МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

2

1938

НАРКОМПРОС ~ МОСКВА ~ УЧПЕДГИЗ

К СВЕДЕНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ

Страницы 97—100, не помещенные в части тиража № 1 1938 г., прилагаются в конце данного журнала (см. стр. 93 — 96).

Редакция

Пролетарии всех стран, соединяйтесь!

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

УПРАВЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

2

1938

МАРТ-АПРЕЛЬ

ВПЕРЕД — К КОММУНИЗМУ

С чувством глубокого удовлетворения приветствовала вся советская страна справедливый приговор Военной Коллегии Верховного суда СССР над шайкой шпионов, изменников и вредителей, объединившихся в так называемый «право-троцкистский блок».

Еще и еще раз Советский Союз дал наглядный урок своим врагам. Уже не один раз трудящиеся советской страны показывали и доказывали всему миру, что нет такой силы, которая смогла бы сломить власть Советов, смогла бы отнять завоеванное великой социалистической революцией, двадцатилетним социалистическим строительством, которая смогла бы остановить победоносное шествие к коммунизму страны Советов.

Все попытки в этом направлении обречены на неудачу; всем таким попыткам советская страна дает каждый раз жестокий отпор.

Но мы знаем также, что пока существует капиталистическое окружение и, тем более, когда в ряде капиталистических стран имеет место разгул самого оголтелого фашизма,— мы никоим образом не застрахованы от повторения таких попыток. Это обязывает нас быть бдительными, обязывает быть на-чеку, чтобы встретить во всеоружии такие попытки и нанести им сокрушительный удар.

Одной из таких попыток и являлась преступная изменническая работа «право-троцкистского блока».

В течение ряда лет творили члены этого «блока» свое гнусное дело; в течение ряда лет ткали они паутину, которой хотели опутать советскую страну. При помощи фашистов они подготовляли ликвидацию советской власти, восстановление капитализма, отдачу советских республик во власть фашизма.

Не удалось!! И не удастся никогда!!

Славными органами НКВД, под руководством сталинского наркома Н. И. Ежова, преступники были раскрыты, пойманы с поличным, предстали перед советским судом и понесли заслуженную кару.

Присмотримся же поближе к этому «блоку». Посмотрим, каков его состав, какова его «идеология», кто его «вожди», каковы «методы» его работы.

Итак, первое: что представлял собою «право-троцкистский блок» по своему составу? Из какого людского материала было сколочено его основное ядро?

Мы видим, что в это основное ядро вошли все те силы контрреволюции, которые были выброшены за борт истории нашей великой социалистической революцией и дальнейшим победоносным строительством социализма. Троцкисты, правые, меньшевики, эсеры, буржуазные националисты, наконец, просто царские охранники — вот лицо этого блока. Такова эта помойная яма, вобравшая в себя все остатки контрреволюционного охвостья всех мастей и оттенков, объединенных лишь звериной ненавистью к стране социализма, ненавистью к власти трудящихся, ненавистью к авангарду рабочего класса — коммунистической партии, к ее творцам и вождям товарищам Ленину и Сталину.

Второе: какая «платформа» объединила эту шайку? Какие конечные цели ставились ею в качестве результата ее преступной деятельности?

Эти цели во всей их циничности и наглости были полностью раскрыты на процессе и коротко сформулированы в приговоре. Эта цель была: «свержение существующего в СССР социалистического общественного и государственного строя, восстановление в СССР капитализма и власти буржуазии...», «...содействие иностранным агрессорам в поражении и расчленении СССР».

Такова их «программа», беспримерная по своему цинизму; программа людей, целиком и полностью продавшихся фашизму, программа предателей дела рабочего класса, дела трудящихся всего мира.

Третье: кто же осуществлял «идейное и организационное» руководство всей деятельностью «блока» по реализации только что изложенной его «программы»?

Это прежде всего враг народа — Троцкий. Это — Троцкий, «перманентный» предатель дела рабочего класса, предававший его в годы 1903—1904, предававший в революцию 1905 г., предававший в период «августовского блока», предававший в период Брестского мира, предававший во всей своей последующей заговорщической и шпионской деятельности; Троцкий — «перманентно» всю свою жизнь боровшийся против партии Ленина — Сталина, против ее единственно правильной, единственно революционной линии; Троцкий — уже с 1921 г. официально ставший на путь шпионажа, продавшись немецкой, а затем английской разведкам; Троцкий — ставший агентурой фашизма, предводителем передового отряда международного фашизма.

Другой «вождь» блока — Бухарин. Это тот Бухарин, который чуть не на другой день после Октябрьской победы с легким сердцем шел «на возможность утраты советской власти» (что Ленин назвал «странным и чудовищным»), который еще в 1918 г. сговаривался с левыми эсерами об аресте и «физическом уничтожении» товарищей Ленина, Сталина и Свердлова, о захвате власти эсерами и «левыми коммунистами». Это — Бухарин, во всей своей «теоретической» работе явившийся «идеологом» кулачества, творцом дикой, контрреволюционной теории «о врастании кулака в социализм». Это — Бухарин, все

время боровшийся с генеральной линией нашей партии, неоднократно двурушнически заверяя о своем полном согласии с ней, о своем полном разоружении.

Можно было бы упомянуть и о других, как, например: о Рыкове, Томском. Но довольно! Приведенных двух фигур вполне достаточно, чтобы иметь полное представление о руководителях «право-троцкистского блока», о характере этого руководства, о его направлении. Каков поп, таков и приход. Физиономия «вождей» и очерченная выше физиономия руководимой ими группы членов блока прекрасно дополняют друг друга и заранее уже характеризуют и те методы и средства, которые применялись «блоком» в его изменнической, преступной борьбе против Советского Союза, против дела социализма. К краткому обзору этих методов мы и переходим.

Итак, четвертое: какие 'методы применялись «блоком» в его преступной работе? Какими средствами пытались они осуществить свои злодейские замыслы?

Шпионаж в пользу капиталистических государств, подготовка интервенции, диверсии, вредительство, наконец, убийство—вот те средства, которыми члены «блока» пытались подорвать военную и экономическую мощь Советского Союза.

Изменники своей родины — они один за другим во главе со своим «вождем» Троцким, с ведома и благословения другого «вождя» — Бухарина становились агентами наиболее враждебных СССР фашистских стран. Крестинский с 1921 г., Розенгольц с 1923 г., Чернов с 1928 г., Гринько с 1932 г. и т. д. начали свою подлую шпионскую работу, выдавая врагам страны Советов важнейшие военные и экономические секреты.

Продажные душонки — они торговали собой, поступив на содержание иностранных разведок, а некоторые из них еще царской охранки. Один Крестинский получал от немецкой разведки 250 тыс. марок в год. Они торговали своей родиной. За помощь в деле свержения советской власти, за помощь в захвате этой власти «право-троцкистским блоком» они с легким сердцем отдавали под звериную пяту германского фашизма Украину, польского — Белоруссию, японского — Приморье. Они готовы были продать и предать в руки империалистов Армению, Азербайджан, Узбекистан и другие свободные социалистические советские республики.

Подлые двурушники — они использовали занимаемые ими высокие посты для того, чтобы развернуть диверсии и вредительство как по указке иностранных разведок, так и по собственной инициативе. В промышленности, в сельском хозяйстве, на транспорте, в системе товарооборота — везде они вели свою разрушительную работу, пытаясь ослабить хозяйственную мощь, ослабить обороноспособность страны Советов. Крушение воинского поезда, гибель вследствие искусственно вызванной эпизоотии 25 тысяч лошадей в Сибири, приведение в негодность 50 вагонов яиц, направлявшихся в Москву,— таковы отдельные штрихи, единичные примеры их вредительско-диверсионной работы.

Убийцы из-за угла — они осмелились поднять свою преступную руку

на вождей трудящихся всего мира — Ленина и Сталина, на их ближайших соратников. Еще в 1918 г. «левые коммунисты» во главе с Бухариным и эсеры сговариваются убить товарищей Ленина, Сталина и Свердлова. Злодейское ранение товарища Ленина эсеркой Каплан было произведено с ведома и согласия Бухарина. Гнусное убийство товарища Кирова являлось составной частью ряда убийств, подготовлявшихся «право-троцкистским» блоком при прямом участии Ягоды. Под руководством Рыкова была создана террористическая группа для убийства Сталина, Молотова, Кагановича и Ворошилова. При помощи забывших свой долг, предавшихся на сторону врага врачей они организуют злодейское умерщвление товарищей Менжинского и Куйбышева. Они подняли руку на великого писателя Максима Горького. Они не остановились перед тем, чтобы умертвить и его, предварительно нанеся ему предательский удар в сердце, убив его любимого сына. Они хотели отравить, устранить товарища Ежова, как только он нащупал и приступил к разоблачению их злодейской организации.

Таков длинный, но еще далеко неполный список преступлений, чудовищных, невероятных, совершенных шайкой преступников, составлявших так называемый «право-троцкистский блок».

Мы не упомянули еще об организации кулацких восстаний, о вредительских актах в Белоруссии, в Узбекистане, в бумажной промышленности и пр. Уже перечисленного вполне достаточно, больше чем достаточно, чтобы преисполниться чувством глубочайшего омерзения к этой банде шпионов и убийц, чтобы всем сердцем присоединиться к возгласу товарища Вышинского: «Требует наш народ одного: раздавите проклятую гадину!»

«Пройдет время. Могилы ненавистных изменников зарастут бурьяном и чертополохом, покрытые вечным презрением честных советских людей, всего советского народа.

А над нами, над нашей счастливой страной попрежнему ясно и радостно будет сверкать своими лучами наше солнце. Мы, наш народ, будем попрежнему шагать по очищенной от последней нечисти и мерзости прошлого дороге, во главе с нашим любимым вождем и учителем— великим Сталиным — вперед и вперед, к коммунизму!»1

1 Из обвинительной речи товарища Вышинского.

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ*

ПРОФ. В. Н. ДЕПУТАТОВ (Москва)

ГЛ. 2-я-АКСИОМЫ ГЕОМЕТРИИ ПО ГИЛЬБЕРТУ И ЗНАЧЕНИЕ АКСИОМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА

§ 8. Положение с аксиоматикой геометрии до Гильберта и сущность аксиоматического метода

Развитие всей математики в XIX в. протекало под лозунгом, провозглашенным в работах Абеля и Коши, в виде требования совершенной строгости рассуждений в математических работах. Это не означало, конечно, что не было строгих работ до Абеля и Коши, это не исключало также и того, что после этих математиков встречались работы с ошибочными рассуждениями,— существенным моментом в этом лозунге было совершенно ясное провозглашение той мысли, что рассуждения не строгие, основанные на интуиции и аналогиях или не доведенные до конца, должны быть признаны в математике неприемлемыми. Под знаком такого критического направления протекало в XIX веке и развитие геометрии.

А. Первым толчком к критическому пересмотру оснований геометрии послужило создание геометрии Лобачевского— Больяи. Как отмечалось в 1-й главе, создание этой геометрии возникло из стремления доказать 5-й постулат Евклида и по сути дела может рассматриваться, как первое доказательство недоказуемости этого постулата. Действительно, если бы 5-й постулат (или равносильная ему аксиома параллельности) был следствием прочих аксиом и постулатов, то построение геометрии на основе его отрицания должно было бы привести к противоречиям, но этого не случилось.

Следовательно, 5-й постулат (или аксиома параллельности) является такой аксиомой, которая не зависит от других аксиом геометрии и не может, стало быть, на основе их доказана. Таким образом создание неевклидовой геометрии Лобачевского выдвинуло совершенно новые вопросы о независимости и совместности аксиом геометрии между собой и естественно вызывало необходимость дальнейшего критического пересмотра всех этих аксиом.

Встреченная сначала с крайним недоверием, геометрия Лобачевского (или, как ее теперь часто называют, гиперболическая геометрия) и выдвигаемые ею вопросы стали привлекать к себе все большее и большее внимание с того момента, когда Бельтрами (в 1868 г.) показал, что она (в части планиметрии) почти полностью осуществляется на поверхностях с постоянной отрицательной кривизной. Эта интерпретация (истолкование) неевклидовой геометрии на поверхности псевдосферы утвердила за геометрией Лобачевского ее практическую значимость, о чем так тщетно мечтал сам Н. И. Лобачевский, и вместе с тем лишила геометрию Евклида ее абсолютного характера.

В. Создание (происшедшее почти одновременно с построением геометрии Лобачевского) проективной геометрии и ее дальнейшее развитие в руках Штаудта и Кэли позволило Ф. Клейну (в 1871 г.) дать новую интерпретацию не только гео-

* Курс лекций, читанных в 1936/37 г. в Ивановском педагогическом институте.

метрии Лобачевского, но также и геометрии Риманна (эллиптической геометрии), в которой из точки вне данной прямой нельзя провести ни одной прямой, не пересекающей данную; сверх того, сама проективная геометрия в целом являла собой другой пример неевклидовой геометрии.

C. Замечания Клейна по вопросу о непрерывности геометрических образов, окончательно разрешенного в работах Вейерштрасса, Дедекинда и Георга Кантора, дали возможность правильно осветить и этот трудный вопрос, который в работах Евклида и других ученых до этого времени фигурировал (и часто даже неявно) исключительно в интуитивной форме.

D. Наконец, замечательные идеи Риманна (1826—1866), изложенные им в его докторской диссертации «О гипотезах, лежащих в основе геометрии» и развитые в дальнейшем Ф. Клейном, Софусом Ли и др., выяснили истинную сущность скрытого у Евклида постулата о возможности движения геометрических образов.

Таким образом, к 80-м годам прошлого столетия накопился достаточный материал по критическому исследованию отдельных моментов основ геометрии для того, чтобы можно было приступить к решению задачи о построении полной системы геометрических аксиом. Решение этой задачи, данное Евклидом,уже явно не удовлетворяло критическую мысль XIX в.

Первыми работами в направлении разработки современной аксиоматики, хотя и не давшими полностью удовлетворительного построения, но все же значительными, были работы немецкого геометра Паша (1882), итальянских геометров Веронезе (1891), Пеано (1884) и его учеников (Пиери, Падоа и др.).

Паш в своих «Лекциях по новой геометрии» (1882) тщательно проанализировал такие понятия, как «между», «внутри», которые до этого употреблялись, как само собой разумеющиеся, и сформулировал ряд аксиом (аксиомы порядка), которые могли служить определением этих понятий; в менее удовлетворительной форме он дает также список аксиом для определения сочетания основных элементов геометрии (точек, прямых и плоскостей) и конгруэнтности (равенства) фигур.

Веронезе в обширном (около 700 стр.) сочинении «Основания геометрии многих измерений» (1891) делает попытку построить обоснование всей математики (в том числе и геометрии), оперируя в своих рассуждениях построенной им арифметикой трансфинитных чисел; не лишенная ряда интересных и острых мыслей книга Веронезе, вследствие многих содержащихся в ней неясностей, не встретила у математиков ни признания, ни сочувствия.

В работах Пеано и его учеников развита система аксиом, довольно близкая к системе Паша; в качестве заслуги школы Пеано надо поставить то, что она первая, разрабатывая аксиоматику, поставила вопросы о независимости и совместности аксиом между собой.

Наконец, в 1899 г. появилась работа немецкого математика Д. Гильберта под заглавием «Grundlagen der Geometrie» (Основания геометрии), которая по своей строгости и богатству заложенных в ней идей и фактов справедливо считается одним из лучших сочинений по аксиоматике геометрии*.

Сущность аксиоматического метода (в отношении геометрии) состоит в том, что последовательное построение этой дисциплины предлагается вести строго логическим путем, исходя из немногих основных положений (аксиом), определяющих отношения между элементами этой дисциплины (в случае геометрии — точками, прямыми и плоскостями). Все последующие определения должны содержать в себе точные признаки, позволяющие логически осуществить определяемое понятие, исходя из тех же основных положений. Сами эти основные положения (аксиомы) должны быть сформулированными так, чтобы с элементами геометрии не было связано никакое чувственное представление о них. Наконец, после того, как список основных положений будет составлен, Гильберт предлагает предъявить к этой системе аксиом следующие требования:

1) чтобы система аксиом была непротиворечива,

2) чтобы аксиомы системы были взаимно независимы,

3) чтобы система аксиом была полна, т. е. чтобы взятая система аксиом однозначно определяла некоторую геометрию.

К рассмотрению этой системы и ее характеристике мы теперь и перейдем.

* Из ученых нашей страны, независимо от Гильберта и в другой форме, полную систему аксиом геометрии разработал В. Ф. Каган. Эта система аксиом изложена в фундаментальном сочинении «Оснований геометрии», т. I, Одесса, 1905.

§ 9. Полный список аксиом геометрии по Гильберту и характеристика этой системы

Книга Гильберта начинается с пояснения, что он предлагает понимать под элементами геометрии: «Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем их через А, В, С,..; вещи второй системы мы называем прямымии обозначаем их через а, Ь, с,..; вещи третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем их через а, ß, у,..; точки называются также элементами линейной геометрии, точки и прямые называются элементами плоской геометрии и, наконец, точки, прямые и плоскости называются элементами пространственной геометрии или элементами пространства. Мы мыслим точки, прямые, плоскости находящимися в известных взаимных отношениях и обозначаем эти отношения словами «лежат», «между», «параллельный», «конгруэнтный» и «непрерывный»; точное и для математических целей полное описание этих отношений дается аксиомами геометрии».

Из этого пояснения мы можем видеть, что Гильберт с понятиями точки, прямой и плоскости не связывает никаких наглядных и чувственных представлений. Для него это только слова для обозначения некоторых вещей, удовлетворяющих тем отношениям, которые определяются его аксиомами. Мы можем под «точкой», «прямой» и «плоскостью» понимать любые объекты, если только объекты эти удовлетворяют гильбертовским аксиомам. Так, например, первая из аксиом Гильберта, как увидим далее, гласит: «Две различные точки Л и В всегда определяют прямую а». Этой аксиоме можно удовлетворить следующими различными «вещами»:

1) понимая под «точкой» и «прямой» точки и прямые в обычном понимании;

2) понимая под «точкой» пару действительных чисел (л:, у), а под «прямой» уравнение ux+vy+w = 0\

3) понимая под двумя «точками А и В» две обычные точки обычной плоскости, а под «прямой» обычную окружность, для которой взятые точки являются диаметральными;

4) понимая под «точками А и В» два горшка, полные гречневой кашей, а под «прямой» — число граммов этой каши в обоих взятых горшках.

Все эти понимания с точки зрения гильбертовской аксиоматики по отношению к первой его аксиоме совершенно равноправны; два последние понимания при испытании последующих аксиом придется отбросить, а два первые понимания (если ограничиться случаем плоской геометрии) сохраняют свою равноправность до конца.

Отсюда мы можем уже видеть, что и самый термин «аксиома» у Гильберта понимается иначе, чем это было у Евклида и во всех работах до Гильберта, а также и в современном школьном преподавании геометрии. Если до Гильберта аксиомы рассматривались, как некоторые познавательные истины, принимаемые без доказательства, то по методу Гильберта аксиомы являются условными соглашениями, связывающими между собой и определяющими некоторые вещи, принимаемые за элементы рассматриваемой дисциплины.

Весь список аксиом геометрии Гильберт делит на пять групп:

I. (1 — 8) Аксиомы сочетания (Axiome der Verknüpfung).

II. (1—4) Аксиомы порядка (Axiome der Anordnung).

III. (1—5) Аксиомы конгруэнтности (Axiome der Kongruenz).

IV. (1) Аксиома параллельности (Axiome der Parallelen).

V. (1—2) Аксиомы непрерывности (Axiome der Stetigkeit).

Мы приведем список всех этих аксиом, но в характеристике их ограничимся лишь аксиомами плоской геометрии.

1. Первая группа аксиом — аксиомы сочетания

1. Две различные точки А и В всегда определяют прямую а.

2. Любые две различные точки прямой определяют эту прямую.

3. На прямой всегда существуют по меньшей мере две точки; в каждой плоскости существуют всегда по меньшей мере три точки, не лежащие на одной прямей.

4. Три не лежащие на одной и той же прямой точки А, В, С всегда определяют плоскость а.

5. Любые три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, определяют эту плоскость.

6. Если две точки А, В прямой а лежат в плоскости а, то и всякая точка прямой а лежит в плоскости а.

7. Если две плоскости « и Э имеют общую точку А, то они имеют по меньшей мере еще одну общую точку В.

8. Существуют по меньшей мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Аксиомы 1—3 являются плоскостными, аксиомы 4—8—пространственными аксиомами первой группы.

Элементы геометрии (точки, прямые, плоскости),— какое бы мы в них ни вкладывали содержание,— при построении геометрии неизбежно будут друг с другом ставиться в некоторые взаимоотношения. Вспомним, как часто при обучении геометрии мы употребляем выражения: «точки А и В лежат на прямой», «прямая проходит через точки Л и Въ$ «прямая соединяет точку А с точкой Б», «точка А лежит на прямой или есть точка прямой», «на прямой существует точка», «точки Л, Б, С лежат на плоскости или суть точки плескости», «возьмем на плоскости точки» и т. п.

Возникает вопрос, какой точный смысл мы вкладываем в такого рода фразы? Обычно в преподавании геометрии, когда мы со словами «точка», «прямая», «плоскость» связываем обычное наглядное представление, мы считаем эти фразы интуитивно столь очевидными, что часто не отдаем себе отчета о точном их смысле.

Ясно, что при построении строгих рассуждений опираться на такого рода «очевидности» весьма рискованно, и совершенно невозможно, разумеется, обойти молчанием вопрос о точном смысле такого рода выражений при разработке оснований (аксиоматики) геометрии. Аксиомы 1-й группы и имеют своим назначением установить (определить) точный смысл выражений, которые мы употребляем для описаний взаимоотношений между элементами геометрии. Когда мы принимаем первую аксиому: Две различные точки А и В определяют прямую а, то здесь слово «определяют» имеет только тот смысл, что если выбраны (даны) две различные вещи первой системы (какое бы понимание этих вещей мы ни приняли), то этим самым выбирается (приводится в соответствие) определенная вещь второй системы, причем как выбирается — безразлично, лишь бы этот выбор был однозначным.

Гильберт сейчас же после первой аксиомы дает пояснение, что вместо слова «определяют» в том же самом смысле можно употреблять и другие слова или фразы; например: «а проходит через А и через В; а соединяет А с В»; если А есть точка, которая вместе с другой точкой определяет прямую а, то можно употреблять такие выражения: «Л лежит на а; А есть точка о; на а существует точка А и т. п.»; если А лежит на прямой а и сверх того на другой прямой о, то можно говорить: прямые с и b имеют общую точку А и т. п.

При этом еще раз подчеркиваем, что, употребляя слова «соединяет», «лежит», «проходит», мы нисколько не обязаны вкладывать в них обычное и привычное содержание; за этими словами должен лишь быть сохранен тот смысл, который выше указан для слова «определяют». Так, например, возьмем в нашем обычном пространстве тетраедр ABCD и условимся за «точки» принимать только 4 вершины этого тетраедра, за «прямые» только 4 его ребра и за «плоскости» только его 4 грани; условимся сверх того слово «определяют» понимать в том смысле, что когда берутся две какие-нибудь из четырех точек ABCD, то в соответствие приводится не то ребро тетраедра, которое действительно через них проходит, а противоположное. При таком понимании слова «определяют» все первые 3 аксиомы будут удовлетворяться выбранными нами «вещами», но слова «проходит», «соединяет», «лежит» здесь не будут иметь обычного смысла.

Переходя теперь к характеристике содержания всей группы (1—3) плоскостных аксиом, мы предпочитаем расположить их несколько иначе, нежели у Гильберта, и аксиому 3 при этом расчленить на две:

1. Две различные точки А и В определяют прямую а.

Эта аксиома в описанном смысле устанавливает отношение вещей первой системы (точек) к вещам второй системы (прямым).

2. На прямой всегда существуют по меньшей мере две точки.

Эта аксиома устанавливает отношение вещей второй системы (прямых) к вещам первой системы (точкам); причем слово «существуют» употребляется здесь в потенциальном смысле: если взята вещь второй системы, то имеются по меньшей мере две вещи первой системы, принадлежащие (в ранее указанном смысле) взятой вещи второй системы, но выбор этих вещей не предопределен.

3. Любые две точки прямой определяют

эту прямую.

Эта аксиома устанавливает равноправность точек прямой; слово «эту» надо понимать в том смысле, что если точки A и В принадлежат прямой а, то они определяют именно прямую a, a не какую-нибудь другую прямую.

4. Три, не лежащие на одной и той же прямой, точки А, В, С определяют плоскость а.

Эта аксиома устанавливает отношение вещей первой системы к вещам третьей системы; слова «лежащие» и «определяют» употребляются здесь в том же самом смысле, который был выше разъяснен.

Обратим внимание, как далеки еще прямые и плоскости, удовлетворяющие лишь первой группе аксиом Гильберта, от привычных нам прямых и плоскостей: вместо бесчисленного всюду плотного множества — на прямой пока где-то сидят только две точки, на плоскости — три, не лежащие на одной прямой. Существование бесчисленного множества точек на прямой и на плоскости по системе Гильберта должно быть логически доказано и это действительно можно сделать, но только тогда, когда точки, прямые и плоскости, кроме аксиом первой группы, будут удовлетворять аксиомам второй группы.

Несмотря на то, что прямые после первой группы пока еще очень «тощие», все же можно доказать такую теорему:

Две прямые какой-л ибо плоскости могут иметь или одну общую точку или ни одной.

Доказательство: Берутся прямые а и b (две различные вещи 2-й системы), принадлежащие какой-либо одной и той же плоскости а (вещи 3-й системы) — это значит (см. аксиому 6), что всякая точка каждой из этих прямых принадлежит плоскости а. По аксиоме 3 на каждой из прямых существуют по меньшей мере 2 точки. Предположим, что у прямых а и b имеются 2 общих точки Л и Б, т. е. что А Ca и ВС а, АСЬ и ВСЬ (значок «С» обозначает слово «принадлежит»), но тогда по аксиоме 2 прямые а и b стали бы неразличимы, а это противоречит условию. Следовательно, две различные прямые двух общих точек (а тем более трех и больше) иметь не могут; значит, они могут иметь либо одну общую точку, либо ни одной, ч. т. д.

II. Вторая группа аксиом — аксиомы порядка

1. Если А, В, С точки одной прямой и В лежит между А и С, то В лежит также между С и А.

2. Если А и С — точки одной прямой, то существует по меньшей мере одна точка В, лежащая между Л и С, и по меньшей мере одна точка D такая, что С лежит между А и D.

3. Из трех точек прямой всегда одна и только одна лежит между двумя другими.

4. Пусть А, В, С —три не лежащие на одной прямой точки и а прямая в плоскости ABC, не проходящая ни через одну из точек ABC; если при этом пряная а проходит через точку отрезка AB, то она непременно проходит или через точку отрезка АС или через точку отрезка ВС.

Аксиомы этой группы имеют целью установить точный смысл того взаимоотношения точек прямой, для обозначения которого употребляются слова «лежит между». Эти слова, а также эквивалентные им выражения и слова, как например: «точка В разделяет точки А и С», «точка А лежит по одну сторону от В9 точка С по другую» и т. п, у геометров до Гильберта, а также в школьном преподавании употреблялись и употребляются исключительно в интуитивной форме, часто без всякой попытки выяснить вкладываемый в них смысл. Гильберт (вернее Паш*) впервые этот пробел в основаниях геометрии пополняет — и дает возможность на основании этого установить порядок точек на прямой.

Аксиома 1 из второй группы никакого конкретного содержания в слова «лежит между» не вкладывает, оставляя возможность какого угодно выбора понимания этого понятия, но она утверждает (устанавливает), что если уж какой-либо выбор понимания «между» сделан, то тем самым устанавливается определенный порядок среди взятых точек А, В, С, а именно, если В лежит между А и С, то В лежит между С и Л, т. е. что при сделанном выборе понимания «между» вещь Л может быть названа по порядку первой, вещь В — второй, вещь С — третьей, или обратно. Например, согласимся точками называть пары чисел Л (х±; yt), В (х2; у2), С (лг3; у3), удовлетворяющие уравнению ux+vy+w = 0, которое будем называть прямой. Согласимся ту «точку» из этих трех называть лежащей между двумя другими, если первое число этой пары больше первого числа другой пары и меньше первого числа третьей пары (а если первые числа всех трех пар окажутся одинаковыми, то то же самое соглашение по отношению ко вторым числам этих пар; одновременно быть одинаковыми и числа

* Эти аксиомы впервые обстоятельно исследовал Паш в своих лекциях по новой геометрии (1882); в частности формулировка 4-й аксиомы целиком принадлежит Пашу и эту аксиому часто называют аксиомой Паша.

первые и числа вторые у этих пар не могут, ибо тогда «точки» наши были бы неразличимы). Так, если будет xt < Х2 < xs, или yt <у2 <С Уз» то тем самым среди взятых точек установлен порядок, в котором А является первой, В — второй, С — третьей, или обратно.

Аксиома 1 начинается с «если»: «Если А, В, С — три точки прямой...», но может быть трех точек на прямой и не существует; ведь аксиомы первой группы пока обеспечили на прямой существование лишь двух точек. Аксиома 2 второй группы и устанавливает, что если А и С суть точки прямой, то существует по меньшей мере одна точка В, лежащая между А и С и по меньшей мере одна точка D такая, что С лежит между А я D (черт. 1).

Таким образом аксиома 2 еще несколько обогащает прямую точками и устанавливает, что приведение точек прямой в порядок не является пустым актом.

Что касается аксиомы 3, то она требует, чтобы какое бы конкретное содержание мы ни вкладывали в слово «между» — порядок среди трех точек прямой устанавливался однозначно.

В формулировке аксиомы 4 мы впервые встречаем в геометрии Гильберта объект, отличный от элементов геометрии, именно отрезок. Как же Гильберт вводит этот новый объект? Следуя своему методу, он и здесь стремится не связать с этим новым понятием какого-нибудь наглядного или чувственного представления и определяет отрезок, как логическое образование из тех (лишенных наглядного и чувственного содержания) понятий, которые он к этому моменту уже успел ввести. Вот какое определение дается отрезку.

Определение отрезка. Мы рассматриваем на прямой а две точки А и В. Систему (совокупность) двух точек А и В прямой мы называем отрезком и обозначаем его через AB или В А.

Точки между А и В называются внутренними точками отрезка AB или просто точками отрезка AB; точки А и В называются конечными точками отрезка AB или концами отрезка AB; все прочие точки прямой а называются внешними точками отрезка AB или точками, лежащими вне отрезка AB.

Так, например, совокупность двух пар действительных чисел А (х±\ yj, В (jc2; у2)9 которые мы согласимся назвать точками, может быть названа отрезком.

Аксиома 4 (аксиома Паша), значение которой было подчеркнуто еще в первой главе (§ 4), содержит в себе положение, касающееся точек не только прямой, но и плоскости, поэтому ее Гильберт называет плоскостной аксиомой 2-й группы в отличие от аксиом 1—3 этой группы, которые он называет линейными. Содержание этой аксиомы, после наших пояснений к аксиомам первой и второй групп, достаточно ясно видно из самой редакции ее и мы ограничимся лишь иллюстрацией этого содержания чертежом, в котором словам «точка», «прямая», «плоскость» придано их обычное значение (черт. 2).

Из теорем, которые могут быть доказаны на основании аксиом 1-й и 2-й групп, докажем теорему : На прямой существует бесчисленное множество точек.

Действительно, по аксиоме I—3 на какой-нибудь прямой а существует две точки At и А2; по первой половине аксиомы ле—2 на этой прямой существуют еще точки Л3, такая, что Л3 лежит между At и Л2; по той же самой аксиоме на прямой существует еще точка Л4 такая, что Л4 лежит между А2 и А3; продолжая этот процесс заключений все далее и далее, убедимся (по закону полной индукции), что на нашей прямой существует бесчисленное (счетное) множество точек Av А29 Л3, Av... ч. т. д.

Мы видим, таким образом, что после аксиом 1-й и 2-й групп прямая значительно обогатилась точками, но все же это еще не наша «евклидовская» прямая, на которой, как известно, множество точек есть множество мощности континуума, более богатое, чем счетное множество.

Черт. 1

Черт. 2

Из других теорем, являющихся следствием аксиом 1-й и 2-й групп, упомянем (без доказательства) еще следующее:

Теорема. Если дано конечное число точек прямой, то они всегда могут быть обозначены буквами А, В, С, D, К так, что точка В лежит между А с одной стороны и между С, D} Еу К — с другой; точка С—между А, В с одной стороны и точками С, D, К, с другой, и т. д., т. е., говоря короче, эти точки могут быть приведены в определенный порядок ABC DE ... /С; кроме этого способа обозначения порядка существует еще только обратный способ обозначения К... DCBA, имеющий то же самое свойство.

Доказательство этой теоремы было дано американским математиком Е. Мойчечом и его можно найти в примечаниях к русскому изданию книги Гильберта «Основания геометрии», сделанного под ред. проф. А. В. Васильева (1923 г.).

Теорема. Каждая прямая а (черт. 3), лежащая в плоскости а, разделяет не лежащие на ней точки плоскости а на две области, имеющие следующие свойства: каждая точка А одной области определяет вместе с каждой точкой В другой области отрезок АВ9 внутри которого лежит одна точка прямой о; напротив две любые точки А и А' одной и той же области определяют отрезок АА\ внутри которого не лежит ни одна точка прямой я.

Доказательство этой теоремы было впервые дано Пашем. Теорема эта устанавливает смысл таких выражений, как «точки А и А' лежат по одну и ту же сторону от прямой а»; «точки А и В лежат по разные стороны от прямой аъ\ «прямая а делит плоскость на две полуплоскости».

Приведем еще в заключение этого обзора определения луча, ломаной линии, многоугольника и угла, которые могут быть строго сформулированы на основе аксиом сочетания и порядка.

Определение луча. Пусть А, А', О, В — четыре точки прямой а таких, что О лежит между А и В, но не между А и А' (черт. 4); мы будем говорить в таком случае, что точки А и А' лежат на прямой по одну и ту же сторону от точки О, а точки А и В лежат на прямой по разные стороны от точки О. Все точки прямой а, лежащие по одну и ту же сторону от точки О, называются лучом, исходящим из точки О; таким образом каждая точка прямой делит ее на два луча.

Определение ломаной. Система отрезков AB, ВС} CD,..., KL называется ломано й, соединяющей точки А и L (черт. 5).

Ломаная обозначается просто ABCD... KL; внутренние точки отрезков AB, ВС,..„KL, а также точки А, В, С, D,..., KL называются все вместе точками ломаной линии; точка А называется начальной точкой; а точка L — конечной точкой ломаной.

Определение многоугольника. Если конечная точка /. ломаной совпадает с начальной А, то ломаная называется многоуголь-

Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5, 6, 7

ником и обозначается через ABCD...К (черт. 6); отрезки AB, ВС, CD, ..., К А называются сторонами многоугольника, точки А, В, С, D,К — вершинами многоугольника.

Определение простого многоугольника. Если вершины многоугольника все различны между собой, ни одна вершина не лежит на стороне многоугольника и никакие две стороны многоугольника не имеют общей точки, то многоугольник называется простым (черт. 7).

По отношению к простым многоугольникам может быть на основе аксиом 1-й и 2-й групп доказана следующая замечательная теорема, содержание которой в школьном преподавании обычно никак не обосновывается.

Теорема. Всякий простой многоугольник, вершины которого лежат в одной плоскости а, разделяет точки этой плоскости, не принадлежащие к ломаной линии, образующей этот многоугольник, на две области — внутреннюю и внешнюю, обладающие следующими свойствами: если А (черт. 8) есть точка внутренней области (внутренняя точка), а В — точка внешней области (внешняя точка), то всякая ломаная линия, соединяющая А с В, имеет по меньшей мере одну общую с многоугольником точку; если, напротив, А и А' суть две точки внутренней области, а В и В'— две точки внешней области, то всегда существуют ломаные линии, соединяющие А с А' и В с В' и не имеющие ни одной общей точки с многоугольником. Существуют прямые в плоскости а, целиком расположенные во внешней области многоугольника; напротив, не существует такой прямой, которая была бы целиком расположена во внутренней области многоугольника.

Доказательство этой теоремы можно найти в книге проф. В. Ф. Кагана «Основания геометрии», т. I, где этому вопросу уделено около 80 страниц.

Из этой теоремы, как следствие, вытекает следующее дополнение к аксиоме Паша: Если какая-нибудь прямая проходит через одну из вершин треугольника ABC и содержит внутреннюю точку этого треугольника, то эта прямая обязательно пересечет сторону этого треугольника, противоположную той вершине, через которую прямая проходит.

Определение угла. Пусть а есть произвольная плоскость, a. h, k какие-либо два различные, исходящие из точки О луча в плоскости а, принадлежащие различным прямым (черт. 9).

Систему (совокупность) двух лучей h, k, исходящих из одной точки О, мы называем углом и обозначаем через k) или А).

На основании аксиом сочетания и порядка можно легко заключить, что лучи h и k, взятые вместе с точкой О, делят все прочие точки плоскости на две области; обладающие следующими свойствами: если А есть точка одной и В точка другой области, то всякая ломаная, соединяющая А с Вj либо проходит через О, либо имеет с h или k по меньшей мере одну общую точку, если, напротив, А, А1 или В, В' — точки одной и той же области, то всегда существует ломаная, соединяющая А с А1 или В с В' и не проходящая ни через точку О, ни через какуюлибо точку лучей h и k. Одну из этих областей мы соглашаемся называть внутренней областью угла k), другую— внешней областью угла ^(h, k); если не делается специальных оговорок, то за внутреннюю область принимают ту область, которая характеризуется тем, что каждый отрезок, соединяющий какиелибо две точки этой области, лежит целиком в этой области (на черт. 9 эта область заштрихована). Лучи h, k называются сторонами угла, а точка О — его вершиною.

Черт. 8

Черт. 9

III. Третья группа аксиом — аксиомы конгруэнтности

Аксиомы этой группы имеют в виду установить понятия конгруэнтности или равенства отрезков, углов и треугольников, как одной из форм взаимоотношений этих фигур друг к другу. До Гильберта, начиная с Евклида, и в школьном преподавании равенство фигур обычно определяют так: две фигуры называются равными, если они при наложении могут быть совмещены всеми своими точками. При этом определении фигура мыслится, как некая неменяющаяся при движении геометрическая система. Ясно, что Гильберт не мог удовлетвориться таким определением понятия равенства, во-первых, потому, что прежние понимания геометрической фигуры насыщены наглядным, основанным на интуиции содержанием, а он все время стремится пользоваться исключительно определениями на базе логики; во-вторых, потому, что апелляция к движению, имеющаяся в этом определении, ни в коей мере, по мнению Гильберта, не может служить удовлетворительным основанием для строго логического построения геометрии, ибо само понятие движения еще меньше было подвергнуто аксиоматическому анализу, чем геометрия. Поэтому Гильберт дает свои аксиомы для установления понятия конгруэнтности или равенства сначала отрезков, затем углов и в последней аксиоме треугольников. По мысли Гильберта, которую можно уловить из одного его замечания, его аксиомы могут быть даже использованы для определения самого понятия движения, но эту мысль он не развивает. Приводим полный список аксиом третьей группы.

1. Если А, В две точки на прямой а, а д'_ точка на той же прямой или на другой прямой а', то всегда можно найти поданную от точки А' сторону прямой а' одну и только одну такую точку В', что отрезок А'В' конгруэнтен, или равен, отрезку AB, что обозначается такой записью

А'В' = AB.

Каждый отрезок конгруэнтен самому себе, т. е. всегда

AB Е AB и AB Е В А.

(Гильберт допускает содержание этой аксиомы выражать проще: «каждый отрезок может быть однозначно определенным образом отложен по данную сторону на данной прямой от данной точки», но слово «отложен» здесь не должно иметь иного смысла, чем в основной редакции аксиомы, и с движением никак не связано.)

2. Если отрезок AB конгруэнтен как отрезку А'В', так и отрезку А'В“, то и А'В' конгруэнтен отрезку А“В“, т. е. если

AB Е А'В' нАВ~ А'В“, то А'В' Е А'В“.

3. Пусть В — некоторая точка отрезка АС прямой а, и В' точка отрезка А'С на той же прямой а или на какой-нибудь другой прямой а; если при этом AB = А'В' и ВС = В'С\ то и АС = А'С.

4. Пусть даны — угол (h, k) в плоскости « и прямая а' в плоскости а' (а' может и совпадать с а), а также определенная относительно а' сторона плоскости «'. Пусть h' означает луч прямой а', исходящей из точки О'; тогда в плоскости а' существует один и только один луч k' такой, что угол (h't k') конгруэнтен, или равен, углу k) при этом все внутренние точки угла <$(/*', k') лежат по заданной стороне плоскости. Это соответствие между углами обозначается так:

<(h\ А') = <(А, k).

Каждый угол конгруэнтен самому себе, т. е. всегда

<(А. = k) и <$(/*, k) = ^(k, h).

(Короче: каждый угол может быть однозначно определенным образом отложен в данной плоскости по данную сторону при данном луче; смысл слова «отложен» тот же самый, что и в основной редакции аксиомы и с движением никак не связан.)

Пояснение: Пусть дан треугольник ABC,— обозначим оба луча, идущие из Л и проходящие через В и С, буквами h и k. Угол (/г, А) называется тогда углом треугольника, заключенным между сторонами AB и ЛС, или противолежащими стороне ВС; он заключает в своей внутренней области все внутренние точки треугольника ABC и обозначается через <$5ЛС или короче через <$Л.

5. Если в двух треугольниках ABC и ABC имеют место: AB Е А'В', АС Е А'С, <ДЕД', то всегда = <В' и <С =

Из следствий, вытекающих из аксиом третьей группы (а также из аксиом сочетания и порядка), отметим следующие:

a) В первых изданиях сочинений Гильберта после аксиомы 4 — для углов стояла еще одна аксиома аналогичная аксиоме 2 для отрезков, а именно: если < (A, А) Е < {Ы, k') и < (A, k) Е <$ (А“, А“), то всегда <(А', А') = <(А“, А“), но в 1911 г. немецкий математик Розенталь доказал, что эта аксиома может быть выведена как теорема из аксиомы III 1—4 и аксиомы сочетания и порядка (Mathem, Annalen, Bd. 71).

b) Определение: два треугольника ABC и А'В'С называются конгруэнтными.

или равными, если удовлетворены одновременно все конгруэнции:

с) Теорема (первый признак равенства треугольников):

Если для двух треугольников ЛВС и А'В*С (черт. 10) удовлетворены конгруэнции:

то оба треугольника конгруэнтны.

Доказательство. Дополнительно к условиям теоремы, по аксиоме III—5 имеем:

поэтому остается доказать, что ВС Е В'С\ Предположим, что ВС не конгруэнтна В'С и определим на В'С точку D' так, чтобы B*Df Е: ВС, что по аксиоме III—1 возможно. Тогда получим два треугольника ABC и А'В'С\ у которых AB Е А'В\ ВС Е B'D' и <$В = *$В' в таком случае по аксиомеШ—5 должно быть -QBAC=B'A'D\ но тогда получается, что одновременно: <ВАС = <В'А'С (по условию) и

(в силу сделанного предположения), а это невозможно, так как по аксиоме III—4 каждый угол может быть только единственным образом отложен при данном луче в данную сторону плоскости. Следовательно, предположение, что ВС не конгруэнтно В* С надо отбросить и остается, что ВС~В'С\ ч. т. д.

d) Предлагается сделать доказательство 2 и 3-го признаков равенства треугольников.

e) Каждый угол и каждый отрезок можно разделить пополам и притом только единственным образом. Это достигается весьма просто.

f) Определение: два угла, имеющие общую вершину и одну общую сторону, не общие стороны которых составляют прямую линию, называются смежными. Два угла с общей вершиною, стороны которых попарно составляют прямые линии, называются вертикальными. Легко доказывается теорема: вертикальные углы равны.

g) Существуют углы, равные своему смежному. Действительно, возьмем произвольный угол ^(/z, k) (черт. 11). На основе III—4 отложим при h' ““£(/*', k'), равный (/г, &), в сторону, противоположную стороне k. Возьмем на k произвольный отрезок CA и отложим на k! отрезок СЛ' = ОЛ, что по аксиоме III—1 возможно. Возьмем отрезок АА* \ луч /г, идущий через О во внутреннюю область -*£(&, k) по дополнению к аксиоме Паша будет с отрезком АА' иметь общую точку В, и мы получим два смежные угла <АВС и <Л'БО.

Так как в треугольниках ОАВ и ОА}В имеем:

ОА~ОА\ ОВ=ОВ, <AOB = <ÄOB то по аксиоме III—5 должно быть: <АВО = <А'ВО.

Следовательно, равные смежные углы существуют.

h) Определение: Угол, равный своему смежному углу, называется прямым. Углы острые и тупые определяются по обычному*. В силу предыдущей теоремы прямые углы существуют.

i) Все прямые углы равны между собой (доказательство предлагается найти читателю).

Черт. 10

Черт. 11

* Понятия «больше» или «меньше» для отрезков и углов устанавливаются следующими определениями:

a) Пусть даны два отрезка AB и А'В'\ если среди точек отрезка AB найдется такая точка С, что ЛС = Л'£', то говорят, что отрезок А'В' меньше отрезка AB или что отрезок AB больше отрезка А'В' и записывают это так: А'В' < AB или АВ>А'В'.

b) Пусть даны два угла <£(Л, k) и {h\ k'Y если среди лучей, проходящих внутри угла «5С(Л, k) через его вершину найдется такой луч /, что ^(Л, l)=r^c(h\ £'), то говорят, что угол *$(h\k') меньше угла «£(/*,£) или, что <(Л, k) больше -*$(/*', &') и записывают это так:

к) Легко доказывается теорема: Внешний угол треугольника всегда больше каждого внутреннего угла с ним не смежного.

IV. Четвертая группа аксиом — аксиома параллельности

Ранее (см. пункт А) было доказано, что две прямые одной и той же плоскости могут иметь либо одну общую точку, либо ни одной. Примем определение: две прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие ни одной общей точки, называются параллельными. Существуют ли такие прямые? Утвердительный ответ на это получается из теоремы: «два перпендикуляра к одной и той же прямой не могут иметь общую точку»,— которая является почти очевидным следствием теоремы £ предыдущего абзаца. Отсюда (вообще на основании предыдущих аксиом) следует, что если взять точку А и прямую а, то в плоскости, определяемой этой прямой и точкой, всегда возможно через А провести прямую, параллельную а.

Аксиома параллельности утверждает:

Через каждую точку А вне данной прямой а в плоскости, определяемой этой прямой и точкой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Смысл этой аксиомы хорошо известен и совершенно ясен. На основании этой аксиомы и предыдущих аксиом строго доказываются известные теоремы:

а) Если две параллельные пересечь третьей прямой, то соответственные углы равны; и обратно.

б) Сумма углов треугольника равна двум прямым.

Дополнительное замечание. Определение: Если С есть произвольная точка плоскости а, то совокупность всех точек А = этой плоскости, для которых отрезки CA взаимно конгруэнтны, называются окружностью; точка С называется центром окружности, отрезки CA — радиусами окружности.

На основании всех предыдущих аксиом легко получаются известные георемы об окружности; в частности — возможность проведения окружности через любые три точки, не лежащие на одной прямой*; теоремы о равенстве всех вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу; теорема об углах вписанного в окружность четырехугольника и др.

V. Пятая группа аксиом — аксиомы непрерывности

Наиболее трудным вопросом при вскрытии основ геометрии несомненно являлся вопрос о непрерывности прямой линии (а также и других геометрических образов). Как упоминалось в первой главе, Евклид, решая в первой книге своих «Начал» задачу о построении равностороннего треугольника по заданной его стороне, без всяких сомнений и оговорок утверждает, что две окружности, у которых линия центров меньше суммы радиусов, обязательно пересекутся и притом в двух точках. Ясно, что такое утверждение опирается на полученное интуицией представление об окружности, как о линии непрерывной, не имеющей, выражаясь грубо, «просветов» или «дырок», ибо в противном случае одна окружность могла бы войти в другую и выйти из нее, не образовав с нею общих точек. На непрерывность геометрических образов, в скрытом виде, Евклид опирается и в целом ряде других рассуждений, но ни разу и нигде ему и в голову не приходит поднять вопрос о сущности этого понятия, настолько для него непрерывность геометрического образа неотъемлемо сливалась с представлением о самом образе.

В таком же положении по отношению к понятию о непрерывности стояли и другие древние геометры, а также и геометры Европы вплоть до второй половины XIX в., когда уже достаточно к этому времени развившаяся теория функций предъявила требования дать точное определение непрерывной функции. Сложилось такое положение: в XVIII и первой половине XIX в. вопросы непрерывного изменения переменной величины в математическом анализе (а, следовательно, и в теории функций) разъяснялись обычно путем апелляции к непрерывности геометрического образа, иллюстрирующего рассматриваемую переменную, а в чем состоит сущность непрерывности геометрического образа — никем до этого еще не было установлено: эта непрерывность всеми воспринималась исключительно по интуиции. Дедекинд (1831 — 1916) первый ребром поставил вопрос о необходимости или обосновать непрерывность множества действительных

* Любопытно отметить: утверждение, что через три точки плоскости можно провести единственную окружность, равносильно аксиоме параллельности и, следовательно, 5-му постулату Евклида.

чисел* независимо от геометрии, или вскрыть до конца понятие непрерывности геометрического образа и через это притти к точному определению непрерывного изменения переменной величины. В своей небольшой, но чрезвычайно содержательной работе (R. Dedekind—Stetigkeit und irrazionale Zahlen, 1872)** он дает строгое определение иррационального числа и обоснование непрерывности множества действительных чисел, сформулировав для этого одну числовую аксиому, носящую в настоящее время название «аксиома Дедекинда». Эга аксиома легко переносится в геометрию и дает возможность обосновать понятие непрерывности прямой линии (а вслед за этим и других геометрических образов). Ниже мы дадим формулировку геометрической аксиомы Дедекинда и укажем ее роль в системе аксиом геометрии. С разницей всего лишь в несколько лет понятие непрерывности получило свое обоснование в ином, нежели у Дедекинда, виде [в трудах Вейерштрасса (1815—1897) и Г. Кантора (1845—1918)]. Гильберт при построении своей системы геометрии также естественно не может пройти мимо определения этого важного понятия, и у него это определение облечено в форме следующих двух аксиом:

К.—1. Аксиома измерения или аксиома Архимеда

Пусть (черт. 12) Ах есть произвольная точка на прямой а, лежащая между произвольно взятыми точками А и В этой прямой; строим теперь точки Av Д3, A4f так, что точка Ах лежит между А и А2, А2 между At и Л3, Л3 между Л2 и Л4 и т. д. и сверх того так, что отрезки

AAV Ах Аг% Аг Л3, Д3 Л4,.. равны между собой. Тогда в ряду точек Л2, Л3, Л4, всегда найдется (существует) такая точка ЛЛ, что точка В будет лежать между А и Ап.

V.— 2. Аксиома полноты

Элементы (точки, прямые, плоскости) геометрии образуют такую систему вещей, которая, при условии сохранения всех указанных аксиом, не допускает никакого расширения, т. е. к системе точек, прямых и плоскостей невозможно присоединить новые объекты, так чтобы в новой расширенной системе были попрежнему удовлетворены вместе все предыдущие аксиомы I —IV и V—1.

Первая из этих аксиом есть аксиома Архимеда, о которой уже приходилось говорить в гл. I. Если привлечь на помощь аксиомы конгруэнтности и определения понятий «больше», «меньше», то этой аксиоме можно дать такую формулировку:

Каков бы ни был отрезок CD, всегда найдется такое целое число п, что CD-n сделается больше любого другого отрезка AB.

Легко видеть, что аксиома Архимеда почти непосредственно переносится и на углы, т. е. можно высказать такое утверждение:

(аксиома Архимеда для углов). Пусть h произвольный луч, проходящий внутри произвольного угла <£ (/г, k)\ строим теперь лучи hv Л3, /г4,..., так, что луч hx проходит внутри угла <ï (hu h2), луч ht проходит внутри угла <ЗС (hl9 Л2), луч й3 проходит внутри угла (Л2, h4) и т. д. и сверх того, так чтобы углы

< (A, Ai). <$ (hu пг), < (ht /i3), <(Л3, Д4,)...

были равны между собой. Тогда в ряду лучей й2, hv hA... всегда найдется такой луч hn, что луч k будет проходить внутри угла (/г, ha).

(Если принять аксиому Архимеда для отрезков, то только что высказанное утверждение для углов может быть на основе ранее принятых аксиом вполне строго доказано (в равной мере и обратно: если принять аксиому Архимеда для углов, то для отрезков она может быть доказана), но мы этого доказательства, ради сокращения изложения характеристики гильбертовских аксиом, не приводим.)

В более короткой форме аксиома Архимеда для углов может быть сформулирована так:

Каков бы ни был угол а, всегда найдется такое целое число что п, что <$а-л сделается больше любого другого угла ß.

Аксиома Архимеда позволяет установить измерение отрезков (а также и углов), при этом некоторому определенному отрезку предварительно приписывается, по соглашению, длина, равная единице. Тогда каждому отрезку можно поставить в соответствие некоторое положительное (рациональное или иррациональное) число, называемое длиной отрезка и удовлетворяющее следующим требованиям:

Черт. 12

* Определение непрерывной функции базируется обычно на непрерывности множества действительных чисел.

** Имеется русский перевод С. Шатуновского, «Непрерывность и иррациональные числа», 1923.

1. Конгруэнтные отрезки имеют равную длину.

2. Если В — точка отрезка АС и отрезки AB и ВС имеют соответственно длины а и Ь, то отрезок АС имеет длину а + 6.

Вопросам измерения отрезков, углов и других геометрических величин посвящена 3-я глава нашего курса, поэтому, не вдаваясь сейчас в подробности этих вопросов, мы ограничимся лишь замечанием, что в то время как на основе аксиомы Архимеда каждому отрезку можно привести в соответствие некоторое положительное число — его длину, обратное утверждение, что каждому положительному действительному числу будет соответствовать некоторый отрезок, имеющий это число длиной, обосновать без последней аксиомы (полноты) еще невозможно. Это объясняется тем, что на основе только аксиом I—IV, V—1 возможно построить бесчисленное множество геометрий (ниже в примечании к § 9 мы укажем построение одной из таких геометрий), в которых длины отрезков не исчерпывают всех действительных чисел.

Обратимся теперь к характеристике аксиомы полноты. Надо признать, что редакция этой аксиомы довольно своеобразна и несколько тяжела для восприятия. Назначение ее состоит в том, чтобы завершить построение обыкновенной (евклидовой) геометрии. Как только что было упомянуто, на основе только аксиом I—IV, V—1 можно построить бесчисленное множество геометрий, но каждая из этих геометрий не будет нашей евклидовской геометрией, и только приняв аксиому полноты, мы получаем единственную вполне определенную геометрию, именно геометрию Евклида.

Так как вскрывать логическое содержание аксиомы полноты отняло бы много времени и так как эта аксиома имеет малое методическое значение, мы предпочтем вместо двух аксиом 5-й группы в списке Гильберта поставить одну аксиому непрерывности (аксиому Дедекинда) и покажем, что, приняв эту одну аксиому, мы и аксиому Архимеда и аксиому полноты можем получить в виде теорем*. Преимущества такой замены будут заключаться в том, что, во-первых, при выводе гильбертовских аксиом непрерывности из аксиомы Дедекинда мы вскроем в достаточно ясной форме логическое содержание аксиомы полноты, и, во-вторых, в том, что в систему аксиом геометрии введем аксиому непрерывности Дедекинда, которая имеет очень большое методическое значение вообще и которая в частности окажет нам немаловажную услугу при рассмотрении вопросов измерения геометрических величин в 3-й главе этого курса.

Аксиома непрерывности Дедекинда формулируется так:

Если точки прямой а разбить на два класса так, чтобы 1) каждая точка принадлежала одному и только одному из этих двух классов и чтобы 2) каждая точка первого (нижнего) класса лежала по одну сторону (скажем, влево) от каждой точки второго (верхнего) класса, то на прямой а существует одна и только одна такая пограничная точка s, которая либо есть самая правая точка в нижнем классе, либо самая левая точка в верхнем классе.

Пограничная точка 5 называется дедекиндовским сечением множества точек прямой. Итак, мы принимаем, что множество (т. е. вся совокупность) точек прямой допускает дедекиндовское сечение. Сверх этого, по аксиоме II—2 между двумя любыми точками прямой существует по крайней мере одна, а следовательно, бесчисленное множество других точек этой прямой. Про всякое множество, обладающее подобным свойством, принято говорить, что оно всюду плотно. Всюду плотное множество, допускающее дедекиндовское сечение, называется непрерывным множеством или множеством мощности континуума. Итак, принимая все аксиомы I—IV и аксиому Дедекинда, мы тем самым устанавливаем, что множество точек прямой есть множество непрерывное.

Покажем теперь, что на основе аксиом I—IV и аксиомы Дедекинда гильбертовские аксиомы непрерывности, т. е. аксиому Архимеда и аксиому полноты, можно доказать, как теоремы, но предварительно отметим, что аксиома Дедекинда может применяться не только ко всей прямой, но и к любому отрезку. Действительно, пусть на прямой а взят произвольный отрезок AB. Предположим, что точки этого отрезка разбиты на два класса так, что: 1) каждая точка принадлежит одному и только одному классу, 2) точки первого класса лежат по одну сторону от каждой точки второго класса и сверх того точка А отнесена к первому классу, а точка В отнесена ко второму классу. Пополним первый класс всеми точками прямой а, лежащими вне отрезка AB по ту сторону от Л, которая противоположна AB; пополним

* Можно доказать, что и обратно: из аксиомы Архимеда и аксиомы полноты вытекает аксиома Дедекинда.

также второй класс всеми точками прямой а, лежащими вне отрезка AB по ту сторону от ß, которая противоположна В А. В таком случае получается разбиение всех точек прямой а на два класса, удовлетворяющее условиям аксиомы Дедекинда и, следовательно, существует пограничная точка S, отделяющая эти классы. Эта точка необходимо лежит между А и В и осуществляет дедекиндовское сечение точек отрезка AB.

Теорема. Из аксиом I—IV и аксиомы Дедекинда вытекает аксиома Архимеда.

Пусть на прямой а взят произвольный отрезок AB и (на той же прямой или на другой) второй произвольный отрезок CD. Допустим (доказательство от противного), что не существует такого целого числа п, чтобы CD 'П сделалось больше AB, т. е. допустим, что откладывая (согласно аксиоме ША) на прямой а отрезок CD от точки А в сторону к точке В, мы никогда не достигнем и не перешагнем* за точку В. Говоря иными словами, допустим, что точка В по отношению к отрезку CD является недостижимой (трансфинитной).

Разделим тогда все точки отрезка AB на два класса, а именно: к первому (нижнему) классу отнесем все те точки отрезка AB, которые достижимы отрезком CD (т. е. те, которые, следовательно, удовлетворяют аксиоме Архимеда), а ко второму (верхнему) классу отнесем все те точки отрезка AB, которые недостижимы отрезком CD (не исключается возможность, что второй класс будет состоять только из одной точки Ву которая по предположению считается недостижимой). Ясно, что такое разбиение точек отрезка AB удовлетворяет условиям аксиомы Дедекинда: 1) каждая точка отрезка AB попадает в один и только в один класс, 2) точки первого класса лежат по одну сторону от каждой точки второго класса. В таком случае по аксиоме Дедекинда на отрезке AB должна существовать такая пограничная точка S, которая является либо самой крайней в нижнем классе, либо самой крайней в верхнем классе. Нетрудно убедиться, что в рассматриваемом случае точка 5 должна быть отнесена к верхнему классу, т. е. к классу недостижимых точек. Действительно, если бы точка 5 была достижима, то отложив от .S в сторону к точке В отрезок CD еще один раз, мы получили бы внутри отрезка SB еще достижимую точку, чего быть не может, ибо, согласно разбиению, все точки отрезка SB принадлежат классу недостижимых точек. Отложим теперь отрезок CD от точки S внутрь отрезка AS, т. е. построим точку М, лежащую между А и S (вообще левее S) и такую, что SM Е CD. Эта точка M принадлежит классу достижимых точек, значит, существует такое целое число п, что СО-п сделается больше AM, т. е. это значит, что, откладывая повторно отрезок CD от точки А в сторону к точке М, мы можем перешагнуть за точку М. Но тогда, отложив отрезок CD в том же направлении еще один раз, мы перешагнем и за точку S, а это по предположению, невозможно. Получаемое таким образом противоречие вынуждает отбросить предположение, что для двух произвольных отрезков AB и CD не существует такого числа п, при котором CD-n сделалось бы больше AB, а раз так, значит утверждение (аксиома) Архимеда справедливо, ч. т. д.

Докажем теперь, ограничиваясь случаем прямой, гильбертовскую аксиому полноты.

Теорем а.— Из аксиом I—IV и а ксиомы Дедекинда вытекает аксиома полноты, т. е. имеет место (в случае прямой) утверждение, что к системе точек, принадлежащих прямой а, невозможно присоединить никаких новых точек, так, чтобы в новой расширенной системе точек прямой а были попрежнему удовлетворены вместе все принятые аксиомы I—IV и аксиома Дедекинда.

Предположим (доказательство от противного), что существует еще некоторая новая «точка» Р, не содержащаяся в прежней (установленной аксиомами I—IV и аксиомой Дедекинда) системе (множестве) точек прямой а, и такая, что при присоединении ее к прежнему множеству точек прямой а мы получаем расширенное множество, для которого имеют место аксиомы I—IV и аксиома Дедекинда. В силу аксиом порядка эта точка Р делит прямую а на два луча, причем все точки первого (скажем, левого) луча лежат по одну сторону от каждой точки второго (правого) луча. В таком случае мы получаем возможность

* Слова «не достигнем и не перешагнем» надо понимать в том смысле, что строя, согласно аксиоме III,, точки At, Аг, Л3,.Ап,..., так, чтобы А1 лежала между А и В, Аг так, чтобы Ах лежала между А и Av Аг так“, чтобы Аг лежала между Ах и Аг и т. д. и так, чтобы отрезки AAlt Ах Av Аг Av..., были все конгруэнтны отрезку CD, мы получим бесконечную последовательность точек Alf Аг, Аъ... Ап,..., в которой, при любой п Ал лежит между Л и В.

разбить все прежнее множество точек прямой а на два класса: нижний класс л:, состоящий из всех тех прежних точек, которые лежат левее Р, и верхний класс у, состоящий из всех тех прежних точек, которые лежат правее Р. В силу аксиом сочетания и порядка эти классы не пустые, и мы получаем при этом, что 1) каждая точка прежнего множества попадает в один и только один из этих, двух классов, 2) что все точки нижнего класса лежат левее каждой точки верхнего класса. В таком случае по аксиоме Дедекинда существует такая пограничная точка в множестве прежних точек, которая либо есть самая правая в нижнем классе х, либо самая левая в верхнем классе у.

Допустим, что .S есть самая правая точка в нижнем классе х. Так как все точки этого класса лежат левее Р9 то и точка 5 лежит левее Р. В таком случае по аксиоме 11-2 (которая по предположению остается в силе для расширенного множества точек прямой а) между S и Р должна существовать прежняя точка М, лежащая правее 5 и левее Р. Но в таком случае выходило бы, что среди прежнего множества точек имеется такая точка М, которая не может содержаться ни в классе X (так как она лежит правее 5), ни в классе у (так как она лежит левее Р), а это противоречит тому, что всякая прежняя точка принадлежит либо к классу х, либо к классу у. Таким образом допустить, что 5 есть самая правая точка в классе л:, невозможно. Совершенно таким же образом можно убедиться, что невозможно допустить, что 5 есть самая левая точка в классе у. Но в таком случае мы получаем противоречие аксиоме Дедекинда, по которой точка S должна быть либо самой правой в классе х, либо самой левой в классе у. Итак, предположение, что множество прежних точек прямой а может быть, с сохранением аксиом I—IV и аксиомы Дедекинда, дополнено новым элементом, приводит к противоречию, тем самым теорема полноты для прямой является доказанной.

Отметим теперь в заключение этого параграфа, что, принимая аксиомы I—IV и аксиому Дедекинда (с вытекающими отсюда аксиомой Архимеда и аксиомой полноты), мы можем к каждому отрезку прямой привести в соответствие некоторое положительное число (рациональное или иррациональное), называемое длиной этого отрезка, и обратно — всякому положительному действительному числу привести в соответствие некоторый отрезок, имеющий это число своей длиной. О том, что на основе аксиом конгруэнтности и аксиомы Архимеда можно найти длину отрезка, уже говорилось в начале этого параграфа; как это отыскание длины отрезка делается, вам несомненно достаточно хорошо известно (алгоритм Евклида),— об этом, впрочем, еще будет речь в третьей главе (там же будет подробно мотивировано и обратное утверждение).

Принимая все это во внимание, мы имеем все данные для введения декартовой системы координат на прямой, а вслед за этим на плоскости и в пространстве, как это делается обычно в евклидовой геометрии.

(Продолжение в следующем номере)

ОБЩИЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ОТРЕЗКОВ ПО ФОРМУЛАМ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ

Э. ХИЛЬКЕВИЧ (Тюмень)

За последнее время в нашей математической литературе появился ряд прекрасных статей, трактующих достаточно популярно основные вопросы теории построения с помощью циркуля и линейки. Это:

1) статьи проф. Извольского в журнале «Математика и физика в школе»;

2) глава, посвященная данному вопросу в курсе «Высшей алгебры» проф. Шапиро и др. По этим материалам лицо, подготовляющееся к педагогической работе в средней школе или ведущее уже эту работу, может хорошо выяснить, по каким именно формулам могут быть построены отрезки с помощью циркуля и линейки и какие уравнения разрешимы в квадратных радикалах.

Настоящая статья, суммируя опыт четырехкратного проведения лекций по геометрическим построениям в педагогическом институте, имеет более скромную задачу: выяснить с достаточной общностью вопрос о том, как же именно может быть построен отрезок с помощью циркуля и линейки по той или иной формуле, допускающей подобное построение? Но, решая такую задачу, нельзя в полной мере отрешиться и от задач, формулированных выше. В самом деле, указание метода, посредством которого выполняется построение того или иного отрезка по некоторой формуле, вместе с тем содержит решение вопроса о выполнимости данного построения вообще. Обе задачи решаются параллельно.

Ниже указываются общие методы для построения отрезков по рациональным формулам и по формулам, представляющим конечную цепь квадратных радикалов, а вместе с тем указание этих методов утверждает возможность соответственного построения. Но в статье совершенно не разбирается вопрос о том, существуют ли еще формулы, помимо фэрмул указанных двух типов, допускающие построения с помощью циркуля и линейки; этот вопрос успешно освещен в статьях проф. Извольского, Шапиро и других.

О методах построения отрезков по формулам трудно сказать что-либо принципиально-новое. Вопрос этот исчерпан хотя бы в такой книге, как книга проф. Некрасова «Приложение алгебры и геометрии». Но все же ввиду того, что подобного рода книги давно исчезли с книжного рынка, ощущается надобность дать в руки лиц, занимающихся по специальному курсу элементарной математики в пединститутах, систематическое изложение вопроса.

В последующем изложении автор, помимо указаний, полученных в имеющейся литературе, учел все указания собственного опыта и, в частности, предпринял попытку сконструировать общий вид формулы, представляющей конечную цепь квадратных радикалов.

По поводу разбираемых в статье формул следует сказать, что все они предполагаются однородными и притом первого измерения. Любая геометрическая формула, определяющая отрезок х в функции данных отрезков а, Ь, с..., должна быть однородна и иметь первое измерение, так как представляет собой результат сравнения двух однородных величин, именно: отрезков. Если левая часть равенства х = = F (а, Ъ, с,,,,) выражает отрезок, то и правая не может выражать что-либо другое, помимо отрезка: отрезок не может быть сравниваем с площадью или объемом. Поэтому функция F (a, bf с,...) непременно будет однородной функцией первого измерения или линейной. Числа xf а, Ь, с,... выражающие длины отрезков, иногда для краткости также именуются в статье линейными.

Построение отрезков по рациональным формулам

Основными рациональными формулами являются х = а+ b и х = —, где a. b и с — линейные числа, выражающие длины данных отрезков, а х—-линейное число, представляющее длину искомого отрезка.

Многократное повторение приема, употребляемого при построении отрезка по ab формуле X =я — позволяет строить отрезки по формулам вида

(1)

Для построзния отрезка по последней формуле достаточно положить:

и тогда

Потребуется построить m—1 вспомогательных отрезков yv y2,*:t Ут-i и m раз применить прием построения отрезка, являющегося четвертым пропорциональным к трем данным отрезкам.

После этого делается возможным решить вопрос и о построении отрезка по рациональной формуле наиболее общего вида. Воспользуемся тем, что всякое рациональное выражение может быть представлено в виде частного двух целых многочленов (см. например, Же галкин и Слудская «Введение и анализ», глава ХХII «Классификация функций и математических выражений»), причем целым многочленом называется алгебраическая сумма выражений вида ар bq.. .f, где р, — числа целые и положительные.

Из всех рациональных выражений нас будут интересовать лишь однородные линейные. На основании сказанного наиболее общим видом их будет вид:

(2)

где числа, заключенные в скобки, показывают измерение соответствующего однородного многочлена, так что Z7^^ есть однородный многочлен измерения т+\, a f(m) — однородный многочлен измерения т.

По сказанному

= m и все числа /?, q,..., t, ри qi9..., tL целые и неотрицательные, а а, . /■ аи ^1>>--> Л будем для наших целей полагать числами линейными, т. е. выражающими длины данных отрезков, причем некоторые из чисел а, Ь,..., t могут быть равны некоторым из чисел al9 bl9..., tv

Подготовка формулы (2) к построению заключается в следующем:

Подобрав m произвольных отрезков lv h) -, ImH причислив их к данным (практически удобнее выбрать их из числа данных отрезков а, Ь,..., /, аи Ьи ..., разделим числитель и знаменатель формулы (2) на произведение lLl2..\lm:

и представим результат в виде:

Затем выполним деление каждого члена многочлена F(m+i) на 1Х12.. Лт и каждого члена многочлена f(m) на It /2... 1т_\. Результаты получаются в виде суммы выражений вида

где

и вида

где

Но каждое из выражений двух последних видов может быть построено. Для построения у на основании сказанного о построении отрезка по формуле (1) достаточно m раз применить «правило четвертого пропорционального», а для построения yv то же самое правило достаточно применить m—1 раз.

Итак,

Обозначив г = Ъу и г1 = Ъуи найдем z и zt по правилу сложения и вычитания отрезков и тогда х будет построен по формуле

Вывод. Если R (а, Ъ,..., t) есть произвольное рациональное выражение, однородное, первого измерения, где a,br..,t выражают длины данных отрезков, то по формуле

отрезок X может быть построен с помощью циркуля и линейки. Пример. Пусть

В качестве вспомогательных отрезков / выберем данные отрезки а и Ь. Разделим числитель и знаменатель на ab и из состава знаменателя один из делителей,

например b, введем в состав числителя основной дроби. Произведя почленное деление всех членов числителя на ab и всех членов знаменателя на а получим, по сокращении:

Найдя

строим отрезки

и

после чего остается построить

Примечание: Если, имея формулу X = R (a, by ...,/), примем один из отрезков а, .., t за единицу длины, тогда соответственное линейное число выпадет из состава R и выражение R обратится в некоторое /?!, по внешности потеряв однородность. Для восстановления однородности, при том так, что результат может иметь какое угодно измерение, проф. Некрасов в упомянутой книге указывает и обосновывает следующий прием: пусть требуется из данной неоднородной функции Rt восстановить однородную функцию измерения р. Обозначим единицу длины через i. Для восстановления однородности достаточно заменить каждое из линейных чисел, входящих в состав Rv его отношением к i, а все полученное выражение в целом умножить на ip. Пусть, например, из неоднородной формулы

требуется восстановить однородную формулу R первого измерения. Тогда

Но подобная «реставрация» имеет смысл тогда лишь, когда размер единицы длины в самом деле известен. Если же он неизвестен, то, меняя величину /, мы будем получать различные значения для х, т. е, задача станет неопределенной.

Построения отрезков по иррациональным формулам, представляющим конечную цепь квадратных радикалов

Основными иррациональными формулами являются формулы

Мы увидим, что построение отрезков по более сложным формулам сведется к многократному повторению операций, предусмотренных как этими двумя формулами, так и формулами рациональными.

Остановимся прежде всего на одной детали.

Численное решение геометрических задач приводит иногда к ответам, имеющим вид X = \[где m есть некоторое положительное целое число. Для построения такого отрезка можно указать следующий общий прием. Если m есть число нечетное, т. е. /n = 2n + 1, то известно, что любое нечетное число может быть представлено в виде разности двух квадратов, по формуле 2п +1 = (ti + 1 )2 — п2. Например,

Следовательно, построение \fm сведется в этом случае к однократному использованию основной формулы

Если же m есть четное число, то оно может быть представлено в виде

Тогда

Обозначив

и найдя отрезок z, затем найдем

пользуясь основной формулой

Например,

Если под знаком корня стоит дробь, то легко обратить подкоренное количество в целое и поступить, как в предыдущем случае. Например,

Построив

останется разделить полученный отрезок пополам. Разумеется в отдельных случаях возможны такие отклонения от общего способа, которые упрощают дело.

Переходя к основной задаче, покажем прежде всего, что может быть построен с помощью циркуля и линейный отрезок л; по формуле

где R(2) произвольное рациональное однородное выражение второго измерения.

Введя вспомогательный отрезок / (его можно взять из числа данных), обозначим

тогда

(3)

где в свою очередь R и г — различные однородные рациональные выражения, являющиеся функциями данных линейных чисел (отрезков), а значки при буквах R и г. взятые в скобки, показывают измерение данного выражения.

При этом, если п есть четное число, т. е. п = 2 т, то в числителе можно добавить слева ^R(m), а в знаменателе S>(W_i).

В самом деле, для приведения некоторого дробного квадрато-радикального выражения к виду (3) достаточно:

1. В данном квадрато-радикальном выражении привести к общему знаменателю члены числителя между собой и члены знаменателя между собой и сделать так, чтобы действий деления не было ни в числителе, ни в знаменателе (предусматривается случай, когда числитель и знаменатель данного дробного квадрато-радикального выражения сами по себе могут быть дробными).

2. Если перед каким-либо радикалом стоит множитель, то подвести его под знак данного радикала и всех содержащихся под ним радикалов так, чтобы любой радикал не умножался на множитель, отличный от единицы. Благодаря этому в однородной формуле показатель измерения будет последовательно удваиваться, причем у может быть построен, так как -у есть однородное рациональное выражение первого измерения.

Построив у, найдем x = tf ly поосновной формуле, как среднее пропорциональное между I и у. Теперь в нашем распоряжении имеются все данные для того, чтобы выяснить общий вид подобного рода формул. Эта задача облегчается тем, что из всех формул, представляющих конечную цепь квадратных радикалов, нам, для целей построения, придется рассматривать лишь однородные, первого измерения.

Утверждаем, что однородные линейные формулы, представляющие конечную цепь квадратных радикалов, могут быть представлены в виде алгебраической суммы Sjc, где X определяется формулой:

по мере перехода от одного радикала к другому (стоящему внутри первого).

3. Если в процессе преобразования

появились радикалы

то представить их в виде

Таким образом для выяснения общего метода построения квадрато-радикальных выражений остается рассмотреть построение выражений вида (3).

Обращаясь к выражению (3), берем в числителе каждый из последних корней вида

под которым нет уже более других корней. Пусть

где

вспомогательные отрезки, произвольно выбираемые (лучше всего из числа данных). Тогда может быть построен отрезок

так как под знаком корня находится рациональное выражение измерения

т. е. второго измерения.

Обозначим через

Тогда последними радикалами в числителе окажутся радикалы

С ними поступаем так же и т. д., пока весь числитель не будет представлен в виде:

Поступив таким образом и со знаменателем, представим его в виде

Итак,

Если п—четное число, то каждый член числителя представим в виде

Тогда числитель будет равен

и будет иметь измерение —, а знаменатель аналогично будет равен

измерения

Следовательно, х, будучи рационально выражен через u,W', Ivl2y • •., будет иметь измерение

Поэтому X может быть построен с помощью циркуля и линейки. Если п — нечетное число, то и п — 2 — нечетное. Тсгда умножим числитель и знаменатель на 1^1, где /—вспомогательное, произвольно выбранное линейное число, после чего показатели измерения подкоренных выражений и в числителе, и в знаменателе будут четными, и можно будет поступить по предыдущему. Пример. Пусть

Приведем данное выражение последовательно к указанному выше каноническому виду

Выражение приняло вид

и его можно построить, буквально следуя указанному выше общему методу. Но мы воспользуемся теми возможностями, какие представляет данный частный случай и, обозначив

Умножим числитель и знаменатель на ]//, причем за / здесь удобнее выбрать у. Получим

Обозначим

через гау, где а и у исполняют роль вспомогательных отрезков it и /2. Тогда

причем для построения z нужно будет положить

и предварительно построить

после чего z будет найдено по формуле

Возвратимся к х.

где

К ВОПРОСУ О НАХОЖДЕНИИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ И МНИМЫХ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Е. КОБЕЛЕВА (Киев)

В предлагаемой статье я хочу дать способ, удобный иногда для определения корней алгебраического уравнения. Он базируется на свойствах группы чисел, дающих в сумме определенную степень их числа. Частично и в довольно элементарной форме в статье П. Свешникова (Вестник опытной физики и элементарной математики, 1912 г.) использованы свойства таких чисел для нахождения положительных корней квадратного уравнения и уравнения 3-й степени и притом только для некоторых частных случаев.

Табл. 1

Я сделала попытку выработать общий способ для более быстрого и удобного нахождения точных и приближенных значений не только вещественных, а также и мнимых корней алгебраического уравнения.

Попутно с ознакомлением с сущностью этого способа, я ниже привожу целый ряд примеров, где этот способ довольно быстро ведет к цели, и указываю на те затруднения, которые могут возникнуть при использовании его и вынуждают иногда частично отказаться от его применения.

Хотя предлагаемый метод и дает новые приемы решения уравнений высших степеней, тем не менее, конечно, его нельзя считать универсальным.

Остается еще много возможностей для его упрощения и дальнейших обобщений. ..

I. Нахождение вещественных корней

§ 1... Рассмотрим функции х, х2, л;3..., хп. Давая аргументу л; значения 0,1,2,3,4,..., для этих функций получим ряды соответствующих значений, помещенных в столбцах табл. 1.

Разности первого порядка поместим в столбцах табл. 2.

Табл. 2.

Числа, помещенные в столбцах последней таблички, обладают таким свойством, что сумма любого числа а первых из них равна соответствующей степени их числа,

Если числа п-го вертикального ряда обозначить через

Очевидно, при п = 1, 2, 3,..., слагаемые этой суммы суть числа соответственно 1-го, 2-го, 3-го и т.д. столбцов табл. 2. Составим следующие суммы или (как мы дальше будем говорить) составим числа группы (А).

(А)

Сумма этих чисел на основании ранее сказанного будет равна

(В)

Если а целый положительный корень уравнения

то эта сумма (В) равна — аа.

Вычитая из — ап последовательно числа группы (А), через а вычитаний (если а целый положительный корень уравнения (1), мы придем до нуля.

Значит, по числу вычитаний (пока придем к нулю) можно судить о величине целого положительного корня уравнения (1).

Пример 1.

Составим группу чисел (А)

Вычитаем из ап, т. е. из числа 4, последовательно числа—11,—15,—1|— 31,...

Чтобы получить 0, пришлось сделать 4 вычитания, значит среди корней данного кубического уравнения есть корень, равный 4.

Пример 2.

Составим группу чисел (А)

Вычитая из — 32 последовательно числа— 2, — 30, — 52,52 и т. д., получим:

Для получения в остатке нуля пришлось сделать 2 и 4 вычитания. Значит уравнение имеет целые корни 2 и 4.

§ 2. Делая в уравнении (I) подстановку х = —у, из полученного нового уравнения относительно у, можно, идя таким путем, определить абсолютные величины целых отрицательных корней уравнения (1).

Пример:

Полагая х =—у, получим:

Составим числа группы (А).

Вычитая из числа 20 последовательно числа—16,—18,—8,14, 48, получим:

После пяти вычитаний получился в результате 0.

А потому вспомогательное уравнение имеет положительный корень 5, а данное уравнение — отрицательный корень — 5.

§ 3. Когда уравнение (1)

имеет целых положительных корней, то, вычитая из — ап чисел группы (А), мы не можем дойти до остатка, равного нулю. Поскольку а последовательных вычитаний (какое бы а ни было) дают с обратным знаком ординаты кривой у = а0хп + апхп~{ + . ,. + Дд-1* + ап, то, очевидно, что если уравнение (1) имеет дробный или иррациональный положительный корень, больший целого числа а, но меньший а + 1 и притом единственный в интервале (а, а + 1 ), то после а последовательных вычитаний мы придем к перемене знака у остатка.

Это иллюстрируется следующим примерным графиком функции (черт. 1) в том случае, когда корень лежит в интервале (2. 3).

Число а произведенных вычитаний до перемены знака дает приближенное значение положительного корня с точностью

Черт. 1

до 1 с недостатком. Чтобы можно было вычислить точнее, т. е. найти число десятых долей в корне, надо перейти от данного уравнения к другому путем такой подстановки

На основании формулы Тейлора для целых алгебраических функций, дающей конечное разложение, получим:

Откуда для определения числа десятых долей положительного корня данного уравнения (1) имеем уравнение

где

Составив эту табличку, легко написать уравнение (2), беря за коэфициенты его числа, расположенные по пунктирной прямой снизу вверх, умножая первый коэфициент после а0 на 10, второй на 102. и /2-ый на 10п.

По отношению к уравнению (2) мы поступаем так же, как и по отношению к уравнению (1), т. е. из свободного члена, т. е. в данном случае — из 10п/(а) вычитаем последовательно числа группы (А).

а потому уравнение для определения / может быть переписано так:

(2)

Чтобы быстро можно было перейти от уравнения (1) к уравнению (2), пользуемся способом Горнера для определения коэфициентов частного и остатков при последовательном делении 1-й части уравнения (1) на X — а. Обозначив

через а0 Ьх b2 bs ... bn-[ коэфициенты 1-го > а0 сг с2 с3 ... сп_у > 2-го

» а0 d1d2ds... dn__i » 3-го

неполного частного, а соответствующие остатки через rtr2rz.., можно увидеть из следующей таблички получение всех этих коэфициентов и остатков:

Тогда, если после ß последовательных вычитаний дойдем до нуля, тогда исконный положительный корень уравнения (1) выражается точно и состоит из а целых единиц и ß десятых долей.

Если же нуля не получится, a приходим после ß последовательных вычитаний к перемене знака у остатка, тогда число, состоящее из а целых единиц и ß десятых долей, есть приближенное значение корня, вычисленное с точностью до 0,1 с недостат-

ком. Желая найти число сотых долей в корне уравнений (1), мы от уравнения (2) переходим к уравнению (3) с неизвестным t, по тому же закону, по которому переходили от уравнения (1) к уравнению (2). Вообще, идя таким путем от одного уравнения до другого, можно найти точное или приближенное значение положительных корней уравнения, вычислив их в случае, если они иррациональные, с точностью до единицы любого десятичного знака.

Пример:

На основании правила Декарта делаем заключение, что это уравнение имеет как положительный, так и отрицательный корни.

Составляем группу чисел (А):

Вычитаем из 16 последовательно эти числа.

Как видно, до перемены знака у остатка было сделано вычитание. Значит, положительный корень, вычисленный с точностью до 1 с недостатком, равен 1.

Для определения десятых долей переходим к уравнению (2), коэфициенты которого определяем с помощью следующей таблички:

2

-3

4

6

—16

2

—1

3

9

—7

2

1

4

13

2

3

7

2

5

2

Решаем полученное уравнение (2):

или после сокращения уравнение

Для этого уравнения числа группы (А) будут такие:

Вычитаем из 35 000 последовательно эти числа :

До перемены знака у остатка сделаны 4 вычитания. Значит, десятых долей у рассматриваемого корня будет 4.

Итак, положительный корень данного уравнения (1) равен 1,4 с точностью до 0,1 (с недостатком).

Для отыскания абсолютной величины отрицательного корня делаем подстановку х-—у и получим уравнение:

Следуя тому же методу, найдем приближенное значение корня 1,4. Значит, у данного уравнения 2х* — З*8 -(- 4а:2 -(-6л; — —16 = 0 отрицательный корень приближенно равен— 1,4.

Нетрудно проверить, что первая часть данного уравнения есть произведение (х2—2) (2jc2 — Зл: + 8) и значит найденные корни суть приближенные значения чисел /2 и —]/2~.

§ 4. Иногда изложенный выше способ нахождения действительных корней алгебраического уравнения довольно скоро ведет к цели, а иногда при использовании его могут возникнуть затруднения, в силу которых придется в некоторых случаях частично от них отказаться.

1. Применение указанного способа делается затруднительным, когда целый корень или целое число единиц в корне довольно большое.

Это неудобство легко устраняется, если использовать низшую границу L положительного корня. От данного уравнения, делая подстановку х = L + х, надо перейти к вспомогательному уравнению и к положительным корням последнего прибавить L.

При отыскании отрицательных корней с большой абсолютной величиной, поступают аналогично, применив предварительно подстановку х = —у.

Если установленные пределы для действительных корней покажут, что абсолютная величина корней меньше 1, но не меньше 0,1, тогда следует путем подстановки

(С)

перейти к уравнению

а в случае, если абсолютная величина корней меньше 0,1 или меньше 0,01, надо вместо подстановки (С) употребить подстановку

(D)

или

(Е)

и затем, решив полученное уравнение относительно X, для перехода к корням данного уравнения сделать соответствующие поправки на основании равенств (С), (D) и (Е).

2. Особенно большие затруднения могут возникнуть при отыскании действительных корней, когда в интервале между двумя последовательными целыми числами в основном уравнении или в вспомогательных лежит не один корень.

В этом случае путем последовательных вычитаний из — ап чисел группы (А) может не произойти перемены знака у остатка.

Пусть в интервале (1,2) два корня, что примерно иллюстрируется на следующем графике (черт. 2).

Видно, что ордината кривой при переходе от X = 1 до X = 2 не меняет знака (сравнить с черт. 1), а потому при переходе от вычитания из — ап первого числа группы (А) к вычитанию второго числа не будет перемены знака.

Но то же может быть и в других случаях, например, когда все корни мнимые.

Определенный рецепт дать, как надо действовать во всех таких случаях, довольно трудно. Все зависит от характера уравнения.

II. Нахождение мнимых корней

§ 5. Пусть дано уравнение

Сделав подстановку х = а + ?п и воспользовавшись формулой Тейлора, получим:

Отсюда имеем два уравнения:

Сокращая второе уравнение на ß (что возможно, так как если a+ß* мнимое число, то ß=r=0), получим два уравнения:

§ 6. Оставляя в стороне рассмотрение квадратного уравнения, начинаем с кубического:

Для чего система (В) будет:

или

Черт. 2

Из второго уравнения

(С)

Исключив ß2 из системы (В), получим уравнение относительно а такого вида:

Поскольку а действительное число, то, применяя изложенный ранее способ, можно найти положительные или отрицательные значения для а.

Определив а, на основании уравнения (С) легко найти и (ß).

Пример:

На основании правила Декарта делаем заключение, что это уравнение не имеет отрицательного корня, но имеет положительный корень. Может быть он единственный, а может быть их будет три. Пытаемся найти положительные корни. Составляем группу чисел (А).

Вычитаем из 10 эти числа

Как видно, путем вычитаний не приходим к нулю, ни к перемене знака у остатка. Причину этого надо искать в том, что или 1) при наличии трех положительных корней — каждый из них меньше 1, или 2) один положительный корень меньше <М, а два другие — положительные лежат между двумя последовательными целыми числами или, наконец, 3) имеется один положительный корень, меньший единицы, а два другие корня — мнимые.

Попробуем искать мнимые корни.

Система (В) для этого уравнения будет

Исключив ß2, получим уравнение:

Составляем для этого уравнения числа группы (А).

Вычитаем из 327 эти числа. Получим:

После трех вычитаний получится 0, значит а=3, а

Итак, мнимые корни хх = 3+ /; х2 =3—L Зная два мнимых корня, легко найти единственный действительный.

Так как

то действительный корень = .

§ 7. Для уравнения 4-й степени

система (В), служащая для отыскания мнимых корней, имеет такой вид:

После исключения ß2, вообще говоря, будем иметь уравнение 6-й степени относительно а, и только в некоторых частных случаях получится уравнение низшей степени.

Из этого полученного уравнения указанным выше способом определяется or, a из второго уравнения системы находим ß.

Пример:

Пишем систему (В)

Отсюда

(С)

Подставив в 1-е уравнение, получим уравнение 4-й степени относительно а:

Одно значение для а сразу определяется, а = 0, тогда

Итак два сопряженных мнимых корня сразу найдены 21 и —21.

Чтобы определить, есть ли другая пара сопряженных мнимых корней, рассмотрим уравнение

Составляем группу чисел (А)

Вычитаем их последовательно из 17

После 1-го вычитания получился остаток 0. Значит а = 1, a ß2 = 1—1+4=4;

ß = ±2

Итак, вторая пара найдена:

§ 8. Для определения мнимых корней (вида а +ß/) только что рассмотренного уравнения 4-й степени пришлось сначала решить уравнение 4-й степени относительно а, и при том уравнение без свободного члена, т. е. сравнительно простое.

В большинстве же случаев определение а (действительной части мнимых корней уравнения 4-й степени) сводится к решению более сложных уравнений 6-й степени.

Вопрос еще более усложняется, если речь идет о нахождении мнимых корней уравнений 5-и, 6-й и 7-й степени.

Для уравнения 5-й степени

система (В) будет такая:

Для уравнения 6-й степени

система будет такая:

Так как решение этих систем и аналогичных им для уравнений высоких степеней представляет большие трудности, то придется при определении мнимых корней алгебраического уравнения использовать другие приемы.

В некоторых же частных случаях, когда уравнение имеет действительные корни, которые точно можно определить, надо начать с определения этих корней, а затем, зная эти корни, понизить степень уравнения.

Если полученное уравнение будет не выше 4-й степени, можно использовать систему (В) для определения мнимых корней.

ОБ ОДНОМ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОМ СВОЙСТВЕ ДЕЛЬТОИДА

Л. КРЕМЕНШТЕЙН (Киев)

Дельтоидом (или ромбоидом) называют плоский четыреугольник, у которого две смежные стороны попарно равны. Замечательным свойством этой фигуры является тот факт, что при известных обстоятельствах она может служить удвоителем числа оборотов. Докажем это.

Примем AB = AD = a и BC=CD = b и пусть Ь>а. Обозначим далее <$ВАЭ через а и^СЭЕ через [5. Диагональю АС фигура делится на два равных треугольника, и следовательно,^ CAD =г ^ и ACD = ß — ^, При этом обе диагонали оказываются взаимно перпендикулярными прямыми.

Из ДЛОС, пользуясь теоремой синусов, получаем:

(I)

Допустим, что фигура ABCD выполнена в виде шарнирного четырехзвенника, т. е. что все стороны в точках AfB,C,D соединены между собою шарнирами и что сторона AD закреплена на неподвижной плоскости. Если будем вращать теперь сторону AB (вокруг точки А против часовой стрелки), то одновременно начнет вращаться и сторона CD (вокруг точки D). Иначе говоря, при вращении AB углы а и ß окажутся переменными величинами.

Примем за начальное положение то, при котором сторона AB покрывает сторону AD. При этом ВС и CD окажутся продолжениями AD. Действительно, из формулы (I) видно, что при ос = О и ß = 0. Легко доказать, что с увеличением угла

а угол ß будет также возрастать. В самом деле, диференцируя уравнение (I;, получаем:

(II)

Выражение

по абсолютной величине меньше 1: как видно из чертежа,

при этом АК и КС представляют соответственно проекции наклонных AD и DC на направление АС. Но AD<DC (по уело* вию), следовательно

и отсюда

Из этого следует, что правая часть равенства (II) всегда положительна, а это означает, что с возрастанием угла ос должен увеличиваться и угол ß.

Исследуем теперь равенство (I):

1) При ос —0 имеем

2) При а = ~,

следовательно:

3) При а = 2тг, 0 = b sin (ß — тс) или bs\n ß = 0. (III)

Ввиду того, что функция ß=/(a) непрерывна и, как было доказано выше,

монотонно возрастает, из (III) имеем: ß = те (а не нуль).

4) При a = 37u имеем:

Следовательно:

и 5) при а = 47г получаем : b sin (j5 —2те)=0, откуда ß = 2т,.

Таким образом, при вращении стороны AB вокруг Л, сторона DC сделает один полный оборот вокруг D в то время, как сторона AB сделает 2 полных оборота. Следовательно, дельтоид может быть использован как удвоитель числа оборотов.

Механизм, выполняющий указанные функции, известен под именем механизма Сильвестра (или Галловея).

Нам кажется небесполезным при решении задач, в которых встречается дельтоид, обратить внимание учащихся на это полезное в практическом смысле свойство этой фигуры. Помимо этого, задача, как это видно из исследования, представляет благодарный материал для усвоения и лучшего понимания раздела о редуцировании тригонометрической функции угла произвольной величины к первому квадрату, ибо учащиеся обычно совершенно не понимают смысла введения понятия об угле, большем чем 2те. Единственно трудным местом явится, очевидно, доказательство монотонности функции ß=/(a). Тут, я думаю, не будет большим грехом, если, вместо какого-либо кропотливого доказательства, предложить учащимся (задавшись произвольными размерами а и Ь) вычертить механизм в нескольких положениях, например, при а =

и убедиться на основании чертежа в правильности указанного свойства монотонности.

(Еще проще изготовить из картона четыре полоски соответствующей длины и закрепить их шарнирно. В качестве осей шарниров удобно брать кусочки жильной струны. Если к этим осям подвести зажженную спичку, на концах осей появятся головки, какие бывают на заклепках, и полоски окажутся скрепленными.)

Заметим еще, что дельтоид является удвоителем числа оборотов только при условии а<Ь и закреплении меньшей стороны.

Действительно, при а = b (ромб), равенство (I) принимает такой вид:

последнее приводит к равенству a=ß. Отсюда ясно, что при вращении стороны AB ззено CD вращается с той же угловой скоростью, т. е. один оборот AB вызывает и один оборот CD.

Если же принять а> Ь, то равенство (I) становится невозможным уже при а = тс (и даже раньше), так как при этом

или

Иначе говоря, при закреплении большей стороны, другая большая сторона только качается вокруг своей оси в то время, когда меньшая сторона делает полный оборот.

МЕТОДИКА

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

В. МАТЫШУК (Ростов на Дону)

§ 1. Широкое развитие естествознания в XVI и XVII вв. предъявило к математике того времени такие требования, которые она, оставаясь на базе понятий о постоянном числе, никак удовлетворить не могла. Были созданы новые математические дисциплины — анализ бесконечно-малых и аналитическая геометрия— обладающие мощными средствами исследования, построенными на совершенно иных принципах, чем прежняя математика.

Новые методы математики оказались необычайно плодотворными. Открытия следовали одно за другим. Но при этом мало кто заботился о том, чтобы все выводы были достаточно строгими, чтобы все рассуждения были обоснованы с формально-логической точки зрения. Открытия оправдывались практикой, и это во многих случаях вполне удовлетворяло математиков. Однако с течением времени, по мере накопления фактического материала, начали появляться противоречия. Пытливые математические умы стали проникать в глубь новых методов и искать причин, почему эти методы, не обоснованные формально-логически, дают правильные результаты. Началась большая работа по подведению формально-логического основания под анализ бесконечно-малых. Эта работа в основном была завершена лишь в первой половине XIX в. трудами французского математика Коши (1789—1857), когда окончательно была оформлена так называемая теория пределов. Таким образом в течение почти полутораста лет анализ бесконечно-малых создавался и существовал без достаточных обоснований с точки зрения логического мышления.

§ 2. Обычно в практике высшей школы преподаванию диференциального исчисления предшествует в том или ином объеме изложение теории пределов. Элементы теории пределов включены и в программу средней школы в связи с изложением главным образом геометрии. Однако не все преподаватели и составители учебников считают необходимым знакомить учащихся не только средней, но даже и высшей технической школы, с теорией пределов. Они считают, что теория пределов абстрактна и трудна для учащихся и что в процессе преподавания ее нельзя привести достаточное количество примеров, конкретизирующих ее. Таким образом необходимость ее не очевидна для учащихся. Наконец они говорят, что анализ бесконечно-малых существовал полтораста лет без теории пределов, так что и в школе можно обойтись без нее. Имеются и учебники по математике как заграничные, так и русские, излагающие анализ бесконечномалых без теории пределов. Так, например, несколько лет назад был издан для высших технических учебных заведений учебник под названием «Рабочая книга по математике», редактированный проф. Хинчиным. Здесь на основании чисто наглядных представлений давалось понятие о переменной величине и ее пределе как известной границе, а затем начиналось непосредственное диференцирование.

Несмотря, однако, на приведенные выше доводы, нельзя считать целесообразным преподавание анализа бесконечно-малых без четких и ясных представлений о пределе и его свойствах. Дело в том, что при отсутствии у учащегося таких представлений основные положения диференциального и интегрального исчисления будут для них расплывчаты и нечетки. Само преподавание этих дисциплин в подобном случае будет нестрогим, во всяком случае значительно менее строгим, чем предшествующее преподавание элементарной математики в средней школе.

То же самое относится и к средней школе. Изложение элементарной геометрии носит у нас достаточно строгий характер. Таким образом получится, что, не знакомя учащихся хотя бы с элементами теории пределов, мы вынуждены будем при вообще достаточно строгом изложении геометрии отказаться от мало-мальски серьезного рассмотрения таких вопросов, как длина и площадь круга, объем пирамиды

и пр., т. е. на конечной стадии обучения в средней школе стать на путь упрощенных доказательств. Наконец, следует заметить, что при умелом преподавании теории пределов она даже в средней школе может быть вполне доступной учащимся. То же изложение этой теории, которое мы обычно встречаем в учебниках, в методическом отношении не продумано, а потому и неудивительно, что учащиеся не в состоянии овладеть ею.

§ 3. Среди ряда недостатков в преподавании теории пределов как в средней, так и в высшей школе самым существенным является тот, что учащиеся сразу подводятся к таким совершенно новым для них понятиям, как предел, бесконечномалая величина и др. Определения этих понятий почти всегда даются вслед за понятием о переменной величине, а иногда даже и без него. Само понятие о переменной величине не выясняется детально, а фигурирует лишь его словесное определение. Таким образом учащиеся не имеют возможности достаточно хорошо узнать, что такое переменные величины, как они выражаются математически, какой смысл имеют действия с ними и т. п. Но без отчетливых представлений о том, что такое переменная величина, трудно освоиться и с понятием о пределе.

В этом отношении характерно изложение учения о длине окружности и площади круга в стабильном учебнике по геометрии Гурвица и Ганинуса (Планиметрия, глава XXI). Понятие о переменной иллюстрируется здесь всего лишь несколькими примерами на стр. 157, а затем сразу дается и строгое определение предела: «Постоянную величину, к которой переменная приближается так, что разность между ней и переменной величиной по абсолютной своей величине может быть сделана меньше какой угодно наперед заданной величины и после этого остается меньше ее, называется пределом переменной величины» (стр. 158). В этом определении предела каждое слово нуждается в истолковании, каждая фраза нуждается в предварительной подготовке. Между тем авторы стабильного учебника не считают нужным делать это. Неудивительно, что выводы формул длины окружности и площади круга остаются непонятными учащимся и усваиваются ими механически, не говоря уже о том, что здесь нет и намека на строгость изложения.

Между тем, можно и в средней школе дать достаточно полное и обоснованное изложение теории пределов. Как это сделать, будет указано в настоящей статье.

§ 4. В основании учения о пределах переменных лежит, как известно, понятие о бесконечности. К этому понятию приходили и древнегреческие математики, занимаясь вопросами определения длины окружности и площади круга. Однако оно представляло для них такие большие трудности логического порядка, что выдающиеся ученые того времени не останавливались перед поисками самых сложных приемов и методов доказательств (например, метод исчерпывания), лишь бы избежать даже намеков на бесконечность.

В истории математики и в самой математике существовали и существуют две трактовки понятия о бесконечности: бесконечность потенциальная и бесконечность актуальная. В первом случае мы представляем себе, что переменная величина возрастает и притом так, что в процессе своею изменения она превзойдет любое наперед заданное число, как бы велико оно ни было. Таким образом здесь мы имеем прежде всего процесс изменения, т. е. явление носит динамический характер, и процесс этот безграничен, т. е. фактически бесконечность никогда не будет достигнута. Понятие о потенциальной бесконечности кладется сейчас в основу теории пределов, так как оно обеспечивает логическую строгость ее изложения.

Во втором случае, т. е. в случае актуальной бесконечности, мы представляем себе, что бесконечность как бы достигнута, как бы завершена. Этот взгляд на бесконечность особенно характерен для начального периода существования анализа бесконечно-малых, т. е. для XVII и XVIII вв. Иллюстрируем сущность этого взгляда несколькими примерами из истории математики.

Кеплер в своем сочинении «Стереометрия винных бочек», рассматривая теорему о площади круга, говорит: «Архимед пользуется косвенным доказательством, приводящим к невозможности, о чем многие и много писали (Кеплер имеет здесь в виду строгое и весьма сложное доказательство теоремы о площади круга, данное Архимедом посредством так называемого метода исчерпывания). Мне же кажется,— продолжает дальше Кеплер,—что смысл этого доказательства следующий: Окружность круга содержит столько же частей, сколько точек — именно бесконечное число. Каждую из них (т. е. точку) рассмотрим

как основание некоторого равнобедренного треугольника с боковой стороной AB (А — центр круга, В — точка на окружности) и таким образом в площади круга окажется бесконечное множество треугольников с вершинами в точке Л» и т. д. (Классики естествознания: Кеплер, «Стереометрия винных бочек», стр. 114).

Кеплер приходит таким образом к идее о так называемых неделимых, которая получила наиболее отчетливое свое выражение в сочинениях современника Кеплера, выдающегося итальянского математика Кавальери (1591—1647), ученика Галилея. Кавальери издал две книги, посвященные геометрии «неделимых». Одна из них под заглавием «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых частей непрерывных величин», вышла в 1635 г. и была переиздана после смерти автора в 1653 г. Обе эти книги сыграли важную роль в развитии понятия об определенном интеграле. В своих сочинениях, не носящих впрочем достаточно ясного характера, Кавальери рассматривает линию как бы состоящую из бесконечного количества точек, плоскую фигуру, состоящую как бы из бесконечного количества параллельных хорд, тела как бы состоящее из бесконечного количества плоских сечений. Эти точки, хорды и сечения Кавальери называл «неделимыми». Площади геометрических фигур Кавальери рассматривал как равные суммам бесконечного количества параллельных хорд и выражался так: «сумма всех параллельных хорд в замкнутой площади» или короче «все хорды». Но сумма бесконечного количества подобного рода неделимых есть число неопределенное. Поэтому Кавальери рассматривал отношения подобных сумм, причем в скрытом виде принимал, что расстояния между «неделимыми», т. е. между параллельными хордами внутри фигуры или между параллельными линиями внутри тела одинаковы. Беря таким образом для отношения объемов двух тел отношения бесконечных сумм площадей соответствующих параллельных сечений, он и получил носящий его имя принцип : «Если при пересечении к двух тел системой параллельных плоскостей в сечениях, образованных одной и той же плоскостью, всегда будут получаться фигуры, площади которых находятся в одном и том же отношении, то и объемы этих тел будут находиться в том же отношении». Частный случай этой формулировки мы встречаем и в современных учебниках по элементарной геометрии.

В 1696 г. вышла в свет первая книга, содержащая систематическое изложение новой тогда математической дисциплины — диференциального исчисления. Книга эта принадлежала Лопиталю (1661—1704), ученику выдающегося математика того времени Иоганна Бернулли (1667— 1748). В основе этого сочинения лежало два постулата, из которых для нас представляет интерес следующий: «Требуется, чтобы можно было рассматривать кривую линию как совокупность бесконечного множества бесконечно-малых прямых линий или же (что то же самое) как многоугольник с бесконечным числом бесконечно-малых сторон, определяющих образуемые ими между собой углами кривизну линии. Требуется, например, чтобы часть кривой Mm и дуга круга MS могли рассматриваться ввиду свой бесконечной малости как прямые линии так, чтобы маленький треугольник MSm можно было считать прямолинейным». (Классики естествознания: Г. Ф. де Лопиталь, «Анализ бесконечно-малых», 1935 г., стр. 63).

Из приведенных примеров ясно видна сущность понятия об актуальной бесконечности. Представляют себе, что соответствующий объект (линия, фигура, тело) состоит из бесконечного количества особых элементов, которые сами по себе уже не делятся. Таким образом здесь нет процесса изменения величины и само явление рассматривается как бы статически. Однако понятие об актуальной бесконечномалой содержит) в себе противоречия, которые математики XVIII в. преодолеть не могли, а потому в теорию пределов, которая должна была логически обосновать анализ бесконечно-малых, вошло понятие о потенциальной бесконечности. Это же понятие о бесконечности дается ныне и в школе.

§ 5. Изложение тех вопросов элементарной математики, которые нуждаются в обосновании их при помощи теории пределов, носит в учебной литературе разнообразный характер. Трудности преподавания самой теории пределов в средней школе заставляют авторов многих учебников пытаться вообще обойтись без нее

(например, учебник по геометрии Извольского). Наоборот, другие авторы излагают ее довольно полно и строго (учебники по геометрии Давидова, Рашевского, по алгебре Лебединцева и др.). Мы думаем, что существующие учебники по элементарной математике с точки зрения того, какое место в них занимает теория пределов, можно разбить в общем на три типа, которые мы сейчас и рассмотрим.

В учебниках первого типа бесконечность трактуется вообще только как актуальная. Здесь окружность рассматривается как правильный многоугольник с бесконечным числом сторон, цилиндр как правильная призма с бесконечно большим числом граней и т. п. В связи с этим и в теории пределов тут нет никакой нужды. В самом деле, площадь правильного многоугольника равна произведению периметра на половину апофемы, следовательно, и площадь круга, который таким образом также есть многоугольник, равна произведению длины окружности на половину радиуса. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту. Следовательно, и объем цилиндра, который также есть не что иное, как призма, равен произведению площади основания на высоту и т. д.

В учебниках второго типа такие понятия, как длина окружности, площади круга, боковая поверхность и объем цилиндра, конуса и шара просто определяются как пределы соответствующих величин. Здесь прямо так и говорят: за длину окружности принимается предел периметров, вписанных и описанных правильных многоугольников при неограниченном удвоении числа их сторон ; за площадь круга принимается предел площадей вписанных и описанных правильных многоугольников; за объем цилиндра принимается предел объемов вписанных и описанных правильных призм и т. д.

Совершенно ясно, что в учебниках подобного типа нет нужды в подробном и строгом изложении теории пределов. Достаточно только дать понятие о переменной и ее пределе, рассмотреть несколько важнейших свойств пределов и провести мысль, что какими свойствами обладает переменная величина, такими же свойствами обладает и ее предел. Тогда все доказательства очень упростятся. Например, в учебнике по геометрии Киселева (1927 г. изд.) теорема о площади круга доказывается так (§ 262): Сперва устанавливается, что площадь правильного многоугольника равна половине произведения периметра на апофему

«Вообразим теперь,— говорится дальше в рассматриваемом учебнике,— что число сторон этого многоугольника неограниченно удваивается. Тогда периметр р и апофема h будут все увеличиваться, причем периметр будет стремиться к пределу, принимаемому за длину С окружности, а апофема будет стремиться к пределу, равному радиусу R круга. Из этого следует, что площадь многоугольника, увеличиваясь при удвоении числа сторон, будет стремиться к пределу, равному — CR. Предел этого принимается за численную величину площади круга».

Наконец, в учебниках третьего типа длина окружности и площади круга, площадь поверхности и объем круглых тел не принимаются за пределы, но доказывается, что они являются пределами соответствующих величин. Это, конечно, гораздо сложнее, и здесь нужна уже достаточно глубокая и строгая проработка теории пределов, что мы и видим в учебниках по геометрии Давидова, Рашевского и др.

Принятый в советской школе стабильный учебник по геометрии Гурвица и Гангнуса в общем принадлежит ко второму типу. Во второй части этого учебника — в стереометрии — площадь поверхности и объемы круглых тел принимаются за пределы соответствующих величин. Однако и эта точка зрения не выдерживается здесь достаточно строго. Так, в первой части учебника, в планиметрии, определенно проскальзывает идея об актуальной бесконечности. Например, на стр. 154 говорится: «сказанное остается справедливым и для того случая, когда объемлющая и объемлемая являются дугами окружности, так как дугу окружности можно рассматривать как ломаную с большим числом (!) весьма малых по длине звеньев». Это, однако, не мешает авторам учебника четырьмя страницами дальше дать строгое определение предела в духе потенциальной бесконечности (стр. 158), а затем при рассмотрении длины окружности прибегнуть к частным примерам и на основании их, ни слова не упоминая о пределе, высказать мысль, что сотношение длины

окружности к своему диаметру есть число постоянное, приблизительно равное 3,1416».

Как же мы должны излагать в советской школе те вопросы, которые связаны с теорией пределов? То, что предлагается в стабильном учебнике Гурвица и Гангнуса нельзя признать удовлетворительным, вследствие отсутствия в нем вообще каких-либо твердых принципов изложения, а также и потому, что в IX и X классах окружность и круглые тела рассматриваются здесь слишком упрощенно. Мы считаем, что только учебники третьего из рассматриваемых выше типов должны применяться в нашей школе, и это вполне возможно осуществить, тем более, что последний выпуск программы по математике Наркомпроса для средней школы (1937 г.) предусматривает для IX класса изложение весьма многих вопросов из теории пределов.

§ 6. Одним из самых существенных недостатков в изложении теории пределов не только в средней, но и в высшей школе является, как мы уже говорили выше, отсутствие специальной главы, посвященной проработке понятия о переменном числе. Поэтому я остановлюсь сейчас на рассмотрении такой главы.

Как известно, математика отображает количественные отношения реально существующего мира. Переменные величины потому и вошли в математику, что они количественно отражают разнообразные процессы, протекающие вокруг нас. Мы можем привести учащимся много примеров из физики, механики и других отраслей человеческого знания, иллюстрирующих понятие о переменной величине и указывающих на необходимость ее изучения. Переменным величинам противопоставляется постоянное число как неменяющееся. Однако, такое понятие о переменной величине, хорошо известное учащимся из обихода, надо связать с понятием о числе, и это делается через посредство совокупности чисел. Простейшей совокупностью чисел, которая рассматривается в математике, является прогрессия— арифметическая и геометрическая. Изучая прогрессии, учащийся впервые рассматривает здесь собрания чисел, множества чисел, обладающих одним и тем же свойством. Поэтому, приступая к изучению переменных величин, надо всегда начинать с прогрессий.

Напомнив учащимся об основных свойствах прогрессии, мы даем им определение совокупности в математическом смысле этого слова. Это собрание чисел, из которых все обладают одним и тем же свойством. Необходимо перерешать ряд задач, которые как раз бы подчеркивали это свойство прогрессии. Примерные задачи следующие: «Дана арифметическая прогрессия

3, 7, 11, 15,....

Узнать, входит ли в эту совокупность число 1253?».

Задача решается так: пишется выражение общего члена этой прогрессии

ап = 4п — 3

и составляется уравнение

4я —3= 1253.

Решая его, мы получим я = 314. Так как решение получилось в виде целого числа (номер члена совокупности должен быть целым числом), то данное число входит в рассматриваемую совокупность. Наоборот, число 1283 не входит в эту совокупность, так как, решая уравнение

—3= 1283,

получим п = 321 т. е. дробное число.

Рассмотрев несколько таких примеров, взятых как из арифметической, так и геометрической прогрессий, необходимо перейти к другим совокупностям чисел. При этом надо дать определение конечной совокупности (т. е. содержащей определенное количество членов, например совокупность двухзначных чисел) и бесконечной, т. е. содержащей неопределенное количество членов, например совокупности правильных дробей, неправильных дробей, совокупность четных чисел и т. д.

Одновременно надо перейти к выражению свойств чисел совокупности посредством формулы. До сих пор свойства совокупности описывались словами. Мы говорили: совокупность четных чисел, совокупность кубов натурального ряда чисел и т. д. Надо научиться выражать эти свойства совокупности посредством формулы. В связи с этим вводится понятие об общем члене совокупности. Например, мы пишем формулу

и предлагаем учащимся, давая п значения чисел натурального ряда: 1, 2, 3,..., и т. д., последовательно выписывать значения ап, положим от п = \ до #=10. Затем даем еще два, три значения я, например, п =50, п = 102 и т. п. и предлагаем найти соответствующие значения ап . В заключение спрашиваем: определяет ли равенство (1) совокупность и можем ли мы про всякое число сказать, входит ли оно в эту совокупность или нет. Например, мы задаем число 3887 и спрашиваем учащихся: «входит ли это число в рассматриваемую совокупность или нет и, если входит, то какой порядковый номер она имеет?» В связи с этим решается уравнение

и мы находим, что п = 36, т. е. данное число входит в совокупность, и его порядковый номер совокупности равен 36. Наоборот, число 4000 сюда не входит, так как, решая аналогичное уравнение, получим для п значение

т. е. не целое число.

Рассмотрев два, три подобных примера, мы переходим к обратной постановке вопроса, т. е. пишем определенную числовую последовательность и предлагаем как охарактеризовать ее словами, так и написать выражение для ее общего члена. Например, пишем последовательность чисел

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,...,

и спрашиваем: «Какое следующее число совокупности надо написать?» Обыкновенно дается ответ: 81, и совокупность разгадана. Затем преподаватель добивается, чтобы учащиеся охарактеризовали эту совокупность как последовательность квадратов натурального ряда чисел. В заключение выписывается общая формула члена совокупности.

ап = п2.

Умение написать общую формулу для члена заданной совокупности имеет весьма большое значение. Между тем подобного рода упражнения никогда не делаются, и соответствующих задач нет ни в одном задачнике. Поэтому я приведу ряд примеров. По образцу их учитель может сам составить сколько угодно:

1) Написать выражение общего члена для совокупности четных чисел, нечетных чисел, чисел кратных 9.

2) Написать выражение общего члена совокупности, представляющей собой квадраты натурального ряда чисел, увеличенные каждый на 5.

3) Написать выражение общего члена для совокупности чисел, обратных числам натурального ряда, для совокупности дробей, у которых числитель на две единицы меньше знаменателя и т. д.

4) Написать выражение общего члена совокупностей:

5) Написать выражение общего члена совокупностей:

На рассмотренных только что уроках мы устанавливали соответствие между совокупностью чисел и формулой общего члена, выражающей свойства этой совокупности. Мы ввели, следовательно, понятие об общем члене совокупности. Теперь необходимо все это связать с понятием о переменной величине. Написав на доске какую-нибудь последовательность чисел и одновременно с этим выражение ее общего члена посредством формулы, мы говорим следующее: «Вообразим себе, что в последней формуле мы даем числу п последовательно все значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, и т. д. до бесконечности. Тогда в результате вычислений мы будем получать соответственно все числа самой совокупности. Мы меняем п и тем самым заставляем величину ап «про-

бегать» значения всех чисел данной совокупности. Следовательно, ап можно считать переменной величиной. Таким образом переменной величиной мы называем такую, которая в процессе своего изменения принимает последовательно значения всех чисел данной совокупности».

При такой трактовке вопроса мы устанавливаем своего рода адекватность (тождественность) понятий совокупности и переменной величины. Задав совокупность, мы тем самым задаем и переменную величину, которая принимает значение чисел этой совокупности. Задав переменную величину законом ее изменения (например посредством общей формулы), мы тем самым имеем и соответствующую совокупность чисел. Разница только в том, что, когда мы говорим о совокупности чисел, мы, так сказать, сразу охватываем ее целиком. Когда же говорим о переменной величине, мы охватываем эту совокупность последовательно, динамически. Эти две различные трактовки понятия о переменной величине мы встречаем в учебной литературе при определении предела.

Те совокупности, которые мы рассматриваем с учащимися в процессе преподавания теории пределов, носят дискретный характер, т. е. они состоят из отдельных чисел. Другими словами, характер изменения соответствующих переменных величин прерывчатый. Это тем более необходимо, что и в элементарной геометрии мы имеем дело с дискретными совокупностями: так при определении длины окружности и площади круга рассматриваются безграничные ряды периметров и площадей правильных вписанных и описанных многоугольников, при определении поверхности и объема цилиндра мы исходим из безграничных рядов вписанных и описанных призм и т. д. Между тем те величины, которые мы брали из физики и других смежных дисциплин для иллюстрации новых понятий (время, пройденное расстояние и пр.) непрерывны. Они изменяются сплошным образом. Однако, такой подход к изложению понятия о переменных величинах является вполне естественным, так как перед тем, т. е. в элементарной математике, учащиеся рассматривали числа, преимущественно отдельно, обособленно друг от друга. Хотя им и приходилось иметь дело с непрерывно изменяющимися величинами, но восприятие непрерывности происходило у них интуитивным путем.

Математическое же определение непрерывности основывается на понятии о бесконечно-малой величине и, следовательно, вообще может быть дано лишь значительно позже. Таким образом при изложении теории пределов вначале следует пользоваться лишь дискретными совокупностями, и только позже можно говорить о переменных величинах, принимающих в данном интервале значения всех действительных чисел.

С другой стороны, следует иметь в виду, что те совокупности, которые мы рассматриваем при преподавании теории пределов, являются так называемыми счетными множествами. Мы все время приводим члены этих совокупностей во взаимное и однозначное соответствие с числами натурального ряда. Проще говоря, мы широко используем принцип нумерации членов совокупности, т. е. даем им порядковые номера. Это перенумерование членов совокупности имеет большое учебное значение, так как связывает каждую рассматриваемую совокупность с прекрасно известным учащимся натуральным рядом чисел. Такого нумерования не нужно стесняться, а наоборот, следует подчеркивать его, говоря, например: «найти номер того члена совокупности, который (т. е. член совокупности) равен данному числу».

В связи с подходом к понятию о переменном числе с точки зрения дискретной совокупности, мы определяем постоянное число как отдельное число. Таким образом всякое выхваченное из совокупности число есть постоянное число.

Когда понятие о переменном числе установлено и усвоено учащимися, необходимо в заключение разъяснить им смысл алгебраических действий над переменными величиними. Другими словами, надо показать, что мы имеем в виду, когда говорим о сложении, вычитании, умножении и других действиях над переменными величинами. Это между прочим никогда и нигде не делается, а между тем в дальнейшем мы говорим о сумме, произведении и частном от деления бесконечно-малых, доказываем теоремы о пределе суммы, произведения и дроби переменных величин и т. д. Урок в данном случае следует провести, примерно, так: Дается задача: «сложить два переменных числа ап = —п и Ьп = — ъ. Первое переменное число принимает значения совокупности

второе — значения совокупности

Складываем почленно числа обеих совокупностей в том порядке, как они стоят. Получим третью совокупность

Таким образом у нас появляется третья переменная величина, которая, будучи рассматриваема как сумма первых двух, принимает в процессе своего изменения значения членов третьей совокупности. Эту переменную величину можно представить в следующем виде:

Давая теперь п значения 1, 2, 3, 4,..., и т. д. мы действительно получим по порядку все члены третьей совокупности.

Совершенно аналогично можно показать смысл еще двух каких-нибудь действий над переменными величинами, например умножения и возведения в степень. Возьмем пример на умножение: «Перемножить переменные

Пишем две совокупности:

отвечающие этим переменным. Составляем новую совокупность путем перемножения соответствующих членов данных совокупностей. Имеем

Затем находим произведение

Давая теперь здесь п значения 1, 2, 3, 4,.. и т. д., получим члены третьей совокупности.

Пример на возведение в степень: «Возвести переменную ап = 2п — 3 в степень

Пишем две совокупности

отвечающие этим переменным. Составляем третью совокупность

Затем определяем

Даем п значения 1, 2, 3, 4.... и т. д. и вычисляем Сп. Получим числа третьей совокупности.

На этом можно закончить прохождение темы «переменная величина». На ее проработку нужно 4 часа.

§ 7. Теперь перейдем к изложению вопроса о том, как следует вести преподавание самой теории пределов. Школьная практика знает два пути подведения учащихся к усвоению основных понятий этой теории, а именно: 1) Можно начать с установления понятия о бесконечно-малой величине и рассмотрения ее свойств. Тогда определение предела и доказательство всех последующих теорем будет основано на первом понятии.

2) Можно сделать и наоборот; дать сперва общее определение предела переменной величины, рассмотреть относящиеся сюда теоремы, а бесконечно-малую трактовать как частный случай переменного, имеющего своим пределом нуль. Выбор того или иного из указанных приемов определяется характером учебного заведения и целями обучения математике. Вполне естественно, что в средней школе следует предпочесть первый прием. В самом деле, понятие о бесконечно-малой величине проще, чем понятие о переменной, стремящейся к пределу. И вообще, понятие о бесконечномалой входит как составная часть в определение предела переменной. Действительно, когда мы, формулируя определение предела, говорим, что разность между переменным и данным постоянным числом по абсолютной величине может быть сделана сколь угодно малой, то эта разность как раз и есть то, что мы называем бесконечно-малой величиной. Затем при доказательстве теорем о пределах нет нужды в данном случае оперировать с неравенствами, что неизбежно при втором способе изложения теории пределов. Все сводится здесь к действиям над равенствами, а это значительно легче и доступнее учащимся. Таким образом мы считаем, что в средней школе надо установить сперва понятие о бесконечно-малой величине, а понятие предела основать на нем.

Установлению понятия о бесконечно-ма-

лой величине в средней школе следует предпослать установление понятия о бесконечно-большой величине, что к сожалению не всегда выполняется. Дело в том, что понятие о бесконечно-большой величине значительно элементарнее, чем понятие о бесконечно-малой величине. Всегда можно подобрать большое количество примеров, хорошо иллюстрирующих именно первое понятие. Достаточно, например, взять натуральный ряд чисел, чтобы отсюда легко было подвести учащихся к понятию о бесконечности.

После усвоения понятия о бесконечно большой величине, преподаватель рассматривает свойство бесконечно-малых, а затем переходит к общему определению предела переменной. Таким образом рекомендуемый нами в средней школе порядок изложения теории пределов следующий: 1) понятие о бесконечно-большой величине, 2) бесконечно-малые величины и их свойства, 3) определение предела и 4) теоремы о свойствах пределов. Такой порядок изложения является наилучшим, так как обеспечивает последовательный переход от более простых понятий к более сложным.

§ 8. Мы отметили уже выше, что ознакомление с теорией пределов надо начинать с установления понятия о бесконечно-большой величине, так как оно легко может быть дано учащимся из рассмотрения натурального ряда чисел. Действительно, задав учащимся вопрос, какое самое большое целое число, мы сразу подводим их к сознанию отсутствия такого числа, ибо, назвав любое число, мы сейчас же получим большее, прибавив к первому единицу. В этом смысле натуральный ряд чисел служит нам, так сказать, мерилом, по которому мы в дальнейшем будем судить о том, бесконечна ли заданная переменная величина или нет.

К понятию о бесконечно-большой величине мы подводим учащихся через рассмотрение нескольких соответствующим образом подобранных примеров так, чтобы само определение этого понятия естественно появилось в конце. Мы считаем нужным отметить сейчас ряд соображений, которыми необходимо руководствоваться при выборе этих примеров:

1) Должен быть выявлен характер переменности бесконечно-большой величины. 2) Необходимо тщательно проработать с учащимися смысл слов «сколь угодно большое наперед заданное число» и 3) Надо проработать смысл слов, что переменная величина превзойдет это число. Особенное внимание учитель должен обратить на второе положение как на наиболее трудное и в то же время крайне необходимое при определении любой величины, связанной с понятием бесконечности.

Урок проводится, примерно, так. Берется какая-нибудь арифметическая прогрессия, например:

3, 7, 11, 15, 19,...

Учитель задает учащимся следующий вопрос: «Найдутся ли среди членов этой прогрессии такие, которые больше 50 000, и если есть, то каковы их номера в этой последовательности чисел». Дело сводится к рассмотрению неравенства.

ап>50 000

Так как для данной прогрессии а% = 4/1—1,

то следовательно, необходимо решить неравенство

4n — 1>50 000.

Отсюда

п > 12 500.

Таким образом все члены рассматриваемой прогрессии, номера которых превышают 12 500, по величине своей больше 50 000.

Установив это, мы задаем учащимся вопрос: «А будут ли среди членов той же прогрессии такие, которые превосходят по своей величине, положим, число 120 000, и если есть, то каковы их номера?» Задача решается таким же образом. Затем берется еще какое-нибудь число, большее предыдущих, например, 200 000 и ставятся те же вопросы и т. д. Всякий раз следует при этом обращать внимание учащихся на то, что номера соответствующих пограничных членов повышаются. В первом случае таким пограничным номером был номер 12 500. Этим номером прогрессия разбивалась на две части. В первую часть входили все члены прогрессии, не удовлетворяющие условию задачи, т. е. меньшие 50 000, а во вторую часть все члены прогрессии, удовлетворяющие условию задачи. Во втором примере таким пограничным номером был номер 30 000. Он также разбил прогрессию на две соответствующие части. В третьем случае таким пограничным номером является номер 50 000 и т. д.

После того, как в отношении одной и той же арифметической прогрессии мы задали ряд таких чисел (50 000; 120 000;

200 000 и т. п.) и провели урок так, как это было указано выше, учитель спрашивает учащихся: «Можем ли мы придумать такое большое число, чтобы в данной прогрессии не нашлось бы членов, превышающих это число?» Учащиеся теперь уже не затрудняются ответить, что такого большого числа нельзя найти, так как начнут понимать, что члены прогрессии неограниченно растут.

Полезно взять и возрастающую геометрическую прогрессию, например: 2, 4, 8, 16,...

и поставить такие задачи: «Найти номер того члена прогрессии, начиная с которого все последующие члены будут превышать 1000, 10 000, 100 000 и т. д.» В первом случае дело сводится к рассмотрению неравенства

2П>1000.

Отсюда /г]>9. Неравенство может быть решено подбором, а лучше посредством логарифмических таблиц. Целесообразно выписать, примерно, 12 членов данной прогрессии, провести между 9 и 10 членами черту и опять разобрать с учащимися вопрос, что эта черта делит прогрессию на две части, что члены первой части прогрессии не удовлетворяют условию задачи, т. е. они меньше каждый 1000 и что все остальные члены прогрессии, как бы мы их ни брали, больше 1000.

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 532, 1024,2048, 4096,...

Взяв дальше 10 000, мы находим пограничный номер 13 (п>\3). При 100 000 пограничный номер 16 (я>16) и т. д. Всякий раз следует продолжать приписывать последовательность членов данной прогрессии, ставить в соответствующих местах черту и говорить о двух частях прогрессии так же, как об этом было сказано выше. Надо обратить внимание учащихся на то, что с увеличением задаваемого числа пограничный номер возрастает или, что то же самое, черта передвигается вправо.

После такого рассмотрения ряда примеров легко будет дать и определение понятия о бесконечно-большой величине. Можно дать несколько формулировок определения этого понятия (об этом речь будет ниже). Мы рекомендуем следующую формулировку: «бесконечно-большой величиной называется переменная, обладающая следующим свойством:как бы велико ни было любое наперед заданное положительное число, данная переменная величина по своему абсолютному значению превзойдет это число». При истолковании этого определения надо подробно остановиться на разъяснении следующих трех его элементов: 1) Бесконечно-большая величина есть переменная величина. Полезно эту мысль осветить, взяв в качестве примера астрономические расстояния, измеряемые световыми годами. Например расстояния до отдельных звезд небесного свода равны тысячам световых лет. Какими бы большими ни казались нам числа, измеряющие эти расстояния, но они не бесконечно-велики, так как существуют еще большие расстояния. 2) В определении бесконечно-большой величины фигурирует «любое, наперед заданное число». Ссылаясь на разобранные выше примеры, надо провести мысль, что критерием того, что данная величина бесконечно-велика, должно служить наше убеждение в том, что мы можем назвать любое число, и рассматриваемое переменное число его превзойдет. Если бы, положим, мы сумели указать на такое число, что данная переменная величина не могла бы его превзойти, то ее нельзя было бы считать бесконечно-большой. 3) Надо разъяснить, почему мы рассматриваем переменное число по абсолютному значению и в связи с этим указать на бесконечность в положительном и отрицательном направлении.

На проработку понятия о бесконечнобольшой величине надо затратить два урока. На дом необходимо дать несколько примеров разобранного выше типа.

§ 9. После установления понятия о бесконечно-большой величине, перейдем к ознакомлению учащихся с бесконечно-малыми величинами. Полезно начать с рассмотрения примеров. Берем бесконечноубывающую геометрическую прогрессию

с общим членом

и ставим перед учащимися вопрос: «Может ли переменное число ап в процессе своего изменения стать меньше например числа 0,001? Другими словами, есть ли среди членов рассматриваемой прогрессии такие, которые по своей величине были бы меньше 0,001, и, если есть, то, начи-

ная с какого номера, они будут меньше?» Дело сводится к решению неравенства

Таким образом при п > 9 члены прогрессии будут меньше, чем 0,001. Целесообразно и в данном случае выписать, примерно, первые 12—15 членов прогрессии, между 9 и 10 членами поставить черту и провести урок дальше так же, как это было сделано выше при рассмотрении бесконечно-больших величин.

Затем последовательно задаются числа 0,0001; 0,00001 и т. д. и всякий раз происходит повторение только что сказанного.

Наконец в заключение, обратив внимание учащихся на то, что члены рассматриваемой прогрессии убывают, задаем вопрос: «Могут ли члены этой прогрессии убывая дойти до нуля? Другими словами, входит ли нуль в число членов этой прогрессии?». Этим самым мы бросаем мысль, что члены прогрессии, неограниченно убывая, никогда нуля не достигнут, однако будут отличаться от него на сколь угодно малое число.

Разобрав таким путем несколько подобных примеров, мы даем определение бесконечно-малой величины. Мы считаем, что такое определение и для средней школы можно дать в наиболее полной его формулировке, а именно : бесконечномалой величиной называется такая переменная ап, которая обладает следующим свойством: как бы мало ни было любое наперед заданное положительное число Е, для переменной ап всегда можно найти такое значение его индекса iV, что при всех последующих значениях индекса, т. е. при n>N,cLn по абсолютной величине будет меньше Е.

Это достаточно сложное определение нуждается конечно в тщательном истолковании. Прежде всего необходимо подчеркнуть, что мы имеем здесь дело с переменной величиной. В качестве иллюстрации этого факта полезно напомнить учащимся про строение атома и указать, что как бы малы ни казались нам внутриатомные расстояния и в частности размеры электронов, эти величины с математической точки зрения не являются бесконечно-малыми.

Затем необходимо разъяснить учащимся смысл задаваемого нами произвольно числа Е. Сославшись на рассмотренные выше примеры с бесконечно-убывающими геометрическими прогрессиями, надо указать, что мы имеем право считать переменную величину ап бесконечно-малой лишь в том случае, если мы убеждены что, назвав любое малое число Е, ап в процессе своего изменения становится меньше этого числа. Таким образом решающим признаком здесь является именно это наше убеждение. Если мы сумеем подобрать такое число Е, что переменная величина в процессе своего изменения не может стать меньше Е, то эту величину нельзя назвать бесконечно-малой. В качестве примера можно взять переменную, принимающую значение совокупности

общий член которой следующий

Эта переменная несомненно убывает, что видно непосредственно и из равенства:

Затем она принимает безграничное количество значений, так как рассматриваемая совокупность не имеет конца. Но вместе с тем, эта переменная не есть бесконечно-малая величина, так как в процессе своего изменения не может стать меньше единицы (неправильная дробь).

Необходимо разъяснить, почему мы в определении говорим об абсолютном значении бесконечно-малой величины. Подобрав в качестве примера соответствующие геометрические прогрессии, можно показать, что бесконечно-малая величина может быть положительной, отрицательной или в процессе своего изменения быть и положительной и отрицательной, например:

Наконец, надо остановиться на введенном в определение значении N индекса у ап. Его следует рассматривать как пограничный номер членов совокупности меньше Е, т. е.

О таких неравенствах и пограничном номере много говорилось перед тем, так что учащиеся подготовлены к пониманию его смысла. Полезно при этом вернуться к разобранным выше примерам и указать, что в еличина пограничного номера N зависит от Е* Чем меньше Е, тем больше N.

При разработке с учащимися понятия о бесконечно-малой величине у них часто складывается неверное представление о ней. Так многие из них думают, что данная величина «становится» бесконечно-малой лишь начиная с определенного момента в процессе своего изменения. Учителю надо предупреждать возможность появления у учащихся таких неправильных представлений. Лучше всего это достигается указанием на то, что принятая в математике в отношении рассматриваемых величин терминология не совсем удачна. Такие термины как «бесконечно-малая величина», «бесконечно-большая величина» носят в себе нечто статическое. Они не отражают в себе динамической сущности этих величин. Несомненно лучшими были бы такие термины, как «безгранично возрастающая величина», «безгранично уменьшающаяся величина», «безгранично умаляющаяся величина» и т. п. Конечно, не следует эти термины широко вводить в практику учащихся, поскольку они не приняты в науке, но время от времени уместно было бы пользоваться ими, подчеркивая их смысл.

Понятие о бесконечно-малой величине нелегко усваивается учащимися и не только потому, что оно для них новое. Большое значение имеет и то обстоятельство, что учащиеся не видят непосредственного отображения этой величины в реальной действительности. Поэтому они часто спрашивают преподавателя: «существуют ли бесконечно-малые величины в природе?». Учителю нужно разъяснить, что бесконечно-малые — это математическая абстракция, которая, как и всякая другая абстракция в математике, количественно отражает известные соотношения реального мира. Среди примечаний Энгельса к АнтиДюрингу есть одно, озаглавленное «О прообразах математического «бесконечного» в действительном мире» (Анти-Дюринг, стр. 244—247 в 6-м издании Партийного издательства). В этом примечании Энгельс подвергает уничтожающей критике взгляды многих математиков, считающих, что понятие о бесконечности есть свободное творение человеческого духа и одновременно вскрывает реальные корни этой математической абстракции. «Математическая бесконечность,— говорит Энгельс в конце этого примечания,— заимствована из действительности, хотя и бессознательным образом, и поэтому она может быть объяснена только из действительности, а не из самой себя, не из математической абстракции. Но, если мы станем исследовать действительность с этой стороны, то мы найдем, как мы видим, те реальные отношения, из которых заимствованы эти математические понятия о бесконечности и даже естественные аналогии математической трактовки этих отношений».

Учителю в классе полезно коротенько остановиться на успехах астрономии за последние 200—300 лет, подчеркивая мысль, что по мере усовершенствования астрономических приборов и методов исследования границы познаваемой нами вселенной все время расширяются. Особенно поразительны открытия за последние годы, когда человеческий взгляд проник в глубь звездных скоплений так называемых галактид, отстоящих от нас в расстоянии миллионов световых лет и имеющих в поперечнике, как и наша система Млечного пути, десятки тысяч световых лет. Новые открытия в астрономии продолжаются, познаваемые нами расстояния все увеличиваются, и конца этому процессу нет.

Точно так же полезно учителю остановиться и на успехах физики за последние несколько десятков лет в области строения материи. Если 25—30 лет назад наименьшими познаваемыми в природе величинами были размеры атома (десятимиллионные доли миллиметра), то теперь ум человеческий проник и внутрь атома. Размеры электронов, размеры внутриатомных расстояний оказались во много раз меньшими, чем размеры атома. Но наука идет дальше, каждый день происходят все новые и новые открытия в области строения атома, и размеры малых величин, которые мы при этом познаем, все уменьшаются.

Наконец, необходимо указать, что и в самой математике есть такие действия, которые приводят нас к понятию о бесконечно-малом— это процессы извлечения квадратного корня из чисел и процесс превращения обыкновенной дроби в десятичную. Та ошибка, которую мы делаем, заменяя данное иррациональное число или данную обыкновенную дробь конечной де-

сятичной, может быть сделана сколько угодно малой, т. е. она фактически есть бесконечно-малая величина.

На проработку понятия о бесконечномалой величине надо затратить два урока.

§ 10. Мы встречаем в практике преподавания много различных формулировок, выражающих собой понятие о бесконечномалой величине, хотя сущность самого понятия и остается одной и той же. Для преподавания, конечно, небезразлично, какую из формулировок мы выбрали. Поэтому целесообразно рассмотреть принятые в учебной литературе определения и разобрать их. При этом мы будем одновременно рассматривать также и некоторые определения предела переменной, потому что, как мы видели, понятие о бесконечномалой есть существеннейшая составная часть всякого определения переменной, имеющей предел.

Каково бы ни было определение бесконечно-малой величины, оно содержит в себе следующие элементы: 1) переменная величина, 2) сколь угодно малое наперед заданное число и 3) выражение взаимосвязи между переменной величиной и этим сколь угодно малым числом. Все существующие формулировки рассматриваемого понятия отличаются друг от друга лишь тем, в какой мере указанные элементы в них словесно развиты.

Рассмотрим несколько определений понятия о бесконечно-малой величине, начиная с наиболее бедных словами. Известный французский математик Коши, о котором речь была вначале, в своем курсе диференциального и интегрального исчисления (русское издание 1831 г.) так определяет бесконечно-малую величину: «Если переменная величина, уменьшаясь беспрестанно, сделается наконец меньше всякого данного числа, то в сем случае сия переменная называется бесконечномалым количеством».

Определение, которое дается в стабильном учебнике по геометрии Гурвица и Гангнуса, мало чем отличается от определения Коши. Здесь говорится (часть I, гл. XXI) «переменная величина, которая все время убывает и может стать и оставаться меньше какой угодно наперед заданной величины, называется бесконечно-малой величиной». В этом определении между прочим совершенно лишними являются слова «и оставаться», ибо раз сказано, что переменная величина все время убывает, то это значит, что она убывает монотонно и тем самым, став меньше заданной величины, будет уже в дальнейшем оставаться меньше ее.

Примерно, такая же формулировка понятия о бесконечно-малой величине входит, в определение предела у Киселева в его стабильном учебнике алгебры (ч. II, 1937 г.).

«Если переменная величина х при своем изменении приближается к постоянной величине а так, что абсолютная величина разности а — х (или х — а) может быть сделана и в дальнейшем остается меньше любого положительного числа, то это постоянное называется пределом переменной».

Приведенные формулировки определений понятия о бесконечно-малой величине и пределе являются наиболее распространенными в учебной литературе. В них в сжатой форме правильно выражена сущность определяемых понятий. Однако в этой сжатости заключается их существенный с методической точки зрения недостаток, усугубленный еще тем, что в стабильном учебнике по алгебре и геометрии, можно сказать, нет предварительной подготовки учащихся к восприятию понятий, даваемых этими определениями.

Приведем еще одно весьма сжатое, но оригинальное определение понятия о бесконечно-малой, данное в серьезном и хорошо продуманном французском учебнике по диференциальному исчислению Ж. Бертрана: «бесконечно-малою или бесконечно-малым количеством называется такое число или такая переменная величина, которая, неопределенно уменьшаясь, приближается к нулю как угодно близко, никогда его не достигая».

В этом определении трудно истолковать учащимся слова «неопределенно уменьшаясь», вернее, слово «неопределенно». Зато выигрышными в смысле образности изложения являются слова «приближаются к нулю как угодно близко». Наконец, в этом определении подчеркивается мысль, что бесконечно-малая никогда нуля не достигнет. Обыкновенно эта мысль в само определение понятия о бесконечно-малом не включается, а прорабатывается с учащимися при рассмотрении соответствующих примеров, подобных приведенным выше. Наши же стабильные учебники этого вопроса вообще не касаются.

Определение переменной величины, данное в распространенном у нас учебнике по диференциальному исчислению Гренвиля и Лузина, можно также отнести к типу рассмотренных выше, хотя оно и более развито. Это определение гласит: «мы говорим, что переменное л: стремится к пределу а, если абсолютная величина разности л: — а со временем сделается и будет потом оставаться меньше любого малого положительного числа Е, т. е. если, начиная с некоторого момента, будет все время справедливо неравенство^*— а)<Е». В этом определении по сравнению с приведенными выше более развит второй его элемент—«сколь угодно малое число». Он дается здесь уже в виде символа Е и, кроме того, в зачаточном состоянии высказывается мысль, что переменная величина (в данном случае разность) будет меньше Е, начиная с определенного значения. Неудачным в формулировке Гренвиля и Лузина является введение элемента «время». Время к понятию о бесконечно-малом имеет весьма малое отношение. Кроме того, при такой формулировке возникает опасность появления у учащихся мысли, что переменная величина «становится» бесконечно-малой в определенный момент времени.

Более пространным дано понятие о пределе переменной в также широко распространенном у нас учебнике диференциального и интегрального исчисления Поссе, правда, в дореволюционном издании. «Положим, говорится в этом учебнике, что в неограниченном ряде последовательных значений некоторого переменного числа у все значения, начиная с одного из них, удовлетворяют неравенству

где L данное число, Е по произволу выбранное как угодно малое положительное число и|L—у\ абсолютное значение разности L—у. Тогда говорят, что /.есть предел переменного числа у или что у стремится к пределу, равному L, и пишут

или

В этом определении по сравнению с приведенными выше развивается понятие о переменной величине. Она рассматривается как принимающая значения неограниченной совокупности чисел, причем сама совокупность задается символически. Сколь угодно малое положительное число также задается символом Е. Затем проводится мысль, что неравенство \L — у\<Е выполняется, начиная с определенного члена данной совокупности. Недостатком этого определения в условиях применения его в средней школе, является некоторая его громоздкость, а также использование в виде формулы неравенства

(В советском издании Поссе, вышедшем под редакцией Привалова, определение предела дано почти так же, как и в учебнике Гренвиля и Лузина.)

Примером дальнейшего расширения формулировки понятия о бесконечно-малой может служить определение известного французского математика Жордана в его «Курсе анализа» (Cours d'analyse).

«Пусть X есть переменное число, которое последовательно принимает ряд значений х1$ лг2,..., хп,... Говорят, что ряд хих2,... ,хп... или более сокращенно, переменное X стремится или сходится к пределу с, если для всякого положительного числа Е можно найти такое целое число N, что имеет место неравенство

для всех значений /г, превышающих N*.

В этом определении характерно появление значения индекса N, делящего всю совокупность значений х на две части так, что члены одной части совокупности указанному выше равенству не удовлетворяют, а члены другой части этому равенству удовлетворяют.

Наконец, в отдельных учебниках анализа бесконечно-малых встречаются еще более расширенные формулировки рассматриваемых определений, в которых дополнительно еще подчеркивается, что значение индекса N есть функция от Е.

Мы рассмотрели целый ряд определений понятия о бесконечно-малой величине и переменной, имеющей предел. Все они отличаются друг от друга лишь тем, в какой мере развиты словесно те основные три элемента, из которых слагается опре-

деление бесконечно-малой. Целесообразно, конечно, выяснить для себя, какое из этих определений является наиболее выгодным в условиях преподавания математики в средней школе.

Вполне естественно, что всякое новое понятие, которое мы вводим в процессе обучения, должно быть органически связано с тем, как мы перед этим подготовляли учащихся это понятие воспринять. Понятие о бесконечно-малой величине и пределе особенно нуждается в такой предварительной весьма тщательной подготовке, и это лучше всего сделано, как мы видели, через рассмотрение соответствующих дискретных множеств, приведенных во взаимное и однозначное соответствие с множеством натурального ряда чисел, т. е. другими словами множеств, члены которых перенумерованы. Поэтому, если мы действительно ставим себе целью, чтобы учащиеся хорошо уяснили себе, что такое переменная величина, как она математически выражается, какой смысл имеют действия с ней; если мы желаем затем, чтобы учащиеся посредством ряда специально подобранных примеров глубоко проработали понятие о бесконечно-большой, бесконечно-малой и пределе, то наиболее удобным является определение в духе Жордана, которое мы и дали выше в соответствующем месте. Стабильные учебники по алгебре и особенно по геометрии, принятые в нашей школе, не ставят себе таких широких задач, а потому и ограничиваются ставшими ныне трафаретными определения предела и бесконечно-малой.

Выскажем еще целый ряд замечаний относительно приведенных выше определений понятия о бесконечно-малой. В некоторых определениях говорится, что переменная величина может стать меньше любого наперед заданного числа. В других определениях говорится: становится, сделается и т. д., т. е. слово «может» отсутствует. Я думаю, что слово «может» не должно фигурировать в определении предела переменной, так как возможность какого-нибудь факта, это еще не значит, что он обязательно будет иметь место. Между тем в определении понятия о бесконечно-малой переменная величина в процессе своего изменения обязательно становится меньше любого наперед заданного числа.

Во многих определениях предела переменной говорится, что переменная величина становится и будет оставаться меньше любого наперед заданного числа Е. Когда мы говорим «будет оставаться», то этим мы имеем в виду, что данная переменная не обязательно монотонно убывающая, т. е. она в процессе своего изменения может стать опять больше чиска Е, затем опять меньше и т. д. Мне думается, что в средней школе мы можем не вносить в определение предела переменной слов «будет оставаться», так как мы не можем здесь в качестве иллюстрации привести примеры подобных величин.

Во многих определениях понятия о бесконечно-малой величине говорится, что переменная величина по абсолютному значению становится меньше любого положительного числа. В других определениях говорится меньше любого сколь угодно малого положительного числа. Несомненно, что правильнее — первая формулировка. Раз переменная величина по абсолютному значению меньше любого положительного числа, то отсюда следует, что Е тем самым и какое угодно малое число. Однако в методическом отношении выгодно назвать Е именно сколь угодно малым числом, чтобы лучше направить мысль учащихся на безграничный характер убывания рассматриваемой переменной величины.

Наконец, мы видим, что в приведенных выше определениях бесконечно-малой величины встречаются такие термины: переменная величина, переменное число, переменное количество, бесконечно-малое число и т. п. Возникает вопрос, как тут лучше всего выражаться. Несомненно наиболее правильным было бы говорить в математике «переменное число», так как величиной, собственно говоря, мы называем такие понятия, как длина, объем, вес и т. п., т. е. все, что может быть больше или меньше и что можно измерить. Однако, учитывая, что переменное число в процессе своего изменения принимает значение чисел определенной совокупности и что с точки зрения речи так неудобно выражаться, лучше всего употреблять термин «переменная величина», но зато говорить «постоянное число», а не «постоянная величина».

§ 11. Те определения понятий о бесконечно-малой и пределе, которые мы рассмотрели в предыдущем параграфе, имеют в своей основе представление о переменном числе как величине, последовательно принимающей значение определенной совокупно-

сти чисел. Другими словами, переменная величина трактуется здесь динамически. Однако в последнее время в курсах функций вещественного переменного предел стал рассматриваться в смысле точки сгущения безграничной совокупности чисел. Приведем в качестве примера определение предела переменной, данное в «Курсе диференциального и интегрального исчисления» Р. Куранта (ч. I, 1931 г., стр. 29): «Если задана бесконечная последовательность чисел

и если существует такое число g, что в любом, сколь угодно малом интервале, окружающем g, содержатся почти все числа аЛ, за исключением быть может некоторого, но во всяком случае конечного числа их, то мы говорим, что число g является пределом последовательности

йь а2, аг - -, апУ- - -

или что последовательность аъ аъ аг>'' • сходится к пределу g».

Подобного рода определения стали проникать и в среднюю школу. Так в немецком учебнике Фенкнера для средней школы, проредактированном известным методистом Гольцмюллером (Fenkner — Holzmüller, Arithmetik, Algebra, Analysis, 1929), дается такое определение предела: «Если вокруг числа а можно отграничить такую область и притом сколь угодно малую так, что внутрь ее, начиная с определенного места, будут попадать все члены бесконечного ряда, то говорят, что а есть предел членов этого ряда».

Для иллюстрации этого определения в цитируемом учебнике разбирается сумма членов бесконечно-убывающей геометрической прогрессии и дается для этой прогрессии геометрическая интерпретация, откуда видно, что предел есть точка сгущения безграничной совокупности точек, отвечающей данному ряду чисел.

Для рассматриваемой формулировки определения предела характерно, что совокупность чисел берется вся в целом, а не в последовательности, как это было выше, т. е. здесь имеет место, так сказать, статический взгляд на совокупность чисел. Сколь угодно малым интервалом, заключающим в себе всегда предел, совокупность

делится на две части так, что некоторое обязательно конечное число членов совокупности находится вне интерзала, а бесконечное количество членов внутри интервала.

Однако, подобное определение предела вряд ли целесообразно давать в средней школе. Прежде всего для нас по методологическим соображениям предпочтительно рассматривать всякую величину в процессе ее изменения. С другой стороны, для учащегося легче представлять себе, что данная величина последовательно принимает значение отдельных чисел, чем схватывать бесконечную совокупность в целом сразу. Эти соображения заставляют нас придерживаться тех определений бесконечно-малого и предела, которые даны были в предыдущем параграфе.

§ 12. После того, как в классе установлено понятие о бесконечно-малых величинах, рассматривают их основные свойства, причем здесь имеются в виду свойства их суммы, произведения и частного. Доказательства относящихся сюда теорем хотя и однообразны, но носят формальный характер, а потому даются учащимся с известным трудом. В связи с этим дадим разработку урока, на котором доказывается теорема о свойстве, суммы конечного числа бесконечно-малых. Доказательство должно носить аналитический характер, между тем как обычно оно носит синтетический характер. Сперва берем две бесконечномалые величины и записываем на доске условие теоремы.

Дано:

Доказать :

Мы напоминаем учащимся определение бесконечно-малой величины и говорим: «мы смогли бы утверждать, что уп есть бесконечно-малая величина, если бы сумели доказать, что как бы мало ни было любое наперед заданное число Е, всегда можно было бы определить такое значение индекса N9 что, начиная с него, все значения уп были бы меньше Е. Зададим такое число Е.

Известно, что

и, кроме того, ап есть бесконечно-малая величина и (5Л есть бесконечно-малая величина. Что значит, что <хл есть бесконечномалая величина? Это значит, что ап

в процессе своего изменения становится меньше любого наперед заданного числа. Следовательно, оно станет не только меньше заданного выше числа Е, но и всякого другого числа, меньшего Е, в частности, меньше и — Е. Таким образом всегда найдется такое значение индекса Nt, что при n>Nx будет иметь место неравенство

То же самое мы повторяем и в отношении другого слагаемого где имеем, что при

Теперь сложим последние два неравенства. Получим

При этом надо отметить, что последнее неравенство будет иметь место для значения индекса, превышающего больший из индексов Nt и N2-

Итак, мы задавали некоторое число Е и нашли, что третья переменная у становится меньше этого числа. Но Е может быть каким угодно числом. Доказательство не зависело от того, какое это число. Следовательно, уп становится меньше любого малого числа, а раз так, то согласно определению оно есть бесконечно-малая величина, что и требовалось доказать.

При доказательстве этой теоремы мы встречаемся со следующими затруднениями. Прежде всего учащиеся обязательно спросят, почему мы берем для ул половину Е, а не треть или какую-нибудь другую часть. Но это мы подробнее разъясним, когда будем еще раз повторять доказательство, взяв не два, а, положим, три слагаемых. Второе затруднение заключается вообще в абстрактности доказательства. Поэтому целесообразно дать повторение на конкретном примере. Вот рекомендуемый нами пример: «Даны две бесконечно-малые ая и ßn, принимающие значения членов совокупностей

(в)

так что

Доказать, что новое переменное

есть бесконечно-малая величина. Зададим для Е значение, ну хотя бы

Докажем теперь вычислением, не выписывая членов третьей совокупности, отвечающей переменному уп, что члены ее, начиная с определенного номера, становятся меньше

Так как ая есть бесконечно-малая величина (в этом мы убедились значительно раньше на одном из предшествующих уроков), то в ряду чисел совокупности (а) найдутся числа, не только меньшие

но и половины этого числа, т. е. Найдем тот номер членов этого ряда, начиная с которого все последующие члены будут каждый меньше, чем

Это нетрудно вычислить. Надо решить неравенство

или

Подбором, а лучше при помощи логарифмических таблиц найдем, что

Следовательно здесь

Мы воспроизводим вновь всю первую совокупность (а)

и между 12-м и 13-м членами ставим черту, подчеркивая мысль, что всякое число, стоящее правее этой черты, меньше

Затем мы берем второе слагаемое ßn и для него решаем неравенство

или

Отсюда

Следовательно, здесь

Таким образом, все члены второй совокупности, начиная с седьмого (л>6) меньше —-—. Воспроизводим на доске вновь вторую совокупность, совокупность (ß)

Между тем 6-ми 7-м членом совокупности ставим черту, сопровождая это указанными уже выше разъяснениями. Затем говорим:

«Для всех значений п>\2 переменная а меньше -, и пишем

Но точно так же для п> \2 и ßn тоже меньше —— (В меньше —-— для п >> 6, следовательно, и подавно для л>12). Пишем

Еще раз подчеркиваем мысль, что оба эти неравенства справедливы одновременно для всякого значения индекса л>12. Затем эти неравенства складываем почленно. Получаем

причем это неравенство также справедливо для всякого значения индекса, превышающего 12. Таким образом мы доказали, что если Е = —?— ,то переменная величина уп во всяком случае для всех значений я>12 всегда меньше —-—. (Этот факт можно проверить, непосредственно сложив тринадцатые, четырнадцатые и т. д. члены совокупностей (а) и (ß). Но таким же образом можно это доказать и для всякого другого значения Е. Следовательно, уп, т. е. сумма данных бесконечно-малых ап и ßft, есть бесконечно-малая величина.

После рассмотрения этого примера учитель еще раз дает общее доказательство теоремы, но уже на случае трех слагаемых, по соображениям, указанным выше, а затем прорабатывает мысль, что данная теорема справедлива лишь для конечного числа слагаемых. Это можно иллюстрировать примерами, приведенными в стабильном учебнике алгебры Киселева (II ч., § 180).

На проработку в классе теоремы о сумме бесконечно-малых учитель должен затратить не менее одного урока, так как здесь учащиеся усваивают метод доказательства. Доказательство следующих теорем — о произведении постоянного числа на бесконечномалое и о произведении бесконечно-малых будет проведено уже быстрее.

Особо следует учителю остановиться на частном от деления двух бесконечномалых и на примерах показать, что это частное может быть и бесконечно-малым, и бесконечно-большим, и конечным числом, в зависимости от того, какие переменные величины принимают участие в делении. Рекомендуем следующие примеры. Берем те же переменные, что и выше

Составляем третью совокупность, отвечающую частному от деления аЛ на

1. 4, 8, 16,...

Легко видеть, что члены последней совокупности безгранично растут и что, следовательно, частное в данном есть бесконечно-большая величина (понятно при безграничном увеличении п)

Если же взять частное от деления величин ßn на о^. то получим соответствующую совокупность такую:

S данном случае частное есть бесконечномалая величина.

Наконец, берем две совокупности

т. е. мы имеем

Отношение их равно трем.

На проработку свойств бесконечно-малых надо затратить три урока,

§ 13. Понятие о пределе, как об этом было сказано выше, мы строим на понятии о бесконечно-малой величине. Соответствующему определению удобно дать такую формулировку:

«Мы говорим, что переменная имеет предел, если существует постоянное число, обладающее следующим свойством: разность между ним и данной переменной есть бесконечно-малая величина. Это постоянное называют пределом переменной».

После установления понятия о пределе переменной необходимо проработать его на ряде примеров, подчеркивая всякий раз соответствующий критерий нашего суждения о том, что данная переменная имеет предел, а именно: разность между постоянным и переменной есть бесконечно-малая величина. В качестве первой иллюстрации полезно взять пример, разбираемый в учебнике алгебры Лебединцева. Возьмем последовательно ряд правильных многоугольников с шестью и т. д. сторонами и будем определять у каждого из них величину внутреннего угла. При помощи весьма несложных выкладок, проводимых в каждом отдельном случае, мы получим такой ряд чисел:

Обратив внимание учащихся на то, что этот ряд чисел, повидимому, стремится к 180°, мы определяем по формуле величину внутреннего угла правильного многоугольника, имеющего п сторон

и находим разность между 180° и ал

Если мы представим себе, что п стремится к бесконечности, то дробь - стремится к нулю, т. е. есть бесконечномалая величина. Затем мы задаем учащимся вопрос: «Существуют ли такие правильные многоугольники, что их внутренний угол отличается на 180° меньше, чем на 1' и, если существуют, то сколько они дол кны иметь сторон?» Для ответа на этот вопрос надо решить неравенство

или

Отсюда

Таким образом все правильные многоугольники, у которых число сторон превышает 21 600, имеют внутренний угол, величина которого отличается от 180° меньше, чем на 1\

Затем мы ставим такую же задачу, что и выше, задав теперь разность между 180° и внутренним углом многоугольника меньшей \п и таким же путем найдем, что многоугольники, удовлетворяющие этому условию, имеют число сторон, превышающее 1 296 000. В заключение спрашиваем учащихся: «Можем ли мы назначить столь малый угол, чтобы не существовало уже правильных многоугольников, внутренний угол которых отличался бы от 180° меньше, чем на величину этого малого угла?» Учащемуся ясно теперь, что, как бы мал ни был заданный угол, всегда можно вычислить количество сторон правильного многоугольника, удовлетворяющего рассматриваемому условию. Уверенность в возможности найти такой многоугольник заставляет его признать, что пределом величины внутреннего угла правильного многоугольника при неограниченном возрастании числа его сторон является угол в 180°, что мы и записываем в форме

В качестве второго примера переменного, имеющего предел, возьмем возрастающий ряд чисел

где общий член имеет выражение

и докажем, что пределом ап является единица. Для этого составляем разность между 1 и аг

Если п стремится к бесконечности, то дробь - — J стремится к нулю, т. е. в этом случае она есть бесконечно-малая величина. Это дает нам право утверждать, что

Для рассматриваемого ряда полезно дать геометрическую интерпретацию, указанную на черт. 1.

Учителю лучше заблаговременно приготовить этот чертеж на большом листе миллиметровой бумаги в крупном масштабе. При рассмотрении чертежа следует обратить внимание учащихся на то, что в любом интервале, правая граница которого есть точка, отвечающая единице, заключается бесконечное количество точек, отвечающих членам данного ряда. Таким образом единице как пределу членов данного ряда на чертеже отвечает точка сгущения совокупности точек, представляющих этот ряд.

В качестве третьего примера переменной величины, имеющей предел, надо взять ту, которая принимает значение ряда

т. е. для которой

Здесь надо проделать все то же, что и при рассмотрении предыдущего примера, но при этом подчеркнуть, что данная переменная убывает, приближаясь к пределу, т. е. разность между пределом и переменной есть в данном случае отрицательная бесконечно-малая.

Затем полезно найти предел суммы членов бесконечно-убывающей геометрической прогрессии, знаменателем которой отрицательное число, например такую

Предел суммы членов этой прогрессии равен —. Здесь главное — это дать геометрическую иллюстрацию (черт. 2) примера и показать, что в данном случае переменная, т. е. сумма членов прогрессии, приближается к пределу с обеих сторон, то будучи больше предела, то меньше. Следовательно разность между переменной и ее пределом есть бесконечно-малая, принимающая и положительное и отрицательное значение.

Черт. 1

Черт. 2

Необходимо также показать учащимся, что всякое иррациональное число, например, |/2, можно рассматривать как предел ряда соответствующих десятичных дробей, получаемых в процессе извлечения корня.

Полезно здесь доказать учащимся и теорему о том, что в правильном вписанном многоугольнике при неограниченном удвоении числа его сторон апофема имеет своим пределом радиус. Эта теорема нужна будет в дальнейшем.

Дано:

ОС = hn — апофема OA = R —радиус AB = ап — сторона вписанного многоугольника

Доказать:

Доказательство: из Д АОС следует, что

или

При неограниченном возрастании число сторон правильного вписанного многоугольника, каждая из его сторон ап стремится к нулю, т. е. может быть сделана меньше любого наперед заданного положительного числа Е. Следовательно и положительная разность R — hn также может быть сделана меньше любого положительного числа Е. Таким образом она есть бесконечно-малая величина и согласно определению

В заключение надо объяснить учащимся, что не всякая переменная величина имеет предел. Для этого достаточно взять в качестве примера хотя бы такую совокупность

Переменная величина ап принимает значение бесконечного ряда чисел

Нетрудно видеть, что эта переменная не имеет предела.

На проработку понятия о пределе нужно затратить два урока.

§ 14. Установив понятие о пределе переменной, переходят к рассмотрению свойств пределов. Здесь имеют в виду главным образом свойства результатов действий над такими переменными. Конечно, эту тему можно было бы широко развить, если поставить себе целью установить следующую общую мысль: когда переменная х имеет пределом число а, то и соответствующая функция f(x) имеет своим пределом число /(а)* Однако разработка этой мысли есть дело высшей школы. В средней же школе мы будем прорабатывать такие теоремы:

1) Одна и та же переменная величина не может иметь двух различных пределов;

2) предел суммы переменных равен сумме их пределов;

3) предел произведения постоянного числа на переменную равен произведению постоянного на предел переменной;

4) предел произведения переменных равен произведению их пределов;

5) следствие из последнего положения на случай, если все рассматриваемые переменные равны между собой;

6) предел частного от деления двух переменных равен частному от деления пределов, если предел делителя неравен нулю;

7) если две переменные таковы, что разность между ними есть бесконечномалая величина и что между ними во всем процессе их изменения заключается некоторое постоянное число, то это постоянное число есть общий предел обеих переменных.

Все эти теоремы следует доказывать

Черт. 3

* Имеется в виду конечно непрерывная функция f(x).

одним и тем же методом, сущность которого состоит в следующем: Если переменная X (здесь уже можно индекса п не ставить) имеет своим пределом число Л, то на основании определения можно написать равенство

x = А + а,

где а есть бесконечно-малая величина — положительная или отрицательная, в зависимости оттого, приближается ли переменная к своему пределу, убывая или возрастая (последнюю мысль надо разобрать на примерах), или даже вообще и положительная и отрицательная.

Таким образом, складываем ли мы переменные величины, перемножаем ли их, делим ли их, мы складываем, перемножаем, делим двучлены типа А + а. Дадим примерную разработку доказательства второй из приведенных выше теорем. Пишем на доске

Дано:

Доказать:

Доказательство: Так как \imx = A, то на основании определения переменной ыоЖсЮ написать, что

где а и ß бесконечно-малые величины. Отсюда

Сложим почленно эти два равенства

Так как сумма двух бесконечно-малых есть бесконечно-малая, то можно написать

или

Но мы говорили выше, что если разность между переменной и постоянным числом есть величина бесконечно-малая, то это постоянное есть предел данной переменной. Поэтому можно написать, что

что требовалось доказать.

Чтобы лучше осмыслить сущность этой теоремы, полезно ее проиллюстрировать следующим примером: берем две переменные хп и уп, принимающие значение следующих совокупностей

т. е.

Составляем сумму переменных. Соответствующая совокупность будет такой

Ясно видно, что члены получаемого таким путем ряда имеют своим пределом 2, т. е. сумму пределов слагаемых (последнее можно и строго доказать).

Несколько более сложным является доказательство теоремы о делении. Здесь необходимо вначале составить разность

и сказать: мы доказали бы, что

если бы сумели доказать, что эта разность есть бесконечно-малая величина. Чтобы

доказать это, пишем

Существуют и другие доказательства теоремы о делении, пожалуй даже и более простые, но следует предпочесть это как проводимое по одному методу с другими.

Особняком среди приведенных теорем стоит седьмая. Ее значение в геометрии исключительно велико, так как все теоремы о длине и площади круга, поверхностях и объеме круглых тел основаны на ней. Если мы, например, хотим доказать, что длина окружности есть предел периметров вписанных и описанных одноименных многоугольников, то мы доказываем сперва неравенство

где рп и Рп периметры одноименных правильных многоугольников и С длина окружности, а затем доказываем, что разность Рп — рп есть бесконечно-малая величина. Примерно доказательство этой леммы следующее: Дано:

у— x = ol б. м. в. *<А<у.

Для простоты будем считать все эти величины положительными.

Доказательство: Из данного неравенства вытекает, что

у — А<у — х.

Отсюда

У — А<(х..

Так как разность у — А положительна и она меньше положительной бесконечномалой величины а, то она сама есть бесконечно-малая величина. Таким образом

Затем пишем

и таким же путем приходим к выводу, что

что и требовалось доказать.

В результате проработки главы о свойствах пределов учащиеся решают задачи такого типа: найти

Эти задачи имеются во всех задачниках.

§ 15. Подведем итоги всему сказанному. Преподавание теории пределов в школе — средней и высшей — потому поставлено неудовлетворительно, что основные понятия этой теории даются в виде формальных определений, без серьезной проработки их на конкретных числовых и геометрических примерах. В частности, большим пробелом здесь является отсутствие специальной главы, посвященной усвоению понятия о переменной величине, способах ее выражения и действиях над ней. Примерный план преподавания теории пределов в средней школе представляется нам в следующем виде:

1. Учение о переменной величине .......... 4 часа

2. Учение о бесконечно-большой величине.......2 часа

3. Понятие о бесконечно-малой величине.......2 часа

4. Свойства бесконечно-малых величин.........3 часа

5. Понятие о пределе переменной ...........2 часа

6. Свойство пределов.....2 часа

7. Решение задач по нахождению пределов.......2 часа

Итого 17 часов

§ 16- В заключение дадим ряд упражнений по теории пределов. По образцу их учитель в случае необходимости может сам составить их в нужном количестве.

1. Дана арифметическая прогрессия

Найти тот номер члена этой прогрессии, начиная с которого последующие члены будут больше 5 000; больше 15 000; больше 40 000.

2. Дана переменная хп, последовательно принимающая значения совокупности

Найти то значение индекса п, начиная с которого переменная х, будет превосходить 5 000; 12 000; 100 000.

3. Дана геометрическая прогрессия

Найти номер того члена этой прогрессии, начиная с которого все последующие члены будут больше 20 000; больше 40 000; больше 100 000.

4. Переменная величина <хл последовательно принимает значения совокупности чисел

Найти то значение индекса л, начиная с которого данная переменная станет меньше 0,0001; меньше 0,00001.

5. Дана геометрическая прогрессия

Найти номер члена этой прогрессии, начиная с которого все последующие члены

будут меньше

6. Переменная величина ап последовательно принимает значения членов совокупности

Найти значения индекса п, начиная с которого переменная станет меньше JqqQ'

7. Дан ряд чисел

На основании определения предела переменной доказать, что этот ряд имеет предел 2.

8. Переменная величина хп последовательно принимает значения совокупности чисел

Найти значение индекса л, начиная с которого разность между числом 3 и хк будет меньше

9. Найти

и результат проверить на основании определения предела переменной.

10. Найти

и результат проверить на основании определения переменной.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА, ВПИСАННЫЕ В ШАР И ОПИСАННЫЕ ОКОЛО НЕГО

М. ШЕВЕЛЕВ. (Казань).

Методика решений задач на геометрические тела в комбинации с шаром разработана еще мало. Поэтому, думается, будет небесполезным познакомить читателей с теми краткими схемами, какими я обычно пользуюсь при решении указанных задач.

1. Определения.

1) Шар называется вписанным в многогранник, если его поверхность касается всех граней многогранника;

2) шар называется описанным около многогранника, если все вершины многогранника находятся на поверхности шара.

Центр вписанного шара есть точка, одинаково удаленная от граней, и потому будет находиться на пересечении плоскостей — биссектрис двугранных углов многогранника.

Центр описанного шара есть точка, одинаково удаленная от всех вершин многогранника, и потому будет находиться на пересечении плоскостей, перпендикулярных к ребрам в их серединах.

Центр вписанного шара находится всегда внутри многогранника; центр описанного шара может быть внутри, на и вне многогранника.

Перехожу к частным случаям.

2. Призма прямая.

а) Описанный шар (черт. 1, 2).

1) Центр шара, как точка, одинаково удаленная от вершин, находится в середине высоты.

2) Так как все радиусы равны, то высота проектируется в центре круга, описан-

Черт. 1

Черт. 2

ного около основания;, отсюда из треугольника OAOt имеем:

(I)

где H — высота призмы, a Rt — радиус круга, описанного около основания.

3) Из (2) вытекает, что около прямой призмы можно описать шар только тогда, когда около основания можно описать окружность, а именно: можно описать шар:

1) около любой правильной призмы,

2) около любой треугольной призмы и

3) около такой четырехугольной призмы, у которой сумма противоположных углов основания равна 180°; в частности,— если основанием являются квадрат, прямоугольник, равнобедренная трапеция.

б) Вписанный шар (черт, 3, 4).

Шар должен касаться всех боковых граней и граней основания.

Отсюда: 1) Высота призмы должна равняться диаметру шара, т. е.

(II)

2) Проведя через центр плоскость, параллельную основаниям, получаем сечение, равное основанию, в котором находится большой круг шара, т. е. радиус вписанного шара г должен равняться радиусу круга rv вписанного в основание

т = гх (III)

или высота призмы должна равняться диаметру круга, вписанного в его основание

H = di = 2ri. (IV)

3) Отсюда также вытекает, что при соблюдении условия (II) шар вписать в призму можно только тогда, когда в ее основание можно вписать окружность, а именно: можно вписать шар: а) в любую правильную призму; б) в любую треугольную призму и в) в 4-ю призму, если в основании четырехугольник, у которого суммы противоположных сторон равны (квадрат, ромб, равнобедренная трапеция, у которой боковая сторона равна средней линии, и др.).

4) Так как площадь любого многоугольника выражается через радиус вписанного круга rv по формуле s = pru то

(V)

где 5 — площадь основания, 2р— его периметр.

В частности для правильной треуг. призмы

» квадратной »

для призм, основаниями которых являются ромб или равнобедренная трапеция, у которой боковая сторона равна средней линии; h — высота ромба или трапеции.

Зная полную поверхность О и объем V, можно формулу (V) представить и так:

(VI)

Здесь

3. Пирамида.

а) Описанный шар (черт. 5 и 6). 1) Центр шара находится на одинаковом расстоянии от всех вершин. Как и

Черт. 3

Черт. 4

в призме перпендикуляр из центра падает в центр описанного круга около основания, т. е. описать шар можно только около такой пирамиды, около основания которой можно описать круг, т. е. те же случаи, что и при шаре, описанном около призмы.

2. Для определения радиуса R продолжаем высоту ES до пересечения с окружностью в точке К и полученную точку соединяем с вершиной С; тогда из полученного прямоугольного треугольника SKC имеем CS2 = SK-SE или о2 =2RH, где b — боковое ребро, а Я — высота пирамиды; откуда

(VII)

Заменяя еще H = £ sin а, где а — угол наклона ребра к основанию, получим

(VIII)

а заменяя

где RL — радиус круга, описанного около основания, получим

(IX)

б) Вписанный шар (черт. 7 и 8).

Шар касается боковых граней в апофемах. Центр шара одинаково удален от всех граней и потому находится на пересечении биссектрис двугранных углов при основании.

Если двугранные углы при основании будут равны, то высота проектируется в центр вписанного в основание круга, а отсюда вытекает, что вписать шар в пирамиду можно только тогда, когда в основание пирамиды можно вписать окружность, т. е. те же условия, что и для призмы.

Для определения радиуса вписанного шара г имеем:

1) Из треугольника ОЕК:

(X)

где rt— радиус круга, вписанного в основание, и а двугранный угол при основании.

2) По свойству биссектрисы угла SKE треугольника SKE имеем

или

где g — апофема пирамиды.

Откуда

(XI)

Формула весьма часто применяется.

3) Зная объем пирамиды V и полную поверхность О, можно легко найти г следующим образом:

Черт. 5

Черт. 6

Черт. 7

(XII)

как и для призмы.

4. Усеченная пирамида,

а) Описанный шар (черт. 9 и 10), Очевидно, можно описать шар при тех же условиях, что и в призме и в пирамиде.

Определение радиуса описанного шара приводится к рассмотрению прямоугольной трапеции OOi AAV что приводит к решению уравнения:

(XIII)

откуда и находим R; здесь Rx и R2 радиусы описанных кругов около оснований пирамиды, а H — высота пирамиды.

В случае пирамиды с четным числом сторон имеем также и следующие формулы:

Радиус шара будет равен радиусу круга, описанного около треугольника АВВ1 и поэтому

(XIV)

где b— боковое ребро пирамиды, а и ß углы боковой стороны и диагонали с основанием, a d — диагональ пирамиды =

б) Вписанный шар (черт. 11 и 12). Здесь, очевидно,

Далее из треугольников OOi А и 002 А имеем:

(XV)

где ri и г2 радиусы кругов, вписанных в верхнее и нижнее основание, а а угол

наклона боковой грани к основанию. Перемножая равенства (XV) имеем:

Черт. 8

Черт. 9

Черт. 10

Черт. 11

Черт. 12

(XVI)

Из трапеции 0^02АхАг также легко обнаружить дополнительное условие

(XVII)

где g — апофема боковой грани.

Очевидно также, что вписать шар можно лишь тогда, когда в основание можно вписать круг, т. е. что и при обыкновенной пирамиде.

5. Цилиндр.

а) Описанный шар (черт. 13).

Очевидно, шар можно описать всегда. Центр находится в середине высоты. Если H — высота, /?! — радиус основания, то

(XVIII)

б) Вписанный шар (черт. 14). Аналогично, как и в призме, шар можно вписать только тогда, когда

(XIX)

т. е. когда цилиндр будет равносторонним.

6. Конус.

а) Описанный шар (черт. 15)

Так как в сечении треугольник, то описать шар можно всегда. Центр находится на высоте (может быть и вне конуса). Аналогично пирамиде будем иметь:

(XX)

где /—образующая, Rt — радиус основания, а — угол наклона образующей с плоскостью основания, ß — угол осевого сечения конуса.

б) Вписанный шар (черт. 16).

Так как осевое сечение треугольник, то вписать шар можно всегда. Центр находится на высоте в точке пересечения биссектрис.

Формулы, очевидно, будут совпадать с формулами пирамиды:

(XXI)

Черт. 13

Черт. 14

Черт. 15

Черт. 16

Обозначения очевидны.

7. Усеченный конус.

а) Описанный шар (черт. 17).

Так как осевое сечение — равнобедренная трапеция, то всегда можно описать шар. Аналогично формулам для пирамиды имеем:

(XXII)

б) Вписанный шар (черт. 18).

Так как осевое сечение — равнобедренная трапеция, то вписать шар в усеченный конус можно тогда, когда

В этом случае:

(ХХШ)

8. Шаровой сектор. Вписанный шар (черт. 19). Если R — радиус шарового сектора, а—центральный угол сектора, то имеем

но OA = г (радиус вписанного шара).

из треугольника SOB.

Поэтому

(XXIV)

9. Шаровой сегмент.

Если радиус шарового сегмента обозначим через /?, радиус основания сегмента через Ru высоту сегмента через //, угол сегмента через а, радиус вписанного шара через г, то легко получаем, замечая, что

откуда

(XXV)

Черт. 17

Черт. 18

Черт. 19

Черт. 20

КАКУЮ ПОМОЩЬ МОЖЕТ ПОЛУЧИТЬ ФИЗИКА НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

В. ПАДУЧЕВ (ст. Лиски)

Взаимная увязка по циклам родственных дисциплин в политехнической школе должна проводиться на протяжении всех лет обучения,— это является общепризнанным элементарным педагогическим требованием, которое кладется в основу построения конкретных годовых учебных планов и подготовки плана урока.

Математика и физика связаны между собой, но связь эта имеет ту особенность, что математика может обойтись без помощи физики (хотя это и не будет вполне рациональным), а курс физики требует как необходимого условия — известного уровня математической подготовки, соответствующей степени математических навыков и развития.

Эта своеобразная и как бы односторонняя зависимость часто приводит на практике к тому, что преподаватель математики, выполняя свой учебный план, отрывается от запросов физики и не оказывает ей необходимой помощи. При таком отрыве ученики на уроках физики часто становятся втупик при оперировании с простейшими формулами и выражениями, в преобразовании которых у них не было приобретено соответствующих навыков.

Если преподаватель математики своевременно учтет запросы физики и включит эти запросы в свой план, он окажет реальную и незаменимую помощь родственной дисциплине, значительно облегчив ее изучение.

Какой же багаж математических навыков необходим ученику для беспрепятственного овладения физикой, понимания разнообразных физических законов и решения физических задач?

В первую очередь, учащиеся должны свободно владеть техникой арифметических вычислений с обыкновенными и десятичными дробями; знать нормальный порядок действий при комбинированных расчетах без скобок и со скобками; отчетливо представлять прямо и обратно пропорциональную зависимость, решать основные типы задач на пропорции и проценты. Необходимо также, чтобы учащиеся могли определять числовую величину алгебраических выражений в простейших случаях, например:

Вычислить Xj если

при а = 6; t=7.

Эта арифметическая подготовка является минимальным и совершенно необходимым условием для изучения физики в начальных ее разделах. Всякий пробел в этой области будет затруднять понимание и тормозить решение самых простых физических задач.

Зная, что полное овладение навыками правильного и рационального арифметического вычисления является длительным процессом, требующим постоянных упражнений, преподаватель математики должен постоянно демонстрировать случаи наиболее характерных ошибок, подбирая соответствующие задачи вычислительного характера. Если этому не уделяется должного внимания, учащиеся могут по частям растерять свой арифметический багаж и допускать грубые ошибки, например:

В обоих случаях — характерное для начинающих учеников нарушение порядка действий.

Такие ошибки, сигнализирующие о непонимании правил нормального порядка действий, встречаются, к сожалению, довольно часто. Учитывая уровень арифметических навыков своего класса, преподаватель математики должен составить подходящий комплекс вычислительных задач, при выполнении которых все слабые места были бы постепенно выправлены.

Большое значение для физики имеет хорошая подготовка учащихся в отчетливом конкретном понимании функциональной зависимости, уменье составлять и читать график функций и быстро ориентироваться в прямой и обратной пропорциональности.

Эти вопросы надо разъяснять и неоднократно повторять на жизненных и нагляд-

ных примерах, добиваясь, чтобы учащийся свободно читал смысл таких формул:

Наблюдения показывают, что учащиеся далеко не всегда ориентируются в этих вопросах достаточно свободна. Между тем целый ряд физических законов (теплота, газы, электричество) формулирован з терминах прямой и обратной пропорциональной зависимости, и, если эти понятия были доведены до полной ясности, учащиеся смогут не только отчетливо понимать буквенную запись соответствующего закона, но и переводить алгебраическую запись на литературный язык. Например, при соответствующей подготовке ученик без труда прочтет формулу закона Ома:

Сила тока в цепи прямо пропорциональна напряжению на концах проводника и обратно пропорциональна сопротивлению проводника.

Если же идея пропорциональности не была своевременно доработана до конца, учащиеся окажутся в большом затруднении при понимании этого закона, так как самые выражения «прямо пропорционален» и «обратно пропорционален» не будут мыслиться ими в конкретном виде, оставаясь чем-то смутным и отвлеченным.

Полезно разъяснять этот вопрос на примерах такого типа:

1. Как изменяется х при изменении р для формул:

2. Какая зависимость существует между у и X в следующих формулах:

и т. д.

Учащиеся должны свободно читать смысл формул, а выработка соответствующих навыков является одной из основных задач преподавателя математики. Это будет не только способствовать лучшему пониманию законов физики, но и повысит уровень общего развития учеников.

В курсе физики встречается много задач, которые решаются на основании формул буквенной записи соответствующего закона. В большинстве случаев задачи сводятся к решению одного уравнения с одним неизвестным, но они вызывают затруднения учеников, если на уроках математики не были выполнены соответствующие упражнения.

Заранее предвидя запросы физики, преподаватель математики должен напрактиковать учеников как в чтении формул, так и в решении уравнений, с помощью которых выражаются физические законы, например:

Надо упражнения строить так, чтобы учащиеся могли определять любую из известных величин, чтобы каждое уравнение они могли решать в отношении любой заданной буквы. Очень полезно во всех отношениях поставить вопрос о решении таких уравнений одним взглядом, в уме, чтобы, записав на доске равенство, ученик мог сразу сказать, как выразится каждая из букв через все остальные. Такие упражнения вызывают большой интерес, чрезвычайно сти-

мулируют работу и оказывают реальную пользу не только физике, но и самой математике.

Надо оговориться, что необходимым условием развития соответствующих навыков в устном алгебраическом счете является доведенное до полной ясности знание зависимости между компонентами и результатом для шести алгебраических действий.

Это является вопросом первостепенной важности в деле подготовки учащихся к уверенному и рациональному оперированию с буквенными выражениями. Часто, например, зная словесную формулу: «Делимое равно делителю, умноженному на частное плюс остаток», ученик затрудняется в решении таких уравнений:

Эти затруднения показывают только то, что учащийся не был напрактикован в использовании простейшей зависимости между компонентами и результатом, что в его сознании теория совершенно оторвана от практики. Но можно восполнить этот пробел, если преподаватель (применительно к запросам каждого класса и уровню его подготовки) решит с учениками ряд восходящих по трудности примеров такого типа:

Выразить каждую букву через остальные из формул:

Хорошо построенная и выдержанная система таких упражнений оказывает незаменимую помощь физике, одновременно повышает общий уровень математической грамотности учащихся и способствует развитию полноценных алгебраических навыков. Но преподаватели математики, к сожалению, далеко не всегда уделяют должное внимание этому вопросу, часто полагаясь на то, что зависимость между компонентами и результата ученикам известна, что они «должны это знать», а соответствующие навыки разовьются у них постепенно. Каждый учитель-практик знает по опыту, что нет ничего более опасного, как переоценка сил ученика. Чтобы избежать этого, есть единственно верный и надежный путь — проверить подготовку класса и выяснить фактический уровень алгебраических навыков путем специальной классной работы. В зависимости от результатов этой проверки преподаватель сможет разработать конкретный и детальный план последовательного заполнения пробелов и развития соответствующих практических навыков в оперировании с буквенными выражениями.

Выполненная таким образом на уроках математики работа окупит себя сторицей: это не только облегчит ученикам усвоение курса физики, но и значительно стимулирует их работу в области математики, улучшит арсенал их математического вооружения.

Мы видим таким образом, что дружеский союз преподавателей физики и математики оказывает не меньшую, если не большую пользу самой математике. Об этом надо помнить всегда, на протяжении всех лет обучения в средней школе: активную помощь родственным дисциплинам на уроках математики следует рассматривать не как отбывание своеобразной обязательной повинности, а как интересное и живое дело, улучшающее математическую подготовку учеников, облегчающее им овладевать основами наук.

ИЗ ОПЫТА

К ВОПРОСУ О РЕШЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

К. РУПАСОВ (Раненбург)

При решении тригонометрических уравнений учащиеся должны хорошо знать формулы гониометрии и уметь их применять к решению данного тригонометрического уравнения. Важно показать учащимся, что в некоторых случаях уравнение допускает несколько способов решения, что умение решать тригонометрические уравнения обусловлено званием формул гониометрии и прочими навыками в области тождественных преобразований. С этой целью полезно взять какое-либо уравнение и дать его решение различными способами, увязывая этот вопрос с проработкой соответствующих гониометрических преобразований.

Возьмем уравнение

и покажем несколько способов решения этого уравнения.

1-й способ: sinх + cosх = 1; возвышая обе части уравнения в квадрат, получим:

Исследование показывает, что только корни вида х = 360°-£ и х = 90° -Ь 360°-£ удовлетворяют уравнению. С этим способом можно познакомить учащихся при проработке вопроса о необходимости проверки получаемых решений.

2-й способ: sin х + cos х = 1;

возвышая обе части уравнения в квадрат, получим:

Исследование показывает, что корни вида x = 36Q°.k и х = 90° + 360°-£ удовлетворяют уравнению. Этот способ решения можно дать одновременно с первым.

3-й способ: Третий способ можно дать учащимся при проработке тригонометрических функций половинного угла

Разделим обе части уравнения на

4-й способ: sin х + cos х = 1;

Далее решение совпадает с предыдущим.

Этот способ решения \южно дать одновременно с третьим.

5-й способ: Поступая так же, как и в предыдущем случае, мы приводим к уравнению вида:

Если разделить обе части уравнения на cos2-у, то придем к уравнению:

Решение его не представляет трудностей.

6-й способ: Прорабатывая с учащимися формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций, можно дать такой способ решения того же уравнения:

7-й способ: Зная, что все функции рационально выражаются через тангенс половинного угла, можно решить уравнение так:

отсюда

* При делении на cos -у корень не теряется, так как cosy = 0 не является корнем уравнения.

Решение этого уравнения общеизвестно.

8-й способ: Учащиеся применяют вспомогательный угол при решении тригонометрических уравнений. В качестве простого примера можно взять то же уравнение:

следовательно

9-й способ: sinх = cos* = 1; так как

то данное уравнение

можно записать так:

следовательно,

При решении уравнения различными способами учащиеся ясно увидят преимущество одного способа перед другим.

Применение различных способов к решению одного и того же уравнения вызывает интерес и способствует развитию сообразительности.

К ВОПРОСУ О ВВЕДЕНИИ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО УГЛА ПРИ ЛОГАРИФМИРОВАНИИ

Д. ПЕТРОВ (Нерчинск)

В стабильном учебнике тригонометрии Рыбкина для приведения к виду, удобному для логарифмирования, выражения А Л- В и Л — В 9 где А и В — любые числа, предлаВ

гается замена — через tgy, после чего данА

ные выражения приводятся соответственно к виду

и

Ввиду сложности полученных формул, в § 69 предлагается белее простое преобразование для случая, когда Л>0 и £>0. Именно:

или

Эти преобразования и необходимость запоминать несколько подстановок и несколько формул представляют некоторую трудность для учащихся средней школы. Между тем та же задача допускает иное, более короткое и, как показывает мой педагогический опыт, легче усвояемое учащимися решение.

В самом деле, пусть мы имеем Л + £, где А и В — любые числа, как положительные, так и отрицательные. Мы всегда можем считать |Д|>|2?Ь нб© в противном случае мы просто поменяем их местами.

Выносим за скобку А с его знаком

Полагаем

Тогда в зависимости от знаков чисел А и В получаем либо

либо

Вычисляем с помощью таблиц

и ставим перед результатом знак числа А. Этот путь решения задачи, как оправдавший себя в моей педагогической практике, я предлагаю вниманию педагогов-математиков.

ОТКЛИКИ НА СТАТЬИ

О МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

П. ЗАЛГАЛЛЕР (Москва)

В статье Л. Круповецкого (Полтава) «К методике решения тригонометрических уравнений», напечатанной в № 2 журнала «Математика в средней школе» за 1937 г., отмечены некоторые приемы решения тригонометрических уравнений. Статья Л. Круповецкого, богатая по содержанию, безусловно принесла большую пользу как учащим, так и учащимся.

В настоящей статье указаны несколько уравнений более сложного типа.

В этом уравнении дано произведение тригонометрических функций, что усложняет решение задачи. Выведем формулу произведения синусов и косинусов разных углов.

Сложив эти равенства, затем вычтя первое из второго, получим:

или

(1) (2)

Наконец выведем формулу произведения синуса и косинуса разных углов.

Сложив эти два равенства, получаем, что

(3)

Вернемся к заданному уравнению:

По формуле (1)

II.

пользуясь формулой (2)

откуда

и далее, как в примере I

III.

прм помощи формулы (3) получаем, что

На основании условия равенства синусов двух углов

IV.

Рассмотрим cos (х + а + р) как cos суммы двух углов X и a -f ß.

Сократим уравнение на

Первый и третий член уравнения суть члены разложения косинуса суммы двух углов. Следовательно:

или

На основании условия равенства косинусов двух углов имеем:

по формуле суммы тангенсов двух углов получаем:

или

откуда или: и

или же

Но

Следовательно

или

или и

откуда: т. е. или Откуда

или

VI.

Решение:

Но

Следовательно:

Откуда

Откуда т. е. или

т. е.

2-й способ решения:

Раскроем скобки:

Но

Следующее уравнение сокращается на

Но

Подставив значения

получим:

3-й способ решения.

Подставим значение

в левую часть уравнения.

Откуда и

откуда

При решении этого уравнения по третьему способу получился один ответ.

При решении по второму способу получили также один ответ

при решении же по первому способу получены 2 ответа

и кажется, будто при решении по второму и третьему способу утерян один ответ.

На самом же деле оба корня тождественны: целое число k есть произвольное целое число и k может быть равно (—é), тогда 90° (1— Щ будет разно 90° (4£ + 1).

О ЗНАКЕ ДЕЛЕНИЯ

В. ЭМЕНОВ (Москва)

Ошибки в письменных вычислениях обусловливаются несколькими причинами. Прежде всего приходится выделить группу ошибок, связанных с нелепым представлением истин, лежащих в основе правила производства того или иного арифметического действия. Так при умножении целых чисел ученик должен ясно представлять, что сумму разрядных чисел множимого нужно последовательно умножать на разрядные слагаемые множителя и полученные произведения сложить. С неясным представлением этой истины будут связаны такие ошибки: а) неправильное подписывание частных произведений, а также нарушение последовательности при умножении на разрядные единицы множителя, например:

б) Неумение умножать на нуль, например;

Деление же целых чисел основывается на той истине, что каждый разряд делимого должен быть разделен на делителя. Нетвердое знание этой истины ведет к таким ошибкам: а) допускается при делении остаток или равный делителю, или больший делителя, например;

б) не ставят в частном нуль в случае, когда разрядное число делимого не делится нацело на делителя, например:

в) не ставят в частном нуль в случае, когда приходится делить 0, например:

Значительное количество ошибок связано с неумением учащихся определять разрядное положение первой цифры частного. Не зная же разрядного положения первой цифры частного, ученик не представляет количества цифр, с помощью которых должно быть обозначено число в частном.

Само отыскание разрядных единиц числа в частном затрудняет учащихся. Эти затруднения вызываются нетвердыми навыками учащихся в делении на однозначное и двухзначное число при однозначном частном. С другой стороны учащиеся имеют слабые навыки в округлении чисел. К последнему же часто приходится прибегать при отыскании разрядных единиц частного, например, 39483 [321, при нахождении цифр частного делитель округляем — делим на 320.

Вторую группу составляют ошибки, связанные с формой записи арифметического действия. Так, при письменном сложении встречаются ошибки, связанные с тем, что ученик забывает прибавлять к сумме единиц следующего разряда единицы, которые удерживались в уме после преобразования суммы, полученной от сложения единиц предшествующего разряда, например:

При вычитании же наиболее часто встречающимися будут ошибки, связанные с забыванием того, что у единиц высшего разряда уменьшаемого произведено занимание, или связанные с перенесением занимания на те разряды, у единиц которых оно не производилось, например:

Часть ошибок при умножении связана с суммированием произведений, получаемых от умножения разрядных единиц множимого на разрядные единицы множителя, например:

Только что указанная группа ошибок родственна ошибкам при сложении чисел: преобразование сумм, а также произведений разрядных единиц производится в уме, что ведет в отдельных случаях к ошибкам. При вычитании же непостановка точки над разрядными единицами, у которых было произведено занимание, служит источником ошибок: ученик забывает о произведенном занимании.

Расположение компонентов арифметических действий оказывает влияние на правильность вычислений. Так, при записи чисел при сложении и вычитании в строчку количество ошибок возрастает, например, при сложении 3198+2674 мы встречаемся с новой группой ошибок, связанных с про-

пуском суммирования единиц каких-либо одноименных разрядов и т. п. При записи множителей в строчку

наблюдаются две группы ошибок: первая из них связана с пропуском умножения единиц отдельных разрядов или с повторным их умножением, вторая характеризуется неправильным подписыванием частных произведений.

Отсюда становится понятной целесообразность подписывания чисел при сложении, вычитании и умножении одно под другим столбиком.

При письменном делении можно выделить три основных формы записи:

1) делимое, делитель и частное располагаются в строчку, например: 3798:9 = 422,

2) делимое и делитель записываются в строчку, а частное пишется под делителем, например:

3) делитель пишется слева от делимого, а частное — над делимым, например:

Первая форма записи деления применима в случаях, когда делитель — однозначное число, но если делитель многозначное число, она имеет существенные недочеты, которые сводятся к тому, что и множимое и множитель расположены рядом, что затрудняет умножение.

Вторая форма записи деления имеет по сравнению с первой ряд преимуществ: з ней делитель и частное записаны столбиком — одно под другим, что облегчает умножение разрядных единиц частного на делителя. Но эта форма записи имеет и неудобства: при ней при отыскании разрядных единиц частного приходится мысленно перемещать делителя и его располагать под разрядными числами делимого. Следовательно, эта форма записи деления облегчает умножение разрядных единиц частного на делителя, но создает затруднения при отыскании разрядных единиц частного.

При третьей форме записи деления частное пишется над делимым, что облегчает определение разрядного положения первой цифры частного. При отыскании же единиц следующих разрядов частного приходится поступать так же, как и во втором случае. Существенным недостатком этой формы записи является то, что делитель и частное значительно удалены друг от друга.

В журнале «Математика и физика в школе» № 3 за 1936 год были помещены две статьи — т. т. Скарлато и Кишкина о преимуществах третьей формы записи деления (с некоторыми изменениями), которые вызвали ряд откликов.

Тов. Скарлато Д. высказывается за американскую (3-ю) форму записи деления, внеся в нее некоторые изменения: он предлагает записывать делитель справа от делимого, применяя при этом в качестве знака деления (, например, 369 (3. В защиту такой формы записи деления он пишет: «Среди очень многих причин (слабых навыков в делении) имеется одна существенная, которая заключается, по нашему мнению, в неудачном, если можно так сказать, начертании нашего знака деления... Если изменить начертание нашего знака деления и условиться о другом месте цифр для частного, то эффективность обучения при делении очень повышается, и количество ученических ошибок резко понижается* (стр. 83). Тов. Кишкин в своей статье, помещенной в том же номере журнала, целиком присоединяется к предложению т. Скарлато. Он пишет: «Существенноважное дидактическое значение имеет и помещение делителя слеза от делимого. В самом деле, первое, с чего начинает выполняющий действие деления, — рассмотрение делителя (не делимого) и подсчет числа цифр в нем, чтобы отделить надлежащее число цифр в делимом, и лишь тогда он приступает к процессу деления» (стр. 87).

Н. Донец присоединяется к предложению тов. Скарлато, считая, что «введение нового знака и в связи с этим несколько иной записи деления вполне целесообразно» (выдержка из письма).

Тов. Стратилатов П. В. признает целесообразной форму записи деления, предложенную тов. Скарлато, но одновременно с этим указывает на необходимость более широкого применения «анализа при разборе всех действий с учащимися и особенно деления» (выдержка из письма). Таким образом тов. Стратилатов подчеркивает, что в обучении делению чисел имеет значение не только форма записи действия, но и сознательное усвоение истин, на которых основывается действие, а также правила выполнения последнего.

Еще резче выделяет важность сознательного усвоения правила деления перед формой его записи тов. Алексеев И. (Казань). Он пишет: «начертание знака деления не может быть причиной ошибок, в противном случае, в Америке, где этот знак употребляется давным давно, ошибки в делении исчезли бы» (выдержка из письма). Это утверждение верно в том отношении, что форма записи действия еще не служит гарантией правильности решения. Но, с другой стороны, в этой фразе чувствуется недооценка значения формы записи действия. История арифметики показывает, что человечество долго и упорно шло к упрощению форм записи деления.

Причины ошибок тов. Алексеев видит в том, что «пропуск нулей в частном происходит, по нашему глубокому убеждению, от недостаточного усвоения основ десятичной системы счисления». Диагноз не совсем правильный: при делении встречаются свои

специфические ошибки, которые не могут быть сведены только к недостаточнохму усвоению основ десятичной системы счисления. Мы уже показали, что причиной ошибок при делении служит неясное знание основных истин этого действия. Тов. Алексеев, чувствуя неудовлетворительность своего диагноза, вносит следующее важное добавление: «успех в делении многозначных чисел зависит от усвоения основ десятичной системы счисления; известно, что деление многозначных чисел, начиная с деления двухзначного числа на однозначное, совершается на основе распределительного закона деления». Указание, что деление опирается на следствия распределительного закона, является правильным. Установление же связи распределительного закона с десятичной системой счисления неправильно: он имеет силу и при других системах счисления.

Тов. Александровский (Москва) в предложениях тт. Скарлато и Кишкина видит тенденцию отхода от сознательного выполнения арифметического действия к механическому. К этим выводам его приводит замечание т. Скарлато: «ученик (в этом случае) уверенно начинает ставить цифры частного, не задумываясь каждый раз при вычислениях над разрядами цифр».

Подводя итоги высказываниям о знаке деления, должен сказать, что 1) принятые формы записи не являются совершенными 2) вторая форма записи, при которой делитель пишется справа от делимого, а частное— под делителем, имеет существенные преимущества перед третьей (американской), в которой сближаются частное и делимое: при ней так же легко определить разрядное положение первой цифры частного, как и при 3-й форме; главное же она облегчает выполнение умножения разрядных единиц частного на делителя, 3) определение же разрядного положения каждой последующей цифры частного должно определяться не механически, а сознательно. Сознательное же определение разрядного положения цифр частного должно выражаться в том, что ученик устанавливает разрядное положение числа, подлежащего делению, например, 298 сотен, 558 десятков, 729 единиц (см. пример 29889 |243), один и тот же разряд не делит два раза, т. е. не допускает остатка, равного или большего делителя и, наконец, делит каждый разряд делимого. Знание же, учеником этих истин предупредит его от многих ошибок. Простое же перемещение частного не может служить гарантией от ошибок при делении.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

КРИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР ПРОГРАММЫ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ*

Проф. К. М. ЩЕРБИНА (Одесса)

1. Общий обзор и программа по арифметике

Школа не должна отставать от жизни, она должна отвечать всем запросам ее. Наука делает все новые завоевания, открывает все новые горизонты; методы преподавания, способы подачи учебного материала учащимся постоянно совершенствуются, а следовательно, через известные промежутки времени является настоятельная потребность в изменении, обновлении даже хорошо составленных школьных программ. Наши программы по математике и для начальной и для средней школы, по мнению таких компетентных организаций, как группы математики Академии наук СССР, Московского математического общества, Ленинградских математиков,** «страдают существенными недостатками». Московское математическое общество находит необходимым «срочно предпринять пересмотр существующих программ», оно отмечает при этом, что «особенно остро стоит вопрос с программами по арифметике»***.

Недочеты в программах и учебниках чаще всего обусловливаются тем, что за это дело берутся или лица, хорошо вооруженные в научном отношении, но мало знакомые с теорией и практикой педагогического дела, мало знакомые со школой, или же лица, хорошо знакомые с педагогическим делом, но недостаточно подготовленные в научном отношении.

Изучение вопроса о составлении программы необходимо приводит к следующему заключению. В конце концов программы должны составляться не одним каким-либо специалистом, хотя бы и самой высокой квалификации, не одной какой-либо группой, хотя бы и вполне компетентных лиц, не одним каким-либо научным обществом специалистов,— ход составления программ или переработка их диктуется нам историей этого вопроса. Программа, которой должны пользоваться в школе, есть важный педагогический документ.

* Управление средней школы НКП РСФСР. Программы средней школы. Математика, физика, черчение. Изд. 3-е, НКП РСФСР. 1937, стр. 46, ц. 45 к.

** «Матем. просв.». 1937, вып. 11, стр. 51—61. «Высш. техн. шк.» 1936, №№ 2 и 5.

*** «Матем. просв.» 1937 г., вып. 11, стр. 59.

Существующая программа или проект ее, предварительно составленный группой компетентных лиц или же одним лицом, обязательно должен подвергаться всестороннему обсуждению широких масс, заинтересованных этим вопросом, т. е. обсуждению людей науки, представителей педагогической мысли и в особенности школьной практики. Для этого, например, педагогическая пресса должна широко предоставить свои страницы. Затем на основании многоразличных и нередко противоречивых замечаний должна выкристаллизоваться программа, которая, несомненно, на некоторое время и будет вполне удовлетворительной. Само собой разумеется, что последняя редакция должна принадлежать группе наиболее компетентных в данном вопросе лиц. Для такой процедуры не потребуется, как показывает опыт, много времени.

Весь наш анализ программы с очевидностью покажет необходимость подобного рода работы.

Состав и характер программы.

Нам представляется, что нормальная программа должна складываться из трех частей: 1) краткого курса, подлежащего прохождению, 2) собственно программы этого курса (примерной и по возможности обстоятельной) и 3) объяснительной к ней записки. При этом план должен предшествовать программе, а объяснительная записка может быть помещена или перед планом курса, или после программы, или частью в начале программы, а частью после нее.

В плане намечается в общих чертах объем учебного материала для каждого класса с указанием разделов курса и времени, отводимого для него. В программе, в узком смысле этого слова, дается разработка одного раздела за другим и последовательность подачи материала в каждом разделе; но в тех случаях, где с научной и методической точки зрения без всякого ущеоба для дела допустимо разномыслие, программа составляется так, чтобы преподаватель не был связан ею,— причем, если программа почемулибо не может отразить в себе этой стороны дела, то на помощь должна придти объяснительная записка. Вообще есть вопросы, которые не укладываются в рамки самой программы. Это по большей части те вопросы, которые нужно иметь в виду в течение всего курса; о них-то и нужно говорить в объяснительной записке. К таким вопросам можно отнести задачи и их решения, устные упражнения, устный счет, приближенные вычисления, функциональную зависимость, уравнения, исследование уравнений и др. Кроме того, объяснительная записка дает необходимые установки, подчеркивает те вопросы, на которые нужно обратить особое внимание, содержит в себе самые необходимые методические указания и, наконец, предлагает, по крайней мере, минимальный список литературы, которая должна бить под руками у преподавателя математики. Одним словом, обстоятельная объяснительная записка является существенной и неотъемлемой частью всей программы: без нее сама программа в значительной мере теряет свою ценность.

При составлении программ и объяснительных к ним записок обычно подчеркивают разницу между программой начальной школы и программой средней школы и не обращают внимания на то, что разница в содержании и методах преподавания обусловливается главным образом не тем, будет ли школа начальной или же средней, а тем, будет ли курс, предлагаемый для преподавания, курсом пропедевтическим или систематическим. Обыкновенно упускают из виду, что арифметика и геометрия по своему характеру нуждаются в солидно поставленных пропедевтических курсах. Что касается алгебры, то предварительный пропедевтический курс ее должен быть чрезвычайно ограниченным, потому что сама арифметика является уже пропедевтикой для курса алгебры; в дальнейшем же потребуется пропедевтический подход при введении новых понятий в течение курса. Приблизительно то же самое можно сказать и относительно курса тригонометрии, который проходится в настоящее время только в старших классах средней школы. В ненадлежащем отношении к пропедевтическим и систематическим курсам и кроется одна из причин тех значительных недочетов, какие наблюдаются в наших программах. Вообще очень важный вопрос о пропедевтических и систематических курсах и их характерных особенностях слабо стоит у нас в теоретическом и в практическом отношении*.

Арифметика (курс систематический)

Подвергая критическому анализу программу средней школы по математике, обратимся прежде всего к программе систематического курса арифметики. Перед этим нам следовало бы остановиться на более или менее детальном рассмотрении программы начальной школы но математике, так как курс начальной школы должен быть тесно связан с курсом средней школы. Но сейчас мы здесь не будем этого делать: это может составить предмет особого обзора, а в данном случае для нашей цели достаточно прежде всего отметить, что в программе начальной школы 1936/37 уч. г.** есть некоторые недочеты, но они, по нашему мнению, ничего серьезного в себе не заключают. Далее, объяснительная записка к программе начальной школы написана с пониманием дела, но, к сожалению, она касается только самых общих установок и не содержит в себе никаких методических указаний,*** да и в общих

* Более обстоятельно об этом изложено нами в статье «К вопросу о составлении руководства по методике систематического курса арифметики». «Математика в школе» 1937 г., № 6.

** Управление начальной и средней школы НКП РСФСР. Программа начальной школы, 2-е изд., 1936 г. Математика. Стр. 32—45.

*** Довольно обстоятельные и во многих случаях правильные и полезные для преподавателей методические указания можно найти в небольшой книжечке одного из составителей программы А. Пчелко под заглавием: «Методическое руководство к учебникам арифметики для начальной школы» (утверждено НКП РСФСР и издано в 1936 г.

установках многое остается недоговоренным. Нужно сказать, что ни в объяснительной записке к программе 1936/37 уч. г., ни в методическом руководстве А. Пчелко к стабильным учебникам, нигде не подчеркивается разница в целях н в характере курсов арифметики, с одной стороны, первых четырех классов, а с другой стороны, курса V—Vi классов, а следовательно, и разницы в работе с классом. Не отмечено, что курс арифметики I—IV классов по программе 1936/37 уч. г. должен быть пропедевтическим, а курс V класса систематическим. Такое указание было бы чрезвычайно полезным для преподавателя. Тогда стало бы ясным, почему курс I—IV классов разделяется по ступеням, какую роль в этом курсе играют наглядные пособия, почему все вычисления в пределах первой сотни должны производиться устно, почему курс дробей и геометрический материал проходятся параллельно с курсом целых чисел, почему умножение прорабатывается в связи с делением; тогда стало бы понятным, почему нужно различать два рода задач на деление или, как сокращенного неправильно, выражаются, два случая деления (деление на равные части и деление по содержанию); тогда не было бы сомнения в том, что только в IV классе и то при повторении можно, обратиться к учебнику, как к изложению теории, а во II и III классах не следует им пользоваться (вопреки тому, что мы имеем в действительности).

Нельзя не обратить внимания на то, что программа пропедевтического курса целых чисел разработана значительно лучше, нежели программа пропедевтического курса дробей и пропедевтического курса геометрии.

Наконец, нужно отметить, что плана курса при программе нет, а он включен в объяснительную записку к программе 1936/37 уч. г. (стр. 32, п. 2-й). Само собой разумеется, что программа IV класса 1936/37 уч. г. составлена в предположении, что систематический курс целых чисел проходится в V—VI классах.

Недостатки, которые наблюдаются в преподавании математики в начальной школе, зависят не от программы, а от иных причин, о чем мы скажем несколько ниже. Теперь переходим к рассмотрению программы по арифметике в средней школе.

Распределение учебного материала но классам

В V классе по программе 1937/38 уч. г. проходятся следующие разделы: делимость чисел, систематический курс обыкновенных и десятичных дробей, отношение и пропорции, пропорциональность величин и проценты. В предисловии к программе (стр. 3) между прочим говорится: «Раздел» Основные свойства четырех арифметических действий» перенесен в программу IV класса, к которому он, естественно, примыкает».* «В программу арифметики введено понятие (разрядка наша. К. Щ.) о бесконечных периодических дробях, необходимых для последующего изучения иррациональных чисел (сомнительное основание. К. Щ.).— Разгрузка программы при данном учебном плане обеспечивает успешное усвоение курса арифметики, отводя много места решению арифметических задач различных типов».

Такое изменение программы, вероятно, явилось в результате того мнения, что «курс арифметики чрезмерно растянут» н что «это гибельно отражается на всех математических предметах».** Что курс арифметики несколько растянут, с этим до некоторой степени можно согласиться;*** но, как известно, такое распределение учебного материала было вызвано самой жизнью. При этом нужно иметь в виду, что из V класса в VI в свое время была перенесена та часть курса (главным образом, решение типовых задач), которая никоим образом задержать прохождение других математических предметов не могла. Ясно, что такой простой реформой, как передвижение тех или других частей курса из одного класса в другой, дела поправить нельзя: не в распределении учебного материала в данном случае лежит причина, тормозящая преподавание математики в старших классах средней школы.

Следует вспомнить историю этого вопроса. В двадцатых годах (еще при отсутствии комплексной системы, пагубно отразившейся на преподавании математики) курс арифметики в единой трудовой школе заканчи-

2-м исправленным изданием). Но мы не можем согласиться с автором относительно пользования «учебником» арифметики во II и III классах (стр. 23, 56—57), а также и относительно характера занятий устным счетом (стр. 49, 55), хотя и здесь, как и в других случаях, автор вносит некоторые поправки к соответственным местам стабильных учебников.

* Очевидно, не желают различать пропедевтического курса целых чисел от систематического.

** Из резолюции группы математики Академии наук СССР. «Матем. просв.», 1937 г., вып. 11-й, стр. 52. Приблизительно то же высказано и ленинградскими математиками «Высш. техн. шк.» 1936 г. №№ 2—5.

*** Интересно отметить, что на прохождение курса арифметики в дореволюционной средней школе затрачивалось также не менее шести лет, если при этом не считать еще повторительного и дополнительного курса арифметики в выпускном классе. Для поступления в одногодичный приготовительный класс требовалось знание действий над числами в пределах первой сотни, т. е. курса, на прохождение которого теперь затрачивается около двух лет (в 1-й же класс современной школы могут поступать дети без всякой подготовки по арифметике). В приготовительном классе проходился пропедевтический курс целых чисел и давалось понятие о простейших долях; в 1-м классе (т. е. на 4-м году обучения) проходился систематический курс целых чисел и пропедевтический курс дробей, во II классе— систематический куре дробей обыкновенных и десятичных и в III классе, т. е. на шестом году обучения, заканчивался курс арифметики.

вался на 4-м году обучения.* Затем плачевные результаты при таком распределении учебного материала заставили растянуть преподавание арифметики на 5 лет обучения. И хотя до 1934 г. курс арифметики заканчивался в У классе, преподавание всех математических предметов в то время было в значительно худшем состоянии, нежели теперь. Далее, нужно иметь в виду, что и при том распределении курса, когда прохождение арифметики заканчивается в VI классе, систематические курсы алгебры и геометрии с тригонометрией проходятся в течение 5 лет при сравнительно достаточном числе уроков, так что в общем на все эти предметы в современной средней школе отводится значительно больше времени, нежели отводилось в дореволюционной средней школе.

Мы глубоко убеждены, что прохождение курса арифметики в течение 1—lV2rcw(s V и VI классах) под руководством специалиста и притом с методическим образованием только может улучшить состояние знаний по арифметике; а это, само собой разумеется, должно благотворно отразиться в дальнейшем на преподавании всех математических предметов, потому что одна из главных причин слабой успеваемости в старших классах по математике—неудовлетворительная постановка преподавания арифметики вообще: именно это тормозит прежде всего математическую культуру в средней школе.

Обыкновенно не обращают внимания на то, что при занятиях арифметикой, так сказать, закладывается фундамент для дальнейшего сооружения,— а на шатком, плохом фундаменте прочного здания не построишь,— смотрят на преподавание арифметики несколько свысока, недооценивают ее значения: думают, что арифметике могут обучать и лица без математического образования; учителя старших классов средней школы обыкновенно уклоняются от преподавания арифметики в V и VI классах, находя, что это — работа низшего порядка, работа малоинтересная. К тому же и составители программ и составители учебников часто совершенно не вникают в требования, каким должны удовлетворять пропедевтический и разные циклы систематического курса, нередко предполагают, что центр тяжести в обучении арифметике заключается в «заучивании» правил, и в изобилии снабжают ими не только учебники систематического курса арифметики, но даже «учебники II и III классов. Забывают о том, что прочные навыки в вычислениях, привычка логически мыслить, интерес и творческая работа учеников не могут явиться в результате усвоения правил и однообразной механической работы,** что здесь в деле сознательного обучения главная роль принадлежит решению методически предложенных задач. Конечно, виноват в слабой постановке преподавания систематического курса и безграмотный во всех отношениях стабильный учебник арифметики.

Недооценкой курса арифметики объясняется отсутствие в X классе краткого обобщающего и дополняющего курса арифметики. Ведь многие вопросы, в силу дидактических требований, в низших классах излагаются не в том виде, в каком должен их представлять себе юноша, заканчивающий свое среднее образование; не подлежит сомнению, что курс арифметики, пройденный в первых пяти классах, нуждается в освещении и тех обобщениях, какие недоступны, само собой разумеется, ученику V класса. Вообще повторительные курсы в выпускном классе должны представлять собой одну из самых важных работ: здесь, так сказать, возводится крыша над тем зданием, которое строилось в продолжение нескольких лет; только здесь возможно говорить о тех вопросах, которые лишь были намечены в предыдущих классах (о математических определениях, об аксиомах, о теоремах и методах их доказательств, о расширении понятия о числе в связи с расширением понятия о действиях и т. п.). Указанная нами заключительная работа, обобщающая данный предмет, не только желательна, не только своевременна — отвечает запросам учащихся, но она просто необходима: такие обобщения являются тем, что должно оживотворить и собрать в стройную систему предмет, излагавшийся в продолжение нескольких лет. А между тем, согласно программе 1937/38 уч. г., тот единственный раздел из области арифметики, который в программе 1936/37 уч. г. был озаглавлен «Расширение понятия о числе», сведен под названием «Обобщение понятия о числе» к одним только комплексным числам. Вообще программа X класса и по остальным математическим предметам не содержит в себе обобщающих повторительных курсов.

По программе 1937/38 уч. г. преподавание арифметики целых чисел всецело передается в руки учителей-энциклопедистов, лиц, не обладающих надлежащим математическим развитием, лиц, математические знания которых часто не идут далее учебников средней школы. Такое перенесение учебного материала в данном случае нужно признать значительным шагом назад в области преподавания математики. Совершенно иные результаты могли бы получиться, если бы с 1937/38 уч. г. представилась возможность передать преподавание арифметики, начиная с III класса,* в руки специалиста с солидным педагогическим образованием; но ведь это, как известно людям, близко стоящим к на-

* Программы семилетней единой трудовой школы НКП. Госиздат, 1921 г., стр. 107—111.

** Неудовлетворительные результаты обучения в старших классах средней школы некоторые пытаются объяснить «излишним увлечением математиков формальной стороной дела: стандартизацией записей, точностью формулировок» («Матем. просв.». 1937 г., вып. 11, стр. 61). Мы приводим это, как образчик неудачно выраженной, но по существу правильной мысли. Увлечение формальной, внешней стороной дела, действительно часто встречается, но оно выражается в том, что нами здесь было сказано, а не в погоне за точностью формулировок. Разве можно говорить о точности формулировок, когда ее нет в стабильных учебниках?

* На этом настаивает группа математики Академии наук СССР. «Матем. просв.», 1937 г., вып. 11, стр. 54.

чальной и средней школе, является делом, в ближайшее время едза ли осуществимым.

При правильном подходе к постановке преподавания арифметики, распределяя учебный материал по классам, не следует упускать из виду, что систематическому курсу арифметики должен предшествовать пропедевтический курс, где совершается по преимуществу работа, если можно так выразиться, психологического характера, где новые понятия вводятся в сознание не путем «заучивания» определений, правил и т. п., а путем длительной работы ученика с учителем (выработка понятия о натуральных числах, о действиях над ними, о величине, об измерении величин, о доле, о дроби и т. п.). Поэтому учебник, как теоретический курс, является в данном случае не только излишним, но им по существу и пользоваться нельзя. Систематический же курс арифметики должен быть построен по-иному (это первый цикл систематического курса): здесь нужно обратить внимание на определения, на свойства действий и пр.; здесь необходимо научить пользоваться учебником. Одним словом, здесь следует подготовлять к пониманию дедуктивного построения математических дисциплин.

Если, по крайней мере, начиная с IV класса, математику будут преподавать специалисты, то в таком случае распределение курса арифметики должно быть приблизительно такое, какое намечено программой 1937/38 уч. г., но тогда в III классе нужно закончить пропедевтический курс целых чисел,* а в IV классе следует пройти систематический курс целых чисел (поэтому программа IV класса должна быть переработана) и закончить пропедевтический курс дробей, в V классе — систематический курс дробей обыкновенных и десятичных, конечно, в связи с решением возможно большего числа задач. Что же касается решения типовых задач (на пропорциональные величины и деление, на проценты, смешение) в связи с учением об отношении и о пропорциональности величин (но не о пропорциях), лучше это все-таки отнести к курсу VI класса: это, как мы уже сказали, ничуть не повредит делу преподавания математики и других смежных предметов, а скорее поможет ему. Пользуясь типовыми задачами, очень удобно и легко совершить переход от арифметики к алгебре, обратив внимание на выработку понятия об общем или по другой терминологии — неявном (числе). Пока же преподавание арифметики в IV классе будет в руках неспециалистов, то распределение учебного материала по арифметике должно остаться прежнее (по программе 1936/37 уч. г.); но в X классе во всяком случае необходимо отвести время на обобщение и дополнение курса ариметики.

Логическое развитие при обучении арифметике. Свойства действий; нумерация

Преподавая арифметику, конечно, нужно иметь в виду не только приложение ее к явлениями окружающей действительности, но и посильное логическое развитие учащихся. А это последнее достигается прежде всего в результате решения надлежащим образом подобранных задач и осознания системы счисления и тех приемов устного и письменного выполнения действий, которыми учащиеся должны были пользоваться уже в пропедевтическом курсе арифметики, начиная с I класса: например, 5 да 3 зсе равно, что 3 да 5; чтобы придать 24 к 32, достаточно сначала придать 20, а потом 4; чтобы 3 набрать 20 раз, достаточно 3 набрать 2 раза, а полученное число набрать еще 10 раз и т.п. Остается в систематическом курсе из отдельных частных случаев сделать соответствующие выводы; но отнюдь не следует сбиваться в первом цикле систематического курса на путь «теоретической арифметики». Наблюдения показывают, что даже такой, казалось бы, простой способ доказательства переместительного свойства в случае двух множителем (именно — доказательство,а не иллюстрация), какой встречается, например, в учебнике А. Киселева, не доходит до большинства учеников V класса (зачем все это,— говорят они,— когда это итак ясно). Нужно отметить, что вопреки утверждению некоторых, ни в программах, ни в объяснительных записках нет указаний на то, чтобы, изучая «свойства действий», «сообщать ученикам логическое развитие при помощи элементов теоретической арифметики».* К сожалению, такой подход в совершенно безграмотном виде встречается,— правда, очень редко,— в стабильном учебнике систематического курса арифметики И. Попова и, может быть, поэтому иной раз применяется он и неопытными преподавателями.

Сознательное усвоение сущности устных и письменных приемов производства действий (правил действий) без уклона в теоретическую арифметику должно было бы найти то или иное отражение в программе систематического курса арифметики, а между тем мы этого там не находим.

Несомненно осмысленное изучение десятичной системы счисления значительно расширяет математические горизонты учащихся. Ошибаются те методисты (между прочим, С. Шохор-Троцкий), которые думают, что с сущностью десятичной системы счисления следует и можно ознакомиться при изучении самих действий в систематическом курсе. Десятичная нумерация является столь важным и ценным приобретением ума человеческого (мнение Лапласа), что ограничиваться концентрическим изучением ее в пропедевтическом курсе арифметики недопустимо: тех отрывочных замечаний, какие придется делать относительно системы счисления при изучении действий над целыми числами, далеко недостаточно для математического развития ученика, оканчивающего курс средней школы. Пропедевтический курс арифметики в достаточной степени подготовляет к систематическому обзору десятичной системы счисления, к обзору основных принципов ее построения. В этом отношении программы и 1936/37 уч. г. и 1937/38 уч. г. заслуживают упрека. Вообще

* Говоря о III классе в настоящее время, иногда забывают, что этот класс по возрасту и, следовательно, по развитию не соответствует III классу дореволюционной средней школы.

* «Матем. просв.» 1937 г., вып. 11, стр. 53 (из резолюции группы математика Академии наук СССР).

вопрос о нумерации в систематическом курсе совсем не разработан. Необходимо, чтобы в объяснительной записке на этот счет даны были надлежащие указания.

Устный счет; устные занятия

Вопрос, имеющий громадное практическое и общеобразовательное значение, вопрос об устных занятиях и в частности об устном счете совершенно игнорируется программой средней школы: в программе 193738 уч. г. по арифметике и по другим математическим предметам нет ни одного слова об этом, а в программе 1936/37 уч. г. в одном только месте (V класс) есть такое упоминание — «объяснение приемов устного счета на основании зависимости между данными и результатами действий и свойств действий*. Этого далеко недостаточно. Говоря об устных вычислениях в систематическом курсе арифметики, мы не имеем в виду каких-нибудь особенных, искусственных приемов устных вычислений; мы считаем нецелесообразным на каждом уроке выделять для этого особое время, как это рекомендуют методические указания, изданные для начальной школы НКП РСФСР.* Но мы считаем чрезвычайно важным и необходимым для дальнейшей работы в области математики в систематическом курсе арифметики обратить особое внимание на устное разложение чисел на простые множители (чисел, обозначенных единицей с нулями, йотом всех чисел в пределах первой сотни и прежде всего степеней двух, трех, пяти и семи, а затем уже чисел, входящих в таблицу умножения). В связи с этим необходимо остановиться на устных или полуписьменных вычислениях, относящихся к нахождению наименьшего общего кратного, к сокращению дробей, к приведению дробей к общему знаменателю, а также к различным операциям с десятичными дробями, в особенности при преобразовании обыкновенной дроби в десятичную (если в знаменатель несократимой обыкновенной дроби входят только двойки и пятерки). Ни о чем этом ни в программах, ни в объснительных записках не упоминается. Но, может быть, на практике в средней школе, помимо программы, отводится устным вычислениям подобающее место? Отнюдь нет. Это хорошо известно всем, кто близко стоит к современной школе.**

Правда, программы по арифметике для первых четырех классов и методические указания НКП, о которых мы уже упоминали, могут навести на мысль о некотором «преувеличении роли устного счета» в начальной школе. В этом отношении программа начальной школы составлена неудачно: в III и IV классах учебный материал на всех четвертях года (за исключением четвертых) начинается с устного счета, тогда как в действительности к устному счету следует обращаться по мере надобности, когда для этого встретится подходящий материал, причем «нормальные» (по Гольденбергу) или обычные приемы устного вычисления должны предшествовать усвоению приемов письменных вычислений; а к особым приемам вычисления следует обращаться уже после усвоения нормальных устных и письменных приемов вычисления. Кроме того, не нужно гоняться за усвоением учениками возможно большего числа особенных, искусственных приемов устного счета; но желательно, чтобы те приемы, которые будут усвоены, не оставались для учащихся мертвым капиталом, а прилагались всюду, где только будет в том надобность. А хороших результатов можно достигнуть только в том случае когда для устных занятий вообще не будет выделяться особое время и не будет предлагаться лишь специально подобранный для этого материал, как это обычно теперь рекомендуется.* В противном случае у учащихся обыкновенно воспитывается вредная точка зрения, что к устным вычислениям следует обращаться только в определенное, назначенное для этого время и при специально недобранном для этого материале.

Нужно сказать, что объяснительная записка к программе начальной школы как будто бы в общем стоит на правильной точке зрения. В записке, между прочим, говорится: «следует возможно больше упражнять учащихся в обычных приемах (разрядка наша. К. Щ.) устного счета, прибегая к устным вычислениям при прохождении всего курса арифметики и комбинируя устные вычисления с письменными». «Необходимо требовать, чтобы все действия в пределе ста и легкие случаи (разрядка наша. К. Щ.) в пределах тысячи производились устно с последующей записью результатов»**

Так деле устного счета трактуется в программе начальной школы, а на практике устным счет и в начальной школе стоит чрезвычайно слабо: перейдя к письменным приемам вычисления, ученики обычно забывают об устном счете и часто выполняют действия даже в пределах ста письменно. Мы уже раньше сказали, что устные вычисления и вообще устные занятия в V—X классах поставлены еще хуже: там и программы, и учебники, и школьная практика совершенно игнорируют этот важный вопрос. Только в последнее время в педагогической прессе заговорили об устных занятиях в средней школе,, но, к сожалению, в этом отношении даются в большинстве случаев установки, которые при

* Управление начальной школы НКП РСФСР. Решение задач и устный счет в начальной школе. 2-е изд, 1937 г., стр. 13.

** У нас имеются документальные данные, свидетельствующие о том, что лица, окончившие курс средней школы, деление двузначного числа на однозначное при двузначном частном выполняют обычно письменно. Также письменно производят деление на 10, 100 и т. д. (например, один из окончивших курс средней школы делит 1,3 на 10 письменно и получает в частном 1,03).

* 1) Управление начальной школы НКП РСФСР. Решение задач и устный счет в начальной школе. 2-е изд. 1937 г.» 2) Репьев В., доц. Устные занятия в курсе алгебры. «Математика и физика в школе». 1936 г. № 3. 3) И. Кувыркин. Устные вычисления в старших классах. «Математика в школе». 1937 г. № 1. 4) Нагибин Ф. Устные вычисления и преобразования на уроках математики в средней школе. «Математика в школе». 1937 г. № 4.

** Программы начальной школы. 2-е изд. НКП РСФСР. 1936 г., стр. 37.

своем осуществлении могут привести к нежелательным результатам. Следовательно, о «гипертрофии» устного счета, о «преувеличении роли» его вообще, как высказываются некоторые*, не может быть и речи.

Задачи в арифметике

О важном значении решения задач арифметическим способом и с практической и с общеобразовательной точки зрения говорить теперь не приходится. Относительно задач и их решения лучше всего было бы дать указания в объяснительной записке к программе; а между тем программа средней школы 1937/38 уч. г. вовсе не имеет объяснительной записки: там говорится только о «поправках и уточнениях сравнительно с программами 1936/37 уч. г.»; в программе же 1936/37 уч. г. есть небольшая (в 2 стран.) вводная записка, но в ней также ничего не сказано относительно характера задач, способов их решения и пр., вообще не дано никаких установок по этому вопросу.

В разделе 5 программы 1937/38 уч. г. (о прямой и обратной пропорциональности величин) говорится о решении задач «пропорцией и приведением к единице». Мы уже не раз высказывались в печати по этому поводу**. Пропорции по недоразумению попали у нас в курс арифметики. Решение задач при помощи пропорций, — если это нужно,— должно быть отнесено к курсу алгебры. К таким выводам давно уже пришли люди, компетентные в этих вопросах.*** Конечно, вопрос об отношении и пропорциональности величин обязательно должен остаться в систематическом курсе арифметики (учение о пропорциях для этого не нужно).

Решая задачи с учениками еще в начальной школе, учитель должен постоянно обращать внимание учащихся на функциональную зависимость величин (конечно, не вводя покамест этого термина). И об этом также должно быть указано в объяснительной записке. Отсутствие подобных указаний в программе арифметики средней школы нужно признать за недостаток программы.

Отметим еще, что, говоря в программе о различных типах задач, не упомянули задач на смешение и сплавы; в задачах на проценты указываются только три основных типа задач; этим как бы подчеркивается та мысль, что, кроме указанных трех типов, других задач на проценты решать не следует.

Вот каким образом стоит вопрос о задачах в программе средней школы. Говорить же о том что программы начальной и средней школы вообще игнорируют вопрос о задачах,* нельзя. В объяснительной записке к программе начальной школы на 1936/37 уч. г. задачам отведено 3 страницы из 7 страниц, посвященных этой записке, причем кроме общих методических указаний сделаны еще особые замечания для каждого класса начальной школы отдельно. Помимо этого Управление начальной школы НКП РСФСР выпустило в 1936 г. первым изданием в 50 000 экземпляров, а в 1937 г. вторым исправленным изданием в том же количестве экземпляров отдельную брошюру, в которой материал, относящийся к задачам и только намеченный в программе, раскрывается более детально, конкретно и в определенной последовательности.**

Иное дело, как сюит вопрос с арифметическим решением задач в школьной практике. Несомненно, это — слабое место в школьном обучении. Чем это обусловливается, мы не будем здесь говорить: это выходит за пределы нашей темы. Можно только сказать, что одним изменением программ и объяснительных к ним записок дела еще не исправим. Мало поможет в этом отношении добавление таких задач, для решения которых потребуется некоторая изобретательность, находчивость, сметка. Такие задачи обязательно должны быть введены в задачники для каждого класса; но не нужно забывать при этом, что в настоящее время нередко учащиеся затрудняются решать задачи, так сказать, с «прозрачным условием», те задачи, которые мало чем отличаются от примеров.

Краткость программы

До сих пор мы касались таких общих вопросов, как распределение учебного материала, характер подачи учащимся учебного материала, устный счет, задачи, а теперь обратимся к другим сторонам анализируемой нами программы.

Программа систематического курса арифметики отличается краткостью. В этом ее достоинство: она не стесняет инициативы преподавателя; но в этом и ее недостаток: она дает простор для неудачных экспериментов малоподготовленного преподавателя, особенно если иметь в виду, что в программе 1937/38 уч. г. совершенно отсутствует объяснительная записка. Краткая программа требует обстоятельной объяснительной записки.

Нам кажется, что в программе вообще нужно было отметить те понятия, которые так или иначе должны быть определены в систематическом курсе. Программа же, повидимому, без всяких мотивов избегает этого.

Целые числа

О программе систематического курса целых чисел мы судим, принимая во внимание программу 1936/37 уч. г., потому что этого раз-

* Резолюция Московского математического общества и резолюция группы математики Академии наук СССР. «Матем. просв.». 1937 г., вып. 11, стр. 59 и 52.

** 1) К вопросу о составлении стабильного учебника по арифметике. «Математика в школе» 1937 г. № 4, стр. 47. 2) Математика в русской средней школе. «Киевские университетские известия» за 1908 г. и отдельным изданием, Киев, 1908, 3) Программы по математике, выработанные комиссией при МНП в 1915 г. Критический обзор «Вестника опытной физики и элементарной математики». № 659—660.

*** Лица, высказывавшие свое мнение по этому вопросу, указаны в наших вышеприведенных работах.

* Резолюция группы математики Академии наук СССР. «Матем. просв.», 1937 г., вып. 11, стр. 52.

** Управление начальной школы НКП РСФСР. Решение задач и устный счет в начальной школе. 2-е изд., 1937 г.

дела вовсе нет в программе 1937/38 уч. г.: он перенесен в IV класс.

Что касается системы счисления, а также основных свойств четырех арифметических действий, то об этом мы уже высказывались раньше; здесь в особенности необходимы указания объяснительной записки. То же можно сказать и относительно проверки действий. По нашему мнению, при отсутствии замечаний по этому поводу в объяснительной записке, лучше было бы в программе вместо «проверка действий» сказать «о проверке действий»*. Мы считаем также неудачной формулировку: «изменение остатка при изменении делимого и делителя в одинаковое число раз». Лучше было бы сказать: «изменение остатка при умножении или делении делимого и делителя на одно и то же число». Но нужно ли при краткости программ помещать это в ней? Наконец, является совершенно непонятным, почему в программе систематического курса 1936/37 и 1937/38 уч. г. ни слова не говорится об измерении величин, о метрической системе мер, об измерении времени в связи с решением задач на время.

Разделом «делимость чисел» начинается курс V класса по программе 1936/37 уч. г. О повторении основных, существенных вопросов из курса целых чисел здесь нет и помину.

В разделе «делимость чисел», как и в других разделах, также чувствуется отсутствие объяснительной записки. Тут и в программе небесполезно было бы поместить: «устное разложение чисел на простые множители» (конечно, в соответствующих случаях). Об этом мы уже говорили, касаясь устного счета.

Интересно знать, чем мотивируют составители программ пропуск признака делимости чисел на 8?

Рутин л в курсе обыкновенных н десятичных дробей.

Особенно отразилось влияние традиции и шаблона на центральном разделе курса V класса — на разделе «обыкновенные дроби». Здесь бьет в глаза нежелание освободиться от шаблона, нежелание вникнуть в разницу между пропедевтическим и систематическим курсом дробей, традиционная неразбериха, отсутствие логической последовательности**.

Прежде всего вводится понятие о дроби (вместо того, чтобы ввести раньше понятие о доле): затем, вначале же, по традиции говорится о смешанном числе (а ведь это — уже первое расшир:ние понятия о действии) и о преобразовании неправильной дроби в смешанное число и обратно — смешанного числа в неправильную дробь. Но ведь это — систематический курс; а в систематическом курсе уже введено новое расширенное понятие о числе. Нельзя же в этом курсе (хотя бы и в первом цикле его) обращаться с дробями так, как мы должны поступать в пропедевтическом курсе. Как можно говорить об этих преобразованиях с дробями, ни слова не сказавши о сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями, об умножении дроби на целое число, о делении дроби на дробь с одинаковыми знаменателями, когда требуется узнать, сколько раз одна дробь содержится в другой,— одним словом, о действиях над дробями в тех случаях, когда для этого требуется расширение понятий о действиях. Только выведя правила действия над дробями в указанных случаях, можно остановиться на изменении дроби при изменении числителя или знаменателя*.

Наконец, зачем вводят в программу систематического курса нахождение дроби числа и обратно — нахождение числа по данной его дроби, тогда как эти вопросы должны быть обязательно проработаны в пропедевтическом курсе. Само сабой разумеется, к этому необходимо будет возвратиться в систематическом курсе, но эти вопросы не должны быть программными вопросами систематического курса: о них нужно сказать все необходимое в объяснительной записке.

В разделе «десятичные дроби» в программе 1937/38 уч. г. по сравнению с программой предыдущего года является новым пункт «бесконечная периодическая дробь». Понятие о бесконечных периодических дробях следует дать в V классе, но не по тем только соображениям, какие высказаны во вступительных замечаниях к программе 1937/38 уч. г., так как для изучения иррациональных чисел в первую очередь необходимы бесконечные непериодические дроби. В программе же следовало относящийся сюда пункт формулировать именно так, как сказано во вступительных замечаниях в программе 1937/38 уч. г.: «понятие о бесконечных периодических дробях», а не «бесконечные периодические дроби», как сказано в самой программе, потому что последняя формулировка межет привести к нежелательным недоразумениям. Так, например, вариант программы по математике НКП УССР дает недопустимое в данном случае толкование этому пункту: «преобразование обыкновенной дроби в бесконечную периодическую дробь и выражение бесконечной периодической дроби обыкновенной». В объяснительной записке к этому пункту следовало указать, почему является излишним касаться вопроса о «выражении бесконечной периодической дроби обыкновенной)»: здесь нужно дать только понятие о бесконечной периодической дроби, вопрос же о нахождении той обыкновенной дроби, от которой получилась данная периодическая дробь, можно отнести или к бесконечной геометрической прогрессии в IX классе или же к обобщающему курсу арифметики в X классе.

* На этом вопросе мы останавливались более подробно в статье «К вопросу о составлении стабильного учебника по арифметике». «Математика в школе», 1937 г. № 4, стр. 51.

** Обстоятельно об этом в нашей работе «О преподавании систематического курса обыкновенных дробей». «Киевские университет, известия» за 1911 г. и отдельное издание: Киев, 1911 г.

* Конечно, может быть и иной порядок изложения дробей, удовлетворяющий логическим требованиям, но известные нам варианты мало пригодны для первого цикла систематического курса арифметики. Во всяком случае порядок, которого придерживается программа и большинство учебников, является недопустимым и с логической и с методической точек зрения

В программе систематического курса арифметики ничего не сказано о приближенных вычислениях (пропедевтический подход, без теории), а также о диаграммах и графиках. О том и другом можно было упомянуть в тех местах, где говорится о закруглении чисел; кроме того, более подробно на диаграммах и графиках нужно было остановиться в разделе о пропорциональности величин, где, между прочим, вообще говорится о зависимости между величинами, а в разделе о процентах можно было сказать о круговых (секторных) диаграммах. О приближенных вычислениях следует упомянуть при измерении величин и при делении чисел целых и дробных.

Литература

Наконец, в программе нет списка той литературы, с которой должен быть знаком преподаватель средней школы. Желательно, чтобы библиографический указатель был снабжен хотя бы краткими аннотациями.

ВЫВОДЫ

Подведем итоги всему сказанному.

1. Программа, будучи сжатой по форме, полной и ясной по содержанию, должна отображать в себе все то, чего достигли к настоящему времени в области обучения данному предмету. Проект предполагаемой программы до окончательной ее редакции необходимо подвергать всестороннему обсуждению людей науки, выдающихся педагогов и, в особенности, школьных работников.

2. Программа по математике для средней школы нуждается в переработке. Она может быть ясной, понятной и следовательно удовлетворяющей своему назначению только тогда, когда сопровождается надлежаще составленной объяснительной запиской, которой, к сожалению, современная программа средней школы (1937/38 уч. г.) не имеет.

3. При составлении программы для начальной и средней школы не обращено в достаточной степени внимания на цели и характерные особенности курса пропедевтического и систематического; этим и обусловливаются значительные недочеты в программе.

4. Составители программы почти не воспользовались тем положительным, что в этой области было сделано до настоящего времени. На программе математики вообще и арифметики в особенности сильно отразилось влияние рутины и шаблона, так властвующих в преподавании математики в начальной и средней школе. Так, в арифметике рутина сказывается в отношении к проверке действий, к устному счету и устным занятиям, к пропорциям, а особенно в изложении систематического курса дробей.

5. Перенесение систематического курса целых чисел в IV класс желательно, но при непременном условии, чтобы пропедевтический курс целых чисел заканчивался в III классе и чтобы преподавание в IV классе вел специалист, получивший методическую подготовку, и, наконец, чтобы курс V класса начинался с краткого, сжатого повторения основных вопросов, проработанных в IV классе, с необходимыми дополнениями и обобщениями. В противном случае такое перенесение курса целых чисел может ухудшить дело преподавания математики. Как бы ни был распределен курс арифметики, в X классе должен быть введен обобщающий дополнительный курс арифметики. Повторительные курсы программой средней школы вообще игнорируются.

6. Хотя в программе начальной школы задачам уделено много внимания (объяснительная записка и специально составленная по этому вопросу брошюра), чего нельзя сказать о программе средней школы, но постановка этой стороны курса и в начальной и в средней школе находится в неудовлетворительном состоянии. Прежде всего в объяснительной записке к программе систематического курса арифметики нужно дать ряд необходимых методических указаний, обратить внимание на разницу между арифметическим и алгебраическим способами решения задач, на выработку понятия о функциональной зависимости между величинами, на приближенные вычисления (с практической точки зрения, без теории), а также безотлагательно следует заняться переработкой задачников.

7. В программе систематического курса арифметики говорится об изучении «свойств арифметических действий» без указания, каким образом изучать эти свойства; поэтому одним кажется, что этого можно достигнуть путем логических доказательств, а другие думают, что свойства действий должны быть предложены учащимся догматически в виде правил. Неправы те и другие: ученики V класса могут вполне сознательно усвоить важнейшие свойства действий, не обращаясь к логическим способам доказательств. В объяснительной записке должны быть даны ясные указания в этом отношении.

8. На устный счет, на устные упражнения при прохождении систематического курса арифметики должно быть обращено особое внимание, потому что программа средней школы совершенно игнорирует этот важный вопрос, а школьная практика идет в унисон с программой; в начальной же школе «гипертрофия» устного счета существует только «на бумаге».

9. В программе почему-то ничего не сказано о величине и ее измерении, о метрической системе мер, об измерении времени и о задачах на время, о приближенных вычислениях, о диаграммах и графиках, и нет указаний литературы для преподавателей.

МОЖЕТ ЛИ ОСТАВАТЬСЯ ТАКИМ ОБЪЕМ ПРОГРАММЫ ПО АРИФМЕТИКЕ В V КЛАССЕ?

С. ФИЛИППОВИЧ

Снятие пропедевтического курса геометрии из программы V класса и перенесение последних разделов арифметики из VI в V класс — назревшее и разумное мероприятие в распределении курса математики по классам.

Подготовительный курс геометрии в V классе был лишней и даже вредной обузой, так как он сводился фактически к повторению тех начал, которые учащиеся уже проходили в начальной школе, и преподаватель часто, чтобы внести что-либо новое, вызвать интерес и расширить геометрические представления учащихся, вынужден был подменять эти начатки порциями систематического курса VI класса.

На это уходило изрядное количество часов, а в результате знания и навыки учащихся в области арифметики за отсутствием времени недостаточно прочно закреплялись.

Особенно сильно страдал от такого распределения VI класс. Здесь нужно было закончить нелегкие разделы арифметики, одновременно приступить к курсу алгебры и систематическому курсу геометрии. Преподаватель, а в особенности начинающий, часто становился втупик и в распределении часов и в концентрации внимания над теми или другими разделами математики. Начала алгебры, как правило, плохо даются учащимся, и требуют от них особенного внимания и напряжения в работе. Нужна была хорошая сноровка и опыт, чтобы учащиеся усвоили программу. Не всегда и не всем это удавалось. Часто начала алгебры усваивались слабо, что не могло не сказаться на дальнейшем прохождении курса.

Изменения, внесенные в нынешнем учебном году, устранили этот недостаток: весь курс арифметики будет изучаться в V классе. Однако, такое изменение, нужно сказать, чревато и очень большими затруднениями, если учесть ту подготовку, с которой приходят учащиеся в V классы.

Я веду математику в V, VI, VII классах. Для меня V классы самые трудные, особенно в первое полугодие. Подготовка оканчивающих IV классы далеко не удовлетворяет тем требованиям, которые к ним предъявляются в средней школе: у многих даже нет прочных навыков в производстве действий над целыми числами (об операциях над именованными числами, об устном счете и решении арифметических задач с условием и говорить не приходится). Вся почти I четверть проходит в усиленной борьбе за ликвидацию этих коренных недостатков и в привитии учащимся необходимых навыков и знаний по арифметике.

Курс V класса переносился на II и III четверть, так как добрая половина IV четверти отводилась на повторение. Время для начатков геометрии я сокращал до минимума, делая упор на арифметику.

Результаты такой постановки дела у меня были неплохие.

Нынешний учебный год вызывает во мне особенно сильную тревогу. Мои пятиклассники страдают теми же недостатками, что и прошлогодний прием. На первом уроке для ознакомления с новичками я провел в двух параллельных V классах письменную работу, в которую включил примеры и задачи III—IV класса:

а) 2121:7;

б) 212 — 36:9 + 2-8;

в) В совхозе 120 голов крупного скота: коров вдвое больше, чем лошадей. Сколько коров и сколько лошадей в совхозе?

Из 82 учеников, выполнявших эту работу, делают ошибки чуть ли не половина, а с задачей справились лишь немногие.

Ясно, что и для них понадобится целая четверть на работу с целыми числами для усвоения основных способов решения задач. В последней же IV четверти необходимо изрядное количество часов отвести на повторение всего курса арифметики. Это значит, что в течение II и III четвертей я должен пройти с ними целые числа, обыкновенные и десятичные дроби, отношение и пропорции, прямую и обратную пропорциональность величин, проценты.

Спрашиваю: достаточно ли для этого двух четвертей? Правда, изъятие начатков геометрии дает немало часов на арифметику, но их далеко недостаточно при таком стечении обстоятельств.

Каков же выход? По-моему, перенесение последних разделов арифметики из VI в V класс должно сказаться и в программах начальной школы.

В программах начальной школы целые числа — основной раздел; на них и вокруг них должен строиться и соответствующий курс арифметики. А сейчас нередко начальные школы упускают это, ссылаясь на наркомпросовские программы, и вместо начальных сведений о простых и десятичных дробях пытаются давать комканый систематический курс в ущерб целым числам.

Такое положение должно быть ликвидировано. Нужно добиваться того, чтобы знания и навыки учащихся в области целых чисел были законченной ступенью в начальной школе. Основные свойства четырех арифметических действий должны быть перенесены в программу IV класса, а программа V класса должна начинаться с делимости чисел и обыкновенных дробей.

Только такая перестановка и хорошая подготовка учащихся может обеспечить хорошую усвояемость в V классе такого обширного курса арифметики.

Положение же нынешнего года с V классами такое, что требует от преподавателя математики большого внимания и напряжения в работе, и особенно там, где подготовка учащихся оставляет пожелать много лучшего.

О ЗАДАЧНИКЕ РЫБКИНА ПО ПЛАНИМЕТРИИ

Ф. ГОЛУБЕВ (Костома Галичская)

Задачник Н. Рыбкина пользуется заслуженной известностью. Он лег в основу проработки В. А. Ефремова, получившей огромное распространение,— 650 000 экз. в 1933 г., 475 000 в 1934 г., 100 000 в 1936 г.

Задачник Н. Рыбкина до переработки состоял из 850 задач. Из них вошло в переработанный сборник 513 задач, а остальные 456 задач подобраны из других руководств по геометрии и сборников задач, коих было использовано, как сказано в предисловии к изд. 1933 г., свыше 40. В предисловии, между прочим сказано:* «в отличие от задачника Рыбкина, настоящий сборник задач включает но только задачи на вычисление, но и задачи на построение и доказательство теорем».**

Ввиду громадного распространения задачника Рыбкина предполагается, что при чтении настоящей статьи будет под рукою то или другое издание этой книги.

Легче всего использовать указания относительно недосмотров и опечаток, чтобы сразу же по проверке внести их в свой печатный экземпляр.

Недосмотры. 1. § 5, № 28 «В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие — на катетах. Определить стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45 см».

Печатный ответ: «25 см и 10 см*.

Пропущено: «188/4сл* и 1х\гст.

Действительно имеем:

2. § 16, № 28. «Вписать в данный ромб прямоугольник, стороны которого были бы параллельны диагоналям ромба и площадь которого равнялась бы V3 площади ромба».

Печатный ответ:

Пропущено:

Или в одной строчке:

3. § 16, № 31. «Построить окружность, касающуюся данной окружности радиуса г и данной прямой в данной на ней точке».

Печатный ответ: «радиус искомой окружности

где а длина перпендикуляра, опущенного из центра данной окружности на данную прямую, Ь — расстояние этого перпендикуляра от данной точки».

Пропущено

или в одной строчке

Печатный ответ соответствует внешнему касанию окружностей. Однако, может быть и внутреннее касание.

Эти три промаха наиболее существенны. Кроме них, можно указать:

1. § 7, № 62. «Построить параллелограм по его диагоналям и углу». Следовало добавить: или а) между диагоналями или б) между сторонами.

В первом случае задача решается очень просто. Во втором — на основании задачи «Построить треугольник по основанию, углу при вершине и медиане, проведенной к основанию» (обе задачи из геометрии Киселева: 1-я под № 161, вторая—Ун 156).

2) § 13, № 89. «Основания и боковая сторона равнобедренной трапеции относятся как 10:4:5»... Задача была бы определенной, если бы напечатать: «Основания и боковые стороны равнобедренной трапеции относятся как 10:4:5:5». Тогда ясно было бы, какие числа соответствуют основаниям и какие — боковым сторонам.

3) § 14, № 19. «В круг радиуса R вписан треугольник; один из его углов равен: 1) 30°; 2) 45°...» Следовало: «...вписан прямоугольный треугольник...».

4) § 15, № 59 «... а полуокружность одного проходит через центр другого».

Вместо этого лучше было бы: «а соредина полуокружности одного проходит через центр другого...»

5) Три ответа по № 17,— g 12 напечатаны, а на самый трудный —нет.

6) Ответ на № 11,—§ 15,—ближе Ь7°1&.

Вообще в изд. 1936 г. заметно гораздо меньше опечаток, чем например, в изд. 1934 г.

О точности ответов. Ответы § 15, № 22— «0,15*/о» и № 23 «0,00005 D». Чтобы получить первый ответ, необходимо у~$ и |/2 найти с пятью десятичными знаками. Чтобы найти второй ответ, надо взять ^5 с пятью десятичными знаками, а те—с шестью. Лучше было бы ответы перепечатать из прежнего сборника (№ 729 и 730).

Редакция некоторых задач несколько изменена. Нельзя признать удачным перемещение части условий задач в ответы, как например, это было сделано в приведенных выше задачах (§ 16) № 28 и 31 или в задаче № 36 того же параграфа,—по прежнему сборнику № 419.— Правда, задача делается краткой и изящной, но... или надо сейчас же смотреть в ответ, — нот ли там указаний (что но всегда возможно, да и но очень

* И в изд. 1936 г.

** Но и в сборнике Рыбкина таких задач имеется 67, из коих 19 вошли в переработанное издание.

желательно) — или задача делается очень трудной.

Кстати об ответах. Постоянные поиски ответов, помещенных в конце книги, очень треплют книгу. Не лучше ли было бы ответы помещать после каждого параграфа, как это было сделано, например, «В общем сборнике...» под ред. Г. А. Попперека.

Редакционная коллегия, как было сказано в издании 1933 г., состояла из четырех лиц. Может быть, этим объясняется повторение задач:

а) № 123 (§ 13) и 26 (§ 16).

б) № 60 (§ 9) и № 34 (§ 16).

Нельзя признать удачной редакцию задачи 16 (§ 9) «...Пункт находится наверху колокольни с высотой». Не говорят «в класс пришел ученик с ростом 1,25 метра...» И в этой же задаче: «от наблюдателя противника*.

Это, правда, мелочи, но ведь книга имеет тираж более миллиона!

Скоро, вероятно, книга совсем освободится от недосмотров. Хорошо бы сделать распределение задач по степени трудности, по применению той или другой теоремы...

Можно было бы наметить отделы: например, 1) теорема Пифагора, 2) катет против угла в 30°, 3) квадратные уравнения: а) с двумя корнями, б) при одном лишнем, 4) произведение отрезков хорд, 5) применение формулы у A àz^B и т. д., чтобы преподаватель мог быстро найти требуемый материал для урока.

В заключение остается добавить, что хорошо бы издать более подробные указания «вехи», которые помогли бы решить любую задачу, что не всегда по силам провинциальному молодому учителю.

ОБЗОР НОВЫХ КНИГ

С. НОВОСЕЛОВ (Москва)

С. С. БЮШГЕНС, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ. 1937 г. ОНТИ.

Концентр первый. Выпуск первый. Стр. 235. Цена в пер. 4 руб. 53 коп.

Концентр первый. Выпуск второй. Стр. 191. Концентры второй и третий. Стр. 393. Цена в пер. 6 руб. 75 коп.

Курс проф. С. С. Бюшгенса является одним из наиболее обстоятельных учебников по аналитической геометрии на русском языке. В трех концентрах изложен курс аналитической геометрии в пределах программы физико-математических факультетов университетов. В первом выпуске первого концентра изложены следующие вопросы: основные понятия аналитической геометрии (координаты на плоскости, геометрический смысл уравнений, теория проекций), прямая линия и исследование кривых второго порядка по каноническим уравнениям. Эта первая книга написана просто и доступно, для ее чтения не требуется никакой предварительной подготовки, кроме знания школьного курса элементарной математики. Каждый отдел снабжен необходимым количеством задач, решения которых даны в конце книги. Благодаря простоте и ясности изложения, эта книга вполне пригодна для самостоятельных занятий. Во втором выпуске первого концентра рассмотрены следующие вопросы: метод координат в пространстве; плоскость, прямая и их взаимное расположение; исследование поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям. Вторая книга, так же как и первая, не требует от читателя никакой специальной подготовки, кроме знания основ теории детерминантов.

В третьей книге, содержащей второй и третий концентры, рассмотрены следующие вопросы: общая теория кривых и поверхностей второго порядка, метод сокращенных обозначений в применении к образам первого и второго порядков, аффинное и проективное преобразования и элементы теории инвариантов.

Как было уже отмечено выше, в курсе проф. Бюшгенса дано достаточно строгое и обстоятельное изложение аналитической геометрии, однако, нельзя не отметить ряда существенных недостатков, которыми данный курс обладает. Основным недостатком книги является концентризм, который нарушает естественный порядок расположения материала. Поэтому разделы курса, органически связанные между собой, оказались разъединенными. Приведем несколько примеров. Параграфы, посвященные методу сокращенных обозначений в применении к образам первого порядка, аффинному и проективному преобразованиям, должны быть помещены до общей теории кривых второго порядка, с тем расчетом, чтобы материал этих параграфов мог естественным образом оказать влияние на все последующее изложение. Однако главы, посвященные рассмотрению указанных вопросов, вопреки здравому смыслу, оказались помещенными в конце курса. Далее глава XXI «Квадратичные формы и аффинное преобразование», посвященная отысканию инвариантов квадратичных форм, оказалась оторванной от вопроса приведения уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду; но тогда становится неясно: какой же смысл имеет в курсе аналитической геометрии эта глава, взятая сама по себе. Эти неувязки вызваны стремлением автора сделать книгу доступной для различных кругов читателей (студенты втузов, заочники, студенты университетов). Однако, этого результата можно было бы достичь и не нарушая естественного расположения материала, путем указания, какие главы могут быть опущены той или иной группой читателей.

* Наблюдает ли за противником или наблюдает по поручению противника?

Далее заметим, что автором не изжит недостаток, свойственный вышедшим из употребления рабочим книгам: этот недостаток заключается в перенесении части теоретического материала в упражнения. Так например, в гл. V весьма важный вывод уравнения прямой линии с угловым коэфициентом предложен в качестве задачи. Перенесение теории в упражнения имеет место в гл. II § 2 при рассмотрении конуса второго порядка. Можно было бы привести и еще ряд других примеров. На основании всего сказанного выше мы естественно приходим к следующему выводу: хорошая и полезная книга проф. Бюшгенса много проигрывает благодаря концентризму и отжившим установкам рабочих книг.

Не вполне понятно, почему при изложении аналитической геометрии в пространстве автор отказывается от векторного метода. В настоящее время вряд ли можно сомневаться, ибо это доказано практикой, в целесообразности применения векторного метода, который придает простоту и наглядность многим отделам геометрии. В главе XX имеется параграф под названием «Группа преобразований и ее инварианты», однако, из этого параграфа вряд ли читатель может уяснить, что такое группа преобразований, так как автор не останавливается на понятии группы и не вскрывает роль, которую играет это важнейшее понятие современной математики. Наконец заметим, что способ введения несобственных (бесконечно удаленных) элементов, которым пользуется автор, далеко не является современным.

С. С. БРОНШТЕЙН. МЕТОДИКА АЛГЕБРЫ. ПОСОБИЕ ДЛЯ ВЫСШИХ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ И ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ. УЧПЕДГИЗ. 1987. Стр. 390. Дена в пер. 6 руб. 65 коп.

В основу книги С. С. Бронштейна положено стремление к изложению основ элементарной алгебры на более широком научном основании, по сравнению с школьным курсом, с тем расчетом, чтобы рассмотрение того или другого вопроса алгебры с методической точки зрения не было оторвано от научной трактовки того же вопроса. С этой трудной задачей автор справился неплохо. Много материала, характерного для методической литературы (например, разработка плана уроков, распределение материала по часам и т. д.), читатель в книге Бронштейна не найдет. Зато автором сделана попытка помочь учителю сгладить разрыв между идеями высшей математики и школьным курсом элементарной алгебры, что несомненно является большим достоинством книги. Однако, было бы ошибкой думать, что книга Бронштейна является только лишь расширенным курсом алгебры. Автор указывает тот материал, который должен быть пройден в школе, дает надлежащие методические указания, намечает расположение материала и приводит по некоторым разделам алгебры большое количество примеров и упражнений, которые могут быть использованы в качестве дополнения к стабильному задачнику. Одновременно автор обращает внимание читателя на принципиально важные моменты «тонкости», отчетливое понимание которых необходимо учителю. Нередко автор дает различные методы доказательства теорем или решения задач, что также является весьма полезным. Работу над методикой алгебры нельзя считать легкой, и поэтому естественно, что книга Бронштейна не лишена некоторых недостатков и пробелов. Например, такому важному отделу, как учение о неравенствах, уделяется слишком мало места. Местами не вполне четкие формулировки и обороты речи затрудняют правильное понимание основной идеи. Глава об иррациональных числах написана несколько громоздко и запутанно. Однако, эти недостатки не являются органическими. В целом книгу Бронштейна вполне можно считать весьма полезным пособием для учителя средней школы и можно надеяться, что она окажет помощь начинающим учителям.

В. Н. КОМАРОВ. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ПОСОБИЕ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФАКУЛЬТЕТОВ ПЕДВУЗОВ. ЧАСТЬ I. УЧПЕДГИЗ. Ленинградское отделение 1937 г. Стр. 224. Дена в пер. 3 руб. 50 коп.

Первая часть книги Комарова посвящена изложению основных понятий анализа (функция, предел и т. д.) и элементов диференциального исчисления функции одного независимого переменного. Книга рассчитана на студентов педвузов, для которых математика не является специальностью. Как большое достоинство книги, необходимо отметить доступность и живость изложения. Хотя данный курс рассчитан и не на математиков,тем не менее учителю математики средней школы следует обратить внимание на эту книгу. При всей ее элементарности, автор, по мере возможности, старается дать строгое и современное изложение элементов математического анализа. Ясно, что в пределах программы нематематических факультетов педвузов невозможно останавливаться на доказательстве всех предложений, которые необходимы для строгого обоснования математического анализа. Поэтому и в книге Комарова многие теоремы (например, теоремы о бесконечно-малых, о непрерывных функциях) приводятся без доказательства. Однако автор не идет по пути вульгаризации и старается, по мере возможности, дать читателю правильное понятие об основных идеях анализа. Эта трудная задача неплохо разрешена автором. В книге уделяется много внимания исследованию элементарных функций и построению графиков. Понятия возрастания и убывания функций, предела и производной рассматриваются автором сначала на конкретных примерах дробно-линейной функции и квадратного трехчлена. Этот материал (первые три главы), по мнению автора настоящей статьи, может быть использован для работы школьных математических кружков, а также рекомендован ученикам, интересующимся математикой. К недостаткам книги можно отнести чрезмерную растянутость первой главы, посвященной понятию функциональной зависимости. В § 22 автор доказывает теорему Лагранжа, которая является основной для всего последующего изложения, однако те соображения, на основе которых эта теорема доказывается, без надлежащих оговорок не являются правильными.

ПРОФ. Г. Н. ШАПИРО. ВЫСШАЯ АЛГЕБРА. УЧЕБНИК ДЛЯ ВЫСШИХ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ. УЧПЕДГИЗ, 1936 г. Стр. 321. Цена t пер. 5 р. 55 к.

Курс высшей алгебры проф. Шапиро пользуется заслуженной известностью как один из лучших учебников для педвузов. Основной материал книги следующий: комплексные числа, алгебра многочленов, симметрические функции, отделение корней, теория детерминантов, линейные уравнения и линейные преобразования. В книге Шапиро сочетаются простота, ясность и отчетливость изложения с научной строгостью. Можно настоятельно рекомендовать эту книгу учителю средней школы как ценное пособие для работы над повышением квалификации. Для отчетливого понимания основ элементарной алгебры, что весьма необходимо учителю средней школы, недостаточно знания математики в рамках школьных учебников. Книга Шапиро является одной из тех книг, которые помогают уяснить читателю научную основу предмета. К сожалению, в курсе Шапиро читатель не найдет изложения таких важных разделов современной алгебры, как теория групп и теория квадратичных форм. Можно высказать пожелание, чтобы в последующих изданиях эти пробелы были пополнены.

При построении системы комплексных чисел автор придерживается геометрической теории. Знание геометрической интерпретации комплексных чисел необходимо для студентов педвузов и учителей, однако в серьезном курсе высшей алгебры недостаточно ограничиваться геометрической интерпретацией, а следовало бы изложить чисто арифметическое обоснование теории комплексных чисел, но это автором не сделано.

ОПЕЧАТКИ В ЧАСТИ ТИРАЖА № 1 ЗА 1938 г.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 5 «Математика в школе» за 1937 г.

81.

Доказать неравенство

1. По свойству среднего арифметического нескольких чисел имеем неравенства:

или, произведя суммирование в левых частях:

Перемножив неравенства, получим: или

2. Воспользуясь тем же свойством среднего арифметического, напишем

или

Возведем обе части в степень п\

Но очевидно, что

так как в левой части имеем п множителей, равных 2 п каждое, в правой же тоже п множителей, из которых каждое, кроме последнего, меньше 2 п. Отсюда

или

Многие исходили из неравенств:

причем не всегда доказывали справедливость этих неравенств. Решение это длиннее приведенных. Еще более сложно и длинно данное некоторыми решение способом математической индукции.

82.

Доказать, что если в треугольнике стороны удовлетворяют соотношению

то один из углов его равен 60°.

1. После приведения данного соотношения к целому виду получим:

(1)

С другой стороны, по формуле для квадрата стороны треугольника имеем:

(2)

Из сравнения (1) и (2) находим:

2. Из (1) имеем:

(3)

По формуле для косинуса угла в треугольнике:

(4)

Подставляя из (3) значение ас в (4), получим:

откуда

В = 60°.

Были и более длинные решения этой чрезвычайно простой задачи. Так, бралась формула

и, пользуясь данным соотношением, показывалось, что правая часть равна

Отметим, что был прислан ряд решений, в которых доказывалась теорема, обратная данной: если в треугольнике £ В = 60°, то имеет место данное соотношение.

83.

Доказать, что если выражение

(п — целое положительное число) представить в виде:

то

Наиболее короткое решение: очевидно, что если:

то

Теперь имеем:

84.

Даны две последовательности 2, 2, 10, 18, 58, 130,... 1, 5, 9, 29, 65, 181, ...

составленные по одному и тому же закону, именно для каждого ряда имеет место соотношение:

Доказать, что всякие два числа этих последовательностей ап и Ъп, занимающие одинаковые места, удовлетворяют равенству

Обозначим

(1)

и докажем, что

(2)

т. е. что

(3)

Разделив обе части предполагаемого равенства (3) на

будем иметь

или по возвышении первой скобки в квадрат и освобождении от знаменателей:

(4)

Легко показать, что имеет место соотношение

Делая подстановку в (4), получим:

или, перенеся первый член в правую часть:

По сокращении на

(5)

Но равенство (5) справедливо по заданию, следовательно справедливо и равенство (2). Непосредственно убеждаемся, что

Отсюда

85.

Построить треугольник по высоте ft, биссектрисе / и медиане т, проведенным из одной и той же вершины треугольника.

На прямой MN в произвольной точке D восставляем к MN перпендикуляр DA = h и из Л, как из центра проводим дуги радиусами / и m до пересечения в/(и[с MN. Через L проводим перпендикуляр к MN до пересечения в Р с продолжением АК. Через середину АР проводим перпендикуляр к АР до пересечения в 0 с продолжением PL. Из О, как из центра описываем окружность радиуса ОР, которая пересечет MN в точках В и С. Треугольник ВАС — искомый.

Это решение дано за № 223 в статье В. Б. Фурсенко («Математика в школе» № 6, 1937 г.). Громадное большинство решений совпадают с приведенным. Ряд аналитических решений страдает чрезвычайной длиннотой.

86.

Решить систему уравнений:

1. Напишем данные уравнения в таком виде:

(1)

(2)

(3)

Возведя в квадрат (1) и вычтя из него (2), получим:

(4)

Возведя в куб (1) и вычтя из него (3), найдем:

(5)

Делая подстановку из равенств (1) и (4), получим:

Подставив найденное значение z в (1) и (4), получим:

х + у = 19

ху = £0

Решение этой системы дает: ^1= 10; yt = 9;

*2 = 9; у%= ю-

Все приславшие решения шли именно этим естественным путем. Автор задачи т. Беневольский дал еще другое, более изящное решение, основанное на применении простых тождеств, справедливость которых легко проверить:

В этом случае данные уравнения после тех же преобразований, как и в первом решении, примут вид:

Деля (3) на (2), получаем: х + у = \9.

Отсюда из (1)

z = 12.

После чего из данных уравнений имеем систему:

решив которую, найдем прежние значения для X и у.

87.

Дана окружность, в ней диаметр AB и вне ее точка С. При помощи только одной линейки опустить из С перпендикуляр на диаметр (или на его продолжение).

Соединяем точку С с А и В. Точки D и Е пересечения СБ и CA с окружностью соединяем соответственно с точками А и Б. Через точку К пересечения AD и БЕ и через данную точку С проводим прямую. СМ и будет перпендикуляром к AB. Действительно

как вписанные, опирающиеся на диаметр. Следовательно К есть точка пересечения двух высот треугольника АСВ. Через эту же точку должна пройти и третья высота, опущенная из вершины С.

Черт. 1

Задача принадлежит к элементарным построениям Штейнера (см. Вебер и Вельштейн. Энциклопедия элементарной математики 2, Александров, Геометрические задачи на построение). Многие не поняли задачи и вводили циркуль («отложим отрезок»).

Черт. 2

88.

Решить уравнение

(1)

Задача получила несколько способов решений. Приведем некоторые.

1. Разделим на 2 обе части уравнения:

Преобразуем уравнение так:

Положив

(2)

будем иметь:

(3)

Решив это уравнение, найдем:

(4)

Из уравнения (2) имеем:

(5)

Делая в (5) подстановку из (4), получим

Имеем 4 корня для х.

2. Более оригинальное решение принадлежит М. Беневольскому (Ленинград). Разделив обе части уравнения на 8, сделаем подстановку, полагая

После обычных упрощений получим

или

Получили обыкновенное биквадратное уравнение; т. Беневольский дает такое решение

его:

Показать, что во вписанном четырехугольнике

Совершенно элементарная задача. Определяем площадь ABCD, как сумму площадей треугольников: 1) ABD и BCD и 2) ADC и ABC. Будем иметь:

или, так как: подучим:

Отсюда

или

Целый ряд решений этой элементарнейшей задачи поражает сложностью и длиннотой.

90.

Окружность данного радиуса R разделена на 10 равных частей. Соединив последовательно хордами первую точку с четвертой, четвертую с седьмой и т. д., получим двадцатиугольник с десятью входящими и десятью выходящими углами. Найти его площадь.

Задача получила много разнообразных решений. Легко показать, что все стороны многоугольника равны между собою, все входящие углы равны между собою, все выходящие углы также.

1. Данный многоугольник можно рассматривать как сумму двадцати треугольников, равных АОВ. Достаточно поэтому вычислить площадь этого треугольника.

Легко показать, что в этом треугольнике /_А = 36°, как вписанный, опирающийся на дугу FE = 72°;/т О = 18° как центральный, опирающийся на дугу AD Имеем

(1)

Но АО = R't OB найдем по теореме синусов:

Отсюда

(2)

Подставляя в (1), получим

(3)

Приняв во внимание, что

и сделав подстановку в (3), найдем

Подведя

под радикал, получим

откуда искомая площадь

Иногда за исходный элемент для вычисления площади избирался не треугольник ЛОВ, а другие; решение оставалось тем же. Но был дан ряд таких сложных выражений для искомой площади, которые нельзя признать решениями.

Число правильных решений: № 81—56, № 82—64, № 83—49, № 84—35, № 85—48, № 86—87, N 87—59, № 88-55, № 89—78 Мг 90—39.

СВОДКА ПО № 5. 1937 г.

Е. Алмазова (Беднодемьяновск) 81—83, 86, 88, 89.

А. Аляев (ст. Башмаково) 81—90.

И. Альтшулер (Гомель) 86—89.

А. Ананич (Красноярск) 81—90.

С. Андреев (Торжок) 81—83, 85, 87, 89.

Р. Ахвердов (Ленинград) 81—90.

Я. Барабошин (Москва) 81—89.

М. Беневольский (Ленинград) 81—90.

К. Боборыкин (Гомель) 82, 88, 89.

Г. Бобылев (Сидоровка) 86.

Б. Боголюбов (Ульяновск) 82, 85—87, 89.

Ф. Брижак (Краснодар) 81—87, 89.

Г. Бройт (Ленинград) 81—83, 85—90.

Я. Введенский (с. Георгиевское) 81, 84—89.

А. Волков (Чухлома) 81—83, 86—90.

Я. Гинзбург (уч. IX кл., Днепропетровск) 82, 86, 89.

A. Гинесин (Ленинград) 81—83, 86, 89.

Р. Глейзер (Калининдорф) 82, 86, 89.

B. Голубев (Кувшиново) 81, 82, 84, 86, 89.

Я. Галайдо (Новозыбков) 82, 85, 87.

Я. Гольман (Харьков) 82, 86, 88, 89.

C. Городов (Ленинград) 82, 86, 88, 89.

Я. Гурский (Калиновка) 81, 85—88, 90 Р. Гут (Молочанск) 88, 89.

A. Дмитриев (Майкоп) 87, 89.

О. Дирекчиянц (Раменское) 81—84, 86—90.

Б. Доступов (уч. X кл., Тамбов) 81, 83, 85—87, 89, 90.

Т. Дубенец (Казацкое) 82, 89.

Я. Дубицкий (Севастополь) 81, 83, 86, 90.

Д. Зайцев (Москва) 81—33, 85—90.

Иосифов (уч. X кл., Баку) 86, 88.

Л. Каган (Минск) 82, 83, 85, 89, 90.

B. Камендровский (Оренбург) 81—86, 88—90.

Кандидов (Воронеж) 81, 83—85, 89.

Г. Капралов (Горький) 81—83, 85—87, 89.

Ф. Карпов (Б. Алешня) 82, 86—88.

Б. Кашин (Ярославль) 82, 86, 89.

М. Кекелия (Бандза) 89, 90.

Я. Китайгородский (Москва) 81, 86, 89, 90.

Я. Клоков (Тим) 86.

Б. Кобылин (Галич) 81—90.

C. Колесник (Харьков) 81—90.

Я. Кононов (Москва) 86.

Е. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга) 81—90.

И- Кочережко (Мошурово) 85, 87.

В. Кременский (Ленинград) 81, 86, 89, 90.

B. Кресс (Армавир) 86, 87.

А. Кронрод (Москва) 81-88.

C. Крыглер (Маймакса) 81—86, 88, 89.

Я. Кулаков (Бугуруслая) 81—83, 85—90.

Куницын (Новоржев) 86, 89, 90.

Я. Лабунец (Орджоникидзе) 86, 89.

Д. Лаптев (уч. IX к л., п/о Белый Бычок) 86

Лебедев (Обоянь) 82, 83, 86, 87, 89.

А. Логашов (Саловка) 81—90.

A. Любомудров (Ленинград) 82, 83, 86, 87.

Я. Макуха (Омск) 81, 83—87, 89.

М. Малиновский (Смоленск) 86, 89, 90.

С. Минасян (с. Таговерт) 86, 88.

Ю. Масленников (Харьков) 86.

К. Матвеев (с. Кинель — Черкассы) 81, 83—90.

Л. Медведев (Михайловка) 81, 85, 86, 89.

Т. Меликян (Тбилиси) 87.

М. Месяц (Житомир) 81—83, 85—90.

Г. Мискарян (Кировабад) 81—84, 88, 89.

К. Михельсон (с. Башанта) 82, 83, 86, 87—89.

Е. Надеждин (Ойрот —Тура) 81—87, 89, 90.

Я. Нейц (Воронеж) 81—89.

С. Немировский (Житомир) 82, 87, 89.

Л. Николаев (Куртомыш) 81—84, 86, 87, 89, 90.

С. Огай (Казань) 81, 83-86, 88, 89.

Л. Оглоблин (Спас-Кокшенгское) 88.

Г. Олейник (Зеньков) 86.

X. Осипенко (с. Гуляй-Поле) 86.

С. Павлов (Новороссийск) 82, 86, 87, 89.

Б. Пеньковский (Казань) 86, 88.

С. Петров (Барнаул) 87, 89, 90.

Е. Потапов (Коломна) 81—90.

Я. Притуло (Чернигов) 82, 85, 87—89.

Е. Пузырев (Саранск) 88.

Л. Радуих (Москва) 85.

3. Рассадина (с. Никольское) 86.

Г. Рачинский (уч. X кл., Новороссийск) 82, 87, 89.

Л. Рубинштейн (Винница) 87, 89.

B. Рукомичев (Клинцы) 82, 86, 87.

Л. Румянцев (ст. Тирлян) 86.

Ф. Саблуков (Москва) 81—90.

Я. Сандров (Старый Крым) 81, 84, 86—90.

Я. Сергиенко (Запорожье) 81—90.

Я. Сиднев (Пошехоно-Володарск) 88.

Л. Сидоров (Джизак) 81—83, 85, 89, 90.

B. И. и С. В. Синакевичи (Ленинград) 81—90.

Л. Срулевич (уч. X кл., Одесса) 86.

C. Тарасевский (Дубоссары) 82, 87, 90.

В» Тимофеев (с. Романовка) 88.

В. Ураевский (Кузнецк) 85.

К. Устинович (Бобруйск) 81—90.

Д. Флавиан (Куйбышев) 81—83, 86, 88—90.

Г. Хапржанов (уч. X кл., Гурьев) 86.

О. Ханчарлян (Краснодар) 81, 83—87, 89.

Ф. Харах (Витебск) 81, 82, 88.

M. Харитонов (п/о Букановское) 81, 82, 86, 89, 90.

B. Холодовский (Ленинград) 81, 83—89.

Е. Цагуля (М. АССР) 88, 89.

Ф. Черкасов (Бузулук) 81, 85, 86, 88-90.

C. Чичельницкий (Горький) 81-90.

И. Чучко (Орджоникидзе) 82, 89.

А. Шайдуллин (Абдулино) 82, 86. 89.

Л. Шаймон (уч. X кл., Одесса) 86.

И. Тамарин (Уфа) 81, 87.

И. Шилин (Н. Томниково) 89.

А. Шульман (Житомир) 86, 88.

И. и Я. Яглом (Москва) 81—90.

К. Яржемский (Горький) 86, 87.

А. Ячницкий (Феодосия) 81—90.

ЗАДАЧИ

21. Найти четырехзначное число, представляющее собой точный квадрат, причем в нем перзая цифра одинакова со второй, а третья с четвертой.

И. Чистяков (Москва)

22. Упростить выражение:

И. Чистяков (Москва)

23. Дан круг и вне его точка Р. Провести диаметр круга AB, который был бы виден из точки Р под углом а.

И. Чистяков (Москва)

24. Доказать тождество:

В. Голубев (Кувшиново)

25- Найти способ построения треугольника, равновеликого данному четырехугольнику, более простой, чем обычно приводящийся в учебниках.

В. Голубев (Кувшиново)

26- Найти четырехзначное число, являющееся точным квадратом, у которого цифра тысяч одинакова с цифрой десятков, а цифра сотен на единицу больше цифры единиц.

А. Гольдберг (Ленинград)

27- В треугольнике ABC основания биссектрис £>, Е и F. Найти отношение площадей треугольников DBF и ABC.

С. Фитерман (ст. Бабынино)

28. Доказать, что периметр треугольника, образованного соединением оснований высот 25

треугольника, равен — '

С. Фитерман (ст. Бабынино)

29« Найти четырехзначное число, кратное 7 и представляющее сумму куба и квадрата некоторого числа.

30. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Найти еще несколько точек, принадлежащие окружности, проходящей через данные точки, не проводя самой окружности.

31- На перпендикуляре, восставленном из середины некоторой прямой AB = а, взяты три точки С, Д Е, расстояния которых до а равны — у а и — а. Найти сумму углов АСВ + ADB + АЕВ.

32- Найти четыре последовательных целых числа, произведение которых равно 1680.

33- Определить значение х, при котором дробь

имеет наибольшее значение (а>0, £>0).

34. Доказать невозможность такого треугольника, в котором одновременно и стороны и углы составляли бы арифметическую прогрессию.

35. Имеется некоторое количество шаров. Если их разложить на 11 равных кучек, то останутся 3 шара. Отбросив их и разложив остальные на 16 кучек, получим в остатке 4 шара. Отбросив последние и разложив остальные на 9 кучек, получим в остатке 2 шара. Сколько могло быть всех шаров?

36. Решить уравнение

37. Исключить <? из уравнений

38. Показать, что если

m sin (a + ß) = cos (о — ß). то выражение

не зависит от а и ß.

39. Решить систему уравнений

40. В окружности радиуса R проведены хорды AB = а и ВС = Ъ. Определить длину хорды АО.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ.

Вперед — к коммунизму..................... 1

В. Н. Депутатов — Основании геометрии............ '5

Э. Хилькевич — Общие методы построения отрезков по формулам с помощью циркуля и линейки............ 20

Е. Кобелева—К вопросу о нахождении вешелтленных и -мнимых корней алгебраического уравнения............. 25

Л. Кременштейн — Об одном замечательном свойстве дельтоида . 32

МЕТОДИКА

В. Матышук — Теория пределов в средней школе........ 34

Ai. Шевелев — Геометрические тела, вписанные в шар и описанные около него.......................57

В, Падучев — Какую помощь может получить физика на уроках математики.......................... 63

ИЗ ОПЫТА

К. Рупасов — К вопросу о решении тригонометрических уравнений.......................... 66

Д. Петров — К вопросу о введении вспомогательного угла при логарифмировании..................... 67

ОТКЛИКИ НА СТАТЬИ

П. Залгаллер — О методах решения тригонометрических уравнений 68

B. Эменов— О знаке деления................... 71

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

K.M. Щербина — Критический обзор программы средней школы по математике................ . . . 73

C. Филиппович — Может ли оставаться таким объем программы по арифметике в V классе?..................82

Ф. Голубев — О задачнике Рыбкина по планиметрии....... 83

С. Новоселов — Обзор новых книг ............... 84

ЗАДАЧИ

Решение задач по № 5 за 1937 г.

Сводка по № 5 1937 г.

Задачи

При обнаружении дефекта в данном номере журнала просим прислать его для обмена по адресу: Москва, Столешников пер., 5, Отдел периодических изданий Учпедгиза.

Отв.ред. А. И. Барсуков Техредактор Е. М. Зеф

Адрес редакции: Москва Столешников п., 5. Учпедгиз, Периодсектор., журн. «Матем. в школе».

Уполномоч. Главлита РСФСР № Б-347>0. Слано в производство 13 II 1938 г. Форм. 7Jx 107. Учгиз 9987. Подпис. к печ. Will 1938 г. 6 и. л. 12 авт. л. В п. л. 8 i 000 зн. Тир Ш >0.Зак. щ.

18'Я типография треста «Поли рафкни а», Места. Шубинский пер,. 10,