МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

3

1938

НАРКОМПРОС ~ МОСКВА ~ УЧПЕДГИЗ

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

Стр.

В. Депутатов — Основания геометрии.............. . 1

МЕТОДИКА

Я. Межировский—Тригонометрические уравнения...... 16

М. Мельников — Показательные и логарифмические уравнения . . . 33

Р.Кокорев — Задачи на определение поверхности и объемов тел вращения......................... 40

К ВЕСЕННИМ ИСПЫТАНИЯМ

Н. Зерченинов — Проверочные испытания, их организация, подготовка к ним......................... 54

Н. Зерченинов — О повторении на уроках математики....... 58

Е. Березанская и А. Маргулис — Письменные контрольные испытания по математике в X классе весной 1937 г......... 60

Д. Гончаров — К вопросу о письменных работах по математике оканчивающих средние школы................ 68

A. Войтов — О математической подготовке учащихся, окончивших VII классы неполной средней и средней школы........ 73

B. Сухоруков — Учесть уроки проверочных испытаний.......80

Г. Сагалович—К вопросу о преподавании математики в средней школе 82

ИЗ ОПЫТА

В. Падучев — Из практики учительской работы.......... 84

Д. Гончаров — Год работы секции математиков при Одесском областном и городском методкабинетах ............. 89

Н. Паки — О работе математического кружка при Днепровском химико-алюминиевом техникуме ...........90

ОТКЛИКИ НА СТАТЬИ

К. Щербина — К вопросу о нуле в арифметике...... 92

С. Зетель — О решении некоторых задач на построение 94

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

В. Барановский — К критике программы по математике для средней школы (по редакции 1937 г.) .............95

ЗАДАЧИ

Решения задач, помет, в № 6 за 1937 г..............101

К СВЕДЕНИЮ ПОДПИСЧИКОВ

По всем вопросам подписки — перемена адреса, неполучение журналов и т. д. — просит обращаться по месту сдачи подписки в Когиз или на почту. В случае неразрешения вопроса на месте следует обращаться в Бюро претензий предприятий связи.

Издательство и редакция подписки на журнал не принимают и не экспедируют его. Этим всецело ведают органы связи.

При обнаружении дефекта в номере журнала просим прислать его для обмена по адресу: Москва, Столешников, 5, Отдел периодических изданий Учпедгиза.

Издательство.

Пролетарии всех стран, соединяйтесь!

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

3

1938

МАЙ-ИЮНЬ

УПРАВЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ*

В. ДЕПУТАТОВ (Москва)

§ 10. Доказательство непротиворечивости системы аксиом Гильберта

Анализ последней группы аксиом системы Гильберта показывает, что его система аксиом удовлетворяет требованию полноты, т. е. требованию, чтобы взятая система аксиом однозначно определяла некоторую геометрию. Действительно, заменив пятую группу равносильной ей аксиомой Дедекинда, мы убедились, что элементы геометрии (точки, прямые и плоскости), удовлетворяющие аксиомам I—V, систем Гильберта, образуют пространство, которое, при условии сохранения этих аксиом, не может быть пополнено никакими новыми элементами. Покажем теперь, как Гильберт оправдывает по отношению к своей системе аксиом требование, чтобы построенная система не могла привести к противоречиям. С этой целью он формулирует прежде всего свойство совокупности (множества) всех действительных чисел. Напомним их:

Аксиомы арифметики

1. Из чисел а и Ъ получается посредством „сложения“ определенное число с> в символах

2. Если а и Ь суть данные числа, то всегда существует одно и только одно число ас и одно и только одно число у такие, что

3. Существует определенное число — оно называется нулем — такое, что для всякого числа a одновременно

4. Из чисел a и Ь получается посредством „умножения“ определенное число с, в символах:

5. Если a и Ь произвольные данные числа и a не нуль, то всегда существует одно и только одно число я> и одно н только одно число у такие, что

6. Существует определенное число — оно называется единицей — такое, что для всякого числа a одновременно.

Если а, Ь, с — произвольные числа, то всегда имеют место следующие законы счета:

13. Из двух различных чисел a и Ь всегда одно больше другого, в символах:

14. Если a < Ь и Ь < с, то a < с.

15. Если a>b9 то всегда также

16. Если a > Ь и с > 0, то всегда ас > be.

17. (Аксиома Архимеда) Если а > 0 н Ь > 0 два произвольных числа, то всегда можно сложить а столько раз с самим собою, что полученная сумма будет иметь свойство

18. (Аксиома полноты). Невозможно присоединить к системе чисел другую систему вещей так, чтобы в расширенной системе имели место все аксиомы 1—17.

* Продолжение. См. №№ 1—2 за 1938 г.

Последние две аксиомы Гильберта можно заменить одной числовой аксиомой Дедекинда, гласящей, что, если числа разбиты на два класса таким образом, что 1) каждое число принадлежит к одному и только одному из этих классов и 2) каждое число одного (нижнего) класса меньше каждого числа другого (верхнего) класса, то либо в нижнем классе существует наибольшее число, либо в верхнем классе — наименьшее.

Идея доказательства непротиворечивости построенной Гильбертом системы аксиом геометрии весьма остроумна и естественна. Ранее подчеркивалось, что Гильберт с понятием об элементах геометрии не связывает никаких наглядных и чувственных представлений. По методу Гильберта под точкой, прямой и плоскостью можно понимать любые объекты, лишь бы эти объекты удовлетворяли его системе аксиом. Учитывая это, будем в эти понятия вкладывать числовое содержание. Пример аналитической геометрии показывает, что стать на такой путь вполне естественно и плодотворно.

Итак (ограничиваясь случаем плоской геометрии), согласимся пару любых чисел (л:, у) из множества всех действительных чисел называть точкой; два отношения — , — (или короче u:v:w) из того же множества, где и и v не нули одновременно, согласимся называть прямой. Далее, пусть существование уравнения

(1)

выражает, что точка (д:, у) лежит на прямой (u:v:w). Легко тогда проверить, что для понимаемых таким образом точек и прямых удовлетворяются все аксиомы I 1_з? и i_4) m 1-5, IV, VI 1—2. Действительно:

а) Проверка аксиом сочетания

I—I. Согласно разъяснению смысла этой аксиомы, сделанного в разделе А (§ 8) достаточно убедиться, что задание (выбор) двух точек в нашем теперешнем понимании т. е. задание двух пар чисел (хх,ух) и (х2, у2) дает возможность найти единственным образом „прямую“ (т. е. два отношения), на которой эти точки „лежат41 в принимаемом нами понимании. Для этого, очевидно, достаточно убедиться, что существует уравнение вида (I), удовлетворяющееся двумя парами решений (xv У\) и (x2i Уг) (говоря иными словами, достаточно составить уравнение прямой, проходящей через две точки). Таким уравнением, как хорошо известно, является уравнение

и мы убеждаемся, что выбор двух точек (xv У\)> (х2> Уг) определяет прямую (у2— —УгУ- (х1—х2): (У\Х2~Х\У2) и притом единственную.

1—2. Так как предыдущий вывод остается справедливым при любых значениях чисел хх, ух и х2, yv то справедлива и вторая аксиома сочетания.

1—3. Так как уравнение вида (1) имеет бесчисленное множество решений, то аксиома 1—3 тем самым удовлетворяется.

б) Проверка аксиом порядка

II—I, 2, 3. Все числа дг, у, действительны и они могут быть расположены в порядке своей величины. Пусть имеем три пары чисел (xv уг), (лг2, у2), (хг,уь)у т. е. три точки, удовлетворяющие уравнению их + vy + w = 0, т. е. лежащие на прямой u:v:w. Согласимся ту точку из этих трех называть лежащей между двумя другими, если первое числой этой пары больше первого числа другой пары и меньше первого числа третьей пары (а если первые числа всех трех пар окажутся одинаковыми, то примем то же самое соглашение по отношению ко вторым числам этих пар; одновременно быть одинаковыми и числа первые и числа вторые у этих пар не могут, ибо тогда наши точки стали бы неразличимы). Легко видеть, что при таком понимании слова „между“ сразу удовлетворяются аксиомы II—1, II—2, И —3, III—4. Для

Черт. 1.

того, чтобы проверить справедливость III—4, отметим сначала, что все точки (дг, у), не лежащие на прямой (и : v : w), можно по отношению к этой прямой разбить на две области: на верхнюю область, в которую отнесем все те точки (л:, 3;), для которых линейная форма ux+vy+-f~w]>0, и на нижнюю область, в которую отнесем все те точки (х, у), для которых линейная форма их + vy + w < 0. Нетрудно убедиться, что любые две точки, из которых одна принадлежит верхней области, а другая — нижней, определяют отрезок, внутри которого лежит одна точка прямой (и : v : w). Действительно (черт. 1), пусть A (xv ух) — точка верхней области и для нее, следовательно, ихх+vyx+w>0, aß (xv уг) — точка нижней области и для нее

Так как на прямой, определяемой этими точками, точки (х, у) располагаются непрерывно, то при следовании от А к В линейная форма ux+vy+w будет меняться непрерывно, а поэтому существует между А и В такая точка M (е, 7j), для которой S +17 ij + да = 0, т. е. эта точка принадлежит прямой (и : v : w).

После этого нетрудно проверить в нашей числовой геометрии справедливость аксиомы Паша III—4. В условии этой аксиомы говорится, что прямая a (u:v:w) проходит через точку N отрезка AB (черт. 1), значит точки А и В лежат по разные стороны (т. е. в разных областях) прямой а. Прямая а не проходит через С, следовательно, С лежит либо в верхней области, либо в нижней области и значит, либо с А, либо с В окажется в разных областях, а поэтому на основании только что сделанного замечания, прямая а пересечет либо СВ, либо АС в некоторой точке М.

с) Проверка аксиомы параллельности

Две прямые (u:v:w) и (u1:v1:wx) называются параллельными, если они не имеют общей точки, т. е. если уравнения

не имеют общих решений. Это, как известно, будет иметь место, если

Отсюда сейчас же следует, что, если дана прямая u:v:w и точка вне ее xv у1У то существует лишь одна прямая, проходящая через точку (xv уг) и параллельная данной прямой, именно прямая

d) Проверка аксиом конгруэнтности

В аксиомах III группы Гильберта определяется логическое содержание термина „конгруэнтный“ или „равный“ и устанавливается существование конгруэнтных отрезков и углов, но, по гильбертовской манере, ни в какой мере не предрешается самый способ откладывания конгруэнтных отрезков и углов. Этот способ можно выбирать в разных случаях по разному, лишь бы только при этом способе удовлетворялись аксиомы III-й группы. В соответствии с этим в рассматриваемой нами сейчас интерпретации геометрии примем следующее соглашение. Обозначим (черт. 2) точку (0, 0) буквой О, точку (1, 0) буквой Е и произвольную точку (а, Ь) буквой С. Согласимся далее преобразование вида:

(2)

называть параллельным смещением точки

(х,у) на вектор ОС. Преобразование же вида:

(3)

согласимся называть вращением точки (х,у) на угол ЕОС вокруг неподвижного центра вращений О. Условимся сверх этого

два отрезка или два угла называть конгруэнтными, если один из них комбинированным применением преобразований вида (2), (3) может быть совмещен с другим. Опуская, как неимеющие принципиального значения, выкладки, связанные с применением преобразований (2), (3) к проверке аксиом III-й группы, мы скажем, что в нашей числовой геометрии сохраняют силу все аксиомы III 1—5 конгруэнтности.

е) Проверка аксиом непрерывности

Так как для точек (лт, у), лежащих на прямой u:v:w, имеет место аксиома Дедекинда, то отсюда следует, что в рассматриваемой нами интерпретации геометрии имеют место аксиомы Архимеда и аксиомы полноты.

По сути дела произведенная проверка аксиом Гильберта в числовой геометрии представляет собой не что иное, как узаконение аналитической геометрии, которая позволяет каждое доказательство, каждое утверждение евклидовой геометрии перевести на язык алгебры и арифметики, т. е. в конечном счете на арифметику, так как алгебра в свою очередь опирается на арифметику. Отсюда следует, что, приняв непротиворечивость арифметики, мы тем самым можем сделать заключение о непротиворечивости евклидовой геометрии. Но верно ли, что арифметика непротиворечива? Этот вопрос еще далеко не решен. Естественно, что Гильберт, двигаясь своим путем построения обоснования науки формально логическими средствами, вынужден был после работ по аксиоматике геометрии перейти к исследованиям по обоснованию арифметики и анализа. Но здесь пошли уже немалые трудности. Пришлось подвергнуть ревизии и вопросы самой логики. Эта работа Гильбертом продолжается еще до сих пор, но, как мы уже отметили выше, есть основание сомневаться, имеют ли вообще какой-либо смысл всякие попытки в избранном Гильбертом направлении. Таким образом, надо признать, что непротиворечивость Евклидовой геометрии пока обоснована лишь относительно.

Примечание. Любопытно отметить, что если бы мы для интерпретации точек и прямых числа х, у и u:v:w стали бы брать не из области всех действительных чисел, а из области Q всех алгебраических чисел, получающихся, если мы исходим из I и применяем конечное число раз четыре операции счета — сложение, вычитание, умножение, деление и пятую операцию | j/l+w2], где w всегда обозначает число, полученное уже с помощью этих пяти операций, то совершенно таким же образом, как и раньше, мы могли бы убедиться, что в числовой геометрии этого типа удовлетворяются все аксиомы I 1—3, II 1—4, III 1—5, IV и VI. Не имела бы места аксиома полноты, так как такое пространство можно было бы пополнить такими точками (х, у), где числа х и у суть действительные числа, не принадлежащие области й, причем в расширенном таким образом пространстве будут еще выполняться аксиомы I—IV и VI. В такой геометрии Q длины отрезков не будут исчерпывать всего множества действительных положительных чисел. Таким образом, существует бесконечное множество геометрий, которые удовлетворяют аксиомам I—IV, V 1; напротив, только одна, а именно декартова геометрия, в которой имеет место также и аксиома полноты V—2.

§ 11. Некоторые замечания о взаимной независимости аксиом Гильберта

После того, как сделана проверка полноты и непротиворечивости принимаемой системы аксиом, естественно возникает вопрос о необходимости проверить взаимную независимость аксиом системы, т. е. исследовать, не является ли та или иная аксиома логическим следствием остальных аксиом. Для этого пользуются обычно таким приемом: строят геометрию, в которой имели бы силу все аксиомы, кроме испытуемой; если такая геометрия возможна и сама в себе не противоречива и если в этой геометрии испытуемая аксиома не имеет места, т. е. противоречит некоторым теоремам этой геометрии, то тем самым будет доказана независимость этой аксиомы от прочих аксиом системы. Прототипом такого приема служит построение неевклидовой геометрии Лобачевского-Больяи. Если эту геометрию подвергнуть тщательному анализу, то можно убедиться, что в основе ее лежат аксиомы I—III, V, но не имеет места аксиома параллельности IV; возможность и непротиворечивость такой геометрии обоснована самым фактом ее построения и доведением ея развития до возможности применения в ней метода аналитической геометрии. Мы не имеем в виду (да и не можем) дать по-

дробное изложение неевклидовой геометрии, так как имеем возможность провести доказательство независимости аксиомы IV, другим, более коротким методом, который и будет нами изложен в следующих параграфах. Примером того, как делается доказательство независимости той или иной аксиомы аксиоматическим методом, может служить приведенное в примечании к предыдущему параграфу построения геометрии Û, в которой имеют места аксиомы I—IV V 1, но не имеет места аксиома полноты V2, что служит доказательством независимости этой последней аксиомы от прочих. Гильберт в своей книге по основаниям геометрии дает чрезвычайно глубокие и интересные изыскания о независимости аксиомы Архимеда и ее роли при построении метрики в геометрии Евклида, а также о значении теорем Дезарга и Паскаля в проективной геометрии. Эти изыскания надо признать самой ценной частью „Grundlagen der Geometrie“, но мы не имеем возможности на этом останавливаться.

После того как геометрия Евклида получила аксиоматическое обоснование, возможность построения и непротиворечивость различных неевклидовых геометрий (в частности и геометрии Лобачевского), служащая для доказательства независимости той или иной аксиомы, может быть осуществлена таким приемом.

Пользуясь тем, что по методу Гильберта в понятия точки, прямой и плоскости можно вкладывать различное содержание, мы соглашаемся некоторые подходящим образом выбранные объекты евклидовской геометрии называть „точками“, „прямыми“ и „плоскостями“. Далее, определим отношения между этими объектами (т. е. строим геометрию), так, чтобы удовлетворялись все аксиомы Гильберта, кроме одной — испытуемой. Если такое построение удастся сделать, тогда ясно, что построенная таким образом неевклидова геометрия будет свободна от противоречий, ибо всякое противоречие в этой неевклидовой геометрии влекло бы противоречие в системе евклидовой геометрии, а эту последнюю мы принимаем, как указывалось, за непротиворечивую (относительно). По такому именно принципу построена приводимая в следующем параграфе интерпретация геометрии Лобачевского но Пуанкаре, дающая тем самым доказательство независимости аксиомы параллельности.

§ 12. Интерпретация геометрии Лобачевского по Пуанкаре (знаменитый французский математик, 1854—1912).

Заранее сообщаем, что ради облегчения понимания в построении этой интерпретации мы ограничиваемся лишь случаем плоской геометрии. Перенесение всех рассуждений на трехмерное пространство принципиальных трудностей не составляет.

Проведем в евклидовой плоскости произвольный круг /С, радиус которого примем за единицу (черт. 3). Будем для простоты считать, что центр этого круга совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, и согласимся в дальнейшем этот круг называть основным. Рассмотрим совокупность всех внутренних (только внутренних) точек основного круга, т. е. всех тех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству аг2 + +.y2<C I. Согласимся каждую такую внутреннюю точку называть „точкой“ той геометрии, которую мы будем строить. Согласимся далее, под „прямой“ в этой геометрии понимать внутреннюю дугу (т. е. ту дугу, которая попадает внутрь основного круга) любой обыкновенной окружности, пересекающей основной круг ортогонально (т. е. под прямым углом). Совокупность всех таких кругов зависит от двух произвольных параметров, т. е., как говорят, образует многообразие второго измерения или связку (состоит из оо2 кругов). Действительно, совокупность всех возможных кругов в евклидовой плоскости, как видно из формы уравнения произвольного круга (х — a)z+(y — b)2 = r3, зависит от трех произвольных параметров а, Ь, г; в случае кругов, пересекающих ортогонально основной круг, эти параметры, как непосредственно видно из черте-

Черт. 3.

жа 3, связаны соотношением а2+Ь2—г2— = 1, и, следовательно, произвольными остаются лишь два параметра. К числу этих кругов надо отнести также все прямые, проходящие через центр основного круга, которые можно рассматривать, как круги бесконечно-большого радиуса, пересекающие основной круг ортогонально. Следовательно, все диаметры основного круга должны быть отнесены к числу „прямых“ строящейся геометрии.

Покажем, что таким образом выбранные „точки“ и „прямые“ удовлетворяют всем аксиомам гильбертовской системы, кроме аксиомы параллельности, при этом мы будем лишь предполагать известными простейшие геометрические построения, основанные на инверсии. Возьмем группу плоских аксиом сочетания I 1—3. Убедимся, что в нашей геометрии две различные „точки“ определяют „прямую“ (аксиома I, I). Действительно, пусть будут даны (выбраны) две какие-нибудь точки Л и В внутри основного круга. Если эти точки будут лежать на одном диаметре, то в качестве „прямой“ возьмем тот диаметр основного круга, на котором они лежат. Если же эти точки не будут лежать на одном диаметре, то построим точку А', соответствующую точке А в инверсии с полюсом в О и степенью I. Круг, проходящий через три точки Л, В, А' будет, как нетрудно видеть, ортогонален к основному кругу и внутреннюю дугу этого круга мы назовем „прямой“, определяемой точками А и В. Так как такой круг всегда можно построить и притом единственный (кстати сказать, будем ли мы для построения этого круга инвертировать точку А или В — безразлично), то аксиома I 1 в нашей геометрии удовлетворяется.

Так как указанное построение „прямой“ можно применить к любым двум точкам А и В, то удовлетворяется и аксиома I 2. Так как, далее, на любой из „прямых“ в нашем пространстве существует бесчисленное множество внутренних точек основного круга, то тем самым удовлетворяется и аксиома I 3.

Переходя теперь к группе аксиом порядка, мы должны прежде всего определить смысл, который будем придавать слову „между“. Пусть в основном круге проведена некоторая неевклидова прямая а (т. е. дуга круга, ортогонального к основному), пересекающая основной круг в точках M и N (см. рис. 3) и на ней взяты три точки Л, В, С. Условимся говорить, что из трех этих точек та лежит между двумя другими, для которой угол (обыкновенный угол), образованный радиусом основного круга, идущим через эту точку, с радиусом ОМ, больше аналогичного угла другой точки и меньше аналогичного угла третьей точки. Понимая в таком смысле слово „между“, сразу можно видеть, что аксиомы II 1—3 в нашей геометрии удовлетворяются. Если мы возьмем три точки нашего пространства, не лежащие на одной „прямой“, и через каждые две из них проведем дуги кругов, ортогональных к основному, то получим криволинейный треугольник. Приняв во внимание, что всякая окружность делит плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю и что любая другая окружность, соединяющая точку внутренней области с точкой внешней области первой окружности обязательно, в силу непрерывности этих образов, пересечет первую окружность, мы без труда можем убедиться, что в нашей геометрии удовлетворяется и аксиома Паша. Действительно, по условию этой аксиомы некоторая „прямая“ а, не проходящая ни через одну из данных точек Л, В, С (рекомендуем сделать чертеж), пересекает сторону AB криволинейного треугольника ABC. Значит, точки А и В лежат в разных областях по отношению к этой окружности. Точка С не лежит на этой окружности, следовательно она будет либо с Л, либо с В лежать в разных областях по отношению к окружности „а“ и значит либо дуга ЛС, либо дуга ВС будет с окружностью „а“ пересекаться.

Значительно труднее проверить справедливость аксиом конгруэнтности в нашей геометрии. Здесь мы ограничимся лишь указанием, что существуют такие точечные преобразования точек евклидовой плоскости ху, которые переводят основной круг в самого себя так, что точки внутренней его области переходят во внутренние же точки, и которые, сверх этого, всякий круг, ортогональный к основному, преобразуют в круг, также ортогональный к основному. Эти преобразования (в случае плоскости) очень хорошо осуществляются аналитически с помощью комплексных чисел. Если каждой точке плоскости привести в соответствие комплексное число z = x +yi, а комплексное число, соответствующее преобразованной точке назвать через z' = х' +y'i, то упомянутые преобразования осуществляются по формуле

(1)

где постоянные комплексные числа а, ß, у, Ô должны быть соответствующим образом подобраны. По этой формуле точки z, расположенные на основной окружности, перейдут в точки z\ расположенные на основной же окружности; внутренние точки основного круга перейдут во внутренние точки; точки, расположенные на некоторой окружности, ортогональной к основной, перейдут в точки другой окружности, также ортогональной к основной.

Мы не имеем возможности входить в подробности рассмотрения преобразований (I), отметим лишь, что они являются преобразованиями проективного типа, т. е. оставляющими без изменения сложное отношение четырех произвольных точек плоскости (инвариант проективного преобразования), т. е. если А, В, С, D четыре произвольные точки плоскости, преобразующиеся по формуле (I) в точки Ä, В\ С и D', то (ABCD)=(A'B'C'Dr); кроме того преобразование (I) сохраняет размеры угла между двумя кривыми линиями. Вспоминая определения отрезка, луча, угла и треугольника, мы видим, что в нашей геометрии это будут соответственно дуга AB, дуга AM (или AN), угол между двумя пересекающимися окружностями (т. е., значит, обыкновенный угол между касательными к этим окружностям, проведенным в точке их пересечения) и криволинейный треугольник, образованный дугами окружности.

Условимся теперь два „отрезка“ AB и А'В' называть конгруэнтными, если по формуле (I) точки А и В могут быть преобразованы в точки А' и В'\ два „угла“ (SMV SM2) и (S'M', SM\) называть конгруэнтными, если по формуле (I) „лучи“ SMV SM2 могут быть преобразованы в „лучи“ S'Mly S'M2. Тогда, владея преобразованием (I), легко можно проверить справедливость всех аксиом конгруэнтности в нашей геометрии.

Если все точки некоторой „прямой“ а нашего пространства соединить с центром основного круга, то получится некоторый отрезок (часть) плоского пучка лучей. Так как для пучка лучей (в силу его перспективности с прямолинейным рядом) остается в силе аксиома Дедекинда (здесь мы ссылаемся на взаимную однозначность перспективного соответствия, которую предполагаем читателю известной), а наша „прямая“ в свою очередь перспективна пучку лучей, то и для нашей прямой аксиома Дедекинда также сохраняет свою силу, отсюда же логически будет вытекать справедливость для нашей „прямой“ аксиомы Архимеда и аксиомы полноты.

Остается выяснить, как в нашей геометрии дело обстоит с аксиомой параллельности. Пусть в основном круге проведена некоторая „прямая“ а, пересекающая основную окружность в точках M и Ny и вне ее взята точка А (черт. 3). Через эту точку А и точки M и N можно провести две „прямые“ х и х\ пересекающие основную окружность в точках M и Р и другая в точках N и Q. Так как в строящейся геометрии участвуют только внутренние точки основной окружности, то надо признать, что в нашем неевклидовом пространстве „прямые“ х и я, а также х' и а, не имеют общих точек, т. е. „прямые“ х и х' являются параллелями к „прямой“ а. Ниже мы укажем соображения, по которым точки основной окружности в нашем неевклидовом пространстве надо считать бесконечно-удаленными точками, так что прямые х и х\ проходящие через А, можно назвать собственно (или предельно) параллельными к прямой а. Нетрудно видеть далее, что все „прямые“, идущие внутрь угла (л:, х') по аксиоме Паша будут пересекать „прямую“ a, a все „прямые“, идущие вне угла (л:, х') не будут пересекать а. (Эти прямые будут пересекать „прямую“ или в мнимых точках или в действительных, но расположенных вне основной окружности; мнимые и внешние действительные точки называются точками построенного неевклидова пространства). Таким образом, в нашей геометрии на неевклидовой плоскости К через точку вне данной прямой, проходит бесчисленное множество прямых, не пересекающих данную прямую. Значит, в нашей геометрии аксиома IV места не имеет. Вместо аксиомы IV имеет силу утверждение, аналогичное тому, которое

Черт. 4.

мы имели в геометрии Лобачевского: через точку вне данной прямой можно провести бесчисленное множество прямых, не пересекающих данную, из которых две (предельные) х и х' называются собственно параллельными (или просто параллельными), а остальные — квазипараллельными.

Таким образом из объектов евклидовой геометрии построена модель неевклидовой геометрии (именно модель геометрии Лобачевского), в которой имеют место аксиомы I—III, V и не имеет места аксиома IV. Эта геометрия не может быть противоречивой, так как всякое противоречие в ней привело бы к противоречиям в геометрии Евклида, а про эту геометрию доказано, что она (относительно) непротиворечива. Следовательно, тем самым обоснована независимость аксиомы параллельности IV.

По построенной модели можно с успехом изучать геометрию Лобачевского. Так, например, пользуясь этой моделью, можно без труда доказать почти все те теоремы, которые мы приводили в главе I в качестве характеристики геометрии Лобачевского по сравнению с геометрией Евклида. Предлагая читателю проделать это в качестве самостоятельного упражнения, мы остановимся лишь на вопросе о том, как в этой модели производится измерение отрезков и углов.

В § 9 (раздел V) по существу вскрыты принципиальные основы для измерения отрезков и углов в евклидовой геометрии; практику этого дела мы предполагаем читателю в той или иной мере знакомой (впрочем, подробно речь об этом будет итти в главе III). Разбор вопроса об измерении отрезков и углов в построенной нами модели неевклидовой геометрии (а это измерение делается на тех же принципиальных основах, что и в геометрии Евклида) поможет — с одной стороны — еще серьезнее и глубже отнестись к вопросам измерения геометрических величин в нашей евклидовской геометрии, а с другой стороны — приведет нас к такой форме выражения длины отрезка, которая окажет большую пользу при изложении содержания следующего параграфа.

Итак, пусть в нашем неевклидовом пространстве проведена какая-нибудь „прямая“ MN и на ней взят произвольный отрезок AB так, что точка В лежит между А и M (черт. 5). Берем внутри AB некоторую точку С и соглашаемся „отрезок“ АС принять за единицу измерения, т. е. ставим этому „отрезку“ в соответствие число единицу в качестве его длины. Покажем, что тогда любому „отрезку“ AB можно привести в соответствие определенное число (рациональное или иррациональное), называемое его длиной. Рассмотрим три могущих при этом представиться случая.

1-й случай: При помощи формулы (I) „откладываем“ отрезок АС на прямой ММ от Л в сторону к В, т. е. ищем на MN между С и В такую точку Cv чтобы при применении преобразования (I) точки А и С перешли соответственно в точки С и Тогда, как говорилось, ССг = АС. Затем таким же образом строим СХС2= CCV и так продолжаем все далее и далее. Пусть при продолжении такого „откладывания“ мы дойдем до некоторого отрезка Cm__2Cm_v конечная точка которого СтттХ совпадает с точкой В. Тогда мы скажем, что отрезок АС укладывается в AB m раз и это число m назовем длиной отрезка AB; запишем это так: (АВ) = т. Покажем, что это число m можно выразить при помощи частного от деления двух сложных отношений.

Для любых пяти точек нашего пространства (лежащих на одной прямой или нет — безразлично) имеет место следующее соотношение. Из выражений для сложных отношений

путем перемножения двух последних и сопоставления с первым, вытекает:

(2)

Черт. 5.

Применяя это соотношение по очереди к пятеркам ABCMN, CBCMN, CXBC2MN, ... Cm_2BCm_1MN на нашей прямой получим:

(3)

Перемножая равенства (3) и делая сокращения на одинаковые множители слева и справа, будем иметь:

Так как при „откладывании“ АС на AB по формуле (I)

а точки M и N остаются на месте и так как по формуле (I) сложные отношения остаются инвариантными, то все множители в правой части равенства (3) равны между собою, и мы можем написать

(5)

Отсюда, логарифмируя*, имеем:

(6)

(7)

и для длины отрезка AB мы можем написать такое выражение:

(8)

2-й случай. Пусть отрезок АС не „укладывается“ в AB целое число раз. Найдем тогда внутри АС такую точку Av чтобы отрезок ААХ укладывался в АС целое число, скажем, п раз, т. е. чтобы длина отрезка АС в единице ААХ выражалась целым числом п. По формуле (6) можем написать:

(9)

откуда

(10)

Такую точку, пользуясь формулой (I), всегда можно найти, и отрезок ААХ естественно назвать л-ой долей отрезка АС.

Будем эту п-ю долю отрезка АС укладывать, как и раньше, на AB и пусть она укладывается в AB целое число m раз. Тогда по предыдущему длина AB в единице ААХ выразится числом

(11)

а в единице АС числом

(12)

3-й случай. Если, наконец, отрезки АС и AB будут несоизмеримы, т. е. если никакая доля отрезка Л С не будет в AB укладываться целое число раз, то поступаем так. Откладываем на AB отрезок AAV равный я-ой доле отрезка Л С, где п — какое угодно целое число. По аксиоме Архимеда всегда найдется такое целое число /я, что

Назовем отрезок, равный m-AAv через ALmi а отрезок, равный (т -)- 1) «ЛЛ, через

Длины этих отрезков будут выражаться рациональными числами.

Предположим, что мы проделали построение подобного рода отрезков ALm и ARm+\ для всевозможных значений п. Тогда на нашей прямой M получим два множества рациональных точек Lm и Rm+ii причем все точки Lm лежат между N и В (будем говорить — левее В), все же точки /?m_|_i лежат между В и M (правее В). Таким образом точка В в рассматриваемом случае оказывается точкой, осуществляющей такое сечение среди множества всех рациональных точек, при котором в нижнем классе нет самой правой точки, а в верхнем классе нет самой левой точки. Соответственно этому сечению множества рациональных точек получается сечение множества рациональных чисел такое, при котором в нижнем классе нет наибольшего числа, а в верхнем классе нет наименьшего числа. Как известно, такое сечение определяет единственное иррациональное число /?, которое естественно назвать длиной отрезка AB.

По отношению к этому числу р целесообразно употребить выражение, что оно

* Так как пары AB и MNt а также АС и MN не разделяют друг друга, то оба сложных отношения (ABMN) и (ACMN) суть числа положительные.

является общим пределом двух последовательностей рациональных чисел ( — \ и при п —► оо. Соответственно этому точку В можно назвать общим пределом двух последовательностей рациональных точек (Lm) и (Rm+i) при п—»оо (о точном содержании слова „предел44 будет подробнее сказано в главе III). В таком случае можно написать, что

и, следовательно, во всех случаях для длины отрезка AB при единице АС в нашей неевклидовой геометрии будем иметь выражение

(14)

или обозначая

через к,

(15)

Это выражение позволяет с легкостью исследовать, как будет изменяться длина отрезка AB при перемещении точки В по прямой M (точки А а С остаются неподвижными). В самом деле: а) пусть

тогда

и, следовательно, (AB) —► 0.

б) пусть В—>М\ тогда

и, следовательно,

в) пусть В—»N; тогда

и, следовательно,

Таким образом, когда В пробегает всю прямую NM в направлении от N к М, длина AB принимает все возможные значения от — оодо+оо. Мы видим, что точки M и N основной окружности являются бесконечно-удаленными точками нашей неевклидовой плоскости К.

Что касается вопроса об измерении углов в этой модели, то здесь дело обстоит просто. Как уже отмечалось, углом между двумя „прямыми“ в рассматриваемом неевклидовом пространстве служит обыкновенный евклидов угол между касательными к двум пересекающимся окружностям, проведенным в точке их пересечения.

По определению, в нашем неевклидовом пространстве те два угла (а, Ь) и (а\ V) будут считаться конгруэнтными или равными, которые преобразованием (1) могут быть приведены в совпадение. Так как преобразование (I) сохраняет угол между двумя кривыми, то отсюда следует, что конгруэнтные углы в нашем неевклидовом пространстве есть не что иное, как конгруэнтные же евклидовы углы между касательными к соответствующим окружностям. Таким образом вопрос об измерении углов в построенной нами модели неевклидовой геометрии сводится к измерению евклидовых углов между касательными к тем окружностям, которые служат сторонами углов на модели, а как делается измерение евклидовых углов мы считаем в основном читателю известным, в подробностях же об этом речь будет в главе III, единицу меры углов обычно выбирают так, чтобы прямой угол измерялся числом —.

Интересен предельный случай рассмотрения интерпретации (который собственно и рассматривался Пуанкаре), когда за основную окружность принимается прямая и плоскости Евклида (например, ось л:). За точки неевклидова пространства берутся все евклидовы точки полуплоскости (верхней или нижней), не лежащие на прямой X (черт. 6). „Прямыми“ в этом случае будут являться, во-первых, все полуокружности, лежащие в рассматриваемой полуплоскости и ортогональные к прямой X (т. е. все полуокружности с центром на прямой х), и, во-вторых, все полупрямые, лежащие в рассматриваемой полуплоскости и перпендикулярные к прямой X (эти полупрямые можно рассматривать, как полуокружности бесконечно-большого радиуса с центром на х).

Черт. 6.

Этот предельный случай мы можем получить из ранее рассмотренной интерпретации, если основной круг К со всеми его точками и со всеми окружностями, ортогональными к К подвергнем инверсии с произвольной степенью и с полюсом Р, расположенным в какой-нибудь точке основной окружности. При такой инверсии основная окружность перейдет в некоторую прямую лг, все внутренние точки основного круга перейдут в точки полуплоскости (верхней или нижней), не лежащие на прямой х; все диаметры и все внутренние дуги окружностей, ортогональные к К и не проходящие через полюс инверсии, перейдут в полуокружности с центром на прямой х; все внутренние дуги окружности, ортогональные к К и проходящие через полюс инверсии, перейдут в полупрямые, лежащие в соответствующей полуплоскости и перпендикулярные к прямой X. Все, что говорилось о неевклидовой геометрии в прежней интерпретации, сохраняет силу и для этого предельного случая: в получаемой здесь неевклидовой геометрии имеют место все аксиомы МП, V, но не имеет силы аксиома параллельности IV. Предлагаем читателю выяснить, какое утверждение получается в этой модели взамен аксиомы параллельности, учитывая при этом, что прямая X для рассматриваемой неевклидовой плоскости является бесконечно-удаленной прямой.

§ 13. Интерпретация геометрии Лобачевского по Кэли-Клейну

В рассмотренной в предыдущем параграфе интерпретации геометрии Лобачевского по Пуанкаре в качестве „точек“ были взяты обычные точки, в качестве же „прямых“ брались не обычные прямые, а дуги окружностей, ортогоналных к основной окружности. Возникает вопрос: нельзя ли построить модель неевклидовой геометрии, беря за точки и прямые обычные точки и прямые евклидовской геометрии? Оказывается — возможно; такую именно модель построил замечательный немецкий математик Феликс Клейн (1849—1925), опираясь в своих исследованиях на работы английского математика А. Кэли (1821 — 1895). Построения Клейна существенным образом опираются на данные проективной (или, как ее иначе называют, высшей) геометрии, основные моменты которой мы предполагаем читателю известными. Из вопросов этой геометрии, менее известных, мы для наших целей укажем на основную идею, разработанного Штаудтом (1798 — 1867) исчисления кватерн (четверок) или (по терминологии самого Штаудта) линейных вурфов.

Стремясь освободить проективную геометрию от всяких ссылок на метрическую геометрию Евклида и стихийно становясь на путь аксиоматического метода, Штаудт предлагает четверку точек прямой а (черт. 7), взятых в определенном порядке, например, ABCD (АС разделяет BD) называть числом и обозначать его символом (ABCD). Два таких числа или две кватерны (ABCD) и (A'B'C'D') он предлагает считать равными, если на прямой а существует такой проективитет, при котором точки ABCD переходят в точки A'B'C'D'. Определяя, далее, подходящим образом (и исключительно средствами проективной геометрии) суммы (и разность), произведение (и частное) таких кватерн, он показывает, что эти кватерны удовлетворяют всем аксиомам арифметики и, следовательно, с точки зрения аксиоматического метода могут быть названы числами. В нашу задачу не входит разбор подробностей этого очень интересного исчисления; мы ограничимся лишь замечанием, что кватерна (ABCD) есть то же самое число, которое мы получаем, когда, пользуясь метрикой, вычисляем сложное отношение этих самых четырех точек прямой

Толчком к построению модели неевклидовой геометрии при помощи проективной геометрии послужили подмеченные еще до Клейна возможности представить меру угла и длину отрезка в проективной форме. Дело происходило так. Французский математик Лагерр, еще будучи студентом, решал задачу о пересечении окружности с бесконечно-удаленной прямой плоскости. Уравнение любой окружности в плоскости хоу имеет вид

(1)

Ясно, что точки пересечения этой окружности с бесконечно-удаленной прямой будут бесконечно-удаленные точки. Что значит найти бесконечно-удаленную точку?

Черт. 7.

Это значит найти направление прямой, проходящей через начало координат (или ей параллельной) и идущей в эту бесконечно-удаленную точку. Но направление прямой, проходящей через начало координат, определяется отношением ^ координат любой точки этой прямой.

Чтобы охватить координатным методом бесконечно-удаленные точки, вводятся однородные координаты, т. е. полагают, что X = y у У = fr при ^ = 0 мы будем получать бесконечно-удаленные точки. Уравнение окружности (I) в однородных координатах будет:

(2)

Полагая в уравнении (2) f = О, мы найдем, что координаты х' и у' бесконечно-удаленных точек, лежащих на окружности, удовлетворяют условию

(3)

Если из начала координат в эти точки провести прямые, то формула (3) определяет направления этих прямых. Учтя,

что

где X, у суть координаты конечной точки, мы скажем, что окружность (I) пересекает бесконечно-удаленную прямую в двух точках, определяемых направлениями:

(4)

Эти точки называются мнимыми или циклическими точками плоскости хоу. Так как формулы (4) не зависят от параметров окружности я, о, с, то выходит, что всякая окружность в плоскости хоу пересекает бесконечно-удаленную прямую в одних и тех же двух циклических точках (4).

Прямые

(5)

называются изотропными прямыми плоскости; ясно, что это мнимые прямые; будем называть их для краткости через т и п. Проведем теперь вместе с Лагерром из начала координат две какие-нибудь действительные прямые а и Ь, задаваемые уравнениями

и обе изотропные прямые (5) и подсчитаем сложное отношение получающихся таким образом четырех лучей (abmn). Восстановим в точке Е (1,0) перпендикуляр к оси X и пусть точки пересечения этого перпендикуляра с прямыми я, b, m, п будут соответственно А, В, М, N.

Имеем

но

Поэтому

(7)

Обозначим углы (ахх) и (Ь^) через œ и ß. Тогда формуле (7) можно придать вид:

(8)

Припомним формулу Эйлера

Тогда

или

(9)

где ср есть угол между прямыми а и Ь. Из равенства (9) находим, что

(10)

Равенство (10) и есть знаменитая формула Лагерра, выражающая угол между двумя прямыми через сложное отношение, т. е. в проективной форме.

Легко представить в проективной форме и длину отрезка прямой евклидовой геометрии. В самом деле (черт. 8), пусть AB есть отрезок, подлежащий измерению единицей АС. Тогда его длина в евклидовой геометрии будет выражаться отношением

Возьмем на прямой AB какую-нибудь еще точку M и составим сложное отношение (АМВС):

(11)

Но

Представим себе теперь, что точка M по прямой AB начинает безгранично удаляться, стремясь к бесконечно-удаленной точке этой прямой МСО. Тогда, как легко видеть

а поэтому

Следовательно, длина отрезка AB получит выражение:

(12)

т. е. представляется в проективной форме.

Обратимся теперь к построению модели геометрии Лобачевского по Кэли-Клейну. Проведем с этой целью в еквлидовой плоскости некоторое (действительно) коническое сечение К (черт. 10), которое будем, следуя терминологии Кэли, называть абсолютом. Согласимся все внутренние (и только внутренние) точки этого абсолюта принять за точки строящейся неевклидовой геометрии. (Точки, лежащие вне абсолюта, к строящейся геометрии не причисляются: их мы будем называть идеальными точками этой геометрии). За прямые же в этой геометрии согласимся считать отрезки обыкновенных прямых евклидовой плоскости, лежащие внутри абсолюта. Ясно тогда сразу, что в таком неевклидовом пространстве удовлетворяются все аксиомы сочетания и порядка, а также аксиомы непрерывности Дедекинда. Отрезки, углы и треугольники определяются в этом пространстве так же, как и в евклидовой геометрии. Труднее здесь проверить справедливость аксиом конгруэнтности. Здесь мы отметим лишь, что в подробных сочинениях по проективной геометрии доказывается, что существует такое проективное преобразование плоскости— назовем его через (7)— зависящее от некоторых параметров, посредством которого абсолют К преобразуется в самого себя, причем так, что внутренние точки абсолюта переходят во внутренние же точки. Если теперь условиться два отрезка или два угла в нашем неевклидовом пространстве называть конгруэнтными, если они при помощи преобразования (Т) могут быть приведены в совпадение, то тогда возможно становится убедиться, что в нашей неевклидовой геометрии имеют место и все аксиомы конгруэнтности. Если теперь учесть, что при наличии аксиом конгруэнтности и аксиомы Дедекинда имеет силу и аксиома Архимеда, то получается возможность в этой геометрии производить измерение отрезков и углов. Не имея возможности входить в подробности этого, мы скажем лишь, что длина отрезка AB прямой /, пересекающей абсолют в точках N и М, при единице АС в построенной таким образом модели неевклидовой геометрии

Черт. 9.

Черт. 10.

выражается числом

(13)

где (ABMN) есть штаудтова кватерна.

Мера же угла между прямыми а и b выражается числом

(14)

где m и п суть две мнимые касательные к абсолюту К, идущие из вершины угла < (а,Ь).

Из формулы (13) сейчас же вытекает, что если

а) точка В будет совпадать с А, то (АВ) = 0,

в) точка В будет совпадать с М, то (АВ) = + ОЭУ

с) точка В будет совпадать с N, то (AB) = — СО-

Значит, точки абсолюта для рассматриваемой неевклидовой геометрии являются бесконечно-удаленными точками. Проверим теперь, выполняется ли в построенной модели аксиома параллельности. Пусть NM = I некоторая прямая в нашей неевклидовой плоскости и Р — точка, не лежащая на этой прямой (черт. 10). Соединив точку Р с M и N, прямыми, получим две прямых X и х', не имеющих с прямой / общих точек, ибо точки M и N, в которых эти прямые пересекают /, к нашему неевклидову пространству не причисляются. Эти прямые можно назвать параллельными (собственно параллельными) к прямой / через Р; они пересекают прямую / в бесконечно удаленных точках. Кроме того, как легко видеть, существует еще целый пучок прямых (все прямые, идущие вне угла <£ (дг, х'), не пересекающих /. Эти прямые можно назвать квазипараллельными; они пересекают прямую / в идеальных точках.

Таким образом мы убеждаемся, что в построенной модели неевклидовой геометрии имеют место все аксиомы I—III, V и не имеют места аксиомы параллельности IV. Взамен этой аксиомы имеет место утверждение, аналогичное аксиоме параллельности в геометрии Лобачевского. Следовательно, построенная Клейном модель есть модель геометрии Лобачевского, причем элементами этой модели служат точки и отрезки евклидовой геометрии. Вместе с тем еще раз доказана независимость аксиомы параллельности от прочих аксиом геометрии.

§ 14, Научное и методическое значение аксиоматического метода

Сделанный в настоящей главе довольно подробный обзор гильбертовской системы аксиом геометрии является в то же время демонстрацией (показом) применения аксиоматического метода в математических исследованиях. В чем же состоят особенности и научные ценности этого метода?

Как уже отмечалось в начале этой главы (8), прежде всего в том, что применение этого метода способствует достижению строгости в математических доказательствах.

Далее, после подробного разбора системы аксиом геометрии, и в особенности, после разбора вопроса о полноте и непротиворечивости этой системы аксиом, мы можем сказать, что аксиоматический метод обеспечивает отсутствие противоречий в цепи дедуктивных построений той дисциплины, для которой разработана система аксиом, удовлетворяющая требованиям полноты, непротиворечивости и взаимной независимости, сколь бы далеко эта цепь построений не развивалась.

Наконец, отметим еще, что аксиоматический метод несет с собой экономию мышления. Последнее заявление, на первый взгляд, может вызвать протесты — какая же экономия мышления, если приходилось доказывать, что две прямые могут иметь не более одной общей точки,, или что на прямой существует бесчисленное множество точек?! Тем не менее, мы свое заявление поддерживаем. Иллюстрируем его хотя бы одним примером. Рассмотрим множество кругов на плоскости хоу

(1)

и согласимся каждый такой круг называть точкой некоторого пространства. Так как круг определяется значениями а, Ь, г, то можно сказать, что точке (1) соответствует точка (а, Ьу г) в декартовом (числовом) пространстве. Прямой в пространстве из кругов будем считать пучок кругов, параметры которых удовлетворяют соотношениям:

(2)

где а., [3., у/, ô. (/=1,2) суть некоторые постоянные числа, причем среди миноров матрицы

существует по крайней мере один, отличный от нуля.

Плоскостью в пространстве кругов будет являться связка кругов, параметры которых удовлетворяют соотношению:

(3)

В силу соответствия: точке (1) в пространстве кругов отвечает точка (я, Ь, г,) в декартовом пространстве — сразу вытекает, что для пространства кругов удовлетворяются все аксиомы геометрии.

Известно, что два круга на плоскости

касаются друг друга (внутренним или внешним образом), если

Возьмем теперь на плоскости три произвольных круга:

(4)

и спросим себя, можно ли построить круг, касающийся всех трех данных кругов (4). (Задача Аполлония). Если такой круг, существует и если его уравнение будет (х — А)2+(у — В)2 = ф, то для решения задачи должны быть одновременно удовлетворены условия:

(5)

В декартовом пространстве условия (5) обозначают, что точка (А, В, R) лежит на пересечении трех конических поверхностей. Так как три конических поверхности, вообще говоря, пересекаются, то задача Аполлония, вообще говоря, решение допускает и его можно найти, решая совместно уравнения (5).

Таким образом, благодаря возможности по аксиоматическому методу в понятия точки, прямой и плоскости вкладывать различное содержание, получается возможность из одной какой-нибудь теоремы одного пространства (чаще всего — числового) получать теоремы в другом пространстве, прямое исследование которого могло бы вызвать большие затруднения, В этом и состоит экономия мышления, приносимая аксиоматическим методом.

Естественно теперь спросить, в какой мере аксиоматический метод и вся гильбертовская аксиоматика геометрии в целом могут быть использованы в преподавании элементарной геометрии в прежней школе?

Здесь надо прямо сказать, что переносить в преподавание элементарной геометрии аксиоматику Гильберта и аксиоматический метод в прямом виде был бы безумием. В средней школе не только не нужно изгонять интуицию, но, наоборот, там ее надо культивировать. Однако, надо сказать, что культивируя у учащихся интуитивные способности, преподаватель не должен замазывать недостатков восприятия ряда утверждений по интуиции; там, где это возможно и уместно, весьма целесообразно подчеркивать недостаточную обоснованность таких утверждений. Элементы строгости проведения математических доказательств в практике преподавания элементарной геометрии необходимо должны проводиться. Это вполне можно и нужно делать в старших классах и особенно в вопросах геометрии, связанных с задачами измерения геометрических величин, критическому разбору которых и посвящена следующая глава настоящего сочинения.

МЕТОДИКА

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Я. МЕЖИРОВСКИЙ (Курск)

Мы ниже имеем в виду, что наша тема является последней в курсе тригонометрии того или иного типа средней школы, и что решение тригонометрических уравнений имело место при изучении различных отделов этого курса. Теперь учащиеся уже изучили тему „Обратные тригонометрические функции“, и их ознакомили с общим видом углов, соответствующих известному значению тригонометрической функции. Последнее рекомендуется, кстати, сделать в следующей последовательности:

[k — произвольное целое (действительное, число, а — главное значение икса в градусах, а— „ „ „ „ радианах, />=180° — а, ß = TT — а].

Обычная же последовательность изучения этих формул — переход от синуса к тангенсу — грешит против принципа „от простого к сложному“.

Полное усвоение формул общего вида углов мы относим ко времени изучения нашей темы, когда весьма удобно будет разобрать и замечательные частные случаи.

При правильном подходе преподавателя к изучению тригонометрических уравнений, он, кроме выполнения своего непосредственного задания, имеет возможность:

1) повторить с учащимися разнообразные алгебраические и тригонометрические тождественные преобразования;

2) расширить „узкие места“ в решении алгебраических уравнений (нерациональные способы решения, случаи введения посторонних корней или потери корней и т. п.);

3) значительно способствовать расширению математического кругозора учащихся и развитию у них элементов математического творчества.

Переходя к определению тригонометрического уравнения, введем предварительно некоторые условия.

Под прямыми тригонометрическими функциями будем понимать следующие шесть функций; синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Обратные этим функции — арксинус, аркосинус, арктангенс, аркотангенс, арксеканс и арккосеканс — будем называть циклометрическим или обратно-тригонометрическими функциями.

При этом следует еще раз достаточно сильно подчеркнуть учащимся, что прямые тригонометрические и циклометрические функции взаимно обратны.

Пусть даны две функции от x:F(x) и К(х). Под уравнением F(x) = K(x) понимают, как известно, совокупность следующих вопросов:

1. Существуют ли такие значения х — корни уравнения, — при которых значения функции ^(л:) и К(х) равны между собой?

2. Если существуют, то какие это значения X и сколько их?

Независимую переменную х называют неизвестной.

Если символы F(x), К(х) обозначают прямые тригонометрические функции, то уравнение называется тригонометри-

ческим. Если же символы F(x), К(х) обозначают циклометрические функции, то уравнение назовем циклометрическим.

Корнями тригонометрического уравнения служат углы, выраженные в градусах или радианах. Корнями же циклометрического уравнения являются абстрактные числа, взятые в пределах для значений прямых тригонометрических функций (см. стр. 19).

Неудивительно поэтому, что и методы решения тригонометрических и циклометрических уравнений существенно отличаются друг от друга.

Мы выше имели в виду только „чистые“ тригонометрические уравнения, т. е. уравнения, содержащие, кроме постоянных величин, лишь тригонометрические функции некоторого угла. Но можно стать на более высокую ступень абстракции, рассматривая тригонометрические функции не как функции угла, а как функции числа. При этом область уравнений расширится за счет „смешанных“ уравнений, как например:

Решим это уравнение. Как известно из анализа, sin х и arctg* можно разложить в степенные ряды:

(А) (Б)

Решая грубо приближенно, ограничимся первыми двумя членами рядов (А) и (Б). Имеем:

„Смешанные“ уравнения выводят нас за пределы средней школы*. Следует, однако, подчеркнуть учащимся, какие именно уравнения они умеют решать, чтобы не повторился следующий случай. Уравнение X2 — b cos X = с3 выпускник средней школы „решал“ так:

?!?!

Ниже мы не будем касаться и циклометрических уравнений, ограничиваясь тригонометрическими уравнениями с одной и двумя неизвестными.

Уравнение с одним неизвестным

Решая простейшие тригонометрические уравнения, например cosa: = 0,5, уже замечаем принципиальную разницу между тригонометрическим и алгебраическим уравнениями: алгебраическое уравнение/г-ой степени с одним неизвестным имеет п (комплексных) корней; тригонометрическое же уравнение имеет бесчисленное множество корней. Последние определяются одной или несколькими формулами общего вида углов ^Во взятом примере

имеем формулу:

В процессе решения тригонометрического уравнения с одним неизвестным могут встретиться следующие последовательные фазы:

а) выражение всех тригонометрических функций, входящих в данное уравнение, через какую-нибудь одну, исходя из соотношений между тригонометрическими функциями;

б) вычисление способами алгебры значения некоторой тригонометрической функции;

в) определение общего вида углов, соответствующих известному значению тригонометрической функции.

Из этих фаз обязательна третья, без нее процесс решения не исчерпан. Первые же две фазы в некоторых случаях — в зависимости от типа уравнения или типа его решения — могут отсутствовать. Так, например, в процессе решения уравнения $\пох=-^- или уравнения tg х = --tg4jc (способ сравнения) нет первых двух фаз, а в процессе решения уравнения atg2 x+bïgx+c = Q нет первой фазы.

Бывают однако случаи, когда в учебной литературе решение тригонометрических уравнений не доводят до конца, ограничиваясь нахождением значения некоторой тригонометрической функции. При этом из указанных нами выше фаз отсутствует третья. Какие же это случаи? Во-первых, когда учащиеся еще не ознакомлены с формулами общего вида углов. Во-вторых, когда учащиеся уже овладели этими формулами, но постоянные данные тригонометрического уравнения представ-

* На занятиях математического кружка можно, правда, решать графически простейшие типы этих уравнений.

лены не числами, а буквами. Гораздо целесообразнее в последнем случае окончить решение, записав ответ при помощи циклометрических функций. Если, например, найдено, что

Вернемся еще ко второй фазе. Следует помнить, что при определении значений тригонометрических функций придется отбросить, как неподходящие, все мнимые значения и все значения, находящиеся вне области числовых значений тригонометрических функций, т. е. вне промежутка — 1 ... +1 для синуса и косинуса, и в промежутке этом для секанса и косеканса.

Каждое из следующих семи положений необходимо в свое время подчеркивать учащимся, хотя мы и предполагаем ниже, что они уже известны.

1. Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

2. Когда мы пишем tg — — Ч- 00, то имеем в виду то же, что и при следующих двух более точных, но менее кратких записях:

3. Записи —=00, ^ = 0, где а — постоянная, употребляются вместо того, чтобы писать

причем 0 условно рассматривают как бесконечно малую величину. Именно благодаря этому можно писать:

т. е. распространять известные зависимости между тригонометрическими функциями на такие углы, как — радианов.

4. Выражение — называют неопределенным. „Истинное значение“ такого уравнения можно получить путем сокращения компонентов дроби на тот множитель, который привел к неопределенности ее. Так,

Точно то же можно повторить относительно выражений вида

Корни уравнения, которые приводят его к виду — = 0, 0.00 = 0, = 0, отбрасывать будем, как неподходящие.

5. Дробь равна нулю, когда:

1) ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю;

2) ее знаменатель „равен бесконечности“, а числитель не „равен бесконечности“.

Поэтому дробное уравнение приводят к виду

и испытывают и числитель и знаменатель.

6. Если же уравнение содержит целые и дробные относительно неизвестной члены, то его можно решать обычным путем, „отбрасывая знаменатель“.

Докажем это положение, мало известное в кругах учительства, хотя при его помощи решение дробных уравнений значительно упрощается.

Пусть дано уравнение

где а(х), $(х) и у С*)- целые алгебраические функции от X [а степень полинома ß (х) выше степени полинома а (х)]. Данные уравнения эквивалентны следующему

Здесь степень знаменателя не выше степени числителя, а потому, как известно из алгебры, знаменатель можно „отбросить“.

Если а (х) и ß (х) —- дробные функции

от ху то

где со (дг) и ср (л:)— целые функции от л:, т. е. положение и в этом случае справедливо.

Теперь ясно, что если тЦ—т есть дробная, а у W — целая функция (сложная) относительно некоторой тригонометрической функции, то наше положение тоже справедливо.

7. Умножение или деление всех членов уравнения на функцию от неизвестной, вообще говоря недопустимо, чтобы избежать ошибки в тех случаях, когда значение этой функции есть нуль или бесконечно велико.

Обратив, наконец, внимание читателя на то, что неизвестную мы дальше обозначаем только через х, перейдем к отдельным способам решения тригонометрических уравнений (с одною неизвестною).

1. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ НАХОЖДЕНИЕ КОРНЕЙ

Сюда мы относим уравнения, в которых дано значение тригонометрической функции некоторого угла или это значение легко вычислить.

Рассмотрим некоторые из этих случаев

Правильное решение a) tg2x=l

Проверка:

что соответствует соотношению

Неправильное решение

Проверка:

но так как

то очевидно, что часть корней потеряна при решении.

Проверка:

что вполне согласно соотношению

Проверка:

но так как

то ясно, что при решении были введены посторонние корни

Вывод 1. Необходимо делить на ту когда m — целое число, или множить на — , когда m дробное число, не наименьшее значение угла тх, а всю группу углов, которая найдена по тригонометрической функции этого угла

Почему же мы пишем

вместо

k должно быть произвольным целым числом — положительным, нулем или отрицательным,— но и (—k) даст те же значения (но в другой последовательности). Таким образом имеем:

Вывод 2. В формулах общего вида углов можно изменить знак числа k на противоположный.

Примечание. Читатель уже заметил, что окончательный ответ мы даем в виде одночлена. Именно по такому виду легче усмотреть возможные упрощения ответа

Аналогичные примеры (1—5) предлагаются для косинуса, а затем и для синуса. При этом следует добиться усвоения формул общего вида углов и ориентации в видоизменениях этих формул в некоторых частных случаях. Для иллюстрации последних приведем несколько примеров.

так как и 4^+1 и 2k+\ суть различные формы нечетного числа.

Доказательство. Для тангенса эта формула очевидна. Для косинуса: если

Поэтому:

Для синуса: если sin х = 4^0, то

было введено только для того, чтобы определить, когда а следует прибавить, а когда вычесть. В нашем же случае можно просто писать х = кп ЧЬ а, так как а, безразлично будет ли k четным или нечетным, придется и прибавить и вычесть.

К рассмотренным типам уравнений легко свести следующие:

II. СПОСОБ СРАВНЕНИЯ

А. Условия равенства двух тригонометрических одноименных функций различных углов

Пусть, во-первых, tga = tgß, причем а и ß могут содержать неизвестную. Тогда:

что возможно только тогда, когда

(ср. стр. 18, „6“) или а — $ = kn (ср. стр. 20, (д). Если ctg а = ctg ß, то,

Вывод 1. Чтобы два угла имели равные тангенсы (котангенсы), их разность должна содержать произвольное целое число развернутых углов.

Пусть, во-вторых, cos a = cos ß. Имеем

значит

Случай sc а = se а приводится к только что рассмотренному:

Вывод 2. Чтобы два угла имели равные косинусы (секансы), их сумма или их разность должна содержать четное число развернутых углов.

Пусть, в-третьих, sin а = sin ß. В этом случае sin а — sinß = 0,

(См. стр. 20, примеры (в) и (д). Таким образом:

Когда esc а = esc ß, то

sin а — sin ß = 0 и мы возвращаемся к предыдущему случаю.

Вывод 3. Чтобы два угла имели равные синусы (косекансы), их сумма должна содержать нечетное число или их разность четное число развернутых углов.

Пользуясь „формулами приведения и условиями равенства двух одноименных тригонометрических функций различных углов, можно также вывести условия:

а) при которых функция одного угла равна кофункции другого;

б) при которых значения одноименных функций численно равны, но отличаются знаками;

в) при которых значения функции одного угла и кофункции другого численно равны, но отличаются знаками.

Целесообразнее, однако обращаться к анализу при решении той или иной конкретной задачи, избегая перегрузки памяти учащихся.

Подчеркнутые же три вывода должны быть твердо усвоены учащимися, ибо, пользуясь ими, можно довольно просто решать некоторые типы тригонометрических уравнений. К последним и переходим.

Б. Упражнения

I тип

Решение.

Примеры

II тин

Решение. По формуле

пишем:

Теперь имеем:

(ср. стр. 20, вывод первый), Значит

Примеры

и т. д.

III тип

Решение. По формуле

пишем:

а на основании вывода второго (стр. 21) имеем:

Примеры

IV тип

Решение. По формуле

пишем:

а теперь снова пользуемся выводом вторым (стр. 21)

Примеры

К рассмотренным типам сводятся уравнения, в одной части которых стоит +1 или — 1, а в другой — следующие произведения:

III. СПОСОБ РАЦИОНАЛЬНОГО И ОДНОЗНАЧНОГО ВЫРАЖЕНИЯ ВСЕХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ ОДНУ

Выражение всех тригонометрических функций, входящих в уравнение, через одну при помощи соотношений между ними играет важную роль при решении тригонометрических уравнений. При этом желательно выражение именно рациональное и однозначное, дабы избежать лишних осложнений. Способ этот, однако, бесполезен, когда полученное алгебраическое уравнение принадлежит к числу тех, которые элементарно не могут быть решены.

Из соображений наибольшей простоты формул общего вида углов мы должны предпочесть выражение через тангес выражению через косинус, или через синус, а выражение через косинус — выражению через синус. Но эти соображения не всегда принимаются в расчет: часто вы-

бор функции обусловливается стремлением к наибольшей простоте преобразований при переходе от данного уравнения к алгебраическому относительно выбранной функции и к наиболее простому виду последнего уравнения. Рассмотрим пример. Уравнение

можно решить следующим образом:

и т. д.

Но лучше при решении воспользоваться выражением через косинус:

Секансы обычно выражают через косинусы, а косекансы через синусы. Если же в уравнение входят только секансы или только косекансы (например: 2sc2x — — 7 sc X + 3 = 0), то замена их косинусами или синусами нецелесообразна, ибо можно просто решать алгебраическое уравнение относительно секанса или косеканса.

Если ограничиться условием, что уравнение после различных преобразований может содержать только:

1) косинус некоторого угла в первой степени,

2) квадрат синуса и квадрат косинуса того же угла,

3) постоянные величины,

то будем иметь следующие уравнения, которые выражаются через косинус:

Аналогичные виды уравнений, которые выражаются через синус, получим, если потребовать, чтобы после различных предварительных преобразований в уравнение могли входить только:

1) первая степень синуса некоторого угла,

2) квадрат синуса и квадрат косинуса того же угла,

3) постоянные величины. Вот эти уравнения:

Очень часто уравнение выражается через тангенс. Приведем пока три примера:

Легко усмотреть, что квадрат любой прямой тригонометрической функции выражается рационально и однозначно через какую-угодно другую из них, как например:

и т. д.

Можно, таким образом, находить различные частные случаи выражения уравнения чарез известную функцию. Но существует ли признак использования для выражения определенной тригонометрической функции? Такие признаки дает теорема Биоша (Ch. Bioche):

1. Если подстановка (тг— х) вместо х не изменяет знака ни одного члена уравнения или изменяет знаки всех его членов, то применяется выражение через синус. Так, например, все члены уравнения

изменяют знаки при подстановке (тг — х) вместо X, и решить его можно так:

[см. стр. 18 (6)];

(так как мнимые значения синуса нас не интересуют)

2. Если подстановка (—х) вместо х не изменяет знака ни одного члена или изменяет знаки всех членов уравнения, то применяется выражение через косинус. Предлагаем рассмотреть для примера уравнение

3. Если подстановка (тг-}-л;) вместо х не изменяет знака ни одного члена или изменяет знаки всех членов уравнения, то применяется выражение через тангенс. Примером может служить уравнение

все члены которого изменяют знаки при указанной подстановке. Для выражения через тангенс достаточно разделить уравнение почленно на

4. Если каждая из подстановок (тс — х)> (—х)у (п+х) вместо X изменяет знаки только некоторых членов уравнения, не изменяя знаков остальных членов его, то применяется выражение через тангенс половинного угла, (которое хоть и допустимо всегда, но часто приводит к алгебраическим уравнениям высоких степеней).

Пример. Так как все указанные подстановки изменяют знаки только некоторых членов уравнения

то решаем:

и т. д.

Теорема Биоша не всегда, однако,, указывает путь к решению. Так, уравнение tg2x = tgx по теореме этой может быть выражено и через синус, и через косинус, и через тангенс.

Что же касается доказательства этой теоремы, то для него достаточно рассмотреть соотношения:

и присовокупить известную теорему о выражении через тангенс половинного угла.

IV. ПРИЕМ РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОЮ УРАВНЕНИЯ

Однородным относительно синуса и косинуса некоторого угла или просто однородным называют тригонометрическое уравнение, в котором сумма степеней синуса и косинуса каждого члена левой части уравнения есть величина постоянная, а в правой части стоит нуль.

В общем виде однородное уравнение запишется так:

где m — („степень однородности“) целое положительное число, а содержит в своем составе неизвестную л:, а коэфициенты (а с индексами 0, 1, 2, ..., т) — действительные числа, некоторые из которых могут быть равны нулю.

Если коэфициенты членов, содержащих синус или косинус в степени однородности, не равны нулю (a0=f=0 и ат=^=0), то имеем однородное уравнение первого рода; в противном случае, т. е. когда синус или косинус данного угла является общим множителем всех членов уравнения, имеем однородное уравнение второго рода.

Однородное уравнение первого рода делением на cosm a (sinm а) приводят к алгебраическому уравнению степени m (степени однородности) относительно tga(ctga). Но ведь деление на функцию от неизвестной, вообще говоря, недопустимо, почему же в данном случае пользуются им? В рассматриваемом уравнении cos а 0 (sin а =^=0), что мы и докажем. Допустим противное: пусть cosa = = 0(sina = 0). Тогда все члены левой части, кроме первого (последнего), как содержащие множителем cos a (sin а) в некоторой степени, равны нулю. Значит и

что невозможно, потому что:

так как нет такого угла, для которого синус и косинус одновременно равны нулю. Итак, cos а ф- 0 (sin =^=0). Если еще учесть, что cos a (sin а) есть величина ограниченная, то станет ясно, что указанное деление допустимо.

Однородное уравнение второго рода легко сводится к уравнению первого рода, для чего достаточно вынести общий множитель за скобки. Но лучше руководствоваться следующими соображениями:

а) Если

т. е. каждый член

уравнения содержит множителем sin a в некоторой степени, но cos a не является общим множителем, то уравнение решается делением на cosma.

б) Если

т. е. каждый член

уравнения содержит множителем cos а, но sin а не является общим множителем, то уравнение решается делением на sin“* a.

в) Если же

т. е. общим множителем всех членов уравнения является SH1* OL cos' OL (k < ffl) lто этот множитель следует вынести за скобки.

Переходя к упражнениям заметим еще, что не всякое однородное уравнение элементарно разрешимо. В средней школе решаются однородные уравнения, сводящиеся к таким алгебраическим, действительные корни которых находятся способами элементарной алгебры.

Упражнения

Решение. Разделив почленно уравнение на a cos (тх 4- а) [а =^0], получим

При помощи логарифмирования (или по «таблицам натуральных тригонометрических величин“) находим приближенное значение

Тогда имеем:

Уравнения, приводящиеся к однородным

Указание. Вместо sin [2 (тх + а)] подставляем 2sin(mx+a)cos(mx+a).

Решение. Так как

то переписываем уравнение следующим образом:

Решение. Так как уравнение содержит члены, целые относительно косинуса, то знаменатель „отбрасываем“:

и т. д.

Условие существования корней:

так как в противном случае значения tg(mx+a) не будут действительными числами.

Решение.

Условие существования корней:

V. СПОСОБ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ

В некоторых случаях тригонометрическое уравнение можно свести к такому виду:

где левая часть разложена на множители, а правая содержит только нуль. При этом разложение на множители выполнено или способами алгебры, или при помощи формул приведения тригонометрических выражений к логарифмическому виду, или совокупностью и тех и других. Когда уравнение приведено к виду (1), то оно распадается на k уравнений:

Решая эти уравнения, находят и все корни данного уравнения. Следует только помнить, что те из найденных корней, которые приводят левую часть уравнения (1) к неопределенному виду

необходимо отбросить, как неподходящие.

Управления

Решение.

Проверка:

0-1=0, т. е. xr уравнению удовлетворяет;

а поэтому и х“ удовлетворяет данному уравнению.

Примечание. Здесь одновременно следует читать или все верхние знаки (когда k нечетно) или все нижние знаки (когда k четно).

Решение.

что невозможно;

Проверка:

т. е. уравнение корней не имеет.

Примечание. Корень x“ = kn, приводящий при четных значениях k, левую часть уравнения к виду оо-0, следует отбросить.

Решение.

Решение.

Проверка показывает, что все корни удовлетворяют уравнению:

Решение.

Решение. 1-й способ.

2-й способ.

и теперь как в примере (17); ответы те же.

Решение.

и т. д.

VI. СПОСОБ ПРИВЕДЕНИЯ УРАВНЕНИЯ Б ЛОГАРИФМИЧЕСКОМУ ВИДУ

А. Введение вспомогательного угла

Пусть дано уравнение

(1)

Если а = 0, то получаем:

(2)

Если ö = 0, то получаем:

(3)

Если с = 0, то получаем:

(4)

Уравнения типа (2), (3) и (4) мы рассматривали выше.

Решим теперь уравнение (1), допустив, что

Для этого разделим все его члены на а:

После введения вспомогательного угла

последнее уравнение перепишется следующим образом:

(5)

Теперь предстоит:

а) определить со (обычно при помощи

„таблицы логарифмов тригонометрических величин“);

б) определить значение

в) найти корни уравнения.

При всяких ли соотношениях между а, b и с уравнение (1) имеет корни? Ответ на этот вопрос вытекает из исследования, к которому мы и переходим. Так как

то имеем:

Но квадрат синуса любого угла не больше единицы, следовательно,

т. е. условие, при котором уравнение (1) имеет корни, найдено:

Полезно рассмотреть несколько случаев. Заметим, что без ущерба для общности можно положить а>0, что мы и сделаем. Учтем еще, что в выбранном интервале

а) Пусть

Тогда уравнение (5) принимает вид:

б) Пусть с<0 и (D определяется тем же интервалом, тогда уравнение (5) имеет одно из следующих двух видоизменений:

если ô>0 и

если £<0.

Примечание. При решении тригонометрических уравнений введением вспомогательного угла корни удобно вычислять при помощи таблиц логарифмов. Чтобы избежать

„нелогарифмического вида“, иногда уравнения других типов сводят к уравнению, имеющему вид (1). Для иллюстрации рассмотрим несколько примеров.

При помощи формул

преобразуем данное уравнение:

т. е. имеем уравнение вида (1).

б) Аналогично можно поступить с уравнением

Имеем:

Теперь получено уравнение типа примера (а), а следовательно и вида (1) именно:

Б. Некоторые другие случаи

применяется формула суммы или разности синусов или косинусов.

Это уравнение есть частный случай уравнения (1) (стр. 28), поэтому легко применить введение вспомогательного угла. Можно решать еще так:

по формуле

(по формуле суммы синусов) и т. д.

Решение. Выражая через синус и косинус, „отбрасывая знаменатель“, получим:

(Условие, существование корней: | а | ^ 2).

Решение.

и т. д.

применяются формулы:

VII. СПОСОБ ВОЗВЫШЕНИЯ В КВАДРАТ

Тот факт, что при возвышении обеих частей уравнения в степень получается, вообще говоря, уравнение, не эквивалентное данному, не может служить возражением против использования этого способа. Без возвышения в степень нельзя обойтись, например, при решении иррациональных уравнений. Из рациональных тригонометрических уравнений путем возвышения в квадрат решаются, например, уравнения следующих типов:

Решим уравнение

Возвышая в квадрат, получаем:

Теперь осталось применить способ сравнения и проверкой корней отделить посторонние.

VIII. СПОСОБ СОСТАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ПРОПОРЦИИ

Некоторые типы уравнений легко решаются, если записать их в виде пропорции и составить производную пропорцию. Так, например, решаются следующие уравнения:

Пусть требуется, скажем, решить уравнение (11). Представим его в следующем виде:

Если составить производную пропорцию — сумма членов первого отношения так относится к их разности, как сумма членов второго отношения относится к их разности — и применить формулы суммы и разности тангенсов, то получим:

и т. д.

Учащимся следует показать еще и менее изящный способ решения — применение теоремы сложения аргументов. Таким образом для уравнения (1) получаем эквивалентное однородное:

IX. СПОСОБ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СУММУ

Используя известные формулы

и

можно решать некоторые типы уравнений, из которых наиболее часто встречаются следующие:

Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения мы здесь не рассматриваем, так как при помощи известных алгебраических преобразований решение их сводится к решению тригонометрического уравнения тем или иным способом, из приведенных нами выше.

Не включим мы также сюда и более сложных тригонометрических уравнений, ибо размеры статьи и без того получились довольно большие.

X. СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Примеры простейших систем

Здесь легко определяется sinx и cos_y:

(а потому условия существования корней можно записать так:

Аналогично предыдущему здесь легко определяется sinx и sinj/:

(Условия существования корней:

Решение: z2 — az+b = 0;

(Условия существования корней

Способ подстановки

Процесс решения очевиден.

Определив из одного уравнения х и подставив во второе, получим уравнение, уже рассмотренное нами выше (стр. 33).

Имеем из первого уравнения:

подставляя во второе уравнение это значение, получим sin X cos X = üb\ sin2x = = 2ab и т. д.

Решим одну из таких систем

Способ сложения и вычитания

Почленным сложением и вычитанием уравнений системы находят сумму и разность углов, а затем и каждый из них (условие существования корней:

Так как решение системы тригонометрических уравнений часто требует применения не одного способа, а некоторого комплекса их, то мы и классифицируем системы по этим комплексам.

1 тип

Основные системы

Решить эти системы можно способом подстановки. Лучший способ состоит в том, что второе уравнение системы приводят к логарифмическому виду, а после подстановки известной алгебраической суммы углов, находят их сопряжение**

К основным системам легко сводятся следующие:

и т. д., где в знаменателе или числителе второго уравнения находится какая-нибудь прямая тригонометрическая функция известной из первого уравнения алгебраической суммы углов, а соответственно в числителе или знаменателе — левая часть второго уравнения какой-угодно из основных систем. Применением формул

к основным системам сводятся еще и следующие:

* Здесь и ниже, если только не будет оговорено противное, возможны все 4 комбинации знаков.

** Будем называть сопряжением к сумме углов их разность, а к разности — сумму.

II тип

Здесь произведение тригонометрических функций заменяют суммой (см. стр. 30) и получают системы I типа. К этим системам легко сводятся следующие:

и т. д. где одновременно следует брать или только верхние или только нижние знаки.

III тип

При любой комбинации знаков системы

решаются способом подстановки. Если же брать только верхние или только нижние знаки, то системы эти сводятся к системам II типа путем приведения второго уравнения системы к логарифмическому виду.

Выделим еще системы

беря одновременно только верхние или только нижние знаки. Решение может быть тогда таким:

а) тангенсируют или котангенсируют первое уравнение,

б) используя второе уравнение, определяют произведение тангенсов или котангенсов,

в) составляют вспомогательное уравнение, пользуясь теоремой Виета.

IV тип

Первый путь решения. Выражают тангенс и котангенс через синус и косинус, и, применяя производную пропорцию, легко находят сопряжение углов.

Второй путь. Тангенсируют первое уравнение системы (1) или котангенсируют; соответственно в системе (2), определяют алгебраическую сумму тангенсов или котангенсов, а затем составляют вспомогательное квадратное уравнение, пользуясь теоремой Виета.

V тип

Здесь, найдя по таблицам алгебраическую сумму углов, получают уже приведенные нами выше системы. В первом уравнении вместо синуса может стоять какая угодно другая прямая тригонометрическая функция, а во втором уравнении — вместо алгебраической суммы — произведение тригонометрических функций.

VI тип

Числитель и знаменатель левой части второго уравнения системы приводят к удобному для логарифмирования виду, после чего легко определяется сопряжение углов.

VII тип

Второе уравнение системы записывают в виде пропорции, и, составляя производную пропорцию, сводят решение к решению системы предыдущего типа.

VIII тип

а) Решают одно уравнение системы относительно синуса, а другое относительно косинуса одного и того же угла;

б) полученные таким образом уравнения возвышают в квадрат и складывают;

в) решают тригонометрическое уравнение с одною неизвестною.

IX тип

одновременно беря только верхние или только нижние знаки.

Решение состоит в следующем:

а) приводят каждое уравнение системы к логарифмическому виду;

б) делят одно уравнение на другое;

в) составляют вспомогательное квадратное уравнение, пользуясь теоремой Виета. При любой комбинации знаков эти системы решаются способом подстановки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лямин. Методический сборник задач прямолинейной геометрии.

2. Мрочек. Прямолинейная тригонометрия и основания теории геометрических функций.

3. Березанская. Тригонометрические уравнения и методика их преподавания.

4. Лапин. Тригонометрические уравнения (сборник „Элементарная математика в средней школе“ под редакцией того же автора, Учпедгиз, 1934).

ОТ РЕДАКЦИИ. Тема „Тригонометрические уравнения“ проходится в 3-й четверти. Помещая в настоящем номере данную статью, редакция имеет в виду, что и в настоящем учебном году она окажет большую помощь учителю при повторении этого раздела, давая обильный материал на решение тригонометрических уравнений.

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

(Методическая проработка)

М. МЕЛЬНИКОВ (Кинешма)

1-й урок 1 час

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПУТЕМ УРАВНИВАНИЯ ОСНОВАНИЙ

Уравнения, содержащие неизвестное в показателе степени, называются показательными. Способы решения показательных уравнений различны. Рассмотрим сначала несколько случаев решения показательных уравнений при помощи уравнивания оснований.

I. 8* = 32, левая и правая части этого уравнения могут быть представлены как степени 2:23* = 25. При равенстве степеней и оснований (не равных 0 или 1) должны быть равны и показатели степени, откуда

следовательно:

Заменяя единицу через а0, получим:

откуда

Рассматривая 9 и 27, как 2-ю и 3-ю степени 3, получим уравнение:

или:

следовательно:

Примеры для упражнений

2-й урок

1 час

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЕ ВЫНЕСЕНИЕМ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКУ

Некоторые показательные уравнения легко решаются, если в левой части вынести за скобку общий множитель. Удобнее выносить число с меньшим показателем, так как тогда в скобке получаются целые числа.

I. Возьмем уравнение: 5*+2 + 5* = 650, вынесем за скобку 5*, получим 5*(52 + + 1 ) = 650, или: 5*« 26 = 650. Сократим уравнение на 26, будет 5* = 25, откуда

АГ=2.

II. Совершенно так же решается уравнение: 2*+3 — 2х + 2*-2 = 29. Выносим 2х-2 за скобку, будет 2х~2 (2* — 22 -f 1 ) = = 29, или: 2*-2-29 = 29, сократив на 29, получим 2*_2=1, или: 2*~2 = 2°, следовательно, X — 2 = 0 и х = 2.

Упражнения

3—4-й уроки

2 часа

РЕШЕНИЕ ТРЕХЧЛЕННОГО ПОКАЗАТЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВИДА: a**-f ах=Ь

Уравнения данного типа решаются заменой ах и д2* соответственно z и г2 и приводятся к решению квадратного уравнения и двух показательных.

I. 2^ + 2.2^ — 80 = 0.

Заменив 2х через z, получим уравнение

z2 + 2z — 80 = 0,

корни которого Zj = 8 и z2 =—10. Следовательно, 2х— 8 и X = 3, или 2х— — 10, чего быть не может, так как положитель-

ное число ни в какой степени не дает отрицательного числа.

H. 32*+i_ 12.3*+1 + 81=0.

Переписываем уравнение в виде

3.32лг_ 12.3-3^ + 81=0.

Сокращая уравнение на 3 и заменяя 3х через у, получим: у2—12у + 27 = 0, откуда j/j = 9, у2 = 3. Следовательно, 3х = = 9 и хг = 2, или: 3х = 3 и лг2= 1.

III. 32х — Зх+2 — З^“1+ 3 = 0.

Преобразовываем уравнение:

Заменяем 3х через у и освобождаемся от дробных коэфициентов, получим:

Решение последнего уравнения дает

откуда

следовательно, х,=2, х<> = — 1,

Освобождаемся от отрицательного показателя:

Освобождаемся от дробей:

Заменяем 2***ш* через у :у2 — 2у + 1 = 0. Корни этого уравнения одинаковые, равные 1, следовательно, 2121%х=\, или: 2igtg* = 2°, откуда lgtgjc = 0; tgjc= 1

Упражнения

5-й урок

1 час

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАЗНЫМИ ОСНОВАНИЯМИ ВИДА —Ь

Уравнения данного вида решаются непосредственным логарифмированием, обычно

с вычислениями по таблицам логарифмов.

I. 5*= 17. Логарифмируя имеем:

откуда

II.

III.

Упражнения.

6-й урок

1 час

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ НЕПОСРЕДСТВЕННЫМ ПОТЕНЦИРОВАНИЕМ

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма, называется логарифмическим. Если все члены уравнения выражены через логарифмы, то такое уравнение решается непосредственным потенцированием.

I.

Потенцирование дает:

II.

Потенцируем:

освобождаемся от дробей:

второй корень не берем, так как х находится под знаком логарифма, а отрицательные числа при положительном основании логарифма не имеют.

III.

Потенцируя, получаем:

Потенцируя второй раз, будем иметь:

Упражнения

7-й урок

1 час

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, ТРЕБУЮЩИЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ЗАМЕНЫ ЧИСЛА ЛОГАРИФМОМ

Некоторые логарифмические уравнения не могут быть сразу потенцируемы, так как не все члены уравнения находятся под знаком логарифма. В этом случае необходима предварительная замена числа равным ему логарифмом. Замена делается на основании положения, что логарифм основания при том же основании равен единице, т. е. число 2, например, может быть заменено 2 lgl0 10; 2 lg3 3; 2 lg2 2 и т. д., вообще 2\gaa.

I. lg* = 2 — lg5. Заменяем 2 через 2 lg 10, получим уравнение:

которое после потенцирования дает

II.

Нуль заменяем логарифмом единицы, так как при любом основании, не равном единице, логарифм единицы равен нулю. Получается уравнение:

которое после потенцирования дает:

или:

откуда

Заменяем 0 через lg2l, получим

потенцируя, будем иметь:

потенцируем второй раз:

откуда

Упражнения

3-й урок 1 час

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ВИДА: — Ь.

Подобные уравнения решаются предварительным освобождением от дробей и последующим потенцированием:

Отрицательное значение х(—6) не берем, так как х находится под знаком логарифма.

Упражнения

9—10-й уроки 2 часа

ПОКАЗАТЕЛЬНО-ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Уравнения, содержащие неизвестное в показателе степени под знаком логарифма, называются показательно-логарифмическими. Решаются они логарифмированием.

I. хх^х~2= 1000. Логарифмируя, получим (lg X — 2) lg х- lg 1000, уравнение это квадратное, корни его: 3 и — 1, т. е. lg^!=3, a jc1=1000; lgjc2=— 1;дг2=0,1.

Упражнения

11—12-й уроки 2 часа

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ЛОГАРИФМАМИ РАЗНЫХ ОСНОВАНИЙ

Если уравнение содержит логарифмы разных оснований, то для решения его надо все логарифмы привести к какому-нибудь одному основанию, для чего пользуются так называемым модулем перехода:

если ат = N, то m = \ga N. Логарифмирование первого уравнения при каком-либо основании b дает уравнение: m \gb а = lgb N, а после замены m его значением, т. е. lgaN, получим:

\gaN.\gba=:lgbN,

т. е. логарифм числа при новом основании равен логарифму этого числа при данном основании, умноженному на логарифм данного основания при новом основании. Из последнего уравнения следует, что

т. е. логарифм числа

при данном основании может быть заменен логарифмом этого числа при новом основании, деленном на логарифм данного основания при новом основании. Множители перехода (М1 и М2).

За основание натуральных логарифмов принимается число

следовательно, модулем для перехода от натуральных логарифмов к десятичным будет

Модулем для перехода от дестичных логарифмов к натуральным будет

Отсюда ясно, что

т. е. отношение двух логарифмов одной системы равно отношению логарифмов тех же чисел при основании другой системы. Возьмем уравнение

Можно данные в левой части логарифмы перевести на логарифмы любого основания. Переведем к основаниям \0:е:3. Получим уравнения:

Решаем каждое из этих уравнений.

Показательно-логарифмическое уравнение (|/x)lZbX 1=5 лучше сразу и логарифмировать при основании 5:

Примеры для упражнений

Доказать тождества:

Решить уравнения

13-й урок 1 час

ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО: al*aN=N

Если am = N, то m = \ga N. Подставив в первое равенство значение т, полученное во втором равенстве, будем иметь:

Примеры для упражнений

11—15-й уроки 2 часа

СИСТЕМЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

I. 7*.2^ = 784; у — х = 2. Разлагаем 784 на множители 7* • 2'= 72 • 24. Полученное уравнение решаем логарифмированием, заменив предварительно у его значением из второго уравнения:

откуда

Решая полученную систему, найдем, что

III.

Логарифмируем оба уравнения:

Уравниваем коэфициенты при \gy:

и складываем почленно оба уравнения, получим:

если \gx = 0, то лг=1, а следовательно и у = \: если ах — Ьу = 0, то, заменив по 2-му уравнению у через х, будем иметь:

Логарифмирование последнего уравнения дает:

откуда

следовательно:

Можно было, определив из второго данного уравнения значение у, сразу подставить это значение в первое уравнение.

Из второго уравнения

Возможно, что jé=1, тогда равенство не зависит от показателя степени. Если же X не равен 1, то

Логарифмируем последнее уравнение

то следовательно:

откуда

Определяем из второго уравнения lg у, возводим его в квадрат и подставляем в первое уравнение:

откуда:

Потенцируем оба уравнения

Заменяем

через z, тогда

второй корень не годится, так как z должен быть положительным числом, следовательно:

Во втором уравнении заменяем единицу через 3° и решаем уравнение: lg (2—д;) = 0 получим 2у — х = 1. Решение полученной системы 1-й степени дает:

Упражнения

Разных типов логарифмические и показательные уравнения (в том числе дававшиеся в 1936—1937 гг. при поступлении в вузы).

Определить х без логарифмирования.

ЗАДАЧИ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ОБЪЕМОВ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

Р. КОКОРЕВ (Калинин)

Решение геометрических задач на определение объемов и поверхностей тел вращения немало способствует выработке у учащихся пространственных представлений.

Практика показывает, что наилучшему усвоению отдела о круглых телах и развитию пространственного представления способствует подбор задач, при решении которых выяснился бы процесс вращения прямой, ломаной или кривой линий около оси, лежащей с ними в одной плоскости.

В случае трудности для учащихся представить тело вращения, полезно приготовить из проволоки модель данной плоской фигуры, прикрепив ее к проволочной оси, и тогда можно, вращая ось, получить зрительное впечатление, соответствующее тому или иному телу вращения.

При решении предварительно следует произвести анализ задачи, т. е. найти те линии, от которых зависит решение; если нужно, провести дополнительное построение и выбрать наивыгоднейший ход решения. Каждую из задач следует решить в общем виде. После получения окончательных формул подставить данные числовые значения.

Чтобы не создать для учащихся больших трудностей на первых порах, нужно итти от задач простых и, по мере усвоения принципа и плана решения, переходить к сложным задачам, что мною предусмотрено в разработке самой последовательности задач.

Общий прием построения всякого тела вращения при том условии, что вращающаяся фигура лежит в одной плоскости с осью вращения, состоит в следующем. Из вершин данной фигуры опускаем перпендикуляры на ось вращения и продолжаем их за ось на расстояния, равные расстояниям от этих вершин до оси. Точки, полученные таким образом по другую сторону оси, соединяем между собой; полученная фигура будет симметрична данной относительно оси. Затем останется рассмотреть поверхности, образованные вращением того или иного отрезка, помня, что каждая точка данной фигуры, кроме точек (и отрезков), лежащих на оси и потому неподвижных, опишет окружность, центр которой будет лежать на оси вращения, а радиус равен расстоянию от точки до оси вращения.

Каждая задача иллюстрирована в дальнейшем четырьмя рисунками, позволяющими постепенно переходить от основной данной фигуры к представлению о виде получающихся поверхностей и объемов, и вместе с тем позволяющих легко видеть основные формулы для поверхностей и объемов.

Эти задачи целесообразно использовать на IX и X годах обучения, когда у учащихся накопится достаточный багаж математических знаний, необходимый для решения данных задач, и когда учащиеся заканчивают прохождение элементарной математики и переходят к изучению высшей.

Особенно на этом этапе ценно будет применять для проверки результатов 1-ю и 2-ю теоремы Гюльдена. Всякий раз, при проверке результата решения теоремами Гюльдена, учащиеся безусловно поймут ценность этих теорем, что послужит стимулом возникновения интереса к изучению в дальнейшем высшей математики.

Теоремы Гюльдена формулируются следующим образом:

1-я теорема Гюльдена

Если отрезок или периметр какой-либо плоской фигуры вращается вокруг оси, лежащей в той же плоскости, но ее не пересекающей, то образующаяся поверхность численно равна произведению из периметра вращающейся фигуры на длину пути, описанного центром тяжести этой фигуры.

2-я теорема Гюльдена

Если плоская фигура вращается вокруг оси, лежащей в ее плоскости, но этой фигуры не пересекающей, то объем получающегося тела вращения численно равен произведению площади вращающейся фигуры на длину пути, описанного ее центром тяжести.

Теперь конкретно рассмотрим характерные задачи на определение объемов и поверхностей тел вращения, решаемые методами элементарной математики с проверкой результатов по теоремам Гюльдена.

ЗАДАЧА I.

Определить объем и поверхность тела, полученного от вращения прямоугольника, имеющего основание а и высоту Ь, вокруг оси, параллельной стороне и проходящей от нее на расстоянии h.

Основными отрезками будут представленные на чертеже a, b w h.

Объем, образованный движением площади, будем кратко обозначать Об (...).

Например, будем обозначать объем, описанный движением фигуры KBCL, через: Об (KBCL).

По Гюльдену: ab — площадь,

— путь центра тяжести.

Определение поверхности вращения. Будем обозначать поверхность, образованную движением фигуры KBCL, через: Пов (KBCL).

По Гюльдену: периметр фигуры,

— путь центра тяжести.

Полученные ответы вполне подтверждаются 1-й и 2-й теоремами Гюльдена.

Проведем в нашем прямоугольнике ABCD диагональ АС и определим отдельно объемы, образованные вращением треугольников ABC и ACD.

По Гюльдену: площадь треугольника,

путь центра тяжести.

Черт. 1.

Черт. 2.

По Гюльдену: площадь треугольника.

путь центра тяжести.

Вращая равные треугольники мы получили разные объемы тел вращения. Это получилось потому, что при равенстве площадей вращаемых фигур мы имеем для них разные пути центров тяжести.

Сложим результаты вычисления объемов тел вращения треугольников ACD и ABC.

А это есть объем, полученный от вращения прямоугольника ABCD.

ЗАДАЧА 2.

Квадрат, имеющий сторону а, вращается вокруг оси, проходящей через его вершину перпендикулярно к диагонали. Найти объем и поверхность тела вращения.

Основными линиями считаем: ВС—а и ВО= ОС=Ь. (Ь — обозначение временное).

Черт. 3.

По Гюльдену:

площадь фигуры, -путь центра тяжести,

Из чертежа видно, что

По Гюльдену:

4а—периметр фигуры, 2тг£ — путь центра тяжести.

ЗАДАЧА 3.

Квадрат, имеющий сторону а, вращается вокруг оси, проходящей перпендикулярно к его диагонали в расстоянии h от вершины. Найти объем и поверхность тела вращения.

Черт. 4.

По Гюльдену: а2 — площадь фигуры,

путь центра тяжести.

По Гюльдену: 4а — периметр фигуры,

— путь центра тяжести.

ЗАДАЧА 4

Прямоугольник, имеющий стороны 2а и 2Ь, вращается вокруг оси, проходящей через его вершину перпендикулярно к диагонали. Найти объем и поверхность тела вращения.

Найдем величину h.

Двойная площадь треугольника ABC—

Подставим данную величину в выражение объема

Черт. 5.

По Гюльдену: площадь фигуры,

путь центра тяжести.

По Гюльдену: периметр фигуры, ,2 — путь центра тяжести.

ЗАДАЧА 5

Правильный шестиугольник, сторона которого равна а, вращается вокруг оси, совпадающей с одной из сторон. Определить объем и поверхность тела вращения.

Подставляем значение для т и п:

По Гюльдену:

— площадь фигуры, путь центра тяжести.

По Гюльдену: 6а — периметр фигуры,

— путь центра тяжести.

Черт. 6.

Примечание. Применяя теорему Гюльдена, мы должны для периметра взять 6а, a не 5а, хотя одна из сторон не принимает участие в образовании поверхности.

ЗАДАЧА 6

Шестиугольник, имеющий сторону равную а, вращается вокруг оси, проходящей перпендикулярно к его диагонали, соединяющей две противоположные вершины. Найти поверхность и объем тела вращения.

Находим значение для т и п

Значение

подставляем в полученную формулу

По Гюльдену: — площадь фигуры,

— путь центра тяжести.

Черт. 7.

Подставляем значение

По Гюльдену:

6а — периметр фигуры, 2тш — путь центра тяжести.

Пов (ABCDESA) = 6a.2na=\2na*.

ЗАДАЧА 7

Ромб, имеющий сторону а и острый угол а, вращается вокруг оси, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно диагонали. Найти объем и поверхность тела вращения.

По Гюльдену:

— площадь фигуры,

путь центра тяжести.

По Гюльдену: 4а—периметр фигуры,

— путь центра тяжести.

ЗАДАЧА 8

Квадрат, имеющий сторону а, вращается вокруг оси, составляющей со стороной квадрата угол а. Найти объем и поверхность тела вращения.

Черт. 8.

По Гюльдену:

— путь центра тяжести

а2— площадь фигуры.

Черт. 9.

Подставим

По Гюльдену:

— путь центра тяжести,

4а — периметр фигуры.

ЗАДАЧА 9

Прямоугольник, имеющий стороны 2а и 2Ь, вращается вокруг оси под углом а к стороне а. Найти объем и поверхность тела вращения.

По Гюльдену: ab — площадь фигуры,

— путь центра тяжести.

Черт. 10.

По Гюльдену: (2а + 2b) — периметр фигуры,

путь центра тяжести,

ЗАДАЧА 10

Равносторонний треугольник вращается вокруг оси под углом а к одной из его сторон.

Определить объем и поверхность тела вращения.

Черт. 11.

По Гюльдену:

— площадь фигуры,

— путь центра тяжести.

По Гюльдену: 3а — периметр фигуры,

путь центра

тяжести.

ЗАДАЧА ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПОВЕРХНОСТИ ТОРА

Окружность радиуса /?, центр которой находится от оси на расстоянии а*, вращается вокруг этой оси (/JSrf).

Определить поверхность тела вращения.

По Гюльдену:

2тг/? — периметр фигуры,

2nd — путь центра тяжести,

2тг/? • 2nd — 4n2Rd — поверхности тора.

Если d = R, то поверхность тора будет равна площади квадрата со стороной 2тг/?.

5 = 2n2RR = 4n2R2 _ (2тг/?)2.

Наглядное пособие

Для иллюстрации 1-й и 2-й теорем Гюльдена мною изготовлено в столярной мастерской наглядное пособие, которое состоит из двенадцати прямоугольных призм, имеющих в основании трапеции и в сечении прямоугольники.

При сложении этих призм мы получим призматического вида тело с 12-угольным отверстием и по форме близкое к разности объемов двух цилиндров (черт. 1).

Кроме того, из 12 призм мы можем сложить косоугольный параллелепипед (черт. 2). Распилив одну призму пополам (черт. 3), мы сложим прямоугольный параллелепипед (черт. 4).

Вращая прямоугольник, равный сечению призмы, вокруг оси (черт. 5), мы получим тело вращения цилиндрической формы с вынутым в середине малым цилиндром.

Если через ось цилиндрического кольца провести плоскость, то она пересечет это кольцо и в сечении получится прямоугольник. Центр тяжести прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей.

Вращая вышеупомянутую плоскость вокруг оси, мы найдем, что центр тяжести описывает окружность, по размеру являющуюся средним арифметическим между размерами наружной и внутренней окружностей кольца.

Объем и поверхность сложенного нами из 12 призм параллелепипеда выразится: v = s*h, где S—площадь, Р—периметр w=ph основания (сечения) и h — высота.

Если мы будем увеличивать в нашем 12-угольном кольце число сторон, превращая призмы в бесконечно тонкие пластинки при прежнем их сечении и прежнем радиусе кольца, то в пределе мы получим кольцо цилиндрической формы, к которому теоремы Гюльдена применимы с совершенной точностью. Следовательно, путь центра тяжести вращаемого прямоугольника будет равен 2тг/?г, где Rc есть радиус окружности, проходящей через центр вращающейся фигуры.

Черт. 12.

Объем и поверхность цилиндрического кольца будут численно равны: v = s-2nRc, w=p2nRcJ где 5 — площадь сечения кольца и 2тг/?^ — путь центра тяжести.

Рассмотренное нами наглядное пособие является хорошей иллюстрацией к теоремам Гюльдена, как выясняющее конкретно их содержание и облегчающее понимание решаемых задач.

Теоремы Гюльдена предполагается сообщить учащимся без доказательств, упоминая лишь о том, что такое доказательство требует знания высшей математики.

Очень поучительно некоторые изложенные задачи решать в обратном порядке, т. е. сначала получить результат при помощи теорем Гюльдена, а затем проверить элементарным вычислением. И в том и в другом случае учащиеся будут иметь возможность убедиться в большой экономии времени при решении задач по теоремам Гюльдена.

Черт. 13.

К ВЕСЕННИМ ИСПЫТАНИЯМ

ПОВЕРОЧНЫЕ ИСПЫТАНИЯ, ИХ ОРГАНИЗАЦИЯ, ПОДГОТОВКА К НИМ

Н. ЗЕРЧЕНИНОВ (Москва)

1. Письменные испытания

По всем классам с V по IX учитель подбирает для испытаний одну задачу и два примера.

В нынешнем учебном году V и VI классы одинаково закончили арифметику, поэтому и требования к учащимся на испытаниях будут почти одинаковые, — разница только в том, что знания дробей у учеников VI класса были проверены на испытаниях в прошлом году, а у учеников V класса их придется проверять в нынешнем году. Задачу и в V и в VI классе не следует давать на сложное тройное правило: такие задачи не жизненны, они мало влияют на математические знания учащихся, да и упражнялись ученики в таких задачах мало, так как подобных задач очень немного в задачнике. Всего удобнее дать задачу на два типа процентов или на один тип процентов на пропорциональное деление; в первом случае один пример надо дать на пропорциональное деление, а во втором — на другой тип процентов. Числа процентов следует брать не целые, а дробные, чтобы проверить знания учеников по дробям; для пропорционального деления тоже следует взять дроби обыкновенные и десятичные, можно взять и периодические, если их в VI классе удалось пройти при повторении.

Второй пример в V классе можно взять в виде строчки на совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями, а в VI классе — взять решение пропорции с дробными членами.

В VII классе задача должна быть на составление одного уравнения или системы двух уравнений. Из примеров — один можно дать на все действия над алгебраическими дробями, а другой — на решение буквенного уравнения с одним неизвестным.

В VIII классе задача должна быть на составление квадратного уравнения или системы квадратных уравнений. Из примеров — один можно дать на все действия над иррациональными выражениями, второй— на решение иррационального уравнения, приводящегося к квадратному, причем один из корней квадратного уравнения является корнем данного иррационального уравнения, а другой — нет.

В IX классе можно дать задачу, требующую использования формул арифметической или геометрической прогрессии. Один пример можно дать на вычисление числового значения выражения с нулевыми, отрицательными и дробными показателями, или показательное, или логарифмическое уравнением второй — на вычисление какого-либо выражения с помощью логарифмических таблиц.

Чтобы подготовить учащихся к письменным испытаниям, надо прежде всего ознакомить их с объемом работы. Если работа V — VII классов в общем не превышает по объему обычной письменной работы, которую большинство учеников заканчивает в течение одного часа, то работа VIII — X классов может показаться колоссальной для учеников, привыкших к одночасовой работе. Поэтому необходимо в течение IV четверти в VIII и IX классах сделать по меньшей мере одну, а в X классе две двухчасовых письменных работы такого же объема, как на испытании; тогда ученики поймут, что и работу на испытании большинство сумеет решить в два часа, и целый час еще остается в запасе.

Далеко не во всех школах на письменных работах соблюдается должный порядок. Необходимо прежде всего твердо поставить вопрос о черновиках и твердо проводить соответствующую линию во всех письменных работах IV четверти. В X классе, как известно, к выпускным работам предъявляются повышенные требования; поэтому в X классе ученикам даются сразу два листа с печатью школы,

и один из них используется в качестве беловика, а другой в качестве черновика с категорическим запрещением пользоваться бумажками, промокашками и тому подобными пособиями в качестве добавочных черновиков. В V — IX классах письменную работу на испытании следовало бы делать совсем без черновиков, но если в течение учебного года учитель не сумел добиться работы без черновиков, разумнее будет на испытании легализовать черновики, но не в форме листочка, промокашки и т. п., а в форме второго листа с печатью школы, совершенно такого же, как „беловой“ лист. Само собой разумеется, что пользование черновиком для ученика необязательно, он может часть работы сделать в уме, другую часть сделать прямо набело. Важно только обеспечить для учителя возможность полного контроля над самостоятельностью работы каждого ученика; для этого ученики должны и в черновике писать не вкривь и вкось, а в нормальном порядке и не замазывать написанного. Если ученик и не пользовался черновиком, он обязан вместе с своей работой подать и лист, выданный ему в качестве черновика.

Легализуя употребление черновиков, учитель должен еще на письменных работах IV четверти принять меры к тому, чтобы ученику не приходилось помимо своей воли прибегать к черновику. Дело в том, что далеко не всегда черновиками пользуются только те ученики, которые плохо знают математику и которым сначала нужно попробовать написать вычисление, а потом уже посмотреть, хорошо ли вышло, — можно указать два случая, когда сам учитель заставляет учеников прибегать к черновику.

Первый случай: ученику нужно сделать дополнительное вычисление; это может быть умножением многозначных чисел при нахождении наименьшего общего кратного, или деление многозначных чисел при решении уравнений первой степени, или извлечение корня при решении квадратного уравнения, или деление десятичной дроби на двузначное число при отыскании логарифма корня, — есть учителя, которые во всех этих случаях говорят: „Сделай это в сторонке!“ На доске это будет действительно „в сторонке“, а на бумаге это означает черновик. Если же учитель не хочет черновика, он должен, во-первых, указать ученикам, что все дополнительные вычисления они должны делать на полях, а во-вторых, указать ученикам, что всякая работа, в которой не будет налицо таких вычислений, каких ученик не может сделать в уме, будет считаться списанной и будет оцениваться „очень плохо“.

Другой случай: многие учителя снижают отметку за „грязь“, причем за „грязь“ считается и аккуратно зачеркнутая ошибка. Но ведь письменные работы вообще, а работы на испытаниях в особенности, проходят при несколько повышенном нервном состоянии учеников, резко повышается возможность случайной ошибки. Что же делать ученику, который боится случайной „грязи“? Одно из двух: или мешать всему классу просьбами — вслух!—дать резинку и затем протирать свою работу чуть не до дыр, или же... или прибегнуть к черновику! Если учитель не хочет шума и беспорядка на письменных испытаниях, если учитель не хочет черновика, он должен объяснить ученикам, что аккуратно зачеркнутая ошибка не является „грязью“, что аккуратно зачеркнутая ошибка не мешает ученику получить „отлично“, что „грязью“ считаются только: 1) вычисление, замазанное чернилами до превращения в чернильное пятно; 2) вычисление, перечеркнутое вкривь и вкось; 3) неверное вычисление, поставленное в скобки, но не зачеркнутое; 4) верное вычисление, написанное на протертой до дыр бумаге.

Вообще учитель должен принять все меры к тому, чтобы учащиеся писали работу в возможно спокойном состоянии. 1) Еще на письменных работах ученики должны привыкнуть к тому, что во время письменной работы надо не мешать товарищам работать, что во время работы нельзя просить у товарищей перо, или ручку, или резинку, нельзя громко звать к себе учителя. 2) Перед началом работы учитель должен дать ученикам исчерпывающие указания, как им надо выполнять работу, и, в первую очередь предупредить обычный вопрос, надо ли переписывать на беловой лист условие задачи. 3) Ученики должны быть твердо убеждены, что в их распоряжении совершенно достаточно времени для спокойного выполнения работы. Лучше всего размножить задания с помощью копирки, дать каждому ученику отдельный листочек, а счет времени, отведенного на испытание, начать с того момента, когда будет выдан последний листочек. Если ученики списывают задание с доски, счет времени начинается с того момента, когда все ученики спишут задание. 4) Ученик, подающий законченную работу, всегда несколько нер-

вирует остальных учеников. Поэтому надо с самого начала предупредить учеников, что через два часа (или — в старших классах — через три часа) все работы должны быть поданы, но подача работы раньше срока дает автору только одно преимущество— возможность раньше уйти домой. Когда кто-либо из учеников заявит, что он работу закончил и может ее подать, следует уговаривать его не торопиться и проверить свою работу, так как времени остается еще много.

II. Устные испытания

Приказ Наркомпроса отводит на устные испытания очень мало времени: в V—VII классах всего четыре учебных часа, в VIII—X классах всего пять учебных часов. Таким образом, на опрос одного ученика V—VII классов учитель имеет 4—5 минут, на опрос одного ученика VIII—X классов всего 7—8 минут; для этого учитель должен очень четко организовать технику испытаний.

Прежде всего, учитель должен обеспечить возможность одновременной работы на доске трех учащихся; если классная доска недостаточна по размерам, надо потребовать, чтобы в класс поставили еще доску. Опыт предыдущих лет показывает, что при вызове трех учеников к доске испытание идет ровным, спокойным темпом, ибо учитель имеет всего 4—5 минут для опроса ученика, но ученик имеет еще 8—10 минут для подготовки своего ответа. Если вызывать одновременно не трех, а двух учеников, то ученик за 4— 5 минут не успевает подготовить свой ответ, и учителю приходится несколько минут сидеть молча. Если же вызывать одновременно четверых учеников, то ученик за 8—10 минут успевает подготовить свой ответ, и ему остается еще 4—5 минут на то, чтобы подсказывать своим товарищам.

Если в классе небольшая доска, и на ней могут одновременно работать только два и даже только один ученик, иногда все же вызывают трех учеников, но предлагают двум из них готовить свой ответ на листочке. Такая мера нисколько не обеспечивает нормального проведения испытания: или ученик, приготовивший свой ответ на листочке, так и отвечает по этому листочку, но тогда то, что он написал не видно ни классу, ни ассистенту; или же ученик, приготовивший свой ответ на листочке, идет затем к доске и снова проделывает всю работу на доске, но тогда его предварительная подготовка почти не дает экономии времени.

Не следует держать в напряжении весь класс; каждый ученик должен знать, после кого он будет вызван к доске, поэтому учеников следует вызывать по алфавиту. Однако из этого правила придется делать исключение в начале испытания. В самом деле, учитель вызывает к доске сразу трех учеников, каждому надо 8—10 минут, чтобы подготовиться к ответу, значит 8—10 минут учитель сидит молча. Поэтому в числе первой тройки надо вызвать двух учеников посильнее, таких учеников, которые сумели бы ответить сразу, без предварительной подготовки. Это, кстати, полезно и для других учеников: всякий бодрый, уверенный ответ очень подбадривает остальных. Надо только помнить, что в числе первых нельзя вызывать учеников, хорошо знающих математику, но нервных, которые могут растеряться и испортить все дело.

Сказанное выше относится в равной мере к началу каждого из четырех часов испытания. Ведь согласно приказу перемены обязательны, значит, к звонку, означающему конец урока, у доски должен оставаться только один ученик, которого учитель по звонку отпускает, и все уходят из класса. Однако опыт показывает полную невозможность организовать дело так, чтобы ровно в 9 часов были вызваны к доске ученики №№ 1, 2 и 3, чтобы в 9,04 был отпущен ученик № 1 и вызван ученик № 4 и т. д., чтобы в 9,36 был отпущен ученик № 9, и учитель вспомнил, что никого вызывать больше не надо, чтобы в 9,45 был отпущен ученик № 11 и началась перемена! Единственный выход— считать, что перемена обязательна для учеников, но не для учителя и не для ассистента, т. е, по звонку ученики выходят из класса, а учитель продолжает опрос учеников, стоящих у доски. Тогда учитель имеет на опрос половины класса не 90, а 100 минут, и может несколько более углубленно опрашивать сомнительных учеников.

Сказанное выше еще не обеспечивает нормальность темпа испытаний. Необходимо еще, чтобы билеты были правильно составлены, необходимо, чтобы ученики были знакомы с техникой испытаний.

Ученики должны знать, что в каждом билете будет два вопроса из различных отделов. Первый вопрос указывает, на каком материале ученик покажет свое уменье рассуждать; этот вопрос должен быть

очень четким. Нельзя писать „Признаки параллельности двух прямых“: ведь этих признаков семь, и ученик, прочитавши вопрос, не будет знать, нужно ли ему доказывать все семь признаков или только один из них и какой именно. Должно быть написано: „Доказать теорему о двух прямых, параллельных одной и той же третьей“; тогда ученик будет четко знать, что именно надо ему доказывать. Не следует давать для доказательства такие легкие теоремы, на которых ученик не может показать свое уменье логически рассуждать; не стоит, например, давать теорему о том, что перпендикуляр короче наклонной, — в этой теореме все доказательство фактически сводится к одной фразе: „против большего угла лежит большая сторона“. Не следует также давать для доказательства такие теоремы, которые требуют большого числа записей, как, например, теорема Герона. При постановке вопроса надо учитывать, для какого класса ставится этот вопрос. Так, например, вопрос „Вывод правила умножения десятичных дробей“ был бы уместен в X классе, если бы там было испытание по арифметике; для V и VI класса тот же вопрос должен быть поставлен иначе: „Перемножь 2,13 и 1,32; скажи правило умножения десятичных дробей и покажи на этом примере, откуда получается сказанное тобой правило умножения“.

Второй вопрос билета имеет целью проверить, умеет ли ученик применять на практике свои теоретические знания. Ставя этот вопрос, учитель должен помнить, как мало времени будет иметь ученик для решения задачи, и давать не очень сложные задачи, особенно в тех классах, где есть и письменная работа по тому же разделу математики.

Иногда в билете пишут и третий вопрос, имеющий целью проверить, знает ли ученик математические факты, т. е. определения, теоремы, правила, формулы. Конечно, на испытании такие вопросы задавать надо, и не один, но на эти вопросы ученик должен отвечать сразу, без подготовки, и писать эти вопросы в билете излишне.

Во время подготовки к ответу ученик должен написать на доске ответ на оба вопроса своего билета, написать все, чтобы потом отвечать, не касаясь мелом доски. Значит нужно учеников всех классов заранее приучать к тому, как они будут отвечать на испытании. Совершенно недопустимо, когда ученик сначала отвечает только на первый вопрос билета, потом начинает готовить ответ на второй вопрос, а учитель в это время спрашивает другого ученика, потом опять возвращается к первому: в это время время и учитель и ассистент уже немножко забыли, как отвечал ученик на первый вопрос, и впечатление от ответа оказывается весьма мозаичным.

О ПОВТОРЕНИИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Н. ЗЕРЧЕНИНОВ (Москва)

Каждый учитель математики перед объяснением нового материала всегда повторяет те математические факты (определения, правила, теоремы, формулы), которые будут использованы учителем при объяснении нового материала. Это делают все учителя; необходимость такого повторения никогда ни в ком не вызывала сомнения. Но как проводить это повторение? Надо ли эти математические факты (определения, правила, теоремы, формулы) повторять в тот момент, когда в них встретится надобность при разработке нового материала, или же сначала закончить все повторение и только после этого приступать к объяснению нового? В большинстве случаев целесообразнее второй путь: если ученики старое знают не очень крепко, то повторение отнимет много времени, и за это время ученики могут потерять нить рассуждений учителя. Допустим, учитель объясняет сложение дробей с разными знаменателями; он подробно объяснил, почему эти дроби надо сначала заменить равными им дробями с одинаковыми знаменателями, выяснил, что этот общий знаменатель должен быть наименьшим общим кратным всех данных знаменателей, — и в этот момент учитель узнает, что ученики основательно позабыли, как находится наименьшее общее кратное. А пока учитель напоминает ученикам, что называется кратным данного числа, что называется общим кратным данных чисел, что называется наименьшим общим кратным данных чисел и как находится в различных случаях это наименьшее общее кратное, — ученики уже позабыли, зачем надо при сложении приводить дроби к общему знаменателю и почему этот общий знаменатель должен быть наименьшим общим кратным всех данных знаменателей. Вот почему повторение такого типа целесообразнее проводить полностью перед началом объяснения нового материала. Однако неизмеримо важнее повторение другого типа. Ведь повторение является единственным средством добиться прочного знания пройденного. Но для этого повторение должно проводиться в течение длительного срока, а не в течение 5 — 6 уроков, которые в конце учебного года удается выкроить на повторение после выполнения всей программы данного года. Такое повторение должно начинаться 2 сентября и должно проводиться на каждом уроке в течение всего учебного года.

Что же повторять? Окончив школу, ученик должен, с одной стороны, обладать всей суммой общеобразовательных знаний, которые ему дали уроки математики, а с другой — всей суммой технических навыков, которые ему пригодятся для жизни и для дальнейшей учебы. Совершенно ясно, что с этой точки зрения нельзя ограничиваться только повторением материала, необходимого для новых выводов или для решения задач на данном уроке. В геометрии, например, некоторые теоремы (возьмем хотя бы признаки равенства треугольников) нужны для доказательства очень многих других теорем и повторяются часто, но есть много других теорем (возьмем хотя бы квадрат стороны треугольника, лежащей против тупого угла), которые ученик проходит в порядке систематического курса, а применять их будет только через год. И в том и в другом случае ученик будет повторять только текст теоремы как факт, доказательство же теоремы не повторяется ни в том, ни в другом случае. Поэтому, подбирая материал для повторения, учитель должен заботиться о том, чтобы все математические факты равномерно возобновлялись в памяти ученика, чтобы ученик имел возможность равномерно упражнять все свои математические навыки. Вот почему при повторении не следует стесняться ни рамками темы, ни рамками программы данного класса, ни рамками предмета; например, задавая на дом вывод формулы объема усеченного конуса, вполне уместно дать еще пример 1:0,4, если деление десятичных дробей давно не было в поле зрения учащихся. Многие учителя боятся, что такое повторение противоречит требованию ЦК партии о систематичности курса математики, но эти опасения совершенно необоснованы, так как постановление ЦК партии говорит о систематичности изложения предмета, чтобы в голове учащихся был цельный и стройный курс математики; повторение же должно только закреплять этот систематический курс. Таким образом повторять надо все: математические факты, доказательства теорем, производство вычислений и преобразований, решения задач.

Необходимо использовать три возможности повторения.

1. На каждом уроке учитель отводит минут пять для повторения старого материала, не связанного с темой данного урока. Повторяются, главным образом, математические факты (определения, правила, теоремы, формулы), но всегда можно подобрать и такие вопросы, ответ на которые потребует от ученика не только работы памяти, но и рассуждения; можно также подобрать маленькие примеры и задачи, которые учащиеся будут решать в уме. Пятиминутку повторения лучше устраивать в самом начале урока: с одной стороны, эта пятиминутка, требующая активной работы всего класса, служит прекрасной „зарядкой“; с другой — нет опасности, что учитель увлечется закреплением нового материала и на повторение совсем не останется времени.

Повторение проводится в форме беглого опроса с места; чем больше учеников будет спрошено, тем лучше, поэтому нецелесообразно задавать несколько вопросов одному и тому же ученику. При опросе по старому материалу учитель должен помнить, что это — повторение уже пройденного и закрепленного. Если ученик запинается при опросе по новому материалу, ему иногда надо помочь, дать наводящие вопросы. При повторении же ученик должен знать то, что ему задано, и отвечать сразу, без обдумывания, без наводящих вопросов. Если, например, ученик с места не может ответить сразу на вопрос: „Что называется наименьшим общим кратным нескольких чисел?“, этого достаточно, чтобы ему поставить сразу же отметку „плохо“. Однако такая жесткость требований к ученикам налагает и на учителя обязанность правильно организовать повторение, особенно если учитель не начал повторения с самого начала учебного года. К сожалению, бывают случаи, когда учитель после разговора о повторении с директором, или с завучем, или с инспектором роно идет в класс и сразу же начинает „гонять“ учеников по всему старому материалу. В результате учитель убеждается, что без повторения ученики старое знают очень плохо, и ему приходится или ставить „плохо“ чуть не всему классу, или не ставить никому. Плохо и то и другое: в первом случае учитель вызывает законное раздражение учеников: „Не задавал, а спрашивает!“, а во втором случае он внушает ученикам мысль, что повторение — вещь несерьезная, что старое можно и не знать.

Итак, учитель должен или с самого начала учебного года приучить учеников к мысли, что он на каждом уроке спрашивает их все старое, или же лишь постепенно расширять круг вопросов, которые он им задает. Если учитель задает для повторения целую главу по учебнику арифметики или геометрии, он должен точно разметить по книге, какие математические факты ученики должны знать наизусть, какие правила они должны уметь вывести, какие теоремы они должны доказывать.

2. Второй вид повторения — задавание на дом для письменного решения задач и примеров не только по новому материалу, но и по старому. Совсем не нужно, чтобы старого было много, нужно только, чтобы такие задания по старому давались систематически к каждому уроку.

3. Третий вид повторения — повторение в конце учебного года, когда вся программа данного года уже закончена. Здесь несколько изменяется целевая установка: если раньше повторение имело целью только закрепление пройденного, то в конце учебного года повторение имеет целью систематизировать все пройденное; вот почему, если в течение учебного года повторение обычно бывает несистематическим, повторение в конце учебного года обязательно проводится в порядке расположения материала в программе и учебнике.

Есть еще и иные формы повторения, имеющие целью, с одной стороны, увеличить число учащихся, опрашиваемых в течение урока, а с другой — индивидуализировать подход к отдельным учащимся. Можно, например, вместо устного опроса учащихся давать им для пятиминутной письменной работы заранее заготовленные карточки с 2—3 вопросами по старому материалу; это увеличивает охват класса и вместе с тем приучает учеников письменно излагать свои мысли. Можно также завести особые „круговые“ тетради, куда учитель пишет задания для отдельных учеников и предлагает им выполнить такое задание в свободное время в течение 1—2 недель. Обе формы повторения применяет т. Заозерский в 313-й школе Москвы с хорошими результатами. К сожалению, и та и другая формы требуют очень большой работы учителя по подготовке заданий и их проверке.

ПИСЬМЕННЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ В X КЛАССЕ ВЕСНОЙ 1937 ГОДА

Е. С. БЕРЕЗАНСКАЯ и А. Я. МАРГУЛИС (Москва. Институт средней школы)

Нами рассмотрены письменные работы, предложенные на выпускных испытаниях в 1936/37 уч. г. многими облоно РСФСР (Горьковским, Калининским, Кировским, Ленинградским, Оренбургским, Омским, Свердловским, Сталинградским, Северной области, Ярославским) и Украины — Винницким облоно; всего 53 варианта по алгебре и 58 по геометрии и тригонометрии.

I. Геометрия

1. Требования. Письменные выпускные испытания по геометрии и тригонометрии имеют целью выяснить, насколько учащиеся усвоили все отделы геометрии и тригонометрии, насколько развиты их пространственные представления.

Эти испытания должны выяснить, умеют ли учащиеся применять к решению конкретной задачи приобретенные знания и владеют ли они техникой тождественных преобразований.

Контрольная работа, предлагаемая на испытаниях, должна состоять (по указаниям НКП РСФСР) из задачи по геометрии с применением тригонометрии.

Геометрическая задача для контрольной работы должна содержать (кроме вычислений по известным учащимся формулам объемов и поверхностей тел) некоторый конструктивный элемент, дающий возможность сделать определенное заключение о понимании учащимися основных вопросов стереометрии (первые разделы курса — взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве), об умении пользоваться изученными теоремами, производить необходимые тождественные преобразования, безошибочно производить вычисления при помощи таблиц логарифмов.

Выбор задач в основном был обусловлен курсом стереометрии X класса.

Кроме того, повидимому, при составлении задач было учтено, что задача, предлагаемая на испытании должна принадлежать к типам, рассматриваемым в стабильном задачнике. Но в то же время нам кажется неверным брать для контрольной работы задачи непосредственно из задачника, что имело место в части вариантов некоторых областных отделов народного образования. Например,

Горьковск. облоно вариант 2-й взят из Рыбкина § 23 № 5 4-й „ „ „ §23№ 1 Кировский 9 п 1-й ,, „ §21 №17

Омский „ п 2-й „ „ §21 №4*

Северный „ „ 2-й „ „ § 22 № 4

Так же взяты из стабильного задачника некоторые задачи, предложенные Винницким облоно.

2. Примеры и упражнения по тригонометрии. В 1936/37 уч. г. на выпускных испытаниях в РСФСР, судя по присланным материалам, давалась лишь одна задача по геометрии, тогда как Винницкий облоно (Украина) включил в контрольную работу и чисто тригонометрические вопросы — решение тригонометрических уравнений, тождественные преобразования. Между прочим, интересно заметить что, в работах Винницкого облоно, в отличие от всех остальных работ, не приводились числовые значения данных величин в геометрических задачах, требовалось дать решение лишь в общем виде, но зато предлагалось решить треугольник с числовыми данными, при помощи таблиц логарифмов.

Тригонометрические уравнения для решения были предложены следующие:

3. Задачи. Тематика. Переходя к анализу содержания задач, которые предлагались по стереометрии с применением тригонометрии, надо прежде всего отметить, что подавляющее большинство из них требовало вычисления объема или поверхности тел. Исключением является 3-й вариант Винницкого облоно — „Высота конуса равна Н\ угол между высотой и образующей равен ß. Найти площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен а“.

Часть задач связана с рассмотрением тел вращения, иногда слишком простых,

сводящихся к телам вращения, полученным от вращения треугольника вокруг стороны или оси, проведенной перпендикулярно к одной из его сторон через конец ее (Горьковский, Оренбургский облоно).

Разнообразием отличаются задачи Ленинградского и Северного облоно, в которых рассматриваются задачи не только на вычисление объема и поверхности тел, образованных вращением треугольника, но и тел, образованных вращением кругового сектора, параллелограма, ромба.

В остальных проанализированных нами 41 задаче (не на тела вращения) рассматриваются: пирамида—в 20 случаях (Сталинград, Ярославль, Оренбург, Ленинград, Киров и др.), призма (Свердловск, Киров), конус (Ленинград, Омск, Оренбург, Винница), цилиндр (Ленинград). Остальные 11 задач включают комбинации тел, как например, призма, вписанная в конус, пирамида, вписанная в шар или конус, пересечение конуса и сферы и т. п.

Эти задачи были предложены в Ленинграде, Омске и других облоно.

Крайне незначительно число задач, требующих вычисления объема или поверхности шарового сегмента или сектора (из имеющихся у нас задач всего две). В качестве недочета нужно отметить, что иногда различные варианты задач одного и того же облоно значительно разнятся по трудности.

4. Задачи. Общий обзор. Представляют некоторый интерес следующие задачи, предложенные на испытаниях:

1. Угол, составленный двумя образующими, проведенными к концам одного и того же диаметра основания конуса а = 36°41'20“, высота h = 4,35 м. Определить объем шарового сектора, образующегося через дополнение конуса соответствующим шаровым сегментом (Северный облоно).

Для решения нужно знать формулу для вычисления объема шарового сегмента по радиусу шара и высоте сегмента, нужно уметь решить прямоугольный треугольник

и знать формулу

2. „В основании прямой призмы лежит ромб с периметром а и острым уголом ср. Сечение, проведенное через большую диагональ одного основания и вершину тупого угла другого основания, представляет собой прямоугольный треугольник. Определить объем призмы (а = 440,03; <р = 34°14'48“ (Киров).

Трудности при решении (правда, легко преодолимые), состоят в установлении двух фактов:

а) что полученный треугольник—равнобедренный,

б) что высота его равна половине диагонали. Следует знать свойство диагоналей ромба.

3. Найти полную поверхность правильной четырехугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно а и угол между боковым ребром и стороной основания равен а.

Числовые значения а = 50,8; а=54°ЗГ. Решение проводится так: сторона основания 2а cos а, тогда:

4. Определить объем правильной треугольной пирамиды, если плоский угол при вершине равен a, a радиус окружности, описанной около боковой грани, равен R.

5. Определить объем правильной четырехугольной пирамиды, если плоский угол при вершине равен a, a радиус окружности, вписанной в боковую грань, равен г.

6. Сумма высоты правильной шестиугольной пирамиды с ее апофемой равна ту а угол между ними равен а.

Определить боковую поверхность.

7. Основаниями усеченной пирамиды служат равнобедренные треугольники с углами а при вершинах.

Разность между ребром пирамиды, соединяющим вершины этих углов, и высотою пирамиды, равна d, а угол между тем же ребром и высотою пирамиды равен ß. Каждая из равных сторон верхнего основания равна a, a соответственные стороны нижнего основания в п раз больше.

Найти объем пирамиды

8. Через вершину конуса проведена плоскость под углом а к основанию конуса; эта плоскость пересекает основание по хорде а, видимой из центра основания под углом ß. Найти объем конуса.

9. Круговой сектор, радиус которого /?, а угол при вершине а, вращается около диаметра круга, не пересекающего дуги сектора и составляющего угол ß с ближайшим его радиусом.

Определить поверхность шарового пояса, соответствующего дуге сектора.

а = 58°19'43“; ß = 19°47'; R = 4,89 м.

10. Угол между образующими конуса, проведенными к концам одного и того же диаметра основания, равен а. Радиус основания равен г. Найти радиус сферы с центром в вершине конуса, разделяющей объем конуса пополам.

а*=68°40'24“; /- = 49 см.

Следует заметить, что задачи Ленинградского ОНО (3—10) предъявляют к учащимся несколько более повышенные требования в представлении пространственных форм, чем большая часть задач других ОНО, что является в них положительным моментом.

Хорошего владения техникой тригонометрических преобразований требуют решения задач предложенных Оренбургским ОНО.

11. Боковые грани правильной четырехугольной пирамиды наклонены к плоскости основания под углом а = 37°38'. Плоскость, проходящая через вершину пирамиды и диагональ основания, дает в сечении с пирамидой треугольник, площадь которого M = 103,25 м2.

Определить объем и полную поверхность пирамиды.

12. Прямоугольный треугольник с острым углом а = 63°37' и высотою h— 10,75 м, опущенной на гипотенузу, вращается около гипотенузы. Определить поверхность и объем тела вращения.

13. В основание прямого конуса вписан треугольник. Одна из сторон его а—\ ,2 ом, а противолежащий этой стороне угол Л=109°2Г. Вычислить полную поверхность и объем конуса, если угол, составленный образующей с плоскостью конуса а = 43°26'

Следует отметить, что в ряде задач, полученных нами, встречаются неточности, как в ответах, так и в тексте (Оренбургский, Ярославский ОНО) — вместо „найти полную поверхность пирамиды“ написано „найти новую поверхность пирамиды“. Или написано решить уравнение

неясно, понимать ли под cosjcj/2 величину (cos л:) |/2 или cos (л: у/2) .

Отметим задачу, которая предлагалась Винницким (вар. 9-й) и Сталинградским (вар. 1) облоно

„Ромб ABCD с острым углом а перегнут по диагонали BD = d так, что плоскость треугольников ABD и BCD образует* двугранный угол ср. Вершины А и С соединены прямой так, что получается треугольная пирамида ABCD. Определить ее объем, если угол а = 48°32'30“, d =12 дециметров, угол <р = 72°25'28“.

Не говоря уже о нецелесообразности задания углов с точностью до секунд, при данном числовом значении d, из условия неясно — проходит ли диагональ BD внутри угла а, от чего существенно зависит ответ (в зависимости от этого возможны два решения. Так ли хотели составители?).

Числовые значения данных в задачах величин в работах большинства оно даются с точностью до 5-го знака (углы до секунд с расчетом, что вычисления проводятся при помощи пятизначных таблиц логарифмов).

Лишь Горьковский оно приводит (и как нам кажется вполне резонно) числовые значения так, что не исключена возможность использования и четырехзначных логарифмов, как например:

„В треугольнике ABC углы, прилежащие к основанию Л С, равны а и [j, а высота BD, опущенная на эту сторону, равна h. Определить объем и поверхность тела, полученного вращением этого тре-

* Сохраняем стиль подлинника.

угольника ABC около стороны АС. Вычислить объем при

(По таблицам Брадиса)

(По таблицам Пржевальского)

В работах Ярославского оно данные задачи заданы с точностью до третьего знака, (углы до минут). Вообще же возможен и такой выход,—приводить данные до 5-го знака (углы до секунд), но оговорить, что при пользовании таблицами четырехзначных логарифмов данные следует округлить— линейные до четвертого знака, углы—до минут.

В присланных задачах для испытаний ответы приведены лишь в задачах Ярославского и Северного облоно. Конечно учащимся ответы (если они и указываются в вариантах) никоим образом не должны сообщаться.

II. Алгебра

5. Требования. Программа по алгебре X класса в основном предопределяла темы письменных выпускных испытаний. Программа X класса содержит следующие разделы: „Соединения и бином Ньютона“, „Комплексные числа“, „Неравенства“, „Исследование уравнений и системы уравнений 1-й степени и квадратного трехчлена“, „Теорема Безу и ее следствия“, „Решение уравнений высших степеней, приводящихся к уравнениям I и II степени“ (двухчленных и трехчленных вида ax2n+bxn+c = 01 возвратных). По вопросам этих разделов курса и были даны письменные контрольные работы весной 1937 г. Из курса алгебры предыдущих лет проверялось уменье оканчивающих среднюю школу пользоваться логарифмами (в работах по геометрии с применением тригонометрии) и в редких случаях в письменных работах по алгебре предлагалось решить показательное уравнение, например, очень простое уравнение З7,5* = (Ярославский облоно). Кроме того, необходимость решить показательное уравнение, например,

простое иррациональное уравнение

необходимость использовать знание прогрессии встречаются в так называемых комбинированных задачах, предложенных на испытаниях в Сталинградском, Омском, Винницком и др. облоно (см. ниже).

По постановлению НКП РСФСР на письменных испытаниях по алгебре в X классе следовало предложить для решения два примера и одну задачу, что в большинстве случаев было выполнено. Там, где давались два варианта письменных работ для одного класса (Горьковский, Калининский, Кировский облоно), варианты эти в большинстве случаев совершенно аналогичны, но различные варианты, предлагавшиеся в различных школах одной и той же области иногда очень сильно различались. Так, мы имеем три варианта работ Калининского облоно, причем I и II варианты типичны для проверки знаний учеников по программе математики X класса—они содержат требование решить одну задачу на составление уравнения, один пример на бином Ньютона и одно уравнение степени выше второй; в третьем же варианте, кроме задачи, поставлены два вопроса: 1) привести к простейшему виду выражение

и 2) привести к простейшему виду выражение

6. Примеры на бином Ньютона. В некоторых вариантах (Горьковский, Сталинградский, Северный облоно) не было дано специальное упражнение на бином Ньютона, но иногда требование решить вопрос, связанный с биномом Ньютона, входило как один из элементов в упомянутые выше комбинированные задачи; имеются и неудачные варианты работ, где учащимся два раза приходилось выполнять работу, связанную с разложением бинома Ньютона.

Обычно на бином Ньютона дается один пример типа упражнений, имеющихся в стабильном задачнике:

Найти член, который не зависит от а в разложении

Найти член, который содержит х в степени— 3 — в разложении

Найти коэфициент при гъ в разложении

Найти 5-й член разложения

если известно, что коэфициент 3-го члена равен 780.

Найти очень высокий по номеру член разложения, а именно 199-ый член в разложении

В этих примерах наибольшее разнообразие имеется в вариантах Ленинградского облоно, и крайне простые упражнения предлагались в некоторых вариантах Оренбургского, Ярославского облоно. В комбинированной задаче, предложенной Сталинградским облоно, требуется:

найти показатель степени разложения бинома » если шестой член разложения содержит ух.

Аналогичные упражнения давались и Оренбургским облоно и др.

Ленинградским облоно были предложены и такие упражнения:

„В какую степень нужно возвысить (л: — а), чтобы разность коэфициентов 5-го и 7-го членов составила-^- коэфициента 6-го члена“.

„Найти чему равняется сумма коэфициентов нечетных членов разложения (а — Ь)7, не вычисляя самих коэфициентов“.

Нам кажется, что последний вопрос целесообразнее было бы поставить во время устных испытаний. Кировским облоно был предложен пример, где упражнение на бином Ньютона соединялось еще с одним упражнением на решение неравенства:

„В разложении бинома Ньютона

найти член, не содержащий jc, если п равно целому значению дг, удовлетворяющему неравенству

В некоторых вариантах Ленинградского облоно вместо бинома Ньютона предлагалось:

Вычислить (х+4)(х+2)(х—1) или (1— х){х+2)(х — 3)( — 4 — х), не производя умножения, или предлагалось найти X из равенства А*х : С^+1 = 33:7, решение которого приводит к решению уравнения 1 степени.

Найти m из равенства

решение которого приводит к разложению многочлена на множители. Таких упражнений в вариантах других облоно мы не встречали, хотя они также соответствуют программе X класса.

7. Примеры на решение уравнений высших степеней. Вторым вопросом почти во всех письменных работах было требование решить уравнение степени выше второй, приводящееся к квадратному уравнению и уравнению 1-й степени. Во многих случаях предлагалось для решения типичное возвратное уравнение 4-й степени (Омск, Горький, Калинин, Ленинград). Иногда это уравнение содержало дробные коэфициенты:

(Сталинград),

иногда давалось возвратное уравнение 5-й степени (Оренбург). Во многих случаях предлагалось трехчленное уравнение, решение которого легко приводится к решению квадратного уравнения и двучленного 3-й степени (Горьковского, Оренбургского и др.), например,

jc6 + 26x3 —27 = 0; л:6 + 8 = 9л;3 и др.

(В Москве давались аналогичные упражнения несколько более сложные:

или

Ленинградским облоно давались двучленные уравнения:

а также ставилось требование:

найти все значения корня

чего мы не встречали в вариантах других облоно. Во многих вариантах имелись уравнения высших степеней, в которых требовалось разложить многочлен на множители. Одни из этих примеров были совсем просты:

или несколько сложнее

Интереснее упражнение Калининского облоно:

решить уравнение

(В г. Москве было предложено уравнение 8л:3 + 16л: = 9, где один из корней равен — V

Ленинградским облоно предлагалось упражнение в следующей форме:

„зная корень х= — 3 уравнения х*+х2 — 41л: — 105 — 0, решить его“

или

„зная корень х = — 5, решить уравнение хъ + 5л:4 — 25л:3 — 125л:2 + 144л:4-720 = 0“.

(Приводится к биквадратному уравнению),

„зная корень л: = 4, решить

(приводится к уравнению 3-й степени, левая часть которого разлагается на множители, а правая равна 0). В этих упражнениях ученикам приходится показать уменье делить многочлен на (x^fa). Особого вида задачи были даны Кировским облоно, а именно: решить

(приводится к уравнению 3-й степени).

(приводится к возвратному уравнению 4-й степени); такого же характера примеры были даны Северным облоно:

(приводятся к возвратному уравнению 4-й степени). Кроме того, Северным облоно давались следующие примеры: „в квадратном уравнении

определить а так, чтобы это уравнение имело равные корни“;

аналогичный пример мы встречаем в вариантах Горьковского облоно

„при каком значении а уравнение

имеет равные корни?“

В некоторых вариантах работ Горьковского облоно было также предложено исследовать решение уравнения 1-й степени, а именно:

„вычислить значения ß, при которых один из корней системы

равен 0

или: решить систему

вычислить, при каких значениях а и с система будет неопределенная“.

(Задача, предложенная в этих вариантах уже не включала требования произвести исследование полученного решения).

Надо указать, что в Северной области было предложено для решения уравнение с мнимыми коэфициентами, что нельзя признать правильным, так как в курсе X класса этот вопрос не рассматривается.

8. Задачи. Текстовые задачи, предложенные на выпускных письменных испытаниях весной 1936/37 г., могут быть разбиты на три группы: 1) задачи, которые требовали только составления и решения уравнения, 2) задачи, в которых требовалось дополнительно исследовать полученное решение и 3) так называемые „комбинированные“ задачи (Калинин, Омск, Сталинград). Содержание задач, которые давались, достаточно разнообразно, но не оригинально: обычно давалась та фабула, которая имеется в задачах стабильного задачника: на движение поездов, велосипедистов и т. д., на движение по течению и против течения, на бассейны и водоемы, на сплавы, на расчеты стоимости, задачи геометрического содержания, отвлеченные задачи с перестановкой цифр в записи числа, с действиями над числами и т. п. Обычно решение задачи приводилось к решению квадратного уравнения, а решение задачи, требующей в дальнейшем исследования решения, приводилось к уравнению 1-й степени.

Приведем примеры. 1) (Горький) „Расстояние по реке между двумя городами равно 80 км. Пароход совершает этот

путь в два конца в 8— часа. Определить скорость парохода в стоячей воде, считая скорость течения реки равной 4 км в час“;

„найти двузначное число, в котором цифра десятков на 2 меньше цифры единиц. Известно, что отношение этого числа к числу, написанному теми же цифрами, но в обратном порядке, равно а. Выяснить, при каком значении а задача не имеет решения“.

2) (Киров). „Разложить п на 2 части так, чтобы от деления числа а сначала на одну из этих частей, а потом на другую, получить 2 частных, сумма которых была бы равна единице.

При каком соотношении между а и п задача невозможна; при каком — оба решения одинаковы?“.

3. (Оренбург). „Из двух сортов чая ценою по а и b рублей килограмм составлено m кг смеси ценою по с рубл. Сколько килограммов каждого сорта взяли в смеси?“ (сохранен стиль условия). Требование исследовать полученное решение в задаче не указано, но в ответе указаны случаи, когда получается положительное решение, отрицательное, —когда решение невозможно и т. д.

Там же была дана аналогичная задача, содержащая понятие удельного веса:

„Удельный вес двух металлов тип. Сколько граммов надо взять каждого металла, чтобы получить а граммов сплава с удельным весом Р“.

Иногда (в частности Ленинград, Свердловск), в некоторых вариантах предлагали для решения (без последующего исследования) задачи на составление уравнения 1-й степени, ниже средней трудности, например:

„Со станции отправлен поезд со скоростью 25 кмjчас. Через 1 -i- часа в том же направлении отправлен новый поезд со скоростью 40 км\час. Через сколько часов после своего отправления второй поезд догонит первый?“ (Ленинград).

Такие задачи имелись в 5 вариантах из 15, остальные задачи были на много сложнее. (Надо отметить, что иногда и редакция и содержание задач недостаточно тщательно выверялись их составителями.) Отметим, что такие же задачи по содержанию, например, на движение, но более сложные по структуре предлагались в Москве. Приведем одну из них (вариант 8):

„Расстояние между станциями равно 3 км. Скорый поезд проходит это расстояние на t часов быстрее почтового, средняя скорость которого на v км\нас меньше средней скорости второго поезда. Найти скорости обоих поездов“.

9. „Комбинированные“ задачи. Перейдем к рассмотрению третьей группы задач, которые давались на письменных испытаниях по алгебре, а именно, к так называемым „комбинированным“ задачам. Это такие задачи, в которых для получения данных основной задачи надо предварительно решить несколько упражнений. Эти задачи представляют собой искусственное соединение нескольких задач, а большей частью искусственное соединение нескольких примеров по различным разделам курса. Как правило, мы не считаем полезным такие задачи на испытаниях, поскольку в тексте испытаний имеются и без того два упражнения-примера, а цель задачи выявить уменье учащихся по условию задачи составить уравнение. Из предложенных на испытаниях комбинированных задач только некоторые одним из своих элементов имеют также и составление уравнений по условию. Приведем в качестве примера один из вариантов задачи Калининского облоно:

„Стороны прямоугольного треугольника составляют арифметическую прогрессию, а его площадь выражается числом в 10 раз больше корня уравнения

Найти стороны треугольника“.

Содержание задачи другого варианта представляет собой только комбинацию трех упражнений.

„Среднее арифметическое двух неизвестных чисел равно числу

а их среднее геометрическое — упятеренному логарифму числа 27 по основанию 9. Найти эти неизвестные числа“.

Приведем очень сложную задачу Омского облоно; в ней надо решить четыре сложных упражнения, а составление уравнения сводится только к применению теоремы Пифагора:

„Два тела движутся по двум взаимноперпендикулярным прямым по направлению к точке их пересечения. В начале движения расстояние первого тела от точки

пересечения в метрах было равно — среднего члена разложения бинома (m + m'1)12, а расстояние второго тела от точки пересечения в метрах было в 10 раз больше суммы четырех членов геометрической прогрессии, имеющей первым членом 0,2 и третьим членом —. После того, как первое тело двигалось столько секунд, сколько единиц имеет значение /г, удовлетворяющее уравнению С^ + \ = А\, а второе тело двигалось столько секунд, сколько единиц в положительном корне уравнения: х*+х2-=хА-1, расстояние между телами оказалось 52 м.

„Определить скорость каждого тела, если скорость второго тела в 2 раза больше скорости первого тела“.

Задачи подобного рода на испытаниях надо признать недопустимыми. Они, кроме своей искусственности, отвлекают внимание ученика от сущности задачи, они часто и не дают возможности судить о знаниях ученика, так как случайная ошибка в одном из примеров не позволяет ученику довести до конца решение основной задачи.*

Несколько проще по структуре но аналогичные задачи давались и Сталинградским облоно, и Северным облоно, и Винницким облоно на Украине.

III. Некоторые организационные вопросы

Несомненно, что особое внимание должно быть обращено на организацию письменных испытаний. Дадим некоторые указания на основе учета опыта (в частности использовав опыт Ярославского облоно).

1. За одним столом должны сидеть лишь два ученика, причем один из них получает первый вариант работы, другой— второй.

2. Работа выполняется на бумаге школы со штампом последней.

3. Задачи и примеры должны сопровождаться подробным письменным объяснением, причем особо следует обратить внимание на то, чтобы введенные обозначения оговаривались, чтобы ясно было видно, что следует понимать под буквой, встречающейся в преобразованиях.

4. Задача и пример делаются сначала на черновом листе, который сдается преподавателю вместе с написанной набело работой. При проверке работы преподавателю необходимо принять во внимание и черновик. В черновике не обязательно записывать все, что в дальнейшем внесется в чистовой экземпляр. На черновике может быть дан эскиз, решение полностью или частично и лишь некоторые пояснения к нему.

5. Оба варианта отчетливо записываются на доске, преподаватель вслух зачитывает оба текста, после чего учащиеся записывают текст, и оба текста зачитываются вслух двумя учащимися; остальные в это время сверяют.

Примечание. Все эти этапы работы п. 5 отпадают, если задачи будут облоно размножены и присланы в школы с полным учетом числа выпускников.

6. В процессе выполнения работы никакие вопросы по решению не допускаются.

7. На выполнение работы отводится три полных часа (без перерыва).

* Нужно отметить, что задачи этого типа еще в дореволюционное время были осуждены математической общественностью. Редакция.

К ВОПРОСУ О ПИСЬМЕННЫХ РАБОТАХ ПО МАТЕМАТИКЕ ОКАНЧИВАЮЩИХ СРЕДНИЕ ШКОЛЫ

(в порядке обмена опытом)

Д. ГОНЧАРОВ (Одесса)

I. Темы письменных работ но математике в X классах

В прошлом 1936/37 уч. г. в Одессе и Одесской области ученикам X классов во время выпускных экзаменов были предложены два варианта задач по математике. Приведем здесь оба варианта задач по алгебре и по геометрии.

Первый вариант.

1. Для учеников приготовили а тетрадей с расчетом распределить тетради поровну между учениками. Но так как учеников оказалось на два человека меньше, нежели предполагалось, то на каждого учащегося пришлось одной тетрадью больше. Сколько было учеников? Исследовать, при каких значениях а корни удовлетворяют условию задачи.

2. Найти тот член разложения

в который входит £4, если известно, что коэфициент третьего члена этого разложения равен 66.

3. Вычислить

4. В квадратном уравнении

определить m так, чтобы

(xv хг — корни уравнения). Второй вариант.

1. Агроном рассчитал, что на участке величиною m квадратных метров он разведет несколько одинаковых грядок с различными агрокультурами (растениями). Но так как культур (сортов растений) оказалось впоследствии на две больше, то пришлось величину каждой грядки уменьшить на 1 м2. Сколько было различных культур? Исследовать при каких значениях m корни уравнения будут целыми и положительными числами.

2. Коэфициент 3-го члена разложения

равен 120. Найти тот член разложения, в который входит а1.

3. Вычислить

4. В квадратном уравнении

определить а так чтобы

(хи х2 — корни уравнения).

По геометрии также было предложено два варианта, задание каждого варианта состояло всего из одной стереометрической задачи на вычисление с приложением тригонометрии. Приведем эти задачи.

Первый вариант.

Через сторону а нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость под углом а к плоскости основания. Найти объем и боковую поверхность тела, которое находится между нижним основанием призмы и проведенной плоскостью, если а = 8,74 см и а = 48° 25'35“.

Второй вариант.

Высота правильной треугольной призмы равна h. Прямая, которая соединяет центр верхнего основания призмы со срединой стороны нижнего основания, наклонена к плоскости нижнего основания под углом а. Найти объем и полную поверхность призмы, если /г=12,5сл и а = 67°25' 32“.

Кроме приведенных выше двух вариантов заданий по алгебре и геометрии были еще разработаны 3 и 4-й варианты (по алгебре и геометрии) для школ, которые имеют параллельные классы и которые должны были проводить испытания в параллельных классах неодновременно. На этих последних заданиях не будем останавливаться поскольку работ учеников по 3-му и 4-му вариантам не было в нашем распоряжении и поскольку они охватили совсем незначительное количество школ (5—6 школ на всю область).

Если сопоставить задания, которые были даны для письменных работ с программами средней школы по математике, то нетрудно видеть, что эти задания в основном содержат материал главным образом по программе X класса.

2. Как справились с заданиями ученики X классов

В нашем распоряжении были работы по математике учеников X классов 14 различных школ (все школы Одесской области имели в 1936—37 уч. г. 117 выпускных X классов). Общее количество работ, которые были пересмотрены, следующее: по алгебре—328 работ, по геометрии— 320 работ. Что касается оценок работ

со стороны учителей на местах (по школам), то имеем следующую картину:

1« Работ по алгебре с оценками

Число работ: %

Отлично .....

52

16

Хорошо.....

105

32

Посредственно . .

115

35

Плохо ......

20

15

Очень плохо . . .

6

2

328

100

2. Работ по геометрии с оценками

Отлично .....

71

22

Хорошо.....

91

28

Посредственно . .

111

35

Плохо ......

42

13

Оч, плохо • . • .

5

2

320

100

Таким образом получается, что задания для учащихся были доступны: 83—85% учащихся с заданиями справились и только 17 — 15% дали неудовлетворительные показатели. Если сопоставить оценки по алгебре и по геометрии, то увидим, что разницы в оценках почти нет.

3. Образцы работ учащихся

Приведем некоторые образцы из лучших работ учащихся по алгебре и геометрии.

Задача 1 первого варианта (для учеников приготовили а тетрадей).

Основная цель этого задания состояла в том, чтобы исследовать в общем виде, при каких значениях а корни будут удовлетворять условию задачи. Поэтому мы не будем останавливаться на той части работы учащихся, которая относится к составлению уравнения и определенным преобразованиям этого уравнения, которые необходимо сделать, чтобы его решить, хотя этот вопрос и заслуживал бы внимания. Вот например, как проводит исследование один из учащихся X кл. средней школы № 15. Приводим выдержку из работы (в переводе с украинского на русский язык).

„По условию задачи а — целое и положительное число.

Значит l-f2a>0.

Значит корни уравнения действительные. Если а целое и положительное число, то в таком случае хх имеет положительное значение, а хг— отрицательное, которое не удовлетворяет условию задачи (число, которое выражает количество учеников может быть только положительным).

Теперь мы имеем корень уравнения

X должен быть целым числом. Значит л/\+2а целое число.

Пусть тогда

и

где п по абсолютной величине должно быть больше 1 потому что, если п = 1, то а = 0; п также должно быть нечетным числом, потому что в противном случае а не будет целым числом (это можно доказать таким образом: если п четное число, то п2 четное число, тогда п2 — 1 нечетное число, т. е. на 2 не делится. Значит а не будет целым числом; если же п нечетное, то п2 нечетное, тогда п2 — 1 четное, т. е. делится на 2; а будет целым числом).

Придавая п значение 3, 5, 7, 9 и т. д., мы получим соответственно значения а: 4, 12, 24, 40 и т. д., которые удовлетворяют условию задачи.

Сказанное можно представить в виде таблички:

п

3

5

7

9

а

4

12

24

40

Рассматривая работу этого ученика видим, что он вполне ясно понимает в чем суть задачи. Следует, между прочим, отметить, что работы такого же рода, как у него, не единичны.

Задача 1 второго варианта (агроном рассчитал). Уравнение, к которому приходят учащиеся, имеет вид:

Далее начинается исследование, подобное тому, которое было приведено выше для задачи I первого варианта, и выясняется, какие значения можно придать т. Отметим, что в данном случае m может получать не только целые значения, но и дробные, что отмечают, между прочим, и многие учащиеся.

Задача 2 первого варианта и задача 2 второго варианта. В решениях этих задач

ничего оригинального не имеется, а потому останавливаться на этом не будем. Укажем только, что очень малое количество учеников давали объяснения к этим задачам.

Задача 4 первого варианта. Что касается этой задачи, то тут нужно остановиться и рассмотреть несколько подробней. Учеников и учителей можно разделить на три категории в отношении способов решения этой задачи. Встречаются такие способы решения:

1-й способ.

Сумма корней квадратного уравнения на основании теоремы Виета равна хг+х2 = —- (I), а произведение ххх2 — -— (II).

По условию задачи необходимо, чтобы 6хг -(- х2 — О (III). Из этой системы уравнений (I), (II), (III) находим

2-й способ.

Учащиеся пишут (например средняя школа № 5).

Дальше берут бл^ + х2 = 0 и получают окончательно ответ т= — 2.

Очень много учеников разных школ (а с ними и преподаватели) решают этот пример так, как это было показано во втором способе, но не обращают внимание на то, что взять в качестве хх и что в качестве дг2, а потому пишут так:

и подставляя эти значения в формулу 6хг+х2 = 0 после соответствующих преобразований получают |/25 — \2т — —7, не замечая, что этого не может быть, так как с левой стороны мы имеем положительное число, а с правой отрицательное (учителя также этого не замечают, например, в средней школе № 15). Далее возводят левую и правую часть в квадрат и получают 25 — 12/я = 49, откуда находят ответ т——2 и на этом останавливаются, не задумываясь, что т = —2 есть корень иррационального уравнения

а не уравнения

По поводу этого примера даже были „дискуссии“ со стороны некоторых учителей. Эти учителя указывали, что пример составлен неправильно, что в условии надо было написать: „Определить m так, чтобы 6лг2 + = 0, а не бл^ + л:2 = О, ибо первый корень квадратного уравнения хх всегда находим по формулам решения квадратного уравнения, беря радикал со знаком плюс, а другой корень х2 находим, беря радикал со знаком минус.

Нужно здесь указать, что такие соображения неправильны, ибо корни квадратного уравнения равноправны: о корнях квадратного уравнения известно только, что их сумма

а произведение

Какой корень считать первым и какой вторым, никаких условий нет: через хг обозначают просто один из корней, а через х2 другой из корней квадратного уравнения, а какой именно считать первым по порядку и какой вторым, об этом ничего определенного сказать нельзя.

Задача 4 второго варианта. В решении этой задачи также находим различные способы, но эти решения не приводят к недоразумениям, так как по условию задачи требуется найти хг и х2 так, чтобы Х\Л~*2=35 и тут безразлично какой корень считают первым и какой вторым.

Лучшим способом решения этой задачи мы считаем тот, который основывается на теореме Виета и приводит вопрос к решению системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Задача 3 первого варианта и 3 второго варианта. С этими задачами ученики могли легко справиться, оперируя знаниями формулы бинома Ньютона и действиями с комплексными числами. Интересно отметить, что кроме, так сказать, примитивного подхода к решению этих примеров, который базируется на приложении формулы бинома Ньютона, мы находим

и оригинальные подходы учащихся, которые свидетельствуют о хорошей их ориентировке, умению подойти к каждому конкретному случаю не шаблонно. Приведем разные способы решения этих примеров.

1-й способ. Почти все ученики за исключением нескольких решали эти примеры непосредственно разворачивая оба двучлена по формулам бинома Ньютона, а потом делали приведение подобных членов.

2-й способ. Ученик (37-я школа) решает этот пример (1-(-/)8 — (1—/)8 так

Другой ученик той же школы дает такое решение:

Аналогичные решения встречаются и по другим школам.

3-й способ. Очень интересный, необычный для учащихся способ решения дает ученица 101-й школы.

4-й способ. Этот пример допускает также такое решение. Выражение

Таким образом

ибо знаменатель /8 = 1. Что касается примера

то как и в предыдущем случае почти все ученики применяют бином Ньютона и только в 3—4 случаях встречаются иные способы, подобные тем, которые мы указали выше. Укажем интересное решение этого примера, которое дано двумя учащимися 101-й школы, но которое они, к сожалению, не довели до конца. Способ их состоял в том, что они приводили комплексное число а+Ы к тригонометрической форме

и пользовались формулой Муавра. Однако в промежуточных преобразованиях допускали ошибки и потому к концу не пришли. Решения, которые мы встречаем у учеников 101-й школы, свидетельствуют об основательной проработке отдела комплексных чисел преподавателем в классе.

Рассматривая образцы работ по геометрии, мы не нашли особенно интересных подходов в решении задачи. Все решения обыкновенные и ничего оригинального не представляют. Укажем только, что в некоторых случаях оказалось, что ученики имеют развитое пространственное воображение. Например, в работе одного ученика 101-й школы читаем такое объяснение в задаче первого варианта:

„Тело, которое находится между плоскостью сечения и нижним основанием призмы в зависимости от высоты призмы может быть пирамидой или усеченной пирамидой. Не зная, чему равна высота призмы, мы можем рассматривать только первый случай“.

4. Недостатки наших школ

Выше мы привели положительные образцы решений задач. Однако, наряду с лучшими работами мы встречаем и работы, в которых немало недочетов. Сделаем попытку подвести итоги основным недостаткам, которые замечаются в работах учеников, а значит и в работе наших школ. Рассматривая работы по алгебре выпускников X классов, мы нашли такие недостатки.

1. В задачах № 1 первого и второго вариантов исследование не доведено до конца. Ученики не понимают, чего от них хотят, очень часто ученики проявляют примитивный подход к исследованию.

2. Не все благополучно в области теории уравнения и в области действий с радикалами. При решении задачи 4 первого варианта учащиеся пишут, а учителя не замечают такие выражения 5 }/г25— 12т = — — 35 (например, 48-я школа, 2-я школа

и т. д.). Тут имеем две ошибки: 1) ученикам не внушили, что при решении иррациональных уравнений могут появиться посторонние корни, что вследствие этого нужно проверять решение иррационального уравнения, чтобы обнаружить, нет ли посторонних решений, 2) с учениками не проработали как следует действий с радикалами (ведь этой ошибки не замечают и учителя). Нужно знать и помнить, что когда пишут а, то этот корень имеет п значений в области комплексных чисел, но когда производят действия с радикалами, то тут У~а имеет только одно значение. Если бы мы допустили разные комбинации, то в такой трактовке была бы страшная путаница в действиях с радикалами. Так например, сумма Vä+УЬ имела бы п2 разных значений. Чтобы этого избежать при действиях с радикалами, имеют в виду одно значение радикала, его арифметическое значение. Об этом предупреждается и в стабильном учебнике (см. А. Киселев — Алгебра ч. II).

3. Ученики не всегда сопровождают решения примеров надлежащими объяснениями, которые освещали бы те или иные теоретические вопросы, или по крайней мере сознательное отношение учеников к тем или иным преобразованиям. В большинстве случаев примеры решаются так сказать механически: ученики прилагают формулу и „молча“ пишут результат. И нет никакой уверенности, понимает ли ученик то, что он пишет. Так, например, в задачах 2 первого и второго вариантов ученики не объясняют, почему они пренебрегают вторым корнем квадратного уравнения.

4. Встречаются неправильные записи. Например, в уравнениях пишут несколько раз знак равенства. Кстати, учителя не замечают недостатков этих записей, так как оставляют их неподчеркнутыми у многих учеников.

5. Отсутствует у наших учащихся хорошее внешнее оформление работ. Во многих школах ученики подали работы внешне оформленные скверно, неопрятно. Часто нельзя разобрать, где начинается задача и где кончается, где первый листочек, а где второй. Калиграфия учеников скверная. Только в единичных случаях (например, 2-я школа) можно найти внешнее оформление в хорошем состоянии.

6. Учителя исправляют работы небрежно. Пропускают незамеченными много ошибок и математического и орфографического характера. Только в одной школе (№ 2) мы можем отметить внимательную проверку работ учеников учителем. В этой школе исправлены учителем орфографические и синтаксические ошибки; отмечены красными чернилами дефекты в работах и указано лаконически в чем дело. Например, „нет объяснений“, „задача не решена“, „проверки нет“, „не видно, как определено m“ и т. д.

7. Работы учащихся часто оцениваются выше, нежели они этого заслуживают. Так, например, был случай, когда 10 работ учеников, которые получили оценку „отлично“ со стороны учителя, были проверены в облнаробразе компетентными лицами вторично, и после этого пришлось все оценки „отлично“ понизить на оценки „хорошо“. Примеров переоценки работ можно привести немало.

Возьмем хотя бы Гросуловскую школу. В работе одного ученика допущены такие ошибки:

т. е. ученик не умеет возвести в квадрат двучлен, ученик ошибается в знаках, и, несмотря на это преподаватель исправил ошибки, но работу оценил „хорошо“. То же самое в работе другого ученика: допущены ошибки, а учитель также оценивает работу „хорошо“.

Остановимся теперь на недостатках, которые наблюдаются в работах по геометрии.

8. Общим недостатком работ по геометрии является отсутствие основательных и подробных объяснений к задачам. Учащиеся проводят те или другие линии, получают высоты, линейные углы, радиусы вписанного и описанного круга и т. д. и не объясняют, почему это будет именно высота, линейный угол и т. д. В тех случаях, когда объяснения встречаются, то они часто очень „скупые“ и не дают возможности говорить о степени усвоения теоретического материала.

9. Чертежи к задачам выполняются плохо, невыразительно, грязно (Адамовская школа, Гросуловская школа). Вообще чертежи в большинстве работ выполнены не вполне удовлетворительно.

10. Учащиеся избегают преобразования тригонометрических выражений к виду

удобному для логарифмирования. Например, когда по ходу задачи встречаются выражения в состав которых входит l+ctga, то ученики вместо того, чтобы преобразовать все выражение к виду, удобному для логарифмирования, разбивают выражение на два слагаемых, вычисляют при помощи логарифмов каждое слагаемое в отдельности и потом находят их сумму (Ново-Украинская школа, Адамовская школа, Бобринская школа).

11. Ученики не располагают рационально логарифмические вычисления. Сами вычисления проводят неаккуратно, нечетко пишут цифры и т. д.

12. Ученики допускают ошибки при нахождении логарифмов. Например, находя lg ctg а или lg cos а поправки прибавляют, в то время, когда их надо отнимать (48-я школа, а также и по другим школам).

13. Ученики проводят вычисления

с ошибками, дают различные ответы для одной и той же задачи, а учитель не замечает этих ошибок и оценивает работу „хорошо“ и даже „отлично“ (Адамовская школа).

14. Ученики впадают в „чрезмерную точность“ вычислений, вычисляя при помощи пятизначных таблиц логарифмов шесть знаков результатов. Такая „чрезмерная точность“ есть просто ошибка математического характера. Учителя должны помнить и внушать ученикам, что при помощи пятизначных таблиц, нельзя получить более чем 5 правильных знаков, к тому же и пятый знак не всегда бывает надежным (рекомендуем обратиться к книжке Брадиса „Теория и практика вычислений“).

Такое стремление к излишней „точности“ наблюдается даже в неплохих школах (Одесская 48-я школа, Николаевская 2-я и 5-я школы).

О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ, ОКОНЧИВШИХ VII КЛАССОВ НЕПОЛНОЙ СРЕДНЕЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

А. ВОЙТОВ (Свердловск)

В последнее время на страницах периодической и непериодической печати появилось и появляются много статей, в которых авторы стараются привлечь внимание советской общественности к работе нашей школы. Подавляющее большинство этих статей грешит тем, что выводы о достижениях и недочетах в работе школы, делаемые авторами этих статей, или носят общий характер, или, будучи конкретными, основаны на небольшом ряде фактов, подмеченных ими случайно. Нельзя, конечно, отрицать того положительного влияния на рост работы нашей школы, которые оказывают эти статьи. Они привлекают внимание общественности, мобилизуют силы работников школы, помогают этим работникам лучше, глубже, внимательнее и сознательнее проникнуть в существо педагогической работы и тем самым помогают поступательному движению школы к тем позициям, которые она намерена и обязательно должна захватить.

Но в работе школы, как, впрочем, и во всякой работе важна мобилизация внимания и сил не только к злободневному вопросу, не только к единичным фактам, имеющим немаловажное значение в общем ходе работы. В работе школы очень важно оглянуться назад на пройденный этап, проанализировать досконально этот этап и, на основании этого анализа наметить самые конкретные и самые детальные мероприятия по каждому отдельному разделу работы. Только такой метод будет иметь, я бы сказал, фундаментальное значение в работе школы; только при этом методе возможно создать совершенно реальный и твердый план повседневной, планомерной и организованной работы по дальнейшему укреплению школьного дела. Настоящая статья имеет своей целью притти на помощь школе на базе указанного метода. Она покажет совершенно конкретные недочеты в работе школы за последнее десятилетие в области математической подготовки учащихся, окончивших VII классов. Она покажет, что „коренной недостаток“ школы по разрезу математики далеко еще не изжит и что школе предстоит еще очень большая работа по изжитию этого недостатка. Предлагаемая статья составлена на основании систематически проводимого в течение последних десяти лет учета и анализа тех знаний по математике, которые обнаруживали учащиеся, окончившие VII классов средней и неполной средней школы, на испытаниях при поступлении в транспортные техникумы. Надо заметить, что, хотя один из этих техникумов находился в Воронеже, а другой в Свердловске, однако, как свидетельствовали об этом анкеты учащихся, на испытания приезжали ученики школ не только тех областей, в которых находятся указанные города, но и из других смежных с ними областей. Поэтому выводы, которые можно будет сделать на основании проделанной работы, можно с достаточной уверенностью распространить и на учащихся школ большинства наших областей.

Испытания проводились как письменные, так и устные.

На письменных испытаниях из года в год предлагались учащимся упражнения и задачи следующего типа:

9) Найти 2,250/0 от 532 руб.

10) Завод выпустил 36 паровозов, что составляет 240/0 всего заказа. Чему равен весь заказ.

11) Из полученных 237 лампочек, 29 лампочек оказались разбитыми. Чему равен процент разбитых лампочек.

12) Выразить 7,3 м* в дм*.

13) Выразить 0,7 м2 в см?.

14) Найти числовую величину следующего алгебраического выражения:

0,8дг2>/ — 0,2лгуЗ при х = 0,2 и у = — 1.

15) Сделать вычитание следующих дробей:

16) Решить уравнение:

17) Решить уравнение:

6,3 = 0,45л: = 0.

18) Решить уравнение относительно лг, считая „аи известной величиной:

19) Решить систему следующих двух уравнений с двумя неизвестными:

20) Определить угол В и угол D в трапеции ABCD на основании следующего чертежа.

Ежегодно числовые значения, входящие в указанные примеры и задачи, изменялись, но характер их оставался элементарным и неизменным.

Время для их решения не ограничивалось.

На устных испытаниях предлагались вопросы, в которых от учащихся требовались:

1. Знания основных определений из арифметики, алгебры и геометрии.

2. Знания и объяснения основных правил арифметики, алгебры и геометрии.

3. Знания основных теорем и доказательств из геометрии.

Результаты как письменных, так и устных испытаний были тщательно проанализированы и сопоставлены друг с другом; от них было отметено все случайное и сомнительное и в конце концов получилась следующая картина.

1) Знания и навыки учащихся по всем отдельным вопросам и по целым разделам математики (за исключением вопроса о делении простых дробей) из года в год неуклонно, с небольшими колебаниями, росли.

2) Знания и навыки учащихся, окончивших VII классов в 1937 г. значительно выше по сравнению со знаниями и навыками учащихся, окончивших школу 1929.

3) Указанный рост является совершенно недостаточным, так как, в среднем, результаты последнего, если можно так выразиться, рекордного года кратко можно охарактеризовать так:

а) правильно производят операции над целыми числами, простыми дробями и десятичными дробями только около -^учащихся, а — учащихся производит эти операции неправильно;

б) правильно оперируют с процентами только около -g- учащихся;

в) правильно оперируют с метрическими мерами только около -g- учащихся;

г) правильно производят элементарные, основные выкладки алгебраического характера только около g- учащихся;

д) элементарные геометрические задачи решают только около 35% учащихся.

Достижения, если только это можно назвать достижениями, очевидно недостаточные.

Конечно, было бы крайне ошибочным делать заключение о знаниях учащихся, основываясь только на числовых данных, характеризующих результаты их письменных испытаний.

Но, надо заметить, что испытания устные, проводимые всегда с учетом и контролем ошибок, сделанных учащимися на письменных испытаниях, выявили на последних испытаниях в прошлом 1937 г. еще более безотрадную картину. Конкретно раскрывая эту картину, можно отметить следующие наиболее примечательные моменты:

1) При написании целых чисел под диктовку и при операции деления целых чисел делают

грубые ошибки свыще 4“ учащихся.

2) При преобразовании и при сложении и вычитании простых дробей обнаружилось следующее:

а) около 30% учащихся исключают целое число так:

б) около 20% учащихся неправильно раздробляют целые единицы и доли, например, пишут так:

в) приблизительно у 40% учащихся слаб устный счет с однозначными и небольшими двузначными числами;

г) около 20% учащихся отказываются вовсе делать вычитание смешанных чисел и в том случае, когда числитель дроби уменьшаемого меньше числителя дроби вычитаемого (говорят: „забыл“, „не помню“, „не проходили“);

д) свыше 70% учащихся производят сложение и вычитание смешанных чисел путем введения лишней операции обращения смешанных чисел в неправильные дроби.

3. При производстве умножения и деления простых дробей обнаружилось следующее:

а) около -g- учащихся не знают правил умножения дроби на целое и целого на дробь и 100% учащихся не могут объяснить это правило;

б) около учащихся не знают правил деления целого на дробь и дроби на целое и 100% учащихся не могут объяснить это правило;

в) около 80% учащихся не знают обобщенного правила умножения и деления простых дробей;

г) около 90% не производят своевременного сокращения дробей в самых элементарных случаях; например, пишут так:

д) почти все учащиеся не знают признаков делимости на составные числа, например, на 6, 8 и 12.

4. При операциях с десятичными дробями обнаружилось:

а) около 30% не знают структуры десятичных дробей и их основных свойств, вследствие чего неправильно оперируют с запятой;

б) около 30% не знают правила деления десятичных дробей;

в) почти все учащиеся не умеют объснить правила умножения и деления десятичных дробей.

5. При решении примеров типа:

около 70% учащихся обнаруживают незнание порядка действий и около 50% отказываются производить операции над десятичными дробями, говоря, что на практике таких задач не бывает.

6. При операциях с процентами обнаружилось:

а) операции, необходимые при решении задач на проценты, около 90% учащихся производят чисто автоматически и никто не может объяснить сущность этих операций;

б) почти 1000/0 учащихся не понимают сущности процентного отношения двух чисел;

в) 40% учащихся не умеют найти процентов от данного числа.

7. При операциях, с метрическими мерами выяснилось, что свыше 700/0 учащихся не имеют точного и обоснованного представления о коэфициенте пропорциональности в кубических и квадратных мерах, совершенно уверенно производя следующие преобразования: 5,7 м2 — = 570 см2 или 3,2 дмЗ = 32 смЗ.

Кроме того, почти 100% учащихся не знают полностью стандартных обозначений, введенных к обязательному употреблению.

На вопрос „как вы представляете себе квадратный сантиметр“ — никто из учащихся не мог дать ответа.

8. Около учащихся не знают вовсе или сильно путают названия чисел при операциях вычитания, деления и возведения в степень.

9. Почти 100% не могут дать определение кратного, общего наименьшего кратного, общего наибольшего делителя, пропорциональных величин; около ^ затрудняются найти общее наименьшее кратное и общий наибольший делитель нескольких чисел.

10. При нахождении числового значения алгебраического выражения обнаружилось следующее:

а) около половины учащихся не знали, что такое числовое значение данного алгебраического выражения при данных числовых значениях букв, входящих в это выражение,

б) около 800/0 учащихся не умеют правильно производить операции над относительными числами (в особенности страдают вычитание и возведение в степень);

в) никто из учащихся не мог правильно сформулировать правил сложения и вычитания относительных чисел;

г) почти все не знают, что означают слова „относительное число“ „и абсолютная величина“.

11. При производстве операций с целыми алгебраическими выражениями и с простейшими алгебраическими дробями выяснилось следующее:

а) около -g- учащихся при операциях с дробями отбрасывают общий знаменатель;

б) около -g- учащихся не умеют правильно приводить дроби к общему знаменателю, считая, например, в дробях общими знаменателями 2^+1.

в) около -с* учащихся неправильно делают сокращение, например, пишут так:

г) около половины учащихся неправильно производят вычитание многочленов, забывая переменять знак на обратный у членов вычитаемого, начиная со второго члена;

д) около 90% учащихся, при нахождении общего знаменателя, не умеют применять простейших формул сокращенного умножения.

12. При решении уравнений обнаружилось следующее:

а) отсутствие у 80% учащихся достаточно устойчивых навыков в перенесении членов из одной части в другую и в приведении подобных членов;

б) отсутствие у 90о/о учащихся знаний основных свойств уравнений;

в) рецидив при выкладках всех неумений и незнаний, отмеченных в области арифметики;

г) около половины учащихся при решении уравнений приводят к общему знаменателю только члены одной части уравнения и затем отбрасывают этот знаменатель; например, пишут так:

д) свыше 800/р учащихся не умеют решать уравнений первой степени с буквенными коэфициентами (говорят, что в школе этого не проходили);

е) около 70% учащихся не умеют решать систему уравнений первой степени с двумя неизвестными (многие учащиеся говорили, что они не проходили этого в школе);

ж) около 800/0 учащихся не понимают существа процесса решения двух уравнений первой степени с двумя неизвестными;

з) почти все учащиеся не могли ответить на вопрос: „что называется корнем уравнения“.

13. При решении задач на составление уравнений, которые задавались только на устных испытаниях и только лучшим учащимся, выяснилось, что составлять уравнения могут только единицы и то только в самых простейших случаях. Вообще от задач на составление уравнений учащиеся отказываются, заявляя, что в школе они таких задач почти не решали.

14. При решении элементарнейших задач по геометрии и при устных ответах теоретического материала по геометрии выяснилось следующее:

а) около 700/0 учащихся вовсе не решали (по их заявлению) задач по геометрии в школе;

б) около 80% не могут решать простейших задач на построение; из остальных 20% учащихся большинство решает задачи на построение чисто арифметически, говоря, что надо сделать, но не умея объяснить почему это надо сделать;

в) почти 100% учащихся либо не знали доказательств теорем, либо не давали их полностью и обоснованно; почти совсем не отвечают на вопрос: „что такое вписанный или описанный угол“. На предложение начертить три высоты в тупоугольном треугольнике свыше 50% учащихся чертят так:

На вопрос по поводу последнего чертежа: „могут ли высоты составлять со сторонами треугольника острый или тупой угол“ отвечают: „в тупоугольном треугольнике могут, так как иначе построить их нельзя“.

Очень многие утверждают, что в треугольнике можно построить только одну высоту. На предложение „начертите прямоугольник“ около 40% учащихся давали такие чертежи:

13. Кроме указанных недочетов, необходимо отметить тот весьма печальный факт, что, судя по устным ответам учащихся, за языком учащихся, повидимому, следят очень слабо, никто его не культивирует, так как фразы, выговариваемые учащимися, в большинстве случаев построены грамматически неправильно, чрезмерно загромождены и запутаны, свидетельствуя о такой же путаной мысли. Почти 100% учащихся не приучены к точному математическому языку; мысль их не приучена к ассоциативному мышлению, а притуплена привычкой к автоматическому запоминанию. Даже в самых элементарных случаях, например, при нахождении процента от данного числа и числа по данному его проценту, ученики, обычно, стараются применить формулу автоматически, не умея и даже не пытаясь объяснить образование этой формулы; причем вера в формулу настолько велика, что нелепые ответы, полученные при решении задачи, не только не вызывают никаких сомнений, но даже возбуждают нездоровую уверенность.

Примеры.

1) Ученик, находя 2,25% от 253 руб., получил 2873 руб. 25 к. Спрашиваешь: „А может ли получиться такой ответ?“ Ответ: „Конечно, может, так как я делал по формуле, а формула не может дать неправильный ответ“.

2) Отыскивая, какой процент 29 разбитых лампочек составляют от 273 лампочек, ученик получает в результате 6680/0... Спрашиваешь:

„Может ли это быть?“ Ответ — аналогичный вышесказанному.

И таких примеров зарегистрировано сотнями.

14. Учащихся с почти полноценными знаниями, достаточно толково и сознательно разбирающихся в заданных им вопросах и почти не делающих элементарных ошибок, еще мало. Большинство не знает элементов, основ математики, особенно по разделу алгебры. Те знания которые у них имеются, сугубо формальны? автоматичны, крайне бедны по содержанию.

Все отмеченные выше выводы вполне естественно могут вызвать такой вопрос: „А какой контингент учащихся держит испытания в техникум?“ На этот вопрос автору этой статьи пришлось однажды на одной из учительских конференций выслушать такой ответ: „В техникумы идут самые плохие ученики, которые чувствуют себя слабыми для продолжения образования в VIII классе“ — так сказал директор бывшей образцовой школы. На это безответственное заявление необходимо сказать следующее: во-первых, не только самых плохих, но даже просто плохих учащихся школа выпускать не имеет права, а, во-вторых, свидетельства, представленные учащимися, давшими на испытаниях в августе текущего года указанные выше неудовлетворительные результаты, говорят совершенно о противоположном, а именно о том, что в техникумы идет большей частью лучшая (по оценкам школ) часть учащихся. “Вот как, согласно представленным свидетельствам, были оценены школами знания по математике учащихся, державших испытания в прошлом 1937 г.:

1) Оценка „отлично“ была у 24% учащихся.

2) Оценка „хорошо“ была у 420/0 учащихся.

3) Оценка „посредственно“ была у 34% учащихся.

Эти статистические данные, будучи сопоставлены с указанными выше результатами испытаний, свидетельствуют еще об одном немаловажном в учебно-воспитательном отношении факте; они свидетельствуют о том, что оценка знаний учащихся, данная школой, слишком преувеличена и далеко не соответствует действительным знаниям учащихся. В подтверждение этого факта можно привести весьма большое количество красноречивых примеров, взятых из практики испытаний самого последнего, т. е. текущего 1937 г. Вот некоторые из них:

1) Ученица, окончившая в 1937 г. VII классов Свердловской железнодорожной школы № 3 и имеющая по математике отличную оценку, дает такие ответы:

а) 29 лампочек от 237 лампочек составляет 68,7030/0,

в) в ответ на пример: „решить два уравнения с двумя неизвестными

2) Ученик, окончивший в 1937 г. VII классов Свердловской железнодорожной средней школы № 1 и имеющий по математике отличную оценку, пишет:

б) на вопрос: „найти 2,25% от 532 руб., пишет: „не помню“.

в) 7,3 л*з = 730 см*.

г) 0,7 см2 = 0,007 л*2.

д) на вопрос „решить систему двух уравнений с двумя неизвестными“ пишет: „не помню“ и т. д.

3) Ученица, окончившая в 1937 г. VIII классов Кузинской школы № 63 с оценкой „отлично“, пишет:

а) 2,25% от 532 руб. составляет 236,8 руб.

б) решая задачу: „Завод выпустил 72 паровоза, что составляет 48% всего заказа. Чему равен весь заказ?“—дает ответ: 3456 паровозов.

в) 7,3 ^3 = 7300 см* и т. д.

4) Ученик, окончивший в 1937 г. VII классов Огневской школы с оценкой „отлично“, из предложенных двадцати указанных в этой статье задач не решил четырнадцать зада ч...

5) Ученик, окончивший в 1937 г. VII классов школы на Капитальной шахте № 2 с отметкой „отлично“, из предложенных 20 задач указанного типа не сделал шестнадцати зада ч... Очень характерны его ответы на некоторые задачи:

6) Ученик, окончивший в 1937 г. VII классов Свердловской школы № 96 с отметкой по математике „отлично“, дает такие, например, ответы:

Приведенные примеры, имеющие почти невероятный характер, не являются единичными. Они насчитываются сотнями. Их подтверждают оригиналы письменных работ, хранящихся у автора этой статьи. На Свердловской областной методической конференции преподавателей математики, когда автор этой статьи делал доклад о результатах приемных испытаний в техникум, многие преподаватели только тогда уверовали в справедливость приводимых фактов, когда воочию увидели работы с почерками своих учеников.

Но не только приведенные выше факты свидетельствуют о преувеличении школами оценок знаний учащихся. Работа в техникуме с лучшими учащимися, отобранными после

испытаний, каждый день напоминает об этом. Почти все учащиеся в процессе занятий по математике в техникуме дают рецидивы самых элементарных ошибок, буквально засоряющих всякие самые простые выкладки и делающих эти выкладки источником неверных выводов. Очень часто на уроках математики при проработке текущего материала вдруг замечаешь на себе пристальный и испытующий взгляд ученика. Думая, что ученик не ясно понимает твою мысль, спрашиваешь его: „В чем дело?“ Ответы получаются, примерно, следующие:

а) „Я не понимаю, почему у вас получается здесь минус, а не плюс“,

б) „Я не понимаю, почему

в) „Я не понимаю, почему вы не сократили дробь

г) „Я не понимаю, почему вы не упростили выражение Ъах— 5лг; ведь оно после приведения дает только За“.

И это приходится слышать от учащихся, уже прошедших горнило испытаний. Причин такого преувеличения отметок можно отметить несколько.

Прежде всего необходимо отметить нездоровый характер в погоне школы за цифровыми показателями успешности учеников при соревновании с другими школами.

В разговорах со мной учителя приводили ряд фактов определенного давления на учителя со стороны дирекции в сторону повышения отметок (хотя бы это и не соответствовало действительности) именно имея в виду соревнование с другой школой.

Эти факты свидетельствуют о том, что некоторые школы подлинную и ценную работу по соревнованию подменяют весьма озабоченной суетней по причесыванию, приведению в приличный вид статистических сведений о показателях успешности учеников. На обычном языке эта „серьезная“ суетня называется очковтирательством. Необходимо совершенно ясно отдать себе отчет в том, что мы соревнуемся не между собою, а соревнуемся, как сказал на последнем пленуме ЦК ВКП(б) т. Молотов, с капиталистической системой. А такое соревнование, имеющее в виду не удовлетворение мелкого, личного самолюбия, а имеющее своей основной и конечной целью укрепление силы и мощи нашей социалистической родины в ее борьбе с капиталистическим миром, такое соревнование естественно должно вылиться в самую подлинную, совершенно честную, построенную на базе жесточайшей критики и самокритики, творческую работу. Только глубоко проникнувшись указанной целью, школа сможет изжить все извращения в своей работе по соревнованию и поставить это соревнование на достойную нашей советской школы высоту.

Другой причиной преувеличения оценок учащихся является тот факт, что за всякую преувеличенную оценку учитель не несет никакой ответственности; даже больше, гнилой либерализм в оценке учащихся часто квалифицируется как особо чуткое отношение к учащимся; строгое же, полное глубоко осознанной ответственности перед государством и детьми отношение к оценкам учащихся квалифицируется часто как отсутствие чуткости к детям, как старорежимный подход к ученику.

Третьей причиной преувеличения оценок учащихся является факт применения в школьной практике того норматива оценки „посредственно“, который был дан приказом Наркомпроса от 7 октября 1935 г. за № 885. Согласно этому нормативу учащийся, знания которого могут быть оценены отметкой „посредственно“, „может в устном изложении своих знаний нередко допускать погрешности и ошибки, как по существу излагаемого материала, так и в отношении грамотной и связной речи, а в письменных работах может допускать ошибки, в том числе и грубые“. В связи с приведенными выше словами, выписанными из указанного выше приказа Наркомпроса невольно напрашивается такой вопрос. Если врач в своих диагнозах допускает нередко ошибки по существу, если инженер в своих расчетах допускает нередко ошибки по существу, если судья в своих решениях нередко допускает ошибки по существу, то такой врач или инженер или судья могут ли быть названы посредственными работниками? Вероятно, нет! Испытав же лично на себе все последствия нередких ошибок по существу лечащего вас врача или судящего вас судьи, вы, вероятно, не только скажете, что врач или судья эти плохие, но посчитаете своей гражданской обязанностью привлечь их к законной ответственности. Когда, в разговоре с учителями, автору этой статьи приходилось задавать вопрос: „Как же вы ставите оценку „посредственно“, когда ученик не знает по существу некоторого количества материала, когда он делает грубые элементарные ошибки в своих выкладках?“, то учителя обычно цитировали указанные выше слова и особенно подчеркивали то обстоятельство, что ученик, имеющий оценку только „посредственно“, имеет право допускать ошибки по существу нередко, а если ошибки по существу ученик будет делать редко, то такому ученику можно поставить и „хорошо“.

Выходит таким образом, что на всяком свидетельстве, выданном школой с отметкой „посредственно“, можно совершенно официально поставить штамп: „за качество знаний учащихся не ручаемся“ или „гарантий за знания учащегося не даем“. И этот штамп не будет итти в разрез с теми требованиями, которые предъявлялись прежним руководством Наркомпроса указанным выше нормативом оценки „посредственно“, имеющей переводную и выпускную силу. Но дальше, вслед за этим на практике естественно сами собой снижаются и нормативы оценок „хорошо“ и „отлично“.

И действительно, если ученик только редко допускает ошибки по существу, то ведь он значительно отличается от того ученика, который делает эти ошибки нередко; а это отличие можно оформить только следующей более высокой отметкой, т. е. отметкой „хорошо“, других возможностей оформления нет. Ученик же, знающий материал лучше того ученика, который имеет уже определенно завышенную отметку „хорошо“, тоже получает естественно завышенную оценку „отлично“.

Таким образом, на деле получается, что школа работает с явно заниженными „нормами выработки“.

Эти „нормы“ для приведения их в нормальное состояние должны быть немедленно пересмотрены и заменены другими.

В одном из своих докладов покойный т. Куйбышев говорил: „плохое качество, умноженное на большое количество, может превратиться в народное бедствие“. Эти предостерегающие слова крупного государственного деятеля необходимо отчетливо уяснить себе Наркомпросу для того, чтобы суметь найти все возможные пути для такой постановки работы в школе, чтобы в результате этой работы, школа давала действительно годную продукцию, чтобы конкурс при поступлении во втузы и техникумы был настоящим конкурсом, т. е. конкурсом только между хорошими и отличными учащимися, а не между посредственными и плохими.

В дальнейшем, в целях изжития всех указанных в данной статье недочетов в области математической подготовки учеников, окончивших VII классов средней или неполной средней школы, необходимо, безусловно, провести целый ряд мероприятий организационно-методического характера. В основу этих мероприятий должно быть положено два следующих начала:

1) своевременная и систематическая методическая помощь учителю математики в его текущей работе;

2) самый строгий и систематический контроль за фактическим выполнением учительством всех преподанных ему методических указаний.

Исходя из этого, можно предложить следующие основные мероприятия:

1. Составить и выпустить для учителей хорошие методики арифметики, алгебры и геометрии в таком количестве, чтобы каждый учитель математики мог персонально приобрести себе эти методики.

2. Составить и выпустить вполне доброкачественные учебники по всем разделам математики.

3. Организовать при втузах и техникумах ежегодную, обязательную, самую детальную обработку экзаменационных материалов с обязательной отсылкой результатов этой обработки и оригиналов письменных работ учащихся в соответствующие облоно.

Примечание: Принять за правило, чтобы в заголовке письменных работ по математике испытуемые во втузах, вузах и техникумах учащиеся, помимо своей фамилии, имени и отчества, указывали также школу, которую они окончили, год окончания школы и фамилию учителя математики, который выпустил их из школы.

4. Установить ежегодную обязательную и своевременную методическую обработку в научно-исследовательских педагогических лабораториях при облоно указанных результатов для доведения окончательных выводов этой обработки до сведения всей массы учителей и предъявления учителям соответствующих требований в их текущей работе. Указанная методическая обработка результатов испытаний должна проводиться в разрезе такой тематики: „недочеты в математической подготовке учащихся, корни этих недочетов, методы их предупреждения и изжития“.

5. Выявлять, на основании представленных результатов испытаний плохих и отличных работников той или иной школы, ставить в известность общественность о работе плохих и отличных учителей.

6. Отменить прежний негодный норматив для оценки „посредственно“ и установить новый.

7. Изжить нездоровую погоню школ за показателями, тщательно проверяя, насколько соответствуют фактические знания учащихся произведенным оценкам и следя за тем, чтобы не имел место нажим директоров на учителей в деле искусственного повышения отметок.

8. Потребовать категорически от всех инспекторов, директоров и завучей, чтобы они организованно, систематически и настойчиво проводили оперативный контроль за работой учителей, предупредив их о том, что за всякий дефект в работе учителя и за завышение им отметок ответственность несет не только учитель, но и администрация школ и инспектора.

9. Премирование школ и учителей в масштабе района или области проводить только после изучения и обработки сведений о приемных испытаниях во втузах, вузах и техникумах.

Как видно из фактического материала, изложенного в этой статье, учителям математики необходимо в совершенно новом свете пересмотреть все детали процесса своей текущей работы, необходимо совершенно по-новому расставить акценты в этой работе, а, самое главное, необходимо поработать и поработать весьма напряженно. И в этой своей напряженной работе учителя должны проявить и обязательно проявят ту „настойчивость в достижении поставленной цели“ и ту „твердость характера, ломающего все и всякие препятствия“, которые культивируются во всех нас нашей коммунистической партией под руководством нашего великого вождя т. Сталина.

УЧЕСТЬ УРОКИ ПРОВЕРОЧНЫХ ИСПЫТАНИЙ

(п/о Колпна)

В. СУХОРУКОВ

В данной заметке я хочу обратить внимание педагогов-математиков на те недочеты в знаниях учащихся по математике, с которыми мне пришлось столкнуться на испытаниях в школах Колпнянского р-на Курской области.

Всем известно, что арифметика является фундаментом для всего дальнейшего курса математики; что без знания арифметики о настоящем усвоении материала алгебры и геометрии не может быть и речи. Из проверочных испытаний этого года по арифметике видно, что знания учащихся недостаточны, они не соответствуют тем знаниям которые, требуются программой. Из программы по математике начальной школы известно, что первые четыре класса начальной школы должны дать учащимся всесторонние, крепкие, систематизированные знания в действии над целыми числами. Есть ли такие знания у учащихся? Испытания, проводимые в IV классах школ Колпнянского р-на, показали, что эти знания недостаточны: особенно плохо усвоены учащимися умножение и деление целых чисел, а также все действия над именованными числами.

На испытаниях в IV классе Ахтырской НСШ (учительница Филиппова) учащимся был задан такой пример: 4643X205. Одни из учащихся сделали этот пример таким образом:

Другие же учащиеся совсем не сумели перемножить эти два числа. Учащиеся не знают, почему при подписывании второго произведения под первым они отступают от цифры единиц первого произведения влево на один разряд, а когда имеется нуль в середине — на два разряда. Большую трудность для учащихся этого же класса представило решение такого примера 2300X1700. Учащиеся его решили так:

тогда как можно было бы сделать гораздо проще, перемножив значущие части числа и приписав к полученному произведению с правой стороны столько нулей, сколько их во множимом и множителе вместе. Многие учащиеся не сумели разделить многозначного числа на многозначное. Так, у одного из учащихся при делении 174 474 на 243 получилось 61.

Из примера видно, что за первую цифру частного надо было взять 7, а взято 6 и остаток снова делился на делитель без сноса к нему следующей цифры делимого. Учащиеся плохо усвоили, что остаток должен быть всегда меньше делителя и что делить его надо тогда, когда будет снесена цифра делимого. Точно так же учащиеся допускали ошибки при делении чисел, когда в частном получается число, имеющее один или несколько нулей в середине, например, 131 396:428 вместо ответа 307 у некоторых учащихся получалось 37. Действия над именованными числами усвоены еще хуже. На устных испытаниях в IV классе Безводнинской начальной школы было предложено одному из учащихся решить такую задачу: „Коробка спичек стоит 3 коп. Сколько стоят 10 коробок спичек?“ Учащийся записал: „10X3 = 30“. Когда ему было предложено написать пример так, чтобы числа были именованными, он написал: 10 кор. ХЗ коп. = 30 коп. и потом записал 3 коп. X10 кор. = 30 коп. Преподаватель этого класса тов. Юдин знал, что записать этот пример нужно так: 3 коп. X X 10 = 30 коп., но почему так, он сам признался, что не знает. В другой школе при решении задачи: „На 453 трудодня колхозник получал 1812 кг хлеба. Сколько килограммов он получил на каждый трудодень?“ Учащиеся произвели запись верно: 1812 кг: 453 = 4 кг, но при решении задачи на деление по содержанию: „На сколько человек хватит 2500 тетрадей, если каждому давать по 5 тетрадей?“ Учащиеся записали так:

2500 тетр. : 5 = 50 чел.; 2500 тетр. : 5 тетр. = = 50 чел.

Из записи и решения этого примера видно, что учащиеся делитель 5 писали или совсем отвлеченным числом и в частном получалось число с наименованием другой величины или после 5 ставили наименование, но вместо отвлеченного числа, которое должно получиться в частном от деления именованного числа на именованное, они получили также именованное число. Этих недостатков в знаниях учащихся можно было бы указать еще больше. Те ошибки, которые являются типичными для учащихся начальных школ, делают учащиеся V—VI—VII классов средней школы, поэтому говорить о них еще раз мы не будем.

Разберем недостатки в знаниях учащихся V—VI—VII классов в связи с требованиями, предъявляемыми к этим классам.

В вводной части программы по математике для неполной средней и средней школ говорится: „Центральным вопросом курса V класса является изучение дробей, обыкновенных и десятичных и приобретение уменья решать задачи более сложные, чем в начальной школе*. С точки зрения этого положения программы мы и подходим к тем недочетам, которые встречались при проведении испытаний в V—VI классах. К устным испытаниям по математике учителями в большинстве школ были заранее приготовлены карточки с вопросами, охватывающими разные отделы программы. Карточки эти были двух типов: одни учителя в карточках писали примеры и зада-

чи, перед решением которых на испытаниях учащиеся сообщали правила решений. Другие давали карточки с вопросами. На эти вопросы учащийся должен ответить и пояснить свой ответ соответствующим примером или задачей. На испытаниях перед ответом вопросы, написанные в карточке, учащимся продумывались 5—8 мин. Надо отметить, что первый тип карточек давал больший эффект, очевидно, потому, что он более удовлетворяет дидактическим положениям: при обучении надо итти от частного к общему, от конкретного к абстрактному. Каковы знания учащихся видно из следующего: в Ахтырской НСШ ученик-отличник V класса отвечал на такие вопросы, данные преподавательницей тов. Моисеевой 3. И. 1) Как сократить дробь? 2) Как разделить целое число на дробь и дробь на целое число? На первый вопрос учащийся очень легко ответил и в пояснение сообщенного им правила привел такой пример 9/i2 = 3/4- Н° когда ему был задан вопрос: „Как доказать, что сокращенная дробь 3/4 по величине равна, дроби 9/i2a ученик не ответил. Ему был дан вспомогательный вопрос: „Как можно получить дробь 3/4? Как ты представляешь дробь */4?“ Ответа не последовало. Как это ни странно, но многие учащиеся, проходя весь год дробные числа, не имеют понятия о происхождении, об образовании дроби. Отвечая на второй вопрос, как разделить целое число на дробь в сопровождении примера 5: 10/п, ученик умножал целое число на числитель и результат делил на знаменатель дроби, затем после указания на неправильность решения, целое число умножал на знаменатель, оставляя того же числителя.

Аналогичный ответ мы получили при ответе на вторую часть вопроса — как дробь разделить на целое число. Другой учащийся отвечал на такие вопросы из отдела обыкновенные дроби:

1) Как умножить дробь на дробь?

2) Как разделить дробь на дробь?

На этот раз ответ мы получили правильный. Но на вопросы: „Что значит умножить дробь на дробь и что значит разделить дробь на дробь?“ „Как доказать справедливость правил умножения дроби на дробь и деления дроби на дробь?“. На эти и подобные им вопросы исследовательского характера, вопросы, заставляющие ученика глубоко думать, учащиеся не отвечали. Путаница и неразбериха у учащихся еще в большей степени наблюдается при умножении и особенно при делении десятичных дробей. Какое же внешнее впечатление произвели испытания в этих школах? Они проходили нудно, скучно, все время мы могли слышать правило и решение примеров по правилам, вопросы повторялись. Причина плохих знаний учащихся, нудности испытаний заключается в том, что в процессе работы учебного года учителя этих школ мало уделяли внимания выводам правил, мало уделялось внимания исследованию решений и проверке решений. Кстати сказать, это и является причиной того, что учащиеся плохо решают или вернее не умеют решать задачи. Незнание выводов формул, правил, неуменье проверить правильность решенного еще в большей степени заметно в знаниях учащихся по алгебре. Учащимся VII класса Нетрубежской НСШ был задан такой пример (ЪаЧ -f 7a%b2)2, по формуле они его решили очень быстро. Но когда у них спросили, как доказать, что вы сделали верно, ни один из учащихся не ответил. Учитель этой дисциплины тов. Сотников высказал по этому такое мнение: „Лишь бы ученик знал решение, а вывод, проверка этого решения — дело второстепенное“.

О том, что это дело не второстепенное, тов. Сотникову показали испытания. Во время письменных испытаний по алгебре в этом же классе при решении примера на все действия с дробями учащимся пришлось возводить многочлен 2т+п в квадрат и многие из учащихся дали такой ответ (2т +л)2 = 4/я2 -f л'-, т. е. квадрат суммы у них равен сумме квадратов.

Интересно отметить такой факт из опыта той же школы. Когда учащимся VI класса предлагали умножить сумму двух чисел на их разность (а+Ь)-(а — b), то они давали верный ответ (а2 — Ь2): разность квадратов, но когда им дали умножить сумму двух чисел на сумму тех же чисел (а+ b)-(a + b), то у них по аналогии получалась сумма квадратов (с&+№), а от умножения (а — Ь)-(а — Ь) разность квадратов (я2— Щ.

Подобных недочетов можно было бы указать гораздо больше, но достаточно и этих, чтобы понять, что „коренной недостаток“ не ликвидирован окончательно, что знания учащихся остаются еще во многих вопросах не крепкими.

Общий вывод таков: каждый учитель начальной школы, преподаватель математики средней школы должен в процессе занятий по математике в новом учебном году учесть те недочеты, недоделки, которые были допущены в прошлом учебном году. Уметь своевременно вскрывать слабые места в знаниях учащихся, глубоко анализировать причины слабых мест с тем, чтобы дать учащимся действительно крепкие систематизированные знания по математике.

К ВОПРОСУ О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Г. САГАЛОВИЧ (Минск)

Вступительные экзамены по математике в вузах и втузах показывают нам, что из году в год познания нашей молодежи, кончающей среднюю школу, растут и крепнут. Но все же имеется ряд недочетов, какие могут и должны быть выправлены в средней школе. Поступающие в вуз в основном справляются с алгебраическими преобразованиями, с техникой решения уравнений, но недостаточно ясно и отчетливо усвоили вопросы теории алгебры и отчасти арифметики.

В этой небольшой статье дан перечень недочетов, с какими я и товарищи мои по работе встречались неоднократно на вступительных экзаменах в вузах Минска.

I. Арифметика и алгебра

1. Из всех глав школьного курса арифметики наиболее слабо усвоенной можно считать главу о пропорциях и пропорциональном делении. Теорема об основном свойстве пропорции и обратная ей усвоены многими без всякого доказательства. Между тем в VIII классе школы при прохождении курса геометрии есть полная возможность затронутый выше вопрос разобрать несколько подробнее с подведением под него доступной учащимся теоретической базы.

Многие затруднялись ответить, примерно, на такие вопросы:

Каково отношение двух чисел, если — одного из них равны — другого?

Каково отношение двух чисел, если p°j0 одного из них равны #% другого?

Отсюда и затруднения при решении, примерно, задачи следующего содержания:

„В два универмага отправлено m м мануфактуры. Сколько мануфактуры достанется каждому, если р°10 того, что причитается первому магазину, равны q°j0 того, что второму?“

Испытания выявили, что многие совершенно механически делили число обратно пропорционально нескольким данным числам и с большим трудом устанавливали из условия задачи необходимость такого деления, например,

.Заказ в а костюмов нужно распределить между тремя цехами. Первый цех может выполнить весь заказ в m дней, второй—в п дней, а третий — в р дней. Как распределить заказ, чтобы он был выполнен всеми цехами одновременно?“

При опросе поступающих по арифметике выявилось, что многие с трудом справлялись с текстовой задачей, требующей для своего решения составления и решения уравнения вида:

Например. „Одна бригада рабочих может выполнить известную работу в а дней, другая — в ^ дней. Во сколько времени будет выполнена эта работа обеими бригадами при условии совместной работы?“

2. Поступающие справлялись с алгебраическими преобразованиями как рациональных, так и иррациональных выражений, показали умение решить готовое уравнение, разумеется, в объеме школьного курса; затруднения испытывались при составлении уравнения по условиям задачи.

Теория эквивалентности уравнений совершенно не усвоена. Этот пробел чувствовался и на испытаниях по тригонометрии, при решении тригонометрических уравнений.

Между прочим, из теории квадратных и биквадратных уравнений не усвоены следующие вопросы:

а) Если один из корней квадратного уравнения с вещественными коэфициентами равен а + Ы, то другой его корень а — Ы.

б) Если один из корней квадратного уравнения с_рациональными коэфициентами равен а-\~У^Ь, то другой его корень а —

в) Корни квадратного уравнения вида х2 4--\грх + q — О, где р и q — числа целые, и не могут быть дробными числами.

г) Сумма корней биквадратного уравнения равна нулю, а произведение — отношению свободного члена к коэфициенту при неизвестном в 4-й степени с тем же знаком.

3. Учащиеся, как правило, незнакомы с производными пропорциями и почти не пользовались ими при решении уравнений в тех случаях, когда пользование ими значительно облегчает решение.

4. Совершенно недостаточно разобрана теория иррациональных и комплексных чисел, разумеется, в объеме школьного курса. Некоторым вовсе не было известно, что бесконечная дробь, коей выражается иррациональное число, не есть периодическая дробь.

Кстати, вопрос о периодических дробях не разобран при изучении бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

5. Попутно считаю нужным отметить, что теория и практика извлечения квадратного корня из чисел недостаточно усвоены. С ошибками многие извлекали квадратный корень из десятичной дроби с нечетным числом десятичных знаков после запятой.

6. Из теории прогрессий не усвоены следующие вопросы:

а) Во всякой арифметической прогрессии каждый член есть средне-арифметическое предыдущего и последующего:

б) во всякой геометрической прогрессии каждый член есть средне-геометрическое предыдущего и последующего

в) между двумя числами вставить п среднеарифметических;

г) между двумя числами вставить п среднегеометрических;

д) во всякой геометрической прогрессии произведение членов равноотстоящих от на-

чала и конца есть величина постоянная, равная произведению первого и последнего;

е) произведение членов геометрической прогрессии равно

ж) Вопрос о периодических дробях простых и смешанных.

7. Из общей теории логарифмов не разобраны вопросы:

1) переход от одной системы логарифмов к другой;

2) тождество: lg6 3) тождество:

8. Глава „Исследование уравнений“ недостаточно полно разобрана. Многие с трудом истолковывали результаты решений уравнений: например, на вопрос найти в разложении бинома член, независящий от х — а, если таковой существует; зачастую учащиеся недоумевали, когда искомый нумер члена оказывался дробным.

II. Геометрия

9. Недостаточно глубоко разобран вопрос о соизмеримости и несоизмеримости отрезков, разумеется, в объеме школьного курса геометрии. Некоторым не совсем ясно было то, если отношение двух отрезков выражается иррациональным числом, то эти отрезки несоизмеримы.

10. Некоторые затруднялись находить элементы геометрическими приемами в случае, когда один из углов равен 30°; 60°; 45°; 120°; 135°; 150°.

11. Формула Герона многими усвоена, но, к сожалению, некоторым не был известен ее вид для равностороннего треугольника.

12. Недостаточно основательно усвоены теоремы об отношении периметров, площадей подобных фигур, поверхностей и объемов подобных тел.

Теоремы многими усвоены чисто механически; затруднялись ответить на вопросы:

а) как влияет на периметр и площадь фигуры увеличение ее сторон в п раз;

б) во сколько раз нужно увеличить стороны фигуры, чтобы периметр ее увеличился в п раз;

в) во сколько раз нужно увеличить стороны фигуры, чтобы площадь ее увеличилась в п раз;

г) то же относительно поверхностей и объемов тел.

13. Совершенно слабо усвоена часть стереометрии, трактующая о плоскостях и линиях в пространстве. С трудом многие доказывали теоремы о двух перпендикулярах, о трех перпендикулярах; многим ничего не было известно об угле прямой с плоскостью в скрещивающихся прямых и о том, что можно подобрать две параллельные плоскости, в коих расположены данные скрещивающиеся прямые линии.

14. Многие обнаружили неумение пользоваться теоремой о площади проекции фигуры; между тем знание этой теоремы в значительной степени помогает при решении многих задач по стереометрии, как видно из следующих примеров:

а) Задача № 7 из § 12 второй части сборника задач по геометрии Рыбкина решается совершенно просто следующим образом:

где S — полная поверхность пирамиды, 51 — площадь нижнего основания

пирамиды, S6 — боковая поверхность пирамиды,

52 —площадь верхнего основания пирамиды.

б) Задача: Вычислить двугранные углы правильного тетраэдра.

где 5 — площадь грани тетраэдра, 3S — боковая поверхность тетраэдра, <р — угол между гранями, в) Задача. К двум прямоугольникам одинаковых размеров пристроить под одним и тем же наклоном две боковые грани одинаковых размеров с тем, чтобы получить трехгранные призмы. Показать, что в обоих случаях площади боковых граней одинаковые.

15. Многим ничего не было известно об углах, образуемых диагональю прямоугольного параллелепипеда с его ребрами, с его гранями, а именно:

а) Сумма квадратов косинусов углов, образованных диагональю прямоугольного параллелепипеда с его ребрами, равна 1, а сумма квадратов его синусов — 2.

б) Сумма квадратов косинусов углов, образованных диагональю прямоугольного параллелепипеда с его гранями, равна 2, а сумма квадратов синусов — 1.

16. Поступающим ничего неизвестно о правильных многогранниках, с трудом вычисляли поверхность и объем тетраэдра, октаэдра по ребру, с трудом выражали их ребра в зависимости от радиуса сферы, в какую они вписывались или вокруг которой — описывались. Правда, все эти вопросы не внесены в официальную программу, но должны были быть разобраны в часы практических занятий по геометрии.

17. В заключение нужно отметить, что задачи на построение не завоевали еще достаточного внимания к себе в нашей школе.

III. Тригонометрия

18. Недостаточно ясно усвоена сущность радианного измерения углов и дуг. Формула

о том, что длина дуги равна радиусу, умноженному на величину центрального угла в радианах, многим вовсе не была известна.

Между тем с этой формулой в дальнейшем при изучении физики, механики и математики учащиеся будут встречаться не раз.

Многим были непонятны выражения:

19. Тригонометрические формулы усвоены, но ими с трудом пользовались при “решении задач, требующих их применения:

например, зная синус угла в 30°,

найти функции угла в 15° зная синус угла в 45°,

найти функции угла в 22°,5 зная синус угла в 1°, вычислить функции углов в 2°, 3°, 4° и т. д.

Слабо усвоено умение приводить к виду удобному “для логарифмирования сумму синусов, тангенсов трех углов, сумма коих равна двум прямым. Между тем, пользование ими полезно иногда при решении тригонометрических уравнений, например, зная, что

при условии a + p + Y = ic, легко решаются уравнения, примерно, следующего вида:

20. Теория и практика обратных круговых функций усвоены недостаточно, да и сама техника оперирования с ними зачастую громоздка. Повидимому, вопрос этот нуждается в некотором методическом разборе.

ИЗ ОПЫТА

ИЗ ПРАКТИКИ УЧИТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ

В. ПАДУЧЕВ (Ст. Лиски)

Ни один преподаватель не может ограничивать свою работу узкими рамками одного только обучения своему предмету. Учитель должен не только сообщить ученикам известную сумму знаний,но он должен быть и воспитателем, прививая ученикам общеполезные трудовые навыки, расширяя их кругозор и жизненный опыт, давать образцы логического мышления и способствовать формированию активной творческой мысли. Это задача учителя в широком смысле слова, о чем следует помнить на всех этапах учительской работы.

В предлагаемых заметках мы обобщаем некоторые типичные случаи, некоторые „старые, но вечно новые“ вопросы учительской практики, имеющие самое актуальное воспитательное значение. Мы думаем, что учителя-практики смогут подтвердить правильность наших наблюдений, а нашим молодым учителям, старающимся овладеть педагогическим мастерством, будет полезно использовать опыт своих старших товарищей.

1. Как писать цифры

Этот вопрос, как известно, входит в программу первого класса. Поэтому с формальной стороны можно было бы для учителей старших классов считать излишней работу по написанию цифр. Но не будем формалистами— это меньше всего подходит советскому учительству. Если посмотреть математические записи в тетрадях и на доске в VII—X классах, можно сейчас же убедиться, что многие ученики не владеют элементарными орфографическими навыками, в результате чего появляются не только неряшливые, но и совершенно непонятные записи. Типографские условия лишают нас возможности воспроизвести с фотографической точностью весьма интересные и поучительные случаи небрежной записи, но читатель без особого труда представит себе, к чему приводит неряшливое обращение с цифровым материалом: 49 превращается в 74, число 794 читается как 479 и т. д.

Такая же картина наблюдается в школах взрослых, среди студентов рабфаков: правильному написанию цифр учащиеся в большинстве случаев уделяют минимум внимания.

Что же должен предпринять учитель и как ему добиться резкого перелома в этом вопросе? Здесь приходится считаться с психологией ученика, который уже привык писать небрежно, не видит в этом большой беды и считает требования учителя мелкими придирками. Поэтому нужно применить особые методические приемы, чтобы разубедить учеников и добиться от них хороших показателей. Опыт показывает, что систематические поправки учителя при небрежном написании той или иной цифры и его напоминания о необходимости правильного построения цифр — все это мало эффективно.

Мы рекомендуем поступать по-другому, что и поясним на живом примере.

Ученик выполняет у доски очередную работу. Наблюдая за общим ходом решения, учитель временно воздерживается от каких бы то ни было замечаний о внешней стороне

записей, — учитель как бы н е видит никаких недостатков, делая это умышленно.

Учитель. Пример окончен. Садитесь, пожалуйста, на место.

Ученик. Можно стереть с доски?

Учитель. Не надо стирать, садитесь.

После короткой паузы (пока вызванный ученик возвращается на свое место) учитель обращается к классу:

— Внимание! Посмотрим на доску и выясним, нет ли здесь каких-нибудь недостатков? Кто заметил?

Все удивленно смотрят на решенный вопрос, не зная, что сказать.

Учитель: — Желающих высказаться нет? Тогда скажу я: что это за цифра? — показывает на доске: — 4 или 9?

Ученик с места: — Это цифра 7...

Учитель: — На семь-то ока никак не похожа, ее можно прочитать и как 4 и как 9, а считать мы ее будем как изуродованную, испорченную цифру 7, которая правильно пишется так. Небрежная запись нам не нужна, зачеркиваем ее. А это какая цифра — единица или семь? Кто скажет? Зачеркиваем ее и пишем правильно. Кто еще имеет замечания?

Теперь ученики сами быстро указывают остальные дефекты записи, которые при общем оживлении и смехе зачеркиваются (но н е стираются) и заменяются новыми.

Учитель: — Посмотрим еще раз на доску, В этой работе найдено — (считает) — раз, два, три... всего одиннадцать неряшливых записей. Как же нам считать эту работу? Можно ли ее принять или возвратить для переделки?

Ученики с места: — Это он поторопился, а сделано-то верно.

Учитель: — А если у велосипеда руль погнулся, шестерня кривая, педали сломаны, — что мы скажем? Всякая работа должна быть сделана точно и аккуратно. Недоделок мы н е принимаем. Это не работа, а брак, — зачеркивает всю запись на доске, — возвращаем его в ту же мастерскую для переделки. Возражений нет?

Общий смех.

Учитель: — Цифры надо писать правильно и отчетливо, чтобы они не теряли своего лица. Сейчас я напишу на доске образцы правильного написания девяти цифр, и всем для упражнения записать в тетрадях.

После правильной записи учитель тут же демонстрирует несколько шаржированных карикатур в разных вариантах. В зависимости от возрастного состава и общего развития учеников, полезно провести с ними короткую, но убедительную беседу о значении отчетливой“ записи цифр в практической жизни: в нумерации вагонов, в железнодорожных накладных, на рецептах, в деловых документах. Здесь надо сообщить конкретный (или правдоподобный) случай, который сам по себе лучше всяких поучений убедит учеников в необходимости четкой записи каждой цифры.

Обобщаем: цифры — важнейшие математические знаки, международный язык деловой и научной мысли, и мы не должны допускать ни малейшей небрежности в обращении с ними.

Начатую работу с цифрами учитель должен продолжить и довести до конца тем же методом: небрежную запись никогда не исправлять между делом и на ходу, а посадить ученика на место и поставить вопрос:

— Кто имеет поправки к этой работе?

Ученики уже знают, в чем дело:

— Надо отремонтировать четверку.

— Цифра девять расклеилась!

Весь класс незаметно втянулся в общую борьбу против неряшливости в цифрах, и теперь учитель имеет у себя десятки активных помощников, весело соревнующихся между собой. Если даже небрежную запись пропустит учитель, будьте уверены, что ее заметит кто-либо из учеников и она будет исправлена.

2. Буквы и математические знаки

Если ученики допускают неразборчивое написание цифр, то еще в большей степени это относится к буквам латинского и греческого алфавита, за правильным начертанием которых редко кто следит. В результате этого небрежно записанный х становится похожим на букву а, буква п перерождается в ht буква v — в испорченный знак радикала и т. д. Для борьбы с этой неряшливостью применяем тот же метод, которым мы пользовались в отношении цифр: даем возможность ученику записать все так, как он это делает, и возвращаем его на место.

Вопрос к классу:

— Какие будут замечания о внешней стороне? Кто желает высказаться?

Настороженное внимание, но все молчат.

— Замечания есть у меня, — продолжает учитель: — какая это буква — п или Л? Что говорит автор?.. Он писал букву Л? Но то, что здесь написано, скоре напоминает число 11. А это какая буква?

Отметив таким образом все замеченные недостатки, учитель спрашивает:

— Будем принимать работу или забракуем?

Голоса: — Принимать работу нельзя.

Учитель:—Математический брак налицо,— зачеркивает запись,—возвращаем для ремонта и переделки!

После этого ученики записывают несколько образцов правильной и отчетливой записи основных буквенных символов.

Таким же путем, постепенно привлекая внимание учеников к внешней стороне работы, развивая у них вкус к четкой и аккуратной записи, мобилизуя активность класса, мы добиваемся строго горизонтального написания черты в дробных выражениях, аккуратной записи знака равенства (особенно при дробных членах), правильного начертания знака радикала.

Малейшая небрежность на доске вызывает немедленную ответную реакцию учеников:

— Знак равенства перекосился! — деловито замечает ученик с места.

— Дробную черту надо выравнять.

— У знака радикала крыша требует ремонта!

Разъяснительная работа учителя и здесь не пропала даром, а вызвала большой и полноценный методический эффект.

3. Стирать или зачеркивать?

Можно считать установленным, что ученики очень неохотно зачеркивают свою ошибочную запись, предпочитая или обратиться к помощи резинки или переделать неправильные цифры, буквы и слова в правильные. По типографским условиям мы здесь лишены воз-

можности продемонстрировать „образцы“ этих ученических исправлений, от которых получается сплошная мазня, путаница и неразбериха.

Учителю надо доказать, что единственно правильный способ исправления состоит в зачеркивании ошибочной записи и замене ее новой правильной записью.

Сначала производим маленький психологический опыт, предлагая всем записать в тетрадях:

— 425 умножить на 36. Записали? Теперь исправим, так как я оговорился: не 425, а 364.

Просматривая тетради учеников, можно убедиться, что почти все ученики при исправлении 425 на 364 переделали цифры 4,2 и 5 соответственно на 3, 6 и 4.

Учитель говорит:

— Исправить можно тремя способами — стереть чернильную запись резинкой, переделать и зачеркнуть.

Все эти способы сейчас же демонстрируются на доске.

— Какой же способ лучше? От резинки получается грязное пятно на бумаге, а при переделке ничего нельзя разобрать.

Ученик с места: — Но мне-то понятно, что я исправил 425 на 364.

Учитель: — Допустим, что тому, кто писал, понятно. Вот я исправил здесь одно число на другое — что же получилось окончательно?

Учитель пишет на доске 562 и переделывает его на 341.

— Что я здесь написал? Никто не разрешит эту загадку?

Присматриваясь к записи, учитель говорит:

— Да я и сам теперь не знаю, что здесь окончательно получилось — нето 341, нето 562, а может быть и еще что-нибудь?

Общий смех.

— Значит, исправлять надо только так (показывает): аккуратно зачеркнуть и сверху написать новое число.

Ученик с места: — Но ведь можно и не зачеркивать, а аккуратно переделать одну запись в другую, если мне это понятно?

Учитель: — А вот я напишу на доске слово...

Пишет:—Чел-пер-авт. Что я здесь написал?

Голоса: — Непонятно...

Учитель: — А мне понятно. Я сокращенно написал фразу: человека переехал автомобиль. Мне это понятно, а никому другому непонятно. Следует ли записывать так, чтобы только одному автору был известен секрет записанного? Ведь мы пишем не для самих себя, а чтобы нас мог прочесть и понять всякий грамотный человек.

Этой беседы, конечно, недостаточно для окончательного убеждения учеников в необходимости зачеркивать при исправлении. Многим из них кажется, что способ зачеркивания противоречит требованию чистоты тетради. Надо доказать, что без исправления, а следовательно и без зачеркивания обойтись невозможно, так как описки сопутствуют всякой учебной работе.

Мы часто видим учеников, начинающих новую тетрадь с самым искренним и твердым убеждением, что они не допустят ни одной поправки. И когда на первой же странице возникает необходимость исправить запись, ученик после недолгого размышления вырывает лист и начинает тетрадь сначала. Доказать полную безнадежность этого предприятия, убедить учеников в том, что им вообще не удастся обойтись без исправлений — задача вовсе не легкая.

В зависимости от возраста и общего развития учащихся учитель может применить различные приемы. Можно, например, продемонстрировать в классе денежную расписку, в которой полученная сумма исправлена с помощью резинки или путем переделки, разъяснив, что единственный законный и общепринятый способ исправления описок в деловом обороте— зачеркивание неверной записи с соответствующей оговоркой о том.

Иногда я показывал ученикам автографы черновиков Пушкина, Тургенева, Толстого или Некрасова и говорил:

— Классика литературы, величайшие мастера художественного слова смело вычеркивали и исправляли свои рукописи. И это нисколько не снижает ценность их работы. Зачеркивание является естественным путем исправления ошибок.

Этот аргумент обычно убеждает учеников больше, чем всякого рода рассуждения и доказательства.

Следует оговориться, что исправление путем зачеркивания вовсе не исключает принципа полной аккуратности учебных записей и чистоты тетрадей, — об этом учитель должен систематически напоминать ученикам, показывая образцы, как надо исправлять.

4. Верно или неверно?

Этот вопрос очень часто ставится учениками в классе и заслуживает того, чтобы остановиться на нем подробнее.

Положим для простоты, что в преобразовании дробных выражений ученик не догадался предварительно произвести сокращение, и ему об этом делается напоминание. Общими силами пример доведен до конца, результат у всех получился одинаковый.

Один из учеников с места:

— У меня есть вопрос.

— Пожалуйста.

— Я делал по-другому, дробей не сокращал, а получилось у меня так же.

Учитель:

— Что же вы хотите спросить?

— Верно я сделал или нет?

— Верно, но нецелесообразно: у нас решение проще.

— Но все-таки результат у меня правильный и я прошу ответить мне на вопрос — верно я сделал или не верно? Да или нет?

Учитель: — Ну... верно.

Ученик (торжествующим тоном):— А больше мне ничего не нужно — значит я решил верно!

Такой диалог частенько возникает на уроках и ставит в большое затруднение неопытных учителей. В худшем случае учитель начинает нервничать, сердиться, называет вопрос .глупым“ и этим не только не находит выхода из положения, но упускает случай оживить урок короткой и эффектной воспитательной беседой.

Вопрос поставлен ребром в виде альтернативы:

— Верно или не верно? Да или нет?

Автору этих строк в его педагогической практике данный вопрос ставился учащимися самых разнообразных возрастных категорий

от 13 до 40 лет и старше. Психологически вопрос обосновывается тем, что ученик привык решать одним способом, без сокращения, а ему навязывается другой способ, может быть, и удобный, но новый, требующий известного труда для его освоения.

— А для чего мне новый способ, — думает ученик, — если и старый способ дает верный результат?

Разъяснения мною давались в различной форме применительно к составу данной учебной аудитории.

Если передо мной были студенты железнодорожного рабфака, я говорил:

„Для проезда от Воронежа до Киева мы покупаем билет, садимся в поезд и через день сходим на Киевском вокзале. Это нормальный способ. Но могут быть и другие пути: автомобиль, велосипед, телега. Можно ли доехать от Воронежа до Киева на телеге? Можно, только это будет в тридцать раз дольше. Допустим теперь, это мы с вами доехали на поезде, а Илья Ильич Обломов совершил то же путешествие на старой скрипучей телеге и, подойдя к нам на вокзале, спрашивает: а что, разве я неправильно ехал? Разве я не доехал до Киева? Теперь пусть каждый сам ответит на вопрос Обломова: верно или не верно?“

На курсах взрослых колхозников я приводил другой пример:

„Участок в 100 гектаров можно запахать трактором. Это будет лучший способ обработки. А дядя Мазай говорит, что можно это сделать несколькими сохами и просит нас сказать, можно ли запахать сохами или нельзя? Верно или не верно? Да или нет? Что мы ответим дяде Мазаю?“

Для учеников V—X классов можно воспользоваться географической картой:

.Как проехать по воде из Ленинграда в Нью-Йорк? Прямая дорога вот — через Атлантический океан. Каждый здравомыслящий человек поедет этим путем. Но можно ли проехать по другому? Можно. Сначала, например, завернуть на остров Формозу, а потом вокруг мыса Доброй Надежды в Нью-Йорк. В обоих случаях результат один, но разница маленькая есть. Что мы скажем человеку, который будет добиваться ответа на вопрос: а ведь и вокруг мыса Доброй Надежды дорога приведет меня к цели? Значит, я поеду правильно? Ответим ему: верно или не верно? Мы скажем: посмотри на карту.

Не нужно никакой изобретательности, чтобы придумать энное количество наглядных примеров, соответствующих особенностям данного класса. Эти объяснения с большой убедительностью внушают ученикам мысль о необходимости рационализации трудовых процессов, об отыскании лучших путей выполнения на каждой стадии работы.

Если учитель сумеет разъяснить вопрос отчетливо и наглядно, он получит в лице своих учеников активных и дружных помощников в своей борьбе за рационализацию математических преобразований и вычислений.

Если вы своевременно проявили последовательность, выдержку и терпение, не пропуская ни одного случая без методического воздействия, если вам удалось привлечь внимание учеников к этому вопросу и мобилизовать их активность, успех в этом случае можно считать обеспеченным.

К вопросу о рационализации вычислений следует возвращаться не один раз, а систематически, подтверждая свою мысль наглядными и убедительными примерами текущей учебной работы. Полезно, например, с часами в руках проверить со всем классом, на сколько именно секунд мы получим экономию при решении числового примера одним и другим способом. После этого делается вывод, что из секунд складываются минуты и часы народного труда, что культурная стахановская организация работы заключается в борьбе именно за экономию трудовых минут и секунд.

5. Как исправлять ошибки?

Мы имеем в виду исправление ошибок в процессе классной работы, когда ученики вызываются к доске для решения примера или упражнений, выполняемых остальными учениками в тетрадях.

Если ученик допустил какую-либо ошибку на доске, не торопитесь поправлять ее, дайте ученику дописать до точки. Например, мы видим, появление такой записи:

Останавливаем работу и обращаемся к классу:

— Внимание! Посмотрите на доску: нет ли здесь грубой ошибки?

С помощью учеников, при общем внимании всего класса, ошибка находится. Автор ее уже готов стереть неправильную запись, чтобы заменить ее правильной, но мы этого не допускаем: неправильная запись зачеркивается аккуратно двумя чертами цветным мелом, после чего пишется правильное решение.

Так следует поступать всегда. Ошибка на доске должна быть использована учителем до конца для повторных разъяснений, для углубления материала и закрепления его в памяти. Здесь должна быть предъявлена вся широта методического воздействия, что значительно повышает „коэфициент полезного действия“ данного учебного часа.

Основной вывод: всякая ошибка на доске исправляется при общем внимании класса с помощью самих учеников, после чего учитель дает окончательные разъяснения, выводы и советы.

6. Работа ученика у доски

Вызывая учеников к доске, мы видим, что часто ученик обратившись спиной к аудитории, заслоняет доску и лишает возможности большую часть класса видеть написанное. В других случаях ученик пишет на доске молча или обращаясь тихим голосом к одному преподавателю, не уделяя ни малейшего внимания всему классу. В иных случаях учащийся пишет таким мелким почерком, что даже с первых парт трудно разобрать написанное.

Поведение ученика у доски непосредственно влияет на общую работу всего класса. Есть чуткие и способные ученики, которые без всяких советов учителя при вызове к доске ведут себя идеально, разъясняя отчетливо каждый свой шаг всему классу. Но мы не можем требовать от всех учащихся, чтобы они угадывали наши желания и догадывались о том, чего им никто и никогда не объяснял. Учитель

должен научить учеников правильному поведению у доски.

Необходимо разъяснить, что работа у доски есть вид коллективной работы всего класса, а не одного только вызванного. Поэтому нельзя заслонять собою доску; писать надо так, чтобы со всех парт написанное было видно; каждая запись на доске должна сопровождаться отчетливыми громкими разъяснениями для всех.

Учитель должен продемонстрировать образец, как должен вести себя вызванный к доске ученик, сообщив минимум обязательных требований в этой работе. После этого от каждого из учеников надо добиватьса выполнения этих требований.

7. Поведение самого учителя

Учителю принадлежит важнейшая ведущая роль в учебном процессе, он организует и направляет работу всего класса. Полезно вспомнить здесь изречение Дистервега:

... „Наиболее важное явление в школе, самый поучительный предмет наглядности, самый живой пример для ученика—это учитель“.

Учитель должен не только знать в совершенстве свой предмет и владеть его методикой, не только овладеть рядом профессиональных навыков, но учитель должен выработать в себе минимум качеств, необходимых для нормальной педагогической работы.

Чтобы быть учителем не в узком, а в широком смысле слова, то есть не только давать знания, но и формировать личность своих учеников, для этого учитель должен сам показывать образцы точности, аккуратности, добросовестного отношения к делу. Нельзя забывать, что работа учителя является своеобразным видом массовой работы, где каждый дефект, малейшее упущение или ошибка мгновенно отмечаются учащимися, а наша классная аудитория чрезвычайно восприимчива, наблюдательна и чутка.

Опыт и наблюдения учебно-методической работы говорит, к сожалению о том, что некоторые азбучные элементарные положения техники педагогической работы постоянно нарушаются в наших школах.

Иногда учитель, направляясь в класс с разработанным планом урока, не предусмотрел только одной „мелочи“ — конкретного начала этого урока. Войдя в класс, он погружается в классный журнал, отыскивая соответствующую страницу (она должна быть заранее отмечена закладкой), потом начинает выбирать по списку, кого спросить. И вместо того, чтобы сразу завладеть вниманием учеников, учитель испортил начало урока и распылил это внимание, как бы разрядил атмосферу.

Некоторые учителя обращаются ко всему классу с нравоучительными убеждениями:

— Вы шумно ведете себя, вы стали плохо учиться и т. д.

Такие выступления дискредитируют преподавателя, разлагают дисциплину и создают крайне нездоровую обстановку: ни один класс нельзя огульно обезличивать обобщениями „вы хорошие, вы плохие“ и нельзя противопоставлять два лагеря „мы“ и „вы“.

В своей работе с учениками преподаватель должен быть примером полнейшего самообладания и уверенности в своих действиях. Нельзя быть суетливым, мелочным, придирчивым и обидчивым. Сухость обращения, язвительность, придирчивость и грубость должны быть чужды учителю. Нельзя полемизировать с учениками, волнуясь жестикулируя и поучая. Истинная педагогика требует поменьше дидактического тона, но больше естественной простоты, серьезности, наглядности и убедительности.

Учитель никогда не должен ни сердиться ни обижаться, должен уметь признавать свои ошибки (по рассеянности), терпеливо разъяснять все вопросы, не возмущаясь и нервничая, всегда исполнять свои обещания. Это создает атмосферу взаимного доверия в классе и укрепляет авторитет учителя.

Речь преподавателя должна быть живой, образной и умной, он должен быть точным и метким в своих суждениях, владея готовым запасом афоризмов, сравнений, арсеналом исторических и научных фактов.

Используя незаменимое оружие наглядных и убедительных сравнений, учитель должен овладеть искусством оживлять уроки. Истина открывается не только в бесстрастных и холодных рассуждениях, но особенно привлекает учеников, если дается им в форме увлекательной и интересной.

Истинный учитель никогда не поставит точку, сказав: я уже знаю все и мне нечему учиться. Как бы велик ни был за плечами педагогический опыт, учитель должен неизменно работать над собой, чтобы быть для учеников внимательным и заботливым старшим товарищем, чутким к их нуждам и запросам и тогда он может быть достойным того, чтобы быть названным учителем в полном смысле этого слова, память о котором ученики хранят долго после школьной скамьи.

ГОД РАБОТЫ СЕКЦИИ МАТЕМАТИКОВ ПРИ ОДЕССКОМ ОБЛАСТНОМ И ГОРОДСКОМ МЕТОДКАБИНЕТАХ

Д. ГОНЧАРОВ (Одесса)

В прошлые годы на страницах журнала „Математика в школе“ (см. например 1929 г. № 5 и № 8; 1930 г. № 2; 1931 г. № 3) практиковался обмен опытом работы объединений преподавателей математики. Нам кажется весьма желательным возобновить подобного рода информации о жизни и деятельности объединений преподавателей математики многочисленных городов нашего СССР. Вот почему мы решили поделиться итогами годовой работы секции математиков при Одесском областном и городском методкабинетах.

II

Секция математиков при Одесском областном и городском методкабинетах организовалась в январе 1937 г. На первом организационном собрании было избрано бюро секции в составе 5 человек, а именно: т. т. Гончаров Д. С. (председатель), Горская (секретарь) и члены бюро Рубинштейн В. Г., Гольденблат И. О. и Срулевич С. Л. На этом же собрании был заслушан план работы секции и намечены темы 50 докладов на текущий и будущий учебный год. Кроме того, был намечен календарный план работы на ближайшие два месяца.

III

Заседания секции математиков происходили регулярно раз в шестидневку от 8 до 10 часов вечера. За период работы секции с 20 января 1937 г. по 25 февраля 1938 г. состоялось 52 заседания секции по плану и три заседания вне плана.

На собраниях секции были рассмотрены следующие вопросы.

1. Организационные вопросы (см. выше II отдел).

2. „Расширение понятия о числе“. (Доклад. В. Г. Рубинштейн).

3. 4, 5. Семинар по изучению логарифмической линейки под руководством Д. С. Гончарова.

6. .Прямая и плоскость“ (В. Г. Рубинштейн).

7. „Математические кружки в школе“ (Срулевич, Гольденблат, Гарценштейн).

8. Совещание преподавателей математики старших классов по вопросу о повторении материала в X классах.

9. „Теория соединений“ (т. Скрылев).

10. Совещание преподавателей вузов и втузов с преподавателями средней школы о подготовке по математике оканчивающих X классы.

11. „Задачи на построение“ (И. О. Гольденблат).

12. „Алгебраические дроби“ (И. Д. Янюк).

13. „К вопросу о квадратных уравнениях“ В. О. Цацкис).

(14. а) „Теоретическое освещение материала в стабильных учебниках по алгебре“* (И. Д. Дуб и Д. С Гончаров).

б) Подготовка к испытаниям в V и VI классах.

15. а) Доклад М. А. Неймарка и А. Г. Окуня на тему: „Жизнь и деятельность Лагранжа (в связи с 200-летием со дня рождения).

б) Подготовка к испытаниям в VII и VIII классах.

16. а) Доклад (ученика IX класса 31 одесской школы) т. Бурдмана на тему: „Решение задач на построение при помощи одной линейки“ (самостоятельное исследование).

б) Подготовка к испытаниям в IX и X классах.

17. Совещание преподавателей математики по вопросу „Методика проведения испытаний по математике“.

18. „Исследование уравнений“ (В. Г. Рубинштейн).

19. „Теоретическое освещение материала в стабильном учебнике по планиметрии“* (И. Д.

Дуб).

20. „К вопросу о составлении учебника па систематическому курсу арифметики“** (проф. К. М. Щербина).

21. „Арифмометр и работа на нем“ (Д. С. Гончаров).

22. „Теоретическое освещение материала в стабильном учебнике по стереометрии“*** (И. Д. Дуб).

23. „Резолюция группы математики Академии наук СССР по вопросам преподавания математики в средней школе“ (Д. С. Гончаров).

24. „Полная математическая индукция и некоторые ее приложения“ (В. Г. Рубинштейн и Д. С. Гончаров).

25. а) Совещание преподавателей математики по вопросу „Итоги учебного года по математике“.

б) Полугодовой отчет бюро о работе секции математиков при Одесском областном и городском методкабинетах.

В летние месяцы во время школьного перерыва с 20/VI по 1/1X37 г. заседания не происходили. Секция возобновила свою работу 2/IX 37 г. и рассмотрела на своих заседаниях следующие вопросы:

26. I. Перспективы работы секции на 1937/38 уч. г. 8/IX 37 г.

27. „Планирование работы в VII и VIII классах на текущий учебный год“ (С. Л. Срулевич).

28. „Иррациональные числа в средней школе“ (Д. С. Гончаров).

29. „О преподавании астрономии в средней школе“ (проф. К. Д. Покровский).

Примечание. После этого заседания преподаватели астрономии выделились в отдельную подсекцию и работают под руководством проф. К. Д. Покровского.

30. Теоретическое освещение материала в стабильном учебнике тригонометрии Рыбкина“**** (И. Д. Дуб.)

31. „Задачи на построение в средней школе“ (И. Д. Дуб).

32. „Систематическая проработка прогрессий в IX классе“ (С. Л. Срулевич).

* Материалы направлены в НКО Украины.

* Материалы направлены в НКО Украины.

** Работа была впоследствии напечатана в журнале „Математика в школе“ 1937 г. №

*** Материалы направлены в НКО Украины.

**** Материалы направлены в НКО Украины.

33, 35, 39, 43, 45, 47. „Элементы современной алгебры“ (П. Г. Рехтман).

34. „Устные занятия по математике в средней школе“ (проф. К. М. Щербина).

36. „История развития неэвклидовой геометрии“ (И. Д. Дуб).

37. „Теория пределов и длина окружности в средней школе“ (Л. К. Беркович).

38. „Достижения математики в нашем Союзе за XX лет“ (проф. М. Г. Крейн).

40. „К вопросу о составлении методики систематического курса арифметики“ (проф. К. М. Щербина).

41. Доклад (уч. X класса 1-й железнодорожной школы) т. Пятковского на тему: „Полная математическая индукция и ее приложение к решению некоторых задач по алгебре и тригонометрии“.

42. „Одиннадцатый (пятый) постулат Эвклида (А. Г. Окунь).

44. „Комплексные числа в средней школе“ (В. Г. Рубинштейн).

45. Итоги январских конференций преподавателей математики гор. Одессы.

46. „О формулах приведения (А. К. Беркович). 48-е заседание I/II 38 г.

48. „Начальные уроки по преподаванию логарифмов“ (А. Л. Витал).

49. „Интерпретация неэвклидовой геометрии“ (А. К. Беркович).

50. „Одиннадцать свойств шара“ (А.Г. Окунь).

51. Доклад ученика X класса 23-й средней школы т. Штрома на тему: „Общие методы решения треугольников“.

52. „Учебник элементарной геометрии Киселева в переработке проф. Н. А. Глаголева“ (В. Г. Рубинштейн).

IV

Заседания Секции посещались преподавателями средних школ г. Одессы, изредка преподавателями школ пригородных и отчасти преподавателями вузов и втузов г. Одессы. На 52 заседания в течение 1937 и двух месяцев 1938 года приходится около 1350 посещений преподавателей средней школы и около 95 посещений преподавателей высших учебных заведений. Таким образом, в среднем на одно заседание приходится около 30 посетителей. Вообще говоря, число посетителей колеблется в пределах от 12 до 65 человек. Наиболее многолюдными были заседания 14, 15, 16, 17, 18, 37, 38, на каждом из которых присутствовало свыше 50 человек.

V

В заключение Секция математиков при Одесском областном и городском методкабинетах надеется, что объединения преподавателей математики других городов не откажутся поделиться опытом своей работы, а журнал „Математика в школе“ не откажется уделить на своих страницах место для подобного рода сообщений.

О РАБОТЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА ПРИ ДНЕПРОВСКОМ ХИМИКО-АЛЮМИНИЕВОМ ТЕХНИКУМЕ (ДХАТ)

Н. ПАКИ (Днепропетровск)

Одним из основных моментов борьбы нашей школы (какова бы она ни была) за качество продукции является борьба за отличничество.

Рост отличников в школе это один из показателей роста школы.

Каковы же мероприятия самой школы, каковы должны быть ее шаги в направлении роста отличников?

Прежде всего, удовлетворение интереса самих учащихся к науке. Организация научной работы. Частью такой научной работы я разумею кружки по отдельным дисциплинам.

Я хочу поделиться опытом работы математического кружка в Днепровском химико-алюминиевом техникуме (г. Б. Запорожье).

Как возник этот кружок? Очень просто. Основным толчком была инициатива самих студентов, притом студентов первого курса.

Как известно, математика в техникуме не является центральной дисциплиной, но она является базою для большинства специальных дисциплин.

Программа математики в техникуме такова, что она представляет собою основы этой науки, например в программу входит средняя математика, аналитическая геометрия только на плоскости, основы анализа бесконечно малых.

Главная цель математики в техникуме: с одной стороны развить у студентов уменье применять знакомые формулы к решению практических задач в разных дисциплинах, а с другой стороны дать студенту теоретически-научную базу настолько, чтобы он при желании мог углубить тот или иной интересующий его вопрос.

Как часто бывает, студенты в процессе прохождения курса математики ставят преподавателю вопросы, выходящие за пределы предложенной программы, но связанные с нею!

Вот тут весьма существенна роль педагога, его уменье из всей массы вопросов, возникающих у учащихся, уловить то, что можно было бы проработать на отдельных занятиях кружка.

Конечно на эти вопросы может быть дан краткий ответ: „Этого в программе нет“. Такой ответ будет формальный. Почему однако, этот вопрос не поставить как одну из тем работы кружка?

Вот из таких запросов учащихся и возник математический кружок ДХАТ.

Организационная сторона в этом деле имеет большое значение. Конечно, роль педагога тут велика. Он должен всячески помочь студентам в организации кружка, а студенты, интересующиеся математикой, всегда с удовольствием займутся этим.

Я подчеркиваю, интересующиеся математикой. Да интерес — это великое дело в работе кружка. Ведь кружок — добровольный. Без интереса к математике он не может существовать, а интерес к ней должен постоянно возбуждаться. Это же последнее возможно тогда, когда студент видит результаты работы кружка.

Прошлый 1936/37 год в состав математического кружка входило 18 человек первого курса и 15 человек второго курса.

Организацией, разрешающей и утверждающей различные вопросы кружка, было общее собрание членов. Оно же выделяло бюро, состоящее из 5 человек.

Обязанностью бюро было: составление плана работы кружка, проведение в жизнь решений общего собрания. Подготовка различных вопросов к общему собранию, рассмотрение вопросов, требующих срочного решения и др.

На обязанности общего собрания лежало: утверждение плана работы кружка, утверждение членов кружка, выборы бюро, заслушивание докладов, внесение различных коррективов в работу кружка и т. д.

Бюро из своей среды выделяло старосту и секретаря кружка, отдельно по каждому курсу.

Работа старосты состояла в следующем: ведение собрания, созыв его, извещение о собрании, наблюдение за исполнением студентами порученных им заданий, за выполнением намеченного плана и т. п.

Секретарь обязан был вести протоколы, вести всю учетную работу кружка. Учет лежал в основе всей работы кружка. Он состоял из следующих моментов: 1) протоколы различных собраний. 2) учет всей работы проделанной членами кружка, а также докладов преподавателей.

Надо сказать, что собрания кружка иногда проводились по курсам — это зависело от поставленных на повестке дня вопросов.

На собрании кружка, если слушался доклад, то он подвергался обсуждению, указывались положительные и отрицательные стороны в работе докладчика, вносились пожелания на будущее и т. д.

Как я сказала выше, основным принципом работы кружка была добровольность участия в нем и все же обязательное выполнение отдельными членами кружка предложенной им работы.

План работы прошлого года 1936/37 уч. г. состоял в следующем:

I. Лекции преподавателей

а) История логарифмов.

б) Полярная система координат.

в) Извлечение кубического корня, из чисел.

г) Уравнение прямой в пространстве.

2. Доклады студентов

а) История относительных чисел.

б) История цифр.

в) История числа.

г) Таблицы логарифмов разных типов.

д) Применение математики и астрономии.

е) Пифагор и доказательство его теоремы различными способами.

ж) Уравнение высших степеней (история и способы решения при помощи теоремы Безу).

з) Определители и их применение к решению уравнений.

и) Ряды (сумма квадратов и кубов чисел),

к) Доказательство теорем (сверх программы техникума).

л) Задачи на построение (сверх программы техникума).

м) Решение задач на вычисление при помощи уравнений (сверх программы техникума).

3. Изготовление приборов и других наглядных математических пособий.

а) Изготовление приборов для изучения подобия фигур (делительный циркуль).

б) Изготовление модели призмы и пирамиды с сечениями.

в) Изготовление графиков тригонометрических функций.

г) Таблица знаков для тригонометрических функций.

д) Зависимость между элементами прямоугольного треугольника.

е) Графики показательных и логарифмических функций.

ж) Уравнение прямой.

з) Графический способ решения системы уравнений 1-й степени и квадратных.

и) Модельное оформление теорем и задач по стереометрии.

IV. Выпуск математического бюллетеня.

V. Оборудование математического кабинета

В настоящем 1937/38 уч. г. план несколько расширен. Так дополнены следующие моменты: изучение счетных приборов, проведение математических игр, организация вечеров смекалки, проведение вечера в память 300-летия „Геометрии“ Декарта.

Кроме того, в плане учтено изготовление портретов, лозунгов, моделей, таблиц, пополняющих уже имеющееся оборудование кабинета.

После полуторагодовой работы кружка можно с гордостью сказать, что, во-первых, математический кабинет обогатился приборами и таблицами, сделанными руками студентов, а во-вторых, студенты — члены кружка расширили свои знания из математики и, главное, как говорится, „приохотились“ к математике, результатом чего явилось то, что студенты третьего курса (бывший второй курс — члены кружка) изъявили желание продолжать углубление полученных знаний по математике.

При всех положительных сторонах в работе кружка и его достижениях необходимо отметить и то, что тормозило нашу работу. Это: 1) частое отсутствие в нашей библиотеке необходимой для докладов литературы — ее приходилось доставать всюду.

2) Организации техникума еще не привыкли работать настолько четко, чтобы не нарушать намеченный кружком календарь работы; бывали случаи, что намеченная по плану работа срывалась не по вине кружка.

ОТКЛИКИ НА СТАТЬИ

К ВОПРОСУ О НУЛЕ В АРИФМЕТИКЕ

Проф. К. М. ЩЕРБИНА (Одесса)

Я благодарен проф. Н. А. Извольскому за его заметку („Математика в школе“, № 6, 1937 г.) по поводу моего взгляда на нуль, высказанного в статье „К вопросу о составлении стабильного учебника по систематическому курсу арифметики“ („Математика в школе“, № 4, 1937 г., стр. 51)*. Разномыслие, столкновение мнений часто есть путь к истине. Выступление проф. Н. А. Извольского дает возможность рассеять то недоразумение, которое возникло до некоторой степени по моей вине. Оказывается, я не вполне ясно выразил свою мысль: очевидно, мы с проф. Н. А. Извольским говорим о разных вещах.

Говоря о нуле, я имел в виду начальный курс арифметики, т. е., точнее говоря, пропедевтический курс и первый цикл систематического, а не курс арифметики вообще или, как выражается оппонент, курс „научной“ арифметики. Мне казалось, что это все без особого подчеркивания в достаточной степени ясно будет читателю: ведь я подвергал анализу учебник (И. Попова), предназначенный для лиц, еще не знакомых с отрицательными числами. О том, что я имел в виду именно начальный курс арифметики, свидетельствуют и те соображения, которые приведены мною в защиту моего взгляда. Я утверждал, мотивируя свои взгляды, и теперь утверждаю следующее, понятие о нуле как числе сложнее понятия об отрицательном числе и в отношении конкретизации этих чисел и в отношении действий над ними: усвоение такого понятия требует известного математического развития, какого не может еще быть у учащихся первых пяти классов; следовательно, вводить это понятие в начальном курсе арифметики значит „вступать на путь заучивания тех словесных фраз, которыми выражаются подлежащие изучению факты“, „опираться на словесную память ученика“;* далее, понятие о числе нуль в этом курсе только усложняет и запутывает усвоение письменного обозначения чисел (письменной нумерации) и вывод правил арифметических действий. Таким образом понятие о числе нуль следует вводить в сознание учащихся не раньше введения отрицательных чисел и лучше всего одновременно с этими числами.

Не возражая на все это, проф. Н. А. Извольский останавливается только на одном вопросе, относящемся к начальному обучению, находя, что при отсутствии числа нуль создается, по его словам, „странное положение“, а именно: „разность 7—7 равна цифре нуль“. Да, действительно, будет „странное положение“, если подходить к этому вопросу так, как подходит к нему проф. Н. А. Извольский. Он замечает: „Такие вычитания, даже если выкинуть из упражнений случаи, приводящие к ним (разрядка наша — К. Щ.\ постоянно встретятся, хотя бы при вычитании многозначных чисел“. Конечно, отдельно таких примеров давать не следует (ведь не даем же мы в то же время примеров, подобных таким, как 5—7, 4—5 и т. п., а задачи с условием, которые могли бы привести к таким вычитаниям, даем в арифметике). Но проф. Н. А. Извольский недоумевает, как избежать „странного положения“ при вычитании многозначных чисел, а мы прибавим от себя — и при делении без остатка (последнее вычитание).

Чтобы быть понятным, я позволю себе при рассмотрении этого вопроса начать несколько издалека — с момента первого введения в сознание ученика понятия нуль.

Обычно, когда впервые знакомят с записью чисел 20, 30 и т. д., связывая это обязательно с определенным числом конкретных предметов (например, спиц, палочек и т. п., связанных в пучки по десять), то говорят ученику, что мы будем пользоваться для этого доской или бумагой, разграфленной в клетку, причем в первой клетке, считая справа налево, будем отмечать число спичек, меньшее десяти (с цифрами от 1 до 9 дети уже знакомы), а во второй клетке — число пучков, которые представляют собою десятки. Таким образом, если у нас будет только 3 десятка спичек, то мы во второй клетке справа напишем цифру 3, а первая клетка останется пустой.

Если же доска или бумага не будет разграфлена, то в таком случае запишем сначала 3, а потом рядом с этим справа изобразим пустую клетку, т. е. 3 \~\, или будет удобнее записывать так: 30, где 0 представляет собой изображение пустой клетки и больше ничего, т. е. цифру нуль—знак, указывающий, что, кроме 3 десятков, единиц здесь нет. Конечно, нерациональным было бы семилетнему-восьмилетнему ребенку говорить о числе нуль, а следовательно, и о действиях над ним, когда ребенок имеет дело только с присчитыванием и отсчитыванием конкретных предметов и лишь после

* Тот же взгляд несколько обстоятельнее высказан мною и в журн. „Советская педагогика“ №5-6 за 1937 г., стр. 113—114.

* Н. Извольский — „Методика геометрии“. 1924 г., стр. 30, 43.

ряда соответствующих упражнений переходит к так называемым отвлеченным числам. Аналогично сказанному выше, когда учим записывать числа, например 203, то отмечаем, что знак 0 и здесь является цифрой, т. е. пустой клеткой, указывающей на отсутствие десятков в разряде, и о действиях над нулем (пустой клеткой) покамест не может быть и речи. Далее, когда мы говорим: нуль целых пять десятых, или пишем: 0,5, то знак 0 опять-таки обозначает отсутствие в числе целой части и только. Следовательно, и при вычитании, например, 7—7 естественно сказать, что никакого числа у нас не получится, но при этом нет никакой необходимости на этой ступени обучения вводить для этого какое-то новое число. Поэтому покамест не следует давать таких заданий, как 7—7, а тем более неудобно писать 7 — 7 = 0 (чтобы не прочли это так: 7—7 равно цифре нуль); но в случае надобности, при решении задач или при делении без остатка, можно записать, например, так:

где 0 означает отсутствие единиц какого бы то ни было разряда, или еще лучше под чертой ничего не писать, как это делают часто при делении без остатка; если же в данном случае ставят нуль под чертой, то не для обозначения полученного числа (и не для того, чтобы сказать, что разность равна цифре нуль), а как символ отсутствия числа, подобно тому, как это делают для обозначения отсутствия целой части в десятичной дроби.

Теперь ясно, как следует поступать при вычитании многозначных чисел, когда число единиц какого-нибудь разряда в уменьшаемом будет равно числу единиц этого разряда в вычитаемом. Ясно, нам кажется, также, что в начальном курсе арифметики введение числа нуль в данном случае усложнит и запутает очень простой вопрос. Очевидно, при действии с многозначными числами, вычитая, например, 5 десятков из 5 десятков не следует говорить, что получится в остатке нуль десятков*. Тут у пытливого ученика может возникнуть ряд недоуменных вопросов: что с этим новым, неведомым числом делать? Нельзя ли 0 совсем опустить (ведь опускаем же мы нуль, например, в таких случаях: 3 + 0 = 3, или: 3—0=3)? Если же записывать нуль десятков, то почему писать именно на втором месте, ведь 0 дес.= 0 ед. = 0 сотен и т. д., а следовательно, этот 0 нельзя ли написать не на втором, а на каком-нибудь ином месте?

Особенно рельефно выступают преимущества в данном случае точки зрения на нуль только как на цифру, если применить устные приемы производства действий.

Чрезвычайно показательным для решения нашего вопроса является то, что делают нередко ученики при умножении на числа с нулями в середине обозначения их. Ученики, заучивши, что а.О = 0 и О.а = 0, — конечно, совершенно не разбираясь в этом, — когда рассматривают 0 как обозначение числа, совершенно естественно приходят к такому, например, безобразному выполнению действия:

(В том же случае, когда 0 рассматривается только как цифра, мы должны набрать 2 041 слагаемым 2 раза, а потом еще 300 раз.) И такая неразбериха будет встречаться на каждом шагу особенно при умножении и делении.

Насколько понятие о числе нуль сложно, а операции с ним своеобразны и замысловаты, явствует еще из того факта, что большинство софизмов основано на недоразумениях, связанных с нулем.

Совершенно по-иному отнесутся учащиеся к нулю, если понятие о числе нуль ввести при изучении отрицательных чисел; тогда можно расширить понятие о числе и в арифметике введением числа нуль, и это не приведет к тем недоразумениям, какие встречаются не только у учеников, но и у лиц с более значительной математической подготовкой (например, в вопросе о раскрытии неопределенности элементарным путем).

Что же касается введения числа нуль в курс арифметики вообще, то я этого вопроса не затрагивал, так как это в данном случае не является необходимым, тем более, что двумя-тремя замечаниями этого вопроса исчерпать нельзя. Здесь мы упираемся в довольно сложный вопрос: что такое арифметика и что такое алгебра? причем разные авторитеты подходят к ответу на этот вопрос по разному. И если говорить об арифметике независимо от начального обучения, как трактуют ее, например, Штольц и Гмейнер, Ж. Таннери, К. Фербер и др., то, само собою разумеется, что понятие о числе нуль обязательно должно иметь место в арифметике. Мотивом для введения числа нуль является не только то, что „число нуль есть модуль сложения“: для этого можно было бы указать основания более веские, более убедительные. А как вводить в этом случае понятие о нуле и в какой последовательности, это можно найти в любом грамотном руководстве, касающемся этого вопроса — вопроса расширения понятия о числе.

Теперь нам могут сказать: если вообще в арифметике, при научном ее изложении, необходимо говорить о числе нуль, то почему же не ввести этого понятия в том или другом виде и в начальный курс. На это может быть один ответ: в начальном курсе с логической точки зрения этого делать нет никакой надобности, а с педагогической точки зрения этого делать нельзя. Ведь начальный курс арифметики отличается от научного систематического курса, между прочим, тем, что в начальном курсе мы не трактуем того или другого вопроса во всей его широте и глубине, не даем ничего такого, что может быть усвоено только на словах, поэтому кое-что и не договариваем и, наконец, мы не должны давать ничего такого, от чего впоследствии пришлось бы отказаться.

* Если же допустить выражения „получится нуль десятков“, то только вместо слов „не будет десятков“, потому что о действиях над нулем на этой ступени обучения не должно быть и речи.

Наши разногласия с проф. Н. А. Извольским обусловливаются не только тем, что мною не было подчеркнуто, о каком курсе арифметики говорится в данном случае, но и тем, что проф, Н. А. Извольский подходит к решению поставленного вопроса исключительно с методологической точки зрения, тогда как здесь нужно решать вопрос, принимая во внимание не только методологическую сторону его, но и методическую.

О РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ

С. ЗЕТЕЛЬ (Москва)

В № 5 и 6 журнала „Математика в школе“ за 1937 г. помещена интересная статья В. Б. Фурсенко: „Лексикографическое изложение конструктивных задач геометрии треугольника“. Работа тов. Фурсенко явится хорошим пособием для преподавателей средней школы и для всех интересующихся решением задач на построение треугольников.

Недостатками работы, с моей точки зрения, является отсутствие анализа решения и слишком частое использование алгебраического метода.

В настоящей заметке я хочу дать решение 11 задач на построение, сводящихся к решению одной. Среди задач, сводящихся к этой одной, имеется и задача, помещенная под № 247 в статье т. Фурсенко и решенная им очень тяжело. Мы дадим более простое решение этой задачи без использования алгебраического метода.

Задача № 1. — Построить треугольник по основанию, высоте, опущенной на основание, и разности углов, прилежащих к основанию (а, Нф £В-?С).

Анализ. Предположим, что задача решена и треугольник ABC построен. Построим точку С, симметричную точке С относительно прямой PQ, параллельной ВС. Соединим С с В. Определим величину угла С AB, под которым отрезок ВС виден из точки А (черт. 1).

Легко видеть, что угол ВАС = / САС ++ ^ ВАС = 2£С+180°—/.В— / С= 180° —

Построение. Отложим на прямой MN отрезок ВС, равный основанию а. На расстоянии, равном ha, проведем прямую PQ, параллельную ВС. Строим точку С, симметричную точке С относительно PQ. На прямой ВС строим сегмент, вмещающий угол 180° — О- Точка пересечения сегмента с прямой Рц определит вершину искомого треугольника.

Задача № 2. Построить треугольник по основанию, биссектрисе угла при вершине и разности углов, прилежащих к основанию (я, ЬА, £В — С). Так как угол между биссектрисой и высотой, выходящими из одной вершины треугольника, равен полуразности двух других углов треугольника, то эта задача легко приводится к первой.

Действительно, построив прямоугольный треугольник по гипотенузе, равной а и острому углу, равному ^- « В — < С), определим высоту треугольника ABC ( она равна катету, прилежащему к углу, равному

Задача № 3. Построить треугольник по данным a, ha и ЬА. Построив прямоугольный треугольник по гипотенузе, равной ЬА и катету, равному ha, определим полуразность углов В — С. Далее задача сведется к задаче № 1. В статье т. Фурсенко эта задача приведена под номером 49. Без анализа понять ее решение трудно. Эта же задача приведена в книге Александрова (метод симметрии № 352).

Задача № 4. Построить треугольник по периметру, высоте на основание и разности углов, прилежащих к основанию (2/7, ha, В— С).

Предположим, что задача решена и треугольник ABC построен (черт. 2). Выпрямим ломаную ВАС и прямую DBCE так, чтобы DB—AB w СЕ ~ АС.

В треугольнике DAE известны: основание, равное 2/7, высота ha и разность углов D и Е, равная полуразности углов В и С. Задача сведена к задаче № 1. Построив треугольник DAE, легко получим искомый треугольник ABC.

Задача № 5. Построить треугольник по данным 2/7, ЪА и ^ В — 2т С' Построив прямоугольный треугольник по гипотенузе, равной ЬА и острому углу, равному ^/ В — С, определим ha. Задача сведена к предыдущей.

Задача № 6. Построить треугольник по данным 2/7, ЬА и ha. Построив прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету, соответственно равным ЬА и ha, определим разность углов В и С. Задача сведена к задаче № 4.

Эта задача имеется в статье т. Фурсенко (№ 247).

Черт. 1

Черт. 2.

Для решения этой задачи предлагается построить некоторый отрезок:

Вряд ли такое построение практически удобно. Задача № 7. Построить треугольник по данным р — а, ha, £ В — /_С. Раньше, чем приступить к решению задачи, рассмотрим следующее спрямление сторон треугольника ABC (черт. 3).

Отложим ВА на стороне ВС от точки В до точки D и отрезок CA от точки С до точки Е. Определим длину отрезка ED.

Вычислим углы треугольника AED. Так как треугольник АСЕ равнобедренный, то угол

Итак, в треугольнике AED известны: основание, равное 2 (р — а), высота ha и разность углов, прилежащих к основанию / АЕС — ADB = —-^=—. Построение треугольника AED свелось к решению задачи первой.

Задача № 8. Построить треугольник по данным р — а, Ьл, £ В—^ С. Задача легко сводится к предыдущей.

Задача № 9. Построить треугольник по данным р — я, ha, ЬА. Строим прямоугольный треугольник по кат-ту ha и гипотенузе, равной /д. Далее задача сводится к задаче №7.

Задача № 10. Построить треугольник по данным г, а, £ В — ^/ С. Проведем в треугольнике ABC биссектрисы внутренних углов В и С до пересечения в точке /. В треугольнике В/С известны основание я, высота, равна г и разность углов при основании. Переход от треугольника В/С к треугольнику ABC очевиден.

Задача № 11. Построить треугольник по данным гф я, £В — /_ С. Проведем из вершин В и С биссектрисы внешних углов до пересечения в точке /А. В треугольнике /дВС известны основание, h = ra и разность углов, прилежащих к основанию.

черт. 3

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

К КРИТИКЕ ПРОГРАММЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

(по редакции 1937 г.)

В. БАРАНОВСКИЙ (Одесса)

Школа перешла к стандартным программам и учебникам во всесоюзном масштабе. НКП РСФСР не организовал, очевидно, высокоавторитетных постоянных академических комиссий по разработке программ и учебников. Каким только перестановкам, сокращениям и изменениям не подвергался алгебраический задачник Шапошникова и Вальцева. Критика находила слабый отклик в НКП. Академия Наук СССР в 1936 г. признала неудовлетворительными учебники и методруководство по геометрии Р. В. Гурвица и Ю. О. Гангнуса, но указанные книги до сих пор являются единственными. Исправление положения с программами и учебниками требует конечно, времени.

Программа по математике издания 1937 г. представляет значительный шаг вперед по сравнению с текстом 1936 г. Так, введены десятичные периодические дроби, поставлено на место деление многочленов; в алгебру введено изучение пропорций; разложение квадратного трехчлена дано при разложении алгебраических выражений на множители; введен модуль перехода от одной системы логарифмов к другой и т. д., и т. п.

Основные исправления указаны в предисловии к программе. Однако, и текст 1937 г. еще содержит много существенных недочетов, сохранившихся от редакции 1936 г. Причина ясна, — это частичное сохранение оригинала программы 1936 г., во-первых, и — ориентация на наличные учебники, во-вторых.

Но, прежде всего, должна быть создана программа, а потом уже соответствующий стандартный учебник и методическое руководство к нему. Основное требование к программе — научность, с современной точки зрения, и систематичность. В основу элементарного курса математики должны быть положены, как мне кажется, следующие два фундаментальных понятия:

1) диалектика числа, как модели величины (точнее — как модели отношения двух однородных величин):

Арифметическое число: развитие числовой области; операции над числами; переменное число, как модель переменной величины; функ-

циональная зависимость в ее простейших случаях;

Алгебраическое число (в смысле „явно не выраженное количество“) и его развитие;

Попутно с этим — решение уравнений и неравенств, как нахождение неизвестного числа (чисел) по данным условиям;

2) диалектика равенства геометрических образов*:

Конгруэнтность и симметрия; учение о параллельных и об окружности; подобие, как обобщение понятий о конгруэнтности и симметрии; равновеликость; то же — в пространстве.

Конечно, диалектика числа и диалектика равенства геометрических образов должны итти в курсе средней школы не только рядом, но и во взаимном дополнении друг с другом.

В развитии каждого из этих фундаментальных понятий два пути: натуральный (индукция по данным опыта на основе интуиции) и формальный (строго-логический дедуктивный курс на основе постулатов).

Совершенно ясно, и данные истории математики подтверждают это, что основной—первый путь, второй же, особенно в школе, — лишь оформляющий и обобщающе-контрольный.

Диалектика арифметического числа, по-моему, должна быть в средней школе в основном закончена, т. е. п ос троен непрерывный числовой ряд и непрерывная числовая область на плоскости (комплексная плоскость); при этом число рациональное должно быть проработано обоими путями (и натуральным и школьно-формальным); иррациональное число должно быть проработано только натуральным путем; наконец, о комплексном числе школьники должны получить совершенно ясное представление; но этого мало: для непрерывности ряда и области им должно быть сообщено о существовании трансцендентных чисел, как иррациональных особой природы, именно — они не могут быть выражены конечным числом корней из числа рациональных („vires algebrae transcendunt“); при этом следует использовать единственное трансцендентное число элементарного курса— к—и рациональные его кратные. Далее, для установления одно-однозначного соответствия между числами непрерывного ряда и области, с одной стороны, и точками прямой и плоскости, с другой, — совершенно необходима геометрическая интерпретация числа, особенно при всяком новом расширении понятия о числе. Помимо этого для формального пути весьма важно указание необходимости расширения числовой области для выполнимости обратных операций 1-й, II-й и III-й ступени.

Отсюда следует, что построение непрерывного ряда должно быть закончено до понятия о переменной величине и ее модели — переменном числе, так как изучение функций в средней школе начинается именно с изучения непрерывных функций; только их графики и изучаются; между тем можно и должно было бы уделить время графикам целочисленных функций — суммам арифметической и геометрической прогрессий, функциям комбинаторики; но все равно указанные целочисленные функции изучаются во времени после непрерывных, так что предыдущее замечание о необходимости наличия непрерывного числового ряда остается в силе.

Диалектика алгебраического числа должна следовать за диалектикой арифметического числа, несколько отставая от последней, и не только во времени, а и в формальном обосновании, и в сужении самого понятия.

Тут придется коснуться вопроса, который является весьма спорным, именно — о символе радикала. Любопытно, что тот же вопрос — о дробном показателе степени — не вызывает, обычно, никаких сомнений. Термин „арифметическое значение корня“ неудовлетворителен, так как все иные значения корня также принадлежат арифметике. Когда в элементарной алгебре применяют термин „алгебраическое число“ или „алгебраическое количество“, то в это понятие вкладывают несколько иное содержание, чем принадлежащее ему в теоретическом курсе арифметики, именно, в элементарном курсе под алгебраическим числом понимают только „явно не выраженное количество“; в этом смысле говорят об алгебраических целых и дробных выражениях, о разложении целых алгебраических выражений на алгебраические простые множители, об алгебраических пропорциях и т. д. Поэтому в элементарном курсе „алгебраическое значение корня“ есть просто корень из алгебраического числа: у ап—а. Конечно, ни о какой многозначности корня в элементарном курсе речи быть не может. Возможно, было бы целесообразнее применять в школе к символу У только название „радикал“, понимая под „корнем*— значение неизвестного, обращающее уравнение в тождество. Вряд ли в школе кто-нибудь напишет

Двузначность квадратного корня не приводит в школе к недоразумениям только потому, что о ней в нужные моменты просто умалчивают. Так, при решении иррационального уравнения

найдя Xi — 1 и я?а = — 4, говорят, что данное уравнение удовлетворяется только хх = 1; другое же значение х% = — 4 является корнем дополнительного к данному иррационального уравнения

т. е. заранее принимается, что

Еще пример:

Да и в теоретическом курсе, хотя и говорят о многозначности „корня“, но в дальнейшем под этим, если только не сделано всякой раз особой оговорки, понимают многозначность основания целой степени а = х“ (т. е. следствие из основной теоремы алгебры), а не многозначность символа радикала

* Понятно, что более широкая проблема преобразования геометрических образов, т.е. „геометрия, как учение о преобразованиях, образующих группу“ (Клейн) может иметь место лишь в вузе; диалектика равенства геометрических образов является, так сказать, пропедевтической частью общего курса геометрии.

Указанное недоразумение с двузначностью квадратного радикала (у Киселева: Y4 = = zt 2) происходит из определения „корня“ как „результата операции, обратной возведению в степень“. Но операция, обратная возведению в степень, в сущности есть не „извлечение корня“, а „извлечение корней“, т. е. нахождение корней двучленного уравнения. У Куранта («Курс дифференциального и интегрального исчисления“, ч. I, 1931, стр. 63): „Формула Муавра... дает возможность решить уравнение ж“ = 1 для целого положительного п и сразу написать все корни этого уравнения“...* Конечно, из х2 = 3 следует: х — z£ Y~3, но, во-первых, этот результат, не на память, должен быть получен таким путем:

л;2_(|/-3)2=0; (х + У“Ъ)(х—1^3) = 0; откуда X = zt Y 3; во-вторых, отсюда не следует, что У'3 = zt 1,732. „Найти корень, значит, найти такое число, которое...“ — это лишь крайняя формулировка; более полная была бы „Найти корень двучленного уравнения хп = ау значит, найти такое число, которое...“

Поэтому целесообразно в школе считать радикал (V) однозначным и не называть его значение „арифметическим значением корня“. Из сказанного следует, что разложение квадратного трехчлена в отделе разложения на множители должно проводиться не „по соображению“ на основании формулы произведения двух двучленов, отличающихся вторыми членами, а как пропедевтика решения полного квадратного уравнения с целыми корнями (согласно указанию программы) — выделением квадрата двучлена, представлением данного выражения в виде разности квадратов и разложением последней на алгебраические множители. При переходе же к квадратному уравнению учащимся должно быть сообщено следствие из основной теоремы алгебры (в виде: „уравнение с одним неизвестным имеет столько корней, какова его степень“), а затем указано, что „общим методом решения уравнений степени выше первой с одним неизвестным является разложение их левой частью на множители первой степени относительно неизвестного“. Тогда будет единый подход ко всем уравнениям с одним неизвестным вместо преобладающего на практике: сначала вывод формулы решения квадратного уравнения извлечением из обеих частей квадратного корня; затем (по программе) „преобразования, приводящие к уравнению, эквивалентному данному; случаи потери корней и появления корней дополнительных уравнений“, причем теперь приходится считать извлечение корня из обеих частей уравнения недопустимым, так как оно может привести к утрате корней; наконец, „решение двучленных уравнений 3, 4 и 6-й степени“ на основании теоремы Безу (иначе зачем же двучленные уравнения помещены программой только в X классе и только после теоремы Безу). Получается, во-первых, противоречивость в подходе (квадратное уравнение решается извлечением корня из обеих частей уравнения, но, вообще говоря, корень из обеих частей уравнения извлекать нельзя, так как это может привести к утере корней); а во-вторых, существуют двучленные и трехчленные уравнения, которые требуют специального подхода с помощью теоремы Безу. Подобное положение для меня лично совершенно непонятно: любое двучленное уравнение 3, 4 и 6-й степени учащийся обязан уметь решить разложением на множители не выше второй степени относительно неизвестного с помощью формул сокращенного умножения и деления, затем сказать, что данное уравнение распадается на эквивалентную ему группу уравнений 1-й и 2-й степени и, наконец, решить эти уравнения. Почему теорема Безу должна быть дана только в X классе, а не при делении многочленов? Пройденная своевременно, она послужила бы некоторым указанием на обоснование следствия из основной теоремы алгебры. Применение теоремы Безу могло бы понадобиться при решении уравнений не двучленных 3, 4 и 6-й степени, а простейших случаев многочленных уравнений высших степеней (с целыми корнями). Но ведь этого ни в программе, ни в школе нет, да и не должно быть. Почему, наконец, двучленные, трехчленные (очевидно, сводящиеся к квадратным и двучленным?) и возвратные уравнения оторваны от общего курса алгебраических уравнений, сводящихся к квадратным, и даны после теории соединений и бинома Ньютона? Где же тут систематичность? Если это сделано для углубленного повторения квадратных уравнений и расширения учения о решении уравнений вообще, то это расширение должно быть сделано на своем месте, а повторение — не дело программы, а педагога и школы.

Решение уравнений должно следовать за развитием понятия числа. Однако из дидактических соображений мнимая единица может быть введена при решении неполных квадратных уравнений первого типа (ах2 +с = 0) комплексное же число, будучи получено при решении полных квадратных уравнений, может быть рассмотрено в алгебраической форме с геометрической интерпретацией и над ним могут быть установлены 4 действия перед вторым циклом отдела о квадратном уравнении, т. е. д о уравнений, сводящихся к квадратным; наконец, комплексное число в тригонометрической форме может быть рассмотрено после изучения тригонометрических функций (по окончании гониометрии).

После изложения соображения более или менее общего порядка перейду к деталям.

1. В программе нигде нет алгорифма Евклида. Об исключительной роли этого алгорифма в высшей алгебре, теории чисел и анализе говорить не буду, она — очевидна. Теоремы „не существует рационального числа, квадрат которого равен двум“ — совершенно недостаточно. Необходимо рассмотреть хотя бы один пример пары несоизмеримых отрезков, чего нельзя сделать без алгорифма Евклида. С момента введения числовой оси учащиеся должны понимать, что значения одномерной величины интерпретируются отрезками. Только после рассмотрения пар несоизмеримых отрезков учащийся поймет, что отношение величин, а, следовательно, и частные значения одной величины при принятой единице измерения может выражаться иррациональным числом, т. е. поймет, что иррациональные числа нужны не для формального расширения понятия о числе, а для выражения отношений реального мира. Неудивительно,

* Подчеркнуто мной. В. Б.

что существование пар несоизмеримых отрезков (исторически) было обнаружено за много веков до того, как понадобилось введение иррациональных чисел для формального расширения числовой области. По программе же в теме VII класса „Пропорциональные отрезки“ сказано: „Отыскание отношения отрезков. Случай приближенного отношения. Налицо — явное затушевывание сути явления: нужно „случай (случаи) иррационального отношения и приближенное его выражение с требуемой точностью“. Вот как программа проводит диалектику арифметического числа!

2. Указание на геометрическую интерпретацию чисел сделано только один раз: VI класс, тема „относительные числа“. — „Относительное число. Числовая ось. Сравнение относительных чисел“... и т. д. Указание на геометрическую интерпретацию чисел должно быть в программе при каждом расширении числовой области.

Требование наличия непрерывного числового ряда до изучения функциональной зависимости не соблюдено. О комплексной плоскости также не упомянуто.

3. В программу введена десятичная периодическая дробь, но обращение ее в обыкновенную проведено только пропедевтически в V классе. Предел же суммы бесконечно-убывающей геометрической прогрессии не использован для вывода соответственных теорем об обращении чистой и смешанной периодической дроби в обыкновенную.

4. Нет арифметической пропорции, поэтому нет и среднего арифметического. В прогрессиях— нет вставки между двумя данными — требуемого числа средних арифметических и средних геометрических, — вопроса, связанного с интерполяцией функций.

5. Тема „Функции и их графики“ (VIII класс) изложена так:

— Постоянные и переменные величины. Понятие о функциональной зависимости величин. Прямоугольная система координат на плоскости. Прямая и обратная пропорциональность.

Построение графика прямой и обратной пропорциональности: у = kx\ у = —.

График функции: y — kx+b. График функции: у = ах2 + bx + с. Геометрическое значение параметров b, с.— Предлагаю заменить следующей редакцией:

— 1. Числа, как модели величин.

2. Переменная величина и ее модель — переменное число.

3. Понятие о функциональной зависимости между двумя переменными величинами.

4. Прямоугольная система координат Декарта на плоскости.

5. Три основных способа выражения функциональной зависимости: формула, таблица, график.

6. Функция прямой пропорциональности. Графическое решение системы двух уравнений 1-й степени с двумя неизвестными. Случаи несовместности и зависимости уравнений; их графическое выражение.

7. Функция обратной пропорциональности.

8. Функция квадратной пропорциональности (у = ах2\ по-моему, достаточно для средней школы).

Графическое решение квадратного уравнения (пересечением параболы у=ах2 и прямой у — — Ьх — с).

9. Понятие об обратных функциях; получение формулы, таблицы и графика обратной функции по соответствующим выражениям прямой функции.

10. Показательная и обратная ей — логарифмическая функция. — Школьный курс математики рассматривает всего 10 функций: 3 алгебраических (прямой, обратной и квадратной пропорциональности) и 7 трансцендентных — показательную (и обратную ей — логарифмическую) и 6 тригонометрических (с обратными им — циклометрическими*). Этого достаточно. Но указанные функции должны быть даны выпукло и четко. График же логарифмической функции должен быть использован для геометрической интерпретации partes proportionales (стилизованной, конечно), чего в программе опять-таки нет.

6. В программе по алгебре нет преобразования двойного радикала, но в курсе геометрии введена формула удвоения. Без преобразования двойного радикала она останется вне применений.

7. Сохранены в программе „системы квадратных уравнений, решаемых искусственными приемами:

a) х+у = а\ ху = Ь\

b) х2±у2 = а; x=ïiy — b\

На этом частном вопросе придется остановиться. В чем суть этих искусственных способов? В понижении степени уравнений системы (точнее—в заменеданной системы эквивалентной ей группы более простых систем) и в применении в конечном счете теоремы Виета. Против применения последней возражать, конечно, не приходится. Но вместо искусственных приемов, подчас не вполне безупречных, гораздо важнее научить общему методу исключения одного из неизвестных тем более, что общий метод ближе и, в большинстве случаев, проще ведет к цели. Рассмотрим хотя бы решение системы Ь:

Искусственный путь (цитирую по С. Е. Ляпину. „Элементарная математика в средней школе“, II, 1936, стр. 55):

— „Система вида

Умножим второе уравнение на 2 и прибавим его к первому:

отсюда

т. е. мы свели к первому случаю“, (т. е. к применению теоремы Виета). Продолжу:

* В программе нет указания на графики обратных круговых функций.

Отсюда

Не проще ли

очевидно, что хфО и уфО, иначе ху~0 поэтому

биквадратное уравнение;

Если значения т и п даны, то вычисление значений х затруднений не представляет. Но и в общем виде с помощью преобразования двойного радикала второму решению легко можно придать полученный искусственным путем вид.

Следовало бы оставить „искусственные“ приемы на усмотрение преподавателя, в программу же их не вводить.

8. В законы действий над числами (VI класс, I тема) следует внести еще аЛ — а и законы относительно нуля, именно:

1) д_[-0 = о; 2) я-0 = 0; 3) на нуль делить нельзя. С ними учащийся постоянно встречается; в применении их чаще всего и бывают ошибки.

9. Сохранить из текста 1936 г. „Устройство логарифмической линейки“. Никто не будет отрицать, что знакомство с логарифмической линейкой важно и нужно. Но следует этот вопрос уточнить. В школе нужно или проходить логарифмическую линейку со школьно-теоретической стороны при одновременной практике упражнений, или, если достаточное количество времени выделить для этого нельзя из урочных часов, — изучение линейки отнести в качестве необязательного материала на кружковые занятия. Для более или менее удовлетворительного знакомства с линейкой требуется минимум 10 часов. Сюда должны войти: „шкала функции; логарифмическая шкала и ее периодичность; устройство логарифмической линейки; три вида делений логарифмической шкалы на линейке и понятие о точности вычислений с ее помощью; такие-то (точно перечислить) операции с помощью линейки; практика вычислений“. В программе никаких указаний нет.

10. Еще несколько замечаний о порядке алгебраического материала. Пропорции помещены после системы уравнений 1-й степени, очевидно для перехода от непрерывной пропорции к степеням и корням. Но понятие о степени и корне дается в начале курса алгебры. Благодаря указанной перестановке свойства пропорций к решению уравнений не применяются.

Между темой „функции и их графики“ и „показательной функцией и логарифмами“ помещены прогрессии и обобщение понятия о показателе степени. Таким образом: 1) установлен значительный промежуток и по темам и по годам обучения между „функциями“ и „показательной функцией“; 2) развитие алгебраического числа в оговоренном выше смысле искусственно задержано и разобщено — действия над иррациональными выражениями не проведены параллельно в радикальной форме и в дробно-степенной; обобщение понятия о показателе степени проведено не постепенно, а дано все сразу — нулевой, отрицательный, дробный, иррациональный показатель, к тому же — перед ответственнейшей темой — „показательная функция и логарифмы“.

Программа по алгебре X класса попрежнему недопустимо мозаична: соединения и бином Ньютона; комплексные числа; неравенства; теорема Безу; решение двучленных и трехчленных уравнений.

В программе нет разложения на иррациональные и комплексные множители, вопросов важных, приводящих впоследствии к понятию области разложимости, приводимости и неприводимости в данной области. Во всяком случае учащиеся должны знать, что

Без подобных упражнений в радикальном виде и в виде степеней с дробным показателем теряет внутренний смысл операция ликвидации иррациональности в одном из компонентов дроби. Далее, учащиеся должны знать, что а2 -+ я2 = (а + W) (а — W)i что> например, 5 = (2 + /) (2 — /) и т. п.

Мне кажется весьма нужным краткий заключительно-обзорный школьно-формальный курс арифметики в IX или X классе.

Перейду теперь к замечаниям по геометрии. Не вдаваясь в обсуждение принципиальных установок к проведению школьного курса геометрии, отмечу лишь следующее.

1. По-моему, пропедевтический курс геометрии необходим в IV или V классе, незачем только этот курс усложнять какого бы ни было рода теоретическими положениями; чем проще (непосредственнее) и „лабораторнее“ он будет проведен, тем лучше. Из опыта работы с III и IV классами скажу: мы просто рассматривали готовое геометрическое тело, снимали затем с него тоже готовую развертку, зарисовывали ее в тетрадях, вырезывали и склеивали. Получалось, конечно, неудачно; тогда изготовление модели переносили на дом. Неизменно находились любители, изготовлявшие модель не в одном, а в нескольких экземплярах, притом из разного материала, но изготовить по одной модели обя-

заны были все. Проводилось это раз в неделю накануне выходного дня; попутно велась беседа о гранях, ребрах, вершинах, о поверхности; о центре, оси и плоскостях симметрии; о площади развертки и объеме тела; решались соответствующие простейшие задачи. Все модели надписывались самими учащимися, убирались в классный шкаф; по полугодиям устраивалась выставка в классе лучших моделей. На рисунках разверток в тетрадях записывались формулы и их формулировки. Словом, проводилась совершенно примитивная работа, не раз описанная в методиках и дневниках педагогов. Опыт мой был в сжатом масштабе неоднократно повторен со взрослой (рабфаковской) аудиторией и неизменно приносил благоприятные результаты: точность и четкость основных представлений и понятий.

2. С VI класса начинается школьно-формальный курс геометрии, и тут возникает опасность неправильной акцентировки: первое ударение должно быть сделано на слове школьно, а второе — на слове формальный. Как мало в нашем курсе геометрии движения, с одной стороны, и обобщающих положений и понятий, с другой! Многие, изучавшие геометрию, имеют весьма слабое представление об элементарнейших геометрических фактах. Формальная сторона вопроса, конечно, необходима, но ни в коем случае не в ущерб созерцательно-наглядной стороне.

Д. Гильберт в предисловии к книге „Наглядная геометрия“ (см. в изд. ОНТИ, 1936) говорит:

— „Что касается геометрии, то в ней тенденция к абстракции привела к грандиозным систематическим построениям алгебраической геометрии, римановой геометрии и топологии, в которых находят широкое применение методы абстрактных рассуждений, символики и анализа. Тем не менее и ныне наглядное понимание играет первенствующую роль в геометрии и притом не только как обладающее большой доказательной силой, но и для понимания и оценки результатов исследования“ (подчеркнуто мной. В. Б.).

Поскольку в программе установка к проведению курса геометрии явно не дана, больше по этому вопросу говорить не буду, скажу лишь о порядке расположения материала.

1. Отдел площадей надо поставить на свое место; теорему Пифагора на основе равновеликости площадей надо восстановить в школьном курсе.

2. Тему „пропорциональные отрезки“ (VII класс) нельзя отрывать во времени от темы „подобие фигур“ (VIII класс); „пропорциональный циркуль“ надо изъять — применения не имеет; кстати, не „коэфициент подобия“ (VIII дласс, I тема), а „коэфициент пропорциональности“.

3. „Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике: sin, cos, tg, ctg“ даны непосредственно после подобия и до метрики прямоугольного треугольника и теоремы Пифагора; но без этого материала нельзя дать ни вычислений значений тригонометрических функций для углов в 30°, 45°, 60° с последующей проверкой полученных результатов по таблицам, ни простейших формул связи.

Затронутый вопрос не так то прост, как может показаться с первого взгляда. Дело в том, что до метрики прямоугольного треугольника тригонометрические функции можно ввести лишь догматически: дать определение, а затем по готовым таблицам усвоить некоторые факты об изменении тригонометрических функций; нужно же с учащимися установить, после определений, простейшие свойства нововведенных функций, начать составлять таблицу, а потом уже использовать готовую таблицу, предварительно сверив по ней полученные самостоятельно данные; наконец, надо сразу же показать практическую ценность нововведенных функций и таблицы их значений; поэтому к пропедевтике тригонометрии следует также отнести решение прямоугольного треугольника в простейших случаях. Отсюда и следствие.

4. Тригонометрические функции острого угла не использованы программой для вычисления сторон, апофем, периметров и площадей правильных многоугольников, а этот вопрос для практики весьма актуален.

5. „Основные теоремы о бесконечно-малых и пределах“ следует, по-моему, изъять; в программе по геометрии нет ни слова о равновеликости и параллельном сдвиге на плоскости и в пространстве; теорема Пифагора не доказывается геометрическим путем; как мне кажется, тенденция программы — своеобразная алгебраизация геометрии: „построение алгебраических выражений

решение задач на построение алгебраическим методом“ (VIII класс, тема 3). Все это, конечно, нужно, но не за счет основных методов самой геометрии; их нельзя оставлять в стороне.

Понятие о пределе должно иметь место в школе, но, по моему, здесь оно устанавливается чисто интуитивно, без теорем о бесконечно малых и пределах, рассмотрением достаточного числа конкретных примеров (бесконечно-убывающих геометрических прогрессий). Во всяком случае одним лишь указанием „основные теоремы о бесконечно-малых и пределах“ ограничиться нельзя, а нужно четко конкретизировать, что именно здесь следует дать и как.

В программе должны быть указаны учебники и пособия; программа должна быть разверстана в часах.

Желательна также аппробация программы ответственным научным учреждением с последующим утверждением НКП.

Человеку свойственно ошибаться; отношу это прежде всего к себе. Поэтому было бы весьма желательно прочесть на страницах журнала вразумительное и толковое противоположное мнение по затронутым вопросам.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 6 журнала „Математика в школе“ за 1937 г.

91.

Дано

где (п+\)а, па и (п—1)<х — углы треугольника. Найти целые значения для п. По условию имеем:

отсюда

па = 60°. Преобразуем данное уравнение

Так как па = 60°, то

Так как (п—1)а есть угол треугольника, то

или

Отсюда

Следовательно, для 2а имеем одно значение 60°. Тогда а = 30° и п = 2.

В неверных решениях ошибка заключалась в том, что для п принимались годными два значения 1 и 2. Не учитывалось, что при п = 1 угол (п—1)аг=0 и треугольника уже нет.

92.

Решить уравнение

Перенеся последние два члена в правую часть и прибавив к обеим частям по 2jc4 + 1, будем иметь:

Отсюда

(1) (2)

Решив полученные биквадратные уравнения, найдем:

93.

При целых а и п и при п > 0 показать, что

делится на

Первый способ

При возведении в степень п выражения в квадратных скобках по формуле бинома Ньютона очевидно, что все члены кроме последнего будут делиться на (a2 + a -Ç-1), поэтому их можем отбросить и исследовать полученный остаток

Предложение доказано. Второй способ.

Число 2n + 1 нечетное, следовательно, выражение (а+ 1)2л+1 -(- (д2)2л+1 делится на сумму оснований, т. е. на а~+а+\.

Выражение (я3)«—1 делится на разность оснований, т. е. на

94.

При каких целых и положительных значениях X число

делится на 23?

Наиболее короткое решение:

Второе выражение делится на 30—7 = 23 при всяком целом, положительном значении х. Следовательно, для делимости всей суммы необходимо и достаточно, чтобы 16* + Iх делилось на 23, что возможно лишь при х нечетном.

95.

Решить уравнение:

Уединяем радикал и возводим обе части в квадрат

По освобождении от знаменателей и небольших упрощений получаем:

Выражение в левой части представляет собою квадрат трехчлена:

Решая уравнение

найдем:

Приняв во внимание, что трехчлен взят сомножителем два раза, получим окончательно:

Проверка показывает, что оба корня удовлетворяют данному уравнению, вопреки утверждению некоторых о непригодности второго корня.

96.

Дана окружность О (центр) и вне ее точка Р. На отрезке ОР найти точку M такую, чтобы касательная, проведенная к окружности из этой точки, была равна MP.

Задача получила довольно много разнообразных решений. Подавляющее большинство избрало обычный аналитический путь.

1. Пусть точка M является искомой. Обозначив величину отрезка МР = AM — хх а данных отрезков ОР и OA через d и Ry из треугольников ОАМ находим

или

Отсюда

Таким образом х легко находится, как четвертая пропорциональная к отрезкам (d + R), (d — R) и 2d.

Гораздо интереснее чисто геометрические решения. Приведем некоторые.

2. Пусть точка M— искомая. Продолжим AM до пересечения с перпендикуляром, проведенным к ОР в точке Р. Полученный треугольник АРВ равен треугольнику ОАМ по катету и острому углу (AM —MP по условию и ^ АМО = £ РМВ), следовательно:

PB = OA = R.

Отсюда вытекает построение. В точке Р восставляем перпендикуляр к ОР и на нем откладываем PB — R,wz точки В проводим касательную OA. Точка M пересечения ОР с ВА и является искомой.

Решение единственное и всегда возможно.

3. Если провести окружность, касательную к ОР в точке Р, то точка M обладает тем свойством, что касательные, проведенные из нее к обеим окружностям, будут равны. Значит, точка M лежит на радиальной оси этих окружностей. Отсюда построение. Строим окружность, касательную к ОР в точке Р. Радиус этой окружности выбираем так, чтобы она пересекалась с данной окружностью. Общая хорда их и будет их радиальной осью. Пересечение ее с ОР и дает точку М.

4. Можно для второй окружности взять радиус, равный радиусу данной (как показано на черт. 3). Тогда “ радиальная ось проходит через середину ООк и перпендикулярна к ней.

5. Как видно из черт. 3, то же построение можно выполнить, не вводя понятия радикальной оси. Проводим Я01_|_^“отклаДываем РОх= = OA = R. Из середины ООх восставляем перпендикуляр к ООх. Пересечение его с ОР дает точку М. Действительно треугольник ОАМ равен треугольнику МРО{ по гипотенузе и катету.

97.

Дана окружность и на ней две точки А и В. На той же окружности найти точку С, удовлетворяющую условию

ЛВ^АС-ВС.

И здесь большинство шло аналитическим методом.

1. Треугольник ЛВС — вписанный. По известной теореме ab = 2Rhc. Отсюда

Но по условию ab —с2, следовательно,

Отрезки С и R даны. Следовательно, пс находится, как четвертая пропорциональная. Дальше построение понятно. Восставляем к AB в произвольной точке перпендикуляр, откладываем EF1=hc и через F проводим параллельную к AB. Точки С и Ci искомые.

2. Из ряда чисто геометрических решений приведем одно, наиболее близкое к предыдущему по построению. Через точку А проводим касательную к окружности и на ней откладываем AD — AB. Из точки D опускаем на AB перпендикуляр DE и продолжаем его на расстояние EF=DE. Через точку F проводим параллельную к AB. Точки С и Q — искомые. Действительно, треугольники АСВ и ADB имеют одно и то же основание и равные высоты. Следовательно, площади их равны. Но эти же треугольники имеют по равному углу —

^ АСВ = £ DAB,

как измеряемые половиной одной и той же дуги. Площади же треугольников, имеющих по равному углу, относятся, как произведения сторон, заключающих эти углы. Итак, имеем SABC:SADB = AC.BC:AB-AD=AC-BC:AB*. Но, как уже сказано, <$дяс ~ Отсюда

AC-ВС = АВ\

Были даны и чрезвычайно сложные построения.

98.

Решить уравнение

Приведем один из способов, в общем незначительно отличающихся один от другого

Положим

(1)

Тогда будем иметь

(2)

Подставив найденные значения у в (1), получим:

(3)

99.

Решить уравнение

Прибавим к обеим частям уравнения по

Обозначив получим:

(1)

Итак, имеем

или

(2)

Решив эти уравнения, найдем

После несложных упрощений получим

Было дано несколько вариантов преобразований, приводящих по существу к тем же двум квадратным уравнениям.

Отметим способ, данный Б. Кобылиным (Галич).

Обозначив

получим систему

(1) (2)

Возвысив (2) в квадрат и вычтя из первого, получим квадратное уравнение относительно (ху). Решив его, найдем два значения для ху. Подставив их в (2), получим новую систему.

Решив эти две системы, определим х.

Так как в задаче была допущена опечатка (пропущен показатель 2 в знаменателе) то, хотя правильных решений было получено довольно много, задача из конкурса исключается.

100.

Найти сумму п членов ряда

Напишем тождество

Полагая k — 1, 2, 3, ... , /г, получим

Сложив почленно полученные равенства и обозначив искомую сумму через s, найдем

(1)

Для вычисления суммы, заключенной в скобки, используем тождество

Полагая в нем Л=1, 2...Л и поступая так же, как и в первом случае, получим

(2)

Подставляя найденное значение суммы в (1) найдем

(3)

Полученную формулу можно преобразовать так

Многие давали формулу именно в этом виде. Другие преобразовывали в (3) второй и третий члены числителя, заменяя:

Тогда

или окончательно

ЗАДАЧИ

41. Доказать тождество:

М. Беневольский (Ленинград).

42. Вычислить

М. Беневольский (Ленинград).

43. Построить трапецию по данным диагоналям m и п и непараллельным сторонам а и Ь.

М. Беневольский (Ленинград).

44. Определить значения а в выражении

И. Кононов (Москва).

45. Решить систему уравнений

&+У + 1 =0, х + У2+ 1=0.

Я. Цигуля (Тирасполь).

46. Решить сравнение

М. Дубенец (Козацкое).

47. Найти сумму п членов ряда

М. Дубенец (Козацкое).

48. Найти сумму п членов ряда

где аь аь ....члены арифметической прогрессии.

М. Дубенец (Козацкое).

49. Решить в целых числах уравнение

И. Яглом (Москва).

50. Вычислить площадь описанного около окружности четырехугольника, если даны его периметр 2р и утлы Л, В, С и D. Вывести из этой формулы известное выражение площади треугольника по периметру и углам.

Я. Яглом (Москва).

51. Дать геометрическую интерпретацию выражениям

где /гс, гс, ./>, <7, г, s — отрезки некоторой плоской фигуры; m+n+p'\-q+r-\~s-=2P — ее периметр.

52. Решить систему:

53. Решить систему:

54. На плоскости даны четыре точки. Построить квадрат так, чтобы две из данных точек лежали на его диагоналях, а две — на сторонах.

55. На плоскости даны четыре точки. Построить квадрат так, чтобы на каждой его стороне лежала одна из данных точек.

56. Разложить на множители выражение

57. Доказать равенство

58. Решить уравнение

59. Решить систему уравнений

где

60. Доказать, что если sin A sin В и sine? составляют арифметическую прогрессию, то и

tg у, tg у, tg~ составляют арифметическую прогрессию.

Отв. ред. А Н. Барсуков

Техредактор Е. М. Зеф.

Адрес редакцтн Москва, Столешников п., 5. Учпедгиз, Периодсектор, журнал «Математика в школе»

Уполномоч. Главлита РСФСР JVft Б—43002. Сдано в производство 1/TV 1938 г. Формат 69X107

Учгиз 9999. Подписано к печати 16/IV 1938 г. ß\f2 п. л. 13»/4 авт. л. В п. л. 70 000 зн. Тир. 59.400 Зак. 568

9-и тип. треста «Полиграфкнига», Москва, Шубинский, 10