МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

1

1938

НАРКОМПРОС ~ МОСКВА ~ УЧПЕДГИЗ

Пролетарии всех стран, соединяйтесь!

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

1

1938

ЯНВАРЬ - ФЕВРАЛЬ

УПРАВЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА РСФСР

РЕЧЬ ТОВАРИЩА И. В. СТАЛИНА НА ПРЕДВЫБОРНОМ СОБРАНИИ ИЗБИРАТЕЛЕЙ СТАЛИНСКОГО ИЗБИРАТЕЛЬНОГО ОКРУГА ГОР. МОСКВЫ

11 декабря 1937 года в Большом театре1

Председательствующий. Слово предоставляется нашему кандидату товарищу Сталину.

Появление на трибуне товарища Сталина встречается избирателями бурей оваций, которая длится в течение нескольких минут. Весь зал Большого театра стоя приветствует товарища Сталина. Из зала непрерывно раздаются возгласы: «Да здравствует великий Сталин, ура!», «Творцу самой демократической в мире Советской Конституции товарищу Сталину, ура», «Да здравствует вождь угнетенных всего мира, товарищ Сталин, ура!»

СТАЛИН. Товарищи, признаться я не имел намерения выступать. Но наш уважаемый Никита Сергеевич, можно сказать, силком притащил меня сюда, на собрание: скажи, говорит, хорошую речь. О чем сказать, какую именно речь? Все что нужно было сказать перед выборами уже сказано и пересказано в речах наших руководящих товарищей Калинина, Молотова, Ворошилова, Кагановича, Ежова и многих других ответственных товарищей. Что еще можно прибавить к этим речам?

Требуются, говорят, разъяснения по некоторым вопросам избирательной кампании. Какие разъяснения, по каким вопросам? Все, что нужно было разъяснить, уже разъяснено и переразъяснено в известных обращениях партии большевиков, комсомола, Всесоюзного Центрального Совета Профессиональных Союзов, Осоавиахима, Комитета по делам физкультуры. Что еще можно прибавить к этим разъяснениям?

Конечно, можно было бы сказать эдакую легкую речь обо всем и ни о чем (легкий смех). Возможно, что такая речь позабавила бы публику. Говорят, что мастера по таким речам имеются не только там, в капиталистических странах, но и у нас, в советской стране (смех, аплодисменты). Но, во-первых, я не мастер по таким речам. Во-вторых, стоит лп нам заниматься делами забавы теперь, когда у всех у нас, большевиков, как говорится, сот работ полон рот». Я думаю, что не стоит.

Ясно, что при таких условиях хорошей речи не скажешь.

И все же, коль скоро я вышел на трибуну, конечно, приходится так или иначе сказать хотя бы кое-что (шумные аплодисменты).

Прежде всего я хотел бы принести благодарность (аплодисменты) избирателям за доверие, которое они оказали (аплодисменты).

1 Партиздат ЦК ВКП (б), 1937.

Меня выставили кандидатом в депутаты и избирательная комиссия Сталинского округа советской столицы зарегистрировала меня как кандидата в депутаты. Это, товарищи, большое доверие. Разрешите принести вам глубокую большевистскую благодарность за то доверие, которое вы оказали партии большевиков, членом которой я состою и лично мне, как представителю этой партии (шумные аплодисменты).

Я знаю, что значит доверие. Оно, естественно, возлагает на меня новые, дополнительные обязанности и, стало-быть, новую, дополнительную ответственность. Что же, у нас, у большевиков, не принято отказываться от ответственности. Я ее принимаю с охотой (бурные продолжительные аплодисменты).

Со своей стороны я хотел бы заверить вас, товарищи, что вы можете смело положиться на товарища Сталина (бурная, долго несмолкающая овация. Возглас из зала: «А мы все за товарищем Сталиным!»). Можете рассчитывать на то, что товарищ Сталин сумеет выполнить свой долг перед народом (аплодисменты), перед рабочим классом (аплодисменты), перед крестьянством (аплодисменты), перед интеллигенцией (аплодисменты).

Далее, я хотел бы, товарищи, поздравить вас с наступающим всенародным праздником, с днем выборов в Верховный Совет Советского Союза (шумные аплодисменты). Предстоящие выборы это не просто выборы, товарищи. Это действительно всенародный праздник наших рабочих, наших крестьян, нашей интеллигенции (бурные аплодисменты). Никогда в мире еще не бывало таких действительно свободных и действительно демократических выборов, никогда! История не знает другого такого примера (аплодисменты). Дело идет не о том, что у нас будут выборы всеобщие, равные, тайные и прямые, хотя уже это само по себе имеет большое значение. Дело идет о том, что всеобщие выборы будут проведены у нас как наиболее свободные выборы и наиболее демократические в сравнении с выборами любой другой страны в мире.

Всеобщие выборы проходят и имеют место и в некоторых капиталистических странах, так называемых, демократических. Но в какой обстановке там проходят выборы? В обстановке классовых столкновений, в обстановке классовой вражды, в обстановке давления на избирателей со стороны капиталистов, помещиков, банкиров и прочих акул капитализма. Нельзя назвать такие выборы, даже если они всеобщие, равные, тайные и прямые, вполне свободными и вполне демократическими выборами.

У нас, в нашей стране, наоборот, выборы проходят в совершенно другой обстановке. У нас нет капиталистов, нет помещиков, стало-быть, и нет давления со стороны имущих классов на неимущих. У нас выборы проходят в обстановке сотрудничества рабочих, крестьян, интеллигенции, в обстановке взаимного их доверия, в обстановке, я бы сказал, взаимной дружбы, потому что у нас нет капиталистов, нет помещиков, нет эксплоатации и некому, собственно, давить на народ для того, чтобы исказить его волю.

Вот почему наши выборы являются единственными действительно свободными и действительно демократическими во всем мире (шумные аплодисменты).

Такие свободные и действительно демократические выборы могли возникнуть только на почве торжества социалистических порядков, только на базе того, что у нас социализм не просто строится, а уже вошел в быт, в повседневный быт народа. Лет 10 тому назад можно было бы дискутировать о том, можно ли у нас строить социализм или нет. Теперь это уже не дискуссионный вопрос. Теперь это вопрос фактов, вопрос живой жизни, вопрос быта, который пронизывает всю жизнь народа. На наших фабриках и заводах работают без капиталистов. Руководят работой люди из народа. Это и называется у нас со-

циализмом на деле. На наших полях работают труженики земли без помещиков, без кулаков. Руководят работой люди из народа. Это и называется у нас социализмом в быту, это и называется у нас свободной, социалистической жизнью.

Вот на этой базе и возникли у нас новые, действительно свободные и действительно демократические выборы, выборы, примера которым нет в истории человечества.

Как же после этого не поздравить вас с днем всенародного торжества, с днем выборов в Верховный Совет Советского Союза! (Бурная овация всего зала).

Дальше я хотел бы, товарищи, дать вам совет, совет кандидата в депутаты своим избирателям. Если взять капиталистические страны, то там между депутатами и избирателями существуют некоторые своеобразные, я бы сказал, довольно странные отношения. Пока идут выборы, депутаты заигрывают с избирателями, лебезят перед ними, клянутся в верности, дают кучу всяких обещаний. Выходит, что зависимость депутатов от избирателей полная. Как только выборы состоялись и кандидаты превратились в депутатов,— отношения меняются в корне. Вместо зависимости депутатов от избирателей, получается полная их независимость. На протяжении 4-х или 5-ти лет, т. е. вплоть до новых выборов, депутат чувствует себя совершенно свободным, независимым от народа, от своих избирателей. Он может перейти из одного лагеря в другой, он может свернуть с правильной дороги на неправильную, он может даже запутаться в некоторых махинациях не совсем потребного характера, он может кувыркаться, как ему угодно,— он независим.

Можно ли считать такие отношения нормальными? Ни в коем случае, товарищи. Это обстоятельство учла наша Конституция и она провела закон, в силу которого избиратели имеют право досрочно отозвать своих депутатов, если они начинают финтить, если они свертывают с дороги, если они забывают о своей зависимости от народа, от избирателей.

Это замечательный закон, товарищи. Депутат должен знать, что он слуга народа, его посланец в Верховный Совет и он должен вести себя по линии, по которой ему дан наказ народом. Свернул с дороги, избиратели имеют право потребовать назначения новых выборов, и депутата, свернувшего с дороги, они имеют право прокатать на вороных (смех, аплодисменты). Это замечательный закон. Мой совет, совет кандидата в депутаты своим избирателям, помнить об этом праве избирателей,— о праве досрочного отзыва депутатов, следить за своими депутатами, контролировать их и, ежели они вздумают свернуть с правильной дороги, смахнуть их с плеч, потребовать назначения новых выборов. Правительство обязано назначить новые выборы. Мой совет— помнить об этом законе и использовать его при случае.

Наконец, еще один совет кандидата в депутаты своим избирателям. Чего нужно вообще требовать от своих депутатов, если взять из всех возможных требований наиболее элементарные требования?

Избиратели, народ должны требовать от своих депутатов, чтобы они оставались на высоте своих задач, чтобы они в своей работе не спускались до уровня политических обывателей, чтобы они оставались на посту политических деятелей ленинского типа, чтобы они были такими же ясными и определенными деятелями, как Ленин (аплодисменты), чтобы они были такими же бесстрашными в бою и беспощадными к врагам народа, каким был Ленин (аплодисменты), чтобы они были свободны от всякой паники, от всякого подобия паники, когда дело начинает осложняться и на горизонте вырисовывается какая-нибудь опасность, чтобы они были также свободны от всякого подобия паники, как был свободен Ленин (аплодисменты), чтобы они были также мудры и неторопливы при решении сложных вопросов, где нужна все-

сторонняя ориентация и всесторонний учет всех плюсов и минусов, каким был Ленин (аплодисменты), чтобы они были также правдивы и честны, каким был Ленин (аплодисменты), чтобы они также любили свой народ, как любил его Ленин (аплодисменты).

Можем ли мы сказать, что все кандидаты в депутаты являются именно такого рода деятелями? Я бы этого не сказал. Всякие бывают люди на свете, всякие бывают деятели на свете. Есть люди, о которых не скажешь, кто он такой, то ли он хорош, то ли он плох, то ли мужественен, то ли трусоват, то ли он за народ до конца, то ли он за врагов народа. Есть такие люди и есть такие деятели. Они имеются и у нас, среди большевиков. Сами знаете, товарищи, семья не без урода (смех, аплодисменты). О таких людях неопределенного типа, о людях, которые напоминают скорее политических обывателей, чем политических деятелей, о людях такого неопределенного, неоформленного типа довольно метко сказал великий русский писатель Гоголь: «Люди, говорит, неопределенные, ни то, ни се, не поймешь, что за люди, ки в городе Богдан, ни в селе Селифан» (смех, аплодисменты). О таких неопределенных людях и деятелях также довольно метко говорится у нас в народе: «так себе человек — ни рыба, ни мясо» (общий смех, аплодисменты), «ни богу свечка, ни черту кочерга» (общий смех, аплодисменты).

Я не могу сказать с полной уверенностью, что среди кандидатов в депутаты (я очень извиняюсь перед ними, конечно) ж среди наших деятелей не имеется людей, которые напоминают скорее всего политических обывателей, которые напоминают по своему характеру, по своей физиономии людей такого типа, о которых говорится в народе: «ни богу свечка, ни черту кочерга» (смех, аплодисменты).

Я бы хотел, товарищи, чтобы вы влияли систематически на своих депутатов, чтобы им внушали, что они должны иметь перед собой великий образ великого Ленина и подражать Ленину во всем (аплодисменты).

Функции избирателей не кончаются выборами. Они продолжаются на весь период существования Верховного Совета данного созыва. Я уже говорил о законе, дающем право избирателям на досрочный отзыв своих депутатов, если они сворачивают с правильной дороги. Стало быть, обязанность и право избирателей состоят в том, чтобы они все время держали под контролем своих депутатов и чтобы они внушали им — ни в коем случае не спускаться до уровня политических обывателей, чтобы они — избиратели внушали своим депутатам — быть такими, каким был великий Ленин (аплодисменты).

Таков, товарищи, мой второй совет вам, совет кандидата в депутаты, своим избирателям. (Бурные, долго несмолкающие аплодисменты, переходящие в овацию. Все встают и обращают свои взоры в правительственную ложу, куда проходит товарищ Сталин. Раздаются возгласы: «Великому Сталину, ура!», «Товарищу Сталину, ура!», «Да здравствует товарищ Сталин, ура!», «Да здравствует первый ленинец — кандидат в депутаты Совета Союза — товарищ Сталин! Ура!».)

СООБЩЕНИЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ИЗБИРАТЕЛЬНОЙ КОМИССИИ О КОЛИЧЕСТВЕ ИЗБИРАТЕЛЕЙ, ГОЛОСОВАВШИХ ЗА КАНДИДАТОВ БЛОКА КОММУНИСТОВ И БЕСПАРТИЙНЫХ НА ВЫБОРАХ В ВЕРХОВНЫЙ СОВЕТ СССР 12 ДЕКАБРЯ 1937 ГОДА1

В течение 15 и 16 декабря 1937 года в Центральную избирательную комиссию поступили данные от ряда отдаленных избирательных участков, от поездов и пароходов в пути, от которых до сих пор не было полных сведений. В связи с этим количество избирателей по СССР окончательно определилось в 94.138.159 человек (на 498.681 чел. больше, чем было объявлено 15 декабря), равно как увеличилось количество принимавших участие в голосовании до 91.113.153 человек (на 793.807 чел. сравнительно с тем, что было объявлено 15 декабря), что составляет 96,8% к числу избирателей.

Получение указанных данных дало Центральной избирательной комиссии возможность подытожить количество голосов, поданных по всем округам ЗА кандидатов блока коммунистов и беспартийных.

Во всех избирательных округах по выборам в СОВЕТ СОЮЗА ЗА кандидатов блока коммунистов и беспартийных голосовало 89.844.271 человек, что составляет 98,6% всего числа участвовавших в голосовании. Бюллетеней, признанных недействительными на основании ст. 90 «Положения о выборах в Верховный Совет СССР», оказалось 636.808. Бюллетеней, в которых зачеркнуты фамилии кандидатов,—632.074.

Наименование союзной республики

Число избирателей

Участвовало в голосовании

Голосовало за кандидатов блока коммунистов и беспартийных

В абс. цифрах

В % к числу избирателей

В Совет Союза

В Совет Национальностей

В абс. цифрах

В % к числу голосоаваших

В абс. цифрах

В % к числу голосовавших

РСФСР.......

60571292

58 623 335

96,8

57 687 755

98,4

57 142 882

97,5

Украинская ССР . •

17 539876

17 156 273

97,8

16 980 303

99,0

16 799 399

97,9

Белорусская ССР .

3 007 342

2 929 666

97,4

2 892 815

98,7

2 884 244

98,4

Азербайджанская ССР.......

1 648 377

1 577 117

95,6

1 564 183

99,2

1 555 523

98,6

Грузинская ССР . .

1 940 547

1 866 189

96,2

1 849932

99,1

1 847 367

99,0

Армянская ССР . .

620 220

596 675

96,2

592 146

99,2

592 682

99,3

Туркменская ССР .

691 925

651 962

94,2

647 345

99,3

644 329

98,8

Узбекская ССР . . .

3 548 441

3319216

93,5

3 286897

99,0

3 274 473

98,6

Таджикская ССР . .

774864

738099

95,3

728 656

98,7

726 064

98,4

Казахская ССР . . .

2995 367

2901072

96,9

2 882 844

99,4

2 862 726

98,7

Киргизская ССР . .

799408

753 549

94,3

731 395

97,1

733 4S0

97,3

Итого по СССР .

94 133 159

91 113153

96,8

89844 271

98,6

89 063 169

97,8

1 «Правда» от 17 декабря 1937 г. № 345,

Во всех избирательных округах по выборам в СОВЕТ НАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ от СОЮЗНЫХ республик ЗА кандидатов блока коммунистов и беспартийных голосовало 89.063.169 человек, что составляет 97,8% всего числа участвовавших в голосовании. Бюллетеней, признанных недействительными на основании ст. 90 «Положения о выборах в Верховный Совет СССР», оказалось 1.487.582. Бюллетеней, в которых зачеркнуты фамилии кандидатов,—562.402.

По отдельным союзным республикам итоги выборов в Совет Союза и в Совет Национальностей (от союзных республик) даются в следующей таблице (см. стр. 5).

Во всех избирательных округах по выборам в Совет Национальностей от АВТОНОМНЫХ республик, АВТОНОМНЫХ областей и НАЦИОНАЛЬНЫХ округов число избирателей составляет 10.353.188 человек. В голосовании приняли участие 9.954.133 человека, то-есть 96,2%. ЗА кандидатов блока коммунистов и беспартийных голосовало в этих округах 9.757.435 человек, то-есть 98,0% всего числа участвовавших в голосовании. Бюллетеней, признанных недействительными на основании ст. 90 «Положения о выборах в Верховный Совет СССР», оказалось 61.784. Бюллетеней, в которых зачеркнуты фамилии кандидатов,— 134.914.

Центральная избирательная комиссия по выборам в Верховный Совет СССР.

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ

Проф. В. Н. ДЕПУТАТОВ (Москва)

Предисловие

Ни в русской, ни в иностранной литературе нет книг по «основаниям геометрии», которые по своему содержанию подходили бы или приближались к программе по этому предмету, утвержденной Наркомпросом для педагогических вузов. По замыслу составителей этой программы, курс по основаниям геометрии должен перед студентами IV (выпускного) курса вскрыть на базе исторического развития геометрии систему аксиом, лежащих в основании геометрии, дать анализ научного и педагогического значения аксиоматического метода и завершить это критическим разбором основных метрических понятий— об угле, длине линий, площади и объеме фигур. Таким образом, курсом по «Основаниям геометрии» будущие преподаватели математики должны завершить свое геометрическое образование и одновременно получить научный анализ тех геометрических понятий, которыми им придется оперировать в педагогической практике и в будущей работе в школе.

В соответствии с этим курс по «Основаниям геометрии», конспект которого здесь дается, делится нами на три части:

Гл. I — Исторический обзор развития геометрии.

Гл. II — Аксиоматика геометрии.

Гл. III — Критический разбор основных метрических понятий в геометрии.

В главе I не дается, естественно, полной истории геометрии; здесь мы останавливаемся лишь на разборе содержания «Начал» Евклида и на истории создания неевклидовой геометрии как на факте, послужившем стимулом для научного исследования основ геометрии и разработки полной системы ее аксиом. В главе II мы приводим список аксиом геометрии по Гильберту, ограничиваясь доказательством непротиворечивости этой системы и разбором значения аксиоматического метода. В главе III речь идет об определениях мер длины, площади, объема, угла, начиная с простейших случаев и кончая наиболее общими. В конце конспекта приведен список литературы, относящейся к вопросам настоящего курса.

ГЛАВА I. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИИ

§ 1. Состояние геометрических знаний до Евклида

Древневосточные цивилизации (египетская, ассиро-вавилонская, индийская, эгейская) накопили для целей измерения, землемерия, архитектуры, изучения карты небесного свода — многочисленные геометрические факты, правда, разрозненные, не объединенные ни в какую систему и часто даже неточные. Трудами нескольких поколений греческих мыслителей и геометров (Фалес Милетский, Анаксимандр, Анаксимен, Демокрит, Пифагор, Архит, Евдокс, Гиппократ, Платон, Менехм) эти факты были значительно пополнены, уточнены; были выработаны методы исследования, не потерявшие своей значимости до настоящего времени.

Не вдаваясь в детальный анализ этой эпохи развития геометрии, охватывающей длительный отрезок времени, примерно от 2500 до 300 гг. до н. э., которую мы назовем эпохой накопления, мы остановимся лишь на некоторых ее этапах, чтобы (хотя бы в приблизительной форме) получить представление о том, какой материал был собран за эту эпоху и как по времени он накоплялся.

а) Египет (основной источник, из которого почерпнуты сведения о геометрических познаниях в древнем Египте,— папирус Ринда, написанный писцом Ахмесом около 2000 г. до н. э.).

1. Точное правило вычисления площади квадрата:

5 = а2,

где а — сторона квадрата.

2. Неточное правило вычисления площади равнобедренного треугольника:

где а — основание треугольника, b— боковая сторона.

3. Неточное правило вычисления площади равнобочной трапеции:

где а и b— основание этой трапеции; с — боковая ее сторона.

4. Приближенное значение для площади круга в форме:

где D — диаметр круга.

5. Построение прямого угла через построение треугольника со сторонами 3, 4, 5 (египетский треугольник).

6. Некоторые другие правила, относящиеся к вычислению объемов тел, форма которых нам неизвестна, и мы не можем указать степень точности этих правил. Все указанные правила, естественно, приводятся без доказательств.

Можно думать, что эти знания формировались за время 2500—1500 гг. до н. э. и дальнейшего развития у египтян не получили.

б) Ассиро-Вавилония (источник сведений — клинописные записи времен царя Ассурбанипала, VII в. до н. э., — на глиняных плитках, найденных при раскопках).

1. Деление окружности на 360°.

2. Фигуры квадрата, прямоугольника, треугольника; параллельные линии.

3. Построение прямого угла.

4. Сторона правильного вписанного шестиугольника = R (радиус круга).

5. Отношение окружности к диаметру принималось равным 3.

в) Греция* — Фалес Милетский (около 600 г. до н. э.).

1. Равенство вертикальных углов.

2. Равенство углов при основании равнобедренного треугольника.

3. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам.

4. Круг делится диаметром на две равные части.

5. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

г) Греция—Пифагор (580—500гг. до н. э.).

1. Сумма внутренних углов треугольника равна 2d.

2. Покрытие плоскости правильными треугольниками, четырехугольниками и шестиугольниками.

3. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах (теорема Пифагора).

4. Построение некоторых правильных многоугольников; в частности пятиконечная звезда, была знаком принадлежности к школе Пифагора.

5. Пифагору приписывается открытие несоизмеримых отрезков и космических тел, т. е. пяти правильных многогранников: тетраедра, гексаедра, октаедра, додекаедра и икосаедра.

д) Греция — школы Платона (427—347 гг. до н. э.) и Аристотеля (384—322 гг. до н. э.).

1. Леон (современник Платона) написал учебник по геометрии взамен уже устаревшего к этому времени учебника Гиппократа (V—IV вв. до н. э.).

2. Евдокс (современник Платона) разработал теорию пропорций, дал метод исчерпания* выражения для объемов пирамиды и конуса, нашел (также при помощи метода исчерпания) отношение объемов двух шаров; он же разработал «золотое сечение» (т. е. деление отрезка а на две части b и с так, чтобы а:Ь = = Ь:с), применяя его к построению правильных фигур.

3. Менехм (ученик Евдокса) пополнил список уже открытых до него геометрических мест открытием конических сечений (кривых 2-го порядка) и исследовал ряд свойств этих кривых.

4. Сам Платон (427—347 гг. до н.э.) мало сделал самостоятельных открытий в математике; его значение для точных наук заключается, главным образом, в многочисленных и плодотворных им-

* Сведения по истории развития геометрии у греков были найдены в примечании Прокла (V в.) к книге 1 «Начал» Евклида, так как подлинные сочинения упоминаемых авторов до нас не сохранились.

* В чем состоит сущность метода исчерпания будет указано в главе III.

пульсах, сообщенных км своим ученикам. Платон известен более как философ.

5. Аристотель (384—322 гг. до н. э.), прекрасно знавший элементарную математику, сам ничего нового не дал, так как к этому времени развитие математики продвинулось настолько далеко, что до вершин ее, где делаются новые открытия, могли доходить только специалисты; Аристотель же более известен как философ и основоположник логической системы.

Развитие логики в школе Аристотеля повело, несомненно, к усилению логических элементов в геометрии, к установлению определений и уточнению доказательств.

§ 2. «Начала» Евклида (содержание), их достоинства и недостатки

Весь этот накопленный к Ш в. материал послужил основанием гениальному геометру древности, представителю Александрийской эпохи, Евклиду собрать в одно целое все, относящееся к основам геометрии и до него полученное, закончить начатое, и дать неоспоримые доказательства тому, что было недостаточно обосновано его предшественниками.

Результаты своих работ Евклид изложил в сочинении, носящем название «Начала». (Следует, между прочим, отметить, что о самой жизни и деятельности Евклида до нас дошли крайне скудные сведения; даже точные даты его жизни остались неизвестными. По косвенным источникам можно лишь полагать, что он жил на рубеже IV—III вв. до н. э. и что расцвет его деятельности падает примерно на 305—283 гг.)

«Начала» состоят из 13 книг, из которых:

Книги I и II содержат учение об углах и треугольниках, теорию параллельных линий, свойства параллелограмов, условия равновеликости прямолинейных фигур на плоскости и решение задач на превращение одной фигуры в другую, ей равновеликую.

Книга III посвящена учению об окружности.

Книга IV — о вписанных и описанных треугольниках и многоугольниках.

Книга V — о теории пропорций.

Книга VI — о теории подобия треугольников и многоугольников и в связи с этим вопросы об измерении площадей*.

Книги VII—VIII—IX посвящены арифметике.

Книга X посвящена учению об иррациональных величинах.

Книги XI—XII содержат начала стереометрии, учение о многогранниках и основных телах вращения (цилиндр, конус и пр.).

Книга XIII рассматривает правильные многогранники.

Из этого перечисления прежде всего следует, что в «Начала» включен не весь геометрический материал, известный греческим математикам до эпохи Евклида. Так, например, богатых результатов исследований о конических сечениях, открытых Менехмом, «Начала» совершенно не касаются. Нет в них также никаких следов о построении кривых, связанных с решением знаменитых задач древности (конхоиды Никомеда, квадратриксы Динострата и других построений, при помощи которых ряд греческих математиков решал задачи о трисекции угла, о квадратуре круга и об удвоении куба). Таким образом, по объему своего содержания «Начала» Евклида близки к тому, что мы в настоящее время называем курсом элементарной геометрии, если не считать книг VII—IX, посвященных арифметике.

Кстати, естественно возникает вопрос, почему в сочинении, посвященном геометрии, 3 книги (и часть четвертой, так как в X книге наряду с геометрическими вопросами также трактуются и арифметические) из 13 заняты арифметикой. Чтобы это понять, надо учесть состояние арифметики и положение с искусством арифметических вычислений в эпоху древних цивилизаций.

Для нас теперь арифметические вычисления (по крайней мере в пределах первых 4 действий) представляются детским делом— с детского возраста действительно этим вычислениям и начинают обучать.

Причиной такой простоты арифметических вычислений является возможность поразрядного выполнения действий в сочетании с чрезвычайно удачной (принятой уже давно почти во всем мире), так называемой «арабской» системой обозначе-

* Следует заметить, что Евклид не дает алгебраических формул для измерения площадей и объемов (алгебраическая символика грекам была неизвестна), а ограничивается лишь установлением отношений площадей или объемов рассматриваемых фигур.

ния чисел, при которой от вычислителя требуется на память производить лишь вычисления с числами в пределах первой сотни (а при сложении, вычитании и умножении даже только с однозначными числами). Такая простота вычислений обеспечивается наличием в арабской системе нуля. Можно прямо сказать, что изобретение нуля является одним из величайших изобретений человечества.

У греков (и у других упомянутых выше древневосточных цивилизаций*) нуля не было, у них почти для каждого числа существовало особое обозначение; так, например, у греков числа 1, 2, 3, 4, 5,,,. обозначались буквами а, ß, у, 5, £,... у римлян — значками I, II, III, IV, V...

Чтобы оценить трудности выполнения действий без нуля, попробуйте представить, как вы стали бы делать следующие умножения:

В Риме (где торговые сделки носили широкий характер) существовали специальные расчетные конторы, в которых купцам за плату «специалистами» производились вычисления, подобные только что приведенному примеру. (Правда, у этих специалистов существовал прибор, называвшийся «абаком» и напоминающий русские торговые счеты, при помощи которых вычисления несколько упрощались.)

Мало где подчеркивается, что греки, которых по справедливости называют основоположниками геометрии, при помощи именно геометрии создали свой «греческий» метод выполнения арифметических вычислений, который по сравнению с «европейским» (основанным на арабской нумерации) имеет свои недостатки, но и свои достоинства. Суть этого метода станет ясна, если вспомнить из курса «Теория геометрических построений», как легко и эффектно при помощи циркуля и линейки делаются построения следующих выражений:

где а и b — данные отрезки. (Все эти построения были открыты греками.)

Достаточно, следовательно, для выполнения арифметического действия над двумя числами изобразить эти числа при помощи того или иного масштаба отрезками, сделать соответствующие построения и получаемый таким образом отрезок измерить тем же масштабом. Недостатки этого метода, связанные с кропотливостью непосредственного накладывания масштабной единицы и проистекающими в связи с этими неточностями, компенсируются наглядностью и возможностью легче постигнуть идею непрерывности вещественных чисел. Недаром греки первые открыли иррациональные числа и имели для своего времени весьма неплохую теорию арифметики. Для греков арифметика была как бы прикладной частью геометрии. Вот почему в фундаментальном произведении греков по геометрии в «Началах» Евклида почти 4 книги из 13 посвящаются арифметике. (Между прочим, развитие и усовершенствование идей греческого метода вычислений нашло свое продолжение в современных графических методах вычислений: номографии, графостатике и кинематике, в графическом диференцировании, интегрировании и решении диференциальных уравнений.)

Что касается характера изложения, то «Начала» представляют собой образец глубоко продуманного и выдержанного для того времени сочинения. В этом сочинении Евклид стремится дать строго логическое построение геометрии, исходя из немногих, принятых без дальнейшего исследований (в силу их кажущейся очевидности) основных положений.

С этой целью Евклид предпосылает систематическому изложению геометрического материала ряд основных определений, аксиом и постулатов. Приводим список всех аксиом и постулатов, а также некоторых определений из «Начал» геометрии Евклида.

Определения.

Точка (опред. 1). Точка есть то, что не имеет частей.

Линия и ее границы (опред. 2 и 3). Линия есть длина без ширины. Границы линии суть точки.

Прямая (опред. 4). Прямая линия есть та, которая одинаково расположена относительно всех своих точек.

Поверхность и ее границы (опред. 5 и 6). Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину. Границы поверхности суть линии.

Плоскость (опред. 7). Плоскость, или плоская поверхность, есть та, которая

* В истории математики является нерешенным вопрос — принадлежит ли изобретение нуля арабам или индусам.

одинаково расположена относительно всех своих точек.

Угол (опред. 8—9—10—11). Прямолинейный угол есть взаимное наклонение двух прямых. Когда прямая встречает другую прямую и делает с ней равные углы с одной и с другой стороны, то каждый из двух углов называется прямым и первая прямая есть перпендикуляр ко второй. Угол тупой есть тот, который больше прямого. Угол острый есть тот, который меньше прямого.

Аксиомы (I—IX).

I. Две величины, порознь равные третьей, равны между собой.

II. Если к равным величинам прибавить равные, то получим также равные величины.

III. Если от равных величин отнять равные, то получим также равные величины.

IV. Если от неравных величин отнять равные, то получим неравные величины.

V. Если равные величины удвоить, то получим равные величины.

VI. Половины равных величин равны между собой.

VII. Совмещающиеся при наложении (величины, фигуры) равны между собой.

VIII. Целое больше своей части.

IX. Две прямые не могут заключить пространства. (Последнюю аксиому надо понимать в том смысле, что через две точки проходит лишь одна прямая.)

Постулаты (1—5*). Допускается:

1. Что от одной точки к другой можно провести прямую.

2. Что каждую прямую можно продолжить неопределенно далеко.

3. Что из всякой точки как центра можно описать окружность любого радиуса.

4. Что все прямые углы равны между собой.

5. Что если две прямые пересекаются третьей, так что сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то эти две прямые при достаточном продолжении встречаются по ту сторону от секущей, с которой сумма внутренних углов будет меньше 2d.

Если для своего времени и долго спустя «Начала» считались совершенным образцом математического сочинения, то в свете современных достижений в развитии геометрии и исторических исследований мы можем указать на ряд существенных недостатков этого все же великого сочинения древности.

А. Прежде всего ни в системе предпосылок, ни в содержании «Начал» не обеспечивается полный объем курса, который мы называем теперь курсом элементарной геометрии. Выше (в примечании) мы упомянули уже, что в вопросах измерения площадей и объемов Евклид ограничивается лишь установлением отношений этих величин для рассматриваемых фигур. Так, он доказывает, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их радиусов; что объемы шаров относятся как кубы их радиусов; что объем конуса составляет третью часть объема цилиндра, имеющего то же основание и высоту, что и конус, но выражений для площади круга или объема шара, или объема цилиндра он не дает; задачи о вычислении длины окружности и поверхности тел вращения в «Началах» совсем даже не ставятся.

Эти недостатки «Начал», между прочим, были пополнены другим великим математиком древности Архимедом. (Архимед жил вскоре после Евклида — именно 287—212 гг. до н. э.; вместе с Эратосфеном (275—194 гг.) и Аполлонием (250—194 гг.) они составили последнюю блестящую плеяду греческих математиков.) В своем сочинении «О сфере и цилиндре» Архимед дает упомянутые задачи метрической части геометрии, оставшиеся нерешенными у Евклида, и решает их. Для этого ему понадобилось значительно углубить открытый ранее Евдоксом метод исчерпания и, сверх известных ему евклидовских предпосылок, добавить еще пять новых. Вот эти замечательные 5 постулатов, принятые Архимедом.

Допускается: 1-е, что из всех линий, имеющих одни и те же концы, прямая есть кратчайшая.

2-е, что другие две линии, имеющие общие концы и расположенные в одной плоскости, не равны, если они обе выпуклые и одна из них (или часть ее) объемлется другой кривой и прямой, соединяющей концы; при этом объемлемая меньше объемлющей.

3-е, что из всех поверхностей, имею-

* Следует отметить, что в подразделении основных евклидовых предпосылок на аксиомы и постулаты у историков и комментаторов Евклида нет полного согласия и некоторые историки все предпосылки считают за аксиомы, так что 5-й постулат по общему списку стоит XI аксиомой.

щих общую плоскую периферию, плоскость меньше всех других.

4-е, что другие две поверхности, имеющие общую плоскую периферию, не равны, если они обе выпуклы и одна из них (или часть ее) объемлется другой поверхностью и плоскостью периферии ; при этом объемлемая поверхность меньше объемлющей.

5-е, что из двух неравных линий, двух неравных поверхностей или двух неравных тел большая может оказаться меньше той величины, которую мы получим, если повторим меньшую часть надлежащее число раз.

Хорошо известно, какое широкое распространение получили постулаты 1 и 4 во всех курсах элементарной геометрии; сравнительно реже встречается 5-й постулат Архимеда, но ниже мы увидим, какое существенное значение он имеет в построении полной системы аксиом геометрии.

Б. Переходя далее к определениям Евклида, приходится сказать, что они представляют собой наиболее слабое место во всем этом сочинении. В настоящее время мы привыкли ко всякому определению предъявлять требования, чтобы оно содержало в себе такие признаки определяемого понятия, которыми можно было бы пользоваться в его осуществлении. Этому основному требованию большинство определений Евклида не удовлетворяет. Сказать, что «линия есть длина без ширины», или, что «прямая линия есть та, которая одинаково расположена относительно всех своих точек»,— это значит почти ничего не добавить к тем неясным представлениям, которые складываются у человека в результате его примитивного опыта познания действительности.

Эти определения ничего не определяют, они бессодержательны по существу, и замечательно то, что Евклид, в сущности говоря, этими определениями нигде в дальнейшем и не пользуется. Следует в оправдание Евклида сказать, что наиболее слабые его определения относятся как раз к тем понятиям (точка, линия, прямая, угол, плоскость), которые не определимы обычным способом, т. е. перечислением их признаков в уже знакомых терминах. Неудивительно поэтому, что только доведенная до высокой степени обострения математическая мысль конца XIX в. могла дать более или менее удовлетворительную форму описания содержания этих понятий — аксиоматический метод (о котором речь будет итти в главе II).

В. Из аксиом большинство относится к учению о величинах вообще, кроме двух (VII и IX), имеющих специально геометрический характер и очень существенных для построения геометрии. Первая из них (VII) является основной в учении о равенстве или конгруентности фигур; вторая (IX) — в учении о прямых линиях и прямолинейных фигурах. В главе II мы увидим, как много нехватает в списке евклидовых аксиом для строгого построения фундамента геометрии.

Г. Из числа постулатов первые четыре представляются достаточно естественными и очевидными (постулат 4 даже допускает простое доказательство, так что он является просто излишним), и лишь 5-й постулат лишен этого характера очевидности. Любопытно то что во всей своей книге Евклид прибегает к этому постулату только однажды — при доказательстве 29-й теоремы 1-й книги «Начал». Ни до, ни после этого он больше этим постулатом нигде непосредственно не пользуется. Сама форма 5-го постулата и утверждаемый им факт, несомненно, сложнее всех прочих постулатов и аксиом Евклида, так как он связан с анализом возможности расположения точки встречи пересекаемых прямых неопределенно далеко. Вполне естественно поэтому, что именно этот постулат в продолжение многих лет привлекал к себе внимание математиков, вызывая многочисленные попытки доказать его как теорему или на основе других, не вызывающих сомнений предпосылок Евклида, или на основе замены его другим, более очевидным. Так или иначе 5-й постулат долгое время рассматривался как единственное «темное пятно» «Начал». (Из того, что выше говорилось об определениях и аксиомах Евклида, мы видим, что у него были и другие «пятна».) Как мы увидим дальше, в свете современных воззрений 5-й постулат представляется, наоборот, не «темным пятном», а наиболее «светлым местом» в системе основных предпосылок Евклида.

Д. К той критике, которую мы привели, надо добавить еще, что в самом развертывании материала в своих книгах Евклид, кроме явно сформулированных предпосылок, чрезвычайно часто прибегает к интуиции, вводя неявно многие другие предпосылки. Так, например, при построении равностороннего треугольника по стороне он неявно допускает, что две окружности пересекаются в двух точках — допущение, связанное с вопросом непрерывности ли-

нии, о чем Евклид нигде ничего явно не говорит. При доказательстве равенства треугольников пользуется движением, нигде не сформулировав допускаемых относительно движения предпосылок; имеется и еще целый ряд неявных допущений. И тем не менее надо признать, что «Начала» Евклида являются поразительным образцом математического сочинения для своего времени, не потерявшим своей если не научной, то методической значимости и до настоящего времени.

§ 3. Развитие геометрии после Евклида. Попытки доказательств 5-го постулата заменой другими постулатами.

После пышного расцвета математической культуры в эпоху Евклида, Архимеда, Эратосфена и Аполлония наступила длительная пора упадка. Во времена владычества римского государства уже редко можно встретить людей, занимавшихся изучением математики и в частности геометрии. При этом и самый характер работ значительно изменился. В то время, как работы греческих математиков IV и III вв. (до н. э.) полны творческой энергии (получаются новые результаты, устанавливаются новые методы), в работах послеевклидовской эпохи мы встречаем лишь пересказывания и переписывания материала, содержащегося в «Началах». Пересказывание иногда сопровождается комментированием (разъяснением) тех или иных положений Евклида, причем эти комментарии далеко не всегда вносили большую ясность в разъясняемые понятия и не имели на себе отпечатка творческой мысли. Единственным пунктом, мимо которого мысль не проходила без творческой вспышки, был 5-й постулат. Целый ряд комментаторов: Посидоний (I в. до н. э.), Птоломей (II в. н. э.), Прокл (410—485), делали попытки доказать его путем замены другими постулатами. Эти доказательства либо были неудовлетворительны, либо вводили новый постулат, столь же мало очевидный, как и постулат Евклида.

Так, Посидоний доказывает 5-й постулат, исходя из другого, нежели у Евклида, определения параллельных, а именно, предлагая параллельными называть такие прямые на плоскости, которые всюду находятся друг от друга на одинаковом расстоянии. (У Евклида параллельные определяются как две такие прямые на плоскости, которые нигде не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.) Доказательство проводится вполне строго, но в ходе рассуждений ему приходится опираться на новый постулат, что линия, все точки которой одинаково удалены от данной прямой, есть прямая. Этот постулат действительно равносилен постулату Евклида, но он столь же мало очевиден, как и евклидов постулат.

Птоломей (более известный как знаменитый астроном древности), по словам Прокла, также сделал попытку доказать 5-й постулат, заменяя его другим, по которому если две прямые параллельны в одном направлении, то они параллельны и в другом. Неудовлетворительность доказательства Птоломея тут же отмечает сам Прокл. Со своей стороны Прокл также дает доказательство 5-го постулата, основанное на такой предпосылке: «Если прямая, расположенная в плоскости двух параллельных, пересекает одну из этих параллельных, то она образует с ней угол, расстояние между сторонами которого конечно (как выражается Прокл), может быть сделано сколько угодно большим, а так как расстояние между параллельными остается конечным, то секущая неизбежно перейдет на другую сторону второй параллели и, следовательно, ее предварительно пересечет». После этого постулат Евклида действительно легко доказуется, но сама предпосылка, что расстояние между двумя параллельными остается конечным, никак не обоснована и является новым постулатом, равносильным пятому и нисколько не менее очевидным, чем 5-й.

С распадом, римской культуры математическая мысль переместилась к арабам, культура которых в значительной степени послужила связующим звеном между культурой античного мира и европейской. Из арабских геометров, изучавших и комментировавших Евклида, наибольшей известностью пользуется Насир-Эддин (1201—1274). Он также дал доказательство 5-го постулата, основанное на допущении, что если одна из параллельных перпендикулярна к секущей, а другая наклонна, то эта последняя со стороны острого угла приближается к первой, а со стороны тупого угла удаляется от нее. Довольно сложными и длинными рассуждениями Насир-Эддин получает отсюда правильное доказательство 5-го постулата, но само упомянутое допущение остается никак не обоснованным, а у нас нет никаких оснований утверждать, что одна прямая не может сначала приближаться

к другой прямой, пока расстояние не достигнет некоторого минимума, а затем снова удаляться от нее, подобно тому, как, например, гипербола относительно своей директриссы. Таким образом, упомянутое допущение Насир-Эддина является новым постулатом, равносильным пятому и ничуть не менее очевидным, чем пятый.

С востока и запада (через Пиренеи) культурные знания арабов понемногу просачивались в Европу, переживавшую мрачную эпоху средневековья. Начиная с XIII—XIV вв. (подготовительный период к эпохе Возрождения), в особенности с изобретением книгопечатания (XV в.), переводы сочинения Евклида начинают все шире и шире распространяться по Европе, и с этого же примерно времени начинает снова расти математическая культура, сначала еще медленно, затем все более и более величественными шагами. Окончательное введение в математические рассуждения алгебраической символики (Виет, 1540—1603), создание аналитической геометрии (Декарт, 1596—1650), открытие диференциального и интегрального исчислений (Ньютон, 1643—1727), (Лейбниц, 1646—1716) обеспечили пышное и победоносное развитие всех отделов математики и в частности геометрии, не прекратившееся и до настоящего времени.

В нашу задачу не входит (и мы не имеем для этого возможности) развертывать полную картину развития всей геометрии. Целью этой исторической главы является подчеркнуть на общем фоне истории развития геометрии те моменты, которые способствовали критическому пересмотру ее оснований и привели к концу XIX в. к построению полной системы ее аксиом и к развитию аксиоматического метода.

Поэтому из математиков раннего периода европейской математической культуры мы остановимся лишь на именах Валлиса (англ. уч. 1616—1703), Саккери (итал. уч. 1667—1773), Ламберта (немецк. уч., 1728—1777) и Лежандра (франц. уч., 1752—1833).

Джон Валлис — первый профессор, занимавший «кафе тру Евклида» в Оксфордском университете,— дал доказательство 5-го постулата, вводя совершенно сознательно в геометрию предпосылку о том, что существуют два подобных и неравных треугольника. Ниже мы дадим простое доказательство равносильности постулата Валлиса и пятого постулата Евклида.

О работах Саккери, Ламберта и Лежандра, которых можно назвать предшественниками неевклидовых геометрий, будет сказано в следующем параграфе. Так как дальше мы будем уже останавливаться на фактической стороне разбираемых вопросов, то с тем, чтобы (хотя бы в общих чертах) представить картину шествия геометрии от глубинных веков и до настоящего времени, мы ниже вычерчиваем схему развития всей геометрии, сопровождая этапы ее развития датой во времени и именами главнейших творцов. Нельзя считать, конечно, эту схему исчерпывающей и целиком правильно отражающей действительную картину развития геометрии (слишком сложны и переплетены пути человеческой мысли, чтобы на это можно рассчитывать) — картина дается широкими мазками.

§ 4. Предшественники неевклидовых геометрий

Доказательства невозможности существования треугольника с суммой углов > 2 d (при сохранении архимедовой аксиомы)

Выше мы отметили, что из геометров раннего периода европейской культуры, работы которых способствовали критическому пересмотру оснований геометрии, надо назвать Саккери, Ламберта и Лежандра. Их работы также связаны с попытками доказать 5-й постулат Евклида, но постановка вопроса, по почину Саккери, делается совершенно иная, нежели при всех предыдущих попытках послеевклидовского периода. В кратких чертах исследования Саккери протекают так. В концах произвольного отрезка AB восстанавливаются перпендикуляры AD и ВС, лежащие в одной плоскости; на этих перпендикулярах откладываются произвольные, но равные между собой отрезки AD и ВС, концы которых D и С соединяются прямой линией; получается четырехугольник ABCD с прямыми углами при основании и равными боковыми сторонами (четырехугольник Саккери).

Саккери доказывает прежде всего, что углы а и ß при вершинах D и С в этом четырехугольнике равны между собой. Приведем это доказательство ради того, чтобы обратить ваше внимание на ярко выступающую здесь одну аксиому геометрии, которую обычно редко подчеркивают в курсах элементарной геометрии и которая дальше нам встретится в полном списке аксиом геометрии по Гильберту (в группе аксиом порядка) под названием аксиомы

СХЕМА РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИИ

Паша. Разделим с этой целью основание AB в точке M пополам и восстановим в этой точке перпендикуляр MN к AB. Убедимся прежде всего, что этот перпендикуляр обязательно пересечет сторону CD между точками С и D. Действительно, проведя диагональ BD, получим треугольник АВЭ. Прямая MN пересекает сторону AB этого треугольника между точками Л и £ и не проходит через вершины его, а геометром Пашем (род. в 1893 г.) было выявлено, что во многих рассуждениях и построениях в курсе элементарной геометрии мы часто явно или неявно пользуемся утверждением, что если какая-нибудь прямая плоскость пересекает одну из сторон треугольника, лежащую в этой же плоскости, и не проходит ни через одну из вершин его, то она обязательно пересечет какую-нибудь одну из двух остальных сторон этого треугольника, причем это утверждение нигде не доказывается и интуитивно представляется довольно очевидным. Паш, проанализировавший это утверждение, предложил считать его одной из аксиом геометрии, а Гильберт позже показал, что без этой аксиомы нельзя построить полного обоснования геометрии.

Обращаясь к нашему случаю, мы видим, что наш перпендикуляр MN в отношении к треугольнику ABD находится в условиях аксиомы Паша, значит он должен обязательно пересечь либо AD, либо BD, но AD он пересечь не может (два перпендикуляра к одной прямой не пересекаются), значит он пересечет BD в некоторой точке Е, лежащей между D и В. Теперь прямая EN (или, что то же, прямая MN) в отношении к треугольнику BDC опять находится в условиях аксиомы Паша, значит она должна пересечь либо ВС, либо CD, но ВС она пересечь не может, значит она пересечет CD в некоторой точке N, лежащей между D и С.

Убедившись, что MN пересекает CD, соединим N с точками А и В. В получаемом таким образом треугольнике ANB отрезок MN служит одновременно и медианой и высотой, значит треугольник ANB равнобедренный, следовательно AN=BN и ^f.MAN = 2}.MBN, а после этого 2}.NAD = 2}.NBC. Тогда треугольники NAD и NBC равны по двум сторонам и углу между ними, и, следовательно, a = ß.

После этого постановка вопроса у Саккери ведется так. Он говорит: относительно размеров углов аир можно à priori сделать три гипотезы: 1° либо они оба острые (гипотеза острого угла); 2° либо оба прямые (гипотеза прямого угла); 3° либо оба тупые (гипотеза тупого угла); если, говорит он, мне удастся показать, что при развитии геометрии на основе 3-й или 1-й гипотезы я получу явное противоречие с принятыми и очевидными аксиомами или с ранее доказанными теоремами, то это будет означать, что эти гипотезы ложны и что их надо отбросить, а тогда останется только 2-я гипотеза, которая равносильна 5-му постулату, и таким образом евклидов постулат будет доказан.

Во исполнение своих мыслей Саккери прежде всего доказывает, что допущение одной из гипотез для какого-нибудь одного четырехугольника его типа ведет наличие той же гипотезы для всякого четырехугольника того же типа. Далее доказывается, что при гипотезе тупого, прямого или острого угла сумма внутренних углов треугольника будет соответственно больше или меньше двух прямых и обратно. Развивая дальше следствия гипотезы тупого угла, Саккери действительно приходит к противоречию, доказывая, что не может существовать треугольник с суммой внутренних углов >2d (ниже мы даем доказательства этого факта в современной форме; все доказательства Саккери довольно громоздки) и тем самым устраняет 3-ю гипотезу.

Чтобы таким же образом притти к противоречиям в случае гипотезы острого угла, Саккери ведет обширное исследование, занимающее 80 страниц, развивая все дальше и дальше следствия 1-й гипотезы и нигде не встречая противоречий. Но так как у него еще непоколебимо было убеждение, что никакой другой системы геометрии, кроме евклидовой, существовать не может, то в конце своего сочинения, оставляя свою обычную точность рассуждений и как бы теряя свою прежнюю уверенность, Саккери путем совершенно неосновательных доводов выводит противоречие гипотезы и тем самым считает евклидов постулат строго доказанным.

Саккери, как видим, не достиг своей цели, но все же за ним надо признать большую заслугу для геометрии в том, что он первый проложил тот путь, идя по которому столетие спустя, Гаусс, Больяи и Лобачевский пришли к построению новой неевклидовой системы геометрии.

Аналогичную постановку вопроса с постулатом 5 мы находим у немецкого математика Ламберта в его сочинении «Теория параллельных линий», написанном в 1766 г., но опубликованном лишь после его смерти в 1788 г.

Ламберт рассматривает четырехугольник, имеющий три прямых угла. Относительно размеров четвертого угла опять à priori можно сделать те же 3 гипотезы острого, прямого и тупого углов. Ламберт рассматривает каждую гипотезу отдельно и в некоторых отношениях идет дальше Саккери, но все же и он не доводит до конца решения вопроса о 5-м постулате. В качестве преимуществ исследований Ламберта перед Саккери можно подчеркнуть: 1) что он первый обратил внимание, что гипотеза тупого угла, опровергаемая на плоскости, находит свое осуществление на поверхности шара, если большим кругам этой поверхности присвоить роль прямых линий; 2) что он не впал в ошибку Саккери при анализе 1-й гипотезы и, не доведя этого анализа до конца, делает замечание: «Я склонен даже думать, что 1-я гипотеза справедлива на какой-нибудь мнимой сфере».

Третьим ученым, занимавшимся вопросом о параллельных линиях в том же разрезе, был Лежандр, который результаты Саккери и Ламберта получил в значительно более изящной и легкой форме, исходя из аналогичных трех гипотез для суммы внутренних углов треугольника, т. е. допуская, что относительно размеров суммы внутренних углов треугольника, à priori могут быть сделаны 3 допущения.

1°, что эта сумма < 2 d (гипотеза острого угла); 2°, что эта сумма = 2 d (гипотеза прямого угла); 3°, что эта сумма > 2 d (гипотеза тупого угла).

Заслуга Лежандра состоит, главным образом, в том, что широкое распространение его сочинений и доступная изящная форма изложения сильно содействовали пропаганде идей, приведших к созданию неевклидовой геометрии. Решения вопроса о 5-м постулате, так же, как Саккери и Ламберт, он не получил.

Приведем в заключение этого параграфа доказательство теоремы о том, что при сохранении 5-го постулата Архимеда (так называемого архимедовой аксиомы).

Теорема: Не может существовать треугольника, сумма внутренних углов которого больше 2d.

Этим самым будет дано опровержение гипотезы тупого угла. Доказательство этой теоремы существенным образом опирается на 5-й постулат Архимеда, который в отношении отрезков коротко можно сформулировать так: Каков бы ни был отрезок а, всегда найдется такое целое число я, что а*п сделается больше любого отрезка Ь. Будем во всем дальнейшем этот постулат называть аксиомой Архимеда. Предположим теперь, что существует треугольник ABC, сумма внутренних углов которого больше 2d, т. е. что a+ß+Y>2d.

Продолжим сторону АС нашего треугольника и отложим на ней, начиная от С, п — 1 отрезков, каждый из которых равен АС, так что CCt = CtC2 = С2 С3 = = ... =Cn_i Сп = АС.

Построим на этих отрезках треугольники CBXCV CtB2C2, ..., Сл_1 Вп СпУ равные треугольнику ABC; при этом получающиеся сверху треугольники BCBl9 BxCtB2 ... Bn-i C„_i Вп будут, как это легко усмотреть, также между собой равны, а поэтому ВВХ = ВХВ2 = . . . = Вп. Имеем:

<x+ß+Y>2d (по предположению);

а-(- ß1-}-y = 2d (как сумма углов, расположенных около точки по одну сторону прямой).

Вычитая, получаем:

Тогда в треугольниках ABC и BCBt имеем, что AB = СВХ, ВС = СВ, а углы ß и ß' между этими сторонами не равны; в таком случае АС > BBV и, следовательно, существует отличный от нуля отрезок ЛС— BBV

Возьмем теперь ломаную AB ВХВ2... .. .Bn-i Вп Сп и ее замыкающую АСп=п • АС. Имеем:

или

ибо ВпСп равно ВС. Отсюда

при всяком nt что противоречит аксиоме Архимеда, следовательно, такого треугольника, у которого a+ß + Y>2d, существовать не может, и гипотеза тупого угла опровергнута.

§ 5. Равносильность 5-го постулата и аксиомы параллельности в современной редакции. Равносильность аксиомы параллельности с гипотезой прямого угла, а этой последней с постулатом Валлиса

Два утверждения мы называем равносильными, если при наличии одних и тех же предпосылок из первого утверждения логически вытекает второе, и обратно — из второго вытекает первое. Докажем, что 5-й постулат Евклида равносилен аксиоме параллельности в той форме, в которой ее в настоящее время обычно принимают, т. е. в форме утверждения, что в плоскости, определяемой данной прямой а и данной вне ее точкой А, можно провести не более одной прямой, проходящей через Л и не пересекающей прямую а. Теорема: Из 5-го постулата Евклида вытекает аксиома параллельности.

Примем утверждение, что, если сумма внутренних односторонних углов, получаемых при пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости, третьей, не равна 2 öf, то эти прямые обязательно пересекутся (с той стороны секущей, с которой суммы внутренних односторонних углов меньше 2 d). Возьмем теперь какую-нибудь прямую а, вне ее точку А и плоскость, через них проходящую (плоскость черт. 3).

Опустим из А перпендикуляр ААХ на а и восстановим в А перпендикуляр AB к ААХ.

Прямая AB =р не может пересечь ау ибо в противном случае на прямую AAt из внешней точки было бы опущено 2 перпендикуляра; значит р II а. Докажем, что другой параллели к я, проходящей через Л, кроме прямой р существовать не может. Действительно, так как в точке А к прямой АА можно восстановить только один перпендикуляр, то всякая другая прямая Aq, проходящая в плоскости через Л, будет делать с АА± угол а ф d, поэтому сумма внутренних односторонних углов, получаемых при пересечении прямых а и q прямой AAV oc+ß ф 2d, значит q пересекает а, ч. т. д.

Следствие: Из существования единственной параллели через А к прямой а вытекает (как это доказывается во всех курсах по элементарной геометрии), что если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 2d.

Теорема (обратная): Из аксиомы параллельности вытекает 5-й постулат Евклида.

Примем аксиому параллельности. Пусть тогда прямые а и b (лежащие в одной плоскости) пересечены прямой с и пусть 2 d {черт. 4). Докажем (доказательством от противного), что в этих условиях прямые а и b обязательно пересекутся.

Действительно, предположим, что они не пересекаются, т. е. параллельны. Тогда при наличии аксиомы параллельности имело бы место следствие а ß = 2 d, что противоречит условию, ч. т. д.

Докажем теперь, что аксиома параллельности равносильна в свою очередь утверждению, что сумма внутренних углов треугольника равна 2d. Тем самым будет доказано, что и 5-й постулат равносилен утверждению, что сумма углов треугольника равна 2d (гипотеза прямого угла), ибо два утверждения, равносильные третьему, равносильны между собой.

Теорема: Если сумма внутренних углов треугольника равна

2d, то через каждую точку, лежащую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Или, говоря короче, из гипотезы прямого угла вытекает аксиома параллельности.

Примем утверждение, что сумма внутренних углов треугольника равна 2d (гипотеза прямого угла) с вытекающим отсюда следствием, что внешний угол треугольника равен сумме внутренних, не смежных с ним углов, и докажем, что тогда через точку А, лежащую вне прямой а, в плоскости (А а) можно провести лишь одну параллель к а.

Опустим с этой целью из Л на а перпендикуляр ААХ и построим в А прямую АВ=р, перпендикулярную к AAV В таком случае прямая р будет параллельна а. Докажем, что никакой другой параллели к а через А провести нельзя. Выполним для этого такое построение. Отложим на а (хотя бы вправо) отрезок AtA2 = ААХ и построим равнобедренный треугольник AAtA2; затем от точки А2 отложим (в том же направлении) отрезок А2А3 = АА2 и построим равнобедренный треугольник ЛЛ2Л3; повторяем такого рода построение п+ 1 раз, пока не дойдем до равнобедренного тр-ка AAn+i Если углы AA2AV ААгА2,..., AAn+iAn+i этих треугольников назвать через Y> Tfi» Т2» ••• » Y»» то при наличии гипотезы прямого угла и вытекающего из него следствия о внешнем угле треугольника будем иметь:

откуда

В таком случае

Проведем теперь через А какую угодно прямую q, отличную от р и входящую в угол B'AAn+i (если бы взяли прямую, входящую в угол B'AAV то построение надо было бы сделать влево). Пусть -4 (А Я) будет равен w. Каков бы ни был этот угол., по аксиоме Архимеда (применительно к углам) всегда найдется такое целое число л, чг> <о-2л>у, так что

Поэтому всегда можно построить такой треугольник АА^А^у что прямая q зайдет внутрь этого треугольника и необходимо пересечет его сторону AxAn±<i т. е. а.

Замечание: В последнем заключении доказанной теоремы скрыто такое предположение, что треугольник делит плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю. Это утверждение вполне строго доказывается на основе полного списка аксиом по Гильберту (см. гл. II).

Теорема (обратная): Если через каждую точку, лежащую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной, то сумма внутренних углов треугольника равна 2d. Или, короче,— из аксиомы параллельности вытекает гипотеза прямого угла.

Доказательство этой теоремы хорошо известно из любого курса по геометрии.

Докажем, наконец, что постулат Валлиса равносилен гипотезе прямого угла и, следовательно, равносилен аксиоме параллельности и 5-му постулату. Напомним, что постулат Валлиса состоит в допущении, что существует два подобных и неравных треугольника.

Теорема: Если существуют два подобных и неравных треугольника, то сумма внутренних углов любого треугольника равна 2d.

Пусть даны два подобных и неравных треугольника ABC и АХВХСХ так что

(черт. 6).

Предположим для определенности, что АХВХ < AB. Отложим на сторонах AB и ВС, начиная от В, отрезки AtBx и В±Сг, пусть концы их падают в точки /Си/..

Треугольники BKL и A.BJC. равны

и

По предположению точка

К падает между А и В; убедимся прежде всего, что точка L не может упасть ни в С, ни вне ВС. Действительно, если бы так случилось, то ^cBLK оказался бы меньше < С, что противоречит условию. Таким образом четырехугольник AKLC необходимо выпуклый.

Подсчитаем сумму его внутренних углов. Имеем:

Сумма эта, с другой стороны, равна сумме всех внутренних углов обоих треугольников АКС и CKL, которые получаются, если в четырехугольнике AKLC провести диагональ КС. Если мы назовем сумму внутренних углов треугольника АКС через Sl, а сумму внутренних углов треугольника CKL через S2, то, следовательно, можно написать:

Из этого равенства вытекает:

1) либо Sx>2 d, S2<2 d;

2) либо St<2 d9 52>2 d;

3) либо St = 2 d, S2 = 2 d.

Но ранее было доказано, что не может существовать треугольника с суммой внутренних углов >2d, поэтому возможности 1) и 2) должны быть отброшены, а тогда остается, что St = S2 = 2d; значит сумма внутренних углов всякого треугольника равна 2d (мы опускаем доказательство утверждения, что если сумма внутренних углов одного треугольника равна 2d, то и сумма углов всякого треугольника будет равна 2d), и следовательно, из постулата Валлиса вытекает гипотеза прямого угла.

Теорема (обратная): Если сумма внутренних углов треугольника равна 2d, то существуют подобные треугольники — известна всем из решения задачи о построении треугольника, подобного данному, приводимой в любом учебнике геометрии.

§ 6. Гипотеза острого угла и аксиома параллельности в геометрии Лобачевского

Докажем теперь, что гипотеза острого угла, т. е. утверждение, что сумма внутренних углов треугольника меньше 2d, равносильна утверждению, что через каждую точку вне данной прямой можно провести бесчисленное множество прямых, не пересекающих данную прямую.

Теорема: Если сумма внутренних углов треугольника меньше 2d, то через каждую точку вне данной прямой в плоскости, определяемой этой прямой и точкой, можно провести бесчисленное множество прямых, не пересекающих данную прямую.

Примем утверждение, что <x.+$+*(<2d. Опустим из Л на а (черт. 7) перпендикуляр ААХ и построим прямую АВ=р перпендикулярно к ААХ. Как уже несколько раз отмечалось, прямая р || а.

Возьмем на а какую угодно точку С и построим треугольник ААХС. Обозначим углы этого треугольника через а, ß (§ — d), Y- П° принятой гипотезе a~bß + Y<C2tf, a так как ß = d, то a+*(<dd. Проведем теперь через А прямую Ах, образующую с АС угол у и идущую вне треугольника ААХ С. Эта прямая Ах прежде всего будет итти внутри угла (ВАС), ибо a+Y<> и, кроме того, она нигде не будет пересекать прямую а, так как если бы пересечение в какой-нибудь точке M произошло, то получился бы треугольник АСМ, в котором внешний угол равнялся бы одному из внутренних, чего быть не может. Итак, мы убедились, что, кроме прямой р, существует еще прямая Ах, которая тоже не пересекает а. Докажем теперь, что сверх этого любая прямая, проходящая через А и идущая внутри угла (ВАх) также не будет пересекать прямую а. Действительно, если бы какая-нибудь из таких прямых пересекла а в какой-нибудь точке N, то оказалось бы, что прямая Ах, идущая через А

внутри треугольника ACN, не пересекает его противоположной стороны CN, что невозможно (см. замечания к теореме о равносильности гипотезы прямого угла с аксиомой параллельности).

Таким образом мы убеждаемся, что в рассматриваемых условиях существует бесчисленное множество прямых, не пересекающих а.

Теорема (обратная): Если через каждую точку вне данной прямой в плоскости, определяемой этой прямой и точкой, можно провести две (следовательно, бесчисленное множество) прямые, не пересекающие данной, то сумма внутренних углов треугольника меньше 2d.

Доказательство от противного: Предположим, что .S=a+j}+у<2 d, тогда: 1) либо S = 2d, 2) либо S>2df но в первом случае через точку А можно было бы провести лишь одну прямую, не пересекающую а, что противоречит условию, a второй случай вообще, как мы уже знаем, невозможен. Следовательно, остается одно: 5=а+[$+у<2о?.

Только что доказанные две теоремы (прямая и обратная) хорошо уясняют, что появление в геометрии Лобачевского предпосылки, что через точку вне данной прямой в плоскости, определяемой этой прямой и точкой, можно провести бесчисленное множество прямых, параллельных данной, — предпосылки, которую Н. И. Лобачевский принимает вместо аксиомы параллельности и, опираясь на которую, развивает свою систему геометрии, — появление этой предпосылки совершенно не случайно, а предопределено внутренней структурой того пространства, к изучению которого мы подходим, вооружившись аксиомой Архимеда и тем способом измерения длин и углов, который установил Евклид. Нужно восхищаться глубиной геометрической интуиции (проникновения), с которой Лобачевский дошел до сознания допустимости такой предпосылки, и той настойчивости и упорству, с которыми он до самого конца проследил все вытекающие из нее следствия и построил законченное здание своей геометрии.

В кратких чертах история развития неевклидовой геометрии рисуется так. Все попытки доказать 5-й постулат, о котором мы выше говорили, привели в конце XVIII в. многих геометров к убеждению в недоказуемости этого постулата, и вместе с тем полученные при этих попытка наблюдения и результаты уже достаточно подготовили почву для создания геометрии, основанной на отрицании 5-го постулата. Неудивительно поэтому, что мысль о возможности другой геометрии, отличной от геометрии Евклида, зрела одновременно в умах нескольких геометров разных стран. Славу открытия неевклидовой геометрии по справедливости разделяют три человека: Гаусс (немец), профессор математики, весьма знаменитый также своими открытиями в других областях математики (1778—1855), Больяи (венгерец), инженерный офицер (1802— 1860) и наш соотечественник Н. И. Лобачевский, профессор математики Казанского университета (1793—1856). Из всех трех наиболее подробную разработку вновь созданной системы геометрии сделал Лобачевский. Свои результаты он изложил:

1) в докладе на заседании физико-математического факультета Казанского университета (1826);

2) в статье «О началах геометрии» в журн. «Казанский Вестник» (1829);

3) в большой работе «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (1835);

4) в работе, напечатанной на немецком языке, «Геометрические исследования по теории параллельных» (1840);

5) в работе, напечатанной на французском языке, «Пангеометрия» («Всеобщая геометрия») (1855).

Гаусс своих исследований по неевклидовой геометрии совсем не напечатал, и о его участии в создании этой геометрии можно лишь определить по высказываниям, которые он сделал в сохранившихся письмах к своим друзьям и по которым можно догадываться с большой долей достоверности, что Гаусс владел основными результатами неевклидовой геометрии еще за несколько лет до опубликования работ Лобачевского.

Больяи свои исследования опубликовал в 1832 г. в небольшой статье под заглавием «Приложение, содержащее абсолютное истинное учение о пространстве», ввиде приложения к книге своего отца (тоже математика).

Любопытна судьба творцов новой геометрии (не считая Гаусса, который, как сказано, своих исследований по этому предмету не опубликовывал и который был широко известен по другим своим работам). Ни Лобачевский, ни Больяи ни

у кого из современников не встретили признания важности своих работ (даже Гаусс, который сам вел работу в этом же направлении и который своим большим авторитетом мог бы их поддержать, по непривлекательности своего характера — завистливости, эгоизма и скрытности — не оказал им помощи); оба они умерли в безызвестности. Причины этого непризнания кроются в слишком резком противоречии логических концепций новой геометрии с геометрической интуицией их современников, слишком еще крепко связанных с пространством Евклида, и в отсутствии образов и примеров, на которых новая геометрия находила бы свое осуществление или применение. Отсюда недоверие к новой геометрии и опасение, не скрыто ли в ней все-таки противоречие. Н. И. Лобачевский много потратил усилий, как мы об этом подробнее скажем в следующем параграфе, на отыскание доводов, подтверждающих отсутствие в его геометрии внутренних противоречий. Больяи в это просто верил, привлекаемый строгостью и стройностью всех заключений новой геометрии, но вполне убедительных доводов ему найти не удалось. И только после работ Бельтрами (1865), показавших, что геометрия Лобачевского-Больяи находит свое почти полное осуществление на поверхности псевдосферы, новая геометрия получила свое признание и привлекла ряд математиков к ее усовершенствованию и к дальнейшему развитию заложенных в ней идей, а имена ее творцов получили заслуженную славу.

§ 7. Основные моменты и особенности геометрии Лобачевского и значение работ Бельтрами для этой геометрии. Методологическое значение геометрии Лобачевского

Для того чтобы лучше оценить методологическое значение геометрии Лобачевского и в частности ее роль в качестве стимула к критическому пересмотру всего фундамента геометрии и создания полного списка ее аксиом, изложим вкратце основные моменты и особенности этой геометрии.

А). Как уже было сказано выше, взамен аксиомы параллельных Евклида в геометрии Лобачевского принимается предпосылка— аксиома параллельности геометрии Лобачевского - Больяи: Через каждую точку вне данной прямой в плоскости, определяемой этой прямой и точкой, можно провести бесчисленное множество прямых, не пересекающих данной.

Среди этих прямых две занимают особенно выдающееся положение. Чтобы лучше разобрать суть дела, сделаем построение. Из точки Л опустим на а перпендикуляр ААХ и построим прямую АВ — р перпендикулярно к ЛЛГ Очевидно, прямая р принадлежит к числу прямых, проходящих через Л и не пересекающих а (черт. 8). Рассмотрим теперь всевозможные прямые, проходящие через А и входящие внутрь угла BAAV Среди этих прямых некоторые пересекают а (такие прямые по принятой аксиоме должны существовать), другие же не пересекают. В силу аксиомы непрерывности в пучках прямых должна среди всех рассматриваемых прямых существовать такая прямая Ах, отличная от р, которая отделяет прямые, пересекающие я, от непересекающих. Сама эта прямая должна быть отнесена к классу непересекающих. Действительно, если бы Ах пересекала а в некоторой точке М, то можно было на а выбрать такую точку N, чтобы M лежало между А и N, и тогда выходило бы, что луч AN проходит внутри угла (/?, л:) и пересекает а, что противоречит сделанному разбиению всех лучей, идущих из Л, на два класса. Все только что сказанное можно повторить относительно прямых, проходящих через Л и входящих внутрь угла B'AAV Следовательно, и внутри этого угла существует прямая Ах' (очевидно, симметричная с Ах относительно ЛЛ1), разделяющая прямые, пересекающие а, от непересекающих. Таким образом, всевозможные прямые, проходящие через Л, можно разделить на две группы: на прямые, идущие внутри угла хАх' (и противоположного ему угла уАу') и пересекающие я, и на прямые, идущие внутри угла хАу (и противоположного ему угла х'Ау') и не пересекающие я. Прямые Ах и Ах', разделяющие эти группы, называются параллельными или предельно параллельными) к а через Л. Другие прямые, не пересекающие я (следовательно, идущие внутри угла хАу), мы назовем квазипараллельными к я через Л.

Б. Острый угол хАА\ равный а,

называется углом параллельности для расстояния АА, равного 5. Лобачевский установил, что этот угол будет меняться при изменении 5, т. е. будет являться функцией о, т. е. ol—tz (а), где тг — значок функциональной зависимости, предлагаемый Лобачевским для этого случая. Лобачевским же была найдена для те (5) формула, именно:

где k — некоторая постоянная.

Из этой формулы видно, что при возрастании S от 0 до бесконечности угол параллельности а убывает от ~ до 0.

Если постоянную k принять бесконечно-большой, то для всякого Ь угол параллельности ос будет равен т. е. при бесконечно-большом k геометрия Лобачевского вырождается в геометрию Евклида. Функциональная зависимость между углом параллельности и расстоянием 8 часто также выражают формулой

которая прямо следует из формулы Лобачевского.

В. Отметим (без доказательства) некоторые свойства параллельных в геометрии Лобачевского в сопоставлении со свойствами параллельных в геометрии Евклида.

1. Если прямая а параллельна прямой Ь, то и прямая b параллельна прямой а. Таким образом, в геометрии Лобачевского взаимность параллелизма сохраняется.

2. Две прямые а и Ь, параллельные в одном и том же направлении третьей прямой с, параллельны между собой. Таким образом, транзитивность параллелизма в геометрии Лобачевского также сохраняется.

3. Расстояния точек одной параллельной до другой в одном направлении беспредельно уменьшаются, в другом же беспредельно растут. Здесь имеем резкое отличие от геометрии Евклида.

4. Если две прямые составляют с третьей равные соответственные углы, то они квазипараллельны, ибо в этом случае, как легко убедиться, обе первые прямые перпендикулярны к одной и той же прямой, следовательно, они не пересекаются, но в то же время не могут быть и собственно параллельными, так как угол параллелизма ни в одной точке прямой не может достигать значения —,

5. Очень интересной и тонкой теоремой, требующей довольно сложного доказательства, является следующая теорема: Две любые квазипараллельные прямые имеют один и только один общий перпендикуляр (т. е. только одну такую прямую, которая перпендикулярна как к одной из этих прямых, так и к другой). Это резко отличает квазипараллельные прямые в геометрии Лобачевского от параллельных в геометрии Евклида, где две параллельные имеют бесчисленное множество общих перпендикуляров.

6. Отметим, наконец, как курьез по сравнению с геометрией Евклида еще одну теорему, играющую в геометрии Лобачевского большую роль: Каков бы ни был острый угол, всегда существует одна и только одна такая прямая, которая перпендикулярна к одной из сторон этого угла и параллельна другой его стороне.

Г. В геометрии Евклида две прямые могут или пересекаться, или быть параллельными (что характеризуют, говоря, что такие прямые имеют общую бесконечно удаленную точку). В геометрии Лобачевского для двух прямых могут быть 3 случая взаимного расположения:

а) либо две прямые пересекаются; будем в этом случае говорить, что две прямые имеют общую собственную точку (или пересекаются в собственной точке);

б) либо две прямые параллельны; будем в этом случае говорить, что две прямые имеют общую бесконечно удаленную точку (или пересекаются в бесконечно удаленной точке);

в) либо две прямые квазипараллельны; будем в этом случае говорить, что две прямые имеют общую идеальную точку (или пересекаются в идеальной точке).

Имеет место следующая любопытная теорема: Перпендикуляры, восстановленные к серединам сторон треугольника, пересекаются в одной точке, которая может быть либо собственной, либо бесконечно удаленной, либо идеальной.

Сообразно трем возможным случаям пересечения двух прямых в геометрии Лобачевского могут быть три сорта пучков лучей: пучки с действительной вершиной, пучки с бесконечно далекой вершиной и пучки с идеальной вершиной. Характер центра пучка, очевидно, определится заданием двух каких-нибудь лучей этого пучка.

Пусть 5 — какой-нибудь пучок, а и а!—два каких-нибудь его луча (черт. 9). Две точки Л и Л' на этих лучах называются соответственными, если острые утлы SAA' и SA1 А равны между собой. Доказывается, что если взять в пучке какой-нибудь луч а и на этом луче какую-нибудь точку Л, то на каждом из остальных лучей пучка найдется одна и только одна точка, соответственная точке Л. Естественно возникает вопрос, что представляет собой геометрическое место точек всех лучей пучка, соответственных точке Л, взятой на одном из лучей?

Оказывается: 1) если центр пучка будет действительная точка, то это геометрическое место будет окружность;

2) если центр пучка будет бесконечно далекая точка, то это геометрическое место будет некоторая кривая, называемая предельной линией;

3) если центр пучка будет идеальная точка, то это геометрическое место будет некоторая кривая, называемая эквидистантой, т. е. линией равных расстояний, так как все точки этой кривой одинаково удалены от одной и той же прямой, служащей общим перпендикуляром ко всем лучам данного пучка.

Д. Отметим в качестве последнего из моментов, характеризующих геометрию Лобачевского, выражение для площади любого треугольника ABC в этой геометрии. Выводится, что эта площадь S имеет такое выражение:

где k — это та самая постоянная, которая фигурирует в формуле Лобачевского для угла параллельности, а Л, В, С — углы взятого треугольника. Выражение тс —(Л+ 5 + С) называется дефектом треугольника.

Этим мы заканчиваем перечень основных моментов, характеризующих геометрию Лобачевского, отсылая желающих изучить ее подробно к специальным книгам по этому предмету.

Следует заметить, что не сразу и нелегко далось Лобачевскому построение его системы. Самым тяжелым в его работе (не считая трудностей в разработке) была мысль, не приведет ли допускаемая им предпосылка о параллельных к противоречиям. Можно полагать по некоторым намекам, что в начале своей работы по намеченному пути Лобачевский, подобно Саккери и Ламберту, думал лишь о доказательстве 5-го постулата, но затем, по мере продолжения, все больше и больше склонялся к мысли, что он получает самостоятельную новую геометрию. Для того чтобы убедиться, что в этой геометрии не встретятся противоречия, он все дальше и дальше развивал следствия своей аксиомы. Построив планиметрию, он разрабатывает затем тригонометрию (в которой существенное и естественное применение получают гиперболические функции), потом стереометрию и в конце концов аналитическую геометрию. Дойдя до этого, он ставит свою геометрию в равноправное положение с геометрией Евклида, которая тоже была доведена до аналитической геометрии, и обе они, следовательно, теперь непротиворечивы постольку, поскольку нет противоречий в арифметике. Но за геометрией Евклида оставалось то преимущество, что она находила свои применения в физике, механике, астрономии и др. Лобачевский упорно ищет оправдания своей геометрии в окружающей действительности и не находит его, умирая непризнанным, безызвестным. Но вот в 1865 г. Бельтрами (1835—1900) опубликовывает свои работы по исследованию поверхности так называемой псевдосферы, и отношение к геометрии Лобачевского резко меняется. Чтобы лучше понять причину этой перемены, изложим вкратце сущность результатов Бельтрами.

Поверхностью псевдосферы называется поверхность, получаемая вращением около оси кривой, называемой трактриссой, уравнения для которой в параметрической форме следующие:

Форма этой поверхности изображена на черт. 10. Как установил Бельтрами, эта поверхность имеет в каждой своей точке

постоянную отрицательную гауссову кривизну k = —\/a2, где а радиус сечения псевдосферы плоскостью хОу (для шара радиуса а кривизна k=\/a2; от сходства кривизн этих поверхностей и возникло название «псевдосфера»). Как известно из курса дифференциальной геометрии, на каждой поверхности можно определить линии, осуществляющие кратчайшее расстояние между двумя точками этой поверхности, если от одной точки к другой перемещаться не сходя с поверхности. Такие линии называются геодезическими линиями этой поверхности. Так, например, на поверхности шара геодезическими линиями будут дуги больших кругов, на поверхности цилиндра — дуги винтовых линий, на поверхности конуса — дуги конических винтовых линий (лаксодромы) и т. д.

Геодезические линии для поверхности играют роль прямых линий для плоскости. Можно рассматривать углы, образованные двумя геодезическими линиями на поверхности, треугольники, геодезические круги и т. д., словом, на каждой поверхности можно строить и изучать геометрию ее геодезических линий. Так вот Бельтрами в своей работе показал, что на поверхности псевдосферы геометрия геодезических линий приводит к тем же самым соотношениям, которые имеют место в геометрии Лобачевского, и тем самым как бы осуществил эту геометрию на псевдосфере. После этого, как уже было сказано, интерес к геометрии Лобачевского сразу значительно возрос и целый ряд математиков занялся ее усовершенствованием и дальнейшим развитием заложенных в ней идей.

Подводя итоги этой главы, мы скажем, что длительная и поучительная история подготовки и создания неевклидовой геометрии Лобачевского поставила во второй половине XIX века ребром вопрос о необходимости критического пересмотра всего фундамента геометрии — пересмотра, приведшего в конце этого века к построению первой более или менее удовлетворительной и полной системы аксиом геометрии,— пересмотра, не прекращающегося: еще и до настоящих дней, но об этом в следующей главе.

О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКАХ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ КООРДИНАТАМИ ВЕРШИН

Проф. Л. И. КРЕЕР (г. Орджоникидзе)

Задача заключается в следующем: на плоскости начерчена сетка квадратов, со стороной, равной единице; можно ли на ней поместить правильный многоугольник так, чтобы все его вершины совпали с вершинами квадратов?

Мне передавали, что частный случай такой задачи (правильный треугольник) был предложен на одной из математических олимпиад Москвы в 1934 или 1935 г.*.

Здесь будет доказано, что за исключением того очевидного случая, когда правильный многоугольник есть квадрат, задача эта невозможна.

Начнем с правильного треугольника. Пусть возможно построить правильный треугольник ЛВС так, чтобы его вершины совпали с вершинами сетки. Обозначим <4 CACt = а; 2} ВАВХ = ß (см. черт. ); очевидно, tg а и ig ß — числа рациональные, так как i4Clf CCV АВ1У ВВХ выражаются целыми числами; поэтому

* Задача эта, предложенная Я- Б. Перельману, помещена в № 6 нашего журнала за 1936 г. Решение ее (см. «Математика в школе», № 3, 1937 г.), данное Я. Б. Перельманом, по существу совпадает с приведенным в настоящей статье.

также рациональное число, но

число иррациональное.

Полученное противоречие доказывает невозможность такого построения.

Перейдем теперь к любому правильному л-угольнику и докажем теорему.

Теорема. «Для того чтобы вершины правильного многоугольника совпали с вершинами квадратной сетки, необходимо 1) чтобы тангенс его центрального угла был рационален; 2) чтобы ]/l + k2 было число рациональное, где k = тангенсу центрального угла».

Пусть вышеуказанное наложение правильного n-угольника на квадратную сетку возможно и AB = АС — его стороны (см. черт.). Угол ВАС этого правильного многоугольника = 180° (п — 2) : п. Пусть ^ CACt = ol\ <4 ВАВХ = ß.

Следовательно,

т. е. равен центральному углу многоугольника.

Так как tga и tgß как отношения целых чисел рациональны, то рационален также и

Этим доказана первая часть теоремы.

Для доказательства второй части теоремы учтем равенство сторон многоугольника.

Пусть АСХ = /; ССХ = т; АВХ = lt; BBt = mlf где по условию: /, m, lv mt — целые числа.

Пусть

где k — число рациональное, согласно первой части теоремы. Имеем

Отсюда, так как

(1)

Но так как AB = АС, то

(2)

Подставляя в (2) выражение для из (1) получаем

или:

Отсюда:

т. е.

есть число рациональное.

Этим доказана и вторая часть теоремы.

Прежде чем продолжить наше изложение, полезно заметить, что для правильного 8-угольника выполняется первая часть теоремы, но не выполняется вторая часть:

центральный угол = 45°; tg 45° ==1 — число рациональное k = 1

иррациональное число.

Следовательно, 8-угольник не наложим на квадратную сетку.

Для шестиугольника, наоборот, не выполняется первая часть теоремы, но выполняется вторая:

Следовательно, и для 6-угольника вопрос решается отрицательно.

Для полного исчерпания вопроса нам надо доказать следующие 2 простые леммы.

Лемма I. Если tgcp не выражается рациональным числом, то это же будет иметь место и для

где т= 1, 2, 3...

В самом деле, допустим обратное: пусть

равен рациональному числу тогда

равен рациональному числу

рационален. Продолжая, докажем, что и

рационален и т. д. и, наконец, что tgç рационален, что противоречит условию.

Лемма II. Если тангенс центрального угла правильного многоугольника рационален, то последний построим линейкой и циркулем, причем такое построение не потребует ничего, кроме откладывания двух взаимно перпендикулярных рациональных отрезков.

В самом деле, при центре данного круга строим угол а такой, тангенс которого есть данное рациональное число. Тогда построена будет сторона искомого многоугольника, если он существует.

Примечание. Обращаем внимание на то, что в этой лемме не идет речь о наложении правильного многоугольника на квадратную сетку, а вообще о его построении линейкой и циркулем.

Теперь мы в состоянии полностью доказать, что никакие правильные многоугольники, за исключением квадрата, не наложимы на квадратную сетку так, чтобы вершины их совпали с вершинами последней. Это верно при п = 3, п = 5, ибо tg 120° и ig 72° иррациональны, т. е. не выполняется первое требование теоремы. Из леммы I заключаем, что это остается верным и для правильных многоугольников при п=2т . 3; п = 2т . 5; т=\, 2, 3... При п = 8 выполняется первое требование, но не выполняется второе (см. выше), следовательно, не наложимы на сетку правильные многоугольники при п = 2т, m = 3, 4, 5... (согласно теореме и лемме I). Утверждение остается справедливым и для так называемых правильных многоугольников Гаусса (например п = 17), так как известно, что тангенсы центральных углов таких многоугольников не рациональны, а содержат цепь квадратных радикалов. Следовательно, согласно лемме I, не наложимы на сетку и их удвоения. Подавно, это верно для правильных многоугольников, не построимых линейкой и циркулем (например, при п = 7; 9; 11). В самом деле, допуская противное, мы из нашей теоремы должны были бы заключить, что тангенс центрального угла такого многоугольника рационален, но тогда такой многоугольник был бы, согласно лемме II, построим линейкой и циркулем.

Также не наложимы на квадратную сетку многоугольники с числом сторон M = пг • п2 • я3 ... nky где nv л2, п3...пк числа сторон многоугольников предыдущих видов. В самом деле, допуская противное, мы имели бы, что тангенс центрального угла такого многоугольника рационален (согласно теореме); но тогда такой правильный многоугольник, согласно лемме II, можно было бы построить помощью одних лишь рациональных отрезков. Но хорошо известно*, что деление окружности на N равных частей требует предварительного деления на nv п2> nv.. равных частей, но выше было показано, что при этом нельзя обойтись одними рациональными отрезками.

Полученный результат можно усилить:

1. Никакие 3 последовательные вершины правильного n-угольиика при п =^=4 не могут совпасть с вершинами сетки.

2. Никакие 3 последовательные вершины правильного n-угольника п ф 4 не имеют не только целочисленных координат, но и рациональных.

Это вытекает из того, что в наших рассуждениях ничего не изменилось бы, если бы вместо целых чисел /, ту lv тх мы взяли любые рациональные числа.

* Например, чтобы разделить окружность на 15 равных частей, надо ее предварительно разделить на 6 и на 10 частей, так как

О ПОСТРОЕНИИ ОДНОГО ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА

Доц. С. ЗЕТЕЛЬ (Москва)

1. Геометрическое место, о котором идет речь в настоящей статье, есть место точек, отношение расстояний которых до сторон угла равно —.

Искомым геометрическим местом является прямая, исходящая из вершины угла и проходящая через одну из точек искомого геометрического места.

Построение одной точки искомого геометрического места производится следующим образом (см. Адамар, Адлер, Александров и др.): к сторонам угла восстанавливаются перпендикуляры, на которых соответственно откладываются отрезки, равные т и п единицам, через полученные после отложения точки M и N проводятся прямые, параллельные сторонам угла (черт. 1).

К — точка пересечения проведенных параллелей принадлежит искомому геометрическому месту.

ВК—прямая, соединяющая вершину угла с найденной точкой,— искомое геометрическое место.

Цель настоящей статьи дать более простое построение рассматриваемого геометрического места.

Предлагаемое мною построение основано на следующей теореме.

«Медиана треугольника есть геометрическое место точек, расстояния которых до сторон угла, из вершины которого медиана выходит, обратно пропорциональны соответствующим сторонам треугольника!.

Доказательство.

Пусть в треугольнике ЛВС (черт. 2) АО— медиана, выходящая из вершины Л.

Треугольники ADB и ADC равновелики, так как они имеют общую высоту и равные основания ВО и DC. Из равновеликости треугольников следует, что

AC.DF = AB.KD.

Следовательно,

Возьмем произвольную точку Р на медиане. Опустим из Р перпендикуляры на стороны АС и AB. Из подобия треугольников ADF и АРМ имеем:

Из подобия треугольников ADK и APN имеем :

Следовательно,

Легко может быть доказана и обратная теорема. Приведенное свойство медианы может быть использовано для построения интересующего нас геометрического места.

Действительно, для построения геометрического места точек, отношение расстояний которых до сторон AB и СВ равно — , поступаем следующем образом:

Откладываем от вершины В (черт. 3) данного угла на стороне AB отрезок BN, равный п единицам, а на стороне ВС отрезок ВМ равный m единицам. Проводим прямую MN. Из вершины В данного угла проводим медиану BF. Докажем, что BF— искомое геометрическое место. Возьмем на BF произвольную точку К и опустим из той точки перпендикуляры KL и КЕ

на стороны AB и Л С. Тогда по свойству медианы получим:

Если гп = п, то прямая BF — биссектриса угла.

2. Рассмотрим построение геометрического места точек, отношение расстояний которых до двух пересекающихся прямых (но не до сторон угла) равно —,

Искомое геометрическое место состоит из двух прямых, проходящих через точку пересечения двух данных. В курсах Адамара, Адлера, Александрова при построении второй прямой не используется первая прямая.

Мы показали, что построение одной из этих прямых может быть упрощено, теперь покажем, что, построив одну прямую, мы легко сможем построить вторую.

Докажем следующую теорему: «Прямая, проходящая через вершину треугольника, параллельно основанию, есть геометрическое место точек, расстояния которых до сторон внешнего угла при вершине обратно пропорциональны соответствующим сторонам».

Доказательство. Пусть в треугольнике ABC (черт. 4) сторона AB продолжена за вершину Л до точки D так, что АО равно AB.

Медиана АР треугольника DAC есть искомое геометрическое место. Так как АР есть средняя линия треугольника BÛC, то теорема доказана.

Итак, искомое геометрическое место состоит из медианы треугольника, определенным образом построенного, и из прямой, проведенной из вершины треугольника параллельно его основанию.

Изученное нами геометрическое место позволяет легко решить две следующие задачи:

1. «В плоскости треугольника найти точки, расстояния которых до сторон треугольника обратно пропорциональны сторонам».

Задача решается просто. Точка пересечения медиан треугольника и три точки пересечения прямых, параллельных сторонам треугольника и проходящих через его вершины являются искомыми точками.

2. «В плоскости треугольника найти точки, расстояния которых до сторон треугольника пропорциональны сторонам треугольника».

Решим ранее вспомогательную задачу: в треугольнике ABC из вершины Л (черт. 5) провести прямые AS и AN, служащие геометрическим местом точек, расстояния которых до сторон АС и ВС пропорциональны этим сторонам. Для построения прямой AS отложим на стороне АС от точки Л отрезок AD, равный AB, и на стороне AB — отрезок АЕ, равный АС. Точки Е и D соединим. Медиана AS треугольника АБО и прямая AN, параллельная ED, являются искомыми прямыми.

Медиана AS треугольника A DE для данного треугольника ABC служит симедианой. Симедиана симметрична медиане относительно биссектрисы. Треугольники ABC и АЕ D равны между собой. Прямая ED антипараллельна ВС (углы при вершинах В и С треугольника ABC соответственно равны углам О и Е при вершинах треугольника ADE).

Теперь приступим к решению задачи: найти точки, расстояния которых до сторон треугольника пропорциональны сторонам. Легко видеть, что точка пересечения симедиан треугольника и три точки пересечения прямых, антипараллельных сторонам треугольника и проходящих через его вершины, являются искомыми точками.

ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ ПАР НЕСОИЗМЕРИМЫХ ОТРЕЗКОВ

В. БАРАНОВСКИЙ (Одесса)

Цель заметки — напомнить простейшие примеры пар несоизмеримых отрезков, иррациональное отношение которых непосредственно обнаруживается на втором шаге применения алгорифма Евклида.

I. Общеизвестным классическим примером, идущим к нам от пифагорийской школы, является несоизмеримость стороны и диагонали квадрата (черт. 1) AM = = МК как катеты равнобедренного треугольника АМК; МК = КС как касательные к ^МС; далее следует откладывать AM на AK, т., е. искать общую меру между стороной и диагональю квадрата AMKN,— получается бесконечный спуск.

Если

Из подобия Д ABC и Д АМК находим:

г. е.

беря отношения суммы членов к последующим:

откуда

наконец:

В конечном же виде:

Предельная точка спуска — А (черт. 2). Геометрически спуск состоит из бесконечного числа колебаний от С к А (С-*Мг;

Сделаю здесь же два замечания, которые понадобятся в дальнейшем. При нахождении общей меры двух отрезков можно: 1) искать общую меру между их рациональными частями (т. е., скажем, между ^ одного и ~ другого), вообще между их рациональными кратными; 2) отложив меньший отрезок на большем, мо.кно отрезок-разность откладывать на любом из данных отрезков или на любой рациональной части (рациональном кратном) одного из них. Так, из несоизмеримости стороны и диагонали квадрата следует несоизмеримость его стороны и диагонали, т. е. несоизмеримость стороны вписанного квадрата с радиусом. Далее, проводя в Д ABC (черт. 3) биссектрисы углов .4 и ß

Черт. 1

Черт. 2

* Д. Граве, Энциклопедия элементарной математики. Геометрия Давыдова и др.

и из точки их пересечения О опуская перпендикуляры на стороны Д ABC, находим:

Половины диагонали квадрата AB отложены на сторонах квадрата АС и ВС. Следовательно, OD несоизмерим с DB, т. е. катеты треугольника с острым углом в— d несоизмеримы, или, иначе, сторона (00' = 2 OD) и апофема (BD) правильного восьмиугольника несоизмеримы (</т0В01 = — d; если В — центр, OB — радиус, то 00г — сторона, a BD — апофема правильного вписанного восьмиугольника).

II. Вторым примером простейшей пары несоизмеримых отрезков являются сторона и диагональ правильного пятиугольника (черт. 4). а5 = 108°. Отложим AB на АС до М. Д ВАМ — равнобедренный; ^ ВАМ = 36°, £ AM В = £ АВМ = = 72° ; ^ ВМС = 108° ; £ MC В = 36°= = МВС. Следовательно, отыскание общей меры для AB и АС приводит к отысканию общей меры для MC и СВ, т. е. опять для стороны и диагонали правильного пятиугольника — бесконечный спуск. Пусть AB = 1, АС = х; тогда MC — = х— 1.Из подобия /\АВС и Д ВМС следует:

т. е.

В конечном же виде:

Предельной точкой бесконечного спуска можно взять как С, так и О (черт. 5). Рассматриваемый случай представляет так называемое «золотое сечение» диагонали правильного пятиугольника, т. е. деление ее в крайнем и среднем отношениях:

Отсюда же непосредственно следует несоизмеримость стороны правильного десятиугольника (В M = MC) с радиусом описанной окружности (АМ=АВ), так как центральный угол против стороны правильного десятиугольника равен 36°:

Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5

Да:ее, так как ^ ВОС = 36° и 50 = = ОС, то ВС и ВО — тоже несоизмеримы.

В старых изданиях «Геометрии» Киселева этот случай рассмотрен как «несоизмеримость основания и боковой стороны равнобедренного треугольника с углом при основании, равным — ».

III. Наконец, третьей простейшей парой несоизмеримых отрезков являются сторона и высота правильного треугольника (черт. 6). Отложим BD на В А до M и проведем МК \_АВ. Отрезок AM будем откладывать не на BD, а на как катет против угла в 30°. KD = MK как касательные к MD. Итак следует теперь искать общую меру для AM и МК (=/Г>), т. е. для АК и МК—стороны и высоты правильного Д ANKy—получается бесконечный спуск.

Пусть AB = 2; BD = x; тогда AM — = 2 — х; MK=KD = \ — 2 (2 — jt) = = 2х — 3; АК=2 АМ = 4— 2х\ из подобия ДД ABD и АМК:

беря отношения сумм к последующим членам, получаем:

а после умножения на 2:

отсюда

В конечном же виде:

Предельная точка бесконечного спуска — А (черт. 7).

Из несоизмеримости стороны и высоты правильного треугольника следует несоизмеримость стороны и меньшей диагонали правильного шестиугольника (иначе — стороны правильного вписанного треугольника) с радиусом (черт. 8): / а= 120°; ^/ АС В = ABC = 30° (черт. 8). AD _L СВ, Д CA D — половина правильного Д АОС.

Черт. 6

Черт. 7

Поэтому CD несоизмеримо с CA = ОС. Если CD = х, то СБ = 2х; пусть CA = /?, тогда

В журнале «Математическое образование (№ 8 за 1914 г.) разобранный случай указан Е. Томашевичем (Москва) как теорема: «Диагонали ромба, составленного из двух равносторонних треугольников, несоизмеримы», но доказательство проведено иным, более сложным построением, следствия из теоремы не указаны.

В «Методическом пособии по геометрии» Р. В. Гурвица и Ю. О. Гангнуса (ч. I) на стр. 157 укр. 2-го издания рассмотрен только случай несоизмеримости стороны и диагонали квадрата и указано на несоизмеримость стороны и основания равнобедренного треугольника с углом в 36° при основании.

Каждый из рассмотренных трех примеров (I, II, III) имеет свои учебные достоинства и недостатки:

I, переданный нам историей как классический образец, приводит к одночленному иррациональному выражению (|/2 ), но не является простейшим по построению, не допускает естественного переноса предельной точки спуска (для получения большей наглядности) и, если так можно выразиться,—-не богат следствиями геометрического содержания.

II наиболее прост по построению, допускает перенос предельной точки спуска, наиболее богат следствиями геометрического содержания, но приводит к сложному иррациональному выражению

III способствует более углубленному пониманию алгорифма Евклида, не сложнее I по построению, но богаче его по геометрическим следствиям, не допускает переноса предельной точки, приводит к простейшему иррациональному выражению О^з“).

Поэтому мне кажется, что ограничиваться в школе рассмотрением только одного из указанных случаев не следует, рассматривать же все три, пожалуй, много; любая же парная комбинация — I и II, 1 и III, II и III,— повидимому, будет достаточной (конечно, без разложения иррациональных выражений в непрерывные дроби).

Черт. 8

МЕТОДИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ПОВЕРХНОСТЯМ И ОБЪЕМАМ

ПРОФ. Д. МОРДУХАЙ-БОЛТОВСКОЙ (Ростов на Дону)

§ 1. Около понятий поверхности и объема сосредоточиваются очень интересные, но вместе с тем и очень трудные проблемы.

Прежде всего проблема терминологии*.

Слово «поверхность» употребляется для названия самого геометрического объекта (двумерного многообразия): сфера, эллипсоид, гиперболоид, параболоид — поверхности. Но говорят также: поверхность прямого круглого цилиндра равняется произведению площади основания на высоту.

Говорят о формуле для поверхности наряду с уравнением поверхности. Ясно, что в первом случае слово поверхность понимают совершенно в ином смысле, чем во втором.

Некоторые выходят из затруднения тем, что заменяют во втором случае слово поверхность двумя: «величина поверхности»**. Но, во-первых, это чересчур громоздко; во-вторых, это и не вполне гармонирует с обычным пониманием величины поверхности.

Величина горы определяется ее высотой или объемом.

Другие же предлагают во втором случае вместо поверхности площадь, что соответствует французскому «aire», употребляемому во втором смысле, в то время как «surface» употребляется в первом. Но на русском языке термин площадь уже по своему корню тесно связан с «плоскостью» и не подходит к кривой поверхности.

Вне сомнения он будет лучше, если установить то, что кривая поверхность не определяется непосредственно, а только как предел площадей граней многогранника. Это и делается для цилиндра и конуса, но, как увидим ниже, не может уже быть сделано для сферы. Но и для цилиндра и конуса все-таки это мало помогло бы делу, ибо для оправдания этого термина пришлось бы употребить другой термин, объясняя, что определение такой-то величины мы сводим к определению предела площади, а потому и ее называем площадью.

Можно, правда, совершенно разорвать с тем понятием кривой поверхности, которое непосредственно дается интуицией, и сказать: «Боковой площадью цилиндра я называю предел боковой площади вписанной в нее призмы». Но тогда ученик может спросить: как мы находим в неплоскости площадь?

Этот на первый взгляд пустяшный вопрос совсем нелегко разрешить. Я не нахожу подходящего термина и остаюсь при старом термине поверхность с двояким смыслом.

§ 2. Целью настоящей статьи является критический обзор различных приемов вывода объемов и поверхностей.

Здесь мы больше, чем в каком-либо другом месте геометрии, имеем сожительство методов различных эпох.

Когда я учился в гимназии, мы должны были обязательно пройти по «чортовой лестнице» (которую можно найти в старых изданиях Давидова), через апагогическое доказательство (доказательство от противного) равновеликости треугольных пирамид с равными высотами и равновеликими основаниями.

Метод доказательства — это античный

* Д. Мордухай-Болтовской, Школьная геометрическая терминология, математика в советской школе, № 3, Учпедгиз 1932, стр. 49—54. Про украиньску ти про русску математику терминол, «Зборник Наук. Тов. имени Шевченко», т. 28, 1930,

** Поссе, Курс диференциального и интегрального исчисления, .гл. XI. § 5, стр. 662.

метод исчерпывания*, причем, во-первых, не евклидовой, а архимедовой формы; во-вторых, несколько видоизмененный, главным образом, благодаря арифметизации, которой подверглась геометрия Лежандром.

Я вкратце набросаю общую схему евклидова метода исчерпывания. Эта схема лежит в основе апагогических доказательств пропорциональности дуг и углов, отрезков линий, отсекаемых параллельными прямыми, и т. д. — в случаях «несоизмеримости», которые сейчас совершенно исчезли из геометрических учебников.

Евклиду, кроме одного случая — объема треугольной пирамиды, — везде удается определить не поверхности и объемы, а только их отношения.

Если Евклиду нужно доказать, что

(1)

он предположит противное:

(2)

Для исключения первого случая он пользуется рядом величин иного рода, чем А и В:

(3а)

но таких, что (1) все числа (За) будут меньше А и (2) разность А — Ра(п> при надлежащем п может быть сделана меньше любой величины (можно сказать, в какой угодно мере исчерпана). Такой же ряд берется и для В:

(3в)

и дальше доказывается, что

(4)

Но тогда п можно взять настолько большим, чтобы разность В — Рь(л> была меньше В — ху тогда Р^п)>х.

С другой стороны, по предположению Р<«><Л.

Сравнение пропорций (2) и (4) дает:

Это же при Ра(п)<СА, Я0<л)>а: невозможно, как это следует из теории пропорций Евклида (V книга «Начал»).

Совершенно таким же образом с помощью рядов:

таких, что разности QJ“) — Л, Qb<“> — В могут быть исчерпаны, исключается и второй случай.

Только архимедовы методы* дают возможность доказать равновеликость. Я укажу только первый архимедов метод, применяющийся к определению объема коноида (тела вращения параболы), причем даю ее не вполне в архимедовой форме, а в той видоизмененной, каковую мы находим, например, в «чортовой лестнице». Для того чтобы доказать, что А = В, мы составляем две пары рядов:

дающих Л и В по недостатку и избытку и таких, что разности Qa(n> — PJ*\ Qb(n) — рь(п) М0ГуТ быть сделаны как угодно малы. При этом Р, Q образуются как суммы:

Доказываем, что

и отсюда

Невозможность А — В>0 (или А — — В<0) доказывается тем, что а/п> больше А — В, или В — Л, и может быть сделано меньше заданной величины со.

В «чортовой лестнице» за а, а принимаются входящие и выходящие треугольные призмочки,

§ 3. Методическая задача об упрощении методов исчерпывания решается Лежандром с помощью арифметизации, причем тем же приемом для поверхностей и объемов, что и для дуг и площадей.

Пусть площадь основания (площадь круга) цилиндра равна С, а высота И. Требуется доказать, что объем цилиндра равен CH.

Предположим, что этот объем выражается не числом СН9 а большим. Тог-

* 3. Д. Мордухай-Болтовской, Метод исчерпывания, «Математическое образование» № 6, 1928.

* «Архимедов метод о шаре и цилиндре», перев. Петрушевского.

да СН выражает объем цилиндра, имеющего ту же высоту Н, но меньшее основание, которое мы можем принять равным площади некоторого круга, находящегося внутри основания данного цилиндра и концентричного с ним.

Но нетрудно описать около этого второго цилиндра призму, целиком входящую в первый цилиндр. Пусть площадь основания этой призмы равна S.

Так как ее объем больше объема вписанного в нее цилиндра (объем которого по условию равен СН), то получаем:

5Я>СЯ. (1)

Но, с другой стороны, площадь 5 целиком лежит внутри основания (равного С) данного цилиндра, и поэтому

S<C,

откуда

SH<CH. (2)

Из сопоставления (1) и (2) доказывается невозможность первого предположения.

Таким же образом доказывается невозможность второго предположения, что объем цилиндра меньше CH.

Совершенно так же выводятся поверхность цилиндра, объем и поверхность конуса.

Лежандр* определяет методом исчерпывания и поверхность и объем шара. Для дальнейшего нам важно остановиться на поверхности.

В основе лежит лемма (черт. 1):

«Пусть PB, В А, АС — несколько последовательных сторон правильного многоугольника. О — его центр и 01 — радиус описанного круга. Если предположить, что часть многоугольника РВАС, находящаяся, с одной стороны диаметра 10, обращается около него, то поверхность, описываемая РВАС, будет иметь мерой произведение MQy^otcp Ol, где MQ — высота поверхности, или часть диаметра, заключенная между перпендикулярами РМ и CQ».

Теорема X: Поверхность шара равна произведению его диаметра на окружность большого круга — доказуется методом исчерпывания, предполагая, что lOy^okp JAG больше этой поверхности и потому равно поверхности большей сферы, описанной полуокружностью, концентричной JAO.

На основании приведенной сейчас леммы обнаруживается, что тело, получаемое вращением многоугольника, описанного около 10, с одной стороны, больше ЮуС^окр IAO, с другой стороны, на основании теоремы, что объемлющая выпуклая поверхность больше объемлемой — меньше той же величины. Таким же образом рассматриваются и другие предположения.

Почему метод исчерпывания даже в этой упрощенной арифметизированнэй форме неприемлем для школы?

Не только вследствие громоздкости доказательства, но и в силу особой психологии доказательств от противного. Логика Арно* совершенно справедливо рекомендует предпочесть прямое доказательство апагогическому.

Апагогическое доказательство говорит, что «это так», но не говорит «почему»; оно доказывает, вынуждая согласиться, но не объясняет. Но молодой ум в высокой мере требует именно этого последнего.

Что это так — это было скоро осознано после Лежандра. Учебники лежандрова типа, начиная с элементов Лежандра в ранних изданиях, изгоняют лежандров метод исчерпывания и становятся на точку зрения д'Аламбера (т. е. точку зрения теории пределов).

§ 4. Выводы поверхностей и объемов круглых тел с помощью теорем пределов неизбежны. Можно, конечно, пойти и дальше теории пределов, т, е, в элементарной геометрии не давать элементарных выводов объема, а по ознакомлении с кратким курсом анализа найти его интегрированием.

Но спешка с диференцированием и интегрированием, требующими практики, которую не может дать средняя школа, не может быть одобрена. В элементарную математику должны войти не формальные операции, а идеи высшей математики.

* Лежандр, Элементы геометрии.

* Arnauld, Nouveaux Elements de Géométrie, L'art de penser. Paris 1686.

Собственно говоря, в отделе измерения круга мы имеем в скрытом виде эти идеи. И представляется методической ошибкой именно то, что даются они в скрытом, а не в явном виде.

Этим создается неправильное представление, будто эти результаты достигаются совсем без высшей математики, хотя там, куда приводит бесконечность, всегда уже есть высшая математика.

Только стремление подчеркнуть элементарность изгоняет бесконечно-малое из элементарной геометрии, но она остается все-таки при пределе, в который бесконечно-малое входит неявно. Но бесконечно-малое не более страшно, чем предел. Оно должно быть внесено в теорию пределов вместе с понятием об эквивалентности.

Тут, конечно, затруднение в доказательстве основной леммы анализа о возможности замены предела суммы элементов эквивалентами. Но некоторое напряжение мысли учащегося при выяснении этого общего и абстрактного положения искупится огромной пользой от нее, экономизирующий в других местах работы его мысль.

§ 5. Здесь я должен подчеркнуть огромное значение «леммы Гурьева»*, которая, как показывает мой школьный опыт, легко уясняется учениками. Ее можно применять и обходя основную лемму анализа и прилагая ее не к эквивалентам, а к самим суммам. В самом общем виде она относится к неравенству:

х<У<г,

где Ху у у z— переменные, и утверждает, что если lim х = lim z = А, то также \\ту = А. Ее можно выставить прямо как очевидное положение и пояснить конкретным образом.

Чаще приходится иметь дело с частным случаем, или, лучше сказать, вырождением, относящимся к неравенству:

X < А < Zy

где А — постоянное, а именно тогда при Hm X = lim z имеем: lim х = lim z = Л.

При определении площади круга х — площадь вписанного многоугольника, z — описанного многоугольника, а А площадь круга; при определении объема цилиндра X — объем вписанной, у — объем описанной призмы и т. д.

Но мы рекомендуем применять лемму Гурьева к доказательству эквивалентности бесконечно-малых.

От неравенства а<а<а идем к

и доказательство сейчас же приводит к тому, что и

Здесь лемма Гурьева фигурирует в третьей форме:

А<у<г

lim z = Л, поэтому и \\ту = А.

Для кругов а — сектор О aibo, or11 треугольник Oab и а — треугольник Oed (черт. 2). В случае объема тела, ограниченного поверхностью и двумя параллельными плоскостями, а — входящий цилиндр а — выходящий.

§ 5. При всей своей методической отделанности обычный вывод объема шара как предел объема тел, полученных вращением вписанного многоугольника, все-таки труден; для среднего ученика можно рекомендовать теперь почти везде провести расчленение на леммы и главную часть.

Конечно, можно переработать вывод объема так, чтобы ясно выступало применение основной леммы анализа, для чего пришлось бы доказывать эквивалентность а (поверхность тела, описываемого входящим треугольником Oab), а (описываемого выходящим), и поверхности шарового сектора.

Есть другой вывод, который легче под-

* Гурьев, Основания геометрии, СПБ 1825; Опыт об усовершенствовании геометрии, СПБ 1798.

У Гурьева это положение, которым он постоянно пользуется, не возводится в лемму. Так впервые я начал ее называть.

водится под нашу схему, приводящий к суммированию:

К сожалению, вывод, выраженный для суммы &2(п\ может быть только искусственно получаем сложением выражений:

по формуле бинома Ньютона. Он усваивается трудно.

Здесь мы за эквиваленты объема сферических слоев, полученных вращением криволинейной трапеции avqb (черт. 3), принимаем цилиндры, описываемые входящими прямоугольниками fqab = CL и выходящими avsb ~ а. Имея в виду, что

мы обнаруживаем, что

искомый объем =

сводим к

Такой вывод, зависевший от вывода Нпк72(л), мы, пожалуй, никому не рекомендовали бы, если Нт52(л) было бы использовано только при выводе объема шара. Но к той же сумме приводит и определение объема треугольных пирамид, для которых а являются входящими, a а — выходящими треугольными призмочками, употребляемыми в «чортовой лестнице».

§ 6. Но многим методистам эти методы кажутся слишком громоздкими.

Иногда применяется принцип Кавальери*, состоящий в следующем:

Если мы имеем два тела, ограниченные поверхностями и двумя параллельными плоскостями Р, Q, при этом все сечения плоскостями Р и Q этих тел равновелики, то равновелики и эти тела.

Я считаю необходимым рекомендовать осторожность с применением этого принципа.

Здесь обычно при уяснении этого принципа (строгого доказательства ему не дают) мыслят актуально бесконечно-малыми, причем здесь это актуально бесконечно-малое в особенности опасно. Происходит то, в чем обвиняли Кавальери его противники,— отожествление объемов с плоскостями, площадей с линиями.

Я считаю возможным введение его только после его доказательства с помощью упомянутой выше леммы анализа:

Далее следуют замены эквивалентными входящими и выходящими цилиндрами abpq и a'b'p'q':

и доказательство равновеликости а№ = а^) и уже отсюда vt = i/2.

Можно итти довольно далеко, как это показывает Гейнце, не прибегая к технике интегрального исчисления, а пользуясь только его идеями и употребляя две операции:

1) замена в сумме элементов эквивалентами;

2) применение принципа Кавальери.

Можно итти с помощью первой операции от объема призмы к объему пирамиды, от объема пирамиды к объему конуса, от призмы к цилиндру, а при определении объема шара пользоваться принципом Кавальери. Вне сомнения, что это простейший вывод.

§ 7. Мы сейчас говорили об объемах. Но эта задача более легкая, чем задача о поверхностях.

Что принимать за эквиваленты элементов поверхности?

* Борель-Штеккель, Элементарная математика. Геометрия, Матезис.

Вебер-Вельштейн, Энциклопедия элементарной математики. Элементарная геометрия, Одесса 1914, § 90, стр. 262.

Карасев, Рабочая книга, § 171.

Извольский, Геометрия в пространстве, М. 1923, § 118.

Здесь даже в случае цилиндра встает уже затруднение.

Проводя через вершины вписанного в основание многоугольника прямолинейно-образующую, мы разбиваем боковые поверхности цилиндра на полосы abb'a! (черт. 4).

Для вывода поверхности нам придется доказывать эквивалентность а = abia'b'V и cL = aba'b' (прямоугольник aba'e' и суммы двух прямоугольников, образованных гранями описанной призмы bb'dd' и aa'dd').

Но это доказательство предполагает постулат (аналог первого постулата Архимеда), что выпуклая объемлющая поверхность больше объемлемой.

Здесь, конечно, главное затруднение именно в этом постулате. Он неочевиден, и доказать его удается только на основании постулатов типа сомнительной очевидности.

В следующем параграфе мы будем говорить о нем.

Примем его тогда для случая цилиндра, дело будет сравнительно просто.

Приходится заменить неравенство а< следующим

далее получаем

Остается доказать, что

и применить лемму Гурьева.

Но если перейти к поверхности тела, то там получается и в этой части серьезное затруднение.

Необходимо доказывать по тому же образцу, что три поверхности эквивалентны: описываемая хордой ab = <x, дугой ai b — си и ломаной adicb = а. Конечно, такое доказательство возможно осуществить, но оно будет очень сложно.

То же затруднение встречается в интегральном исчислении, если мы пожелаем провести схему 4, которая для объемов легко проводится.

Я только раз на своих лекциях это сделал, что захватило чуть не все 45 минут, и после горько в этом раскаивался.

§ 8. Остановимся теперь на постулате об объемлющей поверхности.

Даже если брать ее частный случай, ограничиваясь случаем, когда основанием является плоская кривая ABCD, этот постулат доставил много хлопот Лежандру, который в своем методе исчерпывания, как можно видеть из § 3, никак не смог бы без него обойтись.

Все, что можно с ним сделать, — это свести его к более простому, но все же не очевидному положению, именно: что плоскость является наименьшей поверхностью, содержащей плоскую кри.вую.

Но тут позиция Лежандра гораздо хуже, чем в случае кривой. Прямую он определяет как кратчайшее расстояние, и общая теория об объемлющей сводится аналогичным доказательством к этому определению.

Но определить плоскость как минимальную поверхность он не может, ибо получится ложный круг; ABCD предполагается плоской и ему приходится давать доказательство, которое оказывается псевдодоказательством.

§ 9. Видимо здесь нам приходится или принести в жертву нашу схему простоте и делать так, как теперь это во всех учебниках делается: превращая в определение то, что следует доказать, и определить, например, боковую поверхность как предел боковой поверхности вписанной призмы.

В этом случае получается разрыв между тем понятием о поверхности (в смысле величины поверхности), которое ученик имеет до установки этого научного определения, и тем, которое дается этим определением.

Учителю приходится все-таки ответить на «почему» ученика. Ему не избежать установки связи между этими понятиями, которая только и дает цену этому второму.

Поэтому более прозорливые методисты стараются раньше установки этого определения убедить ученика, что кривую поверхность мы не можем измерить непо-

средственно и точно, что ее можно только вычислить по приближению, рассматривая как предел. Но ведь одно дело возможность этого указания и существование. Те же методисты не замечают, что в совершенно таком же положении они находятся, подходя к площади прямоугольника с несоизмеримыми сторонами.

Можно, конечно, скомкать этот отдел, заменить доказательство суррогатом и интуитивным доказательством.

Но для меня ясно, что лучше совсем выбросить вывод поверхностей круглых тел. чем дать такие доказательства. Бурлэ*, пожалуй, это наполовину и сознает; дойдя до шара, он просто, без доказательства, дает формулы для объема и поверхности.

Все эти доказательства состоят в том, что убеждают, что призма с увеличением сторон приближается к цилиндру, что цилиндр — предел призмы, а потому и поверхность и объем цилиндра—пределы таковых призм.

§ 10. Вот чего еще не следует забывать. При таких определениях с помощью пределов следует оправдать определения. Необходимо доказать единственность предела, например поверхностей призм, вписанных или описанных около цилиндра при различных способах умножения числа граней, а это даже при ограничении случаем правильных призм не так легко. Между тем было бы неправильно думать, что учащийся не в состоянии заметить этот дефект определения.

К тому же рассмотрение только случая правильных призм может лишь испортить, так как подчеркивает необходимость ограничения, оправдываемого только тем, что принимаем вывод проще.

К этому следует прибавить еще очень серьезное затруднение со сферой. Если бы нам и удалось доказать, что пределы поверхностей, описываемых различными многоугольниками, равны, мы все-таки не могли бы быть вполне удовлетворены.

Конечно, здесь грубо нарушается и соответствие со случаем цилиндра, в который вписывается многогранник, и с планиметрическим исследованием, относящимся к кругу, со вписываемым в него многоугольником, которому, конечно, отвечает многогранник.

Но итти по этому естественному пути было бы абсолютно невозможно. Правильных тел существует только пять: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Затем мы можем установить прием получения из данного многоугольника четырех рядов других, но уже неправильных (с возрастающим числом сторон и т. д.). Исследование только одной сходимости получаемых таким образом рядов — предмет, служащий темой научно-исследовательской работы, а не прием школьного доказательства.

Остается только единственный выход— проводить схему § 4, в иных случаях оставлять эквивалентность элементов а, а, а недоказанной или, еще лучше, не доказать строго.

Но некоторое доказательство здесь понимается вовсе не в смысле апелляции к интуиции (совсем неподходящее в случае бесконечно-малых), а в смысле использования очень общих принципов, как, например, общего принципа теории пределов (если некоторое свойство всегда присуще переменным х, у, z, то оно присуще и в пределе).

Эти общие принципы или совсем не могут быть строго доказаны, или выводятся с помощью весьма общих и абстрактных рассуждений. Так, сравнивая а, а, а, можно отбрасывать бесконечно-малые высшего порядка, принимая за таковые площади многоугольников с конечным числом бесконечно-малых сторон или кривой конечной длины.

Что касается неизбежного стереометрического аналогона постулата Архимеда, то приходится мириться с его неочевидностыо и убеждать в нем ученика не с помощью псевдодоказательств, а с помощью эксперимента. Вне сомнения, положение создается тяжелое. Но если вспомнить само начало геометрии, доказательство первых теорем о конгруенции треугольников, то увидим, что по существу мы находимся в том же положении и, накладывая треугольники, вместо того чтобы дать чисто логическое доказательство, мы экспериментируем. Отказ от эксперимента ведет к объявлению положения еще менее очевидного, чем аналогон постулата Архимеда за особый постулат.

* Boirlet, Géométrie, 1913. Малинин и Егоров, Геометрия, М. 1910.

К МЕТОДИКЕ ЛОГАРИФМОВ

Л. КРУПОВЕЦКИЙ (Полтава)

1. Проведение логарифмических вычислений

Вопрос о технике логарифмических вычислений и расположении действий при вычислениях занимает важное место в школьном курсе математики. Методика этого вопроса недостаточно разработана, в связи с чем в сборниках «Математика и физика в школе» появились две статьи, трактующие этот вопрос по-разному: одна статья т. Туманьяна (№ 1 за 1935 г.) и другая т. Краевского (№ 2 за 1936 г.).

В данной статье я намерен высказать несколько своих соображений о том, как наилучшим образом расположить логарифмические вычисления и как при интерполировании пользоваться столбцами поправок (Р. Р) в пятизначных таблицах логарифмов.

Прежде всего, в противовес высказываемому т. Краевским мнению, я считаю, что при том обилии чисел, какие получаются при логарифмических вычислениях, особенно при логарифмировании сложных выражений, совершенно нецелесообразно избегать пользоваться столбцами поправок (Р. Р). Тов. Краевский рекомендует заменить их определением поправок путем непосредственного умножения или деления на основании приблизительной пропорциональности между разностями чисел и разностями логарифмов. В целях рационализации работы, ускорения и упрощения процесса логарифмических вычислений гораздо целесообразнее пользоваться столбцами поправок в пятизначных таблицах по схеме, приводимой мною ниже; вычисление поправок способом умножения и деления отнимает много времени, загромождает работу обилием чисел и действий, что может привести, конечно, к ошибкам в вычислениях.

Как будет видно из приведенной ниже схемы, я считаю также более простым, понятным и наглядным для учащегося делить при логарифмировании страницу на две половины, причем вспомогательные вычисления писать не на правой стороне, как это обычно принято и как рекомендует т. Туманьян, а непременно на левой, а результаты вычислений каждого компонента, как последовательно вытекающие из процесса вспомогательных вычислений и как вообще принято писать при других математических действиях, писать на правой стороне. Хочу тут же подчеркнуть, что вспомогательные вычисления при логарифмировании это не есть черновая работа, которую следует отодвигать в сторону и писать как бы на полях на правой стороне,— вспомогательные вычисления при логарифмировании должны показать весь процесс работы и их отодвигать в сторону нельзя.

Что касается таблиц поправок Р. Р., то я считаю, что на бумаге они должны в целях наглядности представлять точную копию того, что имеется в таблицах, и лишь после суммирования их в стороне мы переносим общий результат под соответствующим числом или логарифмом, как это будет видно также из приведенной ниже схемы. Конечно, если учащийся может пользоваться устным интерполированием, то это значительно упрощает дело, но в сложных выражениях я ьсе же рекомендовал бы для быстроты вычислений пользоваться непременно столбцами поправок, что дает меньше ошибок, чем при вычислениях посредством умножения и деления.

Далее, в тех же целях рационализации и ускорения процесса работы, я считал бы все же более целесообразным при суммировании логарифмов пользоваться способом замены вычитаемых слагаемыми (способ дополнения), который не особенно затрудняет учащихся, а не разбивать суммирование на отдельные три действия, как это рекомендует т. Краевский: сначала сложить положительные логарифмы, затем сложить отрицательные логарифмы, затем из одной суммы вычесть другую, а если в результате получится отрицательный логарифм, то учащемуся при таком способе придется еще сделать дополнительное действие — преобразовать отрицательную мантиссу в положительную.

Приведем пример наиболее простого и удобного расположения логарифмических вычислений, исходя из вышеприведенных соображений и пользуясь таблицами логарифмов Пржевальского.

Для наглядности сравнения пользуемся некоторыми примерами, приведенными в статьях т.т. Туманьяна и Краевского.

Пример 1-й

Вычислить

Вспомогательные вычисления

Окончательный результат

Пример 2-й

Расположение действий при тригонометрических вычислениях.

Вспомогательные вычисления

Результаты

Окончательные результаты

2. Действия над логарифмами с отрицательной характеристикой

При прохождении отдела логарифмических вычислений в алгебре действия над найденными уже логарифмами, особенно с отрицательными характеристиками, часто затрудняют учащихся благодаря тому, что в учебниках очень мало места уделяют разъяснению, каким образом получаются те или иные результаты действий над логарифмами с отрицательными характеристиками, а приводятся лишь примеры без всяких пояснений.

Возьмем хотя бы стабильный учебник алгебры А. Киселева, ч. II, где этому вопросу отведена лишь одна страница и

приводятся лишь несколько примеров с указанием, что действия эти не представляют никаких затруднений. А между тем при рассмотрении этих примеров учащиеся становятся втупик, не зная правил, как производить действия над логарифмами с отрицательной характеристикой.

В виду всего этого считаем необходимым дать некоторые указания методического характера, как и в каком порядке проводить работу по разъяснению действий над логарифмами.

Прежде всего при прохождении этого отдела следует повторить способ преобразования отрицательного логарифма, т. е. преобразования естественной формы его в искусственную, иначе говоря, представить его в таком виде, чтобы мантисса у него была положительной, а характеристика осталась отрицательной. Следует тут же показать и обратное действие: как логарифм с отрицательной характеристикой и положительной мантиссой можно преобразовать в отрицательное число, т. е. показать переход от искусственной формы логарифма к его естественной форме. Ход объяснения можно представить в такой последовательности.

Как известно, при логарифмировании чисел, меньших 1, получаются отрицательные логарифмы, т. е. и характеристика и мантисса отрицательны. Например, lg 0,05 можно представить так:

Полученный отрицательный логарифм можно написать так:

т. е. имеем и характеристику и мантиссу отрицательными. Однако для удобства вычислений условились изображать такой логарифм в таком виде, чтобы только характеристика была отрицательна, а мантисса положительна. Показываем это:

мы в данном случае прибавили к логарифму — 1 и отчего логарифм не изменился; все это действие обычно представляется в сокращенном виде так:

Отсюда видим, что для перехода от отрицательного логарифма к его искусственной форме, надо к мантиссе прибавить положительную единицу, а к характеристике— отрицательную, т. е., иначе говоря, увеличить абсолютную величину целой части на единицу и взять ее со знаком минус, а все цифры дробной части, начиная слева, вычесть из 9 (дополнить до 9), кроме последней значащей цифры, которую следует вычесть из 10.

На этом же примере можно показать обратный переход от искусственной формы логарифма к его естественной форме, т. е. преобразованию его в отрицательное число. Для этой цели мы можем представить его в таком виде:

или сокращенно:

В данном случае для перехода от искусственной формы к естественной (к отрицательному числу) нам пришлось уменьшить характеристику на единицу, все цифры мантиссы вычесть из 9, а последнюю значащую цифру из 10.

Тут же можно подчеркнуть для более легкого запоминания, что при переходе от отрицательного логарифма к искусственной форме, к его отрицательной мантиссе прибавляем +1, чтобы сделать ее положительной, а следовательно, к характеристике прибавляем —1. При преобразовании же искусственной формы логарифма, где мантисса положительна, прибавляем к положительной мантиссе —1, чтобы сделать ее отрицательной; к характеристике же прибавляем в данном случае + 1.

После того как учащиеся твердо усвоили процесс преобразования логарифма в ту или иную форму, следует перейти к четырем действиям над логарифмами, которые можно вести попутно с работой вообще по логарифмированию сложных выражений.

Полезно тут же вспомнить, в каких случаях производятся те или иные действия над логарифмами; при логарифми-

ровании произведения логарифмы сомножителей складываются и т. д.

Следует особенно подчеркивать каждый раз при производстве того или иного действия, что в случае положительных характеристик все действия над логарифмами с положительными характеристиками производятся так же, как и над десятичными дробями вообще и никаких новых правил для этого не существует.

Как было указано, действия над логарифмами с положительными характеристиками не представляют затруднений, так как все сводится к действиям над десятичными дробями.

Гораздо труднее усваиваются учащимися действия над логарифмами с отрицательными характеристиками. Покажем на примерах, как производить в таких случаях действия и какие следует давать пояснения учащимся для более легкого усвоения.

I. Сложение. При сложении логарифмов, среди которых имеются логарифмы с отрицательными характеристиками, следует брать арифметическую сумму мантисс и алгебраическую сумму характеристик (т. е. при сложении характеристик принимать во внимание их знаки).

II. Вычитание. При вычитании логарифмов с отрицательной характеристикой следует брать арифметическую разность мантисс и алгебраическую разность характеристик. Кроме того, перед тем как перейти к рассмотрению примеров на вычитание логарифмов, необходимо обратить внимание учащихся на то, что при уменьшении отрицательной характеристики (т. е. когда мы занимаем от нее положительную единицу) ее абсолютная величина увеличивается, а знак остается отрицательный, так что если занять единицу, например от характеристики —2, то остается з~? от з~ остается “4Г от 0 остается 1 и т. д.

Для лучшего усвоения этого процесса полезно представить вниманию учащихся ряд чисел, постепенно убывающих на 1: .....5,4,3,2,1,0, -1, —2, —3, —4,и т. д.

Приведем теперь несколько примеров на вычитание логарифмов.

При арифметическом вычитании десятых долей мантисс занимаем одну положительную единицу от характеристики, остается 1 вместо 2. После этого, отнимая от оставшейся характеристики другую характеристику з, имеем в результате:

Заняв от характеристики уменьшаемого одну положительную единицу, получим арифметическую разницу мантисс 1,6873 — 0,8769 = 0,8104, что дает нам дробную часть результата.

Заняв от характеристики одну единицу, получим после этого в уменьшаемом характеристику 5, т. е. —4—1 =—5. Произведя алгебраическое вычитание характеристик, имеем —5—( — 3) = —5-(-+3 = 2, что дает целую часть результата.

После того как заняли от характеристики единицу, в ней остался 0. Алгебраическая разница характеристик будет

о—1=7.

Способ дополнения. При вычитании логарифмов с отрицательными характеристиками необходимо указать учащимся, что такое вычитание удобно заменять сложением, т. е. прибавить их дополнение (это иногда обозначается Colg — читается кологарифм), которое заключается в том, что характеристику логарифма увеличиваем на 1 и результат берем с обратным знаком, а каждую цифру мантиссы вычитываем из 9, кроме последней значащей цифры справа, которую вычитываем из 10.

Вычислим способом дополнений предыдущие примеры на вычитание.

Способ вычитания Способ дополнения

Способ вычитания Способ дополнения

Способ вычитания Способ дополнения

Учащиеся охотно применяют способ дополнений, который дает им возможность сложить все логарифмы, что безусловно легче вычитания и значительно сокращает и рационализирует работу. Особенно следует рекомендовать способ дополнений в том случае, когда в одном выражении приходится складывать и вычитать несколько логарифмов. Например в результате логарифмирования получилось следующее:

Согласно правилу дополнения мы везде, где надо было вычесть логарифм, прибавили к характеристике единицу и результат взяли с обратным знаком, а все цифры мантиссы вычли из 9, кроме последней значащей цифры, которую вычли из 10, после чего вычитание логарифмов заменили сложением.

Для проверки произведем действия последовательно обычным путем. Прежде всего сложим все логарифмы, имеющие впереди знак плюс:

Сложим теперь все логарифмы, имеющие впереди знак минус:

Вычтем далее из первой суммы сумму логарифмов со знаком минус (вторую сумму). Имеем, 1,1202 — 2,5407 = 2,5795.

Результат получился, конечно такой же, как и при способе дополнений.

Часто учащиеся задают вопросы, необходимо ли из логарифма с положительной характеристикой вычитать логарифм с отрицательной характеристикой или можно вычитать наоборот, можно ли из меньшего логарифма вычитать больший, можно ли вместо искусственной формы логарифмов производить действия над логарифмами в их естественной форме как с отрицательными числами и т. д.

Для того, чтобы дать понятие о возможных способах вычитания логарифмов (способы умножения и деления указаны ниже), интересующих учащихся, можно их показать на одном каком-либо примере.

Например, имеем:

1-й способ

Находим обычным способом, указанным выше, заняв от характеристики положительную единицу и найдя арифметическую разницу мантисс и алгебраическую разницу характеристик: — 1 — 0 = 1.

2-й способ

Находим способом дополнений: прибавляем к характеристике вычитаемого 1 и результат берем с обратным знаком, а каждую цифру мантиссы вычитаем из 9, кроме последней значащей цифры справа, которую вычитаем из 10.

3-й способ

Вычитаем обычным алгебраическим способом из большего числа меньшее и перед результатом ставим знак большего. Но тогда получаем логарифм в естественной форме (отрицательное число), который необходимо преобразовать в искусственную форму. Имеем:

дится с результатами, приведенными в предыдущих способах.

Разумеется все эти способы можно показывать учащимся лишь в случае проявления к этому интереса, вообще же следует ограничиться способом 1-м и 2-м.

III. Умножение. При умножении логарифма с отрицательной характеристикой на целое число следует умножить сначала отдельно мантиссу на целое число, оставляя мантиссу положительной и отдельно характеристику на целое число. Алгебраическая сумма этих двух произведений и будет результатом этого действия. Приведем несколько примеров.

От умножения мантиссы на 3 получим 0,9801, а от умножения характеристики на 3 получим 3; алгебраическая сумма

дает 3,9801.

Этот логарифм можно представить так: 1,5673 = 1+ 0,5673, что при перемножении на 5 дает характеристику 5, а мантиссу 2,8365 произвел, мантиссы на 5 произв. характерист. на 5

алгебраическая сумма обоих произведений, причем характеристика получилась так: 2 + ( — 5) = 2 — 5 = 3.

произв. мантиссы на 25 произв. характер, на 25

алгебраическая сумма обоих произведений.

Умножения логарифма с отрицательной характеристикой и положительной мантиссой на отрицательное число можно производить двумя способами: или как в предыдущих примерах, умножают отдельно характеристику и отдельно мантиссу и потом находят их алгебраическую сумму; или же данный логарифм приводят к его естественной форме, т. е. обращают его в отрицательный логарифм, после чего перемножают числа обычным способом умножения отрицательных чисел. Например:

или же:

IV. Деление. Переходя к вопросу о делении логарифмов, следует остановить внимание учащихся, главным образом, на делении на целое положительное число. Деление на отрицательное число употребляется реже.

При делении логарифмов с отрицательной характеристикой на положительное число могут представиться два случая: отрицательная характеристика делится без остатка на данное целое число или 2) отрицательная характеристика не делится без остатка на данное целое число.

1-й случай. Если отрицательная характеристика делится без остатка на данное целое число, следует делить отдельно характеристику и отдельно мантиссу.

Например

т. е. деля 8 на 4, получаем 2; положительная мантисса делится, как десятичная дробь.

2-й случай. Если отрицательная характеристика не делится без остатка на целое число, следует прибавить к характеристике столько отрицательных единиц (наименьшее их число), чтобы полученное число делилось на делитель без остатка, а к мантиссе прибавляют столько же положительных единиц, чтобы данный логарифм остался без изменения.

Прибавив к мантиссе необходимое число положительных единиц, раздробляем их в десятые доли и продолжаем деление мантиссы. Преобразование логарифма рекомендуется производить в уме. Например, требуется разделить 3,4789 :5. Располагаем действие следующим образом:

В данном случае мы к характеристике 3 добавили две отрицательных единицы для того, чтобы вся характеристика разделилась нацело на 5; при делении 5 отрицательных единиц на 5 получим в частном Г; прибавив к мантиссе 2 положительных единицы и раздробив их в десятые доли и прибавив к ним имеющиеся в мантиссе 4 десятых, получаем в мантиссе 24 десятых и делим дальше, как вообще десятичную дробь.

Предыдущий пример можно сокращенно записать так:

Можно также произвести деление, преобразив сначала данный логарифм в отрицательное число. Взяв предыдущий пример, имеем:

Если приходится логарифм с отрицательной характеристикой делить на отрицательное число, то следует преобразовать данный логарифм в отрицательный логарифм, а затем производить обычным путем деление отрицательных чисел. Напр. 8^5674 : — 4 =

В заключение заметим, что если надо разделить логарифм с отрицательной характеристикой на десятичную дробь, следует опять-таки, как в предыдущем примере, заменить данный логарифм отрицательным логарифмом, после чего делить обычным способом деление десятичных дробей:

Например:

Как видим, после получения в частном отрицательного числа необходимо преобразовать это число снова в искусственную форму логарифма, т. е. представить его в таком виде, чтобы отрицательной была лишь характеристика, а мантисса — положительной.

ПОСТРОЕНИЕ УРОКА ПО АЛГЕБРЕ

В. ПАДУЧЕВ (Ст. Лиски)

1

Урок алгебры (как и всякого другого предмета) может и должен быть построен на основе стахановских методов — путем детальной разработки материала для данной аудитории, последовательного и рационального его расположения в наглядном и наиболее доступном для понимания виде. От этого зависит полноценность учебного часа и правильное, продуктивное использование учебных минут.

Но подготовка урока не может ограничиваться только самоподготовкой одного учителя. Работа с классом является двухсторонним процессом, в котором коллектив учеников приобретает новые знания или навыки, а преподаватель руководит и организует эту работу. Поэтому эффективность урока зависит от двух моментов: степени подготовки руководителя и степени подготовленности учеников к тому, чтобы свободно понимать излагаемый учебный материал. И второе условие не менее важно, чем первое: когда аудитория не подготовлена для работы по намеченным вопросам, самая искусная лекция будет бесполезной тратой времени.

Если живой образ ученика данного класса не будет своевременно учтен, для учителя возникает незаметная вначале, но реальная опасность ориентироваться на воображаемого абстрактного ученика, которому все так же ясно, как это ясно учителю. Этот воображаемый ученик идеально знает все пройденное, безукоризненно помнит все подробности, никогда ничего не забывает; он спокойно идет по ровной утоптанной дорожке, не ведая сомнений и неудач. Надо откровенно сказать, что план урока частенько строится именно для этой воображаемой аудитории идеальных учеников или сплошных отличников. Но когда этот план мы начнем развертывать перед классом конкретных и живых (а не воображаемых!) учеников, мы сейчас же почувствуем допущенную ошибку и лишний раз убедимся, что по-

зиавательная психология ученика ни на одну минуту недолжна выпадать из поля зрения учителя.

Покажем из примера урока алгебры, насколько необходима предварительная, деловая, внимательная и терпеливая работа по подготовке класса к новым учебным вопросам.

Учитель готовится к выводу формул квадратного уравнения. Надо эти формулы сделать ясными и отчетливыми для каждого ученика. В чем же будет заключаться подготовка к уроку? Если бы все ученики безукоризненно и в совершенстве знали весь предшествующий материал, планирование урока можно было бы ограничить короткой записью: вывод такой-то формулы— столько-то минут и т. д. Но мы уже говорили — и с этим согласится каждый учитель-практик, что расчет на аудиторию сплошных отличников является фикцией и большой методической ошибкой. В процессе вывода формул от учеников потребуются хорошие навыки и знания по следующим вопросам:

1. Нуль как множитель.

2. При каких условиях произведение может быть равно нулю.

3. Действия со скобками и сокращение многочленных дробей.

4. Искусственный способ преобразования квадратного трехчлена в квадрат суммы.

5. Вывод за радикал множителя в выражении У 4&2 — 4ас.

6. Умножение иррациональной суммы на разность:

7. Общий вид четного числа и т. д.

Степень подготовленности учеников по всем этим вопросам имеет решающее значение для свободного понимания предстоящих разъяснений учителя. И преподаватель должен заранее продумать, каким образом и в какой форме надо оказать методическую помощь классу: о чем следует напомнить, повторить, разъяснить. Учитель должен подготовить свою аудиторию, чтобы облегчить классную работу, разгрузив будущий учебный час от «наивных» вопросов, недоразумений, напоминания и пр.

2

Руководствуясь методической аксиомой, что материал следует излагать по степени восходящей трудности, от простого к сложному, мы считаем, что в первую очередь должно быть разъяснено неполное квадратное уравнение вида ах2 +с = 0. План урока можно построить следующим образом:

1. Решение задачи о вычислении стороны квадрата по его площади или ребра куба по его полной поверхности (числовые данные для первой задачи лучше подобрать так, чтобы квадратный корень извлекся без остатка, после чего решается аналогичная задача с ответом в приближенных числах).

2. Решение числового примера из стабильного задачника (коэфициенты целые).

3. Решение числового примера с дробными коэфициентами (в обоих случаях выбираются примеры с ответами в вещественных числах).

4. Решение числового примера с ответом в мнимых числах.

5. Решение уравнения этого типа в общем виде и упражнения в примерах с буквенными коэфициентами (сначала одночленными, а потом многочленными).

6. Примеры с иррациональными коэфициентами.

Ученики должны иметь ясное представление о мнимом числе, получающемся в результате извлечения квадратного корня из отрицательного числа, знать употребление символа i в равенстве

и, кроме того, очень полезно путем соответствующей предварительной тренировки на письменных и устных упражнениях добиться от учеников знания квадратов первых двадцати чисел натурального ряда.

В целях развития навыков быстрого счета полезно объяснить ученикам следующие приемы:

1. Мгновенное возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающегося цифрой пять. После числового примера учитель показывает вывод правила в общем виде:

Формируем правило:

Цифра десятков увеличивается на единицу и умножается на полученное число; к результату справа подписываем 25.

2. Определение квадрата данного числа, если известен квадрат предыдущего натурального числа.

Имеем:

Числовой пример:

Правило. Чтобы получить квадрат данного числа, надо удвоить предшествующее натуральное число, результат усилить на единицу и сложить с квадратом того же числа (предшествующего натурального).

3. Мгновенное возведение в квадрат любого числа от 30 до 70.

Сначала разъясняем мнемонический прием умножения чисел второго десятка от 11 до 19:

Имеем:

Числовой пример:

Правило, К одному из чисел прибавляются единицы другого числа, сумма умножается на 10 (путем приписывания нуля), и к результату прибавляется произведение единиц.

Демонстрируем числовой пример возведения в квадрат чисел от 30 до 70:

Вопрос может быть объяснен и в общем виде, что не вызовет никаких затруднений.

Правило. Избыток числа над 25 умножается на 100 путем приписывания двух нулей, к результату прибавляется квадрат дополнения числа до 50 (или избытка над 50).

Указанные приемы быстрого счета обычно вызывают большой интерес учащихся и хорошо усваиваются. Они содействуют математическому развитию и находят разностороннее применение в числовых вопросах квадратного уравнения.

3

Второй вид неполного квадратного уравнения ax2+bx = Q может быть легко разъяснен только при том условии, если ученики имеют совершенно ясное представление о нуле как множителе. Этот вопрос затрагивается и в арифметике, с ним приходится иметь дело и в алгебре. Стабильный учебник дает лаконическое указание: «Произведение всегда равно нулю, если один из сомножителей равен нулю» (Киселев — «Алгебра», ч. I, § 28). Конечно, ученики VIII класса должны знать весь предшествующий квадратным уравнениям материал, в том числе и операции с нулем, но это не снимает с учителя обязанности проверить фактические знания класса.

Даем числовые примеры:

1) 5-0 = 0. Это понятно всем, никаких сомнений нет.

2) 0.5 = 0. Здесь уже не так просто: часть учеников задумалась, раздаются вопросы: «А почему? Что-то непонятно». Однако после коротких разъяснений учителя все соглашаются с верностью написанного равенства.

3) Пишем на доске:

Число сомневающихся сразу увеличилось: оказывается, равенство не так очевидно, как оно могло казаться, требует разъяснения и некоторого «доказательства».

4) Ставим вопрос, при каких условиях может быть верно следующее равенство:

Половина класса в полном недоумении и не знает, как ответить на вопрос.

На подобных «контрольных» примерах каждый учитель может убедиться, что нуль в качестве множителя требует особого внимания, терпеливых повторных разъяснений, числовой практики и некоторой тренировки. Квадратное уравнение вида ах2 ох = 0 может быть понято только в том случае, если все ученики отчетливо представляют себе, что произведение двух и больше сомножителей может быть равно нулю тогда, если по крайней мере какой-нибудь один из сомножителей равен нулю. А эта алгебраическая истина далеко не очевидна, и учитель должен разъяснить ее предварительно до того, как возникнет необходимость практически ею пользоваться при решении уравнения.

Если мы не учтем этого и попробуем показать способ решения этого типа неполного квадратного уравнения на числовом примере, недоуменные вопросы учеников сейчас же сигнализируют о необ-

ходимости возвратиться к истолкованию нуля как множителя. Мы должны будем прервать изложение, чтобы дать требуемые разъяснения. А это возвратит нас к тем же числовым примерам, которые были указаны выше. Поэтому надо слабые места и трудные для понимания вопросы заранее брать на учет, включать их в план урока, заблаговременно подготовляя класс на разъяснительных и тренировочных примерах к познавательной работе над новым материалом.

Практика показывает, что вопрос о нуле часто остается недоработанным в сознании учеников, которые склонны рассматривать нуль как символ несуществующей величины и только. Отсюда проистекает непонимание логического смысла равенств, правой частью которых является нуль.

Продолжая рассматривать нуль как арифметический символ несуществующей величины (отсутствие, отрицание величины), ученик рассуждает так: левая часть равенства имеет реальное содержание и конкретный смысл, будучи одночленом или многочленом, а правая часть — отрицание всякой реальности, пустое место в безвоздушном пространстве. Как это может быть? Как оправдать это практически, с точки зрения здравого смысла?

Чтобы внести в этот вопрос полную ясность, учитель должен спланировать и провести специальную беседу о нуле по такси примерно схеме:

1. Значение цифры нуль в арифметике.

2. Изображение относительных чисел на числовой оси и реальный смысл нуля как определенной (реальной) точки на оси.

3. Практический смысл «нулевых» ответов в решении задач: температура равна нулю, путь поезда равен нулю и т. д.

4. Вывод: нуль в алгебре символизирует не отсутствие величины, как в арифметике, а вполне определенную и реальную величину, которой соответствует определенная точка на числовой шкале; в ряду относительных чисел мы должны рассматривать нуль в качестве равноправного члена, имеющего конкретный смысл и практическое значение.

5. Нуль, как и всякое другое число, может быть изображен не только цифрой 0, но и бесчисленным множеством других способов:

результат вычитания. ... то же.

, результат деления

и вычитания.

7 . (5 — 5) = 0... результат вычитания и умножения.

После такой беседы повторительно-обобщающего характера отношение учеников к числу нуль резко изменяется. Всякое недоверие и предубеждение к нулю как равноправному компоненту алгебраических действий, как логическому результату действий и полноценному числу — исчезает. И теперь ученики смогут одним взглядом решать числовые и буквенные примеры такого типа:

Таким образом, при построении плана урока по второму типу неполных квадратных уравнений учитель должен подготовить класс к новому материалу, включив в эту подготовку следующие вопросы:

1. Значение нуля в арифметике и в алгебре.

2. Изображение нуля как результата действий, последним из которых (по порядку) является вычитание.

3. Особенность числа нуль как множителя.

4. Условия, при которых произведение нескольких величин может равняться нулю.

Все эти вопросы, конечно, должны сопровождаться наглядными числовыми примерами.

4

Для вывода формулы квадратного уравнения приведенного вида (х2+рх+q= 0) предварительная подготовка классной аудитории требуется еще в большей степени, чем для уравнений неполных.

Практика показывает, что если эту формулу безукоризненно изложить догматическим путем или методом эвристической беседы, но без организованной подготовительной для того работы с классом, мы натолкнемся на огромные трудности познавательного характера только потому, что ученики не были тренированы в укреплении соответствующих алгебраических связей. Чтобы максимально разгрузить

будущий учебный час от недоуменных вопросов учеников, чтобы облегчить для них вывод новой формулы, надо поставить себя в положение учащегося и понять его затруднения. Тогда мы легко наметим и спланируем по степени возрастающей трудности все вопросы, отдельные «мелочи» и детали, которые требуют напоминания, повторения или короткого разъяснения. Анализируя будущий материал с точки зрения ученика, учитывая его неокрепшие навыки и познавательную психологию, даем классу развернутый цикл числовых и буквенных примеров, коротких разъяснений, указаний и советов.

Начинаем с простейшего примера:

или: откуда:

Даем запись того же примера в другой форме:

или: откуда:

Предлагаем буквенное уравнение: откуда:

Варьируем тот же пример, вводя символ — :

откуда:

В правой части вместо общего символа Ь вводим

или: откуда:

Эти уравнения воспринимаются классом без всякого напряжения, но в то же время они незаметно подготовляют учеников к символике и специфиче:ким преобразованиям, необходимым для вывода формулы квадратного уравнения приведенного вида.

Но подготовка еще не закончена, и надо продолжить работу до конца.

Разъясняем тождество, которое без предварительной проработки обычно поднимает вихрь недоуменных вопросов:

Это равенство лучше пояснить сначала на числовых примерах, после чего записать в общем виде.

Попутно снова полезно напомнить, что всякое число может быть написано не только в привычном для нас виде на основании принципа поместного значения цифр, но и бесчисленным множеством других способов. И если встретится необходимость, мы можем выбрать любой член бесконечного тождественного ряда:

Предлагаем упражнение на квадрат суммы:

Ставим вопрос: можно ли двучлен X2 + рх преобразовать так, чтобы он изобразился в виде квадрата суммы, сложенного с некоторым выражением? Демонстрируем преобразование:

Напоминаем, а если потребуется, и разъясняем, что трехчлен х- + рх + — есть квадрат суммы и может быть написан так:

Напоминаем, что квадрат отрицательного числа есть всегда число положительное, а квадрат дроби равен квадрату числителя,

деленному на квадрат знаменателя. Буквенный пример:

Вызывая к доске учеников, даем буквенные уравнения первой степени в такой последовательности:

Основной целью этих тренировочных упражнений, разъяснений и примеров является подготовка учеников к бесперебойному пониманию нового для них материала. Познавательный путь можно теперь считать расчищенным, и класс готов к согласованной работе над последовательными логическими рассуждениями при выводе формулы квадратного уравнения приведенного вида. Выполненная нами работа не только не пропала даром, но принесла большой методический эффект: короткие разъяснения учителя на уроке будут теперь восприниматься дружно, легко и радостно, как повторение пройденного материала. Вопросов, колебаний и сомнений почти нет, или они сведены до минимума. Мысль учеников работает в полном контакте с учителем, а весь вывод «трудной» формулы занимает не больше 10—15 мин. по такой схеме:

1. Имеем квадратное уравнение приведенного вида:

2. Переносим свободный член в правую часть:

3. Для преобразования левой части в полный квадрат суммы прибавляем к обоим частям — :

откуда находим:

Предлагаем кому-либо из учеников повторить объяснения и убеждаемся, что вывод формулы уяснен правильно. Теперь можно приступить к выполнению числовых примеров.

5

Тот же метод предварительной работы с аудиторией, вдумчивой и терпеливой ее подготовки следует применить и для формулы полного квадратного уравнения общего вида.

Не будем смущаться кажущейся «простотой», кажущейся элементарностью и очевидностью некоторых упражнений. То, что ясно и очевидно для знающего, далеко не всегда расценивается этой же монетой учеником, изучающим вопрос впервые. Об этом должен постоянно помнить учитель.

Составляем примерный цикл разъяснительно-повторительных упражнений : 1. Ответить устно: ах2 :а=? Записать в тетрадях (и на доске):

2. Как можно записать по-другому:

Разъясняем и пишем:

3. Ответить (устно) на вопрос: сколько получится, если 0 разделить на 5? на 7? на любое число а?

Записываем:

4. Вопрос к ученику: как разделить многочлен на одночлен? Правило вспомнили, а теперь сделаем пример:

Второй пример: преобразовать к приведенному виду уравнение

ах2 + Ьх + с = 0.

Делим обе части на коэфициент а и получаем:

Кто имеет вопросы? Понятно всем.

Продолжаем упражнения.

5. Как разделить дробь на целое число, если числитель дроби не делится без остатка на делитель? После ответа предлагаем ученику сделать деление:

6. Как возвести в квадрат дробь? Повторяем правильный ответ и пишем на доске:

7. Упражнение на вычитание дробей с разными знаменателями:

8. Упростить иррациональную дробь:

9. Преобразовать выражение:

Все эти упражнения и разъяснения, имеющие повторительный характер, подготовляют учеников к работе над стабильным учебником Киселева («Алгебра», ч. I, § 124) и к свободному пониманию тех попутных математических операций, которые будут сделаны учителем при выводе общей формулы корней квадратного уравнения. Лучшая часть класса уже подготовлена к самостоятельному выводу формулы, а весь класс в целом будет с полным пониманием дела производить записи, схватывая налету короткие объяснения учителя:

1. Имеем полное квадратное уравнение общего вида:

2. После деления его на коэфициент а получаем:

3. Решаем это уравнение по формуле приведенного вида:

Если эти объяснения изложить перед неподготовленной аудиторией, с которой не было проведено предварительной работы, можно затратить на формулу целый час и все-таки не добиться той степени ясности и цельности понимания, которая здесь так необходима. И наоборот: перед подготовленным классом, там, где учитель продумал возможные затруднения учеников и применительно к ним спланировал цикл подготовительных упражнений, вывод формулы потребует не больше 10 мин., причем каждый ученик получит отчетливое, убедительное и понятное до конца впечатление от данных ему коротких разъяснений.

Для подготовки класса к выводу формулы «четного коэфициента», т. е. того случая, когда второй коэфициент b есть четное число (§ 126 стабильного учебника), составляем план подготовительных разъяснений и упражнений:

1. Вопрос. Как написать четное число в общем виде? Ответ получаем в лучшем случае от одного-двух учеников; остальные об этом забыли или вовсе не знают.

Разъясняем на числовых примерах и записываем вывод: общий вид четного числа: 2Ä, 2п и т. д., где кип обозначают произвольное целое число натурального ряда.

2. Упражнение (решить устно): 2k : 2 = ?

Записываем : 2k : 2 = k.

3. Упростить выражение путем сокращения дроби:

Записываем в тетрадях:

4. Разложить (устно) на множители путем вынесения общего множителя за скобку:

Записываем в тетрадях:

5. Сократить дробь после предварительных преобразований:

Этим подготовка закончена. Теперь пишем общий вид уравнения, отвечающего заданному условию (второй коэфициент четное число):

и даем решение в тождественной строке:

Переходим теперь к двум свойствам корней квадратного уравнения (теорема Виета). Вывод этой формулы отличается большой компактностью и простотой (§ 43 «Алгебры» Киселева, ч. 2), но здесь мы можем повторить то же, что было сказано раньше в отношении других алгебраических фактов: то, что чрезвычайно просто, ясно и закономерно для человека знающего, в такой же степени сложно, трудно, а подчас и трагически непонятно для того, кто знакомится с материалом впервые.

Анализируя познавательные затруднения учеников по теореме Виета, можно наметить разъяснительные упражнения в такой (примерно) последовательности:

1. Решить устно:

2. Решить письменно:

3. Решить устно:

Напоминаем в порядке повторения полученный вывод: квадрат корня квадратного из числа N равен подкоренному выражению N.

4. Аналогичный пример с многочленом

под корнем:

5. Осложняем условие, поставив перед скобкой знак минус:

6. Перемножить сокращенным путем иррациональные двучлены:

7. Осложняем условие, заменяя N через

После этих предварительных вопросов и упражнений повторительно-тренировочного характера вывод теоремы Виета может быть изложен перед классом в максимально компактном виде, получая от того большую эффективность, цельность и наглядность:

1. Складываем корни квадратного уравнения приведенного вида:

Первое свойство доказано.

2. Умножаем корни:

Второе свойство доказано.

Мы видим, что и в этом случае время, затраченное на подготовку учеников к познавательной работе над новым материалом, не только не пропало даром, но именно эта подготовка дала возможность сделать вывод новой формулы компактным, отчетливым и понятным до конца. При этом изложение материала учителем не прерывалось недоуменными вопросами, не требовало повторных разъяснений и отступлений: мысль учеников была в полном контакте с разъяснениями учителя.

Подводя итог всему сказанному, мы можем сделать следующие выводы.

Построение плана урока по алгебре (это относится в такой же степени к геометрии и тригонометрии) состоит из двух частей:

1. Теоретическая подготовка самого учителя, выбор им примеров, задач и упражнений, расчет времени и пр.

2. Предварительная подготовка классной аудитории к работе над новым материалом; эту работу планирует и проводит учитель применительно к особенностям своего класса.

Обе части являются необходимыми условиями рационального и содержательного урока. При подготовке к уроку, при построении его плана учитель должен постоянно помнить о конкретных учениках своего класса, об их естественных заблуждениях и невольных ошибках, может быть, и «наивных», но совершенно реальных, об их возможных колебаниях, сомнениях и трудностях. Не следует приписывать ученикам несуществующих качеств: идеальной памяти, безошибочного математического мышления, совершенных алгебраических навыков, способности к выполнению математических операций одним взглядом, мгновенному пониманию математических намеков и пр. Хотя такой идеальной аудитории и не существует в природе, но, к сожалению, она частенько получает реальность в... воображении учителя, если он наделит свой класс всеми указанными качествами или просто не учтет живого человека. А если живой человек выпал из нашего внимания, если он заменен воображаемой схемой, мы получим не актуальный и плодотворный план урока, а чисто кабинетную расстановку материала, безупречную с догматической и логической стороны, но совершенно неприемлемую методически.

Всякий урок должен быть построен так, чтобы материал был воспринят не лицами, уже знающими, а лицами незнающими, у которых могут возникнуть и действительно возникнут вопросы, для них естественные и законные, а для знающих — «наивные», лишние и «глупые». Познавательная психология ученика должна быть в центре внимания учителя всегда. Путь к знанию, понимание новых научно обоснованных фактов, закрепление приобретенных навыков — это не прямая линия, а чрезвычайно сложная кривая. Облегчить этот путь, сэкономить время, труд и силы учеников — вот благодарная и обязательная задача учителя. Надо внимательно проанализировать материал с точки зрения учеников, взять на учет, отобрать и оценить все трудности их будущей познавательной работы, после чего составляется комплекс повторительных вопросов, примеров и упражнений, которые могут реально подготовить класс к будущему уроку, сделав его понятным, доступным, содержательным и легким.

Такая подготовка аудитории к новому материалу, будучи предварительной работой тренировочно-подготовительного характера, является необходимым элементом плана урока по математике. Каждый учитель-практик может проверить опытным путем, что эта предварительная работа окупается сторицей, что она приносит действительную экономию учебных минут, концентрирует внимание учеников, создает у них цельность впечатления и развивает математическое мышление.

Стахановский метод культурного и планового отношения к труду может и должен быть применен в нашей увлекательной и ответственной учительской работе. Внимательный подход к ученику, к его нуждам и запросам, его несозревшему мышлению и продуманная инициатива учителя — вот где источник плодотворной учебной работы класса.

О НЕКОТОРЫХ ТЕОРЕМАХ ГЕОМЕТРИИ

С. УРУСОВ (Москва)

При прохождении геометрии в том порядке и в том виде, как это принято в учебниках, учащиеся после ряда доказательств теорем нередко с недоумением задают вопросы: «К чему это? Ужели только для развития мышления?»

Совершенно иное наблюдается, если к проработке темы подойти исследовательски, если тему несколько оживить.

Чтобы теорема приобрела свою значимость, чтобы она была хорошо осознана и усвоена, ее необходимо завершить решением ряда конкретных задач, особенно легко решаемых помощью применения только что доказанной теоремы.

Другое важное условие при изучении геометрии — это установление тесной связи как между самими темами, так и между их отдельными частями; связи не указанием §, не ссылкой на те или иные следствия, выводы... Нет!.. Работу нужно построить так, чтобы одно непосредственно вытекало из другого и само в то же время давало начало третьему, чтобы получилась, таким образом, непрерывная цепь крепко спаянных колец. Это способствует развитию у учащихся постоянного стремления узнать: «А что получится дальше? Где это можно применить?» и даже: «А теперь не трудно решить и такой вопрос!»

Как на примере установления подобной связи, я хочу остановиться на темах: «Пропорциональные отрезки в круге» и «Метрические соотношения между элементами прямоугольного треугольника».

В курсах элементарной геометрии эти темы строятся по-разному, часто без всякой взаимной связи и последовательности. А связь здесь есть, связь очень строгая и последовательная. Установить ее при активном участии учащихся очень легко и, главное, необходимо.

Пользуясь взаимным положением точки и окружности, материал можно проработать примерно в такой последовательности.

I. Точка внутри круга

1. Точка в центре. Здесь вспоминаются с учащимися свойства диаметров и радиусов в одном и том же круге, сколько диаметров и радиусов можно провести через центр и т. д. и т. п. Это все для учащихся ясно и понятно.

2. Точка вне центра, а) Предлагается учащимся взять точку M вне центра (черт. 1).

Устанавливается, что через нее можно провести множество хорд и один диаметр.

Центр делит каждую хорду (диаметр), проходящую через него, пополам. Ну, а взятая точка вне центра? И диаметр и хорды делятся не на равные части: одна больше, другая меньше (кроме хорды, перпендикулярной диаметру). Но нет ли между этими частями какой-либо строго определенной зависимости ? Может быть они пропорциональны ?

Учащиеся знают, что установление пропорциональной зависимости между отрезками прямых проще всего можно сделать помощью подобия треугольников, сторонами которых были бы эти самые отрезки.

Из множества хорд, проходящих через данную точку, берутся две — AB и CD (черт. 2). После недолгого размышления учащиеся соединяют точки А с D и В с С или: AhChBcDh получают два треугольника: /\AMD и Д ВМС, или: Д AMC и /\BMD. Отрезки взятых хорд действительно оказались сторонами образовавшихся треугольников.

Примечание. Необходимо раз и навсегда условиться с учащимися: 1) взятые ими линии и отрезки обозначать всегда сплошной чертой, а вспомогательные — пунктиром; 2) при доказательствах пользоваться сплошными линиями и отрезками, избегая брать пунктирные.

Далее без особого труда учащиеся устанавливают равенство вертикальных уг-

лов при общей вершине M и углов при вершинах В и D и при А и С как опирающихся на общие дуги.

Это уже дает право считать треугольники AMD и ВМС подобными. В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны, т. е. AM :CM=^DM :ВМ. Оказывается, что произвольно взятая внутри круга точка M делит проходящие через нее хорды на части, обратно пропорциональные.

Вспомнив свойство членов геометрической пропорции, учащиеся выводят, что АМ-ВМ —CM-DM, т. е., что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой. И сколько бы ни проводили через данную точку хорд, произведения отрезков каждой, на которые их и делит взятая точка, будут равны одному из полученных произведений, т. е. будут величиной для данной точки постоянной. Тому же произведению будет равно и произведение отрезков диаметра, проведенного через взятую точку.

Без особого труда формулируется соответствующая теорема.

Следствия :

Установленные свойства необходимо сейчас же использовать для решения практических задач. Это придает им (свойствам) в глазах учащихся большую важность и значимость и поможет лучше закрепить материал в их памяти.

Дальше предлагается учащимся взять опять точку вне центра и провести через нее две уже не произвольные хорды, а такие, из которых одна проходила бы через центр (т. е. диаметр), а другая была бы ей перпендикулярна, т. е. AB J_ CD (черт. 3).

Учащиеся уже знают, что диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, т. е. CM — DM*

На основании предыдущей теоремы учащиеся прямо говорят и пишут: AM : СМ = = DM:BM9 или: AM :СМ = СМ: ВМ. Получается непрерывная пропорция, равным членом которой является половина хорды CD или просто перпендикуляр, опущенный из точки окружности на диаметр. Значит, отсюда длина этого перпендикуляра есть средняя пропорциональная между отсеченными им отрезками диаметра. Это и устанавливается учащимися как теорема.

Выводится целый ряд следствий (AM = = т; ВМ = п\ CM=h\ AB = d):

Опять выведенные положения закрепляются решением ряда соответствующих задач по преимуществу конкретного содержания.

Взяв предыдущий чертеж и соединив в нем точку С с точками А и В, учащиеся без труда замечают, что треугольник ABC — прямоугольный. Диаметр AB в нем служит гипотенузой; хорды АС и ВС — катеты; угол С—прямой. Перпендикуляр СМ, опущенный из точки окружности на диаметр, есть высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе. Следовательно, и она есть средняя пропорциональная между отсеченными ей отрезками гипотенузы, т. е. m : Л — h : п. Формулируется и записывается соответствующая теорема. Отсюда опять следствия, подобные предыдущим, опять ряд конкретных задач и примеров.

II. Точка на окружности

Берется окружность и на ней точка М. Из точки M можно провести множество хорд, один диаметр и одну касательную. Величины хорд и диаметра ограничены: они находятся в пределах круга. Между ними, значит, можно попытаться установить зависимость. Величина касательной — беспредельна; ее брать поэтому не следует.

Берутся две хорды. Здесь как будто ничего нельзя установить: соединением концов этих хорд получаем только один треугольник — остро- или прямоугольный.

Для первого случая у нас нет в предыдущем ничего подходящего. Его не берем. Второй случай, когда треугольник прямоугольный, т. е. когда одна из хорд—диаметр, нам уже встречался, на нем и остановимся. Итак, из точки M выходят диаметр MB и хорда MC. Предлагается учащимся, на основании предыдущих теорем и следствий из них, установить и здесь зависимость, вывести свойства проведенных из точки окружности хорды и диаметра. Учащиеся уже знают, что прежде всего необходимо сделать так, чтобы взятые линии стали сторонами отдельных треугольников. Соединение точек В и С дает один прямоугольный треугольник с гипотенузой MB. Чтобы и MC была стороной и другого треугольника, именно гипотенузой, проводят знакомый уже учащимся перпендикуляр CD. Получился второй прямоугольный треугольник MCD. Острый угол M у треугольников общий. А этого уже достаточно для подобия прямоугольных треугольников МВС и MCD. Значит, отношение гипотенуз MB : MC равно отношению сходственных катетов: MC-.MD, т. е. MB : MC = MC :MD, или: d : b = b : п. Отсюда вытекает теорема, которую без особого труда редактируют сами учащиеся. «Если из точки окружности проведены диаметр и хорда, то хорда есть средняя пропорциональная между диаметром и проекцией хорды на диаметр». Отсюда и MB : ВС = ВС:BD, или:

Взяв MC и ВС как катеты прямоугольного треугольника МВС, учащиеся выводят теорему: «Катет прямоугольного треугольника есть средняя пропорциональная между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу».

Выводятся следствия:

или:

что дает

Отсюда вытекает теорема Пифагора и новые следствия:

При равнобедренном прямоугольном треугольнике:

Здесь же можно сказать и о зависимости между диагональю и стороной квадрата.

Опять все закрепляется решением ряда конкретных задач.

К теореме Пифагора можно подвести учащихся и сложением равенств:

При последнем приеме учащиеся часто интересуются, а что получится, если вместо сложения равенств произвести другие действия: деление, умножение, вычитание. Необходимо уделить этому хотя минуту внимания и удовлетворить их естественное желание.

Деление:

т. е. «квадраты катетов относятся, как их проекции на гипотенузу».

Следствия:

Умножение:

или

т. е. «произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту, проведенную из вершины прямого угла к гипотенузе».

Следствия:

Вычитание:

или:

III. Точка вне окружности

Устанавливаются свойства линий, выходящих из этой точки — секущих и касательных.

Секущих из взятой точки можно провести бесконечное множество, касательных— только две.

1. Предлагается учащимся сперва взять две секущих: AM и ВМ (черт. 6). Обращается внимание учащихся, что каждая из секущих делится окружностью на две части—внутреннюю и внешнюю; что внутренние части при вращении секущих около точки M изменяются от d до О, т. е., уменьшаясь от размеров диаметра, могут обратиться в точку, исчезнуть, между тем как их внешние части, хотя и изменяются (от нормали до касательной), но всегда остаются больше нуля.

После этого учащиеся без труда включают в треугольники соответствующие отрезки: соединив А с D и В с С, получают треугольники AMD и ВМС.

Легко устанавливается общность угла M и равенство углов А и В как опирающихся на одну и ту же дугу. Отсюда вытекает, что Д AMD оо Д ВМС и \)АМ:ВМ = = DM:CM, или: 2) AM• СМ = ВМ• DM.

2. Предлагается учащимся проследить за изменением одной из секущих при вращении ее около общей точки М. При удалении секущей от центра точки пересечения секущей с окружностью сближаются, потом сливаются в одну точку; вся секущая в этот момент становится равной своей внешней части, т. е. обращается в касательную. Вместо четырех элементов предыдущего случая у нас остались только три: вся одна секущая, ее внешний отрезок и касательная. Как теперь поступить, чтобы они стали сторонами двух отдельных треугольников?

Основываясь на предыдущем случае и принимая во внимание, что в точке касания В имеются две слившиеся точки, учащиеся соединяют их с точками Л и С (черт. 7). Какие из образовавшихся треугольников взять, установить легко, только нужно постоянно иметь в виду, чтобы в них целиком входили интересующие нас элементы. AM — входит в Д АМВ; ВМ — в Д ВМС (она входит и в Д АМВ, но он уже раз взят).

Подобие треугольников АМВ и ВМС устанавливается легко; без особого труда указываются сходственные стороны и составляется пропорция:

Далее даются обе формулировки теоремы AM - СМ = ВМК

Следствия:

и т. д.

3. Конкретная задача: «Касательные к окружности, проведенные из общей точки, равны между собой».

4. Деление линии в крайнем и среднем отношении.

Предлагается учащимся взять касательную, равную диаметру, и секущую, проходящую через центр, т. е. АО = ВС (черт. 8). Тогда

или:

Пользуясь свойством пропорции: отношение предыдущего члена к разности последующего с предыдущим первого отношения равно отношению предыдущего к разности последующего с предыдущим второго отношения. Можно написать:

или:

Оказывается, что внешняя часть секущей есть средняя пропорциональная между всей касательной и ее частью, равной разности касательной и внешней части секущей. Значит, если из какого-либо конца взятой касательной радиусом, равным внешней части секущей, описать дугу, пересекающую касательную, то точка пересечения разделит касательную в крайнем и среднем отношении.

Отсюда ясно и само построение при делении отрезка в крайнем и среднем отношении. Строится окружность с диаметром, равным данному отрезку. Через произвольную точку окружности проводится касательная. На ней от точки касания откладывается отрезок, равный данному, и из другого его конца проводится через центр секущая и т. д.

Таким образом, учащиеся, беря точки внутри круга, на окружности и вне ее и исследуя свойства проходящих через них хорд, секущих, касательных и их частей, сами приходят к ряду замечательных выводов, имеющих важное научное и практическое значение.

Постепенность, последовательность, аналогии, конкретные задачи и тому подобное значительно облегчают учащимся усвоение и, главное, осознание этого отдела геометрии, заинтересовывают их, развивают, способствуют лучшему запоминанию и удержанию в памяти усвоенного, экономят время и т. д.

При повторении или для развития вопроса можно предложить доказательства некоторых из выведенных здесь теорем и независимо друг от друга и не как следствия, а как это предлагается учебниками, например: вывести свойства перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу прямоугольного треугольника и др.

Я не вдавался здесь во все подробности изложения вопроса, а сделал только общий набросок порядка проработки материала. Думаю, что каждый преподаватель без особого труда сделает это сам: необходимым образом оформит записи доказательств в тетрадях; распределит, что доказывать в классе коллективно и что дать на дом; подберет к каждому случаю достаточное число интересных конкретных задач и примеров и т. д.

* Можно пойти и так:

НЕКОТОРЫЕ МОМЕНТЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ДРОБЕЙ В V КЛАССЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

В. ОРЕШКИН (Станица Пашковская)

В 1936/37 учебном году мне пришлось в пятых классах преподавать математику. При изучении дробей я сделал кое-какую перестановку в расположении учебного материала и кое-какие отступления от программы и учебника арифметики. Мой опыт оказался как будто удачным, так как к концу полугодия учащиеся хорошо усвоили действия сложения, вычитания и умножения дробей.

Нужно сказать, что время в первой четверти все ушло на отдел «Целые числа». Ученики особенно плохо владели устным счетом, и это тормозило работу при изучении делимости чисел, при сокращении дробей, приведении их к общему знаменателю и др. И все же мне удалось выполнить программу первой половины учебного года, и я считаю не лишним поделиться своим опытом с товарищами; при этом оговариваюсь, что я не собираюсь излагать методику дробей, я просто хочу показать, как я справился с работой, применив некоторые приемы, которые, как мне кажется, не всегда и не везде применяются.

Деление целых чисел как подготовительная работа к изучению дробей

О дробях я начал говорить при изучении деления целых чисел. В самом начале рассмотрения свойств этого действия, я объясняю ученикам, что результат деления называется «частным» потому, что он показывает часть делимого числа и именно: восьмую, если делимое делится на 8, одну тридцатую, если делимое делится на 30, и т. д. В дальнейшей работе при делении я часто спрашиваю учеников: «Какую часть мы находим, какую часть мы нашли?»

После того, как я познакомил учащихся с зависимостью между делимым, делителем и частным, я продолжаю эту работу в несколько ином виде. Пользуясь записью действия деления в том случае, когда результат не вычислен, я обозначаю частное в виде дроби: 24 : 8 = — ; при этом объясняю, что черта обозначает знак деления, число, записанное над чертой — делимое, под чертой — делитель, частное—«двадцать четыре восьмых» (к такому названию учащиеся подготовлены предшествующей работой). Так получается новая запись деления, новая запись частного. Теперь я вновь основательно повторяю зависимость между делимым, делителем и частным применительно к новой записи частного, причем на первых порах для делимого и делителя беру числа кратные между собой, чтобы учащиеся видели, что и при новой записи свойство частного осталось то же самое. Таким образом, самые важные свойства дроби—изменяемость ее от изменения числителя и знаменателя, а также ее неизменяемость при одновременном изменении числителя и знаменателя в одно и то же число раз — рассмотрены при изучении деления целых чисел под названием «Свойство частного». В дальнейшей работе с дробями я часто пользуюсь этим «Свойством частного».

Делимость чисел

Признаки делимости. При рассмотрении признаков делимости чисел существует хороший прием — задавать учащимся как в классе, так и для домашней работы, находить числа, отвечающие на тот или иной признак делимости. Часто ученики затрудняются выполнить задание. В этом случае я показываю им отдельные приемы, облегчающие работу. Например: надо написать число, делящееся на 8. Я предлагаю написать любое трехзначное число, делящееся на 8. Это ученики легко делают. Потом я предлагаю на места тысяч, десятков тысяч и т. д. ставить любые цифры; записанное число разделится на 8. Даю объяснение. Или надо написать число, делящееся на 18 = 2 • 9. Предлагаю на месте единиц поставить любую четную цифру или нуль, а дальше на места высших разрядов ставить любые цифры, в любом порядке, только с тем условием, чтобы общая сумма цифр (вместе с единицами) делилась на девять. Достаточно показать 2-3 примера, а затем ученики сами справляются со всяким заданием.

Разложение чисел на простые множители приучаю делать устно, за исключением, конечно, больших чисел. Путем домашних заданий ученики соста-

вили как бы «справочник» на разложение чисел первой сотни на простые множители.

Нахождение общего наибольшего делителя. Я начинаю с устного нахождения делителей сперва небольших целых чисел, двух целых чисел (в будущем числители и знаменатели). На этой работе ученики убеждаются, что бывают делители меньшие, большие и «наибольшие». Вводим определение общего наибольшего делителя. Затем я знакомлю учащихся с обычным способом нахождения общего наибольшего делителя путем разложения данных чисел на множители. Как только я убеждаюсь, что ученики усвоили технику этого способа, перехожу к отысканию общего наибольшего делителя для делимого и делителя при записи частного в виде дроби. Все примеры из сборника упражнений на сокращение дробей мы проделали, как примеры на нахождение общего наибольшего делителя для 2 чисел. Таким образом, с сокращением дробей учащиеся познакомились при изучении общего наибольшего делителя.

Как только найден общий наибольший делитель для нескольких чисел, сейчас же делаем «проверку», т. е, делим данные числа на найденного делителя. Первоначально это делаем обычным способом деления. Но вот я беру три больших числа, находим для них общий наибольший делитель и начинаем «проверять». Долго учащиеся выполняют эту проверку. Тогда я выясняю другой способ нахождения частных при делении чисел на их общего наибольшего делителя — с помощью имеющихся разложений: исключая из разложений те сомножители, которые вошли в общий наибольший делитель и записывая в виде произведения оставшихся сомножителей. Обычно ученики довольны упражнением работы.

Нахождение наименьшего кратного я не изучаю вслед за нахождением общего наибольшего делителя, как это обыкновенно значится в учебниках арифметики и сборниках задач, во-первых потому, что обычный способ нахождения наибольшего кратного имеет сходство со способом нахождения общего наибольшего делителя, а потому учащиеся часто путают эти оба приема, имеющие совершенно различные цели; во-вторых, и это самое главное, учащихся нужно подвести к тому, чтобы они поняли и осознали необходимость этой операции для какой-то определенной арифметической работы. При обычной постановке учащиеся делают массу упражнений и даже задач на нахождение наименьшего кратного, но не всегда представляют, для чего все это проделывается и какое отношение имеет вся эта работа к вопросу о дробях.

Дроби

В сущности учащиеся уже знакомы с дробями. Они наглядно убедились, что это есть частное от деления одного числа на другое. Они знают свойство этого частного, т. е. знают главное свойство дроби; остается только переменить название этого «частного», кроме того, делимое назвать числителем, делитель — знаменателем. Учащиеся быстро с этим осваиваются, и дальнейшая работа идет успешно.

Сравнение дробей. В этом отделе учащихся затрудняет способ сравнения величины дроби путем сравнения ее с единицей или половиной единицы, например: сравнить с единицей дроби:

Для выяснения этого вопроса я использовал такое «наглядное» пособие: я взял три совершенно одинаковых стакана, не долитые водой один на — стакана, другой на — и третий на —. Ученики убедились: если меньше не долито воды до полного стакана, то в стакане воды больше; если меньше у дроби недостает до единицы, то она больше, и наоборот.

Изменение величины дроби от изменения числителя и знаменателя. Главное свойство дроби

После указанного выше рассмотрения вопроса об изменении частного в зависимости от изменения делимого и делителя, изучение данного отдела уже не представляет для учащихся затруднений; также им понятно и главное свойство дроби, как понятна им неизменяемость частного от увеличения и уменьшения делимого и делителя в одинаковое число раз. Таким образом, самое существенное в изучении

дроби — это ее главное свойство — усваивается отчетливо, быстро и вполне сознательно. Как вывод из главного свойства дроби вытекает ее сокращение, к которому я приступаю тотчас, как только оформлено словесное выражение главного свойства. Ученики припоминают, что, когда они находили общий наибольший делитель для делимого и делителя и делили на него эти числа, они сокращали дробь. Большое внимание я уделяю устному сокращению дробей на основании признаков делимости.

Сложение дробей

Прежде всего повторяю примеры на сложение именованных чисел, например: 3 g+25*г + 80 г; 2 км+ 672 м + 80 см и др. в этом роде. На этих примерах учащиеся выясняют, что нельзя складывать различные меры одного и того же рода, не выразив их в одинаковых мерах.

После этого приступаю к сложению дробей с одинаковыми знаменателями (№ 89 из сборника упражнений Березанской). Эта работа не затрудняет учеников. Указываю, как производить запись при сложении смешанных чисел; здесь учащиеся убеждаются, что складывать следует дроби с дробями, целые числа с целыми, при этом при сложении дробей могут получаться целые числа; таким образом ученики практически знакомятся с образованием неправильных дробей и исключением из них целых чисел. Даю задание на дом: придумать и решить такие же примеры.

Далее перехожу к сложению дробей, у которых знаменатели числа первые между собой. Так, например, предлагаю сложить дроби:

(№ 90 из сборника). Такие примеры настолько просты, математическая сущность таких дробей так очевидна, что дети, не задумываясь, отвечают, что для сложения этих дробей нужно их выразить в одинаковых долях, привести к общему знаменателю для нахождения которого данные знаменатели нужно перемножить (на одну третью часть приходится четыре двенадцатых, а на — приходится — J. Сейчас же показываю обычную запись этого действия:

Повторяю: эти примеры просты, в случае надобности можно показать на опыте, как вырезанные из бумажки доли: — и — разрезать на двенадцатые части. Так я решаю с учениками примеры № 90 и 91 из сборника (отдел «Сложение дробей»). Я придаю большое значение сложению дробей, у которых знаменатели числа взаимнопростые, так как на практике действия с этими дробями встречаются часто. Здесь важно приучить учеников сразу находить дополнительные множители для числителей путем перемножения соответствующих знаменателей. Поэтому я не ограничиваюсь указанными выше примерами, а беру также примеры из № 38 на приведение дробей к общему знаменателю. Во время решения этих примеров даю ученикам понятие о кратном числе в таком виде: всякое число, которое мы делим, называется «делимым», независимо от того, делится ли оно на делитель нацело или нет; «кратным» же для делителя (для данного числа) называется такое делимое, которое на данное число делится без остатка — нацело.

Приведение дробей к общему знаменателю Наименьшее кратное

Обычно приведение дробей к общему знаменателю изучается как самостоятельный отдел, решается много примеров, и ученикам долгое время неясно, для какой именно практической работы нужно приведение дробей к общему знаменателю. Я же с самого начала приведение дробей к общему знаменателю связываю со сложением дробей. Как-то уж очень естественно и неотделимо: дроби приведены к общему знаменателю, «само дело показывает», что нужно сложить числители. Получается разнообразная работа, которая сразу захватывает внимание и интерес учеников: дети видят результат своей работы. Поэтому упражнения, помещенные в сборнике на приведение дробей к общему знаменателю, я выполняю вместе с их сложением. При сложении дробей, у которых знаменатели числа взаимнопростые, найденный знаменатель мы называли числом кратным

для остальных знаменателей. Теперь мы переходим к нахождению наименьшего кратного числа способом разложения на простые множители. Эту работу я провожу примерно так. Беру дроби:

обращаю внимание учеников на состав знаменателей данных дробей. Учащиеся убеждаются, что эти числа имеют общие множители. После этого приступаем к нахождению общего знаменателя способом, уже знакомым ученикам, т. е. путем перемножения знаменателей. Я предоставляю эту работу проделать ученикам самостоятельно. Получаются очень большие числа, получается в сумме дробь, которую опять нужно сокращать; одним словом, они убеждаются, что этот способ нахождения общего знаменателя неподходящий. Тогда я предлагаю разложить знаменатели на простые множители. После этого сравниваем состав чисел 24 и 18. Из этого сравнения дети убеждаются, что 24 не делится на 18 и что для того, чтобы найти число, которое разделится на 18, надо 24 еще умножить на недостающий множитель 3. После перемножения получается число 72; оно кратное для 18 и 24, но чтобы найти число, которое должно делиться еще и на 40, необходимо из простых множителей 40 еще добавить недостающий множитель 5. Перемножая полученные множители, получаем число 360. Оно есть кратное для всех данных знаменателей. Делаем проверку и выполняем сложение.

Простым сравнением учащиеся убеждаются, что кратное, найденное вторым путем, есть наименьшее. Оно всегда удобнее для сложения чисел. Проделываем еще пример-два и выводим правило для нахождения наименьшего кратного числа.

Дополнительные множители приучают учеников отыскивать с помощью разложений, если наименьшее кратное найдено с помощью разложения.

Решая из сборника примеры, предназначенные для приведения дробей к общему знаменателю, и одновременно складывая их, я располагаю их по следующим группам: а) дроби, имеющие знаменателями числа взаимнопростые; б) знаменатели таковы, что для них легко найти наименьшее кратное путем простого соображения, например: в) дроби, у которых один из знаменателей служит кратным для других знаменателей; г) случай, когда знаменатели дробей раскладывать на простые множители не всегда приходится, а именно, те знаменатели, которые имеют среди других знаменателей кратные себе, раскладывать не следует; д) наконец, дроби, у которых для нахождения наименьшего знаменателя следует разложить все данные знаменатели. По каждой группе прорабатываю соответствующее количество примеров из № 38, 39 и 40; данных в сборнике, на приведение дробей к общему знаменателю; кроме того, для домашней работы даю задания придумать и решить соответствующие примеры к каждой группе. Указанная мною группировка случаев нахождения общего наименьшего знаменателя приучает учащихся всматриваться в числа, изучать их, а потому исключает всякую механичность в работе.

Для практики прорабатываю отдельные примеры на нахождение наименьшего кратного, а также на нахождение общего наибольшего делителя чисел. Делаем окончательный вывод, что сокращение дробей и приведение их к общему знаменателю основано на главном свойстве дроби.

Сложение и вычитание дробей

Примеры на сложение я разделяю на те же группы, о которых было сказано выше, причем эта работа будет повторением и закреплением прежней. Основательно останавливаемся на примерах на сложение смешанных чисел. Решаем задачи, показывающие, какие вопросы решаются действием сложения. Убеждаемся, что действие сложения дробей подчиняется тем же арифметическим законам, что и действие сложения целых чисел. Так заканчиваю сложение дробей.

Вычитание дробей учащихся не затрудняет. Правило вычитания они выводят сами.

Большую помощь делу оказывают примеры на вычитание, помещенные в сборнике для устного решения (№ 117), Решаем примеры на вычитание смешанных чисел (№ 118). Решаем примеры на сложение и вычитание, примеры со скобками. В конце концов решаем задачи, показывающие, какие вопросы решаются вычитанием. Этим заканчиваю изучение

действия вычитания. В общем на сложение и вычитание дробей выполняется много упражнений для того, чтобы развить у учащихся хорошую технику в производстве этих действий.

Умножение дробей

Это действие, как обыкновенно, начинается нахождением от числа как целого, так и дробного одной или нескольких частей. Перед этим повторяю изменение частного, записанного обычным способом и в виде дроби, от изменения компонентов. Проделываю примеры на изменение величины дроби в зависимости от изменения числителя и знаменателя и добиваюсь того, чтобы дети твердо и отчетливо производили уменьшение дроби путем умножения знаменателя, а увеличение— путем умножения числителя.

Умножение дроби на целое число приводится к увеличению дроби в несколько раз путем умножения числителя. После проработки нескольких примеров дети сами выводят правило. Умножение целого числа на дробь я прорабатываю так: беру пример умножения дроби на целое число, а затем на основании переместительного закона переставляю сомножители. В этом случае учащиеся не путем каких-либо рассуждений, а силою математического закона ставятся перед фактом умножения целого числа на дробь, и самая техника действия тут же проходит перед глазами учащихся: целое число умножается на числитель и делится на знаменатель. Далее идет самое главное:

обращаю внимание детей на изменение множимых в том и другом примере. Здесь ученики замечают большую разницу: в первом примере множимое увеличилось в пять раз; во втором случае, наоборот, множимое уменьшилось. Это обстоятельство приводит детей в смущение в правильности действия, приходится проделать еще несколько подобных примеров, при этом результат получается один и тот же.

Здесь я приступаю к выяснению истинного смысла умножения целого числа на правильную дробь. В самом деле: при умножении на какое-нибудь целое число множимое увеличивается; даже при умножении на целую единицу множимое берется в своей первоначальной величине, естественно поэтому, что при умножении целого числа на несколько частей единицы, берется не все множимое, а только несколько частей его.

Таким образом учащимся становится ясным, что умножая какое-нибудь число на дробь, мы от данного числа находим несколько частей его, именно столько, сколько их заключено в множителе. Дети воспринимают это очень быстро, так как к этому они хорошо подготовлены предшествующими работами по нахождению нескольких частей от целого. Самая техника работы: умножение целого числа на числитель и деление результата на знаменатель— схватывается очень быстро.

Правило умножения дроби на дробь учащиеся уже формулируют сами, только я его дополняю двумя положениями: «Умножая знаменатели, находим одну часть, а перемножая числители, находим все искомые части», «до умножения следует произвести сокращение».

Действие заканчиваю обобщением всех трех случаев умножения одним правилом умножения дроби на дробь, так как учащимся хорошо известна запись целого числа в виде дробей:

В дальнейшем изучение действия умножения заканчивается решением задач на все те вопросы, которые решаются умножением, при этом учитель обращает внимание учеников на то, что все законы умножения для целых чисел применимы также и к умножению дробей.

Деление дробей

1. Деление дроби на целое число

Этот случай деления изучается как уменьшение дроби в несколько раз. При этом уменьшение я всегда произвожу путем умножения знаменателя.

2. Деление целого числа на дробь обыкновенно во всех учебниках арифметики и методиках трактуется как нахождение числа по его части или нескольким частям; например:

Формально этот способ совершенно правилен, но по внутреннему своему логическому содержанию, по моему мнению, не выдерживает никакой критики. В самом деле, почему деление на дробь есть нахождение числа по его части? Где тут внутренняя логическая связь между двумя математическими явлениями разного порядка? С одной стороны, действие деления как таковое, со всеми присущими ему признаками и атрибутами, с другой — нахождение числа по его части, в сущности способ тройного правила, решаемый приведением к единице.

Вот почему так трудно, пожалуй, безнадежно трудно дается ученикам объяснение этого действия. В сущности большинство преподавателей удовлетворяется только усвоением внешней формулировки этого действия. Дети ее усваивают скоро, рассказывают наизусть, но внутренней стороны действия так и не понимают.

Со своей стороны я считаю совершенно правильным и математически обоснованным трактовать деление на дробь как действие, с помощью которого узнается, сколько раз дробь содержится в данном числе. Это вполне естественно и учащимся совершенно понятно.

Эту работу я провожу примерно так. Прежде всего на примерах устанавливаем то положение, что содержаться одна в другой могут только величины однородные и притом только тогда, когда они выражены в совершенно одинаковых мерах (об этом была речь еще при делении целых чисел).

Предлагаю такой пример: сколько раз содержится 50 2 в 4 кг? Ну, конечно, ученики сейчас же говорят, что граммы могут содержаться только в граммах, а потому 4 кг следует раздробить в граммы, у многих уже готов и ответ. Я останавливаю их и говорю, что суть решения состоит в записи действий. Произвожу запись: сколько раз содержатся 50 г в 4 кг? Решение:

Разбираем сделанную запись, учащимся она нравится: тут все действия вместе.

Предлагаю еще пример. Сколько раз 90 мм содержатся в 72 м! После повторения спрашиваю: нет ли в этой задаче дробей? Долго вдумываются учащиеся в предложенный вопрос, наконец, догадываются:90 мм это ^ часть метра; тогда задачу записываем так: сколько раз м содержится в 72 м?

По предыдущей задаче ученики говорят, что метры следует раздробить в миллиметры и узнать, сколько раз содержатся в них 90 мм, получается запись

Анализируем запись, спрашиваю: как же мы узнали, сколько раз м содержится в 72 м?

В конце концов приходим к выводу: чтобы знать, сколько раз ^ содержится в 72, число 72 умножаем на знаменатель (раздробляем в тысячные доли), потом узнаем, сколько раз числитель 90 содержится в произведении, запись;

После такой подготовки я сообщаю учащимся смысл действия деления данного числа на дробь: «Разделить данное целое число на дробь — это значит узнать сколько раз дробь содержится в данном числе».

Предлагаю пример: 35 : «Что это значит?» Дети, не задумываясь, отвечают: «Узнать сколько раз — содержатся в 35».— 15

«Пятнадцатые доли в каких долях могут содержаться?» — «Только в пятнадцатых».— «Следовательно число 35 следует раздробить в пятнадцатые доли». Запись решения:

Разбор записи.

Таким способом проделываем еще несколько примеров. Ученики формулируют правило и усваивают этот способ деле-

ния чрезвычайно быстро и сознательно, так что после первого урока можно спокойно такую работу дать детям в качестве домашнего задания.

Деление дроби на дробь проводится по принципу содержимости одной дроби в другой, а потому усваивается детьми легко. Выводится правило.

Нахождение числа по его частям я прохожу как отдельное действие после деления на дробь, когда учащиеся хорошо усвоят технику действия деления. В этом случае наблюдается такое явление: дети, освоившись с техникой нахождения числа по его частям, мысленно, сравнивая это действие с техникой деления на дробь, сами приходят к заключению, что техника действия в том и другом случае совершенно одинакова и выражают это таким выводом: найти число по нескольким частям все равно, что разделить число на дробь.

После я показываю ученикам вывод действия деления обычным способом; дети понимают объяснение лучше, но нельзя сказать, что хорошо; их затрудняет цепь отвлеченных логических построений, которая приводит к выводу правила деления целого числа на дробь.

Изучение деления заканчивается решением задач на те вопросы, которые решаются делением,

ОТКЛИКИ НА СТАТЬИ

Под этим заголовком редакция будет помещать письма и заметки читателей по поводу той или иной статьи, помещенной в журнале, дополняющие статью или, наоборот, полемизирующие с ней, или, наконец, указывающие на ошибки, допущенные автором.

О ТРЕХГРАННЫХ УГЛАХ

Проф. Н. А. ИЗВОЛЬСКИЙ (Москва — Ярославль)

В № 3 за 1937 г. «Математика в школе» напечатана работа П. Стратилатова «Многогранный угол в средней школе». Позволяю себе сделать по поводу нее некоторые замечания.

В работе т. Стратилатова отсутствуют некоторые случаи:

1. При доказательстве основной теоремы, что угол между двумя наклонными меньше угла между их проекциями на какую-либо плоскость, автор рассматривает лишь один случай, когда основание перпендикуляра из точки пересечения наклонных на прямую, соединяющую их основания, расположено между основаниями наклонных (черт. 1 и 5), но ведь оно может и совпасть с одним из них и оказаться вне отрезка, соединяющего основания наклонных, а в последнем случае дело существенно изменится, так как из неравенств о^^С^ и а2<32 вовсе не следует, что at — а2 < <С Pi — ?2, при доказательстве того, что сумма плоских углов многогранного угла меньше 4 d, автор строит произвольно прямую SM из вершины S этого угла (черт. 2 и 3) и через какую-либо ее точку M (черт. 2 и 3) плоскость, к ней перпендикулярную, и получает или Д AtBtCt (черт. 2) или многоугольник AtBiCtNt (черт. 3), причем точка M лежит внутри его. Но ведь плоскость, перпендикулярная к SM, может оказаться или параллельной одному из ребер многогранного угла или может составить с ним тупой угол, и тогда точка M окажется, например, вне /\А1В1С1. Автору надо

Черт. 1

было бы доказать, что всегда можно построить такой луч SM, чтобы он со всеми ребрами многогранного угла составлял острые углы,— как это сделать, я сразу не вижу.

2. Тов. Стратилатов в начале своей статьи говорит, что он обобщает одну из теорем, данную на стр. 77 «Методического пособия» Гурвица и Гангнуса (ч. II. «Стереометрия»). В этой теореме речь идет о равных наклонных, и тогда вышеотмеченного случая быть не может, но т. Стратилатов полагает, что он доказал теорему для произвольных наклонных.

Ввиду того, что у Гурвица и Гангнуса берутся равные наклонные, ясно, что приложить эту теорему к доказательству того, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 4*/, нельзя.

Впрочем, применение ее и к трехгранному углу требует дополнения, отсутствующего у Гурвица и Гангнуса, а именно может случиться, что основание перпендикуляра, опущенного из вершины трехгранного угла на плоскость, определяемую концами равных отрезков, отложенных на ребрах от вершины, окажется вне треугольника, вершинами которого служат концы отложенных равных отрезков. Дополнение это достаточно просто, ко все же нехорошо, что у Гурвица и Гангнуса его нет.

3. С педагогической точки зрения нехорошо, что т. Стратилатов вел в школе занятия так, как изложено в его статье: у учащихся сложится неправильное представление, что не надо углубляться в вопрос, а достаточно выхватить один наиболее удобный случай. Допустимо это лишь иногда, когда ясно, что особых изменений быть не может и что всегда излагаемый метод применим, хотя бы в его предельной форме, но в данном случае имеет место настолько существенное изменение, что излагаемый П. Стратилатовым метод доказательства его исходной теоремы вовсе неприменим, а именно, как указано в п. 1 этой заметки, вместо суммы at и а2 придется брать разность.

4. Замечу, что доказательства теорем о плоских углах трехгранного (и многогранных) угла может быть основано попросту на теореме, что наименьшим из углов, образуемых наклонною к плоскости с различными прямыми этой плоскости, проходящими через основание наклонной, является угол, образуемый этой наклонной. Такое изложение вопроса

Черт 5

Черт. 2

Черт. 3

дается в моем курсе «Геометрия в пространстве»; по существу оно очень просто, но требует от учащихся развитого в достаточной степени «геометрического видения» и опять-таки необходимости рассматривать различные возможные случаи отдельных частей построения.

Кроме того, я полагаю, что в средней школе достаточным является иной метод получения рассматриваемых свойств плоских углов трехгранного: строим на плоскости при общей вершине три угла, прилегающих друг к другу и выясняем, при каких условиях перегибанием плоскости можно получить трехгранный угол, чтобы построенные три угла оказались его плоскими углами. Такой метод до чрезвычайности убедителен и прост*.

О СТАТЬЕ П. СТРАТИЛАТОВА «МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ В ШКОЛЕ»

Н. КУЛАКОВ (Бугуруслан,)

В своей статье т. Стратилатов исходит из совершенно неправильного утверждения, будто теоремы (прямая и обратная) о двух треугольниках с двумя соответственно равными сторонами и неравными углами между ними настолько трудны для учащихся, что их следует проста выбросить из школьного курса геометрии, как это сделано в учебнике Гурвица и Гангнуса и в их «методическом пособии» по геометрии.

Во-первых, доказательство этих теорем не труднее для учащихся доказательства многих других теорем, стоящих в начале курса, например, теоремы о свойстве внешнего угла треугольника (в особенности если проводить сравнение внешнего угла с каждым из внутренних, не смежных с ним). Смысл теоремы также вполне доступен учащимся. Замечу, что изучение этих теорем полезно начинать с вопроса: Если в треугольнике увеличить (или уменьшить) один из его углов, оставляя без изменения длины сторон этого угла, то как изменится третья сторона, лежащая против этого угла?

Во-вторых, и это главное, эти теоремы совершенно необходимы. Так, без этих теорем нельзя доказать тоже совершенно необходимых теорем о зависимости между дугами и хордами. (В одном и том же круге или в равных кругах если две дуги не равны и притом каждая меньше полуокружности, то большая из них стягивается большей хордой, и наоборот,— из двух неравных хорд большая хорда стягивает большую дугу.)

В учебнике Гурвица и Гангнуса выброшены и эти последние теоремы, хотя далее делается ссылка на них (ч. II, стр. 15) «Хорда MC больше хорды MA, а потому она стягивает и большую дугу». Выброшенные теоремы оказываются необходимыми и для доказательства некоторых теорем стереометрии: о свойстве угла прямой с плоскостью, о свойстве плоских углов трехгранного угла (см. «Учебник геометрии» Киселева). На упомянутых выше теэремах о зависимости между дугами и хэрдами (а следовательно, и на теоремах о двух углах с двумя соответственно равными сторонами) основываются и теоремы тригонометрии о зависимости между синусами и углами. Если углы а и ß острые и ß > а, то sin ß > sin а, и наоборот, так как линия синуса какого-либо острого угла есть полухорда двойного угла. Из всего сказанного ясно, что выбрасывать все эти теоремы нельзя даже и в том случае, если при изложении теорем о многогранных углах пользоваться тригонометрией.

Весьма странно звучит преклонение т. Стратилатова перед «методическим пособием» Гурвица и Гангнуса. На самом деле эти книжки, в которых авторы занимаются, главным образом, «выявлением содержания» своего учебника, содержат все недостатки этого учебника и, следовательно, заслуживают той же оценки.

* Аналогичные замечания получены редакцией от тт. Острогского (Москва), Косцова (Великие Луки) и от самого автора. Правильная формулировка теоремы дана т.Острогским в его статье «Об углах, расположенных в пересекающихся плоскостях», помещенной в журн. № 1 за 1937 г.

К ВОПРОСУ ОБ УМНОЖЕНИИ НА ДРОБЬ*

В. ЭМЕНОВ (Москва) (Москва, Институт средней школы)

Вопрос об умножении на дробь является в методическом отношении одним из трудных. Его трудность заключается в том, что при умножении на правильную дробь мы получаем произведение меньшее множимого, а при умножении на целое число учащийся привык рассматривать это действие в связи с увеличением числа в несколько раз и выводить его из сложения равных чисел, чего нельзя применить к случаю умножения на дробь.

Решение вопроса об умножении на дробь, поднятого А. Гнедовым на страницах журн. «Математика в школе» (№ 3 за 1937 г.), нужно искать прежде всего в умножении целых чисел. Совершенно правильно поступают в начальных классах средней школы, когда умножение целых чисел выводят из сложения равных чисел, например : 8 + 8 + 8 = 8 х 3, Но объяснение умножения как сложения равных чисел не может быть распространено на все случаи умножения, например на дробь.

Только что указанный пробел в объяснении умножения может быть восполнен путем рассмотрения данного действия как счета группами единиц и связанного с ним преобразования составных счетных единиц в простые. Мы можем любую группу единиц рассматривать как счетную единицу, подобно составным счетным единицам десятичной системы счисления, например десятку, сотне и т. п. Другими словами, мы можем вести счет двойками, пятками, тройками, четверками и т. д. Только что приведенный счет тройками возможно записать в таком виде: 1.3, 2.3, 3.3, 4.3, 5.3, 6.3, 9.3, 10.3, где первый множитель показывает, сколько раз мы берем по тройке, например, один раз по три, два раза по три и т. д. Каждое количество троек или другой какой-либо группы единиц может быть заменено соответствующим числом простых единиц, например три пятка составляют (равны) 15.

Наиболее полное обоснование умножения как счета группами единиц мы находим у Симона в его книге «Дидактика и методика математики». Он пишет: «Всякое число а числового ряда мы можем рассматривать как высшую единицу и, взяв его за основное число, повторить числовой ряд... Мы тотчас же видим, что мощность натурального числового ряда и ряда а: 1 я, 2 а, 3 а, 4 а... одна и та же. Произведение ха мы определяем как число Nx в высшем ряду Na или, короче, как число X, исчисленное из высшей единицы а. Действие, которое мы называем умножением, сводится к включению этого числа х} исчисленного в высшем ряду а, в основной ряд» (стр. 90).

При умножении как счете группами единиц понятие увеличения не выдвигается так ярко, как при умножении, связанном с сложением равных чисел: здесь данное действие рассматривается как преобразование составных (сложных) единиц в простые, например, выражение 68. (шесть восьмерок или шесть раз взять 8) может быть заменено числом 48, т. е. 6.8 = 48.

Только что указанное объяснение умножения целых чисел Н. Д. Соловьев в своей книге «Методика арифметики дробей» (Изд. Раб. Проев. М., 1927, стр. 16) распространил и на случай умножения на дробь. Так выражение 8.— нужно понимать, по Соловьеву, следующим образом: здесь требуется составить новую счетную единицу и ее повторить три раза, т. е. 8 • — =--3. В данном случае новая счетная единица найдена через нахождение четверти 8. Решая примеры на умножение на дробь, учащиеся недоумевают, можно ли это действие назвать умножением. Н. Д. Соловьев, чтобы рассеять сомнения учащихся рекомендует «убедить их в том, что умножение на дробь есть тоже счет, но только счетную единицу мы должны сами составить» (там же, стр. 52—53).

Принимая во внимание, что в V класс поступают дети с представлениями об умножении как сложении равных чисел, объяснение умножения на дробь по методу Соловьева может затруднить работу учителя.

Наиболее правильное объяснение умно-

* По поводу статьи т. Гнедова «Методические эскизы», помещенной в № 3 журнала за 1937 г., редакцией получены письма от тт. Асташина, Галлер, Горуна и Чуканцева. Не имея возможности напечатать их все, редакция помещает сводную статью т. Эменова.

жения на дробь мы находим в «Методике арифметики для V класса» Е. С. Березанской. Она, разбирая различные точки зрения по этому вопросу, признает целесообразным нахождение частей числа считать умножением. Примерно такие же взгляды на умножение на дробь высказывались С. Шохор-Троцким в его «Методике арифметики для учителей средних школ», Лексиным — в «Методике составных именованных чисел и обыкновенных дробей» и др.

В целях облегчения учащимся понимания нахождения части числа как умножения Е. С. Березанская рекомендует начать работу с решения соответствующим образом подобранных задач.

Е. К. Галлер в своем письме в редакцию журнала по поводу статьи А. Гнедова также рекомендует начинать с решения задач. Но в подбор задач он вносит целесообразное новшество: сначала он дает задачу, в которой требуется умножить на целое число, а потом другую, в которой множитель выражен дробным числом, равным по величине целому числу. В качестве примера он приводит решение задачи, в которой требуется определить стоимость 5 кг чаю по 48 руб. Дальше он вносит з задачу изменение, которое сводится к тому, что целое число 5 кг заменяется равным ему по величине дробным числом — кг. Если в первой задаче для определения стоимости 5 кг чаю нужно было 48.5, то во второй задаче для тех же целей нужно 48—.

В последнем случае учащиеся отыскивают сначала цену четверти килограмма, а потом 20 четвертей. Следовательно, решение задачи примет такой вид: — -20.

Прием объяснения умножения на дробь, предложенный т. Галлером, заслуживает внимания: он обеспечивает естественный переход от умножения на целое число к умножению на дробь. При его использовании подчеркивается, что умножение является тесно связанным со счетом группами единиц. В случае же умножения на дробь сначала отыскивается новая счетная единица, например цена четверти килограмма чая, а потом она повторяется требуемое количество раз, например: —20.

Теперь перейдем к рассмотрению методики объяснения умножения на дробь, предложенной А. Гнедовым и поддержанной С. Мелановым в его письме в редакцию журнала. А. Гнедов указывает, что «общепринятый метод у меня, как, впрочем, и у многих других преподавателей, не давал ученикам ясности и полноты понимания умножения и деления обыкновенных дробей» (стр. 17). Очень жаль, что он точно не называет этот «общепринятый метод», а потому трудно судить о правильности его высказываний.

Основным же принципом обучения А. Гнедов выдвигает следующее: «давать возможно меньше объяснений и больше рассчитывать на работу мысли самого учащегося, пусть вначале даже не оформленную». Согласиться безоговорочно с только что изложенным принципом нельзя: он страдает неопределенностью, которая допускает различное его понимание. Мы считаем, что обучение арифметике в V классе целесообразно строить в строго продуманной вопросоответной форме, при которой целесообразно использование решения специально подобранных численных примеров, а также задач с последующим обобщением наблюдений, связанных с выполнением подготовительных математических упражнений. Если же этими замечаниями пренебречь, то преподавание может скатиться к сугубо-практическому обучению учащихся производству арифметических действий.

Недостаточно ясное изложение т. Гнедовым выдвинутого им принципа обучения повело к тому, что в письмах, полученных редакцией журнала «Математика в школе», выдвигается против него обвинение в чрезмерно раннем введении механизации вычислений. Такие упреки имеются в письмах тт. Горун (Одесса), Галлер (Уральск) и Асташина (Челябинская обл.).

Но эти обвинения не совсем правильны: т. Гнедов не исключает сознательного усвоения учащимися умножения на дробь, которого он стремится достигнуть через решение большого количества примеров, подобранных так, что они подводят учащихся к выводу соответствующего правила. Здесь имеется одна опасность, что требуемых обобщений наблюдений преподаватель не. произведет, а прямо покажет учащимся правило умножения на дробь, что поведет к преждевременному переходу к механическим вычислениям.

Принципы же подбора примеров, приведенных в статье, вызывают возражения. В основу подбора примеров была положена

мысль подвести учащихся к пониманию правила умножения на дробь через рассмотрение изменения произведения в зависимости от уменьшения множителя в несколько раз. Так, при объяснении умножения на — он в качестве множителей берет числа 8, 4, 2, 1 и—. Здесь величина множителя последовательно уменьшается в 2 раза, а потому уменьшается во столько же раз и произведение. Следовательно, чтобы найти — числа, достаточно и необходимо данное число разделить на две равные части. Подобным же образом дается объяснение умножения на — , — и т. п. Далее выводится правило умножения на любую правильную дробь.

Недостаток только что описанного метода объяснения умножения на дробь заключается в том, что он умножение отодвигает на второй план, а подчеркивает уменьшение произведения в зависимости от уменьшения множителя в несколько раз. Поясним это на примере табличного умножения. Если мы таблицу умножения 6 будем выводить из таблицы умножения 3 путем увеличения произведений, например, 6Х Х2=ЗХ2Х2>6ХЗ=ЗХЗХ2ит.п., то мысль, что умножение является сложением равных чисел, не будет представлена выпукло, что может повести к механическому усвоению таблицы. Такая же опасность стоит перед учителем и в случае объяснения умножения на дробь по методу т. Гнедова. Эти опасения усиливаются от чтения письма С. Меланова в редакцию журнала, который явно скатывается к механическому умножению на дробь. Он так же, как и т. Гнедов, начинает с решения примеров на умножение, в которых множитель последовательно уменьшается, например,

при этом он обращает внимание учащихся на то, «что с известного момента произведение становится меньше множимого». В этом случае нужно обращать внимание не на то, что произведение становится меньше множимого, а на то, что мы здесь ищем новую счетную единицу. И вообще нецелесообразно усиленно подчеркивать, что с умножением связано увеличение числа: это отвлекает учащихся от понимания сущности арифметического действия, а умножение, как увеличение числа в несколько раз, составляет лишь один из случаев применения этого действия.

Снижение образовательной роли арифметики путем быстрого перехода к механическим приемам выполнения действий особенно ярко сказывается в таких указаниях автора: «Закончив столбец, убедившись в том, что класс ухватил идею задачи, я спрашиваю, как же получается в последних трех случаях произведение. Приходим всем классом к выводу, что множимое приходится делить на знаменатель». Здесь так и чувствуется, что автор спешит сообщить ученикам правило умножения на дробь. Без понимания же смысла арифметического действия правило его выполнения усваивается механически.

Подводя итоги высказываниям по вопросу об умножении на дробь, мы должны отметить, что большинство корреспондентов журнала признает, и совершенно правильно, необходимость сознательного усвоения учащимися этого случая умножения. Предложение Галлера предпосылать умножению на дробь в качестве подготовительных упражнений решение простых задач, например на определение стоимости, в которых в качестве множителя сначала вводится целое число, а потом равное ему по величине дробное, является наиболее целесообразным.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О НЕКОТОРЫХ СЛАБЫХ МЕСТАХ В СТАБИЛЬНОМ УЧЕБНИКЕ АЛГЕБРЫ КИСЕЛЕВА

И. СКРЫЛЕВ (Одесса)

Введение в курс элементарной алгебры понятий о функции, бесконечно малых и пределах с приложением этих понятий в геометрии и физике значительно подготовляют учащихся средней школы к будущему успешному прохождению высшей математики в вузе. Это—в области понятий. Но в отношении приемов изложения материала старших классов в этом смысле сделано мало или почти ничего: резкое различие в характере изложения алгебры средней школы и анализа в вузе продолжает оставаться до сегодняшнего дня.

Это различие состоит в том, что в школьной алгебре имеются случаи, когда то или иное положение, открытое учащимся индуктивным путем (на двух-трех частных примерах), обобщается затем без строгого доказательства его (например, в неравенствах и прогрессии); кое-где доказательства заменяются ссылкой на ясность, какой на самом деле там нет (например, в произведении биномов, отличающихся вторыми членами, при выяснении значения выражения вида Sk + Sk_ £ J); не в почете метод математической индукции.

Всего этого, вообще говоря, мы не имеем в анализе.

При наличии таких недостатков в изложении отдельных тем старших классов мы просто-напросто вырабатываем в учащихся привычку к скороспелым, часто неверным выводам; не вырабатываем у них привычки критического отношения к свойствам, присущим нескольким рассматриваемым частным примерам; они не понимают метода математической индукции и, следовательно, не умеют пользоваться им.

Рассмотрим подробнее перечисленные выше недостатки в стабильном учебнике по алгебре Киселева и наметим способы их исправления.

1. В неравенствах: 1) ни одно из основных свойств их не доказывается в общем виде; вместо этого каждое приводимое свойство проверяется на одном-двух частных примерах; 2) ничего не сказано относительно вычитания неравенств одинакового смысла, так что ученик, случайно взяв неудачный пример, вроде следующих:

следуя приему, по которому ему только что излагали основные свойства неравенств, обобщит полученный результат в «правило»; неравенства одинакового смысла можно вычитать во всех случаях, что, конечно, неверно; 3) не рассматривается умножение неравенств одинакового смысла со всеми положительными членами; 4) в теореме 1 (стр. 63) и в ходе доказательства ее говорится о постоянном числе m, а в следствии из нее,— что всякий член (значит и содержащий неизвестные) можно переносить из одной части в другую, меняя его знак на обратный.

Большая часть только что перечисленных недостатков в дореволюционных изданиях алгебры Киселева отсутствует: там неравенства, за исключением вышеупомянутой теоремы* и умножения неравенств, излагаются хорошо.

Так как общеизвестные доказательства возможности умножения неравенств со всеми положительными членами их сравнительно громоздки, считаю необходимым привести более простое доказательство этого.

Дано: я> b и c>d, где a, b, end больше нуля.

Требуется доказать, что дс> bd.

Из второго неравенства получаем:

а помножая неравенство (1) на а:

где д>&и, следовательно,

Освобождая последнее неравенство от знаменателя d, окончательно получим ас > bd.

Может быть, найдутся преподаватели математики, которые скажут: «Все это нам давно и хорошо известно, но мы не видим необхо-

* Для нее недостает примечания, приведенного в аналогичной теореме для уравнения (стр. 110, изд. 1916 г.).

димости уделять неравенствам большое внимание». Таким товарищам можно порекомендовать познакомиться с тем местом «Методики алгебры» Чистякова, где совершенно правильно указывается на значение неравенств (стр. 216).

Там мы находим: «Отделу неравенств при прохождении алгебры в средней школе часто не уделяется особенно большого внимания, однако он его заслуживает по своему весьма важному значению. Действительно неравенства являются важнейшим орудием при исследовании всевозможных математических вопросов; в частности, они применяются при исследовании решений уравнений, в приближенных вычислениях, при нахождении максимума и минимума переменных величин, в теории рядов, в вопросах геометрии, тригонометрии, физике и т. д., поэтому прохождение отдела о неравенствах должно быть достаточно подробным и углубленным».

2. В арифметической прогрессии свойство членов ее, состоящее в том, что сумма любых двух членов, равноотстоящих от концов ее...— непременно надо доказать в общем виде; если при этом члены прогрессии, как вообще принято писать ряды, обозначить аи at,... ап __ v ап , то последнее свойство доказывается весьма просто на основании предыдущего:

Действительно, отметив, что второй член от конца равен ап _ 4, третий — яп__2 ит*д-» а г-й от конца будет очевидно ап_г_^_^ получим:

(2)

а для г-ых от концов:

(3)

Так как правые части равенстз (2) и (3) разиы, то равны и их левые части, т. е.

Говоря о прогрессии, кстати заметим, что способ вывода формулы суммы членов Г. Пр. хуже того, которым она выводится в старых изданиях алгебры,— там он проще.

3. В теории соединений наиболее трудным местом следует признать вывод формулы для числа размещений из п элементов по k.

Известный, самый распространенный способ вывода этой формулы состоит в том, что непосредственно выводятся формулы для Л2, Л3,, а далее делается утверждение, что «подобным способом получим Л* = Аъл—... и т. д. и вообще:

Ясно, что такой способ вывода этой формулы нельзя признать строгим. Для того, чтобы достигнуть этого, надо прибегнуть к методу перехода о г п к п + 1, но тогда он, и без того громоздкий по выкладке, еще более усложнился бы.

Есть, однако, другой прием безусловно строгого вывода этой формулы, известный немногим.

Покажем его.

Условимся прежде всего любое размещение обозначать буквой R% а порядок его — соответственным числом, поставленным справа сверху буквы R и взятым в скобки, так что, например, символ Rk будет обозначать некоторое размещение порядка к.

Установим сначала равенство:

Для этого предположим, что мы составили без повторений всевозможные размещения порядка k—1 из п данных элементов:

(4)

В каждое из размещений ряда (4) входит к — 1 элементов из п данных, и, следовательно, относительно любого из них у нас остаются свободными еще п— & + 1 различных элементов из п данных.

Последовательным присоединением по одному элементу к какому-нибудь размещению ряда* (4), мы образуем из него п — £+1 различных размещений порядка k. А так как число всех размещений ряда (4) есть -4А-1 , то из всех их таким способом образуем различных размещений** порядка к числам.

Нам остается еще доказать, что мы получили всевозможные размещения порядка k из п данных элементов.

Действительно, любое размещение Rh можно составить из соответственного размещения 1 присоединением к нему k-ro элемента, входящего в Rk. А так как мы составляли размещения к-го порядка, исходя из всех возможных размещений порядка 1 последовательным присоединением по одному всех свободных элементов к каждому из них, то рассматриваемое размещение Rk имеется среди составленных нами.

Таким образом действительно

и, следовательно:

* К последнему элементу размещения.

** Из неодинаковых размещений присоединением к ним по одному разу даже того же самого элемента получим различные размещения: она будут отличаться (порядком либо составом) первыми k—1 элементами.

Если последние тождества перемножить почленно, а потом полученное равенство разделить на общие множители обеих частей его*, то окончательно получим:

4. В произведении биномов, отличающихся вторыми членами, мы находим у Киселева (стр. 171):

«Рассматривая это новое произведение, убеждаемся, что оно подчиняется такому же закону, какой мы предположили верным для m биномов.

Действительно: во-первых, этому закону следуют показатели буквы х\ во-вторых, коэфициент 2-го числа St -f I представляет сумму всех вторых членов перемножаемых биномов, включая сюда и/; коэфициент 3-го числа S2+ISX есть сумма парных произведений всех вторых членов, включая сюда и I и т. д.; наконец lSm есть произведение вторых членов: а, Ьл с... k, I*.

С первыми двумя и последним утверждениями только что приведенного рассуждения нельзя не согласиться: правильность их видна непосредственно, но с ясностью третьего утверждения, а также аналогичных следующих (не приведенных) никак нельзя согласиться. Наоборот, трудно себе представить, что выражение Sk + Sk-i I, где 1 < k <; /я выражает собой сумму всех произведений порядка k, какие могут быть составлены из всех m + 1 вторых членов. Последнее положение нуждается в доказательстве. Не трудно представить себе затруднительное или просто безвыходное положение учителя, к которому обращаются ученики с заявлением о неясности последнего утверждения, если он всецело здесь следовал за Киселевым и не знал, как обстоит тут дело на самом деле: он беспомощно будет повторять ранее приводившиеся утверждения, «подкрепляя» их словами: «ясно», «очевидно», «это не требует доказательства» и пр. и в конце концов заглушит голоса недоумевающих учеников.

Ввиду отсутствия доказательства в наших учебниках алгебры этого положения, считаю необходимым привести его здесь.

Итак, нам надо доказать, что выражение

(5)

представляет собою сумму всевозможных различных произведений, какие могут быть составлены из всех m +1 вторых членов биномов по k множителей в каждом.

Прежде всего ясно, что произведения, составляющие сумму Sk, отличаются от произведений, составляющих второе слагаемое 1*» множителем I.

Теперь остается показать, что, составляя произведения £-го порядка из m + 1 вторых членов биномов по способу, указываемому самим выражением (5), мы получим всевозможные произведения.

Действительно, числа произведений, составляющих суммы: Sk из m + 1 вторых членов, Sk и Sk-i из m членов, суть числа комбинаций, соответственно

Так что вопрос сводится к установлению равенства

Имеем:

Последнее выражение есть как раз

Нужно ли показывать это всем ученикам — это вопрос, решать который не беремся, но учитель сам должен знать это хорошо, чтобы уметь дать удовлетворительный ответ ученикам, не желающим принимать на веру догматические положения.

В заключение, отступая от темы моей статьи, хочу отметить другой способ доказательства шестого свойства (в порядке перечисления их у Киселева) формулы бинома Ньютона, положительная сторона которого состоит в том,что он позволяет сделать это еще в теории соединений при упражнениях на вычисление комбинаций, и мы, таким образом, так сказать, сразу убиваем двух зайцев.

Биномиальные коэфициенты суть комбинации из п элементов по 1, 2, 3... п—1:

(6)

Нам надо доказать, что в ряде (6) чисел среднее — наибольшее из всех. Так как способы доказательств при п четном и нечетном идентичны, то мы рассмотрим только случай, когда п = 2т + 1 и, следовательно, два средние будут равны

числа справа от них будут иметь вид

где k принимает целые положительные значения от 1 до т— 1 Так как

то нам достаточно показать, что

* Общими множителями являются:

* Значение Ck 1 помножено и разделено на k для того, чтобы дробные слагаемые привести к общему знаменателю

или:

Имеем:

так как в последнем дробном выражении каждый множитель числителя больше любого множителя знаменателя, а число их и в том и в другом равно k.

НОВЫЕ ПРОГРАММЫ ПО МАТЕМАТИКЕ НА 1937/1938 УЧЕБНЫЙ ГОД*

САХАРОВ (Горький)

Новые программы по математике для неполных средних и средних школ сданы в производство 23 июня 1937 г., разрешены к печати 7 августа 1937 г., получены на месте (Городской методический кабинет г. Горького) 9 сентября 1937 года.

Новые программы не были известны в г. Горьком на августовских учительских конференциях, а потому все изменения в программах не могли быть доведены до сведения учителей к началу учебного года, за исключением переноса курса арифметики из VI класса в V класс и снятия курса геометрии из V класса.

Детальное рассмотрение новых программ и сравнение их с программами 1936 г. приводит к следующим выводам:

1. Новые программы более точно отредактированы, некоторые темы уточнены, из программ выпущены некоторые второстепенные вопросы, обременявшие основной материал.

2. Из программы выкинуты последние элементы концентрического расположения материала, за исключением тригонометрии, а именно:

а) пропедевтический курс геометрии и итоговая тема «Основные свойства четырех арифметических действий» сняты с курса V класса;

б) также исключены уравнения I степени из программы VI класса, неравенства — из VII класса, теория пределов — из X класса.

3. В отдельные темы введен новый материал, ранее не имевший места в программе и сделаны перестановки тем (целиком или частично) из одного класса в другой.

4. Сделанные изменения в программах увеличивают или уменьшают содержание работы отдельных классов, однако, эти изменения не всегда соответствуют изменению сетки часов, также новой для 1937 года.

5. Вводная записка содержит указания на некоторые, однако далеко не все, изменения в программе, не раскрывает учителю ни содержания введенных в программу вопросов, не указывает на цели этого введения и не дает ему никаких методических указаний к проработке различных тем, получивших или новое содержание или перенесенных из одного класса в другой, как это делается в объяснительной записке к программам но физике. О целях и задачах преподавания математики в неполной средней школе и полной средней школе вводная записка не содержит ни одного слова.

6. Издана программа без достаточного просмотра: по VII классам тема «Делимость алгебраических выражений» напечатана 1-й, а между тем ее нельзя проходить ранее 2-й темы «Разложение алгебраических выражении на множители»; тема «Вписанные и описанные многоугольники» разделена на две части: I ч., содержащая вписанные и описанные треугольники и четыреугольники отнесена с несоответствующим заголовком в VIII класс, а II ч., трактующая о вписанных и описанных многоугольниках, оставлена в IX классе; тема «Квадратные уравнения высших степеней» в VIII классе не соответствует содержанию, так как собственно уравнения высших степеней, за исключением биквадратного, проходятся в X классе, но этот заголовок вошел и в новую программу; тема «Обобщение понятия о числе» представляет собой целый конгломерат различных отделов алгебры (комплексные числа, неравенства, исследование уравнений и др.), к сожалению, в ней нет только... основного ее содержания.

Перехожу к анализу программ отдельных классов.

У класс

Тема «Основные свойства четырех арифметических действий», как говорится в вводной записке к программам но математике, «перенесена в программу IV класса, к которому она естественно примыкает». Но эта тема, как итоговая, систематизирующая курс арифметики начальной школы, конечно, не

* Совет при Наркоме Просвещения в июле 1937 г. постановил: «организовать с привлечением лучших научных работников и учителей-отличников работу по пересмотру программ». Настоящей статьей редакция открывает обсуждение этого вопроса.

* После сокращения множителей до факториалов на (2т + 1) 2т... {m -f k + 2), а факториалы— на (т — k)l

могла найти себе места в программе IV класса, и ее материал разбросан по разным отделам, а законы арифметических действий, естественно, совсем не нашли себе места в программе начальной школы. Очевидно, что с этими законами (кроме переместительного) учащиеся должны будут познакомиться на уроках алгебры в VI классе, где они необходимы для обоснования действий над одночленами и многочленами. Программа начальной школы содержит первый концентр знаний по арифметике: целые числа и начальные сведения об обыкновенных и десятичных дробях. Этот объем знаний едва ли может быть изменен и является нормальным для 4-летнего обучения. Но начальная школа, в особенности районная, работает, к сожалению, до сих пор плохо: ученики, переходящие из начальной школы в V класс, как показывают наблюдения, не имеют достаточно твердых знаний целых чисел и для повторения, закрепления и систематизации знания целых чисел некоторые учителя в 1937 г. были принуждены затрачивать до 40 час. Ликвидация этой темы в V классе представляет собой в настоящих условиях достаточно смелый, если не сказать больше, шаг и едва ли полезный для школы.

Единым росчерком пера снят пропедевтический курс геометрии из V класса, курс, за который боролось не одно поколение математиков. Не буду утверждать, что программа и постановка преподавания этого курса были удовлетворительны. Учителя были рады снятию этого курса: неопределенность и непоследовательность в изложении программы по геометрии действительно делали трудным его прохождение. Однако наличие даже плохо проработанного курса геометрии в V классе значительно облегчало изучение систематического курса геометрии в VI классе, и трудность работы по преподаванию геометрии в 1938/39 г. вновь приведет к постановке старого вопроса, который ставился еще в дореволюционное время.

Снятие этих двух отделов освобождает в V классе 60—70 час. к чему следует прибавить 40 час. (6 час. вместо 5 по сетке), отведенных на арифметику в V классе на 1937/38 год. Таким образом, бюджет времени в V классе с 1938/39 г. увеличится на 100 — 110 час. — время более чем достаточное, чтобы проработать в пятом году обучения перенесенный из VI класса курс арифметики. Этот курс переносится в V класс с некоторыми сокращениями; так в программе отсутствует тема «Задачи на процентные расчеты». Надо полагать, что это сокращение курса, а не выпуск из текста программы излишней детали, так как обязательность решения некоторых других задач упоминается в программе (см. подобие фигур). Комбинированные задачи, на решении которых так настаивал Наркомпрос при проведении испытаний, очевидно, также исключаются из программы курса V класса. Итак, сократив курс арифметики за счет трудности решения задач и отведя на бывший курс арифметики VI класса в V классе 100 час , Наркомпрос рассчитывает, что после этого ученики действительно будут знать арифметику. Но все же приходится высказать мнение учителей-практиков, противоположное мнению Наркомпроса. Обилие материала и трудность понятия прямой и обратной пропорциональности для детей V класса сведут на-нет ожидаемые результаты. Нельзя усвоить двухлетний материал за один год. Кроме того, сократив объем упражнений по арифметике, авторы не подумали о том, в каком классе школы ученики будут изучать решение этих задач, а с решением этих задач учащихся необходимо ознакомить не только потому, что вузы требуют умения решать их при испытаниях, но и потому, что процентные расчеты и решение комбинированных задач необходимо каждому советскому гражданину, активному участнику социалистического строительства и обороны страны. В программу вставлена фраза «бесконечная десятичная дробь», но, к сожалению, в вводной записке не раскрыто ее содержание: означает ли это восстановление во всех правах периодических дробей, исключенных из программ после революций, в том виде, в каком они изучались в гимназиях, или это — подчеркивание необходимости дать ученикам V класса только понятие о бесконечной десятичной дроби как дроби периодической. Несомненно, эта фраза приведет на местах к изучению перевода периодических дробей в обыкновенные, так как мне известны случаи, когда инструктора требовали от учителей изучения этих операций даже на основании расширенного толкования фразы «обращение обыкновенных дробей в десятичную (конечную и бесконечную)».

В заключение необходимо указать, что наличие 6 час. в пятидневку приводит на практике к 1 сдвоенному часу. Занятие арифметикой в продолжение 90 мин. хотя и с перерывом, конечно, плохо отражается на восприятии детей на втором часу, что значительно понижает продуктивность занятий арифметикой.

Итак, положение с прохождением курса арифметики в V классе по новому распределению нельзя считать нормальным. Твердых знаний арифметики штурмовщиной получить нельзя.

Перехожу к VI классу.

VI класс

Я остановлюсь сначала на курсе VI класса 1937/38 учебного года.

Программа VI класса по арифметике, как это следует из вводной записки, остается та же, что и 1936 г. Автор не указывает, обязательны ли для учеников VI класса те изменения, которые сделаны для учеников V класса, а изменения эти следующие: из программы арифметики выпущено выражение зависимости между величинами с помощью таблиц, задачи на процентные расчеты, процентный транспортир, введено деление числа обратно-пропорционально двум или нескольким числам. Последний вопрос обычно на уроках рассматривался в порядке решения задач по стабильному задачнику, его введение не потребует фактически дополнительного времени, но выпуск первых трех вопросов сократит время проработки на 5—6 час, что при 40 годовых час. составит значительный процент, и Наркомпросу следовало бы разъяснить учителям, что сокращению подлежит не только курс ариф-

метики, перенесенный в V класс, но и также курс VI класса.

Программа по алгебре несколько изменена, а именно, сняты границы, определяющие упражнения на составление буквенных формул при решении задач (3—4 действия из программы вычеркнуто). Введено возвышение в любую степень, показатель которой любое целое положительное число вместо квадрата и куба относительного числа. Из программы исключено решение уравнений 1-й степени с 1 неизвестным, и вместо этого из VII класса включено деление многочленов и так называемые формулы сокращенного деления.

Программа по геометрии значительно лучше отредактирована. По содержанию это та же программа 1936 г. Однако, надо заметить, что равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу следовало бы напечатать после равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету, а основные задачи на построение (пункт 4) напечатать после равенства косоугольных треугольников, так как основная масса учителей в районах, не имеющая фактически никакой методической помощи, работает по программе, выполняя ее буквально пункт за пунктом, используя ее как производственный план.

Указанное расположение больше соответствует и стабильному учебнику.

Изучая бюджет времени по VI классу в связи с выполнением неоднократных настойчивых указаний Наркомпроса о распределении времени по VI классу: 1 час на арифметику, 2 часа на алгебру и 1 час на геометрию, приходим к следующей таблице:

Арифметика

Алгебра

Геометрия

Всего

I четверть с 1 /IX по 5/XI 11 нед. . . .

11

22

11

44

II » » 7/XI по 30/ХН 8,6 нед. . . .

9

17

9

35

III » » 13/1 по 25/Ш 12 нед. . . .

12

24

12

48

IV > > 1/ IV по 20/V 8 нед. . . .

8

16

8

32

40

79

40

1£9

Итак, курс арифметики Наркомпрос предлагает уложить в 40 час, алгебры в 79 час. и геометрии — 40. Практика преподавания показывает, что курс арифметики и геометрии уложить в это число часов без понижения качества подготовки невозможно, а число часов по алгебре даже велико по сравнению с тем, что требуется для прочного усвоения знаний, а в связи с ликвидацией одной темы («Уравнения 1 степени») это число часов может быть сокращено до 65.

Основная причина слабости знаний арифметики заключается в чрезвычайно жестком бюджете времени. Если некоторые учителя и дают приличные результаты, так только за счет бесконечных консультаций, бесплатных дополнительных занятий, что по существу увеличивает время, отведенное на арифметику до нормального, т. е. до 70 годовых часов. Мы на местах выходим из положения так: распределяем время по VI классу по различным отделам математики по четвертям года следующим образом:

Арифм.

Алгебра

Геом.

I четв. в шестидневку 1(11)

II » > 2(17)

III у> » 1(12)

IV > » 1(8)

2(22) 1 (9) 2(24) 1 (8)

1(11) 1 (9) 1(12) 2(16)

Итого (48)

(63)

(48)

Такое распределение часов все же несколько сглаживает напряженное положение с выполнением плана.

Августовская конференция учителей-математиков школ города Горького признала необходимым увеличение числа часов по арифметике VI класса на 1 годовой час.

Также плохо обстоит дело и с геометрией; в 40 час. учителя не могут уложить курса по той же самой причине. VI класс более всего нуждается в разрешении вопроса о бюджете времени и чрезвычайно странно, что Наркомпрос на VI класс не прибавил ни одного часа, а увеличил число часов там, где положение было не так трудно (V, VIII и IX классы).

Переходя к анализу программы по VI классу на 1938/39 г., следует сказать, что если «опыт» переноса курса арифметики из VI класса в V себя оправдает, то положение в VI классе даже при отсутствии пропедевтического курса геометрии можно считать нормальным, хотя все же программу следует несколько переделать введением хотя «небольшого пропедевтического курса». Снятие темы «Уравнение 1-й степени» будет несколько стеснять преподавателей в подборе задач по геометрии, так как применение уравнений к решению задач значительно облегчает работу учителя и усиливает значение математики как метода в разрешении вопросов прикладного характера.

Мои предложения к программе V и VI классов

1. Тему «Основные свойства четырех арифметических действий» сохранить в V классе, изложив ее в следующей редакции:

а) Сложение и вычитание

Сложение. Законы сложения (переместительный и сочетательный). Вычитание как действие, обратное сложению. Зависимость между данными и результатами действий сложения и вычитания. Определение неизвестного компонента при сложении и вычитании. Проверка действий сложения и вычитания. Изменение суммы и разности. Приемы устного счета. Решение задач на время.

б) Умножение и деление

Умножение. Законы умножения (переместительный, сочетательный и распределительный). Деление как действие, обратное умножению. Два вида деления (деление на части и деление по содержанию). Зависимость меж-

ду данными и результатами действий умножения и деления. Определение неизвестного компонента при умножении и делении. Проверка умножения и деления. Изменение произведения и частного. Изменение остатка при изменении делимого и делителя в одинаковое число раз. Приемы устного счета. Решение основных типов задач на все 4 действия. Повторение метрической системы мер длины и веса.

2. Тему «Делимость чисел» добавить фразой: «определение Н. О. Д. и Н. К. способом разложения на множители; понятие о степени».

3. В теме «Обыкновенные дроби» слова «Сокращение дроби» Заменить следующими: последовательное и полное сокращение дроби.

4. Вторую часть темы «Обыкновенные дроби» изложить так: Сложение и вычитание дробей и смешанных чисел. Проверка законов сложения для дробей. Нахождение дроби числа. Умножение дроби на целое число. Умножение целого числа и дроби на дробь. Умножение смешанных чисел. Умножение нескольких дробей. Проверка законов умножения для дробей. Нахождение числа по данной его дроби. Деление дроби на целое число. Деление целого числа и дроби на дробь. Деление смешанных чисел. Числа взаимнообратные.

5. Тему «Десятичные дроби» изложить в следующей редакции: Десятичная дробь. Ее знаменатель. Основное свойство десятичной дроби. Сокращение десятичной дроби и приведение десятичных дробей к общему знаменателю. Увеличение и уменьшение десятичных дробей в 10, 100, 1000 и так далее раз. Четыре действия над десятичными дробями. Обращение десятичных дробей в обыкновенные. Признак обращения обыкновенной дроби в конечную и бесконечную десятичную. Понятие о периодической дроби. Совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями. Округление десятичных дробей.

6. Программу по геометрии V класса следует серьезно переработать, придав ей характер измерительной геометрии, исключив из нее трудные для усвоения детей определения, связав ее с теми знаниями по геометрии, которые учащиеся получили в начальной школе. Такую программу на 40 час. легко составить и издать необходимое пособие для учителя «40 часов измерительной геометрии в V классе». Этот курс должен быть чисто практический, он должен включать в себя необходимые измерения прямой, угла, площади фигур и объемов простейших тел, что так нужно для физики в VI и VII классах. Наличие такого курса позволит также перенести на свое место тему «Площади прямолинейных фигур» из VII класса в VIII, где она будет использована для повторения в полной мере, так как теорема Пифагора будет уже пройдена. Пропедевтический курс геометрии сохранить в V классе.

7. В программе по алгебре следует сохранить тему «Тождества и уравнения».

8. В программе по геометрии следует сделать указанные мною перестановки подтем, а именно: равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе, острому углу напечатать после равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

9. Наиболее рациональное разрешение вопроса о распределении времени было бы следующее: по V классам на 1-е полугодие необходимо иметь пять часов в шестидневку на арифметику, а на второе полугодие — 4 ч. на арифметику и 2 часа на геометрию; по VI классам необходимо увеличить число часов на математику до 5 часов и распределить время по четвертям следующим образом:

V класс

Арифметика

Геометрия

I четверть .....

. 5(55)

II » ...

. 5(43)

III » ......

, 4(48)

2(24)

IV » .....

. 4(32)

2(16)

178

40

VI класс

Арифметика

Алгебра

Геометрия

I четверть . .

. 2(22)

2(22)

1(11)

II »

. 1( 9)

2(16)

2(16)

III » . .

2(24)

2(24)

1(24)

IV »

. 2(16)

К 8)

2(16)

71

74

57

VII класс.

Программа по математике в VII классе так же имеет достаточно существенные изменения. Введение в программу Н. О. Д. и Н. О. К. надо приветствовать, но заниматься при этом вопросами делимости суммы и разности, как этого требует программа, едва ли целесообразно, так как для определения Н. О. Д. и Н. О. К. более необходимо знание делимости произведения. Также целесообразно введение в программу разложения квадратного трехчлена на множители, хотя бы потому, что в стабильном задачнике встречаются примеры на дроби, решение которых возможно только в том случае, если учащиеся знакомы с этим видом разложения на множители многочленов. Новым в программе является также «исключение целого выраженения из дроби», что необходимо для интегрирования алгебраических функций в вузе.

Надо признать, что более рационально изучить пропорции в VII классе, увязав эту работу с практикой решения примеров на алгебраические дроби. Исключено ив программы VII класса неравенство 1-й степени, но при этом не сделано никаких указаний, как быть преподавателю при выводе в VIII класс вновь введенного правила «извлечения корня с точностью до 1/п» и как пройти с учениками девятых классов теорию пределов достаточно научно обоснованно без знания неравенств. Неравенство выпущено из программы непродуманно.

Программа по геометрии также переделана. Выпущено нахождение стороны квадрата по его площади с помощью таблиц квадратов чисел и отношение площадей прямоугольников, параллелограмов и треугольников, и тем еще более ограничен круг задач на площади. Необходимо указать здесь мнение большинства практических работников, что площади геометрических фигур вообще поставлены не на месте: для проработки вопросов физики они запаздывают (закон Архи-

меда приходится в VI классе); для математики они не нужны потому, что без применения теоремы Пифагора слишком узок круг задач, которые можно предложить ученикам для решения: задачи на подсчет площадей носят арифметический характер и скорей подходят к курсу V класса, а задачи на построения равновеликих фигур трудны для учеников VII класса. Тему «Площади прямолинейных фигур» следует перенести на надлежащее место в VIII класс после теоремы Пифагора, тем более, что стабильный задачник содержит достаточное количество задач на площади в этом отделе. Едва ли следует пригнать целесообразным перенос в VII класс темы «Пропорциональные отрезки», части темы «Подобие фигур», это, очевидно, следствие переноса пропорции из VIII класса. Если обратиться к бюджету времени, то рассмотрение его будет говорить против сделанных изменений в программе. Программа по VII классу выполнялась формально, но твердых знаний и навыков в производстве действий с алгебраическими дробями учащиеся не имели, что сильно отзывалось на работе по математике в последующих классах, между тем на прохождение вновь введенных тем потребуется дополнительное время, а именно:

H. О. Д. и Н. О. К.......+4 часа

Разложение квадрата трехчлена -f 2 часа Исключение целого из дроби . +1 час Пропорция..........+6 часов 13 ч.

Неравенство —4 ч.

Итого + 9 часов. Геометрия Пропорциональные отрезки - . . + 9 час. Определение стороны квадрата по его площади с помощью таблиц — 1 час Отношение площадей......— 1 час

Итого + 7 час.

Итого потребуется 16 часов рабочего времени. Наркомпрос не указывает, за счет какой темы следует проработать этот новый материал, так как число часов по VII классу оставалось то же. Кроме того, тема «Уравнение» не будет больше представлять 2 й концентр, а потому число часов на прохождение этой темы должно быть увеличено на 10 час. Таким образом на проработку всего нового материала в VII классе потребуется 26 час, что вызовет сокращение числа часов на темы II, III и IV четверти.

Заключение: программа VII класса без понижения качества подготовки учеников выполнена быть не может. Странно то, что с увеличением объема материала не увеличено число часов, отведенных на математику по VII классу.

Мои предложения к программе VII класса

I. Переставить темы 2 и 1.

2. Исключить из темы 1 фразу: «делимость суммы в разности».

3. Признать правильным введение разложения на множители трехчлена и исключение целого выражения из дроби.

4. Восстановить деление многочленов и формулы сокращенного деления в программе VII класса.

5. Восстановить неравенства в VII классе.

6. Признать правильным перенос темы «Пропорции» в VII класс.

7. Перенести тему «Площади геометрических фигур» в VIII класс (после темы 3).

8. Перенести тему «Пропорциональные отрезки» в VIII класс на ее прежнее место.

VIII класс

Программа VIII класса также подверглась некоторым изменениям. По-новому изложена 1-я тема по алгебре. Вместо теоремы «Если корень из целого числа не может быть выражен целым числом, то он не может быть выражен и дробью, помещены теорема «Не существует рационального числа, квадрат которого равен двум», и ее обобщение». Введено извлечение корня с точностью до —. Предлагается дать понятие об иррациональном числе как бесконечной десятичной непериодической дроби. Извлечение корня из чисел, представляющих точный квадрат, и арифметическое значение корня поставлены раньше понятия об иррациональном числе. Сделанные перестановки и изменения не могут вызвать возражения, но они все же не решают вопроса о правильной постановке преподавания иррациональных чисел в школе, так как исключение из программы X класса обобщающего момента об иррациональных числах не дает возможности преподавателю математики внести в сознание учащихся полную ясность в понятие об иррациональном числе.

В самом деле, из темы «Пропорциональные отрезки» в VII классе учащиеся должны получить понятие о несоизмеримых отрезках, хотя при изменении этой темы «случай приближенного отношения» отрезков вычеркнут, очевидно, как неясный по смыслу, хотя в ней нет упоминания о несоизмеримых отрезках. В I четверти в VIII классе ученики получат понятие об иррациональном числе как бесконечной непериодической дроби, очевидно, в том виде, как это дает Бронштейн в «Методике алгебры» на стр. 149. В III четверти в VIII классе ученики ознакомятся с теоремой Пифагора и получат представление о том, что отрезки прямых могут выражаться иррациональными числами, и,- наконец, в IX классе преподаватель математики дает своим ученикам иррациональное число как предел последовательности его приближенных значений, т. е. в сознании учащихся останется значительный разрыв в представлении об иррациональном числе и его геометрической интерпретации.

Проработка темы «Степень и корни» для учителей, не имеющих методического руководства, представляет собой большие затруднения. Я полагаю, что из методических соображений эта тема должна быть изложена в программе как можно детальнее.

В целях установления совершенно ясного понятия об иррациональном числе необходимо в X классе сохранить тему «Расширение понятия о числе», введя в нее для установления единства между несоизмеримыми отрезками изображение иррациональных чисел на числовой оси.

Из VIII класса снята подтема «Пропорциональные отрезки» и внесена новая тема, «Вписанные и описанные многоугольники», вернее вписанные и описанные треугольники и 4-х угольники. Совершенно правильно введен в программу вопрос о 4 замечательных точках треугольника как имеющий большое практическое значение в приложениях математики. Значительно лучше отредактирована тема «Функции и графики» и правильно поставлена после темы «Квадратные уравнения». О бюджете времени в VIII классе не возникает вопроса потому, что объем программы остался тот же, а число часов увеличено. Это позволит значительно улучшить успеваемость по VIII классу.

Мои предложения к программе VIII класса

1. Согласиться с введением в программу VII класса извлечения корня с точностью до 1//?.

2. Изложить в новой редакции тему «Степени и корни».

3. Изменить заголовок 2-й темы на «Квадратные уравнения».

4. Восстановить в VIII классе тему «Пропорциональные отрезки», введя внее фразу: «Понятие о соизмеримых и несоизмеримых отрезках».

5. Перенести из VII класса в VIII тему «Площади прямолинейных фигур» как последнюю тему этого года.

IX класс

Программа IX класса имеет следующие изменения: введен модуль перехода от одной системы логарифмов к другой; вычеркнуто выражение «через сторону правильного треугольника, его высоты, площади и радиусов вписанной и описанной окружности»; часть темы правильные и описанные многоугольники перенесена в VIII класс; подчеркнуто, что для теоремы о 3 перпендикулярах необходимо изучать обратную теорему. В остальном программа осталась та же. Бюджет времени по IX классу увеличен (с 4 до 5 час. в шестидневку), а объем материала по IX классу уменьшен. Программа по IX классу все же недоработана до конца. Необходимо провести следующие поправки:

1. Фразу «Формула суммы членов прогрессии» изложить так: «Формула суммы п членов прогрессии».

2. Фразу «Употребление логарифмических пятизначных и (четырехзначных) таблиц» изложить в следующей редакции: «Употребление логарифмических пятизначных или четырехзначных таблиц», так как в работе школ часто можно наблюдать употребление тех или других таблиц одновременно, что, конечно, приводит к тому, что ученики не знают ни тех, ни других таблиц.

3. Фразу «Сложные проценты» изложить так: «Основная формула сложных процентов А = а (1 + г)*, так как на практике учителя толкуют эту тему расширительно, вводя формулы для срочных взносов и уплат.

4. В теме «Понятие о пределе» следует перечислить основные теоремы о бесконечно малых и пределах, так как на практике эта формулировка приводит или к недооценке этой темы или к расширенному толкованию.

5. Особое подчеркивание необходимости изучения обратных теорем, вообще говоря, желательно, но если это делается для теоремы о 3 перпендикулярах, то необходимо делать это и для других теорем геометрии, между тем этого не сделано ни в следующих, ни в предыдущих темах планиметрии и стереометрии.

6. Тему «Ортогональные проекции точки, отрезка, фигуры на одну и две взаимно перпендикулярные плоскости» давно следует выпустить, так как ортогональные проекции на 2 и 3 взаимно перпендикулярные плоскости проходятся на уроках черчения (см. программу) а преподаватель математики не может внести в эту тему ничего нового,— получается вредный параллелизм.

7. Задачи на построение не следует давать в конце всего материала по стереометрии, а следует включить в отдельные подтемы в порядке их прохождения.

8. Программа по тригонометрии изложена так, что отдельные вопросы напечатаны не в порядке их прохождения; например, периодичность тригонометрических функций напечатана раньше формул приведения, что также приводит к недоразумениям в работе школ. Программу по тригонометрии также необходимо переработать.

9. Ввиду того, что число часов по IX классу увеличено (40 час. в год), перенести из X класса в IX класс тему «Соединения и бином Ньютона», на проработку которой потребуется не более 15 час.

X класс

Программа X класса также подверглась некоторым изменениям. Исключено: расширение понятия о числе, числа иррациональные, смысл действий над иррациональными числами. Числа действий над комплексными числами ограничено 4. В программу по алгебре включено: решение системы 2 неравенств 2-й степени с одним неизвестным. Более точно сформулировано содержание подтемы «Теорема Безу», ее следствия». Из программы по геометрии выпущено повторение и углубление вопроса о пределе. Введен в программу объем шарового сегмента и слоя. Непонятно, по каким соображениям фраза «задачи на тела вращения» заменена следующей: «общее понятие о телах вращения», и ни одного слова не сказано о решении задач.

Программа по тригонометрии не вызывает возражений, за исключением отсутствия условия равенства тригонометрических функций и вопросов практической тригонометрии.

Программу по алгебре следует переработать, а именно:

1. Тему «Соединение и бином Ньютона» перенести в IX класс.

2. Тему «Расширение понятия о числе» оставить в программе.

Общий недостаток программы X класса заключается в отсутствии часов на повторение курса математики вообще и арифметики в частности.

Заканчивая настоящий обзор программы, я полагаю, что товарищи как методисты, так и учителя откликнутся на эту статью, помещенную в порядке обсуждения, и выскажут свои соображения по поводу вопросов, затронутых в ней. В частности было бы желательно иметь примерное распределение времени по каждому году обучения, проверенное практикой преподавания.

ОБЗОР НОВЫХ КНИГ

С. НОВОСЕЛОВ (Москва)

Курс математического анализа. Учебник для высших педагогических учебных заведений. Учпедгиз.

Курс математического анализа состоит из ряда отдельных книг, посвященных различным дисциплинам, входящим в состав математического анализа. В настоящей статье дан обзор 5 книг курса, вышедших из печати.

Часть I. И. И. Жегалкин и М. И. Слудская— Введение в анализ. 1935 г., 239 стр., ц. в перепл. 4 р. 15 к.

Часть II. Тех же авторов. Диференциальное исчисление. 1935 г., 367 стр., ц. в перепл. 6 руб.

Часть 111. Тех же авторов. Интегральное исчисление. 1936 г., 431 стр., ц. в перепл. 7 руб.

Три книги Жегалкина и Слудской мы не будем рассматривать порознь, ибо они написаны одними и теми же авторами и представляют одно целое. Курс математического анализа в педвузе имеет огромное значение. Одна из его основных задач — выработать четкость математического мышления, дать хорошее математическое развитие и приучить будущего педагога к строгим и тонким математическим рассуждениям. Однако курс Жегалкина и Слудской далеко не удовлетворяет этим основным требованиям. Возьмем хотя бы одно из основных понятий анализа, а именно, понятие предела. В анализе существенную роль играют два понятия: понятие предела последовательности и предела функции. Однако вместо того чтобы дать четкие определения этим понятиям, авторы предпочитают оперировать с туманным понятием переменной величины, изменяющейся с течением времени. Вместо того чтобы раз навсегда уяснить читателю сущность теории пределов, вовсе не нуждающейся в понятии переменной величины, изменяющейся во времени, авторы предпочитают неясные высказывания, вроде следующего: «Рано или поздно наступит такой момент (? — С. Н.), начиная с которого х не только сделается, но и будет оставаться меньше е». В главе 21, ч. I авторы пытаются «доказать» s свойство предела функции, но тогда возникает вопрос, что же называется пределом функции, ибо обычно t свойство и рассматривается как определение этого понятия. Авторы недостаточно заботятся о том, чтобы учащийся задумался над обоснованием анализа. Так, например, на протяжении всего курса авторы пользуются рядом свойств непрерывной функции (теорема об ограниченности, теорема Вейершрасса, теорема о промежуточном значении), однако нигде не даны четкая формулировка и доказательство этих свойств. Естественно, что авторы считают соответствующие доказательства выходящими за рамки данного учебника, однако все-таки необходимо формулировать все эти свойства и отметить, что они подлежат доказательству и что эти доказательства даны в более обширных руководствах по анализу. Нельзя также считать полезным, когда учащийся начинает свое знакомство с непрерывными функциями с такого лишенного точного смысла определения, что непрерывная функция есть функция, изменяющаяся непрерывно (? — С. Н.) при непрерывном изменении аргумента. Создается такое впечатление, что авторы стараются так обойти эти вопросы, чтобы у учащегося даже и не зародилась мысль о необходимости надлежащего обоснования математического анализа. Не лучше дело обстоит и в интегральном исчислении. Авторы несколько раз подчеркивают, что ими доказана теорема существования определенного интеграла от непрерывной функции. Однако в своем доказательстве авторы базируются на понятии площади без каких бы то ни было определений этого понятия. Далее «доказательство» существования интеграла проводится для кусочно монотонных функций. Но так как авторы утверждают, что ими доказано существование интеграла для любой непрерывной функции, то выходит, что всякая непрерывная функция кусочно монотомна. Но это неверно. Такая подмена без всяких оговорок строгого доказательства нестрогими, подчас неверными рассуждениями может приучить учащегося к упрощенчеству. Приведем еще несколько примеров. На стр. 31, ч. II, авторы утверждают, что приращение непрерывной функции y=f (х) может быть представлено в форме ky=fx (х) Дх + еДЪ). Но ведь это справедливо не для всякой непрерывной функции, а только для диференцируемой, что как раз и не оговорено, а между тем сами же авторы ниже утверждают и показывают на примерах, что не всякая непрерывная функция диференцируема. В главе 18 части III сказано о том, что не всякие две бесконечно малые сравнимы, однако в заключении той же главы подчеркнуто противоречащее ранее сказанному следующее утверждение: «Всякое бесконечно малое ß может быть относительно основного бесконечно малого а представлено в форме ß = >fe «л + ß± где k, конечно, и не нуль и где ßj порядка выше л». Курс усложнен большим числом излишних определений и громоздкой терминологией, причем терминология, которой придерживаются авторы, нередко идет вразрез с общепринятой. Прежде всего вызывает недоумение введение авторами понятий бесконечно умаляющейся и бесконечно малой величин. То, что обычно принято называть бесконечно малой величиной, авторы называют бесконечно умаляющейся. Далее вводится понятие бесконечно малой величины путем определения, способного вызвать у учащегося только одну путаницу (стр. 201, ч. 1). Авторы очевидно стараются предостеречь читателя от путаницы, но, не давши с самого начала достаточно четкого определения понятия предела, вовлекают его в еще большую путаницу. Совершенно непонятно, почему во И ч. функции / (je) = с (с постоянное) и / (х) = х называются особыми функциями, после чего авторы заявляют, что этими функциями исчерпываются все особые функции (? —С. Н). В ч. III термин «определенный интеграл» употребляется в двух смыслах: как одна из первообразных функций и как предел суммы, тогда как общепринято этот термин употреблять во втором смысле. Далее, авторы называют функцию, интегрируемой, если ее первообраз-

ная выражается при помощи элементарных функций. Однако в общепринятой терминологии термин «интегрируемая функция» означает совершенно другое.

Одним из недостатков курса является его формальность. Так, например, авторы определяют полный диференциал (ч. II) как сумму частных диференциалов, оставляя совершенно в стороне основное значение полного диференциала как главной части приращения. Мы указали наиболее характерные, бросающиеся в глаза недостатки и особенности курса Жегалкина и Слудской, откуда уже можно вывести заключение, что этот курс является далеко не современным. Мы считаем, что вполне своевременно поставить вопрос о замене его более современным учебником. Можно не без оснований опасаться, что курс Жегалкина и Слудской не даст учащемуся подготовки для чтения современной литературы по анализу и к восприятию идей современной математики. Несмотря на отмеченные недостатки, курс обладает рядом положительных сторон (но не как учебник). Проф. И. И. Жегалкин является крупным педагогом. В своем курсе анализа он сумел передать свой долголетний богатый: педагогический опыт. Не соглашаясь во многом с точкой зрения И. И. Жегалкина на преподавание анализа, мы подчеркиваем, что, будучи результатом долгой педагогической работы, курс снабжен большим количеством ценных в педагогическом отношении замечаний и с этой точки зрения безусловно представляет интерес, но из числа учебников курс должен быть изъят.

Часть IV. Н. К. Бари — Теория рядов. 1936 г., 140 стр., ц. в перепл. 2 р. 60 к.

Книга про}). Н. К. Бари содержит изложение теории рядов в рамках программы педагогических институтов. В ней рассмотрены следующие вопросы: числовые ряды, функциональные ряды, степенные ряды и ряды Фурье. Для чтения главы 1, посвященной теории числовых рядов, не требуется знания математического анализа. Книга обладает простотой и ясностью и вместе с тем достаточной строгостью изложения.

К сожалению, автор опускает доказательство такой основной теоремы, как критерий сходимости Коши, хотя это можно было бы сделать мелким шрифтом. Нельзя считать удачным приведенный на стр. 82 пример функции, обладающей производными любого порядка и неразложимой в ряд Тэйлора, так как функция, рассматриваемая автором, даже не непрерывна. Книгу проф. Бари можно рекомендовать в качестве учебника для педвузов, а также и всем учителям, желающим повысить свою квалификацию.

Часть У. С. П. Фиников — Диференциальная геометрия. 1936 г., 216 стр., ц. в перепл. 3 р, 50 к.

В книге проф. С. П. Финикова рассмотрены следующие вопросы: векторная алгебра, плоскость и прямая в пространстве в векторном изложении, теория кривых и теория поверхностей. Несмотря на небольшой объем книги, указанные вопросы изложены достаточно обстоятельно и современно. В целом курс диференциальной геометрии написан весьма удачно, но довольно сжато, благодаря чему курс несколько труден дла начинающего.

На этом мы заканчиваем обзор курса математического анализа для педвузов.

И. С. Градштейн — Прямая и обратная теоремы. ОНТИ НКТП, 1936 г., 76 стр., ц. 1 руб.

Книга И. С. Градштейна — «Прямая и обратная теоремы» содержит две главы. В главе 1 изложены следующие вопросы: обратная и противоположная теоремы, доказательство от противного, необходимые и достаточные условия, закон обратимости. Глава 2 посвящена изложению элементов алгебры логики. Книга И. С. Градштейна является первой на русском языке, посвященной элементарному изложению теории математического доказательства. Знание структуры математических доказательств является необходимым для всякого математически грамотного человека. С различными приемами математических доказательств учитель встречается в своей работе, начиная от младших и кончая старшими классами средней школы, и поэтому нет надобности говорить о необходимости знания со стороны учителя элементов математической логики. Между тем этим вопросам не уделяется надлежащего внимания ни в существующих учебниках, ни в методических пособиях. Поэтому хотелось бы обратить внимание учителя на книгу Градштейна, где автором как раз и поставлена задача пополнить этот пробел. Книга написана простым и понятным языком, она рассчитана на читателя, знакомого с основами элементарной математики. В главе 1 автор на основе материала, хорошо известного из школьного курса элементарной геометрии, рассматривает вопрос о взаимоотношениях между прямой, обратной и противоположной теоремами, между необходимыми и достаточными условиями. В главе 2 автор освещает эти вопросы с точки зрения элементов алгебры логики. Изложение сопровождается большим количеством примеров, схем и упражнений. В целом автор весьма удачно справился с поставленной задачей. Отдельные вопросы могли бы быть рассмотрены более подробно (например о значении необходимого и достаточного условия). Все сказанное выше позволяет считать книгу Градштейна весьма ценной для преподавателей средней школы и студентов педвузов. Она может быть использована для работы школьных математических кружков. Молодежи, интересующейся математиков, книга принесет большую пользу в смысле повышения уровня математического развития. Вполне своевременно поставить вопрос о переиздании книги.

Математическое просвещение. Сборник статей по элементарной и началам высшей математики, под ред. Р. Д. Бончковского. ОНТИ НКТП, 1936—1937 гг.

Сборник «Математическое просвещение» рассчитан на широкий круг читателей; в нем помещаются статьи и задачи, доступные лицам, знакомым только с элементарной математикой, а также статьи по началам высшей математики, где от читателя требуется знание основ аналитической геометрии, анализа и теории диференциальных уравнений. В настоящей статье дан обзор номеров сборника

за 1936—1937 гг. За 1936 г. вышли в свет 5 выпусков сборника, с 5-го по 9-й. За 1937 г.— 3 выпуска, с 10-го по 12-й.

Статьи, публикуемые в «Математическом просвещении» в основном можно разбить на следующие группы:

1. Статьи, посвященные рассмотрению узкоспециальных вопросов; большинство из них представляет интерес для той части читателей, которые занимаются данными вопросами.

2. Обзорные статьи и очерки.

3. Методические статьи.

4. Статьи по истории математики.

Заметим, что среди статей, посвященных специальным вопросам, встречаются статьи, представляющие интерес и для широкого круга читателей. Сборник рассчитан не только на преподавателей средней школы, но и на студентов математических факультетов университетов и педвузов и отчасти на преподавателей вузов. Тем не менее учителя средней школы должны составлять достаточно большую группу читателей сборника, и поэтому в соответствующей мере их потребности должны учитываться. Однако нельзя сказать, чтобы сборник был близок учителям средней школы и удовлетворял их запросам. Дело не в недостатке статей по вопросам элементарной математики,— дело скорее в диспропорции между различными группами статей, большинство статей, печатаемых в сборнике, можно отнести к первой группе, между тем как обзорным статьям и очеркам не уделяется надлежащего внимания. Благодаря быстрому развитию различных математических дисциплин, следить за этим развитием по всем разделам математики крайне трудно, поэтому было бы вполне целесообразно, чтобы в сборнике помещались доступные широкому кругу читателей, но вместе с тем достаточно высоко стоящие в научном отношении обзорные статьи и очерки по различным вопросам современной математики (теория групп, топология, теория множеств и пр.).

Обзорные статьи должны оказывать учителю помощь в его работе над повышением своей квалификации. Между тем в восьми вышедших за два года выпусках таких статей крайне мало; к ним можно отнести статью Чудакова «Что известно в настоящее время о простых числах» (вып. 6), затем мастерски написанную статью проф. Сегала «Непрерывные дроби» (вып. 7) и затем статью Доброхотова «Очерк аналитической теории тригонометрических функций» (вып. 9). Это и все обзорные статьи и очерки, которые содержатся в восьми выпусках. Между тем статей, посвященных рассмотрению узкоспециальных вопросов, имеется излишне много. Среди статей этой группы есть интересные и оригинальные работы, где для решения поставленных вопросов авторы используют ряд остроумных приемов. Но, с другой стороны, имеется излишне большое количество статей, мало актуальных по своей тематике и не представляющих большого интереса по полученным в них результатам. Приведем несколько примеров. Такие статьи, как «Аналитическое доказательство теоремы Данделена» (вып. 5), «Гармонический знакопеременный ряд» (вып. 6), «Уравнение линии и поверхности кокона» (вып. 7), «Связь астроиды и четырехлепесткового венчика» (вып. 9), вряд ли можно считать представляющими серьезный интерес (можно было бы указать и еще много примеров). Создается впечатление, что одной из основных задач сборника является рассмотрение вопросов, не имеющих большого значения.

В каждой публикуемой статье должно быть точно указано что принадлежит автору, какие результаты были получены ранее и кем они были получены. Однако это основное правило весьма часто не выполняется. Поэтому читателю, в особенности начинающему, трудно решить вопрос, кому же принадлежат полученные результаты — автору статьи или кому-нибудь другому.

Что касается методических статей, то их в сборнике мало, и они касаются методики преподавания в высшей школе. Статей, посвященных истории математики, в восьми номерах сборника имеются две: статья B. В. Горячкина «Очерк по истории математики в Японии» (вып. 5) и статья C. Я. Лурье «Вавилонская математика» (вып. 11). Применительно к работе в средней школе некоторые из статей, помещенных в сборнике, могут быть использованы для работы школьных математических кружков. Могут быть также использованы и задачи; предлагаемые в конце каждого из номеров. Многие статьи по началам высшей математики могут быть весьма полезны для студентов педвузов.

А. К. Сушкевич—Основы высшей алгебры, изд. 3-е, перераб. и дополн. ОНТИ НКТП, 1937, 4—5 стр., цена в перенл. 8 р. 50 к.

Курс высшей алгебры проф. Сушкевича, предназначенный для университетов, достаточно известен по двум предыдущим изданиям. Существенным недостатком, которым обладала книга в предшествующих изданиях, является сжатость и конспективность изложения. Этот недостаток частично устранен в третьем издании, в котором все-таки остались места, где изложение слишком сжато, если рассчитывать на читателя, впервые изучающего высшую алгебру. Для примера возьмем изложение теории детерминантов. Автор довольно много останавливается на свойствах детерминантов второго и третьего порядков, но вместе с тем общая теория детерминантов и систем линейных уравнений изложена слишком конспективно. Не всегда достаточно число примеров, приводимых автором в тексте, для иллюстрации абстрактных рассуждений. Иногда за выкладками и обозначениями не сразу видна сущность дела. В третьем издании книга проф. Сушкевича значительно пополнена новым материалом с тем расчетом, чтобы ввести читателя в круг идей современной алгебры и подготовить к изучению специальной литературы. Для этой цели автором переработан и дополнен материал предыдущих изданий, а также некоторые главы написаны вновь. В целом книгу Сушкевича можно характеризовать как весьма обстоятельное руководство по курсу высшей алгебры, по которому читатель может ознакомиться как с основными классическими результатами, так и с наиболее важными идеями современной алгебры.

ЗАДАЧИ

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ТРЕУГОЛЬНИКА, СТОРОНЫ КОТОРОГО ЯВЛЯЮТСЯ МЕДИАНАМИ ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

С. ЗЕТЕЛЬ (Москва)

1. В № 4 журн. «Математика и физика в школе» за 1936 г. помещена следующая задача профессора И. И. Чистякова.

Доказать, что если стороны Д А ВС связаны соотношением b2 + с2 = 5а2, то две медианы, выходящие из вершин В и С, взаимноперпендикулярны.

В номере 1 журн. «Математика в школе» за 1937 г. даны решения этой задачи.

Можно дать следующее более простое решение, чем приведенные в журнале. Определим медиану AM (черт. 1).

Пусть О — точка пересечения медиан, а тогда отрезок ОМ = —.

В треугольнике СОВ медиана ОМ равна половине стороны ВС, следовательно, ДСОБ — прямоугольный.

Интересно отметить, что сторона а = —/гса, a потому треугольник СОВ подобен треугольнику, стороны которого равны медианам данного.

Итак, задача проф. И. И. Чистякова может быть сформулирована так: если стороны треугольника ABC связаны соотношением Ь2 + с2 = 5а2, то треугольник, построенный из медиан данного, прямоуголен.

Мне представляется интересным следующее обобщение задачи проф. И. И. Чистякова.

Три числа па, пь, пс выражают последовательно отношение суммы квадратов двух сторон треугольника к квадрату третьей. При каких па, пь, пс треугольник, построенный из медиан данного, тупоуголен, прямоуголен, остроуголен.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для вычисления медианы та:

Пусть

тогда

(1)

Из этой формулы видно, что каждое из чисел паУ пъ, пс должно быть более -.

При

угол, из вершины которого выходит медиана та,— тупой. Действительно, при я< 1

и угол А — тупой.

При /z=l треугольник ABC—прямоугольный с прямым углом при вершине А.

Следствие. Если па, пь, пс выражают отношение суммы квадратов двух сторон треугольника к квадрату третьей и наименьшее из этих чисел больше единицы, то треугольник остроугольный.

2. Теорема. Если

то

На основании равенства (1) имеем

Так как во всяком треугольнике

то

(2)

Следствие. Пусть треугольник, составленный из медиан данного, тупоуголен, то

Если треугольник, составленный из медиан данного, прямоуголен, то па = 5.

Следствие. Из трех чисел, выражающих последовательно отношение суммы квадратов двух сторон треугольника к квадрату третьей, только одно может быть больше или равно пяти, два других непременно менее пяти.

Рассмотрим частные случаи формулы (2).

1) При па=\:

2) При па = 5:

Случай, рассмотренный проф. И. И. Чистяковым. При па = 2

3. Покажем, что между числами па, пъ, пс существует следующая зависимость:

Действительно,

(3)

Из равенства (3) получаем следующее следствие: если числа па, ль, пс не рав.ш каждое двум, то, по крайней мере, одно из них меньше двух. Равенство (3) можно получить и непосредственно

(3)

Кроме зависимости, выраженной равенством (3), можно получить еще интересную зависимость между числами /га, пь, пс на основании известного тождества, справедливого для всякого треугольника.

(4)

Так как то

Принимая во внимание равенство (4), имеем:

Следствие для прямоугольного треугольника. Пусть

Тогда

В прямоугольном треугольнике одно из чисел пь или пс менее двух, а другое более двух.

Заменим в равенствах (3) и (4) стороны по формулам a = 2Rsini4, тогда получим следующие равенства:

(3') (4')

Полученные нами формулы (1) и (2) могут быть удачно применены к треугольникам, вершины которых расположены на двух концентрических окружностях.

Даны две концентрические окружности (черт. 2).

Построим треугольник, две вершины которого В и С лежат на концах диаметра меньшей окружности, а вершина А — на большей окружности. Пусть радиус меньшей окружности равен г, а радиус большей окружности равен kr.

В треугольнике ABC

Пусть

С другой стороны

На основании равенства (1) имеем:

(6)

Итак, если произвольную точку большей окружности соединить с концами диаметра меньшей окружности, то отношение суммы квадратов двух сторон образовавшегося треугольника к третьей (к диаметру меньшей окружности) равно

Сумма квадратов двух медиан рассматриваемого треугольника относится к третьей

Далее рассмотрим треугольник, две вершины которого находятся в концах диаметра большей окружности, а одна вершина на меньшей окружности.

(7)

Интересны частные случаи (6) и (7). Положив в равенствах (6) и (7) & = 1, получим:

Иначе треугольник, вписанный в окружность, у которого одна сторона равна диаметру, прямоуголен. Положив:

можно было бы указать еще свойства треугольника, составленного из медиан данного, например, легко доказать, что если в треугольнике, составленном из медиан данного, провести медианы, то треугольник, в котором эти последние будут сторонами, подобен данному треугольнику. Для доказательства достаточно одну из медиан треугольника продлить на одну треть своей длины и рассмотреть треугольник, стороны которого равны _ медиан данного треугольника.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, помещенных в № 4 журнала «Математика в школе» за 1937 г.

61. Доказать, что если в четырехугольник можно вписать и около него же описать окружность, то его площадь равна корню квадратному из произведения его сторон.

Все полученные решения можно разбить на три группы.

1. Считается известной формула для площади вписанного четырехугольника

(1)

где р — полупериметр четырехугольника. По свойству описанного четырехугольника

а + с = b + d;

отсюда

Точно так же:

р — с = а; p — d = b.

Делая подстановку в (1), получаем:

Таких решений около половины из присланных.

2. Выводится формула для площади четырехугольника, как суммы площадей двух треугольников.

Но по свойству вписанного четырехугольника

следовательно

(2)

Из треугольников ABC и CDB определяется диагональ АС = I:

отсюда находится cos В:

Определяем sin В

После несложных преобразований получим

Подстановка в (2) дает:

Дальше, как и в первом случае.

3. Вариант второго решения. Из формулы

выводим:

(1)

Из тех же треугольников определяем диагональ BD:

отсюда

(2)

По свойству описанного четырехугольника

имеем:

а + с = b + d,

или

a — d=ib — c. (3)

Возводим (3) в квадрат и вычитаем из (2).

(4)

Возводим (1) и (4) в квадрат и складываем

отсюда находим:

4. В остальных решениях вычислялась величина площади четырехугольника непосредственно различными способами. Чаще всего противоположные стороны продолжались до их взаимного пересечения, и рассматривались получившиеся два подобных треугольника. Недочетами этого доказательства являются: 1) отсутствие оговорок для частных случаев (стороны могут не пересечься, например, в случае квадрата); 2) длинные и утомительные вычисления. То же можно сказать почти о всех других способах (S как сумма площадей треугольников, проведение высот вне или внутри четырехугольника). Совершенно неверные решения (а их немало) начинались с утверждения, что условиям задачи может удовлетворять лишь определенная фигура, причем одни таковой называли квадрат, другие равнобочную трапецию, третьи дельтоид.

62. Даны три окружности радиусов Ru R2 и /?3, каждая из которых внешне касается двух других. Определить радиус окружности, проходящей через точки касания данных окружностей.

Легко показать, что искомая окружность будет вписанной в треугольник Ot Ог Оъ.

Проведем общие касательные к каждой паре окружностей. Как радикальные оси трех окружностей, взятых попарно, они пересекутся в одной точке О и будут перпендикулярны к соответствующим линиям центров. Кроме того, по свойству касательных, проведенных из одной точки:

ОА = ОВ= ОС.

Итак, OA = OB = ОС = г — радиусы окружности, вписанной в треугольник Ох ОгОг.

Теперь легко вычислить из формулы:

Но

В подавляющем большинстве решений просто констатировалось без доказательства, что искомый радиус является радиусом окружности, вписанной в треугольник ОхОгОг.

63. Найти четырехзначное число xyzt, если

(1)

(2) (3)

Наиболее краткое решение: из (2) и (3) находим:

отсюда

Так как у ^ 9, то х = \ и у = 9. Подставляя найденные значения в (1) и (2), найдем:

Решив эту систему, найдем: z = 3 и t = 7. Искомое число: 1937.

Можно выразить, пользуясь данными уравнениями, все неизвестные через одно, например через X. Тогда будем иметь:

Установив из первого равенства, что X = 1, найдем все остальные неизветные.

64. Доказать, что если d— общий наибольший делитель k целых положительных чисел nv nv пь сумма которых равна л, то

есть целое число. Пусть

Представим данное выражение в таком виде:

(1)

Все Сдр— числа целые, таге что дробным может быть лишь множитель Av который может содержать в знаменателе только множители числа mt.

Пусть

Среди чисел nv п ,...,пк непременно найдется хотя бы одно число, не содержащее множителем число а (так как в противном случае общий наибольший делитель п, пъ я2,..., л& был бы не*/, a ad). Пусть этим числом будет л2. Тогда данное выражение представим в таком виде:

где

Число M может содержать в знаменателе только множители числа т2.ш Но т2 множителя а не содержит. Следовательно, числитель числа M делится на а? .

То же рассуждение можно повторить относительно каждого простого множителя, входящего в состав тх (понятно, что число их конечно), и положение доказано полностью.

Задача оказалась определенно трудной для читателей. Из 26 присланных решений нет ни одного, которое можно было бы признать совершенно правильным. Решения, идущие по правильному пути, но в процессе доказательства допускавшие ошибку, можно разбить на две группы. В одной из них предполагалось, что числа ль л2, л* попарно взаимно-простые, чего может и не быть. В другой — предполагалось, что среди чисел Пь л2, пк есть, по крайней мере, одно л{, такое, что л и щ имеют общим наибольшим делителем именно а, так что -г и + числа взаимно-простые. При этом допущении задача решается легко. Составив выражение (1), заменив только пх числом пь легко показать, что числитель должен делиться на щ. Но самое допущение произвольно. Можно представить себе, что, например, для трех слагаемых:

ti\ = admx\ п2 = bdm2, л3 = edm^ п = abc.dk, тогда

л = пх + п2 + л3; abek = ат1 + Ьт2+ст3,

и мы не найдем среди чисел пи п2, л3 ни одного, которое имело бы с л общего наибольшего делителя d.

65. Решить систему уравнений:

1. Заменя в первом zt получим:

Разделим обе части на х\ у! (принимаем О! = 1):

В правой части имеем

— целое число.

Следовательно и левая часть должна быть целым числом, что возможно лишь при х = 0, у = 0; * — 1, у = 1; х = 2, у = 2.

Испытывая найденные значения, находим, что системе удовлетворяют лишь jc = 1, V = 1. Некоторые давали еще решение X = у = z = О, что неверно, так как при этих значениях первое из данных уравнений примет вид:

1 + 1 = 1. 2. Исходим опять из уравнения

и преобразуем его двумя способами:

(3) (4)

Перемножив (3) и (4) и произведя сокращения, получим:

Произведение целых чисел равно единице только в том случае, когда каждый сомножитель равен единице, отсюда

Очевидно, данные уравнения удовлетворяются лишь при X = 1, у = 1.

66. Определить стороны и углы треугольника, если даны радиус R описанного круга и отношение

радиусов вневписанных кругов.

1. Воспользуемся формулами:

По условию имеем:

или по сокращении на р:

(2) Но

Делая подстанозку в (2), получим:

(3)

Определяем из (1) (g у и подставляем в (3):

отсюда находим

(4)

Аналогично получаем:

(5)

(6)

Берем только положительные значения корня, так как. — и — не больше 90°.

Для определения сторон воспользуемся формулами:

Имеем:

Окончательно имеем:

аналогично:

67. Решить уравнение:

1. Преобразуем левую часть:

отсюда имеем:

2. Сделав подстановку:

приведем данное уравнение к виду:

решения которого, как легко найти, будут:

отсюда находим для х те же значения, что и выше.

68. Показать, что в треугольнике имеет место соотношение:

где а, Ь и с — стороны треугольника; I — длина отрезка, соединяющего вершину А с некоторой точкой D, лежащей на противоположной стороне Во и делящей последнюю в отношении m:п (считая от с).

1. Считаем известной формулу Стюарта (см., например, у Адамара):

(1)

По условию имеем:

Ho DO + BD = а', ноэтому:

аналогично:

(3)

Подставив (2) и (3) в (1), получим:

2. Определим стороны с и Ъ:

(4) (5)

Исключим cos ADB, для чего умножим первое равенство на DC, а второе на BD и сложим:

Мы пришли к формуле Стюарта. Дальше, как и в первом случае.

Можно было из (5) определить cos ADB, подставить в (4) и из полученного выражения вычислить I2.

59. Доказать, что при п целом и положительном:

(1)

Перенесем в левую часть (?л)! Будем иметь:

(2)

Приняв во внимание формулу Сп =

выражение (2) можно представить так:

Но

и выражение (3) примет вид:

Имеем сумму коэфициентов разложения (a -f by* без первого и последнего, равных каждый единице; так как сумма коэфициентов равна 22П, то получим, что левая часть выражения (2), умноженная на (2п)\, равна 22П— 2.

70. Доказать что выражение

Не может быть точным квадратом целого числа, если существует хотя бы одно простое число р, удовлетворяющее условию:

Так как

то данное выражение примет вид:

Чтобы это выражение было точным квадратом, необходимо, чтобы х\ было таковым. Но если существует простое число р, удовлетворяющее условию

то оно входит в х\ множителем только один раз и, следовательно, х\ не есть точный квадрат.

Если принять во внимание теорему (постулат) Бертрана, доказанную Чебышевым (между числами а и 2а + 1 всегда имеется, по крайней мере, одно простое число), то условие существования — < р < х) является лишним, так как оно всегда имеет место.

71. Доказать, что числа

16, 1156, 111556,

каждое из которых получается вписыванием в середину его 15, суть точные квадраты.

Подавляющее большинство решений шло наиболее простым путем, вычисляя величину л-го члена ряда:

(2)

Другие решения шли обратным путем, беря выражение 333...3 + 1 и доказывая, что квадрат этого числа дает число данного ряда.

72. Доказать равенство:

Элементарная задача, решаемая различными способами. Приведем некоторые:

1. Умножим числитель и знаменатель правой части на abc. Будем иметь:

2. Представим заданное равенство в таком виде:

Преобразуем левую часть:

3. Умножим обе части на знаменатель первой:

Преобразуем правую часть:

Отметим, что и эта задача в ряде решений заняла несколько страниц.

73. Доказать, что при любом целом неотрицательном п число

делится на 148.

Преобразовываем данное выражение:

Но

В тексте задачи была допущена опечатка, Так как поправка была напечатана поздно, то все «решения» разбиваются на две группы. В одной доказывалась делимость выражения 116л (или 116:_1)(и в том и в другом случае выражение делится на IIs 4- 1 = 1332); в другоч доказывалась неделимость данного выражения на 148. Понятно, что и те и другие решения должны считаться правильными.

74. Решить уравнение:

Левая часть легко разлагается на множители:

отсюда

(1)

Второй множитель дает sin2jc = — 2, что невозможно; некоторые давали решение в форме

(2)

то в данном случае нецелесообразно, так как при а = 90° обе формулы: 2k % а и (2£ + —« совпадают друг с другом;

и, давая в (2) k значения 1, 2, 3..... мы будем получать по два одинаковых значения для X. (Например поч k = 0,1 имеем 45°, при k = 2 3 имеем 225° и т. д.)

Ошибка в ряде решений была типичная ученическая: период 2k п присоединялся не к 2х, а к X, так что получалась формула:

75. Доказать тождество:

Представим левую часть в таком виде:

Преобразуем выражение в первой скобке:

Легко видеть, что при вычитании выражения [[x + y)—z]* первый, третий и пятый члены уничтожатся, а остальные удвоятся. Получим:

(1)

Аналогично получаем для второй скобки:

(2)

Вычитая (2) из (1) получим:

Для большего сокращения записи можно было ввести обозначения: X 4- у = ц\ X — у = v. Конечно, непосредственное возведение в пятую степень каждого из данных трехчленов и последующее приведение подобных членов (как то делали многие), необходимо даст тот же результат, но весь смысл задачи и заключался в сокращении вычислений, которые занимают у вычислявших последним способом несколько страниц.

76. Решить систему уравнений:

Если одно из неизвестных, например х, равно нулю, то, как легко видеть, должны быть равны нулю и остальные два у и z. В этом случае уравнения примут вид:

т. е. формально значения x=y=z~0 удовлетворяют данной системе уравнений.

Предположим теперь, что ни одно из неизвестных не равно нулю. Перевернем обе части каждого уравнения. Будем иметь:

Получили типичную задачу для ученика VII класса. Произведем деление в левых частях, а в правых для удобства приведем дроби к общему знаменателю:

(1)

(2) (3)

Сложив (1), (2) и (3), найдем:

« « -I m

(4)

Вычитая из (4) поочередно (1), (2) и (3), найдем:

Настоящая задача (как три следующих) взяты из французского задачника по элементарной алгебре и решаются они, конечно, самыми элементарными способами. Цель их помещения заключалась, во-первых, в проверке того, насколько при операциях с членами уравнений учитываются ограничительные условия, диктуемые теорией (умножение и деление на нуль, на выражение, содержащее неизвестное, и пр.), несоблюдение которых ведет к потере корней или к посторонним корням; во-вторых, в отыскании наиболее короткого способа решения. Результаты получились очень неутешительные. По отношению к данной задаче за единичными исключениями не оговаривались нулевые значения неизвестных. Если даже считать (как некоторыми и было высказано), что X = у = z = 0, строго говоря, не являются корнями уравнения, то в соответствующих местах (умножения или деления на х, v, z) это все же надо оговаривать. В присланных же решениях от полученного, например, выражения у(х— 4) = 0 непосредственно получают X — 4 = 0; х = 4. Относительно у ничего не говорится. Второй крупный недочет решений — их длиннота и сложность в то время, как образцы решения таких задач приведены хотя бы в учебнике Киселева. Еще хуже обстоит дело со следующей задачей.

77. Решить систему уравнений:

Если х = 0, то уравнения дают: уг = 0;

отсюда

у = 0; z неопределенно, или 2г = 0 у неопределенно.

При у = 1) получим: xz = 0.

Имеем третью систему решений: z = 0; X неопределенно. Итак имеем решения:

где m — произвольное конечное число.

Пусть теперь дг, у и z не равны нулю. Система решается просто хотя бы таким способом. Первые два уравнения дают (по свойству равных отношений):

или, приняв во внимание последнее из данных уравнений:

Напишем три уравнения отдельно и разделим каждое на xyz (ни одно из них не равно нулю):

или:

Складывая три последних уравнения, найдем:

Наконец, вычитая из последнего каждое из предыдущих получим:

отсюда

Здесь повторилась буквально та же история, что и с задачей №26 (см. ниже сводку по журналу № 2), Только в единичных случаях учитывались нулевые значения неизвестных. Небольшая часть решений включила частный случай х = у = z — 0. В подавляющем большинстве решений никакого упоминания на нулевые значения не содержится, а просто в соответствующих случаях производится сокращение обеих частей уравнения на ху на ху и т.п. Самые решения часто чрезвычайно громоздки.

78- Решить систему уравнений:

Если X = 0, то первая и вторая дроби вместе с последней дают:

отсюда

Те же значения получим, положив в данных уравнениях у = О или z = 0. Итак, имеем одну систему решений:

Хх = ух = гх = 0.

Пусть теперь х} у и z не равны нулю. Обозначим величину каждого из данных отношений через Будем иметь:

(1)

(2) (3) (4)

Сложив (1), (2) и (3), получим:

(5)

Вычтя из (5) поочередно (1), (2) и (3), найдем:

2 2 = 18*; z = 9t (6)

2* = 16f; x = St; (7)

2y = \2t; y = 6t. (8)

Можно было получить тот же результат, сложив (1) и (2), (2) и (3), (1) и (3). Подставим найденные значения ххухг в (4): 6-8-9* = 3*,

или

144*2= 1.

На t сокращаем, так как при t = 0 получаем xyz = 0, и приходим к прежней системе решений X = у = z = 0. Итак имеем:

Делая подстановку в (6), (7) и (8), найдем

Ошибкой большинства решений было опять игнорирование нулевых решений. Способы решения различны, притом в большинстве случаев достаточно короткие. Например, все уравнения делились на xyz, и способом, аналогичным приведенному выше, приходили к системе:

Перемножив их, получим:

Деля последнее на каждое из предыдущих, находим X, у и z.

Третий прием. Обозначив х + у z = m, представим данные уравнения так:

По свойству равных отношений:

или

Подставив найденное значение в предыдущие уравнения, найдем xyt yz, zx и т. д.

79. Решить систему уравнений:

(1) (3)

Задача решается очень легко обычным способом и дана как пример изящной задачи.

Исключим zt для чего умножим (1) на с и вычтем из (2); затем умножим (2) на с и вычтем из (3). Получим:

(4) (5)

Умножим (4) на Ь и вычтем из (5):

Отсюда

Аналогично найдем (вернее, просто пишем ввиду симметричности уравнений относительно X у, z):

80- Найти число N, которое, будучи написано по семиричной системе, выражается трехзначным числом. Если написать это число два раза подряд, то полученное шестизначное число (в семиричной же системе) является точным квадратом.

Искомое число: N = а-72 + Ъ-1 + с,

где

Если написать это число два раза подряд, будем иметь:

Так как M должно быть точным квадратом, то N должно делиться на 86 и в частном дать точный квадрат. С другой стороны, по условию ЛГ<73 = 343.

Итак

Искомое число 86 (в семиричной системе 152).

СВОДКА ПО № 1 1937 г.

(Дополнительно)1

И. Агарков и Е. Агаркова (с. Раздорская) 4, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 19, 20.

Давыдов (Киев) 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.

Л. Бурковский (с. В. Черниговка) б, 17.

Н. Введенский (с. Георгиевка) 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, 20.

А. Воробьев (с. Нижнедевицк) 1,2, 3, 4, 5, б, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

A. Ворожцов (Нолинск) 3, 7, 9, 15

B. Генрихсен (с. Калашниково) 17.

B. Гришин (Урюпинск) 4.

И. Гурский (Калиновка) 7, И.

C. Иванов (Ново-Сибирск) 13, 14, 15.

П7. Калиниченко (с. Аргаяш) 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.

A. Колот (Балта) 1, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 17, 19.

Лапчинская (Черкассы) 1, 2, 4, 6, 7, 12, 17.

B. Лебедев (Богучар) 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

В. Лебедевская (Саратов) 17.

Н. Левинсон (Витебск) 11, 13.

И. Малыхин (ст. Александро-Невская) 9.

Я. Милов (Люблино-Дачное) 2, 3, 4, 7, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

В. Никулин (ст. Ярцево) 2, 3,.4, 9, 15, 17,19.

Осипенко (Гуляй-Поле) 7.

А. Островский (Щигры) 14, 19.

Ф. Попов (Орджоникидзе) 1, 2, 3; 4, 6, 8, 10, 16, 17, 18, 19, 20.

П. Постников (Рязань) 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, И, 12, 15, 17, 18, 19, 20.

А. Теплюк (Березнеговатое) 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 15, 17, 19, 20.

Я. Томсон (Полтава) 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10,11, 12, 15, 17.

И. Чайкин (Н. Аннинск) 2, 4.

А. Шафаренко (Васильков) 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 20.

Б. Шехтман (Одесса) 2, 4, 7, 9, 13,14, 17, 19.

Н. Шушкин (Ярославль) 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19.

И. Юркевич (Лагойск) 17.

СВОДКА ПО № 2 1937 г.

Проверка всех присланных решений по 2 позволяет сделать некоторые выводы.

Прежде всего буквально поражает огромное количество неправильных решений элементарнейшей задачи № 26, задачи, вполне доступной ученику VII класса. На 13 верных решений прислано 131 неверное. Общая ошибка — игнорирование решений, когда два из неизвестных равны нулю, а третье — произвольное конечное число. Некоторые указывали лишь частный случай х = 0, у = 0, z — 0, остальные совсем не принимали в расчет нулевых значений. Этот факт еще и еще раз доказывает необходимость систематического помещения подобных элементарных задач. Отметим, что еще более элементарная и известная задача 2 все же получила 5 неправильных решений.

Из других задач наибольшее число (32) неправильных решений получила задача № 25. Основные ошибки — неправильное применение формул, получение только одного решения.

Задача № 28 получила 27 неправильных решений; почти все ошибки относятся ко второму вопросу. Искомым геометрическим местом одни называют окружность, другие перпендикуляр к прямой,прозеденной через точки стрельбы и мишени, и пр.

Большинство неправильных (26) решений по № 34 дает для случая а = 105, ^ — 175 лишь одно частное значение: ах = 3, £х = 5.

В решениях задачи № 30 (18 неправильных) частью неверно определялось геометрическое место, частью получалась неверная формула для поверхности тетраэдра.

Грубая ошибка допускалась в решении задачи № 24 (17 неверных). Именно из неравенства arb* — (1 — а?) (1 — Ь2)< 1 заключалось о справедливости неравенств

1 Печатается ввиду того, что часть тиража № 1 журнала вышла значительно позднее.

что, конечно, неверно; из того, что pq < 1 или/?<7>1, никак нельзя заключить, что /> < 1 и в первом случае или /?>1 и q > 1 во втором.

В задаче № 31 была допущена опечатка во втором уравнении: вместо хр = yq было напечатано xv = xq. Хотя опечатка достаточно очевидна, так как речь шла о системе уравнений и громадное большинство читателей исправило ее, тем не менее из 32 неправильных решений около половины падает на решение задачи в том виде, как она напечатана. Поэтому данную задачу редакция исключает из конкурса.

Согласно пожеланию ряда читателей помещаем сведения о количестве присланных правильных решений по каждой задаче: № 21—160, M 22—180, № 23—167, № 24—55, № 25—77, № 26—13, M 27—161, № 28—73, № 29—38, № 30-44, № 31—36, № 32—77, № 33—64, МЬ 34—91, № 35—119, № 36—75, .№ 37—109 Ki 38—43, № 39—70, № 40—85.

В заключение приведем варианты решений некоторых задач.

Задача № 23. Доказать тождество

Самое краткое решение дал Е. Потапов (Коломна). Обозначив выражение в скобках в левой части через х, будем иметь:

Воспользовавшись формулой (которая легко выводится) будем иметь:

Такое же краткое решение получим, если воспользуемся аналогичной формулой:

Задача 25. Найти стороны равнобедренного треугольника, если даны R = 2,5 и г =1,2.

Приводим наиболее простое и краткое решение, присланное проф. Креер (Одесса).

Пусть Oi — центр вписанного круга OxD = г. Обозначим DE = х% тогда

Из прямоугольного /\АВЕ: ВЕг = АЕ-СД» или (г + X)2 = IRx.

Из того же /\АВЕ:

Задача № 38. Через точку Л, лежащую внутри круга, провести хорду так, чтобы она этой точкой разделилась в отношении m :п.

Приведем еще два варианта решений.

I. Через точку А проводим диаметр. Обозначим его отрезки через а и Ь (они известны), тогда AC-AD = ab (С и D—концы искомой хорды). Так как АС : AD = m : п;

то имеем

Построение выполняется легко.

2. Через А проведем хорду, перпендикулярную к диаметру, проведенному через ту же точку. Обозначим половину этой хорды через а, тогда

Отметим, что были даны и очень сложные и длинные решения. Задача имеется в сборнике Александрова (N» 341).

Приводим сводку решений.

М. Абдуллаев (Нахичевань) 21.

М. Аверьянов (Буинск) 22, 27, 31, 36, 37.

Е. Агаркова и И. Агарков (Раздорская Н/Д) 23, 25, 27, &%34,35, 36, 37.

В. Аксанов (Казань) 21, 22, 23, 27, 37.

Алеев (Чамзинка, Мордовской АССР) 21. 22 23, 27, 34, 35.

Е. Алмазова (Беднодемьяновск) 21,22, 23, 25, 27, 34, 35, 36, 40.

А. Аляев (ст. Башмакова) 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 40.

Л. Амбарцумян (Кировакан) 23.

А. Ананич (Красноярск) 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40.

С. Андреев (Торжок) 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 40.

А. Аристова (Дивеезо) 23, 32, 34, 35, 37.

Г. Ахвердов (Ленинград) 21, 22, 23, 27,32, 33, 35, 36, 37, 40.

И. Бабич (Белая Церковь) 22, 23, 33, 34, 35, 40.

И. Бабушкин (д. Лубяны) 21, 23, 25.

Базаров (Рязань) 23, 27, 28, 31, 33, 40.

Я. Баньковский (Уральск) 23, 27, 32, 33, 37, 39, 40.

А Басистый (с. Лытвынець) 22.

С. Белоцерковский, уч. X. кл. (Ливны) 21,22, 23, 34, 35, 40.

М. Беневольский (Ленинград) 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40.

П. Бессонов (Злынка) 21, 34, 37.

Ф. Бичай (Орша) 22.

Боголюбов (Ульяновск) 23, 27, 31, 34, 35.

И. Богомолов (Гдов) 22, 27.

С. Бакаев (Алма-Ата) 23, 35.

А. Брегер (Долгинцево) 21, 27.

Ф. Брижак (Краснодар) 21, 22, 23, 24, 25,27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38,39, 40.

Г. Бройт (Ленинград) 21, 22, 23, 24, 25 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39.

А. Брушан (Бараловск) 31.

Е. Бугулов (Орджоникидзе) 22, 27, 34.

С. Булгаков (Мценск) 21, 21.

И. Булгаков, уч. ГХ кл. (Курск) 25, 27.

Л. Бурковский (с. В. Черниговка) 22, 23, 24, 31, 33, 35.

М. Вавуло, уч. X кл. (Бобруйск) 21, 22, 23, 24 25 27 29.

Л. Вахонин (Н.-Тура) 21, 22, 23.

Н. Введенский (с. Георгиевское) 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40.

Я. Верхградский (ст. Ярошенко) 22.

И. Верченко (Орджоникидзе) 21, 22, 23.

А. Владимиров (Ялта) 21, 22, 23, 24,25,26, 27, 28, 29, 30. 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, : 9,40,

М. Владимиров (Шимановская) 21, 22, 23, 28, 34, 35, 37.

А. Волков (Чухлома) 21, 22, 23, 24, 25, 26,27, 28, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39,40.

А. Волнянко (Копейск) 21,22.

Н. Волосюк (Омск) 22, 28.

А. Воробьев (с. Нижнедевицк) 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36,37, 38, 39, 40.

Ворошиловский (Саврань) 21, 22, 24.

Ф. Генералов (с. Барское) 23.

A. Герасимов (Алма-Ата) 22, 23, 27, 31, 35,37, 40.

Л. Герашенко (Лыково) 22, 23, 25, 27, 34, 35, 36, 37.

Э. Гербергсгаген (с. Нейгейм) 21, 22, 23, 24, 27, 28, 29, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 39.

Д. Гилилов (Махач-Кала) 21, 22, 23, 27,34,36, 37.

Р. Глейзер (Калининдорф) 21, 22, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 34, 35, 36, 37, 39.

И. Голайдо (Новозыбков) 21, 22, 23, 25, 28, 31, 32, 35, 37, 39.

B. Голубев (Кувшиново-Каменка) 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 34, 35, 36, 40.

3. Гончар (с. Черпая Каменка) 27, 33.

С. Городов (Ленинград) 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 31, 32. 33, 34, 35, 36, 37, 40.

Гонтаренко (Керчь, Богерово) 21, 22, 28,31 34, 36, 37, 38, 39, 40.

М. Гофман (Загорск) 21, 22, 23, 27, 31,35, 37, 39, 40.

Е. Гребенщиков (Тазинская НСШ) 22, 27.

И. Гурский (Калиновка) 21, 22, 23, 24, 25, 27, 30, 32, 33, 34, 35, 37, 39.

Э. Гуттенлохер (Люксембург). Б. Давидкин (Уфа) 21, 22, 23, 27, 28, 37, 39.

У. Дакацьян (Ростов-на-Дону) 21, 22, 27, 34, 36.

С. Данько и С. Лисица (М. Черкассы) 21,23, 27, 35, 37.

Д. Дашник (Буздяк) 35.

В. Дегтярев (Льгов) 22, 23, 25, 35.

С. Джанашвали (Сураль) 22.

С. Дикий (с. Литвиновка) 27.

О. Дирекчиянц (Раменское) 21, 22, 23, 24, 27. 28, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39,40,

Добронравов (Колппно) 21, 22, 23, 25, 27, 28, 30, 32, 34, 35, 37, 38, 39, 40.

Б. Доступов, уч. IX кл. (Тамбов) 21, 22, 23, 24, 24, 27, 28, 20, 31, 32, 33, 34, 35, 36,37, 39, 40.

B. Дрейц (?) 22, 27.

Н. Дубицкий (Севастополь) 21, 22, 23, 25,27,. 3\ 35, 36, 37, 40.

И. Епифанов (Хабарозск) 22.

Г. Ефремов (Цивильск) 22, 23, 34, 40.

А. Завалко (Тишковка) 22, 27.

И. Зайцев (Москва) 21, 22, 23, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 39, 40.

К. Закусило (Мелитополь) 21, 27, 36.

A. Иванов (Торопец) 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40.

C. Иванов (Ново-Сибирск) 22, 31, 34.

B. Ильин (Харьков) 21, 23, 25, 28, 31, 34, 35, 36, 37.

Л. Каган (Минск) 22, 23, 27, 32, 34, 36,37,38, 39.

Б. Каждан (Ленинград) 21, 22, 23, 24.

Я. Калиниченко (Аргаяш) 21, 22, 23, 25, 27, 28, 30, 31, 32, 55, 37, 40.

В. Камендровский (Оренбург) 21, 22, 23, 24, 25, 27, 31, 32, 33, 35, 37, 38, 39, 40.

A. Каменская (Новопокровск) 23.

B. Кандидов (Воронеж) 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 33, 35, 36, 37, 39, 40.

Н. Канунов (с Новодевичье) 21, 22, 23, 26, 27, 28, 31, 32, 33, аз, 36, 37, 38, 39, 40.

В. Каплун (Винница) 27, 31, 34, 35.

Г. Капралов (Горький) 21, 22, 23, 27, 28, 31, 32, 33, 35, 36, 37, 30.

Я. и А. Карлинские (Слуцк) 22, 23, 25,27,30, 31, 32, 35, 36, 37, 38, 39, 40.

И. Карловский (Вышемирск) 22, 27.

М. Кекелия (с. Бандзя) 21, 22, 23, 24, 25, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 40.

И. Клейнчан (ст. Ингулец) 22, 2/, 39.

Г. Кипнис (ст. Долгинцезо-Красино) 21, 22, 23, 27, 31, 33, 34, 36, 37.

А. Киселев (ст. С пирово) 36.

Д. Кисин (Грэс Артем) 21.

Я. Кириллов (Ярославль) 21, 22, 23, 25, 27, 28, 40.

Я. Клоков (Тим) 22, 27, 31, 36.

Б. Кобылин (Галич) 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 3«, 37, 38, 39, 40

Г. Коган (Запорожье) 21, 22, 23, 25, 27, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 39.

B. Кожин (Мало-Несветаевское) 22, 27, 37.

C. Колесник (Харьков) 21, 22, 23, 25, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 40.

A. Колот (Балта) 21, 22, 23, 27, 28, 31, 32,34, 35, 37, 40.

С. Корж (Краснодар) 21, 23, 27, 35.

B. Корнеев (ст. Змкевка) 21, 22, 23, 27.

И. Королев (Кричев) 22.

Е. Костюков и Е. Сапунцов (Луга) 21, 22, 23, 24, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40.

Г. Качарян (Вагаршапат) 21, 22, 23, 37.

A. Красюков, уч. VII кл. (с. Лыково) 27.

B. Кременский (Ленинград) 21, 22, 23, 27, 28. 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 40.

В. Крикунов (Казань) 22, 23.

И. Кроер (Соболево-Воробьево) 21, 22,23,24, 26, 27, 28, 29, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40.

Н. Кувачев (д. Путилово) 22.

И. Кулаков (Бугуруслая) 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40,

Е. Куницин (Новоржев) 21, 22, 23, 24, 35, 37 39.

Л. Куриленко (Олчедась) 23, 27.

/7. Кутин (Царицыно-Дачное) 21, 22, 27, 34, 35, 36.

И. Лаврищев (Саратов) 21.

Лапчинская 22, 23, 27, 28, 31, 32, 34.

В. Лебедев (Богучар) 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40.

/. Лебедев (Обоянь) 21, 22, 23, 25, 28, 30, 32, 34, 35, 39.

В. Лебедевская (Саратов) 23, 34, 35.

П. Леванов (Ляхово) 22, 23.

Н. Левинсон (Витебск) 21, 22, 27, 28, 33, 34.

Л. Левшук (Новосибирск) 22, 23, 28, 31, 35.

Н. Линючее (Новоселки) 21, 35.

А. Логашев (Саловка) 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 84, 35, 36, 37, 38,39, 40.

А. Лосицкий (Новозыбков) 21, 22, 23, 31, 34, 37 39.

Л. Лукиди (Мариуполь) 21, 23, 27, 34.

A. Любомудров (Ленинград) 21, 22, 23,24,25, 27, 28, 30, 31, 32, 34, 35, 37, 40.

И. Мазаное (Кропоткин) 21, 22, 23, 25, 35.

П. Макуха (Омск) 21, 22, 25, 27, 28, 31, 37.

Е. Марчевская 30, 32, 36, 37, 38, 39.

Л. Маслова (Воронеж) 21, 22, 23, 27, 32, 34, 35, 36, 40.

К. Матвеев (с. Кинель-Черкассы) 22, 23, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39 40.

B. Медведев (Кузнецк) 22, 23.

Л. Медведев (Даниловка) 22, 23, 24, 27,28,31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40.

Я. Милов (Люблино) 21, 22, 27, 28.

Г. Мискарян (Кировабад) 22, 23, 25, 27, 28, 31, 32, 37, 39, 40.

А. Михайлов (Брянск) 21.

A. Мишугов (Тула) 21, 25.

Н. Митрохин (Орел).

Т. Милюков (ст. Буздяк) 2Г, 23, 35.

B. Морев (Ленинград) 22.

Н. Морозов (Калуга) 21, 23, 27, 34, 35.

Д. Мхеидзе (Кутаис) 22.

И. Нагорный (с. Кошеватое) 22, 23, 27, 35.

И. Нейц (Омск) 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40.

С. Немировский (Житомир) 21, 22,23,25,27, 29, 31, 32, 34, 35, 36, 37, 40.

B. Никулин (ст. Ярцево) 21, 22, 23, 27, 31, 34, 37.

С Нугуманов (с. Язоково) 21, 23, 27, 31, 35.

А. Овчинников (Сталинград) 21, 22, 23,24, 25, 27, 28, 29, 30, 32, 32, 34, 35, 36, 37,39, 40.

X. Осипенко (с. Гуляй-Пэле) 21.

А. Островский (Щигры) 21, 22, 23, 27, 33, 37, 40.

C. Павлов (Новороссийск) 21, 22, 23, 27, 30, 31, 36, 37.

А. Панов (Ярцево) 21.

A. Павлова (пос. Кром) 21, 27.

B. Панченко (Ейск) 22, 23, 31, 35, 40.

А. Парахонский (с. Пищов, Киевской обл.) 27, 40.

И. Парахоменко (ст. Мучная) 22, 23. 31.

Л. Пархоменко (Криворожье) 21, 23, 25, 27, 31, 34, 37, 39.

Ф. Перкаль (Ново-Петровск) 22, 23, 27, 28.

C. Петров (Барнаул) 21, 22, 23, 27, 31, 32,34, 40.

Г. Полубинский (Керенск) 21, 23, 35.

А. Попков (Лодейное Поле) 22, 23, 24,25, 27, 37, 38, 39, 40.

М. Попов (Бежаницы) 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 35, 37, 40.

Н. Попов (Новочеркасск) 22.

П. Попов (Курилов.)) 22, 27, 3^, 37.

С. Попов (Черкизово) 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40.

А. Посох (Минск) 21, 22, 23, 35.

Д. Постников (Рязань) 23, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40.

Е. Потапов (Коломна) 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 31, 32, 33, 35, 37, 38, 39, 40.

К. Приварников (Днепропетровск) 22,23, 27, 28, 29, 31, 32, 34, 35, 37, 39.

П. Пришивалко (Мишино) 22, 23, 25, 27, 28, 31, 37, 39.

И. Путилов (Курмыш) 22.

Е. Разумович (Тульч.чн) 21, 22, 23, 27, 34,35, 36, 37, 40.

3. Раков (Горький) 23, 25, 27, 31.

//. Рафаловская. (Москва) 21, 22, 23, 27, 31, 32, 35, 36, 37, 38, 39.

П. Резвов (Харьков) 22, 23.

Е. Резник (с. Тимановка) 21, 27.

Г. Ржавский (Фролов) 21, 22, 23, 24, 2î, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37,38,39,40,

Д. Румянцев (Ленинград) 22, 23, 24, 26, 27, 31 33 35.

И. Римар (Киев) 21, 23, 27, 33, 35, 36, 40.

М. Саакян, уч. IX кл. (Краснодар), 27, 31.

Т. Сабина (Броварьский р. Киевской обл.) 22.

Ф. Саблуков (Москва) 21, 22, 23, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39,40.

П. Самодуров (Сергач) 21, 22.

Н. Сандров (Старый Крым) 21, 22, 23, 24, 27, 28, 30, 31, 32, 33, 35, 36, 37, 39, 40.

Г. Севякин (Ленинград) 22.

А. Се^ыкина (ст. Новохоперск) 21.

П. Сергиенко (Запорожье) 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38,39, 40.

Н. Сиднев (Пошехоно-Володарск) 21, 22, 27.

А. Сидоров (Джизак) 21, 22, 23, 25, 27, 28,32, 35, 37, 39, 39.

Т. Сикорский (Синельниково) 21, 23, 31, 40.

Е. Соловьев (Одесса) 25, 31.

Р. Срода (Астрахань) 21, 22, 25, 27, 34, 37.

Я. Степанов (Киров) 21, 23, 27.

И. Судзиловский (Родники) 23, 24, 27, 31, 35, 37.

Я. Сулейманов (Ялта) 23.

Ирина Т. (Горький) 21, 27, 28.

С. Танасевский (Молдавия, М. Дубоссары) 23, 25, 27, 35, 40.

Д. Тарануха (Грозный) 22.

3. Тевдорадзе (Варлам) 21, 22, 27.

Л. Теплюк (Березнеговатое) 21, 22, 23, 27, 35, 36, 37.

П. Титов (Тюмень) 21, 22, 23, 24, 27, 31, 32, 33 34 35 37.

Д. Ткачик (с. Глодосы) 22, 23, 24, 27, 28, 30.

П. Токмаков (Москва) 21, 22, 23, 25, 27, 31, 34. 35, 37.

Д. Толчачев (Кисловодск) 21, 22, 23, 25, 27, 31, 35.

Я. Томсон (Полтава) 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 33, 34, 35, 36.

A. Триодин (Егорьевск) 23, 27, 35.

П. Троицкий (Сасово) 21, 22, 23,27, 31, 35,40.

П. Трохименко (Андреевка) 23.

B. Ураевский (Кузнецк) 23, 40.

Р. Урманчеев (Билярский р.) 21.

Д. Усатый (Лиман) 21, 22, 23, 24, 25, 27, 30, 32. 33, 34, 35, 36, 37, 39, 40.

И. Федоренко (Харьков) 21, 23, 35.

Р. Фочин (Казахстан) 21, 22, 23, 25, 27, 28, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40.

О. Ханчарлян (Краснодар) 21, 22, 23, 24, 25, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34. 35, 36, 37, 38, 39, 40.

И. Харламов (Елец) 21, 22, 27, 31, 37, 38, 39.

В. Холопов (с. Носины) 21, 22, 23, 27, 37.

Р. Царенко (Нальчик) 21, 22, 23, 27, 28.

В. Цизелев (Тотьма) 22, 37.

Е. Цигуля (М. Дубоссары) 23, 27.

В. Цой (Архангельск) 21, 22, 23.

И. Чайкин (Н. Анинская) 21, 23, 35.

М. Червонный (Ташкент) 21, 22, 23, 25,35, 37, 39, 40.

Д. Червенаков (Харьков) 21, 22, 23, 27, 37.

Ф. Черкасов (Бузулук) 21, 22, 24, 27, 29, 30, 32, 33, 34, 36, 37, 38, 40.

С. Чечельницкий (Горький) 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40.

С. Чеславский (Унеча) 21, 22, 23, 24, 25, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40.

Л. Чудотворцев (с. Шелтозеро) 22, 23.

С. Чуканцов (Брянск) 21.

И. Чучко (Орджоникидзе) 21, 22, 23, 24, 34, 35.

Л. Шагинян (Ереван) 22, 23, 31.

П. Шамарин (Уфа) 21, 22, 26, 34, 36, 37, АО.

A. Шафаренко (Васильков) 22, 23, 25, 27, 28, 31, 35, 40.

B. Швецов (с. Копани) 23, 27, 35.

И. Шевяков (Свободный) 22, 27, 31.

Б. Шехтман (Одесса) 21,22, 27, 28, 32, 33, 37.

Л. Шилова (Солтон) 21.

М. Шипилина (с. Черновка) 27.

И. Шоцкий (ст. Тутальская) 22.

И. Шукшин (Юго-Осокино) 21, 27.

Л. Шульман (Житомир) 21, 22, 34. 35, 36.

И. Шушкин (Ярославль) 21, 22, 23, 27, 30, 31, 32, 35, 37, 40.

И. и А. Яглом (Москва) 21, 22, 23, 24, 25, 2<i 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40.

Г. Яцко (Петриков) 22, 23.

Л. Ячницкий (Феодосия) 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40.

ß. Эверт (Марксштадт) 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 34, 35, 38, 39, 40.

C. Юров (5. Хомутово) 27.

СВОДКА ПО № 4 1937 г.

Н. Аверьянов (Горький) 62, 75, 76.

И. Агеев (Псков) 62, 72, 76.

И. Альтшулер (Гомель) 61.

Л. Аляев (ст. Башмаково) 61, 62, 63, 65, 67, 71, 72, 73, 74, 78, 79.

Л. Ананич (Красноярск) 61, 62, 63, 65, 66, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 79, 80.

Б. Андреев (ст. Исыль-Куль) 61, 62, 63, 67, 68, 69, 72, 73, 74, 79.

И. Андреев (Торжок) 62, 63, 65, 66, 68, 72, 73, 74, 75, 76, 79, 80.

Л. Астровенец и И. Левинсон (Витебск) 62, 63, 65, 66, 67, 68, 71, 72, 73, 75, 76, 79, 80.

Г. Ахвердов (Ленинград) 61, 63, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 79, 80.

И. Бабич (Белая Церковь) 61, 62, 63, 68, 72, 74, 75, 76, 79.

И. Бакулин 67, 72, 79.

М. Беневольский (Ленинград) 61, 62, 63, 65, об, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 78, 79, 80.

К. Боборыкин (Гомель) 61.

Б. Боголюбов (Ульяновск) 61, 62, 68, 74, 75, 76, 79.

Я. Богуславский (Мурафское) 76.

Ф. Брижак (Краснодар) 62, 63, 65, 67, 68, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 78, 79, 80.

Г. Бройт (Ленинград) 61, 62, 63, 65. 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76,77,78,79,80.

Е. Бугулов (Орджоникидзе) 62, 63, 65, 67, 72, 73, 75, 76, 79.

И. Булгаков (Курск) 62, 72, 76.

Л. Бурковский (д. Толмач) 61, 62, 65, 72, 74, 75,~76, 78, 79.

Я. Введенский (с. Георгиевское) 61, 62, 63 65, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 78' 79, 80.

Л. Велюго (Молыкозо) 67, 72, 75, 76.

Л. Владимиров (Ялта) 61, 62, 63, 65, 66, 68, 69 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 78, 79, 80.

Л. Волков (Чухлома) 63, 65,67,68, 69, 70, 72, 73, 75, 77, 78, 79, 80.

П. Генчев и И. Чмиль (Благоево) 63, 74, 79.

Д. Гилилов, уч. X кл. (Махач-Кала) 61, 62, 63, 65, 67, 68, 72, 73, 74, 75, 79.

В. Гильц (Остяко-Вогульск) 61, 62, 63, 65, 67, 68, 72, 73, 74, 76, 78, 79.

Л. Гинесин (Ленинград) 61. 63,74,75,76,78, 79.

Р. Глейзер (Калининдорф) 62, 63, 65, 67, 68, 72, 79.

И. Глотов (Ново-Акшино) 67, 75, 76, 79.

Я. Глузман (Винница) 61, 62, 63, 65, 66, 67 68, 71, 72, 73, 74, 75, 79 80.

B. Голубев (Кувшиново) 62, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 75, 79, 8).

Л. Голубченко (Лохвица) 62, 63, 72, 76, 78,80.

C. Городов (Ленинград) 61, 62, 63, 65, 67, 68, 71, 72, 74, 76, 77.

M. Гофман (Загорск) 79.

И. Гурский (Калиновка) 62, 63, 65, 63, 72, 73, 79, 80.

B. Дегтярев (Льгов) 62, 66. 67, 72, 76, 78, 79.

О. Дирекчилянц (Раменское) 62, 63, 67, 71, 72, 73, 74, 75, 79, 80.

A. Дмитриев (Майкоп) 62.

Б. Доступов, у и. X кл. (Тамбов) 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 69. 70, 71, 72, 73, 75, 76, 78, 79, 80.

М. Дубенец (Казацкое) 63, 65, 67, 68, 69, 72, 73, 74, 75.

И. Дубицкий (Севастополь) 62, 63, 65, 68,69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 79, 80.

И. Зайцев (Москва) 61, 62, 63, 65, 66, 67. 68, 69, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 78, 79, 80.

К. Закусило (Мелитополь) 63, 65, 67, 72, 74, 75, 76.

C. Зотов (Тула) 72.

Л. Каган (Минск) 63, 78, 79, 80.

F. Казанская (Куклюр) 62, 71, 72, 74, 80.

B. Камендровский (Оренбург) 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 69. 70, 71, 72, 73, 74, 75.

B. Кандидов (Воронеж) 61, 62, 63, 65, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80.

Г. Капралов (Горький) 63, 68, 72, 74, 79.

Б. Кашин (Ярославль) 61, 63, 65, 67, 68, 72, 73, 75, 79.

М. Кекелия (с. Бандза) 61, 63, 65, 67, 69, 70, 72, 75, 78, 79, 80.

/'. Кипнис (с. Долгинцево) 62, 63, 71.

Н. Кириллов (Ярославль) 63, 67, 72, 74, 75, 78, 79.

П. Китайгородский (Москва) 62, 63, 72, 74, 75, 79.

П. Клоков (Тим) 63.

Б. Кобылин (Галич) 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 70, 71, 72, 74, 75, 77, 78, 79, 80.

Г. Коган (Запорожье) 61, 62, 63, 68, 72, 74, 75, 79.

C. Колесник (Харьков) 62, 63, 65, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 79. 80.

A. Колосов (Барнаул) 62, 65, 67, 68, 69, 72, 74, 76, 78, 79.

С. Корж (Краснодар) 67, 72, 74, 76, 79.

E. Костюкова и Е. Сапунцов (Луга) 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72,' 73, 74, 75, 79, 80.

B. Кременский (Ленинград) 63, 65, 68, 72, 74, 75, 79.

C. Крыглер (Архангельск) 61, 62, 63, 66, 67« 68, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 78, 79.

Н. Кулаков (Бугуруслан) 61, 62, 63, 65, 66, 68, 69, 70f 71, 72, 73, 74, 75, 79, 80.

С. Кулигин (Тагай) 63, 76, 78, 79.

F. Куницын (Новоржев) 62, 63, 67, 68, 72, 78, 79.

Д. Лаврищев (Саратов) 61, 73, 75, 76.

Лебедев (Обоянь) 61, 62, 63, 66, 67, 71, 73, 75. 80.

Я. Леванов (Казахстан) 67, 74, 76, 78, 79.

И. Линючее (Яковцево) 68 72, 79.

С. Лисиця (М. Черкассы) 63, 68, 72, 74, 75, 76, 78, 79.

А. Логашев (Саловка) 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 70, 71, 72. 73, 75, 79, 80.

А. Любомудров (Ленинград) 61, 62, 63, 74.

И. Макуха (Омск) 61, 62, 63, 65, 68, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 78, 79, 80.

Е. Марчевская (Омск) 61, 62, 69, 70,71,73,80.

Л. Марченко (д. Лешня) 62, 68, 72.

Г. Мискарян (Кировобад) 61, 62, 63, 67, 68, 69., 70, 71. 72, 73, 74, 75, 79. 80.

К. Матвеев (Кинель-Черкассы) 62, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 75, 79, 80.

Г. Маштак (Браилово) 72.

Л. Мелконян (Кировобад) 74, 75, 78, 79.

Л. Меснянкин (Москва) 62, 63,67, 73,75,79, 80.

М. Месяц (Житомир) 61, 62, 63, 68, 69, 71,72, 73, 74, 79, 80.

К. Михельсон (ст. Башанта) 61, 62, 67, 72, 74.

Могилевский (Киев) 63, 67, 71, 74, 75, 79.

Г. Могильный (Гордеевка) 76.

Н. Морозов (Калуга) 63, 76, 78, 79.

М. Мошкович (Могилев) 72, 79.

И. Настек (Днепропетровск) 76.

Н. Нейц (Воронеж) 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 78, 79. 80.

С. Немировский (Житомир) 62, 63, 65, 69, 72, 74, 75, 76, 78, 79.

Николаев (Куртамыш) 63, 74, 78, 79.

С. Огай (Казань) 61, 63, 68, 71, 72, 75, 79.

Л. Островский (Щигры) 63, 70, 72, 79.

B. Падучев (Лиски) 63, 74.

Е. Пузырев (Саранск) 67, 68, 74, 75.

C. Павлов (Новороссийск) 62, 63, 65, 66, 67, 68, 72, 74, 75, 76, 78, 79.

В. Панченко (Ейск) 61, 62, 72.

Л. Парахонский (Пыщев) 62, 63, 74, 75.

B. Петров (Белово) 68, 72, 76.

C. Петров (Барнаул) 61, 62, 63, 66, 68, 72, 74, 75, 78, 79, 80.

М. Пешков (Безтесяое) 65.

B. Писарев (Усолье) 62.

Н. Покровский (Нижнеудинск) 61, 63, 68, 71. 72, 74, 75, 76, 79.

Г. Полубинский (Киренск) 62, 72, 74.

П. Постников (Рязань) 62, 63, 66, 68, 71, 72, 74, 75, 76, 78, 79.

Е. Потапов (Коломна) 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 79, 80.

М. Поток (Винница) 61, 62, 63, 65, 67, 68, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 79, 80.

Н. Притула (Чернигов) 61, 62, 63, 65, 68, 72, 75. 79, 80.

П. Резвов (Харьков) 61, 63, 74.

М. Саакян (Краснодар) 62, 72, 74, 75, 76.

Ф. Саблуков (Москва) 61, 62, 63, 65, 66 67 68, 69, :0, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77,' 78, 79, 80.

И. Савченков (Усолье) 62, 63, 70, 72, 76.

Н. Сандров (Старый Крым) 62, 63, 68, 72, 73, 75, 76, 79.

П. Сергиенко (Запорожье) 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 79, 80.

C. Скирта (Новокиевский увал) 63, 72.

И. Смирнов (Лосиноостровск) 74, 76, 78, 79.

И. Судзиловский (Родники) 63, 65, 66, 72, 74, 75/78, 79.

С. Танасевский (Дубоссары) 63, 68, 72, 74, 78.

Д. Толмачев (Кисловодск) 74, 76, 78.

Л. Триодин (Егорьевск) 62, 74, 76.

С. Тубин (Омск) 63, 68, 71, 72, 73, 75, 76, 78, 79.

B. Ураевский (Кузнецк) 71.

Р. Урмачеев (Билярск) 67.

К. Устинович (Бобруйск) 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75,76,78, 79,80.

Л. Фильштинский (Кременчуг) 63, 68, 72, 75, 79.

C. Фитерман (ст. Бабынино) 61, 62, 80.

В. Фомин (Казахстан) 61, 62, 63, 65, 67, 68, 70, 72, 73, 74, 75, 79.

О. Ханчарлян (Краснодар) 62, 63, 65, 67, 71, 72, 73, 74, 75, 78, 79, 80.

Ф. Харах (Витебск) 63, 65, 73, 75, 79, 80.

И. Харламов (Елец) 61, 62, 63, 66, 72, 74, 79.

Е. Холодовский (Ленинград) 61, 62, 63, 65, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 78, 79, 80.

В. Хачатрян (Наримановский р.) 74.

B. Цхай (Омск) 61, 62, 63, 65, 67, 68, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 79, 80.

Е. Чернин (ст. Ново-Троицкая) 63, 67, 74,75, 79, 80.

Ф. Черкасов (Бузулук) 63, 67, 72, 75, 79.

C. Чечельницкий (Горький) 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 75, 77, 78, 79, 80.

И. Чучко (Орджоникидзе) 73, 75, 77, 78, 79.

А. Шагинян (Ереван) 62.

/7. Шамарин (Уфа) бЗ.

И. Шевяков (Свободный) 75, 79.

И. Шилин (Ново-Томников) 72, 75.

Шульчан (Житомир) 63, 76, 78.

И. Юркевич (Речица) 67, 79.

И. и А. Яглом (Москва) 61, 62, 63, 65, 66,67, 68. 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 77, 78, 79, 80.

К. Яржемский (Горький) 63, 74, 75, 79, 80.

А. Ячницкий (Феодосия) 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72. 73, 74, 75, 77,78,79,80

Правильных решений было прислано:

№ 61—56, jY° 62—83, № 63—100, ^ 65—56, JSÊ 66—32, 67—62, № 68—66, № 69—33, № 70—35, № 71—50, № 72—99, № 73—56, № 74—80, & 75—94, № 76—52, № 77—12, № 78—47. Л& 79—99, № 80—52.

ЗАДАЧИ

1. Решить уравнение:

И. Чистяков (Москва).

2. Составить уравнение, корни которого были бы пятыми степенями корней уравнения X2 + рх + 9 = 0 (не решая последнего).

И. Чистяков (Москва).

3. Найти элементарным способом наибольшее и наименьшее значения дроби:

И. Чистяков (Москва).

4. Построить трапецию по данным боковым сторонам и диагоналям.

М. Беневольский (Ленинград).

5. Доказать, что из всех целых чисел вида 2т + 1, где m — простое число, только одно число является точным кубом.

С. Селезнев (Астрахань).

6. Доказать, что для всякого треугольника имеет место соотношение:

И. Кастровицкий (Слуцк).

7. Найти зависимость между острыми уг^ лами (а, Рит, если известно, что ctga2 = = 3; ctgß = 5;ctgr = 8.

И. Кастровицкий (Слуцк).

8. Решить уравнение:

5. Пусть т,п,р — длины биссектрис углов А, В, С треугольника АБС. Доказать, что

10. Показать, что

11. Решить систему уравнений:

12. Доказать, что выражение

есть средняя пропорциональная между радиусами кругов вписанного и описанного. 13. Решить в целых числах уравнение:

14. Решить систему уравнений:

15. Решить систему:

16. Найти арифметическую прогрессию, в которой средняя арифметическая всяких п первых ее членов равна числу этих членов.

17. Исключить X из уравнений:

18. Доказать, что во всяком прямоугольном треугольнике

19. Найти два числа, зная, что сумма частных от деления каждого из них на их общий наибольший делитель равна 18 и что их наименьшее кратное равно 975.

20. Показать, что если числа а, Ь, с составляют арифметическую прогрессию, a, х, у% z — геометрическую, то

От редакции.

1. Решения задач должны присылаться отдельно от всякой другой корреспонденции.

2. Должны быть указаны инициалы и фамилия приславшего решение. Если решения даны на отдельных листах, должно быть подписано решение каждое задачи.

3. Задачи, присланные для помещения в журнале и непринятые редакцией, уничтожаются, в переписку по поводу их редакция не вступает.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Речь товарища И. В. Сталина па предвыборном собрании избирателей Сталинского избирательного округа гор. Москвы

11 декабря 1937 года з Большом театре.......... 1

Сообщение Центральной избирательной комиссии о количестве избирателей, голосовавших за кандидатов блока коммунистов и беспартийных на выборах в Верховный Совет СССР 12 декабря 1937 года..................... 5

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

Проф. В. Н. Депутатов — Основания геометрии......... 7

Проф. Л. И. Креер—О правильных многоугольниках с целочисленными координатами вершин............... 25

Доц. С. Зетель —О построении одного геометрического места. . 28 В. Барановский — Простейшие примеры пар несоизмеримых отрезков ........................... 30

МЕТОДИКА

Проф. Д. Мордухай-Болтовский — Методические проблемы, относящиеся к поверхностям и объемам............. 34

Л. Круповецкий — К методике логарифмов............ 41

B. Падучев — Построение урока по алгебре...... . . 48

ИЗ ОПЫТА

C. Урусов — О некоторых теоремах геометрии.......... 57

В. Орешкин — Некоторые моменты преподавания дробей в V кл. средней школы....................62

ОТКЛИКИ НА СТАТЬИ

Проф. Н. А. Извольский — О трехгранных углах....... 68

Н. Кулаков — О статье П. Стратилатова «Многогранный угол в школе» ............. ........ . 70

B. Эменов — К вопросу об умножении на дробь......... 71

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

И. Скрылев — О некоторых слабых местах в стабильном учебнике алгебры Киселева......... . . „ . . .... 74

Сахаров — Новые программы по математике на 1937/1938 учебный год........» . -............... 77

C. Новоселов — Обзор новых книг................. 83

ЗАДАЧИ

С. Зетель — О некоторых свойствах треугольника, стороны которого являются медианами другого треугольника.......86

Решения задач, помещенных в № 4 журнала «Математика в школе» за 1937 г........... .........89

Сводка по № 1 1937 г.................... 97

Сводка по № 2 1937 г.................... —

Сводка по № 4 1937 г....................101

При обнаружении дефекта в данном номере журнала просим прислать его для обмена по адресу: Москва, Столешников пер. 5, Отдел периодических изданий Учпедгиза.

Отв. ред. проф. А. Н. Барсуков - Техредактор Е. М. Зеф

Адрес редакции: Москва, Столешников п., 5. Учпедгиз, Периодсектор., журн. «Матем. в школе».

Уполномоч. Главлита РСФСР Д'? Б—3470з. Сдано л производство ib'Xll 1937 р. Форм. 70x107. Учгиз 9972. Додпис. к печ. 10/1 1938 г. 6*/» п. л. Ю'/А авт. л. В п. л. 70 000 8Н. Тир 44Ô0Q. Зан. 1 jl3L

18-я типография треста «Полиграфкнига», Москва, Шубинский пер., №.

К СВЕДЕНИЮ ПОДПИСЧИКОВ

В связи с пропуском в части тиража страниц 97—100 напечатанные на них: окончание решений задач по № 4 и начало сводки по № 2 — будут даны в следующем номере,

Редакция

Зак. 1613