МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

4

1939

УЧПЕДГИЗ НАРКОМПРОСА РСФСР-МОСКВА

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Учиться на опыте передового учительства............ 1

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

Проф. А. Я. Хинчин — Основные понятия математики в средней школе........................... 4

Ш. Миневич — Периодические десятичные дроби........, 23

МЕТОДИКА

В. Синакевич — Основные свойства тригонометрических функций в курсе средней школы................... 44

Проф. К. М. Щербина-— Устные занятия по математике в средней школе............................ 51

М. Грабовский и П. Котельников — Расширение понятия о дуге и об угле в связи с радианным способом измерения . . . . 57

В. Антропов — Тождество a sa =N и его следствия.......61

Г. Костанди — Одна тригонометрическая схема......... . 63

ОТКЛИКИ

И. Смирнов — Разложение квадратного трехчлена на множители . . 65

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

И. Альтшулер — О методике математики............. 67

В. Маловичко — О новом учебнике арифметики А. Киселева 68

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 1 1939 г............ « 71

Задачи.............................. 79

Об одной задаче........................ . 80

Сводка по № 1.................... 3-я стр. Обл.

Отв. редактор А. Н. Барсуков - Техредактор Е. М. Зеф

Зав. редакцией М. М. Гуревич

Адрес редакции: Москва. Орликов пер., 3. Учпедгиз, журнал «Математика в школе»

Уполномоч. Главлита РСФСР N А—16985. Сдано в производство 9/VH 1939 г. Формат? 72X105. Учгиз 11709. Подписано к печ. 29/VilI 1939 г. 5 п. д. 10 авт. л. В п. д. 70000 ав.-

Тир. 38000. Зак. 852.

18-я тип. треста «Полиграфкнига». Москва, Шубинский, 10.

Пролетарии всех стран, соединяйтесь!

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

4

1939

ИЮЛЬ АВГУСТ

Год издания шестой

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

УПРАВЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

УЧИТЬСЯ НА ОПЫТЕ ПЕРЕДОВОГО УЧИТЕЛЬСТВА

1

Из года в год неуклонно растет многочисленная армия советского учительства. Экономические кризисы — неизбежное явление для капиталистических стран, дикие гонения на науку, культуру, образование в странах фашизма приводят к сокращению школьной сети, влекут за собой безработицу среди учительства, обрекают на голод тысячи и тысячи учителей.

В Стране победившего социализма бурный культурный рост всех братских национальностей Советского Союза предъявляет с каждым годом все больший и больший спрос на учительские кадры. И даже наша непрерывно растущая, невиданная для капиталистических стран сеть педагогических учебных заведений пока еще не может удовлетворить этот спрос полностью. А как неизмеримо возрастает потребность в учительских кадрах в связи с историческим постановлением XVIII съезда ВКП(б) о введении всеобщего семилетнего обучения в течение третьей сталинской пятилетки !

2

И в настоящем году новые тысячи молодых учителей, только что окончивших педагогические учебные заведения, вольются в школы Советского Союза. Взращенные в свободной Советской стране, будучи свидетелями невиданной в истории человечества великой социалистической стройки, они и теперь уже захвачены ее энтузиазмом. Горячо любящие свою социалистическую родину, они готовы беззаветно отдать все свои силы на служение ей и, прежде всего, на том поприще, которое они избрали своей специальностью — на поприще народного образования, на поприще воспитания и обучения подрастающего поколения.

Вся ответственность этой работы и ее трудности ясны для молодых педагогов. Десятки серьезнейших вопросов встанут перед ними с первых шагов их работы. Вопросы планирования всей работы на год, на четверть, построение урока, методика изложения тем, контроль и оценка знаний учащихся — эти и подобные им вопросы всей своей массой встают перед молодым педагогом, требуют немедленного разрешения тут же, в процессе самой работы.

Без сомнения, наши педагогические учебные заведения дают определенную теоретическую и, в меньшей степени, практическую подготовку к будущей педагогической деятельности. Но хотя качество этой подготовки и повышается с каждым годом, все же и в настоящее время оно еще далеко от желательного. Ряд недочетов и пробелов в этой подготовке требует серьезного внимания к проблеме постановки на надлежащий уровень среднего и высшего педагогического образования.

Но и при очень высокой качественной постановке преподавания в педагогических учебных заведениях последние все же не могут охватить все вопросы, возникающие у учителя в процессе его практической работы, в особенности в их деталях, связанных с конкретной обстановкой. Здесь помощь учитель должен черпать из других источников. Каковы же эти источники?

3

Это, во-первых, научная и методическая литература. Качество преподавания в громадной степени зависит от высоты теоретиче-

ского уровня педагога. Научно грамотный учитель гораздо легче найдет наилучший способ изложения той или иной темы, он не потеряется при недоуменных, иногда довольно неожиданных вопросах со стороны учеников, он легко выправит недостатки и неудачное изложение учебника и т. д. С другой стороны, методическая литература фиксирует многолетний опыт целых поколений педагогов. Она показывает, как можно подойти к изучению той или иной темы, какими методами и приемами пользовались при этом учителя, какие из них и в каких условиях дали наилучшие результаты. Она, одним словом, знакомит с прошлым опытом, и это знакомство, безусловно, окажет ценную помощь учителю в его настоящей работе. Поэтому непрерывное повышение своего теоретического и методического уровня, чтение, изучение научной и методической литературы — необходимое условие для успешной работы педагога.

Само собой разумеется, что этому изучению должно постоянно сопутствовать изучение идеологической базы для всякой науки (как и для практики), изучение марксистской диалектики.

Но если для повышения идейного уровня педагога мы имеем такие ценные источники, как сочинения творцов марксизма-ленинизма— Маркса, Энгельса, Ленина, Сталина, такое руководство, как «Краткий курс истории ВКП(б)»; если для повышения научного уровня мы имеем, особенно за последние годы, довольно значительное (но все же еще недостаточное, в особенности в отношении тиража) количество изданий произведений классиков и учебной литературы, то в отношении методической литературы мы пока еще ничем похвалиться не можем. Количество изданных книг по методике ничтожно мало, и издавались они в таких тиражах, что раскупались в неделю-две по выходе из печати. Поэтому молодой педагог сможет достать ту или иную методическую книгу в школьной библиотеке (далеко не всегда), иногда у своего товарища, но приобрести эту книгу для постоянного пользования ею для него недоступно. Понятно, что это положение должно быть коренным образом изменено в течение ближайших двух-трех лет.

4

Вторым источником для повышения квалификации педагога являются методические журналы. Они ценны тем, что собирают и фиксируют настоящий опыт, опыт современного педагога, работающего в советской школе. Они ценны и тем, что старят и по мере своих сил разрешают вопросы, возникающие в условиях современной действительности, в конкретной обстановке советской школы — вопросы программ, учебников, планирования работы, методов преподавания и пр.

Но нужно прямо сказать, что с этими задачами наши методические журналы справляются еще далеко не в должной мере. Тематика журналов не всегда отвечает насущным запросам учителя, научный уровень их не всегда на должной высоте. Журналы еще недостаточно завязали связей с периферией, чтобы вылавливать опыт лучших учителей, а потому иногда базируются в основном на московских авторах и т. д. И все же, несмотря на эти крупные недочеты, журналы, несомненно, оказывают помощь учителю в его работе, и именно поэтому они охотно раскупаются и читаются учительством. Но и здесь малый объем и недостаточный тираж журналов значительно снижают эффективность их в деле повышения квалификации педагога.

5

Третий источник — непосредственный личный опыт самого педагога. Это, конечно, очень ценный и очень надежным источник. Непосредственным опытом в живой аудитории учитель проверяет правильность своих установок, эффективность выбранного метода, целесообразность того или иного приема. Недочеты в построении урока, в изложении материала сейчас же дают себя чувствовать, сейчас же сказываются на качестве знаний учащихся, заставляют принимать безотлагательные меры к их устранению. Уроки данного учебного года дают богатейший материал для более уверенного, более свободного от недочетов планирования работы в будущем учебном году.

Но этот личный опыт требует довольно длительного промежутка времени для его накопления, может дать значительный эффект лишь после нескольких лет работы, так как с каждым новым годом молодому педагогу приходится впервые заниматься и с новыми классами. Поэтому именно в первые годы своей работы учитель особенно нуждается в надлежащем руководстве, в действенной помощи, в конкретных указаниях, позволяющих избежать

ряда грубых промахов, закончить учебный год с хорошими показателями результатов работы.

Может ли молодой учитель найти такого руководителя? Да, может и притом непосредственно на месте — в своей или соседней школе. Такое руководство он может найти в наблюдении и изучении живого опыта, в непосредственном изучении работы передового учительства нашей страны.

6

Широкое развертывание социалистического соревнования, мощный подъем стахановского движения не могли не найти своего отражения, не могли не вызвать отклика в самой гуще учительской массы. И здесь, как и во всякой другой области социалистического строительства, на социалистических методах труда воспитался и вырос мощный многотысячный передовой отряд лучших учителей, ведущих за собой всю учительскую массу, показывающих ей образцы педагогического мастерства.

Специальным постановлением правительства лучшие из них — четыре слишком тысячи одних только сельских учителей! — отмечены высокой наградой — орденами Советского Союза. Кто они, эти учителя, труд которых является образцом социалистического труда? Это в подавляющем большинстве рядовые работники сельской школы. Они рассеяны по всем уголкам необъятной Советской страны. Посмотрите на список награжденных. Рядом с названием районного центра вы увидите десятки названий самых глухих, самых безвестных деревушек. Это — рядовые сельские учителя, но любовь к детям, любовь к своему делу, неустанное стремление к повышению качества своей работы выдвинули их в первые ряды борцов за коммунизм, сделали имена их известными всем трудящимся великой Советской страны. Педагоги-отличники, они умело и непрерывно сочетают педагогическое мастерство с действенной и высокополезной общественной работой. Лучшие активисты на селе, они не замыкаются в стенах школы, но ведут свою воспитательную, пропагандистскую работу среди родителей, в клубе, в избе-читальне, в колхозе, в сельсовете.

Обладая богатым педагогическим опытом, они не хранят его под спудом «для собственного пользования», они несут его в широкие учительские массы. Они не останавливаются на достигнутых успехах, но продолжают свои искания, проверяют свой опыт опытом других учителей.

Вот этот передовой учитель, учитель-отличник, учитель-общественник, и является первым другом, советчиком и руководителем молодого педагога.

Изучать опыт передового учителя, переносить этот опыт в свою работу, переносить не слепо, но с учетом особенностей своей школы, своей аудитории, обогащая, совершенствуя его своим собственным опытом,— вот что окажет незаменимую помощь молодому педагогу на первых шагах его работы в школе.

7

Третья сталинская пятилетка ставит задачи громадной важности в области среднего образования. Введение всеобщего семилетнего обучения в деревне и десятилетнего в городе, поставленная т. Молотовым перед средней школой задача — подготовить учащихся к практической деятельности— по-новому ставят на очередь вопросы о программах, учебниках, о подготовке кадров. Теперь же, немедленно, зти вопросы должны стать в центре внимания отделов народного образования, научных работников, всего учительства.

Московская математическая общественность в лице Московского математического общества проявила прекрасную инициативу в этом деле, поставив и подвергнув детальному обсуждению обстоятельный и содержательный доклад проф. А. Я. Хинчина, посвященный именно этим важным вопросам*.

Эта инициатива должна быть немедленно подхвачена другими городами.

Учительство должно принять в этой работе самое активное участие. Передовым учителям, учителям-орденоносцам, принадлежит здесь первое слово.

* Конспект доклада проф. А. Я. Хинчина будет помещен в 6-м номере.

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Проф. А. Я. ХИНЧИН (Москва)

ВВЕДЕНИЕ

Идейный уровень преподавания математики в средней школе заметно отстает от ее научного развития. Ни в одной другой школьной дисциплине мы не имеем такого положения вещей, когда весь излагаемый материал, за единичными исключениями, слагается из фактов, известных уже в XVII столетии. Только одна глава алгебры — учение об иррациональных числах — принадлежит к созданиям XIX столетия.

Если архаичность программного материала может отчасти найти себе объяснение в том, что высшая школа в области математики (в отличие от физики, химии и биологии) непосредственно ведет учащихся дальше, не возвращаясь к элементарным научным фактам, то никак нельзя объяснить и оправдать того общеизвестного явления, что даже самые основные понятия, формулировки и методы рассуждения в школьном преподавании в силу вековой традиции часто излагаются в несоответствии с их пониманием и трактовкой в современной науке. Ссылка на якобы достигнутое этим облегчение усвоения соответствующих фактов совершенно несостоятельна: в подавляющем большинстве случаев научная концепция тех понятий, о которых здесь идет речь, элементарней и проще и во всех случаях отчетливей той, которая по традиции культивируется учебниками; приведенная ссылка почти всегда имеет целью маскировку косности и рутины методической среды; мы часто на все предложения обновления слышим только, что «по-старинке будет легче»; ни в одном случае мне не удалось добиться, почему по-старинке будет легче; и во всех случаях я приходил к убеждению, что легче будет учителю, вызубрившему учебник и не желающему переучиваться, а никак не ученику; во всех случаях это было равнением методиста на отсталые слои учительства, в то время как передовые учителя заинтересовывались новшеством, охотно продумывали и часто принимали его.

Два принципа мне хотелось бы положить в основу решения вопроса о том, в какой мере то или другое понятие математики может быть, с учетом развития учащихся, изучаемо в школьном курсе в соответствии с его трактовкой в современной науке; вот эти принципы.

1. В случаях, когда возрастные условия не позволяют дать такую трактовку понятия, какая принята современной наукой, концепция этого понятия в школьном курсе может быть упрощена; это означает, что школа не обязана доводить развитие каждого понятия до его состояния в современной науке, но может остановиться и на предшествующей стадии развития этого понятия. Но ни в одном случае школа не должна в целях упрощения искажать научную трактовку понятия, придавать ему черты, противоречащие научному его пониманию,— черты, которые в последующем пришлось бы искоренять; другими словами, ни в одном случае школа не должна развивать понятия в направлении, отклоняющемся от пути его научного развития.

2. Замена отчетливых и точных определений, формулировок и рассуждений расплывчатыми, не имеющими точного смысла и при последовательном использовании неизбежно приводящими к логическим неувязкам, ни в одном случае не может способствовать облегчению понимания, а, напротив, во всех случаях затрудняет его; мыслить расплывчато не может быть делом более легким, чем мыслить четко.

Наконец, мы полагаем, что обычное построение школьного курса изобилует такими понятиями, которых не знает математическая наука или которые она давно отвергла. В подавляющем большинстве

случаев введение этих изобретенных специально для школы и неупотребительных в науке понятий не имеет за собой ничего, кроме слепой традиции; вызываемое ими обременение курса методически ничем не оправдано и приносит только вред.

Вот те исходные принципы, с точки зрения которых написана эта статья, может быть, несколько необычная по содержанию: читатель не найдет в ней ни более или менее популярного изложения современных научных концепций, рассчитанного на повышение его квалификации, ни методических разработок в общепринятом смысле этого слова; и тем не менее мне хотелось, бы высказать надежду, что учитель встретит при чтении ее как моменты, расширяющие его научный кругозор, так и некоторую методическую помощь. Скромная задача этой статьи — разобраться для нескольких важнейших математических понятий в вопросе о том, в какой мере и какими путями изучение их в средней школе может быть приведено в соответствие с их трактовкой, принятой в современной науке.

I. ПОНЯТИЕ ЧИСЛА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Понятие числа является основным стержнем всего школьного курса математики, пронизывающим этот курс от первого до последнего класса. Историческая эволюция этого понятия воспроизводится таким образом в сознании учащегося на протяжении долгого периода и притом такого периода, в течение которого рост сознания школьника можно уподобить росту сознания человечества за всю историю его сознательной жизни. И подобно тому, как в сознании мыслящего человечества понятие числа, подымаясь от ступени к ступени, в разные эпохи не только по содержанию, но и по стилю, научному уровню и логической зрелости являло собою совершенно различную картину, —точно так же нельзя говорить и о едином понятии числа, соответствующем уровню сознания школьника. На протяжении школьного обучения понятие числа не только обогащается по содержанию, включая в себя все новые и новые классы чисел, но и качественно эволюционирует вместе с сознанием учащегося, приобретая новые черты и оттенки и подымаясь па все более высокие ступени абстракции и логической завершенности. Самая мотивировка последовательных расширений понятия числа естественно на разных ступенях развития должна принимать совершенно различные формы, подобно тому, как в истории науки эти последовательные расширения, имея своей общей основой потребности человеческой практики, фактически завоевали свое право на жизнь, апеллируя к весьма различным запросам и отличительным чертам человеческого сознания. Если введение дробей мы можем непосредственно мотивировать реальными потребностями практики и вряд ли достигли бы лучших результатов, пытаясь на данном уровне детского сознания апеллировать к запросам более теоретического характера, то при введении отрицательных чисел мы уже можем рассчитывать на существенный педагогический эффект того замечания, что в новой области вычитание становится неограниченно выполнимым; при введении иррациональных чисел, кроме аналогичной аргументации, мы можем с успехом ссылаться и на теоретические нужды геометрии, а введение комплексных чисел совершается в таком возрасте, когда довольно высокие требования теоретического развития, предъявляемые этим последним расширением понятия числа, уже должны быть налицо у учащегося; таким образом, не только ступень, продвинутость самой эволюции, но и уровень понимания этого эволюционного процесса, естественно, совершенно различен на различных стадиях обучения. И, конечно, только в последнем классе уместен достаточно полный, систематизирующий ретроспективный взгляд на общую картину завершившегося эволюционного процесса.

Понятие числа отличается от многих других понятий школьного курса математики своей первичностью. Это значит, что в подавляющем большинстве логических построений математики понятие числа относится к разряду тех понятий, которые не определяются через другие понятия, а вместе с аксиомами входят в состав первоначальных данных. Это значит, что математическая наука не содержит в себе ответа на вопрос «что такое число?»—такого ответа, который состоял бы в определении этого понятия через другие, ранее установленные, понятия; математическая наука дает этот ответ в другой форме, перечисляя свойства числа, выраженные в аксиомах. Тем более, конечно, бессмысленной и безнадежной является всякая попытка определения этого понятия в школьном курсе арифметики и алгебры; в особенности следует остерегаться довольно распространенной тенденции к созданию суррогатов такого определения, когда за определение понятия выдается перечисление тех момен-

тов человеческой практики, в которых мы с этим понятием встречаемся; конечно, надо, чтобы школьник знал, как и почему потребности счета и измерения привели к возникновению и последовательному расширению понятия числа, но заставлять детей заучивать фразы вроде: «число есть результат счета или измерения», «отношение есть результат сравнения и т. д.», и считать эти фразы ответами на вопросы «Что такое число?», «Что такое отношение?», т. е. определениями этих понятий,— значит сознательно прививать учащимся логическую расплывчатость и неразбериху, смешение логического определения с генетическим описанием. Из подобного рода «определения» учащийся узнает о числе столько же, сколько человек, никогда не слыхавший слова «во^на», узнает о ней из фразы: «Война есть результат столкновения государственных интересов».

Мы считаем важным настаивать на том, чтобы весь курс школьной математики был освобожден от каких бы то ни было попыток прямого ответа на вопрос: «Что такое число?», ибо, каков бы ни был этот ответ, он будет вульгарным и искажающим логическое содержание проблемы. Но нас, конечно, спросят, как же быть учителю, если ученик поставит этот вопрос? Отвечаем: поступать как всегда, т. е. говорить правду; ответить ученику, что поставленный им вопрос есть одна из труднейших задач научной философии, от полного разрешения которой мы еще далеки; что число, как всякое математическое понятие, есть отражение в нашем сознании некоторых отношений действительного мира, но что вопрос о том, какие именно отношения действительного мира находят себе выражение в понятии числа, вопрос о том, какие отношения являются количественными,— есть глубокая и трудная философская задача; математика же может только показать изучающему ее, какие бывают числа, каковы их свойства и как над ними можно и нужно действовать. Если такой ответ ученика не удовлетворит, то это будет означать только, что данный ученик не созрел до правильного понимания той задачи, которая содержится в поставленном им вопросе; с этим учитель должен примириться; лучше подождать год-другой с ответом, чем подменять этот ответ суррогатом, вульгаризирующим проблему.

Но если мы отказываемся от логического определения понягия числа в школьном курсе математики, то это не значит, конечно, что формирование и эволюцию тех представлений и ассоциаций, которые связывает учащийся со словом «число», мы можем предоставить самотеку Напротив, каждый учитель обязан твердой рукой на протяжении всего срока обучения вести учащихся к созданию правильного, отчетливого и возможно зрелого в научном отношении представления о числе, подчеркивая все то, что способствует созданию такого представления и отметая все то, что его искажает и фальсифицирует.

Каково же это правильное представление о числе, какова доступная школьнику в формировании этого представления ступень научной зрелости и каким путем создание этого представления может быть достигнуто?

Мы считаем, что весь курс арифметики и алгебры должен быть ориентирован на постепенное создание и укрепление у учащихся представления о числе как об объекте арифметических операций. Само собою разумеется, что эта (или равносильная ей) фраза не только не может служить определением понятия числа, но и вообще в школьном курсе не должна быть произносима. Но если учащийся исподволь, путем умелых ударений и косвенных указаний со стороны учителя в конце X класса будет со словом «число», хотя бы полусознательно, ассоциировать нечто такое, что можно складывать, умножать и т. д., — то мы сможем с уверенностью сказать, что в отношении понятия числа школа сумела внушить ему то лучшее и высшее, что она могла дать; платформа для дальнейшего математического развития, если такс вое потребуется, будет при этом подготовлена наилучшим образом; именно такое представление о числе, будучи, с одной стороны, безусловно доступным сознанию школьника на заключительном этапе его развития, в то же время открывает все двери в область научных концепций современной алгебры.

Высказанный нами тезис, конечно, никак не должен быть понимаем в качестве призыва к отрыву от реальных связей понятия числа. Само собою разумеется, что отстаиваемое нами результативное представление о сущности числа не исключает, а, напротив, обязательно включает в себя идею числа как отражение реальных соотношений и зависимостей. Все преподавание арифметики и алгебры проводится, как об этом будет сказано ниже, под знаком борьбы против формализма и с пол-

ным учетом материального содержания каждой новой разновидности понятия числа и каждой новой алгебраической операции; самые операции арифметики и алгебры должны не терять в сознании учащихся своего материального, вещественного содержания, вследствие чего и представление о числе как об объекте этих операций, будучи зрелым плодом достигнутой ступени обобщения и абстракции, не может и не должно знаменовать собою отрыва от реального источника этого отвлеченного понятия; напротив, оперативность, связываемая с идеей числа, должна подчеркивать, напоминать и укреплять в сознании учащихся практические связи и применение этой идеи.

В дальнейшем изложении мы последовательно коснемся различных этапов развития понятия числа, при этом все наше внимание будет сосредоточено на логическое природе каждого нового расширения; методические же выводы мы будем рассматривать лишь постольку, поскольку они связаны с реализацией этой логической природы в процессе преподавания. Поэтому все последующее не может, разумеется, претендовать на роль методической разработки подобно тому, как и вся настоящая статья не может представлять собою методического руководства.

I. Нуль

Первое расширение понятия числа, с которым встречается учащийся, совершается в тот момент, когда к натуральным числам присоединяется нуль.

В нашей методической литературе до сих пор продолжается дискуссия по вопросу о том, следует ли в школе считать нуль числом или оставить за ним лишь значение символа, указывающего на отсутствие в данном числе единиц соответствующего разряда. Мы полагаем, что последнее предложение может быть только плодом недоразумения; нет решительно никаких оснований становиться в школьном преподавании в противоречие с научным строением арифметики; такая позиция практически приводит к явно нетерпимым выводам и следствиям, угрожающим в конечном счете полной невозможностью сколько-нибудь систематического построения учения о числе.

1. Вся современная наука признает нуль числом.

2. Если мы нуль не признаем числом, то мы вынуждены признать, что разность

(а после введения отрицательных чисел и сумм?) двух чисел может не быть числом.

3. Если мы нуль не признаем числом, то мы вынуждены производить арифметические действия (сложение, вычитание, умножение) над тем, что не есть число. Напротив, признавая нуль числом, мы получаем возможность уже на ранней стадии обучения заронить в сознание учащихся тот оперативный принцип, о котором мы говорили выше (примерно по схеме: «Нуль можно прибавлять и вычитать, на нуль можно умножать,— значит, нуль есть число»).

4. Наконец, отпугивающее многих методистов возведение в ранг числа такого символа, который до сих пор означал как раз отсутствие единиц соответствующего разряда, на самом деле не только не является антинаучным или нарушающим логический порядок изложения, но, напротив, служит первым и очень ярким примером реализации в математике диалектического закона единства противоположностей. Когда позднее мы учим школьников понимать целое число как частный случай дробного, вещественное — как частный случай комплексного, постоянную величину — как частный случай переменной и т. д., то все это — проявления одного и того же закона диалектической логики, проявления, чрезвычайно характерные для всего стиля математической науки: понятие, первоначально возникшее как антитезис некоторому данному понятию, первоначально стоящее к нему в отношении явно выраженного антагонизма,— позднее, будучи поднято на более высокую ступень, синтезирует с ним, причем, конечно, оба понятия в полной мере сохраняют в этом единстве свои противоположные черты. Так и нуль, нисколько не теряя своего реального значения и всех своих специфических особенностей, возникая первоначально как антитезис, как отрицание по отношению к натуральному числу, в дальнейшем развитии понятия числа становится в одну колонну с рядом натуральных чисел, выступает как продукт операции над натуральными числами, подчиняется одинаковым с ним законам и правилам и тем самым приобщается к миру чисел.

Так обстоит дело в принципиальном плане. В сознании учащихся картина должна, естественно, складываться в значительно упрощенном виде, но упрощение не должно повлечь за собою ни искажения, ни вульгаризации. После того как

нуль прочно вошел в сознание школьника в качестве символа, указывающего на отсутствие в данном числе единиц того или иного разряда, и стал, таким образом, привычным орудием письменной нумерации, учащийся, овладевая действиями над многозначными числами, исподволь и постепенно в самой практике арифметических операций привыкает к тому, что нуль появляется и как результат действий, производимых над натуральными числами и даже как прямой объект этих действий. После этого учитель в надлежащий момент говорит: так как над нулем мы производим действия столь же просто и успешно, как и над числами и всем правилам этих действий нуль подчиняется так же хорошо, как и числа, то мы с вами уговоримся считать его теперь числом и этого нашего уговора будем всегда придерживаться.

Приобщение нуля к миру чисел в силу возможности производить над ним арифметические действия явится первым шагом в деле привития сознанию учащегося того оперативного принципа, о котором мы говорили во введении к настоящей статье.

2. Дроби.

Реальная, практическая мотивировка введения дробных чисел настолько убедительна и доступна детскому сознанию, что не нуждается здесь ни в каких пояснениях.

С логической точки зрения несколько моментов должны быть подчеркнуты.

1. Целые числа, вначале противополагаемые дробным, выступают затем как разновидность, как частный случай этих последних; здесь мы имеем второй случай реализации закона единства противоположностей в арифметике, и этому моменту должно быть уделено особое внимание. Ничего, разумеется, не говоря детям ни о каких законах диалектики, учитель должен озаботиться тем, чтобы в сознании его учеников прочно улеглась картина расширенного мира чисел, в котором давно известные учащимся целые числа занимают свое особое место (а не находятся вне его).

2. Невозможность деления на нуль является следствием той особой природы этого числа, которую оно сохраняет и после приобщения его к числовому миру. Так как этот запрет является универсальным, т. е. сохраняющим свою силу при всех дальнейших расширениях понятия числа, то он должен быть высказан и постоянно напоминаем в самой категорической форме. На всем протяжении школьного курса необходимо тщательно избегать каких бы то ни было записей, содержащих нуль в знаменателе. Так, говоря о том, что уравнение 0• jc = 1 не имеет решений, следует мотивировать это заключение тем, что 0-л; при любом х равно нулю и, следовательно, ни при каком х не может равняться единице. Напротив, не следует рассуждать так: «Из 0 - jc = 1 вытекает X = —, а так как выражение — не имеет смысла, то данное уравнение не имеет решений». При таком рассуждении мы фактически производим деление на нуль, лишь потом констатируя, что полученное выражение не имеет смысла, между тем как задача состоит как раз в том, чтобы приучить учащихся никогда не предпринимать попытки деления на нуль. Мы не говорим уже о том, что довольно распространенные в нашей школе записи вроде — = od и т. п. в корне порочны, ведут к неисчислимым заблуждениям и вредным навыкам и потому со всей решительностью должны быть изгнаны из школьной практики.

3. Мы считаем нужным сделать несколько замечаний по вопросу о роли и месте десятичных дробей и процентных вычислений в курсе арифметики. Опыт показывает, что в этом вопросе простейшие факты часто остаются неосознанными самим учителем, а это обстоятельство в свою очередь влияет на весь стиль преподавания, на те общие точки зрения, в свете которых учебный материал преподносится школьникам.

Источником неясностей служат самые термины «десятичные дроби» и «проценты», создающие впечатление, будто здесь речь идет о дробных числах какой-то новой природы. На самом деле, разумеется, имеются в виду те же дроби, с которыми учащиеся уже подробно освоились, и вопрос возникает лишь о новом аппарате для изображения все тех же старых чисел, о новой форме записи дробей. Было бы гораздо лучше и значительно способствовало бы правильному пониманию вопроса, если бы соответствующие главы носили названия «Десятичная запись дробей » и «Процентная запись дробей», ибо 0,2 от — , 0 (3) от — , 45о/о от — не отличаются ничем, кроме формы записи, и чем раньше и чем прочнее это обстоятельство будет усвоено учащимися, тем легче они

справятся с трудностями, связанными с десятичными и процентными расчетами; по нашему прочному убеждению, значительная часть этих трудностей вызывается стремлением авторов учебников, методистов и учителей искусственно создать какое-то «предметное» различие между выражениями 0,6 и 60<ув,— различие, которого не знает наука (попросту отождествляющая смысл этих выражении) и которое измышляется специально для школьных нужд. Мы решительно стоим за изгнание из школьного курса всякого подобного паразитического псевдонаучного багажа, исходя при этом из твердой уверенности, что специально придуманные нагромождения, не способные получить четкого логического содержания, ни в одном случае не могут облегчить понимания соответствующих понятий, а, напротив, во всех случаях лишь затрудняют их отчетливое понимание. В этом контексте необходимо упомянуть еще об одном аналогичном нагромождении: вместо того чтобы попросту определить отношение двух чисел как их частное, детей заставляют заучивать «определение», согласно которому «отношение есть результат сравнения и т. д.»,— фразу, в которой ни один доктор математических наук не сумеет открыть точного смысла.

Особенно тяжело обстоит дело с процентами. Вместо того, чтобы с самого начала с исчерпывающей ясностью указать, что проценты представляют собою лишь особую форму записи дробей и что поэтому не существует и не может существовать никаких «задач на проценты», а что, напротив, любая задача с дробными данными может быть поставлена и решена в процентной записи и обратно,— вместо этого предельно ясного подхода к делу у нас создают какой-то культ процентов, гипостазируют их до присвоения им особого предметного содержания, создают для них особую теорию и особую категорию задач, словом, делают все возможное для того, чтобы в представлении школьника процент вырос в новое, чуждое и трудное понятие, требующее специального подхода и специальных методов исследования. А за этим, как правило, констатируют, что «проценты плохо усваиваются учащимися».

О процентной записи дробей мы считаем нужным сделать еще одно замечание. У учащихся может возникнуть вопрос, зачем понадобилась еще эта новая форма записи дробных чисел, если две формы — обыкновенная и десятичная — уже имеются. Старые курсы арифметики на это отвечали указанием, что эта форма записи принята в коммерческих расчетах; не говоря уже о том, что такой ответ и в старое время ничего, конечно, не разъяснял, ясно, что в советской практике процентные расчеты получили такое широкое применение, перед лицом которого этот ответ является совершенно устарелым. А между тем наш учитель часто сам затрудняется ответить на этот вопрос с достаточной четкостью, поэтому мы считаем полезным уделить ему несколько слов.

Если мы хотим быстро, на-глаз сравнить по величине две дроби, например: — и то этому мешает то, что дроби эти выражены в различных долях (имеют разные знаменатели). Для элементарных практических надобностей поэтому целесообразно по возможности пользоваться (хотя бы приближенным) выражением дробных чисел в одних и тех же долях, т. е. в виде дробей с одним и тем же знаменателем. Какое же число всего удобнее выбрать в качестве такого универсального знаменателя? Подробности десятичной системы счисления и метрической системы мер ясно указывают, что в качестве такого числа следует выбрать либо 10, либо 100, либо 1000 и т. д. Дальнейший выбор производится уже на основе чисто практических соображений. Если универсальный знаменатель выбрать слишком малым, то может случиться, что при пользовании целыми числителями мы получим слишком сильное округление, так: что точность для большинства практических целей окажется недостаточной. Напротив, если универсальный знаменатель выбрать чрезмерно большим, то мы получим хорошую точность приближения, но вместе с тем и числители окажутся числами слишком большими и поэтому неудобными для практических расчетов. Как показывает практика, именно выбор числа 100 в качестве универсального знаменателя наилучшим образом удовлетворяет всем запросам элементарных расчетов: при пользовании целыми числителями мы получаем в этом случае такие приближения для любых величин, которые в большинстве практических расчетов дают вполне достаточную точность; с другой стороны, числители, как правило, оказываются при этом сравнительно небольшими числами, с которыми не трудно оперировать.

Но выбрать число 100 в качестве универсального знаменателя — это и означает перейти к процентной записи дробных

чисел. Разумеется, пользование целыми числителями все же не во всех случаях дает требуемую степень точности; иногда мы вынуждены бываем добавлять в числителе один и даже более десятичных знаков после запятой (86,3<>/0), что фактически означает переход от процентов к промилям и т. д.

3. Отрицательные числа. Рациональные числа

Введение отрицательных чисел с реальной стороны обусловлено потребностью измерения величин, значения которых простираются в двух взаимно противоположных направлениях. С величинами этого рода мы встречаемся в нашей каждодневной практике; поэтому реальная обусловленность отрицательных чисел с методической стороны затруднений не представляет. Значительно труднее обстоит дело с обоснованием действий над отрицательными числами. Причина всех хорошо известных методистам трудностей, связанных с этим разделом, коренится в том, что создающаяся здесь логическая ситуация является новой и непривычной для детского сознания; речь идет об определении действий, носящих привычное название (сложение, умножение), над новыми, только что введенными объектами; то обстоятельство, что то или иное действие, хотя бы оно носило старое наименование, с формальной точки зрения для новых объектов (отрицательных чисел) может быть определено совершенно произвольно, является таким новым моментом, который на данном этапе лишь с большим трудом укладывается в детском сознании. Учащийся не может отделаться от настоятельной потребности в доказательстве правила знаков при умножении, между тем как учитель не только не может дать ему такого доказательства, но, напротив, с научной точки зрения должен убедить его, что такого доказательства не может существовать, что такого доказательства нельзя искать или требовать. Наша методика в общем находит правильный выход из этого положения, стремясь убедить учащихся в целесообразности принимаемых алгеброй правил действий на базе ряда примеров, связанных с тем или иным конкретным истолкованием отрицательных чисел. При этом имеется, однако, одна существенная опасность, против которой необходимо решительное предостережение: приводя подобного рода примеры, учебник, методист, учитель (учитель же непременно) должен сопровождать их отчетливой оговоркой, что здесь речь идет не о доказательстве того или другого правила, а лишь об иллюстрации его полезности, с непременным указанием на то, почему это правило вообще не может быть доказано. Подобным же образом и в дальнейшем, показывая учащимся, что при установленных определениях действий над отрицательными числами сохраняют силу все те законы, которые имели место для положительных чисел, учитель обязательно должен отметить, что и это обстоятельство никак не может служить доказательством установленных определений, а является лишь иллюстрацией логической целесообразности их, подобно тому как ранее мы имели иллюстрацию их практической целесообразности. Без всех этих оговорок учащиеся не только неизменно будут усматривать в этих иллюстрациях достаточное логическое обоснование правил действий, но получат склонность и в дальнейших разделах курса к бесплодным поискам доказательства утверждений, которые на самом деле представляют собою определения новых понятий и потому, разумеется, не могут быть доказаны (длина окружности равна пределу периметров вписанных многоугольников и т. п.).

Учение об отрицательных числах в изложении многих авторов содержит один существенный момент, который ставит его в явное противоречие с общепринятой научной концепцией этого понятия; этот момент находит себе известное отражение и в стабильном учебнике и в программе курса алгебры. В то время как с научной точки зрения введение отрицательных чисел происходит так, что к известным уже числам, которые называются положительными (нуль занимает особое положение), присоединяются новые, называемые отрицательными,—почти все системы школьного изложения этого вопроса с большей или меньшей отчетливостью и откровенностью тяготеют к совсем иной картине этого процесса, ничего общего не имеющей с его научной трактовкой; в своей законченной форме эта картина выглядит так: к известным уже («абсолютным», беззначным) числам присоединяются новые «относительные» числа, разделяющиеся на положительные и отрицательные; с точки зрения этой концепции положительное число, рассматриваемое в алгебре, чем-то отлично от абсолютного, беззначного числа, рассматриваемого в арифметике. Особенно ярко эта тенденция сказывается при

рассмотрении абсолютной величины «относительных» чисел: считают, что |5 1 чем-то отлично от-[-5, что j5| — число абсолютное, беззначное, в то время как +ö— число «относительное», положительное. Эта тенденция очень распространена, но в то время как некоторые авторы с полной определенностью явно ее высказывают и последовательно стараются провести,— у других ее наличие и действительность проскальзывают лишь между строк, становятся очевидными лишь из косвенных указаний; лишь в очень редких случаях мы встречаем ясно и четко выраженную установку, соответствующую научной трактовке этого вопроса.

Как и во всех других аналогичных случаях, мы полагаем, что и здесь нагромождение объектов и понятий, незнакомых науке, изобретаемых специально для нужд школьного преподавания и по необходимости ставящих это преподавание в противоречие с научной трактовкой, не только не делает предмет более доступным, но, напротив, лишь загромождает его логическую структуру без всякого методического эффекта и с необходимостью приводит к неувязкам и логическому неблагополучию. Почему не определять абсолютную величину так, как это делает наука? Зачем вводить никому не нужные «оттенки», создающие какие-то эфемерные, не нужные ни теории, ни практике различия между величинами о,+5, |+5 |, | — 5|, с научной точки зрения ровно ничем не отличающиеся друг от друга? Ведь учащемуся же говорят, что 5 означает + 5, что знак -J- перед положительным числом может быть опущен; как же при этом условии хотят создать впечатление, будто, кроме положительной пятерки, существует еще какая-то абсолютная пятерка, обозначаемая тем же символом 5, при всех действиях дающая тот же результат, что и положительная пятерка, и все-таки чем-то, каким-то нюансом от нее отличная? И неужели серьезно думают, что все это нагромождение, в котором никак не разберется и ученый математик, способно облегчить ребенку восприятие отрицательных чисел?

Надо признать, что в живучести этих антинаучных традиций в значительной степени повинен термин «относительные числа», совершенно неупотребительный в науке, но до сих пор неизменно встречающийся в наших учебниках и программах. Все относительное тем самым требует чего-то абсолютного как своего необходимого коррелата; раз есть числа относительные— всякий естественно ищет чисел абсолютных. Между тем, если хотят для совокупности всех положительных и отрицательных целых и дробных чисел, включая и нуль, иметь подходящий термин, то такой термин наукою давно создан: рациональные числа. Можно только рекомендовать пользоваться им в школе; легко объяснить детям и его происхождение: ratio — отношение; рациональные числа — числа, которые могут быть представлены в виде отношений целых чисел (часто раздающееся возражение, что ученик непременно спросит: «А какие же еще бывают иррациональные числа?», нельзя принимать всерьез уже потому, что если ученик действительно так спросит, то это будет очень хорошо).

Следует, наконец, заметить, что введение «относительных» чисел с сохранением прежних в качестве «абсолютных», помимо того, что оно противоречит установкам математической науки и ведет к явным нецелесообразностям, искажает и диалектическую картину развития понятия числа; вместо того чтобы к тезису («положительное число») создать антитезис («отрицательное число») и затем объединить их в синтезе («рациональное число»), т. е. проделать классический путь диалектического расширения, при таком подходе одновременно утверждают тезис и антитезис, одинаково не порождаемые предшествующей линией развития, а возникающие со стороны, без всякого прямого отношения к предшествующему этапу.

4. Иррациональные числа

Наши методисты с полным основанием расценивают введение иррациональных чисел как одну из самых ответственных задач школьного курса алгебры. Учение об иррациональных числах есть во всем курсе математики едва ли не единственный раздел, который в самой науке возник лишь в XIX столетии. Это учение является той необходимой базой, без которой целый ряд разделов школьной алгебры и геометрии вообще не может быть логически обоснован. Это учение знаменует собою такой сдвиг в сознании школьника, который по своей значительности и своим последствиям может быть сравнен только с соответствующим сдвигом, происшедшим в самой математической науке после создания общей теории иррациональных чисел.

Задача введения иррациональных чисел состоит в таком расширении области ра-

циональных чисел, которое позволило бы отнести определенное число каждому элементу линейной протяженности, наглядным образом которой служит прямая линия. С геометрической и физической стороны эта задача встает как необходимость приписать определенное число, в качестве его меры, каждому значению величины, меняющейся непрерывным образом. Эта реальная цель общей теории вещественных чисел должна прочно войти в сознание учащихся; она никак не должна подмениваться более специальными заданиями, как, например, достижением однозначной выполнимости всех алгебраических операций (извлечение корней); ибо каждая из таких операций приводит к созданию лишь определенных классов иррациональных чисел, не вызывая необходимости построения общей теории. Но именно это и знаменует собою старую систему введения иррациональных чисел, отвергнутую современными программами вследствие ее логической несостоятелыюсти. Если учащийся привык к мысли, что всякое иррациональное число своим происхождением связано с каким-нибудь радикалом, если даже в дополнение к этому он знаком с иррациональным числом как с отношением несоизмеримых отрезков, то доказать такому учащемуся существование предела периметров вписанных в данную окружность многоугольников, разумеется, невозможно; ссылка на «аксиому» о существовании предела у всякой монотонной ограниченной величины здесь ничем не помогает уже потому, что сама эта «аксиома», с точки зрения такого учащегося, просто неверна: среди чисел, связанных с радикалами, такого предела, вообще говоря, не найдется, а других иррациональных чисел в его сознании не существует (ссылка на «отношение отрезков» явилась бы здесь, конечно, в логическом отношении просто отпиской, стремящейся спрятать проблему вместо ее разрешения). Во избежание недоразумений мы должны отметить, что мы вовсе не считаем обязательным доказывать в школьном курсе теорему о существовании предела монотонной ограниченной величины; вполне допустимо принятие этого предложения без доказательства; но прежде чем сделать этот шаг, очевидно, совершенно необходимо расширить числовую область в такой мере, чтобы вводимая аксиома не приводила в ней к противоречиям; именно от этого и уклонялась господствовавшая ранее система изложения; в лучшем случае она, вводя некоторый класс иррациональностей в связи с извлечением корней, ограничивалась более или менее расплывчатым указанием на то, что и при других операциях вводятся, в целях обеспечения выполнимости этих операций, аналогичным образом определяемые новые числа, которые также называются иррациональными; после этого построение области иррациональных чисел считалось законченным.

Математическая наука знает очень много логически эквивалентных между собою способов построения теории иррациональных чисел. Наиболее распространенными являются методы, связанные с именами Вейерштрасса, Кантора и Дедекинда. В согласии с подавляющим большинством имеющихся по этому поводу высказываний мы полагаем, что ни одна из этих теорий не может быть преподаваема в средней школе. Более того, надо прямо признать, что теории иррациональных чисел в подлинном смысле этого слова средняя школа дать не может; такие моменты, как основные теоремы о множестве вещественных чисел, а тем более определения и свойства действий над этими числами, означали бы в случае разбора их в школе такую перегрузку детского сознания, которая ни к чему хорошему привести бы не могла, в лучшем случае, и то с соблюдением достаточного чувства меры, эти вопросы, вернее, некоторые из них, могли бы служить темой внешкольной работы (кружка) в X классе. Но ничего этого наша программа и не требует, ограничиваясь лишь определением иррационального числа. Мы полагаем, что такое определение, действительно, может быть дано в безукоризненной, с научной точки зрения, и в то же время полностью доступной сознанию учащихся форме; исключительная важность этого обстоятельства заключается, как мы уже видели выше, в том, что только расширение понятия числа до области всех вещественных чисел способно сделать осмысленной и логически безупречной значительную часть последующих разделов алгебры, геометрии и тригонометрии.

При введении иррациональных чисел задача значительно облегчается координированным действием алгебраических и геометрических стимулов. Поэтому важной предпосылкой успешного и прочного усвоения этого раздела является то, чтобы потребность в расширении области рациональных чисел в алгебре и геометрии возникла одновременно, что и должно быть непременно предусмотрено программой.

Естественным формальным аппаратом введения иррациональных чисел являются, конечно, десятичные дроби. Первым иллюстрирующим примером может служить, как обычно, определение У2 (числа, квадрат которого равен 2). Доказывается несуществование искомого числа в области рациональных чисел и показывается желательность введения такого числа в целях измерения отрезка, естественно построяемого в геометрии. Из числовой прямой от точки О вправо откладывается длина этого отрезка. Это приводит к точке, которой, при обычном расположении рациональных чисел, на числовой прямой никакое число не соответствует. Указываются связанные с этим затруднения; говорится, например, о том, что при движении точки по прямой желательно каждое положение точки на прямой, каждое пройденное ею растояние измерить, охарактеризовать некоторым числом, т. е. каждой точке прямой отнести некоторое число; рациональных чисел для этого, как видно из приведенного примера, недостаточно; можно указать сейчас же и сколько угодно других точек, для которых нехватит рациональных чисел (простейший пример — середина отрезка, о котором шла речь выше). Далее следует напомнить о том, что мы уже не раз вводили новые числа, когда для той или другой практической цели нам нехватало старых; очевидно, мы должны так же поступить и в данном случае.

После этого можно вернуться к рассматриваемому примеру и обычным путем определить два ряда конечных десятичных дробей с возрастающим числом знаков, квадраты которых соответственно меньше и больше числа 2. Теперь наступает решительный шаг: мы вводим новое число, измеряющее интересующий нас отрезок: мы показываем, что это число естественно представлять бесконечной десятичной дробью; мы доказываем, что эта дробь не может быть периодической; наконец (это гораздо менее важно) мы для краткости обозначаем новое число через

Мы хотим подчеркнуть существенность точного соблюдения указанной здесь терминологии. В отличие от большинства других авторов, мы считаем целесообразным избегать выражения: «иррациональное число есть бесконечная десятичная дробь (непериодическая)», а предпочитаем говорить, что иррациональное число изображается или представляется такой дробью; полное отождествление числа с изображающим его символом мы и здесь, как во всех случаях, считаем неприемлемым, ибо, с философской стороны, это означало бы явный уклон в номинализм, а с математической — привело бы к несообразностям, так как для изображения одного и того же числа мы можем пользоваться различными алгоритмами, что одно уже показывает невозможность идентификации числа с тем или другим изображающим его алгоритмом.

После того, как введение иррационального числа проведено на примере, можно непосредственно перейти к общему определению, повторив всю конструкцию для любой точки числовой прямой, не имеющей рациональной отметки. Затем надо провести обратное рассуждение, имеющее целью убедить учащихся, что всякой непериодической бесконечной десятичной дроби соответствует единственное иррациональное число (единственная точка без рациональной отметки), изображением которой служит эта дробь. После этого все иррациональные числа определены, фундамент здания заложен. Научность этого определения лучше всего доказывается тем, что, исходя из него, могут быть строго доказаны все теоремы об иррациональных числах, определены действия над этими числами и установлены свойства этих действий. Доступность его не вызывает сомнений, в особенности при неотрывном пользовании геометрической иллюстрацией.

Как уже сказано выше, дальнейшее развитие учения об иррациональных числах в основном превышает возможности средней школы. О простейших действиях над иррациональными числами учащимся могут быть сообщены лишь самые примитивные сведения (так, можно на примере показать сложение двух непериодических бесконечных десятичных дробей; можно указать на геометрический смысл сложения двух любых положительных чисел как получения длины составленного отрезка по длинам составляющих). Но учащимся должно быть с исчерпывающей отчетливостью указано, что для иррациональных чисел все алгебраические действия могут быть разумным образом определены и что наука доказывает сохранение для этих действий всех основных свойств, которыми обладают действия над рациональными числами.

5. Комплексные числа

Последнее расширение понятия числа, с которым имеет дело средняя школа,— введение комплексных чисел. Эта задача

в методическом отношении также представляет значительную трудность; однако трудность эта — совсем иной природы, чем в случае иррациональных чисел. Там реальный повод к введению новых чисел, а вместе с тем и реальное значение этих чисел были вполне ясны и могли быть полностью доведены до сознания учащихся; трудность же целиком лежала в логической сложности и громоздкости самой теории, прежде всего в определении и изучении действий над новыми числами. Здесь мы видим как раз обратную картину: определение действий над комплексными числами просто и естественно; изучение свойств этих действий не содержит никаких идейных трудностей и в формальном отношении не громоздко; напротив, связь новых чисел с реальной действительностью является таким моментом, который в рамках школьного курса никак не может найти себе сколько-нибудь полного освещения; поэтому при изложении учения о комплексных числах мы должны считаться с опасностью того, что в сознании учащихся весь этот раздел запечатлеется как формально логическая игра, не имеющая никакого отношения к реальному миру.

Надо открыто признать, что борьба с таким положением вещей в пределах средней школы возможна лишь до известной степени; те учащиеся, математическое образование которых закончится школьным курсом, по необходимости будут только с чужих слов знать о непосредственных практических приложениях теории комплексных чисел и никогда не увидят этих приложений своими глазами. И тем не менее борьба за создание в учащихся твердой убежденности в научной обоснованности и даже неизбежности введения комплексных чисел вполне возможна и может вестись по нескольким различным линиям. Здесь приходит на помощь то обстоятельство, что учащиеся обладают уже достаточно зрелым математическим развитием. Если ученик VI или VII класса способен ощущать как нужное и актуальное только то, что находит себе непосредственное практическое воплощение и применение, то в X классе он в состоянии уже понимать и уважать нужды самой математической науки, являющиеся косвенным проявлением нужд и запросов все той же практики; такой выигрыш, как универсальная выполнимость обратного действия или универсальная разрешимость некоторых простейших типов уравнений, в сознании ученика старшего класса встает уже как ощутительное достижение, и это обстоятельство должно быть всемерно использовано при введении комплексных чисел.

Другим важнейшим орудием, помогающим ученику связать с комплексными числами целую цепь конкретных представлений, служит их геометрическая интерпретация. Мы не можем согласиться с теми, кто отстаивает полную геометризацию теории комплексных чисел в средней школе, т. е. такое изложение этой теории, при котором определение новых чисел и действий над ними сразу даются в геометрической форме, ибо со всех точек зрения комплексное число должно войти в сознание учащихся прежде всего как объект арифметики, т. е. как новое расширение понятия числа, а не как геометрическое понятие, не как символ известного геометрического преобразования, лишь впоследствии получающий арифметическое истолкование. Геометрическая иллюстрация должна быть тем, что она есть, т. е. иллюстрацией. Но эта иллюстрация может быть широчайшим образом использована для конкретизации в сознании учащихся идеи комплексного числа, для связи этой идеи с рядом простых наглядных представлений. Вместе с тою ролью, которую играют комплексные числа в извлечении корней и решении уравнений высших степеней, геометрическая интерпретация этих чисел, позволяющая использовать их в качестве аналитического аппарата для простейших операций над векторами, должна укрепить в сознании учащихся представление о комплексных числах, как о таком математическом объекте, который не является изолированным измышлением, а, напротив, связан прочнейшими нитями с целым рядом актуальных вопросов алгебры и геометрии.

Далее нужно учитывать, что самая возможность производства всех алгебраических действий над комплексными числами с сохранением всех основных свойств, которыми обладают эти действия в области вещественных чисел, в сознании правильно воспитанного ученика X класса должна уже создать представление о новых числах как о закономерном объекте арифметики, т. е. закономерном расширении понятия числа. Тот оперативный принцип, о котором мы говорили во введении к настоящей статье, если он был достаточно планомерно прививаем учащимся на протяжении всего курса, может здесь уже принести извест-

ные плоды; само собою понятно, что и, обратно, изучение комплексных чисел должно быть всемерно использовано для укрепления в сознании учащихся этого принципа.

Наконец, мы считали бы полезным, чтобы учитель, без взякой претензии на обоснование этого замечания, все же сообщил учащимся, что дальнейшее развитие учения о комплексных числах находит себе важнейшие применения в естествознании и технике, в частности, в учении о движении жидкостей и газов, в электротехнике и самолетостроении. Если указания такого рода и не обогащают ничем конкретным сознания учащихся, то, во всяком случае, они способны повысить уважение, а вместе с тем внимание и интерес к изучаемой области, что одно уже представляет собою существенный выигрыш.

Введение комплексных чисел, помимо своего чисто математического значения, представляет собою едва ли не самую яркую на протяжении школьного курса иллюстрацию диалектического развития математических понятий,— иллюстрацию, которая тем более должна быть всемерно использована, что в этом возрасте учащимся могут быть уже сообщаемы элементарные сведения о диалектических закономерностях. Комплексное число, в своей первоначальной форме чисто мнимого числа противополагаемое вещественному (откладываемое при геометрической интерпретации по перпендикулярному направлению), в своем дальнейшем развитии переходит в такое общее понятие (синтез), в котором в качестве разновидностей соприсутствуют и вещественное число (тезис) и чисто мнимое (антитезис), причем каждое из двух противоборствующих понятий сохраняет в этом синтезе полностью свои специфические черты, вступая в многообразные отношения со своим антитезисом (каждое комплексное число есть пример определенной спецификации такого отношения). Все это не мешает тому, что совокупность таких отношений (комбинаций вещественного и чисто мнимого) образует единое стройное целое — мир комплексных чисел, находящий себе наглядную иллюстрацию в цельном и законченном образе комплексной плоскости. Вряд ли можно подыскать другой пример, который с такой яркостью, наглядностью, логической простотой и вместе с тем с такой исчерпывающей полнотой мог бы иллюстрировать диалектические законы развития математических понятий.

Обращение внимания учащихся на описанную диалектическую картину тем более желательно, что эффект его может быть не только принципиально философским, но и конкретно математическим; так, например, рассмотрения этого рода способны укрепить в учащихся представление о вещественном числе как о разновидности, частном случае комплексного числа, в противоположность весьма распространенному неправильному представлению, в свете которого комплексное число тем самым не может быть вещественным. Само собою разумеется, что для достижения этой цели необходима безукоризненно четкая терминология: учащиеся должны твердо привыкнуть называть число а-^Ь}/^—1, где а и b вещественны:

1) комплексным — при любых а у\Ь\

2) вещественным — при £ = 0;

3) мнимым — при £==0;

4) чисто мнимым — при а = 0г ЬфО.

Соответственным образом учащиеся должны уметь бегло определять по положению точки на комплексной плоскости, какого рода число ей соответствует, т. е. должны знать, где в комплексной плоскости располагаются вещественные, мнимые и чисто мнимые числа.

Само собою разумеется, что приведенное выше терминологическое расчленение не представляет собою классификации, так как перечисленные в нем классы чисел, вообще говоря, не внеположены друг другу.

II. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

1. Исторический очерк

Как и большинство математических понятий, свойственная современной науке концепция предела создалась не сразу, а претерпела длинную эволюцию от своей зачаточной формы до того вида, в каком мы встречаем ее в современной математике. При первом взгляде на этот эволюционный процесс мы различаем в нем четыре основных определяющих этапа.

I. Первый этап, наиболее длительный, охватывает 17 и 18 столетия и связан с эпохой первоначального, бурного и некритического развития анализа бесконечно малых. Это — период стремительного накопления фактического материала, конкретных результатов; как всегда в такие эпохи, внимание ученых здесь лишь в незначительной степени сосредоточи-

вается на анализе и точном определении основных понятий; вряд ли, поэтому, можно сейчас указать такую формулировку концепции предела, которая соответствовала бы во всех случаях пониманию этой эпохи; можно попытаться лишь обрисовать некоторые общие черты представления о пределе, свойственного науке этого периода.

Во всякую эпоху концепция предела целиком обусловливается тем, как понимается бесконечно малая величина. Известно, что в рассматриваемый нами период развития математического анализа в понимании природы бесконечно малых величин не было ни полной ясности, ни полного единогласия, хотя процессуальное, динамическое происхождение бесконечно малых не подлежало сомнению,— самая идея переменной величины была еще настолько нова, так неуверенно еще воспринималась научной мыслью, что термин «бесконечно малая» в значительной степени понимался еще, как указание на размеры величины, а не как характеристика способа ее изменения; в ходу были описательные выражения вроде «тень величины», «дуновение величины» и т. п. Если попытаться выразить это представление в точных терминах, то необходимо признать, что бесконечно малая величина понималась как величина, по абсолютному значению меньшая любого положительного числа, и в то же время отличная от нуля; так как переменный характер этой величины при этом выражался лишь описательно и по сознанию той эпохи не мог быть адэкватно выражен точными логическими терминами, то понятие бесконечно малой величины с логической точки зрения оставалось статическим, и по существу мы имели дело с «актуальными» (т. е. постоянными) бесконечно малыми. Хотя логическая несостоятельность этой концепции несомненно возбуждала беспокойство наиболее выдающихся умов той эпохи, такое понимание держалось очень долго; более того, и в наше время оно подчас еще находит свое отражение в прикладных науках (понимание диференциала в механике) и в некоторых учебниках (см., например, курс математического анализа проф. Выгодского; справедливость требует отметить, что автор полностью отдает себе отчет в архаизме излагаемой им концепции и пользуется ею сознательно, как педагогическим приемом). Причину столь длительного пребывания понятия бесконечно малой величины (а значит и понятия предела) в логически недоработанном состоянии следует видеть отчасти в уже указанном нами стиле эпохи, целиком занятой спешным построением здания математического анализа и потому не имевшей времени для основательного исследования фундамента этого здания; но имеется и другая, более существенная причина: включение в рамки математической науки идеи переменной величины как объекта точного исследования требовало, как это впоследствии очень ясно было указано Энгельсом, элементов диалектического мышления, что описываемой эпохе в ее целом было очевидно не под силу. Отсюда получалось такое положение, когда динамический характер бесконечно малых величин и предельных переходов хотя и несомненно сознавался, но вынужден был оставаться вне рамок точных математических формулировок и допускался лишь как описательное, не претендующее на точность дополнение к этим формулировкам.

Эта первая стадия в эволюции понятия предела в настоящее время должна считаться окончательно преодоленной, и возврат к ней во всех случаях должен рассматриваться как проявление реакционных тенденций.

II. Второй этап в развитии понятия предела, относящийся примерно к первой половине 19-го столетия, знаменует собою самый замечательный сдвиг, который претерпело это понятие на протяжении всей своей истории. В этот период внимание творчески работающих ученых было уже достаточно приковано к вопросам обоснования математического анализа, вследствие чего явилась возможность преодоления того основного логического дефекта концепции предела, о котором говорилось выше. Метод этого преодоления, по существу, состоял в том, что идея переменной величины была твердо вложена в рамки точных математических понятий и формулировок; это и дало возможность в определение понятия предела включить идею переменности, т. е. вернуть этому понятию его первоначальную динамичность, полностью учесть в его определении его процессуальное происхождение и тем самым избегнуть тех логических недомолвок, которые были характерны для предшествующей эпохи. В этот период уже четко говорится: бесконечно малой называется величина, которая на известной стадии рассматриваемого процесса становится и во всех дальнейших стадиях его остается (по абсолютному значению) как угод-

но малой (меньше любого положительного числа). Нет сомнения, что эта динамическая, процессуальная сущность понятия бесконечно малой величины (и, конечно, соответствующей концепции предела) была многим ясна и в предшествующую эпоху; но явное включение ее в формальное определение понятия предела требовало весьма значительной эволюции математического мышления, включения в него существенно нового диалектического элемента, и безусловно является одним из крупнейших достижений описываемой эпохи, связанной с именами Коши; Абеля и других ученых.

Именно это определение бесконечно малой величины со всею отчетливостью говорит, что термин «бесконечно малая» в применении к данной величине указывает не на ее размеры (бесконечно малая величина может иногда быть очень большой), а на характер ее изменения. В этом смысле термин «бесконечно малая», созданный в более раннюю эпоху, является очевидным анахронизмом; его следовало бы заменить термином «безгранично убывающая» или другим аналогичным; к сожалению этого не случилось, и каждый педагог знает, сколько трудностей и ошибок порождает это неудачное словоупотребление.

Для вопросов, связанных с преподаванием в средней школе, чрезвычайно важно отметить, что несмотря на всю дальнейшую эволюцию понятия предела, о которой речь впереди,— современная наука ни в какой мере не отвергает концепции, созданной в описываемую эпоху. Современная математика уточняет и обобщает эту концепцию, но не отменяет ее ни в одном ее пункте, в противоположность пониманию Î7—18 столетий, которое современной науке по изложенным выше причинам представляется несостоятельным.

III. Третий этап относится ко второй половине 19-го столетия. Он теснейшим образом связан как с общей тенденцией формализации математической науки, так и с более узким устремлением — арифметизировать анализ, т. е. свести его обоснование к натуральному числу. В этот период были впервые построены исчерпывающие теории иррациональных чисел (Дедекинд, Кантор) и перестроены на созданной таким образом более прочной базе основания анализа бесконечно малых (Вейерштрасс и др.).

Известно, что без полной теории иррациональных чисел учение о пределах не может быть надлежащим образом обосновано; определение классических констант it, е и др. не имеет точного смысла; основные теоремы (например, теорема о существовании предела у монотонной ограниченной величины) без общего определения иррационального числа либо неверны, либо лишены содержания; между тем, теоремы эти совершенно необходимы уже в пределах курса средней школы. Надо отметить, что принятие этого рода теорем в качестве не подлежащих доказательству постулатов нисколько не спасает положения; ибо основная трудность заключается не столько в невозможности дать доказательства этих теорем, сколько в том, что самое содержание их без предварительного общего определения иррационального числа становится либо неверным, либо лишенным точного смысла; так, для того, кто не знаком с общим понятием иррационального числа, предложение о существовании предела у монотонной ограниченной величины (все равно вводится ли оно в качестве аксиомы или теории) может быть истолковано лишь в одном из двух смыслов: либо так, что предел всегда существует в области тех чисел, которые данному лицу уже знакомы; это, очевидно, неверно; либо же никакой определенной области не имеется в виду, и тогда предложение теряет всякое определенное содержание.

Таким образом, если с идейной стороны понятие предела уже в достаточной степени оформилось в первой половине 19-го столетия, то все же в созданной этой эпохой концепции оставались весьма значительные пробелы, восполненные лишь во второй половине века.

Вместе с тем возросшие требования к формализации математики заставили по-новому отредактировать самую формулировку предела, не меняя впрочем ее идейной сущности. В прежнем определении бесконечно малой величины еще явно или неявно имелись ссылки на реальный процесс, в котором участвует данная величина, и о различных стадиях этого процесса. В новой редакции нашло себе выражение требование полной формализации этой стороны определения. Фактически с этой эпохи бесконечно малая величина (а равно и всякая величина, стремящаяся к пределу) всегда понимается как функция одной или нескольких независимых переменных, и указание на реальный процесс заменяется формальным описанием поведения этих переменных. Выражение «у->Ь» само по

себе становится лишенным смысла, и только выражения вида «у->Ь при х^аъ получают определенное содержание. Это содержание формулируется так: «\у—в\ сколь угодно мало, если \х — а\ достаточно мало», или еще более точно (последняя формулировка в наше время почти неизменно встречается в солидных курсах анализа): «сколь бы мало ни было г^>0% существует такое £>0, что всякий раз, когда \х — а К8, выполняется и неравенство \у—Такова степень формализации прежнего указания на реальный процесс и его различные стадии. В этом последнем определении по внешности нет уже ничего от первоначальной процессуальности идеи предела; жив1я динамика предельного перехода в этом словесном выражении как бы заменена неподвижным, чисто статическим соответствием между некоторыми областями значений независимой переменной и соответствующими областями значений функции. Этот внешнестатический характер выработанного современной математикой понятия предела даст часто повод к обвинению его в том, что, выхолостив из идеи предела всю ее динамичность, оно тем самым имеет тенденцию отделить математическую концепцию предела от той живой реальности, отображением и абстракцией которой она должна служить. Эти упреки по существу несправедливы, ибо современное определение предела, ни в одном пункте не противореча прежнему, а лишь его уточняя, не может тем самым иметь и иного содержания. Однако, что для нас важно, в педагогическом отношении выраженная в этих упреках точка зрения заслуживает всяческого внимания. Ибо для того, чтобы за этим, в процессе логического анализа, доведенным до последнего расчленения и принявшим статический облик определений предела не потерять из вида первоначальной, реальной динамики предельного перехода,— нужен весьма высокий уровень научной культуры; перед всяким, кто не овладел с достаточной беглостью типичными ходами современной, усложненной математической мысли, стоит весьма действенная опасность— в самом деле утратить связь понятия предела с тем живым реальным источником, из которого это понятие произошло и отображением которого в абстрактной математической науке оно призвано служить.

IV. Последний, четвертый этап в развитии понятия предела относится уже к нашему столетию и возник в связи с назревшей уже давно необходимостью значительного расширения идеи, заложенной в первоначальной концепции предела. Уже давно математика, наряду с простейшим случаем вещественной переменной, должна была заняться изучением предельных переходов в областях совсем другой структуры: предел комплексного числа, предел многомерного вектора, предел функции, предел случайной величины (в теории вероятностей), в более сложных случаях оказалось целесообразным рассматривать по несколько различных предельных концепций; так, в случае предела функции пришлось различать обыкновенную сходимость, равномерную сходимость, сходимость «в среднем» и т. д., причем различные предельные переходы естественно обладали различными специфическими свойствами. Это обстоятельство вместе с тенденцией к обобщению, свойственной математике нашей эпохи, привело к созданию общих учений о предельном переходе, здесь речь идет не о пределе переменной величины в тесном смысле этого слова, т. е, не о пределе переменного вещественного числа, то, что стремится к пределу, равно как и самый этот предел, могут иметь любое предметное содержание— от этого содержания общее учение о пределе полностью абстрагирует, и единственным объектом изучения является структура самого предельного перехода. Такова в значительной мере концепция предела в современной топологии (общее учение о непрерывных преобразованиях) и в современном общем анализе.

Мы не будем останавливаться подробнее на этом важном новом моменте истории понятия предела, так как, несмотря на все его научное значение, он вне всяких сомнений не может не только быть внесен в школьное преподавание, но хотя бы оказать косвенное влияние на программу и стиль этого преподавания. Отметим только (это важно для нашей цели), что этот четвертый этап, подобно третьему, ни в какой мере не отменяет и не отвергает концепции предела, выработанной на втором этапе. Если в конце 19-го столетия эта концепция подверглась уточнению и дополнению, то в нашем веке она была значительно обобщена и поднята на высшую ступень абстракции; но ни то, ни другое не знаменовало собою отказа от этой концепции или хотя бы от одного из составляющих ее моментов.

2. Концепция предела в школе

При выборе формы понятия предела, наиболее эффективной для школьного преподавания, мы должны, как всегда, считаться с двумя основными требованиями: 1) форма эта ни в чем не должна стоять в противоречии с традициями современной науки; 2) она должна быть достаточно конкретной, чтобы вводимое понятие в сознании школьника не отрывалось от тех явлений действительного мира, формальным выражением которых оно призвано служить.

Предшествующий исторический очерк ясно показывает нам, что применительно к понятию предела эта двойная (в иных случаях весьма нелегкая) задача легко разрешима. Прежде всего следует признать совершенно неприемлемой первичную форму концепции предела, охарактеризованную нами при описании первого этапа: она стоит в противоречии с обоими основными требованиями; с одной стороны, она решительно преодолена и отвергнута современной наукой как логически несовершенная; с другой стороны, динамичность предельного перехода в ней по меньшей мере отодвинута на задний план, и тем самым связь с реальными явлениями завуалирована и логически неотчетлива. Если школьник выходит из школы с представлением о бесконечно малой величине как о чем-то ничтожно малом, недостойном внимания, или еще хуже — как о каком-то диковинном числе, которое меньше любого положительного числа и в то же время все-таки не нуль, то задача высшей школы будет весьма усложнена: прежде чем дать такому ученику дальнейшее развитие, она должна будет заняться выветриванием из его сознания представлений и навыков, противоречащих современным научным концепциям.

Вряд ли может встретить возражение и тот взгляд, что расширения понятия предела, указанные нами при описании четвертого этапа, не могут быть предметом школьного преподавания: слишком общее понимание предельного перехода, во-первых, не найдет себе в школьном курсе никаких применений, а, во-вторых, несомненно являет собою такую ступень абстракции, которая недоступна сознанию школьника.

Многие педагоги высказываются за то, чтобы, понимая под пределом исключительно предел переменного вещественного числа, в этих рамках доводить школьные формулировки полностью до их современно-научного текста. Это означает, что понятие предела должно быть дано в форме соответствия областей, с £ и £. Мы решительно должны признать эту форму нецелесообразной. Даже с точки зрения чисто формального усвоения такое определение, как показал многолетний опыт, вызывает очень значительные, часто непреодолимые затруднения, и не только у школьников, но и у студентов первых курсов; но если даже допустить, что в отдельных случаях опытному педагогу при значительной затрате времени и сил удастся заставить своих учеников справиться с заложенными в этом определении формальными трудностями, то уж во всяком случае связать эту формальную схему с реальным предельным переходом в явлениях действительности — дело совершенно непосильное сознанию школьника; таким образом, понятие предела в этой его формулировке в лучшем случае будет абстрактно усвоено ценою радикального отрыва от связанных с этим понятием реальных представлений. С другой стороны, в таком определении нет по существу и никакой надобности. Если под словами «переменная величина х в данном процессе имеет своим пределом постоянную величину «а» (запись lim х*=а или х->а) ученик привыкнет понимать тот факт, что разность X — я, начиная с некоторого момента (некоторой стадии) процесса становится и во всех дальнейших стадиях его остается как угодно малой по абсолютному значению, то такое определение (соответствующее второму этапу нашего исторического очерка) удовлетворит всем необходимым требованиям. С одной стороны, оно ни в одном слове не противоречит современным научным данным, и высшая школа, приняв в свою среду школьника ç таким представлением о пределе, без существенных затруднений сумеет уточнить и расширить в его сознании это представление; ей не придется ничего «выветривать», ничего отвергать из того, что дала ученику средняя школа. С другой стороны, именно это определение предела ближе всех других (как исторически предшествующих, так и исторически последующих) стоит к реальным явлениям, служащим естественными объектами его приложений.

Настаивая на том, что приведенная нами форма определения предела является во всех отношениях наиболее эффективной для школьного преподавания, мы, однако,

вовсе не хотим этим утверждать, что многознаменательная буква £ должна быть совершенно изгнана из этого преподавания. Так, при доказательстве теорем о сумме или произведении бесконечно малых введение произвольно малой постоянной £ представляется нам вполне уместным. Именно в ходе рассуждений, приводящих к этим теоремам, учащимся будет удобно разъяснить, что запись [ X — ö|<£, где е — произвольная положительная постоянная, в точности символизирует содержащееся в определении предела выражение «разность X — а как угодно мала по абсолютному значению». Мы допускаем даже, что при достаточном общем развитии класса эта фраза в отдельных случаях уже при самом определении может быть заменена более развернутым выражением «разность X — а по абсолютному значению (становится и остается в ходе данного процесса) меньше любого постоянного положительного числа», хотя такая форма, несомненно, вызовет больше затруднений для сознательного усвоения. Но мы считаем, что ссылка на реальный процесс и его различные стадии (моменты), содержащаяся в приводимом определении, ни в каком случае не должна заменяться (как это в порядке дальнейшей формализации делает современное научное изложение) указанием на область значений независимой переменной, определяющей собою течение процесса; по меньшей мерз этого не следует делать на первой стадии изучения при общих рассуждениях (в дальнейшем при рассмотрении конкретных примеров изучение области значения этой независимой переменной может стать очень полезным, как мы увидим ниже).

Поясним нашу точку зрения примером. Пусть речь идет о том, что апофема ая вписанного в данный круг правильного л-угольника при я->оэ имеет своим пределом радиус круга г. Содержание этой фразы мы всего охотнее выразили бы словами «разность г — ап становится и остается как угодно малой при безграничном возрастании числа /г»; менее желательной при первом изучении (ибо труднее усвояемой), хотя все же допустимой, мы считали бы формулировку «каково бы ни было постоянное положительное число £, разность г — ап становится и остается меньше £ при безграничном возрастании числа я»; наконец, совсем неприемлемой для школы представляется нам следующая формулировка, наиболее отвечающая традициям современного научного изложения: «как бы мало ни было постоянное положительное число £, найдется такое число N (зависящее от е), что \ г — я„К £ для всех п^> N. Во избежание недоразумения мы должны при этом оговориться, что все сказанное здесь имеет отношение только к общему определению понятия предела, к словесной формулировке того представления, которое школьник должен приучиться связывать с термином «предел». В дальнейшем, в порядке конкретной работы над отдельными примерами, не только желательна, но и необходима полная, доведенная до вычислительных операций расшифровка тех указаний на различные стадии процесса, которые содержатся в общем определении. Так, возвращаясь к нашему примеру, мы считаем, что среди задач на теорию пределов вполне уместно поставить перед учащимися вопрос о том, каково должно быть число п, чтобы разность г — яя оказалась меньше чем 0,01; меньше чем 0,001 и т. д. Такого рода задачи не только укрепят связь теории с приложениями, не и подготовят базу для более легкого усвоения в будущем более формальной общей концепции предела.

Как в самом математическом анализе, так и в различных его приложениях, основную роль играют две конкретных разновидности предельного перехода: 1) предел последовательности а\% а2 .. #л, при й-»оо и 2) предел функции y = F(x) при условии, что X стремится к постоянному числу а. Обычно, в средней школе и в общих определениях, и в подборе задач и примеров стараются охватить обе эти разновидности. Это стремление приводит к известным затруднениям, ибо две разновидности, о которых идет речь, отличаются друг от друга столь существенными моментами, что при первом знакомстве с понятием предела школьнику трудно усмотреть в них роднящие общие черты и признать их частями единого целого. Различия кроются, разумеется, в поведении независимой переменной, характеризующей собою течение процесса; в первом случае эта переменная (я) пробегает лишь целые положительные значения, во втором (jc) — непрерывный ряд значений; в первом случае п безгранично возрастает, во втором X стремится к конечному пределу. В связи с этим важно отметить, что рекомендуемое нами определение понятия предела в одинаковой мере охватывает собою

оба случая, именно потому, что в этом определении характеристика последовательных стадий процесса остается не формализованной, в то время как указанные разновидности отличаются друг от друга как раз характером этой формализации. Всякое мыслимое в пределах средней (а также, впрочем, и первых курсов высшей) школы более формальное определение неизбежно наталкивается на новую трудность: оно требует для двух указанных нами разновидностей предельного перехода двух различных определений, что, разумеется, еще более затрудняет представление о едином общем логическом и предметном основании этих двух случаев1.

3. Методические замечания

Таким образом, мы полагаем, что основной задачей преподавания теории пределов в средней школе является создание прочного и отчетливого представления о предельном переходе, идейно отвечающего той концепции предела, которая принята современным математическим анализом и его основными приложениями; при этом нет надобности, а во многих случаях даже и вредно, доводить понятие предела до того формально-логического расчленения, которое присуще современному научному изложению.

Такая целевая установка должна, разумеется, оказать решающее влияние и на всю методику преподавания рассматриваемой главы — на выбор и расположение материала, стиль изложения и т. д. Здесь мы не можем, конечно, дать полной методической разработки этой главы. Наша задача состоит в том, чтобы собрать несколько отдельных замечаний методического характера, вытекающих из вышеописанной целевой установки. При этом мы естественно сосредоточим внимание читателя на тех моментах, в традиционное изложение которых мы считаем необходимым внести некоторые изменения и поправки.

Отчетливое и конкретное представление о сложном явлении, в котором участвует много переменных величин с весьма различным характером изменения, легче всего сложится у учащихся, если с первых же шагов все основные понятия теории пределов будут выведены на базе всестороннего изучения одного такого явления. Выбираемое для этой цели явление должно быть, с одной стороны, достаточно наглядным и во всех своих элементах близким сознанию учащихся, а с другой — достаточно точно протекающим для того, чтобы на его базе могли быть созданы четкие понятия и проведены точные вычисления. Может быть, более всего отвечают этой цели геометрические процессы. Если, например, в качестве исходной иллюстрации выбирать процесс безграничного удвоения числа сторон вписанного в данную окружность многоугольника и изучить это явление во всех его деталях, то учащиеся сразу будут иметь перед своим взором большое число участвующих в одном и том же процессе переменных величин самого разнообразного поведения: длина стороны, величина внутреннего угла, величина внешнего угла, периметр, апофема, сумма внутренних углов, сумма внешних углов и т. д. Здесь будут и бесконечно малые, и бесконечно большие, и постоянные, и величины с положительными пределами. Никак не следует жалеть времени на столь детальное изучение одного примера, ибо воспитательный эффект такого изучения намного превысит то, что могло бы получиться в результате рассмотрения десятка разрозненных, искусственных и лишенных наглядности примеров. Мы в особенности подчеркиваем значение того обстоятельства, что в нашем примере изучаемые переменные величины участвуют в одном и том же процессе и таким образом изменения их взаимно координированы, функционально связаны между собою; даже если это обстоятельство не будет явно подчеркнуто учителем, продолжительное сосредоточение мысли учащихся на таком конкретном осложненном явлении несомненно окажет значительное развивающее воздействие, приучая мысль ассоциировать отвлеченные понятия теории пределов со сложными и многообразными процессами реальной действительности.

В связи с этим мы вообще хотели бы предложить ограничить до необходимого

1 Следует, однако, указать, что имеется полная возможность ограничиться в курсе средней школы более узкой концепцией предела, совершенно исключив из рассмотрения вторую из вышеприведенных разновидностей; дело в том, что во всех применениях, какие встречает понятие предельного перехода на протяжении курса средней школы, речь всегда идет о пределе последовательности; так обстоит дело в теории бесконечных десятичных дробей, в теории иррациональных чисел, при изучении прогрессий и во всех геометрических приложениях. Что касается понятия предела функции, то оно может встретиться только в таких разделах исследования уравнений и учения о функциональной зависимости, которые лишь в порядке редкого исключения изучаются в нашей средней школе.

минимума число примеров, не связанных с фактическим материалом курса и тем самым носящих искусственный характер. Не говоря уже о геометрии, и теория прогрессий, и десятичные дроби, и учение об иррациональных числах дают столько материала для примеров и задач на предельные переходы, что вряд ли есть надобность в значительном числе упражнений, специально подобранных и не имеющих реально ощутимого содержания. Однако, и то небольшое число таких упражнений, которое будет признано необходимым, следует выбирать не случайно, а целесообразно; речь должна всегда итти о предельном поведении такого аналитического выражения, которое в том или ином смысле является типичным и поучительным, и тем самым может оказаться полезным в будущем; в качестве примера можно указать хотя бы изучение поведения отношения двух много членов при безграничном возрастании независимой переменной в зависимости от степеней числителя и знаменателя; будет хорошо, если учащиеся приобретут умение сразу, без вычислений указывать пределы при таких выражениях, как

или

В определениях понятий, в формулировках и доказательствах теорем следует неизменно подчеркивать динамическую сущность предельного перехода, никогда не опуская необходимого упоминания о процессе и различных его стадиях, и неуклонно требуя от учащихся ясного понимания этой стороны дела. Учащийся должен четко понимать, что 0,0000000001 не есть бесконечно малая величина, и что, напротив, расстояние от поверхности земли до метеорита, которому суждено упасть на землю, есть бесконечно малая величина, хотя бы это расстояние сейчас исчислялось огромным числом километров. Учащийся должен твердо знать, что величина является бесконечно малой лишь в данном явлении, в рамках данного процесса, и что в другом явлении та же величина может иметь другой характер изменения. Учащийся должен знать, что переменная величина может стремиться к своему пределу либо снизу, т. е. со стороны меньших значений (возрастая), либо сверху (убывая), либо двусторонне (колеблясь), и что в последнем случае она может и до завершения процесса проходить через свое предельное значение. Для всякого, кто не владеет достаточно бегло всеми перечисленными и подобными им представлениями, учение о пределах в лучшем случае останется, формально усвоенной, но идейно бессодержательной теорией.

Наконец, необходимо сказать несколько слов об обозначениях и терминологии. Совершенно необходимо, чтобы наряду с традиционным обозначением limx — a ученики в полной мере владели и эквивалентной записью того же факта х->а, с каждым годом все более и более часто встречающейся в анализе и его приложениях. Следует писать не lim у x=z а = Ь, a lim ух^>л = Ь, и соответственно читать не «при х равном а у а при Ху стремящемся к а». Запись п-ь-со весьма желательно читать «п безгранично возрастает»; во всяком случае, совершенно необходимо твердое понимание учащимися того факта, что п здесь ни к какому пределу не стремится. Наконец, учитель должен обратить внимание на то, чтобы символ «lim» читался «предел», а не «лимита; слово «лимит» учащиеся вовсе не должны слышать из уст учителя; им должно быть указано, что символ «lim» имеет своим происхождением латинское слово limes, что означает предел (часто встречающееся утверждение, будто этот символ происходит от французского слова limite, основано на явном недоразумении, ибо с таким же основанием можно было бы производить его от соответствующего английского, итальянскою, испанского и т. д. термина).

(Окончание в следующем номере).

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ

Ш. МИНЕВИЧ (г. Кировоград)

§ 1. КРИТЕРИЙ ОБРАТИМОСТИ ПРОСТОЙ ДРОБИ В ДЕСЯТИЧНУЮ

Десятичными дробями, как известно, называются дроби, знаменатели которых суть степени (целые и положительные) десяти. Иначе говоря, дроби, вида j^-, где а и а — любые натуральные числа*, представляют собою десятичные дроби. Поставим себе задачей определить, какие обыкновенные дроби можно представить в виде десятичных. Полный ответ на этот вопрос дается следующей теоремой.

Теорема. Для того, чтобы несократимую дробь можно было обратить в десятичную, необходимо и достаточно, чтобы ее знаменатель Ь не содержал в себе других простых множителей, кроме 2 и 5.

Доказательство, а) Пусть имеем дробь ^T-gß • Докажем, что эта дробь есть десятичная.

Если a = ß, то 2а 5^ = 2е 5е = 10я , и наша дробь принимает вид -jq^> т. е. представляет собою десятичную дробь.

Допустим, что

Предположим для определенности**, что a>ß. Умножим числитель и знаменатель дроби на 5а~^:

т. е. мы опять-таки получим десятичную дробь.

в) Пусть теперь знаменатель в несократимой дроби — содержит в себе, кроме множителей 2 и 5, другие простые множители:

где k— произведение всех остальных множителей, k=f=\.

Докажем тогда, что дробь — нельзя обратить в десятичную.

Предположим противное: пусть дробь может быть обращена в десятичную —- . Умножим обе части равенства

Таким образом, Дробь

есть целое число. Но так как числа а и Ь = 2* 50 k взаимно простые: D (а, Ь) = 1*, то и D (а, k) = 1. А потому Ют должно делиться нацело на 2е 5^ k**. Значит, 10? делится на k. Но это невозможно, так как Ют состоит только из простых множителей 2 и 5, в то время как число k их не содержит. Мы пришли к противоречию, что и доказывает нашу теорему.

* Мы можем в этой работе, очевидно, ограничиться рассмотрением только положительных дробей.

** Говоря: «Предположим для определенности», мы этим желаем сказать, что доказательство теоремы для других предположений, возможных здесь, ничем существенным не отличается от доказательства для данного предположения, а потому таковые и опускаются.

* Символ D{a,b) означает общий наибольший делитель чисел а и Ь.

** Известна теорема теории делимости: если произведение ab двух чисел делится на третье с и D (а, с) = 1, то Ь делится на с.

Примеры:

§ 2. ОБРАЩЕНИЕ ПРОСТОЙ ДРОБИ В ДЕСЯТИЧНУЮ

Возьмем дробь ; обозначая частное и остаток от деления а на b соответственно через о0 и г0, имеем следующее равенство:

Если ~---правильная дробь: а<^Ьу

то а0 = 0; г0 = а.

Если остаток г0 = 0, то — = aQ, т. е. дробь — представляет собою целое число а0.

Пусть г0>0; делим тогда 10г0 на &:

10г0 == оа4 4-г4; 0 ^ гх < £.

Если гх = 0, то на этом заканчиваем процесс повторного деления. Если же ^^О, то делим \0rt на Ь:

10г1 = Ьа2+г2у 0<>2О и т. д.

Пусть m +1 повторного деления, получим следующую таблицу:

(1)

Делим первое равенство (1) на Ьу второе— на 10£, третье—на \02Ь, . . . , т+\—/ на 10т&; получим ряд следующих равенств:

(2)

Сложим почленно равенства (2); после умножения членов, одинаковых в левой и правой частях получаемого равенства, имеем:

(3)

Из равенства (1):

имеем:

Так как

то

а потому

Таким образом, числа аи а2 • .. i €tm представляют собою цифры в десятичной системе счисления, а потому равенства (3) можно переписать в следующем виде:

(4)

Число д0, а^а2 .. • йт представляет собою десятичную дробь, записанную в десятичной системе счисления:

Если гЛ = 0, то равенство (4) дает нам:

т. е. дробь — обращается в десятичную

Пусть гт^>0; так как

а потому

(5)

Неравенства (5) могут быть иначе записаны так:

(6)

В последней части неравенства (6), если ат = 9, то десятичный знак ат -\~ 1 должен быть заменен нулем, а ат—\ — ащ—х^-Х, если и #m_i = 9, то и он заменяется нулем, а ат-2 — ат-о + 1 и т. д.

Из неравенств (6) видим, что числа

aQ, а<а2. . . ат и а0, ... ат^х ат + 1

представляют собою приближенные значения— первое с недостатком, второе с избытком — дроби . Погрешность этого приближения не презссходит числа 10-от, т. е. одной единицы последнего разряда приближенных десятичных дробей.

Далее, если знаменатель дроби — в несократимом ее виде содержит, кроме простых множителей 2 и 5, еще другие множители, то никакой остаток гт в описанном нами алгорифме повторного деления не может равняться нулю, так как в противном случае процесс деления на этом закончился бы, и дробь — была бы выражена точно в виде десятичной дроби aQt ata2...am, чего, как это видно из изложенного в § I, не может быть. Таким образом, в этом случае процесс деления может быть продолжен как угодно далеко, и, как его результат, получаем бесконечный ряд:

(7)

Из равенства (4) видим, что частичная сумма

ряда (7) равна разности:

предел которой при неограниченном увеличении числа m равен —г-

а потому ряд (7) является сходящимся и его сумма равна — :

(8)

Равенство (8) пишу обыкновенно так:

(9)

и говорят, что дробь — обращена в бесконечную десятичную дробь.

Относительно дробей, знаменатели которых в несократимом их виде содержат простыми множителями только 2 и 5, говорят, что они обратимы в конечные десятичные дроби.

Таким образом, мы доказали, что для каждой простой дроби — можно найти равную ей десятичную (конечную или бесконечную). Будет ли такая десятичная дробь единственной? Иначе говоря, нельзя ли найти две различные по виду десятичные дроби, но равные одной и той же простой? При этом заметим себе, что мы называем две десятичные дроби: а0, a,ß2 ... йт•. • и b%9 btb2.... Ьт •.. одинаковыми по виду тогда, и только тогда, когда у них все

ak=hk (fc = 0, 1,2, . . . ).

Постараемся ответить на поставленный выше вопрос.

Пусть две различные десятичные дроби: ай, аа2 . . . от ... и b0, btbt ...bm... равны между собой: а0, аха2 . . . ат . . . = ь0, *А •. • К • • •

Чтобы эти дроби были различными (по виду) между собою, необходимо, чтобы они отличались хотя бы одним десятичным знаком. Пусть первые неодинаковые между собою десятичные знаки суть ак и bk.

Имеем:

(10)

Введем следующие обозначения:

Отсюда

(11)

Предположим, креме того, для определенности, V то bk. Тогда

(12)

Если теперь m^k, то легко доказать, что

(13)

Действительно,

Так же доказывается неравенство Далее:

аналогично

Вычитая из первого неравенства (13) последнее, получим:

и принимая по внимание (12), имеем:

(14)

Так как по условию:

а из равенств (11) вытекает:

(15)

Ко так как выражение (ak — bh — 1)10~k имеет постоянное значение (не зависит от т)у то равенство (15) возможно только в том случае, когда ak—Ьк—1 =0,

flfc-Vfi. (16)

Далее. Выражение Ат — не может уменьшаться при увеличении m (уменьшаемое Ат не уменьшается, а вычитаемое не увеличивается), а потому не может иметь места неравенство Ат — В]ту>О, так как в противном случае Ат — Влт не могло бы стремиться к нулю при беспредельном увеличении т.

Следовательно, имеем:

(17)

Напишем такое же равенство для индекса т+\\

(18)

(19)

Подставляя в (19) вместо Ат его выражение из (17), имеем:

После уничтожения одинаковых членов и умножения на 10я*+ 1, получим:

(20)

Так как ат+ъ Ьт+Х — цифры:

то равенство (20) возможно только при

ат+\ =0; *m+i = 9 {m^k). (21)

Принимая во внимание равенства (10), (16), (21), можем записать десятичные дроби:

в следующем виде:

(22)

Таким образом, мы доказали, что если две различные по виду десятичные дроби численно равны, то они необходимо должны иметь форму (22).

Докажем теперь обратное: всякие две десятичные дроби вида (22) равны между собою:

(23)

Действительно, дробь

Выражение, стоящее в скобках, представляет собою сумму бесконечно-убывающей геометрической прогрессии со знаменателем, равным Ю-1, а потому

Возвращаясь к нашей дроби, получаем:

что и требовалось доказать.

Таким образом нами доказано следующее:

Теорема 1. Для того, чтобы две различные по форме десятичные дроби равнялись между собою, необходимо и достаточно, чтобы одна из них была конечной десятичной дробью #0, at а2... ak, а другая— бесконечной aQ9а1 a2...ak__1 ak—1 999...

Соединяя воедино доказанное в настоящем и предыдущем параграфах, можем сформулировать следующие теоремы:

Теорема 2. Дробь —, знаменатель в которой содержит простыми множителями только числа 2 и 5, может быть обращена в две различные по форме десятичные дроби: одна конечная а другая — бесконечная

Теорема 3. Дробь —, знаменатель которой в несократимом ее виде содержит множители взаимно простые с числом 10, обращается в одну, и только в одну, бесконечную десятичную дробь.

Действительно, если бы таких дробей было бы, скажем, две, то одна из них была бы, по доказанному, конечной, чего быть не может.

Примеры

§ 8. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ

Будем в дальнейшем рассматривать дроби, знаменатели которых в несократимом их виде содержат множители, взаимно простые с основанием 10 нашей системы счисления.

Пусть -~ такая несократимая дробь.

Тогда

D(a9 b) = l; b = 2*5*S; S=£l; D(S,10) = 1.

а и ß могут быть любыми целыми положительными числами или нулями.

Обращая дробь ~ в десятичную, получим бесконечную десятичную дробь а0, aïa2az...am„. (теорема 3 § 2).

Числа а0, а1а2...ат... получаются из формул:

(1)

Рассмотрим ряд остатков:

(2)

Так как этот ряд бесконечен, а каждое rm^b—1, то в нем обязательно встречаются одинаковые члены.

Пусть rk, г^|_Л — первая пара равных между собою членов ряда (2) (т. е. до г^п не встречается одинаковой пары членов):

rk = rk+n-

Напишем теперь равенства (1) для

Вычитая из верхнего равенства нижнее, получим:

Так как каждое rm^ö—1, то разность г^я и — rk+x по абсолютному значению меньше b—1; в то же время левая часть, если только разность — Яй-Ьл-и не равна нулю, не меньше по абсолютному значению числа Ь. Отсюда заключаем, что

Таким же точно образом из равенства Г*-И — г*+л-Н выводим:

и т. д.

Таким путем мы приходим к следующим двум таблицам равенств:

(3)

Из второй таблицы (3) заключаем, что группа цифр ok+1ak^2^-йь+» нашей десятичной дроби постоянно в ней повторяется. Бесконечная десятичная дробь, у которой одна и та же группа цифр, начиная с некоторого места после запятой, постоянно в ней повторяется, называется периодической, а повторяющуюся группу цифр называют периодом этой дроби.

Таким образом, мы приходим к выводу, что наша простая дробь — обращается в периодическую десятичную дробь, период которой равен ok+t ak+n- Из первой таблицы (3) мы видим, что группа чисел rk rjfe-he-i» остатков, также постоянно повторяется в ряде (2). Поэтому наряду с периодом ak+1 ak±2... ak+n частных (период десятичной дроби) мы можем говорить также о периоде rftrÄ+1...

Из всего сказанного заключаем, что из равенства остатков rk и rn±k вытекает периодичность группы чисел rkrk+1...rk^.n_x остатков и группы цифр ah, ak^t... ak+n* Справедливо ли такое же положение и по отношению к частным, т. е. можно ли заключить из равенства частных и ö^+rt-H о периодичности группы цифр ак±хаклгъ...ак+п частных и группы чисел WM—гк+*-\ остатков? Легко удостовериться на примере, что это не так. Действительно, обратим, например, дробь в десятичную. Получим периодическую десятичную дробь с периодом 692307 и с рядом остатков 17, 14, 36, 48, 12, 16, 4, 40, 36, 48, 12 16, 4, 40,...

Период остатков здесь отмечен чертой под ним. В данном примере а2 — а$?=2\ но группа цифр 269 десятичной дроби периодически не повторяется; точно так же периодически не повторяется соответствующая группа 14, 36, 48 остатков.

Тем не менее мы утверждаем, что из периодичности группы ak+x ak±2--ak+a частных вытекает периодичность группы rkrk^-rk¥n-x остатков.

Это положение мы сейчас и докажем.

Напишем две таблицы известных нам равенств:

Отнимем от каждого равенства первой таблицы соответствующее равенство второй:

Так как, по предположению,

то предыдущие равенства переходят в следующие:

(4)

Из этих равенств легко заключаем, что если имеет место равенство:

для одного какого-нибудь р, то оно имеет тогда место для всякого /?, т. е. будем иметь ряд следующих равенств:

(6)

что и доказывало бы периодичность группы rkrk+i-rk+n-i остатков.

Остается доказать равенство (5). Предположим противное, т. е. пусть равенство (5) не осуществляется ни для одного /?. Перемножим тогда первые р+\ равенств (4^, сокращая при этом обе части получаемого равенства на одинаковые множители (имеем право на такое сокращение, так как ни один из этих множителей, согласно нашему предположению, не равен нулю), получим следующее:

Разность rftfe+1 —rft+e47l+1 по абсолютному своему значению меньше b—1; в то же время левая часть (8) может превосходить по абсолютному своему значению какое угодно большое число, если только достаточно большим выбрать р (ведь по предположению гк— rk+n=f=0). Мы пришли к противоречию, что и доказывает справедливость равенств (6). Положение наше, таким образом, доказано полностью.

Будем называть предпериодом десятичной дроби (ряда остатков) группу цифр: а{аг...ак (чисел rQrl...rk_î). стоящих до периода. Число п цифр в периоде называется длиной ее периода. Это же число п является длиной периода остатков. Аналогично число k является длиной предпериода.

Заметим себе, что в периодической десятичной дроби мы имеем не один период, а бесконечное множество различных между собой периодов (под различными периодами мы разумеем такие периоды, которые отличаются между собой или порядком цифр, или длинами своих периодов, или тем и другим вместе; два же периода, состоящие из одних и тех же цифр и водном и том же их порядке, но занимающие различные положения в периодической дроби, как, например, периоды: Ок+\ #&4-г Ч±п и eft+«+iö*+Ä+2-.-0Ä+tn мы не считаем различными). Так, например, в примере десятичной дроби, приведенном нами выше, периодом является не только указанная нами группа цифр 692307, но и группы цифр: 923076; 230769; 307692; 076923; 769230, а также группы цифр: 692307692307; 692307692307692307 и т. д.

Такое же положение мы имеем, очевидно, в любой периодической десятичной дроби.

С изменением периода может измениться и его предпериод. Так, например, для той же периодической дроби

0, 32 692307 692307...

периоду 692307 соответствует предпериод 32, для периода же 923076 предпериодом является 326 и т. д.

Все сказанное, конечно, имеет место и для периода и предпериода остатков.

Дальше. Мы в начале настоящего параграфа предположили, что числа гк и г^п есть первая, равная между собою пара чисел ряда остатков. Это значит, что группа чисел r0rirr..rk_i есть наименьший предпериод остатков (т. е. с наименьшей длиной), а группа чисел rkrk±rk^n_t — наименьший период. Будут ли наименьшими при этом также предпериод а1й29..ак и период акУхакц.2...ак+п десятичной дроби? На этот вопрос мы можем дать утвердительный ответ. Действительно, если бы наименьшим предпериодом являлась бы группа цифр ojû2...û5, где s<éf то, но доказанному выше, за предпериод остатков можно бы принять группу цифр г#г,... rs_t, что противоречит нашему предположению. Точно так же, если бы öä+1 ак+2**- йк+л не был бы наименьшим периодом, то и гкгк±х*.. гк±п_л не был бы наименьшим периодом остатков.

В дальнейшем для краткости речи под словами «период» и «предпериод» будем понимать, если только не будет оговорено

противное, наименьшие период и предпериод.

Будем обозначать периодическую десятичную дробь

с предпериодом aio2...ak и периодом ak+1 ak+-2---tf&frc' символом

Периодическая дробь, у которой отсутствует предпериод, называется чистой периодической дробью. Если же у периодической дроби имеется предпериод, то она называется смешанной периодической дробью.

Какая обыкновенная дробь обращается в простую, а какая в смешанную периодическую дробь? Какая связь существует между дробью и длинами периода и предпериода периодической дроби, в которую она обращается? На все эти вопросы постараемся дать ответ в последующем изложении.

Замечание 1. Так как в периоде остатков rkrk±r.. гк+п__л нет равных между собою чисел и каждое rm^b—1, то длина периода п не превосходит числа Ь— 1:

Замечание 2. Дробь — , знаменатель которой в несократимом ее виде содержит множители взаимно простые с числом 10, не может быть обращена в периодическую дробь с периодом 9, так как такая периодическая дробь, как мы видели в § 2, равна конечной десятичной дроби.

Примеры

1) Дробь — обращается в чистую периодическую дробь:

Длина периода /2 = 2, 2

2) Дробь — обращается в чистую периодическую дробь

3) Дробь — обращается в смешанную периодическую дробь

п—1; длина предпериода k = 3.

§ 4. ЧИСТАЯ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ДРОБЬ

Для дальнейшего нашего исследования обращения простой дроби в десятичную, обратимся сначала к дробям —, знаменатели которых взаимно простые с числом 10: D(b, 10) = 1. Для таких дробей мы прежде всего докажем такую теорему:

Теорема. Дробь — , знаменатель которой взаимно простой с числом 10, обращается в чистую периодическую дробь. Доказательство. Так как дробь — обращается в периодическую дробь, то среди членов ряда остатков

встречаются одинаковые. Пусть

(1)

Найдем разность выражений:

Принимая во внимание равенство (1), получаем:

Отсюда заключаем, что Ю(гА-1 — ^fji-i) делится на Ь, но так как D (Ь, Ю) = 1, то на b должно делиться rkm_t — rk^_n_x; но эта разность по абсолютной величине меньше b — 1, а потому она может делиться на b только в том случае, когда она равна нулю:

Из этого равенства таким же путем докажем:

Наконец, получим равенство:

г0 = гя, доказывающее, очевидно, что дробь

есть чистая периодическая.

Пример. Обращая дробь — в Десятичную, получим чистую периодическую дробь 0, (380952).

Здесь D (21, 10) = 1.

§ 5. СВЯЗЬ ДЛИНЫ ПЕРИОДА ЧИСТО ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ДРОБИ С ФУНКЦИЕЙ ? (m).

Мы видели, что длина п периода периодической дроби, получающейся от обращения в нее дроби — , не превосходит числа Ь—1. Поставим себе теперь задачу точнее определить это число п. Для этой цели возьмем сначала несократимую дробь, знаменатель в которой взаимно простой с числом 10. Таким образом, имеем:

D(a9b) = \; D(b, Ю) = 1.

Из равенства

a = öa0 + r0

видим, что и D (Ь, г0) = 1. Действительно, если бы числа Ъ и г0 имели бы общий делитель, отличный от единицы, то он был бы также общим делителем чисел Ьа0+г0> а потому на него делилась бы также их сумма а*, что противоречит равенству D(at b) = \.

Возьмем теперь следующее равенство:

10г0 = Ьах-\гг.

Так как

D(Î0, b) = \ и D(r0, b) = \,

то и

D(ÎOr0,£) = l**,

а потому, подобно предыдущему, и

D(ritb)=\.

Отправляясь от последнего равенства, мы темже путем докажем, что и D (г2 Ь) = 1 и т. д.

Следовательно, все числа ряда:

остатков взаимно простые с числом Ь. Возьмем теперь период остатков:

в нем все числа меньше числа b и взаимно простые с ним. Так как, кроме того, среди них нет одинаковых, то их число п не превосходит числа чисел, меньших b и взаимно простых с ним.

Число чисел, меньших числа m и взаимно простых с ним, есть функция от m и обозначается символом ср (jri). Так, например, из чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, 10, 11,

меньших 12, взаимно простыми с ним являются 4 числа:

1,5,7,11,

а потому ф(12) = 4.

Таким образом, нами доказана следующая теорема:

Теорема. Длина периода периодической дроби, получающейся от обращения несократимой дроби , D {Ь, 10) = 1 в десятичную, не превосходит числа ср(£):

п < ? (*)

Примеры:

1) Обращая дробь — в десятичную, получим периодическую дробь 0,(428571). Здесь длина периода п — 6. Так как 7— число простое, то все числа, меньшие его, взаимно простые с ним, а потому здесь ç (Ь) = о (7) = 6. Таким образом, в данном примере п = ер (Ь) = 6.

2) Дробь — дает при обращении в десятичную периодическую дробь 0,(619047),

Здесь D(b, 10) = D(21, 10) s 1; n=ê. Из чисел, меньших 21, взаимно простыми с ним являются 12 следующих чисел.

1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20

т. е. ф (21) =12. В данном примере, как видим, /2 = 6<12==Ф(21) = ср(&).

§ 6. ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА ср (/я).

Функция ç(/#), введенная нами в предыдущем параграфе и имеющая название функции Эйлера, будет у нас и в дальнейшем встречаться, а потому поставим себе задачу дать общее выражение для этой функции. Мы покажем, что функция ср (т) довольно престо вычисляется для каждого т, если известно его разложение на простые множители. Для этой цели нам придется доказать несколько теорем.

Теорема 1. Если а — делитель т, то число чисел ряда:

не делящихся на я, равно

Доказательство. Числа ряда (1),

* Известна теорема теории делимости: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и их сумма делится на это число

** Согласно теореме теории делимости: если каждое из чисел а, Ь, с..м взаимно простое с числом т, то и их произведение сбс... взаимно простое с т.

делящиеся на а9 представляют собою совокупность чисел:

Их число —. Исключая их из ряда (1), получим числа, не делящиеся на я, число которых, следовательно, равно:

Теорема 2. Если числа а, ЬУ с,.., I — попарно взаимно простые делители числа т> то число чисел ряда:

1, 2*3,..., mt (1)

не делящихся ни на одно из чисел a, Ь> с,..J равно

Доказательство. Чтобы определить искомое число, поступим следующим образом: исключаем сначала из ряда (^числа, делящиеся на а; оставшийся после этого ряд чисел обозначим через (А)9 из него исключаем числа, делящиеся на Ь% и оставшийся ряд обозначаем через (В) и т. д. Этим путем, наконец, получим ряд чисел (L), число которых и даст нам требуемое число.

Число чисел ряда (А) по первой теореме равно \ —. Из него исключаем теперь числа, делящиеся на Ь. Это все те числа этого ряда, которые делятся на b и в тс же время не делятся на а.

Числа ряда (1), делящиеся на представляют собою ряд

Каждое из этих чисел имеет вид nb. Чтобы это число не делилось на о, необходимо и достаточно, чтобы п не делилось на û, так как по условию теоремы D(a, b) = l; таким образом, нам нужно из ряда чисел:

1, 2, 3,..., исключить еще числа, делящиеся на а. Так как — делится на а*, то по первой теореме, после исключения из ряда (2) чисел, делящихся на а, останутся в нем — ( I---1 чисел. Это число, очевидно, и равно числу делящихся на b чисел ряда (А). Следовательно, чисел в ряде (В) будет:

Наша теорема, таким образом, доказана для случая двух взаимно простых делителей а и b какого-нибудь числа т. Для доказательства ее справедливости для любого числа взаимно простых делителей числа m применим метод полной индукции. Итак, пусть наша теорема справедлива для взаимно простых делителей с, k. Докажем тогда ее справедливость для взаимно простых делителей с, /.

Справедливость теоремы для чисел a, bf... k, означает, что в ряде (£) имеется

чисел. Из этого ряда (k) мы должны исключить делящиеся на / числа. Это будут все те числа ряда (1), которые делятся на (/) и в то же время не делятся ни на одно из чисел а, Числа ряда (1). делящиеся на /, представляют собою совокупность:

Их число — • Каждое из этих чисел имеет вид nL Чтобы число ni не делилось ни на одно из чисел с, ß, необходимо и достаточно, чтобы п не делилось ни на одно из этих чисел, так как, по условию теоремы:

Таким образом, нам нужно из ряда:

исключить числа, делящиеся на с, А.

Так как — делится на каждое из чисел О, £, т0> по нашему предположению, после их исключения останутся:

* Пользуясь теоремой теории делимости: если в, b,c,...l—попарно взаимно простые делители числа /и, то m делится на их произведение abc... I.

чисел. Это число, очевидно, равно числу делящихся на / чисел ряда (#). Следовательно, число чисел ряда (L) будет:

Теорема доказана полностью.

Теорема 3. Если т = ра ф ... гх , где p,q,... г — различные простые делители числа т, то

Доказательство. у(т) есть число чисел ряда:

1, 2, 3,...., m, (1)

взаимно простых с т. Чтобы число было взаимно простым с ту необходимо и достаточно, чтобы оно не делилось ни на одно из чисел p,q,...r. Числа р> q>... г, кроме того, как простые числа, попарно взаимно простые. Следовательно, задача определения числа <?(т) сводится к задаче нахождения числа чисел ряда (1), не делящихся ни на одно из чисел: р, г. Их число: по предыдущей теореме равно

Георема доказана.

Примеры.

2) Найдем ср (/?*), где р — простое число

В частности, Ç (р) = р — 1. Действительно, все числа ряда

1, 2, 3,..., /7—1

взаимно простые с числом р, так как/? — простое число.

§ 7. равенство длины периода дроби ~- наименьшему показателю п, при котором 10п -1 кратно Ь.

Вернемся к чистым периодическим дробям, получающимся от обращения несократимых дробей: J- , D {b, 10) = 1 в десятичные.

Напишем m известных нам уже равенств:

(1)

Перемножая, получим:

(2)

Раскрывая скобки в правой части, мы можем ее представить в виде суммы m -(- 1 слагаемых, расположенных по убывающим степеням Ь. Первые m слагаемых этой суммы можно записать в виде kb, где k — целое число (каждое из этих слагаемых содержит в качестве множителя число Ь, его выносим за скобку, а выражение в скобках обозначаем через £). Последнее же /и4-1-е слагаемое равно произведению rir2---rm всех вторых членов биномов правой части (2).

Таким образом, равенство (2) принимает вид

10%г,.. .гт_х = kb + /yv.. rm,

или:

г^...гт_,(\№г«-гт) = кЪ. (3)

Это означает, что левая часть (3) кратна Ь, но по доказанному в § 5,

D{rx b)=D(r2, b)=..~D(rm_v b)=l,

следовательно,

0(гЛ... rm_vb) = \*, a потому 10mr0 — rm кратно b:

или:

r0(10"-l)+(r0-rm)-^V>> (4) где kx — целое число.

Обозначая, как и раньше, через п длину периода, рассмотрим особо случай, когда m = п.

В этом случае согласно § 5, гт = гп= г0, а потому равенство (4) принимает вид:

r0(W— 1)^ kxb>

а так как D (rQt b)~ 1, то выражение 10я — 1 делится на Ь. Если же т<^п, то выражение \0т—1

* См. примечание на стр. 31

не может делиться на Ь. Действительно, в противном случае и разность

делилась бы на by что противоречит тому, что Го<С.Ь и Гт<1Ь>

и, следовательно, их разность г0 — гт меньше по абсолютной величине числа Ь, Подводя итог, получаем следующую теорему.

Теорема. Длина периода несократимой дроби — , D(10, b) = 1 равна наименьшему показателю /г, при котором выражение 10л— 1 делится на знаменатель Ь.

Следствие. Все несократимые дроби ~-, Z)(10, 6) = 1 с одинаковыми знаменателями b и разными числителями а имеют одну и ту же длину периода п.

Действительно, наименьший показатель /г, при котором 10л— 1 делится на Ь, зависит, конечно, только от Ь.

Так как выражение 10*—1 представляет собою число, состоящее из п девяток, то можно определить длину периода, узнав сколько девяток нужно взять в числе, состоящем из одних девяток, чтобы оно делилось нацело на Ь. Практически это можно осуществить следующим образом: делим 9 на b (если 9 меньше Ь, то в частном ставим цифру 0), к остатку приписываем 9, делим снова на b и т. д., пока в остатке не получится 0. Число цифр частного (оно равно числу девяток) и равно длине периода.

Пример. Пусть £ = 21.

Процесс упомянутого деления показан здесь:

Число цифр частного равно 6, а потому длина периода п = 6. В данном примере

Длина периода

§ 8. еще о связи длины периода с функцией эйлера

Возьмем правильную несократимую дробь у, D(b, 10)= 1. Обращая ее в десятичную, получим чистую периодическую дробь с периодом остатков и частных:

ro fi r2---rn_lt (1)

Все остатки rt взаимно простые со знаменателем b и меньше его (§ 5), а г0 = а (так как а<^Ь9 то при делении а на b получаем я0 = 0; г0 = а).

Рассмотрим теперь два возможных случая.

1) Длина периода n = (f(b). В этом случае совокупность остатков:

ro> ru r2--rn-i (2)

исчерпывает собою весь ряд чисел, меньших b и взаимно простых с ним. Если, следовательно, возьмем другую правильную несократимую дробь с тем же знаменателем by то ее числитель а находится среди чисел ряда остатков (2).

Пусть <х= гр. Обращая дробь у в десятичную, получим периодическую дробь с периодами

Из равенств:

вследствие равенства левых их частей, вытекает:

Аналогично из равенства rp+1 = rj получим:

и т. д.

Таким путем приходим к следующим двум таблицам равенств:

* Здесь \0гр (Югу) является делимым, b— делителем, ар +, ( а\), гр + , ( г\) — частным и остатком.

Как известно, делимое и делитель однозначно определяют частное и остаток.

показывающим, что периоды остатков и частных дроби у состоят из тех же чисел, что и для периодов дроби -у и получаются из последних при помощи циклических перестановок.

Пример. Пусть &=7. Здесь 9(£) = ср(7) = 6.

Обращая дробь у в десятичную, получим:

1 = 0, (142857)

с периодами остатков и частных:

1 3 2 6 4 5 пер. ост.

1 4 2 8 5 7 пер. части. Длина периода п = 6 = (f (7).

Если теперь обратим дробь у в десятичную, то получим:

у = 0, (428571)

с периодами:

3 2 6 4 5 1 пер. ост.

4 2 8 5 7 1, пер. части.,

представляющими собою циклические перестановки соответствующих периодов дроби

Точно так же

2) Длина периода п дроби ^ меньше ?(*):

п <?(*).

В этом случае совокупность остатков (2) не исчерпывает собою всего ряда чисел, меньших b и взаимно простых с ним. Поэтому если возьмем другую несократимую правильную дробь ~, числитель которой а (первый остаток) не входит в ряд (2), то, обращая эту дробь в десятичную, получим чистую периодическую дробь с той же длиной периода л и с периодом остатков:

таким, что ни один из этих остатков не совпадает ни с одним из остатков периода остатков дроби ~ . Действительно, если бы имело место равенство г\ = г-, то, как это вытекает из изложенного для предыдущего случая, весь период остатков дроби -г- совпал оы с точностью до циклической перестановки с периодом остатков дроби у, чего не может быть, так как остаток г* = а не совпадает ни с одним гс Таким образом, каждое из чисел совокупностей (2) и (3) меньше bt взаимно простое с ним, и все числа различны между собой. Если они исчерпывают собою все ср (о) чисел, меньших Ь и взаимно простых с ним, то имеем равенство:

2/z = cp(£).

Если же числа (2) и (3) не исчерпывают собою всей указанной совокупности ф {Ь) чисел, то разлагаем правильную несократимую дробь -~ в десятичную, где числитель ß не входит в совокупности чисел (2) и (3). Для этой десятичной дроби получаем период остатков

г: «г v-c,«-P). (4)

причем снова все г"% различны между собою и ни одно из них не равно ни одному из чисел (2) и (3); кроме того,

Если совокупности (2), (3) и (4) исчерпывают собою все множество 9 (Ь) чисел, меньших b и взаимно простых с ним, то приходим к равенству:

3/г = ср(£).

Если же это не имеет мест?, то продолжаем этот процесс дальше, пока, вследствие конечности числа <р(Ь), не исчерпаем всей указанной совокупности чисел. Мы приходим тогда к таблице

содержащей k строк по п чисел в каждой.

Всего в таблице содержится <р(&) чисел, а потому

kn = <f(t>),

и, следовательно, нами доказана следующая теорема:

Теорема. Длина периода п дроби

г, fl(e,») = l и D(J, 10) = 1, есть делитель числа у(Ь).

Замечание. При п = <р (Ь) длина периода п есть несобственный делитель числа

Примеры

I) £ = 21.

Тогда

Обращая дробь — в десятичную, получим:

с периодами остатков и частных;

I 10 16 13 4 19 пер. ост.

0 4 7 6 1 9 пер. части.

Длина периода я = 6 есть делитель числа ?(21)=12.

Из чисел, меньших 21, взаимно простых с ним и не входящих в период остатков дроби возьмем число 2 и разложим дробь —г в десятичную:

Периоды здесь такие:

2 20 И 5 8 17 пер. ост. 0 9 5 2 3 8 » части.

Оба периода остатков дробей — и — исчерпывают собою полностью все 12 чисел, меньших 21 и взаимно простых с ним.

Если обратить любую другую дробь с тем же знаменателем 21 в десятичную, то получим те же периоды остатков и частных (5) или (6), только циклически переставленные. Например, обращение дроби — в десятичную дает:

с периодами:

4 19 1 10 16 13 пер. ост. 1 9 0 4 7 6 » части.

Они являются циклическими перестановками периодов (5).

Обращение дроби — в десятичную дает

с периодами:

5 8 17 2 20 11 пер. ост. 2 3 8 0 9 5 » части.,

представляющими собою циклические перестановки периодов (6).

Тогда

Обращая дробь —в десятичную, получим:

с периодами:

Так как в период остатков не входит число 2, то разлагаем дробь — в десятичную:

Периоды здесь такие:

Всякая другая дробь со знаменателем, 51 дает при обращении в десятинную периодическую дробь с тем же периодом что и у дроби — или — , только циклически переставленный.

Например:

и т. д.

§ 9. теорема ферма-эйлера

Воспользуемся результатами, полученными нами в §§7 и 8, чтобы доказать одну из основных теорем теории чисел.

В § 7 мы доказали, что выражение 10я— 1 кратно Ь. Пользуясь соотношением kn = <f{b)t докажем, что и выражение ]Qv(b)—\ кратно числу Ь.

Действительно, мы имеем:

Так как первый множитель 10/l— 1 делится на Ь, то и все произведение 10*^—\ разделится на него.

Результат этот верен не для всякого числа />, а только для взаимно простого с числом 1С; но он имеет место не только для числа 10, а для всякого числа а взаимно простого с числом Ь. Число 10 появилось здесь потому, что оно является основанием нашей десятичной системы. Если бы мы вели наши исследования в числовой системе с произвольным основанием о, то мы пришли бы к следующему выводу.

Теорема Ферма-Эйлера. Если D (я, Ь) = 1, то выражение а? <ь> — 1 кратно Ь.

Следствие. Если а не делится на простое число /?, то аР~1—1 кратно р. Действительно, при этих условиях:

D(a, р) = 1 и ç (р) = р — 1*.

Примеры

§ 10. перенесение занятой в бесконечной десятичной дроби

Возьмем какую-нибудь бесконечную десятичную дробь (периодическую или непериодическую)*.

Черта сверху над целой частью обозначает, что и она записана в десятичной системе.

Обозначим через 5 величину десятичной дроби:

По определению (§ 2) 5 есть сумма бесконечного ряда

(1)

Доказательство сходимости этого ряда проводится довольно просто: лю1ой член апА0гп(ЬкЛ(Ьк) не превосходит по своей величине 9• 10"n (9-Ю*); ряд же

сходится, так как он представляет собою бесконечно-убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем, равным —, а потому и ряд (1) сходится.

Умножим теперь все члены ряда (1) на Ю1", тогда и его сумма 5 умножится на Ют:

(2)

Очевидно, что равенство (2) можно кратко переписать так:

* Это следствие называют по имени математика, впервые его открывшего, «малой теоремой Ферма», в отличие от знаменитой «большой», до сих пор еще полностью не доказанной, но и не опровергнутой и заключающейся в том, что уравнение хп + уп — zn при п целом и большем 2 не имеет решений в целых числах.

Теорема Ферма-Эйлера является обобщением малой теоремы Ферма и впервые доказана Эйлером.

* Заметим себе, что и конечную десятичную дробь можно рассматривать как бесконечную периодическую с периодом 0 или 5 (§ 2).

доказывающее нам, что умножение бесконечной десятичной дроби на Ют равносильно перенесению запятой на m знаков вправо. Точно так же легко убедиться в том, что деление бесконечной десятичной дроби на 10т равносильно перенесению запятой на m знаков влево.

Пример. Обратим дробь -у- в десятичную:

Тогда

и т. д.

§ 11. смешанные периодические дроби

До сих пор мы рассматривали дроби , знаменатели в которых взаимно простые с числом 10. Обратимся теперь к несократимым дробям для которых Ь и 10 не взаимно простые.

Иначе говоря, Ь = 2а 5^ с, где, по крайней мере, одно из чисел а или ß не равно нулю, a D (с, 10) = 1.

Предполагая для определенности а ^ ß, умножим дробь — на 10а :

Следовательно, дробь у обращается в чистую периодическую, длина периода которой зависит только от числа с и равна наименьшему показателю, при котором 10"—1 делится на с:

Целая часть а0, вообще говоря, есть многозначное число:

Тогда

а наша дробь

Если г<а, то недостающие цифры заменяем нулями.

Результат формулируем в виде следующей теоремы:

Теорема. При обращении несократимой дроби j = ^—±—fD(c9 10) = 1, в десятичную, получается смешанная периодическая дробь с длиной периода, равной наименьшему показателю я, при котором 10"—1 делится на с, и длиной предпериода, равной большему из двух чисел аир.

Примеры

Здесь

а = 1; ß = 0; с = 3, длина периода /2=1; 101—1=9 = 3.3. Длина предпериода k = а = 1.

§ 12. обращение чисто периодической дроби в простую

Обратимся теперь к обратной задаче обращения периодической дроби в простую.

Возьмем сначала чистую периодическую дробь:

л: = 0О, = ап)-

1-й способ. Обозначим целое число, изображаемое периодом этой дроби, через Р:

Наша периодическая дробь представляет собою бесконечный ряд:

Находим его сумму:

(1)

Выражение, стоящее в скобках, представляет собою сумму членов бесконечно-убывающей геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель —

Ее сумма равна

Подставляя в (1), получим:

так как 10я— 1 представляет собою число, состоящее из п девяток.

2-й способ. Обозначим дробную часть периодической дроби через у:

Будем искать значение у. Перенеся запятую на п знаков вправо, мы периодическую дробь увеличим в 10" раз, а потому:

Теперь у находим легко:

Следовательно,

Мы пришли к тому же результату, который формулируем в виде следующей теоремы.

Теорема. Чистая периодическая дробь равна целой части, сложенной с дробью, числитель которой представляет собою число, изображаемое периодом, а знаменатель— число, состоящее из стольких девяток, какова длина периода периодической дроби.

Примеры

§ 13. обращение смешанной периодической дроби в простую

Возьмем теперь смешанную периодическую дробь

х = с, b,b2...bk (аха2 ... ап). (1)

Обозначим числа, изображаемые периодом и предпериодом, соответственно через Р и М:

Умножая (1) на 10*, получим:

Но М, (аха2 •.. ап) есть чистая периодическая дробь, а потому по доказанному:

Откуда

(2)

или:

Результат формулируем следующими словами:

Теорема. Смешанная периодическая дробь равна целой части, сложенной с дробью, числитель которой равен разности чисел, изображаемых десятичными знаками, стоящими от запятой до второго и до первого периода, а знаменатель — число, состоящее из девяток со следующими за ними нулями, числа которых соответственно равны длинам периода и предпериода периодической дроби.

Примеры:

Замечания. 1) Можно дать правило, аналогичное предыдущему, но выражающее смешанную периодическую дробь в виде неправильной простой дроби. Числитель этой дроби есть разность чисел, изображаемых цифрами периодической дроби, включая и цифры целой части, до второго и первого периодов; знаменатель — предыдущий.

Действительно, из (2) имеем:

Если

то числитель равен:

Заметим себе, что при составлении знаменателя цифры целой части во внимание не берутся.

Пример.

2) Легко видеть, что при доказательстве теорем предыдущего и настоящего параграфов мы нигде не опирались на разумении понятий периода и предпериода периодической дроби в узком смысле этих слов. А потому при обращении, например, дроби 0,(45) в простую, мы можем доказанные правила применять в одинаковой мере к дробям 0,(4545); 0,4(54); 0,45 (45),. . . Результат всюду получится один и тот же. Действительно:

§ 11. периодические дроби и множество рациональных чисел

Мы видели (§ 1—3), что всякое рациональное число можно представить в. виде конечной или бесконечной, но периодической дроби. Если принять во внимание, что и конечную десятичную дробь можно рассматривать как периодическую с периодом 0 или 9, то можем утверждать, что всякое рациональное число можно представить в виде периодической дроби. В § 12 и 13 мы видели, что и, наоборот, всякая

периодическая дробь представляет собою рациональное число. Если обозначить через (М) все множество периодических дробей, за исключением таких, которые имеют своим периодом число 9*, то полученный результат можно будет кратко формулировать так: между множеством (М) периодических дробей и множеством рациональных чисел установлено взаимно однозначное соответствие. Это значит, что каждому рациональному числу соответствует одна, и только одна, периодическая дробь множества (М) и, наоборот, каждой периодической дроби из (М) соответствует одно, и только одно, рациональное число.

Далее. Мы видели (§ 10), что всякая бесконечная непериодическая (как и периодическая) десятичная дробь есть сходящийся ряд и, следовательно, каждая такая дробь равна определенному действительному числу — сумме этого ряда. Ясно теперь, что это число не может быть рациональным, а есть иррациональное. Действительно, если бы оно было рациональным, то ему соответствовала бы периодическая дробь, и мы имели бы равенство двух равных дробей: одной — периодической, а другой— непериодической, что невозможно (§ 2).

Не останавливаясь на этом вопросе более подробно, мы отметим только тот важный факт, что всякое иррациональное число можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, и, следовательно, все множество действительных чисел (рациональных и иррациональных) взаимно-однозначно отображается на все множество десятичных дробей, из состава которого исключены периодические с периодом 9.

S 15. действия над периодическими дробями

При производстве действий над периодическими дробями обыкновенно их предварительно обращают в простые дроби, производят над ними указанные действия и, если есть к тому надобность, обращают полученный результат в десятичную и, как правило, снова-таки в периодическую дробь. В этом параграфе хочу дать вывод правил сложения и вычитания периодических дробей без предварительного их обращения в простые.

Прежде чем перейти к выводу указанных правил, сделаем одно важное замечание.

Если нам даны несколько периодических дробей, чистых или смешанных, с различными, вообще говоря, длинами периодов и предпериодов, то можем всегда добиться уравнивания этих длин для всех дробей.

Действительно, если, например, нам даны две периодические дроби

0,312(45) и 0,4(721),

то уравниваем сначала длины их предпериодов, переписав вторую дробь в виде 0,472(172). После этого, замечая, что наименьшее кратное длин периодов равно 6, берем три периода первой дроби и два периода второй в качестве новых их периодов:

0,312 (45) = 0,312 (454545) 0,4(721) = 0,472(172 172).

В дальнейшем, следовательно, будем предполагать, что периодические дроби имеют одинаковые длины периодов и предпериодов.

Сложение. Даны несколько периодических дробей А{А2, . • • At% длины периодов и предпериодов которых соответственно равны пик:

Обозначим целое число, изображаемое целой частью и предпериодом дроби As через Ms:

Ради краткости речи Ms будем называть «числом, стоящим до первого периода». В этом же смысле будем говорить о «числе, стоящем до второго периода» и о самом «периоде» Ps:

По выведенному в § 13 правилу имеем:

* Они равны соответствующим периодическим дробям с периодом 0.

Обратно, всякая дробь вида

(1)

где число Р состоит из п цифр*, изображается периодической дробью с периодом Р, числом, стоящим до второго периода, М* 10я + Р и предпериодом, состоящим из k цифр.

Сложим теперь периодические дроби Av

(2)

Сумма Pt + Р2 ~Ь • • • "i" Pf мож^т уже не быть /г-значным числом. Отделим, начиная от единиц, п цифр в этом числе; число, изображаемое этими цифрами, обозначим через Р; оставшиеся цифры образуют число, которое обозначим через / и назовем «излишком суммы периодов».

Так, например, если

Введя такие обозначения, сумму

можно будет, очевидно, записать в виде

Вставляя в (2), получим:

Предполагая число Р + / уже /г-значным*, мы видим, что сумма -f" i42~Ь + ... + Л, равна периодической дроби, у которой число, стоящее до первого периода, есть М1+М2+M t+l; период — P~\rl; длина предпериода — k; периода — я. У этой же периодической дроби число, стоящее до второго периода, равно

т. е. равно сумме чисел, стоящих до второго периода, слагаемых Av А2. . . At увеличенной на /.

Таким образом, нами доказано следующее:

Теорема 1. Сумма периодических дробей, имеющих одинаковые длины периодов и предпериодов, равна периодической дроби, имеющей те же длины периода и предпериода, что и данные дроби, и у которой число, стоящее до второго периода, разно сумме чисел, стоящих до второго периода данных дробей, увеличенной на излишек их суммы периодов.

Примеры.

1) Найти сумму

Складываем данные дроби, уравнивая предварительно длины их периодов и предпериодов :

2. Найти:

Здесь 1 = 0.

* Если Р содержит меньше чем п цифр, то можно, приписывая слева нули, дополнить его до п цифр.

* Если бы оно содержало больше, чем п, знаков, то пришлось бы выводимые ниже правила применять вторично.

3) Найти:

Здесь мы, кроме первого «излишка» /, имеем и второй /,

4) Найти:

Здесь

5 = 0,637 (99) = 0,637 (9) = 0,638,

т. е. конечная десятичная дробь.

Вычитание. Найдем разность периодических дробей:

Придерживаясь прежних обозначений, имеем:

или

(3)

Рассмотрим два возможных случая.

а) Я1^Р2. В этом случае равенство (3) показывает, что разность At— А2 есть периодическая дробь с длинами периода и предпериода, равными п и и с числом, стоящим до второго периода, равным

т. е. разности чисел, стоящих до второго периода уменьшаемого и вычитаемого.

b) Pi<^Pf В этом случае числитель правой части (3) можно представить в виде

И здесь искомая разность равна периодической дроби, у которой длина периода и предпериода остаются равными пик. Число, стоящее до второго периода, равно

т. е. равно разности чисел, стоящих до второго периода уменьшаемого и вычитаемого, уменьшенной на единицу.

Мы пришли к следующей теореме.

Теорема 2. Разность периодических дробей с периодами Pt и Я2, имеющих одинаковые длины периодов и предпериодов, равна периодической дроби, имеющей те же длины периода и предпериода, что и данные дроби, и у которой число, стоящее до второго периода, равно или разности чисел, стоящих до второго периода уменьшаемого и вычитаемого, или же — этой разности, уменьшенной на единицу, в зависимости от того, будет ли разность Я, — Р2 неотрицательным или отрицательным числом.

Примеры

1) Найти разность:

2) Найти:

МЕТОДИКА

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КУРСЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

В. СИНАКЕВИЧ (Ленинград)

1. Вопрос о том, проходить ли в школе тригонометрию в два концентра или же сразу начинать ее с обобщения понятия угла, приходится считать окончательно нерешенным в методической литературе. Но я в своей статье не предполагаю затрагивать этот вопрос, так как при дальнейшем изложении для меня не имеет существенного значения, умеют ли учащиеся решать прямоугольные треугольники или нет.

Программа IX класса по тригонометрии начинается с ознакомления учеников с радианным измерением углов и дуг, поэтому, приступая к изучению тригонометрических функций любых углов, учащиеся уже должны быть знакомы с этим способом их измерения; при дальнейшем прохождении курса необходимо постоянно к нему возвращаться и постоянно им пользоваться. Например, при решении тригонометрических уравнений необходимо требовать, чтобы учащиеся писали ответ в радианах, в особенности, если ответ находится без помощи таблиц. В радианах же они должны помнить формулы приведения и т. п. Между тем, как показывают приемные испытания в высшие учебные заведения, большинство экзаменующихся теряется, если задать вопрос: «Какой знак имеет sin 2?» и т. п. Очень часто приходится услышать ответ, что «синус больше единицы не бывает».

2. Прежде чем давать определение тригонометрических функций, необходимо уточнить самое понятие об угле, как результате вращения, как мере поворота.

Если начерчен угол, образованный двумя лучами, выходящими из одной точки, то можно «на-глаз» определить его величину или же измерить при помощи транспортира. Но если тот же угол рассматривать, как результат поворота одного луча относительно другого, то вопрос о величине этого угла становится совершенно неопределенным. Поэтому необходимо выяснить, какие надо указать условия, чтобы можно было вполне точно решить вопрос о величине угла.

Учащиеся уже знакомы с термином «ось» (например, числовая ось, оси координат), поэтому можно рассматривать угол между двумя осями. Раз мы имеем дело с осями, то необходимо указать (стрелкой) направление каждой оси. Но этого, конечно, далеко недостаточно для определения угла. Необходимо еще указать, какую из двух осей мы принимаем за начальную (неподвижную) и какую за конечную (подвижную). Но и этого мало. Требуется еще указать (хотя бы поставленной в стороне дуговой стрелкой) направление вращения подвижной оси: по ходу или против хода часовой стрелки. Как на числовой оси отрезки (векторы) могут быть положительными или отрицательными, так и углы могут иметь тот или иной знак в зависимости от направления вращения. Какие углы считать положительными и какие отрицательными — зависит от нашего произвола. Таким образом, для того, чтобы указать знак определяемого угла, необходимо выбрать, какое из двух противоположных направлений вращения мы принимаем за положительное. Наконец, подвижная ось могла сделать несколько полных оборотов, чтобы занять свое конечное направление. Следовательно, необходимо еще указать число полных оборотов (оно может быть разным нулю).

Итак, для того, чтобы вполне определить угол между двумя осями, необходимо и достаточно указать: 1) направление каждой оси, 2) какая из осей принимается за начальную, 3) в каком направлении вращалась конечная ось, 4) какое направление вращения принято за положительное, 5) число полных оборотов.

3. После выяснения этих пяти условий вычерчиваются на доске несколько случаев различного расположения осей и предлагается учащимся указать на каждом из них углы между этими осями.

Пример 1. На чертежах 1, 2, 3 и 4 начальная ось обозначена буквами хх х% за положительное направление вращения принято направление против хода часовой стрелки, а направление вращения подвижной оси указано стрелкой.

Показать дуговой стрелкой углы, не превышающие 2г., и определить их знак.

Черт. 1

Черт.

Черт 3.

Черт. 4

Полезно также взять какой-нибудь один чертеж и что-нибудь в нем изменять; например, направление одной из осей, направление сращения, принять сначала одну, а затем другую ось за начальную и т. д. Учащиеся должны показать, как при каждом таком изменении изменяется и угол между осями (черт. 5, б, 7, 8).

Черт. 5

Черт. 6

Черт. 7

Черт. 8

Можно дать пример, так сказать, обратный предыдущим.

Пример 2. На чертеже 9 оси образуют угол в —40°, а за положительное направление вращения принято вращение против хода часовой стрелки. Указать дуговой стрелкой этот угол. Какая ось в этом случае должна быть принята за начальную? (черт. 9).

Черт. 9

Указать на том же чертеже угол, если он равен +400°. Какая из осей в этом случае должна быть принята за начальную?

В математике, в физике, в механике и других науках часто приходится определять направление какой-нибудь оси относительно осей координат. В этом случае за начальную ось всегда принимают ось абсцисс. За положительное направление вращения в тригонометрии принимается направление против хода часовой стрелки.

Таким образом, для определения угла между данной осью и осью абсцисс остается только указать: 1) направление данной оси, 2) направление ее вращения и 3) число полных оборотов.

Пример 3. Какие углы (меньше полного оборота) может образовать ось AB (черт. 10) с осью абсцисс?

Вообще говоря, выбор положительного направления осей координат и направления вращения произволен. Но всегда соблюдается следующее условие: если повернуть ось абсцисс в положительном направлении на прямой угол, то ее направление должно совпасть с направлением оси ординат.

Пример 4. В геодезии ось абсцисс располагают вертикально, а за положительное направление принимают направление снизу вверх (с юга на север). За положительное направление вращения принимают направление по ходу часовой стрелки. Как при этих условиях надо направить ось ординат?

Ответ. Слева направо (с запада на восток).

Впрочем, об этом условии при выборе направления осей координат и направления положительного вращения можно и не говорить учащимся.

4. Существует, как известно, несколько определений тригонометрических функций. Не останавливаясь на их рассмотрении, укажу только, что, по моему мнению, наиболее целесообразным является определение их как отношений проекций вектора на оси координат к длине самого вектора. Эти определения удобны тем, что, во-первых, они не нуждаются ни в какой окружности, по существу, ненужной. Во-вторых, эти определения не требуют, чтобы начало вектора непременно совпадало с началом координат. А между тем во многих случаях применения тригонометрических функций нельзя переносить вектор хотя бы и параллельно самому себе (например, в некоторых вопросах механики).

Необходимо, конечно, предварительно дать учащимся некоторое, хотя бы самое элементарное, понятие о том, что такое вектор.

Вектором называется отрезок, имеющий определенное направление, указываемое, обыкновенно, стрелкой. Если вектор расположен на оси, то он считается положительным, если его направление совпадает с направлением оси, и отрицательным, если их направления противоположны.

Сам по себе вектор знака не имеет. Проекции же его на оси координат имеют знак. Длиной вектора называют абсолютное число, выражающее результат измерения вектора

Черт. 10

какой-нибудь единицей длины. Таким образом, знаки тригонометрических функций вполне определяются-знаком проекции вектора на ось.

Углом между двумя векторами (или вектором и осью) называется угол между осями, проходящими через эти векторы (или, как иначе говорят, между осями, к которым эти векторы отнесены) и имеющими с ними одно и то же направление.

Например, угол, образованный векторами AB и CD (черт. 11), равен углу а между осями ох и ov

Черт 11

Этих сведений о векторах вполне достаточно для прохождения дальнейшего материала.

Я считаю, что если начинать изучение тригонометрии с решения прямоугольных треугольников, то лучше всего начинать с тангенса, так как при решении практических задач чаще всего приходится пользоваться именно этой функцией. Но при ознакомлении с тригонометрическими функциями любых углов естественнее начинать с косинуса, так как при его определении приходится иметь дело с осью абсцисс — основной осью, от которой отсчитываются углы*.

Впрочем, вопрос о том, с какой функции начинать — с косинуса или синуса — принципиального значения не имеет.

5. Прежде чем дать определение тригонометрических функций, можно рассмотреть, как изменяется проекция вектора на ось абсцисс при его вращении около начала. При этом начало вектора может и не находиться в начале координат, если пользоваться указанным выше определением. Характер этих изменений обыкновенно не затрудняет учеников.

После этого дается определение: косинусом любого угла, образованного вектором с осью абсцисс, называется отношение проекции этого вектора на ось абсцисс к длине самого вектора, т. е. (черт. 121 rosa=-7£.

Черт. 12

Прежде всего, конечно, устанавливается, что косинус — функция угла и не зависит от длины вектора, и, во-вторых, по абсолютной величине косинус не может быть больше единицы.

Затем уже предлагается кому-нибудь из учащихся снова исследовать все изменения проекции вектора на ось абсцисс при изменении угла от 0 до 2тс. В результате этого исследования получается следующая таблица:

При составлении этой таблицы учащихся затрудняет сначала только вопрос о возрастании и убывании функции, так как приходится принимать во внимание не только изменение абсолютного значения проекции, но и ее знак. Но и в этом вопросе они быстро начинают разбираться, если напомнить условие о сравнительной величине относительных чисел.

6. Когда учащиеся выяснили характер изменения косинуса в пределе одного полного оборота, то нет никакого ни логического, ни методического основания на этом останавливаться. Будем далее продолжать вращение вектора. Ясно, и это сразу говорят сами учащиеся, что все изменения рассматриваемой функции будут периодически повторяться. Ясно для них также и то, что значение косинуса любого угла, образованного вектором с осью абсцисс, не изменится, если вектор повернуть в положительном или отрицательном направлении на полный оборот или вообще на целое число полных оборотов. Остается только дать определение периода функции, как наименьшего положительного числа, от прибавления которого к аргументу значение функции не изменяется ни по абсолютной величине, ни по знаку.

Таким образом, получается первое основное свойство косинуса — периодичность, выражающееся формулой

cos (х -f 2л п) = cos х»

В учебниках тригонометрии обыкновенно дается почти одновременно определение всех шести тригонометрических функций. Быть может, при изложении этого вопроса в учебнике так поступать и удобнее в смысле систематичности самого изложения, но при прохождении того же вопроса в классе целесообразнее рассматривать основные свойства каждой функции отдельно, остановившись сначала более подробно на косинусе и синусе, затем на тангенсе и котангенсе. Что касается остальных двух функций, то подробно на них вовсе нет надобности останавливаться.

Ввиду этого переходим далее к изучению других основных свойств косинуса.

* Так поступает, например, Бурле (Bourlet).

Предположим, что вектор, имеющий любое направление и любое положение на плоскости, повернулся на половину оборота (на тг) в положительном или отрицательном направлении. Очевидно, что его проекция на ось абсцисс не изменит своего абсолютного значения, но переменит только направление. Иначе говоря, изменится только знак косинуса, но не изменится его абсолютное значение. Тот же результат получится и в том случае, если повернуть вектор на любое нечетное число полуоборотов (полупериодов). Таким образом, выясняется свойство полупериодичности функции ^ = cos X.

Получаем вторую формулу приведения: cos [{2п + 1) тг + х] = —cos X.

Выведем, наконец, третье основное свойство изучаемой функции. Возьмем для этого два вектора (для простоты равные и выходящие из начала координат), составляющие с осью абсцисс соответственно углы а и—а. При этом угол а необходимо брать не только острый, но и оканчивающийся в различных четвертях как положительный, так и отрицательный.

Из чертежа ясно, что изменение знака аргумента ни влияет на значение косинуса, как бы ни был расположен вектор относительно осей координат и какой бы угол он ни образовывал с осью абсцисс. Итак, получаем 3-е основное свойство косинуса — его четность, выражающееся формулой:

cos ( — х) = cos X,

Эти три основные свойства учащиеся должны ясно себе представить и усвоить их формулировку.

7. После этого можно перейти к рассмотрению второй тригонометрической функции — синуса.

Изучение основных свойств этой функции проходит уже значительно скорее и проще, чем косинуса. Здесь, по существу, приходится повторять с некоторыми видоизменениями те же рассуждения и те же чертежи, что и раньше, при изучении свойств косинуса.

Опять можно взять вектор, расположенный как угодно на плоскости, и проследить изменение его проекции на ось ординат. Далее дается определение синуса любого угла, образованного вектором с осью абсцисс, как отношение проекции этого вектора на ось ординат к длине самого вектора (черт. 13)

Черт. 13

Теперь уже учащиеся без особого труда могут составить таблицу изменений синуса в пределе одного полного оборота. Полезно для повторения, с одной стороны, и сопоставления изменений обеих рассматриваемых функций — с другой, чтобы учащиеся (один из них на классной доске) составили следующую таблицу:

Далее, конечно, так же, как и для косинуса, устанавливаются свойства периодичности и полупериодичности. Не трудно также выяснить и нечетность синуса.

Таким образом, получаем три основных свойства функции y=.smx, выражающихся формулами:

sin (2тт: п 4- х) = sin xt sin [(2/z + 1) Tz -f x] = — sin X, sin (—л:) = — sinjc.

При выводе всех этих формул необходимо указывать учащимся, что они справедливы для всяких углов, указывать на их общность.

8. Для того, чтобы тригонометрическую функцию любого угла можно было привести к той же тригонометрической функции острого угла, недостает еще одной формулы подведения, а именно для углов вида тс — а. Эти формулы непосредственно вытекают из основных свойств тригонометрических функций и не требуют чертежа. В самом деле. Пусть надо упростить sin (тс—х). «Отбрасываем» тс. По свойству полупериодичности получаем:

sin (тс — х) — — sin (— л*).

Вследствие нечетности синуса

sin (— х) = — sin x.

Итак,

sin (тс — х) — sin x.

Точно так же по свойству полупериодичности и четности косинуса находим:

cos (тс — x) = — cos (— х) = — cos x.

Перечисленными 8 формулами приведения можно временно ограничиться. Формулы же

для углов и JL лучше дать значительно позже, перед тем как выводить теорему сложения. Нагромождение большого числа формул, в особенности в самом начале прохождения нового и, сравнительно, трудного для учащихся материала, нецелесообразно. Как уже выше говорилось, этих формул вполне достаточно для приведения тригонометрических функций любого угла к углу острому, а следовательно, и для вычисления их значений по таблице. Достаточно их так-

же и для решения простейших тригонометрических уравнений.

9. После того как учащиеся познакомились с основными свойствами косинуса и синуса любых углов и с формулами приведения к острому углу, необходимо дать им представление о графиках этих функций.

Графики обеих функций лучше строить при одной и той же системе координат, на одном и том же чертеже, чтобы нагляднее можно было выявить соотношение обеих функций.

При этом полезно иметь большую (например в лист ватманской бумаги) стенную таблицу, чтобы она была видна всему классу. Но ограничиться только показыванием такой таблицы и объяснением способа ее построения нельзя. Необходимо, чтобы и каждый учащийся вычертил такой же график у себя в тетради или же, еще лучше, на миллиметровой бумаге (углы достаточно брать с интервалами в — ].

Далее необходимо, чтобы ученики не только могли построить синусоиду и косинусоиду, но и понимали их, умели ими пользоваться для решения простейших задач.

По графику можно: 1) еще раз проследить все изменения функций при изменении аргумента (знаки, возрастание, убывание); 2) выяснить геометрический смысл периодичности, четности или нечетности, для чего следует обе кривые взять не только для положительных, но и для отрицательных значений; 3) по данному значению угла найти по графику (хотя бы очень грубо) соответствующий ему синус и косинус, при этом углы лучше давать в радианах, например: найти sin 1, cos 1,5; и т. п.; 4) по данному значению тригонометрической функции найти соответствующую дугу; здесь, между прочим, выясняется многозначность ответа; 5) по данному значению синуса найти косинус того же угла и наоборот (два решения). К графическому решению последней задачи следует снова вернуться при прохождении формул зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же угла; 6) выяснить тригонометрический смысл точек пересечения синусоиды и косинусоиды; 7) наконец,- при решении простейших тригонометрических уравнений тоже полезно обращаться к графику.

10. Выведенные формулы приведения надо прежде всего применить к вычислению по таблице значений тригонометрических функций любых углов.

Чтобы учащиеся лучше освоились с радианным измерением углов, было бы целесообразно, чтобы во время занятий по математике в классе висели три таблицы: 1) обычная трехзначная таблица значений тригонометрических функций (табл. 1); 2) таблица (пятизначная) перехода от градусного измерения углов к радианному и обратно (табл. 2); 3) таблица значений тригонометрических функций для значений аргумента от 0 до ~, выраженных в радианах (табл. 3).

Этими таблицами можно пользоваться в различных комбинациях.

Пример 5. Вычислить sin 0,897.

Решение. Можно без помощи таблиц перевести 0,897 радианов в градусы. Получим (приближенно) 51°24'. Затем по таблице 1 найдем соответствующий синус.

ТАБЛИЦА 2 Переход от градусного измерены к радианному

0

1

1

0,01745

1

0,00029

2

0,03491

2

0,00058

3

0,05236

3

0,00037

4

0,06981

4

0,00116

5

0,08727

5

0,00145

6

0,10472

6

0,00175

7

0,12217

7

0,00204

8

0,13963

8

0,00233

9

0,15708

9

0,00262

Радиан 57°17'44" 8

Но можно поступить и иначе. Пользуясь таблицей перехода от градусного измерения углов к радианному (табл. 2), начти, что числу 0,897 соответствует тот же угол в 51°24'. При том и другом способе получаем:

sin 0,897 ~ 0,781.

Наконец, по таблице 3 можно непосредственно найти тот же ответ.

Такими же тремя путями можно вычислить в радианах значение острого угла по данному значению той или иной тригонометрической функции.

Пример 6. Найти в радианах угол х9 если cos X = 0,340.

Решение. 1-й способ. По таблице 1 находим, что X — 70э8'. Без помощи таблиц переводим градусное измерение в радианное. Получаем: х X, 1,223.

ТАБЛИЦА 3

Значения тригонометрических функций для значений аргумента, выряженных в радианах

2-й способ. Переводим градусное измерение в радианное» пользуясь таблицей 2. Находим, что jc= 1,224.

3-й способ. По таблице 3 непосредственно получаем, что х = 1,223.

Во всех трех ответах за верность последнего знака ручаться нельзя.

Пример 7. Вычислить cos 4.

Решение. Отнимаем от значения аргумента iz ~ 3,142. Получаем, что cos 4 ~ — cos 0,858.

Далее поступаем так же, как и в предыдущих примерах.

11. Другой тип задач, которые необходимо решать при данном запасе знаний учащихся, — упрощение выражений, содержащих любые углы, пользуясь тремя основными свойствами синуса и косинуса.

Примере. Привести к острому углу

sin 1320°.

Решение. Узнаем, сколько в данном угле содержится полупериодов, разделив значение угла на 180°, Получим:

sin 1320° = sin (180° '7 + 60).

Если отнять от угла нечетное число полупериодов, то знак синуса изменится. Итак:

sin 1320° =— sin 60°.

Пример 9. Упростить cos 1758°.

Решение. Разделив угол на 180°, в частном получим 9, а в остатке 138°, т. е. угол, превышающий 90°. Поэтому лучше в частном взять 10. Тогда в остатке получится отрицательный, но острый угол. Итак:

cos 1758° = cos (180°. 10 — 42°) = cos 42°.

Пример 10. Упростить

Решение. По свойству полупериодичности sin (Згс — а) = — sin (— а), a вследствие нечетности синуса sin(—«) = — s:n«. Таким образом, sin (Зл — «) = sin «.

Опять-таки по свойству полупериодичности cos (а — 5тс) = — cos а; по свойству четности косинуса cos (— «) = cos а. Наконец, по свойству периодичности, sin(6rc-b о) = sin а.

Итак, получаем:

Пример 11. Упростить

sin (tz п + a) COS (7i /I — а).

Решение. Надо рассмотреть два случая: п — число четное и п — нечетное. В первом случае ни синус, ни косинус не изменяется,

если от угла отнять « п. Во втором случае изменится знак обоих сомножителей и, следовательно, знак произведения не изменится. Итак,

Пример 12. Вычислить

Решение. Если п — число четное, то (п + 1) — нечетное и наоборот. Как в том, так и в другом случае один из сомножителей изменит знак при «отбрасывании» целого числа полу периодов. Итак, получаем ответ:

Пример 13. Упростить

Решение. В такого рода примерах учащиеся тоже обыкновенно начинают соображать, какой из сомножителей изменит знак и какой — не изменит, забывая, что при возведении в квадрат перемена знака основания не влияет на знак степени. Поэтому в данном примере необходимо указать учащимся, что следует писать ответ, не задумываясь о знаке.

Свойство полупериодичности, как видно из предыдущих примеров, часто ускоряет решение задачи. Кроме того, оно упрощает вывод формул приведения.

12. Н. Рыбкин в «Прямолинейной тригонометрии» все формулы приведения выводит из чертежа для острого положительного угла, а затем ему приходится их обобщать для всяких углов (по существу, тоже ссылаясь на геометрические представления). Лучше в целях установления общности формул по возможности реже обращаться к чертежу, выводя только некоторые из них геометрически, а остальные чисто аналитически.

Выше были выведены из геометрических соображений для каждой функции по три формулы приведения, 4-я явилась уже их следствием. Кроме этих четырех, необходимо и достаточно вывести из чертежа еще какую-нибудь одну, содержащую например, для угла — . Тогда уже все остальные явятся простым следствием выведенных. Например:

Еще проще выводятся формулы приведения для углов f— ± a j. В самом деле, отнимая от угла полупериод, сразу получаем

Когда эти формулы уже выведены и установлена их общность, следует, в целях наглядности, иллюстрировать их чертежом для каких-нибудь частных случаев, например, для угла, оканчивающегося во 2-й или 3-й четверти, а также проверить их по графику.

Но, как я уже говорил, вывод этих формул лучше пока отложить, дав их после формул зависимостей между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

13. Когда основные свойства синуса и косинуса достаточно усвоены, можно перейти к изучению следующей пары функций: тангенса и котангенса. Их можно определить как отношения синуса любого угла к его косинусу и косинуса к синусу.

Тогда без всяких затруднений выводятся знаки этих функций для углов всех четвертей, их нечетность и периодичность. Необходимо только указать, что обе эти функции не обладают свойством полупериодичности, так как от прибавления к аргументу полупериода, т. е. _, и тангенс и котангенс не только меняют знак, но и абсолютную величину.

Наибольшую трудность для учащихся представляют моменты разрыва. Необходимо, чтобы они отчетливо поняли, что tg~ не существует, отношение ?1£LÎ при х — — теряет смысл, так как число 0 не может быть делителем. Запись же tg-^-^-^oo надо понимать как краткую символическую запись такой длинной фразы: чем ближе угол к .iL (острый или тупой), тем больше по абсолютной величине его тангенс, и можно взять угол, настолько близкий к ~, что его тангенс будет по абсолютной величине больше любого наперед заданного положительного числа. То же самое, конечно, надо сказать о tg cigO и ctg-.

Что касается графиков двух рассматриваемых функций, то о них пришлось бы повторить все то же самое, что говорилось о синусоиде и косинусоиде.

Давать графики функций: у = sec х и у — = cosec X нет необходимости, вообще нецелесообразно долго останавливаться на их изучении. Их можно ввести только для упрощения в некоторых случаях тождественных преобразований. Их определение можно дать только в главе о формулах зависимости как величин обратных косинусу и синусу.

На вопросе об основных свойствах тригонометрических функций необходимо остановиться сравнительно долго, не торопясь переходить к другим главам.

УСТНЫЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Проф. К. М. ЩЕРБИНА (Одесса)

Мы даем настоящему методическому очерку заглавие «Устные занятия», а не «Устный счет», или «Устные вычисления», имея в виду поставить вопрос более широко, так, чтобы не ограничиваться только начальным, пропедевтическим курсом арифметики*, а распространить устные упражнения и на систематический курс арифметики, и на алгебру, и на геометрию с тригонометрией.

Что же мы будем понимать под устными занятиями? Прежде всего — устный счет, устные вычисления, т. е. выполнение действий над различными числами «в уме», когда запись не является частью самого процесса вычисления, причем допускается запись данных чисел и запись результата; далее, сюда мы относим разнообразные математические упражнения и преобразования, какие выполняются без записи, «в уме» и часто не сопровождаются вычислениями.

Нам незачем доказывать, что устный счет, как и другие устные упражнения, имеет чрезвычайно большое практическое значение: тому, кто владеет ими, это дает большую экономию времени, большую экономию умственных сил. Кроме того, такие упражнения имеют общеобразовательное значение: они требуют обязательно сознательного, а не механического отношения к усвоению математических положений, приучают сосредоточивать внимание на характере данных, способствуют выработке новых понятий, помогают доходить до сути разбираемого вопроса, прилагать к практике приобретенные знания. В частности, например, так называемые нормальные (по Гольденбергу) или основные устные приемы выполнения действий наилучше содействуют сознательному усвоению письменных приемов; главным образом, устные задачи дают возможность подойти к выяснению того или другого теоретического вопроса.

Как известно, было время, когда процесс обучения математике и творческая математическая работа в силу требований действительности почти исключительно проводились устно, причем, в случае более или менее сложных вычислений, обращались к разного рода счетным приборам (абакам и т. п.), к конкретному счету (пальцевому счету и т. п.). Такое отношение к устному счету наблюдалось до тех пор, пока не получило права гражданства величайшее, по мнению Лапласа, изобретение человеческого ума — письменная десятичная система счисления, пока не сделались общедоступными различные способы письма. Нельзя забывать, что одновременно с этим потребность в записи особенно сказывалась при изучении алгебры и тригонометрии, где символика играет чрезвычайно важную роль, не говоря уже о том, что изучение геометрии всегда требовало чертежа. Таким образом, устные приемы счета в это время почти совершенно были вытеснены письменными приемами вычислений, к планомерным устным занятиям перестали обращаться; обычно не пользовались устными приемами вычислений даже в тех случаях, когда этим последним нужно было бы оказать предпочтение. Такое направление в обучении математике продолжалось до того времени, пока идеи Песталоцци относительно начального обучения не получили широкого распространения. В настоящее время, несмотря на всеми признанное важное значение устных вычислений, устных упражнений, школьная работа в этом направлении стоит не на должной высоте, особенно в старших классах нашей школы: на устные занятия в области алгебры, геометрии и тригонометрии вообще не обращают должного внимания. Ярким подтверждением этого служат наши программы VI—X классов (1938/1939 учебного года), где ни слова не упоминается об этом вопросе. Правда, в последний год в литературе замечается некоторый сдвиг в этом отношении: в педагогической прессе появился ряд интересных статей, касающихся устных занятий не только по арифметике, но и по алгебре, геометрии и тригонометрии, знакомство с которыми может оказать существенную пользу учителю*. Но и тут, как вообще в деле преподавания элементарного курса математики, сказывается сила рутины, сила трафарета. Во-первых, большинство авторов придерживается ошибочной, шаблонной установки относительно организации

* Программой по математике 1938/39 учебного года предусматривается устный счет только при занятиях по арифметике.

* В. Репьев, доц. — «Устные занятия в курсе алгебры». «Математика и Физика в школе», 1936 г., № 3, стр. 52-59.

И. Кувыркин — «Устные вычисления в старших классах». «Математика в школе», 1937 г., № 1, стр. 50—57.

Ф. Нагибин — «Устные вычисления и преобразования на уроках математики в средней школе». «Математика в школе», 1937, № 4, стр. 33—40.

Миткевич — «Устные упражнения на уроках тригонометрии «Материалы совещания преподавателей математики средней школы». Март-апрель, 1935 г., стр. 87-89.

этого дела, что мы и отметим при дальнейшем изложении, а во-вторых, по большей части, делясь своим опытом, авторы останавливаются на мелочах, на деталях и на вопросах, уже достаточно разработанных и известных учителю, упуская из виду руководящие принципы, сущность дела. Вообще же, ввиду чрезвычайной важности рассматриваемого нами вопроса*, его следует всеми мерами пропагандировать, пользуясь для этого каждым удобным случаем.

Нам кажется нецелесообразным в этом очерке останавливаться на устном счете для начальной школы, т. е. на так называемых нормальных (основных, обычных) приемах выполнения действий, равно как и на особенных приемах и на их методике, потому что эти вопросы в достаточной степени разработаны для начальной школы и в стабильных программах, и в учебной и в методической литературе. Здесь требуется от учителя только внимательное отношение к этому вопросу и доброе желание серьезно взяться за это дело. Мы же в данном случае считаем необходимым остановиться только на устных занятиях по математике в IV—X классах.

НЕДОЧЕТЫ В ПОСТАНОВКЕ УСТНЫХ ЗАНЯТИЙ

Благодаря тому что мы не дооцениваем устных упражнений, в практике наших школ встречаются значительные недочеты в этом деле.

1. Обыкновенно не обращают внимания на таблицы действий и на роль этих таблиц в случаях устного и письменного выполнения сложения, вычитания и деления (с умножением дело обстоит более нормально).

2. Не подчеркивают ученику того, в чем заключается суть устных и письменных приемов выполнения действий, а также разница между нормальными и особенными приемами устных вычислений.

3. Устный счет и различного рода устные упражнения не являются органически связанными с курсом математики. Этим и объясняются следующие факты:

а) обыкновенно действия в пределах ста выполняются вначале обучения устно, а затем, после ознакомления с письменными приемами действий над числами любой величины, ученики забывают об устных приемах и очень часто выполняют действия в пределах ста письменно; особенно часто наблюдается это в старших классах;

б) действия выполняются устно только в то время, которое специально предназначается для таких вычислений, а в остальное время часто производят действия письменно даже и в тех случаях, когда встречается числовой материал, требующий устных вычислений,— одним словом, ученики не приучены обращать внимание на характер числовых данных.

4. Обыкновенно игнорируют устные упражнения при выработке новых понятий в систематическом курсе (понятие об умножении и делении на дробь, понятие о действиях над относительными числами, обобщение понятия о показателе и т. п.).

5. Мало обращают внимания на устные вычисления и на различные упражнения в курсах алгебры*, геометрии и тригонометрии.

Само собою разумеется, необходимо устранить все вышеуказанные недочеты. Для этого следует, между прочим, постоянно направлять внимание учащихся на вопрос об устных вычислениях. Необходимо помнить, что устные упражнения не должны быть обособленными от всего курса математики, что они должны органически сливаться с ним. Поэтому, обратив серьезное внимание на роль табличных случаев при выполнении всех действий (а не только одного умножения) и на сущность устных и письменных приемов вычисления, не следует знакомить учеников с особенными,искусственными приемами устных вычислений, пока они не усвоят основательно нормальных, обычных устных приемов. Далее, нет надобности заниматься придумыванием для постоянного употребления в классе особых таблиц, особых числовых данных, особых алгебраических выражений**, имея в виду, что каждая задача, каждый теоретический вопрос почти без исключения дает достаточно материала для разнообразных устных упражнений (понимаемых в более широком смысле,— не только в смысле устных вычислений). Наконец,— и это, по нашему мнению, самое существенное,— не следует придерживаться рутинной точки зрения, которая настойчиво проводилась еще в программах математики дореволюционной школы***, а именно — не следует выделять для устных занятий особого времени, конечно, кроме того времени, которое потребуется для выяснения новых приемов в области устных вычислений и для тренировки в этих случаях. Выделением особого времени для устных упражнений и специальным для этого подбором материала (в виде таблиц, в виде особого отдела задач в курсе средней школы) воспитывается у учащихся нехорошая, чрезвычайно вредная привычка вычислять устно только в определенное время и притом, когда для этого подобран соответствующий материал. Благодаря этому все усвоенные при таких условиях приемы устных вычислений теряют свою практическую ценность и являются, так сказать, мертвым капиталом. Далеко полезнее и продуктивнее для дела, не выделяя особого времени для устных вычислений, приучать учеников постоянно присматриваться к числам и, в зависимости от их характера, пользоваться теми или иными приемами устных вычислений, помня, что на каждом шагу встречается такой материал, нужно только уметь найти его. Нечего говорить о том, что, последовавши совету авторов, предлагающих на каждом уроке в средней школе выделять 5—10 мин.

* Вопрос о важности и ценности устных занятий по математике основательно разработан в вышеуказанной статье доц. в. Репьева.

* Юнг — «Как преподавать математику». Гиз, 1923, стр. 234.

** Такие таблицы, равно как известный запас специально подобранных задач, могут быть полезным пособием для учителя только в тех случаях, когда выясняется ученикам какой-нибудь новый прием вычислений или преобразований, да и в этом случае лучше тренировать учащихся на материале, который, соответственно реальным условиям работы, тут же на уроке придумывает преподаватель. Это дело чрезвычайно простое и доступное учителю.

*** См. К. М. Щербина — Математика в русской средней школе. Киев, 1908, стр. 10.

исключительно для устных упражнений, мы действительно не будем иметь времени, необходимого для надлежащей проработки нового материала в классе: учитель при нормальном течении урока обязан уделить еще 15—20 минут на проверку того, как выполнено и усвоено задание к данному уроку, а кроме того, минут 5, а иногда и больше, для указаний, связанных с новым заданием. Спрашивается, сколько же времени после всего этого будет оставлено для очень важной и ответственной работы учителя с классом?

УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ В СИСТЕМАТИЧЕСКОМ КУРСЕ АРИФМЕТИКИ

Для того, чтобы ученики, приступающие к изучению систематического курса арифметики, почувствовали всю силу и важность тех приемов устного счета, которые они должны были усвоить в начальной школе, чтобы заинтересовались этими приемами, необходимо на каждом уроке арифметики следить за тем, чтобы ученики применяли устные приемы вычислений во всех случаях, где только представится для этого подходящий материал. При занятиях этого рода следует приемы устных вычислений методически усложнять, вводить по мере надобности новые приемы и добиваться того, чтобы ученики вносили больше сознательности в эту работу.

Разрабатывая тот или иной теоретический вопрос, учитель должен обращаться к различного рода устным упражнениям (например при изучении нумерации), к решению устных задач обязательно с несложными числовыми данными (например при выяснении изменения результата действия с изменением компонентов).

Далее рассмотрим еще те вопросы, на которые не обращено внимания в программах и которые мало разработаны и в учебниках, и в методической литературе.

Начнем с устных приемов разложения чисел на простые множители. Относительно этого несколько слов находим и в учебниках (Киселев — «Арифметика», учебник для V класса. М., 1938, стр. 54—55; Попов — «Арифметика», 1936, разд. VI, § 9, п. 4—6) и в методике Е. С. Березанской («Методика арифметики», 1934, гл. VII, § 8), но эти слова свидетельствуют о том, что этому, так сказать, узловому вопросу не придают того значения, какого он заслуживает. Как мы покажем дальше, устный способ разложения чисел на множители не только вносит сознательность в это дело, но, как свидетельствует опыт, в сильной степени облегчает работу в случае сокращения дробей и выполнения действий с обыкновенными дробями, при возвышении в степень и при извлечении корня из чисел, способствует усвоению вопросов, касающихся обобщения показателя степени, а также выработки понятия о логарифме и во многих других случаях.

Приступая к разложению чисел на множители, прежде всего нужно научить учеников раскладывать на простые множители разрядные единицы: 10 = 2 «5; 100 = 10 • 10 = 2 - 5 - 2 . 5 = 2 . 2 - 5 . 5, или 100 = 22 . 52 (ученик читает это так: 100 раскладывается на множители — на 2 двойки и 2 пятерки, или двоек 2 и пятерок 2) 1 000 = 23 • 53 и т. д.*. Далее, необходимо требовать, чтобы все двузначные числа раскладывались устно. Для этого нужно сначала составить с учениками таблицу разложения чисел, представляющих собою степени 2, 3, 5, 7 в пределах, по крайней мере, ста. Итак, мы будем иметь: 4 = 2-2, или 4 = 22 (ученик читает это так: 4 раскладывается на множители — на 2 двойки, или двоек 2); 8 = 2 • 2 . 2 или 8 = 23 (8 раскладывается на 3 двойки); 16 = 24; 32 = 25; 64 = 2е; 9 = З2; 27 = З3; 81 = = З4; 25 = 52; 125 = 53; 49 = 72, а кроме того, 6 = 2-3.

После сознательного и твердого усвоения всего этого следует перейти к разложению в уме чисел, входящих в таблицу умножения, таким образом: например, 48 = = 8 . 6 = 23 . 2 - 3 = 24 - 3, или: 72 = 9 - 8 = = З2 • 2s = 23 • З2 и потом только можно раскладывать двузначные числа, не входящие в таблицу умножения (эти числа на практике встречаются редко), например, 57 = 3-19, или: 58 = 2 • 29, или: 68 = 2 • 34 = 2 - 2 - 17 = = 22-17. Наконец, ученики должны устно производить такие разложения: 54 000 = = 54 . 1 000 = 6 - 9 . 23 - 53= 2 - 3 - З2 - 23 . 53= = 24. З3 • 53 (всех множителей: двоек 4, троек 3, пятерок 3). Промежуточные записи, конечно, допускаются.

Только усвоивши приемы устного разложения, ученики переходят к знакомству с письменным разложением чисел, пользуясь для этого подходящими примерами (трехзначными, четырехзначными числами).

Интересно отметить, что те же ученики, которые правильно, но механически производят письменное разложение чисел, например 6 или 12, на вопрос разложить устно эти числа на множители часто отвечают: 6 раскладывается на две тройки или на 3 двойки, а 12 — на 4 тройки и т. д. Это означает, что письменное разложение являлось несознательным, механическим актом. Далее, те, кто в курсе арифметики сознательно усвоят, что 8 = 2-2-2, а 6 = 2-3, уже не скажут при изучении алгебры, что квадрат 3 равен 6, как это часто встречается в школьной практике.

В связи с устным разложением на множители следует обратить внимание на наиболее целесообразную комбинацию множителей в случае вычисления наименьшего кратного.

При разложении на множители, а также при сокращении дробей приходится нередко решать вопрос, делится ли число на 7 или же на какое-нибудь иное число, признака делимости для которого мы не знаем (общий признак делимости имеет только теоретический интерес, и на нем с практической точки зрения останавливаться нечего). Тогда можно воспользоваться таким приемом: отбрасывать от данного числа последовательно, начиная с высших разрядов, слагаемые, кратные 7 (пользуясь для этого таблицей умножения). Например, чтобы сказать, делится ли 26 341 на 7, можно решить этот вопрос следующим образом: отбрасываем 21 тыс. от 26 тыс., потом 49 сотен от 53 сотен, далее 42 дес. от

* Понятия о степени лучше покамест не давать, но следует ввести упрощенное обозначение произведения равных сомножителей без употребления новых терминов.

44 дес, остается 21; следовательно число 26 341 делится на 7.

Когда будут основательно усвоены признаки делимости на 4 и на 8, следует обратить внимание на упрощение этих признаков — на 4, когда число десятков будет четное (а отсюда можно упростить признак делимости и при нечетном числе десятков), а на 8, когда число сотен будет четным (а отсюда упрощение и при нечетном числе сотен). Наконец, когда узнаем, делится ли число на 3 или на 9, необходимо обращать внимание на то упрощение, которое рекомендуется иногда и учебниками (например Попов — разд. VI, § 7, п. 5 и 6): при нахождении суммы числа единиц всех разрядов не принимать в расчет все слагаемые, кратные соответственно 3 или 9.

Бывает, что в обыкновенной дроби один из элементов ее легко раскладывается на множители, например, ——. Возникает вопрос, сократимая ли это дробь или же несократимая, а если сократимая, то на что можно ее сократить. Это очень легко разрешается, стоит только посмотреть, делится ли 23/1 на 2, или на 5,. или на 7 — множители знаменателя. Ясно, что это дробь — несократимая.

Научившись устно разлагать числа на множители, ученики легко и сознательно делают приведение дробей к общему знаменателю, находят дополнительные множители, а также производят упрощения при различных действиях с дробями. Нужно иметь в виду, что при действиях с обыкновенными дробями приходится иметь дело обыкновенно с однозначными или двузначными знаменателями, поэтому все вычисления следует производить с такими дробями устно, обращаясь по мере надобности к промежуточным записям.

В учебниках обыкновенно только между прочим говорится об устном приеме преобразования обыкновенной дроби в десятичную (когда в знаменатель несократимой обыкновенной дроби входят только двойки и пятерки). Такой прием имеет большое практическое значение и требует от ученика сознательного отношения к этому вопросу, равно как и к понятию о проценте.

Очень много материала для устных вычислений дает метрическая система мер, особенно преобразования именованных чисел. Следует обращаться к устным вычислениям при решении задач на время, употребляя при этом и народные приемы вычислений.

Полезно приучать учеников к устному грубому подсчету результата при различного рода вычислениях, в особенности когда приходится иметь дело с приближенными вычислениями.

Наконец, к устным упражнениям мы относим чрезвычайно важную, на наш взгляд, работу — методически организованное придумывание учениками простых задач на умножение и на деление на дробь. Только при помощи таких упражнений можно расширить в сознании учащихся понятие о действии.

ХАРАКТЕР УСТНЫХ УПРАЖНЕНИЙ В АЛГЕБРЕ, ГЕОМЕТРИИ И ТРИГОНОМЕТРИИ. УСВОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФОРМУЛ

При устных занятих по алгебре, геометрии и тригонометрии резче, чем при занятиях по арифметике, выступает разница между устными упражнениями вычислительного характера и упражнениями, которые не ставят своей целью производства вычислений (хотя иногда и бывают связаны с вычислительной работой).

По отношению к упражнениям первого рода здесь нужно иметь в виду те общие указания, какие были сделаны нами, когда мы приступали к рассмотрению вопроса об устных занятиях в систематическом курсе арифметики. Ясно, что внимание учеников должно быть постоянно направлено на устные вычисления. Нужно, чтобы все знания и умения, приобретенные учащимися в области устных вычислений при изучении арифметики, не остались без применения на уроках математики в VI — X классах средней школы; важно, чтобы у учеников выработались прочные навыки в этом отношении. Поэтому-то здесь особенно нецелесообразно отводить определенную часть урока лишь устным упражнениям.

Что касается устных упражнений другого рода, то здесь, между прочим, заслуживают особенного внимания устные упражнения, необходимые для наилучшего и возможно скорого усвоения учащимися различного рода математических формул, с которыми им нередко приходится встречаться в курсе математики старших классов. Такие упражнения должны быть двоякого рода. С одной стороны, ученики должны последовательно, без записи, продумывать те процессы (выкладки, чертежи и т. п.), с помощью которых получены раньше письменно эти формулы; а с другой стороны, им необходимо эти формулы применять к решению в достаточном количестве устных задач с «прозрачными» условиями и с возможно простыми числовыми данными. Кроме того, можно обращаться иногда еще и к некоторым мнемоническим приемам*.

Мы не будем перечислять все те формулы по математике, какие нужно знать ученику средней школы: они известны преподавателям; не будем также напоминать и характерные особенности каждой из формул и те указания, какие можно было бы дать по поводу усвоения этих формул: это не входит в план нашего очерка. Примером таких указаний, относящихся к прогрессиям, может служить указание на аналогию между прогрессией арифметическою и геометрическою (аналогия между формулами для общего члена арифметической и геометрической прогрессий или аналогия между теоремою о сумме двух членов арифметической прогрессии, равноотстоящих от концов ее, и теоремою о произведении двух членов геометрической прогрессии и т. п.).

* Например, чтобы дать ответ на вопрос о делимости в различных случаях суммы или разности одинаковых степеней с четными или нечетными показателями, можно иметь в вту (в уме) следующие случаи;

УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ

Алгебра вообще на каждом шагу дает материал для устных упражнений. Особенно много материала для вычислений такого рода дают примеры, где приходится находить числовые значения алгебраических выражений; они встречаются повсюду в курсе. Мы остановимся на некоторых из них.

Если при выводе правил производства действий в алгебре итти путем, какой предлагается некоторыми методистами, а именно— пользоваться способом проверки справедливости равенств, полученных в результате тех или иных тождественных преобразований, то устные вычисления с возможно более простыми числовыми данными являются здесь вполне уместными. Подобные же устные упражнения весьма полезны и для иллюстрации доказанных теорем: такие упражнения способствуют более прочному и более быстрому усвоению этих теорем.

Чтобы предупреждать общераспространенные ошибки, также следует обращаться к устным упражнениям. Например, можно показать на разнообразных числовых примерах, что 1) ащ + апф ат+п; 2) (аЬ)пфаЬч;

Отдел об уравнениях дает интересный и разнообразный материал для устных упражнений. Можно, между прочим, находить устно числовые значения корней системы двух уравнений первой степени с 2 неизвестными, пользуясь для этого решениями в общем виде, а также квадратных уравнений, двучленных и др. Далее следует остановиться на устном решении уравнений, левая часть которых легко раскладывается на линейные множители, а правая равна 0. Раньше этого, конечно, нужно заняться разложением (устным) многочленов на множители. Примерами квадратных уравнений для устных решений могут быть:

Вообще, чрезвычайно полезным упражнением является устное нахождение корней квадратных уравнений по теореме Вьета, а также исследование квадратных и иных уравнений в связи с исследованием формул.

К этому же отделу относится составление самими учениками задач, решение которых приводит к решению наперед заданных несложных уравнений, например для уравнения х~ 9= 16.

Известно, что у нас мало обращается внимания на приложение формул сокращенного умножения к устному счету. Например, по формуле + 25 по формуле (10л + 5)2 = ЮОп (п + 1)+ + 25 и т. п.*

Понятия об отрицательных числах и действиях над ними можно усвоить, только решая достаточное количество устных примеров на действия с этими числами. Тут можно обращаться к так называемому «беглому счету». Вообще, мы придерживаемся того мнения, что каждый раз, когда нужно вырабатывать новое понятие, следует, как мы уже говорили, обращаться к устным упражнениям и пользоваться ими до тех пор, пока не будет выработано это понятие. С этой точки зрения важны устные упражнения на извлечение корня из чисел, на возвышение в степень в случаях отрицательных и дробных показателей, а особенно упражнения с логарифмами при различных основаниях:

и т. п., доведя эти упражнения до таких вопросов: чему равняется log 4/9 при основании 27/8. Нужно, чтобы все такие примеры ученики решали только по свободному соображению, а не на основании решения показательных уравнений.

При извлечении квадратного корня из чисел нужно, чтобы ученики усвоили таблицу этого действия и прилагали ее не только в пределах первой сотни, а и в пределах единиц высших разрядов (например, 602 < <4356<702; потом, кроме обычного письменного способа извлечения корня, следует обратить внимание на устный прием выполнения действия на основании теоремы об извлечении корня из произведения в случае полных квадратов. Особенно этим способом нужно пользоваться при действиях с радикальным выражением.

Наконец, не мало материала для устных вычислений дают прогрессии, теория соединений и бином Ньютона.

УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

Хотя задачами, специально подобранными для устных вычислении в геометрии, можно пользоваться в некоторых случаях, но мы считаем более полезным и продуктивным все время следить за тем, чтобы ученики в каждой задаче на вычисление обращались к устным вычислениям там, где этого требует характер чисел; а такие случаи встречаются почти в каждой задаче.

Отметим при этом, что, по нашему мнению, к каждому уроку геометрии без исключения необходимо давать для домашней работы, кроме теории, хотя бы одну задачу (на вычисление, на построение или на доказательство). Опыт показывает, что это можно делать с пользой без обременения учащихся. Таким образом, почти на каждом уроке геометрии мы будем иметь материал для устных занятий, потому что в очень редких случаях задача не приведет нас к устным упражне-

* Много примеров на устные вычисления в этом и в других случаях можно найти в известном задачнике Бем. Волков и Струве «Сборник упражнений и задач».

ниям вычислительного или иного характера. Об этих последних упражнениях скажем ниже. Далее, вычислительный материал здесь будет очень разнообразный, главным образом в зависимости от того, к какому отделу геометрии относится задача. Так, например, в задачах с углами (смежными, вертикальными, вписанными и пр.) следует обратить внимание на устное выполнение действий с числовыми данными, выраженными в градусах, минутах и т. д. или в прямых углах, при решении задач на площади и объемы мы встретимся, между прочим, с различного рода уравнениями, а в задачах с правильными многоугольниками вписанными и описанными будем иметь дело с радикалами; всюду, где входит тс, не следует забывать о приближенных вычислениях и т. д.

К устным упражнениям иного, невычислительного, характера мы относим, так сказать, чисто геометрическую интерпретацию теорем из метрической части геометрии (например, площадь квадрата, построенного на касательной, равняется площади прямоугольника, построенного на секущей и ее внешней части).

Интересный материал того же рода дают вопросы о геометрических местах, об отношении периметров и площадей подобных фигур, отдел об относительном положении двух окружностей, вопросы о том, какой будет треугольник — остроугольный, прямоугольный или тупоугольный, если стороны треугольника будут иметь определенное числовое значение и пр.

Что касается усвоения формул в геометрии, то необходимо, чтобы ученики, помимо выполнения тех указаний, которые были сделаны по этому поводу раньше, с самого начала следили за измерением получаемых в этом случае алгебраических выражений и этим проверяли себя (имея в виду, что длине отвечают выражения 1-го измерения, площадям и поверхностям — выражения 2-го измерения, а объемам — 3-го измерения).

Наконец, очень полезно приучать учеников для лучшего усвоения доказательства теоремы, равно как и решения задачи на построение или на вычисление, чтобы они после тщательных письменных переделок представляли себе в уме чертеж и последовательные переделки.

УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ В КУРСЕ ТРИГОНОМЕТРИИ

Весь курс тригонометрии в средней школе нужно прорабатывать в связи с устными упражнениями: здесь больше, нежели в каком-либо ином курсе математики, учебный материал следует усваивать с помощью устных упражнений, начиная с определений тригонометрических функций и кончая решением треугольников и других задач. Тут сам собою отпадает вопрос о подборе специально устных выражений и о выделении для устных занятий особого времени.

В данном случае, как и раньше, мы не будем детально рассматривать отдельные вопросы. Это— дело каждого преподавателя, который должен разрабатывать такие вопросы соответственно условиям своей работы*.

Переход от градусного измерения углов к радианному и наоборот требует достаточного количества устных упражнений. Только с помощью устных упражнений усваивается как следует соотношение тригонометрических функций одного и того же угла. Изменение тригонометрических функций наилучше изучается лишь в связи суетными упражнениями (sin 0° = ?, sin 90° == ?, sin 180° = ?, tg 180°-?, tg 270° = ? и г. п.). То же самое можно сказать и относительно приведения тригонометрических функций любого угла к тригонометрическим функциям угла, не превышающего 45°. Лучше всего усваиваются все формулы, необходимые для этих преобразований, если они связываются с конкретными представлениями (в уме) соответственных тригонометрических линий в окружности (конечно, после пользования наглядными пособиями и чертежами). Задачи с тригонометрически»» функциями некоторых углов (45°, 30°, 60е, 18°), а также тождественные преобразования с тригонометрическими функциями требуют разнообразных устных вычислений.

После вывода и основательного усвоения формул sin (я + Ь) и cos (а + 6), далее, главным образом с помощью устных упражнений усваивают остальные формулы для тригонометрических функций суммы и разности двух углов, двойного и половинного аргумента, а также преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.

Наконец, усвоение систем уравнений, с помощью которых решаются треугольники, а также приложение этих систем к решению задач нужно связывать с устными упражнениями.

Само собою разумеется, что решение тригонометрических уравнений дает интересный материал для разнообразных устных упражнений, устных вычислений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сделаем некоторые выводы из всего вышесказанного.

1. Устному счету в начальной школе, устным вычислениям и устным упражнениям в средней школе, несмотря на большое практическое, методическое и общеобразовательное значение всего этого, уделяется очень мало внимания.

2. Весь курс математики в средней школе и особенно курс тригонометрии следует органически связывать с устными упражнениями, с устными вычислениями, одним словом, устные занятия должны являться органической частью всего процесса обучения математике.

3. Поэтому для устных вычислений не следует выделять особого времени, кроме времени, необходимого для выяснения новых приемов устных вычислений и для тренирования. Устные упражнения нужно предлагать ученикам не в специально выделенное для этого время, а тогда, когда это понадобится; надо приучать самих учащихся находить материал для устных вычислений в обычных задачах, а не ждать того, чтобы им кто-то дал специально для этого подходящий материал.

* Кое-что относительно устных упражнений можно найти в вышеуказанных статьях Миткевич, и Ф. Нагибина.

4. Один из важных вопросов, на котором нужно сосредоточить внимание учащихся — это устный прием разложения чисел на простые множители. Рациональная постановка этого вопроса в арифметике дает чрезвычайно важные результаты в разных отделах математики: при действиях с дробями обыкновенными и десятичными, при возвышении в степень, при извлечении корня, при действиях с радикалами, при обобщении понятия о степени, при выработке понятия о логарифмах и вообще при решении различных задач.

5. При выработке новых понятий (о дроби, об относительном числе, о действиях с дробями или о действиях с относительными числами, при обобщении понятия о степени, при выработке понятий о логарифме и т. п.) устным упражнениям должно принадлежать центральное место. Нужно особенно подчеркнуть важное значение придумывания учащимися простых задач на умножение и деление на дробь в V классе.

6. При усвоении каких бы то ни было формул нужно обратить внимание на два момента: а) продумывание учащимися процесса, каким можно получить эти формулы, б) приложение этих формул к устному решению соответственных задач.

РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ДУГЕ И ОБ УГЛЕ В СВЯЗИ С РАДИАННЫМ СПОСОБОМ ИЗМЕРЕНИЯ

М. ГРАБОВСКИЙ и П. КОТЕЛЬНИКОВ (Москва)

Приступая к изложению систематического курса тригонометрии, преподаватель должен расширить понятие о дуге и об угле и познакомить учащихся с радианным способом измерения дуг и углов К сожалению» стабильный учебник этим вопросам уделяет очень мало внимания, вследствие чего перед преподавателем возникает необходимость соответствующим образом дополнить материал, изложенный в учебнике*.

В настоящей статье мы приводим один из возможных вариантов изложения рассматриваемого раздела.

Для того чтобы обосновать необходимость расширения понятия о дуге, которую в геометрии учащиеся привыкли представлять себе как часть окружности, необходимо рассмотреть вопрос о движении точки по окружности. Для этого возьмем на окружности произвольного радиуса точку M (черт. 1) и проследим за ее движением по окружности от некоторого начального положения А. Так как движение точки по окружности мыслимо в двух противоположных направлениях, то одно из них (против стрелки часов) условно принимаем за положительное, а противоположное— за отрицательное. Путь, который описывает точка Л4, двигаясь по окружности, в течение времени / будем называть «дугой или дуговым путем» ср. Рассмотрим прежде всего равномерное движение по окружности. Называя дугу, описан ную точкой M в единицу времени, дуговой скоростью а), предлагаем учащимся определить по формуле ср = w/... (1) дуговой путь при различных значениях t. В каких единицах следует выразить дуговой путь и дуговую скорость?

Сначала выражаем дуговой путь в градусах, а дуговую скорость в —pnQ..q . В результате время решения ряда задач (например движение точки обода колеса при его вращении и т. д.) учащиеся убеждаются в необходимости введения дуг, выражающихся каким угодно как положительным, так и отрицательным числом градусов.

Для разнообразия иллюстративного материала можно рассмотреть ряд примеров и задач на определение дугового пути при равноускоренном или равнозамедленном движении, вводя понятие дугового ускорения х как изменения дуговой скорости в единицу времени. Соответствующие формулы:

выражающие зависимость между дуговым путем, дуговой скоростью и дуговым ускорением, подобны формулам, с которыми учащиеся имеют дело при изучении поступательного движения (курс физики VIII класса) и могут быть легко доказаны. Выведем в качестве примера формулу (3).

Допустим, что точка M (см. черт. 1) движется по окружности с ускорением х. Предположим, что за время / точка опишет дуговой путь <р. Для того чтобы определить этот путь ,f, заменим равноускоренное движение

* Актуальность этого вопроса неоднократно отмечалась в ряде статей, помещенных в журнале «Математика в школе», см., например, ст. В. Кузьминой в № 2 за 193 г. и статью А. Дрокина в № 3 за тот же год.

точки таким равномерным движением ее, при котором она за тот же промежуток времени t опишет тот же самый дуговой путь <р. В этом случае движение точки можно рассматривать как равномерное движение со средней дуговой скоростью wcp., которая равна среднему арифметическому начальной и конечной дуговых скоростей истинного движения точки, т. е.

Но о = w следовательно

так как

В качестве примерных задач можно указать следующие:

№ 1. Точка движется по окружности с дуговой скоростью ça = 36 секунд. Сколько полных оборотов сделает точка за 10, 20> 35 сек.?

№ 2. Точка движется по окружности равноускоренно, с ускорением х = 30 секунд2 -

Найти дуговой путь, описанный точкой за 30 сек., если начальная дуговая скорость точки равна 0.

№ 3. Точка, двигаясь равноускоренно, за 20 секунд описала дуговой путь tp = 2 000°. С каким дуговым ускорением двигалась по окружности точка, если <i>0 = 0?

№ 4. Две точки, совпадавшие в начальный момент времени, начинают двигаться в одном и том же направлении со скоростями:

Через сколько времени произойдет первое совпадение точек?

Путь, проходимый точкой при ее движении но окружности, можно, как и в случае поступательного движения, выражать в линейных единицах. Скорость и ускорение точки в этом елучае в системе cgs будут измеряться соответственно единицами:

1 см/се/с и 1 см/сек2.

Все эти величины (путь, скорость и ускорение) при этом способе измерения обозначают, подобно тому, как это принято при рассмотрении поступательного движения, буквами «s», «и» и <ш».

Приведем несколько задач.

№ 1. Точка движется равномерно по окружности со скоростью v= 1 ем/сек. Определить длину дугового пути, пройденного точкой за 4 сек.

№ 2. Точка движется по окружности с ускорением а = 2 см/сек2. Определить длину дугового пути, пройденного точкой за 3 секунды.

№ 3. Две точки, совпадавшие в начальный момент времени, начинают двигаться по окружности в противоположных направлениях со скоростями: vt = 3 см/сек и v2 = 1 см/сек.

Через сколько секунд произойдет первая, вторая и т. д. встреча точек, если радиус окружности равен 10 см?

После решения ряда задач по типу рассмотренных выше и после того, как учащиеся усвоят новое, более широкое определение дуги, преподаватель обращает внимание учащихся на некоторые неудобства измерения дуг градусами.

Здесь мы имеем в виду то обстоятельство, что измерение дуг в градусах не полностью характеризует движение точки по окружности, так как остается открытым весьма важный вопрос о длине пройденного точкой пути.

В самом деле, допустим, что две точки M и М1 движутся по окружности различного радиуса (черт. 2. Для большей наглядности изображены концентрические окружности) с одинаковой дуговой скоростью. Непосредственно из чертежа видно, что точки проходят в одинаковые промежутки времени неодинаковые по длине пути, а следовательно, движутся не с одинаковыми линейными скоростями.

Правда, зная длину радиуса окружности, с помощью формулы I = w - • ■ (4> можно всегда определить длину соответствующей дуги. Но такого рода операция носит довольно громоздкий характер и неудобна для практических целей. Нельзя ли найти такой способ измерения дуг, который, сохраняя преимущества градусного измерения (независимость от длины радиуса), в то же время позволял бы более просто находить длину дуги?

При отыскании длины дуги по указанной выше формуле приходится выполнять три действия.

Заменяя выражение ygg одной буквой or, мы можем свести эту операцию к простому умножению числа а на радиус. Какой смысл имеет это величина а? Из соотношения I = cf.R следует, что к = -^т", т. е. новая мера дуг представляет из себя отношение длины дуги к радиусу. Следовательно, размерность новой единицы измерения дуг— нулевая, т. е. новая мера является отвлеченным числом.

Итак, за единицу для измерения дуг принимается дуга, длина которой равна ее радиусу.

Сказанное иллюстрируем примерами:

1. Определить в радианах дугу, если длина ее равна 25 см. Длина радиуса R = 10 см.

2. Определить длину дуги, если она в радианах выражается числом 6, а длина радиуса равна 15 см. На сколько длина дуги меньше длины окружности? (вычислить с точностью до 0,01).

3. Точка на ободе колеса получила начальную дуговую скорость w~2rc —. Описав дугу с = 20гс, колесо вследствие трения в подшипниках остановилось. Определить ду-

гозое ускорение х колеса, предполагая, что это движение было равнозамедленным.

Весьма важно научить учащихся переходить %т одной меры к другой. Переход от градусов к радианам осуществляется с помощью указанного выше соотношения. Отсюда легко получить формулу и для обратного перехода: имеем п — . . . (о). Эти формулы закрепляются решением ряда соответствующих задач, которые легко могут быть придуманы самим преподавателем.

Перейдем теперь к вопросу о расширении понятия об угле и к вопросу о радианном измерении углов.

Возьмем круг радиуса R и на окружности этого круга дугу AB (черт. 3). Соединив точки А и В с центром, получим фигуру, которую можно рассматривать как фигуру, образованную вращением радиуса АО вокруг точки О. Условимся называть эту фигуру углом между радиусами OA и OB. Таким образом, угол характеризует степень поворота радиуса OB относительно первоначального положения OA. С этой точки зрения угол можно будет определить так: углом называется мера поворота радиуса OB относительно первоначального положения.

Радиус OB может вращаться в двух направлениях: 1) по стрелке часов, 2) против стрелки часов. Условимся считать углы, полученные вращением радиуса против стрелки часов, положительными. Очевидно, что при таком определении угла, последний может быть выражен любым числом единиц (как положительным, так и отрицательным).

Что следует принять за единицу для измерения углов? Прежде всего указываем учащимся на известный им из геометрии градусный способ измерения углов. Так как вершина угла АОВ (см. черт. 3) находится в центре окружности, то угол является центральным. Очевидно, что основное свойство центральных углов (центральный угол измеряется дугой, заключенной между его сторонами) остается в силе и при новом понимании угла.

Предположим, что дуга измеряется радианным способом. Чтобы указанное выше свойство центрального угла осталось в силе, надо за единицу для измерения углов принять угол, дуга которого в радианах выражается числом 1, т. е. такой центральный угол, дуга которого по длине равна своему радиусу. Этот угол называется радианом.

Подобно тому, как это имело место при рассмотрении вопроса о движении точки по окружности, где были введены понятия дугового пути и дуговой скорости, вполне уместно, рассматривая углы с новой точки зрения, ввести понятие об угловом пути, угловой скорости и угловом ускорении. По существу все эти понятия известны учащимся из курса физики VIII класса, и преподавателю в данном случае придется напомнить это, введя в общую систему.

Итак, угловым путем (ср) будем называть угол, образованный вращением радиуса за время t. Угловой скоростью • (и) будем называть угол, описанный радиусом в единицу времени. Наконец, угловым ускорением (х) будем называть изменение угловой скорости в единицу времени.

Основные соотношения между этими величинами в силу того, что дуги и соответствующие им центральные углы выражаются одними и теми же числами, сводятся к формулам ? =&tf... (1)(для равномерного вращения)

и w< = «в + xt . . . (2); ? = *У + -J-... (3)

(для равнозамедленного и равноускоренного движения); вывод последней нами был рассмотрен выше.

Весь изложенный материал иллюстрируется примерами и задачами, аналогичными тем, которые были приведены при рассмотрении вопроса о движении точки по окружности.

Выше мы установили связь между числом, выражающим длину дуги в линейных единицах, и числом, выражающим эту же дугу в градусах или в радианах, причем связь эта выражается особенно просто при радианном измерении дуг. Пользуясь этими же соотношениями, можно определить длину дуги по соответствующему ей центральному углу и легче всего это сделать тогда, когда угол выражен в радианах.

Необходимость такого рода соотношений обусловливается тем, что в механике (и вообще в технике) вращательное движение характеризуется угловыми элементами.

Для того чтобы учащиеся глубже прочувствовали практическую ценность радианного измерения углов, следует рассмотреть решение следующих задач:

1. Шкив радиуса 10 см вращается с угловой скоростью 1>5гс^~:. Определить линейную скорость точек на окружности шкива. Указание: используем соотношение: I = aRt которое в данном случае принимает вид: V = <j)R.

2. При вращении шкива точка А на его поверхности имеет скорость vt = 50 см/сек, а точка В, лежащая на том же радиусе (черт. 4), — скорость и, = 10 см/се к. Расстояние между точками А и В равно 20 см. Определить угловую скорость (а).

Решение.

3. Через сколько времени, считая от 12 час. произойдет первое совпадение часовой и минутной стрелки? Решение. Часовая стрелка движется с угловой скоростью

минутная стрелка — со скоростью

К моменту совпадения минутная стрелка пройдет угловой путь на 2тс больше, чем часовая. Отсюда получаем уравнение:

где t искомый промежуток времени в минутах. Решая полученное уравнение, будем иметь /оё 65 мин.

4. Два радиуса совпадают в начальный момент времени. Первый из них начинает вращаться с угловой скоростью w, = 0,25тг^ в положительном направлении, а другой со скоростью w2 = 0,30тс -7- в противоположном направлении. Через сколько секунд радиусы встретятся в первый раз. Эту задачу можно предложить в измененном виде, предполагая, что один из радиусов или оба вместе будут двигаться неравномерно (равноускоренно или равнозамедленно). В этом случае условие задачи должно быть соответственно расширено.

5. Длина часовой стрелки равна 8 см. Найти длину дуги, описываемой концом этой стрелки за 9 час.

6. Вывести формулу ср = <о0/ -f — . . . (3), исходя из соответствующей формулы для поступательного равноускоренного движения.

Указание. Пользуемся соотношением I = ос/?, где « соответствующий угол в радианах.

7. Найти площадь сектора, описанного радиусом, равным 5 см, равномерно вращающимся с угловой скоростью w = "Т —-, за 3 сек. Найти длину радиуса, вращающегося с той же скоростью, при условии, что площадь сектора, описанного этим радиусом за 3 сек. будет в два раза больше найденной выше.

8. Шкив А динамомашины приведен в движение бесконечным ремнем от маховика паровой машины (черт. 5). Угловая скорость паровой машины w2 равна 20тс^^. Определить угловую скорость вращения динамомашины, если радиус шкива г, = 30 см, а радиус маховика г2 = 75 см. Предполагаем, что отсутствует скольжение ремня.

Решение. Так как в задаче скольжение ремня не принимается во внимание, то мы можем считать, что линейные скорости точек, расположенных на окружностях шкива и маховика, одинаковы: vt = v2. Следовательно ^г, = w2/*2; отсюда:

Наконец, следует ввести еще одно важное понятие, а именно понятие о числе оборотов, а в связи с этим понятие о периоде вращения. Все эти понятия также известны учащимся из курса физики VIII класса, и здесь их надо связать с рассмотренным выше материалом, так как число оборотов в равной мере может характеризовать величину угла при вращении.

Все угловые элементы вращательного движения (угловой путь, угловая скорость, угловое ускорение) могут быть выражены в зависимости от числа оборотов вращающегося тела. Переход от ранее рассмотренных единиц к оборотам осуществляется с помощью соотношения: 1 оборот = 360 градусов, или 1 оборот = 27t радианов.

Период вращательного движения, время полного оборота, связан с угловой скоростью следующей формулой: w = у- ,.. (6). Вводя частоту (N) вращательного движения как величину, обратную периоду, мы можем эту формулу представить в таком виде:

ы = 2пМ. . • (7).

Приведем примеры, в которых вращательное движение характеризуется числом оборотов.

1. Колесо паровой турбины с радиусом, равным 80 см, делает 1 500 оборотов в минуту. Как велика угловая скорость колеса и чему равна линейная скорость точек, лежащих на окружности?

2. Маховое колесо начинает вращаться равноускоренно. Через 10 мин. после начала движения оно приобретает угловую скорость 60 оборотов в минуту. Сколько оборотов совершит колесо за эти 10 мин.?

3. Центростремительное ускорение, возникающее при вращательном движении, выражается формулой а — -дг. Выразить это ускорение в зависимости от периода и частоты вращательного движения.

4. Доказать, что центростремительное ускорение не изменяет своего направления и величины при перемене направления вращения тела.

В заключение еще раз подчеркиваем, что рассматриваемый раздел является одним из самых ответственных в тригонометрии, а поэтому заслуживает самой тщательной обработки.

В стабильном учебнике этот раздел дан очень конспективно и не оживлен иллюстративным материалом. Поэтому в нашей статье мы и уделяем так много места иллюстрациям.

ТОЖДЕСТВО alogaN = N И ЕГО СЛЕДСТВИЯ

В. АНТРОПОВ (Ковров)

В учебнике алгебры для средней школы совершенно не упоминается

тождество aloga = Ny а также целый ряд общих свойств логарифмов, вытекающих как следствия из этого тождества. А между тем на вступительных испытаниях в вузах и втузах поступающим нередко предлагаются вопросы и упражнения, тесно связанные с указанным выше тождеством и его следствиями. В настоящей заметке приводятся решения примеров и уравнений, не указанных в алгебраическом задачнике для средней школы.

1. Вывод тождества и основных теорем Прежде всего напоминаем вывод тождества и его следствий.

Пусть logaN = x . . . I

тогда, на основании определения логарифма:

II.

Подставляя вместо х его значение из I равенства во II, получим тождество:

Таким образом, 2loga8 = 8; 3 3 =7. Учащиеся легко могут убедиться в справедливости тождества на многочисленных примерах.

На основе этого тождества очень легко доказываются и основные законы логарифмирования.

В самом деле, пусть заданы два тождества

1) Перемножив оба данные тождества, получим:

или:

\oga (aw,) = \ogaN + logaN,.

2) Разделив одно тождество на другое, получим:

или:

3) Возведем обе части первого тождества в &-ую степень:

откуда, на основании определения логарифма:

\oga(Nk)--=k\ogaN.

4) Извлечем из обеих частей тождества корень £-ой степени:

или:

откуда

2. Следствия из тождества

Следствие 1. Логарифмируя обе части тождества по основанию Ь, получим:

или:

откуда

(А)

Полученное равенство А есть формула перехода от одной системы логарифмов к другой.

Множитель в правой части формулы ÏOg а называется модулем перехода от системы логарифмов по основанию b к системе логарифмов по основанию а.

Если а = е == 2,718281828 . . . (основание натуральных логарифмов) и 6=10, то формула А примет вид:

(Б)

где

Пример: In 100 = lg 100-2,302585... ~ 4,60517...

Подставляя в формулу А вместо а = 10 и b = е, получим формулу перехода от натуральной системы логарифмов к десятичной:

(В)

где

Следствие 2. Прологарифмируем обе части тождества (А) по основанию N:

пли:

(Г)

Таким образом, числа logaN и \ogNa взаимно обратные. Точно так же

ig е-еп 10 = 1,

где е — основание натуральных логарифмов. На ряде примеров нужно показать учащимся справедливость равенства Г.

Следствие 3. Возведем обе части тождества в Аг-ую степень:

или: откуда

(Д)

Равенство D показывает, что логарифм не изменяется от возведения в одну и ту же степень основания и логарифмируемого числа.

Не трудно доказать, что логарифм не изменится и от извлечения корня одной и той же степени из основания и логарифмируемого числа.

Так, применяя равенство Д получим:

Следствие 4. Напишем основное тождество так:

Тогда

(Е)

Следовательно, если основание возвести в £-ую степень, не изменяя логарифмируемого числа, то логарифм уменьшится в k раз (если k — целое число)

Пример: если log2.V = т%

то

Из равенства Е следует и такое равенство

Следствие 5.

(Ж)

Доказательство.

Применив равенство А к числителю и знаменателю первого отношения, получим:

Разделив почленно первое равенство m второе, получим ряд разных отношений (Ж).

Таким образом, частное от деления логарифмов двух чисел, взятых по одному и тому же основанию, есть величина постоянная, не зависящая от величины основания.

Примеры

4. Уравнения

1) 3 log,* — 2 !ogÄ2 = 5. Пользуясь равенством Г и делая подстановку:

получим уравнение

откуда

следовательно:

Вводя обозначения:

получим квадратное уравнение:

откуда

следовательно

На основании определения логарифма имеем два квадратных уравнения:

Проверка: xt = 2;

log-39 + 2 log, (—3)^3; дг, = 2 не удовлетворяет уравнению. — 9

К тому же типу относится уравнение:

на основании равенства (Ж), преобразуем правую часть:

откуда

Решая это иррациональное уравнение, найдем:

Проверка показывает, что х2 = —~а не удовлетворяет данному уравнению.

ОДНА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ СХЕМА

Г. КОСТАНДИ (Одесса)

В журнале «Математика в школе» 1937 г, № 1, помещена заметка Л. Когана: «К проработке темы «Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же угла». Несколько лет я преподавал тригонометрию в одном из техникумов, где пользовался при прохождении указанной выше темы приемом, изложенным ниже. Мне кажется, что предлагаемые мною приемы, хотя и немного отличаются от того, что предлагает Л. Коган, но все же обладают большей общностью, четкостью и наглядностью.

Среди восьми так называемых основных формул тригонометрии есть шесть, в каждой из которых фигурируют только две функции. Выпишем эти шесть формул в таком порядке:

Напишем у вершин звездчатого шестиугольника, вписанного в круг, тригонометрические функции в таком порядке:

sin at cos a, sec a, tg а, ctg я, esc а.

Здесь только sec а стоит на не обычном месте, что легко запоминается. Каждая функция этого ряда связана определенными формулами с двумя соседними.

Если мы имеем значение одной какой-либо функции и желаем найти соответствующие значения всех остальных функций, то всегда прибегаем к одному, общему для всех случаев, приему:

1. Находим значения двух функций соседних данной.

2. Перемножая найденные два числа, получаем значение еще одной функции.

3. Наконец, находим число обратное полученному в 2) и обратное одному из найденных в 1).

Пример. По данному tg а = k найти соответствующие значения всех остальных функций.

Находим:

Другой пример. По данному cos а = k найти соответствующие значения всех остальных функций, если а есть угол II четверти.

Этот прием требует только одного извлечения корня, т. е. только один раз приходится думать о знаке корня.

Этой же схемой можно воспользоваться для установления общего способа нахождения значения определенной функции, когда задано соответствующее значение какой-либо иной функции.

Пример. Найти sin я, если ctg а = k Имеем:

Другой пример. Найти esc а, если sec а = k, причем а есть угол III четверти, а поэтому £<0.

В этом случае esc а и sec а лежат в концах одного и того же диаметра, а потому перед нами дилемма, ехать ли от esc а через sin a, cosa и sec а, или через ctg a, tg а к sec д.

Маленькие кружки, расположенные между парами: sin а и cos я, sec a vi Xg a ctg а и esc я, отмечают те переходы от одного члена пары к другому, при которых приходится прибегать к извлечению корня. Избегая излишних извлечений корня, мы для данного случая должны выбрать путь через sin я и cos a к sec я. Из нашей схемы видим, что всегда можно найти такой путь, на котором придется извлекать корень не более одного раза

Возвращаясь к нашему примеру, имеем:

В этой схеме (черт. 1), между прочим, интересно то, что произведения функций, стоящих у вершин одного и того же треугольника, равны единице, а именно:

ОТКЛИКИ

РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ

И. СМИРНОВ (Москва)

В статье А.Зотовой «Разложение квадратного трехчлена на множители первой степени». («Математика в школе», 1938 г., № 4) этот раздел назван одним из наиболее трудных для усвоения учащимися.

Наш опыт текущего года не подтверждает такого утверждения, при этом самый прием разложения был отличен от указываемого А. Зотовой.

Разложение квадратного трехчлена на множители было дано в два урока после проработки способа группировки следующим обра-

1-й урок

Тема. Разложение квадратного трехчлена на множители, когда третий член имеет знак плюс.

После ознакомления учащихся с понятием о квадратном трехчлене было установлено, что для применения способа группировки необходимо преобразовать трехчлен в четырехчлен (иначе нельзя производить группировку членов).

Подчеркнуто, что разбираемый способ будет применяться к таким квадратным трехчленам, третий член которых имеет знак плюс.

Разбор приема проведен так. Дано разложить на множители:

x2 + 9х+ 14.

Затем предложено учащимся преобразовать данный трехчлен в четырехчлен путем разложения второго члена на два. Получилось (выписано на доске):

Далее предложено учащимся найти в каждом полученном четырехчлене отношение коэфициентов первого и второго члена, также отношение коэфициентов третьего и четвертого членов и сравнить эти отношения. Было установлено, что только во втором и седьмом четырехчленах эти отношения равны:

В заключение эти четырехчлены и были разложены на множители способом группировки:

Затем решался следующий пример. Дано разложить на множители:

2х2 — 7х + 6.

Разложением второго члена получились следующие четырехчлены.

Далее проверкой установлено, что только в третьем и четвертом четырехчленах вышеуказанные отношения коэфициентов равны, и они были разложены способом группировки на множители:

Был разобран образец записи:

и сформулировано и записано правило: «Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен, у которого третий член имеет знак плюс, следует второй член разложить на два так, чтобы в полученном четырехчлене отношение первого коэфициента ко второму было равно отношению третьего коэфициента к четвертому, и затем полученный четырехчлен разложить на множители способом группировки». Далее на ряде примеров вида:

x2 ± рх + q и ахг + Ьх + с

учащиеся устно разлагали второй член на два с проверкой согласно установленному

правилу, и часть из этих примеров оформлялась письменно до конца.

На дом были даны примеры на оба вышеуказанных вида квадратного трехчлена.

2-й УРОК

Тема. Разложение квадратного трехчлена на множители, когда третий член имеет знак минус.

Дано разложить на множители:

X2 + 5х — 24.

После того, как учащимся не удалось этот трехчлен разложить на множители приемом, данным на предыдущем уроке, подчеркнуто еще раз, что необходимо в первую очередь обращать внимание на знак третьего члена, что в данном квадратном трехчлене знак третьего члена минус, почему самый прием требуется изменить.

После напоминания, что величина многочлена не изменится, если к нему сначала прибавить какое-либо количество и затем вычесть то же количество, предложено к данному трехчлену приписывать два противоположных члена, подобных второму члену, делать приведение подобных членов с одинаковыми знаками и проверять равенство отношений первого коэфициента ко второму и третьего к четвертому. Получено (запись на доске):

Уже в третьем четырехчлене отношения коэфициентов равны, и способом группировки он разлагается на множители:

Дано затем разложить на множители:

Учащийся составил указанным способом четырехчлены, проверяя отношения коэфициентов:

Убедившись в равенстве указанных отношений во втором полученном четырехчлене, учащийся разложил его на множители:

Далее был дан образец записи:

сформулировано и записано правило:

«Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен, третий член которого имеет знак минус, нужно ввести два противоположных члена, подобных второму члену, так, чтобы после приведения подобных членов с одинаковыми знаками в полученном четырехчлене отношение первого коэфициента ко второму было равно отношению третьего коэфициента к четвертому, а затем полученный четырехчлен разложить на множители способом группировки».

Урок закончился, как и первый, устным и частично письменным решением примеров на разложение на множители квадратных трехчленов вида X2 ±_рх — q и ах2 ±Ьх — с и установлением общего и различного в приемах разложения квадратного трехчлена на множители, когда знак третьего члена плюс и когда минус.

Домашнее задание для второго приема дано на примеры обоих видов квадратного трехчлена (х2+рх— q и ах3±Ьх — с).

Опыт применения изложенных способов разложения квадратного трехчлена на простые сомножители показал достаточность 2 часов на усвоение учащимися материала. При этом учащиеся освобождаются от запоминания многих неясных для них формальных моментов, вытекающих из скрытого применения теоремы Виета, как это предлагается А. Зотовой.

В то же время ознакомление с разложением члена многочлена на два, а также и с введением двух противоположных членов для приведения многочлена к виду, который затем разлагается на множители способом группировки, использовано уже как знакомое в дальнейшем при решении более сложных примеров, встречающихся в задачнике Шапошникова в группе задач на применение всех способов разложения на множители. В частности, примеры вида:

а2 + (а + b) X + ab и т. п.

преобразовываются в четырехчлены разложением второго члена путем умножения:

Что касается способа разложения квадратного трехчлена на множители путем выделения полного квадрата, то (если этот прием вообще необходим, в чем справедливо сомневается И. Киселев («Математика в школе» № 5—6 за 1938 г., стр. 91), его следует рассмотреть дополнительно после проработки применения к разложению многочленов на множители формулы квадрата суммы и квадрата разности, так как не следует затемнять в сознании учащихся, что существуют только три основных приема разложения многочлена на множители:

1) вынесение общего множителя за скобки;

2) способ группировки;

3) применение формул сокращенного умножения и деления.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О МЕТОДИКЕ МАТЕМАТИКИ*

И. АЛЬТШУЛЕР (Гомель)

азвитие методики арифметики имеет уже столетнюю давность. От Песталоцци и Гербарта и до наших дней над проблемами преподавания арифметики трудились и трудятся величайшие ученые, педагоги и психологи,— стоит только вспомнить имена Шельбаха, Грубе, Лая, Бориа, Монтессори, Торндайка, а в России — Евтушевского, Гольденберга, Арженникова, Беллюстина, Шохор-Троцкого, Волковского и многих других. Особенное, исключительное внимание уделялось вопросам преподавания начальной арифметики—арифметики целых чисел. В результате многочисленных изысканий, наблюдений и опытов накопился огромный материал по дидактике и методике начальной арифметики; эта методика разработана в высшей степени тщательно, почти со скрупулезной точностью. Средства наглядного обучения арифметике, расположение арифметического материала по концентрам (первый десяток, первые два десятка, круглые десятки и т. д.) стали почти дидактической азбукой и получили такое распространение во всем культурном мире, что трудно представить себе в наше время преподавателя арифметики, не знакомого с достижениями классической методики.

Совершенно в ином положении находится преподавание математики вообще. Здесь еще много неоформленного, спорного, неясного. Методика алгебры, методика геометрии и тригонометрии — науки сравнительно молодые. Вопросам преподавания элементарной математики в школе уделялось очень мало внимания вплоть до конца XIX в. Лишь начиная с 1904 г., со времени съезда биологов и врачей в Бреславле, методы преподавания математики в средней школе привлекают к себе сосредоточенное внимание ученых. Под влиянием Феликса Клейна математика получила в школе свое подобающее место, формы ее преподавания стали более четкими. Однако успехи в этой области, по нашему мнению, далеко еще недостаточны. Методика математики еще не выкристаллизовалась в строго обоснованную науку. Еще и сейчас господствует кое-где ложное мнение, будто главное для учителя математики — это знание предмета, а методика — дело, так сказать, факультативное. В области методики математики во всемирной литературе создано поразительно мало. Наиболее крупные работы этого рода посвящены.главным образом, вопросам общей методики математики («дидактике» математики). Частная же методика математики в них разработана бегло (например, Юнг- «Как преподавать математику», Симон — «Дидактика и методика математики» и др.).

В Советском Союзе, после постановления ЦК ВКП(б) о школе от 5 сентября 1931 г. внимание к методике математики значительно увеличилось: старые учебники подверглись переработке, появился ряд новых учебников, вышли в свет методические руководства по арифметике, алгебре, геометрии, тригонометрии. Но это только первые шаги, первое приближение к решению вопроса огромной важности — о коренном улучшении постановки преподавания математики в советской школе. Наш школьный учитель, приступая к ведению курса математики, все еще часто блуждает «между трех сосен» и нередко впадает в затруднительное положение как в отношении планирования и трактовки материала, так и в постановке навыков и в развитии деталей, и это несмотря на то, что наш школьный учитель окончил педагогический институт, прослушал курс методики и получил зачет по педагогической практике. Основным злом является здесь то, что начинающий учитель не обеспечен такими методическими пособиями, которыми обеспечен например преподаватель начальной арифметики. В то время как последний стоит на хорошо проторенной дороге и имеет на руках литературу, в которой он может найти чуть ли не поурочное развитие излагаемого материала,— преподаватель алгебры, геометрии и тригонометрии почти лишен методических пособий. Нельзя же, на самом деле, считать методическим руководством «Методику геометрии» Гурвиц и Гангнус, которая представляет собой скорее сборник геометрических задач, чем методику. Не удовлетворяет учителя также и «Методика алгебры» Чистякова вследствие схематичности и конспективности изложения, а также и существующие методики тригонометрии. Особенно затруднительно положение начинающего учителя в области преподавания геометрии. Здесь все еще больным вопросом является вопрос об учебнике. Учебник геометрии Гурвица и Гангнуса забракован; переработан и переиздан учебник Киселева, но этот последний мало подходит для младших классов (VI, VII, VIII) нашей школы. Неблагоприятным моментом явился и факт ликвидации пропедевтического курса геометрии. Этот факт ставит перед учителем во всей остроте вопрос: как преподавать начальные сведения по геометрии? Как организовать преподавание геометрии в VI классе? Начинать преподавание геометрии по Киселеву — дело явно антипедагогическое. Возьмем в качестве примера теорему о том, что внешний угол тре-

* В порядке обсуждения.

угольника больше каждого из внутренних, с ним несмежных. Доказательство этой теоремы представляет для начинающего безусловные трудности. Помещение этой теоремы перед главой о параллельных линиях, может быть, и оправдывается высшими соображениями (с точки зрения построения курса по аксиоматическому методу), однако по методическим соображениям целесообразно перед этой теоремой установить, хотя бы эмпирическим путем, свойство суммы углов треугольника с вытекающими из него следствиями, после чего теорема о внешнем угле становится весьма простой и ясной. Таких примеров можно привести весьма много. Необходимо всячески облегчить усвоение геометрии на первых ее этапах. Если первые шаги школьника на геометрическом поприще будут омрачены строгим формализмом, излишним теоретизированием и книжностью, то геометрия из дисциплины интересной и увлекательной превратится в предмет скучной и утомительной учебы, школьник сразу же потеряет к ней всякий вкус.

В чем нуждается наш преподаватель математики? — В доброкачественных методических пособиях, в которых наряду с вопросами общей методики, наряду с научным и историческим материалом имелись бы подробные разработки всего программно го материала по темам и даже по урокам с приложением образцов планирования тем, проведения отдельных уроков, форм учета работы и т. п. Этот вопрос тесно связан со стабилизацией учебников и программ и с полной согласованностью между учебными планами, программами, учебниками и сборниками задач.

В связи с этим выплывает вопрос о постановке преподавания методики математики в педвузах. Имеется ли в распоряжении Комитета по делам высшей школы достаточно данных для того, чтобы судить о качестве преподавания методики? Поставлен ли в порядок дня вопрос о «методике методики»? Ответ напрашивается отрицательный. Нам кажется, что в наших научных сферах по отношению к методике математики веет большим холодом. Не секрет, что как в центрах, так и на периферии научные работники уклоняются от ведения курса методики и при первой возможности переключаются на чтение чисто математических дисциплин, считая, что методика — не наука, что методика на деле часто вырождается в повторение задов. Мне привелось присутствовать в июне 1938 г. в Москве на совещании, созванном А. И. Гибшем по вопросу о пересмотре программы по методике математики для педагогических институтов. К моему удивлению, на совещании по такому важному вопросу присутствовало всего... 3 человека.

Не будем слишком строги к «дезертирам» методики, постараемся оправдать их, хотя бы психологически. Положение научного работника, ведущего методику математики, не из легких: методических кафедр не существует, научно-исследовательской работы в области методики математики почти не ведется, методическая литература для студентов почти отсутствует, связи со школой у наших методистов большей частью давно уже порваны. Какое же удовлетворение может дать чтение курса методики при таких условиях? Какие перспективы открываются перед научным работником в этой области? — Удовлетворение весьма малое, и перспективы довольно неясные.

Несколько слов о связи методиста со средней школой. Отрыв работников высшей школы от средней, без сомнения, вреден как для средней, так и для высшей школы. Между ними должна существовать диффузия: работники педагогических институтов, в особенности методисты, должны вести хотя бы небольшую работу в средних учебных заведениях. Высокомерное отношение многих научных работников к работе в средней школе надо расценивать как явление нездоровое и некультурное. Вспомним слова М. Симона по этому вопросу: «Отчасти здесь играет роль крайне несимпатичное высокомерие, — чем ничтожнее профессор, тем больше он себя считает вправе смотреть сверху вниз на школьного учителя. Куммер и Вейерштрасс, напротив, всегда гордились своей деятельностью в школе (проф. М. Симон — «Дидактика и методика математики в средней школе», П., 1917, стр. 40).

В СССР есть все данные для того, чтобы поставить преподавание математики на должную высоту. Есть полная возможность совершенствовать методы преподавания, строить их на строго научной основе, ставить методические опыты. У нас имеется такая огромная сеть школ, какой не существует нигде в мире, наши школьные работники преданы своему делу так, как нигде в мире. У нас накапливается богатейший опыт. Большая сеть педагогических учебных заведений благоприятствует расцвету общепедагогических и методических дисциплин. Необходимо лишь, чтобы соответствующие инстанции уделяли этому делу больше внимания. Необходимо организовать при высших учебных заведениях и научно-исследовательских институтах специальные, кафедры частных методик. Необходимо выпустить целый ряд подробных методических пособий, содержащих обстоятельные указания по повседневной организации педагогического процесса в школе. Назрела необходимость в созыве всесоюзного съезда работников педагогических вузов. Такой съезд дал бы стране авторитетные директивы, касающиеся всех затронутых выше вопросов и влил бы новую, свежую струю в дело организации математического образования нашей молодежи.

О НОВОМ УЧЕБНИКЕ АРИФМЕТИКИ А. КИСЕЛЕВА

(Учебник для неполной средней и средней школы. Переделка проф. А. Я. Хинчина. Изд. 1938 г.)

В. МАЛОВИЧКО (Херсон)

оявление нового учебника по арифметике для средней школы следует особенно приветствовать как в виду той значительной роли, какую играет правильная постановка преподавания арифметики в среднем образовании нашего молодого поколения, так и особенно в виду достоинств удачной переделки старого учебника арифметики А. Киселева.

Следует, например, отметить удачное включение отделов о процентах и об отношениях в учение о дробях. Очень ценными являются теоретические обоснования различных отделов арифметики. Нельзя не приветствовать также исключение из учебника арифметики разных правил, как, например: учета векселей, ценного, смешения.

Отмечая указанные достоинства переделки проф. А. Я. Хинчиным учебника арифметики А. Киселева, необходимо остановиться на некоторых местах, которые, на наш взгляд, желательно изменить или дополнить.

В § 27 рано говорить об изменении суммы: «если от какого-либо слагаемого отнять несколько единиц...», так как о вычитании ничего еще не было сказано.

В § 25 говорится об условии считать и нуль числом наравне с другими числами и прибавлено: «очевидно, что нуль меньше всякого другого числа».

Для учеников V класса, незнакомых с относительными числами, очень трудно понятие о нуле как о числе. Не лучше ли § 25 напечатать мелким шрифтом для повторения курса арифметики учениками старших классов.

Одновременно с этим не следует ли исключить из § 30, напечатанного мелким шрифтом, рассуждение о том, что разность а — Ь, при b = а не представляет никакого числа, ибо равна нулю. В таком случае § 30 противоречит понятию о нуле как о числе.

В таком же противоречии с понятием о нуле как о числе, обязательном, повидимому, в учебнике для учеников V класса, находится и утверждение (§ 43 п. 4), что при умножении 5 на нуль «ничего не получим».

В § 42 указан только знак умножения точка и ничего не сказано о другом знаке умножения (X).

Не является ли целесообразным пересмотреть термины: «множимое» и «множитель» и называть в записи, кЗ-4» число 3 «множителем», а число 4 «множимым», т. е. понимать эту запись таким образом: 3-4 = 4+ 4 + 4? При такой терминологии учащимся легче понять роль коэфициента, например: За = а + a -f а.

Не лучше ли изменить распределение материала в § 53—59 (включительно) и говорить сначала о законах умножения: коммутативном, ассоциативном и дистрибутивном, а потом уже перейти к изменениям произведения при изменении сомножителей и об упрощении производства умножения в отдельных случаях?

Следовало бы показать не только умножение суммы чисел на число, но и разности чисел на число, ибо тогда становится ясным упрощение при умножении, например, на 19. Наконец, в этом же отделе следовало бы говорить об изменении суммы при умножении одного из слагаемых на какое-либо число и об изменении произведения при прибавлении к одному из сомножителей или при отнимании от одного из сомножителей какого-либо числа.

Задачи на изменения такого рода особенно трудны для учащихся, а тем более без соответствующей подготовки.

В § 57 следовало бы указать на возможность использовать ассоциативный закон умножения для упрощения в отдельных случаях умножения.

В § 77 не сказано об изменении остатка от деления при одновременном увеличении или уменьшении делимого и делителя в одинаковое число раз, а этот момент важен, например, при делении чисел, оканчивающихся нулями.

В § 88, при теоретическом обосновании признаков делимости на составные числа, автор ссылается на алгорифм Евклида, не говоря о нем отдельно. Имея в виду важность этого алгорифма и трудность усвоения его учащимися, следовало бы поместить полностью алгорифм нахождения общего наибольшего делителя двух чисел.

В § 116 сказано, что смешанное число состоит из целых единиц, к которым прибавлена дробь; следовало бы и в §117 отметить этот момент в записи, указав ученикам, что знак плюс между целым числом и дробью условно опускается, например 3 + у записывается так: 3 -у.

Об этом же необходимо вспомнить при обращении смешанного числа в неправильную дробь и при обратном преобразовании (§ 123 и 124).

Забывая о том, какой именно знак опускается в таком случае, учащиеся допускают такие типичные ошибки в вычислениях в дальнейшем курсе математики:

Нет в учебнике сравнения величины двух дробей с различными числителями и знаменателями, а именно: -г > -т при условии:

Лучше говорить: «приведение дробей к одинаковому наименьшему знаменателю» в тех случаях, когда мы записываем этот знаменатель отдельно нод каждым числителем, например: у =15, ~ъ ~ \Ъ' Термин же «общий наименьший знаменатель» следует сохранить в тех случаях, когда он действительно записан один раз общим знаменателем, например: у + -jç = —j-g—.

Термин «одинаковые» знаменатели употребляется и в учебнике, например, в § 134, п. 1, в котором говорится о сложении дробей с «одинаковыми», а не с «общими» знаменателями.

В § 156 отношением двух чисел называется частное от деления первого числа на второе, например, отношением 20 к 5 называется число 4. В дальнейшем же изложении «отношением» называется и просто запись двух чисел, соединенных знаком деления, т. е. в нашем примере и запись: «20 :5» есть «отношение» и число 4 — «отношение».

Употребление одного термина для обозначения различных предметов может вызвать и недоразумение, например: если мы имеем равные частные: 20:5 и 40:10, то, зная определение: «пропорция есть равенство двух отношений», учащиеся могли бы записать пропорцию в в виде тождества : 4 — 4.

Название «обыкновенная» или «простая» дробь является излишним, ибо числа Ï0» 15« föo » "3" и т. д. можно назвать просто дробями, а потом уже выделить из них — дроби, знаменатель которых есть единица с одним или несколькими нулями (jq, ïqq в нашем примере), назвав их десятичными и показав, что при десятичной системе счисления такие дроби можно записать без знаменателя в виде целого числа.

Ученики, зная, что каждая дробь может быть представлена неограниченным количеством способов, без изменения ее величины, в виде дробей с другими знаменателями, естественно заинтересуются вопросом, нельзя ли каждую дробь представить в виде десятичной, чтобы иметь возможность записать ее в виде целого числа.

В заключение считаем необходимым высказать пожелание значительно увеличить в учебнике количество теорем теоретической арифметики, особенно в таких отделах, как: «Учение о делимости чисел», «Учение о дробях и о пропорциях».

Настоятельно необходимо в X классе средней школы при повторении курса математики уделить время для ознакомления учащихся с основными теоремами теоретической арифметики.

ОТ РЕДАКЦИИ

1. В № 2 журнала в статье Д. Цинзерлинга «Математика у древних египтян» по недосмотру редакции не были исправлены следующие опечатки:

2. В статье т. РОМАНОВСКОГО «К вопросу об испытаниях» есть фраза «решения были даны без плана и объяснений». Автор имел в виду сказать, что он в своей заметке опускает план и объяснение задач. Редакция же поняла мысль автора так, что план и объяснение отсутствовали в работах учеников и придала упомянутой фразе соответствующий смысл.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 1 1939 г.

1. (81)*. Решить в целых и положительных числах уравнение:

У**~+У = 88 888 888 - х —_у. (1)

Приведем единственное полное решение задачи, присланное т. С. Поповым (Черкизово).

Так как |/х- у2 должен быть целым числом, то, очевидно, х и у должны быть пифагоровыми числами. Поэтому можем положить:

X = m (а2 — Ь2)\ (а > Ь)\ (2)

у = m (2ab).

Тогда:__

ух*+у* = т (а2 + Ь2).

Делаем подстановку из (2) в (1). Будем иметь:

та2 + тЪ2 = 88 888 888 — та2 + тЬ2 — 2mab; или:

2та2 + 2таЬ = 88 888 888; та (а + Ь) = 44 444 444. (3)

После разложения правой части на множители, имеем

та(а + 6) = 241*73-101-137. (4)

Разбивая всеми возможными способами сомножителей правой части (4) на три группы и приравнивая каждую одному из сомножителей левой части, найдем значения т% а и Ь. Но при этом должны выполняться следующие условия:

а < б 667; (5

а + b < 2а. (6)

Действительно из (3) следует:

С другой стороны из я> Ь следует: 2а > Ь + а.

(Можно так же показать, что должно быть: та2 > 22 222 222. При т=-1, как полагали многие, будет: а> 1/^22 222 222; а> 4743 Итак: 4743<д<6667.)

Остается испытать возможные комбинации множителей правой части.

Результат можно представить следующей таблицей, составленной С. Поповым.

Итак задача имеет 10 решений.

Надо отметить, что задача оказалась трудной для подавляющего большинства участвующих в решениях задач. Всего было прислано 29 решений; из них 21 абсолютно неверных, 7 — с единственным ответом (№ 1 таблицы) и только одно правильное. Неверные решения все, за единственным исключением, давали ответ: х = 0, у = 44 444 444, не учитывая требования, чтобы х и у были положительными числами.

Неполные решения давали единственный ответ, так как исходили из формул:

x = a2 — b2; у = 2аЬ,

не учитывая того, что в данном случае х и у могут и не быть взаимно простыми, т. е. не вводили в формулы множителя т, фигурирующего в решении т. Попова.

Приславший задачу т. Киракосян (Ереван) подошел к решению несколько с другой стороны, но в итоге его решение совпадает

* В № 4 ошибочно дана нумерация от 81 до 100 вместо № 1—20. В № 2 нумерация начинается с № 21.

с решением т. Попова. Он положил, как и все:

X = а2 — Р; у = 2ab,

но при этом обусловил, что а и b могут быть и иррациональными числами, но одинаковой иррациональности, и корень не может быть выше 2-й степени. Эта оговорка позволила т. Киракосян брать в качестве множителя квадратные корни, как, например, а = = 4.101. 1/137 и т. п. Но этот метод оказался хуже способа т. Попова, так как т. Киракосян получил всего 7 решений. Пропущены были № 8, 9, 10 таблицы. Объясняется это, очевидно, тем, что т. Киракосян не учел, что 2г — точный квадрат — так же можно разбить, беря |/^2 общим множителем, а 2—множителем а или а + Ь.

В итоге, как уже сказано, мы имеем лишь одно полное решение. Ввиду правильности общего хода рассуждений, мы причисляем к решившим всех, давших правильный ответ, хотя бы и единственный.

2. (82) Найти целые положительные числа X и у, удовлетворяющие условию:

(X + 1)«-лт«-(*-1)« = (у+ 1)4~ —У4—(У — I)4-

Эта довольно несложная задача получила также сравнительно небольшое количество верных решений. Различие между этими решениями сводится в общем к большему или меньшему количеству испытаний-подстановок вместо X или у целых положительных чисел. Приведем несколько решений, переходя от большего количества испытаний к меньшему.

1. Раскрыв скобки и сделав приведение, получим:

— х*'+ Sx* + Вх = - у* + 8ys + 8у, (1)

Мы исключаем, понятно, тривиальный случай X = у, когда равенству удовлетворяет всякое число. Исследуем, при каких различных значениях X функция — X* + 8х* Sx дает одинаковую числовую величину. Не трудно видеть, что для дг>8, функция возрастает с увеличением X. Следовательно, мы должны искать значения х, удовлетворяющее равенству в границах 1^;с^8. Произведя испытания, убеждаемся, что функция принимает значение 64 при X — 2 и при X = 8. Отсюда: х = 2, v = 8, или: X = 8, у — 2. Это решение потребовало восьми испытаний.

2. Представим равенство (1) в таком виде:

(х* —у*) — 8 (X* — у3) — 8(х— у) = 0. (2)

Исключив тривиальный случай х = >\ мы можем выражение (2) сократить на х — у. Получим:

(3)

Непосредственно видим, что при х > 8 все коэфициенты уравнения (3) относительно у будут положительны, и, следовательно, при всяком >'>0 левая часть уравнения (3) будет больше нуля. Итак, должен быть х^8. Соответственно перегруппировав левую часть уравнения (3), так же найдем, что

должен быть j/<8. Положим х>у. Уравнение (3) можно представить в виде:

(** + Уг)(х + у-8) = 8(ху+ 1). (4)

Мы видим, что при X + у <8 левая часть уравнения (4) будет отрицательна, правая же — положительна. Итак, должно быть: х+у>8 и т. к. х>у, то 2х > 8, х>4. Итак, 4. < х^8.

Испытывая X = 5, 6, 7, 8, найдем дл^ х и у те же значения 8 и 2 и при х<у значения 2 и 8. Это решение потребовало четырех испытаний.

3. Исходим из уравнения (4):

(X* + у2) (X + у - 8) = 8 (ху + 1 ). (4)

Так как правая часть — четное число, то и левая должна быть четным числом, а это может быть только при условии, что хау одновременно оба четны или нечетны.

Далее, имеем:

(х-у)*>0

(опять исключаем случаи х=у). Отсюда:

х*+уг>2ху. Делая подстановку в (4), получим:

(5)

Но X 4- _у>8, что при 1<х<8и 1^у^8 дает ху>7, по подстановке в (о), получим:

Итак, имеем:

что при условии одновременной четности или нечетности х и у дает 2 возможности:

х+у = 10; * + у = 12. (6)

Решая каждое из уравнений (6) совместно с (4), найдем те же числа 2 и 8. Здесь потребовалось 2 испытания.

4. Наконец, приведем решение А. Гуревич (Гомель).

Исходим из равенства (1), представив его в таком виде:

xi — 8x3 — 8x = y4 — 8 у3 — 8)\ (7)

Прибавив к общим частям по 64 и сгруппировав члены, найдем:

Xi-Sx* — 8jc + 64 = л:3 (* —8) — 8 (jc — 8) = = (*3_8) (*_8)-

Аналогично:

v4 _ 8уз _ 8у + 64 = (у* — Z) (у - 8).

Итак, имеем:

(jc3 - 8) (X - 8) = (у3 — в) О - 8). (8)

Полагаем *>у, тогда:

Таким образом, если ни один из множителей правой и левой части (8) не равен нулю, то левая часть непременно должна быть

больше правой (так же можно исследовать случай: *<8, ^>8, у<8, У>8 и т. п.), что противоречит условию. Остается предположить, что один из множителей правой и левой части равен нулю. Отсюда четыре комбинации:

из них только 2 и 3 дают решение задачи.

Из неверных решений подавляющее большинство давали лишь тривиальный случай x =у. Остальные утверждали, что вообще не может быть двух различных чисел, удовлетворяющих условию задачи.

3. (83). Доказать для треугольника соотношения:

где та, т0, тс — медианы, ЬА , Ьв, ^ — биссектрисы и р — полупериметр треугольника.

Приведем наиболее простое решение большинства.

1. Исходя из формулы:

найдем:

О)

Затем имеем:

Аналогично:

По сложении получим:

2 (я* + Ь2 + с2) ^ 2аЬ + 2ас + 2Ьс. (2)

Прибавив к обеим частям (2) по a2-f 62+ с2, будем иметь:

(3)

Из (1) и (3) непосредственно вытекает требуемое неравенство 2. Исходим из формулы:

(4)

Представим ее в таком виде:

(5)

но мы имеем:

или:

(б)

Из (6) и (5) получаем:

(7)

Аналогично:

(8) (9)

Возведя (7), (8) и (9) в квадрат и сложив, получим

В тексте задачи был пропущен знак + перед Ьс. Подавляющее большинство читателей по аналогии с предыдущей строкой внесли исправление и прислали доказательство обоих неравенств. Но некоторых это обстоятельство смутило, и они прислали решение только первого неравенства.

4. (84). Разложить на множители выражение:

Наиболее короткое решение:

Несложная задача, решенная очень многими. Ошибочных решений почти нет. Были 2—3 случая вынесения за скобку «третьего» множителя.

5. (85). Решить уравнение: (x + а)* + {х + 2а)* + (х + За)* = 2а\

Делаем подстановку:

Будем иметь:

По раскрытии скобок и упрощении:

Отсюда:

Неправильные решения частью сводились к неверным вычислениям (]/*5 или ]/^10 вместо j/l5), частью давали неверные ответы.

6. (85). (Решить уравнение:

Преобразуем левую часть:

Отсюда:

или в радианном выражении:

Вот еще пример элементарнейшей задачи, доступной вполне ученику средней школы. Понятно, что на нее из всех 20 задач падает наибольшее количество присланных решений (92). Но очень плохо то, что из этих решений свыше 25% неправильных (26). И во всех них допущена ошибка самая элементарная, самая грубая, ошибка, на предупреждение которой у учащихся обычно особенно направляется внимание учителя. Это — общеизвестная ошибка при выводе общей формулы для найденного угла. Почти все неверные решения дали формулу

вместо приведенной выше. Другими словами из равенства 2х =30° сначала находился дс, а затем уже прибавлялся период — ошибка, повторяем, самая элементарная.

В меньшем количестве неправильных решений давалась только формула 15°+180°п и не учитывалось значение 150° + 180°/г.

7. (87). Доказать для треугольника тождество:

Так как

sin А = sin (180° — В — С) = sin {В + С), те же подстановки имеем:

Поменяв местами В и С, получим соответственно для знаменателя:

Подстановка в левую часть данного равенства дает:

2. Более короткое решение.

Воспользовавшись формулой синусов а — = 2R sin А и пр., выразим левую часть через стороны. Будем иметь:

(1)

Далее имеем:

Делая замену последних членов числителя и знаменателя, получим по сокращении на 2:

(2)

но

По подстановке получим:

т. е. пришли к правой части заданного тождества.

Были даны и другие способы решения этой простой задачи. 8. (88). Доказать, что числа вида:

при р2 рациональном представляют собой точные квадраты.

К сожалению, в задаче была допущена опечатка. Хотя некоторые из читателей внесли соответствующее исправление и прислали правильные решения (12 решений), все же мы даем задачу снова в настоящем номере, не опубликовывая присланных решений.

9. (89). По какой системе счисления записан следующий пример деления:

6564: 7 = 754?

1. Очевидно, что основание системы должно быть больше семи, так как иначе в написанных числах не могла бы фигурировать цифра 7.

Имеем 6 564 = 754.7. Умножив в правой части единицы, будем иметь:

4.7. = 28.

Так как произведение оканчивается на 4, то, очевидно, 23 — 4 = 24 дает целое число единиц второго разряда. Итак, основание системы больше 7 и должно быть делителем 24. Значит оно может быть равно 8, 12, 24.

Испытание дает число 8.

2. Обозначив основание через х, будем иметь

или:

Отсюда опять следует, что х является делителем 24. Прибавив условие д:>7, придем к тем же числам 8, 12, 24.

Многие просто решали уравнение (1) и находили один целый корень х = 8.

К неправильным решениям нужно отнести те, в которых просто случайно испытывалось основание 8 и оказывалось подходящим. При этом способе, будь число написано по 50-ричной или 80-ричной системе, пришлось бы испытывать все числа от 8 до 50 или 80, прежде чем получить искомое решение. Совершенно неправильно также поступали некоторые, ограничивая испытание числами 8 и 9, ссылаясь на то, что в числе нет знаков, обозначающих цифры 10, 11 и т. п. Так, число 11 в 50-ричной системе' означает 51, в 60-ричной — 61 и т. д., хотя содержит только цифру 1.

10. (90). Не прибегая к построению иррациональных выражений, построить в равнобедренном прямоугольном треугольнике с катетом а окружность радиуса-гд-» касательную к гипотенузе в ее середине.

Предположим задачу решенной. Легко видеть, что центр окружности должен лежать на высоте» СР, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу. Проведем из С касательные к окружности СЕ и CF и вычислим величин}'' отрезка ED.

Из подобия треугольников CDE и СКО имеем:

но

(2)

(3)

Но по известной формуле:

следовательно:

(4)

Делая подстановку из (2), (3) и (4) в (1), получим:

Но гипотенуза AB = а У 2. Следовательно,

Отсюда легко вытекает построение. Делим обычным способом гипотенузу AB на 3 равные части. Полученные точки Е и F соединяем с вершиной С прямого угла. В полученный треугольник CEF вписываем окружность, которая и будет искомой.

Доказательство. Можно вычислить г из соотношения (1) или же из подобия тех же треугольников CDE и СКО вывести пропорцию:

отсюда:

(5)

но

Делая подстановку в (5) получим

т. е. г как раз равно заданному значению. Решение единственное и всегда возможно. Из точки А описываем дугу NM радиусом равным jg^4ß. На высоте CD от точки N откладываем NP — DM. Тогда отрезок PD — диаметр искомой окружности.

Действительно из треугольника ADN найдем:

Так как

Недостаток этого решения и нескольких других заключается в некоторой громоздкости деления отрезка на 18 частей (в некоторых решениях на 9).

Неправильные решения имели своим источником недопонимание существа задачи. В последней ясно указано: «не прибегая к построению_иррациональных выражений», т. е. 1/^2, и т. п. Допустимыми являются, таким образом, лишь операции: деление отрезка, проведение биссектрисы и т. п. Между тем многие прибегали к пифагоровой теореме, строя, например, У~Еа* = ]/(2a)2 + à*. При допущении этой операции задача вообще становится_совершенно элементарной: построим V 20а2, |/2fl2, вычтем один из другого и оезультат разделим на 18. Радиус найден.

11. (91). Найти отношение сторон треугольника а : bt если известно, что

В задаче допущена опечатка. Решение ее в напечатанном виде приводим к выражению для а: ь, в которое входят и функции углов, т. е. величина отношения зависит от величины углов. В присланных решениях или дается решение задачи в напечатанном виде, или же вносилось исправление, причем в одних решениях менялся в числителе на синус cos — , в других cos Çb -f . Тогда решение упрощается и получается значение для а : ь, не зависящее от углов. В настоящем номере задача дается снова в обоих вариантах.

12. (92). В разностороннем треугольнике стороны пропорциональны медианам. Найти коэфициент пропорциональности.

Приведем наиболее короткое решение. По условию имеем:

(так как против большей стороны лежит меньшая медиана), отсюда

(1)

По известной формуле:

По сложении получим:

(2)

Заменив тш ть% тс из (1), найдем:

Очень важно указать, что во всех решениях (за исключением автора задачи) при верном ответе в ходе решения была допущена грубая ошибка. Все писали:

В задаче не сказано (и не могло быть сказано): «пропорциональны соответственным сторонам». Следовательно, выбор сторон нужно было сделать самому решающему, руководясь данным выше в скобках соображением. Понятно, почему ошибка не повлияла на результат: она исчезала по получении выражения (2) в силу его симметричности. Но если бы кто-нибудь попробовал вычислить медианы при данном в задаче условии, то получил бы:

(Не трудно вывести для данного случая соотношение 2Ь2 = а2+с2. Подстановка в формулы для медиан ж дает приведенные значения.)

13. (93). При каких целых и положительных значениях х выражение хг 4- Ъх + 1 делится на 55?

1. По у слови* хг +Ъх+ \ должно делиться на 5 и на 11. Имеем:

х* + Ьх + 1 =(jc —1)2 + 5jc.

Отсюда должно быть:

х— 1 = 5k; x = 5k+U (1)

Далее:

отсюда:

x — 2 — Ilm; x = Ilm + 2, (2)

или:

х+5=\\т; x = Ilm — 5. (3)

Решив два неопределенных уравнения

5* -f 1 = Um 4- 2; (4)

5*+1 = lim — 5. (5)

Найдем для х значения:

из (4): x = 55t — 9

из (5): x = 55/ 4- &

Можно также найденное значение для д: (1) подставить в данный трехчлен. Будем иметь

Для делимости данного трехчлена на 11 необходимо чтобы

^ — 1 = 11/.

или:

+ 2 = Ш

Отсюда

k = Ut+ 1,

или

k = Ш -2

Подставив в (1) получим:

x = 55t 4" 6; je = 55/ — 9.

В неправильных решениях большею частью или давался лишь один ответ: х = 6, или одна общая формула: х = 55t 4- 6. Но были и совсем неверные формулы.

14. (94). Найти сумму п членов ряда:

Легко видеть, что общий член ряда

(1)

Воспользуемся формулой:

(2)

Выражение (1) преобразуем:

Применив формулу (2), получим:

(3)

Давая в (3) п значения 1, 2, 3... л, сложив результаты, после приведения, получим:

(4)

Воспользовавшись еще раз формулой (2), приведем выражение (4) к виду

В неправильных решениях давались необычайно громоздкие формулы для Sn.

15. (95). Найти четыре целых числа, составляющих арифметическую прогрессию при условии, что наибольшее из них разно сумме квадратов трех остальных.

Обозначим через х наибольшее число.

По условию имеем:

Отсюда:

14г* - i2хг 4- (3jc2 — *) = 0. (1)

Решив уравнение (1) относительно г, найдем:

(2)

Для того, чтобы г было вещественным, необходимо, чтобы было:

Отсюда x = 1, или x = 2. Подстановка дает в первом случае для г дробные значения, во втором — одно целое значение: г = 1.

Итак, искомые числа

2, 1, 0, -1.

В неправильных решениях или доказывались невозможность существования чисел, удовлетворяющих условию задачи, или давались ответы, не удовлетворяющие условию, как, например:

1/2, "1/2+1, |/"2 + 2, У~2 + 3.

16- (95). Доказать неравенство

ab (а + Ь) + be (b + с) + ас (а + с) > бзбс.

Разделим обе части предполагаемого неравенства на abr:

(1)

Перегруппируем левую часть так:

(2)

Но известно, что сумма двух взаимно обратных положительных чисел (если только каждое из них не равно 1) всегда больше двух.

Следовательно:

По сложении получим неравенство (1), а из него данное. В случае а = b = с неравенство обращается в равенство.

2. Из неравенства (а—6)2>0 (при афЬ) выводим:

a2 + b2>2ab, (3)

аналогично:

Ь2 + с2 > 2Ьсу (4)

с2 + а2 > 2ас. (5)

Умножив (3) на с, (4) на а, (5) на £ и сложив результаты, получим требуемое неравенство.

3. Раскрыв скобки и перенеся баЬс в левую часть, можем представить данное неравенство в виде:

Но последнее неравенство справедливо, так как каждое из слагаемых левой части положительно (кроме случая а = b = с). Отсюда вытекает справедливость и данного неравенства.

17. (97). Решить уравнение:

(*-1) (х* + х + 1) = 3.

В таком виде задача решается только общим методом решения уравнений 4-й степени. В тексте задачи — опечатка. В правильном виде задача напечатана в настоящем номере.

18. (98). Найти такие пары целых положительных чисел, сумма которых равна -L их произведения. 1. По условию имеем:

(1)

Отсюда:

л: (у — 10) = 10у; у (х — 10) = Юл:.

Перемножив эти равенства и сократив на ху(*>0 и у>0 по условию) найдем:

(jc-10) СУ-Ю) = 100, (2)

но

100 = 1-100 = 2-50 = 4-25 = 520 = 1010. Тогда имеем:

Разложение 100 на два отрицательных множителя новых положительных решений нз дают.

2. Другой способ в общем аналогичен первому. Делаем в (1) подстановку

Х = 10 + *; у =10 +и.

После упрощений получим:

zu = 100.

По предыдущему найдем возможные значения z и и и затем х и у.

В некоторых решениях х и у менялись местами и, таким образом, получались как бы еще 4 решения (х — ПО, у = 11 и т. д.). Это излишне, так как в задаче требуется найти «пары чисел». Таких же пар только пять.

19. (99). Не прибегая к делению радиуса в среднем и крайнем отношении, найти построением а10.

Приведем несколько решений.

Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра. Хорду AB продолжаем на расстояние ВС = AB. Точку С соединяем с центром О. Отрезок ~2~ = я10.

Действительно

По свойству секущих имеем:

Отбрасывая отрицательное значение дг, будем иметь:

2. Проводим опять два взаимно перпендикулярных диаметра. Из середины D радиуса OB проводим дугу радиусом DA до пересечения с диаметром MB в точке Б. Отрезок ОЕ = а19. Действительно из треугольника AOD имеем:

Напомним обычное решение. В конце В диаметра AB проводим к нему перпендикуляр ВС = OB — R.

Имеем АС = Y4R2 + R* = R j/ô*. От точки С на АС откладываем CD = R* Имеем AD = АС — DC = R (]/ 5 — 1 ). Делим отрезок AD пополам. Получаем:

Были даны и другие решения. В книге Адлера «Теория геометрических построений» дано несколько способов решения этой задачи.

20. (100). Найти площадь треугольника по данным углам и одной из медиан.

По формуле

Ат\ = 2Ь* + 2* - а2. (I)

По формуле синусов

Подставляем в (1):

(2)

Из (2) найдем

(3)

Имеем для площади:

(4)

После подстановки из (3) в (4) получим:

У некоторых получились необычайно громоздкие формулы для s. Другие, вопреки условию задачи, вводили еще угол между медианой и одной из сторон, и этот угол фигурировал и в окончательной формуле.

ЗАДАЧИ

61. Определить

где аи а2... члены арифметической прогрессии с разностью d = а.

62. Найти число xyzu, если:

Л. Могильницкий (Гайсин)

63. Доказать, что при Л + £ + С = 180° имеет место тождество:

64. Даны катеты а и b прямоугольного треугольника. Из точки Af, лежащей на продолжении катета ау опущен на гипотенузу перпендикуляр, отсекающий от площади данного треугольника — часть. Найти расстояние точки M от вершины прямого угла треугольника.

М. Кекелия (Бандза)

65. Даны стороны треугольника а, Ь, с и на стороне а — точки F, Ь, К, Е, M (считая от С к В\ причем D и Е делят сторону а на три равные части, a F, К и M делят ее на 4 равные части. Найти угол FAD.

M. Кекелия (Бандза)

66. Исключить х, у и z из равенств:

Р. Годованик (Одесса)

67. Провести окружность, касательную к двум данным окружностям, причем к одной из них в данной точке.

Р. Годованик (Одесса)

68. Построить четырехугольник, зная все его стороны и что одна из его диагоналей является биссектрисой одного из углов четырехугольника.

Р. Годованик (Одесса)

69. Найти сумму девятых степеней корней уравнения:

дг3 + рх + q = 0.

И. Чистяков (Москва)

70. Доказать, что прямая, проходящая через центр круга, вписанного в треугольник, делит его площадь н периметр на две части в одном и том же отношении.

И. Чистяков (Москва).

71. Решить систему уравнений:

72. Найти величину выражения:

при условии, что X + у + Z = 0.

73. Около круга радиуса R описана равнобедренная трапеция. Найти минимум полной поверхности и объема тела, полученного от вращения трапеции вокруг большего основания.

74. Доказать для треугольника тождество:

75. Найти предел выражения:

при п -» о# . 76. Решить уравнение:

77. Решить в целых, а затем в целых и положительных числах уравнение:

(* + у)* — (х + у) — 2х = 150.

78. Если к четырехзначному числу Ы слева приписать (2N + 1), то получится точный квадрат. Найти числа, удовлетворяющие этому условию.

M. Шебаршин (Медвежьегорск)

79. Решить систему уравнений:

М. Шебаршин (Медвежьегорск)

80. В четырехугольнике ABCD даны £А=-= 90° и стороны А£ = 3 — |/з~; ВС = 6 + + 2 УТ\ CD = 4}/Т и DA = 3-f уНГ, линейных единиц.

Требуется:

1) доказать, что биссектрисы углов А и / пересекаются на стороне ВС, а биссектрис! углов В vi С — на стороне AD;

2) вычислить отношение площади четырехугольника, образованного пересечениями биссектрис к площади четырехугольника ABCD

М. Шебаршин (Медвежьегорск)

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ

В № 5—6 помещено решение задачи № 32:

«Найти четыре последовательных целых числа, произведение которых равно 1680».

Эта задача допускает гораздо более простое и более оригинальное решение, чем те, которые помещены в журнале. Два таких решения дает проф. И. Чистяков (Москва).

Действительно, из уравнения

ж (л А- 1)(х + 2)(х + 3) = 1680

следует, что х < у 1630 < х 4- 3,

или X < 6,4 < X 4- 3, иначе 3,4 < х < 6,4.

Так как х целое, то оно может равняться только числам 4, 5 или 6. Подставляя эти числа в уравнение, видим, что х = 5, и искомые числа суть 5, 6, 7, 8 (или: —8, —7, -6, -5).

Второе решение. Замечая, что 1680 4- 1 = 41* и прибавляя к обеим частям вышеприведенного уравнения по 1, получим:

или:

а, извлекая корень,

Решая уравнение хг + 3* 4- 1 — 41, найдем корни:

xt = 5; х2 = — 8.

Решая уравнение дс* +3* 4- 1 = — 41, получим два мнимых корня.

ОТ РЕДАКЦИИ

Редакцией получены многочисленные отклики на напечатанные в журнале статьи по вопросам преподавания раздела процентов и преподавания черчения в средней школе. Не имея никакой возможности напечатать все полученные на эти темы статьи (свыше 30), редакция в одном из последующих номеров даст общий обзор полученных писем и статей с напечатанием некоторых из них.

СВОДКА ПО № 1 1939 г.

По №1 журнала прислано значительно меньше решений, чем обычно. Объясняется это, очевидно, двумя причинами: 1) невозможностью подписаться индивидуально на журнал в 1939 г., что заставляет брать его из школьной библиотеки на короткий срок, не оставляющий времени для решения задач; 2) тем, что между подписанием журнала к печати и выходом его прошел не обычный Срок около двух недель, а два месяца. Поэтому срок для присылки решений, указанный в примечании, оказался слишком малым. Редакцией рассмотрены все решения, полученные до 20 мая.

С другой стороны, и в этом сравнительно небольшом количестве необычно значительное место занимают неверные решения (на 791 правильных решений 169 неверных — почти 22%), причем особенно поражает обилие неверных решений, грубых, элементарных ошибок в наиболее простых задачах, каковыми являются № 6 (86), 13 (93) и 18 (98).

Приводим количество присланных правильных решений по отдельным задачам. В скобках дано число неверных решений.

№ 1—10 (25); № 2—20 (14); № 3-40 (4); 4-72 (4); N2 5—52 (7); № 6-75 (26); № 7—86 (0); № 8—17 (0); № 9-59 (6); 10-20 (2); № 11-19 (1); N2 12-41 (7); № 13-24 (28); Ni 14—22 (3); № 15-50 (4); Ni 16-64 (3); № 17-6 (3); № 18-45 (24); № 19-24 (6); № 20-45 (12). 8. Архипов (Москва) 5—7, 12, 14, 16. К. Агринский (Москва) 4, 6, 7, 9, 12-14, 16, 18. Адлер (Саратов) 6, 7,15,16. Е. Алмазова (Беднодемьяновск) 1. 3. А. Аляев (Башмаково) 3—5, 7, 9, 12, 13, 15, 16, 20. Б. Андреев (Исиль-Куль) 1, 2, 4-7, 9, 12—16, 18, 20. С. Андреев (Торжок) 4—7, 9, 10, 12—16, 18, 20. Л. Атанасян [Ереван) 6, 7, 12, 15. Г. Ахвердов (Ленинград) 2-4, 6-10, 12—16, 18, 20. Т. Барашкова (Москва) 4, 6. Н. Барщевский (Сухой Лог) 1—7, 9, 10, 12—20. 3. Биглов (Уфа) 5—7. А. Бирюков (Ново-Деркуль) 4, 12, 16, 19, 20. Р. Бломнек (Мокшан) 6, 7, 11, 20. М. Бло« хин (Александровка) 4. Д. Бобырь (Антоновка) 4, 5, 7, 9, 11, 15, 18—20, Б. Боголюбов (Ульяновск) 3, 4, 6—8, 12, 14, 16, 18, 20. И Богуславский (Мурафа) 4. Л. Бубис (Полтава) 4, 6, 9, 18. Е. Бугулов и К. Г ар асов (Орджоникидзе) 3—5, 7—9, 12, 15, 16, 20. Ц. Вагнер (?) 5, 6, 16. А. Владимиров (Ялта) 2, 3, 5—7, 9, 12, 13, 15, 16, 18, 20. И. Воинов (Знаменский район) 2,4—7, 9, 10, 12, 15, 16, 18—20. М. Волков (Москва) 9. Й. Воронов Волочек) 4, 5, 7, 9, 16, 18 И. Введенский оргиевское) 1—7,9—12,15, 18—20. И.Гальперин (Киев) 4—7,9,16,18. М.Годороз (Тирасполь) 4,6,7. С. Городов (Ленинград) 4,5,7—9, % 14—16,18,20. В. Голубь (Кувшиново) 1, 3, И8, И, 13, 14, 16, 18, 20. А. Гридин (Харьов) 3, 6, 7, 9, 13, 15, 16, 18—20. В. Гришин Дубовка) 4. А. Гросу (Сычевка) 4. А. Гуревич (Гомель) 2—13,20. В.Гусаров (Нижний Ломов) 3, 6,7,9. М. Доброгай (Мелитополь) , 16, Ж X. Дудаев (Орджоникидзе) 4, 6, 7, \ 16. В. Дуденков (Кузнецк) 6. Б. Дудолькевич (Пятигорск) 3, 4, 6, 7, 13, 15, 18, 20. П. Желнинский (Таловая) 7, 16. Е. Журавлев (Кузнецк) 6. Л. Запорин (Изюм) 5, 7, 11. 0. Ибрагимов (Турткуль) 7. Л Иванов (Ипатово) 4, 6, 7. Л. Иванов (Торопец) 2—7, 9—13, 15,16, 18, 19. Л. Каган (Минск) 3, 4, 6, 7, 9, 11, Каплан (Верховня) 6, 7. К. Киричек (Бердск) 9, 16, 20. М. Климова (Дорогобуж) 9, 15, 18. И. Клоков (Тим) 4, 6, 9, 18. Л. Копейкина (Москва) 1—9,11,12, 15,16, 20. Г. Корчагин (Устькулом) 1—7, 9, 11 — 16. Н. Костава (Кутаиси) 4, 5, 7, 15. Л. Костовский (Мелитополь) 4, 7, 10, 12, 19, 20. Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга) 2, 4—9, 12—16, 18—20. Б. Кашин (Улан-Удэ) 3—7, 9, 11, 12, 14—16, 20. М. Кекелия (Бандза) 1-5, 7, 9, 11, 12, 14—16, 18, 20. И. Канунов (Сталинград) 3—9, 11, 12, 14, 15, 18, 20. Г. Колишев (Запорожье) 4, 6, 7. С. Колесник (Харьков) 1, 3, 5—16, 18—20. В. Крылков (Екатериновка) 3, 4, 6, 7, 12, 16, 18, 20. Л. Кириленко (Котюжаны) 4, 7. Л. Левин (Алма-Ата) 3, 7, 9, 16, 18—20. В. Лимонов (Старожилово) 4—7, 9, 12, 15, 20. С. Липилин (Б. Вьяс) 7, 15. Л. Логашов (Саловка) 2—5, 7, 9, 10, 15—17, 19. Н. Любочский (Старая Русса) 3, 5-7, 9, 12, 15, 16, 18, 19. /7. Макуха (Павлодар) 4—7, 9, 15, 16, 18. Л. Маслова (Воронеж) 1—5, 7, 9, 10, 12, 14—16, 18, 19. Б. Меньших (Цаца) 6, 7, 9, 13, 18. К. Михельсон (Башанта) 4, 5, 7, 15, 16, 18. М. Мкртичян (Майкоп) 3, 5—7, 16. Л. Могильницкий (Гайсин) 4—10, 16, 18, 19. Н. Могильный (Новостародуб) 6, 7. Л. Могилянской (Гайворонский р-н) 4, 6, 7, 16. М. Можаров (Загорск) 2, 4-7, 9, 12, 16, 20. И. Мухин (Мирзачуль) 6, 15, 16, 18. Мхитаров (Махач-Кала) 3—7, 9, 16. Л. Панов (Колодня) 6. Л. Пилипенко (Березнеговатое) 4. И. Попелюхер (Чечельник) 3—10, 12—16, 18—20. С. Попов (Черкизово) 1, 3—10, 12—16, 19. П. Постников (Рязань) 4,6,7, 9, 20. Л. Принцев (Валдай) 3—7,15,16,20. Л. Медведев (Сталинградская обл.) 2—4, 6, 7, 9—12, 15, 16, 19, 20. Г. Мисиарян (Кировабад) 4—7,9, 15, 16. К. Мун (Казалинск) 3,4, 6,7,12, 16, 20. В. Пугачев (Злынка) 5, 7, 15. Е. Пузырев (Пенза) 4, 6, 7, 9, 17 Г. Ржавский (Фролов) 4—7, 9, 13, 18. М. Рицнер (Лозовая) 6, 16, 18. В. Саннинский (Чкалов) 4, 16, 19. П. Сергиенко (Запорожье) 2, 4—10, 15, 16, 19, 20. Д. Сенькин (Могилев) 3. 4, 12, 13. 8. Смирнов (Усть-Джигутинск) 3—7, 9—17, 19, 20. Г. Стась (Корнин) 6, 9, 16. Г. Таварткиладзе (Орджоникидзе) 6, 7. Б. Тарасов (Кирсанов) 2, 5—9, 12, 13, 15, 16, 18. 3. Титкова (Сланцы-Поля) 3—7, 15, 16, 20. Титов (Тюмень) 3—14, 16, 20. И. Ушаков (Чистяково) 4-7, 9, 11, 13—16, 18, 20. А. Хайруллин и А. Мирхайдаров (Мензелинск) 5—7, 9, 11, 12, 19. Е. Хвастовский (Сталинград) 4—6. Е. Холодовский (Ленинград) 2—4, 6—10, 12, 13, 15, 16, 18, 20. Л. Цин (Хащевато) 4, 6, 7, 16, 20. Е. Цыгуля (Тирасполь) 4—7, 9. В. Швелихин (Самойловка) 3, 4, 7, 12, 16, 20. Я. Шор (Тула) 3, 4, 7, 9, 15, 16, 18. И. Щепанский (Новый Петергоф) 4, 6, 7, 15. Фомин (Пермь) 10, 19