МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

3

1939

УЧПЕДГИЗ НАРКОМПРОСА РСФСР • МОСКВА

От редакции. Ввиду все увеличивающегося притока решений задач редакций убедительно просит соблюдать следующие правила.

1. Решения задач присылать отдельно от всякой другой корреспонденции и отдельно по каждому номеру журнала (присылаемые решения рассматриваются через 2—3 месяца по напечатании задач, и этот же срок лежат и все присылаемые вместе с решениями замечания, запросы и пр.).

2. Решения писать четко и разборчиво. Особенно четко отделять одну задачу от другой, выделять (кружком или более крупным шрифтом) номер задачи. Номер должен быть тот, под которым задача напечатана.

3. Решение каждой задачи подписывать. Если решения идут не в порядке нумера* ции, то желательно, чтобы в начале их были перечислены номера присылаемых решений.

4. Срок присылки решений —3 месяца со дня подписания номера к печати (эта дата печатается в выходных данных в конце журнала или на обложке).

СВОДКА ПО № 5 — 6 1938 г.

Приводим количество полученных правильных решений по каждой задаче: 81 —101, 82— 110, 83 — 90, 84 — 29, 85-36, 86 — 49, 87— 106, 88 — 66, 89 — 36, 90 — 36, 91 —93, 92 — 37, 93— 143, 94 -20, 95— 18, 96 — 23, 97 — 79, 98 — 49, 99 — 47, 100— 13. Нужно, однако, сознаться, что за абсолютную точность приведенных цифр поручиться нельзя. Целый ряд читателей присылает решения совершенно в неудобочитаемой форме: написано крайне небрежно и неразборчиво, с поправками, помарками и зачеркиваниями, на клочках бумаги самой разнообразной формы и размеров, причем решение одной задачи приходится искать на разных листках и т. д. Поэтому по ряду задач нельзя просто установить правильность хода решения и заключать по правильности ответа. Это не гарантирует правильности решения тех задач, где ответ дан в самой задаче («Доказать равенство» и т. п.). Редакция еще раз просит писать решения четко, разборчиво, резко отделяя одну задачу от другой и т. д.

Тем не менее приведенные цифры отчетливо показывают, как резко снижается количество решений для задач несколько повышенной степени трудности. С другой стороны, задачи типа № 81, 82, 93, несомненно, являются слишком легкими. На дальнейшее необходимо установить некоторое количественное соотношение между задачами трех степеней трудности, примерно, так: 4 — 5 более легких задач, 10 — средней и 5-6-повышенной трудности. Интересно по этому вопросу мнение читателей, решающих задачи. Хотелось бы знать мнение читателей и по такому вопросу: не следует ли не зачитывать слишком сложные, длинные и путанные решения легкой задачи, допускающей простое и краткое решение? Ведь в школе за такие «окольные» решения не только снижается отметка, но часто ставится и «неуд». Редакция просит всех читателей высказаться по затронутым вопросам.

Приводим ниже список решивших.

Г. Автух (Лепель) 81 — 83, 87, 91, 93. Е. Алмазова (ст. Торбеево) 81 —84, 87, 88, 90, 91, 93, 97, 98, 100. А. Аляев (Башмаково) 81 — 84, 86 — 93, 97 — 99. Б. Андреев (Исилькуль) 81 — 84, 86 — 91, 93, 95, 97— 100. С. Андреев (Торжок) 81 — 84, 86, 88 —91, 93, 94, 97—100. Я. Андреев (Киев) 83. А. Андрианов (Невьянск) 8Î, 82, 87, 93, 100. А. Анфалов (Мокроусово) 91. А. Аристова (Дивеево) 82, 93, 97. А. Артим (Свердловск) 81 — 85, 93, 97. В. Архипоз (Москва) 81 - 83, 87, 88, 91, 93, 97, 99, 100. Г. Ахвердов (Ленинград) 81 — 84, 86 — 89, 91, 93, 97— 100. Я. Бахреньков (Черновские выселки) 90, 93. И. Бейзер (Одесса) 93. 3. Биглов (Уфа) 82, 83, 91, 93. А. Бирюков (Ново-Деркуль) 81 —83, 85, 87, 88, 93, 98, 100. Б. Боголюбов (Ульяновск) 81, 82, 85 — 88, 91, 93, 97, 99. Я. Богуславский (Мурафа) 82, 93, 100. Б. Борзенко (?) 82, 93. И. Бочкин (Рогачев) 81 — 88, 90 — 93, 97, 98. Л. Бубис (Полтава) 93. Е. Бугулов (Орджоникидзе) 81 —83, 87, 91, 93, 97, 99, 100. Л. Варткинаян (Хасов-хорт) 81, 87, 91, 93. Р. Варшавский (Красная Слобода) 83, 86, 91. Н. Введенский (Георгиевское) 81 — 92, 94 — 100. А. Велюго (Шумилино) 82, 83, 85, 87, 93, 97, 98, 100. А. Владимиров (Ялта) 81 —84, 86 — 93, 95 — 100. В. Водогинский (Москва) 81 —84, 87, 88, 90 — 94, 96 — 99. С. Гавриков (Новопанское) 82, 93, А. Гасанов (Солянь) 93. Я- Гейвашович (Смоленск) 81 —83, 87, 88, 91, 93, 97, 99. А. Гинесин (Ленинград) 81 — 83, 87, 93, 97. Я. Глейзер (Калининдорф) 81 —83, 87, 91,100. И. Голайдо (Красная гора) 85 — 88, 91, 93, 97, 99, 100. И. Гольман (Харьков) 81 —83, 86 — 88, 90 — 93, 97 — 99. С. Городов (Ленинград) 81 —83, 85 — 89, 91 —93, 97 — 100. М. Гофман (Загорск) 93. В. Гребеник (Сумы) 81, 82, 93, 97. М. Григорьев (Суктор) 82, 93, 97. А. Гридин (Харьков) 81 —83, 85 — 87, 91 — 93, 97, 99. A. Гуревич (Гомель) 81 — 100. Я. Гурский (Калиновка) 81 —83, 87, 88, 90, 91, 93, 97. B. Гусаров (Н. Ломов) 81, 82, 87 — 89, 91 — 93, 97. А. Двоенков (Новозыбков) 82, 93. Б. Диккер (Одесса) 81 — 83, 86 — 93. X. Дудаев (Орджоникидзе) 81, 83, 86 — 88, 91, 93, 99, 100. В. Дуденков (Кузнецк) 82, 87, 93. Б. Дудолькевич (Пятигорск) 81, 82, 87, 88, 9lv 93, 97, 99. Я. Есипович (Ленинград) 81—93, 97— 100. А. Жук (Дядьково) 81, 83, 87, 88, 93, 97. Е. Журавлев (Кузнецк) 82, 87, 93. Я. Захаров (Чебоксары) 81, 88, 91, 93, 97, 93. В. Зензимов (Ивот) 83, 93, 98. В. Зотов (?) 87, 88. Ф. Ибрагимов (Турткуль) 82, 87, 91, 93, 97. Ф. Ишутин (Москва) 83, 86, 87, 91, 93, 97. Л. Каган (Минск) 81 —83, 87, 91, 97,, 98, 100. Ф. Кагарманов (Асекеево) 93, 100,

(Продолжение см. на 3-й стр, обложки).

Пролетарии всех стран, соединяйтесь!

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

3

1939

МАЙ - ИЮНЬ

Год издания шестой

УПРАВЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

ВПЕРЕД, К КОММУНИЗМУ!

течение двенадцати исторических дней, с 10 по 21 марта, вся страна с неослабевающим интересом, с жгучим вниманием следила за великой творческой работой XVIII съезда большевистской партии. В историю партии Ленина — Сталина, в историю борьбы за коммунизм вписана еще одна яркая, замечательная страница. В единогласно принятых съездом решениях со сталинской глубиной и мудростью намечены политические, хозяйственные и организационные задачи, стоящие перед партией в новый период. Большевистская партия и весь советский народ получили величественную программу дальнейшего продвижения вперед, к коммунизму.

XVIII съезд партии знаменует собой начало новой исторической эпохи в жизни нашей родины, эпохи завершения строительства социализма и постепенного перехода от социализма к коммунизму.

В докладе товарища Сталина с гениальной глубиной и прозорливостью намечена программа разрешения этой величайшей из задач, которые решало когда-либо человеческое общество.

Могучим прожектором марксистско-ленинского анализа осветил товарищ Сталин пройденный путь. Он развернул величественную картину побед социализма в историческом соревновании с капитализмом. В своем мудром докладе товарищ Сталин наметил пути и перспективы дальнейшего развития страны. Он внес ценнейший вклад в сокровищницу марксизма-ленинизма, развив, в частности, марксистско-ленинское учение о государстве применительно к новым условиям, к условиям перехода от социализма к коммунизму.

Товарищ Сталин поставил перед страной грандиозную задачу: догнать и перегнать передовые капиталистические страны и в экономическом отношении в ближайшие 10—15 лет. В докладе товарища Молотова и в принятом съездом решении о третьем пятилетнем плане развития народного хозяйства с исчерпывающей полнотой практически разработаны пути выполнения этой исторической задачи.

Для того, чтобы осуществить переход к коммунизму, необходимо проделать огромную работу по коммунистическому воспитанию трудящихся масс, по повышению их культурного уровня. Съезд наметил развернутую программу выполнения и этой задачи. К концу третьей пятилетки должно быть осуществлено всеобщее среднее обучение в городах и завершено семилетнее всеобщее обучение в деревне и национальных республиках. Гигантские шаги будут сделаны для подъема культурно-технического уровня рабочего класса СССР до уровня работников инженерно-технического труда.

Внесенные по докладу тов. Жданова изменения в устав ВКП(б) вооружают партию еще более отточенным оружием для дальнейшего укрепления ее рядов, для дальнейшего ее роста за счет лучших, передовых людей нашей страны. Эти изменения являются живым воплощением сталинской заботы о людях.

Единогласное принятие съездом решений по всем вопросам, которые он обсуждал, полное единодушие, с которым был избран Центральный Комитет во главе с великим Сталиным,—все это является блестящей демонстрацией несокрушимого единства нашей великой партии, ее железной сплоченности вокруг Сталинского Центрального Комитета и великого кормчего резолюции товарища Сталина. XVIII съезд ВКП(б) показал, что большевистская партия, разгромив осиные гнезда троцкистско-бухарин-

ских шпионов, очистив свои собственные ряды от предателей и перерожденцев, стала еще более крепкой и могучей, единой и монолитной.

Товарищ Сталин учит партию тому, «чтобы держать курс на сочетание, на соединение старых и молодых кадров в одном общем оркестре руководящей работы партии и государства». XVIII съезд ВКП(б) явился образцом такого сочетания. В его работе, наряду со старыми, испытанными большевиками, имеющими богатейший революционный опыт, принимало участие и значительное количество молодых партийных товарищей, воспитанных Сталинским Центральным Комитетом за последние годы, закалившихся в борьбе за построение социалистического общества и выросших в крупных партийных и государственных руководителей. XVIII съезд партии избрал в Центральный Комитет достойных, беззаветно преданных делу коммунизма, верных учеников великого Сталина.

Пленум Центрального Комитета избрал исполнительные органы ЦК — Политбюро, Секретариат и Оргбюро. Вся партия, весь советский народ с чувством величайшей радости встречают известие об избрании в исполнительные органы ЦК великого Сталина и его ближайших соратников.

Дело большевистской партии давно уже стало делом всего советского народа. К XVIII съезду партии готовились не только коммунисты. Многомиллионные массы трудящихся нашей страны встречали съезд производственными достижениями на фабриках, заводах, в колхозах, школах, научных лабораториях. Все это явилось результатом морально-политического единства партии и народа. С новой, исключительной силой это единство было продемонстрировано во время самого съезда. Рабочие, колхозники и интеллигенция различных областей, краев и республик, различных отраслей труда прислали свои делегации в Москву, чтобы выразить съезду чувства народа. В горячих, волнующих словах приветствий представителей делегаций трудящихся была выражена непоколебимая вера народа в правоту великого дела, за которое борется партия. В этих приветствиях на весь мир прозвучала беззаветная любовь народа к партии большевиков, ее Центральному Комитету, вождю, другу и учителю трудящихся — товарищу Сталину, готовность народа отдать свои силы на борьбу за дальнейшие победы коммунизма.

За работой XVIII съезда партии следило все передовое и прогрессивное человечество. Ибо сейчас для каждого честного человека, кому дороги мир, свобода и прогресс, стало ясно, что только тот путь, по которому ведет Советский Союз коммунистическая партия, является единственным путем избавления трудящихся от нищеты и кабалы, от капиталистического рабства и фашистского разбоя, единственным путем к подлинному человеческому счастью.

XVIII съезд; партии закончил свою работу. Партия и народ вооружены исчерпывающей программой дальнейших гигантских работ по построению коммунистического общества. Советский народ ни на минуту не забывает, что, пока существует капиталистическое окружение, оно будет стремиться стереть с лица земли Советский Союз—страну победившего социализма. Но страна социализма этого не боится. Она сильна и непобедима. Наш героический народ испытан в суровых боях, партия Ленина — Сталина научила его побеждать во всякой борьбе, преодолевать любые трудности, сметать со своего пути преграды, разоблачать и уничтожать всех врагов.

Под руководством партии, под водительством гениального вождя товарища Сталина советский народ победит и в дальнейших боях за коммунизм.

Да здравствует великая большевистская партия и ее Сталинский Центральный Комитет!

Да здравствует вождь, учитель и друг трудящихся всего мира товарищ Сталин!

Вперед, к полному торжеству коммунизма!

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

МАТЕМАТИКА У ДРЕВНИХ ЕГИПТЯН*

Д. ЦИНЗЕРЛИНГ (Ленинград)

iii. геометрия

ознания древних египтян в области геометрии так же, как и в области арифметики, носили прикладной, практический характер. Им были нужны геометрические познания для определения площадей полей, емкости зернохранилищ, откоса пирамид, и только одна задача Московского папируса имеет своим заданием определение поверхности круглого тела. Из 20 задач, входящих в папирус Rhind'a, 8 — на определение площади, 7 — на определение объема и 5 — на определение откоса пирамиды. Из 7 геометрических задач Московского папируса — 5 на вычисление площадей, 1 — на определение объема усеченной пирамиды и 1 — на определение поверхности круглого тела.

Поскольку в отношении арифметических задач Московский папирус дал сравнительно мало, постольку в отношении геометрических задач значение его весьма велико.

Ввиду небольшого числа геометрических задач, я буду рассматривать содержание обоих папирусов параллельно, разделив все задачи на 4 группы: в первую группу войдут задачи на определение площадей, во вторую группу — на определение объемов , в третью группу — на определение откоса пирамиды, т. е. угла между боковою гранью пирамиды и плоскостью ее основания (задачи, так сказать, тригонометрического характера), а четвертую группу будет составлять единственная задача на определение поверхности круглого тела, принадлежащая Московскому папирусу.

1-я группа задач. В 1-ю группу хводят задачи № 48—55 папируса Rhind'a, №№ 4, 6, 7, 17 и 18 Московского папируса. Задачи № 48 и 50 папируса Rhind'a имеют чрезвычайно большое значение, так как они показывают, каким образом древние египтяне определяли площадь круга.

Задача № 48 сравнивает плошать круга с диаметром, равным 9, с площадью квадрата со стороною, равною 9.

Таким образом, мы видим, что площадь круга составляет — площади квадрата, сторона которого равна диаметру круга.

К этой задаче в папирусе приложен чертеж.

Полученное отношение площади круга к площади квадрата со стороною, равною диаметру круга, показывает, что египтяне приравнивали площадь круга

если обозначить через d диаметр круга. Сравнивая египетскую формулу площади круга с современною, получаем:

= т: — ; откуда — • 4 является приближенным значением т:. Обращая • в десятичную дробь, получаем для п значе-

* Окончание, см. № 2 журнала 1939 г.

ние, равное 3,16049 . . . . , т. е. с ошибкою, не превышающею 0,02.

Было бы очень интересно знать, каким образом египтяне пришли к мысли рассматривать круг как фигуру, разновеликую квадрату, сторона которого равна — диаметра круга. Приложенный чертеж представляет квадрат с вписанным в него восьмиугольником, так что каждая сторона делится на 3 части. Если допустить, что каждая сторона делится на 3 равные части, причем только грубость чертежа не указывает этого равенства, то площадь каждого отсеченного треугольника будет равна площади квадрата, и разность между площадью квадрата и вписанным в него восьмиугольником составит — = — площади квадрата, а площадь вписанного восьмиугольника составит

отношение, близкое к полученному египтянами

Но все это только, конечно, любопытное сопоставление.

Задача № 50 представляет практическое применение формулы площади круга. Вот ее содержание.

«Пример на вычисление площади круглого участка земли с диаметром в 9 khet. Чему равна земельная площадь?

Решение задачи: Возьми от 9, получишь 1; остаток 8. Умножь 8 на 8, получишь 64. Это и есть земельная площадь, равная 64 setat. Делай, как полагается:

вычти; остаток 8.

Земельная площадь есть 6 земельных тысяч 4 setat».

Задача № 49 представляет определение площади прямоугольника, сторона которого равна 10 khet и 2 khet.

Вычисление площади прямоугольника представляет и задача № 18 Московского папируса. Содержанием этой задачи является определение площади прямоугольной полосы длиною в 5 локтей и 5 ладоней и шириною в 2 ладони. Искомая площадь в обеих этих задачах определяется умножением длины на ширину.

Задачи № 6, 7 и 17 Московского папируса составляют особую группу задач, подобных которым в большом папирусе Rhind'a нет. Эти задачи определяют стороны целого прямоугольника (задача № 6) и половины прямоугольника, т. е. прямоугольного треугольника (задача № 7 и 17) на основании данного отношения сторон (соответственно катетов) и данной площади. Подобные задачи мы имеем в Кахунских математических фрагментах и в Берлинском (фрагментарном) папирусе № 6619. Кахунская задача тождественна с задачею № 6: там так же на основании заданных отношения сторон и площади вычисляется длина сторон. Задачи Берлинского папируса представляют нечто другое: там дается отношение сторон 2 квадратов и сумма площадей этих квадратов, а требуется определить площади этих квадратов.

Вот содержание и решение задачи № 6.

«Сделай вычисление прямоугольника, если тебе дали прямоугольник, площадь которого равна 12, а ширина составляет длины.

Произведи действие над ~, чтобы получить 1; это будет 1-^-. Возьми эти 12, которые представляют площадь, 1-^- раза, это даст 16. Определи его угол (квадратный корень); это дает 4 для длины; его— , как 3, для ширины;

правильный прием

В контрольном вычислении кажется странным, что перед 16 стоит 2. Можно было бы думать, говорит Струве, что 2 указывает на то, что 4 надо возвысить

во вторую степень, однако такое заключение было бы слишком ответственным, и гораздо вероятнее предположение, что здесь имеет место сокращенная запись умножения и ошибка в постановке цифр. Правильное контрольное вычисление должно было бы быть записано так:

Задача № 6 Московского папируса вполне совпадает с частью решения сложной стереометрической задачи Кахунского папируса. Там также вычисляются стороны прямоугольника, площадь которого равна 12 и отношение сторон — . Ход решения там и здесь один и тот же. Условия этих обеих тождественных задач можно выразить в форме системы двух уравнений с 2 неизвестными:

Египетский вычислитель решал эту систему уравнений совершенно так же, как это делают в настоящее время. Он, очевидно, также приводил к одному уравнению — _у2= 12. Если 12 разделить на —, то получится у2. Для этой цели египтянин находил обратную величину — и получил — . Умножение 12 на эти — дало ему число 16 = ^2, т. е. квадрат большей стороны прямоугольника. Из 16 ему нужно было только иззлечь квадратный корень; это давало ему большую сторону прямоугольника, равную 4; длины была ширина прямоугольника, равная 3.

Таким образом, логика решения этих задач у египтян была та же, что и у нас. Конечно, из решения этих задач не следует делать вывода, что египтянам было вообще знакомо решение системы двух уравнений с двумя неизвестными: они решали их так, как мы решаем подобные задачи в арифметике.

То, что мы сказали относительно решения задачи № 6, относится и к задачам; № 17 и № 7 Московского папируса. Вот содержание и решение задачи № 17* «Произведи вычисление треугольника, если тебе дан треугольник, площадь ко* торого равна 20 и то, что дает по длине, есть 1, а по ширине — —.

Удвой 20; это составляет 40. Произведи вычисление с -V -Д:, чтобы найти 1 ; эта составит 2-^- раза. Возьми 40 2-^- раза; это составит 100. Возьми от него угол (т. е. извлеки квадратный корень); это составит 10.

Смотри: 10 по длине. Определи от 10* это составит 4. Смотри 4 по ширине. Ты нашел правильно.

Сумма: 100; Угол: 10».

Так как в этой задаче мы имеем дело с прямоугольным треугольником, то совершенно естественно, что его катеты названы «длиною» и «шириною»: ведь этот прямоугольный треугольник есть половина некоторого прямоугольника и его катеты совпадают с измерениями прямоугольника.

Это твердое установление терминологии прямоугольного треугольника имеет очень большое значение для интерпретации текста. Если мы встретим в дальнейшем, говорит Струве, задачу на треугольник с другой терминологией, то необходимо должны будем заключить, что в этой задаче дело идет не о прямоугольном треугольнике.

Содержание и решение задачи № 7.

«Произведи вычисление треугольника, если площадь треугольника равна 20, а отношение

Удвой площадь: это составит 40. Возьми 2— раза; это составит Г100. Возьми угол; это составит 1]* 0.

Раздели 1 на 2—; это то, что образует --. Возьми--от 10; это составит 4.

10 есть по длине и 4 по ширине».

Задача № 7 по содержанию и по числовым данным тождественна с задачею № 17, только несколько иначе выражено условие задачи. Текст задачи № 17 лучше сохранился.

Перехожу к задаче № 51 папируса Rhind'a.

Вот содержание и решение этой задачи:

«Пример вычисления треугольного земельного участка, если тебе сказано: треугольник в 10 khet высотою (?) и 4 khet в основании. Какова его площадь?

Делай, как полагается:

Возьми половину 4, именно 2, чтобы дать его четыреугольник.

Умножь 10 на 2; это его площадь.

Его площадь 2 (земельных тысячи). Так как стороны прямоугольника равны 10 khet и 2 khet, то площадь его будет равна 20 квадратным khet, т. е. 20 setat, что, в свою очередь, составляет 2 земельных тысячи. В оригинале к тексту задачи приложен чертеж, показывающий, что в этой задаче речь идет, несомненно, о треугольнике. Первый переводчик и t интерпретатор папируса Rhind'a — Eisenlohr принял этот треугольник за равнобедренный, хотя он сделал это не очень уверенно, что видно из его слов: «Приложенный треугольник, как показывает чертеж, едва ли (schwerlich)прямоугольный, а скорее равнобедренный, оба бока на чертеже не совершенно, но приблизительно равны». Таким образом. Eisenlohr в своем утверждении о форма треугольника базировался исключительно на чертеже, что было очень рискованно, так как прилагаемые к задачам чертежи в египетских папирусах делались от руки и довольно небрежно.

Толкование Eisenlohr'a принял и историк математики М. Cantor.

Далее возник вопрос, как же египтяне определяли площадь такого равнобедренного треугольника.

В тексте задачи мы встречаем два слова: tpr и mryt, из которых первое принимают за обозначение основания треугольника; такое предположение не вызывает разногласия у египтологов. Значение же второго слова mryt в применении к рассматриваемому треугольнику является камнем преткновения. Eisenlohr видит в этом слове обозначение боковой стороны равнобедренного треугольника. Такое предположение приводило к непременному следствию, что площадь равнобедренного треугольника египтяне определяли как произведение половины основания на боковую сторону. Таким образом, Eisenlohr приписывал египтянам неправильную формулу определения площади равнобедренного треугольника. Толкование Eisenlohr'a принял и М. Cantor и благодаря авторитету последнего утверждение, что египтяне определяли площадь равнобедренного треугольника как произведение — основания на боковую сторону, долго держалось в науке.

Предположение, что слово mryt означает боковую сторону, вызывает необходимость рассматривать треугольник задачи № 51 как равнобедренный, так как иначе имела бы место двойственность решения и, таким образом, двух данных величин, имеющихся в тексте задачи, было бы недостаточно для определения площади треугольника. Bevillout первый, еще в 1882 г., высказал предположение, что в задаче № 51 папируса Rhind'a мы имеем дело с прямоугольным треугольником, так что формула определения площади в этой задаче является правильной, представляя половину произведения катетов. Это предложение было поддержано Borghardt'ом и Simon'ом. Я также присоединился к ним и в своем вышеупомянутом исследовании старался доказать, исходя из различных побочных соображений, а также опираясь на соответствующие задачи Московского папируса, справедливость этого предположения. Наиболее веским возражением против этого предположения является вышеупомянутое указание В. В. Струве, что в задачах №7 и 17 Московского папируса, в которых, несомненно, дело идет о

* Предложенная реконструкция пробела (в этом месте папирус разорван), по словам Струве, точно соответствует размеру пробела.

прямоугольных треугольниках, катеты этих треугольников обозначены словами 3W — длина и s'hw— ширина, тогда как в задаче № 51 папируса Rhind'a и в задаче № 4 (фрагментарной) Московского папируса, остатки текста которой совершенно определенно указывают на полное тождество* ее с задачею № 51, основание треугольника обозначено словом tpr, а боковая сторона, согласно толкованию одних египтологов, и высота, согласно толкованию других,— словом mryt. Peet в своем издании папируса Rhind'a подверг вопрос о форме треугольника в задаче № 51 детальному анализу и пришел к заключению, что под словом mryt можно понимать обозначение высоты треугольника, и тогда формула вычисления площади треугольника становится правильной и вместе с тем отпадает необходимость предположения, что рассматриваемый в задаче № 51 треугольник равнобедренный. К возможности такого толкования значения слова mryt присоединился и акад. Струве.

Задача № 52 папируса Rhind'a представляет пример на вычисление площади трапеции.

Вот ее содержание и решение.

«Пример на вычисление земельного участка в виде трапеции (усеченного треугольника), если тебе сказано: земельный участок в виде усеченного треугольника в 20 khet высотою (?), с основанием в 6 khet и сечением в 4 khet.

Какова его площадь?

Соедини его основание с сечением; будет 10. Всзьми половину 10, а именно 5, чтобы дать его прямоугольник. Возьми ее 20 раз; будет 10 (?), Это его площадь. Делай, как полагается

вместе 10 000; делая в земельных единицах 20 [10]. Это и будет площадь земельного участка». Здесь опять стоит тот же вопрос что и в задаче № 51. Если под словом mryt понимать высоту, как на этом, в конце концов останавливается Peet (и Струве), то решение задачи вполне правильно. Если же оставаться при мнении Eisenlohr'а и Cantor'a, то эта задача предполагает равнобочную трапецию, площадь которой определяется произведением полусуммы оснований на боковое ребро. В ответе задачи ошибочно стоит 20 (земельных тысяч) вместо 10.

Приведенные в задаче вычисления требуют некоторого пояснения. В первом столбце:

1 000 представляет 10 khet = 1 000 локт. 500 » 5 khet= 500 локт.

Во втором столбце 2 000 = 20 khet.

10 000 (земельных локт.) = 1 000 000 кв. локтей = 100 setat = 10 земельных тыс.

Писец вместо того, чтобы умножить 2 000 локт. на 500 локт. и затем полученное произведение разделить на 100, чтобы получить ответ в земельных локтях, сразу умножил 2 000 на 5.

Задача № 53 папируса Rhind'a имеет дело с треугольником, пересеченным двумя прямыми, параллельными основанию, как это видно из прилагаемого чертежа. Условия и изложения задачи нет. Вычисления неполны и неправильны.

Задачи № 54 и 55 собственно арифметические: первая имеет своим содержанием «разделение 7 setat земли на 10 полей», т. е. сводится просто к делению 7 setat на 10, т. е. к делению именованного числа на отвлеченное. Вторая задача— такого же содержания, только с другими числовыми данными.

Во вторую группу входят задачи № 41—46 папируса Rhind'a и № 14 Московского папируса.

Содержание задач № 41—43 представляет определение объема прямого кругового цилиндра.

Вот содержание и решение задачи № 41.

«Пример вычисления кругового зернохранилища с круговым основанием, диаметр которого равен 9 и высотою равною 10. Вычти — от 9, именно 1-остаток — 8. Умножь 8 раз; будет 64. Умножь 64 на 10; будет 640. Теперь прибавь к нему половину; будет 960.

Это есть объем в khar. Возьми — от 960, именно 48. Это — количество четверных hekat, которое в него войдет, именно 48 сотен четверных hekat». Порядок действия:

* К задаче № 4 к тексту приложен чертеж треугольника, но, к сожалению, оторванная часть его не позволяет судить о форме треугольника.

При решении этой задачи сначала определяется объем цилиндра с круговым основанием, диаметр которого равен 9 и высота 10.

Объем определяется по формуле:

Этот объем затем выражается в мерах емкости, исходя из соотношения:

У = 960 khar = 960-5 четверных hekat = 4 800 четверных hekat.

В решении задачи в папирусе вместо того, чтобы умножить 960 на 5, это число делится на 20, и ответ получается в сотнях четверных hekat.

Содержание и решение задачи № 42 то же самое, только вычисление сложнее:

«Дано круговое зернохранилище 10 и 10 (т. е. 10 в диаметре и 10 высотою).

Вычти

Умножь

Прибавь к нему одну половину его; будет 1 185.

Умножь

Это количество, которое войдет в него (цилиндр), именно 59— сотен четверных hekat.

Порядок действий

вместе 1 185**

Рассмотрим теперь задачу № 43. Вот ее содержание и решение: «Круглое зернохранилище в 9 локтей высотою и 6 локтей шириною. Определить, какое количество зерна в него входит.

* Здесь у писца вкралась ошибка; это число должно быть на больше.

** Здесь, очевидно, писец при сложении отбросил дробную часть слагаемых.

Возьми 1 от 9; останется 8.

К 8 придай его третью часть; будет

Умножь

Умножь

локтей, которые были высотою; это дает

Это его ем сость в khar.

Возьми

от емкости в khar, будет

Это будет количество зерна, которое входит в зернохранилище.

При решении этой задачи автор ее сделал ряд ошибок. Во-первых, азтор спутал условия задачи и принял 9, что по условию выражает высоту, за диаметр основания, а диаметр основания, равный 6,— за высоту.

Во-вторых, в окончательном ответе стоит — вместо -, но это просто описка, потому что при перечислении емкости, выраженной в сотнях hekat, в сотни hekat, hekat и го, в hekat и го перечислено не

В-третьих, автор перепутал самый ход решения задачи. В задачах № 41 и 42 сначала определялся объем зернохранилища в кубических локтях, а затем переводился в khar. Был и другой прием решения подобной задачи. Так, в одном из Кахунских фрагментов имеется решение подобной задачи, при котором сразу определялся объем в khar, для чего к данному диаметру прибавлялась — его, и затем полученное число возвышалось в квадрат. Следуя этому правилу, автор задачи № 43 должен был бы к 9 прибавить JL 9, что дало бы 12, а в квадрате 144.

Затем в Кахунском фрагменте от высоты, стало быть, и от полученного объема, бралось — . Если бы автор задачи № 43 поступил так же, то получил бы объем в 576 khar, что в Ь~ раза превышает число 64)к(6 = 384 куб. локт. Но автор не целый диаметр умножил на 1 — , а диаметр, уменьшенный на — его величины, а затем так же, как в Кахунском папирусе, взял — высоты, и, таким образом, емкость, выраженная в сотнях четверных hekat, выразилась числом

В задаче № 44 зернохранилище имеет форму не цилиндра, а форму куба.

Вот ее содержание и решение:

«Пример на вычисление зернохранилища с квадратным основанием, 10 в длину, 10 в ширину, 10 в вышину. Какое количество зерна в него войдет?

Умножь 10 на 10, будет 100.

Умножь 100 на 10, будет 1 000.

Возьми половину от 1 000, т. е. 500; это даст 1 500.

Это по содержанию в khar.

Возьми —^— от 1 500; получится 75. Это будет количество зерна, какое будет входить в зернохранилище, выраженное в четверном hekat, а именно 75 сотен четверных hekat. Вычисление:

Задача № 45 является обратною по отношению к задаче № 44.

Вот ее содержание и решение: «Зернохранилище, в которое входит 75 (сотен) четверных hekat. Каковы его размеры?

Умножь 75 на 20, будет 1 500. Возьми от него а именно 150.

Возьми от —, а именно 15.

Возьми — от 15, а именно 10.

Таким образом, объем равен 10 на 10 на 10.

Вычисление:

Смотри: это и есть его емкость

Решение задачи показывает, что форма зернохранилища предполагалась кубическою. Емкость зернохранилища дана в сотнях четверных hekat, что дает 1 500 knar.

Мы взяли бы — от 1 500, т. е. перевели бы емкость, выраженную в knar, в кубические локти, и из полученного числа извлекли бы кубический корень; египтяне же шли окольным путем, дважды деля 1500 khar на 10 и взяв — от последнего частного, равного 15, учитывая то обстоятельство, что емкость зернохранилища была выражена не в кубических локтях, а в khar.

Задача № 46 имеет то же содержание, что и задача № 45, только предполагается, что зернохранилище имеет форму не куба, а прямоугольного параллелепипеда.

Все задачи папируса Rhind'a, принадлежащие к этой группе, я изложил в интерпретации Peet'a. Первый переводчик и комментатор папируса Rhind'a Eisenlohr увеличение в полтора раза числа, полученного при определении искомого объема зернохранилища, рассматривал не как выражение объема в других единицах, а относя это увеличение в полтора раза к самому объему, определял этот объем по формуле, представляющей произведение площади основания на увеличенную в полтора раза высоту, рассматривая таким образом эту формулу как приближенное выражение объема усеченного конуса или усеченной пирамиды с квадратным основанием.

Ко второй группе геометрических задач относится и задача № 14 Московского папируса. Эта замечательная задача имеет своим предметом определение объема усеченной пирамиды с квадратным основанием.

Вот содержание и решение этой задачи:

«Произведи вычисление усеченной пирамиды, если тебе дана усеченная пирамида высотою в 6 (локтей), со стороной нижнего основания в 4 (локтя) и верхнего основания в 2 (локтя). Произведи возведение в квадрат этих 4; это составит 16. Удвой 4; это составит 8.

Произведи возведение в квадрат этих 2; это составит 4. Сложи эти 16 с этими 8 и с этими 4; это составит 28. Возьми — от 6,

и

это составит 2.

Возьми 28 2 раза, это составит 56.

Смотри: он (т. е. объем) и есть 56. Ты нашел правильно».

Если мы обозначим сторону нижнего основание через а у сторону верхнего основания через b, а высоту через h и произведем над ними указанное действие, то получим искомый объем V усеченной пирамиды с квадратным основанием в виде

т. е. получим современную формулу объема усеченной пирамиды. В тексте задачи нет никаких указаний, каким образом автор пришел к примененному им приему решения задачи, а дается только самый прием решения, как и в других задачниках математических папирусов. Поэтому вполне естественен интерес разгадать загадку решения.

Я приведу попытки Струве и Нейгебауэра.

Струве, убежденный сторонник того мнения, что древним египтянам не чужда была отвлеченная мысль, допускает эмпирико-теоретическое происхождение приема, примененного автором задачи № 14 к ее решению. Струве предполагает, что египтяне рассматривали усеченную пирамиду как разность между полной пирамидой и отсеченною ее частью. Далее Струве предполагает, что египтянам должен был быть известен тот факт, что объем пирамиды равен одной трети объема призмы, имеющей с пирамидой общее основание и общую высоту. Это египтяне могли узнать, проделав опыт погружения пирамиды в сосуд, имеющий форму призмы с таким же основанием и такою же высотою. Если такую призму наполнить доверху водою и погрузить в нее пирамиду, то количество вытекшей воды будет точно соответствовать — емкости призмы. Однако никакого указания на подобный опыт в египетской литературе не имеется, равным образом, как не имеется в найденных до сих пор папирусах задачи на определение объема пирамиды. Далее, ссылаясь на задачу № 7 Московского папируса, Струве считает возможным предположить, что неизвестная высота отсеченной части пирамиды могла быть определена из пропорции:

Но задача № 7 имеет дело с прямоугольным треугольником, тогда как пирамида задачи № 14 могла и не иметь грани, перпендикулярной к плоскости ее основания. Приложенный к тексту задач чертеж как раз и не соответствует такому предположению, если только не допустить мысли, что чертеж, по своей небрежности, не соответствует условию задачи.

После определения х из приведенной выше пропорции, оставалось подставить найденное значение х в формулу v объема усеченной пирамиды:

Эта формула получит тогда вид:

Струве, очевидно, полагает, что и решение уравнения, определяющего высоту отсеченной части пирамиды, и преобразования последней формулы были доступны древним египтянам; я в этом сильно сомневаюсь и считаю предложенную Струве гипотезу вывода формулы:

египтянами мало вероятною.

Нейгебауэр в своей гипотезе исходил из чисто геометрических построений. Он прежде всего допустил предположение, что усеченная пирамида задачи № 14 является такою пирамидою, у которой две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания. На такую мысль навело его предположение, что задача № 14 имеет в виду определение объема одного из угловых квадратов усеченной пирамиды. Исходя из такого предположения, Нейгебауэр разлагает усеченную пирамиду на прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием, сторона которого равна стороне верхнего основания пирамиды; на две равные прямые призмы, имеющие высотою сторону верхнего основания пирамиды, а основанием прямоугольные треугольники, общий катет которых равен высоте данной пирамиды, а другие катеты равны разности между сторонами нижнего и верхнего оснований пирамиды и, наконец, на полную пирамиду, две боковые грани которой перпендикулярны к плоскости основания; эта пирамида имеет высоту, равную высоте данной усеченной пирамиды, а основанием квадрат, стороны которого равны разности между сторонами нижнего и верхнего основания данной усеченной пирамиды. Сумма объемов прямоугольного параллелепипеда и двух прямых призм равна объему прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого равны сторонам нижнего и верхнего оснований данной пирамиды, а высота равна высоте пирамиды. Объем такого параллелепипеда будет равен abh. Объем указанной полной пирамиды будет равен — b)2, а, стало быть, искомый объем данной усеченной пирамиды выразится формулою:

Таким образом, Нейгебауэр так же, как и Струве, предполагает, что египтянам была известна формула определения объема пирамиды. Кроме того, Нейгебауэр допускает, что египтянам была известна формула квадрата разнести, на что также нет указаний в известной до сих пор математической литературе древних египтян.

На все попытки, подобные попыткам Струве и Нейгебауэра, разгадать загадку решения задачи № 14 можно смотреть только как на более или менее вероятные, и я, пожалуй, сказал бы, что гипотеза Нейгебауэра более вероятна, чем гипотеза Струве.

К третьей группе геометрических задач принадлежат задачи № 56—60 папируса Rhind'a. Все эти задачи, кроме № 60, имеют дело с пирамидами, содержание же задачи № 60 является неясным; Peet склоняется к предположению, что в этой задаче дело идет о конусе.

Вот содержание и решение задачи № 56.

«Пример на вычисление пирамиды, длина стороны основания (квадратного) которой равна 360, а высота которой равна 250. Определить ее откос.

Возьми половину 360, будет 180. Произведи вычисление над 250, чтобы получить 180. Ответ: — 4- локтя. Локоть имеет 7 ладоней; умножь на 7,

Эта задача с точки зрения перевода представляет большие трудности. Здесь, прежде всего, мы имеем, повидимому, дело с правильной пирамидой с квадратным основанием. Далее, следует вопрос, что представляет число 360. Это число, очевидно, относится к прямой, принадлежащей основанию пирамиды: может быть, это сторона основания, а может быть, и диагональ его. Равным образом, числом 250 может быть представлена высота пирамиды, может быть, высота боковой грани пирамиды, а может быть, и боковое ребро ее.

Первый переводчик папируса Eisenlohr предположил, что число 360 представляет диагональ квадрата основания пирамиды, а число 250 — ее боковое ребро. При таком предположении полученное писцом отношение половины 360 и 250 представляет cosinus угла, который боковое ребро составляет с диаметром основания. Первым против предположения Eisenlohr'a выступил Borghardt, считающий таксе предположение не соответствующим практическим запросам. По мнению Borghardt'a, рассматриваемая задача имеет своею целью определение угла, на который надо стесать каменную глыбу при облицовке пирамиды камнем, для чего надо определить угол, который боковая грань пирамиды составляет с плоскостью ее основания. Этот угол определяется линейным углом между высотой боковой грани (апофемой) пирамиды и ее проекциею на плоскость основания, которая равна половине стороны квадрата, служащего основанием пирамиды. А для этого надо предположить, что число 360 представляет сторону квадрата основания пирамиды, а число 250 ее высоту, и тогда полученное писцом отношение явится cotangens'ом угла, измеряющего наклон боковой грани пирамиды. Интерпретацию , предложенную Borghardt'ом, принял и Peet в своем переводе папируса Rhind'a (в этой интерпретации дан и вышеприведенный перевод задачи).

В условии задачи не указаны единицы, в которых выражены сторона основания пирамиды и ее высота. Но это и не нужно, так как, очевидно, обе данные величины должны быть выражены в одной и той же единице, и отношение между ними представится отвлеченным числом. Ответ же задачи, однако, дан первоначально в локтях. Это можно объяснить тем, что писец, имел в виду каменщика, которые будет обтесывать камень, если бы толщина глыбы была равна одному локтю; с тою же целью, очевидно,писец превратил число, выраженное в локтях, в ладони. Выражение ответа в локтях косвенным образом указывает на то, что единицею измерения стороны основания пирамиды и ее высоты был локоть.

В пояснение соображений Borghardt'a приведу следующий чертеж: где AB —

ни = cotgw DK у измеряющей [_ DAK наклона пирамиды.

Задача № 57 является по содержанию обратной задаче № 56.

Вот ее содержание и решение:

«Пирамида со стороною основания в 140 и наклоном в 5 ладоней и 1 палец. Какова будет вертикальная высота?

Раздели 1 локоть на удвоенный наклон, равный Ю^- ладоням. Займись вычислением

Теперь займись вычислением с 140, потому что это длина стороны. Сделай— от 140, именно 93^-. Это и есть вертикальная высота». Мы бы, вероятно, для получения искомой высоты разделили половину 140на отношение 5— ладоней к 7 ладоням, представляющее ctg угла наклона боковой грани пирамиды к плоскости ее основания, т. е. определили бы искомую высоту h по формуле

писец же вычислял h по формуле

что дает тот же результат.

Задача № 58 представляет обращенную задачу № 57 с теми же числовыми данными.

Вот ее содержание и решение:

«Дана пирамида, вертикальная высота которой 93-^-.

Узнать наклон (боковой грани), если 140 длина основания.

Возьми — от 140, именно 70. Теперь произведи вычисление с 93 -i-, чтобы получить 70.

Вычисление с 93—: его половина есть 46—, его четверть есть 23—,

Возьми — — от локтя. Теперь локоть есть 7 ладоней.

вместе 5 ладоней 1 палец. Это есть наклон.»

Метод решения задачи ясен и состоит просто в разделении пополам стороны основания и затем деления полученного результата, равного 70, на высоту, равную

Числа подобраны, так как 70 есть точно

Оставалось только выразить — — локтя в ладонях и пальцах.

Результат 5 ладоней 1 палец.

Задачи № 59а и 59з имеют то же содержание и решение, как предшествующие задачи этой группы.

Задача № 60 представляет некоторую особенность. Прежде всего, нельзя с уверенностью сказать, о каком теле идет речь в этой задаче.

Привожу содержание и решение этой задачи в интерпретации Peet'a.

«Конус (?) 15 локтей в его основании и 30 в его высоте. Узнать его наклон.

Возьми 15; половина будет 7 — .

Повтори 7 - множителем 4, чтобы получить 30.

Получишь 4. Это и есть наклон конуса (?).

Вычисление:

К тексту этой задачи приложен чертеж, представляющий треугольник. Peet полагает, согласно тексту, что тело, о котором идет речь в этой задаче, может быть пирамида, или конус, или призма с треугольным основанием (?). Анализ текста приводит Peet'a к заключению, что с наибольшей вероятностью, но не вполне уверенно,

можно предположить, что тело, о котором идет речь в этой задаче,— конус.

Число 4, полученное в результате решения задачи, представляет отношение высоты к половине стороны основания и потому является не cotangens'ом, a tangens'ом угла наклона. Возможно, что здесь была ошибка со стороны писца. Во всяком случае, как полагает Peet, это не дает права предполагать, что наклон в некоторых случаях измерялся tangens'ом угла при основании.

Кроме рассмотренных геометрических задач папируса Rhind'a и Московского папируса, остается еще задача № 10 последнего. Это единственная задача, содержанием которой является определение поверхности круглого тела. То, что в этой задаче мы имеем дело с поверхностью круглого тела, не вызывает никакого сомнения— это ясно из самого решения задачи. Форма же этого круглого тела вызывает различные толкования. Наиболее вероятным мне представляется толкование акад. Струве, который убежден, что в задаче № 10 дело идет об определении поверхности полушара.

Вот содержание и решение задачи № 10, в редакции Струве:

«Произведи вычисление корзины (поверхности полушара), если тебе дана корзина с отверстием в 4-.

Узнай ее поверхность».

«Возьми — от 9, потому что корзина есть половина яйца (шара); это составит 1. Определи остаток, равный 8.

Возьми от 8; это составит

Возьми остаток от этих 8 и этих это составит

Возьми 7— 4 — раза; это составит 32.

Смотри: это и есть ее поверхность. Ты нашел правильно.» Приведенное в тексте папируса решение этой задачи можно представить формулою:

Струве предполагает, что число 4 — представляет диаметр большого круга полушара. Обозначая этот диаметр буквою d, мы получаем означенную формулу в виде:

Отсюда мы заключаем, что искомая поверхность равна удвоенной площади большого круга, т. е. представляет поверхность полушара. Тогда выходит, что древним египтянам был знаком тот факт, что поверхность полушара равна удвоенной площади большого круга, тогда как до сих пор считали, что это соотношение было впервые открыто Архимедом. Одно это обстоятельство заставляло относиться скептически к интерпретации Струве. Я же не вижу в этом ничего особенно странного; египтяне могли прийти к указанному соотношению чисто эмпирическим путем.

Струве хочет дать формуле (-)f) другое толкование, полагая

рассматривая

как формулу длины окружности. Мне кажется это натяжкою тем более, что в найденных до сих пор папирусах нет ни одной задачи на определение длины окружности, хотя египтяне могли бы встретиться на практике с соотношением между длиною окружности и ее радиусом.

Peet, как кажется, тоже принадлежащий к числу защитников приоритета Архимеда, предложил свою интерпретацию задачи № 10 Московского папируса. Он сделал предположение, что писец, переписывая первоначальный источник, пропустил число 4—, так что число 4— должно встречаться в тексте задачи дважды, один раз обозначая диаметр основания, а другой раз — другую величину. Эта вставка числа 4— в том месте, где это сделано Peet'ом, встретила возражения со стороны Струве, из чисто филологических соображений.

В интерпретации Peet'a, формула (>1<) поверхности принимает вид:

где d означает, как и у Струве, диаметр

основания и а = 4-^--длину другого отрезка. Первые множитель формулы, заключенный в прямые скобки, Peet как и Струве, принимают за половину длины окружности основания, второй множитель а за производящую прямую кругового цилиндра, рассматривая формулу (•)£)£) как выражающую боковую поверхность полуцилиндра.

Интерпретация Peet'a построена на допущении пропуска писцом числа 4—, допущении произвольном, и знакомстве египтян с формулою длины окружности, и приводит к форме корзины, напоминающей скорее корыто. Мне думается, что интерпретация Реет'а не выдерживает критики.

Нейгебауэр остановил размер корзины в форме полушара: емкость такой корзины, если 4- принимать за диаметр, а за единицу длины — локоть, будет несколько превышать 2 кубометра (емкость корзины Peet'a будет еще в полтора раза больше)*. Нейгебауэр, исходя из того соображения, что египетские изображения зернохранилищ часто встречаются в форме куполообразных тел вида в, счел возможным считать, что в задаче № 10 идет речь об определении поверхности именно такого зернохранилища, при этом он сохранил версию Peet'a о пропуске числа 4-^-, находя, что при таком допущении перевод Peet'a филологически является более безупречным, чем перевод Струве,

Нейгебауэр полагает, что формулу:

можно рассматривать, как приближенную формулу для определения поверхности зернохранилища вышеуказанной формы.

В пояснение этой гипотезы Нейгебауэр в своих лекциях по истории античной математики приводит такой чертеж:

Но ведь при таком предположении формула (-*-)£) представляет формулу боковой поверхности прямого кругового конуса, имеющей в осевом сечении равносторонний треугольник. Прилагаемый чертеж не соответствует принятию Нейгебауэром формулы Peet'a, представляющей произведение полуокружности — на производящую а. Однако, едва ли можно предположить, чтобы египтяне могли додуматься до того, чтобы рассматривать формулу боковой поверхности конуса, которая сама по себе едва ли могла быть им известной, как приближенную формулу поверхности куполообразного зернохранилища Нейгебауэра.

В конце концов интерпретация задачи № 10 Московского папируса, предложенная акад. Струве, если оставить в стороне филологические соображения, представляется мне и более простою и более вероятною.

* Размер корзины оказался, конечно, неестественно большим, но смущаться этим особенно нечего: задачи математических папирусов лишь примеры, показывающие, как надо поступать при решении того или другого вопроса, и потому может случиться, что значения данных величин не будут вполне соответствовать их реальным значениям.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ ПОНЯТИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНОГО ЧИСЛА

В. МИНКОВСКИЙ (Магнитогорск)

§ 1. Современный математик привык рассматривать иррациональное число как одно из последовательных обобщений понятия числа-. Но таково лишь логическое завершение идеи вещественного числа. Исторически же к идее о несоизмеримости, этому источнику развития понятия иррационального числа, подошли, прежде всего, из геометрических потребностей.

За много сотен лет до нашей эры землемерная и строительная деятельность ряда народов, а именно: древних индусов, вавилонян и египтян*, привела к необходимости разрешения таких задач, как нахождение стороны квадрата или куба соответственно по их площади или объему. Здесь древние вполне удовлетворялись приближенным решением подобных задач, если нельзя было достигнуть точного. Эмпирический характер математики того времени не способствовал открытию факта несоизмеримости. Достаточно высокая для практических целей степень приближения фактически отождествлялась с точным ответом.

§ 2. Диоген Лаэрций (ок. 240 г. до н. э.), которому принадлежит перечень работ великого материалиста древности Демокрита (около 460—370 г. до и. э.), включает в список его работ «Две книги об иррациональных линиях и плотных вещах»**. Само заглавие уже говорит за то, что проявление теоретического интереса к вопросу о несоизмеримых линиях относится к почтенной древности. К сожалению, история не только не сохранила нам названного труда Демокрита, но не оставила никаких указаний на его содержание. Между тем, работа Демокрита, как атомиста, была бы весьма интересна. Это замечание особенно станет понятным, если принять во внимание, что проблемы дискретности и непрерывности снова стали злободневными для физиков и химиков как раз в связи с атомной теорией.

В значительной степени такое полное забвение Демокрита объясняется политикой последующей по времени замкнутой идеалистической школы Платона (ок. 427/430 — 370 г. до н. э.), которая не считала нужным напоминать о работах своих врагов, а тем более их сохранять. В сочинениях Платона нигде даже не упоминается о Демокрите, хотя там имеются прямые указания о работах в области иррациональных чисел других .ученых, как, например, Теодора из Кирении.

Аналогично поступает неоплатоник Прокл, который даже при перечислении имен греческих геометров считает нужным «забыть» славное имя Демокрита. Впрочем, так же поступает «вся казенная, поповски идеалистическая философия нашего времени»*.

В своих философских тетрадях Ленин пишет: «Гегель о Демокрите ничего!! О Платоне тьма размазни мистической»*.

§ 3. Теорема, носящая имя Пифагора, была известна задолго до него. Так она используется в индусских правилах веревки (Sulvasutra), призванных служить своеобразному религиозному культу, выражавшемуся в удвоении объемов алтарей и гробниц при сохранении их прежней формы. Данный памятник старины, по мнению историков, отдален от нашей эры не меньше, чем тысячелетием.

Применение теоремы Пифагора, повидимому, привело к случаям невозможности отыскания числа, точно измеряющего длину гипотенузы. Но так как никакая геоме-

* H. Wieleitner — «Der Begriff der Zahl». Leipzig—Berlin, 1927.

** Ващенко-Захарченко — «История математики». Киев, 1883.

* Ленин — «Философские тетради», из-во ЦК ВКП(б), 1934.

трическая форма сама по себе не дает каких бы то ни было внешних признаков существования несоизмеримых отрезков, то, следовательно, их открытие есть результат отвлеченной человеческой мысли, а потому стало возможным лишь на определенной ступени ее развития.

Принято считать, согласно свидетельству Прокла (450 г. н. э.), что существование несоизмеримых отрезков за 500 лег до н. э. обнаружила пифагорейская школа*. Мы говорим — принято считать, ибо Пифагор, как известно, никаких работ не писал, а указанное свидетельство Прокла как свидетельство, данное более чем через 900 лет, вряд ли заслуживает большого доверия.

Как бы то ни было, но школа Пифагора, которая считала число воплощением «гармонии мира»**, не смогла понять тайну несоизмеримости — эту тайну мирового диссонанса. Она не могла понять, как, впрочем, и целый ряд дальнейших мыслителей, того единства, которое связывает в процессе движения противоположности — дискретность и непрерывность. Наоборот, будучи чужда диалектике, будучи чужда ее самой сути — закону единства противоположностей,— она возвела это различие в абсолют, исходя из которого было выставлено требование раздельного трактования науки о числах от геометрии.

Греческая наука создала классическую теорию пропорций и особое учение о несоизмеримых отрезках. Целый ряд имен выдающихся ученых связан с оформлением указанных теорий, логическое завершение которых дано было в V и X книгах «Начал» Эвклида (300 л. до н. э.).

§ 4. В «Началах» Эвклида излагается учение об отношении и применении этого учения к изучению свойств пропорций, теории подобия и сравнения площадей.

Выведенная в V книге теория пропорций была не только фундаментом для построения всей дальнейшей математики древних, но содержала в себе принципы будущей общей теории величин. Создание изложенной Эвклидом общей теории пропорций приписывается Эвдоксу (407 — 354 г. до н. э.), который сумел преодолеть существовавшую до него теорию пропорций, применимую с полной строгостью только к соизмеримым величинам. Усовершенствованная теория пропорций позволяет изучать соотношения величин, не упоминая об их измерении, а благодаря этому грекам удается избегнуть понятия иррационального числа.

В начале V книги принимается во внимание то обстоятельство, что могут быть пары несоизмеримых величин. Найти общую меру стороны и диагонали квадрата невозможно. А для того, чтобы подобные случаи не выпали из поля действия геометрического анализа, Эвклид сначала устанавливает только то, что одна из каждых двух величин обязательно находится в некотором отношении к другой. Но такое определение отношения в силу своей неопределенности остается еще логически недействующим, пока в него не вложено конкретное содержание. Далее, Эвклид это делает, устанавливая, что класс величин, к которым применимо понятие отношения, есть класс величин, удовлетворяющих аксиоме, связываемой ныне с именем Архимеда. Эта аксиома, представленная у Эвклида в качестве 4-го определения, гласит: «Говорят, что две величины имеют отношение между собой, если меньшую из них можно повторить столько раз, чтобы результат был равен или больше большей»*.

Определив указанным образом достаточно широкий класс величин, к которым применимо понятие отношения, Эвклид переходит к установлению понятия равенства двух отношений. Это составляет поистине замечательное пятое определение: «Говорят, что четыре величины находятся в одном и том же отношении: первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей, взятые по произвольной кратности, всегда больше, равны или меньше, соответственно, равнократных величин второй и четвертой, взятых также по другой произвольной кратности». При переводе с эвклидовского языка слов на язык символической алгебры это означает, что а: Ь = с: d, если при всяких целых m и п соответственно та nb, когда тс 5Ш nd.

Алгебраическая форма выражения делает совершенно ясным, что смысл этих определений величины какого-нибудь отношения по существу тождественен с современным определением иррационального числа посредством приближенных рациональных значений. Не трудно видеть, что сравнения Эвклида приводят к сравнениям меж-

* М. Cantor— «Geschichte der Mathematik, I. Leipzig, 1880.

** Гегель, Собр. соч., т. IX, изд. Института Маркса — Энгельса — Ленина, 1932.

* Петрушевский — «Эвклидовых начал 8 книг». Псрев. с греческого. СПБ, 1819. Ващенко-Захарченко — «Начала Эвклида». Киев, 1880. В настоящее время ГТТИ готовит новый перевод.

ду отношениями и рациональными приближениями типа —.

Седьмое определение Эвклида является определением неравенства отношений, причем построено по той же логической структуре, что и пятое определение равенства. Поэтому нет смысла его здесь цитировать. Произведя же перевод на наш неизменный алгебраический язык, получаем: а : b^>c\d, если можно найти такие целые m и п, что соответственно та > nb, когда тс < nd. Определения пятое и седьмое суть определения равенства и неравенства однородных нар величин, так как для Эвклида дробь еще не число. «Число есть собрание единиц»,— говорит он в VII книге «Начал». Для Эвклида существует идея взаимнооднозначного соответствия, но только для целых чисел и эквивалентных им отрезков.* Вообще же класс величин есть более широкий класс, чем класс чисел. Но тем не менее переносить доказательства от одного рода величин к другому, даже от общего к частному, нельзя. Отсюда две теории пропорций: для величин — в пятой книге и для чисел — в VII. Еще раз подчеркнем эту мысль, заметив, что понятие рода, охватывающее видовые понятия геометрической величины и числа, есть плод лишь дальнейшего этапа развития математической мысли, утвердившей за идеей взаимооднозначного соответствия ее истинные права.

Собственно учение о несоизмеримых Эвклид развертывает в X книге «Начал».

§ 5. Открытие факта существования несоизмеримых отрезков привело к целому ряду интересных исследований. Греческие ученые (Теодор из Кирении, Теэтет, около 400 лет до н. э., и др.) обнаруживали все новые и новые факты несоизмеримости**. В результате этой подготовительной работы ко времени Эвклида накопился настолько значительный эмпирический материал, что сделалось возможным его теоретическое обобщение в наибольшей по объему десятой книге «Начал».

В качестве первого предложения десятой книги «Начал» устанавливается положение, являющееся основанием метода исчерпывания древних, который последним заменял теорию бесконечно-малых позднейших математиков. По существу дела это предложение сходно с уже приведенным четвертым определением V книги Эвклида, но дано уже в более непосредственной для употребления форме. Оно гласит: «Если от данной величины AB отнимем часть большую ее половины, а от остатка отнимем часть большую его половины и будем продолжать такое действие неопределенно, то, наконец, получим такой остаток, который будет менее какой угодно малой данной величины с».

В X книгу это предложение включено неслучайно. Оно позволяет, обнаружив бесконечность процесса измерения для несоизмеримых величин, показать, что последовательные остатки непрерывно уменьшаются и могут быть сделаны меньше любой наперед заданной величины.

Основным содержанием X книги являются известные каждому современному школьнику алгебраические формулы иррациональных выражений, но которые рассматриваются как иррациональные линии, т. е. на основании чисто геометрических соображений. Это и не могло быть иначе, ибо геометрическая алгебра единственно доступна Эвклиду; поэтому рассматриваются только такие несоизмеримые отрезки, которые могут быть построены с помощью циркуля и линейки.

В своем изложении Эвклид различает эквивалентные для нас понятия несоизмеримости и иррациональности. Понятие рациональности он распространяет на величины соизмеримые только в степени. Так, по Эвклиду, следует называть рациональными квадратные корни из рациональных чисел. Геометрически это выражается прямыми линиями «соизмеримыми только в степени», т. е. построенные на них квадраты могут быть измерены одной и той же единицей площади, другими словами, имеют общую квадратную меру. Заметим, что вообще, когда Эвклид говорит о соизмеримости в степени, то подразумевается вторая степень, так как у него эти понятия отождествляются.

Эвклид указывает, что к некоторой данной прямой линии, так сказать сравнительной линии, можно отнести бесчисленное множество других линий, из которых одни с ней будут соизмеримы, а другие несоизмеримы и притом частью по длине, а частью и в степени. Сравнительная линия носит название рациональной. Рациональными называются также все те линии, которые соизмеримы с данной, по крайней мере, во второй степени.

* См. Мордухай-Болтовский — «Из прошлого пятой книги начал «Эвклида». «Математическое образование», 1916, № 7—8.

** Цейтен — «История математики в древности и в средние века». ГТТИ, 1932.

Установив приведенную классификацию линий, Эвклид переходит к рассмотрению всевозможного сочетания их.

В числе таких сочетаний Эвклид рассматривает биномиалы

и вычеты

медианы

и бимедианы

большие

и малые

иррациональности.

Некоторые термины Эвклида требуют пояснения.

Под медианой или средней прямой,

подразумевается такая прямая, площадь квадрата, построенного на которой a Y b или Y°b> равна площади прямоугольника со сторонами, соизмеримыми только в степени а и или |/а и (/^.

Прямоугольник, стороны которого средние линии \^~aVb и "]/~cY& , соизмеримые только в степени, называется рациональным, если в выражении \fabc, представляющем площадь прямоугольника, abc есть полный квадрат, и средним, если это условие не выполнено.

Под бимедиальной прямой разумеется сумма двух средних прямых, соизмеримых только в степени. Эта категория прямых разбивается на два типа. При сложении двух средних прямых

соизмеримых только в степени, которых прямоугольник рациональные Ь, получается первая бимедиальная

При сложении же двух средних прямых

соизмеримых только в степени, которых

прямоугольник средний a \fc, получается вторая бимедиальная

Если в приведенных выражениях вместо знака плюс поставить знак минус, то в первом случае мы получим так называемый первый средний вычет, а во втором случае — второй.

Эвклид различает понятия большой и малой иррациональности. Выражения

удовлетворяют понятию большой иррациональности при первом знаке и малой—при втором. В качестве компонентов берутся две несоизмеримые в степени прямые

или

которые отвечают следующим условиям: 1) сумма их квадратов рациональна а2 или о, 2) прямоугольник средний

или

В заключение отметим, что в ряде предложений Эвклид доказывает, что иррациональности, получаемые сложением или вычитанием, раскладываются на свои составные части только в одной точке. Для нас это является непосредственным следствием уравнения, данного в форме

или

которое, как известно из алгебры, обращается в тождество только при X = а и у = Ь.

Подведем итоги нашей характеристике X книги Эвклида*. На основании рассмотренного можно наметить 3 основных раздела в этой книге:

1. Общие свойства соизмеримых и несоизмеримых величин.

2« Средние прямые.

3. Иррациональные прямые, получаемые сложением и вычитанием.

§ 6. Эвклид говорит вполне ясно: «Несоизмеримые величины не могут относиться между собой как числа» (кн. X, 7).

Индусы и арабы рассматривали иррациональные числа, как числа нового вида. Но они не стремились глубоко изучить их свойства, вполне довольствуясь приближениями, отвечающими практическим потребностям. Наука обязана им первым перенесением закона перманентности действий на действия с иррациональными числами.

Для математиков средневековья и эпохи расцвета науки иррациональности, полученные из геометрии,— «недействительные» числа, только в крайнем случае их согласны признать в качестве «ненастоящих» или «фиктивных» чисел, которые если и могут быть терпимы, то только как неизбежное зло**.

В настоящее время имеется целый арсенал слов, характеризующих понятие иррационального числа. Это богатство в терминологии есть результат длительной исторической эволюции самого понятия. Многие из этих терминов уже утратили свой первоначальный смысл и выступают в качестве анахронизмов, т. е. наделены совершенно новым содержанием.

Боэций (около 475—526) говорил о несоизмеримых.

Название «глухие числа» впервые появляется у арабского математика Магомет-ибн-Муза Альхуаризми в его знаменитой книге «Альджебр уаль Мукабала» (825). В 1140 и 1150 гг. алгебра Альхуаризми была переведена на латинский язык, и с этого времени термин глухие числа заимствуется европейскими учеными. Так этот термин встречается у Герарда из Кремоны (П50), у Леонардо Пизанского (1202) и других, сохраняясь за иррациональными числами вплоть до XIX в., а в Англии — до наших дней.

Термин «иррациональный» в математическом смысле употребляет Томас Бредвардин (XIV в.). Понятие числа связывается с этим термином впервые у М. Штифеля (1544)*.

Но последний еще не в силах перебороть целый ряд колебаний, которые преграждают ему путь к полному признанию иррационального числа. Сам он говорит, что «какое-то облако неопределенности скрывает его»**. Штифель не может примириться с мыслью, что число с бесконечным числом знаков есть действительное число. Это как бы число в потенции, что отразилось в названии их «потенциальными числами», которое употребляет Региомонтан (1436—1476). Наконец, Лука Пачиоли (1494) называет их корнями из рациональных чисел***.

Все приведенные воззрения объединяет одна общая черта. Для них иррациональные числа это не числа, но тем не менее «эти числа, не представляющие собою чисел» проникли во все сочинения по арифметике. Это прошло вопреки всяким законам формальной логики, но в полном соответствии с требованиями практической деятельности. Практика властно требовала метрической геометрии, которая, играя роль первой скрипки в приложениях, в свою очередь столь же сильно нуждалась в арифметизации.

* О дальнейшем развитии геометрической теории иррациональных чисел см. Klugel «Mathematisches Wörterbuch». Leipzig, 1805.

** «Encyklopädie des mathem. Wissensch»., I, A3.

* M. Cantor — «Vorlesungen über Geschichte der Mithemitik», II. Leiozig, 1900.

** См. например, Лебедев — «Как постепенно обобщалось понятие о числе». М., 1917.

*** См. например, в новом издании энциклопедии Гранат ст. Кагана «Общая задача теоретического обоснования математики».

Весьма характерно, что перечисленные авторы свои арифметики предназначали «для купцов и всех, которые имеют близкое отношение к купеческому делу».

§ 7. В истории развития понятия иррационального числа обычно не учитываются значение и глубина мыслей Симона Стевина (1548—1620), на которых поэтому стоит остановиться несколько подробнее.

Стевин в своих работах еще в большей степени, чем его предшественники, постоянно Учитывает насущные потребности практики. Достаточно взглянуть как на реестр его математических тем (вычислительные таблицы, популярные произведения о десятичной системе, работы по практической геометрии), так и на самый способ изложения рассматриваемых вопросов, чтобы убедиться в справедливости сказанного. Мы уже не упоминаем о ряде его работ, носящих прикладной характер. Можно сказать, что работы Стевина непосредственно удовлетворяли тем требованиям, которые ставила перед наукой борьба передового голландского торгового капитала с феодализмом и его борьба за господство на мировом рынке.

Сейчас наше внимание Стевин привлек потому, что в своих «Mémoires Mathématiques» он посвящает целый трактат, направленный против охарактеризованных в прошлом параграфе авторов арифметики, в обычае которых «рассматривать числа, как "1^8 и подобные ему, под названием абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых, глухих и т. п.», ибо «мы,— заявляет Стевин,— категорически отрицаем это»*.

Сначала Стевин останавливается на характеристике аргументации «противника». Противник, пишет Стевин,— «мне прежде всего говорит, что корень квадратный из 8 несоизмерим с арифметическим числом (как 3 или 4), значит ]/~8 абсурден, иррационален и т. д.; но это заключение абсурдно, так как несоизмеримость не является признаком абсурдности несоизмеримых величин, что доказывается линией и поверхностью, которые суть величины несоизмеримые, т. е. не имеют общей меры, однако, ни линия, ни поверхность не являются количествами абсурдными или необъяснимыми, потому что, говоря, вот это—линия и это —поверхность, мы их объясняем. И если бы эта несоизмеримость создавала (чего не может быть, но допустим это) абсурдность одной из сравниваемых величин, мы найдем арифметическое число столь же виноватым, как и радикал: в самом деле как шар, столько же как и куб, и куб столько же, как и шар, являются причиной их различия, то же можно сказать и относительно этих чисел».

К чести Стевина надо заметить, что он сам сознает, что пользование величинами разных родов для доказательства отстаиваемого им мнения, по крайней мере, недостаточно, и он спешит присовокупить другое объяснение: «Но чтобы привести другое доказательство при помощи двух величин одного и того же рода, возьмем сторону и диагональ квадрата, которые являются линиями несоизмеримыми (по последней теореме X книги Эвклида), однако, ни диагональ, ни сторона (отвлекаясь от числа) не являются линиями абсурдными или иррациональными. Таким образом, несоизмеримость количеств не есть их абсурдность, но скорее их естественное взаимное свойство».

Но раз в взаимоотношениях объектов окружающей действительности нет никакой абсурдности, то нет ее также и в понятии иррационального числа, как отображающем вполне реальные взаимоотношения. К идее соответствия Стевин подходит чрезвычайно близко.

«Таким образом,— пишет он далее,— мы приходим к выводу, что нет никаких чисел абсурдных, иррациональных, необъяснимых или тайных, но что в них заключается такое изящество и согласованность, что мы имеем основание размышлять дни и ночи об их удивительном совершенстве. И если говорить об абсурдности, то я скорее бы отнес ее к нашему разуму, которые не может настолько постигнуть законы, царящие в природе, чтобы быть достойным того, чего он не знает». Итак, Стевин был первым математиком, который целиком и полностью стал на точку зрения признания полной равноправности рациональных и иррациональных чисел, требовавшим даже уничтожения терминологии, заключающей в себе момент сомнения в действительности второго рода чисел. В заслугу Стевину надо поставить и то, что в тенденциях арифметизации он прозрел «бесконечный прогресс» великой книги о несоизмеримых Эвклида. Эту мысль Стевин считает необходимым особо разъяснять и подчеркивать. По его справедливому мнению, X книга Эвклида как раз и «сделалась для многих предметом ужаса,

* См. перевод на французский язык этого трактата в книге Mauрin'a «Opinions et curiosités touchant la mathématique/), Paris, 1902.

вплоть до названия ее крестом математиков», потому что крепко держалось в человеческих головах «абсурдное мнение об абсурдных числах, будто они совсем не являются числами». Отказ от этого мнения, действительное признание иррационального числа числом делает X книгу Эвклида «легкой и ясной».

Но, дважды повторяет наш автор, в этом заключается и возможность ее бесконечного прогресса, который на указанной основе легко достижим и который уже начался.

Данный параграф мы закончим указанием на то, что рассмотренный ряд авторов идею иррационального числа ограничивал эвклидовскими радикальными иррациональностями, сводимыми к системе квадратных корней. Это объясняется несколькими причинами. Во-первых, в зто время единовластным методом геометрии оставался все еще метод Эвклида. Во-вторых, задача отыскивания корня я-й степени из целых чисел, заключенных между ап и (я + 1)п, где a и n целые числа, считалось уже единой задачей, неразрешимой в области рациональных чисел. В-третьих, выработке общего понимания иррационального числа препятствовало недостаточно широкое использование в разрешении рассматриваемого вопроса только что начинающей распространяться теории десятичных дробей.

§ 8. Характерными чертами XVII столетия являются быстрое развитие мануфактур и начало механизации производственных процессор. Отвечая этим новым потребностям, современное естествознание в центр своего внимания ставит изучение движения земных и небесных тел. Для установления возможности обобщенного изучения закономерности движений математика создает новую отрасль, которую со времени Ньютона называют аналитической геометрией. Новая геометрия была тем диалектическим синтезом числа и геометрической величины, который снял противоречие древних. На этом основании между величинами и числами могли быть установлены точные соотношения, которые позволили столь плодотворно применить математику к исследованию явлений природы.

Декарт (1596—1650) в своей классической геометрии (1637) пренебрег аристотелевским разграничением величин и чисел и предоставил алгебре при помощи метода координат широкое поле деятельности. Но Декарт еще не был арифметизатором геометрии,— он был только ее алгебраизатором. Его координата это не число, а отрезок. Он устанавливает взаимооднозначное соответствие между геометрическими величинами и особым классом прямолинейных отрезков. Затем все действия Декарт производит над линиями как таковыми, т. е. отождествляет определенные геометрические построения с 4 действиями арифметики. Один произвольный отрезок выбирается за единицу. Произведение двух отрезков определяется как тот отрезок, который так относится к одному из них, как другой к единице. Таким образом, отрезок не является у Декарта числом, и только счет отрезками, когда один определенный принят за единицу, приводит к пониманию их как чисел.

Ньютон (1642—1727) в своей «Универсальной арифметике» (1707), как бы формулируя взгляд Декарта на число, писал: «Под числом мы разумеем отношение одной величины к другой, однородной с ней и принятой за единицу». Ньютон так же, как и Декарт, не дает правил, например, умножения двух иррациональных чисел. Он остается еще при декартовском мнении, что сообщенные правила относятся исключительно к области геометрии.

В Германии большую роль в деле широкого внедрения ньютоновской концепции числа сыграл Хр. Вольф (1670—1754), написавший ряд учебников по элементарной математике, которые были ведущими в современном ему образовании. Ньютоновскую точку зрения он настойчиво проводит в своих «Основаниях»*, несмотря на колкую критику многочисленных противников. Там он пишет: «Все, что относится к единице, как один отрезок к другому, называется числом».

Во Франции первые правильные сведения об иррациональных числах исходили от Даламбера (1717—1783). Важность вопросов измерения настолько ясно осознается Даламбером, что он в знаменитой энциклопедии XVIII в.** в своей статье «Математика» определяет последнюю как науку, имеющую своим предметом свойства величин, поскольку они перечисляемы и измеряемы.

Однако надо заметить, что признание иррационального числа есть необходимое, но еще недостаточное условие для признания правомерности арифметизации геометрии. Примером для подтверждения этой мысли может служить Даламбер, оказав-

* Der Anfangs — «Gründe aller mathem. Wissensch.» Frankfurt, 1750.

** «Encyclopédie, ou dictionnaire raisonné des sciences».

шийся в лагере противников идеи взаимооднозначного соответствия.

Но уже А. М. Лежандр (1752—1833) в своей геометрии* доказывает все предложения, касающиеся подобия, опираясь на числа, которые у него заменяют величины, и прилагает к этим числам теоремы арифметики и алгебры, которые считает предварительно установленными. Тот факт, что Лежандр действия над отрезками заменяет действиями над числами им соответствующими, рациональными или иррациональными, для него не означает такого стремления к упрощению, которое в какой бы то ни было мере могло противоречить требованиям логической строгости. Употребление иррациональных чисел в геометрии без всякого обоснования, наряду с отсутствием подобной работы и в арифметике, представлялось во времена Лежандра вполне естественным явлением, которому следовали все великие математики. Современник Лежандра Лакруа (1765—1843) так оправдывает эту точку зрения: «Может быть,— говорит Лакруа**,— покажется затруднительным применить понятие об отношении между числами к соотношению между частями пространства, особенно в том случае, когда линии несоизмеримы между собою: но трудность уничтожится, как скоро припомним, что линии можно сравнивать только тогда, когда они отнесены к общей мере; после этого их отношение будет истинное число, целое или дробь, члены которой выражают, сколько общая мера содержится в каждой линии. Хотя в случае несоизмеримости эта дробь не может быть найдена с точностью, однако действительное ее существование не подлежит сомнению».

Так стихийно утверждались иррациональные числа. Но математики употребляли новое обобщенное понятие числа только потому, что получающиеся результаты были всегда верны. В самом деле, тог факт, что каждому отрезку соответствует число, еще не дает права рассматривать всякое бесконечное числовое образование, как выражающее длину определенного отрезка. Этот момент вплоть до второй половины XIX в. замалчивался и пояснялся с помощью призыва к геометрической интуиции, к пограничному понятию или к столь же смутным идеям бесконечно малых.

§ 9. Математика, которая исследует количественные соотношения самых разнообразных по своей качественной специфичности объектов, должна суметь выделить то общее, что присуще целому классу однородных явлений. До тех пор, пока иррациональное число утверждалось одним названием числа, пока оно не удовлетворяло всем логическим требованиям, предъявляемым к понятию числа, оно протаскивалось в математику контрабандным путем. Только математики XIX в., обратившие свое внимание на необходимость обоснования основ науки, дали логический анализ понятий рационального, иррационального и вещественного числа.

Первым ученым, указавшим на актуальность такого анализа, был чешский философ Бернард Больцано*. Сам он дал пример арифметически строгого доказательства классической теоремы анализа, по которой «если непрерывная функция / (х) получает, полагая х = а и х = Ь, два численные значения, обратные по знаку, то он обращается в нуль для некоторого значения х, промежуточного между а и &», тогда как до-больцановские доказательства базировались исключительно на геометрической интуиции.

Арифметизация толкнула к новым исследованиям, которые выявили 3 способа определения иррационального числа. Первый способ — Дедекинда—заключается в том, что всякое иррациональное число а разделяет совокупность всех рациональных чисел на 2 класса, причем числа первого класса меньше a, a числа второго класса больше а. Второй способ — Вейерштрасса— состоит в определении иррационального числа как бесконечной непериодической десятичной дроби. Третий способ — Кантора — исходит из определения иррациональных чисел с помощью фундаментальных рядов рациональных чисел.

Совпадая, естественно, по существу, эти три способа приводят к несколько своеобразным изложениям, остановиться на краткой характеристике которых мы хотели бы в следующий раз.

* См. «Начальные основания геометрии». Перев. с франц. М. Сахарова. СПБ, 1819.

** Лакруа — «Основания геометрии». Перев. с-франц. Д. П. М., 1835.

* В. Bolzano — «Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes», 1817.

ОБ ОДНОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ СПОСОБЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕЙ СТЕПЕНИ

Ю. ДАВЫДОВ (Киев)

аряду с графическими способами решения уравнений, заслуживают внимания и методы, чисто геометрические. Один из таких методов, данный Лилем (Lille) и помещенный в журнале «Nouvelles annalles des mathématique» за 1867 г., я хочу предложить вниманию читателей, изложив его популярно с некоторыми дополнительными замечаниями. Дано уравнение

(1)

От произвольной О отложим отрезок OA =1 в произвольном направлении; перпендикулярно к OA из точки А отложим АВ = Ь налево от ОЛ, если знак b совпадает со знаком предыдущего коэфициента, и направо от 0АУ если знак b противоположен знаку предыдущего коэфициента. Далее, из точки В перпендикулярно к AB проводим ВС — с налево от AB, если знак с совпадает со знаком предыдущего коэфициента Ьу и направо от AB— в противном случае. Продолжая это построение дальше, получим прямоугольный контур с (/л+1) сторонами. Для примера построим контур для уравнения:

(2)

(числовой пример). Пусть OMND есть прямоугольный контур, вписанный в данный OABCD. Легко доказать, что AM есть корень нашего уравнения. Действительно, введя обозначения AM = xt BN = yy находим из подобия треугольников О AM, M BN, NCD следующие пропорции:

(3)

исключая у, находим:

что и требовалось доказать.

Может случиться, что все корни кубического уравнения вещественны; тогда в данный контур можно всего вписать три прямоугольных контура, вершины которых могут находиться на продолжениях отрезков АВУ ВС. Если вершина M окажется направо от Л, то корень положительный; если влево — то корень отрицательный. Предыдущий чертеж (№ 1) соответствует уравнению: Xs — 6х2+1\х — 6 = 0; в соответствующий этому уравнению контур можно вписать три прямоугольных контура: OMND, OMtNtD% OM2N2D. Корни будут: хх = AM = 1, х2 =AMt = 2,

Вписанный контур можно при желании назвать «резольвентою». Если OA не равно единице, то корень

Легко показать, что стороны «резольвенты» пропорциональны коэфициентам уравнения

где а есть корень

данного уравнения f(x) = 0. Докажем это для нашего уравнения (2):

Имеем:

из подобия тех же треугольников находим.

[см. (3)]

т. е.

Поэтому, считая резольвенту за новый основной контур, можно его использовать для нахождения остальных корней уравнения f(x) = 0.

Как же строится «резольвента»? Для квадратного уравнения она строится циркулем и линейкой, а именно на отрезке ОС (черт. 2) строим окружность, которая пересечет прямую AB, вообще говоря, в двух точках M и М19 определяющих два корня ОМ и ОМх. Отсюда, между прочим, можно найти условие вещественности корней квадратного уравнения. В самом деле, для того, чтобы вышеупомянутая окружность пересекала или касалась прямой AB, надо, чтобы

следовательно:

отсюда после возвышения в квадрат и надлежащих упрощений находим:

Если данное уравнение выше 2-й степени, то «резольвенту», вообще говоря, построить циркулем и линейкой нельзя. Для построения можно воспользоваться прозрачным кругом, разделенным двул.я системами параллельных хорд, причем хорды одной системы перпендикулярны к хордам другой системы. Этот круг накладываем на наш контур так, чтобы центр совпал с началом О контура, и вращаем его вокруг точки О до тех пор, пока на круге не заметим прямоугольного контура, кончающегося в конце данного контура (или почти в конце; тогда имеем приближенное решение).

Если данное уравнение неполное, например х*+2х—12 = 0, то его можно сделать полным с помощью подстановки jt = например х = у + 1; получим:

Решение последнего уравнения показано на чертеже (черт. 3).

Можно показать, как находятся комплексные корни; мы ограничимся случаем квадратного уравнения вида х2 — Ьх++ с = 0, имеющего комплексные корни; следовательно, &2<<Чс; с^>0.

Построим вспомогательный контур (не обязательно прямоугольный) ОМС с вершиною С, не лежащей на прямой AB, так чтобы /\МАО был подобен /\МВС. Замечаем, что в таком случае [_МАО = = [_ Al ВС, следовательно, [__ MAB = = (_ MBA, т. е. треугольник AM В равнобедренный: M А = MB; кроме того MA OA л/— _

ВС = MB' ВМ = УС'

Таким образом, точка M находится на пересечении перпендикуляра к AB в ее середине с окружностью, описанной из точки В радиусом, равным У с ; отрезок \г с легко построить как среднее геометрическое между отрезками 1 и С. Искомый комплексный корень равен AL -)- ML • /; в самом деле

Искомая

точка может быть также иМ19 симметричная с M относительно AB. Соответствующий корень будет:

МЕТОДИКА

К ВОПРОСУ О МЕТОДИКЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

(в порядке обсуждения)

Проф. М. ЧЕРНЯЕВ (Ростов на Дону)

дним из наиболее трудных в методическом отношении вопросов элементарного курса математики нужно признать вопрос об иррациональных числах. Этот раздел математики следует начинать с систематического обзора четырех арифметических действий в строго научном духе. Исторические сведения дадут учителю ценные указания, каким образом лучше всего трактовать этот сложный вопрос.

В 1916 г. в журнале «Математическое образование» появилась большая статья профессора Д. Д. Мордухай-Болтовского «Из прошлого пятой книги начал Евклида». История этой «Пятой книги начал», заключающей в себе теорию пропорций, есть история развития понятия о числе. Основным понятием в математике является понятие о целом положительном числе. На базе этого основного понятия развиваются все дальнейшие обобщения, заканчивающиеся в настоящее время числами гиперкомплексными и трансфинитными.

Эвклид признает числом только целое и положительное число — собрание единиц. Для Эвклида между точками прямой линии и множеством вещественных чисел не существует взаимно-однозначного соответствия. У Эвклида отношение отрезков, поверхностей и объемов не есть отношение двух чисел. Только этим обстоятельством можно объяснить, что в «Началах» помещены две теории пропорций — пропорции величин в «Пятой книге», и пропорции чисел — в «Седьмой». С нашей точки зрения, это повторение излишне. Для Эвклида же это не просто повторение; так поступить он был вынужден потому, что формальной точки зрения на различные видовые понятия геометрической величины и числа во времена Эвклида не существовало; равным образом чужда была древним и идея рсда, которая обнимала бы видовые понятия. Все арифметические действия над целыми числами Эвклид заменяет операциями над особым классом отрезков, которые все составляются из единичного отрезка.

Тенденцией современной математики является арифметизация геометрии, античная же математика по ряду причин развивалась в обратном направлении.

Понятия об отношении чисел у Эвклида нет, тогда как понятием об отношении величин он пользовался весьма широко. Вот его определения:

«Отношение есть взаимная некоторая зависимость двух однородных величин по их количеству» (пер. Петрушевского).

Эвклид дает два определения понятия о пропорциональности: одно — для величин, другое—-для чисел.

Для величин: «Пропорциональными называются величины, имеющие то же отношение» (определение 6 «Пятой книги»).

Для чисел: «Числа пропорциональны, если первое второго и третье четвертого составляют то же кратное, или ту же долю

или ту же дробь ^^j^-

Первое из данных определений в дальнейшем Эвклидом нигде не используется.

В XVI в. комментаторы не критикуют Эвклида, а ограничиваются только разъяснениями, причем свои собственные соображения нередко выдают за мнение Эвклида.

В XVII в. мы наблюдаем иную картину; математики не только комментируют Эвклида, но временами и исправляют его. В это время пополнилась система аксиом, были сделаны различные перестановки частей всей системы; были произведены попытки даже полной перестройки «Начал».

Для нас представляют большой интерес критические замечания Борелли относительно определений «Пятой книги». Борелли считает иррациональными числами только корни из рациональных чисел. Характерно утверждение Борелли, что не всякое иррациональное отношение может считаться

числовым; однако пропорции чисел и геометрических величин Борелли уже включает в пропорции величин вообще.

Такэ, Дешаль область чисел расширили значительно за пределы эвклидовых целых чисел. Математики к этому времени уже научились мыслить отношение, как число, и отчетливо сознавали общность формальных законов, в равной мере присущих числам и отношениям.

Значительно дальше своих предшественников продвинулся Арно; для последнего отношения — такие же величины, как и числа, отрезки, площади и объемы, которые можно складывать и вычитать.

Дальнейшие обобщения принадлежат Луи Бертрану и Лежандру. Лежандр рассуждает так: а : b = с : d 3 ad = be.

Эта истина, говорит Лежандр, верна для чисел, она верна и для любых других величин, ли иь бы они изображались через числа, что можно предполагать всегда. После Лежандра развитие понятия об иррациональном числе пошло по пути чисто арифметического обоснования.

научные теории иррациональных чисел

После того как развитие метода анализа бесконечно-малых было продвинуто достаточно далеко, наступил критический период, в течение которого новому исчислению было дано прочное основание. Для строгого обоснования анализа бесконечно-малых оказалось необходимым установить точное понятие о числе. Основные исследования в этой области принадлежат Дедекинду, Вейерштрассу и Кантору.

Расширение понятия о числе является необходимым следствием изучения обратных операций. Для решения всякого уравнения вида ах+b = 0, где а и b целые числа и а^О, достаточно одних рациональных чисел, т. е. целых чисел, а также положительных и отрицательных дробей. Если же не сделать дальнейшего шага к обобщению понятия о числе и ограничить понятие о числе рациональными числами, то уравнение х2 — 2 = 0 уже было бы неразрешимым, так как нет такого рационального числа, квадрат которого равен 2.

Теория Дедекинда. Дедекинд под сечением в области рациональных чисел понимает такое разбиение этих чисел на два класса, что каждое число одного класса (нижнего) меньше каждого числа другого класса (верхнего). Такое сечение можно, например, получить любым рациональным числом «/я», стоит только отнести к одному классу все рациональные числа, меньшие и равные «m», а к другому классу — все рациональные числа больше «/я».

Разным образом мы получим сечение, определяемое рациональным числом «/я», если отнести к одному классу все рациональные числа меньшие m и к другому классу все рациональные числа, большие и равные т.

В приведенных выше сечениях имеется либо наибольшее число нижнего класса, либо наименьшее верхнего класса. Но существует такой род сечений, где нижний класс не имеет наибольшего, а верхний класс не имеет наименьшего числа. Например, таково сечение, если отнести к верхнему классу все положительные рациональные числа, квадраты которых больше 2, а к нижнему классу все остальные рациональные числа, квадраты которых меньше 2. В этом сечении, как нетрудно убедиться, нижний класс не содержит наибольшего, а верхний класс не содержит наименьшего числа. Действительно, пусть г положительное рациональное число, принадлежащее нижнему классу, тогда г2 2. Выберем рациональное положительное число у, которое удовлетворяло бы одновременно двум следующим неравенствам:

тогда

Таким образом в нижнем классе нет наибольшего числа. Если г число верхнего класса, то /*2>2, и можно выбрать рациональное положительное число г так, что

тогда г — z будет положительным и

Следовательно, и в верхнем классе нет наименьшего числа. Сечениями двух первых типов, когда в нижнем классе есть наибольшее число или в верхнем есть наименьшее число, определяется рациональное число и в третьем случае, когда нет ни наибольшего числа в нижнем классе, ни наименьшего числа в верхнем — иррациональное число.

Всякий раз, когда мы имеем сечение третьего типа, мы создаем символ, называем этот символ иррациональным числом и говорим, что оно определяется нашим сечением (проф. Гергард Ковалевский,

«Основы диференциального и интегрального исчисления»).

Далее, в полных курсах обыкновенно излагают вопросы о сравнении иррационального числа с рациональным, сравнение двух иррациональных чисел и устанавливается понятие о вещественных числах, как о множестве вещественных чисел мощности непрерывности.

ТеорияМере-Кантора. Теория Дедекинда определяет иррациональное число, как сечение двух классов рациональных чисел, т. е. двух множеств, заключающих в себе все без исключения рациональные числа. Теория, созданная почти одновременно Мере и Кантором, основывается на рассмотрении рядов, состоящих из бесконечного множества чисел, следующих друг за другом по определенному закону. Для логического определения иррационального числа такие ряды должны удовлетворять следующему условию: пусть

бесконечный ряд рациональных чисел, тогда разность ип + т — ип всегда может быть сделана при любом «т» менее сколь угод ю малого положительного рационального числа £, если взять п достаточно большим, и это свойство будет сохраняться при возрастании п до бесконечности.

Ряд (1), удовлетворяющий указанному выше условию, Мере называет сходящеюся вариантою, и две сходящиеся варианты ult и2, us, ит, vv v2, vn9 эквивалентными, если разность ит — —vn стремится к нулю, когда m и п неограниченно возрастают.

Если не существует рациональных чисел (и и V таких, что, начиная с некоторых тип разности [и — ит] и [v— vn] остаются меньше произвольного сколь угодно малого положительного числа 6, то эти два числа и и v будут равны или неравны, смотря по тому, эквивалентны или нет их варианты и и v), то мы вводим особые «фиктивные» числа, которые и обозначаем специальными для каждой варианты символами. Операции над фиктивными числами определяются, как операции над рядами. Такова теория Мере. Кантор называет ряды, удовлетворяющие условию lim (ип + т — ип) = О основными (Fundamentalreihen) рядами. Изложение Кантора, по мнению проф. Васильева, отличается от изложения Мере главным образом терминологией.

Теория Вейерштрасса точно так же, как и теория Мере-Кантора, определяет иррациональные числа с помощью исчислимого ряда рациональных чисел. Вейерштрасс рассматривает рациональные числа, как агрегаты, составленные из главной единицы.

Следует также упомянуть о существовании арифметической теории иррационального числа Кронекера.

Все перечисленные выше различные теории иррациональных чисел преследуют цели решения задач, неразрешимых в области рациональных чисел. Все эти различные методы определения иррациональных чисел могут быть названы генетическими.

Д. Гильберту мы обязаны созданием аксиоматического метода определения иррационального числа; Гильберт говорит: мы мыслим систему вещей, эти вещи мы называем числами и обозначаем а> Ь, с, ... Эти вещи мы мыслим в известных взаимных отношениях, полное и точное описание которых заключается в следующих аксиомах:

I. Аксиомы сочетания (1—6).

lt Из числа j и из числа b посредством^ «сложения» образуется определенное число с, символически это обозначается так: а+Ь = с, или с = а+Ь.

12 Если а и b суть данные числа, то существует всегда одно и только одно число ху а также одно и только одно число у, так что: a-\rx=bn) соответственно, у+а = Ь.

13 Существует определенное число — оно обозначается 0 — такое, что для каждого а имеем одновременно а+0 = а и О + а = а.

14 Из числа а и числа b составляется также посредством «умножения» определенное число с, употребляя обозначения:

аЬ^= с, или с — ab.

15 Если а и b суть произвольные данные числа и û не есть 0, то всегда существует одно и только одно число X и также одно и только одно число v, так что: ах = Ь и уа=Ь.

16 Существует определенное число — обозначаем его 1, такое, что для каждого а одновременно:

а -1 == а и 1 - а = а.

II. Аксиомы счета (7—12).

Если я, Ь, с суть произвольные числа, то всегда имеют место следующие формулы:

III. Аксиомы порядка (13—16).

IIIА Если я, Ь суть какие-нибудь два различные числа, то всегда одно определенное из них, например а больше (», чем другое; это последнее тогда называется меньшим и обозначается

IV. Аксиомы непрерывности (17—18).

IV1 (Аксиома Архимеда). Если û)>0 и Ь^>0 суть два произвольных числа, то всегда возможно сложить а последовательно столько раз, что соответствующая сумма будет иметь свойство : a + a + а____ + а>Ь.

VI2 (Аксиома полноты). Невозможно к системе чисел присоединить другую систему вещей так, чтобы и в новой системе, полученной от соединения, имели место все аксиомы: I, II, III и IVlf или, короче говоря: числа составляют систему вещей, которая при условии удовлетворения всех аксиом уже не может быть более расширена.

Система вещей, имеющих перечисленные в аксиомах I—IV свойства, и есть система вещественных чисел, которая определена аксиоматическим методом. Относительно этой системы, как и относительно всякой системы, возникают вопросы об их непротиворечивости, о полноте и независимости. Задача доказательства непротиворечивости арифметических аксиом — одна из проблем Гильберта, поставленная им в 1900 г. на Парижском конгрессе. Как показал сам Гильберт, эти аксиомы не независимы: например, коммутативный закон умножения есть необходимое следствие аксиом I, Iii_5 и IVt. Полноту этой системы Гильберт обосновывает следующими соображениями: так как вся алгебра вещественных чисел может быть выведена путем логических рассуждений из этой системы аксиом, следовательно, система полная. О системе Гильберта в целом следует сказать, что при обосновании арифметики в направлении диалектиче:кого материализма должны быть изменены и требования, которые предъявляются к системе. Наиболее слабым местом в системе Гильберта является попытка чисто формальными методами разрешить вопрос о непрерывности ряда вещественных чисел.

Таковы в самых общих чертах чисто научные теории иррациональных чисел. Конечно, было бы непростительной ошибкой слепо следовать одной из указанных выше теорий при школьном преподавании. Между научными требованиями и требованиями чисто методическими всегда существует известного рода противоречие. Избежать этого противоречия, по моему мнению, безусловно нельзя. Говорим же мы на уроках географии о шаровидной форме земли, заведомо зная, что земля есть геоид.

Следовательно, вопрос стоит не об устранении указанного выше противоречия, а лишь о примирении двух точек зрения — чисто научной и методической. Это можно осуществить, излагая вопрос об иррациональных числах концентрически. Первый раз при рассмотрении вопроса об извлечении квадратных корней, примерно, по следующей схеме: при разборе вычитания и деления следует при помощи уравнений а-\~х = Ь и ах=Ь развить понятие о функции и указать на необходимость расширения понятия о числе. При решении уравнения х2 — 2 = 0 следует указать учащимся на возможность выбора: либо заявить, что нет рационального числа, квадрат которого равен 2, либо вновь расширить понятие числа введением иррациональных чисел. Будет вполне уместно привести цитату из книги профессора Симона «Дидактика и методика математики в школе II ступени»:

«Смутно сознаваемый принцип непрерывности и отчетливо понимаемая связь с геометрическими наглядными представлениями привели пифагорийцев... к введению «невыразимого» числа»....

Далее Симон указывает, что если мы окружаем У 2, ]/^5 сетью и все более стягиваем ее, то предпосылкой этого является существование корня. «Если в реке нет рыбы, то сколько бы мы ни натягивали сетей, мы рыбы не выудим. Великая заслуга древних греков состояла именно в том, что они верили в существование корня».

При таком изложении в неявном, а может быть и в явном виде следует выста-

вить постулат о взаимно однозначном соответствии множества вещественных чисел и отрезков. И только при окончании учеником школы, когда его способность к абстрактному мышлению достигнет известного совершенства, будет уместно вновь затронуть вопрос об истории развития понятия о числе, изложив в общих чертах хотя бы учение Дедекинда о сечении или теорию Мере- Кантора*.

иррациональные числа в старых учебниках

В старых учебниках теория иррациональных чисел излагается так: сначала излагается вопрос о несоизмеримых величинах. Дается определение общей меры двух величин, как величины, которая содержится в каждой из них целое число раз. Далее определяются соизмеримые величины, как имеющие общую меру, и несоизмеримые в противоположном случае. Число, выражающее отношение двух несоизмеримых величин, называется иррациональным числом. После этого говорится, что над иррациональными числами можно совершать все арифметические действия. Заменяя иррациональные числа их приближенными величинами, над последними производят те действия, которые указаны относительно первых, и в результате получают количество, которое можно рассматривать как приближенную величину некоторого иррационального числа. (Давыдов, «Начальная алгебра»).

Аналогичные определения иррациональных чисел, как чисел несоизмеримых, мы найдем и в учебниках Leonhard'a Euler'а (1802 г.) и Лакруа; последний автор пишет: «Но между дробями и корнями из неточных квадратов есть та разность, что первые всегда состоят из точного числа частей единицы или соизмеримы с единицей; вторые же не могут быть выражены в точности ни целыми единицами, ни их долями, или несоизмеримы с единицей».

Дедекиндову теорию иррациональных чисел можно найти в учебниках алгебры Лебединцева и Глаголева, причем изложение у последнего автора значительно удачнее, чем у первого. Прежде всего Глаголев отмечает некоторые свойства рациональных чисел:

1) Для всякого рационального числа Ь можно найти два рациональных числа а и £, таких, чтобы Ь заключалось между ними, то есть а<^Ь<С^с.

2) Обратно: для всяких двух рациональных чисел а и с можно найти рациональное число b так, что а<^Ь<^с, откуда выводится следствие, что между двумя рациональными числами а и b всегда можно поместить какое угодно большое число рациональных чисел. Этот результат конкретно истолковывается на числовой оси, причем отдельно рассматриваются случаи соизмеримости и несоизмеримости отрезков с отрезком-единицей. Затем устанавливается понятие о сечении. Далее автор предлагает читателю отвлечься от геометрического представления и рассмотреть уже сечения в области рациональных чисел, что приводит его к сечениям Дедекинда. Из всех пространных и понятных рассуждений автора следует, что для определения иррационального числа достаточно указать способ разбиения всех рациональных чисел на два класса, причем такие, что само число, производящее сечение, не принадлежит ни к одному из этих двух классов. После установления понятия равенства и неравенства иррациональных чисел автор переходит к рассмотрению действий над иррациональными числами, исходя из определения этих чисел, как сечений в области рациональных чисел.

Лебединцев, излагая ту же самую теорию иррациональных чисел Дедекинда, временами совсем забывает, что его изложение предназначается для учащихся, еще не совсем порвавших с конкретным способом мышления. Я приведу только одно определение из учебника Лебединцева, чтобы подтвердить свою мысль о преимуществах изложения Глаголева: «Мы будем вообще называть несоизмеримым числом такое, которое по определению своему будет более любого соизмеримого числа, входящего в группу чисел, определенных каким-нибудь условием, и менее любого соизмеримого числа, не входящего в эту группу; причем эти две группы, на которые разделяются таким образом все соизмеримые числа, обладают тем свойством, что в первой из них нет наибольшего числа, а во второй — нет наименьшего». Дальнейшее изложение таких вопросов-, как понятие о равенстве и неравенстве несоизмеримых чисел, признаки равенства несоизмеримых чисел, проводится также достаточно строго, но языком, безусловно малопонятным для учащихся.

* Предложение автора может быть оспариваемо. Ниже приводится удачный опыт изложения в VIII уже классе раздела иррациональных чисел, в основу которого положена теория Вейерштрасса — см.. статью т. Дорф.

Редакция.

В большом учебнике Ch. Briat— «Leçons d'Algèbre» дается определение иррационального числа как предела рациональной последовательности чисел. Вначале автор указывает случаи существования чисел, несоизмеримых с единицей. В этом последнем случае число при помощи рациональных чисел можно выразить лишь приближенно с желаемой степенью точности. Таковы, например, корни из количеств, не являющихся полными степенями. Briot вводит символ после того, как установлено, что

Заканчивает этот раздел Briot указанием примеров несоизмеримых чисел из области геометрии и переходит к выполнению различных действий в области вещественных чисел.

Довольно удачную попытку изложить в школьном учебнике мере-кантсровскую теорию иррациональных чисел мы находим у Н. Вульфа и Д. Цинзерлинга («Элементарная алгебра»). На этой интересной попытке я остановлюсь несколько подробнее.

Определив в начале своего изложения два случая измерения (случаи соизмеримости и несоизмеримости), авторы устанавливают связь между числами той и другой категории. Пусть даны два ряда рациональных чисел:

которые обладают следующими свойствами:

1. Оба ряда содержат неопределенно большое число членов, т. е. число п есть бесконечно большое число.

2. Каждый член первого ряда меньше каждого члена второго ряда.

3. Члены первого ряда идут не уменьшаясь, т. е. каждый последующий член ряда больше или, в частном случае, равен предыдущему.

4. Члены второго ряда идут не увеличиваясь, т. е. каждый последующий член ряда меньше или, в частном случае, равен предыдущему.

5. Абсолютная величина разности между соответственными членами обоих рядов (ап — Ьп), при достаточно большом /г, может быть сделана менее всякого наперед заданного произвольно малого числа, т. е. является бесконечно малой величиной.

Условия (1—5) называются условием А. Допустим, что найдено такое рациональное число р, которое больше каждого члена первого ряда и меньше каждого члена второго ряда и которое, следовательно, определялось бы обоими рядами так:

причем {аа—Ьп) — бесконечно малая величина.

Нужно заметить, что в этом учебнике некоторые теоремы о пределах помещены ранее учения об иррациональных числах. Следовательно, мы можем утверждать, что рациональное число р будет общим пределом переменных чисел а и Ь, выражаемых данными рядами, и это будет единственное постоянное число, определяемое двумя рядами чисел (А). Допустив противное, т. е. допустив, что существует другое постоянное число q, определяемое теми же рядами (А), мы должны были бы допустить возможность существования между двумя числами ап и Ьп, разнящихся между собой на бесконечно малую величину, двух чисел, отличающихся друг от друга на конечную постоянную величину, чего быть не может.

Далее авторы показывают возможность существования таких рядов чисел, которые не могут определять рациональное число. Это выполняется следующим образом:

Пусть N рациональное число, не являющееся точным квадратом другого рационального числа. Далее составляются два ряда чисел, представляющие значения с точностью до 1; 0,1; 0,01; 0,001; и т. д.— один, вычисленный с недостатком, и другой — с избытком.

Такие два ряда условиям (А) удовлетворяют; действительно:

1) оба ряда содержат неограниченное число членов, так как приближенное значение можно брать с точностью до (0,1)п, где п какое угодно большое целое число;

2) каждый член первого ряда меньше каждого члена второго ряда;

3) в первом ряду члены идут не уменьшаясь, а во втором — не увеличиваясь;

4) абсолютная величина разности соответственных членов обоих рядов (ап—-Ьп) =-= (0,1)и, при достаточно большом я, может быть сделана менее всякого произвольно малого числа.

Допустим, что эти два ряда определяют рациональное число р, и составим другую

систему двух рядов чисел, члены которых будут квадраты соответствующих членов первых рядов. Пусть ап равно приближенному значению yrN{z точностью до (0,1)п с недостатком), а Ъп равно приближенному значению \/~N (с точностью до (0,1 Г с избытком); тогда, согласно определению приближенного квадратного корня, мы имеем:

откуда

но Ьп—ап — величина бесконечно малая, а Ьп+ап—-конечная; правая часть последнего неравенства есть бесконечно малая величина, следовательно, N есть предел числа ап2, а /?,по предположению, предел чисел ап\ но из теории пределов мы знаем, что lim (ап2) = (lim ап)2 == р2\ следовательно, N = р2, что противоречит условию, согласно котроому N не является точным квадратом другого рационального числа.

Два ряда чисел, удовлетворяющих условиям (А), определяют некоторое постоянное число, находящееся между переменными числами ап и Ьп. Если это постоянное число не представляет ни целого, ни дробного рационального числа, то мы будем называть его иррациональным числом. Таким образом, мы иррациональное число определяем, как такое число, которое, не будучи ни целым, ни дробным, определяется двумя рядами чисел, удовлетворяющими условиям (А). Далее авторы разбираемого учебника показывают, что вообще невозможно допустить существование двух чисел

(рациональных или иррациональных), которые определялись бы одной и той же системой рядов чисел, удовлетворяющих условиям (А). Эти общие рассуждения иллюстрируются на конкретных примерах:

Все эти результаты истолковываются графически на числовой оси. Дальнейшее изложение принимает обычный порядок: авторы переходят к рассмотрению вопроса о сравнении величины иррациональных чисел и действий над ними, причем за исходный момент при всех рассуждениях берется данное выше определение мере-канторовской теории иррациональных чисел.

Случаи несоизмеримости в геометрии. В элементарной геометрии имеется большое количество вопросов, при рассмотрении которых должно рассмотреть два случая (случаи соизмеримости и несоизмеримости). Несомненно было бы вполне целесообразным доказательство всех геометрических теорем для случаев несоизмеримости отнести на тот момент, когда учащиеся вполне освоятся с теорией пределов и иррациональными числами. В этом вопросе нельзя избежать некоторой концентричности изложения. Нужно только при первоначальном рассмотрении таких вопросов, чтобы теоретическое учение не разрывало связи с теми интуитивными представлениями, которые имеются у каждого ученика.

ВВЕДЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ*

Проф. А. Я. ХИНЧИН (Москва)

Извлечение квадратных корней из чисел дает повод к рассмотрению иррациональных чисел, которые в связи с этой темой должны быть введены в полном объеме. Мы рекомендуем при этом следующий порядок изложения.

I. Доказывается, что не существует При этом:

а) учащиеся должны с полной ясностью осознать, что смысл этой теоремы таков: не существует ни целого, ни дробного числа, квадрат которого равен числу 2; б) доказательство проводится подробно.

Пусть

тогда

где

р и q— целые числа, причем дробь

несократима; тогда p^ = 2q2y откуда видно, что р29 а значит и р—четное число: значит q — число нечетное; тогда равенство р2= 2q2 приводит к противоречию, так как р2 делится на 4, a 2q2 — нет;

* Для VIII класса.

в) указывается и разъясняется, что доказанная теорема равносильна несоизмеримости диагонали квадрата с его стороною. Сообщается, что в истории науки это был первый пример несоизмеримых отрезков (пифагорейская школа). При этом целесообразно рассказать учащимся о том, что это открытие произвело в древности огромное впечатление и было поводом к созданию ряда легенд (например, о том, что один из учеников пифагорейской школы, разболтавший эту «тайну» за оградою школы, опасаясь кары своих учителей, бежал на корабле и погиб во время бури, ниспосланной природой в виде мести за раскрытие ее тайн).

II. Вводится понятие о приближенных квадратных корнях с точностью до 1,1/10, Vioo и т. д. сперва из целых чисел, а затем и из дробей (Киселев, ч. I, стр. 94—99), при этом важно внести полную ясность. Дело обстоит так, что точного квадратного корня из данного числа (вообще говоря) не существует вовсе; приближенные же корни всегда существуют. Ошибкой было бы внушать учащимся на этом этапе мысль (или хотя бы оставлять возможность такой мысли), будто точный корень «существует, но не может быть точно вычислен», а приближенные корни — приближенные значения этого точного корня (учебник Киселева, ч. I, § 114—118; ч. II, § 8. Упражнения: Шапошников, гл. VII, примеры: №47, 48, 51—54, 57—74).

III. После этого учащимся указывается, что наши практические потребности и наша научная мысль не могут примириться с отсутствием чисел, выражающих |/2 , j/З и т. п. Мы видим и знаем, что диагональ квадрата со стороною 1 м имеет определенную длину, и мы хотим иметь возможность выразить эту длину определенным числом. Следует напомнить учащимся, что мы уже не раз, когда те или другие действия, практически нам нужные, не могли быть выполнены среди известных нам чисел, выходили из этих трудностей так, что вводили новые числа (отрицательные для вычитания большего числа из меньшего, дробные для того, чтобы иметь возможность выражать числами доли единицы), поэтому и в данном случае мы естественно ищем выхода в создании новых чисел.

IV. Затем дается определение "[/2 ; для этого:

а) выписываются последовательности приближенных корней с недостатком и с избытком:

отмечается, что в первой последовательности числа возрастают, а во второй — убывают, что разности соответственных приближенных корней становятся все меньше и меньше; дается детальная графическая иллюстрация;

б) число У~2 определяется как новое число, заключенное между всеми числами первой последовательности и всеми числами второй;

в) указывается, что это новое число целесообразно изображать бесконечной десятичной дробью 1,4142...;

г) доказывается, что эта дробь не может быть периодической. В самом деле, допустим, что эта дробь — периодическая, так как всякая периодическая дробь получается при разложении в десятичную дробь некоторого рационального числа (простой дроби), то значит, и наша дробь служит разложением некоторого рационального числа

Из арифметики известно, что в этом случае — больше любого из чисел ряда Я

(1) и меньше любого из чисел ряда (2); пусть а — любое число ряда (1) и b— любое число ряда (2); тогда

откуда (3)

с другой стороны, по самому определению приближенных корней

(4)

из (3) и (4) следует (здесь полезно графическое изображение), что:

но а и b любые числа рядов (1) и (2), поэтому они могут быть выбраны как угодно близкими друг к другу; значит,

может быть сделано как угодно малым:

значит, величина

меньше как-угодно малого положительного числа; следовательно, она равна нулю, т. е.

но это невозможно, как было доказано раньше. Таким образом, бесконечная дробь 1,4142... не может быть периодической.

Учащимся указывается, что аналогичным образом определяются иррациональные числа Ys, 1/5, V2 и т. п. Все эти числа выражаются непериодическими бесконечными десятичными дробями.

V. Пусть теперь, наоборот, дана любая непериодическая бесконечная десятичная дробь, например, 3,1415... Подобно предыдущему, строим для нее два ряда чисел:

(3)

и

(4)

Выясняем, что и здесь: а) любое число ряда (3) меньше любого числа ряда (4);

б) числа ряда (3) идут в возрастающем, а числа ряда (4) в убывающем порядке;

в) разность между соответственными числами рядов (3) и (4) уменьшается и становится как угодно малой. Даем графическую иллюстрацию.

Введем в рассмотрение новое иррациональное число, которое по определению больше всех чисел ряда (3) и меньше всех чисел ряда (4). Условимся изображать это число бесконечной десятичной дробью 3,1415...

Необходимо разъяснить учащимся, почему при определении иррациональных чисел мы исходим только от непериодических дробей. Если бы данная дробь 3,1415... была периодической, то, как известно из арифметики, она изображала бы собою некоторое рациональное число (простую дробь), которое больше всех чисел ряда (3) и меньше всех чисел ряда (4); у нас поэтому не было бы необходимости в новом числе, чтобы установить рубеж между этими двумя рядами.

Учащимся указываются примеры непериодических бесконечных дробей, например, 0,12112111211112...

Выводы: всякая непериодическая бесконечная десятичная дробь изображает некоторое иррациональное число, и, обратно, всякое иррациональное число изображается такой дробью.

VI. Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество всех вещественных чисел.

Каждое вещественное число изображается бесконечной десятичной дробью (так называемые «конечные» десятичные дроби мыслятся при этом как периодические с периодом 0 или 9: 0,5 = 0,5 (0) = 0,4 (9). При этом рациональные числа изображаются периодическими, а иррациональные—непериодическими дробями. Каждая бесконечная десятичная дробь изображает некоторое рациональное или иррациональное число, определяемое как общий рубеж двух рядов чисел, построенных для данной дроби по типу рядов (3) и (4).

Это определение позволяет графически изображать каждое вещественное число точкой прямой линии и, обратно, каждой точке прямой линии отнести некоторое вещественное число. Учащиеся на примерах строят графическое изображение данных (в виде бесконечных дробей) вещественных чисел и, наоборот, для графически заданной точки находят соответствующую ей бесконечную десятичную дробь. Учитель обращает их внимание на то, что после введения иррациональных чисел каждый отрезок получает определенную длину. Эта длина есть число рациональное, если отрезок соизмерим с единицею масштаба, и иррациональное, если он с этой единицею несоизмерим.

VII. Следует указать учащимся, что извлечение корней — далеко не единственный источник порождения иррациональных чисел; можно уже теперь сказать, что отношение длины окружности к диаметру есть иррациональное число, которое никакими радикалами из рациональных чисел не может быть выражено. Процесс определения иррациональных чисел посредством бесконечных дробей тем и важен, что этим путем может быть определено любое иррациональное число, независимо от того, порождается ли оно извлечением корней или какими-либо другими действиями.

VIII. Наконец, определяются условия равенства и неравенства вещественных чисел и дается понятие о действиях над ними (Киселев, ч. 2).

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ В КУРСЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Б. ЛУРЬЕ (Ленинград)

Настоящая статья имеет своей задачей обратить внимание преподавателей математики на целый ряд особенностей отдела о радикалах, которые совершенно не нашли отражения ни в программе Наркомпроса для средней школы, ни в стабильном учебнике и задачнике и очень слабо разработаны в учебной и методической литературе.

Между тем отчетливое прохождение отдела о радикалах является основным условием для получения учащимися твердых навыков в тождественных преобразованиях.

При самом первом ознакомлении учащихся с извлечением корня, как с действием обратным возвышению в степень, необходимо обратить особое внимание на вопрос о знаке. Сопоставление понятий «алгебраический корень» и «арифметический корень», изучение свойств так называемого алгебраического корня нельзя признать целесообразными. В практике вычислений и преобразований существует один только корень — арифметический, т. е., по определению Комарова («Теоретические основы арифметики и алгебры», стр. 151), «неотрицательное значение корня из неотрицательного числа». Поэтому учащимся следует сразу сообщать об ограничивающем условии относительно знака при извлечении корня четной степени из положительного числа и приучать выносить знак минус из-под знака радикала при нечетном показателе корня, т. е. при п нечетном

Корни четной степени из отрицательного числа в этом месте курса из рассмотрения совершенно исключаются, ибо понятие о мнимом числе гораздо целесообразнее давать учащимся в связи с изучением квадратных уравнений.

Такую постановку вопроса о знаке корня необходимо четко проводить во все время проработки отдела о радикалах, ибо на ней построен вывод всех законов преобразования радикалов. Эта точка зрения разрешает целый ряд неясных вопросов и гарантирует от ошибок, от которых несвободны авторы общеизвестных задачников. Можно привести ряд примеров неправильно решенных задач вследствие несоблюдения этими авторами соглашения о знаке корня.

1. Задачник Бычкова, отд. IV, № 520:

Ответ задачника (0) неверен. Правильное решение должно быть такое:

Автор задачника, очевидно, возводил в квадрат, не вынося минуса за знак радикала.

Эта задача может быть решена и более простым способом, если привести к показателю 6 корни, находящиеся в скобках:.

II. Задачник Тузова, гл. «Действия над радикалами», № 352:

Ответ задачника (2 |/23) неверен. Правильное решение должно быть такое:

Ошибка произошла от того, что

являющийся отрицательные числом, возводится в квадрат без предварительного вынесения минуса из-под знака радикала.

Эта задача допускает чрезвычайно простое решение, если привести к общему показателю 6 корни, находящиеся в скобках: один из множителей будет нулем, и, следовательно, отпадает необходимость в каких бы то ни было преобразованиях радикала

III. Задачник Шапошникова и Вальцова (стабильный), ч. 2, гл. IX, № 317.

Найти значение

Ответ задачника: 1.

На самом деле должно быть два ответа:

1) 1, если а<^Ь,

2) — 1, если ö> b.

Решение:

По условию об арифметическом корне

Поэтому

IV. Бертран. Алгебра. Во что обратится выражение

если положить в нем

Ответ Бертрана: оно сделается равным Ь. На самом деле должно быть два ответа:

1) Ь, если Ь^> 1

2) у, если £<1.

Решение:

Подставляем значение х:

По условию об арифметическом корне

Поэтому

Преобразования иррациональных выражений проходятся почти одновременно с ознакомлением учащихся с иррациональными числами. Поэтому в сознании учащихся понятие об иррациональном выражении связывается часто с вопросом о невыполнимости извлечения корня. Такое понимание иррационального выражения встречается и в некоторых учебниках. В учебнике Н. Маракуева «Элементарная алгебра» на стр. 186 читаем: «Действие извлечения корня из алгебраических выражений не всегда возможно. Так, когда показатель подкоренного количества не делится на показатель корня, то извлечение корня можно только обозначить, но нельзя выполнить на самом деле, например: У а1, у а9 и т. д. Точно так же корень из многочлена, не представляющего собой точной степени, не может быть извлечен, а потому его только обозначают при помощи знака примером может служить \/а2 + о2. Подобного рода выражения, которые нельзя привести к рациональному виду, называются иррациональными, также радикальными, или корневыми».

Это определение иррационального выражения надо считать неправильным.

Выражения

привести к рациональному виду можно; однако никто не будет называть их рациональными. Для уничтожения всякого рода неясностей в этом вопросе определение иррационального выражения надо дать по Комарову («Теоретические основы арифметики и алгебры», стр. 152) примерно в таком роде:

Всякое выражение, содержащее знак радикала, называется иррациональным,

например

В противоположность этому всякое выражение, не содержащее знака радикала, называется рациональным.

Полезно тут же оттенить в сознании учащихся разницу между иррациональным числом и иррациональным выражением на следующих примерах. у^8 является иррациональным числом и иррациональным выражением; |/^ 125 — только иррациональное выражение; yd*+Ü* может быть и рациональным и иррациональным числом,

но всегда остается иррациональным выражением.

Основой преобразования иррациональных выражений является тождество (n\f а}П=а, выражающее определение корня. Прежде всего оно должно быть использовано для преобразования всякого рационального выражения в иррациональное:

Такого рода упражнения уже в самом начале отдела о радикалах указывают учащимся на возможность разложения любого рационального числа на какое угодно число одинаковых сомножителей и, следовательно, позволяют сокращать дроби такого вида:

Первые задачи, помещенные в стабильном учебнике Шапошникова и Вальцова (ч. 2, гл. IX, № 255, 259) на уничтожение иррациональности в знаменателе дроби, могут быть решены простым сокращением при первом ознакомлении учащихся с преобразованием радикалов и вовсе не должны быть отнесены к отделу «Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби», требующему специальных приемов.

№ 255. № 255. № 259. № 259.

И в дальнейшем, во всех случаях, где можно сократить на радикал в знаменателе, я считала бы нерациональным, даже вредным, уничтожение иррациональности в знаменателе, как приучающее учащихся к усложненным приемам работы.

Второе применение тождества {{yf ü)*— cl — это вывод основных законов тождественных преобразований радикалов.

Тождественные преобразования иррациональных выражений, как и тождественные преобразования рациональных выражений, должны состоять из двух частей:

1) из так называемых «действий с радикалами», т. е. преобразований, представляющих собой непосредственное применение правил действий с арифметическими корнями,

2) из разложения иррациональных выражений на множители и преобразований иррациональных дробей.

Первая часть в методической и учебной литературе разработана достаточно подробно и четко; подробно изложена она и в программе Наркомпроса. Что касается второй части — преобразования иррациональных дробей, то она сводится в программе Наркомпроса и в стабильном задачнике и учебнике к одному только преобразованию — уничтожению иррациональности в знаменателе дроби.

Надо сказать, что и вообще в учебной и методической литературе вопрос о преобразованиях иррациональных дробей освещен чрезвычайно слабо. В старом издании задачника Шапошникова и Вальцова разложение иррациональных выражений на множители отнесено к последнему отделу так называемых смешанных преобразований. В задачнике Бычкова имеется всего несколько задач на сокращение дробей с помощью формул сокращенного умножения и деления.

Между тем навыки учащихся в преобразованиях рациональных дробей далеко недостаточны для того, чтобы учащиеся могли преодолеть все могущие им встретиться затруднения при преобразовании иррациональных дробей. При недостаточном внимании преподавателя к этому вопросу учащиеся приобретают своеобразный подход к иррациональной дроби и при первом взгляде на нее сейчас же, не задумываясь, стремятся уничтожить иррациональность в знаменателе, что приводит в целом ряде случаев к невероятно сложным, запутанным преобразованиям.

Для устранения этих недочетов необходимо начинать заниматься разложением на множители и иррациональными дробями

очень рано, задолго до ознакомления учащихся с уничтожением иррациональности в членах дроби, параллельно с прохождением умножения, деления и возвышения в степень иррациональных выражений.

Умножение и деление иррациональных многочленов на одночлен можно сейчас же использовать для разложения иррациональных выражений на множители посредством вынесения за скобки общего множителя и группировки, а следовательно, для сокращения дробей и для приведения дробей к общему знаменателю.

Примерный перечень упражнений.

I. Разложить на множители следующие выражения:

Напомнив учащимся преобразование любого рационального числа в нужную степень иррационального, можно перейти к разложению на множители следующих выражений:

III Сократить дроби:

IV. Упростить выражение:

Еще более широкие возможности в области преобразования иррациональных дробей открываются после того, как будет пройдено возвышение корней в степень.

Самое возвышение корней в степень следует начинать с известных уже учащимся приемов, т. е. с использования тождества ~j\n = а.

Упражнения располагаются следующим обрззом:

1. Упражнения, в которых формула а\П= а> имеет прямое применение, например:

II. Упражнения, в которых кроме формулы tya} = я, требуется еще применение закона возвышения в степень произведения, например:

III. Упражнения, в которых кроме формулы {{y"~aÇ= ciy требуется еще применение закон! возвышения степени в степень:

IV. Упражнения, в которых, кроме формулы ~аУ= й> требуется еще применение и закона возвышения степени в степень и произведения в степень:

Возвышение корней в степень по правилу [у а) = уаш должно применяться только в тех случаях, когда без него обойтись нельзя, например:

При выводе правила ftf а^т=п^Гат необходимо снова напомнить учащимся, что оно, как и все другие законы действий с корнями, применимо только к арифметическим корням, т. е. к тому случаю, когда под знаком корня положительное число.

Полезно указать учащимся на преимущество приема возвышения в степень по правилу Çy~£Ç= а как справедливому для всех случаев без ограничений и, следовательно, всегда дающему один и тот же ответ, и рекомендовать пользоваться тождеством ^nyr~^Y=a во всех случаях, где это возможно. На несложном примере (V"0)2 и У"а? можно установить разницу между обоими способами возвышения корня в степень: у а2 равняется либо +ö, либо —а, смотря по тому, будет ли а числом положительным или отрицательным, (у а)2 всегда равняется а. Но и применяя тождество

учащиеся должны уметь упрощать свою работу, пользуясь, где можно, сокращением показателей, например:

От этих упражнений легко перейти к представлению каждого радикала в виде степени:

Последнее преобразование чрезвычайно важно для разложения иррациональных выражений на множители.

Прием возвышения корней в степень можно сейчас же использовать для решения простым сокращением следующих задач из стабильного задачника Шапошникова и Вальцова (ч. 2, гл. IX), отнесенных к отделу «Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби»:

№ 257. а) № 257.

№ 260. а)

№ 260. б)

№ 262,

Следующим применением возвышения корней в степень являются формулы сокращенного умножения и деления иррациональных выражений. На этих формулах учащиеся, владеющие уже всеми приемами возвышения корней в степень, научаются выбирать тот из них, который в данном конкретном случае является наиболее удобным. Полезно порешать с учащимися и такие задачи, в которых, помимо правил возвышения корней в степень, требуется еще применить соглашение о знаке корня.

Задачник Бычкова: отд. IV, № 554:

В задачнике соглашение о знаке не соблюдено, и ответ задачника неправилен.

Параллельно с умножением и делением иррациональных выражений по формулам можно переходить к использованию этих формул для разложения иррациональных выражений на множители.

Упражнения располагаются в следующем порядке.

1. Квадрат двучлена:

III. Затем указав учащимся, что, пользуясь радикалами, можно любую разность представить как разность квадратов, следует перейти к разложению на множители таких выражений:

Можно предложить для разложения на множители и такие выражения, где нужна некоторая догадливость, например:

II. Разность квадратов. Начинают с выражений, в которых легко усмотреть разность квадратов:

После этого на одном из указанных примеров можно проделать и «неограниченное» разложение на множителей:

IV. Сумма и разность кубов. Начинают с выражений, в которых легко усмотреть сумму или разность кубов:

V. Затем, обратив внимание учащихся на то обстоятельство, что, с помощью радикалов можно любую разность представить как разность кубов и любую сумму — как сумму кубов, переходят к разложению на множители следующих выражений:

Изложенные упражнения в разложении на множители способствуют математическому развитию учащихся, приучая их учитывать условия, в которых производится то или иное преобразование. Учащиеся убеждаются, что выражения, которые считались ими не разлагающимися на множители, становятся разлагающимися, если изменить условия работы, т. е. снять ограничения «целые и рациональные» по отношению к множителям. Учащиеся легко устанавливают и другие особенности разложения на иррациональные множители: в то время, как разложение на рациональные множители может быть произведено только одним образом и всегда имеет границу, дальше которой итти нельзя,— разложение на иррациональные множители может быть произведено различным образом и продолжать его можно как угодно далеко.

VI. Комбинированные приемы:

(Задачник Шапошникова и Вальцова, старое издание, ч. 2-я, гл. VIII, № 300)

(Маракуев — «Элементарная алгебра», гл. XV, № 77).

Усвоенные приемы разложения иррациональных выражений на множители позволяют уже учащимся производить всевозможные преобразования иррациональных дробей.

Упражнения начинаются с сокращения дробей

Затем переходят к задачам на все действия с иррациональными дробями:

Сократив каждую из данных дробей, приходим к сложению дробей с одинаковыми знаменателями:

Задача была предложена на приемных испытаниях в Ленинградский индустриальный институт осенью 1937 г.

Задача была предложена на приемных испытаниях в Ленинградский индустриальный институт осенью 1937 г.

Задача взята из задачника Тузова (гл. «Действия над радикалами», № 349).

Проделав ряд задач, подобных вышеизложенным, учащиеся не только закрепляют правила действий с радикалами, но и повторяют все основные вопросы, связанные с преобразованием алгебраических дробей, как, например, вопрос о знаке, о порядке действий и т. д.

Можно перейти и к более сложным задачам, на которых учащиеся могут приобрести навыки наиболее экономных и изящных способов решения. Таковы, например, задачи, требующие предварительного сокращения дробей, задачи с так называемыми сложными дробями:

2. Задачник Тузова (Гл. «Действия над радикалами», № 354).

Уменье быстро и красиво преобразовывать иррациональные выражения на основании разложения их на множители, повидимому, чрезвычайно ценится нашими высшими учебными заведениями. В Ленинградском индустриальном институте в течение последних лет на приемных испытаниях большей частью предлагаются такие задачи на преобразования радикалов, которые легко и изящно решаются разложением на множители.

В фронтальных работах, присланных в январе текущего года ГУУЗ'ом НКТП для выпускных групп рабфаков, задачи на преобразования выражений с дробными показателями тоже требуют уменья учащихся справляться с разложением на множители. Такова, например, задача:

А разложение на множители выражений с дробными показателями может быть усвоено учащимися лишь в том случае, если они умеют разлагать на множители иррациональные выражения.

Исключение разложения иррациональных выражений на множители из программ Наркомпроса и стабильных учебников является причиной того, что большинство экзаменующихся в вузы школьников решают задачи на преобразование иррациональных дробей самыми варварскими методами.

Вот что может сделать учащийся, не знающий разложения иррациональных выражений на множители, из следующей простой задачи, предлагавшейся осенью 1937 г. на приемных испытаниях в Ленинградский индустриальный институт.

Упростить выражение:

Предполагаю, что учащийся хорошо знает все, чему его учили в школе, т. е. действия с целыми иррациональными выражениями и уничтожение иррациональности в знаменателе дроби, а также владеет преобразованиями рациональных дробей.

Привожу два способа решения, которые могут применяться таким учащимся.

Первый способ. Предполагаю, что учащийся начинает с уничтожения иррациональности в знаменателе дроби:

Второй способ. Предположим, что числитель первой дроби, т. е. начнет со учащийся будет иначе преобразовывать сложения дроби с целым выражением:

Вот решение той же задачи с помощью разложения на множители:

Является теперь вопрос, какое же место нужно отвести в школьном преподавании уничтожению иррациональности в знаменателе дроби? Значение этого преобразования двоякое: С одной стороны, уничтожение иррациональности в знаменателе дроби упрощает значительно вычисления с радикалами и уменьшает погрешность результата. Поэтому приемы, позволяющие делать рациональным числовой одночленный знаменатель, вводятся очень рано: при извлечении приближенного квадратного корня из дробей. И в дальнейшем всякий раз, когда в результате решения задач (главным образом геометрических) получается иррациональный числовой ответ, который требуется вычислить приближенно, надо приучать учащихся уничтожать иррациональность в знаменателе.

Второе значение уничтожения иррациональности в знаменателе дроби — упрощение преобразований. Надо сказать, что случаи, когда уничтожение иррациональности в знаменателе может упростить преобразования, не так уже часто встречаются, и то огромное значение, которое придается этому -преобразованию в учебной и методической литературе, едва ли может быть оправдано. В смысле удобства преоб-

разований едва ли меньшее значение имеет уничтожение иррациональности в числителе дроби, которое очень пригодится учащимся в высшей школе.

Поэтому, если не преследовать вычислительных целей, надо упражнять учащихся в уничтожении иррациональности не только в знаменателе, но и в числителе, и даже назвать это преобразование: «Уничтожение иррациональности в членах дроби», тем более, что учащиеся пользуются одинаковыми приемами, в каком бы из членов дроби они ни уничтожали иррациональность.

Уничтожение иррациональности в членах дроби лучше проходить возможно позже, когда учащиеся достаточно твердо овладеют наиболее важными преобразованиями иррациональных дробей, т. е. преобразованиями с помощью разложения на множители. Только при этом условии в сознании учащихся оттеняется сравнительно небольшое значение уничтожения иррациональности в членах дроби, и они применяют его только тогда, когда оно действительно необходимо. Таковы задачи № 289, 290 и др. из стабильного задачника Шапошникова и Вальцова (ч. 2, гл. IX), таковы задача № 317 из того же задачника и задача № 355 из задачника Тузова (гл. «Действия над радикалами»), решение которых приведено в начале этой статьи, такова, например, следующая задача из сборника задач Шмулевича:

При решении этой задачи применяются разложение на множители и сокращение дробей, и только в одном месте, где без этого нельзя было обойтись, применено уничтожение иррациональности в одном из членов дроби (не в знаменателе, как это обычно делается, а в числителе).

Внесение в программу преобразования иррациональных дробей на основе разложения иррациональных выражений на мно-

жители, конечно, потребует некоторого увеличения числа часов, отводимых на отдел о радикалах. Но этого времени жалеть не надо: оно окупится в дальнейшем, ибо позволит значительно быстрее пройти преобразования с дробными показателями, не говоря уж о том, что прочные навыки в преобразованиях радикалов облегчают усвоение всех отделов алгебры.

К ВЕСЕННИМ ИСПЫТАНИЯМ

К ВОПРОСУ ОБ ИСПЫТАНИЯХ ПО МАТЕМАТИКЕ

Е. БЕРЕЗАНСКАЯ, Е. ЗАГОСКИНА, В. ПРОЧУХАЕВ

(Кабинет математики Института школ Наркомпроса)

1. ОРГАНИЗАЦИЯ ПИСЬМЕННЫХ ИСПЫТАНИЯ

Письменные работы на испытаниях по арифметике в V классе, по алгебре - в VI, VII, VIII и X классах, как известно, состоят из одной задачи и двух примеров. В ныне пнем году дополнительно будут проведены письменные испытания по алгебре в VI классе (вместо арифметики). По объему ата работа рассчитана в V, VI и VII классах на 2 астрономических часа, в VIII, IX, X класс и — на 3 часа (без перерывов); конечно, при этом некоторое время дается ученику для проверки выполненной работы, для переписки набело, если это ему понадобится, но все же р 1бота, даваемая на испытаниях по математике, по объему больше той, которая обычно дается на письменных работах в году. Учителю следует заранее к этому подготовить учеников, проведя в IV четверти хотя бы одну двухчасовую письменную контрольную работу. Иначе ученики, не имея привычки располагать таким большим временам при выполнении работы, видя перед собой большое задание, начинают торопиться и часто из-за этого менее удачно выполняют работу, чем они могли бы это сделать в спокойном состоянии.

В предыдущие годы на испытаниях по математике имели место и такие случаи, когда ученики в подавляющем большинстве очень быстро выполнили всю работу, так как работа была по объему рассчитана менее, чем на положенное время, и по содержанию слишком легка (см. пример ниже). Этого, конечно, рекомендовать нельзя.

Ниже мы приводим примерное содержание письменных работ по классам, кроме X класса, где текст письменной работы дается отделами народного образования. Приводимые работы являются примерными, наиболее характерными из тех, которые давались учителями в предыдущие годы. Даются два варианта работ в среднем одинаковой трудности.

По содержанию письменная работа на испытаниях должна охватывать основные вопросы годового курса и выполняться учениками так, как это они привыкли делать в течение года. Так, если учитель приучил учеников V класса при решении арифметической задачи, кроме постановки вопросов, давать еще словесные пояснения к решению задачи, то он может этого требовать от учеников и во время испытания. Во всяком случае необходимо приучить учеников и требовать во время испытаний при решении задач письменных объяснений как в работах по алгебре, так и в работах по геометрии; необходимо, чтобы при решении задач ученики, вводя обозначения ху у, h, s и т. п., оговаривали, что они понимают под этими обозначениями. К сожалению, в прошлом году многие письменное работы учеников, просмотренные нами, не удовлетворяли этому требованию,, и нередки случаи, когда ученик не доводил до конца решения задачи именно потому, что он сам забывал смысл вводимого им обозначения или терял нить рассуждения.

Одним из неразрешенных вопросов в этом году, как и в предыдущие годы, оставался вопрос о черновиках. В X классе на письменных испытаниях ученики получают сразу два листа бумаги со штампом школы; один из них они могут использовать в качестве черновика. На черновике ученики должны также писать аккуратно, и этот второй лист — черновик,— даже если ученик его не использовал, должен быть сдан учителю по окончании работы вместе с основным листом.

Но на основном листе работа должна быть так выполнена, чтобы учителю не было необходимости обращаться к черновику ученика для разыскивания промежуточных вычислений или записей, для того, чтобы узнать, откуда получился тот или иной ответ; другими словами, все дополнительные и промежуточные вычисления должны быть показаны и выполнены на основном листе, на котором ученик выполняет работу. Это должно быть указано ученикам X класса значительно ранее испытаний, для того, чтобы они привыкли выполнять это требование; ведь при просмотре ученических тетрадей, даже с домашними их работами, очень часто наблюдаются случаи, что в записях отсутствуют такие преобразования и вычисления, которые ученик не мог выполнить в уме: этим не только затрудняется проверка работы для учителя,— из-за этого берется под сомнение и самостоятельность выполнения работы учеником.

Например, в прошлом году ученики V класса одной школы на письменном испытании подавали решение пропорции в таком виде:

Как расценить такую работу? Кем и где она выполнена?

Сказанное о работе с черновиками относится к письменным испытаниям по математике учеников X класса. В остальных классах следовало бы проводить письменные испы-

тания без черновиков, но опыт прошлого года показывает, что достичь этого очень трудно, и в течение нынешнего года также во многих школах ученики не приучены выполнять работу без черновика. Поэтому в тех классах и школах, где ученики не привыкли работать без черновика, придется поступать так же, как выше указано для X класса.

Нам кажется, и мы убедились в этом на опыте, что ученики не так будут склонны пользоваться черновиками (обычно клочками бумаги, на которых при быстро, обычно небрежно выполняемых вычислениях увеличивается число ошибок), если создать в них уверенность, что им не будет снижена оценка в случае неудачного приема решения задачи или преобразования, но аккуратно перечеркнутого, при случайной ошибке в вычислениях (а кто из учителей никогда не ошибается в вычислениях?!), если эта ошибка самим учеником исправлена, и т. п. Следует приучать учеников все дополнительные вычисления выполнять тут же в тетради, иногда на полях.

Все сделанные указания о времени, данном для выполнения работы, о пользовании черновиками, о записи текста, о записях с пояснениями, о дисциплине во время письменной работы (поднятии руки в случае надобности спросить что-либо у учителя), о праве уйти по выполнении работы, о недопустимости разговора с соседом или передачи ему промокательной бумаги и т. п., надо повторить ученикам в самом начале работы, до того, как им будет разрешено приняться за ее выполнение. Мы говорим «повторить» потому, что считаем необходимым все эти навыки создать у учеников в учебное время, до испытаний.

Обычно текст письменных работ во время испытаний пишется учителем на доске; в отдельных случаях учитель заготовляет текст (через копирку) на отдельных листах для всех учеников. Последний прием, конечно, лучше: он экономит у учеников время, и, кроме того, при этом реже встречаются случаи ошибочного списывания учеником текста работы. Если же текст работы пишется на доске, то лучше заготовить его на доске заранее, минут за 10 до начала испытания, для того, чтобы иметь время спокойно проверить, четко ли и правильно ли все написано, чтобы не задерживать начала работы и в то же время не допускать такого положения, когда учитель пишет текст, стоя спиной к классу, а ученики из-за его спины стараются по частям списывать задание; это прежде всего приводит к ошибкам при переписке текста. Во всех случаях текст работы должен быть полностью переписан учеником на лист, на котором он выполняет работу; это позволит избежать недоразумений в тех случаях, когда ученик утверждает, что он решал задачу при иных данных. Некоторые учителя требовали после переписки текста работы обязательного прочтения его вслух одним из учеников, т. е. сверки, и только после этого разрешали приступать к решению. Другие учителя, наоборот, сами читали вслух текст работы. В старших классах мы считаем это чтение излишним, так как опыт показывает, что часто ученики, занятые уже переписанным у них текстом, невнимательно слушают; в IV и V классах такая совместная проверка записанного более целесообразна, чем в других классах.

Иногда в школах, где имеется несколько параллельных классов, для того, чтобы не составлять новых вариантов работ, письменные работы на испытаниях проводятся в параллельных классах одновременно, причем они проводятся под присмотром не преподавателя математики; преподаватель математики должен хотя бы некоторое время присутствовать в каждом из этих классов, потому что может оказаться необходимость в каком-либо разъяснении с его стороны.

Одно из основных требований к преподавателю, составляющему текст письменных контрольных работ,— это обязательное решение им самим всех работ и наличие ответов к ним для того, чтобы не было каких-либо неожиданностей во время испытаний. Само собой разумеется, что ответы, как и обычно, при выполнении учениками письменных работ, им не сообщаются. Оценки за выполнение письменной работы на испытании ставятся так же, как в течение года, только в течение года многие учителя в качестве воспитательной меры снижают оценки «хорошо» и «отлично» на одну ступень за ошибки орфографические, иногда и за плохую каллиграфию; при оценке работы ученика, выполненной во время испытания, надо объективно оценить приобретенные им математические знания, поэтому такого снижения оценки нельзя рекомендовать.

Выполненными считаются задача или пример только в том случае, если решение доведено до конца и получен верный ответ. В остальных случаях учитывается характер допущенных ошибок; при наличии хотя бы одной ошибки, показывающей, что курс математики не полностью усвоен учеником, т. е. он не понимает какой-либо зависимости между данными и искомыми, поэтому не решил задачи, он не знает какой-либо формулы, какого-либо правила действия, оценка за работу не может быть выше «посредственно»; ученик не может получить даже оценки «посредственно», если при выполнении работы он не получил ни одного верного ответа. Это надо указывать ученикам и в процессе обучения, так как иногда ученики склонны в этих случаях оспаривать плохую оценку их работы, даваемую учителем, утверждая, что «ход решения у них правилен».

Учитель проверяет письменные работы учеников до соответствующего устного испытания; многие учителя на устных испытаниях выясняли дополнительными вопросами, случайно ли была допущена та или иная ошибка учеником во время письменной работы (из-за некоторого возбуждения или по иной причине) или эта ошибка вытекала из нетвердого усвоения им курса. Результат этой проверки учитывался при окончательной оценке знаний учеников.

2. содержание письменных испытании по арифметике в v классе

Письменные испытания по арифметике в V классе имеют своей целью проверить вычислительные навыки и уменье решать задачи, приобретенные в процессе изучения всего курса арифметики.

Поэтому учителя лучших школ строили письменную работу на испытаниях так, что она отражала навыки в выполнении действий с дробными числами и уменье решать задачи, в частности, с применением процентных расчетов и пропорциональной зависимости.

Письменная работа в V классе обычно содержала:

1) пример на совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями;

2) пример на решение пропорции со включением обыкновенных и десятичных дробей;

3) задачу на пропорциональное деление с применением процентных расчетов.

Наиболее удачным следует признать такой выбор примера с дробными числами, где последний отражает ухменье учащихся выполнять действия как в случае нормального порядка действия, так и при наличии скобок, например:

Менее удачны с точки зрения порядка действий примеры типа:

(отсутствует нормальный порядок действий), встречавшиеся в ряде школ.

Некоторые учителя загромождали вычисления слишком большим числом знаков в заданных числах, например:

Иногда в письменных работах встречались примеры и задачи облегченные; так, был предложен пример на решение пропорции:

который наиболее сильные учащиеся, заменив 2,5 через

могли быстро решить устно; этот пример полезно дать во время устного испытания. В той же школе была дана и слишком простая задача, легко решающаяся устно, а именно:

«Колхоз имел 245 т пшеницы, из них 20°/0 размололи на муку, 101/0 продано в кооперацию и 1% выдали нетрудоспособным членам колхоза. Ск. тонн пшеницы осталось в колхозе?»

Приведем образцы задач средней трудности, которые были даны в некоторых школах:

«За три дня магазин продал 8 400 м материи. В 1-й день продали 45Vo всей материи, а количества метров, проданные во 2-й и 3-й дни, относились, как 3,1:2,9. На какую сумму продали материи в третий день, если 1 метр ее стоил 4,75 руб.».

«В магазине было всего 850 учебников по истории, по географини по математике, причем количества учебников по каждому предмету относились, как 8:4:5. Продали — всех имевшихся учебников по истории, 0,6 всех учебников по географии и 15,2 70 всех учебников по математике. Сколько продали учебников по каждому предмету?»

Надо указать, что иногда учителя, сами составляя задачу, недостаточно заботились о правильности и ясности формулировки ее текста, встречались также задачи с нереальным содержанием («сберкасса платит 8,5'70*» или: «кусок сукна в 1 200 м»), а также с текстом, содержащим термины, могущие затруднить учащихся во время испытания («минеральное удобрение», «зубчатка», «шестерня» и т. п.).

8. содержание письменных работ в vi— ix классах

Письменные испытания по алгебре имеют целью проверить навыки учеников в выполнении тождественных преобразований, в решении уравнений, а также уменье решать задачи методом составления уравнений.

Поэтому в большинстве школ письменная работа по алгебре, состоявшая из двух примеров и задачи, для VII класса содержала: 1) пример на действия с алгебраическими дробями; 2) пример на решение уравнения первой степени с одним неизвестным или системы уравнений; 3) задачу на составление уравнения 1-й степени или системы уравнений.

Для VIII класса: 1) задачу на составление квадратного уравнения, 2) пример на действия с радикалами; 3) пример на решение квадратного уравнения с буквенными коэфициентами или на решение иррационального уравнения или системы уравнений второй степени.

Для IX класса: 1) задачу на прогрессио арифметическую или геометрическую или в некоторых удачно составленных работах — на сочетание обоих видов прогрессий. Решение задачи сводилось к составлению и решению системы уравнений; 2) пример на логарифмирование с применением вычислений по таблицам, причем приходилось применять логарифмирование по частям; 3) пример на решение показательного или логарифмического уравнения или на действия с отрицательными и дробными показателями.

В нынешнем году письменная работа по алгебре будет проведена и в VI классе. Материал программы по алгебре VI класса не позволяет дать для решения задачу, поэтому, повидимому, учителя дадут для решения во время письменных испытаний в VI классе 3 примера: 1) пример на нахождение численного значения буквенного выражения при дробных как положительных, так и отрицательных значениях, входящих в него букв; 2) пример на действия с целыми многочленами, например на деление, при выполнении которого ученикам приходится показать знание и умножения и вычитания многочленов, или комбинированный пример, например вида: [(a + b)- — (а + Ь)(а — Ь)]-к, где я, Ь и к—целые одночлены, где также ученики могут показать знание правил действий с многочленами и знание формул; 3) пример на разложение на множители с' применением хотя бы двух приемов преобразований, например применение формулы и группировки членов.

Письменные работы по алгебре, дававшиеся в различных школах, представляют большое разнообразие в отношении степени труд-

ности как задач на составление уравнений, так и примеров.

В VII классе наравне с несложными примерами на решение системы уравнений встречаются трудные уравнения с буквенными коэфициентами и дробными членами; в IX классе, наравне с задачами средней трудности, требующими для решения использования теории как арифметической, так и геометрической прогрессии и составления системы уравнений, встречаются облегченные задачи, решение которых сводится по существу только к подстановке данных в одну из известных учащимся формул теории прогрессий.

Вот задача, которую мы считаем одной из удачных задач, предложенных на испытании в IX классе.

«Сумма трех членов геометрической прогрессии равна 26; те же числа составляют первый, второй и пятый члены возрастающей арифметической прогрессии. Найти эти числа».

Приведем примеры письменных работ средней трудности для VII и VIII классов, дававшихся на испытаниях.

VII класс

Решить уравнение:

3. «Куплена ткань двух сортов, всего на 122 руб. Один метр ткани первого сорта стоит 20 руб.; один метр ткани второго сорта стоит 15,5 руб.; если бы купили ткани первого сорта на 2 м больше, а ткани второго сорта в два раза меньше, то вся покупка стоила бы на 9 руб. дороже. Сколько куплено ткани каждого сорта?»

Приведенный пример на действия с алгебраическими дробями позволяет выявить уменье ученика раскладывать многочлен на множители, знание формул сокращенного умножения и деления, уменье выполнять действия с алгебраическими дробями.

VIII класс

1. «Две работницы швейной фабрики, работая вместе, могут выполнить работу за б час. Первая из этих работниц, работая отдельно, могла бы сделать эту работу на 5 час. скорее, чем вторая. Во сколько часов каждая работница в отдельности может сделать ту же работу?»

Решить систему уравнений:

Выполнить указанные действия:

В некоторых случаях учителя предъявляли ученикам излишнее требование решить предложенную им задачу с помощью составления одного уравнения (первой степени —в VII классе, или второй степени — в VIII классе), когда более естественно для решения этой задачи составить систему 2 уравнений с двумя неизвестными.

Надо еще раз указать, что лишь в немногих школах учащиеся выполняли проверку решений уравнений даже при решении иррациональных уравнений. Редки также случаи, когда учащимися давались необходимые четкие пояснения к составлению уравнений и проводилась проверка решения задачи.

Заметим еще, что в нынешнем году для различных школ и даже для IX и X классов одной школы не следует выдвигать требования пользоваться одними и теми же таблицами логарифмов во время испытаний; надо позволить ученикам пользоваться теми таблицами, к которым они привыкли в течение учебного года — четырехзначными или пятизначными.

4. ОРГАНИЗАЦИЯ УСТНЫХ ИСПЫТАНИЙ

В инструкции Наркомпроса РСФСР к весенним испытаниям указывается, что устные испытания можно проводить отдельно для каждой половины класса, но в один и тот же день. Опыт прошлого года показывает, что это удобно; учителю можно составить несколько меньшее число билетов, чем требовалось бы для всего класса: ученики не так устают, так как проводят в классе значительно меньше времени, и вся обстановка испытаний более спокойная при меньшем числе присутствующих учеников, по существу ничем не занятых и горящих желанием поделиться с товарищами впечатлением от ответа спрашиваемого ученика.

Введение билетов при устном опросе учеников, по отзывам многих преподавателей, упростило и упорядочило организацию устных испытаний и обеспечило объективную проверку знаний Но все же в прошлом году в организации устных испытаний были допущены ошибки. Так, в отдельных классах испытания сильно затягивались. Был случай, когда устные испытания в X классе по геометрии продолжались 11 час; следует заранее тщательно продумать все детали проведения устных испытаний, чтобы в нынешнем году избежать этого. Для того, чтобы не затягивать испытания, учителя применяли различные приемы, в большинстве случаев вызывали одновременно несколько учеников и давали им билеты для предварительной подготовки, причем часто эта предварительная подготовка выполнялась учениками на листках бумаги за партой; иногда учитель спрашивал одновременно двух-трех учеников; применялись и другие приемы.

Мы укажем те из них, которые по нашим наблюдениям, обеспечивали организованное, спокойное, по возможности, быстрое проведение устного испытания при полноценном опросе каждого ученика; эти приемы применялись многими преподавателями.

Вначале вызывались 3 ученика; обычно ученики вызывались по алфавиту. Если среди первых трех нет такого, который, как знает учитель, может поскорее подготовить ответ (чтобы не терять времени при ожидании первого отвечающего) и дать хорошим ответом бодрое начало всему испытанию, то

можно одного из первых трех учеников вызвать не по алфавиту.

Конечно, заранее должна быть обеспечена возможность 3 ученикам одновременно подготовлять ответ на доске, т. е. в классе должны стоять или три доски или одна доска должна быть настолько велика, чтобы она могла быть разделена на 3 части, на каждой из которых ученик может дать детальный ответ на все вопросы одного билета.

Нежелательно позволять ученикам подготовлять ответ на листке бумаги за партой, так как в этом случае ученику все равно придется с листка переписывать выполненную работу на доску, иначе при ответе его с листка (что имело место в предыдущем году) его ответ не виден ни ассистенту ни остальным ученикам.

Нецелесообразно вызывать одновременно 4 учеников, так как опыт показал, что в этом случае один из отвечающих напрасно тратит время, пока до него дойдет очередь; он напрасно утомляется; вызов 2 учеников затягивает время испытаний, поэтому наиболее организованно проходила работа там, где одновременно билеты брались 3 учениками.

После того, как один из них закончит свой ответ, вызывается следующий учащийся.

Надо указать, что в некоторых классах, где мы присутствовали на испытаниях, вызванные ученики спокойно разделили доску на 3 части, и каждый выполнял работу на отведенном ему месте; в других же классах ученики заявляли учителю, что у них места нехватает, причем записи их были беспорядочны и размашисты. Ясно было, что в первом случае такой порядок работы был привычен для учеников. На это следует обратить внимание и в текущей работе приучать учеников к аккуратной, систематической культурной записи на доске, а также к четкому и хорошему выполнению чертежа.

Нередко во время испытаний учитель спрашивал первого ученика по первому вопросу его билета, затем этот ученик подготовлял ответ на второй вопрос, в это время учитель спрашивал второго ученика, опять неполностью, затем возвращался к первому ученику и т. д. Этот прием опроса очень неудачен: он отнимает лишнее время, появляется суетливость в движениях учителя, которая возбуждающе отражается на классе, кроме того, теряется цельность впечатления от ответа каждого ученика.

Надо дать ученику подготовить ответ на доске, а затем спрашивать его. Ученик должен написать все, что требуется, т. е. привести требуемое доказательство полностью, решения задачи так, чтобы при ответе ему не приходилось что-либо дописывать. Написанное характеризует знания ученика и его уменье отвечать, и «отлично» может быть оценен ответ ученика только в том случае, когда ученик без каких-либо наводящих вопросов учителя, четко и последовательно выполнил все записи, дал полные формулировки и пояснения при доказательстве. Поэтому, когда ученик отвечает, учитель не должен нарушать связности его ответа преждевременными или дополнительными вопросами. В этом отношении в прошлом году наблюдались наибольшие недочеты в технике проведения устных испытаний. Неоднократно приходилось наблюдать, как ученик только начинает отвечать, а учитель уже его прерывает вопросами: «Почему?», «А откуда ты это взял?». Или ученик скажет одно-два слова, стоит и ждет, пока учитель скажет ему: «Верно, продолжай»... Давать связный ответ— этому также надо научить учеников в процессе обучения. На устном же испытании надо сперва дать ученику изложить последовательно все то, что он может сказать по вопросам его билета, после этого можно задать ему все необходимые вопросы как для того, чтобы выяснить, почему та или иная запись дана им на доске, так и для того, чтобы, если это необходимо, дополнительными вопросами выявить степень понимания им вопроса. Если ученик не дает правильного ответа на вопрос, то преподаватель задает ему дополнительные наводящие вопросы или непосредственно сам исправляет неправильный ответ ученика; в редких случаях учитель обращается к классу с предложением, кому-либо из присутствующих учеников дать правильный ответ; по существу это и нецелесообразно, так как это уподобляет проверочное испытание уроку. Если учитель убеждается, что ученик совершенно не знает вопроса, он может предложить ученику взять другой билет; сам ученик также, как известно, может попросить другой билет, отказываясь от ответа на первый.

Опыт показал, что это случается нечасто; ведь, для того, чтобы взять другой билет, надо не знать ответа ни на один из поставленных в билете вопросов, т. е. не знать существенных вопросов, по крайней мере, из двух разделов курса, что бывает только у учеников, совершенно не подготовленных к испытанию. Иногда же ученик, волнуясь, отказывается от ответа на вопросы билета, в этом случае, прежде чем дать ему другой билет, полезно предложить ему все же подумать над первым.

5. БИЛЕТЫ ДЛЯ УСТНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ГЕОМЕТРИИ И ТРИГОНОМЕТРИИ

Билеты для устного опроса по геометрии состоят обычно (и это целесообразно) из трех вопросов по трем различным разделам программы, причем один вопрос заключает требование доказать теорему, т. е. показать свое уменье рассуждать, другой вопрос предлагает решить задачу на вычисление, доказательство или построение, т. е. показать свое уменье применять приобретенные знания теории на практике; в IX классе по геометрии, задача, предлагаемая в билете во время устных испытаний, не должна по сложности и по характеру резко отличаться от задач, предлагавшихся на письменных классных работах.

Затем в билете пишут третий вопрос, который имеет целью проверить знание учеником формулировок, определений, свойств фигур и т. п. По существу на такой вопрос ученик должен ответить без предварительной подготовки, и некоторые учителя из этих соображений не пишут таких вопросов в билетах, но опыт показывает, что в этих случаях учитель часто задает одни и те же вопросы нескольким ученикам, и формулировка вопросов бывает однообразна. Поэтому полезно заранее придумать достаточное число

таких беглых вопросов по всему курсу, чтобы во время испытаний несколько уставшего учителя не затрудняла эта часть работы и чтобы он мог каждому ученику задать один-два таких вопроса, разнообразя как формулировку, так и содержание их.

Приведем примеры некоторых билетов по геометрии, которые давались в прошлом году. В этом году мы имеем по геометрии новый учебник Киселева, в котором формулировки некоторых теорем не совпадают с прежними, поэтому в этом году надо тщательно проверить все прошлогодние билеты по геометрии, даже в том случае, если они были хороню составлены, чтобы не оказалось какого-либо недоразумения, могущего затруднить ученика во время самого испытания.

Вот пример билета по геометрии для VIII класса:

1. Доказать теорему о квадрате стороны, лежащей против тупого угла треугольника.

2. Формулировать три признака подобия треугольников.

3. Построить выражение

Для X класса

1. Вывести формулу для вычисления объема шарового сегмента.

2. Определить угол <р развертки конуса, зная его образующую L и радиус основания R.

3. Сколько имеется правильных многогранников и какие?

Аналогично этим составляются билеты по геометрии и для других классов.

Приведем также образцы билетов по тригонометрии; принцип построения их тот же, что указан для билетов по геометрии.

Для IX класса

1. Вывод формул приведения для углов (270° — а) и (270° + а)

2. Приведение выражения sin а -f cos ß к виду, удобному для логарифмирования.

3. Доказательство какого-либо тождества. Для X класса

1. Решение треугольника по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них.

2. Доказать тождество

3. Решить уравнение:

Сделаем некоторые указания к проведению устных испытаний по геометрии.

1. В девятых классах некоторых школ замечалось в билетах преобладание вопросов из планиметрии, что было, разумеется, неправильно. Содержание билетов должно охватывать весь прейденный курс данного класса.

2. В X классе иногда замечалось отсутствие в билетах тех теорем, которые требуют для своего доказательства применения элементов теории пределов; в других случаях доказательства этих теорем проводились учащимися без необходимой четкости. На это следует обратить внимание в нынешнем году.

3. При составлении билетов были случаи, когда в VII—VIII классах ученик, отвечая по геометрии, стоял у доски минут 45, так как ответы на все вопросы билета требовали много времени. Например, в VII классе одному и тому же ученику было предложено доказать теорему, на которой основано деление отрезка на равные части (требуется много записей), решить задачу на построение сегмента, вмещающего данный угол, и еще задачу на вычисление.

4. Некоторые учителя дают в билете формулировку теоремы, например: «Доказать, что сумма углов треугольника равна 180°», «Доказать, что боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению периметра основания на половину апофемы». Этого, разумеется, следует, по возможности, избегать, предоставляя ученику и формулировать и доказывать теорему самостоятельно.

5. Содержание некоторых билетов по геометрии показывает недооценку значения задач на построение как по планиметрии, так и по стереометрии. Во многих школах большинство билетов не содержало этих задач.

В^ курсе VII и VIII классов имеется большой материал для задач на построение; в IX классе также имеется возможность включить в билеты такие задачи, связанные с взаимным расположением прямых и плоскостей в пространстве. Это делать необходимо, так как выявление умения решать задачи на построение — одна из задач устных испытаний по геометрии.

6. Некоторые учителя на испытаниях брали геометрические задачи на вычисление и на доказательство из стабильного задачника, указывая в билетах соответствующие примеры; на устных испытаниях это возможно, так как если ученик и решал раньше предлагаемую задачу, то основное в том, чтобы он умел хорошо обосновать все этапы решения, дав необходимые словесные пояснения.

6. устные испытания по арифметике в v классе

В V классе на испытаниях по арифметике учащиеся должны показать сознательное усвоение правил действий, уменье формулировать их, пояснять выполняемые действия, производить устно несложные вычисления; они должны показать уменье рассуждать, понять зависимость между данными величинами в задаче и пояснить ход решения задачи.

В большинстве случаев билеты для устных испытаний в V классе составлялись так, что давались три вопроса из трех различных разделов курса. Например, предлагалось:

1) решить пропорцию: 72:1 у= 6: х и сказать, как найти неизвестный крайний член пропорции; 2) найти произведение чисел 23,4 и 0,23 и объяснить, почему получается результат меньше множимого; 3) указать, сколько стоит 1 м ткани, если — м ее стоят 12,9 руб. Приведенную в этом билете постановку вопросов для учеников V класса мы считаем удачной в противоположность, например, такой неконкретной формулировке: «Как найти неизвестный член пропорции?»,

«Как обратить смешанную периодическую дробь в обыкновенную?» и т. п.

Благодаря большому объему программы по арифметике V класса имеется возможность разнообразить вопросы в билетах. Но в прошлом году, наоборот, были случаи, когда учителя давали много повторяющихся вопросов, разнообразя только числа в упражнениях, и совсем не затрагивали целых разделов программы. Так, например, в одной школе не было в билетах ни одного вопроса по разделу «Делимости чисел»; в другой значительно преобладали вопросы на «обыкновенные дроби» по сравнению с «десятичными». Это, конечно, совершенно неправильно. Надо еще указать, что в некоторых школах билеты были так составлены, что устные испытания превращались в письменные: предлагалось решать очень громоздкие примеры в несколько действий.

7. УСТНЫЕ ИСПЫТАНИЯ ПО АЛГЕБРЕ

В конце 1937/38 учебного года устные испытания по алгебре проводились, кроме X, только лишь в VIII классе.

Основная цель устных испытаний по алгебре — проверка умения учащихся дать четкие и сознательные пояснения к решению примеров или задач; правильно и последовательно обосновать вывод формулы или соотношения; сформулировать определение или правило.

Для того, чтобы отразить эти стороны знаний учеников, в билеты для VIII класса включался вывод одной из формул квадратного уравнения, вывод свойств корней квадратного уравнения или правил действий с иррациональными выражениями; затем предлагалось решить какой-либо пример, наконец, третьим вопросом ставилось требование сформулировать определение, правило или соотношение.

В билетах для VIII класса редко встречались вопросы, связанные с построением графиков функций, что указывает на некоторую недооценку этого раздела со стороны учителей.

Билеты для X класса также содержали обычно три вопроса. Приведем для примера один из билетов:

1) Вывод формулы бинома Ньютона.

2) Решение неравенства х2 + Зх — 28 > 0.

3) Чему равна сумма и произведение корней уравнения /г-й степени с вещественными коэфициентами?

Мы считаем, что при наличии письменных испытаний излишним является включение в билеты решения примеров по тем разделам, по которым были даны примеры в письменных работах; кроме того, не следует давать примеры, требующие длительных и сложных преобразований.

Отметим еще один недочет, замеченный нами в содержании билетов, а именно: иногда несколько раз в процессе испытаний для одной и той же половины класса ставился один и тот же вопрос; кроме того, мало давалось вопросов, требующих от учащихся сообразительности, быстрой ориентировки в поставленной задаче.

ПИСЬМЕННЫЕ ИСПЫТАНИЯ В ДЕСЯТЫХ КЛАССАХ

С. БРОНШТЕЙН (Наркомпрос РСФСР)

1. Письменные испытания по математике должны предшествовать устным.

До начала устных испытаний письменные работы должны быть проверены, исправлены, оценены учителем и ассистентом и сданы директору школы.

Сомнения и недоразумения, возникающие в связи с письменными работами, могут быть выяснены на устных испытаниях.

2. Для выполнения письменной работы учащиеся получают на испытании бумагу, заранее заготовленную учебной частью, со штампом школы, по одному листу для подготовительной черновой работы и по одному листу для переписки работы начисто. Оба листа — черновой и беловой — сдаются учащимися по окончании работы.

Пользование листочками, клочками, промокательной бумагой для производства вспомогательных вычислений недопустимо.

3. Предлагаемые письменные работы должны удовлетворять следующим условиям:

а) текст должен быть четко написан;

б) вопросы должны быть изложены понятным для учащихся языком;

в) работа должна быть нормальной по степени сложности: с одной стороны, не превышать по трудности задач, предлагавшихся в последней четверти года, а с другой,— избегая надуманных изощрений, задача не должна скатываться до уровня описательного примера или тривиального вопроса;

г) тема должна быть рассчитана на исчерпывающее выполнение ее учащимися в установленный срок;

д) работа должна охватить возможно больший объем основного материала и узловых вопросов пройденного курса, чтобы проверить состояние навыков и знаний по возможно большей части курса.

4. Не следует предлагать на испытаниях задачу из стабильного сборника задач.

5. Работы исправляются обычным порядком: ошибки и описки зачеркиваются, надписыва-

ются правильные результаты, ошибки подчеркиваются; исправление производится цветными чернилами.

В конце работы записывается краткое резюме ошибок и описок, которое служит мотивировкой соответствующей оценки (отметки).

6. Ошибки бывают разных видов: в навыках производства действий, в неумении решать задачи, ошибки характера описок. К оценке работы нельзя подходить механически: необходимо учитывать характер ошибки, разбираясь во всех возможных оттенках, от грубой ошибки до выбора более сложного, но правильного способа решения задачи.

При оценке работ на испытаниях учитель применяет те нормы, которыми он пользовался в году.

7. Письменная работа по алгебре должна охватывать материал X класса и состоять из одной задачи и двух примеров.

Как видно из тем письменных испытаний по математике в X классе, за последние годы во многих областях предлагались так называемые комбинированные задачи, т. е. такие задачи, в которых числовые данные основной задачи получаются в результате предварительного решения некоторых примеров из разных отделов курса X класса; это — механическое соединение нескольких примеров, после решения которых приходится составить очень простое, иногда тривиальное уравнение второй или первой степени.

Основной порок композиции комбинированных задач — искусственность соединения разнородных, не связанных друг с другом элементов, отсутствие органического сочетания. На поиски предварительных числовых данных уходят все внимание и силы учащихся, к главному вопросу — составлению основного уравнения — ученики приступают после большого напряжения, усталыми. Кроме того, малейшая ошибка или описка в решении вспомогательных примеров лишает их возможности решить основную задачу. По указанным мотивам комбинированные задачи были осуждены математической общественностью еще в дореволюционное время. В советской школе такие задачи на испытаниях в X классе недопустимы.

Можно дать задачу на составление уравнения второй степени, при решении которой приходится провести исследование несложного порядка, например, типа задачи Ньютона на падение тела.

Можно поставить и такой вопрос: определить, до какого члена в рззложении бинома Ньютона коэфициенты возрастают и начиная с какого они убывают. Решение этого вопроса требует знания раздела бинома Ньютона, умения составить и решить неравенство, т. е. знание двух разделов курса X класса, при этом оба раздела соединены не искусственно,— между ними существует внутренняя связь, обусловленная сущностью поставленного вопроса. Если учитель упражнялся в постановке вопросов общих соотношений между величинами и приучил к пользованию знаком V» заменяющим один из знаков >,= и <, то поставленный вопрос может быть решен в более изящной форме.

Можно предложить задачу, решение которой приводится к исследованию трехчлена второй степени.

Отсутствие большого числа задач этого типа, разработанных в литературе, представляет простор для творчества вдумчивого преподавателя.

Примеры могут быть предложены на применение теории соединений, на бином Ньютона, на решение уравнений высших степеней, приводимых к квадратным, на применение делимости многочленов.

В X классе на испытаниях по геометрии и тригонометрии предлагается задача геометрического содержания, требующая применения тригонометрии. В громадном большинстве случаев это задачи на вычисление объемов и поверхностей тел. Часто задача сводится к подстановке легко вычисляемых данных в соответствующую формулу объема того или иного тела. Необходимо учесть, что умение решать задачи по геометрии, в частности по стереометрии, и навыки в пространственных представлениях не проверялись в предыдущих классах. Поэтому предлагаемая задача не может быть сведена исключительно к вычислениям и к преобразованиям тригонометрического характера, а должна еще обязательно содержать элементы построения. Можно предложить задачу на сечение тела пирамиды, конуса плоскостью, на вычисление объема общей части двух наклонных призм с общим квадратным основанием, объема общей части двух наклонных пирамид с общим основанием и т. п.

Для выявления знаний и навыков по тригонометрии необходимо включить в работу тригонометрические преобразования.

К ВОПРОСУ ОБ ИСПЫТАНИЯХ

П. РОМАНОВСКИЙ (Лохвица)

На выпускных испытаниях по геометрии в X классе Подилковской средней школы Синевского района Полтавской обл. УССР 17 июля 1938 г. были предложены присланные облоно следующие две задачи:

1) «Длина круга основания прямого конуса равняется а = 30 см. Образующая наклонена к плоскости основания под углом а = =56° 47'24". Вычислить объем правильной треугольной пирамиды, вписанной в этот конус».

Решение:

2) «Ромб с большей диагональю d= 15,5 см и острым углом а = 15° 17' 26" вращается около оси, которая проходит через вершину острого угла, перпендикулярно к его стороне. Найти объем тела вращения».

Решение:

Решения были даны без плана и объяснений.

Решая эти задачи, ученики вместо того, чтобы путем обозначения действий, упрощений, преобразований получить упрощенную окончательную формулу решения задачи и, логарифмируя ее, получить нужный ответ, вычисляли, логарифмируя, числовые значения в первой задаче отдельно для радиуса, высоты, стороны вписанного треугольника, площади основания пирамиды, а в другой — для высоты, радиуса нижнего основания, радиуса верхнего основания, объем усеченного конуса, объем конуса и, получив числовые значения для них, вычисляли требуемые задачей объемы. Таким образом, решение задач было сведено к целому ряду вычислений отдельных выражений, что загрузило учеников ненужною техническою работой, увеличило ошибки вычислений и не дало возможности показать свое математическое развитие, уменье ориентироваться и пользоваться математическим материалом. Просматривая в качестве ассистента работы, я указал преподавателю, директору и завучу на слишком малограмотный способ решения задач. Но преподаватель, как специалист, заявил нам, что это его установка. Я понял, почему в году учениками так много тратилось времени на решение задач с вечной ссылкой на загрузку по математике, почему они не умеют и не любят решать задачи, не умеют пользоваться математическим анализом, что сказалось при прохождении физики, химии, астрономии. Понял также, почему на испытаниях в X классе для решения указанных задач потребовалось не 1—2 часа, а до 4—5 час. и не листок бумаги, а несколько листов из тетради. Отличники подали работу около 2 час. дня. Вот случай, когда даже лучший учитель Синевского района (мнение роно) с высшим образованием нуждается в помощи и в таком общепонятном вопросе*.

По моему мнению, облоно должно не только присылать работы для письменных испытаний, но и требовать немедленной присылки после окончания испытаний из каждой школы по одной работе с отметкой «отлично» и «плохо», чтобы своевременно проверить и помочь плохо ориентирующемуся в своей работе учителю.

* Конечно, «установка» преподавателя математики является неправильной и педагогически вредной.

Редакция.

ОБРАЗЕЦ НЕБРЕЖНОСТИ

Группа преподавателей прислала нам задачи, дававшиеся на выпускных испытаниях в десятых классах в школах Сталинградской области весной 1938 г. Задачи, как полагается, были присланы Сталинградским облоно. Приводим эти задачи.

1. «Коэфициент того члена разложения бинома

который после всех упрощений содержит одинаковые степени количеств а и Ь, разделен (?!) на несколько слагаемых, образующих собою геометрическую прогрессию, в которой сумма второго и четвертого члена равна 30, а разность между шестым и вторым равна произведению 10 на корень уравнения

Определить число этих слагаемых?» (в конце стоит вопрос!).

2. Решить неравенство:

3. Решить уравнение

Второй вариант: 1. «Шестой член арифметической прогрессии равен корню уравнения

Сумма 2-го и 4-го членов той же прогрессии равна 66. Ск. надо взять положительных членов этой прогрессии, чтобы сумма их равнялась коэфициенту того члена разложения бинома Ньютона

который после всех упрощений содержит р—2» (без вопроса в конце!).

Совершенно резонно преподаватели задают следующие вопросы:

«1. Допускаются ли такие задачи, искусственно составленные, без логических обоснований, зная, что эти задачи осуждены математической общественностью еще до революции и раскритикованы «Математикой в школе», № 3, 1937 г., стр. 52—56; № 3, 1938 г., стр. 66—67.

2. Согласно инструкции НКП РСФСР испытания проводятся только за X класс. Можно ли допускать, чтобы в задаче доминировали темы из программы VIII и IX классов (иррацион. ур., прогрессии)?

3. Разрешима ли задача 1-го варианта без правок?

4. Одинаковы ли по трудности задачи в обоих вариантах? (Мы считаем — не одинаковой трудности)».

Конечно, так называемые «комбинированные» задачи не запрещены, но отрицательное мнение о них действительно сложилось уже давно. В задачах прежде всего поражает небрежность в редактировании текста. К отвественной работе по подбору экзаменационных задач Сталинградский облоно отнесся несерьезно и легкомысленно.

ИЗ ОПЫТА

ВВЕДЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

(Опыт изучения темы на уроках VIII класса)

П. ДОРФ (Москва)

Последнее время в средней школе наблюдается стремление уделить понятию иррационального числа все большее внимание. Действительно, это понятие изобилует группой новых представлений для учащихся: из большинства чисел корни не извлекаются, но оказывается, что эти результаты невозможного действия могут быть использованы; вопрос о несоизмеримости отрезков, трудный сам по себе, получает теперь особое толкование и смысл; впервые учащийся соприкасается с понятием о бесконечности; наконец, весь вопрос о введении чисел новой природы ставится в связь с расширением понятия о числе.

Прежнее формальное изучение затронутого вопроса в школе оставляло крайне поверхностные сведения: «иррациональное число — это корень из двух»; мало того, именно здесь упускался прекрасный случай приобщить учащихся к подлинному математическому методу мышления; отсюда происходили и последующие пробелы в их обучении.

Интересно пересмотреть страницы, посвященные иррациональным числам в курсах школьной алгебры и руководствах по методике алгебры. В стабильном учебнике «Алгебры» Киселева, ч. 2 (стр. 6—9) выяснению понятия нового числа уделено всего несколько строк. Иррациональное число — результат извлечения корня (и только). Подробнее излагается вопрос о приближенных значениях корня и его графической иллюстрации. Но без серьезного, вдумчивого рассмотрения самого понятия беспочвенными оказываются и сложные аппараты графической интерпретации, условия действий и т. п.

Учащиеся, в лучшем случае, лишь, запоминают определения, условия и приемы вычислений. В другом учебнике алгебры, Лебединцева, образно и подробно изложена и проиллюстрирована мысль о невозможности найти точно сторону квадрата с площадью 2, но описание процесса получения приближенных значений этой стороны отвлекает внимание настолько, что основные понятия остаются завуалированными.

На руках у учителя может оказаться и учебник алгебры типа учебника Н. А. Шапошникова (1910 г., 2 Ч1сти, 8-е издание) В этой книге в § 1 «Разделение чисел» прямо указывается: «Соизмеримые и несоизмеримые числа», т. е. всякое число рассматривается в сопоставлении с другим числом, принятым за единицу. Помимо того, что такой подход не соответствует общепринятому в науке, у учащихся создадутся чисто формальные знания, не вызывающие никаких образов и ассоциаций.

Отсюда естественно притти в выводу, что раздел «Иррациональные числа» должен быть развернут учителем глубже и полнее, чем это сделано в упомянутых учебниках.

В руководстве по методике алгебры проф. Чистякова имеются краткие исторические сведения, выборки из теории Дедекинда и некоторые соображения методического характера. Проф. Чистяков указывает на недоступность учения об иррациональных числах в форме теории Дедекинда и предлагает учащимся способ представления такого числа, как общей границы двух рядов рациональных чисел, выражающих иррациональное число с недостатком и с избытком. Вообще же понятие об иррациональном числе будет соединяться с представлением о некотором отрезке.

Схематичность изложения этого материала требует от учителя большой самостоятельной разработки этой темы.

В методике алгебры Бронштейна учитель найдет много полезных сведений, особенно в вводной части. Здесь, кроме исторической справки, выясняется существо вопроса, трудности изложения его учащимся. Автор методики указывает три наиболее распространенные теории иррациональных чисел:

1. Метод сечения Дедекинда. 2. Метод Вейерштрасса, опирающийся на бесконечную десятичную дробь. 3. Метод Кантора, связывающий определение иррациональных чисел с рядами рациональных чисел.

Автор методики, С. С. Бронштейн, высказывает, без каких-либо обоснований, следующие положения: «Теория Вейерштрасса не может быть принята в качестве основы для школьного преподавания». «Определение иррационального числа по Кантору может быть обработано в форме, доступной пониманию учащихся».

С нашей точки зрения, как раз наоборот: связь иррациональных чисел с бесконечными непериодическими дробями, лежащая в основе теории Вейерштрасса, вполне может быть положена и в основу школьного изложения (разумеется, в значительно упрощенном виде). Понятие о бесконечной периодической дроби у учащихся есть. Это понятие следует

развить и углубить, распространив его на непериодические десятичные дроби, и после этого перейти к рассмотрению иррациональных чисел. При такой схеме построения курса графическая иллюстрация и понятие о рядах выявятся с полной силой, но будут играть служебную роль.

Ниже мы излагаем опыт преподавания темы «Иррациональные числа» в VIII классе одной из московских школ (1938/39 учебный год),— опыт, в основу которого положена была статья проф. Хинчина: «Введение иррациональных чисел», напечатанная в брошюре «Материалы к совещаниям учителей неполной средней и средней школы» (август 1938 г. Наркомпрос РСФСР)*.

К изучению названной темы учащиеся приступили с твердыми знаниями геометрического материала по вопросу об измерении отрезков; вопросу несоизмеримости отрезков было уделено необходимое внимание, просмотрено несколько примеров несоизмеримости, доказательства сопровождались тщательно выполненными чертежами.

Кроме того, в порядке повторения и в несколько углубленной форме пройден был раздел ('Периодические дроби». В частности, для учащихся оказалось новым положение, что всякая обыкновенная дробь обращается в конечную или бесконечную периодическую дробь. Второй случай анализировался на частном примере: у.

Остатками при делении на 7 могут быть числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Непосредственная работа над новой темой началась с некоторых обобщений и классификации действий.

1. Действия I ступени: сложение — вычитание (обратное действие).

Термин «обратное» подкреплялся иллюстрацией в виде записей:

Последнее замечание послужило эффективной подготовкой к тождеству {уА ) =At которое учащиеся легко запоминают, но с которым свыкаются не сразу.

Далее, на уроке было установлено, что обратное действие — вычитание привело к необходимости введения отрицательных чисел. Выяснилось, что новые числа определенным образом связаны с уже известными числами — положительными, что имеются признаки для сравнения отрицательных чисел (=;2!\ что на отрицательные числа распространены законы действий, а значит, и установлены приемы производства самих действий.

2. Тот же круг вопросов рассмотрен относительно действий II ступени: умножение — деление.

3. Действие III ступени.

4. Полезной подготовительной работой оказалось рассмотрение следующего частного случая, записанного в форме таблицы

По данным таблицы учащиеся легко убедились, что квадратный корень в целых числах извлекается из чисел 1, 4, 9... и не извлекается из других чисел 2, 3, 5...

Учащиеся самостоятельно подметили, что группа вторых чисел многочисленнее первых и что количество их возрастает в последующих интервалах. Учащиеся также самостоятельно поставили вопрос: а может быть корни таких чисел, как 2 и другие, выражаются дробными числами?

В связи с этим вопросом (а если бы вопроса не было, его выдвинул бы сам педагог) была выработана система подбора приближенных значений корня. Пример:

Определим искомый корень с точностью до 0,1.

Испытание начинаем со средних значений.

Таким образом

Продолжаем испытание, ибо учащиеся твердо убеждены, что в этом вопросе нужно лишь терпение.

Снова берем среднее:

Приближающиеся конец первого урока диктовал требование подвести итоги: учащиеся подготовлены к выводу, что в результате

* Статья напечатана в настоящем номере.

обратного действия III ступени так же, как и в случае действий I и II ступени, могут получиться условия, при которых придется создавать теорию новых чисел, изучать их свойства и устанавливать правила действий с ними. На дом учащимся предложено продолжить работу по подбору приближенных значений корней:

Медленный темп введения новых сведений, значительное количество наблюдений, получение приближенных значений квадратного корня столь первобытным способом, — все это моменты, умышленно введенные в конструкцию уроков. Действительно, весь круг вопросов в связи с введением иррациональных чисел настолько необычен, представления так непохожи на привычные, что необходимо задержать внимание ученика на таких вещах, как постепенное приближение найденных значений корня, доказательство положения, что ]/^2 не выражается ни в целых, ни в дробных числах (иными словами не существует числа, квадрат которого равен числу 2).

Опыт работы на этот раз полностью подтвердил, что медленные темпы в период установок основных положений позволяют затем значительно ускорить процесс изучения. Ответы учащихся говорят также о глубине и прочности знаний, полученных таким образом.

На втором уроке при рассмотрении домашних работ выяснилось, что из целого числа в заданных приближениях ]/ 3, не извлекаются. После этого была доказана теорема: «|/2 не может быть точно выражен ни целым, ни дробным числом». Приведенный порядок несколько отличен от общепринятого (см. Киселев, § 7, стр. 6, ч. 2).

В учебнике условие теоремы оформлялось так: пусть у а —~^> где а — целое число, ~ — несократимая дробь (числитель р и знаменатель q предполагаются целыми числами, так как в противном случае мы могли бы привести члены дроби к целому виду).

Самое доказательство опирается на положение, которое принимается без доказательства: — несократимая дробь, значит, ~г — тоже несократимая дробь.

Вещь эту, достаточно очевидную, лучше все же доказать, тем более что доказательство вполне доступно учащимся и содержит в себе ряд полезных моментов (доказательство приведено в статье проф. Хинчина)*.

5. Пусть "^2 = -^-, где ~- несократимая дробь, р и q — целые числа, Тогда р* = 2 • q2. Отсюда видно, что р2 — четное число, значит up — четное число, a q — число нечетное {р и q несократимы); равенство

приводит к противоречию, ибо

Вводится термин «иррациональное число».

6. После этого была поставлена методическая задача: закрепить в сознании учащихся образ, связанный с иррациональными числами.

Были приведены примеры: найти площадь квадрата по стороне = 7; V = 49. Решение обратной задачи даэт: 1/49 = 7; затем: найти сторону квадрата, площадь которого содержит 2 кв. м: а = ^2. Искомый же корень не выражается ни целым, ни дробным числом. (Рассуждения ведутся с применением эскизов квадратов.). Тогда встает ученица и утверждает: сторону такого квадрата потому нельзя выразить нашими числами, что не бывает квадрата с площадью 2 кв. м. Прямоугольник такой может быть (2X1; 0,5X4 и т. д., но a*a=f=2). Пришлось воспользоваться тем, что учащимся была известна теорема Пифагора (без доказательства), и показать им фигуру (см. черт.). Реальность отрезка AB и отсутствие числа для него вызвали в ходе урока значительную паузу, пока у учащихся не сложилось убеждение, что существуют явления, объекты, которые не могут быть охарактеризованы количественно с помощью имеющегося аппарата рациональных чисел. Дальше, естественно, встал вопрос о несоизмеримости отрезков, и возникла потребность графически изобразить эти особенные, новой природы числа.

Упомянем еще один случай недоумения учащихся, который вызвал живое обсуждение в классе.

«j/"2— иррациональное число, т. е. 2—иррациональное число?» В результате коллективного обсуждения было установлено, что рассматриваемое число не 2, а У 2.

Следующий вопрос: «Какое же это число У~2, это просто не сделанное действие извлечения корня?» Пришлось сопоставить обозначение иррационального числа с обозначением дробного числа, которое в сущности тоже показывает «несделанное» деление

7. Затем центр внимания был перенесен на приближенные значения иррациональных чисел. Решалась, например, такая задача в связи с уроками физики (^s = gl^j: «В связи с бросанием бомб с аэроплана понадобилось определить время t полета снаряда с высоты 150 м».

Подобный пример был необходим, чтобы у учащихся не сложилось убеждения, что отыскание сторон квадрата по его площади —

* Один учащийся спросил: «сумма несократимых дробей сократима, может быть, и станет сократимой?».

единственный источник появления иррациональных чисел.

Анализ связи иррациональных чисел с их приближенными значениями оказалось полезным провести из наблюдения табличных записей.

2. те (Число те названо было одним из учеников, который случайно был знаком с ним. Вместо него можно взять другой пример на несоизмеримые отрезки.)

3. Бесконечная непериодическая дробь. Например, 0,12112111211112. . . . =А

Что общее имеют числа ]/^2, те, Л?

Они заключены между двумя бесконечными рядами чисел; один ряд только возрастает, но его члены остаются меньшими, чем соответственное иррациональное число; второй ряд, наоборот, только уменьшается, но члены его остаются большими, чем анализируемое иррациональное число. Разность соответственных членов этих рядов может быть сделана как угодно малой.

Такая общность позволяет причислить эти виды чисел к одному классу иррациональных чисел и принять за способ изображения их запись в виде бесконечной непериодической дроби. Отсюда не трудно было установить признак равенства иррациональных чисел и приемы сравнения их.

В заключение укажем, что, по нашему мнению, наилучшей формой преподавания иррациональных чисел в средней школе является именно установление связи их с бесконечными непериодическими дробями. Статья проф. Хинчина выявила все идейные моменты разбираемого вопроса; отметила роль исторических данных; предложила простой, удобный и выразительный аппарат для изображения иррациональных чисел —дроби.

Практика проведения этой схемы показала, что у учащихся складывается правильное представление об иррациональных числах, как о новом виде чисел, а графическая иллюстрация, изображение их дробями только вспомогательные средства. При других подходах получается либо формальное запоминание терминологии и примеров, либо подмена понятия об иррациональном числе какими-то приближенными значениями. На описанное введение ушло 7 час.

В заключение работы учащиеся писали нам сочинение (по математике первый раз в жизни) на тему «Об иррациональных числах». С целью просмотреть, как усвоился материал, ниже прилагается одно сочинение сильного ученика.

Отметим еще, что анализ метода Дедекинда, проведенный в математическом кружке, оказался посильным и интересным добавлением к школьному курсу.

ЧЕХОВИЧ

19 сентября

ОБ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ

Все числа: целые, дробные, положительные, отрицательные — называются рациональными числами. Этих чисел было вполне достаточно для того, чтобы проделывать действия I и II ступени (сложение, вычитание, умножение, деление). Но действие III ступени — извлечение корня — привело к необходимости введения новых чисел, так называемых иррациональных.

Есть множество чисел, из которых корень в виде рациональных чисел не извлекается, но на практике мы видим, что оно все же существует. Так, например, число 2. Ни одно рациональное число не даст в квадрате двух (18==1, 22 = 4; значит, ]/" 2 — не целое число, а значит, не может быть и дробным (доказательство в конце), но величина, равная квадратному корню из двух, существует. В этом нас убеждает теорема Пифагора («Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов, построенных на катетах»). Так, если взять квадрат со стороной =1, то длина гипотенузы будет — l/~2.

]/* 2—это иррациональное число, т.е. число, несоизмеримое с единицей. Оно не может быть выражено точно через ту единицу, которой выражены все рациональные числа. Иррациональные числа находятся где-то в промежутках между рациональными числами. Всегда можно найти 2 таких рациональных числа (отличающиеся между собой на единицу какого-нибудь разряда), из которых одно больше данного иррационального числа, другое — меньше. Оба эти числа могут быть приняты за приближенное значение данного иррационального числа (одно — с избытком, другое — с недостатком). Количество знаков в этих приближенных значениях иррациональных чисел может быть сколько угодно. Чем больше в них десятичных знаков, тем ближе они приближаются к истинному значению иррационального числа:

В геометрии мы встречаемся с иррациональными числами при несоизмеримости отрезков. Если два отрезка несоизмеримы, то это значит, что они не имеют общей единицы измерения и величина одного из них будет выражена по отношению к единице измерения другого иррациональным числом.

В арифметике мы встречались с бесконечными непериодическими дробями. Эти дроби являются иррациональными числами.

Иррациональные числа так же, как и рациональные числа, могут быть равны или неравны (при этом, конечно, сравниваются не сами числа, а их приближенные значения).

Иррациональные числа считаются разными, если все десятичные знаки одного соответственно одинаковы со всеми знаками другого.

То из двух иррациональных чисел больше, у которого первый из расходящихся знаков больше соответствующего знака в другом числе.

С иррациональными числами можно проделывать те же действия, что и с рациональными.

Теорема

Если у данного числа нет корня данной степени в целых числах, то его нет и в дробных.

Допустим, что А имеет дробный корень я-й степени

Тогда получится что

т. е. степень несократимой (так как мы всегда можем сделать дробь несократимою) дроби равна целому числу. Это может быть лишь в том случае, если Ъ = \% но у нас дано, что Ьф\. Значит, наше допущение, что А имеет дробный корень, неправильно, следовательно А не имеет дробного корня.

КАК МОЖНО ОПРАВДАТЬ ДЛЯ НАЧИНАЮЩИХ ИЗУЧАТЬ СИСТЕМАТИЧЕСКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ ПОЛЬЗОВАНИЕ ДЕДУКЦИЕЙ

И. ДУБ (Одесса)

Геометрия в средней школе имеет дело с вопросами, касающимися формы и размеров тел. Сведения по геометрии дети получают уже в детском саду; не посещающие детских садов знакомятся с формой и размерами под влиянием взрослых,

принимая посильное участие в повседневной жизни. От старших они узнают смысл слов: длинная, короче, круглый, четырехугольный и т. д. Они пользуются ими в своем обиходе, во время игр.

Первые 4 года школьной жизни и на пятом году идет работа по овладению определен-

ным геометрическим материалом и применению его к решению ряда вопросов, связанных с измерением длины, площади, объемов.

Метод, который применяется все эти годы, — наблюдение, опыт, изготовление моделей.

Иначе, конечно, и быть не может; ждать возраста 13—14 лет, когда становится доступным пользование дедукцией, нельзя. Геометрические сведения нужны при изучении ряда предметов — географии, природоведения, несложных элементов техники. Как мы уже указывали, сама жизнь знакомит с геометрией.

Школа не может не учесть этого и должна своевременно помочь разобраться в доступном материале: надо потому считать правильным наличие наглядного курса, предшествующего систематическому.

Приходится учитывать и еще одно существенное обстоятельство: возможность дедуктивных выводов есть результат той внутренней связи, которая существует между элементами фигур, их свойствами; одни свойства обусловливают другие, дедуктивный метод не создает эти связи, а вскрывает их. Опытное знакомство с геометрическим материалом и подводит к этому существенному обстоятельству: вычерчивая фигуру, изготовляя модель, ребенок и подмечает эти связи; он может понять и такое основное положение: готовя фигуры, мы можем действовать произвольно только в известных границах, мы можем выбрать примерно для треугольника размер угла и две стороны, заключающие этот угол; остальные элементы уже получаются в зависимости от намеченных.

Дедукция не имеет места на протяжении первых пяти классов. С переходом в VI класс происходит скачок, резкий переход к новому методу — надо доказывать.

Вещи, бросающиеся в глаза, примерно равенство вертикальных углов, равенство углов при основании равнобедренного треугольника, надо устанавливать путем рассуждения; такой рельефно выступающий факт, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, нельзя ни признать на глаз, ни проверить инструментами; транспортиру, линейке, циркулю — всему тому, что несколькими месяцами раньше так хорошо Служило в подобных случаях, отныне доверять нельзя; экспериментировать не разрешается; никакого действительного наложения — только мысленное.

Этот же ученик VI класса на других уроках, физики, скажем, имеет право производить опыты и делать из них выводы. Весь довод в пользу новых методов часто сводится к тому, что так требует преподаватель, так говорит учебник, внутреннего убеждения в необходимости всего этого у ученика нет.

Мало утешительного и в том, что более способная часть свыкается с этими требованиями и приучается ими пользоваться, не совсем хорошо понимая, чем оправдать эти новые требования.

В учебнике «Основы методики математики» М. Михайловского (1931) находим выдержку из письма одной ученицы: «Геометрия— наука для идиотов, в ней доказывают то, что ясно и без доказательства».

Неудивительно, что такой комплимент получился именно по адресу геометрии. При доказательстве мы пользуемся чертежами, а при мало-мальски аккуратном чертеже некоторые положения настолько резко выступают, что начинающему изучать систематический курс не может не казаться смешным доказывать такие вещи, как «большей проекции соответствует и большая наклонная».

Нужно убедить приступающего к изучению систематического курса, что предлагаемый ему «новый метод, дедуктивный», лучше; он имеет ряд преимуществ; необходимо вскрыть постепенно сущность дела, целеустремленность в данном случае. Тот факт, что приходится прибегать к аксиомам, очень затрудняет положение; если мы будем приводить такой мотив начинающему, что нельзя полагаться на отдельные наблюдения, то он вправе нас спросить: а почему вы полагаетесь на эти наблюдения, когда принимаете аксиомы?

При первых теоремах — сумма смежных углов; сумма углов, расположенных по одну сторону прямой с общей вершиной на этой прямой; сумма углов, расположенных вокруг одной точки, — мы по существу больше опираемся на наблюдение, чем на дедукцию.

Рассматривая теорему о равенстве противоположных углов, следует, не оспаривая права измерять углы для установления их равенства, сказать учащимся, что есть возможность убедиться в равенстве этих углов, не пользуясь измерением; этот новый способ разрешит вопрос быстрое, после этого надо привести обычное доказательство, затем остановиться на таких соображениях: если мы прибегаем к опытной проверке, нам приходится ее делать несколько раз, чтобы убедиться, что наблюдаемое явление имеет место постоянно; в данном случае пришлось бы так же поступить; помимо этого, случайные ошибки при самом измерении, недостаточная аккуратность чертежа могут привести к некоторому расхождению в величине углов, а это опять потребует нескольких измерений; рассуждение же быстро, исчерпывающе показывает, что противоположные углы равны, так как при объяснении мы опираемся на такие свойства, которые имеются у всех противоположных углов.

Нам представляется, что приведенные соображения должны показать учащимся серьезные преимущества дедукции. Прорабатывая теорему о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, необходимо подчеркнуть, что нас интересуют равнобедренные треугольники любых размеров: следует указать случаи, когда приходится иметь дело с фигурами очень большими, над которыми экспериментировать очень трудно, порою совершенно невозможно: большие участки земли, фигуры, с которыми сталкиваемся в астрономии и т. п.

Эти указания должны оправдать в глазах, учащихся стремление каким-то иным, новым путем установить зависимость между элементами фигур.

После обычного доказательства следует обратить внимание учащихся на то, что,, делая какое-либо заявление во время доказательства, мы тут же указываем, какое об-

стоятельство гарантирует правильность нашего заявления.

В приведенном случае мы исходим из возможности разделить угол пополам, перегнуть фигуру по биссектрисе угла при вершине, берем во внимание равенство сторон — все это применимо к любому равнобедренному треугольнику, а потому полученный результат относится ко всякому равнобедренному треугольнику.

Несомненно, следует оттенить и такое обстоятельство: один эксперимент не указывает сразу действительный источник наблюдаемого явления; приходится делать ряд опытов, устраняя тот или иной фактор, чтобы таким образом установить, какие обстоятельства являются существенными для результата.

В данной теореме при опытной проверке на одном равнобедренном треугольнике нельзя было бы утверждать, что наблюдаемое на нем явление имеет место для всех равнобедренных треугольников; может быть, при равных сторонах, но очень больших, так уже не выйдет; может быть, увеличение угла при вершине с сохранением прежних размеров сторон (раздвинуть стороны) нарушит равенство углов при основании. Словом, желание установить такой факт экспериментальным путем требует ряда проверок, контрольных опытов, а значит, и много времени.

При проработке теоремы о внешнем угле полезно указать, что некоторые наблюдения могут вызвать сомнение в том, что внешний угол треугольника всегда больше внутреннего, не смежного с ним. Возьмем треугольник ABC, построим при С внешний угол BCD', продолжим сторону AB от точки В, возьмем на продолжении точку Е и соединим ее с С, получим новый треугольник АЕС. В нем внешний угол при £СО,меньше,чем прежний внешний BCD, а внутренний А не изменил своей величины. Если продвигаться еще далее, взять, например, точку F, то в новом треугольнике АЕС дело будет обстоять еще хуже: новый внешний угол FQD еще уменьшился сравнительно с первым внешним, а внутренний А своей величины не изменил.

Это, естественно, наводит на мысль, что, быть может, возможно уйти так далеко по прямой AB, чтобы внешний угол сравнялся с внутренним .4, стал меньше его.

И только доказательство решает этот вопрос строго и уверенно.

Подобные указания должны вскрыть преимущества нового метода, дедуктивного, перед непосредственным экспериментированием. Учащиеся, естественно, могут задать вопрос: чем же мы гарантированы, что указываемые в аксиомах свойства фигур имеют место всегда, ведь и тут мы можем экспериментировать лишь с фигурами ограниченных размеров. Тут, нам кажется, можно поступить так: на понятном примере показать, что не все можно установить путем рассуждения; возьмем хотя бы очень простенькую задачку: «У двух лиц 150 руб.; сколько у каждого?». Рассуждения не помогут: возможно, 90 руб. и 60 руб.; 100 руб. и 50 руб., и еще очень много других комбинаций. Если бы знать еще, примерно, что у первого вдвое больше, чем у второго, то можно уже путем известных рассуждений узнать, сколько у каждого.

В геометрии доказательство сводится к установлению новых фактов на основании того, что было известно раньше, и поэтому первые сведения о фигурах можно получить только из наблюдения над предметами, экспериментов с ними, без аксиомы, значит, обойтись нельзя.

Конечно, приходится обращать внимание учащихся на необходимость быть очень осторожным в этом вопросе, аксиомы признаны на основании многократной проверки, долголетних наблюдений.

Неплохо привести пример, где видно, что явления могут повторяться очень много раз, но не допускают обобщения; можно указать сколько угодно чисел, которые, оканчиваясь цифрой 2, делятся на 3, 12, 72, 102, 132, 162 . . . но не всегда это так: 32, 62 . . .

Мы думаем, что приводимые нами соображения достаточны, чтобы убедить начинающих изучать систематический курс геометрии в целесообразности дедукции.

ВТОРОЙ ГОД РАБОТЫ СЕКЦИИ МАТЕМАТИКОВ ПРИ ОДЕССКОМ ГОРОДСКОМ И ОБЛАСТНОМ МЕТОДКАБИНЕТАХ

Д. ГОНЧАРОВ (Одесса)

I

прошлом 1938 г. на страницах журнала «Математика в школе» № 3 мы поделились опытом работы секции математиков при Одесском городском и областном методкабинетах за период с 20 января 1937 г. по 25 февраля 1938 г. В настоящей заметке мы опишем дальнейшую работу секции математиков, начиная с марта и кончая декабрем 1938 г.

II

Заседания секции происходили один раз в шестидневку от 8 до 10 ч. вечера. Средняя посещаемость заседаний — 30—40 человек. За указанный выше период были заслушаны следующие доклады (цифрами указаны номера заседаний):

53. «К вопросу о развитии геометрических понятий в XIX столетии» (Л. М. Берман).

54. «Трансцендентные числа» (проф. Б. Я. Левин).

55. «О преподавании периодических дробей» (тт. Швед и Фрайберг).

56. «Критический обзор программ средней школы по математике» (проф. К. М. Щербина).

57. «Нужен ли пропедевтический курс геометрии» (И. Д. Дуб).

58 и 59. «Программы испытаний по математике» (V, VI классы — Т. Л. Гродская; VII класс—Г. Л. Срулевич; VIII кл.—Тертилов; IX кл.—А. Б. Петрович; X кл.— В. Г. Рубинштейн).

60. «Решение задач на подобие треугольников» (И: А. Скрылев).

61. «О задачах для письменных испытаний по математике в V, VI, VII, VIII, IX и X классах» (доклад тт. Гродской, Тертилова, Петровича).

62. «Методика проведения испытаний по математике» (тт. Найдич, Швед и Тертилов).

63. «Методика и техника составления билетов для испытаний по математике» (тт. Гродская, Тертилов, Каминская, Рубинштейн).

64. Доклад редактора журнала «Математика в школе» А. Н. Барсукова «О задачах и плане журнала «Математика в школе».

65. «Отчет о работе секции математиков за 1937/38 учебный год» (Д. С. Гончаров).

66. «Итоги третьей математической олимпиады, проведенной Одесским государственным университетом». (Г. С. Томашпольский).

Примечание: начиная со второй половины июля до начала сентября 1938 г. заседаний секции не было. Заседания возобновились 7 сентября 1938 г.

67. «План работы секции на 1938/39 учебный год» (Д. С. Гончаров).

68. «Преподавание иррациональных чисел в средней школе» (И. А. Скрылев).

69. «Как оправдать в глазах учащихся VI класса пользование дедукцией при изучении систематического курса геометрии» (И. Д. Дуб).

70. «Признаки делимости в V классе сродней школы» (Н. И. Гридин).

71. «Относительные числа» (Д. С. Гончаров).

72. «Геометрическая интерпретация непрерывных дробей» (проф. М. Г. Крейн).

73. «Задачи на построение» (проф. А. М. Астряб из Киевского научно-исследовательского института педагогики).

74. 75. «Принципы систематизации арифметических задач» (проф. А. М. Астряб),

76 и 77. «Анализ программ по математике для средней школы на 1938/39 учебный год» (проф. К. М. Щербина).

78, 79 и 80. «Понятие числа с точки зрения теории множеств (кардинальные и трансфинитные числа)» (М. М, Бабынин).

81. «Решение стереометрических задач на многогранники» (В. Г. Рубинштейн).

82. «Эквивалентность уравнений и систем уравнений в средней школе» (А. Л. Витал).

83. «Теория измерения площадей» (А. К. Беркович).

84. «Теория измерения объемов» (И. Д. Дуб).

III

Обозревая работу секции математиков за 1938 г., следует отметить, что в истекшем 1938 г. работой нашей секции заинтересовались многие за пределами Одессы и Одесской области. Мы получили ряд писем и запросов от иногородних преподавателей. Кроме того, в работе нашей секции принимали участие в качестве докладчиков редактор журнала «Математика в школе» А. Н. Барсуков (Москва) (см. 64 заседание) и проф. А. М. Астряб (Киев) (см. заседание 73, 74 и 75).

Характеризуя работу секции следует также отметить, что на протяжении двухлетней деятельности секции выделился определенный актив преподавателей средней и высшей школы, охотно принимающий участие в работе секции. Некоторые из докладов, заслушанных предварительно на секции, впоследствии печатались в журнале «Математика в школе» и в журнале «Комуністична освіта». Однако ряд докладов, заслуживающих, с нашей точки зрения, внимания, остался неопубликованным. В этом отношении нам следовало бы позаимствовать опыт Ленинградского облоно и методкабинета, которые, по имеющимся у нас неполным сведениям, ведут интересную работу по линии математики и которые сумели выпустить несколько брошюр на разные темы, касающихся преподавания математики. Очень хотелось бы, чтобы товарищи из Ленинграда и других городов поделились опытом своей работы.

Наконец, в заключение выскажем следующее пожелание: хотелось бы, чтобы руководящие органы народного образования устроили встречу преподавателей математики различных городов нашего Союза в виде всесоюзного съезда или совещания преподавателей математики. Нам представляется, что есть не мало вопросов, которые можно было бы вынести на обсуждение. Хорошо было бы, если бы инициативу в этом отношении проявил журнал «Математика в школе», который фактически является единственным органом, объединяющим преподавателей математики всего нашего обширного Союза.

ОТКЛИКИ НА СТАТЬИ

О СТАТЬЕ В. ОРЕШКИНА «НЕКОТОРЫЕ МОМЕНТЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ДРОБЕЙ В V КЛАССЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ»

Н. КУЛАКОВ (Бугуруслан)

Оригинальные приемы обучения арифметике, излагаемые в этой статье, которые, по выражению автора, «не везде и не всегда применяются», мне кажется, не заслуживают подражания, так как большинство из них приучает учеников к нелогичности мышления.

Так, самое понятие о дроби вводится и нелогично и неудачно: при делении целых чисел знак деления (:) заменяется чертой, разделяющей делимое и делитель

полученный символ объявляется дробью «двадцать четыре восьмых» (не добавлено — единицы). Почему это так — не объясняется. Автор говорит: «К такому названию учащиеся подготовлены предшествующей работой». Однако с этим нельзя согласиться, так как перед таким введением понятия о дроби ученикам внушалось (и совершенно правильно), что при делении числа на 8 получается одна восьмая часть (не добавлено — этого числа). Ученики соглашаются с названием символа

как «24 восьмых», конечно, только потому, что еще в начальной школе они познакомились с символикой дробей; видя теперь запись -g-, ученики читают: «24 восьмых».

Если бы ученики не были с этим знакомы, а руководствовались только предшествующей работой, то должны были бы сказать учителю: «Раньше вы говорили нам, что от деления числа на 8 получается восьмая часть, а теперь говорите, что получается 24 восьмых. Как это понять?»

Автор далее пишет: «Теперь я вновь основательно повторяю зависимость между делимым, делителем и частным применительно к новой записи частного». Непонятно, как можно проверить, что

При изучении признаков делимости сообщаются, как видно, только правила, хотя и на примерах.

Автор начинает знакомство с дробью как с частным, полученным от деления одного числа на другое, об основном определении дроби он даже не упоминает в своей статье. Конечно, нужно удержать обычный порядок: напомнить понятие о дроби как об одной части или совокупности нескольких частей единицы; затем уже показать, что после введения дробей деление делается всегда возможным; показать это наглядно, например на задаче: «3 яблока разделить 4 ребятам». Ученики еще в начальной школе познакомились с дробями как с долями единицы; новые знания нужно ставить в связь с известными и начинать с известного.

При изучении умножения на дробь учащимся сначала не дается понятия (определения), что значит умножить на дробь, а сообщается прямо прием умножения, т. е. ученики приучаются употреблять слова без понимания их смысла. Правило умножения выводится нелогично: дается пример умножения дроби на целое Г-д • б), потом множители переставляют и пишут прежний результат l5--Q- = -Q- ), и только после некоторой путаницы с вопросом, что произведение в первом случае получилось больше множимого, а во втором меньше, сообщается смысл умножения на дробь.

Прием т. Орешкина можно бы сделать логически строгим, если видоизменить его таким образом: мы умеем множить дробь на целое число, например: -д-о — -g- = -g-. Допустим, что множимое и множитель здесь можно переставить, как и при умножении целого на целое, причем результат не изменится. Тогда у нас получится равенство

Заметим теперь, что хотя у нас и написано «5 умножить на g- », но мы не знаем, какой смысл имеет здесь слово хумножить : прежнего смысла оно, очевидно, иметь не может; вскроем этот смысл. Рассматривая результат, замечаем, что его можно написать так: -g- (множители в числителе мы имеем право переставлять, так как это — целые числа). Теперь замечаем, что такими же действиями (делением на 9 и умножением на 4) мы раньше находили -g от числа. Отсюда мы приходим к выводу: если допустить справедливость свойства переместительности умножения и для дробных чисел, то мы можем принять, что умножение на дробь есть то же, что и нахождение этой дроби от числа. Та^ой, приблизительно, путь рассуждения имеется в арифметике Э. Бореля. Но ясно, что для учеников V класса и этот

прием, исправленный с точки зрения логики, неприменим. Я предлагаю следующий прием, вполне доступный ученикам и не содержащий логических ошибок. Важно с самого начала подчеркнуть необходимость расширения понятия об умножении в случае дробного множителя. На примерах: 12x3, уХ3 и т. п. ученики припоминают: умножить какое-либо число на целое число это значит взять множимое слагаемым столько раз, сколько во множителе единиц. Что значит умножить на 1? Взять множимое 1 раз (теперь уже нельзя сказать — слагаемым). Что значит 12 умножить на ~2 ? Можно ли сказать подобно предыдущему: это значит взять 12 полраза?

Так не говорят; выражение «взять -g- раза» не имеет смысла. Поэтому необходимо уговориться, как понимать выражение «12 умножить на у». Уговоримся это понимать так:

12Х2~ это значит взять, или найти, ^ от 12, 12 X ~2 = 2 ~6 (слово «взять» связывает новое понятие с прежним).

Еще несколько примеров:

и мы устанавливаем общее определение умножения на дробь, а вместе с этим и способ умножения. Не представит затруднения и решение вопроса о том, когда произведение будет больше множимого и когда меньше.

Дополнение, которое делает т. Орешкин к правилу умножения дроби на дробь («умножая знаменатели, находим одну часть, а перемножая числители, находим все искомые части;:) тоже неточно: если мы пишем:

В вопросе о делении на дробь нельзя согласиться с т. Орешкиным, что обычный способ объяснения деления на дробь (как нахождение числа по его дроби) непосилен для учеников. Кроме того, этот способ имеет еще тот недостаток, что самое производство действия деления не напоминает ученику рассуждения, которым выведено правило; вследствие этого рассуждение очень скоро забывается, если оно даже было усвоено. Но и другой способ, при котором деление на дробь рассматоивается как деление по содержанию (т. Орешкин считает его лучшим) имеет недостаток: странно говорить, что, деля -J на ~2 , мы узнаем, сколько раз у содержится в 4-« Для тех случаев, когда делитель больше делимого, нужно бы показать, что здесь мы узнаем иное: какую часть делителя составляет делимое, а это внесло бы значительное усложнение. Кроме того объяснение будет более стойким, если исходить из определения деления. В арифметике Э. Бореля (как и во всех теоретических курсах арифметики) дается сначала правило деления, которое потом доказывается на основании определения деления. Чтобы разделить какое-либо число на дробь, достаточно делимое помножить на число, обратное делителю

Это верно, потому что

Такое изложение не может вызвать никаких возражений со стороны научности. Но прл обучении имеет значение не только строгое доказательство какого-либо положения, но и указание на тот процесс мысли, который может привести к открытию этого положения. В математике (да и в других науках) к новым положениям часто приходят путем мышления по аналогии, после чего это положение доказывается. (Аналогия не может рассматриваться как метод доказательства.) К установлению правила деления на дробь, как гипотезы, удобно прийти также путем аналогии. Я намечаю следующий путь объяснения деления на дробь.

1) Напомнить определение деления: разделить одно число на другое это значит, найти такое число, которое, будучи умножено на делитель, даст делимое. 2) Познакомить с обратными числами. 3) Из равенства

где

множители, а 1 — произведение, вывести на основании определения

но формулировать так: если 1 разделить на какую-либо дробь, то в частном получится число, обратное делителю. Пример 1:3 — 1 =у покажет, что то же справедливо и при делении 1 на целое число. 4) На основании аналогии с целыми числами получить правило деления на дробь. 5) Доказать справедливость этого правила. Два последних шага можно провести так. На примерах с целыми числами припомним, что если делимое умножить н 1 какое-либо целое число, то и частноз будет умножено на это число: 30:3 = = 10; 60:3 = 20. Если делимое помножить на дробь, то и новое частное будет представлять ту же дробь прежнего частного: 30:3 = = 10; 15:3 = 5. Пусть теперь нужно разделить 7 на у. (Посмотрим, не будет ли справедливо изменение частного и при делении на дробь.) Рассуждаем так: если бы мы делили 1 на -g-, то получили бы -j, а от деления 7 единиц на + получим в частном в 7 раз больше; итак,

Проверяем деление умножением:

Решивши несколько примеров с таким рассуждением, выводим правило деления на дробь.

При делении дроби на дробь рассуждаем так же. Положим, что требуется разделить

Проверка деления умножением:

Мои опыт показал мне, что ученики V класса легко усваивают это рассуждение, охотно применяют его вместо правила. Правило, подкрепленное рассуждением, прочнее запоминается. Конечно, другой формулировки правила деления (целое, или числитель первой дроби множить на знаменатель второй...) сообщать совсем не следует. Получается одно правило: чтобы помножить какое-либо число на дробь, достаточно делимое помножить на число, обратное делителю. Ученики сами распространяют это правило и на случаи деления на целое число:

О ФОРМУЛЕ ГЕРОНА

В редакцию продолжают поступать, и в довольно значительном количестве, заметки по поводу формулы Герона. Все они по затрагиваемым ими вопросам могут быть разбиты на две группы.

а) ВЫВОД ФОРМУЛЫ ГЕРОНА.

В № 1 и 4 журнала «Математика и физика в школе» за 1936 г. были помещены три вывода формулы Герона геометрическим способом. Указав, что все они мало упрощают (если упрощают) дело, редакция заявила о прекращении печатания различных выводов формулы. Об этом же говорит и т. Шевченко (Днепропетровск), который указывает, что «экономия в алгебраических рассуждениях «слихвой» покрывается геометрическими построениями и соответствующими рассуждениями».

Противоположной точки зрения держится т. Нейц (Омск). Не признавая за традиционным выводом никакой образовательной ценности (кроме разве тренировки в разложении на множители), т. Нейц считает, что «геометрический вывод приводит в связь многие сведения из геометрии, побуждает преподавателя немного выйти из рамок минимальной программы». Самый вывод формулы Герона т. Нейц делит на следующие этапы:

1. Определение отрезков, на которые делит вписанная окружность стороны треугольника (1=р — а и т. д.)

2. Построение вневписанной окружности и определение полученных отрезков соответствующей стороны треугольника.

3. Вывод формулы 5 = рг.

4. Вывод формулы Герона, основанный на подобии треугольников. Несмотря на кажущуюся простоту, предлагаемый вывод займет достаточно времени, в частности — второй этап.

Другой вывод дает т. Серговский (Анжеро-Судженск). Исходя из формулы s =-jj^ = pr (1), т. Серговский ставит себе задачу — найти выражения для Ль и г через отрезки I, т, п, образуемые вписанной окружностью на сторонах треугольника, для чего ищет два уравнения, связывающие й& и г. Легко получив одно уравнение из приведенных выше формул для s, т. Серговский для получения второго приходит в достаточной мере к сложным построениям и рассуждениям, в результате которых получает формулу Ыгъг = 21тп (2). Из (1) и (2) получается выражение, например, для г, затем для s.

Наиболее простым из присланных является вывод, присланный т. Семеновым (г. Каменск Ростовской обл.), который мы и помещаем вслед за настоящей заметкой.

Между прочим, трудно предположить, что приведенные выводы или сходные с ними не предлагались уже где-нибудь в журналах или учебниках.

б) ИЗМЕНЕННАЯ ФОРМУЛА ГЕРОНА

В № 2 журнала «Математика и физика в школе» за 1937 г. в статье т. Дрокина были даны два вида видоизмененной формулы Герона для случая, когда все или некоторые стороны треугольника выражаются иррациональными числами:

(I) (II)

Первая формула легче запоминается в силу своей симметричности, вторая более удобна для вычисления.

Тов. Гаркуша (Орджоникидзе) дает вывод следующей формулы:

(III)

Как видим, эта формула легко получается из (I).

Другое видоизменение формулы дают независимо друг от друга М. Попов (Калининская обл.), Е. Пильчин (Минск) и С. Максимаджи (Николаев):

(IV)

Эта формула является, несомненно, наиболее удобной и для запоминания и для вычисления. При этом удобнее брать за с наибольшую сторону треугольника.

Как правильно указывает т. Попов, эта формула легко может быть дана на уроке без затраты лишнего времени.

В самом деле, при обычном выводе формулы Герона для ha получается выражение

Отсюда сразу получаем:

Наконец, т. Спектор (Староконстантинов Винницкой обл.) вообще сомневается в целесообразности заучивания лишней формулы. Тов. Спектор указывает, что он дает иррациональные значения сторон для вычисления площади треугольника еще до вывода формулы Герона. Вычисление ведется обычным путем: определяется отрезок, отсекаемый высотой на стороне треугольника (или ее продолжении) и затем вычисляется h из прямоугольного треугольника.

Не отрицая полезности таких задач, все же нельзя согласиться с выводами т. Спектора. Имея формулу Герона, ученики всегда будут применять ее к вычислению площади по трем сторонам. А тогда видоизмененная формула, несомненно, значительно облегчает вычисления.

А. Барсуков

ПРОСТОЙ ВЫВОД ФОРМУЛЫ ГЕРОНА

М. СЕМЕНОВ (г. Каменск)

Теорема 1. Если в треугольник ABC вписана окружность, то расстояние от вершин Л,В и С до точек касания равны соответственно р — а, р — b и р — с.

В треугольнике ABC имеем: т+п — а\ п + I = b; I +т = с. По сложении: 2 (/ + /и + п) =:а+Ь + с = 2р 1+ т + п = р. Вычитая поочередно каждое из предыдущих, получим

I = р — а; т = р — / ; п = р — с.

Теорема 2. Если внутри угла А треугольника ЛВС проведена касательная к окружности, вписанной в треугольник, то она отсекает треугольник, периметр которого равен 2 (р — а).

Доказательство. Периметр треугольника ADE:Pade=AD + DK Л- АЕ + ЕК, но DK — DH и ЕК = EG, следовательно, Pade = = (AD+DH) + (АЕ + EG) = AG + АН— 2р— — a —(CG + ВН) = 2р — 2а = 2(р — а).

Задача. Стороны треугольника равны л, b и с; найти радиус г вписанной окружности.

Решение. Проведем внутри угла А касательную к окружности DE \\ ВС и соединим центр окружности О с точками Е и С. Получим прямоугольный треугольник ЕОС, так как углы DEC и £ ВСЕ — внутренние односторонние и сумма их /_DEC+ /_ ВСЕ = 2d, ОЕ и ОС — биссектрисы этих углов, следовательно, /_ ОЕС + l ОСЕ = dn £ ЕОС = d.

Радиус окружности ОР является перпендикуляром, опущенным из вершины прямого угла на гипотенузу, следовательно:

или:

(1)

Остается определить РЕ. Из чертежа имеем:

РЕ — АР — АЕ — р — а — АЕ. (2)

Определим АЕ из подобных треугольников ABC и АРЕ. Их сходственные стороны пропорциональны периметрам,

(3)

Подставляя АЕ из (3) во (2), найдем:

(4)

Наконец, подставляя РЕ из (4) в (1), получим

Отсюда

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

В. М. БРАДИС и А. К. ХАРЧЕВА «ОШИБКИ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЯХ) Учпедгиз, Москва, 1938

Названная работа вышла в качестве первой книги математической серии библиотеки учителя средней школы. Эта серия, согласно аннотации издательства, должна оказать помощь учителю в его повседневной работе и способствовать повышению его научно-педагогической квалификации по вопросам элементарной математики. Любопытно, что авторы книги, повидимому, не согласны с ориентацией на учителя, как на своего основного читателя, так как в их предисловии четко сказано, что книга предназначается для учащихся неполных средних и средних школ.

Оставляя указанное недоразумение на совести издателей, заметим, что книга фактически распространилась как среди учителей, так и среди учащихся. Спрос на подобную литературу настолько велик, что тираж (10 000 экз.) оказался явно недостаточным. Разнообразные категории читателей буквально сгорают от нетерпения получить квалифицированную элементарно-математическую книгу.

В своей рецензии мы постараемся ответить на вопрос, насколько рассматриваемая книга способна удовлетворить требованиям, выставленным издательством.

Высокую и универсальную педагогическую значимость софизмов авторы выводят из выдвинутого ими положения, что «хорошо ознакомившись с какой-нибудь ошибкой, мы страхуем себя от повторения такой ошибки в будущем».

Исходное положение спорно. Фиксировать постоянно внимание учащихся на ошибках, еще только могущих возникнуть, психологически вредно. Известно, что, например, плакаты с изображением «как надо» и «как не надо» что-нибудь делать не достигают цели, так как в сознании человека запечатлевается и то и другое, и легко забывается, что с чем связано.

Педагогический опыт работы по математике подтверждает, что ошибки, как правило, следует учителю предупреждать путем всестороннего рассмотрения с учащимися изучаемых понятий в классе, специально не останавливая их внимания на возможных ошибках.

Сказанным нисколько не отрицается определенная роль математических софизмов в школьной практике. Последние целесообразно использовать в особых случаях, а именно в тех, когда самая сущность теории рассматриваемых вопросов требует указания, какие преобразования или действия производить не законно.

В качестве примера таких вопросов назовем темы: «Пропорциональность величин», «Теория эквивалентности уравнений», «Элементы приближенных вычисление».

Но видеть в софизмах защиту от всех зол, как это делает Харчева в последней главе книги, от которой Брадис, как опытный педагог, кстати сказать, дважды открещивается, нельзя. Ведь по Харчевой выходит, что с помощью математических софизмов недисциплинированный класс стал примерным, ученики, враждебно относящиеся к математике, стали ее поборниками, а неуспевающие сделались успевающими.

Эта глава написана по-детски наивно, в польза ее вызывает законные сомнения.

Рассматриваемая книга принадлежит к числу тех, которые приобретают в короткий срок широкую популярность, поэтому ошибки и неточности в этой книге особенно досадны.

Перечислим некоторые из них.

Пожалуй, хуже всего ошибки, относящиеся к разряду ошибок в математических рассуждениях. Так, на стр. 64 авторы высказывают как истиннее следующее суждение:

Итак, произвольное число N мы представили в виде произведения бесконечного множества единиц, откуда заключаем, что N = 1». Этим абсурдным утверждением бессознательно увеличено число софизмов сборника. Ведь, с точки зрения авторов, известное равенство

где

означает, что единица равняется любому положительному числу! А между тем из начал анализа известно, что 1 принадлежит к числу типических неопределенностей.

Вообще надо признать вредным то систематическое оперирование условными записями, т. е. равенствами, содержащими символ бесконечности, которое допускают авторы на протяжении всего сборника. Преподаватели анализа весьма осторожно подходят к этому зопросу даже в условиях высшего учебного заведения, так как несоблюдение этого усло-

вия способствует выработке у студентов неправильного взгляда на символы бесконечности и является открытой дорогой для порождения разнообразных ошибок.

Авторы сборника считают, что число, отличное от нуля, на нуль делить можно. Так, на стр. 64 мы встречаем такое «истинное» утверждение: — — со. Здесь, очевидно, забывается одно из самых важных правил математического анализа: «Деление на нуль безусловно недопустимо ни в одном случае» (акад. Н. Н. Лузин).

Наконец, на той же злополучной странице авторы приводят и такое неверное рассуждение: нулевая степень корня квадратного из произвольного числа N равна единице (упускается из внимания случал N — 0).

Не все утверждения книги согласованы с современными научными воззрениями. Так, на страницах книги (47—49) основной теоремой высшей алгебры авторы называют теорему которая утверждает, что «всякое уравнение имеет, по крайней мере, один действительный или комплексный корень».

Между тем известно, что эта теорема в настоящее время не считается алгебраической так как для ее доказательства необходимо использование идеи непрерывности, являющейся понятием анализа.

Сказанного достаточно, чтобы сделать следующие выводы.

1. Известная часть материала книги требует критического подхода.

2. Издательству необходимо более тщательно редактировать свою продукцию.

В. Минковский

К ВОПРОСУ ОБ УЧЕБНИКЕ ГЕОМЕТРИИ

Н. А. ИЗВОЛЬСКИЙ

В настоящей заметке рассматривается лишь один вопрос, относящийся к построению учебного курса геометрии и возникший на почве рассмотрения нового издания учебника геометрии Киселева под редакцией проф. Н. А. Глаголева.

В этом учебнике, в статье об окружности, доказывается обычным путем, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно построить окружность и только единственную. Доказательство опирается на то, что у каждого отрезка имеется середина и притом единственная. Если это положение в предыдущем не выяснено, то нельзя считать такое доказательство обоснованным. Возникает вопрос, как выяснить существование единственной середины отрезка.

Можно прежде всего воспользоваться, как то имеет место в учебнике Киселева при выяснении аналогичного вопроса о перпендикуляре к прямой из данной точки, перегибанием плоскости: перегнем плоскость так, чтобы один конец отрезка совпал с другим. Однако перегибание плоскости логически не обосновано: надо 1) выяснить, что всегда перегибание плоскости совершается по прямой, 2) выяснить, что всегда можно перегнуть плоскость так, чтобы одна ее точка совпала с другой, заранее определенной (а для биссектора угла — чтобы одна прямая совпала с определенной другой. Если воспользоваться той схемою; какая имеет место у Евклида, то приходится опереться на аксиому, которую Евклид заранее не объявляет, но ею пользуется в самом начале своих «Начал» при построении на данном отрезке равностороннего треугольника, а именно на аксиому, что две окружности при определенных условиях пересекаются и притом не более чем в двух точках. Но в таком случае при изучении вопроса о пересечении двух окружностей не приходится, как то имеет место в учебнике Киселева, ссылаться на то, что уже было доказано (в теореме, говорящей о проведении окружности через три точки), что через три точки не могут проходить две различных окружности.

Если встать на почву аксиоматики Гильберта, то в его «Основаниях геометрии» нет доказательства того, что у каждого отрезка имеется середина и притом единственная, хотя это положение ему нужно для доказательства того, что внешний угол треугольника больше внутреннего, с ним не смежного. Повидимому, опираясь на аксиомы сопряжения, порядка и конгруэнтности и не пользуясь аксиомами параллельности и непрерывности, можно доказать (хотя здесь и имеется некоторое сомнение) существование середины отрезка и ее единственности (хотя последнее довольно сложно). Однако, несомненно, что построение учебника геометрии по такой схеме было бы до крайности нецелесообразно. И вот возникает вопрос о выходе из этих затруднений.

Повидимому, их два: 1) можно в основу положить перегибание плоскости, принимая за аксиому, что плоскость перегибается по прямой* и что можно перегибанием совместить данную точку или прямую плоскости с любой точкой или прямой той же плоскости, 2) можно принять за аксиому, что две окружности не могут иметь больше двух общих точек.

С своей точки зрения, считая, что учебник геометрии не должен быть педантично строгим в направлении формальной логики, я полагал бы возможным ввести в курс оба эти положения и по мере надобности опираться на них во всем развитии курса.

* Быть может, это можно ввести как следствие того, что пересечение двух плоскостей есть прямая.

ХРОНИКА

Кабинет математики Государственного научно-исследовательского института школ Наркомпроса РСФСР организовал интересную форму связи ученых, интересующихся постановкой преподавания математики в школе, с передовыми учителями — систематически созываемые научно-методические совещания.

На этих совещаниях (проводимых ежемесячно) будут ставиться доклады по научной разработке математики и ее методики в связи с школьным преподаванием.

Первое совещание состоялось 2 марта 1939 г. Совещание заслушало доклад члена-корреспондента Академии наук СССР, доктора математических наук, проф. А. Я. Хинчина.

Докладчик во вступительном слове сообщил, что им задумана большая работа на тему «Основные понятия математики в средней школе»; написаны уже главы: «Понятие числа в средней школе», «Понятие предела в средней школе» и «Понятие функциональной зависимости в средней школе».

На совещании 2 марта докладчик остановился лишь на двух последних вопросах. Обсуждению первой темы будет посвящено отдельное заседание

Два принципа положены автором в основу его работы:

1. В случаях, когда возрастные условия не позволяют дать такую трактовку понятия, какая принята современной наукой, концепция этого понятия в школьном курсе может быть упрощена; это означает, что школа не обязана доводить развитие каждого понятия до его состояния в современной науке, но может остановиться и на предшествующей стадии развития этого понятия. Но ни в одном случае школа не должна в целях упрощения искажать научную трактовку понятия, придавать ему черты, противоречащие научному его пониманию, — черты, которые в последующем пришлось бы искоренять, другими словами, ни в одном случае школа недолжна развивать понятия в направлении, отклоняющемся от пути его научного развития.

2. Замена отчетливых и точных определений, формулировок и рассуждений расплывчатыми, не имеющими точного смысла и при последовательном использовании неизбежно приводящими к логическим неувязкам, ни в одном случае не может способствовать облегчению понимания, а напротив, во всех случаях затрудняет его; мыслить расплывчато не может быть делом более легким, чем мыслить четко.

Наконец, азтор полагает, что обычное построение школьного курса изобилует такими понятиями, которых не знает математическая наука или которые она давно отвергла. В подавляющем большинстве случаев введение этих изобретенных специально для школы и неупотребительных в науке понятий не имеет за собой ничего, кроме слепой традиции; вызываемое ими ненужное обременение курса методически ничем не оправдано и приносит только вред.

Доклад вызвал живой интерес всех участников совещания. Выступали учителя, научные работники высшей школы и Академии наук СССР: проф. А. Ф. Бермант, проф. В. И. Гливенко, проф. Г. Б. Гуревич.

Выступавшие горячо поддержали положения, выдвинутые А. Я. Хинчиным, и высказали пожелание, чтобы работа была как можно быстрей опубликована. На совещании был также разрешен ряд организационных вопросов и намечен план работы совещаний на ближайшие месяцы. На следующем собрании (8 апреля) будет заслушан доклад авторов издаваемого Учпедгизом нового учебника по тригонометрии для средней школы—проф. Л. П. Люстерника и А. Ф. Берманта и обсуждение этого учебника.

Я. С. Герценштейн А. Я. Моргулис

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, помещенных в № 5-6 за 1938 г.

81 Доказать, что во всяком треугольнике имеет место соотношение

(1)

1. Из формул:

(2)

подставим значения а, Ь и с. в левую часть предполагаемого равенства (1). Будем иметь последовательно:

По известной формуле при A -f В + С = 180°

(Можно вывести и непосредственно, пользуясь формулами суммы синусов и разности косинусов.)

Тогда (3) примет вид:

Таково, с некоторыми вариантами, решение громадного большинства читателей. Таковое же в общем решение этой задачи было дано в журнале «Математическое просвещение» № 5.

2. Приведем решение ученика X класса Архипова В. (Москва). Пусть О — центр описанной окружности.

Вычислим по формуле Герона площадь Д БОС. Для него

Точно так же найдем:

Приняв во внимание, что ARS — abc, получаем требуемое соотношение.

3. Решение ряда читателей сходно с предыдущим. Не прибегая к формуле Герона, они вычисляют высоту для каждого из трех полученных треугольников. Так, для СОВ она будет

Соответственно для АОС и АОВ:

Подставляя найденные значения радикалов в левую часть данной формулы, получим:

И. и А. Яглом (Москва), решая этим способом задачу, указывают, что задача неверна для тупоугольного треугольника. Это утверждение неправильно. Тождество справедливо для всякого треугольника. Это видно из того, что первый способ доказательства не предусматривает ограничений для углов А, В и С. Можно было бы сказать, что неприменим способ доказательства, данный здесь под № 3, так как если, например

/ С тупой, то S^ABC =St + S2— Sv Но и это возражение отпадает, если условиться считать отрицательной высоту, проведенную из О к стороне, лежащей против тупого угла. Не трудно видеть, что и при первом способе в выражении

последний член отрицателен.

82. Найти сумму внутренних острых углов пятиконечной звезды.

1. Сумма внутренних углов пятиугольника. ACDEF:

2d (5-2) = 6d.

Вместе с вертикальными по отношению к ним углами (BCN, NDM...) это дает: 6d-2 = \2d. Сумма углов при основаниях треугольников ABC, CND и т. д.:

Сумма внутренних углов треугольников ABC, CND...:

Наконец, искомая сумма равна

2. Предыдущее решение имеет общий характер, т. е. применимо и к случаю, когда пятиконечная звезда имеет неправильную форму, как, например, на чертеже 1. Около половины читателей решали, однако, задачу только для того случая, когда пятиугольник дан правильный. Понятно, что тогда задача предельно упрощается. Угол FAC тогда равен

Смежный с ним угол CAB:

Отсюда

Все же пять углов, равных /_ СБА, дадут

3. Еще короче: описав около звезды окружность, увидим, что ABC вписанный, опирающийся на дугу, равную окружности.

Следовательно, он равен 360° : 10 = 36°. Сумма пяти таких углов равна 180э.

Один из читателей спрашивает: зачем помещена такая простая задача? Смысл ее именно в нахождении наиболее простого решения. Между тем у очень многих даже для правильного пятиугольника решение занимает две-три страницы, больше того, в двух случаях даже величина острого угла найдена неверно (26°).

83. Найти четырехзначное число ху zu, если

1. Перепишем уравнения в таком виде:

(1)

(2) (3)

Подставляем в (3) значение z + и из (2):

Отсюда:

(4)

Так как у О и л*>0 (иначе данное число не было бы четырехзначным), го из (4) имеем:

Подставив найденные значения х и у е (1) и (2), будем иметь

Отсюда легко находим:

Искомое число = 1938.

2. Несколько иной путь решения дают И. и А. Яглом (Москва). Приводим его.

Из (3) имеем:

(5)

Определив х -f у из (2) и подставив в (5) получим:

(6)

Подставив найденное выражение для

(1), найдем:

или:

(7)

Так как и < 10, то из (7) имеем:

(8)

Далее из (3):

или, приняв во внимание (7):

(9)

Так как

то (9) дает:

(10)

Из (8) и (9) с необходимостью вытекает

Дальнейшее понятно.

3. Отметим наиболее «краткое» решение. Из (1) следует, что х < 5, так как в противном случае 2ху было бы числом трехзначным и не могло бы быть равно zu. Таким образом, X = 1, 2, 3, 4. Подставляя эти значения в данную систему, получим 4 системы уравнений, из которых только при X — 1 получаются целые значения для у% z и и. Очевидно, что краткость решения только кажущаяся, ибо решение 4 систем уравнений займет гораздо больше времени, чем один из предыдущих способов.

Некоторые из читателей не учли черты над ху в уравнении (3) и выражение ху приняли за лгу, а не за Юх -f v. Отсюда получилась система, неразрешимая в целых числах.

84. Если к пятизначному числу приписать слева число на единицу меньшее, то полученное десятизначное число является точным квадратом. Найти числа, удовлетворяющие этому условию.

Если пятизначное число обозначим через х, то полученное десятизначное число изобразится так:

По условию:

(1)

Легко видеть, что И и 9091 не могут быть одновременно делителями только у + 1 или V—1, так как в этом случае мы получили бы число большее 1010. (Можно показать также, что х — 1 не может целиком входить в один из множителей у -f 1 или у— 1). Значит, один из множителей у 4- 1 и у — 1 делится на 11, другой— на 9031. Имеем два случая.

1.

(3) (4)

Из (3) и (4) по исключении у получается неопределенное уравнение первой степени с двумя неизвестными, которое и решается обычным способом. Для сокращения проведем это решение так. Из (3) имеем:

V —1 = 9 091т — 2 = 826-lim + 5т — 2. (5) По (4) у—1 или по (5) 5т —2 должно делиться на 11. Легко вычислить, что это может быть при m — 7. Тогда имеем:

II.

Так же, как и в первом случае, имеем:

Выражение от + 2 делится на 11 при m = 4. Отсюда

Ошибочные решения заключаются в упущении одного из этих чисел (давалось одно решение), но были случаи и нахождения неверных значений х.

85. Даны две вершины квадрата. Найти остальные две вершины при помощи только циркуля.

1. Приведем наиболее простой способ, которым в основном и пользовалось большинство.

Из точки Л радиусом AB = а проводим окружность. На ней от точки В делаем три засечки тем же радиусом. Очевидно, точка С лежит на прямой ÀB (СВ — диаметр). Хорда ВЕ% как стягивающая дугу в 120°, равна Радиусом BE = а^3"проводим из точек В и С окружности, пересекающиеся в точке М. Очевидно, что MA j_ СВ (по свойству точки, равноотстоящей от концов отрезка). Не трудно видеть, что

MA = у MB-— AB- = УЖ- — R£ = tfj/

т. е. равна диагонали искомого квадрата. Проводя из В и С окружности радиусом MA = R у% найдем третью точку N искомого квадрата. Для нахождения четвертой точки из N к В проводим окружности радиусом AB = а. Можно было также провести из В окружность радиусом AB = а и из А сделать на ней засечку радиусом AM. Такое же построение можно было выполнить вниз от AB.

2. Из других построений приведем построение Е. Киракосян, предложившего задачу. Сначала т. Киракосян показывает, как при помощи одного циркуля можно данное расстояние AB увеличить и уменьшить в п раз (см. об этом у Александрова, сто. 161). Затем используется равенство З2 + 42 — 52 таким образом: данное расстояние AB = а увеличиваем в 5 раз, т. е. откладываем расстояния ВС, CD, DE, EF. (Способ указан в первом построении нахождением точки С, черт. 1). Из точки Е радиусом AF = 5а и из точки А радиусом AD = За проводим окружности, которые пересекутся в точке К. Так как АЕ = 4я; ЕК = 5а;

АК — Ъа, то угол KAF прямой. Делим расстояние АК на три части и находим точку M—третью вершину квадрата. Остальное понятно.

3. Но если уж опереться на сложение З2 Н- 42= 52, то можно проще выполнить построение, как это и сделал М. Кекелия (Бандза). Приведем этот способ, еще несколько упростив его.

Строим попрежнему расстояние AF — 5а, Из точек Е и D радиусом F В = 5а, а из точки В радиусом FA -— = Аа и FC = За проводим дуги, которые дадут точки пересечения К и L.

Прежним способом отрезок LK повторяем три раза; находим точку M — третью вершину квадрата.

Из точки M проводим окружность радиусом а; получаем четвертую вершину.

Как видим, здесь не приходится делить KB на три части, что конечно, усложняло бы дело, так как для этого пришлось бы сначала утроить расстояние KB (см. ниже).

4. Можно допустить, что А и В - противоположные вершины квадрата. Тогда AB = = а — диагональ его. Искомая сторона:

Отсюда:

Но в первом построении мы уже нашли расстояние, равное а ]/"2 (именно AM). Следовательно, для нахождения х достаточно расстояние AM разделить пополам. Приведем общий случай деления расстояния AB — — а на п равных частей.

Пусть АС — па (как найти АС — мы уже знаем). Из точки С радиусом АС проводим окружность. На ней из точки А радиусом AB = а делаем засечки D и Е. Из точек D и Е радиусом AD = АЕ проводим дуги, которые пересекутся в точке М. Отрезок AM = -jj AB = п а (на чертеже взята .

Действительно, треугольники ACD hADM — равнобедренные, и угол DAC при основании у них общий. Следовательно, они подобны. Отсюда:

Имеется и ряд случаев чрезвычайно громоздких решений. Что касается неверных решений, то они, как правило, являются следствием непонимания существа задачи — построение одним циркулем. Отсюда — такие фразы в решении, как: «Делим отрезок AB пополам» (подразумевается обычным способом); «Радиусом R проводим окружность; затем радиусом, равным R ~)/~2, проводим...»; «Из А и В проводим окружности радиусом AB. Затем проводим общую касательную к этим окружностям» и т. п.

86. Доказать неравенство

где А, В, С — углы треугольника. Показать затем, что

Кроме двух решений, имеющихся у Кречмара, задача получила целый ряд других решений. Приведем некоторые. 1. Исходим из формул:

(1)

Перемножив их, сведем задачу к доказа тельству неравенства

(2)

Доказательство можно провести несколькими способами.

1а). Сумма множителей в числителе равна 3 п — (а Ц- Ь -f с) — 3/7 — 2р = р, т. е. постоянна. Следовательно, произведение имеет наибольшую величину, когда множители равны между собою, т. е. р — а—р — Ь — р — с, или: а — Ь — с. Но тогда величина левой части неравенства будет:

Итак, наибольшее значение этого выражения равно— (А. Логашов, Саловка).

1b). Исходя из положения: среднее геометрическое двух положительных чисел не больше их среднего арифметического, будем иметь:

Или:

(3)

Аналогично получим:

(4) (5)

Перемножив (3), (4) и (5), получим:

т. е. требуемое неравенство (А. Гуревич, Гомель).

2. Исходим из формулы:

(6)

или:

Известно, что следовательно:

Отсюда:

(7)

Аналогично получим:

(8) (9)

Перемножив (7), (8) и (9), найдем:

т. е. требуемое неравенство (В. Крылков, ст. Екатериновка, предложивший задачу).

3. Исходим из неравенства:

Отсюда имеем:

После перемножения, получим:

(10)

Делая замену в (10) и сократив обе части на R3, получим;

Так как

то по сокращении получим:

(11)

но

Отсюда из (11) имеем:

а отсюда получаем требуемое неравенство (И. Бочкин, Рогачев). Был дан и ряд других способов решения. Что касается второй части задачи— доказать, что

то это неравенство короче всего выводится при помощи уже доказанного. Действительно, по известной формуле:

(1)

Применив только что выведенное неравенство, получим:

(2)

Можно, конечно, как и делали многие доказать неравенство (2) и непосредственно. Наконец, некоторые выводили сначала неравенство (2), а из него уже первое.

Ошибки в решениях этой задачи имеются очень грубые, часто недопустимые и для ученика средней школы. Приведем несколько примеров.

Первое неравенство доказывается на основании второго, как уже доказанного (r^2R), (г-VP 3\ а затем доказывается второе

на основании его же.

Из неравенства sin А ^ 1 непосредственно выводится; отсюда

87. Доказать, что во всякой трапеции

где а и Ъ — основания трапеции; р и q — непараллельные стороны; m и п — диагонали.

Из вершины В проведем BDX и ВАХ— параллельные CD и АС до пересечения с основанием AD и его продолжением.

Из В проводим медиану BBt к стороне ЛО, треугольника ABD^ Очевидно, что BBt будет также медианой к стороне AJ) треугольника AJSD, так как АХА = ВС = DVD и, следовательно, AiB1 = D\D. По известной формуле для медианы имеем из треугольника ABD{.

(1)

Из треугольника AtBD:

(2)

Из (1) и (2) имеем:

Таково решение т. Р. Осминкина (Опочня\ предлагавшего задачу. Приведем более простое решение большинства читателей. Из треугольников ACD и ABD имеем:

По сложении

но

Отсюда:

Неверных решений почти не было, но зато было достаточное количество необычайно сложных и громоздких, занимавших несколько страниц. Так, отрезок АЕ обозначался через л*, отрезок FD через (а — Ь — х), и далее производились сложнейшие вычисления для нахождения х. Или, например, приравнивались площади треугольников ACD"и ABD, вычисленные по формуле Герона, и отсюда, после сложных и длинных преобразований, получалось требуемое соотношение. По мнению редакции, подобные задачи и нельзя, пожалуй, зачитывать как решения. Интересно по этому вопросу мнение читателей.

88. Если в произвольном четырехугольнике ABCD опустить на AD перпендикуляры BE, CF и ОН (О — точка пересечения диагоналей), то площадь этого четырехугольника

Задача получила почти единственное решение, легко напрашивающееся непосредственно из чертежа.

Имеем:

(1)

Отсюда:

(2)

Из подобных треугольников AFC и AHO, а также BED и OHD, имеем:

По сложении получим:

(3)

Определив отсюда AF-BE + CF-ED и подставив во (2), найдем:

Это, в общем, единственное решение, которое получила задача. Введение тригонометрических функций или взятие четырехугольника с тупым углом, по существу, дела не меняют.

89. до казать, что уравнение

(1)

х- =

не имеет целых решений.

Задача вызвала много довольно длинных исследований (например о четности или нечетности X и у и т. п.), а между тем решается чрезвычайно просто. К сожалению это простое решение дано сравнительно немногими из читателей.

Из (1) имеем:

(2)

Отсюда у2 — 8 должно делиться на три. А так как 8 = 2 3 + 2, то у2 должно быть вида 3& -f 2, а у вида За ±_ 1 (так как v2 не кратно трем.) Но

т. е. при всех значениях у его квадрат не может быть вида 3k + 2. Следовательно у2 —8 не может делиться на 3 и уравнение (1) неразрешимо в целых числах.

Еще проще: прибавив к обеим частям по 1, получим:

Левая часть делится на 3, а правая не делится на три ни при каком целом значении у.

Ошибки в решении этой задачи тоже имеются очень грубые. Так один получает из данного уравнения:

Затем дает t значения 1, 2, 3... получает для X целые, а для у иррациональные значения и удивляется: целых решений сколько угодно, очевидно, задача неправильно сформулирована. Товарищ, очевидно, совершенно забыл, что во всяком уравнении с 2 неизвестными одному можно дать любые, в том числе и целые значения. И затем, к чему тогда все произведенные преобразования? Проще сразу давать в данном уравнении х значения 1, 2, 3... и вычислять соответствующее значение у.

Любопытен другой пример неверного решения, данный тремя читателями, вообще хорошо решающими почти все задачи, помещаемые в журнале. Из данного уравнения получаем:

Дальше аргументируется: «Для того, чтобы X был целым, необходимо, чтобы у -f j/^S или у — Vs делились на 3, что при целом у невозможно». Но, во-первых, тогда и не делится на 3?

(например, при у =.5) Во-вторых, при этом разложении у2— 8 вообще не может делиться ни на какое целое число, что явно нелепо. Вот пример непродуманного решения, так как повторяем, авторы его прекрасно решают неизмеримо более трудные задачи.

Еще примеры. Прибавлением к обеим частям по 10а:, приходим к выражению (кстати, неверному)

Отсюда вывод: равенство возможно в 4 случаях: 1) если Зх + 2 = 1, 2) если х + у = 1 и т. д.

Применяется подстановка х — at\ у = bt + -4- 2 "j/"2~0 ?), и затем получаются для t иррациональные значения! Можно было бы и еще увеличить количество примеров, но и этих достаточно, чтобы заключить, что такая легкая задача для многих оказалась непосильной. Об этом же говорит и малое количество присланных верных решений (см. ниже сводку).

90. Решить задачу Региомонтана: найти три числа, сумма которых равна 116, а сумма их квадратов равна 4 624. Имеем систему:

(1)

(2)

Независимо от дальнейшего хода решения данную систему можно упростить, приведя ее к системе

(3) (4)

Так как число т- в случае m нечетного будет вида 8/1 + 1, то ни одно из чисел а, Ь% с не может быть нечетным. Действительно, в случае одного, двух, трех нечетных чисел сумма а2 + Ьг + с2 будет соответственно вида:

Правая же часть уравнения (2) кратна четырем. Итак, а = 2а, b = 2bu с = 2сь и уравнения (1) и (2) примут вид:

Повторив относительно этой системы те же рассуждения, найдем, что ах—2х\ 6, = 2у; сх — 2г и, таким образом, приходим к системе уравнений (3), (4). I. Отметим прежде всего решение Н. Вве-

денского (с. Георгиевское), который применил общее решение неопределенного уравнения вида:

данное в статье проф. Креер «Неопределенные уравнения» («Математика и физика в школе», 1935 г.,№ 3). Решениями этого уравнения будут:

где я, b и с — произвольные параметры. В нашем случае, в уравнении (4), и= 17. Отсюда числа a, b и с связаны соотношением:

Легко установить, что 17 лишь единственным способом разлагается на суммы трех квадратов, именно:

Полагая

а = 3, b = 2, с = 2

получим:

X — 12; у~Н\ z = 9. Соответственно:

а = 48; b = 32; с = 36.

В силу симметричности уравнений (1) и (2) числа 48, 32 и 36 допускают перестановки. Получим 6 систем значений я, b и с.

2. Оригинальное решение дает А. Гуревич (Гомель). Исходим из уравнения:

а) Легко показать, что два из чисел х,у и z должны быть кратны трем. Действительно: 172 = 3 • 96 + 1, а числа х2,у2 и z2 только тогда могут дать в сумме число вида Зи + 1, когда два из них кратны, а третье не кратно трем.

б) Точно так же показывается, что из чисел x,y,u,z два должны быть кратными четырем.

в) Итак, из чисел xty,z два кратны трем, два кратны четырем. Следовательно, по крайней мере, одно из них кратно 12.

д) Пусть, например, х — 12jCj. Делая подстановку в уравнение (2), получим:

Отсюда:

Итак, X = 12. Дальше легко находятся у и z.

3. Ряд читателей (Е. Киракосян (Ереван) А. Соловьев (Калинин) и др.), дали, примерно, такой способ. Из уравнения (3) имеем:

(5)

После замены выражения л- -f у2 из уравнений (4) будем иметь:

(6)

Решаем систему уравнений (5), (6) относительно X и у:

Для вещественности t необходимо:

Для вещественности z необходимо, чтобы выражение 52 — Зтп2 было точным квадратом. Это может быть только при m =1,3,4. Получаем соответствующие значения для z (берем только целые значения).

0i=12; z2 = 8; zz = 9. При 2=12 получим jc! = 8, у, = 9

или: х2 = 9, у2 = 8. При z = 8 получим х3 — 12, у3 = 9

или: хА = 9, у4 = 12. При z = 9 получим х5 = 8, _у5 = 12

или: х% = 12, уе = 8.

Неверные решения чаще всего сводились к произвольному прибавлению третьего уравнения z2 = 2ху, отчего система становилась определенной, но могла и не дать целых решений, хотя бы данная в задаче система их и имела. При этом иногда прямо утверждалось, что X2 + у2 + z2 = а2 может быть верным только при условии z2 = 2ху (или у2 = = 2xz, X2 = 2yz). Достаточно было взять один, два числовых примера (22 + З2 + б2 = 72; З2 + 42 4- 122 = 132 и т. п.), чтобы убедиться в противном.

Были и другие ошибки. Вообще задача получила наибольшее количество неверных решений.

91. Доказать, что во всяком треугольнике имеет место соотношение:

Имеем:

Но сложении получим:

Делим обе части на 2 abc:

(1)

По формуле для медиан имеем:

По сложении получим:

(2)

Подставив из (2) в (1) и приняв во внимание, что

будем иметь:

92. Даны высота, биссектриса и медиана, проведенные из одной и той же вершины треугольника. Найти R — радиус описанной окружности.

Проведем диаметр NNti перпендикулярный к ВС.

Из треугольника AEF имеем:

(1)

Из треугольника DAF:

(2)

Из (1) и (2):

(3)

Из подобных треугольников NDE и EFA

Отсюда:

(4)

Из подобных треугольников MAN и AFE имеем:

или после подстановки из (4):

Вычтем (1) из (2):

93. Решить систему уравнений:

Приведя данные уравнения к целому виду, будем иметь:

(1)

(2)

(3)

Отсюда:

(4)

Подставив найденное выражение (4) для х в первое из данных уравнений, получим квадратное уравнение, которое и решаем:

После подстановки в (4) получим:

Эта, только немного усложненная, обыкновенная система уравнений, понятно, получила и наибольшее количество решений, в том числе от многих учащихся средней школы. Но были и неверные решения, вплоть до утверждения о несовместности системы.

94. Построить четырехугольник ABCD по данным AD, ВС, углу между AB и CD, углу между AD и ВС и одной из диагоналей.

Положим для определенности AD^>BC. Пусть четырехугольник ABCD будет искомый. Проведем АВХ || ВС и СВХ \\ AB. Фигура АВСВХ очевидно, параллелограм, и АВХ = ВС.

Следовательно, треугольник ABJD мы сможем построить по двум данным сторонам и углу между ними.

I. Пусть дана диагональ АС. Тогда точка С лежит на дуге, построенной на BtD и вмещающей /^(ZßiCD—/ 3),и на данном расстоянии АС от точки А. Следовательно, точку С мы найти можем. Затем легко находится точка В, тая как ВС || АВХ и BC = ABt.

Построение. 1. По данным двум сторонам AD и ВС и углу между ними а строим A ABXD.

2. Ha BXD строим сегмент, вмещающий данный угол ß, и радиусом, равным данной диагонали, засекаем на полученной дуге точку С.

3. Из точки С проводим СМ || АВи и откладываем на ней CB—ABi. Четырехугольник ABCD — искомый.

И. Пусть дана диагональ BD. 1) Строим A^CDi по двум данным сторонам BD{ = AD, ВС и углу а между ними.

2. Ha CDX строим сегмент, вмещающий /_ (3, и радиусом, равным данной диагонали BD, засекаем на полученной дуге точку D.

3. Из D проводим DM || BDX и откладываем на ней DA = BD\

95. Найти все шестизначные числа, удовлетворяющие следующим условиям:

1. Искомые числа — точные квадраты.

2. Если разбить эти числа на три грани по две цифры, то сумма трех полученных двузначных чисел будет точным квадратом.

3. Если написать числа в обратном порядке цифр и снова разбить их на три грани, то сумма и этих трех двузначных чисел будет точным квадратом.

Первые этапы решения этой интересной задачи в общем у всех, решавших ее, одинаковы. Разница в большей или меньшей сжатости и ясности рассуждений и доказательств. Наиболее четким нам представляется ход рассуждений (в этой части) М. Шебаршина (М. Гора), предложившего задачу.

1. Имеем по условию:

(1)

(2) (3)

2. Сложив (2) и (3) получим:

(4)

Пусть

где

Тогда:

(5)

Из (4) и (5) следует, что k- + I2 должно делиться на 11.

Легко убедиться что это может быть только при k = I = 0. Отсюда:

(6)

3. Так как каждое из чисел х, у... не больше 9, то из (6) имеем

что может быть только при р = q = i. Итак имеем из (6):

(7)

и из (2) и (3):

(8)

(9)

4. Вычтя (7) из (8) и (9) и разделив полученные разности на 9, получим:

(10) (11)

5. Вычтя (7) из (1), будем иметь:

Отсюда видим, что а следовательно, должно делиться на 9. Так как (N + 2) — — (N — 2) = 4 не кратно трем, то N + 2 и N — 2 не могут одновременно делиться на три. Следовательно, или N + 2, или N — 2 делится на 9. Отсюда:

(12) (13)

6. Из (10), (11) и (1) следует, что в числе N2 разность между суммами четных и нечетных по порядку цифр равна нулю. Следовательно, N2, а отсюда и N должно делиться на 11. Имеем: N = \ln. (14)

7. Из (12), (13) и (14) получаем два неопределенных уравнения:

(15) (16)

решив которые, найдем:

из (15) т= 115 —1; /* = 9s—1,

из (16) m =115+1; п = 9^+1.

Подставив найденные значения и в (14) получим:

(17)

8. Чтобы определить границы для s, вспомним, что N2 должно быть шестизначным числом. Отсюда:

9. Получили для s семь значений, которые дадут по подстановке в (17) четырнадцать значений для N, и следовательно, для N2. Проверка на сумму цифр показывает, что из них условиям, вообще говоря, удовлетворяют лишь 7, а именно:

Но, как правильно заметил М. Кекелия (Бандза), так как при разбивке на грани некоторые из них не дают трех двузначных чисел (четвертое и седьмое, а при написании в обратном порядке — и пятое и шестое), то точно условиям задачи удовлетворяют лишь три первых числа.

М. Шебаршин обращает внимание на число 234 256, являющееся четвертой степенью суммы его цифр. Действительно:

96. На сторонах угла АОВ откладываются отрезки ОМ и ON такие, что ОМ + ON = = const. Найти геометрическое место точек, делящих отрезки MN в данном отношении!

Дано:

Отложим на OA и OB отрезки ОС и ОД такие, чтобы

(1)

(Построение сводится к делению отрезка а на m -f п равных отрезков и откладыванию m таких отрезков на OA и п на О-В.)

Докажем, что прямая CD и является искомым геометрическим местом. Для этого возьмем на CD произвольную точку /С, проведем через нее прямую MN так, чтобы ОМ + ON =

(2)

= а и докажем, что 1. Из равенств:

вычитанием находим:

(3)

Из треугольника NKD имеем:

(4)

Из треугольника СКМ:

(5)

Из (4) и (5), приняв во внимание (3) получим:

(6)

Но

Отсюда (6) примет вид:

(7)

Из треугольника COD имеем:

(8)

Из (7) и (8) имеем:

Положение доказано (М. Кекелия (Бандза).

В приведенном решении большинства сначала высказывается утверждение о форме геометрического места и затем доказывается справедливость этого утверждения. Некоторые читатели, в том числе и предложивший задачу И. Яглом (Москва), начинали с анализа задачи и приходили к искомому геометрическому месту. Это, конечно, более последовательно, но, понятно, решение становится значительно более длинным.

97. Найти диаметр круга в сегмент которого, соответствующий хорде длиной в Y 21 см, вписан квадрат со стороною в 1,4 см.

Продолжим сторону DC квадрата до пересечения с окружностью в точке К и соединим последнюю с Е. Очевидно, что КЕ = 2К = Х (угол DE — прямой). По условию:

(1)

Тогда:

По свойству пересекающихся хорд DK и AB имеем:

(3)

где

(2)

Хорду DK определим из прямоугольного треугольника KDE:

Делая подстановку в (3), получим:

После упрощений найдем:

98. Найти шестизначное число, три последние цифры которого те же, что и три первые, но написанные в обратном порядке. Сумма цифр его точного квадратного корня равна 17.

Искомое число имеет вид:

Как видим, сумма цифр, стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр, стоящих на четных местах:

Отсюда следует, что данное число, а следовательно, и квадратный корень из него делится на 11. Квадратный корень — число трехзначное. Обозначим сумму первой и третьей его цифр через х, а вторую цифру через у. По признаку делимости на 11 разность х—у должна делиться на 11. Получаем два возможных значения для х —у.

что вместе с данным в задаче условием дает; две системы уравнений:

Первая система целых решений не дает; из второй же имеем:

X = 14; у = 3. Для квадратного корня имеем следующие возможности:

935, 836; 737; 638; 539. Испытание показывает, что условию задачи удовлетворяет только число 836, так как

99. Какой из описанных около шара конусов имеет наименьший объем?

Проведем радиус в точку касания N образующей ВС. ON—г. Обозначим ВМ = х.

Из подобных треугольников В DC и ON В находим:

(1)

Но по свойству касательной и секущих имеем:

(2)

Подставив в (1), получим:

(3)

Объем конуса:

(4)

Итак, конус будет иметь наименьший объем при наименьшем значении дроби:

(5)

Из (5) имеем:

Отсюда:

Для того, чтобы X был действительным, необходимо чтобы у был не меньше 8г.

Отсюда наименьшим значением для у является 8г. При этом значении у

Итак, наименьший объем имеет описанный около шара конус, высота которого вдвое больше диаметра шара.

100. Доказать, что выражение 2сг + +362 -f 6с2 есть сумма трех квадратов. 1. Преобразуем данное выражение:

2. Таким же путем можно прийти к такому выражению:

Некоторые товарищи решили задачу очень просто:

и все.

Другие сделали то же, но в несколько завуалированном виде, например:

Конечно, эти «решения» нельзя назвать таковыми. Когда мы говорим о возможности того или иного преобразования, то всегда, если это не оговорено, подразумеваем, не выходя из данной области рациональности. Например, мы говорим: всякое простое число вида 4k -f 1 есть сумма двух квадратов, то подразумеваем: целых, рациональных чисел. Иначе теорема теряет смысл, так как, например, и 7 = 22 -f

Если мы утверждаем в VI классе, что а-— — 2Ь2 не разлагается на множители, то это не значит, что его нельзя разложить так:

(а +У2Ь) (а — yib). Точно так же я2 f b-можно представить в виде произведения (a -f ib) (а — ib) и т. д.

При толковании задачи, данном товарищами, приславшими приведенные решения, всякое выражение можно представить в виде суммы квадратов, например, двух: a -f Ь ------

ЗАДАЧИ

41. Доказать, что

делится на 13, если х = 3 m + 1.

В. Голубев (Кувшиново)

42. При каком условии будет правильна следующая запись:

432-12 = 5 084?

В. Голубев (Кувшиново)

48. Показать, что если я>&>0, то разность между средним арифметическим и средним геометрическим этих чисел находится между

44. Найти числа abed, состоящие из четырех различных цифр и удовлетворяющие условиям:

45. Найти шестизначные числа такие, что если их разбить на три грани по две цифры в каждой, то сумма полученных чисел будет равна корню квадратному из данного числа, написанному в обратном порядке цифр.

46. Доказать, что если даны два числа А и В, из которых второе делится на 3, и если их приближенное частное, вычисленное с точностью до 0,01, равно точному частному, то и Л также делится на 3.

47. Задача Н. Тартальи (1499-1557). На данном отрезке AB с помощью данного раствора циркуля (не равного AB) и линейки построить равносторонний треугольник.

48. Задача Шлемильха (1823—1901). Решить кубическое уравнение:

если корни его составляют:

1) арифметическую прогрессию,

2) геометрическую прогрессию.

Найти условия, которым должны в обоих случаях удовлетворять коэфициенты данного уравнения.

49. Задача Каталона (1814—1894). Из точки А вне окружности провести секущую так, чтобы она разделилась окружностью пополам.

50. Найти два числа х и у, не равные пулю, удовлетворяющие условиям:

Вычислить эти два числа, с точностью, допускаемой таблицами логарифмов.

51. 1°. Каким условиям должны удовлетворять члены двух несократимых дробей и для того, чтобы частное от деления первого на второе было целым?

2°. Даны дроби , , у^щ. Найти наибольшую дробь j , такую, чтобы частные от деления данных дробей на были целыми.

52. Ученик при умножении многозначных чисел частные произведения подписывал одно под другим, не отодвигая на одну цифру влево, начиная со второго. Найти соотношение между полученным неправильным ответом и правильным.

К. Степанов (Михалево)

53. Школьное совещание началось между 6 и 7 час. вечера, а окончилось между 9 и 10 час. Определить точно, в котором часу началось и кончилось совещание, если минутная и часовая стрелка поменялись за время совещания местами.

К. Степанов (Михалево)

54. Даны две концентрических окружности, такие, что правильный треугольник, вписанный в одну из них, равновелик правильному шестиугольнику, описанному около другого. Вычислить угол, образованный касательными, выходящими из какой-либо точки большей окружности, к меньшей.

К. Степанов (Михалево)

55. Доказать, что неделимость целого числа п на 3 есть необходимый и достаточный признак того, что корни уравнения:

являются л-ми степенями корней уравнения:

И. Кастровицкий (Слуцк)

56. Пусть имеем одно решение хи yt уравнения Фермата:

Найти рекуррентную формулу для вычисления других решений.

В. Камендровский (Чкалов)

57. Построить равнобедренную трапецию, равновеликую данному равностороннему треугольнику, одно основание которой равно стороне, а высота — половине стороны данного треугольника.

В. Камендровский (Чкалов)

58. Биссектрисы внешних углов данного треугольника образуют новый треугольник. Вычислить его площадь по периметру данного треугольника и радиусу описанной около него окружности.

В. Камендровский (Чкалов)

59 Даны два сосуда с жидкостью. Из первого половина содержащейся в нем жидкости переливается во второй, затем из второго переливается в первый половина того, что стало во втором.

1. Как распределится жидкость в сосудах, если такое переливание повторить неограниченное число раз?

2. Как распределится жидкость, если каждый раз переливать не половину, а —часть.

А. Островский (Москва)

60. Пучком параллельных прямых разделить площадь данного четыреугольника на четыре равные части.

П. Рыбаков {Москва)

С. Казанков (Клинцы) 81, 82, 93. Г. Карычев (Коквицы) 82 — 84, 90, 91, 93, 98. Б. Кашин (Улан-Удэ) 81—83, 86 — 93, 95, 97, 99, 100. Я. Кекелия (Бандза) 81 —91, 93, 95— 100. Е. Кирокосян (Ереван) 81 — 93, 95 — 100. М. Кириленко (Борисполь) 81 —83, 87, 88, 93, 97. Я. Китайгородский (Москва) 81, 83, 86 — 88, 91, 93, 97, 99, 100. Я. Клейнман (Кривой Рог) 82, 67, 93. С. Колесник (Харьков) 81 —89, 91 —98, 100. В. Комиссаров (с. Керенск) 82, 83, 93. Я. Корелин (Песковатка) 81 —83, 93. Г. Костава (Кутаиси) 81, 87, 91, 93. Л. Костовский (Мелитополь) 81 — 93, 97 — 99. Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга) 81 — 83, 85 — 88, 91 — 93, 96 — 100. Я. Кравцов (Мелитополь) 82, 87, 93. С. Крыглер (Архангельск) 81—99. Я. Кубасов (Бальцер) 81 —83, 87, 91, 93. В. Кузюков (Билярский р.) 82, 83, 93. Я. Кулаков (Бугуруслая) 81—83, 85 — 93, 97, 99, 100. С. Кулигин (Тагай) 82, 83, 87, 93, 97. Л. Куриленко (?) 81, 82, 87, 91, 93. Я. Кутин (Москва) 81, 82, 85, 87, 90, 91, ^3, 97. М. Кызыма (Маяки) 82, 93. Я. Лаврищев (Саратов) 81, 87, 91, 93, С. Ланкин (Калинин) 82, 93. А. Левин (Алма-Ата) 82, 83, 85 — 87, 90, 91, 93, 94, 97, 99. А. Лекторский (Ростов-на-Дону) 81, 87, 90, 91, 93, 97, 100. И. Лернер (Одесса) 82 — 84, 86, 87, 89, 91, 93. В. Лимонов (Сторожилово) 81 —83,86, 87, 90 — 93, 98, 99. Я. Литвиненко (Кулишовка) 81, 82, 87, 93. Я. Лившиц (Гомель) 81, 83, 87, 93 А. Логашов (Саловка) 81—83, 85—89, 91—94, 96—98. Лядская (Синельниково) 87, 88, 91, 93. Е. Марчевская 81, 85, 86, 90, 92, 95, 96. Л. Маслова (Воронеж) 82, 85, 87, 93. Л. Медведев (Сталинградская обл.) 81, 83, 85, 86, 89, 91—93, 96—100. М. Месяц (Житомир) 81—89, 91—100. Е. Мертвецов (Семипалатинск) 81, 82, 88, 93. Метелицина (Михайлов) 81—83, 87, 88, 90, 91, 93, 99, 100. Мискарян (Кировабад) 81, 82, 83, 86—88, 90—93, 96—99. К. Михельсон (Башанта) 81, 82, 84, 87, 88, 90, 91, 93, 97—100. А. Могильницкий (Гайсин) 81—83, 87, 88, 91 97, 98, 100. Я. Могильный (Новостародуб) 81, 87, 91, 93. М. Можаров (Загорск) 81-83, 85, 87, 91, 93, 97—100. Л. Николаев (Ярцево) 93. В. Яшс_улн«(Ярцево)81,83,87,88, 91—93, 97, 98, 100 В. Оганов (Баку) 81-83, 87, 93. Л. Оглоблин (Спас-Кокшеньга) 93-Я. Оксенкруг (Калининдорф) 81, 91, 93. X. Осипенко (Гуляй Поле) 81, 87, 93. В. Оранский (Самарканд) 81, 82, 87, 88, 91, 93, 97, 100. Л. Панов (Колодня) 82, 87, 93, 97. Б. Пеньковский (Казань) 83, 87, 93 Я. Плашкин (Мелекес) 82, 83, 86, 87, 93. Ф. Плеханов (Бальцер) 81, 82, 87, 93. Л. Попков (Лодейное Поле) 82, 83, 85, 87, 89, 91—94. Л. Посох (Минск) 93. Я. Постников (Рязань) 81—S3, 86—88, 91—93, 96—98. Я. Принцев (Валдай) 81—88, 91, 93, 97—99. Е. Пузырев (Саранск) 81—83, 87, 91, 93, 97, 100. Я. Розенфельд (Житомир) 81-83, 87—89, 91, 93, 97, 100. Л Сенькин (Могилев) 81—83, 87, 93, 97, 99. С. Скирта (Новокиевский Увал) 81—83, 93, 98. В. Смирнов (Усть-Джегутинское) 81—83, 85—88, 90—94, 96—99. Я. Смирнов (Ленинабад) 81, 86, 91, 93, 97. Л. Соловьев (Калинин) 81, 82, 85—100. #. Спектор (Житомир) 81—83, 87—89, 91, 93, 97, 98, 100. Б. Станиславский (Березнеговатое) 81—83, 91—93, 100. О. Стець (Новостародуб) 91, 93. В Супряга (Лубны) 81—83, 85, 87, 91, 93, 97, 100. П. Титов (Тюмень) 81—100. К. Товарткиладзе (Орджоникидзе) 93. В. Ураевский (Кузнецк) 82, 99. Л. Уразаев (Казань) 81, 87, 91, 93. Я. Усачев (Таловка) 82, 93. Я. Хазарадзе (Кутаиси) 81, 87, 88, 91, 93. Л. Файзулдаев (Астрахань) 87, 93.5. Хайкин (Радомысль) 81—83, 87—89, 91, 93, 94, 96,97,100. Л. Хайруллин и А. Мирхайдаров (Мензелинск) 82, 83, 87, 93, 97. Л. Хвастовский (Сталинград) 81—89, 91—95, 97—100 Л. Ходжабекян (Баку) 81—83, 93. Е. Холодовский (Ленинград) 81—84, 86—89,91, 93, 100, К. Хоменко (Воровичи) 81—83, 85—89, 91—93. 97, 98, 100. Р. Царенко (Нальчик) 81-83, 93. М. Циммерман (Сталино) 81—100. Я. Чучко (Орджоникидзе) 81—83, 87, 89, 91, 93, 97. В. Швечихин (Самойловка) 82, 87, 88, 93, 97, М. Шебаршин (М. Гора) 81, 82, 84—96, 98, 100. Л. Шморгонер (Компонеевка) 82, 83, 93, 98, 100. Я. Шоластер (Фатеж) 81—100. Я. Шор (Тула) 81, 83, 87, 91, 93, 98. Я. Щепанский (Новый-Петергоф) 81, 83, 87, 88, 91, 93, 97, 100. Я. Юркевич (Речица) 82,93 Л. и И. Яглом, (Москва) 81—100. Е. Ясиновый (Терновка) 81, 87, 88, 91, 93, 94, 96, 97, 99.

Отв. редактор Л. Я. Барсуков Техредактор Е. М. Зеф

Отв. секретарь М. М. Гуревич

Адрес редакции: Москва, Орликов пер., 3. Учпедгиз, журнал «Математика в школе»

Уполномоч. Главлита РСФСР № А—2333. Сдано в производство 11/Ш 1939 г. Формат 70ХЮЗ. Учгиз 11695. Подписано к печ. 16/IV 1939. В1/, п. л. 12 авт. л. В п. л. 85 000 зн. Тир. 44 500. Зак. 340

18-я тип. треста «Полиграфкнига», Москва, Шубинский, 10

Цена 1 р. 25 коп.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Вперед, к коммунизму!...................... 1

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

Д. Цинзерлинг — Математика у древних египтян......... *

В. Минковский—-Исторический обзор развития понятия иррационального числа....................... 16

Ю. Давыдов —- Об одном геометрическом способе решения уравнения высшей степени.................... 24

МЕТОДИКА

Проф. М. Черняев —К вопросу о методике иррациональных чисел в средней школе...................... 26

Проф. А. Я. Хинчин — Введение иррациональных чисел...... 32

Б. Лурье — Тождественные преобразования иррациональных выражений в курсе средней школы.............. 35

К ВЕСЕННИМ ИСПЫТАНИЯМ

Е. Березанская, Е. Загоскина, В. Прочухаев — К вопросу об испытаниях по математике.................. 51

С Бронштейн — Письменные испытания в десятых классах ... 57

П. Романовский — К вопросу об испытаниях........... 59

Образец небрежности....................... 60

ИЗ ОПЫТА

П. Дорф — Введение иррациональных чисел ........... 61

И. Дуб — Как можно оправдать для начинающих изучать систематический курс геометрии пользование дедукцией...... 65

Д. Гончаров — Второй год работы секции математиков при Одесском городском и областном методкабинетах........ 67

ОТКЛИКИ НА СТАТЬИ

Н. Кулаков — О статье В. Орешкина «Некоторые моменты преподавания дробей в V классе средней школы»......... 69

A. Барсуков — О формуле Герона................ 71

М. Семенов — Простой вывод формулы Герона.......... 72

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

I Н. А. Извольский] — К вопросу об учебнике геометрии .... 74

B. Минковский — Ошибки в математических рассуждениях .... 79

ХРОНИКА ЗАДАЧИ

Решение задач, помещенных в № 5—6 за 1933 г........... 76

Сводка по № 5—6 1938 г..................2 стр. обл.

Задачи.............................. 88

В СВЕДЕНИЮ ПОДПИСЧИКОВ

По всем вопросам подписки — перемена адреса, неполучение журналов и т. д.— просим обращаться по месту сдачи подписки в Когиз или на почту. В случае не рам решения вопроса на месте следует обращаться в Бюро претензий предприятий связи.

Издательство и редакция подписки на журнал не принимают и не экспедируют его. Этим всецело ведают органы связи.

При-обнаружении дефекта в номере журнала просим прислать его для обмена по адресу: Москва, Орликов пер., 3, Отдел периодических изданий Учпедгиза.

Издательство.