МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

4

1938

НАРКОМПРОС ~ МОСКВА ~ УЧПЕДГИЗ

СОДЕРЖАНИЕ № 4

Стр.

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

И. Яглом — О некоторых свойствах правильного многоугольника 1

С. Лебензон — О целочисленных треугольниках......... 11

МЕТОДИКА

Л. Круповецкий — Задачи из современной жизни. ........ 14

В. Матышук — Первые уроки по алгебре.......... . 19

Н. Милковский — Относительные числа ............ 26

А. Барсуков — Разложение алгебраических выражений на множители ..... ............... 34

A. Маргулис Прогрессии ........... 43

ИЗ ОПЫТА

B. Снигирев — О решении геометрических задач на вычисление 48

A. Зотова —Разложение квадратного трехчлена на множители первой степени .... ................... 57

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

B. Крогиус — О методике тригонометрии В. В. Репьева .... 61

Стабильные учебники по математике (Средняя школа) (Заключение редакции математики Учпедгиза)........... 66

C. Новоселов — Обзор новых книг............... 69

ЗАДАЧИ

Решение задач по № 1 за 1938 г.

Задачи

Сводки

К СВЕДЕНИЮ ПОДПИСЧИКОВ

По всем вопросам подписки — перемена адреса, неполучение журналов и т. д.—просим обращаться по месту г дача подписки в КОГИЗ или на почту. В случае неразрешения вопроса на месте следует обращаться в Бюро претензий предприятий связи. Издательство и редакция подписки на журнал не принимают и не экспедируют его. Этим всецело ведают органы связи.

При обнаружении дефекта в номере журнала просим прислать его для обмена по адресу. Москва, Столешников, 5, Отдел Периодических изданий Учпедгиза.

Издательство.

ОПЕЧАТКИ

Пролетарии всех стран, соединяйтесь!

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

4

1938

ИЮЛЬ- АBГУСТ

УПРАВЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ПРАВИЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА

И. ЯГЛОМ

(ученик X класса 114 шк. Москва)

I

Разделим окружность на 2 равные части и будем соединять произвольные точки окружности М, Mv М2... с точками деления At и А2. Расстояния от разных точек окружности до точек AL и А2 будут, конечно, различны, суммы расстояний до обеих этих точек тоже будут меняться, но независимо от положения точки M на окружности, сумма квадратов расстояний от нее до точек А1 и А2 будет постоянна и равна

(1)

Разделим окружность на 3 равные части (впишем в нее правильный треугольник) и вычислим сумму квадратоз расстояний от какой-нибудь точки окружности до вершин треугольника Ai9 Л2, Л3. Пусть точка M лежит на дуге Лг43. Докажем предварительно, что MА2 = MAL + MЛ3. Это довольно известное соотношение имеет несколько доказательств. Простейшее из них следующее: положим АХА2 = А2А$ = = /13.4! = я. Применим теорему Птоломея к четырехугольнику ЛГ4243М; получим

откуда

Из этого равенства следует, что

(1)

Из треугольника М4143 по теореме косинусов имеем

Черт. 1

Черт. 2

сравнивая полученный результат с равенством (1), получаем

Так как сторона правильного треугольника, вписанного в круг радиуса /?, равна /?]/3, то

(II)

т. е. сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин правильного треугольника, вписанного в эту окружность, есть величина постоянная, равная б/?2.

Посмотрим теперь, чему равна сумма квадратов расстояний от произвольной точки окружности до вершин вписанного в нее квадрата. Вычисляется это очень просто.

Из треугольника MАХАЬ :

Из треугольника MA2Aé:

(Ш)

II

Сопоставляя равенства (I), (II) и (III), мы легко можем подметить некоторую закономерность. А именно, мы видим, что для ft = 2, 3, 4 — сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин вписанного в нее правильного л-угольника есть величина постоянная, равная квадрату радиуса окружности, умноженному на удвоенное число сторон.

Докажем справедливость этой теоремы для всякого п.

Для того случая, когда п — четное число, доказательство теоремы совсем просто. Обозначим вершины многоугольника через Аи А29 Л3,..., A2k.

Тогда точки Ах и Ak+t; А2 и + Л3 и Ak + z\ Ak и A%k будут лежать на концах одного диаметра.

Следовательно, если M — произвольная точка окружности, то

Для доказательства же этой теоремы при произвольном п воспользуемся другим приемом.

Предположим, что наша точка M находится на дуге, соответствующей стороне AnAt правильного многоугольника

Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5

AtA2Az . . . An. Конечно, это предположение не понижает общности доказательства. Положим

тогда

Здесь мы рассматриваем не наименьший из углов MOAk, а угол, отсчитываемый от ОМ к OK против часовой стрелки. Понятно, что некоторые из этих углов будут больше тт.

Из равнобедренных треугольников M OAk (где Ä = l, 2, 3 . . . , п), найдем, что

если и

если

Но так как

то можно считать, что всегда

Отсюда для случаев k = 1, 2, 3, получаем:

Нам надо вычислить сумму квадратов всех этих отрезков, т. е. сумму

что сводится к суммированию тригонометрического ряда

Воспользуемся формулой:

По этой формуле:

Для вычисления суммы ряда

умножим все члены его на

Но

а так как

откуда

Как было показано выше, сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин вписанного в нее правильного /2-угольника равна 4/?2S; следовательно, она равна

Воспользуемся формулой:

отсюда

Таким образом мы убедились, что для всякого правильного многоугольника справедливо соотношение

(А)

где Aif А2у Л3, . . . , Ап—вершины многоугольника, M—лю1ая точка описанной окружности и R — радиус этой окружности.

Для вывода нашей теоремы мы воспользовались рядом

Сам по себе этот ряд также интересен. Он, как кажется, представляет из себя функцию от двух величин а и п\ на са-

мом деле его величина не зависит от а. Если мы примем п = 2, этот ряд даст

или

где

т. е. он представляет в некотором смысле обобщение этого известного свойства функций угла.

Ту же формулу (А) можно получить из рассмотрения иного ряда. Соединяя точки M и Âl9 с какой-нибудь точкой Ak (поль-

зуясь прежними обозначениями), из треугольника MAtAk по теореме синусов имеем:

Если положим, как выше, число сторон многоугольника — п и угол MOA1 = ct, то

Отсюда:

Но из равнобедренного треугольника МОА1 легко получить, что

и, следовательно.

отсюда

Выведем теперь несколько следствий из нашей теоремы. Прежде всего мы можем

легко обобщить ее. Именно, нетрудно доказать, что если п кратно k, или п = kl, то суммы

все равны 2//?2.

Это положение непосредственно вытекает из приложения полученной выше теоремы к правильным /-угольникам

Черт. 6

Черт. 7

В частном случае это обобщение даст: в правильном многоугольнике с четным числом сторон сумма квадратов расстояний от любой точки описанной окружности до четных вершин равна сумме квадратов расстояний от нее до нечетных вершин.

Это равенство любопытно сопоставить со следующим, справедливость которого доказывается в статье С. И. Зетеля в № 8 «Математического просвещения»:

в правильном многоугольнике с нечетным числом сторон сумма расстояний от любой точки описанной окружности до четных вершин равна сумме расстояний от нее до нечетных вершин.

С помощью той же теоремы легко вычислить сумму квадратов диагоналей и сторон правильного многоугольника. Действительно, предположим, что точка M совпа/ia с вершиной Аи многоугольника.

Тогда мы имеем:

Если сложить все эти равенства, то в левой части квадрат каждого отрезка будет повторяться 2 раза (AtAj2 и AjA2). В правой же части получится 2n2R2 (всего п равенств). Сокращая обе части на 2, мы найдем следующее простое выражение суммы квадратов всех сторон и диагоналей правильного многоугольника

Непосредственной проверкой можно убедиться, что действительно для треугольника эта сумма равна 9/?22;

» квадрата » » » 16/?2;

ъ правильного шестиугольника » Зб/?2.

III

Выше мы показали, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности, описанной вокруг правильного многоугольника, до его вершин есть величина постоянная. Обобщим теперь эту теорему для любой окружности, центр которой совпадает с центром многоугольника, т. е. докажем, что сумма квадратов расстояний от любой точки плоскости до вершин правильного многоугольника, расположенного в этой плоскости, зависит лишь от расстояния данной точки до его центра.

Пусть имеем точку М, расстояние МО от которой до центра правильного многоугольника АХА2 . . . Ап равно / (на чертеже мы взяли />/?). Обозначим через А\и ближайшую к M точку пересечения МО с окружностью, описанной вокруг многоугольника. Пусть АхВи А2В29... ,АпВп — перпендикуляры, опущенные из вершин многоугольника на МО, тогда из тупоугольных треугольников МА1Ми МА2Ми. л.9МАпМ1 найдем

Суммируя эти равенства, получим:

Но, по доказанному выше

а из чертежа видно, что Следовательно,

Итак наша задача сводится к нахождению суммы

Черт. 8

Для случая, когда п число четное (п = 2k) эту сумму можно найти чисто геометрически. Возьмем 2 вершины Ai и Аь+и лежащие на одном диаметре. Тогда

Следовательно,

откуда

Значит, в этом случае

То же самое можно доказать и для общего случая, пользуясь другим приемом. Обозначим ^MfiA^ через а, тогда, отсчитывая г^тМ1ОАк от М\0 к OAk против часовой стрелки, найдем

Учитывая знаки отрезков OBk (положительными считая отрезки, расположенные вправо от 0), из треугольников

А,ОВ^ А2ОВ2; АъОВь . . . АпОВп,

получим

Но как уже было доказано (стр. 4),

откуда

Аналогично этому можно убедиться, что этот результат верен и для случая

Черт. 9

Черт. 10

Если точка M находится на описанной окружности, то / = /? и мы получаем формулу (А).

Легко доказать, что последняя теорема верна и в том случае, когда точка M находится вне плоскости правильного многоугольника.

В этом случае, опуская перпендикуляр MMV на плоскость AXA2AZ . . . Ап, по теореме Пифагора будем иметь

По доказанному выше

где 0 — центр многоугольника. Так как

IV

Выше было показано, чему равна сумма квадратов расстояний от любой точки окружности, описанной вокруг правильного многоугольника, до его вершин. С. И. Зетель в статье, о которой упоминалось выше, вывел формулу для суммы этих расстояний. Дааим теперь выражение для произведения тех же отрезков. Как мы уже доказали, если точка M лежит на дуге АхАп окружности и /\МОАл = то

то и в этом случае

Следовательно

Для вычисления произведения синусов воспользуемся разложением на множители выражения

Это выражение есть квадратный трехчлен относительно хп, корни его

Корни выражений

легко найти по правилам решений двучленных уравнений, они равны

и, следовательно,

Черт. 11

Следовательно

Но

Откуда

Это равенство справедливо при всех значениях х; положим в нем х=\. Тогда мы получим:

Но

и, следовательно,

Отсюда следует, что

где а= / МОЛ,.

Пользуясь этим равенством, легко вычислить произведение всех сторон и диагоналей правильного многоугольника.

Отсюда вытекает, что

Аналогично

Если перемножим все эти равенства, то в левой части каждый отрезок будет встречаться 2 раза (A{Aj и AjA{), в правой же части получим пп Rn к*—1) (всего п равенств).

Извлекая из обоих частей квадратный корень, получим равенство

Мы знаем, что

отсюда следует, что

Предположим, что точка М. неограниченно приближается к А19 понятно, что в этом случае произведение МА2-МА%... МАп будет стремиться к AtA2-Л1Л3... АхА.п С другой стороны а-»0 и, следовательно,

где ïlA^j—произведение всех сторон и диагоналей правильного /2-угольника.

Для правильного треугольника искомое произведение равно

Для квадрата

и

искомое произведение

Для правильного шестиугольника будем иметь

О ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ТРЕУГОЛЬНИКАХ

С. ЛЕБЕНЗОН (Одесса)

I. О ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ТРЕУГОЛЬНИКАХ

Пусть х9 у и z выражают стороны треугольника, a s — его площадь. Поставим себе задачей найти такие выражения для Ху у, Z и s, что, подставляя вместо параметров целые числа, мы получали бы целые значения для х, у> z и 5.

Прежде всего заметим, что если стороны и площадь треугольника выражены рациональными числами, то как высоты треугольника, так и отрезки, образуемые ими на соответствующих сторонах, тоже выражаются числами рациональными.

Действительно, из равенств:

где hx — длина высоты, опущенной на сторону, равную х, а р — один из отрезков этой стороны, следует, ввиду рациональности чисел X, у, z и s, что hx и р — числа рациональные.

Проведем в треугольнике ABC (черт. 1 и 2), стороны и площадь которого выражены рациональными числами, высоту к стороне АС. Мы получим два прямоугольных треугольника: ABD и BDC, стороны которых тоже выражены рациональными числами. Как известно, общие выражения для катетов рационального прямоугольного треугольника суть: а2—Ь2 и 2ab, а для гипотенузы: а2+Ь2. Поэтому можно положить в треугольнике ABD:

а в треугольнике BDC:

При этом мы не полагаем а и Ь, равно как с и d взаимно простыми, как это обыкновенно принимают, когда ограничиваются только основными решениями в целых числах уравнения Пифагора:

Таким образом, исходя из выражений для hx, имеем следующие возможные равенства:

(1)

Из первого равенства имеем:

и, следовательно, выражения для сторон и площади треугольника ABC будут:

или:

или:

Черт. 1

Черт. 2

Знак минус в выражениях для х и s берем в том случае, когда угол АС В— тупой (черт. 2).

После преобразований выражениям можно придать такой вид:

или:

или:

Так как а и b можно менять местами, а X и s берем по абсолютной величине, то вторые выражения для х и s ничем не отличаются от первых. Заметив, кроме того, что во всех выражениях параметр с встречается не ниже, чем во второй ступени, можно положить;

Выражения для сторон и площади треугольника принимают теперь вид:

(II)

Подставляя вместо параметров a, b и k целые числа с соблюдением условия, чтобы ab было кратно k, получаем для сторон и площади треугольника тоже целые значения.

Заметим, что при а — Ь или ab = k треугольник будет прямоугольным. Действительно, при условии а = Ь имеем:

Обозначив а2 через m и взяв подобный треугольник со сторонами в k раз большими, получим:

При втором условии (k = ab) имеем:

В обоих случаях мы получили известные выражения сторон прямоугольного треугольника.

Заметим еще, что при k — a2 или

треугольник будет равнобедренным. Действительно, при первом условии имеем:

При втором условии имеем:

Примеры:

Остается только показать, что выражения (II) обладают общностью. Для этого достаточно обнаружить, что выражения, которые могут быть выведены, исходя из остальных трех равенств (I), можно рассматривать как частный случай выражений (II).

Действительно, если в равенстве

из которого мы исходили, заменить

на

то получим:

т. е. второе из равенств (I).

Если же переменить а на

a b

на

то получим:

т. е. третье из равенств (I). Наконец, если переменить а на

b на

с на

и d на

то получим:

т. е. четвертое из равенств (I)*

Отсюда следует, что и выражения для сторон и площади треугольника, которые могут быть выведены из трех последних равенств (I), получаются из выражений (II) при соответствующей замене параметров. Таким образом, выражения (II) можно рассматривать как решения в положительных рациональных числах неопределенного уравнения

которое, как известно, связывает площадь 5 треугольника с его сторонами лг, у, и z.

Обращение по всем читателям журнала и, в частности, к преподавателям средней школы

Редакция математики Учпедгиза просит дать свои соображения по следующим вопросам:

1. Какого содержания и характера книги нужны преподавателю для работы в школе и для повышения квалификации учителя?

2. Какие книги нужны для кружковых занятий и для самостоятельной работы учащихся, интересующихся математикой?

3. Какие ранее выпущенные издательствами книги заслуживают переиздания? Предложения направлять по адресу: Москва, Орликов пер., д. 3, Учпедгиз, редакция математики.

* Заметим, что общность здесь надо понимать лишь в том смысле, что полученные формулы охватывают все четыре приведенных автором случая. Самые же формулы не являются общими, хотя бы уже потому, что вводят ограничение для параметра k. Общие формулы, дающие решения при всяких значениях параметров, даны, например, в задачнике по алгебре Верещагина. Ред.

МЕТОДИКА

ЗАДАЧИ ИЗ СОВРЕМЕННОЙ ЖИЗНИ

Л. КРУПОВЕЦКИЙ

(Полтава)

На уроках математики, особенно в V и VI классах средней школы, учитель, ограниченный одним стабильным задачником, часто встречает затруднения в подборе задач по арифметике, особенно на процентные расчеты. В стабильном задачнике Е. С. Березанской имеется ряд удачно составленных задач на проценты, но число их далеко недостаточно, так как в течение всего курса необходимо давать для повторения все новые задачи для классных и домашних работ. Учитывая, что проценты являются одним из важнейших разделов арифметики, необходимо уделять ему максимум внимания, тем более, что проценты нелегко усваиваются учащимися, которые часто выходят из школы с недостаточными знаниями в этом отношении.

Учителю математики, если он действительно хочет дать прочные навыки в решении подобных задач и способствовать математическому развитию учащегося, приходится, не ограничиваясь стабильным учебником, самому тратить не мало труда и времени на составление задач, пользуясь ценным газетным материалом и другими источниками, отражающими нашу советскую действительность. Такие задачи, составленные на свежем, животрепещущем материале, имеют огромное политико-воспитательное значение, и ими необходимо пользоваться в своей работе как можно шире.

Настоящая статья имеет целью дать в помощь учителю как бы дополнительный сборник арифметических задач для V и VI классов средней школы, для чего использован самый свежий, исключительно ценный материал, опубликованный к 20-летней годовщине Великой Октябрьской социалистической революции в книгах, выпущенных Партиздатом: «Наша Родина», «20 лет советской власти», «СССР и страны капитализма», в журнале «Большевик» и пр.

Разумеется, исчерпать весь богатейший материал этих источников в данной статье не представляется возможным, но и разработанные здесь важнейшие цифровые данные, по нашему мнению, должны значительно облегчить труд учителя, освобождая его от необходимости самостоятельно составлять задачи, и этим хотя бы до некоторой степени дополнить стабильный задачник. С другой стороны, пользуясь указанным цифровым материалом, учитель попутно с развитием навыка в решении подобных задач будет также способствовать политическому воспитанию учащегося, закрепляя в его памяти яркие и убедительные цифры достижений советской власти за 20 лет.

При составлении задач автор статьи строго придерживался текста указанных источников, не отступая от принятых в них приближений в математических вычислениях.

В данной статье весь материал расположен в такой последовательности:

I. Задачи на простые и десятичные дроби.

II. Задачи на вычисление части числа и всего числа по данной его части.

III. Задачи на процентные расчеты:

1) нахождение процента от числа;

2) нахождение числа по данному его проценту;

3) нахождение процентного отношения.

IV. Графики и диаграммы*.

I. ЗАДАЧИ НА ПРОСТЫЕ И ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ

1. Число рабочих и служащих по крупной промышленности в СССР увеличилось в 1936 г. против 1913 г. в 2 — раза.

Определить общее число рабочих и служащих по крупной промышленности в 1936 г., если в 1913 г. их насчитывалось всего 2-3- млн. человек,

Ответ: 7,7 млн. человек.

2. Продукция земледелия в 1935 г. была в 1 4- раза больше такой же продукции

* В настоящем номере помещаются задачи на первые два раздела.

в 1913 г. и выражалась в сумме 12 млрд. руб. Определить продукцию земледелия в 1913 г.

Ответ: 8 млрд. руб.

3. Производство стали в 1913 г. составляло 4 — млн. m, а в 1936 г. оно увеличилось в 3 — раза. Определить производство стали в 1936 г.

Ответ: 16 - млн. т.

4. Число свиней в колхозных животноводческих фермах в 1932 г. было 2,1 млн. голов, а в 1937 г. число это увеличилось в 2^3 раза. Определить количество свиней в этих фермах в 1937 г. Ответ: 5,3 млн. голов.

5. Число овец и коз в колхозных животноводческих фермах в 1932 г. равнялось 1 ^ млн. голов, а в 1937 г. их стало 18,7 млн. голов. Во сколько раз увеличилось число овец и коз в 1937 г. сравнительно с 1913 г. Ответ: В 11,7 раза.

6. Число автомобилей в 1913 г. было 8,9 тыс., а в 1936 г. их число увеличилось в 43 раза. Определить число автомобилей в 1937 г. Ответ: 386 тыс.

7. Капитальные вложения в народное хозяйство в ценах соответствующих лет выразились всего за 1924—1936 гг. в сумме 180,3 млрд. руб., из них за 1924— 1928 гг.—11,1 млрд. руб., за первую пятилетку (1929—1932 гг.) —52,1 млрд. руб. а остальная сумма приходится за 4 года второй пятилетки (1933—1936 гг.). Сколько капитальных вложений было сделало за 4 года второй пятилетки?

Ответ: 117,1 млрд. руб.

8. Выработка электроэнергии в СССР в 1936 г. достигла 32,8 млрд. квт-ч против 1,9 млрд. квт-ч в 1913 г. Во сколько раз увеличилась выработка электроэнергии в 1936 г.?

Ответ: в 17,3 раза.

9. Продукция сельскохозяйственного машиностроения (вместе с тракторостроением) выражалась в 1913 г. в 55 млн. руб., а в 1936 г.— в 2,26 млрд. руб. Во сколько раз возросла продукция сельскохозяйственного машиностроения в 1936 г.?

Ответ: В 41 раз.

10. Продукция крупной промышленности СССР в 1936 г. равнялась 80,9 млрд. руб. и превысила уровень 1929 г. в 3,8 раза, а уровень 1913 г.— в 7,3 раза. Определить объем продукции крупной промышленности в 1929 г. и в 1913 г.

Ответ: 21,3 млрд. руб.; 11 млрд. руб. П. Продукция крупной промышленности в ценах 1926/27 г.

Продукция в млрд. руб.

Во сколько раз продукция 1936 г. больше продукции

1913 г.

1917 г.

1936 г.

1913 г. 1917 г.

Вся крупная промышленность.........

а) производство средств производства ....

б) производство предметов потребления . . .

11,0

4,7 6,3

6,9 ?

3,2

80,9

49,1 ?

7,3 ?

5,05

?

13,2 10,0

Заполнить таблицу.

Ответ: 11,7; 10,4; 3,7; 31,8.

12. Производство чугуна, стали и проката выразилось в следующих цифрах (в тысячах тонн):

1913 г.

1936 г.

Во сколько раз продукция 1936 г. больше продукции 1913 г.

Чугун ...............

4216

14 400

?

Сталь...............

4 231

16 400

?

Прокат ...............

3 660

12 454

?

Заполнить таблицу.

Ответ: 3,4; 3,9; 3,4.

13. Продукция машиностроения в 1936 г. увеличилась против 1913 г. в 27,76 раза, что составило сумму в 20 764 млн руб.

Определить объем продукции машиностроения в 1913 г.

Ответ: 748 млн. руб.

14. Заполнить последний столбец таблицы роста производительности труда:

Выработка на 1 рабочего

Во сколько раз выработка 1936 г. больше 1913 г.

1913 г.

1936 г.

Нефть (в тоннах)................

Уголь (в тоннах)................

Чугун (в пересчете на передельный — в тоннах)

Бумага (в тоннах)...............

Сахар (в тоннах) ...............

276 153 220

5,9 141

1319 327 676

16,5 301

? ? ? ? ?

Ответ: 4,8; 2,1; 3,1; 2,8, 2,1.

15. Фабричное производство обуви (без валеной обуви) в 1936 г. выразилось в 162,7 млн. пар, т. е. в 19,6 раза больше против производства обуви в 1913 г. Сколько пар обуви выработано было в 1913 г.?

Ответ: 8,3 млн. пар.

16. Продукция крупной пищевой промышленности в 1913 г. составляла 2,96 млрд. руб., а в 1936 г. продукция эта была больше на 9,94 млрд. руб. Во сколько раз увеличилась продукция 1936 г. против 1913 г.?

Ответ: В 4,4 раза.

17. Общее число рабочих и служащих по железнодорожному транспорту составляло в 1913 г. 700 тыс. человек, а в 1936 г. оно увеличилось на 1,1 млн. человек. Во сколько раз возросло число рабочих железнодорожного транспорта в 1936 г.?

Ответ: В 2,6 раза.

18. Протяжение железных дорог в 1913 г. было 58 549 КМ, а в 1937 г.— 85080 км. Во сколько раз увеличилось протяжение железных дорог в 1937 г. против 1913 г.?

Ответ: В 1,5 раза.

19. Протяжение авиационных линий в СССР в 1923 г. равнялось 1666 км, а в 1936 г.—108 731 км. Во сколько раз увеличилось протяжение авиационных линий в 1936 г.?

Ответ: В 65,3 раза.

20. Протяжение судоходных путей в 1928 г. равнялось 71,6 тыс. км, а в 1936 г. оно увеличилось на 21,1 тыс. км. Во сколько раз выросло протяжение судоходных путей в 1936 г. сравнительно с 1928 г.?

Ответ: В 1,3 раза.

21. В 1924 г. в СССР насчитывалось 2,6 тыс. тракторов общей мощностью в 25 тыс. лош. сил, а на 1 августа 1937 г. работало 450 тыс. тракторов мощностью в 8302 тыс. лош. сил. Во сколько раз увеличилось число тракторов и их мощность в 1937 г. сравнительно с -1924 г.

Ответ: В 173 раза; в 332 раза.

22. Число тракторов в МТС в 1930 г. было 7,1 тыс., в 1933 г. их стало больше на 116,1 тыс. против 1930 г., а в 1937 г. их стало на 233,6 тыс. больше против 1933 г. Сколько в МТС было тракторов в 1933 г. и в 1937 г. и во сколько раз увеличилось число тракторов в 1937 г. по сравнению с 1930 г.?

Ответ: 123,2 тыс.; 356,8 тыс.; в 50,3 раза.

23. В 1930 г. число МТС равнялось 158; в 1933 г. число МТС увеличилось на 2 758 и оказалось сравнительно с числом МТС в 1937 г. меньше на 2 701. Сколько было МТС в 1933 г. и в 1937 г. и во сколько раз число их в 1937 г. увеличилось по сравнению с 1930 г. и 1933 г.?

Ответ: 2 916; 5617; в 35,6 раза; в 1,9 раза.

24. Заполнить таблицу, характеризующую увеличение поголовья скота в совхозах в 1936 г. по сравнению с 1928 г.

В тысячах голов

Во сколько раз увеличилось в 1936 г. по сравнению с 1928 г.

1928 г.

1936 г.

Крупного рогатого скота......

Свиней ...............

Овец и коз............

180 59 747

5014 4 960 10 699

? ? ?

25. Фонды заработной платы рабочих и служащих СССР выросли с 3,8 млрд. руб. в 1924/25 г. до 71,6 млрд. руб. в 1936 г. Во сколько раз возросли фонды зарплаты в 1936 г. сравнительно с 1924/25 г.?

Ответ: В 18,8 раза.

26. Рост государственного и кооперативного розничного товарооборота в городе и деревне характеризуется такими данными:

1925 г.

1936 г.

Увеличение в 1936 г. по сравнению с 1928 г.

В миллиардах рублей в ценах соответствующих лет

Город ...............

Деревня ..............

?

1,4

74,7 ?

в 20,2 раза в 23 раза

Итого .....

?

?

?

Ответ: 3,7; 32,2; 5,1; 106,9; в 21 раз.

27. Заполнить таблицу розничной продажи важнейших товаров в деревне (в миллионах рублей):

Ответ: 270,6; 76,2; 52; 1342; 8,3; 36,2; 4,0.

28. Число учащихся в начальных и средних школах з 1914 г. составляло 8 млн.

человек, в 1928/29 г. их было на 4,6 млн. более 1914 г. и на 16,24 млн. человек менее, чем в 1936/37 г. Сколько всего учащихся насчитывалось в 1928/29 г, и в 1936/37 г. и во сколько раз число их в 1936/37 г. увеличилось сравнительно с 1914 г.?

Ответ: 12,6 млн.; 28,84 млн.; в 3,6 раза.

29. Число учащихся в высших учебных заведениях в 1914 г. составляло 112 тыс человек, в 1928/29 г. их было в 1,58 раза больше, чем в 1914 г., и в 3,06 раза менее, чем в 1936/37 году. Выразить в целых тысячах количество учащихся в высших учебных заведениях в 1928/29 г. и в 1936/37 г.

Ответ: 177 тыс.; 542 тыс.

30. Число высших учебных заведений в 1914 г. было 91, а в 1936 г. их стало

Розничный оборот

1928 г. 1 1936 г.

Увеличение в 1936 г. по сравнению с 1928 г.

1. Сахар .................

2. Кондитерские изделия .........

3. Мануфактура и одежда ........

4. Обувь ..............

5. Мыло, парфюмерия, предметы санитарии и гигиены...............

6. Культтовары (книги, спортинвентарь, муз. инструменты, фото, радио и пр.) . .

7. Посудо-хозяйственные товары .....

? ?

105 138,3

112

?

196

1 705 1 348 5 455 ?

929

859 786

в 6,3 раза 17,7 > ? » 9,7 >

? »

23,7 >

? »

700. Во Сколько раз увеличились число высших учебных заведений в 1936 г. сравнительно с 1914 г.? Ответ: в 7,7 раза.

31. Число библиотек в 1936 г. равнялось 55901, а в 1914 г. их было на 43 301 меньше. Во сколько раз увеличилось число библиотек в 1936 г. сравнительно с 1914 г.?

Ответ: В 4,4 раза.

32. В 1936 г. число клубов и изб-читален достигло 80946 против 222 в 1914 г. Во сколько раз их число увеличилось в 1936 г. сравнительно с 1914 г.?

Ответ: В 365 раз.

33. Общий тираж книг в 1914 г. составлял 86,7 млн. экземпляров, а разовый тираж газет з том же году 2,7 млн. экземпляров. В 1936 г. эти тиражи соответственно достигли 571,1 млн. и 38 млн. экземпляров. Определить, во сколько раз больше было книг и газет в 1936 г.

Ответ: В 6,6 раза; в 14 раз.

34. Число рабочих и служащих, пользовавшихся бесплатным лечением в санаториях в 1927/28 г., составляло 74,2 тыс~ человек, а в домах отдыха в том же году (без однодневных) их прошло 437.2 тыс. человек. В 1936 г, число пользовавшихся санаториями увеличилось на 339.3 тыс. человек, а в домах отдыха — на 1113 тыс. человек. Определить, во сколько раз увеличилось число рабочих и служащих, прошедших через санатории и дома отдыха в отдельности в 1936 г.

Ответ: В 5,6 раза; в 3,5 раза.

35. Коек для рожениц в больницах и родильных домах з 1937 г. было 81342г а в царской России (в 1914 г.) их было в 11,92 раза менее, чем в 1937 г. Определить число коек для рожениц в 1914 г.

Ответ: 6824 койки.

36. Заполнить последний столбец таблицы подъема продукции крупной промышленности (без рыбной и лесозаготовок) по отдельным республикам (в ценах 1926/27 г.):

Ответ: 7,8; 6,9; 15,9; 5,4; 18,6; 12,0; 7,1; 4,4; 116,0; 11,8; 95,0.

Республики

Продукция (в млн. р.)

Во сколько раз продукция 1936 г. больше 1913 г.

1913 г.

1936 г.

1. РСФСР..................

7 249

56 495

?

2. Украинская ССР............

2125

14616

?

3. Белорусская ССР.............

89

1413

?

4. Азербайджанская ССР.........

378

2 054

?

5. Грузинская ССР.............

43

798

?

6. Армянская ССР..............

15

180

?

7. Туркменская ССР.............

30

214

?

8. Узбекская ССР..............

269

1 175

?

9. Таджикская ССР.............

1

116

?

10. Казахская ССР..............

51

604

?

11. Киргизская ССР.............

1,2

114

?

I. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТИ ЧИСЛА И ВСЕГО ЧИСЛА ПО ДАННОЙ ЕГО ЧАСТИ

37. Территория СССР занимает часть земной суши и составляет 2,1 млрд. га. Определить величину всей земной суши. Ответ: 12,6 млрд. га.

38. Вся территория СССР занимает 2,1 млрд. га, из коих; в настоящее время — занимают сельскохозяйственные земли, находящиеся в пользовании колхозов, единоличных крестьян и совхозов, — находится под лесами. Определить, сколько гектаров земли занято сельскохозяйственными землями, сколько лесами и сколько прочими угодьями.

Ответ: 0,42 млрд. га; 0,9 млрд. га; 0,78 млрд. га.

39. В настоящее время сельскохозяйственные земли, находящиеся в пользовании колхозов, единоличных крестьян и совхозов, занимают 421,9 млн га, что составляет 0,2 всей территории СССР. Определить величину всей территории СССР,

Ответ: 2,1 млрд. га.

40. Промышленность Советского Союза в 1937 г. производит продукции на 103 млрд. руб. (по плану), причем —- всей этой продукции дают заводы и фабрики,

построенные советской властью, а остальные— заводами и фабриками, отобранными рабочим классом у заводчиков и фабрикантов. На сколько миллиардов руб. продукции дают заводы и фабрики, построенные советской властью? Ответ: на 77,25 млрд. руб.

41. а) Инженерно-технических работников по всей промышленности в 1925 г. насчитывалось 62 тыс. человек, что составляет ^ числа инженерно-технических работников в 1928 г. Сколько инженерно-технических работников было в 1928 г.?

б) Инженерно-технических работников в 1937 г. насчитывалось 578 тыс. человек; тг-тг этого числа равно числу инженерно-технических работников в 1928 г. Сколько было инженерно-технических работников в 1928 г.?

Ответ: а) 92 тыс. человек; б) 92 тыс. человек.

42. Продукция земледелия и животноводства в 1913 г. выражалась в сумме 12 млрд. руб., что составляет такой же продукции в 1935 г. Определить объем продукции земледелия и животноводства в 1935 г. Ответ: 15,8 млрд. руб.

43. Число крупного рогатого скота в колхозных животноводческих фермах в 1932 г. выражалась в 5,4 млн. голов, что составляет — количества рогатого скота, какое было в 1937 г. Сколько рогатого скота в этих фермах было в 1937 г.? Ответ: 12 млн. голов.

44. Розничная торговля в деревне в 1925 г. выразилась в сумме 1 — млрд. руб., что составляет розничной торговли в деревне в 1936 г. Определить размер розничной торговли в деревне в 1936 г. Ответ: 32,2 млрд. руб.

ПЕРВЫЕ УРОКИ ПО АЛГЕБРЕ

В. МАТЫШУК (Ростов-на-Дону)

Несомненно, что первые уроки по алгебре являются весьма трудными для учащихся. Дело в том, что здесь, в сущности говоря, впервые дети знакомятся с буквенным изображением числа. Перед тем, в арифметике, они все время имели дело с конкретными числами — числами, выражающими собой определенное количество однородных единиц или заданных долей единицы. Эти вполне конкретные числа они складывали, вычитали, умножали и делили и получали результаты опять-таки в виде конкретных чисел. Между тем в алгебре с самого начала ее изучения им приходится производить операции над буквами, как над числами, и усвоить мысль, что буква есть общее выражение числовых значений какой-то величины.

Что переход к буквенному изображению числа есть дело большой трудности, об этом свидетельствует вся история алгебры. Известно, что современная символическая алгебра существует на свете не так давно — всего лишь каких-нибудь триста лет. Уравнения же, т. е. с щественная часть современной алгебры, вошли в практику человека весьма давно. Из египетского папируса Ахмеса, относящегося к периоду времени примерно за 1800—1900 лет до начала нашей эры, известно, что египтяне уже решали уравнения 1-й степени. Эти уравнения были с числовыми коэфициентами. Знаменитый греческий математик Диофант, живший, как полагают, в III или IV в. н. э„ написал единственный, дошедший до нас от древних греков алгебраический трактат под заглавием «Арифметика». В этом трактате он дает решения большого количества уравнений 1-й и 2-й степени, а также неопределенных уравнений. Но решает он только уравнения с числовыми коэфициентами, причем метод, даваемый для решения одного какого-нибудь уравнения, уже не годится для решения другого числового уравнения, которое мы отнесли бы к тому же типу. Мы удивляемся глубокому уму Диофанта, который умел находить выход из самых трудных положений в поисках нужных решений, но эти решения были частного порядка, а не общего.

Так же блестяще умели решать уравнения и индусы (VII—XII вв. н. э.), но и

у них уравнения были только с числовыми коэфициентами.

Учение об уравнениях через арабов перешло в Европу и получило свое дальнейшее развитие в средние века и в эпоху Возрождения. В XVI в. итальянские математики Тарталья (1500—1557) и Ферари (1522—1565) нашли: первый — метод решения кубических уравнений, а второй— уравнений 4-й степени. Рассматриваемые ими уравнения опять-таки были с числовыми коэфициентами.

Нельзя сказать, чтобы при решении уравнений математики древности и эпохи Возрождения не пользовались никакими символами. В значительном большинстве случаев это были сокращенные обозначения слов. Так, Диофант неизвестное обозначает буквой ς, но неизвестное во 2-й степени символом δυ (сокращение слова *5υναμ.ιε», что обозначает квадрат), неизвестное в 3-й степени символом κυ (сокращение слова «κύβος», что обозначает «куб>), неизвестное 4-й степени символом &5υ (сокращение слова «δυναιχοδυ -vaatc», что обозначает «квадратоквадрат») и т. д. до 6-й степени неизвестного. Аналогично Диофант пользовался шестью обозначениями для первых шести отрицательных степеней неизвестного Χ , X2,... Сложение Диофант выражал тем, что слагаемые просто ставил рядом. Действие вычитания он выражал символом φ (опрокинутая буква ψ (иди просто писал целиком соответствующее слово λειψις). Вместо знака равенства им ставилось соответствующее слово полностью «ισος» или первая буква этого слова.

Алгебра, которая пользуется подобными знаками, называется синкопированной. Тарталья и его современник Кардан (1501—1576), оспаривавший у него честь открытия кубического уравнения, также пользовались синкопированной алгеброй. Приведем образец записи Карданом решечия кубического уравнения

данного им в его сочинении «Ars magna»*:

Символы Rx. u. eu. — это сокращения слов «radix universalis eubica», что озна-

чает «общий кубический корень» (radix в переводе на русский язык обозначает «корень». Отсюда — слово «радикал»). Символы риш обозначают знаки + и —. Таким образом приведенная выше формула в современном обозначении напишется так:

Следует еще иметь в виду, что арабы (X — XI вв.) никакими обозначениями в алгебре не пользовались. Обладая большими знаниями по математике, они все выражали полностью словами. Алгебра, которая все выражает словами без всяких символов, называется словесной алгеброй.

Начало символической алгебры в современном понимании мы относим к концу XVI в. Это столетие, которое считается последним веком эпохи Возрождения, является замечательным периодом в истории развития человеческой мысли. Новый господствующий класс, класс торговой буржуазии, ставит себе целью познание и овладение природой. Происходит целый ряд выдающихся открытий в области географии, астрономии, физики, механики. Для естествознания этого времени становится характерным подведение математических основ под естественно-научные исследования. Это вызывает интерес к развитию математики, в частности, к различным приемам вычисления и к решению уравнений. Однако уравнения рассматривались только с числовыми коэфициентами, благодаря чему приходилось иметь дело с громадным количеством всяких частных случаев. Отсутствие общих типов уравнений и общих методов их решения стало тормозить дальнейшее развитие алгебры. Поэтому мы считаем большой заслугой французского математика Виета (F. Vieta, 1540—1603) введение буквенных коэфициентов в уравнения. Виета стал обозначать неизвестные уравнений гласными буквами, а известные — согласными буквами. Его записи еще не похожи на современные, но в них мы видим уже осуществленными принципы символической алгебры, где под буквой имеется в виду любое численное значение некоторой величины, в рассматриваемом случае — любое численное значение коэфициента уравнения. Введение буквенных коэфициентов позволило дать общие методы решения уравнений.

* Взято из книги Лоренца «Элементы высшей математики», т. I.

Мы привели сейчас некоторые краткие сведения по истории алгебры с целью показать, как трудно и сложно совершался переход к буквенному изображению числа. Нужны были тысячелетия практики решения уравнений, нужны были тысячелетия развития арифметики, чтобы появилась идея обобщенного представления о числе и возможности символического выражения его. Поэтому и в практике преподавания момент перехода к буквенному изображению числа и к действиям над ними есть дело большой трудности, требующее от учителя особенного внимания и специальных методов обучения.

Если мы развернем задачник Шапошникова и Вальцова, ч. I, то на первой же странице мы прочтем такую задачу: «Написать сумму чисел а и Последующие задачи на этой же странице — в том же роде. Затем идет ознакомление с коэфициентом, показателем степени и т. д. Таким образом, задач, которые бы вводили учащихся в сущность понимания буквенного изображения числа, в начале задачника Шапошникова и Вальцова нет.

Если мы развернем стабильный учебник по алгебре Киселева, то на первой странице мы находим некоторые объяснения смысла употребления букв в алгебре. Но эти объяснения совершенно недостаточны. В частности, совершенно не убедительна задача на проценты, данная Киселевым как основание для вывода формулы, позволяющей найти р% 0т числа а. Эта задача настолько проста по содержанию (всего лишь в одно действие), что она никак не убедит учащихся в пользе буквенной формулы для ее решения. И без нее можно легко найти нужное число. Таким образом, приходится делать вывод, что в практике нашей школы не проводится предварительная работа с учащимися, которая имела бы целью показать им, что заставляет нас пользоваться буквенными формулами и какой смысл имеют действия над буквенными выражениями. Поэтому в задачу настоящей статьи входит рассмотрение первых уроков по алгебре, которые носят вводный характер к теме о буквенном изображении числа.

Учитель, конечно, должен отдавать себе ясный отчет, какое применение в практике человека имеют буквенные формулы. Применение это весьма обширно, но для нас важно сейчас то положение, что при помощи буквенных формул мы записываем математические правила решения одинаковых по условию задач, в более обширном смысле — выражаем зависимость между величинами, входящими в условие данной задачи. Например, целый ряд законов физики мы записываем посредством математических формул, которые не только выражают в компактной, удобообозреваемой форме зависимость между соответствующими величинами, но и позволяют подсчитать нужное значение одной величины, если заданы значения других величин. Последнюю мысль и следует положить в основу первых уроков по алгебре.

На первом уроке по алгебре мы предлагаем учащимся решить несколько одинаковых по условию арифметических задач, но с различными числовыми данными. Арифметическую задачу надо выбрать так, чтобы, с одной стороны, она не была слишком легкой, ибо в этом случае учащийся не увидит необходимости в специальных правилах, выраженных в буквенной формуле, для решения этой задачи. Зачем эти правила, раз задача легко решается? С другой стороны, предлагаемая нами задача не должна быть и слишком трудной, чтобы само решение ее не отвлекало учащегося в сторону от цели, поставленной ему учителем. Выбрать такую задачу — дело учителя. Мы же в качестве примера возьмем арифметическую задачу на так называемое «смешение 1-го рода». Задачи на «смешение 1-го рода» и, в особенности, на «смешение 2-го рода», к сожалению, сейчас не решаются в школе или решаются очень мало. Между тем значение их в практике очень велико. В технологии металлов и химии — это задачи на сплавы и растворы, в физике — это калориметрические задачи. Мы возьмем задачу на смешение 1-го рода торгового характера как более легкую.

Задача № 1

«Для составления сорта чая определенной марки смешано 20 кг чаю по цене 80 руб. за килограмм и 30 кг чаю по цене 120 руб. за килограмм. Какова стоимость килограмма составленного сорта?»

Эта задача решается на доске и учащимися в тетрадях подробно, со всеми вопросами, а именно:

1) сколько стоил чай 1-го сорта?

2) Сколько стоил чай 2-го сорта?

3) Сколько стоил весь составленный сорт?

1600 руб.+3600 руб. = 5200 руб.

4) Сколько было составленного сорта?

20 яг+30 лтг = 50 кг.

5) Сколько стоил килограмм составленного сорта?

5200 руб. : 50=104 руб.

Ответ: килограмм составленного сорта стоил 104: руб.

Затем решается вторая задача аналогичного содержания.

Задача № 2

«Для получения горючего определенного качества смешано 120 л бензину по 75 коп. литр и 80 л по 1 руб. за литр. Какова стоимость литра получившегося горючего?

Эту задачу можно уже решать без записи самих вопросов, но полностью, при помощи всех рассуждений, причем все действия пишутся на доске и в тетрадях учащихся.

Ответ: литр горючего стоит 85 коп.

Задача № 3

«Чтобы приготовить иодную тинктуру, растворили 0,2 кг иода в 1,8 ^ спирта. Во что обходится 1 кг йодной тинктуры, если килограмм иода стоит 900 руб., а килограмм спирта 10 руб.?»

Эта задача решается таким же порядком, как и предыдущая, с полной записью действий на доске и в тетрадях, причем вопросы формулируются вслух.

После того как решены таким путем эти три задачи, учитель говорит следующее: «Мы решили с вами три задачи, условие которых, как вы видите, одинаковое. Эти задачи решались одинаково, т. е. над числами, заданными в условиях, мы производим всякий раз одни и те же действия и в том же порядке.

Вообразите себе теперь, что вы стоите на таком деле, которое требует от вас постепенного подсчета стоимости единицы смеси подобно тому, как это дано в рассмотренных выше задачах. Неужели вы всякий раз будете вновь и вновь рассуждать, чтобы найти требуемое вам число? Конечно, нет. Вы позаботитесь о том, чтобы составить себе правило для решения таких задач, и будете это правило применять механически. Попробуем составить себе правило для решения тех трех задач, которые мы с вами только что рассмотрели. Я буду говорить это правило, а вы внимательно слушайте. Потом мы это правило запишем. Чтобы узнать, сколько стоит единица смеси, надо стоимость единицы 1-го сорта помножить на количество этих единиц, стоимость единицы 2-го сорта — на количество этих единиц и полученные два произведения сл ожить. Затем надо сложить количество единиц 1-го и 2-го сорта и первую сумму разделить на вторую. Полученное частное есть стоимость единицы смеси». В процессе формулировки этого правила учитель последовательно указывает на доске на соответствующие действия в записанном решении одной какой-либо задачи. Затем он записывает правило словами полностью на доске, а ученики — у себя в тетрадях.

Когда правило записано, каждая из данных выше трех задач последовательно решается уже по этому правилу. Читая правило, учитель, по мере чтения его, составляет для каждой задачи соответствующие арифметические формулы и вычисляет их. В результате на доске и в ученических тетрадях получаются следующие равенства:

для первой задачи:

для второй задачи:

для третьей задачи:

Наименований при этом мы не ставим никаких (см. примечание в конце). Все

вычисления по этим формулам надо произвести до конца, чтобы получить те же ответы, что и прежде.

После того как произведено было решение задач по готовому правилу, учитель говорит, что само правило по себе громоздко и что математика нашла способы этим правилам придавать весьма простую, но удобную форму. Во всех трех изложенных задачах было одно и то же условие. Везде было два сорта вещества, везде была дана стоимость единицы вещества каждого сорта, и надо было найти единицу стоимости смеси. Разница была только в числовых значениях всех этих величин. Поэтому удобно обозначить количество единиц 1-го сорта, ну, хотя бы буквой а, количество единиц 2-го сорта — хотя бы буквой Ь, стоимость единицы 1-го сорта, т. е. количество рублей или копеек,— буквой с, стоимость единицы 2-го сорта — буквой d и, наконец, стоимость единицы смеси — буквой е. Все это записывается немедленно на доске и в тетрадях в табличку.

а — колич, ед. 1-го сорта b— колич. ед. 2-го сорта с — стоим, ед. 1-го сорта d — стоим, ед. 2-го сорта е — стоим, ед. смеси.

Затем учитель, читая медленно словесное правило решения задачи, по мере чтения ставит буквы из таблички, соединяя их знаками нужных действий. В итоге получается следующая, уже алгебраическая, формула:

Когда формула выведена, она сейчас же применяется к решению первой задачи. Объяснение ведется здесь учителем следующим образом. В формуле на первом месте стоит буква с. Но что такое с? По табличке мы уже условились за с считать стоимость единицы вещества 1-го сорта. Какова же стоимость в задаче 1 кг чаю 1-го сорта? — 80 руб. Следовательно, для данной задачи с = 80. Пишем на доске число 80.

По формуле после буквы с стоит знак умножения. Ставим после числа 80 знак умножения. Продолжаем дальше. В формуле после знака умножения стоит буква я.

Но что обозначает собой буква а? По табличке а есть количество единиц вещества 1-го сорта. В задаче же чаю 1-го сорта было 20 кг. Следовательно, здесь а = 20. После поставленного выше знака умножения пишем число 20. Запись имеет теперь такой вид:

80-20

По формуле после буквы а идет знак сложения. И мы ставим знак сложения. Запись принимает такой вид:

80 . 20 +

Что идет в формуле после знака сложения? Буква d. Что обозначает собой буква d? По табличке d — это стоимость единицы вещества 2-го сорта. По условию задачи сколько стоит 1 кг чаю 2-го сорта?—120 руб. Следовательно, здесь d = 120. Продолжаем запись на доске, приписывая справа к знаку «плюс» число 120 и т. д. В результате мы получим такое равенство:

Вычисляем в стороне левую часть последнего равенства и пишем окончательно:

е=104.

Таким же самым путем мы решаем вторую и третью задачи, предложенные раньше, тщательно повторяя весь процесс рассуждений при замене букв числами. Ответы получились те же, что и раньше.

Учитель теперь подчеркивает мысль, что полученная выше буквенная формула для решения задачи показывает, какие действия и в каком порядке надо производить над численными значениями величин, данными в условии задачи. Эти численные значения величин мы обозначили буквами. Для каждой отдельной задачи, где даны конкретные числа, мы заменяем буквы теми числами задачи, которые отвечают соответствующей таблице обозначений. Таким образом, одна и та же раз составленная формула может служить для решения бесчисленного количества задач, лишь бы условие их было одинаково и мы бы знали, какую величину каждая буква выражает.

Теперь надо подчеркнуть, что для составления формулы решения задачи безразлично, какими символами мы будем

пользоваться. Поэтому мы еще раз возвращаемся к прежней табличке и вводим другие буквы.

m — количество единиц 1-го сорта п — количество единиц 2-го сорта р — стоимость единицы 1-го сорта q — стоимость единицы 2-го сорта г — стоимость единицы смеси.

Читая словесное правило решения рассматриваемых задач, мы вновь составляем формулу:

Задача

«Ведро имеет форму усеченного конуса. Радиус верхнего основания равен 15 см, нижнего— 10 см и высота — 33 см. Найти его объем».

Учитель говорит, что для определения объема указанного конуса имеется формула:

и применяем ее к решению одной из задач. Ответ получится такой же, что и раньше.

Я считал бы не бесполезным ввести и другие обозначения — не обязательно буквенные. Важно только условиться и знать, какая величина каким символом обозначена. Мы обыкновенно в качестве таких символов берем буквы латинского алфавита, так как это знаки, к которым мы привыкли.

Подведем итоги сказанному. Для того чтобы учащиеся перед тем, как перейти к действиям над буквенными выражениями, поняли, откуда появляется необходимость в таких выражениях и какой их смысл, надо первые два-три урока по алгебре провести так, как указано выше. Порядок занятий следующий.

1. Решаются три-четыре задачи по арифметике с одинаковыми условиями, но различными числовыми данными.

2. Формулируется словесное правило для решения этих задач.

3. Каждая из задач механически решается согласно этому правилу. В результате получаются арифметические формулы решений.

4. Вводятся буквенные обозначения величин, данных в условии задачи, и по словесному правилу составляется алгебраическая формула решения.

5. В полученную формулу для каждой задачи подставляются соответствующие числовые значения и находится ответ.

6. Проводится мысль, что безразлично, какими символами обозначать величины. Важно только знать, что выражает собой каждый символ.

В заключение, чтобы закрепить пройденный материал, решаются задачи на применение готовых формул.

Здесь:

R — длина радиуса верхнего основания г — длина радиуса нижнего основания h — величина высоты конуса.

(Если в V классе учащиеся в связи с разложением на множители познакомились с показателем степени, то и в приведенной выше формуле надо использовать показатели степени.) Затем учитель говорит учащимся, что они в X классе узнают, как эта формула выводится. Сейчас же надо взять эту формулу в готовом виде, как она есть, не интересуясь, как она получена, и использовать ее для решения предложенной задачи. Эта формула выражает собой следующее правило: «Чтобы найти объем усеченного конуса, надо длину радиуса верхнего основания взять сомножителем два раза, длину радиуса нижнего основания взять сомножителем два раза, затем перемножить длины радиусов верхнего и нижнего основания между собой и три полученные произведения сложить. Сумму помножить на величину высоты конуса и еще на 3,14, а результат разделить на 3. Полученное частное и будет искомый объем усеченного конуса». Читая это словесное правило, учитель по мере чтения указывает на соответствующие места формулы. Записывать это правило не нужно, но раза два повторить следует, обратив внимание учащихся на то, что по буквенной формуле, составленной для решения какой-либо задачи, можно прочесть и словесное правило для решения. Но это делать нецелесообразно, так как буквенная формула удобнее громоздкого правила.

После всех этих указаний учащиеся приступают к решению предложенной задачи, заменяя буквы в формуле соответствующими числовыми данными. Будем иметь:

После решения этой задачи учитель говорит, что существуют специальные справочники, где даются формулы для определения различных величин. Такой справочник полезно принести в класс и показать его учащимся. Затем взять оттуда какую-нибудь формулу и применить для решения конкретной задачи. Полезно выбрать из справочника формулу объема бочки:

(Конечно, на доске мы вместо тс напишем 3,14, а также не будем пользоваться показателем степени.) Здесь:

/ — величина высоты бочки, D — величина диаметра среднего сечения,

d — величина диаметра дна, V — величина объема бочки.

Учащимся скажем, что этой формулой приходится пользоваться тогда, когда дело требует подсчета объема бочек различных размеров. Лицу, производящему подсчет, неважно, как и откуда получилась эта формула, ему важно иметь правило для вычисления объема бочки. А предложенная формула такое правило именно и выражает. В качестве упражнения учитель дает для /, d и D определенные числовые значения, и ученик подсчитывает соответствующее значение г/.

Мы дали примеры изложения первых трех уроков по алгебре, которые следует рассматривать как введение к теме «Буквенное изображение числа». В дальнейшем следует научить детей записывать при помощи буквенных символов формулируемые словами выражения, ознакомить учащихся с понятием о коэфициенте и показателе степени, а также со скобками и научить подставлять в формулы и алгебраические выражения численные значения букв. Надо сказать, что в задачнике Шапошникова и Вальцова дано достаточное количество хорошо подобранных примеров, так что учителю не трудно провести преподавание так, как нужно. Поэтому мы считаем необходимым сделать здесь лишь несколько замечаний.

Большое значение имеют упражнения на подстановку в формулы численных значений букв. Здесь нужно сделать два замечания: во-первых, самую подстановку численных значений букв надо делать всегда в определенном порядке, а именно: мы пишем сперва буквенную формулу. Затем, ничего в ней не зачеркивая и вообще не трогая ее, пишут арифметическую формулу, отвечающую буквенной формуле, и только потом делаются вычисления. Примерное расположение материала такое. Вычислить значение буквенной формулы

при

а = 2; b = 3; с = 5;

пишем:

во-вторых, с целью развития у учащихся функционального мышления полезно в одно и то же буквенное выражение последовательно подставить несколько различных числовых значений для одной и той же буквы. Делается это примерно так: найти численное значение у в формуле

при значении л:, указанного в таблице, и эту таблицу заполнить.

X

i i

2

3

4

5

6

7

8

9

10

у

В эту табличку учащийся заносит найденное значение у. Подобные таблички можно составить для функций:

и т. п.

Примечание. При пользовании алгебраическими формулами для решения задач возникает вопрос о наименованиях и

порядке расстановки компонент действий. Как известно, в арифметике мы предъявляем к учащимся весьма твердые требования в том смысла, чтобы при записи действий все положенные наименования стояли бы на соответствующих местах и порядок расположения компонент действий был бы вполне определенный. При этом мы руководствуемся следующими соображениями: порядок компонент и расстановка наименований в точности должны отвечать тем рассуждениям, которые привели нас к данному действию. В арифметике это необходимо для того, чтобы дети учились рассуждать и правильно выражать свои мысли путем письма. В алгебре расстановка наименований и определенное расположение компонент действий при сложении и умножении уже не имеет такого значения. Когда мы по условию задачи составим уравнение и это уравнение решим, нам совершенно безразлично, какой конкретный смысл имеют его коэфициенты. Мы решаем обезличенное уравнение. Важно лишь, чтобы ученик знал, какое наименование будет иметь корень уравнения, когда мы его найдем. В ответе задачи мы и поставим наименование у найденного числа. Точно так же при пользовании буквенной формулой мы, составляя по ней арифметическую формулу, наименований у чисел не ставим. Но, получив в результате вычислений искомое число, в ответе должны поставить правильное наименование.

ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Н. МИЛКОВСКИЙ (Новозыбков)

Преподавание относительных чисел в средней школе является одним из тех вопросов, который привлекает большое внимание учителей математики. Внимание к этому вопросу вызывается рядом методических трудностей, так как здесь ученикам VI класса приходится впервые встретиться с абстрактными понятиями, и потому относительные числа часто кажутся ученикам какими-то искусственными. Ученики привыкли связывать с числами, над которыми они производят действия, конкретные количества предметов, теперь же им приходится иметь дело с новыми, отрицательными числами, которые нельзя наглядно связать с количеством предметов. «Здесь ученикам приходится в первый раз делать переход от реальной математики к формальной» (Ф. Клейн). Этот переход учитель должен помочь ученикам сделать наиболее доступным и понятным способом. Необходимо ввести учеников в эту новую для них область отрицательных чисел так, чтобы эти числа были лишены всякой таинственности.

Рассмотрим сначала вопрос о том, как были введены отрицательные числа в математику. Понятие о числе развивается благодаря потребности сделать возможным то или иное действие, т. е. благодаря потребности решить ту или иную практическую задачу. Так, понятие о дробном числе возникло лишь после того, как явилась потребность разделить одно целое число на другое в том случае, когда деление нацело оказалось невозможным, например, 5 разделить на 3. Понятие об отрицательном числе возникло в результате решения уравнений и, в связи с этим, в результате необходимости вычитания из меньшего числа большего числа. Не было такого гения, который сразу открыл бы отрицательные числа и устранил все противоречия, явившиеся в связи с производством действий над относительными числами.

Отрицательные числа вводились в математику постепенно и с большими трудностями. По мере развития алгебраической символики отрицательные числа все больше и больше занимают равноправное положение, но только в XIX в. они получили всеобщее признание. Из истории математики мы видим, что индусы (VII в. н. э.) первые из математиков признали существование отрицательных чисел и истолковали положительные числа как «имущества», а отрицательные числа как «долги». Однако, хотя индусы и стали на правильный путь объяснения отрицательных чисел, они все же избегали их употребления. Индус Бхаскара (XII век н. э.), решая уравнение X2 — Ъх = 250, получает два решения: л:1 = 50 и х2= — 5. «Но, говорит он, второго значения в данном случае брать не следует, так как оно не соответствует условию задачи; люди не одобряют от-

влеченных отрицательных чисел» (Кэджори—«История элементарной математики»).

У европейских математиков мы начинаем встречать отрицательные числа только в эпоху Возрождения. Итальянский математик Кардано (XI в.), решая уравнения, обращает внимание и на отрицательные корни, но называет их «фиктивными». Математик Штифель (XVI в.) называет отрицательные числа «нелепыми», возникающими от вычитания из нуля действительных чисел, «стоящих выше нуля». Итальянец Лука Пачиоло (XVI в.) хотя и говорит, что «минус на минус дает плюс», но прилагает это правило только тогда, когда находит произведение (a—b)(c—d), причем (а — Ь) и (с — d) у него числа положительные. В его сочинениях нет чисто отрицательных чисел.

«До XVII в. большинство великих европейских алгебраистов не поднялось еще до высоты взглядов, встречаемых у индусов. Фламандский математик Жирар (XVII b.) первый оценил пользу отрицательных корней уравнений для решения геометрических задач. Полное объяснение и построение отрицательных количеств и систематическое употребление их начинается с Декарта» (Кэджори).

Декарт (XVII в.) ввел чистые отрицательные числа и графически истолковал их как расположенные влево по оси абсцисс. Термин «отрицательное число» (numerus negativus) был введен в математическую литературу П. Рамусом (XVI в.). До него отрицательные числа назывались «фиктивными», «ложными», «нелепыми», «воображаемыми» и т. д. Но и после Декарта у некоторых математиков встречаются еще неправильные взгляды на отрицательные числа. В XVIII и XIX вв. еще встречаются математики, которые протестуют против употребления отрицательных чисел, несмотря на то, что отрицательные числа в аналитической геометрии уже показали свое огромное значение. Так, например, французский математик Л. Карно в своей «Геометрии» говорит, что учение о действиях над отрицательными числами полно противоречий и что с ними можно прийти к любому абсурду, и приводит такой пример: —Ь=+1, ибо.—1=1/—1 -V—1=у\2=\. Поэтому он требует, чтобы геометрия отказалась от пользования «иероглифическим письмом анализа» ввиду его сомнительности и ненадежности. К сомнениям относительно значений отрицательных чисел приводила также пропорция 1 : — 1 = — 1:1, которой занимались даже такие ученые, как Ньютон, Лейбниц, Маклорен. Так как оба отношения равны —1, значит пропорция верна. Но старые алгебраисты рассуждали так: первый предыдущий член больше, а второй меньше своего последующего, следовательно, пропорция неверна.

Английский математик Валлис (XVII— XVIII вв.) приводит такой пример:

он уменьшает на единицу знаменатель каждой следующей дроби и делает вывод, что отрицательное число больше бесконечно большого, ибо -i- = œ.

Эти примеры и выводы из них говорят о том, что еще не всем была ясна природа относительных чисел, что все еще продолжали представлять их как количества предметов, представляли их как числа абсолютные, а не относительные. Правильный взгляд на отрицательные числа как на числа, отражающие действительность и лишь качественно отличающиеся от положительных, высказал Гаусс (1831). Итак, даже в XIX в. мы видим борьбу самых разнообразных мнений по этому вопросу.

«Возникает вопрос, почему введение отрицательных чисел было таким трудным шагом. Повидимому, ответ заключается в следующем: отрицательные числа представлялись нелепыми или воображаемыми, пока математики не дошли до зрительного или графического изображения их. Индусы скоро сообразили, что объяснение положительных и отрицательных чисел можно найти в противоположности направлений. Понятия об имуществах и долгах давали им другое объяснение природы этих чисел. История подчеркивает важность графического представления отрицательных чисел для преподавания алгебры. Если опустить все иллюстрации отрицательных чисел линиями или посредством термометра, то числа эти покажутся учащимся настолько нелепыми, насколько они казались таковыми старым алгебраистам» (Кэджори — «История элементарной математики»).

Одновременно с возникновением понятия отрицательного числа явилась необходимость производить действия над относительными числами. Действия над относи-

тельными числами сначала пытались логически доказать на основании определений действий с абсолютными числами. Но все попытки дать доказательства не могли увенчаться успехом, так как относительные числа качественно отличаются от абсолютных чисел и поэтому требуют для производства действий над ними новых определений. Особенно много «доказательств» было приведено по поводу знаменитого правила знаков при умножении. Многие математики в своих сочинениях правила знаков приводили без всяких доказательств и пояснений, А математик Клявиус в своей «Алгебре» (1608), давая правило знаков, что «минус на минус всегда цаег плюс», добавляет: «виновато бессилие человеческого ума в том, что не можем понять, почему это справедливо. Во всяком случае сомневаться в верности такого умножения нельзя, так как оно подтверждено многими примерами».

Мрочек и Филиппович в своей «Педагогике математики» приводят шестнадцать различных «доказательств» правила знаков. Приведем здесь типичные «доказательства»:

1. Два отрицания составляют утверждение (П. Рамус).

2. В том же роде: друг моего друга — мне друг, друг моего недруга — мне недруг, недруг моего друга—мне недруг, недруг моего недруга — мне друг.

3. Самое распространенное и самое древнее доказательство (встречается еще у Диофанта в III в. н. э.). Пусть нужно умножить, например, (5 — 2) на (7—3). Произведение заранее известно и равно 12, так как 5 — 2 = 3 и 7 — 3 = 4. Умножают каждый член множимого на каждый член множителя согласно распределительному закону. Три члена произведения будут следующие: 35, —14, — 15 (считают «очевидным», что 5--3 = 15). Чтобы в результате получить 12, необходимо перед четвертым членом произведения 2*3 поставить положительный знак.

4. Доказательства при помощи чертежа: пусть также нужно умножить (5 — 2) на (7 — 3). Строят прямоугольник со сторонами 5 — 2 и 7 — 3; он составит часть прямоугольника со сторонами 5 и 7.

Чтобы из последнего получить первый, нужно отнять сначала прямоугольник со сторонами 7 и 2, затем отнять прямоугольник со сторонами 3 и 5. Но тогда отняли прямоугольник со сторонами 2 и 3 лишний раз. Следовательно, нужно его снова прибавить. Таким образом получается, что (5 — 2) • (7 — 3) = 35 — 14 —15-(-6. Или вообще получается формула

которая доказана таким образом только для случая, когда а> b и c>d. Но из этого доказательства никак не вытекает, что она верна и для случая, когда а = = £ = 0, т. е. не вытекает, что (—Ь). (—d) = +bd, ибо тогда рассуждений этого доказательства применить нельзя.

Вебер и Вельштейн в энциклопедии элементарной математики говорят: «Если мы будем рассматривать умножение как повторное сложение, то мы можем распространить это действие и на тот случай, когда множимое отрицательно или равно нулю (а множитель положителен), т. е. получим (—a)-b = — (ab) и (—а).0 = 0. Но если множитель есть число отрицательное, то прежнее определение теряет всякий смысл и потому нужно давать новое определение».

Новейшая точка зрения по этому вопросу высказана в энциклопедии элементарной математики следующим образом: «Если а и b обозначают относительные числа, то их произведение будет относительным числом, абсолютное значение которого есть произведение абсолютных значений а и а знак есть плюс или минус сообразно с тем, имеют ли оба числа а и b знаки одинаковые или разные. Это определение может быть связано с законом перманентности (т. е. с сохранением законов действий), замечая сначала, что положительные числа должны быть приняты за одно с их абсолютными значениями, а тогда определение умножения любого числа на положительное число вытекает из общего определения (как повторного сложения.— Н. М.)

Определение, относящееся к умножению на отрицательное число, необходимо имеет место в силу того, что стремится сохра-

нить переместительный и сочетательный характер операции».

Таким образом, вопрос о возможности доказательства правила знаков при умножении относительных чисел разрешен отрицательно только в XIX в.

Немецкий математик Ф. Клейн по этому поводу говорит: «Простое разъяснение правила знаков, которое принес только XIX в., заключается в том, что о логической необходимости этого положения, о его доказуемости не может быть и речи. Речь может итти только о том, чтобы признать его логическую допустимость. В остальном же оно регулируется соображениями целесообразности и принципом перманентности».

Итак, мы видим, что в математике установился формальный взгляд на действия с относительными числами, но, конечно, такой, что он соответствует практике.

Перейдем теперь к вопросу преподавания относительных чисел в школе. Изучение относительных чисел в школе состоит из двух основных моментов:

1) выяснения понятия об относительных числах,

2) производства действий с относительными числами.

Выяснение понятия об относительных числах в школе лучше всего сделать на конкретных величинах, имеющих два противоположных смысла. Хотя история математики нам говорит, что относительные числа появились в результате решения уравнений, но в VI классе ученики еще решать уравнений не умеют, да кроме того, получив отрицательный корень уравнений, все равно пришлось бы его истолковать, как величину направленную, а потому этот способ ознакомления с относительными числами слишком громоздок и для учеников не будет ясен.

Лезан («Начатки математики», 1908 г.) по вопросу преподавания относительных чисел говорит: «Если отрицательные числа выражают в самом начале, то достаточно немного подумать, чтобы найти им вполне естественное объяснение. Говорят, что число не может быть меньше ничего, т. е. нуля. Однако в обыкновенной разговорной речи мы каждый день говорим, что термометр показывает столько-то градусов ниже нуля. Человек без всякого имущества, но и без долга не богат, но если он, лишенный имущества, имеет долги, то можно сказать, что он имеет меньше, чем ничего: его имущество отрицательное. Пробка имеет известный вес: если ее не удерживать в воздухе она упадет; погрузите же эту пробку в воду и не удерживайте ее там — она всплывет: ее вес стал как будто отрицательный. Коротко говоря, отрицательные числа, далекие от всякой таинственности, прилагаются совершенно естественно ко всяким количествам, не исключая и тех, которые, по самой сущности, заключают в себе два противоположных смысла: тепло и холод, высоко и низко, дебет и кредит, будущее и прошедшее и проч.»

В большинстве учебников алгебры таким именно образом и начинается знакомство с относительными числами. Итак, мы начинаем с задачи о величинах, имеющих два противоположных смысла. Например: сегодня температура 5°. Можно ли сказать какая погода, оттепель или мороз? Ученики видят неопределенность вопроса и потребуют знать, было ли 5° выше нуля или ниже нуля. Здесь температура 0° есть та точка, от которой производится отсчет температур в обе стороны, вверх и вниз. Поэтому недостаточно сказать только число градусов, необходимо еще указать, в какую сторону произвести отсчет. Приводим другой пример. На прямой линии взята точка А. Если предложить ученикам отложить от точки А 10 см, то опять они увидят, что вопрос неопределенный, так как нужно знать, в какую сторону отложить. Учащимся ясно, что расстояние от точки А имеет два противоположных направления и эти направления нужно каким-нибудь способом отличать друг от друга. Говорим, что в таких случаях, когда величина имеет два противоположных направления, условились одно направление называть положительным, а другое—отрицательным, перед числом, выражающим величину с положительным направлением, ставить знак плюс и знак минус — если величина с отрицательным направлением. Так, в первом примере температура выше нуля считается положительной и ниже нуля — отрицательной; во втором примере число, измеряющее длину вправо от точки А, условились считать положительным, а влево — отрицательным.

Следует привести еще примеры направленных величин: выигрыш и проигрыш, имущество и долг, высота над уровнем моря и под уровнем моря и др. Из такого ряда разнообразных примеров у учащихся создается ясное представление о положительных и отрицательных числах. Теперь необходимо дать этим числам графическую иллюстрацию на числовой оси. Дать поня-

тие о числовой оси очень важно, так как числовой осью придется пользоваться при производстве действий над относительными числами. На прямой принимаем какую-нибудь точку за начальную, устанавливаем положительное направление, обозначая его стрелкой (такая прямая называется осью), выбираем единицу длины и откладываем от начальной точки отрезки, соответствующие числам: +1, +2, +3, +4, —1, —2, -3 и т. д. Таким образом, выясняется, что каждому числу, положительному и отрицательному, соответствует на оси определенная точка. Чтобы это ученики лучше усвоили, нужно предложить им отмечать на оси точки, соответствующие дробным относительным числам (2 — 3 + и т. д.).

Тогда учащиеся заметят, что и, наоборот, каждой точке оси соответствует определенное относительное число. Нужно обратить особое внимание на начальную точку и выяснить, что этой точке соответствует число нуль. Учащиеся привыкли в арифметике считать нуль за отсутствие числа, здесь же взгляд на нуль у них должен измениться, и нуль они уже должны считать числом, стоящим в ряду относительных чисел. Это учащиеся должны увидеть и на числовой оси и на тех примерах, которые давались им для выяснения понятия относительных чисел. Таким образом, учащиеся должны усвоить, что положительные, отрицательные числа и нуль есть относительные числа, так как счет им ведется по отношению к некоторому начальному положению, к некоторой начальной точке. После этого необходимо дать понятие об абсолютной величине числа. Откладывая на числовой оси числа -f 5 и — 5, учащиеся видят, что длины отрезков равны между собой и каждая имеет по 5 единиц длины. Вот это число 5 (без знака) называется абсолютной величиной числа. Говоря о 5 руб. имущества и о 5 руб. долга, учащиеся видят, что число 5 указывает размер числа и в том и в другом случае. Этот размер и есть абсолютная величина числа. Следует предложить учащимся написать абсолютные величины для нескольких относительных чисел. Затем необходимо указать, что числа, имеющие равные абсолютные величины, но разные знаки, называются противоположными, и предложить ряд примеров для упражнения в нахождении противоположных чисел.

После выяснения понятия об относительных числах возникает вопрос, какое из двух данных относительных чисел больше или меньше другого. Числовая ось и здесь помогает получить ясное представление о сравнительной величине относительных чисел. При движении по оси в положительном направлении числа возрастают, при движении в обратном направлении, числа уменьшаются. Значит 0 меньше 1, — 1 меньше 0, —2 меньше —1 и т. д., но это графически наглядное сравнение нужно обосновывать на конкретных примерах вроде следующих: у одного человека имущество составляет + 5 руб., у другого составляет —10 руб. У кого из них больше? Здесь уже не только формально, но и по существу видно, что +5> — 10. В одной комнате температура 0°, а в другой — 3°; где температура выше? Очевидно 0> — 3°. Таким образом, из ряда примеров приходим к выводам:

1. Всякое положительное число больше нуля и больше всякого отрицательного числа.

2. Всякое отрицательное число меньше нуля и меньше всякого положительного числа.

3. Из двух положительных чисел больше то, у которого абсолютная величина больше.

4. Из двух отрицательных чисел меньше то, у которого абсолютная величина больше.

Число примеров для упражнения в сравнении относительных чисел должно быть значительно, чтобы учащиеся это твердо усвоили.

Перейдем теперь к производству действий над относительными числами.

СЛОЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Сложение относительных чисел следует показать учащимся, исходя из конкретных примеров, взятых из практики. Такой пример приводится в учебнике алгебры Киселева (задача на прибыль и убыток) или в методике алгебры Чистякова (задача на выигрыш и проигрыш). Сначала берутся два случая, когда оба слагаемые с одинаковыми знаками, и учащиеся легко выводят правило: чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, нужно сложить их абсолютные величины и поставить тот же знак. Затем рассматриваются на том же примере два случая, когда оба слагаемые с разными знаками, и опять выводится правило: чтобы сложить два относительных числа с разными знаками, нужно из числа с большей абсолютной величиной вы-

честь число с меньшей абсолютной величиной и поставить перед разностью знак числа с большей абсолютной величиной. На таких конкретных задачах сумма относительных чисел находится по смыслу задачи и понимание сложения труда не представляет. Конкретное истолкование сложения относительных чисел полезно провести и на числовой оси, но для этого с учащимися необходимо предварительно выяснить понятие о переходе из одной точки в другую, так как «соответствие между относительными числами (положительными и отрицательными) и точками прямой линии само по себе не ведет еще к конкретному истолкованию операций над этими числами. Для этого нужно сделать еще один шаг: ввести понятие перехода из одной точки в другую. Если A vi В — две произвольные точки на оси ОХ, то переход из А и В (AB) может быть вполне охарактеризован относительным числом: абсолютная величина этого числа укажет абсолютную величину перемещения, а знак укажет его направление.

Так,переходу AB соответствует число +2, переходу С В —число —3. При этом начальная точка отрезка может быть выбрана где угодно на данной прямой; существенную роль играет только длина отрезка и его направление. Так, например, каждому из переходов (векторов) AB и СО соответствует одно и то же число +2. Таким образом, каждому числу, положительному или отрицательному, соответствует определенный переход или вектор на прямой линии. Обратно, каждый вектор может быть охарактеризован определенным относительным числом. Теперь операции сложения и вычитания относительных чисел получают простое, конкретное истолкование» (Проф. Г. М. Шапиро — «Высшая алгебра»).

Пусть надо сложить (+3) и (+2); тогда откладываем на оси от начальной точки вправо отрезок, равный 3, и затем от конца этого отрезка еще откладываем вправо второй отрезок, равный 2; в результате получим отрезок, равный 5 и направленный вправо. Отсюда (+ 3) + (+ 2) = 4- 5.

Точно так же получим, только делая переходы влево, что ( — 3) + (— 2) = — 5.

Если надо сложить (-f 3) и (—2), то сначала делаем переход по оси на 3 единицы вправо, а затем на 2 единицы влево, и в результате получается перемещение на одну единицу вправо, т. е. (+3)++ (—2)=+1. Так же рассуждая, получим равенство (—3)+(+2) =—1. Необходимо еще обратить внимание на сумму противоположных чисел, показав, что, например, (+3) 4- (— 3) =0. Сначала учащиеся делают сложение относительных чисел, заключая каждое слагаемое в скобки с его знаком. А затем нужно показать, что сложение можно делать, опуская скобки, и приписывать к первому слагаемому второе слагаемое с его знаком: (+ 5) + -f - (+ 4) = 5 + 4, так как результаты в левой и в правой частях равенства равны. Также нужно указать, что перед положительным числом знак плюс обычно опускают. Когда учащиеся твердо усвоят сложение двух относительных чисел, нужно предложить им ряд примеров на сложение трех и более чисел (как целых, так и дробных). При сложении относительных чисел понятие о сумме расширяется, ибо сумма относительных чисел может быть и больше, и меньше, и равна слагаемому. На это обстоятельство нужно обратить внимание учащихся. Если к числу прибавить положительное число, то данное число увеличится, а если прибавить отрицательное число, то данное число уменьшится. Заканчивая сложение относительных чисел, нужно еще на примерах проверить справедливость формальных законов сложения: переместительного и сочетательного.

ВЫЧИТАНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Вычитание относительных чисел легче всего показать на термометрической шкале. Этот способ нужно признать самым доступным для учащихся, так как он соединяет и вычисление и наглядное изображение. Начертив на доске термометрическую шкалу (числовую ось), рассматриваем все четыре случая вычитания.

Пусть термометр утром показывает + 4°, а днем +5°. На сколько градусов температура изменилась? Чтобы это узнать, надо от дневной температуры вычесть утреннюю, т. е. (+5°) — (+4°) =-fl°. На шкале видно, что абсолютная разность температур равна одному градусу, но надо обратить внимание на то, что переход от +40 до +5° совершался в положительном направлении, а поэтому знак разности будет плюс (+).

2. Пусть термометр утром показывает (—4°), а днем (+5°); как изменилась температура? Чтобы узнать разность, нуж-

но от +5° вычесть —4°. Чертеж показывает, что абсолютная разность равна 9°, но переход совершен в положительном направлении, ибо начальная температура была —4°, а конечная +5°. Следовательно (+ 5°) — (— 4°) = + 9°.

3. Пусть термометр утром показывает + 4°; а днем — 5°; как изменилась температура? Чтобы узнать разность, нужно от дневной температуры (—5°) отнять утреннюю (+ 4°). На чертеже видно, что разность между температурами равна 9°, но так как переход совершался от (-)-40) к (—5°), т. е. в отрицательном направлении, то знак разности будет минус (—). Следовательно (— 5°) —(+4°) = — 9°.

4. Пусть утром температура будет (—4°), а днем (—5°). Чгобы узнать, как изменилась температура, нужно от (— 5°) вычесть (—4°). На чертеже видно, что абсолютная разность равна 1°, а знак будет минус (—), так как переход совершался в отрицательном направлении. Следовательно (—5°) —(— 4°) = — 1°.

Разобрав все эти случаи, нужно учащимся вывести правило вычитания относительных чисел. Для этого нужно сравнить результаты вычитания в этих примерах со сложением, изменив только знак у вычитаемого на обратный. Выписываем:

Сравнивая результаты вычитания и сложения, учащиеся видят, что они одинаковы. Это показывает, что вычитание можно заменить сложением, только вместо вычитаемого нужно прибавлять число ему противоположное.

Отсюда правило: чтобы вычесть какое-нибудь число, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Проделав ряд примеров по соображению, а затем применяя правило, учащиеся усваивают смысл и технику вычитания. Необходимо обратить внимание учащихся на то, что вычитание всегда можно заменить сложением, а сложение вычитанием. Кроме того, вычитание становится всегда выполнимым, так как можно вычитать не только из большего числа меньшее, но и наоборот. Таким образом^ грань между сложением и вычитанием стирается, и потому можно говорить только о сложении; вычесть положительное число все равно, что прибавить отрицательное с той же абсолютной величиной, а вычесть отрицательное число все равно, что прибавить положительное с той же абсолютной величиной. Нужно, чтобы учащиеся всякую разность могли представить в виде суммы. Так у них возникает понятие об алгебраической сумме. Следует проделать ряд примеров на сложение и вычитание нескольких чисел и на основании переместительного и сочетательного законов приучить учеников к рациональному вычислению.

УМНОЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Как мы видели, правила умножения относительных чисел не могут быть логически выведены из определения умножения абсолютных чисел, и поэтому всякие попытка давать объяснения, которые учащиеся примут за доказательство, должны быть отвергнуты. Следует просто сказать, что так как относительные числа качественно отличаются от абсолютных, то для умножения, их нужно дать и новые определения. Эти определения заключаются в том, что при умножении двух относительных чисел с одинаковыми знаками нужно перемножить их абсолютные величины и произведение взять со знаком + (плюс), а при умножении двух относительных чисел с разными знаками нужно перемножить их абсолютные величины и произведение взять со знаком — (минус). Приведя эти определения, необходимо показать на примерах их целесообразность. Очень наглядно показать умножение относительных чисел на термометрической шкале. Рассмотрим все четыре случая умножения.

1. Термометр каждый час поднимается на 3°; теперь он стоит на 0. Сколько градусов он будет показывать через 5 часов? Очевидно 3° надо умножить на 5, но так как температура повышается, то множимое будет положительное число (+3°), и так как время здесь считается вперед, то и множитель будет (+5). Так как положительное число обладает свойствами абсолютного числа, то в этом случае умножить +3Q на 4“5 значит +3° повторить слагаемым 5 раз. Следовательно

2. Термометр опускается каждый час на 3°; теперь он стоит на нуле. Сколько градусов он будет показывать через 5 часов? Очевидно для этого тоже нужно умножить 3° на 5, нэ так как температура понижается, то множимое будет отрицательное число (—3°) а множитель будет положителен (+5°), ибо здесь время считается вперед. Поэтому нужно умножить (— 3°) на (+5). Учащиеся по соображению, смотря на шкалу термометра, ответят, что температура будет —15°. Следовательно (— 3°)Х(4-5) = —15°.

3. Термометр поднимается каждый час на 3°; сейчас он стоит на нуле. Сколько градусов он показывал 5 часов назад? Зтесь множимое положительное число (+30), а так как время считается назад, то множитель отрицательное число (— 5). Итак (+3°) надо умножить на (—5). Учащиеся по соображению скажут, что ответ будет равен —15°. Следовательно (+3°)Х(-5) = -15°.

4. Термометр опускается каждый час на 3°, сейчас он стоит на нуле. Сколько градусов он показывал 5 часов назад? В этом случае множимое есть отрицательное число (—3°) и множитель тоже отрицательный (—5). Учащимся и здесь будет ясно, что ответ будет +15°, так как они это увидят на шкале термометра. Следовательно (-3°)Х(—5) =4-15°.

Таким образом, на этом примере или на других примерах учащимся можно достаточно ясно показать целесообразность правила знаков при умножении относительных чисел, и тогда не возникает вопроса: «Почему минус на минус дает плюс?» Следует обратить внимание на умножение любого числа на нуль и на —1, что в дальнейшем, при решении уравнений, будет часто встречаться. Также нужно сделать ряд примеров на умножение относительных чисел, когда число множителей больше двух, обратив внимание на знак произведения в этих случаях, и затем проверить законы умножения: переместительный, сочетательный и распределительный. Примеры на возведение относительных чисел в четную и нечетную степень и выводы из этих примеров должны также найти здесь свое место.

ДЕЛЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Деление определяется как действие, обратное умножению, когда по данному произведению и одному из множителей находится другой множитель. Поэтому правило знаков при делении выводится на основании правила знаков при умножении. На вопрос, какое число нужно умножить на — 3, чтобы получить -|~ 15, учащиеся отвечают без затруднения. Значит (-f 15) : (— 3) = — 5. Путем подобных вопросов выясняем знак у частного в остальных трех случаях и приходим к правилу: чтобы разделить одно относительное число на другое с одинаковыми знаками, нужно разделить их абсолютные величины и частное взять со знаком плюс, а если делимое и делитель с разными знаками, то частное взять со знаком минус. Отдельно необходимо рассмотреть случай деления, когда делимое и делитель равные числа; например:

и когда противоположные числа:

Обращаем внимание на случаи деления а на Ь, когда:

1. Например, 0 : — 5; на какое число нужно умножить—5, чтобы получить 0? (Ответ: на нуль.) Следовательно 0 :—5 = 0. Ученики должны усвоить, что нуль, разделенный на число, отличное от нуля, дает в частном нуль.

2. Разделить нуль на нуль; на какое число нужно умножить нуль, чтобы получить нуль? (Ответ: на всякое число.) Значит, в частном от деления нуля на нуль мы не получим определенного числа, и потому нуль разделить на нуль нельзя.

3. Пусть нужно разделить 3 на 0. На какое число нужно умножить делитель нуль, чтобы получить 3? Выясняем, что такого конечного числа нет, а поэтому делаем вывод, что делить на нуль нельзя.

Второй и третий случаи для учащихся трудны, и потому на них нужно дольше остановиться.

После изучения всех действий с относительными числами необходимо проделать с учащимися достаточное число примеров на все действия, причем следует брать числа не только целые, но и дробные. Затем необходимо также предложить ряд примеров на нахождение числовых величин в буквенных выражениях различного вида как целых, так и дробных.

Заканчивая вопрос о преподавании относительных чисел, мы приходим к следующим выводам:

1. Понятие об относительном числе должно быть выведено из рассмотрения величин, имеющих два противоположных смысла.

2. Правила сложения и вычитания относительных чисел должны быть выведены на конкретных задачах и проиллюстрированы графически на числовой оси.

3. Правило знаков при умножении дается как новое определение и целесообразность его осмысливается на конкретных примерах.

При тщательно продуманном подходе к изучению относительных чисел мы дадим учащимся математическое развитие и привьем им прочные навыки в действиях с относительными числами.

Примерный план проработки темы

1. Понятие об относительных числах и сравнение их — 2 часа

2. Сложение — 2 часа

3. Вычитание—3 часа

4. Обобщения сложения и вычитания— 2 часа

5. Контрольная работа—1 час

6. Умножение и возведение в степень — 2 часа

7. Деление — 2 часа

8. Решение примеров на все действия — 3 часа

9. Контрольная работа — 1 час

РАЗЛОЖЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИИ НА МНОЖИТЕЛИ

(Методическая разработка)

А. БАРСУКОВ (Москва)

I. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В выработавшемся многолетним опытом делении разделов элементарной алгебры на «легкие» и «трудные» раздел «Разложение на множители» подавляющим большинством педагогов (и учащихся) относится к числу «трудных».

С первого взгляда такое мнение кажется необоснованным. В самом деле, этот раздел не содержит каких-либо теорем с более или менее сложными доказательствами; почти не вводится новых понятий и терминов (за исключением самих названий: «разложение на множители», «способ группировки»), самые производимые действия являются повторением пройденного (действия с одночленами и многочленами).

Очевидно, трудности заключаются не в самом содержании данной темы, а зависят в первую очередь от способа подачи материала.

Три основных момента предопределяют трудности усвоения рассматриваемого раздела:

1. Оторванность от предыдущей части алгебраического курса. Не увязанный с усвоенным уже материалом весь раздел представляется учащимся чем-то новым, требующим особых усилий для его понимания и усвоения.

2. Нерациональное распределение времени, отводимого на прохождение отдельных частей раздела.

Для примера возьмем разложение при помощи формул сокращенного умножения as+b3, с одной стороны, и а2— Ь2—с другой. Подавляющее большинство преподавателей отводят значительно большее время на усвоение применения первой формулы, как более трудной, чем второй. Однако это совсем не соответствует месту, занимаемому каждой из этих формул во всех дальнейших упражнениях на действия с дробями. Наглядно это показывают прилагаемая таблица 1 и особенно 2, которую вообще полезно иметь в виду при планировке во времени отдельных частей раздела. Таблица показывает, в скольких задачах стабильного задачника Шапошникова и Вальцва, гл. IV, ч. 1, встречается применение отдельных приемов разложения на множители.

Как видно из таблицы, именно на применение формулы а2 — Ь2 имеется наибольшее количество задач и притом в самых разнообразных сочетаниях. Понятно, что приобретению навыка в применении этой формулы и должно быть уделено соответствующее внимание и время.

3. Отсутствие попытки (в частности, в стабильном учебнике) уложить в некоторую (насколько это возможно) систему усвоенный по теме материал; дать хотя бы некоторые признаки, позволяющие не итти вслепую, а сознательно применить тот или иной метод разложения к данной конкретной задаче.

ТАБЛИЦА 1

Количество задач, требующих применения различных способов разложения на множители (Шапошников и Вальцов, ч. 1, гл. 4. Дроби)

Способ разложения

Сокращение дробей

Приведение к одному знаменателю

Сложение и вычитание дробей

Умножение

Деление

Все действия

Всего

1

Разложение одночленов.......

Почти во всех задачах

2

Вынесение за скобки........

3

4

3

16

8

9

72

3

Способ группировки ........

Формула а2 — Ъ~..........

9

4

6

4

8

9

40

4

25

3

12

25

16

9

90

5

» (a + b)2..........

9

1

6

6

1

23

6

» (а — b)2..........

3

2

4

4

6

19

7

> (? -f bf ..........

1

—.

1

2

8

» (а — ЬУ...........

1

1

9

» a3 -f Ь3...........

2

2

4

5

13

10

» а3 — Ь3...........

1

2

3

5

1

11

ТАБЛИЦА 2

Число случаев применения различных способов разложения на множители

Способ разложения

Сокращение дробей

Приведение к одному знаменателю

Сложение и вычитание дробей

Умножение

Деление

Все действия

Всего

1

Разложение одночленов.......

Почти во всех задачах

2

Вынесение за скобки........

51

10

7

25

14

14

121

3

Способ группировки ........

15

7

13

6

12

14

67

4

Формула а2 — Ь2..........

30

3

21

33

19

11

117

5

» (а + Ь)*..........

10

1

6

6

1

24

6

» (a — h)2..........

4

2

4

4

6

20

7

» (a -f b)3.........

1

1

2

8

» a3 -f b3...........

2

2

4

6

14

9

» (а — b)3..........

1

1

10

» а3 — b3 ..........

1

2

3

5

1

12

Последующее изложение и кладет в основу указанные три момента.

II. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ

1. Уже при изучении формул сокращенного умножения можно проделать с учащимися небольшое количество упражнений, увязывающих этот раздел с разложением многочленов на множители.

Пусть, например, выведена формула для квадрата двучлена:

При проведении упражнений на применение этой формулы преподаватель останавливается на одном из них (достаточно простом), например, на {a + ЗЬ)2. Учащиеся делают:

Преподаватель обращает внимание учащихся на то, что здесь мы данное алгебраическое выражение (квадрат двучлена) представили в другой форме (в виде трехчлена).

Далее преподаватель задает вопрос: «Наоборот, если нам дан трехчлен

(1)

то как бы мы его могли написать (представить) в другой форме?» Обычно ответ не заставляет себя ждать: «В форме (a+3£)2. Такой же вопрос задается еще

в 1-2 примерах. Далее, решив, например, такое упражнение:

(2)

и задав тот же вопрос, преподаватель пишет на доске выражение:

(3)

затем спрашивает, нельзя ли это выражение представить в другой форме (или проще: нельзя ли это выражение представить в виде квадрата суммы?) Имея перед глазами пример (2), учащиеся легко догадаются, чго выражение (3) может быть написано в виде (х+5)2. Сейчас же делается проверка:

В дальнейшем преподаватель проделывает с учащимися еще два-три простых упражнения, например:

(4)

При задании на дом преподаватель в числе упражнений дает примерно такое:

Представить в виде квадрата суммы двух членов выражения:

(5)

Такая же работа проводится при изучении формул:

с той лишь разницей, что, во-первых, основываясь на предыдущей работе, здесь можно обойтись без предварительных разъяснений и прямо предложить ученикам, например, представить в виде квадрата разности выражение:

и т. п.

Во-вторых, при задании на дом можно дать примеры, несколько более сложные, например:

(6)

и т. п.

Следует отметить, что совершенно независимо от увязки с разделом разложения на множители эти упражнения представляют определенную методическую ценность для усвоения проходимого раздела. Именно эти упражнения чрезвычайно помогают запоминанию, а главное, сознательному усвоению формул сокращенного умножения. Поэтому данные упражнения не только не являются искусственными, посторонними для данного раздела, но должны составлять его органическую часть.

С другой стороны, эти упражнения понемногу приучают распознавать в трехчлене квадрат суммы или разности (или в двучлене — произведение суммы на разность), чем значительно облегчат в дальнейшем усвоение соответствующего раздела в теме «Разложение на множители».

2. Следующим этапом для предварительной подготовки к разложению на множители является раздел «Деление одночленов».

При прохождении этого раздела преподаватель обычно приучает учеников к проверке правильности произведенного деления путем перемножения частного и делителя. В связи с этим в отдельных примерах следует заставлять учащихся представить делимое в виде произведения и затем уже произвести проверку.

Пусть учащиеся решили пример:

(7)

Преподаватель спрашивает: «Какая зависимость существует между делимым, делителем и частным?» «Покажите эту зависимость на данном примере»:

(8)

Таких упражнений проделывается несколько, причем можно начать с примеров более простых, чем приведенный выше.

Можно дать и частный случай деления, когда делимое равно делителю, например:

(9)

и затем представить это выражение в виде:

(10)

Из всех этих упражнений учащиеся легко сделают вывод (можно и даже желательно сформулировать этот вывод вслух), что всякий одночлен может быть представлен в виде произведения двух одночленов (в частном случае имеем а = а-\).

Далее преподаватель дает ряд примеров, в которых делимое остается одним и тем же, а делитель меняется, например:

и т. п.

Произведя деление и представив затем в каждом случае делимое в виде произведения, учащиеся под руководством преподавателя приходят к такой таблице:

(12)

Преподаватель предлагает учащимся самим представить выражение \2аъ№с в виде произведения двух каких-либо других множителей.

На этом и двух-трех аналогичных примерах учащиеся делают выводы:

1. Всякий одночлен можно представить в виде произведения двух одночленов, причем большей частью несколькими способами.

2. Когда одночлен надо представить в виде произведения двух множителей, из которых один дан, то для нахождения второго нужно данное выражение разделить на первый множитель.

Не нужно заставлять заучивать эти выводы, особенно в той длинной формулировке, которая дана здесь. Важно лишь, чтобы учащиеся усвоили первый и правильно пользовались вторым.

Отметим, что и здесь все приведенные выше упражнения не притянуты искусственно, а являются частью самой темы (упражнения на деление одночленов и проверка деления).

Заметим еще, что в примерах, подобных (11), полезно после представления их в виде (12) произвести проверку путем подстановки вместо букв небольших чисел (например а = 2, Ь=\, с = 4, или а = 3, д = 2, с = 5 и т. п.). Приближая проделанное упражнение к аналогичному из знакомой уже области арифметики, такая проверка укрепляет уверенность в правильности полученных результатов и благодаря аналогии с арифметикой помогает быстрее и сознательнее усвоить данный раздел. (Вообще подстановке в алгебраические выражения числовых значений мы придаем громадное значение на протяжении всего курса, считая, что, кроме всего прочего, здесь мы имеем наилучший способ обнаружения ошибки в произведенных вычислениях.)

3. Совершенно так же, как только что было изложено, прорабатывается и раздел «Деление многочлена на одночлен». Но здесь упражнений (на представление делимого в виде произведения) надо дать больше, чем в предыдущих случаях, так как здесь мы имеем уже прямой мостик к разложению на множители способом вынесения за скобки.

Полезно, проделав деление, например:

и представив затем делимое в виде

проанализировать, как был получен первый член 7а2, как второй и т. д.

В упражнениях надо особенно обратить внимание на следующие случаи:

1) когда один из членов частного равен единице, например;

2) когда делителем является одночлен с отрицательным знаком, например:

и в том и в другом случаях непременно надо проанализировать получение каждого члена частного.

Таков минимум упражнений, по нашему мнению, необходимых и достаточных для того, чтобы, во-первых, раздел «Разложение на множители» не явился для учащихся чем-то новым, оторванным от всего пройденного ранее; во-вторых, чтобы самое усвоение раздела проходило легче, на основе уже знакомого материала.

Можно было бы указать еще на некоторые разделы, которые легко было бы использовать в том же направлении (например, при умножении многочленов сделать некоторое ударение на случае (*+ а) + и т. д. Мы хотели лишь напомнить преподавателю, чтобы такие упражнения не пропускались, чтобы они действительно заняли определенное место в перечисленных выше разделах, что далеко не всегда бывает, особенно по отношению к формулам сокращенного умножения.

III. РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ ОДНОЧЛЕНОВ

4. Прежде всего преподаватель разъясняет учащимся цель и значение того раздела алгебры, к изучению которого они приступают. Сделать это можно примерно таким путем:

Преподаватель дает упражнение (а + +Ь — c)-d и предлагает произвести умножение. Учащиеся получают:

Далее преподаватель предлагает проверить правильность решения при помощи числовой подстановки. Пусть а = 4, b = 7, с = 2, d = S.

Вычисляется левая часть:

Вычисляется правая часть:

Преподаватель спрашивает, какую часть — левую или правую — легче и скорее было вычислить. Ответ ясен.

Далее даются примеры:

проверка при а = 13, Ь = 7;

проверка при а = 7, £ = 4.

Этих примеров достаточно, чтобы придти к выводу: иногда бывает выгодно данный многочлен представить в виде произведения.

Преподаватель дает определение: представление алгебраической суммы в виде произведения называется разложением многочлена на множители.

Определение иллюстрируется уже проделанными примерами, написанными в обратной последовательности:

а также несколькими новыми:

и т. п.

Введя термин «разложение на множители», преподаватель предлагает припомнить, не является ли этот термин уже знакомым для учащихся. Последние вспоминают, что с этой операцией они имели дело при изучении арифметических дробей; что разложение на множители приходилось делать для сокращения дробей и для приведения их к общему знаменателю. Не вдаваясь в подробности, преподаватель сообщает, что в ближайшее время они перейдут к изучению дробных алгебраических выражений; что здесь также они будут иметь дело с сокращением дробей

и с приведением их к общему знаменателю, для чего придется представлять алгебраические выражения (одночлены и многочлены) в виде произведения, т. е. разлагать алгебраические выражения на множители.

Вместе с предыдущим этого объяснения достаточно, чтобы оправдать необходимость изучения данного раздела.

5. Приступая к разложению на множители одночленов, преподаватель спрашивает, не приходилось ли учащимся раньше представлять одночлен в виде произведения двух одночленов. Учащиеся вспоминают, что они это делали при делении одночленов.

Преподаватель берет один-два примера из предлагавшихся при прохождении деления одночленов и вновь их решает. После этого переходит к новым примерам. Пусть дан одночлен ab. Нельзя ли его представить в виде произведения двух одночленов? Учащиеся находят:

Первый множитель здесь равен а; как можно найти второй множитель? (Посредством деления ab на а.) Затем проделывается ряд упражнений примерно в таком порядке.

1) Дан одночлен 6а2£3. Представить его в виде произведения двух множителей, из которых один равен За2Ь. Как найти второй множитель?

2) Таким же путей решаются примеры.

Особенное внимание следует обратить на случай, когда один из сомножителей отрицателен.

3) Предлагается разложить всеми возможными способами на множители выражения:

Припоминается такал же операция, производившаяся учениками при делении одночленов. Правильность разложения проверяется в одних примерах при помощи умножения, в других — подстановкой вместо букв чистовых значений.

4) Обращается внимание на особые случаи разложения;

На дом задаются упражнения вида: 1) Разложить различными способами на множители выражение 6а2Ь*.

2) В разложении выражения — 16а3£2 один из множители равен 8а2&2, чему равен второй множитель?

3) То же для выражений:

На весь этот раздел надо отвести два часа. На втором уроке преподаватель проверяет домашнее задание, проделывает еще несколько примеров, преимущественно особые случаи (см. примеры пункта 4, к которым надо прибазить выражения вида 5(а + £); а2(х+у) и т. п.).

IV. ВЫНЕСЕНИЕ ЗА СКОБКИ

6. Преподаватель предлагает ученикам припомнить и заставляет одного-двух сформулировать вслух правило деления многочлена на одночлен. Затем пишет на доске многочлен

и предлагает разделить его на Зах. В частном получается:

Далее преподаватель заставляет вспомнить, как учащиеся выражали делимое через делитель и частное. Учащиеся пишут:

Таким образом данный многочлен представлен в виде произведения. Согласно новому определению, можно сказать, что здесь мы разложили данный многочлен на два множителя: 3 ах и (2 т — Zrix+±x).

для того чтобы произвести это разложение, нам пришлось разделить данный многочлен 6а2х— 9а2х2+\ lax2 на одночлен Зах, т. е. разделить на этот одночлен каждый член данного многочлена.

Следовательно, для того чтобы представить многочлен в виде произведения или, что то же, разложить его на множите га указанным способом, необходимо, чтобы кажхый член многочлена делился на некоторый один и тот же одночлен.

Поэтому и самый этот способ разложения называется способом вынесения за скобку общего множителя.

Уяснению всего изложенного выше преподаватель посвящает половину первого урока и затем переходит к простейшим упражнениям. Дается выражение (задачник Шапошникова и Вальцова, задача 1):

Какой общий множитель имеют оба члена? На что можно разделить данный многочлен? Как найти частное? Как теперь можно представить данный двучлен? В итоге получаем:

Проверка умножением показывает правильность разложения.

В таком же порядке решаются примеры 2, 4 и 5 из стабильного задачника. Затем примеры 3, 6, 7, 12 (или часть их) решаются учащимися в классе уже без наводящих вопросов. При этом с особым вниманием надо решить примеры 5 и 8 (2х — 2 и а5 — а3). В примерах 8, 9 и 10 следует обратить внимание учащихся на то, что разложение можно произвести несколькими способами, например:

Преподаватель разъясняет, что разложение лишь тогда считается законченным, когда члены, заключенные в скобках, уже не имеют ни одного общего множителя.

На дом задаются примеры из № 11—16 стабильного задачника.

На втором уроке после проверки домашней работы и решения дяух-трех примеров на буквенные показатели преподаватель приступает к разложению на множители трехчлена. Один из примеров, например 25-й, решается так же, как первый из примеров на двучлены, т. е. выражение

делится на ЗаЬ и затем данной многочлен записывается в виде произведения. Остальные примеры (23 — 29) решаются самими учащимися частью в классе, частью на дому.

7. Мы считаем целесообразным в конце изучения этого же раздела остановить внимание учащихся на примерах из задачника Шапошникова и Вальцова, ч. I, § 2, № 55—58. Преподаватель разъясняет учащимся, что иногда для удобства вычислений или для получения определенной формулы приходится вынести за скобки одночлен, не являющийся общим множителем всех членов данного многочлена. Это вынесение совершается по тем же правилам, как и в предыдущих примерах, только здесь некоторые члены в скобках окажутся дробными. Некоторые преподаватели решают эти примеры уже в самом конце изучения

всей данной темы или даже относят их ко времени прохождения действия над дробями. Мы считаем, что место этим упражнениям именно здесь, во-первых, потому, что решение их производится совершенно по тем же правилам, как и обычное вынесение за скобки общего множителя, во-вторых, потому, что появление дробных членов еще ярче и нагляднее показывает, что при вынесении за скобки имеет место именно деление каждого члена.

Появление дробных членов еще до изучения алгебраических дробей, по нашему мнению, не должно смущать, так как обычно преподаватель фактически уже вводил понятие дробного алгебраического выражения или при делении одночленов или многочлена на одночлен (случаи невозможности деления), или в вводной беседе, приступая к изучению раздела «разложение на множители» и т. п. По крайней мере, в появлении дробных членов ученики обычно не видят ничего странного.

Специальный урок преподаватель отводит упражнениям § 2 из гл. 3 (вынесение за скобки многочленного множителя). Эти упражнения служат хорошим вводным материалом для изучения способа группировки.

V. СПОСОБ ГРУППИРОВКИ

8. Этот способ обычно наиболее затрудняет учащихся и потому должен быть проработан особенно тщательно.

Преподаватель пишет простейший четырехчлен вида

и предлагает разложить его на множители. Ученики убеждаются, что способ вынесения за скобку общего множителя здесь неприменим. Значит ли это, что данный многочлен вообще нельзя представить в виде произведения? Преподаватель предлагает выполнить умножение:

получается вывод:

Следовательно, иногда можно и многочлен данного вида представить в виде произведения. Что это возможно не всегда, показывается хотя бы на таком примере:

Возникает вопрос, как узнать, разложим ли данный многочлен и если да, то

как узнать те множители, произведением которых он является.

Преподаватель берет од»-н из проделанных уже примеров § 2, хотя бы № 31:

(1)

и напоминает, что такие выражения можно представить в виде произведения; в данном случае

(2)

с другой стороны, если произвести умножение в упражнении (1), получим;

(3)

т. е. четырехчлен, в котором не сразу можно распознать, что он может быть представлен в виде произведения (2). Отсюда вывод: для того чтобы легче обнаружить множители, на которые разлагается данный четырехчлен, полезно сначала представить его в виде подобном (2).

Как это сделать?

Преподаватель опять возвращается к примеру

(4)

и предлагает произвести умножение по правилу умножения многочленов, причем, написать не только окончательный результат, но и промежуточную стадию действия, т. е. (согласно правилу):

(5)

(Здесь кстати заметим, что было бы чрезвычайно полезно, в порядке опять-таки предварительной подготовки, при прохождении раздела «умножение многочленов» приучить учащихся к виду этой «промежуточной» стадии умножения. По выводе правила умножения не торопиться приучать учащихся сразу писать результат, умножая первый член множимого на первый член множителя и т. д. Некоторое время заставлять их обязательно писать сначала произведение всего множимого на 1-й член множителя, затем на 2-й и т. д. Это полезно как для навыка в самом действии умножения (уменьшается опасность пропуска отдельных членов произведения), так и для более легкого (исходя из знакомой операции) усвоения процесса группировки членов многочлена для его разложения).

Рассматривая выражение (5) справа налево, проанализировав, как получились первые два члена окончательного произведения и как вторые два члена, преподаватель выясняет с учащимися, что

первые два члена произведения могут быть представлены в виде

а вторые два в виде

т. е., сгруппировав два первые члена и вынеся за скобки общий множитель, сделав тоже самое с вторыми двумя членами, мы придем к знакомому уже выражению:

переход от которого к выражению:

уже не представит трудностей.

Такая же работа проводится еще над одним примером, хотя бы тем, который приведен в начале этого параграфа, т. е.

Схематически последовательность проработки этого примера можно изобразить так:

После этого делается вывод: для того чтобы разложить на множители четырехчлен можно:

1) разбить его на две группы по два члена в каждой;

2) в каждой группе вынести за скобку общий множитель;

3) если в скобках получился один и тот же двучлен, то поступить с ним по правилу вынесения за скобки многочленного множителя (или короче: то вынести его за скобки).

9. Анализу приведенных двух примеров и выводу надо посвятить один час полностью. Если материал усваивается легко (чему помогут указанные выше подготовительные упражнения) и останется время, преподаватель предлагает учащимся самим проделать пример №61 (тонкий) из задачника Шапошникова и Вальцова, ч. I, гл. 3, § 3, в противном случае дает этот пример, а также № 63 (жирный) на дом.

Второй час посвящается примерам с отрицательными членами, т. е. упражнениям № 60—75, часть которых решается в классе, часть — на дому. При этом обращается внимание учащихся, что не безразлично, в каком порядке сгруппировать члены для того, чтобы:

а) в каждой группе члены имели общий множитель; б) чтобы по вынесении за скобки этих общих множителей в скобках остался одинаковый двучлен.

Следует обратить особое внимание на знаки при постановке перед скобкой знака минус. Здесь — источник многих ошибок учащихся.

Следует обратить также внимание учеников на случай, когда члены одной из групп не имеют общего множителя* примерно в упражнениях такого вида:

10. Третий час посвятить многочленам с числом членов больше четырех (упражнения 76—83 из задачника Шапошникова и Вальцова, ч. I, гл. 3, § 3), но так как эти примеры по существу ничего нового не вносят и, кроме того, встречаются в практике чрезвычайно редко (в действиях над дробями нет ни одной задачи на применение этих случаев), то после двух-трех примеров на этом случае останавливаться не стоит.

Гораздо целесообразнее посвятить этот час разложению на множители трехчлена (простейшие случаи). Пусть дан трехчлен:

Он не представляет собой квадрата суммы. Для применения способа группировки трех членов мало. Следовательно, надо попытаться разбить один член на два, причем так, чтобы можно было сгруппировать их, соблюдая требования а и б предыдущего параграфа. В данном случае:

Проделать упражнения из задачника Шапошникова и Вальцова, ч. I, гл. 8, § 2.*

VI. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ

11. Упражнения, проделанные при усвоении формул сокращенного умножения (см. § 2), значительно облегчат применение этих формул к разложению многочленов.

Преподаватель пишет на доске:

и предлагает вспомнить, как можно это выражение представить в другой форме.

* Подробно о разложении трехчлена см. статью т. Зотовой в настоящем номере.

Затем напоминает еще один-два примера из проделанных при изучении формулы:

и делает вывод, что если двучлен представляет собой разность квадратов двух алгебраических выражений, то его можно разложить на два множителя.

Ввиду наиболее частого применения этой формулы в дальнейшем рекомендуется проделать все 20 примеров из § 4 гл. 3 (№ 84 — 93), для чего отвести два часа. Далее два часа посвящаются применению формул:

VII. СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ

12. По изучении всех примеров, применяющихся при разложении на множители, следующие три (или четыре) часа следует посвятить закреплению полученных навыков. Материалом служат задачи § 6 задачника Шапошникова и Вальцова. При этом следует обратить особенное внимание на то, чтобы в поисках подходящего способа учащиеся не шли вслепую, а сознательно обращались к тем приемам, которые и могу г быть применены к данному упражнению.

Поэтому важно, чтобы учащиеся в результате этих упражнений твердо усвоили несколько основных признаков; по которым можно судить, какие из приемов в каждом данном случае следует испробовать.

Приведем некоторые правила.

1. При всяком примере прежде всего следует попытаться применить способ вынесения за скобку общего множителя.

Это положение учащиеся должны твердо усвоить. Только вынеся за скобки общий множитель (или убедившись, что такового не существует), можно приступить к применению других приемов.

Для дальнейших правил предполагается, что первое выполнено.

2. Сумма двух членов может быть разложена только по формуле суммы кубов.

(Мы исключаем случаи суммы пятых, седьмых и т. д. степеней, так как эти формулы не проходятся, и, следовательно, не может быть и упражнений на них.) Примеры на это правило: № 154 и 157 из § 6 задачника. Но сначала полезно дать 1-2 примера на случай неприменимости этой формулы, например, в случае:

3. Разность двухчленов может быть разложена только по формулам разности квадратов или разности кубов.

4. Если члены трехчлена имеют одинаковые знаки, то к нему можно применить только формулу квадрата суммы.

5. Если члены трехчлена имеют разные знаки, то можно применить только формулу квадрата разности.

Примечание. Если разложение трехчлена проходилось, то в конце правил 4 и 5 надо добавить слова, «или способом группировки».

Правила эти очень просты для запоминания, а главное, не нужно приводить их все сразу и заучивать. Можно сообщать их постепенно, в качестве вывода, по мере включения новых методов разложения.

Особенно полезно для запоминания этих правил проанализировать детально 5-6 примеров из задач § 6, например: 154. 157, 152, 153, 122, 121.

В крайнем случае можно ограничиться запоминанием хотя бы первых трех правил, а 4-е и 5-е объединить в одно (трехчлен разлагается по формулам (аА^Ь)2).

В дальнейшем, при прохождении действий над дробями, необходимо, останавливаясь на отдельных примерах, время от времени проанализировать, почему в данном случае применяется тот или иной метод разложения.

При решении буквенных уравнений с одним неизвестным педагог имеет подходящий случай еще раз повторить основы рассматриваемого раздела.

VIII. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

13. Изложенный выше порядок прохождения данной темы предполагает такую планировку ее во времени.

1. Разложение одночленов — 2 часа

2. Вынесение за скобку —3 »

3. Способ группировки —3 »

4. Формула а2 — Ь2 — 2 »

5. Остальные формулы —2 »

6. Смешанные задачи —4 »

7. Письменные работы (две) — 2 »

Итого . . . 18 час*

В зависимости от качества усвоения количество часов по каждой части может варьировать в пределах одного часа.

Письменных работ предположено две: одна — после прохождения способа группировки, другая — по окончании всего раздела.

* В связи с введением в программу темы «Разложение трехчлена» надо на нее добавить 2 часа.

ПРОГРЕССИИ

А. МОРГУЛИС (Москва)

Задачей работы является выяснение ряда вопросов, относящихся к преподаванию в школе раздела «Прогрессии».

«Прогрессии» следует проходить в связи с значительно более общим понятием числовой последовательности (числового ряда), чем несколько уменьшится обособленность этого раздела в курсе математики средней школы.

Понятие о числовой последовательности (ряде чисел) чрезвычайно важно для дальнейшего курса (прогрессии, теория иррациональных чисел, теория пределов, бином Ньютона, ряды в анализе и т. д.). Из способов задания последовательности в школе следует остановиться на простейшем: именно, когда может быть написана простая формула, позволяющая вычислить значение общего члена ап по данному значению п.

Понятие о последовательности следует выработать у учащихся (не формулируя определения) на ряде конкретных примеров, как например:

Дано Последовательность :

(Ряд примеров см. еще в работе В. Матышука, Теория пределов в средней школе — журнал «Математика в школе* № 2 за 1938 г., стр. 39).

Желательно проделать ряд упражнений не только на выписывание последовательности по формуле для аЛ, но и на выявление закона, по которому построена наперед заданная последовательность (с этого можно даже начинать). Например: — 1, —2, —3... ап = — п

При решении многих математических вопросов (примеры смотри далее) представляет интерес рассмотрение суммы п первых по порядку членов последовательности.

Например, если

Конечно, при образовании суммы членов последовательности следует ограничиться лишь конечным числом членов ее, так как понятие о пределе вводится несколько позднее.

После изложения этих предварительных сведений переходим (исходя из конкретной задачи, например, Киселев, ч. II, изд. 1936 г., § 74) к арифметической прогрессии. Можно привести и такое доказательство при выводе формулы общего члена прогрессии

Суммируя отдельно правые и левые части равенств, получим:

откуда

При этом л-й член удобнее обозначать не через /, а через дЛ, чтобы подчеркнуть, что ап — функция указателя /г*.

Рассмотрим три рядом лежащих члена арифметической прогрессии

Сложив, получим:

На примерах можно показать учащимся, что каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифметическое не только соседних, но и любых равноудаленных от

* Следует указать, что формулы для ап можно принять и за определение прогрессии, тогда общепринятое определение будет являться следствием (это же замечание относится и к геометрической прогрессии).

него членов (заменяя ак числом и числом ak+3, мы сумму не изменим). Обобщением этого рассуждения является решение задачи о «вставке m средних арифметических» между числами а и о, т. е. о нахождении m чисел, составляющих вместе с данными числами арифметическую прогрессию. Очевидно, что в полученной прогрессии

Найдем:

или:

(Этот же процесс применяется в дальнейшем при линейной интерполяции — например в логарифмах.)

Рассмотрев свойство членов равностоящих от крайних, выводим формулу для нахождения Sn—суммы п первых членов арифметической прогрессии (Киселев, § 76).

Формуле для нахождения Sn можно (при наличии времени) дать интересную геометрическую интерпретацию.

К отрезку AB длины п восставляем в начале и конце его перпендикуляры, имеющие длины соответственно ах и ап.

Тогда площадь полученной трапеции ABCD равна:

т. е. сумма Sn членов арифметической прогрессии равна числу, выражающему площадь трапеции ABCD.

Формулу для п-го члена геометрической прогрессии можно вывести, перемножив все равенства

и сократив обе части полученного равенства на а2аъ ... #л—i-

Сопоставляя арифметическую и геометрическую прогрессию, чертежами, данными в книге Киселева не рекомендуем пользоваться (эти графики по самому существу вопроса не могут быть непрерывными кривыми).

При упражнениях следует практиковать решение простейших задач устно, без составления уравнений (см. Бронштейн, Методика алгебры, 1935 г., стр. 235), причем главное внимание следует обратить не на решение типовых задач (представляющих большей частью лишь вычислительные трудности), а на задачи, сводящиеся к основным типовым случаям, но требующие некоторого предварительного рассуждения.

При составлении задач на применение формул следует учесть, что:

1) пии определении п и ап арифметической прогрессии по данным au d и Sn получаем для п квадратное уравнение, из которого

Решение возможно только тогда, когда для п получится целое и положительное значение. Если таковы будут оба корня, то задача допускает два решения (это же замечание относится к определению ах и п по ап, d и Sn).

2) При решении задач на геометрическую прогрессию:

а) определяя пх Sn поданным

Мы получаем показательное уравнение.

Ь) определяя qx at по данным

мы получаем уравнение п—1-й степени, которое можно решить лишь в частных случаях.

В стабильном задачнике совершенно недостаточно количество задач с физическим и химическим содержанием. Включение же таких задач в число предлагаемых учащимся, кроме помощи в усвоении курса физики и химии, вызывает большой интерес к математике как к науке, имеющей применение к решению разнообразных вопросов науки и техники.

В рассматриваемом нами разделе дело упрощается еще тем, что большое число соотношений в естествознании выражается в виде экспоненциальной формулы у = се**, непосредственно дающей материал для задач на прогрессии (такого вида формулой выражается изменение величины, скорость изменения которой пропорциональна значению этой величины в каждый отдельный момент). В самом деле, если аргументу х придавать значения, образующие арифметическую прогрессию с разностью d, то соответствующие значения функции у образуют геометрическую прогрессию с знаменателем ead.

Следует следить лишь за тем, чтобы учащимся было ясно содержание задач. Приведем несколько примерных задач*:

Задача 1.

В комнату с температурой 45° — внесено тело при температуре 90° и через 8 минут температура упала до 60°. Через сколько минут температура упадет до 50°? Для решения пользуемся законом охлаждения Ньютона:

Разность между температурой тела, температурой среды изменяется в геометрической прогрессии, если время охлаждения изменяется в арифметической прогрессии.

Обозначив у — разность температур в момент г, получим,

Задача 2.

При подъеме на высоту 5,5 км давление воздуха уменьшается в 2 раза. При поднятии на высоту 11 км давление уменьшается в 4 раза, а на высоте 22 км оно меньше в 16 раз. На какой высоте давление упадет до 3 мм, если на поверхности земли оно равно 768 мм?

Эта задача помогает уяснить учащимся невозможность установления точной границы атмосферы.

Задача 3

Воздушный шар должен подняться на высоту 44 км. Рассчитать давление воздуха на этой высоте, если давление воздуха на уровне моря разно 768 мм.

Задача 4

Стеклянная пластина толщиной в 2 см пропускает 0,95 того света, который на него падает. Найти количество света, падающего (параллельным пучком) на стопку таких пластинок, если через 20 пластин прошло лишь 7,5 световых единиц.

Задача 5

На какой глубине в воде глаз перестает видеть, если минимальный поток световой энергии, ощущаемый еще глазом, равен

а вода, взятая в виде слоя в 1 м, пропускает 0,97 падающего на него светового потока. Поток света на поверхности воды равен

Задача 6

Эманация актиния самопроизвольно распадается так, что через 16 секунд остается около 1/16 от первоначально взятого количества. Определить период полураспада (промежуток времени, за который разложится половина радиоактивного вещества), если известно, что количество радиоактивного вещества, распадающегося за промежуток времени, прямо пропорционально количеству этого элемента в начале промежутка времени.

Чтобы педагог мог сам составить ряд аналогичных задач, приведем значения периода полураспада для некоторых радиоактивных элементов.

Атомный номер

Период полураспада

Уран 1

92

4,5-109 лет

Уран х1

90

24,5 дня

Уран х2

91

1,14 минуты 1590 лет

Радий

88

Эманация радия

86

3,82 дня

Актиний

89

13,5 года

Радиоактиний

90

18,9 дня

Эманация актиния 86

3,92 секунды

* Задачи заимствованы из различных источников.

Задача 6а. Через сколько времени из 1 z радия останется 0,125 г радия?

Задача 7

При нагревании тростникового сахара с очень слабым раствором серной кислоты— сахар разлагается на глюкозу и фруктозу.

Вильгельми отметил, что масса неразложенного сахара изменяется со временем в геометрической прогрессии.

Через 3 часа остается 0,815 первоначального количества. Определить какая часть вещества остается через 12 часов?

Задача 8

При разложении азотокислого аммония (NH4N03) через 20 минут после начала реакции осталось не разложенным 64% первоначального количества. Сколько процентов первоначального количества останется неразложенным через 40; 60; 120 минут после начала реакции, учитывая, что количество предложенного аммония пропорционально количеству аммония в начале каждого промежутка времени.

Задача 9

Как велико должно быть свободное пространство в поршневой трубе компрессорного насоса, если в сосуде объемом 1,5 л после 11 качаний поршня установится давление в 3 атмосферы?

9а. Сколько качаний поршня необходимо для того, чтобы в резервуаре объемом в 900 см% довести давление до 2 атм, если свободное пространство поршневой трубы равно 180 см3?

Задача 12.

Взрывчатое вещество, содержащееся в ракете, взрывается в ней периодически по частям (через каждые 0,1 секунды), вследствие чего ракета, пущенная в горизонтальном направлении приобретает, постепенно скорость 1200 км/час, ускоряя свое движение каждый раз на 33,3 м/сек. Через сколько времени и на каком расстоянии от места пуска ракета приобретает указанную скорость? (При решении следует указать, что для перевозки в ракетах людей скорость следует увеличивать постепенно, так как организм человека не выдерживает больших ускорений — см. Перельман, Междупланетные путешествия.)

Нахождение сумм членов последовательностей, сводящихся к прогрессиям.

Примеры: 1. Определить сумму m членов последовательности

Искомую сумму можно определить, сложив сумму членов, стоящих на нечетных местах a, а+ 2d, а + Ad, ... с суммой членов, стоящих на четных местах — (a + d)— (a + 3d).

a) m — четное число, m = 2п, тогда в каждой сумме будет п слагаемых.

Используя формулу

получаем

b) m — нечетное число.

Тогда в первой сумме будет п + 1 член, во второй п. Откуда

Если взять частный пример: 1,—3,5—7..3 то для тп четного

для m нечетного

Оба решения можно объединить в одно при помощи следующей формулы:

В самом деле: при m четном Sm =— тп нечетном Sm = m.

2. Найти сумму п членов ряда (ряд Лейбница)

Решение. Попробуем представить

в виде алгебраической суммы двух дробей с знаменателями п и п+\ и с неизвестными пока числителями А и В.

* Последняя запись является пропедевтикой к аналогичным записям в тригонометрии: решение уравнения sin х = а и т. п.

откуда

При произвольном п последнее равенство возможно, если

что легко проверяется и непосредственно. Следовательно :

Замечая, что второй член в каждой скобке равен по абсолютной величине первому члену последующей, получаем

При наличии времени следует рассмотреть нахождение Еп2 (Киселев § 78), 2/г8 (метод, аналогичный применяемому при вычислении Ел2, лишь вместо кубов следует брать четвертые степени), доказательство того, что каждый член геометрической прогрессии есть среднее геометрическое между смежными членами; решить задачи на вставку m средних геометрических. Решить ряд задач на арифметическую и геометрическую прогрессии совместно (см. например Бронштейн, Методика алгебры, стр. 243).

В контрольную письменную работу по теме рекомендуем включить вопросы:

1. Определение закона образования последовательности (пример).

2. Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии.

3. Вывод одной из формул (ап или Sn для арифметической или геометрической прогрессий).

Рассмотрение бесконечно убывающей геометрической прогрессии придется отложить до того, как будут пройдены (в курсе геометрии) необходимые для этого сведения из теории пределов.

В изложении можно следовать в основном тексту учебника (Киселев, ч. II, § 87).

Основную формулу при этом рекомендуется записывать так

или

или

но при последней записи нужно следить за тем, чтобы учащиеся вполне себе уяснили, что под 5 понимается не «сумма» бесконечного числа слагаемых, а предел суммы конечного, но бесконечно растущего числа их.

Проделав ряд примеров на превращение периодических (чистых и смешанных) дробей в обыкновенные* (Киселев, ч. II, задача № 146), решаем несколько задач с геометрическим содержанием (Например, Киселев, ч. II, № 147; задачи № 118 — 122). У учащихся вызывает интерес такая задача: «Часовая и минутная стрелка совпали, через сколько времени они снова совпадут». Решение сводится к нахождению предела суммы прогрессии

(следует также привести и чисто арифметическое решение этой задачи).

Для наглядности можно геометрически представить предел суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

— построив квадрат с площадью в 1 квадратную единицу и затем вкладывая в него последовательно прямоугольники с площадью —, —... и т. д. квадратных единиц.

Из чертежа ясно, что суммарная площадь вложенных прямоугольников будет отличаться от площади первоначального квадрата столь угодно мало, при достаточно большом числе их.

* Педагогу рекомендуем ознакомиться с изложением вопроса по учебнику Киселева, Систематический курс арифметики (под ред. проф. А. Я. Хинчина) и по материалам к январским учительским конференциям (см. журнал «Математика в школе», 1937 г. № 6).

ИЗ ОПЫТА

О РЕШЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ

В. СНИГИРЕВ (Москва)

Вопросу о решении геометрических задач на построение и в дореволюционной и в советской школе уделялось и уделяется достаточно внимания. Вопрос о решении этих задач разбирается в стабильном учебнике, имеется методическое руководство*, где преподаватель может найти нужные ему справки и указания.

Иначе обстоит дело с вопросом о решении геометрических задач на вычисление.

Этот вопрос до настоящего времени остается недостаточно разработанным. Практика преподавания показывает, что полного благополучия здесь нет. Навыки учащихся в решении геометрических задач на вычисление слабы: учащиеся не вырабатывают определенного метода подхода к решению таких задач: они смотрят на каждую задачу как на загадку; учащийся должен «сообразить», как решить данную ему задачу.

Конечно, наиболее способные и сообразительные учащиеся решают такие задачи, но большинство класса, несмотря на усилия найти ход решения задачи, сделать этого без помощи преподавателя или лучших учащихся не может.

Отмеченное явление вызывает необходимость подойти вплотную к методике вопроса о решении геометрических задач на вычисление.

Проф. Астряб в своей статье «Почему трудно решать геометрические задачи на вычисление» (Журнал «Математика и физика в средней школе», 1935 г. № 5, стр. 30—34) дает достаточно четкий анализ трудностей, с которыми приходится иметь дело и учащимся и преподавателям при решении геометрических задач на вычисление, намечает этапы дальнейшей работы для разрешения этого вопроса, но в статье нет конкретных методических указаний, которые мог бы использовать преподаватель-практик в своей повседневной работе.

Настоящая статья содержит изложение многолетнего опыта применения аналитического метода при решении геометрических задач на вычисление.

Считаю не лишним предварительно сделать несколько замечаний о построении и проведении уроков по решению геометрических задач на вычисление.

Урок строится так. После ознакомления учащихся с темой данного урока преподаватель дважды читает текст задачи. Первое чтение дает возможность схватить общий смысл задачи, второе — уточняет задачу. Затем вызванный к доске учащийся выполняет чертеж, записывает данные и искомое; в это же время остальные учащиеся то же самое проделывают в своих тетрадях. При выполнении чертежа следует требовать от учащихся, чтобы он соответствовал данным задачи; например, чтобы угол в 45° составлял, примерно, половину прямого, или угол в 60% — две трети прямого, или чтобы треугольник был действительно равнобедренный, прямоугольный и т. д.

Ради экономии времени чертежи приходится выполнять без инструментов, от руки; но при этом все же необходимо требовать от учащихся тщательного их выполнения. Буквенные обозначения нужно проставлять и на чертеже (помимо записи их в условии задачи).*

Весьма желательно, особенно при решении стереометрических задач, применение цветных мелков для того, чтобы можно было выделить нужную часть чертежа.

Такие мелки не трудно приготовить каждому преподавателю; для этого берется мягкий кусковой мел, тщательно просушивается и после этого небольшими кусками опускается в цветные чернила, например, красные, зеленые, примерно, на сутки, Высушенный такой мел дает достаточно яркие линии на доске.

По выполнении чертежа и записей чертеж проверяется коллективно (всем классом), задача повторяется в обычном порядке, после чего приступаем к ее анализу.

Анализ начинается с составления формулы для решения главного вопроса задачи; причем весь анализ до конца выполняется в общем виде, на буквах. При составлении формул на первых порах, обычно, учащиеся пытаются в центре внимания поставить числовые данные задачи. Необходимо в противовес этому приучать учащихся при составлении формул анализа прежде всего иметь в виду самую формулу, независимо от того, есть ли числовые данные в задаче или их нет. Написавши первую формулу, учащиеся должны ее разобрать, проанализировать и ответить себе на два вопроса: а) есть ли данные в условии задачи для вычисления этой формулы; б) если их нет, то что надо знать для этого, т. е. подходим к следующей формуле; с нею поступаем так же, как и с первой. Идя так от формулы к формуле, мы приходим, наконец, к такой, для решения которой имеются числовые данные в условиях задачи.

Дальнейшая работа может быть проведена в двух вариантах:

а) подстановку численного значения букв можно производить в каждую формулу, начиная с последней, и, переходя вверх, дойти

* Александров Методы решения геометрических задач на построение.

* Примеры таких записей и обозначений приведены ниже.

до основной, содержащей ответ на вопрос задачи;

б) подстановку вести в общем виде с последней формулы до первой и затем в упрощенную первую (основную) формулу сделать подстановку численного значения букв.

Второй вариант требует хороших навыков в алгебраических преобразованиях, он труднее первого, а потому к нему надо подойти постепенно. На первых порах следует употреблять первый вариант.

Кроме описанного приема подхода к решению геометрических задач на вычисление необходимо практиковать и другой. Он сводится к следующему: преподаватель называет номер задачи и предлагает каждому учащемуся про себя прочесть по книге текст задачи, выполнить чертеж, сделать записи и обозначения. В это время преподаватель обходит класс и наблюдает за работой учащихся. Когда выявится общий контур работы класса, один из учащихся (желательно — правильно выполнивший чертеж и записи), по вызову преподавателя, воспроизводит на классной доске записанное в его тетради с соответствующими пояснениями. Преподаватель при этом обращает внимание учащихся, допустивших ошибки и неправильности в своих записях, и предлагает им внести исправления.

В отдельных случаях, если это полезно для дела, следует разобрать со всем классом типичные ошибки, допущенные отдельными учащимися.

После этого идет анализ задачи описанным выше способом.

Для иллюстрации описываемого метода решения геометрических задач на вычисление, разберем ряд задач из различных разделов геометрии.

ПЛАНИМЕТРИЯ

Все задачи, помещенные ниже, взяты из «Сборника задач по геометрии для средней школы» Рыбкина изд. 1935 г.

1) § 3. № 16. Периметр равнобедренного треугольника равен 1 м, а основание — 0,4 м. Определить длину боковой стороны.

Дано Р = 1 : а = 0,4. Найти х.

Составляем формулу для отыскания х — а. Ищется боковая сторона равнобедренного треугольника; ее найдем, если из длины периметра вычтем длину основания и разность Р— а разделим пополам: х=—^—• Анализируя полученную формулу, видим, что значение х можно найти по данным задачи:

Для начинающих трудно сразу написать приведенную формулу для х. В этом и подобных ему случаях полезно составить вспомогательное равенство (уравнение, не называя пока его таковым): Р=2х+а. Ищется одно слагаемое (2л:), оно равно: 2х = Р — а; чтобы найти X, надо Р — et разделить пополам, т. е. придем к нужной нам формуле.

Такую, несколько кропотливую работу над простыми задачами необходимо проделать, чтобы на несложном материале познакомить учащихся с сущностью анализа при решении задач.

2) § 4. № 19. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 1 -у d. Определить угол при основании.

Дано: Найти

3) №20. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 30°; на боковую сторону опущена высота. Найти угол между этой высотой и основанием. Дано:

Найти £_DAC = x.

Необходимо приучать учащихся проверять решение задач (не каждой, конечно). В данном случае она может иметь такой вид:

4) № 31. Один из острых углов прямоугольного треугольника авен -g- . Найти острый угол между гипотенузой и биссектрисой прямого угла.

Черт. 1

Черт. 2

Дано: Найти

Определяем х из треугольника ADC:

Анализируем полученную формулу:

найдем / С из прямоугольного треугольника ABC:

/_C = d- £В. Анализ этой формулы приводит нас к решению:

подставляя значение в основную формулу, получим:

5) § 5. № 61. В трапеции ABCD из вершины В проведена прямая, параллельная боковой стороне CD до встречи в точке Е с большим основанием AD. Периметр треугольника ABE равен 1 м, длина ED равна 3 дм.

Определить периметр трапеции.

Дано: BE \\ CD; РАВЕ = 10 дм; DE = 3 дм. Найти PABCD,

значит,

но

значит, но

а потому

6) № 80. В равнобедренной трапеции большее основание равно 2,7 л*, боковая сторона равна 1 м% угол между ними равен 60°. Определить меньшее основание. Дано:

Найти Ь.

Проведя из вершин В и С две высоты, имеем: b = а — 2т, но m есть катет, лежащий против угла в 30°, значит m = у, откуда

В подобных задачах можно начинать приучать учащихся численную подстановку делать в окончательную основную формулу, которая получается путем подстановки буквенного значения соответствующих членов.

7) § 7, № 68. Треугольник ABC — равнобедренный; радиус описанного круга OA образует с основанием АС угол О АС, равный 20°38'. Определить ВАС (два случая).

Дано: AB = ВС; / MAC = 20°38'.

Найти ^ ВАС = X.

Второе решение:

8) § 13. № 16. Площадь параллелограмма содержит 480 см2; его периметр равен 112 см; расстояние между большими сторонами равно 12 см. Определить расстояние между меньшими сторонами.

Дано: Q = 480 си2; Р = 112 см; h == 12 см.

Найти ВМ = X.

Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

* Условность этой записи следует своевременно разъяснить учащимся.

Для определения х следует использовать подобные треугольники ВСМ и ABF, которые дают: X : а = h: b, откуда

9) № 37. Определить площадь равнобедренного треугольника, если его основание а = 56 см, а боковая сторона b = 100 см.

Дано: AB = BC=b; а = 56 см; Ъ = 100 ел*.

Найти Q.

10) № 52. Определить площадь треугольника, если основание его равно а, а углы при основании 45° и 30°.

Дано: основание — а; /_ А = 45°; /^с — 30°.

Найти Q.

Вспомогательные вычисления:

откуда выводим формулу для h.

11) № 78. Определить площадь равнобедренной трапеции, в которой основания равны 42 см и 54 см, а угол при большем основании 45°.

Дано:

AB = CD; а = 54 см; b = 42 см; /_ А = 45°. Найти Q трапеции.

12) № 82. Определить площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 12 си и 20 см, а диагонали взаимно перпендикулярны.*

Черт. 7

Черт. 8

Черт. 9

Черт. 10

Черт. 11

* Для подготовки этой формулы можно составить вспомогательные:

Такие формулы следует писать в стороне от решения.

* Чертить данную трапецию следует, начиная с диагоналей.

Дано:

AB = CD; AC ± BD; a == 20 см; b = 12 си. Найти Q.

как катеты в равнобедренном прямоугольном треугольнике с углом в 45°.

Преобразование полученных формул дает:

13) § 14. № 21. Определить площадь треугольника по данному радиусу/?, описанного круга и двум углам, содержащим 45° и 60°.

СТЕРЕОМЕТРИЯ

Особенностью чертежей при решении стереометрических задач является следующее: 1) все линии, которые расположены за передними, боковыми, верхними плоскостями, которые условно считаются невидимыми, следует изображать пунктирными цветными линиями; 2) нужно требовать от учащихся» чтобы они, кроме изображения соответствующего геометрического тела, отдельно, под ним вычерчивали детали, например, основание тела в плане, фигуры сечений. Это помогает учащимся разобраться в чертеже и в то же время показывает, насколько правильно представляют себе учащиеся стереометрические объекты. Подобные упражнения имеют весьма большое значение для развития пространственного воображения учащихся.

В затруднительных случаях следует прибегать к построению моделей, например, из прутиков или проволок, укрепляя их в пластелине, набитом в плоский ящик, и скрепляя в вершинах тем же пластелином.

14) § 1. № 13. Точка О—центр квадрата со стороной a; OA — прямая, перпендикулярная к плоскости квадрата и равная Ь. Найти расстояние от точки А до вершины квадрата.

Дано: OA JL пл. MN = Ь.

а — сторона квадрата; DE — диагональ квадрата = d.

Найти АС = X

15) § 3. № 34. Два прямых угла в пространстве расположены так, что стороны их соответственно параллельны, одинаково направлены и перпендикулярны к отрезку, соединяющему их вершины. Длина этого отрезка равна а. На стороне одного угла отложен от его вершины отрезок b, а на непараллель-

Черт. 12

Черт. 13

ной ей стороне другого угла отложен отрезок с. Определить расстояние между концами этого отрезка. Дано:

Найти AF = X-

16) § 8. № 6. В прямом параллелепипеде стороны основания длиной в 6 м и 8 м и образуют угол в 30°, боковое ребро 5 м. Определить полную поверхность этого параллелепипеда.

Дано:

Найти Sполн

17) № 9. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с диагоналями в 6 см и 8 сн\ диагональ боковой грани равна 13 см. Определить полную поверхность этого параллелепипеда. Дано:

Найти 5полн.

При недостаточном навыке в вычислениях перед выводом формулы для вычисления стороны а нужно составить вспомогательные формулы:

Черт. 14

Черт. 15

Черт. 16

18) § 7, № 6. В прямом параллелепипеде стороны основания длиной в 3 см и 4 см составляют угол в 60°, а боковое ребро есть средняя пропорциональная между сторонами основания. Определить диагонали этого параллелепипеда.

Дано:

Найти D и Dt

19) § 10. № 2. Определить боковую поверхность правильной трехугольной пирамиды, если высота ее равна 4 см, а апофема— 8 см.

Дано:

Найти 5б0К>

Вспомогательные формулы:

20) § 12. № 1. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований 8 м и 2 м. Высота равна 4 м. Найти полную поверхность.

Дано:

найти 5полн.

Черт. 17

Черт. 18

21) § 16. № 22. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, площадь которого равна 1 м2. Площадь диагональных сечений 3 м2 и 6 м2. Найти объем параллелепипеда.

Дано:

Найти: vAG.

Вспомогательные формулы

22) § 17. № 15. Основанием пирамиды служит прямоугольник, у которого угол между диагоналями равен 60°, а площадь равна Q: боковые ребра образуют с плоскостью основания углы в 45°. Определить объем этой пирамиды

Дано:

Найти VmPe

Вспомогательные формулы:

23) § 18. № 9. По боковому ребру I и сторонам оснований а и Ъ определить объем правильной усеченной треугольной пирамиды.

Черт. 19

Черт. 20

Черт. 21

Дано: боковое ребро — I: стороны оснований а и b AB = ВС = AC Найти V усеченной пирамиды

Вспомогательные вычисления

24) § 21. № 20. Диаметр шара, равный 30 см, служит осью цилиндра, у которого радиус основания равен 12 см. Определить объем части шара, заключенной внутри цилиндра.

Дано: 2R = 30 см; г = 12 см.

Найти Vj^

25) § 24. № 19. Ромб со стороною а и острым углом в 60° вращается вокруг оси, проведенной через вершину этого угла перпендикулярно к стороне. Определить объем и поверхность тела вращения.

Черт. 22

Черт. 23

Дано: сторона ромба а

Найти Vx и 5полн. тела вращения.

В разобранных примерах решения геометрических задач на вычисление аналитическим методом в отдельных случаях допущена значительная детализация вычислений, необязательная при наличии у учащихся хороших вычислительных навыков.

Изложенный метод решения геометрических задач на вычисление следует применять не ко всем задачам; например, нет смысла употреблять его при решении задач, в которых условия ясны, при решении применяются лишь основные теоремы.

Но в задачах, где связь между искомым и данными не ясна, где приходится применять неосновные теоремы, или и основные, но не прямо связанные с данными задачи, аналитический метод решения весьма облегчает дело и, как показал многолетний опыт, дает хорошие результаты. Главная его ценность заключается в том, что он освобождает учащихся от необходимости «гадать» при решении более или менее сложных задач. Составляя формулу за формулой, учащийся идет определенным путем и воспитывает в себе уверенность и четкость в работе.

Наконец, следует учесть и то обстоятельство, что обязательное составление формул решения в общем виде при описанном методе решения геометрических задач на вычисление, с одной стороны, способствует закреплению навыков в алгебраических вычислениях, с другой стороны, здесь учащиеся ясно видят связь геометрии с алгеброй, что имеет громадное воспитательное значение: вырабатывается правильный взгляд на сущность математики.

Черт. 24

РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

А. ЗОТОВА (Сталинград)

Наркомпросом первый раз официально в программу VII класса по математике введена тема «Разложение на множители квадратного трехчлена». В программе просто помечено: «Разложение квадратного трехчлена на мно-

жители первой степени с целыми коэфициентами». Никаких указаний по этой теме нет. Но в материалах, присланных к осенним учительским совещаниям, указано, что разложение квадратного трехчлена на множители первой

степени с целыми коэфициентами должно рассматриваться двумя способами: разложением квадратного трехчлена помощью выделения точного квадрата двучлена и способом разложения на слагаемые среднего члена. В методических пособиях, в учебниках вопрос этот освещен слабо. Между тем — этот вопрос наиболее трудный и ответственный в теме «Разложение на множители алгебраических выражений». В программе VII класса имеется тема «Дробные алгебраические выражения», где применяется разложение квадратного трехчлена. Здесь я даю конспекты трех уроков, проведенных в одной из средних школ города Сталинграда. Результаты получились хорошие: учащиеся быстро усвоили эту тему и без всякого напряжения разлагали любой квадратный трехчлен.

ПЕРВЫЙ УРОК

Тема: «Разложение на множители квадратного трехчлена способом разложения среднего члена»

Первый урок начнем с разбора такого квадратного трехчлена:

X2 + 9х + 14.

Рассмотрим третий член данного трехчлена. Как можно иначе представить его?

Представим его как произведение ряда множителей, взятых попарно:

Выберем из них такую пару множителей, которые в сумме составят коэфициент среднего члена. В данном примере такой парой множителей являются, очевидно, 2 и 7.

Разложим средний член так:

Как запишется теперь данный квадратный трехчлен?

Какое алгебраическое выражение получили? (Получили знакомое алгебраическое выражение, которое можно разложить способом группировки.)

Сделаем это:

Таким образом, данный квадратный трехчлен разложен на множители

Разбирая первый пример, учителю необходимо обратить внимание учеников на знаки при третьем и втором члене. Следует отметить, что знаки здесь играют большую роль.

Если у третьего члена знак плюс, то оба множителя, а следовательно и слагаемые, на которые разбивается средний член, будут одинакового знака.

Рассматривая знак у среднего члена, можно сказать, какие знаки должны иметь множители, на какие разлагается третий член. Если у среднего члена знак плюс, то оба множителя имеют знак плюс (положительные). Если у среднего члена стоит знак минус, то оба множителя имеют знак минус. После этого разберем следующий пример:

Как же можно разложить третий член данного трехчлена?

Какой знак имеет третий член в данном трехчлене?

Что значит, когда третий член имеет знак плюс?

Какой знак имеет второй член в данном трехчлене?

Что это значит? (Это значит, что оба множителя имеют знак минус.)

Пользуясь выводами, сделанными нами, как же мы запишем данный квадратный трехчлен?

Какое алгебраическое выражение получено и как его разложить? Разложив средний член на слагаемые и записав его, имеем знакомое алгебраическое выражение, которое разбиваем на группы, выносим за скобки общий множитель и получаем произведение двух множителей, на которые разложился квадратный трехчлен.

Записываем все это:

Третий пример, который должен быть рассмотрен,— следующий:

Как разложим 10—третий член данного трехчлена?

Что значит, когда перед третьим членом — знак минус? (Это значит, что множители, на которые разбивается третий член, должны иметь разные знаки.)

Какой знак имеет второй член в данном трехчлене?

Что значит, когда множители имеют разные знаки, а перед их суммой стоит знак плюс? (Это значит, что больший множитель имеет знак плюс.)

Как же запишется тогда квадратный трехчлен х + Зх — 10?

Он будет представлен так:

Что получили? Какое алгебраическое выражение?

Получили знакомое алгебраическое выражение, которое умеем уже раскладывать на сомножители. Применяем способ группировки и выносим за скобки общий множитель. Данный квадратный трехчлен представим в виде произведения двух множителей:

Предлагаем последний вид примеров на разложение квадратного трехчлена на множители:

Как можно представить 60 иначе?

Запишите, какие множители имеет 60? 60 = 1-60 = 2-30 = 3-20 =4-15 = 6-10.

Какую пару множителей выберем для этого ряда? (Выберем такие множители, чтобы в сумме они дали —4.)

Какой знак имеет третий член квадратного трехчлена? Что это значит? (Это значит, что множители должны иметь разные знаки.)

Какой знак имеет второй член квадратного трехчлена? Что это значит? (Это значит, что больший множитель должен иметь знак минус.)

Какие же выбираем множители из данных? (6 и 10. причем б будет иметь знак плюс, а 10 — знак минус.)

Таким образом, квадратный трехчлен х2 — — 4х — 60 перепишется так:

Получили опять знакомое алгебраическое выражение, которое разлагается на множители способом группировки и вынесением общего множителя за знак скобки.

Окончательный вид квадратного трехчлена, разложенного на множители, будет таков:

Какие же примеры следует решить для закрепления знаний на уроке?

Они следующие:

На дом надо дать такие примеры:

В задачниках Шапошникова и Вальцова мало примеров на разложение на множители, но учитель легко может их сам подобрать.

ВТОРОЙ УРОК

Тема: «Разложение квадратного трехчлена выделением квадрата двучлена»* Рассмотрим такой пример:

Рассмотрим, что из себя представляет первый член данного трехчлена? Что из себя представляет третий член данного трехчлена?

Как его иначе можно представлять?

Что из себя представляет коэфициент при втором члене в данном трехчлене? Как можно его записать иначе?

10 = 2.5.

Как же можно иначе записать весь данный трехчлен?

Таким образом, имеем квадрат первого числа плюс удвоенное произведение первого члена на второй, плюс квадрат третьего члена.

Как можно назвать данное алгебраическое выражение и как его записать? (Квадрат суммы двух количеств.)

Запишем его:

Итак, данный квадратный трехчлен представляет из себя квадрат суммы двух количеств: X и 5.

Подобным же образом разберем и запишем несколько квадратных трехчленов:

Перейдем теперь к квадратному трехчлену вида х2+рх -f q. Возьмем трехчлен х1 + 6* 4-5.

1. Рассмотрим коэфициент при втором члене в данном квадратном трехчлене.

Первый член квадратного трехчлена имеет такой же вид, как и в предыдущих примерах. Коэфициент второго члена представим как удвоенное произведение первого члена на второй и запишем:

Чего нам нехватает, чтобы полученное выражение считать также квадратом суммы двух количеств?

Добавим квадрат второго количества.

Имеем ли мы право прибавить к алгебраическому выражению какое-либо число?

Что же надо сделать, чтобы данное выражение не изменилось? Запишем полученное алгебраическое выражение и упростим его:

Что из себя представляет алгебраическое выражение, записанное первыми тремя членами и как его иначе записать?

Получили алгебраическое выражение, которое умеем уже разлагать на множители.

Как называется полученное выражение? (Разность квадратов.)

Как его разложить? (Его можно разложить по формуле на произведение двух множителей: суммы и разности двух количеств — одно из них (jc+3), а другое 2.)

Запишем это:

Итак, квадратный трехчлен

представлен

произведением двух множителей:

Подобным же образом разберем и запишем следующие примеры:

Таким образом разобраны все виды разложения квадратного трехчлена на множители. Учитель должен при подборе примеров помнить, что все примеры вида

необходимо рассмотреть, но ученикам этих формул, чтобы не загружать их память, сообщать не надо. Для закрепления знаний по теме «Разложение на множители квадратного трехчлена» способом выделения точного квадрата рекомендуется прорешать следующие примеры:

* Так как разложение трехчлена представляет собою в сущности применение уже изученных приемов разложения, то мы считали бы целесообразным прохождение этой темы посте изучения соответствующих способов разложения, именно первый урок после прохождения способа группировки, второй и третий на применение формул сокращенного умножения.

Редакция

При решении примеров в классе следует выделить пример, когда коэфициент при втором члене не делится нацело на два. Его надо внимательно рассмотреть с учащимися, потому что в нем придется иметь дело с дробями, в действиях с которыми обычно встречаются ошибки.

Следует дать такие примеры:

ТРЕТИЙ УРОК

Тема: «Разложение квадратного трехчлена вида ах1 + Ьх •+ с».

Прежде чем рассмотреть квадратный трехчлен общего вида, рассмотрим следующий трехчлен:

Что представляет из себя первый член квадратного трехчлена 25х~? (25*- есть квадрат éx.)

Что представляет из себя последний член квадратного трехчлена 4? (4 есть квадрат 2.)

Что представляет из себя 20x7 (20х есть удвоенное произведение первого члена на второй.)

Как же можно покороче записать данный квадратный трехчлен?

Таким же образом рассмотрим и запишем еще несколько квадратных трехчленов:

После разбора этих примеров перейдем к квадратному трехчлену вида ах2 + Ох с. Возьмем квадратный трехчлен

Чем отличается данный квадратный трехчлен от тех, которые уже рассматривали? (Первый член квадратного трехчлена имеет коэфициент.)

Является ли этот коэфициент квадратом какой-либо величины? (Нет.)

Можно ли изменить коэфициент при первом члене, чтобы получить полный квадрат первого члена? (Можно умножить на 6 весь квадратный трехчлен.) Как тогда перепишете данный квадратный трехчлен?

или так:

Чтобы данный квадратный трехчлен имел вид трехчлена нами уже разобранного, следует ввести такую подстановку:

Тогда квадратный трехчлен перепишется так:

Как будем разлагать полученный трехчлен? (Одним из рассмотренных нами способов, разложением среднего члена.)

Рассматриваем 30, на какие множители оно может быть разложено? Запишите их:

Какую пару множителей выберем? Выберем ту пару, которая в сумме даст коэфициент при втором члене в квадратном трехчлене. Обратить внимание на знаки у третьего и второго члена и напомнить учащимся, что если знаки у множителей одинаковые, то они должны иметь знак плюс. Как же запишется данный трехчлен в новом виде?

Как будем дальше разлагать?

(Известным приемом: группировкой и вынесением общего множителя за скобки.)

Как перепишется данный квадратный трехчлен?

Полученный трехчлен разложен на множители относительно у, нам надо получить относительно X. Что для этого надо сделать? (Надо вместо у подставить его значение через X.)

Как тогда запишется квадратный трехчлен?

Таким образом, записанный квадратный трехчлен разложился на множители.

Осталась ли величина квадратного трехчлена без изменения, когда мы каждый его член увеличили в 6 раз?

Как поступить, чтобы квадратный трехчлен принял прежнюю свою величину? (Чтобы квадратный трехчлен принял прежнюю величину, следует все члены его разделить на 6.)

А следовательно и произведение множителей также нужно разделить на 6. Запишем, что получится, и сократим.

Имеем:

Какие же примеры следует прорешать с учащимися на этот вид разложения на множителей?

Даем примерные виды:

Примеров на разложение квадратного трехчлена, имеющего коэфициент у первого члена, в задачниках нет. Их придется подбирать самому учителю. Можно было бы указать и другие способы разложения квадратного трехчлена вида ах'2 + bx -f с, но малое количество часов, отведенных на эту тему, заставляет ограничиться одним наиболее простым способом. Необходимо для закрепления знаний учащихся подбирать побольше упражнений указанных видов.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О МЕТОДИКЕ ТРИГОНОМЕТРИИ В. В. РЕПЬЕВА*

В. КРОГИУС (Ленинград)

В методиках, вышедших до настоящего времени, мы привыкли встречать в начале курса некоторую общую часть.

Такой части в методике тригонометрии Репьева нет. Книге предпослана краткая аннотация, неизвестно кому принадлежащая, которая утверждает, что автор «рассматривает все вопросы преподавания тригонометрии, критически рассматривает различные методы и что методические соображения автора правильны».

Эта аннотация, как не подписанная никем, не внушает, конечно, доверия, так как никто за нее не отвечает.

Самому изложению методики тригонометрии предпосланы три главы: 1. Исторический очерк развития тригонометрии. 2. Тригонометрия как научная дисциплина и как школьный предмет. 3. Оборудование учебных занятий по тригонометрии.

Включение исторического очерка надо приветствовать, но он страдает в некоторых отношениях досадными пробелами. Так, например, ничего не сказано о теореме сложения. Нет также никаких указаний на метод вычислений, носивший название простафайрезис и игравший до изобретения логарифмов большую роль. Легко было бы это пополнить, для чего не было даже надобности обращаться к иностранной литературе (на которую вообще автор нигде не ссылается и, повидимому, к ней не обращается), а сделать соответствующие извлечения из Цейтена «История математики в XVI и XVII вв.» и хрестоматии Вилейтнера.

В начале исторического очерка автор указывает, какое большое значение могут иметь экскурсы в область истории тригонометрии. Но нигде нет упоминания о том, когда, как, в какой форме можно сделать экскурсы в область истории. Между тем именно эти вопросы наиболее трудны, они больше всего затрудняют практика-преподавателя.

Едва ли можно согласиться с утверждением автора о том, что «колыбелью математики является древний Египет». После работ последнего десятилетия и появления книг Нейгебауэра нельзя не признать, что Ниневия не без успеха оспаривает первое место у Египта.

В следующей главе о тригонометрии как научной дисциплине и как школьном предмете Репьев устанавливает следующее положение: тригонометрия — особая научная дисциплина, имеющая своим содержанием «учение об особых функциях, называемых тригонометрическими».

В этой главе автор вводит различение двух путей изучения тригонометрии.

При первом пути, который автор называет классическим, вводится тригонометрический круг и тригонометрические линии, при помощи которых определяются тригонометрические функции. Второе направление автор называет векторным Оно отличается тем, что определения тригонометрических функций вводятся при помощи радиуса вектора и его проекций. Неправ автор в том, что приписывает введение тригонометрического круга только первому направлению. Пиотровский, которого автор приводит как представителя векторного направления, вводит тригонометрический круг и даже специально говорит об этом во введении. Но верно то, что тригонометрические функции определяются не при помощи тригонометрических линий; эти линии служат только для графического изображения функций.

Обращаясь к оценке этих двух направлений, Репьев приводит убедительные доводы в пользу векторного изложения: 1) вместо искусственных тригонометрических линий — вектор и проекции его; 2) вместо особых условий о знаках тригонометрических функций — основные соглашения относительно положительного и отрицательного направлений; 3) векторное изложение дает возможность более простого приложения введенных функций в физике, механике, астрономии; 4) оно ведет к сокращению доказательств многих тригонометрических теорем.

Переходя к выяснению методических достоинств того и другого метода, автор усматривает во втором способе меньшую наглядность. Неясно, почему надо принять во внимание, что графическое изображение при помощи линий обычно вводится и при векторном изложении.

Дальше следует такое замечание: «В векторном изложении большая легкость и большая общность доказательств порой затрудняют глубоко осмыслить сущность новых положений и теорем». Это замечание также непонятно. Каким образом большая легкость затрудняет осмысливание сущности новых положений?

Непонятно и следующее замечание: «В классическом изложении при наличии большей наглядности в ряде доказательств приходится дольше фиксировать внимание на сущности теорем, а это имеет за собой ряд положительных сторон». Почему при одном способе приходится больше фиксировать внимание на сущности теорем, чем при другом,— совсем необъяснимо. Неужели это не зависит всецело от преподавателя на уроке, от составителя учебника при самостоятельном изучении предмета учащимся?

* Статья написана по предложению редакции.— В. К.

К доводу (в пользу классического изложения) о том, что классическое направление в отличие от векторного требует концентричности в расположении и что в этом будто бы также заключается методическое преимущество классического направления, мы еще вернемся. Но нельзя не отметить, что этот довод прямо-таки парадоксален.

Едва ли можно согласиться с автором и в том, что векторное изложение может найти место в повторных курсах (стр. 19). Неужели целесообразно для лиц, выучившихся одним способом, ввести при повторении другой способ?

Далее приведено следующее: «В научной и учебной литературе находит место еще один способ введения тригонометрических функций из прямоугольного треугольника»,—автор пишет так, как будто этот способ вводится как равноправный с двумя другими и только через две страницы отмечает, что такое изучение служит введением, пропедевтикой. Но и здесь странное утверждение, что при определении из треугольника «искусственность сосредоточена не в предварительных подготовительных понятиях, а только в определении функций». Едва ли определение тригонометрических функций из прямоугольного треугольника можно назвать искусственным, в особенности, если показать значение отношений сторон треугольника из задачи, чего, однако, Репьев не делает (§ 18).

Я остановился так долго на рассмотрении этой главы, так как взгляды и установки, проведенные здесь, определяют все дальнейшее построение методики.

Согласно своим установкам Репьев в дальнейшем и не упоминает больше о векторном изложении.

Не буду останавливаться на гл. III — об оборудовании учебных занятий; замечу только, что в этой главе нет даже упоминания о графиках функций, что представляет существенный пробел.

Затем идут главы, посвященные самому преподаванию тригонометрии. В некоторых из них автор высказывает категорические утверждения, часто не мотивируя их. Иногда это имеет место и по отношению к спорным вопросам. Например, в главе о пропедевтике он говорит о том, «что достаточно ввести только четыре функции: синус, косинус, тангенс и котангенс; их вполне достаточно для решения прямоугольного треугольника (без секанса и косеканса не трудно обойтись, а потому знакомство с ними преждевременно)». Но, мог бы я добавить, «без котангенса тоже не трудно обойтись, а потому знакомство с ним преждевременно». Почему у Репьева отношение к секансу и косекансу одно, а к котангенсу другое — остается невыясненным. Мнение о том, что в пропедевтику нет необходимости включать знакомство с котангенсом было мною высказано в печати («Математика в школе», 1937 г., № 2).

Далее Репьев утверждает «последовательность, в которой следует знакомить учащихся с перечисленными четырьмя функциями, такова: синус, косинус, тангенс, котангенс. Но почему именно такова? А я полагаю, что лучше начинать с тангенса. И этот порядок проведен в методике Гефлера (Ноflerг — «Didaktik d. mathematischen Unterrichts»).

Никак нельзя согласиться с тем, что нет надобности останавливаться на вопросе о контроле решения, так как обычно в учебниках показано, как производить контрольные вычисления. Если не ошибаюсь, это сделано только в учебнике Глазенапа.

Нет, повидимому, надобности рассматривать последовательно всю книгу. Достаточно, может быть, будет отметить наиболее характерные замечания, которые дают понятие о взглядах автора и его книге.

В гл. V встречаем, между прочим, такие утверждения о концентрах: понятия о тригонометрических функциях развиваются концентрически; затем автор останавливается на преимуществах концентрического изучения, и, наконец, намечает возможные концентры следующим образом: «Если курс строится со включением в него пропедевтики, то можно наметить следующие концентры: 1) пропедевтика, 2) функции углов от 0° до 360°, 3) функции углов от 0° до —360°, 4) функции углов любой величины. Если курс строится без пропедевтики, то можно наметить следующие концентры: 1) тригонометрические функции острого угла и решение прямоугольных треугольников, 2) функции углов от 0° до 360°, 3) функции углов от 0° до —360°, 4) функции углов любой величины».

Читаешь этот абзац и недоумеваешь, в чем же разница? Концентры 2, 3, 4 вполне совпадают, но и первый совпадает, так как содержанием пропедевтики или введения (как называет автор) и являются как раз функции острого угла и решение прямоугольных треугольников. Остается только одно объяснение этого недоразумения: если функции острого угла определяются при помощи сторон прямоугольного треугольника, то автор называет это пропедевтикой. Но если определить их как-нибудь иначе, то это уже введение. А если дать такое определение: синусом и косинусом острого угла называется отношение катетов к гипотенузе, а тангенсом называется отношение синуса к косинусу — то это будет пропедевтикой или нет?

Кроме того, какой смысл вводить предлагаемые автором концентры: сначала о функциях углов от 0° до 360°, затем от 0° до —360° и, наконец, для углов всякой величины. При изучении определения тригонометрических функций учащийся должен понять, что значение функции зависит только от взаимного расположения сторон угла (начальной и конечной) или от взаимного расположения начала и конца дуги. Это должно быть, конечно, усвоено учащимися при самом определении тригонометрических функций. Если уж допустить, что учащийся отдельно изучает тригонометрические функции от 0° до 360° и не усвоит здесь указанной идеи, то как не ввести ее при рассмотрении отрицательных углов. Правда, у Рыбкина введены указываемые автором концентры, но, кажется, никто никогда так не преподает. Разделение курса тригонометрии даже на два концентра вызывает иногда возражения, а автор нагромождает их четыре!

Когда читаешь (стр. 34), как преподаватель дает определения тригонометрических линий и функций, то становится досадно, что все эти определения даются без всякой связи с предыдущим. Надо заметить, что на

стр. 45—47 это сделано иначе, а именно приведена связь с определением функций из прямоугольного треугольника. Но и здесь сначала даются определения тригонометрических линий, а затем уже вводятся понятия о тригонометрических функциях. Между тем было бы предпочтительнее сначала ввести понятие о тригонометрических функциях, а затем ввести тригонометрические линии как графическое изображение их. Это легко было бы сделать с помощью тех же рассуждений, которые приведены на стр. 46.

При рассмотрении соотношений между функциями одного угла автор не рассматривает вопроса о том, сколько и какие формулы учащимся следует помнить наизусть. Не указывает он также, каким легко запоминаемым правилом можно пользоваться, чтобы по значению одной из функций найти остальные. Эти указания, очень удачные, по моему мнению, были сделаны в статье Л. Когана («Математика в школе», 1937 г., № 1).

В главе о радианном измерении встречаем опять ряд странностей. Во-первых, можно ли вообще обосновать «необходимость» введения нового способа измерения углов (стр. 40)? Во-вторых, неужели «всякий раз, когда встретится необходимость в переходе от радианного измерения к градусному и обратно, нужно вспоминать тот мыслительный процесс, который приводит к формулам

Не проще ли сделать так, как это, конечно, все делают,— обратиться к таблицам, о которых автор даже не упоминает. Наконец, казалось бы, эта глава могла бы быть написана интереснее и глубже после хотя бы книги Гешелина «Избранные вопросы тригонометрии» и статей Кузьминой и Дрокина, помещенных в «Математике в школе» за 1937 г.

Вопрос о знаках тригонометрических функций Репьев разбирает таким образом: он предлагает применять для определения знаков тригонометрических линий правило Декарта. Но «для линий секанса и косеканса правило Декарта неприменимо; знаки этих функций устанавливаются так: если линии секанса и косеканса проходят через конец дуги, то они считаются положительными; если же эти линии не проходят через конец дуги, то они считаются отрицательными». Это правило неудобно тем, что не только чрезвычайно искусственно и не возникает из правила Декарта, но явно противоречит ему, чего допускать, конечно, не следует не только из стремления к общности, но также из пиетета. По правилу Рыбкина и Репьева (и некоторых других) заключаем, что sec я = — 1, так как линия секанса не проходит через конец дуги. А по правилу Декарта линия секанса имеет для дуги к знак плюс. На это неудобство я уже обращал внимание в статье, помещенной в «Математике в школе», 1937 г., № 3. Там же я указывал и выход из этого неудобного положения, а именно предлагал определить линию секанса как отрезок начального радиуса или его продолжения от центра до пересечения с касательной, проведенной через конец дуги; при таком определении знак секанса выясняется просто на основании правила Декарта. Это определение не мною придумано,— его можно найти, например, ь: тригонометрии Дмитриева. Но можно, конечно, просто определить секанс как функцию, имеющую значения, обратные значениям косинуса, или, наконец, определяя секанс как угодно, ввести условие, что знак его будем считать совпадающим со знаком косинуса.

В этой же главе Репьев пишет о том, что вряд ли уместно в школе обозначать через AF и FA два противоположных отрезка, один — отрицательный, другой — положительный; геометрия-де к таким условиям не приучает, а особой надобности не имеет в них и тригонометрия. С этим, я думаю, никак нельзя согласиться. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Репьев предлагает явно ставить знак плюс или минус и писать, например, так:

(Так же делает Рыбкин.) Но в таком случае можно обозначить ON буквой х и получить cos а = — (см. очерк тригонометрии в курсе элементарной геометрии Душина). А учащийся привыкает к тому, что знак абсциссы ставится явно и недоумевает впоследствии, когда отрицательную абсциссу обозначают буквой X. Прав Репьев, что элементарная геометрия, измеряя все отрезки абсолютными числами, «к таким условиям не приучаете Но тригонометрия постоянно пользуется относительными числами; для нее как раз характерно, что она принимает во внимание направление отсчета (углов, дуг, отрезков)» Поэтому, с моей точки зрения, не пользоваться при изучении тригонометрии записью, где самые обозначения выражают направление и знак, значит прививать вредные привычки.

Такая установка, как у Репьева, ведет очень часто к серьезным погрешностям. Например: Киселев,— «Алгебра», изд. 1ьЗЗ г., ч. I, стр. 33,— записано: «(— ау- = + а'1. Квадрат отрицательного числа есть число положительное». Значит, Киселев считает здесь, что — а есть число непременно отрицательное.

Или другой пример: Березанская — «Тригонометрические уравнения и методика их преподавания», стр. 7—9. Идет разбор простейших уравнений sin х = a, cos х = аг tgx = a. Читатель и думает, что речь идет об уравнениях, выражающих, что одна из этих функций равна заданному числу. Но вот неожиданно в конце этого параграфа делается вдруг замечание: «Случаи sin х = — а. cos X--д, igx — — а можно опустить для более подготовленных учащихся». Чем можно объяснить это замечание, если не тем, что автор разумел все время под а только положительные числа, хотя и писал | а | < 1. Правда, замечание это остается все равно в высшей степени непедагогичным, но это уже другой вопрос. Так же как относительное число целесообразно обозначать просто буквой, так и направленный отрезок выгодно обозначать буквами, поставленными у концов его так, чтобы они указывали направление, и затем считать его положительным или отрицательным соответственно направлению оси.

Опуская замечания, относящиеся к главе о периодичности и графиках, обратимся к главе о тригонометрических функциях суммы и разности. Теорема о выражении функции суммы через функции слагаемых может быть доказана очень различными способами. Но автор выбирает один — тот, который, как он говорит, приведен у Шмулевича, хотя, конечно, этот метод гораздо старше и приводится во многих учебниках, существовавших до Шмулевича. Следовало бы в методике указать разные методы, выяснить, каковы достоинства и недостатки каждого из них. Излагая вывод, автор не делает даже попытки провести его так, чтобы учащийся понял цель проведения каждой линии. Весь вывод проведен чисто догматически.

При доказательстве общности полученных формул автор дополнил то, что есть у Рыбкина, случаем а + ß = S0°. Но напрасно автор думает, что этот путь безукоризнен с точки зрения полноты и законченности доказательств. Конечно, для случаев: 1) « = о, 0<ß<-^-; 2) <х = 0, ß = 0 и некоторых других теорема не доказана. Может быть, и нет надобности рассматривать эти случаи с учащимися, но в методике это следовало бы указать.

Глава о тригонометрических таблицах вызывает следующие замечания. Большая часть этой главы посвящается выяснению приемов вычисления таблиц значений тригонометрических функций. По отношению к этому вопросу т. Стеллецкий («Математика в школе», 1937 г., № 2) высказался таким образом: «Загруженность программы не позволяет уделить достаточно времени для усвоения этих приемов. Эти приемы в течение десятилетий висят ненужным балластом в учебниках». Масса учителей читала это и снова находит в методике этот отдел. По мнению Репьева, этот отдел нужен (иначе он не был бы помещен), но в таком случае следовало привести мотивы сохранения этого отдела.

Вся эта глава написана в предположении, что в школе пользуются только пятизначными таблицами. Никакого суждения об этом оспаривающемся вопросе (четырехзначные или пятизначные) не высказано.

В главе о решении косоугольных треугольников не затронут даже вопрос о различных системах уравнений, связывающих основные элементы треугольника, о зависимости их друг от друга и т. п. Ошибается автор в том, что в литературе встречается два вывода теоремы синусов. У Пиотровского дан вывод, отличный от тех, которые приводятся автором. В моем учебнике (изд. 1932 г.) дан еще другой вывод. Можно указать и такой вывод:

Из треугольника ACD имеем sin А = ~с; из треугольника BCD имеем sin (180° — В) — sin В = _ç. Деля одно на другое, получаем

В методике хорошо было бы указать различные методы и дать сравнительную оценку их.

Глава о круговых функциях — глава, в которой у авторов учебников чаще всего встречаются ошибки. Следовало бы, по моему мнению, указать на эти ошибки и выяснить, вследствие чего они происходят, какие определения надо дать лучше, чем это делается, и т. д. Приведем несколько примеров встречающихся ошибок. Учебник Шмулевича — книга, которую, по мнению Репьева, «по справедливости можно назвать энциклопедией тригонометрии, которая может служить настольным пособием для подготовки к уроку». На стр. 259—260 (изд. 1934 г.) автор пространно доказывает, что

т. е. что сумма двух положительных чисел равна отрицательному числу. В той же главе еще целый ряд ошибок.

А Березанская в книжке «Тригонометрические уравнения и методика их преподавания» — книжке, которая, по мнению Репьева, «может помочь учителю поднять свою квалификацию», пишет:

оговаривая: «Так как слово arc написано с малой буквы, то мы не ставим двойного знака при радикале». Между тем здесь надо было оговорить, что эти формулы верны только, если m положительно, и непригодны, кроме некоторых (например:

если /я<0. Например, при

чему arc cos вообще равняться не может.

Вместо того чтобы обратить внимание и предохранить от таких ошибок, Репьев сам идет по тому же пути, сам приводит, например, формулу

не говоря о том, что х должно быть положительным, и только через полторы страницы замечает, что эта и другие формулы имеют

смысл только для 1-го квадранта. Но эти дуги сами собой окажутся дугами первого квадранта, если х>0.

Едва ли можно согласиться с важным указанием, сделанным на стр. 117, сводящимся к тому, что следует подбирать примеры на сложение таких значений круговых функций, когда получаемая дуга не выходит за границы главных значений этих функций. По мнению Репьева выходит, что пример

предлагать можно, а примера

предлагать не следует. Мы имеем в первом случае:

Отсюда

что легко видеть,

сравнивая sin а и sin ß со значением Во втором случае:

поэтому

Не подлежит сомнению, что нужно одно из двух: или вообще не давать таких примеров, или же, давая их, требовать, чтобы учащийся разобрался, с каким случаем он имеет дело. Но совершенно недопустимо давать такого рода примеры с предвзятой мыслью или с предупреждением учащегося: «Можешь не думать, будет ли arc sin а + arc sin ß больше или меньше — : эта сумма меньше —. Об этом позаботился автор задачи, чтобы тебе не было слишком трудно». Я полагаю, что следует рассмотреть и тот и другой случай (не буду развивать — как).

За главой о круговых функциях следует глава о тригонометрических уравнениях. Этот порядок соответствует убеждению автора, что достаточно полное и глубокое изучение тригонометрических уравнений возможно только при предварительном изучении круговых функций. На чем основано это убеждение — непонятно. Нельзя поэтому согласиться и с тем заключением, что единственно приемлемая последовательность такова: раньше — круговые функции, потом — тригонометрические уравнения. В особенности странно это указание, если вернуться к нему после прочтения главы о тригонометрических уравнениях, в которых автор вообще совсем не пользуется круговыми функциями, прибегнув только при решении уравнения a sin рх + -h Ь cos рх = с к обозначению

Во введении к этой главе (§ 75 и § 76), к сожалению, упущено указание на такое важное свойство тригонометрических уравнений, как то, что уравнение или совсем не имеет решений или имеет их бесчисленное множество.

В этой главе проведена правильная мысль, что решение уравнений должно иметь место на протяжении почти всего курса тригонометрии и, кроме того, составить отдельную тему.

Решение уравнений разделяется автором на четыре концентра. Конечно, — совершенно условное разделение, можно было бы и на три, и на пять, и совсем не делить на концентры, а предлагать уравнения на протяжении всего курса в пределах тех знаний, которые есть у учащихся.

Из замечаний, сделанных по поводу решения разного рода уравнений, подчеркнем ценное замечание (стр. 130), где автор говорит, что, несмотря на интересные зависимости между дугами, имеющими равные значения синуса (разность равна четному числу раз тс или сумма равна нечетному числу раз тс), нецелесообразно предлагать учащимся заучивать это и пользоваться этим; проще решать уравнения соответствующих видов, преобразуя сумму или разность одноименных функций в произведение. Я добавил бы еще к этому замечанию, что это есть простейший путь для получения общего вида дуг, имеющих данное значение рассматриваемой функции. Например, требуется выразить все дуги, имеющие тот же синус, что и дуга а. Имеем

Отсюда

Наконец

На стр. 128 автор приводит уравнения вида /(-*) = :£ л*. Хотя каждая такая запись представляет собою два уравнения, но автору хочется получить простое выражение общего решения, и он называет каждые такие два уравнения одним уравнением. Едва ли целесообразно рассматривать уравнения sinjc = 0s cosjc^O, tgx = 0 как частные случаи приведенных уравнений, но хорошо начинать именно с этих уравнений. Нельзя считать, что уравнение sin;t = 0 есть частный случай уравнений s\nx = + m:B одном случае мы имеем одно уравнение, в другом — два.

Разделу курса, который занят изучением тригонометрических уравнений как отдельной темой, посвящено мало места и внимания. Самые трудные вопросы о равносильности, о приобретении и потере корней, о том, можно ли считать, что число, обращающее один из множителей в нуль, а другой — в бесконечность, обращает произведение в нуль — совсем не рассмотрены. Сказано только, что эти случаи требуют дальнейшего исследования, но в чем заключается это исследование, как его вести,—неизвестно. О потере корней при умножении на некоторую функцию тоже ничего не сказано. Между тем можно привести много примеров такого' рода, вызывающих недоумение учащихся, а иногда горячие споры преподавателей. Если взять уравнение sinjt = 0, то после умножения на ctg х найдем cosx = 0. Потеряны корни x = knt приобретены корни X = — Ц гс . Ничего не стоило бы привести и более трудные вопросы, относящиеся к той же области. Ничего не сказано также о том, при каких соглашениях и условиях будет законным или незаконным сокращение дроби на функцию от х. Этим методом Березанская пользуется на протяжении всей своей книжки, не оговаривая, при каких соглашениях такой метод допустим (например, стр. 18, пример 2; стр. 20, пример 5).

В указателе литературы, приведенном в конце книги, пропущены некоторые книги: например: Гешелин—«Избранные вопросы тригонометрии», учебник Глазенапа и некоторые другие.

Замечу, наконец, что язык иногда не совсем хорош. В особенности поражает злоупотребление словом «использовать»: в § 16 на двенадцати строчках — четыре раза. На стр. 123 такая фраза: «В 1 концентре надо использовать таблицы натуральных значений тригонометрических функций. Конечно, при этом будут получаться приближенные корни». Не проще ли, не лучше ли «пользоваться таблицами»? Вторая фраза заключает оговорку, имеющую такой характер, будто при другом методе (например, применении логарифмических таблиц) получатся точные корни.

Несколько заключительных замечаний. Если бы выбросить из этой книги все, что сомнительно, что вызывает серьезные возражения, и то, что просто неверно, то уменьшился бы несколько объем книги. Но что осталось бы? Осталось бы собрание практических указаний, которое можно было бы, пожалуй, озаглавить «Собрание указаний, как преподавать тригонометрию по учебнику Рыбкина». Но нет здесь такой трактовки, которой следует требовать от руководства для студентов вуза или для преподавателей. Эта книга не будит мысли, не ставит перед преподавателем методических проблем, над которыми надо было бы подумать, которые надо было бы каждому преподавателю решить для себя или для пропаганды их.

Я позволил себе указать на протяжении всей книги наиболее важные из тех мест, с которыми нельзя согласиться. Чтобы дать то заключение, которое только что приведено, не было надобности делать этого. Но зная, что при бедности нашей методической литературы эта книга будет читаться, казалось полезным предохранить малоопытного преподавателя от слепого доверия к тем положениям, которые местами высказываются авторам.

Мне кажется, что не такая методика тригонометрии нам нужна.

СТАБИЛЬНЫЕ УЧЕБНИКИ ПО МАТЕМАТИКЕ (средняя школа)

(Заключение редакции математики Учпедгиза)

Положение со стабильными учебниками по математике в средней школе является ненормальным. Дело в том, что почти все учебники по математике являются старыми, которыми пользовалась в течение ряда лет дореволюционная школа (учебники Киселева, Рыбкина, Шапошникова и Вальцова). Все эти учебники подвергались переработке, однако никакая переработка не может существенным образом изменить лицо книги. Иногда переработка поручалась малоквалифицированным лицам, в результате чего качество некоторых учебников не только не улучшилось, а даже ухудшилось (задачник Шапошникова и Вальцова). Таким образом, оказалось, что нынешние стабильные учебники унаследовали недостатки, которые были присущи учебникам дореволюционной школы. Основные эти недостатки заключаются в следующем:

1. Доминирующее положение занимает не научная идейность, а рецептурность.

2. Формальность и крайняя сухость изложения.

3. Кроме того, в наших учебниках нередко встречаются архаизмы и неточности.

4. Существующие учебники не находятся на уровне требований современной науки и марксистской педагогики.

Это — одна из причин тяжелого по своим последствиям разрыва, имеющего место между исключительным подъемом научной работы в СССР в области математики и все еще неудовлетворительным состоянием массового преподавания математики в нашей средней школе.

Ясно, что такие учебники не могут удовлетворить современную школу, и поэтому они должны быть заменены новыми учебниками, написанными советскими авторами. Можно быть вполне уверенным, что наши ученые и учителя средней школы вполне справятся с этой ответственной задачей. Поэтому математическая редакция считает, что немедленно должна быть начата работа по созданию новых учебников.

Лучшим способом, который даст доброкачественные учебники, является объявление

конкурса. Необходимо немедленно приступить к изданию нескольких учебников по каждому предмету (хотя бы небольшим тиражом), чтобы после проверки на практике и обсуждения широкими кругами научной и педагогической общественности можно было выбирать лучшие учебники в качестве стабильных.

О необходимости издания нескольких учебников по каждому предмету говорится также в резолюции группы математики Академии наук СССР от 20—21 декабря 1936 г.

Характеристика существующих учебников

Арифметика Киселева в переработке проф. Хинчина.

Старый учебник арифметики, переработанный проф. Хинчиным, можно считать на ближайшее время, удовлетворительным. Ясно, что переработкой не удалось полностью устранить органического недостатка, присущего всем учебникам Киселева. Этот недостаток заключается в крайней сухости и формальности изложения. Неточности и ошибки в научном отношении, которые иногда встречаются в учебниках Киселева, исправлены проф. Хинчиным. Необходимо отметить, что в некоторых местах получился разнобой в стилях: с одной стороны — сухой стиль Киселева, а с другой — более живой язык проф. Хинчина.

Вывод. Учебник Киселева следует издавать на ближайшие 3-4 года; при переиздании желательно включить общие указания о решении задач; начать работу по организации конкурса на написание нового учебника.

Задачник по арифметике Березанской.

Задачник Березанской единодушно получил отрицательную оценку как со стороны научных работников, так и со стороны учителей-практиков. В качестве основного недостатка задачника указывалось, что задачи, которые помещены в сборнике, по сути дела являются примерами, требующими для своего решения лишь механического применения правил. Таким образом, сборник оказался крайне бедным задачами, для решения которых нужно уметь самостоятельно применять и комбинировать различные методы. Крайне мало задач, рассчитанных на сообразительность. Подбор примеров оказался недостаточным, чтобы обеспечить приобретение необходимых вычислительных навыков. Нет примеров со сложными числовыми данными. Таким образом, задачник Березанской не был признан удовлетворительным, так как он не давал учащимся ни должного математического развития, ни надлежащих вычислительных навыков. Поэтому в настоящем году задачник подвергся переработке со стороны автора. Переработка, может быть, несколько улучшила задачник (об этом трудно судить, так как после переработки задачник еще не опробован на практике). Однако все-таки его удовлетворительным считать нельзя.

Вывод. Математическая редакция целиком присоединяется к мнению, высказанному группой математики Академии наук, что задачник Березанской следует заменить уже к 1939/40 учебному году. Необходимо объявить конкурс. На ближайшее время (2-3 года) имеет смысл издать задачник Чекмарева и Филичева в качестве стабильного. Этот задачник предназначен для педучилищ и может быть в небольшой срок переработан применительно к программе средней школы.

Алгебра Киселева, ч. I и ч. II.

Учебник алгебры является наименее удачным из всех учебников, написанных Киселевым. Курс геометрии того же автора является вполне удовлетворительным в научном отношении учебником, однако этого ни в коей мере нельзя сказать про учебник алгебры. Внимательный просмотр книги, а также ознакомление с отзывами авторитетных ученых приводят к заключению, что основные недостатки учебника следующие:

1. Книга находится на весьма низком уровне в отношении научной идейности. Перед учащимися не развертываются общие перспективы развития алгебры. Следствием этих недостатков является, рецептурность. Ряд важных отделов излагается в виде списка правил, как следует поступать для получения того или иного результата. Заметим, наконец, что книга написана бесцветным, устаревшим, хотя грамматически вполне правильным языком. Такой учебник не может заинтересовать учащегося.

2. Вызывают возражения расположение и подбор материала по целому ряду глав, так, например, теория комплексных чисел по самой сути дела должна предшествовать исследованию уравнений, однако в учебнике материал расположен как раз, в обратном порядке. В главе об иррациональных числах сделана весьма неудачная попытка изложить что-то похожее на теорию Дедекинда, попытка явно неудачная, тем более, что определение иррационального числа по Дедекинду недоступно (по степени трудности) учащимся. Неудовлетворительно изложена глава об исследовании уравнений.

3. Нечеткость в формулировках определений и теорем иногда граничит с математической безграмотностью. Можно привести целый ряд примеров неточных, подчас бессмысленных утверждений. Например: «Мнимым числом принято называть корень четной степени из отрицательного числа», или: «Если ряд чисел, составляющих прогрессию, может быть продолжаем без конца, то прогрессия называется бесконечной». (Почему любую прогрессию нельзя продолжать неограниченно?) Из определения, данного автором, учащийся, по всей вероятности, поймет, что иррациональное число есть всегда результат извлечения корня из рационального числа,— представление неправильное, антинаучное. В книге встречается целый ряд выражений, нехорошо звучащих в современном учебнике, например: «Число, взятое без знака», «Конец отрезка выражает число», и т. д. В главе об исследовании уравнений имеются «бесконечные корни» и «представление неизвестного под видом -g-». Это просто бессмыслица.

Достаточно ограничиться приведенными примерами, ибо полный список всех подобного рода ляпсусов был бы достаточно велик.

4. Математическое доказательство является одним из наиболее важных объектов изучения в курсе математики, но и с этой стороны в курсе Киселева дело обстоит далеко неблагополучно. Непонятно почему, когда нужно провести доказательства нескольких предложений с одинаковой строгостью, автор одни теоремы доказывает, а другие оставляет без надлежащего доказательства. Например, бином Ньютона доказан методом полной индукции, а для формулы числа размещений не дано сколько-нибудь вразумительного доказательства. Необходимо отметить, что метод полной индукции недостаточно освещен в учебнике. Иногда автор формулирует общие выводы на основе частных примеров. При этом остается неясным, является ли проверка правила на частных примерах достаточной, чтобы быть уверенным в его общности, или на данном примере только иллюстрируется правило, доказательство которого выходит за пределы элементарного учебника, или, наконец, на частном примере поясняется целесообразность того или другого определения. Все эти весьма важные вопросы остаются неосвещенными. В книге имеются также без всяких оговорок нестрогие доказательства. Так, например, монотонность показательной функции доказана только для рационального показателя, и это не оговорено. Таким образом, учебник не приучает к аккуратности в математических рассуждениях и к пониманию требований, которые наука предъявляет к строгости доказательств. Это порождает беспомощность и дезориентированность при переходе к самостоятельной работе. Учебник Киселева способствует превращению алгебры в особую школьную науку, далекую от современной математики.

Вывод. Необходимо срочно разрешить вопрос о написании нового учебника алгебры. Целесообразно объявить конкурс. Издание учебника Киселева может быть терпимо только как временная мера, при этом необходимо исправить грубые неточности.

Задачник по алгебре Шапошникова и Вальцова, ч. I и II.

Задачник Шапошникова и Вальцова принадлежит к старым книгам, написанным еще до революции. В основном задачник нельзя назвать плохим, однако издания последних лет обладают рядом недостатков, на что уже неоднократно обращала внимание Наркомпроса и Учпедгиза педагогическая общественность.

1. В новых изданиях задачника в ряде глав значительно сокращено количество задач по сравнению с прежними изданиями. В прежних изданиях под каждым номером давались две однородные задачи, в настоящих изданиях весьма значительная часть вторых номеров снята. Таким образом, в новых изданиях выбор задач оказался менее богатым, чем в предыдущих изданиях.

2. Значительно выросли за последнее время потребности средней школы, а задачник остался прежним (даже сокращен). Учителя единодушно высказываются, что в задачнике Шапошникова и Вальцова ряд разделов следует усилить более трудными задачами и примерами (даже если брать старое издание).

Подбор упражнений по ряду разделов, например: разложение на множители, исследование уравнений, неравенства, составление уравнений, не является достаточно богатым.

3. Нет материала для повторения, нет общего отдела. (В старых изданиях был общий отдел, правда, с небольшим числом упражнений.)

Вывод. На ближайшие годы следует задачник Шапошникова и Вальцова издавать, восстановив выброшенный из прежних изданий материал и пополнив некоторые разделы новыми упражнениями. Пересмотреть условия задач с точки зрения тематики. Исправить задачи, в которых допущено искажение действительности. Одновременно с работой над новым курсом алгебры необходимо начать работу над составлением нового задачника.

Геометрия Киселева, в обработке проф. Глаголева, ч. I и II.

Редакция математики присоединяется к мнению, высказанному научной и педагогической общественностью (резолюция Математического общества и группы математики Академии наук) и рецензентами, что учебник Киселева является лучшим из имеющихся учебников по геометрии. Однако нельзя сказать,, чтобы учебник Киселева полностью удовлетворял) потребностям средней школы. Эта книга написана давно, и поэтому вполне естественно, что значительно выросшие потребности современной школы предъявляют и к учебнику более высокие требования. К недостаткам учебника относятся:

1. Формальность и сухость изложения, что, при отсутствии ясно очерченных общих идей и перспектив развития геометрии, делает учебник скучным. Учащийся знакомится с логически стройной цепью математических рассуждений й однако вряд ли учебник Киселева может увлечь учащегося и дать стимул к самостоятельной работе.

2. Задачи на построение (это относится главным образом к ч. I) излагаются в конце соответствующих глав. Таким образом, нет органической связи между развитием теории и задачами на построение. Это — существенный дефект, ибо задачи на построение должны занимать одно из центральных мест в курсе геометрии.

Вывод. Так как учебник Киселева в научном отношении стоит на достаточной высоте, то на ближайшие 3—4 года его следует издавать. За это время подготовить новый учебник путем объявления конкурса.

Задачник по геометрии Рыбкина, ч. I и II.

Задачник Рыбкина можно считать сравнительно удовлетворительным, его следует издавать на ближайшие годы. Параллельно с работой над созданием стабильного учебника по геометрии следует вести работу над составлением нового задачника, согласованного с программой и учебником. Недостатками задачника Рыбкина являются:

1. Мало задач на построение, в особенности мало задач на построение в пространстве.

2. Недостаточно количество задач на доказательство.

Таким образом, получается, что задачник учит преимущественно как пользоваться формулами и дает слабые навыки в умении

применять самостоятельно геометрические методы. Нет задач для повторения, нет общего отдела.

Тригонометрия Рыбкина,

Книга Рыбкина является старым учебником, получившим широкую известность благодаря простоте и краткости языка и удачному расположению материала. Однако, несмотря на отмеченные достоинства, в настоящее время этот учебник нельзя считать удовлетворительным. Это — типичный учебник прежней школы с сухим, формальным изложением, где рецептурность доминирует над научной идейностью. Основными недостатками учебника являются:

1. Чрезмерная конспективность.

2. По ряду разделов учебник содержит мало материала. Например тригонометрические уравнения; совершенно отсутствуют формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму; мало материала, посвященного применению тригонометрии к решению тригонометрических задач.

3. Благодаря нечеткости совершенно неудовлетворительно изложены вопросы о радианной мере и об обратных тригонометрических функциях (изложение последнего вопроса содержит грубые математические ошибки). В учебнике Рыбкина, как и во многих старых книгах, без надлежащего разъяснения автор оперирует с понятием бесконечности и раскрытия неопределенности. Пора, наконец, с этим покончить.

4. Нельзя не отметить грубой ошибки, которой не было в старых изданиях книги и которая, очевидно, появилась при позднейшей переработке». Именно: вывод теорем сложения не удовлетворяет основным требованиям математической строгости, а при доказательстве общности этих теорем получается порочный круг — явление совершенно недопустимое в стабильном учебнике. Это необходимо немедленно исправить.

Вывод. Стабильный учебник Рыбкина необходимо заменить как устаревший и совершенно неудовлетворяющий требованиям современной науки. Нужно немедленно организовать конкурс. Математическая редакция уже имеет ряд предложений на ближайший год издать учебник Рыбкина, устранив ошибки.

Сборник задач по тригонометрии Рыбкина.

В основном задачник является удовлетворительным, так что на ближайшие 3-4 года может служить в качестве стабильного учебника. Однако необходимо начать работу по составлению нового задачника.

Отметим основные недостатки задачника.

1. По некоторым разделам следует увеличить количество трудных задач.

2. Нет указаний о методах решений геометрических задач, требующих применения тригонометрии. Этого нет и в учебнике.

Редакция математики просит учителей средней школы высказать свое мнение о работе, которую необходимо провести по улучшению и созданию новых учебников.

Наш адрес: Москва, Орликов пер., д. 3, Учпедгиз, Редакция математики.

И. о. зав. редакцией математики Учпедгиза

Новоселов

ОБЗОР НОВЫХ КНИГ

С. НОВОСЕЛОВ (Москва)

Курс математического анализа для педвузов, ч. VI, М. К. Гребенчи Обыкновенные диференциальные уравнения. Учпедгиз, 1937, стр. 280, ц. в перепл. 3 р. 85 к.

В книге проф. Гребенчи изложена теория диференциальных уравнений в объеме программы основного курса физико-математических факультетов педвузов. В пределах сравнительно небольшого объема общего курса диференциальных уравнений автор стремится дать правильные понятия об основных, принципиально важных и, тем не менее, весьма нелегких вопросах теории диференциальных уравнений. Во многих элементарных учебниках недостатком изложения теории диференциальных уравнений является рецептурность. Не считая возможным касаться вопросов обоснования теории, авторы нередко дают перечисление приемов решения различных типов диференциальных уравнений. Книга проф. Гребенчи не обладает этим недостатком. Хотя в ней и не доказана теорема Коши (теорема существования решения, удовлетворяющего начальным условиям) в общем виде, зато даны четкая формулировка и доказательство для отдельных частных случаев этой важной теоремы. Именно теорема Коши положена в основу трактовки фундаментальных вопросов теории, и, таким образом, вся теория получает современное освещение, Начинающего может несколько затруднить стремление автора к подробному, вплоть до «мелочей», изложению. Однако мы не ставим это в упрек автору, так как для отчетливого понимания основ математического анализа учащийся должен тщательно продумывать теоретический материал курса со всеми, даже мелкими, подробностями.

К недостаткам книги можно отнести излишне громоздкое изложение теории диференциальных уравнений с постоянными коэфициентами на основе операторного метода.

В целом книгу проф. Гребенчи можно характеризовать как весьма полезный, удовлетворяющий надлежащим требованиям в смысле научной строгости учебник, который может быть рекомендован как студентам педвузов, так же и учителям, работающим над повышением своей квалификации.

В. В. Репьев — Методика тригонометрии. Учпедгиз, 1937, стр. 152, ц. в перепл. 1 р. 85 к.

При рассмотрении книги Репьева попытаемся в первую очередь ответить на вопрос: что может почерпнуть учитель средней школы из этой книги? Вопросы, рассматриваемые автором, не выходят за рамки обычного школьного курса тригонометрии. При этом изложение элементарных и зачастую совершенно тривиальных фактов местами излишне многословно. Большинство указаний, даваемых автором, можно найти даже в курсе Рыбкина, только в значительно более кратком виде. Таким образом, опытный преподаватель вряд ли сможет почерпнуть что-нибудь новое из книги Репьева. Что касается начинающего преподавателя, то ему нужны конкретные указания и, главным образом, в части подбора упражнений, ибо операции с шестью тригонометрическими функциями и обилие различных формул естественно вызывают значительные затруднения у учащихся, а вместе с тем тригонометрия дает богатый материал для приобретения необходимых навыков в умении выполнять различные преобразования. Для начинающего учителя были бы весьма ценны общие указания, сопровождаемые достаточно подробно разработанными образцами задач и упражнений, начиная с сравнительно простых и кончая сложными. Это тем более существенно, что в настоящее время на книжном рынке имеется крайне мало литературы, которую мог бы использовать учитель в качестве пособия по тригонометрии. Однако в части образцов задач книга Репьева содержит крайне скудный материал.

Автор уделяет много внимания расположению материала. Однако следует заметить, что в отношении расположения материала учебник Рыбкина является сравнительно удачным, так что приняв его за основу и руководствуясь здравым смыслом, даже начинающий учитель сумеет установить должную последовательность прохождения курса.

Мы уже указывали, что автор излишне много останавливается на изложении общеизвестных фактов. Так, например, содержание главы, посвященной первым урокам по тригонометрии, является тривиальным. Далее, надо полагать, что всякий человек, имеющий хотя бы минимальную математическую культру, знает и то, что основное соотношение, связывающее синус и косинус, вытекает из теоремы Пифагора, и то, каким образом следует провести соответствующие рассуждения. Рассуждения о тригонометрических линиях также являются тривиальными. Автор настаивает на нецелесообразности употребления терминов «горизонтальный диаметр» и «вертикальный диаметр» и, заменяя их терминами «начальный» и «дополнительный» диаметры, говорит далее об общеизвестных вещах, но только употребляет новую терминологию. Автор неоднократно дублирует учебник. Чтобы не быть голословным, привожу примеры: вывод теорем сложения тригонометрических функций, функций половинного аргумента, рассмотрение различных случаев решения косоугольных треугольников, образцы вычислений и т. д. читатель найдет в любом учебнике тригонометрии, и, в частности, в стабильном учебнике. Останавливаясь подробно на общеизвестных вещах, автор не уделяет достаточного внимания вопросам, слабо освещенным в учебной литературе. Так, например, вопрос об обратных тригонометрических функциях изложен е книге Репьева мало удовлетворительно. Нет достаточно вразумительного объяснения, почему главные значения обратных тригонометрических функций выбираются в одной из двух промежутков ^ — g- ; jj или (0; тс).

Пора наконец покончить с ошибкой, которая повторяется во всех книгах по тригонометрии. Речь идет о формуле

Эта формула верна не при' всех значениях аргумента, однако автор не только не говорит об этом, но даже составляет целую таблицу подобных формул.

Нельзя отрицать, что в книге Репьева можно найти ряд полезных и нетривиальных указаний, но по объему они могут быть уложены в одну журнальную статью.

И. В. Арнольд — Теоретическая арифметика. Учебное пособие для физико-математических факультетов пединститутов. Учпедгиз, 1938, стр. 480, ц. в перепл. 6 р. 40 к.

Книга И. В. Арнольда содержит весьма обстоятельное изложение основных вопросов теоретической арифметики. Вопрос о развитии понятия числа освещен автором с различных точек зрения. Книга стоит на большой высоте в отношении строгости математических рассуждений и глубокой продуманности всего материала. Начиная с учения о целом числе, автор рассматривает теорию отрицательных, дробных, иррациональных, комплексных чисел и, наконец, теорию кватернионов. Две последние главы посвящены элементам теории чисел. На протяжении всей книги автор излагает различные точки на обоснование арифметики и проводит их сопоставление. Так, например, наряду с теоретико-множественным обоснованием теории натурального числа изложена аксиоматическая теория, учение о рациональном числе изложено на основе операторной теории и с точки зрения теории пар, теория иррационального числа изложена по Дедекинду и Кантору. Автор достаточно подробно останавливается на той роли, которую оно играет в обосновании математического анализа. Именно, в книге рассмотрены теоремы о непрерывных функциях и изложено учение об элементарных, функциях (степенная, логарифмическая и показательная функции). Указанные выше важнейшие вопросы математики изложены автором стройно и современно, поэтому можно считать книгу Арнольда ценнейшим пособием для учителей средней школы и студентов педвузов. К тому же нужно добавить, что до настоящего времени на русском языке не было книг, трактующих теоретическую арифметику в современном освещении. Необходимо заметить, что книга Арнольда нелегка и требует серьезной и вдумчивой работы со стороны читателя. Несмотря на трудность, ее можно настойчиво рекомендовать учителю средней школы в качестве пособия в работе над повышением своей квалификации.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в №1 журнала «Математика в школе» за 1938 г.

Решить уравнение:

Поскольку данное уравнение — третьей степени, постольку элементарное решение его может быть получено лишь путем разложения левой части на множители. Группировка членов может быть произведена различными способами. Наиболее естественным нам представляется следующий, фигурирующий в ряде решений, способ.

Раскрываем скобки:

Естественно попытаться сгруппировать члены, содержащие коэфициент 2. Получим:

Дальнейшая группировка членов, дающих по вынесении за скобки общего множителя тот же трехчлен, не представляет затруднений. Будем иметь:

или

Отсюда

2.

Составить уравнение, корни которого были бы пятыми степенями корней уравнения x2+px+q = О (не решая последнего).

Обозначив корни данного уравнения через xt и дс2, будем иметь:

*1+Х2 = — р\ XiXt=q. (1)

Пусть искомое уравнение будет:

(2)

По заданию должно быть:

(3) (4)

Сравнение (4) и (1) сразу дает:

(5)

Остается выразить — m = xt5 + хг5 через рид. Проще всего воспользоваться формулой разложения бинома. Имеем:

Отсюда

или, приняв во внимание, что

Производя подстановку из (1), получим:

Искомое уравнение будет:

В части тиража вместо q стояла цифра 9, Понятно, что способ решения от этого не менялся, а искомое уравнение принимает вид (подставляя 9 вместо q):

Как и первая, задача особых затруднений не вызывает, но все же был дан ряд и неверных и слишком сложных решений, в которых, например, данные величины р и q входят под знаком радикала и т. п.

3.

Найти элементарным способом наибольшее и наименьшее значение дроби

Введем обозначение:

Отсюда

Величина х будет действительной при условии:

Корни этого трехчлена:

Трехчлен будет положительным для значений у\ меньших меньшего и больших большего из его корней. Следовательно, его меньший корень

есть максимум, а больший

— минимум данной дроби.

В математике обычно под наибольшим и наименьшим значениями мыслятся именно относительные максимум и минимум. Однако многие из решавших искали наибольшей и наименьшей численной величины дроби, причем одни находили + оо, другие + оо и нуль для наименьшего значения, что уже.

совсем непонятно, так как дробь, как это легко видеть, может принимать и отрицательные значения.

4. Построить трапецию по данным боковым сторонам и диагонали. Геометрическое решение этой задачи дано в книге Александрова «Геометрические задачи на построение». Наряду с ним было прислано столько же и аналитических решений. Тов. Беневольскому удалось внести в построение значительное упрощение. Дальше мы приводим решение т. Беневольского.

Алгебраическое решение задачи таково: так как площадь треугольника ABD = площади треугольника ACD (черт. 1), то, выражая эти площади по формуле Герона, имеем уравнение:

из которого легко получим:

Мне удалось значительно упростить алгебраическое решение, установив предварительно следующее соотношение между элементами трапеции: «Во всякой неравнобедренной трапеции сумма оснований относится к их разности так, как разность квадратов диагоналей относится к разности квадратов боковых сторон». В самом деле (черт. 2): проведем СЕ \\ ВА, CF || ВО и высоту трапеции CK. Из треугольников CKF и СКА имеем: KF2 — CF — CK2 и АК2 = ДА2—С/С2, откуда KF2— А К2 = CF2 — АС2, или, вводя указанные на чертеже сокращенные обозначения и раскладывая на множители левую часть:

Но

следовательно

(1)

Совершенно так же найдем из треугольников CKD и СКЕ, что

или, так как

то:

(2).

Поэтому, деля (1) на (2), получим:

т. е. соотношение, которое указано выше.

Пользуясь этим соотношением, можно анализ задачи провести так (черт. 3):

Положим, что нам удалось построить трапецию ABCD, имеющую данные боковые стороны а и Ь (Ь > а) и данные диагонали m и п (п > т). Проведя СЕ \\ В А, будем иметь треугольник CED со сторонами я, b и х — у. Проведя CF !| BD и продолжив AD, получим ÜF = у и AF = X + у. Построим на AF как на основании треугольник AMF, подобный треугольнику CED, для чего проведем FM || H DC до пересечения с продолженной стороной AB в точке М. Если провести еще прямые CK (продолжив ВС) и CL (продолжив DC), то CK - у и, следовательно, BL = LM и МК = 2 1С. Обозначим BL = LM = Z, CL = и и, следовательно, КМ = 2и.

Из подобия треугольников AMF и ECD имеем:

или

где

С другой стороны, по доказанной выше теореме:

Следовательно:

откуда

Таким образом отрезок I построится как четвертый пропорциональный к отрезкам

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

Так как

то:

что также не трудно построить.

Наконец, по свойству параллельных, пересекающих стороны угла:

Поэтому для построения отрезков гпи следует разделить найденный отрезок г + и в отношении а : Ь.

Имея отрезки z и и, мы можем построить треугольник ALC по трем сторонам: a -f z, и н m, после чего без труда строится самая трапеция.

5.

Доказать, что из всех целых чисел вида 2/я 4-1, где m простое число, только одно число является точным кубом.

Так как корень из нечетного числа должен быть тоже нечетным числом, то можем положить:

Отсюда

Так как при всяком целом, положительном х выражение Ах2 4-6лг-(-3>1, а т — число простое, то очевидно х = Г, m = 13 и 2т Ч-+ 1 = 27.

Удивительно, что и эта чрезвычайно простая задача получила несколько чрезвычайно сложных решений (например, испытываются числа от 1 до 9, и затем совершается переход к числам, большим десяти). Были и неверные решения (например, х = 0, m = О, 2т + 1 = 1).

6.

Доказать, что для всякого треугольника имеет место соотношение:

(1)

Исходим из соотношения

из которого, перенеся все h в знаменатель, получим:

(3)

Из (3) по свойству равных отношений находим:

или

(4)

Возведя каждое из отношений (3) в степень п опять по свойству равных отношений, найдем:

(5)

Равенства (4) и (5) дают (1).

Таково громадное большинство решений.

Из других отметим изящное решение, данное несколькими читателями.

Умножим числители и знаменатели обеих частей предполагаемого равенства (1) на

В левой части получим:

Воспользовавшись формулами (2), найдем:

(6)

В правой части получим:

(7)

Из (6) и (7) получается (1).

3. Близкое к приведенным решение Б. Андреева (Исиль-Куль) интересно тем, что непосредственно приводит от правой части к левой:

7.

Найти зависимость между острыми углами , ß и у, если известно, что

По формуле:

Отсюда

В условии сказано, что углы заданы острые, поэтому неправильны решения, дававшие ответ « — ß — г = 1£0°, или даже а — ß — f = 180 п, где я = 0, 1, 2...

Некоторые, вследствие вкравшейся в текст цифры 2, брали ctg 2а = 3. Тогда, понятно, получалось:

8.

Решить уравнение:

(1)

Умножив обе части на х2Х и положив Xх — у, будем иметь

(2)

Сопоставляя положительные и отрицательные коэфициенты, легко замечаем, что уравнение (2) удовлетворяется значениями уг = 1. Делим левую часть на у — 1; получим:

(3)

Решив это уравнение, найдем: У« = 27; Л = 4.

Итак, имеем:

давали еще

Некоторые принимая

корень хА = 0.

Нельзя признать правильным решения, дающие корни только 0, 2, 3.

9.

Пусть m, п% р — длины биссектрис углов Л, В% С треугольника ABC. Доказать, что:

Имеем: пли

Аналогично получим:

Подставляя эти значения в первое из данных выражений, получим:

Аналогично доказываются и остальные равенства. Были даны и очень сложные доказательства.

10.

Показать, что

Наиболее простое решение: исходим из формул:

Делаем подстановку:

Некоторые решали подстановкой:

Были даны и другие способы решения.

11.

Решить систему уравнений:

(1) (2)

Разделив (1) на (2), будем иметь:

Отсюда

(3)

где а — один из кубичных корней из единицы. Подставив (3) в (1), найдем

Отсюда

где ß — один из корней четвертой степени из единицы. Так как |/ 1 имеет три, а ]/ 1 — четыре значения, то для данной системы имеем 12 решений.

Этой задаче не повезло. Правильных решений прислано очень мало. Из неправильных одни заменяли во втором уравнении X—у на X -Ь у, но тогда получалась очень легкая задача, приводящаяся к квадратному уравнению. Другие давали лишь два или четыре решения, учитывая значения У 1 (или

и не учитывая почему-то значений

12.

Доказать, что выражение

(1)

есть средняя пропорциональная между радиусами кругов вписанного и описанного. Исходим из формул:

Подставив эти значения в (1), получим:

Теперь выражение (1) можем представить так:

так как

то имеем:

13.

Решить в целых числах уравнение

Совершенно элементарная задача. Имеем:

Очевидно, необходимо, чтобы

где k — любое целое число. Тогда

Знаков ±_ можно не ставить, так как, давая k целые положительные и отрицательные значения, мы получим все пары корней.

14.

Решить систему уравнений:

(1)

(2) (3)

Подставив из (3) в (2), получим:

Приняв во внимание (1), найдем:

(4)

Из (1) имеем:

(5)

Подставив в (4), найдем:

Для определения у и z имеем системы:

(6) (7)

Из системы (6) получим:

Итак: или:

Имеем четыре системы решений:

Из системы (7) получим:

Отсюда

Получили еще четыре системы решений:

Этой сравнительно очень легкой задаче не повезло еще больше, чем задаче 11. Из присланных решений почти все оказались неправильными. Явная опечатка во втором уравнении не играла никакой роли, так как все решавшие ее исправили верно. Ошибка почти у всех состояла в неуказании всех систем решений. Давались одно, два, самое большее четыре решения.

15.

Решить систему:

(1) (2)

По известной формуле:

Подставив в (1), получим:

(3) (4)

Подставляем (3) и (4) во (2):

Соответственно для у

затем

Некоторые ограничивались только положительными или только вещественными решениями.

16.

Найти арифметическую прогрессию, в которой средняя арифметическая всяких п первых ее членов равна числу этих членов.

Простая задача, допускающая несколько способов решений. Приведем наиболее короткие.

1. По условию:

Отсюда

Но известно, что именно л2 равняется сумма я первых нечетных чисел.

Следовательно:

2. По условию:

Отсюда Итак:

17.

Исключить X и у из уравнений

(1) (2) (3)

Перемножим (1) и (2) и из результата вычтем (3):

(4)

Перемножим (4) и (3):

(5)

Возведем (1) и (2) в квадрат и результаты сложим:

(6)

Делая подстановку из (5), получим окончательно:

или

В источнике, откуда взята задача, было пропущено «и у», что не было исправлено при перепечатке. Совершенно ясно, что, имея три уравнения с двумя неизвестными, мы можем исключить оба неизвестных и получим некоторое соотношение между коэфициентами. Многие так и решали задачу. Но большинство, согласно тексту задачи, исключали только X и получали иногда простые и интересные, иногда же слишком сложные уравнения для у.

18.

Доказать, что во всяком прямоугольном треугольнике:

Почти все решения получены путем преобразования или левой или правой части данного равенства. Дадим по образцу обоих способов.

1. Исходим из формул:

В применении к прямоугольному треугольнику последняя формула примет вид:

Имеем:

2. Идем обратным путем, преобразуя правую часть:

19.

Найти два числа, зная, что сумма частных от деления каждого из них на их общий наибольший делитель равна 18 и что их наименьшее кратное равно 975.

Пусть искомые числа:

X = ad; у — bd% (1)

где d их общий наибольший делитель. По условию:

(2) (3)

Из (3) видно, что а и Ь должны быть делителями 975. Разложим 975 на множители:

075 = 3.5-5-13.

Одновременно условиям (2) и (3) удовлетворяют лишь числа 5 и 13. Итак:

д = 5; ^=13;

из (3):

rf= 15,

и, наконец, из (1)

х = 75; у = 195.

Это наиболее простое и короткое решение. Среди присланных решений имеется много очень сложных и длинных.

20.

Показать, что если числа я, Ь, с, составляют арифметическую прогрессию, a xt у, z — геометрическую, то

(1)

Эта простая задача решается несколькими способами, Приведем некоторые.

1. Данное равенство можно представить в таком виде:

(2)

Но по условию:

с — Ь = Ь — а = d; с — а — 2d. Тогда

(3)

По условию же:

Подставляя в правую часть (3), получим.

2. По условию:

Делая подстановку в (1), получим:

(4) (5)

Равенства (4) и (5) дают (1).

ОТ РЕДАКЦИИ

1. К статье проф. Л. И. Креер «О правильных многоугольниках с целочисленными координатами вершин», напечатанной в № 1 журнала за 1938 г., было дано примечание от редакции, которое, по мнению автора статьи, может быть неправильно понято читателями. В связи с этим редакция сообщает, что статья проф. Креер была получена еще в январе 1937 г.

2. В статье т. Зетель «О некоторых свойствах треугольника» (№ 1 1933 г.) имеется ошибка. На стр. 88, пятая строка сверху, должно быть:

{пъ + 1) (пъ - 2) Ь* + (пс + 1) (пе - 2) с* = 2а*.

Дальнейшее заключение о том, что в прямоугольном треугольнике одно из чисел пь и пс менее двух и другое более двух, ошибочно. Из равенства (3) непосредственно следует, что для прямоугольного треугольника одно из чисел пъ и пс менее трех, другое более трех.

Действительно, из равенства (3):

для прямоугольного треугольника следует:

3. В статье т. Войтова «О математической подготовке учащихся...» (№ 3 1938 г.) на стр. 76, вторая колонка, строка 29 сверху имеется опечатка. Следует читать: большинство решает задачи на построение чисто догматически.

ЗАДАЧИ

От редакции. Ввиду все увеличивающегося притока решений задач, редакция убедительно просит соблюдать следующие правила:

1. Решения задач присылать отдельно от всякой другой корреспонденции. (Присылаемые решения рассматриваются только через 2—3 мес. по напечатании задач, и этот же срок лежат и все присылаемые вместе с решениями замечания, запросы и пр.)

2. Решения писать четко и разборчиво. Особенно четко отделять одну задачу от другой выделять (кружком или более крупным шрифтом) номер задачи. Номер должен быть тот, под которым задача напечатана.

3. Решение каждой задачи подписывать. Если решения идут не в порядке нумерации, то желательно, чтобы в начале их были перечислены номера присылаемых решений.

4. Срок присылки решений — три месяца со дня подписания соответствующего номера журнала к печати (эта дата печатается в «выходных данных» в конце журнала или на обложке).

43*

Построить равнобедренный треугольник такой, чтобы периметр всякого вписанного прямоугольника был бы величиной постоянной.

44**.

Определить значение а в выражении:

И. Кононов (Москва)

49.

Решить в целых числах уравнение:

И. Яглом (Москва)

51.

Дать геометрическую интерпретацию выражениям:

где я + 9 + 5 + Г +/я +л = Р — периметру некоторой фигуры.

61.

Показать, что уравнение:

не может иметь действительных корней, если а, Ъ, с не равны между собою. Обобщить.

И. Чистяков (Москва)

62.

Решить систему уравнений:

Обобщить задачу.

В. Голубев (Кувшиново)

63.

Найти число, представляющее собою точный квадрат, если известно, что оно четырехзначное по пятиричной системе и выражается одинаковыми цифрами при семиричной.

В. Голубев (Кувшиново)

64.

Построить правильный треугольник по трем отрезкам — расстояниям от произвольной точки плоскости до трех вершин этого треугольника.

Г. Капралов (Горький)

65.

Высота, биссектриса и медиана, проведенные из вершины треугольника, разделили угол на 4 равные части. Найти углы треугольника (желательно геометрическим путем).

Я. Шульман (Москва)

66. Доказать теорему: отрезок прямой, проходящей через середину основания равнобедренного треугольника и заключенный между одной боковой стороной и продолжением другой,больше основания этого треугольника.

Я. Шульман (Москва)

67.

Доказать, что

где

где в свою очередь я, Ь, с — стороны треугольника, 2р — его периметр.

Е. Цигуля (Тирасполь)

68.

Разложить на множители выражение:

А. Владимиров (Ялта)

* Печатается вместо задачи № 43, помещенной в № 3 журнала вторично.

** Задачи № 44, 49 и 51 печатаются вновь ввиду вкравшихся опечаток. Решения их присылать с решениями задач настоящего номера.

69.

В данный треугольник вписать параллелограм, две вершины которого лежали бы в двух данных точках на основании треугольника, а две другие — на его боковых сторонах).

И. Яглом (Москва, ученик X кл.)

70.

В углы А, В, С треугольника ЛВС вписать окружности равного радиуса так, чтобы они имели одну общую точку пересечения. Определить положение этой точки в плоскости треугольника ABC.

M. Шебаршин (Просим автора прислать свой адрес)

71.

Доказать, что (* + у)п — (хп + Уп) при п — 6г — 1 делится на хг + ху + V2, а при п = 6t + 1 делится на

М. Шебаршин

72

Показать, что при любом целом п выражение

делится на 120.

П. Китайгородский (Москва)

73.

Решить систему уравнений:

74.

Определить площадь треугольника по радиусам вписанной и вневписанных окружностей.

75.

Решить систему уравнений:

76.

Найти в целых числах длины сторон треугольника, периметр и площадь которого выражается одним и тем же числом.

77.

Доказать, что

78.

Решить систему уравнений:

79.

Решить в целых и положительных числах, уравнение

80.

Решить уравнение

СВОДКА № 3 — 1937 г.

М. Аверьянов (Буйск) 45. Е. Алмазова (Беднодемьяновск) 41, 43, 45, 50, 52, 53, 55, 57, 58, 60. А. Аляев (Башмаково) 43, 45, 46, 49, 50, 53, 56, 57. А. Ананич (Красноярск) 41—43, 45—47, 49—58, 60. С. Андреев (Торжок) 41,43, 45, 47, 49—58. И. Базаров (Рязань) 41—45, 47, 49—52, 54, 55, 57—60. М. Беневольский (Ленинград) 41—60. Бердичевский (Одесса) 41, 43, 45, 47. К. Боборыкин (Гомель) 42, 43, 45, 50. А. Богатырев (Казань) 41, 43—45, 50, 52—57. Н. Богданович (Одесса) 41, 43, 45. Б. Боголюбов (Ульяновск) 43, 45, 47, 50, 55. Ф. Брижак (Краснодар) 41, 43—46, 49—54, 57—60. Г. Бройт (Ленинград) 41—47, 49—60. А. Бублик 41, 43 —45, 50, 56, 57, П. Бычко (Павлыш) 41, 45. И. Вайскоп (Одесса) 41—46, 49 — 60. Е. Васильева (Курск) 45, 54, 56. В. Викторов (Архангельск) 43, 45, 55, 57. Ы. Введенский (с. Георгиевское) 41—47, 49—60. П. Верхградский (ст. Ярошенка) 41. 45. А. Владимиров (Ялта) 41—47, 49—60. А. Волков (Чухлома) 41—47, 49—57. А. Воробьев (Нижнедевицк) 41—60. И. Воронов (Вышний Волочок) 41—43, 45, 46, 50, 52, 55—57,59. И. Гамаюнов (Сталинград) 45, 57. Д. Гилилов (Махач-Кала) 41—46, 49—57, 60. Ц. Гельман (ст. Биробиджанского техникума) 45. Л. Геращенко (с. Лыково) 41, 43, 45, 50—52, 55, 57, 60. В. Глазов (Молога) 45, 56, 57. И. Глотов (Ново-Троицкое) 45. И. Гнилобоков (уч. пед. школы, Старобельск) 45. А. Головачев (с. Мироновка) 4i, 45. Ь. Голубев (Кувшиново 41-45, 49—52, 54-58, 60. 3. Гончар (?) 41,45 С. Городов (Ленинград) 41—45, 47, 4^—53 55—58, 60. М. Гофман (Загорск) 43, 50, 57 И. Гурский (Калиновка) 43—46, 50, 52—54 56, 57. О. Гурьев (Ленинград) 43—45, 47, 10 54—58, В. Гурьянов (Тула) 43—46, 49—53 55—58, СО. Ю. Давыдов (Киев) 41, 43, 45 49 50, 52, 53, 55—57, 60. Б. Дегтярев (Льгов) 42, 43, 49, 50, 54, 57. И. Динер (Семеновское — Лапотное) 41, 43—45, 47, 50—52, 54—57, 60. О. Дирекчиянц (Раменское)41— 60. Б. Добронравов (Колпино) 43, 45, 46, 48, 50, 53, 57. Б. Доступов (уч. IX кл., Тамбов) 41 —60. М. Дубенец (Козацкое) 41—43,45,49—51, 55—57,59. И. Дубицкий (Севастополь) 41—45, 49—51, 54—57, 59, 60. И. Зайцев (Москва) 41—47, 49—57, 59, 60. С. Заславский (уч. IX кл., Киев) 41, 43, 50, 53, 57. А. Иванов (Торопец) 41—46, 49—60. М. Иванко (Пилипенки) 43, 45, 57. Б. Каждан (Ленинград) 43, 45, 50, 52, 53, 56—59. В. Кандидов (Воронеж) 41—60 Н. Канунов (с. Новодевичье) 41—45,47,49—57. 59, 60. //. Каплан (Казатин) 43. Г. Капралов-(Горький) 41—45, 47, 50—52, 54, 56, 57, 60.-Б. Кашин (Ярославль) 41, 43—45, 50, 52, 53, 55—57. М. Кекелия (с. Бандза) 41, 43—47, 49—52, 54—to. Г. Кипнис (ст. Долгинцево) 41, 44, 45, 49-51, 54, 55, 57, 60. Б. Кобылин (Га-

лич) 41-45, 47, 49—60. Л. Коган (Минск) 41, 43, 44, 50, 51, 54, 56-58, 60. Г. Коган (Запорожье) 43, 45, 46, 50, 52, 54—57. В. Козлов (Элиста) 57. С. Колесник (Харьков) 41—60. Ф. Коломиец (Еленовка) 45. А. Колот (Балта) 41—47, 49—69. AM. и А. В. Колпаковы (Кузнецк) 41, 45, 52, 57. Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга) 41—47, 49—Ы). В. Крикунов (Казань) 42-46, 52, 54—57. И. Кроер (Соболево-Воробьево) 41—46, 49—58, т. С. Крыглер (Архангельск) 41 —47, 49—58. П. Кузнецов (Москва; 43, 45, 50, 54. И. Кулаков (Бугуруслая) 41—60. Е. Куницын (Новоржев) 41, 43, 50, 56,57. Д.Курочко (Сталино) 45.И. Лаврищев (Саратов) 42-44, 50, 52, 54, 56, 57. В. Лебедев (Богучар) 41—6). П. Леванов (Фрунзе) 45, 50, 56, 57. И. Левинсон (Витебск) 44, 45, 51, 56, 60. Ф. Либах (Москва) 43. Н. Л пню tee (д. Лесниково) 45, 50, 52, 57. Н. Логашов (Саловка) 41—60. А. Любомудров (Ленинград)41, 43, 45, 47, 49, 50, 52, 55-57,60. П. Мак уха (Омск) 43—46, 50, 52, 54, 56, 57, 59, 60. Мартынов (ст. Бира) 43, 45, 55, 57. Л. Маслов г (Воронеж) 41—4/, 50—55, 57, 58, 60. Д. Маслов (Незавертайловка) 45. К.Матвеев (с. Кинель-Черкассы) 41, 43 — 46, 50—52, 54—57, 60. Л. Медведев (Сталинград) 41, 43, 44, 46, 50—52, 54, 55, 57, 59. М. Ме~яц (Житомир) 41—60. Н. Милковский (Новозыбков) 41, 43, 48. А. Миненко (Нальчик) 41—46, 49—60. Г. Мискарян (Кировабад) 41—46, 48—57, 59, 60. П. Метелицына (Михайлов) 41, 43, 45, 49, 50, 52, 55—57, 60. Могилевский (Киев) 41, 43—46. Я. Мондрусов (Ленинград) 41, 43—45, 50, 56, 57. В. Морев (Ленинград) 44, 54. И. Морозов (Калуга) 41, 43—45, 55. И. Мулихин (Тотьма) 41—45, 47. И. Муравец (Куйбышев) 43. Д. Мхеидзе (Кутаиси) 43, 45, 50, 57. И. Настека (Мелитополь) 45. //. Нейц (Омск) 41—60. С. Немировский (.иитомир)43, 45, 49, 50, 52, 55, 57, 60. А. Николаев (Ташкент) 43, 47, 54. А. Оглоблин (Спасококшенское) 60. В. Чанченко (Ейск) 41—43, 45—47, 50, 52, 57, 59. С. Певзнер (О рша) 41, 43, 45, 50. 9. Перкович (?) 43, 45, 50. С. Петров (Барнаул) 41-43, 45, 46, 49-57, 60. М. Пессарай (Голопристанский р.) 42, 43, 45, 47, 50. В. Пигарев (с Нолье) 43. Г. Полубинский (Киренск) 45. М. Попелюхер (Чечельник) 41, 43. 45, 50. С. Попов (Москва) 41—57, 59, 60. М. Попов (Бежаницы) 41—43, 45, 4ь»—55, 57, 58, 60. Т. Порфилович (Парцханакиневи, Грузия) 43, 45. П. Постников (Рязань) 42, 43, 45—47, 49, 50, 52—55, 57. Е. Потапов (Коломна) 41—47, 49—60. П. Потапов (Н.Тагил) 43, 45, 49, 50, 52, 56, 57. Б. Правилов (Кличев) 41, 43—45, 50, 52, 56, 57, 60. Е. Прицкер (Киев) 41, 43, 45, 46, 50, 54, 55, 57. П. Пришивалко (п. о. Мишино) 41—47, 49—57, 59. Б. и Н. Райхель (Томск) 43—45, 47, 50,53,56. 57. 3. Раков (Горький) 43, 57. И. Рафаловская (Москва) 41-46, 50—52, 54—57, 59. B. Рукомичев (Клинцы) 41, 45, 46, 50.Ф.Саблуков (Москва) 41—43, 45—53, 55, 56, 59, 60. C. Савостьянова (Москва) 41—43, 45, 46, 53. Я. Савченков (Соболево-Воробьево) 44, 45, 54, 57. Н. Сандров (Старый-Крым) 41—47, 49—54, 56, 57, 59, 60. П. Сергиенко (Запорожье) 41, 44-47, 49—52, 54—57, 59, 60. С. и X. Серговские (Томск) 41—43, 45, 47, 50—52, 54, 56, 57. Н. Сиднев (Пошехоно-Володарск) 45. М. Сорокин (Загорск) 43, 50, 53, 56. П. Степанов (Москва) 44, 45, 54, 60. П. Телух (Омск) 41, 43, 50, 52, 53, 57. Д. Теплюк (Березнеговата) 41—45, 47, 49, 50, 52, 57. Титов (Казань) 41—47, 49—54, 56—58. П. Титов (Тюмень) 41—47, 49—60. И. Ткаченко (Глобино) 45. Д. Ткачик (Глодосы) 41, 43—45, 47, 52, 55, 60. /7. Токмаков (Москва) 41—50, 55—57, 59, 60. Д. Толкачев (Кисловодск)43,45, 50, 54, 56 57. Я. Томсон (Полтава) 41—47, 49, 50, 52, 54, 56, 57, 59. А. Триодин (Егорьев) 41, 43, 45, 46, 50, 52-54, 56, 57. П. Троицкий (Сасово) 41, 43—45, 47, 57. П. Трусевич (Камышлов) 45. К. Устинович (Бобруйск) 41—46, 49—58, 60. И. Филипповский (уч. IX кл., Рыбинск) 43, 45, 57. Фитерман (?) 43, 49. Д. Фильштинский (Кременчуг) 41, 43, 45, 50, 53, 57. Д. Флавиан (Куйбышев) 43, 44, 56, 59. В. Фомин (Казахстан, ст. Макинка) 41—47, 50—52, 54—56, 59, 60. И. Хайдаров (Наб. Челны) 41—46. 49—52, 54—57, 59, 60. О. Ханчарлян (Краснодар) 41, 43—45, 49—58, 60. С. Цветков (Макеевка) 41—46,49—п8. Я. Чсиав (Дмитровск) 41—60. Черкасов (Бузулук) 44, 46, 50—54,56, 57. Е. Чернин (Москва) 45. С. Чечельницкий (Горький) 41—47, 49—60. И. Чучко (Орджоникидзе) 41, 43, 45, 50,52,56,57. Д. Шафаренко (Васильков) 41—47, 49—57, 59, 60. В. Шевелев (Сталиногорск) 41,43,45, 46, 50—52,54—56,58. И. Шевчугов (Тюмень) 41—45, 47—58. И. Шевяков (Свободный) 43,45. Б. Шехтман (Одесса) 41, 43—45, 54—58. И. Шилин (Алкута) 43, 45, 47. С. Школьник (Одесса) 43, 45, 49, 50, 53, 56. Шпильберг (Днепропетровск) 45, 46, Л. Шульман (Житомир) 45,50, 56, 57. Н. Шуш~ кин (Ярославль) 41,43,45,49,50, 52, 53, 55,57. В. Эверт (Марксштадт) 41—43, 45, 47, 4Q, 50. 52, 55, 57. И. Юркевич (Лагойск) 45. Л. и И. Яглом (Москва) 41—60. Л. Ячницкий (Феодосия) 41—60.

Отв. редактор Д. Н. Барсуков

Техред. Е. М. Зеф

Адрес редакции: Москва, Столешников пер., д. 5. Учпедгиз, Периодсектор, журн.«Матем. в школе».

Уполномоч. Главлита РСФСР .N? Б — 492Л. Сдачо в произв. 11/VI 1933 Форм 70 X 107/«. Учгиз 10520. Подп. к пзч. 11/VII 1938 г. 5 п. л. 12 авт л. 80 000 8П. Тир. 45С00. Зак. 717.

18-я тип. треста «Полиграфкнига», Москва, Шубинский пер., 10

СВОДКА ПО № 6-1937 г.

П. И. Агафонов (Москва) 91, 96,97,100. Е. Д. Алмазова (Беднодемьяновск) 91—96, Ь8, 100. А. Аляев (ст. Башмаково) 94, 94, 96—98, 100. А. Ананич (Красноярск) 91—99. Б. Андреев (ст. Исиль-Куль) 91, 92, 95—100. С. Андреев (Торжок) 91—97, 99, 100. Г. Ахвердов (Ленинград) 91—с.6, 98—100. Я. Бакулин (Харьков) 92, 96, 97. Ф. Бартенев (Москва) 96—100. М. Беневольский (Ленинград) 91—94, 96—100. Я. Бородуля (Москва) 91, 92, 100. Ф. Брижак (Краснодар) 91—96, 98—99. Г. Бройт (Ленинград) 91—98. Н. Введенский (Георгиевское) 91—98, 100. А. Владимиров (Ялта) 91—100. А. Велюго (Могилев) 92, 95—98. Воронов (Вышний-Волочок) 94—98. А. Гасанов (Сальян) 92. А. Гинесин (Ленинград) 91, 96—98, 100. В. Голубев (Кувшиново) 91, 93, 94, 96, 98, 99. С. Городов (Ленинград) 91—95,98, 99. Я. Гурский (Калиновка) 91, 93, 95—99. В. Гурьянов (Тула) 96, 97. О. Дирекчиянц (Раменское) 92, 94. Б. Доступов (Тамбов) 91, 93—100. М. Дубенец (Козацкое) 91, 92, 95, 98—100. Н. Дубицкий (Севастополь) 91—94, 96, 98, 100. Я. Жовтун (Пушкарское) 95, 96. Л. Журавлев (Ленинград) 91, 93. И. Зайцев (Москва) 92—100. Л. Каган (Минск) 91, 96. В. Камендровский (Оренбург) Ь'2—94, 96, 97. В. Кандидов (Воронеж) 91, 92, 96, 98, 100. Г. Капралов (Горький) 92, 94. С. Карнишкин (совхоз «Индустриальный») 93—98. Ф. Карпов (Б. Алешня) 98. И. Кастровицкий (Слуцк) 91, 94, 96—98. Б. Кашин (Ярославль) 9З—95, 98. М. Кекелия (с. Бандза) 91, Ь2, 94, 96. Г. Кипнис (ст. Долгинцево) Э1, 95. /7. Китайгородский (Москва) 91— ьо, 96, 96, 99. Л. Клигман (ст. Лосиноостровская) 92—Ь'6, 98, 99. /7. Клоков (Тим) 91, 95. Б. Кобылин (Галич) 91—94, 96—100. С. Колесник (Харьков) 91 — 100. Я. Кононов (Москва) 92. С. Корж (Краснодар) 91, 92, Ыэ, 99. Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга) 91—96, 98—100. /7. Кошутин (Ковров* 95. В. Кременский (Ленинград) 91, 92, 96. С. Крыглер (Архангельск) 92—96, 98. Н. Кулаков (Бугуруслан) 92—97, 100. Л. Левин (Алма-Ата) 91,95,96.Л. Левкович (Мценск) 91, 94—98. Л. Логашов (Саловка) 93, 94, 96, 97, 100. Я. Макуха (Омск) 91—94, 96—98. В. Марочкин (Волхов) 91—97. Е. Марчевская (Харьков) 93, 95, 97, 99. К Матвеев (с. Кинель-Черкассы) 91—96, 98, 99. Л. Медведев (Урюпинск) 91, 94—96. Т. Меликян (Тбилиси) 95. С. Мельников (Феодосия) 93—96, 98, 100. П. Мельников (Кузнецк) 95. /7. Мельников (Еремино) 91—97, 100. Г. Мискарян (Кировабад) 91—96, 100. К. Михельсон (ст. Башанта) 91—93, 96, 98. Н. Нейц (Воронеж) 91, 93—98. И. Несмеянов (Таганрог) 91—96, 100. Л. Николаев (Куртамыш) 91, 92, 94—96, 98. Л. Оглоблин (Спас-Кокшенское) 92. С. Павлов (Новороссийск) 91—95, 98, 99. Е. Потапов (Коломна) 92—97,100. Е. Пузырев (Саранск) 91—93, 95. Я. Пульхеровский (Кзыл-Орда) 92—96 100. Р. Рыбаков (Йошкар-Ола) 93. Д. Румянцев (Ленинград) 91—94, 96. М. Саакян (Краснодар) 91, 92, 95, 96. Ф. Саблуков (Москва) 91—97, 99, 100. Н. Сандров (Старый-Крым) 91, 92, 95—99. Я. Сергиенко (Запорожье) 91—96, 98. Я. Титов (Тюмень) 91—93, 95, 96, 100. Я. Уваров (ст. Монино) 91, 92, 96, 98, 99. С. Фитерман (ст. Вобынино) 91, 92, 94, 96, 98, 100. Д. Флавиан (Куйбышев) 96, 98. О. Ханчарлян (Краснодар) 91—93, 95, 96, 98—100. Е. Хвостовский (Сталинград) 91—98, 100. Е. Холодовский (Ленинград) 92, 94—100. С. Чечельницкий (Горький) 91 — 100. Я. Ч учко (Орджоникидзе) 91, 94. Н. Шамарин (Уфа) 98. Л. Шмуленсон (Винница) 93, 94,96. Я. и А. Яглом (Москва) 91—100. Л. Ячницкий (Феодосия) 92, 93, 95—99.

Правильных решений прислано: № 1—5Я

№ 92—62, № 93—52, № Ь4—53, № 95—5

№ 96-69, № 97—38, № 98—50, № 99—ï № 100—36.

ИТОГИ КОНКУРСА ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ЗА 1937 г.

По конкурсу 1937 г. редакция премирует 20 человек, решивших не менее 80 задач из предложенных 100. Премии выдаются книгами по заказу премируемых. Выбор книг предоставляется премируемому, но при этом настоятельно рекомендуется учитывать возможности приобретения книги. Так, по конкурсу 1936 г., было дано очень много заявок на учебники и другие книги дореволюционных изданий. Конечно,

поскольку эти книги не переиздавались а старые издания давно распроданы, постол ку редакция совершенно не в состоянии в полнить эти заказы.

Приводим список премируемых. Всех п именованных товарищей редакция просит в замедлительно прислать списки желательных книг. Список лучше дать на сумму, превышающую премию примерно вдвое. Необход мо указать точный адрес для пересылки книг.

СПИСОК ПРЕМИРУЕМЫХ

1. А. и И. Яглом (уч. IX кл., Москва).......

2. М. Беневольский (Ленинград).........

3. С. Чечельницкий (Горький).........

4. А. Ячницкий (Феодосия) б. Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга) ....

6. А. Ананич (Красноярск)

7. Н. Кулаков (Бугуруслая)

8. Ф. Саблуков (уч. X кл., Москва)......

9. Г, Бройт (Ленинград)

10. Б. Кобылин (Галич) . .

11. С. Колесник (Житомир)

12. Н. Введенский (Георгиевское) ........

13. Б. Доступов (уч. IX кл., Тамбов).......

14. А. Логашов (Саловка).

15. П. Сергиенко (Запорожье)

16. И. Зайцев (Москва). .

17. Н. Нейц (Омск) ....

18. Ф. Брижак (Краснодар)

19. Г. Бройт (Ленинград) .

20. О. Ханчарлян (Краснодар)