилось в предыдущем разделе?

Та пропедевтика функционального мышления, основные контуры и стиль которой мы выше пытались обрисовать, делает вполне возможным введение в теме «Функции и их графики» вполне научного определения функции не только одной, но и многих переменных, как это уже было

нами отмечено. Однако, традиционный стиль примеров, рассматриваемых непосредственно вслед за этим определением, способен разрушить положительный эффект определения и привить учащимся мысль, что формальное определение само по себе, а на деле функция есть просто формула и обратно — формула есть функция. Чтобы этого избежать, мы считаем необходимым уже среди первых примеров функциональной зависимости наряду с традиционными алгебраическими и геометрическими соотношениями рассматривать и такие зависимости, как функции Дирихле или функции такого типа:

Очень полезно рассмотрение таких функций, как (х), [х] (наибольшее целее число, не превосходящее (х), х — [х], и т. п. Во всех случаях, разумеется, необходима графическая иллюстрация (в случае функции Дирихле и ей подобных надо разъяснить причины трудностей графической иллюстрации).

Вот еще примеры задач, которые мы считали бы очень полезными для разбора в классе:

1. Аналитически записать на отрезке — 1*^x^1 функцию, графическое изображение которой дано на следующем чертеже:

2. Тяжелая точка падает на землю с высоты 1 м\ упав, она остается лежать на месте падения; полагая, что момент начала падения есть t = 0 сек. и что ускорение силы тяжести g =9,8 м, найти аналитическое выражение и график зависимости между высотою точки над землей и временем для Осек <С ' < 1 сек.

Каждый учитель без затруднений может сам составить любое число аналогичных примеров.

Очень желательно рассказать учащимся о смысле и роли аналитического выражения, как условной записи для часто употребляемой функциональной зависимости, проводя параллель между записью функции

с помощью формулы и записью числа с помощью цифр: подобно тому, как цифры не порождают числа, а, напротив, являются лишь его внешним выражением, так и формула, выражающая функцию, не порождает ее, а лишь служит аппаратом для ее изображения. Подобно тому, как для неизменных чисел история знает целый ряд способов нумерации, так и аналитическое выражение данной функции есть историческое явление, имеющее свое начало и свой эволюционный путь. Если, например, сегодня условиться обозначать через ср (х) функцию Дирихле, если это условие будет принято в мировом масштабе и войдет в привычки людей, то через известное время ср(лг) станет таким же «аналитическим выражением», такой же «формулой» как, У х или lg л;, и тому, кто пишет ср(лг), не придется уже, как теперь, словами разъяснять, смысл этой записи, как не приходится всякий раз словами разъяснять что такое ]/х или Igx. Мы полагаем, что беседа по этому вопросу должна сильно укрепить в сознании учащихся ту важнейшую основную мысль, что функция есть первичная реальность, в то время как аналитическое выражение является лишь созданным нами инструментом для изучения функций, что функция существует и может быть изучаема и без соответствующего аналитического выражения.

Эта основная мысль должна быть подчеркиваема и во всем дальнейшем преподавании. Дело здесь не в ломке программы, требующей самое большее незначительных редакционных изменений. Дело в том, чтобы тщательно избегать всего того, что способно привести и фактически приводит к искажению в сознании учащихся вышеуказанной основной мысли.

Таких пунктов очень много; в большинстве случаев первоисточником искажения является неудачное изложение в учебнике, которому без достаточной критики следует учитель. В дальнейшем мы отметим несколько пунктов, изложение которых в его традиционной форме особенно неудовлетворительно в интересующем нас отношении.

Прежде всего это касается области определения или (менее удачный термин) «области существования» функции. Общеизвестна традиция учебников (в том числе и учебников для высшей школы) вычитывать эту область существования из формулы; говорят, например, что «функция-}-V1—*2 существует только для (х) < 1». Такая терминология должна быть признана научно

нечеткой и педагогически вредной, ибо в основе ее лежит мысль, что функция, которая для \х\ < 1 определяется формулой+]/l—х2, не может быть определена за пределами этого отрезка, что существование функции кончается там, где изображающее ее аналитическое выражение теряет смысл. Отсюда, конечно, недалеко до обычного утверждения, что условия типа

определяют «не одну, а две функции», ибо, если «функция + }/ 1—х2* не существует при |дс|>1, то очевидно, что наше определение величины у за пределами отрезка — I ^ \х\ ^ 1 должно представлять собою новую, «вторую» функцию.

На самом деле ситуация, конечно, следующая: формула (а не функция) -J- V^l—х2 по существующим соглашениям способна изображать собою данную функцию только при \х\^ 1, поэтому, если мы хотим данную функцию изобразить формулой за пределами этого отрезка, мы должны с этой целью искать другое аналитическое выражение выражение же +1^1—х2 при |jc| > 1 теряет смысл (само собою разумеется, что все время речь идет лишь о вещественных значениях функции). Это положение вещей настолько ясно и элементарно, что в доведении его до сознания учащихся не может встретиться никаких трудностей. Совершенно аналогичным образом учащимся внушается мысль, что символ у = lg X имеет смысл (и потому может служить для изображения некоторой функции) лишь при х^>0 и т. д. Но наряду с этим полезно тут же указать, что

представляет собою настоящую, полноценную функцию, и дать графическую иллюстрацию этой функции.

В связи с областями определения функции мы хотели бы еще отметить, что учащимся желательно привить общую мысль, согласно которой функция, как правило, определяется для тех значений аргумента, какие для данной задачи представляют реальное значение. Так, например Рп правильного п-угольника, вписанного в круг радиуса 1, по сути дела имеет смысл определять лишь для целых п^З; число перестановок из п элементов — для всех натуральных п; если аргумент t означает температуру, то в большинстве случаев нет смысла определять функцию для f <—273°С и т. д. Вообще, для выбора области определения функции решающим моментом должно являться реальное значение изучаемой функциональной зависимости, а никак не формальное аналитическое выражение ее, установленное для той или иной части этой области.

Наконец, мы должны остановиться на том понятии, в котором формальное направление находит себе наиболее яркое выражение и которое поэтому представляет в исследуемом нами отношении наибольшую опасность; это — понятие «многозначной» функции, с которым учащиеся встречаются сперва при извлечении корней, а затем при изучении обратных тригонометрических функций. Понятие многозначной функции целиком принадлежит эпохе, когда аналитическое выражение было не орудием исследования, а родоначальником функциональной зависимости. Дело положительно обстоит так, что в стране, полностью завоеванной новой, реальной концепцией этого понятия, осталась одна неприятельская крепость, со всех сторон осажденная, но до сих пор не сложившая орудия. Эта крепость — понятие многозначной функции, и борьба с нею на фронте школьного преподавания тем труднее, что не только высшая школа, но и сама наука все еще не могут расстаться с этим понятием, стоящим в явном идейном и стилистическом противоречии со всем духом современного учения о функциональной зависимости.

В самом деле, что такое многозначная функция? Нам говорят: у есть многозначная функция от X, если каждому значению X соответствует несколько значений у. Но что значит «несколько»? Если это означает твердое конечное число, то такое определение не охватит собою даже нужд средней школы с ее бесконечнозначным арксинусом. Если же слову «несколько» приписывать расширенное значение, понимая под ним в случае надобности и «бесконечно много», то, очевидно, всякая величина у есть функция всякой другой величины x, ибо, чтобы ни означали, X и у, при каждом значении величины х величина у, очевидно, может принимать лишь какое-нибудь одно из всего множества доступных ей значений. Таким образом, из понятия функциональной зависимости выхолащивается всякий смысл. Всякая же попытка детализировать определение, внести в него те или другие оговорки

ведет к осложнениям, с одной стороны, совершенно ненужным, а с другой — безусловно недоступным восприятию школьника.

Современная математическая наука на высших ступенях своего развития пользуется целым рядом весьма далеко идущих обобщений понятия функции. Она отнюдь не отказывается от рассмотрения и такого случая, когда значением аргумента является число, а значением функции — множество чисел. Однако, все это не имеет ничего общего с нуждами не только средней школы, но даже и основного курса анализа в высших учебных заведениях, по меньшей мере в области вещественного переменного. Совсем другой ветер занес в эти элементарные области понятие многозначности. Двести лет назад наши предки при изучении обратных функций ввели обычай изображать единой формулой у = Ух оба решения уравнения у2 = х, единой формулой у = Aresin X всю бесконечную совокупность решений уравнения sin у = х. Но это была эпоха, когда «одна формула» означало «одна функция». А когда позднее всем научным миром было принято новое, реальное определение понятия функции и когда стало ясно, что «функции» ]/х или Aresin X под это определение не подходят, то для спасения положения был придуман термин «многозначная функция»1.

На самом деле понятие многозначной функции для элементарной теории функций вещественного переменного совершенно излишне. Педагогически оно вредно (как в средней, так и в высшей школе), ибо:

1) дух и стиль его неразрывно связаны с формалистической концепцией, преодоленной и отвергнутой современной наукой, и

2) оно вносит в определение функции ненужные осложнения, угрожающие к тому же полностью лишить его содержания.

Как и во многих других случаях, фактическое положение вещей здесь настолько просто, что доведение его до сознания учащихся без какого бы то ни было упоминания о многозначных функциях не представляет ни малейшего затруднения; надо только решиться сбросить бремя традиции, веками тяготеющее над этим моментом учения об элементарных функциях. Написав и исследовав соотношение у2=х, мы убеждаемся, что обе функции у = + \Гх и у= —\/х для всех х^О удовлетворяют этому соотношению; если угодно записать эти д в е функции одной формулой, то можно написать у=± Ух, или- у = е Ух, где е—- параметр, могущий принимать значения -J- 1 и —1. Вот и все. Подобным же образом, исследуя соотношение sinj/ = = л;, мы приходим к выводу, что каждая из функций

у = (—1)л aresin X +т.п, (1)

где п любое целое число, a aresin х известное «главное значение», удовлетворяет этому соотношению; другими словами, синус имеет не одну, а бесконечное множество обратных функций; при каждом значении параметра п формула (1) дает одну из таких обратных функций. Наконец, можно не возражать и против символа у = Aresin X для более краткой записи выражения (1); надо только четко отметить, что символ Aresin здесь означает не одну функцию, а бесконечное множество функций и что структура этого множества с гораздо большей полнотой вскрывается записью (1). Вот и все. При таком способе изложения сохраняются простота и четкость, присущие современному определению понятия функциональной зависимости, функция и формула отчетливо различны одна от другой, и нет места никаким ненужным расширениям, угрожающим самому смыслу понятия функции. Вместе с тем, этот способ изложения не содержит в себе ничего более сложного, чем укоренившаяся в нашей учебной литературе и педагогической практике традиция оперировать с «многозначными» функциями.

1 Разумеется, в нашем изложении ситуация несколько схематизирована; на самом деле, развитие теории функции комплексного переменного также сыграло немалую роль в описываемом процессе; однако все наши педагогические выводы этим нисколько не затрагиваются.

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

В. МОЛОДШИЙ (Москва)

ногда некоторые педагоги-математики утверждают, что современный аксиоматический метод целиком пропитан «духом идеализма». «Современные буржуазные философы и математики говорят,—указывают эти товарищи,— что математика формальна, что произвольным комбинированием аксиом каждый способен создавать новые математические теории, равноправные с арифметикой и геометрией Евклида. Если верить буржуазным философам и математикам, то современная математика является игрой, правила которой каждый из нас волен устанавливать по своему желанию. В руках буржуазных философов и математиков математика перестает быть наукой о действительном мире, в лучшем случае отходит от действительности. Ее отход от действительного мира особенно заметен на примере современного аксиоматического метода, применение которого привело к открытию окутанных мистической завесой неевклидовых геометрий, я-мерных пространств и т. п.»

В этой статье я хочу показать, что такое отношение к современному аксиоматическому методу неправильно. Именно, я постараюсь показать, что:

1) современный аксиоматический метод является мощным орудием обоснования и развития математики;

2) большинство нападок на аксиоматический метод основано на незаконном смешении его содержания с неправильными заключениями, которые делаются сторонниками философского идеализма по вопросу о предмете и закономерностях развития математики.

§ 1. СОДЕРЖАНИЕ И ЦЕЛЬ ФОРМАЛЬНОГО ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Современный аксиоматический метод является одной из форм формального обоснования и развития математики. Следовательно, прежде чем приступать к анали-

зу содержания аксиоматического метода, надо сперва выяснить смысл и цель формального обоснования математики.

Этот вопрос я разобрал в статье «Энгельс о математике»*, поэтому я ограничусь перечислением содержащихся в ней основных выводов.

В XIX столетии математики выяснили, что не только предложения арифметики и анализа, но даже и предложения геометрии являются отображением общих свойств и законов, присущих элементам самых разнообразных множеств. Как теперь говорят, удалось установить, что каждая математическая дисциплина допускает многие интерпретации. Так, например, то, что обычно называют аналитической геометрией, есть не что иное, как одна из возможных интерпретаций геометрии Евклида.

Таким образом каждая математическая дисциплина изучает не объекты (и отношения между ними) своих интерпретаций, в их конкретном виде, а изучает только структуру отношений**, в которой выступают одноименные объекты любой из ее интерпретаций. Поэтому, обратно, каждая математическая дисциплина может применяться к изучению различных областей объектов, лишь бы только структура отношений во всех этих областях была одинаковой. Иначе говоря, под понятия основных объектов каждой математической дисциплины можно подводить любые вещи, если, во-первых, соответственно природе этих вещей придать определенный смысл понятиям отношений, в которых выступают объ-

* См. журнал «Математика в школе» № 1 1939 г., § 4; см. также ст. С. Яновской «Идеализм и математика» в «Сб. статей по философии математики». Учпедгиз, 1936 и ст. акад. А. Колмогорова «Математика» в 38 т. БСЭ.

** Иногда говорят «форму связей», см. например, акад. Колмогоров «Математика», т. 38, БСЭ. Очевидно, что такое различие в словообозначениях несущественно.

екты, и, во-вторых, если при этом остается в силе структура отношений, описанная в основных посылках этой дисциплины.

Таким образом, каждая математическая дисциплина связана с областями вещей, которые имеют тождественную структуру отношений. Это фундаментальное понятие тождества структуры отношений получило полную отчетливость при помощи понятия изоморфизма.

Пусть А и В две области объектов, которые рассматриваются с некоторыми определенными для них отношениями. Допустим, что:

1) каждому объекту а области А соответствует один объект b области В и наоборот;

2) каждому отношению, рассматриваемому в области А, соответствует определенное отношение в В и наоборот;

3) если некоторые объекты а, аи а2 . . . области А связаны отношением ф(а, öj, а2 • • . ), то соответствующие элементы b, bv Ь2 . . . области В связаны соответствующим отношением ср1 (Ь, Ь1У Ь2 . . . ) и наоборот.

В этом случае говорят, что области А и В изоморфны. Это и означает, что их структуры отношений тождественны, что каждая из них может служить интерпретацией одной и той же математической теории. Простейшим примером этого рода могут служить количественные и порядковые натуральные числа. Каждому количественному числу п отвечает вполне определенное порядковое число п и наоборот. Хотя арифметические действия имеют для количественных и порядковых чисел различный смысл, но, скажем, складывая или умножая порядковые числа, соответствующие двум количественным числам, получают порядковое число, соответствующее сумме или произведению взятых количественных чисел. Благодаря этому области количественных и порядковых натуральных чисел являются интерпретациями одной и той же системы аксиом, именно системы аксиом Пеано. И все теоремы, которые можно доказать с помощью аксиом Пеано, справедливы как для количественных, так и для порядковых натуральных чисел. Другой пример изоморфного отображения дает принцип двойственности проективной геометрии, так как проективное пространство может быть изоморфно отображено на самого себя с превращением точек в плоскости, а плоскостей в точки. Благодаря этому теоремы проективной геометрии остаются в силе, если в их формулировках всюду точки заменить плоскостями, и, наоборот, плоскости точками.

Теперь говорят—и это вполне справедливо,— что математика изучает объекты с точностью до изоморфизма. Этим именно хотят сказать, что математика не изучает объекты в их конкретном виде, а изучает только структуру отношений, в которых они выступают.

Открытие перечисленных выше фактов заставило математиков коренным образом изменить основные установки по вопросу обоснования математических дисциплин. Раньше, например, геометры основывали логическое развитие своих теорий на рассмотрении какой-либо области объектов, благодаря чему получаемые ими выводы по существу описывали свойства только объектов этой области. Так, в «Началах» Евклид сперва перечисляет не только постулаты и аксиомы, но и пытается разъяснить смысл слов: «точка», «прямая», и «плоскость», выяснить смысл возможных между ними отношений. И только потом Евклид начинает доказывать теоремы, производить различные построения. Ясно, что при таком способе построения геометрические теоремы оказываются положениями, описывающими свойства только обычных точек, прямых и плоскостей и их комбинаций (треугольники, окружности и т. п.). После указанных открытий такое «полуэмпирическое» развитие математических дисциплин стало нецелесообразным, так как при нем терялась общность получаемых результатов. Математики выдвинули идею так называемого формального обоснования математических дисциплин. При формальном обосновании математической теории не сообщают, о каких объектах идет речь, не говорят, каков конкретный смысл отношений, в которых могут выступать изучаемые объекты, — объекты и отношения только указываются (подобно тому, как в алгебре вместо конкретных чисел говорят об а, и т. п.), но зато стараются наиболее точно описать структуру отношений, которая характерна для изучаемых областей объектов. Иначе говоря, при формальном обосновании понятия объектов и отношений задаются как формы, допускающие многие интерпретации. Целесообразность формального обоснования математических дисциплин очевидна: если основные посылки заданы формально, то, вообще говоря, доказанная с их помощью теорема выражает некоторое свойство, присущее одноимен-

ным (соответственным) объектам каждой интерпретации основных посылок. Иначе говоря, формальное обоснование позволяет изучать свойства количественных соотношений и пространственных форм материального мира во всей их общности. Это, впрочем, основа, одна сторона дела. Формальное обоснование позволило создать новые, мощные методы развития математики, применение которых значительно расширило поле математических дисциплин. В этом мы убедимся на примере современного аксиоматического метода, так как, повторяю, он является одной из форм современного формального обоснования математики.

§ 2. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

1. Сущность аксиоматического метода

Современный аксиоматический метод датирует от классических «Оснований геометрии» Д. Гильберта (первое издание 1899 г.), где впервые он был представлен во всех фазах своего логического развития. Сравнительно за короткий срок аксиоматический метод стал общим достоянием всех математиков и оказал благотворное влияние на обоснование и развитие содержания математики. Его влияние сказалось на теории множеств, учении о числе, алгебре, топологии, метрической геометрии, теории вероятностей и т. п. Среди естественно-научных дисциплин осуществлена аксиоматизация статистики твердых тел и некоторых частей физики.

Современное аксиоматическое построение каждой теории начинается с установления системы основных понятий, отношений и аксиом, рассматриваемых обособленно от фактического содержания теории. Именно:

а) полностью перечисляют основные понятия (названия изучаемых объектов) и основные отношения, в которых эти понятия могут выступать;

б) перечисляют все принимаемые без доказательства аксиомы, которые дают полное описание структуры отношений основных понятий или утверждают существование некоторого основного понятия.

В практике требования «а», и «в» чаще всего выполняются частично. Так при аксиоматизации геометрии понятия арифметики считаются известными, а потому и не перечисляются. Иначе говоря, ограничиваются перечислением понятий и аксиом, специфических для аксиоматизируемой теории.

Как основные понятия и отношения, так и аксиомы задаются формально, т. е. как формы с переменным содержанием, как допускающие множество интерпретаций описания отношений между изучаемыми понятиями.

Согласно требованию аксиоматического метода каждое неосновное понятие теории посредством определений должно быть сведено к основным понятиям; каждое положение, высказанное относительно изучаемых понятий, должно быть доказано чисто логически только с помощью принятых аксиом.

Так, при аксиоматическом обосновании понятия порядкового натурального числа (аксиомы Пеано) не говорят, о каких числах идет речь, не выясняют смысл операций, а ограничиваются формальным перечислением относящихся к ним аксиом и основных определений. На этой базе доказывают все основные законы чисел (ассоциативность, коммутативность и дистрибутивность). Так же поступают и в геометрии, Отвлекаясь от смысла слов: «точка», «прямая» и «плоскость», перечисляют основные отношения, в которых они могут выступать (эти отношения выражаются словами: «лежит», «между», «равный», «параллельный», и «непрерывный») и, наконец, перечисляют все аксиомы. На этой базе определяют различные геометрические фигуры и строго логически, только с помощью аксиом, доказывают относящиеся к ним теоремы.

Как видим, современный аксиоматический метод действительно является одной из форм формального обоснования математических дисциплин.

2. Совместность (взаимная непротиворечивость) аксиом

Когда система основных понятий, отношений и аксиом задана формально, задача аксиоматического обоснования теории вступает во вторую фазу своего развития: надо показать хотя бы одну область объектов, структура отношений между которыми описывается заданной системой аксиом.

Действительно, если такая область объектов существует, то определяемая системой аксиом теория правильна, как правильна всякая теория, дающая верное отражение той или иной стороны природы. Правильную систему аксиом справедливо называют совместной или непротиворечивой, так так, если правильно рассуждать о правильных математических понятиях,

то нельзя прийти к двум взаимно исключающим выводам а и à, т. е. к формально-логическому противоречию. Более общим образом непротиворечивость означает выполнимость или построяемость области объектов, так как система аксиом может описывать не только существующие объекты, но и такие, которые можно построить.

Напротив, противоречивость (несовместность) системы аксиом свидетельствует о ее ложности. Гильберт показал, что из каждой противоречивой системы аксиом можно вывести любое соотношение, например 0 = 1. Каждая противоречивая система аксиом не отражает соотношений ни в одной области вещей и как бессодержательная исключается из математики.

Таким образом, непременным условием истинности каждой математической теории является ее непротиворечивость; следовательно, возможность свободного комбинирования аксиом в системы (т. е. возможность создания новых теорий) нельзя понимать в абсолютном смысле. И в математике свобода создания нового основана на познании необходимости. Нематематику требование доказательства непротиворечивости каждой математической теории подчас кажется проявлением педантизма математиков. Кто может поставить под сомнение непротиворечивость арифметики натуральных чисел и геометрии Евклида, истинность которых проверена тысячелетней практикой человечества? Но хотя истинность указанных теорий действительно проверена практикой, однако требование доказательства каждой математической теории — не педантизм. Эти теории — исходный пункт, далеко не исчерпывающий содержания всей математики. Истинность же вновь создаваемой теории, как правило, далеко не ясна и должна быть доказана. Более того, как мы сейчас увидим, не лишено оснований и требование доказательства непротиворечивости арифметики геометрии и Евклида.

Для доказательства непротиворечивости прибегают к методу моделей. Из объектов некоторой теории В, непротиворечивость которой считается установленной, стараются создать интерпретацию, как говорят, —- модель рассматриваемой системы аксиом А. Создание модели гарантирует непротиворечивость системы Л. Действительно, в этом случае все аксиомы системы А становятся предложениями теории В и если бы из А следовало противоречие, то теория В была бы противоречивой. Например, для доказательства непротиворечивости геометрии Евклида непротиворечивой теорией считают учение о действительных числах. Из действительных чисел создают «точки», «прямые» и «плоскости» (подобно тому, как это делают в аналитической геометрии). Говорят, далее, что надо понимать под основными отношениями, в которых могут выступать «точки», «прямые» и «плоскости», и показывают, что при этих условиях структура отношений «точек», «прямых» и «плоскостей» описывается системой аксиом Евклида*. Подобным же путем непротиворечивость учения о действительных числах можно соподчинить вопросу о непротиворечивости учения о рациональных числах**.

Метод моделей страдает одним существенным недостатком: он не дает автономного доказательства непротиворечивости теории, но только сводит вопрос о непротиворечивости одной теории к вопросу о непротиворечивости другой теории. Путем таких сведений удается показать, что вопрос о непротиворечивости большинства математических теорий приводится к вопросу о непротиворечивости арифметики натуральных чисел (следовательно, требование доказательства непротиворечивости арифметики не является лишним). Таким образом, по крайней мере для одной математической теории, доказательство ее непротиворечивости должно быть получено вне математики, т. е., очевидно, в непосредственной практике, хотя арифметика в этом отношении проверена наилучшим образом, и, казалось, все обстоит благополучно, однако, в последнее время было указано, что для полного доказательства ее непротиворечивости надо обосновать возможность приложения в ее области всех законов формальной логики. В этом направлении сейчас работают Гильберт и его сторонники.

В заключение отметим, что если для системы аксиом А построить модель не удается, то отсюда, очевидно, не следует ее противоречивость. Противоречивость А должна быть доказана путем непосредственного получения из А противоречия, что в практике чаще всего представляет трудную задачу. Например, никто до сих пор не

* См. журнал «Математика в средней школе» 1938 г., статья проф. Депутатова.

** См. Арнольд. Теоретическая арифметика.

смог доказать, что система аксиом арифметики, пополненная утверждением, обратным великой теореме Ферма, противоречива*.

3. Взаимная независимость аксиом

Для внутрилогического развития теории решающим является доказательство ее непротиворечивости. Для выяснения взаимосвязей и различия в математических теориях существенно доказательство взаимной независимости определяющих ее аксиом.

Аксиома независима от остальных аксиом системы А, если ее нельзя доказать с помощью этих аксиом. Установить независимость аксиомы а. от остальных аксиом непротиворечивой системы А значит доказать непротиворечивость другой системы аксиом, отличающейся от А только одной аксиомой, противоположной а..

Доказательство независимости аксиомы параллельных от остальных аксиом геометрии Евклида было исторически первым примером доказательств такого рода. Этим доказательством математика обязана Клейну и Пуанкаре. В конце XIX и начале XX столетия была проделана большая работа по доказательству взаимной независимости аксиом различных математических теорий. Прекрасные результаты принадлежат группе математиков (Гильберт, Пеано, Веблен и др.), занимавшихся основами арифметики и геометрии. Разработка аксиоматики арифметики натуральных чисел, обоснование непаскалевой, недезарговой и неархимедовой геометрий, строгое обоснование учения о площадях и объемах — все эти исследования находятся в неразрывной связи с доказательством независимости аксиом. Как видим, доказать независимость аксиомы значит обосновать новую теорию.

4. Эквивалентность. Равносильность систем аксиом

Пусть из непротиворечивой системы аксиом А (а4, а2.... ал... ап) следует некоторое предложение М:

А(ли а2,..., а,,... а„)-»М.

Если, например:

Ак[л19 а2,..., M,...у an), ai, то говорят, что CLt и M эквивалентны относительно остальных аксиом системы А.

Например, в геометрии Евклида аксиома параллельных эквивалентна теореме о сумме углов треугольника*.

В случае эквивалентности аксиому а; можно заменить положением M и обратно. Каждая теорема, которую можно доказать с помощью системы Л, можно доказать с помощью системы Ах и обратно. Этот факт приводит к следующему, общему определению:

Системы аксиом А и Ах равносильны, если все аксиомы А могут быть получены из А± как теоремы и обратно. Более сильно иное определение: А и Ах равносильны, если каждая модель А является моделью Ах и обратно.

Таким образом, в любой непротиворечивой системе взаимнонезависимых аксиом каждая аксиома однозначно не определима. Можно лишь сказать, что в такой системе каждая аксиома определена с точностью до эквивалентности.

Какая из равносильных систем аксиом заслуживает предпочтения? Ответ на этот вопрос менялся с течением времени. Когда главное внимание было обращено только на внутрилогическое развитие каждой теории в отдельности, отдавали предпочтение тем системам, которые содержали наиболее очевидные аксиомы и притом в наименьшем числе. Считались также с возможностью наиболее простого вывода следствий. Известно, например, что неочевидность аксиомы параллельных послужила причиной попыток доказать ее с помощью остальных аксиом геометрии Евклида. Но очевидность не является достаточным критерием истины, поэтому теперь с очевидностью не считаются. Два последних требования также не столь существенны, чтобы быть основными. С современной точки зрения более важно выбрать из всех равносильных систем аксиом такую, которая наилучшим образом позволяет переходить от одних теорий к другим. Решение этой задачи позволяет познать различные взаимосвязи в теориях, с первого взгляда ничем не связанных друг с другом. Так, если в начале XX столетия проделанное Гильбертом распределение аксиом геометрии Евклида на пять групп удовлетворяло всех, то теперь предпочтительно было бы иметь распределение на три группы: топологических, проективных и метрических акси-

* Теорема Ферма гласит: если п >2, то соотношение xÈ уп = zn не разрешимо в целых числах (кроме случая х или у = 0).

* Эквивалентность аксиом строго относительна. Так, если из геометрии Евклида исключить аксиому Паша, теорема о сумме углов треугольника становится не эквивалентной аксиоме параллельных.

ом. Такое распределение соответствовало бы современному состоянию геометрии, в которой решающую роль играет изучение топологических, проективных и метрических свойств пространства.

5. Полнота системы аксиом

Весьма желательным, но трудно осуществимым, является требование полноты системы аксиом.

Система аксиом А называется полной, если любое свойство, принадлежащее объектам каждой ее интерпретации, может быть доказано с помощью системы А. Говорят также, что система аксиом А полна, если на любой вопрос а, сформулированный относительно объектов А в терминах системы А, можно ответить истинно ли а или а. Непротиворечивость А гарантирует невозможность одновременного получения с и а, полнота А — обязательное получение одного из них.

В указанном смысле полнота в большинстве случаев почти недостижима, или, лучше сказать, достижима асимптотически; несомненно, что система аксиом Евклида, данная Гильбертом, более полна, чем система аксиом самого Евклида. Учитывая это обстоятельство, а также и то, что главное внимание современной математики направлено на изучение структуры качественно различных, но изоморфных областей объектов, довольствуются таким определением полноты: система аксиом полна, если все ее интерпретации необходимым образом изоморфны. В этом смысле, например, данная Гильбертом система аксиом геометрии Евклида полна.

6. Значение аксиоматического метода для развития математики

Иногда считают аксиоматический метод только методом обоснования, но не методом развития содержания математики. Это мнение ошибочно. В предшествующем изложении мы не раз приводили примеры, подтверждающие действенное значение аксиоматического метода. Здесь этот вопрос мы осветим более подробно.

Когда доказана непротиворечивость системы аксиом и их взаимная независимость, аксиоматика возвращается к исходному пункту, т. е. к фактическому содержанию теорий, давших толчок к ее зарождению, при этом аксиоматика становится методом развития содержания как породивших ее, так и новых обязанных ей своим зарождением теорий.

Действенность аксиоматического метода можно подтвердить следующими примерами.

Допустим, что А и А2 две какие-либо изоморфные интерпретации некоторой, заданной формально системы аксиом В. Каждая теорема, доказанная только с помощью В относительно объектов интерпретации А, в тех же терминах, но с иными, в зависимости от явно выраженных элементах, содержанием, справедлива относительно соответственных объектов интерпретации At и обратно. Иначе говоря, доказываемые теоремы обладают всеобщностью, благодаря чему нет необходимости передоказывать их для объектов каждой интерпретации отдельно. Как уже указывалось, характеризуемые системой аксиом Пеано множества количественных и порядковых чисел изоморфны, благодаря этому все теоремы, доказываемые с помощью этой системы аксиом, имеют силу как в области количественных, так и порядковых чисел. Проективное пространство может быть изоморфно отображено на самого себя с превращением точек в плоскости и обратно. Благодаря этому имеет место принцип двойственности, творческое значение которого хорошо знакомо всякому изучавшему проективную геометрию. Метод координат Декарта позволяет пространство Евклида изоморфно отобразить на область операций линейной алгебры, и это является объективной основой существования аналитической геометрии. Еще более сильные примеры использования изоморфизма дают современные алгебра и топология.

При аксиоматическом изучении объектов и отношений между ними существенную роль играет разработка регулярных методов — алгоритмов (как иногда говорят — конструктивных методов), позволяющих по определенным правилам решать вопросы, относящиеся к изучаемым объектам и отношениям. Так, в теории геометрических построений разрабатываются методы (метод подобия, метод симметрии и т. п.), которые позволяют выполнить построение (с помощью циркуля и линейки) каждой фигуры, в предположении разрешимости некоторых, принятых за исходные задач (деление отрезка на равные части, построение угла, равного данному, и т. п.). В теории уравнений разрабатывают методы нахождения корней уравнений и т. п. Каждая теория, как правило, разрабатывает свои, специфически характерные для изучающих объектов и отношений, алгоритмы. И вот сила современного аксиоматического метода состо-

ит еще в том, что он позволяет переносить алгоритмы одной теории в другие теории и тем способствовать их развитию. Например, в геометрии точки не индивидуализированы, благодаря чему чрезвычайно затруднительна разработка алгоритмов, помощью которых можно решать вопросы, относящиеся к свойствам множеств точек прямой. Напротив, каждое действительное число индивидуализировано, так как может быть представлено в виде я, ах а2... ап... Зная, что множество точек прямой (в их обычном расположении) изоморфно множеству всех действительных чисел, мы можем — так постоянно и поступают — заменить вопросы, относящиеся к свойствам множеств точек, вопросами, относящимися к свойствам соответственных множеств действительных чисел, и решать их с помощью алгоритмов учения о действительных числах. В этом же факте заключена основная причина, обусловливающая способность аналитической геометрии решать такие проблемы, решение которых не под силу элементарной геометрии.

Если из непротиворечивой системы аксиом исключить или добавить некоторые аксиомы, то полученные системы аксиом, в случае их непротиворечивости, определяют новые теории, изучение которых очень часто освещает с новой стороны положения исходной теории. Таким путем, например, были созданы гиперболическая (Гаусс, Больяи и Лобачевский) и неархимедова (Веронезе, Гильберт) геометрии, изучение которых позволило исчерпывающим образом выяснить значение аксиом параллельности и Архимеда в самой геометрии Евклида. Если непротиворечивая система А содержит п взаимно независимых аксиом, то все теоремы, которые можно доказать с помощью n-k этих аксиом, справедливы во всякой теории, содержащей эти n-k аксиом. Так, когда Гильберт показал, что для обоснования учения о площадях нет необходимости привлекать аксиому Архимеда, тем самым было доказано, что учение о площадях одинаково как для Евклидовой, так и для неархимедовой геометрий. Если непротиворечивые системы А и В содержат по пЛ одинаковых аксиом, а их я-е аксиомы противоположны, то и доказанные в А и В с я-ми аксиомами теоремы будут противоположны. В познавательном отношении это весьма важный факт. Зная, что теорема о сумме углов треугольника, утверждение существования подобных треугольников и т. п. эквивалентны аксиоме параллельных, и зная, что гиперболическая геометрия отличается от Евклидовой только аксиомой о параллельных, мы сразу можем сказать, что в гиперболическом пространстве нет подобных фигур и что сумма углов треугольника не равна 2d.

Таким образом, действенная сила аксиоматического метода заключается в том, что, во-первых, он расширяет число и объем математических дисциплин и, во-вторых, связывает воедино такие теории, которые первоначально казались совершенно обособленными.

б 8. ПРОИСХОЖДЕНИЕ АКСИОМ*

Большинство современных буржуазных философов и математиков отстаивает субъективно идеалистическое понимание происхождения аксиом. Они пытаются доказать, что аксиомы являются продуктом совершенно свободного творчества мышления математиков. Такое понимание происхождения аксиом является следствием субъективно-идеалистического толкования современной математики в целом.

Незначительная часть буржуазных философов и математиков отстаивает эмпирическую точку зрения, т. е. пытается доказать, что аксиомы математики заимствованы из непосредственного опыта.

Отстаивая свою точку зрения, идеалисты рассуждают так: может ли математик создать новую теорию, вопреки мнению эмпириков, не обращаясь к опыту из внешнего мира? Конечно, может! Лобачевский и Больяи создали гиперболическую геометрию, хотя непосредственный опыт противоречил их выводам. Гиперболическая геометрия была создана не путем обращения к действительному миру, а произвольной заменой в системе аксиом Евклида аксиомы параллельности противоположным ей утверждением. Таким же приемом Гильберт создал непаскалеву, недезаргову и неархимедову геометрии. Практика современных математических исследований неоднократно показывала, что произвольное комбинирование аксиом приводит к созданию новых важных математических теорий. В выборе аксиом математики ограничены только требованием непротиворечивости создаваемых ими теорий. Но требование не-

* См. В. Молодший, к вопросу о происхождении и значении аксиом геометрии. Сборник статей по философии математики, под ред. С. Яновской, Учпедгиз, 1936.

противоречивости чисто логическое и к действительному миру отношения не имеет.

Борясь против идеалистического понимания происхождения аксиом, эмпирики обычно указывают, что аксиомы геометрии Евклида были заимствованы из непосредственного опыта.

Кто прав — идеалисты или эмпирики? Идеалисты совершенно неправы, эмпирики правы отчасти.

Почему неправы идеалисты? По очень простой причине. Их трактовка непротиворечивости неправильна, антинаучна. Как мы видели, непротиворечивость означает выполнимость, т. е., в конечном счете, наличие для данной системы аксиом, по крайней мере одной, проверенной в практике интерпретации. Таким образом, хотя каждый математик действительно может комбинировать аксиомы, как ему заблагорассудится, но он придет к положительному результату тогда и только тогда, когда покажет непротиворечивость созданной им системы аксиом, т. е. когда он покажет, что его система отражает соотношение объектов реального мира. Столь же несостоятельны указания идеалистов на открытие гиперболической геометрии. Лобачевский и Больяи открыли гиперболическую геометрию, хотя непосредственный опыт опровергал их открытие. Это верно, но ни в какой мере не говорит в пользу идеализма. Непосредственный опыт исторически ограничен, его границы расширяются с ростом научного знания. Лучше, быть может, сказать, что опыт и научное знание находятся во взаимодействии, обусловливая каждый развитие другого. Во время Лобачевского и Больяи все математики понимали под прямыми точками и плоскостями только те точки, прямые и плоскости, которые были описаны Евклидом в его «Началах». Ясно, что непосредственный опыт не выходил за рамки этих представлений и противоречил геометрии Лобачевского — Больяи. Но когда была развита идея интерпретации, непосредственный опыт сам получил исключительное развитие, и теперь у нас нет никаких данных говорить, что он опровергает гиперболическую геометрию. Напротив, мы можем сказать, что теперь наш опыт подтверждает гиперболическую геометрию, поскольку для нее мы можем указать проверенные в практике интерпретации. То же самое надо сказать о любой непротиворечивой математической теории.

Таким образом, вопреки идеалистам мы с полным основанием можем утверждать, что в создании, выборе и комбинировании аксиом нет и намека на абсолютную свободу. И здесь свобода основана на познании необходимости.

В чем правы эмпирики? В чем они ошибаются?

Эмпирики правы в самом основном, так как они считают, что аксиомы дают более или менее правильное отражение некоторых соотношений объектов. Но их объяснение, согласно которому непосредственный опыт является единственной причиной происхождения аксиом, неправильно, или лучше сказать, односторонне. Действительно, когда математики проходили первые этапы своего развития, ее основные положения заимствовались преимущественно из непосредственного опыта. Неоспоримо, что большинство аксиом геометрии Евклида возникло именно таким путем. Но также неоспоримо, что геометрия Лобачевского—Больяи возникла вопреки показаниям непосредственного опыта.

Следовательно, эмпирики дают в основном правильное объяснение происхождения аксиом, когда речь идет о начальных этапах развития математики, но их объяснение ничего не объясняет, когда обращаются к современной математике.

Чем объясняется неудача эмпириков? Тем, что они решали, вопрос метафизически, искали одну, извечно действующую причину, не видели, что законы развития аксиоматики меняются во времени.

Чтобы дать правильное объяснение происхождения аксиом, надо знать, что такое аксиомы, для чего они нужны и как меняются во времени их применения.

Мы уже видели, что: 1) аксиомы дают описание структуры основных отношений, в которых выступают изучаемые объекты; 2) аксиомы — орудие действия, помощью которого математики находят новые факты (включая доказательство известных), расширяют объем и число математических теорий.

Отсюда непосредственно ясно, что развитие аксиоматики существенно зависит от уровня развития математики в целом, от тенденций и задач ее развития, что так называемый непосредственный опыт, по мере развития математики, оказывает все меньшее и меньшее влияние на выбор аксиом.

Например, когда люди открывали первые геометрические факты, когда доказательство заменялось словом «смотри» — не могло быть и речи об аксиомах. Но

когда число фактов стало значительным и возникла задача привести их в связь, возникла необходимость выделения основных посылок. Из всех известных фактов некоторые были взяты за основные, и с их помощью пытались доказать остальные факты. При выделении аксиом руководствовались их очевидностью, непосредственной ясностью, т. е. их соответствием действительности.

Будучи открыты, аксиомы в дальнейшем в свою очередь становятся орудием открытия (и доказательства) новых фактов. Но рост новых знаний, как правило, показывает неполноту, несовершенство исходной системы аксиом и тем самым ставит (вообще каждый раз по-новому) задачу ее усовершенствования или даже ее коренной перестройки. Например, на базе представлений, заимствованных из геометрии Евклида, в начале XIV столетия возникла проективная геометрия. Ее развитие показало, что система аксиом геометрии Евклида не полна, так как в ней отсутствовали аксиомы порядка. В конце XIX и начале XX столетия была выяснена цель формального обоснования математики. Как мы видели, это обстоятельство заставило коренным образом перестроить аксиоматический метод в целом, благодаря чему он стал еще более мощным орудием развития математики.

Примеров, аналогичных приведенным, можно указать очень много. Все они говорят за то, что процесс развития аксиом— это сложный, диалектический процесс, весьма не похожий на его изображение эмпириками. Этот процесс состоит в том, что междуразвитием аксиоматического метода математики и ее фактическим содержанием осуществляется диалектическое взаимодействие на основе роста фактического содержания, обусловленного раньше всего практическими потребностями применения математических теорий.

МЕТОДИКА

КОММУНИСТИЧЕСКОЕ ВОСПИТАНИЕ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

(Материалы к методике вопроса)

В. ЕРМОЛЬЕВ (г. Ульяновск)

опрос о коммунистическом воспитании в целом в школе и на уроках отдельных предметов является вопросом чрезвычайно актуальным. Актуальность эта в настоящее время особенно возрастает так, как это указано в тезисах доклада т. Молотова на XVIII съезде ВКП(б) (раздел I, § 4), «На основе победоносного выполнения второго пятилетнего плана и достигнутых успехов социализма, СССР вступил в третьем пятилетии в новую полосу развития, в полосу завершения строительства бесклассового социалистического общества и постепенного перехода от социализма к коммунизму, когда решающее значение приобретает дело коммунистического воспитания трудящихся, преодоление пережитков капитализма в сознании людей — строителей коммунизма».

Между тем наша педагогическая и особенно методическая литература по этому вопросу весьма слаба. В частности, можно сказать, нет ответа на этот вопрос и в методической литературе по математике.

Все авторы учебников методики математики для средней школы (Березанская, Бронштейн, Гурвиц и Гангнус, Репьев, Чистяков) этот вопрос старательно обходят, считая, очевидно, что этот вопрос к методике математики не относится.

Правда, мы имеем некоторые статьи в журнале: «Физика, химия, математика, техника в советской школе» (1929 г., № 4, 1931 г. № 1, 1939 г., № 1), а также статьи в сборнике: «На борьбу за материалистическую диалектику в математике» (изд. Комакадемии, 1931) в сборнике: «Сборник статей по философии математики» (Учпедгиз, под ред. Яновской, 1936), в книге Кольмана «Предмет и метод современной математики» (Соцэкгиз, 1935). Но материал этих статей в основном касается вопроса об элементах диалектического материализма в математике, а не методики проведения этих элементов в преподавании математики и, таким образом, фактически не дает материала, удовлетворяющего предмету нашей темы (кроме статьи Вл. Фридмана в № 1 журнала «Физика, химия, математика в школе» за 1931 г.).

Учителя математики, чувствующие большую потребность в указаниях по такому существенному вопросу, вынуждены итти ощупью, даже без обмена мнениями и опытом, так как и наш методический журнал «Математика в школе» старательно уклоняется от вопросов нашей темы.

А что запросы в этом отношении у учительства имеются, свидетельствует хотя бы то, что учителя математики г. Ульяновска еще в 1937 г. сами обратились ко мне с просьбой поставить на городском методическом объединении доклад по этому вопросу.

Доклад был сделан на методобъединении учителей математики города, повторен на январской районной учительской конференции 1937/38 учебного года и в пединституте для студентов-выпускников, везде вызвал интерес и дал толчок к проведению основных мыслей доклада в школьной практике.

В этом году в математических методических комиссиях нескольких средних школ города на основе моего доклада были поставлены доклады о коммунистическом воспитании на уроках математики с обменом опытом проведения моментов этого воспитания на уроках.

Материалы моего доклада и опыта школ г. Ульяновска и легли в основу настоящей статьи.

Эту свою статью я не считаю руководящей по данному вопросу, но предлагаю ее вниманию товарищей по преподаванию математики, как материал для разработки методики этой чрезвычайной важности темы.

В связи с великими задачами, которые ставит перед СССР третий пятилетний план, к нам, учителям, как передовой части советской интеллигенции, относится в первую очередь заключительная часть тезисов т. Молотова:

«Осуществление великих задач третьего пятилетнего плана... зависит, прежде всего, от нас — коммунистов и непартийных большевиков-руководителей, и особенно от нашего умения организовать труд и поднять коммунистическое воспитание трудящихся».

И советские учителя, в том числе и мы, учителя математики, должны выполнить возлагаемую на нас обязанность создать из учащихся средней школы путем систематического коммунистического их воспитания... «советские культурные силы, возглавляющие массы трудящихся в их великой борьбе за полную победу коммунизма» (тезисы т. Молотова).

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КОММУНИСТИЧЕСКОГО ВОСПИТАНИЯ

Коммунистическая партия СССР в своей программе так формулирует задачи в области народного просвещения.

«В области народного просвещения ВКП(б) ставит своей задачей довести до конца начатое в Октябрьской революции 1917 г. дело превращения школы из орудия классового

господства буржуазии в орудие полного уничтожения деления общества на классы, в орудие коммунистического перерождения общества.

В период диктатуры пролетариата, т. е. в период подготовки условий, делающих возможным полное осуществление коммунизма, школа должна быть не только проводником принципов коммунизма вообще, но и проводником идейного, организационного, воспитательного влияния пролетариата на полупролетарские и непролетарские слои трудящихся масс в целях воспитания поколения, способного окончательно установить коммунизм» (Программа ВКП(б) раздел: «В области народного просвещения», § 12).

Эти же цели формулирует В. И. Ленин в речи на III съезде российского комсомола, произнесенной 2 октября 1920 г.

«Наша школа должна давать молодежи основы знания, давать уменье вырабатывать самим коммунистические взгляды, должна делать из них образованных людей. Она должна за то время, пока люди в ней учатся, делать из них участников борьбы за освобождение от эксплуататоров» (Ленин, собр. соч., т. XXX).

«...Молодое, подрастающее поколение, — говорит Ленин в той же речи,— может учиться коммунизму, только связывая каждый шаг своего учения, воспитания и образования с непрерывной борьбой пролетариев и трудящихся против старого эксплуататорского общества» (там же).

Эти положения должны быть краеугольным камнем в нашей советской школе, во всех ее ступенях, от низшей до высшей.

Обучение и воспитание в школе составляют единый педагогический процесс. Преподаватели всех учебных предметов на всех уроках обучают и одновременно воспитывают учащихся,— оторвать одно от другого нельзя.

Но здесь приходится отметить одну, пока еще часто встречающуюся у нас ненормальность: преподаватели готовятся к урокам, продумывают их, но очень и очень мало готовятся к проведению воспитательной работы и почти никогда не продумывают моменты воспитательной работы, подлежащей проведению в процессе самого урока.

А между тем, хорошая постановка воспитательной работы, продуманность и целеустремленность ее дисциплинирует учащихся, способствует выработке навыков социалистического отношения к труду, повышает результативность самой учебной работы.

В основу методики коммунистического воспитания мы и должны положить приведенные указания программы ВКП(б) и указания В. И. Ленина.

Если из этих указаний выделить отдельные элементы и детализировать их, то выявятся две основных группы:

1) элементы воспитания, являющиеся общешкольными, оказывающие воспитательное воздействие на учащихся путем создания у них навыков, вырабатываемых коллективной жизнью школы, коллективным строем ее;

2) элементы воспитания, находящие свое специфическое отражение в каждой отдельной школьной дисциплине, оказывающие воспитательное воздействие на учащихся через подбор надлежащего учебного материала.

В первую группу войдет воспитание у учащихся навыков сознательной коммунистической дисциплины, навыков коллективизма, социалистического отношения к общественной собственности, социалистического уважения к личности человека и его труду, вообще всех тех навыков, которые вырабатываются у учащихся самим строем школы, влиянием всего школьного коллектива и его составной и центральной части — класса под умелым руководством учителя.

Проведение этих элементов воспитания лежит на обязанности школьного коллектива в целом, на обязанности каждого учителя, в том числе и на обязанности учителя математики.

Он, вместе со всем коллективом, должен проводить воспитательное воздействие на учащихся вне своего урока и во время урока.

В этом отношении в школе у всего коллектива должно проявляться полное единство установок, единство воспитательного воздействия, единство мероприятий; учитель математики обязан во время своих уроков строго соблюдать общешкольные установки в отношении воспитательного воздействия и проводить их.

Он должен всегда при этом помнить, какое значение придавал В. И. Ленин личности учителя, его личному примеру в деле обучения, в деле воспитания.

Во вторую группу элементов воспитательного воздействия на учащихся войдет воспитание классового самосознания, классовой солидарности, коммунистической морали учащихся. Сюда войдет интернациональное воспитание, воспитание любви к социалистической родине, готовности к обороне ее и завоеваний пролетарской революции. Сюда же войдут элементы воспитания, способствующие выковыванию у учащихся основ марксистского мировоззрения, основ диалектического способа мышления.

Эти моменты должны проводиться, как нами было указано, через подбор надлежащего учебного материала. Разумеется, через подбор соответствующего учебного материала будут также проводиться и моменты воспитательного воздействия, включенные нами в первую группу, но последние будут доминировать именно в первой группе.

В общем весь урок от самого его начала и до конца должен быть пронизан элементами коммунистического воспитания.

Что же может сделать в отношении воспитательного воздействия на учащихся учитель математики?

Разберем вопрос по частям — по обеим основным, намеченным нами группам в отдельности.

2. ВЫРАБОТКА НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ РАЦИОНАЛЬНЫХ НАВЫКОВ РАБОТЫ

Первая группа элементов коммунистического воспитания — создание навыков, вырабатываемых коллективной жизнью школы, коллективным строем школы.

В этом отношении учитель математики на своих уроках и во внеклассной работе должен проводить общую воспитательную линию школы, а к этому уроки математики дают благоприятную почву.

Материал математики особенно способствует выработке навыков аккуратности, чет.

кости в работе, сознательной самодисциплины: четкость математических формулировок, четкость и своеобразие математических записей, особенности построения математических доказательств — все это дает богатый воспитывающий материал.

А между тем, этому свойству математического материала у нас часто не придают надлежащего значения, не учитывая неблагоприятных проистекающих в результате этого невнимания последствий.

Выработка языка. Как, например, недостаточно еще мы обращаем внимания на язык свой и язык учащихся со стороны его правильности и математической точности.

В школьном обиходе слова — «увеличить ~ уменьшить» ассоциируются со словами — «умножить — разделить», и это ассоциирование сохраняется у учащихся в арифметике после прохождения умножения и деления на дробь и в алгебре после прохождения действий над относительными числами, хотя там устанавливается новый смысл умножения, отличный от смысла его в умножении целых положительных чисел.

Бессодержательное выражение «увеличить» в раза» со спокойной совестью употребляют не только ученики V класса, но и ученики, заканчивающие среднюю школу.

Ученики говорят: «сократить на нуль» вместо «сократить на 10», «умножить на числителя и знаменателя», приравнивая числитель и знаменатель к одушевленным именам существительным.

Эти извращения речи имеют в известной степени формальное значение. Но имеется целый ряд «неточностей» математической речи, приводящих к печальным последствиям.

Распространено, например, при алгебраическом умножении правило знаков формулировать, примерно, таким выражением: «плюс на плюс или минус на минус дает плюс, а плюс на минус дает минус».

Эта формулировка сама по себе не имеет смысла, и со стороны математической нет никаких оснований к ее введению, особенно учитывая, что кажущаяся краткость речи в этой формулировке в дальнейшем приводит учащихся к ошибкам: пока проходится умножение и деление относительных чисел, применение этого «правила» недоразумений не вызывает, но в последующее время, когда связь мысли с содержанием умножения и деления в значительной степени ослабляется, учащиеся вскоре забывают связь этого выражения с умножением или делением относительных чисел и применяют его и в приведении подобных членов, давая отрицательное значение результату соединения положительного одночлена с отрицательным независимо от сравнительной величины коэфициентов. В результате, например, выражения:

— 5а8 + 2а* и — 2аг + 5ав

оказываются у учащихся оба равными —За2. А этого не произошло бы, если бы учитель дал учащимся, скажем, формулировку стабильного учебника Киселева (Киселев — «Алгебра», 1938), где сказано:

«1. Если оба сомножителя имеют одинаковые знаки, то произведение положительно».

«2. Если сомножители имеют противоположные знаки (разные.— В. Е.), то произведение отрицательно».

Или короче (см. там же):

«При умножении двух чисел одинаковые знаки дают (в произведении.—£. £•) плюс, а разные дают минус».

Последняя формулировка по числу слов близко подходит к разбираемой нами, но в ней ясно сказано: «При умножении двух чисел» и т. д., и ученик, усвоивший эту формулировку, уже не будет иметь повода к применению ее в приведении подобных одночленов.

Аналогичную опасность представляет «ходовая» геометрическая формулировка: «Против равных сторон лежат равные углы, а против большей стороны лежит и больший угол».

Здесь пропуск слов: «в одном треугольнике или в равных треугольниках» является источником неправильного применения теоремы, источником ошибок, неверных выводов.

Такого же характера «недоразумения» имеют место и в разделе «логарифмы» и в тригонометрии.

Надо давать учащимся четкие, точные формулировки, требовать и от них таковых же и не допускать искажения мысли в угоду краткости речи.

Разумеется, в формулировках не должно быть и многословия: четкость, сжатость формулировок являются большим достоинством их, но сжатость не должна достигаться за счет точности речи.

Работа над языком учащихся, в частности над математическим языком их, имеет большое воспитательное значение. Навык точной, четкой, немногословной речи учащиеся перенесут затем в жизнь.

Оформление записей. Важное воспитательное значение имеет и оформление записей на классной доске и в тетрадях учащихся.

Хорошо продуманное оформление математических записей, аккуратность и точность в выполнении чертежа оказывают большое дисциплинирующее воздействие, заставляют вдумчиво относиться не только к каждому слову, но и к каждому знаку, создают навыки к выдержанному труду.

Каждый учитель знает, как много времени уходит бесплодно у учащихся, сколько причиняется ударов самолюбию их, как расшатывается уверенность учащихся в свои силы, когда у учащихся задача «не выходит», и как часто причиной этого «не выходит» являются ошибки вследствие рассеянности, недисциплинированности внимания или вследствие неаккуратности, небрежности записи, невыразительности чертежа или нечеткости оформления записи.

Поэтому записям на доске и в тетрадях учитель должен уделять большое внимание.

Учитель математики больше, чем учитель другого предмета, должен сам выработать у себя навык к аккуратности, порядливости письма, осмысленности оформления записей, выразительности чертежа: ведь запись математическая своеобразна, т. к. в ней надо соблюсти и требования языка и математическую специфику (расположение письменных

вычислений в арифметике, письменных преобразований в алгебре и тригонометрии, записи доказательства теорем, решения задач на построение).

Нельзя же в самом деле допускать в записи сложения и вычитания дробей запись, например, такого вида:

Ответ верен, но запись никуда не годится: правильно ее следовало бы оформить так:

При решении уравнений часто приходится встречать своего рода «непрерывные» записи при освобождении уравнений от дробных членов и при перенесении членов из одной части уравнения в другую. Например, запись решения уравнения

иной раз принимает такую форму:

Здесь все спутано «рассудку вопреки»: уравнение —- это выраженная математическим языком фраза, предложение; два уравнения — два отдельных предложения, а грамматика требует отделения одного предложения от другого знаком препинания, как грамматический минимум — отделения запятой. Стало быть, запись должна быть

А небрежная запись при составлении и решении уравнений порождает много ошибок.

Очень дорого обходится не выдержанная запись при логарифмических вычислениях, при тригонометрических преобразованиях.

А небрежность, невыдержанность записи переходит в небрежность, невыдержанность в работе и очень дорого обходится нам в жизни.

Особенно важно держаться выдержанной записи при составлении уравнений, при доказательстве теорем.

Приведем примерную запись того и другого.

Рассмотрим задачу № 390 главы VI алгебраического задачника Шапошникова и Вальцева.

«Метр материи подешевел на 60 коп., вследствие чего 19 м материи по новой цене стоят на 4 руб. дешевле, чем 18 м этой же материи по старой цене. Определить цену материи до снижения».

На первых порах мы рекомендуем располагать записи таким образом:

I. Обозначение неизвестных

у руб.—цена материи до снижения, у — 0,6 руб. — цена материи после снижения.

II. Составление уравнения

19 (у — 0,6) руб. — стоимость 19 м материи по новой цене,

18 у руб. — стоимость 18 м материи по старой цене.

На 4 рубля дешевле стоит 19 м по новой цене, чем 18 м по старой цене.

19 (у-0,6) + 4 = 18 у.

III. Решение уравнения

IV. ОТВЕТ ЗАДАЧИ И ПРОВЕРКА ЕГО

Цена материи до снижения 7,4 руб. или 7 р. 40 к.

19 м стоит по новой цене на 4 рубля дешевле, чем 18 м по старой цене.

В дальнейшем обозначение неизвестных и составление уравнения можно объединить в один раздел: «Составление уравнения».

Для образна записи доказательства теоремы берем теорему о сумме внутренних углов треугольника (Киселев — «Геометрия», ч. 1, стр. 44).

Дан Д MNK Требуется доказать: /МВД + 1ЫШ + ^KMN = 2d = 180°.

Доказательство Продолжаем MN за вершину М.

(В качестве образцов формулировки записей здесь взяты преимущественно материалы V—VII классов средней школы, так как в этих классах, даже еще раньше, должны закладываться навыки словесного и письменного оформления математических положений.)

Учитель математики должен сам при подготовке к уроку, будь то арифметическая задача, геометрическая задача на построение или вычисление, геометрическая теорема, — все равно, — он должен тщательно продумать также и то, какая должна вестись за-

пись, как она должна быть расположена на классной доске и затем в ученических тетрадях, он должен учесть и размеры классной доски; чтобы создать при стирании с доски осмысленный перенос, если вся запись не поместится на классной доске малого размера.

Учитель должен во время урока внимательно следить за тем, чтобы ученики вели запись на доске и в тетрадях применительно к тому, как он рекомендовал им это делать, обращать на это внимание и при внеклассном проверке домашних и классных работ учащихся.

Конечно, при записи на доске сам учитель должен строго держаться установленной им формы записи и требовать от учащихся обязательного продуманного оформления всех самостоятельных работ как домашних, так и классных.

Самостоятельная работа учащихся. Остается сказать несколько слов о самостоятельных работах учащихся по математике в классе и дома.

Надо сознаться, что еще до сих пор у нас преподаватели математики не придают надлежащего значения столь важному вопросу.

Советская общественность активно включилась в изучение великого документа — истории ВКП(б) путем самостоятельной работы над «Кратким курсом истории ВКП(б)».

Партия и правительство ставят вопрос о том, что советские граждане не должны ограничиваться рамками школьного обучения, что они должны продолжать свое образование и по окончании школы в порядке самообразования, в порядке самостоятельной работы над книгой.

И школа в целом, в частности учитель математики, должны уделить самое серьезное внимание развитию у учащихся уменья работать с книгой.

Преподаватель математики имеет полную возможность развивать у учащихся навыки в организации и проведении самостоятельной работы, приучить учащихся к работе над учебником и книгой, к выдержке в такой работе. Материал математики, с его специфическими особенностями очень способствует развитию таких навыков; учитель математики должен систематически развивать у учащихся все эти навыки, тем более, что это попутно облегчит учащимся и выполнение домашних работ по математике.

Разумеется, самостоятельная работа над математической книгой далеко не легка даже для взрослого человека, а тем более это важно помнить, имея дело с учащимися средней школы, особенно с учащимися младших классов.

Как правильно отмечает т. Репьев в своей статье: «Как учить читать математическую книгу» (журнал «Математика и физика в средней школе», 1935 г., № 6, стр. 5), при чтении математической книги встречается целый «ряд трудностей специфических для математики».

«Математика... требует точности языка; краткость языка, сжатость изложения являются специфическими чертами математической книги... Математика... использует... дедуктивный метод... Часто... в книгах бедно представлен эмоциональный элемент... При чтении... приходится наряду с текстом тщательно следить еще за чертежом».

Работа над книгой. Надо систематически учить учащихся уменью самостоятельно разбираться в математических книгах (учебниках, задачниках, популярных математических книгах) и это ученье проводить с начальных лет пребывания в школе до окончания ее.

Начало обучению работе над книгой должно быть положено еще в начальной школе, начиная с того времени, когда дается в руки учащихся сперва задачник, а затем, значительно позже, и учебник арифметики.

Уже здесь учитель на уроках арифметики должен не просто задавать читать по книжке условие задачи, а в свое время и текст учебника, а научить «читать», т. е. разбираться в прочитанном тексте, осваивать содержание этого текста.

Но обязанность обучать работе над книгой в начальной школе не освобождает от этой же обязанности и учителей средней школы. Наоборот, специфика каждого учебного предмета требует обязательного руководства этим делом со стороны преподавателей соответствующих дисциплин.

Это особенно относится к математике, так как ее материал по своему характеру резко отличается от материала других предметов, а наши стабильные учебники по математике недостаточно учитывают степень подготовленности учащихся к освоению математического материала по тексту учебника.

Умение ученика работать самостоятельно по математике слагается в основном из двух элементов: уменья самостоятельно, без помощи учителя, «читать» учебник, уменья, переходящего в старших классах в уменье самостоятельно или с небольшой помощью учителя читать популярно изложенную книгу с математическим содержанием, и уменья самостоятельно же осваивать и решать математические задачи.

Сопутствующим является уменье самостоятельно оформить математический материал в записи, сделать надлежащий чертеж, а где надо, и модель.

Добиться этого уменья надо путем кропотливой выдержанной работы с учащимися.

Учитель должен прежде всего показать, как читать математический текст.

Для этого на первых уроках по арифметике в V классе, по алгебре и особенно по геометрии в VI классе после обычного разбора материала учителем с классом, т. е. после обычного «объяснения» урока, необходимо разобрать с учениками тот же материал по учебнику.

Учитель прежде всего сам должен прочесть вслух задаваемый на дом отрывок по учебнику, соблюдая правила выразительного чтения и попутно поясняя непонятные для ученика слова.

Ученики при этом следят по тексту книги.

После этого тот же отрывок прочитывает вслух, обязательно с выражением, один из учеников, а другой передает (рассказывает вслух) содержание прочитанного. Затем учитель указывает ученикам, что они должны так же, с выражением, внимательно, прочесть раза два этот же отрывок вслух дома и

рассказать его содержание самому себе, кому-либо из домашних или, при совместном приготовлении уроков, кому-либо из товарищей.

На уроках геометрии чтение материала по книге сопровождается разбором соответствующего чертежа.

Следующей ступенью создания этого навыка будет двукратное прочитывание учениками в классе про себя задаваемого текста (без предварительного чтения его учителем) с выяснением после первого чтения непонятных ученикам мест и с рассказыванием вслух прочитанного после второго чтения.

В дальнейшем чтение задаваемого урока по книге в классе не производится, но учитель, задавая урок, дает исчерпывающие пояснения по содержанию текста учебника и напоминает о порядке работы над домашним заданием.

Аналогичная работа ведется по созданию уменья самостоятельно осваивать условие задачи, так как решающим моментом при решении задачи (при наличии навыков по технике вычислений, при уменьи подобрать действие к вопросу простой задачи, т. е. при наличии сознательно освоенных случаев применения действий и техники выполнения их) является понимание условия задачи, уменье схватить зависимость между величинами, входящими в задачу; для этого надо уметь «читать» условие задачи.

Схема работы в этом направлении примерно такова же, как и при обучении уменью «считать» учебник.

Добавится еще выработка уменья сделать сокращенную запись условия задачи, а в геометрических задачах — и соответствующий чертеж.

Необходимо ввести в круг классных работ учащихся выполнение ими в классе же небольших самостоятельных работ — это даст те навыки и уменья, которые нужны им при выполнении домашних заданий и пригодятся впоследствии в самостоятельной работе по самообразованию или при обучении в высшем учебном заведении.

К самостоятельному чтению популярно-научной книги с математическим содержанием хорошо приучать учащихся, давая им литературу для постановки (индивидуальной или групповой) докладов в математическом кружке.

Этот вид работы имеет тоже большое воспитательное значение и должен быть тщательно продуман учителем.

Другие воспитательные моменты. Равным образом должны быть глубоко продуманными и другие требования учителя математики к учащимся на его уроках или в связи с уроками.

Так требование от учащихся самостоятельности в выполнении домашних и классных работ, самоответственности за них, требование правдивости, борьба со списыванием и подсказыванием под лозунгом уважения к личности товарища, поддержание инициативности и активности в работе, организация разумной помощи отстающим — все эти воспитательные моменты, целиком осуществимые на уроках математики и, разумеется, входящие в единую, общую для преподавателей всех предметов систему воспитания в школе.

Работа учащихся во внешкольном математическом кружке, постановка в нам докладов, коллективное изготовление наглядных пособий по математике для школы, диаграмм по работе класса, школы, по социалистическим достижениям СССР — это ведь тоже материал для воспитательной работы и по линии развития навыка и тяги к общественной работе и по линии художественного и творческого воспитания, и по линии коллективного труда по оборудованию школы общественным имуществом, общественной собственностью, и по линии развития сознательной дисциплины, по линии создания любви к самому труду.

В этом отношении совершенно правильно указывает т. Протопопова в своей статье «О воспитании в детях уважения к труду» («Учительская газета» от 3 апреля 1939 г.), что школа «обязана воспитывать в детях не платоническое уважение к труду, а умение трудиться, любовь к самому труду, с которым в нашей стране связаны и радость личной жизни и могущество родины».

Требование своевременной явки на урок математики (как и на все уроки), поддержания чистоты в классе, чистоты рук, одежды, тетрадей и книг, правильности посадки при письме — это тоже не должно ускользать от внимания преподавателя математики, это тоже моменты для воспитательного воздействия на учащихся.

Если даже старая школа думала о здоровье учащихся, то наша школа на это должна обращать сугубое внимание, а у нас средняя школа, в частности преподаватели математики, не следят за правильностью посадки, слабо наблюдают за гигиеной в классе, не создают в этом отношении навыков у учащихся.

Соцсоревнование. К этой же группе элементов коммунистического воспитания относится и вопрос о стимулировании социалистического соревнования среди учащихся.

У нас вопрос о социалистическом соревновании частенько отдают в безраздельное ведение классных руководителей. Но социалистическое соревнование в школе развернулось бы еще шире и дало бы еще лучшие результаты, если бы им занимались не только классные руководители, а весь педагогический коллектив данного класса.

Учитель математики может и должен тоже включиться и в стимулирование соревнования учащихся и в проверку выполнения взятых ими обязательств.

Учитель математики может направить мысль учащихся на включение в социалистические обязательства отдельных учащихся или целого класса пунктов, относящихся к работе класса по математике.

Неаккуратный до того времени или неуспевающий ученик может взять обязательство по надлежащему ведению тетради, по восполнению пробелов по математике, а его товарищи могут взять на себя в порядке соцсоревнования обязательство оказывать ему систематическую под руководством учителя товарищескую помощь.

Успевающие ученики могут дать обязательство укрепить свои знания по математике, добиться повышения успеваемости путем систематического повторения прошлого, дополнительного решения задач.

Отдельные ученики или целые группы могут взять обязательство по проведению докладов в математическом кружке, по изготовлению своими силами наглядных пособий по математике для школы, по организации и проведению вечеров математических развлечений, по участию в школьном математическом журнале и т. д.

Но включением этих пунктов нельзя ограничиваться.

Учитель математики в процессе выполнения учащимися их социалистических обязательств должен интересоваться ходом соревнования, подбадривать сдающих темпы соревнования и организовать им коллективную помощь; периодически, 2—3 раза в четверть, совместно с классным руководителем и всем классом проверять ход выполнения обязательств по математике.

Опыт показывает, что такое участие преподавателя математики в школьном соревновании дает хорошие результаты, поднимает успеваемость учащихся, способствует выработке навыков самостоятельной усидчивой работы, сближает учителя с учащимися, поднимает его авторитет.

Разумеется, как мы указывали, эта группа элементов коммунистического воспитания является общешкольной, и потому ее направленность на уроках математики должна быть согласована с направленностью ее в школьном масштабе. Здесь должно быть полное единство действий у всех преподавателей школы.

Это «единство действий» должно сказываться между прочим и в том, что преподаватель физики должен придерживаться оформления математических вычислений, устанавливаемых на уроках математики, а преподаватель математики должен проводить при решении задач, по содержанию относящихся к физике, установки, принятые на уроках физики (например в вопросах сложных названий единиц измерений, как километрчас и т. д.). Оба они должны обязательно быть требовательными и к четкости письма слов и орфографической правильности письма, установленной на уроках родного языка.

Чтобы покончить с этой первой группой, надо подчеркнуть, что громадное воспитательное влияние имеет пример самого учителя, его выдержанность по всем вопросам воспитательного порядка. Это, конечно, относится и к учителю математики.

В этом отношении у нас совсем еще недостаточно внимания обращается, например, на четкость планирования урока, на своевременное выдержанное начало урока, на четкое в согласии с темой ведение урока, на своевременное заключение урока. Подготовка к уроку тоже не всегда еще стоит на должной высоте. Еще меньше обращается внимания на поведение учителя в классе и вне класса.

А между тем все эти «мелочи» имеют очень большое организующее, воспитывающее влияние на учащихся.

8. ЗАДАЧИ, КАК МАТЕРИАЛ ДЛЯ КОММУНИСТИЧЕСКОГО ВОСПИТАНИЯ УЧАЩИХСЯ

Переходим ко второй группе элементов коммунистического воспитания — вопросам воспитательного воздействия на учащихся через подбор надлежащего учебного материала. Этот учебный материал должен быть подобран, как мы уже сказали, с таким расчетом, чтобы дать через него учащимся моменты развития классового самосознания, классовой солидарности, коммунистической морали, воспитания интернациональности, готовности к обороне СССР и завоеваний революции, способствовать выковыванию у учащихся основ марксистского мировоззрения, основ диалектического мышления.

Богатейший всесторонний материал дают к этому прежде всего математические задачи.

Задачи математики, отвечая математической своей стороной на тот или иной основной вопрос программы математики, в то же время содержанием своего условия или, как говорят, фабулой условия, дают возможность коснуться той или иной стороны окружающей учащихся жизни, вводя этим путем элементы коммунистического воспитания.

Ведь нет той области знания, в какую не могла бы проникнуть математика своими щупальцами «количественных отношений» и отразить это в своих задачах. Это можно сказать про задачи по арифметике в IV—V классе, особенно про задачи на проценты и пропорциональные величины, на алгебраическое выражение зависимости между данными и искомыми числами, задачи в VI классе, построенные по типу задач § 2 первой главы 1-й части задачника Шапошникова и Вальцева, на составление уравнений в VII и последующих классах, на приложение геометрии и тригонометрии в VI—X классах к геодезическим и топографическим съемкам, к техническим и другим практическим вопросам. В задачи удобно вводятся и данные о нашем социалистическом строительстве, о работе стахановцев и ударников, о положении рабочего класса у нас и в капиталистических странах, вопросы оборонного характера, а сопутствующая решению краткая беседа по содержанию условия задачи или ответа ее дает возможность в целях воспитательного воздействия на учащихся придать количественной стороне задачи, так сказать, качественный эффект.

Прекрасный пример такой задачи мы имеем в кинопьесе «Юность Максима».

Учительница воскресной школы для рабочих дает своим ученикам — рабочим, примерно, такую задачу (надо иметь в виду, что действие кинопьесы относится к дореволюционному времени): «Рабочий в месяц заработал такую-то сумму. При расплате с него удержали штрафов столько-то, за пропуски по болезни столько-то и т. д. Сколько ему пришлось получить на руки»?

Это характерная задача по содержанию в ней элементов коммунистического воспитания, и учащиеся этой воскресной школы, рабочие^ прекрасно поняли политический смысл задачи, что выражено в кинокартине тем, что один из рабочих вместо арифметического подсчета дал своеобразный, очень выразительный ответ — показал кукиш.

Задачи с элементами коммунистического воспитания надо и нам пошире практиковать.

Где брать материал для таких задач?

Наши газеты постоянно печатают числовой материал, который можно использовать в задачах. Особенно много материала в центральных газетах за последние годы в связи с 22-летней годовщиной Октябрьской рево-

люций, выборами в Верховные Советы, в связи с XVIII съездом ВКП(б).

Разносторонний материал дают доклады на этом съезде тт. Сталина, Молотова, речи тт. Ворошилова, Микояна и других членов съезда.

Числовые материалы постоянно даются в журнале «Спутник агитатора». Много подходящего для задач имеется в сборнике: «20 лет советской власти», в материалах о сельхозвыставке.

Местный материал можно подбирать по материалам местных газет.

Приведем несколько задач с элементами коммунистического воспитания, дававшихся во время практических уроков студентами нашего института.

Вот две задачи, примененные в марте-апреле 1937 г.

«19 марта по радио передано, что, в связи со стахановским движением на железнодорожном транспорте, т. Шурипа, машинист поезда, применив стахановские методы работы, достиг средней технической скорости 94,3 км в час вместо обычной скорости в 37,72 км в час. На сколько часов скорее поезд этого машиниста пройдет расстояние между конечными станциями его участка, если это расстояние равно 235,75 км»?

Другую задачу привожу дословно из конспекта практического урока:

Учитель обращается к ученикам:

«Вы, наверное, все знаете Алексея Стаханова, организатора стахановского движения, стахановских способов работы... Вероятно, слыхали, как он перевыполнял норму выработки каменного угля. Стаханов сейчас учится в вузе, чтобы быть инженером.

А вот его товарищ по работе, стахановец Мирон Дюканов, 1-го марта, встав на вахту памяти т. Орджоникидзе, вырубил за смену 286,75 т угля, а норма для забойщика 15,5 т. Сколько же норм выработал Мирон Дюканов»? (выясняется вкратце, что значит: «встал на вахту памяти т. Орджоникидзе»). Вычисляется, что Дюканов выработал 18,5 норм выясняется, что выполнить 18,5 норм все равно, что одному сделать то, что полагалось на 18 человек. После этого учителем дается заключительный вывод:

«Вот видите, как один человек при желании работать, при использовании техники и при уменье организовать свою работу выполнил один то, что намечено было для 18 человек».

А вот несколько задач из проведенных на практических уроках в 1937/38 учебном году.

Знаменитый дрейф станции «Северный полюс» дал нам материал для двух задач. Одна из них — арифметическая — возникла в связи с получением по радио сообщения о полете летчика т. Власова, другая — по алгебре, на составление уравнений в период подхода ледокола «Ермак» с папанинцами к Ленинграду и являлась переработкой очередной задачи № 441 из задачника Шапошникова и Вальцева (ч. 1, гл. VI).

Первая задача вылилась в такую форму:

«Вы, дети, конечно, знаете, что наши ледоколы подошли к папанинцам и сняли их со льдины. Какие это ледоколы? (Ответ был получен с большим оживлением). На ледоколе «Таймыр» находился со своим аэропланом летчик Власов. Когда «Таймыр» находился на расстоянии 24 миль от «Полярной станции», Власов летал к папанинцам.

Такой самолет, как у Власова, делает в полярных условиях, примерно, 80,8 км в час. Сколько приблизительно времени понадобилось Власову, чтобы долететь до лагеря папанинцев»?

В процессе решения выявлено, что надо еще знать величину мили, что она равна приблизительно 1,6 км. Округленный результат дал полчаса.

Попутно была проведена беседа, что советская страна заботится о своих гражданах, не покидает их в опасности, не поступает так, как это делают капиталистические страны.

Задача № 441 в процессе переработки приняла такой вид:

«Ребята! На днях в Ленинград придет ледокол «Ермак» с героями-папанинцами.

Они 9 месяцев провели на льдине, вели на ней научные наблюдения.

Для научно-практических, целей бывает нужно иногда определить объем самой льдины, всей или подводной ее части, а промерить, конечно приблизительно, можно бывает только размеры надводной части льдины.

Вот и поучимся, как можно с помощью математики и физики вычислить объем льдины по размерам ее надводной части.

Помните, каких размеров оказалась льдина папанинцев после январской бури? (выясняется, что размер ее был 30 на 50 м).

Так вот решим при помощи уравнения такую задачу: «Льдина имела 50 м длины, 30 м ширины (будем ее считать для простоты расчетов прямоугольной). Надводную толщину ее примем в среднем в 2 м. Вычислить объем всей этой ледяной глыбы, если удельный вес морской воды равен 1,03, а удельный вес льда 0,9».

В VIII классе «папанинский» материал был использован, как вводный, для ознакомления учащихся с системой координат путем постановки вопроса, как папанинцы указывали свое местоположение в океане, и на основе этого был сделан переход к возможности определения положения точки на плоскости координатами.

Перестройке подверглись задачи на проценты № 142 (о народном доходе СССР) и № 143 (о фондах социального страхования) из задачника Березанской (изд. 1937 г.), причем материал для «обновления» взят был в брошюре «20 лет советской власти».

Эти задачи приняли такой вид:

Задача № 142. «Народный доход СССР за 1936 г. достиг 86 миллиардов руб. Определить, сколько процентов составил народный доход в этом году по сравнению с 1928 г., если народный доход в 1928 г. составлял 27,2 миллиарда рублей».

Задача № 143. «Фонд социального страхования в 1936 г. вырос до 263% по сравнению с 1929 г. Сколько миллиардов рублей составил фонд социального страхования в 1936 г., если в 1929 г. он составлял 10,1 миллиарда рублей».

При решении этих задач было выяснено с учащимися, что такое народный доход, какое значение имеет рост его в СССР для благосостояния трудящихся, что такое фонд социального страхования и зачем он установлен в СССР.

Разбор этих задач в связи с задачами о росте продукции промышленности и сельского хозяйства, составленными по материалам сборника «20 лет советской власти», привел учащихся к выводу о росте благосостояния трудящихся СССР.

На основе материалов того же сборника и газетных материалов был построен целый ряд задач на проценты. При этом мы старались, где это было возможно, увязать материал, так сказать, «мирового масштаба» с материалом местным.

Так, помещенный в «Правде» числовой материал на 8 марта 1938 г. был использован для двух задач.

Первая задача: «По сообщению газеты «Правда» в 1937 г. во всех предприятиях и учреждениях СССР было занято 9,4 млн. женщин,— это составляет приблизительно 35% всех рабочих и служащих СССР.

Лишь в одной крупной промышленности работало 12% женщин по отношению к общему числу всех рабочих и служащих СССР, в органах просвещения — 38% числа женщин, работающих в крупной промышленности, в органах здравоохранения—58% числа женщин, работающих в органах просвещения.

Определить число женщин, занятых в других производствах и учреждениях».

Вторая задача была облечена в такую форму:

«Газета «Правда» сообщает, что число девочек, обучающихся в начальных и средних школах СССР, за последнее десятилетие увеличилось почти на 200% и достигло в 1933/37 учебном году 13 млн.

Сколько девочек училось в начальных и средних школах СССР десять лет назад»?

Ко дню Красной Армии, на основе фактических данных, была взята такая задача: «В нашей школе 437 учащихся. Из них ко дню Красной Армии имеют значки БГТО, БГСО и ЮВС 16,48о/0 общего числа учеников. Число учеников в вашем классе составляет 8,8% общего числа учеников, а значкистов у вас 12.

Какой процент значкистов в вашем классе? Сопоставить процент по классу с процентом по всей школе?»

При разборе ответа задачи было установлено, что процент значкистов по классу почти вдвое выше процента значкистов по всей школе.

В беседе было выяснено значение оборонной работы в школе и указано, что класс должен стараться до конца учебного года еще повысить число значкистов и повести за собой в оборонной работе и другие классы.

В другом классе была проведена такого же характера задача о числе пионеров в школе и в классе.

Ряд задач был посвящен вопросам культурного строительства.

И здесь, с одной стороны, были взяты материалы указанного нами сборника, с другой — газетный и местный материал (отчет гороно).

В эту группу вошли задачи такого характера:

«Ассигнования на народное образование в СССР в 1936 г. составляли 13,9 млрд. руб., а в 1937 г.— 18,5 млрд. руб.

На сколько процентов против 1936 г. возросли ассигнования в 1937 г.»?

«В 1936/37 учебном году число учащихся в СССР было равно 38,36 млн. человек. Число учащихся в дореволюционной России составляло 21,2% числа учащихся в 1936/37 году.

На сколько процентов возросло число учащихся в 1936/37 году по сравнению с дореволюционным временем»?

«В г. Ульяновске в 1937 г. число учащихся было равно 22 000 чел., а число учащихся в дореволюционное время составляло 33,63% числа учащихся в 1937 г.

На сколько возросло число учащихся в Ульяновске со времени революции»?

«С ростом культурности нашей страны выросло количество звуковых кино.

В 1933 г. звуковых кино было всего 212, что составляет 3,2% звуковых кино, бывших у нас в 1937 г.

На сколько увеличилось количество звуковых кино за 4 года»?

Из задач был сделан вывод о росте культурности СССР, о заботе партии и правительства о поднятии культурного уровня трудящихся.

Наш город приволжский. Поэтому жизненными оказались задачи, основанные на обращении к водникам по поводу успехов днепропетровского инженера Блидмана в погрузочно разгрузочных работах на водном транспорте.

Материалы обращения были использованы для составления задач на проценты и на дроби.

Вот две из них:

«Днепропетровский инженер — комсомолец т. Блидман 9 мая 1938 г. довел своим методом погрузку баржи углем до 435 m в час, перевыполнив норму погрузки до 1 359%. 25 мая он довел погрузку, несмотря на восьмибалльный шторм, до 630 m в час. Насколько процентов была перевыполнена норма 25 мая»?

«Руководство Днепропетровского порта установило для угольной баржи норму времени погрузки в 15 час. Но благодаря применению при погрузке усовершенствованного метода инженера-комсомольца т. Блидмана погрузка баржи углем была проведена в 4 ч. 55 м. Какую часть времени сэкономили благодаря применению способа инженера т. Блидмана»?

При разборе задач, основанных на газетных материалах, оттенялось, что при помощи таких задач мы учимся хорошо разбираться в тех числах, с которыми встречаемся в газетах.

Но и «обыкновенная» задача путем небольшой перестройки может дать элементы коммунистического воспитания.

Взять для примера задачу на пропорциональные величины: количество занятых на работе рабочих и продолжительность рабочего дня для ее выполнения; например, задачу с таким условием: «Предприниматель рассчитал, что партия поденных рабочих в 24 человека может выполнить нужную ему работу в намеченный срок при восьмичасовом рабочем дне, но нанял в целях экономии всего 16 рабочих, обязав их окончить ту же работу в тот же срок. По скольку часов в день должны работать эти рабочие при той же производительности труда»?

Формально задача решается просто: Х:8 = 24:16; Х = 12;

т. е. нанятые рабочие должны были бы работать по 12 час. в день, чтобы, как говорится обычно, «при остальных равных условиях» закончить работу в срок.

Но вполне естественно советскому учителю провести в связи с этой задачей беседу с учащимися, во-первых, действительно ли «остальные» условия будут «равные», если рабочие будут вместо восьми часов в день работать по 12 час. в день: как это отзовется на их здоровье или на производительности труда, может ли то, о чем говорится в задаче, быть в Советском Союзе, откуда видно, что речь в задаче идет не о Советском Союзе («предприниматель»), какую линию ведет в отношении продолжительности рабочего дня и условий работы рабочих советская власть.

Задачи с элементами коммунистического воспитания стали входить в обиход наших средних школ.

Вот некоторые из задач по арифметике, предлагавшиеся учительницей 3-й средней школы т. Голубевой.

При прохождении отношений были решены такие задачи: 1) «Самолет Громова пролетел по прямой при перелете Москва — Северный полюс —Америка 10 200 км и побил этим перелетом рекорд, установленный французским летчиком Росси, пролетевшим в 1933 г. по прямой 9 104,7 км. Сравнить эти числа и вычислить, на сколько Громов пролетел дальше, чем Росси»?

При решении этой задачи не понадобилось даже проводить беседу, чтобы разъяснить задачу. Задача взволновала ребят, вызвала горячие высказывания.

2) «В мае 1935 г. на выпуске академиков Красной Армии в Кремле товарищ Сталин сказал, что кадры, овладевшие техникой, решают все. Рабочие ответили на речь вождя ударной работой, и 30 августа на Донбассе рядовой забойщик Алексей Стаханов в одну смену вырубил ударами своего отбойного молотка с применением своих новых способов работы количество угля, превышающее в 14— раза установленную норму. Какое количество угля вырубил за смену Алексей Стаханов? Норма выработки по углю была тогда 7 m в смену».

«3 сентября того же года парторганизатор т. Дюканов вырубил отбойным молотком в одну смену, применив новые способы работы, количество угля, превышающее норму в 16-5. раза. Сколько угля вырубил т. Дюканов?

Норма выработки такая же, как и у т. Стаханова».

«19 сентября 1935 г. на Горьковском автозаводе кузнец т. Бусыгин на своем молоте отковал 1 050 коленчатых валов, превысив норму в 1- раза. Какова была норма»?

«Железнодорожный машинист т. Кривонос подхватил почин т. Стаханова и довел скорость паровоза до 53 км в час, превысив норму в 1 раза. Какова была норма скорости для паровоза»?

Этот комплект задач тоже вызвал у ребят большое воодушевление.

При решении задач на проценты были взяты задачи, связанные с работой сессии Верховного Совета. При этом был использован газетный материал.

1) «Стахановцы и ударники промышленности и сельского хозяйства ознаменовали дни работы сессии Верховного Совета новыми успехами. Все крупные производства дали перевыполнение планов. Так, в «Пролетарском пути» (это название местной газеты.— В. Е.) напечатано, что стахановцы и ударники нефтеперегонной установки довели съем бензина и масел до такого количества килограммов с квадратного метра площади нагрева печи, что обычная норма в 582 кг составила только 82% этой выработки. Узнать, до какого количества килограммов они довели съем бензина и масел с квадратного метра печи»?

2) «Во время выборов в Верховный Совет выявился актив молодежи, который подал заявление о приеме их в комсомол. Число подавших заявления очень большое в сравнении с предыдущими месяцами. Так, в Куйбышевской области (в нее входит г. Ульяновск.— В. Е.) принято в комсомол учащихся неполных и полных средних школ 1 621 человек, а это составляет только 65,68% числа молодых рабочих и колхозников, принятых з комсомол. Сколько молодых колхозников и рабочих вступило в комсомол в этот период»?

Задачи, по словам учительницы, решались с большой заинтересованностью и сопровождались живой политически насыщенной беседой.

Применялись задачи с элементами коммунистического воспитания и в алгебре.

Вот несколько задач на составление квадратного уравнения, предложенные в одной из средних школ:

1. «Коллектив сотрудников учреждения подписался на лотерейные билеты Осоавиахима на 1 000 руб., каждый поровну. Когда двое выбыли из коллектива, то оставшиеся решили сохранить подписную сумму и внесли дополнительно по 25 руб. каждый. Сколько было сотрудников в учреждении первоначально»?

2. «Рабочий подписался на заем укрепления обороны СССР на месячную зарплату, именно на 600 руб. Эту сумму он предполагал уплатить равными ежемесячными взносами, но через два месяца после начала уплаты решил увеличить размеры каждого взноса на 20 руб., вследствие чего закончил взносы на два месяца раньше срока. Во сколько времени он думал первоначально уплатить заем и какими взносами?»

3. «Родители учащихся решили собрать на экскурсию для детей 400 рублей, внося каждый месяц до каникул по определенной сумме, но, ввиду необходимости сделать подготовительные расходы за месяц до каникул, стали вносить ежемесячно на 30 руб. больше предположенного взноса. За сколько месяцев до каникул был начат сбор денег и какой величины был установлен первоначальный взнос?»

И здесь задачи сопровождались краткими беседами.

Таких задач учитель может создать много, приноравливая их к тому или иному вопросу коммунистического воспитания.

Задачи должен составлять сам учитель или коллектив учителей. Полагаться на стабильный или иной задачник (не говоря уже о прямых недочетах их) нельзя уже по одному тому, что задачник, даже самый лучшие, всегда будет отставать от темпов нашей жизни, и дело учителя перестраивать материал задачника применительно к текущим вопросам и дополнить его своими живыми задачами.

Обязательным надо считать при проведении задач этого рода пояснение события или характеристику лица, упоминаемого в задаче, а также немногословного, как бы мимоходом, воспитательного вывода из задачи или из группы задач, преследующих одну и ту же цель по линии коммунистического воспитания.

Большую помощь учительству может и должен оказать районный методический кабинет.

Он должен подбирать числовой текущий материал для задач, собирать «опыт» учителей математики в составлении «живых» задач и продвигать этот опыт в школы.

Через свой актив методический кабинет может вести собирание таких материалов и составленных учителями задач, организовать в выставочном отделе кабинета в порядке обмена опытом показ этих материалов и задач и, таким образом, пропагандировать применение «живых» задач в школе.

Примерное содержание задач по арифметике этого рода учитель может взять также частично в задачнике Березанской изд. 1938 г. и в журнале «Математика в школе» (статьи Л. Круповецкого «Задачи из современной жизни» в № 4 за 1938 г. и в № 1 за 1939 год, статья Г. Сагалович «Методика процентных вычислений» в № 2 за 1936 г.).

Разумеется, и здесь, как и везде, не надо допускать крайностей: задачи с элементами коммунистического воспитания необходимы, их надо обязательно вводить, их надо сопровождать краткими беседами-замечаниями воспитательного характера, но это не значит, что надо применять только задачи этого рода, что надо все решаемые задачи перестраивать,—на это и времени нехватит и сами воспитательные замечания потеряют силу впечатления. И здесь нужна мера, и эту меру должна уловить педагогическая чуткость учителя.

4. МАТЕРИАЛ МАТЕМАТИКИ КАК СРЕДСТВО ВЫКОВЫВАНИЯ ОСНОВ МАРКСИСТСКОГО МИРОВОЗЗРЕНИЯ У УЧАЩИХСЯ

Но ограничиваться только подбором и составлением задач недостаточно.

Учитель через материал математики должен содействовать выковыванию у учащихся основ марксистского мировоззрения, основ диалектического мышления.

Вопрос об основах марксистского мировоззрения, основах диалектического мышления так освещается в «Истории ВКП(б)»:

«Диалектический материализм есть мировоззрение марксистско-ленинской партии. Оно называется диалектическим материализмом потому, что его подход к явлениям природы, его метод изучения явлений природы, его метод познания этих явлений является диалектическим, а его истолкование явлений природы, его понимание явлений природы, его теория - материалистической» (стр. 99).

И дальше: «В противоположность идеализму, утверждающему, что реально существует лишь наше сознание, что материальный мир, бытие, природа существует лишь в нашем сознании, в наших ощущениях, представлениях, понятиях, — марксистский философский материализм исходит из того, что материя, природа, бытие представляет объективную реальность, существующую вне и независимо от сознания, что материя первична, так как она является источником ощущений, представлений, сознания, а сознание—вторично, производно, так как оно является отображением материи, отображением бытия, что мышление есть продукт материи, достигшей в своем развитии высокой степени совершенства..., что нельзя поэтому отделять мышление от материи, не желая впасть в грубую ошибку» (стр. 106—107).

Вопрос о признании природы основным началом очень остро ставит В. И. Ленин в своей «теории отражения», подчеркивая реальную основу наших ощущений, восприятий, представлений и основанных на них понятий.

«Основное отличие материалиста от сторонника идеалистической философии, — говорит В. И. Ленин в «Материализме и эмпириокритицизме» (шеститомник, т. VI, ч. 1, стр. 164),— состоит в том, что ощущение, восприятие, представление и вообще сознание человека принимается за образ объективной реальности. Мир есть движение этой объективной реальности, отражаемой нашим сознанием».

Эти основы диалектики являются общими для всех наук, в том числе и для математики.

И в математике, как и в других науках, есть два главных направления в отношении основных понятий — идеалистическое и материалистическое.

И к математикам приложимо то, что К. Маркс высказал о философах: «Философы разделились на два больших лагеря. Те, которые утверждали, что дух существовал прежде природы...-— составили идеалистический лагерь. Те же, которые основным началом считали природу, примкнули к различным школам материализма» (К. Маркс, Избранные произведения, т. I, стр. 329).

И в среде математиков имеются «идеалисты» и «материалисты».

Первые источником возникновения математических понятий признают «разум», «рассудок», признают, что эти понятия явились результатом только умственной деятельности человечества вне и независимо от материи, от природы.

Вторые источники возникновения математических понятий видят как раз в «материи», в природе.

Марксизм четко устанавливает возникновение и развитие всех основных математических понятий и положений на базе реальной действительности, в процессе трудовой деятельности человечества.

Советская школа должна дать своим питомцам марксистскую направленность во всем, в том числе и в математике; дело учителя

математики провести эту задачу школы в жизнь при разборе на уроках математики основных математических понятий и положений, поставить дело так, чтобы у учащихся сложилось наше, марксистское представление об этих понятиях и положениях.

Четкие общие установки по вопросам марксистского мировоззрения мы имеем в «Кратком курсе истории ВКП(б)» (гл. IV, § 2) и в сочинении В. И. Ленина: «Материализм и эмпириокритицизм», а непосредственно в отношении математики у Энгельса в его книгах «Анти-Дюринг» и «Диалектика природы».

Эти сочинения должны быть настольными книгами для преподавателя математики, как и для преподавателей других учебных предметов всех видов и специальностей школы.

Б. МАРКСИСТСКАЯ НАПРАВЛЕННОСТЬ В ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЯХ МАТЕМАТИКИ

В каких же вопросах элементарной математики находит свое отражение основное положение диалектики — положение о материальной природе вещей и понятий?

Прежде всего в установлении понятия о числе.

В этом основном понятии идеалистическая и материалистическая точка зрения как раз держатся диаметрально противоположного направления.

Идеалистическая установка признает, что понятие о числе является творением человеческого духа, человеческого разума.

Так Дедекинд говорит:

«Числа суть свободные творения человеческого духа и служат средством, позволяющим нам легче и яснее постигать различие вещей».

Материалистическая установка дана четко Энгельсом в его «Анти-Дюринге» и в «Диалектике природы».

В «Анти-Дюринге» (изд. 1931 г., стр. 32—33) по данному вопросу мы находим следующие строки:

«Что чистая математика имеет значимость, независящую от специального опыта каждой отдельной личности, это, конечно, верно и применимо ко всем прочно установленным фактам всех наук, да и вообще ко всем фактам... Но отсюда вовсе не следует, что рассудок в чистой математике имеет дело только со своими «собственными творениями и фантазиями». Понятия числа и фигуры заимствованы именно из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди учились считать, т. е. производить первое арифметическое действие, представляют что угодно, но только не свободное творение рассудка. Для счета необходимы не только объекты счета, но также уже и способность, при рассмотрении этих объектов, отвлекаться от всех их свойств, кроме их числа, а эта способность—продукт долгого исторического эмпирического развития».

Здесь вполне четко и определенно устанавливается не априорное, не самостоятельное возникновение в сознании человека представления о числе, а возникновение понятия под влиянием жизни, на базе реальной действительности.

Это относится в равной степени и к числам целым, и к дробным, и ко всем остальным видам чисел.

Все эти виды чисел, кроме целых и дробных, представляются непросвещенному человеку, по выражению Энгельса, «мнимыми» числами, продуктами человеческой фантазии, но, говорит Энгельс, «мы встречаем для всех этих мнимых величин прообразы в природе» («Диалектика природы», 1931 г., стр. 95).

Аналогично возникновение в связи с потребностями реальной действительности и математических действий и основных геометрических понятий и свойств.

«Все представления о линиях, поверхностях, углах, о многоугольниках, кубах, шарах и т. д. заимствованы из действительности, и нужна известная доза идеологической наивности, чтобы поверить математикам, будто первая линия возникла от движения точки в пространстве, первая поверхность — от движения линии, первое тело —от движения поверхности и т. д. Уже язык протестует против этого. Математическая фигура трех измерений называется телом corpus solidum, что по латыни означает даже осязаемое тело, т. е. она носит название, являющееся продуктом не «свободной фантазии» рассудка, а взятое из грубой действительности» (Энгельс— «Анти-Дюринг», 1931, стр. 34—35).

Самое понятие о бесконечности, как будто бы не укладывающееся ни в какие рамки реальности, конкретности, тоже имеет под собой твердую конкретную базу.

Эту базу ярко, картинно вскрывает Энгельс и в «Анти-Дюринге» (изд. 1932 г., стр. 244—248, 32—36 и др.) и в «Диалектике природы» (изд. 1932 г., стр. 75—79 и др.).

«Наша геометрия исходит из пространственных отношений, а наша арифметика и алгебра — из числовых величин, соответствующих нашим земным отношениям, т. е. соответствующих телесным величинам, которые механика называет массами, — массами, как они встречаются на земле и приводятся в движение людьми. По сравнению с этими массами масса земли кажется бесконечно великой и рассматривается земной механикой как бесконечно-большая величина. Радиус Земли равен бесконечности, оо, таков принцип механики при рассмотрении закона падения. Но не только Земля, а и вся солнечная система и все встречающиеся в ней расстояния оказываются, с своей стороны, бесконечно малыми, как только мы начинаем интересоваться наблюдаемой в телескоп звездной системой, расстояния в которой приходится определять уже световыми годами»...

«Математическая бесконечность заимствована из действительности, хотя и бессознательным образом, и поэтому она может быть объяснена только из действительности, а не из самой себя, не из математической абстракции» («Анти-Дюринг», 1931, стр. 324—325, стр. 328).

Да и самые математические аксиомы идеалисты всецело признают творениями разума. Эти аксиомы, по выражению Дюринга, — «с чисто логической точки зрения не допускают обоснования и не нуждаются в обосновании» (Энгельс —«Анти-Дюринг», 1931, стр. 34).

Между тем марксизм доказывает, что аксиомы тоже имеют под собой реальную почву.

Таким образом, все основные положения математики, все математические законы возникли в результате требований жизни, «из действительного мира» (Энгельс — «Анти-Дюринг», 1932, стр. 26).

Это чрезвычайно важное обстоятельство для нас, преподавателей математики.

Здесь одно из главных мест, где общие вопросы методологии оказывают непосредственное влияние на преподавание элементарной математики, на вопросы методики преподавания.

Мы должны при прохождении курса математики поставить дело так, чтобы у учащихся создалось отчетливое представление о реальности математических понятий и аксиом, и правильно поступают те преподаватели математики, которые все основные моменты курса математики начинают с конкретных задач и на них устанавливают необходимость и реальную значимость введения тех или иных математических понятий.

А такие задачи создать не так трудно. Так, введение в алгебре отрицательных чисел хорошо обосновывается задачами о направленном движении (проплыв на лодке вверх или вниз по течению, передвижение маневрирующего паровоза по станционным путям в ту и другую сторону от здания вокзала и т. п.); введение извлечения корня может быть предварено, например, задачей о необходимости обмена спортивным обществом для спортивной площадки участка земли прямоугольной формы данных размеров, например, длиною 320 м и шириною 80 м, на участок земли квадратной формы с одинаковой площадью (какой длины должна быть сторона этого квадрата?); введение понятия об иррациональном числе и конкретность этого числа может быть хорошо иллюстрирована либо задачей, аналогичной предыдущей, но с числовыми данными для прямоугольника, не дающими в произведении полного квадрата (например 320 на 100 либо задачей о построении квадрата, по площади вдвое большего данного квадрата, и о вычислении стороны второго квадрата по заданной стороне первого.

Аналогично, на задаче можно иллюстрировать реальность существования иррационального корня третьей степени. Этой цели может служить, например, так называемая «Делийская задача» о построении куба, вдвое большего по объему по отношению к данному кубу, и о вычислении ребра первого куба по ребру данного куба.

В геометрии понятия о геометрическом теле и основных геометрических фигурах тоже необходимо иллюстрировать на формах окружающей действительности.

Равным образом, на задачах (а не на отвлеченных рассуждениях) надо базировать выведение понятий о возможности и необходимости действий, о многозначности результатов и т. п.

В этом отношении, например, вопрос об умножении на дробь в V классе следует выяснить на задаче (вернее, группе задач), дающей представление о том, что для обобщения решения задач, требующих при целых числах умножения, нужно при переходе к дробным числам расширить понятие об умножении, придав ему в этом случае смысл нахождения дроби (части) числа. Такому условию может, например, удовлетворять такая задача:

«Для шитья платья было куплено 3 я драпу по 80 руб. за метр, -я- м плюшу на воротник по 60 руб. за метр, -g- м «заготовки» по 4 руб. за метр и 6-т м сатину на подкладку по 6 руб. за метр. Во сколько рублей обошлась вся покупка»?

Эта задача решается в пять «вопросов», разбивается на пять простых задач, из которых четыре, с точки зрения дробей, решаются умножением, включая вез четыре вида умножения: умножение на целое число, умножение на дробь с числителем, равным единице, умножение на правильную дробь, умножение на смешанное число.

Но до прохождения учащимися умножения на дробь эти четыре задачи, однотипные по содержанию условия, решаются различно: первая - одним действием — умножением на целое число, вторая — тоже одним действием— делением на целое число (на знаменатель дроби), третья— уже двумя действиями — делением на знаменатель и умножением на числитель дроби (нахождение дроби числа, четвертая — даже в четыре действия — умножением на целую часть смешанного числа, делением на знаменатель и умножением на числитель дробной части смешанного числа и сложением результатов первого и третьего действий.

При разборе этих задач по смыслу условия, по фабуле, у учащихся возникает представление о том, что одинаковые по содержанию простые задачи, естественно, должны решаться одинаковым действием, а потому естественным явится и введение нового понятия об умножении на дробь как способа нахождения дроби (части) числа.

Аналогично, целесообразно выяснить вопрос о наличии в квадратном уравнении двух значений корня также на задаче на квадратные уравнения, дающей пару фактически существующих значений (корней), и, таким образом, сразу ввести учащихся в реальность существования пары корней, отражающихся в формальном получении пары корней квадратного уравнения.

Так надо строить введение всех основных понятий математики и обоснование математических действий. Аналогично, при введении аксиомы о прямой и определения, что такое аксиома, необходимо учесть ту установку, которую дает по отношению к аксиомам Энгельс.

Попытка этого рода имеет место в учебнике геометрии Гурвиц и Гангнус (изд. 1933 г., стр. 8), где говорится:

«Прямая, как геометрическая фигура, обладает рядом свойств, справедливость которых установлена опытом, накопленным человечеством из повседневного наблюдения явлений окружающего мира и решений практических вопросов.

«Такие сведения о свойствах геометрической фигуры, которые установлены из опыта и которые мы принимаем без доказательства, называются аксиомами».

Для точности в последнем абзаце следовало бы только к слову: «из опыта» добавить пояснение: из многовекового опыта, добытого

человечеством», и разумеется, ввести в этом освещении термин «аксиома» не в самом начале геометрии, а попозже, когда у учащихся наберется достаточно материала для обоснования понятий о теореме и об аксиоме, как таковых, и для одновременного введения обоих этих терминов с сопоставлением их друг с другом.

6. СВЯЗЬ ТЕОРИИ С ПРАКТИКОЙ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

С обоснованием введения основных понятий математики на базе реальной действительности тесно связано и другое положение марксизма о единстве теории с практикой.

«Точка зрения жизни, практики должна быть первой и основной точкой зрения теории познания», — говорит В. И. Ленин в «Материализме и эмпириокритицизме» (стр. 116).

Важность неразрывной связи теории с практикой постоянно подчеркивает и товарищ Сталин.

«Теория есть опыт рабочего движения всех стран, взятый в его общем виде. Конечно, теория становится беспредметной, если она не связывается с революционной практикой, точно так же, как и практика становится слепой, если она не освещает себе дорогу революционной теорией» (Сталин—«Об основах ленинизма», раздел III, Теория).

«Теория... дает практикам силу ориентировки, ясность перспективы, уверенность в работе, веру в победу нашего дела. Все это имеет — и не может не иметь — громадное значение в деле нашего социалистического строительства» (Сталин — Речь на конференции аграрников-марксистов 27 декабря 1929 г.).

А для того, чтобы теория дала в будущем учащимся «силу ориентировки, ясность перспективы, уверенность в работе, веру в победу», надо еще в школе знакомить учащихся с применением полученных знаний на практике, приучать их самих, где можно, находить и осуществлять применение.

«Как надо воспитать ребят, чтобы они были коммунистами-ленинцами-сталинцами»? — ставит вопрос Н. К. Крупская в своей речи на I Всероссийском съезде профсоюза работников начальной и средней школы и сама же дает ответ: «Детям нужно дать знания, научить их эти знания применять в жизни, научить вглядываться в жизнь» («Учительская газета» от 3 февраля 1938 г.).

Но «одно из самых больших зол и бедствий, которые остались нам от старого капиталистического общества, это — полный разрыв книги с практикой жизни», — указывал еще в 1920 г. Ленин на III съезде РКСМ (собр. соч., т. XXX).

Этот разрыв имел место и, к сожалению, имеет место до сих пор в преподавании математики.

Возражают обычно, что прохождение математики в школе сопровождается решением задач.

Это верно, но самые задачи-то наши, за очень и очень редким исключением, либо безжизненны, либо, в лучшем случае, отстают от жизни.

У нас сложился обычай держаться стабильного задачника, и на дом задаются задачи из него же.

А что представляют собой задачи в стабильном задачнике? Задачи в задачниках по алгебре, геометрии и тригонометрии Шапошникова и Вальцева, Рыбкина это — задачи, входившие еще в дореволюционные задачники этих авторов и иногда только киз вежливости» к современности несколько выправленные в словесном изложении. Лучше обстоит дело с новым изданием арифметического задачника Березанской.

Обо всех этих задачниках много говорилось и писалось в нашей периодической печати.

Поэтому нам, преподавателям математики, надо отойти от раболепия перед этими задачниками и, хотя бы в классных задачах, отступать от трафарета и увязывать их с жизнью, давая «свои» задачи или, хотя бы, выправляя данные задач применительно к текущему периоду, как мы это показывали на задачах № 142 и 143 задачника Березанской.

Но одних задач далеко недостаточно. Надо ставить работу так, чтобы учащиеся видели фактическую применимость тех или иных разбираемых ими положений математики в окружающей жизни (в природе, в технике).

Моменты такого применения мы имеем и в арифметике, в которой целые и дробные числа дают возможность, как мы уже указывали, проникнуть, можно сказать, в самые разнообразные отрасли промышленности, сельского хозяйства, в самые различные стороны жизни и природы.

Моменты такого применения мы имеем и в алгебре. Менее ощутимые в разделах действий над целыми и дробными алгебраическими выражениями, они занимают все большее и большее место, начиная с раздела «равенства» (пропорции, уравнения). Но и в начальной части алгебры некоторый материал в этом отношении имеется.

Мы уже указывали, например, на применение отрицательных чисел в вопросах направленного движения (показания термометра, упрощение учета значений изменяющихся величин указанием положительного или отрицательного прироста против основного и т. п.).

Рядом надо поставить применение буквенных чисел в геометрических, физических, технических формулах, широкое применение коэфициента пропорциональности в физике и в технике.

Но особенно много моментов для увязывания теории с практикой дает геометрия и тригонометрия.

Мы уже говорили, что понятие о геометрическом теле, как и другие основные понятия геометрии, могут и должны делаться на базе реальных представлений.

Но и в других случаях, где это представится возможным, такая связь должна устанавливаться учащимися.

Например, аксиома об определяемости прямой двумя лежащими на ней точками применяется при провешивании прямой на поверхности земли или при отметке прямой при помощи натянутой на двух колышках веревки.

Неустойчивость формы четырехугольника (прямоугольника, параллелограма и многоугольника) заставляет в обыденной жизни

переводить эти формы в треугольники введением диагонального поперечника или иным путем (диагональная перекладина на калитке или воротах в целях предотвращения перекашивания).

Углы с взаимно перпендикулярными сторонами лежат в основе простейшего высотного угломера.

Признаки равенства и подобия треугольников и других плоских фигур обосновывают измерение недоступных расстояний, триангуляцию, съемку планов и т. д.

Широкое применение обнаружат учащиеся и в отношении вопросов симметрии, особенно осевой и плоскостной (пространственной).

Математическая симметрия имеет место и в природе, и в технике, и в обыденной жизни.

Вопрос этот надо разобрать с учащимися и в VI классе при первом ознакомлении с симметрией по высоте равнобедренного треугольника, и в VII классе — при разборе симметрии в четыреугольниках, а затем при разборе геометрических мест и окружности, и снова вернуться к нему и углубить при прохождении стереометрии.

Уже в VI классе надо вопрос разбирать не узко с точки зрения высоты равнобедренного треугольника, а шире —с подысканием учащимися симметричных форм в окружающей обстановке (форма листа растений, симметрия пары ладоней, симметрия в постройках).

В VII классе надо вопрос о симметрии заострить и шире и глубже, разбирая симметричные формы живой и мертвой природы.

Совместно с преподавателем естествознания (или хотя бы по соглашению с ним) поставить вопрос о причинах возникновения и нарушения симметричности форм в природе, установить, что однохарактерность условий возникновения тел живой и мертвой природы вызывает у них симметричное строение, осложняемое в известной степени у тел живой природы образом жизни и функциональной деятельностью организма и, что, наоборот, нарушение однохарактерности условий возникновения, образа жизни или функциональной деятельности организма сопровождается нарушением симметрии, порождает ассиметрию.

Такая беседа с учащимися явится в то же время моментом антирелигиозного воспитания, так как покажет, что определенная форма тел вытекает из условий окружающей обстановки, а не путем творения какого-то духа-бога.

Очень широко применяются в современной технике свойства окружности. Так приводные ремни по внутренним или внешним касательным передают движение с вала на вал первые в том же направлении, вторые же меняют направления движения на встречное, противоположное передаваемому. Зубчатые колеса своими круговыми частями практически являются касающимися по способу внешнего касания двух окружностей, а передача вращения с вала на барабан дает расположение внутри касающихся окружностей.

Широко применение свойств окружности и шара в географии и в астрономии. Например, фазы затмения Солнца или Луны воспроизводят все возможные виды взаиморасположения двух окружностей (в данном случае дисков Луны с дисками Солнца или земной тени).

Примеров можно подобрать достаточно, и везде, где возможно, теорию надо увязывать с практикой либо путем использования соответствующих возможностей в задачах, путем изготовления моделей, рисунков, таблиц и т. п., либо, если этих возможностей нет, то хотя бы путем указания на применение того или иного математического положения в жизни.

Но мы подчеркиваем, что надо теорию увязывать с практикой «где возможно», потому что нельзя ставить вопрос так: «А где применяется такая-то теорема или такая-то аксиома?»

Еще Гегель по этому поводу говорил: «Отнюдь не каждый член математической формулы, взятый сам по себе, должен иметь предметное значение», и это относится ко всем разделам математики. Раздел в целом, отдельные, устанавливаемые в нем свойства, имеют непосредственное применение на практике, но для установления этих свойств для их вывода или доказательства нужен целый ряд положений, не имеющих непосредственно, сами по себе, приложений на практике. Это должны себе уяснить и учителя и ученики. Всякая наука от конкретных материалов переходит к абстрактным для того, чтобы в отвлеченной форме установить новые свойства и их снова приложить на практике.

«Всякая наука, — говорит Маркс, — возникающая на основе конкретных индивидуальных случаев, на известной степени обобщает конкретные случаи, абстрагируется».

Абстрагирование в современной науке так глубоко, что, по выражению Ленина, «материя исчезает», и остаются одни уравнения.

Отсюда и возникло идеалистическое представление, будто «разум предписывает законы природе» (Ленин).

И задача учителя—изложить материал математики так, чтобы у учащихся не было оснований к образованию идеалистических представлений, а вырабатывались установки наши, марксистские.

Самой постановкой преподавания учитель должен добиться, чтобы у учеников сложилось твердое представление о том, что все математические познания имеют своей основой «пространственные формы и количественные отношения действительного мира, т. е. весьма реальное содержание» (Энгельс — Анти-Дюринг, 1931, стр. 33).

Они должны затем осознать, что приобретаемые ими теоретические познания по математике приложимы на практике, нужны для жизни.

И, таким образом, у учащихся сложится марксистский взгляд, что «отвлеченная» математика исходит из жизни для жизни, что к ней приложимы слова Ленина:

«От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности» (Ленинский сборник IX, стр. 165—166).

7. ПРИНЦИП ДВИЖЕНИЯ В ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Переходим к следующей установке марксизма-ленинизма, имеющей не меньшее значение в преподавании. Я имею в виду принцип

диалектики о беспрерывной изменяемости мира материальных вещей, принцип движения.

Здесь тоже мы имеем два направления — марксистское и метафизическое, идеалистическое.

Для метафизика,— говорит Энгельс,— вещи и их умственные образы, т. е. понятия, суть отдельные, неизменные, застывшие, раз навсегда данные предметы, подлежащие исследованию один после другого и один независимо от другого. (Энгельс — «Анти-Дюринг», 1931 г., стр. 16).

Марксизм стоит на противоположной точке зрения.

«Великая основная мысль, — пишет Энгельс,—что мир состоит не из готовых, законченных предметов, а представляет собой совокупность процессов, в которой предметы, кажущиеся неизменными, равно как и делаемые головой мысленные их снимки, понятия, находятся в беспрерывном изменении, то возникают, то уничтожаются, — эта великая основная мысль со времени Гегеля... вошла в общее сознание» (Ленин — «Маркс, Энгельс, марксизм», изд. 1936 г., стр. 17).

Вопрос о движении Энгельс считает основным и в нашей математике. Он делит математику не на элементарную и высшую, а на математику постоянных величин и математику переменных величин и последней придает величайшее значение.

«Поворотным пунктом в математике, — говорит Энгельс («Диалектика природы», 1931 г., стр. 36), — была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика».

Отсюда вытекает необходимость проведения через весь курс математики идеи движения, изменяемости.

В этом отношении в арифметике надо обращать внимание на разбор в арифметических действиях изменения результатов с изменением данных чисел, изменения (и неизменяемости) значения дроби или отношения с изменением членов дроби или отношения, зависимости между данными и искомыми числами действия.

Особо надо оттенить и в арифметике и в алгебре, и в геометрии вопрос о переменных величинах (при разборе пропорциональных величин в арифметике, одного уравнения с двумя неизвестными, функций и их графиков а алгебре, тригонометрических функций в тригонометрии, вычисления длины окружности в геометрии и т. д.).

В геометрии фигуры надо разбирать не оторванно одну от другой, а в связи одна с другой, с оттенением перехода одной формы в другую (секущая и хорда переходят в касательную, параллелограм — в прямоугольник, в ромб, в квадрат; вписанный или описанный многоугольник переходит в окружность, формула для выражения сторон прямоугольного треугольника перестраивается в формулы для остро- и тупоугольного и т. п.).

Здесь особое значение приобретают подвижные наглядные пособия, иллюстрирующие эти переходы и видоизменения.

Переходу, превращению из одной формы в другую, особенно в противоположную форму, Энгельс придавал величайшее значение.

«Ничто, кажется, не покоится на такой непоколебимой основе, как различие между четырьмя арифметическими действиями, являющимися элементами всей математики. И, однако, умножение является сокращенным сложением, деление — сокращенным вычитанием определенного количества одинаковых чисел... В алгебре идут еще дальше этого. Каждое вычитание (а — Ь) можно рассматривать как сложение (— о + я), каждое деление —^, как умножение а • -у-. При действиях со степенями идут еще дальше. Все неизменные различия способов вычисления исчезают, все можно изобразить в противоположном виде... Умножение или деление степеней какой-нибудь величины превращается в сложение или вычитание их показателей. Каждое число можно рассматривать и представить в виде степени всякого другого числа (логарифмы, у = аф). И это превращение из одной формы в другую, противоположную, вовсе не праздная игра,— это один из самых могучих рычагов математического знания, без которого в настоящее время нельзя произвести ни одного сколько-нибудь сложного вычисления. Достаточно только вычеркнуть из математики отрицательные и дробные степени, чтобы убедиться, что без них далеко не уйдешь» (Энгельс — «Диалектика природы», 1931, стр. 35, 36).

Надо также оттенить перед учащимися возможность многообразия и многозначности форм и значений при разрешении тех или иных вопросов математики, этим мы подготовим учащихся к восприятию диалектического положения о единстве в многообразии.

Наиболее ярким выражением единства в многообразии является в математике вопрос о числе. Постепенное нарастание новых образов числа проходит во воем курсе средней школы, начинаясь в I классе и завершаясь в X классе заключительным обзором всех видов числа, с которыми учащиеся ознакомились за 10 лет пребывания в школе.

С вопросом многообразия и многозначности в математике учащиеся встречаются во всех ее отделах.

Бесконечная десятичная дробь имеет бесчисленное множество приближенных значений, причем их два, и обязательно два, для каждого определенного приближения (одно значение с недостатком, другое значение с избытком).

Тождество удовлетворяется какими угодно значениями буквенных чисел. Уравнение с двумя неизвестными тоже удовлетворяется сколькими угодно, но уже не какими угодно значениями неизвестных. Квадратное уравнение имеет два значения корня.

Прямая с окружностью имеет либо одну, либо две, либо ни одной точки пересечения (общей точки).

При построении треугольника по двум сторонам и углу против одной из них получается тоже либо одно, либо два, либо ни одного решения.

Учащиеся должны привыкнуть устанавливать все возможные разновидности форм или значений, удовлетворяющих заданным усло-

виям, или, при большом числе этих форм или значений, устанавливать характерные черты их.

При этом надо стремиться к тому, чтобы учащиеся не ограничивались формальным констатированием наличия единственности или множественности форм или значений, но подходили к вопросу критически, стремясь выявить сущность, характерные особенности вопроса.

Возьмем для примера задачу № 44 гл. XV части 2 стабильного задачника Шапошникова и Вальцева.

«Число градусов, содержащихся в последовательных внутренних углах многоугольника, составляет прогрессию, разность которой 5°; наименьший угол этого многоугольника 120°. Сколько в многоугольнике сторон?»

Это — простенькая задача на определение числа членов арифметической прогрессии, сводящаяся к решению квадратного уравнения.

Решение его приводит к двойному ответу: в многоугольнике может быть сторон 9 или 16, т.е. многоугольник представляет собой девятиугольник или шестнадцатиугольник.

Обычно на этом и останавливаются.

Но ведь вполне естественно поставить вопрос: как это может быть, чтобы стороны многоугольника, располагаясь одна относительно другой последовательно под определенными углами, образовали два многоугольника с различным числом сторон?

Вопрос разрешается просто: один многоугольник— выпуклый девятиугольник с углами: 120°, 125°, 130°, 135°, 140°, 145°, 150°, 155°, 160° и другой — шестнадцатиугольник с углами: 120°, 125°, 130°, 135°, 140°, 145°, 150°, 155°, 160°, 165°, 170°, 175°, 180°, 185°, 190°, 195°, т. е. второй многоугольник имеет как бы «перегиб» в форме перехода от углов, меньших развернутого угла, к углам, боль* шим развернутого угла.

При построении этих многоугольников выявляется, что на характер получаемой при этом фигуры влияют размеры сторон и получение замкнутой фигуры — многоугольника—не является обязательным.

8. ЗАКОНЫ ДИАЛЕКТИКИ В МАТЕМАТИКЕ

Центральным законом диалектики является закон единства противоположностей («закон взаимного проникновения противоположностей», как его называет Энгельс).

«Раздвоение единого и познание противоречивых частей его... есть суть диалектики»,— читаем мы у Ленина («К вопросу о диалектике», т. XIII, стр. 301).

И наша математика дает для осознания этого закона широкий материал.

Ведь понятие о целом числе противоположно понятию о дробном числе, понятие о положительном числе — противоположно понятию об отрицательном, о рациональном — иррациональному, вещественном — мнимому, но каждая новая ступень чисел объединяет, включает в себе предыдущие ступени.

Так идет постепенное развитие понятия о числе, единое понятие, но слагающееся все время из противоположных взаимно исключающих понятий.

Алгебраическое сложение включает фактически в себе два противоположных действия — сложение и вычитание; умножение и деление — действия противоположные, но составляют единую вторую ступень действий и могут переходить одно в другое; например, деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь; извлечение корня, действие 3-й ступени, может быть представлено в вида возвышения в степень с помощью дробных показателей и т. п.

Даже в таком понятии, как нуль, мы имеем своеобразное и притом богатое единство противоположностей.

«Оттого, что нуль есть отрицание всякого определенного количества, — говорит Энгельс,— он не лишен вовсе содержания. Наоборот, нуль обладает весьма определенным содержанием. Будучи границей между всеми положительными и отрицательными величинами, будучи единственным, действительно нейтральным числом, которое не может быть ни плюс, ни минус, он представляет из только очень определенное число, но сам по себе важнее всех других ограничиваемых им чисел... Прибавленный (очевидно, при записи — В. Е.) к любому числу справа, он в нашей системе счисления удесятеряет его... нуль уничтожает вся сое другое число, на которое его умножают; в качестве делителя какого-нибудь числа он делает его бесконечным, в качестве делимого он делает его бесконечно малым; он — единственное число, находящееся в бесконечном отношении к любому другому числу... Перейдем теперь к аналитической геометрии. Здесь нуль — определенная точка, начиная от которой одно направление по известной прямой считается положительным, а противоположное— отрицательным... Таким образом, где бы мы ни встречались с нулем, он повсюду представляет собой нечто очень определенное, и его практическое применение в геометрии, механике и т. д. показывает, что, в качестве границы, он важнее, чем все реальные, ограничиваемые им величины» («Диалектика природы», 1931, стр. 145—147).

Таким образом, понятие нуля включает в себя противоположные понятия — «ничто» и «нечто».

Аналогично свойство и единицы (Энгельс, «Диалектика природы», 1932, стр. 117).

Подобное положение имет место в геометрии: развернутый угол представляет фактически прямую, но он есть угол, т.е. не прямая, а фигура, включающая пару лучей; понятие треугольника включает в себя виды треугольников прямоугольных, тупоугольных, остроугольных и т. д.

Учитель должен, где это представится возможным, выявлять с учащимися противоположные по смыслу понятия, противопоставлять их одно другому, находить понятие, связующее эти противоположные понятия в «единство»,— это даст возможность учащимся лучше освоить изучаемые вопросы и приучит их анализировать понятия, сопоставлять их, выделяя признаки различные, характерные для каждого из них («противоречия»), и общие, связывающие их в одно общее целое в «единство противоположностей», устанавливать моменты перехода одного понятия в другое, ему противоположное.

Да и самые методы, которыми мы пользуемся

в преподавания, подчиняются диалектическому чакону единства противоположностей.

Ведь индуктивный метод, метод перехода от частных наблюдений к общим выводам, противоположен дедуктивному методу, методу установления общих выводов и перенесения этих общих выводов на отдельные индивиды.

Но и тот и другой метод составляет единое целое; эти два метода и в нашей педагогической работе и во всех науках неразрывно связаны один с другим, взаимно дополняют друг друга.

То же надо сказать и о другой паре применяемых нами методов — методе синтетическом и аналитическом.

Энгельс по этому поводу говорит:

«Мышление состоит столько же в разложении объектов сознания на их элементы, сколько в соединении родственных меж собой элементов в единство. Без анализа нет синтеза» (Анти-Дюринг, 1931, стр. 36).

«Индукция и дедукция связаны между собой столь же необходимым образом, как синтез и анализ» («Диалектика природы», 1931, стр. 40).

При пользовании этими методами в преподовании математики учащиеся должны выучиться расчленять математический вопрос на его составные части; на базе изучения отдельных, но составляющих единое целое элементов устанавливать общематематические законы и затем применять установленные общие законы к частным конкретным случаям.

Вторым законом диалектики является закон перехода количества в качество и обратно.

«В природе,— читаем у Энгельса («Диалектика природы», стр. 125),—- могут происходить качественные изменения — точно определенным для каждого отдельного случая способом— лишь путем количественного прибавления, либо количественного убавления материи или движения (так называемой энергии)... Невозможно изменить качество какого-нибудь тела без прибавления или отнимания материи либо движения, т. е. без количественного изменения этого тела».

Этот закон также находит свое широкое отражение в математике: переход от пересечения пары прямых к параллельности, переход тупого угла в развернутый, переход секущей в касательную, периметра вписанного или описанного многоугольника в окружность, переход бесконечно периодической дроби в обыкновенную все это примеры перехода количества в качество; обратный пример — переход качества в количество — представляет обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную, извлечение приближенного иррационального корня, разложение бинома с отрицательным показателем в биномиальный ряд.

Третий закон диалектики — отрицание отрицания. Сущность этого закона в том, что всякое положение, обнаруживая в ходе своего развития противоположность, отрицание, потом, по мере дальнейшего развития, отрицает это отрицание так, что противоположные элементы синтезируются, объединяются в новом положении, но «в высшей стадии», как говорит Ленин. При этом происходит, как бы «повторение в высшей стадии известных черт, свойств, и возврат якобы к старому» (Ленинский сборник IX, изд. 2-е, стр. 259).

Этот закон также применим в элементарной математике.

Энгельс приводит такой пример отрицания отрицания в математике («Анти-Дюринг», изд. 1931 г. стр. 125):

«Возьмем любую алгебраическую величину я. Если мы отрицаем ее, мы получим —а (минус öf). Если же мы подвергнем отрицанию это отрицание, помножив —я на —я, то получим -f я2, т. е. первоначальную положительную величину, но на высшей ступени, именно во второй степени. И в этом случае не имеет значения, что то же самое а* мы можем получить умножением положительного я на само себя. Ибо отрицаемое отрицание я так прочно пребывает в я2, что последнее при всяких обстоятельствах имеет два квадратных корня, именно -f я и —я. И эта невозможность отделаться от отрицания отрицания, от содержащегося в квадрате отрицательного корня, получает очень осязательное значение уже в квадратных уравнениях».

Другим примером отрицания отрицания в математике является умножение отрицательного числа на отрицательное.

Характерный пример отрицания отрицания мы имеем в определении уравнения.

При введении понятия об уравнении мы противопоставляем уравнение как равенство, удовлетворяющееся определенными числовыми значениями букв («неизвестных») тождеству — равенству, удовлетворяющемуся какими угодно значениями (здесь равенство представляет диалектическое единство противоположностей тождества и уравнения).

На первых порах учащиеся встречают в уравнениях с одним неизвестным 1-й степени возможность иметь только одно значение неизвестного (один корень уравнения), и у них создается по ассоциации представление об уравнении как о равенстве, удовлетворяющемся только одним значением буквенного числа («неизвестного»).

При переходе к уравнению 2-й степени учащиеся сталкиваются с наличием двух алгебраически возможных значений неизвестного.

Последующее повышение показателя степени уравнения дает увеличение числа возможных корней, но число их вполне определенно и равно показателю корня.

Понятие об уравнении по ассоциации постепенно расширяется в сторону представления, что, действительно, это равенство, удовлетворяющееся определенными значениями буквенных чисел, т. е. первичное понятие об уравнении как бы отрицается.

«Конфликт» происходит на простенькой задаче на составление уравнений такого типа:

«В двузначном числе число десятков на 4 больше числа простых единиц. Если в искомом двузначном числе при записи поменять местами цифры десятков и единиц, то полученное число меньше искомого на 36. Найти двузначное число».

Если число десятков обозначить через У, число единиц через У — 4, то уравнение для решения этой задачи будет иметь вид:

10У + (У-4) — 10(У — 4)-У = 36 и при решении придем к равенству: 36 = 36, или: 0 — 0,

если перенести «известные» члены в одну часть уравнения.

Учащиеся обычно приходят в недоумение: составляли и решали уравнение, а получили, как они обычно говорят в этом случае, какую-то бессмыслицу.

Учитель должен довести их до сознания, что здесь не бессмыслица, а глубокий смысл, что здесь уравнение фактически оказалось тождеством. Иными словами, это уравнение удовлетворяется любыми значениями неизвестного, что можно подтвердить подстановкой значений 9,8,7,6,5,4 (дальнейшие подстановки в обе стороны ограничиваются тем, что число десятков в числе не может быть больше 9).

Эта задача и ей подобные дают отрицание отрицания и приводят к мысли, что противоположные по смыслу понятия сходятся, становятся тождественными, иллюстрируя этим утверждением В. И. Ленина о том. что «противоположности... тождественны» (Ленин — «Заметки о диалектике»).

Задачи этого вида, предложенные учащимся старших классов (например, при прохождении исследования уравнений), разбудят в них критическую мысль, дадут углубленное представление о единстве тождества и уравнения,— уравнение для них станет условным тождеством.

Третий закон диалектики, вообще говоря, труднее выявляется, и потому к нему надо подходить с особой продуманностью.

Как же вводить в сознание учащихся указанные основы марксистского мировоззрения?

Надо ли учащимся указывать на уроках математики на сущность диалектики и ее законов?

В курс нашей средней школы основы диалектического материализма пока что не входят, и на уроках математики мы их проходить, разумеется, не можем рекомендовать, но при разборе соответствующего материала на уроках математики надо попутно оттенять диалектическую сущность этого материала, не ссылаясь, конечно, на законы диалектики как таковые.

Например, при разборе положительных и отрицательных чисел, затем при разборе рациональных и иррациональных чисел учитель попутно указывает, что здесь противоположные по смыслу числа рассматриваются в связи одни с другими, как одно связное целое.

При рассмотрении изменения величины угла, при переходе от пересекающихся прямых к параллельным или при разборе изменения величины хорды, как расстояния между двумя точками пересечения секущей с окружностью, при переходе от секущей к касательной учитель попутно указывает учащимся, что здесь изменение количественной стороны (размеры угла или длина хорды) вызывает изменение качественной стороны вопроса (прямые вместо пересекающихся становятся параллельными, секущая становится касательной, обладающей новыми свойствами по сравнению с секущей) и т. п.

К проведению этих основ учитель должен сам особенно тщательно подготовиться, продумать все детали, а для этого, конечно, надо и самому глубоко изучить историю партии, как основу марксизма-ленинизма, надо заняться и изучением диалектического и исторического материализма.

Надо учителю работать п работать в этом направлении над собой.

9. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ, КАК СРЕДСТВО, СПОСОБСТВУЮЩЕЕ УСВОЕНИЮ ОСНОВ МАРКСИЗМА-ЛЕНИНИЗМА.

Значительное облегчение марксистскому усвоению математики учащимися дает разбор соответствующих разделов курса с историческим освещением этих разделов.

Учащихся очень занимают вопросы истории математики, а в этих вопросах можно дать соответствующую направленность мышлению учащихся. Даже в младших классах вполне применим исторический материал, например, история возникновения и развития счета, история цифр и действий.

Но, само собой очевидно, мы должны давать исторический материал в нашем марксистском его освещении.

В школьной практике есть два основных направления в сообщении исторических сведений по математике.

Одно направление — иллюстрирование математических материалов хронологическими датами и соответствующими рассказами из истории математики, часто анекдотического характера.

Таковы, например, рассказы об Архимеде, бросившемся с жезлом в руках защищать свои начерченные на песке геометрические построения от римских воинов, вторгшихся в Сиракузы, где жил Архимед, или о греческом философе Платоне, приказавшем будто бы над входом в Академию сделать надпись: «Не знающий геометрии пусть не входит в этот дом» и. т. п.

Другое направление — историческое освещение хода и развития тех или иных математических вопросов в связи с развитием производственных отношений, марксистское освещение соответствующих исторических моментов.

Например, объяснение развития измерительной математики (геометрии) в Египте и в Месопотамии под влиянием необходимости ежегодных перемеров плодородных земельных участков на берегах рек Нила, Тигра и Евфрата после наводнений или объяснение развития вычислительной математики (арифметики и алгебры) на Аравийском полуострове и в Сирии для удовлетворения требований торговли, развитию которой в этих странах способствовало между прочим промежуточное положение их на межнациональных путях того времени.

Естественно, что мы являемся сторонниками второго направления. Мы в виде исключения допускаем использование и материалов первого направления, но только на фоне, на базе второго направления.

Введение исторических материалов в курс элементарной математики усиливает интерес учащихся к математике, оживляет отвлеченный математический материал, помогает учащимся уяснить себе тот или иной математический вопрос посильным для самих учащихся анализом содержания и хода соответствующего исторического процесса.

Одновременно учащиеся на историческом материале уясняют в историческом разрезе связь теории с жизнью, уясняют вопрос о том что отвлеченные понятия не возникли сами собой в голове человека, а явились и разви-

лись в результате потребностей жизни, под влиянием развития трудовых процессов человека.

Исторический материал математики вместе с историческим материалом других учебных предметов поможет учащимся прийти к убеждению, что движущей силой в науке является развитие производительных сил и производственных отношений.

Под таким углом зрения должны вводиться и биографии великих математиков.

Когда же и как вводить исторические материалы при преподавании математики?

Что касается времени введения этого материала, то подходящим временем, как правило, является период после начала или даже в конце разработки того раздела математики, который учитель хочет осветить с исторической точки зрения.

Раннее введение исторического материала, например, перед началом раздела, не может быть применено, так как у учащихся будет отсутствовать база для понимания соответствующих исторических материалов.

Время сообщения зависит от характера вопроса математики, освещаемого исторически, и от характера самих исторических материалов в связи с подготовленностью учащихся к их пониманию.

Этот исторический материал хорошо вводится путем краткого обзорного сообщения учителя с последующей более глубокой разработкой исторического материала в математическом кружке в форме доклада одного или группы учащихся, либо в форме более широкого доклада самого учителя.

Предварительное сообщение учителя должно дать тон, направленность последующей более полной разработке вопроса в кружке.

Тему для разработки учащимся в математическом кружке следует давать сейчас же после сообщения учителем краткого исторического обзора, но самый доклад в кружке лучше поставить после прохождения соответствующего раздела математики, когда учащиеся смогут более свободно разобраться в историческом материале и получить через него надлежащее марксистское освещение математического вопроса.

На этом я заканчиваю попытку дать основные моменты методики коммунистического воспитания на уроках математики в средней школе. Затронутые мною вопросы являются лишь примерными, далеко не исчерпывающими суть темы, требуют большой доработки, но доработки коллективной на базе обмена мнениями и опытом, на базе коллективного же обсуждения их.

Вопрос темы, как я указывал, в методической литературе почти не затронут и потому нуждается в глубокой критике и продуманности, особенно теперь, когда, как указал т. Молотов во вступительном слове на XVIII съезде ВКП(б), «Чтобы по-настоящему осознать и с максимальными практическими результатами использовать в интересах народа наши политические, наши экономические, наши культурные, наши организационные и все прочие огромные возможности, нам больше всего необходимо в данный период всемерное повышение дела коммунистического воспитания. Чтобы еще успешнее решать любые организационные вопросы подъема мощи нашего государства, чтобы еще быстрее двигаться вперед в решении основной экономической задачи Советского Союза, в решении задачи догнать и перегнать в короткий срок наиболее развитые капиталистические страны, также и в экономическом отношении,— надо выдвинуть вперед задачи воспитания масс в духе коммунистически сознательного отношения к труду, задачи дальнейшего повышения идейного воспитания... всей советской интеллигенции в духе марксизма-ленинизма, в духе большевизма».

Я буду удовлетворен, если моя статья даст толчок к всесторонней и глубокой разработке столь важного для школы вопроса.

За все замечания и указания, а также за материал по обмену опытом заранее приношу благодарность, так как только коллективный опыт дает возможность разработать методику вопроса.

Эту последнюю работу должен возглавить Научно-исследовательский институт школ НКП.

В заключение считаю своим долгом выразить признательность за ценные указания по этой моей статье проф. Шемякину и учителям математики средних школ г. Ульяновска.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ

Д. МАЕРГОЙЗ (Киев)

лавным завершающим этапом решения алгебраическим методом задачи на построение является построение полученной алгебраической формулы. Поэтому следует особенное внимание уделить упражнениям на построение алгебраических выражений. Подбор этих упражнений необходимо делать по принципу постепенного нарастания трудностей. К сожалению, этот принцип не выдержан строго в теперешнем стабильном учебнике Киселева (под ред. проф. Глаголева) и в стабильном задачнике по геометрии Рыбкина (§ 16).

Недостаточное внимание к подбору таких упражнений и недостаточное их количество могут свести на-нет всю дальнейшую работу по решению геометрических задач на построение алгебраическим методом. Навыки в построении различных алгебраических выражений очень важны еще и потому, что они требуют постоянной геометрической интерпретации основных алгебраических выражений как рациональных, так и некоторых иррациональных. Одновременно геометрическая интерпретация алгебраических выражений способствует закреплению в памяти учеников таких важных геометрических фактов, как метрические соотношения между элементами треугольника, свойства хорд, диаметра, касательных и пр.

Навыки в построении алгебраических выражений способствуют также углублению и закреплению некоторых важных алгебраических преобразований как над рациональными, так и над некоторыми иррациональными выражениями.

Время, отведенное в официальном учебном плане для средней школы по математике (1938 г.) на эту тему, довольно ограниченное (всего 8 час).

Поэтому следует построение основных простейших алгебраических выражений проводить во время изучения соответствующего геометрического материала в соответствующих классах. Например, построение формул:

1) X = а + Ь; 2) х = а — Ь (при а> Ь); 3) X = 2а

следует делать во время изучения в VI классе темы: «Измерение отрезков и действия над ними». Построение формул:

следует пройти во время изучения деления отрезков на две и п равных частей.

Простейшие алгебраические дробные выражения X = Щ ; X =~ следует строить во время изучения пропорциональности отрезков.

Алгебраические иррациональные выражения: X = Y ab ; X = ya*±b2 следует строить во время изучения метрических соотношений в прямоугольном треугольнике и на круге.

Вышеприведенными формулами и исчерпывается официальный программный материал на построение простейших формул.

Мы считаем, что во время изучения в VIII классе темы «Понятие о приложении алгебры к геометрии» следует сначала повторить с учениками построение вышеупомянутых алгебраических выражений. Этому достаточно посвятить 1—2 часа. Повторение имеет целью систематизировать весь проработанный ранее материал.

При повторении нужно напомнить ученикам, что буквы a, by с, xf _у, z и т. д. рассматриваются, как определенные значения заданных и искомых отрезков.

Систематизацию материала на построение алгебраических выражений при повторении, целесообразно подавать по схеме, предложенной учителем Киевской школы № 95 т. Костюком (см. брошюру из серии «Обмен педагогическим опытом»: Костюк А. — «Решение геометрических задач на построение алгебраических выражений». Издание «Радянська школа». Киев, 1937).

Приводим эту схему (см. стр. 41).

Построение алгебраических выражений удобно разделить на две части: на построение рациональных выражений и на построение иррациональных алгебраических выражений.

S 1. ПОСТРОЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Из упражнений на построение рациональных алгебраических дробей заслуживает внимание формула х = — Эта формула встречается почти во всех, более или менее сложных, дробных алгебраических выражениях, к которым приводят задачи на построение.

При построении этой формулы обычным способом вызывает затруднение у учеников порядок размещения отрезков ö, bt с и х на обеих сторонах угла.

Поэтому целесообразно им давать такое указание: отрезки, являющиеся в выражении

Алгебраическое выражение

Геометрический образ, соответствующий этому выражению

Порядок операций для его построения

1) х = а + b

Отрезок, равный сумме данных отрезков я и ô

На произвольной прямой откладываем циркулем отрезок я, а за ним отрезок Ь.

2) x = я — b a>b

Отрезок, равный разности отрезков а и b

На произвольной прямой откладываем циркулем отрезок я, потом из конца отрезка я откладываем на нем отрезок Ь.

3) x = Зя

Отрезок, равный утроенному отрезку я

На произвольной прямой откладываем отрезок я три раза.

4> jc = — о

Отрезок, равный

На произвольной прямой откладываем отрезок я. Под произвольным углом к нему проводим прямую от одного его конца На этой вспомогательной прямой откладываем три разных отрезка произвольной длины. Конец последнего отрезка соединяем с другим концом данного отрезка. Через концы равных отрезков проводим параллельные прямые. Тогда отрезок а разделится на три равные части.

5)

Отрезок, равный частному от деления удвоенного отрезка я на 3.

Строим сначала отрезок равный 2а, а потом делим его на 3 равные части (задачи 1 и 4)

Ь) x = — с

Отрезок, равный четвертому пропорциональному отрезку я, b и с

На сторонах произвольного угла строим четвертую пропорциональную (см. ниже)

сомножителями, нужно брать при построении на разных сторонах угла и с разных концов (см. черт. 1):

Черт. 1

Формула строится аналогично предыдущей. Отрезок x рассматривается как четвертое пропорциональное к отрезкам: я, я, b (см. черт. 2).

Черт. 2

Формулу x = — можно построить еще иначе, а именно:

1-й способ базируется на теореме, что перпендикуляр (черт. 3), опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средний пропорциональный к отрезкам гипотенузы.

2-й способ базируется на теореме, согласно которой хорда окружности (черт. 4) есть средняя пропорциональная между диаметром и проекцией ее на диаметр.

Считаем, что последние два способа построения формулы x = ~ лучше показать на занятиях математического кружка, так как для классных занятий на это нет времени, кроме того, эти разнообразные способы могут запутать более слабых учеников, а поэтому пусть в классе хорошо усвоят обыкновенный основной способ.

Черт. 3

Построение более сложных рациональных алгебраических выражений можно подавать в такой последовательности:

Черт. 4

Геометрический образ, соответствующий данному выражению, есть четвертое пропорциональное к отрезкам 36, с и d (или: Зс, b и d). Построение его сводится к последовательному решению задач 3 и 6

Геометрический образ, соответствующий данному выражению, есть отрезок, четвертый пропорциональный к отрезкам: 2а, а и Зс. Построение его такое же, как в предыдущем упражнении.

Этому выражению соответствует отрезок, равный четвертому пропорциональному к таким 3 отрезкам: a, b и c+d:

1) строим отрезок с + d, длину которого обозначим через т,

2) тогда построение искомого отрезка сводится к известному уже построению выражения:

Построив сначала отрезок c — d~e, приходим к задаче 8. Разумеется, что в этом примере с > d.

Строим:

1) отрезок

2) отрезок тогда

Построение аналогично предыдущему.

Следует приучать учеников, чтобы они сразу представляли данное сложное выражение: X = 1 Z ; v -1 как отрезок, который является четвертым пропорциональным к отрезкам:

Чтобы представить этот отрезов1, необходимо сначала разложить на множители числитель. Тогда х= {a+b) {а"Ь) есть отрезок, равный четвертому пропорциональному к отрезкам: а + b, а — b и 2с.

Это выражение строится как отрезок являющийся четвертым пропорциональным к отрезкам: а + b, а + b и а + с.

После примеров 14 и 15 полезно дать учащимся следующие упражнения на построение:

Основная цель этих упражнений — показать учащимся, насколько навыки в разложении на множители, приобретенные ими в VII классе, помогают упростить построение алгебраических выражений. Одновременно эти упражнения способствуют закреплению этих навыков в применении к новым вопросам.

Отличие этого примера от предыдущих в том, что числитель — многочлен. Для построения данного выражения следует сначала его представить как алгебраическую сумму трех дробей, каждую из которых мы строить умеем. А именно:

Порядок построения данного выражения такой: строим отрезки:

Итак, в построении данного выражения мы строили 3 четвертых пропорциональных отрезка, а потом их сумму.

Такой способ построения многочленных алгебраических дробей является общим.

Однако здесь следует подчеркнуть ученикам, что, преобразовав известным образом данное выражение, можно достичь того, чтобы его построение значительно упростилось.

Покажем, как именно это нужно сделать.

Дробь

Итак, исключив целое из дроби, мы свели построение данной дроби к построению суммы двух отрезков: 1) строим отрезки:

Мы сэкономили три лишних построения. Другой способ. Представив выражение в виде:

или:

строим отрезки:

Построение такого выражения обычно сначала затрудняет учеников, так как они еще такого примера на построение не встречали. Помочь ученикам следует указанием: данную дробь представить как произведение двух дробей, а именно:

Теперь становится ясным порядок построения данного выражения. Строим сначала дробь ~=-т. (зад. 6) &

Будем иметь:

Дальнейшее построение опять приводит к задаче 6. Проанализировав внимательно данное упражнение, ученики не затруднятся в построении более сложного выражения:

Для этого достаточно его представить как произведение 3 множителей:

Построив сначала

имеем.

и тем самым сводим данное упражнение к предыдущему.

Как видно, построение таких выражений сводится к последовательному построению нескольких четвертых пропорциональных.

Полагаем, что построение последнего выражения можно предложить ученикам только на занятиях математического кружка.

Там же целесообразно остановиться и на построении данного выражения только на одном чертеже.

На занятиях математического кружка целесообразно также показать значительное упрощение построения дробей вида:

Чем больше показатель я, тем значительнее упрощение. Пример:

Обычный способ построения требует 15 отдельных построений. Приведя данное выражение — к виду ( — \ . JL , обозначим -- через с.

Тогда получим:

Обозначив снова -г через d, имеем:

Обозначив — через m, имеем окончательно:

Следовательно, х выразился всего четырьмя построениями:

§ 2. ПОСТРОЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Упражнения на построение иррациональных выражений необходимо начинать с повторения построения формулы, которой нужно уделить особенное внимание.

1) X — YTb.

Эта формула очень часто встречается в более сложных алгебраических выражениях на построение. С помощью этой формулы можно легко построить корень квадратный из любого числа, как, например:

У\ Уъ% уъУ ]/ïT, у%ь и т. д.

Построение этой формулы широко используется в высшей математике, например при построении параболы: у2 — 2рх и т. п. Что касается порядка операций для построения выражения х = У ab, то следует дать ученикам два способа. Первый способ, наиболее употребляемый, базируется на свойстве перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу.

Черт, 5

Второй способ построения данного выражения следует давать только после того, как ученики хорошо усвоили первый.

Как видим (черт. 6), второй способ построения выражения х = у ab базируется на тео-

реме: «Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на нее».

Черт. 6

Существует еще третий способ построения формулы д: = \гab. Этот (третий) способ базируется на теореме: «Касательная — к окружности (черт. 7) является средней пропорциональной между секущей и ее внешней частью».

Черт. 7

Ясно, что третий способ гораздо сложнее двух предыдущих, а поэтому его можно показать только на занятиях математического кружка.

Построение формулы сводится к построению гипотенузы

2) к = Y а2 + Ь2

по катетам а и Ь. Точно так же построение формулы

3) X = |/а2 - Ь2

сводится к построению катета х по гипотенузе а и второму катету Ь.

Отрезок X = Ya*b* может еще быть построен как среднее пропорциональное между отрезками а 4- b и а — Ь.

Построения последних формул х = ]/а8;£ &2 по обычному способу очень легки для учеников, и поэтому на них долго останавливаться не следует.

Далее следует перейти к построению более сложных алгебраических выражений. Начинать можно хотя бы с такого простенького примера:

4. Построить на числовой оси отрезок, равный У*5.

Этот пример удобен тем, что его легко можно построить по любой из 3 формул: X = Y^b\ X = Y а2 4 b2 ; х == ]/а2 — Ь2. Тем самым мы даем возможность ученикам проявить свою инициативу и приучаем их видеть одно и то же число как результат различных операций.

Действительно, отрезок, равный Y& » можно представить себе, как средний пропорциональный отрезков в 5 и 1 единицу масштаба 5=5,1. Порядок построения его такой (см. зад. 1):

1) Строим отрезок равный, б единицам масштаба;

2) Радиусом, равным 3 единицам масштаба, строим на этом отрезке полуокружность.

3) Из точки с абсциссой в 5 единиц масштаба (или 1 единицы масштаба) проводим перпендикуляр до пересечения с полуокружностью.

Полученный отрезок равен ]/1Г Далее следует спросить учеников, нельзя ли этот отрезок построить иначе. Всегда в классе найдется несколько учеников, которые предложат построить ]/5 как гипотенузу треугольника с катетами, равными 1 и 2 масштабным единицам.

Наконец, следует спросить учеников, можно ли представить себе отрезок равный Y5t как катет прямоугольного треугольника. Для этого следует |/5 представить, как т/з2— 2-, т. е. как катет треугольника, у которого гипотенуза равна 3 единицам масштаба, а второй катет равен 2 масштабным единицам. Следует предложить ученикам брать одну и ту же единицу масштаба во всех 3_ способах построения отрезка, равного ]/5. Тогда им легко проверить циркулем, что построенный разными способами отрезок имеет одну и ту же длину.

Следующим упражнением может быть построение:

5) X = a Y5.

В этом упражнении следует подчеркнуть, что за единицу масштаба нужно принять данный отрезок а, и тогда это упражнение становится целиком тождественным с предыдущим.

При построении подобных иррациональных выражений следует давать ученикам такое указание: буквенный множитель, который стоит перед квадратным корнем, необходимо ввести под знак радикала, и тогда его построение становится ясным. В данном примере поступаем так:

х = а ]/5 = ]/5д~2 = ]/5^д,

или: _

X = |/5а2 = Y &aY + а2, или еще так:

X == |/5Ö"2 = ]/(За2) — (2д)2.

Общим способом построения таких выражений должно быть рассматривание его, как среднего пропорционального двух отрезков. Рассматривание таких выражений, как корня квадратного из суммы или разности двух квадратов, требует известной смекалки, а потому эти способы построения следует рекомендовать только в отдельных единичных случаях.

При изучении правильных многоугольников следует напомнить ученикам, что, построив формулы: crs = R ]/3, a4 = R ]/2 и т. п., можно легко вписать соответствующие правильные многоугольники в окружность.

Незначительно сложнее упражнение на построение иррациональных выражений следующего типа:

6)* = a(]/5~~-l). Порядок операций для его построения становится ясным, если раскрыть сначала скобки:

Следовательно, отрезок х является разностью двух отрезков а ]/5" и а. Поэтому

строим на произвольной прямой сначала отрезок, равный а]/5, а потом откладываем на нем от конца отрезок, равный а.

Постепенным дальнейшим усложнением предыдущего упражнения может быть построение:

Порядок операций для его построения отличается от предыдущего упражнения только тем, что добавляется новая, последняя операция—деление пополам полученного в предыдущем упражнении отрезка.

При этом можно ученикам сказать, что сторона правильного вписанного десятиугольника выражается через радиус окр\жно:ти по такой же формуле.

Следовательно, построив это выражение, имеем возможность вписать правильный 10-угольник в окружность данного радиуса.

К предыдущим упражнениям примыкают упражнения такого типа:

Первое упражнение помещено в учебнике геометрии Киселева, где показано его построение. Мы здесь даем еще иной, немного отличный способ построения.

Для построения выражения х = а ~, можно сначала привести радикал к нормальному виду, т. е. избавиться от дроби под знаком корня.

Построение отрезка х сводится к построению отрезка а l/б, который уже строить умеем и к делению его на 3.

Для построения выражения -7= следует давать ученикам такое указание: прежде всего необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе. Тогда будем иметь:

Задача сведена к предыдущей.

Следующим более сложным упражнением предыдущего типа может быть такое:

Придерживаясь указания, сделанного к предыдущему упражнению, не трудно будет ученикам самим построить это выражение, Преобразовав сначала это выражение, имеем:

Построение данного выражения сводится к построению отрезков:

Остановимся еще на таком упражнении:

Для построения данного выражения, вводим сначала а под знак радикала:

a Y2 ]/У = У 2аг

Далее, представляем подкоренное выражение как произведение двух множителей, а именно:

2а и а 1/3.

Следовательно, построение выражения х = а У 2]/3 = уГ2а-а 1/~3~ сводится к построению отрезков 2?, а ]/3~ и среднего пропорционального между ними.

Построение иррациональных выражений других типов можно давать в такой последовательности:

12) x = Y4а2 + Ь*.

Ученики должны сразу представить этот отрезок как гипотенузу такого треугольника, у которого катетами являются отрезки 2аи Ъ.

13) х= уча* — 4с*.

В этом упражнении ученики в большинства случаев легко представляют себе отрезок х как катет такого треугольника, у которого гипотенуза равна За, а второй катет является отрезком, равным 2с.

Разумеется, можно в этом упражнении представить отрезок x как среднее геометрическое отрезков (За + 2с) и (За — 2с). Но последний способ сложнее, так как построение отрезка х по этому способу требует значительно больше операций.

Кстати, здесь целесообразно заметить ученикам, что данное выражение можно построить только при тех условиях, при которых имеет место неравенство: За>2г, или

a>jc.

Значительно труднее дается ученикам построение других, как будто бы простеньких выражений.

14) x = Y Ь2 + Зс2.

Хотя в этом упражнении ученики и догадываются, что отрезок x является гипотенузой треугольника, у которого один катет есть отрезок равный Ь, однако им трудно представить себе второй катет. Часто можно услышать от таких учеников, что здесь описка, что коэфициент при с2 должен быть 4, а не 3. Помочь им можно указанием, что отрезок х является гипотенузой треугольника, у которого катетами служат отрезки b и с Y^ так как Sc2 = (с Y% )2- Здесь полезно привить ученикам навык рассматривать любое число как квадрат корня квадратного из него.

15) х = у З*2 — 2с2.

В данном упражнении следует отрезок х представить как катет треугольника, у которого гипотенуза равна отрезку b ]^3, а вто-

рой катет равен отрезку с У 2. Построение данного выражения не затруднит учеников после указания, сделанного в предыдущем примере.

Дальнейшим упражнением по степени трудности может быть.

16) x = Y а2 + be.

Трудность для учеников в данном упражнении почти такая же, как в примере 14, а именно в представлении второго катета. Помочь им и здесь следует указанием, что be можно представить себе, как квадрат выражения Y be. Следовательно, х = у а* + (У есть отрезок, равный гипотенузе треугольника, у_которого катетами являются отрезки а и У be (среднее геометрическое отрезков Ь и с), Порядок построения:

U у = уУс; 2. X = Y а2-г у2.

Следующим упражнением по степени трудности может быть:

17) X = Yab + cd.

В этом упражнении следует отрезок х представить как гипотенузу треугольника, у которого катетами служат среднее пропорциональное отрезков а и b и среднее пропорциональное^ отрезков сиЛ, так как ab + cd =

- (Yâî>)2 + ИА Порядок построения:

1. у^УТГЬ; 2.z = Ycd; 3. X = Y у- + z2 *

Следующим упражнением по степени трудности может быть:

18) X = Ya* + *2 +

В этом упражнении имеет смысл применение метода замены, а именно а2 + б3 через m2, тогда получим хорошо знакомое выражение: X « у m* + Л

Порядок построения:

1. m = У я2 + Р ; 2. л: ^ У/л2 -f с2.

19) *= уж*п^1?.

Порядок построения:

1. у = У я2 -f &2 ; 2. .г = ]/у2 — с*.

Понятно, что при а>г или 6>с построение можно выполнить и иначе:

1. у = У а2 —с2; 2.л- = |/оЧ7,

или:

1. у = Уь2 — с2; 2. X = У а2 + р.

Данное выражение можно построить только при условии а2 + 62> с2. Если, например, отрезки я, 6 и с являются сторонами тупоугольного треугольника, и с есть сторона, лежащая против тупого угла, то отрезок X = у л2 -f б2 — с2 построить нельзя.

20) X = У л2 4- ^ + с2 + d2.

В этом упражнении отрезок х рассматривается, как гипотенуза такого треугольника, у которого катетами служат отрезки ]/ а2+ Ь2 и У с2 -f d2.

Порядок построения:

Характерно в данном примере то, что сумму 4 квадратов мы представляем как сумму 2 квадратов, что аналогично примеру 18, где мы сумму 3 квадратов представляем как сумму 2 квадратов.

Если желательно построение отрезка X = Y+ b2 4- с2 4- d2 выполнить на одном чертеже, то порядок его построения меняется, а именно: строим сначала прямоугольный треугольник по катетам, равным отрезкам а и Ь, и к одному из концов гипотенузы полученного треугольника восстанавливаем перпендикуляр, на котором откладываем отрезок с. Соединяем конец отрезка с с другим концом гипотенузы. Вновь полученный отрезок будет равен у а2 + Ь2 4- с2. На нем снова, как на катете, строим прямоугольный треугольник со вторым катетом, равным отрезку d. Гипотенуза этого треугольника будет равна искомому отрезку.

Характерно в данном способе построения то, что мы выражение а2 + b2 4- с2 4- d2 представляем уже как сумму таких двух квадратов:

(Уа2 4- Ь2 4- с2 )2 + d2.

Данный способ построения имеет то преимущество, что, следуя ему, можно легко построить квадратный корень из суммы какого угодно числа квадратов.

Для закрепления этого способа построения стоит предложить ученикам дома выполнить упражнение из стабильного задачника Рыбкина (§ 16) № 1 и помещенный там чертеж 73.

21) x = Ya2+ b2 — cd.

После предыдущих упражнений данный пример легко решается учениками, так как навык рассматривать определенное выражение, как квадрат его корня квадратного, уже выработан и закреплен на предыдущих упражнениях. Отрезок X легко уже будет восприниматься учениками, как катет такого треугольника, у которого гипотенузой является отрезок У а2 4-_#2, а вторым катетом является отрезок у cd.

22) Построить формулу удвоения сторон правильного, вписанного в окружность многоугольника

где даны R и ап.

Построив отрезок

и обозначив

длину его через /я, будем иметь;

* В этой и последующих задачах (кроме № 18) автор не считает целесообразным пользоваться тем методом замены, который мы_применили здесь, введя обозначения у = Y~ab, 2 гв Y cd. Автор полагает, что этот прием может показаться ученикам несколько искусственным, а потому предлагает, не вводя новых обозначений, прямо представлять подкоренное выражение в виде суммы двух квадратов, например: х = У {У ab)2 4- {}rcd )2; X =« V {Уa4 -h 6* )2 + (V с* + d*f и т. п. Редакция считает, однако, что именно первый порядок замены ярче оттеняет последовательность построений.

Отсюда станозится ясным порядок построения данной формулы.

1) строим-^-, разделив ап на 2;

2) строим j/^s —как катет треугольника с гипотенузой R и вторым катетом-^-.

Длину этого катета обозначим через т.

3) Строим отрезок R— //* и обозначим длину его через /.

4) Строим y^'IRl как среднее геометрическое отрезков 2R и I.

Остановимся на построении иррациональных выражений, у которых подкоренным выражением является алгебраическая дробь.

Для построения данного выражения, представляем подкоренное выражение как произведение 2 множителей, а именно:

Порядок построения:

Это упражнение отличается от предыдущего лишь тем, что множитель а нужно сначала ввести под знак квадратного радикала, поэтому

Построение целиком аналогично предыдущему.

Это упражнение имеется в стабильном задачнике Рыбкина под № 7 (§ 16). После предыдущего упражнения ученикам решить ее будет нетрудно. Построив отрезки а + 4- с и b + d и обозначив их длину через m и ri, приходим к предыдущему упражнению.

Заменив отрезок a + Ь через m и разбив подкоренное выражение на две дроби, имеем:

дроби _ и - представляем как произведение 2 множителей:

Заменяя — через k и _ через /, имеем: х = = "\fbk -f cl, который строить уже умеем (см. пример 17).

27) х=^га~Ш.

Это упражнение значительно труднее всех предыдущих, так как показатель корня здесь 4, с которым ученики впервые встречаются. Смущает учеников также в этом примере и число множителей, так как до этого времени они оперировали с произведениями только 2 множителей. Помочь им следует указанием, что корень четвертой степени можно представить как корень квадратный из квадратного корня. Поэтому

|/Гabed — УГу abed .

Далее, |/abed представляем как произведение двух множителей, а именно:

УаШ== УТЬ • Y cd.

Таким образом,

У У abed = У У ab .у cd.

и отрезок X является средним пропорциональным двух отрезков:

У ab и У cd. Порядок построения: 1. у = У"а1)\ 2. z = У cd; 3. х = ]/уг.

Данный пример и дальнейшие лучше решать на занятиях математического кружка. Во всяком случае их следует предлагать только лучшим ученикам класса.

28) X = Y а* - b* {а>Ь).

Чтобы построить данное выражение, необходимо сначала подкоренное выражение разложить на множители:

я* - Ь* = (а2 + Ь*) (а2 - Ь2).

Далее поступаем, как в предыдущем упражнении. Порядок построения:

Для построения данного выражения необходимо сначала его также соответствующим образом преобразовать. Лучше всего эти преобразования производить в такой последовательности:

Далее вводим а под знак первого квадратного радикала и имеем:

а У а* У2 = Уа.ау2.

Следовательно, отрезок х есть среднее геометрическое отрезков ana У2. Порядок построения простой:

1) у = а 1/2"; 2) х= \fay.

Это упражнение значительно труднее, чем предыдущие, так как здесь входит разложе-

ние подкоренного выражения на множители.

Для построения данного выражения сделаем сначала такие преобразования:

Порядок построения:

Построение корней полного квадратного уравнения

К построению корней квадратного уравнения естественно приводит задача на деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Поэтому целесообразно и начинать с этой задачи. Самое решение задачи на деление отрезка в среднем и крайнем отношении лучше давать по учебнику Киселева, так как оно там значительно проще и естественнее, чем решение, поданное в бывшем стабильном учебнике по геометрии и в дореволюционном учебнике проф. Давыдова.

Обычно различают 4 типа полных квадратных уравнений на построение их корней:

Корни первого уравнения суть:

Корни существуют только при условии причем оба корня положительны, так как

Построение этих корней по данным формулам после проработки предыдущих упражнений для учеников не составляет труда.

Первый корень есть сумма 2 отрезков:

а второй корень есть разность этих же отрезков.

Порядок построения корней такой:

1) Строим отрезок ~, разделив данный отрезок а на 2.

2) Строим отрезок Т/УлЛ*— Ь* как катет треугольника, у которого гипотенуза — , а второй катет есть данный отрезок Ь.

3) Далее строим сумму или разность двух полученных отрезков.

Переписав уравнение х* — ах + Ь9 в виде: X2 + b2 = ах можно его так истолковать в школе: при каких значениях отрезка х сумма площадей двух квадратов х2 н Ьг равняется площади прямоугольника ах, где а и b — заданные отрезки, а х — искомый отрезок.

Корни второго уравнения суть:

Первый корень отрицательный, так как

-^<j/r^4- b2 (катет меньше гипотенузы),

поэтому его не строим.

Второй корень строится как сумма двух отрезков: один отрезок есть половина данного отрезка а, второй отрезок есть гипотенуза треугольника, у которого катетами служат — и Ь.

Корни 4-го уравнения хг -f ах -4- Ь2 = 0 оба отрицательны, что видно хотя бы из теоремы Виета. Следовательно, корни этого уравнения как отрезки не строим, так как в геометрии обычно не рассматривают отрицательных отрезков.

Почему данное уравнение не имеет положительных корней,— это можно еще объяснить, исходя нз геометрической интерпретации уравнения. Действительно, не существуют такие отрезки, чтобы сумма площадей 3 фигур, построенных на них (2 квадрата и 1 прямоугольник) была равна нулю.

Считаем, что в школе этим можно ограничиться. На занятиях математического кружка можно показать построение корней квадратного уравнения, не решая самого уравнения. Действительно, уравнение хг — ах + Ь2 = О можно еще переписать в таком виде:

ах — x2 = b2; х(а — х) = Ь2.

Следовательно, видим, что отрезок b является средним геометрическим отрезком х и а — х. Поэтому можно отрезок b истолковывать как перпендикуляр, опущенный от точки окружности на диаметр, а отрезками диаметра считать х и а — х. Отсюда ясно, что длина диаметра равна а, так как X 4- (а — х) — а.

Это нас наталкивает на то, что нужно построить полуокружность с диаметром, равным данному отрезку я. Чтобы построить искомый отрезок х как один из отрезков диаметра, принимаем во внимание, что отрезок b должен быть перпендикуляром к диаметру. Следовательно, точка окружности, из которой должен быть опущен перпендикуляр на диаметр, должен быть от диаметра на расстоянии, равном Ь. Поэтому устанавливается такой порядок построения корней уравнения.

1) На произвольной прямой AB откладываем отрезок а и на нем, как на диаметре, строим окружность (черт. 8).

2) Из произвольной точки С данной прямой AB восстанавливаем к ней перпендику-

ляр, на котором откладываем отрезок CL равный Ь.

Черт. 8

3) Через точку L проводим прямую, параллельную диаметру, которая пересечет окружность в двух точках.

4) Из одной из точек пересечения данной прямой с окружностью опускаем на диаметр перпендикуляр FE, который разделит его на отрезки: ЛЕ и ЕВ, равные корням данного уравнения.

Если отрезок b = fL, то прямая, параллельная диаметру, касается окружности, следовательно, тогда АЕ » ЕВ = Ü .

Если b > ~, то прямая не пересечет окружности и построение корней невозможно. Это, между прочим, видно из того, что при 6>^. корни уравнения становятся мнимыми.

Для закрепления этого можно рекомендовать решить дома задачу № 15 из стабильного задачника Рыбкина (ч. 1, § 16).

Построение корней уравнения х2 — ах — — о2 = 0, не решая его, отлично от продыдущего.

Переписав уравнение в виде: х (х — а) = Ь", видим, что отрезок b есть среднее геометрическое отрезков x и x — а. Из этого видно, что предыдущее построение непригодно, так как здесь уже диаметром окружности пришлось бы брать неизвестный отрезок х. Поэтому приходится в данном случае принимать иной метод построения, который базируется на теореме: «Касательная к окружности есть среднее пропорциональное между секущей и ее внешней частью».

Следовательно, искомый отрезок х примем за секущую, которая проходит через центр окружности, а отрезок х — а за внешнюю часть секущей. Тогда за диаметр окружности необходимо взять данный отрезок а, a за касательную к этой окружности — отрезок Ь.

Отсюда становится ясным порядок построения (см. черт. 9).

1) Строим окружность радиусом равным

(диаметр этой окружности, согласно предыдущим рассуждениям, равен а).

2) Проводим из центра окружности радиус OA и к нему в точке А перпендикулярную прямую, на которой откладываем данный отрезок Ь.

3) Проводим через конец этого отрезка (точку В) и центр окружности О прямую ВС.

Черт. 9

Секущая ВС есть искомый отрезок jc —корень уравнения х2— ах — Ь2 =0. Действительно, AB2-=BC{BD, но АВ = Ь, ВС = х, BD = x — а, поэтому Ь* — х (х — а).

Построение корней уравнения х2 + ах— — Ьг = 0 целиком аналогично построению корней предыдущего уравнения.

Действительно, переписав уравнение в виде x (а + х) = Ь2, видим, что отрезок b есть среднее геометрическое отрезков а* и а + х. Поэтому за касательную придется брать отрезок Ь, за секущую, проведенную через центр окружности,— а + х, за внешнюю ее часть x. Тогда диаметр окружности будет равен данному отрезку а.

Та<им образом, порядок построения корней уравнения тот же самый, что и раньше. Разница только в том, что в данном примере искомым отрезком х является внешняя часть секущей, тогда как в предыдущем примере это была вся секущая.

ИЗ ОПЫТА

ЗАДАЧИ НА КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Р. АЛИСОВ (Мариуполь)

А. ПО МАТЕРИАЛАМ XVIII СЪЕЗДА ВКП(б)

1. В 1938 г. производство чугуна в СССР составляло 15 млн. m, а в Англии —7 млн. т. Сколько чугуна приходится на душу населения в СССР и Англии, если населения у нас больше на 124 млн. человек, а чугуна приходится на душу населения на 58 кг меньше?

Решение. Обозначим количество чугуна, приходящееся на душу населения в СССР через х; тогда в Англии — (x -f 0,058) т.

Население СССР составляет —-— человек, Англии == х ^_ Q человек. По условию задачи населения в СССР больше на 124 млн. человек, следовательно:

или: откуда

Итак, в СССР на душу населения приходится 87 кг чугуна, в Англии — 145 кг.

2. В 1938 г. производство стали в СССР составляло 18 млн. m, а в Англии —10,8 млн. т. Сколько стали приходится на душу населения в СССР и Англии, если населения в СССР больше на 124 млн. человек, а стали приходится на душу на 119 кг меньше?

Задача решается по типу предыдущей.

3. В 1937 г. производство хлопчатобумажной ткани в СССР составляло 2 720 млн. м, а в Англии— 2 760 млн. м. Сколько метров ткани приходилось на душу населения в СССР и Англии, если населения в СССР больше на 124 млн. человек, а ткани приходится на душу на 44 м меньше?

Задача такого же типа, как и предыдущие.

4. В 1913 г. валовая продукция зерновых культур в России исчислялась в 801 млн. ц, а в 1937 г. в СССР такое же количество зерна было собрано с площади, которая на 24,87 млн. га меньше первой.

Определить: а) урожайность 1913 г. и 1937 г., если последняя выше первой на 3 ц\ Ь) валовой сбор зерна в 1937 г., если посевная площадь = 104,4 млн. га.

Обозначив урожайность 1913 г. через х, придем к уравнению:

5. В 1938 г. валовая продукция зерновых культур по СССР составила 949,9 млн. ц.

К концу третьего пятилетия сбор зерновых по постановлению XVIII съезда ВКП(б) должен быть увеличен так, чтобы то же самое количество зерна было собрано с площади меньшей на 29,3 млн. га.

Определить: а) среднюю урожайность зерновых в 1938 г. и установленную съездом к концу пятилетки, если последняя выше первой на 3,7 ц с гектара; Ь) валовую продукцию конца третьей пятилетки.

Задача такого же типа, как и предыдущая.

6. Коллектив трудящихся 1-го механического цеха Кировского завода (в Ленинграде) в ознаменование XVIII съезда ВКП(б) выпустил в предсъездовские дни 1 800 тракторов на 15 дней раньше обычного.

Сколько тракторов выдавали кировцы в сутки перед съездом, если в обычные дни они снимали с конвейера на 60 тракторов меньше?

Обозначив через х число тракторов, выпускавшихся в сутки перед съездом, придем к уравнению:

7. Вес снарядов, которые может выпустить в некоторый промежуток времени артиллерия германского корпуса, равен 4 876 900 кг. Такую же массу металла артиллерия стрелкового корпуса Красной Армии может выбросить на 27 минут скорее. Сколько металла имеет возможность выбросить в минуту каждый из корпусов, если вес снарядов нашего корпуса тяжелее германского на 17 836 кг?

Решение. Обозначив вес снарядов, выбрасываемых в минуту германским корпусом через x, придем к уравнению:

В. НА ДРУГИЕ ТЕМЫ СОВРЕМЕННОСТИ

8. Новая электростанция, проектируемая на Волге близ г. Куйбышева, сможет выполнить некоторую работу на 4,8 суток скорее Днепровской гидростанции.

Во сколько суток каждая из гидростанций в отдельности выполнит работу, которую вместе могли бы выполнить в сутки. (См. журнал «Наука и жизнь», № 1, 1938 г.).

Обозначив время, за которое выполнит работу Днепровская гидростанция, через ле, придем к уравнению:

откуда

xt = 6; х2 = 0,8, Очевидно, второй корень не подходит, поэтому Днепровская станция выполнит работу за 6 суток, Куйбышевская — за 1,2 суток.

9. Новый скоростной паровоз «Климент Ворошилов», построенный на Ворошиловградском паровозостроительном заводе, проходит расстояние между Москвой и Ленинградом в 654 км на 5 час. скорее существующего курьерского поезда, средняя скорость которого на 53 к "/час меньше средней скорости нового поезда. Найти скорости обоих поездов.

(См. «Соцдонбасс» № 25 от 30 января 1938 г.).

10. Разыскивая лагерь Папанина (во льдах Гренландского моря), летчик Власов в один из своих полетов (с аэродрома ледокола «Мурман») пролетел 75 миль. Обратный путь в 50 миль из лагеря к ледоколу он покрыл по ветру на 30 мин. скорее со скоростью на g- мили в минуту больше предыдущей. Определить и ту и другую скорость самолета.

(См. «Соцдонбасс» № 61 от 15 марта 1938 г.)

Задача типа предыдущей:

или: откуда

X = 1 -g- мили в минуту —2-я скорость, 1 миля в минуту—1-я скорость.

11. Горловская станция подземной газификации угля (первая в Союзе и во всем мире) дала в 1938 г. 27 млн. кубометров промышленного газа. С пуском второй очереди станции подача подземгаза возрастет на 15 000 кубометров в час, вследствие чего то же количество газа ^27 млн.) будет выдаваться на 900 час. скорее. Определить часовую производительность первой станции подземгаза.

Решение. Пусть количество газа, выдаваемое станцией первой очереди в 1 час, равно х\ тогда с пуском второй очереди будет выдаваться х -f 15 000 кубометров в час.

12. На опытном поле с участка, засеянного обычным сортом пшеницы, собрано 5 ц зерна. Урожай на участке с посевом многолетней пшеницы, выведенной из гибридов пшеницы и пырея, оказался значительно выше, и то же количество зерна получено с площади, которая на 0,25 га меньше предыдущей. Определить урожайность обычной пшеницы и многолетней, если первая ниже второй на 10 и, с гектара (см. «Наука и жизнь», № 8, 1938 г.).

Обозначив урожайность обычной пшеницы через х% получим уравнение:

или:

X = 10 ц (обычной пшеницы) и 20 ц многолетней.

13. В 1934 г. в колхозе (Н.-Бугский район Одесской обл.) на участке, засаженном яровизированными клубнями, уродилось 176 ц картофеля.

Урожай на посадке обычными клубнями оказался значительно ниже, и то же количество картофеля собрано с участка, который на 1,4 га больше предыдущего. Определить урожайность яровизированного и обычного картофеля, если первая выше второй на 21,53 ц с гектара.

Решение. Обозначив урожайность ярового картофеля через х% придем к уравнению X = 63,9 ц с гектара ярового картофеля и 42,37 ц с гектара — обычного картофеля.

(См. брошюру акад. Лысенко «Яровизация картофеля».)

14 Добыча угля в СССР возросла до 126,4-10° m в 1936 г. с 29,1 10е /и 1913 г. Выработка угля на одного рабочего тоже повысилась в 2,1 раза.

Определить выработку рабочего до революции и в 1936 г., если рабочих в угольной промышленности стало больше на 2-Ю5 человек.

(См. «20 лет советской власти», стр. 33 и 22.)

Решение. Пусть выработка одного рабочего до революции равна х т, тогда в 1936 г. —2.U т.

Число рабочих до революции;

15. Расстояние, пройденное дрейфующей льдиной с папанинцами от Северного полюса к югу, составляет 2110«^. Если бы льдина двигалась равномерно с такой скоростью, как близ полюса, которая меньше средней скорости дрейфа на 4,7 км в сутки, то то же самое расстояние было бы пройдено на 429 суток дольше.

Определить:

а) среднюю скорость дрейфа,

б) скорость льдины у полюса,

в) продолжительность дрейфа.

Решение. Обозначим среднюю скорость дрейфа через х; тогда скорость льдины близ полюса = X — 4,7. Продолжительность дрейфа в первом случае (фактическая), продолжительность дрейфа во втором случае =

НА РАЗНЫЕ ТЕМЫ

(Из писем и заметок читателей)

1. О ПРИЗНАКЕ ДЕЛИМОСТИ НА 8

В журнале «Математика и физика в школе» № 4 1934 г. Волковский дает довольно громоздкую формулировку признака делимости на 8. Указывая на трудность запоминания этой формулировки для учащихся, Н. З. Кеслин (Калининдорф, Одесской обл.) рекомендует более простую формулировку признака, а именно: «на 8 делится число, у которого сумма цифры единиц, удвоенной цифры десятков и учетверенной цифры сотен делятся на 8». Доказательство очень легкое. Так как 1 000, 10 000... делятся на 8, то для установления делимости числа на 8, достаточно исследовать число, составленное последними тремя цифрами. Пусть эти цифры будут a, b и с. Число тогда выразится так: я-100 Ч- 6* 10 + с. Возьмем число аЛ 4- Ь-2 + с и вычтем его из предыдущего. Получим «7.96 4-6-8 = = 8 (12а -f b) — число, делящееся на 8. Если при этом вычитаемое 4а 4- 2b 4* с делится на 8, то, очевидно и уменьшаемое, т. е. а-100 + Ь* 10 4- с, a следовательно, и все данное число делится на 8. Отсюда и вытекает приведенная выше формулировка. Случай трех нулей в конце данного числа включается в эту формулировку, так как4«0 4-2«0 + 4-0 = 0, очевидно, делится на 8.

2. О РАЗЛОЖЕНИИ СУММЫ КВАДРАТОВ ДВУХ ЧИСЕЛ

В сборнике «Элементарная математика в средней школе», вып. II, в статье т. Сафронова «Тождественные преобразования» есть фраза: «Если в области вещественных чисел мы считаем сумму аг 4- Ь* неразложимой на линейные множители, в области чисел комплексных разложение становится вполне возможным».

Указывая, что т. Сафронов, очевидно, упустил здесь из виду известное тождество:

а* 4- Ь- = (а 4- V2^"+ ь) (а — + *)

(хотя дальше в той же статье т. Сафронов сам пользуется им), А. В. Дрокин (Краснодар) считает, что это тождество должно быть сообщено ученикам при изучении тождественных преобразований иррациональных выражений.

Вывод ее не представит затруднений. В самом деле, имеем:

С другой стороны, формула облегчит учащимся ряд вычислении. Так уравнение а'ц-16, решаемое обычно длинным и сложным путем, может быть решено просто и быстро так:

Отсюда:

Остальное понятно.

При помощи этой же формулы,легко разлагается на множители даже в области рациональных чисел выражение вида:

Помимо практических соображений, формула дает прекрасный пример, повод для воспитания у учеников критического подхода к той или иной формулировке, к тому или иному положению, правильному для одной области чисел и неверному для расширенной области их.

8. СТЕПЕНЬ ап КАК СУММА

Следуя обычному определению действия возвышения в степень, учащиеся настолько привыкают видеть в выражении ап произведение п сомножителей, равных а, что всякий иной подход к этому выражению, как правило, ставит их втупик. К числу таких «трудных» вопросов В. Штраус (Мелевки)

относит следующий: Сколько раз надо взять слагаемым число я, чтобы получить ап». На своем опыте т. Штраус убедился, что этот вопрос ставит обычно втупик учащихся. Поэтому задание этого вопроса позволяет учащимся несколько глубже и сознательнее проникнуть в структуру выражения ап. Решен вопрос может быть, например, при помощи уравнения 1-й степени. Если число слагаемых, равных я, обозначим через х, то

откуда:

Понятно, что вопрос надо проиллюстрировать на числовых примерах.

4. ДЕЛИМОСТЬ an±bn HА а X ь

Признаки делимости (и неделимости) двучлена ап ±_Ьп на а + Ь обычно выводятся как следствие теоремы Безу.

Однако, как указывает И. Кастровицкий (Слуцк), эти признаки могут быть выведены гораздо раньше, именно при прохождении бинома Ньютона, и могут явиться одним из первых примеров применения формулы разложения бинома. Самый вывод признаков делимости двучлена ап ± Ьп полезно разбить на ряд отдельных задач, давая их разным ученикам и лишь потом обобщая результат.

Пусть например предлагается доказать, что разность одинаковых степеней чисел я и b делится всегда на разность оснований. Имеем:

(1)

Разлагая выражение в прямых скобках по формуле бинома, получим:

Подставив (2) в (1), найдем, что каждое слагаемое в правой части имеет множителем а — Ь. Отсюда следует делимость левой части, т. е. ап — Ьп на а — Ь. Для нечетного п имеем:

отсюда

Еще пример:

Откуда следует неделимость ап -f Ьп на я—b (остаток 2Ы1).

Аналогично доказываются и остальные случаи. В дальнейшем получение этих принципов на основании теоремы Безу только еще более поможет усвоению и закреплению этого уже знакомого факта.

5. ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ НА ПОСТРОЕНИЕ

Как известно, задача: «На данном отрезке прямой построить сегмент, вмещающий данный угол» решается, обычно (см. Киселе в— «Геометрия», ч. 1) путем построения при данном отрезке угла, равного данному, и проведения двух перпендикуляров.

Д. К. Петров (Москва) предлагает другой способ построения, приводящийся к построению двух углов и проведению одного перпендикуляра. Пусть /_ АСВ равен данному углу я. Тогда /_ АОВ (О — центр окружности) равен 2я, а / О AB = ^£ОВА = 90° — я. Отсюда построение:

к данному отрезку AB восставляем перпендикуляр АС в точке А. Строим £ CAD = а. Затем строим £ ABE = £ DAB = 90° —я. Пересечение AB и BE даст точку О — центр искомой окружности.

Как видим, это построение можно выполнить непосредственно после прохождения измерения вписанных углов, тогда как обычное построение требует знания измерения угла, составленного хордой и касательной.

в. О ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА

В редакцию все время продолжают посту пать различные способы доказательства зна менитой теоремы Пифагора. В качестве при меров приведем некоторые из них.

а) Проводим радиусом я окружность, как указано на чертеже 1.

Имеем BD = я; AD = c — a.

По свойству касательной и секущей можем написать:

АС1 = АЕ. AD,

или:

Ь~ = (й + я) (с - а) = с2 — а\

откуда

сг — а* + Ъг. (Д. Аляев, ст. Башмаково)

б) Построение ясно из чертежа 2.

Имеем:

отсюда

(П. Милов. Люблино)

в) Из чертежа 3 имеем:

отсюда

С другой стороны:

Из последнего равенства получаем:

2ab - (а + ЬУ — с2 = а2 + 2а& + б2 — с2, с2 = а2 4- б2.

(А. Гордеев, Челябинская обл.)

Как видим, приведенные доказательства вполне элементарны и, несомненно, встречались в математической литературе, по крайней мере, в качестве задачи. Применение того или иного доказательства зависит прежде всего от того, в каком месте систематического курса поставлена теорема: до или после изучения теории площадей, до или после прохождения теоремы о секущих и касательной и т.п. Вообще же доказательств теоремы Пифагора имеется настолько много, что всякое даже совсем «новое» доказательство едва ли может иметь какую-либо ценность.

7. О НАИБОЛЬШЕМ СЕЧЕНИИ КОНУСА

В учебнике геометрии Гурвица, ч. 2, стр. 86, имеется такое утверждение: «Из всех сечений конуса, проходящих через его вершину и пересекающих плоскость его основания, осевое сечение наибольшее».

Так как обычно рисуют конус с острым углом при вершине осевого сечения, то приведенное утверждение кажется правильным. Б.Сосницкий (Калуга) указывает, что оно совершенно неверно для конусов, у которых угол при вершине осевого сечения тупой.

В самом деле, решим задачу: «В равнобедренном треугольнике даны две равные стороны, при каком условии площадь треугольника будет наибольшей?»

Воспользуемся формулой Герона. Для нашего случая будем иметь:

(1)

Положим: с2 = 2а2 + у (_У может быть положительным, отрицательным и равным нулю). Подставив в (1), будем иметь:

5 = 4"/(2ö2 + y) (2а2-у) = У 4а2 - f.

Очевидно, при данном а, наибольшее значение 5 будет при у = О, т. е. при с2 = 2а2. Другими словами, когда угол против с равен 90°.

(Т. Сосницкий берет общий случай для всяких данных а и b и приходит к условию с2 == аг + б2, т. е. опять к / С = 90°. Мы приводим здесь частный случай как достаточный для наших целей.

Можно привести еще более простое доказательство. Пусть образующая конуса равна а, угол при вершине сечения конуса а. Тогда имеем 5 = —g— • Очевидно, S будет наибольшим при sin« = 1, т. е, при а = 90е.

Таким образом, если угол при вершине осевого сечения тупой, то оно, вопреки утверждению учебника Гурвица, не будет наибольшим.

ЗАДАЧИ

ПО ПОВОДУ ЗАДАЧ № 24 и 25

(№ 2 журнала за 1939 г.)

В. ГОЛУБЕВ (Кувшиново)

Указанные в задачах числа являются примерами интересных соотношений между некоторыми целыми числами и их квадратами. Эти соотношения могут быть проработаны на математическом кружке в средней школе.

1) Примем за основное — соотношение, доказываемое методом совершенной индукции (см. задачу 24):

Следовательно,

Точно так же по формуле (а ±, Ь)2 получим:

и т. п.

2) Так как с увеличением основания в два

раза квадрат его увеличится в 4 раза, то имеем:

Далее, по формуле

(Задача № 25)

Точно так же, по соотношению получим:

и т. п.

Все эти числовые зависимости, выведенные из одного основного, очень сильно интересуют учащихся.

* См. задачу 71 в № 4 за 1937 г.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 2 ЗА 1939 год

21. Из точки, лежащей вне окружности, опустить перпендикуляр на данный диаметр окружности, пользуясь только линейкой. Задача случайно помещена вторично. Она была дана в № 5 1937 г. (решение —в № 2 193S г). Как уже указывалось, задача принадлежит к штейнеровским построениям. Приводим снова ее решение.

Соединяем точку С с А и В. Точки D и Е пересечения СВ и CA с окружностью соединяем соответственно с А и В. Через точку К пересечения AD и BE и через данную точку С проводим прямую, которая и будет перпендикуляром к AB. Действительно,

как вписанные, опирающиеся на диаметр. Следовательно, К есть точка пересечения

двух высот треугольника ABC. Через эту же точку должна пройти и третья высота, опущенная из вершины С.

Многие дали только один случай из двух, показанных на чертежах 1 и 2.

Были даны и другие решения. Но все они сложнее приведенного классического решения (предварительно отыскивается центр или проводится касательная и т. п.).

22. Через точку А, лежащую на окружности, радиус которой неизвестен, провести касательную, пользуясь циркулем и один раз линейкой.

Задача получила много разнообразных решений. Не приводя, как и в предыдущей задаче, сложных решений, связанных с нахождением центра окружности, проведением окружностей с внутренним касанием и т. п., приведем наиболее простые решения в порядке уменьшения количества операций. Сначала дадим решение, кажущееся простым.

1. а) Из точки А проводим окружность произвольным радиусом, меньшим диаметра данной окружности. Получим точки В и С.

б) Из точек В и С проводим окружности радиусом, большим -А. ВС. Получим точку D

(берем одну из двух точек пересечения).

в) Приняв А и D за две соседних вершины квадрата, находим при помощи только циркуля (см. зад. 85 в Ma 6 1938 г.) третью его вершину. Прямая АЕ и будет касательной к данной окружности.

Доказательство: Точки А иД одинаково удаленные от В и С, лежат на перпендикуляре к хорде ВС, проходящем через ее середину. Следовательно, AD при своем продолжении проходит через центр. Отрезок ЕА j_ AD по построению, т. е. перпендикулярен к диаметру, проведенному из точки Л, следовательно, ЕА — касательная.

Не трудно видеть, что простота построения только кажущаяся, так как построение квадрата требует довольно много операций (см. решение зад. 85 в № 3 1939 г.).

2. Производим построения а и б предыдущего решения. Получаем точку D.

в) Радиусом AD из точки А проводим окружность.

г) От точки D откладываем два раза радиус AD (т. е. проводим две окружности). Получаем точки Е и F.

д) Из точек Е я F тем же радиусом (или другим, большим -1 AD) проводим окружности. Получаем точку пересечения М.

Прямая МЛ — касательная.

Доказательство: AD (по предыдущему) проходит через центр О. Точки А и М, одинаково удаленные от F и Е, лежат на перпендикуляре к хорде FC, проходящем через ее середину. Следовательно, радиус AN делит хорду и дугу EF пополам. Отсюда —дуга DN равна четверти окружности и AN ± АО, т. е. AM — касательная.

Построение потребовало проведения шести окружностей. Это решение дано многими.

3. а) Засекаем по предыдущему точки В и С.

б) Из точки С проводим окружность тем же радиусом AB = АС.

в) Из точки Л проводим окружность радиусом, равным ВС. Получим точку М.

Прямая MA — касательная. Доказательство: хорда ВС перпендикулярна к радиусу АО. Фигура АМСВ— параллелограм, так как AM = ВС и AB— MC по построению. Следовательно, АМ±АО.

Решение потребовало проведения только трех окружностей и было дано в наибольшем количестве.

4. а) Из произвольной точки В окружности радиусом В А проводим окружность. Получаем точку С.

б) Из точки А радиусом АС проводим окружность. Получаем точку М. Прямая AM— касательная. Доказательство: отложим AD = AB.

Хорды DB и АС равны, так как стягивают равные дуги (AD = AB — ВС).

Фигура AMBD — параллелограмм. (Л£> = = AB = ВМ\ DB = ЛС= - AM).

Пришли к предыдущему случаю.

Построение наиболее короткое: оно потребовало проведения только двух окружностей (третью окружность мы провели лишь для доказательства, а не для построения).

В качестве примера неправильных решений приведем построение, наиболее часто фигурирующее в присланных решениях.

а) Из точки Л проводим произвольным радиусом окружность. Получаем в пересечении точки В и С.

б) Из точек В и С произвольным радиусом делаем засечки (проводим окружности). Получаем точку К (одну из двух).

в) Точку К соединяем с Л и продолжаем.

г) На прямой АК отложим от точки Л равные отрезки AD и АЕ.

д) Из точек О и £ делаем засечки произвольным радиусом. Получим точку Af.

е) Точку M соединяем с А Прямая MA — касательная.

Не трудно видеть, что правильное по существу построение не может быть признано решением задачи, так как употребляет линейку два раза. (Отметим/что и в данном построении этого можно было избежать.)

223. Дана окружность с центром в О и две точки А и В вне окружности. Найти две точки на окружности, через которые пройдет прямая AB, пользуясь только циркулем. Исследовать решение.

В противоположность предыдущим настоящая задача получила почти только одно решение, которое и приводим.

а) Из точек А и В проводим окружности радиусами АО и ВО. Получим точку их пересечения С, очевидно, симметричную точке О по отношению к AB.

б) Из точки С радиусом данной окружности проводим окружность, пересекающую данную в точках D и Е. Эти точки и являются искомыми.

Доказательство. АС = АО и ВС = = ВО, т. е. А и В лежат на перпендикуляре к СО, проходящем через его середину.

Следовательно, AB jL СО, DC — DO, ЕС= = ЕО.

Исследование. Если ОС <2R, решение дает две точки пересечения с AB с данной окружностью. Если ОС = 2R, получается одна точка: AB — касательная. Если ОС > 2R, точек пересечения не получим: AB не пересекает окружности.

Особо стоит случай, когда точки О и О, сольются, т. е. прямая AB проходит через центр. В этом случае приведенное построение не годится. Задача может быть решена следующим образом (см. Адлер — Теория геометрических построений).

а) Из точки А (или В) описываем окружность, пересекающую данную в точках M и N.

б) Из точек M и N проводим окружности радиусом данной.

в) из точки О радиусом, равным MN, делаем засечки на двух предыдущих окружностях. Получаем точки С и D.

г) Из точек С и D радиусом, равным DM (CN\ проводим окружности. Получаем точку пересечения Е.

д) Наконец, из точек С и D проводим окружности радиусом, равным ОЕ. Полученная точка ОР и будет искомой.

Доказательства не приводим (см. упомянутую книгу).

24. Доказать, что всякое число вида:

представляет квадрат некоторого числа. Найти вид последнего. Преобразуем данное число:

Действительно:

33- = 1089; ЗЗЗ2 = 110 889 и т. д.

Это наиболее простое и короткое доказательство дано подавляющим большинством. Некоторые дали доказательство способом математической индукции. Многие просто давали два, три примера и обобщали на случай п цифр, что, конечно, нельзя назвать доказательством.

25. Доказать, что всякое число вида

является точным квадратом некоторого числа. Найти вид последнего. Задача аналогична предыдущей. Имеем:

Положение доказано. Чтобы найти вид числа, преобразуем полученное выражение:

Задачи 23 и 24 могут послужить отправным пунктом для изучения подобных числовых соотношений в математическом кружке (см. заметку В. Голубева в настоящем номере).

26. В данный треугольник вписываются прямоугольники так, что две его вершины лежат на основании, а другие две на боковых сторонах треугольника. Найти основание и высоту прямоугольника с наибольшей площадью.

Обозначив основание и высоту прямоугольника через x и у, из подобия тр-ков ABC и MBN будем иметь:

отсюда Далее:

Так как buh постоянны, надо искать наибольшее значение у (k — у).

Но у + (Л — у) = h — const. Следовательно, наибольшее значение будет при у = п — у. Отсюда:

27. Доказать неравенство:

где а и b — целые положительные числа.

Задача получила самые разнообразные доказательства. Приведем наиболее простые и короткие.

1. Имеем:

Преобразуем левую часть:

Но так как а и b положительны, то всегда будем иметь:

(4а + Ь) (a-2b)*2*Q.

Отсюда и следует данное в задаче неравенство. Очевидно, оно превращается в равенство при а = 2Ь.

2. Применим теорему: среднее арифметическое положительных чисел не меньше их среднего геометрического. Для данного случая будем иметь

28« Найти сумму п членов каждого из рядов:

sin2 x -f sin2 2х + sin2 Ъх + ... (1) cos2 x + cos2 2к + cos2 Зх: + ... (2)

Обозначив искомые суммы через s, и s*, но сложении (1) и (2) будем иметь:

si -f s2 = (sin2 x + cos2 x) + (sin2 Ix + cos2 2x) + -f ... + (sin2 nx + cos2 nx) = n. (3)

Вычтя (1) из (2), получим: sÈ — st = (cos2 x —- sin2 x) -I- (cos2 2x — sin2 2x)+ -+-... + (cos2 nx — sin2 nx),

или:

s2 — st — cos 2x -f cos 4x -f • • • + cos 2nx. (4)

Очевидно, что для нахождения st и s, достаточно вычислить сумму (4), которую обозначим через s.

Исходим из тождества: 2 sin x cos 2kx = sin (2* + 1) x — sin (2k — 1) x. Давая k значения 1, 2, ... я, получим:

По сложении, найдем:

Отсюда

Итак, имеем:

Отсюда легко получаем:

29. Найти положительные значения х и у удовлетворяющие уравнению:

X* + у* + 1 = Зху. 1. Прибавив к обеим частям по Зх*у + Здгу2, будем иметь:

(а: + З')3 + 1 = Злг^ (д: +^ 4- 1), (1)

или:

(х + у + 1) 1(х + у?-(х+у)+ 1]-

~здеу(;с + ^+ i)=o.

После вынесения (х + у + 1) за скобку и упрощений, получим:

D (*2-*.y+ y2-л:-—.y+ 1) = 0. (2)

Первый множитель при положительных х, у не может равняться нулю, следовательно,

л-2 - ху + у2 — X — у + 1 = 0, (3)

или:

*2-(y-r l)*+(y2-.y-f 1) = 0. Находим х:

После упрощений:

или:

Чтобы X было вещественным необходимо: у-1=0; у = 1$

тогда

2. Левую часть равенства (3) можно- представить (по умножении на 4) в виде:

(2jc— _v — 1 )s 4- 3 (у-1)- = 0. При вещественных л: и у это дает: 2дг—3' — 1=0; у- 1 =0; ^ = 1; * = 1.

30. В данном треугольнике Л£С проводят биссектрису BDi угла В, затем биссектрису DlDt угла Л£,#, затем биссектрису D2DZ угла AD,D, и т. д. Называя угол Dn_x Dn Dn + i через вычислить ип и найти предел ип при увеличении п до бесконечности. Имеем:

Из треугольника ABD1 получим:

£ADtB = n-A—£ABDlt

или:

2н, = я — Л — «о (1)

Из треугольника ЛО^:

(2)

Точно так же, найдем:

(3)

Из равенств (1), (2) и (3) с помощью подстановки находим:

(4)

Суммируя прогрессию и замечая, что и_= получим:

или:

(5)

При бесконечном возрастании п получим:

Некоторые давали ответ: WmUn— —который, очевидно, совпадает с предыдущим.

31. Доказать, что сумма расстоянии от любой точки основания правильной пирамиды до ее боковых граней есть величина постоянная.

1. Соединим произвольную точку M основания со всеми вершинами пирамиды. Тогда данная пирамида разобьется на п пирамид (л—число сторон основания), в которых за основания можно принять боковые грани данной пирамиды. Высотами тогда будут перпендикуляры MC, МС2,... МСп, опущенные из точки на боковые грани данной пирамиды.

Очевидно, что сумма объемов полученных пирамид равна объему данной. Обозначив последний через v, а площадь боковой грани через s, будем иметь

отсюда

но v и s для данной пирамиды — величины постоянные. Следовательно, теорема доказана.

2. Опустим из M перпендикуляры MD к сторонам основания и соединим С с D. Сторона CD прямоугольного треугольника MCD перпендикулярна к стороне основания AB (MC—перпендикуляр к плоскости MAB, MD — наклонная, CD — ее проекция, AB _L MD, следовательно, ABJ_ CD). Следовательно,MDC—ч— линейный угол двугранного угла, образованного боковой гранью с плоскостью основания. Очевидно, этот угол один и тот же для всех граней. Будем иметь:

(1)

т. е.

Соединив точку M с вершинами основания и обозначив площадь последнего через Sif стороны через alt будем иметь:

отсюда

(4)

Подставляя в (2), получим:

В правой части все величины постоянные для данной пирамиды, что и доказывает теорему.

Заметим, что требование правильности пирамиды не является обязательным. Достаточно, чтобы боковые грани данной пирамиды были равновеликими. Это ясно из первого доказательства.

32. Доказать, что частное от деления 2Р~1—1 на р будет точным квадратом при р простом лишь в случаях р = 1, 3, 7. По условию имеем:

2Р~1-1=рт*, (1)

где m — целое число. Так как р — число нечетное, то, обозначив его через 2q + 1, будем иметь

(2)

Множители в левой части взаимно простые, так как если бы они имели общий множитель k, то этот множитель должна иметь и их разность, которая равна

(2? + 1) — (2^ — 1) = 2.

Таким образом, возможны лишь два случая:

1. 2?+ 1 = рхг2; 2<1-\=х*.

2. 2*-Ы= у2; 2<*-1=ру129

где ххг —УУ\ — т.

1. Пусть

2<1 — 1 = X*. (3)

Так как левая часть нечетна, то л: = 2аL После подстановки получим:

2<7 — 1 =4а2 + 4д-И,

2? = 2 , (2а2 + 2а + 1). (4)

Из (4) видно, что правая часть должна иметь множителем только число 2, что очевидно возможно лишь при а = 0. Тогда имеем:

д = 0; 2? = 2; д= 1; р = 3.

2. Пусть

2*+1==У. (5)

Положив по предыдущему у = 2Ь + 1, получим:

2? -f. 1 = 4Ь2 + 4Ь + 1,

2* = \Ь (р + 1). (б)

Из двух множителей Ъ и Ъ + 1 один обязательно должен быть нечетным. Значит, равенство (6) возможно лишь при b = 1, тогда

Ь = \\ 2* = S; q = Z; р = 7.

3. Наконец, если считать 1 простым числом и 0 точным квадратом, то условию удовлетворяет р = 1, что видно непосредственно.

33. Решить уравнение

(1)

1. Наиболее простое решение. Пусть:

(2)

тогда

По условию:

Но тогда для а, 3 и v имеет место соотношение:

tg * + tg Р + tg а = tg a tg ß tg т. (4) Подставляя £ (4) из (3), получим:

отсюда

а<-2а? —21а = 0, л* (ле8 -2* — 21) = 0. (5)

Получаем:

а, =0

а3 — 2а — 21 = 0. (6)

Замечая что х = 3 есть корень уравнения (6) и разделив левую часть на х — 3, найдем:

(а-3)(а= + За4-7) = 0, отсюда

34. Доказать, что острый угол », удовлетворяющий уравнению:

ctg » = ctg А + ctg В + ctg С, (1) удовлетворяет также уравнению: sin3 со = sin (А — 'j)) sin {В — со) sin (С — w), (2) где

А + /5 -f С = тг.

Из (1) имеем:

ctg со — ctg Л ctg ß + ctg С. Но известным формулам:

(3)

Аналогично из (1) получим:

(4)

(5)

Перемножив (3), (4) и (5), получим:

откуда легко получается (2).

В тексте задачи было напечатано в (2) sin2 со, но ход решения сам исправлял опечатку, что и сделано во всех решениях.

35. Доказать, что ab (а* — Ь4) при целых и нечетных значениях а и b всегда делится на 240.

Разобьем доказательство на несколько этапов.

1. Данное выражение делится на 16. Так как а и b нечетны, то можем положить: а = 2т4- 1; * = 2л + 1,

тогда

Если т и п одинаковой четности, то m — п делится на 2, если не одинаковой, го m 4- п 4- 1 делится на 2. Кроме того, а2 4 h-как сумма двух нечетных чисел делится на 2. Итак, все выражение делится на 16.

2. Данное выражение делится на 3.

Если а или b делится на три, то и все выражение делится на три.

Если ни а ни b не делятся на 3, то а — Ът±.\% 6 = 3/2+1. При всех комбина циях или а + b или а — b делится на 3

3. Данное выражение делится на 5.

Если а или b делится на 5, то и все выражение делится на 5.

Если а и b не делятся на 5, то они могут быть только вида:

5т ±_ 1 или: 5k ± 2.

Пусть

а = 5т ± а; 6 = ол ± ß,

где « = 1,2; ß = 1,2.

Если a as ß, то а — 6 делится на 5.

Если a=£ß, то одно из них равно 1, другое2, тогда

а2 4- Ь2 = 25т2 ± Ют* + а2 4- 25л2 ± 10/fß +

4- ß2 = 5Л -f (*2 4- |П

Так как или &. = 1, 3 = 2, или а = 2, ß = 1, то в обоих случаях а2 4- ß2 = 1 4- 4 = 5, и а2 4- Ь2 делится на 5.

4. Итак, данное выражение делится на взаимно простые числа: 16,3 и 5. Следовательно, оно делится на их произведение: 16.3.5 = 240.

Почти все доказательства шли в основном этим путем Более короткие или длинные решения получались в зависимости от числа испытаний различных комбинаций остатков от деления а и b на 3 и на 5, особенно на последний. Мы привели наиболее общее и, следовательно, наиболее короткое решение.

36. Доказать: если целое число, являющееся точным квадратом, содержит нечетное число десятков, то последняя его цифра 6.

1. Пусть квадратный корень из данного числа N будет 10а 4- Ь; тогда:

N = (\0a 4- b)2 = 100а2 4- 2\0ab 4- Ь2. (1)

Первые два члена дают четное число десятков. Следовательно, для выполнения условия задачи Ь2 должно дать нечетное число десятков. Испытывая числа 1, 2... 9, найдем, что только 42 = 16 и б2 = 36 дают нечетное число десятков. В обоих случаях последняя цифра числа N будет 6.

Это — наиболее элементарное доказательство, основанное на испытании десяти чисел. Небольшим вариантом является предварительное исключение чисел 0, 1, 2, 3 как не дающих полных десятков.

Таковым же является по существу исследование квадратов чисел: (10а ±1), (lOb ±3), (10а ± 5) и (10а ± 4), из которых, оказывается, только последнее дает нечетное число десятков.

2. Наиболее логически последовательным (хотя и довольно длинным) нам представляется

данное приславшими задачу (В. и С. Синакевич) доказательство методом исключения.

а) Доказывается, что квадрат нечетного числа всегда дает четное число десятков.

б) Квадрат четного числа не может оканчиваться на 2 и 8.

в) Если квадрат числа оканчивается на 0 или 4, то число десятков четное.

г) Остается число 6, удовлетворяющее условию.

37. Решить уравнение:

(1)

1. Данное уравнение представим так

(2)

Имеем:

Подставляя в (2), получим:

отсюда

(2)

Решив это биквадратное уравнение относительно tg I -J —— ), найдем:

(3)

Отсюда

(4)

Не трудно видеть, что знак минус перед радикалом V\ 4- ьа дает вещественные значения для tg — —Л только при — ^ а < 0.

Тогда имеем 4 корня. При д> 0 будем иметь два корня.

2. Заменив тангенсы их выражениями через sin л: и cos*, придем к уравнению относительно sinjc, которое дает:

3. Решая уравнение относительно tg — , придем к очень сложному выражению для tgiL.

При написании общей формулы решения опять часто имела место ошибка при учете периодичности функции. Из (4) получаем:

Отсюда

Между тем многие полагали для х периода

38. Упростить выражение:

1. Обычный способ решения: обозначив величину данного выражения через д:, по возведении в куб, получим:

Левую часть полученного уравнения разлагаем на множители:

Отсюда

Корни последнего уравнения мнимы, данное же выражение вещественно. Следовательно, это посторонние корни.

2. Более оригинальный способ, данный рядом товарищей: преобразуем левый радикал:

Аналогично имеем:

Данное выражение примет вид:

39. Каковы должны быть р и qt чтобы корни уравнения х2 + рх + q = О были тоже Р и <7?

Исходя из формул Вьета:

*l + *î = — Р\ XtX2 = q. (1)

Имеем, согласно условию:

V 4- я = — р,

/><7 = 7- (2)

Из (2) получим: отсюда:

1. д = 0, тогда из (1):

р = —р; 2р = 0; р = 0.

2. /7-1 = 0; /7 = 1.

Тогда:

1 + ? = -1; ? = -2.

Итак, имеем два уравнения, удовлетворяющие условию задачи:

1. х2 = 0. 2. X2 — X — 2 ~ 0.

Совершенно элементарная задача. Однако подавляющее большинство не учло возможности нулевых значений р и q. Задача и была помещена с целью указания необходимости внимательного анализа всякой, даже самой простой на вид задачи.

40. Доказать для треугольника справедливость тождества:

(1)

Элементарная задача для повторения формул

Делая подстановку в (1), получим:

Небольшим вариантом решения может быть подстановка:

получим:

ЗАДАЧИ

81. Доказать для треугольника неравенство

Е. Бугулов (Алагир)

82. Решить систему уравнений:

А. Владичиров (Ялта)

83. Доказать, что число

70а + 2\Ь -Ь 15с — N

делится на 105, если я, Ь, с —остатки от деления целого числа N соответственно на 3. 5 и 7.

И. Кастровицкий (Слуцк)

84. Решить уравнение:

85. Решить уравнение:

86. Решить уравнение:

87. Требуется пересечь куб так, чтобы в сечении получился правильный л-угольник. Показать для каких значений п задача возможна.

88. Решить уравнение:

89. Доказать соотношения:

90. Построить равносторонний треугольник, вершины которого лежали бы на трех данных параллельных прямых.

Л. Маслова (Воронеж)

91. По данным центрам квадратов, вне построенных на сторонах треугольника, построить самый треугольник.

92. Доказать, что при неравных и положительных a, b и с имеет место неравенство:

М. Шебаршин (Медвежегорск)

93. Определить объем тела, полученного от вращения сегмента вокруг диаметра параллельного его хорде. Указать особенность этого объема.

%А, Доказать, что сумма квадратов биномиальных коэфициентов разложения бинома (а+Ь)п равна среднему коэфициенту разложения бинома (а + bfn (п — целое положительное число)

А. Гольдберг (Ленинград)

95. Решить систему уравнений:

А. Гольдберг (Ленинград)

96. Решить систему уравнений:

97. Через данную точку А провести прямую, образующую равные углы с тремя данными прямыми (не лежащими в одной плоскости)

А, Владимиров (Ялта)

98. Найти системы целых положительных чисел, удовлетворяющих уравнению:

99. Доказать, что для п положительных и неравных чисел аи я2, а3--*ап^и ап имеет место неравенство:

М. Шебаршин (Медвежегорск)

100. Доказать, что если

хи х2 - • -хп — положительные числа, то sn == xt +*t•. +хп > пт.

М. Шебаршин (Медвежегорск)

ИТОГИ КОНКУРСА ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ за 1938 г.

По конкурсу 1938 г. премированы 18 товарищей, приславших решения более 60 задач. Список приводится ниже.

Редакция просит премированных товарищей незамедлительно прислать списки желательных книг (не обязательно по математике). В списке не помешать названий книг старых изданий (Вебер и Вельштейн, Маракуев, Юнг, старые задачники и пр.) ввиду отсутствия их на книжном рынке. Товарищей, премированных в предыдущие годы, редакция просит сообщить, какие книги им были поссланы, во избежание повторений.

По желанию премированный товарищ может сам закупить на месте книги на сумму премии и прислать на имя редакции надлежащим образом оформленный счет, по которому ему будут высланы деньги.

Число задач

Сумма премии

Число задач

Сумма премии

1. И. Яглом (Москва) . . .

93

100

11. Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга).....

69

40

2. Е. Киракосян (Ереван) .

92

75

3. А. Соловьев (Калинин) .

89

75

12. Е. Холодовский (Ленинград) .........

4. Н. Кулаков (Бугуруслая)

85

75

69

40

5. И. Колесник (Харьков) .

81

75

13. Б. Андреев (Исык-Куль)

68

40

6. А. Владимиров (Ялта) .

79

60

14. С. Андреев (Торжок). .

68

40

7. А. Логашов (Саловка) .

76

60

15. М. Месяц (Житомир) .

67

40

8. Г. Ахвердов (Ленинград)

76

60

16. П. Постников (Рязань) .

65

40

9. М. Кекелия (Бандза) . .

73

60

17. Н. Введенский (Георгиевск.).........

65

40

10. М. Шебаршин (Медвежегорск) .......

72

60

18. Б. Кашин (Улан-Удэ) . .

62

40

ОТ РЕДАКЦИИ

В задаче 75 (№ 4— 1939 г.) последний множитель следует читать так:

СВОДКА ПО № 2 за 1939 г.

башмаково) 21, 22, 24, 25, 28, 29, -40 Б.Андреев (ст. Исык-Куль) 21, 31, 33, 40 С. Андреев (Торжок) 21, 31, 33, 36, 38—40 В. Архипов (Мо-38—40 Л, Атанасян (Ереван) 21 — 33, 36—40 Г. Ахвердов (Ленинград) 35, 36, 38—40 И. Барщевский (Су-21—40 И. Бачкин (Рогачев) 21, 24, 30, 33, 38 В. Берестовский (Новоград-:к) 33, 38 А. Бирюков (Ново-Деркум) 37, 39 Г. Бобылев (Дубна) 40 П. Бого-(Ьорошиловград) 38 Л. Бубис (Полтава) 28, 36, 38, 39, 40 Е. Буг улов (Орджо-е) 26, 27, 29, 32—34, 36—39 И. Богус-й (Мурафа) 33, 35, 40 А. Бухмиров гино-Мещерское) 21, 24, 26, 29, 31, 33, 38—40 Д. Вагнер (с. Гримм) 21, 22, 26, 39 Р. Варшавский (Красная слобода) 27, И. Введенский (Георгиевское) 21—33, А. Велюго (Шумилино) 21—23, 26, 40 адимиров (Ялта) 21—31, 33, 35—40 нов (Копшевская школа) 21—23,26—28, 4,36,39,40 Воронов (Вышний-Волочек) 26, 31, 33, 35—37, 39 И. Гальперин 21, 24—26, 28, 31, 33, 35, 38—40 П. Гар-Александрополь) 21, 24, 25, 36 В. Гим-рб (Медвежегорск) 21, 24, 25, 28, 29, 33, -40 Р. Глейзер (Калининдорф) 21, 27, 34, 37—40 И. Голайдо (Красная гора) 26—28, 31, 33, 37—40 В. Голубев (Кув-)) 21, 22, 24-31, 33—36, 38—40 С. Горо* нинград) 21—28, 30—35, 38—40 Я- Гох-Володарск-Волынск) 36 А. Граб (Киев) 40 А. Гридин (Харьков) 21—26, 28, 30, 36—40 А. Гуревич (Гомель) 21—40 'X (Краснодар) 21—40 И. Дзигава (Тби-8, 33, 37, 39 Б. Диккер (Одесса) 31—35, Н. Доброгай (Мелитополь) 38—40 ыькевич (Пятигорск) 29, 31,33 В.Жда-Минск) 21, 24, 26, 31, 34—39 Я. Ж ое-Тушкарное) 24, 26, 27, 29, 31, 33, 36—39 тлин (Орел) 21, 26, 39, 40 И. Иванова ец) 39 А. Иванов (Торопец) 21—40 алоев (Докшукино) 21, 39, 40 Л. Каган ) 21—26, 33, 36, 38 Г. Капралов (ropv , 25. 28, 29, 31, 33, 38-40 Б. Кашин /дэ) 21, 24—29, 31, 33—36, 38-40 елия (Бандза) 21-23, 26—31, 33, 35,36. К. Киричек (Бердск) 21—23, 26, 39 йнер (Житомир) 25, 38, 39 М. Климова эбуж) 26, 29, 35—39 С. Колесник (Харь-1-31, 33, 34, 36—40 Л. Копейкина 21—33, 35, 36, 38—40 Г. Костава (Кутаиси) 27, 29, 37, 39 А. Костовский (Мелитополь) 21—26, 28, 30, 31, 33,37, 39, 40 Е.Костюкова и Е. Сапунцов (Луга) 21, 26—30,33. 36—40 Э. Котылянский (Житомир) 21, 27,33, 34, 37—39 В. Крылков (Екатериновка) 21, 26, 27, 30, 33, 34, 37, 39, 40 Л. Левин (Алма-Ата) 21, 26, 29, 39, 40 И. Лернер (Одесса) 26, 29, 31, 33, 36, 39,40 А. Логашов (Саловка) 21—31, 33—37, 39, 40 Н. Любочский (Старая Русса) 22—29, 33, 36, 39 Лядская (Синельниково) 26, 35, 38—40 Л. Маслова (Воронеж) 21—40 И. Мельников (Архангельск) 21, 22, 26, 27,29, 31, 33, 36, 38, 39 М. Месяц (Житомир) 21—31, 33-40 М. Мкртичян (Майкоп) 33, 37-40 Л. Могильницкий (Гайсин) 21—31, 33—40 Г. Могильный (Новостародуб) 33, 39, 40 Ф. Морозюк (Сытковцы) 22—26,33, 39 И. Мхитаров (Махачкала) 21,24—26,28,29,31,37—40 Р.Найданов (Загустай)21—23,26 А.Никитин (Смоленск) 21, 36, 39, 40 Н. Николаев (Хабаровск) 21, 24, 25, 28—31, 33, 34, 37, 38, 40 В. Олейник (Гайсин) 21—25, 29, 30, 33,37-39 И. Певцов (Куйбышев) 21, 22 Павленко (Градижск) 21—23, 26, 28—30, 33, 37—39 Е. Полунина (Дубна) 29, 38 С. Попов (Черкизово) 21—26, 29, 31, 33, 36, 38—40 Г. Ржавский (Фролов) 21, 22, 24—29, 31, 36—40 Д. Ржевский (Рыбинск) 24, 26, 29—31, 33, 36, 40, Д. Салангин (Санчурск) 21—27, 29, 31—36 38—40 Д. Сенькин (Могилев) 31,36,39 И. Сергачев (Балобаново) 26, 28, 40 /7. Сергиенко (Запорожье) 21—31, 33—40 С. Скирта (Новокиевский увал) 21, 39 М. Сорокин (Загорск) 21, 26-29, '33, 36, 38—40 В. Смирнов (Усть-Джегутинская) 21—33, 35, 37—40 Я. Спектор (Житомир) 21—23,27,31,33,34,37—40 Г. Стагь (Карнин) 33, 38 К.Степанов (Мари-Турск)21, 31 Б. Тарасов (Кирсанов) 21 -23, 26—28, 31, 33—36, 38—40 Н. Титов (Казань) 24—40 П. Титов (Тюмень) 21—40 В. Тужилкин (М.-Толкай) 24—26, 28—30, 33, 34, 39 Н. Тычина (Новопавловская) 21, 22, 33 Фомин (Пермь) 21—23, 26 Л. Хайруллин (Мензелинск) 28, 39 И, Харитонов (Херсон) 21, 22, 24—29, 31—33, 35, 36, 38—40 Е. Хвог.товский (Сталинград) 21—28, 30, 31, 33, 34, 36, 38—40 Е. Холодовский (Ленинград) 21—26, 28—33, 36—40 М. Циммерман (Сталино) 21, 22, 26, 28, 30—32, 34—38, 40 Л. Цик (Хащевато) 27, 28, 33, 35, 37, 39, 40 Ф. Шатилов (Москва) 28, 33, 34, 37—39 В. Швегихин (Самойловка) 33,35, 37—39 М. Шебаршин (Медвежегорск) 21 —40.

К СВЕДЕНИЮ ПОДПИСЧИКОВ

По всем вопросам подписки — перемена адреса, неполучение журналов и т. д. — просим обращаться по месту сдачи подписки в предприятия связи. В случае неразрешения вопроса на месте следует обращаться в Бюро претензий предприятий связи. Издательство и редакция подписки на журнал не принимают и не экспедируют его. Этим всецело ведают органы связи.

При обнаружении дефекта в номере журнала просим прислать его для обмена по адресу: Москва, Орликов пер., 3, Отдел периодических издании Учпедгиза.

Издательство