МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

1

1939

УЧПЕДГИЗ НАРКОМПРОСА РСФСР-МОСКВА

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Овладеть идейным оружием большевизма.......,..... 1

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

В. Молодший — Энгельс о математике.............. 6

Я. Межировский — Возвратные уравнения . . ..... ..... 35

МЕТОДИКА

И. Браун — Обратно-тригонометрические функции (аркусы) .... 44

Б. Синакевич — Решение иррациональных уравнений........ 60

Л. Круповецкий — Задачи из современной жизни на уроках арифметики ......................... 66

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

А. Шишкин — О преподавании черчения в средней школе ..... 71

ЗАДАЧИ

Решение задач, помещенных в № 3 за 1938 г............ 73

Задачи.............................. 80

Сводка решений задач, помещенных в № 3 за 1938 г. 3-я стр. обложки

Отв. редактор А. Н. Барсуков - Техредактор Е. М. Зеф

Отв. секретарь М. М. Гуревич

Адрес редакции: Москва, Орликов пер., 3. Учпедгиз, Периодсектор, журнал «Математика в школен

Уполномоч. Главлита РСФСР .N1 А—2236. Сдано в производство 13/XI 1938 г. Формат 72X105. Учгиз 10563. Подписано к пз.ч. 8/1 1939 г. 5 п. л. 10 авт. я. В п. л. 70 000 эн. Тир. 44500. Зек. 1381« 18-я тип. треста «Полиграфкнига». Москва, Шубинский, 10

Пролетарии всех стран, соединяйтесь!

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

1

1939

ЯНВАРЬ-ФЕВРАЛЬ

УПРАВЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

ОВЛАДЕТЬ ИДЕЙНЫМ ОРУЖИЕМ БОЛЬШЕВИЗМА

Еще в 1898 г. в своей знаменитой статье «Задачи русских социал-демократов» В. И. Ленин писал:

«Социалистическая работа русских социал-демократов состоит в пропаганде учений научного социализма, в распространении среди рабочих правильного понятия о современном общественно-экономическом строе, его основаниях и его развитии, о различных классах русского общества, об их взаимоотношении, о борьбе этих классов между собой, о роли рабочего класса в этой борьбе, его отношений к падающим и развивающимся классам, и прошлому и будущему капитализма, об исторической задаче международной социал-демократии и русского рабочего класса» (Ленин, т. II, стр. 172),

Партия большевиков всегда придавала громадное значение надлежащей постановке пропагандистской работы. В любом томе Ленина можно найти десятки мест, посвященных вопросам содержания пропагандистской работы на данном этапе, организационным формам этой работы, подготовке пропагандистских кадров и т. п.

В стране, завершающей великую социалистическую стройку, неизмеримо вырастает роль пропаганды. В стране, где каждый трудящийся принимает непосредственное участие в построении первого в мире социалистического общества, только овладение идейным оружием большевизма, только знание марксизма-ленинизма поможет определить правильные пути в этой работе, предохранить от ошибок, исправить допущенные ошибки.

«...без знания теории марксизма-ленинизма, без овладения большевизмом, без преодоления своей теоретической отсталости наши кадры будут хромать на обе ноги, ибо задача правильного руководства всеми отраслями социалистического строи-

тельства требует овладения со стороны практиков основами марксистско-ленинской теории, требует умения руководствоваться теорией при разрешении вопросов практической деятельности» (из постановления ЦК ВКП (б) от 14 ноября 1938 г.).

Понятно поэтому, какое значение в настоящих условиях приобретает вопрос качества пропаганды.

Как ведется пропаганда (организационные формы), кем она ведется (пропагандистские кадры) и что является ее содержанием — таковы три основных вопроса, которые ставит ЦК ВКП(б) в своем постановлении от 14 ноября 1938 г. В этом постановлении с предельной ясностью и четкостью вскрывается наличие крупнейших недочетов по всем перечисленным трем линиям и указываются конкретные, пути и мероприятия к изжитию этих недочетов.

1) В отношении организационных форм ЦК ВКП (б) отмечает, что «основным недостатком постановки партийной пропаганды является отсутствие необходимой централизации руководства партийной пропагандой и вытекающие отсюда кустарщина, неорганизованность в деле пропаганды».

Эти кустарщина и неорганизованность нашли свое непосредственное выражение в том, что основной формой пропаганды стала пропаганда через кружки. Когда партия находилась в подполье, когда напечатание и распространение партийной книги, брошюры представляло огромные трудности, тогда кружковой метод работы играл очень немаловажную роль. Но и тогда малейшие возможности для распространения печатного слова всемерно использовались партией. Какие громадные усилия затрачивались В. И. Лениным на

то, чтобы наладить печатание партийной литературы, организовать сеть передаточных пунктов и кадры агентов для ее распространения в рабочих массах. «Пропагандист действует поэтому главным, образом печатным, агитатор — живым, словом»,— писал он (т. IV, стр. 412).

Сейчас, в условиях советской власти, когда бумага, типографии и пр. стали неотъемлемой собственностью трудящихся, когда в руках партии находится такое мощное оружие, как печать, естественно выдвигается на первый план использование именно этого оружия. Однако до сих пор наблюдалась явная недооценка этого метода пропагандистской работы. ЦК ВКП (б) со всей решительностью требует положить конец этому ненормальному явлению.

Одновременно в самой работе кружков ЦК ВКП (б) отмечает ряд крупных недочетов: погоню за количеством кружков, за «охватом» в обязательном порядке кружками всех коммунистов; мелочную регламентацию работы кружков и т. д. Все это превращало посещение кружков в «тягостную обузу», воспитывало у рядовых коммунистов недоверие к своим силам, к возможности для них самостоятельного изучения основ марксизма-ленинизма.

Для изжития этих недочетов ЦК ВКП(б) в своем постановлении от 14 ноября 1938 г. предлагает: сократить количество кружков, отменить бюрократическую регламентацию их работы, установить полную добровольность участия, в кружках; установить три типа кружков — для низового звена наших кадров, для среднего звена и для наиболее подготовленных товарищей; кружок первого типа изучает «Краткий курс истории ВКП(б)» в сокращенном объеме; кружок второго типа изучает «Краткий курс истории ВКП (б)» полностью, по отдельным главам; кружок третьего типа изучает «Краткий курс истории ВКП(б)» полностью, с одновременным чтением первоисточников; провести ряд конкретных мероприятий для поднятия роли печати в деле пропаганды марксизма-ленинизма; объединить в партийных центральных и краевых органах отделы пропаганды и агитации и отделы печати.

2) Первостепенное значение имеет для качества пропаганды состав пропагандистов, их теоретический уровень, степень подготовленности их идейная выдержанность. На этот момент В. И. Ленин всегда обращал особое внимание партийных организаций.

«Кстати по поводу пропагандистов я хотел бы еще сказать несколько слов против обычного переполнения этой профессии малоспособными людьми и принижения этим уровня пропаганды. У нас иногда всякий студент без разбора считается пропагандистом и вся молодежь требует, чтобы ей «дали кружок» и т. п. С этим надо бы бороться, ибо вреда от этого бывает очень много. Действительно выдержанных принципиально и способных пропагандистов очень немного (и чтобы стать таковым надо порядочно поучиться и понабрать опыта), и таких людей надо специализировать, занимать их целиком и беречь сугубо» (Ленин, т. V, стр. 185).

Эти слова В. И. Ленина, сказанные им 35 лет назад, и ряд других указаний на необходимость внимательного подбора пропагандистов, повышения их теоретического уровня (см., например, т. VI, стр. 11) сохраняют всю свою силу и сейчас.

На самом же деле, как отмечает ЦК ВКП(б) в своем постановлении, «обилие кружков привело, далее, к тому, что кадры пропагандистов] оказались переполненными малоподготовленными теоретически, а зачастую политически неграмотными и непроверенными людьми, которые не только не могут помочь членам партии и беспартийным овладеть большевизмом, но способны лишь подменить изложение марксистско-ленинской теории вредным упрощенчеством и запутать своих слушателей».

Такое положение обязывало партийные организации уделить особое внимание делу подготовки и переподготовки пропагандистских кадров. На самом же деле парторганизации в погоне за количеством пропагандистов распылили дело помощи пропагандистам путем создания большой сета; парткабинетов, семинаров, краткосрочных курсов, выпустив из своих рук непосредственное руководство этим делом, что не могло не привести к снижению качества этой работы.

Для изжития этих недочетов ЦК ВКП(б) предлагает: изучить и пересмотреть сеть парткабинетов, сократить их количество, обеспечив их квалифицированными консультантами; обеспечить семинары пропагандистов марксистски образованными, политически проверенными руководителями; «поручить обкомам и крайкомам ВКП (б) отобрать лучших пропагандистов

на постоянную пропагандистскую работу», а также провести ряд других организационных мероприятий.

3) Основное содержание пропаганды должно составлять учение марксизма-ленинизма в ею чистом, неискаженном виде. Всякое упрощенчество, вульгаризация в изложении теоретических основ марксизма-ленинизма совершенно недопустимы. Партия большевиков, в первую очередь ее вожди, В. И. Ленин и И. В. Сталин, неустанно и упорно боролись за идейную высоту, за чистоту марксистско-ленинской теории, против всяких попыток ее засорения, искажения, против всяких попыток протаскивания антимарксистских, антиленинских взглядов.

«ВКП(б) росла и крепла в принципиальной борьбе с мелкобуржуазными партиями внутри рабочего движения — эсерами (а еще раньше с их предшественниками — народниками), меньшевиками, анархистами, буржуазными националистами всех мастей, а внутри партии—с меньшевистскими, оппортунистическими течениями,—троцкистами, бухаринцами, национал-уклонистами и прочими антиленинскими группами». (История ВКП (б), стр. 3).

Мы вправе требовать поэтому, чтобы наша марксистская литература, излагающая остовы марксистско-ленинского учения, излагающая историю нашей партии,— чтобы эта литература стояла на должной идейной высоте, чтобы она была свободна от всякой вульгаризации, от всякого произвола и путаницы в толковании тех или иных вопросов марксистско-ленинской теории, тех или иных фактов из истории коммунистической партии.

На самом же деле, как указывает ЦК ВКП(б), в нашей марксистской литературе имеется целый ряд грубых ошибок, грубых извращений в толковании ряда вопросов теории марксизма-ленинизма и истории партии. Сюда относятся: антимарксистское, полуэсеровское толкование вопроса о роли личности в истории, неправильное толкование вопроса о победе социализма в одной стране, о характере войн в современную эпоху и др.

Для изжития этих недочетов на теоретическом фронте ЦК ВКП (б) призывает «всех работников теоретического фронта решительно и быстро выправить нетерпимое отставание теоретического фронта, покончив с боязнью смелой постановки теоретических вопросов, двигающих марксистско-ленинскую теорию вперед, покончив с буквоедством, начетничеством, схоластикой, вульгаризацией и опошлением отдельных положений марксистско-ленинской теории».

Для изжития произвола и неразберихи в изложении истории партии ЦК ВКП (б) издал составленный при ближайшем участии товарища Сталина «Краткий курс истории ВКП (б)», который должен быть положен в основу пропагандистской работы.

Таким образом, мы видим, что, вскрывая, резко критикуя серьезнейшие прорывы в организации и в идейном содержании партийной пропаганды, ЦК ВКП (б), выпустив «Краткий курс истории ВКП (б)», одновременно дает в руки партии и могучее оружие для ликвидации этих прорывов.

В истории идейного вооружения коммунистической партии можно отметить ряд крупнейших произведений В. И. Ленина, имевших особо громадное значение в деле создания, выковывания большевистской революционной партии.

«Большевики хотели создать новую большевистскую партию, способную быть образцом для всех, кто хотел иметь настоящую, революционную, марксистскую партию. Большевики готовили такую партию уже со времен старой «Искры». Они готовили ее упорно, настойчиво, несмотря ни на что. Основную и решающую роль сыграли в этой подготовительной работе такие труды Ленина, как «Что делать?», «Две тактики» и т. д. Книга Ленина «Что делать?» была идеологической подготовкой такой партии. Книга Ленина «Шаг вперед, два шага назад» была организационной подготовкой такой партии. Книга Ленина «Две тактики социал-демократии в демократической революции» была политической подготовкой такой партии. Наконец, книга Ленина «Материализм и эмпириокритицизм» была теоретической подготовкой такой партии» («Краткий курс истории ВКП(б)», стр. 135 и 136).

«Краткий курс истории ВКП (б)» является новым ценнейшим вкладом в сокровищницу подлинно марксистской, революционной литературы. В этой энциклопедии основных знаний в области марксизма-ленинизма изложен и обобщен богатейший опыт коммунистической партии, опыт, накопленный партией в эпоху царизма, в эпоху трех революций и гражданской войны, наконец, в эпоху гранди-

озного и победоносного социалистического строительства.

Создав «Краткий курс истории ВКП(б)» Центральный Комитет ставил перед собой задачи: дать партии- единое руководство по истории ВКП(б) и тем положить конец «произволу и неразберихе в изложении истории партии»; «ликвидировать вредный разрыв в области пропаганды между марксизмом и ленинизмом, который образовался за последние годы»; изложить историю партии «на базе развертывания основных идей марксизма-ленинизма»; «преподать учение марксизма-ленинизма на основе исторических фактов»; «освободить марксистскую литературу от упрощенчества и вульгаризации в толковании ряда вопросов теории марксизма-ленинизма и истории партии»; «наглядно продемонстрировать силу и значение марксистско-ленинской теории, научно раскрывающей законы развития общества».

И все эти задачи, каждая из которых уже сама по себе составляет отдельную большую и серьезную проблему,— все эти задачи разрешены в «Истории ВКП (б)» с блестящей ясностью, с исчерпывающей полнотой, с предельной доступностью изложения.

Понятно поэтому, что эта книга «является важнейшим средством в деле разрешения задачи овладения большевизмом, вооружения членов партии марксистско-ленинской теорией, т. е. знанием законов общественного развития и политической борьбы, средством повышения политической бдительности партийных и непартийных большевиков, средством поднятия дела пропаганды марксизма-ленинизма на надлежащую теоретическую высоту» (из постановления ЦК ВКП (б).

Понятно поэтому, что именно эта книга и должна быть положена в основу партийной пропаганды, в основу кружковой работы, в основу самостоятельного изучения теории марксизма-ленинизма и истории партии.

В своем постановлении от 14 ноября ЦК ВКП (б) ставит со всей решительностью еще один важный и серьезный вопрос — вопрос об отношении к советской интеллигенции.

«Ни одно государство не могло и не может обойтись без своей интеллигенции, тем более не может обойтись без своей интеллигенции социалистическое государство рабочих и крестьян».

«Особое значение имеет интеллигенция в такой стране, как наша, где государство направляет все отрасли хозяйства и культуры, в том числе и сельское хозяйство, и где каждый государственный работник, чтобы сознательно и с успехом выполнить свою работу, должен понимать политику государства, его задачи во вне и внутри страны».

А это значит, что от нашей советской интеллигенции требуется высокий идейно-политический уровень, требуется подготовленность в области теории, требуется знание основ марксизма-ленинизма.

На деле же положение в этом отношении нельзя назвать благополучным. На деле же мы наблюдаем отставание нашей интеллигенции в области теории, наблюдаем теоретическую и политическую отсталость наших партийных, хозяйственных и других работников, «всей нашей партийной и непартийной интеллигенции как в городе, так и в деревне». Понятно поэтому, что «задача марксистско-ленинского воспитания советской интеллигенции является одной из самых первоочередных и важнейших «задач партии большевиков».

А между тем еще до сих пор имеется налицо пренебрежительное отношение к нашей интеллигенции; еще до сих пор наблюдается перенесение на нашу советскую интеллигенцию тех «взглядов и отношений к интеллигенции, которые были распространены в дореволюционный период, когда интеллигенция находилась на службе у помещиков и капиталистов». Еще до сих пор слабо учитываются, недооцениваются те глубокие изменения в составе и деятельности нашей советской интеллигенции, о которых говорил товарищ Сталин на Чрезвычайном VIII Всесоюзном съезде Советов.

«На советская интеллигенция это — совершенно новая интеллигенция, связанная всеми корнями с рабочим классом и крестьянством. Изменился, во-первых, состав интеллигенции. Выходцы из дворянства и буржуазии составляют небольшой процент нашей советской интеллигенции. 80—90 процентов советской интеллигенции— это выходцы из рабочего класса, крестьянства и других слоев трудящихся. Изменился, наконец, и самый характер деятельности интеллигенции. Раньше она должна была служить богатым классам, ибо у нее не было другого выхода. Теперь она должна служить народу, ибо не стало

больше эксплоататорских классов. И именно поэтому она является теперь равноправным членом советского общества, где она вместе с рабочими и крестьянами, в одной упряжке с ними, ведет стройку нового бесклассового социалистического общества».

Вот эти замечательные слова товарища Сталина на деле иногда забываются, а отсюда еще до сих пор неизжитое пренебрежительное отношение к советской интеллигенции, к делу ее политической, марксистско-ленинской подготовки, отсюда слабость развертывания партийной пропаганды среди кадров нашей интеллигенции.

ЦК ВКП (б) квалифицирует такое отношение к (нашей интеллигенции, как «дикое, хулиганское и опасное для государства». ЦК ВКП (б) обязывает партийные организации «восстановить правильное большевистское отношение к советской интеллигенции и развернуть идейно-политическую работу среди интеллигенции, среди служащих, студенчества и колхозной интеллигенции».

ЦК ВКП (б) предлагает «считать первоочередной и главной задачей парторганизаций в области пропаганды ликвидацию теоретической и политической отсталости кадров партийной и непартийной интеллигенции».

ЦК ВКП (б) напоминает, наконец, что «Краткий курс истории ВКП(б)» обращен в первую очередь «ко всей Нашей партийной и непартийной интеллигенции как в городе, так и в деревне».

Советское учительство является одним из крупнейших отрядов советской интеллигенции. На него возложена почетная и ответственная задача — задача воспитания подрастающего поколения Советской страны. Советское учительство должно дать стране кадры, способные продолжить и завершить дело их отцов, дело коммунистической партии, дело всего рабочего класса — построение коммунистического общества.

К выполнению этой великой задачи наша советская молодежь должна быть надлежащим образом подготовлена. Она должна быть вооружена знаниями, чтобы взять на свои плечи те гигантские хозяйственные задачи, которые стояли перед социалистическим строительством, которые растут из года в год, становятся все шире, все грандиознее.

Она должна овладеть наукой, чтобы двигать вперед самую науку, чтобы максимально поставить ее на службу социализму. Но для этого наша молодежь должна быть вооружена идейно, должна овладеть марксизмом-ленинизмом, ибо «задача правильного руководства всеми отраслями социалистического строительства требует овладения со стороны практиков основами марксистско-ленинской теории, требует умения руководствоваться теорией при разрешении вопросов практической деятельности» (из постановления ЦК ВКП(б)). Коммунистическое воспитание подрастающего поколения — такова ответственнейшая задача, стоящая перед советским учительством.

А отсюда следует, что само учительство, в первую очередь, должно стоять на высоком идейно-политическом уровне, должно твердо овладеть основами марксизма-ленинизма.

Отсюда следует, что внимательное изучение «Краткого курса истории ВКП (б)» является первоочередной и важнейшей задачей всего учительства, что эта книга должна стать настольной книгой для каждого учителя.

Советское правительство, Центральный Комитет коммунистической партии, ее вожди Ленин и Сталин постоянно давали и дают образцы внимательного и бережного отношения к нашей советской интеллигенции, в особенности к учительству, к его нуждам и запросам как материальным, так и духовным.

Постановление ЦК ВКП (б) от 14 ноября вызывает новый прилив бодрости и энергии в рядах нашей интеллигенции, нашего учительства. Оно дает новый могучий стимул нашему учительству к всемерному усилению работы над повышением своего идейно-политического уровня, своей теоретической и методической квалификации над поднятием качества своей педагогической работы.

Вместе с партией, вместе с рабочими и крестьянами «в одной упряжке с ними» (Сталин) наше учительство беззаветно отдаст все свои силы для завершения великого дела Маркса — Энгельса—Ленина-Сталина для освобождения всего человечества, для построения счастливого, бесклассового коммунистического общества.

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

ЭНГЕЛЬС О МАТЕМАТИКЕ

В. МОЛОДШИЙ (Москва)

Основоположники марксизма Маркс и Энгельс исследовали философские вопросы математики. Борясь против1 идеалистической и метафизической трактовки этих вопросов, Маркс и Энгельс разработали диалектико-материалистическое понимание предмета и закономерностей развития математики, наметили пути к выяснению места математики в системе наук и тем самым дали руководящие принципы для развития научной истории и философии математики. Энгельс изложил диалектико-материалистическое решение этих вопросов преимущественно в «Анти-Дюринге» и в «Диалектике природы». В своих математических рукописях Маркс дал образец диалектико-материалистического обоснования диференциального исчисления.

Взгляды Маркса и Энгельса на математику органически связаны со всем их мировоззрением, т. е. с марксизмом. Поэтому только изучение, по крайней мере, основных работ Маркса и Энгельса может гарантировать наиболее глубокое понимание сказанного ими о математике.

В этой работе я ставлю себе целью: во-первых, популярно изложить основное из сказанного Энгельсом о математике; во-вторых, на некоторых фактах показать, что современная математика и история математики подтверждают взгляды Энгельса на математику.

§ 1. вопрос о предмете математики как основной вопрос философии математики

«Высший вопрос всей философии,— писал Энгельс,— есть вопрос об отношении мышления к бытию, духа к природе... Философы разделились на два больших лагеря сообразно тому, как отвечали они на этот вопрос. Те, которые; утверждали, что дух существовал прежде природы... составили идеалистический лагерь. Те же, которые основным началом считали природу, примкнули к различным школам материализма*.

Так, субъективные идеалисты утверждают, что реально существует лишь наше сознание; объективные идеалисты говорят, что существует «абсолютная идея», или «мировой дух», а природа является вторичным, инобытием этой идеи. Напротив, для материалистов материя, природа представляет объективную реальность, существующую вне и независимо от сознания. Для материалистов материя является источником ощущений, представлений, сознания, так как представления, ощущения и сознание являются отображением вечно развивающейся материи.

Правильность диалектико-материалистического миропонимания и ошибочность идеалистического миропонимания доказаны всем ходом развития общества и науки. Например, если верить субъективным идеалистам, то человеческое сознание должно было существовать раньше, чем появилась наша земля. Геология же учит нас тому, что первые люди появились на земле через много сотен миллионов пет после ее зарождения. Именно потому, что материализм правилен, он является философской основой марксизма-ленинизма — теоретического оружия нашей партии.

Подобно тому как вопрос об отношении мышления к бытию является основным в философии, так и вопрос о предмете математики является основным вопросом философии математики**. Только ответив на вопрос о предмете математики, можно подойти к решению других философских проблем, связанных с развитием

* История ВКП(б), Краткий курс, под. ред. комис. ЦК ВКП(б), стр. 107.

** Философия математики есть часть математики, разрабатывающая в первую очередь те проблемы обоснования математики, решение которых существенно зависит от философии.

и обоснованием математики. Например, бессмысленно говорить о критерии истины математических теорий, если неизвестно, что изучает математика. Роль вопроса о предмете математики прекрасно понимают и наиболее последовательные буржуазные философствующие математики. Интуиционисты, например, не раз указывали, что развиваемая ими концепция интуиционистской математики в существенной мере опирается на субъективно-идеалистическое понимание предмета математики.

Еще древнегреческие философы дали два диаметрально противоположных определения предмета математики. Аристотель утверждал, что математические понятия я!вляются абстракциями от реальных вещей. Платон, напротив, пытался доказать, что математические понятия обладают самостоятельным существованием и находятся между миром чувственных вещей и миром идей. В дальнейшем эти определения предмета математики не раз подвергались серьезному обсуждению. Но как ни подходили философы и математики к выяснению предмета математики, конечным результатом их исследований было одно из двух взаимно исключающих утверждений. Для философов и математиков-материалистов математические понятия суть абстракции от реальных вещей; для субъективных идеалистов математические понятия — продукты свободного творчества мышления математиков; для объективных идеалистов — самостоятельные сущности, существующие независимо от мира реальных вещей.

В течение столетий представители материалистического и идеалистического понимания предмета математики вели борьбу, порой крайне ожесточенную. Но до Энгельса материалистическое понимание математики было ограниченным, метафизическим (например, у Бекона, Гоббса, Лапласа и др.), благодаря чему идеализм мог достаточно успешно продолжать борьбу (Кант, Гегель и др.). В области философии математики главная заслуга Энгельса заключается в том, что он преодолел указанную ограниченность в материалистическом понимании математики; он развил диалектико-материалистическое понимание предмета и развития математики и тем дал незаменимое оружие для борьбы со всякими формами математического идеализма.

Борьба между материалистическим и идеалистическим пониманием математики продолжается и в наше время. Большинство буржуазных философов и философствующих математиков находится под влиянием современной реакционной идеалистической философии. Эта философия видит свою главную цель в борьбе против марксизма-ленинизма, в защите поповщины и господства капитала. Поэтому большинство буржуазных философов и философствующих математиков придерживается идеалистического понимания предмета математики, старается опровергнуть его диалектико-материалистическое толкование. Буржуазным философам и философствующим математикам - идеалистам противостоят придерживающиеся материалистического миропонимания философы и математики Советского Союза и некоторые передовые математики буржуазных стран. Наши философы и математики-материалисты отстаивают и развивают диалектико-материалистическое понимание математики, доказывают ошибочность идеалистической трактовки ее содержания. В этой борьбе их незаменимым оружием, их знаменем является марксизм-ленинизм, в частности, все то основное, что классики марксизма сказали о математике.

§ 2. социально-экономические факторы развития математики

Вопрос о предмете математики может быть решен на основе анализа основных причин развития математики. Это непосредственно ясно, если учесть характер высказываний различных философов о математике.

Энгельс наиболее полно изложил свое понимание происхождения и процесса развития математики в полемике с Дюрингом*.

Дюринг в понимании характера математического познания стоял на субъективно-идеалистической позиции. Он утверждал, что математику можно развить, не прибегая к опыту из внешнего мира. Точнее, Дюринг считал, что якобы созданные чистым мышлением понятия числа и геометрической фигуры составляют достаточный фундамент для чисто логического развития математики, благодаря чему она имеет значимость, не зависящую от реального мира. Для Дюринга предмет математики — это продукт свободного творчества мышления.

Большинство современных буржуазных

* См. К. Маркс и Ф. Энгельс, Сочинения, т. XIV, стр. 38—41.

философствующих математиков также придерживается субъективно-идеалистического понимания предмета и закономерностей развития математики. Благодаря этому критика Энгельса взглядов Дюринга на математику имеет самое непосредственное отношение и к современной буржуазной философии математики.

Опровергая взгляды Дюринга, Энгельс в первую очередь указал, что исторически исходные понятия математики — понятия натурального числа и геометрической фигуры — заимствованы исключительно из действительного мира, а не возникли в голове из чистого мышления. Пальцы рук и ног, камешки, на которых люди учились считать, вещи, формы которых сравнивали, участки земли, площади которых измеряли,— вот часть тех реальных вещей, изучение которых помогло людям выработать понятие о натуральном числе, величине и геометрической фигуре. Все эти вещи люди изучали в связи с практической деятельностью, поэтому математика возникла из потребностей человека, а не из чистого мышления.

Против субъективно-идеалистического понимания происхождения понятия натурального числа Энгельс выдвинул еще одно важное возражение. Исторически; понятие натурального числа связано со счетом. Для счета необходимо существование раздельных, не сливающихся друг с другом и не раскалывающихся во время их подсчета предметов. Кроме того, надо уметь отличать считаемые предметы от других предметов, отличать их друг от друга и отвлекаться от всех их свойств, кроме их числа. Но способность абстрагироваться от различных свойств предметов, умение отличать друг от Друга — продукт долгого исторического развития, базирующегося на практической деятельности людей. Законы натуральных чисел современному европейцу кажутся совершенно очевидными. Напротив, людям, стоящим на первобытной ступени культуры, эти законы трудно разъяснить. Следовательно, понятие натурального числа не врожденно и не продукт свободного творчества мышления.

Даже многие буржуазные историки математики были вынуждены признать, что понятия числа и геометрической фигуры являются продуктом долгого процесса абстрагирования от реальных вещей, связанного с практической деятельностью людей. К такому заключению пришли Цейтен, М. Кантор и др.

Зарождение понятия числа и геометрической фигуры относится к предистории человечества. Пытаться проследить их развитие в предистории почти невозможно. Положительные факты можно найти, изучая развитие математики в более позднем периоде, в первую очередь в древнем Востоке. На этом пути современная история математики получила прекрасные результаты, которые целиком и полностью подтвердили взгляд Энгельса на развитие понятий числа и геометрической фигуры.

До последнего времени в истории математики господствовало убеждение, что родиной математики, как науки, является древняя Греция. Математика древнего Египта и Вавилона рассматривалась как собрание неточных, разрозненных «рецептов», созданных в непосредственной практике. Обосновывали эту теорию указанием на математические таблицы, добытые при раскопках, в которых содержались некоторые грубо-приближенные формулы для вычисления площадей фигур. Эта теория оказалась «кладом» для склонных к идеализму историков и философов. Они сразу заявили, что математика, как теория, может развиваться только тогда, когда разработкой ее проблем начинают заниматься оторванные от практики и наделенные гениальной интуицией ученые. Этим «выводом» идеалисты-философы и историки хотели хотя бы отчасти компенсировать себя за вынужденное признание эмпирического происхождения понятий числа и геометрической фигуры. В последнее время фашистские мракобесы пытались отсюда заключит^ что творить в математике могут только некоторые передовые расы. Однако все это — и теория и идеалистические выводы — оказалось неправильным.

Оказалось, что древнеегипетская и вавилонская математика в свое время достигла достаточно высокого уровня, значительно превышающего «рецептурный» период. Современные исследования, например, показали, что египтяне знали довольно точную формулу для вычисления площади круга ), умели вычислять объемы некоторых тел, например куба и цилиндра. Больше того, египтяне владели точной формулой для вычисления объема усеченной пирамиды с квадрат-

ным основанием. Вавилоняне также располагали немалым запасом геометрических знаний. Однако их наилучшие достижения относятся к развитию техники счета и алгебры. Вавилоняне владели позиционной шестидесятеричной системой, умели решать некоторые квадратные, биквадратные и даже кубические уравнения.

Когда О. Нейгебауер — один из талантливейших современных историков математики — поставил вопрос о причинах столь значительных достижений математики древнего Востока, он в первую очередь был вынужден признать, что ссылки на гениальную интуицию ученых являются «чистосердечным признанием в неумении понять разбираемое явление»*. На огромном фактическом материале О. Нейгебауер доказал, что основной причиной развития математики древнего Востока являются экономические потребности людей того времени. Здесь мы отметим только то, что О. Нейгебауер показал в отношении развития понятия числа.

«О существовании на первоначальных стадиях развития, где бы то ни было, отвлеченного понятия числа не может быть и речи»**,—таково одно из центральных утверждений О. Нейгебауера. «Все понятия числа суть первоначально понятия индивидуального числа, примыкающие к конкретным обозначениям количеств. Лишь постепенно такие обозначения количеств становятся обобщенными обозначениями чисел вообще... и в этом случае причина лежит в потребностях практического применения. Нужды хозяйственной жизни, прежде всего, следовательно, денежная система, бывшая здесь, как и повсюду, системой мер и веса, поневоле постепенно расширяет и область соответствующих числовых обозначений»***.

Особенно замечательно разъяснение О. Нейгебауера причин развития у вавилонян позиционной шестидесятеричной системы. Содержание этого открытия О. Нейгебауера состоит в следующем. Исходным пунктом развития позиционной шестидесятеричной системы являются различные системы мер, развившиеся в государствах под влиянием экономических потребностей. Развитие между государствами торговых и других отношений заставило поставить эти системы мер в зависимость друг от друга. При этом оказалось, что отношения между единицами мер различных государств выражались смешанными дробями с большим знаменателем, что создавало большие затруднения при торговых оборотах. Эти отношения старались упростить. Поскольку с давних пор оперировали с V2, Уз и знали индивидуальные обозначения целых чисел до 10^ то эти системы объединились на основе отношения 1 :60. С другой стороны, когда появились письменные знаки для мер, один и тот же знак в разных государствах стал обозначать неодинаковые меры. При слиянии этих систем мер в одну это привело к тому, что один и тот же знак стал получать различное числовое значение в зависимости от места его написания, т. е. к позиционной: системе*.

Итак, современная история математики подтвердила утверждение Энгельса, что «понятие фигуры, как и понятие числа, заимствовано исключительно из внешнего мира, а не возникло вовсе в голове из чистого мышления»**.

Все сказанное ранее представляет описание небольшой части учения Маркса и Энгельса о развитии науки. Обосновывая с Марксом диалектико-материалистическое понимание истории, Энгельс доказал, что наука (в частности математик а) всегда развивается на определенной материальной основе, которую она находит в практике человечества, в его производственной деятельности, в его классовой борьбе.

Одной из основных ошибок идеализма в вопросах истории,— указывал Энгельс,— является то, что он рассматривает побуждения людей как окончательную причину их действий. Конечно, историк не может игнорировать мотивы, которыми руководствуются ученые в своей творческой деятельности. Однако описать мотивы творческой работы ученых — значит сделать часть дела. Побуждения отдельных людей не составляют последних причин исторических событий и прогресса науки. Маркс и Энгельс доказали, что для выяснения этих окончательных причин надо в первую очередь «иметь в виду не столько побуждения отдельных лиц, хотя бы и самых замечательных,

* О. Нейгебауер—«Лекции по истории античных математических наук», т. I, стр. 227, ОНТИ, 1937.

** Лекции О. Нейгебауера, стр. 122.

*** Там же, стр. 122.

* Лекции О. Нейгебауера, стр. 109 и дальше.

** К. Маркс и Ф. Энгельс, Сочинения, т. XIV, стр. 39.

сколько те побуждения, которые приводят в движение большие массы: целые народы или целые классы данного народа»*. Двигаясь по этому единственно правильному пути, мы находим, что в современном обществе побуждения ученых, в частности математиков, в конечном счете определяются экономическими потребностями общества, Чтобы развивать промышленность, торговлю, мореплавание, сельское хозяйство и т. п., надо знать и уметь применять знание законов природы; надо, таким образом, развивать научное знание, в частности математику. Поэтому «естествознание (и математика.— В. М.) получает свою цель, равно как и свой материал, только благодаря торговле и промышленности, благодаря чувственной деятельности людей»**. Таким образом, хотя и неоспоримо, что вся математика является продуктом многовековой деятельности мышления самих математиков, но отсюда не следует, что мышление математиков абсолютно независимо. И на математиков распространяется доказанная всем- ходом исторического развития истина: «Не сознание людей определяет их бытие, а, наоборот, их общественное бытие определяет их сознание». Математики открывают новое в математике, но они делают открытия при определенных — решающих в выборе открытий — условиях, и содержание их работ отображает с определенной стороны материальную, существующую вне нашего сознания действительность.

Не так давно, примерна 10 лет назад, только некоторые буржуазные математики считали зависимость развития математики от экономических потребностей общества установленным фактом. Но все буржуазные математики сходились на том, что классовая борьба не оказывает влияния на математику. По их мнению выходило, что все математики мира одинаково заинтересованы в развитии единой математики, стоящей выше якобы мимолетных усилий политической борьбы. В свое время даже Плеханов отрицал классовый характер математики, так как, по его мнению, понятия математики мало изменчивы во времени, благодаря чему каждая теорема имеет неизменное содержание. Плеханов считал, что нельзя говорить о социалистической и буржуазной математике*. Только теперь, после кризиса 1929—1933 гг., оказавшего разрушительное действие на буржуазную науку, некоторые буржуазные ученые признали слова «социалистическая» и «буржуазная» наука не пустым звуком. Эти ученые заявили, что буржуазная наука должна найти нового хозяина, иначе она обречена на гибель, на вырождение, которым теперь характеризуется наука в странах варварского фашизма. Под «новым хозяином» они понимали в первую очередь пролетариат, под руководством которого трудящиеся построили в СССР социализм и который они построят во всем мире**.

Мнение буржуазных математиков о внеклассовом характере математики глубоко ошибочно. «Ожидать беспристрастной науки в обществе наемного рабства — такая же глупенькая наивность, как ожидать беспристрастия фабрикантов в вопросе о том, не следует ли увеличить плату рабочим, уменьшив прибыль капитала»***. Развитие промышленности, сельского хозяйства, наук и философии влияет на развитие математики не непосредственно, а через и во взаимосвязи с интересами борющихся классов. С тех пор как появились антагонистические классы, каждый класс в той или иной степени старался использовать науку, в частности математику, как орудие борьбы, направляя ее против борющегося с ним класса. И до тех пор, пока будут существовать антагонистические классы, математика будет орудием классовой борьбы как на экономическом, так и на политическом фронтах. В дальнейшем мы увидим немало примеров, подтверждающих классовый характер математики. Мы также увидим, что математика является оружием и ареной классовой борьбы и на теоретическом фронте, увидим, что существует и буржуазная и передовая социалистическая математика, «...только социализм освободит науку от ее буржуазных пут, от ее порабощения капиталу, от ее рабства перед интересами грозного капиталистического корыстолюбия»****.

Экономические потребности, связанные с классовой борьбой, являются решающим, но не единственным фактором раз-

* К. Маркс и Ф. Энгельс, Сочинения, т. XIV, стр. 669.

** К. Маркс и Ф. Энгельс, «О Фейербахе», Архив К. Маркса и Ф. Энгельса, кн. I, стр. 218. Подчеркнуто мною,— В. М.

* Плеханов, Сочинения, т. XI, стр. 92.

** См. Сборник «Наука в тупике».

*** Ленин, Сочинения, т. XVI, стр. 349.

**** Ленин, Сочинения, XXIII, стр.41.

вития математики. В большинстве случаев запросы промышленности, сельского хозяйства, торговли, задачи классовой борьбы и т. п. влияют на математику не непосредственно, а опосредствованно, через другие науки. Благодаря этому развитие математики как со стороны получения материала исследования, так и со стороны темпов и форм развития в значительной мере завысит от уровня развития науки и философии в делом. История показывает, что развитие математики особенно тесно переплеталось с развитием астрономии, механики, физики и философии. Обусловливается это простой причиной. Каждая наука изучает одну из форм движения материи, поэтому объяснение нового явления природы, чаще всего может быть дано учеными родственных научных дисциплин, какими, в частности, являются точные науки. На заре развития математики запросы практики в большинстве случаев оказывали на нее непосредственное влияние. Первые числовые представления и понятия о геометрических фигурах возникли под влиянием торговли, земледелия, архитектуры и т. п. В дальнейшем непосредственное влияние все больше и больше уступает место опосредствованному. Например, развитие анализа бесконечно-малых в первую очередь стимулировалось запросами геометрии, астрономии и механики. В свою очередь развитие механики и астрономии стимулировалось запросами промышленности, торговли и мореплавания. В наше время обнаружение материальных корней современных математических теорий составляет еще. более трудную задачу. О причинах этого явления мы скажем в дальнейшем.

Обратно, раз возникнув, всякая математическая теория, непосредственно или через посредство других математических дисциплин (когда для этого имеются соответствующие условия) в той или иной степени влияет на развитие производительных сил, а также на развитие других наук и философии. Точнее говоря, возникнув на базе назревших задач развития материальной жизни общества, каждая математическая дисциплина начинает воздействовать на общественное бытие, так как дает одно из орудий решения назревших задач и создает возможность дальнейшего развития материальной жизни.

Таким образом, развитие математики является составным моментом развития научного знания, которое базируется на экономическом развитии общества. Иначе говоря, процесс развития математики есть составной момент диалектического взаимодействия между экономической необходимостью, классовой борьбой, другими науками, философией и т. п., в котором (взаимодействии) экономическая необходимость и классовая борьба оказывают решающее влияние.

«Но, как и во всех областях мышления,— пишет Энгельс,— отвлеченные от действительного мира законы на известной ступени развития отрываются от действительного мира, противопоставляются ему, как нечто самостоятельное, как явившиеся извне законы, по которым должен направляться мир. Так было с обществом и государством; так, а не иначе, применяется впоследствии чистая математика к миру, хотя она и заимствована из этого мира; и представляет только часть его составных форм и, собственно, только поэтому она вообще применима к нему»*.

Итак, вопреки обычаю идеалистов ставить и решать вопрос о происхождении математических понятий схоластически, вне связи с чувственной деятельностью людей, надо обращаться к действительной истории математики, к вопросу о роли ее в практической деятельности людей. Энгельс так и делал: в «Анти-Дюринге» и в «Диалектике природы» можно найти не мало страниц, где с гениальной ясностью описываются реальные причины развития естествознания и математики. Особенно ярко описывает Энгельс причины развития науки в эпоху Возрождения.

В эпоху Возрождения буржуазия была революционным классом, боровшимся против феодализма. Центром феодализма, объединявшим феодализм Западной Европы в одно политическое целое, была римско-католическая церковь. Ей принадлежало ле менее трети всего католичеческого землевладения, благодаря чему она была самым крупным феодальным владетелем. Поэтому прежде чем начинать борьбу против феодализма в каждой стране, необходимо было сперва разрушить эту его центральную организацию.

Вместе с расцветом буржуазии шаг за шагом шел гигантский рост науки. Возобновился интерес к астрономии, меха-

* К. Маркс и Ф. Энгельс, Сочинения, т. XIV, стр. 39.

нике. физике, анатомии, физиологии. Буржуазии для развития ее промышленности нужна была наука, которая исследовала бы свойства физических тел и формы проявления сил природы. До того же времени наука была смиренной служанкой церкви, и ей не было позволено выходить за пределы, установленные верой: короче, она была всем чем угодно, только не наукой. Теперь наука восстала против церкви; буржуазия нуждалась в науке и приняла участие в этом восстании*.

«Главная задача, которая предстояла естествознанию в начавшемся теперь первом периоде его развития, заключалась в том, чтобы справиться с имевшимся налицо материалом. Во всех областях приходилось начинать с самого начала. Древность имела Евклида и солнечную систему Птоломея, арабы — десятичное исчисление, начала алгебры, современную систему счисления и алхимию; христианское средневековье не оставило ничего. При таком положении вещей естественно, что первое место заняла элементарнейшая отрасль естествознания — механика земных и небесных тел, а наряду с ней, на службе у нее, открытие и усовершенствование математических методов. Здесь были совершены великие дела. В конце рассматриваемого периода, отмеченного именами (Лейбница и) Ньютона и Линнея, эти отрасли знания получили известное завершение. Важнейшие математические методы были установлены в основных чертах: аналитическая геометрия — главным образом Декартом, логарифмы — Непером, диференциальное и интегральное исчисления — Лейбницем и, может быть, Ньютоном»**.

Другой блестящий пример, подтверждающий диалектико-материалистическое понимание развития математики, дает история математики во время французской буржуазной революции (1789 г. и дальше). Во время этой революции была создана Политехническая школа, в задачу которой входила подготовка офицеров революционной, а позже наполеоновской армии. В этой школе работали выдающиеся ученые: Монж (организатор и руководитель школы), Понселе, Лаплас, Фурье, Коши, Кориолис и др., в трудах которых получили блестящее развитие механика, физика и математика.

Исключительные успехи ученых Политехнической школы в области физики и механики в первую очередь были обусловлены открытием паровой машины и началом ее промышленной эксплоатации. В области механики значительные результаты принадлежат Понселе и Кориолису. Они впервые сделали попытку дать синтетическое описание проявляющихся в машинах действий сил с учетом таких явлений, как трение и т. п. Из работ в области физики, в сфере которой работали Пуассон, Фурье и Коши, отметим работу Фурье «Аналитическая теория тепла», в которой он, рассматривая проблемы теплопроводности, пришел к тригонометрическим рядам. Теория тригонометрических рядов сыграла большую роль в развитии понятия функции и интеграла и тем самым подготовила базу для теории функций действительного переменного. Развитие строительных и фортификационных работ стимулировало работы Понселе и Монжа, создавших проективную и начертательную геометрию. В трудах Коши мы находим развитие тех идей, которые являются основными в современной арифметизации анализа*.

Таким образом, можно с полным основанием утверждать, что в эпоху буржуазных революций буржуазия стимулировала развитие математики, так как в то время в ее руках математика являлась действенным оружием в борьбе за власть как над природой, так и с отживающим феодализмом и крепостничеством.

Уничтожив феодальную форму собственности в пользу собственности буржуазной, буржуазия стала полноправным хозяином. «Менее, чем за сто лет своего господства, буржуазия создала более могущественные и более грандиозные производительные силы, чем все предшествующие поколения, вместе взятые»**. Буржуазия создала всемирный рынок, порвала рамки национальной замкнутости «как в области материального, так и в области духовного производства». Создание крупных центров научной мысли, постоянная связь научных учреждений, организация журналов международного значения, съезды и т. п. — все это создавало грандиозные возможности развитию математики. Эпоха буржуазных революций дала в

* Ф. Энгельс — «Об историческом материализме». Партиздат, 1935 г., стр. 13.

** К. Маркс и Ф. Энгельс, Сочинения, т. XIV, стр. 477.

* См. Ф. Клейн — «Лекции о развитии математики в XIV ст.», ОНТИ, 1937, стр. 96—127.

** К. Маркс и Ф. Энгельс, Сочинения, т. V, стр. 488.

основном учение о диференциальных уравнениях, вариационное исчисление, аналитическую геометрию и аналитическую механику. XIX столетие, включая начало XX, привнесло в сокровищницу математики неевклидовы геометрии, теорию функций комплексного переменного, теорию функций действительного переменного, теорию интегральных и интегро-диференциальных уравнений, функциональный анализ, тензорный и векторный анализ, небывалое развитие учения о рядах, теорию групп и т. п. Со стороны фактического содержания XIX столетие и начало XX дали математике значительно больше, чем все ее предшествующее развитие. Но как оружие классовой борьбы наука, в частности математика, была направлена буржуазией против революционного пролетариата и его мировоззрения. Блестящие достижения естествознания и математики буржуазия стала все более и более направлять на выработку новых и усовершенствование существующих форм эксплоатации пролетариата и трудящихся. Замена рабочих усовершенствованными машинами, капиталистическая рационализация, политика ограничений права трудящихся на образование и т. п. — все это направлялось против пролетариата и трудящихся. Когда наступила эпоха империализма и пролетарских революций, буржуазия еще в больших размерах стала использовать науку на всех участках борьбы. Многие крупные математики, механики, физики и химики стали сотрудничать в институтах, работающих на подготовку войны. В странах фашизма, в особенности в Германии, задачи подготовки войны, задачи борьбы против пролетариата, стали основными задачами, которые фашизм возложил на науку. Изгнание многих крупнейших ученых из Германии и Италии, деградация научной мысли в странах фашизма — таков итог «руководства» фашистов в области науки. Естественно, что многие передовые буржуазные ученые перестают верить в возможность развития науки при современном капитализме и обращают свой взор к нашей счастливой стране, где наука находит все необходимое для небывалого в истории роста.

Столь же обостренная борьба развернулась и на теоретическом фронте. На смену стихийно-материалистической трактовки философских вопросов математики (господствовавшей по существу до конца XIX столетия) пришел в разнообразных формах математический идеализм (логистика, конвенционализм, эффективизм, интуиционизм, формализм и т. п.). Представить математику в качестве «научного аргумента» в пользу идеалистического миропонимания и тем самым противопоставить ее всякому материализму, в особенности научному мировоззрению пролетариата — марксизму-ленинизму, — такова была и есть центральная классовая цель всякого математического идеализма. О непосредственных причинах зарождения математического идеализма мы скажем в параграфе 6.

В старом введении к «Диалектике природы» Энгельс писал, что с переходом к сознательной организации общественного производства, т. е. с переходом к социализму, все отрасли человеческой деятельности, включая естествознание и математику, сделают невиданные успехи по сравнению с тем, что было сделано до того времени. Пример развития науки в СССР подтверждает этот гениальный прогноз Энгельса и вместе с тем доказывает, что диктатура рабочего класса и бурное развитие производительных сил при социализме является решающим фактором развития всей науки.

Дореволюционная Россия имела несколько гениальных и талантливых математиков. Лобачевскому математика обязана открытием гиперболической геометрии. Чебышеву принадлежит открытие первой оценки плотности расположения простых чисел, блестящие открытия в теории вероятностей, исследование вопросов изображения функций многочленами и т. п. Работы Остроградского, Золотарева, Маркова, Ляпунова, Стеклова и др. по различным разделам математики вошли в сокровищницу мировой математики. Но в целом математика дореволюционной России никогда не занимала одного из первых мест в мировой математике. Отсталая в промышленном отношении, реакционная царская Россия смогла дать миру только отдельных блестящих математиков и только одну математическую школу во главе с Чебышевым.

С первых дней Великой Октябрьской социалистической революции начинается интенсивный рост советской математики. Этот рост особенно интенсивен в годы первой и второй пятилеток. С каждым годом развитие советской математики идет на подъем.

До революции вся исследовательская работа проводилась в университетах и в

Академии наук. Теперь при университетах мы имеем специальные научно-исследовательские математические институты: в Москве (2), в Ленинграде, Киеве, Казани, Ростове-на-Дону, Саратове, Томске, Ташкенте, Минске, Харькове и Тбилиси. Наряду с этим, естественно, протекает исследовательская работа и на факультетах в высших учебных заведениях. В царской России творчески работающие математики насчитывались единицами, причем их деятельность (например деятельность Лобачевского) часто встречала сопротивление или неодобрение. В Советском Союзе теперь имеется более двухсот ученых, интенсивно работающих над развитием современной математики; их работа всемерно поощряется советским правительством и нашей партией. Вдохновляемые высокими целями и размахом строительства социализма, большинство наших математиков работает с особым подъемом ч воодушевлением, развивает передовую советскую математику.

Нет ни одной области математики, в которой советскими математиками не велась бы интенсивная работа. В ряде областей получены исключительной важности результаты и найдены методы, играющие ведущую роль в мировой математике. Для примера достаточно сослаться на работу наших математиков в области теории функций действительного переменного, топологии, теории вероятностей и теории чисел*. Блестящие результаты получены также в алгебре, диференциальных уравнениях, функциональном анализе и т. д.

Наши математические институты и высшие учебные заведения ведут научно-исследовательскую работу согласно разработанным планам, в которых учитывают как теоретические, так и практические проблемы. Планирование работ в области математики дало уже заметные результаты, показав все преимущество условий развития науки, форм и методов ее организации в СССР по сравнению с капиталистическими странами.

Дореволюционная Россия не знала математических съездов. В СССР было проведено три математических съезда: один всероссийский и два всесоюзных.

Конечно, в работе советских математиков есть не мало недостатков. Нет никаких оснований утверждать, что наша математика способна удовлетворить все запросы практики соцстроительства. Среди части математиков все еще распространено замыкание в «скорлупу жрецов науки». Но уже сейчас можно сказать, что математика СССР занимает одно из первых мест во всей мировой математике и имеет все предпосылки встать на первое место в недалеком будущем. Борьба советских математиков за мировое первенство может быть успешной только в том случае, если они еще с большим подъемом будут активно бороться за процветание передовой советской науки, т. е. такой науки, «которая не отгораживается от народа, не держит себя вдали от народа, а готова служить народу, готова передать народу все завоевания науки, которая обслуживает народ не по принуждению, а добровольно, с охотой» (Сталин).

Подведем итоги.

Что мы можем сказать об основных силах развития математики? Только то, что опровергает идеалистическое понимание развития математики: в конечном счете математика «получает свою цель, равно как и свой материал, только благодаря торговле и промышленности, благодаря чувственной деятельности людей» (Маркс и Энгельс).

§ 8. энгельсово определение предмета математики

Маркс и Энгельс неоднократно указывали, что есть одно лучшее средство доказать правильность понимания явления природы: надо это явление вызвать из его условий и заставить служить нашим целям. Если это удается сделать, мы правильно поняли явление, отразили его в нашем сознании. Иначе говоря, правильность любой теории проверяется на практике: теория правильно объясняет явления природы, если ее выводы согласуются с действительностью, если она может давать правильные предсказания, быть орудием действия ; следовательно, естествознание и математика изучают действительный мир, истинность их состоит в согласии с бытием.

Таким образом, вопреки часто отстаиваемой идеалистами точке зрения, не может быть и речи о принципиальном различии между естествознанием и математикой; их различие состоит только в том,

* Описание основных достижений в области теории функций, топологии и теории вероятностей см. в статьях проф. Александрова и Хинчина в журн. «Фронт науки и техники», № 7 и 8—9 за 1937 г. См. также сб. «Математика и естествознание в СССР», изд. Академии наук СССР, 1938 г.

что каждая из них изучает одну из сторон действительного мира.

Все предметы и явления природы являются единством качественной и количественной определенностей. Предметы и явления природы отличаются друг от друга качественно своим содержанием, законами развития и т. п. Когда дают качественную характеристику вещи, тем самым прежде всего указывается род вещей, к которому она принадлежит: груша есть дерево, кошка есть млекопитающее животное, Земля есть планета. Напротив, количественные отношения, равно как и пространственные формы, безразличны к их вещественному содержанию, к роду вещей, к которому они принадлежат. Куску железа можно придать форму шара или куба. Но с таким же успехом можно сделать шар и куб из дерева, глины и хрусталя. Может быть пять букв и пять спичек; может быть пять предметов, из коих три — стулья, остальные — столы. Таким образом число «пять» является количественной характеристикой любого множества, содержащего пять предметов. Количественная характеристика некоторой вещи может меняться в зависимости от изменения различных обстоятельств, которые в свою очередь могут быть охарактеризованы чисто количественным путем. Так, стоимость вещи меняется в зависимости от спроса и предложения; при постоянной температуре объем газа меняется в зависимости от давления. При этом оказывается, что характер изменения одной величины от другой может быть одним и тем же у весьма разнообразных явлений природы. При равномерном движении путь прямо пропорционален времени; если производительность труда постоянна, количество выработанного заводом продукта так же прямо пропорционально времени. Все это является объективной основой понятия функциональной зависимости, которая, таким образом, характеризует только количественную сторону явлений и процессов природы. Благодаря этому, когда дают количественную характеристику или описание пространственных форм вещей и явлений, то этого еще недостаточно для указания рода вещей и явлений, к которому они принадлежат.

Химия, биология, политэкономия и другие науки изучают предметы и явления природы, учитывая их качественные особенности. Химия изучает состав, строение и превращение веществ, из которых состоят тела природы. Биология выясняет условия существования и законы развития живых существ. «Политическая экономия, в широком смысле слова, есть наука о законах, управляющих производством и обменом материальных жизненных благ в человеческих обществах»*. Иначе говоря, естествознание и социальные науки изучают различные формы движения материи и развитие общества.

В противоположность всем наукам — в этом ее специфическая особенность — математика не изучает качественной стороны предметов и явлений природы. «Чистая математика имеет своим предметом пространственные формы и количественные отношения действительного мир а...»** При этом понятия и теории математики — это копии, все улучшающиеся снимки с изучаемой ею стороны действительного мира.

Чтобы изучить количественные отношения и пространственные формы в чистом виде,— указывал Энгельс,— математика абстрагируется от их вещественного содержания. Математике безразлично, из какого материала сделан шар; ей важно только то, что существуют (или осуществимы) тела, имеющие форму шара, которую она и изучает. В равной мере для математики безразлично, исследование какого процесса природы привело к необходимости рассматривать некоторую функциональную зависимость; для математики функциональная зависимость важна сама по себе.

Посмотрим теперь, как Энгельс доказывал, что математические понятия являются копиями, приближенными снимками с изучаемых математикой количественных отношений и пространственных форм действительности.

Математика принадлежит к точным наукам, к числу которых относятся также механика, астрономия, физика и химия. «Некоторые результаты этих наук являются вечными истинами, окончательными истинами в последней инстанции; поэтому-то эти науки и называются точными»***. Особенностью математики является то, что одно и то же ее понятие или теория может давать как абсолютно точное, так и различной точности прибли-

* К. Маркс и Ф. Энгельс, Сочинения, т. XIV, стр. 149.

** Там же, стр. 39 (разр. моя. В. М.)

*** Там же стр. 87.

женное отображение количественных соотношений или пространственных форм различных вещей и процессов природы.

Среди понятий, характеризующих некоторые количественные отношения абсолютно точно, в первую очередь надо указать понятие количественного натурального числа. Количественное натуральное число дает количественную характеристику некоторого класса равномощных множеств*. Эта характеристика является абсолютно точной. Порядковое натуральное число может быть представлено через количественное натуральное число. Для этого достаточно считать количественную единицу первым элементом, из всяких двух количественных чисел меньшее число рассматривать как предшествующее, а большее как последующее и под непосредственно следующим за а числом понимать число а+\. Именно потому, что суждения о количественных и порядковых числах в указанном смысле обладают абсолютной достоверностью, выводы арифметики натуральных чисел абсолютно достоверны. В этом факте, надо думать, можно усмотреть объяснение того исключительного положения, которое занимает арифметика натуральных чисел во всей современной математике. Но вместе с тем, если применить понятие целого числа к измерению длин, то оно дает только приближенное отображение изучаемых соотношений. Действительно, в природе нет ни одной системы материальных отрезков, длины которых с помощью выбранного за единицу длины отрезка выражались бы абсолютно точно посредством целых чисел; это выражение дается с той или иной степенью точности.

В известном смысле сказанное о натуральных числах может быть распространено и на арифметику рациональных чисел. Иная картина получается тогда, когда начинают рассматривать вещественные числа. Во всех своих приложениях как в анализе, так и в геометрии понятие вещественного числа дает только приближенное отображение количественных соотношений действительности. Как мы уже указывали, длина материального отрезка не может быть выражена абсолютно точно целым числом. Но она не может быть выражена абсолютно точно и иррациональным числом. Однако использование иррациональных чисел в этом направлении вполне оправдывается уже тем, что только с их помощью можно наилучшим образом удовлетворить запросы метрической геометрии. С точки зрения приложений геометрии теория действительных чисел ценна тем, что дает единый алгоритм вычисления длин, площадей и объемов с любой степенью точности.

В статье «О прообразах математического «бесконечного» в действительном мире»* Энгельс показал, что понятие диференциала отображает некоторые количественные отношения, имеющие место, например, в соотношениях молекул с телами. Однако понятие диференциала отображает эти соотношения не абсолютно точно, а дает их в чистом, абстрактном виде.

Так же обстоит дело с абсолютными истинами в геометрии. Основные понятия геометрии — точка, прямая и плоскость— являются идеализацией реальных пространственных форм. То же самое надо сказать и о более сложных понятиях геометрии. В природе нет тела, поверхность которого удовлетворяла бы математическому определению сферы. Однако можно сделать такой шар (например, шарикоподшипник или биллиардный шар), у которого расстояния между любыми диаметрально противоположными точками его поверхности весьма мало отличаются друг от друга. Абстрагируясь от этих различий, математика создала понятие идеального шара, в котором «погрешности.» выделки устранены. Точно так же нельзя начертить кривую, координаты которой в точности удовлетворяют соотношению у = X2, Однако можно начертить кривую с любой степенью точности характеризуемую уравнением у = х2.

Таким образом, создавая понятие шара, функции у = х\ поверхности z = ху, числа. |/2 и т. п., математика абстрагируется не только от качественного содержания вещей, но и от всех указанных отклонений. Иначе говоря, любое математическое понятие отображает нечто общее в количественных соотношениях или пространственных формах неограниченного множества объектов. Это сбщее заключается в том, что каждое математическое понятие в принципе относится к множеству отражаемых им объектов так же, как относится верхняя грань к элементам

* Два множества называются равномощными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие.

* К. Маркс и Ф. Энгельс, Сочинения, т. XIV, стр. 343—348.

множества: среди объектов этого множества в принципе всегда найдется (или может быть построен) объект, отражаемый математическим понятием с заданной степенью точности. Благодаря этому математические абстракции в чистой математике имеют безусловную значимость.

Иногда думают, что идеальная точность, которую требует математика, является следствием привычки математиков к абсолютной строгости. Некоторые идут дальше и утверждают, что в приложениях идеальная точность может быть отброшена и заменена приближенным исчислением, отвечающим практическим потребностям. Из сказанного выше ясна ошибочность таких утверждений: только следуя по пути чистой математики, можно создать основы для несомненно достаточного в каждом отдельном случае приближения*.

Здесь естественно напрашиваются вопросы: почему математические понятия и теории по большей части дают только приближенные, упрощенные отображения количественных соотношений и пространственных форм действительного мира? На этот вопрос исчерпывающий ответ дал Ленин. Говоря о противоречивости движения, Ленин указывал, что «мы не можем представить, выразить, смерить, изобразить движения, не прервав непрерывного, не упростив, угрубив, не разделив, не омертвив живого. Изображение движения мыслью есть всегда огрубление, омертвление,— и не только мыслью, но и ощущением, и не только движения, но и всякого понятия»**. Только в процессе развития математика способна давать и дает все более точные, всесторонние отображения изучаемой ею стороны действительного мира. Как происходит этот процесс, мы рассмотрим в следующих двух параграфах.

Благодаря особому характеру математических абстракций, в первую очередь благодаря их безразличию к качественному содержанию предметов, математика вообще говоря является общезначимой наукой, т. е. такой наукой, законы которой приложены к различным областям знания и деятельности человечества***. Математика помогает наукам выделить и исследовать в чистом виде количественные отношения и пространственные формы изучаемых ими явлений природы или общества. Существенно, однако, заметить, что приложение математики в неорганических, органических и общественных науках весьма различно. Наибольшую роль математика играет в неорганических науках, в первую очередь в механике, астрономии и физике. Вместе с этими науками математика является ключом к технике во всех ее разнообразных формах. Значение математики значительно меньше в органических и. в особенности, в общественных науках. Однако и в этих областях с каждым днем математика делает все большие и большие успехи. Во времена Энгельса использование методов математики в химии и биологии было совершенно ничтожным. В наше время, когда химия тесно переплелась с физикой, методы математики стали играть заметную роль в разработке некоторых ее проблем. Методы математики начинают находить некоторые применения, в биологии. Статистика все более и более проникает в практику работы наших планирующих органов.

§ 4. энгельсово определение предмета математики и современная математика

Энгельс изложил свое определение предмета математики в «Анти-Дюринге», с момента опубликования которого прошло более пятидесяти лет. За эти годы математика пережила период коренной ломки своих основных понятий и методов. Поэтому естественно возникает вопрос, насколько современная математика подтверждает определение Энгельса.

Чтобы ответить на этот вопрос, нам придется заняться подробнее анализом характера математических абстракций.

Многие буржуазные философы и математики считают, что особая абстрактность математики говорит в пользу ее идеалистического понимания. На деле, как подчеркивал Энгельс, абстрактность математики говорит за диалектико-материалистическое понимание ее содержания и развития. Метод математический абстракции в его правильном применении не означает отрыва мышления от объективной действительности, а, напротив, приближение к ней. «Мышление,— указывал Ленин,— восходя от конкретного к абстрактному, - не отходит — если оно правильное... от истины, а подходит к

* Идею необходимости идеальной точности математики неоднократно отстаивал Ф. Клейн.

** В. И. Ленин — «Философские тетради ». Партиздат, 1936, стр. 268.

*** К. Маркс и Ф. Энгельс, Сочинения, т. XIII, ч. I, стр. 220.

ной. Абстракция материи, закона природы, абстракция стоимости и т. д., одним словом, все научные (правильные, серьезные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее»*. В процессе абстрагирования математика стремится найти наиболее общие законы изучаемой ею стороны действительности и с их помощью разработать мощные методы решения проблем как теоретических, так и практических.

Вот простые примеры, подтверждающие сказанное.

Допустим, что нам необходимо доказать переместительный закон а+Ь = = Ь + а для натуральных чисел. Достигнем ли мы цели, если будем сличать результаты сложения различных пар натуральных чисел, например: 3-|-7 и 7 —|— 3, 5 —[— 1 и 1-1-5 и т.п.? Нет, цель нами в полной мере достигнута не будет: сличение позволит установить справедливость закона для ограниченного (хотя, быть может, и очень большого) числа натуральных чисел, э то время как нам нужно доказать его для любых натуральных чисел. Для доказательства закона во всей общности надо абстрагироваться от конкретной природы натуральных чисел, говорить о любых натуральных числах а и b и использовать принцип полной математической индукции. Таким же образом поступают при доказательстве других общих законов натуральных чисел.

При доказательстве теорем геометрии рассуждают не об отдельных треугольниках, окружностях и т. п., а говорят о треугольнике и окружности вообще. Например, доказывая теорему «Сумма углов треугольника равна 2 dy>, ведут рассуждения так, что они справедливы относительно любого треугольника. Благодаря этому теорема выражает свойство, присущее всякому треугольнику.

Основой, создающей возможность абстрагироваться от природы отдельных чисел, треугольников и т. п. и изучать присущие им общие законы, является то, что математика изучает количественные отношения и пространственные формы в чистом виде и притом как имеющие безусловную значимость.

Приведенные примеры показывают, что математическая абстракция позволяет познавать общие закономерности, присущие количественным соотношениям и пространственным формам материального мира. Но эти примеры не позволяют сказать, насколько общи те закономерности, которые изучает современная математика, и, следовательно, какой ступени абстракции она достигла. Однако, как мы увидим из дальнейшего, только решение последнего вопроса позволит нам ответить на вопрос о соответствии между энгельсовым определением предмета математики и предметом ее современных исследований. Анализом этого вопроса мы теперь и займемся*. С этой целью мы сперва укажем на некоторые факты истории математики.

До эпохи Возрождения математика в основном изучала простейшие количественные отношения, выражаемые целыми и рациональными числами, непрерывные величины, как-то длины, площади и объемы, и элементарные пространственные формы, преимущественно описанные Евклидом в его «Началах». Если речь шла о сумме двух количественных чисел 3 и 5, то под этим понималось число 8, которое содержит столько же единиц, сколько содержат вместе 3 и 5. Под параллельными прямыми донимали только обычные прямые, которые, будучи расположены в одной плоскости, не имеют ни одной общей точки. Иначе говоря, понятия операций и отношений — сложить, умножить, разделить, пересекаться, быть взаимно параллельными и т. п.,— которые описывали связи между числами и геометрическими фигурами, понимались в одном, не допускающем различных толкований смысле. Наибольшая степень общности доказываемых в математике положений состояла в утверждении некоторого свойства, присущего любым целым или рациональным числам, площадям и объемам, тем или иным геометрическим фигурам. Приведенные выше примеры по существу относятся к такой категории доказательств общих законов. В целом математика была наукой о числах, величинах и геометрических фигурах.

Основным недостатком математики постоянных величин является ее неприспособленность к отображению количественной стороны процессов природы. Поэтому, когда в XVI и XVII вв. возникла необхо-

* «Ленинский сборник» IX, изд. 2-е, стр. 164.

* Этот вопрос впервые был разрешен С. Яновской и А. Колмогоровым. См. «Сборник статей по философии математики», под ред. С. Яновской, и статью А. Колмогорова «Математика» в «БСЭ», т. XXXVIII.

димость в изучении форм движения материи, математика занялась анализом переменных величии и преобразований фигур. Наряду с понятием числа основным объектом изучения математики становится понятие функциональной зависимости, благодаря чему в математику в явном Биде вводится идея бесконечности. В геометрии также начинают изучать движение и преобразования сами по себе. Так, например, в проективной геометрии изучают проективные преобразования плоскости и пространства. Преодолев тесные рамки математики постоянных величин, математика обогатилась знанием новых количественных отношений и пространственных форм, поднялась на новую ступень абстракции. Благодаря созданию таких специфических для математики переменных величин теорий, какова, например, теория пределов (XIX в.), удалось глубже проникнуть в структуру не только переменных, но и постоянных величин. Напомним только, что за время с XVI до середины XIX в. были открыты логарифмы и обоснованы комплексные числа. Однако понятия суммы, произведения, пересечения, параллелизма и т. п., т. е. понятия отношений между изучаемыми в математике объектами, попрежнему трактовались в одном, не допускающем многих интерпретаций смысле.

Последняя четверть XIX в. представляет новый переломный момент в истории математики. Базой этого перелома явились многочисленные открытия в математике, о которых говорилось выше. Чтобы хотя отчасти отметить содержание основных идей, характерных для современного периода развития математики, рассмотрим предварительно несколько примеров.

Пусть R — класс всех рациональных чисел без нуля. Принадлежащие R числа обладают следующими четырьмя свойствами:

1. Произведение любых двух рациональных чисел есть рациональное число а -Ь = с.

2. Произведение любых трех рациональных чисел обладает свойством ассоциативности: (а-Ь) - с =а - (Ь • с).

3. Любое рациональное число не меняется от умножения на единицу: а • 1 = а.

4. Для любого рационального числа а существует одно, ему обратное рациональное число а-1, обладающее тем свойством, что а • а -1 = 1.

Рассмотрим теперь класс Я, состоящий из нуля и всех положительных и отрицательных целых чисел. Числа этого класса обладают следующими четырьмя свойствами:

1. Сумма любых двух целых чисел есть целое число: а + b = с.

2. Сумма любых трех целых чисел обладает свойством ассоциативности: (д4-*) + с = а+(о-т- с).

3. Любое целое число не меняется от сложения с нулем: а+0 = а.

4. Для любого целого числа а существует одно, ему обратное, целое число —я, обладающее свойством, что а+ (—а) =0.

Сравнивая отмеченные свойства рациональных чисел со свойствами целых чисел, мы видим, что по структуре они совершенно одинаковы. Достаточно заменить в свойствах, относящихся к рациональным числам, термины: «произведение», «единица» и «#~J» терминами «сумма», «нуль» и «— я», как автоматически получаются соответствующие свойства целых чисел; обратная замена приводит от свойств целых чисел к соответствующим свойствам рациональных чисел. Отсюда следует, что отмеченные законы рациональных и целых чисел, казавшиеся ранее совершенно обособленными, являются общими для них законами. Как теперь говорят, классы R и Р являются интерпретациями общих для них законов. Именно поэтому отношение (операция), выступающее в этих законах, может трактоваться не в одном, а в нескольких смыслах.

Чтобы подчеркнуть общий характер рассматриваемых четырех законов, целесообразно называть операцию, выражающую отношение между числами, не словом «произведение» или «сумма», а безличным термином «операция». Если продолжить такое обобщение и дальше говорить не о числах, а об элементах некоторого множества или класса вещей и ввести соответствующие символические обозначения для «единицы» и «обратного» элемента, то тогда оказывается, что эти четыре закона можно трактовать как выражающие основные свойства не только целых или рациональных чисел, но и объектов совершенно отличной от чисел природы. Примером множества, элементы которого, не являясь числами, в то же время подчиняются отмеченным четырем законам, может служить множество поворотов плоскости вокруг неподвижной точки.

После такого обобщения мы приходим к одному из фундаментальных, действенных понятий современной математики— понятию группы. Под группой понимают любое множество объектов, элементы которого подчиняются отмеченным четырем законам. Изучение произвольных (т. е. различной природы) групп оказало большое влияние на развитие современной алгебры и геометрии и позволило глубже осознать единство различных математических дисциплин.

Теперь рассмотрим систему аксиом Пеано, выражающую основные свойства порядковых натуральных чисел.

I. 1 является натуральным числом.

II. Для каждого числа а найдется следующее за ним число .

III. 1 не следует ни за каким числом, т. е. для любого числа а имеет место соотношение:

IV. Из а+= ö+ следует а-=Ь.

V. «Принцип полней индукции»: если некоторое множество натуральных чисел, содержащее число 1, вместе с 'числом а содержит также следующее число а + , то оно содержит все натуральные числа.

Определение суммы. Сопоставим однозначно паре чисел а и Ь третье число, которое мы обозначим через а + />, так чтобы

а -\ \ = а+ для всякого числа я, а -|- &+= {a + b)+ для любых чисел а и Ь.

Определение произведения. Сопоставим, как и выше, паре чисел а и b третье число, которое мы обозначим через а-Ьу так чтобы:

а-\=а — для всякого числа #,

d'b+=a*b+a —для любых чисел а и Ь.

С помощью указанных аксиом и определений доказывают основные законы порядковых натуральных чисел, как-то: ассоциативность, коммутативность (относительно сложения и умножения) и дистрибутивность.

Читатель без труда заметит, что система аксиом Пеано выражает основные свойства не только порядковых, но и количественных натуральных чисел. Для этого только необходимо рассматривать первое число как единицу, предшествующее — как меньшее, последующее — как большее и под большим на единицу числом понимать непосредственно следующее число.

Рассмотрим теперь подпоследовательность ряда натуральных чисел:

21, 22,...,2П,...

Будем называть числа этой последовательности «числами», «Первым» «числом» будем называть 21. Под «следующим* за «числом» 2П будем понимать «число» 2Л+1. Сохраним для наших «чисел» обычные условия для связи знаками ]>, =, <^.

Будем понимать под «сложением» наших «чисел» обычное их умножение. В качестве «произведения» отнесем к двум «числам» третье «число», степень которого равна обычному произведению степеней сомножителей. Тогда, как легко видеть, выполняются как аксиомы I — V, так и условия, при которых мы ввели определения суммы и произведения.

В самом деле, пусть а = 2n, b = 2т; тогда:

Еще легче проверяется выполнимость аксиом I—V, справедливых вообще для всякой последовательности, не содержащей повторяющихся членов*.

Итак, система аксиом Пеано выражает основные свойства как арифметики обычных натуральных чисел, так и рассмотренной нами арифметики некоторой подпоследовательности ряда натуральных чисел. Иначе говоря, система аксиом Пеано допускает многие интерпретации. Она описывает только структуру отношений между объектами своих интерпретаций: зная, что некоторая система объектов (для которых установлены две операции, соотносящие каждой паре объектов системы третий объект той же системы) удовлетворяет приведенной системе аксиом, мы еще не сумеем сказать, о каких именно объектах (и операциях над ними) идет речь, хотя и сможем доказать для них все теоремы арифметики целых чисел, доказанные до сих пор для наших обычных целых чисел, предметный смысл которых

* По этому вопросу см. Арнольд «Теоретическая арифметика» (Учпедгиз, 1938) § 18.

ясен уже ребенку, умеющему считать по пальцам.

Перейдем к третьему примеру. Элементарное пространственное представление связывает свойства, выражаемые предложениями геометрии только с наглядными представлениями точек, прямых и плоскостей. Иначе говоря, многим кажется, что свойства объектов, изучаемые геометрией, принадлежат только точкам, прямым и плоскостям в их обычном представлении и ничему больше. Такое представление исторически обусловлено: еще в XIX столетии большинство математиков считало геометрию естественно-научной дисциплиной, изучающей только те точки, прямые и плоскости, которые уже Евклид описал в «Началах». Одним из крупнейших достижений математики конца XIX столетия было доказательство ошибочности этого представления. Было доказано, что предложения геометрии, так же как и предложения анализа, допускают многие интерпретации, являются общими законами, справедливыми для элементов самых разнообразных множеств. Точки, прямые и плоскости, в обычном их понимании, являются одной из возможных интерпретаций геометрии Евклида. Чтобы в этом убедиться, достаточно с несколько иной точки зрения рассмотреть известную многим аналитическую геометрию.

В плоскости декартовых координат каждой точке соответствует пара действительных чисел (называемых координатами точки) и, обратно, каждой паре действительных чисел соответствует, одна, и только одна, точка плоскости. Прямой соответствует уравнение: Ах+Ву = С (где А и В — действительные числа, не равные нулю одновременно), которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на прямой. Поэтому можно сказать, что прямой соответствует отношение трех чисел (А : В : С), причем условием того, что точка (xöy у0) лежит на прямой (А : В : С), является выполнимость равенства Ах0++Ву0=С. Обратно, каждому отношению трех действительных чисел (где .4 и В не нули одновременно) соответствует в плоскости одна, и только одна, прямая. Всякое свойство, присущее точкам и прямым, находит себе некоторое соответствующее свойство пар чисел (л;, у) и отношений троек чисел (А:В: С). Так, факту пересечения двух прямых, т. е. наличию у них общей точки, соответствует существование решения системы уравнений:

Обратно, вообще говоря, каждому предложению, которое можно высказать относительно пар действительных чисел и уравнений первой степени, соответствует некоторое геометрическое свойство, относящееся к точкам и прямым. И как точки и прямые подчиняются плоскостным аксиомам геометрии, так подчиняются этим же аксиомам пары действительных чисел и отношения троек действительных чисел. Таким образом, ничто не может нам помешать называть пары действительных чисел точками, отношения троек действительных чисел — прямыми и развить геометрию плоскости без привычных нам пространственных представлений точек и прямых. Плодотворность такого подхода к изучению геометрии показывает аналитическая геометрия.

Когда выяснилось, что и геометрия допускает многие интерпретации, понятие математического пространства подверглось значительному обобщению и развитию. Неевклидовы геометрии (например, геометрии Лобачевского и Римана), как и геометрия Евклида, становятся равноправными математическими дисциплинами. Создаются учения о я-мерных пространствах (например, векторное и тензорное исчисления, я-мерная геометрия Римана) и даже учение о бесконечно-мерных пространствах, методы которых оказываются необходимым инструментом для развития самых различных математических и естественно-научных дисциплин. Так, теория относительности Эйнштейна в своих существенных пунктах опирается на четырехмерную геометрию Римана. Понятие бесконечно-мерного пространства является действенным орудием в функциональном анализе.

Математические пространства являются абстракцией от реальных пространственных форм. Геометрия в целом изучает пространственные формы отвлеченно от их качественных свойств и от других форм реального мира. При этом отдельные геометрические дисциплины отвлекаются также и от некоторых пространственных отношений, присущих указанным пространственным формам.

Так, топология изучает свойства геометрических фигур, которые сохраняются при всех взаимно однозначных и взаимно непрерывных отображениях, /г-мерная геометрия является полезным оружием, с помощью которого, например, механика может мате-

матически изучать твердую систему с п степенями свободы*.

Число примеров, подобных приведенным, легко увеличить. В этом, однако, нет необходимости. Из изложенного ясно, что под понятия объектов любой математической дисциплины можно подводить любые вещи, если, во-первых, соответственно природе этих вещей придать определенный смысл понятиям отношений, в которых выступают ее объекты, и, во-вторых, если при этом остается в силе структура отношений, описанных в основных посылках. Иначе говоря, любая математическая дисциплина допускает многие интерпретации. Больше того, практика математических исследований все больше убеждает нас в том, что любая непротиворечивая математическая теория может быть интерпретируема с помощью объектов любой другой непротиворечивой математической теории. Это показывает глубокую взаимосвязь и единство в количественных соотношениях действительного мира.

Эти примеры показывают, что не только понятия математических объектов, но и понятия математических отношений имеют переменное содержание, меняющееся в зависимости от качественной природы объектов интерпретаций. В каждой математической дисциплине неизменное, постоянное значение имеет структура отношений, в которых выступают математические объекты. При этом каждая математическая дисциплина изучает только такие структуры, которые, как легко видеть, являются абстракцией от количественных соотношений и пространственных форм материального мира.

Таким образом, на основании данных современной математики можно сказать, что количественные отношения — это такие отношения, структура которых инвариантна как относительно содержания объектов, так и относительно конкретного смысла самих отношений, в которых выступают объекты.

Итак, смысл нового этапа развития математики состоит в том, что, начиная с конца XIX столетия, стали изучать закономерности, присущие количественным отношениям и пространственным формам материальной действительности, во всей их общности. Выражением этого и является особая абстрактность современной математики, благодаря чему выводы каждой математической дисциплины, вообще говоря, справедливы в области любой ее интерпретации.

Первым следствием осознания значения указанных выше фактов было изменение взглядов математиков на принципы логического обоснования математики. Математики поняли целесообразность развития математических дисциплин во всей их общности. Эта задача решается, во-первых, формальным заданием основных посылок любой математической дисциплины, т. е. заданием основных посылок как форм, допускающих многие интерпретации, во-вторых, дедуктивным развитием этих посылок, число которых стараются максимально сократить. Целесообразность такого построения очевидна: если основные посылки заданы формально, то, вообще говоря, доказанная с их помощью теорема выражает некоторое свойство, присущее одноименным (соответственным) объектам любой интерпретации основных посылок. Так, система аксиом Пеано является формально заданными основными посылками арифметики натуральных чисел, которым одинаково подчиняются как порядковые, так и количественные числа. Благодаря этому каждая теорема, доказанная только с помощью аксиом Пеано, справедлива как в области количественных, так и в области порядковых натуральных чисел. В противовес Евклидовым «Началам», теперь не связывают аксиомы и основные определения геометрии с обычными наглядными представлениями точек, прямых и плоскостей, а задают их формально. Классическим примером формального задания основных посылок геометрии Евклида являются «Основания геометрии» Д. Гильберта*.

В связи с тем, что в современной математике вполне сознательно интересуются формами связей между объектами, абстрагируясь от качественной их природы, особое развитие получил аксиоматический метод. «Этот метод состоит в том, что, не определяя природы объектов подлежащей рассмотрению системы объектов и природы имеющихся в ней связей, указывают на ряд формальных свойств этих связей, выражая их в виде аксиом»**. Пример такого рода системы аксиом дает нам система аксиом Пеано. При аксиома-

* Ф. Клейн — «Лекции о развитии математики в XIX столетии,), ч. I, стр. 206 и дальше.

* См. русский перевод этой работы.

** См. статью Колмогорова «Математика» в XXXVIII т. БСЭ.

тическом развитии математической дисциплины стараются, во-первых, перечислить все необходимые аксиомы и, во-вторых, доказать их совместность и взаимную независимость. Совместность аксиом означает, что существует, по крайней мере, одна система вещей, форма связей между которыми описывается данной системой аксиом. Напротив, система аксиом несовместна, бессодержательна, если такая система вещей не существует. Таким образом, аксиоматический метод в конечном счете базируется на критерии практики. О действенном значении аксиоматического метода мы скажем несколько дальше.

Раньше указывалось, что обнаружение материальных корней современных математических теорий представляет задачу не малой трудности. Теперь можно дать объяснение этому явлению. Хотя каждая математическая дисциплина возникает в связи с необходимостью решить какие-либо задачи (как чисто практические, так и теоретические), но разрешающая их теория теперь строится во всей общности, формально, благодаря чему эти задачи выступают в качестве отдельных примеров, на которых иллюстрируют силу методов теории. Например, функциональный анализ является теорией большой силы и общности, возникшей на базе рада математических дисциплин, в первую очередь на базе вариационного исчисления и интегральных уравнений. Но хотя зарождение вариационного исчисления и интегральных уравнений связано с решением ряда практических задач, однако по отношению к функциональному анализу они являются его главами.

При формальном задании основных посылок объекты любой математической дисциплины образуют множество элементов, связанных некоторыми отношениями. Поэтому, когда была поставлена задача формального обоснования математики, она вызвала к жизни задачу изучения общих свойств произвольных множеств, задачу развития теории множеств как фундамента каждой математической дисциплины. Именно поэтому начатая Г. Кантором в 70—80-х годах прошлого столетия разработка общей теории множеств сыграла столь революционную роль во всей математике. Развив общее учение о множествах, Г. Кантор создал фундамент для обоснования содержания и методов всей современной математики. Поэтому начало современной математики относят к моменту опубликования основных работ Кантора. Правильнее, конечно, сказать, что Г. Кантор сумел обобщить, поднять до уровня общих методов то, что в качестве отдельных, разрозненных фактов было известно его предшественникам и современникам.

Теория множеств оказала влияние на математику в нескольких направлениях. Во-первых, удалось завершить формальное обоснование большинства математических дисциплин, в частности, дать обоснование анализу бесконечно-малых. Во-вторых, теория множеств до основания изменила структуру и проблематику ряда существовавших математических теорий. Если, например, раньше алгебра связывала представление о предмете своих исследований с одним классом функций действительного переменного, то теперь предмет алгебры—любые множества, элементы которых подчиняются первым четырем арифметическим действиям. Иначе говоря, алгебра в старом ее понимании является одной из возможных интерпретаций алгебры современной. В-третьих, и это главное, на базе теории множеств получили развитие новые дисциплины, методы которых способствовали бурному развитию всей математики. К числу таких дисциплин относятся теория функций действительного переменного, функциональный анализ и топология. И это, конечно, не случайно. Метод математики, как и любой науки, есть в первую очередь применение познанных ее закономерностей к дальнейшему ее развитию. Занявшись изучением количественных соотношений и пространственных форм во всей их общности, математики смогли развить более мощные методы исследований.

Мы старались элементарно обрисовать силу современных математических методов, когда речь шла о понятии группы, аксиомах Пеано и развитии понятия пространства. Другой пример дает современный аксиоматический метод, классический образец которого представляют «Основания геометрии» Д. Гильберта. Начиная с Евклида и до гильбертовых «Оснований геометрии», аксиомы геометрии трактовались как описания свойств геометрических форм, преимущественно описанных Евклидом в определениях «Начал». В противоположность этому Гильберт не связывает аксиомы с наглядными представлениями точек, прямых и плоскостей, задает их формально, благодаря чему достигается общность доказываемых теорем.

Используя учение о непротиворечивости и рассматривая различные комбинации аксиом, Гильберт обосновал непаскалеву, недезаргову и неархимедову геометрии, развил строго логическое учение о площадях, дал толчок к развитию учения об объемах, впоследствии выполненному его учеником Деном.

Итак, подтверждает ли современная математика энгельсово определение предмета ее исследований? На этот вопрос мы можем ответить только утверждением: да!

Как мы видели, изменение предмета исследований современной математики состоит, во-первых, в том, что, начиная с конца XIX столетия, стали изучать более широкую область количественных отношений и пространственных форм материальной действительности, и, во-вторых, изучать их во всей их общности. Таким образом, энгельсово определение математики как науки о количественных отношениях и пространственных формах материального мира оказывается адэкватно определяющим предмет исследований и современной математики.

Новый этап развития математики подтвердил точку зрения Энгельса на математические понятия и теории как на приближенные копии, снимки с изучаемой математикой стороны действительности. Например, при развитии представлений о физическом пространстве вопрос о приложимости геометрии теперь ставят так: какая из существующих геометрий наилучшим образом отражает пространственные формы изучаемой области явлений? С другой стороны, например, если раньше полагали, что теорема Пифагора справедлива только для обычных прямоугольных треугольников, то теперь мы знаем, что свойство, выражаемое этой теоремой, присуще всякому соответствующему прямоугольному треугольнику, объекту, который входит в множество объектов, подчиняющихся аксиомам геометрии Евклида.

Наконец, новый этап развития математики подтвердил общий взгляд Энгельса на развитие знания как на процесс перехода от познания единичного к познанию всеобщего через познание особенного: вначале математика изучала простейшие числа, величины и геометрические фигуры, потом она стала изучать переменные величины и преобразования фигур и, наконец, теперь изучает количественные соотношения и пространственные формы во всей их общности.

Таким образом, вопреки попыткам идеалистов (о них речь впереди) использовать современную математику в качестве аргумента, подтверждающего именно их точку зрения, в действительности изумительные по силе и красоте результаты математики целиком и полностью подтверждают сформулированную Энгельсом точку зрения на предмет и развитие математики.

§ 6. диалектика развития математики

Излагая энгельсову трактовку предмета математики, нельзя обойти молчанием сказанное им о диалектике развития математических понятий и теорий.

Маркс и Энгельс рассматривали диалектику «как науку о наиболее общих законах всякого движения»*, т. е. как науку о наиболее общих законах развития природы, общества и мышления. Занимаясь естествознанием и математикой, Энгельс искал подтверждения этому определению диалектики. «В этих занятиях математикой и естествознанием, —писал Энгельс—мне важнее всего было убедиться на частностях,—по отношению к общему я давно уже в этом не сомневался,—что над хаосом бесчисленных изменений в природе господствуют те же диалектические законы движения, что и над кажущейся случайностью исторических событий...»**. На многочисленных примерах, заимствованных как из элементарной, так и из высшей математики, Энгельс доказал, что основные законы диалектики являются теми всеобщими законами, которым следует историческое и логическое развитие математических понятий и теорий.

О диалектике развития математики можно говорить, учитывая или развитие математики под влиянием промышленности, классовой борьбы и естествознания, или принимая во внимание логическое развитие ее содержания. О развитии математики в первом аспекте мы говорили выше; теперь у нас речь будет итти преимущественно о диалектике логического развития математики.

Прежде чем изложить сказанное Энгельсом о диалектике логического разви-

* К. Маркс и Ф. Энгельс, Сочинения, т. XIV, стр. 344.

** Там же, стр. 9.

тия математических понятий и теорий, необходимо остановиться на том, как марксизм объясняет возможность и необходимость логического развития математики.

Многие идеалисты пытаются опровергнуть диалектико-материалистическое толкование предмета и развития математики следующими рассуждениями. Большое число математических открытий, говорят эти идеалисты, имело своей единственной причиной логическое развитие математики. Лобачевский и Больяи открыли неевклидову геометрию, не зная фактов, ее подтверждающих. Г. Кантор создал теорию множеств без всякого привлечения опыта из внешнего мира. Таким образом, возможно чисто логическое (как говорят эти идеалисты — имманентное) развитие математики. Кроме того, если даже иногда опыт и побуждает математика к исследованиям определенного характера, то в этом случае проблема будет решена только тогда, когда получит строго логическое обоснование. Здание математики строится на немногочисленных основных посылках, по законам, обладающим характером принудительной необходимости. Таким образом, логическое развитие математики не только возможно, но и необходимо; следовательно, опыт может играть роль только внешнего толчка, дальнейшее же развитие математики совершенно имманентно.

Как ни кажется убедительным приведенное рассуждение, оно ни в малейшей степени не опровергает диалектико-материалистического понимания математики.

«Логика, -— писал Ленин,— есть учение не о внешних формах мышления, а о законах развития «всех материальных, природных и духовных вещей», т. е. развития всего конкретного содержания мира и познания его, т. е. итог, сумма, вывод истории познания мира»*. Благодаря тому, что логика представляет аналог общих законов действительности, она является методом объяснения происходящих в природе процессов развития, методом перехода от известного к неизвестному.

Здесь мы привели ленинское определение логики. Точно так же определял логику и Энгельс. «Над всем нашим теоретическим мышлением,— писал Энгельс,— господствует с абсолютной силой тот факт, что наше субъективное мышление и объективный мир подчинены одним и тем же законам и что поэтому оба они не могут противоречить друг другу в своих конечных результатах, а должны согласоваться между собой»*. Поясняя эту мысль, Энгельс указывал, что «если наши предпосылки верны и если мы правильно применяем к ним законы мышления, то результат должен; соответствовать действительности, точно так же как вычисление в аналитической геометрии должно соответствовать геометрическому построению»**.

Таким образом, нет ничего таинственного в возможности чисто логического развития математики: отражая количественные отношения и пространственные формы материального мира, математика располагает тем материалом, из которого в силу объективности логики она может делать дальнейшие выводы. Благодаря тому, что математики, как правило, исходят от правильных предпосылок, результаты логического развития математики также бывают правильными, согласующимися с действительностью. Лобачевский и Больяи смогли, развить гиперболическую геометрию только потому, что существуют объекты, отношения между которыми отражает эта геометрия (хотя таких объектов они не знали). Кантор развил теорию множеств, базируясь на основных дисциплинах современной ему математики, правильность которых подтверждена в практике человечества.

Для правильного понимания вопроса нужно отметить, что возможность логического развития математики всегда ограничена и регулируется, во-первых, потребностями общества, во-вторых, уровнем развития научного знания в целом. Как уже указывалось, до Великой Октябрьской социалистической революции математика наиболее интенсивно развивалась в Германии и Франции; в царской России, напротив, не могло быть и речи об особо прогрессивном развитии математики. Теперь картина резко изменилась. Придя к власти, фашистские варвары разгромили некогда мировые центры математической мысли (например, геттингенскую математическую школу). В нашей стране, стране победившего социализма, математика раз-

* Ленинский сборник IX, изд. 1-е, стр. 23.

* К. Маркс и Ф. Энгельс, Сочинения, т. XIV, стр. 343.

** К. Маркс и Ф. Энгельс, Сочинения, т. XIV, стр. 377.

вивастся все более и более быстрыми темпами.

Ограниченность возможности чисто логического развития математики прекрасно подметил наш гениальный математик Чебышев. «Сближение теории с практикой,—писал он,—дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает: самые науки развиваются под влиянием ее, она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах, давно известных... Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитий ее, то она еще более приобретает открытием новых метод, и в этом случае наука находит себе верного руководителя в практике»*.

Как видим, возможность логического развития математики не только не опровергает диалектико-материалиетического понимания предмета математики, ко, напротив, только на его основе сама получает научное толкование. Точно так же диалектико-материалистическое понимание предмета математики позволяет дать объяснение необходимости логического развития любой математической теории.

Было время, когда математика состояла из отдельных, разрозненных сведений о простейших количественных отношениях и пространственных формах материального мира. Эмбриональный период развития математики прошел давно; как мы видели, даже древнеегипетская математика стояла на достаточно высоком уровне. Теперь математик не может быть «экспериментатором». В противном случае математика не смогла бы быть орудием современной практики и дальнейших теоретических исследований. Математик должен дать объект своих исследований в его необходимости, в его взаимосвязях с известными количественными отношениями. Только в этом случае математика может быть орудием практики. Даже в случае изучения натуральных чисел каждое натуральное число приобретает определенный смысл только в системе этих чисел. Когда Лебег создал носящий теперь его имя интеграл, нужно было не только изучить его свойства, но и показать, что он является расширением понятия интеграла Римана. Точно такое же положение вещей можно наблюдать при любом математическом исследовании. Иначе говоря, когда ставится новая проблема, выдвинутая промышленностью, другими науками или самой математикой, математик должен та(к развить известные ему теории, чтобы они смогли отобразить новые количественные отношения и пространственные формы в связи со старыми, ранее изученными. Следовательно, нельзя рассматривать понятия, теории и методы математики как застывшие, мертвые. По мере развития математики ее понятия и методы пополняются все новым и новым содержанием. Наиболее яркие тому примеры дает история развития понятия числа, функции и интеграла. В математике, как и в других точных науках, на определенных этапах развития происходят крутые ломки основных понятий и методов, ведущие ее к подъему на более высокую ступень. Это Энгельс доказал на фактах истории анализа бесконечно-малых. За правильность указания Энгельса говорят та;кже трудности обоснования современной математики. Таким образом, логическое развитие является необходимой формой развития математики, которое совершается по законам, присущим предмету ее исследования.

Не трудно теперь понять, в чем состоит ошибочность приведенного выше рассуждения идеалистов. Говоря о возможности и необходимости логического развития математики, они трактуют логику как прирожденную способность нашего мышления, отрывают развитие математики от материально-общественной деятельности человечества. Поэтому им кажется, что математика развивается только в силу внутренних закономерностей нашего мышления.

Итак, не только можно, но и нужно изучать историю математики как историю логического развития ее содержания под влиянием потребностей материальной жизни общества. Не только желательно, но и полезно знать законы логического развития содержания математики. Знание этих законов полезно для понимания истории математики и для дальнейшего ее развития. Именно поэтому Энгельс и занимался изучением вопроса о диалектическом характере развития математических понятий и теорий.

Мы теперь можем рассказать, как Энгельс доказывал, что законы диалектики являются теми общими законами, кото-

* П. Чебышев, Сочинения, т. I, стр. 239.

рым следует логическое развитие математики*.

Диалектика противоположна метафизике.

Метафизика учит, что мир есть собрание неизменных, изолированных предметов. Напротив, материалистическая диалектика доказывает, что все предметы и явления природы связаны друг с другом, взаимодействуют друг на друга. Материалистическая диалектика доказывает, чго все в природе и обществе имеет историю: рождается, развивается и умирает, побежденное нарождающимся новым. «Вся природа,— пишет Энгельс,— начиная от мельчайших частиц ее до величайших тел, начиная от песчинки и кончая солнцем, начиная от протиста и кончая человеком, находится в вечном возникновении и уничтожении, в непрерывном течении, в неустанном движении и изменении»**.

В силу каких причин и как происходит движение и изменение природы и общества?

Материалистическая диалектика доказывает, что всем вещам и процессам природы и общества присущи внутренние противоречия, так как они имеют в себе отживающее и нарождающееся, прошлое и будущее. Эту истину называют законов единства и борьбы противоположностей. Этот закон основной, так как он вскрывает источник всякого развития. Борьба отживающего и нарождающегося, борьба противоположностей и составляет причину, внутреннее содержание процесса развития. Борьба противоположностей бывает двух видов: антагонистическая и неантагонистическая. Пример антагонистических противоположностей дают пролетариат и буржуазия: их борьба ведет к уничтожению одной из борющихся сторон, к уничтожению буржуазии. Напротив, борьба неантагонистических противоположностей приводит к тому, что обе борющиеся стороны сохраняются (как говорят, сохраняются в снятом виде), в чем-то новом.

Материалистическая диалектика доказывает, что всякое развитие происходит не путем простого количественного роста, при котором не происходит никаких качественных изменений, а что, напротив, на определенной ступени развития количественные изменения внезапно, скачком вызывают качественные изменения. Такой характер развития всецело обусловлен тем, что источником движения является борьба противоположностей, которая приводит к зарождению нового, качественно отличного от старого. Таким образом переходы количества в качество и обратно являются формами проявления борьбы противоположностей.

Исходя из описанного понимания развития природы и общества, материалистическая диалектика учит, что ни одно явление не может быть понято, если его изучать изолированно от других явлений. Материалистическая диалектика требует изучения явлений и вещей в их развитии, требует анализа борющихся противоположностей, так как только такой подход может обеспечить правильное понимание истинных причин и сущности явлений природы и общества.

Что математика изучает объекты своих исследований в их взаимосвязях — это тривиальная истина. Видимо, поэтому Энгельс не счел нужным подробно останавливаться на этой стороне вопроса и ограничился только несколькими замечаниями, правда, принципиальной важности. Так, он указал, что тригонометрия дает хороший образец, как диалектика рассматривает вещи в их взаимосвязях, а не изолированно. Тригонометрия изучает прямоугольный треугольник во взаимосвязях с кругом, благодаря чему удается достигнуть многих положительных результатов, недоступных геометрии. Как видим, Энгельс указывает на то, что изучение вещей и явлений в их взаимосвязях и взаимопереходах и в математике является могучим источником знания.

Энгельс уделил особое внимание выяснению значения закона единства и борьбы противоположностей как основного закона развития и познания в математике.

Крайне интересны высказывания Энгельса о единстве и раздвоении действий в арифметике; он указывает, чго сначала полярно противоположные арифметические (и алгебраические) действия по мере развития понятия числа переходят, проникают друг в друга. Например,

* В дальнейшем отмечаются некоторые основные положения диалектико-материалистического метода. Желательно, чтобы читатель ознакомился с этим методом по произведениям классиков марксизма-ленинизма, в первую очередь по «Анти-Дюрингу», «Диалектике природы», «Философским тетрадям» Ленина и по «Краткому курсу истории ВКП(б)», под редакцией комиссии ЦК ВКП(б), глава IV.

** К. Маркс и Ф. Энгельс, Соч., т. XIV, стр. 484.

«умножение является сокращенным сложением, деление — сокращенным вычитанием определенного количества одинаковых чисел... В алгебре идут еще дальше этого. Каждое вычитание (а — Ь) можно рассматривать как сложение (— b -j-a), а каждое деление — — как умножение а • — . При действиях со степенями идут еще дальше. Все неизменные различия способов вычисления исчезают, все можно изобразить в противоположном виде. Степень — в виде корня (х2 =YX*)> корень —• в виде степени (\/ х = xli>)»*.

Сказанное Энгельсом о развитии арифметических действий распространяется и на развитие понятия числа. Например, числа +а и -а выступают, как полярные противоположности. Но хотя абстрактно их и рассматривают как существующие самостоятельно, однако они реальны лишь в своих взаимоотношениях друг с другом.

«И это превращение из одной формы в другую, противоположную, пишет Энгельс,—вовсе не праздная игра,— это один из самых могучих рычагов математического знания, без которою в настоящее время нельзя произвести ни одного сколько-нибудь сложного вычисления»**.

Еще большее внимание Энгельс уделил раскрытию единства и борьбы противоположностей в высшей математике, где это единство особенно заметно при предельных переходах. У Энгельса мы также встречаем специальное указание на роль закона отрицания отрицания в развитии диференциального и интегрального исчислений, что в дальнейшем было подробно исследовано Марксом, давшим диалектико-материалистическое обоснование диференциального исчисления***.

Когда Энгельс изучал диалектику развития математических понятий и теорий, хматематика была представлена сосуществующими дисциплинами, внутренние связи которых хотя неоднократно и использовались, но не были осознаны до конца. Современная математика, напротив, усматривает свою центральную задачу в выяснении взаимосвязей между различными математическими дисциплинами, в построении этих дисциплин на единой основе. Благодаря этому, удается глубже осознать диалектику развития математических понятий и теорий. Блестящий тому пример дает современное обоснование учения о вещественных числах (Дедекинд, Кантор и Вейерштрасс).

При обосновании учения о вещественных числах исходят из того основного факта, что область рациональных чисел недостаточна для измерения непрерывных величин. Действительно, даже в таких простейших случаях, как, скажем, измерение длины диагонали квадрата, сторона которого равна единице, длина диагонали не может быть выражена никаким рациональным числом. Далее, стараются выяснить причину этого явления и обнаруживают ее в том, что множество рациональных чисел не обладает свойством непрерывности. В самом деле, если рассечь прямую линию на два любых куска так, чтобы, во-первых, каждая точка попала в первый или во второй кусок, и, во-вторых, чтобы каждая точка первого куска лежала левее каждой точки второго куска, то существует одна, и только одна, точка, которая производит рассечение прямой на два куска. В этом и состоит непрерывность прямой линии. Напротив, если разбить множество всех рациональных чисел на два класса так, чтобы, во-первых, каждое число попало в первый или во второй класс, и, во-вторых, каждое число первого класса было меньше каждого числа второго класса, то не всегда существует рациональное число, которое производит это сечение. Значит, множество рациональных чисел не обладает свойством непрерывности. Установив этот факт, начинают исследовать два противоположных типа сечений в области рациональных чисел: определяемых или не определяемых рациональным числом. Сечения в области рациональных чисел рассматриваются при этом как числа. Таким образом единое множество всех сечений в области рациональных чисел рассматривается как единство противоположностей — в данном случае противоположных видов сечений,— изучение которых позволяет вскрыть их взаимосвязи и различия, развить теорию вещественных чисел, снимающую эти противоположности в едином понятии вещественного числа. Точно таков же путь логического развития и других форм понятия числа:

* К. Маркс и Ф. Энгельс, Сочинения, т. XIV, стр. 426.

** К. Маркс и Ф. Энгельс, Сочинения, т. XIV, стр. 426.

*** См. «Математические рукописи; К. Маркса.

относительных, рациональных и комплексных, обосновываемых с помощью теории пар. Натуральное количественное число как начальный пункт развития понятия числа, вводится р математику через абстракцию от свойств множеств. Следовательно, закон раздвоения единого и борьбы противоречивых частей его является тем основным законом, которому в современной математике следует общее логическое развитие понятия числа.

Закон раздвоения единого и борьбы противоречивых частей его является, само собой разумеется, основным законом логического развития и высшей математики. Достаточно сослаться на историю развития и логического обоснования понятия функции и интеграла.

Как указывалось раньше, Энгельс выяснял, как проявляются в математике и остальные законы диалектики. Ему удалось показать, что законы отрицания отрицания и перехода количества в качество являются так же теми основными законами, коим следует развитие математических теорий. На этом вопросе мы останавливаться не будем и отошлем читателя к «Математическим рукописям» К. Маркса. Эти рукописи Маркса лучше всего помогут читателю хорошо уяснить значение закона отрицания отрицания для логического развития математики.

Говоря о диалектическом характере логического развития математических понятий и теорий, надо иметь в виду, что законы диалектики проявляются в математике в одной форме. Так, проявление в математике закона раздвоения единого и борьбы противоречивых частей его заключается в том, что противоречивыми частями являются противоположности не антагонистического типа, т. е. такие противоположности, которые не стремятся уничтожить друг друга, а, напротив, в снятом виде сохраняются как моменты нового, подобно тому, как целые и дробные числа являются рациональными числами.

Изучение диалектики развития математических понятий привело Энгельса к такому основному выводу: до тех пор, пока мы занимаемся анализом постоянных величин, в целом и общем мы не выходим за рамки формальной логики. Но как только мы начинаем изучать переменные величины, совершенно необходимой становится диалектика, которая только одна может гарантировать точность наших рассуждений. Энгельс был совершенно прав, говоря, что вместе с переменными величинами в математику вошла и диалектика. «Элементарная математика, математика постоянных величин, движется, по крайней мере в целом' и общем, в границах формальной логики; математика переменных величин, существеннейший отдел которой составляет исчисление бесконечно малых, есть в сущности не что иное, как применение диалектики к математическим отношениям»*.

Современная математика довольно существенно меняет это заключение Энгельса в части, касающейся математики постоянных величин. Теперь нельзя сказать, что математика постоянных величин в целом и общем движется в границах формальной логики. После Энгельса и в математику постоянных величин в явном виде вошла идея движения, и именно' поэтому теперь она тоже движется в целом и общем в границах диалектической логики; подтверждением этому служит современное обоснование учения о числе. Вообще, современная математика показывает, что помимо воли и желания идеалистов (математиков и философов), применение диалектики к развитию и логическому обоснованию математики с каждым днем завоевывает новые и новые позиции.

Доказав диалектический характер развития математических понятий и теорий, Энгельс получил возможность сформулировать суть задачи обоснования математики. В самом деле, если логическое развитие понятий математики отражает объективную диалектику развития количественных отношений самой природы, то отсюда следует, что только путем сознательного применения диалектического метода можно наилучшим образом обосновать математику. Формальная логика, метафизика для этой цели недостаточны. Вскрыть в конкретной форме диалектику понятий каждой математической дисциплины и в связи с этим объяснить ее исходный пункт и ее методы-так можно определить проблему обоснования математики на основе высказываний Энгельса. Как известно, в части обоснования диференциального исчисления эту задачу решил К. Маркс.

В заключение сделаем одно замечание.

* К. Маркс и Ф. Энгельс, Сочинения, т. XIV, стр. 134.

В свете всех высказываний Энгельса о диалектике математических понятий ярче вырисовывается научное, обоснованное на марксистской теории отражения определение предмета математики. Иногда думают, что математические понятия отражают количественные отношения действительности каждое само по себе, изолированно друг от друга. С этой точки зрения математика эквивалентна собранию понятий, поставленных в одно однозначное соответствие с их реальными прообразами. Но такое представление о математике основано на упрощенной теории познания, и поэтому оно неправильно. Из всех высказываний Энгельса следует, что только все математические понятия в их рациональных взаимосвязях, в их диалектическом развитии способны дать и дают правильное, все улучшающееся отражение количественных отношений и пространственных форм материальной действительности, а потому и могут быть орудием действия.

§ 6. марксизм-ленинизм и математика

До сих пор мы излагали энгельсово решение основных философских вопросов математики. Теперь естественно попытаться ответить на вопрос о значении марксизма-ленинизма, в частности, материалистической диалектики, для развития математики.

Впервые на этот вопрос ответил Энгельс. Ленин продолжил исследования Энгельса, показав, какое имеет значение марксизм-ленинизм для развития современной физики. Относящиеся к интересующему нас вопросу исследования Энгельса и Ленина содержатся в «Диалектике природы» (Энгельс) и «Материализме и эмпириокритицизме» (Ленин).

Здесь мы изложим основные заключения Энгельса по вопросу о значении марксизма и материалистической диалектики для развития естествознания и математики.

Современное естествознание датирует от эпохи Возрождения. В эту эпоху революционная тогда буржуазия вместе с наукой выступила против феодализма и римско-католической церкви. Под влиянием роста промышленности, торговли, мореплавания и т. п. (в развитии которых была заинтересована буржуазия) наука начинает развиваться все ускоряющимся темпом и получает результаты, значительно превосходящие конкретные знания древних греков. Декарт, Ньютон и Лейбниц открывают аналитическую геометрию и анализ бесконечно-малых. Ньютон обосновывает механику как науку. Коперник развивает гелиоцентрическую систему. Получает развитие геометрическая оптика, главным образом под влиянием астрономии. В области биологии начинают накапливать фактический материал как ботанический и зоологический, так и анатомический и собственно физиологический.

Вместе с ростом научного знания в эпоху Возрождения получило развитие мировоззрение, которое Энгельс назвал метафизическим. Сторонники метафизического понимания мира считали, что «природа, каким бы путем она ни возникла, раз она уже имеется налицо, остается всегда неизменней, пока она существует»*; иначе говоря, они считали природу абсолютно неизменной. Считалось, что выведенные из состояния равновесия таинственным «первым толчком» планеты продолжают и будут крутиться по своим орбитам до конца мира, или вечно. Считалось, что звезды неподвижны, Земля остается неизменной, видов животных и растений существует столько, сколько их создал бог. Объяснение окончательных причин явлений находили в боге, благодаря чему «наука все еще глубоко сидела в теологии»**.

Зарождение и развитие метафизического миропонимания было исторически обусловлено. Сколь ни блестящи успехи науки с XVI по XVIII в., они недостаточны для понимания основных закономерностей развития мироздания в целом. В силу своей неразвитости наука того времени главное внимание концентрировала на изучении частей, изолированных из цепи явлений, что и способствовало развитию метафизического миропонимания.

Первый удар по метафизическому миропониманию нанес знаменитый философ Кант. В 1755 г. он опубликовал «Всеобщую естественную историю и теорию неба», где развил гипотезу, согласно которой солнечная система и Земля представлялись как имеющие историю, как ставшие в ходе времени. Впоследствии Лаплас дал гипотезе Канта математиче-

* К. Маркс и Ф. Энгельс, Сочинения, т. XIV, стр. 478.

** К. Маркс и Ф. Энгельс, Соч., т. XIV, стр. 479.

ское обоснование. Было также обнаружено собственное движение звезд. Эти открытия фактически изгоняли метафизику из астрономии. Далее следовали открытия в области геологии, которые на большом фактическом материале показали, что и Земля и все живущее на ней имеет свою историю. В физике было обнаружено, что различные формы энергии (тепловая, электрическая и т. п.) способны при известных условиях превращаться друг в друга. Наконец, Дарвин доказал изменчивость видов и тем самым изгнал метафизику из биологии.

Таким образом, опровергающие метафизическое миропонимание открытия были сделаны в естествознании, начиная со второй половины XVIII столетия. В математике подобные открытия были сделаны раньше. Декарт, Ньютон и Лейбниц ввели понятие переменной величины, благодаря чему в математику вошли движение и диалектика, и тем самым была показана недостаточность метафизики и формальной логики для обоснования и развития математики. Не даром Энгельс неоднократно указывал, что математика переменных величин есть не что иное, как приложение диалектики к математическим отношениям. В XIX столетии в математике были сделаны другие открытия, еще более убедительно доказывающие несостоятельность метафизического миропонимания. Об этих открытиях и их диалектическом характере мы говорили и двух предшествующих параграфах.

Во второй половине XIX столетия естествознание и математика накопили огромную массу положительного материала, который неопровержимо доказывал ошибочность метафизического миропонимания и эмпиризма и создавал необходимые предпосылки для освобождения естествознания от сковывающих пут теологии. Это был процесс перехода естествознания от метафизического мышления к диалектическому, которое опирается на материалистическую диалектику. Из эмпирической науки естествознание становилось наукой теоретической. По мере накопления этого положительного материала становилась ясной «необходимость систематизировать его в каждой отдельной области исследования и расположить с точки зрения внутренней связи... Точно так же стало неизбежным привести между собою в правильную связь отдельные области познания»*. Без решения этих задач естествознание не могло претендовать на рациональное объяснение имеющегося в его распоряжении материала. Чтобы решить эти задачи, естествознание должно было отказаться от методов эмпиризма и прибегнуть к теоретическому мышлению. Иначе говоря, естествознание должно было сознательно прибегнуть к помощи материалистической диалектики, так как только материалистическая диалектика «представляет аналог и, значит, метод объяснения происходящих в природе процессов развития». Только диалектический материализм мог помочь естествознанию окончательно преодолеть метафизику и поповщину и обеспечить ему дальнейшее неограниченное развитие. Сказанное о естествознании в такой же мере относилось и к математике. Проблема обоснования математики, в первую очередь анализа бесконечно-малых, требовала материалистической диалектики.

Но в XIX столетии материалистическая диалектика не стала сознательным теоретическим оружием естествознания и математики. Если она и использовалась, то стихийно, в силу внутренней логики содержания исследований. Например; хотя данное Дедекиндом обоснование понятия вещественного числа несет на себе следы явно диалектического мышления, однако это было вызвано самим предметом исследований, но не миропониманием автора — субъективно-идеалистическим и метафизическим. Причины этого явления вскрыл Энгельс. В первой половине XIX столетия буржуазия добилась власти в ведущих странах (Англия, Франция и Германия). Перед буржуазией встали новые задачи. Раньше она была революционна и с помощью прогрессивной науки и философии боролась против феодализма и крепостничества. В эпоху буржуазных революций большинство ученых буржуазного строя, как отмечал Энгельс, не было буржуазно ограниченным**. Их исследования были смелыми, научными. После захвата власти буржуазия с каждым днем становилась все более и более консервативной, так как против ее господства выступил пролетариат. Буржуазия стала требовать от науки, и особенно от философии, выработки новых

* К. Маркс и Ф. Энгельс, Сочинения, т. XIV, стр. 337.

** Там же, стр. 338.

доказательств «незыблемости и вечности» ее господства. Средств воздействия на ученых и философов у буржуазии было более чем достаточно: материальная зависимость и идеологическое воздействие. Именно эти причины в конце концов сделали буржуазных философов реакционными апологетами капитализма. С поспешностью, достойной лучшего применения, буржуазные философы постарались выбросить из великого философского наследства все то, что могло противоречить «учениям» о «вечности» капитализма. В первую очередь буржуазные философы изгнали из философии гегелевскую диалектику, так как даже в идеалистической форме диалектика непримирима ни с каким учением о незыблемости и вечности. Место диалектики заняли метафизика, мистика и поповщина, и дух ни перед чем не останавливающегося теоретического исследования навсегда покинул кабинеты буржуазных философов. Буржуазные философы стали бороться против стихийного материализма естествоиспытателей, доказывать «антинаучность» диалектики и даже преследовать сторонников эволюционного учения. Правда, диалектика не погибла. Маркс и Энгельс вновь вернули ее к жизни и, разработав материалистическую диалектику, с ее помощью развили материалистическое понимание истории, политэкономию и учение о диктатуре пролетариата. У Маркса и Энгельса диалектика стала иной: смелой, революционной диалектикой рабочего класса, его оружием в борьбе против капитализма.

Таким образом, во второй половине XIX столетия доросшее до диалектического метода естествознание вновь оказалось жертвой старой метафизики. Благодаря этому теоретическое развитие естествознания попало втупик: место научных теоретических обобщений стали занимать антинаучные теории вроде витализма. «Нельзя теперь взять в руки почти ни одной теоретической книги по естествознанию,— писал Энгельс,— чтобы не убедиться, что сами естествоиспытатели понимают, как они страдают от этой путаницы и бессвязности, из которой им не дает абсолютно никакого выхода модная, с позволения сказать, философия. И здесь нет действительно иного выхода, нет никакой возможности добиться ясности без возврата в той или иной форме от метафизического мышления к диалектическому»*. Но в капиталистическом мире возврат естествознания и математики к сознательной диалектике невозможен. Только при социализме, указывал Энгельс, диалектика может стать и станет теоретическим оружием естествознания и математики, с помощью которого они сделают такие успехи, по сравнению с которыми все совершенное ранее покажется слабой тенью. Итак, Энгельс показал, что:

1. Ко второй половине XIX столетия естествознание доросло до диалектики,, стало наукой о диалектическом развитии природы.

2. Только материалистическая диалектика может помочь естествознанию объяснить происходящие в природе процессы развития.

3. Игнорирование диалектики означает для естествознания возврат к метафизике, к эмпиризму и теологии, обусловливает замедление развития естествознания.

4. Во второй половине XIX столетия, в силу определенных социально-экономических причин, сознательное использование диалектики естествознанием при капитализме стало невозможным; место диалектики вновь заняла метафизика.

5. Только при социализме материалистическая диалектика освободит естествознание от пут идеализма, метафизики, мистики и поповщины, выведет естествознание на путь небывалого в истории развития.

Дальнейшее развитие естествознания и математики целиком и полностью подтвердило эти выводы Энгельса.

Упадок идеалистической буржуазной философии, проникновение метафизики, мистики и поповщины в естествознание в начале второй половины XIX столетия было лишь исходным пунктом идеологической реакции, которая особенно развернулась в эпоху империализма. Так, когда в конце XIX столетия начался новый, революционный этап развития естествознания, среди естествоиспытателей получили развитие различные идеалистические школки (например, махистские школки). Несовместимость современного реакционного и метафизического идеализма с новейшими естественно-научными открытиями привела буржуазное естествознание к кризису, сущность и при-

* К. Маркс и Ф. Энгельс, Соч., т. XIV, стр. 339.

чины которого проанализировал Ленин в «Материализме и эмпириокритицизме».

Такой же процесс по существу протекал и в математике.

Когда идеи нового (базирующегося на теории множеств) подхода к проблемам математики получили широкое признание, идеалистическая философия сделала попытку еще раз укрепить свои исходные принципы новейшими данными математики. Рессель заявил, что математика — беспредметная наука. В математике, утверждал Рессель, мы не знаем, о чем мы говорим, и верно ли то, что мы говорим; математика тождественна с формальной логикой. Махист Пуанкаре пытался доказать, что математика представляет совокупность условных соглашений, подчиняющихся двум ограничениям: они не должны быть противоречивыми и должны удовлетворять принципу экономии Маха. Таким образом, по существу Пуанкаре также отстаивал беспредметность математики. Однако «беспредметная» математика Ресселя и Пуанкаре — только ширма, за которой скрывается идеалистическое понимание предмета математики. Сводя математику к формальной логике, Рессель утверждал априорный характер законов формальной логики; Пуанкаре развил махистское толкование происхождения условных соглашений. По существу, толкование предмета математики Пуанкаре и Ресселя базировалось на одном: они совершенно отрывали отношения, справедливые для рассматриваемых в математике объектов, от самих объектов и совокупность этих отношений и рассматривали как математику. Возможность такого неправильного отрыва создалась самим прогрессом математики с момента развития идеи интерпретации. Однако совершить такой отрыв могли только люди, погрязшие в тине идеалистических представлений. В самом деле, общеизвестно, что любая математическая теория правильна и законна тогда и только тогда, когда она непротиворечива. Требования непротиворечивости математических теорий не отрицали Рёссель и Пуанкаре. Но в современной математике доказать непротиворечивость любой математической теории можно только одним способам: надо указать класс правильных математических объектов, в области которых выполняются все аксиомы данной теории. Это одно говорит за то, что нельзя отрывать отношения от объектов математики. Однако есть и другая сторона, которая подкрепляет сделанный вывод. Доказательство непротиворечивости по существу позволяет свести вопрос о непротиворечивости одной математической теории к вопросу о непротиворечивости другой, правильность которой для нас почему-либо более бесспорна. Так, доказано, что геометрия гиперболического пространства непротиворечива, если непротиворечива геометрия Евклида; непротиворечивость последней можно доказать тогда, когда будет доказана непротиворечивость учения о вещественных числах. Путем таких редукций в современной математике вопрос о непротиворечивости подавляющего большинства математических теорий сведен к вопросу о непротиворечивости учения об арифметике натуральных чисел. Но когда мы подходим к проблеме обоснования натурального ряда, совершенно необходимым становится ясное, отчетливое представление о предмете математики. Выше мы видели, что система аксиом Пеано выражает основные свойства как арифметики обычных (количественных и порядковых) натуральных чисел, так и рассмотренной нами арифметики некоторой подпоследовательности ряда натуральных чисел. Зная, что некоторая система объектов удовлетворяет системе аксиом Пеано, мы еще не сумеем сказать, о каких именно объектах идет речь, хотя и сможем доказать все относящиеся к ним теоремы. На вид этим как будто полностью подтверждается точка зрения на математику как на беспредметную науку— науку, не знающую ни о чем, собственно, она говорит, ни верно ли то, что она говорит. В действительности, это однако не так. Все существующие до сих пор попытки доказательства непротиворечивости системы аксиом Пеано опираются уже не на аксиоматически построенную («беспредметную»), а на обыкновенную (содержательную) арифметику, в которой целое число означает то же самое, что понимает под ним 1И статистик, и бухгалтер, и просто любой считающий по пальцам человек. Поэтому вполне уместно поставить вопрос: откуда мы заимствуем понятия о натуральных числах, об обычном сложении и умножении? Поставив же такой вопрос, мы неизбежно должны дать содержательные определения натурального числа, операций сложения и умножения. Следовательно, математика должна

знать, о чем она говорит и верно ли то, что она говорит; беспредметной математики не было и быть не может.

Итак, откуда мы заимствуем понятие о натуральном ряде? Мы уже указывали, что вся практическая деятельность людей, вся история науки и математики говорят, что понятие о натуральных числах и об операциях над ними заимствованы из действительности в связи с практической деятельностью людей. И так как любая математическая теория в конечном счете допускает, по крайней мере, одну арифметическую интерпретацию, то отсюда следует, что математика не беспредметная наука и не продукт условных соглашений.

Все основные философские выводы Ресселя и Пуанкаре наносили делу развития математики определенный вред. Они поддерживали идеализм, а через идеализм способствовали одурманиванию масс (в первую очередь ученых) различными теориями «незыблемости» капитализма. Кроме того, в силу своей метафизичности, философские выводы Ресселя и Пуанкаре тормозили проникновение диалектики в математику. Правда, в отдельных частностях Рессель и Пуанкаре дали положительные результаты. Именно Ресселю математика обязана первыми систематическими исследованиями в области математической логики.

Впоследствии в буржуазной математике появились другие философские идеалистические школы и школки. Особое распространение получили идеи так называемых интуиционистов (Брауэр и Вейль) и формалистов (Гильберт). Если возникновение философии Ресселя и Пуанкаре связано преимущественно с успехами математики конца XIX столетия, то развитие интуиционизма и формализма базируется на трудностях обоснования современной математики, которые были обнаружены вначале XX столетия. Среди этих трудностей в первую очередь надо упомянуть парадоксы теории множеств и трудности, связанные с аксиомой Цермело*. Развитые этими школами философские концепции нисколько не лучше тех, которые развили Рессель и Пуанкаре. Но в ряде вопросов некоторые из этих школ значительно реакционнее. Так, например, эффективисты (Борель, Лузин) и интуиционисты пытаются освободиться от парадоксов тем, что просто напросто предлагают выбросить из математики все те разделы, которые связаны с этими парадоксами. В результате поле исследований и методов исследования математики значительно сужаются.

Но все философские искания интуиционистов, формалистов и других представителей буржуазной философии математики являются по своим последствиям «мелочью», если их сравнить с тем, что ряд идеологов фашизма пытается протащить в математику. Общеизвестно, что германские фашисты разогнали крупнейшие научные школы, в том числе и математические. Из Германии были изгнаны Эйнштейн, Курант, Вейль, Френкель и другие крупнейшие ученые физики и математики. Идущая на поводу у германских фашистов фашистская Италия в последнее время старается наверстать «упущенное» время. Среди изгоняемых из Италии сорока тысяч евреев мы находим таких крупнейших математиков, как Леви-Чивитта и Вольтерра. Однако фашистские погромщики не ограничиваются только физическими действиями; своим действиям они стараются дать идеологическое обоснование. Они кричат, что современная математика — это еврейская математика, против которой надо решительно бороться. Взамен современной математики они предлагают перейти к эмпирической, как они говорят, чисто арийской математике. Некоторым из них даже «Начала» Евклида кажутся недостаточно арийскими, недостаточно эмпиричными.

Все это говорит за то, что в странах фашистского варварства математика, как наука, в лучшем случае может ютиться на задворках, вести полулегальное существование, что в странах фашизма математика обречена на вырождение. И если мы учтем, что процесс фашизации буржуазных стран с каждым днем все усиливается, безнадежность положения буржуазной математики станет более чем очевидной.

Иную картину представляет наша счастливая социалистическая родина.

Под марксистско-ленинским руководством нашей партии и нашего гениального вождя товарища Сталина трудящиеся СССР построили социализм. В нашей стране уничтожены эксплоататорские классы и тем самым ликвидирована эксплоатация человека человеком, построена пе-

* См. В. Молодший — «Эффективизм в математике». Соцэкгиз, 1938.

редовая промышленность, базирующаяся на современной технике, коллективизация сделала наше сельское хозяйство самым крупным машинизированным производством всего мира. С каждым днем растет культурный уровень и материальное благосостояние трудящихся Советского Союза. Итоги наших завоеваний записаны в Сталинской Конституции — величайшем документе современной эпохи.

Великая Октябрьская социалистическая революция создала грандиозные возможности для развития науки. «Наука, литература, театр, искусство развиваются в нашей стране как никогда. Завоевания науки и искусства являются достоянием всех граждан. Этих успехов добился наш народ под руководством партии большевиков»*. Из страны отсталой, какой была царская Россия, СССР стал одной из передовых в научном отношении стран. В ряде областей науки СССР занимает ведущее место во всем мире. Здесь в первую очередь нужно назвать общественные науки: философию, историю, политэкономию, языкознание и т. п.

Столь же интенсивно развиваются в СССР математика и естествознание. Об успехах чистой математики мы говорили выше.

* Из обращения ЦК ВКП(б) ко всем избирателям в декабре 1937 г.

Только в нашей стране все науки идут по пути роста; в буржуазных странах они являются апологетами капитализма и поэтому влачат жалкое существование. Особенно отвратительны так называемые «философия» и «история» в странах фашизма (в первую очередь в Германии), где они поставлены на службу варварской расовой «теории» и задачам подготовки войны, в первую очередь войны против нашей родины.

Таким образом, история развития капитализма и построения социализма в нашей стране подтверждает все выводы Энгельса о значении марксизма для науки и показывает, что перед наукой есть два пути: первый путь — путь социализма, путь марксистско-ленинского развития, двигаясь по которому, наука достигает небывалых успехов. По этому пути идет наша советская наука. Второй путь — путь капиталистический, путь идеалистических шатаний и деградации, путь вырождения в поповщину и мистику. По этому пути идет буржуазная наука. В борьбе социализма с капитализмом победа будет на стороне социализма, на стороне социалистической науки. Социалистическая наука берет у буржуазной науки все лучшее, ценное, выбрасывая за борт поповщину, мистику и идеализм, и идет дальше по марксистско-ленинскому пути все усиливающегося развития.

ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Я. МЕЖИРОВСКИЙ (Курск)

Перед нами вторая часть стабильного задачника по алгебре. На странице 45 мы читаем (изд. 17-е):

«Возвратным, или симметричным, уравнением называется такое уравнение любой степени, у которого коэфициенты членов, равноудаленных от начала и конца уравнения, равны между собой».

Что значит «равны между собой»? Спрашивать об этом приходится, потому что «равенство» здесь понимается не так, как обычно; в противном случае нельзя было бы включить в число возвратных такое, например, уравнение 6х* — 5х* — 5х — 6 = 0 (№ 45, гл. VII). Характерно, что в некоторых других изданиях этого задачника подход к этому вопросу более обдуманный. Так, в издании 1923 г. мы читаем (стр. 72):

«Легко решается так называемое возвратное ах* + bx3 + ex2 + bx + a = 0, в котором коэфициенты членов, равноудаленных от начала и конца многочлена, равны», и после указания на метод решения приводятся уравнения, в которых указанные коэфициенты именно равны.

Затем говорится (стр. 73):

«Подобно этому решается уравнение ах* + bxz + ex2 + bx -|- a = 0, отличающееся от возвратного знаком одного коэфициента».

Далее уравнение axQ + bx5 + ex* +—J—олг3— cx2+ bx — a = 0 именуется «сходным с возвратным».

Этот второй подход, однако, обладает тем недостатком, что нет органической связи между различными типами уравне-

нии. Целесообразнее поэтому поступают авторы, рассматривающие два рода возвратных уравнений. Но если хотят дать общее определение возвратного уравнения, а не только возвратного уравнения 4-й степени, то приходится оставить и исходную точку определения — свойство коэфициентов. Таким образом приходят к определению возвратных уравнений, исходя из свойств корней. А тогда естественно рассматривать, хотя бы на первых порах, не два рода возвратных уравнений, а три, что автор статьи и делает. Что касается плана изложения, то здесь мы имеем переход от общего определения (и связанного с ним вопроса о том, что уравнение нечетной степени не может быть возвратным второго рода) к частным случаям и возвращение к общим свойствам.

Ниже мы будем рассматривать только уравнения с действительными коэфициентами. Предполагаем, что читателю известно, что уравнение л-ой степени с одной неизвестной имеет п (комплексных) корней: ai> а2» аз ап> a поэтому оно может быть представлено в виде:

(х-од (х-а2) (х-а3) ... (лг — а„) = = 0 ... (А). Кроме того мы пользуемся, не считая совсем элементарных сведений, лишь следствиями из теоремы Безу, которые применимы к решению уравнений, правилом умножения биномов с одинаковыми первыми членами и методом математической индукции. Таким образом, статья может быть использована как материал для занятий математических кружков учащихся десятых классов средней школы.

определения

Если обратная величина каждого корня, взятая с тем же или противоположным знаком, также удовлетворяет уравнению, то уравнение будем называть возвратным.

Уравнение называется возвратным первого рода, если обратная величина каждого корня его также удовлетворяет уравнению.

Если обратная величина каждого корня, взятая с противоположным знаком, тоже служит корнем данного уравнения, то оно называется возвратным второго рода.

Если же обратная величина некоторой части корней и обратная величина, взятая с противоположным знаком, остальной части корней также удовлетворяет уравнению, то оно называется возвратным третьего рода.

Итак, возвратное уравнение характерно тем, что если а служит его корнем, то и + — или--— тоже служит корнем

этого уравнения. Но тогда абсолютные значения попарно выбранных корней возвратного уравнения четной степени должны быть взаимно обратными. Что же касается возвратного уравнения нечетной степени, то для возможности их существования должны, в свою очередь, существовать такие числа, абсолютные значения которых сами себе взаимно обратны. Каковы же эти числа?

Пусть k такое число, что k = — или &= =-+ . Имеем: k2 = 1 или kr =—1, т. е. ^ = 4-1; k2 = — 1; *з = + /; £4 = — /. Но последние два значения А несовместимы с требованием действительности коэфициентов уравнения. В самом деле, уравнение степени п + 1, имеющее корень а, может быть получено из соответственного уравнения я-ой степени путем умножения на (х — а), т. е. оно имеет вид:

где р с индексом в нашем случае — действительные числа. Выполнив умножение в левой части (В), получаем:

(С).

Если а = -4- /, то коэфициенты рх— а1р2— <х.р1,...,рп — арп-1, а.рп имеют, очевидно, форму а+Ы9 причем b=f=0 по крайней мере в некоторых случаях (когда уравнение /г-ой степени неполное, некоторые из коэфициентов равны нулю); стало быть уравнение (С) и, значит, уравнение (В) уже не принадлежат к числу тех, коэфициенты которых действительны. Следовательно:

возвратное уравнение (с действительными коэфициентами) нечетной степени должно иметь один корень, равный +1 или —-1.

Обратив внимание на то, что + 1 и — 1, как значения k, получены нами из условия k=^r , выводим сейчас же следствие:

уравнение нечетной степени не может быть возвратным второго рода.

Перейдем теперь к возвратным уравнениям первых шести степеней.

уравнения первой степени

Такие уравнения согласно тому, что мы уже знаем о возвратных уравнениях нечет-

ной степени, должны иметь корень, равный 1 или — 1. В данном же случае уравнение не имеет больше одного корня. Поэтому возможны только следующие два типа возвратных уравнений первой степени:

х—\ =0... (1),

*+1=0... (2);

оба они первого рода.

квадратные уравнения

Рассмотрим уравнение x2+px+q = 0. Когда это уравнение будет возвратным первого рода? Так как квадратное уравнение имеет только два корня и согласно теореме Виета их произведение равно свободному члену, то требуется для ответа на наш вопрос, чтобы q = 1, т. е. возвратное первого рода квадратное уравнение имеет вид:

х2 + рх+1 =0... (3).

Вполне аналогичные рассуждения приводят к выводу, что возвратное квадратное уравнение второго рода имеет вид

*2-f рх— 1 =0... (4).

Наличие у всякого квадратного уравнения только двух корней служит причиной того, что такое уравнение не может быть возвратным третьего рода.

Наметим, однако, еще один подход к получению (3) и (4) уравнений. Возвратное первого рода должно иметь в силу определения следующий вид:

или после преобразований:

Аналогично для вывода возвратного уравнения второго рода можно начать с уравнения (х — а) ^х + — j = 0. Легко видеть, что в уравнении (3) или (4) хфО. В самом деле, предположив противное, получаем абсурдное равенство +1 = 0 или —1=0. Можно рассуждать еще так: согласно определению возвратных уравнений, наличие корня — нуля требует существование числа, обратного нулю по абсолютному значению, также удовлетворяющего уравнению, но такого числа нет.

Стало быть, уравнениям (3) и (4) можно придать такой вид

Докажем теперь, что если а не равное нулю число и х+-= а —I--, то Ха — а, х2 = . Действительно, уравнению эквивалентны следующие: X — а--= 0:

т. е. или

Из предпоследнего уравнения получаем хх — я, а из последнего лго = — , ибо его можно переписать так:- =0, т.е. ах—1=0, так как степень знаменателя не выше степени числителя.

Нас интересует случай, когда а — целое рациональное число, потому что тогда можно сразу писать значение корней нашего уравнения: Х-\~ — —й • Например,

Аналогично можно доказать, что корни уравнения х--= а--(афО) будут: хх = а, х2 =--— . Например, если

Заметим, наконец, что если в уравнениях (3) и (4) р = 0, то они будут неполного вида

(За) (4а).

кубические уравнения

Вспомнив, что возвратное кубическое уравнение должно иметь корень, равный -(-1 или — 1, получаем способ образования его из квадратного уравнения (3) или (4). Таким образом, получаем 4 типа возвратных кубических уравнений:

Следует обратить внимание на то, что уравнения (5) и (6) — возвратные первого рода. Здесь коэфициенты членов, равноудаленных от начала и от конца левой части уравнения, или равны (5), или равны по абсолютной величине и противоположны по знаку (6).

Что же касается уравнений (7) и (8), то их тоже легко узнать по коэфициентам, хотя закономерность уже немного более сложная. Эти уравнения — первые примеры типов возвратного уравнения третьего рода.

Уравнения (5) — (8) легко решаются разложением на множители, причем в уравнениях (7) и (8) средние члены предварительно раскладываются на два слагаемых: рх2+х2 и рх — xb (7) или: рх2 — х2 и —рх — xb (8).

Примеры.

a) xz + 4л;2 + 2х — 1 = 0. Замечаем, что это уравнение типа (7), где р = 3; поэтому пишем:

б) 4х3 + 7л;2 — X — 4 = 0. Приводим уравнение к нормальному виду, т. е. делим его почленно на 4:

а так как

= 2 [(р + 1 )—(р— 1 ) = 2], то это также уравнение типа (7). Здесь /?=—, а поэтому преобразования дают

в) л:3 + 6л;2 — 8л; +1 = 0. Подобно предыдущему, замечаем, что это уравнение типа (8), имеем (р = 7):

Естественно, что последние два типа уравнений следует решать проще, а именно: определив р и тип уравнения, сразу писать (*+ 1) (х2+рх — 1)=0, или: (х- 1) (л;2+/?лг— 1)=0.

При р = — 1 уравнение (5) принимает вид:

л:3 + 1 = 0... (5а),

а при р = 1 уравнение (6) приводит ко второму неполному возвратному кубическому уравнению —

л;3—1 =0... (6а).

уравнения четвертой степени

Чтобы образовать возвратные уравнения четвертой степени, воспользуемся возвратными квадратными уравнениями. Таким образом получаются три различных типа искомых уравнений:

Первое из этих уравнений — возвратное первого рода, второе — второго рода, а третье — третьего рода.

Уравнение (9), как это следует из предыдущего, можно представить в виде

оно является квадратным относительно неизвестной у —хА--.

Обычный способ решения и состоит в том, что эта вспомогательная неизвестная определяется раньше всего. Аналогично, уравнение (10) может принять вид

где вспомогательная неизвестная

Замечательно, что в уравнении первого рода и в данном случае коэфициенты членов, равноудаленных от начала и от конца левой части уравнения, равны между собой. Равенство указанных коэфициентов имеет место и для возвратного уравнения второго рода (четвертой степени) с той лишь поправкой, что коэфициенты при нечетных степенях неизвестной имеют противоположные знаки и равны только по абсолютному значению.

Уравнение типа (11) также легко узнать по его коэфициентам. Естественнее всего, определив для него р и q, свести решение к решению двух квадратных уравнений.

Перейдем теперь к неполным возвратным уравнениям четвертой степени.

Если рд = — 2, то £ = 0 и уравнение (9) принимает вид:

X* + ах* + ах + 1 = 0 ... (9а).

Если же pq = 2, то из уравнения (10) получаем:

х*+ах* — ах+\ =0... (10а).

Решение уравнений (9а) и (10а) не отличается от решения уравнений (9) — (10).

При р = 0 уравнение (И) дает: + — çx— 1=0... (Па), а при # = 0: х*^рХ* + рХ — \ =о ... (Нб).

Уравнения (11а) и (Нб) решаются разложением на множители. Можно, однако, сразу писать:

(11а) (11б).

Если р = — q, то получается:

Если же p = q, то уравнение (11) дает:

Уравнения (96) и (106) — биквадратные и решаются обычным путем. Решение уравнения (11в) сводится к решению уравнения

(je2 — qx+\)(x2 + qx— 1)=0,

а решение уравнения (11г)—уравнения (*2 + ?*+1) (*2 + ?*-1)=0.

При р = — q и q2 = 2, имеем: х4 + 1 =0... (9в), а при p = q = 0: л:4—1=0... (11д).

уравнения пятой степени

Возвратное уравнение пятой степени должно иметь один корень, разный +1 или — 1, чем и можно воспользоваться для его образования. При этом получаем следующие шесть типов уравнений:

или проще:

или проще:

Уравнения (12) и (13) — возвратные первого рода. В первом из них коэфициенты членов, равноудаленных от начала и от конца левой части, равны между собой; во втором же имеем равенство абсолютных значений тех же коэфициентов и противоположность их знаков.

Так как один корень уравнения (12) равен —1, то делением на х+\ левая часть его раскладывается на множители, причем решение сводится к решению уравнения (9). Левая часть уравнения (13) раскладывается на множители делением на X—1, после чего решение его также сводится к решению уравнения (9).

Уравнения (14) — (17) — возвратные третьего рода. Узнают их также по коэфициентам, а решаются они подобно предыдущим: левая часть каждого уравнения раскладывается на множители делением на х+\ [(14) и (16)] или нал;—1 [(15) и (17)], после чего решение сводится к решению уравнения (10) [(14) и (15)] или (11) [(16) и (17)].

Нам осталось получить некоторые неполные возвратные уравнения пятой степени, к чему и перейдем.

Если а = — 1, имеем:

или проще:

Пусть ö = l:

или проще:

При а = Ь имеем:

или проще:

А при а = — Ь получается:

или проще:

Пусть еще тогда:

Если же, наконец,

Посредством обозначения указывается, из какого уравнения получено то или иное неполное из приведенных, например, уравнения (12а), (126) и (12в) получены из уравнения (12) и т. д.

Решать эти неполные уравнения можно точно так же, как и уравнения (12)—(15).

уравнения шестой степени

Для образования различных типов этих уравнений воспользуемся, как мы уже делали раньше, возвратными квадратными уравнениями. Последние бывают только двух типов, а поэтому возможны лишь следующие их комбинации:

1) первого рода, первого рода и первого рода,

2) второго рода, второго рода и второго рода,

3) второго рода, первого рода и первого рода,

4) первого рода, второго рода и второго рода.

Возьмем уравнения первого рода:

Совокупности последних двух эквивалентно уравнение х4 + ахъ + Ьх1 + ах + 1 = 0. Стало быть, возвратное уравнение первого рода шестой степени будет:

или проще:

Аналогично получаем уравнение второго рода из уравнений:

или проще:

Точно так же получаем уравнения третьего рода:

Уравнение (18) характерно тем, что в нем коэфициенты членов, равноудаленных от начала и от конца левой части, равны между собой. Этому уравнению можно придать такой вид:

откуда видно, что оно есть кубическое относительно вспомогательной неизвестной

На этом основан обычный способ его решения. Уравнение (18), в отличие от предыдущих возвратных уравнений первого рода, отнюдь не всегда элементарно разрешимо. В уравнении (19) коэфициенты членов, равноудаленных от начала и от конца левой части, равны по абсолютной величине, причем коэфициенты при четных степенях неизвестной имеют противоположные знаки, а при нечетных — одинаковые. Рассматриваемое уравнение можно представить в виде

т. е. это есть кубическое уравнение относительно неизвестной v = х — — ; обычное решение и состоит в том, что предварительно решают это кубическое уравнение. Элементарным путем, следовательно, уравнение (19), как и (18), решается только в некоторых частных случаях.

В каждом из уравнений (20) и (21) очень просто определяются коэфициенты a, b и р, чем решение сводится к решению квадратного и четвертой степени возвратных уравнений.

Итак, (20) и (21) уравнения решаются элементарно.

Подобно предыдущему можно получить неполные возвратные уравнения шестой степени—двучленные, трехчленные и т. д. Предоставим это читателю.

некоторые обобщения

При решении возвратного уравнения первого и второго рода четной степени, кроме квадратного, мы понижали степень уравнения вдвое. То же применимо к любому возвратному уравнению первого и второго рода четной степени. В самом деле, возвратное уравнение первого рода степени 2k можно, очевидно, представить в виде

т. е. это и есть уравнение £-ой степени относительно неизвестной у = x-At--.

Возвратное же уравнение второго рода степени 2k можно представить в виде

т. е. имеем уравнение степени k относительно неизвестной у = х---— . Заметим, что уравнения (D) и (Е), вообще говоря, не возвратные.

При сравнении уравнений (3), (9) и (18) напрашивается вывод, что необходимое и достаточное условие для того, чтобы уравнение четной степени было возвратным первого рода, состоит в равенстве коэфициентов членов, равноудаленных от начала и ст конца его левой части.

Докажем сперва достаточность этого условия. Пусть дано уравнение степени

и пусть а какой-нибудь из его корней (проверкой убеждаемся, что а=^0). Тогда имеем тождество

Подставим теперь в левую часть (F) вместо X значение — :

ибо числитель равен 0, а знаменатель =^=0. Поэтому уравнение (F) возвратное первого рода.

Теперь докажем необходимость нашего условия. Запишем рядом возвратное уравнение первого рода и произвольное уравнение степени 2k:

Сравним теперь коэфициенты 1 и рп, рх и /V-,. Р2И Ai—2» — возвратного уравнения (Н), для чего применим правило умножения биномов с одинаковыми первыми членами.

Коэфициент pn — t равен сумме, взятой с обратным знаком, всех различных произведений из Л — 1 корней. Чтобы получить каждое из последних произведений, достаточно произведение всех корней разделить на каждый корень. Но так как произведение всех корней равно 1, то

т. е. сумме всех различных попарных произведений корней. Для некоторых удобств дальнейшего изложения слагаемые здесь своеобразно расположены.

рп-2 равен сумме всех различных произведений из п — 2 корней, а каждое из последних можно найти делением произведений всех корней на каждое из различных произведений попарно взятых корней, т. е.

и т. д., т. е. наше условие действительно необходимо.

Необходимость условия можно доказать также методом математической индукции. В самом деле, при k = 1 имеем х2 +—f- /?а: —|— 1 = 0, указанная закономерность для коэфициентов имеет место. Пусть теперь возвратное уравнение первого рода степени 21 имеет вид:

Тогда возвратное уравнение первого рода степени 2 (/+1) должно быть:

Теперь мы имеем справедливость нашего утверждения для k=\9 и каждый раз, когда утверждение справедливо для некоторого £ = /, оно справедливо и для k = / + 1, стало быть, оно справедливо всегда.

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы уравнение нечетной степени было возвратным первого рода, состоит в равенстве абсолютных значений коэфициентов членов, равноудаленных от начала и конца левой части, и равенстве или противоположности знаков этих коэфициентов.

В частности, это условие имеет место в уравнениях (5), (6), (12) и (13).

Доказательство, исходя из наличия у такого уравнения корня 1 или —1, предоставляем читателю.

МЕТОДИКА

ОБРАТНО-ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (АРКУСЫ)

И. БРАУН (г. Энгельс)

§ 1 два взаимно обратных вопроса

1. Дан угол (дуга); найти его тригонометрические функции.

Пусть требуется найти sin 42° 30'. По таблице натуральных тригонометрических величин находим: sin 42°30' = 0,676.

Пусть требуется еще найти tg 1 278°; после исключения из числа 1 278° наибольшего целого числа периодов для тангенса находим по таблице натуральных тригонометрических величин:

tg 1 278° = tg ( 180° - 7 + 18°) = = tg 18° = 0,325.

Какой бы ни взяли угол, — он имеет один вполне определенный синус, один тангенс... вообще одно только значение данной тригонометрической функции.

Мы говорим, что тригонометрические функции углов однозначны. Если мы обозначим дугу через х, ее тангенс через у9 т. е. если мы положим y = tgx, то у будет однозначной функцией от а; (х — аргумент).

2. Обратный вопрос. Дана тригонометрическая функция угла; найти этот угол.

Пусть tgx = 0,456. По таблице натуральных тригонометрических величин находим, что этому значению тангенса соответствует угол в 24° 30'; но согласно формулам приведения, углы 180° + 24° 30', 360° +24° зо' и др. имеют тот же тангенс, что и угол в 24° 30'; значит, и эти углы удовлетворяют уравнению tgx= 0,456. Другими словами, если tg* =0,456, то мы получаем целый ряд значений для х:

хх — 24° 30' — это наименьшее значение;

лг9 = 204°30' лг3 = 384о30/ лг4 = 564°30' и т. д.

Мы видим отсюда следующее: прежде всего, что угол х зависит от тангенса; если этот последний обозначим через у, то можем сказать, что х есть функция от у (у — аргумент); эта функция многозначна, так как каждому значению аргумента (у) соответствует бесчисленное множество значений углов (х).

§ 2. общий вид углов, соответствующих данной тригонометрической функции

Возникает вопрос, как выразить формулой все те значения дуг, которые соответствуют данному значению тригонометрических функций. Рассмотрим отдельно этот вопрос для дуг, имеющих данный синус и косеканс, косинус и секанс, тангенс и котангенс.

1. Общий вид углов, имеющих данный синус или косеканс

Если sin л; =/я, 1>/я>0, то в пределах одного полного оборота подвижного радиуса мы находим две дуги, удовлетворяющие данному уравнению, некоторую дугу а в первой четверти, назовем ее главной, и тс — а. Если к обеим этим дугам прибавить по целому числу периодов для синуса, иначе говоря, по 2тг&, где £ — целое число, то полученные таким образом дуги также будут удовлетворять уравнению sin х = т.

Значит, л; = а-[-2ти&

и

х = ъ — а 2т; £ = — а + ^ (2£ + 1 ).

Сравнивая эти два выражения, мы видим, что когда главное значение дуги стоит со знаком +, к нему прибавляется четное число полуокружностей, а когда оно стоит со знаком —, к нему прибавляется нечетное число полуокружностей; оба условия выполняются в таком выражении:

Это и есть выражение дуг, имеющих данный синус. Оно справедливо и для косеканса. Поэтому общее выражение дуг, имеющих данный косеканс, будет то же самое.

При — 1 < /я < 0 мы находим (главное) значение дуги (— а) в первой отрицательной четзерти, второе будет тс — (—а).

Прибавляя к тому и другому значению по целому числу периодов для синуса, будем иметь:

Объединяя обе формулы, будем иметь:

т. е. ту же формулу, которую мы вывели и для случая 1>/я>0. Следует здесь только обратить внимание на то, что в общем выражении для дуг, имеющих данный синус (или косеканс), главное значение дуги берется с его знаком.

Пример sin;e = — 0,454.

По таблице натуральных тригонометрических величин находим, что х (главное) = = — 27°,

Частные случаи для

2. Общий вид углов, имеющих данный тангенс или котангенс

Пусть дано: igx — m% hw>0.

В первой четверти мы находим некоторую дугу а, удовлетворяющую данному уравнению; прибавляя к этому значению неограниченное число целых периодов для тангенса, т. е. тс k9 где k— целое число, мы получим:

При т<^0 мы находим некоторое значение дуги (— а) в первой отрицательной четверти. Прибавив к этому значению Tzk, получим

X = — а+тх k.

Общий вид углов, имеющих данный котангенс, тот же.

Частный случай. При ig х = Ч^оо

3. Общий вид углов, имеющих данный косинус (секанс)

Пусть cos X = îïi 1 > m > 0.

В пределах одной окружности находим дуги: ос в первой четверти и 2тс— а— в четвертой, которые удовлетворяют данному уравнению. Прибавив к обоим значениям по целому числу периодов для косинуса, т. е. по 2тс£, получим:

При — 1 < m < 0 мы находим первое (главное) значение дуги а во второй четверти; пусть это будет тс— а; второе же значение может быть выражено, как и при 1>/я>0, через 2тс— а (2т: — а = 2тс— — tc+at = тс-}-а1. т- е. некоторой дуге, имеющей отрицательный косинус), и, следовательно, формула X = ± а -f" 2^ к будет также верна.

4. Соглашение о главных значениях дуг (углов)

Если sin X = , то естественно взять за главное значение х дугу в 30°, т. е. наименьшее положительное значение х. Если же sin X =--—, то за главное значение можно принять и 210° (принцип поступательный) и —30° (принцип наименьшего абсолютного значения). Точно так же могут быть различные подходы при определении главных значений дуг по другим тригонометрическим функциям, если они отрицательны. Условились поэтому: в случае отрицательного синуса, косеканса и тангенса брать главное значение дуги в первой отрицательной четверти; в случае же отрицательного косинуса, секанса и котангенса брать главное значение дуги во второй четверти. При положительных значениях тригонометрических функций главное значение дуги берется в первой четверти.

Примеры. 1. sin;e =— 0,609. Согласно принятому соглашению, находим:

Примечание. Легко доказать, что в формулах, выражающих общий вид дуг, имеющих данную тригонометрическую функцию, необязательно брать главное значение: формулы

где х0— значение х при k = 0, а х.— значение х при k = i% эквивалентны.

8. понятие об аркусфункциях

Для выражения углов (дуг) по данной тригонометрической функции употребляют особые знаки: Arc и arc — от сокращенного латинского слова arcus, что значит дуга.

Определение. Под Arc sin m следует понимать совокупность всех углов, синус которых равен отвлеченному числу /я.

Под arc sin m следует понимать главное значение углов, синус которых равен отвлеченному числу т.

В этом же смысле будем употреблять Arc cos m и arc cos m, Arc \g m и т. д., так что Arc tg m — совокупность углов, тангенс которых равен m, arc sec m — главное значение углов, секанс которых равен m и т. д.

Учащиеся должны особенно хорошо усвоить эти определения; поэтому в начале курса следует неоднократно возвращаться к ним, ставить учащимся такие вопросы, как: что такое arc sin 0,75? arc tgx? arc ter ?---? Загс cos x? Возможен ли arc sin 2? arc sec -^-? и т. д.

Примеры. Arc sin — — совокупность углов, синус которых равен - ; поэтому aresin — главное значение углов, синус которых равен

поэтому главное значение углов, синус которых равен

поэтому,

согласно принятым нами условиям

На этом же основании

Из данных выше определений непосредственно вытекают следующие группы равенств:

откуда:

Упражнения Найти:

Выразить углы если:

Определить х, если:

Кроме того, из «Сборника задач по тригонометрии» Н. Рыбкина § 15, №1, 2, 3, 5, 8.

§ 4. почему аркусфункции называются обратно тригонометрическими

Пусть некоторые переменные v и t находятся в зависимости друг от друга, выражаемой уравнением:

Мы можем из этого уравнения определить v в зависимости от t:

тогда мы говорим, что t — независимая переменная, v — зависимая от г, или «функция от t», что в математике принято выражать так:

v = f(t).

Буква / выражает не только факт зависимости v от г, но и совокупность и последовательность действий, которые следует произвести над каким-либо значением аргумента, чтобы получить соответствующее значение функции; она называется поэтому характеристикой функции.

Из того же уравнения 3v— 21 = 18 мы могли бы определить и t в зависимости от vi тогда аргументом будет v, t — функция от V;

t = F(v).

Сравнивая эту последнюю функцию с первой, мы видим, что в ней прежде всего перемещены функция и аргумент; характеристика функции другая: вместо / мы пишем F, так как во втором случае над аргументом следует произвести дей-

Черт. 1

стзия иные, чем в первом случае, а именно: обратные первым и в обратной последовательности.

Такие две функции называются взаимно обратными. Можно первую назвать прямой, тогда вторая будет обратной, или вторую считать прямой, тогда первая будет обратной.

Черт. 2

Интересно сопоставление графиков двух взаимно обратных функций (черт. 1). Из чертежа мы видим, что прямые симметричны по отношению к биссектрисе координатного угла.

Построим еще графики функции v=i2 и обратной ей: t = = ±Y^û~ (черт. 2).

Из чертежа 2 мы видим, что первая функция однозначна; это значит, что каждому значению аргумента соответствует только одно значение функции; вторая двузначна, т. е. каждому значению аргумента соответствуют два значения функции.

Кроме того, первая функция существует при всех значениях аргумента, вторая не существует при отрицательных значениях аргумента. Из этого второго примера мы видим, что иногда бывают и иные различия между прямой и обратной функциями, кроме тех, которые были указаны в первом примере, а именно: однозначность одной функции и двузначность обратной ей функции; неограниченная область значений аргумента одной при ограниченной области значений аргумента обратной ей функции и др.

Возьмем теперь некоторую тригонометрическую функцию

# = tgç;

здесь аргументом язляется угол ф, функцией число #; введенные нами символы «Агс» и «arc» позволяют выразить угол <р через его тригонометрическую функцию, в данном случае — через тангенс:

9 = Arc tg k.

Сопоставляя эту функцию с первой, мы видим, что в ней перемещены функция и аргумент, и, следовательно, она является по отношению к первой обратной.

Вообще же, если тригонометрические функции считать прямыми, то аркусфункции, которыми определяется угол по тригонометрической функции, должны считаться обратными. Вот почему аркусфункции называются обратно тригонометрическими.

Мы уже знаем, что тригонометрические функции

Черт. 3

однозначны; область значений аргумента неограничена, наоборот, обратно тригонометрические функции.

многозначны: каждому значению аргумента соответствует бесчисленное множество значений функции; кроме того, область значений аргумента Щ для большинства обратных функций, кроме Arc tg и Arc ctg, ограничена. Так, например, не существуют функции

Черт. 4

Черт. 5

Все сказанное здесь об обратных тригонометрических функциях можно пояснить на графиках функций:

§ 6. тригонометрические функции аркусфункций

1. Дан угол (дуга) arc sin х. Найти тригонометрические функции этого угла

(Всегда положителен, независимо от знака аргумента х).

(Знак тангенса зависит от аргумента лг, входящего рационально в данное выражение).

2. Найти тригонометрические функции дуги arc tg k.

Примечание. Во всех приведенных выше формулах следует брать только арифметическое значение корня.

3. Найти tg (arc sec k)

так как знак тангенса в данном случае зависит от знака £, входящего в формулу только иррационально, то корень следует брать со знаками плюс и минус. 4. Найти ig (Arc sin k)

Для дуг, оканчивающихся в 1 и 4-й четвертях, корень берется со знаком 4-, так как в этих четвертях знаки синуса и тангенса совпадают.

Так как знаки синуса и косинуса совпадают в 1-й и 3-й четвертях, то для дуг, оканчивающихся в этих четвертях, знак корня совпадает со знаком #:

знак корня совпадает со знаком k в 1-й и 2-й четвертях.

Упражнения

1. sin (зге cos л:); ig (arc cos m); sec (arc ig m).

2. sec (Arc tg n); tg Arc (cos m).

3. Из «Сборника задач по тригонометрии» H. Рыбкина, § 15, № 4, 5.

§ 6. выражение одной аркусфункции через другую

arc sin X есть дуга между — и — —, синус которой равен х, или косинус которой равен 1/ 1 —X2 , или тангенс которой равен

Поэтому

Обратить внимание на двойные знаки.

Пример 1. Выразить arc tgx через аркуссеканс.

Поэтому

Обратить внимание на знаки:

Пример 2. Выразить arc cos* через аркускосеканс

Поэтому

Упражнения

1. Выразить через остальные аркусфункции:

arc cosec х; arctgx; arc sec x.

2. Верны ли равенства:

Когда последнее равенство неверно? Верно ли равенство

Примечание. Считаю эти упражнения, особенно анализ знаков и возможных двойных ответов, весьма полезными для закрепления уже имеющихся понятий об аркусфукциях; кроме того, умение выражать одну аркусфункцию

через другую понадобится учащимся в дальнейшем, при доказательстве тождеств и уравнений.

§ 7. тригонометрические функции суммы и разности аркусфункций

1. Найти sin (arc sin*-[-arc cos .у).

Обозначив дуги соответственно через <х и ß, что в целях экономии письма и времени можно сделать простым надписанием этих обозначений, будем иметь:

Примечание. Все вычисления, как-то: нахождение косинуса по синусу и обратно, тангенса по синусу и косинусу и т. д. учащиеся производят в уме, и опыт показал, что средние учащиеся делают это без особых затруднений, если преподавателем в свое время было обращено должное внимание на основные формулы гониометрии и устный счет. Формально следовало бы вычисления расположить в следующем порядке (возьмем пример 3): обозначив arc sin X через а и arc cos у через |$, будем иметь:

Конечно, учащиеся должны быть знакомы с этой формальной стороной и в случае трудных вычислений прибегать к ней. Возьмем для примера

Обозначив дуги, как показано, через а, Р и -у. произведем следующие предварительные вычисления:

Подставив найденные значения, будем иметь:

Упражнения Найти:

Кроме того, «из Сборника задач по тригонометрии» Н. Рыбкина, §15, N° 8А, 9, 10, 11, 12.

§ 8. тригонометрические функции двойной дуги и половины дуги

1. Найти тригонометрические функции дуги: 2 arc sin х. По формулам:

будем иметь:

2. Найти тригонометрические функции дуги

По формулам

будем иметь:

3. Найти

Положив

будем иметь:

Тогда

Упражнения

Найти синус, косинус и тангенс следующих дуг:

Кроме того, из «Сборника задач по тригонометрии» Н. Рыбкина § 15, № 13; 14; 15; 16.

§ 9. сложение, вычитание, умножение на 2 и деление на 2 аркусфункции

Под этими четырьмя действиями будем подразумевать выражение результата действия над аркусфункциями (суммы, разности, произведения и частного) через какую-либо аркусфункцию. Рассмотрим следующие основные случаи.

1. Сложить:

arc sin X -J- arc sin у.

Обозначим сумму этих углов через ф:

ф == arc sin X + arc sin у.

Возьмем далее синусы обеих частей:

откуда

Эта формула, однако, не всегда верна. Если оба аргумента (х и у) положительны, то сумма дуг arc sin х + arc sin у может оказаться большей, чем —, в то время как arc sin (* V 1 — У2 + .УУ1 — *2) < <^ — ш В этом случае arc sin х + arc sin y =

Вполне естественно поэтому поставить вопрос, когда именно сумма дуг arcsinjc+ arc sin V больше —, т. е. выходит за пределы дуг, выражаемых

Мы уже видели, что это может быть только при условии, если оба аргумента (х и у) положительны. Это условие необходимое, но недостаточное. Чтобы получить последнее, примем во внимание, что во второй четверти дуги имеют отрицательный косинус, поэтому вторым условием должно быть:

Решив это неравенство относительно х и у, получим:

откуда Итак,

при условиях: 1) х и у положительны и

Примечание. Если оба аргумента отрицательны, то сумма arc sin х ++ arc sin у может быть преобразована по формуле arc sin (—х) + arc sin (—v) =

Пример 1. Найти

Так как

Пример 2. Найти

Так как

Пример 3. Найти

II. Сложить Положив

возьмем от обеих частей тангенс:

откуда

При X>О и у^>0 сумма дуг arcigx + +arctg^y может оказаться большей, чем ~ ; это будет как раз тогда, когда

и, следовательно,arc ig -—, т. е. ф выражает некоторую дугу в 1-й отрицательной четверти.

Чтобы в этом случае получить истинное значение суммы arc tgx+arc tg_y, следует к полученному выражению для суммы агс ;- прибавить 7Г, по формуле

Условие -—<"0 может быть заменено условием ху^> 1.

Мы приходим таким образом к следующему заключению:

При наличии условий:

Примечание. Если оба аргумента отрицательны, то сумма arc tg*-j-arc tg у может быть преобразована по формуле

Пример 1. Сложить

Так как

Пример 2. Сложить

Пример 3. Сложить

Обозначив сумму через ф:

ф = arc cos X + arc cos y, возьмем от обеих частей косинус:

откуда

При х>0 и у^>0 могут быть два случая:

Формула

верна для обоих случаев.

Если один или оба аргумента отрицательны, сумма arc cos х + arc cos у может быть преобразована по формуле

Понятно также, что

Пример 1. Сложить:

Отрицательный аргумент

указывает на то, что

Пример 2. Сложить:

(Конец дуги в третьей четверти).

В дальнейший анализ результатов сложения и вычитания, особенно таких, как arc sin X + arc cos у или arc ctg x + arc cosy, где одно или оба слагаемые могут быть больше , мы не будем вдаваться: окончательный ответ будем устанавливать при решении каждого конкретного примера.

Частный случай.

Следует помнить следующие частные случаи сложения:

Эти формулы непосредственно вытекают из формул приведения:

Упражнения

Удвоение аркусфункций

Пример 1. Выразить 2 arc tg* через аркустангенс

это верно, однако, только при | * |<; 1 ; при

Пример 2. Выразить 2 arc cos* через аркускосинус

при 1^>*>0 эта формула всегда верна; при *<0, ф = 2тс — arc cos (2а:2—1).

Пример 3. Выразить 2 arc sin* через аркуссинус

Например, при

Пример 4. Выразить Загс sin* через аркуссинус

ср = 3 arc sin *.

По формуле

sin За = 3 sin а — 4 sin3 а

находим:

sin ф = sin (3 arc sin *) = 3* — 4*3, откуда

Эта формула верна только при

причем эта последняя формула верна и для случая ср ^> tù, так как в этом случае arc sin (3* — 4*3) < 0; так, например,

При* <- — выражение 3 arc sin* может быть преобразовано по формуле:

Деление аркусфункций на 2

Пример 1. Выразить ~ arc sin х через аркуссинус.

откуда

(знак корня соответствует знаку х); формула всегда верна.

Пример 2. Выразить — arc cos х через аркускосинус.

откуда

формула всегда верна.

Пример 3. Выразить —- arc tgx через аркустангенс.

откуда

Упражнения

Кроме того, из «Сборника задач по тригонометрии^ Н. Рыбкина § 15, № 8 (2).

§ 10 задачи на доказательство тождеств, содержащих аркусфункции

Все задачи на доказательство тождеств, содержащих аркусфункции, мы будем решать по одному и тому же методу, а именно: беря от обеих частей тождества наиболее удобную тригонометрическую функцию, приводим его к алгебраическому.

Что значит «наиболее удобную», поясним на примерах.

Пример 1. arc sin 0,6 — arc sin 0,8 = = — arc sin 0, 28. Доказать. (Из «Сборника задач по тригонометрии» Н. Рыбкина § 15, № 20).

Берем от обеих частей синус: sin (arc

Равенство синусов в данном случае указывает на равенство дуг. Можно было взять от обеих частей произвольную другую тригонометрическую функцию, например, косинус, и также получить алгебраическое тождество, но совершенно очевидно, что в данном случае проще всего было взять синус.

Следует здесь, однако, подчеркнуть еще раз, что равенство тригонометрических функций, вообще говоря, не является достаточным признаком равенства дуг: по равенству синусов и косекансов можно заключить о равенстве дуг только в том случае, если есть уверенность в том, что дуги не выходят за пределы между — и

— ; по разенству косинусов и секансов можно заключить о равенстве дуг, если последние не выходят за пределы между О и 7c.

По равенству тангенсов и котангенсов можно заключить о равенстве дуг, если последние находятся в пределах между О и тс, или же в пределах между — и— —.

Пример 2.

Доказать. Из Н. Рыбкин — «Сборник тригонометрических задач» § 15, № 17 (в).

Так как данное тождество содержит и арксинус и арктангес, то возникает вопрос, что легче взять: синус ли от обеих частей или тангенс; первая операция связана с нахождением синуса по тангенсу

вторая — с определением тангенса по синусу

Ясно, что последняя операция легче.

Так как обе дуги находятся в 1 четверти, то по равенству тангенсов можно заключить о равенстве дуг.

Пример 3. (Н.Рыбкин — «Сборник тригонометрических задач» § 15, № 27).

Доказать.

Берем от обеих частей тангенс (косинус взять труднее):

Можно ли в данном случае по равенству тангенсов заключить о равенстве дуг? (Рассмотреть два случая: 1) #>0 и д> О и2)л;<Ои0<О)

Пример 4.

Доказать. (Н. Рыбкин — «Сборник тригонометрических задач» § 15, № 29).

Для приведения этого тождества к алгебраическому возьмем или косинус или тангенс обеих частей. Вторая операция связана с определением тангенса по громоздкому косинусу

первая —с предварительными вычислениями — определением косинусов и синусов по тангенсам.

Первое решение. Обозначения:

Предварительные вычисления:

Решение.

тожде:тво очевидно.

Второе решение. Обозначени прежние.

Предварительные вычисления:

Решение. (Нахождение тангенса обеих частей.)

Второе решение несколько сложнее вследствие громоздкости аргумента х аркускосинуса. Что касается учащихся, то обычно любители устного счета берут (arctg/ra++arc tg п) в уме и поэтому предпочитают первое решение: наоборот, любители алгебраических преобразований и менее тренированные в устных тригонометрических преобразованиях предпочитают второе решение.

Приведение тождеств (и уравнений), содержащих аркусфункции, к алгебраическим может быть иногда значительно облегчено путем предварительного умножения или деления обеих частей равенства на 2. Так, например, если в примере 3 обе части разделить на 2, будем иметь:

На случай полезности, а иногда необходимости предварительно умножить или разделить обе части на 2 мы натолкнемся при решении уравнений (см. пример 2).

Упражнения (Н. Рыбкин, § 15, №№ 17—31),

§ 11. уравнения, содержащие неизвестные под знаками аркусфункций

Для решения уравнений, содержащих неизвестные под знаками аркусфункций, будем применять тот же метод, что и для доказательства тождеств, а именно: беря от обеих частей тригонометрическую функцию, приводим уравнение к алгебраическому. Метод этот основан на очевидной истине: если равны дуги, то равны и их тригонометрические функции.

Пример 1. (Н. Рыбкин, § 15, № 32).

Берем от обеих частей тангенс:

по формуле

будем иметь :

Пример 2.

Решить. (Н. Рыбкин, § 15, № 35).

Берем тангенс обеих частей, предварительно разделив обе части на 2:

Непосредственное нахождение тангенса обеих частей (без предварительного деления на 2) привело бы к уравнению 4-й степени.

Нахождение тангенса левой части было бы сопряжено с некоторыми трудностями (предварительными вычислениями). Если же обе части уравнения помножить на 2, то будем иметь:

Пример 4.

(Н.Рыбкин, § 15, № 45).

Преобразуем уравнение:

находим тангенс обеих частей:

применяя производную пропорцию, будем иметь:

Упражнения. (Н. Рыбкин — «Сборник тригонометрических задач», § 15, № 32—44.)

В заключение нужно отметить, что этот раздел тригонометрии в сборнике задач Н. Рыбкина представлен хуже других: материал расположен несистематически, некоторых операций совершенно нет (сложения и вычитания аркусфункций, удвоения и деления на 2), и общее количество задач, особенно уравнений, недостаточно.

РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В. СИНАКЕВИЧ (Ленинград)

1. Решение иррациональных уравнений в пределах программы средней школы приводит в конце концов к решению уравнения 1 или 2-й степени. С этой точки зрения они не представляют большого интереса. Тем не менее при их решении встречаются такие особенности, которые могут затруднить (и, действительно, затрудняют) учащихся. На эти-то особенности и необходимо обратить главное внимание.

Учащиеся знают, что при решении иррациональных уравнений надо уединить один из радикалов и затем возвести обе части уравнения в квадрат (я говорю об уравнениях, содержащих только квадратные радикалы). Далее, они, в лучшем случае, помнят, что могут получиться посторонние корни, и проверяют найденные ими ответы. Но они при этом неотчетливо представляют себе причину, почему при одной и той же операции в одних случаях мы вводим посторонние корни, а в других случаях — не вводим. Наконец, они не могут указать, корнем какого уравнения является полученный при решении

посторонний корень. Обобщая все это, можно сказать, что учащиеся не умеют дать полного исследования корней данного уравнения.

В этом отношении с методической точки зрения целесообразнее применять способ решения, несколько отличный от обычного.*

Способ этот состоит в том, что уравнение приводят к нулю, а затем умножают обе части его на такой множитель, чтобы в левой части получилась разность квадратов. Это, конечно, равносильно обычному возведению обеих частей уравнения в квадрат, но при умножении отчетливее выявляется тот множитель, который и может дать (но может и не дать) посторонний корень.

Детали этого способа и его методические преимущества по сравнению с обычным выяснятся при дальнейшем разборе примеров,

2. Прежде чем приступить к решению иррациональных уравнений, учащиеся, конечно, должны иметь представление о равносильности уравнений. Они должны знать, что при умножении обеих частей уравнения на функцию искомого переменного мы можем приобрести корень, являющийся корнем этой функции, но не удовлетворяющий данному уравнению.

Кроме того, учащиеся должны уметь решать хотя бы самые простейшие неравенства первой степени с одним неизвестным и такие же совокупные неравенства.

Переходя к решению иррациональных уравнений, необходимо прежде всего условиться, во-первых, что под корнем квадратным (и, вообще, четной степени) необходимо подразумевать только его арифметическое значение. Поэтому, например, у а2 — +а, если а — число положительное, и, наоборот, У а2 = —а, если а ~ число отрицательное. Точно так же У а2 — clabArb2 = a — b, если а>Ь, и тот же корень равен b — о, если Ь> д.** Кроме того, надо принимать во внимание только те решения, которые при подстановке в данное уравнение не дают мнимых результатов, т. е. рассматривать вопрос только в области вещественных чисел. Иначе говоря, необходимо принимать во внимание только положительные значения корней квадратных из положительных чисел (или нуля). Например, в задачах, изданных Ленинградским университетом для подготовки ко второму туру математической олимпиады, к примерам на решение иррациональных уравнений делается примечание: «Допускаются только такие решения, при которых подкоренные выражения не отрицательны». То же условие ставит и В. Н. Комаров в указанной выше книге (стр. 298).

3. В сборниках алгебраических задач даются (за очень редкими исключениями) только такие иррациональные уравнения, которые имеют, по крайней мере, один ответ, удовлетворяющий данному уравнению. Между тем, далеко не всякое уравнение имеет корни, и на это необходимо обратить внимание учащихся, так как только этим обстоятельством и объясняется, почему при возведении в квадрат или умножении обеих частей уравнения на соответствующий множитель мы не всегда вводим посторонний корень.

Поэтому начать прохождение рассматриваемого отдела следует с таких уравнений, которые корней не имеют, с указанием причин, почему эти уравнения не могут удовлетворяться ни при каких положительных и ни при каких отрицательных значениях аргумента (и при х = 0).

Примеры.

Эти уравнения явно не могут иметь корней, так как сумма положительных чисел не может быть равна нулю (в частности, одно из слагаемых может обратиться в нуль).

Точно так же не могут иметь корня и уравнения:

так как сумма двух положительных чисел не может равняться числу отрицательному.

Для некоторых уравнений вопрос о существовании корня может решаться несколько иначе.

Возьмем, например, уравнение

* Этот способ, между прочим, рекомендовался на конференции объединения ленинградских рабфаков в 1935 г. приват-доцентом Лесотехнической академии Н. И. Страховым, много лет преподающим на рабфаках.

** См., например, 1) «Введение в анализ» И. И. Жегалкина и М. И. Слудской (изд. 1935 г., стр. 24); 2) В. Н. Комаров «Теоретические основы арифметики и алгебры» (изд. 1929 г., стр 300).

Если рассматривать вопрос только в области вещественных чисел, то, с одной стороны должны иметь: .я S 4, а с другой: х^б. Одно условие противоречит другому. К тому же виду относятся и уравнения:

В уравнении

для вещественности первого члена необходимо условие: х 2^ 3. Но в таком случае 1-й член левой части будет меньше, чем 2-й, и их разность не может быть положительной.

Возьмем еще несколько примеров.

Для вещественности первого радикала х должно быть числом положительным или равным нулю. Но при этом условии второй член будет во всяком случае больше 3, и, следовательно, левая часть ни при каком значении аргумента не может быть равна 2.

Так как х > 1, то левая часть должна быть 2ü \' 2 и не может, значит, равняться единице.

Для того, чтобы первый член был вещественным, необходимо условие *^0-Но в таком случае первый член левой части будет меньше, чем второй, и их разность не может быть положительной.

Это уравнение удовлетворяется при X = 3. Но при этом получаются мнимые числа. Согласно указанному выше условию, необходимо считать, что последнее уравнение корней не имеет.

4. Далее, опять-таки до того, как учащимся будет указан способ решения иррациональных уравнений, весьма полезно с образовательной точки зрения приучить, хотя бы в простых примерах, оценивать величину корня, если вообще он существует.

Например, не трудно видеть, что корень уравнения

если он существует, должен быть не меньше 3.

Корень же уравнения

должен быть

В двух последних примерах указанные границы возможных корней вытекали из условия рассматривать вопрос только в области вещественных чисел.

В следующих уравнениях надо иначе подходить к вопросу о границе корней.

В первом из этих уравнений разность (4 — х) должна быть отрицательной, так как первый член — число положительное. Следовательно, jc^>4. Во втором из последних уравнений должны иметь х < 1 „ так как левая часть положительна.

Если это уравнение имеет корень, то он должен быть отрицательным.

Наконец, интересно предложить и такие уравнения, в которых легко находятся и низшая и высшая границы корня.

Например, уравнение

может иметь только корень, заключающийся между и 4.

Такого рода примеров преподаватель сам может без труда придумать столько, сколько понадобится для того, чтобы учащиеся научились сознательно относиться к характеру уравнений, а не только умели механически их решать.

Но долго останавливаться на этом вопросе нет необходимости, так как в дальнейшем не раз придется к нему возвращаться при решении иррациональных уравнений.

5. После такого предварительного ознакомления с особенностями иррациональных уравнений можно уже перейти к изложению самого способа их решения, при этом необходимо корни каждого уравнения исследовать с точки зрения их пригодности и указать то уравнение (или ту функцию), корнем которого является посторонний корень, если такой оказался.

Рассмотрим подробно несколько примеров как самого решения, так и сопровождающего его исследования.

Решение. Приводим данное уравнение к нулю.

Умножаем обе части последнего уравнения на функцию

Так как эта функция ни при каких значениях аргумента не может обратиться в нуль, то при умножении на нее не может получиться посторонних корней.

Решая данное уравнение, получим:

Оба ответа должны быть корнями данного уравнения: проверять их нет необходимости (по крайней мере, теоретической).

Решение. Если это уравнение имеет корень, то он должен быть больше 4.

Приведя уравнение к нулю, умножаем обе его части на функцию.

При этом мы можем ввести корень je<4. Решая данное уравнение, получим

xt = 9 и х2 = 0.

На основании предыдущего исследования, не делая проверки, можно утверждать, что xt должен быть корнем данного уравнения, а х2 — посторонний корень, являющийся корнем той функции, на которую было умножено данное уравнение, т. е. функции

Решение. Для того, чтобы не получилось мнимых чисел, необходимо и достаточно условие: х 5^ 5.

Умножаем обе части уравнения на функцию

причем посторонних корней ввести не можем, так как эта функция, очевидно, не обращается в нуль ни при каких значениях аргумента.

Получаем после умножения

или:

Последнее уравнение как будто бы имеет два корня: ^ = 5 и Х2 = П. Посторонних корней, как выше было указано, ввести не могли. Следовательно, оба ответа должны удовлетворять данному уравнению. Так оно и есть. Тем не менее, вследствие условия принимать во внимание лишь вещественные значения радикалов, второй корень: х2 = 11 необходимо отбросить, хотя он и не является посторонним.

Решение. Нетрудно убедиться, что данное уравнение не имеет корней, так как при л: 2^ 3,5 левая часть должна быть числом отрицательным. Попробуем, тем не менее, решить его.

Умножаем на функцию

Посторонних корней ввести не можем, так как эта функция остается положительной при всяком значении аргумента.

Далее, после упрощения, получаем такое уравнение.

которое тоже, конечно, не может иметь корней. Умножаем его на функцию

причем уже можем ввести посторонние корни. Таким образом, можем заранее, не делая проверки, сказать, что оба найденные решения: х{ = 4 и х2 = 64 являются корнями уравнения

6. Рассмотрим еще в качестве примерев, некоторые иррациональные уравнения, предлагаемые Шапошниковым и Вальцовым в стабильном «Сборнике алгебраических задач» (изд. 1933 г.).

Возьмем вторую задачу под № 8.

Решение. Если это уравнение имеет корень, то последний должен быть ^ 1.

Умножаем на функцию

При этом, на первый взгляд, как будто бы можем ввести посторонний корень, обращающий эту функцию в нуль. Но при более подробном исследовании не трудно убедиться что функция (1) не может обратиться в нуль ни при каких значениях аргумента. В самом деле, представим ее для большей ясности в виде

Если бы эта функция имела корень, то он должен был бы быть ^> 1. Но при этом условии

и, следовательно, при всяких значениях аргумента, удовлетворяющих этому условию,

Впрочем, можно и не проделывать такого рода исследования с учащимися. В данном случае, пожалуй, проще проверить полученные ответы непосредственной подстановкой.

Продолжая решение, приходим после упрощений к такому уравнению

или, введя новое переменное:

Отсюда

Последний ответ надо отбросить согласно условию понимать под радикалом его арифметическое значение.

Можно решить уравнение (2) и путем умножения его на множитель

Тогда получим два ответа: хх=\ и х2 = 5. Первый ответ является корнем данного уравнения, а второй — корнем функции (3).

Впрочем, рассматриваемое уравнение легко решается в уме. В самом деле. Корень, как уже упоминалось, должен быть S> 1. Непосредственной подстановкой убеждаемся что X = 1 удовлетворяет данному уравнению. Но при всяком значении х^>\ левая часть будет больше единицы, так как уже У 2х— 1 > 1. Таким образом, данное уравнение никакого второго корня иметь не может.

Некоторые из примеров, предлагаемых Шапошниковым и Вальцовым, могут вызвать затруднения у учащихся, если они пожелают проверить полученные ими ответы.

Решим, например, уравнение № 7.

Решение. Если это уравнение имеет корень, то он должен быть > 3. Приводим уравнение к нулю.

Умножаем на функцию

Эта функция не может иметь корней. После упрощения данное уравнение приводится к такому:

Умножаем на функцию

Если эта функция имеет корень, то он должен быть во всяком случае отрицательным.

Продолжая решение, найдем два ответа:

Из них только первый является корнем данного уравнения.

Второй корень мы должны во всяком случае отбросить, так как при подстановке его в данное уравнение получаем мнимые числа. Но, быть может, он, тем не менее, удовлетворяет данному уравнению, хотя и не удовлетворяет условию вещественности (см. выше примеры № 13 и № 22).

Но, подставляя его в данное уравнение, получаем:

Таким образом, исследуемый ответ данному уравнению не удовлетворяет. Очевидно, он не будет и корнем функции (1). Следовательно, он должен быть корнем функции (2). Между тем, непосредственная подстановка дает

Это противоречие является следствием того, что выражение

получилось от перемножения двух радикалов: j/ 2х + 1 Vх — 3 , принимающих мнимые значения при х =---—.

Если функцию (2) представить в виде

то исследуемый ответ, действительно, обращает ее в нуль, ибо

Такое исследование, конечно, затруднительно для учащихся.

Правда, можно было бы решить данное уравнение несколько иначе. Вместо того, чтобы множить его после приведения к нулю на функцию (1), можно было умножить на

В этом случае ответ (--) является корнем последней функции (3), причем подстановка дает тоже мнимые числа, но указанного выше затруднения не получается. Но, ведь, заранее трудно предвидеть, какой способ решения приведет к меньшим затруднениям при проверке корней. Эти затруднения заставляют считать, что предлагать рассматриваемое уравнение учащимся нецелесообразно с методической точки зрения. Недостаточно ограничиваться констатированием факта, что ответ х1 = 1 является корнем данного уравнения, а ответ х2 = — — посторонний корень, а необходимо требовать, чтобы учащиеся могли точно указать, корнем какого уравнения он является.

К тому же типу, как и рассмотренное уравнение, относятся в стабильном задачнике и вызывают, следовательно, те же сомнения в их приемлемости примеры под номерами 8,. 14, 16 и 20.

7. При решении иррациональных уравнений с буквенными коэфициентами необходимо давать указание относительно знаков входящих в них букв, иногда, кроме того, и соотношение между ними. Авторы же задачников в огромном большинстве случаев не дают на этот счет никаких указаний. В частности, Шапошников и Вальцов всюду под буквенными коэфициентами подразумевают числа положительные, хотя нигде об этом не говорят. Между тем одно и то же уравнение может иметь различные корни при различных значениях букв.

Возьмем, например, задачу № 27 из того же «Сборника».

Решение.

Умножаем на функцию

Получаем ответ:

Положим теперь, что Тогда имеем:

и найденный ответ будет корнем данного уравнения. Если же предположить, что û<0, то получим

Но в таком случае найденный корень будет уже для данного уравнения посторонним. Он будет корнем функции

Еще одно замечание. Нецелесообразно предлагать учащимся такие иррациональные уравнения, которые нельзя проверить или же эта проверка весьма затруднительна. К таким уравнениям в «Сборнике» Шапошникова и Вальцова относятся № 29 (оба), 35, 36 и 37.

Правда, их можно проверить путем возведения обеих частей уравнения в квадрат, но этот способ, конечно, не является проверкой.

Задачи, неприемлемые с методической точки зрения, имеются, конечно, и в других сборниках алгебраических задач. Я остановился на указанной книге только потому, что она наиболее распространена.

Возьмем, например, «Сборник алгебраических задач» К. Тузова.

Для того чтобы не получалось мнимых чисел, необходимы условия

1) х^а; 2) х^Ь; 3) х^ЗЬ.

Последние два неравенства совместимы только при условии, что число b не положительное (£5^0). Этих оговорок автор не делает.

Автор дает два ответа: хх — а и х2 = Ь. Оба они, действительно, являются корнями данного уравнения, но только при условии, что Ь^>а.

В виду тех затруднений, которые могут встретиться при решении иррациональных уравнений, каждый учитель математики прежде чем предложить ту или иную задачу учащимся, должен ее предварительно сам решить и оценить ее методическую целесообразность. При решении же уравнений с буквенными коэфициентами, кроме того, необходимо ввести добавочные условия.

Увлекаться решением сравнительно сложных иррациональных уравнений, в особенности с буквенными коэфициентами, не следует.

Но зато решение каждого примера должно сопровождаться его полным исследованием. В этом исследовании, а не в самом процессе решения, и заключается образовательная ценность иррациональных уравнений.

ЗАДАЧИ ИЗ СОВРЕМЕННОЙ ЖИЗНИ НА УРОКАХ АРИФМЕТИКИ

Л. КРУПОВЕЦКИЙ (Полтава)

задачи на процентные расчеты

1. Нахождение процента от числа

1. Среднегодовое число рабочих и служащих в 1928 г. равнялось 11,6 млн. человек, в 1931 г. оно возросло на 63,8% против 1928 г., а в 1936 г. оно возросло против 1931 г. на 35,8%. Сколько рабочих и служащих насчитывалось в 1931 г. и в 1936 г.?

Ответ: 19 млн. человек; 25,8 млн. человек

2. Основные производственные фонды крупной промышленности составляли в конце 1913 г. 7,2 млрд. руб., а в 1935 г. эти фонды выросли на 494%. Определить основные фонды крупной промышленности в 1935 г.

Ответ: 42,8 млрд. руб.

3. Среднегодовая заработная плата отдельного рабочего и служащего по всему народному хозяйству составляла в 1924/25 г. 450 руб., а в 1936 г. она возросла на 517%. Определить в рублях (округленно) среднюю зарплату рабочего и служащего в 1936 г.

Ответ: 2 776 руб.

4. Добыча угля в царской России в 1913 г. составляла 29,1 млн. m, а в СССР в 1936 г. добыча угля возросла на 334,3%. Определить добычу угля в 1936 г.

Ответ: 126,4 млн. m

5. Урожайность до революции составляла 6,5 ц зерновых с гектара на крестьянских надельных землях, а в 1937 г. урожайность но сравнению с 1913 г. возросла на 54%. Определить урожайность зерновых в 1936 г.

Ответ: 10,01 ц

6. По данным на 1 мая 1937 г. всего сельскохозяйственных земель в СССР имеется 421,9 млн. га, из них 12,11% в совхозах, а остальные у колхозного и единоличного трудового крестьянства. Сколько гектаров земли у совхозов и сколько у колхозов и единоличников?

Ответ: 51,1 млн. га; 370,8 млн. га

7. Число совхозов на конец 1928 г. (без подсобных сельскохозяйственных предприятий) равнялось 1 407, а к концу 1936 г. число совхозов выросло на 194%. Сколько всего совхозов имелось в конце 1936 г.?

Ответ: 4 137 совхозов

8. Вся посевная площадь в 1913 г. составляла 105 млн. га, a в 1937 г. она увеличилась на 28,8Vo- Определить размер посевной площади в 1937 г.?

Ответ: 135,2 млн. га

9. Продукция земледелия в 1913 г. выражалась в сумме 8 млрд. руб., а продукция земледелия и животноводства в том же году составляла 12,6 млрд. руб. По предварительным данным на 1937 г. продукция эта возросла соответственно на 107% и на 83%. Определить объем указанной продукции в 1937 г.

Ответ: 16,6 млрд. руб.; 23,1 млрд. руб.

10. В 1932 г. колхозных животноводческих ферм было 62 тыс. В 1934 г. количество ферм выросло на 113%. а в 1937 г. — на 498% против 1932 г. Сколько ферм было в 1934 г. и в 1937 г. (в круглых тысячах)?

Ответ: 132 тыс.; 371 тыс.

11. В годы второй пятилетки машины, механизирующие уборку, комбайны получили широкое применение в сельском хозяйстве. В 1931 г. их было 6,4 тыс., в 1936 г. это число увеличилось на 1356%, а в 1937 г. на 1791%, Сколько было комбайнов в 1936 г. и в 1937 г.?

Ответ: 93,2 тыс.; 121 тыс.

12. К концу первой пятилетки (в 1932 г.) па машинотракторных станциях было 70 тыс. тракторов, а в середине 1937 г. их число возросло на 409%. Сколько тракторов было в машинотракторных станциях в 1937 г.?

Ответ: 356 тыс.

13. Число всех учащихся в 1914 г. равнялось 8,1 млн. человек, в 1928/29 г. оно увеличилось на 85,2%, а в 1936/37 г. — на 373% по сравнению с 1914 г. Сколько учащихся насчитывалось в 1928/29 г. и в 1936/37 г.? Ответ: 15 млн. человек; 38,3 млн. человек

14. До революции в 1915 г. в России было 106 тыс. школ, а в 1936 г. число школ возросло на 60% против 1915 г. Сколько школ насчитывалось в 1936 г. (округлить до 1 тысячи).

Ответ: 170 тыс.

2. Нахождение числа но данному его проценту

15. Число рабочих и служащих в СССР по всему народному хозяйству достигло 25,8 млн. человек в 1936 г., что дает увеличение на 126,3% по сравнению с 1913 г. На сколько человек увеличилось число рабочих и служащих в 1936 г.?

Ответ: на 11,4 млн. человек

16. В царской России в 1913 г. всеми станциями вырабатывалось электроэнергии 1945 млн. квт-ч, т. е. меньше на 7,34% количества энергии, выработанной одной лишь Днепровской гидростанцией им. Ленина в 1936 г. Сколько электроэнергии выработано одной Днепровской гидростанцией в 1936 г.?

Ответ: 2 099 млн. квт-ч

17. Продукция машиностроения в 1936 г. выразилась в 20,8 млрд. руб. (в ценах 1926/27 г.), что составляет 25,7% продукции всей крупной промышленности. Определить продукцию крупной промышленности в 1936 г.

Ответ: 80,9 млрд. руб.

18. Мощность всех элекростанций СССР в 1936 г. достигла 7,5 млн. квт, увеличившись по сравнению с мощностью всех электростанций царской России (в 1913 г.) на 582%. Какова была мощность всех электростанций в 1913 г.?

Ответ: 1,1 млн. квт

19. Благодаря смелым разведчикам недр запасы угля в настоящее время исчисляются в 1 654 млрд. /я, т. е. больше запасов, исчисленных в 1913 г. на 619%,. Определить запасы угля, исчислявшихся в 1913 г.

Ответ: 230 млрд. m

20. До ликвидации безработицы в СССР среднегодовое число рабочих и служащих вместе с числом безработных на биржах труда составляло в 1928 г. 13,2 млн. человек,

причем число безработных составляло 13,8% числа работающих. Сколько было безработных в 1928 г.?

Ответ: 1,6 млн. чел.

21. В царской России всего сельскохозяйственных земель было 367,2 млн. га, т. е. на 13% меньше сельскохозяйственных земель, имеющихся в СССР в настоящее время (по данным на 1 мая 1937 г.). Сколько всего имеется теперь сельскохозяйственных земель?

Ответ: 422 млн. га

22. Заполнить таблицу производства хлопка, льна и сахарной свеклы в 1936 г. сравнительно с 1913 г.

Ответ: 23,9; 3,3; 109,0.

23. Обороты розничной торговли в городе и деревне в 1936 г. выражались в общей сумме 106,9 млрд. руб., причем обороты в деревне составляли 43,1% оборотов в городе. Чему равен розничный товарооборот в деревне?

Ответ: 32,2 млрд. руб.

24. Число перевезенных грузов по железным дорогам СССР в 1937 г. по сравнению с 1913 увеличилось на 265%, в связи с чем грузов в 1937 г. было перевезено 483,2 млн. т. Сколько грузов было перевезено в 1913 г.?

Ответ: 132,4 млн. m

25. За годы советской власти в городах и городских поселениях вновь построено государством 60 млн. кв. м жилой площади, что составляет 49% всего государственного жилфонда к началу 1937 г. Определить весь государственный жилфонд к началу 1937 г.

Ответ: 150 млн. кв. я

26. Число всех учащихся в СССР в 1936/37 г. составляло 38,3 млн. человек, увеличившись против 1928/29 г. на 155,3%. Сколько учащихся было в 1928/29 г.?

Ответ: 15 млн. человек

27. Общее число женщин-работниц и служащих в 1936 г. достигло 8,5 млн. человек, увеличившись по сравнению с 1929 г. на 157,6%. Сколько было работающих женщин в 1929 г.?

Ответ: 3,3 млн. человек

3. Нахождение процентного отношения

28. Народный доход в СССР (в ценах 1926/27 г.) в 1936 г. составляет 86 млрд. руб. против 21 млрд. руб. в 1913 г. Определить народный доход в СССР в 1936 г. в процентах к 1913 г.

Ответ: 409,5<V0

29. Определить рост народного дохода в СССР (в ценах 1926/27 г.) в процентах к 1913 г., заполнив следующую таблицу:

Ответ: 100%; 80%; 137,6%; 409,5%; 476%.

30. Продукция всей крупной промышленности в 1913 г. составляла в ценах 1926/27 г. 11 млрд. руб., из коих на производство средств производства приходилось 4,7 млрд. руб., а в 1936 г. та же продукция составляла 80,9 млрд., из них на долю производства средств производства приходилось 49,1 млрд. руб. Определить в процентах удельный вес производства средств производства к общей продукции крупной промышленности в 1913 г. и в 1936 г.

Ответ: 42,7<V<>; 60,7%

31. В 1936 г. добыто всего угля 126,4 млн. m против 29,1 млн. m в 1913 г. На сколько процентов увеличилась добыча угля в 1936 г. по сравнению с 1913 г.?

Ответ: на 334%

32. Добыча угля в 1936 г. выразилась всего в количестве 126,4 млн. /и, в том числе в Донецком бассейне 77,3 млн. т. Сколько процентов общего количества угля добыто в Донбассе и сколько в остальных бассейнах?

Ответ: 61,2%; 38,8<V0

33. Добыча железной руды в 1913 г. составляла всего 9,2 млн. т, к концу первой пятилетки (в 1932 г.) добыча поднялась до 12,1 млн. /я, а в 1936 г. добыча уже достигла 27,9 млн. т. Определить в процентах в 1913 г. добычу железной руды в 1932 г. и в 1936 г#

Ответ: 131,5%; 303,3%

34. Выплавка чугуна в царской России (в 1913 г.) составляла 4,22 млн. т. В 1936 г. три гиганта черной металлургии выплавили столько чугуна, сколько давала вся металлургия в 1913 г. (т. е. было выплавлено в 1936 г. 4,24 млн. m), из них Магнитогорский завод им. Сталина —1,56 млн. т, Кузнецкий — 1,36 млн. m и Макеевский — 1,32 млн. т. Определить выплавку каждого завода в процентах ко всей выплавке в 1913 г.

Ответ: 37%; 32,2%; 31,3%

35. Добыча нефти в СССР в 1936 г. достигла 29,3 млн. m против 9,2 млн. m в 1913 г. На сколько процентов увеличилась добыча нефти в 1936 г. против 1913 г.?

Ответ: на 218,5%

36. Продукция химической промышленности в 1913 г. выражалась в сумме 255 млн. руб., а в 1936 г. она достигла суммы в 3,46 млрд. руб. На сколько процентов увеличилась продукция химической промышленности по сравнению с 1913 г.?

Ответ: на 1257%

37. Общий фонд зарплаты в 1928 г. составлял 8,2 млрд. руб., а в 1937 г. он составил 78,3 млрд. руб. На сколько процентов увеличен фонд зарплаты в 1937 г.?

Ответ: на 855%

38. Продолжительность рабочего дня по всей крупной промышленности в 1934 г. составляла 6 ч. 59 м. против 7 ч. 48 м. в 1928 г. На сколько процентов сократилась продолжительность рабочего дня в 1934 г. сравнительно с 1928 г.?

Ответ: на 10,5%

39. Старые дореволюционные машиностроительные заводы, отобранные рабочим классом у заводчиков и фабрикантов, выпускают продукции всего на 750 млн. руб., а новые машиностроительные заводы, построенные советской властью (по плану на 1937 г.), выпускают продукции на 30 млрд. руб. Определить в процентах удельный вес выработки продукции старыми и новыми заводами в общей выработке всех машиностроительных заводов.

Ответ: 2,4<у0; 97,6%

40. Все орудия и средства производства, находящиеся в государственной собственности, оценивались в 1935 г. в 83,2 млрд. руб.» из них на основные производственные фонды крупной промышленности в том же году приходилось 42,8 млрд. руб. Определить в процентах удельный вес производственных фондов крупной промышленности в общем государственном производственном фонде.

Ответ: 51,4%;

41. В царской России крестьянские хозяйства имели земли 214,7 млн. га, а помещики, царская фамилия и монастыри владели 152,5 млн. га. Какой процент земли приходился на крестьянские хозяйства и какой на остальные владения?

Ответ: 58,5%; 41,5%

42. Рост советской розничной торговли (государственной, кооперативной и колхозно-крестьянской) за период 1932 г.— 1936 г.; выразился в следующих цифрах (млрд. руб.):

1932 г.

1933 г.

1934 г.

1935 г.

1936 г.

47,8

61,3

75,8

95,9

122,5

Выразить рост торговли за каждый год в процентах к 1932 г.

Ответ: 100%; 128,2%; 158,6%; 200,6%; 256,3%

43. Государство выплатило крестьянам за проданный государству хлопок в 1933 г.

385,8 млн. руб., а в 1936 г.—4 076,6 млн. руб.; за проданную государству сахарную свеклу в 1938 г.—166,3 млн. руб., а в 1936 г.—438,3 млн. руб. На сколько процентов увеличились доходы крестьян за хлопок и свеклу в 1936 г. по сравнению с 1933 г.?

Ответ: на 957<у0; на 164%

44. В то время как до революции в нашей стране производилось зерна 4-5 млрд. пуд., производство зерна в 1925 г. составляло 4,4 млрд. пуд., в 1930 г.—5,1 млрд. пуд,

в 1933 г.—5,5 млрд. ауд. и в 1937 г. (по предварительным данным) —6,8 млрд. пуд. Определить производство зерна за каждый год в процентах к 1925 г.

Ответ: 115,9%; 125%; 154,5%

45. Заполнить таблицу распределения хлеба в прошлом и настоящем:

Ответ: Валовая продукция: 12,0; 38,0;

50,0; 95,0; 11,9; 83,1; 5,0 Товарная продукция: 21,6; 50,0.

28,4; 96,3; 12,7; 83,6; 3,7

Валовая продукция хлеба

Товарная продукция хлеба

в млн. пуд.

в % к итогу

в млн. пуд.

в % к итогу

В царской России

Помещики...............

Кулаки ................

Середняки и бедняки ..........

600 1900 2 500

? ? ?

231,6 650,0 369,0

?

?

Итого. .

5 000

100,0

1 300,6

100,0

В СССР (в 1935/36 г.) Социалистическое хозяйство ......

5 210,6

?

1 823,4

?

В том числе:

Совхозы всех систем.....«...

Колхозы ............ ...

Единоличные крестьянские хозяйства .

655,8 4 554,8 275,7

?

? ?

241,1

1 582,3 70,0

?

? ?

Итого . .

5 486,3

100

1 893,4

100,0

46. Расходы на социальное страхование в СССР за четыре года первой пятилетки (1929—1932 гг.) составляли 10,1 млрд. руб., а за четыре года второй пятилетки (1933— 1936 гг.) —26,5 млрд. руб. На сколько процентов больше было израсходовано по соцстраху за четыре года второй пятилетки?

Ответ: на 162,4%

47. За четыре года второй пятилетки всего построено школ в городах 2 941 и в сельских местностях 13 784 школы. Определить процент школ, построенных в городах и сельских местностях, к общему количеству построенных школ.

Ответ: 17,6%; 82,4<у0

48. Совхозами и колхозными фермами продано по льготным ценам в кредит колхозам и колхозникам за четыре года (1933— 1936 гг.) 2 526 тыс. коров и телок, из них в одном лишь 1936 г. продано 889 тыс. голов. Какой процент коров и телок было продано в 1936 г.?

Ответ: 35,2° '*

49. Помощь бескоровным колхозникам в обзаведении скотом путем продажи им телок по контрактации у колхозников и единоличников за период 1933—1936 гг. выразилась в количестве 3 336 тыс. голов, в том числе в 1933 г. им было продано 396 тыс. голов, в 1934 г.—80) тыс. голов, в 1935 г.—1137 тыс. голов и в 1936 г.— 1 003 тыс. голов. Выразить количество телок, проданных за каждый год в отдельности в процентах к общему итогу за весь период

Ответ: 11,9%; 24,0%; 34,1%; 30,1%.

50. С 1934 г. по август 1937 г. по системе Наркомзема и Наркомсовхозов были подготовлены квалифицированные кадры сельского хозяйства в количестве 1 419 261 человек, из них трактористов 1 195 357, комбайнеров 139 402 и шоферов 84 502. Выразить в процентах к общему итогу число трактористов, комбайнеров и шоферов.

Ответ: 84,2%; 9,8«'/0; б,%

51. В 1914 г. всего театров было 153, а киноустановок 1 412; в 1936 г. число театров достигло 697, а кинотеатров вместе с киноустановками и кинопередвижками насчитывалось 29 758. На сколько процентов возрасло количество театров и кинотеатров?

Ответ: на 356%; на 2 008од

52. Расходы государства на просвещение таковы (в млрд. руб.):

1913 г.

1925/26 г.

1936 г.

1937 г. (план)

182

559

13 461

18 500

Определить рост расходов на просвещение в процентах к каждому предшествующему году.

Ответ: 307,1%; 2 408%; 137,4%

53. Общая сумма, израсходованная государством и профсоюзами на курортно-бытовое обслуживание рабочего класса, выросла с 1,6 млрд. руб. в 1927/28 г. до 15,5 млрд. руб. в 1936 г. На сколько процентов увеличилась эта сумма в 1936 г. сравнительно с 1927/28 г.?

Ответ: на 868,75%,

54. На вторую пятилетку (1933—1936 г.) израсходовано по бюджету социального страхования на дома отдыха, санатории и курорты 1317,5 млн. руб. против 263,9 млн. руб., израсходованных за первую пятилетку. На сколько процентов эти расходы увеличились во второй пятилетке сравнительно с первой пятилеткой?

Ответ: на 399%

графики и диаграммы

55. Построить график роста народного дохода в СССР по таким данным (в млрд. руб., в ценах 1926/27 г.):

1913 г.

1925 г.

1929 г.

1936 г.

1937 г.

21,0

16,8

28,9

86,0

100,0

56. Составить круговую диаграмму классового состава населения в 1937 г. по таким данным:

1. Рабочие и служащие 34,7%:

2. Колхозное крестьянство и кооперированные кустари и ремесленники 55,5%

3. Крестьяне-единоличники (без кулаков) и кооперированные трудящиеся, кустари и ремесленники 5,6°/с

4. Прочее население (учащиеся, пенсионеры, армия и др.) 4,2%,

Итого . . . 100,0%.

57. Составить две круговых диаграммы соотношения продукции крупной промышленности и сельского хозяйства в 1913 г. и в 1937 г. по следующим данным, показывающим превращение нашей родины из аграрной страны в могущественную индустриальную страну:

В 1913 г, промышленность производила 42,1%о всей продукции, а сельское хозяйство 57,9%) всей продукции.

В 1937 г. промышленность производит 77,4°'о всей продукции, а сельское хозяйство 22,6% всей продукции.

58. Составить секторную диаграмму распределения добычи нефти в 1^36 г. между

отдельными районами и республиками по следующим данным (в тыс. тонн):

1. Бакинский район 22 264

2. Грозненский » 3 400

3. Майкопский » 1 147

4. Ишимбаевский » 968

5. Эмбенский район 473

6. Узбекская ССР и Таджикская ССР 329

7. Туркменская ССР 310

8. Сахалинский район 308

59. Составить график роста крупной промышленности в млрд. руб. по таким данным (в ценах 1926/27 г.)

1913 г.

1917 г.

1920 г.

1928 г.

1932 г.

1936 г.

11,0

6,9

1,7

16,8

38,8

80,9

60. Составить прямоугольную диаграмму роста производства зерна в нашей стране по таким данным: в 1925 г.— 4,4 млрд. пуд.; в 1930 г.—5,1 млрд. пуд.; в 1933 г.— 5,5 млрд. пуд., в 1937 г. (по предварительным данным)— 6,8 млрд. пуд.

61. Составить прямоугольную диаграмму роста расходов на просвещение (в млн. руб.):

1913 г.

1925/26 г.

1936 г.

1937 г. (план)

182

559

13 461

18 500

62. Построить график роста колхозов по следующим данным:

1918 г.

1929 г.

1930 г.

1934 г.

1937 г.

Число колхозов (в тыс.) . .

1,6

57,0

85,9

233,3

243,7

63. Составить прямоугольную диаграмму роста числа дворов в колхозах по следующим данным:

1918 г.

1929 г.

1930 г.

1934 г.

1937 г.

Число дворов (млн.)

0,02

1,0

6,0

15,7

18,5

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О ПРЕПОДАВАНИИ ЧЕРЧЕНИЯ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

(в порядке обсуждения)

А. ШИШКИН (Алма-Ата)

Хорошо или плохо поставлено преподавание черчения в средней школе?

Дает средняя школа навыки и знания, необходимые для серьезного систематического изучения графических наук в высшей школе? Способствует средняя школа развитию пространственного воображения учащихся? Развивает она любовь к черчению? Словом, достигает преподавание черчения в средней школе тех задач, которые перед ним поставлены?

Ответ может быть только один: «нет». Доказательства?

Зайдите в чертежный кабинет первого курса технического вуза поговорить со студентами втуза, мучающимися над сопряжениями, поговорить с выпускниками средних школ, иногда отказывающимися итти в технические вузы только потому, что там нужно хорошо и много чертить, и вы убедитесь в правильности нашего ответа. Разумеется, здесь могут быть и бывают отрадные исключения, но это не меняет общего правила. В массе средних школ преподавание черчения поставлено плохо.

Причины?

В основном они кроются в плохой программе и в отсутствии хороших пособий по черчению.

Остановимся подробно на этих двух причинах и попытаемся наметить пути к их устранению. Начнем с программы.

«Ни одно построение, произведенное циркулем и линейкой, не должно оставаться усвоенным механически, а обязательно должно основываться на приобретенных познаниях из курса геометрии» — предлагает объяснительная записка к программе по черчению и тем самым связывает преподавателя черчения по рукам.

Мы считаем эту установку в корне неверной. У геометрии — свои задачи, у черчения— свои, и сводить роль черчения до подручного геометрии нет никаких оснований. У преподавателя черчения задачи: научить владеть учеников карандашом, рейсфедером и циркулем, научить производить построения, сопряжения, проектировать и т. д. И если учащийся все это выполняет правильно — этого достаточно. А умеет он все это обосновывать, доказывать ссылками на геометрию,— преподавателя черчения это не должно интересовать.

Не черчение должно плестись за геометрией, а геометрия на своих уроках должна обосновывать то, что делается на уроках черчения.

Дальше.

«Все чертежи, начиная с первого, должны выполняться на стандартных форматках, с обводкой рамки и т. д.». Так советует программа. Тоже неверный совет. Почему обязательно на форматках. Ведь школьные чертежи небудут спускаться в мастерские и цехи. А если начертить их просто на тетрадке? Разве это будет хуже? Наоборот. На форматках чертить не нужно, потому что оформление форматок всегда занимает не меньше половины урока и, при отсутствии чертежной доски и рейсшины, никогда не даст хороших результатов, а это убивает у учащихся веру в свои способности.

Чертить нужно не на форматках, а на тетрадях в клетку! В этом случае внимание и энергия ученика не распыляются по мелочам (размер форматки, рамки и т. д.), а сосредоточиваются непосредственно на теме черчения.

Расположение материала в программе очень и очень неудачное. Об изометрической проекции говорится мимоходом в X классе; о диметрии не упоминается нигде. О параллельной перспективе говорится в VI, VII, VIII и IX классах, везде понемногу и нигде как следует. Отдел геометрического черчения размазан на три года.

О «целесообразности» расположения материала можно судить, например по такой выдержке из программы для VIII класса.

«Упражнения в обводке тушью. Обводка тушью отдельных упражнений на сопряжения. Можно использовать чертежи, заготовленные в VII классе или же сделать вновь те же чертежи и обвести их тушью». И почти половина часов VIII класса уходит на перечерчивание упражнений VII. класса».

В качестве метода занятий программой рекомендуется:

«Показ на доске и вычерчивание на форматке».

Метод—крайне неудачный. На классной доске мелом никогда нельзя сделать чертежа точно таким, каким он должен быть на бумаге, да и нередко случается, что размеры доски не позволяют на нем сделать нужного чертежа во всех проекциях и со всеми разрезами.

Классная доска в черчении мелом пользы дать не может. Здесь нужны настенные чертежи, а еще лучше — альбомы чертежей, в которых были бы выполнены все операции чертежа и в которых были бы даны ответы на все возможные вопросы ученика.

В программе каждого класса имеется пункт: «Съемка с натуры. Зарисовка эскизов» и т. д.

Мы полагаем, что до X класса никакой съемки с натуры производить не нужно, так как у аудитории еще нет достаточной базы, что влечет: за собой крайне невысокое каче-

ство работы и тем самым убивает у учеников веру в свои силы.

В IX классе можно начать съемку эскизов с натуры, но не по выбору преподавателя черчения, а по строго определенной стандартной для всех школ программе, причем задачу здесь нужно ограничить определением размеров детали и выполнением ее в масштабе при наличии чартежа этой детали во всех видах и со всеми разрезами в учебнике или альбоме. Только при этом условии съемка с натуры может принести пользу делу, а не вред.

В разбивке материала программы по часам имеются явные несуразности: на основную тему черчения «Ортогональные проекции. Проекции точки, отрезка прямой. Определение истинной величины отрезка по его проекциям» отводится только 4 часа.

Усвоить этот раздел хорошо и твердо за 4 часа нельзя! А проходить дальнейшее, не усвоив основного, это значит строить здание на песке. Так это в большинстве случаев и бывает.

Пункт 4 программы для X класса говорит: «Ортогональные проекции тел: призмы, пирамиды полной и усеченной». И только. А проектировать цилиндр, конус, шар и сочетание геометрических тел автор не желает.

Пункт 5 говорит: «Изображение плоскости ее следами». А какой плоскости — не сказано.

Там же говорится: «Пересечение призмы и пирамиды плоскостью».

Какой призмы и какой плоскостью?—не сказано. Программа достаточно убедительно говорит за то, что она очень далека от совершенства, а проще говоря — плоха. Ее нужно переделать. Мы предлагаем программу в следующем виде.

В VI классе проходится геометрическое черчение в объеме отдела первого учебника Гордона.

В VII классе проходится проекционное черчение. В состав программы входит изображение геометрических тел, их сечений и сочетаний в прямоугольных проекциях, в параллельной перспективе и в изометрии.

В VIII классе проходятся основы начертательной геометрии в объеме: прямоугольные проекции точки, линии, прямых, плоскостей. Сечение тел вертикально проектирующей плоскостью. Развертки. Пересечения тел.

В IX классе проходятся элементы технического черчения и в X — строительное черчение. Строительного черчения в старой программе нет, но мы считаем необходимым его ввести, так как со строительными чертежами (проекты жилых зданий, школ, больниц и т. д.)

приходится сталкиваться работникам всех квалификаций. Мы полагаем, что люди, имеющие среднее образование, должны уметь читать строительные чертежи. Дальше об учебнике.

Как бы ни переделывалась программа, как бы она ни была хороша,— от нее будет мало толку, если к ней не будет дано хорошего учебника по черчению.

Ни один из имеющихся учебников по черчению мы не можем отнести к разряду хороших. Все они неплохо способствуют развитию пространственного воображения учащихся и их математическому развитию, но ни один из них не учит чертить.

Возьмем например учебник Гордона «Основы технического черчения». В нем есть не мало хороших чертежей (рукоятка, крюк, развертка усеченного цилиндра), но как эти чертежи выполнить на бумаге, в каком масштабе, каких размеров и т. д., как расположить чертеж, не указано. А это при обучении черчению имеет огромное значение.

Или возьмем, например, стандартный шрифт. На последней странице учебника Гордона помещены образцы стандартных шрифтов, но как написать каждую букву, не сказано. А не зная последовательности операций каждой буквы, не пользуясь линейкой, стандартного шрифта никогда хорошо не начертить.

То же можно сказать и про учебники других авторов.

Нам хороший учебник по черчению представляется в виде альбома чертежей для каждого класса с подробным указанием операраций, размеров и масштабов каждого чертежа. В каждой тетради должен быть один зачетный «дипломный» чертеж, который бы охватывал весь материал класса; помимо тетрадей должны быть выпущены настенные таблицы, в которых в большем масштабе давались бы чертежи тетрадей.

Словом, в черчении должен быть введен строгий стандарт. Все школы Союза, все классы в школах и все ученики должны выполнять одни и те же чертежи.

В заключение — несколько слов о технической базе черчения. Ни в одном магазине провинциального города, не говоря уже о деревнях, вы никогда не найдете полного комплекта чертежных принадлежностей: если есть угольники, нет линеек, есть линейки, нет готовальни, есть готовальни, нет чертежных досок и т. д. Промышленность не удовлетворяет все возрастающих запросов школы. Слово и дело здесь за планирующими и торговыми организациями!

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, помещенных в № 3 за 1938 г.*

41. Доказать тождество

Напишем два разложения

и перемножим их:

С другой стороны:

Сравнивая в (1) и (2) коэфициенты при найдем:

Приняв во внимание, что Ср = С£ и сделав в (3) соответствующую замену, получим окончательно:

Тождество легко также доказывается способом математической индукции.

42. Вычислить:

Исходим из очевидного тождества:

Возводя обе части (1) в квадрат и перенеся удвоенное произведение в правую часть, получим:

Вычислим:

Подставив найденную величину в (2), найдем:

Поступаем с (3) так же, как с (1)

Но:

Подставив в (4), найдем

Продолжаем аналогично:

После простых вычислений получим:

43. Задача помещена вторично. В № 4 она заменена другой.

44- Задача вновь помещена в № 4, так как первый радикал должен быть не У l-f уъ, а У2 + уз . Но многие решали задачу в напечатанном виде и получили правильный ответ: sin « = УуЪ — 1 ; а ~ 58°41'40". Другие сами исправили опечатку.

* Печатание задач на обложке затруднило их поверку, и поэтому ряд задач содержит грубые опечатки. Редакция считает возможным зачесть только правильно напечатанные задачи (именно № 41, 42, 45, 46, 47, 48, 50, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59), хотя некоторые из них решаются и в том виде, в каком они были напечатаны, в другие же исправления были внесены самими читателями.

45. Решить систему уравнений.

Из данных уравнений находим:

или:

отсюда:

Очень легкая задача, понятно, получившая вместе с № 57 наибольшее количество решений.

46. Решить уравнение:

Раскроем скобки и перегруппируем члены:

Отсюда:

47. Найти сумму п членов ряда

1. Исходим из тождества

Давая здесь а значения 1, 2, 3... я и взяв а = 45°; h = а, получим ряд тождеств:

Сложив их и обозначив искомую сумму через s, получим:

48. Найти сумму п членов ряда:

Умножив числитель и знаменатель каждого члена соответственно на

и т. д., получим:

или:

После приведения

Можно придать решению другую форму. Умножив числитель и знаменатель на

и приняв во внимание, что найдем:

49. Задача напечатана вторично в № 4.

50. Вычислить площадь описанного около окружности четыреугольника, если даны его периметр 2 р и углы Л, Ву С, и D. Вывести из этой формулы известное выражение площади треугольника по периметру и углам.

Из чертежа легко видеть, что

Отсюда

Пусть угол D, увеличиваясь, становится равным 180°, т. е. стороны AD и CD составят одну прямую и фигура превращается в треугольник. Тогда

51. Задача перепечатана в № 4.

52. Решить систему:

(1)

(2)

Определив из (1) уравнения у и подставив его во (2), получим уравнение 4-й степени

4х< — 92х2 — 2Ах + 379 = 0.

Так как все коэфициенты, кроме свободного члена четны, то, очевидно, уравнение целых корней не имеет. Поэтому теорема Безу (разложение на множители свободного члена) здесь неприменима и задача элементарно не решается. Применение способа неопределенных коэфициентов, положив

вначале дающее довольно любопытные результаты (например, все коэфициенты легко выражаются через я), в дальнейшем приводит к громоздким вычислениям.

Тем же способом, но гораздо легче, решается задача в исправленном виде путем замены уравнения (2) таким:

Зу- — 8х = 59 (2)

Подстановка у в это уравнение дает:

хА — 23х2 — 6х + 38 = 0.

Это уравнение применением теоремы Безу легко приводится к виду:

(X — 2) (лг + 4) (X2 — 2х -f 11) == 0,

откуда найдутся все четыре корня.

53. Решить систему

Перепишем данную систему в таком виде:

Будем считать а, Ь и с неизвестными, а л*, у и z данными числами и решим систему относительно а, Ь и с.

Умножаем (1) на х, (2) наги складываем; получим:

Умножаем (2) на у, (3) на х и складываем:

Таким же путем, исключив Ь из (4) и (5), получим:

По раскрытии скобок и приведении подобных членов получим:

Отсюда

X + у = а. (7)

Подставив найденное значение а в (4), легко получим:

X + z = Ь. (8)

Наконец, подставив значения а и Ъ в одно из уравнений (1), (2), (3), получим:

У + z = с. (9)

Решив элементарную систему уравнений (7), (8), (9), получим окончательно:

54. На плоскости даны четыре точки. Построить квадрат так, чтобы две из данных точек лежали на его диагоналях, а две — на сторонах.

На эту задачу получено всего 12 решений. Приведем их. Прежде всего заметим, что характер построения существенно меняется в зависимости от того, примем ли мы две из четырех данных точек лежащими на двух смежных или на двух противоположных сторонах квадрата. Так как задача никаких ограничений не вносит, то наш выбор в этом отношении произволен.

Первый случай: две точки лежат на двух смежных сторонах,

а) Пусть А, В, С, D — данные четыре точки. Пусть А \\ В из них лежали на двух смежных сторонах квадрата, а С и D — на диагоналях. Из чертежа 1 мы видим, что вершина M квадрата должна лежать на окружности, построенной на AB как на диаметре. С другой стороны, угол СМА равен 45°, следовательно, дуга АЕ равна 90°. Отсюда вытекает построение.

1. На АВ% как на диаметре, строим окружность.

2. Делим полуокружность пополам — получаем точку Е.

3. Соединяем С сЕ и продолжаем до пересечения с проведенной окружностью в точке М.

4. Проводим MA и MB.

5. Из точки D восставляем перпендикуляр к СМ и продолжаем его до пересечения с MA и MB. Получаем точки N и Q.

6. От точки О откладываем ОР == ОМ.

7. Соединяем Р с N и Q.

б) Вариант первого решения: так же, как и в первом случае, находим точки M и Е. На CD, как на диаметре, строим окружность, которая должна пройти через центр О и, следовательно, именно в этой точке пересечет диагональ МР. Далее, точку D соединяем с О и продолжаем до пересечения с продолжениями MA и MB в точках Q и N и т. д. Разница с первым вариантом та, что здесь не приходится опускать перпендикуляр на диагональ МР, но зато приходится строить окружность на CD, т. е. делить CD пополам. Разницы в степени сложности почти нет.

в) Точка M находится, как точка пересечения полуокружности АМВ и дуги, построенной на хорде АС (или ВС) и вмещающей угол в 45°. Затем, как и раньше, проводятся MA, MB, MC и из D опускается перпендикуляр. Построение дуги, вмещающей данный угол, заставляет признать этот способ более сложным, чем предыдущие.

г) Еще более сложный вариант предыдущего решения. Точка M находится на пересечении дуг, построенных на АС и ВС и вмещающих угол в 45°.

д) Наконец лишь упомянем о трех попытках аналитического решения задачи, приведших к необычайно длинным и сложным формулам.

Второй случай. Две из данных точек лежат на противоположных сторонах квадрата (черт. 2). Точка Е — середина отрезка AB должна лежать на прямой RS, соединяющей середины стороны NP и MQ. Центр квадрата О тоже должен лежать на этой прямой. С другой стороны, точка О должна лежать на окружности, построенной на CD, как на

Черт. 1

Черт. 2

диаметре. Наконец, как легко видеть, CK = = DK = 90°. Отсюда построение. Делим AB в точке Е пополам. На CD, как на диаметре, строим окружность. Находим точку К — середину полуокружности CKD и соединяем ее с Е. Получаем точку О — центр квадрата. Дальнейшее понятно.

б) Находим точку £ — середину AB. На хордах СЕ и DE строим дуги, вмещающие угол в 135° (имеется в виду расположение данных точек, как на чертеже 2). При другом расположении один из углов ЕОС и EOD или оба будут равны не 135°, а 45°.

55. На плоскости даны четыре точки. Построить квадрат так, чтобы на каждой его стороне лежала одна из данных точек.

Точки M и Р (черт. 3) лежат на окружностях, построенных на AB и CD, как на диаметрах. С другой стороны, диагональ MP пересекает эти окружности в точках £ и F, делящих полуокружности ВЕА и CFO пополам (так как углы ЕМ А и FPD содержат по 45°). Отсюда построение.

На AB и CD, как на диаметрах, строим окружности. Находим Е и F — середины полуокружностей АЕВ и CFD. Соединяем точки Е и F и отрезок EF продолжаем в обе стороны до пересечения с построенными окружностями. Получим точ:ш M и Р. Проводим MA и PD до их пересечения и также MB и PC.

Таково подавляющее большинство решений, таково оно и в сборнике Александрова.

Черт. 3

56. Разложить на множители выражение;

(1 -х2)у2 + 2(х-у)(1 + ху) + 1.

1. В том виде, в каком задача напечатана, она на рациональные (а это требование подразумевалось) множители не разлагается. Поскольку требование рациональности множителей явно не выражено, постольку большинство решало ее так. Располагали многочлен по степеням одной из букв, пусть, например X. Получался многочлен

у(2-у)х*-2 (у2-1) лг-Ку-1)2.

Приравняв многочлен нулю, решали уравнение относительно х:

Затем по формуле разложения трехчлена получали:

каковое выражение можно еще несколько упростить.

2. Более простое разложение получено т. Шебаршиным:

3. Наконец некоторые исправили вкравшуюся опечатку и разлагали выражение:

(1 + X2) у* + 2(х -у) (1 + ху) + 1.

В этом случае выражение может быть разложено на рациональные множители, именно: Раскрыв скобки и прибавив и вычтя X2 + 2ху, представим данное выражение в таком виде:

Выражение в скобках есть квадрат четырехчлена:

ху -f" X у + 1.

Следовательно, данное выражение примет вид:

57. Доказать равенство:

Совершенно элементарная задача. Имеем:

Точно так же:

Перемножив равенства (1), (2)... (л), по сокращении получаем:

отсюда и получается требуемое соотношение.

58. Решить уравнение:

Если X = -г, г. е. 1 — k-x2 = 0, то левая часть

становится неопределенным выражением вида -q-. Положим теперь, что*^-^.

Имеем:

2х У(1 — X2) (1 - k2x2) = а (1 — k2x2).

По возвышении в квадрат, сокращении на (1 — k2x2)t перенеся все члены в левую часть, получим:

Ах' - (4 + аЩ X2 + а2 = О,

отсюда

Выражение в правой части вида

причем, как не трудно убедиться А2 — В яв-

ляется точным квадратом (16а2). Следовательно, по известной формуле оно может быть упрощено. Тогда получим:

Данному уравнению удовлетворяют два корня:

Задача очень легкая, но упрощения выражения уА±_ у$ к сожалению, почти никто из решавших не сделал.

59. Решить систему уравнений:

Определяем у из (1) и подставляем во (2). Предполагаем, что ау Ь, р и q не равны нулю.

Из данных условий выражаем рид через а и Ь.

Итак:

(берем для р положительное значение корня) Подставляем в (3):

X4 — 2Ьх2 — 8ЬуЬх + Ь9- — Ab2 = 0. (4)

Прибавив к левой части и вычтя из нее АЬх\ группируя, получим:

отсюда:

Решив полученные квадратные уравнения, найдем:

Подставив найденные значения х в выражение для у:

получим соответствующие значения у:

В таком виде даны значения корней в большинстве решений. Используя данные соотношения между коэфициентами, можно им придать другой вид.

Например, заменяя получим для х и у аналогичные выражения:

Из тех же соотношений выводились для х и у и другие, в частности, более сложные выражения, в которых коэфициенты входили под знаком радикала.

60. Доказать, что если sin Л, sin В и sin С составляют арифметическую прогрессию, то ABC и ^2"» tg2 составляют арифметическую прогрессию.

Вследствие подмены котангенса тангенсом получилась задача на доказательство невозможности. Ряд таких доказательств и был дан. Приведем некоторые.

1. По условию (предполагаем Л>В>С, что не влияет на общность доказательства);

Делая подстановку в (1), получим: а + с = 2bt

т. е. в этом случае и стороны треугольника составляют арифметическую прогрессию.

Задача требует доказать, что в этом случае и

Возводя обе части в квадрат, найдем:

Освобождаясь от знаменателей и вынеся (р — ЬУ за скобки, получим:

Заменив здесь

после несложных преобразований, получим

(а + су --= (Зс — а) (За — с).

После раскрытия скобок и переноса всех членов в левую часть:

Получаем тривиальный случай равностороннего треугольника, когда стороны, синусы углов, тангенсы и т. д. составляют прогрессию с разностью d = 0.

2. Другой способ доказательства состоит в том, что от равенства

sin А + sin С = 2 sin Z?,

приходим путем несложных преобразований к равенству

Задача же требует, чтобы:

Отсюда:

Далее:

приходим опять к равностороннему треугольнику.

3. Многие доказывали невозможность задачи, исходя из конкретных числовых данных, например, беря пифагоров треугольник со сторонами 3, 4, 5. Синусы углов будут:

т. е. составляют арифметическую прогрессию. Легко вычислить соответственные тангенсы половинных углов. Приведем теперь доказательство того, что о . А В при условии, данном задачей ctg ^% ctgg и ctg g «составляют арифметическую прогрессию.

По ранее доказанному, если

sin Л -f sinC = 2 sin Я (i)

то и

а + с = 2Ь. (2)

Перейти к котангенсам быстрее всего можно так. Из (2) имеем

где г — радиус вписанного круга. По формулам -=zQ\g— и т. д. получаем:

что и требовалось доказать.

ЗАДАЧИ

81. Решить в целых и положительных числах уравнение:

Е. Киракосян (Ереван)

82. Найти целые положительные числа хну, удовлетворяющие условию:

Р. Годованин (Одесса)

83. Доказать для треугольника соотношения:

где та, Щ, тс— медианы, Ьа, Ьв , be — биссектрисы и р — полупериметр треугольника.

Ф. Рыжков (Оленино Калинской обл.)

84. Разложить на множители выражение

М. Шебаршин (Уфа)

85- Решить уравнение:

Г. Ахвердов (Ленинград)

86. Решить уравнение:

Ф, Брижак (Краснодар)

87. Доказать для треугольника тождество

П. Савчук (Скопин)

88. Доказать, что числа вида

при р2 рациональном представляют собой точные квадраты.

(Из истор. математики Цейтена) В. Рождественский (Днепропетровск)

89. По какой системе счисления записан следующий пример деления: 6564:7 = 754? В. Рождественский (Днепропетровск)

90. Не прибегая к построению иррациональных выражений, построить в равнобедренном прямоугольном треугольнике с катетом а окружность радиуса а касательную к гипотенузе в ее середине. А. Могильницкий (Гайсин Винницкой обл).

91. Найти отношение сторон треугольника а:Ь, если известно, что

А. Могильницкий (Гайсин Винницкой обл.)

92. В разностороннем треугольнике стороны пропорциональны медианам, Найти коэфициент пропорциональности.

К. Лембке (Балашов)

93. При каких целых и положительных значениях х выражение х2 + Ъх + 1 делится на 55?

Ф. Саблуков (Москва)

94. Найти сумму п членов ряда

Ф. Саблуков (Москва)

95. Найти четыре целых числа, составляющие арифметическую прогрессию при условии, что наибольшее из них равно сумме квадратов трех остальных.

96. Доказать неравенство:

ab (а + Ь) + be (b + с) + ас (а + с) >6 abc

97. Решить уравнение:

(х-\)(х* + х+ 1) = 3.

98. Найти такие пары целых положительных чисел, сумма которых равна jq их произведения.

99. Не прибегая к делению радиуса в среднем и крайнем отношении, найти построением 0io.

100. Найти площадь треугольника по данным углам и одной из медиан.

СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 3 ЗА 1938 г.

Е. Алмазова (ст. Торбеево) 41, 42, 45, 47, 48, 57, 58. А. Аляев (Башмаково) 45, 47. С. Андреев (Торжок) 41, 45,47, 48, 50, 54, 55, 57. Г. Ахвердов (Ленинград) 41, 42, 45—48, 50, 55, 57, 58. Б. Боголюбов (Ульяновск) 42, 45, 48, 50, 55, 57, 58. Л. Бурковский (Киев) 41, 42, 45, 57,58. Я. Введенский (Георгиевское) 41, 45, 50, 54,55, 57—59. А. Владимиров (Ялта) 45, 47, 48, 57—59. П. Гольман (Харьков) 45, 48, 58. С. Городов (Ленинград) 42, 45—47, 50, 57, 59. И. Гурский (Калиновка) 42, 48, 50, 58. Н. Дзигава (Тбилиси) 45, 47, 48. П. Дубицкий (Севастополь) 41, 42, 57. Б. Дудолькевич (Пятигорск) 45. Н. Есипович (?) 42, 45, 46, 50, 57, 58. Ш. Зайнулин (Казахстан) 45, 50. А. Каган (Минск) 45, 48, 54, 55. В. Камендровский (Оренбург) 41, 45, 47, 48, 54, 55, 57, 58. Г. Капралов (Горький) 45, 47, 48, 57, 58. Б. Кашин (Ярославль) 45, 47, 48, 50, 57-59. М. Кекелия (Бандза) 41, 46—48, 50, 54, 55, 57—59. Е. Киракосян (Ереван) 41, 42, 46—48, 50, 53—55, 57-59. И. Клейнман (Широковский район) 58. С. Колесник (Харьков) 42, 45, 47, 48, 50, 55, 57-59. И. Кононов (Москва) 45. Г. Костава (Кутаис) 45,47,58. Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Ленинград) 42, 45, 47, 48, 50, 54, 55, 57, 58. Ю. Костяницын (Архангельск) 45, 57, 58. Я. Кулаков (Бугу Руслан) 41, 42, 45, 47, 48, 50, 54, 55, 57—59. С. Кулигин (Тагай) АН. Л. Куриленно (Кутюжлны) 58. /7. Кутин (Царицыно-Дачное) 42, 45, 58. А. Левин (Алма-Ата) 45, 48, 50, 57, 58. И. Леренер (?) 45, 48, 58. С. Лисиця и Ф. Данько (Черкассы) 45, 48, 58. А. Логашов (Саловка) 45, 47, 48, 50, 54, 57, 58. А. Лосицкий (Новозыбков) 45, 48, 57, 58. М. Малиновский (Смоленск) 45. Е. Марчевская (Харьков) 41, 50, 54, 55, 59. Л. Медведев (Урюпинск) 45, 48, 50, 55. М. Месяц (Житомир) 42, 45—48, 50, 53, 55, 57, 58. Б. Милорадов (Рыбинск) 45. А. Миненко (Нальчик) 42, 45, 47, 48, 50, 57, 58. Г. Мискарян (Кировабад) '42, 47, 48, 50, 53-55, 57, 58. А. Могильницкий (Гайсин) 45, 58. Д. Мхеидзе (Кутаис) 42, 45—48. А. Овчинников (Сталинград) 42, 45, 47, 48, 50. Б. Постников (Рязань) 45—48, 54, 55, 57—59. П. Попелюхер (Чечельник) 47, 48, 57,58. И. Принцев (Старая Русса) 42, 45, 48, 50, 57, 58. Г. Ревякин (Ленинград) 50, 57, Г. Ржавский (Фролов) 41, 45, 47, 48, 50, 55, 57, 58. Л. Соловьев (Калинин) 41, 42, 45—48, 50, 54, 55, 57-59. В. Тужилкин (Подбельский район) 47, 48, 50, 57, 58. И. Харламов (Елец) 42, 45, 48, 54, 55, 59. Е. Холодовский (Ленинград) 41, 45, 47, 48, 57. К. Хоменко (Варовичи) 48, 58. Г. Цапарелишвили (Тбилиси) 45, 48. М. Шебаршин (Уфа) 41,42, 45—48,50,54, 55, 57—59. С. Штернберг (Умань) 48, 57, 58. Л. Яглом (Москва) 41, 45, 46, 48, 50, 54, 55, 57-59.

От редакции. Ввиду все увеличивающегося притока решений задач редакция убедительно просит соблюдать следующие правила:

1. Решения задач присылать отдельно от всякой другой корреспонденции. (Присылаемые решения рассматриваются только через 2—3 мес. по напечатании задач, и этот же срок лежат и все присылаемые вместе с решениями замечания, запросы и пр.).

2. Решения писать четко и разборчиво. Особенно четко отделять одну задачу от другой, выделять (кружком или более крупным шрифтом) номер задачи. Номер должен быть тот, под которым задача напечатана.

3. Решения каждой задачи подписывать. Если решения идут не в порядке нумерации, то желательно, чтобы в начале их были перечислены номера присылаемых решений.

4. Срок присылки решений — 3 месяца со дня подписания соответствующего номера журнала к печати (эта дата печатается в «выходных данных» в конце журнала или на обложке).

5. Задачи, присланные для помещения в журнале, но непринятые, уничтожаются. По поводу их редакция в переписку не вступает.