МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

5-6

1938

НАРКОМПРОС ~ МОСКВА ~ УЧПЕДГИЗ

Пролетарии всех стран, соединяйтесь!.

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ ЖУРНАЛ

5-6

1938

СЕНТЯБРЬ -ДЕКАБРЬ

УПРАВЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

УЧИТЕЛЯМ НАЧАЛЬНЫХ, НЕПОЛНЫХ СРЕДНИХ И СРЕДНИХ ШКОЛ, РАБОТНИКАМ ПОЛИТИКО-ПРОСВЕТИТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ И УЧИТЕЛЯМ ШКОЛ ВЗРОСЛЫХ

Центральный комитет ВКП(б) в своем замечательном обращении к избирателям 6 декабря 1937 г. писал:

«Царская Россия была темна и невежественна. Подавляющее большинство населения было безграмотным. В Советской же стране уже осуществлено всеобщее обязательное обучение — в наших школах учится 30 миллионов ребят. Право на образование для всех граждан завоевано и записано в нашей Конституции. Грамотность населения в стране превышает 90 процентов. Скоро не будет в стране ни одного неграмотного гражданина».

Этим самым ЦК ВКП (б) еще раз подчеркнул необходимость быстрейшего завершения ликвидации неграмотности в стране.

Недавно трудящиеся нашей великой страны выбрали Верховные Советы республик.

Эти выборы еще раз продемонстрировали всему миру, как крепка и несокрушима основа советской власти — союз рабочего класса и колхозного крестьянства. Эти выборы еще раз продемонстрировали перед всем миром политическое и моральное единство народов СССР, нерушимый сталинский блок коммунистов и беспартийных, глубокую преданность масс коммунистической партии и ее вождю товарищу Сталину.

Народные учителя, политпросветработники, используя богатый опыт избирательной кампании по выборам в Верховные Советы СССР и РСФСР, еще шире развернут агитационно-разъяснительную работу среди всего населения, будут добиваться, чтобы каждый трудящийся хорошо знал об успехах и достижениях своей страны, хорошо изучил Сталинскую Конституцию, знал своих депутатов, был в курсе международных событий.

На фоне огромных успехов, достигнутых нашей страной под руководством партии Ленина — Сталина, особенно нетерпимым становится наличие в нашей стране даже небольшого количества неграмотных при наличии всех условий и возможностей их обучения.

В. И. Ленин постоянно учил нас, что «безграмотный человек стоит вне политики».

Вот почему во всей массовой политико-просветительной работе, которая сейчас ведется, особое внимание должно быть уделено завершению ликвидации неграмотности. Народный комиссар просвещения издал приказ, в котором обязывает взяться за дело ликвидации неграмотности армию учителей, работников

политико-просветительных учреждений, привлечь всю советскую общественность и завершить ликвидацию неграмотности не позже 1 мая 1939 г.

ЦК союза работников политико-просветительных учреждений, ЦК союза работников начальных и средних школ и Наркомпрос РСФСР призывают учителей, работников политико-просветительных учреждений включиться в практическую работу по завершению ликвидации неграмотности среди населения в возрасте до 50 лет; привлечь к этому делу широкую советскую общественность, все грамотное население сельсоветов, совхозов, предприятий и городов; использовать предстоящую перепись населения для еще более широкого подъема борьбы за сплошную грамотность, добиваясь, чтобы в графе «вовсе неграмотных» не было бы ни одного трудящегося.

Какую работу должны проделать работники школ, библиотек, изб-читален, колхозных клубов и комсомольские организации для того, чтобы в ближайшие месяцы довести до конца дело завершения ликвидации неграмотности в стране?

От работников детских школ мы вправе ожидать, чтобы они помогли правлению колхоза, сельсовету, комсомольской или профсоюзной организации учесть и немедленно охватить обучением всех тех неграмотных, которые до настоящего времени еще не учатся: лично определить, с какой части программы следует начать или продолжать обучение тех или других неграмотных, как и где им удобнее заниматься — в группе или индивидуально; взять на себя обучение нескольких неграмотных; шире привлечь к индивидуальному и мелкогрупповому обучению культармейцев из рабочих, колхозников, городской и сельской интеллигенции; обеспечить методическое руководство работой культармейцев, особенно тех, которые не имеют опыта педагогической работы.

Работники политико-просветительных учреждений могут оказывать помощь учителям и культармейцам постоянной работой над повышением общекультурного и политического уровня обучающихся, организовать чтение художественной литературы, газет, радиослушание, изучение Сталинской Конституции, проводить беседы на политические и научные темы, разъяснять решения большевистской партии и советского правительства; заинтересовать чтением газет, книг, устраивать экскурсии.

Особенное внимание необходимо уделить политико-воспитательной работе среди допризывников.

В. И. Ленин в 1920 г. на III Всероссийском съезде РКСМ говорил о том, «...чтобы та молодежь, те юноши и девушки, которые состоят в союзе молодежи, сказали: это наше дело, мы объединимся и пойдем в деревни, чтобы ликвидировать безграмотность, чтобы наше подрастающее поколение не имело безграмотных. Мы стремимся к тому, чтобы самодеятельность подрастающей молодежи была посвящена на это дело».

Необходимо привлечь комсомольцев и молодежь к делу завершения ликвидации неграмотности, обеспечить повседневное руководство их работой, оказывать необходимую помощь.

Необходимо добиться, чтобы:

1) каждый хорошо грамотный товарищ обучил 1—2 неграмотных.

2) Комсомольцы, хорошо политически подготовленные, проводили беседы с учащимися школ для неграмотных о Сталинской Конституции, знакомили еще не умеющих читать с вопросами международного положения, с приемами действий иностранных разведок, шпионов, диверсантов, вредителей.

3) Литераторы, художники, артисты, музыканты, активисты кружков самодеятельности содействовали дальнейшему развитию политико-просветительной работы среди неграмотных.

4) Девушки помогали бы учащимся матерям посещать занятия, организуя присмотр за маленькими детьми, создавая специальные детские комнаты, где под их присмотром могли бы проводить время дети, пока их матери учатся.

Наркомпрос РСФСР, ЦК союза работников политико-просветительных учреждений и ЦК союза работников начальных и средних школ надеются, что инициатива, проявленная передовиками дела завершения ликвидации неграмотности, будет поддержана всеми учителями, работниками политико-просветитель-

ных учреждений, профсоюзными, комсомольскими организациями и всей советской общественностью.

Руководителям отделов народного образования и профсоюзных организаций вменяется в обязанность обеспечить повседневное личное руководство делом завершения ликвидации неграмотности и постоянно оказывать помощь учителям, работникам политико-просветительных учреждений и культармейцам в работе с неграмотными.

Зам. наркома просвещения РСФСР Н. К. КРУПСКАЯ.

Председатель ЦК союза работников политико-просветительных учреждений ТИМОШЕНКО.

Председатель ЦК союза работников начальной и средней школы РСФСР ЛИТВИНЦЕВ.

Н. А. ИЗВОЛЬСКИЙ

27 сентября 1938 г. в Ярославле, в одной из городских больниц, скончался НИКОЛАЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ ИЗВОЛЬСКИЙ.

Перестало биться сердце, которое, казалось, никогда не знало усталости.

Больной, еле держась на ногах, Николай Александрович все же к началу занятий приехал в Ярославль и приступил к чтению лекций.

В лице Николая Александровича Ярославский педагогический институт потерял крупную научно-педагогическую силу, потерял профессора, всем своим существом преданного любимому делу.

Не столь многочисленные ряды русских методистов лишились в лице Извольского своего сочлена, который умел горячо отстаивать свои взгляды, будучи убежден в правоте, в непреложности своего методического credo.

Позволительно думать, что многие высказывания Николая Александровича, прежде всего его взгляды на преподавание элементарней геометрии, еще не нашли себе должной оценки.

Педагогический труд на протяжении 44 лет — удел не всякого. Сколько за эти долгие годы передумал Николай Александрович, каким обилием своих мыслей поделился с читателями педагогических журналов, в том числе с читателями своего собственного журнала «Математический вестник» — журнала, посвященного преподаванию арифметики и начал алгебры и геометрии. Участникам двух всероссийских съездов преподавателей математики (1912—1914 гг.) памятна, конечно, плодотворная работа Николая Александровича на этих съездах, ставивших своей основной задачей борьбу со школьной рутиной, искавших путей обновления школьной математики и методов ее преподавания.

Перечислить и аннотировать многочисленные работы Николая Александровича по методике математики в настоящий момент не представляется возможным. Они должны быть достаточно глубоко, внимательно изучены.

Имя их автора не сойдет со страниц книги, именуемой методикой математики.

НИКОЛАЙ ШЕМЯНОВ

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ

Проф. В. Н. ДЕПУТАТОВ (Москва)

ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИИ

§ 15. Некоторые замечания к методике изложения вопросов измерения геометрических величин

Едва ли кто-нибудь станет возражать против утверждения, что изложение вопросов измерения геометрических величин является одним из наиболее трудных и ответственных моментов в работе преподавателя математики в средней школе. Причины трудностей коренятся, с одной стороны, в сложности самих метрических понятий геометрии, с другой стороны, в тех условиях, в которых приходится проводить их изучение (бюджет времени, степень математического развития учащихся и пр.). Немаловажным моментом при изложении вопросов измерения геометрических величин является неизбежность рассмотрения бесконечных процессов и вытекающая отсюда необходимость овладения в той или иной мере математическим инструментом для исследования этих процессов — понятием предела. Недаром вокруг вопросов об использовании и размерах использования этого понятия в условиях средней школы велось и ведется столько споров. Мы стоим на той точке зрения, что при требованиях серьезной проработки курса элементарной математики избежать включения в обиход средней школы понятия предела невозможно. Что касается размеров использования там этого понятия, то это как раз в значительной мере определяется степенью глубины и методикой изложения вопросов измерения геометрических величин и развития тесно связанного с этими вопросами понятия о действительном числе. Поэтому, ставя себе в настоящей главе цель — дать обоснования для теории измерения геометрических величин, мы, нисколько не претендуя на нормативность наших методических предложений, постараемся все же изложение провести так, чтобы оно в меру возможности могло быть реализовано в условиях средней школы.

Здесь уместно будет отметить, что если вопрос об использовании аксиоматики в практике преподавания неметрической части курса элементарной геометрии в сильной степени зависит от педагогического такта каждого отдельного преподавателя (конкретные предложения в этой части могут быть сделаны лишь в форме методических образцов или учебного руководства), то в изложении метрической части избежать необходимости введения некоторых аксиом в совершенно явном виде уже будет невозможно никому. Из таких (необходимых для изложения теории измерения геометрических величин и доступных, по нашему мнению, к использованию в средней школе) аксиом мы считаем: аксиому Архимеда, аксиому Кантора и аксиому о сходимости пары числовых последовательностей, каждая из которых есть следствие из аксиомы Дедекинда (в ее геометрической и числовой формулировках) и необходимых аксиом I—IV или 1—16. Редакция аксиомы Архимеда и доказательство того, что она есть следствие аксиомы Дедекинда и необходимых аксиом I—IV, уже приводились в главе 2*. Аксиома Кантора относится к так называемой стягивающейся последовательности прямолинейных отрезков и формулируется так:

Аксиома Кантора

Пусть на некоторой прямой а дана бесконечная последовательность отрезков (черт. 1):

Черт. 1

А\В19 А2В»> u4jBs,..., An Bn (1)

(здесь буквами А{ названы левые, буквами В{ — правые концы отрезков), обладающая свойствами:

* «Математика в школе» № 2, 1938, стр. 16-18.

1. Каждый последующий отрезок лежит внутри* предыдущего (совпадение левых или правых концов не исключено).

2. Не существует никакого отрезка, который лежал бы внутри одного из отрезков Ар Bp и внутри всех следующих за ним; тогда существует на прямой а одна п только одна такая точка х, которая будет лежать внутри всех отрезков данной последовательности (1).

Относительно положения этой точки х на прямой а следует заметить следующее: из условий аксиомы Кантора (для случая, когда каждый отрезок последовательности (1) строго лежит внутри предыдущего) прежде всего прямо вытекает, что 1) при любом к Ак лежит левее Вк; 2) если i > к, то Ai лежит правее Ак , а — левее Вк ; 3) любое Ai лежит левее всякого Вк, ибо если допустить, что какое-нибудь Ар лежит правее Вд , где р> q (в случае р < q в рассуждениях надо изменить роли At и В. ), то оказалось бы, что отрезок АрВр будет находиться внутри AP + 1BV + 1 и всех последующих стрезков, что находится в противоречии с условиями аксиомы; так как точка х, утверждаемая аксиомой Кантора, лежит внутри всех отрезков последовательности (1), то она будет находиться правее любой из точек А. и левее любой из точек В., как бы разделяя эти два класса точек. Другими словами, точки Ai приближаются к точке х, с одной стороны, точки В. — с другой.

Собственно, что больше одной точки, общей всем отрезкам последовательности (1), существовать не может,— это можно легко доказать. В самом деле, предположим, что существуют две такие точки хх и х2, и будем считать для определенности, что хх лежит левее лг2. В таком случае, в силу приведенной выше характеристики положения таких точек, мы имели бы на прямой а отрезок х±х2, внутри которого не нашлось бы ни одной точки А. или В.. Следовательно, любой из отрезков, лежащих внутри отрезка хгх2 (а такие отрезки в силу аксиом порядка существуют), лежа л бы внутри всех отрезков Aß^ что противоречит условиям аксиомы Кантора. Существование же одной точки приходится принять аксиоматически.

Бесконечную последовательность отрезков, удовлетворяющих условиям аксиом 1 и 2 Кантора, принято называть стягивающейся последовательностью отрезков.

Учитывая содержание слов «дана бесконечная последовательность» (отсюда следует, что самое понятие о бесконечной последовательности некоторых объектов должно быть заблаговременно проработано), мы можем при наличии заданной стягивающейся последовательности отрезков прямой как угодно близко* подойти к той точке X прямой, которая является общей точкой всех отрезков последовательности и существование которой утверждается аксиомой Кантора. В этом смысле можно говорить, что всякая заданная стягивающаяся последовательность отрезков прямой определяет на этой прямой единственную принадлежащую ей точку.

Покажем теперь, что

Теорема

На основе аксиомы Дедекинда (и необходимых аксиом групп I—IV) аксиома Кантора может быть доказана, как теорема.

Действительно, пусть дана стягивающаяся последовательность отрезков прямой а (черт. 1). Докажем, что существует одна и только одна такая точка х прямой а, которая лежит внутри всех отрезков дан-' ной последовательности. С этой целью разобьем все точки прямой на два класса: к нижнему (левому) классу отнесем все точки А. и все те точки прямой я, которые лежат левее хотя бы одной из точек А{9 a к верхнему (правому) классу отнесем все остальные точки прямой а. Это разбиение, очевидно, удовлетворяет условиям аксиомы Дедекинда (см. гл. 2), а поэтому в силу этой аксиомы на прямой а существует одна и притом только одна такая пограничная точка лг, которая есть либо самая правая в нижнем классе, либо самая левая в верхнем классе. Ясно, что эта точка х лежит правее любой точки А{ (совпадение возможно лишь в случае, когда, начиная, с некоторого номера /?, Ар^Ар + х^ Е: ^4р+2 =•••) и левег любой точки Bt (аналогичное замечание о возможности совпадения), т. е. лежит внутри всех отрезков данной последовательности, ч. т. д.

Выше уже было отмечено, что понятие о бесконечной последовательности и разъяс-

* Это значит, что все точки отрезка Ак Вк суть точки отрезка Ак — i Вк — 1, но не все точки отрезка A* — iB» — i суть точки отрезка АкВк.

* Слова «как угодно близко», имеющие метрический характер, мы употребляем здесь с целью пояснить содержащееся в следующем предложении слово «определяет».

нение смысла слов «дана бесконечная последовательность» должны быть своевременно и в подходящий момент проработаны. Хотя это понятие и потребует от учащихся известного напряжения, мы все же считаем, что в условиях средней школы его реализовать возможно; начать, разумеется, придется с рассмотрения примеров последовательностей рациональных чисел (например:

на образцах

которых и должен быть хорошо усвоен смысл слов «дана бесконечная последовательность». Естественно, что в связи с проработкой понятия о бесконечной последовательности придется проработать понятие предела (в таком, например, виде, как это сделано в томе I «Курса высшей математики» проф. А. К. Власова). После ознакомления с этими понятиями, по нашему мнению, целесообразно остановиться на рассмотрении так называемых пар последовательностей действительных чисел, (разумеется, что начать придется с рассмотрения пар последовательностей рациональных чисел). Под парой числовых последовательностей мы понимаем такие две бесконечные последовательности (рациональных или вообще действительных) чисел:

(1)

(2)

члены которых удовлетворяют следующим требованиям:

1) каждый член первой последовательности больше своего предыдущего члена (или равен ему); каждый член второй последовательности меньше своего предыдущего члена (или равен ему), т. е. имеют место условия:

2) каждый член первой последовательности обязательно меньше соответствующего ему (по номеру) члена второй последовательности, т. е. имеет место условие

3) разность между двумя соответствующими членами второй и первой последовательностей при неограниченном возрастании номера этих членов стремится к нулю, т. е. имеет место условие: какое бы сколь угодно малое положительное число £ мы не взяли, всегда можно найти такой номер .V, что при n^N будем иметь Ап — Qn<C$»

Примеры:

Из условий (1) и (2) вытекает следующее свойство членов пары последовательностей: каждый член последовательности (1) меньше каждого члена последовательности (2). Действительно, если ак есть любой член последовательности (1), то из условия ак<Ак и условия Ак^

Ак -хА{ следует прежде всего, что ûk меньше любого из Av А2,...,АК; далее из условия ак^ак+р (р=1, 2, 3,...) и условия ак + р < Ак + р следует, что ок<Ак + р (р= 1, 2, 3,...), т. е., что ак меньше любого изАк + 1У Ак + 2> Лс + з»—> т. е. ак меньше каждого члена последовательности (2).

Относительно пары числовых последовательностей можно предложить принять в качестве аксиомы следующее (достаточно, легко воспринимаемое) утверждение:

Аксиома сходимости пары числовых последовательностей:

Всякая пара последовательностей (рациональных или вообще действительных) чисел имеет единственный общий предел, т. е. существует единственное постоянное число i£, такое, что

Примечание. Мы привели редакцию аксиомы о сходимости пары числовых последовательностей сразу в ее общей форме. Само собою разумеется, что в практике средней школы ее надо будет сначала взять применительно к последовательностям рациональных чисел; затем — или при рассмотрении задачи измерения отрезков, или при рассмотрении операции извлечения корней — дать на основе ее определение иррационального числа и после этого (в подходящем месте) предложить принять ее уже применительно к последовательностям любых действительных чисел. Покажем, что Теорема. На основе аксиомы Дедекинда (и других необходимых числовых аксиом 1—16) аксиома о сходимости пары числовых последовательностей может быть доказана как теорема.

Действительно, пусть дана пара последовательностей рациональных или вообще действительных чисел:

(1)

(2)

Докажем, что существует одно и только одно постоянное число К, такое, что

С этой целью разобьем все множество действительных чисел на два класса: к нижнему классу отнесем все числа а{ и все те действительные числа, которые меньше хотя бы одного из чисел ß.; к верхнему классу отнесем все остальные действительные числа. Это разбиение, очевидно, удовлетворяет условиям числовой аксиомы Дедекинда (см. гл. 2), а поэтому в силу этой аксиомы существует одно и только одно такое пограничное постоянное действительное (рациональное или иррациональное) число К, которое является либо наибольшим числом в нижнем классе, либо наименьшим числом в верхнем классе, т. е. такое число, которое в силу свойства чисел наших последовательностей будет удовлетворять неравенствам:

(*)

(знак равенства не может стоять одновременно слева и справа от К).

Из неравенств (*) сейчас же следует, что

Никакое другое число К1% отличное от/Т, общим пределом нашей пары последовательностей служить не может, ибо, предполагая

мы получили бы К+ öl = Kt 4- ар где a, 0li — суть бесконечно-малые величины, откуда, следовало бы, что К — Kl = <zi — а, что невозможно.

Примечание 1. Предлагая аксиому о сходимости пары числовых последовательностей, полезно сопоставить ее с аксиомой Кантора.

Примечание 2. Введя термины «монотонно возрастающая» или «монотонно убывающая» последовательность, можно в порядке следствия рассматриваемой аксиомы указать известный признак сходимости таких последовательностей.

Примечание 3. Если данная пара числовых последовательностей будет пара последовательностей рациональных чисел (с рассмотрения каковых и придется начинать), то полезно показать, что в некоторых случаях общим пределом данной пары последовательностей будет являться число рациональное (примеры а ЧЬ — ; ö± — и т. п., где а — рациональное число); на примерах же построения пар последовательностей рациональных чисел в связи с понятием об извлечении корня или в связи с задачей измерения длин прямолинейных отрезков или углов показать, что в известных случаях никакое рациональное число общим пределом пары последовательностей в этих случаях служить не может. Поскольку существование общего предела аксиомой постулируется и поскольку задание пары последовательностей позволяет к этому пределу подойти как угодно близко (с недостатком или с избытком), можно этот предел назвать иррациональным числом и заданную пару последовательностей рациональных чисел принять за определение этого числа. (Подробности об исчислении пар последовательностей и развитое на этом учении об иррациональном числе можно найти, например, в книге К. Фербер «Арифметика» (развитие понятия числа), М., 1914.)

§ 16. Измерение длин

Начнем с простейшего случая — измерения длины прямолинейных отрезков. Каждый отрезок АВ, принадлежащий прямой а, обладает тем свойством, что множество принадлежащих ему точек (внутренних и его двух концов) занимает определенную часть множества всех точек прямой а (или, как коротко выражаются в преподавании: каждый отрезок обладает свойством занимать определенную часть прямой). Это свойство называется линейной протяженностью, или длиной (не в смысле меры) отрезка.

(Так как, с одной стороны, термин «длина отрезка» чаще употребляется в смысле меры длины, а термин «линейная протяженность», с другой стороны, звучит несколько громоздко, то при сравнении длин отрезков как линейных протяженностей принято просто говорить о сравнении отрезков.)

Изложенная в главе 2 система аксиом геометрии позволяет определить понятия равенства (конгруэнтности), неравенства и суммы* двух отрезков. Это дает основание

* Под суммой двух отрезков AB и CD, взятых на одной или на разных прямых, понимается отрезок OS, определяемый следующим образом: отправляясь от произвольной точки О какой-нибудь прямой а, откла-

длины отрезков (короче — отрезки) отнести к категории величин (и притом величин, непосредственно измеримых). Та же самая система аксиом позволяет установить и систему измерения прямолинейных отрезков, т. е. между множеством всех возможных прямолинейных отрезков, с одной стороны, и множеством всех действительных положительных чисел — с другой, провести такое однозначное соответствие, при котором:

1) равным (конгруэнтным) отрезкам отвечает одно и то же число;

2) отрезку, представляющему собою сумму двух отрезков, отвечает число, представляющее собой сумму чисел, соответствующих слагаемым отрезкам.

При установлении этого соответствия какому-нибудь произвольно взятому отрезку (концы которого не сливаются в одну точку) соглашаются заранее приписывать (ставить в соответствие) число 1 и называть этот отрезок единицей измерения, или масштабной единицей. Тогда число, отвечающее в устанавливаемом соответствии любому другому отрезку, называется мерой длины, или просто длиной этого отрезка, в системе измерения с выбранной масштабной единицей.

Примечание. Само собою разумеется, мы стоим на той точке зрения, что первоначальное понятие о длине отрезка как о числе, показывающем, сколько раз выбранная единица измерения содержится в измеряемом отрезке, должно быть дано в самом же начале прохождения курса геометрии, может быть даже в пропедевтической части. Естественно думать, что задачу об измерении отрезков в возможной ее полноте надо поставить перед прохождением отдела о подобии фигур с тем: 1) чтобы на основе ее решения установить столь важное для целей геометрии понятие, как понятие об отношении двух отрезков, и определить равенство двух отношений; 2) чтобы в сочетании с прохождением курса алгебры развить обобщение понятия о числе на область всех действительных чисел.

Итак, пусть некоторый отрезок MN принимается за единицу измерения. Возьмем какой угодно другой отрезок AB. Возможно три случая:

1. В отрезке AB отрезок MN укладывается целое число раз, скажем m раз (возможность откладывания MN на AB обеспечивается аксиомами конгруэнции).

В таком случае отрезку AB мы поставим в соответствие число m и назовем это число длиной (точнее — мерой длины) отрезка AB в единице MN [пишем: (AB) = = m или AB = m-MN]. Часто также это число m называют отношением отрезка AB к единичному отрезку MN (пишут:

2. В отрезке AB отрезок MN ие укладывается целое число раз, но некоторая п-я доля отрезка MN укладывается в AB целое число раз, скажем m раз (/z-й долей MN называется такой отрезок, который укладывается в MN п раз; возможность отыскания п-й доли отрезка, т. е. деления отрезка на п равных частей, обеспечивается аксиомами конгруэнции и аксиомой параллельности).

В таком случае отрезку AB мы поставим в соответствие дробное число — и назовем это число длиной (точнее мерой длины) отрезка AB в единице MN (пишут:

или

Часто также это число называют отношением отрезка AB к единичному отрезку ММ Спишут:

Из предложенного способа построения соответствия в обоих рассмотренных случаях (случай соизмеримых, или, как говорят, рациональных, отрезков) и принятых аксиом геометрии непосредственно вытекает, что:

a) равным (конгруэнтным) отрезкам соответствуют равные числа;

b) большему отрезку соответствует большее число;

c) отрезку OS = AB + CD соответствует число y = a+ß, где а и р суть числа, соответствующие отрезкам А В и СЭ, т.е. требования (1) и (2) построения системы измерения здесь выполняются.

Воспроизводя процесс в обратном порядке, мы одновременно убеждаемся, что обратно:

дывают на а (по любую от О сторону) отрезок ОМ, конгруэнтный отрезку AB, затем от точки M в направлении ОМ откладывают отрезок MS, конгруэнтный отрезку CD; отрезок OS и называется суммой отрезков AB и CD (OS =AB+CD).

d) всякому рациональному числу отвечает некоторый отрезок, соизмеримый с принятой единицей измерения; числу О ставится в соответствие отрезок, концы которого сливаются в одну точку.

Далее естественно поставить вопрос: всегда ли существует такая доля MN, которая укладывается в AB целое число раз, и как ее найти, если она существует. В связи с этим придется развернуть все необходимые моменты, связанные с хорошо известным алгоритмом Евклида, для отыскания общей наибольшей меры двух отрезков (все этапы применения этого алгоритма легко обосновываются аксиоматически) и вместе с тем привести (тоже хорошо известные) примеры существования несоизмеримых отрезков.

3. Отрезки AB и MN несоизмеримы.

В таком случае берем какую-нибудь п-ю долю MN и откладываем ее на AB до тех пор, пока в первый раз не «перешагнем» во внешнюю область отрезка AB (обязательность этой возможности обеспечивается аксиомой Архимеда). Пусть до момента выхода во внешнюю область 1/п доля MN уложилась в AB m раз (и мы достигли точки С, лежащей на чертеже 2 влево от В) и после выхода, следовательно, раз (и мы достигли точки D, лежащей на чертеже 2 вправо от В). Мы получаем два отрезка АС < AB и AD > AB, длины которых, согласно п. 2, будут выражаться числами

Эти числа естественно назвать приближенными значениями для отыскиваемой длины AB: первое — с недостатком, второе — с избытком, с точностью до 1/п доли единицы измерения MN, что в письме изображают так:

или

Часто также эти числа называют приближенными значениями отношения отрезка AB к единичному отрезку MN и пишут:

Представим себе, что мы стали бы проделывать отыскание таких приближенных отношений, деля MN на все большее и большее число частей:

п, ni = npi п2= ntq = npq,... (п, р, q,...— целые числа).

Мы получили бы тогда две бесконечные последовательности отрезков:

(1)

(2)

длины которых составили бы две бесконечные последовательности рациональных чисел:

(1*) (2*)

Нетрудно убедиться, что в последовательности (1) каждый последующий отрезок не меньше своего предыдущего, т. е. что

а в последовательности (2) каждый последующий отрезок не больше своего предыдущего, т. е. что

Действительно, из неравенства

следует, что

откуда вытекает, что если составить конечную последовательность возрастающих отрезков

то AB будет заключаться между двумя какими-нибудь смежными отрезками этой последовательности (совпасть с каким-нибудь отрезком этой последовательности AB не может, ибо тогда AB оказалось бы соизмеримо с MN, что противоречит предположению), т. е. будет иметь место неравенство

Черт. 2

где к может принимать значения 0, 1, 2,..., р—1. Но отрезки, стоящие на концах этого двойного неравенства, есть не что иное, как приближения к AB с точностью до Vnp единицы измерения, т. е. с точностью до 1/ni единицы измерения. Следовательно, можем написать, что

Беря для к в первой строчке наименьшее возможное значение О, а во второй строчке — наибольшее возможное значение р — 1, приходим к выводу, что

Аналогично можно доказать справедливость того, что

и что

Так как большему (рациональному) отрезку соответствует большее число, то сообразно доказанному будем иметь, что

причем разность

может быть сделана как угодно малой.

Теперь мы находимся в такой обстановке: с одной стороны, последовательности отрезков (1) и (2) определяют бесконечную последовательность отрезков

удовлетворяющую условиям аксиомы Кантора и определяющую точку В, значит можно сказать, что последовательности (1) и (2) определяют наш отрезок AB; с другой стороны, последовательности (1*) и (2*), представляющие собой пару числовых последовательностей, определяют некоторое действительное число лг.

Естественно это число х и поставить в соответствие отрэзку AB в проводимой нами системе измерения с единицей MN и назвать его длиной (точнее — мерой длины) отрезка AB в единице MN и писать: (АВ)=х, или AB = xMN. Часто также это число х называют отношением отрезка AB к единичному отрезку MN и пишут:

Нетрудно убедиться, что это число х не может быть рациональным числом, ибо если бы оно было рационально, т. е. если бы X = —, то из неравенств

следовало бы, что

т. е. что

откуда вытекало бы, что отрезок — MN определялся бы теми же самыми последовательностями (1) и (2), какими определяется отрезок AB, а так как последовательности (1) и (2) в силу аксиомы Кантора могут определять только один отрезок, то отсюда следовало бы, что

т. е. что AB было бы соизмеримо с МЛ/, что противоречит пред-

положению. Значит, х — число иррациональное.

Замечание1. Предлагаем, основываясь на идее доказательства только что приведенного утверждения, что в случае несоизмеримости - = х есть иррациональное число, самостоятельно доказать, что если при отыскании длины AB в случае его соизмеримости с MN, т. е. в случае, когда AB = -^- MN, применить тот же способ построения соответствия, какой был применен в случае несоизмеримости, то получающиеся при этом последовательности вида (1*) и (2*) будут определять именно число 7,» а не какое иное.

Замечание 2. Предлагается также самостоятельно доказать, что число, определяемое парой последовательностей (1*) и (2*), членами которых служат приближенные значения длины AB в единице MN с точностью до

(*), не зависит от того, каким именно рядом дробей, составленным по тому же закону, что и ряд (*), выражаются степени точности, с которыми последовательно находятся приближенные значения длины AB в единице M N.

Замечание 3. Если этого еще не будет сделано на уроках по алгебре, то здесь надо будет остановиться на ознакомлении с иррациональными числами, определяемыми парами последовательностей рациональных чисел, установить определения равенства и неравенства иррациональных чисел, и также действия над ними (по крайней мере сложение и вычитание).

Теперь остается показать, что при определении длины отрезков помощью пар числовых последовательностей сохраняют силу требования (1) и (2) построения системы измерения.

1. Действительно, пусть AB = CD; при построении для каждого из этих отрезков последовательностей вида (1)и (2) с одной и той же степенью приближения мы легко убеждаемся, что соответствующие члены этих последовательностей в обоих случаях будут равны; отсюда следует, что будут равны соответствующие члены для последовательностей вида (1*) и (2*) в обоих случаях, значит определяемые этими последовательностями числа в обоих случаях будут одинаковы, т. е. (AB) = (CD).

2. Пусть OS = AB + CD и пусть (AB) = а, где а — число, определяемое парой последовательностей вида (1*) и (2*), a (CD) = $, где ji — число, определяемое парой последовательностей тоже вида (1*) и (2*).

Докажем, что (OS) = уа В самом деле, с одной стороны, на основании правила сложения пар последовательностей мы можем сказать, что число a+ß определяется парой:

(1)

с другой стороны, из неравенств

и

следует, что

из которого видно, что — ЖЛ/'содержится в OS либо ап + bn раз (без остатка или с остатком), либо ап+ Ьп+\ раз (без остатка или с остатком). Но это значит, что приближение к OS с точностью

по недостатку будет либо либо

можно написать, что

где k есть или 0, или 1. Отсюда следует, что длина OS есть некоторое число у, определяемое парой:

(II)

Разность пар (I) и (II), т. е. разность а + ß — *у, по правилу вычитания пар будет выражаться парой

но эта последняя пара определяет число О, ибо все члены первой ее последовательности — отрицатель-

ны, а все члены второй ее последовательности

— положительны. Следовательно, a -f - ß — Y = О, т. е. Y = a-f ß, ч т. д.

3. В порядке следствия теперь вытекает, что если ЛЯ>СО, то (AB) = a >(CD)=ß. Действительно, раз AB>CDt то АВ = = CD + /?, где R — некоторый отрезок; в таком случае а = ß + S, где S = (/?) — длина /?, а в таком случае a]>ß.

4. Воспроизводя процесс определения длины отрезка при помощи пар в обратном порядке, легко убеждаемся, что, обратно,— всякому действительному числу отвечает отрезок, для которого это число служит длиной.

Сделаем в заключение обзора вопроса об измерении длин отрезков несколько замечаний, относящихся к понятию об отношении двух любых отрезков AB и CD:

Замечание 1. Если бы CD был выбран в качестве единицы измерения, то, применяя вышеописанный процесс, мы поставили бы отрезку AB в соответствие некоторое действительное (рациональное или иррациональное) число а, которое назвали бы длиной AB в единице CD или отношением AB к единичному отрезку CD и записали бы = а. Вместе с тем ясно, что весь процесс и определение числа а можно сохранить даже и в том случае, когда CD не будет выбрано в качестве единицы измерения. Тогда это число а уже не будет служить длиной (точнее — мерой длины) отрезка AB и его (число а) в этом случае называют уже не длиной AB, а мерой отношения, или просто отношением отрезка AB к отрезку CD, и пишут попрежнему:^д = сс. Можно доказать, что если оба отрезка AB и CD измерить одной и той же единицей MTV, то получаемое при вышеописанном процессе отношение AB = а будет совпадать с частным от деления длины отрезка AB на длину отрезка CD; доказательство это мы, однако, приводить не будем.

Замечание 2. Если для двух отношений

приближенные значения их, находимые с любой, но одной и той же степенью точности, будут равны, то равны будут и сами отношения, ибо в этих условиях члены пар последовательностей вида (1*) и (2*) будут одинаковы, и в обоих случаях в силу принятых аксиом пары будут определять одно и то же число, т. е. а будет равно а1э и можно писать, что

Как известно, две пары отрезков АВУ CD и AtBv CtDt в этом случае называются пропорциональными.

Перейдем теперь к рассмотрению построения системы измерения длин дуг окружностей. Здесь возможны два направления: 1) либо можно ставить себе целью построить систему измерения дуг окружности, беря в качестве единицы измерения некоторую дугу той же окружности; 2) либо можно ставить себе целью построить систему измерения дуг окружности, беря в качестве единицы измерения некоторую линейную единицу, т. е. некоторый прямолинейный отрезок. При первом направлении, поскольку вполне строго можно определить равенство, неравенство и сумму двух дуг одной и той же окружности, длины дуг (не в смысле меры, а в смысле линейной протяженности) принадлежат к категории величин и притом непосредственно измеримых. Поэтому построение системы измерения дуг окружности в этом случае можно полностью провести по тому же самому плану, который был изложен в построении системы измерения прямолинейных отрезков, и каждой дуге окружности поставить в соответствие некоторое число, которое можно будет назвать длиной (точнее— мерой длины) этой дуги в единичной дуге той же окружности.

Поскольку измерение дуг в этом смысле теснейшим образом связано с построением измерения углов, то на этом мы подробнее остановимся в следующем параграфе, который как раз и будет посвящен обзору вопросов, связанных с построением системы измерения плоских углов.

Следует сейчас же отметить, что решение задачи о построении систем измерения дуг в одном первом направлении не может удовлетворить ни научных, ни практических потребностей. Действительно, в чем лежат научная и практическая ценности решения задачи о построении системы измерения линейных протяженностей. В том, что, построив систему измерения, мы получаем возможность вопросы, связанные с определением и сравнением протяженностей, редуцировать (свести) к вопросам определения и сравнения чисел, в связи с чем для научных и практических потреб-

ностей получаются огромные, хорошо всем известные преимущества. Но линейные протяженности бывают различных видов — линейная протяженность прямолинейных отрезков, линейная протяженность дуг окружностей, линейная протяженность других кривых. Многие вопросы математики вызывают необходимость сравнения протяженностей не только одного и того же вида, но и разных видов. Ясно, что если в нашем распоряжении будут находиться системы измерения линейных протяженностей только для каждого отдельного вида (т. е. системы с различными и несравнимыми единицами измерения), то подчеркнутая выше ценность построения систем измерения в значительной степени будет ослаблена, ибо в этих условиях мы будем не в состоянии сравнение протяженностей различных видов редуцировать на сравнение чисел. Поэтому, естественно, возникает необходимость разработать систему измерения линейных протяженностей различных видов, беря в качестве единицы измерения все время одну и ту же единицу, в качестве каковой, естественно (и вполне понятно — почему), берут именно линейную единицу.

Таким образом, мы стоим перед задачей построить систему измерения дуг окружностей (а равно и дуг других кривых) при линейной единице. Ясно, что метод построения соответствия между измеряемыми величинами и числами (называемыми мерой этих величин), который мы применяли при построении системы измерения прямолинейных отрезков, здесь становится неприменимым, ибо он был основан на возможности откладывания прямолинейной единицы измерения на измеряемых объектах, чего теперь будет сделать нельзя, ибо прямолинейную единицу и никакую часть ее на дуге кривой уложить невозможно.

Следовательно, необходимо найти новый способ установления соответствия между дугами и числами при прямолинейной единице измерения и в связи с этим определить, что мы будем понимать под длиной дуги окружности и вообще под длиной дуги любой кривой.

Для того чтобы оценить по достоинству принципиальные трудности решения задачи о построении системы измерения дуг кривых линий и выяснить вместе с тем, что является доступным и реализуемым в рамках преподавания элементарной математики, мы начнем с напоминания, как решается эта задача в курсе высшей математики.

Пусть дана кривая уравнениями

и на ней дуга Л£(а< t <3).

Делят числовой отрезок (а, ß) на п частей (необязательно равных), т. е. берут для t значения t0 = а < tt < /2 <С ••• <С <tn = $y и строят на кривой точки Л, Аи Л2,...,£. Соединяя эти точки в последовательном порядке прямолинейными отрезками, получают ломаную, вписанную в данную дугу кривой. Длина этой ломаной будет:

Теперь заставляют число разбиений п (т. е. число звеньев ломаной линии) неограниченно возрастать так, чтобы при этом длина каждого звена ломаной неограниченно уменьшалась, и тщательно исследуют два вопроса: 1) существует ли при этом для Sn предел и 2) одинаков ли он будет при различных способах разбиения отрезка (а, ß) на возрастающее число п частей. Примеры г оказывают, что не всегда (т. е. не для всякой кривой) предел для Sn существует и не всегда он будет одинаков. Доказывается вместе с этим теорема, что если функции <р (t) и ф (/) на отрезке (а, ß) непрерывны и имеют непрерывные производные, то lim Sn существует и не зависит от способа разбиения участка (а, ß) на возрастающее число п частей, лишь бы при этих разбиениях длина каждого звена ломаной стремилась к нулю; вместе с тем устанавливается, что

что в свою очередь служит аппаратом для отыскания этого предела. Число, выражаемое написанным определенным интегралом, и предлагается в порядке определения принять за меру длины (короче — за длину) дуги AB. Таким образом установлен способ, при помощи которого каждой дуге кривой линии, координаты которой суть

Черт. 5

непрерывные на участке (а, [>) функции, обладающие там непрерывными производными*, ставится в соответствие определенное число, называемое длиной дуги. Показывается одновременно, что при этом способе дуге АСВ = ^ АС + ^ С В соответствует число, равное сумме чисел, соответствующих дугам АС и Со, и что совмещающимся дугам соответствуют равные числа, т. е. показывается, что требования (1) и (2) для построения системы измерения величин при этом способе удовлетворяются.

Ясно, что этим способом можно пользоваться и для измерения длины дуги окружности, единственной кривой, изучаемой в курсе элементарной геометрии, поскольку эта кривая непрерывна и обладает непрерывно вращающейся касательной.

Является, естественно, вопрос, нельзя ли этот способ построения системы измерения дуг при помощи предельного перехода от вписанных в дугу ломаных линий реализовать для окружности (учитывая простоту характера этой кривой) элементарным способом, не прибегая к понятию об интеграле. Дело обстоит так: если взять дугу AB окружности (черт. 4) и воспользоваться не произвольными ломаными, вписываемыми в эту дугу, а лишь правильными, то элементарными способами (со ссылкой на аксиому о сходимости пары числовых последовательностей) можно доказать, что предел длины такой вписываемой правильной ломаной линии при неограниченном (кратном) увеличении числа ее звеньев будет существовать; можно также элементарным приемом доказать, что этот предел не будет зависеть от способа выбора возрастающего числа звеньев ломаной, однако принять этот способ в качестве устанавливающего систему измерения дуг на окружности невозможно, потому что доказать при нем (приняв в качестве определения за длину дуги окружности предел, к которому стремится вписанная в дугу правильная ломаная линия при неограниченном увеличении числа ее звеньев) утверждение, что длина суммы равна сумме длин слагаемых, невозможно (хотя первое требование при построении системы измерения, что равным дугам соответствуют равные длины, доказуется легко). Действительно, когда мы возьмем на дуге AB какую-нибудь точку С (черт. 4) с тем, чтобы рассматривать дугу AB как сумму двух дуг, то эта точка С может не оказаться вершиной (угловой точкой) никакой правильной ломаной, вписываемой в дугу AB. Итак, воспользоваться для построения измерения дуг окружностей правильными ломаными, вписываемыми (или описываемыми) в дугу окружности, нельзя. Применять произвольные вписанные ломаные линии, как это делается в высшей математике, при элементарных способах тоже невозможно. Где же выход? Существует один выход,* при котором предварительно элементарными способами устанавливается система измерения площадей круговых секторов, но этот выход методически плохо приемлем. Существует и другой выход, который был найден великими основоположниками геометрии Евклидом и Архимедом и который состоит в том, что предварительно элементарными методами определяется длина всей окружности, после чего длина дуги определяется как определенная часть длины всей окружности. Это и есть тот прием, которым возможно пользоваться (и пользуются) в изложении курса элементарной геометрии. Просмотрим вкратце его обоснование.

Пусть дана окружность радиуса R. Впишем в нее и опишем вокруг нее правильные n-угольники; пусть периметры этих многоугольников будут обозначены через Рп (вписанного) и Qn (описанного). Легко обосновывается, что Pn<ZQn.

Пусть теперь строится бесконечная серия новых вписанных и описанных многоугольников, число сторон которых увеличивается по закону кратности; тогда дли-

Черт. 4

Черт. 5

* Кстати сказать, такими кривыми не исчерпывается класс кривых, допускающих установку для них понятия длины дуги (класс спрямляемых кривых).

* Бибербах, Диференциальное и интегральное исчисление, ч. 2, М., 1923, стр. 89.

ны периметров этих многоугольников дадут две бесконечные последовательности чисел:

(1)

(2)

для которых легко обосновывается, что

Сверх этого сравнительно легко обосновать также, что разность Qn — Рп неограниченно уменьшается при я->оо. Следовательно, последовательности (1) и (2) представляют собою пару числовых последовательностей, для которых по аксиоме существует общий предел, назовем его S. Этот предел не зависит от способа выбора пар n-угольников, лишь бы увеличение числа сторон у них происходило по закону кратности (какому угодно). Действительно, пусть будет построена другая пара последовательностей (Prx, Qrx) и пусть общий предел для нее будет 5е. Так как любое Ргх меньше всякого Qn, то SX<:S; так как любое Q* больше всякого Рп, то Sx^St откуда следует, что S* = S. Согласимся в качестве определения число S, являющееся общим пределом длин периметров вписанных и описанных в некоторую окружность многоугольников при неограниченном увеличении по закону кратности (можно брать просто: при удвоении) числа их сторон, называть линейной длиною (короче — просто длиною) этой окружности.

Далее (опираясь на теорему, что если переменные равны, то равны и их пределы) легко доказывается, что

и обозначая эту постоянную через 7Г, получают формулу S = 2izR. Установив это, воспользуемся тем, что в нашем распоряжении есть (или может быть построена для данной окружности система измерения дуг с дуговой единицей, хотя бы общепринятой единицей в форме дуги, равной —- части окружности (1°), и согласимся под линейной длиной дуги окружности понимать число, равное произведению линейной длины всей окружности (которой принадлежит взятая дуга) на отношение градусной меры дуги к градусной мере всей окружности, т. е. если градусная мера взятой дуги будет а°, то под линейной длиной дуги AB понимается число

При этом определении сразу видно, что если на одной и той же окружности взяты две дуги Ç^AB и WCD) и притом “ AB = = WCD, то и CAB) = CCD). Далее, если ~АСВ = Wi4C+ ~СВУ то в градусной единице будем иметь, что у° = а0 -(-+ ß°, и тогда сразу получается, что и в линейной единице (~ЛС£) = (~ЛС) ++ (WC£). Тем самым показано, что при принятом определении линейной длины дуги требования (1) и (2) для построения системы измерения величин удовлетворены.

§ 17. Измерение плоских углов

В главе 2 было указано, что аксиома Архимеда переносится и на углы. Покажем сейчас прежде всего, что на углы переносится и аксиома Кантора, которую можно для углов формулировать так. Пусть дана бесконечная последовательность углов с общей вершиной О (черт. 6):

обладающая следующими свойствами:

(т. е. каждый последующий угол лежит внутри предыдущего, причем совпадение первых или вторых сторон (если вести, например, счет сторон от а против стрелки часов) не исключено).

Черт. 6

2) Не существует угла, который, находясь внутри 2$. (Яр, £р), находился бы внутри всех следующих углов

Тогда существует один и только один луч, выходящий из О, который будет лежать внутри всех углов данной последовательности.

Этот луч (назовем его через X) будет отделять все лучи а. от всех лучей д..

Действительно, если на лучах ау b взять какие-нибудь точки А и Ву то в силу замечания, вытекающего из аксиомы Паша (см. гл. 2), лучи al9 Ь1% а2, Ь2. .. будут пересекать прямую AB в точках Al9 Blt Л2, ß2>-> расположенных между точками А и В и при этом в таком порядке, что на прямой AB получится бесконечная последовательность отрезков:

(а)

удовлетворяющих условиям аксиомы Кантора для прямой. Существует поэтому на прямой AB такая точка X, и притом только одна, которая принадлежит всем отрезкам последовательности (а) и которая отделяет точки А{ от точек Вг Следовательно, существует такой луч ОХ~х и притом только один, который лежит внутри всех углов (аг> Ь.) данной последовательности ( 1 ) и который отделяет все лучи ai от всех лучей bv ч. т. д.

Поскольку это так и поскольку аксиомы конгруэнции позволяют определить понятия «равно», «больше», «меньше» для углов совершенно аналогично определениям этих понятий для прямолинейных отрезков, то отсюда следует, что, согласившись некоторому углу приписать (поставить в соответствие) число 1, мы можем построить систему измерения углов, удовлетворяющую требования (1) и (2), совершенно аналогично построению системы измерения отрезков, повторив полностью все этапы и моменты, изложенные в предыдущем параграфе, которые заново приводить нет, конечно, никакой необходимости. (Между прочим, было бы весьма интересно в связи с рассмотрением случая угла, несоизмеримого с углом-единицею, построить один или несколько примеров существования несоизмеримых углов, примеров, по возможности, столь же ярких, какие мы имеем для иллюстрации существования несоизмеримых отрезков; вообще доказать существование несоизмеримых углов нетрудно, но ярких примеров, где бы алгоритм Евклида, примененный к углам, не заканчивался, мы нигде в литературе не видели.)

Как упоминалось в предыдущем параграфе, при построении системы измерения дуг окружности, кроме линейной системы, можно, по аналогии с построением системы измерения прямолинейных отрезков, построить дуговую систему измерения, беря в качестве единицы измерения некоторую дугу окружности. В силу хорошо известных теорем, устанавливающих связь между дугами окружности и соответствующими центральными углами, построение системы измерения углов эквизалентно построению дуговой системы измерения дуг окружности. Следовательно, построив дуговую систему измерения дуг окружности, можно ее непосредственно перенести в систему измерения углов и наоборот. Как известно, при построении дуговой системы измерения дуг окружности наибольшее распространение имеют два способа выбора единицы измерения: 1) когда в качестве единицы берется дуга, равная 1/360 всей окружности и называемая градусом (градусная система); 2) когда в качестве единицы берется дуга, линейная длина которой равна радиусу взятой окружности и которая называется радианом (радианная система). Сообразно этому, в силу упомянутой эквивалентности, в практике измерения углов также наибольшей распространенностью пользуются две системы — градусная и радианная.

§ 18. Измерение площадей

Начнем с простейшего случая — измерения площадей простых многоугольников. В главе 2 было указано, что каждый простой многоугольник делит плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю— и что, следовательно, множество внутренних точек простого многоугольника вместе с точками ломаной линии, его образующей, представляет собой множество точек, являющееся частью множества всех точек плоскости (или, как часто выражаются в преподавании,—каждый простой многоугольник обладает свойством занимать некоторую часть плоскости). Это свойство простых многоугольников называется их плоскостной протяженностью, или площадью (не в смысле меры). Будем в дальнейшем для сокращения речи употреблять только термин «площадь». Возникает вопрос: можно ли это свойство

простых многоугольников отнести к категории величин? Как известно, величинами называются какие-нибудь объекты или свойства объектов, которые при сравнении с им подобными (может быть, лучше сказать — однородными) позволяют определить понятия равенства и неравенства так, чтобы имели место следующие условия, в которых буквами Л, В, С обозначены любые определенные состояния рассматриваемой величины:

I. Всегда существует А = А\ утверждение А = В влечет утверждение В = А.

II. Если Л = С и В = С, то А=В.

III. Если Л>Б и ß>C, то Л>С.

Эти условия поззоляют рассматривать множество величин какого-нибудь рода как множество упорядоченное и, следовательно, обеспечивают возможность построения системы измерения этих величин. При этом, однако, при установлении определений равенства и неравенства, должны быть сверх I — III обеспечены еще требования, чтобы:

а) На основе определений равенства и неравенства должно быть или А*>В, или А < В, или А = В (условие возможности упорядочения).

Р) Если Л>£, то не может одновременно быть А < В или А = В (условие единственности упорядочения).

Оказывается, дать такие определения равенству и неравенству площадей простых многоугольников, которые удовлетворяли бы только что указанным условиям, возможно, и, следовательно, площади простых многоугольников можно с полным основанием отнести к категории величин. Если к определениям равенства и неравенства площадей добавить еще соответствующим образом установленное понятие суммы площадей двух простых многоугольников, то будет возможно построить систему измерения этих величин, т. е. между площадями всех простых многоугольников и действительными положительными числами установить такое однозначное соответствие, которое удовлетворяет следующим двум требованиям:

1) если площади двух простых многоугольников равны, то им соответствуют равные числа;

2) если площадь какого-нибудь простого многоугольника рассматривается как сумма площадей двух простых многоугольников, то ей соответствует число, являющееся суммой чисел, соответствующих площадям составляющих многоугольников.

Число, отвечающее в устанавливаемой системе измерения площади взятого простого многоугольника, называется мерой площади этого многоугольника.

Замечание. Как известно, в преподавании геометрии сложилась привычка, вызванная стремлением достигнуть сокращения речи: вместо слов «мера площади» какой-нибудь фигуры употреблять слово «площадь» этой фигуры. Против этого можно не возражать при условии, если будут неоднократно подчеркнуты различие в понятиях «площадь» и «мера площади» и условность принимаемого сокращения.

Система измерения площадей простых многоугольников, а также площади круга и его частей была разработана Евклидом (и дополнена Архимедом), но Евклид при разработке этой системы условия I — III принял как аксиомы (Архимед добавил к ним еще свой 5-й постулат), постулируя тем самым, что площади суть величины и что, следовательно, для площади всякой фигуры существует число, являющееся мерой площади этой фигуры (ибо принятие условий I — III обеспечивает построение системы измерения). Таким образом, по Евклиду, задача измерения площадей заключалась не в том, как определить числа, долженствующие служить мерой площади рассматриваемых фигур, а в том, чтобы найти уже существующие числа, при этом заранее никак не определенные. Ясно, что такая постановка задачи измерения площадей будет прежде всего неизбежно вызывать затруднения в смысле установления общих методов для отыскания меры площади. Исторически так и было: после того как греки сравнительно просто установили метод (метод превращения или метод квадратур) для отыскания площадей простых многоугольников и затем уже с довольно большим напряжением метод (метод исчерпания) для отыскания площадей кругов и сегментов парабол, прошло много столетий, в течение которых было затрачено немало усилий для отыскания площадей различных других фигур, пока с созданием диференциального и интегрального исчислений не был установлен общий метод решения задачи измерения площадей, вызвавшей вместе с тем ревизию и самого взгляда на постановку этой задачи.

Далее в тех, например, случаях, когда площадь некоторой фигуры разложена на две части (черт. 7) и в наших руках будет находиться способ найти непосредственно меру площади каждой отдельной части, но не будет способа найти непо-

средственно меру площади всей фигуры, где гарантия того, что действительно мера площади всей фигуры равна сумме мер площадей, составляющих ее частей?! Вы скажете — в утверждении, что мера целого должна равняться сумме мер составляющих его частей, но ведь это утверждение в евклидовской постановке задачи измерения площадей только допускается, но само по себе ни в какой степени не представляется очевидным, а проверить его в указанной обстановке невозможно.

В этих замечаниях скрываются слабость и неубедительность евклидовского построения системы измерения площадей. Иллюстрируем второе замечание одним примером, на котором попутно выясним сущность метода исчерпания (или метода Евдокса, как его иногда называют).

Идея метода исчерпания покоится на утверждении: если от целой величины отнять некоторую часть, от остатка снова отнять некоторую часть, от нового остатка опять отнять часть и так продолжать все далее и далее, то можно таким образом исчерпать всю целую величину. Значит, для получения меры целой величины нужно найти лишь такой прием, при помощи которого было бы можно находить меру отнимаемой каждый раз ч_асти, и затем все получающиеся числа сложить— в этом и состоит сущность метода исчерпания. Очень ярким примером применения этого метода служит прием Архимеда для вычисления площади сегмента параболы. Архимед берет сегмент параболы АОВ (черт. 7) и вписывает в него какой-нибудь треугольник АСВ, мера площади которого пусть будет равна числу Q; этим самым отрезает от сегмента некоторую часть и в остатке получает два сегмента, примыкающие к сторонам АС и СВ треугольника ABC. Затем проводит касательные к параболе, параллельные сторонам АС и ВС и точку касания M первой касательной соединяет с Л и С, а точку касания N второй касательной — с В и С, получаются два треугольника—AMC и BN С, и этим самым от предыдущего остатка площади сегмента отрезаются еще две части.

Архимед доказывает (доказательство в современной форме см., например, у Гурса — Курс математического анализа, т. I), что площадь каждого из этих треугольников составляет 1/8 часть площади первоначального треугольника ABC, т. е. площадь каждого равна —. От первоначального сегмента параболы осталось теперь 2 сегмента, примыкающие к сторонам AM. и СМ треугольника AMC, и еще 2 сегмента, примыкающие к сторонам В и С трэугольника BNC. Проделаем для каждого из этих сегментов то же самое, что проделывалось над остававшимися сегментами в предыдущий раз; это дает нам возможность отрезать от каждого из этих сегментов по треугольнику, площади которых будут составлять 1/8 часть от площади треугольника AMC или BNC, т. е. площадь каждого будет равна —-. В остатке после этого останется 8 сегментов, с каждым из которых проделаем то же самое, что и в предыдущий раз, что еще даст нам возможность отрезать 8 треугольников площадью в каждый, и так продолжаем дальше и дальше.

По идее, лежащей в основа метода исчерпания, площадь первоначального сегмента АОВ, назовем ее S, должна равняться сумме всех отнятых раз за разом частей, т. е.

или

Но сумма, стоящая справа, замечает Архимед, есть сумма членов бесконечной геометрической прогрессии, поэтому

Итак, опираясь на идею метода исчерпания, площадь сегмента параболы мы нашли, но прием, примененный для этого,

Черт. 7

годится только для сегмента параболы, ни к каким сегментам других кривых он не применим. Так, для отыскания площади круга по этому же методу исчерпания надо было уже применять другой прием, а именно: вписать в круг правильный n-угольник (например квадрат), в остатке получится п сегментов; от каждого из них отнять по равнобедренному треугольнику, получающемуся от соединения середины дуги сегмента с ее концами, в остатке получится 2 п сегментов (более мелких); с каждым из них проделывается то же самое, что и с предыдущими, и так дальше и дальше.

Возьмем теперь фигуру (черт. 7), образованную дугою параболы, опирающейся на отрезок AB, и полуокружностью, для которой тот же отрезок AB служит диаметром, но расположенной по другую сторону, относительно AB, нежели дуга параболы. Для каждой из двух частей, на которые отрезок AB делит площадь этой фигуры, прием для вычисления их площадей есть, но для всей фигуры элементарного приема (даже привлекая на помощь теорию пределов) найти нельзя. Значит проверить, что площадь всей фигуры действительно равна сумме площадей составляющих ее частей, нельзя, остается только допускать, что это так, с чем критически настроенная мысль может и не пожелать мириться.

Необходимость построения системы измерения площадей по-иному, нежели так, как это сделано у Евклида, для нас, ознакомившихся с системой аксиом геометрии по Гильберту, выясняется еще и с другой стороны. В главе 2 было отмечено, что гильбертовская система аксиом обладает свойством полноты, значит все здание геометрии, в том числе и теория измерения, должно быть построено исключительно на основе аксиом пяти групп системы Гильберта. Следовательно, условия I—III, а также а) и ß) этого параграфа, обеспечивающие возможность построения системы измерения площадей, не должны постулироваться, а должны быть обоснованы принятой нами гильбертовской системой аксиом. Посмотрим же кратко, как это обоснование можно провести в случае измерения площадей простых многоугольников (с тем, чтобы затем присоединением предельного процесса оно было узаконено и для измерения площадей криволинейных фигур), после чего выясним, что из всего этого может быть реализовано в рамках преподавания элементарной геометрии и какую, следовательно, методику изложения раздела об измерении площадей можно там рекомендовать.

Для линейных протяженностей (т. е. длин прямолинейных отрезков, дуг окружностей) понятие об их равенстве тождественно с понятием об их совпадении (конгруэнтности). Аналогичного утверждения по отношению к плоскостным протяженностям (площадям) высказать уже нельзя, так как могут, очевидно, существовать несовпадающие (неконгруэнтивы) фигуры, имеющие тем не менее равные площади. Это обстоятельство заставляет искать, кроме конгруэнтности, еще другие формы для выражения соотношения между фигурами равной площади. Этими другими формами в случае простых многоугольников являются равносоставленность и равновеликость. Определения:

1) Два простых многоугольника называются равносоставленными, если их можно разложить на одинаковое число попарно конгруентных треугольников.

2) Два простых многоугольника называются равновеликими, если к ним возможно добавить равносоставленные многоугольники так, чтобы оба получающиеся многоугольника были равносоставленными.

Из этих определений сейчас же следует, что от соединения равносоставленных многоугольников снова получаются многоугольники равносоставленные; если от равносоставленных многоугольников отнять равносоставленные многоугольники, то остающиеся многоугольники могут оказаться неравносоставленными, но они будут равновеликими.

Вдумываясь в содержание понятия площади, мы видим, что равенство площадей двух простых многоугольников Р и Q, естественно, определить в следующих трех формах:

a) Площади двух простых многоугольников считаются равными, если эти многоугольники окажутся конгруэнтными (равенство через совпадение).

b) Площади двух простых многоугольников считаются равными, если эти многоугольники окажутся равносоставленными (равенство через разложение).

c) Площади двух простых многоугольников считаются равными, если эти многоугольники окажутся равновеликими (равенство через дополнение и разложение).

Из этих определений сейчас же следует, что во всех трех случаях: Р = Р} и из

положения Р = Q вытекает, что Q = Р, где именами Р и Q для краткости названы площади многоугольников Р и Q, Таким образом, условие I выполнено.

Сообразно трем формам определения равенства можно дать три формы определения неравенства площадей:

аА) Р считается большей Q (P>Q), если многоугольник Р содержит часть, конгруэнтную с многоугольником Q;

b2) Р считается большей Q (P>Q), если многоугольник Р содержит часть, равносоставленную с многоугольником Q;

cL) Р считается большей Q (P>Q), если многоугольник Р содержит часть, равновеликую с многоугольником Q.

Из этих определений сейчас же следует, что во всех трех случаях: если P>Q и Q>/?, то Р>/?, где через Р, Q, R названы площади трех многоугольников.

Таким образом, условие III выполнено.

Докажем теперь, что во всех трех случаях выполняется также условие II, т. е., что если Р = /? и Q = R, то Р ~ Q.

a) Если два многоугольника порознь конгруэнтны третьему, то они конгруэнтны между собою— это ясно без дальнейшего.

b) Если два многоугольника порознь равносоставлены с третьим, то они равносоставлены между собою (черт. 8).

Черт. 8

Доказательство. По предположению Р и Q допускают такое разложение на треугольники, что каждому из этих двух разложений в отдельности отвечает разложение многоугольника R на конгруэнтные треугольники. (На чертеже разложение Р нанесено сплошными линиями, разложение Q — удлиненным пунктиром; соответствующими линиями указаны соответствующие разложения и многоугольника R.) Рассматривая одновременно эти разложения /?, мы увидим, что вообще каждый треугольник одного разложения разрезается отрезками, принадлежащими второму разложению, на многоугольники.

Разрезаем каждый из встречающихся в R таких многоугольников каким угодно способом на треугольники (на чертеже линии разреза указаны мелким пунктиром). Эти дополнительные разрезы проходят по треугольникам, отвечающим или разложению Р, или разложению Q. Переносим эти дополнительные разрезы соответственно на Р и на Q (на чертеже они тоже указаны мелким пунктиром). Тогда становится очевидным, что оба многоугольника Р и Q разлагаются на одинаковое число попарно конгруэнтных треугольников, т. е. эти многоугольники равносоставлены между собою.

с) Если два многоугольника порознь равновелики третьему, то они равновелики между собою.

Доказательство. Пусть для краткости значок Q будет обозначать слово равносоставлен, значок [~~| будет обозначать слово равновелик. Тогда по предположению имеем:

отсюда следует, на основании случая Ь), что Р+Р □ Q + и Р □ QL.

Вычитая второе из этих соотношений из первого, получаем, что Р (~~| Q, и т. д.

Следствием этих теорем является возможность евклидова метода превращения любого простого многоугольника в равновеликий ему треугольник, а этого последнего в треугольник с наперед заданными стороной и прилегающим к ней углом, например в прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен единице. (Этот евклидов метод превращения фигур приводится в каждом руководстве по геометрии.)

Остается теперь показать, что при принятых определениях равенства и неравен-

ства площадей выполняются также условия а) и ft.

Воспользуемся с этой целью некоторыми данными топологии1.

В топологии установлено:

1) Если одно из двух возможных направлений обхода контура какого-нибудь многоугольника Я согласиться считать положительным, а противоположное направление отрицательным, то целесообразно и площадь этого многоугольника в первом случае считать положительной и обозначать через +Р (или просто Я), а во втором случае считать отрицательной и обозначать через —Р. Многоугольник с выбранным направлением обхода его контура называется ориентированным многоугольником.

2) Для всякого ориентированного многоугольника Я, взятого в евклидовой плоскости, имеет место следующее его свойство: если такой многоугольник при помощи прямолинейных отрезков разбить каким угодно способом и на сколько угодно составляющих (частичных) многоугольников Pi и если потребовать, чтобы каждый режущий отрезок (т. е. отрезок, не являющийся стороной Р) при обходе контуров двух любых примыкающих к нему составляющих многоугольников пробегался в противоположных направлениях, то с этим самым на каждом составляющем многоугольнике устанавливается определенное направление (положительное или отрицательное).

3) Если при каком-нибудь разбиении ориентированного в плоскости Евклида многоугольника Р на составляющие многоугольники Я# окажется, что всякий режущий отрезок пробегается в одном направлении столько же раз, сколько и в другом2, а всякий отрезок, являющийся стороной многоугольника Я, в одном направлении пробегается на один раз больше, чем в другом, то относительную площадь многоугольника Р можно рассматривать как алгебраическую сумму площадей составляющих его многоугольников Я4, т. е. Я=ЕЯ4.

Опираясь на эти данные, а также на метод координат, возможность применения которого узаконена в предыдущей главе, мы покажем, что каждому многоугольнику Р можно поставить в соответствие некоторое число, которое будем называть мерой площади (короче — площадью) многоугольника и обозначать через (Я), удовлетворяющее требованиям: 1) если P=Q (во всех трех формах), то и (Я) = (Q); 2) если P=Q+R> то (P) = (Q)+(/?), причем в процессе проведения устанавливаемой таким образом системы измерения площадей покажем одновременно, что для двух любых многоугольников Я и Q удовлетворяются условия а) и р). Начнем с треугольников.

Пусть в плоскости, отнесенной к декартовой прямоугольной системе координат ход, взят треугольник Д = ЛВС с вершинами в точках А (хх; у{); В (х2; У2)'> С (хг;уъ) и направлением обхода ABC А. Согласимся число, выражаемое детерминантом

в устанавливаемой системе измерения площадей ставить в соответствие взятому треугольнику Д и называть это число мерою площади1) этого треугольника и обозначать через (Д). Таким образом

Черт. 9

1 «Топология есть геометрия непрерывности; она изучает свойства геометрических фигур, которые сохраняются при всех взаимнооднозначных и взаимнонепрерывных отображениях, и, кроме того, свойства, самих этих отображений». Топология опирается на те же геометрические аксиомы, что и геометрия Евклида. См. Александров и Ефремович, Очерк основных топологических понятий, М., 1936.

2 При разбиениях может оказаться, что к какому-нибудь отрезку будет примыкать не два, а большее число составляющих многоугольников.

1) То, что здесь предлагается площадью треугольника называть число, вдвое большее против общепринятого выражения площади треугольника, существенного значения не имеет,— это равносильно изменению масштаба.

Если направление обхода изменить, т. е. взять направление АСВА, то это приведет к треугольнику—Д. Из свойств детерминантов сейчас же следует, что (—Д)= = — (Д) и что (Д) обращается в нуль тогда и только тогда, когда три точки Л, В, С лежат на одной прямой. Далее легко видеть, что (Д) не меняется при выполнении преобразований параллельного смещения и вращения вокруг О (см. эти преобразования в п. 6f), § 10 под № 1 и 2). Справедливость этого утверждения в случае параллельного смещения видна из того, что

а в случае вращения из того, что при этом каждый из детерминантов

остается без изменения, ибо

Покажем теперь, что при любом разбиении треугольника Д на составляющие треугольники Д, всегда будем иметь;

Рассмотрим по очереди три случая:

1-й (разбиение центральное) (см. черт. 10).

Пусть Д = Д! + Д2 + Д8, где все Д, имеют вершину в точке М(х, у).

Так как

то отсюда следует, что

2-й (разбиение трансверсалями*) (см. черт. 102)

Здесь без дальнейшего ясно, что

3-й (общий случай) (см. черт. 103)

Рассмотрим стороны всех треугольников Д<; каждая из них, которая не лежит на стороне Д, будет пробегаться одинаковое число раз как в одном, так и в другом направлении. Разложим теперь, отправляясь от некоторой точки М, каждый из треугольников Д, на три треугольника Д^, Д 2» Д*. TOr*3 в сУмме 2(ДС)= S{(A#l)+ + (Д|2) + (Д%)} те слагаемые (Дй), которые относятся к одной и той же стороне, не лежащей на Д, взаимно уничтожатся, а те слагаемые, которые относятся ко всем сторонам, падающим на стороны Д, в сумме дадут как раз (Д). Таким образом, 2(Д|) = (Д).ч. т. д.

Приведенное доказательство дает вместе с тем возможность заключить, что еели из двух треугольников Дг иД^ Д^Дя то (Д1) = (Дг). и если Д4< До, то(Д.)< <(Д2), а отсюда следует, что р) если Д1>Д2, то не может быть одновременно Д!<Д2 или Д1== Д2.

Преобразуя Дг и Д2 в равновеликие им прямоугольные треугольники с одним из катетов, равным 1, мы видим, что эти два прямоугольных треугольника, будучи наложены друг на друга, приводят к заключению, что: либо Д1<СДг> ли^° Д1>Д2> либо —Д,.

Определяя меру площади многоугольника как сумму мер площадей всех треугольни-

Черт, 10

* Трансверсалью называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с какой-нибудь точкой противоположной стороны.

ков, на которые он распадается при некотором разложении, мы можем в справедливости условий а) и ß) убедиться и для многоугольников. Таким образом, на основании только пяти групп гильбертовских аксиом, без привлечения евклидовских аксиом о величинах, мы убеждаемся, что площади многоугольников можно отнести к категории величин и можно для них построить систему измерения.

Вместе с тем из всего изложенного видно, что решение задачи о построении системы измерения площадей на основе гильбертовских аксиом не является элементарным и доступным к реализации в практике преподавания геометрии в школе. Приходился либо принимать евклидовскую систему (усиленную предельным процессом), либо искать других способов решения задачи измерения площадей, отличных от того способа, который был нами изложен и который в основном был разработан Гильбертом. Другие способы возможны, см., например, в статье А. Лебега — Об измерении величин, издание перевода которой уже давно обещано Учпедгизом, или у В. Швана—Элементарная геометрия, т. I (пособие для студентов педвузов и преподавателей средней школы), М., 1937. Но ни способ, излагаемый у Лебега или Швана, ни способ*), выработанный автором этих строк, все же нельзя признать элементарным и доступным в настоящее время к реализации в школе. По нашему мнению, в школьном преподавании геометрии, постулируя по примеру Евклида для площади фигуры характер величины, следует не скрывать от учащихся того факта, что мы не можем доказать à priori, что для площади всякой фигуры можно поставить в соответствие число, могущее быть названным мерой площади этой фигуры, и что. следовательно, в каждом отдельном случае эту меру площади надо определять, исходя из соображений естественности и целесообразности и обосновывать существование определяемого числа. Таким образом, по нашему мнению, методика изложения раздела об измерении площадей, намечается в такой ферме:

1) Сначала, установив необходимые определения и приняв соглашение о выборе единицы измерения площадей в форме квадрата, показывается (разбираются 3 случая), что для меры площади прямоугольника естественно принять число, являющееся произведением основания на высоту этого прямоугольника, и, по возможности, обосновать существование этого числа во всех трех случаях.

2) Затем, используя евклидов процесс превращения (метод квадратур), определить по тому же принципу площади остальных прямолинейных фигур, рассматриваемых и курсе элементарной геометрии.

3) И, наконец, сообщив о невозможности квадратуры круга, определить меру площади круга как общий предел пары последовательностей мер площади вписанных и описанных многоугольников, что на основании аксиомы сходимости обоснует и существование этого числа.

Достаточную строгость изложения во всех этих случаях можно иметь, используя аксиомы, приведенные нами в § 15.

Если сделать попытку расширить круг задач на измерение площадей в направлении охвата не только простых многоугольников; то придется прибегнуть к вышеприведенным моментам топологии, конечно, в их простейшей форме.

Такое расширение приведено у Т. Клейна—Элементарная математика с точки зрения высшей, т. II, М., 1934.

§ 19. Измерение объемов.

Все то, что подробно говорилось о задаче измерения площадей, почти полностью переносится и на задачу об измерении объемов. Можно все дословно перенести из § 17 сюда, заменяя только везде слова «плоскостная протяженность, или площадь» словами «пространственная протяженность, или объем». Те же трудности построения системы измерения объемов будут здесь, как и там. Придется топологические моменты обобщить на пространство и в качестве меры объема тетраедра предложить принять детерминант 4-го порядка вида:

где xv yv *4—координаты вершин тетраедра. Можно будет тогда доказать теорему, что

где Т — взятый тетраедр; Т. — составляющие его тетраедры при каком угодно разбиении; вместе с этим получатся и до-

* Еще не опубликован.

казательство справедливости условия Р>. Но доказательство справедливости условия а аналогично тому, как это было сделано в случае площадей, провести не удастся, так как невозможно, опираясь на метод превращения, доказать, что тетраедр Т2 можно превратить в равновеликий ему тетраедр, который либо охватывал бы тетраедр Т{ (т. е. содержал бы Т{ как часть), либо сам являлся бы частью 7\, либо был бы конгруэнтен Tv Дело в том, что, как было предугадано Гильбертом и позже доказано Деном*, не всякий многоугольник путем разбиений и дополнений (т. е. евклидовым методом превращения) можно превратить в прямоугольный тетраедр с заранее выбранным основанием и высотой, проходящей через заранее выбранную вершину этого основания. Для доказательства условия а приходится прибегать к другим способам, такие доказательства были найдены, но в эти подробности мы входить не будем.

Остаются в силе и все те методические замечания, которые нами были сделаны по поводу преподавания в школе раздела об измерении площадей:

1) Установив необходимые определения и приняв соглашение о выборе единицы измерения в форме куба, показать (разбирается 3 случая), что в качестве меры объема прямоугольного параллелепипеда естественно и целесообразно принять число, являющееся произведением площади основания на высоту, и обосновать существование этого числа во всех 3 случаях.

2) Затем, используя метод превращения, определить по тому же принципу меры объемов прямого, наклонного параллелепипедов и призм.

3) Объем пирамиды естественно определить как предел пары последовательностей — объемов входящих и выходящих призм, на основании чего может быть сразу (с помощью теорем о пределах) найдено и выражение для объема пирамиды и обосновано существование его.

4) Объемы цилиндра и конуса естественно определись как предел последовательностей объемов вписанных (или описанных) призм или последовательностей вписанных (или описанных) пирамид, обосновав существование этих пределов, и с помощью теорем о пределах найти выражения для объемов цилиндра и конуса.

5) Объем шарового сектора определить как предел последовательностей объемов тел вращения правильных многоугольных секторов, вписанных и описанных в круговой сектор, вокруг диаметра этого сектора, обосновав соответствующим образом существование этого предела.

Достаточную строгость изложения во всех этих случаях можно иметь, используя аксиомы, приведенные нами в § 15.

§ 20. Измерение поверхностей

Измерение поверхностей многогранников сводится к измерению площадей плоских фигур и к суммированию получаемых чисел. Строгое обоснование построения теории измерения площадей кривых поверхностей (а следовательно, и поверхностей многогранников) дается в интегральном исчислении, где меру площади данного куска данной поверхности определяют как предел суммы площадок касательных плоскостей, проведенных в точках поверхности, причем точки касания берутся по определенному закону и число их увеличивается безгранично так, чтобы площадки на касательных плоскостях безгранично убывали. Там же дается и выражение для этой меры в виде двойного определенного интеграла. Не касаясь теории двойных интегралов, мы скажем только, что если проанализировать способ решения задачи об измерении площадей кривых поверхностей, даваемый в интегральном исчислении, то можно убедиться, что он полностью опирается на систему аксиом I—V Гильберта и только на эти аксиомы. Интересно с геометрической точки зрения решается вопрос: почему для приближений к площади кривой поверхности берутся площади многогранных поверхностей, образуемых из кусков касательных плоскостей, а не просто площади многогранных поверхностей, вписанных в данный кусок кривой поверхности, как это, например, делается при определении площади поверхности цилиндра или конуса? Вопрос этот имеет тем больше оснований, что в аналогичной задаче определения длины дуги кривой берутся в качестве апроксимаций как раз длины вписанных ломаных линий. Но эта же аналогия с дугами дает повод убедиться, что для апроксимаций дуг кривых ломаные произвольного вида брать нельзя. Как хорошо известно, апроксимировать дугу кривой ступенчатой ломаной нельзя, в справедливости чего убеждает всем хорошо известный пример с прямоугольным треугольни-

* Dehn, Über raumliche Polyeder, «Got. Nachr.», 1900.

ком (черт. 11), где апроксимирующая ломаная всегда дает сумму катетов и, следовательно, не приближается к гипотенузе.

Точно так же обстоит дело и в случае поверхностей—для апроксимации площади кривой поверхности брать какого угодно вида многогранную поверхность нельзя. В частности, как недавно на простом примере показал это немецкий ученый Шварц, нельзя во всех случаях брать вписанную многогранную поверхность. Шварц продемонстрировал это на примере цилиндра, который мы в несколько упрощенном виде и изложим. Плоскостями, параллельными основанию цилиндра и находящимися на одинаковом расстоянии друг от друга, разделим цилиндр на п равных маленьких цилиндриков (черт. 12).

Впишем в основание каждого цилиндрика правильный /7-угольник так, чтобы его вершины лежали над серединами сторон /7-угольника, расположенного в соседней нижней плоскости (если взятый /?-угольник не самый нижний), а также над серединами сторон /7-угольника, расположенного в соседней верхней плоскости (если взятый /7-угольник не самый верхний). Соединим теперь каждую вершину каждого р-угольника с концами тех сторон, над или под серединами которых эта вершина находится, и через каждые получающиеся таким образом 3 точки вообразим плоскость треугольника или определяемого. Получится замкнутая многогранная поверхность, принадлежащая к типу так называемых призматоидов и называемая теперь цилиндром Шварца. Казалось бы, что если увеличивать число сечений первоначального цилиндра до бесконечности и одновременно до бесконечности увеличивать число р, то поверхность цилиндра Шварца будет неограниченно приближаться к поверхности первоначального цилиндра как к своему пределу. Однако это будет не всегда так, все дело будет зависеть от того, в каком отношении будут находиться бесконечно возрастающие числа р и я. Пусть, например, —^-»оо, тогда оказывается, что площадь боковой поверхности цилиндра Шварца неограниченно возрастает и, следовательно, вообще ни к какому пределу не стремится. Действительно, возьмем на чертеже 12 грань ADB цилиндра Шварца, разделим дугу AB в точке С пополам и соединим эту точку С с точкой D и с серединой хорды AB (с точкой Е). Элементарный подсчет показывает, что (ABC) = #2sin2-tg^- и что (АВЭ)>(АВС). На цилиндре Шварца всего 2 пр граней, значит боковая поверхность цилиндра Шварца будет больше, чем 2пр R2 sin2 - tg — , а это число при возрастании пир стремится к числу Я2^8“^, которое при допущении, что ^-»oo, неограниченно возрастает, следовательно, и боковая поверхность цилиндра Шварца неограниченно возрастает.

Обращаясь теперь к задаче измерение площади поверхности тел в элементарной геометрии, мы и тут будем поддерживать предложение — меру площади элементарных кривых поверхностей (цилиндров, конуса, шара) определять, обосновывая ее существование, и пользоваться основами теории пределов.

Черт. 11

Черт. 12

ИНВЕРСИЯ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ

В. МАЛОВИЧКО (Херсон)

§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1. Взаимные или обратные точки и фигуры.

Две точки А и AL (черт. I), обладающие тем свойством, что произведение расстояний их от данной точки О, есть данная постоянная величина т, т. е. ОАу^ у(ОА{= т, причем точки А% ALn О лежат на одной прямой, называются взаимными, или обратными, точками.

Две линии MN и Мх Nt такие, что каждой точке линии MN (например Л, В, Сит. д.) соответствует взаимная или обратная, одна определенная точка линии Мх N± (соответственно: Av Bif Ct и т. д.), называются взаимными, или обратными, фигурами. Соответственные точки обратных фигур, например А и Ai% В и BL, Си СА, лежат на одном луче, выходящем из точки О, причем равны произведения: ОА\ XOAt = OB - OBL= ОС - ОСх=... = т.

2. Центр и степень инверсии. Взаимные или обратные радиусы.

Указанные выше пары точек: А и Av В и jßA, С и С{ и т. д., как говорят, являются одна отображением другой, или, иначе, каждая из них есть инвертированная другая относительно центра инверсии О со степенью инверсии m (черт. 1), или, наконец, точки А и А19 В и Bt, С и Ct и т. д. называются инверсно-соответственными.

Преобразование точек Л, В, С и т. д. в точки Alt Bv Ct и т. д. называется инверсией; преобразование это обладает свойством инволюционности, т. е. точка А преобразуется в AL и, наоборот, точка At—в А.

Соответственные пары отрезков: OA и OAv OB и OBv ОС и ОСг и т. д. называются взаимными, или обратными, радиусами.

Простейший случай взаимных или обратных радиусов имеем при m = 1, когда

§ 2. КРУГОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ ТОЧЕК ПЛОСКОСТИ

1. Гиперболическая инверсия.

Приравняем степень инверсии m величине k2 (по принципу однородности) и опишем из центра инверсии О окружность радиусом k, называемую основной окружностью, или окружностью инверсии. Инверсия при m — k2 называется гиперболической.

Установим взаимное сопряжение пар точек плоскости относительно окружности инверсии при степени инверсии £2.

Берем произвольную точку плоскости А вне основного круга, проводим касательную AM и опускаем из точки касания M перпендикуляр на прямую 0.4. Точка А{ обратна точке А, ибо 0 4 -0AL= OM*—k2*

При удалении точки А по прямой 0.4 от окружности обратная ей точка At приближается к центру инверсии О таким образом, что центр инверсии есть отображение бесконечно удаленной (несобственной) точки прямой 0.4.

При приближении точки А по прямой .40 к окружности отображение ее А приближается к точке ß, причем точка окружности В служит сама себе отображением, так как OBOB=k2.

Таким образом, в точке О отображаются бесконечно удаленные точки плоскости, все остальные точки плоскости, лежащие вне основного круга, отображаются внутри основного круга (и наоборот), а точки основной окружности служат сами себе отображением.

Черт. 1

Черт. 2

2. Эллиптическая инверсия.

Если на прямой АО (черт. 2) взять точку А2, симметричную А{, относительно центра симметрии О, то абсолютная величина произведения ОА-ОЛ2 равна произведению OA - ОА±= k2> но так как точки А и А2 расположены по разные стороны от центра О, то произведению OA • ОЛ2 приписывают отрицательный знак, т. е. ОАУС ^0.4^=—к2* В таком случае инверсия называется эллиптической.

Очевидно, если фигуры F и Fl взаимно обратны относительно центра инверсии О при степени инверсии /г2, то фигура F2, симметричная фигуре F относительно центра симметрии О, взаимно обратна фигуре Ft относительно центра инверсии О при степени инверсии—£*.

§ 8. ФИГУРЫ ГОМОЛОГИЧНЫЕ И ФИГУРЫ ГОМОТЕТИЧНЫЕ.

1. Определения и основные свойства.

Две фигуры, например два четырехугольника АВСО и AlBlCiÛ1 (черт. 3), гомологичны, если прямые, соединяющие соответственные их точки AAV BBV CCt и DDV—лучи одного пучка с центром О, называемым центром гомологии.

Две гомологичные фигуры, например два треугольника ABC и AiB1Cl (черт. 4), называются гомотетичными, если расстояние соответственных точек А и А{1 В и Ви С и С, от центра гомологии О пропорциональны, т. е.

Центр гомологии О называется в таком случае центром гомотетии, а постоянная величина р называется отношением гомотетии.

Если соответственные точки А и AL, В и Bi% С и Cj гомотетичных треугольников ABC и A{BLC{ находятся по одну сторону от центра гомотетии О, то треугольники прямо гомотетичны, и отношение гомотетии их р положительно.

Если соответственные точки А и Л2, В и В2, С и С2 гомотетичных треугольников ABC и А2В2С2 находятся по разные стороны от центра гомотетии О, то треугольники обратно гомотетичны, и отношение гомотетии их отрицательно.

Очевидно, что соответственные стороны гомотетичных фигур параллельны ( AB \\ У ALBL, ВС у B.C., АС у Afi и гомотетичные фигуры подобны:

Очевидно, что две фигуры, гомотетичные третьей фигуре, гомотетичны между собою.

2. Гомотетия окружностей.

Две окружности Oi и 02 (черт. 5), произвольно взятые на плоскости, прямо и обратно гомотетичны. В первом случае центр гомотетии — точка О пересечения линии их центров 0А02 с общей их внешней касательной BtB2, а во втором случае— точка О1 пересечения линии центра Ох02 с внутренней касательной Ох02.

Соответственные точки при этом такие: центры 0i и 02, концы Ах и Аг параллельных радиусов OiAi и 02.42 и точки касания BL и В2, Dt и D2.

Вы воды.

а) Точка касания двух соприкасающихся окружностей есть один из центров гомотетии их.

б) Оба центра гомотетии двух концентрических окружностей совпадают с общим их центром.

Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5

3. Теорема.

Фигуры Ft и F2, обратные фигуре F относительно центра инверсии О со степенями инверсии и £22, гомотетичны.

Предположим, что переменные точки А{ и А2 фигур Ft и F2 обратны переменной точке А фигуры г7, т. е. OA, 0Л1=£12 и OA-OA2 = k2 при всех положениях течек Av А2 и Л соответственно на фигурах Fj, F2 и /\ Точки Л1 Л2 и Л при всех положениях на фигурах Fit F? и F находятся на одной прямой, проходящей через центр инверсии О, причем постоянно отношение

Таким образом, фигуры F{ и F2 гомотетичны, центр гомотетии их есть точка О, а отношение гомотетии их есть число

§ 4. АНТИПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ.

1. Определение антипараллельных прямых. Антипараллельные прямые и инверсия.

Две пары пересекающихся прямых AB и CD, АС и BD (черт. (>), образующие при пересечении равные углы / 1 = /_2, называются парами антипараллельных прямых, одна пара относительно другой. Из условия ^ 1 =</2 имеем: ^.3 = /2;

Из подобия треугольников £\ОАВ ос ДОЛС и l\0^АСоо /\0XDВ имеем:

Таким образом, пары точек Л и С, В и О взаимно обратны (инверсно соответственные точки) относительно центра инверсии О при степени инверсии

Взаимно обратны и пары точек С и D, Аг и В относительно центра инверсии 01 при степени инверсии £А2 = О, Л • Oß = = 0,00,0.

2. Свойства пары антипараллельных прямых, пересекающих стороны угла.

Пара антипараллельных прямых AB и СО (черт. 7) пересекает стороны /__ СОР, т. е. имеем:

Таким образом, пара антипараллельных прямых, пересекая стороны угла, отсекает от них обратно пропорциональные отрезки (OA, OB, ОС и OD), а четыре точки пересечения (А, В, С и D) лежат на одной окружности (конциклические точки).

Если антипараллельные прямые AB и CD (черт. 8 ), пересекая стороны треугольника COD, образуют пары равных углов: У \ = / 2 и </. 3 ==4, т. е. и пары равных отрезков: OA = OB и ОС = ОЭ, то антипараллельные прямые AB и CD параллельны между собою, т. е. отрезки OA, OB, ОС и OD прямо и обратно пропорциональны.

В таком особенном случае две параллельные прямые AB и СО, пересекая сто-

Черт. 6

Черт. 7

Черт. 8

роны ^jCOD, дают конциклические точки (А, В, С, D,); в общем случае пара параллельных прямых этого свойства не имеет.

3. Антипараллель треугольника.

Определение. Прямая DE (черт. 9), антипараллельная со стороной АС треугольника А ВС относительно сторон У ABC. называется антипараллелью треугольника ABC.

Отрезок DE называется длиною антипараллели треугольника ABC.

Очевидно, что и прямые DlEiD2E2> ^з^з и т. д., параллельные прямой DE, антипараллели /\АВС со стороной АС, а прямая KL, антипараллельная с DE относительно сторон ^АВС, параллельна АС.

В Д ABC, кроме антипараллелей со стороной АС, можно, очевидно, провести антипараллели со стороной AB относительно сторон ^АСВ и со стороной ВС относительно сторон /ВАС.

4. Построение антипараллелей треугольника.

а) При произвольной точке D стороны AB треугольника ABC (черт. 10) строим /^BDE—^ACB, прямая DE — антипараллель со стороной АС треугольника ABC.

б) Через вершины А и С треугольника ABC проводим произвольную окружность О, пересекающую стороны треугольника А В и ВС (черт. 11) соответственно в точках D и£.

Хорда DE — антипараллель со стороною АС треугольника ABC.

в) Касательная DE в вершине В треугольника ABC к окружности О, описанной около треугольника ABC, антипараллель со стороной АС этого треугольника ABC (черт, 12). Действительно, касательная DE — предельное положение секущих О^Е{, D2E2 и т. д., проходящих через точки пересечения сторон AB и ВС треугольника ABC с окружностями эллиптического пучка, проходящими через вершины А и С треугольника ABC.

Таким образом антипараллели DE, DtE{9 D2E2 и т. д. со стороной АС треугольника ABC перпендикулярны к радиусу OB описанной около этого треугольника окружности.

5. Антипараллельные прямые в окружностях.

а) Хорды AB и CD, AD и ВС, соединяющие точки пересечения окружности со сторонами внешнего угла COD по парам, антипараллельны относительно сторон COD (черт. 13).

б) Хорды AB и АС (черт. 14), соединяющие точку касания А стороны АО угла АОС, касательной к окружности, с точ-

Черт. 9

Черт. 10

Черт. 11 Черт. 12

Черт. 13

Черт. 14

ками В и С пересечения другой стороны ОС того же угла с той же окружностью, антипараллельна относительно сторон / ЛОС.

в) Из центра О гомотетии окружностей ÖL и О.у проводим произвольные секущие О ) и ОЦ получаем пары соответственных точек:

А \\ С, В \\ D, Е w К, F н L.

Хорды АЕ и DL, BF и CK — пары антипараллельных прямых относительно сторон / POL (черт. 15).

§ 5. Инверсия прямой.

1. Инверсия прямой, проходящей через центр инверсии.

В § 2 мы видели, что в таком случае прямая является сама себе обратной фигурой (отображением).

2. Инверсия прямой, не проходящей через центр инверсии.

Теорема. Фигура, обратная прямой относительно центра инверсии О, не лежащего на этой прямой, при степени инверсиии k2 (или — k2) есть окружность, проходящая через центр инверсии О.

Опускаем из центра инверсии О перпендикуляр OB на данную прямую Л/Л/(черт. 16) и находим точку BL, инверсно соответственную (обратную) точке В (т. е. ОВу( ХО£1=£2).На прямой MN берем произвольную точку А и находим обратную ей точку At. Прямые AB и А1В1 — антипараллельные прямые, т. е. ^ СМАоА = у/ OB A =d. Геометрическое место точек Аь обратных переменной точке А, перемещающейся вверх от В по прямой ВМ, есть полуокружность BtAL09 построенная на диаметре ОВк9 ибо / Д,Л«0 сохраняет величину d.

При перемещении точки С по прямой BN вниз от точки В обратная ей точка Ci описывает полуокружность BLC{0, построенную на том же диаметре OBL.

Точка О есть отображение бесконечно удаленной точки прямой MN.

Примечание. При том же центре инверсии О, но при степени инверсии — к2 фигурой, обратной прямой MN, является окружность 02.

3. Построение окружности, обратной данной прямой.

Даны: центр инверсии О, степень инверсии #2 и прямая MN, не проходящая через центр инверсии. Построить окружность, обратную данное прямой MN.

Рассмотрим два случая:

а) £ меньше расстояния от центра инверсии О до данной прямой MN, т. е. &<ОВ; в таком случае k>OBL, ибо ОВ-ОВ, = к2.

Опускаем из центра инверсии О перпендикуляр OB на прямую MN, строим полуокружность на диаметре OB и проводим хорду OP = k (черт. 17). Перпендикуляр, опущенный из точки Р на диаметр OB, дает точку BL обратную В.

На диаметре OBv строим окружность 0}— отображение прямой MN при данной инверсии.

б) k больше расстояния от центра инверсии О до данной прямой MN, т. е. k>OB, но f><OBv Опускаем из центра инверсии О перпендикуляр OB на прямую MN (черт. 18).

Строим на прямой BN такую точку Я, чтобы OP — k* и при точке Я—4/^ОРВ1 = d; находим точку Bv обратную точке В {OB- OBА = k2). Окружность,

Черт. 15

Черт. 16

Черт. 17

построенная на диаметре OBt, и есть искомая окружность, обратная прямой МЛ/ при данной инверсии.

Точки дуги QB{P являются отображениями точек хорды QP; точки дуги QO являются отображениями точек прямой QAI (от точки Q вверх до бесконечно удаленной точки прямой QM); точки дуги РО являются отображениями точек прямой PN (от точки Р вниз до бесконечно удаленной точки прямой PN); точки Ри Q служат сами себе отображениями, а точка О отображает бесконечно удаленную точку прямой MN.

Выводы:

а) При удалении прямой MN от центра инверсии О обратная ей фигура — окружность— уменьшается и обращается в точку О, когда прямая MN—бесконечно удаленная от О прямая.

б) При приближении прямой MN к центру инверсии О отображение ее — окружность— увеличивается и обращается в прямую MN (сама себя отображает), когда она пройдет через центр инверсии О.

§ в. Инверсия окружности.

1. Инверсия окружности, проходящей через центр инверсии.

Инверсия есть инволюционное преобразование, а потому очевидно, что фигура, обратная окружности, проходящей через центр инверсии, есть прямая, перпендикулярная к диаметру окружности, проходящему через центр инверсии.

Теорема. Фигура, обратная окружности, проходящей через центр инверсии О, при степени инверсии к2 или —к2 есть прямая, перпендикулярная к диаметру окружности, проведенному через центр инверсии.

Проводим диаметр 00LA и находим точку Av обратную при данной инверсии точке Л (ОА-ОА1 = к2) (черт. 19).

Берем на окружности О произвольную точку В и находим обратную ей точку Bv При всех положениях точки В на полуокружности АВО^ АБО = d, а прямые AB и AiBi антипараллельны, т. к. и У OALBl постоянно сохраняет величину d. Таким образом, точки, обратные переменной точке В полуокружности ABO, находятся на прямой ALM, перпендикулярной к диаметру OAAv

Аналогичное доказательство можно привести и для точек, обратных переменной точке С полуокружности АСО, т. е. теорема доказана.

Примечания: 1) При степени инверсии—к2 получается прямая MvNlf симметричная MN относительно центра симметрии О.

2) Построение прямой, обратной окружности, проходящей через центр инверсии, ясно из § 5, 3.

2. Инвариантная окружность

Определение. При инверсии такая окружность называется инвариантной, на которой находятся все точки, обратные точкам этой же окружности.

Простейшим примером инвариантной окружности является окружность инверсии при гиперболической инверсии со степенью к2, ибо произвольная точка такой окружности сама себе обратна.

При эллиптической инверсии со степенью —к2 инвариантной окружностью является окружность радиуса £, проведенная из центра инверсии, но в таком случае каж^ дой точке этой окружности обратна точка диаметрально противоположная.

Теорема 1. Если центр инверсии О принять при гиперболической инверсии со степенью k2 за радикальный центр гиперболической связки окружностей, а окружность инверсии за основную окружность

Черт. 18

Черт. 19

связки, то каждая окружность связки есть инвариантная окружность.

Даны: центр инверсии О и окружность инверсии радиуса ON=k (черт. 20).

Принимая центр инверсии за радикальный центр гиперболической связки окружностей и окружность инверсии — за основную окружность связки, докажем, что произвольная окружность центра О, этой сзязки является инвариантной окружностью. Так как окружности О и О, ортогональны, то OAOAL = OM'OMi = ON2 = !?2, а потому точки, обратные точкам дугиМИ^Р, принадлежат дуге NMAP (и наоборот), т. е. окружность Ot инвариантна.

Теорема 2. Если центр инверсии О принять при эллиптической инверсии со степенью — к2 за радикальный центр эллиптической связки окружностей, а окружность с центром О и радиусом к — за основную окружность связки, то каждая окружность связки инвариантна.

Даны: центр инверсии О и окружность с центром О и радиусом OA = OA, = к (черт. 21). Принимая точку О за радикальный центр эллиптической связки окружностей и окружность О — за основную окружность этой связки, докажем, что произвольная окружность О, этой свзязки — инвариантная окружность.

Окружность О, связки пересекает основную окружность Ot диаметрально, а потому: OB . OB, = ОС . ОС, = OD . ODx = = OA • О Ay = — к2, т. е. точки дуги ABC DA, имеют обратные точки на дуге AyBfi^DyA и окружность Ок инвариантна.

3. Инверсия окружности, не проходя щей через центр инверсии.

Теорема. Фигура, обратная окружности, не проходящей через центр инверсии Oif при степени инверсии k2 или—k2 есть также окружность.

Даны: центр инверсии О, центр круга О, и его радиус 0,В — г, степень инверсии к2 и степень центра инверсии О относительно окружности О, равная р2=ОМ- (черт.22). Проводим произвольную секущую ОВА и находим на ней точку Aif обратную точке А при данных теоремы, т. е. из условия: OA.OAt = k2.

По условию теоремы

потому

Проведем

и докажем, что точка 02 есть центр окружности, обратной окружности 0А, а 02А, = г1 есть радиус этой окружности.

Из подобия: ДООАЯооДО0241 имеем:

т. е.

а положение точки 02 на линии центров 00, определяется из соотношения:

Таким образом, точка Ог не изменяет своего положения на линии 00,, а расстояние точки

обратной

Черт. 20

Черт. 21

Черт. 22

точке Л, от точки 02 не изменяет своей величины при всех изменениях в положении точки Av связанных с перемещением точки А по окружности Ог

Когда точка А перемещается по окружности Ot в направлении движения часовой стрелки, обратная ей точка ЛА движется в направлении, обратном движению часовой стрелки, по окружности центра 02 и радиуса

Окружность 02 обратна окружности 0L и теорема доказана.

Выводы.

а) Центр инверсии О есть одновременно и центр гомотетии, т. е. две произвольные окружности взаимно обратны относительно центра гомотетии их (внутреннего и внешнего).

б) Диаметрально противоположные точки двух окружностей, лежащие на линии их центров (С и СА, D и DA), взаимно обратны, а центры их 0А и 02 не являются взаимно обратными точками.

в) Если в данной теореме, не изменяя центра инверсии О, взять степень инверсии— к2, то получим окружность, симметричную окружности 02 относительно центра симметрии О в качестве обратной окружности.

4. Построение окружности, обратной данной оружности, не проходящей через центр инверсии.

Рассмотрим построение окружности, обратной данной окружности, при данных: центре инверсии О, степени инверсии к2, центре окружности 0А и радиусе ее г.

Из центра инверсии О проводим окружность инверсии (основную окружность) и произведем построение обратной окружности при таких условиях относительно данной окружности Ог

а) Данная окружность Oi лежит вне круга инверсии (черт. 23). Найдя точки ЛА и BL, обратные соответственно точкам А и В, строим окружность на диаметре л, в,.

Найденная окружность 02 и данная окружность 0L взаимно обратны.

б) Данная окружность 0{ касается окружности инверсии внешним образом (черт. 24).

Точка А сама себе обратна; точка BL обратна точке В, т. е. ABL есть диаметр окружности О у, обратной данной окружности 0А.

Окружность 02 касается окружности инверсии О внутренним образом, а окружности 0А — внешним образом.

в) Данная окружность 0А пересекает окружность инверсии (черт. 25), но не проходит через центр инверсии.

Строим диаметрально противоположные точки Л, и Bv обратные соответственно точкам А и В.

На диаметре ЛА и В[ строим окружность 02, обратную данной окружности 0L. Точки M и N лежат и на окружности 02, так как они сами себе обратны. Если данная окружность 0А и окружность инверсии О ортогональны, то окружность 01 сама себе обратна (инвариантная окружность, см. § 6, 2j.

г) Данная окружность 0А лежит внутри круга инверсии, охватывая его центр О, но окружности 0А и О неконцентричны (черт. 26).

Черт. 23

Черт. 24

Черт. 25

Находим диаметрально противоположные точки А{ и BL, обратные соответственно диаметрально противоположным точкам А и В данной окружности. Строим окружность 02 на диаметре i41ßl; полученная окружность 02 взаимно обратна с данной окружностью Ov

д) Данная окружность Ot и окружность инверсии О концентричны (черт. 27).

Центры О и Oj совпадают, окружность Ot (диаметр AB) находится внутри круга инверсии О.

Строим диаметрально противоположные точки Ах и Bv обратные соответственно точкам А и В данной окружности Ог На диаметре AiBi строим окружность 02, обратную окружности Ок; окружность 02 концентрична с окружностями О и Ох.

Если данная окружность Ох совпадает с окружностью инверсии О, то и обратная ей окружность 02 совпадает с окружностью инверсии, так как окружность инверсии инвариантна.

§ 7. Изогональные окружности.

1. Сохранение углов при инверсии.

Теорема 1. Касательные в соответственных (взаимно обратных) точках к кривым двух обратных фигур образуют равные углы с лучом, соединяющим эти точки с центром инверсии (черт. 28).

Берем взаимно обратные точки А и Alt В и Bi двух взаимно обратных фигур KL и KxLr

Прямые AB и АХВХ антипараллельны, а потому / О AB = £ ОВхАх. Если луч ОВВх вращать вокруг центра О против часовой стрелки и приближать к совпадению точки В с А и BL с Av то хорды AB и АХВХ, оставаясь все время антипараллельными, будут приближаться к совпадению с касательными AT и AiTv В предельном положении будем иметь:

Теорема 2. Угол между двумя линиями данной фигуры равен углу между двумя соответственными линиями обратной фигуры, если вершины углов взаимно обратны (черт. 29).

Пары линий AB и AXBV АС и АХСХ взаимно обратны и пары точек А и Al9 В и Вк, С и Ct взаимно обратны.

Проведя в точках А и Ах касательные к линиям AB и AC, АХВХ и А1С1, на основании теоремы 1 имеем: / SAAt = = £SkAtA и £mTAAl = £TkAiA.

Вычтя по частям второе равенство из первого, получим: ^SAAX— /_ ТААХ = = ^SiAiA—£TtAiA1 т. е. ^SAT = = ^mS1AlTv но так как углы между касательными AT и AS, А{ТХ и AiS1 равны углам между линиями AB и АС, АхВк и А1С1, то £ САВ = ^СхАкВк. Если £SAT образован вращением луча AS

Черт. ?6

Черт. 27

Черт. 28

Черт. 29

около вершины А, а / StAtTt—вращением луча AlSl около вершины Л,, то замечаем, что направления вращений при образовании равных углов SAT и SiAiTt обратны (против движения часовой стрелки и по движению часовой стрелки).

Вторичное преобразование одной из фигур при помощи инверсии дало бы не только равенство соответственных углов, но и одинаковое направление вращения соответственных сторон при их образовании.

2. Окружности, изогональные по отношению к двум данным окружностям.

Определение. Изогональною по отношению к двум данным окружностям называется окружность, пересекающая данные окружности под равными углами.

Окружность, касательная одновременно к двум данным окружностям, изогональна по отношению к ним, ибо образует с каждой из них угол, равный О.

Очевидно, что изогональная окружность должна проходить через две взаимно обратные точки двух окружностей, т. е. быть инвариантной.

Построение изогональных окружностей по отношению к двум данным окружностям.

а) Гиперболическая инверсия.

Находим для данных окружностей Ot и Ог (черт. 30) внешний центр гомотетии их О, т. е. находим одновременно и центр их инверсии О и степень их инверсии

Произвольная окружность, проходящая через две взаимно обратные течки, например окружность 03 или 04, ортогональна к окружности инверсии, т. е. инвариантна и изогональна по отношению к данным нашим окружностям Oi и 02.

Каждая такая окружность принадлежит гиперболической связке окружностей с радикальным центром О и основным кругом радиуса к.

Если продолжить радиусы окружностей 01 и 02, проведенные в две взаимно обратные точки (например в С и Ct) до пересечения, то найдем центр 03 и радиус OzC = 03Ct изогональной окружности, касательной к данным окружностям внешним образом.

Если аналогичное построение проделать с дзумя взаимно обратными точками D и Du то получим центр 05 и радиус 05Dt = 05 D изогональной окружности, касательной к данным окружностям внутренним образом.

Наименьшей из всех окружностей, касающихся данных окружностей 0L и 02 внешним образом, т. е. проходящих через пары взаимно обратных точек (типа С и CL), находящихся соответственно на дугах MBCN и MiBiCiN1 данных окружностей 02 и Ор является окружность 06, касающаяся данных в точках В и ßL (BBL — диаметр этой окружности).

Наибольшей из таких касательных к данным окружностей является касательная прямая MMt (центр ее в бесконечно удаленной точке) и касательная NNV проходящие через пары соответственных точек M и Mi9 N и Nv

Наименьшей из всех окружностей, касающихся данных 0{ и 02 внутренним образом, т. е. проходящих через пары взаимно обратных точек (типа D и Dx), находящихся соответственно на дугах NDAM и NtDiAlMi данных окружностей 02 и 0|, является окружность диаметра AAlt касающаяся данных окружностей в точках А и Лг

Наибольшей из таких касательных к данным окружностям является снова касательная ММХ либо касательная NNV

б) Эллиптическая инверсия.

Находим для данных окружностей Ot и 02 (черт. 31) внутренний центр гомотетии их О, т. е. находим одновременно и центр их инверсии О, и степень их инверсии —

Произвольная окружность, проходящая через две взаимно обратные точки, например окружность 03 или 04, пересекает

Черт. 30

окружность, проведенную из центра О радиусом к диаметрально, т. е. инвариантна при данной эллиптической инверсии и изогональна по отношению к данным окружностям.

Каждая такая окружность принадлежит эллиптической связке окружностей с радиальным центром О и основной окружностью радиуса гс.

Если продолжить радиусы окружностей 02 и Ор проведенные в две взаимно обратные точки (например в С и Сх) до пересечения, то найдем центр 03 и радиус 0%С = 0%С, изогональной окружности, касающейся данной окружности 02 в точке С внутренним образом, и—окружности О, в точке С, — внешним образом.

Если проделать аналогичное построение с двумя взаимно обратными точками D и Dv то получим центр 04 и радиус OD4 = = 04DX изогональной окружности, касающейся данной окружности 02 в точке D внешним образом и окружности О, в точке D,— внутренним образом.

Наименьшей из всех окружностей, касающихся данной окружности 02 внутренним образом в точках дуги MCAN и данной окружности О, внешним образом в точках дуги Л/Г1СА.41Л11, является окружность, имеющая диаметром АА,У т. е. касающаяся данных в точках А и Av

Наибольшей из таких касательных к данным О, и 02 окружностей являются внутренняя касательная прямая MNt (центр ее в бесконечно удаленной точке) и касательная прямая NMU проходящие через пары соответственных точек M и Л^, N и Мг

Наименьшей из всех окружностей, касающихся данной 02 внешним образом в точках дуги NBDM и данной О, внутренним образом в точках дуги МхВ,0,Ы,, является окружность диаметра Bßit т. е. касающаяся данных в точках В и BL.

Наибольшей из таких касательных к данным О, и 02 окружностей является снова внутренняя касательная прямая MNt либо NM,.

ОБ ОДНОМ ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ИНВЕРСИИ

Проф. Н. А. ИЗВОЛЬСКИЙ (Москва — Ярославль)

Мне не раз приходилось в своих работах говорить о «старинной», как ее называл Паппус, теореме о касающихся кругах. Содержание ее таково:

Если имеем два основных круга О w Ох (см. чертеж), если затем еще два круга С и С, касаются этих основных кругов и касаются между собою, причем основные круги О и Ох имеют внутреннее касание, если, наконец, назовем через гиг, радиусы кругов С и С, и через р и ру — их расстояния от линии центров основных кругов р = CA и Pi = CtAL, то должно быть:

Доказательство этой теоремы, даваемое Я. Штейнером, покоится на свойствах радикальной оси и центров подобия кругов и, пожалуй, оказывается несколько сложным. Оно значительно упрощается, если воспользоваться методом инверсии. Примем за центр инверсии точку М, т. е. точку касания основных кругов, степень инверсии не имеет значения. Тогда круги О и Oj перейдут в прямые U и Uv перпендикулярные к прямой 00А, круги С и

Ct — в круги С и С/, касающиеся между собою и касающиеся прямых U и Uv Прямая C'jC будет перпендикулярна к OOt и пересекает ее в точке В. Пусть радиусы кругов С и С\ равны R (они равны между собою). Тогда

и следовательно,

Из подобия треугольников МВС и MAC имеем

но точка M является внешним центром подобия для кругов Си C«, а поэтому

Поэтому предыдущая пропорция дает или

(ибо CA = /?).

Аналогично для кругов С\ и Ср имеем:

где

Поэтому вышеполученное уравнение дает:

что и является заключением «старинной) теоремы.

Штейнер называет, например, коэфициентом круга С относительно прямой ООу и в своей работе, посвященной развитию этой теоремы, рассматривает ряд построений в роде следующих: имеем два круга С. и CJy касающиеся основных кругов; построить новый круг Ck% также касающийся основных кругов, так, чтобы его коэфициент относительно прямой 001 равнялся сумме коэфициентов кругов С, и Сг Построение, даваемое Штейнером, довольно сложно. Все подобные задачи покрываются задачею: построить круг, касающийся основных кругов, так, чтобы его коэфициент относительно прямой 00А равнялся данному числу 2. При помощи метода инверсии задача легко решается: на прямой ВС\ выбираем точку С\ так, чтобы СkB = 2R (R равен половине расстояния между прямыми U и Ut), строим круг, имеющий центр в этой точке и касающийся прямых U и UXy после чего получаем методом инверсии искомый круг Ck.

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ ОКРУЖНОСТИ И ПО СПОСОБУ ПРЯМЫХ УГЛОВ

М. ШЕВЕЛЕВ (Казань)

В курсе средней школы графическое решение квадратного уравнения с одним неизвестным производится обычно при помощи параболы второго порядка. Основное достоинство этого способа заключается в его наглядности, позволяющей одним взглядом на чертеж установить характер изменения искомых величин в зависимости от данных, а также, главным образом, в том, что он знакомит ученика с понятием целой алгебраической функции второй степени. Однако этот способ не дает возможности найти корни квадратного уравнения с достаточной точностью, так как вопрос упирается в точности вычерчивания параболы. Поэтому будет не совсем безынтересно познакомить читателей с другими известными графическими решениями квадратного уравнения, дающими более точные приближенные результаты, так как все требуемые построения осучиествляются с помощью циркуля и линейки.

I. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ОКРУЖНОСТИ.

1. Имеем уравнение:

Проводим окружность радиуса ^-с центром на оси OY и касающуюся оси ОХ в начале координат.

Отложим на оси ОХ отрезок ос а на касательной АХ' отрезок AB сообразуясь при этом со знаками

На чертеже 1 случай, когда £<0, £>0.

Соединяем полученные точки В и С прямой, которая пересекает окружность в точках D и Е. Тогда лучи, проведенные из А через D и Еу пересекают ось ОХ в точках Ху и х2; отрезки же xt = OXt и х2 = ОХ,2, измеренные в масштабе, принятом для радиуса окружности, и будут корнями нашего уравнения.

Действительно, из подобных треугольников ECXV и ABE имеем:

(по известному следствию: проекции катетов относятся как квадраты катетов; здесь OB J_ AXt). Тогда имеем:

откуда или

т. е. х{= ОХ{ удовлетворяет нашему уравнению.

Аналогично из рассмотрения подобных треугольников CDX2 и ABl убеждаемся, что х^ = ОХ2 также является корнем уравнения.

Пример 1. Здесь

Черт. 1

Пример 2. х2+х — 2 = 0; выгоднее брать равносильное уравнение:

Здесь

2. Из чертежа 1 ясно, что если прямая ВС пересекает окружность, то получаются два реальных корня; если ВС касается окружности, то одно решение (два равных корня); если же ВС не пересекает окружности, то нет решений (мнимые корни). Все перечисленные случаи зависят от величины расстояния h = 0LM центра окружности от прямой ВС, а именно: если

то 2 реальных корня » 2 равных “»

то 2 мнимых корня

Из подобия треугольников 0LMK и BKL имеем:

или

откуда

1) Если 20кК = ВС,то

— два

равных корня, но

откуда

или

или

2) Если 20lAT<ßC, то

два реальных корня; аналогично рассуждая, получим тогда:

II. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ ПО СПОСОБУ ПРЯМОГО УГЛА.

Пусть дано квадратное уравнение вида

Строим две взаимно-перпендикулярные оси ОХ и OY; затем, принимая определенную длину за единицу, откладываем эту единицу, или, что все равно, первый коэ-

Черт. 3

фициент функции (который равен единице), по линии ОХ вправо. Пусть OA = 1. Далее по линии OY откладываем отрезок ОВ = р и из точки В по прямой, параллельной оси ОХ, отрезок ВС = q.

На прямой ЛС, как на диаметре, строим окружность, которая пересекает ось OY вообще в двух точках D и £, тогда OD и ОБу взятые с обратными знаками, и будут корнями данного уравнения.

Действительно, пусть OD = Zt\ тогда

из подобия прямоугольных треугольников OAD и BCD у где £ OAD = £ BDC, имеем:

откуда

или

или

т. е. хх=— ^1=—OD является корнем нашего уравнения.

Аналогично х2= — OB будет вторым корнем квадратного уравнения.

Если уравнение дано в форме ах2+Ьх -|~ с = 0, то откладываем соответственно отрезки OA = ö, OB = b, ВС = с>

и тогда

и будут корнями уравнения.

Пример 1. X2— 3 X -|— 2 = 0. Здесь

Пример 2. Здесь

Пример 3. Здесь

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

Черт. 7

МЕТОДИКА

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Проф. И. ЧИСТЯКОВ (Москва)

Элементы теории пределов, по последним программам, входят в отдел геометрии IX класса средней школы. Непосредственное приложение они находят в этом же классе при прохождении отдела о длине окружности и площади круга; но и далее — в ряде важнейших вопросов алгебры, стереометрии и тригонометрии — теория пределов является совершенно необходимой. Поэтому важно, чтобы учащиеся с самого начала ознакомления с теорией пределов получили о ней возможно более правильное и ясное понятие. Опыт, однако, показывает, что указанная цель далеко не всегда достигается. В большинстве случаев элементы теории пределов и их приложения крайне затрудняют учащихся; изучаемый материал воспринимается ими механически и не приносит пользы для их математического развития. Причиной такой неуспешности изучения теории пределов является, по нашему мнению, слишком формальный и абстрактный характер ее прохождения. Сухостью и холодом веет от страниц учебников геометрии и алгебры, посвященных этому отделу. И главным недостатком изложения этого материала является почти полное отсутствие примеров и приложений, которые поясняли бы излагаемую теорию. Так, примеров переменных величин, имеющих предел, приводится ничтожное количество, обычно малопонятных и неубедительных, хотя их можно было бы много привести из известных уже учащимся отделов алгебры, геометрии и арифметики. Еще печальнее обстоит дело с основными теоремами теории пределов, которые обычно, несмотря на свою крайнюю отвлеченность, не поясняются ни одним примером. В результате — вместо живого и ясного представления всего изучаемого материала учащиеся выносят лишь знание некоторых абстрактных истин. Наоборот, при более конкретном изложении теории пределов, при достаточном количестве наглядных примеров метод пределов является легким для усвоения и интересующим учеников. Поэтому в настоящей заметке и предлагается изложение главы о пределах, основанное на соединении теории с поясняющими ее конкретными примерами.

§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Изучение статьи о пределах всегда начинается с понятия о величинах постоянных и переменных. Поэтому необходимо прежде всего рассмотреть какой-либо конкретный процесс изменения, в котором имелись бы величины, сохраняющие свое значение— постоянные, и меняющие свое значение — переменные. Примером можно взять процесс изменения равнобедренного треугольника ABC, основание которого остается неизменным, вершина же движется вверх по линии DE, перпендикулярной к его основанию в его середине. В результате такого изменения из данного треугольника получится ряд новых: АВХС, АВ2С, АВгС и т.д. (черт. 1). Рассматривая эти треугольники, видим, что некоторые элементы в них остаются по величине неизменными; таковы: основание, сумма всех углов каждого треугольника, отношение боковых сторон. Это

Черт. 1

величины постоянные в данном процессе изменения. Другие же элементы изменяются и суть величины переменные; таковы: углы треугольников, длина боковых сторон и боковых высот, периметр и площадь и др. Полезно рассмотреть и самый характер изменения переменных величин; так, боковые стороны и боковые высоты треугольника, а также углы при его основании все время возрастают, тогда как угол при вершине является величиною убывающей. Подобно приведенному примеру, полезно рассмотреть с учащимися и другие примеры процессов изменений каких-либо геометрических образов с выяснением величин постоянных и переменных и характера изменения последних.

Подробное рассмотрение изменения переменных величин показывает, что некоторые из них могут изменяться без всякого ограничения; таковы, например, в рассмотренном примере высота и боковые стороны треугольника, длина которых может возрастать неограниченно. Другие переменные величины изменяются лишь в определенных границах; так, углы при основании треугольника возрастают, но не до бесконечности, а лишь до 90°, когда боковые стороны треугольника станут параллельными между собою; боковые высоты AF и СО тоже возрастают, но не могут превзойти по длине основания треугольника; угол при вершине все время уменьшается, но не может сделаться менее нуля. Относительно величин, изменение которых происходит в определенных границах, говорят, что они имеют предел изменения. Необходимо, однако, дать точное определение предела переменной величины. Оно таково: пределом переменной величины называется такая постоянная величина, к которой переменная приближается и притом так, что абсолютная величина разности между постоянной и переменной может сделаться и затем оставаться менее какой угодно малой данной величины. Так, рассматривая в приведенном примере угол при основании равнобедренного треугольника А, видим, что пределом его будет 90°. Действительно, мы можем сделать так, чтобы разность между 90° и углом А была менее, например, 1°. Для этого достаточно провести боковую сторону треугольника AM под углом к основанию несколько большим 89°. Тогда при дальнейшем движении вершины треугольника вверх по высоте угол при его основании все время будет отличаться от прямого менее чем на 1°. Точно также можно сделать разность между 90° и углом А менее 1', или 1“. Подобно этому можно показать, что разность между основанием треугольника АС и длиной его боковой высоты AF также может быть сделана менее какой угодно малой длины /; действительно, мы можем построить прямоугольный треугольник ACF так, чтобы гипотенуза его АС была более катета AF на длину /. Таким образом, пределом боковой высоты рассматриваемого треугольника является длина основания. Наконец, нетрудно доказать, что пределом величины угла при вершине треугольника является 0°; в самом деле, так как угол при основании А может сделаться как угодно близким к 90°, угол С в то же время может как угодно мало отличаться от 0°.

Из приведенных примеров учащиеся видят, что переменная величина может приближаться к своему пределу как увеличиваясь, так и уменьшаясь. Необходимо далее дать ряд примеров из различных отделов математики, которые освещали бы другие стороны вопроса о переменных величинах, имеющих пределы. Так, в рассмотренных случаях пределы имели величины, изменяющиеся непрерывно. Однако могут быть случаи, когда переменная величина приближается к своему пределу, изменяясь прерывно, т. е. принимая ряд значений, разделенных промежутками. Приведем примеры.

а) Пусть процесс изменения переменной величины у состоит в том, что к числителю и знаменателю дроби — прибавляют по одному и тому же целому числу х. Покажем, что у имеет предел. Действительно, здесь у = —.—. Давая числу х значения 0, 1, 2,3,..., получим для у соответственно значения —, —, —, Легко убедиться, что взятая переменная величина все время возрастает. Однако это возрастание не идет до бесконечности, а имеет пределом 1. В самом деле, разность между 1 и получаемыми значениями переменной величины у будет соответственно равна —, -с-, TT-,..-, т. е. очевидно, что при дальнейшем увеличении числителя и знаменателя на одно и то же число она может сделаться и затем оставаться менее какой угодно малой величины. Рассматривая аналогичное изменение дроби \- , най-

дем, что здесь переменная величина у = 3 + X = Уменьшается с возрастанием числа Х, причем это уменьшение также имеет пределом 1. В общем из этого рассмотрения можно вывести следующее общее заключение об изменении дроби при одновременном прибавлении к ее числителю и знаменателю по одному и тому же числу: правильная дробь от такого прибавления увеличивается, неправильная — уменьшается, та и другая стремятся к пределу 1. Ясно, что это заключение не изменится, если прибавляемое число и не будет целым.

б) Пусть процесс изменения состоит в следующем. К квадрату, сторона которого равна 1, прибавляют сперва-^- его, потом 4-, затем 4- и т. д. Показать, что переменная величина — сумма площадей складываемых квадратов имеет пределом 2 квадратные единицы. Действительно, легко усмотреть из соответствующего чертежа (черт. 2), что разность между 2 квадратными единицами и суммою складываемых площадей квадратов и прямоугольников по мере увеличения их числа будет равна 1, ТГ > Т“ > “Б- > Та и т. д., т. е. может быть сделана менее любой произвольно малой величины.

в) Простым примером из арифметики на существование предела может служить бесконечная десятичная дробь 0,9999.... Она представляет собою переменную величину, которая по мере увеличения числа взятых девяток будет принимать все большие и большие значения: 0,9; 0,99; 0,999 и т. д. Однако легко видеть, что это возрастание не продолжается до бесконечности, а имеет пределом 1. Действительно, соответствующие разности будут равны: 1 — 0,9 = 0,1; 1—0,99 = 0,01; 1—0,999 = 0,001 и т.д., т. е. могут сделаться при достаточном числе написанных девяток менее любой данной величины, и значит 1 есть предел дроби 0,999....

В приведенных примерах переменные величины не достигают своих пределов, хотя и приближаются к ним как угодно близко. Полезно, однако, указать примеры и таких переменных величин, которые в процессе изменения достигают своих предельных значений. Так, рассматривая процесс изменения длины хорды, проведенной в круге, в связи с возрастанием стягиваемого ею центрального угла, мы замечаем, что пределом этой длины хорд AA[t BBV CCt и т. д. (черт. 3) будет диаметр круга ЕЕ у когда центральный угол обратится в развернутый. В тригонометрии этому примеру соответствует изменение величины синуса острого угла, которая достигает своего предела, равного 1, когда угол делается прямым.

§ 2. ВЕЛИЧИНЫ БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО-БОЛЬШИЕ

Среди переменных величин особенно важное значение имеют те, пределом которых является 0, иначе такие, которые в процессе изменения могут сделаться и затем оставаться менее любой произвольно заданной величины. Такие величины носят название бесконечно-малых величин. Так, в первом из рассмотренных примеров (см. черт. 1) при движении вершины В треугольника ABC по его высоте угол ABC у как мы видели, может сделаться и затем оставаться менее какой угодно малой величины, следовательно, он представляет собою величину бесконечно-малую. Пусть еще основание АО квадрата ABCD продолжено неопределенно далеко за точку О (черт. 4)

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

и из вершины В проведены лучи ВМ, BN и т. д., которые отсекают на стороне CD отрезки СЕ, CF, CG и пр.

Ясно, что по мере приближения проведенных лучей к стороне квадрата ВС неременная длина отсекаемого отрезка может сделаться как угодно малой и, следовательно, является величиной бесконечно-малой.

Из этих и подобных примеров учащиеся должны вынести надлежащее понятие о бесконечно-малых величинах и их свойствах. Наиболее важно, чтобы они усвоили, что бесконечно-малая величина есть величина переменная, и не смешивали ее с величиной очень малой, как это делается в обыкновенной речи. Так, например, иногда говорят: «При доме — дворик бесконечно малых размеров» и т. п. Необходимо выяснить на примерах различие между величиной очень малой и бесконечно-малой. Так, угол в 1“ для земной поверхности есть величина действительно очень малая; чтобы заметить разветвление его сторон на плоскости, пришлось бы отойти от его вершины более чем на 5 км. Однако назвать его бесконечно-малой величиной нельзя, так как он имеет постоянную величину. С другой стороны, понятие об очень малой величине есть понятие относительное, и тот же угол в 1“ при астрономических наблюдениях над небесными светилами соответствует расстоянию между ними в 1 млн. км.

Ввиду переменного характера бесконечно-малых величин они не могут быть выражены числами, а потому их принято обозначать обычно греческими буквами: а, [$, у, 8 и пр. Относительно бесконечно-малых величин учащиеся должны знать две следующие теоремы: 1) алгебраическая сумма конечного числа бесконечно-малых величин есть величина бесконечно-малая; 2) произведение бесконечно-малой величины на конечное число есть величина бесконечно-малая. Для доказательства первой из этих теорем положим, что имеются три бесконечно-малые величины (а, ß, у) и требуется доказать, что и сумма их (a+ß+y) есть величина бесконечно-малая, т. е. что она может сделаться менее какого угодно малого количества. С этой целью положим, что это заданное количество есть т; тогда, по свойству бесконечно-малых величин, каждую из величин a, ß, у мы можем сделать менее — и получим:

а складывая эти неравенства, получим a + ß + у < /;/, что и требовалось доказать .

Для примера предположим, что вершина 5 пирамиды SABCDE движется вверх по ее высоте SO (черт. 5). Легко убедиться, что при этом каждый плоский угол при вершине пирамиды будет уменьшаться и может сделаться менее сколь угодно малой величины. Но тогда по доказанному, и сумма всех углов при вершине пирамиды будет величиною бесконечно-малой, т. е. пределом ее будет 0. Наоборот, при движении вершины пирамиды вниз по ее высоте плоские углы при вершине будут возрастать, сумма их будет увеличиваться и пределом ее, когда вершина пирамиды упадет на основание, будет \d. Отсюда вытекает теорема, иначе доказываемая в стереометрии, что сумма плоских углов при вершине многогранного угла менее 4d.

Для доказательства второй из вышеупомянутых теорем положим, что даны: a—бесконечно-малая величина и k — некоторый постоянный множитель, и требуется доказать, что произведение k-oL — величина бесконечно-малая. С этой целью докажем, что, k a может быть сделано менее произвольно-малой величины т. Для этого заметим, что a может быть сделана менее, чем —, т. е. a<C-r-. Умножая затем обе части этого неравенства на k, найдем, что k-(x<mt что и требовалось доказать. В качестве примера можно рассмотреть предел суммы плоских углов при вершине правильной л-угольной пира-

Черт. 5

миды при движении вершины ее вверх по высоте. Каждый из ее плоских углов при этом стремится к 0 и есть бесконечно-малая величина a, a потому и сумма их, равная произведению ла, есть тоже величина бесконечно-малая. Следствием последней теоремы являются положения о том, что произведение бесконечно-малых величин есть величина бесконечно-малая, а потому и всякая целая положительная степень бесконечно-малой величины есть бесконечно-малая величина. Поэтому, например, при уменьшении переменного количества х до 0 пределом двучлена ах2 + bx является 0, а пределом целого алгебраического многочлена, например ах2 + Ьх+с, является его свободный член с.

В противоположность бесконечно-малым величинам является естественным рассмотреть такие величины, которые в исследуемом процессе изменения могут сделаться и затем оставаться больше любой заданной величины. Такие величины называются бесконечно-большими. Так, в первом из рассмотренных нами примеров боковые стороны и высота равнобедренного треугольника при удалении его вершины могут сделаться более любой заданной длины, а потому суть величины бесконечно-большие. Сумма чисел натурального ряда .S = l+ 2+3+4+. 9 , есть тоже переменная величина, которая при достаточном числе взятых слагаемых может превзойти любое заданное число и потому есть величина бесконечно-большая. Точно так же является бесконечно-большой величиной сумма внутренних углов правильного вписанного в окружность многоугольника при возрастании его сторон и пр. О таких величинах принято говорить, что они стремятся к бесконечности, или что они имеют пределом бесконечность. Но это лишь условное выражение, так как в действительности они никакого предела не имеют. Относительно бесконечно-больших величин следует помнить, что и они — величины переменные, а потому не могут равняться какому-либо постоянному числу. Поэтому, например, выражение «Звезды находятся от земли на бесконечно-большом расстоянии» математически неправильно. Нетрудно убедиться, что величина, обратная бесконечно-малой, есть величина бесконечно-большая и наоборот. Действительно, пусть а — величина бесконечно-малая и M — какое-либо постоянное положительное произвольно большое число, тогда можно сделать, чтобы а была меньше , т. е. а< -V • Но тогда — “>М, т. е. — бесконечно велико.

Наоборот, если А означает бесконечно-большое число и m какое-либо произвольно-малое положительное число, то А “> —, а значит, — <Г т, следовательно, — есть величина бесконечно-малая.

Геометрическую иллюстрацию связи между величинами бесконечно-большой и бесконечно-малой можно получить из чертежа 4. Полагая, что сторона квадрата АВСО равна 1, и замечая, что треугольники ВСЕ и ВАМ подобны, получаем пропорцию:

т. е. СЕ = — и AM = — . Но с удалением точки M вправо от точки D отрезок СЕ становится величиной бесконечно-малой, a AM — бесконечно-большой; обозначая первую из них q, а вторую — Q найдем, что q — ~- и Q =— .

Важно, наконец, отметить, что бесконечно-малая величина как всякая переменная величина может и не достигать своего предела 0, но может и достигать. Пример последнего случая может представить колебание маятника (черт. 6). Пусть маятник привешен в точке О и в состоянии равновесия занимает положение ОР. Назовем угол отклонения маятника от положения равновесия х> причем будем считать его положительным, если он расположен вправо от положения равновесия, и отрицательным— если влево. Как известно, под влиянием силы тяжести маятник будет созершать колебания около положения

Черт. 6

равновесия, которые будут становиться все меньше и меньше, пока маятник не остановится в положении равновесия, причем угол отклонения сделается равным 0. Здесь угол х представляет собою наглядный пример бесконечно-малой величины, достигающей в процессе изменения своего предела и притом стремящейся к нему, то увеличиваясь, то уменьшаясь.

§ 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

Переходя к изучению теорем, на которых основан способ пределов, следует указать учащимся, что слово «предел» обычно обозначается записью lim (французское «limite» — «лимит»), а для обозначения того значения, к которому стремится переменное в процессе изменения, пользуются стрелкой . Например, как мы видели:

С другой стороны, так как разность между переменной величиной х и ее пределом а может сделаться по абсолютной величине как угодно малой т. е. является бесконечно-малой, величиной, то можно написать: х — а = а или х = а+л. Поэтому обозначения lim х = а их = а +a являются равнозначащими. Пользуясь этими обозначениями, можно доказать важнейшие теоремы из учения о пределах:

1. Если дзе переменные величины при всех своих изменениях остаются равными, то равны и пределы их. Для доказательства положим, что имеются две переменные величины X и у, которые имеют соответствующие пределы а и Ь, причем X = у; требуется доказать, что а = Ь. Пользуясь введенными обозначениями, имеем lim х = а; lim у = Ь, откуда х — — a+0L и у = b + ß- Отсюда a + ос = = b + Р и, следовательно, а — b == р — а. Но это равенство возможно лишь когда а = Ь. Действительно, в левой части его имеем постоянную величину (а — Ь), тогда как в правой стоит бесконечно-малая переменная величина, которая в процессе изменения может сделаться менее всякой конечной величины. Поэтому равенство а — Ь = $ — а возможно лишь тогда, когда (а — $) сделается равным 0, и тогда а = Ь.

Геометрической иллюстрацией этой теоремы может служить чертеж 1. Рассматривая на нем боковые высоты изменяющегося равнобедренного треугольника ABC, мы видим, что они во все моменты процесса изменений равны между собой: AF = = CG; AL = CK и т. д. В пределе же, когда вершина треугольника уходит в бесконечность, обе они стремятся к одной и той же длине основания треугольника АС.

Следствием приведенной теоремы является положение, что если две переменные величины в процессе изменения всегда сохраняют одно и то же отношение, то в том же отношении находятся и пределы их. Действительно, пусть переменные х и у, имеющие соответствующие пределы а и Ь, сохраняют постоянное отношение — = — . Тогда, полагая х = а+си, у — У п г > s = 0+B, получим:--77=— у откуда an + хп = Ът+$т, но ш и суть величины бесконечно-малые, а потому по предыдущей теореме ап = Ьт и — = —.

Пусть, например, высота BD треугольника ABC (черт. 7) делит его основание на части AD и DC так, что

Проведя через точку H на высоте BD треугольника линию EF || АС, найдем -—~=—. Предполагая, что вершина В треугольника движется вверх по его высоте, будем иметь —— = - и т. д. В пределе, когда стороны треугольника сделаются параллельными его высоте, отрезки РН и HQ проведенной нами прямой сде-

Черт. 7

лаются соответственно равными AD и DC, значит-77-r = —, т. е. сохраняют то же самое отношение.

2. Если переменная величина у в процессе изменения заключена между другой переменной величиной х и ее пределом а, то она имеет тот же предел а. Действительно, пусть у < X и lim х = о. Тогда х = а+а и # — а = а. Но — — а<х — а, следовательно, (у — а) есть бесконечно-малая величина, у — а=$ и lim у = а.

Пусть, например, из вершины Z? квадрата ABCD проводят лучи В ), BG и т. д. и рассматривают отрезки DE и т. д., которые проводимые лучи отсекают на стороне квадрата DC (черт. 8). Очевидно, что пределом переменного отрезка DE = х будет длина стороны квадрата DC = a. В то же время пусть из В одновременно проводятся лучи такие как ВН, делящие отрезки, отсекаемые на CD от точки С первого системой лучей, пополам так, что, например, ЕЕ = CF. Тогда длина DF = у будет переменной величиной, заключенной между переменной DE = х и ее пределом DC = a. Очевидно, что по мере приближения секущего луча BG к стороне квадрата ВС и луч ВН тоже будет приближаться к ВС и lim DF = lim у = DC = а, г. е. Hm X = lim у.

Из этой теоремы можно вывести более общее следствие: если некоторая переменная величина заключается между двумя переменными величинами yt и у2, имеющими общий предел а, то и она имеет тот же предел а. Действительно, пусть limy J = lim у2 = а и yt<Cy<C _У2-

Отнимая из всех трех членов неравенств по у2у получим: 0<у — yt <_у2 — — yv Но уг — ^ = 0; следовательно, разность у — yt заключается между переменной величиной у2—ух и ее пределом О, поэтому она будет иметь тот же предел 0. Итак, lim (у —уг) = 0, отсюда lim у = = \\ту1=а, что и требовалось доказать.

3. Особенно важны два следующих положения из теории пределов, которые по их очевидности можно дать учащимся без строгого доказательства, а только иллюстрируя их геометрически.

Если переменная величина все время возрастает, но при этом остается меньше некоторой постоянной величины, то она имеет предел.

Если переменная величина все время уменьшается, но при этом остается более некоторой постоянной величины, то она имеет предел.

Действительно, в первом случае переменная величина, очевидно, не может возрастать до бесконечности, а должна иметь пределом своего возрастания или упомянутую постоянную величину, или величину, меньшую ее.

Во втором случае переменная величина, очевидно, не может уменьшаться неограниченно, а должна иметь пределом своего уменьшения или названную постоянную величину, или некоторую величину, большую ее.

Так, предполагая, что точка M движется по некоторому закону по прямой линии АР от А к Р и проходит расстояния АМ1у АМ2, АМ3, . . . , которые все менее расстояния AB, то мы заключаем, что проходимое ею расстояние должно иметь пределом или отрезок AB, или некоторую длину, меньшую AB (черт. 9).

Точно так же, если точка N движется от точки Q к точке С по линии QC и проходит расстояния QNly QN2, QN3, . . . , причем расстояния ее от точки С, именно CNlt CN2, CjV3, . . . все время уменьшаются, но не могут сделаться менее расстояния С Э9 то мы заключаем, что проходимые точкой N расстояния должны иметь пределом или длину, равную QD, или же длину, меньшую CD (черт. 10).

4. Наконец, могут быть выведены теоремы, позволяющие вычислить по способу пределов результаты алгебраических дей-

Черт. 8

Черт. 9

Черт. 10

ствий, произведенных над переменными величинами, имеющими пределы:

а) Предел алгебраической суммы конечного числа переменных величин равен сумме их пределов.

Пусть имеем переменные величины л*, у, г, причем

Тогда:

Складывая эти равенства почленно, получим:

Но сумма (а -f ß + у) по первой теореме о бесконечно-малых величинах есть величина бесконечно-малая:

Поэтому:

а это показывает, что

б) Предел произведения конечного числа переменных величин равен произведению их пределов.

Возьмем две переменные величины х и у, имеющие соответственно пределами •а и о:

]\тх = а, \imy = b;

т. е.

X = q —f-а, у = £+?*

Перемножая эти равенства почленно, имеем:

Но по теоремам о бесконечно-малых величинах сумма трех последних слагаемых есть величина бесконечно-малая:

Тогда

следовательно,

Теорема может быть подобным же образом доказана для любого числа множителей:

lim (ху . . . /) = lim хЛхту , . .lim/.

Полагая, что в последнем равенстве все множители равны первому из них х и что число их равно т, получим: lim (хт) = = (!imx)m, т. е. предел целой и положительной степени переменной величины равен той же степени ее предела. Заменяя же в последнем равенстве х через |/ у, будем иметь: lim у — (lim у у)т,. а извлекая из обеих частей этого равенства корень т-й степени, найдем: |/ lim .у = lim \ у, т. е. предел корня из переменной величины равен корню той же степени из ее предела.

б) Переходя к пределу частного двух переменных величин — , положим ——z\ тогда х = уг и по предыдущей теореме

откуда

т. е. предел частного двух переменных величин равен частному от их пределов. При этом предполагается, что lim у ф 0.

Все выведенные теоремы могут быть соединены в одну: предел результата алгебраических действий, произведенных над переменными величинами, равен результату тех же действий, произведенных над их пределами. Поэтому, чтобы найти предел алгебраического выражения, надо над пределами входящих в него переменных величин произвести те же действия, с помощью которых оно составлено.

Например, если дано выражение:

причем lim х = а, \\ту=Ь, то получим:

Пусть еще требуется вычислить:

Подставляя указанные пределы, найдем:

Заметим, что из теорем о вычислении пределов в программе упоминается лишь первая — о пределе суммы переменных величин. Поэтому можно ограничиться только ее доказательством, но упомянуть, что подобные же теоремы справедливы и могут быть доказаны и для прочих алгебраических действий.

§ 4. ПРЕДЕЛ СУММЫ ЧЛЕНОВ БЕСКОНЕЧНО-УБЫВАЮЩЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

Первым приложением теории пределов программа средней школы ставит нахождение предела суммы членов бесконечно-убывающей геометрической прогрессии. Приступая к этому вопросу, конечно, необходимо повторить с учащимися определение и свойства геометрической прогрессии, а также вывод суммы ее членов. Последний может быть дан в следующей, более удобной для дальнейшего форме.

Пусть первый член прогрессии есть а, а знаменатель ее q; тогда сумму п первых ее членов можно представить в виде:

sn = a + aq+aq2+ . . . -f aqn~\

или

sn = o(\+q + g2+. . (I)

Последнее равенство на основании теоремы о делимости разности одинаковых степеней двух количеств на их разность можно представить в виде:

или

(II)

Предположим, что число п членов прогрессии неограниченно возрастает; тогда sn становится величиной переменной, и возникает вопрос о ее пределе. Здесь могут представиться два случая. Если q > 1, то равенство (I) показывает, что sn>a-n и, при я, стремящемся к бесконечности, так же будет стремиться к бесконечности. Но то же можно доказать и при помощи формулы (II). С этой целью заметим, что при умножении всякого числа на число, большее единицы, оно увеличивается по абсолютной величине, так что

Я<Я2<Я* ... ;

следовательно, никакого предела для возрастания qn не существует, и qn является бесконечно-большой величиной:

а потому

Поэтому при q > 1 сумма членов прогрессии с возрастанием их числа предела не имеет.

Переходя к случаю, когда q < 1, придадим формуле (II) более удобный вид:

Легко показать, что в этом случае qn является величиной бесконечно-малой. Действительно, мы можем положить q = _ , где qt > 1, тогда qn = , и так как q* есть величина бесконечно-большая, то qn как величина, ей обратная, есть величина бесконечно-малая. Поэтому

После вывода этой основной формулы необходимо дать ряд примеров на приложение ее к вопросам из области алгебры, геометрии и тригонометрии. Обычно эти примеры очень интересуют учащихся. Так, можно показать, что примеры «б» и «в» переменных величин, имеющих пределы, приведенные в § 2, являются частными случаями бесконечно-убывающей геометрической прогрессии. Действительно, в примере «б» имеем сумму членов бесконечно убывающей прогрессии

здесь

как это и было выведено из непосредственного рассмотрения. В примере «в» имеем сумму членов в прогрессии:

как и было найдено. Приведем еще примеры.

а) В правильный шестиугольник со стороною а вписан другой шестиугольник, вершины которого лежат в серединах сторон первого; в этот шестиугольник вписан подобным же образом новый шестиугольник и т. д. до бесконечности. Найти предел суммы площадей всех построенных шестиугольников (черт. 11).

Черт. 11

Обозначая сторону первого шестиугольника через я, а площадь через sv найдем, что st= — я21^3. Сторона второго шестиугольника, как легко видеть, равна ci^K \ по теореме об отношении площадей подобных многоугольников имеем:

Поэтому площади построенных многоугольников составляют геометрическую прогрессию с знаменателем q = — , следовательно:

б) Найти предел суммы:

Полагая, что а < — , найдем, что искомый предел:

Необходимо также привести примеры знакопеременных убывающих геометрических прогрессий, которые дают примеры приближения к пределу переменных величин, попеременно то увеличиваясь, то уменьшаясь. Так, предел суммы членов прогрессии

есть

если же брать приближенные значения s, получим:

и т. д., которые то более, то менее предела суммы — .

Та же прогрессия может быть использована для пояснения основной теоремы о пределах, приведенной в п. 3, § 3. Именно, представляя данную сумму в виде

заключаем, что по мере увеличения числа членов она все время возрастает. Однако, с другой стороны, той же сумме можно придать вид:

что показывает, что та же сумма остается менее 1. Отсюда заключаем, что сумма

должна иметь предел. Применение общей формулы для предела суммы членов бес-

конечно убывающей прогрессии подтверждает это заключение и дает его величину — .

§ 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДИ КРУГА.

Первым и важнейшим приложением метода пределов в курсе элементарной геометрии является определение длины окружности. Поэтому оно должно быть пройдено с особою тщательностью, ясностью и четкостью. Приступая к этому вопросу, следует прежде всего напомнить учащимся, что измерение длины прямой линии производится путем сравнения ее с некоторым отрезком прямой, принятым за единицу длины. Это сравнение может быть произведено путем непосредственного откладывания единицы меры на измеряемой конечной прямой. Но отрезок прямой не может быть совмещен с кривой линией, какой в частности является окружность; поэтому прямое измерение длины ее невозможно. Однако из непосредственного опыта, например движения по окружности, мы убеждаемся, что она длину имеет. Поэтому является необходимым дать определение понятия о длине кривой, в частности — окружности. С этой целью заметим, что к длине окружности можно приблизиться, измерив длину вписанной в нее ломаной линии с возможно большим числом звеньев. Поэтому естественным определением длины дуги кривой является следующее: за длину дуги кривой линии принимается предел вписанной в нее ломаной линии при бесконечном возрастании числа ее сторон. Так как в дальнейшем придется пользоваться ломаными линиями и сравнением их длины, то, приступая к выводу длины окружности, необходимо повторить с учащимися теорему о том, что длина выпуклой объемлющей линии более длины объемлемой.

В частности следует показать, что если один выпуклый многоугольник находится внутри другого, то периметр внешнего многоугольника более периметра внутреннего. Это можно сделать следующим образом. Пусть четырехугольник ABCD лежит внутри четырехугольника KLMN (черт. 12). Продолжив все стороны внутреннего четырехугольника в одном и том же направлении до пересечения со сторонами внешнего многоугольника в точках Е, F, G, Н, будем иметь неравенства:

Сложив почленно все эти неравенства, отняв при этом от обеих частей по равному отрезку BE, CF, GD и НА и соединив части оставшихся отрезков сторон внешнего четырехугольника в целые стороны, получим:

что и требовалось доказать. В частности отсюда следует, что периметр любого вписанного в круг многоугольника менее периметра всякого описанного многоугольника.

Переходя затем к выводу длины окружности, следует изложить тот процесс изменений, который непосредственно к нему приводит. Он состоит в том, что мы вписываем в окружность данного радиуса R какой-либо правильный многоугольник, а затем последовательно удваиваем число его сторон (черт. 13). Пусть сторона первого вписанного многоугольника AB = av второго АС = а2 и т. д., ясно, что стороны построенных многоугольников ак, А2,..., ап идут все время уменьшаясь, так как стягивают все меньшие дуги и могут сделаться менее всякой данной длины. Таким образом, сторона правильного многоугольника в данном процессе изменений есть величина бесконечно-малая. С другой стороны, так как АС + СВ> AB, то ясно, что периметр вписанного многоугольника с удвоением числа его сторон увеличи-

Черт. 12

Черт. ГЗ

вается; называя периметр первого вписанного многоугольника pv второго р2 и т.д., видим, что р{<Ср* <СРг>“'<СРп* т. е. периметр многоугольника есть переменная величина, которая все время возрастает.

Однако это возрастание не идет до бесконечности, а имеет предел. Действительно, периметр всякого вписанного многоугольника менее периметра какого-нибудь описанного многоугольника, например KLMN; поэтому на основании п. 3, § 3 основных теорем о пределах рп имеет предел; обозначая его через С, имеем: lim рп = С. Этот предел и принимается за длину окружности. Итак, длина окружности есть предел периметров правильных, вписанных в нее многоугольников при бесконечном удвоении числа их сторон.

Для дальнейшею важно показать, что к тому же самому пределу стремятся и периметры правильных, описанных около круга многоугольников при бесконечном удвоении числа их сторон. Действительно, пусть одновременно со вписыванием правильных многоугольников, которое было упомянуто, производится около того же круга описывание правильных многоугольников с таким же числом сторон (черт. 14).

Черт. 14

Обозначим длину стороны At BL первого из описанных многоугольников, соответствующую стороне AB = at вписанного, через bv т. е. AlBl = bi, следующего, с удвоенным числом сторон — Ь2, затем bs, £4,..., bny а периметры их — qv q2, *73,..., qn. Так как каждый последующий описанный многоугольник будет лежать внутри предыдущего, то периметры их будут итти все время уменьшаясь: qL<Cq2< <С <7з <С ••• <С Чъ> однако это уменьшение будет иметь предел, так как периметр любого описанного многоугольника остается больше периметра какого угодно вписанного. Чтобы найти этот предел, воспользуемся подобием одноименных вписанного и описанного многоугольников и теоремой о том, что их периметры относятся как апофемы.

Называя апофему вписанного многоугольника о /г-сторонах через /п, имеем:

Но

следовательно,

Предполагая, что число сторон вписанных и описанных многоугольников путем удвоения увеличивается до бесконечности, переходя к пределу, будем иметь:

Но

поэтому

Установив понятие о длине окружности как пределе периметров правильных вписанных многоугольников при бесконечном удвоении числа их сторон, можно доказать важнейшую теорему в учении о длине окружности, именно о том, что отношение длины окружности к диаметру для всякого круга есть величина постоянная. С этой целью предположим, что имеются два круга с радиусами R и г и в них вписаны два многоугольника с одинаковым числом сторон, которое затем постоянно удваивается. Пусть периметры многоугольников, вписанных в первый круг, будут:

а во второй:

тогда:

Предполагая, что число сторон в обоих многоугольниках возрастает до бесконечности, и переходя к пределу, имеем на основании теоремы об отношении пределов двух переменных величин, сохраняющих постоянное отношение (§ 3):

С и с — длины соответствующих окружностей; поэтому

откуда

т. е. действительно отношение длины окружности к диаметру одно и то же во всех окружностях. Обозначая это постоянное число греческою буквою тс, будем иметь:

откуда

т. е. длина окружности равна ее диаметру, умноженному на число тт.

Приступая к выводу площади круга, снова предположим, что в окружность радиуса R вписан правильный многоугольник, число сторон которого затем постоянно удваивается. Пусть площади соответствующих многоугольников будут Sv 6*2,..., Sn. Так как площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на апофему, то

Переходя к пределу и применяя теорему о том, что предел произведения двух переменных величин равен произведению их пределов, найдем:

или, так как

Этот предел и принимается за площадь круга; следовательно, она равна половине произведения длины его окружности на радиус. Так как

С = 2тс/?,

то, обозначая площадь круга через S, окончательно будем иметь:

Полезно заметить выражение длины окружности и площади круга через его диаметр D;

§ 6. вычисление числа тг.

Ввиду крайне важного значения числа тс в математике, учащиеся должны быть ознакомлены с методами его вычисления, главнейшими свойствами и историей. Для вычисления можно указать, что если в формуле для длины окружности C = tùD положить .0 = 1, то получим тс = С, т. е. за число тс приближенно можно взять периметр любого вписанного или описанного многоугольника с диаметром 1. Так, в глубокой древности, более 4000 лет назад, ассиро-вавилоняне, жившие у Персидского залива и уже знавшие, что сторона правильного вписанного в круг шестиугольника равна радиусу, а периметр его — утроенному диаметру круга, принимали тс = 3. С другой стороны, предки русского народа, древние славяне, заметившие, что сторона описанного около круга квадрата равна его диаметру, а периметр—4 диаметрам, считали, что тс = 4. Таким образом, число тс заключается между целыми числами 3 и 4. Для нахождения его с большей степенью точности надо от взятого вписанного или описанного многоугольника перейти к новому многоугольнику с удвоенным числом сторон. Так, от

правильного вписанного шестиугольника можно перейти к правильным вписанным 12-угольнику, 24-угольнику, 48-угольнику и т. д., вычисление периметров которых будет давать число тт все с большей и большей степенью точности. Для определения делаемой при этом погрешности можно одновременно вычислять периметры описанных многоугольников: шестиугольника, 12-угольника, 24-угольника и т. д. Так как длина окружности является общим пределом периметров правильных вписанных и описанных многоугольников, то ошибка, которая делается, когда за число те принимается длина периметра какого-нибудь правильного вписанного многоугольника, всегда будет менее разности между периметром одноименного описанного и данного вписанного многоугольников.

Аналогично число тс может быть определено из рассмотрения выражения для площади круга по формуле S =- при D = l; именно тт = 45, т. е. число тг приближенно может быть выражено числом, выражающим учетверенную площадь данного многоугольника при диаметре вписанного или описанного круга, равном 1. Если же пользоваться формулой, выражающей площадь круга через его радиус S = TzR2, то при R = 1 имеем it = 5, т. е. в этом случае число тт выражается тем же числом, как и площадь круга с радиусом 1.

Удваивая число сторон правильного вписанного или описанного многоугольника и вычисляя их площади, можно таким образом получать все более и более точные значения тт.

Таким образом, теоретически вычисление значения числа тт оказывается весьма простым, но на практике оно представляет большие затруднения, так как вычисление сторон правильных многоугольников при удвоении их числа представляет большие трудности. Поэтому ученые различных эпох и стран потратили много усилий для того, чтобы возможно точнее вычислить число тт и изучить его свойства. Так, в древнейшем памятнике математической науки, так называемом «Московском папирусе»— древнеегипетской математической рукописи, хранящейся в Московском музее изящных искусств, принимается, что площадь круга равна площади квадрата, построенного на — его диаметра (черт. 15). Таким образом, египтяне полагали, что

т. е. что

или

что в десятичных дробях дает тт = 3,16. Это значение тт представляется замечательным по точности сравнительно с тт = 3, которым приблизительно в ту же эпоху пользовались ассиро-вавилоняне, китайцы и другие народы, а римляне даже многими столетиями позже принимали тт = 3 и тт = 4.

На правильный путь вычисления числа тт при помощи вписывания в круг и описывания около него правильных многоугольников впервые стали древнегреческие ученые, хотя вначале они и делали при этом неправильные заключения. Так, Антифон (V в. до н. э.) полагал, что вписанный многоугольник при достаточном увеличении числа его сторон сольется с кругом, а Бризон (в ту же эпоху) учил, что площадь круга представляет среднее арифметическое между площадями правильных вписанного и описанного многоугольников с одинаковым числом сторон. Совершенно строгое в научном отношении вычисление числа тт было произведено величайшим ученым древности Архимедом (287—212 гг. до н. э.), который для определения отношения длины окружности к диаметру пользовался периметрами правильных вписанных и описанных многоугольников с 6, 12, 24, 48 и 96 сторонами. Произведя с полною точностью огромные вычисления, Архимед нашел, что

Черт. 15

т. е. приближенно с некоторым избытком можно принять

или, в десятичных дробях, тс = 3,14. Позднейшие греческие ученые, применяя метол Архимеда, получили еще более точные значения; так, знаменитый геометр Аполлоний получил для тс число, выражаемое нами в десятичных дробях тс = 3,1416. Это же значение было получено также знаменитым греческим астрономом Птоломеем (87— 165 гг. н. э.) при помощи открытой им известной теоремы относительно вписанного в круг четырехугольника. Приблизительно с такой же степенью точности было найдено значение числа тс различными индусскими учеными в Средние века; например, Бхаскара, пользуясь правильным многоугольником о 384 сторонах, дал для тс в 1150 г. значение

С возрождением наук и искусств в Европе начались работы европейских ученых по дальнейшему вычислению числа тс. При этом они шли по пути, указанному Архимедом, все более и более увеличивая число сторон многоугольников. Так, в 1579 г. Виета, пользуясь вписанными многоугольниками о 6,216 сторонах, нашел

Голландский ученый Адриан Меций в 1585 г. дал для тс замечательное выражение в виде простой дроби, которое легко запомнить:

Адриан Романский вычислил периметр правильного вписанного многоугольника о 230, т. е. 1 073 741 824 сторонах, и получил значение тс, точное до 15 десятичных знаков.

Особенно много труда положил на вычисление числа тс ученый Лудольф из Кельна, который занимался им всю жизнь. Он получил в конце концов число тс с 35 десятичными знаками: тс = 3,14159265358 979323846264338327950288; это число, по его желанию, было вырезано на его надгробном памятнике.

Открытие в конце XVII в. и в начале XVIII в. методов анализа бесконечно-малых позволило вычислять тс новыми способами, несравненно более удобными, чем ранее, именно при помощи разложения функций в ряды. Этим путем Мэчин в 1706 г. вычислил тс со 100 десятичными знаками, Вега в 1794 г.— со 136 знаками, Рихтер в 1853 г.— с 500 знаками и пр.; наибольшее число знаков было получено в 1873 г. американским ученым Шенком, который дал тс с 707 знаками после запятой.

Конечно, такая колоссальная точность совершенно не нужна ни для каких практических приложений, и ученые, вычислявшие тс, стремились уяснить природу этого числа, в частности — определить, не является ли оно рациональным. В последнем случае можно было бы по формуле 5 = = izR2 при помощи циркуля и линейки построить прямоугольник, в точности равновеликий данному кругу, а превратив этот прямоугольник в квадрат, решить так называемую «задачу о квадратуре круга». Попытку такого рода, как было упомянуто, делали уже древние египтяне. Но уже в 1766 г. ученый Генрих Ламберт доказал, что число тс есть число иррациональное. Позже французский математик Лежандр доказал то же положение еще более строго и полно, а Лиувилль, Эрмит и другие ученые доказали, что число тс даже не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэфициентами. А так как с помощью циркуля и линейки могут быть построены только корни квадратного уравнения, или приводящегося к ряду квадратных уравнений, то задача о квадратуре круга, которой интересовались и занимались много людей во все века, является задачей невозможной.

ВЫЧИСЛЕНИЕ π В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

В. СЕРГОВСКИЙ (Анжеро-Судженск

s 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ π МЕТОДОМ ПРАВИЛЬНЫХ п-УГОЛЬНИКОВ.

Понятия длины окружности и числа тс вводятся в геометрию совокупностью теорем, устанавливающих неравенства:

Число тг может быть определено лишь приближенно. Согласно неравенств

отношения к радиусу полупериметров правильных вписанного и описанного n-угольников и служат приближенными значениями числа тг. При этом, так как по мере увеличения числа сторон n-угольников разность

неограниченно убывает, то, начав с вычисления полупериметров каких-нибудь правильных вписанного и описанного п-угольников, например шестиугольников, и удваивая многократно число сторон, мы можем этим приемом достигнуть в вычислении числа 7С любой точности. Например, немецкий математик XVI в. Лудольф (1539—1603), пользуясь таким методом, вычислил тг сначала с 20, а перед концом своей жизни даже с 35 верными знаками.

Для последовательного перехода от полупериметров правильных вписанного и описанного n-угольников к полупериметрам 2n-угольников, от этих к полупериметрам 4n-угольников и т. д. служат формулы:

Через вынесение R за знаки радикала они из формул сторон легко могут быть преобразованы в формулы отношений сторон к радиусу:

Для последовательного многократного удвоения числа сторон n-угольников имеем ряд аналогичных формул:

Выражая последовательно отношения:

заключенные в формулах (2), (3), (4),..

под знаками радикала, через отношение 2* легко притти от этих формул к следующим:

Для числа удвоений m имеем формулы:

Примечание. На формуле (II), представленной в виде

можно построить доказательство теоремы: Периметр правильного вписанного л-угольника, увеличиваясь по мере увеличения числа сторон n-угольника, и периметр правильного описанного угольника, уменьшаясь по мере увеличения числа сторон, оба

стремятся к одному и тому же пределу.

Доказательство: Так как

то из формулы (На) следует:

Легко доказать, что знаменатель дроби, составляющей правую часть этого равенства, в пределе равен 2 и сама дробь поэтому равна 1.

Если число удвоений m равно оэ, то

Имеем кв. уравнение: X2 — * —2=0,

а из него

Отбрасывая отрицательный корень как не удовлетворяющий условиям задачи, имеем:

Итак:

Следовательно:

Если за исходный многоугольник взять правильный вписанный шестиугольник (я=6), сторона которого a6 = Rf а тогда

то для вычисления отношений к радиусу сторон правильных вписанных и описанных многоугольников, последовательно удваивая число их сторон, будем иметь следующие формулы:

Пусть поставлена задача: Найти для тс значение с точностью до 0,01. С такой точностью TZ определяется из периметров правильных вписанного и описанного 96-угольников:

По формуле имеем:

Так как

должно быть определено с точностью до

должно быть вычислено с точностью до —.

Но как получить такую точность? Ее можно достигнуть следующим приемом. Пусть X такое целое положительное число, что дробь X десятитысячных меньше, а десятитысячных больше

Умножив и разделив иррациональное выражение на 104 и вводя множитель 10 под знак первого радикала, 108 — под знак второго радикала и т. д., будем иметь:

Если теперь выражение

вычислить с точностью до 1, то разделив его на 104, мы достигаем требуемой точности-^. Но какой ценой? Под знаком первого в порядке вычисления радикала стоит число 3,10128 — 129-значное число, а корень из него имеет 65 знаков! ^/“з“ нужно вычислить с 65 верными знаками, чтобы в окончательном результате иметь всего лишь 5 верных знаков! А чтобы получить значение стороны правильного вписанного 768-угольника с требуемой точностью, т/з“должен иметь по вышеприведенному приему почти 900 знаков! Такова теория. А в действительности, наперекор ей и этим астрономическим числам, требуемая в последнем случае точность достигается всего лишь 11 верными знаками \ГЪ. 900 и 11 знаков! Таково расхождение теории с практикой. Однако эта практика не имела до сих пор под собой твердого теоретического обоснования, что крайне вредно отразилось на деле изучения средней школой вопроса об измерении длины окружности.

Вошло в обычай на страницах учебника геометрии вслед за теоремами, устанавливающими понятия длины окружности и числа, отводить достаточно места для изложения метода вычисления с помощью периметров правильных вписанных и описанных угольников через формулы:

сопровождаемого таблицами значений сторон и периметров до 768-го угольника.

И также, повидимому, прочно укоренилось, что люди, для которых предназначаются эти учебники, учащиеся средней школы, слушают изложение этого метода от преподавателя, читают о нем по учебнику, но ни одной задачи сами не решают.

Тут дело не только в том, что необходимость многократного извлечения квадратных корней, требуемого задачей вычисления, не располагает к ее решению. В классе всегда найдется не один, а группа учащихся, обладающих трудолюбием и интересом к математике, достаточной силы, чтобы быть вполне гарантированною от такого нерасположения. Основная причина ненормальности, когда метод решения задачи изучается, а самая задача не решается, заключается в том, что средняя школа не имела удобного, теоретически обоснованного приема для вычисления с наперед заданной точностью выражений вида:

Бесполезно предлагать учащимся достигать верных результатов в этих вычислениях путем проб, ибо никто даже из тех немногих, которые имеют особую любовь к математике и обладают незаурядным трудолюбием, не пойдет на такие сложные вычисления без уверенности в их результате: никто не согласится отправиться в дальнюю дорогу с завязанными глазами, да еще в такую дорогу, которая идет через дремучие леса. Но делать такие предложения крайне вредно. Что значит предлагать добиваться верного результата путем проб? Значит дискредитировать математику в глазах учащихся, значит не счи-

таться с психологией юношеского возраста, которому чужды всякое сомнение и шатание, который требует ясных и точных ответов на все возникающие вопросы, значит скептикам дать в руки козырь, чтобы позубоскалить над бессилием математики, а среди любящих математику, относящихся к ее изучению со всею серьезностью, вниманием и усердием, сеять чувства разочарования и растерянности, подвергать опасному испытанию молодые, нежные, еще не окрепшие ростки любви и преданности науке.

Поэтому необходимо, чтобы средняя школа располагала учебным теоретически обоснованным приемом для вычисления выражений вида

§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ ВИДА Va -h Yb + + С НАПЕРЕД ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ

1. Главная и дополнительная части подкоренного числа и корня. Пусть нужно извлечь квадратный корень из числа 3'93'18'5Г65'25'78. Разделим его 7 звеньев на две неравные части: к первой, большей, части отнесем 4 первых звена (3'93'18'51), ко второй, меньшей, части — 3 последних звена(65'25'78). В соответствии с этим подкоренное число разложится на два слагаемых:

Слагаемое 3931851000000 назовем главной частью подкоренного числа, а слагаемое 652578 — дополнительной частью подкоренного числа.

К главной части может быть отнесено и два лишних звена сравнительно с дополнительной. Это имеет место при четном числе звеньев. Например, если бы число звеньев подкоренного числа было не 7, а 8, то к главной части пришлось бы отнести 5 звеньев, к дополнительной 3. Больше 2 лишних звеньев главная часть подкоренного числа содержать не может.

Соответственно такому делению подкоренного числа делим и квадратный корень его (имеется в виду целая часть корня) также на две части: главную и дополнительную. Например: V 3'93'18'5Г~65'25'78 = = 1982'889. Извлекая корень из 4 звеньев (3'93'18'51) главной части подкоренного числа, получаем 4 знака (1982) главной части корня, а снося дальше одно за другим 3 звена дополнительной части подкоренного числа (66'25'78) и извлекая корень, получаем 3 знака (889) дополнительной части корня: корень 1982889= 198200 + + 889,... ; слагаемое 1982000 — главная часть корня; слагаемое 889 — дополнительния часть корня.

По числу знаков (не считая нулей) главная часть корня превышает дополнительную, но не более как на 2 знака.

Последующие теоремы вполне оправдывают такое деление подкоренного числа и корня на главную и дополнительную части.

2. Лемма. Квадрат дополнительной части корня меньше его главной части.

Доказательство. Пусть N — многозначное целое число. Если х— дополнительная часть и Y~N—имеет 2т цифр, то л;<Ч0т, а X2 <<102ГП, следовательно, X2 имеет не более 2т цифр. С другой стороны, если дополнительная часть корня имеет m цифр, то главная часть корня — обозначим ее через а — имеет по крайней мере m +■ 1 цифр с последующими за ними нулями, всего 2 m + 1 цифр.

Итак, X2 имеет не более 2 т цифр, а — не менее 2т + 1 цифр. Следовательно, х2, т. е. квадрат дополнительной части корня, меньше главной части, и т. д.

Примечание. Лемма верна и для случая, когда подкоренное число — десятичная дробь, но так как в последующей теореме (1), для доказательства которой она служит, рассматривается только случай целого подкоренного числа, то в доказательстве ее мы и ограничиваемся только этим случаем.

3. Теорема 1. Если главная часть квадратного корня из целого числа определена, то дополнительная часть его может быть получена путем деления остатка на удвоенную главную часть.

Пример. Будем извлекать квадратный корень из числа 3931851652578:

Мы извлекли корень из 4 звеньев главной части подкоренного числа и получили 4 знака главной части корня. Пока имеем:

В отыскании целых знаков х — а, т. е. дополнительной части корня, мы можем итти двумя путями:

1) Или продолжаем извлечение корня согласно правилу этого действия, снося последовательно, звено за звеном, 3 звена дополнительной части подкоренного числа.

2) Или, согласно теореме, произведем деление остатка 3527652578 на удвоенную главную часть корня, на число 3964000:

1-й путь:

2-й путь:

Доказательство:

Пусть N — целое многозначное число, А а — главная часть его корня, а-X — дополнительная часть корня,

Напишем равенство: Из него имеем:

Числитель дроби —-— , т. е. выражение N — о2, разность между подкоренным числом и квадратом главной части корня есть последний из остатков, получаемых в процессе нахождения знаков главной части корня:

N— а2 = остатку 3527652578.

Поэтому дробь - есть частное от деления этого остатка на удвоенную главную часть корня (2а).

Равенство--х = — показывает, что разность между этими частными и #-м (дополнительной частью корня) равна —.

Но по предыдущей лемме х2<г^а, а тогда

Итак,--х<Стг* в силу чего заключаем, что целые знаки х — а, или целая дополнительная часть корня, совпадают с целыми знаками частного от деления остатка N — а2 на удвоенную главную часть корня (2а).

Примечание. Доказанная теорема 1, составляя важное звено в системе обоснования способа вычисления с наперед заданной точностью выражений вида

в то же время имеет и самостоятельное ценное практическое значение: благодаря ей значительно облегчается нахождение дополнительной части корня.

4. Лемма. Целая часть частного от деления двух целых чисел не изменяется, если в делимом некоторую часть его знаков справа, не превышающую однако числа знаков делителя без одного, заменить нулями. Например:

Как видим, оба деления дали один и тот же цифровой состав целой части частного. Доказательство: Числовые значения букв:

Пусть р и q — целые многозначные числа, р — делимое, q — делитель, причем p>q и q имеет т+\ знаков, и пусть а — целое число, получившееся в результате округления делимого р через замену в нем нулями некоторой части знаков справа, не превышающей, однако, числа ту а X — целое число, обозначенное этими замененными нулями знаками. Имеем равенство:

р = а+х Разделим обе части его на q:

откуда

Но X — целое m - значное число, а q — тоже целое, но (/я+1) = значнсе число, поэтому х<Я и —“О- Итак:

в силу чего заключаем, что частное — -| имеет тот же цифровой состав своей целой части, какой имеет целая часть частного — (-|, ч. т. д.

В теореме 1 мы имеем дело со случаем деления остатка 3527652578 на удвоенную главную часть корня 3946000, чтобы, согласно теореме 1, получить дополнительную часть корня. Так как делитель (3964000) имеет 7 знаков, то от замены в делимом нулями 6 его знаков справа (652578) целая часть частного, согласно только что

доказанной лемме, сохраняется. Действительно:

Замечаем, что 6 замененных нулями знаков делимого 652578 составляют дополнительную часть подкоренного числа. Таким образом, обнаруживается независимость дополнительной части корня от дополнительной части подкоренного числа. Возникает

5. Теорема 2. Целая часть квадратного корня из целого числа не изменяется, если все знаки дополнительной части данного подкоренного числа или часть их заменить нулями.

Согласно теореме квадратный корень из числа 3931851000000 имеет в своей целой части тот же состав знаков, как и корень из числа 3931851652578.

Доказательство. Будем извлекать квадратный корень из числа 3931851652578. По числу звеньев (7) целая часть корня имеет 7 знаков. Получив 4 знака главной части корня 1982 (см. теорему), или число 1982000, и снеся к результату последнего вычитания 3527 его дополнительную часть 652578, прочие 3 знака 889, составляющие дополнительную часть корня, мы можем получить, согласно теореме 1, путем деления остатка 3527652578 на удвоенную главную часть корня 3964000. Но, согласно предыдущей лемме, эти три знака 889, составляющие целую часть частного 3527652578:3964000, не изменятся, если 6 знаков делимого 652578, т. е. как раз все знаки дополнительной части подкоренного числа, заменим нулями и вместо деления 3527652578 на 3964000 разделим 3527000000 на 3964000.

Итак, целая дополнительная часть корня, а следовательно, и весь состав целых его знаков, не изменяется, если все знаки дополнительной части подкоренного числа заменить нулями. Тем более это имеет место, если заменить нулями только часть указанных знаков.

Сейчас доказана очень важная теорема, устанавливающая, что целая дополнительная часть корня из целого числа всецело определяется главной частью подкоренного числа и совершенно не зависит от его дополнительной части.

Из этого непосредственно вытекает

6. Теорема 3. Квадратный корень из приближенного числа целого или десятичной дроби, имеющей четное число десятичных знаков, имеет столько же верных знаков, сколько их имеет самое число, или на один знак меньше.

Доказательство. Пусть данное целое число 3931851 есть приближенное число, взятое с недостатком с точностью до 1. В таком случае за 7 его целыми знаками следуют неизвестные нам десятичные знаки: 3931851, . .. Возьмем эту дробь с округлением до 6-го десятичного знака: 3931851,...

Для нее часть неизвестных нам десятичных знаков служат дополнительной частью числителя. Корень из числителя (3931851,...) по числу его звеньев имеет 7 знаков. По теореме 2 эти 7 знаков корня сохраняются, если 6 неизвестных знаков, составляющих часть числителя, заменить нулями. Но в таком случае мы будем иметь данное целое число 3931851000000. Следовательно, квадратный корень из данного целого приближенного числа 3931851 имеет 7 верных знаков, т. е. столько, сколько их имеет самое число.

Вообще, если данное целое число, имеющее 2/n + 1 знаков (нечетное число знаков), есть число приближенное, взятое с недостатком с точностью до 1, то в таком случае за его 2т+\ целыми знаками мы можем мыслить неизвестные нам 2т десятичных знаков, составляющих дополнительную часть числителя. Тогда числитель имеет 4/л + 1 знаков (2т+\ звеньев), а корень из него 2т+1 знаков. По теореме 2 эти 2т + 1 знака корня сохраняются, если неизвестные нам 2т знака, составляющие дополнительную часть числителя, заменить нулями. Но в таком случае мы будем иметь данное целое число. Следовательно, квадратный корень из данного целого приближенного числа, имеющего 2т+\ знаков, имеет 2/w+l верных знака.

Если данное целое приближенное число, взятое с недостатком с точностью до 1, имеет четное число знаков — 2т, то за ними мы можем мыслить 2т — 2 неизвестных десятичных знака, составляющих дополнительную часть числителя. Тогда числитель дроби имеет 4/# — 2 знака, а корень из него 2т—1 знака.

По теореме 2 эти 2т — 1 знака корня сохраняются, если 2т — 2 неизвестных знака, составляющих дополнительную часть числителя, заменить нулями. Но тогда мы будем иметь данное целое приближенное число. Следовательно, квадратный корень из данного целого приближенного числа,

имеющего 2т знаков, имеет 2т—1 верных знака, т. е. на 1 знак меньше, чем их имеет самое число.

Случай квадратного корня из приближенной десятичной дроби, взятой с недостатком, имеющей четное число десятичных знаков, не требует особого рассмотрения, так как все предыдущие рассуждения распространяются на числителя дроби, который всегда есть целое число.

Если число десятичных знаков дроби нечетное, то нужно отбросить крайний справа знак.

Примечание. Под числителем десятичной дроби здесь понимается число, обозначенное всею совокупностью ее знаков, например, числитель дроби 32,175 есть число

7. Извлечение корня степени 2т. Перед нами задача — извлечь корень 32-й степени из 10:

Следовательно, извлечение корня 32-й степени из 10 приводится к пятикратному последовательному извлечению квадратного корня, начиная с “J^IO. Поставим и решим вопрос: с какой точностью мы можем получить j/“l0, если ]/“l0 вычислим с 6 верными десятичными знаками с недостатком?

Если |/“lÖ“^ 3,162277 с точностьюдо —^— с недостатком, то по теореме 3 и 3,162277 имеет 7 верных знаков: \[3,162277= 1,778279 также с точностью до —— с недостатком, а тогда по той же теореме 3 и 1,778279 имеет 7 верных знаков и т. д. до 5-го извлечения квадратного корня, т. е. и у 10 получим с 7 верными знаками с точностью до- с недостатком.

Поставим вопрос — с какой точностью нужно взять |/fö и последующие корни, чтобы после 5 последовательных извлечений квадратного корня V 10 получить точным до 6-го десятичного знака? Если в решении этого вопроса исходить из приема, основанием которого служат неравенства:

и затем

то придем к такому неприятному выводу: чтобы точность {/10 достигала 6-го десятичного знака, j/lO должен быть получен с 97 верными знаками! Наперекор этому «приему» и этому астрономическому числу мы теперь, основываясь на теореме 3, неожиданно пришли к успокаивающему выводу, что не только 90, а и 1 верного знака не требуется добавлять к значению |^10, чтобы получить требуемую точность {/10, что если у 10 желательно иметь точным до 6-го десятичного знака, то и “J/^IO достаточно взять с теми же 6 верными десятичными знаками!

8. Вычисление с наперед заданной точностью выражений вида Ya+Vb+Vc+ —

Сейчас мы видели, что при выполнении ряда последовательных извлечений квадратных корней, к которому приводится вычисление у 10 и вообще у а, первоначальная точность—точность “J/lO и |/ а — воспроизводится неизменно во всех корнях с первого до последнего. Такое же точно воспроизводство точности имеет место и при последовательных извлечениях квадратных корней выражения радикалов.

То обстоятельство, что в этом случае каждый корень, например второй (в порядке вычисления), извлекается не непосредственно из предыдущего корня 10, а к предыдущему корню, У^Ю, предварительно прибавляется 10, в деле воспроизводства точности при последовательных извлечениях квадратных корней не имеет абсолютно никакого значения. Например,

если мы желаем вычислить с точностью до 6-го десятичного знака апофему правильного вписанного 96-угольника, которая при R = 1 равна

то будет вполне достаточно, если 3 мы возьмем с теми же 6 верными десятичными знаками (а всего с 7 знаками).

Так, если У ЗА 1,732050 с точностью до - с недостатком,

Несколько иначе обстоит дело с вычислением выражения стороны правильного вписанного 96-угольника, которая при 1 равна

Отличие от предыдущего происходит из-за того, что здесь выражение под знаком первого радикала представляет собою разность 2 и выражения

радикалов которые, имея пределом 2 (при т = со), могут получать значения, сколь угодно близкие к 2, а сама разность 2 — 2+24-.-.2-f~3 радикалов поэтому может получать значения, сколь угодно близкие к 0:

Тогда как в значениях всех выражений

вида

независимо от числа радикалов, при неизменном числе верных знаков (7) и точности ^до сохраняется также неизменным и число значащих цифр (7), разность 2— 2 —2 + •.. 2 + 3, сохраняя неизменными то же число верных знаков и точность, однако по мере увеличения числа радикалов теряет цифру за цифрой значащие цифры, а в квадратном корне из нее вызывается через это уже снижение точности. Например, разность

равная (приблиз.) 0,004282, имеет уже только 4 значащие цифры (4282), а

равный (приблиз.) 0,0654, не только, согласно теореме 3, теряет еще одну верную значащую цифру, имея их только 3 (654), но и точность его падает до

Тогда как для достижения какой-нибудь точности выражения

вполне достаточно, если у 3 будет определен с тою же точностью, требуемая точность выражения

может быть достигнута лишь ценою некоторого (небольшого) повышения точности У“з.

Теорема 3 дает возможность в каждом конкретном случае наперед рассчитать эту требуемую точность у 3, что отчасти уже видно из предыдущего примера, а на следующей задаче будет показано со всею очевидностью.

9. Задача: Найти для т. значение, точное до -.

Такое приближенное значение дают полупериметры правильных вписанного и описанного 384-угольника:

* По формулам (I) и (II) (стр. 3), исходя из того, что 384 = 64 • 6 = 2е • 6. Следовательно, п = 6 и m = 6: 384-угольник получается через шестикратное удвоение сторон прав, впис-шестиугольника.

Выражение

должно быть определено с точностью до 3 , а тогда

с точностью до (Д° шестого десятичного знака). Легко найти нижнюю границу последнего выражения: Полупериметр всякого правильного вписанного л-угольника, число сторон которого превышает 6, больше 3/?, поэтому

Итак

Так как в значении , превышающем число 0,015, значащим цифрам предшествуют 2 нуля (0 целых и 0 десятых), а оно должно быть точным до шестого десятичного знака и, стало быть, иметь всего 7 верных знаков, то, очевидно, значение должно иметь 5 верных значащих цифр. На основании теоремы 3 заключаем, что столько же верных значащих цифр должен иметь и квадрат -^-4 — выражение

а так как в его значении, которое превышает 0,000225, значащим цифрам предшествуют 4 нуля, то, очевидно, оно должно быть точным до восьмого десятичного знака. Таким же точным должно быть и значение

а стало быть, и значение

Итак, чтобы в вычислении значения

выражающего отношение к радиусу стороны правильного вписанного 384-угольника, достигнуть точности до —^ , необходимо и достаточно, чтобы значение уд было определено с точностью до .

тс = 3,141 с точностью до 0,001 с недостатком.

Следовательно.

3,14155<7Г<3,14166(2).

Беря среднее арифметическое двух границ, имеем:

Примечание. Из тех же правильных 384-угольникоз можно получить и более точное значение тг, именно с точностью почти до 0,0001, если к значению 3 и последующих корней добавить еще 2 верных десятичных знака. Тогда получаем следующие результаты:

Окончательно: тг~ 3,1416 с точностью почти до 0,0001.

ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

М. ГРАБОВСКИЙ и П. КОТЕЛЬНИКОВ (Москва)

В курсе тригонометрии весьма существенное значение имеет отдел, посвященный решению тригонометрических уравнений, так как в дальнейшем уменье решать такого рода уравнения в сильной степени облегчает изучение ряда дисциплин высшей школы: механики, аналитической геометрии, физики и т. д. К сожалению, при изучении этого отдела в средней школе мало внимания уделяется составлению тригонометрических уравнений по условиям задач, в результате чего учащиеся плохо уясняют себе практическую необходимость тригонометрических уравнений, не умеют составлять их, а также весьма слабо разбираются в исследовании полученных ответов с точки зрения их соответствия условиям задачи.

Несомненно, что недооценивание составления тригонометрических уравнений по условиям задач объясняется отчасти недостатками существующих задачников по тригонометрии, которые как правило, содержат только задачи на решение треугольников, и притом задачи такого рода, которые приводятся обычно к очень простым тригонометрическим уравнениям, а потому особой ценности для прохождения темы «Тригонометрические уравнения» не представляют.

Однако каждый преподаватель математики, серьезно готовящийся к занятиям, может сам составить ряд задач, которые будут приводить к интересным тригонометрическим уравнениям. Материал для составления такого рода задач можно было бы взять из различных отделов геометрии.

Следует заметить, что задачи на материале геометрии, особенно приводящиеся к более сложным тригонометрическим уравнениям, будут носить более или менее искусственный характер и покажутся учащимся практически неоправданными. А потому гораздо целесообразнее использовать различные отделы физики, тем более, что курс физики в средней школе к моменту начала изучения тригонометрических уравнений в основном уже закончен и учащиеся имеют все необходимые сведения. На материале, заимствованном из курса физики, можно составить много задач, приводящихся к тригонометрическим уравнениям самого различного вида и трудности, и все эти задачи, даже весьма сложные, вовсе не будут выглядеть искусственными, как это имеет место в отношении аналогичных задач из геометрии.

Помимо этого, использование для составления тригонометрических уравнений материала из физики до некоторой степени будет сглаживать существующий разрыв между этой дисциплиной и математикой, давая возможность учащимся сразу же применить приобретенные по математике знания для решения жизненных задач.

Ссылка на недостаток времени, отведенного на прохождение рассматриваемого отдела, не кажется нам существенной, ибо некоторое число часов всегда может быть добавлено хотя бы за счет часов, отведенных на повторение, и мы полагаем, что результаты целиком оправдают затраченное время. Наконец, многие задачи могли бы быть предложены в качестве материала для домашней работы или для дополнительных упражнений учащимся, особо интересующимся вопросом.

Приведем теперь ряд задач по физике, которые могут быть использованы на уроках тригонометрии для упражнений в составлении тригонометрических уравнений. Некоторые из этих задач заимствованы (с переделками) из распространенных задачников по физике (Цингера, Малера, Тумасова) или по механике (Мещерского) с целью указать, что преподаватель математики всегда может найти богатый материал в указанных задачниках.

Объем статьи не позволяет авторам привести все задачи, которые охватывали бы наиболее типичные тригонометрические уравнения и которые следовало бы рекомендовать как материал для упражнений при прохождении рассматриваемого отдела тригонометрии, но нам кажется, что каждый преподаватель всегда может самостоятельно подобрать или составить нужные ему задачи в достаточном количестве.

Задача 1. Под каким углом к горизонту следует расположить наклонную плоскость, чтобы положенное на нее тяжелое тело двигалось со скоростью, сообщенной ему в начале движения. Коэфициент трения равен # = 0,2.

Решение. Из механики известно, что для равномерного движения тела по наклон-

ной плоскости необходимо, чтобы алгебраическая сумма сил, действующих на это тело, была равна нулю. В данном случае на тело действуют две силы: Р sin а и Р cos а, направленные параллельно плоскости в противоположные стороны, причем р — вес тела, а а — искомый угол. В результате будем иметь следующее тригонометрическое уравнение:

Psina = 0,2.P cos a ... , (1)

или

sin a = 0,2 cos a ... (2)

Так как cos a =f= 0 [ибо в противном случае sin a = 1 или sin a = — 1, а эти значения не удовлетворяют уравнению (2)], то для решения полученного уравнения обе его части делим на cos а. Имеем: tga = = 0,2.

Отсюда

а~ 180°л+ 11°.

Принимая во внимание, что 0°<а< < 90°, получим окончательно:

а - 11°.

Задача 2. Равнодействующая двух сил, приложенных к материальной точке под прямым углом друг к другу, образует с одной из них угол а. Если увеличить другую составляющую в 3 раза, то угол между равнодействующей и первой из составляющих увеличится в 2 раза. Найти угол а.

Решение. Если обозначить составляющие соответственно через Р и Q, то условия задачи выразятся следующими уравнениями.

(1)

(2)

Отсюда будем иметь такое тригонометрическое уравнение:

3tga = tg2a . . . (3)

Это уравнение можно записать так:

(4)

Принимая, что а>0, получаем:

3 —3tg2a=2 ... (5)

Уравнение (5) имеет следующие решения:

(6)

где п — любое целое число. Но условиям задачи удовлетворяют только те значения угла а, которые не превышают 90°, а так как а>0, то задача имеет единственное решение, получаемое из формулы (6) при п = 0. Итак:

a = 30°.

Задача 3. Стержень, расположенный параллельно экрану, освещается точечным источником света, находящимся на перпендикуляре к стержню, проведенному через его середину. Расстояние источника света от экрана равно 15 см. Если источник света приблизить к экрану на 5 см, то угол между крайними лучами увеличится в 2 раза, а тень от стержня увеличится в 4 раза. Найти первоначальный угол между крайними лучами.

Чер. 1

Решение. Согласно условию задачи имеем (черт. 1):

Обозначим первоначальный угол между крайними лучами через 2а. Тогда ^/ CiOl 0t = 4а. Из прямоугольного треугольника OED имеем:

(1)

а из прямоугольного треугольника OiEiD1 имеем:

(2)

так как DXE:DE = D£X:DC = \, то

(6')

Полученное уравнение аналогично уравнению, полученному при решении предыдущей задачи, а поэтому мы не будем останавливаться на его решении.

Задача 4. Две силы, по 1 кг каждая, приложены к материальной точке под некоторым углом друг к другу. Если каждую из сил увеличить вдвое, а угол между силами тоже увеличить вдвое, то равнодействующая их останется без изменения. Определить первоначальный угол между силами.

Решение. Если обозначить составляющие соответственно через Р и Q, их равнодействующую— через R, а угол между составляющими — через а, то в первом случае P = Q=l кг, а во втором случае Р = Q = 2 кг, и условия задачи приведут к следующим двум уравнениям;

/?2 = 2 +2cosa ... (1)

и

/?2 = 8+8cos2a . . . (2)

Исключая из уравнений (1) и (2) R2' получим уравнение:

6 + 8 cos 2а — 2 cos а = 0 . . . , (3)

или равносильное ему:

3+4 cos 2а — cosa = 0 . . .. (3')

Так как cos 2a = 2cos2 a — 1, то уравнение (3') можно переписать так:

8cos2 a — cos a — 1=0. . . . (4)

Отсюда:

(5) (6)

Формула (5) дает нам:

at - 360°л ± 65°, а формула (1)

а2- 360°л± 107°,

где п — любое целое число. Если принять, что 0°<а< 180°, то

а-65° и а2~ 107°.

Задача 5. Сила F разложена на две составляющие так, что отношение их равно 1:2, а отношение углов между каждой из составляющих и равнодействующей равно 3:1. Определить эти углы.

Решение. Обозначим составляющие через Р и 2Ру а искомые углы — соответственно через a и За. Рассматривая треугольник, образованный данной силой F и ее составляющими, мы можем написать следующее соотношение:

P:sina = 2P:sin3a . . . . (1)

Таким образом, искомые углы определятся из уравнения:

2sina = sin3a .... (2).

Чер. 2

Для решения этого уравнения можно поступить так:

sin За — sin а = sin а. . .; (3)

2cos2a-sina = sina . . .. (4)

Решение sin а = 0 отбрасываем и рассматриваем уравнение

2cos2a=l .... (5)

Это дает нам:

4cos2a—-2 = 1 . . . , (6)

или

Отсюда имеем:

(7)

где п — любое целое число. Так как 0°<а<90°, то а = 30°. Уравнение (5) можно было бы решить проще:

Задача 6. При равновесии на концы отрезков ломаного рычага ABC действуют силы Р=8 кг и R = 3 кг. Длина отрезка AB рычага равна 2 дм, а длина отрезка ВС равна 8 дм (черт. 3). Определить углы, образованные отрезками рычага с горизонтальной плоскостью, если один угол в 3 раза меньше другого. Вес рычага не учитывается.

Решение. Обозначим угол, образованный с горизонтальной плоскостью отрезком AB, через а. Тогда угол, образованный с этой плоскостью отрезком ВС,

будет равен За. Напишем теперь условие равновесия рычага:

Я-äB-cos(x = R-BC'QOs3ol . . . . (1)

Подставляя сюда значения P,R,AB и ВС, получим уравнение:

cosa = 1,5-cos 3a . Используя известное соотношение cos За = 4cos3 а — 3cos а, приходим к уравнению:

cos a = 6 cos3 a — 4,5 cos a . . . .(2)

Исключая как невозможный случай, при котором cos a = О, получаем уравнение:

6cos2a —5,5 = 0 .... (3)

Чер. 3

Впрочем, заменой

cos За = cos а ( 1 — 4 sin2 а) можно притти к другому уравнению: 1 = 1,5 — 6-sin2 а,

откуда

(4)

Решения уравнений (3) или (4) не представляют трудностей.

Задача 7. Стержень, расположенный параллельно экрану, освещается точечным источником света, который находится на перпендикуляре к стержню, проведенному через его середину. Расстояние от источника света до экрана равно 15 см. Стержень удаляем от экрана так, что тень его увеличивается на 40 см, а угол между крайними лучами увеличивается на 90°.

Определить первоначальный угол между крайними лучами.

Решение. Согласно условию задачи имеем (черт. 4):

Обозначим искомый угол через 2а. Тогда будем иметь:

(1)

Чер. 4

С другой стороны:

(2)

Отсюда следует:

(3)

Следовательно:

(4)

или

(5)

Это дает нам:

cosa =0,75 и a = 360°л±41°30'.

Так как 0°<Са<90°, то окончательно имеем:

а = 41°30'.

Задача 8. Шест, расположенный вертикально и освещаемый точечным источником света, находящимся на поверхности земли, отбрасывает на стену тень длиной в / м. На какой угол надо наклонить шест, чтобы его тень на стене уменьшилась до 1г м. Расстояние от источника света до стены равно d м.

Решение. Пусть AB (черт. 5) — первоначальное положение шеста, а CD — тень от него. После наклона шеста его положение— ABV а тень от него — CDt. Согласно условию

Обозначим искомый угол через х, а угол COD — через а. Из треугольника АОВ, имеем:

(1)

так как

Чер. 5

Следовательно:

(2)

sin а и cosa найдутся из соотношения

Если положить / = d = 4 м, а /t = 3 м, то получим уравнение

причем sin a = 0,6; cos a = 0,8 и т. д.

Задача 9. На какой угол необходимо увеличить наклон плоскости к горизонту, чтобы ускорение, с которым движется тело по наклонной плоскости, возросло в 1,25 раза. Коэфициент трения тела о наклонную плоскость равен: л; = 0,01. Начальный угол наклона плоскости к горизонту равен 45°.

Решение. Обозначим вес тела через Я, а массу его — через т. Тогда сила F, действующая на тело, в первом случае будет равна Р sin 45° — Pcos45°-a?, а во втором случае будет равна Я sin a — —Pcosa-л;, где a — соответствующий угол наклона плоскости к горизонту. Согласно условиям задачи в первом случае ускорение будет равно

а во втором —

Так как во втором случае ускорение в 1,25 раза больше, чем в первом, то получаем уравнение:

Отсюда будем иметь:

sin а —0,01 cos а ~ 0,875. Примем 0,01 =tgcp.

Тогда <?~30'. Далее:

sin a — tgcp-cos a ~ 0,875

и

sin a • cos cp — sin cp • cos a = 0,875 • cos 9.

Отсюда получаем:

sin (a —cp) -0,875, а это дает нам:

а — ср~61°(— 1)п+180°я,

где п—любое 'целое число. Так как 0°<а<90°, то окончательно будем иметь:

а = 61°30'.

Задача 10. Миноносец стоит на якоре в 5 км от ближайшей точки берега (береговую линию рассматриваем в виде прямой). С миноносца надо послать гонца в военный лагерь, расположенный на берегу в d км, считая по берегу от его ближайшей к миноносцу точки (черт. 6).

Чер. 6

Гонец, вместо того чтобы плыть к этой ближайшей точке, направляет лодку под углом a к линии берега и от места высадки к лагерю идет пешком. Гонец пешком может делать v.— , а на веслах —

Найти угол а, зная, что гонец затратил на весь путь в п раз меньше времени, чем в случае высадки в ближайшей к миноносцу точке берега?

Решение. Обозначим через 7\ время, которое гонец затрачивает в первом случае, и через Т2— время, затрачиваемое во втором случае.

Тогда

где а— искомый угол. В итоге получим уравнение того же типа, что и в задаче 9.

Задача 11. Скорость течения реки л км v = 4-, скорость пловца в стоячей воде vx=2-. Под каким углом а к направлению перпендикулярному к течению, должен плыть пловец, чтобы пристать к точке В противоположного берега, расположенной на h = 80 м ниже по течению, считая от ближайшей к пловцу точки С (черт. 7). Ширина реки равна / = = 40 м. Берега реки параллельны.

Чер. 7

Решение. Обозначим искомый угол через а. Разложим теперь скорость пловца ?>! на две составляющие скорости: 1) z^sina — скорость, направленная противоположно течению реки, 2) vl cos a— скорость, направленная перпендикулярно к течению реки. Время, в течение которого пловец переплывает реку поперек (течение реки во внимание не принимается) равно - часов, а время в течение которого река снесет пловца на расстояние А, равно -:— часов. Очевидно, эти два выражения должны быть равны между собою. Итак, получаем уравнение;

или, подставляя значения

Отсюда получаем

2 — sin a = 2 cos а.

Это уравнение может быть решено либо обычным путем (с помощью введения вспомогательного угла ср == агс ig 2), либо подстановкой

cos a = ]/~1 — sin2 a ,

либо, наконец, следующим способом, на котором остановимся подробно. Имеем

2 (1 —cosa) = sin a.

Отсюда

Это дает нам:

Так как a — острый угол, то

с другой стороны,

откуда

Оба ответа имеют физический смысл; в первом случае (при а = 0°) пловец затрачивает меньше времени, чем при a =53°.

Задача 12. Две свечи LL и L2 расположены на расстоянии / = 40 см друг от друга. Два плоских зеркала — одно на расстоянии dt = 20 см от свечи Lv а другое на расстоянии d2 = 30 см от свечи L2 — расположены так, что изображения свечей совпадают. Определить величину угла a между зеркалами.

Решение. Пусть a — угол между отражающими поверхностями зеркал, ар —

угол между поверхностями неотражающими (черт. 8).

Пусть в точке А находится совпавшее изображение обеих свечей. Так как L{A =40см, то, стало быть, треугольник LiAL2 равнобедренный, ибо по условию Z,tZ2 = 40 см.

Чер. 8

Следовательно,

Далее имеем:

Отсюда

С другой стороны,

Применяя теорему синусов, будем иметь:

Подставляя вместо

их значения, будем иметь:

отсюда

Итак, угол а определится из уравнения:

Случай sin а = 0 отбрасываем, ибо в этом случае зеркала расположены параллельно, а поэтому изображений получается бесчисленное множество и они не покрывают друг друга.

Следовательно,

Отсюда

a = 360oAZ±138°30'.

Очевидно, для того, чтобы изображения свечей совпадали, необходимо, чтобы а>180°.

Принимая, что 0°<а<360°, получим единственное решение задачи а = 221°30' (при п = 1).

Рассмотренная задача является хорошим упражнением на применение формул приведения тригонометрических функций к функциям острого угла.

Задача 13. Луч света идет из воздуха в воду (показатель преломления принять равным /г=1,3). Определить угол падения луча на плоскость раздела двух сред, если угол между отраженной и преломленной частями луча равен 120°.

Замечание. При падении луча света на плоскость раздела энергия поглощается, отражается и преломляется. Направления, по которым отражается и преломляется энергия, определяются известными законами оптики.

Решение. Обозначим угол падения через a, a угол преломления — через ft. Имеем согласно условию задачи:

(1)

(2)

Отсюда будем иметь:

(3)

а это в свою очередь приводит к уравнению:

Так как sin 8=^= О, то получаем следующий результат:

Отсюда

Так как

то окончательно будем иметь следующий результат:

а~34°15'; ß~25°40'.

Задача 14. Луч света идет из воздуха в воду (относительный показатель преломления равен 1,3). Определить, под каким углом должен упасть луч света на плоскость раздела, чтобы отношение тангенсов углов падения и преломления было равно 2.

Решение. Обозначим угол падения через ос, a угол преломления — через ß. Так как показатель преломления равен 1,3, то

(1)

С другой стороны, по условию задачи

(2)

Отсюда, деля уравнение (2) на уравнение (1), получим:

(3)

Далее имеем:

(4) (5)

Складывая уравнения (4) и (5), получим. l,69sin2£ + 0,4225cos2ß = 1 . . . . (6)

Отсюда после несложных преобразований будем иметь:

cos2 2 = 0,5442.

Это дает:

cos^-0,73

и

cosß2~ — 0,73.

Если считать два симметричных луча относительно перпендикуляра к плоскости раздела за один, то можно ограничиться решением:

откуда получим (принимая во внимание, что 0°<ß<90°)

2 = 4306'.

Теперь легко найти и угол а. Имеем:

а = 62°36'.

Задача 15. При равновесии на ломаном рычаге его отрезки AB и ВС (черт. 9) образуют с горизонтальной плоскостью углы ос и ß. Ha точку А действует сила р=\0кг, на точку В — сила /? = 5 кг. Если повернуть рычаг вокруг оси, перпендикулярной к плоскости чертежа и проходящей через точку опоры, на угол, равный углу ß (по часовой стрелке), и в то же время удвоить силу р, то равновесие на рычаге не нарушится. Найти углы ос и ß, если AB = 5 дм и ВС = 12 дм. Рычаг считаем невесомым.

Решение. Напишем условия равновесия на рычаге:

p-AB-cosa = R-BC-cos$ . . . . (1)

и

2/?.A8.cos(a + [i) = R-BC-cosO° (2)

Подставляя сюда значения р, R, AB и ВС, получим после несложных преобразований следующую систему:

Согласно условию задачи ос и ß— острые углы. Отсюда

Тогда первое уравнение системы дает нам

Чер. 9

Задача 16. Кольца А,В и С (черт. 9) трех пружинных весов неподвижно укреплены на горизонтальной доске. К крючкам весов привязаны три веревки, которые связаны в один узел О. Показания весов равны соответственно 8 Kl, 7 кг и 13 кг. Определить углы аир, образуемые направлениями веревок (как указано на черт. 10).

Решение. Заменим силы 8 кг и 7 кг составляющими силами, направленными по двум взаимно перпендикулярным направлениям, как показано на чертеже. Сила 8 кг заменяется силами 8 sin а кг и 8 cos а кг, a сила 7 кг — силами 7 sin ß кг и 7 cos ß кг. Теперь на точку О действует пять сил: три из них направлены вдоль оси OY (7cosß, 8 cos а и 13) и две — горизонтально (7 sin ^ и 8 sin а).

Чер. 10

Очевидно, что вследствие подобной замены одних сил другими равновесие всей системы не нарушится. Алгебраическая сумма сил, действующих вдоль оси OY, должна быть равна нулю. То же самое должно иметь место в отношении сил, действующих вдоль оси ОХ. В результате получаем следующую систему:

Эту систему можно решить так. Из второго уравнения имеем:

Это дает нам

Отсюда

64 cos2 а —49 cos2 ß = 15.

Раскладывая левую часть на множителей и принимая во внимание второе уравнение нашей системы, будем иметь:

Таким образом, sin а и sin ß можно найти, решая систему:

Отсюда получаем

Замечая, что

будем иметь :

а = 28° и ß~32°.

В заключение следует отметить, что как предлагаемые вниманию читателей задачи, так и другие задачи этого же типа могут быть использованы и на уроках физики при повторении общего курса в X классе. Дело в том, что задачи по физике, которые обычно решаются в средней школе в процессе прохождения этой дисциплины, большей частью математически очень просты, что объясняется недостаточной подготовкой учащихся по математике к моменту прохождения данного отдела физики (например, механика проходится в VIII классе, а знания учащихся по тригонометрии в этот период еще очень невелики и т. д.). При повторении курса физики в X классе ранее пройденный материал может быть рассмотрен на более высоком математическом уровне, что и позволяет использовать задачи, приводящиеся к более или менее сложным уравнениям.

Решение задач приведенного выше типа будет способствовать, как нам кажется, более основательной подготовке учащихся средней школы по физике.

ИЗ ОПЫТА

НАУЧИТЬ УЧИТЬСЯ

С. ЧУКАНЦОВ (Брянск)

I

ЦК ВКП(б) в своем постановлении от 25 августа 1932 г. «Об учебных программах и режиме в начальной и средней школе» указал: (Надо систематически приучать детей к самостоятельное работе, широко практикуя различные задания в меру овладения определенным курсом знание (решение задач и упражнение, изготовление моделей, работа в лабораториях, собирание гербариев, использование пришкольных участков в учебных целях и т. п.)».

Нужно сказать, что в этом направлении школами сделано очень мало, да и в методической литературе, в частности в журнале «Математика в школе», опыт работы в этом направлении освещался очень мало. Даже журнал «Советская педагогика» систематически игнорирует этот вопрос.

В журнале «Советская педагогика» № 1, 1938 г. имеется интересная злободневная статья Р. М. Микельсона «Предупреждение отставания и ликвидация второгодничества».

Автор статьи вскрывает ряд причин отставания части учащихся, причин, приводящих к большому количеству осенних испытаний и второгодничеству, и дает указания, как следует вести борьбу с ними, чтобы ликвидировать и предупредить это отставание.

Одну из основных причин отставания автор видит в том, что «...часть учеников плохо выполняет домашние задания».

Автор совершенно правильно указывает, что «невыполнение домашних задание ведет к отставанию, особенно по таким предметам, как русский язык, математика, иностранный язык, где новый материал теснейшим образом связан с пройденным».

Но причин невыполнения домашних заданий отдельными учащимися автор не вскрыл, а потому и в качестве мер борьбы с этим отрицательным явлением ничего не мог предложить нового, кроме совета «всякую домашнюю работу проверять» (это у учеников-то, не выполняющих домашних заданий!; и «...заботиться вместе с родителями о создании дома спокойной обстановки для приготовления уроков». Все это, конечно, очень важно в деле борьбы преподавателя за выполнение домашнего задания, но, к сожалению, далеко не все, что могло бы обеспечить систематическое выполнение их всеми учащимися. Больше того, это даже не самое главное. Здесь упущено указание ЦК ВХП(б) о необходимости приучить детей к самостоятельной работе, научить их учиться.

В самом деле, в практике своей работы в среднее школе им. III Интернационала в Брянске мне приходилось наблюдать случаи частого невыполнения домашних задание и детьми тех родителей, которые создают все условия своим детям для приготовления уроков, и несмотря на то, что мною систематически проверялись домашние задания и невыполнение их отмечалось в журнале и в дневнике. Значит, причина не только в родителях и соответствующей обстановке.

При посещении на дому учащихся, часто не выполняющих домашних задание и отстающих в учебе, мне пришлось наблюдать следующую картину.

Ученица IX класса выполняет домашнее задание по тригонометрии. Условия для занятие созданы прекрасные: отдельная комната, стол, этажерка с книгами, тепло, светло, уютно. В соседней комнате мать ходит на цыпочках и разговаривает только шопотом, чтобы не мешать дочери готовить уроки.

Войти в комнату, где ученица готовит уроки, мне разрешили только после того, когда узнали, что я преподаватель той самой злополучное тригонометрии, которую их дочь «учит вот уже третий час».

...Их было двое. На столе лежали книги по тригонометрии и лист бумаги (черновик); но у них ничего не получалось.

— Почему? — спрашиваю.

— Никак не придумаем, с чего начать решение примера.

— Теоретический материал, заданный вчера по тригонометрии, усвоили хорошо?

— Будем учить после решения примера. Предлагаю помощь.

Затруднение девочек заключалось в том, что для решения примера вместо тангенса угла в 30° нужно было подставить его значение, которое они забыли, в книге отыскать не сумели, хотя и перелистали ее всю два раза, а о существовании на стр. 104 «Учебника тригонометрии» Рыбкина специальной таблицы значение тригонометрических функций основных углов и не подозревали.

Ученица того же класса садится за выполнение задания по математике в 9 часов вечера. До 10 часов усаживается за работу, отыскивает нужные для выполнения тетради и книги (хотя для книг у нее есть и этажерка и стол), а в 10 часов безнадежно разводит руками: «Листок, на котором было записано домашнее задание, утерялся... Итти к подруге спросить, что было задано? Но она наверное уже спит!» А завтра в 8% часов утра надо итти в класс, и первый урок — математика.

Рассказываю, что было задано, и оказываю помощь. Но разве может ученик, да еще плохо успевающие, в 10 часов вечера хорошо приготовить домашние урок по математике?

Подобных фактов можно было бы привести несколько. Но можно привести немало и таких, когда ученик, и не имея дома таких

блестящих условий, все-таки систематически выполняет домашние задания.

О чем говорят эти факты?

Они говорят о том, что наши учащиеся еще далеко не все умеют выполнять домашние задания, не все умеют самостоятельно работать.

Сказать, что не умеют выполнять домашние задания учащиеся, отстающие в учебе, было бы не совсем верно. Наоборот, учащиеся, не умеющие готовить домашних уроков, как раз и отстают в учебе. Чтобы ликвидировать это отставание, нужно научить ученика готовить домашние задания, научить самостоятельно работать, вообще научить учиться.

Ученик, уже усталый, принимается за решение задачи по математике, не усвоив предварительно теоретического материала по этому вопросу или не повторив предыдущего материала, имеющего отношение к данному уроку. Задача не решается. Времени потрачено много и зря. Результатов работы нет, и у ученика пропадает интерес к самостоятельной работе, к выполнению домашних заданий, создается привычка ходить в школу с невыполненным заданием или, еще хуже, создается привычка к списыванию сначала домашних заданий, а потом и письменной контрольной работы. Если при этом преподаватель, как говорит т. Микельсон, опрос проводит, главным образом, в конце четверти, то он не сразу это замечает, а когда заметит, у ученика создалось уже большое отставание и ученик попадает сначала в число отстающих, а потом и в кандидаты во второгодники.

Отсюда вывод. Учитель должен научить учащихся готовить домашние уроки. Учитель должен воспитать у учащихся интерес к посильной самостоятельной работе.

В своей статье «Упорно овладевать наукой» председатель Всесоюзного комитета по делам высшей школы при Совнаркоме Союза ССР, отмечая, что в вузах на первом курсе особенно много неудовлетворительных отметок по математике и начертательной геометрии, говорит: «Средней школе нужно сделать и другой упрек: она мало прививает ученикам навыки самостоятельной работы и не приучает их к тем методам занятий, какие существуют в высших учебных заведениях («Комсомольская правда» № 37 от 15 февраля 1938 г.).

Эти же требования предъявляют к нам и сами наши бывшие учащиеся, поступившие в вуз: «Да, школа научила нас всех читать и писать, она дала нам знания в пределах программы, но она не привила нам навыков самостоятельной работы над книгой»,— говорит студент первого курса Московского института стали («Комсомольская правда» № 72 от 29 марта 1938 г., ст. А. Натановой «Первокурсники»).

В самом деле, мы учим ученика математике, физике и т. д., но немногие из нас учат его учиться.

Почему?

Разве каждый ученик в состоянии научиться этому самостоятельно? Научить учиться — это далеко не легкая задача. У нас в техникуме некоторые студенты имели в прошлом году низкую успеваемость. Почему? «Не желают заниматься!»— заявляют некоторые учителя.

Вряд ли этого упрека заслуживает каждый отстающий студент.

Учащиеся пришли к нам из неполной средней школы. В техникуме они встретили новую обстановку, новых преподавателей, новые учебные предметы, иные условия учебы вдали от наблюдения родных, новые требования к знаниям, к самостоятельной работе. Но техникум не помог уяснить им те задачи, которые стоят перед ними в новом учебном заведении, не помог освоиться с новой обстановкой, не научил их организовывать свою учебу.

Прошло 7 месяцев занятий, а студенты все еще обсуждают на своих собраниях вопрос: «По учебнику или по конспекту надо готовить домашние уроки?» А ведь указать, как и по какому руководству готовить дома уроки, есть прямая задача преподавателя. Преподаватель же должен научить студента и писать конспекты, и пользоваться ими.

Мы забываем, что «ЦК обязывает наркомпросы и их органы безусловно обеспечить во всей учебной работе школы руководящую роль преподавательского персонала» (постановление ЦК ВКП(б) от 25 августа 1932 г. «Об учебных программах и режиме в начальной и средней школе»).

II

Случаи очень частого невыполнения домашних заданий по арифметике некоторыми учениками V классов Брянской средней школы им. III Интернационала в прошлом году заставили меня обратить серьезное внимание на эту сторону учебного процесса.

С целью ликвидации этого явления мною во второй четверти учебного года были организованы ежедневные консультации для тех учащихся, которые почему-либо не выполнили домашнего урока по арифметике.

Эти консультации заключались в том, что преподаватель приходил в класс за 45 минут до начала первого урока и давал необходимые указания по поводу выполнения домашнего задания. Ученику достаточно было притти на 10 минут раньше начала урока, чтобы иметь возможность получить нужную помощь от преподавателя в выполнении домашнего задания.

Этим самым мною, во-первых, была создана такая обстановка, при которой ученик никак не мог найти какое-либо оправдание своему невыполнению домашнего задания, а во-вторых, был поставлен вопрос об изучении причин невыполнения домашних заданий отдельными учащимися.

Какие же это были причины?

Действительно, одни учащиеся приходили на консультации только потому, что дома они не имели для приготовления уроков соответствующих условий. Но это были единицы.

Другие приходили потому, что не знали, что надо выполнять, они... утеряли промокательную бумагу, на которой было записано домашнее задание.

Третьи — потому, что решали дома такой же номер задачи, но из другого отдела, еще непройденного.

Четвертые не понимали, например, что значит «заряд фугасной гранаты».

Пятые пропустили предыдущий урок по арифметике.

Шестые решали дома задачи сначала на грязновике, причем так небрежно и грязно делали записи, что после сами не могли разобраться в ими же написанных цифрах и принимали семерку за четверку, тройку за пятерку или восьмерку и т. п., а в результате не могли получить правильного ответа.

Седьмые просто удивлялись, почему они вчера дома не могли решить такую простую задачу, а здесь быстро решили ее без всякой помощи преподавателя и т. д.

Таким образом, для того чтобы иметь ежедневно стопроцентное выполнение учащимися домашних уроков по арифметике, одним нужно было отвоевать в школе рабочую комнату — и я это сделал.

Вторых надо было заставить записывать, что задано на дом, обязательно в дневнике или в тетради, а не на промокательной бумаге, не на обложке книги и т. д.

Посмотрите, где ваши ученики записывают номера задач и параграфов, заданных на дом. У нас в техникуме двевников нет, и учащиеся записывают домашние задания где угодно, только не в тетради.

Наблюдения за студентами первого курса техникума, пришедшими к нам из самых различных школ, показывают, что в неполной средней школе им не указали места, где следует записывать эти номера, и они записывают их где угодно, но только не в тетради. А так как у нас аудитории закреплены не за классами, а за предметами и учащиеся кочуют из одной аудитории в другую, то иногда после ухода учащихся из аудитории на столах и остаются промокательные листки с записью на них того, что к следующему дню нужно приготовить по математике.

Третьи показали, что система нумерации в задачнике Березанской по арифметике весьма и весьма неудобна (на что, между прочим, уже обращал внимание т. Падучев в своей статье «Система нумерации упражнений в математических задачниках» в № 1 журнала «Математика в школе» за 1937 г.), а наличие в одном классе трех различных изданий этого задачника с неодинаковым количеством страниц совершенно сбивает с толку некоторых учащихся. Пришлось отказаться от указания страницы, на которой помещен тот или иной номер задачи, а требовать от учащихся всегда знания прорабатываемой темы и самостоятельно по оглавлению определять страницу, на которой должен быть заданный номер задачи или упражнения (при повторении материала указываются номер и тема). Но тут выяснилось, что учащиеся не умеют пользоваться оглавлением книги (и даже ответами задач; а я боялся вначале, что они будут злоупотреблять ответами). Пришлось учить и этому. Помогла преподавательница русского языка; она же помогла научить правильному сокращению слов при записи условия задачи и объяснения ее решения.

Трудно было добиться такого положения, чтобы ученики, записав номер задачи, не воскликнули: «А на какой странице?» Но зато теперь я могу быть спокоен за то, что мои ученики, будучи в IX классе, сумеют найти в учебнике тригонометрии не только значение тангенса 30°, если они его забудут, но любую формулу, какая только потребуете сумеют отыскать даже в незнакомой им книге, пользуясь оглавлением.

Четвертым приходилось объяснять непонятные слова.

Пятым — разъяснить содержание предыдущего урока.

Шестых — научить чисто, аккуратно и разборчиво, не торопясь, писать цифры и отказаться от «грязновиков». Интересно, что у некоторых учащихся для «грязновиков» предназначались общие тетради в коленкоровом переплете, тем не менее вычисления в них производились «грязновые», т. е. вкось и вкривь, без всякого порядка и системы, в общем так, что разобраться в записях было нисколько не лучше, чем в черновых вычислениях тех учеников, которые производили их на промокательной бумаге.

Как курьез, отметим ученицу, которая, забыв черновик при выполнении контрольной работы, «черновые» вычисления производила на руке. О борьбе с небрежной записью на уроках математики хорошо сказал т. Падучев в статье «Из практики учительской работы» в № 3 журнала «Математика в школе» за 1938 г.

Седьмым просто пришлось рекомендовать готовить уроки утром или после отдыха от классных занятий, а не поздно вечером, и т. д.

Некоторые же учащиеся просто не предполагали, что систематическое приготовление домашних уроков есть основной залог высокой успеваемости.

Уже в третьей четверти после такого систематического проведения консультации мы имели совсем иную картину с выполнением домашних задания.

В пятом «первом» и с пятом «втором» классах систематически выполнялись все домашние уроки по арифметике, а в пятом «третьем» классе невыполнение домашних уроков наблюдалось только как весьма редкое явление за некоторыми определенными учащимися.

Некоторые же учащиеся, даже из тех, которые в первой четверти систематически приходили в класс с невыполненными домашними заданиями, стали выполнять дома не только обязательные задачи (минимум), но и те, которые давались в качестве дополнительных, необязательных задач, которые давались, как я говорил, «на любителя».

Интересно, что в результате этой работы над выяснением причин невыполнения домашних заданий и принятых мер для их ликвидации значительно изменилась общая картина успеваемости класса по математике. Некоторые учащиеся, прежде считавшиеся только как посредственно успевающие по математике, выдвинулись в шеренгу передовых, появились новые отличники и любители математики; в двух классах вовсе не стало отстающих по математике. Ученик 3., например, из неуспевающих в первой четверти так выдвинулся вперед за вторую четверть, что занял четвертое место в классе по арифметике. Начинать с ним пришлось с начертания цифр (для чего пришлось предложить ему переменить ручку и следить за качеством пера), а потом учить записывать объяснение преподавателя на уроке, скорости письма, наконец, рассказать, как и когда готовить домашние уроки, и проследить за выполнением всех этих указаний. Мальчик сильно заикался. Те-

перь он уверен в своих знаниях и заикается значительно меньше при ответе у доски, а это в свою очередь заставляло его еще лучше заниматься дома. Правда, усилиями школы и особенно классного руководителя коренным образом были изменены и домашние условия учебы этого ученика.

Такие непродолжительные ежедневные консультации я провожу и сейчас, особенно в начале учебного года. Причем в этих консультациях я вижу принципиальное отличие от тех консультаций, которые проводит преподавательница Потоцкая в 32-й школе Москвы и которые описывает т. Микельсон в своей статье. У т. Потоцкой, «если были нерешавшие и нерешившие, они должны зайти после уроков в школу (после отдыха в 3-4 часа) и под руководством т. Потоцкой решить задачи» (см. стр. 89 журнала «Советская педагогика» № 1 за 1938 г.). Там ученик замечается после невыполнения им домашнего задания, и он приглашается за невыполнение домашнего задания на консультацию.

В нашей же практике невыполнение домашнего задания предупреждается. Для ученика создаются все условия к тому, чтобы он мог притти в класс с выполненным домашним заданием. Ученик вечером, накануне урока по математике (если занятия происходят с утра) или за несколько минут (30-40) до начала уроков (если занятия происходят во вторую смену), должен зайти на консультацию, если он самостоятельно не мог выполнить домашнее задание. Здесь он получает необходимую помощь преподавателя и по существу прорабатываемого материала и, главным образом, по существу метода самостоятельной работы над ним и на урок приходит с выполненным домашним заданием и с необходимым минимумом знаний предыдущего материала, необходимого для успешного усвоения материала сегодняшнего урока. Само собой разумеется, что такой порядок проведения консультаций не только не исключает, а, наоборот, обязательно предполагает ежедневную проверку преподавателем домашнего задания в классе.

III

Большое значение я придаю воспитанию у ученика настойчивости при выполнении им самостоятельной работы и выработке у него критического отношения к своей работе, привычке проверять свою работу.

В письменной контрольной работе в прошлом году из 43 студентов первого курса нашего техникума 21 студент сделал ошибку при делении 315 на 30, причем 17 из них получили в ответе 1,5 или \у2. Теперь ту же ошибку сделали 9 человек из 24 студентов первого курса лесозаготовительного отделения при делении 735 на 70.

«Не знают арифметики»—скажет читатель. Нет, дело не только в этом.

Нет должной внимательности при производстве арифметических вычислений, особенно более простых вычислений. Нет, не воспитали у них в неполной средней школе привычки проверять результаты своих вычислений. За 7 лет ученика приучили к тому, что учитель проверяет и исправляет сделанные им ошибки.

Я решил научить самих учащихся проверять результат своих вычислений и исправлять ошибки.

С этой целью я иногда проводил такие незачетные контрольные работы. Дается три-пять примеров, например на логарифмирование на 30 минут. Затем учащиеся по общему указанию кладут ручки и вооружаются карандашами. Сообщаются правильные ответы. На полях ученик отмечает «верно», если у него ответ совпадает, или «неверно», если ответ неправильный. Далее ученик определяет процент правильно решенных примеров и сам ставит оценку своей работе. После этого разыскивает свою ошибку и исправляет ее. Теперь моя задача заключается в том, чтобы выяснить причину допущенных учеником ошибок и сделать ему указания, необходимые для предупреждения впредь ошибок подобного рода, а также отметить, правильно ли учеником оценена своя работа. Эту работу я проделываю дома, отобрав тетради у учащихся.

Интересно, что если в работе много ошибок, ученик ставит себе в тетради «хорошо» (или «посредственно») с минусом, с двумя минусами, с тремя минусами..., но все-таки «хорошо», а не «плохо». Почему?

«Да ведь ход решения правильный, только запятую неправильно поставил, в другом примере описочку сделал, в третьем... и т. д.“

Ученик С, решая задачу «Найти размеры наиболее прочной балки, которую можно вырезать из цилиндрического бревна, имеющего в диаметре 80 су» (задача на отыскание минимума и максимума функции), пишет: «Ширина балки 4,7 cv», т. е. из бревна в два обхвата толщиною получил «балку» только немного толще классной линейки, и удивляется, почему оценка его работы «плохо». «Ведь ошибка-то пустяковая, арифметическая; в высшей математике нет ошибок, а мы-то проходим высшую математику!»

Мнение, которое, между прочим, поддерживается и некоторыми преподавателями специальных дисциплин нашего техникума да иногда и преподавателями математики. Так, например, если ученик при решении тригонометрического уравнения 12 sin2 х + löcosjc— —17=0 в контрольной работе допустил ошибку в решении квадратного уравнения или, еще хуже, в дробях, то плохая оценка часто не будет поставлена на том основании, что контрольная-то работа по тригонометрии, а не по алгебре. Я считаю, что это совершенно вредный либерализм*.

Больших трудов стоило заставить ученика каждую свою работу проверять тут же в тетради. Не приученные к проверке своей работы в свое время, они упорно сопротивляются этому.

«Шесть задач на дом задали: три задачи, да три проверки»,— заявляет один ученик.

«Семь лет решали задачи, обходились без проверки, а тут — проверка обязательна!»

«В два раза работы больше» — вторит ему другой.

Пришлось категорически заявить, что отлично выполненная контрольная работа будет

* Это не «либерализм», а полное непонимание учителем своей основной задачи. Ред.

оцениваться только оценкой «хорошо», а хорошо выполненная — оценкой «посредственно» и т. д., если только не будет произведено проверки решения задачи или примера. Конечно, предварительно уделяется большое внимание тому, чтобы научить их проверять свою работу.

Поставив так вопрос с первых же дней учебы студентов в техникуме, уже ко второму полугодию мы добиваемся того, что проверка решения становится неотделимой частью решения всякое задачи или примера, будь то в письменной контрольной работе, в домашнем задании или даже при ответе в классе у доски.

Но это не изжило ошибок в письменных контрольных работах. Проверка учеником часто проводилась формально и ни к чему не обязывала его.

Сознание этого меня очень огорчило: что-то важное было упущено мною, что-то недопонимают мои учащиеся в роли и значении проверки, но что именно — догадаться было трудно.

Правильное решение этого вопроса подсказали сами же учащиеся, их ошибки в контрольных работах.

Ученик К. выполняет контрольную работу по тригонометрии. Решив один прямоугольный треугольник, он проверяет стороны треугольника по теореме Пифагора. Получив, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, он надписывает: «Верно!» и приступает к решению второго треугольника.

Во втором треугольнике при проверке его сторон по теореме Пифагора у него получилось, что сумма квадратов катетов почти в два раза более квадрата гипотенузы. Ученик К. ничего не надписывает против этой проверки и сдает работу, хотя время для исправления решения задачи еще имеется.

— Не кажется ли вам, что вторая задача решена неправильно? — спрашиваю я его.

— Возможно,— отвечает.

— Почему «возможно!»— разве более точно ответить на этот вопрос нельзя?

— Видите ли, проверки не получилось, но решал-то я задачу верно.

— Что же нужно сделать, если проверка показывает, что данный ответ на вопрос задачи не удовлетворяет ее условиям?

— А я не знаю.

— Как не знаете, разве я не говорил, что неправильное решение надо перечеркнуть и решить задачу другой раз, если не сумел обнаружить ошибку?

— Говорить-то вы говорили, но в классе мы этого никогда не делаем.

Он прав. Действительно, в классе мы этого не делали. Разве преподаватель позволит себе, чтобы ученик, решая задачу у доски и допустив ошибку, не исправлял ее до тех пор, пока эта ошибка не будет обнаружена проверкой. Ошибка на доске обычно исправляется преподавателем немедленно, и проверка решения задачи в классе всегда только подтверждает правильность решения, но никогда не констатирует неправильности решения, не заставляет переделывать задачу в другой, а то и в третий раз.

Этот факт заставил меня задуматься над вопросом о проверке решения задачи, и я решил, что иногда в классе при решении небольших задач (большая задача потребует много времени) следует «не замечать» ошибки, сделанной учеником, если класс ее не замечает, а дать возможность учащимся самим обнаружить ее проверкой решения задачи, перечеркнуть и сделать ее вторично.

В самом деле, мы часто безупречно ведем объяснение урока, доказательство теоремы, решение задачи. Для ученика в классе все так понятно и просто, одно из другого вытекает с неизбежной необходимостью, и ученик часто думает, что иначе и быть не может:

«Да тут и понимать-то нечего, все ясно и понятно, само решается»,— заявляет он. Дома теорема читается по книге также легко:

«Тут и учить-то нечего!», а в классе у доски самостоятельно доказать ее ученик и не сумел. «Дома знал, а у доски растерялся, потому и не доказал»,— уверяет себя ученик. А спросите, пробовал ли ученик дома на бумаге, закрыв книгу, доказывать эту теорему. Окажется, что нет, он ее только читал по книге. А ведь так закрепить геометрические материал нельзя. Так же получается и с задачей.

В классе малейшую ошибку преподаватель замечает и почти незаметно для ученика исправляет; постановкой ряда заранее обдуманных вопросов ученик направляется на правильный путь решения задачи, а дома, решая подобную задачу, ученик допустил ошибку в вычислениях или несколько отклонился от правильного пути при решении задачи, и он оказался совершенно беспомощным — решение задачи не идет так гладко, как в классе, проявить настойчивость он не сумел и... задача не выходит.

Ученика нужно научить критически относиться к своей работе, находить и исправлять свои ошибки, воспитать у него настойчивость в работе, приучить его настойчиво добиваться своей цели. Развитие этих качеству ученика нисколько не менее важно, чем самое уменье решать задачи. Людей, с которых можно было бы брать пример в развитии силы воли, энергии и настойчивости в работе, у нас много. Достаточно вспомнить хотя бы героическую четверку папанинцев. Разве их самоотверженная работа на дрейфующее льдине не может явиться блестящим примером для наших школьников? Может и должна явиться.

При практическом разрешении этой задачи мне прежде всего пришлось столкнуться с вопросом: следует или не следует предупредить учащихся о возможных или часто встречающихся ошибках в тон или иной теме?

«В IX классе «А», следуя совету «Учебника тригонометрии» Шмулевича, — рассказывает мне опытный преподаватель математики,— я предупредил учащихся о том, что часто встречаются ошибки, когда sin (a-fß) заменяется sin а + sin 3, и один ученик на другой день, решая задачу, сделал-таки эту ошибку.

Выводя эту же формулу в IX классе «Б», я решил не предупреждать учащихся об этой ошибке, если они сами этого не спросят, и сегодня никто не сделал такой ошибки, какая имела место в IX классе «А».

В самом деле, в «Учебнике тригонометрии» Рыбкина мы не найдем таких предупреждений; в «Учебнике тригонометрии» Шмулевича такие предупреждения имеются; в «Учебнике тригонометрии» Бронштейна таких предостережений много, а в «Методике алгебры» того же автора имеется ряд упражнений с неправильными решениями: ученику предлагается самому определить, в чем состоит ошибка (см., например, стр. 84 «Методики алгебры» Бронштейна).

Как поступить преподавателю?

Мне кажется, предостерегать ученика о возможных ошибках мимоходом не следует. Этому вопросу либо нужно уделить должное внимание на уроке, либо его вовсе не не следует касаться.

Пусть, например, преподаватель приступает к выводу формул сложения углов.

Будет неправильно начать с того, что на доске записывается два выражения: sin (a+ß) и sin а + sin ß и разъясняется: «Конечно, эти две величины друг другу не равны, т. е. синус суммы не равен сумме синусов»,— как это делается в «Учебнике тригонометрии» Шмулевича.

Но совсем иное дело, если поставить вопрос так. Обращаясь ко всему классу, учитель спрашивает:

— Вы знаете, чему равен sin 30°?

— Половине,— отвечают ученики. Преподаватель записывает это на доске.

— A sin 45°?

— А мне нужно определить sin 75°. Как это сделать?

И вот, если найдутся в классе ученики, которые предложат определить sin 75°, как sin 45° -f sin 30°, я возражать не буду, а предоставлю возможность одному из предложивших такое «решение» произвести вычисление sin 75° и определить полученный результат с точностью до 4 десятичных знаков (точность имеющихся у учащихся на руках таблиц Брадиса).

Вычислив, видим, что получается нелепость: sin 75° > 1.

Посмотрим значение sin 75° в таблицах: там sin 75°=0,9659.

— В чем дело? — спрашиваю.

— Надо проверить вычисления,—догадываются ученики.

Еще раз тщательно проверяем все вычисления и опять получаем sin 75°= 1,2071. В чем же дело?

Подсказываю ученикам (если они сами не догадаются), что ошибка, очевидно, в том, что мы предположили, что sin 75°—sin 30°+ -f sin 45°. Соображаем, что так оно должно и быть: ведь хорды не пропорциональны углам, иначе незачем было бы и создавать тригонометрию как отдельную математическую дисциплину. Приходим к выводу, что решать эту задачу надо как-то иначе, каким-то новым путем.

Какие у нас имеются данные для решения этой задачи? На какие ранее известные теоремы мы можем опереться? Таких теорем у нас нет. Что же мы имеем? Мы имеем только одно — определение синуса угла и ничего больше. Можно ли, исходя только из определения, решить такую сложную задачу? Можно. Как?

«Построить сумму двух углов 30° и 45° и выразить отношение линии синуса этой суммы углов к радиусу через тригонометрические функции углов 30° и 45°»,— подсказываю учащимся, если сами они не догадаются это сделать.

Чтобы получить формулу более общую, а не только для sin 75°, давайте возьмем вообще сумму двух каких-либо углов а и ß и определим, чему будет равен s,n (а + ß).

Приступаем к выводу.

К задаче «Определить sin 75°» возвращаемся после вывода формулы.

Если позволит время, то будет неплою определить сначала sin 75°, а затем уже вывести и общую формулу для sin (a+ß).

Ну, а если учащиеся не предложат определить sin 75° как sin 30° -f sin 45°, тогда как?

Тогда я просто приступаю к выводу этой формулы так, как это делается в «Учебнике прямолинейной тригонометрии» Н. Рыбкина, и ничего не скажу своим учащимся о том, равняется синус суммы двух углов сумме синусов тех же углов или нет.

Если же на другой, третий или еще какой-нибудь день после вывода формулы кто-нибудь из учеников допустит при решении задачи или примера ошибку и вместо синуса суммы запишет сумму синусов, а класс не поправит его, то я позволю этому ученику довести до конца решение задачи, обнаружить неправильность полученного ответа проверкой, найти допущенную ошибку и исправить ее. Здесь я позволю себе остановиться на этой ошибке.

Ну, а если вообще этой ошибки не произойдет? Тогда я и останавливаться на ней не буду.

IV

Опыт 6 лет работы в техникуме и в старших классах средней школы показывает, что большинство учащихся, окончивших неполную среднюю школу и поступивших в наш техникум, не умеют самостоятельно читать математическую книгу.

Дайте учащимся на дом для самостоятельной проработки § 15 из «Учебника тригонометрии» Рыбкина и проверьте на другой день это задание.

Какой вы получите результат?

Нам обычно учащиеся заявляли:

— Задания на дом не было.

— А § 15,— возражаю я.

— В § 15 был один пример, да он уже решен.

Вызываю одного из учащихся, заявившего, что на дом задания не было, и предлагаю ему определить все тригонометрические функции угла а, зная, что cos а=-^--

Ученик, как правило, с этой задачей не справляется. Почему?

— Таких задач в классе мы еще не делали,— ответит он.

— Тогда решите такую задачу: tg«=-^--

Определить остальные тригонометрические функции угла а.

Ученик догадывается, что эта задача такая же, как и первая.

— Верно, но ведь это задача из § 15, который вам был задан на дом.

После такого разговора с классом по поводу «выполнения» домашнего задания я предлагаю учащимся взять учебники по тригонометрии и тетради и проработать домашнее задание здесь в классе в моем присутствии и после этого решить задачу.

Учащиеся легко справляются с таким заданием, и очень немногим приходится оказывать помощь. В конце урока замечаю:

— Вот так надо дома выполнять домашние задания.

Ученица Л. из VIII класса соседней средней школы еще в апреле занялась подготовкой к предстоящим испытаниям. При повторении иррациональных уравнений она встретилась с какими-то непреодолимыми затруднениями и обратилась ко мне за помощью.

— Что же вам неясно в этой теме? — спросил я.

— Все неясно.

«Нужно научить девочку работать с книгой»,— подумал я и предложил ей внимательно прочесть § 21 (24) из книги Киселева «Алгебра», ч. II и решить имеющуюся в этом параграфе задачу, а если в чем-либо будет затруднение, попросил обращаться ко мне.

На моих глазах девочка быстро проработала параграф и заявила мне, что все готово.

— Неясности нет?

— Нет, все ясно!

— Теперь проработайте § 22.

Затем я дал § 23 и, наконец, предложил решить упражнение № 52 из последнего параграфа.

— Не знаю даже с чего начать,— заявляет она мне после небольшого раздумья.

Я дал ей уравнение “[/2*—4—1/^+5 = 1» т. е. то самое, которое она только что «прорабатывала» в § 23.

— Тоже ничего не получается. Наконец, я дал уравнение 2+Х+|/*4-Ьл:2 = 10 из § 21, и это не получается.

— Что называется иррациональным уравнением?

— Как решаются иррациональные уравнения?

— Что значит: «уединить радикал?»

Ни на один из этих поставленных мною вопросов девочка не могла ответить.

Я посмотрел ее тетрадку с «проработкой» параграфов. В ней было чисто и аккуратно переписано все, что было написано в соответствующих параграфах учебника, и это переписывание не вызвало в ней никаких затруднений, но произведенное чисто механически это переписывание, разумеется, не дало ей ни знаний, ни навыков в решении иррациональных уравнений.

Пришлось учить девочку читать математическую книгу.

Вопрос о том, как учить в школе учащихся читать математическую книгу, уже освещался на страницах журнала «Математика в школе» (№ 6 за 1935 г., ст. В. Репьева «Как учить читать математическую книгу», стр. 53—60). Мне хочется только сказать, что этому важному вопросу следует уделять больше внимания на уроках математики, а в нашел методической литературе чаще освещать опыт работы в этом направлении, чем это делалось до сих пор, причем следует иметь в виду, что работа в этом направлении должна вестись не только на уроке.

Внеклассные лекции и беседы на тему «Как работать над книгой» для учащихся старших классов средней школы (и для студентов техникума), мне кажется, время от времени следует проводить в школе.

Организованный под руководством преподавателя обмен мнениями учащихся о том, как работать над выполнением домашних заданий, показ образцов самостоятельной работы отличников, освещение таких образцов в печати (см., например, в журнале «Советское студенчество» № 3 за 1938 г., ст. А. Иванова «План первокурсника») могут сыграть в этом деле большую положительную роль. Нужно показать нашим учащимся образцы того, как учились и работали великие люди, как завещал нам учиться Владимир Ильич Ленин. В высшей степени кажется странным, когда среди студентов техникума или учащихся старших классов средней школы находятся такие учащиеся, которые не читали «Речь В. И. Ленина на III съезде РКСМ», и уже совсем непонятным кажется такое явление, когда ученик не может достать в школьной библиотеке книгу, в которой он мог бы прочитать эту речь. Теперь в нашем техникуме на политзанятиях со всеми студентами (и преподавателями) были проработаны темы: В. И.Ленин — «Речь на III съезде РКСМ»; И. В. Сталин — «Речь на V Всесоюзной конференции ВЛКСМ»; «Речь на VIII Всесоюзном съезде ВЛКСМ».

Проработка речей В. И. Ленина и И. В. Сталина дала очень многое как учащимся, так и преподавателям.

В результате мы имеем более сознательное отношение учащихся к учебе, к выполнению домашних заданий, а значит и более высокую успеваемость, чем, например, в прошлом году. По математике, например, в первом семестре мы имели 93,3% успеваемости при 20,8% отличных оценок и 31,5% хороших. Это довольно приличная успеваемость для техникума. Можно надеяться, что проведенные в техникуме мероприятия, направленные к тому, чтобы научить учащихся нашего техникума учиться, дадут возможность преподавателю обеспечить к концу учебного года стопроцентную успеваемость.

V

И еще один вопрос, имеющий отношение к вопросу самостоятельной работы наших учащихся,— это вопрос о правильном индивидуальном подходе к ученику. «Преподаватель должен в процессе учебной работы внимательно изучать каждого ученика», — говорится в постановлении ЦК ВКП(б) от 25 августа 1932 г. «Об учебных программах и режиме в начальной и средней школе». К сожалению, этот индивидуальный подход некоторыми преподавателями понимается своеобразно и по-моему неправильно.

Мне приходилось наблюдать, когда преподаватель осуществляет индивидуальный подход на письменной контрольной работе, рассаживая учеников иначе, чем они обычно сидят, с таким расчетом, чтобы в один ряд по-

пали более сильные учащиеся, в другой — более слабые, и дает первому варианту более сложную задачу, а второму — более простую.

М. И. Змиева в своей прекрасной в общем статье «Как я готовлюсь к уроку» пишет: «Затем подбираю на каждый урок ряд несложных задач для решения их в классе и дома. Кроме этого, так же, как и в алгебре, подбираю ряд задач для менее и более подготовленных учеников» и далее приводит две группы таких задач: одна — «Задачи для слабо подготовленных учащихся» и другая — «Задачи для более подготовленных учеников» («Математика в школе» № 6 за 1937 г., стр. 108, 109 и 112). Если учесть еще следующую фразу: «Кроме этих упражнений я подбираю в систематическом порядке упражнения для задания на дом менее и более подготовленным ученикам» в статье т. Змиевой (см. там же, стр. 107), то создается впечатление, что индивидуальный подход на уроке у т. Змиевой заключается в том, что класс делится на две части: «менее» и «более» подготовленных учеников, и каждая часть класса занимается по своему, заранее выработанному, так сказать, «менее» или «более» подготовленному плану. И это делается в VIII классе!

Мне кажется, это в корне неправильная практика и ни в какой мере не соответствует указаниям постановления ЦК ВКП(б).

Как мы уже отмечали в начале статьи, у нас отдельные учащиеся из «менее подготовленных» переходили в разряд «более подготовленных» в результате проявления индивидуального подхода к ним на консультациях, в домашней обстановке при посещении ученика на дому, в классе, но без выделения их в отдельную группу «мало подготовленных».

В своей практике я даю учащимся на дом две-три задачи обязательные и одну необязательную, «на любителя». Дома эту дополнительную задачу, конечно, не все будут решать, и, может быть, даже не желающие решить ее сумеют с ней справиться, но тем не менее она задана не какой-то группе «избранных», группе «более подготовленных», а всем учащимся. Ученик, имеющий посредственную успеваемость, если он с ней не справится, может ее и не решать.

Так оно и бывает в начале учебного года, но потом он пожелает решить и эту «любительскую» задачу и, сильно заинтересовавшись ею, может проявить настойчивость в решении этой задачи, явиться с ней на консультацию к преподавателю и решить ее с помощью преподавателя. Постепенно он входит во вкус выполнения сложных математических задач и научается самостоятельно выполнять их. Проходит время — появляется все больше и больше любителей выполнять, помимо обязательного домашнего задания, и необязательные. Глядишь, а число отличников в классе все увеличивается да увеличивается. Разделять же класс хотя бы на одну четверть вперед даже хотя бы только для выполнения домашних задание на «менее подготовленных» и «более подготовленных», мне кажется, не следует. Нужно об ученике проявлять заботу соответственно его подготовленности, но не нужно объединять их в группу «менее подготовленных» и давать им заведомо упрощенные задания. Это психологически будет действовать на ученика отрицательно Вывод наш таков.

Ученик, умеющий учиться, умеющий самостоятельно работать над книгой, будет аккуратно и систематически выполнять домашние задания, ибо они будут представлять для него несомненный интерес, в них он применяет свои силы, свои способности, осознает свое продвижение вперед в усвоении данного предмета. Ученик, умеющий рационально организовать свою работу, видит, что приготовление домашних уроков не отражается ни на его отдыхе, ни на его игре, так как он выполняет их при небольшой затрате времени. Ученик интересуется самостоятельной работой, особенно если этот интерес повседневно «подогревается» на уроке преподавателем, если преподаватель вовремя отметит положительную сторону выполненного самостоятельно урока, если он умеет даже в неправильно выполненной самостоятельной работе ученика отметить некоторые положительные моменты (вместо того чтобы дать резкую отрицательную оценку всей его работе, что, к сожалению, иногда еще наблюдается), в то же время не оставляя без внимания ни одного не выполненного учеником задания.

Научить ученика учиться должен преподаватель в классе. Это должен помнить каждый преподаватель в своей повседневной работе, ибо уменье ученика учиться есть весьма важный фактор в процессе его учебы. Ученик, умеющий учиться, при соблюдении всех остальных мероприятий, указанных т. Микельсоном в его статье «Предупреждение отставания и ликвидация второгодничества», никогда не будет отставать в учебе.

К ИТОГАМ ИСПЫТАНИЙ ПО АРИФМЕТИКЕ

Г. ПОЛЯК (Москва)

Проверочные испытания текущего года свидетельствуют о несомненном положительном сдвиге в знаниях учащихся по арифметике в сравнении с прошлыми годами. Учащиеся дают лучшие показатели по письменным работам, лучше справляются с производством арифметических действий, лучше формулируют правила и определения.

Эти результаты приобретают тем больший вес, что в текущем году, как правило, давались более сложные письменные работы.

На устных испытаниях многие учащиеся давали правильные развернутые ответы на вопросы, которые им предлагались.

Вот образцы вопросов, которые задавались отдельным испытуемым.

а) Ученику IV класса 68-й школы:

«Одно из слагаемых 1375, другое в 105 раз больше первого. Чему равна их сумма?

Устная задача. Рабочий рассчитал, что если он купит велосипед за 325 рублей, то у него останется 175 рублей. На самом деле он ку.

пил фотоаппарат, и у него осталось 370 рублен. Сколько денег стоил фотоаппарат?

Рассказать о гранях, ребрах и вершинах куба.

Вычислить объем и поверхность куба (ученику был дан для измерения куб, лежавший на столе).

Вычислить устно: 48 X 15».

б) Ученику IV класса 71-й школы: «Длина огорода прямоугольной формы равна 87 му ширина 60 м. 3/5 всей площади занято картофелем и капустой. Под картофель отведено 1 865 кв. м. Как велика площадь, занятая капустой?

18 км 900 м :6 м.

Начертить прямоугольник.

Написать число: тридцать пять миллионов сорок. Сколько сотен содержится в этом числе? Подчеркнуть класс тысяч.

Чему равна разность чисел 25 и 14?».

в) Ученице IV класса 55-й школы: «Устная задача. Поезд прошел за 4 часа 180 км. За какое время он пройдет 495 км?

10 км 400 м : 2 км 100 м. 2,35 + 0,986.

Какая дробь называется правильной, неправильной. Какое число называется смешанным?

2 кг 9 г записать простым именованным числом.

Устная задача. В двух карманах 30 рублей; в одном в 4 раза больше, чем в другом. Сколько денег в каждом кармане?

Сколько минут составляет час с четвертью? (устно).

80 000 X Ю (устно).

Сколько останется, если от 10 тысяч отнять 7 единиц (устно)?».

На все приведенные вопросы названные учащиеся дали точные развернутые ответы.

Таких примеров можно привести немало.

Одновременно испытания вскрывают ряд существенных недочетов в знаниях учащихся, являющихся результатом серьезных недочетов в постановке преподавания арифметики в нашей школе. На этом мы намерены остановиться более подробно.

1. Начнем с решения задач. Основной недочет в работе школы заключается в том, что вместо серьезного обучения детей анализу задач иногда имеет место натаскивание их в данной области, вооружение их шаблонными приемами, которыми им надлежит пользоваться при решении задач различных типов.

Приведем пару примеров из практики испытаний. Учащемуся IV класса предлагается задача:

«В одном кармане 20 рублей, в другом на 2 рубля меньше, чем в первом. Сколько денег в обоих карманах?»

Вместо ответа по существу ученик спрашивает у учительницы:

— Эта задача на излишек?

В другом случае ученику была предложена задача-

«В двух классах 80 учащихся. В одном классе на 2 ученика больше, чем в другом. Сколько учащихся в каждом классе?»

Ученик дает сперва неверный ответ «40 и 42» и лишь после того как педагог помогает ему записать условие особым образом (80 уч. II — I на 2 уч. больше), он догадывается: «Ах, это задача с излишком!» и затем дает верное решение ее.

Подобные факты многократно наблюдались нами во время испытании. Они свидетельствуют о том, что вместо анализа задач учащиеся пользуются при их решении заученными шаблонными приемами, внешними приметами.

Этот серьезнейший недочет в постановке преподавания арифметики особенно сказывается тогда, когда учащимся приходится решать жизненно практические задачи.

Вот задачи этого рода, с которыми не справились учащиеся на испытаниях.

«Рабочий должен был по плану обточить 4 детали, а он обточил их 12. Сколько процентов плана выполнил он?»

«В классе 40 учащихся, из них 75% пионеров. Сколько пионеров в классе?»

«В классе 40 учащихся, из них 8 отличников. Какой процент составляют отличники?»

«100 г орехов стоят 1р. 20 к. Сколько стоит 1 кг орехов?»

«Сколько граммов составляют 3/4 кг? Сколько минут составляют 3/4 часа?»

(Первые три задачи предлагались учащимся VI класса, последние в IV классе. Задачи давались для устного решения.)

Интересно отметить, что в отдельных случаях с приведенными задачами не справлялись учащиеся, которые правильно решали сравнительно сложные письменные задачи.

Справившись с задачами, которые решались ими определенными заученными приемами, учащиеся встретили серьезные затруднения, когда им приходилось решать устные задачи по соображению. Здесь сказывается также то невнимание к жизненно практическим задачам, которое часто наблюдается в школьной практике.

Говоря о решении задач, следует еще отметить слабое усвоение учащимися разностного и кратного сравнений чисел, а также случаев увеличения и уменьшения данных чисел на несколько единиц и в несколько раз.

Вот задачи, с которыми не справились многие испытуемые IV класса.

«На сколько 35 больше 7?» (Ответ: в 5 раз, на 5 раз.)

«На сколько 40 больше 4?» (Ответ: на 10 раз.) «Во сколько раз 56 больше 14?» (Ответ: на 42.)

«Какое число на 5 меньше 70?»

«Какое число вчетверо меньше 60?»

Следует отметить, что в отдельных случаях учащихся затрудняла необычная для них формулировка вопроса. Так, учащийся, давший неверный ответ на последний вопрос, правильно ответил, когда его спросили: «Какое число меньше 60 в 4 раза?» Это свидетельствует об однообразии формулировок, которыми часто пользуются учителя при постановке подобных вопросов. Для того чтобы учащиеся основательно усвоили разностное и кратное сравнения чисел, необходимо, помимо четкого объяснения и правильной системы упражнений, разнообразие вопросов предлагаемых учащимся, с тем, чтобы их не затрудняли различные формулировки, ка-

кие могут встретиться при разрешении соответствующих задач.

Разностное и кратное сравнения чисел затрудняли учащихся не только IV, но и V и VI классов. Так, отдельные учащиеся даже VI класса не в состоянии были дать правильный ответ на вопрос: «Чему равны кратное и разностное отношения чисел 36 и 47?» и т. п.

Нет сомнения, что отмеченные недочеты в знаниях учащихся являются отражением слабой постановки преподавания в области решения задач. На это должно быть обращено серьезное внимание.

2. Существенным недочетом в постановке преподавания арифметики, как об этом можно судить по итогам испытаний, является также то, что знания учащихся часто неконкретны. Вот отдельные примеры из практики испытаний.

Отвечая по билету, ученик безошибочно называет квадратные меры и соотношение между ними. Когда же ему предлагается начертить на доске квадратный сантиметр, он чертит прямую линию длиной в 30—40 пч.

Другой ученик, получив задание начертить на доске квадратный метр, чертит квадрат со стороной в 20—30 с.

Вместо прямой линии длиной в 1 у один испытуемый начертил линию длиной в 30 с к.

Еще более разительный ответ дал учащийся, которому был задан вопрос: «Можешь ли ты показать в классе гектар?» Оказалось, что ученик представляет себе гектар величиной в квадрат со стороной, равной приблизительно 1 М.

А вот еще примеры.

Ученику предлагается вопрос: «Чему равен объем куба, длина которого равна 1 м, широна 1 м и высота 1 м?»

Ответ дается: 3 М.

Ученику задана задача: «Пустой ящик весит 15 кг\ длина его 7 дмл ширина 5 дм% высота 2 дм; кубический дециметр песку весит 2 кг. Сколько весит ящик с песком?»

Ученик правильно решает первый вопрос задачи, узнавая объем ящика, второй же вопрос формулирует так: «Сколько песку «взойдет» в ящик?»

Подобные неконкретные представления о поверхности и объеме тел обнаружили многие учащиеся. Отдельные испытуемые не могли даже ответить на вопрос, что мы измеряем кубическими мерами, что мы измеряем квадратными мерами.

Особенно много ошибок допускали учащиеся при ответе на вопросы, касающиеся вычисления суммы сторон и площадей прямоугольника и квадрата.

Вот отдельные задачи этого рода, которые затрудняли учащихся.

«Вычислить сумму сторон квадрата, сторона которого равна 150 я* (Ответ: 600 кв. М).

«Вычислить площадь квадрата, сторона которого равна 9 м» (Ответ: 36 м).

Недочеты в знаниях учащихся, о которых шла речь выше, являются результатом чисто абстрактного изучения программного материала, который может быть сознательно усвоен учащимися лишь при условии, когда изучение его сопровождается практическими работами (измерением, черчением, вырезыванием и т. д.). Игнорирование этого рода работ, которое часто имеет место в школьной практике, и является причиной неконкретности знаний учащихся, которые в лучшем случае механически запоминают отдельные правила и приемы без сознательного усвоения их.

3. Одним из существенных недочетов в подготовке учащихся является слабое развитие их речи. Правила и определения часто формулируются неточно, многословно, допускаются неправильные обороты речи.

Вот образцы отдельных ответов учащихся.

«Десятичной дробью называется такая дробь, у которой сзади нули».

«Десятичной дробью называется дробь, у которой единица с нулями».

«Диаметр — линия, которая соединяет две стороны окружности».

«Числителем называется, сколько взято частей. Знаменателем называется, на сколько частей разделена единица».

«Числа при вычитании называются: вычитаемое, вычитатель, разность».

Вместо общих определений отдельные учащиеся ограничиваются приведением частных примеров, частных случаев.

Так, отвечая на вопрос о прямой и обратной пропорциональности, ученица VI класса говорит: «Обратная пропорциональность между скоростью и временем, прямая — между скоростью и километрами».

Пропорциональность величин вообще один из наиболее слабо усвоенных пунктов программы. В частности при формулировке определений, относящихся к этому разделу, учащиеся часто путают изменение данных величин на несколько единиц и в несколько раз.

Этот дефект в знаниях учащихся сказывается и при формулировке правил, относящихся к зависимости между компонентами действий: «Если одно из слагаемых увеличить на несколько раз, то сумма увеличится на столько же раз».

Слабо усвоено учащимися также название чисел при арифметических действиях (см. приведенный выше пример). В отдельных случаях учащиеся, правильно называя компоненты того или иного действия, не умеют применять свои знания. Так, ученики, давшие правильные ответы на вопросы, как называются числа при умножении, при вычитании, не знали, чему равно произведение 9 на 7, чему равна разность 15 и 17 и т. д. Подобные случаи наблюдались нами неоднократно. Здесь сказывается недостаточное внимание школы в упражнении учащихся в применении полученных ими знаний.

Говоря о названии компонентов арифметических действий, мы хотели бы привести еще один случай из практики испытаний.

На вопрос, как называются числа при сложении, ученик ответил: первое слагаемое, второе слагаемое, сумма.

Когда же его спросили, как называется третье слагаемое в случае сложения трех чисел, он ответил: сумма.

В практике нашей школы часто при сложении берется всего лишь два слагаемых. Отсюда и представление ученика о том, что третье слагаемое уже носит какое-то новое название.

4. Испытания обнаруживают слабые навыки учащихся в устном счете.

Вот вычисления, в которых ученики допустили ошибки: 15 + 18 (ответ: 32), 36—9 (ответ: 26), 9:9 (ответ: 0),О X 375(ответ: 375), чему равны 2/3 от 33 (ответ: 6), чему равны 2/3 от 54, 3/4 от 120 и т. п.

Главное то, что учащиеся не владеют приемами устного счета, пользуясь при устных вычислениях письменными приемами.

Ученику задан для устного решения пример: 2300 X 3. Ученик дает ответ: 9600. На предложение рассказать, как он решил пример, он объясняет: 3 X 3 = 9; 3 X 2 = 6; 9600. Ошибка в ответе, как это нетрудно видеть, получилась у ученика вследствие того, что он пользовался письменными вместо устных приемов вычислений. Прибегая к «записи» цифр в уме вместо устного поразрядного умножения, ученик легко перепутал разряды и получил в ответе 9600 вместо 6900.

5. Рассмотрим теперь вопросы, которые затрудняли учащихся в отдельных разделах программы.

В разделе «Нумерация целых чисел» учащиеся обнаружили слабые представления о соотношении между отдельными разрядными единицами. Вот вопросы, на которые учащиеся давали неверные ответы: «Во сколько раз 1 000 000 больше 1 000?» «Сколько десятков (сотен) в миллионе?» «Во сколько раз 100 000 больше 100?» «Сколько тысяч в миллионе?».

Что касается действий над многозначными числами, то здесь чаще всего учащиеся допускали ошибки в делении, а также в применении порядка действий.

Вот образцы ошибок учащихся: 40 052:5 = = 801, остаток 2; 4263:6 = 71, остаток 3; 80 60:5=4.

При производстве действий над составными именованными числами учащиеся больше всего ошибок допускали в делении. Ошибки касались, главным образом, наименования частного. Так, при делении 3 рублей на 60 копеек ученик дал в ответе 5 рублей. При делении 156 км на 26 м ученик получил в ответе 6 000 м, или 6 км.

Ошибки допускались также в вычитании составных именованных чисел.

Вот как ученик решил пример:

Как видно, ученик принял здесь 1 m равной 100 кг.

В разделе «Дроби» особо затрудняли учащихся вопросы, касающиеся изменения данных чисел при делении (или умножении) их на правильную и неправильную дроби. Слабо справлялись учащиеся также с вопросами, касающимися обращения обыкновенных дробей в конечные и бесконечные десятичные дроби.

Вот отдельные вопросы, на которые учащиеся давали неверные ответы.

«Увеличится или уменьшится число 0,8 от деления на 0,02 (число 340 от деления на в/5)». «Какая простая дробь обращается в конечную десятичную?» «В какую периодическую дробь обратится 7/30 — в чистую или смешанную?); «В какую десятичную дробь — конечную или бесконечную —обратится дробь fi/i2 O'/ss)?»

Следует также отметить затруднения учащихся при проверке действий над дробями — обыкновенными и десятичными. Затруднения в этой области часто встречали те учащиеся, которые сравнительно легко справлялись с проверкой действий над целыми числами.

Так, ученик, который правильно и быстро проверил действие 378 X 406, затруднился в проверке действия 38/5Х5/в-

При действиях над дробными числами вычисления располагаются отлично от действий над целыми числами. Это обстоятельство, видимо, и затрудняет учеников, привыкших к проверке действий над целыми числами, где вычисления расположены по-иному.

Даже применение черты (вместо : или |_) как знака деления часто делает проверку действия трудной для отдельных учащихся.

Так, отдельные испытуемые V класса не знали, как проверить действие 121 :11, когда оно было записано так:

Еще более трудной оказалась для них проверка данного действия при записи:

11 = 121. 11

Привыкнув к определенному расположению данных и результата деления, учащиеся не знали, какое число является делимым, какое делителем и какое частным при новой форме записи.

При проверке действий над десятичными дробями отдельные учащиеся встречали затруднения в случае деления с остатком. Последний во всех случаях принимался ими за целое число, которое они прибавляли к произведению делителя на частное.

В разделе «Отношение и пропорции» помимо пунктов, отмеченных выше (смешение разностного и кратного отношений, слабое усвоение пропорциональности величин), учащихся затрудняли вопросы, касающиеся изменения знаменателя отношения в зависимости от изменения его членов, перестановки членов пропорций, составления пропорций из равных произведений.

В разделе «Проценты» наиболее слабо усвоенными оказались вычисление процентного отношения, замена дробных чисел процентами. Вот образцы заданий, с которыми не справились учащиеся V и VI классов. «Какой процент 15 составляет от 60?» «Какой процент 36 составляет от 45?» «Выразить в процентах 0,4 (ответ : 4%), 0,06» (ответ : 60%).

Испытания выявили ряд существенных недочетов в знаниях учащихся. Для того чтобы их изжить, необходимо внести соответствующие поправки в постановку преподавания.

Особое внимание должно быть обращено на сознательное усвоение учащимися программного материала (в противовес натаскиванию, которое иногда имеет место в школьной практике), на развитие их мышления, речи. Необходимо добиваться, чтобы знания, получаемые учащимися, были конкретны. Наряду с более ранним введением письменных вычислений, которое предусматривается проектами новой программы по арифметике, необходимо работать над развитием навыков учащихся в устном счете. При изучении отдельных разделов программы следует иметь в виду те пункты, которые, как показали испытания, слабо усвоены учащимися.

ОТКЛИКИ НА СТАТЬИ

К ВОПРОСУ О РАЗЛОЖЕНИИ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ

Л. КРУПОВЕЦКИЙ (Полтава)

В обстоятельной и весьма полезной с методической стороны статье А. Зотовой «Разложение квадратного трехчлена на множители первой степени» («Математика в школе» № 4 за 1938 г.) рекомендуется способ разложения крадратного члена вида с х- + Ьх с (т. е. когда первый член квадратного трехчлена имеет коэфициент больше единицы), который нам кажется не совсем простым и слишком громоздким. Способ этот основан на изменении коэфициента при первом члене квадратного трехчлена таким образом, чтобы получился полный квадрат первого члена. Мы же в дальнейшем изложении приведем более удобный и простой, по нашему мнению, способ, сходный с тем способом, который применяется, когда коэфициент при первом члене квадратного трехчлена равен единице.

Сущность способа, предлагаемого Зотовой, заключается в следующем.

Пусть дан трехчлен 6jc2 -f 13* + 5. Делаем коэфициент при х2 точным квадратом, для чего все выражение умножаем на 6:

36л:1 + 13-6* + 30.

Делаем подстановку:

6х = у.

Будем иметь:

у2 + 13у + 30.

Пришли, к уже изученному случаю. Разложив это выражение обычным способом, найдем:

у2 + ггу + зо = (у + 3) (у + ю).

Подставляя у = 6л:, получим: (ßX + 3) (6х + Ю).

Наконец, возвращаясь к данному выражению, будем иметь:

Как можно убедиться из краткого изложения хода действий, способ этот далеко не простой и, безусловно, затруднит учащегося обилием действий. По нашему мнению, следует подобного рода трехчлен раскладывать другим способом, более простым и коротким, сходным с тем, каким раскладываем трехчлен когда первый коэфициент его равен единице.

В таких случаях следует разложить средний член квадратного трехчлена вида ах2 + Ьх + г на два таких множителя, чтобы они в сумме дали коэфициент среднего члена, а в произведении—третий член, умноженный на коэфициент первого члена, принимая, конечно, во внимание их знаки.

Возьмем для наглядности сравнения тот же пример 6х2 + 13jc + 5 и разложим его на множители по рекомендуемому нами способу.

Сначала разложим произведение коэфициента первого и третьего членов 6-5 = 30 на пары множителей; а именно:

30= 1-30 = 2-15 = 3-10 = 5*6.

Выбираем ту пару множителей, которая в сумме дает 4-13, т. е. коэфициент среднего члена, а именно 3 и 10. Тогда имеем:

Таким образом, при более быстром и кратком решении этим способом результат получился, конечно, тот же, что и по способу, предложенному в рассматриваемой статье, ввиду чего учащимся следует рекомендовать второй способ, приведенный нами, как более удобный и простой.

Возьмем еще пример, где имеются отрицательные знаки: 5х2 — 13* — 6.

Разложив произведение 5 -(—6) = —30 на пары множителей, дающих в произведении — 30, имеем:

или так:

Чтобы получить средний член — 13л\ берем карту множителей 2 и —15, что в сумме дает —13; имеем:

От редакции. Редакцией получено еще несколько писем — откликов на статью Зотовой. Так И. Киселев (Елецко-Лозовская НСШ) и Л. Ревия (Томск) также рекомендуют для случая ах1 Ьх + с способ, предлагаемый Круповецким. Отметим, что этот способ был изложен в заметке т. Гнедова в журн. «Математика и физика в школе» №3 за 1936 г.

И. Киселев всецело присоединяется к мнению редакции, высказанному в примечании на стр. 59 о порядке прохождения темы. Кроме того, Киселев считает вообще нецелесообразным проходить разложение трехчлена способом выделения квадрата двучлена. Этот способ затрудняет учащихся и ничего существенно нового не дает, так как все приводимые Зотовой примеры легко решаются уже изученным способом группировки.

В. Киселев (Москва) указывает на вкравшиеся в статью опечатки: 1) на стр. 59, строка 15-я сверху должно быть (как это, впрочем, ясно из предыдущего): х + 6, а не* х_6; 2) на стр. 60, строки 12-я и 10-я снизу, должно быть 6-6л:2 и 36л:2.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

КРИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР ПРОГРАММЫ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ НКП РСФСР 1938 г.*

ПРОФ. К. М. ЩЕРБИНА

(Одесса)

Т. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

1. Улучшения настоящей программы по сравнению с программами прежних лет

Настоящая программа отличается от программы, функционировавшее в 1937/38 учебном году, и по сравнению с этой последнее является значительно улучшенной.

1) Прежде всего программа имеет объяснительную записку, чего не было в программе 1937/38 учебного года. Этой записке отведено 6 страниц; она помещена перед программой и содержит в себе ряд полезных для преподавателя указание, например о пределе, об абсолютной величине числа, о типах задач по арифметике, о комплексном числе и др.

2) Далее из программы устранены недочеты научного характера, например, поставлено на надлежащее место прохождение отдела об измерении площадей прямолинейных фигур, исправлен грубый недосмотр программы 1937/38 учебного года, где изучение периодичности тригонометрических функций и формул приведения помещено раньше обобщения понятия об угле и т. п.

3) Учебный материал распределен более рационально: теперь объем курса для каждого класса будет в большем соответствии с временем, отводимым на этот курс; достигнута большая согласованность с курсом физики; устранено нарушение научной последовательности.

4) Наблюдаются значительные улучшения и в методическом отношении: указано в объяснительной записке на необходимость пропедевтического курса уравнение в VI классе (к сожалению, в самой программе нет упоминания об этом); введено два концентра алгебраических дробей (в курс VI класса дроби с одночленными знаменателями, а в курс VII класса в будущем 1939/40 учебном году, очевидно, войдет второй концентр алгебраических дробей); в объяснительной записке даны указания относительно порядка введения и проработки иррациональных и комплексных чисел, о необходимости остановить внимание учащихся на эволюции понятия числа (в X классе перед введением комплексных чисел) и пр.

5) Обращено более серьезное внимание на решение задач в курсе арифметики V класса.

6) Есть попытка более основательно поставить повторение пройденного, но, к сожалению, только попытка.

7) Обращено внимание в некоторых случаях на более точную формулировку тем и вообще вопросов, подлежащих усвоению; например, «запись десятичной дроби в виде обыкновенной» (стр. 9) или «квадратные уравнения и уравнения высших степеней, приводимые к квадратным» (стр. 15), и др.

Наконец, указано в самой программе примерное число часов, отводимых на отдельные темы.

2. Недочеты объяснительной записки

Эта программа, можно думать, предложена только для 1938/39 учебного года, она, очевидно, представляет собой переход от прежней программы к новой и, естественно, должна быть для будущего 1939/40 учебного года и последующих до известной степени переработана. Поэтому мы считаем себя вправе высказать ряд соображений, которые, может быть, помогут в осуществлении этой работы.

Программа является важным педагогическим документом, которым должны будут пользоваться все наши средние школы, все преподаватели математики этих школ, а поэтому она требует тщательного изложения, тщательной отделки. Между тем в программе вообще, а в объяснительной записке в особенности, не чувствуется опытной руки редактора. В объяснительной записке нет системы, не видно плана; в составлении ее наблюдаются некоторая небрежность, поспешность; ею неудобно пользоваться.

1. Прежде всего отметим, что между объяснительной запиской и собственно программой нет полной согласованности. Так, в объяснительной записке (стр. 5) говорится — и притом очень хорошо — о пропедевтическом курсе уравнений в VI классе; к этому еще добавлено совершенно основательно: «Полезно вопрос о решении простейших уравнений и их составлении по условиям задачи проводить в течение всего учебного года и в VII и в VIII классах, независимо от изучаемого раздела». Теперь обратимся к самой программе. Там нигде ни слова не говорится об уравнениях до раздела 4 программы по алгебре в VIII классе, где имеется в виду уже начальный систематический курс уравнений. Преподаватель, естественно, спросит, когда он должен приступить в VI классе к решению уравнений. На это ни программа, ни объяснительная записка ответа не дают. А затем нужно сказать, что преподаватель часто забывает о существовании объяснитель-

* Программы средней школы. Математика, НКП РСФСР, 1938, стр. 22, ц. 15 коп., тираж 70 000 экз.

ной записки и руксводствуется в своей работе исключительно программой. Поэтому необходимо в программу VI класса ввести вопрос об уравнениях (со ссылкой на объяснительную записку) или же сделать к разделу 3 программы VI класса соответствующее методическое примечание.

Приблизительно то же самое нужно сказать и относительно эволюции понятия о числе. В объяснительной записке (стр. 6) говорится: «В курсе алгебры X класса перед введением комплексных чисел желательно привлечь внимание учащихся к идее эволюции понятия числа...». Этот вопрос чрезвычайно важный, и в программах прежних лет (но не 1937/38 учебного года) он значился. Почему же он опущен теперь?

Далее, в программе V класса по арифметике в разделе 3 (стр. 9) читаем: «Обращение обыкновенной дроби в десятичную (конечную и бесконечную). Периодические дроби чистые и смешанные*. Округление данных и результатов действий». Кроме того, в объяснительной записке, где идет речь о IX классе, находим (стр. 7): «В качестве применения изученного ставится вопрос о пределе суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и обращении бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную». (Мы бы так не выразились; мы по крайней мере сказали бы: «И о так называемом обращении бесконечной...».) В данном случае можно думать, что составители программы стали на ту точку зрения, на которой более 33 лет назад стояли педагоги и ученые, отрешившиеся от рутинных взглядов в этом вопросе. Можно думать, что по программе 1933/39 учебного года в V классе предложено дать только понятие о периодических дробях чистых и смешанных. Если при вычислениях и в задачах встретятся периодические дроби, то их следует закруглить и находить результаты с известной степенью точности; давая же понятие о пределе, нужно остановиться на нахождении той обыкновенной дроби, от которой получилась данная периодическая. Но такое заключение окажется, по всей вероятности, поспешным, потому что в той же самой объяснительной записке находим следующее (стр. 4): «С 1937/38 учебного года в программу V класса включен вопрос о периодических дробях. Для более прочного усвоения периодических дробей надо включить несколько упражнений с ними не только в совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями, но и при решении пропорций, пропорциональном делении и т. д.». Как это понимать? Придется выразить только большое сожаление, если объяснительная записка в данном случае имеет в виду не закругление числовых данных, выраженных периодическими дробями, и не приближенные вычисления, а так называемое «обращение периодических дробей в обыкновенные».

2. Нельзя согласиться с утверждением объяснительной записки (стр. 5), что «вопрос об эквивалентности уравнений, обычно представляющий для учащихся некоторую трудность при усвоении (в зависимости от того, как подходить к нему — К. Щ.), впервые встречается в курсе VIII класса, где при изучении иррациональных уравнений учащиеся устанавливают факт получения посторонних корней». Уже в пропедевтическом курсе, решая любое уравнение первой степени с одним неизвестным*, мы переходим от одного уравнения к другому, более простому, которое всегда отличается от предыдущего по виду, но имеет тот же корень (т. е. эквивалентно предыдущему). На это обстоятельство должно быть обращено серьезное внимание с самого начала, когда приступают к решению уравнений (конечно, без введения термина «эквивалентность».) Игнорированием этого обстоятельства объясняется, главным образом, то, что учащиеся нередко смешивают тождественные преобразования с преобразованиями при решении уравнений и ставят знаки равенства там, где их не нужно. Само собой разумеется, что вопрос об эквивалентности уравнений в VIII классе должен быть углублен.

3. Непонятно, почему в объяснительной записке до введения иррациональных чисел ничего не говорится об эволюции понятия числа (если не для сведения ученика, то по крайней мере в интересах преподавателя). Читая объяснительную записку и программу, можно подумать, что впервые расширяется понятие числа только с введением иррационального числа. А между тем очень важно, чтобы ученик уже в V классе «почувствовал», что дробь есть первое расширенное понятие числа и что вместе с расширением понятия числа расширяется понятие действия. И этого нетрудно достигнуть, стоит только подойти к этому вопросу методически. В таком случае, как показывают наблюдение и опыт, ученик сравнительно легко знакомится потом и с относительными и с иррациональными числами. Объяснительная записка не уделяет никакого внимания указанному вопросу не только когда речь касается дробей в V классе, но и в VI классе, где идет речь о курсе алгебры: там даже нет упоминания об относительных числах. Почему, например, в объяснительной записке не указано, что при установлении равенства и неравенства относительных чисел и правил действий мы имеем здесь определения, а не теоремы? Ведь это и теперь слабое место в курсе алгебры. Что касается комплексных чисел, то это обстоятельство в объяснительной записке (стр. 6) подчеркнуто.

4. К небрежности речи, недопустимой в объяснительной записке, нужно отнести такие и им подобные выражения (стр. 4): «Решение задач всех указанных типов на целых числах надо повторять с начала года, когда тема «Делимость» и первые главы темы «Обыкновенные дроби» не дают достаточно нового материала для задач». Нужно иметь в виду, что повторение имеет различные виды (за-

* Давая обзор программы V класса 1937/38 учебного года по арифметике («Матем. в школе» № 2, 1938 г.), мы в достаточной степени останавливались на этом вопросе и теперь повторять всего этого не будем.

* Заметим кстати, что и в вопросах терминологии нет согласованности: в объяснительной записке (стр. 5) говорится «с одной неизвестной», а в самой программе (стр. 12, 20) — «с одним неизвестным».

крепляющее, дополняющее, обобщающее, заключительное и пр.), преследует различные цели, достигается различными приемами. Так, заключительное, обобщающее повторение в выпускном классе имеет мало общего, например, с повторением в конце учебного года в каждом классе (когда нужно сделать некоторые выводы и дополнения) или в начале учебного года (когда нужно возобновить в памяти то, без чего нельзя продолжать изучение курса) и т. п. Каково бы ни было повторение, одно можно сказать, что оно не должно быть повторным разучиванием без всяких изменений того, что было изучено раньше. Дело объяснительной записки хотя бы вскользь осветить этот важный, но в то же время мало разработанный с методической стороны вопрос. Как же понимать то, что так неудачно сказано в объяснительной записке? Можно опасаться, что преподаватель, следуя указаниям объяснительной записки, начнет вторично давать для решения ученикам V класса те же самые задачи, какие уже были решены ими раньше.

5. Преподавание курса геометрии, несомненно, поставлено в средней школе слабее, чем преподавание курса алгебры; да и вообще при преподавании геометрии встречается больше затруднений, нежели при преподавании алгебры. И тут обязательно должна притти на помощь объяснительная записка. Мы недоумеваем, чем объяснить, кроме разве поспешности, почти полное отсутствие указаний, необходимых преподавателю и с научной и с методической стороны. Ведь в объяснительной записке (стр. 6—7) только упоминается о перенесении темы «Площади прямолинейных фигур» из курса VII класса в курс VIII класса, затем сказано несколько малозначащих слов о задачах на построение и даны указания о пределе (но это скорее относится к курсу алгебры, нежели геометрии). Больше ничего здесь нет.

6. Систематическое введение исторических сведений в преподавание математики в средней школе нужно признать одним из ценных достижений нашей школы. Такие сведения очень оживляют преподавание, возбуждают интерес к изучаемому вопросу и часто способствуют более сознательному и глубокому усвоению его (нумерация, эволюция понятия числа, постулат Евклида и пр.). Но с историческими сведениями при преподавании математики случилось то же, что случилось и с некоторыми другими вопросами программы (о чем будет еще речь впереди). В 23-х годах программы даже начальной школы уделяли много внимания историческому материалу в области математики, а между тем ученики в то время не изучали ни истории, ни географии, а следовательно, не имели элементарных знаний по этим предметам, поэтому исторические сведения, которыми наполняли рабочие книги того времени, являлись совершенно излишним баластом. Теперь дело поставлено совершенно иначе: наши ученики имеют основательные знания и по истории и по географии; поэтому исторические сведения, вводимые при прохождении курса без обременения его, а также при занятиях в математических кружках, принесут несомненную пользу. Объяснительная записка должна была по этому поводу дать отдельные для каждого класса вполне определенные указания. Между тем только в одном месте объяснительной записки, где говорится об эволюции понятия числа (перед введением комплексного числа), вскользь рекомендуется «сообщить по этому вопросу краткие исторические сведения». Кроме этого нигде в программе об исторических сведениях ничего не говорится.

7. Можно считать общепризнанным, что работа в школьных математических кружках не только способствует поднятию живого интереса, развитию творческих способностей и инициативы у тех, кто принимает участие в занятиях кружка, но и вообще поднимает математическую культуру всей школы, конечно, при умелой постановке этого дела. Объяснительная записка должна была хотя бы упомянуть о математических кружках и этим поддержать тех, кто уже руководит такими кружками, и заставить подумать об этом тех, кто еще не организовал их.

8. Существенным недочетом объяснительной записки нужно признать отсутствие в ней указаний, касающихся научной, методической и учебной литературы для учителя. Желательно, чтобы даны были при этом краткие аннотации.

9. Наконец, является совершенно непонятным, зачем понадобилось в объяснительной записке (стр. 3) суживать те цели, какие должно ставить преподаванию математики в средней школе даже в том случае, когда оно не будет выходить за пределы элементарного курса. Почему, например, для ученика современной средней школы считается достаточным по арифметике усвоить только механизм производства действий над целыми и дробными числами и «применять знания к решению задач» (стр. 3) и больше ничего? Почему одновременно с этим, не затрачивая особого времени, не поставить еще целью познакомить ученика современной средней школы в форме совершенно для него доступной с первым этапом расширения понятия числа и подготовить, таким образом, к пониманию дальнейшей эволюции числа, т. е. к введению относительных, иррациональных, комплексных чисел? И вообще почему на изучение систематического курса арифметики в V классе (помимо того, что указано в объяснительной записке) нельзя смотреть как на подготовительную стадию к изучению систематических курсов алгебры и геометрии, почему в X классе считается лишним остановиться на некоторых вопросах, которые должны явиться заключительной работой по изучению арифметики? Если преподаватель будет следовать указаниям объяснительной записки, то преподавание арифметики сведется только к усвоению механизма производства арифметических действий и к применению его к решению задач, а этого для математического развития чрезвычайно мало.

Сужены также, как мы покажем ниже, и цели изучения алгебры и геометрии. Неужели ученик нашей средней школы не в состоянии осилить тот курс, который усваивали, например, ученики семилетнего реального училища? Нужно при этом отметить, что, начиная с 1907 г., в курс VII класса реальных училищ ввезены были еще основы аналитической геометрии и анализа.

3. Об элементах аналитической геометрии и анализа в курсе средней школы

Еще в начале настоящего столетия, благодаря работам отдельных ученых и трудам международной комиссии по реформе преподавания математики, подавляющее большинство педагогов и ученых пришло к единодушному заключению, что необходимо обновить, оживить преподавание математики, дать хотя бы до некоторой степени то, чем может гордиться современная культура.

По мнению сторонников реформы, высказанному тогда: «В основу курсоз арифметики и алгебры должны быть положены две главные идеи: первая — развитие понятия о числе (от целого положительного до комплексного) в зависимости от последовательно вводимых новых операций, и вторая — выяснение и раскрытие понятия о функциональной зависимости величин. Первая идея, помогая математическому развитию учащихся, объединяет и связывает в одно стройное целое всю систему разнообразных дисциплин, преподаваемых в течение всего курса. Без второй идеи лица, окончившие среднюю школу и не получившие высшего математического образования, были бы лишены могущественного орудия для миропознавания. Функции нужны не только натуралисту, без них теперь не обойдется и социолог. Вообще в настоящее время нет ни одной области человеческого знания, куда не входили бы понятия о функциях и их графическом представлении. Понятие о функции не может быть раскрыто с достаточной полнотой и ясностью без помощи аналитической геометрии и начал диференциального исчисления, поэтому в курс средней школы должны быть введены, в возможно краткой форме, элементы высшей математики*.

Еще в 1905 г. в средних учебных заведениях разных типов (лицеях, колледжах) Франции было введено преподавание элементов так называемой высшей математики (аналитической геометрии и анализа). В то же время реорганизация преподавания математики в указанном направлении начала осуществляться в средних учебных заведениях других стран. У нас еще с 1907 г. в VII классах реальных училищ введено преподавание основ аналитической геометрии и анализа бесконечно-малых; в средних учебных заведениях иных типов также были попытки реформировать преподавание математики в новом направлении. Но нужно сказать, что эта реформа проводилась не так, как следовало: вновь введенные отделы математики не имели органической связи с курсом предыдущих классов; новые отделы были как бы искусственно присоединены к остальному курсу математики. После революции, в 20-х годах, в программах тогдашней средней школы (например «Программы единой трудовой школы» 1921 г.) мы находим не только элементы аналитической геометрии и анализа, но и стремление построить всю программу по алгебре так, чтобы она помогала «выявлению перед учащимся всех целей» преподавания алгебры «в наиболее яркой и выпуклой форме», а эти цели, по словам объяснительной записки, следующие: «1) обобщение идеи числа, 2) развитие идеи функциональной зависимости и 3) ознакомление с алгорифмом уравнения». В таком приблизительном виде с изменениями, которые не касались вопроса о развитии идеи функциональной зависимости, программа просуществовала до 1933 г. В программе математики на 1934/35 учебный год были сделаны существенные изменения: весь вопрос о функциях и их графиках в связи с методом координат был отнесен исключительно к курсу VIII класса, но в объяснительной записке правильно было подчеркнуто, что «идея функциональной зависимости дается на протяжении всего курса математики, и она выявляется при проработке различных разделов по арифметике, алгебре и геометрии». А начиная с 1934/35 учебного года из программы X класса исключены элементы аналитической геометрии и анализа бесконечно-малых ввиду того, что в большинстве школ в 1933/34 учебном году программа не была выполнена почти во всех классах и что большинство школ не дает прочных знаний основных наук. Так мотивирует допущенные сокращения объяснительная записка. С этим, скрепя сердце, еще можно было бы согласиться, если бы в объяснительной записке к программе 1934/35 учебного года не было опущено чрезвычайно важное замечание о том, что идея функциональной зависимости в связи с графиками должна в том или ином виде культивироваться в течение всего курса. В таком же самом положении вопрос о функциональной зависимости и об элементах аналитической геометрии и об анализе остается и в программе 1938/39 учебного года. По нашему мнению, раз признано, что живые, жизненные математические идеи, с которыми человеку приходится встречаться на каждом шагу (часто даже не осознавая этого), должны быть введены в курс средней школы, то отказываться от такого ценного достижения никоим образом не следовало, особенно принимая во внимание, что это завоевание, благодаря борьбе с общепринятым шаблоном, досталось нелегко. Нужно не сдавать с трудом завоеванных позиций, а всеми мерами закреплять их, помня, что потом нелегко будет вторично возвращаться на утраченные позиции.

Мы предвидим в этом случае возражения, которые лицам, не усвоившим различия между пропедевтическим и систематическим курсами, покажутся, может быть, вескими. Скажут: не велика еще беда, если лингвисты или юристы, или медики и пр. не будут знакомы с элементами высшей математики, ведь большинство оканчивающих среднюю школу поступает во втузы или вузы на факультеты, где проходятся элементы так называемой высшей математики. Зачем же в лучшем случае повторять, а в большинстве случаев переучивать или заставлять забывать то, что было усвоено ненадлежащим образом. Но это не так. Ясно, что здесь не должно быть и речи о повторении, если только программа курса (пропедевтического) для средней школы будет составлена умело, чего нельзя сказать о программе аналитической геометрии и анализа на 1933/34 учебный год. Что же касается возражения, что учащимся в средней школе обычно даются превратные сведе-

* К. М. Щербина, Математика в русской средней школе, Киев, 1908, стр. 133—134.

ния, то с этим нужно бороться иными средствами, но не исключать из программы необходимого материала на том основании, что он усваивается неудовлетворительно. Не опускаем же мы действий с иррациональными числами (стр. 14) или деления целых чисел и т. п., хотя эти разделы часто преподаются неудовлетворительно и усваиваются слабо.

II. ПРОГРАММА ПО АРИФМЕТИКЕ

Программа V класса но арифметике на 1938/ЗЭ учебный год отличается от программы предыдущего года более тщательной формулировкой, тем особым подходом к отношению двух чисел, а, главным образом, тем, что в программе текущего учебного года на решение задач обращено больше внимания. В объяснительной записке перечислены те типы задач, которые должны «рассматриваться» в V классе; но при этом, кроме неудачно i формулировки, относящейся к «повторению решения задач», о чем мы уже говорили раньше, здесь даются указания относительно типов задач в форме, как будто бы допускающей решения задач иных типов. В остальном программа арифметики 1938/ЗЭ учебного года по существу мало чем отличается от программы 1937/38 учебного года; поэтому мы считаем излишним повторять здесь все то, что нами было высказано по поводу программы арифметики 1937/38 учебного года и напечатано в журн. «Математика в школе» №2 за 1938 г. (стр. 74—81). Между прочим, мы указывали (стр. 78) на чрезвычайно важное значение устного разложения на множители не только при изучении арифметики, но и для усвоения дальнейшего курса математики, на рутинное отношение к изложению курса обыкновенных и десятичных дробей вообще (стр. 80), а в частности на недопустимость заниматься в V классе так называемым обращением периодических дробей в обыкновенные*. Там же мы указывали, что необходимо обратить более серьезное внимание при решении задач на зависимость между величинами (пропедевтический подход), на пропорциональность величин (в связи с вопросом об отношении величин). В то же время мы отмечали (стр. 79); что наша программа не желает отрешиться от традиционного изложения этого вопроса, в силу чего пропорции без всякой нужды помещаются в курсе арифметики и при решении задач в арифметике применяется ничем не оправдываемый алгебраический способ решения (способ пропорций) и пр.

III. ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ

VI класс

1. Переход от арифметики к алгебре.

Слабой стороной не только рассматриваемой программы, но и программ предшествующих лет является отсутствие надлежащих указаний относительно выработки понятия об общем числе и вообще относительно перехода от арифметики к алгебре. А между тем этот вопрос имеет первостепенное значение с методической точки зрения; неудовлетворительная постановка его обычно очень тормозит в дальнейшем нормальное прохождение курса алгебры. Раздел, посвященный переходу от арифметики к алгебре, должен быть пропедевтическим по отношению к алгебре и обобщающим по отношению к арифметике. Нужно иметь ввиду, что в нашей методической литературе есть по этому поводу соображения, заслуживающие внимания. Удивительно, что никто из составителей настоящей программы не нашел нужным остановиться на этом важном вопросе.

Первый раздел программы VI класса по алгебре озаглавлен «Буквенные выражения». Прежде всего заглавие этого раздела не соответствует содержанию его: в нем говорится и о степени, и о порядке действий, и о законах действий. Здесь нужно было бы еще сказать: о задачах частных и общих, о числах частных и общих, о формулах частных и общих. Говоря же о степени и показателе степени, о действиях в алгебре вообще и об алгебраическом знакоположении, было бы своевременным и полезным остановить внимание учащихся на системе действий, на зависимости между ними и на их основных свойствах. Это все должно быть отражено в программе и, главным образом, в объяснительной записке к ней. К вопросу о системе действий следует, с педагогической точки зрения, возвратиться еще при введении понятия об извлечении корня, а потом перед введением понятия о логарифме.

2. Относительные числа

Вторым разделом программы VI класса являются «Относительные числа». Следовательно, согласно программе, после введения буквенного обозначения чисел первым вопросом, подлежащим усвоению, должны быть относительные числа; а между тем существуют, как известно, различные взгляды* на место, отводимое в курсе алгебры этим числам, и без ущерба для дела, а может быть, и с пользой можно было бы придерживаться того или иного взгляда, в зависимости от разных условий работы. По нашему мнению, программа в данном случае должна быть составлена таким образом, чтобы преподавателю предоставлялась некоторая свобода в этом отношении. Что же касается введения самого понятия об отрицательных числах и действиях над ними, то в объяснительной записке следует дать надлежащие установки, чтобы предупредить те грубые ошибки, которые очень часто встречаются не только в школьной практике, но и в учебной литературе

* Не будем здесь останавливаться на мотивах в пользу такого взгляда: об этом уже много писалось раньше. Теперь достаточно только спросить, как пояснить любознательному ученику V класса, что, например, 4,(9) = = 5, а следовательно 5 = 4, (9j, или 3,5 = = 3,4, (9), и т. п. Нужно иметь в виду, что все так называемые доказательства, которые измышляются при этом, кроме умственной деморализации, ничего другого ученику дать не могут.

* Из руководств, напечатанных на русском языке, например, Бертран, Билибин, Киселев (в первых изданиях алгебры) вводят относительные числа после сложения и вычитания одночленов и многочленов, Бем, Волков и Струве (см. задачник) — после деления многочлена на одночлен, Фридман (концентрический учебник алгебры)—после дробей с одночленными знаменателями.

например, нередко правила действий с относительными числами принимают за теоремы, а не определения и будто бы доказывают их и т. п.)

3. Пропедевтический курс уравнений

По сравнению с программой 1937/38 учебного года настоящая программа сделала в этом вопросе значительный шаг вперед: объяснительная записка рекомендует в VI классе составлять и решать простейшие уравнения, не требующие от учеников уменья делать преобразования, им еще неведомые (курс пропедевтический); этим учащиеся методически подготовляются к систематическому курсу уравнений в VII классе. Для этого не потребуется особого времени: это один из видов упражнений для сознательного и целесообразного усвоения приобретенных навыков в тождественных преобразованиях; уже в курсе начальной школы учащиеся, по нашему мнению, должны знакомиться с элементарными уравнениями. К сожалению, в самой программе VI класса ничего не говорится об уравнениях.

4. Трехчлен 2-й степени

В разделе 4 есть еще новость по сравнению с программами 1936/37 учебного года и предшествующих лет: «Разложение квадратного трехчлена на множители первой степени с целыми коэфициентами». Это «новшество» также можно объяснить только силой рутины, силой консерватизма, тягой к давно прошедшим временам, когда преподаватель, желая блеснуть знаниями своих учеников (говорю это на основании личных наблюдений), тратя на это много усилий и времени, «натаскивал» учащихся, предлагая им решать подобные задачи. Такая работа является преждевременной, потому что после ознакомления с извлечением корня и радикалами можно с пользой показать учащимся простой, естественный способ разложения квадратного трехчлена на линейные множители без какого бы то ни было ограничения, не прибегая к искусственным приемам, доступным только немногим избранным. Такое разложение может предшествовать решению квадратного уравнения.

Что же заставило возвратиться к тому, что более 30 лет назад людьми компетентными признано с педагогической точки зрения совершенно нецелесообразным*. Нельзя всерьез принимать соображение, высказанное по этому поводу одним критиком программы 1937/38 учебного года, сочувствующим такому «нововведению». Он находит, что такое «введение в программу (VII класса) разложения трехчлена на множители целесообразно хотя бы потому, что в стабильном задачнике встречаются примеры на дроби, решение которых возможно только в том случае, если учащиеся знакомы с этим видом разложения на множители многочленов»** — и больше ничего. Предвижу, что защитники таких упражнение, не желающие считаться с педагогическими требованиями, свысока относящиеся к ним или вообще не имеющие понятия о них, скажут, что такие примеры необходимо нужно давать, потому что они заставляют, так сказать, шевелить мозгами, требуют находчивости, изобретательности; между тем эта находчивость, изобретательность, как нам известно, очень дорого обходится учащимся со средними способностями.

5. Алгебраические дроби

Курс VI класса заканчивается темой «Дробные алгебраические выражения (с одночленными знаменателями)». Говоря о положительных сторонах рассматриваемой программы, мы уже указали на методический подход при изучении алгебраических дробей. По отношению к алгебраическим дробям представляет интерес программа 1933/34 учебного года. По этой программе в VI классе изучали алгебраические дроби с одночленными знаменателями; затем решались простейшие уравнения с буквенными коэфициентами и заканчивался курс VI класса «системой уравнений первой степени с числовыми коэфициентами»; курс же алгебры VII класса начинался разложением многочленов на множители; только после этого переходили к действиям над дробями с многочленными знаменателями, а затем уже к решению уравнений первой степени, имеющих члены с многочленными знаменателями. Такое распределение учебного материала с точки зрения дидактического принципа последовательности можно признать вполне рациональным. Такое распределение материала, при котором раньше прорабатываются преобразования и действия над дробями при одночленных знаменателях, прежде всего наилучшим образом подготовляет к наиболее успешному усвоению важного отдела об алгебраических дробях вообще. Этот отдел требует от ученика осмотрительного, сознательного отношения ко всем приобретенным знаниям и навыкам в области тождественных преобразований. С алгебраическими дробями тесно связано не только решение уравнений, но и усвоение некоторых отделов высшего анализа. Далее, такое распределение учебного материала наилучшим образом уясняет необходимость разложения многочленов на множители (поэтому в курсе VI класса мы поставили бы тему «Дроби с одночленными знаменателями» непосредственно перед темой «Разложение многочленов на множители»). Наконец, это дает возможность более широко пользоваться уравнениями и раньше приступить к изучению пропорций, если в этом будет надобность,— еще до изучения дробей с многочленными знаменателями. Бояться же концентрического распределения учебного материала нет основания, потому что такое распределение здесь отвечает, как уже сказано, требованиям последовательности.

VII класс

1. Две первые темы

Ввиду того, что ученики VI класса в 1937/38 учебном году не проходили ни разложения многочленов на множители, ни алгебраических дробей, курс VII класса начинается темой «Разложение многочленных выражений на мно-

* К. М. Щербина, Математика в русской средней школе, Киев, 1908, стр. 24, 140.

** «Математика в школе» № 1 за 1938 г., стр. 8).

жителей» (при 22 час), а следующая тема «Дробные алгебраические выражения» (при 23 час). Мы и в VII классе расположили бы учебный материал иначе, а именно — сначала прошли бы дроби с одночленными знаменателями, затем тему «Разложение многочленов на множителей», а после этого алгебраические дроби с многочленными знаменателями. При таком распределении учебного материала больше времени для прохождения этих тем не потребуется.

2. Пропорции. Уравнения

Третий раздел программы «Пропорции» и по времени прохождения и по объему должен быть связан с геометрическим материалом (о чем, конечно, необходимо дать указания в объяснительной записке), между тем разделы «Пропорциональные отрезки» и «Подобие фигур» отнесены к курсу VIII класса. В этот же раздел программы нужно было бы поместить понятие о среднем арифметическом числе. Что же касается среднего пропорционального двух чисел, то ясно, что здесь можно будет дать только определение этого понятия, но вычислять среднее пропорциональное можно будет только в конце года, так как извлечение квадратного корня из чисел является последней темой курса VII класса. Все указанное нами, очевидно, не принято было во внимание при составлении программы.

В четвертой и пятой темах («Тождества и уравнения» и «Системы уравнений первой степени») для полноты программы нужно было бы сказать: о тождествах, о корнях уравнения, об эквивалентности уравнений. Все это при известном подходе вполне доступно ученикам VII класса и все это почему-то пропущено.

В связи с теорией уравнений необходимо было бы дать понятие о неравенствах, аналогичных тождествам и уравнениям, потому что с этими вопросами ученику приходится встречаться на каждом шагу, а в программе об этом говорится только в X классе. Впрочем, может быть, на эту тему (3-ю) в программе X класса нужно смотреть как на обобщающую, заключительную; но тогда об этом обязательно нужно было бы сказать в объяснительной записке, и для прохождения ее не нужно было бы 22 час, отведенных программой. Далее в объяснительной записке следовало бы указать, что основные теоремы об эквивалентности уравнений обязательно должны быть осознаны учащимися, но на доказательстве их ни в VII классе, ни в VIII классе настаивать нельзя. Это должно быть сделано в X классе.

Что касается системы уравнений, то и здесь нужно было в программе упомянуть об эквивалентности систем, а также о том, какими способами следует решать системы уравнение в VII классе (способ подстановки и способ сравнения коэфициентов), а в объяснительной записке обратить внимание на то, что при решении системы уравнений мы постепенно от одной системы уравнений переходим к другой, ей эквивалентной, пока не придем к системе уравнений: х = а; у = b,z = с и т. д. Такое указание необходимо сделать ввиду рутинного отношения к этому вопросу и в учебниках, и на практике.

VIII класс

1. Недочеты в формулировке

В программе VIII класса четыре раздела: 1) «Степени и корни», 2) «Квадратные уравнения и уравнения высших степеней, приводимые к квадратным», 3) «Система уравнений второй степени с двумя неизвестными» и 4) «Функции и их графики».

В программе этого класса также не чувствуется редакторской руки. Так, первая строка программы гласит: «Степени с целым положительным числовым и буквенным показателем». А буквенный показатель ограничен в данном случае в своих числовых значениях или же нет? На это всегда нужно обращать внимание хотя бы в объяснительной записке. Неудачно сформулирован и следующий пункт: «Теорема: «Не существует рационального числа, квадрат которого равен двум» и ее обобщение». Напоминаем о том, что термин «рациональное число» вводится в то время, когда вводится понятие о числе иррациональном. Говоря об иррациональном числе, нужно в программе добавить: геометрическая интерпретация иррационального числа (в объяснительной записке об этом говорится). В этом же разделе читаем: «Сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень (чего? — К. Щ.) и извлечение корня из радикалов». Таким образом, получается: возведение в степень из радикалов. Наконец, мы предпочли бы вместо «изображение иррационального числа в виде бесконечной десятичной непериодической дроби» сказать: «Выражение (или обозначение) иррационального числа в виде и т. д.», потому что изображение подобно изображаемому; понятий изображать нельзя, а можно только обозначать, выражать и т. п.

Более серьезным недочетом является традиционный, с первого взгляда как будто бы логический, подход к извлечению квадратного корня из чисел, а в действительности противоречащий требованиям логики. В п. 2 раздела 1 прежде всего говорится об «извлечении квадратного корня из чисел, представляющих точный квадрат». Как же узнать вообще, будет ли заданное число точный или неточный квадрат? Следовательно, естественно возникает вопрос, как поступать в том случае, если заданное число не представляет точного квадрата*. Далее если бы умышленно с целью призрачного упрощения был подобран наперед точный квадрат (как это делают обычно в задачниках), то и тогда, извлекая корень из многозначного числа, мы не избежим вопроса об извлечении квадратного корня из неточного или неполного квадрата при извлечении квадратного корня из числа сотен заданного числа (нахождение числа десятков корня), хотя бы заданное число и было точным квадратом. Отсюда вывод ясен. Этот пункт должен быть сформулирован так: «Точные и неточные (или полные и неполные) квадраты. Извлечение квадратного корня из чисел целых и дробных». Вообще к этому

* Тут можно указать на аналогию с делением целых чисел в систематическом курсе арифметики, когда еще не введено понятие о новых числах — о дробях, а заданное число может оказаться не кратным делителя.

разделу программы нужно отнестись более вдумчиво, чем относятся к нему обыкновенно.

2. Функции и их графики

Что касается раздела 4 «Функции и их графики», то об этом мы уже говорили раньше, а теперь присоединим к сказанному, что формулировку этого раздела можно признать приемлемой с некоторыми добавлениями только в том случае, если этот пункт явится обобщающим и дополняющим все то, что было пройдено по этому вопросу в течение всего курса. Но подробные указания по этому поводу должны быть сделаны в объяснительной записке. Сюда же нужно прибавить вопрос о трех способах выражения функциональной зависимости (в объяснительной записке почему-то говорится об этом только для IX класса), а кроме графика у = ах2 + Ьх+с поместить и все частные случаи этого графика, чтобы неопытный преподаватель не попал здесь впросак.

IX класс

1. Распределение учебного материала

В программу алгебры IX класса входят три раздела в такой последовательности: 1) прогрессии, 2) обобщение понятия о показателе степени и 3) показательная функция и логарифмы.

Наблюдения показывают, что результаты обучения получаются несравненно лучшие в том случае, когда учебный материал распределен в этом классе несколько иначе, а именно — когда прогрессии изучаются не первым, а последним разделом. Это свободно можно сделать, так как у нас логарифмы излагаются независимо от прогрессий. При таком распределении учебного материала на упражнения с логарифмами и с логарифмическими вычислениями будет предоставлено значительно больше времени, чем при обычном распределении материала; далее в таком случае логарифмы можно будет приложить к некоторым задачам на геометрическую прогрессию.

Непонятно, почему вопрос о бесконечно-убывающей геометрической прогрессии в связи с учением о пределе и пр. понадобилось поместить в программу геометрии IX класса. Ведь изучение геометрии требует применения не только учения о пределе, но вообще применения всего алгебраического аппарата. Поэтому понятие о пределе и все связанное с ним — понятие об иррациональном числе как пределе последовательности его приближенных значений, а тем более понятие о бесконечно-убывающей прогрессии и пределе суммы членов ее,— естественно, должно быть перенесено в программу алгебры. И к этому нужно еще прибавить «приложение геометрической прогрессии к так называемому обращению периодической дроби в обыкновенную» (о чем в объяснительной записке сказано).

2. Степень погрешности в логарифмах

Относительно логарифмических вычислений в объяснительной записке нужно указать, что с самого начала следует обратить внимание на подсчет степени погрешности и не делать ни одного вычисления без этого, потому что иначе создается дурная привычка, от которой впоследствии нелегко отделаться. Наконец, там, где говорится «устройство логарифмической линейки», следует добавить «и принципы пользования ею».

X класс 1. Повторение пройденного

Согласно программе X класса, предлагается по алгебре вновь изучить четыре раздела, значительных и по объему и по содержанию; всего на изучение нового материала по всем отделам математики в X классе отводится 172 часа (на курс алгебры 60 час, геометрии — 50 час, тригонометрии — 62 часа и, кроме того, 24 часа на систематическое повторение, по указанию объяснительной записки, всего пройденного материала, начиная с V класса и кончая X классом. Следовательно, на повторение курса алгебры придется не более 8 час в течение всего учебного года). Таким образом, на заключительную работу, которая, как мы не раз отмечали*, должна являться одной из самых важных работ выпускного класса, собственно говоря, не останется свободного времени.

Можно думать, что систематическое повторение рекомендуется проводить в течение всего учебного года параллельно с изучением нового материала, а отведенные 24 часа падают на конец учебного года для повторения наиболее трудных и важных разделов программы. Но тогда об этом надо ясно и четко указать в объяснительной записке и дать примерный план повторения.

Если бы программа алгебры в средней школе осталась по существу без изменения, то и в таком случае нужно было бы внести в программу X класса еще следующие вопросы: 1) Развитие понятия о числе (от целого положительного до комплексного включительно) в связи с обобщением понятия об операции (об этом сказано в объяснительной записке). 2) Основные теоремы о делимости чисел. Общий наибольшие делитель, нахождение о. н. д. последовательным делением (теория для двух чисел). 3) Эквивалентность уравнений (об этом также упоминается в объяснительной записке). 4) Классификация функций: алгебраические и трансцендентные, рациональные и иррациональные, целые и дробные. Функции прямые и обратные.

2. Эквивалентность уравнений, неравенства, функциональная зависимость, приближенные вычисления и пр.

Теперь остановим наше внимание на исследовании уравнений и на других вопросах, в некотором отношении аналогичных исследованию уравнений. Помещение отдела об исследовании уравнений в курсе выпускного класса и притом без всяких оговорок является нецелесообразным. Следуя указаниям программы, преподаватели обыкновенно совершенно не касаются этого вопроса до выпускного класса, а в X классе, когда уже

* «Математика в школе» № 2 за 1938 г., стр. 76.

проработан почти весь курс математики, и ученики заняты подготовкой к выпускным испытаниям, этот, можно сказать, центральный вопрос алгебры во многих отношениях теряет свое образовательное и практическое значение. Было время, когда глава об исследовании уравнений проходилась непосредственно после решения системы уравнений первой степени, и это, само собою разумеется, давало плачевные результаты: ученики почти ничего не понимали из того, что изучали, а следовательно, те жалкие сведения, которые они приобретали, оставались в дальнейшем обычно без применения.

Когда же и как изучать статью об исследовании уравнений? Тот конфликт, который, как кажется некоторым, возникает между научной последовательностью и дидактическими требованиями, в данном случае, как и во многих других, легко разрешается. В каждом классе, начиная с VI, при решении с помощью уравнений различного рода задач и в особенности геометрических, необходимо останавливаться в отдельных случаях на исследовании решений, начиная с простейших, доступных ученику случаев и постепенно усложняя его. Такая работа не потребует особого времени и будет иметь образовательное и практическое значение; кроме того, она будет служить как бы пропедевтикой к систематическому прохождению отдела об исследовании уравнений, когда учащиеся будут подготовлены к усвоению этого серьезного вопроса в общем виде. Такое обобщение не потребует для своего выполнения много времени.

Подобные соображения вполне применимы и к таким важным вопросам как эквивалентность уравнений, неравенства (которыми приходится пользоваться в течение всего курса), понятие о функциональной зависимости (в связи с графическим представлением функций), приближенные вычисления и пр. Но только во всех указанных случаях, во-первых, необходимо сообразоваться с особенностями изучаемого вопроса, а во-вторых, следует соблюдать осторожность и последовательность, соблюдать, так сказать, чувство меры, чтобы не повредить общему ходу курса и не нарушить научной системы. Разумеется, подобное проведение курса представляет для преподавателя значительные трудности, — гораздо значительнее тех, какие встречаются при обычном, шаблонном преподавании.

Эти методические указания в том или другом виде должны были найти отображение в программе. Между тем программа 1938/39 учебного года вообще проникнута духом рутины: о приближенных вычислениях встречаются только слабые, ничего не говорящие намеки, а о вопросе первостепенной важности — об эквивалентности уравнений в самой программе упоминается между прочим, всего один раз, в таком виде (стр. 15): «Преобразования, приводящие уравнение в эквивалентное данному». Ни раньше, ни позже об эквивалентности уравнений в программе нет упоминания.

IV. ПРОГРАММА ПО ГЕОМЕТРИИ

Давно уже пришли к заключению, что главной целью преподавания элементарного курса геометрии в средней школе должны быть качественное и количественное изучение пространственных форм и развитие пространственных представлений, причем и в геометрии необходимо не отказываться от рассмотрения образов переменного вида, уясняя на них хотя бы качественную функциональную зависимость одних геометрических элементов от других. Немалую пользу для развития пространственных представлений может принести изучение законов симметрии, гомотетии, перемещения фигур, а также надлежащим образом согласованное с теоретическим курсом геометрии черчение. Для правильной постановки преподавания систематического курса геометрии настоятельно необходимо, как показывает опыт, возможно раннее ведение пропедевтического курса этой науки. Против всего этого едва ли что можно возразить и в настоящее время. Рассмотрим теперь, насколько указанные задачи осуществляются нашей программой.

V класс

Пропедевтический курс геометрии

Первый вопрос, с которым мы встречаемся, приступая к анализу программы по геометрии, это вопрос, имеющие важное значение для усвоения всего дальнейшего курса геометрии — вопрос о пропедевтическом курсе геометрии в V классе. По программе 1933/39 учебного года из курса этого класса исключен пропедевтический курс геометрии, другими словами, мы возвращаемся к тому, что было много лет назад, к той постановке преподавания геометрии, какая была в большинстве дореволюционных средних учебных заведений: пропедевтического курса геометрии тогда не было, а изучение геометрии сразу начиналось с систематического курса. То же самое и теперь: те геометрические сведения, которые, согласно программе, даются в I — IV классах, собственно говоря, не являются пропедевтическим курсом геометрии; здесь ставится целью, как это было и раньше, научить вычислять площади прямоугольных участков и объемы прямоугольных параллелепипедов — и только. Наблюдения показывают, что эти вопросы прорабатываются в школе слабо как с точки зрения требований геометрии, так и с точки зрения методической. Неужели после того, как вопрос о необходимости пропедевтического курса геометрии более 30 лет назад был у нас всесторонне обсужден и решен в положительном смысле, мы будем итти вспять? Как-то неловко в 1938 г. людям, даже хотя бы немного знакомым с педагогическим делом, снова поднимать этот вопрос, а тем более возвращаться к старым в этой области традициям. Неужели нужно повторять, что пространственные представления, с которыми следует знакомить в пропедевтическом курсе геометрии, принадлежат к простейшим обыденным представлениям, что с ними приходится сталкиваться ребенку на каждом шагу? Неужели нужно припоминать еще, что такой педагогически* авторитет как Дистервег считал, что пропедевтический курс геометрии должен быть предметом начального обучения наряду с арифметикой и родным языком? Как-то неловко повторять, что ученик не является в школу с готовыми геометрическими понятиями, что в пропедевтическом курсе

он должен заняться выработкой минимума тех геометрических понятий, над которыми ему придется работать в курсе систематическом, что эта последняя работа длительная, требующая для своего выполнения более или менее продолжительного времени. Нечего говорить и о громадном практическом значении пропедевтического курса геометрии; только при знании этого курса может быть сознательное изучение в младших классах географии, естествознания и пр. Наконец, нужно еще подчеркнуть то, на что меньше всего обращают внимание, а именно — только при рациональной постановке преподавания пропедевтического курса учащиеся могут почувствовать потребность в курсе систематическом. Одним словом, относительно необходимости пропедевтического курса геометрии, который непосредственно предварял бы курс систематический, не должно быть в настоящее время никаких сомнений, и много говорить по этому поводу теперь не следует (есть по этому вопросу довольно обширная литература). Гораздо полезнее для дела было бы теперь вскрыть причины такого удивительного отношения к пропедевтическому курсу геометрии в 1938 г. Вот, что касается объема и характера этого курса, то здесь и раньше и теперь наблюдается большое разногласие.

Курс геометрии V класса по программе 1936/37 учебного года (тогда этот курс был) указывает на то, что составители программы не пожелали этот вопрос изучить поглубже, не ознакомились даже в достаточной степени с программой курса первых четырех классов по геометрии, а ограничились собственными измышлениями в этой области и притом чрезвычайно неудачными. Мы не будем подвергать критическому анализу программу V класса по геометрии 1936/37 учебного года и говорить о том, как бы следовало построить курс V класса: это не входит в план настоящей работы; отметим только; во-первых, что курс, предложенный программой 1936/37 учебного года, представляет собою некоторое извлечение из систематического курса VI класса с добавлениями об окружности, цилиндре и шаре, а во-зторых, ученик, изучивший весь пропедевтический курс, не будет знаком ни с призмой, ни с пирамидой, ни с конусом; он узнает обо всем этом только перед окончанием курса средней школы, т. е. лишь в X классе, тогда как в других учебных предметах и в жизни с этими понятиями он будет встречаться все время. Программа V класса по геометрии на 1936/37 учебный год составлена настолько неудовлетворительно, что ее исправить нельзя. Проходить курс по этой программе не следует, но это не значит, что пропедевтический курс должен быть исключен из программы V класса; этим дело ничуть не исправляется. Вообще же не только для V, но и для I—IV классов должна быть составлена новая программа пропедевтического курса геометрии, отвечающая требованиям теории и практики, требованиям научным и педагогическим.

VI класс

Вступление в систематический курс геометрии

В VI классе начинается систематический курс геометрии, который представляет для учеников значительные трудности, в особенности при отсутствии рационально построенного пропедевтического курса, и требует от преподавателя осторожного, вдумчивого, методического подхода. Здесь особенно нужны указания объяснительной записки, а таких указаний в ней нет.

Заметим, между прочим, что в систематическом курсе по традиции обыкновенно в начале курса знакомят со сложением, вычитанием и пр. отрезков и углов (т. е. решают задачи на построение подобно тому, как это делается в пропедевтическом курсе), тогда как здесь нужно знакомить с определениями суммы, разности и пр. отрезков и углов, для чего никаких построений не требуется. Ведь это курс систематический, и о задачах на построение, например о построении угла, говорится значительно позже (в конце раздела 2 программы).

Программа систематического курса геометрии часто начинается так: «Предмет геометрии. Планиметрия. Стереометрия». Эти вопросы совершенно основательно исключены из программы VI класса: они для VI класса сложны и излишни; они не должны быть вопросами программы для начинающих, тем более, что ученики до этого времени уже несколько лет занимались геометрией и у них у самих не возникнут эти вопросы. Далее вопросы «Математические предложения. Определение, аксиома, теорема. Понятие о прямой и обратной теоремах» поставлены в программе на своем месте, но объяснительная записка должна была указать, когда и как выяснять ученикам эти чрезвычайно важные в общеобразовательном отношении понятия; а в программу выпускного класса эти вопросы обязательно должны быть включены (программа же X класса 1938/39 учебного года их не содержит).

В разделе 2 программы указаны «основные задачи на построение (с доказательством)». Для решения всех этих задач нужно обращаться к окружности, об окружности же в программе VI класса нет даже упоминания, а ведь это курс систематический. О решении задач на вычисление в программе ничего не говорится.

Курс VI класса по геометрии заканчивается темой «Параллельные прямые», но так как в 1937/38 учебном году ученики VI класса согласно программе не изучали этой темы, то курс геометрии VII класса в 1933/39 учебном году начинается той же темой, а потому замечание по поводу этой темы мы помещаем ниже (см. VII класс).

Наконец, в объяснительной записке вообще, а в объяснительной записке к программе геометрии VI класса в особенности следовало указать, что доказательства некоторых теорем, по крайней мере при первом прохождении, без особого ущерба для дела можно опустить*, но при таких двух непременных условиях: 1) чтобы содержание теорем было основательно выяснено ученикам и ими хорошо усвоено и 2) только в том случае, если самое доказательство или не представит для ученика ничего нового, интересного, или

* Подобно тому, как это указано в объяснительной записке относительно теорем о бесконечно-малых и о пределах (стр. 7).

же мало доступно по своей сложности, по своей трудности. В объяснительной записке должно быть точно указано, к каким именно теоремам можно применить это.

Курс VI класса в конце учебного года обязательно должен быть повторен; при этом могут быть доказаны и те теоремы, доказательство которых было раньше опущено.

VII класс Распределение учебного материала

В курсе VII класса является ничем необоснованным и непонятным распределение учебного материала по геометрии, которое рекомендовалось без всяких мотивов и программой предыдущих лет.

Прежде всего, почему аксиома параллельных помещается сейчас же после определения параллельных прямых и перед признаками параллельности прямых? Ведь покамест она вовсе ненужна. Необходимость в ней станет ясной только тогда, когда пожелаем доказать теоремы, обратные признакам параллельности прямых. Следовательно, перед обратными теоремами и должна быть помещена аксиома параллельных с ее следствиями. Тут кстати можно было бы в популярной форме хотя бы вскользь коснуться вопроса о постулате Евклида и о постулате нашего великого ученого Лобачевского. Обстоятельно на этом интересном не только с математической, но и с философской точки зрения вопросе необходимо остановиться в X классе; а между тем об этом ничего не говорится ни в самой программе, ни в объяснительной записке.

Непонятной, противоречащей требованиям логической последовательности нужно признать мысль помещать в систематическом курсе сложный вопрос об измерении площадей (косвенное измерение) раньше рассмотрения вопроса об измерении величин вообще (см. программы 1936/37 и 1937/38 учебных годов). Требования физики, естествоведения и пр. в этом случае должны быть удовлетворены пропедевтическим курсом геометрии. В систематическом курсе недопустимым является раньше более простого случая измерения отрезков, раньше нахождения общей меры двух отрезков и пр. говорить о вопросе более сложном и в научном и в методическом отношениях. И вот настоящая программа, как мы уже отметили раньше, исправляет этот грубый промах программ прежних лет.

Измерение площадей прямолинейных фигур из курса VII класса перенесено в курс VIII класса, а так как ученики VIII класса уже прошли эту тему в VII классе, то программа геометрии 1938/39 учебного года, естественно, вовсе не содержит в себе вопроса об измерении площадей прямолинейных фигур. Об этом нужно было сделать замечание не только в объяснительной записке, но и в самой программе.

О задачах на вычисление и здесь нет упоминания.

VIII класс

В программе VIII класса по геометрии 6 разделов. В разделе 2 (подобие фигур) пропущен существенный вопрос о подобном расположении (гомотетии) фигур относительно центра. В разделе 3 намечен краткий пропедевтический курс тригонометрии, но об этом курсе мы скажем ниже, при рассмотрении программы по тригонометрии.

В разделе 5 помещено требование построить несколько алгебраических выражений (4 выражения), но почему-то опущено вообще «решение задач на построение алгебраическим методом» (в программе 1936/37 учебного года это есть). Говоря о «пропорциональных отрезках в круге», следовало обратить внимание на геометрическую интерпретацию теорем этого отдела.

IX класс

В программе 1936/37 учебного года в разделе «Правильные многоугольники» было обращено внимание на «выражение через сторону правильного треугольника его высоты, площади и радиусов вписанной и описанной окружности». В программе 1938/39 учебного года этого нет, а между тем такое подчеркивание со стороны программы принесло бы существенную пользу. В том же разделе почему-то опущен вопрос о симметрии правильных многоугольников.

Заметим, что раздел 2 программы «Понятие о пределе. Длина окружности и площадь круга» в особенности нуждается в обстоятельных указаниях объяснительной записки, и таковые даны в ней, но только относительно предела.

Наглядность в геометрии

Начала стереометрии, безусловно, нуждаются в применении наглядных пособий. О наглядности и наглядных пособиях нет упоминания в самой программе, и это вполне естественно. Но в объяснительной записке обязательно нужно было сказать о пользовании наглядными пособиями в систематическом курсе геометрии, а в особенности на этом нужно было остановиться в данном случае. Нам нередко приходилось слышать такое мнение: раз это систематический курс, то наглядными пособиями пользоваться не следует. Забывают, что всякий чертеж есть тоже наглядное пособие, только менее показательное, чем модели, особенно в стереометрии; вопрос только в том, когда и как пользоваться моделями. В объяснительной записке нужно отдельно для каждого класса указать, изготовление каких моделей каждым из учеников составляет неотъемлемую часть самого процесса обучения. (Например, если бы ученик хоть раз изготовил развертку усеченного конуса, то он никогда не сказал бы, что развертка усеченного конуса представляет собою трапецию; а это часто говорят.) Особое внимание должно быть уделено подвижным геометрическим моделям, и понятно почему.

X класс Незаконченность программы

Программа выпускного класса поражает своею незаконченностью. Здесь 2 раздела — «Многогранники» и «Круглые тела» и, кроме этого, больше нет ничего: нет заключительной, обобщающей, систематизирующей работы, нет живой работы. Почему так вышло, станет понятным, стоит только обратиться к истории создания этой программы, начиная с 1933 г.

О важности и необходимости обобщающих повторительных курсов, особенно в выпускном классе, было подробно изложено нами еще в первой статье «Критический обзор программы средней школы по математике»*. Если оставить программу геометрии по содержанию без изменений, то и в таком случае в выпускном классе необходимо было бы остановиться по крайней мере на таких вопросах: предмет геометрии; определения, аксиомы, теоремы; связь между теоремами; методы доказательств со стороны геометрической и логической, а кроме того, обратить внимание на необходимость решения задач на все отделы. Между тем о решении по геометрии задач на вычисление, собственно говоря, почти ничего не сказано: в объяснительной записке только вскользь упоминается об этом (стр. 5), когда речь идет о программе алгебры VI класса, а в самой программе только в X классе находим в разделе «Круглые тела» такую неудачную фразу (заключительную): «Общее понятие о телах вращения и решение задач», в программе же по тригонометрии упоминается о приложении тригонометрии к решению задач из области геометрии. Вообще же на программе геометрии лежит отпечаток затхлости. Мы не являемся сторонниками в программах «последних новостей», но все же, как бы там ни было, нужно было обратить внимание на перемещение фигур, на гомотетию, на рассмотрение образов вида переменного, нужно было уделить больше внимания симметрии, а в особенности задачам.

У. ПРОГРАММА ПО ТРИГОНОМЕТРИИ

Элементарный курс прямолинейной тригонометрии преподается в средней школе с целью: 1) показать, как алгебраический метод в элементарном виде применяется к решению геометрических вопросов, 2) ознакомить с простейшим трансцендентными функциями и их замечательными свойствами, наконец, 3) дать удобное и простое орудие для решения различного рода практических вопросов (например в области геодезии, астрономии и т. п.).

VIII класс

Пропедевтический курс тригонометрии

При рассмотрении программы по тригонометрии прежде всего возникает вопрос, следует ли предварять прохождение систематического курса тригонометрии пропедевтическим курсом, а кроме того, целесообразно ли, независимо от того, будет ли введен или не будет пропедевтический курс, разбивать тригонометрию на два концентра (I концентр — решение треугольников и II концентр — элементарное учение о тригонометрических функциях). Что касается пропедевтического курса тригонометрии, то он должен быть чрезвычайно кратким: предварительное изучение геометрии и алгебры в достаточной степени подготовляет учеников к прохождению систематического курса тригонометрии; и совершенно правильно уделяется этому курсу в VIII классе мало места (всего 10 час). Умелое прохождение этого незначительного по объему курса с его практическим применением (экскурсии) обыкновенно очень заинтересовывает учащихся и в достаточной степени подготовляет к усвоению систематического курса. Здесь особенно необходимы указания объяснительной записки ввиду новизны этого дела. Распределение же простого и ясного систематического курса по двум концентрам нарушило бы его логическую стройность; такое разделение курса нужно признать нежелательным ни с научной, ни с педагогической точек зрения.

IX и X классы

Программа по систематическому курсу тригонометрии обычная, ничего оригинального собою не представляет.

Кроме материала, который полагался для прохождения в IX классе, в курс этого класса перенесено из курса X класса еще две темы: «Четырехзначная таблица логарифмов тригонометрических функций» и «Решение прямоугольных треугольников (с помощью таблицы логарифмов)». Такое перемещение двух тем можно приветствовать, имея в виду разгрузку курса X класса, но ведь это освобождает всего 12 час

Так как ученики IX класса в 1937/38 учебном году не изучали двух вышеуказанных тем, то эти темы, естественно, входят и в программу X класса на 1938/39 учебный год, а кроме того, входят решение косоугольных треугольников, функции, обратные тригонометрическим, решение тригонометрических уравнений и приложение тригонометрии к решению задач и вопросов из области геометрии (планиметрии и стереометрии). Большое внимание — больше обычного — программа уделяет решению тригонометрических уравнений. Наконец, программа вовсе игнорирует применение тригонометрии к решению практических вопросов (вопросов землемерия, астрономии, физики и т. п.).

VI. ЗАМЕЧАНИЯ ОБЩЕГО ХАРАКТЕРА

Теперь сделаем еще ряд замечаний, которые имеют отношение одновременно ко всем математическим предметам курса средней школы. Эти замечания относятся к вопросам, которых мы или еще вовсе не касались, или затрагивали только вскользь.

1. Повторительные курсы

Позволим себе еще раз возвратиться к вопросу дидактического характера — к вопросу о повторении.

Можно не соглашаться, но можно понять ту точку зрения, на которой стоят обыкновенно отрицающие необходимость каких-либо повторений в математике (есть такие), но для нас является мало понятным то отношение к указанному вопросу, какое мы встречаем в разбираемой программе.

Несомненно, что повторение как дидактическая мера имеет психологические основания, но только повторение в математике не должно состоять в повторном усвоении пройденного курса без всяких изменений. В таком виде повторение является нецелесообразным: оно должно быть связано с обобщениями, систематизацией, а иной раз и с дополнениями.

* «Математика в школе» № 2,1938, стр. 76.

С этой точки зрения нам кажется существенным пробелом программы отсутствие упоминания о том, что курс каждого класса должен начинаться с повторения в указанном смысле основных вопросов, проработанных в предшествующем классе, без знания которых нельзя продолжать курс. В объяснительной записке упоминается только (стр. 8) о повторении в каждом классе «для приобретения твердых навыков и более сознательного усвоения материала». Еще более важным представляется нам повторительный курс математики заключительного характера; но он не может быть осуществлен при том времени (24 часа), какое отводится на него в X классе.

2. Устные занятия по математике в средней школе

Устного счета, устных занятий по математике мы уже касались в нашей первой статье, когда подвергали критическому разбору программу по арифметике*. Нужно признать, что не только устный счет, но вообще устные занятия должны играть в средней школе важную роль в процессе обучения алгебре, геометрии и тригонометрии, если только эти занятия ведутся рационально. В последнее время этот вопрос довольно оживленно обсуждался в печати, и программе нужно было бы в том или другом виде реагировать на это.

3. Задачи. Геодезические экскурсии и пр.

Кардинальным вопросом программы математики можно считать вопрос о задачах. Это должно найти себе отображение и в объяснительной записке и в самой программе. А между тем, что касается задач по алгебре и по геометрии, то на это в программе 1938/39 учебного года обращено мало внимания: как мы уже говорили, в объяснительной записке о задачах на вычисление в геометрии упоминается только вскользь, а в самой программе, собственно говоря, нет указаний относительно этого; кроме того, ни в объяснительной записке, ни в программе ничего не говорится о необходимости решать задачи и по алгебре и по геометрии из общего отдела (в особенности в X классе). Каких установок относительно задач должна придерживаться объяснительная записка — мы отчасти касались этого в первой статье о программе («Математика в школе» № 2, 1938, стр. 79) и в других наших печатных работах.

С вопросом о задачах тесно связан другой вопрос — о применении математики к решению практических, жизненных задач, о связи теории с практикой. Тут мы, согласно последней программе, опять откатились на дореволюционные позиции. Еще недавно программы были переобременены требованиями применения математики к решению практических вопросов, а теперь в программе нет даже намека на это. Нет, например, указаний, какие экскурсии геодезического характера если необязательны, то по крайней мере желательны в каждом классе (а раньше это было). Такие указания были бы очень полезны для преподавателей.

К недочетам того же порядка мы причисляем и отношение программы к вопросу о пользовании наглядными пособиями в средней школе и отсутствие указаний относительно подачи исторических сведений при преподавании математики.

VII. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Обращаясь к содержанию учебного материала, предлагаемого разбираемой программой, мы приходим к заключению, что она в этом отношении не сделала почти ни одного шага вперед по пути к освобождению преподавания математики от многовековой рутины, в ней почти нет попытки влить новую струю в преподавание так называемой элементарной математики, ввести те идеи, которые более всего сблизили математику с жизнью. Видно, что при составлении этой программы не воспользовались всем тем, что уже было сделано в указанном направлении. Мы отнюдь не настаиваем на том, чтобы в преподавание средней школы теперь же вводить «последние новости», чтобы перестраивать программу средней школы согласно идеям «новой алгебры», «новой геометрии». Это дело будущего; для этого нам нужно раньше пройти еще один этап; для этого нужно освоить то, что было добыто до появления последних новых идей. Необходимо раньше освоить в средней школе идею функциональной зависимости, идеи аналитической геометрии и анализа. Необходимо в этом направлении перестроить и весь элементарный курс математики. Ведь в настоящее время мы знакомим учеников нашей средней школы по программе 1938/39 учебного года с тем, что создали древние греки в области геометрии, главным образом индусы и арабы, в области арифметики и алгебры; а все то, что добыто в области математики, начиная с XVII в., все те методы, которые повели к величайшим открытиям в области механики, физики, астрономии и других наук, остается неизвестным, покрытым мраком таинственности для всякого получившего хотя бы высшее, но не специально математическое образование.

С этой точки зрения программа 1938/39 учебного года должна быть радикально переработана; но ее нужно радикально видоизменить еще и по другим соображениям.

В рассматриваемой нами программе, как мы уже отмечали, сделан ряд вполне целесообразных перемещений отдельных вопросов, но, несмотря на это, распределение учебного материала и в настоящей программе имеет такие важные, органические недостатки, что отдельные перемещения этого материала не могут существенно исправить ее даже и в том случае, когда мы совершенно не будем принимать в расчет вопроса о содержании программы.

Прежде всего нельзя распределять учебный материал так, чтобы прохождение большей части стереометрии было отодвинуто к концу курса, чтобы отделы, знание которых необходимо для решения возможно большего количества разнообразных задач, задач практического характера, из области геометрии и т. д., проходились в выпускном классе. Мы имеем в виду такие вопросы как многогранники и круглые тела, как решение косоугольных

* «Математика в школе» № 2, 1933, стр. 78.

треугольников, решение неравенств, исследование уравнений и пр. При таком распределении курсов ученики двух последних классов очень ограничены в материале для задач и в способах их решения. Следовательно, если такое крайне нецелесообразное распределение учебного материала сохранится на будущее время, абитуриенты нашей средней школы в массе не в состоянии будут дать того, что они дали бы при надлежащем распределении по классам курсов арифметики, алгебры и геометрии с тригонометрией.

Какова бы ни была программа по содержанию, занятия по математике в X классе не должны быть посвящены прохождению последних частей курсов (которые обыкновенно являются органическими частями их). Вся эта работа должна быть закончена в IX классе. В X классе должны быть проработаны дополнительные статьи, а также вопросы обобщающего и заключительного характера. В этом классе большая часть времени должна быть отведена на решение задач из общих отделов в связи с повторением тех вопросов, без знания которых ученик не должен быть выпущен из средней школы. Необходимо, чтобы систематический курс геометрии всвоих главных частях заканчивался уже в VIII классе, чтобы курс IX класса отводился, главным образом, на прохождение курса алгебры и систематического курса тригонометрии; только решение тригонометрических уравнений должно быть оставлено в курсе X класса.

Само собою разумеется, нужно, чтобы при этом учебный материал в каждой отдельной математической дисциплине был распределен надлежащим образом, а также чтобы распределение учебного материала в одной дисциплине было согласовано с распределением материала в другой.

Что касается геометрического черчения, которое должно являться подспорьем при изучении геометрии, то программа его должна быть согласована с программой геометрии (чего совершенно не было до настоящего учебного года); также и физика в своей программе может предъявлять к математике только те требования, которые не будут нарушать стройности программы по математике.

Для вышеуказанного распределения учебного материала по математике, может быть, придется перераспределить по классам число часов, отводимых на ее прохождение в каждом классе (не увеличивая их общего числа); может быть, придется допустить кое-какие сокращения, обратить больше внимания на характер и методы проработки каждого раздела математики; но такое перераспределение обязательно нужно сделать, хотя бы это представило очень большие затруднения. В противном случае, какую бы программу мы не составили, она окажется неэффективной.

ОБ УЧЕБНИКЕ ГЕОМЕТРИИ

проф. Н. А. ИЗВОЛЬСКИЙ

(Москва — Ярославль)

А. КИСЕЛЕВ, Курс элементарной геометрии.

Для педагогических училищ. Под редакцией проф. Н. А. Глаголева, утверждено Наркомпросом РСФСР, Государственное Учебно-педагогическое издательство, М., 1937.

В предисловии автор (А. Киселев) говорит: «Во многих местах сделаны или дополнения или сокращения, вообще изменения с целью достигнуть большей точности, ясности и простоты изложения*. Редактор (проф. Н. А. Глаголев) в своем предисловии говорит: «В порядке редакционной работы произведены многочисленные редакционные изменения и дополнения с целью уточнить изложение отдельных вопросов».

Так говорят автор и редактор, и все же приходится утверждать, что эти цели—ясность и уточнение — в разбираемом курсе не достигнуты. Несомненно, проф. Глаголев внес в этот учебник много хорошего (например в статье «О перспективном расположении подобных фигур и подобном преобразовании**), но в курсе осталось и много плохого.

Сначала в предлагаемой здесь рецензии будут разобраны более крупные вопросы, иллюстрирующие недостаток ясности и четкости рассматриваемого учебника, а затем будет дан ряд мелких замечаний, конечно, без уверенности в том, что этим все недостатки будут исчерпаны.

1. Остановимся сначала на вопросе что такое многоугольник?

На стр. 20 читаем «Фигура, образованная замкнутой ломаной линией вместе с частью плоскости, ограниченной этой линией, называется многоугольником».

На стр. 139 имеем: «Величина части плоскости, заключенной внутри многоугольника или какой-нибудь другой плоской фигуры, называется площадью этой фигуры».

Наконец, на стр. 125 без всяких пояснений указывается на существование звездчатых многоугольников.

По поводу всего этого возникает ряд сомнений: 1) Что значит: часть плоскости, заключенная внутри многоугольника?

* Правильно ли здесь употребляются запятые? — Н. И.

** «Подобное преобразование» вряд ли является хорошим термином; не лучше ли «преобразование подобия?»

На стр. 20 (строки 6-5 снизу) упоминается внутренняя область многоугольника, но не дается выяснение этого термина; учащемуся надо самому догадаться, что «внутренняя область многоугольника» тождественна с «частью плоскости, ограниченной замкнутою ломаной». 2) Если про эту часть плоскости, ограниченную замкнутой ломаной, говорить, как это имеется на стр. 139, что она заключена внутри многоугольника, то этим самым устанавливается, что многоугольник есть что-то иное, не эта часть плоскости, и даже, что эта часть плоскости не должна считаться входящею в состав понятия «многоугольник»,— получается противоречие с определением на стр. 20 понятия «многоугольник». 3) Согласно определению на стр. 20: Считать или нет фиГУРУ. даваемую здесь, за многоугольник? Какая часть плоскости ограничивается этой замкнутой ломаной? Величину какой части плоскости надо считать за площадь этого многоугольника? Другими словами: какая часть плоскости заключена внутри этого многоугольника? Все эти вопросы, конечно, имеют место и для звездчатых многоугольников на стр. 125. 4) На стр. 139 говорится: «величина части плоскости»; этому термину «величина» в дальнейшем приходится уделить особое внимание.

2. Остановимся затем, хотя и не на очень крупном по внешности вопросе, но влекущем за собою очень существенные соображения по отношению к построению всего курса геометрии.

На стр. 15 § 25 посвящается доказательству того, что из всякой точки вне прямой можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один (впрочем, § 25 начинается словом «разъясним», а не словом «докажем», но думается, это существа дела не меняет), а на стр. 11, 22 и 27 принимается без всякого доказательства или без всяких разъяснений, что у угла существует биссектриса, а в треугольнике существует медиана и даже (стр. 27) «е можно «провести». Чем медиана и биссектриса хуже перпендикуляра из точки на прямую?

Корень этого на первый взгляд мелкого недоразумения в том, что автор не усвоил основной мысли, на которой должен покоиться курс элементарной геометрии, а именно, что все развитие курса должно базироваться на построении (напомним, что в «Началах» Евклида на первом месте дается деление отрезка пополам).

В связи с этим следовало бы отказаться от употребления шаблонного слова «провести» (проведем прямую... и т. д.) и заменить его словом «построить» (построим прямую...); так же точно надо было бы отказаться и от терминов «опустить и восставить перпендикуляр» и заменить их также выражением «построить перпендикуляр».

Отношение учебника Киселева к вопросу о построениях нельзя назвать иначе, как до чрезвычайности странным. Лишь на стр. 34— 37 даются основные задачи на построение, на стр. 37 дается лишь один пример на более сложную задачу на построение, да в главе о касательных к кругу рассматривается задача на построение общих касательных к двум кругам, а между тем в упражнениях (стр. 39, 54 и 71 и т. д.) дается очень большое количество задач на построение, иногда очень трудных (например, вписать в данный круг три равных круга так, чтобы они касались попарно между собой и данного круга) и в громадном большинстве случаев без всяких указаний. Дело, следовательно, обстоит так: учитесь решать задачи на построение самостоятельно — учебник вам помощи не даст; сами набивайте руку. То дополнение, которое дано в конце книги: «Главнейшие методы решения задач на построение», не поможет делу, и было бы лучше, если бы многое из этого дополнения было по частям внесено в соответствующие места учебника. Например, почему бы в курс не ввести геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от двух прямых, после параграфа, говорящего о геометрическом месте точек, равноотстоящих от сторон угла (или даже взамен этого параграфа), причем следовало бы рассмотреть и случай параллельности данных прямых и даже, пожалуй, не мешало бы сделать и обобщение на геометрическое место середин всевозможных отрезков, заключенных между двумя параллельными. Почему бы также не дать примеры на метод параллельного перенесения в самом курсе, например построение трапеции по ее сторонам и т. д.

3. Остановимся затем на одной фразе на стр. 55 (шестая строка снизу): «Посмотрим теперь, можно ли провести окружность через три точки».

Прежде всего очень хочется, как уже указано выше, это шаблонное слово «провести» заменить словом «построить». Форма этой фразы заставляет думать, что сейчас начнется исследование указанного в ней вопроса, т. е. будут построены три точки и будет излагаться подход к этому вопросу..., и вдруг непосредственно за этой фразой следует теорема, дающая сразу, без всякого исследования, ответ на намеченный вопрос! Этот факт наводит на общую мысль: не пора ли учебник геометрии излагать не в форме собрания неизвестно откуда взявшихся теорем, которые зачем-то надо доказывать (а согласно рассматриваемому учебнику некоторые из них надо доказывать, а некоторые надо принять на веру), а в форме изучения тех вопросов, какие постепенно возникают при работе над тем материалом, который подлежит ведению геометрии.

4. Начиная со стр. 78 идут статьи об измерении, об отношениях, о пропорциональности, о подобии и т. д. Здесь можно найти много странного, много непонятного и, пожалуй, даже противоречащего.

На стр. 78 имеем: «Подобно этому может быть... общая мера двух значений одной и той же величины».

Возникает вопрос, что такое «величина». Учебник геометрии Киселева не дает ответа на этот вопрос, а учебник арифметики того же автора дает: «Все то, что может быть равно, больше или меньше, называется величиною». Предварительных объяснений о понятиях «равно», «больше» и «меньше» и о способах их применения к каким-либо объектам здесь нет, а из последующих разъяснений становится ясным, что этим названием характеризуются некоторые свойства физических тел.

Но в курсе геометрии речь идет не о физических телах, а о геометрических объектах,

и следовало бы, прежде чем вводить этот термин, дать ряд разъяснений, причем, быть может, пришлось бы внести в понимание этого термина изменение: к отрезкам, как это установлено в начале курса, можно применять признаки «равно»,«больше», «меньше» (а может быть, необходимо еще добавить, что установлена возможность выполнять сложение отрезков); поэтому совокупность всех отрезков составляет «величину», а каждый отдельный отрезок является «значением» этой величины (быть может, лучше было бы изменить здесь терминологию: совокупность всех отрезков есть система величин, а каждый отдельный отрезок есть «величина»). Как бы то ни было, начало § 144 (стр. 78) должно выработать такое понимание: «совокупность отрезков» есть «величина», а каждый из отрезков есть «значение» этой величины (то же и для углов, и для дуг одинакового радиуса), а между тем на стр. 139 (выше дана выписка этого места), когда речь идет о площади многоугольника, или на стр. 197, когда речь идет об объемах, термин «величина» имеет уже другое значение, неясно обрисовывающееся, но во всяком случае не выражающее совокупности чего-либо, а более подходящее к тому, что на стр. 78 характеризуется термином «значение величины». Конечно, это недоразумение покоится на том, что в нашей житейской практике мы пользуемся этим словом «величина», не отдавая себе ясного отчета в его значении. Хорошо ли это распространять и на курс геометрии?

В этом же пункте отметим еще ряд странностей. На стр. 82 говорится об измерении длины, причем отрезок А на чертежах 161 и 162 называется на этой странице «длиною», а на стр. 83 он же называется «отрезком». Из сопоставления этих двух страниц явствует, что отрезок = длине или длина ЕЕ отрезку, и это правильно: под выражением «длина чего-либо» надо понимать некоторый отрезок, а под выражением «длина отрезка» надо понимать сам этот отрезок, но нехорошо то, что в тексте нигде это не выяснено, а в предисловии редактора имеется указание на изменения при изложении вопросов об измерении «длин отрезков».*

Нехорошо еще и то, что слово «длина» употребляется там, где оно совершенно неуместно (стр. 83 и 84). «Определение. Отношением двух однородных величин (здесь опять термин «величина» употреблен вместо «значение величины»—Н. И.) называется число, выражающее длину первой величины, когда вторая принята за единицу измерения», а в предшествующих строках говорится, что изложенный способ измерения отрезков можно применять и к другим величинам, например к углам,— в таком случае причем же в вышеприведенном определении слово «длина»?

Кроме того, возникает сомнение, можно ли к углам применить тот способ измерения, какой дается для отрезков: этот способ требует разделения отрезка на п равных частей, но угол разделить на любое число равных частей геометрическими средствами нельзя. Наконец, правда ли, что понятие «отношение» можно, как это явствует из вышеприведенного определения, отождествить с числом? Не лучше ли стать на точку зрения Евклида, который не дает формального определения этому понятию «отношение»? Добавим, что, в сущности, и Гильберт в своих «Основаниях геометрии», повидимому, стоит на той же точке зрения: он избегает даже термина «отношение» («Verhältnis»), а заменяет его термином «частное» («Quotient»), причем выражает его определенным отрезком по отношению к другому единичному отрезку.

Приходится, таким образом, отношение двух отрезков признать за новый геометрический объект (основной для измерительной геометрии, а потому неподдающийся формальному определению), который можно выразить числом, или, как Гильберт, отрезком.

5. По поводу же понятия об отношении связаннного с ним вопроса об измерении отрезков возникает еще одно существенное сомнение. Согласно плану группы ленинградских математиков, отношение несоизмеримых отрезков выражается в учебнике бесконечною десятичною дробью; с одной стороны, это как будто хорошо, потому что в курсе алгебры бесконечная, непериодическая десятичная дробь выражает собою иррациональное число, но, с другой стороны, это нехорошо, потому что мешает установить общее положение, что в системе каких-либо объектов можно один объект измерять другим (из той же системы), если внутри этой системы можно применять признаки «равно», «больше», «меньше» и выполнять сложение объектов, не выходя из этой системы, а кроме того, создается неправильное представление об измерении даже одного отрезка другим: ведь можно измерение одного отрезка другим, пользуясь алгорифмом Евклида, довести до какой угодно степени точности, без уменья делить отрезок на равные части.

6. Выделим в особый пункт отношение учебника к вопросу об измерении площадей и объемов.

На стр. 139 (в конце ее) имеется: «Величина части плоскости... называется площадью

* В последнее время пришлось встретиться с таким определением: «Длиною отрезка называется то, что является общим для всех конгруэнтных отрезков». Прежде всего обращает на себя внимание некоторая неопределенность этого определения (например, у всех отрезков, даже неконгруэнтных, имеются концы,— входят ли они в состав указываемого «общего»?) Затем возникает соображение: конгруэнтные отрезки можно рассматривать как различные положения в пространстве одного и того же отрезка, а в таком случае указываемое «общее» есть именно сам отрезок.

Кроме того, здесь имеет место еще одно сомнение, которое в данном случае затушевывается словом «конгруэнтные-», т. е. совпадающие, но которое достаточно ярко вырисовывается в другом подобном определении. Именно, некоторые авторы, например проф. Н. А. Глаголев в своем курсе проективной геометрии, определяют бесконечно-удаленную (несобственную) точку как то общее, что имеют все параллельные прямые. Но, быть может, этот термин «параллельные» применяется к некоторой совокупности прямых не за то, что у них имеется нечто общее, а за то, что у них вовсе нет ничего общего, тем более, что для двух прямых в одной плоскости этот термин выражает, что прямые нигде не пересекаются.

этой фигуры. Мы ставим перед собой задачу— найти для этой величины выражение в виде некоторого числа (зачем такая мудреная формулировка? — И. И.), т. е. задачу найти число, измеряющее площадь».

На стр. 140 продолжается: «При этом мы требуем, чтобы соотношение между площадями фигур и числами, их измеряющими, удовлетворяло следующим условиям:

1) числа, измеряющие площади двух равных фигур, должны быть равны между собой;

2) если данная фигура разбита на несколько частей, составляющих каждая замкнутую фигуру, то число, измеряющее площадь всей фигуры, должно быть равно сумме чисел, измеряющих площади отдельных ее частей».

Вряд ли здесь хорошо то, что разбивается на части фигура, а не площадь (см. п. 1 этой рецензии), но еще более странно, что изыскание требуемого числа ведется без всякой связи с выставленными двумя условиями, и лишь на стр. 142 говорится, что доказано (подчеркнуто мною — Н. //.), что при одной и той же квадратной единице указанные два условия выполняются. Конечно, сказать лишь, что это доказано, и не дать никаких пояснений, слишком мало и, пожалуй, даже окажет отрицательное влияние на математическое развитие учащихся.

Еще хуже здесь обстоит дело с объемом. На стр. 197—198 имеем: «Величина части пространства, занимаемого геометрическим телом, называется объемом этого тела».

Из этого прежде всего следует, что тело не есть часть пространства, а что это есть не что иное, что занимает некоторую часть пространства, а между тем в самом начале курса (стр. 5) геометрическое тело определяется как часть пространства, ограниченная со всех сторон.

Далее на стр. 197—198 имеем: «Мы ставим задачу — найти для этой величины выражение в виде некоторого числа, измеряющего эту величину. При этом мы будем руководствоваться следующими исходными положениями:

1) равные тела имеют равные объемы;

2) объем какого-либо тела, состоящего из частей, равен сумме объемов этих частей».

Хотя здесь прямо указано, что «мы будем руководствоваться...», но в дальнейшем (например при изыскании числа, измеряющего объем параллелепипеда) нигде нет следов этого руководства, и лишь на стр. 199 мелким шрифтом говорится, что это доказано.

Кроме того, вызывает сомнение сличение этого места со стр. 140. Там на стр. 140 в условиях говорится о числах, измеряющих площади, а здесь на стр. 198 чисел нет, а без этого второе условие теряет всякий смысл: если объем разбит на части, т. е. на слагаемые объемы, то всегда первый есть сумма последних. Наконец, последнее сомнение как для стр. 140, так и для стр. 198. Если говорят, что надо определить число, измеряющее некоторую площадь, то слово «измеряющее» уже включает в себя те два условия, какие даны ниже.

В самом деле, для чисел, измеряющих отрезки, это непосредственно ясно, если это измерение выполнять алгорифмом Евклида, а измерение площади, ограниченной прямыми, можно уподобить измерению отрезка, если предварительно установить возможность применять к площади признаки «равно», «больше», «меньше» и возможность выполнять сложение площадей (конечно, придется ввести аксиому Децольта*). Для объемов дело обстоит хуже, так как, вообще говоря, мы не можем построить призму, равносоставленную с данною пирамидою, и здесь придется примириться с упрощенным изложением, опирающимся на представление.

Итак, учебник говорит, что на числа, выражающие площади или объемы, должны быть наложены известные требования, но не выяснены причины этого и эти требования не принимаются во внимание при изыскании чисел, измеряющих, например, площадь прямоугольника или объем параллелепипеда и т. д. При таком положении дела введение в курс этих требований является попросту ненужным мудрствованием. К сожалению, в учебнике имеются и еще аналогичные мудрствования, к которым надо отнести неприемлемое для учащихся добавление об аксиомах геометрии.

7. Слишком неудовлетворительно начало стереометрии. Вот некоторые моменты этой части курса.

Стр. 163 и 164. Выясняется, в каком случае прямая может считаться перпендикулярною к плоскости, но вовсе не указана причина, почему так удобно считать, а затем, когда говорится, что, «говорят также, что плоскость перпендикулярна к прямой», имеется существенный пробел: не выясняется (хотя бы без формального доказательства), что все перпендикуляры к прямой из определенной ее точки расположены в одной плоскости. Кроме того, почему считается, что доказательства двух основных теорем, что через всякую точку пространства можно построить (в книге, конечно, говорится не «построить», а «провести») плоскость, перпендикулярную к данной прямой, и прямую, перпендикулярную к данной плоскости, для сокращения курса можно выпустить — в книге эти доказательства даны мелким шрифтом. Если в силу их очевидности, то ведь многие из дальнейших теорем также очевидны,— почему бы и их не выпустить?

Стр. 169. Дается определение «прямой» и «плоскости», параллельных друг другу, а уже после него даются теоремы, доказывающие их существование. Казалось, следовало бы наоборот: сначала доказать возможность построения прямой и плоскости, не имеющих общих точек, и уже после этого распространить на них понятие о параллельности.

То же самое имеет место и для параллельности плоскостей.

Стр. 175—177. Здесь речь идет об обобщении понятия «угол»: определяются «угол двух скрещивающихся прямых» и «угол прямой с плоскостью».

Здесь следующие пробелы: 1) раз определяется угол, образуемый двумя скрещивающимися прямыми, то необходимым является распространение понятия о перпендикулярности прямых на скрещивающиеся — в книге этого нет; 2) прежде чем говорить об угле наклонной к плоскости с этой плоскостью, необходимо установить, что о перпендику-

* Надо очень пожалеть, что в рассматриваемом учебнике этого нет.

ляре к плоскости удобно говорить, что он составляет прямой угол с плоскостью; 3) мало доказать, что угол, образуемый наклонной к плоскости с ее проекцией на эту плоскость, меньше всякого другого угла, образуемого этой наклонной с любой прямой этой плоскости,— для того чтобы признать этот угол за угол прямой к плоскости, надо еще из основания наклонной построить перпендикуляр к плоскости и выяснить, что угол, образуемый этим перпендикуляром и наклонной, дополняет угол наклонной с ее проекцией до прямого угла, т. е. до угла, образуемого этим перпендикуляром с самой плоскостью.

Все это свидетельствует о том, что у автора не было никакой руководящей мысли при изложении основ стереометрии, и создается впечатление, что здесь имеет место собрание неизвестно почему и откуда появившихся теорем, некоторые из которых надо для чего-то доказывать.

Перейдем к мелким замечаниям, причем отметим их здесь далеко не все.

Стр. 5. Здесь говорится, что поверхность не имеет толщины, линия - ширины и толщины, точки — длины, ширины и толщины.

Это шаблон, который следовало бы бросить: ведь понятия «длина», «ширина», «толщина» можно установить лишь тогда, когда выяснится (в рассматриваемом курсе этого нет), что через точку пространства возможно построить лишь три прямых, чтобы каждая к каждой была перпендикулярна.

Стр. 10—12. Значение для угла его внутренней области недостаточно выяснено, и даже получается противоречие: говорится, что два угла считаются равными, если при наложении они могут совместиться, но понятие о внутренней области дается после этого, и когда на стр. 12 указывается, что два луча, исходящие из одной точки, образуют два различных угла, то совпадение вершин и сторон еще не свидетельствует о равенстве накладываемых друг на друга углов.

Стр. 15—16. Странным является определение прямого угла, как угла содержащего 9U угловых градусов, и еще более странно установление равенства всех прямых углов на основе этого определения. Странно это, во-первых, потому, что деление окружности на 360 равных частей не выполнимо геометрическими средствами, во-вторых, потому, что здесь имеет место отступление от основного призн!ка равенства фигур: фигуры, совпадающие при наложении, равны.

Стр. 52. Имеет место неувязка: прямая, соединяющая середины боков трапеции, называется средней линией трапеции, и говорится, что она равна полусумме оснований, а выше для треугольника говорится, что отрезок этой прямой, лежащий внутри треугольника, равен половине стороны, ей параллельной.

Стр. 57. При доказательстве теоремы 104 чертеж перегибается по диаметру круга. Конечно, не чертеж, а плоскость.

Стр. 85—89 и дальше. Здесь ясно выражено стремление перейти поскорее от геометрии к арифметике: отношение двух отрезков заменяется отношением чисел, и в дальнейшем становится неясным, что надо понимать, например, на стр. 89 под обозначением — — отрезки или числа. Казалось бы, что в курсе геометрии надо стремиться к тому, чтобы все свойства пропорций выяснить геометрически (и это можно сделать), не прибегая к арифметике.

Во всяком случае, если даже дело сведено к арифметике, надо отчетливо установить, что в геометрии все же членами отношения, например должно считать отрезки.

Стр. 107 и 110. § 190 дает задачу «К трем данным отрезкам прямой (не лучше ли последнее слово выпустить? — И. И.) а, Ь и с построить четвертый пропорциональный», а § 195 предлагает: «Построить среднюю, пропорциональную между двумя отрезками а и b». 1) Конечно, последнее надо пополнить словом «величину», иначе выходит малограмотно. 2) Почему такая разница: в первой задаче «отрезок», а во второй нечто неопределенное — «величина»?

Стр. 131. Не указано, что каждый из простых множителей вида 2*n+l может входить лишь в первой степени.

Стр. 135. Речь идет о какой-то переменной величине, а вдруг говорится, что она приближается к числу и пределом ее считается число.

Все вышеизложенное заставляет поставить общий вопрос: правилен ли тот путь, в результате которого появился настоящий учебник? а именно: рационально ли учебник, составленный определенным автором, поручать для исправлений и для частичной переработки другому лицу, хотя бы и пользующемуся большим авторитетом в научной области? Ведь получается смешение двух точек зрения, смешение различных взглядов на дело, и думается, что многое из вышеуказанного является результатом этого смешения.

ЛИТЕРАТУРА ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ, ВЫШЕДШАЯ В СССР ЗА ДВАДЦАТЬ ЛЕТ* (1917—1937).

И. КОЛУБОВСКИЙ и М. ЛЬВОВИЧ

(Ленинград)

ЧАСТЬ I.

А. Методологический отдел.

В. Развитие математики по векам, дисциплинам и проблемам

ЧАСТЬ II.

С. Классики математики.

ЧАСТЬ III.

D. Популярная литература.

Е. Справочно-вспомогательная литература.**

Сокращения:

ПЗМ — «Под знаменем марксизма».

ФНТ — «Фронт науки и техники».

КиПР — «Книга и пролетарская революция».

Архив — «Архив истории науки и техники».

МП — «Математическое просвещение».

Пр. — «Природа».

Сорена— «Социалистическая реконструкция и наука».

ГТТИ — Государственное технико-теоретическое изд-во.

ЧАСТЬ I.

А. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ.

I. История математики и классики марксизма.

1. Маркс К. Производная и символический диференциальный коэфициент (из рукописей К. Маркса), «ПЗМ», 1933, № 1, стр. 15—25.

2. Маркс К. Диференциал и диференциальное исчисление (из рукописей К. Маркса), там же, стр. 26 — 53.

3. Маркс К. Исторический очерк (из рукописей К. Маркса), там же, стр. 54—73.

Все эти рукописи К. Маркса (подготовлены к печати бригадой Института Маркса—Энгельса—Ленина) см. также в сборн. «Марксизм и естествознание», М., 1933, стр. 5—61.

4. Гумбель И. О математических рукописях К. Маркса, «Летописи марксизма», кн. 111 (1928), стр. 56-60.

5. Яновская С. О математических рукописях К. Маркса, «ПЗМ», 1933, № 1, стр. 74-115.

6. См. также в сборн. «Марксизм и естествознание», М., 1933, стр. 136—180.

7. Яновская С. О математических рукописях Маркса, «КиПР», 1933, № 2, стр. 32—41.

8. Гливенко В. Понятие диференциала у Маркса и Адамара, «ПЗМ», 1934, № 5, стр. 79-83.

9. Молодший В. Энгельс о происхождении и факторах развития математики, сборн. «Марксизм и естествознание», М., 1933, стр. 181—203.

10. Молодший В. Энгельс и математика, «Мат. и физ. в школе», 1935, № 4, стр.8—14.

II. Методология и методика истории математики.

11. Выгодский М. Проблемы истории математики с точки зрения методологии марксизма, в сборн. «На борьбу за материалистическую диалектику в математике», М.-Л., 1934; стр. 142-160.

Ранее также в журнале «Естеств. и марксизм», 1930, № 2/3, стр. 32—48, а также в «Трудах I Всесоюзного съезда математ.», М.-Л., 1930, стр. 205—216.

12. Методические указания для заочников к программе по математике. Вып. 35. ... по истории математики (для физико-мат. Факультета пединститутов), Наркомпрос РСФСР, М., 1935, стр. 28, ц. 40 коп. (автор—доц. А. П. Юшкевич).

13. Самойленко И. Биноминальная теорема. Исторический элемент в математике средней школы, «Мат. и физ. в школе», 1936, № 5, стр. 14—18.

14. Потапов В. С. О некоторых фактах из истории математики, «Физика, химия, техн. в советской школе», 1931, № 4, стр. 32-37.

15. Креер Л. И. Дробное число (критика идеалистических толкований вопросов методологии, истории и методики дробей), «Изв. 2-го Сев.-Кавк. пединститута», т. 9, 1932, стр. 247—272.

III. Философия и методология математики в историческом разрезе.

16. Фридман В. Г. Возможно ли движение? Страница из истории борьбы материализма с идеализмом, «Прибой», Л., 1926, стр. 206, ц. 2 руб. (в особенности гл. IV «Софизмы Зенона и современная математика. Актуальная и потенциальная бесконечность. Математика и религия», стр. 94—148).

17. Иовлев И. И. Из истории развития понятий о пространстве, времени и движении, Баку, 1927, 31 стр.

18. Выгодский М. Я. Платон как математик, «Вестник Комакадемии», 1926, № 16, стр. 193-215.

* С включением работ советских авторов на иностранных языках.

** Внутри отдельных систематических рубрик материал расположен прежде всего в порядке широты охватываемых им периодов. В дальнейшем работы более общего характера предшествуют частным исследованиям при возможном соблюдении хронологии самих предметов. Работы во всех этих отношениях однородные, перечисляются в порядке их выхода в свет.

См. также сборн. «На борьбу за материалистическую диалектику в математике», Гос. изд.-во, М.-Л., 1931. стр. 161—182.

Рец. С. Лурье, Обзор русской литературы по истории мат., «Архив», 1934, вып. 3, стр. 292—296.

19. Лурье С. Я. Платон и Аристотель о точных науках, «Архив», 1936, вып. 9, стр. 303—313.

20. Гельфанд М. Теория иррациональности у Евклида, «Мат. и физ. в школе», 1936, № 6, стр. 26—35.

21. Леонардо да-Винчи. Избранные произведения, т. I, M., «Academia», 1935, 363 стр., ц. 8 руб. (2 руб. пер.).

«О мощи математики и о количественном изучении явлений» (афоризмы № 52—70, стр. 67—83).

22. Яновская С. Геометрия Декарта, «ФНТ», 1937, № 6, стр. 25—35.

23. Крылов А. Н. Прикладная математика и ее значение для техники. Речь на сессии Академии наук, ГТТИ, М.-Л., 1931, 16 стр,

Речь построена на конкретном материале из истории математики.

24. Юшкевич. А. П. Английская философия эмпиризма в теории флюксий, «Труды II Всесоюзного математического съезда», 1936, т. II, стр. 448—449.

25. Самойленко И. Н. «Analyst» Беркли (1685—1753), там же, стр. 442-447.

Первоначальные возражения, выдвинутые против новых исчислений Ньютона и Лейбница.

26. Кольман Э. и Яновская С. Гегель и математика, «ПЗМ», 1931, № 11/12, стр. 105— 120.

27. Мордухой-Болтовской Д. Философские элементы в эволюции методических идей в математике первой половины XIX в., «Изв. Сев.-Кавказского гос. унив.», Ростов н/Д., 1928, т. III (XV), стр. 118—129.

28. Цейтлин З. К постановке проблемы обоснования евклидовой геометрии, «ПЗМ», 1926, № 12, стр. 94-117.

29. Васильев А. В. П. Л. Лавров — историк и философ математики, Сборн. «Памяти П. Л. Лаврова», «Колос», Пг., 1S22, стр. 373—384.

30. Молодший В. К вопросу о происхождении и значении аксиом геометрии, «Сборн. статей по философии математики»*, стр. 30—54.

31. Яновская С. Идеализм и математика, там же, стр. 55—68.

32. Гливенко В. Кризис основ математики на современном этапе его развития, там же, стр. 69—83 (первоначально: «ФНТ», 1934, № 3/4).

33. Яновская С. Современные течения в буржуазной философии математики, там же, стр. 84-96.

34. Фишер А. Философия математики Р. Гонсета, там же, стр. 97—107 (первоначально: «ПЗМ», 1934, № 5, стр. 69—78).

В. РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ ПО ВЕКАМ, ДИСЦИПЛИНАМ И ПРОБЛЕМАМ.

I. Общие истории математики.

35. Попов Г.Н. История математики, вып. I, М., 1920 (на правах рукописи), стр. 263.

36. Попов Г. Очерки по истории математики, изд-во Л. Д. Френкеля, Л., 1923, стр. 165, с 39 рис. в тексте, изд. 2-е; там же и то же изд-во, 1925, стр. 162, ц. 1 р. 20 к. (для учащихся, студентов рабфаков и любителей математики).

37. Журдэн Ф. Природа математики, перев. с англ. А. А. Мочульского, под ред. проф. И. Ю. Тимченко, «Mathesis», 1923,(16;, 177 стр., гл. I — Рост математических наук в древности, стр. 11—37; гл. II-III-1V — Возникновение и развитие современной математики, стр. 33—149.

38. Якобсон А. Б. Очерк истории точных наук, «Работник просвещения», М., 1927, 204 стр. («Педагог, курсы на дому»), № 44/50), ц. 1 р. 40 к.

39. Даннеман Ф. История естествознания. Естественные науки в их развитии и взаимодействии (т. I, Биомедгиз, 1932; т. II, от эпохи Галилея до середины XVIII в., ГТТИ, М., 1935).

II. Математика по эпохам и народам.

а) Математика в древности. (Архимед, Аполлоний, см. часть II).

40. Фаццари Гаетано. Краткая история математики с древнейших времен, кончая средними веками, перев. с итальянск. С. А. Галанина, «Задруга», М., 1923, 214, 111, 2 стр., Ц. 2 руб.

41. Цейтен Г. История математики в древности и в средние века, перев. П. Юшкевича с франц. изд., ГТТИ, М.-Л., 1932, 233 стр.

Рец. С. Лурье, «Архив», 1934, вып. 3, стр. 274—281. Украинск. перев. (Харк1в — Одесса), «Радняньска школа», 1936, стр. 220, ц. 7 руб., 1 р. 25 к. оправа.

42. Гейберг И. А. Естествознание и математика в классической древности. С прилож. статей Ш. Рюелля, П. Таннери, С. Рейнака, перев. С. П. Кондратьева, под ред. и с предисл. А. П. Юшкевича, ОНТИ, М.-Л., 1936, 2, 144 стр., ц. 4 руб. (библиогр., стр. 105—126).

43. Нейгебауер С. Лекции по истории античных математических наук, т. I. Догреческая математика (с прилож. статьи К. Фогеля «Кубические уравнения у вавилонян»), перев. с предисл. и прим. проф. С. Я. Лурье, ОНТИ, М.-Л., 1937, 244 стр.

Рец. А. Юшкевич, Новые данные об истории греческой математики, «ФНТ», 1938, № 3, стр. 145—148.

44. Лурье С. Я. Вавилонская математика «МП», 1934, вып. II, стр. 44—50.

Исключительно о предшествующей книге Нейгебауера.

45. Яновская С. Как древние вавилоняне четыре тысячи лет тому назад вычисляли квадратные корни, «Мат. в школе», 1937, №6, стр. 71—73.

* Под ред. С. Яновской, Учпедгиз, М., 1936, стр. 136, ц. 1 р. 30 к. Тот же сборник вышел по-украински: Кшв-Харк1в, «Радняньска школа», 1936, стр. 142, ц. 1 р. 30 к. 70 к. палит, (первоначально: «ПЗМ», 1925, № 3, стр. 101—119).

Также по поводу книги Нейгебауера.

46. Struve W. W. Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der schönen Künste in Moskau. Hgg. und kommentiert unter Benutzung einer hierogliphischen Transkription von В. A. Turajeff, mit 15 Textfiguren und 10 Tafeln, Julius Springer, B. 1930, XÏI + 196 S., Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Abt. А, В. I, 48. 80, M.

47. Струве В. В. Триумф абстрагирующей мысли в отчетности древнего Сумира, «Труды II Всесоюзн. мат. съезда», 1936, т. И, стр. 441—442 (резюме).

48. Чистяков И. О новейших исследованиях в области древнейшей истории математики, «Мат. и физ. в школе», 1934, № 1, стр. 3—10; № 2, стр. 3—5; № 3, стр. 8—14.

О работах Нейгебауера и Струве.

49. Цинзерлинг Д. П. Геометрия у древних египтян, изд-во АН СССР, Л., 1925, стр. 24 («Изв. Росс, академии наук», 1925, т. XIX, № 12—15, стр. 541—568).

50. Лурье С. вопросу об египетском влиянии на греческую геометрию, «Архив», 1933, вып. I, стр. 45—70.

51. Лурье С. Я. Теория бесконечно-малых у древних атомистов, изд-во Академии наук СССР, М.-Л., 1935, стр. 197 + I (Академия наук СССР, «Труды ин-та истории науки и техники», серия II, вып. 5), ц. 7 руб.

52. Luria, Solomon. Die Infinitesimal théorie der antiken Atomisten. Julius Springer, B. 1932 Quellen und Stulien zur Geschichte der Mathematik und Physik, Abt. В — Studien, В. II H. 2, S. 106—185.

53. Luria S. Protagoras und Demokrit als Mathematiker, Доклады Академии наук СССР, 1928-стр. 74—78.

54. Лурье С. П. Приближенные вычисления в древней Греции, «Архив», 1934, вып. 4, стр. 21—46.

55. Рюэлль Ш. Арифметика у греков и римлян (в книге И. А. Гейберга «Естествознание и математика в классической древности», стр. 143—158).

56. Таннери П. Геометрия в древности, там же, стр. 159—169.

57. Бобынин В. В. Древнейшая из женщин-математиков, «Сборник статей по вопросам физико-математических наук и их преподавания», под ред. А. Бачинского и А. Михайлова, Гос. изд-во., М., 1924, т. I (единственный), стр. 76—83.

Очерк деятельности Гипатии.

Ь) Математика в XI-ХIII вв.

См. также в предыдущем отделе Фаццари и Цейтена.

58. Сидоров А. И., проф. Математика в средние века, «Очерки из истории техники», вып. 2., Гостехиздат, М., 1928, стр. 8—12 (ц. сборн. 85 коп.).

59. Мордухай-Болтовской Д. Два основных источника методов решения уравнений (XII в.), «Изв. Сев.-Кавк. гос. университета», Ростов н/Д, 1928, т. III (XV), стр. 34-46.

60. Мордухай-Болтовской Д. Генезис современного числа (XIII в.), там же, стр. 47—66.

61. Комаров В. Абак и принцип поместного значения цифр, сборн. «Вопросы преподавания математики», под ред. И. А. Сигова и И. С. Симонова, Брокгауз-Ефрон, Л., 1925, стр. 18—31.

с) Развитие современной математики.

(Кеплер, Кавальери. Гюйгенс, Ньютон, Лопиталь, Ламберт, Монж, Карно, Лежандр, Гаусс, Галуа, Ле жен-Дирихле, Эрмит, Якоби, Риман, Вейерштрасс. Стилтьес, Mинковский, Гильберт — см, часть 11.

62. Вилейтнер Г. Хрестоматия по истории математики, составл. по первоисточникам, перев. П. С. и А. П Юшкевичей, вып. I—IV, ГТТИ, М.-Л., 1932 (вып. I —Арифметика и алгебра, 72 стр., ц. 2 руб. + 1 р. 25 к. пер., вып. II — Геометрия и тригонометрия, 58 стр., ц. 1 р. 75 к. -f 1 р. 25 к. пер.; вып. III — Аналитическая и синтетическая геометрия, 75 стр., ц. 2 руб. + 1 р. 25 к. пер.; вып. IV — Исчисление бесконечно-малых. 132 стр., ц. 3 руб. + 4- 1 р. 25 к. пер.

Рец. С. Лурье в «Обзоре русской литературы по истории математики», «Архив», 1934, вып. 3, стр. 282—291; изд. 2-е, ОНТИ, главная ред. общей литер, и номографии, М.-Л., 1935, 320 стр., ц.4р. 25 к. + 1 рубль пер.

63. Вилейтнер Г. Как рождалась современная математика, перев. А. А. Мочульского, ГТТИ, М., 1927, 116 стр.; изд. 2-е, там же, 1933, 100 стр., ц. 1 р. 75 к.

Рец. И. Чистякова, «Успехи физич. наук», 1927, т. VII, кн. 6, стр. 498—499; на изд. 2-е рец. того же автора — «Мат. и физ. в школе», 1934, № 3, стр. 136.

64. Ольшки, Леонардо. История научной литературы на новых языках: т. I — Литература техники и прикладных наук от средних веков до эпохи Возрождения, перев. с нем. Ф. А. Коган-Бернштейна и П. С. Юшкевича, ГТТИ, М.-Л., 1933, 303 стр., вкл. л. портр., ц. 4 р. 25 к.+ 1 рубль пер.; т. II — Образование науки в эпоху Ренессанса в Италии, перев. Е. А. Косминского, и там же, 1934, 211 стр., ц. 3. 25 к. + 1 рубль пер., т. III — Галилей и его время, перев. Ф. А. Коган-Бернштейна и П. С. Юшкевича, там же, 1933, XXIV + 324 стр., ц. 4 руб.+ 1 р. 25 к. пер.

65. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: т. I—Арифметика, алгебра, анализ, перев. с нем. под ред. В. Ф. Кагана, изд. 2-е, ГТТИ, М.-Л., 1933, 469 стр., ц. 6 руб.+ 1 р. 25 к. пер., изд. 3-е, там же, 1935, ц. 6 руб.-f 1 рубль пер., т. II — Геометрия, в обработке Е. Голлингера и с добавл. Фр. Зейфарта, перев. с 3-го нем. изд., под ред. Д. А. Крыжановского, ГТТИ, М.-Л., 1934, 444 стр., ц. 7 руб. + 1 рубль пер. Рец. проф. Г. В. Гуревича, «МП», 1937, № 10, стр. 135-139.

66. Клейн Феликс. Лекция о развитии математики в XIX ст., ч. I подготовлена к печати Р. Курантом и О. Нейгебауером, перев. с нем. Б. Лившица (и др.), ОНТИ, М.-Л., 1937, 432 стр., ц. 9 руб.+ 1 р. 50 к. пер.

Рец. А. А. Холщевникова, «КиПР» 1937, № 12, стр. 105-109.

67. Мордухай-Болтовской Д. Первые шаги буквенной алгебры (конец XVI в.), «Изв. Сев.-Кавк. гос. университета», Ростов н/Д., 1923, т. III (XV), стр. 66-83.

68. Mopдyхай-Болтовской Д. Аксиоматика XVII в. (первая половина века), там же, стр. 83—102.

69. Гариг Г. Спор Тарталья и Кардана о кубических уравнениях и его общественные основы. «Архив», 1935, вып. 7, стр. 67—104.

70. Гариг Г. Статика Кардана* и Тарталья, «Архив», 1936, вып. 9, стр. 23—67 (глава из монографии об обоих ученых).

71. Чистяков И. Бонавентура Кавальери и его метод неделимых (к 300-летию его книги), «Мат. и физ. в школе», 1936, № 3, стр. 3—6.

72. Лурье С. Я. Мнимый порочный круг у Кавальери, (Архив», 1935, вып. 5, стр. 491—497.

d) Математика в России.

(Эйлер, Лобачевский, Чебышев, Золотарев, Ляпунов, Марков, Стеклов — см, часть II).

73. Лазарев П. П. Точные науки в России за 200 лет. Речь, произнесенная 11 сентября 1925 г., изд-во АН СССР, Л., 1925, 19 стр.

74. Васильев А. В. Математика (в России), исторический очерк, вып. 1 (1725—1825—1863), изд-во Академии наук, Пг., 72 стр. анн., «Печать и рев.», 1923, кн. 6, стр. 253.

Ср. также А. В. Васильев о философии математики П. Л. Лаврова.

75. Чистяков И. Крепостной математик-композитор XVIII в. М. Метинский, «Изв. Тверского педагог, ин-та», 1928, вып. 4, стр. 46—55.

76. Мордухай-Болтовской Д. Д. Об академиках, работавших в области физико-математических наук, «Изв. Сев.-Хавк. гос. университета», Ростов н/Д, 1926, т. VIII, стр. 8.

77. Кузнецов Б. Г. Лобачевский и его современники, «ПЗМ», 1937, № 7, стр. 136—157, (Н. И. Лобачевский — М. В. Остроградский — В. Я. Буняковский — П. Л. Чебышев).

78. Штрайх С. С. Ковалевская. «Жургазобъединение», М., 1935, 236, 2 стр. [«Жизнь замечательных людей» — вып. 15 (63)], ц. 1 р. 50 к. (библиогр., стр. 231—236).

79. Делоне Б. И. Юрий Годосьевич Вороний (1868—1908), «Журнал математ. цикла ВУАН», 1933, т. I, вып. 1, стр. 15—16.

80. Парфентьев И. Н. А. В. Васильев как математик и философ (некролог), «Изв. Физ.-мат. общества», 1929/30, т. IV, вып. 1—3, стр. 92—1С4 (ср. «Учен. зап. Казанск. унив.», 1930, т. 90, вып. 6, стр. 943—956).

81. Чеботарев И. Г. Акад. Дмитрий Александрович Граве (к 50-летию его научно-педагогической деятельности), «Успехи мат. наук», 1937, вып. 3, стр. 222—233.

Ср. также Хинчин — в IV в.

е) Математики в древнем Перу и на Дальнем Востоке.

82. Попов Г. Культура точного знания в древнем Перу (в связи с происхождением и развитием узлового счета и письма), «Сеятель», Пг., 1923, стр. 72, ц. 30 коп.

83. Юсупов Нури Очерки из истории развития арифметики на Ближнем Востоке, Татиздат, Казань. 1932, стр. 117 + 2, ц. 1 р. 35 к.

84. Юсупов Н. В. Из истории математики народов Ближнего Востока, «Труды II Всесоюзного мат. съезда», 1936, т. II, стр. 456—460.

85. Горячкин В. В. Очерк по истории математики в Японии, «Изв. Горского педагог, ин-та», т. VII, № 2, стр. 43—50.

Также «МП», 1936, вып. 5, стр. 104—116.

(Особое внимание уделено работам японских математиков XVII и XVIII вв. по вычислению объема и поверхности шара).

86. Чистяков И. Краткий очерк истории математики в Японии, «Мат. и физ. в школе», 1935, № 6, стр. 13—19.

III. История отдельных отраслей математики, общих проблей и частных вопросов.

а) Развитие отдельных математических дисциплин.

87. Попов Г. Сборник исторических задач по элементарной математике, Гостехиздат, 1931, стр. 223, ц. 5 руб. + 1 р. 25 к. пер.

Рец. С. Лурье в «Обзоре русской литер, по истории мат.», «Архив», 1934, вып. 3, стр. 300—302; 2-е (посмертн.) изд. ОНТИ, 1938, 216 стр., ц. 2 р. 40 к.+ 60 коп. пер.

88. Лебедев В. И. Очерки по истории точных наук.

Вып. 1—Кто изобрел алгебру, Пг., 1919. (изд. 1-е, М., 1918), стр. 76.

1. Алгебра. 2. Роль арабов в истории математики. 3. Алгебра у древних греков. Диафант. 4. Индусская математика, о. Некоторые особенности арабской математики. 6. Римляне как математики. 7. Liber abaci Леонарда Фибоначчи. 8. Первое печатное сочинение но алгебре. 9. «Ars magna» Кардана и «Algebra» Бомбелли. 10. «Arithmetica intégra» Штифеля. 11. Первая буквенная алгебра. 12. Сочинение по алгебре Альберта Жирара. 13. Роль Декарта в истории алгебры. 14. «Arithmetica Universalis» Ньютона, 15. Трактат по алгебре Маклорена. 16. «Универсальная арифметика» Леонарда Эйлера. 17. Заключение.

Вып. 2 — Кто автор первых теорем геометрии, Пг., 1921 (на титульн. листе—1919, первоначально: М., 1916), стр. 64.

1. Геометрия древних египтян. 2. Геометрия вавилонян. 3. Фалес — первый греческий геометр. 4. Пифагор как геометр. Заключение — «Сочинения по истории математики на русском языке», стр. 55—64.

Вып. 3 — Как постепенно обобщалось понятие о числе, Пг., 1919 (первоначально: М., 1917).

Вып. 4 (продолжение вып. 2) — Знаменитые геометрические задачи древности (от смерти Пифагора до исследований учеников Платона).

1. Кто решил основные задачи на построение. 2. Геометрия после Пифагора. 3. Греческие геометры платоновской школы. 4. Задача об удвоении куба. 5. Трисекция угла. 6. Квадратура куба.

89. Васильев А. В. Целое число. Истори-

* Совсем недавно впервые в русском переводе вышла знаменитая автобиография итальянского ученого и натурфилософа Кардано Джироламо «О моей жизни», ГИХЛ М., 1938, 306 стр., ц. (в пер.) 7 руб. Кардан, претендующий на то, что бессмертную славу он стяжал себе в качестве врача, лишь мельком говорит здесь о своих математических работах (см. гл. XXXIX, XLIV и XLV).

ческий очерк (с 24 портретами и рисунками в тексте и отдельной таблицей. Научное книгоизд-во, Пг., 1919, стр. 272, б. ц. (в переиздании 1922 присоединен указатель IV стр.).

90. Чистяков И. И. Теория чисел. Программы-задания для заочных педагогических институтов, вып. 63, М., 1934, ц. 60 коп.

В начале этого конспекта имеется «исторический очерк».

Арифметика: см. также Рюелль — В II а) и Юсупов — В II е).

91. Богомолов С. А. Эволюция геометрической мысли, «Начатки знания», Л., 1928, стр. 221, с илл., ц. 1 р. 75 к.

Рец. Э. Кольмана «Божественная эволюция геометрической мысли», «Естествознание и марксизм», 1929, № 1, стр. 157—159.

92. Васильев А. В. От Евклида до Гильберта, предисл. к перев. книги Гильберта «Основания геометрии», Л., 1923, стр. IX—XXXII.

93. Цахариас М. Введение в проективную геометрию (исторический очерк), перев. с нем. О. А. Вольберга, под ред. проф. С. А. Богомолова, с 33 черт, в тексте, Научное книгоизд-во, Пг., 1922, 96 стр., с черт, (математическая библ.).

94. Выгодский М. Я. Возникновение диференциальной геометрии, «Архив», 1935, вып. 6, стр. 63—96.

Геометрия: см. также Цинзерлинг и Таннери — В II а).

95. Шатуновский В. П. Исторический очерк развития анализа и его приложений к геометрии, в книге Лоренц Г. «Элементы высшей математики», т. I, М. 1919.

96. Болотников А. Происхождение и развитие анализа бесконечно-малых, «Научные зап. Закавказского комуниверситета им. 26-ти», т. I, вып. 8, Тифлис, 1931, стр. 303—368.

97. Гребенюк Д. Г. История обоснования бесконечно-малых, «Сорена», 1936, № 4, стр. 18—30.

98. Юшкевич А. П. Идеи обоснования математического анализа в XVIII в. (вступительная статья к книге Л. Карно «Размышления о метафизике исчисления бесконечно-малых», стр. 7—57).

99. Мрочек В. Р. Возникновение и развитие теории вероятностей, «Архив», 1934, вып. 2, стр. 45—60.

100. Хотимский В. Исторические корни теории вероятностей. «ПЗМ», 1936, № 1, стр. 137—150.

Ь) Проблемы общего порядка.

101. Бобынин В. В. По поводу древних и новых нападок на чистую математику, «Сборник статей по вопросам физико-мат. наук и их преподавания», под ред. А. Бачинского и А. Михайлова, т. I (и единственный), Гос. изд-во, М., 1924, стр. 65—75.

102. Голубев В. В. Математика и техника, «Сорена», 1935, № 10, стр. 11—17.

Ср. также А. Н. Крылов — А III.

103. Мордухай-Болтовской Д. Д. Исследования о происхождении некоторых основных идей современной математики, «Изв. Сев.-Кавк. гос. университета», Ростов н/Д., 1928, т. III.

Рец. М. Выгодского, Исследования Мордухай-Болтовского, «Естествознание и марксизм», 1929, № 3, стр. 55—60; также в сборн. «На борьбу за материал, диалектику», М.-Л., 1931, стр. 183—191.

104. Mordukhai-Boltowsky D. Historical and critical notes, «Scricta Mathematica», 1933, 1, p. 132—134; 252—253.

105. Богомолов С. Л. Актуальная бесконечность (Зенон Элейский и Георг Кантор), «Academia», Л., 1923, стр. 87.

Новое издание с несколько измененным подзаголовком (Зенон Элейский, Исаак Ньютон, Георг Кантор), ГТТИ, Л.-М., 1934, стр.78.

106. Молодший В К. К критике учения Больцано и Кантора об актуально-бесконечном, «На борьбу за матер, диалектику», М.-Л., 1931, стр. 252—279.

с) Отдельные математические вопросы.

107. «О квадратуре круга», с прилож. истории вопроса, составл. Ф. Рудио, стр. 17—91, перев. с нем., под ред. и с примеч. акад. С. Н. Бернштейна, ГТТИ, М.-Л., 1934, стр. 235.

(«Классики естествознания»). (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр).

108. Морд ухай-Болтовской Д. Д. Генезис и история теории пределов (XVIII в.), «Изв. Сев.-Кавк. гос. университета», Ростов н/Д., 1928, т. III (XV), стр. 103-117.

109. Morduchai-Boltowski D. Genese und Geschichte der Limestheorie, «Archeion», 1933, t. XV, S. 45—72.

110. Сегал Б. И. Проблема Варинга в истории чисел, «Пр.», 1934, № 2, стр. 1—14.

111. Чистяков И. проф. Проблема Варинга и новейшие успехи теории чисел, «Мат. в школе», 1937, № 4, стр. 11—16.

112. Мордухай-Болтовской Д. Д. Из истории метода наложения в элементарной математике, «Математическое образование», 1928, № 3, стр. 107—113.

113. Извольский Н. А. Геометрия Понселе (очерк), «МП», 1935, № 4, стр. 42—64.

114. Клейн Ф. Неевклидова геометрия, перев. Н. К. Брушлинского, ГТТИ, главн. ред. общетехнической литер, и номографии, М.-Л., 1936, стр.356, ц. 6 руб. + 1 руб. пер. (см. гл. X «История неевклидовой геометрии; отношения к диференциальной геометрии и к аксиоматике», стр. 296—348).

115. Флоренский П. Из истории неевклидовой геометрии, «Пр.», 1929, № 3, стр. 253— 254.

116. Хинчин А. Я. Великая теорема Ферма, Гос. изд.-во, М.-Л., 1927, стр. 76, ц. 65 коп. («Новейшие течения научной мысли», кн. I); изд. 2-е, ГТТИ, М.-Л., 1932, стр. 52, ц. 45 коп.; изд. 3-е, там же, 1934, стр. 55, с 1 портр., ц. 75 коп. («Наука—массам», попул. библ. по мат., под общ. ред. проф. А. А. Люстерника).

117. Мордухай-Болтовской Д. Метод исчерпывания, «Мат. образование», 1928, № 6, стр. 229—240.

118. Успенский Я. Очерк истории логарифмов, Научное книгоизд-во, Пг., 1923, стр. 78.

119. Филистович М. (Краснодар). Из истории и теории логарифмов, «Мат. в школе», 1937, № 1, стр. 15—25 (библиогр.—4 названия).

120. Яновская С. О рядах, «Мат. в школе» 1937, № 4, стр. 17—21.

121. Петровский И. Г. О задаче Коши в области неаналитических функций, «Усп. мат. наук», 1937, вып. 3, стр. 234—238.

122. Бобрик А. А. Из истории понятия «серединная величина», сборн. «Центрографическая лабор. им. Д. И. Менделеева к 15-летию Октября (1917—1932)», т. I—Центрография (1933), стр. 22—24.

IV. СОВРЕМЕННОЕ ПОЛОЖЕНИЕ МАТЕМАТИКИ.

а) Математика в целом.

123. Васильев А. В. Математика за последние пятьдесят лет, «Мат. образов.», 1928, № 1, стр. 3—9; № 2, стр. 49—58.

124. Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики, ОНТИ НКТП СССР, М.-Л., 1936, 96 стр., ц. 1 р. 50 к.

125. Кольман Э. Предмет и метод современной математики, Соцэкгиз, М., 1936, 316 стр., ц. 6 р. 25 к. в пер.

126. Колмогоров А. Современная математика, «Сборник статей по философии математики», М., 1936, стр. 7-13.

в) Отдельные отрасли.

127. Греллинг Курт. Теория множеств, ОНТИ, М.-Л., 1925, 56 стр., ц. 75 коп.

Дан исторический обзор развития «теории множеств» в XIX—XX вв., анн. С. Новоселова, «Мат. в школе», 1937, № 6, стр. 141.

128. Кузьмин Р. О. Успехи аналитической теории чисел, «Труды всеросс. съезда математиков в Москве 27/IV—4/V 1927 г.», Гос. изд.-во, М.-Л., 1928, ц. 8 р. 50 к., стр. 137—147.

129. Чудаков Н. Г. Что известно в настоящее время о простых числах (Очерк), «МП», 1936, VI, стр. 16—22.

130. Гельфонд А. Очерк истории современного состояния трансцедентных чисел, «Естеств. и марксизм», 1930, № 5, стр. 33—56.

131. Александров П. С. Об основных направлениях современной топологии, «Труды всеросс. съезда математиков 1927 г.», стр. 64—89.

132. Лузин И. И. Современное состояние теории функций действительного переменного. Доклад, сделанный на I всеросс. съезде математиков 29 апреля 1927 г., дополн. автором для настоящего издания, ГТТИ, М.-Л., 1933, 59 стр., ц. 1 р. 25 к. (библиогр., стр. 54—58).

Ср. также «Труды съезда...», стр. 11—32.

133. Привалов И. И. Современное состояние теории функций комплексного переменного, «Труды I всероссийского съезда математиков 1927 г.», стр. 33—49.

134. Александров П. О новых течениях математической мысли, возникших в связи с теорией множеств, «Сборник статей по философии математики», М., 1936, стр. 14—20.

135. Курош Г. Современные алгебраические воззрения, там же, стр. 21—29.

136. Бернштейн С. Н. Современное состояние теории вероятностей и ее приложений, «Труды I всероссийского съезда математиков 1927 г.», стр. 50—63.

137. Хинчин А. Я. Теория вероятностей в дореволюционной России и в Советском Союзе, «ФНТ», 1937, № 7, стр. 36—41.

с) Математика за рубежом.

138. Купрадзе В. Л. Заметки о французской математике (к декаде франко-советского культурного сближения), «Пр.», 1934, № 6, стр. 66—68.

Общее развитие французской математики на протяжении XIX—XX вв.

139. Цейтлин 3. Ф. Клейн, сборн. «На борьбу за материалистическую диалектику в математике», М.-Л., 1931, стр. 192—202.

140. Сретенский Л. Н. Работы Luigi Bianchi по преобразованию поверхностей, «Труды геометрического кружка» (Научно-исследовательский институт математики и механики при 1-м МГУ), 1930, № 1, стр. 27—36.

141. Россинский С. Д. Очерк исследований Luigi Bianchi по теории конгруэнций, там же, стр. 59—63.

142. Кольман Э. Международный конгресс математиков (Цюрих 1932), «За марксистско-ленинское естествознание», 1932, № 5/6, стр. 163—168.

Ср. статью того же автора «На международном конгрессе математиков», «ФНТ», 1932, № 10, стр. 65—69.

143. Александров П. С. Памяти Эмми Нетер. Речь, произнесенная президентом Московского мат. общества на заседании общества 5 сентября 1935 г., «Успехи мат. наук», 1936, вып. 2, стр. 255—265.

ЧАСТЬ II. С. PERSONALIA.

I. Древность.

144. Архимед. Измерение круга, в книге «О квадратуре круга», ОНТИ, М.-Л., 1934, стр. 95—102; то же, изд. 3-е, 1936.

145. Архимед. Исчисление песчинок (Псаммит), перев., краткий обзор работ Архимеда и примеч. проф. Г. Н. Попова, ГТТИ, М.-Л., 1932, 104 стр. Более раннее изд. того же самого перевода, «Сеятель», Пг., 1923, 96 стр., анн. III, «Человек и природа», 1923, № 4/5, стр. 95.

146. Архимед. О плавающих телах, в сборн. «Начала гидростатики», М.-Л., 1933, стр. 89— 115.

147. Архимед. Образцы текстов из сочинений Архимеда: 1) Шар и цилиндр, стр. 41—44, 2) О методе, стр. 44—48, в книге А. Чвалина «Архимед», М.-Л., 1934.

148. Чвалина А. Архимед, перев. с нем. В. И. Контовта, ОНТИ, М.-Л., 1934, 48 стр.

149. Аполлоний Пергский. Конические сечения, с коммент. Эвтокия, перев. с греч. проф. Ив. Ягодинского, «Известия Северо-Кавказского гос. университета», т. III (XV), Ростов н/Д., 1928, стр. 130—151 (переведена только первая книга).

П. Западная Европа.

150. Региомонтан. О законе синусов для сферического треугольника (к 500-летию со дня рождения), перев. с англ. И. А., «МП», 1936, вып. 8, стр. 3—7.

151. Кеплер Иоганн. Новая стереометрия винных бочек, преимущественно австрийских,

как имеющих самую выгодную форму и исключительно удобное употребление для них кубической линейки, вступ. статья М. Выгодского, ГТТИ, М.-Л., 1935, 358 стр., ц. 3 р. 75 к. в пер.

152. Кавальери Бонавентура. Геометрия, изложенная при помощи неделимых непрерывного, с прилож. статьи «О применении неделимых к алгебраическим степеням», перев., вступ. статья «Математический эпос Кавальери» и коммент. С. Я- Лурье, ГТТИ, М., 1937, и. 15 руб., анн. В. Арова, «Книжн. нов.», 1937, № 14, стр. 14.

153. Кованько А. С. О принципе Кавальери, «Элементарная математика в средней школе», сборн. статей под ред. С. Е. Ляпина, вып. 2, Учпедгиз, М.-Л., 1936, стр. 108—119.

Ср. также в отделе В II с, № 71 и 72.

154. Гюйгенс Христиан. О найденной величине круга в книге «О квадратуре круга», М.-Л., 1934, стр. 105—166; изд. 3-е, 1936, те же стр.

155. Ньютон И. Математические начала натуральной философии, перев. с лат. с примеч. и пояснен. А. Н. Крылова, изд-во АН СССР, М.-Л., 1936, 696 стр. (АН СССР, Собрание трудов акад. А. Н. Крылова, т. VII), ц. 30 руб.+2 р. 50 к. пер.

Рец. Т. Райнова, «Сорена», 1936, №8, стр. 112—114; П. Долгова, «Principia», «Ньютона на русском языке», «КиПР», 1937, № 1, стр. 127—130.

156. Крылов А. Н. «Начала» Ньютона, в сборн. «Ньютон 1727—1927», («Очерки по истории знаний», вып. 1, стр. 11—45), изд-во АН СССР, Л., 1927.

157. Юшкевич А. П. Английская философия эмпиризма и теория флюксий, «Труды II всесоюзн. мат. съезда», т. II, стр. 448—449 (резюме).

158. Ньютон Исаак. Математические работы, перев., предисл. (стр. VII—XV) и коммент. (стр. 265—416), проф. Д. Д. Мордухай-Болтовского, ГТТИ, М.-Л., 1937, XV+451 стр., ц. 17 руб.+2 руб. пер. (сюда вошло 5 мат. мемуаров и, кроме того, ряд выдержек из переписки Ньютона с Ольденбургом и Валлисом).

159. Бернулли Иоганн. Избранные сочинения по механике, перев. Д. Г. Безпрозванного и В. Д. Гохмана, под ред. В. П. Егоршина, ОНТИ, М.-Л., 1937, 298 стр., ц. 4 руб. + 1 р. 25 к. пер.

160. Лопиталь де Г. Ф. Анализ бесконечно-малых, перев. с франц. Н. В. Леви, под ред. и со вступ. ст. («Первый печатный курс диференциального исчисления») А. П. Юшкевича, ГТТИ, М„ 1935, 431 стр., ц. 4 р. 20 к.+ 1 рубль пер.

161. Эйлер Леонард. Введение в анализ бесконечно-малых, т. I, перев. с лат. Е. Л. Пацановского, ред., вступ. ст. и примеч. проф. С. Я. Лурье, ОНТИ, М.-Л., 1936, 352 стр., ц. 10 р. 25 К.+1 р. 25 к. пер.

Рец. С. Яновской «Русский академик Л. Эйлер — первый исследователь математических функций». «КиПР», 1937, № 7, стр. 124—127; М. Выгодский, «ФНТ», 1937, № 10, стр. 128—131; С. Новоселов «Математика в школе», 1937, № 5, стр. 47—4 4.

162. Эйлер Леонард. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле, перев. книги с лат. подготовлен Я. М. Боровским, под ред. чл.-кор. АН СССР Н. С. Кошлякова, вводи, ст. Кошляков Н. С. Краткий исторический очерк возникновения вариационного исчисления (стр. 7—21), ГТТИ, М.-Л., 1934, 600 стр., ц. 6 руб. + 1 руб. пер.

163. Эйлер Леонард. Новая теория движения луны, перев. с лат. первой части кн. I и извлечений из второй и третьей частей, с примеч. и пояснен., перев. акад. А. Н. Крылова, изд-во АН СССР, М.-Л., 1934, 208 стр., ц. 6 руб.+ 1 р. 75 к. пер.

См. также «Собр. трудов акад. А. Н. Крылова», дополн. к тт. V и VI, изд-во АН СССР, Л., 1937, 288 стр., ц. 9 руб.+2 руб. пер.

164. Леонард Эйлер (1707—1783). Сборник статей и материалов к 150-летию со дня смерти, изд-во АН СССР, М.-Л., 1935, 239 стр. (АН СССР, «Труды Ин-та истории науки и техники», сер. II, вып. 1).

Статьи акад. А. Н. Крылова, акад. С. И. Вавилова, Н. Кошлякова («Вариационное исчисление Эйлера», стр. 39— 50), С. Я- Лурье («Эйлер и его исчисление нулей», стр. 51—79); его же («Неопубликованная научная переписка Леонардо Эйлера», стр. 116—162), Б. А. Венкова («О работах Леонарда Эйлера по теории чисел», стр. 81—87), С. Н. Чернова («Леонард Э^лер и Академия наук», стр. 163—238).

165. Крылов А. Н. Леонард Эйлер. Доклад, прочит, на торж. засед. АН СССР 5/Х 1933 г., изд-во АН СССР, Л., 1933, 39 стр. (отдельное издание статьи из предыдущего сборн.).

166. Кравчук, М. Вплив Эйлера на дальщий розвиток математики, в-во Всеукр. акад. наук, Кшв, 1935, 45 стр.

167. Лузин Н.Н. Эйлер (по поводу 150-летия со дня смерти), «Сорена», 1933, № 8, стр. 3—24.

168. Даниель М. Леонард Эйлер (к 150-летию со дня смерти великого математика XVIII в.), из доклада на объединен, заседании кафедр физ.-мат. и сопрот. мат. 2/XI 1933 г., «Изв. Краснодар, инж.-строит. ин-та», 1934, № 1, стр. 94—105.

169. Ламберт Иоганн Генрих. Предварительные сведения для ищущих квадратуру и спрямление круга, в книге «О квадратуре круга», М.-Л., 1934, стр. 169—196, изд. 3-е, 1936 г.

170. Жозеф Луи Лагранж (1736 — 1936), сборн. статей к 200-летию со дня рождения, изд-во АН СССР, М.-Л, 1937, 140 стр. (АН СССР, Труды ин-та истории науки и техн.).

171. Крылов А. Н. жозеф Луи Лагранж, «Успехи мат. наук», 1936, вып. 11, стр. 1 —16 (статья из сборника).

172. Чеботарев Н. Г. О значении работ Лагранжа по теории чисел и алгебре, «Успехи мат. наук», 1936, вып. II, стр. 17—31 (статья из сборника).

173. Кузьмин Р. О. Жозеф Луи Лагранж (к 200-летию со дня рождения;, «Пр.», 1936, № 1, стр. 112—116.

174. Райнов Т. Три юбилея (Лагранж, Уатт, Ампер), «Сорена», 1936, № 7, стр. 91—102.

175. Мешен и Деламбр. Основы метрической десятичной системы, или измерение дуги меридиана, заключенной между параллелями Дюнкерка и Барселоны. Выполнено в 1792 и следующих годах, перев. М. А. Рыбакова, под ред. А. Михайлова, Гос. изд-во, М.-Л., 1926, XII, 136 стр., 2 л. схем, ц. 1 р. 60 к.

176. Монж Гаспар. Приложение анализа к геометрии, перев. с франц. В. А. Гуковской, под ред., с предисл. («Возникновение диференциальной геометрии», стр. 7—70) и примеч. М. Я. Выгодского, ОНТИ, М.-Л., 1936, 699 стр., ц. 5 р. 50 к.-Ь 1 рубль пер.

177. Карно Лазарь. Размышления о метафизике исчисления бесконечно-малых, перев. Н. М. Соловьева, ред. и вступ. ст. А. П. Юшкевича («Идеи обоснования математического анализа в XVIII в.», стр. 7—57). Очерк жизни Л. Карно — М. Э. Подгорного («Лазарь Карно — организатор военных побед революции», стр. 259—340). Приложен литературный указатель, сост. М. Подгорным (соч. Л. Карно и литература о Карно), стр. 341—350 (96 номеров), ГТТИ, М.-Л., 1933,352 стр., ц. 5 руб.+ 1 р. 50 к. пер.

Рец. С. Лурье, «Архив», вып. 6, стр. 378—380; то же, изд. 2-е М.-Л., 1936, 325 стр.; А. Холщевников, «КиПР», 1937, № 4, стр. 135—138.

178. Лежандр Адриан Мари. Доказательство того, что отношение длины окружности к диаметру и квадрат его суть иррациональные числа, в книге «О квадратуре круга», М.-Л., 1934, стр 199—210 (изд. 3-е, 1936).

179. Гаусс К. Ф. Теоретическая астрономия. Лекции, читанные в Геттингене в 1820/21 г., записанные Купфером, перев. с нем. рукописи (и предисл.) А. Н. Крылова, Главн. гидрографич. управл., Пг., 1919, 186, 111 стр.

180. Г аусс Ф. Г. Пятизначные таблицы логарифмов чисел и тригонометрических величин, Корпус военных топографов, М., 1932, 145, 16 стр.

Кроме того, за период с 1926 по 1937 г. выдержали 10 изданий составленные Гауссом «Таблицы для вычисления прямоугольных координат» (ред. и объяснительный текст проф. А. С. Чеботарева).

181. Письма К. Ф. Гаусса в Спб. Академию наук» («Архив...», 1934, вып. 3, стр. 209—238) посвящены астрономическим наблюдениям над малыми планетами.

182. Крылов А. Н. Мемуар Гаусса «Напряжение земной магнитной силы, приведенное к абсолютной мере» и его значение («Торжественное заседание Ин-та истории и техн. АН СССР, посвященное 100-летию абсолютной системы мер, 28 декабря 1932 г.»), «Архив...», 1934, вып. 3, стр. 183—192.

183. Крылов А. Н. Несколько замечаний о работах Гаусса, там же, стр. 193—208.

184. Галуа Эварист. Соч., перев. с франц. Н. Н. Неймана, под ред. и с примеч. Н. Г. Чеботарева, с прилож. статьи П. Дюпюи «Жизнь Эвариста Галуа», ОНТИ, М.-Л., 1936, 336 стр., ц. 4 руб.-Ь 1 рубль пер.

185. Чеботарев Н. Г. Основы теории Галуа, ОНТИ, М.-Л., 1934, ч. 1, 221 стр., ц. 4 р. 25 К.+ 1 рубль пер.

186. Чеботарев Н. Г. Теория Галуа, ОНТИ, М.-Л., 1936, 156 стр. («Математика в монографиях». Серия обзоров, кн. 1), ц. 3 руб. 4- 1 рубль пер.

187. Сушкевич А. К. Э. Галуа и теория групп, «Пр.», 1934, № 4, стр. 59—63.

188. [Якоби К. Г.] О жизни Декарта и его методе направлять ум правильно и изыскивать в науках истину (лекция К. Г. Якоби, прочитанная в Берлине 3 января 1846 г.), перев. А. Н. Крылова и А. Б. Ферингер, «Успехи физич. наук», 1918, кн. 3—4, стр. 165— 1811.

189. Дирихле (Лежен Дирихле) Петер Густав. Лекции по теории чисел. В обработке и с добавл. Р. Дедекинда, перев. с нем. А. И. и С. И. Каменецких, под ред. проф. Б. И. Сегала, с прилож. статьи проф. Б. Н. Делоне, ОНТИ, М.-Л., 1936, 403 стр., ц. 7 p.-f 1 р. 50 к., пер., анн. С. Новоселова, «Матем. в школе», 1937, № 3, стр. 141.

190. Эрмит Шарль. Курс анализа, перев. В. М. Озерецкого с 4-го франц. изд., Под ред. проф. Н. М. Гюнтера (предисл. акад. А. Н. Крылова), ОНТИ, Л.-М. 1936, 383 стр., ц. 4 р. 50 к.-f 1 рубль пер.

191. Ріман Георг. Про гіпотези, що становлять основу геометрії, переклад, ред. М. Лашко, Держтехвидав-во, Харків — Киів, 1931, 56 стр., ц. 65 коп.

192. Каган В. Ф. Геометрические идеи Римана и их современное развитие. Доклад, сделанный на I всеросс. съезде мат. в Москве 29 апреля 1927 г., перераб. и дополн. автором. ГТТИ, М.-Л., 1933, 74 стр., ц. 2 руб.+ 1 р. 50 к.

193. Листинг Иоганн Бенедикт. Предварительные исследования по топологии, под ред. и с предисл. Э. Кольмана, ГТТИ, М.-Л., 1932, 114 стр., ц. 2 р. 75 К.+ 1 рубль пер.

194. Weierstrass. Речь Weierstrass'a, произнесенная при вступлении в должность ректора Берлинского университета 15 октября 1873г. (перев. акад. А. Н.Крылова), «Успехи физич. наук», 1918, № 2, стр. 85—89 («От переводчика», стр. 85—86).

195. Стилтьес Т. И. Исследования о непрерывных дробях, перев. с франц., под ред. Н. И. Ахиезера, ОНТИ Украины, 1936, 156 стр., ц. 2 р. 55 к.

196. Фробениус Г. Теория характеров и представлении групп, перев. с нем., под ред. А. К. Сушкевича, ОНТИ Украины, Харьков, 1937 г., 214 стр., ц. 4 р. 25 к. + 1 р. 25 к. (в сборник вошло 9 мемуаров).

197. Минковский Г. Пространство и время. Доклад, сделанный 21 сентября 1908 г. на 80-м собрании немецких естествоиспытателей и врачей в Кельне, сборн. «Принцип относительности», Л., 1935, стр. 181—219.

198. Минковский Г. Общие теоремы о выпуклых многогранниках (1897), перев. с нем. Д. А. Райкова, «Успехи мат. наук», 1936 вып. II, стр. 55—71.

1 В «предуведомлении» акад. А. Н. Крылова говорится: «Эта лекция напечатана в томе 7 Поли. собр. соч. Якоби; эти сочинения редко попадают в руки иных читателей, кроме специалистов-математиков. Поэтому помещение перевода этой лекции в таком журнале как «Успехи физики» казалось нам своевременным и уместным».

199. Делоне Б. Н. Герман Минковский, «Успехи мат. наук», вып. II, стр. 32—38.

200. Плетнев Д. Г. Минковский, «Сорена», 1931, № 1, стр. 216—218.

201. Гильберт Д. Обоснования геометрии, перев. с 5-го нем. изд., под ред. и с предисл. засл. проф. А. В. Васильева, с прилож. статьи редактора «От Евклида до Гильберта» (стр. IX—XXXII), «Сеятель», Пг., 1923, 152 стр. (в конце приложено: А. Пуанкаре, Отчет о работах Гильберта, представленный для соискания междунар. премии, им. Лобачевского, стр. 105—136 примеч., стр. 137—152).

202. Кроме того, Гильберт является соавтором (вместе с Рихардом Курантом) «Методов математической физики» (частичное русское изд. 1924 г., полное — 1933 г.) и вместе с Кон-Фоссеном «Наглядной геометрии» (русск. перев. 1936 г.).

III. СССР

203. Лобачевский Н. Нові основи геометрії з повною теорею параллельних, перекладач В. Лукаш, Харків — Киів, 1932 (Столетие неевклидовой геометрии Лобачевского).

204. Столетие неевклидовой геометрии Лобачевского. Edidit Universitatis Kazaniensis Physico-Mathematica Societas, Казань, 1927, 100, 2 стр. (A. В. Васильев, Н. И. Лобачевский (стр. 21—34); Н. Н. Парфентьев, Неевклидова геометрическая система Лобачевского и ее роль в истории развития физико-математических наук (стр. 34—56); речь вице-презид. Академии наук В. А. Стеклова (стр. 56—69); речь проф. В. Ф. Кагана (стр. 59—67).

205. Н. И. Лобачевский. Сборник. Союз раб. проев. СССР, издат. комиссия Донского Политехн. ин-та, Новочеркасск, 1927, 46 стр. (И. В. Морской, Биографический очерк Н. И. Лобачевского; М. Ф. Зимин, Краткий очерк геометрической системы Н. И. Лобачевского; И. И. Панфилов, Геометрическая интерпретация геометрии Лобачевского на поверхности постоянной отрицательной кривизны).

206. Мордухай-Болтовской Д. Д. О геометрических построениях в пространстве Лобачевского, Самара, 1922, 11 стр., переизд.—Казань, 1927, 16 стр.

207. Мордухай-Болтовской Д. Д. Лобачевский и основные логические проблемы в математике, «Изв. Сев. Кавк. гос. университета», 1927, стр. 78—85 (речь, прочитанная на торж. заседании в память 100-летия открытия неевклидовой геометрии).

208. В-ский. Памяти Н. И. Лобачевского, «Вестник просвещения», 1925, № 2, стр. 130—133.

209. Васильев А. В. Столетие неевклидовой геометрии, «Научный работник», 1926, № 10, стр. 20—29.

210. Рукавицын Ин. П. Н. Лобачевский (к столетию открытия неевклидовой геометрии), Иркутск, 1926, 32 стр. (Иркутская секция научных работников, Научно-попул. сер. № 2).

211. Слугинов С. П. К 100-летнему юбилею новой геометрической теории Н. И. Лобачевского, «Труды мат. семинара при Пермском ун-те», 1927, вып. 1, стр. 11—19.

212. Викберг В. А. Памяти Лобачевского, «Изв. Азерб. политехи, ин-та», 1928, вып. 4/5, стр. 269—279.

213. Егере в В. В. Н. И. Лобачевский как строитель, «Изв. общ. арх., ист. и этногр.», Казань, 1926, т. 33. № 2/3.

214. Лобачевский в Казани. Памятка к 100-летию со дня открытия им неевклидовой геометрии,1826 25/И— 1926, сост. П. Корнилов и В. Егоров, Казань, 1926, 20, 2, 4 стр. (Отдел по делам музеев и охране памятников ТАССР).

215. Иовлев Н. Н. Главные методы обоснования геометрии Лобачевского, Самара, 1923, 164 стр.

216. Иовлев Н. Н. Из истории развития понятий о пространстве, времени и движении, Баку, 1927, 31 стр., анн. «Летописи марксизма», 1928, кн. 5, стр. 86.

217. Парфентьев Н. Н. Натурфилософия Н. И. Лобачевского, «Ученые записки Казанского гос. университета», 1930, вып. 3—4, стр. 303—312.

218. Молодший В. Истинна ли геометрия Лобачевского? «Мат. и физ. в средн. школе», 1936, № 1, стр. 13 -25,

219. Кузнецов Б. Великий математик Н. И. Лобачевский, «Правда», 1937, № 74 от 14/111, стр. 4.

220. Кузнецов Б. Лобачевский и его современники, «ПЗМ», 1937, № 7, стр. 136—157.

221. Чебышев П. Л. Лекции по теории вероятностей, читанные в 1879—1880 гг. Изданы по записи А. М. Ляпунова, под ред. А. Н. Крылова, изд-во АН СССР, М.-Л., 1935, 235 стр., ц. 11 руб. + 2 р. 50 к. пер.

222. Чебышев П. Л. Высшая алгебра, изд-во АН СССР, М.-Л., 1936, 197 стр., ц. 7 руб.+ + 2 руб. пер.

Рец. И. Рехтман и Г. Ольшанский, Искажение классиков математики, ((Высшая школа», 1937, № 3, стр. 91—94, С. Новоселов, «Матем. в школе», 1937, № 5, стр. 47—48.

223. Чебышев П. Л. Исследование о кройке одежды (с предисл. Г. А. Князева и статьей Ф. Г. Попова «О построении разверток с учетом физических свойств материала в связи с теорией акад. П. Л. Чебышева»), «Архив...», 1936, вып. 9, стр. 347—364.

224. Стеклов В. А. Теория и практика в исследованиях Чебышева, изд-во АН, Пг., 1921, 2, 21 стр. (речь, произнесенная на торж. засед. АН, посвященном 100-летию со дня рождения Чебышева).

225. Бернштейн С. Н. О математических работах П. Л. Чебышева (1821—1894), «Пр.», 1935, № 2, стр. 1—6.

226. Золотарев Е. И. Полное собрание сочинений Егора Ивановича Золотарева, под ред. Физ.-мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР: Вып. 1. (вступ. статья В. А. Венкова —

биограф, очерк. Е. И. Золотарева, предисл. В. А. Венкова, стр. 1—71, литер, стр. 69—70\ изд.-во АН СССР, Л, 1932, XI, 434 стр., ц. 13 р. 50 к. Вып. 2, там же и тот же год изд., 364 стр, ц. 12 р. 50 к. (текст на русском и французском языках).

227. LJAPOUNOFF A. Sur certaines series de figures d'équilibre d'un liquide hétérogène en rotation. L. 1925—1927 (Académie des Sciences de l'URSS, 1725—1925), partie I, 1925, 224 p.; partie II, 1927, 225—437 p. Издано в ознаменование 200-летия АН СССР. Предисловие: W. Stekloff, Les recherches posthumes de Ljapounoff sur les figures d'équilibre d'un liquide hétérogène en rotation; W. Smirnoff, Avant-propos.

228. Ляпунов А. М. О форме небесных тел, «Известия АН», отдел, физ.-мат. наук, 1930, № 1, стр. 1—41.

229. Ляпунов Б. М. Краткий очерк жизни и деятельности А. М. Ляпунова, «Известия АН», 1919, № 8—11, стр. 1—24.

231 Крылов А. Н. А. М. Ляпунов (1857—1919), некролог, «Известия АН», 1919, стр. 389—394. 231. Марков А. А. Исчисление вероятностей, перераб. автором, 4-е изд., с портр. автора и биограф, очерком, Гос. изд-во (исполнено Научным книгоизд-вом) М, 1924, XIV, 588 стр. (специальные пособия для высшей школы).

232. Стеклов В. А. Андрей Андреевич Марков (некрологический очерк\ «Известия АН», 1922, т. XVI, стр. 169-184 (читано 3/XI 1922 г.).

233. Успенский Я. В. Очерк научной деятельности А. А. Маркова, «Известия АН», 1923, т. XVII, стр. 19—34.

234. Гюнтер Н. М. О педагогической деятельности А. А. Маркова, там же, стр. 35—44.

235. Безикович А. А. Работы А. А. Маркова по теории вероятностей, там же стр. 45—52. [о послереволюционных статьях А. А. Маркова подробные сведения см. в библиографии О. В. Динзе и К. И. Шафрановского А I а)].

236. Стеклов В. А. Математика и ее значение для человечества, Госиздат РСФСР, (Гржебин), Берлин, 1923, 137 стр.

Рец. А. Максимова, «ПЗМ», 1924, № 1, стр. 267-273.

«Несмотря на... философские уклоны, книга так ярка в своей критической части, так метко бьет по идеализму и априоризму, так легко рассеивает идеалистический туман, обильно распространяемый сейчас в научно-популярной литературе и с университетских кафедр, что ее нельзя не рекомендовать нашему студенчеству. В то же время эта книга может служить и объектом для критического ее рассмотрения в марксистских кружках с точки зрения диалектического материализма».

237. Стеклов В. А. Основы теории интегрирования обыкновенных и диференциальных уравнений, Гос. изд-во, М.-Л., 1927, XVI, 419 стр, ц. 6 р. 50 к. (пособие для высшей школы).

Подробные сведения о послереволюционных мемуарах В. А. Стеклова см. в библиографии О. В. Динзе и К. И. Шафрановского

ч. III Ез. Ср. также Лобачевский («Казанский юбилейный сборник»), Чебышев, Ляпунов).

238. Успенский Я. В. В. А. Стеклов (с 1 портр. и 1 факсимиле), «Известия АН», 1926, т. XX, № 10/11, стр.

239. Никифоров П. М. В. А. Стеклов (с 2 портр.), «Пр.», 1926, № 9/10, стр. 3—20.

240. Гюнтер Н. Памяти В. А. Стеклова, «Зап. Харьк. мат. тов-ства», 1932, т. V, стр. 3—5.

241. Стеклов В. А. Основные задачи математической физики, т. 1, изд-во АН СССР, Л, 1922, IV, 285 стр.

ЧАСТЬ III. Д. ПОПУЛЯРНАЯ ЛИТЕРАТУРА.

242. Филиппов А. Великий счет (очерк истории математики), Укргосизд, Одесса, 1922, 24 стр. (Общедоступная б-ка № 2).

243. Беллюстин В. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики, Гос. изд.-во, М.-Л, 1922, 203 стр. (перепечатка книги, 1914 г.).

244. Лебединцев К. Ф. Развитие числовых представлений, 1923.

245. Исаков Л Д. На все времена для всех народов. Очерк по истории метрической системы, изд. Главной палаты мер и весов, Пг, 1923, 91 стр.

246. Марчевский М. И. Как люди научились считать, «Путь просвещения», Харьков, 1923, 86 стр, ц. 50 коп.

247. Попов Г. Н. Как применялась и применяется тригонометрия на практике. Гос. изд-во, Л, 1926, 62 стр. (Рабочая б-ка по математике для школ II ступени, под ред. А. М. Воронца); 2-е изд. Учпедгиз, 88 стр, ц. 50 коп.

248. Воронец А. М. и Попов Г. И. О мерах и счете в древности, вып. 1. Гос. изд-во, М.-Л., 1928, 34 стр. («В помощь школьнику». Серия по математике), ц. 15 коп.

249. Попов Г. И. Памятники математической старины в задачах. Гос. изд-во, М.-Л, 1929, 60 стр, ц. 50 коп. (Рабочая б-ка для школ II ступени).

250. Смит Давид Юджен. Число. Рассказы о том, как люди научились считать. Гос. изд-во, М.-Л, 1929, 85 стр, ц. 40 к. (для детей среднего возраста).

251. Овсянников П. Нуль. Очерк его происхождения и его значение в современной системе счисления. Гос. изд-во, Л, 1929, 24 стр, ц. 25 коп. (Рабочая б-ка по мат, под ред. А. М. Воронца).

252. Гершберг С. Как люди научились считать. Гос. изд-во, М.-Л, 1930, 62 стр., ц. 15 коп.

253. Литцман В. и Ф Трир Где ошибка? Перев. С. Гальперсона, под ред. проф. А. Васильева, изд. 2-е, 1932, 48 стр, ц. 30 коп.

Рец. С.Лурье, «Архив», (1934), вып. 3, стр. 302—303.

254 Литцман Вальтер. Теорема Пифагора, изд. 2-е, ОНТИ, М.-Л, 1935, 72 стр., с черт, ц. 50 коп. (Популярн. б-ка по математике, под общ. ред. проф. Л. А. Люстерника. Наука-массам).

Е. СПРАВОЧНО-ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА.

I. Библиография.

255. Лебедев В. И. Очерки по истории точных наук, вып. 2. Гос. изд-во, Пг., 1921 (первоначально: М. 1916). В конце приводится список: «Сочинения по истории математики на русском языке», стр. 55—64.

Приведено 76 названии библиогр. номеров, большей частью с аннотациями, как раскрывающими содержание, так и оценочными.

256. Лурье С. Обзор русской литературы по истории математики, «Архив», 1934, вып. 3, стр. 273—311.

257. Лурье С. Новейшая литература по истории античной математики (обзор), «Архив», 1934, вып. 2, стр. 297—393.

258. Гейберг И. Л. Литература по истории математики и естествознания в классической древности, в книге «Естествознание и математика в классической древности», М.-Л., 1936, стр. 105—126.

Математики касаются стр. 106—113. Указатель пополнен русской литературой, преимущественно в особых примечаниях, выполненных С. П. Кондратьевым и А. П. Юшкевичем.

259. Лурье С. Литература о вавилонской математике, «Архив», 1935, вып. 6, стр. 415.

260. Максимов А. Библиография русской литературы по истории науки, «ПЗМ», 1924, № 12, стр. 292—302.

261. Математика в изданиях Академии наук (1728—1935). Библиографический указатель, составили О. В. Динзе и К. И. Шафрановский, под ред. члена-корреспондента АН СССР В. И. Смирнова, с предисл. акад. А. Н. Крылова, изд-во АН СССР, М.-Л., 1936, XX, 315 стр. (10 вкл. лист, портр.), ц. 15 руб. (Академия наук СССР, Библиотека).

Материал расположен по годам, в конце даны указатели (систематический и именной).

262. Колубовский И. и Львович М. Классики естествознания за 20 лет Октября (библиографический список), «Пр.», 1937, № 10, раздел II «Математика и геодезия», стр. 245.

263. Библиография математической литературы (с 1 января 1930 г. по 1 июля 1934 г.).

Книги, вышедшие в СССР на русском языке, и журнальные статьи советских авторов, помещенные в советских и иностранных журналах, с предисл. О. Ю. Шмидта, ГТТИ, М.-Л., 1934, 71 стр., ц. 1 р. 25 к.

264. Указатель литературы по математике, «МП», № 6 (1936), стр. 92—97 (история математики — стр. 93—94), (литер, с 1 июня по 1 января 1935 г.); № 9 (1936) — начиная с этого номера под заголовком «Указатель книг и статей по элементарной и началам высшей математики», стр. 72—76 (литер, с 1 января по 1 июля 1935 г.); № 10 (1937), стр. 66—71 (литер, с 1 июля 1935 г. по 1 января 1936 г.); № 11 (1937) (составил В. И. Морев), стр. 77— 79, (литер, за I полугодие 1936 г.); № 13 (1938), стр. 75—77 (II полугодие 1936 г.).

Настоящий «Указатель» является отчасти продолжением предыдущей «Библиографии». В дополнение к сочинениям, пропущенным в предыдущей, здесь приводятся книги и журнальные статьи, вышедшие за указанный срок. Вследствие небольшого числа этих произведений они распределены по 9 отделам и внутри каждого отдела расположены в алфавитном порядке по авторам. Из иностранной математической литературы помещены (в первом «Указателе») некоторые имеющие общее значение книги и статьи, вышедшие в 1934 г.

265. Список печатных работ проф. Д. Д. Мордухай-Болтовского составил Н. Нестерович (110 номеров, из них многие по истории математики, «Изв. Сев.-Кавк. гос. ун-та, Ростов н/Д., т. III (XI), 1928, стр. 7—12.

266. Бермант А. Ф. О советской математической печати, «УМН», 1937, т. III, стр. 254—262.

Дается сравнительная характеристика дореволюционной и послереволюционной математической периодики.

Список новых книг по математике и методике см. в сборн. «Вопросы преподавания математики», под ред. И. А. Сигова и И. С. Симонова, Брокгауз-Ефрон, Л., 1925, стр. 172— 188 (истории математики посвящены стр. 182— 183).

267. Плеханова И. Забытый участок. Неучебная математическая книга. «Красный библиотекарь», 1934, № 9, стр. 29—36 (список аннотированных, за двумя исключениями, послереволюционных книг по истории математики, стр. 31—33).

268. Буров Н. А. Точные науки в Туркестане в 1917—1922 гг. Указатель литературы по естествознанию и математике, вышедшей в Туркестане за указанный период времени, Ташкент, 1926 (отдельный оттиск из «Известий Туркестанского отделения Русского географического общества», т. XVII, стр. 227— 244). (Из 229 библиогр. номеров лишь 5 посвящены истории математики.)

269. Шорыгин С. А. Леонард Эйлер в русских переводах, «Книжные новости», 1938, № 2, стр. 19—21.

II. Архивные материалы.

270. Ученая корреспонденция Академии наук XVIII в. (1766—1782). Научное описание, под общ. ред. акад. Д. С. Рождественского, составила И. И. Любименко, под ред. Г. А. Князева и Б. Л. Модзалевского, изд-во АН СССР, М.-Л., 1937, 606 стр., ц. 22 руб.+ 2 руб. пер. («Архив АН СССР», вып. 2).

Всего зарегистрировано (с краткими аннотациями— раскрытиями содержания) 2116 писем, в конце приложен полный текст 31 письма, в том числе имеются письма Л. Эйлера, Д. Бернулли, Д'Аламбера, Легранжа, Лапласа.

271. «Архив АН СССР», обозрение архивных материалов, под общ. ред. Г. А. Князева, изд-во АН СССР, Л., 1933, 260 стр., ц. 8 руб.+ 1 р. 50 к. пер.

Приведены сведения об архивах следующих математиков: Леонарда Эллера, Н. И. Фусса, Ф. Ф. Шуберта, А. А. Маркова, В. А. Стеклова.

с) Иконография.

272. Портреты знаменитых математиков. Ко II Всесоюзному математическому съезду (50 портр.), изд-во АН СССР, Л., 1934.

Рец. Д. Синцова, «МП», № 4, стр. 150— 151.

273. Цингер А. О портретах Архимеда, «Матем. и физ. в школе», 1936, № 4, стр. 29—31 (с 5 рис.).

ПРОЕКТ ПЛАНА ВЫПУСКА ЛИТЕРАТУРЫ НА 1939 г. ПО РЕДАКЦИИ МАТЕМАТИКИ УЧПЕДГИЗА.

СТАБИЛЬНЫЕ УЧЕБНИКИ.

Киселев. Арифметика.— Без изменений.

Березанская. Задачник по арифметике.— Без изменений.

Киселев. Алгебра, ч. I и II.—Без изменений.

Шапошников и Вальцов. Сборн. задач по алгебре, ч. I и II.— Дополнить путем восстановления материала, имевшегося в прежних изданиях.

Киселев. Геометрия, ч. I и II. Без изменений.

Рыбкин. Сборн. геометрич. задач, ч. I и II.— Переиздание с дополнениями.

Рыбкин. Сборн. задач по тригонометрии.— Без изменений.

Брадис. Таблицы логарифмов.

Рыбкин. Тригонометрия. — Без изменений.

ПРОБНЫЕ УЧЕБНИКИ.

Александров и Колмогоров. Алгебра. Фетисов. Геометрия. Люстерник и Бермант. Тригонометрия. Чекмарев и Филичев. Сборн. задач по арифметике.

Сборники задач для учителя с решениями (эти задачники содержат «техминимум» учителя).

Делоне. Сборн. задач по геометрии. » » » » алгебре.

МЕТОДИКИ.

Бронштейн. Методика алгебры.— Переиздание с коренной переработкой.

Эменов и Чекмарев. Методика устного счета.

Дейнеко. Методика тригонометрии.

ПОСОБИЯ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ.

Александров. Геометрические построения-

Попруженко. Сборн. задач по геометрии.

ФЖМ. Упражнения по геометрии. Перевод с французского.

Пржевальский. Сборн. алгебраических задач.

Новоселов. Иррациональное число.

БИБЛИОТЕКА УЧИТЕЛЯ, ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧЕНИКОВ И КРУЖКОВОЙ РАБОТЫ.

Фадеев и Кузьмин. Алгебра и арифметика комплексных чисел.

Окунев. Алгебраические целые числа.

Шклярский. Математический кружок школьников при МГУ.

Зетель. Геометрия треугольника.

Школьник. Двучленные уравнения.

Фетисов. Конические сечения.

Штейнер. Построения при помощи неподвижного круга и линейки.

Гуль. Неевклидова геометрия.

Новоселов. Обратные тригонометрические функции.

Мор. Построения при помощи одного циркуля.

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ.

Белюстин. Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики.

Шереметьевский. Очерк истории математики.

УЧЕБНИКИ ДЛЯ ПЕДУЧИЛИЩ.

Тулинов и Чекмарев. Теоретическая арифметика.

Чекмарев и Филичев. Задачник по арифметике.

Снигирев и Чекмарев. Методика арифметики.

УЧЕБНИКИ ДЛЯ ПЕДВУЗОВ.

Четверухин. Высшая геометрия.

Лузин. Теория функций действительного переменного.

Гиленко. Задачник по теории вероятностей.

Маркушевич. Теория аналитических функций.

Комаров. Курс высшей математики, ч. II.

Фиников. Диференциальная геометрия.

Креер. Задачник по диференциальным уравнениям.

Арнольд. Теория чисел.

Жегалкин и Слудская. Задачник по интегральному исчислению.

ПОСОБИЯ ДЛЯ ПЕДВУЗОВ.

Извольский. Синтетическая геометрия. Гильберт. Основания геометрии. Арнольд. Теоретическая арифметика. Четверухин. Геометрические построения.

Ведется работа по подготовке к 1940 г. следующих книг.

Вебер и Вельштейн. Энциклопедия элементарной математики.

Подробный курс алгебры типа Маракуева

Смит. История математики.

Китайгородский. Математическая кристаллография.

Бончковский. Многоугольники и многогранники.

Курс современной алгебры (учебник для педвузов).

В 1940 г. редакция математики предполагает издать методику арифметики и методику геометрии. Лиц, желающих писать эти книги, редакция просит присылать проспект и пробную главу по адресу редакции. С авторами, приславшими лучшие проспекты и пробную главу, будут заключены договора на написание книг.

Редакция математики просит учителей высказать свое мнение о том, какие таблицы логарифмов, 4- или 5-значные, желательны в школе и целесообразен ли переход на 4-значные таблицы согласно новой программе.

Все замечания по плану 1939 г. и пожелания на 1940 г. редакция просит присылать по адресу: Москва, Орликов пер., д. 3, Учпедгиз, редакция математики.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, помещенных в № 2 за 1938 г.

21. Найти четырехзначное число, представляющее собой точный квадрат, причем первая цифра в нем одинакова со второй, а третья — с четвертой.

Искомое число можно представить в виде:

N= 1000 X + 100 х + 10 _у 4 У, (1)

или

iV= 11 (100*4-30. (2)

где

0<jc<9; 0^у<9. (3)

Так как N является точным квадратом, то 100 л: 4- У должно делиться на 11. Но 100 х 4-4- у = 99X 4- X + у. Следовательно, х 4 у должно делиться на 11. Приняв во внимание (3), заключаем, что

х + у=1\. (4)

Отсюда

По условию 9л:41 должно быть точным квадратом. Положим 9x41 = л2, где п ^9. Отсюда

(5)

Выражения «4 1 и /г—1 разнятся друг от друга на 2 и потому не могут оба одновременно делиться на 3. Поэтому одно из них должно равняться 9. Но п — 1 не может быть равно 9, так как тогда п равнялось бы 10. Итак

Искомое число 7744 = 882.

В других решениях применялось большее или меньшее количество испытаний различных цифр. Так, получив условие х 4- У = Hi некоторые испытывали все 8 возможных комбинаций (2 и 9, 3 и 8 и т. д.) Это, конечно, слишком много. Другие учитывали только цифры, которыми может оканчиваться точный квадрат.

22. Упростить выражение

Первый способ.

Этим способом решало подавляющее большинство. Отметим более оригинальные решения.

Второй способ. Числитель и знаменатель данного выражения можно представить так:

Подставив в данное выражение, найдем:

Тот же способ дает большую наглядность решению путем замены у а = х; у \> = у.

Тогда

Делая подстановку, получим:

23. Дан круг и вне его точка Р. Провести диаметр круга AB, который был бы виден из точки Р под углом а. Приведем наиболее простые решения: 1. В треугольнике АРВ нам известны: AB = 2R, ОР = d, £АРВ = а, причем ОР является медианой для стороны AB. По этим данным мы можем построить треугольник АРВ, например, так (см. задачу 19 в статье В. Б. Фурсенко, в журн. «Математика в шко-

ле» № 5 за 1937 г.) На отрезке, равном AB = = 2/?, строим сегмент, вмещающий угол а. Из середины этого отрезка проводим дугу радиусом ОР = d. Точка пересечения ее с дугой сегмента дает вершину Р. Сделав на данной окружности засечку из точки Р радиусом РА или PB, проводим искомый диаметр. Задача имеет два, одно или ни одного решения в зависимости от того, будет ли tg -тг меньше, равен или больше = f?L9

2. Построим точку Я,, симметричную с Р, относительно О. Четырехугольник АРВРХ есть параллелограмм и ^_РАР^= 100° — а. Отсюда построение. Найдя точку Ptt строим на РРЛ сегмент, вмещающий угол 180° — а. Пересечение дуги сегмента с данной окружностью и даст искомую точку. И здесь также могут быть два, одно и ни одного решения.

24. Доказать тождество.

Дадим доказательство, не требующее подстановки числовых значений той или иной функции. Имеем:

Левая часть примет вид:

Далее:

Преобразуем последнее выражение:

Преобразовываем правую часть, приняв во внимание, что

Итак имеем:

Тождество доказано.

Большинство приводило левую часть к выражению, зависящему только от sin -гх-, и

делало подстановку

Самый ход преобразований не представляет затруднений. Некоторые пользовались подстановками значении sin -jq- и sin — .

25. Найти способ построения треугольника, равновеликого данному четырехугольнику, более простой, чем обычно приводящийся в учебниках.

1. Приведем сначала обычное решение.

Проведем одну из диагоналей, например BD.

Из точки А (или С) проводим прямую, параллельную BD, до пересечения, с продолжением стороны CD (AD) в точке Е. Треугольник СБЕ (ABE) и будет искомый. В самом деле,

S abcd = Sbcd + Sabd (1)

Sbce = Sbcd + Sbde . (2)

Ho Sabd = Sbde , так как эти треугольники имеют одно и то же основание BD, а вершины А и Е лежат на одной прямой, параллельной основанию. Из (1) и (2) имеем: Sabcd = Sbce .

2. На диагональ АС (или BD) опускаем перпендикуляры BE и DF (АЕ и CF). На продолжении одного из них, например FD, откладываем длину другого: DM = BE. Треугольник AMC — искомый.

Чер. 1

Действительно:

Отсюда

3. Проводим диагонали; на продолжении одной из них, например АС, откладываем СЕ = АО. Треугольник BED—-искомый.

так как каждая пара этих треугольников имеет равные основания (АО = СЕ) и одну и ту же высоту (опущенную из точки В в первом случае и из точки О — во втором). Отсюда

Sabcd = Sbed .

Известно, что

Чер. 2

На продолжении диагонали АС отложим отрезок АЕ = ОС, на продолжении диагонали BD — отрезок DF=Oß. Треугольник EOF равновелик данному четырехугольнику, так как

Чер. 3

Был дан еще ряд решений, но большинство из них никак нельзя признать более простыми, чем приведенное выше первое решение. Например, проводились через все 4 вершины четырехугольника прямые, параллельные диагоналям, и т. п.

26. Найти четырехзначное число, являющееся точным квадратом, у которого цифра тысяч одинакова с цифрой десятков, а цифра сотен на единицу больше цифры единиц.

Искомое число можно изобразить так:

1 000* + 100 (у + 1) + Ю* + у = z\

или

101 (10х + у) = z9- — 100 = (z + Ю) (г - 10).

Так как 101 — число простое, то z -f 10 или должно делиться на 101. Но z<100, так как квадратный корень из четырехзначного числа есть число двухзначное. Отсюда

z+ 10= 101; г = 91.

Искомое число:

27. В треугольнике ABC основания биссектрис Д Е, F. Найти отношение площадей треугольников DBF и ABC.

Треугольники ABC и DBF имеют общий угол В. По известной теореме:

(1)

По свойству биссектрисы:

(2)

Точно так же:

(3)

Делая подстановку в (1), получим:

Собственно говоря, имелось в виду найти отношение площадей треугольников DEF и ABC. Но в данном случае опечатка (В вместо Е) не изменила существа задачи. Нетрудно видеть, что

(4)

Мы уже вычислили

Совершенно аналогично вычисляются

Получим:

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим:

Большинство дало именно это полное решение. Можно выразить искомое отношение в тригонометрической форме. Как легко вывести, оно будет:

28- Доказать, что периметр треугольника, образованного соединением оснований высот треугольника, равен .

В четырехугольнике DCEO :

£ODC = /J) ЕС = 90°. Следовательно, около него можно описать окружность.

Затем

£ ODE = /_ ОСЕ,

так как они оба вписанные, опирающиеся на дугу ОЕ. Но £ ОСЕ = 90°-£ А. Следовательно

/ ODE = 90° — / А и / EDC = 90° --(90°-Z^) = Z А.

Треугольники ABC и DCE подобны {/mEDC= — А А и 1_ С — общий). Из подобия имеем

(1)

Аналогично найдем:

DF = b cos В; FE = a cos А . (2)

Сложив (1) и (2), найдем: X = DE + EF + DF = a cos А + Ъ cos В 4-+ с cos С. (3)

Но

a — 2R sin А\ b = 2Rs'mB; с = 2R sin С.

Подставив в (3), получим:

29- Найти четырехзначное число, кратное 7 и представляющее сумму куба и квадрата некоторого числа.

Имеем:

х = у* + у2. (1)

По условию имеем:

Из (1) имеем:

X = у* (у + 1).

По условию:

X — 7 z.

Отсюда

7г = уЧУ+ 1). (3)

Следовательно, или у или у + 1 должны делиться на 7.

L у = lyt. Тогда имеем из (2):

Давая у! значения (2) и (3), получим:

2. Пусть у + 1 = 7yt. Из (2) имеем:

Давая у! значения 2 и 3, получим:

Итак, решениями задачи будут:

Задача очень легкая. Поэтому приходится отметить решения, в которых давалось только два, три, а не четыре ответа. Особо нужно отметить небрежность в вычислениях, причем особенно не повезло числу 9702 = 212 + 21*. Одни считали это число равным 8702, другие даже 9261, хотя по самому виду выражения 212 + 218 видно, что число не может оканчиваться единицей.

Если не ограничиваться положительными решениями, то найдем еще три значения, именно:

30. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Найти еще несколько точек, принадлежащих окружности, проходящей через данные точки, не проводя самой окружности.

1. Приведем сначала решение большинства, наименее удачное.

К двум сторонам треугольника ABC (Л, В и С — данные точки) проводим перпендикуляры, проходящие через их середину. Этим находим центр описанной окружности О. Строим точки А, В и С— симметричные к Л, В и С по отношению к О. Все эти три точки лежат на окружности.

Считаем это решение не совсем удачным, так как предварительное нахождение центра усложняет дело, хотя условиями задачи и не запрещается. Во-вторых, почему при наличии центра нужно искать именно точки, симметричные данным? Можно провести из О любое количество луче! и отложить на них от О отрезки, равные OA = OB = ОС.

В решениях дан ряд и других способов, иногда довольно сложных. Приведем некоторые.

2. Соединим прямыми точки Л, В и С. Из середины какой-либо стороны треугольника ABC (например АС) восставляем к ней перпендикуляр. Проводим биссектрису противолежащего угла. Пересечение этих двух приведенных прямых дает одну из искомых точек, так как каждая из этих прямых должна пройти через середину дуги АС. Этот способ тоже дает лишь три точки. Понятно, что и в этом случае можно использовать две из данных и одну из полученных точек (или наоборот) и можно получить еще искомые точки.

3. Из точки А восставляем перпендикуляр к AB, из точки С к ВС. Точка пересечения D лежит на окружности. Действительно, £ BAD + /_BCD = 180° по построению. Следовательно, 1_АВС + L ADC = 180°. Имеем вписанный четырехугольник. Далее: BD —диаметр (так как углы BAD и BCD прямые). Внутри угла ADC проводим из D произвольную прямую. Из вершины В опускаем на нее перпендикуляр. Основание перпендикуляра — точка окружности, так как здесь прямой угол опирается на диаметр. Таким образом, и в этом решении используется одна из трех найденных точек (одна из трех потому, что построение, выполненное из точек А и Су мы могли бы получить, беря точки Л и Б или В и С).

Самое простое и общее решение, которое и имела в виду редакция, из проверенных работ дали всего несколько человек.

Соединим Л с В и С. Из точки В проводим произвольную прямую, пересекающую АС.

На стороне АС в точке С строим угол АСЕ, равный углу ABD. Точка Е — искомая. Доказательство очевидно. Так как угол ABD произволен, то мы можем построить неограниченное количество точек окружности, лежащих на дуге АС. Но то же построение мы можем повторить по отношению к дугам AB и ВС. Таким образом, этот способ дает возможность построить любую точку окружности и является поэтому наиболее универсальным, не говоря уже о его крайней простоте.

31. На перпендикуляре, восставленном из середины некоторой прямой АВ = а, взяты три точки С, D и Е, расстояния которых до а равны — , а и -sr. Найти сумму углов AGB, ADB и АЕВ.

1. Имеем по построению:

Искомая сумма:

2. Чтобы избежать вычисления суммы арктангенсов, можно искомую сумму вычислить так:

32. Найти четыре последовательных целых числа, произведение которых равно 1680.

1. Искомое число:

1680 = X (х +1) (лг+2) (X + 3). (1)

Перемножим первый множитель с четвертым и второй — с третьим. Будем иметь:

(je2 -f 3 л*) (х2+ 3 X + 2) = 1680. (2)

Введем обозначение:

(3)

Получим:

(4)

Подставив значения у из (4) в (3), будем иметь:

xz и хА— комплексные числа.

Итак, искомые числа:

5, 6, 7, 8 или -8, -7, -6, -5. 2. Введем обозначение:

Тогда

Делая подстановку в (1), получим:

или

Решив это биквадратное уравнение, получим

Второе решение дает мнимые значения для X. Из первого же получим:

Большинство шло трафаретным путем, перемножая в (1) все четыре множителя и выделяя из полученного многочлена 4-й степени множитель X — 5 (способом группировки). Многие на этом и останавливались. Правильнее поступали другие, выделив из оставшегося многочлена 3-й степени множитель (х -f 8) и показав, что оставшийся квадратный трехчлен имеет мнимые корни.

33. Определить значение х, при котором дробь

(1)

имеет наибольшее значение (я >0, 6>0).

1. Эта задача получила единственное решение, которое и приводим.

Из (1) имеем:

(2)

Для того чтобы X было действительным, необходимо, чтобы:

или, так как ab>0:

Очевидно, наибольшее значение у будет:

Легко из (2) вычислить соответствующее значение х:

2. Эта задача имеет и другое, более изящное решение. Разделим числитель и знаменатель правой части выражения (1) на х. Будем иметь:

(3)

Наибольшее значение у соответствует наименьшему значению суммы

т. е. произведение этих слагаемых есть величина постоянная. Известно, что сумма двух слагаемых при постоянном произведении имеет наименьшую величину при равенстве этих слагаемых. Отсюда

34. Доказать невозможность такого треугольника, в котором одновременно и стороны и углы составляли бы арифметическую прогрессию.

1. Пусть тогда и ac<ß<y. Если углы составляют арифметическую прогрессию, то имеем:

а так как а + ß -f 7 = 180°, то легко вычислить, что

ß=60°. (1)

Если стороны составляют арифметическую прогрессию, то

b ss а + г; с = а + 2г.

Имеем:

Ь* = а2+ с2 — 2ас cos ß, или, так как cos ß = cos 60° = -i :

После приведения получим:

Зг2 = 0; г = 0,

т. е. а = b = с — треугольник равносторонний.

2. Имеем стороны:

а\ а + г; а +2г

и углы соответственно:

а; а -f у\ a -f 2<р.

По теореме синусов:

Отсюда

или

Отсюда

cos <? — 1 ; <р = 0.

35- Имеется некоторое количество шаров. Если их разложить на 11 равных кучек, то останется 3 шара. Отбросив их и разложив остальные на 16 кучек, получим в остатке 4 шара. Отбросив последние и разложив остальные на 9 кучек, получим в остатке 2 шара. Сколько могло быть всех шаров?

По условию задачи имеем:

Или

(1) (2) (3)

Мы получили три уравнения 1-й степени с 4 неизвестными. Понятно, что их можно привести к одному уравнению с 2 неизвестными. К этому одному уравнению можно притти хотя бы таким обычным путем. Приравниваем (1) и (2):

Ш + 3=16& + 7; 11а—16^ = 4. (4)

Решив в целых и положительных числах уравнение (4), найдем:

а= 16^—4;

b = 11^—3.

Отсюда

х= № + 7= 176/j—41. (5)

Приравнивая (3) и (5), получим уравнение:

9с — 176^1 = — 50. (б)

Решив его, найдем:

(7)

Давая в (7) U значения 0, 1, 2,..., будем получать возможные числа шаров. В ряде решений приводится только одно число 135 (притом без указания, что 135 является только наименьшим из возможных чисел), что, конечно, неправильно.

36. Решить уравнение:

(1)

1. Возведем обе части в куб:

Сделав приведение и приняв во внимание (1) получим:

По возведении в куб:

Таково большинство решений. Другие перед возвышением (1) в куб уединяли один из радикалов и подстановкой = у или у 76—ух = у приходили к квадратному уравнению.

2. Некоторые применили такой способ. Обозначим:

(2)

Отсюда

у* + г3 = 152. (3)

Из (1) и (2) имеем:

у + z = 8. (4)

Система уравнений (3) и (4) решается легко. 37. Исключить <р из уравнений:

(1)

(2)

Возводим (1) и (2) в квадрат и складываем:

Отсюда

(3)

Из (1) имеем:

(4)

Из (2) имеем:

(5)

Возведем (4) и (5) в квадрат и сложим:

(6)

(7)

Приняв во внимание (3), получим окончательно:

или

(8)

Другой вариант. Из (3) определяем cos <р, затем cos 2 <р = 2 cos2 <р — 1 и полученные выражения подставляем в (1). Получим: 6 р- Ь*) + 3 р4- 8 ар5- b-Y = 0. (9)

Нетрудно убедиться, что выражения (8) и (9) тождественны. Для этого нужно только возвести (8) в квадрат.

38. Показать, что если

m sin (а + ß) = cos ( a— ß),

то выражение

M=(\—m sin 2а)-1 + (1 — m sin23)-1

не зависит от а и p.

Сама по себе задача легкая. Все дело в том, чтобы выбрать наиболее короткий путь решения. Таковым, например, является следующая последовательность преобразований

(1)

Преобразуем отдельно числитель:

Приняв во внимание данное условие, получим:

(2)

Преобразуем знаменатель, перемножив входящие в него двучлены:

Но мы уже получили, что

m (sin 2 et + sin 2 ß) = 2 cos2 (<x — ß). (3)

С другой стороны,

Знаменатель примет вид:

(4)

Разделив (2) на 4, получим окончательно

выражение, не зависящее от а и ß.

39. Решить систему уравнений:

(1)

(2) (3)

1. Приведем сначала решение меньшинства, как более краткое и изящное.

Прибавим к обеим частям всех данных уравнений по а2. Будем иметь:

Как видим, левые части представляют собою произведение двучленов:

(4) (5) (6)

Перемножив (4), (5) и (6), после извлечения квадратного корня получим:

(7)

Наконец деля поочередно (7) на (4), (5) и (6), найдем:

2. Большинство решало обычным путем — методом исключения неизвестных, например так. Перепишем (2) и (3) уравнения в таком виде:

ay + (a + y)z = n; (8)

ах + (а + х) z = р. (9)

Исключаем z% умножив (8) на (a -f х\ а (9) на (а + у) и вычтя (9) из (8). Получим:

а2у — а2х = а(п—р) + пх — ру. (10) Отсюда определяем у:

Из (1) определяем х:

(12)

Подставив в (12) значение у из (11), получим квадратное уравнение, из которого найдем приведенные выше значения х. Затем определяем у и z.

Нетрудно видеть, что, комбинируя знаки перед радикалами, мы получим 8 решений данной системы.

40: В окружности радиуса R проведены хорды AB = а и ВС — Ь. Определить длину хорды АС.

1. Из точки В проведем диаметр BE. Он расположится или между хордами AB и ВС или по одну сторону от них. Будем рассматривать оба случая совместно.

Проведем высоту BD = h Из треугольника ABC имеем:

(1)

Из треугольника BDC имеем:

(2)

Из (1) и (2) получаем:

Из треугольника BDC:

Из треугольника ADB:

Для 1-го и 2-го случаев соответственно имеем:

Отсюда

(3)

Мы взяли на чертежах а В случае о>Ь, как легко видеть в выражении (3), а и b поменяются местами. В обоих случаях числитель будет положителен.

2. Из треугольника ABC имеем:

(1)

Отсюда

(3)

Для cos А имеем знак плюс для 1-го случая и знак минус — для второго. Для cos С годится только знак плюс, так как£<90° (опирается на дугу, меньшую 180°).

Делая подстановку из (2) и (3) в (1), получим:

Отсюда

СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО № 1 1938 г.

Г. Автух (Лепель) 8, 10, 13, 15, 16, 18, 19, 20. Г. Адамчук (Донбасс) 1,8, \5. В.Акубардия (Очемчири) 1. С. Александров (с. Галкино) 1, 15, 20. Е. Алмазова (ст. Торбеево) 2,8, 10, 12, 16—20. А. Аляев (Башмаково) 1, 2, 4— 10, 12, 13, 15—20. Л. Амбарцумян (Кировокан) 1. Б. Андреев (ст. Исиль-Куль) 1—3, 5—7, 9, 10, 12—20. С. Андреев (Торжок) 1—3, 5—10, 12, 13, 15, 16, 18—20. Г. Ахвердов (Ленинград) 1—3, 5, 6, 8—10, 12, 13, 15, 16, 18—20. И. Бабушкин (Лубяны) 1, 8, 13, 17. Л. Бедрин (Кривой Рог) 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 16, 18—20. //. Белов (Мендели) 1. М. Беневольский (Ленинград) 1—20. В. Берестовский (Новоград-Волынск) 1, 2, 8. И. Бессонов (Злынка) 6, 8, 19. А. Бирюков (с. Новодеркуль)8, 13, 15, 17. Б. Боголюбов (Ульяновск) 1—3, 5, 8—10, 12, 14—20. Д. Бозиян (с. Дашбулаг) 1, 2,8. С. Бородкин (с. Зольская) 1, 8. И. Бородуля (Москва) 1, 2. 6, 8, 10, 12, 13, 15—18. Е. Бугулов (Орджоникидзе) 1, 2, 5, 6, 8—10, 12, 13, 15, 18—20. Н. Введенский (Георгиевское) 1—20. А. Владимиров (Ялта) 1—19. Н. Выходцев (Мариуполь) 1. Л. Гальперин (Киев, уч. X кл.) 1, 5, 8, 10, 12, 13, 16—20. Л. Гонялин (Джаныбек) 1, 2, 5, 8, 13, 15, 16, 20. В. Гаркуша (Орджоникидзе) 1, 2, 5, 6, 8—10, 19. А. Гасанов (Карягино) 15. Я- Гейвашович (Смоленск) 1, 8, 10, 15, 16, 18—20. Л. Геращенко (Воронеж) 1, 6, 8, 10, 14, 16, 18—20. В. Гильц (Остяко-Вогульск) 1, 2, 5—8, 10, 12—16, 18—20. Н. Гамадеев (Казань) 1, 2, 6, 8, 13, 15, 16, 18, 20. А. Гинесин (Ленинград) 1, 8, 10, 13, 15, 16, 18—20. В. Гладун (Черноглазовка) 8, 16, 19. Р. Глейзер (Калининдорф) 1, 2, 5, 8, 13, 16, 20. И. Глейзер (Мястковка) 1. И. Голайдо (Новозыбков) 6, 8, 10, 13, 16, 20. В. Голубев (Кувшиново) 1, 2, 5—10, 12—20. П. Гольман (Харьков) 1, 2, 6—8, 10, 13, 14, 18—20. С. Городов (Ленинград) 1—3, 5, 6, 8—10, 12—14, 16—20. М. Гофман (Загорск) 8,10, 19. В. Гришин (ст. Михайловская) 1. В. Гусаров (Нижний Ломов) 8, 10, 16, 18—20. И. Гурский (Калиновка) 1, 2, 5—8, 10, 12—20. А. Гутентог (Москва, уч. X кл.) 1, 2, 5—8, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 20. Л. Г уткин (Ленинград) 1—3, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 20. У. Дакацьян (Ростов на/Д.) 1, 8, 13, 16, 19, 20. С. Дахнов (Шахты) 1, 2, 6, 8, 15, 16, 18. В. Дегтярев (Льгов) 8, 10, 12, 15, 18. И. Динер (Семеновское-Лапотко) 1, 5—10, 12—20. Ф. Донцов (Горки) 1, 2, 8, 13, 14, 16, 19, 20. М. Дубенец (Будище) 1, 2, 5, б, 8—10, 12, 13, 15—20. И. Дубицкий (Севастополь) 1, 2, 5—10, 12—20. И. Дубков (Киев, уч. IX кл.) 1, 6, 15, 16, 18—20. А:. Дудаев (?) 1, 8. Б. Дудолькевич (Пятигорск) 16, 18, 20. Л. Еганян (В. Талин) 1, 2, 5, 6, 8—10, 12, 13, 15—18, 20. Т. Егоров (Батырево) 15. К. Елисеев (Ленинск Омский) 1, 5—8, 10, 12—20. М. Епископосян (Касапет) 1, 2, 6, 8, 10, 15, 16, 18, 20. К. Ерицян (Кировабад) 1,8. Я. Есипович (Ленинград) 1—3, 5, 6, 8—10, 12—20. Л. Ефест (Прилуки) 6, 8, 13, 15, 17, 18, 20. Л. Ждановский (Мелитополь) 1, 6, 8, 10, 12, 15—18, 20. Л. Жук (Дятьково) 1, 8, 10, 12, 15—18, 20. Ш. Зайнулин(Явленка) 1, 8, 10, 18. К. Закусило (Мелитополь) 1, 2, 5—10, 12, 13, 15—20. Л. Зельтин (Ташкент) 1, 2, 6, 8, 10, 16, 18, 20. Л. Иванов (Торопец) 1,2, 5—10, 12, 13, 15—20. И. Изотенков (Плавск 1, 5, 6, 8, 13, 15, 18—20. Л. Израилевич (Киев) 1, 2, 4, 6—8, 10, 13, 19. Н. Ишмаев (Мелекесс) 1, 5, 6, 8, 10, 13, 16, 18—20. Л. Каган (Минск) 10, 12, 13, 15, 16, 18—20. В. Камендровский (Оренбург) 1, 2, 5, 6, 8—10, 12, 13, 15-20. Н. Канунов (Сталинград) 1, 5, 6, 8—10, 12, 13, 16, 18—20. Г. Капралов (Горький) 1, 3, 5—13, 15—20. И. Кошаровский (Киев, уч. X кл.) 1, 2, 5—7, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18—20. Б. Кашин (Ярославль) 2, 5—10, 12, 13, 15—20. М. Кекелия (с. Бандза) 1,4—10,12, 13,15—20. Л. Кержнер (Хащевата, уч. X кл.) 1, 6, 8—10, 12, 16, 18, 20. И. Кибардина (Свободный, уч. X кл.) 8, 11. Н. Какта (Яблоновка, уч. X кл.) 2, 8, 15. Е. Кирокосян (Ереван) 1, 3—20. К.Кириллов (Казань) 1—20. И. Кириллов (Ярославль) 1, 2, 6, 8, 15—20. П. Китайгородский (Москва) 1, 2, 5, 6, 8—10, 12, 13, 15—20. Б. Киценко (Валки) 13, 16, 19. Б. Кобылин (Галич) 1—3, 5—10, 12—20. Е. Кнарик (Кировабад) 8. И. Козацкий (Кривой Рог) 2, 4—6, 8—10,12, 13, 15, 16, 18—20. Е. Козачинский и И. Харитонов (Херсон) 2, 5, 6, 8, 11—13, 15—20. П. Койфман (Одесса, уч. IX кл.) 1, 2, 5, 6, 8, 10, 13, 15, 16, 18—20. Б. Кордемский (Москва) 1, 2, 6—10, 12, 13, 15—20. Л. Клигман (Москва) 1, 2, 5, 6, 8, 10, 12, 13, 16, 18—20. П. Клоков (Тим) 1, 8, 19, 20. И. Ключкин (Ростов н/Д.) 3, 8, 10, 15, 18. С. Колесник (Харьков) 1—3, 5—10, 12, 13, 15, 16, 18—20. Г. Колосов (Орджоникидзе) 8, 10, 15, 17. Л. Колыхалов (Москва) 1, 6, 8, 13, 15—18, 20. И. Кононов (Москва) 8. И. Кочовец (Свободный, уч. X кл.) 8. Д. Ко рыб лит (Гусятино, уч. X кл.) 13. Л. Королев (Дзержинск) 1, 5, 8, 10, 16—20. Л. Косарев (Благодатенское) 1, 2, 5, 8, 12, 13, 15, 16, 18—20. Л. Костовский (Мелитополь) 1, 2, 6, 8—10, 12, 13, 15—20. Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга) 1—13, 15—20. М. Красинский (Днепропетровск) 1, 15. Б. Кременский (Ленинград) 5, 6, 8, 10, 12, 13, 15—20. С. Кривошеин (с. Межадор) 20. С. Крыглер (Архангельск) 1—20. И. Кузин и И. Сурин (Рязань) 1, 6—8, 10, 12, 13, 15, 16, 18—20. Н. Кулаков (бугуруслая) 1—13, 15—20. С. Кулигин (Тагай) 13—19. В. Кунахович (Лосиноостровск) 1, 5—10, 12—15, 17—20. Е. Куницын (Новоржев)1, 2,6, 8, 10, 13, 16—20. /7. Кутин (Царицыно-Дачное) 3, 5, 6, 10, 13, 15—20. Б. Лимонов (Старожилов©) 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20. Н. Линючее (Арапово) 8, 10, 15, 17, 20. И. Лифшиц (Гомель) 1, 18, Е. Левкин (Конаков) 1, 6, 8, 12, 15, 17, 18, 20. Л. Левкович (Мценск) 2, 5—10, 12, 13, 15—20. Л. Левин (Алма-Ата) 6-8, 10, 12, 13, 16, 18,20.#. Лернер (Одесса) 2, 16, 20. Г. Лобжанидзе (с. Геби) 1, 8, 15. Л. Логашов (Саловка) 1,2, 4—10, 12, 13, 15—20. А.Логинов (с. Киевское) 1, 2, 6, 8—10, 12, 14, 15, 18, 20. Л. Лосицкий (Новозыбков) 6, 8—10, 16. Л. Лукиди (Ворошиловск) 1, 2, 6, 8, 13, 10—18. Г. Мартынюк (с. Дяковцы) Е. Марчевская (Харьков) 4, 6, 9, 12, 15, 16, 13, 19. К. Матвеев (Кинель-Черкассы) 1—3, 5—10, 12, 13, 15—20. Л. Медведев (Урюпинск) 1, 5—8,10,12, 13, 15—20. Г. Миллер (Энгельс) 15. П. Милов (Люблино-Дачное) 1—3, 5—10, 12, 13, 15—20. Н. Мельников (Кудиново) 5. Ш. Маневич (Кирово) 1—3, 5—16, 18, 20. Л. Миненко (Нальчик) 1, 2, 4—7, 10—13, 15, 17—20. Г. Мискарян (Кировабад) 1, 5—13, 15—20. П. Метелицына (Михайлов) 1, 6, 8—10, 12, 13, 15—18, 20. Ю. Михайлов (Новокиевский-увал) 10, 15, 17, 20. К. Михельсон (Башанта) 1, 2, 6, 8,10, 12,13,15-18,

20. В. Моисеев (Омск) 2, 5—8, 10, 13, 16—20. Н. Муромцев (Новоселье) 1—3, 6, 8, 20. А. Мусин (Бугуруслан) 1, 8. С. Немировский (Житомир) 1, 2, 6, 8—10, 12,13, 15, 16,18—20. Я. Несмеянова (Таганрог) 1, 6,10, 12,13,15— 20. А. Николаев (Куртамыш) 1, 2, 4—10, 12, 13, 15—20. А. Овчинников (Сталинград) 1, 2, 6—10, 12, 15, 16, 18—20. В. Оранский (Самарканд) 2, 6—8, 10—13, 15, 18. Р. Ос жинкин (Опочня) 1, 2, 5, 6,8—10, 12,13,15-20. Ф. Орлов (Саратов) 5, 6, 8—10, 12-20. С. Павлов (Новосибиоск) 1, 6,8—10, 12,13,15—20. Я. Понасенко (Мелитополь) 1, 2, 5, 6, 8—10, 12, 13, 15—20. А. Панфилов (Пенза) 1, 2, 5—11, 13—20, С. Певзнер (Орша) 2, 8, 10, 15, 16, 18—20. Е. Пересветова (Александров) 1, 2, 5, 6, 8, 11, 15, 16, 18, 20. С. Петров (Барнаул) 1, 2, 5, 6, 8, 10, 13, 15,16, 18-20. М. Пешков (Безлесное) 1, 6, 13, 19. И. Попелюхер (Чичельник) 2, 4, 6, 8—10, 12, 13, 15—18, 20. А. Попков (Лодейное Поле) 1, 5, 8,10, 12, 13, 15—18, 20. П. Постников (Рязань) 1—10, 12, 13, 15—20. Е. Потапов (Коломна) 1, 2, 4-6, 8, 10, 12, 14—17, 19, 20, Н. Принцев (Старая Русса) 4—6, 8, 10, 13, 15, 19, 20. С. Пузырев (Саранск) 1, 2, 8, 10, 15. Я. Путилов (ст. Кормиловка) 5, 7, 13, 15, 20. Е. Разумович (Тульчин) 1, 5, 7, 8, 13, 15, 16, 18—20. П. Резвое (Харьков) 1, 6, 8, 10, 12, 13, 15, 17, 18, 20. И. Рейх^ан (Энгельс) 1, 8, 10, 11, 13—15, 17. Г. Ржавский (Фролов) 1—20. Н. Рождественский (с. Обуховка) 1—3, 5—20. Т. Романов (Уркарах) 1, 8. В. Рукомичев (Клинцы) 10, 15, 16, 18, 20. М. Саакян (Краснодар) 2, 6, 8—12, 15, 17, 18, 20. Ф. Саблуков (Москва) 1—20. С. Савицкий (Быхов) 2, 8, 10, 13, 16, 17. И. Савченков (Усолье) 1, 2, 6, 8, 10, 12, 13, 16, 18—20. Д. Салангин (Сангурск) 1—20. Н. Сандров (Старый Крым) 1, 2, 4, 6, 8, 10—13, 15, 16, 18—20. П. Сапунов (Владимир) 1—20. Г. Сиркисьянца (Москва) 1—4, 6—8, 10, 11, 13—15, 17—20. В. Сахаров (Томск) 1, 2, 5—10, 12, 13, 19, 20. С. Сачко (Еманжелинск) 15, 16, 20. Я- Сеченовский (Мелитополь) 3, 8, 15, 16, 19. А. Сидоров (Джизак) 1—3, 5—8, 11, 13—16, 18—20. К. Сикорский (Москва) 6, 8, 10, 11, 13, 15, 16,18—20. Л. Силаков (Тамбов) 1, 2, 5, 6, 8, 15, 16, 18—20. К. Ситников (Осиновский рудник) 2, 7, 8, 12, 13, 15—20. С. Скипта (Новокиевский Увал) 5, 6. Я. Слепян (Москва, уч. X кл.) 2—5, 7, 8, 12, 14—16, 18—20. Д. Слуцкий (Мелитополь, уч. X кл.) 1, 3, 8, 13, 15, 16, 19, 20. П. Смыков (Усмань) 10, 18. А. Соловьев (Калинин) 1—20. М. Сорокин (Загорск) 1—3, 6, 8,10, 11, 13—16, 18,20. Б. Станиславский (Нагортов, уч. IX кл.) 10, 18. И. Столяров (Барвинск) 1—3, 7, 8, 13, 15, 19, 20. И. Судзиловский (Родники) 1, 2, 5, 6, 8, 10, 11, 13—18, 20. А. Тайманов (Уральск) 2, 5, 13. В. Тевдорадзе (Кутаисский р-н) 8, 14, 15. Л. Теплюк (Березнеговатое) 1, 2, 6-8, 10, И, 15, 17, 18, 20. /7. Титов (Тюмень) 1, 2—4, 6—8, 10—20. Я. Трайнин (Новосибирск) 1, 2, 5, 6, 8—10, 12, 13, 15—20. А. Триодин (Егорьевск) 2, 5, 10, 15-18. X. Умяров (Ак-Мечеть) 15. Р. Урманичев (Билярский р-н) 1, 8. Г. Филичкин (Ядрин) 1, 2, 5, 6, 8-10, 13, 15-17, 19, 20. С. Фитерман (Бабынино) 1—3, 5, 6, 8—13, 15, 16, 18—20. И. Футер (Орджоникидзеград) 1, 7, 13, 15, 17, 20. В. Цветков (Ворошиловград) 8, 12, 15, 16, 18. Е. Цигуля (Тирасполь) 15, 18. Л. Хабад (Баку) 1—3, 5-10, 12—18, 20. И. Харламов (Елец) 1—13, 15—20. Е. Хвастовский (Сталинград) 1, 2, 4—6, 8, 10, 13,15, 16, 18, 20. Е. Холодовский (Ленинград) 1, 2, 5—10,12, 13, 15—20. К. Хоченко (с. Варовичи) 1, 8, 15, 20. Я. Чмиль (Благоево) 16, 17, 19. Ф. Черкасов (Бузулук) 1, 5, 6, 9, 10, 12, 13, 16—20. Ф. Чекалин (Скопин) 1, 2, 8, 19. С. Чуканцов (Брянск) 1, 13, 15, 16, 19, 20. Я. Чучко (Донбасс) 1, 8, 15, 19. В. Шаталин (ИошкарОла) 1, 2, 5, 8, 16, 19. Л. Шайдуллин (Новоякупово) 1, 6, 8, 10, 15, 16. Я. Шачарин (Уфа) 1, 8, 16, 19. Я. Шаргородский и С. Микитинский (Тульчин) 1, 8, 10,12, 15-18. М. Шебаршин (Медвежья Гора) 1, 2, 4—10, 12, 13, 15—20. В. Шевченко (Ворошиловск) 1—3, 6, 8, 13, 14, 16. М. Шевченко (Новоаврамовка) 6, 7, 8, 10, 12, 18-20. И. Шевяков (Свободный) 8. И. Шилин (Новотомниково) 2. И. Шкляев (Удмуртская АССР) 1, 19. А. Шнейдер (Саратов, уч. IX кл.) 1, 8. А. Ш у ль чан (Житомир) 8, 13, 15, 16, 19, 20. Я. Щепанский (Петергоф, уч. X кл.) 1, 6,8, 15, 18. Е. Эльштейн (Москва) 1, 4—6, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18—20. Ф. Эрлих (Днепропетровск) 8, 15. Д. Юрьев (Бобров) 1, 17. И. Яворский (Москва) 2, 8, 13, 16. А. и И. Яглом (Москва) 1—20. 3. Языкова (Новый Белоус) 1, 2, 8, 13, 17, 19. К. Яржемский (Горький) 1, 2, 8, 13, 19.

СВОДКА.ПО № 2 1938 г.

В. Азибаев (Спасск) 36. Е. Алмазова (ст. Торбеево) 22, 25, 30 — 32, 36, 39, 40. А. Аляев (Ст. Башмаково) 21—23, 26, 27, 29—32, 34—36, 39, 40. Л. Амбарцумян (Кировакан) 31, 32, 39. Б. Андреев ГСт. Исиль-Куль) 21—24, 26, 27, 29, 31—40. С. Андреев (Торжок) 21—26, 28—36,38. Я. Анфиногенов (с. Паклино) 21, 22, 32, 36, 38. А. Арефьев (Винница) 22, 32, 36. Н. Арсеньев (Ярославль) 21—23, 26—37, 39, 40. В. Архипов (Москва) 39, 40. Г. Ахвердов (Ленинград) 21, 22, 24, 26—40. И. Бакулин (Харьков) 25, 32—34, 40. В. Вельский (Щелково) 23, 30—32, 34, 36. В. Бельт (Яблонов) 36. С. Бердичевский (?) 22, 24, 27, 28, 31, 32, 35-37, 39. В. Берестовский (Новоград-Волынск) 22, 24, 32, 36, 40. Б. Вернадский (Свирьстрой) 22, 32, 36. Я. Бессонов (Злынка) 22, 27, 32, 36. А. Благонравов (Ряжск) 21—24, 26—40. 3. Блинов (Казань) 21, 22, 26, 32, 36. Г. Бобылев (ст. Дубна) 22. Б. Боголюбов (Ульяновск) 21, 22, 28, 30, 32, 33, 36, 37, 39, 40. Я. Богуславский (Мурафа) 22, 36. Я. Бородуля (Москва) 22, 27, 33, 36—40. Е. Бугулов (Орджоникидзе) 21, 22, 29, 31, 32, 36, 39. Я. Бурштейн (Кременчуг) 21, 22, 24—26, 31, 32, 34-36, 39-40. Я. Введенецкий (Георгиевка) 21—28, 30-36, 38-40. М. Виноградов (Тихоновка) 22, 32. А. Владимиров (Ялта) 21—24, 26—40. А. Воронцов (Нолинск) 21, 22, 24—30, 32, 35, 36, 40. В. Гильц (Остяко-Вогульск) 21—23, 26—29, 31—34, 40. A. Гинесин (Ленинград) 21, 22, 29—32, 34—37, 40. Я. Голайдо (Новозыбков) 22—24, 30, 31, 35, 36, 39, 40. В. Голиков (Токаревка) 21, 22, 24- 27, 29—32, 34—40. В. Голубев (Кувшино-, во) 21, 22, 24—26, 28, 29, 31, 32, 34, 36—40. Я. Гольчан (Харьков) 21, 22, 24, 26, 28, 31 — 33, 35, 36, 40. С. Городов (Ленинград) 21—24, 26—28, 31-40. М. Гофман (Загорск) 21, 23, 32, 36, 40. Я. Григорьев (Вурман-Кибек) 22, 36. B. Гроховский (Красково) 22, 31, 36. Я. Гурский (Калиновка) 21, 22, 31—32, 35, 36, 40. Р. Гут (Молочанск) 31, 32, 36. О. Далее (Тюмень) 22, 23, 32, 36. С. Дикий (Васюково) 21,

22, 29, 31, 32, 35, 36. Н. Доброгай (Мелитополь) 21, 22, 36, 40. Ф. Донцов (Горки) 22, 29, 39, 40. П. Дубицкий (Севастополь) 21, 22, 24, 26—40. И. Дубков (Киев) 21, 22, 23, 26, 28, 29, 32, 34, 36, 37. А. Дубровин (Шумерля) 22, 30— 32, 36, 40. Б. Дудолькевич (Пятигорск) 22, 29, 30, 32, 35, 40. А. Дунаевский (Ржевск) 21, 22, 30—32, 35, 40. М. Ввсович (Одесса) 22, 30—32, 36. T. егоров (Батырево) 22, 32, 36. М. Епископосян (Джрабертский р-н) 36. Н. Есипович (Ленинград) 21, 22, 24, 26, 28—36, 38—40. Ш. Зайнулин (Явленко) 22, 36. К. Закусило (Мелитополь) 21—23, 25—37, 39, 40. Н. Захаров (Ишаки) 21, 22, 26, 28, 29, 31, 32, 34—36, 38. В. Зяблицкий (Малинин) 22. Ф. Ибрагимов (Свияжск) 22, 32, 36. А. Иванов (Торопец) 21, 22, 24—32, 34—40. Л. Израилевич (Киев) 21—23, 25—27, 30—32,35—37, 39, 40. С. Илларионов (Рунгинская с. ш.) 21, 22, 25, 29, 30, 36. Н. Ишмаев (Мелекесс) 21, 22, 26, 27, 31, 32, 34, 36, 38, 40. Л. Каган (Минск) 21-24, 26, 29—36, 40. В. Камендровский (Оренбург) 21—40. Г. Капралов (Горький) 21, 22, 24, 25, 27, 29—32, 34—36, 40. К. Карпенев (Калуга) 21, 22, 32, 36. Б. Кашин (Ярославль) 21, 22, 24, 26—28, 30—40. М. Кекелия (Бандза) 21,22,24— 32, 34, 36, 37, 38, 40. Г. Кипнис (Долгинцево) 21, 22, 26, 29, 32. Е. Кирокосян (Ереван) 21— 40. К. Кириллов (Казань) 21—40. Н. Кириллов (Ярославль) 21, 22, 26, 31—33, 35, 36, /7. Китайгородский (Москва) 21, 22, 24, 26, 30—34, 36, 37, 38, 40. И. Клейман (Широковский р-н) 32, 36. Б. Кобылин (Галич) 21—40. Г. Коган (Запорожье) 21, 23, 28, 30, 31, 36. С. Колесник (Харьков) 21—36, 38—40. Г. Колосов (Орджоникидзе) 22, 31, 36, 39. И. Кононов (Москва) 22, 36. Г. Костава (Кутаиси) 21, 22, 26, 31, 32, 36, 40. А. Костовский (Мелитополь) 21—23, 25—32, 35—37, 40. Е. Костюков! и Е. Сапунцов (Ленинград) 21, 22, 24, 27—34, 36-40. И. Кошаровский (Киев) 21—40. И. Кравцов (Мелитополь) 22, 31, 36. Н. Кравченко (Ольшана) 21, 29, 30, 31, 32, 36. В. Кременский (Ленинград) 21, 22, 26, 31—36. С. Кривошеин (Сысольский р-н) 22, 31, 32, 36. В. Крикунов (Казань) 22, 32, 36, 40. В. Крутовцев (Моршанск) 23, 36. В. Крылков (ст. Екатериновка) 22, 32, 36. В. Кузюков (Емелькино) 32. И. Кулаков (Бугуруслан) 21—23, 25—40. С. Кулибин (Тагай) 21, 22, 29, 32, 36. В. Кунахович (Лосиноостровск) 21, 32, 36—38. Е. Куницын (Новоржев) 21, 22, 26, 30, 31, 35, 36, 38, 40. Л. Куриленко и В. Ольчедаев (ст. Котюжаны) 22, 32, 36, 37, 39. П. Кутин (Москва) 21, 22, 24—29, 31, 32, 35—37, 40. //. Лабунец (Орджоникидзе) 22, 24, 27, 28, 31, 32, 36, 39, 40. М. Ладынин (Ржев) 21—23, 25—27, 29, 30, 32, 36, 40. А. Лахомский (Александров) 22, 36, 40. Л. Лебедев (Кувшиново) 21, 22, 29—32, 36. П. Леванов (Казахстан) 22, 32, 36, 37, 40. А. Левин (Алма-Ата) 22, 23, 25, 27, 30—32, 35, 36, 39, 40. А. Левкович (Мценск) 21—23, 29—32, 34—40. И. Лернер (Одесса) 21, 36. В. Лимонов (Москва) 22, 24,31,32, 34— 36, 39. Г. Лобжанидзе (Геби) 36. А. Логашов (Саловка) 21—28, 30—32, 34—40. А. Лосицкий (Новозыбков) 22, 24, 31, 32, 35, 36, 39, 40. Е. Малинин (Сабурово) 21, 22, 29, 30, 32, 40. М. Малиновский (Смоленск) 22, 36, 38. Н. Марков (Ленинград) 21, 22, 31, 34. Е. Марчевская (Харьков) 23, 24, 28, 31, 34, 39. К. Матвеев (Кинель-Черкассы) 21—23, 26, 27, 29—34, 36, 37, 40. 7. Медведев (Урюпинск) 21—23, 26, 29, 30, 32, 35—39. А. Межибовский (Одесса) 31, 32, 36, 40. М. Месяц (Житомир) 21—28, 30—37, ЗЭ. П. Метелицына (Михайлов) 22, 24, 27—29, 31—33, 35, 36, 38, 40. П. Милов (Люблино-Дачное) 21—40. Б. Милорадов (Рыбинск) 21, 22, 27, 29, 32, 33, 36, 37, 40. А. Миненко (Нальчик) 21—25, 27—38, 40. A. Мирхайдоров (Мензелинск) 22, 32. Г. Мискарян (Кировабад) 21, 22, 24—28, ЗЭ—40. К. Михельсон (Башанта) 21, 22, 31, 32, 34—37, 39, 40. Г. Мовсес (Мартуни) 22, 36, 37, ЗЭ. B. Моисеев (Омск) 21, 22, 26, 29, 31, 32, 34— 36, 40. А. Мусин (Бугуруслая) 22, 36. Д. Мхеидзе (Кутаиси) 22, 36. И. Настека (Мелитополь) 36. Несмеянова (Таганрог) 21, 22, 26, 28, 31—40. А. Николаев (Ярцево) 22, 36. Л. Овчинников (Сталинград) 21, 22, 24, 27, 28, 30—34, 36, 38, 40. О. Оганесян (Наримановский р-н) 21, 22, 25—28, 30—32, 36, 39, 40. А. Оглоблин (Спас-Кокшеньга) 32, 36. Г. Олейник (Зеньков) 22, 36. С. Осипенко (Гуляй-Поле) 22, 36. И. Панасенко (Мелитополь) 21, 22, 27, 31, 32, 36, 39. Н. Панкратова (Серпухов) 22, 31, 36, 39. А. Панов (Колодня) 31 36, 40. Р. Панфилов (Пенза) 21-40. А. Патрушев (Арамиль) 22, 23. Б. Пеньковский (Казань) 21, 22, 26, 27, 29, 30, 32, 35, 36. У. Попелюхер (Чечельник) 21—25, 28—31, 33, 35, 36. П. Попов (Курилово) 21, 22, 26, 29, 30, 32, 35, 36. П. Постников (Рязань) 21—24, 26—29, 31—38, 40. Е. Потапов (Коломна) 21—40, Н. Принцев (Старая Русса) 21—27, 29-39. А. Пузырь (Ленино) 32, 36. Л. Пулль (Ленинград) 31, 32, 36. Г. Ревякин (Ленинград) 36, 37, 39. И. Реичхен (Энгельс) 22, 31, 32, 36, 39. Г. Ржавский (Фролов) 21—28, 30—37, 39. Р. Рубинштейн и Г. Давыдов (Ашхабад) 21, 22, 30, 32, 36. Ф. Саблуков (Москва) 21—40. И. Савченков (Усолье) 21—24, 31, 32, 35, 36. С. Садыков (Баку) 22, 36. Н. Сандров (Старый Крым) 21—34, 36, 37, 39, 40. Г. Саркисьянц (Москва) 22—27, 31—33, 35—38, 40. М. Сененко (Скоморошки) 22, 32, 36. М. Сенькина (Могилев) 21, 22. Л. Сидоров (Джизак) 21—23, 26, 27, 29—32, 34, 36—40. Б. и С. Синакевичи (Ленинград) 21—38, 40. К. Ситников (Кузбасс) 21—28, 30—34, 36—40. C. Скирта (Новокиевский Увал) 21, 26, 29, 32, 36. 77. С чоленчук (Березняки) 21, 22, 25, 32, 36, 39, 40. И. С коляков (Барышский р-н) 21, 22, 26, 29, 31, 32, 35, 36. П. Смыков (Усманъ) 22, 36. Л. Соловьев (Калинин) 21—40. Я. Спектор (Житомир) 22, 24, 27, 30, 31. Л. Срулевич (Одесса) 22, 31, 32, 34, 36, 40. Б. Станиславский (Березнеговатое) 21, 22, 26, 30—32, 34. Н. Столяров (Порецкое) 21, 22, 24, 28, 36—39. И. Судзиловский (Родники) 21, 22, 25—27, 29—40. Л. Татаринов (Иркутск) 22, 35, 41 В. Тимофеев (ст. Пролетарская) 32, 36. Д. Толмачев (Кисловодск) 21, 22, 32, 36. Я- Трайнин (Новосибирск) 21—24, 26—29, 31, 32, 34-36, 39, 40. М. Тругман (Константиновка) 22, 36. Л. Тужиков (Дмитровичи) 21, 26, 29, 32. X. Умятое (Ак-Мечеть) 22, 32, 36. В. Ураевский (Кузнецк) 40. Р. Урманичев (Билярский р-н) 22, 32, 36, ЗЭ. И. Усачев (Платнировская ст.) 22, 27, 36, 40. Е. Уткин (Златоуст) 32, 35. Л. Филиппенко (Березнеговатое) 36. Г. Филичкин (Ядрин) 21, 26, 32, 34—36, 39, 40. С. Фитерман (Бабынино) 21, 22, 26, 29, 31—34, 36-38, 40. Л. Фридман (Симферополь) 21. И. Харламов

(Елец) 21—27, 29—37, 39, 40. В. Хачатрян (Кущи) 22, 32, 36. Л. Ходжабекян (Баку) 36. Е. Холодовский (Ленинград) 21—24, 26—40, К. Хоменко (Варовичи) 21, 22, 26, 30, 32, 36, 40. Е. Цигуля (Тирасполь) 31, 32, 36. М. Циммерман (Сталино) 21—23, 26, 28, 29, 31, 32, 34, 36, 40. Й. Чсравуй (Татищев) 22, 29, 32. А. Чечин (Люблино) 21-34, 36—40. И. Чучко (Орджоникидзе) 22, 31, 32, 36, 39. А. Шайдуллин (Асекеево) 22, 31, 32, 34, 36—38. Л. Шайман (Одесса) 22, 31, 32, 36. П. Шамарин (Уфа) 21, 22, 2Э, 32, 36. Г. Шапошников (Егорьевск) 22, 36. 3. Шаргородский и Микитенский (Тульчин) 22, 32, 36, 37. 3. Шарифуллин (Казань) 21, 22, 26, 27, 29—38, 40. С. Шварц (Кролевец) 36. М. Шебаршин (М. Гора) 21—40. М. Шевченко (Новоабрамовка) 21, 22, 24, 31, 32, 36—40. Я- Шор (Тула) 21, 22, 29—32, 34, 36, 40. С. Штернберг (Умань) 22, 28, 32, 36. И. Шепантий (Новый Петергоф) 22, 24, 31, 32, 36, 40. Ф. Эрлих ( ?) 22, 24, 32, 36. И. Юркевич (Речица) 22, 36. А. и И. Яглом (Москва) 21—40. А. Якобсон (Москва) 22.

ЗАДАЧИ

От редакции. Ввиду все увеличивающегося притока решений задач редакция убедительно просит соблюдать следующие правила.

1. Решения задач присылать отдельно от всякой другой корреспонденции и отдельно по каждому номеру журнала. (Присылаемые решения рассматриваются только через 2 — 3 месяца по напечатании задач и этот же срок лежат и все присылаемые вместе с решениями замечания, запросы и пр.)

2. Решения писать четко и разборчиво. Особенно четко отделять одну задачу от другой, выделять (кружком или более крупным шрифтом) номер задачи. Номер должен быть тот, под которым задача напечатана.

3. Решение каждой задачи подписывать. Если решения идут не в порядке нумерации, то желательно, чтобы в начале их были перечислены номера присылаемых решений.

4. Срок присылки решений — 3 месяца со дня подписания соответствующего номера журнала к печати (эта дата печатается в «выходных данных» в конце журнала или на обложке).

81. Доказать, что во всяком треугольнике имеет место соотношение

И. Голайдо (с. Красная Гора).

82. Найти сумму внутренних (острых) углов пятиконечной звезды.

И. Голайдо (с. Красная Гора).

83. Найти четырехзначное число кухи, если

И. Голайдо (с. Красная Гора).

84. Если к пятизначному числу приписать слева число на единицу меньшее, то полученное десятизначное число является точным квадратом. Найти числа, удовлетворяющие этому условию

Е. Киракосян (Ереван).

85. Даны две вершины квадрата. Найти остальные две вершины при помощи только циркуля.

Е. Киракосян (Ереван).

86. Доказать неравенство:

где Л, В, С— углы треугольника. Показать затем, что

В. Крылов (ст. Екатериновка).

87. Доказать что во всякой трапеции

где а и Ь — основания трапеции; р и q — непараллельные стороны; m и п — диагонали.

Р. Осминин (с. Опочня).

88. Если в произвольном четырехугольнике ABCD опустить на AD перпендикуляры BE, CF и ОН (где О — точка пересечения диагоналей), то площадь этого четырехугольника

Ф. Саблуков (Москва).

89. Доказать, что уравнение Зл:2 + 8 = _у* не имеет целых решений.

Г. Филичкин (Ядрин).

90. Решить задачу Региомонтана: Найти три числа, сумма которых равна 116, а сумма их квадратов равна 4624.

Г. Филичкин (Ядрин).

91. Доказать, что во всяком треугольнике имеет место соотношение:

С. Фитерман (Бабынино).

92. Даны высота, биссектриса и медиана проведенные из одной и той же вершины треугольника. Найти R — радиус описанной окружности.

С. Фитерман (Бабынино).

93. Решить систему уравнений:

С. Фитерман (Бабынино).

94. Построить четырехугольник ABCD по данным AD, ВС, углу между AB и CD, углу между AD и ВС и одной из диагоналей.

М. Шебаршин (М. Гора).

93. Найти все шестизначные числа, удовлетворяющие следующим условиям:

1. Искомые числа — точные квадраты.

2. Если разбить эти числа на три грани по две цифры, то сумма трех полученных двузначных чисел будет точным квадратом.

3. Если написать числа в обратном порядке цифр и снова разбить их на три грани, то сумма и этих трех двузначных чисел будет точным квадратом.

М. Шебаршин (М. Гора).

96. На сторонах угла АОВ откладываются отрезки ОМ и ON, такие, что СШ+ОМ = const. Найти геометрическое место точек, делящих отрезки MN в данном отношении.

И. Яглом (Москва),

97. Найти диаметр круга, в сегменте которого, соответствующем хорде длиной в ]/“ 21 см, вписан квадрат со стороною в 1,4 см.

М. Кекелия (Бандза).

98. Найти шестизначное число, три последние цифры которого те же, что и три первые, но написанные в обратном порядке. Сумма цифр его точного квадратного корня равна 17.

М. Кекелия (Бандза).

99. Какой из описанных около шара конусов имеет наименьший объем?

Д. Гилилов (Махач-Кала).

190. Доказать, что выражение 2д2+3£2+6с2 есть сумма трех квадратов.

Д. Гилилов (Махач-Кала).

К СВЕДЕНИЮ ПОДПИСЧИКОВ

По всем вопросам подписки — перемена адреса, неполучение журналов и т. д. — просим обращаться по месту сдачи подписки в КОГИЗ или на почту. В случае неразрешения вопроса на месте следует обращаться в Бюро претензий предприятий связи. Издательство и редакция подписки на журнал не принимают и не экспедируют его. Этим всецело ведают органы связи.

При обнаружении дефекта в номере журнала просим прислать его для обмена по адресу: Москва, Столешников, 5, Отдел Периодических изданий Учпедгиза.

Издательство

СОДЕРЖАНИЕ № 5-6

Стр.

Учителям начальных, неполных средних и средних школ, работникам политико-просветительных учреждений и учителям школ взрослых 1

I Н. А.Извольский |_

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

Проф. В. Н. Депутатов — Основания геометрии 4

В. Маловичко — Инверсия прямой и окружности_ 26

I Проф. Н. А. Извольский I—Об одном применении метода инверсии 36

М. Шевелев —Графическое решение квадратных уравнений при помощи окружности и по способу прямых углов_ 38

МЕТОДИКА

Проф. И. Чистяков — Теория пределов и ее приложения в средней школе_ 41

B. Серговский — Вычисление п в средней школе_ 56

М. Грабовский и П. Котельников —Задачи на составление тригонометрических уравнений____,_ 71

ИЗ ОПЫТА

C. Чуканцов — Научить учиться___ 80

Г. Поляк —К итогам испытаний по арифметике _ 87

ОТКЛИКИ НА СТАТЬИ

Л. Круповецкий — К вопросу о разложении квадратного трехчлена на множители__91

КРИТИКА и БИБЛИОГРАФИЯ

Проф. К. М. Щербина — Критический обзор программы средней школы по математике НКП РСФСР 1938 г. _92

Г Проф. Н. А. Извольский“] — Об учебнике геометрии_ 105

И. Колубовский и М. Львович — Литература по истории математики, вышедшая в СССР за двадцать лет__110

Проект плана выпуска литературы на 1939 г. по редакции математики Учпедгиза_ 121

Решения задач.

Сводки решений задач по N№ 1 и 2 за 1938 г.

Задачи

Отв. редактор А. Н. Барсуков

Техред. Е. Пергаменщик

Адрес редакций: Москва, Орликов пер.. • 3. Учпедгиз, Периодсектор, журн. «Матем. в школе»,

Уполномоч. Главлита РСФСР JV« Б — Ь2049. Сдано в произв. 13/Х 1938. Форм. 70 X 107/«. Учгиз 10552. Подп. к печ. 11/XI 1938 г. 8Va п. л. 17 авт. л. 80 000 зн. Тир. 45000. Зак. 1240.

18-я тип. треста Полиграфкнига», Москва, Шубинский пер., 10

Цена 2 р. 50 к.

ОТКРЫТА ПОДПИСКА на 1939 год

НА ЖУРНАЛ „МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ“

Орган Наркомпроса РСФСР

6 номеров в год

Задача журнала: помощь преподавателям средней школы в повышении, их научной и методической квалификации.

Журнал имеет разделы:

1. Научный (углубленное изложение тем курса средней школы, популяризация новых математических дисциплин, статьи по истории математики).

2. Методика (методические разработки по отдельным темам курса математики средней школы и статьи по вопросам общей методики).

3. Из опыта (статьи и заметки педагогов-практиков).

4. Критика и библиографа (анализ стабильных учебников, аннотация вновь выходящих книг, указатель литературы по темам).

5. Задачи и решения задач.

Журнал рассчитан на преподавателей математики и студентов педвузов.

ПОДПИСКА ПРИНИМАЕТСЯ ПОВСЕМЕСТНО «СОЮЗПЕЧАТЬЮ» И ВСЕМИ УЧРЕЖДЕНИЯМИ СВЯЗИ. К СВЕДЕНИЮ ОДПИСЧИКОВ — ИЗДАТЕЛЬСТВО И РЕДАКЦИЯ ЖУРНАЛА ПОДПИСКИ НЕ ПРИНИМАЮТ.

ПОДПИСНАЯ цена:

на 12 мес—7 р. 50 к. на 6 мес.—3 р. 78 к.